VIBRATIONS [PDF]

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Chapitre 2

La démarche d’analyse : une méthode énergétique et matricielle Comme nous l'avons indiqué en introduction, avant d'optimiser et de formuler un problème de vibrations en terme d'optimisation, il faut commencer par analyser le problème et par l'identifier. Cette analyse va mettre en évidence par exemple quelles sont les fréquences dangereuses à éviter en service, quelles sont les zones de la structure qui se déforment le plus pour une fréquence donnée, etc ... En vibrations, cette analyse peut souvent être effectuée d'une manière expérimentale. L'approche que nous proposons ci-après est purement numérique. En effet, le problème d'optimisation va être résolu de manière entièrement numérique ; il est donc indispensable de disposer dès le départ de bons outils d'analyse numérique résultant d'une modélisation et d'une formulation fiables et robustes. En effet, ces outils d'analyse vont être repris d'une manière itérative dans le processus d'optimisation. On trouvera par exemple dans la partie 4.2.1 un

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exemple détaillé de formulation pour l'étude vibratoire de poutres composites. 2.1 Présentation globale de la méthode d’analyse La démarche que nous allons présenter ici n'est pas nouvelle bien entendu, mais nous l'avons retenu essentiellement pour son efficacité, son universalité, sa simplicité et son pragmatisme. Nous insistons sur le fait que l'approche proposée ci-après est avant tout l'approche de l'ingénieur ; nous fournissons ici le minimum de théorie et d'équations pour parvenir à la formulation du problème. Les lecteurs trouveront les justifications théoriques et les méthodes numériques permettant de résoudre les problèmes aux valeurs propres dans les ouvrages spécialisés sur les vibrations. Nous citons par exemple les ouvrages [DRO93], [GER96] et [MAR01a]. La démarche que nous présentons ici est une démarche énergétique associée à une formulation matricielle des équations de la mécanique. Nous tenons pour acquis le résultat donné ci-après auquel conduisent les équations dites de Lagrange appliquées à une structure mécanique ou à un assemblage de structures ou systèmes mécaniques en vibrations. Les équations obtenues sont toujours de la forme : MX'' + DX' + KX = F(t) où X(t) désigne le vecteur colonne des degrés de liberté de la structure étudiée ; on suppose que X(t) est de dimension n (X' et X'' désignent respectivement les dérivées premières et secondes de X par rapport à la variable temps t), où M désigne la matrice masse de la structure (de dimension nxn), où D désigne la matrice amortissement de la structure (de dimension nxn), où K désigne la matrice raideur de la structure (de dimension nxn), où F(t) désigne le vecteur second membre (de dimension n) des forces d'excitation appliquées à la structure. Nous allons revenir sur ces différentes matrices et la manière de les déterminer par la suite. Disons simplement qu'en général l'analyse d'un système mécanique en vibrations commence par la détermination des

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fréquences de résonance et des modes de déformation associés à ces fréquences par résolution du système matriciel en vibrations libres, et sans amortissement, à savoir, le système : MX'' + KX = 0. Ce problème est un problème aux valeurs propres qui est résolu par des techniques appropriées telles que celles qui sont exposées dans [MAR01a]. Les informations recueillies lors de cette analyse préliminaire en vibrations libres sont déjà de première importance pour l'ingénieur mécanicien, spécialiste des problèmes vibratoires. En particulier, à ce stade, les fréquences dangereuses (les valeurs propres du problème), dont il va falloir s'écarter en service, sont connues. Or un objectif d'optimisation très utilisé est souvent la maximisation de l'écart entre deux fréquences de résonance, de manière à avoir une marge de sécurité suffisante en service. Il est à noter que les fréquences les plus dangereuses sont en général les premières fréquences calculées dans l’ordre croissant, et que la plupart des algorithmes de détermination des valeurs propres en mécanique se limitent au calcul des premières fréquences (souvent les cinq ou six premières), d’autant plus que les algorithmes mathématiques classiques de détermination des valeurs propres deviennent inopérants quand on est confronté à des problèmes à plusieurs milliers de degrés de liberté. On en dira plus sur le problème d’optimisation dans le chapitre suivant (chapitre 3) où l'on parlera de la formulation globale des problèmes d'optimisation en vibrations, notamment du choix des variables d'optimisation. Une fois l'analyse en vibrations libres terminée, on peut passer, si nécessaire, à une analyse en vibrations forcées, c'est-à-dire à la recherche de la réponse X(t) dans la phase transitoire d'application des forces d'excitation F(t), mais surtout dans la phase permanente où le régime est établi. Cette analyse permet de connaître les déplacements, débattements, déformations et contraintes réelles (d'un point de vue quantitatif) présents dans la structure mécanique, tandis que la première approche en vibrations libres ne peut fournir que des indications purement qualitatives (mais toutefois intéressantes) sur les déformations de la structure. Là encore, ce problème en vibrations forcées est résolu par des techniques appropriées telles que celles qui sont exposées dans [MAR01a]. Rappelons simplement que le point commun de ces méthodes numériques est l'utilisation des vecteurs

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propres (les fréquences de résonance) et des valeurs propres (les modes) obtenus au préalable dans l'analyse en vibrations libres. Passons maintenant à la détermination des trois matrices M (matrice masse), D (matrice d'amortissement) et K (matrice raideur). La démarche proposée est une démarche énergétique, c'est-à-dire que l'on va déterminer M, D et K respectivement à partir de la formulation des énergies cinétiques, d'amortissement et de déformation. On va voir qu'au préalable, il faut d'abord définir les degrés de liberté du système et qu'il existe plusieurs cas suivant la nature du problème, discret, continu, ou mixte. Les différentes énergies, quant à elles, s'écrivent sous la forme d’expression quadratiques des degrés de liberté correspondants, et l'obtention des matrices va être effectuée simplement par identification avec l’expression générique de la forme quadratique que l’on doit obtenir au final. Une fois ces matrices identifiées, le problème est résolu, puisqu’il ne reste plus qu’à faire appel aux techniques de résolution des valeurs propres et des vecteurs propres telles qu'elles sont exposées dans [MAR01a] et dans les ouvrages spécialisés. Comme nous l’avons précisé précédemment, la modélisation d’un problème de vibration d’un système mécanique commence par la définition du vecteur colonne X des degrés de liberté. Plusieurs cas sont à envisager suivant la nature du problème. Dans le cas d’un problème purement discret, ce qui est le cas en général des systèmes de type ressorts-massesamortisseurs (suspension d’automobile par exemple), alors le vecteur X est défini directement en variables discrètes (par exemple, les variables sont les déplacements des masses). On trouvera un exemple d’un tel problème dans la partie 2.3. Si la structure mécanique en question est une structure de type continu (par exemple, une poutre en flexion), alors il est nécessaire de commencer par une discrétisation de la structure en question. Cette discrétisation peut être une discrétisation de type élément fini ou de type Rayleigh-Ritz (voir l’ouvrage [MAR01a]). Le vecteur X résulte alors de la discrétisation effectuée. Si c’est une discrétisation de type éléments finis, X va contenir les valeurs des déplacements aux noeuds du maillage. S’il s’agit d’une discrétisation de type Rayleigh-Ritz, X va contenir les paramètres de l’approximation de type Rayleigh-Ritz. On verra un exemple d’un tel problème et sa résolution dans la partie 2.4. Enfin, on peut avoir le cas des problèmes mixtes, par exemple masses suspendues à une poutre en flexion par l’intermédiaire de ressorts, alors le vecteur X contiendra à la fois les

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paramètres discrets à l’origine, et les paramètres résultants de la discrétisation de la partie continue. On verra dans la partie 2.5 un exemple de calcul d’une telle structure. Quoiqu’il en soit, la formulation d’un problème de vibrations d’un assemblage de composants mécaniques ressemble un peu un jeu de mécano. Les énergies des différents composants mécaniques s’additionnent et les degrés de liberté (discrets ou discrétisés) prennent place dans la matrice colonne X des degrés de liberté en suivant des règles d’assemblage similaires à celles qui sont utilisées pour les éléments finis. Pour les techniques d’assemblage, on peut se reporter à [MAR01a]. C’est ainsi que pour un composant i, l’énergie cinétique Ti sera identifiée à la forme quadratique Ti = 1/2X’tMiX’, l’énergie de déformation Ui sera identifiée à la forme quadratique Ui = 1/2XtKiX, et l’énergie d’amortissement Ai sera identifiée à la forme quadratique Ai = 1/2XtDiX. Ce qui permet d’obtenir la matrice masse totale M par assemblage des matrices masses Mi des différents composants. De même pour la matrice raideur K et la matrice d’amortissement A. Ce qui est important, c’est d’identifier au départ les matrices élémentaires Mi, Ki, Di. On va voir des exemples d’identification dans les exercices qui suivent. A partir de là, le problème peut être considéré comme résolu, car l’extraction des valeurs propres et des vecteurs propres n’est plus qu’un problème de calcul, qui est résolu par ailleurs ([MAR01a]). Dans l’ouvrage [MAR01a], on présente entre autres la méthode approchée de Rayleigh-Ritz qui est très utile pour l’ingénieur car elle permet d’avoir rapidement une estimation des premières fréquences. On présente aussi la méthode modale qui permet de découpler les équations en vibrations forcées et de les résoudre ainsi très simplement. Ces deux méthodes d’analyse sont très utilisées dans les procédures d’optimisation. Nous nous contenterons d’en donner simplement des exemples d’application dans les parties qui suivent. 2.2 Formule des petites perturbations Nous donnons ici une formule approchée, dite des petites perturbations, qui permet d’avoir rapidement l’influence d’une petite variation de masse ou de raideur sur la valeur d’une fréquence de résonance. Inversement, cette

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formule permet de trouver rapidement la variation de masse ou (et) de raideur correspondant à une variation de fréquence de résonance désirée. En effet, en optimisation des structures vibrantes, on cherche souvent à s’éloigner des fréquences dangereuses, donc soit à minimiser ou maximiser une fréquence, soit à maximiser l’écart entre deux fréquences dangereuses. De plus, en optimisation de composants de technologie mécanique, les changements autorisés au cours d’une démarche d’optimisation sont souvent minimes du fait des contraintes technologiques qui peuvent être sévères et du cahier des charges souvent plus ou moins verrouillé. Quant ces variations sont faibles, la formule que nous donnons ci-après convient tout à fait pour étudier l’influence des modifications ou pour prévoir une modification de structure en fonction du résultat que l’on veut obtenir sur les fréquences. Cette méthode suppose d’avoir calculé au préalable les fréquences qui nous intéressent, ainsi que les modes associés (ce calcul peut avoir été réalisé à l’aide d’une méthode approchée de type Rayleigh-Ritz). Par ailleurs, cette méthode suppose que les modes sont très peu modifiés par un faible changement de masse ou de raideur, ce qui est vrai dans la réalité ; les modes restent qualitativement les mêmes quand on a de faibles modifications de structures. La formule des petites perturbations a comme point de départ l’écriture d’une pulsation de résonance ωi au carré comme étant le rapport de la raideur modale ki (pour le mode associé φi) et de la masse modale mi : ωi2 = ki/mi avec ki raideur modale = φitKφi et mi masse modale = φitMφi Supposons maintenant que l’on ait modifié légèrement la masse et la raideur du système mécanique. La nouvelle raideur s’écrit : K + ∆K, et la nouvelle masse s’écrit : M+∆M. La pulsation i est légèrement modifiée et vaut ωi+∆ωi (ωi est l’ancienne pulsation). L’allure générale du mode associé n’est pas modifiée et sa valeur est représentée par : φi* = φi+∆φi. Le but de cette approche est d’évaluer simplement ∆ωi sans avoir à refaire une analyse complète des valeurs propres et des vecteurs propres. Pour ce faire, on part de la relation : (ωi+∆ωi)2 = (φi*t(K + ∆K )φi*)/ (φi*t(M+∆M )φi*),

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avec : φi* = φi+∆φi On développe cette relation, et on néglige tous les termes du second ordre. On parvient alors à la relation finale suivante qui est la formule dite des petites perturbations : ∆ωi =ωi/2 (φit ∆K φi)/ (φitKφi) - ωi/2 (φit ∆M φi)/ (φitMφi) Rappelons que dans cette relation, ωi et φi désignent respectivement la pulsation et le mode calculés au préalable avant les petites modifications. De plus, en général les raideurs modales φitKφi et masses modales φitMφi sont calculées dans cette analyse préalable, ce qui rend l’utilisation de cette formule encore plus simple. Comme nous l’avons indiqué au début de cette partie, cette formule peut être aussi utilisée dans une procédure d’optimisation (problème inverse) pour déterminer un ∆K ou un ∆M localement sur une structure dans le but d’obtenir un ∆ωi donné. On en verra des exemples dans les paragraphes suivants et dans les exercices fournis à la fin de cet ouvrage (chapitre 5). Remarquons que cette relation conduit aux mêmes constatations qu’une étude de sensibilité effectuée à partir de la relation : ωi 2= ki/mi , ce qui est rassurant. Une augmentation locale seule de la raideur permet d’augmenter la pulsation i, tandis qu’une augmentation locale seule de la masse par rapport à la masse totale permet de diminuer la pulsation i. Ce sont ces constatations de bon sens qui permettent souvent d’initialiser une optimisation censée et efficace. Remarquons aussi que même si l’analyse préalable des ωi et φi a été réalisée par éléments finis, et même si la structure est une structure complexe avec un nombre important de degrés de libertés, la méthode des petites perturbations reste simple à utiliser, les calculs pouvant toujours être effectués à la main. En effet, les modifications apportées concernent souvent un faible nombre de degrés de liberté (ajout ou retrait de masse ou de raideur localement en certains points), si bien que le calcul des

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numérateurs de la formule (φit ∆K φi et φit ∆M φi) ne nécessite que la connaissance des déplacements associés aux degrés de liberté qui sont concernés par ces modifications. Ce sont ainsi la plupart du temps des termes simples à calculer à la main car ils représentent en quelque sorte des variations d’énergies locales, au coefficient 1/2 près bien sûr. Nous présentons un exemple d’application dans le sens direct de cette formule des petites perturbations ci-après. Nous insistons sur le fait que cette formule joue un rôle très important pour l’optimisation. On considère le treillis rigide représenté ci-après (figure 2.1), discrétisé par 36 éléments finis de poutre en flexion. Les XIII secteurs (numérotés sur la figure de I à XIII) ont une section identique rectangulaire et sont discrétisés chacun par 2 ou 3 éléments finis de poutre. Les deux barres verticales sont encastrées à leur base. I

II

III

IV

V

VI

VII

X

XII

XI

XIII

VIII

IX

Figure 2.1. Treillis Les poutres (en acier) ont une section rectangulaire de surface 4.0E-4 m2 et d’inertie de flexion 5.32E-10 m4. La hauteur du treillis est de 0.143 m et sa largeur de 0.68 m. Des résultats expérimentaux donnent pour les quatre premières fréquences en vibrations libres : f1 = 310 Hz, f2 = 450 Hz, f3 = 600 Hz et f4 = 705 Hz. Le calcul des fréquences et des modes a été effectué par éléments finis. Les résultats par éléments finis donnent un certain décalage par rapport aux résultats expérimentaux, puisque l’on trouve f1 = 315 Hz, f2 = 455 Hz, f3 = 606 Hz et f4 = 711 Hz. Les causes qui peuvent expliquer les différences entre les résultats expérimentaux et les calculs théoriques par éléments finis peuvent être les suivantes : pour le treillis expérimental, les liaisons rigides

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et les encastrements ne sont pas parfaits ; de plus, dans l’expérience, on a un pot d’excitation qui pèse 37g au milieu du treillis et dont l’influence est étudiée dans le paragraphe suivant à l’aide de la formule des petites perturbations (il n’a pas été tenu compte de cette masse dans le calcul par éléments finis). Une masse ponctuelle de valeur m = 37g (correspondant au pot d’excitation) est placée au noeud milieu de la poutre horizontale. On va calculer l’influence de cette masse sur la deuxième fréquence (voir le mode associé, qui est symétrique, sur la figure 2.2) à l’aide de la méthode des petites perturbations, ce qui évite de reprendre la totalité des calculs par éléments finis. Les modes fournis par le programme de calcul par éléments finis sont normés de telle sorte que les masses modales φitMφi vaillent 1. Par ailleurs les déplacements relatifs au mode 2 au noeud milieu de la poutre horizontale sont accessibles en demandant l’information sur le noeud correspondant dans le post-processeur de représentation des modes. Ces seules informations permettent de calculer la nouvelle fréquence, d’une manière très simple de la manière décrite ci-après, d’où l’intérêt de la formule des petites perturbations.

Figure 2.2. Allure du deuxième mode La formule des petites perturbations que nous rappelons ci-après : ∆ωi =ωi/2 (φit ∆K φi)/ (φitKφi) - ωi/2 (φit ∆M φi)/ (φitMφi), s’écrit dans notre cas en terme de fréquence (car ω = 2πf) de la manière suivante, et puisqu’il n’y a pas de variation de raideur, elle se réduit au seul terme relatif à la masse :

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∆fi = - fi/2 (φit ∆M φi)/ (φitMφi), avec i = 2 (deuxième fréquence) et φitMφi = 1, car les modes fournis par le programme de calcul par éléments finis sont normés de telle sorte que la masse modale vaille 1. ∆f2 = - f2/2 φ2t ∆M φ2 La matrice ∆M est une matrice relativement creuse qui ne contient des termes non nuls (à savoir la masse 0.037 kg) qu’aux emplacements des degrés de liberté verticaux et horizontaux du noeud milieu de la barre horizontale (sur les termes diagonaux de cette matrice). Or seul le degré de liberté vertical est non nul. Sa valeur (normée) vaut 0.8845. La formule des petites perturbations s’écrit donc : ∆f2 = -455/2 (0.8845x0.037x0.8845) = -6.6 Hz. La correction conduit donc à la nouvelle valeur de la deuxième fréquence : f2 = 448.4 Hz, valeur qui est beaucoup plus proche de la valeur expérimentale de 450 Hz. Un calcul complet par éléments finis tenant compte de la masse de 0.037 kg donne un résultat pratiquement identique, mais avec un effort de calcul sans commune mesure avec l’utilisation simple et rapide de la formule des petites perturbations qui trouve tout son intérêt aussi dans l’optimisation, comme on va le voir par la suite et dans les exercices corrigés de la partie 5.

2.3 Un exemple en variables discrètes On va voir dans cet exemple un certain nombre de techniques numériques comme la méthode de Rayleigh-Ritz, la formule des petites perturbations exposée dans le paragraphe précédent, la méthode modale, ainsi que la mise en oeuvre de la formulation matricielle des problèmes de vibration des structures. Ces méthodes interviennent souvent à plusieurs reprises dans un processus d’optimisation. On considère donc le système ci-après (figure 2.3), dans un premier temps en vibrations libres longitudinales. Les masses ont toutes pour valeur 2m. Les ressorts ont les raideurs indiquées sur la figure. Il est à noter que ce

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système est entièrement libre (sans conditions aux limites), par conséquent un des modes sera un mode du corps solide (pas de déformation de la structure). Le système peut être considéré comme étant dans l’espace, un peu comme un satellite artificiel dans le vide. k 2m

5k 2m

2m

k

Figure 2.3. exemple en variables discrètes On néglige la déformation des masses et on néglige la masse des ressorts. Il s’en suit que les seuls degrés de liberté de la structure sont les déplacements longitudinaux des masses x1(t), x2(t), x3(t). Nous allons répondre successivement aux questions suivantes : 1) détermination de l’énergie cinétique totale, de l’énergie de déformation totale, et des matrices raideur K et masse M ; 2) calcul des fréquences et des modes associés. Les modes seront normés de telle sorte que la première composante non nulle soit égale à 1 ; 3) calcul des raideurs et des masses modales qui seront utilisées dans la question 7 d’application de la méthode modale ; 4) recherche d’une valeur approchée de ω2, sachant que la masse m du milieu est modifiée et vaut 2,2m (pour cette question seulement) ; le reste est inchangé ; il s’agit d’appliquer ici la formule des petites perturbations telle qu’elle est exposée dans la partie 2.2 ; 5) recherche d’une valeur approchée de ω3 par la formule des petites perturbations sachant que la raideur k du ressort latéral est modifiée et vaut 1,3k (pour cette question seulement) ; le reste est inchangé ; 6) application d’une méthode de Rayleigh-Ritz avec le changement de variable suivant pour déterminer les deux premiers modes :

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(x1) ( 1 1 ) (p1) (x2) = ( 1 2 ) (p2) (x3) ( 1 3 ) 7) détermination par la méthode modale de la réponse du système en vibrations forcées (et en régime permanent) quand la masse du milieu est soumise à une force : F(t) = X sin Ωt. Nous allons donc maintenant répondre à ces différentes questions dans l’ordre. 1) détermination de l’énergie cinétique totale, de l’énergie de déformation totale, et des matrices raideur K et masse M. L’énergie cinétique totale T est la somme de l’énergie cinétique des trois masses (on néglige l’énergie cinétique des ressorts) : T = 1/2. 2m x1’2 + 1/2. 2m x2’2 + 1/2. 2m x3’2. Cette énergie cinétique peut être identifiée à la forme quadratique suivante (M étant la matrice masse) : T = 1/2 (x1’ x2’ x3’) M (x1’ x2’ x3’)t. Il s’ensuit que pour ce genre de système discret, la matrice masse est classiquement une matrice diagonale contenant 2m sur chacun des éléments de la diagonale principale. L’énergie de déformation totale U est la somme de l’énergie de déformation des trois ressorts (on néglige l’énergie de déformation des masses) : U = 1/2 k (x2 -x1)2 + 5/2 k (x3 -x2)2 + 1/2 k (x3-x1)2. Cette énergie de déformation peut être identifiée à la forme quadratique suivante (K étant la matrice raideur) : U = 1/2 (x1 x2 x3) K (x1 x2 x3)t.

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Il s’ensuit que par identification, la matrice K est la suivante : 2k -k -k

-k 6k -5k

-k -5k 6k

2) calcul des fréquences et des modes associés. Les modes seront normés de telle sorte que la première composante non nulle soit égale à 1. Le calcul des pulsations de résonance ω se fait par résolution de : det(KMω2) = 0. Ensuite, pour chaque pulsation ω, le calcul du mode associé φ se fait par résolution du système matriciel indéterminé (K-Mω2) φ = 0 ; pour sa résolution, on fixe la première composante à 1. Comme le système est dans l’espace et qu’il n’y a pas de conditions aux limites (ce qui serait indispensable si l’on voulait résoudre le système en statique, mais ici le système est indéterminé de toutes façons, car les modes sont uniquement qualitatifs et connus à une constante près), le premier mode est nécessairement un mode du corps solide dont les trois composantes sont égales et valent 1 (on fixe la première composante égale à 1) ; ce mode correspond donc à un déplacement d’ensemble de la structure avec la pulsation associée qui vaut 0 : ω1 = 0. Tout ceci pour dire que l’équation det(K-Mω2) = 0 est finalement une équation du second degré en ω2 , facile à résoudre. On trouve, tous calculs faits : ω2 = (3k/2m)1/2, avec le mode associé dont les composantes sont : 1, -1/2, -1/2. De même, on trouve : ω3 = (11k/2m)1/2, avec le mode associé dont les composantes sont : 0, 1, -1. 3) calcul des raideurs et des masses modales qui seront utilisées dans la question 7 d’application de la méthode modale. Les raideurs modales et masses modales sont respectivement calculées à partir des expressions : ki = φitKφi

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et : mi = φitMφi. On trouve : k1=0, k2 = 4.5k, k3 = 22k, m1 = 6m, m2 = 3m, et m3 = 4m. 4) recherche d’une valeur approchée de ω2, sachant que la masse m du milieu est modifiée et vaut 2,2m (pour cette question seulement) ; le reste est inchangé. Il s’agit d’appliquer ici la formule des petites perturbations telle qu’elle est exposée dans la partie 2.2, et que nous rappelons ci-dessous : ∆ωi =ωi/2 (φit ∆K φi)/ (φitKφi) - ωi/2 (φit ∆M φi)/ (φitMφi) Comme il n’y a qu’une modification de masse, seule la deuxième partie intervient ici. ∆ω2 = - ω2/2 (φ2t ∆M φ2)/ (φ2tMφ2) φ2tMφ2 est la masse modale m2, qui vaut 3m. φ2t ∆M φ2 est au coefficient 1/2 près l’énergie cinétique de la masse supplémentaire 0.2m pour le mode 2 (seule la deuxième composante de ce mode intervient). Donc : φ2t ∆M φ2 = -1/2 x 0.2m x -1/2 ou plus directement : φ2t ∆M φ2 = 0.2m x (1/2)2. On trouve : ∆ω2 = -0.0099(k/m)1/2, soit : ω2 = 1.215(k/m)1/2. 5) recherche d’une valeur approchée de ω3 par la formule des petites perturbations sachant que la raideur k du ressort latéral est modifiée et vaut 1,3k (pour cette question seulement) ; le reste est inchangé. Cette fois-ci, seule la première partie de la formule des petites perturbations intervient ici. ∆ω3 = ω3/2 (φ3t ∆K φ3)/ (φ3tKφ3)

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φ3tKφ3 est la raideur modale k3, qui vaut 22k. φ3t ∆K φ3 est au coefficient 1/2 près l’énergie de déformation de la raideur supplémentaire 0.3k, associée au mode 3. Donc φ3t ∆K φ3 = 0.3k (x3-x1)2 = 0.3k (-1)2. On trouve : ∆ω3 = 0.016(k/m)1/2, soit : ω3 = 2.36(k/m)1/2. 6) application d’une méthode de Rayleigh-Ritz avec le changement de variable suivant pour déterminer les deux premiers modes : (x1) ( 1 1 ) (p1) (x2) = ( 1 2 ) (p2) (x3) ( 1 3 ) Ce changement de variable permet en fait de diminuer le nombre de degrés de liberté du système, afin d’avoir accès rapidement et facilement à une estimation des premières fréquences du système, qui sont les plus représentatives. C’est le principe de base de la méthode de Rayleigh-Ritz. Les colonnes de la matrice qui définit le changement de variable représentent souvent des solutions issues de modélisations statiques avec des efforts appliqués sur chacun des degrés de liberté. On s’est contenté ici de prendre comme premier vecteur d’essai (première colonne de la matrice de changement de variable) le mode du corps solide qui est connu a priori, et comme deuxième colonne, nous avons pris en fait un vecteur quelconque, car en l’absence de conditions aux limites pour cette structure très particulière, il n’est pas possible de faire de simulations en statique. Le calcul que l’on présente ici est donc destiné essentiellement à illustrer d’une manière académique cette méthode de Rayleigh-Ritz qui est souvent utilisée en optimisation pour diminuer le volume des calculs, comme on le verra par exemple dans l’application présentée dans la partie 4.4. Pour obtenir les matrices réduites, on injecte la formule de changement de variable respectivement dans l’expression de l’énergie cinétique : T = 1/2 X’tMX’, et de l’énergie de déformation : U = 1/2 XtKX. On identifie les résultats obtenus aux formes quadratiques : T = 1/2 P’tM’P’ et U = 1/2 PtK’P, où P est le vecteur colonne des variables réduites p1 et p2. Les matrices réduites M’ et K’ sont, respectivement, pour la matrice masse M’ :

15 15

6m 12m

12m 28m

pour la matrice raideur K’ : 0 0

0 10k

et la résolution donne : ω1 = 0, et ω2 = (5k/2m)1/2. Le coefficient 5/2 du ω2 est à comparer avec le coefficient 3/2 de la solution exacte, ce qui montre en fait que l’approximation faite ici avec un deuxième vecteur d’essai quelconque est plutôt grossière, mais le principe de la méthode y est. Elle fonctionne évidemment beaucoup mieux avec des vecteurs d'essai représentant des déformations statiques proches des modes réels. On en trouvera des exemples dans les exercices fournis en fin d'ouvrage. 7) détermination par la méthode modale de la réponse du système en vibrations forcées (et en régime permanent) quand la masse du milieu est soumise à une force F(t) = X sin Ωt. La méthode modale consiste à effectuer le changement de variable : X = A P, où A est la matrice contenant les modes en colonne, et P la matrice des nouvelles variables p1,p2, p3. dans le système initial : MX’’+KX = F(t), les équations sont couplées entre elles. Quand on fait ce changement de variables, on obtient un nouveau système : M’X’’+K’X = F’(t), dans lequel les équations sont découplées entre elles car les nouvelles matrices masse et raideur M’ et K’ deviennent diagonales et contiennent respectivement comme éléments diagonaux les masses modales et les raideurs modales. Pour le démontrer, il suffit d’injecter la formule de changement de variable X = AP respectivement dans les énergies cinétiques et de déformation du départ : T = 1/2 XtMX, et U = 1/2XtKX, et d’identifier avec le résultat obtenu en terme de nouvelles variables.

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Par ailleurs, pour évaluer les nouvelles composantes du second membre F’(t), il suffit d’injecter la formule de changement de variable dans l’énergie potentielle E de la force F(t) : E = XtF(t) = (x1 x2 x3) (0 FsinΩt 0)t = (p1 p2 p3)t At F(t), At étant la matrice transposée des modes : 1 1 0

1 -1/2 1

1 -1/2 -1

Il s’ensuit que le nouveau second membre est : F’(t)t = (FsinΩt -F/2sinΩt FsinΩt) Le système découplé est alors facile à résoudre. Seule nous intéresse la solution en régime permanent, c’est-à-dire une solution de l’équation avec second membre qui est du type suivant, pour la première équation : p1(t) = FsinΩt / (k1-m1Ω2), pour la deuxième équation : p2(t) = -1/2 FsinΩt / (k2-m2Ω2), et enfin, pour la troisième équation : p3(t) = FsinΩt / (k3-m3Ω2). Pour avoir la solution en variables réelles x1(t), x2(t), x3(t), il suffit de réutiliser la formule de changement de variable, c’est ainsi que l’on obtient par exemple : x2(t) = p1(t) -1/2p2(t) +p3(t).

17 17

2.4 Un exemple en variables continues Nous allons traiter ici un exemple détaillé en variables continues par la méthode de Rayleigh-Ritz. Nous reprendrons le même exemple à la fin de la partie 2.6 par la méthode des éléments finis. On considère le treillis rigide représenté sur la figure 2.4. Ce treillis est constitué d’une colonne verticale AB de longueur L, de rigidité de flexion EI et de masse volumique ρ, et d’une poutre horizontale BC de longueur L, de rigidité de flexion 2EI, et de masse volumique 3ρ. Ces deux poutres sont assemblées rigidement et soumises aux liaisons représentées sur la figure 2.4, c’est à dire un encastrement en A et un appui simple en C. On suppose que les raideurs de traction-compression sont grandes devant les raideurs de flexion (autrement dit, les déplacements de tractioncompression sont négligeables et seront pris nuls). Dans ces conditions, on ne retiendra que les degrés de liberté de rotation du point B et du point C pour traduire les déplacements de la structure. Ainsi, le point B conserve sa position et n’est soumis qu’à de la rotation. C B

A

Figure 2.4. Treillis On désigne par v le déplacement transversal qui permet de déterminer la déformée de chaque poutre. On propose comme solutions de Rayleigh-Ritz pour chacune des deux poutres : pour la poutre AB : vAB(x,t) = (x3/L -x2) p1(t)/L

18 18

pour la poutre BC : vBC(x,t) = xp1(t) -x2 (2p1 +p2)/L + (x3/L2) (p1+p2) p1 et p2 sont deux paramètres dépendant du temps. On va répondre successivement aux questions suivantes : 1) justification du choix de ces expressions, 2) formation des matrices de raideur et de masse de chaque poutre, 3) formation des matrices de raideur et de masse du treillis complet, 4) calcul des fréquences et des modes propres de la structure, et représentation des modes, 5) la longueur L de la poutre BC devient : L*BC = 1.1LBC (augmentation de 10%). En utilisant la formule des petites perturbations donnée au paragraphe 2.2, calculer la variation ∆ω1, 6) on garde L pour la longueur de la poutre BC ; on veut jouer uniquement sur la masse volumique ρ du matériau des deux poutres. Quel est le nouveau ρ* = ρ +∆ρ nécessaire pour que ω2 soit augmenté de 10 %, autrement dit pour que ω2* = 1.1ω2 ( ou bien : ∆ω2 = 0.1ω2) ? Cette dernière question est une question d’optimisation dans laquelle on utilise la formule des petites perturbations de manière inverse. On en verra d’autres exemples dans certains exercices du chapitre 5. Nous pouvons maintenant passer à la résolution de ce problème. 1) justification du choix de ces expressions. Rappelons les expressions des déplacements transversaux des barres : pour la poutre AB : vAB(x,t) = (x3/L -x2) p1(t)/L pour la poutre BC : vBC(x,t) = xp1(t) -x2 (2p1 +p2)/L + (x3/L2) (p1+p2)

19 19

Ces expressions ont été trouvées de telle sorte que les conditions aux limites soient d’une part respectées : pour AB, on a le déplacement nul en x = 0 ; d’autre part, si on dérive l’expression pour AB, on a aussi la dérivée première nulle en x = 0 (le point x = 0 correspondant à l’encastrement en A), de même, pour BC, en x = L (qui correspond à l’appui du point C), on a le déplacement correspondant nul, de plus, le point B est immobile (il n’y a que de la rotation en ce point) ; on peut le vérifier facilement sur les expressions des déplacements. Par ailleurs, il s’avère en fin de compte que le paramètre p1(t) représente la rotation du point B, et que le paramètre p2(t) correspond à la rotation du point C. Ainsi, si l’on veut que toutes ces conditions soient remplies, on tombe nécessairement sur les polynômes fournis. 2) formation des matrices de raideur et de masse de chaque poutre, Pour ce faire, on part respectivement des expressions des énergies de déformation et cinétique pour une poutre en flexion. L’énergie de déformation pour une poutre en flexion est l’intégrale le long de la poutre de l’expression : 1/2EI(δ2v(x,t)/δx2)2. L’énergie cinétique pour une poutre en flexion est l’intégrale le long de la poutre de l’expression : 1/2ρS(δv(x,t)/δt)2. Ce qui conduit, après intégration pour une poutre de longueur L, de rigidité de flexion EI, et de masse volumique ρ (en considérant la fonction à deux paramètres telle que vBC(x,t)), aux matrices suivantes pour une poutre : pour la raideur (cette matrice étant à multiplier par 2EI/L) : 2 1

1 2 pour la masse (cette matrice étant à multiplier par ρL3/420) :

20 20

4 -3

-3 4

En fait, pour la poutre AB, il n’y a qu’un paramètre p1(t), les matrices se réduisent donc qu’à un seul terme : kAB = 4EI/L et mAB = 4 ρL3/420 Pour la poutre BC, la rigidité de flexion imposée par l'énoncé est en réalité 2EI, et la masse volumique est en fait 3ρ, donc, les matrices 2x2 précédentes sont à prémultiplier par 4EI et par 3 ρL3/420. 3) formation des matrices de raideur et de masse du treillis complet. En fin de compte, l’assemblage en terme de variables p1(t) et p2(t) conduit aux matrices totales suivantes : pour la raideur (cette matrice étant à multiplier par 4EI/L) : 3 1

1 3 pour la masse (cette matrice étant à multiplier par ρL3/420) :

16 -9

-9 12

On voit que les techniques d’assemblage sont identiques aux techniques de type éléments finis. 4) calcul des fréquences et des modes propres de la structure, et représentation des modes en posant a = 4EI/L et b = ρL3/420, les pulsations au carré sont les zéros du déterminant :

21 21

3a -16bω2 a+9bω2

a+9bω2 2a -12bω2

on trouve ainsi : ω12 = 14a/222b et ω22 = 158a/222b, avec les modes associés (1 , -1.26) et (1, 1.13), que l’on peut représenter (figure 2.5) en faisant respectivement p1 = 1 , p2 = -1.26, puis p1 = 1 et p2 = 1.13 dans les expressions des déplacements : pour la poutre AB : vAB(x,t) = (x3/L -x2) p1(t)/L pour la poutre BC : vBC(x,t) = xp1(t) -x2 (2p1 +p2)/L + (x3/L2) (p1+p2) Il est à noter que les modes ont été normés de telle sorte que la première composante vaille 1. C

C B

A

B

A

Figure 2.5. Allure des deux modes 5) La longueur L de la poutre BC devient : L*BC = 1.1LBC (augmentation de 10%). En utilisant la formule des petites perturbations donnée au paragraphe 2.2, calculer la variation ∆ω1. A titre indicatif, et pour montrer l’utilité ainsi que sa simplicité d’utilisation, nous appliquons ici deux fois la formule des petites

22 22

perturbations (dans les questions 5 et 6). Nous rappelons cette formule des petites perturbations ci-dessous : ∆ωi = ωi/2 (φit ∆K φi)/ (φitKφi) - ωi/2 (φit ∆M φi)/ (φitMφi), La variation de longueur de la poutre BC conduit à une modification des matrices raideur et masse de cette poutre. Le ∆K à considérer est la matrice 2 1

1 2

qui est à multiplier par 0.4EIL. Par ailleurs, pour le K, il faut bien prendre la matrice raideur totale. Le ∆M à considérer est la matrice : 4 -3

-3 4

qui est à multiplier par 3 ρ(1.13L3 −L3)/420. Par ailleurs, pour le M, il faut bien prendre la matrice masse totale. On trouve, après avoir effectué tous les calculs matriciels en utilisant les matrices indiquées ci-dessus, et le mode (1 , -1.26) : ∆ω1 = -0.187ω1. Cet exercice d’école peut sembler compliqué car il demande pratiquement autant d’efforts que le calcul exact. La méthode ne devient effectivement intéressante que pour les problèmes plus complexes comme celui proposé à la fin de la partie 2.2. 6) On garde L pour la longueur de la poutre BC ; on veut jouer uniquement sur la masse volumique ρ du matériau. Quel est le nouveau ρ* = ρ +∆ρ nécessaire pour que ω2 soit augmenté de 10 %, autrement dit pour que ω2* = 1.1ω2 (ou encore : ∆ω2 = 0.1ω2). On voit ici une application de type optimisation (problème inverse), car cette fois-ci on cherche la valeur d’un paramètre pour obtenir une modification de pulsation donnée. Les calculs ici sont beaucoup plus simples que dans la question précédente, car les raideurs ne sont pas

23 23

concernées et les deux poutres sont concernées ; la formule des petites perturbations se réduit à : ∆ω2 = - ω2/2 (φ2t ∆M φ2)/ (φ2tMφ2), on doit donc avoir : (φ2t ∆M φ2)/ (φ2tMφ2) = -0.2 La matrice ∆M à considérer est la matrice masse totale dans laquelle on remplace ρ par ∆ρ. La matrice M est la matrice masse totale. Comme le ρ intervient au numérateur de ces matrices, le quotient (φ2t ∆M φ2)/ (φ2tMφ2) se réduit à ∆ρ/ρ. Contrairement à la question précédente, il n’y a ici absolument aucun calcul, d’où l’intérêt de la formule des petites perturbations. On trouve donc : ∆ρ = -0.2ρ, ce qui est parfaitement logique car une pulsation au carré se présente comme le quotient d’une raideur sur une masse, et la diminution de la masse va donc augmenter la pulsation ou fréquence. On peut de plus vérifier, dans ce cas très particulier et simple d’application de la formule des petites perturbations en optimisation du matériau, la validité et la précision de cette formule en effectuant le calcul exact pour une masse volumique de 0.8ρ, ce qui ne demande aucun calcul dans ce cas d’école car il n’est pas nécessaire de reprendre la totalité des calculs. La formule exacte est : ω22 = 158a/222b, donc ω22* = 1/0.8 ω22 . Ce qui est à comparer avec le résultat que l’on voulait, à savoir : ω22* = 1.12 ω22 On a : 1/0.8 = 1.25 et 1.12 = 1.21, d’où la bonne précision de la formule des petites perturbations, car au lieu d’avoir ω2* = 1.1ω2 dans la réalité, on a une approximation qui donne : ω2* = 1.118ω2.

2.5 Un exemple en variables mixtes Cet exemple est représenté sur la figure 2.6. Pour les calculs, on se servira des résultats donnés ci-après :

24 24

- l’énergie de déformation pour une poutre en flexion est l’intégrale le long de la poutre de l’expression : 1/2EI(δ2v(x,t)/δx2)2. - l’énergie cinétique pour une poutre en flexion est l’intégrale le long de la poutre de l’expression : 1/2ρS(δv(x,t)/δt)2. Nous allons répondre successivement aux questions suivantes : 1) on considère la poutre appuyée-appuyée en flexion représentée en haut de la figure 2.6. Les caractéristiques de cette poutre sont : longueur L, section S, module de Young E, masse volumique ρ, inertie principale de flexion I. On met en oeuvre une méthode de Rayleigh-Ritz à un seul paramètre p avec la solution approchée : v(x,t) = sin(πx/L).p(t). On demande de déterminer les matrices masse et raideur. 2) On considère maintenant la même poutre, mais dans la configuration de milieu de la figure 2.6, avec un ressort agissant verticalement et fixé au premier quart de la poutre. L’autre extrémité du ressort est encastrée à sa base. La raideur du ressort est k = 40EI/L3. On demande de déterminer la première pulsation de résonance par la méthode de Rayleigh-Ritz, en prenant toujours comme solution approchée : v(x,t) = sin(πx/L).p(t). On pourra comparer le résultat avec la valeur exacte qui est : ω = 11.62/L2 (EI/ρS)1/2. 3) Toujours avec la même solution approchée, on considère maintenant la configuration du bas de la figure 2.6, autrement dit, le ressort n’est plus encastré à sa base, mais une masse de valeur m = ρSL/10 est fixée en bas de ce ressort. On note p1(t) le déplacement vertical de cette masse, et on demande de déterminer la première pulsation de résonance. 4) On demande de reprendre la question 2 avec un nouveau choix de solution approchée à deux paramètres : v(x,t) = sin(πx/L).p1(t) + sin(2πx/L).p2(t). On demande de calculer le premier mode et la première pulsation et de comparer celle-ci au résultat trouvé dans la question 2. 5) La raideur k du ressort de la question 2 est légèrement modifiée et vaut k’ = k + ∆k avec ∆k = 10EI/L3. En utilisant les résultats et les matrices de la question 4, et une méthode de petites perturbations, on demande de donner la nouvelle valeur de la première pulsation.

25 25

Figure 2.6. exemple en variables mixtes Nous allons maintenant répondre successivement aux différentes questions. 1) On considère la poutre appuyée-appuyée en flexion représentée en haut de la figure 2.6. Les caractéristiques de cette poutre sont : longueur L, section S, module de Young E, masse volumique ρ, inertie principale de flexion I. On met en oeuvre une méthode de Rayleigh-Ritz à un seul paramètre p avec la solution approchée : v(x,t) = sin(πx/L).p(t). On demande de déterminer les matrices masse et raideur. Les matrices masse et raideur sont réduites ici qu’à un seul terme, puisque l’on n’a qu’un seul paramètre. Pour les trouver, il suffit d’injecter l’expression de la solution approchée v(x,t) = sin(πx/L).p(t) dans les

26 26

intégrales des énergies fournies au début de ce sous-chapitre. On trouve respectivement : M = ρSL/2 et K = π4EI/(2L3). A titre indicatif, la pulsation correspondante s’obtient ici directement comme étant le quotient K/M. Elle vaut : ω1 = 9.86/L2(EI/ρS). 2) On considère maintenant la même poutre, mais dans la configuration de milieu de la figure 2.6, avec un ressort agissant verticalement et fixé au premier quart de la poutre. L’autre extrémité du ressort est encastrée à sa base. La raideur du ressort est k = 40EI/L3. On demande de déterminer la première pulsation de résonance par la méthode de Rayleigh-Ritz, en prenant toujours comme solution approchée : v(x,t) = sin(πx/L).p(t). On pourra comparer le résultat avec la valeur exacte qui est : ω1= 11.62/L2 (EI/ρS)1/2. La matrice masse est inchangée, car on néglige la masse du ressort. Pour obtenir la raideur du système, on écrit que l’énergie de déformation totale est la somme de l’énergie de déformation de la poutre et de l’énergie de déformation du ressort. Cette dernière vaut : Uressort = 20EI/L3 (sinπ/4)2p2, c’est-à-dire : 10EIp2/L3. Ce terme vient s’ajouter à la raideur de la poutre pour donner la raideur totale du système. Le quotient de cette raideur totale et de la masse donne la nouvelle pulsation : ω1= 11.72/L2 (EI/ρS)1/2, qui est très proche de la solution exacte. On retrouve bien ici les aspects « jeu de mécano » des calculs en vibration. 3) Toujours avec la même solution approchée, on considère maintenant la configuration du bas de la figure 2.6, autrement dit, le ressort n’est plus encastré à sa base, mais une masse de valeur m = ρSL/10 est fixée en bas de ce ressort. On note p1(t) le déplacement vertical de cette masse, et on demande de déterminer la première pulsation de résonance. On a maintenant deux variables pour le système : p et p1. L’énergie de déformation du ressort s’écrit : Uressort = 20EI/L3 ((sinπ/4)p -p1)2. L’énergie cinétique de la masse s’écrit : Tmasse = ρSL/20 p’12.

27 27

En identifiant ces expressions avec les formes quadratiques des énergies correspondantes, on a alors accès aux matrices correspondantes en terme de variable (p, p1) que l’on somme aux matrices obtenues précédemment pour obtenir les matrices totales suivantes : pour la masse totale (cette matrice étant à multiplier par ρSL) : 1/2 0

0 1/10 pour la raideur totale (cette matrice étant à multiplier par EI/L3) :

π4/2 +20 -20.21/2

-20.21/2 40

La résolution du problème aux valeurs propres associé conduit à : ω1= 9,295/L2 (EI/ρS)1/2.

4) On demande de reprendre la question 2 avec un nouveau choix de solution approchée à deux paramètres : v(x,t) = sin(πx/L).p1(t) + sin(2πx/L).p2(t). On demande de calculer le premier mode et la première pulsation et de comparer celle-ci au résultat trouvé dans la question 2. On injecte la solution approchée dans les énergies de déformation correspondantes pour obtenir les expressions : Upoutre = π4EI/4L3 (p12 +16p22) Uressort = 20EI/L3 (21/2/2 p1 +p2)2 d’où on obtient la matrice raideur totale par identification (cette matrice est à prémultiplier par EI/L3) : π4/2 + 20 20. 21/2

20. 21/2 8π4 +40

28 28

Quant à la matrice masse, son expression est facile à obtenir à partir de l ’énergie cinétique (la matrice fournie ci-dessous est à prémultiplier par ρSL/2) : 1 0

0 1 En fin de compte, la première pulsation associée est : ω1= 11.63/L2 (EI/ρS)1/2,

et le premier mode a pour composantes (1, -00376), c’est-à-dire que la déformée se réduit pratiquement au premier terme sinpx/L de la fonction d’essai de Rayleigh-Ritz, et la pulsation trouvée est très proche de la valeur théorique exacte.

5) La raideur k du ressort de la question 2 est légèrement modifiée et vaut k’ = k + ∆k avec ∆k = 10EI/L3. En utilisant les résultats et les matrices de la question 4, et une méthode de perturbation, on demande de donner la nouvelle valeur de la première pulsation. On part de la formule des petites perturbations : ∆ωi = ωi/2 (φit ∆K φi)/ (φitKφi) - ωi/2 (φit ∆M φi)/ (φitMφi). Ici, seul le premier terme intervient : ∆ω1 = ω1/2 (φ1t ∆K φ1)/ (φ1tKφ1). Avant modification, on a : K = Kpoutre +Kressort avec Kressort la matrice ci-dessous (cette matrice est à prémultiplier par la quantité 40EI/L3) : 1/2 21/2/2

21/2/2 1

29 29

Après modification, on a : K’ = Kpoutre +K’ressort avec K’ressort la matrice ci-dessous (cette matrice est à prémultiplier par la quantité 50EI/L3) : 1/2 21/2/2

21/2/2 1

Il en ressort que ∆K est la différence K’-K, autrement dit la différence K’ressort-Kressort; c’est donc simplement la matrice raideur de la raideur supplémentaire du ressort. Cette matrice ∆K est donnée ci-dessous (elle est à prémultiplier par 10EI/L3) : 1/2 21/2/2

21/2/2 1

On remarque qu’il s’agit ici toujours de la même matrice, seul le coefficient multiplicateur change. L’application, avec le mode φ1t = (1 0.0376), conduit au résultat suivant : ∆ω1 = 0.03 ω1. 2.6 Analyse par éléments finis Avant de donner un exemple d’application en éléments finis, nous précisons ici que les seules données indispensables pour effectuer des calculs par éléments finis en vibration sont la connaissance des matrices de raideur et de masse élémentaires pour chaque type d’élément fini. Ces matrices se trouvent facilement dans les ouvrages spécialisés sur les éléments finis. On trouvera plus de précisions dans les ouvrages [CRA95] et [GAL77]. On peut alors mettre en oeuvre les procédures d’assemblage classiques pour obtenir les matrices raideur et masse totales de la structure mécanique étudiée. On retrouve ainsi la notion de jeu de mécano de notre stratégie issue de notre formulation matricielle d’analyse globale. A titre indicatif, nous donnons ci-après les matrices de raideur et de masse élémentaires pour un élément fini de poutre en traction-flexion à deux noeuds, de longueur L, de section constante S, de module d’Young E, de coefficient de rigidité EI, et de masse volumique ρ. En effet, nous

30 30

utiliserons ces matrices dans la plupart de nos exercices et exemples par la suite. Rappelons que ce sont les seules données indispensables et nécessaires pour mener à bien des calculs par éléments finis en vibration. On pose : a = EI/L3, b = ES/L, c = ρSL/6, d = ρSL/420, e = ρSL/2. Les degrés de liberté en chaque noeud sont le déplacement longitudinal u, la flèche w, et la pente dw/dx (ou la rotation du noeud). Ils sont rangés dans cet ordre. La matrice de raideur élémentaire est : b 0 0 -b 0 0

0 12a 6La 0 -12a 6La

0 6La 4L2a 0 -6La 2L2a

-b 0 0 b 0 0

0 -12a -6La 0 12a -6La

0 6La 2L2a 0 -6La 4L2a

Pour la matrice masse, on a deux options, suivant que l’on considère la matrice masse répartie ou la matrice masse concentrée ; dans le premier cas, la matrice masse est obtenue à partir de l’intégrale de l’énergie cinétique en traction et en flexion ; dans le deuxième cas, la matrice masse est obtenue en concentrant la masse aux noeuds, comme si l’on avait des masses ponctuelles aux noeuds. Evidemment, la première option est de loin préférable pour la précision des calculs. La matrice de masse élémentaire répartie ou distribuée est : 2c 0 0 c 0 0

0 156d 22Ld 0 54d -13Ld

0 22Ld 4L2d 0 13Ld -3L2d

c 0 0 2c 0 0

0 54d 13Ld 0 156d -22Ld

0 -13Ld -3L2d 0 -22Ld 4L2d

31 31

La matrice de masse élémentaire concentrée est :

e 0 0 0 0 0

0 e 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 e 0 0

0 0 0 0 e 0

0 0 0 0 0 0

Nous passons maintenant à un exemple d’application, et nous reprenons le même treillis que celui étudié dans la partie 2.4 par la méthode de Rayleigh-Ritz. On considère donc le treillis rigide représenté sur la figure 2.4. Rappelons que ce treillis est constitué d’une colonne verticale AB de longueur L, de rigidité de flexion EI et de masse volumique ρ, et d’une poutre horizontale BC de longueur L, de rigidité de flexion 2EI, et de masse volumique 3ρ. Ces deux poutres sont assemblées rigidement et soumises aux liaisons représentées sur la figure 2.4, c’est à dire un encastrement en A et un appui simple en C. On suppose que les raideurs de traction-compression sont grandes devant les raideurs de flexion (autrement dit, les déplacements de tractioncompression sont négligeables et seront pris nuls). On discrétise la colonne AB par un élément fini de poutre à deux noeuds en flexion de longueur L, et la poutre BC par un élément fini de poutre à deux noeuds en flexion de longueur L. Dans ces conditions, on ne retiendra que les degrés de liberté de rotation φ1 du noeud B et φ2 du noeud C pour traduire les déplacements de la structure. Le noeud B conserve sa position et n’est soumis qu’à de la rotation. Par ailleurs, on considérera pour les calculs les matrices de masse réparties. On va répondre successivement aux questions suivantes : 1) compte tenu des hypothèses faites, formation des matrices de raideur et de masse de chaque poutre, à partir des matrices générales d’un élément

32 32

de poutre en flexion à deux noeuds données au début de cette partie, et que l’on simplifiera d’emblée en considérant les degrés de liberté restreints du problème, ainsi que les conditions aux limites, ce qui permet d'éliminer un certain nombre de lignes et de colonnes. 2) Formation des matrices de raideur et de masse du treillis complet. 3) Calcul des fréquences et des modes propres de la structure. Commençons par la première question : 1) formation des matrices de raideur et de masse de chaque poutre. Pour ce faire, on part respectivement des expressions générales données plus haut des matrices raideur et masse pour un élément fini de poutre à deux noeuds en flexion. Ce qui conduit, pour une poutre de longueur L, de rigidité de flexion EI, et de masse volumique ρ, en supprimant les lignes et les colonnes des degrés de liberté relatifs aux déplacements transversaux w1 et w2, et en ne gardant que les degrés de liberté relatifs aux rotations des deux noeuds φ1et φ2 : pour la matrice raideur (cette matrice étant à multiplier par 2EI/L) : 2 1

1 2

pour la matrice masse répartie (cette matrice étant à multiplier par ρL3/420) : 4 -3

-3 4

De plus, comme les seuls degrés de liberté considérés ici sont les rotations, et que les rotations sont les mêmes dans les repères locaux des éléments finis de poutre que dans un repère global dans le plan, les matrices réduites aux degrés de liberté de rotation restent identiques quel que soit le repère. Autrement dit, nous n’avons pas ici la préoccupation d’un

33 33

changement de repère commun avant la phase finale d’assemblage des matrices. En fait, pour l’élément fini de poutre AB, il n’y a qu’un degré de liberté qui est la rotation du deuxième noeud B et que l’on note ici φ1, les matrices se réduisent donc qu’à un seul terme : kAB = 4EI/L et mAB = 4 ρL3/420 Pour l’élément fini de poutre BC, la rigidité de flexion est en réalité d'après l'énoncé 2EI, et la masse volumique est en fait 3ρ, donc, les matrices 2x2 précédentes sont à prémultiplier par 4EI/L et par 3 ρL3/420. 2) formation des matrices de raideur et de masse du treillis complet En fin de compte, l’assemblage des matrices raideurs et masses élémentaires en terme de variables φ1 et φ2 (φ2 désignant la rotation du noeud C) conduit aux matrices totales suivantes : pour la raideur (cette matrice étant à multiplier par 4EI/L) : 3 1

1 3 pour la masse (cette matrice étant à multiplier par ρL3/420) :

16 -9

-9 12

On constate alors que les matrices obtenues sont les mêmes que celles utilisées dans la partie 2.4 par la méthode de Rayleigh-Ritz, tout simplement parce que les fonctions d’essai ou d’interpolation choisies sont finalement identiques pour cet exemple, et pour les deux méthodes. En effet, les hypothèses de choix de ces fonctions polynômiales sont les mêmes pour les deux méthodes, à savoir la continuité de la flèche et des rotations.

34 34