Zbirka zadataka iz mehanike. D 1 : za prvi stepen studija na tehničkim fakultetima i višim tehničkim školama [PDF]

Zitiervorschau

U N I V E R ZIT E TUB E 0 I

G R A DU

I

Dr inz. DANILO P. RASKOVIC profesor univerziteta

ZBIRKA ZADAT AKA IZ MEHANIKE

I " 'I',' ')

j

I' I,

,I"

ZA PRVI STE}JEN STUDIJA NA TEHNICKIM FAKULTETIMA I V1SIM TEHNTCKIM SKOLAMA

. i?

,"

ZAVOD ZA IZDA VANJE UDtBENIKA SOCJJALJSTICKE REPUBLIKE SRBTJE , I

r'

,,!

BEOGRAD

1 SADRl,AJ

Ideo -

TEKST ZADA TAKA 1. STATlKA Strana

A) B) C) D) E)

Statika u ravni (zadaci 1.1. do 1.70) ....................................... .. Statika u prostoru (zadaci 1.71. do 1.130) .................................. .. TcZi~la (zadaci l.UI. do 1.160) ............................................. . Trenje (zadaci 1.161. do 1.170) ............................................ .. Grafostatika (zadaci 1.111. do 1.200) ...................................... ..

n.

9 24 38 44 46

KJNEMA TIKA

A) B) C) D)

Krelanje laeke (zadaci 2.1. do 2.70) .................... " .................. .. Obrtanje krutog tela. Transmisioni prenosnici (zadaci 2.71. do 2.100) ........ .. ReJativno kre"in~e/Bregasti mehanizmi (zadaci 2.101. do 2.125) .............. . Ravno krctanje. ~avni mehanizmi (zadaci 2.126. do 2.175) ................... . E) SJaganje kretanja. Planetski i diferencijalni prenosnici (zadac; 2.176. do 2.2CO) ..

m.

55 63

69 75 85

DINAMlKA

A) Dinamika rna terijalne tacke (zadaci 3.1. do 3.80) ............................. . B) Dinamika materijaJnog sistema. Momenti inercije i centrifugalni me mmti (zadaci 3.81. do 3.100) ....................•....... : ................................. . C) Dinamika krutog tela (zadaci 3.101. do 3.200) .....•..........................

II dee -

93

102 105

RESENJA

I. STATIKA A) B) C) D) E)

S!atika u ravni (zadaci 1.1. do 1.70) .................. . Statika u prosloru (zadaci 1.71. do 1.130) ...................... .. Tezisla (zadaci 1.136. do 1.160) ............................................ .. Trenje (zadaci 1.161. do 1.170) ................................ " ........... . Grafostatika (zadaci 1.171. do 1.200) ........................................ ..

127 155 180 192 195

II. KINEM"A TIKA Dr in!. DANILO P. RiASKOVIC, Z B IRK A Z A D A T A K A ! Z M B HAN I K B I " IzdnVll~: ZAVOD

A) KretaDje taeke (zadaci

ZA IZDAVANJE UDZBENIKA SOCIJAUSTICKE REPUBLlKE SRBlJE, Beograd, ObiIieev venae 5{1 " Loktor: ZDENKA PLESA • Tchnicki Ulednik: BORA JOVANOVIC" Korektori: VISESLAVA NIKOLIC, MrRJANA' LESKOVAC i NADE:tOA PLANOJEVIC ., Rukopis predat u l::tampu oktobra J965-. godine .. Stampanje z;avrscno maja J966. godinc .. Obim: 24112 stamparska tabaka •. Tira!: 4_000 primeraka $ Format: 17x24 CIll. $tampa BEOGRADSKI GRAFlCl' jacine

1.32. Kol"ka mora bili siJa F. u prethodnom 2adatku da sila sveo na spreg'! Koliki je tada moment sprega?

1.25. Duz straniea jednakokrakog trap~za A BCD , duzina paralelnih straniea AB=IOem, CD=4em i krakova BC~DA=5em, visine h=4em, dejstvuju sile koje su po intenzitetu jednake duzinama straniea, a smerovi ~

Paralelne

6 kg, - 3 kg, 2 kg i - I kg, grade sa + Ox-osom t:iedra Oxy ugao 300 i seku tu osu u tackama Ni (2 em; 3 em; 4 em i 5 em). Odrediti vel:Cnu i polozaj napadne linije ovog s:stema parale1nih sJa.

~

sistem siJa. Kolike moraju biti veliCine sila u ravnotezi?

1.31.

r

.)

jednako je duz:ni poJuge (AC = AB= I).

'C

Fza

1.28. Momenti sile tri nekoliriearne tacke, A(2em; 2em), B(4em; 4 em) j C (3 em; - 1 em), jznose J 3 kgem, 15 kgem i 6 kgem. Odrediti jac:nu sile i polozaj njene napadne linije u odnosu na triedar Ox),.

yt

CD

c

. Slika 1.29.

I.22~ Tanki homogeni disk, teZinetG=}6kg:' poluprecnika (!{.~ = 10 cm~bno je vezan sa tri stapa u tackama A (6 em; 8 em), ,,' B(-6em; -8cm)i C(6em; -Scm).,,': Pravei stapova pr:kazani Sil na' slici. Odred.ti sile u stapov:ma u ravnoteZnom polozaju d'ska. ~

1.30. Stap AB, duzine 2 m, opterecen je teretom F= 100 kg na kraju A. Stap je poduprt sa tri stapa, (1), (2) i (3), koji su zglobno

a A

Slika 1.33.

Slika 1.34.

1.34. Stap AB, duZine /, teiine G, zglobno je Vezan u A za pod, a za kraj B privezano je ute koje je ucvrSCeDO u tacki C zida. Odrediti otpor zgJoba i silu u Uletu ako su poznati uglovi ex i ~, koje stap uze grade sa +Ax-osom (podom).

14 1.35. 'Stap AB, tezine G, duzine I, opterecen je na kraju B teretom tezine G12. Za taj kraj vezano je uze koje je prebleeno preko maJog kotura C na zidu, gde; je AC = h = I. 0 kraj uteta obcsen je tere! F. KoJ ki ugao

- _a :~"_~I_'----J!f

__

Slika 1.119.

1.120. Izracunati sHu F i otpore oslonaca u prethodnom zadatku ako je vratilo duzine 120 em, feline 60 kg, bubanj duzine 60 em, tdine 40 kg, postavljen na sredini vratila, teret tezine G = 300 kg udaljen je od oslonea A za 50 em, a tocak, poluprecnika R = = 5 r= 25 em, gdc jc r poluprecnik bubnja, udaljen je 40 em od desnog osJonca B.

{!} F, Slika 1.121.

1.121. Horizontalno ceJicno transmisiono vrafiJo, speeificne (dine materijala Ym= 7,85 kg/dm3, kruznog pre-. seka precnika d = 100 mm, nosi dva kaisnika, teiine G, = 30 kg j G 2 = 50 kg; precnika 30 em i 40 em. Sile u delovi~ rna kaisa velicina F; i F;' = 2 Fi i dejstvuju u prvom kaisniku llorizontaino, a: u drugom koso, pod uglom ex = 3.00 prema vertikali. Vratilo je duzine J 00 em

su

36

37

i oslonjeno je na sferno (A) i 'eiiindricno leiiste (B), a kaisnici su udaljeni: prvi 30 em od levog, a drugi 20 em od desnog oslonca. Ako je sUa FI = 400 kg, u horizontalnom delu kaiSa prvog kaisnika, odrediti silu u kaim drugog kaisnika i otpore oslonaea u ravnoteZnom polozaju sistema, zanemarujuCi tezine kaiseva. 1.122. Homogena pravougaona tanka ploCa ABDE, stranice b = 2 a = 80 em. tezine G = 100 kg, vezana je sfernim (A) i eilindricnim lezistem (B) za osovinu AB, oko koje se moze obrtati. PloCu u ravnoteZnom polozaju, nagnutom za ugao Cl = 300 prerna horizontalnici, Axy-ravni, oddava ter.et tdine F, vezan {) me prebaceno preko malog kotura K(a; 0; b/2) i drugim krajem vezano za teme I} ploce. Pored tdine, ploca je izlozena i dejstvu vetra F", cija rezultanta iznosi 2 G kg i dejstvuje u tezistu ploce pod uglom ~ = 300 prerna horizontalnici, Axy-ravni. Projekcija napadne linije rezultante dejstva vetra na ravan Ax;> usmerena je ka + Ay-osi i sa njom gradi ugao y"= 60°. Odrediti velicinu tereta F i otpore oslonaea ploce u njenom naznacenom ravnoteznom poloZaju.

1.125. Trostrana prizma OABDEH, os nove pravougaonika, stranica a = 60 em, b= 80 ern, C = 30 ern, tezine G = 30 kg, poduprta je sa i\est stapova, koji su zglavkasto vezani za ploi'll i gIatki pod tako da plocu odrfuvaju u horizontalnom ravnotdnom poJo~ ia ju na visini H = a od poda. Odrediti velicinu i karakter siJa u pojedinim stapovima, u ravnoteznom poIOZaju sistema. E

zl F

Stika Ll25 .

.

,•

,, /

/8 y

Slika 1.122.

Slika 1.123.

1.123. Plocu datog oblika, R=20cm, (dille G=lOkg, vezanu u A sfernim i B cilindricnim Iezistem za osovinu AB, oko koje se moze obrtati, odrhva u horizontalnom ravnoteZnom polozaju teret tdine F, vezan za uie prebaceno preko rnalog kotura K na osi Oz, na udaljenju OK = 4 R/3, a drugim krajem vezano' za tacku D na obimu ploce, Odrediti u ravnotdnom poloZaju ploce velicinu tereta i otpore osIonaca.

AD= DB.

1.124. U prethodnorn zadatku umesto tereta F postavljeno je me ve-""" r--r--. zano za tacke D' i D" obi!lla ploce, AD' =BD" ~ AB/3 i provuceno kroz prsten 1', koji se naIazi na mestu kolura K. Odrediti silu u uzetu i otpore oslonaca (lezista).

stika 1.12~.

1.126. Okrugli sto, po\uprecnika R,teZine G, poduprt je sa tri jednaka stativa, ciji krajevi A, B i C obrazuju na glatkom podu jed.qakostranicni trougao, stranice a. 0 tacku P stoIa obesen je tefet te:line F,i tako dll: je projekcija poluprecnika OP na pod, prava O'P' upravna na stranicu AC t~o­ ugla ABC. Teziste stoIa Co nalazi se na siubu stoIa. Odrediti pr~tisak svake Doge st;l.tiva na pod. Koji uslov mora biti ispunjen da bi doslo do prevrtanja stoIa?

i

1.127. Odrediti velicine i karakter sUa u stap~ koji su zglobno vezani za trougaonu ploCicu, oblika jednakostranicnog-tr~ugla, strani~~ a = 60 em, teZine 96 kg, i za pod, i odrZavaju plocieu u horizontalnorn ravnoteZnom polozaju na visini H = 40 em od poda. Ploca je, pored sopstvene: ldine, izlozena i dejstvu tereta tezine F = G, 0 besenog 0 me prebaceno pre~o kotura K i drugim krajem vezanim za tacku P ploce, gde je OP=PS=h/2. Kako je kotur (K) vertikalno iznad temena S ploce, uze je u ravni simetrije ploee i gradi sa plocorn ugao CI. = 30°.

38

39 I,

.'

K,

1.128.

Odrediti sile u stapovima

u prethodnom zadatku ako je teret F

obesen 0 ~eme S ploce, a ploCa je jzlozena i dejstvu sprcga, momenta sprega 108 V3 kgem, koji dejstvuje u rave ni ploce u direktnom smeru.

H

Iz A

I

I

dra Oxy, a vezane su u naIJadnim tackama NI (2 em; 2 em), N2 (- 1 em; i em), N 3 (2em; -2em), N 4 (3em; 2ero) i N s (4em, -2em).

1.132. a) Raeuuski i. graficki odrediti koordinate tezista homogenog vJaka (poligona) ABDEFH. b) Kolika je povrsina omotaca obrtnog tela koje postaje potpunim obrtanjem poligona ABDFH oko Oy-ose?

yl

E

I I I

AI

D

8

tL.-.---~ __. ._L~ VLI____ 4R Slika 1.132. Slika 1.l27.

1.133. a) Raeunski . odrediti OABDEFHO.

Slika 1.129.

1.129. Avionski motor, tezine G = 2 000 kg, poluprecnika R = 20 em, poduprt je simetricno sa sest stapova, koji su zglobno vezlni u tackama (zglobovima): A(-120em; 80em; 70cm), B(-24cm; 20 em; 0), C(-lOOcm; . 48em; -90em) i D(O; 0; -20em). Odrediti veliCine i karakter sila u pojedinim stapovima u ravnoteznom polozaju sistema.

; Slika 1.130.

Slika 1.133.

1.130. Konzola ABC uklestena je na levom kraju (A), kod B savijena pod pravim uglom i na slobodnom kraju C optere~ cena silom F jacine 200 kg koja dejstvuje upravno na konzolu, a sa horizontal om gradi ugao 0: = 45°. Odrediti otpore ukleStenja konzole ako je duzina dc!a AB = 3 metra, a I dela BC = 2 metra.

q TEZISTA a) Izvesti obrazac za odredivanje sredista (C) sistema vezanih parale1nih sila u ravni. ~

b) Odredifi polozaj sredista sistema parllielnih sila Fl Jacme 10 kg, 2 kg:, - 3 kg, -4 kg i 5 kg, koje grade ugao 600 sa + Ox-osom trie-

polozaj

tezista

bomogenog

poligona

.b) Racunski odrediti poloZaj tdista homogcne slike oivicene poligonom OABDEFHO. 1.134. Jz tacaka 0 i 01' kao sredista, opisani su krugovi, poluprecuika R. Odrediti koordinate lezista srafirane povrsine u odnosu na triedar Ox),. 1.135. Jz tacaka 0 1 i O2 opisani su polukrugovi, pomprecnika R, a iz tacke 0 kvadrant kruga, poluprecnika 2 R. Odrediti polozaj tezista srafirane povrsine. 1.136. Iz sredista 0' opisan je polukrug, poluprecnika R, a iz taCaka A (2 R; 0) i B ( - 2 R; 0) Iuei, poluprecnika 3 R. Odrediti poloiaj teZista slike omedene polukrugom i lucima.

0,

Slika 1.134.

Slika 1.135. fJ

B(-2R;O)

A(2R;0!

SJika Ll36.

41

40 1.137. Kolika mora biti duzina straniee b pravougaonika cia hi :ie teziste slike poklopilo sa sredistem 0 polukruga?

1.143. Izracunati zapreminu tela koje postaje potpunim obrtanjem srafirane povrsine oko Oy-ose.

1.144. Odrediti zapreminu tela koje postaje potpunim obrtanjem srafirane povrsine oko Ox-ose.

., b Slika 1.137.

Slika 1.138.

1.138. Kolika mora biti vis ina trougla h da bi se teziste sJike poklopilo sa sredistem polukruga? 1.139. 1z pravougaonika ABDE, stranica b i 2h=b, treba isecijednakokraki trougao ABC takve visine (x) da teziste preostale slike bude u ternenu C (rougla.

Slika 1.144.

Slika 1.143.

1.145.

a) Odrediti koordinaietezista srafirane povrsine ~ odnosu Ua

ose Ox i Oy triedra Oxy. II) U kome su odnosu zapremine tela dobijenih potpunim obrtanjem srafirane povrsine oko koordinatnih osa triedra Oxy?

Slika 1.140.

Slika 1.139.

1.140. }z jednakokrakog trapeza, straniea a = 2 b, b i visine h = b, iseCen je polukrug, poluprecnika R = bit, sa sredistem na sredini donje osnoviee. Odrediti po!ozaj tezista preostaJe slike. 1.141. Iz polukruga, poluprecnika R, isecen je eentricni krug, poluprecnika r = Rj2. Odrediti polozaj teiista preostale slike. Kolika je zapremina tela koje postaje potpunim obrtanjem te slike oko horizontalnog precnika?

o

.r

o

:r

2R

Slika 1.142.

1.142. Odrediti koordinate tdista srafirane povrsine i zapreminu tela loje postaje njenim potpunim obrtanjem oko Ox-ose.

o

1.146.

0,

Slika 1.146.

Stika 1.145.

a) Odrediti koordinate tensta srafimne poydine.

b) U korn Sil odnosu zaprernine tela koja se dobijaju. potpunim obrtanjem srafirane povrSine oko koordinatnih osa Ox i Oy triedra Oxy?

y

Slika 1.141.

!X

y

1.147. U kom su odnosu zapremine tela koja se dobijaju potpunim obrtanjem srafirane povrsine oko koordinatnih osa triedra Oxy? 1.148. Izracunati zapreminu tela koje postaje potpunirn obrtanjem ilrafiranepovrsine oko Oy-oseako je R= 3 em.

Slib U41.

;Slika 1.148. I

42

43

1.14~. Kolika je zapremina rezcrvoara, poprecnog preseka ABDEH, aka su af40cm, b=180cm, R=30cm?

poluprecnika r = R/2. Odrediti polomj tezista tako dobijenog R= 8 em.

la

tela ako

Je

1.155. Kolika mora biti Vlsma H kruinog konusa da bi teziste tela bilo u sredistu 0 polulopte, poluprecnika R?

.__ --'i_+ I

o 1.150: a) Odrediti kaordinate tezista homogenog poligona OABDEH aka je R=4cml

Slika 1.155.

, b) Kolika je povrsina omotaeatela koje se dobije poipunim obrtanjem iog poligona oko OH-ose?

i

1.156. Iz homogene polukugle, poluprecnika R, isecen je kruzni konus, isle osnove. Kolika mora biti visina konusa (y) da bi teziste preostaiog tela bjl~ u vrhu C konusa?

c) Odrediti koordinate tezistaslike omedenc pbJigonom OABDEHO.

d) Kolika je zapremina tela' koje postaje potpunim obrtanjem srafirane slike oko ose OH? 1.151.' Iz valjka, poluprecnika R, duzine 6 R, isecena je na jednoj osnovi pohllopta, po)uprecnika R, a na drugoj osnovi konus, poluprecnika Dsnove R i: vi sine 2 R. Odrediti polozaj tezista tela.

Slika 1.156.

~"

1.157. Iz polulopte, poluprecnika R, isecena je eentricna lopta, poluprecnika R/2. Odrediti polozaj preuslalog tela. 1.158. Pravilni tetraedar, ivit;e u, presecen je na polovini visine paralelnoj osnovi. Odrediti polozaj tezista zarubljenog tetraedra. 1.159.

rnVlll

a).Odrediti polomj teiista srafirane povrsine.

b) Kolika je zapremina tela koje postaje potpunim obrtanjem te povrsine oko Ox-ose? c) Odrediti polozaj tezisla tela dobijenog oortanjem srafirane povrsine oko Ox-ose. Slika 1.151.

'x

Slika 1.152.

1.152.

Izkonusa, poluprecnika osnove R, visine

4 R, isecena jc poJulopta sa centrom u sredistu osnove' konusa, poluprecnika R. Odrediti polozaj tezista tela.

o

jZ Slika 1.154.

1.153. Odrediti koordinate tezista tela koje se sastoji iz polulopte i konusa. 1.154. Iz bomogene po1uJopte, poluprecnika R; isccene su dye polulopte,

SIika 1.159.

1.160.

Slika 1.160.

a) Odrediti kODrdinate tezista srafirane povrsine.

b) Odrediti po!ozaj teiista tela koje postaje potpunim obrtanjem srafirane povrsine oko Ox-(Oz) ose.

44 1 za sam vaijak. Odre~iti oajmanji ugao cp. koji ufe gradi ,sa noteinom polozaju sistema, silu u uietu i otpor zida.

D) TRENJE

}'161.

Telo teZine G nalazi se na brapavoj strmoj ravni, nagibnog

1.166. Homogeni glatki poluvaljak, poluprecnika osnove R, ldine G, oslanja se na dva ista' polnvaljka koja se nalaze na hrapavom podn. Pri kojoj ce razdaljini (x) ivica poJuvaljaka poceti njihovo klizanje po podn?

ugla CA, koeficijenta statickog trenja 1-'-0' Na telo dejstvuje i sila F, koja sa strmom ravni gradi ugao ~. Odrediti veliCiou ove sile u ravnoteinom poloiaju tela. 1.162. Stap AB, duzine I, (dine G, oslanja· se krajem Ana hrapavi pod, koeficijenta trenja !J.D' Drugi kraj B priddava teret F, obesen 0 uie prebaceno preko kotura (K) j vezano za kraj B stapa. Kolika mora bili maksimalna velicina tereta Fda bistap AB u ravnoteznom poloz.aju sistema gradio sa podom ugao CA1 Izraeuna(i veliCinu tereta ako je koeficijent trenja 1-'-0 = 0,2 i ugao CA = 30 0; G = 100 kg.

Slika 1.166.

Slika 1.165.

1.167. Odrediti sile u pojedinim delovima kJestne hvataljke (gripper, Gre/fer) kojom se podiZu kameni blokovi iii balvani, leiine G, ako su poznate duzine poJuga i uglovi CA, ~ i y, zanemarujuCi tdine delpva dizalice. Koji je uslov zahvatanja tereta kldtima (papueama)?

Slika 1.162.

Slika 1.163.

.\

1.163. Homogeni stap AD, duzine J, tdine G, oslanja se krajem A na hrapavi horizontalni pod, koeficijenta trenja 0,4, a krajem B na vertikalni zid, koeiicijenta trenja 0,5. Odrediti ugao O) tacka na elipsi. Obe tacke st:gnu jednovremeno u poloiaj M. Odrediti ubrzanje druge pokretne tacke. 2.39. Tacka se krece po cikloidi, ciji se gencratorski hug, poluprecnika R= IOem, obree jednoliko, bez klizanja, sa 30/min. Druga tacka krece se jednoliko po potegu OE, gde je E teme cikloide, i stigne u Ierne cikloide jednovremeno sa prvom tackom. Koja tilcka ima vecu brzinu u lemenu eikloide? 2.40. Tac):a se krece po paraboli cija je jednacina'y2=4x U odnosu na triedar Oxy. Odrediti Dekartove koordinate vektora bnine pokrelne tacke ako se ona po putanji krece jednoliko (konstantnom velicinom vektora brzine). Odrediti i poluprecnik krivine putanje.

2.41. Poz.nati 5U 'zakoni promene Dekartovih koordinata vektora ubrzanja krivolinijskog kretanja jedne pokretne tacke x = - 4 x, ji = - 4 y. U pocetku kretanja tacka jebila u pocetnom polozaju No (2 em; 0) i imala je pocetnu brzinu 4 cm/see upravnu na + Ox-osi, a u smeru + Oy-ose. Pokazati da je tangenta na hodograf brzine upravna na brzini pokretne tacke ako je pol hodografa brzine koordinatni pocetak (0) putanje pokretne tacke.

I

2.33. ' Tacka se kreee u prostoru tako da se njene Dekartove koordinate u odnosu; nn tri(dar 0 xyz menjaju sa Vf{ me nom po zakonima x = 2 (2, y=3t', z=\912. Odrediti putanju, brzinu iubrzanje ovog kretanja. 2.34. : Tacka se kl'eee prema zakonima komponentnih kretanja x = , = 4 cos 3 I, 'y = 4 sin 3 t,. z =9 t. Odrediti putanju, hodograf brzine, brzinu i ubrzanje oveg kretanja.

------

2.42. Tacka se kreee u ravni Oxy po zakonu x = 2 cos 2 I, Y = 4 sin Odrediti hodograf brzine pokretne tacke.

I.

2.43. Tacka se krece u ravni Oxy tako da su joj poznata komponentna ubrzanja 0, Y= - 6 cm/see 2. U pocetkn kretanja (to = 0) tacka je bila u poJoZaju No (0; 10 em) na putanji i iroala je pocetnu hrzinu "0 (XO = 2 em/sec; 0). Odrediti hodograf brzine pokretne tacke

x=

61

60 i

Tacka se krece po eikloidi, ciji generatorski' kru!(ima poluprec~ nik R = 10 em, i koji se pri kotrljanju bez· klizanjap~ pravoj obrces~ 6o/min. Odrediti hodograf brzine pokretne tacke. U kom poIozaju na putanjl tacka ima najveeu brzinu i koliko ona iznosi? 2.44.

2.45. Tacka se kreee u prostOfU, pa je njen polozaju odnosu na pocetak 0 triedra Oxyz odreden jednacinama X= 3 cos t, Y = 3 sin t, Z = 4 t. Odrediti putanju pokretne tacke i hodograf brzine. Kolike su prirodne koordinate vektora ubrzanja? Koliki je polupreenik krivine putanje? 2.46. Tacka se krece u ravni Oxy, ali je kretanje prikazano polarnim koordinatama r;= 4 t, rp = 2 t. Odrediti brzinu i ubrzanje pokretne tacke. Kretanje je odredeno sistemom jednacina f=cI 2 , q:>=wt, gde su c= 8 em/sec 2 , W= 2 Eec l • Odrediti putanju tacke j izracunati brzinu i ubrzanje tacke u onom polozaju u kome putanja prvi put sece + Oy-osu. Kolike su prirodne koordinate vektora ubrzanja u tom polozaju? Koliki je poluprecnik krivine pUianje na tom mestu? 2.47.

Krivolinijsko kretanje tacke prikazano je jednacinama X= 2 (e 2t + 2 1). Odrediti liniju putanje i hodograf brzine, kao i ubrzanje u funkciji od pot ega r = OM. 2.48.

+ e- 21 ),

y = 2 (el t -

e-

Kretanje je prikazano sistemom jednacina r= 4 t, q:>= 2/t = 21- 1 • Odrediti putanju tacke .. lzracunatibrzinu i ubrzanje pokretne tacke u trenutku t = 2 sec. Koliki je poluprecnik krivine putanje u (oj tacki? 2.49.

2.50. Kretanje je prikazano ·sistemom jednacina r= e2 ',q:>= 2 I. Odrediti putanju, brzinu i ubrzanje pokretne tacke. 2.51. = ceos 2 tIm.

/

,;...~~ ........

'.

~

54 km

'102

Koliko ce vremena putnik, koji sedi u vozu koji se krece hrzinom edati mimoilazni voz, duzine 150 m, koji se krece brzinbm 30 km/h1

.10 Brad se krece brzinom 10 cvorova (nmile/h). Sa palube broda putnik i uvis predmet pocetnom brzinom 5 m/see, koji se dalj'e krece jednako usporeno, usporenjem 2 m/ser;2. Odrediti apsoiutnu brzi~u kretanja predmeta i njegovu apsolutnu putanju. 2.104. Prizmaticni klin ABC, visine AC=h,nagibnog ugla 0:, krece se jednoliko u smeru + Ox-ose, koja se poklapa sa njegovom osnovom CB. Niz strmu ravan klina CAB) krece se iz pocetnog poloiaja (A) pokretna tacka M jednako ubrzano, ubrzanjem an bez poeelne brz'ne. Odrediti apso!utnu brzinu tacke M i njenu apsolutnu putanju.

A

B Slika 2.104.

2.105. Tramvaj se krece pravolinijski jednoliko, brzinom 28,8 kmfh. Njegova sasija na oprugama vrsi harmonijsko osciiovanje, amplitude A ~ I em, perioda T = 1 sec. Odrediti apsolutnu pmanju tezista sasije, koje se nalazi na rastojanju h = I m od horizontalne ravui. poslavljene kroz osoviJ,le tockova. Precnik tockova je 800 mm. U pocetku kretanja (/0 = 0) tdiste se nalazi u srednjem polozaju, a vektor brzine oscilovanja usmeren je navise. L

K

Stika 2.99

Slika 2.100 Slika 2.105.

2.100. Odrediti brzinu zgloba Zavojno vreteno je hod a h=12 mm vreleno prolazi kroz dYe navrtke, A bovima C i D rombnog zglavkastog

C zavojne prese u funkeiji od ughi e. i obrce se jednoliko, sa 60o/min. Ovo i B, koje su zglavkasto spojene sa zglocetvorougla ADBC.

Slika 2.106.

2.106. Prava L krece se jednoliko, brzinom vp usmeru -OJ-ose. Odrediti brzinu i ubrzanje presecne tacke M te prave i nepokretnog kruga (lI:). poluprecnika R, sa sredistem u O.

I

70

71

2.107r Krug ('0 krece se u svojoj ravni (Oxy) translatorno, jednako ubrzano, ubrzanjem Q p u srueTu + OX-ose. Po krugu se krece tacka (M), jednolike, u !direktnom smeru. Odrediti apsolutnu putanju tacke M ako je U pocetkul kretanja hila u polo.zaju Mo (R; 0).

!y I !

2.110. Trougaona plociea ABC"kateta b= 30 em, h = 40 em, obrce se oko katete AB po zakonu prornene obrtnog ugla '.p= 11: (2 I + /2)/4. Iz temena B krece se po hipotenuzi BC pokretna tacka po zakonu puta s = BM = 50/'/2. Odrediti brzinu j ubrzanje pokretne tacke M u trenutku I = I see od pocetk~ kretanja iz pocetnog poloiaja B. Koliki su brzina i ubrzanje pokretne tacke M kada stgne u terne C trougla?' 2.111. Polukruzna plocica, poluprecnika R = 16 em, obrce se oko 050vine AB jz stanja mirovanja, prema zakonu prornene obrtnog ugla 'f = 11: 12/4, u direktnorn smeru. Iz tacke B plocke krece se po obodu ploeiee pokretna tacka M jednako ubrzano, bez pocetne brzine, i stigne u tacku A za ista vreme za koje plocica ucini osam punih obrtaja',

i

L o

Be AG,

U polozaju C, gde je = odrediti apsolutnu brzinu i apsolutno ubrzanje pokretne tacke M. SJika 2.lOi.

Slika 2.108.

Iy I

Kvadrat ODAB, slraniee 1= IOem, ohrce se. u horizt:ntalnoj. a u indirektnom smeru, jednol:ko, sa 30ol mn. Po stranici AS; krece se od A ka B pokretna tacka (M) jednol:ko, tako da za jedan obrlaj kvadrata stigne iz pocetnog polozaja A u poiozaj B. Odrediti u poc~lnom pplozaju (A) apsolulnu brz'nu i apsolulno ubrzanje pokretne tacke (M). 2.108!

j

Oxy.ravn.i oko temena

.Z.1?9 j P.ra~ougaona ploCiea ABCI?, stran'ea b= 12 em, h = 2 b, obrce se iz stanJa mlrovanJa Jednako ubrzano u dlf(:ktnom smeru. }z lane D (pocetnog polozaja M,) krece se 'z Jtanja mirovanja pokretna tacka M duz stran'ee DC po zakonuiPuta r=i5M= 0,5 heos(-:rI/6), gde je = OC. Kada pokretna tacka st'gne u polozaj M, gde je MoM=DM=h/4, plociea se zaokrenula za ugao 90° U odnosu na pocetni polozaj. U tom poJozaju odrediti brzinu i ubrzanje pokretne tacke. Kolki su brz'na i ubrzanje pokretne tacke u trenutku t = 4 sec od pocetka kretanja? ~~ DiMe) 8; , !I M

I

I c;

~r'l

h

_._- .- .. __ •. 0

'-'--.1:Slika 2.111.

2.113.

y

Slika 2.109.

Slika 2.112.

2.112. Cev OA, duzine 20em, obrce se u ravni Oxy prcma zakonu promene obrtnog ugla