vjezba-DOMENA FUNKCIJE [PDF]

Zitiervorschau

MATEMATIKA I 10. VJEŽBA – FUNKCIJE (3)

1. Prirodno područje definicije (domena) funkcije ALGEBARSKE FUNKCIJE: CIJELE RACIONALNE FUNKCIJE Domena je čitav skup R RAZLOMLJENE RACIONALNE FUNKCIJE Domena razlomljene racionalne funkcije je čitav skup R osim nultočaka polinoma u nazivniku IRACIONALNE FUNKCIJE Problem određivanja domene iracionalnih funkcija svodi se uglavnom na rješavanje algebarskih jednadžbi i nejednadžbi. Ako je korijen iz neke funkcije f parni broj tada treba voditi računa da veličina ispod korijena ne bude negativna, jer paran korijen iz negativnog broja je kompleksan broj.

f ( x) = 2 n g ( x) ⇒ D ( f ) = {x ∈ R : g ( x ) ≥ 0 } ∩ D (g )

TRANSCEDENTNE FUNKCIJE: EKSPONENCIJALNA FUNKCIJA Domena je čitav skup R LOGARITAMSKA FUNKCIJA f ( x) = log a [g ( x)] ⇒ D( f ) = {x ∈ R : g ( x) > 0} TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE domena funkcija sinx i cosx je čitav skup R tgt =

sin t cos t

π ⎧ ⎫ ⇒ D = ⎨ R \ (2k + 1) ⋅ , k ∈ Z ⎬ 2 ⎩ ⎭

Josipa Perkov, prof., predavač

-1-

MATEMATIKA I 10. VJEŽBA – FUNKCIJE (3)

ctgt =

cos t sin t

⇒ D = R \ {kπ , k ∈ Z}

CIKLOMETRIJSKE FUNKCIJE Domena funkcija arcsinx i arccosx zatvoreni je interval [−1,1] Domena funkcija arctgx i arcctgx je čitav skup R

Zadatak 1. Odredite domenu funkcije: f ( x) = x − 2 . Rješenje: Da bismo odredili domenu ove funkcije treba riješiti nejednadžbu:

x − 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2 ⇒ D( f ) = [2,+∞) . 9

Zadatak 2. Odredite domenu funkcije: f ( x) = x 2 − 9 . Rješenje: Trebamo riješiti nejednadžbu: x 2 − 9 ≥ 0 . Nejednadžbu ćemo riješiti tako da prikažemo graf funkcije

y = x 2 − 9 i odredimo u

kojem se području (za koje vrijednosti varijable x) taj graf nalazi iznad osi x. Parabola y = x 2 − 9 ima nultočke x1 = 3 , x 2 = −3 , te je otvor parabole okrenut prema gore:

y = x2 − 9

Josipa Perkov, prof., predavač

-2-

MATEMATIKA I 10. VJEŽBA – FUNKCIJE (3)

Očito je x 2 − 9 ≥ 0 za x ∈ (− ∞,−3] ∪ [3,+∞) , tj. D ( f ) = (− ∞,−3] ∪ [3,+∞) . 9

Zadatak 3. Odredite domenu funkcije: f ( x) = − 2 x 2 + 3x + 2 . Rješenje: Treba riješiti nejednadžbu: − 2 x 2 + 3 x + 2 ≥ 0 . 1 Nultočke ove parabole su x1 = 2 , x 2 = − , a otvor parabole je okrenut prema dolje: 2

y = −2 x 2 + 3 x + 2

Graf kvadratne funkcije poprima pozitivne vrijednosti, odnosno parabola je iznad x osi za točke čije su apscise između −

1 ⎡ 1 ⎤ i 2. Dakle, D ( f ) = ⎢− ,2⎥ . 2 ⎣ 2 ⎦

9

Zadatak 4. Odredite domenu funkcije: f ( x) =

x−3 . x+3

Rješenje:

Treba riješiti nejednadžbu

x−3 ≥ 0 i uvjet x + 3 ≠ 0 , tj. x ≠ −3 (nazivnik uvijek mora x+3

biti različit od nule). Josipa Perkov, prof., predavač

-3-

MATEMATIKA I 10. VJEŽBA – FUNKCIJE (3)

Riješimo nejednadžbu

x−3 ≥ 0 na slijedeći način: x+3

Odredimo nultočku brojnika: x − 3 = 0 ⇒ x = 3 Odredimo nultočku nazivnika: x + 3 = 0 ⇒ x = −3 Sastavimo tablicu:

–∞

3

–3

+∞

x−3

_

_

+

x+3

–

+

+

x−3 x+3

+

–

+

Budući da razlomak mora biti pozitivan, jer samo je tada veći od nule, i pazeći na uvjet

x ≠ −3 iz tablice čitamo rješenje: D( f ) = (− ∞, − 3) ∪ [3,+∞) . 9

Zadatak 5. Odredite domenu funkcije: f ( x) =

1− x x−2 + . 1+ x x+2

Rješenje:

Budući da je f ( x) = f 1 ( x) + f 2 ( x) , gdje je f 1 ( x) =

x−2 1− x i f 2 ( x) = domena x+2 1+ x

funkcije f određena je dvama uvjetima, tj. D( f ) = D( f 1 ) ∩ D( f 2 ) .

D ( f 1 ) = {x ∈ R :

x−2 ≥ 0 }= (− ∞, − 2) ∪ [2,+∞) (slično kao zadatak 4.) x+2

Odredimo domenu funkcije f 2 ( x) = Treba biti

1− x . 1+ x

1− x ≥ 0 i 1 + x ≠ 0 , tj. x ≠ −1 . 1+ x

Josipa Perkov, prof., predavač

-4-

MATEMATIKA I 10. VJEŽBA – FUNKCIJE (3)

Sastavimo tablicu:

–∞

–1

1

+∞

1− x

+

+

-

1+ x

–

+

+

1− x 1+ x

–

+

–

Iz tablice vidimo da je: D( f 2 ) = (− 1,1] . Domena tražene funkcije:

D( f ) = D( f 1 ) ∩ D( f 2 ) = { (− ∞, − 2) ∪ [2,+∞) ) ∩ (− 1,1] } = ∅. 9

Zadatak 6. Odredite domenu funkcije: f ( x) =

x 2 − x − 12 . x 2 − 25

Rješenje:

Trebamo riješiti dva uvjeta:

x 2 − x − 12 ≥ 0 i x 2 − 25 ≠ 0 , tj. x ≠ ±5 . x 2 − 25

Skicirajmo parabole iz brojnika i nazivnika: x 2 − x − 12 = 0 ⇒ x1 = 4 , x 2 = −3 , otvor parabole je okrenut prema gore:

y = x 2 − x − 12

Josipa Perkov, prof., predavač

-5-

MATEMATIKA I 10. VJEŽBA – FUNKCIJE (3)

x 2 − 25 = 0 ⇒ x1 = 5 , x 2 = −5 , otvor parabole je okrenut prema gore:

y = x 2 − 25

–∞

–5

–3

4

5

+∞

x 2 − x − 12

+

+

–

+

+

x 2 − 25

+

–

–

–

+

x 2 − x − 12 x 2 − 25

+

–

+

–

+

D( f ) = (− ∞,−5) ∪ [− 3,4] ∪ (5,+∞ ) 9

Zadatak 7. Odredite domenu funkcije: f ( x ) = ln(3 − x ) . Rješenje: Domena logaritamske funkcije je R+ , tj. skup svih pozitivnih realnih brojeva. Prema tome, moramo riješiti nejednadžbu: 3 − x > 0 ⇒ x < 3 . Dakle, funkcija f je definirana za sve vrijednosti varijable x iz skupa

(− ∞,3) ,

tj.

D f = (− ∞,3) .

9

Josipa Perkov, prof., predavač

-6-

MATEMATIKA I 10. VJEŽBA – FUNKCIJE (3)

Zadatak 8. Odredite domenu funkcije: f ( x) = log

x−4 . x+2

Rješenje: Da bi izraz za f (x) bio realan broj, potrebno je riješiti nejednadžbu:

log

x−4 ≥0 x+2

Da bi logaritam nekog broja bio pozitivan potrebno je da taj broj bude veći ili jednak 1: x−4 ≥ 1 (*) x+2

Drugi uvjet koji mora biti ispunjen jest da argument logaritamske funkcije mora biti strogo pozitivan, tj. x−4 > 0 (**) x+2

Međutim, uvjet (**) ovdje je očito suvišan, jer smo već postavili uvjet (*) koji je stroži od njega. x−4 x−4 x−4− x−2 −6 ≥1 ⇒ −1≥ 0 ⇒ ≥0 ⇒ ≥0 x+2 x+2 x+2 x+2

Kvocijent dviju funkcija je pozitivan tamo gdje su obje pozitivne ili tamo gdje su obje negativne. Iz posljednje nejednadžbe vidimo da je kvocijent pozitivan tamo gdje je nazivnik strogo manji od nule (nazivnik ne smije biti jednak nuli), tj. za x + 2 < 0 ⇒

x < −2 . Dakle, D f = (− ∞,−2) . 9

Josipa Perkov, prof., predavač

-7-

MATEMATIKA I 10. VJEŽBA – FUNKCIJE (3)

Zadatak 9. Odredite domenu funkcije: f ( x) = log

5x − x 2 . 4

Rješenje:

log

5x − x 2 5x − x 2 5x − x 2 5x − x 2 − 4 ≥0 ⇒ ≥1 ⇒ −1≥ 0 ⇒ ≥0 4 4 4 4

Kvocijent je pozitivan ako je brojnik pozitivan (jer je nazivnik pozitivan): 5 x − x 2 − 4 ≥ 0

x1 = 1 , x 2 = 4 , pa rješenje te

. Brojnik je parabola ( 5 x − x 2 − 4 ) s nultočkama nejednažbe možemo vidjeti sa slike:

y = 5x − x2 − 4 Očito je : D f = [1,4] . 9

Zadatak 10. Odredite domenu funkcije: f ( x) = log

5 x − 14 . x − 3x + 2 2

Rješenje:

log

5 x − 14 5 x − 14 5 x − 14 ≥ 0 ≥ 1 −1≥ 0 ⇒ ⇒ ⇒ x 2 − 3x + 2 x 2 − 3x + 2 x 2 − 3x + 2

Josipa Perkov, prof., predavač

-8-

MATEMATIKA I 10. VJEŽBA – FUNKCIJE (3)

5 x − 14 − x 2 + 3 x − 2 ≥0 ⇒ x 2 − 3x + 2

− x 2 + 8 x − 16 ≥0 x 2 − 3x + 2

Nacrtajmo parabole iz brojnika i nazivnika:

y = − x 2 + 8 x − 16

y = x 2 − 3x + 2

Sa slika vidimo da je brojnik negativan za sve vrijednosti varijable x, osim u točki x = 4 u kojoj poprima vrijednost nula, a nazivnik je negativan za x ∈ (1,2) . Radi preglednosti sastavimo tablicu: –∞

1

2

4

+∞

y = − x 2 + 8 x − 16

–

–

–

–

y = x 2 − 3x + 2

+

–

+

+

–

+

–

–

y=

− x 2 + 8 x − 16 x 2 − 3x + 2

Točke x = 1 i x = 2 ne smiju biti u domeni jer je za njih nazivnik jednak nuli, a točka

x = 4 ulazi u domenu jer je za nju brojnik, pa time i cijeli razlomak, jednak nuli. ⇒ D f = (1,2) ∪ {4}. 9

Zadatak 11. Zadana je funkcija f

−1

f ( x) =

3x − 7 . Odredite njenu inverznu funkciju 2 + 4 ⋅ 3x

( x) i odredite domenu inverzne funkcije.

Rješenje: Josipa Perkov, prof., predavač

-9-

MATEMATIKA I 10. VJEŽBA – FUNKCIJE (3)

Prvo odredimo inverznu funkciju zamjenom varijabli:

3y − 7 =x /2 y 2 + 4⋅3 3y − 7 = x 2 /⋅ ( 2 + 4 ⋅ 3 y ) 2 + 4 ⋅ 3y 3 y − 7 = 2x 2 + 4x 2 ⋅ 3 y 3 y − 4x 2 ⋅ 3 y = 2x 2 + 7

3 y (1 − 4 x 2 ) = 2 x 2 + 7 / : (1 − 4 x 2 ) 2x 2 + 7 3 = / log 3 1 − 4x 2 y

y = log 3

2x 2 + 7 = f 1 − 4x 2

−1

( x)

Domenu inverzne funkcije dobivamo rješavajući nejednadžbu:

2x 2 + 7 > 0 . Budući je 1 − 4x 2

brojnik pozitivan za bilo koju vrijednost varijable x, dovoljno je odrediti rješenja nejednadžbe: 1 − 4 x 2 > 0 . Iz grafa ove parabole

y = 1 − 4 x2

⎛ 1 1⎞ slijedi: D f = ⎜ − , ⎟ . ⎝ 2 2⎠

9 2. Limes funkcije

Josipa Perkov, prof., predavač

- 10 -

MATEMATIKA I 10. VJEŽBA – FUNKCIJE (3)

Svojstva limesa: Ako je k konstanta, lim f ( x) = L i lim g ( x ) = M , tada vrijedi: x →c

x →c

1. lim k = k x →c

2. lim x = c x →c

3. lim[ f ( x) ± g ( x )] = lim f ( x ) ± lim g ( x ) = L ± M x →c

x →c

x→c

4. lim[ f ( x) ⋅ g ( x)] = lim f ( x ) ⋅ lim g ( x) = L ⋅ M , posebno je x →c

x→c

x →c

lim k ⋅ f ( x) = k ⋅ lim f ( x) = kL x →c

5. lim x→c

x →c

f ( x) L f ( x) lim , ako je M ≠ 0 = x →c = g ( x ) lim g ( x) M x →c

6. lim n f ( x) = n lim f ( x ) = n L , ako je L > 0 i n paran broj x →c

x →c

Pri računanju limesa racionalne funkcije postupit ćemo na slijedeći način: ƒ

ako je zadana racionalna funkcija definirana u točki x0 u kojoj tražimo limes, tada je limes funkcije u toj točki jednak vrijednosti funkcije u toj točki

ƒ

ukoliko su limesi polinoma u brojniku i nazivniku jednaki 0 kada x → x0 , tada dijelimo polinom u brojniku i polinom u nazivniku sa x − x0 i računamo limes tako dobivene funkcije. Ponekad se taj postupak treba ponoviti više puta.

Zadatak 12. ( x − 5)( x + 5) ( x + 5) 10 x 2 − 25 0 = = lim lim 2 = lim = . x →5 x − 7 x + 10 x → 5 x → 5 0 ( x − 5)( x − 2) ( x − 2) 3

9

Zadatak 13.

Josipa Perkov, prof., predavač

- 11 -

MATEMATIKA I 10. VJEŽBA – FUNKCIJE (3)

lim x →4

x−4 0 x−4 1 1 = = lim = . = lim x − x − 12 0 x → 4 ( x − 4)( x + 3) x → 4 x + 3 7 2

9 Zadatak 14. ( x − 1)( x 2 − 1) x3 − x2 − x + 1 0 x2 −1 0 = lim 2 = = lim = = lim 3 2 1 1 x →1 x → x → 0 x − 3x + 2 ( x − 1)( x + x − 2) x +x−2 0 = lim x →1

( x − 1)( x + 1) x +1 2 = . = = lim x → 1 ( x − 1)( x + 2) x+2 3

9

Pri računanju limesa iracionalnih funkcija, tj. funkcija kod kojih se u brojniku ili nazivniku pojavljuju iracionalni izrazi i pri tome su limesi izraza u brojniku i nazivniku jednaki 0, racionaliziramo brojnik ili nazivnik i poslije pojednostavnjivanja računamo limes tako dobivene funkcije.

Zadatak 15. Nađite lim x→4

x+5 −3 . x−4

Rješenje: Primjenom svojstva 5. limesa dobivamo

lim x→4

(

)

x+5 −3 x + 5 − 3 lim 4+5 −3 0 = x→4 = = x−4 lim( x − 4 ) 4−4 0 x→4

što je neodređeni oblik. Racionaliziranjem međutim dobivamo

⎛ x+5 −3 x+5 −3 ⋅ = lim⎜⎜ lim x→4 x→4 x−4 ⎝ x−4

Josipa Perkov, prof., predavač

(

)

2

x + 5 − 32 x + 5 + 3⎞ ⎟ = lim = x + 5 + 3 ⎟⎠ x →4 ( x − 4)( x + 5 + 3)

- 12 -

MATEMATIKA I 10. VJEŽBA – FUNKCIJE (3)

= lim x →4

= lim x →4

x+5−9 ( x − 4)( x + 5 + 3) 1 ( x + 5 + 3)

=

= lim x →4

x−4 ( x − 4)( x + 5 + 3)

1 4+5 +3

=

=

1 . 6 9

Zadatak 16. Nađite lim x →0

1+ x −1 x

Rješenje:

Korištenjem svojstva 5. limesa bismo opet dobili neodređeni oblik

0 . Racionalizacijom 0

dobivamo:

(

)

⎛ 1 + x 2 − 12 ⎛ 1 + x − 1 1 + x + 1⎞ 1+ x −1 ⎟ = lim⎜ = lim⎜⎜ ⋅ lim x →0 x → 0 x x 1 + x + 1 ⎟⎠ x →0 ⎜⎝ x ⋅ 1 + x + 1 ⎝

(

)

⎞ ⎟= ⎟ ⎠

= ⎛ 1+ x −1 lim⎜⎜ x →0 ⎝ x ⋅ 1+ x +1

(

)

⎞ ⎛ x ⎟ = lim⎜ ⎟ x →0 ⎜ x ⋅ 1 + x + 1 ⎠ ⎝

(

)

⎞ ⎛ ⎞ 1 1 ⎟ = lim⎜⎜ ⎟ ⎟ x →0 1 + x + 1 ⎟ = 2 . ⎝ ⎠ ⎠

9

LIMES U BESKONAČNOSTI SVOJSTVA: Josipa Perkov, prof., predavač

- 13 -

MATEMATIKA I 10. VJEŽBA – FUNKCIJE (3)

Neka je c ∈ R konstanta, tada vrijedi: 1. lim c = c , x → +∞

lim c = c

x → −∞

2. lim

c = 0 za p > 0 xp

3. lim

c = 0 za n ∈ Z xn

x → +∞

x → −∞

Da bismo sačuvali ova tri svojstva limesa u beskonačnosti, prvo podijelimo i brojnik i nazivnik najvećom potencijom od x, te tada odredimo limes dobivenog izraza. Važno je napomenuti da svojstva 1. do 6. limesa (na str. 9)vrijede i za jednostrane limese te za limese funkcije u beskonačnosti.

Zadatak 17.

4 x − 4/:x x2 = 1− 0 = 1 . = lim lim x → +∞ − 7 + 2 x 2 / : x 2 x → +∞ 7 0+2 2 − +2 x 2

1−

2

9

Zadatak 18.

3 x + 3/ : x x 2 = 1 + 0 = 1 = +∞ . lim lim = x → +∞ 1 − x / : x 2 x → +∞ 1 1 0−0 0 − 2 x x 2

2

1+

9

Zadatak 19.

Josipa Perkov, prof., predavač

- 14 -

MATEMATIKA I 10. VJEŽBA – FUNKCIJE (3)

5 3x + 5 x / : x x = 3 + 0 = 3 = +∞ . lim = lim 2 x → −∞ 6 x + 1 / : x x → −∞ 6 1 0+0 0 + 2 x x 2

2

3+

9 Zadatak 20.

5 7 − 3 5x − 7 x / : x x x = 0 + 0 = 0 = 0. = lim lim 4 4 x → +∞ 1 − 3 x / : x x → +∞ 1 0−3 −3 −3 4 x 3

4

9 Zadatak 21.

lim

x → +∞

x2 + 4 / : x = lim x → +∞ x + 1/ : x

4 x2 + 4 1+ 2 2 1+ 0 1 x x = lim = = = 1. x → +∞ 1 1 1+ 0 1 1+ 1+ x x

9 Zadatak 22. 1 1 + 10 + 10 0 + 10 10 1 + 10 x / : x x x = lim = lim = = . lim 2 2 x → +∞ x → +∞ x → +∞ 3 + 1 4 + 3 1 x 3x + x / : x 3+ x2

9

Josipa Perkov, prof., predavač

- 15 -