Vjerojatnost i statistika - Slučajne varijable 9789531975407 [PDF]

Zitiervorschau

Neven Elezovi´c Redoviti profesor Fakulteta elektrotehnike i raˇcunarstva Zavod za primijenjenu matematiku

VJEROJATNOST I STATISTIKA Sluˇcajne varijable

0. izdanje

Zagreb, 2007

c Prof. dr. sc. Neven Elezovi´c, 2007. 

Urednik Sandra Graˇcan, dipl. inˇz.

Nakladnik Element, Zagreb

Lektorica Dunja Vujec, prof.

Dizajn ovitka Edo Kadi´c

Tisak Element, Zagreb

Nijedan dio ove knjige ne smije se preslikavati niti umnaˇzati na bilo koji naˇcin, bez pismenog dopuˇstenja nakladnika

ˇ SADRZAJ

5. Neprekinute sluˇcajne varijable . . . . . . . . . . . . 5.1. Sluˇcajne varijable i razdiobe . . . . . . . . . 5.2. Funkcije neprekinutih sluˇcajnih varijabli 5.3. Rijeˇseni zadatci . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zadatci za vjeˇzbu . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. .. .. .. ..

.. .. .. .. ..

.. .. .. .. ..

.. .. .. .. ..

.. .. .. .. ..

.. .. .. .. ..

.. .. .. .. ..

.. .. .. .. ..

. . . . .

1 1 16 21 28

6. Primjeri neprekinutih razdioba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. Eksponencijalna razdioba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Normalna razdioba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Raˇcunanje razdiobe i kvantila normalne sluˇcajne varijable . . 6.4. Rijeˇseni zadatci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zadatci za vjeˇzbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. .. .. .. .. ..

. . . . . .

33 33 39 49 54 56

7. Sluˇcajni vektori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1. Sluˇcajni vektori, razdiobe i gusto´ce . . . . 7.2. Uvjetne razdiobe. Uvjetno oˇcekivanje . . 7.3. Dvodimenzionalna normalna razdioba . . 7.3. Viˇsedimenzionalna normalna razdioba . . 7.4. Rijeˇseni zadatci . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zadatci za vjeˇzbu . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. .. .. .. .. .. ..

.. .. .. .. .. .. ..

.. .. .. .. .. .. ..

.. .. .. .. .. .. ..

.. .. .. .. .. .. ..

.. .. .. .. .. .. ..

.. .. .. .. .. .. ..

.. .. .. .. .. .. ..

. . . . . . .

60 60 69 72 78 83 86

8. Funkcije sluˇcajnih vektora . . . . . . . . . . . . . . . 8.1. Funkcije neprekinutih sluˇcajnih vektora . 8.2. Razdiobe izvedene iz normalne . . . . . . . 8.3. Rijeˇseni zadatci . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zadatci za vjeˇzbu . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. .. .. .. ..

.. .. .. .. ..

.. .. .. .. ..

.. .. .. .. ..

.. .. .. .. ..

.. .. .. .. ..

.. .. .. .. ..

.. .. .. .. ..

. 91 . 91 . 100 . 108 . 114

9. Zakon velikih brojeva i centralni graniˇcni teorem . . . . . . . . 9.1. Zakoni velikih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Konvergencija po distribuciji i karakteristiˇcne funkcije 9.3. Centralni graniˇcni teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4. Rijeˇseni zadatci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zadatci za vjeˇzbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. .. .. .. .. ..

.. .. .. .. .. ..

.. .. .. .. .. ..

. . . . . .

119 119 126 129 132 134

Odgovori i rjeˇsenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Kazalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Tablica normalne razdiobe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

5.

Neprekinute slucˇ ajne varijable 1. 2. 3. 4.

Sluˇcajne varijable i razdiobe . . . . . . . . Funkcije neprekinutih sluˇcajnih varijabli . Rijeˇseni zadatci . . . . . . . . . . . . . . . . Zadatci za vjeˇzbu . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. 1 . 16 . 21 . 28

5.1. Slucˇ ajne varijable i razdiobe U ovom c´emo poglavlju prouˇcavati sluˇcajne varijable kojima je skup vrijednosti interval (ograniˇcen ili ne) u skupu realnih brojeva. Takve sluˇcajne varijable mogu poprimiti svaku vrijednost unutar tog intervala. S obzirom da mogu´cih vrijednosti ima neprebrojivo mnogo, vjerojatnost realizacije svake od njih redovito c´e biti jednaka nuli. Po tome se ovakve sluˇcajne varijable razlikuju od diskretnih, gdje je takva vjerojatnost bila pozitivan broj. Pri prouˇcavanju neprekinutih sluˇcajnih varijabli koristimo se aparatom matematiˇcke analize. Nizove brojeva koji zadaju razdiobu zamijenit c´e realna funkcija, umjesto suma koristit c´emo tehnike integralnog i diferencijalnog raˇcuna. Posebice, efikasno sredstvo u teorijskom i praktiˇcnom pogledu cˇinit c´e Fourierova i Laplaceova transformacija.

Sluˇcajna varijabla

Zapoˇcnimo s definicijom, koja se minimalno razlikuje od definicije diskretne slucˇajne varijable, a u sebi ukljuˇcuje i tu vrstu sluˇcajnih varijabli. Sluˇcajne varijable i funkcija razdiobe

Neka je (Ω, F, P ) vjerojatnosni prostor. Preslikavanje X : Ω → R nazivamo sluˇcajna varijabla ako je za svaki x ∈ R skup Ax = {ω ∈ Ω : X(ω ) < x} - dakle element algebre F . dogadaj, Skup {ω ∈ Ω : X(ω ) < x} oznaˇcavat c´emo kra´ce sa {X < x} . Funkcija razdiobe sluˇcajne varijable X je funkcija F : R → [0, 1] definirana formulom F(x) := P ({X < x}). (5.1) 1

2

ˇ 5. NEPREKINUTE SLU CAJNE VARIJABLE

Funkcija razdiobe (i njezina derivacija) bit c´e najvaˇzniji pojam vezan uz sluˇcajnu varijablu. Poznavanjem funkcije razdiobe, moˇzemo u potpunosti opisati pripadnu sluˇcajnu varijablu. Upoznajmo se odmah s osnovnim svojstvima funkcije razdiobe. Funkcija razdiobe Teorem 5.1. Neka je F funkcija razdiobe sluˇcajne varijable X . Ona posjeduje svojstva: 1◦ P ({x1  X < x2 }) = F(x2 ) − F(x1 ) , 2◦ F je neopadaju´ca: x1 < x2 =⇒ F(x1 )  F(x2 ) , 3◦ lim F(x) = 0 , lim F(x) = 1 , x→−∞

x→∞

4◦ F je neprekinuta slijeva: F(x − 0) := lim F(x − ε ) = F(x), ε ↓0

∀x ∈ R.

Dokaz. 1◦ Neka je x1 < x2 . Onda vrijedi F(x2 ) = P ({X < x2 }) = P ({X < x1 } ∪ {x1  X < x2 }) = P ({X < x1 }) + P ({x1  X < x2 }) = F(x1 ) + P ({x1  X < x2 }). 2◦ Neka je ponovo x1 < x2 . Kako vrijedi {X < x1 } ⊂ {X < x2 } , tvrdnja slijedi zbog monotonosti vjerojatnosti. 3◦ Neka je (xn ) po volji odabran padaju´ci niz realnih brojeva, limn→∞ xn = −∞ . Oznaˇcimo An = {X < xn } . Onda su An padaju´ci skupovi: A1 ⊃ A2 ⊃ . . . i vrijedi ∩∞ n=1 An = ∅ . Zato je, zbog svojstva neprekinutosti vjerojatnosti, lim F(x) = lim F(xn ) = lim P (An ) = 0.

x→−∞

n→∞

n→∞

Druga se tvrdnja dokazuje na isti naˇcin. 4◦ Tvrdnja ponovo slijedi iz neprekinutosti vjerojatnosti. Naime, ako je (εn ) niz pozitivnih brojeva koji opada prema nuli, onda je s An = {X < x − εn } definiran rastu´ci niz skupova za koji vrijedi ∪∞ n=1 An = {X < x} pa tvrdnja slijedi zbog neprekinutosti vjerojatnosti: F(x − 0) = lim F(x − ε ) = lim F(x − εn ) ε ↓0

n→∞

= lim P (An ) = P (A) = F(x), n→∞

∀x ∈ R. 

ˇ 5.1. SLU CAJNE VARIJABLE

3

I RAZDIOBE

F

F 1

F

1

1

x

x

x

Sl. 5.1. Graf funkcija razdioba nekih sluˇcajnih varijabli. Koja se svojstva tih varijabli mogu oˇcitati iz ovog grafa?

1 4

,

1 2

Primjer 5.1. Sluˇcajna varijabla X uzima vrijednosti −1 , 0 , 1 s vjerojatnostima

,

1 4

redom. Odredimo funkciju razdiobe varijable X i nacrtajmo njezin graf.

- {X < x} ima vjerojatnost 0 te je F(x) = 0 za  Ako je x  −1 , tada dogadaj takve x . Za −1 < x  0 vrijedi P (X < x) = P (X = −1) =

1 4

Za 0 < x  1 vrijedi P (X < x) = P (X = −1) + P (X = 0) =

1 4

+

1 2

=

3 4

itd. Tako dobivamo ⎧ 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 1, 4 F(x) = ⎪ 3, ⎪ ⎪ ⎩ 4 1,

6

b

b

r

y

x  −1, −1 < x  0,

1

0 < x  1, 1 < x.

b

r

r

1

1

x

Sl. 5.2.

∗∗∗ Op´cenito, funkcija razdiobe diskretne sluˇcajne varijable sa zakonom   x1 x2 x3 · · · X∼ p1 p2 p3 · · · je stepenasta funkcija sa skokovima u toˇckama x1 , x2 ,. . . . Iznosi skokova su vjerojatnosti p1 , p2 ,. . . .

4

ˇ 5. NEPREKINUTE SLU CAJNE VARIJABLE

Sl. 5.3. Graf funkcije razdiobe diskretne sluˇcajne varijable je stepenasta funkcija. U toˇckama prekida neprekinuta je slijeva. Iznos skokova jednak je vjerojatnosti s kojom sluˇcajna varijabla poprima vrijednost u toj toˇcki.

∗∗∗ Neprekinute sluˇcajne varijable

Upoznat c´emo sada drugu vaˇznu klasu sluˇcajnih varijabli. Neprekinute sluˇcajne varijable. Gusto´ca razdiobe

Za sluˇcajnu varijablu X kaˇzemo da je neprekinuta (kontinuirana) ako postoji nenegativna funkcija f : R → R takva da vrijedi  x F(x) = f (t)dt. (5.2) −∞

Funkcija f naziva se gusto´ca razdiobe vjerojatnosti sluˇcajne varijable X . Ona nije nuˇzno neprekinuta, no u toˇckama neprekinutosti od f vrijedi dF(x) f (x) = . (5.3) dx

Dakako, funkcija razdiobe neprekinute sluˇcajne varijable je i sama neprekinuta, jer je to funkcija gornje granice integrala. Zato vrijedi P (X = x) = F(x+0)−F(x) = 0 za - {x1 < X < x2 } , {x1  X < x2 } , {x1 < X  x2 } , svaki x ∈ R . Stoga su i svi dogadaji {x1  X  x2 } jednako vjerojatni. Njihova se vjerojatnost raˇcuna na naˇcin  x2 f (t)dt. (5.4) P (x1 < X < x2 ) = F(x2 ) − F(x1 ) = x1

Funkcija gusto´ce pozitivna je funkcija s integralom  ∞ f (x)dx = 1. −∞

Slika prikazuje neku funkciju razdiobe i pripadnu gusto´cu

(5.5)

ˇ 5.1. SLU CAJNE VARIJABLE

5

I RAZDIOBE

F

F

1

1 F(b)-F(a) a

a

b

b

Sl. 5.4. Razlika vrijednosti funkcije razdiobe jednaka je vjerojatnosti da sluˇcajna varijabla X poprimi vrijednost u tom intervalu. Kod funkcije gusto´ce ta je vjerojatnost predoˇcena povrˇsinom ispod grafa funkcije.

Znamo da je funkcija razdiobe neopadaju´ca funkcija s vrijednostima unutar intervala [0, 1] . Stoga c´emo neke formule zapisivati u skra´cenom obliku. Tako npr. umjesto zapisa ⎧ x  0, ⎨ 0, F(x) = x, 0 < x < 1, ⎩ 1, 1  x, pisat c´emo kratko F(x) = x,

0 < x < 1,

jer je tada nuˇzno F(x) = 0 za x  0 i F(x) = 1 za x  1 . - ako gusto´cu razdiobe definiramo nekom formulom za x ∈ [a, b] , tada Takoder, smatramo da je van tog intervala po definiciji jednaka nuli. Na koncu, ako je funkcija F ili f definirana nekom formulom bez naznake podruˇcja definicije, tada c´e to redovito biti cˇitav R . Jednolika razdioba

Opiˇsimo sad jednostavnu, ali vrlo vaˇznu razdiobu. Prisjetimo se situacije koju smo imali kad je podruˇcje vrijednosti sluˇcajne varijable S = {x1 , . . . , xn } , bio diskretan skup. Sluˇcajna varijabla, koja je poprimala vrijednosti unutar S s jednakim vjerojatnostima, opisivala je pokus biranja na sre´cu elementa skupa S . Tad je vjerojatnost 1 njezine realizacije bila P (X = xk ) = , za svaki k = 1, . . . , n . n Jasno je da pove´canjem broja elemenata u skupu S ove vjerojatnosti teˇze k nuli. Ako je na primjer S skup prirodnih brojeva, moˇzemo postaviti pitanje: postoji li algoritam kojim bi, s jednakom vjerojatnoˇsc´u, birali neki prirodni broj. Odgovor na ovo vaˇzno pitanje je negativan, takav algoritam ne postoji. Naime, jasno je da bi vjerojatnost izbora svakog prirodnog broja morala biti jednaka nuli, pa je zbog svojstva σ -aditivnosti vjerojatnosti P i vjerojatnost izbora bilo kojeg podskupa skupa prirodnih brojeva jednaka nuli.

Pretpostavimo sad da je skup S interval [a, b] . Toˇcaka unutar tog intervala ima beskonaˇcno (neprebrojivo) mnogo. Zamislimo postupak odabira na sre´cu nekog broja unutar tog intervala.

6

ˇ 5. NEPREKINUTE SLU CAJNE VARIJABLE

Na sre´cu odabrani broj. Jednolika razdioba

Kaˇzemo da biramo na sre´cu broj unutar intervala [a, b] ako je vjerojatnost da c´e on biti izabran unutar nekog podintervala proporcionalna duljini tog podintervala. Za sluˇcajnu varijablu koja uzima vrijednost ovako izabranog broja kaˇzemo da ima jednoliku (uniformnu) razdiobu na intervalu [a, b] .

Neka X oznaˇcava tu sluˇcajnu varijablu. Odredimo njezinu funkciju razdiobe. Prema definiciji, mora biti F(x) − F(a) = P (a  X < x) = K(x − a). X uzima vrijednost unutar intervala [a, b] . Zato je P {X < a} = 0 = F(a), 1 = P {a  X < b} = F(b) − F(a) = K(b − a), i odavde je K =

1 . Tako dobivamo: b−a

Jednolika razdioba, alternativna definicija, razdioba i gusto´ca

Za sluˇcajnu varijablu X kaˇzemo da je jednoliko (uniformno) distribuirana na intervalu [a, b] , ako je zadana funkcijom razdiobe odnosno funkcijom gusto´ce: x−a F(x) = , a  x  b, b−a 1 , a  x  b. f (x) = b−a Piˇsemo X ∼ U(a, b) .

Grafovi funkcije gusto´ce i pripadne funkcije razdiobe izgledaju ovako:

6

6

f (x )

F (x )

1 1

b a

a

b

x

a

b

x

Sl. 5.5. Funkcija razdiobe jednolike razdiobe je afina na intervalu [a, b] . Gusto´ca jednolike razdiobe konstantna je na tom intervalu. Odatle i ime razdiobi.

ˇ 5.1. SLU CAJNE VARIJABLE

7

I RAZDIOBE

Primjer 5.2. Dvije toˇcke odabrane su na sre´cu unutar duˇzine duljine 1 . Definiraj- njima. Odredi funkciju razdiobe varijable mo sluˇcajnu varijablu Z kao udaljenost medu Z.

 Izbor dviju toˇcaka x i y unutar intervala [0, 1] ekvivalentan je izboru jedne toˇcke (x, y) unutar kvadrata [0, 1] × [0, 1] . Vrijednost koju sluˇcajna varijabla Z poprima, jednaka je Z = |x − y| . Varijabla Z uzima vrijednosti iz intervala [0, 1] . Pritom je |x − z| < z ⇐⇒ x − z < y < x + z. Zato c´e nejednakost |x − y| < z biti ispunjena kad se odabere toˇcka (x, y) unutar podruˇcja Gz . Zato je F(z) = P {Z < z} = m(Gz ) = 2z − z2 ,

0  z  1.

6

y =x +z

y

. . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . .z . . . .

G

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . .

y =x z

. . . . . . . .

z

1

x

Sl. 5.6.

Nezavisnost sluˇcajnih varijabli

Pojam nezavisnosti sluˇcajnih varijabli upoznali smo za varijable diskretnog tipa. Tako smo ukazali i na kriterij nezavisnosti koji se provjerava preko marginalnih razdioba sluˇcajnog vektora. Analogne definicije i tvrdnje vrijedit c´e i za op´cenite sluˇcajne varijable. O tome c´e biti viˇse rijeˇci u nastavku. Za sada, zadovoljit c´emo se definicijom nezavisnosti, a kriterije i dodatna svojstva moramo odloˇziti do poglavlja o sluˇcajnim vektorima. Definicija nezavisnosti

Kaˇzemo da su sluˇcajne varijable X i Y nezavisne, ukoliko za sve intervale A , B iz skupa R vrijedi P(X ∈ A, Y ∈ B) = P(X ∈ A)P(Y ∈ B).

Oˇcekivanje i disperzija

Neka je X neprekinuta s gusto´com f . Njezino oˇcekivanje definira se na naˇcin  ∞ E(X) = x f (x)dx (5.6) −∞

Ako ovaj nepravi integral ne konvergira, oˇcekivanje ne postoji. Oznaˇcimo x = E(X) . Disperzija D(X) sluˇcajne varijable X raˇcuna se uz pomo´c formula: D(X) = E[(X − x)2 ] = E(X 2) − x2 . Dakle



∞

D(X) = −∞

2

(x − x) f (x)dx =



∞

−∞

x2 f (x)dx − x2 .

Od svojstava oˇcekivanja i disperzije izdvojit c´emo samo najvaˇznija:

(5.7)

8

ˇ 5. NEPREKINUTE SLU CAJNE VARIJABLE

Svojstva oˇcekivanja i disperzije

Za sve sluˇcajne varijable X , Y i realne brojeve s , t vrijedi E(sX + tY) = sE(X) + tE(Y) (svojstvo linearnosti oˇcekivanja). Za disperziju pak vrijedi D(sX) = s2 D(X). Ako su X i Y nezavisne, onda vrijedi E(XY) = E(X)E(Y), D(X + Y) = D(X) + D(Y).

Ova c´emo svojstva dokazati naknadno. ∗∗∗ Primjer 5.3. (Jednolika razdioba) Izraˇcunajmo oˇcekivanje i disperziju jednolike razdiobe.  Promotrit c´emo najprije, jednostavnosti radi, jednoliku razdiobu na intervalu [0, 1] . Za nju je gusto´ca f (x) = 1 , pa imamo 1  1 x2 1 E(X) = x dx = = , 2 0 2 0 1  1 1 1 x2 1 1 1 2 x dx − = − = − = . D(X) = 4 2 0 4 3 4 12 0

Ako Y ima jednoliku razdiobu na intervalu [a, b] , tada sluˇcajna varijabla Y −a X= b−a ima jednoliku razdiobu na intervalu [0, 1] . Obratno, ako X ima jednoliku razdiobu na [0, 1] , onda Y = (b − a)X + a ima jednoliku razdiobu na intervalu [a, b] . Oˇcekivanje ove sluˇcajne varijable je E(Y) = E[(b − a)X + a] = (b − a)E(X) + a 1 a+b = (b − a) · + a = , 2 2 a njezina disperzija D(Y) = D[(b − a)X + a] = (b − a)2 D(X) =

(b − a)2 .  12

ˇ 5.1. SLU CAJNE VARIJABLE

9

I RAZDIOBE

Primjer 5.4. Na sre´cu odabiremo toˇcku T unutar kvadrata stranice 2. Neka je vrijednost sluˇcajne varijable X najmanja od udaljenosti te toˇcke do stranica kvadrata. Odredimo funkciju razdiobe i oˇcekivanje od X .

 Odredimo najprije funkciju razdiobe: F(x) = P {X < x} = P {T ∈ Gx } =

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .x . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

-

4 − (2 − 2x)2 m(Gx ) = m(S) 4

= 2x − x2 , 0  x  1. Gusto´ca razdiobe je f (x) = 2 − 2x, 0x1 te oˇcekivanje iznosi  1 1 x(2 − 2x)dx = . E(X) = 3 0

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x . . . . . . . .

G

Sl. 5.7.

Primjer 5.5. Toˇcka se bira na sre´cu unutar polukruga polumjera r . Neka je X udaljenost toˇcke do promjera. Odredimo oˇcekivanje varijable X .

 U ovom primjeru ne´cemo raˇcunati funkciju razdiobe, ve´c c´emo gusto´cu odrediti na temelju veze: F(x + Δx) − F(x) P (x < X < x + Δx) f (x) = F  (x) = lim = lim . Δx→0 Δx→0 Δx Δx Za male Δx vrijedi stoga √ m(ΔS) . 2 r2 − x2 Δx . f (x)Δx = P (x < X < x + Δx) = . = 1 2 m(S) 2r π

ΔS

Sl. 5.8. Pri raˇcunanju povrˇsine ΔS , prugu debljine Δx moˇzemo aproksimirati pravokutnikom iste debljine. Pritom je uˇcinjena pogreˇska veliˇcine (Δx)2 , koja u limesu ne utjeˇce na funkciju f (x) .

x +Δx x

S

.. ..... ..... ..... ..... ..... . . . . . ..... ..... ..... r ..... ..... . . . . .... ..... @C

Odavde dobivamo funkciju gusto´ce: 4 2 r − x2 , 0  x  r. f (x) = 2 r π Sad moˇzemo izraˇcunati oˇcekivanje:  r

 r 4x 2 2 4r 2 E(X) = r − x dx = − 2 r2 − x2 d(r2 − x2 ) = . 2 r π 0 3π 0 r π

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

10

ˇ 5. NEPREKINUTE SLU CAJNE VARIJABLE

Riemann-Stieltjesov integral

Neka je F : R → R monotono rastu´ca funkcija, neprekinuta slijeva. Neka je g : [a, b] → R ograniˇcena. Izaberimo bilo koju particiju P = {x0 , x1 , . . . , xn } intervala [a, b] , a = x0 < x1 < . . . < xn = b . Definirajmo integralnu sumu n  g(˜xi )[F(xi ) − F(xi−1 )]. S(P, g, F) = i=1

Oznaˇcimo s Δ = max |xi − xi−1 | , Riemann-Stieltjesov integral, definicija

Kaˇzemo da je g Riemann-Stieltjes integrabilna u odnosu na F , ako postoji limes integralnih suma, neovisno o izboru particije i toˇcaka x˜i ∈ [xi−1 , xi ] . Taj limes nazivamo Riemann-Stieltjesov integral, a oznaˇcavamo na sljede´ci naˇcin:  b g(x)dF(x) := lim S(P, g, F) a

Δ→0

Primijetimo da za F(x) = x Riemann-Stieltjesov integral postaje Riemannov integral. ∗∗∗ Sad c´emo dovesti u vezu Riemann-Stieltjesov i klasiˇcni Riemannov integral, za sˇ iroku klasu funkcija F vaˇznih u primjenama. Neka je F po dijelovima konstantna na intervalu [a, b] , sa skokom iznosa p u toˇcki c unutar tog intervala: r, xc F(x) = r + p, x > c

b Izraˇcunajmo a g(x)dF(x) , za neku funkciju g , neprekinutu na intervalu [a, b] .

Sl. 5.9.

Za bilo koju particiju vrijedi F(xi ) − F(xi−1 ) = 0 za svaki indeks i osim za onaj za koji je xi−1  c < xi , jer je funkcija F konstantna lijevo i desno od toˇcke c . Zato

ˇ 5.1. SLU CAJNE VARIJABLE

11

I RAZDIOBE

u integralnoj sumi ostaje samo jedan cˇlan: S(P, g, F) = g(˜xi )[F(xi ) − F(xi−1 )] = g(˜xi ) · p U limesu, kad Δ → 0 , toˇcka x˜i teˇzi ka c . Zato je  b g(x)dF(x) = g(c) · p. a

Op´cenito, ako F ima skokove iznosa pi u toˇckama ci , za njezin RiemannStieltjesov integral vrijedi  b n  g(x)dF(x) = g(ci ) · pi . a

i=1

∗∗∗ Neka je sad F neprekinuto diferencijabilna funkcija. Tad, po teoremu srednje vrijednosti imamo F(xi ) − F(xi−1 ) = F  (ξi )(xi − xi−1 ) , za neku toˇcku ξi ∈  xi−1 , xi  . Integralna suma glasi n  g(˜xi )F  (ξi )(xi − xi−1 ). i=1

Limes ove integralne sume oˇcito definira Riemannov integral  b g(x)F  (x)dx. a

Riemann-Stieltjesov integral, naˇcin raˇcunanja

Ako F ima skokove iznosa pi u toˇckama ci , za njezin Riemann-Stieltjesov integral vrijedi  b n  g(x)dF(x) = g(ci ) · pi . a

i=1

Ako je F neprekinuto diferencijabilna funkcija, onda vrijedi  b  b g(x)dF(x) = g(x)F  (x)dx. a

a

Prema tome, koriˇstenjem Riemann-Stieltjesovog integrala mi c´emo istovremeno pokrivati obje vaˇzne klase sluˇcajnih varijabli, diskretne i neprekinute sluˇcajne varijable. Tako, na primjer, oˇcekivanje neke sluˇcajne varijable moˇzemo izraziti formulom  ∞ x dF(x), E(X) = −∞

a disperziju



∞

D(X) = −∞

Integrali su Riemann-Stieltjesovi.

x2 dF(x) − E(X)2.

12

ˇ 5. NEPREKINUTE SLU CAJNE VARIJABLE

Primjer 5.6. Izraˇcunaj oˇcekivanje sluˇcajne varijable cˇ ija je funkcija razdiobe zada-

na slikom:

6

F (x )

1

a

3 4

q

1 2

a

1 4

q

0

1

2

x

Sl. 5.10.

 Funkcija razdiobe glasi

⎧ 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 1 x, 4 F(x) = 1 ⎪ x + 14 , ⎪ ⎪ ⎩ 4 1,

x  0, 0 < x  1, 1 < x  2, 2  x.

1 4

u toˇckama x = 1 i x = 2 . Zato je  ∞ E(X) = xdF(x)

F ima skokove iznosa

−∞ 1



x F  (x)dx + 1 ·

= 0

 =

0

1

x 1 dx + + 4 4



2

1

1 + 4

 1

2

x F  (x)dx + 2 ·

1 4

x 2 5 dx + = . 4 4 4

Karakteristiˇcna funkcija

Svakoj sluˇcajnoj varijabli X moˇzemo pridruˇziti karakteristiˇcnu funkciju. To je funkcija realnog argumenta s kompleksnim vrijednostima, ϑ : R → C zadana formulom  ∞ ϑ (t) := E(eitX ) = eitx dF(x). (5.8) −∞

Osnovna svojstva karakteristiˇcne funkcije su - razdiobu: dvije razliˇcite razdi1◦ Karakteristiˇcna funkcija jednoznaˇcno odreduje obe ne mogu imati istu karakteristiˇcnu funkciju. 2◦ Ako su X1 , . . . , Xn nezavisne, tada je

ϑX1 +...+Xn (t) = ϑX1 (t) · . . . · ϑXn (t).

(5.9)

◦

3 Vrijedi formula E(X r ) =

ϑ (r) (0) , ir

r = 1, 2, . . .

(5.10)

ˇ 5.1. SLU CAJNE VARIJABLE

13

I RAZDIOBE

ukoliko oˇcekivanje postoji. Specijalno, E(X) = −iϑ  (0),

(5.11) D(X) = −ϑ  (0) + ϑ  (0)2 . Ako je ϑX karakteristiˇcna funkcija varijable X , tada varijabla Y = a + bX ima karakteristiˇcnu funkciju eita ϑX (bt). Primjer 5.7. Odredimo karakteristiˇcnu funkciju sluˇcajne varijable jednoliko distribuirane na intervalu [a, b] .

1  Gusto´ca ove razdiobe je f (x) = , a  x  b . Stoga b−a  ∞  b 1 eibt − e−iat ϑ (t) = eitx f (x)dx = eitx dx = . b−a (b − a)it −∞ a U sluˇcaju simetriˇcnog intervala [−a, a] , karakteristiˇcna funkcija postaje realna: eiat − e−iat sin at ϑ (t) = = .  (a + a)it at ∗∗∗ Ako je X neprekinuta sluˇcajna varijabla, s gusto´com f , tada njezina karakteristiˇcna funkcija iznosi  ∞ ϑ (t) = eitx f (x)dx. (5.12) −∞

To je upravo

∞ Fourierova transformacija funkcije f . Stoga c´e, ukoliko ϑ zadovoljava uvjet −∞ |ϑ (t)|dt < ∞ , vrijediti formula inverzije  ∞ 1 ϑ (t)e−itx dt. (5.13) f (x) = 2π −∞ jom

Primjer 5.8. Odredi funkciju gusto´ce razdiobe odredene karakteristiˇcnom funkci-

ϑ (t) = e−|t| ,

t ∈ R.

- formulom  Ova je funkcija apsolutno integrabilna, stoga c´e gusto´ca biti odredena inverzije (5.13)  ∞  ∞ 1 1 −itx f (x) = e ϑ (t)dt = e−itx e−|t| dt 2π −∞ 2π −∞   0  ∞ 1 = e−itx et dt + e−itx e−t dt 2π −∞ 0   (−ix+1)t 0 (−ix−1)t ∞ e 1 e + = 2π −ix + 1 −∞ −ix − 1 0   1 1 1 1 = + = .  2π −ix + 1 ix + 1 π (1 + x2 ) Razdioba s ovom gusto´com naziva se Cauchyjeva razdioba. Zbog jedinstvenosti, zakljuˇcujemo da je t → e−|t| karakteristiˇcna funkcija te razdiobe.

14

ˇ 5. NEPREKINUTE SLU CAJNE VARIJABLE

Laplaceova transformacija

Karakteristiˇcna je funkcija Fourierova transformacija gusto´ce. Pri izboru transformacije gusto´ca pozitivne sluˇcajne varijable, moˇzemo koristiti i Laplaceovu transformaciju. Ako je F funkcija razdiobe pozitivne sluˇcajne varijable X , onda je njezin Laplace-Stieltjesov transformat  ∞ f ∗ (s) = E(e−sX ) = e−sx dF(x) (5.14) 0

Ako je X neprekinuta s gusto´com f , onda je f ∗ uobiˇcajeni Laplaceov transformat funkcije f :  ∞ ∗ f (s) = e−sx f (x)dx. (5.15) 0

Ako je pak X diskretna sluˇcajna varijabla koja uzima vrijednosti u skupu {0, 1, 2, . . .} , tad Laplace-Stieltjesov transformat glasi ∞  f ∗ (s) = e−sk pk = ψX (e−s ). (5.16) k=0

Dakle, u ovom se sluˇcaju Laplaceov transformat podudara kojoj je argument z zamijenjen s e−s . Derivacijom integrala po parametru dobivamo  ∞ d ∗ (−x)e−sx dF(x) f (s) = ds 0  ∞ d2 ∗ f (s) = (−x)2 e−sx dF(x) ds2 0 .. .  ∞ n d ∗ f (s) = (−x)n e−sx dF(x) dsn 0 Odavde, stavljaju´ci s = 0 , slijedi  ∞ dn f ∗ (s) xn dF(x) = (−1)n E(X n) = dsn 0

s funkcijom izvodnice u



.

(5.17)

s=0

Singularne sluˇcajne varijable

Do sada smo promatrali diskretne i neprekinute sluˇcajne varijable. Spomenimo da uz njih postoji i tre´ca klasa tzv. singularnih sluˇcajnih varijabli, cˇija je funkcija razdiobe neprekinuta, no nemaju gusto´ce. Takva se funkcija ne moˇze napisati u obliku

x f (t)dt . Klasu singularnih sluˇcajnih varijabli ne susre´cemo u primjenama, jer se −∞ njihova funkcija razdiobe ne moˇze eksplicitno izraziti sluˇze´ci se samo ograniˇcenim brojem elementarnih funkcija (iskljuˇcimo li graniˇcne procese). Definirajmo na intervalu [0, 1] funkciju F1 (x) F1 (x) =

1 2

za

1 3

 x  23 . F1 (0) = 0. F1 (1) = 1.

F1 je neprekinuta i afina na intervalima (0, 13 ), ( 23 , 1).

ˇ 5.1. SLU CAJNE VARIJABLE

15

I RAZDIOBE

Graf funkcije F1 nacrtan je na slici:

6

F1 (x )

1 1 2

0

1 3

1

2 3

-

x

Sl. 5.11.

U drugom koraku svaki od intervala [0, 13 ] , [ 23 , 1] podijelimo na tri dijela i definiramo neprekinutu funkciju F2 : ⎧ 1 x ∈ [ 19 , 29 ], ⎪ ⎨ 4, 1 F2 (0) = 0. F2 (1) = 1. F2 (x) = x ∈ [ 13 , 23 ], 2, ⎪ ⎩ 3 x ∈ [ 79 , 89 ]. 4, Na ostalim intervalima definiramo F2 da bude neprekinuta i afina:

6

F2 (x )

1 3 4 1 2 1 4

0

1 9

2 9

3 9

6 9

7 9

8 9

1

-

x

Sl. 5.12.

Nastavimo ovaj postupak. Niz funkcija {Fn } teˇzit c´e ka funkciji F koja je neprekinuta, neopadaju´ca, s vrijednostima u [0, 1] . Pritom je F(0) = 0 , F(1) = 1 i F predstavlja funkciju razdiobe neke sluˇcajne varijable. Derivacija funkcije F jednaka je nuli svugdje gdje je F konstantna. Duljina takvih intervala se za svaku funkciju Fn pove´cava i iznosi 1 1 1 1 1 +2· +4· + ... = . = 1. 2 3 9 27 3 1− 3

x  tj. F (x) = 0 skoro svuda i F se ne moˇze napisati u obliku −∞ f (t)dt . Stoga ne postoji gusto´ca ove razdiobe. ∗∗∗ Svaka se funkcija razdiobe F moˇze napisati u obliku F = p1 F1 + p2 F2 + p3 F3 , gdje je pk  0 , p1 + p2 + p3 = 1 , a F1 , F2 , F3 su redom funkcije razdioba diskretne, neprekinute i singularne sluˇcajne varijable.

16

ˇ 5. NEPREKINUTE SLU CAJNE VARIJABLE

5.2. Funkcije neprekinutih slucˇ ajnih varijabli Kompozicija sluˇcajne varijable X i realne funkcije ψ : R → R ponovo je sluˇcajna varijabla: Y = ψ (X) : Ω → R. - njezin zakon razdiobe za sluˇcaj kad je X diskretnog tipa. Nauˇcili smo kako se odreduje Neka je X neprekinuta sluˇcajna varijabla s gusto´com f i funkcijom razdiobe F . Traˇzimo gusto´cu g (ako postoji) i razdiobu G sluˇcajne varijable Y = ψ (X) . Imamo G(y) = P (Y < y) = P (ψ (X) < y) = P (X ∈ ψ −1 ( −∞, y )) = P (X ∈ Ay ). - {Y < y} ostvaruje se onda i samo onda kad se ostvaruje dogadaj Dakle, dogadaj −1 X ∈ Ay . Ovdje je ψ (A) oznaka za original skupa A :

ψ −1 (A) := {x ∈ R : ψ (x) ∈ A}.

6

y =ψ (x )

......... ........ .............. ..... .... .................. . . . . . . . y . . ... ..... . . .... . . ... . . . . . ...... ... .. ... . . . . . . . . . . . . .......................... ... .... ... . ... .. .. ... .. ... Ay .. .. . ψ 1 ((1 y ))=fx 2R:ψ (x ) x) = 1 − F(x), d d dx dx g(y) = G(y) = [1 − F(x)] = −f (x) . dy dx dy dy U oba sluˇcaja se rezultat moˇze napisati istom formulom: Transformacija funkcije gusto´ce

Neka je Y = ψ (X) . Ako je funkcija ψ rastu´ca ili padaju´ca funkcija, onda vrijedi dx y = ψ (x), g(y) = f (x) , (5.1) dy tj. g(y) = f (ψ

−1

−1 dψ (y) . (y)) dy

Op´cenitije, ova formula vrijedi za svaku injektivnu funkciju ψ . Ukoliko je potrebno odrediti samo oˇcekivanje ili momente funkcije sluˇcajne varijable, tada nam nije potrebno raˇcunati njezinu gusto´cu. Umjesto toga, jednostavnije je primijeniti formulu:  ∞ k k E(Y ) = E(ψ (X) ) = ψ (x)k f (x)dx. (5.2) −∞

18

ˇ 5. NEPREKINUTE SLU CAJNE VARIJABLE

Primjer 5.10. (Cauchyjeva razdioba) Kroz toˇcku A(0, 1) povuˇcen je pravac koji sijeˇce os Ox u toˇcki B . Kut α sˇ to ga zatvara pravac s osi Oy je sluˇcajna varijabla s jednolikom razdiobom na intervalu  − π2 , π2  . Neka je X apscisa toˇcke B . Odredi funkciju gusto´ce varijable X .

 Gusto´ca varijable α je 1 α ∈  − π2 , π2  . f (α ) = , π Vrijedi X = tg α , a funkcija tangens je injektivna (rastu´ca) na intervalu  − π2 , π2  . Zato je gusto´ca varijable X dana sa dα 1 d(arc tg x) 1 g(x) = f (α ) = · = . dx π dx π (1 + x2 )

6 @@ @ @@ 1

A α

X

0

@@ B

Za sluˇcajnu varijablu X kaˇzemo da ima Cauchyjevu razdiobu.

Sl. 5.16. Primjer 5.11. Sluˇcajna varijabla X ima Cauchyjevu razdiobu, s gusto´com

f (x) =

1 . π (1 + x2 )

Odredi gusto´cu i funkciju razdiobe sluˇcajne varijable A. Y = X 2 ; B. Y = 1/X .  A. Funkcija razdiobe F varijable X je  x 1 F(x) = du 2 −∞ π (1 + u ) 1 1 = + arc tg x. 2 π Zato imamo G(y) = P (Y < y) = P (X ∈ Ay ) √ √ = P (− y < X < y) √ √ 2 √ = F( y) − F(− y) = arc tg y, π 1 , y > 0. g(y) = √ π y(1 + y)

6

y =x 2

y

py 01

Ay

py-

Sl. 5.17.

y > 0,

I ovdje moˇzemo gusto´cu dobiti i na drugi naˇcin. Funkcija x → x2 je injektivna na intervalima  −∞, 0 ,  0, ∞ : dx 1 1 1 x < 0 : g1 (y) = f (x) = · √ = √ , y > 0, 2 dy π (1 + x ) 2 y 2π y(1 + y) dx 1 1 1 x > 0 : g2 (y) = f (x) = · √ = √ , y > 0, dy π (1 + x2 ) 2 y 2π y(1 + y) Funkcija g je zbroj ovih dviju funkcija 1 g(y) = g1 (y) + g2 (y) = √ , π y(1 + y)

y > 0.

5.2. FUNKCIJE

ˇ NEPREKINUTIH SLU CAJNIH VARIJABLI

1 b) Funkcija x → je injektivna, zato x dx 1 1 1 1 = · 2 =  . g(y) = f (x) =  2 1 dy π (1 + x ) y π (1 + y2 ) π 1 + 2 y2 y 1 - Cauchyjevu razdiobu. ima takoder te i Y = X Primjer 5.12. Sluˇcajna varijabla X ima neprekinutu funkciju razdiobe F . Odredi funkciju razdiobe sluˇcajne varijable Y = F(X) .  Y poprima vrijednosti unutar intervala [0, 1] . P (Y < y) = P (F(X) < y) = P (X < F −1 (y)) = F(F −1 (y)) = y. dakle, Y ima jednoliku razdiobu na intervalu [0, 1] . Modeliranje sluˇcajnih varijabli

Jedan od vaˇznijih naˇcina ispitivanja stohastiˇckih zakonitosti, naroˇcito u primjenama, jest njihovo modeliranje koje ostvarujemo generiranjem sluˇcajnih varijabli koje su ukljuˇcene u eksperiment. Pokazuje se da je u praksi dovoljno posjedovati generator sluˇcajnih brojeva, pomo´cu kojeg moˇzemo modelirati po volji odabranu razdiobu. Generator sluˇcajnih brojeva daje vrijednosti jednolike razdiobe na unaprijed odabranom intervalu (ili konacˇnom skupu). Postavlja se pitanje: kako c´emo pomo´cu generatora jednolike razdiobe dobiti vrijednosti bilo koje sluˇcajne varijable s poznatom razdiobom F ? Ovaj je problem obrnut od onog koji je rijeˇsen u prethodnom primjeru. Tamo smo poˇsavˇsi od varijable X s razdiobom F dobili sluˇcajnu varijablu U s jednolikom razdiobom. Funkcionalna veza ovih dviju varijabli je U = F(X) . To nam ukazuje da se obrnuti problem moˇze rijeˇsiti koriˇstenjem inverzne funkcije. Ako U ima jednoliku razdiobu na intervalu [0, 1] , tada bi sluˇcajna varijabla X definirana formulom X = F −1 (U) trebala imati razdiobu opisanu funkcijom razdiobe F. Uvjerimo se u to, najprije u jednostavnijem sluˇcaju kad funkcija F posjeduje inverz F −1 . S obzirom da je F neopadaju´ca funkcija, njezin c´e inverz postojati kad god sluˇcajna varijabla X nema atoma — toˇcaka s pozitivnom vjerojatnoˇsc´u. U tom je sluˇcaju P (X < x) = P (F −1 (U) < x) = P (U < F(x)) = F(x). Dakle, F je uistinu razdioba sluˇcajne varijable X . ∗∗∗

- opisati pomo´cu njezine Modeliranje diskretne sluˇcajne varijable moˇze se takoder funkcije razdiobe. Neka je   x1 x2 . . . xn X∼ . p1 p2 . . . pn Pripadna funkcija raziobe ima sljede´ci graf:

19

20

ˇ 5. NEPREKINUTE SLU CAJNE VARIJABLE

Sl. 5.18. Funkcija razdiobe diskretne sluˇcajne varijable.

Oblik ove funkcije govori na koji naˇcin treba generirati vrijednosti sluˇcajne varijable: interval [0, 1] treba podijeliti na dijelove I1 , I2 , . . . , In kojima su duljine proporcionalne vjerojatnostima p1 , p2 , . . . , pn . Ako jednolika razdioba poprimi vrijednost unutar intervala Ij , tada za vrijednost sluˇcajne varijable X uzimamo xj .

Sl. 5.19. Generiranje diskretne sluˇcajne varijable

Ovaj se postupak moˇze matematiˇcki opisati pomo´cu poop´cene inverzne funkcije. Neka je G∗ (u) = inf{x | F(x) > u},

0  u < 1.

Tada X = G∗ (U) ima razdiobu opisanu funkcijom F . Ako F ima inverznu funkciju, onda je G∗ = F −1 . Ako F ima skok u toˇcki xj , iznosa pj , tada je funkcija G konstantna na intervalu Ij duljine pj , a njezina vrijednost na tom intervalu iznosi xj . Na sljede´coj slici nacrtan je graf funkcije razdiobe sluˇcajne varijable X koja poprima tri diskretne vrijednosti, te graf funkcije G kojom se ta sluˇcajna varijabla moˇze generirati iz jednolike razdiobe.

ˇ 5.3. RIJE SENI ZADATCI

21

Sl. 5.20. Graf funkcije razdiobe F i njezinog poop´cenog inverza G∗ .

5.3. Rijeˇseni zadatci Zadatak 5.1. Unutar kvadrata ABCD stranice a na sre´cu se bira toˇcka. Vrijednost sluˇcajne varijable X je udaljenost tako odabrane toˇcke od vrha A . Izraˇcunaj pripadnu funkciju razdiobe FX .

 Oznaˇcimo zadani kvadrat sa S , m(S) = a2 . Vrijedi FX (x) = P (X < x) =

m(Gx ) m(Gx ) . = m(S) a2

Razlikujemo dva sluˇcaja. ....... 1) 0  x  a . Tada je podruˇcje Gx cˇetvrtina kruga ...... ...... ..... ..... .... i vrijedi m(Gx ) = 14 x2 π . .... .... √ Gx ... ... ... 2) a  x  a 2 . Tada je podruˇcje Gx sastavljeno ... x ... . od dva trokuta i kruˇznog isjeˇcka. Neka je α kut tog x p isjeˇcka, α = π /2 − 2β (slika 5.21). Vrijedi x2 π a a β α =⇒ α = − 2 arc cos . cos β = β x 2 x a Zato Sl. 5.21.

1 π a − 2 arc cos . m(Gx ) = a x2 − a2 + x2 2 2 x

  

  



p

Tako dobivamo

⎧ π 2 ⎪ ⎪ ⎨ 4a2 x ,   FX (x) = x 2 π x2 a ⎪ ⎪ ⎩ − 1 + 2 x2 − 2 arc cos , a 4a a x

0  x  a, √ a  x  a 2.

a2

22

ˇ 5. NEPREKINUTE SLU CAJNE VARIJABLE

Zadatak 5.2. Sluˇcajna varijabla X zadana je gusto´com razdiobe



−1  x  0, 0  x  1.

x + 1, 1 − x,

f (x) =

Napiˇsi funkciju razdiobe od X . Izraˇcunaj oˇcekivanje i disperziju varijable X .  Funkciju razdiobe raˇcunamo po formuli  x f (t)dt. F(x) = −∞

Ako je x  0 , integral glasi



x

F(x) = −1

Specijalno, F(0) =

(t + 1)dt = 12 (x + 1)2 .

1 2

. Za 0  x  1 imamo  x F(x) = F(0) + (1 − t)dt = 1 − 12 (1 − x)2 . 0





∞

xf (x)dx =

E(X) = −∞



2



0 −1

0



2

x (x + 1)dx +

D(X) = E(X ) =

1

x(x + 1)dx +

−1

0

0 1

x(1 − x)dx = 0,

x2 (1 − x)dx =

1 . 6

Zadatak 5.3. Neprekinuta sluˇcajna varijabla zadana je gusto´com

π π

π 4

. Za x ∈  − π4 , π4 

cos 2t dt = 12 (sin 2x + 1).

Vjerojatnost dogadaja {0 < X < π8 } moˇzemo izraˇcunati pomo´cu funkcije razdiobe √  π π 2 = F( ) − F(0) = P 0 0 po volji mali. Kako oˇcekivanje −∞ x dF(x) postoji, slijedi da

∞ je M x dF(x) < ε za dovoljno veliki M .  ∞  ∞ M(1 − F(M)) = M dF(x)  x dF(x) < ε . M

M

Dakle, vrijedi M[1 − F(M)] < ε za dovoljno veliki M i zbog proizvoljnog odabira za ε slijedi lim x[1 − F(x)] = 0. x→∞

Zadatak 5.7. Neka je F funkcija razdiobe neprekinute pozitivne sluˇcajne varijable X . Pokaˇzi da vrijedi  ∞ E(X) = [1 − F(x)]dx. 0





 ∞ x dF(x) = − x[1 − F(x)] dx 0 ∞ 0 ∞ [1 − F(x)]dx = −x[1 − F(x)] + 0 0  ∞  [1 − F(x)]dx = = − lim x[1 − F(x)] + ∞

E(X) =

x→∞

0

∞

0

[1 − F(x)]dx

jer je limes jednak nuli, prema rezultatu proˇslog zadatka. ∗∗∗ Zadatak 5.8. Gusto´ca razdiobe sluˇcajne varijable X zadana je slikom. Odredi gusto´cu razdiobe sluˇcajne varijable Y = X 2 .

a)

b)

6

6

f (x )

0

1

f (x )

2

3

4

5

x

3

1 0

Sl. 5.23.

 a) U ovom je sluˇcaju funkcija x → x2 injektivna. Vrijedi f (x) = 13 ,

x ∈ [0, 1] ∪ [2, 3] ∪ [4, 5] √ dx 1 x = y, = √ . dy 2 y

1

2

x

ˇ 5.3. RIJE SENI ZADATCI

25

Varijabla y poprima vrijednosti u skupu [0, 1] ∪ [4, 9] ∪ [16, 25] . dx 1 g(y) = f (x) = √ , y ∈ [0, 1] ∪ [4, 9] ∪ [16, 25]. dy 6 y b) x → x2 sada nije injektivna. Rastavljamo podruˇcje definicije na dva dijela: 1 x ∈ [−3, 1] : g1 (y) = √ , y ∈ [1, 9], 6 y 1 x ∈ [1, 2] : g2 (y) = √ , y ∈ [1, 4]. 6 y I sada je g(y) = g1 (y) + g2 (y) , medutim moramo pripaziti na razliˇcita podruˇcja definicije u ovim formulama: ⎧ ⎧ 1 1 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ + , y ∈ [1, 4] y ∈ [1, 4], √ √ ⎨ 6 y 6 y ⎨ 3√y , g(y) = = 1 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ √ , ⎩ √ , y ∈ [4, 9] y ∈ [4, 9]. 6 y 6 y Zadatak 5.9. Sluˇcajna varijabla X ima gusto´cu razdiobe

f (x) = e−x ,

x > 0. 2

Odredi gusto´cu sluˇcajne varijable Y = (X − 1) .  Funkcija razdiobe F sluˇcajne varijable X iznosi F(x) = 1 − e−x ,

6

x > 0.

Razlikujemo tri sluˇcaja: a) y  0 : G(y) = 0 , √ √ b) 0 < y  1√: G(y) =√F(1 + y) − F(1 − y) = e−1+ y − e−1− y , √ √ c) 1 < y : G(y) = F(1 + y) = 1 − e−1− y . Dakle: √ √  1 y √ + e− y ), 2e y (e g(y) = √ 1√ − y , 2e y e

y 1 y

.. ...y (x 1)2 ... .... .. ... ... .... x 1 =1 y .. ... ... ... ... ... x 2 =1+ y ... ... . ... ... .... .... .... .... ..... .... . ....... . . . . . .................

=

p p

x1

0 < y  1,

1

Sl. 5.24.

1 < y.

Zadatak 5.10. Sluˇcajna varijabla X zadana je funkcijom gusto´ce

f (x) =

x2

1 . π (1 + x2 )

Odredi i skiciraj funkciju razdiobe sluˇcajne varijable Y = ψ (X) , gdje je x, x  1, ψ (x) = 1, x > 1.

-

26

ˇ 5. NEPREKINUTE SLU CAJNE VARIJABLE

6

y =ψ (x )

1

y y

-

1

6 G

a

..............q ................ .............. . . . . . . . . . . . . . . .................. ................................ 3 4

1

-

Sl. 5.25.

 Funkcija razdiobe varijable X glasi 1 1 + arc tg x. 2 π Varijabla Y uzima vrijednosti unutar intervala  −∞, 1] . Prema tome, za y > 1 je G(y) = 1 . Ako je y  1 , F(x) =

G(y) = P (Y < y) = P (X < y) = F(y). Dakle,

G(y) =

1 2

+

1,

1 π

Vidimo da G ima u toˇcki 1 skok iznosa

arc tg y, 1 4

y  1, y > 1.

.

Zadatak 5.11. Odredi oˇcekivanje duljine sekante koja spaja fiksnu toˇcku A kruzˇ nice polumjera R sa na sre´cu odabranom toˇckom B na kruˇznici.

 Oznaˇcimo s α srediˇsnji kut nad manjim lukom AB . To je sluˇcajna varijabla s jednolikom razdiobom na intervalu [0, π ] . Vrijedi α X = 2R sin = ψ (α ), 2 gdje je X duljina sekante AB . Njezino oˇcekivanje iznosi 

π

E(X) = 0 π 0

B

α

Sl. 5.26.

ψ (α )f (α )dα 2R sin

=

A

α 1 4R . · dα = 2 π π

Zadatak 5.12. Sluˇcajna varijabla X koja uzima samo pozitivne vrijednosti, zadana je gusto´com razdiobe f . Odredi zakon razdiobe sluˇcajnih varijabli A. Y = √ X2 , B. Y = X , C. Y = X (najve´ce cijelo od X ).

ˇ 5.3. RIJE SENI ZADATCI

27

 Funkcije x → x2 kao i x → Zato je

√

x su injektivne (monotono rastu´ce) na (0, ∞) .

A.

dx 1 √ g(y) = f (x) = f ( y) · √ . dy 2 y

B.

dx g(y) = f (x) = f (y2) · 2y. dy

C. U ovom je sluˇcaju Y diskretna sluˇcajna varijabla koja poprima vrijednosti 0, 1, 2, . . . s vjerojatnostima  k+1 pk = P (Y = k) = P (k  X < k + 1) = f (x)dx. k

Zadatak 5.13. Sluˇcajna varijabla X ima jednoliku razdiobu na intervalu (− π2 , π2 ) .

Odredi gusto´cu razdiobe sluˇcajne varijable Y = cos X .

 Prvo rjeˇsenje. Varijabla Y poprima vrijednosti unutar intervala [0, 1] . Gusto´ca varijable X iznosi π π 1 − 0; c) 1+x −x d) 2−e ; e) 1 − e−x , x > 1 ? 3. Pokaˇzi da su funkcije a) 1 − |1 − x| , 0 < x < 2 ; b) |x| , −1 < x < 1 ; ex c) , x ∈ R; (1 + ex )2 x e 2 · , x∈R d) π 1 + e2x gusto´ce neke razdiobe. 4. Odredi konstantu C tako da sljede´ce funkcije budu gusto´ce razdioba: a) f (x) = C , x ∈ [a, b] ; b) f (x) = C|x − a| , x ∈ [c, d] . 5. Odredi konstantu C tako da sljede´ce funkcije budu gusto´ce razdioba a) f (x) = Cx3 e−λ x , x > 0 ; 2 b) f (x) = Ceα (x−a) , x > 0 . 6. Sluˇcajna varijabla X zadana je gusto´com razdiC obe f (x) = 2 , x > 1 . Odredi konstantu C te x vjerojatnost dogadaja {1 < X < 2} . 7. Sluˇcajna varijabla X zadana je funkcijom gustoc´e f (x) = Cx2 e−ax , x > 0. Odredi konstantu C te vjerojatnost dogadaja {0 < 1 X < }. a

8. Odredi funkciju razdiobe sluˇcajne varijable X ako je njezina gusto´ca razdiobe a) sin x , 0 < x < π2 ; b) x − 12 , 1 < x < 2 ; c) 3 sin 3x , π6 < x < π3 . 9. Diskretna sluˇcajna varijabla X zadana je razdiobom “ ” −1 0 1 2 . X ∼ −2 0.1 0.2 0.2 0.3 0.2 Odredi funkciju razdiobe i nacrtaj njezin graf. Izracˇunaj vjerojatnost dogadaja {|X|  1} . 10. Gusto´ca razdiobe sluˇcajne varijable X iznosi 2 π π f (x) = cos2 x, x ∈ (− , ). π 2 2 Izraˇcunaj vjerojatnost da od tri realizacije varijable X , toˇcno dvije padnu unutar intervala (0, π4 ) . 11. Ako za sluˇcajne varijable X i Y vrijedi P (X < 1) = 0.9 , P (Y < 2) = 0.5 , pokaˇzi da je P (X + Y < 3)  0.4 . 12. Za sluˇcajnu varijablu X je P (0 < X < 1) = 0.3 , a za varijablu Y je P (−1 < Y < 0) = 0.9 . Dokaˇzi da je P (−1 < X + Y < 1)  0.2 . ∗∗∗ 13. Sluˇcajna varijabla X zadana je funkcijom gusto´ce a) f (x) = Cx , 0 < x < 1 ; b) f (x) = Cx , 0 < x < 2 ; c) f (x) = C(x2 + 2x) , 0 < x < 1 ; d) f (x) = Ce−|x| , x ∈ R . Odredi konstantu C . Izraˇcunaj E(X) i D(X) . 14. Sluˇcajna varijabla X zadana je funkcijom razdiobe a) F(x) = 14 x , 0 < x < 4 ; b) F(x) = 1 − e−λ x , x > 0 . Odredi oˇcekivanje od X . 15. Funkcija razdiobe sluˇcajne varijable X zadana je slikom. Odredi oˇcekivanje od X .

ˇ 5. ZADATCI ZA VJE ZBU

29 j

a)

6 F

1

1 2

1

b)

0

6

x

F

1

1 2

2

c)

1

6

0

x

F

1 1 2

1

0

1

2

x

16. Sluˇcajna varijabla ima jednoliku razdiobu na intervalu [a, b] . Odredi tu razdiobu ako je poznato E(X) = 4 i D(X) = 3 . 17. Sluˇcajna varijabla X zadana je gusto´com razdiobe 1 f (x) = xn e−x , x > 0. n! Odredi oˇcekivanje i disperziju od X . ∗∗∗ 18. Toˇcka pada na sre´cu unutar kruga polumjera R . Udaljenost te toˇcke do srediˇsta kruga je vrijednost sluˇcajne varijable X . Odredi njezinu funkciju razdiobe, oˇcekivanje i disperziju. 19. Zadan je trokut s osnovicom a i visinom v na osnovicu. Toˇcka se bira na sre´cu unutar trokuta. Za vrijednost sluˇcajne varijable X uzimamo udaljenost toˇcke do osnovice. Izraˇcunaj oˇcekivanje varijable X. 20. U prostoru su zadane dvije koncentriˇcne kugle s polumjerima r i R ( r < R ). Na sre´cu odabiremo toˇcku unutar manje kugle. Neka je X udaljenost te toˇcke do povrˇsine ve´ce kugle. Odredi i skiciraj funkciju razdiobe varijable X , te izraˇcunaj oˇcekivanje sluˇcajne varijable X . 21. Duljine stranica pravokutnika ABCD su 3 cm i 4 cm. Biramo na sre´cu toˇcku T unutar pravokutnika. Sluˇcajna varijabla X je udaljenost toˇcke T do najbliˇze stranice pravokutnika. Izraˇcunaj matematiˇcko oˇcekivanje E(X) sluˇcajne varijable X . 22. Toˇcka T na sre´cu se bira unutar jednakostranicˇnog trokuta stranice a . Ako je X udaljenost toˇcke T do najbliˇze stranice trokuta, izraˇcunaj oˇcekivanu vrijednost te udaljenosti.

23. Toˇcka T bira se na sre´cu unutar pravilnog sˇ esterokuta stranice a . Vrijednost sluˇcajne varijable X je udaljenost toˇcke T do najbliˇze stranice sˇ esterokuta. Skiciraj funkciju gusto´ce i izraˇcunaj oˇcekivanje varijable X . 24. Unutar kvadrata {(x, y) : 0  x, y  1} izabrana je na sre´cu toˇcka i potom opisan krug maksimalne povrˇsine sa srediˇstem u toj toˇcki, a koji leˇzi unutar kvadrata. Odredi funkciju razdiobe povrˇsine tog kruga i izraˇcunaj vjerojatnost da je ona ve´ca od π 16 . 25. U kocki duljine brida 1 bira se na sre´cu toˇcka S . Neka je X volumen najve´ce kugle koja se moˇze upisati u kocku, a srediˇste joj je toˇcka S . Odredi i skiciraj funkciju distribucije FX te izraˇcunaj oˇcekivanje E(X) . 26. U jednakostraniˇcnom trokutu sa stranicom duljine a , na sre´cu se odabire toˇcka. Vrijednost sluˇcajne varijable X je povrˇsina najve´ceg kruga upisanog - i u trokut, sa srediˇstem u odabranoj toˇcki. Nadi skiciraj gusto´cu vjerojatnosti sluˇcajne varijable X . 27. Na kruˇznici polumjera R izabrane su dvije toˇcke A i B i zatim spojene sa srediˇstem kruˇznice S . Izraˇcunaj matematiˇcko oˇcekivanje povrˇsine trokuta ABS . Kolika je vjerojatnost da je ta povrˇsina ve´ca od R2 /4 ? 28. Unutar jednakokraˇcnog trapeza, cˇija ve´ca baza ima duljinu 2 a krakovi i kra´ca baza duljinu 1, odabire se na sre´cu toˇcka i opisuje krug cˇije je srediˇste u odabranoj toˇcki, a dodiruje najbliˇzu stranicu trapeza. Odredi i skiciraj funkciju razdiobe vjerojatnosti FX (x) duljine polumjera tako konstruiranog kruga. ∗∗∗ 29. Zadan je trapez prema slici. Toˇcka se bira na sre´cu unutar trapeza. Za vrijednost sluˇcajne varijable X uzimamo udaljenost toˇcke do ve´ce osnovice. Odredi i skiciraj funkciju gusto´ce te izraˇcunaj E(X) . Provjeri rezultat ako je a = c ili c = 0 . j c

b

J a

J JJ

30. Duljine stranica pravokutnika ABCD su 3 cm i 4 cm. Biramo na sre´cu toˇcku T unutar pravokutnika. Neka je X sluˇcajna varijabla: udaljenost - i skiciraj funkciju toˇcke T do dijagonale AC . Nadi razdiobe varijable X . 31. Unutar kvadrata sa stranicom a = 4 cm bira se na sre´cu toˇcka. Vrijednost sluˇcajne varijable X je udaljenost te toˇcke do bliˇze dijagonale kvadrata. - oˇcekivanu vrijednost te udaljenosti. Nadi

30

ˇ 5. NEPREKINUTE SLU CAJNE VARIJABLE

32. Unutar kvadrata ABCD stranice duljine a , bira se na sre´cu toˇcka. Vrijednost sluˇcajne varijable X je udaljenost toˇcke do pravca koji prolazi poloviˇstima E , F stranica AB odnosno AD . Odredi i skiciraj gusto´cu vjerojatnosti sluˇcajne varijable X

43. Toˇcka T1 sluˇcajno se odabire na dijagonali AC , a toˇcka T2 na dijagonali BD kvadrata ABCD stranice 2. Vrijednost sluˇcajne varijable X jedna- gusto´cu ka je udaljenosti toˇcaka T1 i T2 . Nadi vjerojatnosti od X i skicirajte njezin graf.

33. Unutar kocke ABCDEF brida duljine a bira se na sre´cu toˇcka T . Sluˇcajna varijabla X je uda- E(X) . ljenost te toˇcke do brida AB . Nadi

44. Kroz srediˇste S kvadrata ABCD stranice a povlaˇcimo na sre´cu pravac. Ako su sjeciˇsta pravca sa - oˇcekivanu vrirubom kvadrata toˇcke T1 i T2 , nadi jednost duljine odsjeˇcka T1 T2 .

34. Toˇcka T odabire se na sre´cu unutar jednakokraˇcnog trokuta kome je duljina osnovice 6, a duljina krakova 5. Vrijednost sluˇcajne varijable X je udaljenost toˇcke T do visine spuˇstene na osnovicu trokuta. Skiciraj gusto´cu vjerojatnosti varijable X i izraˇcunaj njezino oˇcekivanje E(X) . ∗∗∗ 35. Unutar intervala [0, 1] na sre´cu su izabrane dvi- njima. Odreje toˇcke. Neka je X udaljenost medu di zakon razdiobe varijable X te izraˇcunaj E(X) , D(X) , E(X n ) . 36. Biramo na sre´cu tri broja unutar intervala [a, b] . - njima. Odredi i Neka je X drugi po veliˇcini medu skiciraj funkciju gusto´ce varijable X . 37. n toˇcaka izabrano je na sre´cu unutar intervala [0, 1] . Neka Xk oznaˇcava vrijednost koju poprima k -ta toˇcka slijeva. Odredi gusto´cu sluˇcajne varijable Xk . 38. Unutar intervala (0, 1) biraju se na sre´cu tri - njima. broja, a , b i c . Neka je X najve´ci medu Odredi i skiciraj funkciju gusto´ce od X te izraˇcunaj oˇcekivanje E(X) . 39. Na sre´cu odabrana toˇcka unutar intervala [0, 1] dijeli ga na dva dijela. Oznaˇcimo sa X duljinu vec´eg dijela. Odredi funkciju razdiobe i oˇcekivanje varijable X . 40. Na odresku [0, T] na sre´cu je odabrano n toˇcaka. Te toˇcke ga dijele na n+1 dio. Duljina svakog dijela je sluˇcajna varijabla. Pokaˇzi da sve te sluˇcajne varijable imaju iste funkciju razdiobe. Odredi tu funkciju. 41. Na sre´cu odabrana toˇcka T unutar duˇzine AB duljine l dijeli tu duˇzinu na dva dijela. Neka je X = | |AT| − |TB| | . Odredi i skiciraj funkciju gusto´ce varijable X te izraˇcunaj E(X) i D(X) .

45. U pravokutniku sa stranicama 3 i 4 na sre´cu odabiremo po jednu toˇcku na dvije nasuprotne kra- odabranim toˇckama c´e stranice. Udaljenost medu - i skiciraj pripadnu je sluˇcajna varijabla X . Nadi gusto´cu razdiobe FX . 46. Toˇcka T na sre´cu se bira na obodu pravokutnika ABCD sa stranicama 3 i 4 . Sluˇcajna varijabla X je udaljenost toˇcke do vrha A . Odredi i skiciraj funkciju razdiobe FX (x) . 47. Toˇcka T bira se na sre´cu na osnovici AB jednakostraniˇcnog trokuta ABC stranice 2 cm. Sluˇcajna varijabla X predstavlja kvadrat udaljenosti toˇcke T do vrha C . Odredi razdiobu i oˇcekivanje od X . 48. Toˇcka T na sre´cu se bira na obodu kvadrata ABCD stranice a . Vrijednost sluˇcajne varijable X je udaljenost toˇcke T do poloviˇsta stranice AB . Odredi i skiciraj funkciju razdiobe FX (x) varijable X. 49. Toˇcka se bira na sre´cu unutar kvadrata stranice 2. Vrijednost sluˇcajne varijable X je udaljenost do najbliˇzeg vrha kvadrata. Odredi i skiciraj funkciju gusto´ce varijable X . 50. U jednakokraˇcnom trokutu ABC duljina kra- tim krakovima kova AC i BC je 20 cm, a kut medu γ = 120◦ . Toˇcka T odabire se na sre´cu unutar trokuta. Ako je sluˇcajna varijabla X definirana kao udaljenost toˇcke T do vrha C , odredi i skiciraj pripadnu funkciju razdiobe FX . ∗∗∗ 51. Unutar kvadrata stranice a bira se na sre´cu toˇcka T . Neka su X1  X2  X3  X4 udaljenosti toˇcke T do stranica kvadrata. Odredi funkciju razdiobe i oˇcekivanje sluˇcajne varijable X2 .

∗∗∗

52. Toˇcka se bira na sre´cu unutar jednakostraniˇcnog trokuta stranice a . Neka je X najve´ca od udaljenosti toˇcke do stranica trokuta. Odredi gusto´cu i oˇcekivanje varijable X .

42. Toˇcke A , B biraju se na sre´cu na dvije susjedne stranice kvadrata sa stranicom 1. Neka je sluˇcajna - njima. Odredi i skicivarijabla X udaljenost medu raj funkciju gusto´ce od X .

53. Zadana je kruˇznica k polumjera R i toˇcka A udaljena od srediˇsta kruˇznice za d , d > R . Na kruzˇ nici biramo na sre´cu toˇcku T . Vrijednost sluˇcajne - gusto´cu varijable X je udaljenost od T do A . Nadi f X varijable X .

ˇ 5. ZADATCI ZA VJE ZBU

31

54. Kruˇznica k podijeljena je promjerom na dvije polukruˇznice. Toˇcku T1 biramo na sre´cu na jednoj, a toˇcku T2 na drugoj polukruˇznici. Udaljenost toˇcaka T1 i T2 je sluˇcajna varijabla X . Odredi i skiciraj pripadnu funkciju razdiobe FX . 55. Toˇcka T sluˇcajno se odabire na cˇetvrtini luka AB kruˇznice polumjera R , sa srediˇstem u toˇcki S . Neka je X manja od udaljenosti toˇcke T do duˇzina AS odnosno BS . Odredi i skiciraj funkciju gusto´ce sluˇcajne varijable X i izraˇcunaj njezino oˇcekivanje. 56. U trapezu ABCD cˇiji krakovi iznose d a osnovice 2d i 3d , bira se na sre´cu toˇcka T . Vrijednost sluˇcajne varijable X je manja od udaljenosti toˇcke T do produˇzenih krakova trapeza. Odredi i skiciraj gusto´cu od X . ∗∗∗ 57. Neka je F funkcija razdiobe neprekidne sluˇcajne varijable X . Pokaˇzi da je Z ∞ 1 F(x)dF(x) = . 2 −∞ 58. Neka je X proizvoljna ograniˇcena sluˇcajna varijabla, s vrijednostima unutar intervala [a, b] . Dokaˇzi a) a  E(X)  b ; b) D(X)  14 (b − a)2 ; c) Veliˇcina E(X − m)2 poprima minimum za m = E(X) . 59. Koji uvjet moraju zadovoljavati nezavisne slucˇajne varijable X i Y da bi bilo D(XY) = D(X)D(Y)? 60. Neka je X diskretna sluˇcajna varijabla, koja poprima samo pozitivne vrijednosti i ima konaˇcno oˇcekivanje E(X) . Pokaˇzi da za svaki a ∈ R+ vrijedi E(X) . P{X > a} < a 61. Nezavisne sluˇcajne varijable X i Y imaju oˇcekivanja E(X) = a , E(Y) = b . Dokaˇzi da za disperziju sluˇcajne varijable XY vrijedi D(XY) = D(X) D(Y) + a2 D(Y) + b2 D(X). 62. Sluˇcajna varijabla X ima gusto´cu f koja je parna, po dijelovima neprekidna funkcija na intervalu [−π , π ] , jednaka nuli van tog intervala. Dokaˇzi da je ∞ X π3 an + 4π (−1)n 2 , D(X) = 3 n n=1

gdje su an koeficijenti Fourierovog reda funkcije f .

63. Nenegativna sluˇcajna varijabla X ima funkciju razdiobe F(x) . Dokaˇzi da za svaki realni α = 0 vrijedi Z ∞ xα −1 (1 − F(x))dx. E(X α ) = |α | 0

∗∗∗ 64. Sluˇcajna varijabla X ima jednoliku razdiobu na intervalu [−1, 2] . Odredi i skiciraj funkciju razdiobe varijable a) Y = X 2 ; b) Y = |X − 1| . 65. Sluˇcajna varijabla X ima jednoliku razdiobu na intervalu [0, 4π ] . Odredi funkciju razdiobe i gustoc´u razdiobe sluˇcajne varijable Y = sin X . 66. Sluˇcajna varijabla X ima jednoliku razdiobu na intervalu [−2, 2] . Odredi i skiciraj funkciju razdiobe FY sluˇcajne varijable Y = min{X 2 , −X + 2}. 67. Sluˇcajna varijabla X ima jednoliku razdiobu na intervalu [−1, 5] . Odredi i skiciraj gusto´cu razdiobe sluˇcajne varijable Y = |X − 1| . Izraˇcunaj E(Y) . 68. Sluˇcajna varijabla X ima jednoliku razdiobu na intervalu [−1, 1] . Odredi funkciju razdiobe slucˇajne varijable Y = 1/X 2 . Postoji li oˇcekivanje E(Y) ? ∗∗∗ 69. Sluˇcajna varijabla X poprima samo pozitivne vrijednosti. Neka je f X njezina funkcija gusto´ce. Odredi gusto´cu razdiobe sluˇcajne varijable a) Y = √ X3 ; b) Y = 1/X ; d) Y = eX ; c) Y = X ; −X f) Y = ln X . e) y = e ; 70. Sluˇcajna varijabla X ima gusto´cu f X . Odredi gusto´ce sluˇcajnih varijabli a) Y = arc tg X ; b) Y = tg X ; c) Y = |X| ; d) Y = X 2 ; 1 1 f) Y = ; e) Y = 2 ; X 1 + X2 √ 2 h) Y = e−X ; g) Y = R2 − X 2 ; i) Y = a sin ω X , ( a, ω > 0 ). 71. Neka je F funkcija razdiobe sluˇcajne varijable X . Odredi funkciju razdiobe sluˇcajne varijable Y = eX . 72. Sluˇcajna varijabla X ima gusto´cu f (x) . Odredi gusto´cu sluˇcajne varijable Y = |1 + X| . 73. Sluˇcajna varijabla X ima gusto´cu razdiobe f . Odredi gusto´cu sluˇcajne varijable Y = min{X, X 2 } .

32

ˇ 5. NEPREKINUTE SLU CAJNE VARIJABLE

74. Neka je F funkcija razdiobe sluˇcajne varija- funkciju razdiobe sluˇcajnih varijabli ble X . Nadi a) aX + b , b) X 2 , c) |X| , d) sin X , e) g(X) , g proizvoljna rastu´ca funkcija. ∗∗∗ 75. Sluˇcajna varijabla X zadana je funkcijom razdiobe F(x) = 1 − e−2x , x > 0. Napiˇsi funkciju razdiobe varijable Y = X 2 . 76. Sluˇcajna varijabla X zadana je gusto´com razdiobe f (x) = C| sin x| ,

|x|  π .

Izraˇcunaj funkciju gusto´ce sluˇcajne varijable Y = X 2 i oˇcekivanje E(Y) . 77. Sluˇcajna varijabla X ima gusto´cu f (x) = e−x , x > 0. Odredi gusto´cu razdiobe i oˇcekivanje sluˇcajne varijable Y = |X − 1| . 78. Sluˇcajna varijabla X zadana je gusto´com f (x) = C e−2x ,

x  1.

Odredi konstantu C . Odredi gusto´cu razdiobe slu1 cˇajne varijable Y = . 1−X 79. Sluˇcajna varijabla X zadana je gusto´com −x

f (x) = e

,

x > 0.

1 . Odredi gusto´cu sluˇcajne varijable Y = 1+X 80. Neka je X Cauchyjeva sluˇcajna varijabla s gusto´com 1 f X (x) = , x ∈ R. π (1 + x2 ) - i skiciraj funkciju razdiobe GY sluˇcajne variNadi 1 jable Y = min{ , |X|} . X 81. Sluˇcajna varijabla X ima normalnu razdiobu N(2, 1) . Izraˇcunaj gusto´cu razdiobe vjerojatnosti varijable Y = |X| , te vjerojatnost dogadaja {Y < 1} .

82. Gusto´ca vjerojatnosti f X sluˇcajne varijable X iznosi 0xπ f X (x) = 12 sin x , Odredi i skiciraj gusto´cu vjerojatnosti sluˇcajne varijable Y = 12 sin X , te izraˇcunaj njezino oˇcekivanje. 83. Neka je X sluˇcajna varijabla zadana gusto´com ( 1 x ∈ [−4, −2], 4, f X (x) = 1 x ∈ [−1, 3]. 8, Odredi i skiciraj funkciju razdiobe sluˇcajne varijable Y = X2 . 84. Sluˇcajna varijabla X ima normalnu razdiobu N(1, 2) . Odredi funkciju gusto´ce sluˇcajne varijable Y = X 2 + 1 . Izraˇcunaj vjerojatnost dogadaja { | Y − E(Y)| < 1 } . 85. Sluˇcajna varijabla X ima eksponencijalnu razdiobu E(λ ) . Odredi zakon razdiobe i izraˇcunaj oˇcekivanje diskretne sluˇcajne varijable Y = X (najve´ce cijelo od X ). 86. Sluˇcajna varijabla X ima gusto´cu razdiobe j ff 1 1 1 f (x) = √ · 2 · exp − 2 . 2x 2π x Odredi gusto´cu razdiobe sluˇcajne varijable Y = 1/X . 87. Sluˇcajna varijabla X ima Cauchyjevu razdiobu. 2X 1 3X − X 3 Pokaˇzi da sluˇcajne varijable , , 2 X 1−X 1 − 3X 2 - Cauchyjevu razdiobu. imaju takoder ∗∗∗ 88. Promjer kruga d izmjeren je pribliˇzno, u granicama a  d  b . Ako d ima jednoliku razdiobu na intervalu [a, b] , izraˇcunaj oˇcekivanje i disperziju povrˇsine kruga. 89. U rombu stranice 10 cm oˇstri kut α je sluˇcajna varijabla s gusto´com razdiobe 8 3 π > < , 0α  , π 4 f (α ) = π π > : C, α . 4 2 Izraˇcunaj konstantu C , funkciju razdiobe povrˇsine romba i vjerojatnost da je ta povrˇsina ve´ca od 50 cm2 . 90. Unutar duˇzine duljine 2 na sre´cu je odabrana toˇcka koja ju dijeli na dva dijela. Neka je X povrˇsina pravokutnog trokuta cˇije su katete ti dijelovi. Odredi i skiciraj funkciju razdiobe FX (x) .

6.

Primjeri neprekinutih razdioba

1. Eksponencijalna razdioba . . . . . . . . . . . 2. Normalna razdioba . . . . . . . . . . . . . . . 3. Raˇcunanje razdiobe i kvantila normalne sluˇcajne varijable 4. Rijeˇseni zadatci . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Zadatci za vjeˇzbu . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . 33 . . . . . . . . . 39 . . . . . . . . . 49 . . . . . . . . . 54 . . . . . . . . . 56

Neke su razdiobe vaˇznije od drugih, jer su vaˇznije situacije u kojima se one pojavljuju. Medu svim neprekinutim razdiobama izdvojit c´emo dvije koje se (uz jednoliku radiobu) najˇceˇsc´e pojavljuju.

6.1. Eksponencijalna razdioba Eksponencijalna razdioba javlja se u problemima vezanim za vrijeme ispravnog - cˇije se karakteristike ne mijenjaju u vremenu: vrijeme ispravnog rada zˇ arurada uredaja - dva uzastopna poziva) u telefonskoj centrali, lje, vrijeme do prvog poziva (pa i izmedu vrijeme do ulova prve ribe, do pojave neke nesre´ce i op´cenito vrijeme do pojave nekog - cˇija je vjerojatnost pojavljivanja u svakom kratkom intervalu jednake duljine dogadaja jednaka. Eksponencijalna razdioba, definicija

Kaˇzemo da sluˇcajna varijabla X ima eksponencijalnu razdiobu s parametrom λ > 0 ako ona poprima pozitivne vrijednosti s gusto´com f (x) = λ e−λ x , x > 0. Piˇsemo X ∼ E(λ ) . Njezina je funkcija razdiobe F(x) = 1 − e−λ x ,

(6.1)

x > 0.

33

34

6. PRIMJERI NEPREKINUTIH RAZDIOBA

f

F λ

1

x

x

Sl. 6.1. Funkcija razdiobe i gusto´ce eksponencijalne razdiobe

Fizikalni opis eksponencijalne razdiobe

Neka je X sluˇcajna varijabla, recimo vrijeme ispravnog rada nekog uredaja. Na tu se varijablu moˇze gledati i kao na proteklo vrijeme do pojave kvara. Model, u kojem se javlja eksponencijalna razdioba, mora ispunjavati sljede´ce uvjete: Eksponencijalna razdioba, izvod iz modela pojavljivanja

- u Teorem 6.1. Pretpostavimo da je uvjetna vjerojatnost pojavljivanja dogadaja - nije pojavio nekom vrlo kratkom intervalu (x, x + Δx) , ako je poznato da se dogadaj do trenutka x , proporcionalna duljini tog podintervala i ne ovisi o vrijednosti x : r P (X < x + Δx | X > x) = λ Δx + r, → 0 kad Δx → 0. Δx Tada je X sluˇcajna varijabla distribuirana po eksponencijalnom zakonu E(λ ) .

Dokaz. Po formuli za uvjetnu vjerojatnost moˇzemo napisati P (X > x + Δx) = P (X > x) · P (X > x + Δx | X > x). Medutim, kako je P (X > x + Δx | X > x) = 1 − P (X < x + Δx | X > x) = 1 − λ Δx − r, dobivamo P (X > x + Δx) = P (X > x)(1 − λ Δx − r). Definirajmo funkciju

Q(x) := P (X > x) = 1 − F(x).

Ona zadovoljava relaciju Q(x + Δx) − Q(x) = Q(x)[−λ Δx − r] te je Q(x + Δx) − Q(x) r dQ(x) = lim = lim Q(x)[−λ − ] = −λ Q(x). Δx→0 Δx→0 dx Δx Δx

6.1. EKSPONENCIJALNA RAZDIOBA

35

Rjeˇsenje ove diferencijalne jednadˇzbe je Q(x) = Ce−λ x . Konstantu C odredujemo iz poˇcetnog uvjeta: Q(0) = P {X > 0} = 1 . Odavde C = 1 i zato F(x) = 1 − Q(x) = 1 − e−λ x , te X zaista ima eksponencijalnu razdiobu E(λ ) .  Veza s Poissonovom razdiobom

- u Neka Poissonova sluˇcajna varijabla Z mjeri broj pojavljivanja nekog dogadaja nekom jediniˇcnom vremenskom razdoblju. Oznaˇcimo parametar te razdiobe s λ . (Taj je parametar jednak oˇcekivanom broju realizacija varijable Z unutar tog jediniˇcnog intervala.) - u intervalu Op´cenitije, neka sluˇcajna varijabla Zx mjeri broj realizacija dogadaja - Poissonova varijabla, s oˇcekivanjem λ x . [0, x] . To je takoder Definirajmo sada sluˇcajnu varijablu X kao vrijeme do prvog pojavljivanja dogadaja. Pokaˇzimo da X ima eksponencijalnu razdiobu. Neka je x fiksno vrijeme nakon poˇcetnog trenutka, izraˇzeno u jedinicama vremena. Sluˇcajna varijabla X c´e poprimiti vrijednost manju od x ukoliko se u intervalu [0, x] - tj. ako Zx poprimi vrijednost ve´cu od nule: realizira barem jedan dogadaj, P (X < x) = P (Zx > 0) = 1 − P (Zx = 0) = 1 − e−λ x . Vidimo da X ima eksponencijalnu razdiobu s parametrom λ . Oˇcekivanje i disperzija eksponencijalne razdiobe

Odredimo Laplaceov transformat, karakteristiˇcnu funkciju, oˇcekivanje, disperziju i centralne momente eksponencijalne razdiobe. Laplaceov transformat eksponencijalne razdiobe E(λ ) iznosi  ∞  ∞ f ∗ (s) = e−sx f (x)dx = e−sx λ e−λ x dx 0 0 x=∞  ∞ λ −(s+λ )x λ −(s+λ )x =λ e dx = − e = s+λ s+λ 0 x=0 (Pri uvrˇstavanju gornje granice uvaˇzavamo da je f ∗ definirana za s > 0 .) Karakteristiˇcnu funkciju eksponencijalne razdiobe moˇzemo napisati pomo´cu poznate veze: ϑ (t) = f ∗ (−it) :

λ . λ − it Oˇcekivanje eksponencijalne razdiobe izraˇcunat c´emo iz veze momenata i Laplaceovog transformata>   λ ∗ = 1. E(X) = −f (0) = − s+λ λ ϑ (t) =

s=0

36

6. PRIMJERI NEPREKINUTIH RAZDIOBA

Ishodiˇsni moment reda n raˇcunamo ovako: n

n ∗ (n)

E(X ) = (−1) f



(0) = (−1) n!λ = n! . = (s + λ )n+1 s=0 λ n

n

λ s+λ

(n)

s=0

Sad za disperziju vrijedi D(X) = E(X 2 ) − (EX)2 =

2 1 1 − = 2. λ2 λ2 λ

∗∗∗ Iz ovog izvoda vidimo da je oˇcekivanje eksponencijalne razdiobe reciproˇcna vrijednost njezinog parametra: sˇ to je parametar razdiobe ve´ci, to je manje njezino oˇcekivanje. Interesantno je da vjerojatnost realizacije varijable prije oˇcekivanja ne ovisi o parametru razdiobe. Naime, vrijedi: 1 1 P (X < E(X)) = P (X < ) = F( ) = 1 − e−λ ·(1/λ ) = 1 − e−1 . λ λ - u godini dana bio 10 puta u kvaru. Kolika je vjerojatnost Primjer 6.1. Neki je uredaj da c´e prvi mjesec sljede´ce godine raditi ispravno?  Neka je X sluˇcajna varijabla: vrijeme do prvog kvara. X ima eksponencijalnu razdiobu. Na temelju podataka, njezino oˇcekivanje je E(X) = 12 10 , pa je parametar 10 razdiobe λ = 12 . Sada vrijedi   10 P (X > 1) = 1 − P (X < 1) = 1 − 1 − e− 12 ·1 = e−5/6 = 0.435. - je sluˇcajna varijabla distribuPrimjer 6.2. Vrijeme ispravnog rada nekog uredaja irana po eksponencijalnom zakonu s oˇcekivanjem 2 mjeseca. Kolika je vjerojatnost da - pokvariti tijekom c´e se uredaj A. prvog mjeseca, B. drugog mjeseca, C. drugog mjeseca, ako je poznato da se tijekom prvog mjeseca nije nalazio u kvaru.  Po uvjetu zadatka je X ∼ E( 12 ) . 1 A. P (X < 1) = 1 − e− 2 = 0.393 , 1 1 1 B. P (1 < X < 2) = (1 − e− 2 ·2 ) − (1 − e− 2 ·1 ) = e− 2 − e−1 = 0.239 , P (1 < X < 2, X > 1) C. P (1 < X < 2 | X > 1) = P (X > 1) 1 1 P (1 < X < 2) e− 2 − e−1 = 1 − e− 2 = 0.393. = = 1 − P (X > 1) e 2 Primijeti da se prva i tre´ca vjerojatnost podudaraju.

6.1. EKSPONENCIJALNA RAZDIOBA

37

Odsustvo pam´cenja

Svojstvo iz prethodnog primjera moˇze se poop´citi. Za sve x, t > 0 vrijedi P (X < x + t | X > t) = P (X < x). sˇ to moˇzemo rijeˇcima iskazati na naˇcin: eksponencijalna razdioba nema pam´cenja. Evo primjera: ako je oˇcekivano vrijeme do ulova prve ribe jedan sat, i ako je prvih 50 minuta proteklo bez ikakvog ulova, tada oˇcekivano vrijeme do ulova te ribe ostaje (na zˇ alost) i dalje jedan sat, bez obzira na proteklo vrijeme. Ovo svojstvo karakterizira eksponencijalnu razdiobu. Karakterizacija eksponencijalne razdiobe Teorem 6.2. Neka za sluˇcajnu varijablu X koja uzima samo pozitivne vrijednosti za sve pozitivne x i t vrijedi P (X < x + t | X > t) = P (X < x). (6.2) Tada X ima eksponencijalnu razdiobu.

DOKAZ. Oznaˇcimo Q(x) := P (X > x) = 1 − F(x) , gdje je F traˇzena funkcija razdi- vrijedi Q (x) = −f (x) < 0 obe. Po pretpostavci je Q(0) = P (X > 0) = 1 . Takoder, za x > 0 . Oznaˇcimo Q (0) =: −λ . Osnovnu relaciju (6.2) moˇzemo napisati na naˇcin 1 − P (X > x + t | X > t) = 1 − P (X > x) te je P (X > x + t, X > t) = P (X > x) P (X > t) ili P (X > x + t) = P (X > t)P (X > x). Tako dobivamo funkcionalnu jednadˇzbu Q(x + t) = Q(t)Q(x),

∀t, x > 0

(6.3)

Sluˇcajnu varijablu traˇzimo u klasi neprekinutih varijabli. Zato moˇzemo pretpostaviti da je Q diferencijabilna funkcija. Deriviranjem relacije (6.3) po varijabli t dobivamo Q (x + t) = Q (t)Q(x). Uvrˇstavanjem t = 0 slijedi Q (x) = Q (0)Q(x) = −λ Q(x) i odavde dobivamo Q(x) = Ce−λ x . Kako je Q(0) = 1 , dobivamo C = 1 . Zato je F(x) = 1 − Q(x) = 1 − e−λ x . 

38

6. PRIMJERI NEPREKINUTIH RAZDIOBA Primjer 6.3. Vrijeme ispravnog rada elektroniˇckog elementa opisano je eksponencijalnom razdiobom s parametrom λ . U trenutku x = T , doˇslo je do strujnog udara. Vjerojatnost da element “ne preˇzivi” taj udar (ako je do tog trenutka joˇs uvijek bio ispravan) jednaka je p . Nakon toga, vrijeme daljnjeg ispravnog rada bit c´e opet eksponencijalna razdioba, s moˇzda promijenjenim parametrom μ A. Odredi i nacrtaj funkciju razdiobe ove sluˇcajne varijable. B. Izraˇcunaj njezino oˇcekivanje.

 Na intervalu 0  x < T vrijedi F(x) = 1 − e−λ x . Vrijednost ove funkcije u trenutku T iznosi 1 − e−λ T . Suprotna vjerojatnost, e−λ T je vjerojatnost da je element joˇs uvijek ispravan, neposredno prije strujnog udara. Vjerojatnost da c´e on biti ispravan i nakon tog udara jednaka je umnoˇsku vjerojatnosti (1 − p) · e−λ T , - od preˇzivljavanja u normalnim uvjetima. jer je preˇzivljavanje udara nezavisan dogadaj Dakle, u toˇcki T vrijedi F(T) = 1 − (1 − p)e−λ T . Zato je P (X > T) = 1 − F(T) = (1 − p)e−λ T . Oznaˇcimo ovu vjerojatnost s r . Za x > T sad moˇzemo napisati 1 − F(x) = P (X > x) = P (X > x | X > T) · P (X > T). Zbog odsustva pam´cenja (nakon trenutka T) uvjetnu vjerojatnost dobivamo ovako: P (X > x | X > T) = P (X > x − T) = e−μ (x−T) . Konaˇcno, imamo za x > T F(x) = 1 − e−μ (x−T) · (1 − p)e−λ T = 1 − (1 − p)e−λ T −μ (x−T) . Graf ove funkcije nacrtan je na slici:

Sl. 6.2.

Iznos skoka u toˇcki T iznosi pe−λ T .

6.2. NORMALNA RAZDIOBA

39

Sluˇcajna varijabla je mjeˇsovitog tipa. Zato c´e njezina gusto´ca imati δ -udar u toˇcki ⎧ −λ x ⎪ 0  x < T, ⎨ λe , − λ T f (x) = pe δ (x − T), x = T, ⎪ ⎩ −λ T −μ (x−T) μ (1 − p)e e , x > T. Oˇcekivanje nalazimo integriranjem: e−λ T (1 − p)e−λ T 1 + . E(X) = − λ λ μ Ovo oˇcekivanje moˇzemo napisati i na sljede´ci naˇcin:         1 −λ T 1 −λ T −λ T 1 E(X) = −e +T + pTe +T . + (1 − p)e λ λ μ Prvi je pribrojnik doprinos oˇcekivanju sluˇcajne varijable do trenutka T , drugi opisuje doprinos udara, a tre´ci ponaˇsanje sluˇcajne varijable nakon trenutka T . Objasni, ne raˇcunanju´ci oˇcekivanja, kako se dobiva svaki od tih pribrojnika.  T:

Modeliranje eksponencijalne razdiobe

Funkcija razdiobe eksponencijalne sluˇcajne varijable monotono je rastu´ca na intervalu [0, ∞ . Zato postoji njezin inverz: 1 F(x) = 1 − e−λ x = y =⇒ x = F −1 (y) = − ln(1 − y) λ Prema tome, ako je U sluˇcajna varijabla s jednolikom razdiobom na intervalu [0, 1] , 1 onda c´e − ln(1 − U) imati eksponencijalnu razdiobu s parametrom λ . λ

6.2. Normalna razdioba Opis razdiobe

Normalna (govorimo joˇs i Gaussova) razdioba najvaˇznija je neprekinuta razdioba, ima li se u vidu uˇcestalost i vaˇznost modela u kojima se ona pojavljuje. Razlog tome je sˇ to se ta razdioba javlja kao graniˇcna u svim situacijama kad je sluˇcajna varijabla dobivena kao zbroj velikog broja medusobno nezavisnih pribrojnika. Normalna razdioba, definicija

Sluˇcajna varijabla X ima normalnu razdiobu s parametrima a ∈ R i σ 2 > 0 ako je X neprekinuta sluˇcajna varijabla s gusto´com  (x − a)2  1 . (6.1) f (x) = √ exp − 2σ 2 σ 2π Piˇsemo X ∼ N (a, σ 2 ) . Graf ove funkcije zvonolika je krivulja koju nazivamo Gaussova krivulja.

40

6. PRIMJERI NEPREKINUTIH RAZDIOBA

0.4

0.3

σ=1

0.2

σ=2

0.1

-4

-2

2

4

Sl. 6.3. Graf gusto´ce normalne razdiobe, za vrijednost parametra a = 0 .

Jediniˇcna normalna razdioba

Izaberemo li parametre a = 0 i σ = 1 , dobivamo sluˇcajnu varijablu N (0, 1) koja se zove jediniˇcna normalna razdioba. Njezinu gusto´cu oznaˇcavamo sa 1 2 1 φ (u) = √ e− 2 u . (6.2) 2π Za pripadnu funkciju razdiobe Φ vrijedi  u  u 1 2 1 φ (t)dt = √ e− 2 t dt. (6.3) Φ(u) = 2π −∞ −∞ Ovaj integral nije elementaran, ne moˇze se eksplicitno izraziti pomo´cu elementarnih funkcija. Funkcija φ je parna, pa ima sljede´ca svojstva:   0 1 ∞ 1 φ (t)dt = φ (t)dt = , 2 2 −∞ −∞  u  u 1 φ (t)dt = φ (t)dt. 2 −u 0 Sad moˇzemo napisati  u  0  u Φ(u) = φ (t)dt = φ (t)dt + φ (t)dt −∞ −∞ 0   1 1 u 1 = + φ (t)dt = 1 + Φ∗ (u) . 2 2 −u 2 Dakle, funkcija razdiobe Φ moˇze se prikazati pomo´cu funkcije  u 1 2 1 ∗ e− 2 t dt. Φ (u) = √ 2π −u

(6.4)

6.2. NORMALNA RAZDIOBA

Sl. 6.4. Vrijednost funkcije Φ∗ jednaka je povrˇsini ispod grafa funkcije, a nad ovim simetriˇcnim intervalom.

U ovoj c´emo knjizi koristiti tabelirane vrijednosti funkcije Φ∗ . Ta je funkcija neparna, pa je dovoljno znati njezine vrijednosti za pozitivne vrijednosti od u . - jediniˇcne i op´cenite normalne razdiobe Veza izmedu

Neka je X jediniˇcna normalna radioba, a bilo koji realni i σ bilo koji pozitivni broj. Definirajmo sluˇcajnu varijablu Y = a + σ X. Odredimo njezinu razdiobu! Za pripadnu gusto´cu g vrijedi y−a x= , y = a + σ x,  σ  y−a dx 1 g(y) = φ (x) · . = φ dy σ σ Dobili smo: (y−a)2 1 g(y) = √ e 2σ 2 . σ 2π Prema tome, varijabla Y ima normalnu razdiobu s parametrima a i σ 2 . Na potpuno isti naˇcin dobili bismo i obrnutu vezu. Ako krenemo od normalne varijable X ∼ N (a, σ 2 ) , tada sluˇcajna varijabla X−a Y= σ ima jediniˇcnu normalnu razdiobu. Veza jediniˇcne i op´ce normalne razdiobe

Jediniˇcna i op´ca normalna razdioba mogu se dobiti jedna iz druge linearnom transformacijom: X ∼ N (0, 1) =⇒ a + σ X ∼ N (a, σ 2 ), X−a ∼ N (0, 1). X ∼ N (a, σ 2 ) =⇒ σ

41

42

6. PRIMJERI NEPREKINUTIH RAZDIOBA Karakteristiˇcna funkcija

Odredimo karakteristiˇcnu funkciju normalne razdiobe N (a, σ 2 ) . Najprije c´emo odrediti karakteristiˇcnu funkciju jediniˇcne normalne razdiobe N (0, 1) . Vrijedi  ∞ 1 1 2 √ e− 2 x eitx dx. ϑ (t) = 2π −∞ Deriviramo ovu funkciju i primijenimo parcijalnu integraciju  ∞ 1 2 1 ϑ  (t) = √ ixe− 2 x eitx dx 2π −∞ ∞    ∞ i itx − 12 x2 itx − 12 x2 + ite e dx −e e =√ 2π −∞ −∞  ∞ 1 1 2 = −t √ eitx e− 2 x dx = −tϑ (t). 2π −∞ Prema tome, ϑ zadovoljava diferencijalnu jednadˇzbu dϑ (t) = −tϑ (t) dt uz poˇcetni uvjet ϑ (0) = 1 , koji vrijedi za svaku karakteristiˇcnu funkciju. 1 2 1 2 dϑ (t) = −t dt =⇒ ϑ (t) = ϑ (0)e− 2 t = e− 2 t . ϑ (t)

Ako je X ∼ N (0, 1) , tada a + σ X ∼ N (a, σ 2 ) i dobivamo karakteristiˇcnu funkciju op´ce normalne razdiobe N (a, σ 2 ) :

ϑa+σ X (t) = eita ϑX (σ t) = eita e− 2 σ 1

2 2

t

2 2

= eita− 2 σ t . 1

Oˇcekivanje i disperzija: parametri normalne razdiobe

Izraˇcunat c´emo oˇcekivanje i disperziju, koriste´ci karakteristiˇcnu funkciju. Neka je X ∼ N (a, σ 2 ) . Vrijedi

ϑ (t) = eita− 2 σ 1

2 2

t

2 2

ϑ  (t) = (ia − σ 2 t)eita− 2 σ t , 1

ϑ  (0) = ia 2 2

ϑ  (t) = [−σ 2 + (ia − σ 2 t)2 ]eita− 2 σ t , 1

ϑ  (0) = −σ 2 − a2 .

Zato je E(X) = −iϑ  (0) = a, D(X) = −ϑ  (0) + ϑ  (0)2 = σ 2 . Time smo odredili znaˇcenje parametara normalne razdiobe: parametar a jednak je oˇcekivanju, a parametar σ 2 disperziji normalne razdiobe. Korijen iz disperzije je σ , koji se naziva standardno odstupanje ili standardna devijacija normalne razdiobe

6.2. NORMALNA RAZDIOBA

43

Raˇcunanje vjerojatnosti za jediniˇcnu normalnu razdiobu

Neka je X jediniˇcna normalna razdioba. Pokaˇzimo kako se raˇcunaju temeljne vjerojatnosti, da sluˇcajna varijabla poprimi vrijednost unutar nekog intervala. Racˇ unanje vjerojatnosti za jediniˇcnu normalnu razdiobu

Za jediniˇcnu normalnu razdiobu X vrijedi: P (u1 < X < u2 ) = Φ(u2 ) − Φ(u1 ) =

 1 ∗ Φ (u2 ) − Φ∗ (u1 ) . 2

Posebice, u sluˇcaju simetriˇcnog intervala  1 P (|X| < u) = Φ∗ (u) − Φ∗ (−u) = Φ∗ (u). 2

(6.5)

(6.6)

Primjer 6.4. Neka je X jediniˇcna normalna varijabla. Odredi vjerojatnost dogadaja B. −2 < X < 0 ; E. X < 1 ;

A. 0 < X < 1 ; D. 1 < X < 2 ;

C. −1 < X < 2 ; F. X > 1 .

 P (0 < X < 1) = 12 [Φ∗ (1) − Φ∗ (0)] = 12 Φ∗ (1) = 0.341, P (−2 < X < 0) = 12 [Φ∗ (0) − Φ∗ (−2)] = 12 Φ∗ (2) = 0.477, P (−1 < X < 2) = 12 [Φ∗ (2) − Φ∗ (−1)] = 12 [Φ∗ (2) + Φ∗ (1)] = 0.819, P (1 < X < 2) = 12 [Φ∗ (2) − Φ∗ (1)] = 0.136, P (X < 1) = P (X > 1) =

1 2 1 2

+ 12 Φ∗ (1) = 0.841, − 12 Φ∗ (1) = 0.159.

Raˇcunanje vjerojatnosti op´cenite normalne razdiobe

X−a ∼ N (0, 1) i funkciju razdiobe F varijable σ X moˇzemo izraziti uz pomo´c funkcije Φ : x−a F(x) = Φ(u) = 12 [1 + Φ∗ (u)], u= . σ Tako raˇcunamo   x1 − a X−a x2 − a < < P (x1 < X < x2 ) = P σ σ σ x − a x − a 1 x − a   2 1 2 ∗ ∗ x1 − a =Φ Φ −Φ = −Φ . σ σ 2 σ σ Neka je X ∼ N (a, σ 2 ) . Tada je

44

6. PRIMJERI NEPREKINUTIH RAZDIOBA

Primjer 6.5. Neka je X ∼ N (2, 4) . Odredi vjerojatnost dogadaja A. 0 < X < 4 ;

B. 2 < X < 6 ;

C. X > 4 .

 Ako X ima op´cu normalnu razdiobu, tada c´emo sa X oznaˇcavati pripadnu X−a jediniˇcnu normalnu sluˇcajnu varijablu, X = . σ A.



 0−2 X−2 4−2 < < 2 2 2 ∗ = P (−1 < X < 1) = Φ (1) = 0.683.

P (0 < X < 4) = P

B.



 2−2 X−2 6−2 P (2 < X < 6) = P < < 2 2 2 ∗ 1 = P (0 < X < 2) = Φ (2) = 0.477. 2

C. Na isti naˇcin P (X > 4) = 12 (1 − Φ∗ (1)) = 0.158 .

Pravilo 3σ

Neka je X ∼ N (a, σ 2 ) Izraˇcunajmo P (|X − a| < kσ ),

k = 1, 2, 3.

Sl. 6.5.

Imamo P (|X − a| < kσ ) = P (−kσ < X − a < kσ ) = P (−k < X < k) = Φ∗ (k). Vrijedi Φ∗ (1) = 0.6827 , Φ∗ (2) = 0.9545 , Φ∗ (3) = 0.9973 . Dakle, s vjerojatnoˇsc´u 99.73% (odnosno, praktiˇcki sigurno) normalna varijabla uzima vrijednosti unutar intervala (a − 3σ, a + 3σ ) . Ta se cˇinjenica naziva pravilo tri sigma.

6.2. NORMALNA RAZDIOBA

45

Zadatak 6.1. Sistematska greˇska odrˇzavanja zrakoplova na danoj visini je 100 m, a sluˇcajna greˇska je normalna varijabla s odstupanjem 200 m. Odredi vjerojatnost da A. zrakoplov leti kroz koridor sˇ irine 500 m B. zrakoplov leti iznad tog koridora ako je zrakoplov usmjeren da leti sredinom koridora.

 Oznaˇcimo sa X sluˇcajnu varijablu: odstupanje zrakoplova od sredine koridora. Ta je varijabla zbroj sistematske i sluˇcajne pogreˇske. Stoga je X ∼ N (100, 2002 ) .  −250 − 100 X − 100 250 − 100  P (−250 < X < 250) = P < < 200 200 200 ∗ 3 ∗ ∗ 1 7 1 = 2 [Φ ( 4 ) − Φ (− 4 )] = 2 [Φ (0.75) + Φ∗ (1.75)] = 0.733  250 − 100 X − 100  P (250 < X) = P < 200 200 = 12 [1 − Φ∗ (0.75)] = 0.5 − 0.273 = 0.227 Stabilnost normalne razdiobe

Ve´c smo upoznali svojstvo stabilnosti pojedinih razdioba (recimo, kod binomne i Poissonove razdiobe), kad zbroj nezavisnih sluˇcajnih varijabli ima razdiobu istog tipa. Normalna razdioba je jedina koja ima pojaˇcano svojstvo stabilnosti. Stabilnost normalne razdiobe Teorem 6.3. Neka su X1 i X2 nezavisne sluˇcajne varijable s normalnim razdi-

obama

X1 ∼ N (a1 , σ12 ),

X2 ∼ N (a2 , σ22 )

i s1 , s2 bilo koji realni brojevi. Tada vrijedi s1 X1 + s2 X2 ∼ N (s1 a1 + s2 a2 , s21 σ12 + s22 σ22 ).

Dokaz. Karakteristiˇcne funkcije sluˇcajnih varijabli X1 i X2 su Zato je

ϑXk (t) = exp(ak t − 12 σk2 t2 ), ϑsk Xk (t) = exp(sk ak t − 12 s2k σk2 t2 ),

k = 1, 2. k = 1, 2.

pa dobivamo

ϑs1 X1 +s2 X2 (t) = exp((s1a1 + s2 a2 )t − 12 (s21 σ12 + s22 σ22 )t2), sˇ to je karakteristiˇcna funkcija normalne razdiobe N (s1 a1 + s2 a2 , s21 σ12 + s22 σ22 ) .  ∗∗∗ Moˇze se dokazati, u sˇ to se ovdje ne moˇzemo upuˇstati, da ovo svojstvo karakterizira normalnu razdiobu. To znaˇci da je normalna razdioba jedina stabilna na uzimanje linearnih kombinacija nezavisnih pribrojnika.

46

6. PRIMJERI NEPREKINUTIH RAZDIOBA Primjer 6.6. Teˇzina proizvoda A podvrgava se normalnom zakonu s parametrima a1 = 40 p, σ1 = 5 p, a teˇzina proizvoda B normalnom zakonu s parametrima a2 = 100 p, σ2 = 10 p. U jedan omot pakiraju se po dva proizvoda A i dva proizvoda - 270 p i 300 p. B . Odredi vjerojatnost da se teˇzina tako naˇcinjenog paketa kre´ce izmedu (Teˇzinu omota zanemari.)

 Neka su XA i XB sluˇcajne varijable koje opisuju teˇzinu proizvoda A , odnosno B . Prema uvjetima je XA ∼ N (40, 52 ), XB ∼ N (100, 102 ). Oznaˇcimo s Y teˇzinu paketa. On sadrˇzi dva proizvoda A i dva proizvoda B , pa bismo mogli napisati Y = 2XA + 2XB . No, taj zapis nije ispravan. Naime, mi ne raˇcunamo dvostruku teˇzinu proizvoda A , ve´c zbroj dviju teˇzina koje su nezavisne jedna od druge, a imaju istu razdobu. Zato je ispravno napisati Y = XA + XA + XB + XB . ovdje su XA i XA nezavisne kopije sluˇcajne varijable XA , dakle, nezavisne sluˇcajne varijable koje imaju istu razdiobu kao i XA . Sliˇcno vrijedi za XB i XB . Prema teoremu 6.3, vrijedit c´e Y ∼ N (40 + 40 + 100 + 100, 25 + 25 + 100 + 100) = N (280, 250). Trebamo izraˇcunati vjerojatnost P (270 < Y < 300) :   300 − 280 270 − 280 ∗ √ P 0 , ali je za x < 1 konvergencija spora. Isto tako, formula B vrijedi za svaki x  0 . Veriˇzni se razlomci mogu raˇcunati na dva razliˇcita naˇcina, prema naprijed — gdje se u svakoj iteraciji dodaje joˇs jedan razlomak u prikazu, ili unazad, kad se unaprijed odredi potreban broj iteracija i raˇcuna od posljednjeg razlomka prema prvom. Drugi je naˇcin numeriˇcki stabilniji. Algoritam izgleda ovako: 1. Odredi se broj n . 2A. Raˇcunaju se rekurzije: n zn = x + . x n−1 , z n −1 = x + zn n−2 z n −2 = x + , z n −1 .. . 2 z2 = x + , z3 2 z1 = x + , z2 1 h(x) = . z1 2B. Raˇcunaju se rekurzije: (−1)n · nx2 , 2n + 1 (−1)n−1(n − 1)x2 = (2n − 3) + , zn

zn = (2n − 1) + z n −1 .. . 2x2 , z3 −x2 , z1 = 1 + z2 x g(x) = . z1 z2 = 3 +

53

54

6. PRIMJERI NEPREKINUTIH RAZDIOBA

Potreban broj iteracija ovisi o broju x . Da bi se dobila toˇcnost od 10 znamenaka, dovoljno je uzeti sljede´ci broj iteracija: x 10−10 10−5 0.01 0.1 0.2 0.5 1 1.5 2 2.5 3 4 5 6 10 15 20

A − − − − − − 162 77 45 31 23 15 12 10 6 5 4

B 1 1 1 3 4 5 8 12 14 18 21 30 − − − − −

ercf(x) 0.4999999999 0.4999960105 0.4960106436 0.4601721627 0.4207402905 0.3085375387 0.1586552539 0.06680720126 0.02275013194 0.006209665325 0.001349898031 3.167124183 × 10−5 2.866515718 × 10−7 9.865876450 × 10−10 7.619853024 × 10−24 3.670966199 × 10−51 2.753624118 × 10−89

U prvom stupcu dana je vrijednost nepoznanice x , u drugom i tre´cem minimalni broj iteracija n za svaki od dvaju algoritama, a u cˇetvrtom vrijednost error funkcije.

6.4. Rijeˇseni zadatci

Zadatak 6.2. Bacamo kocku 80 puta. Koliki je najvjerojatniji broj pojavljivanja jedinice? S kojom vjerojatnoˇsc´u?

 Broj pojavljivanja jedinice je sluˇcajna varijabla s razdiobom X ∼ B(80, 16 ) . Najvjerojatniji broj realizacija ove varijable je 13 (vidi poglavlje o binomnoj razdiobi). Po lokalnom teoremu, vrijednost P (X = 13) moˇzemo aproksimirati formulom P(13) ≈ 

1 2π · 80 ·

−

1 6

·

5 6

e

(13−80· 61 )2 2·80· 61 · 65

= 0.119085.

Toˇcna vrijednost iznosi 0.119506 , s vrlo dobrom aproksimacijom. Greˇska se pove´cava s odstupanjem od ove vrijednosti: vjerojatnost dogadaja {X = 7} iznosi 0.018823 dok gornja formula daje 0.019685 , s relativnom pogreˇskom 4.6% .

ˇ 6.4. RIJE SENI ZADATCI

55

Zadatak 6.3. Test na razredbenom postupku na FER-u sadrˇzi 40 zadataka. Za svaki zadatak je ponudeno 5 odgovora od kojih je samo jedan toˇcan. Toˇcan odgovor donosi 15 bodova, a netoˇcan −4 boda. Izraˇcunaj vjerojatnost da pristupnik koji nasumce - prag upisa od 135 bodova. odgovori na sva postavljena pitanja 1 prijede

 Oznaˇcimo sa X broj toˇcnih odgovora, a sa Z broj dobivenih bodova. Tada je Z = 15X − 4(40 − X) = 19X − 160. Traˇzimo vjerojatnost dogadaja (Z  135) tj. (19X − 160  135) , tj. (X  16) . X je binomna sluˇcajna varijabla s parametrima n = 40 i p = 15 . Aproksimirat c´emo je normalnom razdiobom N (8, 6.4) :   X−8 15.5 − 8 1 1 P (X  16) = P √ > √ = − Φ∗ (2.96) = 0.0016. 2 2 6.4 6.4 Zadatak 6.4. Koliki broj nezavisnih pokusa moramo izvesti da bi vjerojatnost po- A barem 15 puta bila 0.8 , ako je vjerojatnost pojavljivanja dogajavljivanja dogadaja daja A u jednom pokusu 0.2 ?

 Neka je X sluˇcajna varijabla: broj pojavljivanja dogadaja A u n nezavisnih pokusa. Tada je X ∼ B(n, p) i moˇzemo aproksimirati X ≈ N (np, npq) . Tu je p = 0.2 , pq = 0.16 .   1 1 ∗ 14.5 − 0.2n √ P (15  X) = 2 − 2 Φ 0.16n   0.2n − 14.5 √ = 0.8 = 12 + 12 Φ∗ 0.4 n Dobivamo Φ

∗



0.2n − 14.5 √ 0.4 n

 = 0.6.

U tablicama cˇitamo Φ∗ (0.841) = 0.59965 , Φ∗ (0.842) = 0.60021 . Interpolacijom zakljuˇcujemo Φ∗ (0.84164) = 0.6 . Dakle 0.2n − 14.5 √ = 0.84164 0.4 n sˇ to nakon sredivanja daje s rjeˇsenjem

√ 0.2n − 0.33666 n − 14.5 = 0 √ n = 9.40 =⇒ n = 88.31.

Pokus moramo ponoviti 89 puta. 1

Analiza testova (broja rjeˇsavanih zadataka i rezultata) pokazuje da uvijek postoje takvi.

56

6. PRIMJERI NEPREKINUTIH RAZDIOBA Zadatak 6.5. Sluˇcajna varijabla X distribuirana je po binomnom zakonu s parametrima n = 100 i nepoznatim p . Odredi p ako je poznato P (X  20) = 0.841 .

 Binomnu razdiobu X ∼ B(100, p) moˇzemo aproksimirati normalnom, X ≈ N (100p, 100p(1 − p)) .   X − 100p 19.5 − 100p P (X  20) = P > = 0.841. √ √ 10 pq 10 pq Vidimo da vrijedi 19.5 − 100p < 0 . Prema tome:    100p − 19.5 1 = 0.682 = Φ∗ (1) Φ∗ = 2 0.841 − √ 10 pq 2 i dobivamo

100p − 19.5 = 10 p(1 − p) =⇒ 101p2 − 40p + 3.8025 = 0, s rjeˇsenjima p1 = 0.2376, p2 = 0.1585 od kojih zadovoljava samo prvo. Zadatak 6.6. Igla, koju je 1901.g. Lazzarini bacio 3408 puta, u 1356 navrata presjekla je neki od paralelnih pravaca dobivˇsi za π aproksimaciju π ≈ 3, 1415929 . Kolika je vjerojatnost da c´e netko, ponovivˇsi ovaj pokus, dobiti Lazzarinijev rezultat?

 Broj pokusa u kojima c´e igla presje´ci neki od pravaca je binomna sluˇcajna varijabla 2l = 0.397887 . Traˇzimo vjerojatnost dogadaja X , s parametrima n = 3408 i p = aπ (X = 1356) , pomo´cu lokalnog teorema Moivre-Laplacea.   3408 1356 2052 P (X = 1356) = p q 1356  (1356 − 3408 · p)2  1 = 0.01396. exp − ≈√ 2 · 3408 · pq 2π · 3408 · pq § 6. Zadatci za vjeˇzbu

1. Odredi oˇcekivanje i disperziju sluˇcajne varijable zadane gusto´com razdiobe f (x) = 10e−10x ,

x > 0.

- je slu2. Duljina X ispravnog rada nekog uredaja cˇajna varijabla s eksponencijalnom razdiobom. Ako - raditi isje poznato da c´e s vjerojatnoˇsc´u 0.4 uredaj pravno tijekom jedne godine, kolika je vjerojatnost - njih barem 40 ispravno da c´e od 50 takvih uredaja raditi tijekom prvih sˇ est mjeseci?

3. Sluˇcajna varijabla X zadana je gusto´com razdiobe f (x) = 13 e−x/3 , x > 0. Izraˇcunaj vjerojatnost dogadaja A = (X > 3), B = (X > 6 | X > 3), C = (X > t+3 | X > t).

ˇ 6. ZADATCI ZA VJE ZBU

57

4. Vrijeme ispravnog rada sklopa A u nekom uredaju je sluˇcajna varijabla X s eksponencijalnom razdiobom i oˇcekivanjem E(X) = 6 mjeseci. Ako se sklop A pokvari, u rad se ukljuˇcuje rezervni sklop B s istim karakteristikama. Kolika je vjerojatnost - ispravno raditi tijekom jedne godine? da c´e uredaj 5. Vrijeme (u danima) ispravnog rada nekog stroja je eksponencijalna sluˇcajna varijabla s parametrom 1 λ = 200 . Nakon godinu dana ispravnog rada, stroj se servisira (bez obzira na ispravan rad). Izraˇcunaj oˇcekivano vrijeme rada stroja do servisiranja. 6. Neka X ima eksponencijalnu razdiobu E(λ ) . Izraˇcunaj E(X k ) . 7. Neka je X sluˇcajna varijabla: vrijeme ispravnog rada nekog uredaja. Pretpostavimo da je uvjetna - prestati s radom unutar vjerojatnost da c´e uredaj kratkog vremenskog intervala (x, x + Δx) , ako je poznato da je ispravno radio do trenutka x , jednaka P (X < x + Δx | X > x) = λ (x)Δx + r, r → 0 kad Δx → 0. Δx Pokaˇzi da funkcija razdiobe varijable X glasi „ Z x « F(x) = 1 − exp − λ (u)du . 0

8. Ako je u prethodnom zadatku λ (x) = λ (konstanta, nepromjenjiva u vremenu), dokaˇzi da X ima ˇ eksponencijalnu razdiobu. Cesto se vrijeme ispravnog rada elektroniˇckih uredaja ravna po Weibullovoj razdiobi, kod koje je λ (x) = Cα xα −1 , (α < 1) . Odredi pripadnu funkciju razdiobe i gusto´ce. 9. Sluˇcajna varijabla X ima Erlangovu distribuciju, s gusto´com xn e−x , x  0, n! a sluˇcajna varijabla Y ima Poissonovu razdiobu f (x) =

λ n −λ e . n! Pokaˇzi da vrijedi 1 − F(λ ) = G(n) , gdje su F , G redom funkcije razdioba varijabli X i Y . pn =

∗∗∗ 10. Odredi konstantu C tako da f (x) = Ce−x

2

+4x

, x∈R

bude gusto´ca (normalne) razdiobe. Izraˇcunaj oˇcekivanje i disperziju te razdiobe.

11. Neka je X jediniˇcna normalna sluˇcajna varijabla. Odredi vjerojatnost sljede´cih dogadaja A. 0 < X < 1.42 ; B. −0.73  X < 0 ; C. −1.73 < X < 2.01 ; D. 0.65  X  1.26 ; E. −1.79 < X < −0.54 ; F. X > 1.13 ; G. |X|  0.5 . 12. Neka je X jediniˇcna normalna varijabla. Odredi broj t tako da bude A. P (0 < X < t) = 0.4236 , B. P (X < t) = 0.7967 , C. P (t < X < 2) = 0.1 . 13. Neka je X normalna varijabla s oˇcekivanjem 8 i odstupanjem 4 . Odredi A. P (5 < X < 10) , B. P (10 < X < 15) , C. P (X > 15) , D. P (X  5) . 14. Sluˇcajna varijabla X ima normalnu razdiobu N (2, 4) . Izraˇcunaj uvjetnu vjerojatnost P (−1 < X < 1 | 0 < X < 3). 15. Greˇska pri mjerenju je normalna varijabla s parametrima a = 0 i σ = 30 m. Odredi vjerojatnost da je greˇska po apsolutnoj vrijednosti manja od 42 m. 16. Sluˇcajna varijabla X ima normalnu razdiobu s oˇcekivanjem a = 3 , i vrijedi P (X < 5) = 0.6915 . Izraˇcunaj vjerojatnost dogadaja {−1 < X < 6} . 17. Sluˇcajna varijabla X distribuirana je po normalnom zakonu N (4, σ 2 ) . Odredi σ ako je poznato P (2 < X < 6) = 0.8664 . 18. Neka je sluˇcajna varijabla X distribuirana po normalnom zakonu N (0, σ 2 ) i neka su 0 < a < b zadani brojevi. Uz koje c´e odstupanje σ vjerojatnost dogadaja (a < X < b) biti najve´ca? 19. Sluˇcajna varijabla X distribuirana je po normalnom zakonu N (a, σ 2 ) . Odredi E(|X − a|) . 20. p Sluˇcajna varijabla Y zadana je formulom Y = |X| . Odredi gusto´cu razdiobe varijable Y ako X ima jediniˇcnu normalnu razdiobu. 21. Duljina nekih detalja distribuirana je po zakonu normalne razdiobe. Srednja vrijednost duljine je 50 cm, a 10 % proizvoda ima duljinu ve´cu od 52 cm. Odredi simetriˇcni interval oko srednje vrijednosti unutar kojeg se s vjerojatnoˇsc´u 99% nalaze duljine tih detalja. 22. Sluˇcajna varijabla X ima normalnu razdiobu N (a, σ 2 ) . Odredi gusto´cu i oˇcekivanje sluˇcajne varijable Y = (X − a)2 .

58

6. PRIMJERI NEPREKINUTIH RAZDIOBA

23. Teˇzina nekog proizvoda ravna se po normalnoj razdiobi. Srednja vrijednost je 1000 p, a 10% proizvoda ima teˇzinu ve´cu od 1020 p. Odredi simetriˇcni interval oko srednje vrijednosti unutar kojeg se s vjerojatnoˇsc´u 99% nalazi teˇzina tog proizvoda? ∗∗∗ 24. Teˇzina serijski radenog gradevinskog elementa sluˇcajna je varijabla podvrgnuta normalnoj razdiobi s parametrima a = 0.5 tona, σ = 0.01 tona. Kolika je vjerojatnost da teˇzina 5 takvih elemenata premaˇsi 2.55 tona? 25. U paket stavljamo 3 proizvoda tipa A i 2 proizvoda tipa B . Ako je teˇzina proizvoda A normalna varijabla X ∼ N (aX = 200p, σX = 10p), - normalna varijabla a teˇzina proizvoda B takoder Y ∼ N (aY = 100p, σY = 20p), kolika je vjerojatnost da teˇzina paketa bude ve´ca od 750 p? 26. Sluˇcajne varijable X1 , X2 , X3 su medusobno nezavisne, s normalnim razdiobama N (0, 1) , N (1, 1) , N (2, 4) redom. Izraˇcunaj vjerojatnost dogadaja (X1 < X3 − X2 ) . 27. Medusobno nezavisne sluˇcajne varijable X , Y , Z podvrgavaju se normalnim radiobama, redom X ∼ N (1, 1) , Y ∼ N (4, 4) , Z ∼ N (9, 9) . Izracˇunaj vjerojatnost dogadaja (X  3Y − 2Z) . 28. Nezavisne sluˇcajne varijable X i Y podvrgavaju se normalnim razdiobama sa sredinama aX = 2 , aY = 3 te disperzijom σX2 = σY2 = σ 2 . Odredi σ 2 - (X > Y) ima vjerojatnost 40%. ako dogadaj 29. Nezavisne sluˇcajne varijable X i Y imaju normalne razdiobe s parametrima aX = 1 , aY = 3 i nepoznatim σX , σY . Ako vrijedi P (0 < X < 1) = P (2 < Y < 4) = 0.4, kolika je vjerojatnost dogadaja (2 < X + Y < 6) ? 30. Neka su X1 i X2 medusobno nezavisne slucˇajne varijable s normalnim distribucijama: X1 ∼ N (5, 4) , X2 ∼ N (4, 9) , nadalje, neka je Z = 2X1 + X2 , W = X1 + 2X2 . Izraˇcunaj vjerojatnost dogadaja (Z > W) . 31. Teˇzina proizvoda A je normalna sluˇcajna varijabla s parametrima μA = 3 , σA = 0.7 , a teˇzina proizvoda B normalna sluˇcajna varijabla s parametrima μB = 4 , σB = 0.2 . Ako na prvi krak vage stavimo 6 proizvoda tipa A , a na drugi krak iste vage 5 proizvoda tipa B , kolika je vjerojatnost da c´e drugi krak pretegnuti?

∗∗∗ - vjerojatnost da se broj devetki medu - 10 000 32. Nadi - 940 i na sre´cu odabranih znamenki nalazi izmedu 1060. 33. Kocka je baˇcena 1200 puta, pritom se broj 1 pojavio 140 puta. Moˇze li se prihvatiti hipoteza o ispravnosti ove kocke? 34. Sluˇcajna varijabla X zadana je funkcijom razdiobe F(x) = x2 , 0 < x < 1 . Izraˇcunaj vjerojatnost da u 50 nezavisnih pokusa varijabla X poprimi - 0.25 i 0.5 barem 10 puta. vrijednost izmedu 35. Vjerojatnost rodenja djeˇcaka pribliˇzno je jed- 100 naka 0.515 . Kolika je vjerojatnost da medu novorodene djece bude od 50 do 55 djeˇcaka? 36. Koliko puta treba baciti kocku da vjerojatnost dogadaja ˛ « „˛ ˛ ˛m ˛ − 1 ˛  0.01 ˛n 6˛ bude barem 0.5 , gdje je m broj pojavljivanja jedinice u n bacanja. 37. Neprekidna sluˇcajna varijabla X zadana je funkcijom razdiobe F(x) = ax2 , 0  x  3. Odredi konstantu a . Izraˇcunaj vjerojatnost da u 100 nezavisnih pokusa sluˇcajna varijabla X popri- 1 i 2 barem 30 puta. mi vrijednost izmedu 38. Neki stroj proizvodi 60 % proizvoda prve kva- 75 proizvoda litete. Izraˇcunaj vjerojatnost da medu barem 40 bude prve kvalitete. 39. Vjerojatnost realizacije dogadaja A u jednom pokusu je 0.1 . Koliko nezavisnih pokusa mora- A mo uˇciniti da bi se s vjerojatnoˇsc´u 0.8 dogadaj realizirao barem 5 puta? 40. Neki stroj proizvodi 40% proizvoda prve kvalitete. Koliko je proizvoda u svakoj seriji potrebno proizvesti, da bi s vjerojatnoˇsc´u 70% u svakoj seriji imali barem 30 proizvoda prve kvalitete? 41. Bacamo par kocaka. Neka je A = { zbroj brojeva na obje kocke je barem 10 } . Izraˇcunaj P (A) . Odredi potreban broj bacanja tako da vjerojatnost pojavljivanja dogadaja A barem jednom, bude vec´a od 0.8 . Izraˇcunaj oˇcekivanje broja bacanja do pojavljivanja dogadaja A. 42. Vjerojatnost pojavljivanja dogadaja A u svakom od nezavisnih pokusa je 0.8 . Koliko pokusa treba napraviti da bi s vjerojatnoˇsc´u 0.9 broj pojavljivanja dogadaja A bio ve´ci od 75? 43. Toˇcka se bira na sre´cu unutar kvadrata stranice 1. Kolika je vjerojatnost da c´e od 50 izabranih toˇcaka barem 40 pasti unutar kruga upisanog tom kvadratu?

ˇ 6. ZADATCI ZA VJE ZBU

∗∗∗ 44. Sluˇcajna varijabla X distribuirana je po Laplaceovom zakonu ako je njezina gusto´ca „ « 1 |x − a| f (x) = exp − 2α α gdje je a ∈ R proizvoljan te α > 0 . Odredi oˇcekivanje i disperziju od X . 45. Sluˇcajna varijabla X ima lognormalnu razdiobu ako je njezina gusto´ca „ « (ln x − a)2 1 √ exp − , x>0 f (x) = 2σ 2 xσ 2π gdje je a ∈ R proizvoljan te σ > 0 . ( X opisuje razdiobu veliˇcine cˇestica pri mrvljenju, npr. veliˇcinu - i distribuciju veliˇcine cˇestica zrnca pijeska, takoder pla´ca.) Odredi oˇcekivanje i disperziju od X .

59 46. Sluˇcajna varijabla X ima Rayleighovu razdiobu, s gusto´com 2 2

f (x) = 2h2 xe−h

x

,

x > 0.

Odredi oˇcekivanje i disperziju od X . 47. Sluˇcajna varijabla X ima gama razdiobu s parametrima (α , β ) , ako je njezina gusto´ca f (x) =

β α α −1 −β x e , x > 0. x Γ(α )

Izraˇcunaj a) E(X) , b) D(X) , c) E(X n ) . 48. Izraˇcunaj mod, oˇcekivanje i disperziju sluˇcajne varijable s gusto´com f (x) =

γ m−1 −m −γ /x x e , x > 0. (m − 2)!

(Piersonov zakon prvog tipa.)

7.

Sluˇcajni vektori

1. 2. 3. 3. 4. 5.

Sluˇcajni vektori, razdiobe i gusto´ce . . Uvjetne razdiobe. Uvjetno oˇcekivanje Dvodimenzionalna normalna razdioba Viˇsedimenzionalna normalna razdioba Rijeˇseni zadatci . . . . . . . . . . . . . . Zadatci za vjeˇzbu . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

60 69 72 78 83 86

7.1. Slucˇ ajni vektori, razdiobe i gusto´ce U nekom stohastiˇckom eksperimentu moˇzemo promatrati viˇse od jedne sluˇcajne varijable. Na primjer, pri sluˇcajnom odabiru neke osobe iz velike populacije, sluˇcajne varijable mogu biti njezina dob, visina, teˇzina, broj cipela. . . . Svaka od tih varijabli ima odredenu razdiobu. Poznavanje tih razdioba ne donosi punu informaciju o obiljeˇzjima te osobe. Naime, varijable koje su ovdje ukljuˇcene su medusobno ovisne, znaju´ci jednu od njih, s ve´com ili manjom sigurnoˇsc´u moˇzemo neˇsto kazati i - tim sluˇcajnim varijablama. o vrijednosti drugih. Zbog toga je nuˇzno poznavati i veze medu Da bismo obuhvatili meduovisnost dviju ili viˇse sluˇcajnih varijabli, moramo razviti matematiˇcki aparat kojim moˇzemo prouˇcavati viˇsedimenzionalne sluˇcajne varijable — sluˇcajne vektore.

Razdioba sluˇcajnih vektora

n -dimenzionalni sluˇcajni vektor jest uredena n -torka sluˇcajnih varijabli X = n (X1 , X2 , . . . , Xn ) : Ω → R . Funkcija razdiobe sluˇcajnog vektora definira se na analogan naˇcin kao i u jednodimenzionalnom sluˇcaju: (7.1) F(x1 , . . . , xn ) := P (X1 < x1 , . . . , Xn < xn ), (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn . U dvodimenzionalnom sluˇcaju koristit c´emo jednostavnije oznake. Vektor c´emo uglavnom oznaˇcavati sa (X, Y) . Funkcija razdiobe u ovom sluˇcaju je definirana formulom F(x, y) := P (X < x, Y < y). 60

ˇ 7.1. SLU CAJNI VEKTORI, RAZDIOBE

61

´ I GUSTO CE

Sl. 7.1. Vrijednost funkcije razdiobe u toˇcki (x, y) jednaka je vjerojatnosti da sluˇcajan vektor poprimi vrijednost u kvadrantu s gornjim vrhom u toˇcki (x, y) .

∗∗∗ Odredivanje funkcije razdiobe nije toliko jednostavno kao u jednodimenzionalnom sluˇcaju: Primjer 7.1. Toˇcka se bira na sre´cu unutar trokuta ((x, y) : x > 0, y > 0, x + y < 1) . Neka su (X, Y) kartezijeve koordinate te toˇcke. Odredi funkciju razdiobe i gusto´ce tog vektora.

 Ravninu moramo rastaviti na sˇ est podruˇcja (slika 7.2). Na dijelu 1 je 2

F(x, y) = P (X < x, Y < y) = 0.

y

Unutar trokuta, na dijelu 2 vrijedi

y

F(x, y) = xy. Na dijelu 3 imamo F(x, y) = 1 − (1 − x)2 − (1 − y)2 Poviˇse trokuta, na dijelu 4 vrijedi F(x, y) = 1 − (1 − x)2 .

1

6 @

4

6

@@ 3 @@ 5 2 @ q

q

x

x 1

Sl. 7.2.

Ovu vrijednost moˇzemo dobiti iz prethodne uvrˇstavaju´ci y = 1 . Naime, na ovom podruˇcju vrijedi P (X < x, Y < y) = P (X < x, Y < 1) . Sliˇcno, na podruˇcju 5 dobivamo F(x, y) = 1 − (1 − y)2 dok je na podruˇcju 6 F(x, y) = 1 . Prema tome, dobili smo ⎧ 0, x  0 ili y  0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ xy, 0  x  1, 0  y  1, x + y  1, ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 1 − (1 − x)2 − (1 − y)2 , 0  x  1, 0  y  1, x + y  1, F(x, y) = 2 ⎪ , 0  x  1, y  1, 1 − (1 − x) ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ 0  y  1, x  1, 1 − (1 − y) , ⎪ ⎪ ⎩ 1, x  1, y  1 

62

ˇ 7. SLU CAJNI VEKTORI

∗∗∗ Treba naglasiti joˇs jednu bitnu razliku prema jednodimenzionalnom sluˇcaju. Poz- i ovdje sluˇcajan vektor u potpunosti, ali pomo´cu navanje funkcije razdiobe odreduje vrijednosti te funkcije ne moˇzemo na jednostavan naˇcin odgovoriti na temeljno pitanje: kolika je vjerojatnost da sluˇcajan vektor poprimi vrijednost unutar nekog podruˇcja G ?. Direktan odgovor na to pitanje mogu´c je samo za podruˇcja koja su oblika kvadranta, ili neka koja se mogu lako prikazati unijom ili presjekom takvih kvadranata. Medutim, interesantna podruˇcja u ravnini uglavnom nemaju takve oblike. Tako na primjer, pomo´cu funkcije razdiobe ne moˇzemo odgovoriti na to pitanje za podruˇcja koja su oblika kruga ili na primjer, trokuta. Tako c´e pri prouˇcavanju sluˇcajnih vektora glavnu ulogu imati gusto´ca razdiobe sluˇcajnog vektora. Gusto´ca razdiobe. Neprekinuti sluˇcajni vektori

Za sluˇcajan vektor (X1 , . . . , Xn ) kaˇzemo da je neprekinut ako postoji funkcija f : Rn → [0, ∞ takva da za sve x1 , x2 , . . . , xn vrijedi x1 xn F(x1 , . . . , xn ) = ··· f (u1 , . . . , un )du1 . . . dun . (7.2) −∞

−∞

Funkciju f nazivamo gusto´ca razdiobe sluˇcajnog vektora. Tamo gdje je F diferencijabilna, vrijedi ∂ n F(x1 , . . . , xn ) (7.3) f (x1, . . . , xn ) := ∂x1 · · · ∂xn

∗∗∗ Prema (7.2) i definiciji funkcije razdiobe, moˇzemo napisati x y f (u, v) du dv P (X < x, Y < y) = −∞ −∞

Odavde lako slijedi sljede´ca formula x2 y2 P (x1 < X < x2 , y1 < Y < y2 ) =

f (x, y) dx dy. x1 y1

Prema tome, za pravokutnik G = {(x, y) : x1 < x < x2 , y1 < y < y2 } vrijedi formula  f (x, y) dx dy. P ((X, Y) ∈ G) = G

ˇ 7.1. SLU CAJNI VEKTORI, RAZDIOBE

63

´ I GUSTO CE

Svako se dovoljno dobro podruˇcje moˇze rastaviti na, prema potrebi beskonaˇcnu, uniju pravokutnika. Koriste´ci svojstva aditivnosti i neprekinutosti integrala, moˇzemo stoga prihvatiti sljede´cu temeljnu formulu: Racˇ unanje vjerojatnosti realizacije slucˇ ajnog vektora

Za svaki izmjerivi skup G ⊂ Rn vrijedi   P ((X1 , . . . , Xn ) ∈ G) = ··· f (x1 , . . . , xn )dx1 · · · dxn .

(7.4)

G

Primjer 7.2. Sluˇcajan vektor (X, Y) ima gusto´cu razdiobe f . Izrazimo vjerojat- a) X > Y ; b) X > |Y| ; c) |X| < Y ; d) Y − X > 1 . nosti dogadaja



 Vrijedi P ((X, Y) ∈ G) =

6 y

a)

. . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

G

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

b)

-

6 y

. . . . . .

@

x

f (x, y)dx dy.

G

. . . .

.

. .

. G . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . .

@@

x

c)

6 y

@@G  @  . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . . . .

x

Sl. 7.3.



 x dx f (x, y)dy, −∞ −∞  ∞  y c) dy f (x, y)dx,

a)

∞

−y

0



∞

b)  d)

0

∞

−∞

 dx dx

6  G     y

d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . .

. . . .

. . .

. . . . . . . . .

1

x

x

f (x, y)dy, −x  ∞

f (x, y)dy 

x+1

Marginalne razdiobe

Ako nam je poznata razdioba vektora (X1 , X2 , . . . , Xn ) , tada moˇzemo odrediti razdiobu svake njegove komponente Xi . Takve se razdiobe nazivaju marginalne razdiobe sluˇcajnog vektora. Vrijedi P(Xi < xi ) = P(X1 < ∞, . . . , Xi < xi , . . . , Xn < ∞) To znaˇci da se vrijednost marginalne funkcije razdiobe moˇze dobiti tako da se izracˇuna limes u beskonaˇcnosti po svim varijablama, osim one s indeksom i . To kratko zapisujemo na naˇcin: Fi (xi ) := F(∞, . . . , xi , . . . , ∞).

64

ˇ 7. SLU CAJNI VEKTORI

U praksi, cˇeˇsc´e baratamo s gusto´cama. Zbog veze funkcije razdiobe i gusto´ce za marginalnu gusto´cu varijable Xi vrijedi   ∂Fi (xi ) = ··· f (x1 , . . . , xn )dx1 · · · dxi−1 dxi+1 · · · dxn . f i (xi ) := ∂xi Rn−1

Za dvodimenzionalni sluˇcajni vektor (X, Y) koristit c´emo jednostavnije oznake. Za gusto´cu vrijedi ∂ 2 F(x, y) , ∂x ∂y

f (x, y) := marginalne razdiobe:



FX (x) := F(x, ∞) = FY (y) := F(∞, y) = marginalne gusto´ce: f X (x) := f Y (y) :=



∞

−∞  ∞



x

dx −∞  y

dy −∞

∞

−∞  ∞



x

f (x, y)dy = −∞  y

f (x, y)dx =

−∞

−∞

f X (x)dx, f Y (y)dy,

f (x, y)dy, f (x, y)dx.

−∞

Nezavisnost

Komponente X1 , . . . , Xn sluˇcajnog vektora (X1 , . . . , Xn ) su sluˇcajne varijable. One mogu ali ne moraju biti medusobno nezavisne. Prisjetimo se, sluˇcajne varijable X1 , . . . , Xn su nezavisne ako vrijedi P (X1 ∈ A1 , . . . , Xn ∈ An ) = P (X1 ∈ A1 ) · . . . · P (Xn ∈ An ) za sve izmjerive skupove A1 , . . . , An ⊂ R . Izaberimo skupove Ai =  −∞, xi  . Onda je P (Xi ∈ Ai ) = P (Xi < xi ) = Fi (xi ) . Ako su X1 , . . . , Xn nezavisne, onda zakljuˇcujemo da vrijedi F(x1 , . . . , xn ) = F1 (x1 ) · . . . · Fn (xn ),

∀(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn

(7.5)

Preko funkcija gusto´ca kriterij za nezavisnost moˇzemo iskazati ovako: Kriterij nezavisnosti za neprekinute slucˇ ajne vektore Teorem 7.1. Komponente X1 , . . . , Xn neprekinutog sluˇcajnog vektora (X1 , . . . , Xn ) su nezavisne onda i samo onda ako vrijedi f (x1 , . . . , xn ) = f 1 (x1 ) · . . . · f n (xn ), ∀(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn .

(7.6)

ˇ 7.1. SLU CAJNI VEKTORI, RAZDIOBE

65

´ I GUSTO CE

Dokaz. Jedan smjer slijedi iz (7.5), deriviranjem te jednakosti po varijablama x1 , . . . , xn . Obrat c´emo, zbog jednostavnosti zapisivanja, dokazati za dvodimenzionalan vektor. Neka su A i B intervali u R i G = A × B pravokutnik. Onda vrijedi  P (X ∈ A, Y ∈ B) = P ((X, Y) ∈ G) = f (x, y)dx dy G

Prema (7.6), vrijedi f (x, y) = f X (x)f Y (y) , pa je ovaj integral jednak    f X (x)f Y (y) dx dy = f X (x)dx · f Y (y)dy = P (X ∈ A) · P (Y ∈ B). A

G

B

Dakle, X i Y su nezavisne. 

6 @ S @ @@  @@ y

1

Primjer 7.3. Sluˇcajan vektor (X, Y) ima gusto´cu

f (x, y) =

1 2,

0,

1 x

(x, y) ∈ S, (x, y) ∈ / S,

Sl. 7.4.

gdje je S kvadrat na slici. Odredimo marginalne gusto´ce slucˇajnih varijabli X i Y . Jesu li te varijable nezavisne?

ˇ je gusto´ca razliˇcita od nule na podruˇcju koje nema oblik pravokutnika sa  Cim stranicama paralelnim koordinatnim osima, komponente vektora moraju biti zavisne. Izraˇcunajmo marginalne gusto´ce. ⎧

∞ x  −1 : ⎪ −∞ 0 · dy = 0, ⎪ ⎪ ⎪

⎪ x+1 1  ∞ ⎨ −1  x  0 : dy = 1 + x, −x−1 2 f X (x) = f (x, y)dy =

1 − x 1 ⎪ −∞ ⎪ dy = 1 − x, 0x1: ⎪ x−1 2 ⎪ ⎪

∞ ⎩ 1 0 . Matrica je pozitivno definitna ako su joj sve glavne minore nenegativne: r11 · · · r1n r11 r12 .  0, . . . , .  0. r11  0, . r21 r22 r ··· r n1 nn Op´ca n -dimenzionalna normalna razdioba

Neka je R regularna pozitivno definitna matrica i a = (a1 , . . . , an ) zada = (X1 , . . . , Xn ) ima n -dimenzionalnu ni vektor. Kazat c´emo da vektor X normalnu razdiobu s oˇcekivanjem a i kovarijacijskom matricom R ako je njegova gusto´ca definirana sa   1 1

exp − (x − a) R−1 (x − a) . f (x) = 2 (2π )n/2 |R| Piˇsemo X ∼ N (a, R) .

Provjerimo da oznaka nije pretenciozna, da je R uistinu kovarijacijska matrica vektora (X1 , . . . , Xn ) . Raˇcunajmo za n = 2 . Gusto´ca vektora (X1 , X2 ) dana je sa   x1 − a1 2 1 1 √ exp − − f (x1 , x2 ) = 2(1 − r2 ) σ1 2πσ1 σ2 1 − r2  (x1 − a1 )(x2 − a2 )  x2 − a2 2 + − 2r σ1 σ2 σ2   1 1 = exp − (x − a) R−1 (x − a) . 2 2π |R|

79

80

ˇ 7. SLU CAJNI VEKTORI

Usporedivanjem ovih izraza vidimo da R−1 ima elemente: 1 1 r    r11 = , r22 = , r12 = a21 = − . 2 2 2 2 (1 − r2 )σ1 σ2 (1 − r )σ1 (1 − r )σ2 Determinanta ove matrice je     |R−1 | = r11 r22 − r12 r21 =

1 (1 − r2 )σ12 σ22

i moˇzemo izraˇcunati matricu R : R = (R−1 )−1 =

  σ 2 rσ1 σ2 1 r22 −r12 1 . =   |R−1 | −r21 r11 rσ1 σ2 σ22

Dakle, elementi matrice R su upravo kovarijacijski momenti vektora (X1 , X2 ) . Primjer 7.13. Sluˇcajan vektor (X, Y, Z) ima normalnu razdiobu s gusto´com

√

 1  3 2 2 2 exp − + 4y + z − 2yz + 10z − 10y + 25] [2x 8 16π 3/2 Odredimo njegovu kovarijacijsku matricu. f (x, y, z) =

 Izraz u eksponentu moramo dovesti na oblik − 12 (x − a) A−1 (x − a) : 1 − [2x2 + 4y2 + z2 − 2yz + 10z − 10y + 25] 8 1 = − [2x2 + 4y2 + (z + 5)2 − 2y(z + 5)] 8 1  x2 y2 (z + 5)2 2y(z + 5)  =− + + − 2 2 1 4 4 ⎤% ⎡1 & 0 0 x 2 1 1 = − (x, y, z + 5) ⎣ 0 1 − 4 ⎦ . y 2 1 1 z + 5 0 −4 4 Dakle,

⎤ ⎤ ⎡ 0 0 2 0 0 4 4 = ⎣ 0 1 − 14 ⎦ =⇒ A = ⎣ 0 3 3 ⎦ . 0 43 16 0 − 14 41 3 ⎡1

A −1

2

Nezavisnost komponenti

Ako je matrica R dijagonalna (s elementima rii = E(Xi − ai )(Xi − ai ) = σi2 , tada je i R−1 dijagonalna: ⎡ 2 ⎡ ⎤ ⎤ 1/σ12 0 . . . 0 σ1 0 . . . 0 ⎢ 0 σ22 ⎢ 0 1/σ22 0 ⎥ 0 ⎥ ⎥ =⇒ R−1 = ⎢ ⎥. R=⎢ . . ⎣ .. ⎣ ⎦ . . . .. . . . ... ⎦ .. . 0 0 . . . σn2 0 0 . . . 1/σn2

ˇ 7.4. VISEDIMENZIONALNA NORMALNA RAZDIOBA

Gusto´ca normalnog vektora (X1 , . . . , Xn ) tada iznosi    x − a 2  1 1 x1 − a1 2 n n f (x1 , . . . , xn ) = exp − + . . . + . 2 σ1 σn (2π )n/2 σ1 · · · σn Sluˇcajne varijable X1 , . . . , Xn su u tom sluˇcaju nezavisne, s gusto´cama   1 1  xi − ai 2 f Xi = √ exp − . 2 σi 2πσi Specijalno, za a1 = . . . = an = 0 i σ1 = . . . = σn = 1 (tj. ako je a = 0 , R = I ), dobivamo jediniˇcnu normalnu razdiobu N (0, I) s gusto´com 1 f (x1 , . . . , xn ) = exp(− 12 (x21 + . . . + x2n )), (2π )n/2 ili, kra´ce zapisano, 1 f (x) = exp(− 12 x x). (2π )n/2 Veza jediniˇcne i op´ce razdiobe

Ako je R pozitivno definitna matrica, onda se moˇze pokazati da postoji matrica A sa svojstvom R = A · A . (Matricu A nazivamo drugi korijen matrice R .)  ima jediniˇcnu normalnu razdiobu. Transformirajmo taj sluˇcajni vektor Neka X  . Odredimo gusto´cu vektora Y . djelovanjem matrice A , Y = AX Gusto´ca vektora Y = (Y1 , . . . , Yn ) dana je s ∂(x1 , . . . , xn ) . f Y (y) = f X (x) · ∂(y1 , . . . , yn ) Kako je x = A−1y , vrijedi ∂(x1 , . . . , xn ) 1 = |A−1 | = . ∂(y1 , . . . , yn ) |A| Zato je f Y (y) = f X (A−1y)

1 |A|

 1  1 −1 2  y  exp − A 2 (2π )n/2 | det(A)|   1 1

−1   y y exp − = (AA ) 2 (2π )n/2 | det(B)|   1 1

= exp − y R−1y . 2 (2π )n/2 det(R) =

Dakle, vektor Y ima normalnu razdiobu N (0, R) .  , dobit c´emo vektor s razdiobom N (a, R) . Stavimo li Y = a + AX Dakle, svaki se normalni vektor moˇze dobiti iz jediniˇcne normalne razdiobe tran. sformacijom oblika Y = a + AX

81

82

ˇ 7. SLU CAJNI VEKTORI

∗∗∗ Osim pomo´cu funkcija gusto´ca, normalna se razdioba moˇze ( cˇak jednostavnije) opisati i koriˇstenjem karakteristiˇcnih funkcija. Taj je pristup tim vaˇzniji jer nam omogu´cava da opiˇsemo i sluˇcajeve degeneracije kad kovarijacijska matrica R nije regularna i formula za gusto´cu gubi smisao, jer ne postoji R−1 . Karakteristiˇcna funkcija jediniˇcne normalne razdiobe dana je s  ∞ u2 ϑX (u) = E[eiXu ] = eixu f X (x)dx = e− 2 . −∞

Op´cenito se karakteristiˇcna funkcijua n -dimenzionalnog vektora X raˇcuna formulom    |u) i(X ϑX (u1 , . . . , un ) = E[e ]= · · · ei(x|u) f (x)dx1 · · · dxn . R

R

Odredimo tu karakteristiˇcnu funkciju za normalnu razdiobu. Ako je X ∼ N (0, I) ,  jednaka umnoˇsku funkcija gusto´ce pojedinih onda je funkcijua gusto´ce vektora X komponenti, pa vrijedi   hX (u) = · · · ei(x1 u1 +...xn un ) f X1 (x1 ) · · · f Xn (xn )dx1 · · · dxn R  ∞ R   ∞  ix1 u1 ixn un = e f X1 (u1 )dx1 · · · e f Xn (un )dxn =

−∞ 1 2 2 e− 2 (u1 +...+un )

−∞

=

1 2 e− 2 u .

(Ova se formula moˇze izvesti i direktno jer je karakteristiˇcna funkcija vektora, cˇ ije su komponente nezavisne, jednaka umnoˇsku karakteristiˇcnih funkcija pojedinih komponenti.)  . Karakteristiˇcna funkcija ovog vektora je Neka je sada  Y = AX 

ϑY (u) = E[ei(Y |u) ] = E[ei(AX |u) ] = E[ei(X|A 





u)

] = ϑX (A u)

Nadalje, vrijedi A u2 = (A u) A u = u AA u = u Ru i zato je 1

ϑY (u) = e− 2 (Ru|u) Op´cenito, za X ∼ N (a, R) vrijedi 1

ϑX (u) = ei(a|u)− 2 (Ru|u) .

ˇ 7.5. RIJE SENI ZADATCI

83

7.5. Rijeˇseni zadatci Zadatak 7.1. Zadana je funkcija gusto´ce sluˇcajnog vektora (X, Y)

0 < x < 1, 0 < y < 1. f (x, y) = 6x2 y, Jesu li X i Y nezavisne? Odredi vjerojatnost dogadaja 1 1 (0 < X < , < Y < 2). 2 2  Funkcija gusto´ce f (x, y) moˇze se faktorizirati: f (x, y) = f X (x)f Y (y),

∀(x, y) ∈ R2 ,

gdje su 0 < x < 1, f X (x) = 3x2 , 0 < y < 1, f Y (y) = 2y, marginalne funkcije gusto´ca varijabli X i Y . Zato su X i Y nezavisne.  12  1 1 1 f (x, y)dx dy P (0 < X < , < Y < 2) = 1 2 2 0 2  12  1 3 6x2 y dx dy = = . 1 32 0 2 Zadatak 7.2. Funkcija f (x, y) = 18 (6 − x − y) , 0 < x < 2 , 2 < y < 4 je funkcija

gusto´ce sluˇcajnog vektora (X, Y) . Odredi funkciju razdiobe i marginalne gusto´ce. Jesu li komponente vektora (X, Y) nezavisne?  Vrijedi



x



63

y

y

f (x, y)dx dy.

F(x, y) = −∞

−∞

5

4

Medutim, u sluˇcajevima kad je gusto´ca jednaka nuli na 2 4 nekim dijelovima ravnine, raˇcunanje funkcije razdiobe se 2 komplicira. Ovdje moramo rastaviti ravninu na pet podrucˇja, kao na slici. Na svakom od njih c´e funkcija razdiobe 1 imati razliˇcitu formulu 0 2 Na podruˇcju 1 je f (x, y) = 0 pa je i F(x, y) = 0 Na podruˇcju 2: Sl. 7.11.   1 x y 1 F(x, y) = (6 − x − y)dx dy = x(y − 2)(10 − x − y). 8 0 2 16 Na podruˇcju 3: 1 F(x, y) = 8

 x 0

2

4

(6 − x − y)dx dy =

1 x(6 − x). 8

x

84

ˇ 7. SLU CAJNI VEKTORI

Na podruˇcju 4: 1 F(x, y) = 8

 0

2

 2

y

(6 − x − y)dx dy =

Na podruˇcju 5 je F(x, y) = 1 . Dakle, ⎧ 0, ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎨ 16 x(y − 2)(10 − x − y), 1 F(x, y) = 8 x(6 − x), ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎩ 8 (8 − y)(y − 2), 1,

1 (8 − y)(y − 2). 8

x  0 ili y  2, 0 < x  2, 2 < y  4, 0 < x  2, 4 < y, 2 < x, 2 < y  4, 2 < x, 4 < y.

Primijetimo ipak da je ‘najvaˇznija’ formula na podruˇcju 2. Iz nje se uvrˇstavanjem rubne vrijednosti y = 4 , odnosno x = 2 , mogu dobiti formule na podruˇcjima 3, 4 pa i 5. Marginalne gusto´ce su:  ∞  1 4 1 f X (x) = f (x, y)dy = (6 − x − y)dy = (3 − x), 0 < x < 2, 8 2 4 −∞  2  ∞ 1 1 f (x, y)dx = (6 − x − y)dx = (5 − y), 2 < y < 4. f Y (y) = 8 0 4 −∞ kako je f (x, y) = f X (x)f Y (y) , varijable X i Y su zavisne. Zadatak 7.3. Dvodimenzionalan sluˇcajan vektor (X, Y) zadan je gusto´com

0 < x < π2 , 0 < y < π2 .

f (x, y) = C sin(x + y),

Izraˇcunaj konstantu C . Odredi marginalne razdiobe komponenti X i Y .  Konstantu C odredujemo iz uvjeta da je integral ispod funkcije gusto´ce jednak jedinici:  π /2  π /2  π /2 1= C sin(x + y)dx dy = C (sin x + cos x)dx = 2C =⇒ C = 12 . 0

0

0

Odredimo funkciju razdiobe vektora (X, Y) :    1 x y 1 x F(x, y) = sin(x + y)dx dy = − [cos(x + y) − cos x]dx 2 0 0 2 0 1 = [sin x + sin y − sin(x + y)], 0 < x < π2 , 0 < y < π2 . 2 Marginalne razdobe su FX (x) = F(x, π2 ) = 12 (1 + sin x − cos x),

FY (y) = F( π2 , y) = 12 (1 + sin y − cos y),

f X (x) = 12 (sin x + cos x), f Y (y) = 12 (sin y + cos y).

ˇ 7.5. RIJE SENI ZADATCI

85

Zadatak 7.4. Zadana je funkcija razdiobe F(x, y) neprekinutog sluˇcajnog vektora (X, Y) . Odredi vjerojatnost da vektor poprimi vrijednost u podruˇcju G na slici.

 Odredimo najprije vjerojatnost za pravokutnik oblika [a, b] × [c, d] .

3 2 1

0

6 y

..................... ..................... ..................... ..................... ..................... . .. . .. . .. . .. . .. .......... .......... .......... ..........

G

1

2

-

3 x

P (a 0. 48. Sluˇcajne varijable X i Y su nezavisne i imaju istovjetnu distribuciju. Izraˇcunaj uvjetnu gusto´cu f X|X+Y=z (x) varijable X uz uvjet X + Y = z , ako a) X i Y imaju eksponencijalnu razdiobu E(λ ) , b) X i Y imaju jednoliku razdiobu na [0, 1] . 49. Sluˇcajna varijabla X1 ima jednoliku razdiobu na intervalu [0, 1] , X2 jednoliku razdiobu na [x1 , x1 + 1] , gdje je x1 realizacija varijable X1 . Analogno se definiraju sluˇcajne varijable X3 ,. . . , Xn . Izraˇcunaj E(Xn ) . 50. Toˇcke A1 , . . . , An biraju se na sre´cu na kruˇznici - ( Toˇcka S sa srediˇstem u O . Neka je Bn dogadaj O leˇzi unutar konveksnog mnogokuta s vrhovima A1 , . . . , An ) . a) Kolika je vjerojatnost dogadaja Bn ? b) Neka sluˇcajna varijabla ν poprima vrijednost - Bn . najmanjeg broja n za kojeg je ispunjen dogadaj Odredi E(ν ) i D(ν ) . ∗∗∗ 51. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima jednoliku razdiobu na krugu polumjera r , sa srediˇstem u ishodiˇstu. Izraˇcunaj marginalnu gusto´cu f X (x) i uvjetnu gusto´cu f (x|y) . Jesu li komponente X i Y nezavisne? Jesu li nekorelirane? 52. X, Y, Z su nezavisne sluˇcajne varijable s jednolikom razdiobom na intervalu [0, 1] . Izraˇcunaj vjerojatnost dogadaja (Z < X + Y) . 53. Neka su X1 , X2 , X3 nezavisne sluˇcajne varijable s jednolikom razdiobom na intervalu [0, 1] . Odredi funkciju gusto´ce vjerojatnosti sluˇcajne varijable Y = X1 + X2 + X3 . 54. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima jednoliku razdiobu vjerojatnosti na podruˇcju G = ((x, y) : x > 0, y > 0, x + 2y < 2). Nadi uvjetnu gusto´cu f X|Y=y (x) = f (x|y) i prikaˇzi je grafiˇcki. Izraˇcunaj koeficijent korelacije r(X, Y) .

89 55. Prodavaonica radi od 8 do 20 sati. Vrijeme ulaska kupca u nju je sluˇcajna varijabla s jednolikom razdiobom. Vrijeme boravka kupca u prodavaonici ima eksponencijalnu razdiobu, s oˇcekivanjem 1/ 2 sata i neovisno je o trenutku ulaska (u 20 sati kupac mora izi´ci van). Kolika je vjerojatnost da kupac boravi u prodavaonici duˇze od 1 sata? Ako je izaˇsao u 12 sati, kolika je vjerojatnost da je uˇsao prije 11 sati? 56. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima jednoliku razdiobu vjerojatnosti nad podruˇcjem G = ((x, y) : 0 < x < 2, y > 0, 2x > y). Nadi uvjetnu gusto´cu f (x | Y = y) i prikaˇzi je grafiˇcki. Izraˇcunaj koeficijent korelacije r(X, Y) . 57. Unutar duˇzine AB odabrana je na sre´cu toˇcka C . Zatim je na ve´cem od dijelova AC , CB odabrana na sre´cu toˇcka P . Kolika je vjerojatnost da se od dobivenih dijelova moˇze sastaviti trokut? 58. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima jednoliku razdiobu vjerojatnosti na podruˇcju G = ((x, y) : x < 2, y > 0, x − 2y > 0). - uvjetnu gusto´cu f Nadi X|Y=y (x) = f (x|y) i prikaˇzi je grafiˇcki. 59. Polumjer R kruga sluˇcajna je varijabla jednoliko distribuirana na [r1 , r2 ] . Toˇcka T bira se na sre´cu unutar kruga. Kolika je vjerojatnost da udaljenost toˇcke T do srediˇsta kruga poprimi vrijednost manju od r1 ? 60. Polumjer kruga je sluˇcajna varijabla s jednolikom razdiobom na intervalu [0, 1] . Srediˇste kruga bira se na sre´cu unutar kvadrata stranice 2. Kolika je vjerojatnost da krug ne´ce sije´ci stranicu kvadrata? 61. U jednakostraniˇcnom trokutu ABC duljina stranice je sluˇcajna varijabla jednoliko distribuirana na intervalu [10, 30] . Toˇcka T bira se na sre´cu unutar trokuta. Kolika je vjerojatnost da je udaljenost od T do stranice AB manja od 15 ? 62. Sluˇcajna varijabla R ima jednoliku razdiobu na intervalu [0, 1] i predstavlja polumjer kruga sa srediˇstem u ishodiˇstu. Ako je T toˇcka na sre´cu izabrana unutar tog kruga, izraˇcunaj oˇcekivanje udaljenosti toˇcke T do srediˇsta kruga. ∗∗∗ 63. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima normalnu razdiobu s gusto´com #! " 1 1 x2 y2 f (x, y) = exp − + . σ1 σ2 2π 2 σ12 σ22 Odredi zakon razdiobe sluˇcajne varijable Z = X − Y.

90

ˇ 7. SLU CAJNI VEKTORI

64. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima normalnu razdiobu N (0, 0, σ 2 , σ 2 , r) . Odredi zakon razdiobe sluˇcajne varijable Z = X + Y . 65. Sluˇcajni vektor (X, Y, Z) ima normalnu razdiobu s gusto´com 1 √ × 2π 6π « „ × exp −(x2 + 16 y2 + 12 z2 − 14 xz) .

f (x, y, z) =

Odredi kovarijacijsku matricu vektora (X, Y, Z) . 66. Neka je (1, −1, 0) oˇcekivanje i ! 1 0 −1 0 2 1 1 1 3 kovarijacijska matrica vektora (X, Y, Z) koji ima normalnu razdiobu. Napiˇsi njegovu gusto´cu. 67. Neka je f (x, y) =

√

„ « 3 exp − 12 [x2 + y2 − xy] 4π

gusto´ca razdiobe normalnog vektora (X, Y) . Odredi uvjetnu gusto´cu varijable X uz uvjet Y = 1 . 68. Neka je (X, Y) sluˇcajan vektor s normalnom razdiobom N (3, 1, 16, 25, 0.6) . Odredi vjerojatnost dogadaja (3 < Y < 8 | X = 7) , (−3 < X < 3 | Y = −4) . 69. Neka su X1 , X2 , X3 nezavisne jediniˇcne normalne sluˇcajne varijable. Neka je 1 Y1 = √ (X1 − X2 ), 2 1 Y2 = √ (X1 + X2 − 2X3 ), 6 1 Y3 = √ (X1 + X2 + X3 ). 3 Pokaˇzi da su i Y1 , Y2 , Y3 nezavisne jediniˇcne normalne sluˇcajne varijable.

70. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima normalnu razdiobu s gusto´com 1 f (x, y) = √ exp(− 23 (x2 − xy + y2 )). π 3 X Odredi zakon razdiobe varijable Z = . Y 71. Zadana je gusto´ca razdiobe normalnog vektora (X, Y) : „ « 1 f (x, y) = exp − 21 (x2 + 2xy + 5y2 ) . π a) Odredi gusto´ce varijabli X i Y , b) Odredi gusto´cu varijable Z = X + Y , c) Odredi gusto´cu vektora (U, V) gdje je U = X + Y, V = X − Y. 72. Neka je

„ « 3 exp −(x21 − 14 x1 x2 + 52 x22 ) . 2π  = (X1 , X2 ) . gusto´ca razdiobe sluˇcajnog vektora X  Odredi matricu B reda 2 tako da vektor Y = BX ima jediniˇcnu normalnu razdiobu. f (x, y) =

73. Neka je (X, Y) ∼ N (0, 0, σ12 , σ22 , r) . Dokaˇzi da je gusto´ca razdiobe sluˇcajne varijable Z = X/Y jednaka √ σ12 σ22 1 − r2 . f Z (z) = π (σ22 z2 − 2rσ1 σ2 z + σ12 ) 74. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima normalnu razdiobu N (0, 0, 1, 1, r) . Odredi gusto´cu, te oˇcekivanje varijable Z = max(X, Y) . 75. Dokaˇzi da postoji samo jedna razdioba sluˇcajnog vektora (X, Y) u ravnini sa svojstvima a) X i Y su nezavisne i jednako distribuirane, b) razdioba vektora (X, Y) je sferno simetriˇcna, tj. funkcija gusto´ce u toˇcki (x, y) ovisi samo o udaljenosti te toˇcke od ishodiˇsta: q f (x, y) = h(t), r = x2 + y2 za neku funkciju h . To je dvodimenzionalna normalna razdioba N (0, 0, σ 2 , σ 2 , 0) .

8.

Funkcije sluˇcajnih vektora

1. 2. 3. 4.

Funkcije neprekinutih sluˇcajnih vektora Razdiobe izvedene iz normalne . . . . . Rijeˇseni zadatci . . . . . . . . . . . . . . . Zadatci za vjeˇzbu . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. 91 100 108 114

U ovom c´emo poglavlju nauˇciti tehnike raˇcunanja razdioba funkcija neprekinutih sluˇcajnih vektora. Nakon toga c´emo upoznati razdiobe izvedene iz normalne razdiobe, koje se koriste u metematiˇckoj statistici.

8.1. Funkcije neprekinutih slucˇ ajnih vektora Neka je X = (X1 , . . . , Xn ) zadani n -dimenzionalni sluˇcajni vektor i Ψ : Rn → Rn obostrano jednoznaˇcno preslikavanje (bijekcija). Slika sluˇcajnog vektora X pri preslikavanju Ψ je sluˇcajni vektor Y = Ψ(X) . Neka je f (x1, . . . , xn ) gusto´ca razdiobe vektora (X1 , . . . , Xn ) , a g(x1 , . . . , xn ) gusto´ca razdiobe vektora (Y1 , . . . , Yn ) . Postavlja - ovih dviju funkcija? se pitanje: koja je veza izmedu Prikaˇzimo preslikavanje Ψ u komponentama: y1 = ψ1 (x1 , . . . , xn ), .. (8.1) . yn = ψ1 (x1 , . . . , xn ), Pretpostavili smo da je ovo preslikavanje bijekcija, pa stoga postoje inverzna preslikavanja: x1 = χ1 (y1 , . . . , yn ), .. (8.2) . xn = χn (y1 , . . . , yn ). 91

92

8. FUNKCIJE

ˇ SLU CAJNIH VEKTORA

Jakobijan inverznog preslikavanja definira se formulom gdje je ∂x1 1 ∂y · · · ∂x ∂yn 1 ∂(x1 , . . . , xn ) . = . J= ∂(y1 , . . . , yn ) ∂x. n ∂xn ∂y1 · · · ∂yn Neka je G podruˇcje u Rn i G slika tog podruˇcja pri preslikavanju Ψ . Onda vrijedi 

P ((X1, . . . , Xn ) ∈ G) = P ((Y1 , . . . , Yn ) ∈ G ),    ··· f (x1 , . . . , xn )dx1 . . . dxn = ··· g(y1 , . . . , yn )dy1 . . . dyn . G

G

Sad c´emo iskoristiti poznatu formulu zamjene varijabli u viˇsestrukom integralu:     ··· f (x1 , . . . , xn )dx1 . . . dxn = ··· f (x1 , . . . , xn )|J|dy1 . . . dyn . G

G

- funkcija gusto´ca: Odavde moˇzemo zakljuˇciti da postoji veza izmedu Transformacija gusto´ca pri bijektivnom preslikavanju

∂(x1 , . . . , xn ) g(y1 , . . . , yn ) = f (x1 , . . . , xn ) · ∂(y1 , . . . , yn )

(8.3)

Kartezijeve i polarne koordinate

Ilustrirajmo izvedenu formulu na primjeru transformacija kartezijevih u polarne koordinate. Neka je f gusto´ca razdiobe vektora (X, Y) i (R, Φ) polarne koordinate toˇcke (X, Y) . Izvedimo formulu za gusto´cu razdiobe vektora (R, Φ) . - koordinatama je Veza medu x = r cos ϕ , y = r sin ϕ i jakobijan preslikavanja iznosi

cos ϕ −r sin ϕ ∂(x, y) = r. = J= ∂(r, ϕ ) sin ϕ r cos ϕ

Zato je traˇzena gusto´ca jednaka g(r, ϕ ) = f (x, y) · |J| = f (r cos ϕ , r sin ϕ ) · r.

8.1. FUNKCIJE

ˇ NEPREKINUTIH SLU CAJNIH VEKTORA

Primjer 8.1. Gusto´ca razdiobe sluˇcajnog vektora (X, Y) je

+ x2 + y2 , 1 . exp − 2πσ 2 2σ 2 Neka su (R, Φ) polarne koordinate toˇcke (X, Y) . Izraˇcunajmo gusto´cu razdiobe vektora (R, Φ) te marginalne gusto´ce varijabli R i Φ . Jesu li one nezavisne? f (x, y) =

 Vektor (R, Φ) uzima vrijednosti u podruˇcju [0, ∞) × [0, 2π ) . Po prethodnoj formuli je + r2 , 1 g(r, ϕ ) = f (r cos ϕ , r sin ϕ ) · r = exp − 2 ·r 2πσ 2 2σ i g(r, ϕ ) se moˇze faktorizirati u produkt gR (r)gΦ (ϕ ) . Varijable R i Φ su stoga nezavisne. R ima Rayleighovu razdiobu s gusto´com + r2 , r gR (r) = 2 exp − 2 , r  0, σ 2σ a ϕ jednoliku razdiobu na intervalu [0, 2π ] . 

 = (X1 , . . . , Xn ) zadan je funkcijom gusto´ce f . Primjer 8.2. Sluˇcajan vektor X

Neka je A regularna matrica reda n . Odredi gusto´cu razdiobe sluˇcajnog vektora Y = AX .  Matrica A je regularna, stoga je preslikavanje y = Ax bijektivno. Odredimo njegov jakobijan. Za i -tu komponentu vektora Y vrijedi  yi = aij xj j

i zato je ∂yi = aij . ∂xj Prema tome, jakobijan preslikavanja y = Ax glasi a11 . . . a1n ∂(y1 , . . . , yn ) . = |A| = .. ∂(x1 , . . . , xn ) an1 . . . ann dakle, upravo determinanta matrice A . Jakobijan inverznog preslikavanja x = A−1y je 1 J= . Gusto´ca vektora Y glasi |A| 1 g(y1 , . . . , yn ) = f (x1, . . . , xn ) · |J| = f (x1, . . . , xn ) · . |A|

93

94

8. FUNKCIJE

ˇ SLU CAJNIH VEKTORA

Funkcija sluˇcajnog vektora

Dosadaˇsnje c´emo razmatranje pojednostavniti tako sˇ to c´emo promatrati preslikavanje ψ : Rn → R i sluˇcajnu varijablu Z = ψ (X1 , X2 , . . . , Xn ) dobivenu ovakvim preslikavanjem. Pitamo se: kako moˇzemo odrediti razdiobu varijable Z ? Radi jednostavnosti zapisivanja, promatrat c´emo sluˇcaj n = 2 i preslikavanje oblika Z = ψ (X, Y). Pretpostavit c´emo da nam je poznata gusto´ca vektora (X, Y) . Pokazat c´emo kako se - gusto´ca varijable Z . odreduje Preslikavanje ψ : R2 → R c´emo nadopuniti do preslikavanja iz R2 u R2 , kako - gusto´ca sluˇcajnih vektora. Najjednostavbismo mogli iskoristiti poznate veze izmedu nije je to uˇciniti tako da prvu komponentu vektora ostavimo nepromijenjenu. Tako dobivamo sustav: x = x, z = ψ (x, y), Oznaˇcimo preslikavanje inverzno ovome: x = x, y = χ (x, z). Jakobijan inverznog preslikavanja glasi ∂x 1 0 ∂y ∂(x, y) ∂x ∂x ∂z = ∂y ∂y = ∂y ∂y = . ∂(x, z) ∂x ∂z ∂x ∂z ∂z Prema tome, po formuli (8.3), gusto´ca vektora (X, Z) je ∂y g(x, z) = f (x, y) , ∂z Gusto´cu gZ sluˇcajne varijable Z moˇzemo dobiti preko marginalne gusto´ce ovog vektora. Gusto´ca funkcije sluˇcajnog vektora

Gusto´ca sluˇcajne varijable Z = ψ (X, Y) dobiva se formulom  ∞ ∂y gZ (z) = f (x, y) dx, ∂z −∞ gdje je f gusto´ca vektora (X, Y) .

(8.4)

8.1. FUNKCIJE

95

ˇ NEPREKINUTIH SLU CAJNIH VEKTORA

Primjer 8.3. Neka je f (x, y) gusto´ca sluˇcajnog vektora (X, Y) . Odredi gusto´cu sluˇcajne varijable Z ako je A. Z = X + Y ,

B. Z = Y − X ,

 Koristimo formulu (8.4): A.

y = z − x,

B.

y = z + x,

C.

y=

D.

y = zx ,

z , x



gZ (z) =

∞

−∞ ∞

C. Z = XY ,

D. Z = Y/X .

f (x, z − x)dx .

gZ (z) = f (x, z + x)dx .  ∞ −∞ z 1 f (x, ) dx . gZ (z) = x x −∞ ∞ gZ (z) = f (x, zx)|x|dx . −∞

Razdioba zbroja nezavisnih varijabli

Zbroj nezavisnih varijabli iznimno je vaˇzan primjer funkcije sluˇcajnog vektora. Pokazali smo da c´e za neke vaˇzne razdiobe poput binomne, Poissonove ili normalne, zbroj nezavisnih varijabli imati razdiobu istog tipa. To op´cenito nije sluˇcaj. Izvest c´emo op´cenitu vezu gusto´ca nezavisnih sluˇcajnih varijabli i gusto´ca njihovog zbroja. Ako su X i Y nezavisne, i f (x, y) gusto´ca vektora (X, Y) , onda se ta funkcija moˇze faktorizirati u umnoˇzak marginalnih gusto´ca: f (x, y) = f X (x)f Y (y). Za gusto´cu zbroja Z = X + Y ovih sluˇcajnih varijabli vrijedi, prema prethodnom primjeru  ∞  ∞ gZ (z) = f (x, z − x)dx = f X (x)f Y (z − x)dx. −∞

−∞

U integralu zdesna prepoznajemo konvoluciju gusto´ca f X i f Y . Uzastopnom primjenom ovog zakljuˇcka, dobivamo sljede´ce: Gusto´ca zbroja nezavisnih varijabli Teorem 8.1. Ako su sluˇcajne varijable X1 , X2 , . . . , Xn nezavisne, onda je gusto´ca njihovog zbroja Z = X1 + X2 + . . . + Xn dana konvolucijom gZ (z) = f X1 ∗ f X2 ∗ . . . ∗ f Xn .

96

8. FUNKCIJE

ˇ SLU CAJNIH VEKTORA

Primjer 8.4. Sluˇcajne varijable X1 , X2 i X3 nezavisne su i imaju jednoliku razdiobu na intervalu [0, 1] . Odredimo gusto´cu gZ sluˇcajne varijable A. Y = X1 + X2 , B. Z = X1 + X2 + X3 .

 Gusto´ca varijabli Xi je f (x) = 1 , 0 < x < 1 .

A. Gusto´ca varijable Y dana je konvolucijom:



gY (x) =

∞

−∞

f (u)f (x − u)du

Daljnje raˇcunanje ovisi o vrijednosti argumenta. Funkcija gusto´ce razliˇcita je od nule za 0 < x < 2 . Podruˇcje integracije svodi se na ono na kojem je argument funkcija u granicama od 0 do 1, jer je van toga funkcija gusto´ce jednaka nuli. Prema tome, mora biti 0 < u < 1 i 0 < x − u < 1 . Zato u mora zadovoljavati sustav 0 < u < 1, x − 1 < u < x. a) Za 0 < x  1 oba su uvjeta zadovoljena ako je 0 < u < x :  x  x gY (x) = f (u)f (x − u)du = du = x. 0

0

b) Za 1 < x < 2 mora biti x − 1 < u < 1 :  1  f (u)f (x − u)du = gY (x) = x−1

1 x−1

du = 2 − x.

1 0.8 0.6 0.4 0.2

0.5

1

1.5

2

Sl. 8.1. Graf gusto´ce zbroja dviju uniformnih razdioba. B. Raˇcunanje poput prijaˇsnjeg postaje nespretno za ve´ci broj pribrojnika. Moˇzemo napisati f (x) = u(x) − u(x − 1),

tu je u jediniˇcna step funkcija. Laplaceova transformacija gusto´ce je 1 1 f ∗ (s) = − e−s s s Konvoluciji u donjem podruˇcju odgovara umnoˇzak. Odatle je  3   1 1 −s 1 ∗ −s −2s −3s gZ (s) = = 3 1 − 3e + 3e −e . − e s s s

8.1. FUNKCIJE

97

ˇ NEPREKINUTIH SLU CAJNIH VEKTORA

Original ove funkcije je traˇzena gusto´ca: gZ (x) = 12 x2 − 32 (x − 1)2 u(x − 1) + 32 (x − 2)2 u(x − 2) − 12 (x − 3)2 u(x − 3) Zapiˇsimo tu funkciju i na sljede´ci naˇcin: ⎧ 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 x2 , ⎪ ⎨ 2 gZ (x) = −x2 + 3x − 32 , ⎪ ⎪ ⎪ 1 2 ⎪ x − 3x + 92 , ⎪ ⎩ 2 0, 1

x < 0, 0  x  1, 1  x  2, 2x3 3 < x. 

n=2

0.8 n=4

0.6

n=6

n=8 n = 10

0.4 0.2 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Sl. 8.2. Graf gusto´ce zbroja n uniformnih razdioba. Primjetite da za veliki n ovaj graf (koji je polinom stupnja n − 1 ) nalikuje na graf gusto´ce normalne razdiobe.

Primjer 8.5. X i Y su nezavisne sluˇcajne varijable, distribuirane po jediniˇcnom normalnom zakonu. Odredi gusto´cu razdiobe sluˇcajne varijable Z = Y/X .

 Po rezultatu Primjera 8.3, gusto´ca varijable Z iznosi  ∞ g(z) = f (x, zx)|x|dx. −∞

Zbog nezavisnosti od X i Y je f (x, y) = f X (x)f Y (y) .  0  ∞ g(z) = − xf X (x)f Y (zx)dx + xf X (x)f Y (zx)dx, −∞

0

gdje je 1 2 1 f X (x) = f Y (x) = √ e− 2 x . 2π

98

8. FUNKCIJE

Dakle



ˇ SLU CAJNIH VEKTORA

 ∞ 1 − 1 x2 (1+z2 ) 1 − 1 x2 (1+z2 ) 2 g(z) = − x· e dx + x· e 2 dx 2π 2π −∞ 0 ∞  1 1 ∞ − 1 x2 (1+z2 ) − 12 x2 (1+z2 ) e 2 x dx = − e = 2 π 0 π (1 + z ) 0 1 = . π (1 + z2 ) 0

Prema tome, kvocijent dviju nezavisnih jediniˇcnih normalnih varijabli ima Cauchyjevu razdiobu. Ako je N ∼ N (0, σ12 ) , Y ∼ N (0, σ22 ) , provjeri da je σ1 1 . ·  g(z) = σ2 π 1 + ( σ1 z)2 σ2

∗∗∗ U sluˇcaju kad preslikavanja (8.1) nisu injektivna, ali i onda kad je nepraktiˇcno koristiti formulu (8.4) (obiˇcno zbog toga sˇ to gusto´ca f nije razliˇcita od nule na cˇitavom R2 , sˇ to oteˇzava odredivanje granica u integralu (8.4)), funkciju gusto´ce varijable Z nalazimo pomo´cu funkcije razdiobe:  f (x, y)dx dy, FZ (z) = P{ψ (X, Y) < z} = Gz

gdje je

Gz = {(x, y) : ψ (x, y) < z}.

Primjer 8.6. Sluˇcajan vektor (X, Y) ima gusto´cu razdiobe

f (x, y) = x + y, 0  x  1, 0  y  1. Odredi gusto´cu razdiobe sluˇcajne varijable Z = X + Y .  Z poprima vrijednosti unutar intervala [0, 2] . FZ (z) = P{Z < z} = P{(X, Y) ∈ Gz }  = f (x, y)dx dy

Gz = {(x, y) : x + y < z}

podruˇcje iscrtkano na slici. Razlikujemo dva sluˇcaja:  1)

0  z  1,

2)

1  z  2,

y

1

@@ @ z 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .z ......... . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .z. . . . . . ............... . . . . . . . .

@@ @@ G @ G @ @@=-+ @@ @= +

Gz

gdje je

6

. . . . . . . .

. . . . . . .

z



. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . .

y

1

y

z −x z3 dx (x + y)dy = . Sl. 8.3. 3 0  0  1 1 dx (x + y)dx = 13 (−z3 + 3z2 − 1). FZ (z) = 1 − z

FZ (z) =

z −1

z −x

x z

x

x z

8.1. FUNKCIJE

99

ˇ NEPREKINUTIH SLU CAJNIH VEKTORA

Dakle,

gZ (z) =

z2 , 2z − z2 ,

0  z  1, 1  z  2.

Dobijmo ovaj rezultat uz pomo´c formule iz Primjera 8.3:  ∞ f (x, z − x)dx. gZ (z) = −∞

Varijabla x (prvi argument funkcije f ) uzima vrijednosti unutar [0, 1] (za x ∈ / [0, 1] , f (x, y) jednaka je nuli). Dakle  1 gZ (z) = f (x, z − x)dx. 0

I drugi argument funkcije f mora biti unutar intervala [0, 1] . Razlikujemo dva sluˇcaja: 1) 0  z  1 . Tada je uvijek z − x  1 i biramo x da bude z − x  0 , tj. x  z :  z  z gZ (z) = f (z, z − x)dx = (x + z − x)dx = z2 . 0

0

2) 1  z  2 . Sada je uvijek z − x  0 no, moramo osigurati da bude z − x  1 , tj. x  z − 1 .  1  1 gZ (z) = f (x, z − x)dx = (x + z − x)dx = 2z − z2 . z −1

z −1

Primjer 8.7. Nezavisne sluˇcajne varijable X1 , . . . , Xn imaju eksponencijalnu razdiobu s parametrima λ1 , . . . , λn . Pokaˇzi da sluˇcajna varijabla Y = min{X1 , . . . , Xn } - eksponencijalnu razdiobu, s parametrom λ = λ1 + . . . + λn . ima takoder

 Vrijedi FY (y) = P{Y < y} = 1 − P{Y  x} = 1 − P{min{X1 , . . . , Xn }  x} = 1 − P{X1  x, . . . , Xn  x}. Zbog nezavisnosti varijabli X1 , . . . , Xn dobivamo FY (x) = 1 − P{X1  x} · . . . · P{Xn  x} = 1 − e−λ1 x · . . . · e−λn x = 1 − e−(λ1 +...+λn )x , te je Y ∼ E(λ1 + . . . + λn ) . Ovaj rezultat ima sljede´cu interpretaciju: u sustavu od n serijski vezanih nezavisnih komponenti, od kojih svaka ima oˇcekivano vrijeme ispravnog rada a1 , . . . , an , oˇcekivano vrijeme ispravnog rada cijelog sustava a je odredeno sa 1 1 1 + ... + . = a a1 an

100

8. FUNKCIJE

ˇ SLU CAJNIH VEKTORA

8.2. Razdiobe izvedene iz normalne razdiobe Gama funkcija

Eulerov integral druge vrste ili gama funkcija definirana je nepravim integralom  ∞ xα −1 e−x dx, (α > 0). Γ(α ) := 0

Ovaj se integral moˇze definirati i za sve kompleksne brojeve α za koje je Re α > 0 . Osnovna svojstva gama funkcije Teorem 8.2. Vrijede sljede´ce formule

Γ(α + 1) = α Γ(α ), Γ(n + 1) = n!, ∀n ∈ N, √ 1 Γ( 2 ) = π ,  2n + 1  √π = n (2n − 1)(2n − 3) · · · 3 · 1. Γ 2 2

DOKAZ. Parcijalnom integracijom dobivamo  ∞ 1 Γ(α ) = xα −1 e−x dx = xα e−x α 0 1 = Γ(α + 1) α i odavde slijedi Γ(α + 1) = α Γ(α ) . Prema dokazanoj relaciji vrijedi

∞  ∞ +1 xα e−x dx α 0 0

Γ(n + 1) = nΓ(n) = n(n − 1)Γ(n − 1) = . . . = n!Γ(1). Kako je

 Γ(1) =

∞

e−x dx = 1,

0

dobivamo Γ(n + 1) = n! . U dokazivanju tre´ceg svojstva iskoristit c´ emo svojstvo gusto´ce jediniˇcne normalne razdiobe:    ∞ √ − 12 −x − 12 1 1 2 Γ( 2 ) = x e dx = x = 2 t , x dx = 2dt 0 ∞  ∞ √ √ √ 1 2 2 − 12 t2 = e 2dt = π · √ e− 2 t dt = π . 2π 0 0

8.2. RAZDIOBE

101

IZVEDENE IZ NORMALNE RAZDIOBE

Koriste´ci prvo i tre´ce svojstvo, dobivamo  2n + 1  2n − 1  2n − 1  2n − 1 2n − 3 3 1 1 Γ = Γ = ... = · ··· · · Γ 2 2 2 2 2 2 2 2 √ 1 = n (2n − 1)(2n − 3) · · · 3 · 1 · π . 2 Centralni momenti normalne varijable

Pomo´cu gama funkcije moˇzemo iskazati centralne momente normalne sluˇcajne varijable. S obzirom da vrijedi E(X n) = 0 za svaki neparni prirodni broj n , izvest c´emo op´cenitiju formulu za momente sluˇcajne varijable |X| . Neka je X ∼ N (0, σ 2 ) . Onda imamo  ∞ 1 x 2 1 |x|n e− 2 ( σ ) dx E(|X|n) = √ σ 2π −∞ & %  ∞ 2 2 t = 2xσ 2 n − 12 ( σx )2 x e dx = = √ dx = √σ2t dt σ 2π 0  ∞ 1 1 σ 2 = √ (2σ 2 ) 2 n t 2 n √ e−t dt σ 2π 0 2t  1 σ n 12 n ∞ n−1 2 2 nσ n  n + 1  . (8.1) t 2 e−t dt = √ Γ =√ 2 2 π π 0 Tako na primjer, vrijedi

 5 2 2 2 σ5 5 E(|X| ) = √ Γ(3) = 8σ , π π 6 2 2 σ 6  7  8σ 6 5 3  1  6 √ = √ · · ·Γ = 30σ 6 . Γ E(|X| ) = 2 2 π π 2 2 5

Gama razdioba

Sluˇcajna varijabla X ima gama razdiobu s parametrima α i λ , ako je njezina gusto´ca razdiobe definirana sa f (x) =

λ α α −1 −λ x e , x Γ(α )

x > 0,

(α , λ > 0).

Piˇsemo X ∼ G(α , λ ) . Odredimo karakteristiˇcnu funkciju gama razdiobe.  ∞ λ α α −1 −λ x ϑ (t) = eitx e dx x Γ(α ) 0  ∞ λα xα −1 e−x(λ −it) dx. = Γ(α ) 0

102

8. FUNKCIJE

ˇ SLU CAJNIH VEKTORA

Uvedimo supstituciju x(λ − it) = z  α −1  ∞ z λα dz ϑ (t) = e−z Γ(α ) 0 λ − it λ − it   α α  ∞ λ 1 λ = zα −1e−z dz = .  λ − it Γ(α ) 0 λ − it - oˇcekivanje i disperzija gama razdiobe Odavde se sad lako odreduju E(X) =

α , λ

D(X) =

α . λ2

(8.2)

Stabilnost gama razdiobe. Erlangova razdioba

Dokaˇzimo sad stabilnost gama razdiobe na zbrajanje: ako nezavisne varijable X1 i X2 imaju gama razdiobu s parametrima (α1 , λ ) , (α2 , λ ) , tada zbroj X1 + X2 ima gama razdiobu s parametrima α1 + α2 i λ . Karakteristiˇcna funkcija zbroja X1 + X2 jednaka je produktu karakteristiˇcnih funkcija pribrojnika i iznosi  α1  α2  α1 +α2 λ λ λ ϑX1 +X2 (t) = = . λ − it λ − it λ − it Ova je funkcija karakteristiˇcna funkcija gama razdiobe s parametrima α1 + α2 i λ , sˇ to je i trebalo dokazati. Eksponencijalna razdioba je ujedno i gama razdioba s parametrom α = 1 . Zato zbroj n nezavisnih eksponencijalnih sluˇcajnih varijabli X1 , . . . , Xn ima gama razdiobu s parametrima λ i n . Tu razdiobu nazivamo joˇs i Erlangova razdioba. Njezina je gusto´ca λ n xn−1 −λ x f (x) = e , x > 0. (n − 1)!

0.35

n=2

0.3 0.25 0.2

n=4 n=6

0.15

n=8

0.1

n = 10

0.05 5

10

15

20

Sl. 8.4. Grafovi funkcija gusto´ca Erlangove razdiobe, za prvih nekoliko vrijednosti indeksa n .

8.2. RAZDIOBE

103

IZVEDENE IZ NORMALNE RAZDIOBE

Veza normalne i eksponencijalne razdiobe

Ako X ima jediniˇcnu normalnu razdiobu, onda varijabla Y = X 2 ima gama razdiobu s parametrima ( 12 , 12 ) . Za x  0 je FY (y) = 0 . Za x > 0 vrijedi √ √ FY (y) = P{X 2 < y} = P{− y < X < y}  √y  √y 1 2 2 1 − 12 x2 e dx = √ e− 2 x dx. =√ √ 2π − y 2π 0 Zato je

1 1 1 1 2 1 f Y (y) = FY (y) = √ e− 2 y √ = √ y− 2 e− 2 y 2 y 2π 2π

a to je gusto´ca gama razdiobe G( 12 , 12 ) . χ2 -razdioba χ2 -razdioba

Neka su X1 , . . . , Xn nezavisne sluˇcajne varijable s jediniˇcnom normalnom razdiobom. Tada kaˇzemo da sluˇcajna varijabla χn2 definirana sa

χn2 := X12 + X22 + . . . + Xn2 ima χ 2 -razdiobu (hi kvadrat razdiobu) sa n stupnjeva slobode. Gusto´ca ove razdiobe je 1 1 1 f χn2 (x) = n/2 1 x 2 n−1 e− 2 x , 2 Γ( 2 n) a oˇcekivanje i disperzija E(χn2 ) = n,

D(χn2 ) = 2n.

Dokaˇzimo ove tvrdnje. Pokazali smo da varijabla Xk2 ima gama razdiobu s parametrima ( 12 , 12 ) . Zbog nezavisnosti sluˇcajnih varijabli, zbroj X12 + . . . + Xn2 ima gama razdiobu s parametrima ( 12 n, 12 ) . Prema tome, gusto´ca χn2 -razdiobe dana je sa f χn2 (x) =

1 1 1 x 2 n−1 e− 2 x . 2n/2 Γ( 12 n)

Prema formuli (8.2) znamo odrediti oˇcekivanje i disperziju: E(χn2 ) =

1 2n 1 2

= n,

D(χn2 ) =

1 2n 1 4

= 2n.

104

8. FUNKCIJE

n. √

ˇ SLU CAJNIH VEKTORA

Nacrtat c´emo funkciju gusto´ce χn2 razdiobe za prvih nekoliko vrijednosti indeksa

Odredimo gusto´ce tih razdioba. Koristimo pritom svojstva gama funkcije: Γ( 12 ) = √ π , Γ(1) = 1 , Γ( 32 ) = 12 π , Γ(2) = 1 . f 1 (x) = √

n=1:

1 1 e− 2 x , 2π x

x>0

1 − 12 x e , x>0 2 1 √ − 12 x xe , x > 0 f 3 (x) = √ 2π 1 1 f 4 (x) = xe− 2 x , x > 0 4

n=2:

f 2 (x) =

n=3: n=4: Vrijedi

lim f k (x) = 0, k  1 ⎧ k = 1, ⎨ ∞, 1 lim f k (x) = , k = 2, x→0 ⎩ 2 0, k  3. Odredimo ekstreme. Vrijedi   1 1 1 1 1 1 x 2 n−1 e− 2 x = x 2 n−2 e− 2 x ( n − 1 − x) = 0 2 2 za x = n − 2 . Zato f n poprima maksimum u x = n − 2 . x→∞

y 6

... n=1 ... . y=χ2n (x) 0.5 .... .... .... .. ....... . n=2........ ......... ... ........ . . . . . . . . 0.24 n=3 . . . . . ........................................................................ . . . . 0.18 . ......................... .................................................................................................. .............. ................... ........................... ... .....n=4 ........ .......................... ........................... ......... ...................... . × 1

2

Sl. 8.5. Graf funkcija gusto´ca prvih nekoliko χ 2 razdioba.

x

8.2. RAZDIOBE

105

IZVEDENE IZ NORMALNE RAZDIOBE

χ -razdioba

χ -razdiobom zovemo sluˇcajnu varijablu 

χ = χ 2 = X12 + . . . + Xn2 , gdje su Xi nezavisne jediniˇcne normalne varijable. Odredimo funkciju gusto´ce varijable χ. χ 2 -razdioba dana je gusto´com 1 1 1 f χ 2 (x) = n/2 1 x 2 n−1 e− 2 x , x > 0. 2 Γ( 2 n)

Stoga je gusto´ca varijable χ = χ 2 dana sa f χ (x) = f χ 2 (x2 ) · 2x =

2xn−1 2

1 n 2

Γ( 12 n)

1 2

e− 2 x .

Skicirajmo grafove funkcija gusto´ce χn -razdiobe, za n = 1, 2, 3 . Napiˇsimo najprije jednadˇzbe pripadnih gusto´ca: n=1: n=2: n=3: Vrijedi

pa f χn

1 2 2 f 1 (x) = √ e− 2 x , 2π

x > 0,

1 2

f 2 (x) = xe− 2 x , x > 0, 1 2 2 f 3 (x) = √ x2 e− 2 x , x > 0, 2π

(Rayleighova razdioba) (Maxwellova razdioba)



 1 2  1 2 xn−1 e− 2 x = e− 2 x xn−2 (n − 1 − x2 ), √ ima maksimum u x = n − 1 . y

6

y=χn (x) ....n=1 .......... ...... ..... n=2 n=3 .................... .......... ....... ........... ......... . . ... .. ............. ......... ......... .. .. ....... ......... ........ ..... . .. . .... ..... ......... ......... ... .... ...... ...... ..... ........ ....... ....... . . ............ ........................ ... ....... .................................................. . . . . . . . . . . × √ x 1 2

Sl. 8.6. Graf funkcija gusto´ca prvih nekoliko χ -razdioba.

106

8. FUNKCIJE

ˇ SLU CAJNIH VEKTORA

Studentova razdioba

Neka su X, X1 , . . . , Xn nezavisne jediniˇcne normalne varijable. Tada kaˇzemo da sluˇcajna varijabla X t :=  (X12 + . . . + Xn2 )/n ima studentovu razdiobu sa n stupnjeva slobode. Piˇsemo cˇesto tn umjesto t . Sama razdioba zove se i t -razdioba. Odredimo funkciju gusto´ce studentove razdiobe.  Varijabla X12 + . . . + Xn2 ima χ -razdiobu, stoga je gusto´ca varijable Z =  (X12 + . . . + Xn2 )/n dana sa √ 2( nx)n−1 − 1 nx2 f Z (x) = n/2 1 e 2 . 2 Γ( 2 n) X Po Primjeru 8.3, gusto´ca studentove razdiobe t = dana je sa Z  ∞ f X (xy)f Z (y)|y|dy f t (x) = −∞ √ √ n −1  ∞ 2 1 1 2 2 2 n( ny) 1 √ e− 2 x y = e− 2 ny y dy 1 n/2 2 Γ( n) 2π 0 2 √ n  ∞√ 2( n) n + x2 n − 1 y2 (n+x2 ) √ √ = y e 2 dy. 2π 2n/2 Γ( 12 n) n + x2 0 1 Ovaj integral jednak je E(|Y|n) , gdje je Y ∼ N (0, n+x 2 ) i po formuli (8.1) iznosi 1 1 2n/2  n + 1  · . Dakle, · √ ·Γ 2 2 (n + x2 )n/2 π n + 1 n/2 √ n Γ 2 1 2( n) 2  n √ · ·√ f (x) = 2 )n/2 2 π (n + x n/2 2 2 Γ n+x 2 n + 1  − n+1 Γ 2 x2 2 n 1 + =√ . n nπ Γ 2

∗∗∗ Odredimo oˇcekivanje i disperziju tn -razdiobe. Za n = 1 gusto´ca glasi f (x) = 1 (Cauchyjeva razdioba) i ona nema niti oˇcekivanje, niti disperziju. π (1 + x2 )

8.2. RAZDIOBE

107

IZVEDENE IZ NORMALNE RAZDIOBE

Neka je n > 1 . Gusto´ca tn -razdiobe je parna funkcija i zato je E(tn ) = 0 . Izraˇcunajmo disperziju:    − n+1  ∞ Γ n+1 2 x2 2 2 2   D(tn ) = E(tn ) = dx. 1 + x √ n n −∞ nπ Γ 2 Γ( n+1 ) Oznaˇcimo, zbog kratko´ce zapisa, Cn = √ 2 n . Tada vrijedi nπ Γ( 2 ) − n+1  ∞  2 x2 2 D(tn ) = Cn x 1+ dx n −∞ *  ∞  − n+1 − n+1  ∞ 2 2 x2 x2 x2 dx − n dx = Cn n 1+ 1+ 1+ n n n −∞ −∞ − n−1 − n+1  ∞  ∞  2 2 x2 x2 = nCn dx − n Cn 1 + dx. 1+ n n −∞ −∞ Drugi je integral jednak jedinici, poˇsto je podintegralna funkcija gusto´ca tn razdiobe. Da bismo prvi integral sveli na integral po gusto´ci tn−2 -razdiobe, uvedimo supstituciju  n x2 u2 = =⇒ dx = du. n n−2 n−2 Dobivamo



n 1 · n − 2 C n −2



∞

 C n −2 1 +

u2 n−2

− n−1 2

du − n D(tn ) = nCn −∞  n Cn =n −n · n − 2 C n −2 n − 2 n + 1

√ (n − 2) π Γ Γ n n 2  · 2 −n =√ · n − 1 n − 2 √nπ Γ n Γ 2 2 n−1 n· 2 −n= n = n−2 n−2 2

108

8. FUNKCIJE

ˇ SLU CAJNIH VEKTORA

8.3. Rijeˇseni zadatci Zadatak 8.1. Neka su X i Y nezavisne sluˇcajne varijable, obje s istom eksponen-

X . X+Y

cijalnom razdiobom E(λ ) . Odredi funkciju razdiobe sluˇcajne varijable Z =

 Kako su X i Y pozitivne, slijedi da je 0 < Z < 1 . Gusto´ca razdiobe vektora (X, Y) je x, y > 0. f (x, y) = λ 2 e−λ (x+y) , Tako imamo FZ (z) = P{

X 1−z < z} = P{Y > X} X+Y z 

= P{(X, Y) ∈ Gz } = 

∞

= 0

= λ2 =λ



∞

1 −z z x

∞

λ 2 e−λ (x+y) dy

e−λ x dx



0



∞

∞

1 −z z x

6 . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .z . . . . . . . . . . . . . . .

G

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

y

Sl. 8.7.

e−λ x/z dx = z.

0

Prema tome, Z ima jednoliku razdiobu na intervalu [0, 1] . Zadatak 8.2. Nezavisne varijable X i Y zadane su svojim gusto´cama

x > 0, f X (x) = e−x , f Y (y) = 1, 1  y  2. Odredi gusto´cu razdiobe sluˇcajne varijable Z = Y/X .  Zbog nezavisnosti varijabli X i Y vrijedi

6 y

2

y =zx . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . . . . . z. . . . . . . . . . . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. .

G

1

-

f X (x)f Y (y)dx dy

= Gz





2

dy

= 1

∞

x

Sl. 8.8. −x

e dx

y/z

= −z(e−2/z − e−1/z ),

z > 0.

. . . . . .

. . . . . .

1 z z x x

e−λ y dy

f (x, y) = f X (x)f Y (y) = e−x na podruˇcju x > 0 , 1  y  2 . Zato Y FZ (z) = P{ < z} = P{(X, Y) ∈ Gz }  X

. . . . . .

=    

f (x, y)dx dy Gz

 dx

y

ˇ 8.3. RIJE SENI ZADATCI

109

Dobili smo 1 2 gZ (z) = FZ (z) = e−1/z − e−2/z + e−1/z − e−2/z , z z

z > 0.

Izvedi ovaj rezultat pomo´cu formule  ∞ gZ (z) = f (x, zx)|x|dx. −∞

Zadatak 8.3. Na sferi polumjera R izabrane su na sre´cu dvije toˇcke A i B . Nadi - njima. funkciju razdiobe i izraˇcunaj oˇcekivanje udaljenosti medu  Fiksirajmo toˇcku A (nakon izbora!) u sjevernom polu sfere. Toˇcka B ima jednoliku razdiobu na sferi. Oznaˇcimo sa (R, Φ, Ψ) njezine koordinate u sfernom sustavu. Kako je prva koordinata konstantna, dovoljno je odrediti zakon razdiobe za vektor (Φ, Ψ) . Neka je dS element povrˇsine sfere. Toˇcka se bira na sre´cu, stoga je P{B ∈ dS} =

dS R2 sin ψ dψ dϕ = 4π R2 4π R2

i dalje je

A

................................................. ......... ....... .... ...... .... .. ...... . . . . X ......... ........... ... ... ... .. B . ... . .. .. . . . . . . . . . . . . . . ..... . . . . . .. . . . . ..... ..... ... ... . . . . . . . ... ... . .... . . . . . . ... . ψ... . .... .... ... ... ..... ..... . . ... ... . .. .. .. ..ϕ ...... ... .. .... .... ... . .... .. ... . .. . .... ... . .. . .. ... ... ... ... ... ... ... .... . . .. ..... ..... ...... ..... ....... ........... ....... ................................... yz|}

Sl. 8.9.

1 sin ψ , f (ψ , ϕ ) = 4π

0  ϕ < 2π , 0  ψ  π

- toˇckama A i B vrijedi gusto´ca razdiobe vektora (Ψ, Φ) . Za udaljenost X medu ψ X = 2R sin 2 . Odredimo funkciju razdiobe sluˇcajne varijable X . ψ x F(x) = P{2R sin < x} = P{ψ < 2 arc sin } 2 2R x 2 arc sin 2R 2π  1 sin ψ dψ = dϕ 4π 0 0  x  1 1 = 2 − 2 cos 2 arc sin 2R   x 2  x = sin2 arc sin . = 2R 2R Dakle, x f (x) = , 0  x  2R, 2R2 i odavde

 E(X) = 0

2R

x·

x dx = 43 R. 2R2

110

8. FUNKCIJE

ˇ SLU CAJNIH VEKTORA

Zadatak 8.4. Sluˇcajan vektor (X, Y) ima gusto´cu f (x, y) = 4xy , 0  x  1 , 0  y  1 . Odredi gusto´cu razdiobe sluˇcajne varijable Z = XY te njezino oˇcekivanje.

 Z uzima vrijednosti u intervalu [0, 1]  FZ (z) = P{Z < z} = P{XY < z} = f (x, y)dx dy 



z

dx

= 0 2



1

0 2

1

z/x

4xy dy 0

z

Oˇcekivanje moˇzemo izraˇcunati na viˇse naˇcina: a) Pomo´cu izraˇcunate gusto´ce varijable Z :  1  E(Z) = − 2z2 ln z2 dz = −4 0



∞ ∞

1

z2 ln zdz =

0

 1 zf (x, y)dx dy =

−∞ −∞

1

x

Sl. 8.10.

0  z  1.

E(Z) = E(XY) =

xy =z

.. (z 1) . .. . .. . .. . .. ..... . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . ....... . . . . . . . . . . . . . . . . ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... (1 z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... ........... ....................... . . .G . .z . . . . . . . . . ..................... .......................

0  z  1.

gZ (z) = −2z ln z2 ,

b) Direktno,

y

Gz

dx z

= z − 2z ln z, Dakle,



1

4xy dy +

6 .........

0

0

4 . 9

1

4xy · xy dx dy =

c) X i Y su nezavisne jer je f (x, y) = 4xy = 2x · 2y = f X (x)f Y (y)  1 2 2x2 dx = . E(Z) = E(X)E(Y) = E(X) = E(Y) = 3 0

4 . 9

te vrijedi 4 . 9

Zadatak 8.5. Zadan je sluˇcajan vektor (X, Y) . Odredi gusto´cu razdiobe g sluˇcajne varijable Z = max{X, Y} ako je poznato a) gusto´ca razdiobe f vektora (X, Y) , b) gusto´ce f X i f Y ako su X i Y nezavisne varijable, c) gusto´ca x → f (x) ako su X i Y nezavisne i identiˇcno distribuirane.

 Neka je F funkcija razdiobe vektora (X, Y) . FZ (z) = P{Z < z} = P{max{X, Y} < z} = P{X < z, Y < z}  z  z f (x, y)dx dy = F(z, z) = −∞

−∞

a) U ovom je sluˇcaju

*  z  z d gZ (z) = FZ (z) = f (x, y)dx dy dz −∞ −∞  z  z = f (z, y)dy + f (x, z)dx. −∞

−∞

ˇ 8.3. RIJE SENI ZADATCI

111

b) Zbog nezavisnosti od X i Y je f (x, y) = f X (x)f Y (y) . Uvrstimo to u upravo dobivenu formulu:  z  z gZ (z) = f X (z)f Y (y)dy + f X (x)f Y (z)dx −∞ −∞  z  z f Y (y)dy + f Y (z) f X (x)dx = f X (z) −∞

−∞

= f X (x)FY (z) + f Y (z)FX (z). c) Sada je f X = f Y =: f , FX = FY =: F i dobivamo gZ (z) = 2f (z)F(z).

Zadatak 8.6. Neka su X1 , . . . , Xn nezavisne sluˇcajne varijable distribuirane po - funkciju razdiobe sluˇcajne varijable eksponencijalnom zakonu s parametrom λ . Nadi

Y = max{X1 , . . . , Xn }.  FY (x) = P{max{X1 , . . . , Xn } < x} = P{X1 < x, . . . , Xn < x} = P{X1 < x} · · · P{Xn < x} = (1 − e−λ x )n .

Zadatak 8.7. Gusto´ca razdiobe sluˇcajnog vektora (X, Y) je

2 (1 − x2 − y2 ), x2 + y2  1. π Odredi gusto´cu razdiobe sluˇcajnog vektora (R, Φ) , polarnih koordinata toˇcke (X, Y) . f (x, y) =

 Formulama

⎧

⎨ x2 + y2 r = x = r cos ϕ ⇐⇒ x ⎩ ϕ = arc tg y = r sin ϕ y

definirano je obostrano jednoznaˇcno preslikavanje kruga {(x, y) : x2 + y2  1} na pravokutnik {(r, ϕ ) : 0  r  1, 0  ϕ  2π } . Zato je ∂(x, y) = f (r cos ϕ , r sin ϕ ) · r g(r, ϕ ) = f (x, y) · ∂(r, ϕ ) 2 0  r  1, 0  ϕ < 2π . = (1 − r2 )r, π

112

8. FUNKCIJE

ˇ SLU CAJNIH VEKTORA

Zadatak 8.8. Sluˇcajan vektor (X, Y, Z) ima gusto´cu razdiobe

f (x, y, z) = (y − z)e−x , 0  x, 0  y  x, 0  z  y. Odredi zakon razdiobe varijable W = X − Y + Z .  Nadopunimo do sustava ⎧ ⎧ ⎨ u = x, ⎨ x = u, v = y, y = v, ⇐⇒ ⎩ ⎩ w = x − y + z, z = −u + v + w. Jakobijan ovog preslikavanja glasi 1 0 0 ∂(x, y, z) = 0 1 0 = 1 ∂(u, v, w) 1 1 1 i gusto´ca vektora (U, V, W) dana je sa g(u, v, w) = f (x, y, z) · 1 = f (u, v, −u + v + w) = (u − v)e−w . Medutim, moramo odrediti podruˇcje na kojem je g definirana ovom formulom: 0x 0u 0w 0  y  x ⇐⇒ 0vu wu ⇐⇒ 0zy u−vwu u−wvu Sada je  ∞  ∞  ∞  u du g(u, v, w)dv = du (u − w)e−w dv gW (w) = −∞ −∞ w u −w  ∞ = w(u − w)e−u du = we−w , w  0. w

Zadatak 8.9. Neka su X1 , X2 , . . . nezavisne sluˇcajne varijable, jednoliko distribuirane na intervalu [0, 1] . Definirajmo diskretnu sluˇcajnu varijablu ν : ν := min{n : X1 + . . . + Xn > 1}. Pokaˇzi da je E(ν ) = e .

 Oznaˇcimo Sn = X1 + . . . + Xn . Izraˇcunajmo Fn (x) = P{Sn  x} , ali samo za x  1. Za n = 1 vrijedi F1 (x) = P{X1  x} = x. Za n = 2 ,

 F2 (x) = P{X1 + X2  x} =  = 0



x

dx2

0

dx1 dx2

{x1 +x2 x}

x−x2



dx1 =

0

x

(x − x2 )dx2 =

x2 . 2

ˇ 8.3. RIJE SENI ZADATCI

113

xn . Dokazujemo indukcijom: n! Fn+1 (x) = P{X1 + . . . + Xn + Xn+1  x}  x  dxn+1 dx1 · · · dxn =

Tvrdimo da je Fn (x) =

0



{x1 +...+xn x−xn+1 }



x

= 0

Fn (x − xn+1 )dxn+1 =

x

0

(x − xn+1 )n xn+1 dxn+1 = . n! (n + 1)!

Sada je 1 , n  2. n! 1 1 1 − = . P{ν = n} = P{ν > n − 1} − P{ν > n} = (n − 1)! n! n(n − 2)! P{ν > n} = P{X1 + . . . + Xn  1} = Fn (1) =

Dakle, E(ν ) =

∞ 

n=2

∞

n·

 1 1 = = e. n(n − 2)! m! m=0

Zadatak 8.10. Odredi funkciju razdiobe zbroja dviju nezavisnih sluˇcajnih varijabli, od kojih je jedna jednoliko distribuirana na intervalu [−a, a] , a druga zadana funkcijom razdiobe F .

 Oznaˇcimo prvu varijablu sa X , drugu sa Y , te Z = X + Y .Tada je FZ (z) = P{X + Y < z} = P{(X, Y) ∈ Gz }  a P{Y < z − x}f X (x)dx = −a

1 = 2a



a

1 FY (z − x)dx = 2a −a



@@ 6 @@ @@ G @ @ y

. . .

a

z+a

F(t)dt. z −a

. . . . . .

. . .

. .

x. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

a x

. . . . .

. .

z . . .

. . . .

y =x z

Sl. 8.11.iz interZadatak 8.11. Biramo tri duˇzine cˇ ije su duljine na sre´cu odabrani brojevi vala [0, a] . Izraˇcunaj vjerojatnost da se od tri duˇzine moˇze sastaviti trokut.

 Neka su X , Y , Z duljine izabranih duˇzina. Od njih c´e se mo´ci sastaviti trokut ako vrijedi X + Y  Z , X + Z  Y , Y + Z  X . Stoga se zadatak moˇze rjeˇsavati preko geometrijske definicije vjerojatnosti. Izbor trojke (X, Y, Z) odgovara izboru na sre´cu odabrane toˇcke unutar kocke sa stranicom a postavljene u prvi oktant. Gornji uvjeti - Jedini je problem sˇ to je teˇsko od nje odsijecaju dio koji je povoljan za traˇzeni dogadaj. uoˇciti o kojem se dijelu kocke radi. Stoga c´emo pozvati u pomo´c uvjetne vjerojatnosti. Traˇzimo vjerojatnost dogadaja A = {X + Y  Z, Z + X  Y, Y + Z  X}.

114

8. FUNKCIJE

ˇ SLU CAJNIH VEKTORA

Fiksirati c´emo vrijednost varijable Z . Tada gornji uvjeti prelaze u {A | Z=z} = {X + Y  z, X − Y  −z, X − Y  z} = {|X − Y|  z, X + Y  z} =: Az . Skup Az , podskup kvadrata sa stranicom a u xOy ravnini nacrtan je na slici. y y =x +z

6

y = x +z

@ @@

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . .z . . . .

A

@ z

. . . . . . .

@

. . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . .

y =x z

. . . . . . . .

-

a

x

Sl. 8.12.

Njegova je vjerojatnost P(Az ) =

2az − 32 z2 . a2

1 Gusto´ca varijable z je f Z (z) = , 0 < z < a . Zato, po formuli a  a  a 1 3 1 1 P(A | Z=z)f Z (z)dz = (2az − z2 ) · dz = . P(A) = 2 a 2 a 2 0 0

§ 8. Zadatci za vjeˇzbu

1. Sluˇcajne varijable X i Y su nezavisne, s jednolikom razdiobom na intervalu [0, a] . Odredi gusto´ce sljede´cih sluˇcajnih varijabli a) X + Y , b) X − Y , c) XY , d) X/Y . 2. Neka su X i Y nezavisne, jednoliko distribuirane na intervalu [0, 1] . Odredi gusto´cu varijable X Z= . X+Y 3. Nezavisne sluˇcajne varijable X i Y imaju funkcije gusto´ce vjerojatnosti f (x) = 1 za 0  x  1, 2y za 0  y  3. g(y) = 9 Odredi funkciju √ gusto´ce vjerojatnosti sluˇcajne varijable Z = X 2 + Y 2 .

∗∗∗ 4. Duljine stranica pravokutnika su nezavisne slucˇajne varijable, s jednolikom razdiobom na intervalu [0, a] . Odredi gusto´cu razdiobe povrˇsine tog pravokutnika. 5. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima jednoliku razdiobu na trokutu s vrhovima O(0, 0) , A(1, 0) , B(1, 1) . Odredi funkciju razdiobe varijable Z = X − Y . 6. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima jednoliku razdiobu na podruˇcju D = {(x, y) : 0  y  x  1}. Odredi funkciju razdiobe varijable Z = X − Y . Izraˇcunaj P{Z < 12 } .

ˇ 8. ZADATCI ZA VJE ZBU

115

7. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima jednoliku razdiobu na kvadratu {|x|  1 , 0  y  2} . Odredi i skiciraj funkciju gusto´ce vjerojatnosti sluˇcajne varijable Z = XY . 8. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima jednoliku razdiobu vjerojatnosti unutar kruga polumjera 1 . Odredi i skiciraj funkciju gusto´ce vjerojatnosti sluˇcajne varijable Z = X/Y . 9. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima jednoliku razdiobu vjerojatnosti na podruˇcju D = {(x, y) 0  x  a , - i skiciraj funkciju gusto´ce vjero0  y  b} . Nadi jatnosti sluˇcajne varijable X−a Z= . Y−b 10. Sluˇcajni vektor (X, Y) jednoliko je distribuiran na podruˇcju S = {(x, y) : y > 2, x < 3, y − x < 1}. - i skiciraj gusto´cu sluˇcajne varijable Z = X + Nadi 2Y . 11. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima jednoliku razdiobu vjerojatnosti na podruˇcju G = {(x, y) : x > 0, y > 0, 1 − x − y > 0}. Odredi funkciju razdiobe FZ sluˇcajne varijable Z = Y . Kolika je vjerojatnost da Z poprimi neku 1+X ” “ vrijednost iz intervala 14 , 34 ?

16. Odredi i skiciraj funkciju razdiobe vjerojatnosti sluˇcajne varijable Z = X − Y , ako su X i Y nezavisne sluˇcajne varijable s gusto´cama razdioba: 1 , −1 < x < 1, 2 −y f Y (y) = e , y > 0.

f X (x) =

17. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima gusto´cu razdiobe f (x, y) = ax + y, 0 0).

56. Neka su X11 , X12 , X21 , X22 nezavisne sluˇcajne varijable sa zakonom N (0, 1) . Odredi razdiobu varijable ˛ ˛ ˛X X ˛ Δ = ˛ X11 X12 ˛ . 21

22

57. Sluˇcajne varijable X1 i X2 su nezavisne s eksponencijalnom razdiobom s parametrima λ1 i λ2 . Odredi funkciju razdiobe sluˇcajne varijable X1 . Y= X1 + X2

9.

Zakon velikih brojeva i centralni graniˇcni teorem

1. Zakoni velikih brojeva . . . . . . . . . . . . 2. Konvergencija po distribuciji i karakteristiˇcne funkcije 3. Centralni graniˇcni teorem . . . . . . . . . . 4. Rijeˇseni zadatci . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Zadatci za vjeˇzbu . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . 119 . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

126 129 132 134

Dva su najvaˇznija zakona teorije vjerojatnosti, zakon velikih brojeva i centralni graniˇcni teorem. I jedan i drugi zakon objaˇsnjavaju graniˇcno ponaˇsanje niza sluˇcajnih varijabli. U ovom c´emo poglavlju objasniti o cˇemu ti zakoni govore i dokazati te zakone uz najjednostavnije pretpostavke o sluˇcajnim varijablama.

9.1. Zakoni velikih brojeva U poˇcetcima teorije vjerojatnosti, ona je smatrana dijelom fizike. Ako se neki pokus moˇze u nepromijenjenim uvjetima ponoviti neograniˇcen broj puta, vjerojatnost - definira se kao m , njegova relativna frekvencija pojavljivanja. dogadaja n Danas se na ovu fizikalnu definiciju vjerojatnosti gleda kao na jednostavnu primjenu zakona velikih brojeva. Opiˇsimo detaljnije pokus koji vodi prema ovoj definiciji. On c´e nam pomo´ci da lakˇse shvatimo razliˇcite definicije konvergencije. 119

120

9. ZAKON VELIKIH

ˇ BROJEVA I CENTRALNI GRANICNI TEOREM

Od indikatorske varijable prema binomnoj razdiobi

- koji promatramo, i neka je p = P (A) vjerojatnost njegove Neka je A dogadaj realizacije. Indikatorska sluˇcajna varijabla poprima vrijednost 1 ako se taj dogadaj ostvario, 0 ako nije. Neka je Ik indikatorska varijabla koja prati realizaciju u k -tom ponavljanju pokusa. Onda sve varijable I1 , I2 , . . . imaju identiˇcnu razdiobu, a medusobno su nezavisne:   0 1 . Ik ∼ q p Oˇcekivanje ovih varijabli je p , a disperzija pq . Ako se pokus ponavlja n puta, onda je broj realizacija dogadaja A dan zbrojem I1 + I2 + . . . + In . Time je definirana sluˇcajna varijable Xn = I1 + I2 + . . . + In . Za nju znamo da ima binomnu razdiobu s parametrima n i p . Pogledamo li bolje na definiciju indikatorske varijable, uoˇcit c´emo da je njezina razdioba B(1, p) . Zbroj nezavisnih kopija ove varijable, prema svojstvu stabilnosti - binomnu razdiobu s parametrima n i p . binomne razdiobe, ima takoder - A u n ponavljana pokusa iznosi Relativna frekvencija pojavljivanja dogadaja I1 + . . . + In Xn = . n n Da bismo opravdali fizikalnu definiciju vjerojatnosti, moramo pokazati da je razlika Xn − p n po volji malena. Ova je razlika sluˇcajna varijabla, tako da najprije moramo utvrditi naˇcin na koji c´emo mjeriti njezinu veliˇcinu. U graniˇcnom sluˇcaju, pisat c´emo Xn lim = p. n→∞ n s tim da najprije moramo utvrditi sˇ to je to limes sluˇcajnih varijabli. Konvergencija po vjerojatnosti

Konvergencija niza sluˇcajnih varijabli nije jednoznaˇcan pojam, jer postoji viˇse razliˇcitih definicija te konvergencije. Konvergencija po vjerojatnosti

Niz (Xn ) konvergira po vjerojatnosti ka sluˇcajnoj varijabli Y ako za svaki ε > 0 vrijedi lim P (|Xn − Y| > ε ) = 0. (9.1) n→∞

P

Piˇsemo Xn −→ Y . U ovoj definiciji konvergencije, vjerojatnost odstupanja sluˇzi kao mjera za bliskost dviju sluˇcajnih varijabli. Formula (9.1) moˇze se napisati i na sljede´ci naˇcin: lim P (|Xn − Y| < ε ) = 1 n→∞

9.1. ZAKONI VELIKIH

121

BROJEVA

Izvedimo sad ocjenu za ovo odstupanje. ˇ Nejednakosti Markova i Cebiˇ seva Teorem 9.1. ( Nejednakost Markova ) Ako X poprima nenegativne vrijednosti, onda za svaki ε > 0 vrijedi E(X) P (X  ε )  . ε ( Lp nejednakost ) Za svaku sluˇcajnu varijablu X s oˇcekivanjem mX vrijedi

E(|X − mX |p . εp ˇ seva) Posebice, za p = 2 , vrijedi (Nejednakost Cebiˇ D(X) P (|X − mX |  ε )  . ε2 P (|X − mX |  ε ) 

Dokaz. Nejednakost Markova slijedi iz ocjene integrala:    x 1 1 ∞ dF(x)  x dF(x) = E(X). P (X  a) = dF(x)  a 0 a xa xa a Primjenimo tu ocjenu na pozitivnu sluˇcajnu varijablu |X − mx | . Imamo, za svaki p > 0: E(|X − mX |p ) . P (|X − mX |  ε ) = P (|X − mX |p  ε p )  εp ˇ seva.  Za p = 2 dobivamo nejednakost Cebiˇ Slabi zakon velikih brojeva

Sad smo u mogu´cnosti formulirati i dokazati prvi vaˇzni zakon teorije vjerojatnosti. Slabi zakon velikih brojeva, definicija

Kaˇzemo da niz X1 , X2 , . . . sluˇcajnih varijabli zadovoljava slabi zakon velikih brojeva ako n 1 (Xk − EXk ) −→ 0, kad n → ∞ (9.2) n k=1

po vjerojatnosti, tj. ako za svaki ε > 0 vrijedi n , + 1  (Xk − EXk ) > ε = 0. lim P n→∞ n k=1

(9.3)

122

9. ZAKON VELIKIH

ˇ BROJEVA I CENTRALNI GRANICNI TEOREM

Od interesa je prona´ci najslabije uvjete na niz (Xk ) , uz koji c´e vrijediti ovaj zakon velikih brojeva. Dovoljni uvjeti za slabi zakon velikih brojeva Teorem 9.2. Ako varijable X1 , X2 , . . . zadovoljavaju uvjet

1   Xk = 0, lim 2 D n→∞ n n

k=1

tada on zadovoljava zakon velikih brojeva. Taj c´ e uvjet biti ispunjen ako su na primjer 1) X1 , X2 , . . . nekorelirane, s ograniˇcenim varijancama. 2) X1 , X2 , . . . nezavisne s istom varijancom σ 3) X1 , X2 , . . . nezavisne s istom distribucijom i konaˇcnom varijancom.

ˇ seva, vrijedi: Dokaz. Neka je ε > 0 po volji. Po nejednakosti Cebiˇ 1 )  n D X n k + 1  , n k=1 P (Xk − EXk ) > ε  n ε2 k=1

1 1   D Xk −→ 0 ε 2 n2 n

=

kad n → ∞

k=1

sˇ to je i trebalo pokazati. Pretpostavimo sad da vrijedi 1) . Disperzija zbroja nekoreliranih sluˇcajnih varijabli jednaka je zbroju njihovih disperzija. Ako su sve one ograniˇcene brojem M , onda vrijedi n n 1   1 M 1  D X D(Xk )  2 · n · M = −→ 0. = k n2 n2 n n k=1

k=1

Uvjet 2) poseban je sluˇcaj od 1) , a uvjet 3) poseban sluˇcaj od 2) .  ∗∗∗ Spomenimo na koncu da niz indikatorskih sluˇcajnih varijabli Ik zadovoljava uvjet 3) ovog teorema. Zato taj niz zadovoljava slabi zakon velikih brojeva. Pri tom je E(Ik ) = p , pa vrijedi I1 + . . . + Ik lim = p. n→∞ n Interpretacija slabog zakona velikih brojeva

Zakon c´emo interpretirati u najjednostavnijoj situaciji, kad je rijeˇc o indikatorskim sluˇcajnim varijablama. Neka je Xn = I1 +I2 +. . .+In njihov zbroj. Tada Xn mjeri broj

9.1. ZAKONI VELIKIH

123

BROJEVA

- u n ponavljanja pokusa. Prema slabom zakonu velikih brojeva, pojavljivanja dogadaja vrijedi   Xn p(1 − p) P − p < ε > 1 − n nε 2 Izaberimo ε = 0.1 . Vrijedi p(1 − p)  14 , pa dobivamo   Xn 1 P − p < 0.1 > 1 − n 0.04n ˇ Zelimo ponavljanjem pokusa odrediti vjerojatnost p . Prema ovoj ocjeni, ako okus ponovimo n = 1000 puta, vjerojatnost da je relativna pogreˇska manja od 0.1 iznosi   X1000 − p < 0.1 > 0.975 P 1000 Kako treba tumaˇciti ovaj rezultat? Recimo da se pokus sastoji od bacanja novˇci´ca 1000 puta. U stotinu takvih pokusa barem 97 puta odstupanje vjerojatnosti od relativne frekvencije bit c´ e manje od 0.1 . Ova je ocjena vrlo gruba. Vidjet c´emo u nastavku, da je u stvarnosti to odstupanje neusporedivo manje. Joˇs je jednu stvar bitno naglasiti. Slabi zakon velikih brojeva niˇsta ne govori o rezultatima jednog pokusa. U svakom pojedinaˇcnom ponavljanju bacanja novˇci´ca, na temelju ovog zakona, nemamo garanciju da c´e relativna frekvencija u tim bacanjima teˇziti ka vjerojatnosti. Slabi zakon velikih brojeva je statistiˇcke naravi. On se moˇze interpretirati samo na temelju velikog broja ponavljanja cjelokupnog pokusa. Iz iskustva znamo da se priroda ponaˇsa drukˇcije. Kad bacamo novˇci´c u svakom pokusu relativna frekvencija teˇzi ka 12 . O tome govori jaki zakon velikih brojeva. Jaki zakon velikih brojeva

Iskaz i interpretacija jakog zakona velikih brojeva vezana je uz drugi tip konvergencije sluˇcajnih varijabli. - niz Neka je (Xn ) niz sluˇcajnih varijabli. Za svaki ω ∈ Ω , time je nizom odreden realnih brojeva (Xn (ω )) . Tako moˇzemo postaviti potanje: ima li taj niz limes? Ako limes postoji, on se mijenja izborom elementarnog dogadaja ω , pa i sam predstavlja sluˇcajnu varijablu. Kako moˇzemo opisati konvergenciju niza sluˇcajnih varijabli (Xn ) prema varijaboi Y ? Oznaˇcimo: K := {ω ∈ Ω : lim Xn (ω ) = Y(ω )} n→∞

Ovaj skup K predstavlja sve elementarne dogadaje za koje c´e niz realnih brojeva (Xn (ω )) konvergirati prema broju Y(ω ) . Nije jasno da skup K mora pripadati algebri dogadaja, i to se op´cenito ne mora dogoditi. To znaˇci da on ne mora imati vjerojatnost. Medutim, nama c´e biti interesantni sluˇcajevi kad taj skup ima vjerojatnost i kad je ona jednaka 1.

124

9. ZAKON VELIKIH

ˇ BROJEVA I CENTRALNI GRANICNI TEOREM

Konvergencija gotovo sigurno

Niz (Xn) konvergira gotovo sigurno ka sluˇcajnoj varijabli Y ako vrijedi P ( lim Xn = Y) = 1. n→∞

g.s.

Piˇsemo Xn −→ Y , ili Xn −→ Y g.s. Koja je veza konvergencije gotovo sigurno i konvergencije po vjerojatnosti? Usporedba konvergencija Teorem 9.3. Ako niz sluˇcajnih varijabli (Xn ) konvergira gotovo sigurno prema sluˇcajnoj varijabli Y , tada on konvergira prema istoj sluˇcajnoj varijabli i po vjerojatnosti.

Dokaz. Oznaˇcimo Ak (ε ) := {ω : |Xk (ω ) − Y| > ε } - kod kojih se varijabla Xk znaˇcajno razlikuje Ovaj skup obuhva´ca elementarne dogadaje od limesa. Bn (ε ) := Ak (ε ). k n

- kod kojih se to dogada - za barem jednu Skup Bn (ε ) obuhva´ca elementarne dogadaje varijablu Xk , s indeksom ve´cim od n . Primjetimo da je Bn (ε ) padaju´ci niz dogadaja. Njegov limes oznaˇcimo s: ∞ . A(ε ) := Bn (ε ). n=1

Elementarni dogadaj ω pripadat c´e ovom skupu ako se uvijek moˇze prona´ci dovoljno veliki k za koji c´e biti |Xk (ω ) − Y(ω )| > ε . Za takve ε niz (Xk (ω )) sigurno ne´ce konvergirati prema Y(ω ) . Sad zakljuˇcujemo da za konvergenciju skoro sigurno mora biti ispunjeno  P A(ε ) = 0. ε >0

U tom sluˇcaju mora biti P (A(ε )) = 0 , za svaki ε . Zbog neprekinutosti vjerojatnosti, tada vrijedi lim P (Bn (ε )) = 0 n→∞

S obzirom da je An (ε ) ⊂ Bn (ε ) , zakljuˇcujemo da je lim P (An (ε )) = 0 n→∞

to jest

lim P (|Xn − Y| > ε ) = 0.

n→∞

No, to znaˇci da (Xn ) konvergira prema Y po vjerojatnosti. 

9.1. ZAKONI VELIKIH

125

BROJEVA

∗∗∗ Sad moˇzemo iskazati jaku varijantu zakona velikih brojeva. Jaki zakon velikih brojeva Teorem 9.4. Neka su X1 , X2 , . . . nezavisne identiˇcki distribuirane sluˇcajne varijable s konaˇcnim oˇcekivanjem m . Onda vrijedi n 1 Xk −→ m s.s. n k=1

Dokaz ovog teorema nije jednostavan i ne moˇzemo ga napraviti na ovom mjestu. Interpretacija jakog zakona i veza sa slabim

Zakon c´emo interpretirati u situaciji kad su X1 , X2 , dots indikatorske sluˇcajne varijable. Tad je oˇcekivanje m jednako vjerojatnosti p realizacije dogadaja. Jaki zakon tvrdi da c´e pri skoro svakom ponavljanju dogadaja relativna frekvencija teˇziti ka vjerojatnosti, i to je cˇinjenica koju iskustveno poznajemo. Teorijski, to se pri nekim ponavljanjima pokusa ne mora dogoditi, ali vjerojatnost iznimke jednaka je nuli. Konvergencija skoro sigurno povlaˇci konvergenciju o vjerojatnosti. Zati jaki zakon velikih brojeva povlaˇci i slabi zakon. Primjetimo ipak, da su ovdje pretpostavke na slucˇajne varijable pojaˇcane, jer se zahtijeva da one budu nezavisne i identiˇcki distribuirane. Primjetimo jos da se u ovom zakonu ne mora pretpostaviti ograniˇcenost varijance, ve´c samo postojanje oˇcekivanja. Usporedba konvergencija Teorem 9.5. Ako niz (Xn ) sluˇcajnih varijabli konvergira prema sluˇcajnoj varijabli X po vjerojatnosti, tada on konvergira i po distribuciji.

Dokaz. Neka je x toˇcka neprekinutosti za funkciju FX . Za svaki ε > 0 vrijedi FXn (x) = P (Xn < x) = P (Xn < x, X < x + ε ) + P (Xn < x, X  x + ε )  P (X < x + ε ) + P (X − Xn > ε )  FX (x + ε ) + P (|Xn − X| > ε ) Pustimo da n teˇzi u beskonaˇcnost i iskoristimo pretpostavku. Drugi pribrojnik zdesna teˇzi u nulu, pa vrijedi lim sup FXn (x)  FX (x + ε ).

126

9. ZAKON VELIKIH

ˇ BROJEVA I CENTRALNI GRANICNI TEOREM

Na sliˇcan naˇcin dobivamo FX (x − ε ) = P (X < x − ε ) = P (X < x − ε , Xn < x) + P (X < x − ε , Xn  x)  P (Xn < x) + P (Xn − X > ε )  FXn (x) + P (|Xn − X| > ε ) Odavde slijedi FX (x − ε )  lim inf FXn (x). Limes inferior uvijek je manji od limesa superiora, pa imamo FX (x − ε )  lim inf FXn (x)  lim sup FXn (x)  FX (x + ε ). Funkcija FX prema pretpostavci je neprekinuta u toˇcki x . Pustimo da ε teˇzi u nulu. U graniˇcnom sluˇcaju, nejednakosti prelaze u jednakosti. Zato limn→∞ FXn (x) postoji i jednak je FX (x) .

9.2. Konvergencija po distribuciji i karakteristiˇcne funkcije Joˇs je jedan vid konvergencije sluˇcajnih varijabli koristan u primjenama. ˇ Cesto se raˇcunanje vjerojatnosti dogadaja {X ∈ A} odvija tako da se raˇcun provede za neku drugu sluˇcajnu varijablu Y koja je po nekom kriteriju bliska s X . Tada oˇcekujuemo da c´e vrijediti P (X ∈ A) ≈ P (Y ∈ A) . Izaberemo li za A interval  −∞, x , ove se vjerojatnosti izraˇzavaju preko funkcija razdioba tih varijabli. Konvergencija po distribuciji

Niz (Xn ) konvergira po distribuciji ka sluˇcajnoj varijabli X ako za odgovaraju´ci niz funkcija razdiobe vrijedi lim FXn (x) = FX (x), n→∞

D u svakoj toˇcki x gdje je FX neprekinuta. Piˇsemo Xn −→ X .

i , n 1 i = 1, . . . , n s vjerojatnoˇsc´u . Dokaˇzimo da ona teˇzi po distribuciji ka sluˇcajnoj n varijabli X koja ima jednoliku razdiobu na intervalu [0, 1] . Primjer 9.1. Neka je Xn diskretna sluˇcajna varijabla koja poprima vrijednosti

 Za svaki x ∈ [0, 1] vrijedi FX (x) = x . Za sluˇcajnu varijablu Xn vrijedi pak  1 FXn (x) = P (X < x) = . n i/n 400} . kvalitete. Odredi razdiobu te varijable. Izraˇcunaj vjerojatnost dogadaja

 Neka je Xk broj jabuka koje je potrebno pregledati da bi se pronaˇsla prvoklasna jabuka, a nakon sˇ to je ve´c pronadena k − 1 takva. Tada je oˇcito Sn = X1 + X2 + . . . + Xn . Sluˇcajne varijable X1 , . . . , Xn su nezavisne, jednako distribuirane. One imaju geometrijsku razdiobu:  j−1 2 1 pj = P(Xk = j) = . 3 3 Vrijedi E(Xk ) = 3 , σ 2 (Xk ) = 9 . Iako nam je poznata razdioba svih varijabli Xk , razdiobu njihove sume ne moˇzemo lako odrediti. Stoga koristimo centralni graniˇcni teorem. Sn − 3n √ −→ N (0, 1) 9n

132

9. ZAKON VELIKIH

ˇ BROJEVA I CENTRALNI GRANICNI TEOREM

te je Sn ≈ N (3n, 9n) . Traˇzena vjerojatnost iznosi   −300 + 350 √ P (S > 350) = P N > = P (N > 1.666) = 0.097.  900

9.4. Rijeˇseni zadatci Zadatak 9.1. Neka je {Xn } niz nezavisnih sluˇcajnih varijabli, identiˇcki distribuiranih s jednolikom razdiobom na intervalu [0, 1] i f : [0, 1] → R neprekinuta funkcija. Pokaˇzi da vrijedi  1 n 1 f (Xk ) −→ f (u)du, kad n → ∞. n 0 k=1

 Sluˇcajne varijable f (Xk ) su identiˇcki distribuirane s oˇcekivanjem  1   a = E f (Xk = f (u)du. 0

Stoga, po jakom zakonu velikih brojeva  1 n 1 f (Xk ) −→ f (u)du, n 0

kad n → ∞

k=1

skoro sigurno. Zadatak 9.2. Neka je {Xn } niz nezavisnih identiˇcki distribuiranih sluˇcajnih varijabli, s jednolikom razdiobom na intervalu [0, 1] . Pokaˇzi da √ 1 n X1 · X2 · · · Xn −→ , kad n → ∞ e skoro sigurno.

 Varijable ln X1 , ln X2 ,. . . su nezavisne, identiˇcki distribuirane s oˇcekivanjem 1  1 E(ln Xk ) = ln x dx = (x ln x − x) = −1 0

0

i konaˇcnom varijancom, stoga zadovoljavaju jaki zakon velikih brojeva: n 1 ln Xk −→ −1, skoro sigurno n k=1

tj. odnosno

1 ln(X1 · X2 · · · Xn ) −→ −1, n √ n

X1 · X2 · · · Xn −→ e−1 =

1 , e

skoro sigurno skoro sigurno.

ˇ 9.4. RIJE SENI ZADATCI

Zadatak 9.3. Vrijeme ispravnog rada nekog potroˇsnog dijela sloˇzenoga stroja je sluˇcajna varijabla, s oˇcekivanjem T0 = 100 sati i odstupanjem σ = 60 sati. Koliko takvih dijelova treba osigurati da bi s vjerojatnoˇsc´u 0.95 stroj radio u toku t = 8000 ˇ se moˇze kazati ako ta sluˇcajna varijabla ima eksponencijalnu razdiobu? sati? Sto

 Oznaˇcimo s Xt sluˇcajnu varijablu: broj dijelova koji c´e biti upotrebljeni do trenutka t . Ta se varijabla moˇze povezati s vremenima Tk ispravnog rada pojedinog potroˇsnog dijela. Naime, vrijedi {Xt  n} = {T1 + T2 + . . . + Tn  t}. Ova jednakost moˇze se ispriˇcati rijeˇcima: do trenutka t bit c´e dovoljno n dijelova ako i samo ako je ukupno vrijeme ispravnog rada prvih n potroˇsnih dijelova ve´ce od t ! Varijable T1 , . . . , Tn , . . . su nezavisne i imaju jednaku (nama nepoznatu!) razdiobu. Po centralnom graniˇcnom teoremu vrijedi T1 + . . . + Tn ≈ N (na, nσ 2 ) ≈ N (100n, 3600n). Oznaˇcimo ovu normalnu razdiobu s Y . Iz uvjeta P{Y  t} = 0.95 raˇcunamo dalje ovako: *   t − 100n 1 ∗ 100n − t ˜ √ √ P Y = 0.95 =⇒ 2 Φ = 0.45 60 n 60 n 100n − t √ = 1.65 te slijedi n = 89 . 60 n Primjetimo da je oˇcekivani broj rezervnih dijelova 80, te da s 10% ve´com koliˇcinom imamo 95%-tnu sigurnost ispravnoga rada! Ukoliko nam nije poznata disperzija σ , moˇzemo postupiti ovako. Pretpostavimo da varijable Tk imaju eksponencijalnu razdiobu s parametrom λ , 1/λ = ETk = 100 , tada sluˇcajna varijabla Xt ima toˇcno Poissonovu razdiobu, Xt ∼ P(λ t) ∼ P(80) . Tako moramo odrediti n iz uvjeta P{Xt  n}  0.05 Medutim, cˇak je i sada opravdano zamjeniti varijablu Xt normalnom, poˇsto je njezin parametar dovoljno velik. Vrijedi P(80) ≈ N (80, 80) = Z . Naˇs uvjet sada postaje n − 80 P{Z  n}  0.05 =⇒ P{Z˜  √ }  0.05 80   √ n − 80 Odavde Φ∗ √  0.9 te je n−80  80·1.645 = 14.7 . Odavde n  95 . Ve80 c´u vrijednost od gornje dobili smo stoga sˇ to je u ovom sluˇcaju pretpostavljena disperzija ve´ca od gore zadane. Odavde je

Zadatak 9.4. Sluˇcajna varijabla X aritmetiˇcka je sredina n nezavisnih identiˇcki distribuiranih sluˇcajnih varijabli s matematiˇckim oˇcekivanjem 20 i disperzijom 4 . Izraˇcunaj vjerojatnost da X uzima vrijednosti iz intervala (19.9, 20.1) .

 Oznaˇcimo sluˇcajne )nvarijable iz zadatka sa Xk , k = 1, . . . , n . Vrijedi E(Xk ) = 1 20 , D(Xk ) = 4 , X = n k=1 Xk . Po centralnom graniˇcnom teoremu je )n k=1 Xk − n · 20 D √ −→ N (0, 1) kad n → ∞ 2 n

133

134

9. ZAKON VELIKIH

i zato vrijedi

4 tj. X ≈ N (20, ) . Zato n

ˇ BROJEVA I CENTRALNI GRANICNI TEOREM

X − 20 √ ≈ N (0, 1), 2/ n 

X − 20 20.1 − 20 19.9 − 20 √ √ < √ < P (19.9 < X < 20.1) = P 2/ n 2/ n 2/ n Za n > 3600 ta je vjerojatnost praktiˇcki jednaka jedinici.



 √n  =Φ . 20 ∗

Zadatak 9.5. Pokaˇzi da se za veliki n varijabla χn2 moˇze aproksimirati normalnom varijablom N (n, 2n) , preciznije, vrijedi

χn2 − n D √ −→ N (0, 1). 2n  Po definiciji varijable χn2 vrijedi χn2 = X12 + . . . + Xn2 , gdje su Xk identiˇcki distribuirane nezavisne jediniˇcne normalne varijable. No, tada Xk2 imaju gama razdiobu s parametrima ( 12 , 12 ) . Njihovo oˇcekivanje je 1 , a disperzija 2 . Ispunjeni su svi uvjeti centralnog graniˇcnog teorema i zato )n 2 χn2 − n D k=1 Xk − n · 1 √ √ = √ → N (0, 1). 2n 2 n

§ 9. Zadatci za vjeˇzbu

1. Sluˇcajna varijabla X ima matematiˇcko oˇcekivanje E(X) = 1 i standardnu devijaciju σ (X) = 0.2 . Ocijeni vjerojatnost dogadaja A = {0.5 < X < 1.5} . 2. Broj sunˇcanih dana u nekom gradu u toku jedne godine je sluˇcajna varijabla sa matematiˇckim oˇcekivanjem 75 dana. Pokaˇzi da je vjerojatnost da u toku jedne godine u tom gradu ne bude viˇse od 200 sunˇcanih dana ve´ca od 58 . 3. Nenegativna sluˇcajna varijabla X ima matematiˇcko oˇcekivanje E(X) = 1 i standardnu devijaciju - A = {0 < X < 3} ima σ (X) = 0.4 . Da li dogadaj vjerojatnost ve´cu od 90 % ? 4. Matematiˇcko oˇcekivanje i standardna devijacija brzine vjetra na nekoj visini su jednaki: E(X) = 25 km/ h, σ (X) = 4.5 km/ h. Kolika se brzina vje-

tra moˇze oˇcekivati na toj visini sa vjerojatnoˇsc´u ne manjom od 0.9 ? 5. Nenegativna sluˇcajna varijabla X ima matematiˇcko oˇcekivanje E(X) = 1 i standardnu devijaciju σ (X) = 0.4 . Pokaˇzi da je vjerojatnost dogadaja A = {X < 3} ve´ca od 95% ! 6. Ocijeni vjerojatnost da odstupanje proizvoljne sluˇcajne varijable od njezinog oˇcekivanja nije ve´ce od 3σ , gdje je σ devijacija te varijable. Kolika je ta vjerojatnost ako sluˇcajna varijabla ima normalnu razdiobu? 7. Neka su X1 , X2 ,. . . nezavisne identiˇcki distribuirane sluˇcajne varijable s konaˇcnim oˇcekivanjem a = E(X1 ) i disperzijom σ 2 = D(X1 ) . Dokaˇzi

ˇ 9. ZADATCI ZA VJE ZBU

15. Odredi karakteristiˇcnu funkciju sluˇcajne varijable X zadane gusto´com

da tada vrijedi X= S2 =

1 n 1 n

n X k=1 n X

135

Xk → a, (Xk − X)2 → σ 2 ,

k=1

kad n → ∞ . ∗∗∗

f (x) = e−x ,

x>0

Izraˇcunaj E(X n ) . 16. Neka X ima jediniˇcnu normalnu razdiobu, X ∼ N (0, 1) . Koriste´ci karakteristiˇcnu funkciju, izraˇcunaj E(X n ) , n ∈ N . 17. Odredi karakteristiˇcnu funkciju ϕX (t) sluˇcajne varijable X zadane gusto´com f (x) =

1 −|x−1| 2e

,

x∈R

8. Pokaˇzi da binomna razdioba B(n, p) u graniˇcnom prelazu n → ∞ , p → 0 , np = a (konstanta) prelazi u Poissonovu P(a) .

te izraˇcunaj njezino oˇcekivanje. 18. Zadana je karakteristiˇcna funkcija

9. Neka je X1 , X2 , . . . niz nezavisnih identiˇcki distribuiranih sluˇcajnih varijabli koje uzimaju vrijednosti 0 ili 1 s vjerojatnostima 12 . Neka je X = 0, X1 X2 . . . binarni prikaz broja X . Dokaˇzi da X ima jednoliku razdiobu na intervalu [0, 1] .

ϑ (t) = eiat−b|t| . Odredi gusto´cu razdiobe pripadne sluˇcajne varijable. 19. Pokaˇzi da funkcija j √ 1 − t2 , |t|  1, ϑ (t) = 0, |t| > 1. nije karakteristiˇcna funkcija niti jedne razdiobe. 20. Pokaˇzi da je ∞ X ϑ (t) = ak cos kt,

10. Neka su X1 , X2 , . . . nezavisne sluˇcajne varijable s jednolikom razdiobom na intervalu [−1, 1] . Dokaˇzi, s pomo´cu Levyjevog teorema Pn k=1 Xk D √ −→ N (0, 1). 3n ∗∗∗

k=0

∗∗∗

P ( ak > 0, ak = 1 ) karakteristiˇcna funkcija i odredi pripadnu razdiobu. - A = {X + Y > 21. Izraˇcunaj vjerojatnost dogadaja 0} , ako su X i Y nezavisne sluˇcajne varijable zadane svojim karakteristiˇcnim funkcijama 1 ϑX (t) = (1 + cos t), 2 1 ϑY (t) = (3 + cos t). 4

12. Sluˇcajna varijabla X zadana je gusto´com razdiobe f (x) = 1 − |x|, |x| < 1.

22. Neka je ϑX (t) = cos2 t karakteristiˇcna funkcija sluˇcajne varijable X . Ako je Y = X + X 2 , odredi karakteristiˇcnu funkciju ϑY (t) varijable Y .

11. Neka su X1 , X2 , . . . nezavisne sluˇcajne varijable,Ps Poissonovom razdiobom, Xk ∼ P(λk ) . Ako je ∞ k=1 λk = ∞ , dokaˇzi da P Pn Xk − nk=1 λk D k=1 qP −→ N (0, 1). n k=1 λk

∗∗∗

Odredi njezinu karakteristiˇcnu funkciju.

23. Bochnerov teorem. ϑ R → C je karakteristiˇcna funkcija neke sluˇcajne varijable ako i samo ako zadovoljava uvjete: 1 − cos x a) ϑ (0) = 1 , . f (x) = π x2 b) ϑ je neprekinuta, c) ϑ je pozitivno definitna, tj. za svaki n ∈ N , 14. Sluˇcajna varijabla X ima funkciju gusto´ce f (x) = sve brojeve z1 , . . . , zn ∈ C , t1 , . . . , tn ∈ R vrijedi a· sin x , 0  x  π . Odredi karakteristiˇcnu funkn X ciju i pomo´cu nje oˇcekivanje i disperziju sluˇcajne zj zk ϑ (tj − tk )  0. varijable X . 13. Odredi karakteristiˇcnu funkciju sluˇcajne varijable X cˇija je gusto´ca razdiobe

j,k=1

136

9. ZAKON VELIKIH

Provjeri nuˇznost ovih uvjeta: karakteristiˇcna funkcija varijable X zadovoljava gornje uvjete. (Dokaz dovoljnosti vrlo je sloˇzen.) 24. P Neka su {ϑk } karakteristiˇcne funkcije te ak > P 0, ak = 1 . Pokaˇzi da je i ϑ = ak ϑk karakteristiˇcna funkcija. 25. Neka je ϑ karakteristiˇcna funkcija. Dokaˇzi da su funkcije t → eϑ (t)−1 , 1 t → 2 − ϑ (t) - karakteristiˇcne funkcije. takoder

ˇ BROJEVA I CENTRALNI GRANICNI TEOREM

26. Neka je ϑ karakteristiˇcna funkcija. Pokaˇzi da je i Z 1 t ϑ (u)du t → t 0 - karakteristiˇcna funkcija. takoder 27. Dokaˇzi sljede´ce svojstvo karakteristiˇcnih funkcija: p |ϑ (t + h) − ϑ (t)|  2(1 − Re ϑ (h)). 28. Ako za neki T > 0 karakteristiˇcna funkcija ϑ ima svojstvo ϑ (T) = 1 , dokaˇzi da je tada ϑ periodiˇcka funkcija, te da je T njezin period.

ˇ ODGOVORI I RJE SENJA

137

Odgovori i rjeˇsenja

§ 5. Neprekinute sluˇcajne varijable

20. FX (x) = 1 − E(X) = R − 34 r .

1. Ne, da, ne, ne, da , da. 2. Ne, da, da, da, da. 3. Funkcije su pozitivne i integral po R jednak im je jedinici.

λ4 1 5. . , √ 6 2 −απ 6. 1 , 0.5 . 5 a3 , 1− . 2 2e 8. Funkcije su definirane formulama na istim intervalima, i iznose: a) 1 − cos x , b) 12 (x2 − x) , c) − cos 3x . 8 0, x  −2, > > > > 0.1, −1 < x  −1, > > < 0.3, −1 < x  0, 9. F(x) = > 0.5, 0 < x  1, > > > > > : 0.8, 1 < x  2, 1, 2 < x. P {|X|  1} = 0.7 . „ «2 π + 2 3π − 2 10. 3 . 4π 4π 11. Uputa: {X + Y < 3} ⊃ {X < 1, Y < 2} . 12. Uputa: Ako je AB ⊂ C , tada vrijedi P (C)  P (A) + P (B) − P (A + B)  P (A) + P (B) − 1 13. a) 2 , 2 , 1 ; b) 1 , 4 , 2 ; 3 18 2 3 9 c) 3 , 11 , 0.052 ; d) 1 , 0 , 2 . 4 16 2 14. 2 , 1/λ . 15. − 1 , − 5 , 1 . 2 4 2 1  x  7, 16. f (x) = 16 , 1  x  7. F(x) = 16 x − 16 , 17. n + 1 , n + 1 . 7.

18. (x/R)2 , 0 < x < R , 19. v/3

2 1 2 3 R , 18 R .

(R − x)3 , R−r  x  R; r3

9 . 16 √ a 3 22. . 18

21.

„ « √ 4 2x 23. f X (x) = √ 1 − √ , x ∈ [0, a 3/2] ; a 3 √ a 3 a 3 E(X) = . 6 p 24. 1 − (1 − 2 x/π )2 , 0  x  π4 ; 0.25 . p 25. F(x) = 1 − (1 − 2 3 3x/4π )3 , 0  x  π /6 . r 2 1 12 12 · √ − 2 , x ∈ [0, a12π ] . 26. f X (x) = 2 a π x a π 4 R2 √ , 0x ; 4 2 2 π R − 4x 2 2 2 R R }= . ; P {X > E(X) = π 4 3 √ √ 2 28. FX (x) = 209 3 x − 32 x ∈ [0, 3/4] . 9 x , 27. f X (x) =

30. F(x) = √ a 2 31. . 12

5 144 (24x

− 5x2 ) , x ∈ [0,

12 5 ]

8 √ √ 2 > > , x ∈ [0, 42 a] < a 32. f (x) = √ √ √ > 3 2 2 > : x ∈ [ 42 a, 3 4 2 a] − 2 x, 2a a 8 π > x, x ∈ [0, a], < 2a2 33. f X (x)= √ > : π x − 2x arc cos a , x ∈ [a, a 2]. 2 2 x 2a a 3π a √ E(X) = [ 2 + ln tg( )] 3 8 34. f X (x) = 23 − 29 x , x ∈ [0, 3] ; E(X) = 1 . 35. F(x) = 2x − x2 , x ∈ [0, 1] ; E(X) = 2 1 ; D(X) = 18 . E(X n ) = (n + 1)(n + 2)

1 3

;

138

ˇ ODGOVORI I RJE SENJA

6(x − a)(b − x) , x ∈ [a, b] (b − a)3 „ «„ « n − 1 xk−1 (1 − x)n−k . 37. f k (x) = n 1 k−1 36. f X (x) =

3 . 4 < x < 1 ; E(X) = 0.75 .

38. f X (x) = 3x2 , E(X) = 39. F(x) = 2x − 1 ,

1 2

(T − x)n , 0xT. Tn 1 41. f X (x) = , x ∈ [0, l] ; E(X) = 12 l ; l 1 2 D(X) = 12 l 8 < π2 x, x ∈ [0, 1], √ 42. f X (x) = 1 π : 2 x − 2x arc cos , x ∈ [1, 2]. x 8 √ π > x, x ∈ [0, 2], < 4 √ 43. f X (x) = √ 2 > : π4 x − x arc cos , x ∈ [ 2, 2]. x „ « 3π 4a ln tg 44. . π 8 √ 2 1 2 2 45. FX (x) = 16 9 + 3 x − 16 − 9 x , x ∈ [4, 5] . 40. 1 −

46. FX (x) = 17 x, x ∈ [0, 3] ; √ 1 + x2 − 9) , x ∈ [3, 4] ; 14 (x + 3 √ √ 1 2 2 14 (7 + x − 9 + x − 16) , x ∈ [4, 5] . √ 47. F(x) = x − 3 , x ∈ [3, 4] ; E(X) = 10 3 . x 48. FX (x) = , x ∈ [0, a/2] ; 2a 1√ 2 1 4x − a2 , x ∈ [a/2, a] ; + 4 4a √ 1√ 2 1√ 2 1 + 4x − a2 + x − a2 , x ∈ [a, a 25 ] . 4 4a 2a 8 πx > , x ∈ [0, 1], < 2 49. f X (x) = √ > : π x − 2x arc cos 1 , x ∈ [1, 2]. 2 x π π x2 √ x2 , 0x10 ; √ + 50. FX (x) = 300 3 300 3 √ 2 2 x arc cos 10/x x − 100 √ √ − ; 10x20 . 10 3 100 3 4x2 51. FX2 (x2 ) = 22 , x2 ∈ [0, a2 ] ; E(X2 ) = 13 a a √ 5 3a . 52. E(X) = 18 2x 53. f X (x) = p . 2 2 π 4R d − (d2 + R2 − x2 )2

„ « x 4 2 arc sin , 0  x  2R . 2R π2 4 R , x ∈ [0, √ ] ; 55. f X (x) = √ 2 π R2 − x2 √ 2 E(X) = (2 − 2)R . π 8 √ 8 > > x ∈ [0, d 2 3 ], < √ , 5 3d 56. f X (x) = √ √ > 12 16x d 3 3d 3 > : √ − , x ∈ [ , 2 4 ]. 15d2 5 3d 59. E(X) = E(Y) = 0 . √ y+1 2y 64. a) , 0  y  1; , 1  y < 4; 3 3 1 y 2y , 0  y < 1; + , 1  y  2. b) 3 3 3 1 1 65. FY (x) = 2 + π arc sin x , −1 < x < 1 ; 1 , −1 < x < 1 . f Y (x) = √ π 1 − x2 ( 1 1√ 0  y  1, 4 y + 2 y, 66. FY (y) = 1 1√ 1  y  4. 2 + 4 y, ( 1 y ∈ [0, 2], 3, E(Y) = 53 . 67. gY (y) = 1 y ∈ [2, 4]. 6, 54. FX (x) =

1 68. FY (y) = 1 − √ , y  1 . y 1 √ p f ( 3 y) , 0 < y < ∞ ; 3 3 y2 1 1 b) 2 f ( ) , 0 < y < ∞ ; y y c) 2yf (y2 ) , 0 < y < ∞ ; 1 d) f (ln y) , 1 < y < ∞ ; y 1 1 e) f (ln ) , 0 < y < 1 ; y y f) ey f (ey ) , −∞ < y < ∞ . 71. F(ln x) , x > 0 . 72. g(y) = f (y−1) + f (−y−1) , y  0 1 √ 73. f (y) , y ∈ / (0, 1) ; f ( y) √ , y ∈ (0, 1) . 2 y “x − b” 74. a) F , a > 0; “ x − ba ” 1−F + 0 , a < 0; √ √ a b) F( x) − F(− x + 0) , x  0 ; c) F(x) − F(−x + 0) , x  0 ; e) F(g−1 (x)) . 69. a)

ˇ ODGOVORI I RJE SENJA √

75. 1 − e−2 y , y > 0 . √ sin y 76. g(y) = √ , 0  y  π 2 ; E(Y) = 1 . 4 y 8 < 2 ch y, y ∈ [0, 1], e 77. gY (y) = : −y−1 e , y ∈ [1, ∞). 2 E(Y) = . e 2 2 78. C = 2e2 , gY (y) = 2 exp( ) , y < 0 . y y e 1 79. gY (y) = 2 exp(− ) , 0 < y < 1 . y y 8 1 1 > > y < 0, < − arc tg , π y 80. GY (y) = > 2 > : 1 + arc tg y, y > 0. 2 π 1 81. gY (y) = √ 2π 4y 82. gY (y) = p , 0  y  12 ; 1 − 4y2 π E(Y) = . 8 8 1√ > 0  y  1, > 4 y, > > > < 1 √y + 1 , 1  y  4, 8 8 83. FY (y) = 3√ 3 > y − 4  y  9, > > 8 8, > > 1√ : 9  y  16. 4 y, » “ √ ( y−1+1)2 ” 1 exp − 84. gY (y)= p 4 4 π (y−1) “ (√y−1−1)2 ” , y  1 ; 0.1193 . + exp − 4 eλ − 1 −kλ 1 85. P {Y = k} = . e , E(Y) = λ eλ e −1 86. Y ∼ N(0, 1) . 87. Uputa: Ako X ima Cauchyjevu razdiobu, tada je X = tg α i α ima jednoliku razdiobu. 88.

π a2 + ab + b2 · , 4 3

π2 (b − a)2 (4b2 + 7ab + 4a2 ) . 720 1 3 y , 0  y  89. C = ; F(y) = arc sin π π 100 √ √ 1 y 1 50 2 ; + arc sin , 50 2  y  100 ; 2 π 100 0.5 . √ 90. FX (x) = 1 − 1 − 2x , 0 < x < 0.5 .

139

§ 6. Primjeri neprekinutih razdioba 1. 0.1 ; 0.01 . 2. Y ∼ B(50,

√

0.4) ; P (Y  40) = 0.00705

1 3. u sva tri sluˇcaja. e 1 4. FZ (z) = 1 − e−λ z − λ ze−λ z , λ = ; 6 3 P (Z > 12) = 2 . e 5. 168 dana k! 6. k λ Z 1 ∞ n −x 9. F(λ ) = 1−P (X > λ ) = 1− x e dx . n! λ Parcijalnom integracijom dobivamo F(λ ) = 1 − e−λ

n X λi = 1 − G(n). i! i=0

10.

1 1 √ , 2; . 2 e4 π

A. 0.422 ; B. 0.2673 ; C. 0.9359 ; D. 0.1540 ; 0.2579 ; F. 0.1292 ; G. 0.3830 . A. 1.43 ; B. 0.83 ; C. 1.16 . A. 0.4649 ; B. 0.2684 ; C. 0.0401 ; D. 0.2266 . 0.281 . 0.839 . 0.6147 . 17. 4 . 3 s b2 − a2 . 18. 2(ln b − ln a) p 19. σ 2/π .

11. E. 12. 13. 14. 15. 16.

4y 20. √ exp(− 21 y4 ) , y > 0 . 2π 21. (45.825 , 54.175) 22. f Y (y) =

y 1 √ exp(− 2 ) , y > 0 ; 2σ σ 2π y

E(Y) = σ 2 . 23. (960 p , 1040 p) 24. 0.0128 . 25. 0.934 .

140

ˇ ODGOVORI I RJE SENJA

26. 0.658 .

§ 7. Sluˇcajni vektori

28. 7.75 .

1. Ne. 2. F(x,y)= 8 0 > > > > < xy x > > > y > : 1

√ 27. P (A) = 12 [1 − Φ (7/ 73)] = 0.2063 . 29. 0.6681 . 30. 0.60924 . 31.

1 2

„ « 2 + 12 Φ∗ √ = 0.87 . 3.14

32. 0.95 33. Ne, vjerojatnost da se broj 1 pojavi  140 puta je 1 − Φ∗ (4.65) = 0 . 34. 0.483 . 35. 0.443 . 36. n  632 . 37. a = 1 ; 0.792 . 9

√ 38. 0.5 + 0.5Φ (5/ 18) = 0.8806 . 39. 71. 40. 81 . 41. P (A) = E(Y) = 6 .

log 5 1 , n  6 log 1.2

n = 9,

=⇒

42. 101 pokus. 43. 0.398 . 44. E(X) = α , D(X) = 2α 2 . 2

2

45. E(X) = ea+σ /2 , E(X 2 ) = e2a+2σ , 2 2 D(X) = e2a (eσ − 1)eσ . √ 4−π π , D(X) = 46. E(X) = . 2h 4h2„ « 4 1 3 2 − . 47. E(X) = √ , D(X) = 2 π h 2 h π 48. a) α /β ; b) α /β 2 ; c) α (α + 1) · · · (α + n − 1)/β n .

γ γ , E(X) = , m m−2 2 γ D(X) = . (m − 2)2 (m − 3)

49. xm =

, x  0 ili y  0, , 0 < x  1, 0 < y  1, , 0  x < 1, 1 < y, , 1 < x, 0  y < 1, , 1 < x, 1 < y.

4xy p , 0  y  x  R. x2 − y2 1 1 ; b) , |x|  1 . 4. a) √ 2 2 π 1−x 3 5. . 4 6. 0.245 . 7. 0.190 . 2 2y 8. f (x, y) = √ e−x , 0  y  1 ; π p = 0.0198 ; E(XY) = 0 . 3 9. k = 6 ; 2 . 5e 10. X i Y su nezavisne, P (A) = 13 , P (B) = 0 .

3. f (x, y) =

R2 π

11. F(x, y) = 1 − e−x , ako je x2 < y ; √ − y 1−e , ako je y < x2 . 12. 0.275 . 13. 11 40 14. f X (x) = 4x3 , x ∈ [0, 1] ; f Y (y) = 4y − 4y3 , y ∈ [0, 1] ; X i Y su zavisne; 18 19 123 15. P (A | B) = . 160 17. 1 − (λ + 1)e−λ . 18. C = 24 ; f X (x) = 12x(1 − x)2 , x ∈ [0, 1] ; p= 8 . 11 19. f X (x) = 1 , 0 < x < 1 , f Y (y) = 1 + 2y − 3y2 , 0 < y < 1 . 20. f X (x) = f Y (x) = e−x , x > 0 . 21. f X (x) = e−x , x > 0 ; 1 , y > 0. f Y (y) = (1 + y)2

ˇ ODGOVORI I RJE SENJA

141

8 1 > x ∈ [0, 4], < , 6 22. f X (x) = > : 8 − x , x ∈ [4, 8], 24 8−y f Y (y) = , y ∈ [0, 4] . 24 2 √ 2 23. f X (x) = f Y (x) = R − x2 , π R2 1 |x| < R ; f Z (z) = , −H < z < H . 2H Zavisne su. x2 4 , 0 < x < 2 ; E(X) = . 4 3 26. f X (x) = 12 (1 − x) = f Y (x) . 25. FX (x) =

; E(X) = 14 ; 3 f Y (y) = 2 , 12  y  1 ; E(Y) = ; 4 1 X i Y su zavisne, E(XY) = . 6 1 28. A = 0.5 ; FX (x) = 2 (1 + sin x − cos x) ; FY (y) = 12 (1 + sin y − cos y) ; 0.2071 .

27. f X (x) = 2 , 0  x 

1 2

29. f X (x) = 34 x2 + 32 x , x ∈ [0, 1] ; E(X) = 11 . 16 30. F(x, y) = FX (x) · FY (y) , FX (x) = 1 − e−α x , 1 1 FY (y) = 1 − e−β y ; E(X) = , E(Y) = , α β 1 1 D(X) = 2 , D(Y) = 2 . Nezavisne su. α β 1 31. − . 2 32. cov(Y1 , Y2 ) = 0 . Zavisne su. 33. E(Y) = 3 , D(Y) = 4.246 . √ 21 34. 0 , . 5 1 1 , 35. D(X) = , D(Y) = 2 4n − 1 p 3(4n − 1) rxy = . 2n + 1 ! 1 2 0 37. 0 12 ” “ 0 38. cos x cos y , π −3 0 π −3 . √ 3 5 39. . 7 40. 0.9597 . 41. 407 . 9

43. E(Y) = α a1 + β a2 + γ , D(Y) = α 2 σ12 + β 2 σ22 + 2αβ rσ1 σ2 44. E(XY) = aE(U 2 )+E(UV) . Ako je E(UV) = 0 , tada slijedi a = 0.16 , D(Y) = a2 E(U 2 ) + E(V 2 ) = a2 D(X) + D(V) , tj. D(V) = 22.44 . 45. n/3 . 46. k/n . 1 1 48. a) , 0  x  z , b) , 0  x  z na inz z 1 , z − 1  x  1 , na tervalu 0 < z  1 , 2−z intervalu 1  z  2 . 49. n/2 . 50. a) 1 − n · 21−n . Toˇcka O ne´ce leˇzati unutar takvog mnogokuta samo ako neki od lukova izmedu dva susjedna vrha bude dulji od Rπ . b) E(ν ) = 5 , D(ν ) = 4 . Naime, vrijedi Bn = (ν  n) i moˇzemo koristiti formule X P(ν  n), E(ν ) = X E[ν (ν − 1)] = 2 n(n − 1)P(ν > n). 2 √ 2 r − x2 , x ∈ [−r, r] ; r2 π 1 , f (x | y) = konst. = p 2 − y2 2 r p p x ∈ [− r2 − y2 , r2 − y2 ] ; X i Y su zavisne ali nisu korelirane 52. 5 . 6 8 1 2 > y , y ∈ [0, 1], > < 2 53. f Y (y) = −y2 + 3y − 32 , y ∈ [1, 2], > > : 1 2 y ∈ [2, 3]. 2 (y − 3) ,

51. f X (x) =

54. f (x | y) =

1 , x ∈ [0, 2−2y] ; 2 − 2y

r(X, Y) = − 1 . 2 55. 0.135 ; 0.25 . 56. f (x | y) = r(X, Y) = 0.5 . 57. 2 ln 2 − 1 . 58. f (x | y) = 59. r1 /r2 . 60. 1 3 √ 3 ln 3 61. 2

2 , x ∈ [y/2, 2] ; 4−y 1 , x ∈ [2y, 2] . 2 − 2y

142

ˇ ODGOVORI I RJE SENJA

62. E(X) =

1 . 3

63. N (0, σ12 + σ22 ) . 2

64. N (0, 2σ (1 + r)) . ! 1 0 1 0 3 0 . 65. 1 0 2 1 √ exp(− 61 (5x2 +2y2 +2z2 −2xy+4xz− 66. 2π 6π 2yz − 12x + 6y − 6z + 5)) . 67. N ( 12 , 1) . 68. 0.44 , 0.642 . 2 . 70. √ 1 π 3[ 3 (2z − 1)2 + 1] r r 2 2 71. exp(− 25 x2 ) , exp(−2y2 ) , 5π π 1 √ exp(− 12 z2 ) , 2π 1 exp(− 12 (u2 − 2uv + 2v2 )) , 2π “ ” 1 2 72. 1 1 . Z z 1 u2 −2ruz+z2 exp(− )du , 74. f Z (z) = √ 2 2(1 − r2 ) p π 1 − r −∞ E(Z) = (1 − r2 )/π

§ 8. Funkcije sluˇcajnih vektora

1. b) c) d) 2.

3.

˛ ˛« ˛x ˛ 1 1 − ˛˛ − 1˛˛ , 0  x  2a ; a) a „a ˛ ˛« ˛x˛ 1 ˛ ˛ 1 − ˛ ˛ , |x|  a ; a a a2 1 ln , 0 < x < a2 ; x a2 1 1 , 0  x  1. 2 , x  1 . 2 2x j ff 1 1 1 min 2 , , 0  x  1. 2 x (1 − x)2 8 2 2 > z , z ∈ [0, 1], > < 9 2 f Z (z) = z ∈ [1, 3], 9 z, > √ √ > : 2 2 z ∈ [3, 10]. 9 z(1 − z − 9), „

4. f (x) =

1 a2 ln , 0 < x < a2 . x a2

5. 2z − z2 , 0 < z < 1 . 6. FZ (z) = 2z − z2 , z ∈ [0, 1] ; 3 4 1 2 7. f Z (z) = ln , z ∈ [−2, 2] . 4 |z| 1 , z ∈ R. π (1 + z2 ) 8 a b > < , 0 : a , a < z < ∞. b 2bz2 ( 1 5  z  7, 6 (z − 5), 10. gZ (z) = 1 7  z  11. 12 (11 − z), 8. f Z (z) =

11. FZ (z) = 12. f Z (z) = 13. f Z (z) =

z(3 − z) , 0 < z < 1 ; 0.4143 . 1+z 8z2 − 2z − 1 , z ∈ [ 21 , ∞) . 4z2 (z + 1)2 ( 1 1 z ∈ [1, 2), 2z − 4, 1 2,

z ∈ (2, 3].

14. 12z(1 − z)2 , 0 < z < 1 . 15. 4z(z2 − 2 ln z − 1) , 8 z > < sh(1)e , 1 z 16. e, 1 + 12 z − 2e > : 1, ( 17. a = 1 ; f Z (z) = ( 18. FZ (z) =

0 < z < 1. z  −1, −1 < z  1, z > 1. z2 ,

0  z  1,

2z − z2 ,

1  z  2.

sh 1 · ez ,

z  −1,

1 + 12 z + 12 ez−1 , −1  z  1. √ 20. f Z (z) = 6 + 6z − 12 z , 0  z  1 . ( 1 3z z < 0, 2e , 21. FZ (z) = 1 −3z 1 − 2 e , z > 0. 22. f X (x) = 3x2 , x ∈ [0, 1] ; f Z (z) = 2 − 2z , z ∈ [0, 1] ; E(Z) = 2

1 3

.

23. f X (x) = −3x + 2x + 1 , 0 < x < 1 ; 1 f Z (z) = 2 − 2z , z ∈ [0, 1] , E(Z) = . 3

ˇ ODGOVORI I RJE SENJA

143

24. Vrijedi FZ (x) = FX (x)2 . Zato Z ∞ xFX (x)dFX (x) E(Z) = 2 −∞

1 = πσ 2

Z

∞

−∞

σ =a+ √ . π

„Z x

x

−

−∞

e

43. g(r, ϑ , ϕ ) = h(r)r2 sin ϑ , 0 < r < ∞ , 0 < ϑ < π , 0 < ϕ < 2π . Zato su R , Θ , Φ nezavisne, s gusto´cama (z−a)2 2σ 2

28. Normalna razdioba N (0, 1) . 30. a) λ 2 xe−λ x , x > 0 ; λ b) e−λ |x| , −∞ < x < ∞ ; 2 c) λ e−λ x , x > 0 ; 1 d) , x  0. (1 + x)2 1 31. F(z) = 1 − , z > 1 . z

λ1 x , 0 < x  1. (λ1 − λ2 )x + λ2 n−2

, 0 < x < 1. 34. (n − 1)(1 − x) 1 . 35. λ1 + λ2 + . . . + λn 36. FY (x) = 1 − [1 − F(x)]n ; FZ (x) = F(x)n . 37. Jednolika na [0, 2] . 39. Dokaˇzi najprije sluˇcaj n = 1 . Nakon toga primjeni indukciju, koriste´ci relaciju „ n+1 « n+1 X 1 X Xk Y X1 Y Xk + . + = + 2 2 2n 2k 2n+1 2k−1 k=1

40. f Z (z) =

1 , π (1 + x2 ) r p . g(r, ϕ ) = 2π (1 + r2 )3 44. f X (x) = f Y (x) =

1 . π (1 + x2 ) 2 1 1 c) g(r, θ , ϕ ) = 4π f 1 (r)r · 2 sin ϑ · 2π , 1 . gdje je f 1 (r) = 2 π (1 + r2 )2 1 “x + y x − y” ; 46. a) g(x, y) = f , 2 2 2 b) g(x, y) = f (x cos α − y sin α , x sin α + y cos α ) . 45. b) f X (x) = f Y (x) = f Z (x) =

32. FZ (t) = FW (t) = (1 − e−λ t )2 , t > 0 . 33. FY (y) =

gR (r) = 4π h(r)r2 , 1 gΘ (ϑ ) = sin ϑ , 2 1 . gΦ (ϕ ) = 2π

« dz dx

k=2

” ∞ 1 “ 1 P 1+ an bn cos n(x−αn −βn ) . 2π 2 n=1 n

41. a) F(1) (x) = 1 − (1 − F(x)) ; b) F(n) (x) = F(x)n ; c) F(1,n) (x, y) = F(y)n − (F(y) − F(x))n , x  y; n! d) F(x)k−1 [1 − F(x)]n−k f (x) ; (k − 1)!(n − k)! n! F(x)k−1 × e) (k − 1)!(m − k − 1)!(n − m)! ×[F(y) − F(x)]m−k−1 [1 − F(y)]n−m f (x)f (y) ; f) n!f (x1 )f (x2 ) · · · f (xn ) , x1 x2 ...xn . !3 2 1 − r √ e 2σ 2 r2 sin ϑ . 42. g(r, ϑ , ϕ ) = σ 2π

−

u

e 2σ 2 1 = gU (u)gV (v) . · 47. g(u, v) = π (1 + v2 ) 2σ 2 Nezavisne su. 48. F(y1 , y2 ) = 2y1 y2 − y21 , y1  y2 , f (y1 , y2 ) = 2 , y1  y2 , f 1 (y1 ) = 2 − 2y1 , 0  y1  1 , f 2 (y2 ) = 2y2 , 0  y2  1 . 49.

Γ(k + α ) . λ k Γ(α )

50. n(n + 2) · · · (n + 2k − 2) . „ « „ « k+n n 51. 2k/2 Γ /Γ . 2 2

α αβ , . α + β (α + β )2 (α + β + 1) 56. Stavimo

54.

1 1 (X11 + X12 ),Y22 = (X11 − X22 ), 2 2 1 1 Y12 = (X12 + X21 , Y21 = (X12 − X21 ). 2 2 Ove sluˇcajne varijable imaju normalnu razdiobu N (0, 12 ) . Jer su nekorelirane, zakljuˇcujemo da su 2 2 2 2 + Y21 i Y22 + Y12 imai nezavisne. Zato Y11 2 ju eksponencijalnu razdiobu E(1) ( χ -razdiobu s dva stupnja slobode). Vrijedi pritom Y11 =

2 2 2 2 Δ = (Y11 + Y21 ) − (Y22 − Y12 ).

144 Odavde se dobiva razdioba od Δ : gΔ (x) = 12 e−|x| . λ1 x 57. FY (y) = , 0 < x  1. (λ1 − λ2 )x + λ2

§ 9. Konvergencija nizova sluˇcajnih varijabli

ˇ ODGOVORI I RJE SENJA

eitπ + 1 π , E(X) = , 2 2(1−t2 ) π2 − 8 . D(X) = 4 1 , E(X n ) = n! . 15. ϑX (t) = 1 − it 16. 0 , za neparni n ; 1 · 3 · · · (n − 1) za parni n . 14. ϑ (t) =

eit , E(X) = 1 . 1 + t2 b 18. . π [b2 + (x − a)2 ] 17. ϑX (t) =

1. P(A) > 0.84 . E(X) , nejednakost Markova. a 3. P(A) = P{|X − E(X)| < 2}  0.96 . 4. 10.8 – 39.2 km/ h. ˇ sevljevu nejednakost, P(A)  0.96 . 5. Primjeni Cebiˇ 6. 0.889 , 0.997 . 2(1 − cos t) . 12. t2 j 0, |t| > 1 . 13. ϑ (t) = 1 − |t|, |t|  1 2. P{X > a}