Versicherungsmathematik (Springer-Lehrbuch) (German Edition) [2., durchgesehene Aufl.] 9783540290971, 3540290974 [PDF]

Zitiervorschau

Springer-Lehrbuch

Klaus D. Schmidt

Versicherungsmathematik Zweite, durchgesehene Auflage

Mit 2 Abbildungen und 16 Tabellen

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Professor Dr. Klaus D. Schmidt Technische Universitåt Dresden Lehrstuhl fçr Versicherungsmathematik Institut fçr Mathematische Stochastik 01062 Dresden [email protected]

ISBN-10 ISBN-13

3-540-29097-4 Springer Berlin Heidelberg New York 978-3-540-29097-1 Springer Berlin Heidelberg New York

ISBN 3-540-42731-7 1. Auflage Springer Berlin Heidelberg New York

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42/3153-5 4 3 2 1 0 ± Gedruckt auf såurefreiem Papier

Vorwort zur zweiten Auflage Die vorliegende zweite Auflage unterscheidet sich von der ersten Auflage dieses Buches nur geringf¨ ugig. Sie ber¨ ucksichtigt Anmerkungen von Klaus Thomas Hess, Markus H¨ ubel, Annett Keller, Jan Schwientek, Andreas W¨ unsche und Mathias Zocher, denen ich herzlich danke, und sie enth¨alt zus¨atzliche Literaturhinweise. Dresden, im August 2005

Klaus D. Schmidt

Vorwort zur ersten Auflage Das vorliegende Buch ist aus Vorlesungen f¨ ur Mathematiker im Grundstudium und f¨ ur Wirtschaftswissenschaftler im Hauptstudium entstanden. Das Ziel dieser Vorlesungen bestand darin, Interesse an der Versicherungsmathematik zu wecken und Grundkenntnisse zu vermitteln, die f¨ ur eine T¨atigkeit in der Versicherungswirtschaft von Nutzen sind. Den Schwerpunkt dieses Buches bildet die an der Technischen Universit¨at Dresden besonders gepflegte Schadenversicherungsmathematik, darunter die Mathematik der R¨ uckversicherung und die mathematische Behandlung der Reservierung f¨ ur Sp¨atsch¨aden. Dar¨ uber hinaus werden auch die Grundlagen der Finanzmathematik und der Lebensversicherungsmathematik entwickelt. Versicherungsmathematik ist, auch wenn die eine oder andere Darstellung vor allem der Lebensversicherungsmathematik einen anderen Eindruck erwecken mag, ein Teilgebiet der Mathematischen Stochastik, die ihrerseits aus der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Mathematischen Statistik besteht. Mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitstheorie ist es m¨oglich, das Wirken des Zufalls in einem einzelnen Versicherungsvertrag oder in einem Bestand von Vertr¨agen zu beschreiben und zu untersuchen; mit den Methoden der Mathematischen Statistik ist es dann m¨oglich, ein solches Modell empirisch zu u ufen und ¨berpr¨ seine Parameter zu quantifizieren. Bei der Auswahl der in diesem Buch behandelten Themen der Versicherungsmathematik habe ich darauf geachtet, daß sie mit begrenzten Kenntnissen der Wahrscheinlichkeitstheorie bearbeitet werden k¨onnen; die erforderlichen Grundkenntnisse der Wahrscheinlichkeitstheorie werden im Text in knapper Form dargestellt. Bei der Arbeit an diesem Buch habe ich vielf¨altige Unterst¨ utzung erhalten: – Klaus Thomas Hess hat mir als best¨andiger, kritischer und anregender Gespr¨achspartner zur Seite gestanden. – Lothar Partzsch und Amir Manavi haben mit sicherem Blick Schw¨achen in fr¨ uheren Fassungen des Manuskriptes entdeckt.

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Vorwort zur ersten Auf lage

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Axel Reich, Michael Fackler und die Dresdner Aktuare Andr´e Berndt, Holger Lorenz, Christine S¨anger, Anja Schnaus und Angela W¨ unsche haben mir wertvolle Hinweise aus der Sicht der Praxis gegeben. – Mathias Zocher hat die Sterbetafeln erstellt. – Christiane Weber hat umfangreiche technische Unterst¨ utzung geleistet und das gesamte Manuskript durchgesehen. Ihnen allen sei an dieser Stelle herzlich gedankt. Dresden, im August 2001

Klaus D. Schmidt

Inhaltsverzeichnis Einleitung

1

1 Finanzmathematik 1.1 Verzinsung . . . . . . . . . . . 1.2 Sparpl¨ane und Tilgungspl¨ane 1.3 Renten . . . . . . . . . . . . . 1.4 Bemerkungen . . . . . . . . .

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7 . 7 . 13 . 19 . 24

2 Wahrscheinlichkeiten 2.1 Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeitsr¨aume 2.2 Symmetrische Wahrscheinlichkeitsr¨aume . . . . . 2.3 Unabh¨angige Ereignisse . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Bedingte Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . .

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25 25 35 42 46

3 Zufallsvariable und ihre Verteilungen 3.1 Zufallsvariable . . . . . . . . . . . . . 3.2 Zufallsvektoren . . . . . . . . . . . . 3.3 Unabh¨angige Zufallsvariable . . . . . 3.4 Bedingte Verteilungen . . . . . . . .

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49 49 61 65 71

4 Momente von Zufallsvariablen 4.1 Der Erwartungswert . . . . . 4.2 Streuungsmaße . . . . . . . . 4.3 Ungleichungen . . . . . . . . . 4.4 Bedingte Momente . . . . . . 4.5 Die erzeugende Funktion . . .

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73 73 86 95 97 100

5 Lebensversicherung 5.1 Leistungen und Pr¨amien 5.2 Ausscheideordnungen . . ¨ 5.3 Das Aquivalenzprinzip . 5.4 Kommutationszahlen . . 5.5 Das Deckungskapital . . 5.6 Der Satz von Hattendorff 5.7 Bemerkungen . . . . . .

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109 110 114 118 123 129 136 140

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x

Inhaltsverzeichnis

6 Gesamtschaden im individuellen Modell 6.1 Das individuelle Modell . . . . . . . . . . 6.2 Der Ausgleich im Kollektiv . . . . . . . . 6.3 Das Binomial–Modell . . . . . . . . . . . 6.4 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . .

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141 142 146 152 162

7 Gesamtschaden im kollektiven Modell 7.1 Das kollektive Modell . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Die Schadenzahl–Verteilungen der Panjer–Klasse . 7.3 Die Rekursionen von Panjer und DePril . . . . . . 7.4 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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163 164 169 177 181

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8 Ru 183 ¨ ckversicherung 8.1 Proportionale R¨ uckversicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 8.2 Nichtproportionale R¨ uckversicherung . . . . . . . . . . . . . . . 190 8.3 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 9 Vergleich von Risiken 209 9.1 Die stochastische Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 9.2 Die stop–loss Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 9.3 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 10 Kalkulation von Pr¨ amien 10.1 Pr¨amienprinzipien . . . . . . . . 10.2 Explizite Pr¨amienprinzipien . . 10.3 Pr¨amien und Verlustfunktionen 10.4 Pr¨amien und Nutzenfunktionen 10.5 Die Aufteilung der Pr¨amie . . . 10.6 Bemerkungen . . . . . . . . . .

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239 240 244 251 254 261 266

11 Reservierung fu atsch¨ aden ¨ r Sp¨ 11.1 Abwicklungsdreiecke . . . . . 11.2 Das Grundmodell . . . . . . . 11.3 Das chain–ladder Verfahren . 11.4 Das grossing–up Verfahren . . 11.5 Das multiplikative Modell . . 11.6 Das Multinomial–Modell . . . 11.7 Bemerkungen . . . . . . . . .

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269 270 272 274 278 282 286 294

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Sterbetafeln

297

Literatur

303

Verzeichnis der Symbole

307

Verzeichnis der Beispiele

311

Inhaltsverzeichnis

xi

Namenverzeichnis

313

Sachverzeichnis

315

Einleitung Versicherungsvertr¨age k¨onnen Sch¨aden nicht verhindern. Sie bieten jedoch einen Schutz vor den finanziellen Folgen von Sch¨aden. Der Preis f¨ ur diesen Schutz ist die Pr¨amie, die der Versicherungsnehmer an das Versicherungsunternehmen entrichtet. Die entscheidende Frage lautet: Wie hoch muß die Pr¨amie sein, damit das Versicherungsunternehmen sein Leistungsversprechen gegen¨ uber dem Versicherungsnehmer erf¨ ullen kann?

Das Problem der ausreichenden Pr¨ amie Die Bestimmung des Preises f¨ ur ein Produkt der Versicherungswirtschaft ist wesentlich komplexer als die Bestimmung der Preise anderer Produkte: Ein Autoh¨andler, der ein Kraftfahrzeug verkauft, kennt bereits bei Abschluß des Vertrages seine Kosten und weiß, in welchem Rahmen er mit einem K¨aufer u ¨ber den Preis verhandeln kann; ein Versicherungsunternehmen hingegen, das eine Kraftfahrt–Haftpflichtversicherung verkauft, wird die H¨ohe seiner Kosten erst nach dem Abschluß des Versicherungsvertrages erfahren. Das Problem der Bestimmung einer ausreichenden Pr¨amie entsteht dadurch, daß einerseits bei Abschluß eines Versicherungsvertrages die Pr¨amie festgelegt werden muß und es andererseits ungewiß ist, ob und in welcher H¨ohe Versicherungsleistungen f¨allig werden und in welchem Umfang Pr¨amienzahlungen erfolgen. – Bei einer Unfallversicherung ist sowohl die Anzahl der Sch¨aden als auch die H¨ohe der Versicherungsleistung im Schadenfall ungewiß. – Bei einer lebensl¨anglichen Lebensversicherung auf den Todesfall ist die H¨ohe der Versicherungsleistung bekannt; der Zeitpunkt ihrer F¨alligkeit, und damit der Barwert der Versicherungsleistung, ist jedoch ungewiß. Bei j¨ahrlichen Pr¨amienzahlungen bis zum Tod der versicherten Person ist außerdem der Barwert der Pr¨amienzahlungen ungewiß. – Bei einer Lebensversicherung auf festen Termin ist sowohl die H¨ohe der Versicherungsleistung als auch der Zeitpunkt ihrer F¨alligkeit bekannt; da die j¨ahrlichen Pr¨amienzahlungen bei Tod der versicherten Person vor dem festen Termin enden, ist der Barwert der Pr¨amienzahlungen ungewiß.

2

Einleitung

Selbstverst¨andlich wird im Versicherungsmarkt, wie in allen anderen M¨arkten auch, gehandelt; andernfalls w¨are der Versicherungsmarkt kein Markt. Es w¨are jedoch f¨ ur Versicherungsnehmer und f¨ ur Versicherungsunternehmen gleichermaßen gef¨ahrlich, wenn die Bestimmung der Preise f¨ ur Versicherungsprodukte allein den Kr¨aften des Marktes u urde: Pr¨amien, die nicht ausrei¨berlassen w¨ chend sind, treiben das Versicherungsunternehmen in den Ruin und gef¨ahrden den vom Versicherungsnehmer gew¨ unschten Schutz vor den finanziellen Folgen von Sch¨aden.

Der Ausgleich im Kollektiv F¨ ur den Versicherungsnehmer ist der Abschluß eines Versicherungsvertrages nur dann sinnvoll, wenn die Pr¨amie im Verh¨altnis zur H¨ohe der versicherten Sch¨aden niedrig ist. Das Interesse des Versicherungsnehmers an einer niedrigen Pr¨amie steht aber im Gegensatz zum Interesse des Versicherungsunternehmens an einer ausreichenden Pr¨amie. Der Ausgleich der Interessen des Versicherungsnehmers und des Versicherungsunternehmens ist m¨oglich, wenn man davon ausgeht, daß eine Gemeinschaft einen Schaden, dessen finanzielle Folgen f¨ ur den Einzelnen bedrohlich w¨aren, leichter tragen kann als der Einzelne. Dieser Gedanke der Solidarit¨at ist bereits bei den mittelalterlichen Z¨ unften und Gilden anzutreffen, die ihren Mitgliedern Unterst¨ utzung bei Krankheit oder Tod gew¨ahrt haben. Im Zusammenhang mit Versicherung ist es heute nicht gerade u ¨blich, von Solidarit¨at zu sprechen. Dennoch werden in jedem Versicherungsunternehmen Gemeinschaften von Versicherungsnehmern gebildet, in der Erwartung, daß in einem solchen Bestand von Risiken nur wenige Sch¨aden auftreten und die durchschnittliche Schadenbelastung pro Risiko des Bestandes gering ist. Dieser Ausgleich im Kollektiv ist die Voraussetzung daf¨ ur, daß Pr¨amien gleichzeitig niedrig und ausreichend sein k¨onnen.

Der Beitrag der Versicherungsmathematik Gegenstand der Versicherungsmathematik sind mathematische Modelle und Methoden zur Bewertung der Risiken, f¨ ur die ein Versicherungsunternehmen im Schadenfall eine vertraglich vereinbarte Versicherungsleistung zu erbringen hat. Die Bewertung von Risiken ist die unabdingbare Voraussetzung f¨ ur die Bestimmung ausreichender Pr¨amien, und nur die Kenntnis der ausreichenden Pr¨amie gestattet eine verantwortungsvolle unternehmerischen Entscheidung u ¨ber die am Markt tats¨achlich geforderte Pr¨amie. Da bei Abschluß eines Versicherungsvertrages ungewiß ist, ob und in welcher H¨ohe Versicherungsleistungen zu erbringen sind, m¨ ussen versicherungsmathe-

Einleitung

3

matische Modelle und Methoden den Zufall ber¨ ucksichtigen. Daher ist die Versicherungsmathematik ein Teilgebiet der Mathematischen Stochastik, die Krengel [1998] kurz und treffend als Mathematik des Zufalls bezeichnet hat. Der Unterschied zwischen mathematischen Modellen und Methoden l¨aßt sich wie folgt pr¨azisieren: – In einem mathematischen Modell werden die f¨ ur die Untersuchung eines Problems als wesentlich angesehenen Gr¨oßen und funktionale Beziehungen zwischen diesen Gr¨oßen festgelegt. In einem stochastischen Modell, insbesondere also in einem versicherungsmathematischen Modell, ist zumindest eine der als wesentlich angesehenen Gr¨oßen vom Zufall abh¨angig; dar¨ uber hinaus enth¨alt ein solches Modell im allgemeinen Annahmen u ¨ber die Wahrscheinlichkeitsverteilung der vom Zufall abh¨angigen Gr¨oßen des Modells. – Eine mathematische Methode ist ein Verfahren zur L¨osung eines mathematischen Problems. Die Methode kann, wie beim Newton–Verfahren zur Bestimmung einer Nullstelle einer differenzierbaren Funktion, in einem Algorithmus bestehen oder, wie beim maximum–likelihood Prinzip zur Sch¨atzung der bekannten Parameter einer Wahrscheinlichkeitsverteilung, in der Verwendung einer Zielfunktion bestehen, die zu maximieren ist. – Eine mathematische Methode ist immer an ein Modell gebunden: Beim Newton–Verfahren besteht die Annahme des Modells in der Differenzierbarkeit der Funktion, f¨ ur die eine Nullstelle bestimmt werden soll; beim maximum–likelihood Prinzip besteht die Annahme des Modells darin, daß die zu bestimmende Wahrscheinlichkeitsverteilung bis auf endlich viele Parameter bekannt ist. In der Mathematischen Stochastik beschreiben Modelle die Erzeugung von Daten, w¨ahrend Methoden es gestatten, aus den Daten Schl¨ usse zu ziehen. Modelle der Mathematischen Stochastik sind in allen Bereichen der Versicherungsmathematik von grundlegender Bedeutung: – In der Lebensversicherung ist die Verwendung einer Sterbetafel f¨ ur einen Bestand von Vertr¨agen mit der Annahme verbunden, daß die Lebensdauer der versicherten Personen durch die Sterbetafel in angemessener Weise beschrieben wird. – In der Kraftfahrt–Haftpflichtversicherung beruht die Verwendung von Tarifmerkmalen, wie Regionalklasse und Typklasse, auf der Annahme, daß die H¨ohe der aus einem Vertrag resultierenden Sch¨aden weitgehend durch seine Tarifmerkmale erkl¨art werden kann. – In der Kraftfahrt–Kaskoversicherung besteht die Gefahr, daß zahlreiche Vertr¨age des Bestandes durch ein und dasselbe Schadenereignis, wie etwa Hagel oder Sturm, betroffen werden. In all diesen F¨allen wird die Struktur des Bestandes durch ein Modell der Mathematischen Stochastik beschrieben.

4

Einleitung

Andere Gebiete der Versicherungswissenschaft Neben der Versicherungsmathematik als Teilgebiet der Mathematik tragen auch Teilgebiete anderer Wissenschaften wesentlich zum Verst¨andnis und zur L¨osung von Problemen der Versicherung bei; dies gilt insbesondere f¨ ur die Versicherungs¨okonomie als Teilgebiet der Wirtschaftswissenschaft und f¨ ur das Versicherungsrecht als Teilgebiet der Rechtswissenschaft. Diese Teilgebiete verschiedener Wissenschaften werden unter dem Begriff Versicherungswissen¨ schaft zusammengefaßt. Einen umfassenden Uberblick u ¨ber die vielf¨altigen ¨ Aspekte der Versicherungswissenschaft bieten die Ubersichtsartikel in dem von Farny et al. [1988] herausgegebenen Handw¨orterbuch der Versicherung. Wer in der Versicherungswirtschaft t¨atig ist, sollte sich nicht nur in seinem eigenen Fach bestens auskennen, sondern auch u ¨ber Kenntnisse in anderen Gebieten der Versicherungswissenschaft verf¨ ugen. F¨ ur die Versicherungs¨okonomie verweisen wir auf die Monographien von Farny [1995] und von Zweifel und Eisen [2000]. Das Versicherungsrecht wird in Deutschland insbesondere durch das Versicherungsvertragsgesetz (VVG) und das Versicherungsaufsichtsgesetz (VAG) bestimmt. Zur Versicherungswissenschaft geh¨ort auch die Versicherungsgeschichte. Die ¨ Monographie von Milbrodt und Helbig [1999] enth¨alt einen Uberblick u ¨ber die Geschichte der Versicherungsmathematik. Die Entwicklung der Versicherungswissenschaft in Deutschland wird in der Monographie von Koch [1998] ausf¨ uhrlich dargestellt.

Vorkenntnisse Voraussetzung f¨ ur das Verst¨andnis des vorliegenden Buches sind allgemeine mathematische Kenntnisse, wie sie im Grundstudium der mathematischen und wirtschaftswissenschaftlichen Studieng¨ange vermittelt werden und im wesentlichen bei Schmidt [2000] und vor allem bei Walter [1992] zu finden sind. Von Vorteil sind auch Grundkenntnisse in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Da die in den mathematischen und wirtschaftswissenschaftlichen Studieng¨angen vermittelten Kenntnisse der Wahrscheinlichkeitstheorie keineswegs homogen sind, werden die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie in knapper Form dargestellt. Die drei Kapitel, in denen dies geschieht, dienen vor allem der Ordnung und der Erg¨anzung von Vorkenntnissen u ¨ber Wahrscheinlichkeiten, diskrete Zufallsvariable und ihre Momente. Dabei wurde darauf geachtet, daß alle Hilfsmittel f¨ ur die nachfolgenden Kapitel zur Versicherungsmathematik bereitgestellt werden und gleichzeitig der Zugang zur modernen Wahrscheinlichkeitstheorie vorbereitet wird, die bei Bauer [1991, 1992], Billingsley [1995] und Schmitz [1996] dargestellt wird und f¨ ur eine vertiefte Besch¨aftigung mit der Versicherungsmathematik erforderlich ist.

Einleitung

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Gliederung ¨ Die folgende Ubersicht zeigt die Abh¨angigkeiten, die zwischen den einzelnen Kapiteln dieses Buches bestehen: Kapitel 1

Kapitel 2

Finanzmathematik

Wahrscheinlichkeiten

Kapitel 3 Zufallsvariable und ihre Verteilungen

Kapitel 4 Momente von Zufallsvariablen

((((hhhhhh

(

(( ( ((( (((

hhh hhh

hh

Kapitel 5

Kapitel 6

Kapitel 11

Lebensversicherung

Gesamtschaden im individuellen Modell

Reservierung f¨ ur Sp¨ atsch¨ aden

Kapitel 7 Gesamtschaden im kollektiven Modell

((((hhhhhh

(

(( ( ((( (((

hhh hhh

hh

Kapitel 8

Kapitel 9

Kapitel 10

R¨ uckversicherung

Vergleich von Risiken

Kalkulation von Pr¨ amien

Das Buch kann selektiv gelesen werden: Wer an der Lebensversicherung, der R¨ uckversicherung oder der Reservierung f¨ ur Sp¨atsch¨aden interessiert ist, sollte durchaus mit dem entsprechenden Kapitel beginnen und sich bei Bedarf die erforderlichen Hilfsmittel mit Hilfe der zahlreichen Verweise im Text und des Stichwortverzeichnisses aneignen.

6

Einleitung

Bezeichnungen In diesem Buch wird eine reelle Zahl x als positiv bzw. negativ bezeichnet, wenn x ≥ 0 bzw. x ≤ 0 gilt; im Fall x > 0 bzw. x < 0 wird sie als strikt positiv bzw. strikt negativ bezeichnet. Dementsprechend werden f¨ ur reelle Funktionen die Begriffe positiv bzw. negativ sowie monoton wachsend bzw. monoton fallend und konvex bzw. konkav in dem Sinne verwendet, daß in der definierenden Ungleichung auch die Gleichheit zugelassen ist; andernfalls verwenden wir den Zusatz strikt oder streng. Die Bezeichnung x ≈ y bedeutet, daß x und y n¨aherungsweise gleich sind. Erinnert sei auch daran, daß Summen bzw. Produkte u ¨ber eine leere Indexmenge den Wert 0 bzw. 1 besitzen und daß Vereinigungen bzw. Durchschnitte u ¨ber eine leere Indexmenge gleich der leeren Menge bzw. der Grundmenge sind. Die Bedeutung weiterer Bezeichnungen ergibt sich aus dem Verzeichnis der Symbole und dem Stichwortverzeichnis.

Rundung In allen Beispielen und in den Sterbetafeln wird nach jeder Multiplikation oder Division gerundet und mit dem gerundeten Wert weitergerechnet.

Kapitel 1 Finanzmathematik Gegenstand der elementaren Finanzmathematik sind die Bewertung und damit auch der Vergleich von Zahlungspl¨anen, bei denen Zahlungen in periodischen Abst¨anden erfolgen und verzinst werden. Es gibt verschiedene M¨oglichkeiten, Zahlungspl¨ane zu bewerten: Beispielsweise gestattet der Effektivzins den Vergleich bei variablen j¨ahrlichen Zinss¨atzen oder unterj¨ahriger Verzinsung, und verschiedene Sparpl¨ane oder Tilgungspl¨ane k¨onnen anhand der Laufzeit verglichen werden. Von besonderer Bedeutung f¨ ur die Bewertung eines Zahlungsplanes ist der Barwert, also die Summe aller auf den Beginn der Laufzeit abgezinsten Zahlungen; f¨ ur Zahlungspl¨ane mit einer endlichen und identischen Laufzeit k¨onnen anstelle der Barwerte auch die Endwerte, also die Summen aller auf das Ende der Laufzeit aufgezinsten Zahlungen, zum Vergleich herangezogen werden. Die einzelnen Zahlungen eines Zahlungsplanes k¨onnen jeweils zu Beginn oder am Ende einer Zeitperiode erfolgen; entsprechend unterscheidet man zwischen vorsch¨ ussiger und nachsch¨ ussiger Zahlungsweise. F¨ ur die Mathematik ist diese Unterscheidung, die bilanzrechtliche und steuerrechtliche Ursachen hat, ohne Bedeutung, da die Bewertung eines Zahlungsplanes nur von den Zeitpunkten der Zahlungen und nicht von den Zeitperioden, denen sie zugeordnet werden, abh¨angt.

1.1

Verzinsung

Wir betrachten in diesem Abschnitt ein Kapital, dessen H¨ohe sich im Zeitverlauf durch Verzinsung ¨andert. F¨ ur t ∈ R+ sei Kt der Wert des Kapitals zum Zeitpunkt t .

8

Kapitel 1. Finanzmathematik

Bei der Verzinsung sind folgende Gr¨oßen von Interesse: – Grundlage ist der Zinssatz i ∈ (0, ∞) –

Die Gr¨oße p := 100 · i

wird als Zinsfuß und in der Umgangssprache auch als Zins bezeichnet. Zu einem Zinssatz i ∈ (0, ∞) geh¨ort – der Aufzinsungsfaktor q := 1 + i –

und der Abzinsungsfaktor v :=

1 q

Jede dieser Gr¨oßen bezieht sich auf ein Kalenderjahr, und durch jede dieser Gr¨oßen sind die u ¨brigen Gr¨oßen bestimmt. 1.1.1 Beispiel (Verzinsung). Bei der Verzinsung mit 25% ergibt sich der Zinssatz i = 0.25 , der Aufzinsungsfaktor q = 1.25 und der Abzinsungsfaktor v = 0.8 .

Einfache Verzinsung Einfache Verzinsung u ¨ber die Laufzeit t ∈ (0, ∞) liegt vor, wenn
Kt =

 1 + ti · K0

gilt. Die einfache Verzinsung ist vor allem f¨ ur t ∈ (0, 1) von Bedeutung. 1.1.2 Beispiel (Sparbuch). Ein Sparbuch wird am 1. M¨ arz eines Jahres mit einer Einlage von 2000 e eingerichtet und am 30. November desselben Jahres aufgel¨ ost. Die Einlage wird mit 2% einfach verzinst. Werden bei der Verzinsung 360 Tage pro Jahr und 30 Tage pro Monat zugrundegelegt, so ergeben sich 270 Tage und damit die Laufzeit 270 = 0.75 t = 360 Es gilt


K0.75 =

 1 + 0.75 · 0.02 · K0 = 1.015 · K0

Mit K0 = 2000 ergibt sich das Endkapital K0.75 = 2030 .

1.1 Verzinsung

9

Verzinsung mit Zinseszins Verzinsung mit Zinseszins u ¨ber eine Laufzeit von n ∈ N Jahren liegt vor, wenn
n Kn = 1 + i · K0 gilt. Verzinsung mit Zinseszins u ¨ber n Jahre liegt also genau dann vor, wenn Kn = q n · K0 gilt. Diese Definition l¨aßt sich auf den Fall variabler Zinss¨atze verallgemeinern: Verzinsung mit Zinseszins u ¨ber n Jahre mit den Zinss¨atzen i1 , . . . , in und den zugeh¨origen Aufzinsungsfaktoren q1 , . . . , qn liegt vor, wenn  n   qk · K0 Kn = k=1

gilt. In diesem Fall ergibt sich der auch als Rendite bezeichnete durchschnittliche Zinssatz ieff aus dem eindeutig bestimmten Aufzinsungsfaktor qeff mit


n qeff

=

n 

qk

k=1

Es gilt also   n  n qeff =  qk k=1

und damit   n  n qk − 1 ieff =  k=1

Ist das Endkapital bekannt, so l¨aßt sich qeff auch aus der Gleichung Kn qeff = n K0 bestimmen. Der Zinssatz ieff heißt effektiver Zinssatz und der zugeh¨orige Zins peff = 100 · ieff heißt effektiver Zins oder Effektivzins.

10

Kapitel 1. Finanzmathematik

1.1.3 Beispiel (Bundesschatzbrief ). Bei einem Bundesschatzbrief vom Typ B wird ein Anfangskapital f¨ ur sieben Jahre angelegt und mit Zinseszins verzinst, wobei die j¨ahrlichen Zinss¨atze variabel sind. Die Entwicklung eines Anfangskapitals von 100 e, das am 16. Juli 2001 angelegt wurde, ist in der folgenden Tabelle dargestellt: k 0 1 2 3 4 5 6 7

ik

qk

0.0350 0.0400 0.0450 0.0475 0.0475 0.0500 0.0525

1.0350 1.0400 1.0450 1.0475 1.0475 1.0500 1.0525

Kk 100.00 103.50 107.64 112.48 117.82 123.42 129.59 136.39

Dasselbe Endkapital wird durch eine Kapitalanlage mit konstanter Verzinsung mit ur Zinseszins erreicht, wenn als Zinssatz der effektive Zinssatz ieff verwendet wird. F¨ den effektiven Zinssatz erh¨alt man aus qeff =

√ 7 1.0350 · 1.0400 · 1.0450 · 1.0475 · 1.0475 · 1.0500 · 1.0525 ≈ 1.045342

den Wert ieff ≈ 0.045342 , w¨ahrend man aus qeff =

7

K7 = K0

7

√ 136.39 7 = 1.3639 ≈ 1.045333 100.00

den Wert ieff ≈ 0.045333 erh¨alt. Durch Rundung erh¨ alt man in beiden F¨ allen den Wert ieff ≈ 0.0453 , der im Ausgabeprospekt genannt wird.

Gemischte Verzinsung Gemischte Verzinsung u ¨ber die Laufzeit t ∈ (0, ∞) liegt vor, wenn
Kt =


1 + t1 i

n
 1+i 1 + t2 i · K0

gilt; dabei ist t = t1 + n + t2 mit t1 , t2 ∈ [0, 1) und n ∈ N0 die eindeutige Zerlegung der Laufzeit in – den Anteil t1 des Kalenderjahres vor dem Beginn des ersten ganzen Kalenderjahres innerhalb der Laufzeit, – n ganze Kalenderjahre innerhalb der Laufzeit, und – den Anteil t2 des Kalenderjahres nach dem Ende des letzten ganzen Kalenderjahres innerhalb der Laufzeit.

1.1 Verzinsung

11

1.1.4 Beispiel (Sparbuch). Ein Sparbuch wird am 1. April 2002 mit einer Einlage von 2000 e eingerichtet und am 30. Juni 2005 aufgel¨ ost. Die Einlage wird mit 2% gemischt verzinst. Werden bei der Verzinsung 360 Tage pro Jahr und 30 Tage pro Monat zugrundegelegt, so ergibt sich die Zerlegung der Laufzeit t =

180 270 +2+ = 3.25 360 360

Es gilt K3.25 =



2
 1 + 0.75 · 0.02 1 + 0.02 1 + 0.50 · 0.02 · K0 ≈ 1.066566 · K0

Mit K0 = 2000 ergibt sich das Endkapital K3.25 ≈ 2133.13 .

Unterj¨ ahrige Verzinsung mit Zinseszins Unterj¨ahrige Verzinsung mit Zinseszins oder kurz unterj¨ahrige Verzinsung liegt vor, wenn f¨ ur ein m ∈ N

K1 =

1+

i m

m · K0

gilt. Die Zahl m heißt Anzahl der Zinstermine. Der Zinssatz i heißt nomineller Zinssatz ; er ist zu unterscheiden vom effektiven Zinssatz ieff , der durch die Gleichung

1 + ieff =

i 1+ m

m

bestimmt ist. Der Effektivzins peff = 100·ieff h¨angt vom Nominalzins p = 100·i und von der Anzahl m der Zinstermine ab; er gestattet den Vergleich der Renditen von Anlagen mit unterschiedlichem Nominalzins oder unterschiedlicher Anzahl der Zinstermine. Die Folge {(1 + i/m)m }m∈N ist streng monoton wachsend und es gilt

lim

m→∞

1+

i m

m = ei

Daher gilt i ≤ ieff < ei − 1 F¨ ur m ≥ 2 ist auch die erste Ungleichung strikt.

12

Kapitel 1. Finanzmathematik

1.1.5 Beispiel (Effektivzins). Ein Kapital wird mit dem nominellen Zinssatz i = 0.06 w¨ahrend eines Jahres unterj¨ahrig verzinst. Die folgende Tabelle enth¨ alt den effektiven Zinssatz in Abh¨angigkeit von der Anzahl der Zinstermine: m

ieff

1 2 3 6 12 360

0.060000 0.060900 0.061208 0.061520 0.061678 0.061831

Die effektiven Zinss¨atze sind durch e0.06 − 1 ≈ 0.061837 beschr¨ ankt.

Stetige Verzinsung Stetige Verzinsung u ¨ber die Laufzeit t ∈ (0, ∞) liegt vor, wenn Kt = eti · K0 gilt. F¨ ur t = 1 ergibt sich die stetige Verzinsung wegen

m i lim 1 + = ei m→∞ m durch Grenz¨ ubergang aus der unterj¨ahrigen Verzinsung, wenn die Anzahl m der Zinstermine gegen unendlich strebt. Der Zinssatz i heißt nomineller Zinssatz. Der effektive Zinssatz ieff ist durch die Gleichung 1 + ieff = ei bestimmt. Es gilt i < ieff . Der Zins peff = 100 · ieff heißt Effektivzins. 1.1.6 Beispiel (Effektivzins). Ein Kapital wird mit dem nominellen Zinssatz i = 0.06 w¨ahrend eines Jahres stetig verzinst. Dann gilt ieff ≈ 0.061837 .

Aufgaben 1.1.A

Ein Sparbuch wird mit einer bestimmten Einlage eingerichtet und nach genau einem Jahr aufgel¨ost. Die Einlage wird gemischt verzinst. F¨ ur welchen Zeitpunkt der Einrichtung des Sparbuchs ist der Zinsertrag maximal?

1.1.B

Zeigen Sie, daß bei der unterj¨ahrigen Verzinsung der Effektivzins gr¨ oßer ist als der Nominalzins, daß die Folge der Effektivzinsen streng monoton wachsend in der Anzahl der Zinstermine ist, und daß sie gegen den Effektivzins bei der stetigen Verzinsung konvergiert.

1.2 Sparpl¨ ane und Tilgungspl¨ ane

1.2

13

Sparpl¨ ane und Tilgungspl¨ ane

Wir behandeln in diesem Abschnitt Sparpl¨ane, bei denen ein Anfangskapital durch Sonderzahlungen und Verzinsung w¨achst, und Tilgungspl¨ane, bei denen eine zu verzinsende Schuld durch Annuit¨aten abgetragen wird.

Sparpl¨ ane Wir betrachten einen Sparplan mit einem Anfangskapital K und j¨ahrlichen Sonderzahlungen, die jeweils am Jahresende erfolgen. Das Anfangskapital und die Sonderzahlungen werden mit Zinseszins verzinst. Die j¨ahrlichen Sonderzahlungen und Zinss¨atze sind variabel. ur n ∈ N Wir setzen K0 := K und bezeichnen f¨ – mit Kn das Kapital am Ende des Jahres n , – mit Zn die Sonderzahlung am Ende des Jahres n , ur das Jahr n , und – mit in den Zinssatz f¨ ur das Jahr n . – mit qn den Aufzinsungsfaktor f¨ Dann gilt Kn+1 = Kn + in+1 Kn + Zn+1 = qn+1 Kn + Zn+1 Die Folge {Kn }n∈N0 erf¨ ullt also die lineare Differenzengleichung 1. Ordnung Kn+1 − qn+1 Kn = Zn+1 mit der Anfangsbedingung K0 = K . Daher gilt n−1   n−1  n−1   qk+1 K + qk+1 Zj+1 Kn = k=0

=

n−1  

=

k=0 n 

k=1

 qk+1 K +  qk K +

j=0

k=j+1

j=1

k=j

n−1 n 

n



j=1

n 



qk+1 Zj  qk Zj

k=j+1

Wir spezialisieren das Ergebnis f¨ ur den Fall eines konstanten Zinssatzes und/ oder konstanter Sonderzahlungen: – Bei konstantem Zinssatz in = i gilt mit q = 1 + i Kn = q n K +

n j=1

q n−j Zj

14 –

Kapitel 1. Finanzmathematik Bei konstanten Sonderzahlungen Zn = Z gilt  n   n  n   qk K + qk Z Kn = j=1

k=1

Im Fall Z = 0 erh¨alt man

 Kn =

n 

k=j+1

 qk K

k=1

–

durch Verzinsung mit Zinseszins u ¨ber n Jahre bei variablem Zinssatz. Bei konstantem Zinssatz und konstanten Sonderzahlungen gilt Kn = q n K +

n

q n−j Z

j=1

= qnK +

n−1

qk Z

k=0 n

= qnK +

q −1 Z q−1

Im Fall Z = 0 erh¨alt man Kn = q n K durch Verzinsung mit Zinseszins u ¨ber n Jahre bei konstantem Zinssatz. Damit ist die Entwicklung des Kapitals f¨ ur einen Sparplan gekl¨art. F¨ ur einen Sparplan mit konstantem Zinssatz und konstanten Sonderzahlungen l¨aßt sich die Laufzeit des Sparplans bis zum Erreichen eines vorgegebenen Endkapitals E berechnen: Wir betrachten ein N ∈ N mit E ≤ KN = q N K +

qN − 1 Z q−1

Durch Umformung ergibt sich zun¨achst


 (q−1)E + Z ≤ q N (q−1)K + Z

und sodann, unter der Voraussetzung, daß (q−1)K + Z = iK + Z > 0 gilt, (q−1)E + Z (q−1)K + Z

≤ qN

Durch Logarithmieren erh¨alt man

 log (q−1)E + Z − log (q−1)K + Z log(q)

≤ N

Das kleinste N ∈ N , das diese Ungleichung erf¨ ullt, heißt Laufzeit des Sparplans.

1.2 Sparpl¨ ane und Tilgungspl¨ ane

15

1.2.1 Beispiel (Bausparen). Wir betrachten einen Bausparvertrag mit einer Bauohe von 120 000 e , j¨ ahrlichen sparsumme von 300 000 e , einer Ansparsumme in H¨  Zahlungen von 12 000 e am Jahresende, und einer Verzinsung des Guthabens mit 3% . Es liegt also ein Sparplan mit konstantem Zinssatz und konstanten Sonderzahlungen vor; außerdem gilt K = 0 , Z = 12 000 und E = 120 000 . Das Kapital entwickelt sich wie folgt: n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

q

q Kn−1

1.03 0.00 1.03 12 360.00 1.03 25 090.80 1.03 38 203.52 1.03 51 709.63 1.03 65 620.92 1.03 79 949.55 1.03 94 708.04 1.03 109 909.28

Z 12 000.00 12 000.00 12 000.00 12 000.00 12 000.00 12 000.00 12 000.00 12 000.00 12 000.00

Kn 0.00 12 000.00 24 360.00 37 090.80 50 203.52 63 709.63 77 620.92 91 949.55 106 708.04 121 909.28

Die Laufzeit betr¨agt also 9 Jahre. Dieses Ergebnis erh¨ alt man auch ohne die Tabelle aus der Formel log(0.03 · 120 000 + 12 000) − log(0.03 · 0 + 12 000) ≈ 8.875 N ≥ log(1.03) Werden anstelle der Zahlungen von 12 000 e am Jahresende jeweils am Monatsanfang 1 000 e eingezahlt, so ergibt sich ein etwas schnelleres Wachstum des Bausparguthabens: Die Summe aller Zahlungen eines Jahres besitzt bei einfacher Verzinsung am Jahresende den Wert

 12 12 k 1 000 1 + k = 12 000 + 2.5 · 78 = 12 195 Z = 0.03 = 12 000 + 2.5 12 k=1

k=1

Das Kapital entwickelt sich dann wie folgt: n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

q

q Kn−1

1.03 0.00 1.03 12 560.85 1.03 25 498.53 1.03 38 824.34 1.03 52 549.92 1.03 66 687.27 1.03 81 248.74 1.03 96 247.05 1.03 111 695.31

Z 12 195.00 12 195.00 12 195.00 12 195.00 12 195.00 12 195.00 12 195.00 12 195.00 12 195.00

Kn 0.00 12 195.00 24 755.85 37 693.53 51 019.34 64 744.92 78 882.27 93 443.74 108 442.05 123 890.31

Die Laufzeit verl¨angert sich, wenn eine Abschlußgeb¨ uhr in H¨ ohe von 1% der Bauurde das sparsumme erhoben wird: Eine Abschlußgeb¨ uhr in H¨ ohe von 3 000 e w¨ Guthaben nach 9 Jahren um 1.039 · 3 000 ≈ 3 914.32 e verringern.

16

Kapitel 1. Finanzmathematik

Tilgungspl¨ ane Wir betrachten einen Tilgungsplan mit einer Anfangsschuld S und j¨ahrlichen Sonderzahlungen, die jeweils am Jahresende erfolgen. Die Anfangsschuld und die Sonderzahlungen werden mit Zinseszins verzinst. Die j¨ahrlichen Sonderzahlungen und Zinss¨atze sind variabel. Die j¨ahrlichen Sonderzahlungen setzen sich aus Schuldzinsen und Tilgung zusammen und werden als Annuit¨aten bezeichnet. ur n ∈ N Wir setzen S0 := S und bezeichnen f¨ – mit Sn die Schuld am Ende des Jahres n, – mit An die Annuit¨at am Ende des Jahres n, – mit Tn die Tilgung am Ende des Jahres n, ur das Jahr n, und – mit in den Zinssatz f¨ – mit qn den Aufzinsungsfaktor f¨ ur das Jahr n . Dann gilt Sn+1 = Sn − Tn+1 und An+1 = in+1 Sn + Tn+1 , und damit Sn+1 = Sn + in+1 Sn − An+1 = qn+1 Sn − An+1 Die Folge {Sn }n∈N0 erf¨ ullt also die lineare Differenzengleichung 1. Ordnung Sn+1 − qn+1 Sn = − An+1 mit der Anfangsbedingung S0 = S . Daher gilt n−1   n−1  n−1   qk+1 S + qk+1 (−Aj+1 ) Sn = k=0

=

n−1  

=

k=0 n 

k=1

 qk+1 S −  qk S −

j=0

k=j+1

j=1

k=j

n−1 n 

n j=1



n 



qk+1 Aj  qk Aj

k=j+1

Dieses Ergebnis ist formal identisch mit dem entsprechenden Ergebnis f¨ ur Sparpl¨ane. Wir spezialisieren das Ergebnis f¨ ur den Fall eines konstanten Zinssatzes und/ oder konstanter Annuit¨aten: – Bei konstantem Zinssatz in = i gilt mit q = 1 + i Sn = q n K −

n j=1

q n−j Zj

1.2 Sparpl¨ ane und Tilgungspl¨ ane –

17

Bei konstanten Annuit¨aten An = A gilt  Sn =

n 

 qk S −



j=1

k=1

–

n

n 

 qk A

k=j+1

Bei konstantem Zinssatz und konstanten Annuit¨aten gilt Sn = q n S −

qn − 1 A q−1

Damit ist die Entwicklung der Schuld f¨ ur einen Tilgungsplan gekl¨art. F¨ ur einen Tilgungsplan mit konstantem Zinssatz und konstanten Annuit¨aten l¨aßt sich die Laufzeit des Tilgungsplans bis zur vollst¨andigen Tilgung der Schuld berechnen: Wir betrachten ein N ∈ N mit 0 ≥ SN = q N S −

qN − 1 A q−1

Durch Umformung ergibt sich zun¨achst
 q N A − (q−1)S ≥ A und sodann, unter der nat¨ urlichen Voraussetzung, daß A > iS = (q−1)S gilt, qN ≥

A A − (q−1)S

Durch Logarithmieren erh¨alt man

N ≥


 log(A) − log A − (q−1)S log(q)

Das kleinste N ∈ N , das diese Ungleichung erf¨ ullt, heißt Laufzeit des Tilgungsplans. 1.2.2 Beispiel (Bausparen). Wir betrachten einen Bausparvertrag mit einer Bausparsumme von 300 000 e. Am Ende eines Jahres ist der Bausparvertrag mit 121 909.28 e angespart und die Bausparsumme wird ausgezahlt. Damit besteht eine Schuld in H¨ohe von 178 090.72 e. Das Darlehen wird mit 5% verzinst und es wird j¨ahrlich am Jahresende eine Annuit¨at in H¨ohe von 18 000 e gezahlt. Es liegt also ein Tilgungsplan mit konstantem Zinssatz und konstanten Annuit¨ aten vor; außerdem

18

Kapitel 1. Finanzmathematik

gilt S = 178 090.72 und A = 18 000 . Das Darlehen entwickelt sich wie folgt: n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

q

q Sn−1

A

1.05 1.05 1.05 1.05 1.05 1.05 1.05 1.05 1.05 1.05 1.05 1.05 1.05 1.05

186 995.26 177 445.02 167 417.27 156 888.13 145 832.54 134 224.17 122 035.38 109 237.14 95 799.00 81 688.95 66 873.40 51 317.07 34 982.92 17 832.07

18 000.00 18 000.00 18 000.00 18 000.00 18 000.00 18 000.00 18 000.00 18 000.00 18 000.00 18 000.00 18 000.00 18 000.00 18 000.00 18 000.00

Sn 178 090.72 168 995.26 159 445.02 149 417.27 138 888.13 127 832.54 116 224.17 104 035.38 91 237.14 77 799.00 63 688.95 48 873.40 33 317.07 16 982.92 −167, 93

Die Laufzeit betr¨agt also 14 Jahre. Dieses Ergebnis erh¨ alt man auch ohne die Tabelle aus der Formel log(18 000) − log(18 000 − 0.05 · 178 090.72) N ≥ ≈ 13.990 log(1.05) Die Laufzeit verl¨angert sich, wenn eine Darlehnsgeb¨ uhr in H¨ ohe von 2% der Bausparurde das Darlehen summe erhoben wird: Eine Darlehnsgeb¨ uhr in H¨ohe von 6 000 e w¨ ohen. nach 14 Jahren um 1.0514 · 6 000 ≈ 11 879.59 e erh¨

Aufgaben 1.2.A

Berechnen Sie f¨ ur den Bausparvertrag aus dem Beispiel die Dauer der Sparphase und die Dauer der Tilgungsphase sowie die Entwicklung des Guthabens, wenn eine Abschlußgeb¨ uhr in H¨ ohe von 3 000 e und eine Dar ¨ von der lehnsgeb¨ uhr in H¨ohe von 6 000 e erhoben wird und der Ubergang Sparphase zur Tilgungsphase am Ende des Jahres erfolgt, in dem die Ansparsumme erstmals erreicht wird. Verringern Sie dazu das Anfangskapital in der Sparphase um die Abschlußgeb¨ uhr und erh¨ ohen Sie die Anfangsschuld in der Tilgungsphase um die Darlehnsgeb¨ uhr.

1.2.B

Gegeben sei ein Bausparvertrag mit einer Bausparsumme von 100 000 e und folgenden Konditionen: Abschlußgeb¨ uhr 1% , Darlehnsgeb¨ uhr 2% , Sparrate am Jahresende 6% , Ansparsumme 40% , Annuit¨ at am Jahresende 7.2% (jeweils von der Bausparsumme), Verzinsung des Guthabens mit 3% , Verzinsung des Darlehens mit 4% . Der Bausparvertrag beginnt ¨ am Anfang eines Kalenderjahres und der Ubergang von der Sparphase zur Tilgungsphase erfolgt am Ende des Kalenderjahres, in dem die Ansparsumme erstmals erreicht wird. Berechnen Sie die Dauer der Sparphase und die Dauer der Tilgungsphase.

1.3 Renten

19

1.2.C

Im Beispiel wurde ein Verfahren angegeben, mit dem in der Sparphase Zahlungen am Monatsanfang auf Zahlungen am Jahresende zur¨ uckgef¨ uhrt werden k¨onnen. L¨aßt sich dieses Verfahren auf die Tilgungsphase u ¨bertragen, wenn die Schuld innerhalb eines Kalenderjahres monatlich einfach verzinst wird?

1.2.D

Bei einem Tilgungsplan mit konstantem Zinssatz i und konstanten Annuit¨aten wird die Annuit¨at oft so festgesetzt, daß die erste Tilgung j · 100% der Schuld betr¨agt. Dann ist die Laufzeit des Tilgungsplans durch das kleinste N ∈ N mit log(j +i) − log(j) N ≥ log(1+i) gegeben. Insbesondere ist die Laufzeit unabh¨ angig von der Anfangsschuld.

1.3

Renten

Eine Rente ist eine Folge von Zahlungen, die in gleichen zeitlichen Abst¨anden erfolgen. Wir bezeichnen das Zeitintervall (k − 1, k] als Kalenderjahr k oder kurz als Jahr k . Eine Rente heißt – vorsch¨ ussig, wenn die Rentenzahlungen jeweils am Jahresanfang erfolgen: 1 0 • 0

• 1

• 2

• 3

•

•

•

•

•

4

5

6

7

8

• 9

• 10

Vorsch¨ ussige um 4 Jahre aufgeschobene 5–j¨ ahrige Rente

–

nachsch¨ ussig, wenn die Rentenzahlungen jeweils am Jahresende erfolgen: •

1 0 0

• 1

• 2

• 3

4

•

5

•

6

•

7

•

8

• 9

• 10

Nachsch¨ ussige um 3 Jahre aufgeschobene 5–j¨ ahrige Rente

Formal ist eine um 4 Jahre aufgeschobene 5–j¨ahrige vorsch¨ ussige Rente nichts anderes als eine um 3 Jahre aufgeschobene 5–j¨ahrige nachsch¨ ussige Rente. Unter bilanzrechtlichen oder steuerrechtlichen Gesichtspunkten kann es jedoch wesentlich sein, ob eine Zahlung zum Zeitpunkt k als eine vorsch¨ ussige Zahlung f¨ ur das Jahr k +1 oder als eine nachsch¨ ussige Zahlung f¨ ur das Jahr k behandelt

20

Kapitel 1. Finanzmathematik

wird. Zudem erlangt die Unterscheidung von vorsch¨ ussigen und nachsch¨ ussigen Renten in der Lebensversicherungsmathematik eine gewisse Bedeutung. Im gesamten Abschnitt sei i ∈ (0, ∞) ein j¨ahrlicher Zinssatz, q := 1 + i der zugeh¨orige Aufzinsungsfaktor und v :=

1 q

der zugeh¨orige Abzinsungsfaktor.

Vorschu ¨ ssige Renten Bei einer vorsch¨ ussigen Rente erfolgt am Anfang des Jahres k eine Zahlung der H¨ohe
k ∈ R+ . Wir setzen
:= {
k }k∈N . Wir betrachten im folgenden vorwiegend vorsch¨ ussige Renten
= {
k }k∈N mit
k ∈ {0, 1} f¨ ur alle k ∈ N und bezeichnen in diesem Fall mit ¨ (
) := {k ∈ N |
k = 1} N die Menge der Jahre, f¨ ur die vorsch¨ ussig eine Zahlung der H¨ohe 1 erfolgt. 1.3.1 Beispiele (Vorsch¨ ussige Renten). (1) Ewige Rente: ¨ (
) = {1, 2, . . . } N (2) n–j¨ ahrige Rente:

¨ (
) = {1, 2, . . . , n} N

(3) Um m Jahre aufgeschobene ewige Rente: ¨ (
) = {m+1, m+2, . . . } N (4) Um m Jahre aufgeschobene n–j¨ ahrige Rente: ¨ (
) = {m+1, m+2, . . . , m+n} N

Der Barwert einer vorsch¨ ussigen Rente
ist definiert als a ¨(
) := v k−1 ¨ (
) k∈N F¨ ur die vorher betrachteten vorsch¨ ussigen Renten ergeben sich die Barwerte wie folgt:

1.3 Renten

21

1.3.2 Beispiele (Vorsch¨ ussige Renten). (1) Ewige Rente: ¨(
) = a ¨ ∞ := a

∞

∞

v k−1 =

vj =

j=0

k=1

1 1−v

(2) n–j¨ ahrige Rente: a ¨ n := a ¨(
) =

n

v k−1 =

n−1

vj =

j=0

k=1

1 − vn 1−v

(3) Um m Jahre aufgeschobene ewige Rente: ¨∞ m| a

:= a ¨(
) =

∞

∞

v k−1 =

k=m+1

vj = vm

j=m

1 1−v

(4) Um m Jahre aufgeschobene n–j¨ ahrige Rente: ¨n m| a

:= a ¨(
) =

m+n k=m+1

v k−1 =

m+n−1

vj = vm

j=m

1 − vn 1−v

Damit ergibt sich der Barwert einer ewigen Rente aus dem Barwert einer n–j¨ ahrigen Rente durch Grenz¨ ubergang n → ∞ , w¨ahrend sich der Barwert einer um m Jahre aufgeschobenen Rente aus dem Barwert einer nicht aufgeschobenen Rente durch Multiplikation mit v m ergibt.

Nachschu ¨ ssige Renten Bei einer nachsch¨ ussigen Rente erfolgt am Ende des Jahres k eine Zahlung der H¨ohe
k ∈ R+ . Wir setzen
:= {
k }k∈N . Wir betrachten im folgenden vorwiegend nachsch¨ ussige Renten
= {
k }k∈N mit
k ∈ {0, 1} f¨ ur alle k ∈ N und bezeichnen in diesem Fall mit N (
) := {k ∈ N |
k = 1} die Menge der Jahre, f¨ ur die nachsch¨ ussig eine Zahlung der H¨ohe 1 erfolgt. 1.3.3 Beispiele (Nachsch¨ ussige Renten). (1) Ewige Rente: N (
) = {1, 2, . . . } (2) n–j¨ ahrige Rente:

N (
) = {1, 2, . . . , n}

(3) Um m Jahre aufgeschobene ewige Rente: N (
) = {m+1, m+2, . . . }

22

Kapitel 1. Finanzmathematik

(4) Um m Jahre aufgeschobene n–j¨ ahrige Rente: N (
) = {m+1, m+2, . . . , m+n}

Der Barwert einer nachsch¨ ussigen Rente
ist definiert als vk a(
) := k∈N (
)

F¨ ur die vorher betrachteten nachsch¨ ussigen Renten ergeben sich die Barwerte wie folgt: 1.3.4 Beispiele (Nachsch¨ ussige Renten). (1) Ewige Rente: a ∞ := a(
) =

∞

∞

vk = v

vj = v

j=0

k=1

1 1−v

(2) n–j¨ ahrige Rente: a n := a(
) =

n

vk = v

n−1

vj = v

j=0

k=1

1 − vn 1−v

(3) Um m Jahre aufgeschobene ewige Rente: m| a ∞

:= a(
) =

∞

vk = v

k=m+1

∞

v j = v m+1

j=m

1 1−v

(4) Um m Jahre aufgeschobene n–j¨ ahrige Rente: m| a n := a(
) =

m+n k=m+1

vk = v

m+n−1 j=m

v j = v m+1

1 − vn 1−v

Damit ergibt sich der Barwert einer ewigen Rente aus dem Barwert einer n–j¨ ahrigen Rente durch Grenz¨ ubergang n → ∞ , w¨ahrend sich der Barwert einer um m Jahre aufgeschobenen Rente aus dem Barwert einer nicht aufgeschobenen Rente durch Multiplikation mit v m ergibt.

Allgemein ergibt sich der Barwert einer nachsch¨ ussigen Rente aus dem Barwert der entsprechenden vorsch¨ ussigen Rente durch Multiplikation mit dem Abzinsungsfaktor v . Die folgenden Beispiele zeigen den Unterschied zwischen vorsch¨ ussigen und nachsch¨ ussigen Renten gleicher Art:

1.3 Renten

23

1.3.5 Beispiel (Kauf gegen Rente). Ein K¨aufer erwirbt ein Grundst¨ uck zu einem ahrigen Rente mit Kaufpreis von 250 000 e. Der Kaufpreis soll in Form einer 12–j¨ einem Zins von 5% entrichtet werden. Es gilt a ¨ 12 =

1 − (1/1.05)12 ≈ 9.306414 1 − 1/1.05

und

1 1 ·a ¨ 12 ≈ · 9.306414 ≈ 8.863251 1.05 1.05 Daraus ergibt sich bei vorsch¨ ussiger Zahlung eine j¨ ahrliche Rente in H¨ ohe von ussiger Zahlung eine j¨ ahrliche Rente 250 000/9.306414 ≈ 26 863.19 e und bei nachsch¨ in H¨ohe von 250 000/8.863251 ≈ 28 206.36 e. a 12 =

1.3.6 Beispiel (Stiftungskapital). Bei einem Musikwettbewerb, der j¨ ahrlich durchgef¨ uhrt wird, werden Preise in H¨ohe von 20 000, e 10 000 e und 5 000 e vergeben. Ein M¨azen errichtet eine Stiftung zur Finanzierung der Preise; er geht davon aus, daß das Stiftungskapital mit 8% verzinst wird. Es gilt a ¨∞ =

1 = 13.5 1 − 1/1.08

und

1 1 = ·a ¨ · 13.5 = 12.5 1.08 ∞ 1.08 Daraus ergibt sich bei vorsch¨ ussiger Finanzierung der Preise ein Stiftungskapital in ussiger Finanzierung der Preise H¨ohe von 35 000 · 13.5 = 472 500 e und bei nachsch¨ ein Stiftungskapital in H¨ohe von 35 000 · 12.5 = 437 500 e. a∞ =

Aufgaben 1.3.A

Zeigen Sie, daß mit d := i/(1 + i) a ¨n

=

an

=

a ¨∞

=

a∞

=

1 − vn d 1 − vn i 1 d 1 i

gilt. 1.3.B

Endwert: Der Endwert einer um m Jahre aufgeschobenen n–j¨ ahrigen Rente ist definiert als der um m+n Jahre aufgezinste Barwert. Daher ist ¨n m| s

:= q m+n m| a ¨n

der Endwert einer vorsch¨ ussigen um m Jahre aufgeschobenen n–j¨ ahrigen

24

Kapitel 1. Finanzmathematik Rente und m| s n

:= q m+n m| a n

der Endwert einer nachsch¨ ussigen um m Jahre aufgeschobenen n–j¨ ahrigen Rente. Zeigen Sie, daß die Endwerte m| s¨n und m| s n nicht von der Aufschubzeit m abh¨angen. 1.3.C

Zeigen Sie, daß mit d := i/(1 + i) sowie s¨n := 0| s¨n und s n := 0| s n s¨n

=

sn

=

qn − 1 d qn − 1 i

gilt. 1.3.D

Warum ist der Begriff des Endwertes f¨ ur ewige Renten sinnlos?

1.4

Bemerkungen

Da das vorliegende Buch der Versicherungsmathematik gewidmet ist, haben wir in diesem Kapitel nur einige grundlegende Konzepte der Finanzmathematik, und unter ihnen insbesondere solche, die f¨ ur die Lebensversicherungsmathematik von Bedeutung sind, behandelt. F¨ ur eine ausf¨ uhrliche Darstellung der Finanzmathematik verweisen wir auf Locarek–Junge [1997].

Kapitel 2 Wahrscheinlichkeiten Gegenstand der Wahrscheinlichkeitstheorie sind mathematische Modelle, die die zuf¨allige Erzeugung von Daten beschreiben, und mathematische Methoden, mit denen Folgerungen aus den Annahmen solcher Modelle gezogen werden k¨onnen. In diesem Kapitel entwickeln wir den Begriff des Wahrscheinlichkeitsraumes, der als mathematisches Modell f¨ ur ein Zufallsexperiment dient und die Grundlage der Wahrscheinlichkeitstheorie bildet. Wir betrachten insbesondere die Rolle der Kombinatorik in symmetrischen Wahrscheinlichkeitsr¨aumen, die Unabh¨angigkeit von Ereignissen, und bedingte Wahrscheinlichkeiten.

2.1

Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeitsr¨ aume

In diesem Abschnitt betrachten wir zun¨achst Zufallsexperimente und entwickeln dann den Begriff des Wahrscheinlichkeitsraumes als Modell f¨ ur ein Zufallsexperiment.

Zufallsexperimente Ein Zufallsexperiment ist ein real oder gedanklich durchf¨ uhrbares und wiederholbares Experiment mit ungewissem Ergebnis. Im Gegensatz zu klassischen Experimenten in den Naturwissenschaften, bei denen eine bestimmte Versuchsanordnung stets dasselbe Ergebnis liefert, sind die Ergebnisse eines Zufallsexperimentes ungewiß und vom Zufall abh¨angig. Wir werden jedoch sehen, daß man Zufallsexperimente durch mathematische Modelle beschreiben kann und ihre Ergebnisse in einem noch zu pr¨azisierenden Sinn vorhersagen kann. Die einfachsten Zufallsexperimente sind Gl¨ ucksspiele:

26

Kapitel 2. Wahrscheinlichkeiten

2.1.1 Beispiel (Problem der Doppelsechs). Eine Spielbank bietet zwei Gl¨ ucksspiele an: – Spiel I besteht im 4–maligen Werfen eines W¨ urfels. Der Spieler gewinnt, falls nie eine Sechs auftritt. – Spiel II besteht im 24–maligen Werfen zweier W¨ urfel. Der Spieler gewinnt, falls nie eine Doppelsechs auftritt. Welches Spiel ist g¨ unstiger? 2.1.2 Beispiel (Probl` eme des parties). Spieler K und Spieler Z werfen abwechselnd eine M¨ unze. Vor jedem Zug zahlt jeder Spieler 1 e in die Kasse. Spieler K gewinnt den Zug, falls Kopf auftritt; Spieler Z gewinnt den Zug, falls Zahl auftritt. Das Geld bleibt in der Kasse. Das Spiel ist entschieden, sobald einer der Spieler 10 Z¨ uge gewonnen hat. Dieser Spieler gewinnt das Spiel und erh¨ alt die bis dahin in die Kasse geleisteten Zahlungen. Das Spiel wird nach 15 Z¨ ugen abgebrochen; bis dahin sind 8–mal Kopf und 7–mal Zahl aufgetreten. Wie ist die Kasse aufzuteilen?

In beiden Beispielen kann die L¨osung nur in einem geeigneten mathematischen Modell f¨ ur das Zufallsexperiment gewonnen werden. Solche Modelle werden h¨aufig intuitiv verwendet, ohne daß der Prozeß der Modellbildung u ¨berhaupt bewußt wird: 2.1.3 Beispiel (Wurf eines W¨ urfels). Ein W¨ urfel werde einmal geworfen. – Realit¨at (Zufallsexperiment): Wurf des W¨ urfels. ¨ – Abstraktion und Ubergang zu einem Modell: Jede der m¨ oglichen Augenzahlen 1, 2, ..., 6 hat die gleiche Chance 1/6 . – Folgerung aus dem Modell: Gerade und ungerade Augenzahlen haben die gleiche Chance 1/2 . – Interpretation der Folgerung aus dem Modell: Beim h¨ aufigen Wurf des W¨ urfels ist in der H¨alfte der F¨alle eine gerade Augenzahl zu erwarten. Wenn die Erfahrung zeigen sollte, daß beim h¨aufigen Wurf des W¨ urfels in deutlich weniger (oder mehr) als der H¨alfte der F¨alle eine gerade Augenzahl auftritt, dann ist das Modell, also die Annahme, daß jede der m¨oglichen Augenzahlen 1, 2, ..., 6 die gleiche Chance 1/6 hat, zu verwerfen und durch ein anderes Modell zu ersetzen.

Das Beispiel l¨aßt ein allgemeines Prinzip f¨ ur die Beziehung zwischen Realit¨at und Modell erkennen: Abstraktion =⇒

Modell

Realit¨at ⇐= Folgerungen aus dem Modell Interpretation Dar¨ uber hinaus besteht eine Wechselwirkung zwischen Realit¨at und Modell: Wenn eine Folgerung aus dem Modell mit der Realit¨at nicht vertr¨aglich ist, dann ist das Modell zu verwerfen und durch ein anderes Modell zu ersetzen.

2.1 Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeitsr¨ aume

27

Die Bildung eines mathematischen Modells f¨ ur ein Zufallsexperiment erfolgt in drei Schritten, die wir im folgenden beschreiben.

Die Ergebnismenge Der erste Schritt besteht in der Wahl einer nichtleeren Menge Ω Die Menge Ω heißt Ergebnismenge oder Menge der (m¨oglichen) Ergebnisse des Zufallsexperimentes. Jedes Element ω ∈ Ω heißt Ergebnis. Die folgenden Beispiele zeigen, daß bei der Wahl der Ergebnismenge Ω oft eine gewisse Freiheit besteht: 2.1.4 Beispiel (Dreimaliger Wurf einer M¨ unze). Eine M¨ unze werde dreimal geworfen. Vernachl¨ assigt man ungew¨ohnliche Ergebnisse, etwa die M¨ oglichkeit, daß die M¨ unze einmal oder mehrmals auf dem Rand stehen bleibt, so kann man entweder die Anzahl der Versuche, bei denen Kopf auftritt, oder aber alle Tripel, die aus Kopf und Zahl gebildet werden k¨onnen, als Ergebnisse betrachten. F¨ ur die Ergebnismenge w¨ urde man im ersten Fall Ω := {0, 1, 2, 3} und im zweiten Fall

Ω :=

{K, Z}3

=

KKK, KZK, ZKK, ZZK, KKZ, KZZ, ZKZ, ZZZ



w¨ahlen. 2.1.5 Beispiel (Probl` eme des parties). Es ist naheliegend, alle m¨ oglichen Folgen von Kopf und Zahl bis zum Ende des Spiels als Ergebnisse zu betrachten; in diesem Fall w¨ urde man die Ergebnismenge ⎫ ⎧ KK, KZK, KZZK, KZZZ, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎨ ZKK, ZKZK, ZKZZ, Ω := ZZKK, ZZKZ, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ ZZZ w¨ahlen. Andererseits ist das Spiel nach h¨ochstens vier Z¨ ugen beendet; daher k¨ onnte man auch die Ergebnismenge ⎧ ⎫ KKKK, KZKK, ZKKK, ZZKK, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ KKKZ, KZKZ, ZKKZ, ZZKZ, 4 Ω := {K, Z} = KKZK, KZZK, ZKZK, ZZZK, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ KKZZ, KZZZ, ZKZZ, ZZZZ w¨ahlen.

28

Kapitel 2. Wahrscheinlichkeiten

Die σ–Algebra der Ereignisse Der zweite Schritt besteht, nach der Wahl der Ergebnismenge Ω , in der Wahl eines nichtleeren Mengensystems F ⊆ 2Ω Das Mengensystem F ist eine Teilmenge der Potenzmenge 2Ω von Ω und heißt System der (interessierenden) Ereignisse. Jede Menge A ∈ F heißt Ereignis. Wir unterscheiden zwei F¨alle: – Ist die Ergebnismenge Ω abz¨ahlbar, also endlich oder abz¨ahlbar unendlich, so w¨ahlt man im allgemeinen F := 2Ω –

Ist die Ergebnismenge Ω nicht abz¨ahlbar, wie etwa im Fall Ω := R , so ist es aus Gr¨ unden, die hier nicht dargelegt werden k¨onnen, unter Umst¨anden erforderlich, ein Mengensystem F zu w¨ahlen, das nicht alle Teilmengen von Ω enth¨alt. Auch im zweiten Fall sollte das System der Ereignisse F so reichhaltig sein, daß beispielsweise das Komplement eines Ereignisses sowie die Vereinigung und der Durchschnitt von zwei Ereignissen wieder ein Ereignis ist. In der folgenden Definition wird sogar noch etwas mehr verlangt: Ein Mengensystem F ⊆ 2Ω heißt σ–Algebra, wenn es folgende Eigenschaften besitzt: (i) Es gilt Ω ∈ F. (ii) F¨ ur alle A ∈ F gilt A ∈ F.  (iii) F¨ ur jede Folge {An }n∈N ⊆ F gilt ∞ n=1 An ∈ F. Offensichtlich ist das Mengensystem 2Ω eine σ–Algebra. Aus den definierenden Eigenschaften einer σ–Algebra ergibt sich eine Reihe weiterer Eigenschaften: 2.1.6 Lemma. Sei F ⊆ 2Ω eine σ–Algebra. (1) Es gilt ∅ ∈ F. (2) F¨ ur alle A, B ∈ F gilt A ∪ B ∈ F sowie A ∩ B ∈ F und A \ B ∈ F. (3) F¨ ur jede Folge {An }n∈N ⊆ F gilt ∞ n=1 An ∈ F. Eine σ–Algebra enth¨alt also mit jedem Ereignis sein Komplement und mit jeder abz¨ahlbaren Familie von Ereignissen die Vereinigung und den Durchschnitt der Ereignisse dieser Familie. ur A, B ∈ F mit A ∩ B = ∅ setzen wir Sei F ⊆ 2Ω eine σ–Algebra. F¨ A + B := A ∪ B Ist I eine abz¨ahlbare nichtleere Indexmenge, so heißt eine Familie {Ai }i∈I ⊆ F

2.1 Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeitsr¨ aume –

(paarweise) disjunkt, wenn Ai ∩ Aj = ∅ f¨ ur alle i, j ∈ I mit i = j gilt; in diesem Fall setzen wir  Ai := Ai i∈I

–

29

i∈I

Zerlegung von A ∈ F , wenn sie disjunkt ist und Ai = A i∈I

gilt. Von besonderer Bedeutung werden Zerlegungen von Ω sein. Als System der Ereignisse w¨ahlen wir stets eine σ–Algebra F ⊆ 2Ω .

Das Wahrscheinlichkeitsmaß Der dritte Schritt besteht, nach der Wahl der Ergebnismenge Ω und der σ– Algebra F ⊆ 2Ω , in der Wahl einer Abbildung P : F → [0, 1] ¨ die alle Ereignisse bewertet. Die folgenden Uberlegungen legen es nahe, daß die Abbildung P : F → [0, 1] gewisse Eigenschaften besitzen sollte: Wir betrachten ein Zufallsexperiment und nehmen an, daß die Ergebnismenge Ω und die σ–Algebra F ⊆ 2Ω bereits gew¨ahlt sind. Ist A ∈ F ein Ereignis und ergibt sich bei der Durchf¨ uhrung des Zufallsexperimentes ein Ergebnis ω ∈ Ω mit ω ∈ A , so sagen wir, daß das Ereignis A eintritt. 2.1.7 Beispiel (Wurf eines W¨ urfels). Wir setzen Ω := {1, 2, . . . , 6} und F := 2Ω und betrachten das Ereignis A := {2, 4, 6} . Ergibt sich beim Wurf des W¨ urfels die Augenzahl ω = 6 , so tritt A ein; ergibt sich die Augenzahl ω = 3 , so tritt A nicht ein. In beiden F¨allen tritt das Ereignis Ω ein.

Wir nehmen nun an, daß das Zufallsexperiment n–mal durchgef¨ uhrt wird. F¨ ur ein Ereignis A ∈ F bezeichne An [A] die Anzahl der Versuche, bei denen das Ereignis A eintritt. Wir nennen An [A] die Anzahl der Erfolge oder die absolute H¨aufigkeit von A ∈ F bei n Versuchen. Die absoluten H¨aufigkeiten besitzen folgende Eigenschaften: (i) F¨ ur alle A ∈ F gilt 0 ≤ An [A] ≤ n . (ii) Es gilt An [Ω] = n . (iii) F¨ ur alle A, B ∈ F mit A ∩ B = ∅ gilt An [A + B] = An [A] + An [B] . Die absoluten H¨aufigkeiten sind vom Zufall abh¨angig.

30

Kapitel 2. Wahrscheinlichkeiten

Da die absoluten H¨aufigkeiten mit der Anzahl der Versuche wachsen, ist es sinnvoll, zu normierten Gr¨oßen u ¨berzugehen, die nicht von der Anzahl der Versuche abh¨angen. F¨ ur A ∈ F nennen wir An [A] n den Anteil der Erfolge oder die relative H¨aufigkeit von A ∈ F bei n Versuchen. Die relativen H¨aufigkeiten besitzen folgende Eigenschaften: (i) F¨ ur alle A ∈ F gilt 0 ≤ Rn [A] ≤ 1 . (ii) Es gilt Rn [Ω] = 1 . (iii) F¨ ur alle A, B ∈ F mit A ∩ B = ∅ gilt Rn [A + B] = Rn [A] + Rn [B] . Die relativen H¨aufigkeiten sind, wie die absoluten H¨aufigkeiten, vom Zufall abh¨angig. Rn [A] :=

Die Erfahrung legt es nahe zu vermuten, daß es zu jedem Ereignis A ∈ F eine feste Zahl W [A] ∈ [0, 1] gibt, sodaß sich bei wachsender Anzahl n der Versuche die zuf¨alligen relativen H¨aufigkeiten Rn [A] normalerweise der Zahl W [A] ann¨ahern. 2.1.8 Beispiel (Wurf eines W¨ urfels). Wir setzen Ω := {1, 2, . . . , 6} und F := 2Ω und betrachten das Ereignis A := {2, 4, 6} . – Ergibt sich bei einer unendlichen Folge von Versuchen immer die Augenzahl 6 , ur alle n ∈ N ; daher sollte W [A] = 1 gelten. so gilt Rn [A] = 1 f¨ – Ergibt sich bei einer unendlichen Folge von Versuchen immer die Augenzahl 3 , ur alle n ∈ N ; daher sollte W [A] = 0 gelten. so gilt Rn [A] = 0 f¨ Diese beiden extremen F¨alle, die erfahrungsgem¨aß nur selten vorkommen, f¨ uhren zu widerspr¨ uchlichen Bestimmungen von W [A] .

Das Beispiel zeigt, daß die Ableitung einer festen Zahl W [A] aus der Folge der zuf¨alligen relativen H¨aufigkeiten Rn [A] eines Ereignisses A ∈ F auf schwachen F¨ ußen steht. Wir machen daher einen gedanklichen Sprung und ordnen jedem Ereignis A ∈ F eine feste Zahl P [A] zu, derart, daß die Gesamtheit der Zahlen P [A] mit A ∈ F die gleichen Eigenschaften besitzt wie die Gesamtheit der zuf¨alligen relativen H¨aufigkeiten Rn [A] mit A ∈ F. In der folgenden Definition wird sogar noch etwas mehr verlangt: Eine Abbildung P : F → R heißt Wahrscheinlichkeitsmaß, wenn sie folgende Eigenschaften besitzt: (i) F¨ ur alle A ∈ F gilt 0 ≤ P [A] ≤ 1 . (ii) Es gilt P [Ω] = 1 .  ∞ (iii) F¨ ur jede disjunkte Folge {An }n∈N gilt P [ ∞ n=1 An ] = n=1 P [An ] . F¨ ur A ∈ F nennen wir P [A] die Wahrscheinlichkeit von A .

2.1 Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeitsr¨ aume

31

Aus den definierenden Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes ergibt sich eine Reihe weiterer Eigenschaften: 2.1.9 Lemma. Sei P : F → [0, 1] ein Wahrscheinlichkeitsmaß. (1) Es gilt P [∅] = 0 . (2) F¨ ur alle A, B ∈ F mit A ∩ B = ∅ gilt P [A + B] = P [A] + P [B] . (3) F¨ ur alle A, B ∈ F gilt P [A ∪ B] = P [A] + P [B] − P [A ∩ B] . (4) F¨ ur alle A ∈ F gilt P [A] = 1 − P [A] . (5) F¨ ur alle A, B ∈ F mit A ⊆ B gilt P [A] ≤ P [B] . (6) F¨ ur alle A, B ∈ F mit P [B] = 1 gilt P [A] = P [A ∩ B] .  Beweis. Die Folge {An }n∈N mit An := ∅ ist disjunkt und es gilt ∞ n=1 ∅ = ∅ . Daher gilt ∞  P [∅] = P ∅ n=1

=

∞

P [∅]

n=1

Wegen P [∅] < ∞ folgt daraus P [∅] = 0 Damit ist (1) gezeigt. F¨ ur A, B ∈ F mit A ∩ B = ∅ definieren ⎧ ⎨ A B An := ⎩ ∅

wir eine Folge {An }n∈N durch falls n = 1 falls n = 2 sonst

Dann ist die Folge {An }n∈N disjunkt und aus (1) folgt ∞  P [A + B] = P An n=1

=

∞

P [An ]

n=1

= P [A] + P [B] Damit ist (2) gezeigt. F¨ ur alle A, B ∈ F gilt A = A\B + A∩B B = B \A + A∩B A ∪ B = A\B + A∩B + B \A

32

Kapitel 2. Wahrscheinlichkeiten

und aus (2) folgt


 P [A\B] + P [A∩B] + P [B \A] + P [A∩B]

 = P [A\B] + P [A∩B] + P [B \A] + P [A∩B]

P [A∪B] + P [A∩B] =

= P [A] + P [B] Damit ist (3) gezeigt. F¨ ur alle A ∈ F gilt A + A = Ω und aus (2) folgt P [A] + P [A] = P [Ω] = 1 Damit ist (4) gezeigt. F¨ ur alle A, B ∈ F mit A ⊆ B gilt A + B \A = B und aus (2) folgt P [A] ≤ P [A] + P [B \A] = P [B] Damit ist (5) gezeigt. F¨ ur alle A, B ∈ F gilt B ⊆ A∪B , und aus (5) folgt P [B] ≤ P [A∪B] ≤ 1 . Im Fall P [B] = 1 gilt daher P [A∪B] = 1 , und aus (3) folgt nun 1 = P [A∪B] = P [A] + P [B] − P [A∩B] = P [A] + 1 − P [A∩B] 2

Damit ist (6) gezeigt. 2.1.10 Lemma. Sei P : F → [0, 1] ein Wahrscheinlichkeitsmaß. (1) F¨ ur jede monoton wachsende Folge {Bn }n∈N ⊆ F gilt ∞   Bn = lim P [Bn ] P n=1

n→∞

(2) F¨ ur jede monoton fallende Folge {Cn }n∈N ⊆ F gilt ∞   Cn = lim P [Cn ] P n=1

n→∞

Beweis. Sei B0 := ∅ . F¨ ur alle n ∈ N setzen wir An := Bn \ Bn−1

2.1 Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeitsr¨ aume Dann ist n }n∈N ⊆ F disjunkt und es gilt Bn = ∞die Folge{A ∞ damit n=1 Bn = k=1 Ak . Daher gilt   n lim P [Bn ] = lim P Ak n→∞

n→∞

= =

lim

∞

= P

k=1

Ak und

P [Ak ]

k=1

P [Ak ]

k=1



n

k=1 n

n→∞

33

∞

 k=1 ∞ 

= P

 Ak  Bn

n=1

Damit ist (1) gezeigt. Da die Folge {Cn }n∈N monoton fallend ist, ist die Folge {C n }n∈N ⊆ F monoton wachsend. Aus (1) erhalten wir daher ∞   ∞    P Cn = P Cn n=1

n=1



∞ 

= 1−P

 Cn

n=1

= 1 − lim P [C n ] n→∞


= 1 − lim 1 − P [Cn ] n→∞

=

lim P [Cn ]

n→∞

2

Damit ist auch (2) gezeigt. Als Bewertung P : F → [0, 1] w¨ahlen wir stets ein Wahrscheinlichkeitsmaß.

Der Wahrscheinlichkeitsraum Insgesamt ordnen wir also einem Zufallsexperiment als mathematisches Modell ein Tripel (Ω, F, P ) zu, wobei Ω eine nichtleere Menge, F eine σ–Algebra von Teilmengen von Ω ,

34

Kapitel 2. Wahrscheinlichkeiten

und P : F → [0, 1] ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist. Das Tripel (Ω, F, P ) heißt Wahrscheinlichkeitsraum. Wir kehren abschließend zu den am Anfang dieses Abschnitts betrachteten Beispielen zur¨ uck: 2.1.11 Beispiel (Problem der Doppelsechs). Wir nehmen an, die W¨ urfel seien unverf¨alscht. – Spiel I: Wir w¨ ahlen (Ω, F, P ) mit Ω := {1, 2, 3, 4, 5, 6}4 und F := 2Ω sowie P [A] := |A|/|Ω| und betrachten das Ereignis E := {1, 2, 3, 4, 5}4 . Dann gilt P [E] = 54 /64 ≈ 0.48 –

Spiel II: Wir w¨ahlen (Ω, F, P ) mit Ω := {{1, 2, 3, 4, 5, 6}2 }24 und F := 2Ω sowie P [A] := |A|/|Ω| und betrachten das Ereignis E := {{1, 2, 3, 4, 5, 6}2 \ {(6, 6)}}24 . Dann gilt P [E] = 3524 /3624 ≈ 0.51

Der Vergleich der Ergebnisse zeigt, daß Spiel II f¨ ur den Spieler g¨ unstiger ist als Spiel I. 2.1.12 Beispiel (Probl` eme des parties). Wir nehmen an, die M¨ unze sei unverf¨alscht und w¨ahlen (Ω, F, P ) mit Ω := {K, Z}4 und F := 2Ω sowie P [A] := |A|/|Ω| und betrachten das Ereignis ⎫ ⎧ KKKK, KZKK, ZKKK, ZZKK, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎨ KKKZ, KZKZ, ZKKZ, E := KKZK, KZZK, ZKZK, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ KKZZ Dann gilt P [E] = 11/16 Spieler K erh¨alt 11/16 und Spieler Die Wahl von ⎧ KK, ⎪ ⎪ ⎨ ZKK, Ω := ZZKK, ⎪ ⎪ ⎩ ZZZ

Z erh¨alt 5/16 von 2 · 15 = 30 e. ⎫ KZK, KZZK, KZZZ, ⎪ ⎪ ⎬ ZKZK, ZKZZ, ZZKZ, ⎪ ⎪ ⎭

w¨are nicht zweckm¨aßig, da in diesem Fall die Abbildung P : F → [0, 1] nicht so leicht festzulegen ist.

2.2 Symmetrische Wahrscheinlichkeitsr¨ aume

2.2

35

Symmetrische Wahrscheinlichkeitsr¨ aume

Ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P ) heißt symmetrisch, wenn er folgende Eigenschaften besitzt: (i) Ω ist endlich. (ii) Es gilt F = 2Ω . (iii) Die Wahrscheinlichkeit P [{ω}] ist f¨ ur alle ω ∈ Ω identisch. Die Wahl eines symmetrischen Wahrscheinlichkeitsraumes als Modell f¨ ur ein Zufallsexperiment ist immer dann sinnvoll, wenn eine endliche Ergebnismenge angemessen ist und außerdem kein Grund daf¨ ur erkennbar ist, daß eines der Ergebnisse eine bessere oder schlechtere Chance der Realisierung hat als ein anderes. Im Prinzip ist die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in symmetrischen Wahrscheinlichkeitsr¨aumen einfach: 2.2.1 Lemma. Sei (Ω, F, P ) ein symmetrischer Wahrscheinlichkeitsraum. Dann gilt f¨ ur alle A ∈ F |A| P [A] = |Ω| Beweis. Aufgrund der Symmetrie des Wahrscheinlichkeitsraumes gibt es ein p ∈ [0, 1] mit P [{ω}] = p f¨ ur alle ω ∈ Ω . Aus den Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes folgt nun zun¨achst P [{ω}] = 1/|Ω| f¨ ur alle ω ∈ Ω und sodann P [A] = |A|/|Ω| f¨ ur alle A ∈ F. 2 In einem symmetrischen Wahrscheinlichkeitsraum wird die Wahrscheinlichkeit P [A] =

|A| |Ω|

als Anzahl der g¨ unstigen F¨alle Anzahl der m¨oglichen F¨alle interpretiert. Dabei ist die Anzahl der g¨ unstigen F¨alle die Anzahl aller Ergebnisse, bei denen das Ereignis A eintritt; die Anzahl der m¨oglichen F¨alle ist die Anzahl aller Ergebnisse u ¨berhaupt. Aufgrund des Lemmas ist man bestrebt, einfache Zufallsexperimente, wenn m¨oglich, durch symmetrische Wahrscheinlichkeitsr¨aume zu modellieren. 2.2.2 Beispiel (Dreimaliger Wurf einer M¨ unze). Wir nehmen an, die M¨ unze sei unverf¨alscht.

36 –

Kapitel 2. Wahrscheinlichkeiten Sei Ω := {0, 1, 2, 3} und F := 2Ω . Die Wahl von P : F → [0, 1] mit P [{ω}] := 1/|Ω| = 1/4

–

ist nicht plausibel. Sei Ω := {K, Z}3 und F := 2Ω . Die Wahl von P : F → [0, 1] mit P [{ω}] := 1/|Ω| = 1/8 ist plausibel.

2.2.3 Beispiel (Probl` eme des parties). Wir nehmen an, die M¨ unze sei unverf¨alscht. – Sei ⎧ ⎫ KK, KZK, KZZK, KZZZ, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎨ ZKK, ZKZK, ZKZZ, Ω := ZZKK, ZZKZ, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ ZZZ und F := 2Ω . Die Wahl von P : F → [0, 1] mit P [{ω}] := 1/|Ω| = 1/10 –

ist nicht plausibel. Sei Ω := {K, Z}4 und F := 2Ω . Die Wahl von P : F → [0, 1] mit P [{ω}] := 1/|Ω| = 1/16 ist plausibel.

2.2.4 Bemerkungen. (1) W¨ahlt man eine kleine Ergebnismenge, so ist Symmetrie oft nicht plausibel und das Wahrscheinlichkeitsmaß schwer zu bestimmen. (2) W¨ unscht man Symmetrie, so muß man oft eine große Ergebnismenge w¨ahlen, mit der Konsequenz, daß auch viele Ereignisse groß sind und ihre M¨achtigkeit m¨oglicherweise nicht leicht zu bestimmen ist.

Kombinatorik Die Berechnung der M¨achtigkeit großer Ereignisse wird erleichtert durch den Einsatz der Kombinatorik, die auch als Kunst des schnellen Z¨ahlens bezeichnet wird. Wir ben¨otigen die folgenden Grundlagen der Kombinatorik: F¨ ur n ∈ N0 sei n! :=

n−1 

(n−i)

i=0

Diese Zahl heißt n Fakult¨at; sie bezeichnet die Anzahl der M¨oglichkeiten,

2.2 Symmetrische Wahrscheinlichkeitsr¨ aume

37

n Objekte anzuordnen, und wird auch als Anzahl der Permutationen von n Elementen bezeichnet. Nach Definition des Produktes gilt 0! = 1 . F¨ ur n ∈ N0 und k ∈ N0 sei k−1 

(n)k :=

(n−i)

i=0

Diese Zahl heißt Variation k aus n ; sie bezeichnet die Anzahl der M¨oglichkeiten, k Objekte auf n Pl¨atze anzuordnen. Es gilt ⎧ n! ⎨ falls k ∈ {0, 1, . . . , n} (n−k)! (n)k = ⎩ 0 sonst Insbesondere gilt (n)n = n! . F¨ ur n ∈ N0 und k ∈ N0 sei

 k−1 n−i n := k k−i i=0 Diese Zahl heißt Binomial–Koeffizient n u ¨ber k ; sie bezeichnet die Anzahl der M¨oglichkeiten, k von n Objekten auszuw¨ahlen, also die Anzahl der k– elementigen Teilmengen einer n–elementigen Menge. Es gilt ⎧ n!

 ⎨ falls k ∈ {0, 1, . . . , n} n k! (n−k)! = ⎩ k 0 sonst Die Binomial–Koeffizienten besitzen

 n = 0

 n = 1

 n = k

 n+1 = k+1 Außerdem gilt der Binomische Satz :

die folgenden Eigenschaften: 1 n  n n−k



 n n + k k+1

38

Kapitel 2. Wahrscheinlichkeiten

2.2.5 Satz (Binomischer Satz). F¨ ur alle a, b ∈ R und n ∈ N gilt


n =

a+b

n  n k=0

k

an−k bk

Mit a = b = 1 erh¨alt man aus dem Binomischen Satz die Gleichung n  n k=0

k

= 2n

Diese Gleichung ist nicht verwunderlich, denn jede n–elementige Menge besitzt genau 2n Teilmengen. Die Definition der Binomial–Koeffizienten l¨aßt sich wie folgt verallgemeinern: F¨ ur α ∈ R und k ∈ N0 sei

 k−1 α−i α := k−i k i=0 Diese Zahl heißt (verallgemeinerter ) Binomial–Koeffizient α u ¨ber k . Im Zusammenhang mit Fakult¨aten und Binomial–Koeffizienten ist die durch  ∞ e−x xγ−1 dx Γ(γ) := 0

definierte Gammafunktion Γ : (0, ∞) → R+ von Interesse. Es gilt Γ(1) = 1 und durch partielle Integration erh¨alt man die F¨ unf–Gamma–Formel Γ(γ +1) = γ Γ(γ) Insbesondere gilt f¨ ur alle n ∈ N0 Γ(n+1) = n! und

 Γ(γ +n) γ+n−1 = n Γ(γ) n!

Die Gammafunktion ist differenzierbar.

2.2 Symmetrische Wahrscheinlichkeitsr¨ aume

39

Urnenmodelle Urnenmodelle sind vielseitig anwendbare Modelle, in denen sich die Wahrscheinlichkeiten der wichtigsten Ereignisse mit Hilfe der Kombinatorik leicht berechnen lassen. 2.2.6 Beispiele (Urnenmodelle). Wir betrachten eine Urne mit N Kugeln, von denen K ∈ {1, . . . , N −1} rot sind und N −K Kugeln eine andere Farbe besitzen. Wir nehmen an, daß alle Kugeln (bis auf die Farbe) gleichartig sind. Wir w¨ ahlen n Kugeln zuf¨allig aus. (1) Ziehen ohne Zur¨ ucklegen: Wir nehmen zus¨ atzlich an, die Kugeln seien numeriert derart, daß die Kugeln 1, . . . , K rot und die Kugeln K + 1, . . . , N andersfarbig sind. Als Ergebnismenge w¨ahlen wir Ω := Menge aller n–Tupel aus {1, ..., N } ohne Wiederholung und setzen F := 2Ω . Aufgrund der Annahme der Gleichartigkeit der Kugeln setzen wir f¨ ur alle ω ∈ Ω P [{ω}] :=

1 |Ω|

Dann ist (Ω, F, P ) ein symmetrischer Wahrscheinlichkeitsraum. Daher gilt f¨ ur jedes Ereignis E ∈ F P [E] =

|E| |Ω|

F¨ ur k ∈ {0, 1, . . . , n} betrachten wir das Ereignis Ek := {ω ∈ Ω | genau k Kugeln sind rot} Dann gilt |Ek | =

 n (K)k (N −K)n−k k

Demnach ist die Anzahl der g¨ unstigen F¨alle das Produkt der Faktoren – Anzahl der M¨oglichkeiten, aus den n Ziehungen k Ziehungen (mit einer roten Kugel als Ergebnis) auszuw¨ahlen, – Anzahl der M¨oglichkeiten, aus den K numerierten roten Kugeln k Kugeln ohne Wiederholung und in Reihenfolge auszuw¨ ahlen, und – Anzahl der M¨oglichkeiten, aus den N −K numerierten andersfarbigen Kugeln n−k Kugeln ohne Wiederholung und in Reihenfolge auszuw¨ ahlen.

40

Kapitel 2. Wahrscheinlichkeiten Wegen |Ω| = (N )n erhalten wir

 n (K)k (N −K)n−k k P [Ek ] = (N )n

=

=

n! K! (N −K)! (n−k)! k! (K −k)! ((N −K)−(n−k))! N! (N −n)!



 K N −K k n−k

 N n

(2) Ziehen mit Zur¨ ucklegen: Wir nehmen zus¨ atzlich an, die Kugeln seien numeriert derart, daß die Kugeln 1, . . . , K rot und die Kugeln K + 1, . . . , N andersfarbig sind. Als Ergebnismenge w¨ahlen wir Ω := Menge aller n–Tupel aus {1, ..., N } mit m¨ oglicher Wiederholung und setzen F := 2Ω . Aufgrund der Annahme der Gleichartigkeit der Kugeln setzen wir f¨ ur alle ω ∈ Ω P [{ω}] :=

1 |Ω|

Dann ist (Ω, F, P ) ein symmetrischer Wahrscheinlichkeitsraum. Daher gilt f¨ ur jedes Ereignis E ∈ F P [E] =

|E| |Ω|

F¨ ur k ∈ {0, 1, . . . , n} betrachten wir das Ereignis Ek := {ω ∈ Ω | genau k Kugeln sind rot} Dann gilt |Ek | =

 n K k (N −K)n−k k

Demnach ist die Anzahl der g¨ unstigen F¨alle das Produkt der Faktoren – Anzahl der M¨oglichkeiten, aus den n Ziehungen k Ziehungen (mit einer roten Kugel als Ergebnis) auszuw¨ahlen, – Anzahl der M¨oglichkeiten, aus den K numerierten roten Kugeln k Kugeln mit m¨oglicher Wiederholung und in Reihenfolge auszuw¨ ahlen, und – Anzahl der M¨oglichkeiten, aus den N −K numerierten andersfarbigen Kugeln n − k Kugeln mit m¨oglicher Wiederholung und in Reihenfolge auszuw¨ ahlen.

2.2 Symmetrische Wahrscheinlichkeitsr¨ aume

41

Wegen |Ω| = N n erhalten wir mit ϑ := K/N |Ek | |Ω|

 n K k (N −K)n−k k = Nn 

 k

N −K n−k n K = N N k

 n k = ϑ (1−ϑ)n−k k

P [Ek ] =

Die Wahrscheinlichkeit P [Ek ] h¨angt also von der Zusammensetzung der Urne nur u ¨ber den Anteil der roten Kugeln in der Urne ab.

V¨ollig analog zum Fall der Urnenmodelle mit einer ausgezeichneten Sorte von Kugeln lassen sich Urnenmodelle mit mehreren ausgezeichneten Sorten von Kugeln behandeln: 2.2.7 Beispiele (Urnenmodelle). Wir betrachten eine Urne mit N Kugeln,  von denen Ki ∈ {1, . . . , N −1} Kugeln die Farbe i ∈ {1, . . . , m} besitzen und N − m i=1 Ki ≥ 0 Kugeln eine andere Farbe besitzen. Wir nehmen an, daß alle Kugeln (bis auf die Farbe) gleichartig sind. Wir w¨ahlen n Kugeln zuf¨ allig aus. (1) Ziehen ohne Zur¨ ucklegen: Wir betrachten den symmetrischen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P ) mit Ω := Menge aller n–Tupel aus {1, ..., N } ohne Wiederholung  ur alle F¨ ur k1 , . . . , km ∈ N0 mit m i=1 ki ≤ n sei Ek1 ,...,km das Ereignis, daß f¨ i ∈ {1, . . . , m} genau ki Kugeln der Sorte i gezogen werden. Dann gilt 

 m  Ki  Ki N− m i=1 n− m ki i=1 ki

 i=1 P [Ek1 ,...,km ] = N n (2) Ziehen mit Zur¨ ucklegen: Wir betrachten den symmetrischen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P ) mit Ω := Menge aller n–Tupel aus {1, ..., N } mit m¨ oglicher Wiederholung m ur alle F¨ ur k1 , . . . , km ∈ N0 mit i=1 ki ≤ n sei Ek1 ,...,km das Ereignis, daß f¨ i ∈ {1, . . . , m} genau ki Kugeln der Sorte i gezogen werden. Dann gilt mit ϑi := Ki /N  n−P m m i=1 ki m  k n! m m 1− ϑi ϑi i P [Ek1 ,...,km ] = (n − i=1 ki )! i=1 ki ! i=1

i=1

42

Kapitel 2. Wahrscheinlichkeiten

Aufgaben 2.2.A

Zeigen Sie f¨ ur die Urnenmodelle aus den Beispielen 2.2.6, daß die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse Ek gleich 1 ist.

2.2.B

Leiten Sie f¨ ur die Urnenmodelle aus den Beispielen 2.2.7 die Formeln f¨ ur die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse Ek1 ,...,km her und zeigen Sie, daß die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten gleich 1 ist.

2.3

Unabh¨ angige Ereignisse

Sei (Ω, F, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Wir kehren nochmals zur Betrachtung von absoluten und relativen H¨aufigkeiten bei der n–maligen Durchf¨ uhrung eines Zufallsexperimentes zur¨ uck und betrachten zwei Ereignisse A, B ∈ F. Wenn das Eintreten von A durch das Eintreten von B nicht beeinflußt wird, dann sollte bei h¨aufiger Durchf¨ uhrung des Zufallsexperimentes der Anteil der Erfolge f¨ ur A unter denjenigen Versuchen, bei denen B eintritt, etwa gleich dem Anteil der Erfolge f¨ ur A bei allen Versuchen sein, also An [A] An [A ∩ B] ≈ An [B] n gelten; entsprechend sollte, wenn das Eintreten von B durch das Eintreten von A nicht beeinflußt wird, bei h¨aufiger Durchf¨ uhrung des Zufallsexperimentes An [B ∩ A] An [B] ≈ An [A] n gelten. Beide Beziehungen sind gleichwertig mit An [A] An [B] An [A ∩ B] ≈ · n n n ¨ und k¨onnen durch Ubergang zu relativen H¨aufigkeiten in der Form Rn [A ∩ B] ≈ Rn [A] · Rn [B] geschrieben werden. Wir u ¨bertragen die Idee der gegenseitigen Nichtbeeinflussung von Ereignissen nun auf Wahrscheinlichkeiten: Zwei Ereignisse A, B ∈ F heißen unabh¨angig, wenn P [A ∩ B] = P [A] · P [B] gilt; andernfalls heißen sie abh¨angig.

2.3 Unabh¨ angige Ereignisse

43

2.3.1 Beispiele (Urnenmodelle). Wir betrachten eine Urne mit N Kugeln, von denen K ∈ {1, . . . , N −1} rot sind und N −K Kugeln eine andere Farbe besitzen. Wir w¨ahlen n = 2 Kugeln zuf¨allig aus. Wir verwenden die vorher eingef¨ uhrten Wahrscheinlichkeitsr¨aume f¨ ur das Ziehen ohne bzw. mit Zur¨ ucklegen und betrachten in beiden F¨allen die Ereignisse A1 A2

=  rote Kugel beim 1. Zug =  rote Kugel beim 2. Zug

(1) Ziehen ohne Zur¨ ucklegen: Es gilt P [A1 ∩ A2 ] = P [A1 ∩ A2 ] = P [A1 ∩ A2 ] =

K(K −1) N (N −1) K(N −K) N (N −1) (N −K)K N (N −1)

und damit P [A1 ] = P [A2 ] =

K N K N

Wegen P [A1 ∩ A2 ] = P [A1 ] · P [A2 ] sind die Ereignisse A1 und A2 abh¨angig. Dies entspricht der Intuition, da eine gezogene Kugel nicht zur¨ uckgelegt wird und daher die Situation vor dem 2. Zug eine andere ist als vor dem 1. Zug. (2) Ziehen mit Zur¨ ucklegen: Es gilt P [A1 ∩ A2 ] = P [A1 ∩ A2 ] = P [A1 ∩ A2 ] =

K2 N2 K(N −K) N2 (N −K)K N2

und damit P [A1 ] = P [A2 ] =

K N K N

Wegen P [A1 ∩ A2 ] = P [A1 ] · P [A2 ] sind die Ereignisse A1 und A2 unabh¨angig. Dies entspricht der Intuition, da jede gezogene Kugel zur¨ uckgelegt wird und daher die Situation vor dem 2. Zug dieselbe ist wie vor dem 1. Zug.

44

Kapitel 2. Wahrscheinlichkeiten

Analog zeigt man, daß auch die Ereignisse A1 und A2 beim Ziehen ohne Zur¨ ucklegen abh¨angig und beim Ziehen mit Zur¨ ucklegen unabh¨angig sind.

Die G¨ ultigkeit der letzten Bemerkung in den Beispielen ergibt sich auch ohne Rechnung aus dem folgenden Ergebnis: 2.3.2 Lemma. F¨ ur A, B ∈ F sind folgende Aussagen ¨aquivalent: (a) A und B sind unabh¨angig. (b) A und B sind unabh¨angig. (c) A und B sind unabh¨angig. (d) A und B sind unabh¨angig. ¨ Beweis. Die Aquivalenz von (a) und (b) folgt aus P [A ∩ B] + P [A ∩ B] = P [A]


= P [A] · P [B] + P [B]

= P [A] · P [B] + P [A] · P [B] 2

Der Rest ist dann klar.

Wir erweitern den Begriff der Unabh¨angigkeit nun auf beliebige Familien von Ereignissen. F¨ ur eine nichtleere Indexmenge I sei H(I) das System der endlichen nichtleeren Teilmengen von I . Eine Familie {Ai }i∈I ⊆ F heißt unabh¨angig, wenn f¨ ur alle J ∈ H(I) !   P Ai = P [Ai ] i∈J

i∈J

gilt; andernfalls heißt sie abh¨angig. Diese Definitionen stimmen f¨ ur I = {1, 2} mit den vorher gegebenen Definitionen u ¨berein. Der folgende Satz zeigt, daß jede Teilfamilie einer unabh¨angigen Familie von Ereignissen wieder unabh¨angig ist; er zeigt außerdem, daß die Unabh¨angigkeit einer Familie von Ereignissen durch die Unabh¨angigkeit jeder endlichen Teilfamilie charakterisiert ist: 2.3.3 Satz. F¨ ur eine Familie von Ereignissen {Ai }i∈I ⊆ F sind folgende Aussagen ¨aquivalent: (a) {Ai }i∈I ist unabh¨angig. (b) F¨ ur jede nichtleere Menge K ⊆ I ist {Ai }i∈K unabh¨angig. (c) F¨ ur alle K ∈ H(I) ist {Ai }i∈K unabh¨angig.

2.3 Unabh¨ angige Ereignisse

45

Beweis. Wir nehmen zun¨achst an, daß (a) gilt, und betrachten eine nichtleere Menge K ⊆ I . F¨ ur J ∈ H(K) gilt dann J ∈ H(I) und damit !   Ai = P [Ai ] P i∈J

i∈J

Daher folgt (b) aus (a). Offensichtlich folgt (c) aus (b). Wir nehmen nun an, daß (c) gilt. F¨ ur alle J ∈ H(I) gilt J ∈ H(J) und damit !   Ai = P [Ai ] P i∈J

i∈J

2

Daher folgt (a) aus (c).

Die Unabh¨angigkeit einer Familie von Ereignissen ist durch ein System von Gleichungen definiert. Die folgenden Beispiele zeigen, daß dieses System von Gleichungen im allgemeinen nicht reduziert werden kann: 2.3.4 Beispiel (Dreimaliger Wurf einer M¨ unze). Wir betrachten den symmetrischen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P ) mit Ω := {K, Z}3 und die Ereignisse A := {KKK, KKZ, KZK, ZKK} B := {KKK, KKZ, KZK, KZZ} C := {KKK, KZZ, ZKK, ZZZ} Dann gilt A ∩ B ∩ C = {KKK} A ∩ B = {KKK, KKZ, KZK} A ∩ C = {KKK, ZKK} B ∩ C = {KKK, KZZ} und damit P [A ∩ B ∩ C] = P [A] · P [B] · P [C] P [A ∩ B] = P [A] · P [B] P [A ∩ C] = P [A] · P [C] P [B ∩ C] = P [B] · P [C] Also ist die Familie {A, B, C} abh¨angig. 2.3.5 Beispiel (Zweimaliger Wurf einer M¨ unze). Wir betrachten den symmetrischen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P ) mit Ω := {K, Z}2 und die Ereignisse A := {KK, KZ} B := {KK, ZK} C := {KK, ZZ}

46

Kapitel 2. Wahrscheinlichkeiten

Dann gilt A ∩ B ∩ C = {KK} A ∩ B = {KK} A ∩ C = {KK} B ∩ C = {KK} und damit P [A ∩ B ∩ C] = P [A] · P [B] · P [C] P [A ∩ B] = P [A] · P [B] P [A ∩ C] = P [A] · P [C] P [B ∩ C] = P [B] · P [C] Also ist die Familie {A, B, C} abh¨angig.

2.4

Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Sei (Ω, F, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Wir kehren ein letztes Mal zur Betrachtung von absoluten und relativen H¨aufigkeiten bei der n–maligen Durchf¨ uhrung eines Zufallsexperimentes zur¨ uck und betrachten zwei Ereignisse A, C ∈ F. Der Anteil der Erfolge f¨ ur A unter denjenigen Versuchen, bei denen C eintritt, ist dann die bedingte relative H¨aufigkeit Rn [A ∩ C] An [A ∩ C] = Rn [A|C] := An [C] Rn [C] Wir u ¨bertragen die Idee der bedingten relativen H¨aufigkeiten nun auf Wahrscheinlichkeiten: Seien A, C ∈ F Ereignisse mit P [C] > 0 . Dann heißt P [A|C] :=

P [A ∩ C] P [C]

die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter (der Bedingung) C . Im Fall P [C] = 1 gilt offenbar P [A|C] = P [A] . 2.4.1 Satz. Sei C ∈ F ein Ereignis mit P [C] > 0 . Dann ist die Abbildung P [ . |C] : F → R mit P [A ∩ C] P [A|C] := P [C] ein Wahrscheinlichkeitsmaß. Im Fall P [C] = 1 gilt P [ . |C] = P .

2.4 Bedingte Wahrscheinlichkeiten

47

Mit bedingten Wahrscheinlichkeiten unter einer festen Bedingung l¨aßt sich also genau so rechnen wie mit Wahrscheinlichkeiten. 2.4.2 Beispiele (Urnenmodelle). Wir betrachten eine Urne mit N Kugeln, von denen K ∈ {1, . . . , N −1} rot sind und N −K Kugeln eine andere Farbe besitzen. Wir w¨ahlen n = 2 Kugeln zuf¨allig aus. Wir verwenden die vorher eingef¨ uhrten Wahrscheinlichkeitsr¨aume f¨ ur das Ziehen ohne bzw. mit Zur¨ ucklegen und betrachten in beiden F¨allen die Ereignisse A1 A2

=  rote Kugel beim 1. Zug =  rote Kugel beim 2. Zug

(1) Ziehen ohne Zur¨ ucklegen: Es gilt P [A1 ∩ A2 ] = P [A1 ] = P [A2 ] =

K(K −1) N (N −1) K N K N

und damit P [A2 |A1 ] = P [A2 ] Dies entspricht der Intuition, da eine gezogene Kugel nicht zur¨ uckgelegt wird und daher die Situation vor dem 2. Zug eine andere ist als vor dem 1. Zug. (2) Ziehen mit Zur¨ ucklegen: Es gilt P [A1 ∩ A2 ] = P [A1 ] = P [A2 ] =

K2 N2 K N K N

und damit P [A2 |A1 ] = P [A2 ] Dies entspricht der Intuition, da jede gezogene Kugel zur¨ uckgelegt wird und daher die Situation vor dem 2. Zug dieselbe ist wie vor dem 1. Zug. Analoge Ergebnisse erh¨alt man, wenn man anstelle der Bedingung A1 die Bedingung A1 betrachtet.

Das folgende Lemma stellt einen Zusammenhang zwischen bedingten Wahrscheinlichkeiten und der Unabh¨angigkeit von Ereignissen her:

48

Kapitel 2. Wahrscheinlichkeiten

2.4.3 Lemma. F¨ ur A, C ∈ F mit P [C] > 0 sind folgende Aussagen ¨aquivalent: (a) A und C sind unabh¨angig. (b) Es gilt P [A|C] = P [A] . Beweis. Es gilt P [A|C] · P [C] = P [A ∩ C] Daraus folgt die Behauptung.

2

Kapitel 3 Zufallsvariable und ihre Verteilungen Bei der Wahl eines Wahrscheinlichkeitsraumes als Modell f¨ ur ein Zufallsexperiment ist es h¨aufig erforderlich, eine große Ergebnismenge zu w¨ahlen, um die Wahrscheinlichkeiten aller Ereignisse plausibel festlegen zu k¨onnen. Andererseits ist man in vielen F¨allen nur an den Wahrscheinlichkeiten bestimmter Ereignisse interessiert, die sich durch eine Abbildung von der Ergebnismenge in die reellen Zahlen beschreiben lassen. Als Beispiel betrachten wir das n–malige Ziehen mit Zur¨ ucklegen aus einer Urne mit N numerierten Kugeln, von denen K rot und N − K andersfarbig sind. Wir beschreiben das Zufallsexperiment durch den symmetrischen Wahrur k ∈ {0, 1, . . . , n} scheinlichkeitsraum (Ω, F, P ) mit Ω := {1, . . . , n}N . F¨ bezeichnen wir mit Ek das Ereignis, daß bei genau k der n Ziehungen eine rote Kugel auftritt, und f¨ ur ω ∈ Ω bezeichnen wir mit X(ω) die Anzahl der gezogenen Kugeln, die rot sind. Dann ist X eine Abbildung Ω → R und f¨ ur alle k ∈ {0, 1, . . . , n} gilt Ek = {ω ∈ Ω | X(ω) = k} . Damit ist die gesamte Familie der Ereignisse Ek durch eine einzige Abbildung X : Ω → R beschrieben. Die Frage nach den Wahrscheinlichkeiten aller Ereignisse der Form Ek l¨aßt sich also auch mit Hilfe der Abbildung X formulieren: Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt X die Werte k ∈ {0, 1, . . . , n} an? Im weiteren Verlauf des Buches sei (Ω, F, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum.

3.1

Zufallsvariable

Sei X : Ω → R eine Abbildung. F¨ ur B ∈ 2R setzen wir {X ∈ B} := {ω ∈ Ω | X(ω) ∈ B} Dann ist {X ∈ B} gerade das Urbild der Menge B unter der Abbildung X ; man schreibt auch X −1 (B) anstelle von {X ∈ B} . Ist {X ∈ B} ein Ereignis,

50

Kapitel 3. Zufallsvariable und ihre Verteilungen

also {X ∈ B} ∈ F , so ist die Wahrscheinlichkeit P [{X ∈ B}] definiert. Es ist daher w¨ unschenswert, daß f¨ ur m¨oglichst viele Mengen B ∈ 2R die Menge {X ∈ B} ein Ereignis ist; insbesondere ist es w¨ unschenswert, daß f¨ ur alle a, b, c ∈ R jede der Mengen {a < X {a < X {a ≤ X {a ≤ X

< b} ≤ b} < b} ≤ b}

:= := := :=

{ω {ω {ω {ω

∈ Ω | a < X(ω) < b} ∈ Ω | a < X(ω) ≤ b} ∈ Ω | a ≤ X(ω) < b} ∈ Ω | a ≤ X(ω) ≤ b}

{X {X {X {X {X

< c} ≤ c} = c} ≥ c} > c}

:= := := := :=

{ω {ω {ω {ω {ω

∈ Ω | X(ω) < c} ∈ Ω | X(ω) ≤ c} ∈ Ω | X(ω) = c} ∈ Ω | X(ω) ≥ c} ∈ Ω | X(ω) > c}

und

ein Ereignis ist. Man u ¨berlegt sich leicht, daß es unter allen σ–Algebren G ⊆ 2R eine kleinste σ–Algebra B(R) gibt, die alle abgeschlossenen Intervalle [a, b] mit a, b ∈ R enth¨alt; vgl. Aufgabe 3.1.A. Die σ–Algebra B(R) enth¨alt f¨ ur alle a, b ∈ R auch die Intervalle (a, b) , (a, b] , [a, b) und sie enth¨alt f¨ ur alle c ∈ R die Intervalle (−∞, c) , (−∞, c] , [c, ∞) , (c, ∞) und insbesondere die Menge {c} = [c, c] ; vgl. Aufgabe 3.1.B. Die σ–Algebra B(R) heißt Borel’sche σ–Algebra u ¨ber R . Eine Abbildung X : Ω → R heißt Zufallsvariable, wenn f¨ ur alle B ∈ B(R) {X ∈ B} ∈ F gilt. F¨ ur eine Zufallsvariable X : Ω → R ist also jede der oben angegebenen Mengen ein Ereignis. F¨ ur ω ∈ Ω heißt X(ω) Realisation von X . Sei X : Ω → R eine Zufallsvariable. Dann wird durch PX [B] := P [{X ∈ B}] eine Abbildung PX : B(R) → [0, 1] definiert. Die Abbildung PX heißt die Verteilung von X .

3.1 Zufallsvariable

51

3.1.1 Lemma. Sei X : Ω → R eine Zufallsvariable. Dann ist die Verteilung PX von X ein Wahrscheinlichkeitsmaß. Insbesondere ist (R, B(R), PX ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. ur alle B ∈ B(R) Beweis. Aus der Definition von PX ist klar, daß f¨ 0 ≤ PX [B] ≤ 1 gilt. Wegen {X ∈ R} = Ω gilt PX [R] = P [{X ∈ R}] = P [Ω] = 1 Sei nun {Bn }n∈N ⊆ B(R) eine  disjunkte Folge. ∞ Dann ist die Folge {X ∈ Bn }n∈N disjunkt und es gilt {X ∈ ∞ n=1 Bn } = n=1 {X ∈ Bn } und damit ∞  " # ∞ Bn = P Bn PX X∈ n=1

 = P

n=1 ∞



{X ∈ Bn }

n=1

= =

∞ n=1 ∞

P [{X ∈ Bn }] PX [Bn ]

n=1

2

Daher ist PX ein Wahrscheinlichkeitsmaß. Das folgende Beispiel zeigt, daß jedes Ereignis eine Zufallsvariable definiert:

3.1.2 Beispiel (Indikatorfunktion). Sei A ∈ F ein Ereignis. Wir betrachten die Abbildung X : Ω → R mit

0 falls ω ∈ A X(ω) := 1 falls ω ∈ A Dann gilt f¨ ur alle B ∈ B(R)

⎧ ∅ ⎪ ⎪ ⎨ A {X ∈ B} = A ⎪ ⎪ ⎩ Ω

falls falls falls falls

0∈ /B 0∈B 0∈ /B 0∈B

und und und und

1∈ /B 1∈ /B 1∈B 1∈B

und damit {X ∈ B} ∈ F . Daher ist X eine Zufallsvariable. Außerdem gilt f¨ ur alle B ∈ B(R) ⎧ 0 falls 0 ∈ / B und 1 ∈ /B ⎪ ⎪ ⎨ /B P [A] falls 0 ∈ B und 1 ∈ P [{X ∈ B}] = P [A] falls 0 ∈ / B und 1 ∈ B ⎪ ⎪ ⎩ 1 falls 0 ∈ B und 1 ∈ B

52

Kapitel 3. Zufallsvariable und ihre Verteilungen

und damit ⎧ ⎪ ⎪ ⎨

0 P [A] PX [B] = P [A] ⎪ ⎪ ⎩ 1

falls falls falls falls

0∈ /B 0∈B 0∈ /B 0∈B

und und und und

1∈ /B 1∈ /B 1∈B 1∈B

Damit ist die Verteilung von X bestimmt.

F¨ ur ein Ereignis A ∈ F heißt die durch

0 falls ω ∈ A χA (ω) := 1 falls ω ∈ A definierte Abbildung χA : Ω → R die Indikatorfunktion von A . Nach Beispiel 3.1.2 ist jede Indikatorfunktion eine Zufallsvariable. Am Beispiel der Indikatorfunktion von A ∈ F mit A = ∅ oder A = Ω erkennt man, daß eine Zufallsvariable im Extremfall nur eine einzige Realisation besitzt. Daher ist jede konstante Abbildung Ω → R eine Zufallsvariable, und jede reelle Zahl definiert eine Zufallsvariable, die nur eine einzige Realisation besitzt. In der Versicherungsmathematik sind vor allem Zufallsvariable X : Ω → R von Interesse, f¨ ur die die Menge der Realisationen X(Ω) = {x ∈ R | ∃ ω∈Ω X(ω) = x} von X abz¨ahlbar ist: – Bezeichnet X die Schadenzahl eines Bestandes von Risiken, so gilt nat¨ urlicherweise X(Ω) ⊆ N0 . – Bezeichnet X die Schadenh¨ohe eines Risikos oder den Gesamtschaden eines Bestandes, so gilt ebenfalls X(Ω) ⊆ N0 , da die m¨oglichen Werte von X ganzzahlige Vielfache einer kleinsten Geldeinheit sind. Es treten allerdings auch Zufallsvariable Y : Ω → R auf, die durch die Anwendung einer Funktion h : R → R auf eine Zufallsvariable X : Ω → R mit ur die Zufallsvariable Y = h(X) ist die Menge der X(Ω) ⊆ N0 entstehen; f¨ Realisationen Y (Ω) = (h(X))(Ω) = h(X(Ω)) von Y nicht notwendigerweise eine Teilmenge von N0 , aber sie ist, wie X(Ω) , abz¨ahlbar. Von Interesse sind also Zufallsvariable, die nur abz¨ahlbar viele Realisationen besitzen. Eine Zufallsvariable X : Ω → R heißt diskret, wenn X(Ω) abz¨ahlbar ist, und sie heißt positiv, wenn X(Ω) ⊆ R+ gilt. 3.1.3 Beispiel (Indikatorfunktion). Sei A ∈ F und X := χA . Dann ist X eine Zufallsvariable mit X(Ω) ⊆ {0, 1} . Daher ist X eine positive diskrete Zufallsvariable.

3.1 Zufallsvariable

53

Sei X : Ω → R eine diskrete Zufallsvariable. Dann ist die Menge BX := {x ∈ R | P [{X = x}] > 0} ⊆ X(Ω) abz¨ahlbar und f¨ ur alle x ∈ X(Ω)\BX gilt P [{X = x}] = 0 . Daher gilt P [{X = x}] P [{X ∈ BX }] = x∈B X P [{X = x}] = x∈X(Ω)

= P [{X ∈ X(Ω)}] = P [Ω] = 1 Die Menge BX heißt Tr¨ager von X . Wegen P [{X ∈ BX }] = 1 gilt f¨ ur alle B ∈ B(R) PX [B] = P [{X ∈ B}] = P [{X ∈ B} ∩ {X ∈ BX }] = P [{X ∈ B ∩ BX }] = P [{X = x}] x∈B∩BX

Die Verteilung PX einer diskreten Zufallsvariablen X : Ω → R ist also bereits durch ihre Einzelwahrscheinlichkeiten P [{X = x}] mit x ∈ BX bestimmt. 3.1.4 Beispiel (Indikatorfunktion). Sei A ∈ F und X := χA . Dann ist X eine ur alle B ∈ B(R) diskrete Zufallsvariable mit BX ⊆ {0, 1} . Daher gilt f¨ PX [B] = P [{X = x}] x∈B∩{0,1}

¨ Dies ist in Ubereinstimmung mit dem letzten Ergebnis aus Beispiel 3.1.2.

Wir betrachten nun einige Klassen von diskreten Zufallsvariablen: 3.1.5 Beispiele (Spezielle Verteilungen). Sei X eine diskrete Zufallsvariable. (1) Bernoulli–Verteilung: Die Zufallsvariable X besitzt die Bernoulli–Verteilung B(ϑ) mit dem Parameter ϑ ∈ (0, 1) , wenn

⎧ ⎨ 1−ϑ falls x = 0 ϑ falls x = 1 P [{X = x}] = ⎩ 0 sonst

gilt. In diesem Fall gilt BX = {0, 1} . Bemerkung: Die Indikatorfunktion χA eines Ereignisses A ∈ F mit P [A] ∈ (0, 1) besitzt die Bernoulli–Verteilung B(ϑ) mit ϑ = P [A] .

54

Kapitel 3. Zufallsvariable und ihre Verteilungen

(2) Hypergeometrische Verteilung: Die Zufallsvariable X besitzt die hypergeometrische Verteilung H(n, N, K) mit den Parametern n, N, K ∈ N mit max{n, K +1} ≤ N , wenn   ⎧

N −K K ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ n − x x ⎪ ⎨

 falls x ∈ {0, 1, . . . , n} N P [{X = x}] = ⎪ ⎪ n ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 0 sonst gilt. In diesem Fall gilt BX ⊆ {0, 1, . . . , n} . Interpretation: X ist die Anzahl der roten Kugeln, die sich beim n–maligen Ziehen ohne Zur¨ ucklegen aus einer Urne mit K roten und N−K andersfarbigen Kugeln einstellt. Bemerkung: Es gilt H(1, N, K) = B(K/N ) . (3) Binomial–Verteilung: Die Zufallsvariable X besitzt die Binomial–Verteilung B(n, ϑ) mit den Parametern n ∈ N und ϑ ∈ (0, 1) , wenn ⎧  ⎨ n ϑx (1−ϑ)n−x falls x ∈ {0, 1, . . . , n} x P [{X = x}] = ⎩ 0 sonst gilt. In diesem Fall gilt BX = {0, 1, . . . , n} . Interpretation: X ist die Anzahl der roten Kugeln, die sich beim n–maligen Ziehen mit Zur¨ ucklegen aus einer Urne mit roten und andersfarbigen Kugeln einstellt, wenn der Anteil der roten Kugeln in der Urne gleich ϑ ist. Allgemeiner ist X die Anzahl der Erfolge bei n unabh¨angigen und identischen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit ϑ . Bemerkung: Es gilt B(1, ϑ) = B(ϑ) . (4) Poisson–Verteilung: Die Zufallsvariable X besitzt die Poisson–Verteilung P(α) mit dem Parameter α ∈ (0, ∞) , wenn ⎧ x ⎨ e−α α x! P [{X = x}] = ⎩ 0

falls x ∈ N0 sonst

gilt. In diesem Fall gilt BX = N0 . Interpretation: X beschreibt in guter N¨aherung die Anzahl der Erfolge bei einer großen Anzahl von unabh¨angigen und identischen Versuchen mit kleiner Erfolgswahrscheinlichkeit; vgl. Aufgabe 3.1.D.

3.1 Zufallsvariable

55

(5) Negativbinomial–Verteilung: Die Zufallsvariable X besitzt die Negativbinomial–Verteilung NB(β, ϑ) mit den Parametern β ∈ (0, ∞) und ϑ ∈ (0, 1) , wenn  ⎧

⎨ β + x − 1 (1−ϑ)β ϑx falls x ∈ N 0 x P [{X = x}] = ⎩ 0 sonst gilt. In diesem Fall gilt BX = N0 . Interpretation: Im Fall β = n ∈ N ist X die Anzahl der Erfolge bis zum n–ten Mißerfolg bei unabh¨angigen und identischen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit ϑ . Bemerkung: Die hier angegebene Definition der Negativbinomial–Verteilung weicht hinsichtlich der Verwendung des Parameters ϑ von der in Schmidt [1996] verwendeten Definition ab. (6) Geometrische Verteilung: Die Zufallsvariable X besitzt die geometrische Verteilung Geo(n, ϑ) mit den Parametern n ∈ N und ϑ ∈ (0, 1) , wenn  ⎧

⎨ x − 1 (1−ϑ)x−n ϑn falls x ∈ {n, n+1, . . . } n−1 P [{X = x}] = ⎩ 0 sonst gilt. In diesem Fall gilt BX = {n, n+1, . . . } . Interpretation: X ist die Anzahl der Versuche bis zum n–ten Erfolg bei unabh¨angigen und identischen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit ϑ . (7) Logarithmische Verteilung: Die Zufallsvariable X besitzt die logarithmische Verteilung Log(ϑ) mit dem Parameter ϑ ∈ (0, 1) , wenn ⎧ ϑx 1 ⎨ | log(1−ϑ)| x P [{X = x}] = ⎩ 0

falls x ∈ N sonst

gilt. In diesem Fall gilt BX = N .

Jede diskrete Zufallsvariable X : Ω → R l¨aßt sich mit Hilfe von Indikatorfunktionen darstellen, denn es gilt X = x χ{X=x} x∈X(Ω)

Bei dieser Darstellung von X handelt es sich formal um eine Darstellung durch eine unendliche Reihe; in Wirklichkeit handelt es sich aber nur um eine Fallunterscheidung: Der Wahrscheinlichkeitsraum wird in die abz¨ahlbare Familie

56

Kapitel 3. Zufallsvariable und ihre Verteilungen

der Ereignisse {X = x} mit x ∈ X(Ω) zerlegt und auf jedem der Ereignisse dieser Zerlegung ist die Zufallsvariable konstant. In vielen F¨allen ist es zweckm¨aßig, eine etwas allgemeinere Darstellung von diskreten Zufallsvariablen zu betrachten: 3.1.6 Satz. F¨ ur eine Abbildung X : Ω → R sind folgende Aussagen ¨aquivalent: (a) X ist eine diskrete Zufallsvariable. (b) Es gibt eine abz¨ahlbare Indexmenge I sowie eine Zerlegung {Ai }i∈I von Ω und eine Familie {ai }i∈I ⊆ R mit X = ai χAi i∈I

(c) Es gibt eine abz¨ahlbare Indexmenge I sowie eine disjunkte Familie {Ai }i∈I ⊆ F und eine Familie {ai }i∈I ⊆ R mit X = ai χAi i∈I

In diesem Fall ist X genau dann positiv, wenn {ai }i∈I ⊆ R+ gilt. Beweis. Es ist klar, daß (b) aus (a) folgt und daß  (c) aus (b) folgt. Wir nehmen nun an, daß (c) gilt, und setzen A := Ω \ i∈I Ai und a := 0 . Dann ist die Familie {Ai }i∈I ∪ {A} eine abz¨ahlbare Zerlegung von Ω und es gilt X = ai χAi + a χA i∈I

Damit ist gezeigt, daß (b) aus (c) folgt. Wir nehmen schließlich an, daß (b) gilt. Da I abz¨ahlbar ist und {Ai }i∈I eine Zerlegung von Ω ist, ist X(Ω) abz¨ahlbar. Daher ist f¨ ur alle x ∈ X(Ω) die Menge Ix := {i ∈ I | ai = x} abz¨ahlbar und es gilt Ai {X = x} = i∈Ix

und damit {X = x} ∈ F. Daraus folgt f¨ ur alle B ∈ F wegen {X ∈ X(Ω)} = Ω {X ∈ B} = {X ∈ B ∩ X(Ω)} {X = x} = x∈B∩X(Ω)

und damit {X ∈ B} ∈ F. Daher folgt (a) aus (b). Die letzte Behauptung ist klar. 2 Die in Satz 3.1.6 angegebene Charakterisierung von diskreten Zufallsvariablen wird sich im folgenden als ¨außerst n¨ utzlich erweisen. Als erste Anwendung des Satzes geben wir zwei hinreichende Bedingungen daf¨ ur, daß eine Abbildung X : Ω → R eine Zufallsvariable ist:

3.1 Zufallsvariable

57

3.1.7 Folgerung. Sei {Bn }n∈N0 ⊆ F eine monoton fallende Folge mit  n∈N0 Bn = ∅ und sei {bn }n∈N0 ⊆ R . Dann ist die Abbildung X : Ω → R mit X(ω) :=

∞

bn χBn (ω)

n=0

eine diskrete Zufallsvariable. Beweis. F¨ ur alle n ∈ N0 setzen wir An := Bn \ B n+1 ∈ F . Dann ist die Folge ur alle n ∈ N0 gilt Bn = ∞ {An }n∈N0 disjunkt und f¨ k=n Ak . Außerdem gilt X = =

∞ n=0 ∞

bn χBn bn

∞

n=0

=

k=n  k ∞

χAk 

bn χAk

n=0

k=0

2

Die Behauptung folgt nun aus Satz 3.1.6.

3.1.8 Folgerung. Sei {An }n∈N0 ⊆ F eine disjunkte Folge und sei {Yn }n∈N0 eine Folge von diskreten Zufallsvariablen. Dann ist die Abbildung X : Ω → R mit ∞ X(ω) := χAn (ω) Yn (ω) n=0

eine diskrete Zufallsvariable. Beweis. F¨ ur alle n ∈ N0 gilt Yn =

y∈Yn (Ω)

y χ{Yn =y}

Dann ist I := {(n, y) | n ∈ N0 , y ∈ Yn (Ω)} abz¨ahlbar, f¨ ur alle (n, y) ∈ I gilt An ∩{Yn = y} ∈ F, und die Familie {An ∩{Yn = y}}(n,y)∈I ist disjunkt. Außerdem gilt X = =

∞ n=0 ∞

χAn Yn χAn



n=0

=

(n,y)∈I

y∈Yn (Ω)

y χ{Yn =y}

y χAn ∩{Yn =y}

Die Behauptung folgt nun aus Satz 3.1.6.

2

58

Kapitel 3. Zufallsvariable und ihre Verteilungen

Als weitere Anwendung von Satz 3.1.6 zeigen wir, daß jede Funktion einer diskreten Zufallsvariablen wieder eine diskrete Zufallsvariable ist: 3.1.9 Satz. Sei X eine diskrete Zufallsvariable und sei h : R → R eine Funktion. Dann ist h(X) eine diskrete Zufallsvariable. Beweis. Nach Satz 3.1.6 gibt es eine abz¨ahlbare Indexmenge I sowie eine Zerlegung {Ai }i∈I von Ω und eine Familie {ai }i∈I ⊆ R mit X = ai χAi i∈I

Da es sich bei dieser Darstellung von X um eine Fallunterscheidung handelt, ergibt sich unmittelbar h(ai ) χAi h(X) = i∈I

2

Die Behauptung folgt nun aus Satz 3.1.6. F¨ ur x ∈ R sei x+ := max{x, 0} x− := max{−x, 0} |x| := max{x, −x} Dann gilt x = x+ − x− und |x| = x+ + x− .

3.1.10 Folgerung. Sei X eine diskrete Zufallsvariable. Dann sind auch X + , X − , |X| diskrete Zufallsvariable. Beweis. F¨ ur die Funktion h : R → R mit h(x) := x+ gilt X + = h(X) und aus Satz 3.1.9 folgt, daß X + = h(X) eine diskrete Zufallsvariable ist. Die Beweise f¨ ur X − und |X| verlaufen analog. 2 Aus Satz 3.1.6 ergibt sich f¨ ur je zwei diskrete Zufallsvariable die Existenz einer abz¨ahlbaren Zerlegung von Ω derart, daß beide Zufallsvariable auf jedem der Ereignisse dieser Zerlegung konstant sind: 3.1.11 Lemma. Seien X, Y diskrete Zufallsvariable. Dann gibt es eine abz¨ahlbare Indexmenge I sowie eine Zerlegung {Ai }i∈I von Ω und Familien {ai }i∈I , {bi }i∈I ⊆ R mit X = ai χAi i∈I

und Y =

i∈I

bi χAi

3.1 Zufallsvariable

59

Beweis. Nach Satz 3.1.6 gibt es abz¨ahlbare Indexmengen J und K sowie Zerlegungen {Cj }j∈J und {Dk }k∈K von Ω und Familien {cj }j∈J ⊆ R und {dk }k∈K ⊆ R mit X = c j χC j j∈J Y = dk χDk k∈K

Dann ist auch J × K abz¨ahlbar und die Familie {Cj ∩ Dk }(j,k)∈J×K ist eine Zerlegung von Ω . Außerdem gilt cj χCj ∩Dk X = (j,k)∈J×K Y = dk χCj ∩Dk (j,k)∈J×K

Die Behauptung folgt nun aus Satz 3.1.6.

2

Mit Hilfe von Lemma 3.1.11 l¨aßt sich Satz 3.1.9 auf Funktionen in mehreren Variablen verallgemeinern: 3.1.12 Satz. Seien X, Y diskrete Zufallsvariable und sei h : R2 → R eine Funktion. Dann ist h(X, Y ) eine diskrete Zufallsvariable. Beweis. Nach Lemma 3.1.11 gibt es eine abz¨ahlbare Indexmenge I sowie eine Zerlegung {Ai }i∈I von Ω und Familien {ai }i∈I , {bi }i∈I ⊆ R mit ai χAi X = i∈I Y = bi χAi i∈I

Da es sich bei diesen Darstellungen von X und Y um eine gemeinsame Fallunterscheidung handelt, ergibt sich unmittelbar

 h(X, Y ) = h ai χAi , bi χAi i∈I i∈I = h(ai , bi ) χAi i∈I

Die Behauptung folgt nun aus Satz 3.1.6.

2

3.1.13 Folgerung. Seien X, Y diskrete Zufallsvariable. Dann sind auch max{X, Y } und min{X, Y } diskrete Zufallsvariable. Wir bezeichnen mit L0 (R) die Menge aller diskreten Zufallsvariablen Ω → R und setzen L0 (R+ ) := {X ∈ L0 (R) | X(Ω) ⊆ R+ } L0 (N0 ) := {X ∈ L0 (R) | X(Ω) ⊆ N0 } Dann gilt L0 (N0 ) ⊆ L0 (R+ ) .

60

Kapitel 3. Zufallsvariable und ihre Verteilungen

3.1.14 Satz. L0 (R) ist ein Vektorraum. Beweis. Sei X, Y ∈ L0 (R) und a, b ∈ R . F¨ ur die Funktion h : R2 → R mit h(x, y) := ax + by gilt aX +bY = h(X, Y ) , und aus Satz 3.1.12 folgt aX +bY = h(X, Y ) ∈ L0 (R) . 2 Daher ist L0 (R) ein Vektorraum. Gelegentlich treten Abbildungen mit Werten in der Menge R = [−∞, ∞] der erweiterten reellen Zahlen auf. Wir verallgemeinern daher den Begriff der Zufallsvariablen wie folgt: Unter allen σ–Algebren G ⊆ 2R gibt es eine kleinste σ–Algebra B(R) , die alle abgeschlossenen Intervalle [a, b] mit a, b ∈ R enth¨alt; vgl. Aufgabe 3.1.A. Eine Abbildung X : Ω → R heißt erweitert reelle Zufallsvariable, wenn f¨ ur alle B ∈ B(R) {X ∈ B} ∈ F gilt; in diesem Fall wird die Abbildung PX : B(R) → [0, 1] mit PX [B] := P [{X ∈ B}] als Verteilung von X bezeichnet. Wir verwenden die Definitionen aus diesem Abschnitt auch f¨ ur erweitert reelle Zufallsvariable X : Ω → R , wenn X(Ω) abz¨ahlbar ist und P [{X ∈ R}] = 1 gilt.

Aufgaben 3.1.A

Sei Φ eine nichtleere Menge, sei E ⊆ 2Φ ein Mengensystem und sei {Gi }i∈I die Familie aller σ–Algebren, die das Mengensystem E enthalten. Dann ist die Familie {Gi }i∈I nichtleer und das Mengensystem G := {G ∈ 2Φ | ∀i∈I G ∈ Gi } ist die kleinste σ–Algebra, die E enth¨alt.

3.1.B

Die Borel’sche σ–Algebra B(R) enth¨alt f¨ ur alle a, b ∈ R die Intervalle (a, b) , (a, b] , [a, b) und sie enth¨alt f¨ ur alle c ∈ R die Intervalle (−∞, c) , (−∞, c] , [c, ∞) , (c, ∞) und insbesondere die Menge {c} = [c, c] .

3.1.C

Zeigen Sie f¨ ur jede der Verteilungen aus den Beispielen 3.1.5, daß die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten gleich 1 ist.

3.1.D

Poisson–Approximation: F¨ ur α ∈ (0, ∞) und alle n ∈ N sei ϑn := α/n . Dann gilt f¨ ur alle k ∈ N0

 αk n lim (1−ϑn )n−k ϑkn = e−α n→∞ k k!

3.1.E

Geometrische Verteilung: F¨ ur eine diskrete Zufallsvariable X : Ω → R sind folgende Aussagen ¨aquivalent: (a) Es gilt PX = Geo(n, ϑ) . (b) Es gilt PX−n = NB(n, 1−ϑ) .

3.1.F

Verallgemeinern Sie Lemma 3.1.11 und Satz 3.1.12 auf endlich viele diskrete Zufallsvariable.

3.2 Zufallsvektoren

3.2

61

Zufallsvektoren

In vielen F¨allen ist es erforderlich, mehrere Zufallsvariable zu betrachten. Wir f¨ uhren dazu den Begriff des Zufallsvektors ein. Wir betrachten zun¨achst den Euklidischen Vektorraum Rm mit m ∈ N . F¨ ur Vektoren a, b ∈ Rm mit ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ b1 a1 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ a = ⎝ ... ⎠ und b = ⎝ ... ⎠ am bm schreiben wir a ≤ b wenn f¨ ur alle i ∈ {1, . . . , m} ai ≤ bi gilt. Die Menge [a, b] := {x ∈ Rm | a ≤ x ≤ b} heißt abgeschlossenes Intervall des Vektorraumes Rm . Die kleinste σ–Algebra B(Rm ) die alle abgeschlossenen Intervalle [a, b] enth¨alt, heißt Borel’sche σ–Algebra u ¨ber Rm ; vgl. Aufgabe 3.1.A. Eine Abbildung X : Ω → Rm heißt Zufallsvektor, wenn f¨ ur alle B ∈ B(Rm ) {X ∈ B} ∈ F gilt. F¨ ur ω ∈ Ω heißt X(ω) Realisation von X . Sei X : Ω → Rm ein Zufallsvektor. Dann wird durch PX [B] := P [{X ∈ B}] eine Abbildung PX : B(Rm ) → [0, 1] definiert. Die Abbildung PX heißt die Verteilung von X . 3.2.1 Lemma. Sei X : Ω → Rm ein Zufallsvektor. Dann ist die Verteilung PX von X ein Wahrscheinlichkeitsmaß. Insbesondere ist (Rm , B(Rm ), PX ) ein Wahrscheinlichkeitsraum.

62

Kapitel 3. Zufallsvariable und ihre Verteilungen

Ein Zufallsvektor X : Ω → Rm heißt diskret, wenn die Menge der Realisationen X(Ω) := {x ∈ Rm | ∃ ω∈Ω X(ω) = x} von X abz¨ahlbar ist. Sei X : Ω → Rm ein diskreter Zufallsvektor. Dann ist die Menge BX := {x ∈ Rm | P [{X = x}] > 0} abz¨ahlbar und es gilt P [{X ∈ BX }] = 1 . Die Menge BX heißt Tr¨ager von X. Die meisten Ergebnisse aus Abschnitt 3.1 u ¨ber diskrete Zufallsvariable lassen sich auf diskrete Zufallsvektoren u ¨bertragen; insbesondere ist die Verteilung eines diskreten Zufallsvektors X bereits durch die Einzelwahrscheinlichkeiten P [{X = x}] mit x ∈ BX bestimmt. 3.2.2 Beispiele (Spezielle Verteilungen). Sei X ein diskreter Zufallsvektor. (1) Polyhypergeometrische Verteilung: Der Zufallsvektor X besitzt die polyhypergeometrische Verteilung PH(n, N, K1 , . . . , Km ) mit den m +1} ≤ N  Parametern n, N, K1 , . . . , Km ∈mN mit max{n, K1 +1, . . . , K m K ≤ N , wenn f¨ u r alle x ∈ R mit x , . . . , x ∈ N und und m i 1 m 0 i=1 i=1 xi ≤ n m



 m N − i=1 Ki Ki m n − i=1 xi xi

 i=1 P [{X = x}] = N n gilt. F¨ ur alle anderen x ∈ Rm gilt dann P [{X = x}] = 0 ; vgl. Aufgabe 3.2.A. Interpretation: F¨ ur alle i ∈ {1, . . . , m} ist Xi die Anzahl der Kugeln der Sorte i , die sich beim n–maligen Ziehen ohne Zur¨ ucklegen aus einer Urne mit m + 1 Sorten von Kugeln einstellt, wenn die Anzahl der Kugeln der  Sorte i in der ur i = m + 1 gleich N − m Urne f¨ ur i ∈ {1, . . . , m} gleich Ki und f¨ j=1 Kj ist. Bemerkung: F¨ ur K ∈ {1, . . . , N−1} gilt PH(n, N, K) = PH(n, N, K, N −K) = H(n, N, K) . (2) Multinomial–Verteilung: Der Zufallsvektor X besitzt die Multinomial–Verteilung M(n, ϑ1 , . . . , ϑm )  , ϑm ∈ (0, 1) mit m ur mit den Parametern n ∈ N0 und ϑ1 , . . . i=1 ϑi ≤ 1 , wenn f¨ x ≤ n alle x ∈ Rm mit x1 , . . . , xm ∈ N0 und m i i=1  n−P m m i=1 xi m  x n! m m 1− P [{X = x}] = ϑi ϑi i (n− i=1 xi )! i=1 xi ! i=1

gilt. F¨ ur alle anderen x ∈

Rm

i=1

gilt dann P [{X = x}] = 0 ; vgl. Aufgabe 3.2.A.

3.2 Zufallsvektoren

63

Interpretation: F¨ ur alle i ∈ {1, . . . , m} ist Xi die Anzahl der Kugeln der Sorte i , die sich beim n–maligen Ziehen mit Zur¨ ucklegen aus einer Urne mit m+1 Sorten von Kugeln einstellt, wenn der Anteil der Kugeln der ur Sorte i in der Urne f¨ ur i = m + 1 gleich 1 − m ϑ ist. i ∈ {1, . . . , m} gleich ϑi und f¨ j j=1 Bemerkung: F¨ ur n ∈ N und ϑ ∈ (0, 1) gilt M(n, ϑ) = M(n, ϑ, 1−ϑ) = B(n, ϑ) . (3) Negativmultinomial–Verteilung: Der Zufallsvektor X besitzt die Negativmultinomial–Verteilung NM(β, ϑ1 , . . . , ϑm )  mit den Parametern β ∈ (0, ∞) und ϑ1 , . . . , ϑm ∈ (0, 1) mit m i=1 ϑi < 1 , wenn f¨ ur alle x ∈ Rm mit x1 , . . . , xm ∈ N0  β m 

 m m  x β+ m i=1 xi − 1 (  i=1 xi )!  1− P [{X = x}] = ϑi ϑi i m m i=1 xi i=1 xi ! i=1

i=1

gilt. F¨ ur alle anderen x ∈ gilt dann P [{X = x}] = 0 ; vgl. Aufgabe 3.2.A. Bemerkung: F¨ ur ϑ ∈ (0, 1) gilt NM(n, ϑ) = NB(n, ϑ) . Rm

Die folgenden Ergebnisse verallgemeinern Satz 3.1.6 und Satz 3.1.9: 3.2.3 Satz. F¨ ur eine Abbildung X : Ω → Rm sind folgende Aussagen ¨aquivalent: (a) X ist ein diskreter Zufallsvektor. (b) Es gibt eine abz¨ahlbare Indexmenge I sowie eine Zerlegung {Ai }i∈I von Ω und eine Familie {ai }i∈I ⊆ Rm mit X = ai χAi i∈I

3.2.4 Satz. Sei X : Ω → Rm ein diskreter Zufallsvektor und sei h : Rm → R eine Funktion. Dann gilt h(X) ∈ L0 (R) Die Beweise von Satz 3.2.3 und Satz 3.2.4 verlaufen analog zu denen von Satz 3.1.6 und Satz 3.1.9. Sind X : Ω → Rm und X1 , . . . , Xm : Ω → R Abbildungen mit ⎞ ⎛ X1 (ω) ⎟ ⎜ .. X(ω) = ⎝ ⎠ . Xm (ω) f¨ ur alle ω ∈ Ω , so schreiben wir

⎛

⎞ X1 ⎜ ⎟ X = ⎝ ... ⎠ Xm

und nennen X1 , . . . , Xm die Koordinaten von X .

64

Kapitel 3. Zufallsvariable und ihre Verteilungen

3.2.5 Lemma. F¨ ur eine Abbildung X : Ω → Rm und ihre Koordinaten X1 , . . . , Xm : Ω → R sind folgende Aussagen ¨aquivalent: (a) X ist ein diskreter Zufallsvektor. (b) X1 , . . . , Xm sind diskrete Zufallsvariable. Das Lemma ergibt sich unmittelbar aus den Definitionen. Es besagt insbesondere, daß man diskrete Zufallsvariable X1 , . . . , Xm : Ω → R als Koordinaten eines diskreten Zufallsvektors X : Ω → Rm auffassen kann. Im Hinblick auf Lemma 3.2.5 bezeichnen wir die Verteilung eines Zufallsvektors X auch als die gemeinsame Verteilung seiner Koordinaten X1 , . . . , Xm ; außerdem bezeichnen wir die Verteilungen seiner Koordinaten X1 , . . . , Xm als eindimensionale Randverteilungen des Zufallsvektors X . Die folgenden Beispiele zeigen, daß Zufallsvektoren, die dieselben eindimensionalen Randverteilungen besitzen, dennoch unterschiedliche Verteilungen besitzen k¨onnen: 3.2.6 Beispiele (Urnenmodelle). Wir betrachten eine Urne mit N Kugeln, von denen K ∈ {1, . . . , N −1} rot sind und N −K Kugeln eine andere Farbe besitzen. Wir w¨ahlen n = 2 Kugeln zuf¨allig aus. Wir verwenden die vorher eingef¨ uhrten Wahrscheinlichkeitsr¨aume f¨ ur das Ziehen ohne bzw. mit Zur¨ ucklegen und betrachten in beiden F¨allen die Ereignisse A1 A2

=  rote Kugel beim 1. Zug =  rote Kugel beim 2. Zug

F¨ ur i ∈ {1, 2} setzen wir Xi := χAi Dann ist Xi die Anzahl der roten Kugeln beim i–ten Zug und es gilt f¨ ur alle i ∈ {1, 2} P [Xi = 0] = P [Xi = 1] =

N −K N K N

Wir betrachten außerdem den Zufallsvektor 

X1 X := X2 (1) Ziehen ohne Zur¨ ucklegen: Es gilt *

+ 0 P X= 0 *

+ 0 P X= 1 *

+ 1 P X= 0 *

+ 1 P X= 1

= = = =

(N −K)(N −K −1) N (N −1) (N −K)K N (N −1) K(N −K) N (N −1) K(K −1) N (N −1)

3.3 Unabh¨ angige Zufallsvariable (2) Ziehen mit Zur¨ ucklegen: Es gilt *

+ 0 P X= 0 *

+ 0 P X= 1 *

+ 1 P X= 0 *

+ 1 P X= 1

65

= = = =

(N −K)(N −K) N2 (N −K)K N2 K(N −K) N2 K2 N2

W¨ahrend die Verteilung von X , also die gemeinsame Verteilung von X1 und X2 , davon abh¨angt, ob ohne oder mit Zur¨ ucklegen gezogen wird, ist dies f¨ ur die Randverteilungen von X , also die Verteilungen von X1 und von X2 , nicht der Fall.

Aufgaben 3.2.A

Zeigen Sie f¨ ur jede der Verteilungen aus den Beispielen 3.2.2, daß die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten gleich 1 ist.

3.2.B

Sei X : Ω → Rm ein diskreter Zufallsvektor mit PX = NM(β, ϑ1 , . . . , ϑm ) und β ∈ N . Geben Sie eine Interpretation f¨ ur X .

3.2.C

Beweisen Sie die Aussagen von Aufgabe 3.1.F mit Hilfe von Satz 3.2.3 und Satz 3.2.4. Hinweis: Lemma 3.2.5.

3.3

Unabh¨ angige Zufallsvariable

F¨ ur eine nichtleere Indexmenge I bezeichnen wir weiterhin mit H(I) das System der endlichen nichtleeren Teilmengen von I . Eine Familie von Zufallsvariablen {Xi }i∈I heißt unabh¨angig, wenn f¨ ur jede Menge J ∈ H(I) und f¨ ur jede Wahl von {Bj }j∈J ⊆ B(R) + *  {Xj ∈ Bj } = P [{Xj ∈ Bj }] P j∈J

j∈J

gilt; andernfalls heißt sie abh¨angig. Der folgende Satz ergibt sich unmittelbar aus Satz 2.3.3: 3.3.1 Satz. F¨ ur eine Familie von Zufallsvariablen {Xi }i∈I sind folgende Aussagen ¨aquivalent: (a) {Xi }i∈I ist unabh¨angig. (b) F¨ ur jede nichtleere Menge K ⊆ I ist {Xi }i∈K unabh¨angig. (c) F¨ ur alle K ∈ H(I) ist {Xi }i∈K unabh¨angig.

66

Kapitel 3. Zufallsvariable und ihre Verteilungen

Aufgrund der folgenden Ergebnisse l¨aßt sich der Nachweis der Unabh¨angigkeit f¨ ur endliche Familien und f¨ ur Folgen von Zufallsvariablen vereinfachen: 3.3.2 Lemma. F¨ ur eine endliche Familie von Zufallsvariablen {Xj }j∈{1,...,n} sind folgende Aussagen ¨aquivalent: (a) {Xj }j∈{1,...,n} ist unabh¨angig. (b) F¨ ur jede Wahl von {Bj }j∈{1,...,n} ⊆ B(R) gilt + *  {Xj ∈ Bj } = P [{Xj ∈ Bj }] P j∈{1,...,n}

j∈{1,...,n}

Beweis. Offensichtlich folgt (b) aus (a). Wir nehmen nun an, daß (b) gilt, und betrachten J ∈ H({1, . . . , n}) und eine Familie {Bj }j∈J ⊆ B(R) . F¨ ur j ∈ {1, . . . , n} \ J setzen wir Bj := R und erhalten wegen {Xj ∈ R} = Ω * + * +  P {Xj ∈ Bj } = P {Xj ∈ Bj } ∩ {Xj ∈ R} j∈J j∈J j∈{1,...,n}\J + * {Xj ∈ Bj } = P j∈{1,...,n}  = P [{Xj ∈ Bj }] j∈{1,...,n}   P [{Xj ∈ Bj }] · P [{Xj ∈ R}] = j∈J j∈{1,...,n}\J  P [{Xj ∈ Bj }] = j∈J

2

Daher folgt (a) aus (b).

3.3.3 Lemma. F¨ ur eine Folge von Zufallsvariablen {Xj }j∈N sind folgende Aussagen ¨aquivalent: (a) {Xj }j∈N ist unabh¨angig. (b) F¨ ur alle n ∈ N ist die Familie {Xj }j∈{1,...,n} unabh¨angig. (c) F¨ ur alle n ∈ N und f¨ ur jede Wahl von {Bj }j∈{1,...,n} ⊆ B(R) gilt + *  {Xj ∈ Bj } = P [{Xj ∈ Bj }] P j∈{1,...,n}

j∈{1,...,n}

Beweis. Offensichtlich folgt (b) aus (a). Wir nehmen nun an, daß (b) gilt, und betrachten J ∈ H(N) und eine Familie {Bj }j∈J ⊆ B(R) . Dann gibt es ein n ∈ N mit J ∈ H({1, . . . , n}) . Da die Familie {Xj }j∈{1,...,n} unabh¨angig ist, gilt + *  {Xj ∈ Bj } = P [{Xj ∈ Bj }] P j∈J

j∈J

¨ Daher folgt (a) aus (b). Die Aquivalenz von (b) und (c) ergibt sich aus Lemma 3.3.2. 2

3.3 Unabh¨ angige Zufallsvariable

67

¨ F¨ ur diskrete Zufallsvariable ist die Uberpr¨ ufung der Unabh¨angigkeit einfach: 3.3.4 Lemma. F¨ ur eine Familie {Xi }i∈I ⊆ L0 (R) von diskreten Zufallsvariablen sind folgende Aussagen ¨aquivalent: (a) {Xi }i∈I ist unabh¨angig. (b) F¨ ur jede Menge J ∈ H(I) und f¨ ur jede Wahl von {xj }j∈J ⊆ R gilt + *  {Xj = xj } = P [{Xj = xj }] P j∈J

j∈J

(c) F¨ ur jede Menge J ∈ H(I) und f¨ ur jede Wahl von {xj }j∈J ⊆ R mit xj ∈ BXj f¨ ur alle j ∈ J gilt + *  {Xj = xj } = P [{Xj = xj }] P j∈J

j∈J

3.3.5 Beispiele (Urnenmodelle). Wir betrachten eine Urne mit N Kugeln, von denen K ∈ {1, . . . , N −1} rot sind und N −K Kugeln eine andere Farbe besitzen. Wir w¨ahlen n = 2 Kugeln zuf¨allig aus. Wir verwenden die vorher eingef¨ uhrten Wahrscheinlichkeitsr¨aume f¨ ur das Ziehen ohne bzw. mit Zur¨ ucklegen und betrachten in beiden F¨allen die Ereignisse A1 A2

=  rote Kugel beim 1. Zug =  rote Kugel beim 2. Zug

F¨ ur i ∈ {1, 2} setzen wir Xi := χAi Dann ist Xi die Anzahl der roten Kugeln beim i–ten Zug und es gilt PXi

= B(K/N )

Wir betrachten außerdem die Zufallsvariable X := X1 + X2 Dann ist X die Anzahl der roten Kugeln beim ersten und zweiten Zug. (1) Ziehen ohne Zur¨ ucklegen: Es gilt PX = H(2, N, K) und damit P [{X1 = 1} ∩ {X2 = 1}] = P [{X = 2}] =

K(K −1) N (N −1)

Andererseits gilt P [{X1 = 1}] · P [{X2 = 1}] = Daher sind X1 und X2 abh¨angig.

K K · N N

=

K2 N2

68

Kapitel 3. Zufallsvariable und ihre Verteilungen

(2) Ziehen mit Zur¨ ucklegen: Es gilt PX = B(2, K/N ) und damit

P [{X1 = 1} ∩ {X2 = 1}] = P [{X = 2}] =

K N

2

Andererseits gilt P [{X1 = 1}] · P [{X2 = 1}] =

K K · N N

=

K2 N2

Wegen {X1 = 0} = {X1 = 1} und {X2 = 0} = {X2 = 1} folgt nun aus Lemma 2.3.2, daß X1 und X2 unabh¨angig sind.

Das folgende Ergebnis zeigt, daß Funktionen von unabh¨angigen diskreten Zufallsvariablen wieder unabh¨angige (diskrete) Zufallsvariable sind: 3.3.6 Satz. Sei {Xi }i∈I ⊆ L0 (R) eine unabh¨angige Familie von diskreten Zufallsvariablen und sei {hi }i∈I eine Familie von Funktionen R → R . Dann ist die Familie {hi (Xi )}i∈I unabh¨angig. Beweis. F¨ ur alle i ∈ I ist mit Xi auch hi (Xi ) eine diskrete Zufallsvariable. ur alle j ∈ J . F¨ ur alle j ∈ J Sei J ∈ H(I) und {yj }j∈J ⊆ R mit yj ∈ Bhj (Xj ) f¨ ist die Menge Bj := {x ∈ BXj | hj (x) = yj } abz¨ahlbar; es gilt also Bj ∈ B(R) . Daher gilt + * + * {hj (Xj ) = yj } = P {Xj ∈ Bj } P j∈J j∈J  P [{Xj ∈ Bj }] = j∈J  = P [{hj (Xj ) = yj }] j∈J

Die Behauptung folgt nun aus Lemma 3.3.4.

2

3.3.7 Satz. Sei {Xi }i∈N ⊆ L0 (R) eine unabh¨angige Folge von diskreten Zufallsvariablen. F¨ ur m ∈ N sei Y0 :=

m

Xi

i=1

und Yj := Xm+j f¨ ur alle j ∈ N . Dann ist die Folge {Yj }j∈N0 unabh¨angig. Beweis. Wir betrachten n ∈ N und {yj }j∈{0,1,...,n} ⊆ R mit y0 ∈ BP m i=1 Xi und yj ∈ BXm+j f¨ ur alle j ∈ {1, . . . , n} . Aus der Unabh¨angigkeit der Folge {Xi }i∈N ergibt sich

3.3 Unabh¨ angige Zufallsvariable ⎡" # m P⎣ Xi = y0 ∩ i=1

69 ⎤



{Yj = yj }⎦

j∈{1,...,n}

⎡

⎤



⎢ = P⎢ ⎣



x1 ∈X1 (Ω),...,xm ∈Xm (Ω) i∈{1,...,m} x1 +···+xm =y0

⎡



=

x1 ∈X1 (Ω),...,xm ∈Xm (Ω) x1 +···+xm =y0



=



P⎣

P [{Xi = xi }]

= P

n

Xi = y0

i=1

n 

{Xm+j = yj }⎦

n 

P [{Xm+j = yj }]

⎤ 

#

⎤

j∈{1,...,n}

n ⎥ {Xi = xi }⎥ P [{Xm+j = yj }] ⎦

x1 ∈X1 (Ω),...,xm ∈Xm (Ω) i∈{1,...,m} x1 +···+xm =y0

"

⎥ {Xm+j = yj }⎥ ⎦

j=1

⎡





{Xi = xi } ∩

x1 ∈X1 (Ω),...,xm ∈Xm (Ω) i=1 x1 +···+xm =y0

⎢ = P⎢ ⎣

j∈{1,...,n}

i∈{1,...,m} m 



{Xi = xi } ∩

j=1

P [{Yj = yj }]

j=1

2

Die Behauptung folgt nun aus Lemma 3.3.4.

Die Unabh¨angigkeit von Zufallsvariablen ist insbesondere f¨ ur die Berechnung der Verteilung ihrer Summe von Interesse: 3.3.8 Lemma (Faltungsformel). Sind X, Y ∈ L0 (R) unabh¨angig, so gilt f¨ ur alle z ∈ BX+Y P [{X +Y = z}] = P [{X = x}] P [{Y = z−x}] x∈BX

Beweis. Es gilt P [{X +Y = z}] = = =



x∈X(Ω), y∈Y (Ω), x+y=z



x∈X(Ω) x∈X(Ω)

P [{X = x}∩{Y = y}]

P [{X = x}∩{Y = z −x}] P [{X = x}] P [{Y = z−x}]

In der letzten Summe kann man alle x ∈ X(Ω) mit P [{X = x}] = 0 weglassen. 2 Die Behauptung folgt nun aus der Definition des Tr¨agers BX von X . Die Verteilung PX+Y der Summe X + Y von unabh¨angigen Zufallsvariablen X, Y ∈ L0 (R) wird auch als Faltung der Verteilungen PX und PY bezeichnet.

70

Kapitel 3. Zufallsvariable und ihre Verteilungen

3.3.9 Beispiele (Spezielle Verteilungen). Seien X, Y ∈ L0 (R) unabh¨ angig. (1) Binomial–Verteilung: Im Fall PX = B(m, ϑ) und PY = B(n, ϑ) gilt = B(m+n, ϑ)

PX+Y

(2) Poisson–Verteilung: Im Fall PX = P(α) und PY = P(β) gilt PX+Y

= P(α+β)

In der Tat: F¨ ur alle n ∈ N0 gilt P [{X +Y = n}] = =

∞ k=0 n

P [{X = k}] P [{Y = n−k}] αk −β β n−k e k! (n−k)!

e−α

k=0

n

1 αk β n−k k! (n−k)! k=0 

n−k n 

n (α+β) n β α k −(α+β) = e n! α+β α+β k

= e−(α+β)

k=0

= e−(α+β)

(α+β)n n!

(3) Negativbinomial–Verteilung: Im Fall PX = NB(α, ϑ) und PY = NB(β, ϑ) gilt PX+Y

= NB(α+β, ϑ)

(4) Geometrische Verteilung: Im Fall PX = Geo(m, ϑ) und PY = Geo(n, ϑ) gilt PX+Y

= Geo(m+n, ϑ)

Die fehlenden Beweise verlaufen wie im Fall der Poisson–Verteilung.

Wir beschließen diesen Abschnitt mit zwei Definitionen: Eine Familie von Zufallsvariablen {Xi }i∈I heißt unabh¨angig und identisch verteilt, wenn sie unabh¨angig ist und außerdem f¨ ur alle i, j ∈ I PXi = PXj gilt; in diesem Fall bezeichnen wir mit X eine beliebige Zufallsvariable mit PX = PXi f¨ ur alle i ∈ I und nennen X eine typische Zufallsvariable der Familie {Xi }i∈I .

3.4 Bedingte Verteilungen

71

Eine Familie von Zufallsvariablen {Xj }j∈N heißt unabh¨angig von einer Zufallsvariablen N , wenn f¨ ur jede Menge J ∈ H(I) und f¨ ur jede Wahl von {Bj }j∈J ⊆ B(R) und B ∈ B(R) * + * + P {Xj ∈ Bj } ∩ {N ∈ B} = P {Xj ∈ Bj } · P [{N ∈ B}] j∈J

j∈J

gilt.

Aufgaben 3.3.A

Eine Familie von Ereignissen {Ai }i∈I ist genau dann unabh¨ angig, wenn die angig ist. Familie der Indikatorfunktionen {χAi }i∈I unabh¨

3.3.B

F¨ uhren Sie die fehlenden Beweise zu den Beispielen 3.3.9 aus.

3.4

Bedingte Verteilungen

Sei X : Ω → R eine Zufallsvariable und sei C ∈ F ein Ereignis mit P [C] > 0 . Dann ist die Abbildung PX|C : B(R) → [0, 1] mit PX|C [B] := P [{X ∈ B}|C] ein Wahrscheinlichkeitsmaß. Das Wahrscheinlichkeitsmaß PX|C heißt bedingte Verteilung von X unter C . Im Fall P [C] = 1 gilt offenbar PX|C = PX . In vielen F¨allen ist das bedingende Ereignis selbst durch die Zufallsvariable X bestimmt: Ist D ∈ B(R) mit P [{X ∈ D}] > 0 , so gilt f¨ ur alle B ∈ B(R) PX|{X∈D} [B] = P [{X ∈ B}|{X ∈ D}] P [{X ∈ B} ∩ {X ∈ D}] P [{X ∈ D}] P [{X ∈ B ∩ D}] = P [{X ∈ D}] =

und damit PX|{X∈D} [D] = 1 und PX|{X∈D} [D] = 0 . In diesem Fall ist die bedingte Verteilung von X unter {X ∈ D} auf die Menge D konzentriert und verschwindet außerhalb von D . 3.4.1 Beispiel (Bedingte Verteilung). Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit PX = NB(1, ϑ) . Dann gilt P [{X > 0}] = 1 − P [{X = 0}] = 1 − (1−ϑ) = ϑ

72

Kapitel 3. Zufallsvariable und ihre Verteilungen

und damit P [{X > 0}] > 0 . F¨ ur alle k ∈ N0 gilt P [{X = k}|{X > 0}] =

P [{X = k} ∩ {X > 0}] P [{X > 0}]

Daher gilt P [{X = 0}|{X > 0}] = 0 , und f¨ ur alle k ∈ N ergibt sich P [{X = k}|{X > 0}] = = =

P [{X = k} ∩ {X > 0}] P [{X > 0}] P [{X = k}] P [{X > 0}] (1−ϑ) ϑk ϑ

= (1−ϑ) ϑk−1 Also gilt PX|{X>0} = Geo(1, 1−ϑ) und insbesondere PX|{X>0} [N] = 1 .

Schließlich kann das bedingende Ereignis auch durch eine von X verschiedene Zufallsvariable bestimmt sein: Ist Y : Ω → R eine Zufallsvariable und ist D ∈ B(R) mit P [{Y ∈ D}] > 0 , so gilt f¨ ur alle B ∈ B(R) PX|{Y ∈D} [B] = P [{X ∈ B}|{Y ∈ D}] =

P [{X ∈ B} ∩ {Y ∈ D}] P [{Y ∈ D}]

Zur Berechnung der bedingten Verteilung von X unter {Y ∈ D} wird also die gemeinsame Verteilung von X und Y ben¨otigt. Sind X und Y unabh¨angig, so ergibt sich aus der letzten Gleichung PX|{Y ∈D} [B] = P [{X ∈ B}] = PX [B] In diesem Fall stimmt also die bedingte Verteilung PX|{Y ∈D} von X unter {Y ∈ D} mit der unbedingten Verteilung PX von X u ¨berein.

Aufgaben 3.4.A

Sei X eine Zufallsvariable und sei D ∈ B(R) . Es gelte P [{X ∈ D}] > 0 . Dann gilt f¨ ur alle B ∈ B(R) PX|{X∈D} [B] = PX [B|D]

3.4.B

Sei X eine diskrete Zufallsvariable. Berechnen Sie die bedingte Verteilung von X unter {X > 0} f¨ ur den Fall, daß PX eine Binomial–, Poisson– oder Negativbinomial–Verteilung ist.

3.4.C

Geometrische Verteilung: Sei X ∈ L0 (N0 ) eine Zufallsvariable mit P [{X > l}] > 0 f¨ ur alle l ∈ N . Dann sind folgende Aussagen ¨ aquivalent: (a) F¨ ur alle k, l ∈ N gilt P [{X > k + l}|{X > l}] = P [{X > k}] . (b) Es gilt PX = Geo(1, ϑ) mit ϑ = P [{X = 1}] .

Kapitel 4 Momente von Zufallsvariablen Die Erwartungswerte bestimmter Funktionen einer Zufallsvariablen werden als Momente bezeichnet. Momente sind beispielsweise der Erwartungswert der Zufallsvariablen und der Erwartungswert der quadratischen Abweichung der Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert. Momente einer Zufallsvariablen charakterisieren zu einem gewissen Grad ihre Verteilung und k¨onnen dazu verwendet werden, die Wahrscheinlichkeit bestimmter Ereignisse, die durch die Zufallsvariable definiert sind, abzusch¨atzen.

4.1

Der Erwartungswert

Der Begriff des Erwartungswertes einer Zufallsvariablen ist von grundlegender Bedeutung. Wir f¨ uhren diesen Begriff zun¨achst f¨ ur positive diskrete Zufallsvariable und sodann f¨ ur beliebige diskrete Zufallsvariable ein.

Erwartungswert einer positiven Zufallsvariablen F¨ ur eine positive diskrete Zufallsvariable X ∈ L0 (R+ ) heißt x P [{X = x}] E[X] := x∈X(Ω)

der Erwartungswert von X . Der Erwartungswert einer positiven diskreten Zufallsvariablen ist also das gewichtete Mittel ihrer Realisationen, wobei jede Realisation mit der Wahrscheinlichkeit ihres Auftretens gewichtet wird. Bei der Berechnung des Erwartungswertes einer Zufallsvariablen X ∈ L0 (R+ ) kann man alle Realisationen x ∈ X(Ω) mit P [{X = x}] = 0 vernachl¨assigen. Daher gilt x P [{X = x}] E[X] = x∈BX

Wir geben einige Beispiele:

74

Kapitel 4. Momente von Zufallsvariablen

4.1.1 Beispiele (Spezielle Verteilungen). Sei X ∈ L0 (R+ ) . (1) Bernoulli–Verteilung: Im Fall PX = B(ϑ) gilt E[X] = ϑ (2) Hypergeometrische Verteilung: Im Fall PX = H(n, N, K) gilt E[X] = n

K N

(3) Binomial–Verteilung: Im Fall PX = B(n, ϑ) gilt E[X] = n ϑ (4) Poisson–Verteilung: Im Fall PX = P(α) gilt E[X] = α In der Tat: Es gilt E[X] = =

∞ k=0 ∞

k P [{X = k}] k e−α

k=1 ∞

= α

e−α

αk−1 (k−1)!

e−α

αl l!

k=1

= α

∞

αk k!

l=0

= α Die letzte Gleichung ergibt sich daraus, daß die letzte Summe gerade die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten der Poisson–Verteilung P(α) ist. (5) Negativbinomial–Verteilung: Im Fall PX = NB(β, ϑ) gilt E[X] = β

ϑ 1−ϑ

(6) Geometrische Verteilung: Im Fall PX = Geo(n, ϑ) gilt E[X] = n

1 ϑ

(7) Logarithmische Verteilung: Im Fall PX = log ϑ gilt E[X] =

ϑ 1 | log(1−ϑ)| 1 − ϑ

Die fehlenden Beweise verlaufen wie im Fall der Poisson–Verteilung.

4.1 Der Erwartungswert

75

Aus der Definition des Erwartungswertes folgt f¨ ur alle X ∈ L0 (R+ ) E[X] ≥ 0 Der Fall E[X] = 0 l¨aßt sich wie folgt charakterisieren: 4.1.2 Lemma. F¨ ur X ∈ L0 (R+ ) sind folgende Aussagen ¨aquivalent: (a) Es gilt P [{X = 0}] = 1 . (b) Es gilt E[X] = 0 . Beweis. Offensichtlich folgt (b) aus (a). Wir nehmen nun an, daß (b) gilt. Wegen E[X] = 0 gilt 0 = E[X] x P [{X = x}] = x∈X(Ω) x P [{X = x}] = x∈X(Ω)∩(0,∞)

Daher gilt f¨ ur alle x ∈ X(Ω) ∩ (0, ∞) P [{X = x}] = 0 Daraus folgt P [{X = 0}] = 0 . Daher folgt (a) aus (b).

2

Jede Zufallsvariable X ∈ L0 (R+ ) besitzt eine Darstellung der Form X = ai χAi i∈I

mit einer abz¨ahlbaren Indexmenge I , einer disjunkten Familie {Ai }i∈I ⊆ F und einer Familie {ai }i∈I ⊆ R+ positiver reeller Zahlen. Wir zeigen nun, daß sich der Erwartungswert von X aus dieser Darstellung von X bestimmen l¨aßt: 4.1.3 Satz. Sei X ∈ L0 (R+ ) . Sei ferner I eine abz¨ahlbare Indexmenge, sei {Ai }i∈I ⊆ F disjunkt und sei {ai }i∈I ⊆ R+ eine Familie positiver reeller Zahlen mit ai χAi X = i∈I

Dann gilt E[X] =

i∈I

ai P [Ai ]

Insbesondere gilt E[X] < ∞ genau dann, wenn die Reihe ai P [Ai ] i∈I

konvergent ist.

76

Kapitel 4. Momente von Zufallsvariablen

Beweis. Wir nehmen zun¨achst an, daß die Familie {Ai }i∈I nicht nur disjunkt, sondern sogar eine ur x ∈ X(Ω) sei Ix := {i ∈ I | ai = x} .  Zerlegung von Ω ist. F¨ Dann gilt I = x∈X(Ω) Ix und damit E[X] = = = = =



x P [{X = x}] x P [Ai ] x∈X(Ω) i∈Ix x P [Ai ] x∈X(Ω) i∈Ix ai P [Ai ] x∈X(Ω) i∈Ix ai P [Ai ]

x∈X(Ω)

i∈I

Ist die Familie {Ai }i∈I disjunkt, aber keine Zerlegung von Ω , so ist die Familie {Ai }i∈I ∪ {A∗ } mit A∗ := Ω \ i∈I Ai eine Zerlegung von Ω und es gilt X =



ai χAi + 0 · χA∗

i∈I

Aus der vorher gezeigten Gleichung folgt nun E[X] = ai P [Ai ] + 0 · P [A∗ ] i∈I ai P [Ai ] = i∈I

2

Damit ist der Satz bewiesen. 4.1.4 Beispiel (Indikatorfunktion). F¨ ur jedes Ereignis A ∈ F gilt E[χA ] = P [A]

Die in Satz 4.1.3 angegebene Darstellung des Erwartungswertes einer Zufallsvariablen wird sich im folgenden als ¨außerst n¨ utzlich erweisen. 4.1.5 Folgerung. Sei {Bn }n∈N0 ⊆ F eine monoton fallende Folge mit  ur die Abbildung X : Ω → R+ n∈N0 Bn = ∅ und sei {bn }n∈N0 ⊆ R+ . F¨ mit ∞ bn χBn X := n=0

gilt dann E[X] =

∞ n=0

bn P [Bn ]

4.1 Der Erwartungswert

77

Beweis. Nach Folgerung 3.1.7 ist X eine diskrete Zufallsvariable. F¨ ur alle n ∈ N0 setzen wir An := Bn\B n+1 ∈ F . Dann ist die Folge {An }n∈N0 disjunkt und f¨ ur alle n ∈ N0 gilt Bn = ∞ k=n Ak . Außerdem gilt ∞

X =

n=0 ∞

=

bn χBn bn

∞

χAk

n=0

k=n  k ∞

=



bn χAk

n=0

k=0

Daher gilt nach Satz 4.1.3 E[X] = = =

 k ∞ k=0 ∞ n=0 ∞

 bn P [Ak ]

n=0 ∞

bn

P [Ak ]

k=n

bn P [Bn ]

n=0

2

Damit ist die Behauptung gezeigt.

4.1.6 Folgerung. Sei N ∈ L0 (N0 ) eine Zufallsvariable und sei {Yn }n∈N0 ⊆ ur alle n ∈ N die ZufallsL0 (R+ ) eine Folge von Zufallsvariablen derart, daß f¨ variablen N und Yn unabh¨angig sind. F¨ ur die Zufallsvariable X : Ω → R+ mit ∞ X := χ{N =n} Yn n=0

gilt dann E[X] =

∞

P [{N = n}] E[Yn ]

n=0

Beweis. Nach Folgerung 3.1.8 ist X eine Zufallsvariable. F¨ ur alle n ∈ N0 gilt Yn = y χ{Yn =y} y∈Yn (Ω)

Dann ist I := {(n, y) | n ∈ N0 , y ∈ Yn (Ω)} abz¨ahlbar, f¨ ur alle (n, y) ∈ I gilt {N = n} ∩ {Yn = y} ∈ F, und die Familie {{N = n} ∩ {Yn = y}}(n,y)∈I ist disjunkt. Außerdem gilt X =

∞ n=0

χ{N =n} Yn

78

Kapitel 4. Momente von Zufallsvariablen

=

∞



χ{N =n}

y∈Yn (Ω)

n=0

=

(n,y)∈I

Daher gilt nach Satz 4.1.3 E[X] = = = = =



(n,y)∈I

(n,y)∈I

y χ{N =n}∩{Yn =y}

y P [{N = n}∩{Yn = y}] y P [{N = n}] P [{Yn = y}]

∞ n=0 ∞ n=0 ∞

y χ{Yn =y}

y∈Yn (Ω)

y P [{N = n}] P [{Yn = y}]

P [{N = n}]

y∈Yn (Ω)

y P [{Yn = y}]

P [{N = n}] E[Yn ]

n=0

2

Damit ist die Behauptung gezeigt.

4.1.7 Folgerung (Linearit¨ at des Erwartungswertes). F¨ ur alle X, Y ∈ L0 (R+ ) und f¨ ur alle a, b ∈ R+ gilt E[a X + b Y ] = a E[X] + b E[Y ] Beweis. Nach Lemma 3.1.11 gibt es eine abz¨ahlbare Indexmenge I sowie eine Zerlegung {Ai }i∈I von Ω und Familien {ai }i∈I ⊆ R+ und {bi }i∈I ⊆ R+ mit ai χAi X = i∈I Y = bi χAi i∈I

Es gilt also aX + bY

=

i∈I

(a ai + b bi ) χAi

Daher gilt nach Satz 4.1.3 E[a X + b Y ] =



= a

i∈I

(a ai + b bi ) P [Ai ] ai P [Ai ] + b

i∈I

= a E[X] + b E[Y ]

i∈I

bi P [Ai ]

4.1 Der Erwartungswert

79 2

Damit ist die Behauptung gezeigt.

F¨ ur Ereignisse A, B ∈ F mit A ⊆ B gilt P [A] ≤ P [B] . Ein analoges Ergebnis gilt f¨ ur die Erwartungswerte von positiven diskreten Zufallsvariablen: 4.1.8 Folgerung (Positivit¨ at des Erwartungswertes). F¨ ur alle X, Y ∈ L0 (R+ ) mit X ≤ Y gilt E[X] ≤ E[Y ] Beweis. Nach Lemma 3.1.11 gibt es eine abz¨ahlbare Indexmenge I sowie eine Zerlegung {Ai }i∈I von Ω und Familien {ai }i∈I ⊆ R+ und {bi }i∈I ⊆ R+ mit X = ai χAi i∈I Y = bi χAi i∈I

Wegen X ≤ Y gilt ai ≤ bi f¨ ur alle i ∈ I mit Ai = ∅ . Daher gilt nach Satz 4.1.3 ai P [Ai ] E[X] = i∈I bi P [Ai ] ≤ i∈I

= E[Y ] 2

Damit ist die Behauptung gezeigt.

Das folgende Beispiel zeigt, daß der Erwartungswert einer positiven diskreten Zufallsvariablen nicht notwendigerweise endlich ist: 4.1.9 Beispiel (Erwartungswert). Sei X ∈ L0 (R+ ) eine Zufallsvariable mit " 1/2k falls x = 2k mit k ∈ N P [{X = x}] = 0 sonst Dann gilt E[X] =

∞ k=1

2k

1 2k

und damit E[X] = ∞ .

Erwartungswert einer beliebigen Zufallsvariablen Sei nun X ∈ L0 (R) eine beliebige diskrete Zufallsvariable. Dann sind X + und X − sowie |X| positive diskrete Zufallsvariable; ihre Erwartungswerte sind also bereits definiert, aber sie sind nicht notwendigerweise endlich.

80 –

Kapitel 4. Momente von Zufallsvariablen Im Fall min{E[X + ], E[X − ]} < ∞ ist mindestens einer der Erwartungswerte E[X + ] und E[X − ] endlich; in diesem Fall ist die Differenz E[X] := E[X + ] − E[X − ]

–

definiert und man sagt, daß X einen Erwartungswert besitzt, und nennt E[X] den Erwartungswert von X . Im Fall max{E[X + ], E[X − ]} < ∞ sind beide Erwartungswerte E[X + ] und E[X − ] endlich; in diesem Fall ist auch der Erwartungswert E[X] endlich und man sagt, daß X einen endlichen Erwartungswert besitzt.

4.1.10 Beispiel (Erwartungswert). Sei X ∈ L0 (R) eine Zufallsvariable mit " 1/2k falls x = (−2)k mit k ∈ N P [{X = x}] = 0 sonst Dann gilt E[X + ] =

∞

22j

j=1

E[X − ] =

∞

1 22j

22j−1

j=1

1 22j−1

und damit E[X + ] = ∞ = E[X − ] . Daher besitzt X keinen Erwartungswert.

Wir bezeichnen mit L1 (R) die Familie aller Zufallsvariablen in L0 (R) , die einen endlichen Erwartungswert besitzen, und setzen L1 (R+ ) := L1 (R) ∩ L0 (R+ ) L1 (N0 ) := L1 (R) ∩ L0 (N0 ) Man sagt auch, daß die Zufallsvariablen in L1 (R) ein endliches erstes Moment besitzen.

4.1 Der Erwartungswert

81

4.1.11 Lemma. F¨ ur X ∈ L0 (R) sind folgende Aussagen ¨aquivalent: 1 (a) Es gilt X ∈ L (R) . (b) Es gilt |X| ∈ L1 (R) . Beweis. Wir nehmen zun¨achst an, daß (a) gilt. Dann gilt E[X + ] < ∞ und E[X − ] < ∞ und aus Folgerung 4.1.7 folgt E|X| = E[X + ] + E[X − ] < ∞ , und damit |X| ∈ L1 (R) . Daher folgt (b) aus (a). Wir nehmen nun an, daß (b) gilt. Dann gilt E|X| < ∞ und aus Folgerung 4.1.8 folgt E[X + ] < ∞ und 2 E[X − ] < ∞ , und damit X ∈ L1 (R) . Daher folgt (a) aus (b). Mit Hilfe des folgenden Satzes l¨aßt sich u ufen, ob eine diskrete Zufalls¨berpr¨ variable einen endlichen Erwartungswert besitzt: 4.1.12 Satz. Sei X ∈ L0 (R) . Sei ferner I eine abz¨ahlbare Indexmenge, sei {Ai }i∈I ⊆ F disjunkt und sei {ai }i∈I ⊆ R eine Familie reeller Zahlen mit X = ai χAi i∈I

Dann sind folgende Aussagen ¨aquivalent: (a) Es gilt X ∈ L1 (R) . (b) Die Reihe |ai | P [Ai ] i∈I

ist konvergent. In diesem Fall gilt E[X] =

i∈I

ai P [Ai ]

Beweis. Aus der Darstellung von X ergibt sich |ai | χAi |X| = i∈I

 Nach Satz 4.1.3 gilt |X| ∈ L1 (R) genau dann, wenn i∈I |ai | P [Ai ] < ∞ gilt. Nach Lemma 4.1.11 sind daher (a) und (b) ¨aquivalent. Wir nehmen nun an, daß (a) gilt. Dann gilt a+ X+ = i χAi i∈I X− = a− i χAi i∈I

Wegen X ∈ L1 (R) sind die Erwartungswerte E[X + ] = a+ i P [Ai ] i∈I E[X − ] = a− i P [Ai ] i∈I

82

Kapitel 4. Momente von Zufallsvariablen

endlich. Daher gilt E[X] = E[X + ] − E[X − ] = a+ a− i P [Ai ] − i P [Ai ] i∈I i∈I ai P [Ai ] = i∈I

2

Damit ist die Folgerung bewiesen.

F¨ ur X ∈ L1 (R) ergibt sich aus Satz 4.1.12 unmittelbar die Darstellung des Erwartungswertes von X in der Form E[X] = x P [{X = x}] x∈X(Ω) x P [{X = x}] = x∈BX

Der Erwartungswert einer beliebigen diskreten Zufallsvariablen l¨aßt sich also im Falle seiner Existenz genau so berechnen wie der Erwartungswert einer positiven diskreten Zufallsvariablen. Eine Zufallsvariable X ∈ L0 (R) heißt beschr¨ankt, wenn ihr Tr¨ager BX eine beschr¨ankte Menge ist. 4.1.13 Folgerung. Jede beschr¨ankte diskrete Zufallsvariable besitzt einen endlichen Erwartungswert. Beweis. Sei X ∈ L0 (R) beschr¨ankt. Dann gilt es ein c ∈ R+ mit BX ⊆ [−c, c] . Mit x χ{X=x} X = x∈X(Ω)

ergibt sich nun x∈X(Ω)

|x| P [{X = x}] = ≤



x∈BX x∈BX

|x| P [{X = x}] c P [{X = x}]

= c Aus Satz 4.1.12 ergibt sich nun X ∈ L1 (R) .

2

Eine Zufallsvariable X ∈ L0 (R) heißt konstant, wenn ihr Tr¨ager BX nur ein Element enth¨alt. Jede konstante diskrete Zufallsvariable ist beschr¨ankt. 4.1.14 Folgerung. F¨ ur eine Zufallsvariable X ∈ L0 (R) sind folgende Aussagen ¨aquivalent: (a) X ist konstant. (b) Es gilt X ∈ L1 (R) und P [{X = E[X]}] = 1 .

4.1 Der Erwartungswert

83

Beweis. Es ist klar, daß (a) aus (b) folgt. Wir nehmen nun an, daß (a) gilt. Da X konstant ist, ist X beschr¨ankt. Daher gilt X ∈ L1 (R) . Außerdem gibt es ein c ∈ R mit BX = {c} . Wegen P [{X = c}] = P [{X ∈ BX }] = 1 gilt E[X] = c und damit P [{X = E[X]}] = 1 . Damit ist gezeigt, daß (b) aus (a) folgt. 2 Wir betrachten nun den Erwartungswert einer Funktion einer diskreten Zufallsvariablen: 4.1.15 Satz. Sei X ∈ L0 (R) und sei h : R → R eine Funktion mit h(X) ∈ L0 (R+ ) oder h(X) ∈ L1 (R) . Dann gilt h(x) P [{X = x}] E[h(X)] = x∈X(Ω)

Beweis. Wegen X = gilt h(X) =

x∈X(Ω)

x χ{X=x}

x∈X(Ω)

h(x) χ{X=x}



Aus dieser Darstellung von h(X) folgt, im Fall h(X) ∈ L0 (R+ ) mit Satz 4.1.3 und im Fall h(X) ∈ L1 (R) mit Satz 4.1.12, E[h(X)] = h(x) P [{X = x}] x∈X(Ω)

2

Damit ist der Satz bewiesen.

Aufgrund des Satzes kann man f¨ ur eine Zufallsvariable X und eine Funktion h : R → R den Erwartungswert der Zufallsvariablen h(X) unmittelbar aus der Verteilung von X bestimmen und damit auf die Berechnung der Verteilung von h(X) verzichten. Der Satz l¨aßt sich wie folgt verallgemeinern: 4.1.16 Satz. Sei X, Y ∈ L0 (R) und sei h : R2 → R eine Funktion mit h(X, Y ) ∈ L0 (R+ ) oder h(X, Y ) ∈ L1 (R) . Dann gilt h(x, y) P [{X = x} ∩ {Y = y}] E[h(X, Y )] = (x,y)∈X(Ω)×Y (Ω)   Beweis. Wegen x∈X(Ω) χ{X=x} = 1 = y∈Y (Ω) χ{Y =y} gilt X = x χ{X=x}∩{Y =y} (x,y)∈X(Ω)×Y (Ω) Y = y χ{X=x}∩{Y =y} (x,y)∈X(Ω)×Y (Ω)

und damit h(X, Y ) =

(x,y)∈X(Ω)×Y (Ω)

h(x, y) χ{X=x}∩{Y =y}

Die Behauptung folgt nun wie im Beweis von Satz 4.1.15.

2

84

Kapitel 4. Momente von Zufallsvariablen

Aus dem Satz ergibt sich eine wichtige Folgerung: 4.1.17 Satz (Linearit¨ at des Erwartungswertes). L1 (R) ist ein Vektorur alle a, b ∈ R gilt raum und f¨ ur alle X, Y ∈ L1 (R) und f¨ E[a X + b Y ] = a E[X] + b E[Y ]

Beweis. Es gilt

X =



Y

=

aX + bY

=

(x,y)∈X(Ω)×Y (Ω) (x,y)∈X(Ω)×Y (Ω)

x χ{X=x}∩{Y =y} y χ{X=x}∩{Y =y}

und damit

|a X + b Y | =

(x,y)∈X(Ω)×Y (Ω) (x,y)∈X(Ω)×Y (Ω)

(ax + by) χ{X=x}∩{Y =y} |ax + by| χ{X=x}∩{Y =y}

Aus Satz 4.1.16 und Satz 4.1.12 ergibt sich mit |ax + by| ≤ |a||x| + |b||y| E|a X + b Y | =

(x,y)∈X(Ω)×Y (Ω)

≤ |a|



|ax + by| P [{X = x} ∩ {Y = y}]

(x,y)∈X(Ω)×Y (Ω)

+ |b|



|x| P [{X = x} ∩ {Y = y}]

(x,y)∈X(Ω)×Y (Ω)

|y| P [{X = x} ∩ {Y = y}]

= |a| E|X| + |b| E|Y | und damit a X + b Y ∈ L1 (R) . Durch nochmalige Anwendung von Satz 4.1.16 und Satz 4.1.12 ergibt sich (ax + by) P [{X = x} ∩ {Y = y}] E[a X + b Y ] = (x,y)∈X(Ω)×Y (Ω) = a x P [{X = x} ∩ {Y = y}] (x,y)∈X(Ω)×Y (Ω) y P [{X = x} ∩ {Y = y}] +b (x,y)∈X(Ω)×Y (Ω)

= a E[X] + b E[Y ] Damit ist der Satz bewiesen.

2

Die Linearit¨at ist eine wichtige Eigenschaft des Erwartungswertes. Eine andere wichtige Eigenschaft des Erwartungswertes ist die Positivit¨at:

4.1 Der Erwartungswert

85

4.1.18 Satz (Positivit¨ at des Erwartungswertes). Sind Y, Z ∈ L0 (R) Zufallsvariable mit Y ≤ Z und Y ∈ L1 (R) , so besitzt Z einen Erwartungswert und es gilt E[Y ] ≤ E[Z] Beweis. Wegen Y ≤ Z gilt −Z ≤ −Y und damit 0 ≤ Z − ≤ Y − . Wegen Y ∈ L1 (R) gilt E[Y − ] < ∞ , und aus Folgerung 4.1.8 folgt E[Z − ] < ∞ . Daher besitzt Z einen Erwartungswert. – Im Fall E[Z + ] = ∞ gilt E[Z] = ∞ und damit E[Y ] ≤ E[Z] . – Im Fall E[Z + ] < ∞ gilt Z ∈ L1 (R) . Aus Satz 4.1.17 folgt Z−Y ∈ L1 (R) und E[Z] = E[Z −Y ] + E[Y ] . Wegen Z − Y ≥ 0 gilt E[Z −Y ] ≥ 0 und damit E[Z] ≥ E[Y ] . Damit ist der Satz gezeigt. 2 Wir beschließen diesen Abschnitt mit einer Ungleichung f¨ ur Erwartungswerte: 4.1.19 Satz (Ungleichung von Jensen). Sei X ∈ L1 (R) und sei h : R → R eine konvexe Funktion mit h(X) ∈ L1 (R) . Dann gilt h(E[X]) ≤ E[h(X)] Beweis. Da h konvex ist, gibt es eine affin–lineare Funktion g : R → R ur alle x ∈ R und außerdem g(E[X]) = h(E[X]) derart, daß g(x) ≤ h(x) f¨ gilt. Mit g(x) = a + bx ergibt sich aus der Linearit¨at und der Positivit¨at des Erwartungswertes h(E[X]) = = = = ≤

g(E[X]) a + b E[X] E[a + bX] E[g(X)] E[h(X)]

Damit ist die Ungleichung bewiesen.

2

Aufgaben 4.1.A

F¨ uhren Sie die fehlenden Beweise zu den Beispielen 4.1.1 aus.

4.1.B

Ungleichung von Jensen: F¨ ur alle X ∈ L1 (R) gilt |E[X]| ≤ E|X| und


2 ≤ E[X 2 ] E[X]

Wann gilt das Gleichheitszeichen? 4.1.C

Ungleichung von Jensen: Sei X ∈ L1 (R) und sei h : R → R eine konkave Funktion mit h(X) ∈ L1 (R) . Dann gilt h(E[X]) ≥ E[h(X)] .

86

Kapitel 4. Momente von Zufallsvariablen

4.2

Streuungsmaße

Neben dem Erwartungswert einer Zufallsvariablen, der als Schwerpunkt ihrer Verteilung interpretiert werden kann, sind vor allem Maße f¨ ur die Streuung einer Zufallsvariablen von Interesse.

Varianz F¨ ur eine Zufallsvariable X ∈ L1 (R) heißt
2 ! var[X] := E X − E[X] die Varianz von X . Die Varianz einer diskreten Zufallsvariablen ist also das gewichtete Mittel der quadratischen Abweichungen ihrer Realisationen von ihrem Erwartungswert, wobei jede Realisation mit der Wahrscheinlichkeit ihres Auftretens gewichtet wird. Die Varianz ist damit ein Maß f¨ ur die Streuung der Zufallsvariablen. 4.2.1 Lemma. Sei X ∈ L1 (R) . Dann gilt


2 var[X] = E[X 2 ] − E[X]

Beweis. Es gilt
2

2 X − E[X] = X 2 − 2 E[X] X + E[X] und X2 =


2

2 X − E[X] + 2 E[X] X − E[X]

Wegen X ∈ L1 (R) und aufgrund der Linearit¨at des Erwartungswertes gilt daher E[X 2 ] < ∞ genau dann, wenn var[X] = E[(X −E[X])2 ] < ∞ gilt. – Im Fall E[X 2 ] = ∞ gilt daher
2 var[X] = E[X 2 ] − E[X] –

Im Fall E[X 2 ] < ∞ ergibt sich aus der Linearit¨at des Erwartungswertes
2 ! var[X] = E X − E[X]

2 ! = E X 2 − 2 E[X] X + E[X]
2 = E[X 2 ] − 2 E[X] E[X] + E[X]
2 = E[X 2 ] − E[X]

Damit ist das Lemma bewiesen.

2

4.2 Streuungsmaße

87

In v¨ollig analoger Weise beweist man das folgende Lemma, mit dessen Hilfe sich die Varianz einer Zufallsvariablen X ∈ L1 (N0 ) besonders einfach berechnen l¨aßt: 4.2.2 Lemma. Sei X ∈ L1 (R) . Dann gilt


2 var[X] = E[X(X −1)] + E[X] − E[X]

Wir geben einige Beispiele: 4.2.3 Beispiele (Spezielle Verteilungen). Sei X ∈ L1 (R) . (1) Bernoulli–Verteilung: Im Fall PX = B(ϑ) gilt var[X] = ϑ(1−ϑ) (2) Hypergeometrische Verteilung: Im Fall PX = H(n, N, K) gilt

 K N −n K 1− var[X] = n N N N −1 (3) Binomial–Verteilung: Im Fall PX = B(n, ϑ) gilt var[X] = n ϑ(1−ϑ) (4) Poisson–Verteilung: Im Fall PX = P(α) gilt var[X] = α In der Tat: Es gilt E[X(X −1)] = =

∞ k=0 ∞

k(k−1) P [{X = k}] k(k−1) e−α

k=2

= α2

∞

e−α

αk−2 (k−2)!

e−α

αl l!

k=2

= α2

∞ l=0

αk k!

= α2 und damit


2 var[X] = E[X(X −1)] + E[X] − E[X] = α2 + α − α 2 = α

¨ Bemerkung: Die Ubereinstimmung der Varianz mit dem Erwartungswert ist eine Besonderheit der Poisson–Verteilung.

88

Kapitel 4. Momente von Zufallsvariablen

(5) Negativbinomial–Verteilung: Im Fall PX = NB(β, ϑ) gilt var[X] = β

ϑ (1−ϑ)2

(6) Geometrische Verteilung: Im Fall PX = Geo(n, ϑ) gilt var[X] = n

1−ϑ ϑ2

(7) Logarithmische Verteilung: Im Fall PX = log ϑ gilt var[X] =

ϑ | log(1−ϑ)| − ϑ | log(1−ϑ)|2 (1−ϑ)2

Die fehlenden Beweise verlaufen wie im Fall der Poisson–Verteilung.

Wir bezeichnen mit L2 (R) die Familie aller Zufallsvariablen X ∈ L0 (R) mit E[X 2 ] < ∞ und setzen L2 (R+ ) := L2 (R) ∩ L0 (R+ ) L2 (N0 ) := L2 (R) ∩ L0 (N0 ) Man sagt auch, daß die Zufallsvariablen in L2 (R) ein endliches zweites Moment besitzen. 4.2.4 Lemma. F¨ ur alle X, Y ∈ L2 (R) gilt XY ∈ L1 (R) . Beweis. F¨ ur alle X, Y ∈ L2 (R) gilt X 2 , Y 2 ∈ L1 (R) und aus der Linearit¨at des Erwartungswertes folgt X 2 + Y 2 ∈ L1 (R) . Wegen |XY | = χ{|X|≤|Y |} |XY | + χ{|X|>|Y |} |XY | ≤ Y 2 + X2 folgt aus der Positivit¨at des Erwartungswertes XY ∈ L1 (R) .

2

4.2.5 Satz. L2 (R) ist ein Vektorraum mit L2 (R) ⊆ L1 (R) . Beweis. Sei X, Y ∈ L2 (R) und a, b ∈ R . Dann gilt X 2 , Y 2 ∈ L1 (R) und aus Lemma 4.2.4 folgt XY ∈ L1 (R) . Wegen (aX + bY )2 = a2 X 2 − 2ab XY + b2 Y 2 folgt aus der Linearit¨at des Erwartungswertes (aX + bY )2 ∈ L1 (R) und damit aX + bY ∈ L2 (R) . Daher ist L2 (R) ein Vektorraum. Mit Y := 1 folgt aus 2 Lemma 4.2.4 X ∈ L1 (R) .

4.2 Streuungsmaße

89

Das folgende Lemma zeigt, daß eine diskrete Zufallsvariable genau dann in L2 (R) liegt, wenn sie einen endlichen Erwartungswert und eine endliche Varianz besitzt: 4.2.6 Lemma. F¨ ur X ∈ L0 (R) sind folgende Aussagen ¨aquivalent: 2 (a) Es gilt X ∈ L (R) . (b) Es gilt X ∈ L1 (R) und var[X] < ∞ . Beweis. Nach Satz 4.2.5 gilt L2 (R) ⊆ L1 (R) . Daher gilt in beiden F¨allen 2 X ∈ L1 (R) . Die Behauptung folgt nun aus Lemma 4.2.1. F¨ ur das Rechnen mit Varianzen ist das folgende Ergebnis von Interesse: 4.2.7 Lemma. F¨ ur alle X ∈ L2 (R) und f¨ ur alle a, b ∈ R gilt var[a+bX] = b2 var[X] Beweis. Aus der Linearit¨at des Erwartungswertes folgt
2 ! var[a+bX] = E (a+bX) − E[a+bX]
2 ! = E b2 X − E[X]
2 ! = b2 E X − E[X] = b2 var[X] Damit ist das Lemma bewiesen.

2

Das folgende Ergebnis charakterisiert Zufallsvariable, deren Varianz verschwindet: 4.2.8 Lemma. F¨ ur X ∈ L1 (R) sind folgende Aussagen ¨aquivalent: (a) Es gilt var[X] = 0 . (b) Es gilt P [{X = E[X]}] = 1 . (c) X ist konstant. ¨ Beweis. Die Aquivalenz von (a) und (b) folgt aus Lemma 4.1.2, und die ¨ Aquivalenz von (b) und (c) ergibt sich aus Folgerung 4.1.14. 2

Kovarianz Wir betrachten nun die Varianz der Summe von zwei Zufallsvariablen. Dazu ben¨otigen wir die folgende Definition:

90

Kapitel 4. Momente von Zufallsvariablen

F¨ ur Zufallsvariable X, Y ∈ L1 (R) mit XY ∈ L1 (R) heißt

! cov[X, Y ] := E X − E[X] Y − E[Y ] die Kovarianz von X und Y . Hier ist zu beachten, daß aufgrund der Linearit¨at des Erwartungswertes der Erwartungswert von

 X − E[X] Y − E[Y ] = XY − X E[Y ] − E[X] Y + E[X] E[Y ] existiert und endlich ist. 4.2.9 Lemma. Sei X, Y ∈ L2 (R) und a, b, c, d ∈ R . Dann gilt (1) cov[X, X] = var[X] . (2) cov[X, Y ] = E[XY ] − E[X] E[Y ] . (3) cov[(a+bX)(c+dY )] = bd cov[X, Y ] . Beweis. Aussage (1) ergibt sich unmittelbar aus den Definitionen, und die Aussagen (2) und (3) ergeben sich, wie im Fall der Varianz, aus der Linearit¨at des Erwartungswertes. 2 Die folgende Formel zeigt, daß die Varianz einer Summe von Zufallsvariablen nicht nur von ihren Varianzen, sondern auch von ihrer Kovarianz abh¨angt: 4.2.10 Satz. Sei X, Y ∈ L2 (R). Dann gilt var[X +Y ] = var[X] + 2 cov[X, Y ] + var[Y ] Beweis. Es gilt 2 ! (X +Y ) − E[X +Y ]


2 ! = E X − E[X] − Y − E[Y ]
2 !

! = E X − E[X] + 2 E X − E[X] Y − E[Y ]
2 ! + E Y − E[Y ]


var[X +Y ] = E

= var[X] + 2 cov[X, Y ] + var[Y ] Damit ist der Satz bewiesen. Zwei Zufallsvariable X, Y ∈ L2 (R) heißen – negativ korreliert, wenn cov[X, Y ] ≤ 0 gilt. – unkorreliert, wenn cov[X, Y ] = 0 gilt. – positiv korreliert, wenn cov[X, Y ] ≥ 0 gilt. Von besonderem Interesse sind unkorrelierte Zufallsvariable.

2

4.2 Streuungsmaße

91

4.2.11 Folgerung. F¨ ur X, Y ∈ L2 (R) sind folgende Aussagen ¨aquivalent: (a) Es gilt var[X +Y ] = var[X] + var[Y ] . (b) Es gilt cov[X, Y ] = 0 . (c) Es gilt E[XY ] = E[X] E[Y ] . Der folgende Satz gibt eine hinreichende Bedingung daf¨ ur, daß zwei Zufallsvariable unkorreliert sind: 4.2.12 Satz. Sind X, Y ∈ L2 (R) unabh¨angig, so gilt cov[X, Y ] = 0 und var[X +Y ] = var[X] + var[Y ]

Beweis. Nach Satz 4.1.16 und aufgrund der Unabh¨angigkeit von X und Y gilt E[XY ] = = =



(x,y)∈X(Ω)×Y (Ω)



(x,y)∈X(Ω)×Y (Ω) x∈X(Ω)

xy P [{X = x} ∩ {Y = y}]

xy P [{X = x}] P [{Y = y}] x P [{X = x}] y P [{Y = y}] y∈Y (Ω)

= E[X] E[Y ] 2

Die Behauptung folgt nun aus Folgerung 4.2.11.

Der Satz besagt, daß unabh¨angige Zufallsvariable stets unkorreliert sind. Das folgende Beispiel zeigt, daß unkorrelierte Zufallsvariable im allgemeinen nicht unabh¨angig sind: 4.2.13 Beispiel (Abh¨ angige unkorrelierte Zufallsvariable). L2 (R) Zufallsvariable mit

Seien X, Y ∈

⎧ 1/4 falls x = 0 und y ∈ {0, 2} ⎪ ⎨ 1/2 falls x = 2 und y = 1 P [{X = x} ∩ {Y = y}] = ⎪ ⎩ 0 sonst Dann gilt E[X] = E[Y ] = E[XY ] = 1 und damit cov[X, Y ] = 0 . Daher sind X und Y unkorreliert. Andererseits sind X und Y wegen P [{X = 0} ∩ {Y = 1}] = P [{X = 0}] P [{Y = 1}] nicht unabh¨angig.

92

Kapitel 4. Momente von Zufallsvariablen

Standardabweichung Die Varianz einer Zufallsvariablen ist definiert als die erwartete quadratische Abweichung der Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert. Daher besitzt die Varianz einer Zufallsvariablen, die mit einer Dimension, wie zum Beispiel einer Geldeinheit, behaftet ist, eine andere Dimension als die Zufallsvariable und ihr Erwartungswert. Es ist daher oft g¨ unstiger, die Quadratwurzel der Varianz einer Zufallsvariablen als Maß f¨ ur ihre Streuung zu verwenden. F¨ ur X ∈ L2 (R) heißt σ[X] :=

2 var[X]

die Standardabweichung von X . Wir setzen
2 σ 2 [X] := σ[X] Dann gilt σ 2 [X] = var[X] . Die Standardabweichung besitzt folgende Eigenschaften: ur alle a, b ∈ R gilt 4.2.14 Satz. F¨ ur alle X, Y ∈ L2 (R) und f¨ σ[a + bX] = |b| σ[X] und σ[X + Y ] ≤ σ[X] + σ[Y ] Beweis. Wegen Lemma 4.2.7 gilt σ[a + bX] =

2 2

var[a+bX]

b2 var[X] 2 = |b| var[X] =

= |b| σ[X] Damit ist die Gleichung gezeigt. Zum Beweis der Ungleichung zeigen wir zun¨achst
2 cov[X, Y ] ≤ var[X] var[Y ] Wir unterscheiden zwei F¨alle: – Im Fall var[Y ] = 0 folgt aus Lemma 4.2.8 P [{Y = E[Y ]}] = 1 und damit P [{(X − E[X])(Y − E[Y ]) = 0}] = 1 . Aus Lemma 4.2.8 folgt nun

! cov[X, Y ] = E X − E[X] Y − E[Y ] = 0 Daher gilt (cov[X, Y ])2 ≤ var[X] var[Y ] .

4.2 Streuungsmaße –

93

Im Fall var[Y ] = 0 gilt f¨ ur alle c ∈ R 0 ≤ var[X + cY ] = var[X] + 2c cov[X, Y ] + c2 var[Y ]

Mit c := −cov[X, Y ]/var[Y ] folgt daraus (cov[X, Y ])2 ≤ var[X] var[Y ] . In jedem Fall gilt also
2 cov[X, Y ] ≤ var[X] var[Y ] und damit cov[X, Y ] ≤

2 2 var[X] var[Y ]

Daraus folgt var[X + Y ] = var[X] + 2 cov[X, Y ] + var[Y ] 2 2 ≤ var[X] + 2 var[X] var[Y ] + var[Y ] 2
2 2 var[X] + var[Y ] = und damit σ[X + Y ] ≤ σ[X] + σ[Y ] Damit ist auch die Ungleichung gezeigt.

2

Variationskoeffizient F¨ ur Zufallsvariable mit einem strikt positiven Erwartungswert kann man als Maß f¨ ur die Streuung auch das Verh¨altnis zwischen Standardabweichung und Erwartungswert betrachten: F¨ ur eine Zufallsvariable X ∈ L2 (R) mit E[X] > 0 heißt 2 var[X] v[X] := E[X] der Variationskoeffizient von X . Wir setzen
2 v 2 [X] := v[X] Dann gilt v 2 [X] =

E[X 2 ] −1 (E[X])2

94

Kapitel 4. Momente von Zufallsvariablen

Der Variationskoeffizient ist vor allem aufgrund des folgenden Lemmas von Interesse: ur alle c ∈ (0, ∞) 4.2.15 Lemma. Sei X ∈ L2 (R) mit E[X] > 0 . Dann gilt f¨ v[X] = v[cX] Der Variationskoeffizient ist eine dimensionslose Gr¨oße: Er ¨andert sich nicht, wenn durch die Multiplikation der Zufallsvariablen mit einem strikt positiven Faktor eine Umrechnung in eine andere Maßeinheit, etwa von DM in Euro, vorgenommen wird.

H¨ ohere Momente Gelegentlich ist es erforderlich, auch h¨ohere Momente einer Zufallsvariablen zu betrachten. F¨ ur k ∈ N bezeichnen wir mit Lk (R) die Familie aller Zufallsvariablen X ∈ L0 (R) mit E[|X|k ] < ∞ und setzen Lk (R+ ) := Lk (R) ∩ L0 (R+ ) Lk (N0 ) := Lk (R) ∩ L0 (N0 ) Man sagt auch, daß die Zufallsvariablen in Lk (R) ein endliches Moment k–ter Ordnung besitzen. F¨ ur alle X ∈ L0 (R) gilt |X|k = χ{|X|≤1} |X|k + χ{|X|>1} |X|k ≤ 1 + |X|k+1 Daher gilt Lk+1 (R) ⊆ Lk (R) .

Aufgaben 4.2.A

Sei X ∈ L2 (R). Dann gilt f¨ ur alle a ∈ R var[X] ≤ E (X −a)2

!

Interpretieren Sie das Ergebnis. 4.2.B

F¨ uhren Sie die fehlenden Beweise zu den Beispielen 4.2.3 aus und bestimmen Sie die Variationskoeffizienten.

4.2.C

Beweisen Sie Lemma 4.2.9 und Folgerung 4.2.11.

4.2.D

Beweisen Sie Lemma 4.2.15.

4.3 Ungleichungen

4.3

95

Ungleichungen

In vielen F¨allen l¨aßt sich die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das durch eine Zufallsvariable bestimmt ist, mit Hilfe von Momenten der Zufallsvariablen absch¨atzen. Die wichtigste Ungleichung dieser Art ist die Ungleichung von Markov: ur 4.3.1 Satz (Ungleichung von Markov). Sei X ∈ L0 (R) . Dann gilt f¨ alle c ∈ (0, ∞) 3 4! E|X| P |X| ≥ c ≤ c Beweis. Nach Satz 4.1.3 und Satz 4.1.18 gilt 3 4! P |X| ≥ c = E[χ{|X|≥c} ] + * |X| χ{|X|≥c} ≤ E c * + |X| ≤ E c =

E|X| c 2

Damit ist die Ungleichung bewiesen. Die Ungleichung von Markov l¨aßt sich wie folgt verallgemeinern:

4.3.2 Folgerung (Ungleichung von Markov). Sei X ∈ L0 (R) und k ∈ N . Dann gilt f¨ ur alle c ∈ (0, ∞) 3 P

|X| ≥ c

4!

≤

E|X k | ck

Beweis. Wegen P [{|X| ≥ c}] = P [{|X|k ≥ ck }] = P [{|X k | ≥ ck }] folgt die Behauptung aus Satz 4.3.1. 2 Aus der Ungleichung von Markov ergeben sich weitere wichtige Ungleichungen: 4.3.3 Folgerung (Ungleichung von Tschebyschev). Sei X ∈ L2 (R) . Dann gilt f¨ ur alle c ∈ (0, ∞) 3 4! var[X] P |X −E[X]| ≥ c ≤ c2 und

3 P

4! var[X] |X −E[X]| ≤ c ≥ 1− c2

96

Kapitel 4. Momente von Zufallsvariablen

Beweis. Aus der Ungleichung von Markov folgt 3 4! E[(X −E[X])2 ] P |X −E[X]| ≥ c ≤ c2 var[X] = c2 Damit ist die erste Ungleichung gezeigt. Aus der ersten Ungleichung folgt 3 4! 3 4! P |X −E[X]| ≤ c ≥ P |X −E[X]| < c ≥ 1−

var[X] c2

Damit ist auch die zweite Ungleichung gezeigt.

2

Die Ungleichung von Tschebyschev liefert eine obere Schranke f¨ ur die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, daß eine Zufallsvariable von ihrem Erwartungswert um einen Mindestbetrag abweicht; dagegen liefert die Ungleichung von Cantelli eine obere Schranke f¨ ur die (in vielen F¨allen wichtigere) Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, daß eine Zufallsvariable ihren Erwartungswert um einen Mindestbetrag u ¨berschreitet: 4.3.4 Folgerung (Ungleichung von Cantelli). Sei X ∈ L2 (R) . Dann gilt f¨ ur alle c ∈ (0, ∞) 3 P

X ≥ E[X] + c

4!

≤

var[X] c2 + var[X]

Beweis. Sei Y := X − E[X] . Dann gilt E[Y ] = 0 und var[Y ] = var[X] . Nun folgt aus der Ungleichung von Markov f¨ ur alle x ∈ (−c, ∞) 3 4! 3 4! P X ≥ E[X] + c = P Y ≥c 3 4! = P Y +x≥c+x 3 4! ≤ P |Y +x| ≥ c + x E[(Y +x)2 ] (c+x)2 E[Y 2 ] + x2 = (c+x)2 var[Y ] + x2 = (c+x)2 var[X] + x2 = (c+x)2

≤

4.4 Bedingte Momente

97

Der letzte Ausdruck ist zweimal differenzierbar in x ∈ (−c, ∞) und wird durch x = var[X]/c minimiert. Daher gilt

var[X] var[X] + 3 4! c P X ≥ E[X] + c ≤

2 var[X] c+ c var[X] = 2 c + var[X]

2

2

Die Ungleichung ist damit gezeigt.

Aufgaben 4.3.A

Ungleichung von Markov: Sei X ∈ L0 (R) und sei h : R+ → R+ eine monoton wachsende Funktion. Dann gilt f¨ ur alle c ∈ (0, ∞) P

4.3.B

3 4! E[h(|X|)] X≥c ≤ h(c)

Ungleichung von Tschebyschev: Sei X ∈ L2 (R) mit E[X] > 0 . Dann gilt 3 4! P |X − E[X]| ≥ E[X] ≤ v 2 [X] Insbesondere gilt f¨ ur alle X ∈ L2 (R+ ) mit E[X] > 0 3 4! P X ≥ 2 E[X] ≤ v 2 [X]

4.3.C

Ungleichung von Cantelli: Sei X ∈ L2 (R). Dann gilt f¨ ur alle c ∈ (0, ∞) P

3 4! X > E[X] − c ≥

c2

c2 + var[X]

Hinweis: Betrachten Sie die Zufallsvariable Y := E[X] − X .

4.4

Bedingte Momente

F¨ ur eine positive diskrete Zufallsvariable X ∈ L0 (R+ ) und ein Ereignis C ∈ F mit P [C] > 0 heißt E[X|C] := x P [{X = x}|C] x∈X(Ω)

der bedingte Erwartungswert von X unter C . Im Fall P [C] = 1 gilt offenbar E[X|C] = E[X] .

98

Kapitel 4. Momente von Zufallsvariablen

Die Definition des bedingten Erwartungswertes liefert im Grunde genommen nichts Neues: Da die Abbildung P [ . |C] : F → [0, 1] mit P [A ∩ C] P [C]

P [A|C] :=

ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist, ist der bedingte Erwartungswert von X unter C nichts anderes als der Erwartungswert von X unter dem Wahrscheinlichkeitsmaß P [ . |C] . 4.4.1 Satz. Sei X ∈ L0 (R+ ) und C ∈ F mit P [C] > 0 . Dann gilt E[X|C] =

E[X χC ] P [C]

Beweis. Es gilt X = und damit XχC =

x∈X(Ω)

x∈X(Ω)

x χ{X=x}

x χ{X=x}∩C

Daraus folgt E[X|C] · P [C] = =



= E

x∈X(Ω) x∈X(Ω)

*

x P [{X = x}|C] · P [C] x P [{X = x} ∩ C] + x χ{X=x}∩C

x∈X(Ω)

= E[XχC ] Daraus folgt die Behauptung.

2

Sei nun X ∈ L0 (R) eine beliebige Zufallsvariable und sei C ∈ F ein Ereignis mit P [C] > 0 . Dann sind X + und X − positive Zufallsvariable; ihre bedingten Erwartungswerte bez¨ uglich C sind also bereits definiert. – Im Fall min{E[X + |C], E[X − |C]} < ∞ ist die Differenz E[X|C] := E[X + |C] − E[X − |C] definiert und man sagt, daß X einen bedingten Erwartungswert unter C besitzt und nennt E[X|C] den bedingten Erwartungswert von X unter C .

4.4 Bedingte Momente –

99

Im Fall max{E[X + |C], E[X − |C]} < ∞

ist der bedingte Erwartungswert von X unter C endlich und man sagt, daß X einen endlichen bedingten Erwartungswert unter C besitzt. Im Fall C = Ω gilt E[X|C] = E[X] . Die meisten Ergebnisse u ¨ber den Erwartungswert von X lassen sich auf den bedingten Erwartungswert von X unter Cu ¨bertragen. Besitzt X ∈ L0 (R) einen endlichen bedingten Erwartungswert unter C ∈ F mit P [C] > 0 , so heißt
var[X|C] := E

2 X − E[X|C]

5 ! 5 5C

die bedingte Varianz von X unter C ; im Fall C = Ω gilt var[X|C] = var[X] . Die meisten Ergebnisse u ¨ber die Varianz von X lassen sich auf die bedingte Varianz X unter C u ¨bertragen. Besitzen X, Y ∈ L0 (R) sowie XY einen endlichen bedingten Erwartungswert unter C ∈ F mit P [C] > 0 , so heißt

5 ! 5 cov[X, Y |C] := E X − E[X|C] Y − E[Y |C] 5 C die bedingte Kovarianz von X unter C . Wir geben abschließend eine hinreichende Bedingung daf¨ ur, daß eine Zufallsvariable einen endlichen bedingten Erwartungswert bzw. eine endliche bedingte Varianz unter C ∈ F mit P [C] > 0 besitzt: 4.4.2 Folgerung. Sei X ∈ L0 (R) und sei C ∈ F mit P [C] > 0 . Dann gilt: (1) Im Fall X ∈ L1 (R) besitzt X einen endlichen bedingten Erwartungswert unter C . (2) Im Fall X ∈ L2 (R) besitzt X eine endliche bedingte Varianz unter C . Beweis. Nach Satz 4.4.1 gilt E[|X| | C] =

E|X| E[|X| χC ] ≤ P [C] P [C]

E[X 2 | C] =

E[X 2 ] E[X 2 χC ] ≤ P [C] P [C]

und

Daraus folgt die Behauptung.

2

100

Kapitel 4. Momente von Zufallsvariablen

4.5

Die erzeugende Funktion

Wir haben bereits darauf hingewiesen, daß in der Versicherungsmathematik Zufallsvariable mit Werten in N0 von besonderem Interesse sind. In diesem Abschnitt untersuchen wir ein Hilfsmittel, daß sich bei der Untersuchung der Verteilung einer solchen Zufallsvariablen als ¨außerst n¨ utzlich erweist. ur alle n ∈ N0 Im gesamten Abschnitt sei X ∈ L0 (N0 ) eine Zufallsvariable. F¨ sei pn := P [{X = n}] Dann gilt f¨ ur alle t ∈ [−1, 1] ∞

pn |tn | ≤

n=0

Daher ist die Potenzreihe

∞

pn = 1

n=0

∞ n=0

pn tn auf dem Intervall [−1, 1] konvergent.

Die Funktion mX : [0, 1] → R mit mX (t) :=

∞

pn tn

n=0

heißt die erzeugende Funktion zu X . Wir geben einige Beispiele: 4.5.1 Beispiele (Spezielle Verteilungen). (1) Binomial–Verteilung: Im Fall PX = B(n, ϑ) gilt
n 1 − ϑ + ϑt mX (t) = (2) Poisson–Verteilung: Im Fall PX = P(α) gilt mX (t) = e−α(1−t) In der Tat: Es gilt mX (t) =

∞

e−α

n=0

= e−α

αn n t k!

∞ (αt)n k=0

= e−α eαt = e−α(1−t)

n!

4.5 Die erzeugende Funktion

101

(3) Negativbinomial–Verteilung: Im Fall PX = NB(β, ϑ) gilt

mX (t) =

1 − ϑt 1−ϑ

−β

(4) Geometrische Verteilung: Im Fall PX = Geo(n, ϑ) gilt n

ϑt mX (t) = 1 − (1−ϑ) t (5) Logarithmische Verteilung: Im Fall PX = Log(ϑ) gilt mX (t) =

log(1 − ϑt) log(1 − ϑ)

Die fehlenden Beweise verlaufen wie im Fall der Poisson–Verteilung.

Wir untersuchen nun die Eigenschaften der erzeugenden Funktion. 4.5.2 Satz. Die erzeugende Funktion mX besitzt folgende Eigenschaften: (1) mX ist monoton wachsend und stetig, und f¨ ur alle t ∈ [0, 1] gilt 0 ≤ mX (t) ≤ mX (1) = 1 (2) mX ist auf dem Intervall [0, 1) unendlich oft differenzierbar. ur alle t ∈ [0, 1) gilt (3) F¨ ur alle k ∈ N0 und f¨  k−1 ∞  (k) pn (n−i) tn−k mX (t) = n=k

i=0

(k)

(4) F¨ ur alle k ∈ N0 ist mX (t) auf dem Intervall [0, 1) monoton wachsend und es gilt ∞ k−1  (k) pn (n−i) sup mX (t) = t∈[0,1)

n=k

i=0

Beweis. Es ist klar, daß die erzeugende Funktion monoton wachsend ist und n daß mX (1) = 1 gilt. Da die Potenzreihe ∞ n=1 pn t auf (−1, 1) konvergent ist, folgt aus den Eigenschaften von Potenzreihen, daß die erzeugende Funktion auf [0, 1) unendlich oft stetig differenzierbar ist. Der Nachweis von (3) ist elementar. (k) Wir betrachten nun k ∈ N0 . Wegen (3) ist mX (t) auf dem Intervall [0, 1) monoton wachsend. Sei ck :=

(k)

sup mX (t)

t∈[0,1)

102

Kapitel 4. Momente von Zufallsvariablen

Dann gilt f¨ ur alle t ∈ [0, 1) (k) mX (t)

=

∞

 k−1  pn (n−i) tn−k i=0

n=k

≤

∞

pn

k−1 

(n−i)

i=0

n=k

und damit ck ≤

∞

pn

n=k

k−1 

(n−i)

i=0

Andererseits gilt f¨ ur alle m ∈ N und f¨ ur alle t ∈ [0, 1)    k−1 m k−1 ∞   n−k pn (n−i) t ≤ pn (n−i) tn−k n=k

i=0

i=0

n=k

=

(k) mX (t)

≤ ck Aus der Stetigkeit von Polynomen folgt nun f¨ ur alle m ∈ N m

pn

k−1 

(n−i) ≤ ck

i=0

n=k

Daraus folgt ∞

pn

k−1 

(n−i) ≤ ck

i=0

n=k

Zusammen mit der vorher gezeigten Ungleichung f¨ ur erhalten wir ∞

pn

n=k

k−1 

(n−i) = ck

i=0

Damit ist auch (4) bewiesen. F¨ ur k = 0 lautet die Gleichung aus (4) sup mX (t) = t∈[0,1)

∞

pn

n=0

= 1 = mX (1) Damit ist auch die Stetigkeit von mX an der Stelle t = 1 gezeigt.

2

4.5 Die erzeugende Funktion

103

Das folgende Ergebnis zeigt, daß die erzeugende Funktion ihren Namen verdient: 4.5.3 Folgerung. F¨ ur alle k ∈ N0 gilt pk =

1 (k) m (0) k! X

Aufgrund der Folgerung ist die Verteilung der Zufallsvariablen X durch ihre erzeugende Funktion mX eindeutig bestimmt. F¨ ur k ∈ N0 heißt

* + ∞  n X pn = E k k n=k

das Binomial–Moment der Ordnung k von X . Nach Satz 4.5.2 gilt * + 1 (k) X E mX (t) = sup k t∈[0,1) k! Als Erwartungswert einer positiven Zufallsvariablen existiert das Binomial– Moment der Ordnung k von X , aber es braucht nicht endlich zu sein. 4.5.4 Satz. F¨ ur k ∈ N sind folgende Aussagen ¨aquivalent: (a) Es gilt * + X < ∞ E k (b) Es gilt E[X k ] < ∞ (c) mX ist an der Stelle t = 1 k–mal stetig differenzierbar. In diesem Fall gilt * + 1 (k) X m (1) = E k! X k Beweis. Wir nehmen zun¨achst an, daß (a) gilt. F¨ ur alle l ∈ N gilt * + ∞  X n E = pn l l n=l  ∞

n−l+1 n pn = l − 1 l n=l 

∞ n pn ≥ l−1 n=2l−1

104

Kapitel 4. Momente von Zufallsvariablen

Da es f¨ ur die Konvergenz einer Reihe auf ihre ersten Glieder nicht ankommt, folgt f¨ ur alle l ∈ {1, . . . , k} mit * + X E < ∞ l aus der vorigen Ungleichung *

+ X E < ∞ l−1 Wegen Satz 4.5.2 und aufgrund der vorher gezeigten Implikation gilt f¨ ur alle l ∈ {0, 1, . . . , k} * + X (l) < ∞ sup mX (t) = l! · E l t∈[0,1) Aus den Eigenschaften von Potenzreihen folgt nun, daß mX an der Stelle t = 1 k–mal stetig differenzierbar ist. Daher folgt (c) aus (a). Wir nehmen nun an, daß (c) gilt. Dann gilt * + 1 (k) 1 (k) X mX (t) = m (1) E = sup k! X k t∈[0,1) k! Daher folgt (a) aus (c). ¨ Wir nehmen nochmals an, daß (a) gilt. Aufgrund der bereits gezeigten Aquivalenz von (a) und (c) gilt f¨ ur alle l ∈ {0, 1, . . . , k} * + X < ∞ E l Durch vollst¨andige Induktion zeigt man, daß sich alle Momente der Ordnung l ∈ {0, 1, . . . , k} von X in der Form * + X alj E E[X ] = j j=0 l

l

darstellen lassen und daß f¨ ur alle l ∈ {0, 1, . . . , k} E[X l ] < ∞ gilt. Daher folgt (b) aus (a). Wir nehmen abschließend an, daß (b) gilt. Wegen * + 1 X E[X k ] ≤ E k! k

4.5 Die erzeugende Funktion folgt aus E[X k ] < ∞

105

* + X < ∞ E k 2

Daher folgt (a) aus (b).

Aus der erzeugenden Funktion lassen sich der Erwartungswert und die Varianz von X leicht bestimmen: 4.5.5 Folgerung. (1) Im Fall X ∈ L1 (N0 ) gilt E[X] = mX (1) (2) Im Fall X ∈ L2 (N0 ) gilt var[X] = mX (1) + mX (1) − (mX (1))2 Beweis. Die Formel f¨ ur den Erwartungswert ist unmittelbar klar aus Satz 4.5.4. Die Formel f¨ ur die Varianz ergibt sich ebenfalls aus Satz 4.5.4, denn es gilt
2 var[X] = E[X 2 ] − E[X]
2 = E[X(X −1)] + E[X] − E[X] = mX (1) + mX (1) − (mX (1))2 2

Damit ist die Folgerung gezeigt. 4.5.6 Beispiele (Spezielle Verteilungen). (1) Binomial–Verteilung: Im Fall PX = B(n, ϑ) gilt E[X] = n ϑ var[X] = n ϑ(1−ϑ) (2) Poisson–Verteilung: Im Fall PX = P(α) gilt E[X] = α var[X] = α In der Tat: Es gilt mX (t) = e−α(1−t) mX (t) = α e−α(1−t) mX (t) = α2 e−α(1−t)

106

Kapitel 4. Momente von Zufallsvariablen Daraus folgt E[X] = mX (1) = α und var[X] = mX (1) + mX (1) − (mX (1))2 = α 2 + α − α2 = α

(3) Negativbinomial–Verteilung: Im Fall PX = NB(β, ϑ) gilt E[X] = β var[X] = β

ϑ 1−ϑ ϑ (1−ϑ)2

(4) Geometrische Verteilung: Im Fall PX = Geo(n, ϑ) gilt 1 ϑ 1−ϑ var[X] = n ϑ2 E[X] = n

(5) Logarithmische Verteilung: Im Fall PX = log ϑ gilt E[X] = var[X] =

ϑ 1 | log(1−ϑ)| 1 − ϑ | log(1−ϑ)| − ϑ ϑ | log(1−ϑ)|2 (1−ϑ)2

Die fehlenden Beweise verlaufen wie im Fall der Poisson–Verteilung.

Schließlich l¨aßt sich mit Hilfe der erzeugenden Funktion auch die Verteilung der Summe von unabh¨angigen Zufallsvariablen in L0 (N0 ) bestimmen: 4.5.7 Satz. Seien X, Y ∈ L0 (N0 ) unabh¨angige Zufallsvariable. Dann gilt mX+Y (t) = mX (t) · mY (t) Beweis. Aus der Definition der erzeugenden Funktion und aus Satz 4.1.15 folgt f¨ ur jede Zufallsvariable Z ∈ L0 (N0 ) mZ (t) = E[tZ ]

4.5 Die erzeugende Funktion

107

Da X und Y unabh¨angig sind, sind nach Satz 3.3.6 auch tX und tY unabh¨angig und damit, nach Satz 4.2.12, unkorreliert. Aus Folgerung 4.2.11 ergibt sich nun mX+Y (t) = = = =

E[tX+Y ] E[tX · tY ] E[tX ] · E[tY ] mX (t) · mY (t) 2

Damit ist der Satz gezeigt. 4.5.8 Beispiele (Spezielle Verteilungen). Seien X, Y ∈ L0 (N0 ) unabh¨ angig. (1) Binomial–Verteilung: Im Fall PX = B(m, ϑ) und PY = B(n, ϑ) gilt = B(m+n, ϑ)

PX+Y

(2) Poisson–Verteilung: Im Fall PX = P(α) und PY = P(β) gilt PX+Y

= P(α+β)

In der Tat: Es gilt mX+Y (t) = mX (t) · mY (t) = e−α(1−t) · e−β(1−t) = e−(α+β)(1−t) (3) Negativbinomial–Verteilung: Im Fall PX = NB(α, ϑ) und PX = NB(β, ϑ) gilt = NB(α+β, ϑ)

PX+Y

(4) Geometrische Verteilung: Im Fall PX = Geo(m, ϑ) und PY = Geo(n, ϑ) gilt PX+Y

= Geo(m+n, ϑ)

Die fehlenden Beweise verlaufen wie im Fall der Poisson–Verteilung.

Aus Satz 4.5.7 l¨aßt sich insbesondere ein Spezialfall der bereits aus Lemma 3.3.8 bekannten Faltungsformel herleiten: 4.5.9 Folgerung (Faltungsformel). Seien X, Y ∈ L0 (N0 ) unabh¨angige Zufallsvariable. Dann gilt f¨ ur alle n ∈ N0 P [{X +Y = n}] =

n k=0

P [{X = k}] P [{Y = n−k}]

108

Kapitel 4. Momente von Zufallsvariablen

Beweis. Nach Satz 4.5.7 gilt mX+Y (t) = mX (t) mY (t) . Aus der Produktregel der Differentialrechnung folgt nun (n) mX+Y (t)

=

n  n

k

k=0

(k)

(n−k)

mX (t) mY

(t)

und damit (n)

mX+Y (t) P [{X +Y = n}] = n! n (k) (n−k) mX (t) mY (t) = k! (n−k)! k=0 =

n

P [{X = k}] P [{Y = n−k}]

k=0

Damit ist die Folgerung bewiesen.

2

Die Verwendung der erzeugenden Funktion zur Berechnung von Momenten einer Zufallsvariablen in L0 (N0 ) oder zur Berechnung der Verteilung der Summe von unabh¨angigen Zufallsvariablen in L0 (N0 ) ist vor allem dann von Vorteil, wenn sie, wie im Fall der Binomial–, Poisson– oder Negativbinomial– Verteilung, in geschlossener Form darstellbar ist.

Aufgaben 4.5.A

Folgenden Aussagen sind ¨aquivalent: (a) Es gilt mX (0) = 1 . (b) Es gibt ein t ∈ [0, 1) mit mX (t) = 1 . (c) F¨ ur alle t ∈ [0, 1] gilt mX (t) = 1 . (d) mX ist an der Stelle t = 1 differenzierbar und es gilt mX (1) = 0 . ur alle t ∈ [0, 1] gilt (e) mX ist an der Stelle t = 1 differenzierbar und f¨ mX (t) = 0 .

4.5.B

F¨ uhren Sie die fehlenden Beweise zu den Beispielen 4.5.1, 4.5.6 und 4.5.8 aus.

Kapitel 5 Lebensversicherung Die Lebensversicherung ist ein wichtiger Versicherungszweig. Bez¨ uglich der Leistungen eines Lebensversicherungsvertrages sind zwei Grundformen der Lebensversicherung zu unterscheiden: Die Versicherung auf den Todesfall, die Schutz vor den finanziellen Folgen des Todes der versicherten Person gew¨ahrt, und die Versicherung auf den Erlebensfall, die der Versorgung im Alter dient. Diese Grundformen der Lebensversicherung, die unterschiedlichen Bed¨ urfnissen der Versicherungsnehmer entsprechen, werden oft zu einer gemischten Versicherung zusammengefaßt. Die Grundformen der Lebensversicherung k¨onnen in sehr unterschiedlicher Weise ausgestaltet werden. Bei einer Versicherung auf den Todes– oder Erlebensfall kann die F¨alligkeit der Versicherungsleistung von der Lebensdauer einer oder mehrerer versicherter Personen abh¨angen; bei einer Versicherung auf den Todesfall kann die H¨ohe der Versicherungsleistung unabh¨angig oder abh¨angig von der Ursache des Todes sein. Man spricht daher auch von einer Versicherung auf ein oder mehrere Leben und von einer Versicherung auf ein unter einem Risiko oder unter mehreren Risiken stehendes Leben. Bei einer Versicherung auf den Erlebensfall kann die Versicherungsleistung in einer Einmalzahlung oder in einer Leibrente bestehen. Schließlich kann auch die Pr¨amie in Form einer Einmalpr¨amie oder durch j¨ahrliche Beitr¨age entrichtet werden. Wir betrachten hier nur die Lebensversicherung auf ein unter einem einzigen Risiko stehendes Leben. Die Lebensversicherungsmathematik beruht einerseits, aufgrund der mehrj¨ahrigen Laufzeit der Vertr¨age, auf der Finanzmathematik und andererseits, aufgrund des zuf¨alligen Zeitpunktes des Todes der versicherten Person, auf der Wahrscheinlichkeitstheorie. Im gesamten Kapitel sei v ∈ (0, 1) ein Abzinsungsfaktor. Der zugeh¨orige Zinssatz heißt technischer Zinssatz oder Rechnungszins. Außerdem bezeichnen wir f¨ ur k ∈ N das Intervall (k−1, k] als Jahr k .

110

5.1

Kapitel 5. Lebensversicherung

Leistungen und Pr¨ amien

In diesem Abschnitt betrachten wir f¨ ur den Fall des Todes der versicherten Person zum Zeitpunkt t ∈ (0, ∞) nach Vertragsbeginn die Summe aller auf den Vertragsbeginn abgezinsten Versicherungsleistungen und die Summe aller auf den Vertragsbeginn abgezinsten Pr¨amienzahlungen.

Versicherung auf den Todesfall In einer Versicherung auf den Todesfall wird am Ende des Jahres k + 1 nach Vertragsbeginn, und damit zum Zeitpunkt k + 1 , eine Versicherungsleistung der H¨ohe δk+1 ∈ R+ f¨allig, wenn die versicherte Person im Jahr k + 1 stirbt. Dann ist ∆(t) :=

∞

v k+1 δk+1 χ(k,k+1] (t)

k=0

die gesamte auf den Vertragsbeginn abgezinste Versicherungsleistung bei Tod der versicherten Person zum Zeitpunkt t ∈ (0, ∞) . Die Folge {δk+1 }k∈N0 heißt Leistungsplan auf den Todesfall. ur Wir betrachten im folgenden vorwiegend Leistungspl¨ane mit δk+1 ∈ {0, 1} f¨ alle k ∈ N0 ; in diesem Fall schreiben wir ∆1 (t) anstelle von ∆(t) . 5.1.1 Beispiele (Versicherung auf den Todesfall). (1) Lebensl¨ angliche Todesfallversicherung: ∆1 (t) =

∞

v k+1 χ(k,k+1] (t)

k=0

(2) n–j¨ ahrige Todesfallversicherung: ∆1 (t) =

n−1

v k+1 χ(k,k+1] (t)

k=0

Ersetzt man jede Versicherungsleistung der H¨ohe 1 durch eine Versicherungsleistung der H¨ohe δ ∈ (0, ∞) , so erh¨alt man die gesamte abgezinste Versicherungsleistung ∆(t) = δ ∆1 (t) .

Versicherung auf den Erlebensfall In einer Versicherung auf den Erlebensfall wird am Anfang des Jahres k + 1 nach Vertragsbeginn, und damit zum Zeitpunkt k , eine Versicherungsleistung der H¨ohe λk ∈ R+ f¨allig, wenn die versicherte Person den Zeitpunkt k u ¨berlebt.

5.1 Leistungen und Pr¨ amien

111

Dann ist Λ(t) :=

∞

v k λk χ(k,∞) (t)

k=0

die gesamte auf den Vertragsbeginn abgezinste Versicherungsleistung bei Tod der versicherten Person zum Zeitpunkt t ∈ (0, ∞) . Die Folge {λk }k∈N0 heißt (vorsch¨ ussiger ) Leistungsplan auf den Erlebensfall. ur Wir betrachten im folgenden vorwiegend Leistungspl¨ane mit λk ∈ {0, 1} f¨ alle k ∈ N0 ; in diesem Fall schreiben wir Λ1 (t) anstelle von Λ(t) . 5.1.2 Beispiele (Versicherung auf den Erlebensfall). (1) Lebensl¨ angliche Leibrente: Λ1 (t) =

∞

v k χ(k,∞) (t)

k=0

(2) n–j¨ ahrige Leibrente: Λ1 (t) =

n−1

v k χ(k,∞) (t)

k=0

(3) Um m Jahre aufgeschobene lebensl¨ angliche Leibrente: Λ1 (t) =

∞

v k χ(k,∞) (t)

k=m

(4) Um m Jahre aufgeschobene n–j¨ ahrige Leibrente: Λ1 (t) =

m+n−1

v k χ(k,∞) (t)

k=m

(5) m–j¨ ahrige Erlebensfallversicherung: Λ1 (t) = v m χ(m,∞) (t) Ersetzt man jede Versicherungsleistung der H¨ohe 1 durch eine Versicherungsleistung der H¨ohe λ ∈ (0, ∞) , so erh¨alt man die gesamte abgezinste Versicherungsleistung Λ(t) = λ Λ1 (t) .

Gemischte Versicherung Eine gemischte Versicherung entsteht durch die Kombination einer Versicherung auf den Todesfall und einer Versicherung auf den Erlebensfall. Daher ist f¨ ur eine gemischte Versicherung ∆(t) + Λ(t) die gesamte auf den Vertragsbeginn abgezinste Versicherungsleistung bei Tod der versicherten Person zum Zeitpunkt t ∈ (0, ∞) .

112

Kapitel 5. Lebensversicherung

F¨ ur eine gemischte Versicherung mit Versicherungsleistungen der H¨ohe δk+1 ∈ {0, δ} im Todesfall und λk ∈ {0, λ} im Erlebensfall mit δ, λ ∈ (0, ∞) gilt ∆(t) + Λ(t) = δ ∆1 (t) + λ Λ1 (t) Die H¨ohe δ der Versicherungsleistung im Todesfall muß nicht mit der H¨ohe λ der Versicherungsleistung im Erlebensfall u ¨bereinstimmen. 5.1.3 Beispiele (Gemischte Versicherung). (1) m–j¨ ahrige Todesfallversicherung kombiniert mit einer um m Jahre aufgeschobenen lebensl¨ anglichen Leibrente: δ ∆1 (t) + λ Λ1 (t) = δ

m−1

v k+1 χ(k,k+1] (t) + λ

k=0

∞

v k χ(k,∞) (t)

k=m

(2) m–j¨ ahrige Todesfallversicherung kombiniert mit einer um m Jahre aufgeschobenen n–j¨ ahrigen Leibrente: δ ∆1 (t) + λ Λ1 (t) = δ

m−1

v k+1 χ(k,k+1] (t) + λ

k=0

m+n−1

v k χ(k,∞) (t)

k=m

(3) m–j¨ ahrige gemischte Versicherung: δ ∆1 (t) + λ Λ1 (t) = δ

m−1

v k+1 χ(k,k+1] (t) + λ v m χ(m,∞) (t)

k=0

Pr¨ amien Sowohl in der Versicherung auf den Todesfall als auch in der Versicherung auf den Erlebensfall, und damit auch in der gemischten Versicherung, wird am Anfang des Jahres k + 1 nach Vertragsbeginn, und damit zum Zeitpunkt k , eine Pr¨amienzahlung der H¨ohe πk ∈ R+ f¨allig, wenn die versicherte Person den Zeitpunkt k u ¨berlebt. Dann ist Π(t) :=

∞

v k πk χ(k,∞) (t)

k=0

die gesamte auf den Vertragsbeginn abgezinste Pr¨amienzahlung bei Tod der versicherten Person zum Zeitpunkt t ∈ (0, ∞) . Die Folge {πk }k∈N0 heißt Pr¨amienplan. ur alle Wir betrachten im folgenden vorwiegend Pr¨amienpl¨ane mit πk ∈ {0, 1} f¨ k ∈ N0 ; in diesem Fall schreiben wir Π1 (t) anstelle von Π(t) .

5.1 Leistungen und Pr¨ amien

113

5.1.4 Beispiele (Pr¨ amien). (1) Lebensl¨ angliche Pr¨ amie: Π1 (t) =

∞

v k χ(k,∞) (t)

k=0

(2) n–j¨ ahrige Pr¨ amie: Π1 (t) =

n−1

v k χ(k,∞) (t)

k=0

(3) Einmalpr¨ amie: Π1 (t) = 1 Ersetzt man jede Pr¨amienzahlung der H¨ohe 1 durch eine Pr¨ amienzahlung der H¨ ohe π ∈ (0, ∞) , so erh¨alt man die gesamte abgezinste Pr¨ amienzahlung Π(t) = π Π1 (t) .

¨ Das Aquivalenzprinzip Sowohl die Versicherung auf den Todesfall als auch die Versicherung auf den Erlebensfall ist ein Spezialfall der gemischten Versicherung. F¨ ur jede Form der Lebensversicherung ist daher ∆(t) + Λ(t) die gesamte abgezinste Versicherungsleistung bei Tod der versicherten Person zum Zeitpunkt t . Andererseits ist Π(t) die gesamte abgezinste Pr¨amienzahlung bei Tod der versicherten Person zum Zeitpunkt t . ¨ Das Aquivalenzprinzip besteht in der Forderung, daß die gesamte abgezinste Pr¨amienzahlung – in einem noch zu pr¨azisierenden Sinn – mit der gesamten abgezinsten Versicherungsleistung u ur das Versicherungs¨bereinstimmt. F¨ unternehmen stellt sich damit die Aufgabe, zu gegebenen Leistungspl¨anen ur den das {δk+1 }k∈N0 und {λk }k∈N0 einen Pr¨amienplan {πk }k∈N0 zu finden, f¨ ¨ Aquivalenzprinzip erf¨ ullt ist. ¨ In seiner rein finanzmathematischen Form besteht das Aquivalenzprinzip in der Forderung, daß die Gleichung Π(t) = ∆(t) + Λ(t) f¨ ur alle t ∈ (0, ∞) erf¨ ullt ist. Sind die strikt positiven Pr¨amienzahlungen und

114

Kapitel 5. Lebensversicherung

Versicherungsleistungen im Todesfall und im Erlebensfall jeweils konstant, so l¨aßt sich diese Gleichung in der Form π Π1 (t) = δ ∆1 (t) + λ Λ1 (t) schreiben, wobei δ und λ gegeben sind und π zu bestimmen ist. Die L¨osung dieser Gleichung ist π =

δ ∆1 (t) + λ Λ1 (t) Π1 (t)

und h¨angt damit vom Zeitpunkt des Todes der versicherten Person ab. Da der Zeitpunkt des Todes unbekannt ist, ist diese rein finanzmathematische ¨ Formulierung des Aquivalenzprinzips unbrauchbar. ¨ Eine sinnvolle Pr¨azisierung des Aquivalenzprinzips ergibt sich jedoch, wenn man die Lebensdauer der versicherten Person, und damit den Zeitpunkt ihres Todes, durch eine Zufallsvariable beschreibt. Wir untersuchen im folgenden Abschnitt 5.2 die Verteilung der Lebensdauer der versicherten Person nach Ver¨ tragsbeginn und kommen in Abschnitt 5.3 auf das Aquivalenzprinzip zur¨ uck.

5.2

Ausscheideordnungen

Im vorangehenden Abschnitt haben wir f¨ ur eine Lebensversicherung auf ein Leben aus der Sicht der Finanzmathematik – den Leistungsbarwert im Todesfall, – den Leistungsbarwert im Erlebensfall, und – den Pr¨amienbarwert f¨ ur den Fall bestimmt, daß die versicherte Person zum Zeitpunkt t ∈ (0, ∞) nach Vertragsbeginn stirbt. Wir beschreiben nun die Lebensdauer einer versicherten Person durch eine Zufallsvariable T : Ω → R+ und bezeichnen das Alter, das die versicherte Person bei Vertragsbeginn erreicht hat, mit x ∈ R+ . Dann ist Tx := (T − x)+ die verbleibende Lebensdauer der versicherten Person nach Vertragsbeginn zum Eintrittsalter x . Mit Hilfsmitteln, die hier nicht zur Verf¨ ugung stehen, l¨aßt sich zeigen, daß f¨ ur alle x ∈ R+ auch die Abbildung Tx : Ω → R+ eine Zufallsvariable ist. F¨ ur das weitere gen¨ ugt jedoch das folgende Ergebnis: 5.2.1 Lemma. F¨ ur alle x, k ∈ N0 gilt {k < Tx } ∈ F und {k < Tx ≤ k +1} ∈ F.

5.2 Ausscheideordnungen

115

Beweis. Es gilt {k < Tx } = {k < (T −x)+ } = {k < T −x} = {x+k < T } ∈ F und {k < Tx ≤ k +1} = {k < Tx }\{k +1 < Tx } ∈ F. Damit ist das Lemma bewiesen. 2 Das folgende Beispiel veranschaulicht den Unterschied zwischen der Lebensdauer und der verbleibenden Lebensdauer: 5.2.2 Beispiel (Lebensdauer und verbleibende Lebensdauer). Wir nehmen an, daß sich f¨ ur die Lebensdauer und die verbleibende Lebensdauer die von ω ∈ Ω abh¨angige Realisation Geburt

Vertragsbeginn

?

0

Tod

?

1

2

x

?

• x+1 x+2

x+k x+k+1 ?

• 0

1

2

-

k

-

k+1

Lebensdauer und verbleibende Lebensdauer mit T (ω) ∈ (x+k, x+k+1] und Tx (ω) ∈ (k, k+1] ergibt. F¨ ur ein anderes ω ∈ Ω kann sich eine andere Realisation ergeben.

Wir nehmen im gesamten Kapitel an, daß f¨ ur alle k ∈ N0 P [{k < T }] > 0 gilt. Außerdem betrachten wir nur ganzzahlige Eintrittsalter x ∈ N0 . 5.2.3 Bemerkung. Die Annahmen an das Eintrittsalter x und an die Verteilung der Lebensdauer T der versicherten Person sind idealisierend: – Die Annahme, daß der Vertragsbeginn einer Lebensversicherung mit dem x–ten Geburtstag der versicherten Person u ¨bereinstimmt, ist unrealistisch. ¨ Ublich ist es jedoch, als Eintrittsalter das auf eine ganze Zahl ab– oder aufgerundete Lebensalter der versicherten Person bei Vertragsbeginn zu w¨ahlen; insbesondere wird oft das auf eine ganze Zahl abgerundete im Kalenderjahr des Vertragsbeginns erreichbare Lebensalter als Eintrittsalter verwendet. – Die Annahme, daß die Lebensdauer der versicherten Person f¨ ur alle k ∈ N0 mit strikt positiver Wahrscheinlichkeit gr¨oßer ist als k , ist unrealistisch. Sie ist jedoch zweckm¨aßig, weil sie f¨ ur alle k ∈ N0 die Definition bedingter Wahrscheinlichkeiten unter der Bedingung {k < T } erm¨oglicht, und sie ist harmlos, weil die Wahrscheinlichkeiten P [{k < T }] ohnehin gesch¨atzt werden m¨ ussen und sich f¨ ur hinreichend große k ∈ N0 der Sch¨atzwert 0 ergibt.

116

Kapitel 5. Lebensversicherung

F¨ ur x ∈ N0 betrachten wir nun bedingte Wahrscheinlichkeiten und bedingte Momente unter der Bedingung {0 < Tx } : – F¨ ur ein Ereignis A ∈ F definieren wir Px [A] := P [A|{0 < Tx }] –

Nach Satz 2.4.1 ist Px ein Wahrscheinlichkeitsmaß. F¨ ur eine Zufallsvariable Z ∈ L0 (R+ ) ∪ L1 (R) definieren wir Ex [Z] := E[Z|{0 < Tx }]

Dann ist Ex [Z] der Erwartungswert von Z unter Px . Die Familie {(Px )Tx }x∈N0 heißt Ausscheideordnung. F¨ ur x, k ∈ N0 definieren wir k px k qx

:= Px [{k < Tx }] := Px [{Tx ≤ k}]

Dann ist – k px die Wahrscheinlichkeit, daß die versicherte Person nach Vertragsbeginn noch mehr als k Jahre lebt und – k qx die Wahrscheinlichkeit, daß die versicherte Person nach Vertragsbeginn noch h¨ochstens k Jahre lebt. Daher bezeichnen wir ¨ und – k px als k–j¨ahrige Uberlebenswahrscheinlichkeit – k qx als k–j¨ahrige Sterbewahrscheinlichkeit. Es gilt k px

+ k qx = 1

¨ F¨ ur das Rechnen mit Uberlebenswahrscheinlichkeiten ist das folgende Lemma n¨ utzlich: 5.2.4 Lemma. F¨ ur alle x, k ∈ N0 gilt P [{x+k < T }] k px = P [{x < T }] Beweis. Es gilt k px

= Px [{k < Tx }] = P [{k < Tx }|{0 < Tx }] = P [{x+k < T }|{x < T }]

P [{x+k < T } ∩ {x < T }] P [{x < T }] P [{x+k < T }] = P [{x < T }] Damit ist das Lemma bewiesen. =

2

5.2 Ausscheideordnungen

117

Zur Vereinfachung der Notation setzen wir f¨ ur x ∈ N0 px := qx :=

1 px 1 qx

Wir bezeichnen ¨ und – px als einj¨ahrige Uberlebenswahrscheinlichkeit – qx als einj¨ahrige Sterbewahrscheinlichkeit. Es gilt p x + qx = 1 Das folgende Lemma ist von zentraler Bedeutung: 5.2.5 Lemma. F¨ ur alle x, k ∈ N0 gilt k+1 px k px

= px+k k px

− k+1 px = qx+k k px

Beweis. Nach Lemma 5.2.4 gilt k+1 px

P [{x+k+1 < T }] P [{x < T }] P [{x+k+1 < T }] P [{x+k < T }] = · P [{x+k < T }] P [{x < T }] = 1 px+k k px =

= px+k k px und damit k px

− k+1 px =

− px+k k px  1 − px+k k px

k px




=

= qx+k k px 2

Damit sind beide Formeln bewiesen.

¨ Das folgende Lemma zeigt, daß die einj¨ahrigen Uberlebenswahrscheinlichkeiten von besonderer Bedeutung sind: 5.2.6 Lemma. F¨ ur alle x, k ∈ N0 gilt k px

=

k−1 

px+j

j=0

Der Aussage des Lemmas ergibt sich durch vollst¨andige Induktion aus Lemma 5.2.5.

118

Kapitel 5. Lebensversicherung

Aufgrund der Gleichungen k px =

k−1 

px+j

j=0

und = 1 − k qx

k px

¨ sind die Folgen {k px }k∈N und {k qx }k∈N der mehrj¨ahrigen Uberlebens– bzw. Sterbewahrscheinlichkeiten bereits durch die Folge {qx+j }j∈N0 der einj¨ahrigen Sterbewahrscheinlichkeiten bestimmt. Sch¨atzwerte f¨ ur die einj¨ahrigen Sterbewahrscheinlichkeiten werden in einer Sterbetafel zusammengefaßt.

Aufgaben 5.2.A

Beweisen Sie Lemma 5.2.6.

5.2.B

F¨ ur alle x, k, l ∈ N0 gilt k+l px

= l px+k k px

Diese Gleichung wird bei Milbrodt und Helbig [1999] als Stationarit¨ atsbedingung bezeichnet.

5.3

¨ Das Aquivalenzprinzip

¨ Die Pr¨azisierung des Aquivalenzprinzips, die wir in Abschnitt 5.1 angek¨ undigt haben und am Ende dieses Abschnitts angeben werden, beruht auf dem Begriff des erwarteten Barwertes einer Folge von Zahlungen, die in Abh¨angigkeit von der verbleibenden Lebensdauer Tx mit x ∈ N0 erfolgen. 5.3.1 Lemma. F¨ ur alle x ∈ N0 gilt ∆(Tx ) =

∞

v k+1 δk+1 χ{k 0} ∩

j=1



{Zl = 0}

l∈J(H)

= nj } ∈ F und  P

k  j=1

 {νj = nj }

= η k (1−η)nk −k

6.3 Das Binomial–Modell

157

(2) νk ist eine diskrete Zufallsvariable mit Pνk = Geo(k, η) .  (3) Die Familie { kj=1 {νj = nj }}{nj }j∈{1,...,k} ∈H(k) ist disjunkt und es gilt ⎡ ⎤ k  P⎣ {νj = nj }⎦ = 1 {nj }j∈{1,...,k} ∈H(k) j=1

Beweis. Die erste Behauptung ergibt sich unmittelbar aus der Definition der Folge {νj }j∈N . F¨ ur m ∈ {1, . . . , k −1} gilt {νk = m} = ∅ ∈ F . F¨ ur m ∈ N  mit m ≥ k ist die Familie { kj=1 {νj = nj }}{nj }j∈{1,...,k} ∈H(k,m) ⊆ F abz¨ahlbar und disjunkt und es gilt

{νk = m} =

k 

{νj = nj }

{nj }j∈{1,...,k} ∈H(k,m) j=1

und damit {νk = m} ∈ F sowie

⎡

k 



P [{νk = m}] = P ⎣

⎤ {νj = nj }⎦

{nj }j∈{1,...,k} ∈H(k,m) j=1





=

P

{nj }j∈{1,...,k} ∈H(k,m)



=

k 



{νj = nj }

j=1

 m−1 k η (1−η)m−k k−1

Daher ist νk eine diskrete Zufallsvariable mit Pνk = Geo(k, η) . Schließlich gilt ⎡ ⎤ ⎤ ⎡ k k ∞   P⎣ {νj = nj }⎦ = P ⎣ {νj = nj }⎦ {nj }j∈{1,...,k} ∈H(k) j=1

 = P

m=k {nj }j∈{1,...,k} ∈H(m,k) j=1 ∞



{νk = m}

m=k

= 1 Damit ist auch die letzte Behauptung des Lemmas bewiesen.

2

Wir k¨onnen nun zeigen, daß auch die strikt positiven Schadenh¨ohen diskrete Zufallsvariable sind: 6.3.5 Folgerung. F¨ ur alle j ∈ N ist Xj eine diskrete Zufallsvariable mit P [{Xj > 0}] = 1 .

158

Kapitel 6. Gesamtschaden im individuellen Modell

Die Behauptung ergibt sich aus Lemma 6.3.4 und Folgerung 3.1.8. Wir definieren nun die Summe aller strikt positiven Schadenh¨ohen, wobei die Anzahl der Summanden selbst zuf¨allig ist: Sei N (n)



Xj :=

j=1

∞

χ{N (n)=k}

k

Xj

j=1

k=0

Das folgende Ergebnis zeigt, daß der Gesamtschaden des Bestandes tats¨achlich mit Hilfe der Schadenzahl N (n) und der Folge {Xj }j∈N der strikt positiven Schadenh¨ohen dargestellt werden kann: 6.3.6 Lemma. Es gilt N (n)

S(n) =



Xj

j=1

Beweis. Nach Definition von N (n) ist die Familie {{N (n) = k}}k∈{0,1,...,n} eine Zerlegung von Ω . Mit Lemma 6.3.3 erhalten wir N (n)



Xj =

j=1

∞

χ{N (n)=k}

n

χ{N (n)=k}

n

k

χ{νk ≤n 0}] ·

k 

=

P [{Znj > 0}] ·

j=1



P [{Zni = xi }|{Zni > 0}] · P

i=1 k 

P [{Zl = 0}]

l∈J(H)

i=1 k 



P [{Zni = xi }∩{Zni > 0}] ·

i=1

=



 P [{Z = xi }|{Z > 0}] · P

i=1

P [{Zl = 0}]

l∈J(H) k 

{Znj > 0} ∩

j=1 k 







 {Zl = 0}

l∈J(H)

{νj = nj }

j=1

Summation u ¨ber alle Folgen in H(k) ergibt wegen Lemma 6.3.4  k k   {Xi = xi } = P [{Z = xi }|{Z > 0}] P i=1

i=1

Wir wenden diese Gleichung nun zweimal an. Zun¨achst erhalten wir durch Einsetzen in die vorangehende Gleichung k  k   k  k     P {Xi = xi } ∩ {νj = nj } = P {Xi = xi } · P {νj = nj } i=1

j=1

i=1

j=1

160

Kapitel 6. Gesamtschaden im individuellen Modell

Aus dieser Gleichung ergibt sich nun durch Summation f¨ ur alle l, m ∈ N mit max{l, m} = k die Gleichung  m   l  m l     {Xi = xi } ∩ {νj = nj } = P {Xi = xi } · P {νj = nj } P i=1

j=1

i=1

j=1

Wegen {N (n) = k} = {νk ≤ n < νk+1 } ist das Ereignis {N (n) = k} eine abz¨ahlbare disjunkte Vereinigung von Ereignissen der Form k+1 j=1 {νj = nj } . Daher gilt  m  m   {Xj = xj } ∩ {N (n) = k} = P {Xj = xj } · P [{N (n) = k}] P j=1

j=1

Damit ist gezeigt, daß die Folge {Xj }j∈N unabh¨angig von N (n) ist. Andererseits erhalten wir aus der Gleichung  k k   {Xi = xi } = P [{Z = xi }|{Z > 0}] P i=1

i=1

durch Summation f¨ ur alle i ∈ {1, . . . , k} P [{Xi = xi }] = P [{Z = xi }|{Z > 0}] Durch Einsetzen in die vorangehende Gleichung erhalten wir nun  k k   {Xi = xi } = P [{Xi = xi }] P i=1

i=1

Aus den letzten beiden Gleichungen folgt, daß die Folge {Xj }j∈N unabh¨angig und identisch verteilt ist mit P [{X = x}] = P [{Z = x}|{Z > 0}] Damit ist der Satz bewiesen.

2

Aus dem Satz ergibt sich insbesondere, daß mit Z auch X einen endlichen Erwartungswert bzw. eine endliche Varianz besitzt: 6.3.8 Folgerung. (1) Im Fall Z ∈ L1 (R+ ) gilt X ∈ L1 (R+ ) und E[X] = E[Z|{Z > 0}] . (2) Im Fall Z ∈ L2 (R+ ) gilt X ∈ L2 (R+ ) und var[X] = var[Z|{Z > 0}] . Die Behauptung ergibt sich aus Folgerung 4.4.2 und Satz 6.3.7. ¨ Das folgende Beispiel veranschaulicht den Ubergang vom individuellen Modell zum kollektiven Modell:

6.3 Das Binomial–Modell

161

6.3.9 Beispiel (Schadenversicherung). Im individuellen Modell {Zi }i∈{1,...,200} f¨ ur einen homogenen Bestand mit P [{Z = 0}] = 0.996 und P [{Z = 100 000}] = 0.004 ¨ l¨aßt sich der Gesamtschaden durch Ubergang zum kollektiven Modell in der Form N (200)

S(200) =



Xj

j=1

mit PN (200) = B(200, 0.004) und P [{X = 100 000}] = P [{Z = 100 000}|{Z > 0}] = 1 darstellen. Daher gilt f¨ ur alle k ∈ N0 P [{S(200) = 100 000 · k}] = P [{N (200) = k}] F¨ ur die Wahrscheinlichkeiten der Schadenzahl–Verteilung ergibt sich die folgende Tabelle: k P [{N (200) = k}] P [{N (200) ≤ k}] 0 0.448609 0.448609 1 0.360328 0.808937 2 0.143987 0.952924 3 0.038165 0.991089 4 0.007549 0.998638 5 0.001188 0.999826 .. .. .. . . . Aus den Wahrscheinlichkeiten der Schadenzahl–Verteilung erh¨ alt man P [{S(200) > 300 000}] = P [{N (200) > 3}] = 1 − P [{N (200) ≤ 3}] = 1 − 0.991089 < 0.01 Wegen

300 000 = 1500 200 wird durch eine individuelle Pr¨amie in H¨ohe von 1500 e gew¨ ahrleistet, daß die Wahrscheinlichkeit des Ruins nicht gr¨oßer als 0.01 ist. Dieses Ergebnis stimmt mit dem letzten Ergebnis aus Beispiel 6.3.1 u ¨berein.

¨ Der im Beispiel durchgef¨ uhrte Ubergang vom individuellen zum kollektiven Modell formalisiert die Art und Weise, in der ein Aktuar auch intuitiv vorgehen w¨ urde, um die Rechnung zu vereinfachen. Andererseits ist das Beispiel extrem, weil die Schadenh¨ohe im Schadenfall nur einen einzigen Wert annehmen kann. Im Gegensatz zur Lebensversicherung, der das Beispiel unter Vernachl¨assigung der Verzinsung ebenfalls zugeordnet werden k¨onnte, k¨onnen in der Schadenversicherung (Kraftfahrt–Haftpflicht, Hausrat, Unfall usw.) praktisch immer auch in einem homogenen Bestand im Schadenfall unterschiedliche Schadenh¨ohen auftreten. Wir zeigen im n¨achsten Kapitel, daß auch in diesem Fall bei ganzzahligen Schadenh¨ohen die Verteilung und die Momente des Gesamtschadens mit Hilfe des Binomial–Modells leicht berechnet werden k¨onnen.

162

Kapitel 6. Gesamtschaden im individuellen Modell

Aufgaben 6.3.A

Gegeben sei ein individuelles Modell {Zi }i∈{1,...,n} f¨ ur einen homogenen Bestand. Dann sind f¨ ur m ∈ N und ϑ ∈ (0, 1) folgende Aussagen ¨ aquivalent: (a) Es gilt PZ = B(m, ϑ) . (b) Es gilt PS(n) = B(mn, ϑ) . Hinweis: Beispiele 4.5.1 und Satz 4.5.7.

6.3.B

ur einen homogenen Gegeben sei ein individuelles Modell {Zi }i∈{1,...,n} f¨ Bestand sowie das zugeh¨orige Binomial–Modell N (n), {Xj }j∈N  . Im Fall Z ∈ L2 (R+ ) mit E[Z] > 0 gilt 1 E[X] = E[Z] ≥ E[Z] η und
 v 2 [X] = η v 2 [Z] + 1 − 1 ≤ v 2 [Z] Besteht eine allgemeine Ungleichung zwischen var[X] und var[Z] ?

6.3.C

Gegeben sei ein individuelles Modell {Zi }i∈{1,...,n} f¨ ur einen homogenen Bestand sowie das zugeh¨orige Binomial–Modell N (n), {Xj }j∈N  . Im Fall ur alle t ∈ [0, 1] Z ∈ L0 (N0 ) gilt f¨
n mN (n) (t) = 1 − η + ηt und

mZ (t) − 1 + η η
n mN (n) (mX (t)) = mZ (t) mX (t) =

sowie 6.3.D

Gegeben sei ein individuelles Modell {Zi }i∈{1,...,n} f¨ ur einen homogenen Bestand sowie das zugeh¨orige Binomial–Modell N (n), {Xj }j∈N  . Im Fall ur alle k ∈ N gilt PZ = NB(β, ϑ) gilt PN (n) = B(n, 1−(1−ϑ)β ) und f¨

 β+k−1 (1−ϑ)β P [{X = k}] = ϑk 1 − (1−ϑ)β k F¨ ur β = 1 gilt PX = Geo(1, 1−ϑ) .

6.3.E

Poisson–Approximation: Approximieren Sie die Binomial–Verteilung aus Beispiel 6.3.9 durch eine geeignete Poisson–Verteilung.

6.4

Bemerkungen

¨ Wir haben den Ausgleich im Kollektiv und den Ubergang vom individuellen Modell zum Binomial–Modell, und damit zu einem kollektiven Modell, nur f¨ ur den Idealfall eines homogenen Bestandes behandelt. Die Untersuchung inhomogener Best¨ande, die der Realit¨at besser entsprechen, ist schwieriger; wir verweisen hierzu auf die Arbeiten von Albrecht [1982, 1984a, 1984b, 1987] und von Kuon, Radtke und Reich [1993].

Kapitel 7 Gesamtschaden im kollektiven Modell Im kollektiven Modell f¨ ur den Gesamtschaden eines Bestandes von Risiken wird der Gesamtschaden als die Summe der Schadenh¨ohen aller Sch¨aden, die im Laufe eines Jahres durch die Risiken des Bestandes verursacht werden, definiert. Dabei ist es ohne Bedeutung, durch welches Risiko ein bestimmter Schaden verursacht wird. Das kollektive Modell besitzt gegen¨ uber dem individuellen Modell mehrere Vorteile. Da im kollektiven Modell die Schadenh¨ohen einzelner Sch¨aden und nicht die j¨ahrlichen Schadenh¨ohen einzelner Risiken betrachtet werden, entf¨allt die Aggregation der Schadenh¨ohen pro Risiko und Jahr; insbesondere ist es ohne Bedeutung, ob der Bestand homogen ist oder nicht. Außerdem ist die Annahme, daß die Schadenh¨ohen unabh¨angig und identisch verteilt sind, f¨ ur die Schadenh¨ohen der einzelnen Sch¨aden realistischer als f¨ ur die j¨ahrlichen Schadenh¨ohen der einzelnen Risiken. Schließlich liefert die Gesamtheit der Schadenh¨ohen eines ganzen Bestandes eine umfangreichere statistische Basis als die Gesamtheit der j¨ahrlichen Schadenh¨ohen eines einzelnen Risikos; damit l¨aßt sich die Verteilung der Schadenh¨ohe eines typischen Schadens des Bestandes mit gr¨oßerer Sicherheit bestimmen als die Verteilung der j¨ahrlichen Schadenh¨ohe eines einzelnen Risikos. Den Vorteilen des kollektiven Modells steht ein kleiner Nachteil gegen¨ uber: Im kollektiven Modell ist der Gesamtschaden die Summe der Schadenh¨ohen einer zuf¨alligen Anzahl von Sch¨aden, w¨ahrend er im individuellen Modell die Summe der j¨ahrlichen Schadenh¨ohen einer bekannten Anzahl von Risiken ist. Dieser Nachteil ist jedoch beherrschbar; insbesondere k¨onnen die wichtigsten Schadenzahl–Verteilungen durch eine gemeinsame Rekursionsformel berechnet werden, die ihrerseits auf Rekursionsformeln f¨ ur die Einzelwahrscheinlichkeiten uhrt. und die Binomial–Momente des Gesamtschadens f¨

164

7.1

Kapitel 7. Gesamtschaden im kollektiven Modell

Das kollektive Modell

Wir betrachten eine Zufallsvariable N ∈ L0 (N0 ) und eine Folge von Zufallsvariablen {Xj }j∈N ⊆ L0 (R+ ) und setzen N j=1

Xj :=

∞

χ{N =n}

n=0

n

Xj

j=1

Dann ist die Abbildung S : Ω → R+ mit S :=

N

Xj

j=1

durch eine Fallunterscheidung nach den Werten von N definiert. Das folgende Lemma zeigt, daß S eine Zufallsvariable ist: 7.1.1 Lemma. Es gilt S ∈ L0 (R+ ) . Die Aussage des Lemmas ergibt sich aus Folgerung 3.1.8. In Bezug auf einen Bestand von Risiken interpretieren wir – N als die Schadenzahl im Sinne der Anzahl aller Sch¨aden, die innerhalb eines Jahres von den Risiken eines Bestandes verursacht werden, – Xj als die Schadenh¨ohe von Schaden j ∈ N , und – S als den (j¨ahrlichen) Gesamtschaden des Bestandes. Das Paar N, {Xj }j∈N  heißt kollektives Modell f¨ ur einen Bestand von Risiken, wenn die Folge {Xj }j∈N unabh¨angig und identisch verteilt und unabh¨angig von N ist. 7.1.2 Bemerkung. F¨ ur einen realen Bestand ist stets sorgf¨altig zu erw¨agen, ob die Annahmen des kollektiven Modells erf¨ ullt sind. – Wie im individuellen Modell ist die Annahme der Unabh¨angigkeit der Schadenh¨ohen immer dann verletzt, wenn alle oder auch nur einige Risiken des Bestandes derselben Gefahr ausgesetzt sind. Dies gilt beispielsweise in der Elementarschadenversicherung: Bei Hochwasser steigen Schadenzahl und Schadenh¨ohe in der Regel mit dem Pegel. – Im Gegensatz zum individuellen Modell ist die Annahme identisch verteilter Schadenh¨ohen im kollektiven Modell auch im Fall eines inhomogenen Bestandes unproblematisch: Da im kollektiven Modell die Schadenh¨ohen einzelner Sch¨aden betrachtet werden und jeder Schaden von jedem Risiko des Bestandes verursacht werden kann, ist die Verteilung der Schadenh¨ohe eine Eigenschaft des Bestandes und nicht eines einzelnen Risikos. Daher beschreibt auch ein kollektives Modell einen realen Bestand nur n¨aherungsweise.

7.1 Das kollektive Modell

165

Wir stellen zun¨achst zwei Beziehungen zwischen dem kollektiven Modell und dem individuellen Modell f¨ ur einen homogenen Bestand her: – Ist N, {Xj }j∈N  ein kollektives Modell und gibt es ein n ∈ N mit N (ω) = ur n f¨ ur alle ω ∈ Ω , so ist {Xj }j∈{1,...,n} formal ein individuelles Modell f¨ einen homogenen Bestand der Gr¨oße n und es gilt N

Xj =

j=1

–

n

Xj

j=1

Das zu einem individuellen Modell {Zi }i∈{1,...,n} f¨ ur einen homogenen Bestand geh¨orende Binomial–Modell N (n), {Xj }j∈N  ist nach Satz 6.3.7 und nach Lemma 6.3.6 ein kollektives Modell mit n

N (n)

Zi =

i=1



Xj

j=1

Das kollektive Modell l¨aßt sich daher in einem doppelten Sinn als eine Verallgemeinerung des individuellen Modells f¨ ur einen homogenen Bestand verstehen. Im gesamten Abschnitt sei N, {Xj }j∈N  ein kollektives Modell und S :=

N

Xj

j=1

Wir bezeichnen die typische Schadenh¨ohe der Familie {Xj }j∈N mit X . Wir bestimmen zun¨achst die Verteilung des Gesamtschadens S : 7.1.3 Lemma. F¨ ur alle B ∈ B(R) gilt P [{S ∈ B}] =

∞

"

P [{N = n}] P

n=0

n

# Xj ∈ B

j=1

Beweis. Aufgrund der Unabh¨angigkeit von N und {Xj }j∈N gilt # " N Xj ∈ B P [{S ∈ B}] = P  = P

j=1 ∞ n=0

=

∞

{N = n} ∩

" n

Damit ist die Behauptung gezeigt.

Xj ∈ B

j=1

"

P [{N = n}] P

n=0

#

n

# Xj ∈ B

j=1

2

166

Kapitel 7. Gesamtschaden im kollektiven Modell

Wenn die Verteilung des Gesamtschadens nicht vollst¨andig bestimmt werden kann, ist es von Vorteil, zumindest den Erwartungswert und die Varianz des Gesamtschadens zu kennen, um bestimmte Wahrscheinlichkeiten absch¨atzen zu k¨onnen. Mit Hilfe der Gleichungen von Wald erh¨alt man die ersten beiden Momente des Gesamtschadens aus den ersten beiden Momenten der Schadenzahl und der Schadenh¨ohe: 7.1.4 Satz (Gleichungen von Wald). (1) Im Fall N ∈ L1 (N0 ) und X ∈ L1 (R+ ) gilt E[S] = E[N ] E[X] (2) Im Fall N ∈ L2 (N0 ) und X ∈ L2 (R+ ) gilt


2 var[S] = E[N ] var[X] + var[N ] E[X]

Beweis. Aufgrund der Annahmen des kollektiven Modells gilt nach Folgerung 4.1.6  N  E[S] = E Xk = E

 k=1 ∞

χ{N =n}

n

n=1

= =

∞ n=1 ∞

k=1

 Xk 

P [{N = n}] E

n

 Xk

k=1

P [{N = n}] n E[X]

n=1

= E[N ] E[X] sowie

 2

E[S ] = E  = E

N

∞

∞ n=1

=

Xk

k=1

n=1

=

2 

∞ n=1

χ{N =n}

 n

2  Xk

k=1



P [{N = n}] E 

n

Xk

k=1



P [{N = n}] var

2 

n k=1



 

Xk +

E

n k=1

2  Xk

7.1 Das kollektive Modell

=

∞

167


 P [{N = n}] n var[X] + (n E[X])2

n=1

= E[N ] var[X] + E[N 2 ] (E[X])2 und damit var[S] = E[S 2 ] − E[S]2

2 = E[N ] var[X] + E[N 2 ] (E[X])2 − E[N ] E[X] = E[N ] var[X] + var[N ] (E[X])2 2

Damit ist der Satz gezeigt.

Aus den Gleichungen von Wald ergibt sich insbesondere eine Formel f¨ ur den Variationskoeffizienten des Gesamtschadens: 7.1.5 Folgerung (Variationskoeffizient des Gesamtschadens). Sei N ∈ L2 (N0 ) und X ∈ L2 (R+ ) sowie E[N ] > 0 und E[X] > 0 . Dann gilt v 2 [S] = v 2 [N ] +

1 v 2 [X] E[N ]

Die Gleichungen von Wald sind auch in Verbindung mit der Ungleichung von Cantelli von Interesse: 7.1.6 Folgerung (Ungleichung von Cantelli). X ∈ L2 (R+ ) . Dann gilt f¨ ur alle c ∈ (0, ∞) 3 P

S ≥ E[N ] E[X] + c

4!

≤

c2

Sei N ∈ L2 (N0 ) und

E[N ] var[X] + var[N ] (E[X])2 + E[N ] var[X] + var[N ] (E[X])2

Die Behauptung ergibt sich aus Folgerung 4.3.4 und Satz 7.1.4. urlich auch S ∈ L0 (N0 ) . In diesem Fall kann die Im Fall X ∈ L0 (N0 ) gilt nat¨ Verteilung von S mit Hilfe der erzeugenden Funktion von S bestimmt werden, die ihrerseits mit Hilfe der erzeugenden Funktionen von N und X dargestellt werden kann: 7.1.7 Satz. Sei X ∈ L0 (N0 ) . Dann gilt S ∈ L0 (N0 ) und mS (t) = mN (mX (t))

168

Kapitel 7. Gesamtschaden im kollektiven Modell

Beweis. Aufgrund der Annahmen des kollektiven Modells gilt nach Folgerung 4.1.6 f¨ ur alle t ∈ [0, 1] mS (t) = E[tS ]  ∞ n X = E χ{N =n} t j=1 j

  n=0 ∞ n  = E χ{N =n} tXj n=0

= = =

∞ n=0 ∞

j=1



P [{N = n}] E

n 

 t

Xj

j=1

P [{N = n}]

n 

n=0

j=1

∞




E[tXj ]

n P [{N = n}] E[tX ]

n=0

=

∞

P [{N = n}] (mX (t))n

n=0

= E[(mX (t))N ] = mN (mX (t)) 2

Damit ist die Behauptung gezeigt.

Das folgende Beispiel erh¨alt eine Anwendung des Satzes auf die wichtigsten Schadenzahl–Verteilungen: 7.1.8 Beispiel (Gesamtschaden). (1) Im Fall PN = B(m, ϑ) gilt mS (t) = (2) Im Fall PN = P(α) gilt


m 1 − ϑ + ϑ mX (t)

mS (t) = e−α(1−mX (t))

(3) Im Fall PN = NB(β, ϑ) gilt

mS (t) =

Dies folgt aus den Beispielen 4.5.1.

1 − ϑ mX (t) 1−ϑ

−β

7.2 Die Schadenzahl–Verteilungen der Panjer–Klasse

169

Aufgaben 7.1.A

Gleichungen von Wald: Beweisen Sie die Gleichungen von Wald im Fall X ∈ L1 (N0 ) bzw. X ∈ L2 (N0 ) mit Hilfe von Satz 7.1.7.

7.1.B

Gleichungen von Wald: Sei N ∈ L2 (N0 ) und X ∈ L2 (R+ ) . Dann gilt min{E[N ], var[N ]} · E[X 2 ] ≤ var[S] ≤ max{E[N ], var[N ]} · E[X 2 ] Im Fall PN = P(α) gilt var[S] = α E[X 2 ] .

7.1.C

Sei N ∈ L2 (N0 ) und X ∈ L2 (R+ ) . Dann gilt f¨ ur alle s ∈ R mit s > E[S] P [{S > s}] ≤

E[(S − E[S])2 ] E[(S − s)2 ]

P [{S > s}] ≤

E[(S − E[S])2 ] (s − E[S])2

und

Vergleichen Sie diese Ungleichungen. 7.1.D

Im Fall PN = P(α) und PX = Log(ϑ) gilt

 α PS = NB ,ϑ | log(1−ϑ)|

7.1.E

Im Fall PN = NB(m, ϑ) und PX = Geo(1, η) sowie im Fall PN = B(m, ϑ) und PX = Geo(1, (1−ϑ)η) gilt 

(1−ϑ)(1−t+η t) m mS (t) = (1−t+η t) − ϑη t Was folgt aus dieser Gleichung f¨ ur die Berechnung des Gesamtschadens im kollektiven Modell mit PN = NB(m, ϑ) und PX = Geo(1, η) ?

7.2

Die Schadenzahl–Verteilungen der Panjer–Klasse

Die wichtigsten Schadenzahl–Verteilungen sind die Binomial–Verteilung, die Poisson–Verteilung und die Negativbinomial–Verteilung. Diese Schadenzahl– Verteilungen k¨onnen durch eine gemeinsame Rekursionsformel charakterisiert werden, die ihrerseits auf Rekursionsformeln f¨ ur die Einzelwahrscheinlichkeiten und die Binomial–Momente der Gesamtschaden–Verteilung f¨ uhrt. ur alle n ∈ N0 Im gesamten Abschnitt sei N ∈ L0 (N0 ) eine Zufallsvariable. F¨ sei pn := P [{N = n}] ¨ Ausgangspunkt unserer Uberlegungen ist das folgende Lemma:

170

Kapitel 7. Gesamtschaden im kollektiven Modell

7.2.1 Lemma. (1) Im Fall PN = B(m, ϑ) gilt f¨ ur alle n ∈ N

pn =

m+1 −1 n



ϑ pn−1 1−ϑ

(2) Im Fall PN = P(α) gilt f¨ ur alle n ∈ N pn =

α pn−1 n

(3) Im Fall PN = NB(β, ϑ) gilt f¨ ur alle n ∈ N

pn =

 β−1 + 1 ϑ pn−1 n

Der Beweis des Lemmas ist elementar; vgl. Aufgabe 7.2.A. Ist also PN eine Binomial–, Poisson– oder Negativbinomial–Verteilung, so gibt es a, b ∈ R mit a + b > 0 derart, daß f¨ ur alle n ∈ N

pn =

 b pn−1 a+ n

gilt. Wir wollen nun die Familie aller Schadenzahl–Verteilungen, die diese Rekursionsformel erf¨ ullen, untersuchen. 7.2.2 Satz (Panjer–Klasse). F¨ ur a, b ∈ R mit a + b > 0 sind folgende Aussagen ¨aquivalent: (a) F¨ ur alle n ∈ N gilt 

b pn−1 pn = a + n (b) F¨ ur alle t ∈ [0, 1) gilt (1−at) mN (t) = (a+b) mN (t) (c) F¨ ur alle n ∈ N und t ∈ [0, 1) gilt (n)

(n−1)

(1−at) mN (t) = (na+b) mN In diesem Fall gilt a < 1 .

(t)

7.2 Die Schadenzahl–Verteilungen der Panjer–Klasse

171

Beweis. Wir nehmen zun¨achst an, daß (a) gilt. Dann gilt p0 > 0 und wegen ur alle n ∈ N p1 = (a+b) p0 und a + b > 0 gilt auch p1 > 0 . Außerdem gilt f¨ 

b pn = pn−1 a+ n (n−1) a + (a+b) pn−1 = n n−1 a pn−1 ≥ n Im Fall a ≥ 1 gilt daher f¨ ur alle n ∈ N pn ≥ und damit p0 + p1

1 p1 n

∞ ∞ 1 ≤ pn = 1 n n=1 n=0

Dies ist ein Widerspruch, da p1 > 0 gilt und die harmonische Reihe divergent ist. Daher gilt a < 1 . ¨ Wir zeigen nun die Aquivalenz von (a), (b) und (c). Wir nehmen zun¨achst an, daß (a) gilt. Wegen mN (t) =

∞

pn tn

n=0

gilt mN (t) =

∞

pn n tn−1

n=1

=

∞



a+

n=1

= at

∞

 b pn−1 n tn−1 n

pn−1 (n−1) tn−2 + (a+b)

n=2

= at

∞ k=1

∞ n=1

pk k tk−1 + (a+b)

∞

pk tk

k=0

= at mN (t) + (a+b) mN (t) und damit (1−at) mN (t) = (a+b) mN (t) Daher folgt (b) aus (a).

pn−1 tn−1

172

Kapitel 7. Gesamtschaden im kollektiven Modell

Als n¨achstes nehmen wir an, daß (b) gilt. Dann gilt (1−at) mN (t) = (a+b) mN (t) und aus (n)

(n−1)

(1−at) mN (t) = (na+b) mN

(t)

erh¨alt man durch Differenzieren (n)

(n+1)

(−a) mN (t) + (1−at) mN und damit (n+1)

(1−at) mN


(t) =

(n)

(t) = (na+b) mN (t)

 (n) (n+1) a + b mN (t)

Also gilt die Gleichung (n)

(n−1)

(1−at) mN (t) = (na+b) mN

(t)

f¨ ur alle n ∈ N . Daher folgt (c) aus (b). Als letztes nehmen wir an, daß (c) gilt. Dann gilt f¨ ur alle n ∈ N (n)

(n−1)

(1−at) mN (t) = (na+b) mN

(t)

und aus Satz 4.5.2 ergibt sich 1 (n) m (0) n! N 1 (n−1) (na+b) mN (0) = n! 

1 b (n−1) m (0) = a+ n (n−1)! N

 b = a+ pn−1 n

pn =

Daher folgt (a) aus (c).

2

7.2.3 Folgerung (Panjer–Klasse). Wenn es a, b ∈ R gibt mit a + b > 0 derart, daß f¨ ur alle n ∈ N

 b pn−1 pn = a + n gilt, dann ist mN auch an der Stelle t = 1 unendlich oft differenzierbar und f¨ ur alle n ∈ N gilt

 *

+ * + b 1 N N a+ E = E 1−a n n−1 n Insbesondere sind alle Binomial–Momente von N endlich.

7.2 Die Schadenzahl–Verteilungen der Panjer–Klasse

173

Beweis. Nach Satz 7.2.2 gilt a < 1 und f¨ ur alle n ∈ N und alle t ∈ [0, 1) gilt (n)

(n−1)

(1−at) mN (t) = (na+b) mN

(t)

und damit (n)

mN (t) = n!



 (n−1) b 1 mN (t) a+ n 1 − at (n−1)!

Die Quotienten auf der rechten Seite dieser Gleichung sind monoton wachsend. Daher gilt E

* + N = n

(n)

mN (t) n! t∈[0,1)

 (n−1) b 1 mN (t) = sup a + n 1 − at (n−1)! t∈[0,1) 

(n−1) b m (t) 1 sup N = a+ n 1 − a t∈[0,1) (n−1)! +

*

 b N 1 = a+ E n−1 n 1−a sup

Aus dieser Gleichung folgt wegen * + N = 1 E 0 durch vollst¨andige Induktion, daß alle Binomial–Momente von N endlich sind. Aus Satz 4.5.4 folgt nun, daß mN auch an der Stelle t = 1 unendlich oft differenzierbar ist. 2 Der folgende Satz versch¨arft Lemma 7.2.1, indem er die Binomial–, Poisson– und Negativbinomial–Verteilungen durch eine gemeinsame Rekursionsformel charakterisiert: 7.2.4 Satz (Panjer–Klasse). Folgende Aussagen sind ¨aquivalent: (a) Es gibt a, b ∈ R mit a + b > 0 und

pn =

 b pn−1 a+ n

f¨ ur alle n ∈ N . (b) PN ist eine Binomial–, Poisson– oder Negativbinomial–Verteilung.

174

Kapitel 7. Gesamtschaden im kollektiven Modell

Beweis. Wir nehmen zun¨achst an, daß (a) gilt. Nach Satz 7.2.2 gilt a < 1 . Außerdem folgt aus Satz 7.2.2 und Folgerung 7.2.3, daß die erzeugende Funktion mN die homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung (1−at) h (t) = (a+b) h(t) mit t ∈ [0, 1] und der Anfangsbedingung h(1) = 1 erf¨ ullt. Wir bestimmen nun, in Abh¨angigkeit von a ∈ (−∞, 1) , die Gestalt der erzeugenden Funktion mN . – Im Fall a = 0 ist die allgemeine L¨osung der Differentialgleichung durch die Funktion h mit h(t) = α ebt und α ∈ R gegeben. Aus der Anfangsbedingung h(1) = 1 ergibt sich α = e−b und damit h(t) = e−b(1−t)

–

Daher ist h die erzeugende Funktion der Poisson–Verteilung P(b) . Im Fall a = 0 ist die allgemeine L¨osung der Differentialgleichung durch die Funktion h mit
−(a+b)/a h(t) = α 1 − at und α ∈ R gegeben. Aus der Anfangsbedingung h(1) = 1 ergibt sich α = (1−a)(a+b)/a und damit

h(t) =

1 − at 1−a

−(a+b)/a

Hier ist nun eine weitere Fallunterscheidung erforderlich. – Im Fall a ∈ (0, 1) gilt (a + b)/a ∈ (0, ∞) . Daher ist h die erzeugende Funktion der Negativbinomial–Verteilung NB((a+b)/a, a) . – Im Fall a ∈ (−∞, 0) gilt −a/(1−a) ∈ (0, 1) und −(a+b)/a > 0 . Wenn wir zeigen k¨onnen, daß sogar −(a+b)/a ∈ N gilt, dann ist h die erzeugende Funktion der Binomial–Verteilung B(−(a+b)/a, −a/(1−a)) . Aus der Differentialgleichung (1−at) h (t) = (a+b) h(t) ergibt sich durch Differenzieren wie im Beweis von Satz 7.2.2 f¨ ur alle m∈N
 h(m+1) (0) = ma + (a+b) h(m) (0)

7.2 Die Schadenzahl–Verteilungen der Panjer–Klasse

175

Da wir nach einer L¨osung der Differentialgleichung suchen, die eine erzeugende Funktion ist, muß f¨ ur alle m ∈ N h(m+1) (0) ≥ 0 gelten. Wegen a + b > 0 und a < 0 gibt es daher genau ein m ∈ N mit h(m+1) (0) = 0 < h(m) (0) Es gilt also

b  pm m+1


0 = pm+1 =

a+

und damit m a + (a+b) = 0 . Daher gilt −(a+b)/a = m ∈ N . Damit ist gezeigt, daß (b) aus (a) folgt. Die umgekehrte Implikation ergibt sich aus Lemma 7.2.1.

2

Da die Binomial–, Poisson– und Negativbinomial–Verteilungen durch eine gemeinsame Rekursionsformel charakterisiert werden k¨onnen, liegt es nahe, die Gesamtheit dieser Verteilungen zu einer einzigen parametrischen Klasse von Verteilungen zusammenzufassen; diese Klasse von Verteilungen wird auch als Panjer–Klasse bezeichnet. Im Hinblick auf Lemma 7.2.1 und Satz 7.2.4 lassen sich die Verteilungen der Panjer–Klasse wie folgt darstellen: b @ @

6 @

@

B(m, ϑ)

@

@

P(α)

NB(β, ϑ)

@

@ @

@

@

@

0

@

@

-

@

@

@

@ @

0 Verteilungen der Panjer–Klasse

1

a

176

Kapitel 7. Gesamtschaden im kollektiven Modell

Aufgaben 7.2.A

Beweisen Sie Lemma 7.2.1.

7.2.B

Panjer–Klasse: Sei PN derart, daß es a, b ∈ R mit a + b > 0 gibt, sodaß f¨ ur alle n ∈ N 

b pn−1 pn = a + n gilt. Dann gilt a+b E[N ] = 1−a a+b var[N ] = (1−a)2 und damit v 2 [N ] =

1 a+b

und

var[N ] 1 = E[N ] 1−a Interpretieren Sie die letzte Gleichung im Hinblick auf die Darstellung der Verteilungen der Panjer–Klasse in der (a, b)–Ebene und im Hinblick auf die Ergebnisse aus den Beispielen 4.5.6.

7.2.C

Panjer–Klasse: Gibt es f¨ ur jede Wahl von a, b ∈ R mit a + b > 0 und a < 1 eine Verteilung der Panjer–Klasse?

7.2.D

Beweisen Sie Satz 7.2.4 ohne Verwendung der erzeugenden Funktion. Hinweis: Bestimmen Sie eine positive L¨osung der linearen Differenzengleichung 

b hn = 0 hn+1 − a + n+1 ∞ mit n ∈ N0 unter der Bedingung n=0 hn = 1 .

7.2.E

Geometrische Verteilung: Im Fall PN = Geo(1, ϑ) gibt es a, b ∈ R mit 2a + b > 0 und 

b pn−1 pn = a + n f¨ ur alle n ∈ N mit n ≥ 2 .

7.2.F

Logarithmische Verteilung: Im Fall PN = Log(ϑ) gibt es a, b ∈ R mit 2a + b > 0 und 

b pn−1 pn = a + n f¨ ur alle n ∈ N mit n ≥ 2 .

7.2.G

Sei PN derart, daß p0 = 0 gilt und es a, b ∈ R mit 2a + b > 0 gibt, sodaß f¨ ur alle n ∈ N mit n ≥ 2

 b pn−1 pn = a + n gilt. Beweisen Sie Analoga zu Satz 7.2.2 und Satz 7.2.4.

7.3 Die Rekursionen von Panjer und DePril

7.3

177

Die Rekursionen von Panjer und DePril

In diesem Abschnitt zeigen wir, daß f¨ ur die Schadenzahl–Verteilungen der Panjer–Klasse auch die Einzelwahrscheinlichkeiten und die Binomial–Momente des Gesamtschadens rekursiv berechnet werden k¨onnen. Im gesamten Abschnitt sei N, {Xj }j∈N  ein kollektives Modell mit X ∈ L0 (N0 ) . Wir setzen S :=

N

Xj

j=1

F¨ ur alle n ∈ N0 sei pn := P [{N = n}] fn := P [{X = n}] gn := P [{S = n}] Der folgende Satz verallgemeinert Satz 7.2.2: 7.3.1 Satz (Panjer–Klasse). F¨ ur a, b ∈ R mit a + b > 0 sind folgende Aussagen ¨aquivalent: (a) F¨ ur alle n ∈ N gilt 

b pn = a + pn−1 n (b) F¨ ur jede Wahl von PX und f¨ ur alle t ∈ [0, 1) gilt
 1 − a mX (t) mS (t) = (a+b) mS (t) mX (t) ur alle n ∈ N und t ∈ [0, 1) gilt (c) F¨ ur jede Wahl von PX und f¨  n 


k n (n) (n−k) (k) mS (t) mX (t) 1 − a mX (t) mS (t) = a+b n k k=1 Beweis. Im Fall P [{X = 0}] = 1 gilt f¨ ur alle t ∈ [0, 1] mX (t) = 1 und aus Satz 7.1.7 folgt mS (t) = mN (mX (t)) = mN (1) = 1 ; in diesem Fall sind also die Gleichungen unter (b) und (c) f¨ ur alle t ∈ [0, 1] erf¨ ullt. ¨ Wir beweisen nun die Aquivalenz von (a), (b) und (c) unter der Annahme, daß P [{X = 0}] < 1 gilt. Dann gilt f¨ ur alle t ∈ [0, 1) mX (t) < 1 und damit mX (t) ∈ [0, 1) .

178

Kapitel 7. Gesamtschaden im kollektiven Modell

Wir nehmen zun¨achst an, daß (a) gilt. Nach Satz 7.1.7 gilt mS (t) = mN (mX (t)) mS (t) = mN (mX (t)) · mX (t) und aus Satz 7.2.2 folgt

 1 − a mX (t) mS (t) = 1 − a mX (t) mN (mX (t)) · mX (t) = (a+b) mN (mX (t)) · mX (t) = (a+b) mS (t) · mX (t) Daher folgt (b) aus (a). Als n¨achstes nehmen wir an, daß (b) gilt. Dann gilt 
1 − a mX (t) mS (t) = (a+b) mS (t) mX (t) und aus


 n 

 k n (n) (n−k) (k) 1 − a mX (t) mS (t) = a+b mS (t) mX (t) k n k=1

ergibt sich durch Differenzieren beider Seiten
 (n) (n+1) − a mX (t) mS (t) + 1 − a mX (t) mS (t)  n 

 k
(n−k+1) n (k) (n−k) (k+1) a+b mS (t) mX (t) + mS (t) mX (t) = k n k=1  

n n

n n−1 (n−k+1) (k) (n−k+1) (k) (t) mX (t) + b (t) mX (t) mS mS = a k k − 1 k=1 k=1  n  n

n n−1 (n−i) (i+1) (n−i) (i+1) +a mS (t) mX (t) + b mS (t) mX (t) i i − 1 i=1 i=1  n  n

n n−1 (n−k+1) (k) (n−k+1) (k) (t) mX (t) + b (t) mX (t) mS mS = a k k − 1 k=1 k=1   n+1

n+1

n n−1 (n−k+1) (k) (n−k+1) (k) +a (t) mX (t) + b (t) mX (t) mS mS k − 1 k − 2 k=2 k=2 (n)

= a n mS (t) mX (t)   n+1

n+1

n+1 n (n+1−k) (k) (n+1−k) (k) mS mS (t) mX (t) + b (t) mX (t) +a k k − 1 k=2 k=1

7.3 Die Rekursionen von Panjer und DePril

179

und damit 
(n+1) 1 − a mX (t) mS (t) (n)

= a (n+1) mS (t) mX (t)   n+1

n+1

n+1 n (n+1−k) (k) (n+1−k) (k) mS mS (t) mX (t) + b (t) mX (t) +a k k − 1 k=2 k=1   n+1

n+1

n+1 n (n+1−k) (k) (n+1−k) (k) mS mS = a (t) mX (t) + b (t) mX (t) k k − 1 k=1 k=1

 

n+1 n+1 k (n+1−k) (k) mS (t) mX (t) = a+b n + 1 k k=1 Daher folgt (c) aus (b). Als letztes nehmen wir an, daß (c) gilt. Im Fall P [{X = 1}] = 1 gilt mX (t) = t und S = N , und damit (n)

(n−1)

(1−at) mN (t) = (na+b) mN

(t)

Dies ist die Bedingung (c) aus Satz 7.2.2. Daher folgt (a) aus (c).

2

Aus Satz 7.3.1 l¨aßt sich nun leicht eine Rekursionsformel f¨ ur die Einzelwahrscheinlichkeiten des Gesamtschadens herleiten: 7.3.2 Folgerung (Rekursion von Panjer). Wenn es a, b ∈ R gibt mit a + b > 0 derart, daß f¨ ur alle n ∈ N 

b pn = a + pn−1 n gilt, dann gilt ⎧
m ⎪ falls PN = B(m, ϑ) 1 − ϑ + ϑf0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ −α(1−f ) 0 e falls PN = P(α) g0 = ⎪

−β ⎪ ⎪ 1 − ϑf0 ⎪ ⎪ ⎩ falls PN = NB(β, ϑ) 1−ϑ und f¨ ur alle n ∈ N gilt gn =

 n

k 1 a+b gn−k fk 1 − af0 k=1 n

Im Fall f0 = 0 gilt g0 = p0 .

180

Kapitel 7. Gesamtschaden im kollektiven Modell

Beweis. Wegen Satz 7.1.7 gilt g0 = mS (0) = mN (mX (0)) = mN (f0 ) Daher folgt die Behauptung f¨ ur g0 aus den Beispielen 4.5.1. Außerdem gilt nach Folgerung 4.5.3 und Satz 7.3.1 f¨ ur alle n ∈ N



 m(n) (0) S 1 − a f0 gn = 1 − a mX (0) n!  1
(n) 1 − a mX (0) mS (0) = n!  n 

1 n k (n−k) (k) mS (0) mX (0) = a+b n! k=1 k n  (n−k) n

(k) k mS (0) mX (0) a+b = n (n−k)! k! k=1

 n k a+b = gn−k fk n k=1

Damit ist die Folgerung bewiesen.

2

In gleicher Weise erh¨alt man aus Satz 7.3.1 eine Rekursionsformel f¨ ur die Binomial–Momente des Gesamtschadens: 7.3.3 Folgerung (Rekursion von DePril). Sei m ∈ N und E[X m ] < ∞ . Wenn es a, b ∈ R gibt mit a + b > 0 derart, daß f¨ ur alle n ∈ N 

b pn−1 pn = a + n gilt, dann ist mS an der Stelle t = 1 m–mal stetig differenzierbar und f¨ ur alle n ∈ {1, . . . , m} gilt * +  *

+ * + n

1 S k S X = E a+b E E n 1 − a k=1 n n−k k Insbesondere sind alle Binomial–Momente von S bis zur Ordnung m endlich. Beweis. Nach Satz 7.3.1 gilt f¨ ur alle t ∈ [0, 1) (n) mS (t)

 n 

k n 1 (n−k) (k) a+b mS = (t) mX (t) 1 − a mX (t) k=1 k n

7.4 Bemerkungen

181

Nach Folgerung 7.2.3 ist mN an der Stelle t = 1 unendlich oft differenzierbar, und wegen E[X m ] < ∞ ist mX nach Satz 4.5.4 an der Stelle t = 1 m–mal stetig differenzierbar. Damit ist wegen mS (t) = mN (mX (t)) auch mS an der Stelle t = 1 m–mal stetig differenzierbar. Daher gilt nach Satz 7.3.1 f¨ ur alle n ∈ {1, . . . , m} (1 −

(n) a) mS (1)

 n 

k n (n−k) (k) mS = (1) mX (1) a+b n k k=1

Der Beweis der Rekursionsformel f¨ ur die Binomial–Momente von S verl¨auft nun, unter Verwendung von Satz 4.5.4, wie der Beweis von Folgerung 7.3.2. 2 Da der Erwartungswert und die Varianz des Gesamtschadens bereits durch die Gleichungen von Wald gegeben sind, ist die Rekursion von DePril vor allem f¨ ur Momente h¨oherer Ordnung von Interesse.

Aufgaben 7.3.A

Rekursion von DePril: Vereinfachen Sie die Rekursion von DePril im Fall P [{X = 1}] = 1 und vergleichen Sie das Ergebnis mit Folgerung 7.2.3.

7.3.B

Gleichungen von Wald: Beweisen Sie die Gleichungen von Wald im Fall X ∈ L0 (N0 ) mit Hilfe der Rekursion von DePril.

7.3.C

Sei PN derart, daß p0 = 0 gilt und es a, b ∈ R mit 2a + b > 0 gibt, sodaß f¨ ur alle n ∈ N mit n ≥ 2

 b pn−1 pn = a + n gilt. Beweisen Sie Analoga zu Satz 7.3.1 und zu den Rekursionen von Panjer und DePril. Hinweis: Aufgabe 7.2.G.

7.4

Bemerkungen

F¨ ur die Verteilung der Schadenzahl ist neben der Poisson–Verteilung vor allem die Negativbinomial–Verteilung von Interesse, da f¨ ur die empirische Verteilung der Schadenzahl die Varianz h¨aufig gr¨oßer ist als der Erwartungswert. F¨ ur die Schadenh¨ohe hingegen h¨angt die Wahl einer geeigneten Verteilung von der Art des Bestandes ab (Hausrat, Haftpflicht, Feuer usw.). F¨ ur Einzelheiten zur Statistik im kollektiven Modell verweisen wir auf Mack [1997] und auf Klugman, Panjer und Willmot [1998]. Die Charakterisierung der Panjer–Klasse wurde zuerst von Sundt und Jewell bewiesen. Die Rekursionsformel von Panjer geht auf Panjer [1981] zur¨ uck;

182

Kapitel 7. Gesamtschaden im kollektiven Modell

dagegen ist die Rekursionsformel von DePril eine Variante der von DePril [1986] angegebenen Formel  n 

1 n k E[S n−k ] E[X k ] E[S ] = a+b 1 − a k=1 k n n

Elementare Beweise der Rekursionsformel von Panjer und der urspr¨ unglichen Rekursionsformel von DePril sind in Schmidt [1996] zu finden. Eine Verallgemeinerung der Panjer–Klasse wird in Hess, Liewald und Schmidt [2002] behandelt. Die rekursive Berechnung von Einzelwahrscheinlichkeiten und Momenten der Verteilung des Gesamtschadens ist in der Praxis von großer Bedeutung und tritt heute weitgehend an die Stelle ¨alterer Methoden der Approximation. F¨ ur ¨ einen Uberblick u ¨ber Methoden zur Berechnung oder Approximation der Verteilung des Gesamtschadens verweisen wir auf Schr¨oter [1995]. Wir bemerken abschließend, daß das kollektive Modell den Ausgangspunkt der kollektiven Risikotheorie bildet. Dabei wird anstelle der Schadenzahl N ein Schadenzahl–Prozeß {Nt }t∈R+ und anstelle des Gesamtschadens S der durch St :=

Nt

Xj

j=1

definierte Gesamtschaden–Prozeß {St }t∈R+ betrachtet; hinzu kommt der durch Rt := u + κt − St definierte Reserve–Prozeß {Rt }t∈R+ , wobei u ∈ (0, ∞) ein Anfangskapital und κ ∈ (0, ∞) die j¨ahrliche Pr¨amieneinnahme bezeichnet. Das Hauptinteresse an diesem dynamischen Modell besteht einerseits in der Prognose zuk¨ unftiger Schadenzahlen oder Schadensummen auf der Grundlage von Beobachtungen aus der Vergangenheit und andererseits in der Berechnung oder Absch¨atzung der Wahrscheinlichkeit des Ruins, wobei mit Ruin hier das Ereignis bezeichnet wird, daß der Reserve–Prozeß zu irgendeinem Zeitpunkt oder aber in einem vorgegebenen Zeitintervall einen strikt negativen Wert annimmt. Die Literatur zur kollektiven Risikotheorie ist umfangreich; f¨ ur eine Einf¨ uhrung verweisen wir auf Schmidt [1996].

Kapitel 8 Ru ¨ ckversicherung Versicherungsunternehmen gew¨ahren ihren Versicherungsnehmern Schutz vor großen Sch¨aden, aber h¨aufig ben¨otigen sie auch selbst einen derartigen Schutz: So wie Versicherungsnehmer, die nicht selbst Versicherungsunternehmen sind, sich bei einem Erstversicherer versichern, versichern sich Erstversicherer bei einem R¨ uckversicherer . In beiden F¨allen kommt das Prinzip vom Ausgleich im Kollektiv zum Tragen: W¨ahrend im Bestand eines Erstversicherers die Sch¨aden seiner Versicherungsnehmer ausgeglichen werden, werden im Bestand eines R¨ uckversicherers die Sch¨aden seiner Erstversicherer ausgeglichen. Das Argument l¨aßt sich gedanklich ad infinitum fortsetzen, denn auch ein R¨ uckversicherer m¨ochte sich vor großen Sch¨aden sch¨ utzen. Dieser Gedanke ist jedoch nicht praktikabel, da es unendlich viele Versicherungsunternehmen nicht geben kann. An die Stelle einer Hierarchie von Versicherungsvertr¨agen tritt daher in der Praxis meist das allgemeinere Prinzip der Risikoteilung, das darin besteht, daß Sch¨aden auf mehrere Versicherungsunternehmen aufgeteilt werden. Das Prinzip der Risikoteilung wird nicht nur in Vertr¨agen unter Versicherungsunternehmen, sondern auch in Vertr¨agen zwischen Versicherungsnehmer und Erstversicherer angewendet, wenn ein prozentualer oder absoluter Selbstbehalt vereinbart wird. Ein prozentualer Selbstbehalt veranlaßt den Versicherungsnehmer, die H¨ohe der Sch¨aden nach M¨oglichkeit zu begrenzen; ein absoluter Selbstbehalt verringert die Verwaltungskosten des Erstversicherers. Die M¨oglichkeiten der Gestaltung eines R¨ uckversicherungsvertrages sind vielf¨altig: Die Haftung des R¨ uckversicherers kann sich auf die einzelnen Risiken, auf die einzelnen Sch¨aden, auf die einzelnen Schadenereignisse, oder auf den Gesamtschaden eines Bestandes beziehen, und sie kann proportional oder nichtproportional zur Schadenh¨ohe sein. Im gesamten Kapitel bezeichnen wir den Gesamtschaden des Erstversicherers ohne R¨ uckversicherung mit S .

184

Kapitel 8. R¨ uckversicherung

8.1

Proportionale Ru ¨ ckversicherung

In der proportionalen R¨ uckversicherung haftet der R¨ uckversicherer bei jedem Schaden f¨ ur einen prozentualen Anteil der Schadenh¨ohe; dieser Anteil kann f¨ ur den Gesamtschaden eines Bestandes oder aber f¨ ur jedes Risiko des Bestandes individuell in Abh¨angigkeit von seiner Versicherungssumme festgelegt werden.

Quoten–Ru ¨ ckversicherung Die einfachste Form der proportionalen R¨ uckversicherung ist die Quoten–R¨ uckversicherung. Sie besteht darin, daß f¨ ur einen Bestand von Risiken zwischen Erstversicherer und R¨ uckversicherer eine allgemeine Quote q ∈ (0, 1) f¨ ur den R¨ uckversicherer vereinbart wird, die auf den Gesamtschaden S eines Bestandes angewendet wird. Bei der Quoten–R¨ uckversicherung ist der Gesamtschaden des Erstversicherers durch S  := (1−q) S und der Gesamtschaden des R¨ uckversicherers durch S  := q S definiert. Bei der Quoten–R¨ uckversicherung u ¨bertr¨agt sich das individuelle Modell und das kollektive Modell f¨ ur den Gesamtschaden auf den Erstversicherer und auf den R¨ uckversicherer: ur den Gesamtschaden. Dann – Sei {Zi }i∈{1,...,n} ein individuelles Modell f¨ gilt S = S = S  =

n i=1 n i=1 n

Zi (1−q) Zi q Zi

i=1

Wegen Satz 3.3.6 liegt f¨ ur den Erstversicherer das individuelle Modell {(1−q) Zi }i∈{1,...,n} und f¨ ur den R¨ uckversicherer das individuelle Modell {q Zi }i∈{1,...,n} vor.

8.1 Proportionale R¨ uckversicherung –

185

Sei N, {Xj }j∈N  ein kollektives Modell f¨ ur den Gesamtschaden. Dann gilt S =

N

Xj

j=1

S



=

N

(1−q) Xj

j=1

S  =

N

qXj

j=1

Wegen Satz 3.3.6 liegt f¨ ur den Erstversicherer das kollektive Modell N, {(1−q) Xj }j∈N  und f¨ ur den R¨ uckversicherer das kollektive Modell N, {qXj }j∈N  vor. Insbesondere kann die Quote auf den Gesamtschaden auch als Quote auf die einzelnen Risiken oder als Quote auf die einzelnen Sch¨aden interpretiert werden.

Summenexzedenten–Ru ¨ ckversicherung Eine etwas kompliziertere Form der proportionalen R¨ uckversicherung ist die Summenexzedenten–R¨ uckversicherung. Sie besteht darin, daß zwischen Erstversicherer und R¨ uckversicherer ein maximaler Selbstbehalt M ∈ (0, ∞) vereinbart wird, der als Maximum bezeichnet wird und aus dem f¨ ur jedes Risiko des Bestandes in Abh¨angigkeit von der Versicherungssumme des Risikos eine individuelle Quote abgeleitet wird. Die Bestimmung der individuellen Quoten f¨ ur die Risiken eines inhomogenen Bestandes erfolgt, bei einem gegebenen Maximum M und in Abh¨angigkeit von der Versicherungssumme, mit Hilfe der Abbildung q : (0, ∞) → [0, 1) mit (V −M )+ V ⎧ 0 falls V ≤ M ⎨ = ⎩ 1 − M falls M < V V

q(V ) :=

Wir nennen q die individuelle Quote zum Maximum M und bezeichnen q(V ) als individuelle Quote f¨ ur ein Risiko mit Versicherungssumme V . Die individuelle Quote ist eine monoton wachsende Funktion der Versicherungssumme.

186

Kapitel 8. R¨ uckversicherung

Bei einem Risiko mit Versicherungssumme V haftet der R¨ uckversicherer f¨ ur den Anteil q(V ) der Schadenh¨ohe Z und der Erstversicherer haftet f¨ ur den Anteil 1−q(V ) = min{1, M/V } ; insbesondere tr¨agt der Erstversicherer bei einem Risiko mit Versicherungssumme V ≤ M die Schadenh¨ohe Z vollst¨andig. Die Haftung des Erstversicherers pro Risiko ist durch das Maximum M begrenzt. 8.1.1 Beispiel (Summenexzedent). Ein Erstversicherer verf¨ ugt u ¨ber einen inhomogenen Bestand von Risiken mit einer Versicherungssumme von h¨ ochstens uckversicherung mit 2 500 000 e pro Risiko. Er schließt eine Summenexzedenten–R¨ angigkeit der einem Maximum von 100 000 e ab. Die folgende Tabelle zeigt die Abh¨ individuellen Quote von der Versicherungssumme: 1 − q(V ) q(V )

V 50 000 100 000 200 000 500 000  1 000 000 2 000 000 2 500 000

1.00 1.00 0.50 0.20 0.10 0.05 0.04

0.00 0.00 0.50 0.80 0.90 0.95 0.96

Die Haftung des Erstversicherers ist auf 100 000 e pro Risiko begrenzt. Die Haftung des R¨ uckversicherers kann f¨ ur ein Risiko mit der maximalen Versicherungssumme 2 400 000 e betragen.

Bei der Summenexzedenten–R¨ uckversicherung ist der Gesamtschaden des Erstversicherers durch n
 S  := 1 − q(Vi ) Zi i=1

und der Gesamtschaden des R¨ uckversicherers durch n q(Vi ) Zi S  := i=1

definiert; dabei ist Vi ∈ (0, ∞) die Versicherungssumme und Zi ∈ L0 (R+ ) die Schadenh¨ohe von Risiko i ∈ {1, . . . , n} . Bei der Summenexzedenten–R¨ uckversicherung u ¨bertr¨agt sich das individuelle Modell f¨ ur den Gesamtschaden auf den Erstversicherer und auf den R¨ uckur den Gesamtschaden, versicherer: Ist {Zi }i∈{1,...,n} ein individuelles Modell f¨ so liegt wegen Satz 3.3.6 f¨ ur den Erstversicherer das individuelle Modell {(1−q(Vi )) Zi }i∈{1,...,n} und f¨ ur den R¨ uckversicherer das individuelle Modell {q(Vi ) Zi }i∈{1,...,n} vor.

8.1 Proportionale R¨ uckversicherung

187

In der bisher dargestellten Form der Summenexzedenten–R¨ uckversicherung ist die Haftung des Erstversicherers pro Risiko durch das Maximum begrenzt, w¨ahrend die Haftung des R¨ uckversicherers unbegrenzt ist. In der Praxis ist es jedoch u ur die Haftung des ¨blich, außer dem Maximum auch eine Grenze f¨ R¨ uckversicherers zu vereinbaren, die im allgemeinen als ein ganzzahliges Vielfaches des Maximums festgelegt wird. Bei der Begrenzung der Haftung des R¨ uckversicherers auf k Maxima ist die individuelle Quote durch die Abbildung q : (0, ∞) → [0, 1) mit 

(V −M )+ k M , q(V ) := min V V ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ =

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

0 falls V ≤ M M V M k V

1−

falls M < V ≤ (k+1) M falls (k+1) M < V

gegeben. Die individuelle Quote ist auf dem Intervall (0, (k + 1)M ] monoton wachsend und auf dem Intervall [(k + 1)M, ∞) monoton fallend; sie nimmt ihren maximalen Wert k/(k + 1) f¨ ur die Versicherungssumme V = (k + 1)M an. Die Haftung des Erstversicherers pro Risiko ist f¨ ur Risiken mit einer Versicherungssumme bis k + 1 Maxima durch das Maximum begrenzt; f¨ ur Risiken mit einer Versicherungssumme u ¨ber k + 1 Maxima ist sie jedoch nicht durch das Maximum begrenzt. Die Haftung des R¨ uckversicherers ist dagegen f¨ ur jedes Risiko durch k Maxima begrenzt. 8.1.2 Beispiel (Summenexzedent). Ein Erstversicherer verf¨ ugt u ¨ber einen inhomogenen Bestand von Risiken mit einer Versicherungssumme von h¨ ochstens uckversicherung mit einem Maxi2 500 000 e. Er schließt eine Summenexzedenten–R¨ uckversicherers auf 19 mum von 100 000 e und einer Begrenzung der Haftung des R¨ Maxima ab. Die folgende Tabelle zeigt die Abh¨angigkeit der individuellen Quote von der Versicherungssumme: V 1 − q(V ) q(V ) 50 000 1.00 0.00 1.00 0.00 100 000 0.50 0.50 200 000 0.20 0.80 500 000 0.10 0.90 1 000 000 0.05 0.95 2 000 000 0.24 0.76 2 500 000 Die Haftung des Erstversicherers ist f¨ ur Risiken mit einer Versicherungssumme von ur ein Risiko mit der h¨ochstens 2 000 000 e auf 100 000 e pro Risiko begrenzt; f¨

188

Kapitel 8. R¨ uckversicherung

maximalen Versicherungssumme kann seine Haftung jedoch 600 000 e betragen. Die Haftung des R¨ uckversicherers ist auf 1 900 000 e pro Risiko begrenzt.

Da sowohl der Erstversicherer als auch der R¨ uckversicherer bestrebt ist, die Haftung pro Risiko zu begrenzen, m¨ ussen die Vertr¨age des Erstversicherers mit seinen Versicherungsnehmern einerseits und mit einem oder mehreren R¨ uckversicherern andererseits aufeinander abgestimmt werden. Dies kann dadurch erfolgen, daß der Erstversicherer einerseits nur solche Risiken zeichnet, deren Versicherungssumme eine maximale Versicherungssumme nicht u ¨berschreitet, und andererseits unter Umst¨anden mehrere Summenexzedenten–Vertr¨age f¨ ur unterschiedliche Haftungsbereiche abschließt derart, daß die Summe aus dem Maximum und den maximalen Haftungen aller R¨ uckversicherer mit der maximalen Versicherungssumme u ¨bereinstimmt. Bei einer Summenexzedenten–R¨ uckversicherung mit zwei Vertr¨agen und dem uckversicherers ersten Maximum M ist die individuelle Quote q1 des ersten R¨ bei einer auf k1 Maxima begrenzten Haftung durch 

(V − M )+ k1 M , q1 (V ) := min V V gegeben und die individuelle Quote q2 des zweiten R¨ uckversicherers ist bei einer auf weitere k2 Maxima begrenzten Haftung durch 

(V − (1+k1 ) M )+ k2 M q2 (V ) := min , V V gegeben. Dem Erstversicherer verbleibt der Anteil 1 − q1 (V ) − q2 (V ) . Formal kann die individuelle Quote des zweiten R¨ uckversicherers als eine individuelle Quote zum zweiten Maximum (1+k1 ) M interpretiert werden. 8.1.3 Beispiel (Summenexzedent). Ein Erstversicherer verf¨ ugt u ¨ber einen inhomogenen Bestand von Risiken mit einer Versicherungssumme von h¨ ochstens uckversicherung mit einem 2 500 000 e. Er schließt eine erste Summenexzedenten–R¨ uckversicherers Maximum von 100 000 e und einer Begrenzung der Haftung des R¨ auf 19 Maxima sowie eine zweite Summenexzedenten–R¨ uckversicherung mit einer Begrenzung der Haftung des R¨ uckversicherers auf weitere 5 Maxima ab. Die folgende Tabelle zeigt die Abh¨angigkeit der individuellen Quoten von der Versicherungssumme: V 1 − q1 (V ) − q2 (V ) q1 (V ) q2 (V ) 50 000 1.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 100 000 0.50 0.50 0.00 200 000 0.20 0.80 0.00 500 000 0.10 0.90 0.00 1 000 000 0.05 0.95 0.00 2 000 000 0.04 0.76 0.20 2 500 000

8.1 Proportionale R¨ uckversicherung

189

Die Haftung des Erstversicherers ist auf 100 000 e pro Risiko begrenzt. Die Haftung des ersten R¨ uckversicherers ist auf 1 900 000 e pro Risiko begrenzt, und die Haftung des zweiten R¨ uckversicherers ist auf 500 000 e pro Risiko begrenzt.

Vergleich Bei der Quoten–R¨ uckversicherung ist es ohne Belang, ob die Quote als Quote auf den Gesamtschaden, als Quote auf die einzelnen Risiken oder als Quote auf die einzelnen Sch¨aden interpretiert wird; bei der Summenexzedenten–R¨ uckversicherung bezieht sich die Quote jedoch stets auf die einzelnen Risiken. Die Quoten–R¨ uckversicherung und die Summenexzedenten–R¨ uckversicherung unterscheiden sich darin, daß in der Quoten–R¨ uckversicherung dieselbe Quote f¨ ur alle Risiken des Bestandes vereinbart wird, w¨ahrend in der Summenexzedenten–R¨ uckversicherung f¨ ur jedes Risiko eine individuelle Quote bestimmt wird, die von der Versicherungssumme des Risikos und dem f¨ ur alle Risiken des Bestandes gleichen Maximum abh¨angt. In der Quoten–R¨ uckversicherung werden die Schadenh¨ohen skaliert; sie kann daher keine Homogenisierung eines inhomogenen Bestandes bewirken. Die Quoten–R¨ uckversicherung bietet jedoch einen begrenzten Schutz vor einer H¨aufung von Sch¨aden, vor einer Untersch¨atzung der Gef¨ahrlichkeit einzelner Risiken, und vor einer ung¨ unstigen Ver¨anderung der Zusammensetzung des Bestandes. Dar¨ uber hinaus d¨ampft die Quoten–R¨ uckversicherung f¨ ur einen im Gesamtgesch¨aft des Erstversicherers dominanten Versicherungszweig die Auswirkung eines ung¨ unstigen Schadenverlaufs in dem betreffenden Versicherungszweig auf das Gesamtergebnis. Die Quoten–R¨ uckversicherung ist in Deutschland in der Kraftfahrt–Haftpflichtversicherung weit verbreitet. In der Summenexzedenten–R¨ uckversicherung tr¨agt die Verwendung einer individuellen Quote der Inhomogenit¨at eines Bestandes Rechnung; sie dient also seiner Homogenisierung. Die Summenexzedenten–R¨ uckversicherung wird in Versicherungszweigen angewendet, in denen, wie in der Feuerversicherung, Best¨ande mit sehr unterschiedlichen Versicherungssummen vorliegen.

Aufgaben 8.1.A

Quoten–R¨ uckversicherung: Sei S ∈ L2 (R+ ) . Dann gilt E[S  ] = (1−q) E[S] var[S  ] = (1−q)2 var[S] und

E[S  ] = q E[S] var[S  ] = q 2 var[S]

190

Kapitel 8. R¨ uckversicherung sowie cov[S  , S  ] = (1−q) q var[S] Insbesondere gilt im Fall E[S] > 0 v 2 [S  ] = v 2 [S] = v 2 [S  ] Interpretieren Sie die Ergebnisse.

8.1.B

Summenexzedenten–R¨ uckversicherung: Sei {Zi }i∈{1,...,n} ⊆ L2 (R+ ) ein individuelles Modell f¨ ur den Gesamtschaden eines Bestandes. Dann gilt E[S  ] =

n
i=1

var[S  ] =

n


 1 − q(Vi ) E[Zi ] 2 1 − q(Vi ) var[Zi ]

i=1

und E[S  ] = var[S  ] =

n

q(Vi ) E[Zi ]

i=1 n


2 q(Vi ) var[Zi ]

i=1

sowie cov[S  , S  ] =

n
 1−q(Vi ) q(Vi ) var[Zi ] i=1

Besteht eine allgemeine Beziehung zwischen den Variationskoeffizienten von S  und S  und dem Variationskoeffizienten von S ? 8.1.C

Summenexzedenten–R¨ uckversicherung: Zeigen Sie, daß sich das individuelle Modell f¨ ur den Gesamtschaden auch dann auf den Erstversicherer und den R¨ uckversicherer u uckversicherers ¨bertr¨agt, wenn die Haftung des R¨ begrenzt ist.

8.2

Nichtproportionale Ru ¨ ckversicherung

In der nichtproportionalen R¨ uckversicherung haftet der R¨ uckversicherer bei jedem Schaden, dessen Schadenh¨ohe eine vertraglich vereinbarte Priorit¨at u ur die Differenz zwischen der Schadenh¨ohe und der Priorit¨at. ¨berschreitet, f¨ Die verschiedenen Formen der nichtproportionalen R¨ uckversicherung unterscheiden sich darin, ob mit einem Schaden ein Einzelschaden, ein Kumulschaden oder der Gesamtschaden eines Bestandes gemeint ist, und darin, ob die Priorit¨at eine reelle Zahl oder eine Zufallsvariable ist.

8.2 Nichtproportionale R¨ uckversicherung

191

Einzelschadenexzedenten–Ru ¨ ckversicherung Die wichtigste Form der nichtproportionalen R¨ uckversicherung ist die Einzelschadenexzedenten–R¨ uckversicherung. Sie besteht darin, daß zwischen Erstversicherer und R¨ uckversicherer eine Priorit¨at d ∈ (0, ∞) vereinbart wird und der R¨ uckversicherer bei jedem Einzelschaden, der die Priorit¨at u ur ¨bersteigt, f¨ die Differenz zwischen der Schadenh¨ohe und der Priorit¨at haftet. Bei der Einzelschadenexzedenten–R¨ uckversicherung ist der Gesamtschaden des Erstversicherers durch S  :=

N

min{Xj , d}

j=1

und der Gesamtschaden des R¨ uckversicherers durch S  :=

N

(Xj −d)+

j=1 0

definiert; dabei ist N ∈ L (N0 ) die Anzahl der Sch¨aden und Xj ∈ L0 (R+ ) die H¨ohe von Schaden j ∈ N . Wir betrachten nun das kollektive Modell N, {Xj }j∈N  . Wir bezeichnen die typische Schadenh¨ohe mit X und setzen η := P [{X > d}] Wir nehmen an, daß N, X ∈ L2 (R+ ) mit E[N ] > 0 und η ∈ (0, 1) gilt. Wegen Satz 3.3.6 liegt bei der Einzelschadenexzedenten–R¨ uckversicherung f¨ ur den Erstversicherer das kollektive Modell N, {min{Xj , d}}j∈N  und f¨ ur den R¨ uckversicherer das kollektive Modell N, {(Xj −d)+ }j∈N  vor. Wir ben¨otigen das folgende Lemma: 8.2.1 Lemma. Es gilt E[min{X, d} (X −d)+ ] = d E[(X −d)+ ] Aus dem Lemma erh¨alt man nun leicht eine Aussage u ¨ber die Varianzen des Gesamtschadens des Erstversicherers und des R¨ uckversicherers:

192

Kapitel 8. R¨ uckversicherung

8.2.2 Satz. Es gilt E[S  ] + E[S  ] = E[S] und var[S  ] + var[S  ] ≤ var[S] Beweis. Die erste Gleichung ist offensichtlich. Aus Lemma 8.2.1 folgt E[min{X, d} (X −d)+ ] = d E[(X −d)+ ] ≥ E[min{X, d}] E[(X −d)+ ] und damit cov[min{X, d}, (X −d)+ ] ≥ 0 . Daher gilt var[X] = var[min{X, d} + (X −d)+ ] ≥ var[min{X, d}] + var[(X −d)+ ] Außerdem gilt
E[X]

2




2 E[min{X, d}] + E[(X −d)+ ]
2
2 ≥ E[min{X, d}] + E[(X −d)+ ] =

Aus der Gleichung von Wald f¨ ur die Varianz des Gesamtschadens erhalten wir nun
2 var[S] = E[N ] var[X] + var[N ] E[X]
2 ≥ E[N ] var[min{X, d}] + var[N ] E[min{X, d}]
2 + E[N ] var[(X −d)+ ] + var[N ] E[(X −d)+ ] = var[S  ] + var[S  ] Damit ist der Satz bewiesen.

2

Aus dem letzten Satz l¨aßt sich nun leicht herleiten, wie sich f¨ ur den Erstversicherer und den R¨ uckversicherer eine Ver¨anderung der Priorit¨at auf den Erwartungswert und die Varianz des Gesamtschadens auswirkt: 8.2.3 Folgerung. (1) Der Erwartungswert und die Varianz des Gesamtschadens des Erstversicherers sind monoton wachsend in der Priorit¨at. (2) Der Erwartungswert und die Varianz des Gesamtschadens des R¨ uckversicherers sind monoton fallend in der Priorit¨at.

8.2 Nichtproportionale R¨ uckversicherung

193

Beweis. F¨ ur c, d ∈ (0, ∞) mit c ≤ d gilt 3 4 min{X, c} = min min{X, d}, c und (X −d)+ =




(X −c)+ − (d−c)

+

Die Behauptung folgt nun aus Satz 8.2.2.

2

Wir bestimmen nun die Variationskoeffizienten des Gesamtschadens des Erstversicherers und des R¨ uckversicherers. F¨ ur z ∈ R und k ∈ N setzen wir z +k := (z + )k . 8.2.4 Lemma. Es gilt E[(min{X, d})2 ] E[(X −d)+2 ] d ≤

2 ≤ 2 E[min{X, d}] E[min{X, d}] E[(X −d)+ ]

Beweis. Die erste Ungleichung ist wegen min{X, d} ≤ d offensichtlich. Zum Beweis der zweiten Ungleichung bemerken wir zun¨achst, daß wegen Satz 4.4.1 f¨ ur alle k ∈ N E[(X −d)+k χ{X>d} ] P [{X > d}] 1 E[(X −d)+k ] = η

E[(X −d)+k |{X > d}] =

gilt. Daraus folgt 0 ≤ var[(X −d)+ |{X > d}]


2 = E[(X −d)+2 |{X > d}] − E[(X −d)+ |{X > d}]

2 1 1 E[(X −d)+2 ] − E[(X −d)+ ] = η η

und damit E[(X −d)+2 ] 1 ≤
2 η E[(X −d)+ ]

194

Kapitel 8. R¨ uckversicherung

Aus der Ungleichung von Markov folgt η = P [{X > d}] ≤ P [{X ≥ d}] = P [{min{X, d} ≥ d}] ≤

E[min{X, d}] d

Mit dieser Absch¨atzung f¨ ur η ergibt sich die zweite Ungleichung. Mit Hilfe von Lemma 8.2.4 erhalten wir das folgende Ergebnis: 8.2.5 Satz. Es gilt v 2 [S  ] ≤ v 2 [S] ≤ v 2 [S  ] Beweis. Sei A B C D

:= := := :=

E[(min{X, d})2 ] E[min{X, d}] E[(X −d)+2 ] E[(X −d)+ ]

und γ :=

d B

Dann lautet die Ungleichung aus Lemma 8.2.4 C A ≤ γ ≤ B2 D2 und aus der Zerlegung X = min{X, d} + (X −d)+ ergibt sich E[X] = E[min{X, d}] + E[(X −d)+ ] = B+D und, mit Lemma 8.2.1, E[X 2 ] = E[(min{X, d})2 ] + 2 E[min{X, d} (X −d)+ ] + E[(X −d)+2 ] = E[(min{X, d})2 ] + 2 d E[(X −d)+ ] + E[(X −d)+2 ] = A + 2 γBD + C

2

8.2 Nichtproportionale R¨ uckversicherung

195

Daher erhalten wir einerseits E[X 2 ] = A + 2 γBD + C ≤ γB 2 + 2 γBD + C  C
2 ≤ B + 2BD + C 2 D 2 C
= B + D D2 2 E[(X −d)+2 ]
=
2 E[X] E[(X −d)+ ] und andererseits E[X 2 ] = A + 2 γBD + C ≥ A + 2 γBD + γD2  A
≥ A + 2 2BD + D2 B 2 A
= B + D B2 2 E[(min{X, d})2 ]
=
2 E[X] E[min{X, d}] Daher gilt E[(min{X, d})2 ] E[X 2 ] E[(X −d)+2 ] 2
2 ≤
2 ≤
E[min{X, d}] E[X] E[(X −d)+ ] und damit

v 2 [min{X, d}] ≤ v 2 [X] ≤ v 2 [(X −d)+ ]

Die Behauptung des Satzes folgt nun aus der Gleichung von Wald f¨ ur den Variationskoeffizienten des Gesamtschadens. 2 Aus dem letzten Satz l¨aßt sich nun leicht herleiten, wie sich f¨ ur den Erstversicherer und den R¨ uckversicherer eine Ver¨anderung der Priorit¨at auf den Variationskoeffizienten des Gesamtschadens auswirkt: 8.2.6 Folgerung. (1) Der Variationskoeffizient monoton wachsend in der (2) Der Variationskoeffizient monoton wachsend in der

des Gesamtschadens des Erstversicherers ist Priorit¨at. des Gesamtschadens des R¨ uckversicherers ist Priorit¨at.

Der Beweis der Folgerung verl¨auft analog zum Beweis von Folgerung 8.2.3.

196

Kapitel 8. R¨ uckversicherung

Der Vergleich der Ergebnisse von Folgerung 8.2.6 und Folgerung 8.2.3 zeigt, daß eine Ver¨anderung der Priorit¨at sich in gegens¨atzlicher Weise auf die Varianz und auf den Variationskoeffizienten des Gesamtschadens des R¨ uckversicherers auswirkt. F¨ ur den Vergleich von Einzelschaden–R¨ uckversicherungen mit unterschiedlichen Priorit¨aten bedeutet dies, daß der R¨ uckversicherer sorgf¨altig erw¨agen muß, ob er die Varianz oder den Variationskoeffizienten zum Vergleich heranziehen will. Neben der Verwendung dieser Streuungsmaße gibt es weitere M¨oglichkeiten zum Vergleich von Risiken; vgl. Kapitel 9. ur den Gesamtschaden des R¨ uckDas kollektive Modell N, {(Xj −d)+ }j∈N  f¨ versicherers hat einen gravierenden Nachteil: Der R¨ uckversicherer kann aus den ihm verf¨ ugbaren Daten weder die Verteilung der Schadenzahl N noch die ur die Verteilung Verteilung der typischen Schadenh¨ohe (X −d)+ sch¨atzen. F¨ der Schadenzahl ist dies offensichtlich, und f¨ ur die Verteilung der Schadenh¨ohe besteht das Problem darin, daß der R¨ uckversicherer die Wahrscheinlichkeit P [{(X −d)+ = 0}] = P [{X ≤ d}] = 1 − η nicht sch¨atzen kann. Es ist daher erstrebenswert, den Gesamtschaden des R¨ uckversicherers mit Hilfe eines anderen kollektiven Modells darzustellen, das so beschaffen ist, daß die Schadenzahl und die Schadenh¨ohen dieses kollektiven Modells f¨ ur den R¨ uckversicherer beobachtbar sind. Die Konstruktion eines derartigen kollektiven Modells f¨ ur den Gesamtschaden des R¨ uckversicherers verl¨auft analog zur Konstruktion des Binomial–Modells aus dem individuellen Modell f¨ ur einen homogenen Bestand; eine zus¨atzliche Schwierigkeit entsteht allerdings dadurch, daß das Ausgangsmodell hier ein kollektives Modell ist, in dem die Schadenzahl eine Zufallsvariable ist und nicht als konstant angenommen werden kann. Wir konstruieren das kollektive Modell des R¨ uckversicherers wie folgt: – Als erstes definieren wir die Schadenzahl des R¨ uckversicherers durch N  :=

N

χ{Xi >d}

i=1

–

Dann ist N  eine diskrete Zufallsvariable, die die Anzahl der Sch¨aden, die die Priorit¨at d u ¨berschreiten, angibt; wir bezeichnen solche Sch¨aden im folgenden als Großsch¨aden. Als n¨achstes ordnen wir jedem Großschaden die Nummer des Schadens, der diesem Großschaden zugrunde liegt, zu. Da es vom Zufall abh¨angt, ob ein Schaden ein Großschaden ist oder nicht, ist auch diese Nummer vom ur j ∈ N sei Zufall abh¨angig. Sei ν0 := 0 . F¨ νj := inf{i ∈ N | νj−1 < i , Xi > d}

8.2 Nichtproportionale R¨ uckversicherung

–

197

Dann ist νj eine diskrete Zufallsvariable mit Pνj = Geo(j, η) , die in der Numerierung aller Sch¨aden die zuf¨allige Nummer des j–ten Schadens, der ein Großschaden ist, angibt. Als letztes definieren wir die Schadenh¨ohen des R¨ uckversicherers: F¨ ur j ∈ N sei Xj :=

∞

χ{νj =i} (Xi −d)

i=1

Dann ist Xj eine diskrete Zufallsvariable mit P [{Xj > 0}] = 1 . Wir erhalten das folgende Ergebnis: 8.2.7 Satz. Das Paar N  , {Xj }j∈N  ist ein kollektives Modell und es gilt 

S



=

N

Xj

j=1

sowie P [{N  = k}] =

∞

P [{N = n}]

n=k

und

 n k η (1−η)n−k k

P [{X  = x}] = P [{X = d+x}|{X > d}]

Außerdem ist das Paar N, {χ{Xj >d} }j∈N  ein kollektives Modell und es gilt N  =

N

χ{Xj >d}

j=1

Beweis. Wir f¨ uhren den Beweis in mehreren Schritten. • Aufgrund von Satz 3.3.6 ist mit N, {Xj }j∈N  auch N, {χ{Xj >d} }j∈N  ein kollektives Modell. Daher stimmt die Schadenzahl N  =

N

χ{Xi >d}

i=1

mit dem Gesamtschaden des kollektiven Modells N, {χ{Xj >d} }j∈N  u ¨berein. F¨ ur die Verteilung der Schadenh¨ohe χ{X>d} in diesem kollektiven Modell gilt Pχ{X>d} = B(η) , und aus Lemma 7.1.3 ergibt sich nun " n # ∞ P [{N  = k}] = P [{N = n}] P χ{Xj >d} = k n=0

j=1

 n k = P [{N = n}] η (1−η)n−k k n=k ∞

Damit ist die Behauptung u ¨ber die Verteilung von N  bewiesen.

198

Kapitel 8. R¨ uckversicherung

• F¨ ur alle i ∈ N sei Zi := (Xi −d)+ Nach Satz 3.3.6 ist die Folge {Zi }i∈N unabh¨angig und identisch verteilt und es ur alle j ∈ N0 gilt {Zi }i∈N ⊆ L2 (R+ ) . Außerdem gilt f¨ νj = inf{i ∈ N | νj−1 < i , Xi > d} = inf{i ∈ N | νj−1 < i , Zi > 0} und Xj = =

∞ i=1 ∞

χ{νj =i} (Xi −d) χ{νj =i} Zi

i=1

Nach Satz 6.3.7 ist die Folge {Xj }j∈N unabh¨angig und identisch verteilt mit P [{X  = x}] = P [{Z = x}|{Z > 0}] = P [{(X −d)+ = x}|{(X −d)+ > 0}] = P [{X −d = x}|{X −d > 0}] Damit ist die Behauptung u ¨ber die Folge {Xj }j∈N bewiesen. • F¨ ur alle n ∈ N0 sei n N (n) := χ{Zi >0} i=1

und S(n) :=

n

Zi

i=1

Nach Satz 6.3.7 ist die Folge {Xj }j∈N f¨ ur alle n ∈ N unabh¨angig von N (n) , und nach Lemma 6.3.6 gilt f¨ ur alle n ∈ N N (n)

S(n) =



Xj

j=1

Wegen N (0) = 0 = S(0) sind beide Aussagen auch f¨ ur n = 0 g¨ ultig. • F¨ ur alle n ∈ N0 gilt χ{N =n} N  = χ{N =n} = χ{N =n}

N i=1 n

χ{Xi >d} χ{Zi >0}

i=1

= χ{N =n} N (n)

8.2 Nichtproportionale R¨ uckversicherung

199

und damit χ{N =n} S



= χ{N =n}

N

(Xi −d)+

i=1

= χ{N =n}

n

Zi

i=1

= χ{N =n} S(n) N (n)

= χ{N =n}



Xj

j=1 

= χ{N =n}

N

Xj

j=1

Damit ist die Gleichung f¨ ur S  bewiesen. • Es bleibt nur noch zu zeigen, daß die Folge {Xj }j∈N unabh¨angig von N  ist. Sei m, k ∈ N und x1 , . . . , xm ∈ R+ . Dann gilt, mit der Notation aus Abschnitt 6.3, f¨ ur alle n ∈ N0 {N (n) = k} =

n

 χ{Zi >0} = k

i=1

=

n i=1

=



 χ{Xi >d} = k 

{Xi > d} ∩

H∈H(k,n) i∈H



{Xj ≤ d}

j∈J(H)

und m 

{Xi = xi } =

i=1

=

m  H∈H(m) i=1 m  H∈H(m) i=1

m 

{Xi = xi } ∩

{νj = nj }

j=1

{Xni = xi } ∩

 j∈H

{Xj > d} ∩



{Xl ≤ d}

l∈J(H)

  Daher ist jedes der Ereignisse {N (n) = k} und m i=1 {Xi = xi } ∩ {N (n) = k} eine abz¨ahlbare disjunkte Vereinigung von endlichen Durchschnitten von Ereignissen der Form {Xi ∈ Bi } und damit unabh¨angig von {N = n} . Wegen {N = n} ∩ {N  = k} = {N = n} ∩ {N (n) = k}

200

Kapitel 8. R¨ uckversicherung

gilt f¨ ur alle n ∈ N0 m     P {Xi = xi } ∩ {N = k} ∩ {N = n} i=1

= P = P = P = P = P

m  i=1 m  i=1 m  i=1 m  i=1 m 

 {Xi

= xi } ∩ {N (n) = k} ∩ {N = n} 

{Xi

= xi } ∩ {N (n) = k} · P [{N = n}] 

{Xi

= xi } · P [{N (n) = k}] · P [{N = n}] 

{Xi = xi } · P [{N (n) = k} ∩ {N = n}]  {Xi

= xi } · P [{N  = k} ∩ {N = n}]

i=1

Summation u ¨ber n ∈ N0 ergibt  m  m      {Xi = xi } ∩ {N = k} = P {Xi = xi } · P [{N  = k}] P i=1

i=1

Daher ist die Folge {Xj }j∈N unabh¨angig von N  .

2

Satz 8.2.7 stellt sicher, daß bei der Einzelschadenexzedenten–R¨ uckversicherung die Schadenzahl des R¨ uckversicherers und die Folge der Schadenh¨ohen des R¨ uckversicherers immer dann ein kollektives Modell f¨ ur den Gesamtschaden des R¨ uckversicherers bilden, wenn die urspr¨ ungliche Schadenzahl und die urspr¨ ungliche Folge der Schadenh¨ohen ein kollektives Modell bilden. In diesem Fall verf¨ ugt auch der R¨ uckversicherer u ¨ber alle M¨oglichkeiten zur Berechnung oder Absch¨atzung der Verteilung des Gesamtschadens im kollektiven Modell, die wir in Kapitel 7 dargestellt haben. 8.2.8 Beispiel (Schadenzahl). (1) Im Fall PN = B(m, ϑ) gilt PN  = B(m, ϑη) . (2) Im Fall PN = P(α) gilt PN  = P(αη) . (3) Im Fall PN = NB(β, ϑ) gilt PN  = NB(β, ϑη/(1−ϑ+ϑη)) . Dies folgt aus Beispiel 7.1.8.

Wie in der Summenexzedenten–R¨ uckversicherung kann auch in der Einzelschadenexzedenten–R¨ uckversicherung mehr als ein R¨ uckversicherer beteiligt sein und die Haftung der einzelnen R¨ uckversicherer begrenzt werden.

8.2 Nichtproportionale R¨ uckversicherung

201

Im Fall von zwei R¨ uckversicherern haftet der erste R¨ uckversicherer bei allen Sch¨aden, deren Schadenh¨ohe die erste Priorit¨at d u ¨bersteigt, bis zum Betrag h f¨ ur die Differenz zwischen der Schadenh¨ohe und der Priorit¨at d , w¨ahrend der zweite R¨ uckversicherer bei allen Sch¨aden, deren Schadenh¨ohe die zweite Priorit¨at d + h u ur die Differenz zwischen der Schadenh¨ohe und ¨bersteigt, f¨ der Priorit¨at d + h . Das Intervall (d, d + h] wird als Haftstrecke oder auch als Layer des ersten R¨ uckversicherers bezeichnet. Der Gesamtschaden S  des uckversicherers und Erstversicherers sowie der Gesamtschaden S (1) des ersten R¨ uckversicherers ist dann durch der Gesamtschaden S (2) des zweiten R¨ S



:=

N

min{Xj , d}

j=1

S (1) :=

N

min{(Xj −d)+ , h}

j=1

S (2) :=

N


+ Xj − (d+h)

j=1

gegeben. Damit liegen f¨ ur den Erstversicherer und die beiden R¨ uckversicherer die kollektiven Modelle N, {min{Xj , d}}j∈N  N, {min{(Xj −d)+ , h}}j∈N  N, {(Xj − (d+h))+ }j∈N  vor. Es ist nun leicht, f¨ ur jeden der beiden R¨ uckversicherer ein kollektives Modell zu konstruieren, das so beschaffen ist, daß die Schadenzahl und die Schadenh¨ohen f¨ ur den jeweiligen R¨ uckversicherer beobachtbar sind und der Gesamtschaden in jedem dieser kollektiven Modelle mit dem Gesamtschaden des betreffenden R¨ uckversicherers u ¨bereinstimmt: Ausgehend vom kollektiven Modell N, {Xj }j∈N  und der Zerlegung
+ X = min{X, d+h} + X − (d+h) erh¨alt man aus Satz 8.2.7 zun¨achst das gew¨ unschte kollektive Modell f¨ ur den zweiten R¨ uckversicherer. Da mit N, {Xj }j∈N  auch N, {min{Xj , d+h}}j∈N  ein kollektives Modell ist, erh¨alt man nun mit der Zerlegung 3 4
+ min{X, d+h} = min min{X, d+h}, d + min{X, d+h} − d = min{X, d} + min{(X −d)+ , h} die gew¨ unschten kollektiven Modelle f¨ ur den Erstversicherer und f¨ ur den ersten R¨ uckversicherer.

202

Kapitel 8. R¨ uckversicherung

F¨ ur den soeben gef¨ uhrten Nachweis, daß die Schadenzahl und die Schadenh¨ohen des ersten R¨ uckversicherers auch im Fall einer begrenzten Haftung ein kollektives Modell bilden, ist es ohne Belang, ob der zweite R¨ uckversicherer tats¨achlich oder nur als gedankliches Konstrukt existiert; im letztgenannten Fall wird der theoretische Gesamtschaden des zweiten R¨ uckversicherers dem Gesamtschaden des Erstversicherers zugeschlagen.

Kumulschadenexzedenten–Ru ¨ ckversicherung Eine andere wichtige Form der nichtproportionalen R¨ uckversicherung ist die Kumulschadenexzedenten–R¨ uckversicherung. Sie besteht darin, daß zwischen Erstversicherer und R¨ uckversicherer eine Priorit¨at d ∈ (0, ∞) vereinbart wird und der R¨ uckversicherer bei jedem Kumulschaden, der die Priorit¨at u ¨bersteigt, f¨ ur die Differenz zwischen der Schadenh¨ohe und der Priorit¨at haftet. Dabei ist unter einem Kumulschaden die Summe der Schadenh¨ohen aller Sch¨aden zu verstehen, die durch dasselbe Schadenereignis, wie zum Beispiel Hagel oder Sturm in der Kraftfahrt–Kaskoversicherung, verursacht werden. Die Kumulschadenexzedenten–R¨ uckversicherung ist formal identisch mit der Einzelschadenexzedenten–R¨ uckversicherung; an die Stelle der Schadenh¨ohen der einzelnen Sch¨aden treten jedoch die Schadenh¨ohen der Kumulsch¨aden.

Jahresschadenexzedenten–Ru ¨ ckversicherung Eine weitere Form der nichtproportionalen R¨ uckversicherung ist die Jahresschadenexzedenten–R¨ uckversicherung. Sie besteht darin, daß zwischen Erstversicherer und R¨ uckversicherer eine Priorit¨at d ∈ (0, ∞) vereinbart wird und der R¨ uckversicherer f¨ ur die Differenz zwischen dem Gesamtschaden und der Priorit¨at haftet, wenn der Gesamtschaden die Priorit¨at u ¨bersteigt. Bei der Jahresschadenexzedenten–R¨ uckversicherung ist der Gesamtschaden des Erstversicherers durch S  := min{S, d} und der Gesamtschaden des R¨ uckversicherers durch S  := (S − d)+ definiert. Dabei ist es, wie bei der Quoten–R¨ uckversicherung, ohne Belang, ob das individuelle Modell oder das kollektive Modell zugrundegelegt wird. Die Jahresschadenexzedenten–R¨ uckversicherung entspricht formal der Einzelschadenexzedenten–R¨ uckversicherung mit P [{N = 1}] = 1 .

8.2 Nichtproportionale R¨ uckversicherung

203

Ecomor Ru ¨ ckversicherung Bei der Ecomor R¨ uckversicherung (exc´edent du coˆ ut moyen relatif) wird die Schadenh¨ohe des (m + 1)–gr¨oßten Schadens als zuf¨allige Priorit¨at betrachtet und der R¨ uckversicherer haftet bei den m gr¨oßten Sch¨aden f¨ ur die Differenz zwischen der Schadenh¨ohe und der Priorit¨at. Die formale Beschreibung der Ecomor R¨ uckversicherung ist kompliziert und mit den hier verf¨ ugbaren Hilfsmitteln nicht durchf¨ uhrbar.

Vergleich Der Unterschied zwischen der Einzelschadenexzedenten–R¨ uckversicherung, der Kumulschadenexzedenten–R¨ uckversicherung und der Jahresschadenexzedenten–R¨ uckversicherung besteht ausschließlich in der Interpretation der Schadenh¨ohe, die sich auf einzelne Sch¨aden, auf Kumulsch¨aden oder auf den Gesamtschaden bezieht; die Priorit¨at ist in allen F¨allen eine reelle Zahl. Die Ecomor R¨ uckversicherung unterscheidet sich von diesen Formen der R¨ uckversicherung darin, daß die Priorit¨at eine Zufallsvariable ist. Die Einzelschadenexzedenten–R¨ uckversicherung ist f¨ ur solche Versicherungszweige geeignet, in denen, wie in der Haftpflichtversicherung, sehr unterschiedliche Schadenh¨ohen auftreten k¨onnen. Dagegen ist die Kumulschadenexzedenten–R¨ uckversicherung dann angebracht, wenn, wie zum Beispiel Hagel oder Sturm in der Kraftfahrt–Kaskoversicherung, ein einzelnes Schadenereignis eine große Zahl von Sch¨aden verursachen kann. Das Anwendungsgebiet der Jahresschadenexzedenten–R¨ uckversicherung ist dem der Kumulschadenexzedenten– R¨ uckversicherung vergleichbar; es entf¨allt jedoch die Zuordnung der einzelnen Sch¨aden zu einem Schadenereignis, die vor allem bei sp¨at entdeckten Sch¨aden, wie zum Beispiel Sch¨aden durch Frost in einem Ferienhaus, kaum m¨oglich ist.

Aufgaben 8.2.A

Einzelschadenexzedenten–R¨ uckversicherung: Geben Sie Formeln f¨ ur cov[min{X, d}, (X −d)+ ] und cov[S  , S  ] an.

8.2.B

Einzelschadenexzedenten–R¨ uckversicherung: F¨ ur alle t ∈ [0, 1] gilt mN  (t) = mN (1−η+ηt) Insbesondere gilt E[N  ] = η E[N ] var[N  ] = η 2 var[N ] + η (1−η) E[N ] und damit v 2 [N  ] = v 2 [N ] +

1−η 1 η E[N ]

204

Kapitel 8. R¨ uckversicherung Insbesondere ist der Variationskoeffizient der Schadenzahl des R¨ uckversicherers monoton wachsend in der Priorit¨at.

8.2.C

Einzelschadenexzedenten–R¨ uckversicherung: Berechnen Sie f¨ ur alle n ∈ N0 die bedingte Verteilung PN  |{N =n} und zeigen Sie, daß cov[N  , N ] = η var[N ] gilt.

8.2.D

Einzelschadenexzedenten–R¨ uckversicherung: Sei X ∈ L2 (N0 ) und d ∈ N . Dann gilt f¨ ur alle t ∈ [0, 1] mX  (t) =

 1
m(X−d)+ (t) + η − 1 η

Insbesondere gilt E[X  ] = var[X  ] = und damit

1 E[(X −d)+ ] η

2 1 1−η
var[(X −d)+ ] − 2 E[(X −d)+ ] η η


 v 2 [X  ] = η v 2 [(X −d)+ ] + 1 − 1

8.2.E

Einzelschadenexzedenten–R¨ uckversicherung: Besitzt X eine geometrische Verteilung, so gilt PX  = PX .

8.2.F

Einzelschadenexzedenten–R¨ uckversicherung: Konstruieren Sie ein kollektives Modell f¨ ur den R¨ uckversicherer f¨ ur den Fall, daß seine Haftung begrenzt ist, und beweisen Sie ein Analogon zu Satz 8.2.7.

8.2.G

Jahresschadenexzedenten–R¨ uckversicherung: Sei S ∈ L2 (R+ ) . Dann gilt E[S  ] ≤ E[S] var[S  ] ≤ var[S] und

E[S  ] ≤ E[S] var[S  ] ≤ var[S]

sowie cov[S  , S  ]

=

E[(d−S  )] E[S  ]

Insbesondere gilt im Fall P [{S > d}] > 0 v 2 [S  ] ≤ v 2 [S] ≤ v 2 [S  ] Wie ver¨andern sich der Erwartungswert, die Varianz und der Variationskoeffizient des Gesamtschadens des Erstversicherers und des R¨ uckversicherers in Abh¨angigkeit von der Priorit¨at?

8.3 Bemerkungen

8.3

205

Bemerkungen

Neben den hier verwendeten Bezeichnungen f¨ ur die verschiedenen Formen der R¨ uckversicherung, die wir im Hinblick auf eine klare Abgrenzung und in Anlehnung an Liebwein [2000] gew¨ahlt haben, sind auch andere Bezeichnungen gebr¨auchlich (wenn nicht sogar gebr¨auchlicher). Insbesondere werden die Begriffe – Exzedent statt Summenexzedent, – Schadenexzedent statt Einzelschadenexzedent, und – Katastrophenschadenexzedent statt Kumulschadenexzedent verwendet. Dar¨ uber hinaus ist statt Jahresschadenexzedent der sch¨one Begriff Jahres¨ uberschadenexzedent weit verbreitet. Schließlich werden auch englische Bezeichnungen und ihre Abk¨ urzungen verwendet: deutsch Quote Summenexzedent Einzelschadenexzedent Kumulschadenexzedent Jahresschadenexzedent

englisch quota share surplus excess–of–loss per risk excess–of–loss per event stop–loss aggregate excess–of–loss

Abk¨ urzung Q/S XL Cat XL SL

Die verschiedenen Formen der R¨ uckversicherung k¨onnen auch dann angewendet werden, wenn ein R¨ uckversicherer sich bei einem anderen R¨ uckversicherer versichert; in diesem Fall spricht man von Retrozession. Bei der Summenexzedenten–R¨ uckversicherung und der Einzelschadenexzedenten–R¨ uckversicherung haben wir bereits die M¨oglichkeit der vertikalen Risikoteilung erw¨ahnt, bei der mehrere Haftstrecken je einem R¨ uckversicherer zugeordnet werden. Daneben gibt es die M¨oglichkeit der horizontalen Risikoteilung, bei der mehrere R¨ uckversicherer einen Anteil an derselben Haftstrecke u ¨bernehmen. In der Praxis ist es meist so, daß mehrere R¨ uckversicherer an einer oder mehreren der verschiedenen Haftstrecken beteiligt sind. Neben diesen Formen der Risikoteilung gibt es auch die Form der Mitversicherung, bei der ein großes Risiko direkt auf eine unter Umst¨anden große Zahl von Versicherungsunternehmen aufgeteilt wird. Die Mitversicherung spielt in der industriellen Feuerversicherung und in der Seeversicherung eine bedeutende Rolle. In der Praxis werden oft mehrere Formen der R¨ uckversicherung kombiniert. ¨ Ublich ist vor allem die Kombination einer Quoten– oder Summenexzedenten– R¨ uckversicherung mit einer Einzelschadenexzedenten– oder Kumulschadenexzedenten–R¨ uckversicherung. Das folgende Beispiel veranschaulicht, wie ein solches R¨ uckversicherungsprogramm funktioniert:

206

Kapitel 8. R¨ uckversicherung

8.3.1 Beispiel (R¨ uckversicherungsprogramm). Ein Erstversicherer verf¨ ugt u ¨ber einen inhomogenen Bestand von 200 Risiken mit einer Versicherungssumme von h¨ochstens 5 000 000 e. Der Erstversicherer schließt folgende R¨ uckversicherungsvertr¨age ab: – Eine Summenexzedenten–R¨ uckversicherung mit einem Maximum von 500 000e. – Eine Einzelschadenexzedenten–R¨ uckversicherung auf den Selbstbehalt in der Summenexzedenten–R¨ uckversicherung mit einer Priorit¨ at von 100 000 e. – Eine Kumulschadenexzedenten–R¨ uckversicherung auf den Selbstbehalt in der Einzelschadenexzedenten–R¨ uckversicherung mit einer Priorit¨ at von 250 000 e. – Eine Jahresschadenexzedenten–R¨ uckversicherung auf den Selbstbehalt in der Kumulschadenexzedenten–R¨ uckversicherung mit einer Priorit¨ at von 350 000 e. Im Laufe eines Jahres tritt bei 10 der 200 Risiken ein Schaden ein. Die folgende Tabelle enth¨alt f¨ ur jedes dieser Risiken, die wir mit i ∈ {1, . . . , 10} numerieren, die Versicherungssumme Vi und die individuelle Quote qi := q(Vi ) : i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Vi 250 000 400 000 500 000 625 000  1 000 000 1 250 000 2 000 000 2 500 000 4 000 000 5 000 000

1 − qi

qi

1.000 1.000 1.000 0.800 0.500 0.400 0.250 0.200 0.125 0.100

0.000 0.000 0.000 0.200 0.500 0.600 0.750 0.800 0.875 0.900

Die folgende Tabelle enth¨alt f¨ ur jedes Risiko i ∈ {1, . . . , 10} die Schadenh¨ ohe Zi sowie den Selbstbehalt Xi := (1−qi ) Zi des Erstversicherers und die Haftung qi Zi des Summenexzedenten–R¨ uckversicherers: i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

Zi

Xi

qi Zi

200 000 200 000 0  100 000 0 100 000 400 000 0 400 000 240 000 60 000 300 000 60 000 60 000 120 000 180 000 270 000 450 000 50 000 150 000 200 000   120 000 480 000 600 000   100 000 700 000 800 000   90 000 810 000 900 000      4 070 000 1 540 000 2 530 000

Daraus ergibt sich eine Haftung des Summenexzedenten–R¨ uckversicherers in H¨ ohe von 2 530 000 e.

8.3 Bemerkungen

207

Die folgende Tabelle enth¨alt f¨ ur jedes Risiko i ∈ {1, . . . , 10} den Selbstbehalt Yi := min{Xi , 100 000} des Erstversicherers und die Haftung (Xi − 100 000)+ des Einzelschadenexzedenten–R¨ uckversicherers: i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

Yi

(Xi − 100 000)+

200 000

100 000

100 000

100 000

400 000 240 000 60 000 180 000 50 000 120 000 100 000 90 000  1 540 000

100 000 100 000 60 000 100 000 50 000 100 000 100 000 90 000 900 000

100 000 0 300 000 140 000 0 80 000 0 20 000 0 0 640 000

Xi

Daraus ergibt sich eine Haftung des Einzelschadenexzedenten–R¨ uckversicherers in H¨ohe von 640 000 e. Die Sch¨aden der Risiken 1, 6, 10 sind Einzelsch¨aden, w¨ ahrend alle u aden ¨brigen Sch¨ einem einzigen Schadenereignis zuzuordnen sind. Die folgende Tabelle zeigt f¨ ur jedes Risiko i ∈ {1, . . . , 10} die Zuordnung des Selbstbehaltes aus der Einzelschadenexzedenten–R¨ uckversicherung zu den Schadenereignissen k ∈ {1, . . . , 4} : i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

Yi k=1  100 000 100 000 100 000 100 000 100 000 60 000 100 000 50 000 100 000 100 000 90 000 900 000 100 000

k=2

k=3

k=4

100 000 100 000 100 000 60 000 100 000 50 000 100 000 100 000 610 000

100 000

90 000 90 000

Die folgende Tabelle enth¨alt f¨ ur jedes Schadenereignis k ∈ {1, . . . , 4} die (kumulierte) Schadenh¨ohe Xk sowie den Selbstbehalt Yk := min{Xk , 250 000} des Erstversicherers uckversicherers: und die Haftung (Xk − 250 000)+ des Kumulschadenexzedenten–R¨ k Xk Yk (Xk − 250 000)+ 1 100 000 100 000 0 360 000 2 610 000 250 000 0 3 100 000 100 000 0 4 90 000 90 000  360 000 900 000 540 000

208

Kapitel 8. R¨ uckversicherung

Daraus ergibt sich eine Haftung des Kumulschadenexzedenten–R¨ uckversicherers in H¨ohe von 360 000 e. Aus dem Selbstbehalt in der Kumulschadenexzedenten–R¨ uckversicherung in H¨ ohe uckversicherung von 540 000 e und der Priorit¨at in der Jahresschadenexzedenten–R¨ uckin H¨ohe von 350 000 e ergibt sich eine Haftung des Jahresschadenexzedenten–R¨ versicherers in H¨ohe von 190 000 e. Der Gesamtschaden wird daher wie folgt aufgeteilt: Erstversicherer 350 000 e  Summenexzedenten–R¨ uckversicherer 2 530 000 e Einzelschadenexzedenten–R¨ uckversicherer 640 000 e Kumulschadenexzedenten–R¨ uckversicherer 360 000 e Jahresschadenexzedenten–R¨ uckversicherer 190 000 e Gesamtschaden 4 070 000 e Bei jeder der hier verwendeten Formen der R¨ uckversicherung k¨ onnen mehrere R¨ uckversicherer beteiligt sein, und jeder der R¨ uckversicherer kann an mehreren Formen der R¨ uckversicherung beteiligt sein. Aufgrund der Reichhaltigkeit des R¨ uckversicherungsprogramms wurde darauf verzichtet, die Haftung der R¨ uckversicherer zu begrenzen. Es ist lehrreich, die Rechnung auch f¨ ur den Fall durchf¨ uhren, daß die Haftung des R¨ uckversicherers – bei der Summenexzedenten–R¨ uckversicherung auf 7 Maxima, – bei der Einzelschadenexzedenten–R¨ uckversicherung auf 300 000 e, – bei der Kumulschadenexzedenten–R¨ uckversicherung auf 750 000 e, und – bei der Jahresschadenexzedenten–R¨ uckversicherung auf 800 000 e begrenzt ist.

Zur Einzelschadenexzedenten–R¨ uckversicherung sei noch darauf hingewiesen, daß die Konstruktion des kollektiven Modells f¨ ur den Gesamtschaden des R¨ uckversicherers auch dann durchgef¨ uhrt werden kann, wenn die Schadenzahl N durch einen Schadenzahl–Prozeß {Nt }t∈R+ ersetzt wird; vgl. Schmidt [1996]. F¨ ur weitere Einzelheiten zur R¨ uckversicherung verweisen wir auf Dienst [1988], Gerathewohl et al. [1976, 1979], Hess und Schmidt [2004], Liebwein [2000], Mack [1997], Pfeiffer [1999], Schmidt [2004], und Schradin [1998]. Ein Vertrag zwischen Erstversicherer und R¨ uckversicherer u ¨ber eine Quoten– oder Jahresschadenexzedenten–R¨ uckversicherung ist vergleichbar mit einem Vertrag zwischen Versicherungsnehmer und Erstversicherer, in dem ein prozentualer oder absoluter Selbstbehalt vereinbart ist. Prozentuale und absolute Selbstbehalte pro Jahr sind in der privaten Krankenversicherung verbreitet; in der Kraftfahrt–Kaskoversicherung sind dagegen absolute Selbstbehalte pro Schaden u ¨blich. Zur Bedeutung des Selbstbehaltes verweisen wir auf Sterk [1979].

Kapitel 9 Vergleich von Risiken Ob, zu welchen Bedingungen und zu welchem Preis ein Versicherungsvertrag zustande kommt, h¨angt von vielen Faktoren ab: Gesetzliche Bestimmungen, wie etwa die Pflicht zum Abschluß einer Kraftfahrt–Haftpflichtversicherung, schr¨anken die Vertragsfreiheit ein und der Wettbewerb begrenzt die H¨ohe der Pr¨amie. Versicherungsrecht und Versicherungsmarkt wirken zudem auf die Ausgestaltung der Bedingungen des Vertrages. Bei allen ¨außeren Restriktionen stellt sich f¨ ur jedes Versicherungsunternehmen die Aufgabe, ein ihm zur Zeichnung angebotenes Risiko mit anderen Risiken zu vergleichen. Der Vergleich von Risiken liefert Hinweise f¨ ur die Tarifierung und f¨ ur die Selektion von Risiken: Ein Risiko, das in einem bestimmten Sinn gef¨ahrlicher ist als ein anderes, erfordert eine h¨ohere Pr¨amie und sollte, wenn dies gesetzlich erlaubt ist, unter Umst¨anden nicht gezeichnet werden. Es erscheint sinnvoll, alle Risiken mit gleicher Verteilung als gleich gef¨ahrlich anzusehen und f¨ ur den Vergleich von Risiken ausschließlich ihre Verteilungen heranzuziehen. Dabei sind, im Hinblick auf das Problem der Großsch¨aden, vor allem die Wahrscheinlichkeiten daf¨ ur, daß die Risiken bestimmte Werte u ¨berschreiten, von Interesse. Mit Hilfe dieser Wahrscheinlichkeiten, die durch ¨ die Uberlebensfunktion dargestellt werden, lassen sich verschiedene Ordnungsrelationen f¨ ur Verteilungen von Risiken definieren. Die einfachste unter diesen Ordnungsrelationen ist die stochastische Ordnung, ¨ die auf dem direkten Vergleich der Uberlebensfunktionen beruht. Es stellt sich allerdings heraus, daß Risiken mit unterschiedlichen Verteilungen aber gleichen Erwartungswerten in der stochastischen Ordnung nicht vergleichbar sind. Daher ist es erforderlich, neben der stochastischen Ordnung auch andere Ordnungsrelationen zu betrachten. Ein Beispiel ist die stop–loss Ordnung, die schw¨acher ist als die stochastische Ordnung. Beide Ordnungsrelationen sind auch in der nichtproportionalen R¨ uckversicherung von Interesse.

210

Kapitel 9. Vergleich von Risiken

9.1

Die stochastische Ordnung

0 F¨ ur eine Zufallsvariable X ∈ L0 (N0 ) bezeichnen wir die Funktion SX : R → [0, 1] mit 0 (a) := P [{X > a}] SX

¨ als Uberlebensfunktion von X . 9.1.1 Lemma. Sei X ∈ L0 (N0 ) . (1) F¨ ur alle a ∈ (−∞, 0) gilt P [{X > a}] = 1 und f¨ ur alle a ∈ [n, n+1) mit n ∈ N0 gilt P [{X > a}] = P [{X > n}] ¨ Insbesondere ist die Uberlebensfunktion von X durch ihre Werte auf N0 bestimmt. ¨ (2) Die Verteilung von X ist durch die Uberlebensfunktion von X bestimmt. ur alle n ∈ N0 gilt Beweis. Wegen X ∈ L0 (N0 ) ist (1) ist klar. F¨ PX [{n}] = P [{X = n}] = P [{X > n − 1}] − P [{X > n}] 2

Damit ist auch (2) bewiesen.

Wir untersuchen in diesem Abschnitt eine Ordnungsrelation auf einer Familie von Verteilungen von Zufallsvariablen in L0 (N0 ) , die auf dem Vergleich ihrer ¨ Uberlebensfunktionen beruht. F¨ ur X, Y ∈ L0 (N0 ) schreiben wir PX ≤0 PY wenn f¨ ur alle a ∈ R P [{X > a}] ≤ P [{Y > a}] gilt. Nach Lemma 9.1.1 gilt PX ≤0 PY genau dann, wenn die Ungleichung P [{X > a}] ≤ P [{Y > a}] f¨ ur alle a ∈ N0 gilt.

9.1 Die stochastische Ordnung

211

Wir bezeichnen mit P 0 (N0 ) ur ein die Familie aller Verteilungen Q : B(R) → [0, 1] mit Q = PX f¨ X ∈ L0 (N0 ) . Dann ist ≤0 eine Relation auf P 0 (N0 ) . Diese Relation wird als stochastische Ordnung bezeichnet. Wir zeigen zun¨achst, daß die stochastische Ordnung ≤0 eine Ordnungsrelation ist: 9.1.2 Satz. Die Relation ≤0 ist eine Ordnungsrelation auf P 0 (N0 ) . Beweis. Die Relation ≤0 ist genau dann eine Ordnungsrelation, wenn sie reflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist. ur alle a ∈ R – F¨ ur X ∈ L0 (N0 ) gilt f¨ P [{X > a}] ≤ P [{X > a}] –

und damit PX ≤0 PX . Daher ist ≤0 reflexiv. ur alle a ∈ R F¨ ur X, Y, Z ∈ L0 (N0 ) mit PX ≤0 PY und PY ≤0 PZ gilt f¨ P [{X > a}] ≤ P [{Y > a}] ≤ P [{Z > a}]

–

und damit PX ≤0 PZ . Daher ist ≤0 transitiv. ur alle a ∈ R F¨ ur X, Y ∈ L0 (N0 ) mit PX ≤0 PY und PY ≤0 PX gilt f¨ P [{X > a}] ≤ P [{Y > a}] ≤ P [{X > a}] und damit P [{X > a}] = P [{Y > a}]

Aus Lemma 9.1.1 folgt nun PX = PY . Daher ist ≤0 antisymmetrisch. 2 Damit ist gezeigt, daß ≤0 eine Ordnungsrelation ist. 9.1.3 Beispiel (Binomial–Verteilung). Seien X, Y, Z Zufallsvariable mit PX PY PZ

= B(2, 12 ) = B(3, 13 ) = B(3, 12 )

Dann gilt k P [{X = k}] P [{X ≤ k}] P [{X > k}] 0 1/4 1/4 3/4 1 2/4 3/4 1/4 2 1/4 1 0 3 0 1 0

212

Kapitel 9. Vergleich von Risiken

sowie k P [{Y = k}] P [{Y ≤ k}] P [{Y > k}] 0 1 2 3

8/27 12/27 6/27 1/27

8/27 20/27 26/27 1

19/27 7/27 1/27 0

und k P [{Z = k}] P [{Z ≤ k}] P [{Z > k}] 0 1/8 1/8 7/8 1 3/8 4/8 4/8 2 3/8 7/8 1/8 3 1/8 1 0 Daher gilt PX ≤0 PZ und PY ≤0 PZ , aber es gilt weder PX ≤0 PY noch PY ≤0 PX .

Das Beispiel zeigt, daß die Verteilungen von je zwei Zufallsvariablen in der stochastischen Ordnung nicht notwendigerweise vergleichbar sind.

Vorzeichenwechsel Die Vergleichbarkeit von Verteilungen in der stochastischen Ordnung beruht ¨ ¨ auf den Uberlebensfunktionen der Verteilungen. Da die Uberlebensfunktion einer Verteilung oft nicht in geschlossener Form dargestellt werden kann, ist es von Interesse, u ugen, die f¨ ur die Vergleich¨ber einfachere Bedingungen zu verf¨ barkeit von Verteilungen in der stochastischen Ordnung hinreichend sind. 9.1.4 Satz (Vorzeichenwechsel). Seien X, Y ∈ L0 (N0 ) Zufallsvariable. Wenn es ein n0 ∈ N0 gibt mit " ≥ P [{Y = n}] falls n < n0 P [{X = n}] ≤ P [{Y = n}] falls n0 ≤ n dann gilt PX ≤0 PY . Beweis. F¨ ur alle a ∈ [n0 , ∞) gilt P [{X > a}] ≤ P [{Y > a}] F¨ ur alle a ∈ (−∞, n0 ) gilt P [{X ≤ a}] ≥ P [{Y ≤ a}] und damit ebenfalls P [{X > a}] ≤ P [{Y > a}]

9.1 Die stochastische Ordnung

213

Also gilt f¨ ur alle a ∈ R P [{X > a}] ≤ P [{Y > a}] Daher gilt PX ≤0 PY . Damit ist der Satz bewiesen.

2

F¨ ur eine Zufallsvariable X ∈ L0 (N0 ) bezeichnen wir die Funktion wX : N → R+ mit ⎧ ⎪ ⎨ P [{X = k}] falls P [{X = k−1}] = 0 P [{X = k−1}] wX (k) := ⎪ ⎩ 0 falls P [{X = k−1}] = 0 als Wachstumsfunktion von X . 9.1.5 Beispiel (Panjer–Klasse). Sei X eine Zufallsvariable. (1) Im Fall PX = B(m, ϑ) gilt wX (k) =

(m+1−k)+ ϑ k 1−ϑ

(2) Im Fall PX = P(α) gilt wX (k) =

α k

(3) Im Fall PX = NB(β, η) gilt wX (k) =

β−1+k η k

Die Behauptung folgt in allen drei F¨allen aus Lemma 7.2.1.

F¨ ur die Vergleichbarkeit von Verteilungen in der stochastischen Ordnung ist die Wachstumsfunktion vor allem dann von Interesse, wenn die Verteilungen, wie im Fall der Verteilungen der Panjer–Klasse, rekursiv berechnet werden k¨onnen: 9.1.6 Folgerung (Vorzeichenwechsel). Seien X, Y ∈ L0 (N0 ) Zufallsur alle variable und seien wX und wY ihre Wachstumsfunktionen. Wenn f¨ k∈N P [{X = k}] = wX (k) P [{X = k−1}] und P [{Y = k}] = wY (k) P [{Y = k−1}] sowie wX (k) ≤ wY (k) 0

gilt, dann gilt PX ≤ PY .

214

Kapitel 9. Vergleich von Risiken

Beweis. Wir zeigen, daß PX und PY die Bedingung von Satz 9.1.4 erf¨ ullen. 0 Im Fall PX = PY gilt PX ≤ PY . Wir nehmen nun an, daß PX = PY gilt. Dann gibt es ein kleinstes n0 ∈ N0 mit P [{X = n0 }] < P [{Y = n0 }] ur alle n ∈ N0 mit n < n0 Nach Wahl von n0 gilt f¨ P [{X = n}] ≥ P [{Y = n}] und f¨ ur alle n ∈ N0 mit n0 ≤ n gilt n 

P [{X = n}] = P [{X = n0 }] ≤ P [{Y = n0 }]

k=n0 +1 n 

wX (k) wY (k)

k=n0 +1

= P [{Y = n}] Die Behauptung folgt nun aus Satz 9.1.4.

2

Wir geben ein Beispiel f¨ ur die Anwendung von Folgerung 9.1.6: 9.1.7 Beispiel (Binomial–Verteilung). Seien X, Y, Z Zufallsvariable mit PX PY PZ

= B(2, 12 ) = B(3, 13 ) = B(3, 12 )

Nach Beispiel 9.1.5 gilt wX (k) = wY (k) = wZ (k) =

(3 − k)+ k (4 − k)+ 2k (4 − k)+ k

und damit wX (k) ≤ wZ (k) wY (k) ≤ wZ (k) ¨ Nach Folgerung 9.1.6 gilt daher PX ≤0 PZ und PY ≤0 PZ . Uber die Vergleichbarkeit von PX und PY in der stochastischen Ordnung liefert Folgerung 9.1.6 dagegen keine Aussage.

9.1 Die stochastische Ordnung

215

Momente Wir untersuchen nun den Zusammenhang zwischen der Vergleichbarkeit von Verteilungen in der stochastischen Ordnung und den ersten Momenten der betreffenden Zufallsvariablen. Wir bezeichnen mit M0 (N0 ) die Familie aller Funktionen f : N0 → R+ mit (∆f )(k) := f (k+1) − f (k) ≥ 0 f¨ ur alle k ∈ N0 . 9.1.8 Lemma. Sei X ∈ L0 (N0 ) . Dann gilt f¨ ur alle f ∈ M0 (N0 ) E[f (X)] = f (0) +

∞

(∆f )(k) P [{X > k}]

k=0

Insbesondere gilt E[X] =

∞

P [{X > k}]

k=0

Beweis. F¨ ur alle n ∈ N0 gilt f (n) = f (0) +

n−1

(∆f )(k)

k=0

Daraus folgt E[f (X)] = =

∞

f (n) P [{X = n}]

n=0  ∞

n−1

n=0

k=0

f (0) +

= f (0) + = f (0) +

∞ k=0 ∞

 (∆f )(k) P [{X = n}]

(∆f )(k)

∞

P [{X = n}]

n=k+1

(∆f )(k) P [{X > k}]

k=0

Damit ist die erste Gleichung gezeigt. F¨ ur die Funktion f : N0 → R+ mit f (k) := k gilt f (0) = 0 und (∆f )(k) = 1 , und damit f ∈ M0 (N0 ) . Daher folgt die zweite Gleichung aus der ersten. 2 Die stochastische Ordnung l¨aßt sich mit Hilfe der Familie M0 (N0 ) wie folgt charakterisieren:

216

Kapitel 9. Vergleich von Risiken

9.1.9 Satz. F¨ ur X, Y ∈ L0 (N0 ) sind folgende Aussagen ¨aquivalent: (a) Es gilt PX ≤0 PY . (b) F¨ ur alle f ∈ M0 (N0 ) gilt E[f (X)] ≤ E[f (Y )] . Beweis. Wir nehmen zun¨achst an, daß (a) gilt, und betrachten f ∈ M0 (N0 ) . Aus Lemma 9.1.8 folgt E[f (X)] = f (0) + ≤ f (0) +

∞ k=0 ∞

(∆f )(k) P [{X > k}] (∆f )(k) P [{Y > k}]

k=0

= E[f (Y )] Damit ist gezeigt, daß (b) aus (a) folgt. Wir nehmen nun an, daß (b) gilt. F¨ ur a ∈ R betrachten wir die Funktion ur jede f : N0 → R+ mit f (k) := χ(a,∞) (k) . Dann gilt f ∈ M0 (N0 ) , und f¨ Zufallsvariable U ∈ L0 (N0 ) gilt P [{U > a}] = E[χ{U >a} ] = E[χ(a,∞) (U )] = E[f (U )] Daher gilt P [{X > a}] = E[f (X)] ≤ E[f (Y )] = P [{Y > a}] Damit ist gezeigt, daß (a) aus (b) folgt.

2

Aus Lemma 9.1.8 ergibt sich eine wichtige Folgerung: 9.1.10 Folgerung. F¨ ur X, Y ∈ L0 (N0 ) mit PX ≤0 PY gilt E[X] ≤ E[Y ] F¨ ur die Vergleichbarkeit von Verteilungen in der stochastischen Ordnung ist also die Vergleichbarkeit der ersten Momente (im gleichen Sinn) notwendig. Andererseits folgt aus Satz 9.1.9, daß f¨ ur X, Y ∈ L0 (N0 ) die Eigenschaft E[X] ≤ E[Y ] wesentlich schw¨acher ist als die Eigenschaft PX ≤0 PY . Wir betrachten nun den Fall identischer erster Momente:

9.1 Die stochastische Ordnung

217

9.1.11 Folgerung. F¨ ur X, Y ∈ L1 (N0 ) mit PX ≤0 PY und E[X] = E[Y ] gilt PX = PY . Beweis. Nach Voraussetzung gilt f¨ ur alle k ∈ N0 P [{X > k}] ≤ P [{Y > k}] Aus Lemma 9.1.8 ergibt sich E[X] = ≤

∞ k=0 ∞

P [{X > k}] P [{Y > k}]

k=0

= E[Y ] Wegen E[X] = E[Y ] < ∞ gilt daher f¨ ur alle k ∈ N0 P [{X > k}] = P [{Y > k}] Daher gilt nicht nur PX ≤0 PY , sondern auch PY ≤0 PX . Die Behauptung folgt nun aus Satz 9.1.2. 2 Nach dem letzten Ergebnis sind die Verteilungen von Zufallsvariablen, deren erste Momente endlich und identisch sind, entweder identisch oder aber in der stochastischen Ordnung nicht vergleichbar. 9.1.12 Beispiel (Binomial–Verteilung). Seien X, Y Zufallsvariable mit PX PY

= B(2, 12 ) = B(3, 13 )

Dann gilt PX = PY und E[X] = 1 = E[Y ] . Daher gilt nach Folgerung 9.1.11 weder PX ≤0 PY noch PY ≤0 PX . 9.1.13 Beispiel (Panjer–Klasse). Seien X, Y, Z Zufallsvariable mit PX

= B(m, ϑ)

PY

= P(α)

PZ

= NB(β, η)

und E[X] = E[Y ] = E[Z] Daher sind PX , PY und PZ in der stochastischen Ordnung nicht vergleichbar.

F¨ ur den Vergleich der Verteilungen von Zufallsvariablen, deren Erwartungswerte endlich und identisch sind, wird daher eine andere Ordnungsrelation als die stochastische Ordnung ben¨otigt; wir kommen in Abschnitt 9.2 darauf zur¨ uck.

218

Kapitel 9. Vergleich von Risiken

Individuelles und kollektives Modell ¨ Wir betrachten nun die Ubertragung der stochastischen Ordnung von Schadenzahl und Schadenh¨ohe auf den Gesamtschaden im individuellen Modell f¨ ur einen homogenen Bestand und auf den Gesamtschaden im kollektiven Modell: 9.1.14 Lemma. Seien X, Y ∈ L0 (N0 ) Zufallsvariable mit PX ≤0 PY und sei Z ∈ L0 (N0 ) eine weitere Zufallsvariable derart, daß sowohl X und Z als auch Y und Z unabh¨angig sind. Dann gilt PX+Z ≤0 PY +Z . Beweis. Sei a ∈ R . F¨ ur jede Zufallsvariable U ∈ L0 (N0 ) , die unabh¨angig von Z ist, gilt P [{U + Z > a}] = = =

∞ k=0 ∞ k=0 ∞

P [{Z = k} ∩ {U > a − Z}] P [{Z = k} ∩ {U > a − k}] P [{Z = k}] P [{U > a − k}]

k=0

Daher gilt P [{X + Z > a}] = ≤

∞ k=0 ∞

P [{Z = k}] P [{X > a − k}] P [{Z = k}] P [{Y > a − k}]

k=0

= P [{Y + Z > a}] 2

Damit ist die Behauptung gezeigt.

Wir bezeichnen zwei individuelle Modelle {Xi }i∈{1,...,m} und {Yi }i∈{1,...,n} als unabh¨angig, wenn die Familie aller Zufallsvariablen dieser beiden Modelle unabh¨angig ist. 9.1.15 Satz (Individuelles Modell). Seien {Xi }i∈{1,...,m} und {Yi }i∈{1,...,n} unabh¨angige individuelle Modelle f¨ ur homogene Best¨ande mit X, Y ∈ L0 (N0 ) 0 sowie m ≤ n und PX ≤ PY . Sei S :=

m i=1

Dann gilt PS ≤0 PT .

Xi

und

T :=

n i=1

Yi

9.1 Die stochastische Ordnung

219

Beweis. Wir zeigen durch vollst¨andige Induktion, daß f¨ ur alle k ∈ {1, . . . , m} PX1 +X2 +···+Xk ≤0 PY1 +Y2 +···+Yk gilt: Nach Voraussetzung gilt PX1 ≤0 PY1 . F¨ ur k ∈ {1, . . . , m−1} gelte PX1 +X2 +···+Xk ≤0 PY1 +Y2 +···+Yk

 Wie im Beweis von Satz 3.3.7 zeigt man, daß sowohl ki=1 Xi und Xk+1 als k auch i=1 Yi und Xk+1 unabh¨angig sind. Aus Lemma 9.1.14 folgt nun PX1 +X2 +···+Xk +Xk+1 ≤0 PY1 +Y2 +···+Yk +Xk+1 Nach Voraussetzung gilt PXk+1 ≤0 PYk+1 und wie vorher zeigt man, daß auch k angig sind. Aus Lemma 9.1.14 folgt nun i=1 Yi und Yk+1 unabh¨ PY1 +Y2 +···+Yk +Xk+1 ≤0 PY1 +Y2 +···+Yk +Yk+1 Nach Satz 9.1.2 gilt daher PX1 +X2 +···+Xk +Xk+1 ≤0 PY1 +Y2 +···+Yk +Yk+1 Also gilt PX1 +X2 +···+Xm ≤0 PY1 +Y2 +···+Ym Daher gilt f¨ ur alle a ∈ R

"

P [{S > a}] = P ≤ P ≤ P

m

" i=1 m " i=1 n

# Xi > a # Yi > a # Yi > a

i=1

= P [{T > a}] Damit ist der Satz bewiesen.

2

Wenn also f¨ ur zwei unabh¨angige homogene Best¨ande sowohl die Gr¨oßen der Best¨ande als auch die typischen Schadenh¨ohen der jeweiligen individuellen Modelle in der stochastischen Ordnung (im gleichen Sinn) vergleichbar sind, dann gilt dies auch f¨ ur den Gesamtschaden. Der n¨achste Satz enth¨alt ein entsprechendes Ergebnis f¨ ur den Gesamtschaden im kollektiven Modell. Wir bezeichnen zwei kollektive Modelle M, {Xj }j∈N  und N, {Yj }j∈N  als unabh¨angig, wenn die Familie aller Zufallsvariablen dieser beiden Modelle unabh¨angig ist.

220

Kapitel 9. Vergleich von Risiken

9.1.16 Satz (Kollektives Modell). Seien M, {Xj }j∈N  und N, {Yj }j∈N  unabh¨angige kollektive Modelle mit X, Y ∈ L0 (N0 ) sowie PM ≤0 PN und PX ≤0 PY . Sei S :=

M

und

Xj

T :=

j=1

N

Yj

j=1

Dann gilt PS ≤0 PT . Beweis. F¨ ur a ∈ R betrachten wir die Funktion f : N0 → R+ mit " k # f (k) := P Yj > a j=1

Dann gilt f ∈ M0 (N0 ) , und mit Hilfe von Satz 9.1.15 und Satz 9.1.9 erhalten wir " M # P [{S > a}] = P Xj > a j=1

=

∞

"

P [{M = k}] P

k=0

≤ =

∞ k=0 ∞

" P [{M = k}] P

k

# Xj > a

j=1 k

# Yj > a

j=1

P [{M = k}] f (k)

k=0

= E[f (M )] ≤ E[f (N )] =

=

∞ k=0 ∞

P [{N = k}] f (k) " P [{N = k}] P

k=0

"

= P

N

#

k

# Yj > a

j=1

Yj > a

j=1

= P [{T > a}] Damit ist der Satz bewiesen.

2

9.2 Die stop–loss Ordnung

221

Wenn also f¨ ur zwei unabh¨angige Best¨ande sowohl die Schadenzahlen als auch die typischen Schadenh¨ohen der jeweiligen kollektiven Modelle in der stochastischen Ordnung (im gleichen Sinn) vergleichbar sind, dann gilt dies auch f¨ ur den Gesamtschaden.

Aufgaben 9.1.A

0 einer Zufallsvariablen ¨ ¨ Uberlebensfunktion: Die Uberlebensfunktion SX 0 X ∈ L (N0 ) ist monoton fallend und stetig von rechts, und es gilt 0 lim SX (x) = 1

x→−∞

und

0 lim SX (x) = 0

x→∞

9.1.B

F¨ ur X, Y ∈ L0 (N0 ) mit P [{X ≤ Y }] = 1 gilt PX ≤0 PY .

9.1.C

aquivalent: Seien X, Y ∈ L0 (N0 ) konstant. Dann sind folgende Aussagen ¨ (a) Es gilt P [{X ≤ Y }] = 1 . (b) Es gilt PX ≤0 PY .

9.1.D

Seien X, Y ∈ L0 (N0 ) Zufallsvariable mit

 3 1 P [{X = k} ∩ {Y = 3−k}] = k 8 f¨ ur alle k ∈ {0, 1, 2, 3} . Dann gilt PX ≤0 PY und P [{X ≤ Y }] = 1/2 < 1 sowie PY ≤0 PX und P [{Y ≤ X}] = 1/2 < 1 .

9.1.E

Panjer–Klasse: Seien N1 , N2 diskrete Zufallsvariable. (1) Im Fall PNi = B(mi , ϑ) gilt PN1 ≤0 PN2 genau dann, wenn m1 ≤ m2 gilt. (2) Im Fall PNi = P(αi ) gilt PN1 ≤0 PN2 genau dann, wenn α1 ≤ α2 gilt. (3) Im Fall PNi = NB(βi , η) gilt PN1 ≤0 PN2 genau dann, wenn β1 ≤ β2 gilt.

9.1.F

Individuelles Modell: Verallgemeinern Sie Satz 9.1.15 auf individuelle Modelle f¨ ur beliebige Best¨ande.

9.2

Die stop–loss Ordnung

1 F¨ ur eine Zufallsvariable X ∈ L1 (N0 ) bezeichnen wir die Funktion SX : R → R+ mit 1 (a) := E[(X −a)+ ] SX

¨ als integrierte Uberlebensfunktion. Diese Bezeichnung wird durch das folgende Lemma gerechtfertigt:

222

Kapitel 9. Vergleich von Risiken

9.2.1 Lemma. Sei X ∈ L1 (N0 ) . (1) F¨ ur alle a ∈ (−∞, 0) gilt E[(X −a)+ ] = E[X] − a und f¨ ur alle a ∈ [n, n+1) mit n ∈ N0 gilt E[(X −a)+ ] = (n+1−a) E[(X −n)+ ] + (a−n) E[(X −(n+1))+ ] ¨ Insbesondere ist die integrierte Uberlebensfunktion von X durch ihre Werte auf N0 bestimmt. (2) F¨ ur alle a ∈ R gilt  ∞ E[(X −a)+ ] = P [{X > z}] dz a

¨ (3) Die Verteilung von X ist durch die integrierte Uberlebensfunktion von X bestimmt. Beweis. F¨ ur a ∈ (−∞, 0) gilt E[(X −a)+ ] = E[X −a] = E[X] − a und f¨ ur a ∈ [n, n+1) mit n ∈ N0 gilt f¨ ur alle k ∈ N0 (k−a)+ = (n+1−a) (k−n)+ + (a−n) (k−(n+1))+ und damit E[(X −a)+ ] = (n+1−a) E[(X −n)+ ] + (a−n) E[(X −(n+1))+ ] Damit ist (1) gezeigt. Nach Lemma 9.1.8 gilt E[X] = = =

∞

P [{X > k}]

k=0 ∞  k+1 k=0 k ∞  k+1

P [{X > k}] dx P [{X > x}] dx

k k=0∞

=

P [{X > x}] dx 0

Wegen X ∈ L1 (N0 ) gilt f¨ ur alle n ∈ N0 auch (X −n)+ ∈ L1 (N0 ) , und aus der

9.2 Die stop–loss Ordnung

223

letzten Gleichung folgt nun E[(X −n)+ ] =



∞

0 ∞

=

P [{(X −n)+ > x}] dx P [{X > n+x}] dx

0 ∞ P [{X > z}] dz

= n

Aus dieser Gleichung folgt mit Lemma 9.1.1 und (1) f¨ ur alle a ∈ (−∞, 0) E[(X −a)+ ] = E[X] − a  ∞ = P [{X > z}] dz − a 0  ∞  0 = P [{X > z}] dz + P [{X > z}] dz a 0 ∞ P [{X > z}] dz = a

und f¨ ur alle a ∈ [n, n+1) mit n ∈ N0 ergibt sich E[(X −a)+ ] = (n+1−a) E[(X −n)+ ] + (a−n) E[(X −(n+1))+ ]  ∞  ∞ = (n+1−a) P [{X > z}] dz + (a−n) P [{X > z}] dz n n+1  ∞  n+1 P [{X > z}] dz + P [{X > z}] dz = (n+1−a) n n+1  n+1  ∞ = (n+1−a) P [{X > n}] dz + P [{X > z}] dz n n+1  ∞ P [{X > z}] dz = (n+1−a) P [{X > n}] + n+1  n+1  ∞ = P [{X > n}] dz + P [{X > z}] dz a n+1  n+1  ∞ = P [{X > z}] dz + P [{X > z}] dz n+1 a ∞ P [{X > z}] dz = a

Damit ist (2) gezeigt. Nach Lemma 9.1.1 und (2) gilt f¨ ur alle n ∈ N0  P [{X > n}] =

n+1

P [{X > n}] dz n

224

Kapitel 9. Vergleich von Risiken 

n+1

=

P [{X > z}] dz n∞

=

 P [{X > z}] dz −

n

∞

P [{X > z}] dz n+1

= E[(X −n)+ ] − E[(X −n−1)+ ] 2

Damit ist (3) gezeigt.

Wir untersuchen in diesem Abschnitt eine Ordnungsrelation auf einer Familie von Verteilungen von Zufallsvariablen in L1 (N0 ) , die auf dem Vergleich ihrer ¨ integrierten Uberlebensfunktionen beruht. F¨ ur X, Y ∈ L1 (N0 ) schreiben wir PX ≤1 PY wenn f¨ ur alle a ∈ R E[(X −a)+ ] ≤ E[(Y −a)+ ] gilt. Nach Lemma 9.2.1 gilt PX ≤1 PY genau dann, wenn die Ungleichung E[(X −a)+ ] ≤ E[(Y −a)+ ] f¨ ur alle a ∈ N0 gilt. Wir bezeichnen mit P 1 (N0 ) die Familie aller Verteilungen Q : B(R) → [0, 1] mit Q = PX f¨ ur ein X ∈ L1 (N0 ) . Dann ist ≤1 eine Relation auf P 1 (N0 ) . Diese Relation wird als stop–loss Ordnung bezeichnet. Wir zeigen zun¨achst, daß die stop–loss Ordnung ≤1 eine Ordnungsrelation ist: 9.2.2 Satz. Die Relation ≤1 ist eine Ordnungsrelation auf P 1 (N0 ) . Beweis. Wir zeigen, daß die Relation ≤1 reflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist. – F¨ ur X ∈ L1 (N0 ) und alle a ∈ R+ gilt E[(X −a)+ ] ≤ E[(X −a)+ ] und damit PX ≤1 PX . Daher ist ≤1 reflexiv.

9.2 Die stop–loss Ordnung –

225

F¨ ur X, Y, Z ∈ L1 (N0 ) mit PX ≤1 PY und PY ≤1 PZ gilt f¨ ur alle a ∈ R+ E[(X −a)+ ] ≤ E[(Y −a)+ ] ≤ E[(Z −a)+ ]

–

und damit PX ≤1 PZ . Daher ist ≤1 transitiv. ur alle a ∈ R+ F¨ ur X, Y ∈ L1 (N0 ) mit PX ≤1 PY und PY ≤1 PX gilt f¨ E[(X −a)+ ] ≤ E[(Y −a)+ ] ≤ E[(X −a)+ ] und damit E[(X −a)+ ] = E[(Y −a)+ ]

Aus Lemma 9.2.1 folgt nun PX = PY . Daher ist ≤1 antisymmetrisch. 2 Damit ist gezeigt, daß ≤1 eine Ordnungsrelation ist. Das folgende Lemma zeigt, daß die stop–loss Ordnung schw¨acher ist als die (auf P 1 (N0 ) eingeschr¨ankte) stochastische Ordnung: 9.2.3 Lemma. F¨ ur X, Y ∈ L1 (N0 ) mit PX ≤0 PY gilt PX ≤1 PY . Die Behauptung folgt aus Lemma 9.2.1. Wir werden sp¨ater sehen, daß es Zufallsvariable gibt, deren Verteilungen in der stochastischen Ordnung nicht vergleichbar, in der stop–loss Ordnung aber vergleichbar sind; vgl. Beispiel 9.2.6 und Beispiel 9.2.7.

Vorzeichenwechsel Die Vergleichbarkeit von Verteilungen in der stop–loss Ordnung beruht auf ¨ den integrierten Uberlebensfunktionen der Verteilungen. Da die integrierte ¨ Uberlebensfunktion einer Verteilung oft nicht in geschlossener Form dargestellt werden kann, ist es von Interesse, u ugen, die ¨ber einfachere Bedingungen zu verf¨ f¨ ur die Vergleichbarkeit von Verteilungen in der stop–loss Ordnung hinreichend sind. 9.2.4 Satz (Vorzeichenwechsel). Seien X, Y ∈ L1 (N0 ) Zufallsvariable mit E[X] ≤ E[Y ] . Wenn es n0 , n1 ∈ N0 gibt mit n0 ≤ n1 und ⎧ ⎪ ⎨ ≤ P [{Y = n}] falls n < n0 ≥ P [{Y = n}] falls n0 ≤ n < n1 P [{X = n}] ⎪ ⎩ ≤ P [{Y = n}] falls n1 ≤ n dann gilt PX ≤1 PY .

226

Kapitel 9. Vergleich von Risiken

Beweis. Nach Voraussetzung gibt es ein kleinstes n ∈ N0 mit n < n1 derart, daß f¨ ur alle z ∈ [n , ∞) P [{X > z}] ≤ P [{Y > z}] gilt. Nach Lemma 9.2.1 gilt daher f¨ ur alle a ∈ N0 ∩ [n , ∞)  ∞ P [{X > z}] dz E[(X −a)+ ] = a  ∞ ≤ P [{Y > z}] dz a

= E[(Y −a)+ ] –

Im Fall n < n0 gilt n = 0 , und damit E[(X −a)+ ] ≤ E[(Y −a)+ ]

–

f¨ ur alle a ∈ N0 . Daher gilt PX ≤1 PY . ur Im Fall n0 ≤ n gibt es ein kleinstes n ∈ N0 mit n < n0 derart, daß f¨ alle z ∈ [n , n ) P [{X > z}] ≥ P [{Y > z}] gilt; außerdem gilt f¨ ur alle z ∈ [0, n ) ⊆ [0, n0 ) P [{X ≤ z}] ≤ P [{Y ≤ z}] und damit ebenfalls P [{X > z}] ≥ P [{Y > z}] Also gilt f¨ ur alle z ∈ [0, n ) P [{X > z}] ≥ P [{Y > z}] Nach Lemma 9.2.1 gilt daher f¨ ur alle a ∈ N0 ∩ [0, n )  ∞ P [{X > z}] dz E[(X −a)+ ] = a  a = E[X] − P [{X > z}] dz  0a ≤ E[Y ] − P [{Y > z}] dz 0  ∞ P [{Y > z}] dz = a

= E[(Y −a)+ ]

9.2 Die stop–loss Ordnung

227

Also gilt f¨ ur alle a ∈ N0 E[(X −a)+ ] ≤ E[(Y −a)+ ] Daher gilt PX ≤1 PY . Damit ist der Satz bewiesen.

2

Die folgende Bedingung f¨ ur die Vergleichbarkeit zweier Verteilungen in der stop–loss Ordnung beruht auf dem Vergleich der Wachstumsfunktionen: 9.2.5 Folgerung (Vorzeichenwechsel). Seien X, Y ∈ L1 (N0 ) Zufallsvariable mit E[X] ≤ E[Y ] und seien wX und wY ihre Wachstumsfunktionen. Wenn f¨ ur alle k ∈ N P [{X = k}] = wX (k) P [{X = k−1}] und P [{Y = k}] = wY (k) P [{Y = k−1}] gilt und es ein k0 ∈ N0 gibt mit " wX (k)

≥ wY (k) falls k ≤ k0 ≤ wY (k) falls k0 < k

dann gilt PX ≤1 PY . ullen. Beweis. Wir zeigen, daß PX und PY die Bedingung von Satz 9.2.4 erf¨ 1 Im Fall PX = PY gilt PX ≤ PY . Wir nehmen nun an, daß PX = PY gilt. Dann gibt es ein kleinstes n0 ∈ N0 mit P [{X = n0 }] > P [{Y = n0 }] ur alle n ∈ N0 mit n < n0 Nach Wahl von n0 gilt f¨ P [{X = n}] ≤ P [{Y = n}] Wenn die Ungleichung P [{X = n}] ≥ P [{Y = n}] f¨ ur alle n ∈ N0 mit n0 ≤ n gilt, dann gilt nach Satz 9.1.4 PY ≤0 PX und aus Folgerung 9.1.6 ergibt sich E[Y ] ≤ E[X] ; wegen E[X] ≤ E[Y ] gilt dann aber E[X] = E[Y ] und aus Folgerung 9.1.11 ergibt sich nun PY = PX ; dies ist aber ein Widerspruch. Daher gibt es ein kleinstes n1 ∈ N mit n0 < n1 und P [{X = n1 }] < P [{Y = n1 }]

228

Kapitel 9. Vergleich von Risiken

Nach Wahl von n1 gilt f¨ ur alle n ∈ N mit n0 ≤ n < n1 P [{X = n}] ≥ P [{Y = n}] Im Fall k0 ≤ n0 gilt k0 < n1 , und im Fall n0 < k0 gilt f¨ ur alle n ∈ N0 mit n 0 < n ≤ k0 n 

P [{X = n}] = P [{X = n0 }] ≥ P [{Y = n0 }]

k=n0 +1 n 

wX (k) wY (k)

k=n0 +1

= P [{Y = n}] und damit ebenfalls k0 < n1 . Wegen k0 < n1 gilt f¨ ur alle n ∈ N mit n1 ≤ n n 

P [{X = n}] = P [{X = n1 }] ≤ P [{Y = n1 }]

k=n1 +1 n 

wX (k) wY (k)

k=n1 +1

= P [{Y = n}] Die Behauptung folgt nun aus Satz 9.2.4.

2

Wir geben zwei Beispiele f¨ ur die Anwendung von Folgerung 9.2.5: 9.2.6 Beispiel (Binomial–Verteilung). Seien X, Y, Z Zufallsvariable mit PX PY PZ

= B(2, 12 ) = B(3, 13 ) = B(3, 12 )

Nach Beispiel 9.1.3 und Beispiel 9.1.7 gilt PX ≤0 PZ und PY ≤0 PZ , und aus Lemma 9.2.3 folgt PX ≤1 PZ und PY ≤1 PZ . Aufgrund der Gleichheit der Erwartungswerte von X und Y sind nach Folgerung 9.1.11 die Verteilungen von X und Y in der stochastischen Ordnung nicht vergleichbar; vgl. Beispiel 9.1.3 und Beispiel 9.1.12. Andererseits gilt nach Beispiel 9.1.5 wX (k) = wY (k) = und damit

(3 − k)+ k (4 − k)+ 2k

wX (k) ≥ wY (k) falls k ≤ 2 wX (k) ≤ wY (k) falls k ≥ 2

Daher gilt PX

≤1

PY .

9.2 Die stop–loss Ordnung

229

9.2.7 Beispiel (Panjer–Klasse). Seien X, Y, Z Zufallsvariable mit PX

= B(m, ϑ)

PY

= P(α)

PZ

= NB(β, η)

und E[X] = E[Y ] = E[Z] Aufgrund der Gleichheit der Erwartungswerte sind diese Verteilungen nach Folgerung 9.1.11 in der stochastischen Ordnung nicht vergleichbar; vgl. Beispiel 9.1.13. Wir zeigen nun, daß sie in der stop–loss Ordnung vergleichbar sind: Zun¨ achst ergibt sich aus der Gleichheit der Erwartungswerte f¨ ur die Parameter die Beziehung mϑ = α = β

η 1−η

Daher gilt nach Beispiel 9.1.5

wX (k) = wY (k) = wZ (k) = und damit

α α+1−k ϑ + k k 1−ϑ

+

α k α α+1−k − η k k

wX (k) ≥ wY (k) falls k ≤ 1 + α wX (k) ≤ wY (k) falls k ≥ 1 + α

und

wY (k) ≥ wZ (k) falls k ≤ 1 + α wY (k) ≤ wZ (k) falls k ≥ 1 + α

Es gilt also PX

≤1 PY

≤1 PZ

Daher ist, bei gleichen Erwartungswerten, in der stop–loss Ordnung die Negativbinomial–Verteilung gef¨ahrlicher als die Poisson–Verteilung und die Poisson–Verteilung gef¨ahrlicher als die Binomial–Verteilung.

Momente Wir untersuchen nun den Zusammenhang zwischen der Vergleichbarkeit von Verteilungen in der stop–loss Ordnung und den ersten und zweiten Momenten der betreffenden Zufallsvariablen. Wir bezeichnen mit M1 (N0 )

230

Kapitel 9. Vergleich von Risiken

die Familie aller Funktionen f : N0 → R+ mit (∆f )(k) = f (k+1) − f (k) ≥ 0 und (∆2 f )(k) := (∆f )(k+1) − (∆f )(k) ≥ 0 f¨ ur alle k ∈ N0 . Dann gilt M1 (N0 ) ⊆ M0 (N0 ) . 9.2.8 Lemma. Sei X ∈ L1 (N0 ) . Dann gilt f¨ ur alle f ∈ M1 (N0 ) E[f (X)] = f (0) + (∆f )(0) E[X] +

∞

(∆2 f )(k) E[(X − (k+1))+ ]

k=0

Insbesondere gilt E[X 2 ] = E[X] + 2

∞

E[(X −k)+ ]

k=1

und E

* + ∞ X = E[(X −k)+ ] 2 k=1

Beweis. F¨ ur alle k ∈ N0 gilt (∆f )(k) − (∆f )(0) =

k−1

(∆2 f )(i)

i=0

Aus Lemma 9.1.8 ergibt sich daher f¨ ur alle n ∈ N0 f (n) = f (0) +

= f (0) +

= f (0) +

n−1

(∆f )(k)

k=0  n−1

(∆f )(0) +

k−1

 (∆2 f )(i)

k=0

i=0

n−1

n−2 n−1

(∆f )(0) +

k=0

= f (0) + n (∆f )(0) +

(∆2 f )(i)

i=0 k=i+1 n−2

(n − (i+1)) (∆2 f )(i)

i=0

= f (0) + n (∆f )(0) +

∞ i=0

(n − (i+1))+ (∆2 f )(i)

9.2 Die stop–loss Ordnung

231

Daraus folgt E[f (X)] = =

∞

f (n) P [{X = n}]

n=0  ∞

∞

n=0

i=0

f (0) + n (∆f )(0) +

= f (0) + (∆f )(0)

∞

 +

2

(n−(i+1)) (∆ f )(i) P [{X = n}]

n P [{X = n}]

n=0

+

∞

(∆2 f )(i)

∞

(n − (i+1))+ P [{X = n}]

n=0

i=0

= f (0) + (∆f )(0) E[X] +

∞

(∆2 f )(i) E[(X − (i+1))+ ]

i=0

Damit ist die erste Gleichung gezeigt. F¨ ur die Funktion f : N0 → R+ mit f (k) := k 2 gilt f (0) = 0 , f (1) = 1 und (∆2 f )(k) = 2 , und damit f ∈ M1 (N0 ) . Daher folgt die zweite Gleichung aus der ersten. Die dritte Gleichung ergibt sich unmittelbar aus der zweiten. 2 Die stop–loss Ordnung l¨aßt sich mit Hilfe der Familie M1 (N0 ) wie folgt charakterisieren: 9.2.9 Satz. F¨ ur X, Y ∈ L1 (N0 ) sind folgende Aussagen ¨aquivalent: (a) Es gilt PX ≤1 PY . (b) F¨ ur alle f ∈ M1 (N0 ) gilt E[f (X)] ≤ E[f (Y )] . Beweis. Wir nehmen zun¨achst an, daß (a) gilt, und betrachten f ∈ M1 (N0 ) . Aus Lemma 9.2.8 folgt E[f (X)] = f (0) + (∆f )(0) E[X] +

∞

(∆2 f )(k) E[(X − (k+1))+ ]

k=0

≤ f (0) + (∆f )(0) E[Y ] +

∞

(∆2 f )(k) E[(Y − (k+1))+ ]

k=0

= E[f (Y )] Damit ist gezeigt, daß (b) aus (a) folgt. Wir nehmen nun an, daß (b) gilt. F¨ ur a ∈ R betrachten wir die Funktion f : N0 → R+ mit f (k) := (k −a)+ . Dann gilt (k +1−a)+ − (k −a)+ ≥ 0 und (k+2−a)+ − 2 (k+1−a)+ + (k−a)+ ≥ 0 , und damit f ∈ M1 (N0 ) . Daher gilt E[(X −a)+ ] = E[f (X)]

232

Kapitel 9. Vergleich von Risiken ≤ E[f (Y )] = E[(Y −a)+ ] 2

Damit ist gezeigt, daß (a) aus (b) folgt. 9.2.10 Folgerung. F¨ ur X, Y ∈ L1 (N0 ) mit PX ≤1 PY gilt E[X] ≤ E[Y ] und sowie

E[X 2 ] ≤ E[Y 2 ] * + * + X Y E ≤ E 2 2

F¨ ur die Vergleichbarkeit von Verteilungen in der stop–loss Ordnung ist also die Vergleichbarkeit der ersten und zweiten Momente (im gleichen Sinn) notwendig. Andererseits folgt aus Satz 9.2.9, daß f¨ ur Zufallsvariable X, Y ∈ L1 (N0 ) 2 die Eigenschaft E[X] ≤ E[Y ] und E[X ] ≤ E[Y 2 ] wesentlich schw¨acher ist als die Eigenschaft PX ≤1 PY . 9.2.11 Folgerung. F¨ ur X, Y ∈ L1 (N0 ) mit PX ≤1 PY und E[X] = E[Y ] gilt var[X] ≤ var[Y ] Wie betrachten nun den Fall identischer zweiter Momente: 9.2.12 Folgerung. F¨ ur X, Y ∈ L2 (N0 ) mit PX ≤1 PY und E[X 2 ] = E[Y 2 ] gilt PX = PY . Beweis. Nach Voraussetzung gilt f¨ ur alle k ∈ N0 E[(X −k)+ ] ≤ E[(Y −k)+ ] Aus Lemma 9.2.8 ergibt sich E[X 2 ] = E[X] + 2

∞

E[(X −k)+ ]

k=1

≤ E[Y ] + 2

∞

E[(Y −k)+ ]

k=1

= E[Y 2 ] Wegen E[X 2 ] = E[Y 2 ] < ∞ gilt daher f¨ ur alle k ∈ N0 E[(X −k)+ ] = E[(Y −k)+ ] Daher gilt nicht nur PX ≤1 PY , sondern auch PY ≤1 PX . Die Behauptung folgt nun aus Satz 9.2.2. 2

9.2 Die stop–loss Ordnung

233

Nach dem letzten Ergebnis sind die Verteilungen von Zufallsvariablen, deren zweite Momente endlich und identisch sind, entweder identisch oder aber in der stop–loss Ordnung nicht vergleichbar. 9.2.13 Folgerung. F¨ ur X, Y ∈ L2 (N0 ) mit PX ≤1 PY sowie E[X] = E[Y ] und var[X] = var[Y ] gilt PX = PY .

Individuelles und kollektives Modell ¨ Wir betrachten nun die Ubertragung der stop–loss Ordnung von Schadenzahl und Schadenh¨ohe auf den Gesamtschaden im individuellen Modell f¨ ur einen homogenen Bestand und auf den Gesamtschaden im kollektiven Modell. 9.2.14 Lemma. Seien X, Y ∈ L1 (N0 ) Zufallsvariable mit PX ≤1 PY und sei Z ∈ L1 (N0 ) eine weitere Zufallsvariable derart, daß sowohl X und Z als auch Y und Z unabh¨angig sind. Dann gilt PX+Z ≤1 PY +Z . Beweis. Sei a ∈ R . F¨ ur jede Zufallsvariable U ∈ L1 (N0 ) , die unabh¨angig von Z ist, gilt
+ !
+ ! = E U − (a−Z) E U +Z −a  ∞
+ = E χ{Z=k} U − (a−k) k=0

=

∞




P [{Z = k}] E

+ ! U − (a−k)

k=0

Daher gilt
E

∞ + !
+ ! X +Z −a = P [{Z = k}] E X − (a−k) k=0

≤

∞ k=0


P [{Z = k}] E




= E

+ ! Y − (a−k)

+ ! Y +Z −a 2

Damit ist die Behauptung gezeigt.

9.2.15 Satz (Individuelles Modell). Seien {Xi }i∈{1,...,m} und {Yi }i∈{1,...,n} unabh¨angige individuelle Modelle f¨ ur homogene Best¨ande mit X, Y ∈ L1 (N0 ) 1 sowie m ≤ n und PX ≤ PY . Sei m n S := Xi und T := Yi i=1 1

Dann gilt PS ≤ PT .

i=1

234

Kapitel 9. Vergleich von Risiken

Beweis. Aus Lemma 9.2.14 ergibt sich wie im Beweis von Satz 9.1.15 PX1 +X2 +···+Xm ≤1 PY1 +Y2 +···+Ym Daher gilt f¨ ur alle a ∈ R  +

E[(S − a) ] = E  ≤ E  ≤ E

m

+  Xi − a

i=1 m

+  Yi − a

i=1 n

+  Yi − a

i=1

= E[(T − a)+ ] 2

Damit ist der Satz bewiesen.

Wenn also f¨ ur zwei unabh¨angige homogene Best¨ande sowohl die Gr¨oßen der Best¨ande als auch die typischen Schadenh¨ohen der jeweiligen individuellen Modelle in der stop–loss Ordnung (im gleichen Sinn) vergleichbar sind, dann gilt dies auch f¨ ur den Gesamtschaden. Ein entsprechendes Ergebnis gilt f¨ ur das kollektive Modell: 9.2.16 Satz (Kollektives Modell). Seien M, {Xj }j∈N  und N, {Yj }j∈N  unabh¨angige kollektive Modelle mit M, N, X, Y ∈ L1 (N0 ) sowie PM ≤1 PN und PX ≤1 PY . Sei S :=

M

und

Xj

T :=

j=1

N

Yj

j=1

Dann gilt PS ≤1 PT . Beweis. F¨ ur a ∈ R betrachten wir die Funktion f : N0 → R+ mit  f (k) := E

k

+  Yj − a

j=1

Dann gilt (∆f )(k) ≥ 0

9.2 Die stop–loss Ordnung

235

und aus der Annahme, daß die Folge {Yj }j∈N unabh¨angig und identisch verteilt ist, und der Ungleichung (s+y+z−a)+ − (s+y−a)+ − (s+z−a)+ + (s−a)+ ≥ 0 f¨ ur s, y, z ∈ R+ erhalten wir  k+2 +  +  +   k+1  k (∆2 f )(k) = E Yj − a Yj − a Yj − a − 2E +E  = E

j=1 k

j=1

+

Yj + Yk+1 + Yk+2 − a

j=1

−

 k

+ Yj + Yk+2 − a

 +

j=1

−

 k j=1

k

j=1

+

Yj + Yk+1 − a + 

Yj − a

j=1

≥ 0 Also gilt f ∈ M1 (N0 ) . Mit Hilfe von Satz 9.2.15 und Satz 9.2.9 erhalten wir nun  M +  + Xj − a E[(S −a) ] = E j=1

=

∞



P [{M = k}] E

k=0

≤ =

∞ k=0 ∞

 P [{M = k}] E

k

+  Xj − a

j=1 k

+  Yj − a

j=1

P [{M = k}] f (k)

k=0

= E[f (M )] ≤ E[f (N )] =

∞

P [{N = k}] f (k)

k=0

=

∞

 P [{N = k}] E

k=0



= E

N

+ 

k

+  Yj − a

j=1

Yj − a

j=1

= E[(T −a)+ ] Damit ist der Satz bewiesen.

2

236

Kapitel 9. Vergleich von Risiken

Wenn also f¨ ur zwei unabh¨angige Best¨ande sowohl die Schadenzahlen als auch die typischen Schadenh¨ohen der jeweiligen kollektiven Modelle in der stop– loss Ordnung (im gleichen Sinn) vergleichbar sind, dann gilt dies auch f¨ ur den Gesamtschaden.

Aufgaben 9.2.A

F¨ ur X ∈ L1 (N0 ) gilt 1 E[X 2 ] = 2 und

1 var[X] = 2

 0

 0

∞

E[(X −x)+ ] dx

∞


 E[(X −x)+ ] − (E[X]−x)+ dx

Hinweis: Lemma 9.2.1. 9.2.B

F¨ ur X, Y ∈ L2 (N0 ) mit PX ≤1 PY sowie E[X] = E[Y ] und * + * + X Y E = E 2 2 gilt PX = PY .

9.2.C

Individuelles Modell: Verallgemeinern Sie Satz 9.2.15 auf individuelle Modelle f¨ ur beliebige Best¨ande.

9.3

Bemerkungen

Sowohl die stochastische Ordnung als auch die stop–loss Ordnung ist in der nichtproportionalen R¨ uckversicherung von Bedeutung, denn beide Ordnungsrelationen gestatten den Vergleich von Risiken unabh¨angig von der zwischen Erstversicherer und R¨ uckversicherer zu vereinbarenden Priorit¨at; sie k¨onnen daher auch als Kriterium bei der Wahl eines Pr¨amienprinzips durch den R¨ uckversicherer herangezogen werden; vgl. Kapitel 10. Die stochastische Ordnung und die stop–loss Ordnung lassen sich als spezielle Vertreter einer Familie von Ordnungsrelationen auffassen: ur X, Y ∈ Lk (N0 ) schreiben wir Sei k ∈ N0 . F¨ PX ≤k PY wenn f¨ ur alle a ∈ R E[(X −a)+k ] ≤ E[(Y −a)+k ]

9.3 Bemerkungen

237

gilt; dabei verwenden wir die Notation z +k := (z + )k und setzen 00 := 0 . Wir bezeichnen mit P k (N0 ) ur ein die Familie aller Verteilungen Q : B(R) → [0, 1] mit Q = PX f¨ X ∈ Lk (N0 ) . Dann ist ≤k eine Relation auf P k (N0 ) . Diese Relation wird als stop–loss Ordnung vom Grad k bezeichnet. – Wegen 00 := 0 gilt E[(X −a)+0 ] = E[χ{X>a} ] = P [{X > a}] Daher stimmt die stop–loss Ordnung vom Grad 0 mit der stochastischen Ordnung u ¨berein. – Die stop–loss Ordnung vom Grad 1 stimmt mit der stop–loss Ordnung u ¨berein. Die Grundlage f¨ ur die Untersuchung der stop–loss Ordnung vom Grad k mit k ≥ 2 bildet die Gleichung  ∞ 1 +k E[(X −a) ] = E[(X −x)+(k−1) ] dx k a Es l¨aßt sich zeigen, daß die stop–loss Ordnung vom Grad k auch f¨ ur k ≥ 2 eine Ordnungsrelation ist und a¨hnliche Eigenschaften besitzt wie die stochastische Ordnung und die stop–loss Ordnung; insbesondere ist die stop–loss Ordnung vom Grad k + 1 schw¨acher als die (auf P k+1 (N0 ) eingeschr¨ankte) stop–loss Ordnung vom Grad k . Es gibt zahlreiche weitere M¨oglichkeiten zum Vergleich von Risiken, von denen wir hier nur ein allgemeines Prinzip erw¨ahnen, das bereits in den in Satz 9.1.9 und Satz 9.2.9 angegebenen Charakterisierungen der stochastischen Ordnung und der stop–loss Ordnung durch Funktionen N0 → R+ angedeutet ist: Sei Φ eine Familie von Funktionen ϕ : N0 → R+ . Wir bezeichnen mit LΦ (N0 ) ur alle ϕ ∈ Φ . die Familie aller Zufallsvariablen X ∈ L0 (N0 ) mit E|ϕ(X)| < ∞ f¨ F¨ ur X, Y ∈ LΦ (N0 ) schreiben wir PX ≤Φ PY wenn f¨ ur alle ϕ ∈ Φ E[ϕ(X)] ≤ E[ϕ(Y )]

238

Kapitel 9. Vergleich von Risiken

gilt. Wir bezeichnen mit P Φ (N0 ) ur ein die Familie aller Verteilungen Q : B(R) → [0, 1] mit Q = PX f¨ X ∈ LΦ (N0 ) . Dann ist ≤Φ eine Relation auf P Φ (N0 ) , die offensichtlich reflexiv und transitiv ist; ob die Relation ≤Φ auch antisymmetrisch ist, h¨angt dagegen von der Reichhaltigkeit der Familie Φ ab: – Besteht Φ nur aus der Funktion ϕ : N0 → R+ mit ϕ(k) := k , so ist die Relation ≤Φ nicht antisymmetrisch, denn aus E[X] = E[Y ] folgt nicht PX = PY . – Besteht Φ aus allen Funktionen ϕ : N0 → R+ mit ϕ(k) := (k−a)+k , wobei k ∈ N0 fest und a ∈ R beliebig ist, so stimmt die Relation ≤Φ mit der stop–loss Ordnung vom Grad k u ¨berein und ist daher antisymmetrisch. In den F¨allen, in denen ≤Φ eine Ordnungsrelation ist, wird ≤Φ als integralinduzierte Ordnung bez¨ uglich Φ bezeichnet. Es ist klar, daß jede Relation, die f¨ ur den Vergleich von Risiken herangezogen wird, zumindest reflexiv und transitiv sein sollte; dar¨ uber hinaus sollte sie auch antisymmetrisch sein, denn diese Eigenschaft gew¨ahrleistet, daß nur solche Risiken als gleich gef¨ahrlich angesehen werden, deren Verteilungen identisch sind. Damit kommen nur Ordnungsrelationen f¨ ur den Vergleich von Risiken in Frage. Die Literatur zum Vergleich von Risiken ist umfangreich. Wir verweisen auf M¨ uller und Stoyan [2002], Shaked und Shanthikumar [1994] und, im Hinblick auf Anwendungen in der Versicherungsmathematik, auf Goovaerts et al. [1990]. Die Bedeutung der Wachstumsfunktion wurde von Hesselager [1995] hervorgehoben.

Kapitel 10 Kalkulation von Pr¨ amien Die Kalkulation von Pr¨amien ist ein zentraler Gegenstand der Versicherungsmathematik: Nur ausreichende Pr¨amien gew¨ahrleisten, daß ein Versicherungsunternehmen sein Leistungsversprechen gegen¨ uber den Versicherungsnehmern mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit einl¨osen kann. Wenn im folgenden von einer Pr¨amie die Rede ist, so ist stets die Risikopr¨amie gemeint, die aus der Nettopr¨amie und einem Sicherheitszuschlag zusammengesetzt ist. Von der Risikopr¨amie zu unterscheiden ist die Bruttopr¨amie, die aus der Risikopr¨amie durch einen Zuschlag f¨ ur Betriebskosten und Gewinn und einen Abschlag f¨ ur Ertr¨age aus Kapitalanlagen gebildet wird. In der Lebensversicherung ergibt sich die Risikopr¨amie durch die Verwendung von finanzmathematischen und biometrischen Rechnungsgrundlagen, die ein Risiko als gef¨ahrlicher erscheinen lassen als es tats¨achlich ist; vgl. Kapitel 5. In der Schadenversicherung hingegen sind biometrische und finanzmathematische Rechnungsgrundlagen f¨ ur die Bestimmung der Risikopr¨amie nur dann von Bedeutung, wenn Personensch¨aden versichert sind. Die M¨oglichkeiten zur Bestimmung von Pr¨amien in der Schadenversicherung sind vielf¨altig. Wir betrachten hier nur eine dieser M¨oglichkeiten, n¨amlich die Verwendung von Pr¨amienprinzipien. Die Verwendung eines Pr¨amienprinzips stellt sicher, daß jedem Risiko eines Bestandes auf die gleiche Art und Weise eine Pr¨amie zugeordnet wird, die nur von der Verteilung der Schadenh¨ohe des Risikos abh¨angt und die mindestens so groß ist wie die Nettopr¨amie. Pr¨amienprinzipien sind nicht nur auf die Schadenh¨ohe eines einzelnen Risikos, sondern auch auf den Gesamtschaden eines Bestandes von Risiken anwendbar; diese zweite Anwendung ist sogar wichtiger als die erste, da ein Versicherungsunternehmen in erster Linie an einer ausreichenden Pr¨amie f¨ ur einen Bestand und erst in zweiter Linie an einer sinnvollen Aufteilung der Pr¨amie auf die einzelnen Risiken des Bestandes interessiert ist. Aus Gr¨ unden der Vereinfachung sprechen wir im folgenden vorwiegend von Risiken und ihren Schadenh¨ohen; dar¨ uber hinaus werden wir Risiken und ihre Schadenh¨ohen oft identifizieren.

240

10.1

Kapitel 10. Kalkulation von Pr¨ amien

Pr¨ amienprinzipien

Eine Abbildung H : LH → R+ mit LH ⊆ L1 (R+ ) heißt Pr¨amienprinzip, wenn sie folgende Bedingungen erf¨ ullt: (i) F¨ ur alle X, Y ∈ LH mit PX = PY gilt H[X] = H[Y ] . (ii) F¨ ur alle X ∈ LH gilt E[X] ≤ H[X] . (iii) F¨ ur alle X ∈ LH gilt P [{X > H[X]}] > 0 . Diese Bedingungen bedeuten: – F¨ ur Risiken, deren Schadenh¨ohen dieselbe Verteilung besitzen, wird dieselbe Pr¨amie festgesetzt. – F¨ ur jedes Risiko ist die Pr¨amie mindestens so groß wie die Nettopr¨amie E[X] ; es wird also ein positiver Sicherheitszuschlag H[X]−E[X] erhoben. Diese Forderung ist sinnvoll im Hinblick auf Satz 6.2.7. – F¨ ur jedes Risiko u ¨bersteigt die Schadenh¨ohe mit strikt positiver Wahrscheinlichkeit die Pr¨amie; der Versicherer kann also nicht einen sicheren Gewinn erzielen. Diese Bedingung wird auch als no–arbitrage Bedingung bezeichnet. Wir bezeichnen die Klasse LH als die Klasse der unter dem Pr¨amienprinzip H versicherbaren Risiken. 10.1.1 Satz. Ein konstantes Risiko ist unter keinem Pr¨amienprinzip versicherbar. Beweis. Sei X ∈ L0 (R+ ) konstant und sei H : LH → R+ ein Pr¨amienprinzip. Dann gilt X ∈ L1 (R+ ) und P [{X = E[X]}] = 1 , und damit 3 4! 3 4! P X > H[X] = P E[X] > H[X] In diesem Fall k¨onnen aber nicht beide der Bedingungen P [{X > H[X]}] > 0 2 und E[X] ≤ H[X] erf¨ ullt sein; es gilt also X ∈ / LH . 10.1.2 Folgerung. F¨ ur die Schadenh¨ohe X eines unter einem beliebigen Pr¨amienprinzip versicherbaren Risikos gilt E[X] > 0 und var[X] > 0 . Beweis. Sei H : LH → R+ ein Pr¨amienprinzip. – F¨ ur X ∈ LH gilt X ∈ L1 (R+ ) und damit E[X] ≥ 0 ; insbesondere existiert var[X] , und aus Satz 10.1.1 folgt var[X] > 0 . – F¨ ur X ∈ L1 (R+ ) mit E[X] = 0 gilt nach Lemma 4.1.2 P [{X = 0}] = 1 und damit var[X] = 0 ; daher ist X konstant, und aus Satz 10.1.1 folgt X∈ / LH . Daraus folgt die Behauptung. 2

10.1 Pr¨ amienprinzipien

241

Der Ausschluß von konstanten Risiken ist ohne Bedeutung f¨ ur die Praxis, denn die Versicherung eines Risikos, das mit Sicherheit einen Schaden bekannter H¨ohe produziert, ist offenbar sinnlos.

Eigenschaften von Pr¨ amienprinzipien Wir werden sehen, daß es vielf¨altige M¨oglichkeiten gibt, ein Pr¨amienprinzip zu definieren. Damit stellt sich die Frage, welche Eigenschaften ein Pr¨amienprinzip besitzen sollte. Ein Pr¨amienprinzip H : LH → R+ heißt ur alle c ∈ (0, ∞) mit cX ∈ LH – positiv homogen, wenn f¨ ur alle X ∈ LH und f¨ H[cX] = c H[X] –

gilt. ur alle c ∈ (0, 1) mit cX ∈ LH proportional, wenn f¨ ur alle X ∈ LH und f¨ H[cX] = c H[X]

–

gilt. isoton bez¨ uglich der stochastischen Ordnung, wenn f¨ ur alle X, Y ∈ LH mit 0 0 X, Y ∈ L (N0 ) und X ≤ Y H[X] ≤ H[Y ]

–

gilt. isoton bez¨ uglich der stop–loss Ordnung, wenn f¨ ur alle X, Y ∈ LH mit 1 1 X, Y ∈ L (N0 ) und X ≤ Y H[X] ≤ H[Y ] gilt.

10.1.3 Bemerkungen. (1) Die Forderung der positiven Homogenit¨at ist sinnvoll, da das Verh¨altnis von Risiko zu Pr¨amie unabh¨angig von der verwendeten Geldeinheit sein sollte; dies bedeutet insbesondere, daß bei einem Wechsel der W¨ahrung, wie zum Beispiel von DM auf Euro, Risiken und Pr¨amien mit demselben Faktor umgerechnet werden sollten. (2) Jedes positiv homogene Pr¨amienprinzip ist proportional. (3) Die Forderung der Proportionalit¨at ist im Hinblick auf die Quoten–R¨ uckversicherung von Interesse. (4) Die Forderung der Isotonie bez¨ uglich der stochastischen Ordnung oder der stop–loss Ordnung ist sinnvoll, da beide Ordnungsrelationen Risiken hinsichtlich ihrer Gef¨ahrlichkeit vergleichen und einem Risiko, das gef¨ahrlicher ist als ein anderes, eine h¨ohere Pr¨amie zugeordnet werden sollte. (5) Jedes Pr¨amienprinzip, das isoton bez¨ uglich der stop–loss Ordnung ist, ist auch isoton bez¨ uglich der stochastischen Ordnung.

242

Kapitel 10. Kalkulation von Pr¨ amien

Das Nettopr¨ amien–Prinzip Da in der Definition eines Pr¨amienprinzips die Nettopr¨amie der versicherbaren Risiken zum Vergleich herangezogen wird, ist es sinnvoll, zun¨achst das einfachste aller Pr¨amienprinzipien zu betrachten: Sei 5 3 3 4! 4 5 LH := X ∈ L1 (R+ ) 5 P X > E[X] > 0 Dann heißt die Abbildung H : LH → R+ mit H[X] := E[X] Nettopr¨amien–Prinzip. 10.1.4 Satz. Das Nettopr¨amien–Prinzip ist ein Pr¨amienprinzip. Es ist positiv homogen und isoton bez¨ uglich der stop–loss Ordnung. Beweis. Es ist klar, daß das Nettopr¨amien–Prinzip ein positiv homogenes Pr¨amienprinzip ist. Die Isotonie ergibt sich aus Folgerung 9.2.10. 2 Ein Nachteil des Nettopr¨amien–Prinzips besteht darin, daß die Pr¨amie nach dem Nettopr¨amien–Prinzip mit der Nettopr¨amie u ¨bereinstimmt; sie enth¨alt daher keinen strikt positiven Sicherheitszuschlag.

Das Perzentil–Prinzip Es gibt ein weiteres Pr¨amienprinzip, das aufgrund seiner Eigenschaften und insbesondere im Hinblick auf die Wahrscheinlichkeit des Ruins von besonderem Interesse ist: F¨ ur ε ∈ (0, 1) sei LH :=

5 3 3 4! 4 3 4! 5 X ∈ L1 (R+ ) 5 P X > E[X] > ε , ∃ a∈R+ 0 < P X > a ≤ ε

Dann heißt die Abbildung H : LH → R+ mit 5 3 3 4! 4 5 H[X] := inf a ∈ R+ 5 P X > a ≤ ε Perzentil–Prinzip zum Parameter ε . 10.1.5 Satz. Das Perzentil–Prinzip ist ein Pr¨amienprinzip. Es ist positiv homogen und isoton bez¨ uglich der stochastischen Ordnung.

10.1 Pr¨ amienprinzipien

243

Beweis. Die Bedingung (i) ist offensichtlich erf¨ ullt. Sei X ∈ LH . Nach Definition von H[X] gibt es eine monoton fallende Folge {an }n∈N ⊆ R+ mit ur alle n ∈ N und H[X] = inf n∈N an . Daraus folgt P [{X > an }] ≤ ε f¨ 3 4! 3 4!  P X > H[X] = P X > an n∈N 3 4! = lim P X > an n→∞

≤ ε < P

3

4! X > E[X]

und damit E[X] ≤ H[X] . Daher ist die Bedingung (ii) erf¨ ullt. Schließlich gilt f¨ ur alle a ∈ R+ mit 0 < P [{X > a}] ≤ ε 3 4! 3 4! P X > H[X] ≥ P X>a > 0 ullt. Daher ist Da es ein solches a ∈ R+ gibt, ist auch die Bedingung (iii) erf¨ das Perzentil–Prinzip ein Pr¨amienprinzip. Offensichtlich ist das Perzentil–Prinzip positiv homogen. Wir betrachten nun X, Y ∈ LH mit X, Y ∈ L0 (N0 ) und X ≤0 Y . Dann gilt 3 4! 3 4! P X > H[Y ] ≤ P Y > H[Y ] ≤ ε und damit H[X] ≤ H[Y ] . Daher ist das Perzentil–Prinzip isoton bez¨ uglich der stochastischen Ordnung. 2 F¨ ur eine vorgegebene obere Schranke ε ∈ (0, 1) f¨ ur die Wahrscheinlichkeit des Ruins ist die Pr¨amie nach dem Perzentil–Prinzip zum Parameter ε die kleinste Pr¨amie, die die Bedingungen einer Pr¨amie nach einem Pr¨amienprinzip erf¨ ullt und f¨ ur die die Wahrscheinlichkeit des Ruins nicht gr¨oßer als ε ist. Ein Nachteil des Perzentil–Prinzips besteht darin, daß f¨ ur die Bestimmung der Pr¨amie nach dem Perzentil–Prinzip außer der Kenntnis des Erwartungswertes eines Risikos X ∈ LH auch die Kenntnis der Wahrscheinlichkeiten P [{X > a}] zumindest f¨ ur große a ∈ R+ erforderlich ist.

Aufgaben 10.1.A Positive Homogenit¨ at: Ein Pr¨amienprinzip H : LH → R+ ist genau ur alle c ∈ (0, ∞) mit dann positiv homogen, wenn f¨ ur alle X ∈ LH und f¨ cX ∈ LH H[cX] ≤ c H[X] gilt. 10.1.B Panjer–Klasse: Berechnen Sie f¨ ur ein Risiko, dessen Verteilung der Panjer–Klasse angeh¨ort, die Pr¨amie nach dem Nettopr¨ amien–Prinzip.

244

10.2

Kapitel 10. Kalkulation von Pr¨ amien

Explizite Pr¨ amienprinzipien

In diesem Abschnitt betrachten wir einige Familien von Pr¨amienprinzipien, in denen, im Gegensatz zum Perzentil–Prinzip, f¨ ur jedes Risiko die Pr¨amie explizit durch eine Funktion der Erwartungswerte bestimmter Funktionen des Risikos bestimmt ist. Die Konstruktion dieser Pr¨amienprinzipien erfolgt nach dem Muster der Konstruktion des Nettopr¨amien–Prinzips in zwei Schritten: – Man betrachtet zun¨achst eine Abbildung h : L → R+ mit L ⊆ L1 (R+ ) und der Eigenschaft, daß f¨ ur alle X, Y ∈ L mit PX = PY die Gleichung h[X] = h[Y ] erf¨ ullt ist. – Man setzt sodann 5 3 3 4! 4 5 LH := X ∈ L 5 E[X] ≤ h[X] , P X > h[X] > 0 und bezeichnet die Einschr¨ankung von h auf LH mit H . Dann ist H : LH → R+ ein Pr¨amienprinzip. Die ersten dieser Pr¨amienprinzipien sind nach dem Moment des Risikos benannt, das den Sicherheitszuschlag bestimmt.

Das Erwartungswert–Prinzip F¨ ur γ ∈ R+ sei LH :=

5 3 3 4! 4 5 X ∈ L1 (R+ ) 5 P X > (1+γ) E[X] > 0

Dann heißt die Abbildung H : LH → R+ mit H[X] := E[X] + γ E[X] Erwartungswert–Prinzip zum Parameter γ . 10.2.1 Satz. Das Erwartungswert–Prinzip ist ein Pr¨amienprinzip. Es ist positiv homogen und isoton bez¨ uglich der stop–loss Ordnung (und damit auch bez¨ uglich der stochastischen Ordnung). Die Pr¨amie nach dem Erwartungswert–Prinzip h¨angt von der Verteilung eines Risikos nur u ¨ber seinen Erwartungswert ab; insbesondere ist sie unabh¨angig von der Streuung der Realisationen des Risikos. Dennoch ist die Verwendung des Erwartungswert–Prinzips sinnvoll, wenn außer dem Erwartungswert keine Information u ugbar ist. ¨ber die Verteilung des Risikos verf¨

10.2 Explizite Pr¨ amienprinzipien

245

Das Varianz–Prinzip F¨ ur γ ∈ R+ sei LH :=

5 3 3 4! 4 5 X ∈ L2 (R+ ) 5 P X > E[X] + γ var[X] > 0

Dann heißt die Abbildung H : LH → R+ mit H[X] := E[X] + γ var[X] Varianz–Prinzip zum Parameter γ . 10.2.2 Satz. Das Varianz–Prinzip ist ein Pr¨amienprinzip. Das Varianz–Prinzip ist weder positiv homogen noch isoton bez¨ uglich der stochastischen Ordnung.

Das Semivarianz–Prinzip F¨ ur γ ∈ R+ sei LH :=

5 3 4! 4 3 5 X ∈ L2 (R+ ) 5 P X > E[X] + γ E[(X −E[X])+2 ] > 0

Dann heißt die Abbildung H : LH → R+ mit
H[X] := E[X] + γ E

+2 ! X −E[X]

Semivarianz–Prinzip zum Parameter γ . 10.2.3 Satz. Das Semivarianz–Prinzip ist ein Pr¨amienprinzip. Das Semivarianz–Prinzip ist weder positiv homogen noch isoton bez¨ uglich der stochastischen Ordnung. Es bezieht seinen Namen aus der Zerlegung


2 ! X −E[X]
2 !
2 ! + E χ{X>E[X]} X −E[X] = E χ{X E[X] + γ var[X] > 0

Dann heißt die Abbildung H : LH → R+ mit 2 H[X] := E[X] + γ var[X] Standardabweichung–Prinzip zum Parameter γ . 10.2.4 Satz. Das Standardabweichung–Prinzip ist ein Pr¨amienprinzip. Es ist positiv homogen. Das Standardabweichung–Prinzip ist nicht isoton bez¨ uglich der stochastischen ¨ Ordnung. Andererseits zeigen die in Abschnitt 6.2 angestellten Uberlegungen zum Ausgleich im homogenen Kollektiv, daß das Standardabweichung–Prinzip ein sehr nat¨ urliches Pr¨amienprinzip ist. Der Parameter des Standardabweichung–Prinzips l¨aßt sich unter Verwendung der Ungleichung von Cantelli aus einer vorgegebenen Schranke f¨ ur die Wahrscheinlichkeit des Ruins herleiten: – F¨ ur jedes unter dem Standardabweichung–Prinzip zum Parameter γ versicherbare Risiko X ∈ LH gilt 0 < var[X] < ∞ . Aus der Ungleichung von Cantelli ergibt sich daher 4! 3 2 var[X] ≤ 2 P X > E[X] + γ var[X] γ var[X] + var[X] 1 = 1 + γ2 –

Der letzte Ausdruck ist unabh¨angig von der Verteilung von X . Sei ε ∈ (0, 1) eine vorgegebene Schranke f¨ ur die Wahrscheinlichkeit des Ruins und sei 1−ε γ := ε Dann gilt f¨ ur alle X ∈ LH 3 4! 2 P X > E[X] + γ var[X] ≤ ε  Insbesondere gilt f¨ ur den Gesamtschaden S(n) := ni=1 Zi eines beliebigen Bestandes {Zi }i∈{1,...,n} mit S(n) ∈ LH 3 4! 2 P S(n) > E[S(n)] + γ var[S(n)] ≤ ε Der Parameter γ h¨angt nicht von der Gr¨oße n des Bestandes ab.

10.2 Explizite Pr¨ amienprinzipien

247

Das Semistandardabweichung–Prinzip F¨ ur γ ∈ R+ sei 5 3 4! 4 3 2 5 LH := X ∈ L2 (R+ ) 5 P X > E[X] + γ E[(X −E[X])+2 ] > 0 Dann heißt die Abbildung H : LH → R+ mit
H[X] := E[X] + γ

E

+2 ! X −E[X]

Semistandardabweichung–Prinzip zum Parameter γ . 10.2.5 Satz. Das Semistandardabweichung–Prinzip ist ein Pr¨amienprinzip. Es ist positiv homogen. Das Semistandardabweichung–Prinzip ist nicht isoton bez¨ uglich der stochastischen Ordnung. Die bisher betrachteten Familien von Pr¨amienprinzipien sind durch reelle ur γ = 0 mit dem Nettopr¨amien– Zahlen γ ∈ R+ parametrisiert und stimmen f¨ Prinzip u ¨berein. Wir betrachten nun zwei Familien von Pr¨amienprinzipien, die durch reelle Funktionen g : R+ → R+ parametrisiert sind:

Das Mittelwert–Prinzip F¨ ur eine streng monoton wachsende und konvexe Funktion g : R+ → R+ sei 5 3 3 4! 4 5 LH := X ∈ L1 (R+ ) 5 g(X) ∈ L1 (R) , P X > E[X] > 0 Dann heißt die Abbildung H : LH → R+ mit
 H[X] := g −1 E[g(X)] Mittelwert–Prinzip bez¨ uglich g . – Im Fall g(x) = x stimmt das Mittelwert–Prinzip bez¨ uglich g mit dem Nettopr¨amien–Prinzip u ¨berein. uglich – Im Fall g(x) = eγx mit γ ∈ (0, ∞) wird das Mittelwert–Prinzip bez¨ g als Exponential–Prinzip zum Parameter γ bezeichnet. Das Mittelwert–Prinzip ist wohldefiniert: Da g streng monoton wachsend und ur X ∈ LH gilt daher E[g(X)] ∈ [g(0), ∞) . konvex ist, gilt g(R+ ) = [g(0), ∞) . F¨ Aus der strengen Monotonie von g folgt außerdem die Existenz der Umkehrfunktion g −1 : [g(0), ∞) → R+ .

248

Kapitel 10. Kalkulation von Pr¨ amien

10.2.6 Satz. Das Mittelwert–Prinzip ist ein Pr¨amienprinzip. Es ist isoton bez¨ uglich der stochastischen Ordnung. Beweis. Die Bedingung (i) ist offensichtlich erf¨ ullt. Sei X ∈ LH . Da g konvex −1 ist und mit g auch die Umkehrfunktion g streng monoton wachsend ist, folgt aus der Ungleichung von Jensen

 E[X] = g −1 g E[X]
 ≤ g −1 E[g(X)] = H[X] Daher ist die Bedingung (ii) erf¨ ullt. Wegen P [{X > E[X]}] > 0 ist X nicht konstant; da g streng monoton wachsend ist, ist auch g(X) nicht konstant, und daraus folgt P [{X > g −1 (E[g(x)])}] = P [{g(X) > E[g(X)]}] > 0 . Daher ist die Bedingung (iii) erf¨ ullt. Wir betrachten abschließend X, Y ∈ LH mit X, Y ∈ L0 (N0 ) und X ≤0 Y . Dann gilt f¨ ur alle a ∈ R P [{X > a}] ≤ P [{Y > a}] F¨ ur die Funktion f : N0 → R+ mit f (x) := g(x) − g(0) gilt f ∈ M0 (N0 ) und f (0) = 0 . Aus Lemma 9.1.8 folgt nun E[f (X)] = ≤

∞ k=0 ∞

(∆f )(k) P [{X > k}] (∆f )(k) P [{Y > k}]

k=0

= E[f (Y )] und damit E[g(X)] ≤ E[g(Y )] Daraus folgt

 g −1 E[g(X)] ≤ g −1 E[g(Y )] Daher ist das Mittelwert–Prinzip isoton bez¨ uglich der stochastischen Ordnung. 2

10.2 Explizite Pr¨ amienprinzipien

249

Das Esscher–Prinzip F¨ ur eine monoton wachsende Funktion g : R+ → R+ sei 5 3 5 LH := X ∈ L1 (R+ ) 5 g(X) ∈ L1 (R), Xg(X) ∈ L1 (R), 3 4! 4 P X E[g(X)] > E[Xg(X)] > 0 Dann heißt die Abbildung H : LH → R+ mit H[X] :=

E[Xg(X)] E[g(X)]

Esscher–Prinzip bez¨ uglich g . – Im Fall g(x) = 1 stimmt das Esscher–Prinzip bez¨ uglich g mit dem Nettopr¨amien–Prinzip u ¨berein. uglich g als – Im Fall g(x) = xk mit k ∈ N0 wird das Esscher–Prinzip bez¨ Karlsruhe–Prinzip zum Parameter k bezeichnet. uglich g als – Im Fall g(x) = eγx mit γ ∈ R+ wird das Esscher–Prinzip bez¨ spezielles Esscher–Prinzip zum Parameter γ bezeichnet. Das Esscher–Prinzip ist wohldefiniert: Wegen Xg(X) ≥ 0 gilt E[Xg(X)] ≥ 0 , und aus P [{XE[g(X)] > E[Xg(X)]}] > 0 folgt nun E[g(X)] > 0 . 10.2.7 Satz. Das Esscher–Prinzip ist ein Pr¨amienprinzip. Beweis. Die Bedingungen (i) und (iii) sind offensichtlich erf¨ ullt. Außerdem gilt f¨ ur alle X ∈ LH H[X] = E[X] +

cov[X, g(X)] E[g(X)]

Da g monoton wachsend ist, gilt

! cov[X, g(X)] = E X − E[X] g(X) − E[g(X)]

! = E X − E[X] g(X) − g(E[X])

! + E X − E[X] g(E[X]) − E[g(X)]

! = E X − E[X] g(X) − g(E[X]) ≥ 0 denn beide Faktoren unter dem letzten Erwartungswert sind auf dem Ereignis {X < E[X]} negativ und auf dem Ereignis {X > E[X]} positiv. Daher ist auch die Bedingung (ii) erf¨ ullt. 2

250

Kapitel 10. Kalkulation von Pr¨ amien

Aufgaben 10.2.A Erwartungswert–Prinzip: Das Erwartungswert–Prinzip ist isoton bez¨ uglich der stop–loss Ordnung. 10.2.B Varianz–Prinzip: Das Varianz–Prinzip ist weder positiv homogen noch isoton bez¨ uglich der stochastischen Ordnung. Hinweis: Betrachten Sie Zufallsvariable X1 , X2 ∈ L0 (N0 ) mit P [{Xi = 0}] + P [{Xi = k}] = 1 f¨ ur i ∈ {1, 2} , ein festes k ∈ N und X1 ≤0 X2 . 10.2.C Varianz–Prinzip: Wie muß der Parameter eines Varianz–Prinzips bei der Umstellung von DM auf Euro ver¨andert werden, wenn alle nach diesem Varianz–Prinzip berechneten Pr¨amien konstant bleiben sollen? ur X ∈ LH 10.2.D Varianz–Prinzip: Sei H : LH → R+ ein Varianz–Prinzip. F¨ und f¨ ur alle n ∈ N gilt X/n ∈ LH ; außerdem ist die Folge {n H[X/n]}n∈N monoton fallend mit lim n H[X/n] = E[X] n→∞

Interpretieren Sie das Ergebnis. 10.2.E Standardabweichung–Prinzip: Das Standardabweichung–Prinzip ist nicht isoton bez¨ uglich der stochastischen Ordnung. 10.2.F Exponential–Prinzip: Sei H : LH → R+ das Exponential–Prinzip zum Parameter γ . Dann gilt f¨ ur alle X ∈ LH 
1 H[X] = log E[eγX ] γ Insbesondere ist das Exponential–Prinzip nicht positiv homogen. 10.2.G Karlsruhe–Prinzip: Sei H : LH → R+ das Karlsruhe–Prinzip zum Parameter k . Dann gilt f¨ ur alle X ∈ LH H[X] =

E[X k+1 ] E[X k ]

Insbesondere ist das Karlsruhe–Prinzip positiv homogen. Im Fall k = 1 gilt H[X] = E[X] +

1 var[X] = E[X] + v 2 [X] E[X] E[X]

Vereinfachen Sie f¨ ur diesen Fall die Definition von LH . 10.2.H Isotonie: Untersuchen Sie f¨ ur die in diesem Abschnitt behandelten Pr¨amienprinzipien die Isotonie bez¨ uglich der stop–loss Ordnung f¨ ur Risiken mit gleichem Erwartungswert. 10.2.I

Panjer–Klasse: Berechnen Sie f¨ ur ein Risiko, dessen Verteilung der Panjer–Klasse angeh¨ort, die Pr¨amien nach den in diesem Abschnitt betrachteten Pr¨amienprinzipien und vergleichen Sie die Pr¨ amien, die sich aus dem Erwartungswert–Prinzip und aus dem Varianz–Prinzip ergeben.

10.3 Pr¨ amien und Verlustfunktionen

10.3

251

Pr¨ amien und Verlustfunktionen

Einige der in Abschnitt 10.2 betrachteten expliziten Pr¨amienprinzipien k¨onnen durch die Minimierung einer Verlustfunktion begr¨ undet werden. Der Grundgedanke besteht darin, daß man f¨ ur eine Klasse von Risiken L ⊆ L0 (R+ ) eine Abbildung L : L × R+ → R+ betrachtet und L(X, a) als Verlust interpretiert, der bei Wahl der Pr¨amie a ∈ R+ f¨ ur das Risiko X ∈ L entsteht. Aus der Funktion L ergibt sich f¨ ur jedes Risiko X ∈ L durch LX (a) := L(X, a) eine Verlustfunktion LX : R+ → R+ , die zu minimieren ist.

Das Nettopr¨ amien–Prinzip F¨ ur die Funktion L : L2 (R+ ) × R+ → R+ mit L(X, a) := E[(X −a)2 ] erhalten wir das folgende Ergebnis: 10.3.1 Satz. F¨ ur X ∈ L2 (R+ ) besitzt die Verlustfunktion LX den eindeutig bestimmten Minimierer a∗ := E[X] Beweis. Aus der Linearit¨at des Erwartungswertes ergibt sich LX (a) = E[(X −a)2 ] = E[X 2 ] − 2a E[X] + a2 und damit dLX (a) = − 2 E[X] + 2a da d2 LX (a) = 2 da2 Daraus folgt die Behauptung.

2

Aufgrund des Satzes f¨ uhrt f¨ ur alle X ∈ L2 (R+ ) mit P [{X > E[X]}] > 0 die Minimierung der Verlustfunktion LX auf eine Pr¨amie nach dem Nettopr¨amien– Prinzip.

252

Kapitel 10. Kalkulation von Pr¨ amien

Das Erwartungswert–Prinzip Sei γ ∈ R+ . F¨ ur die Funktion L : L2 (R+ ) × R+ → R+ mit
2 ! L(X, a) := E (1+γ) X − a erhalten wir das folgende Ergebnis: 10.3.2 Satz. F¨ ur X ∈ L2 (R+ ) besitzt die Verlustfunktion LX den eindeutig bestimmten Minimierer a∗ := (1+γ) E[X] Aufgrund des Satzes f¨ uhrt f¨ ur alle X ∈ L2 (R+ ) mit P [{X > (1+γ) E[X]}] > 0 die Minimierung der Verlustfunktion LX auf eine Pr¨amie nach dem Erwartungswert–Prinzip.

Das Mittelwert–Prinzip Sei g : R+ → R+ eine streng monoton wachsende und konvexe Funktion und sei 5 4 3 5 L := X ∈ L0 (R+ ) 5 g(X) ∈ L2 (R) F¨ ur die Funktion L : L × R+ → R+ mit
2 ! L(X, a) := E g(X) − g(a) erhalten wir das folgende Ergebnis: 10.3.3 Satz. F¨ ur X ∈ L besitzt die Verlustfunktion LX den eindeutig bestimmten Minimierer
 a∗ := g −1 E[g(X)] Beweis. Aufgrund der strengen Monotonie von g ist die Minimierung der Verlustfunktion LX : R+ → R+ mit
2 ! LX (a) = E g(X) − g(a) gleichwertig mit der Minimierung der Verlustfunktion LgX : g(R+ ) → R+ mit
2 ! LgX (b) := E g(X) − b Nach Satz 10.3.1 besitzt die Verlustfunktion LgX den eindeutig bestimmten Minimierer b∗ := E[g(X)] . Wegen b∗ ∈ g(R+ ) und aufgrund der strengen Monotonie von g gibt es ein eindeutig bestimmtes a∗ ∈ R+ mit b∗ = g(a∗ ) , 2 und es gilt a∗ = g −1 (b∗ ) = g −1 (E[g(X)]) . Daraus folgt die Behauptung.

10.3 Pr¨ amien und Verlustfunktionen

253

Aufgrund des Satzes f¨ uhrt f¨ ur alle X ∈ L1 (R+ ) mit P [{X > E[X]}] > 0 und 2 g(X) ∈ L (R) die Minimierung der Verlustfunktion LX auf eine Pr¨amie nach dem Mittelwert–Prinzip.

Das Esscher–Prinzip Sei g : R+ → R+ eine monoton wachsende Funktion und sei 5 3 4 5 L := X ∈ L0 (R+ ) 5 g(X) ∈ L2 (R), X 2 g(X) ∈ L1 (R), E[g(X)] > 0 2 F¨ ur alle X ∈ L gilt 4.2.5 g(X) ∈ L1 (R) und damit g(X) ∈ L2 (R) ; 2nach Satz 2 außerdem gilt X 2 g(X) ∈ L2 (R) . Aus Satz 4.2.5 folgt nun 2 X g(X) 2 = Xg(X) = X g(X)· g(X) ∈ L1 (R) . Daher ist die Funktion L : L×R+ → R+ mit ! L(X, a) := E (X −a)2 g(X) wohldefiniert. Das folgende Ergebnis ergibt sich wie im Fall des Nettopr¨amien– Prinzips durch Differentiation: 10.3.4 Satz. F¨ ur X ∈ L besitzt die Verlustfunktion LX den eindeutig bestimmten Minimierer E[Xg(X)] a∗ := E[g(X)] Aufgrund des Satzes f¨ uhrt f¨ ur alle X ∈ L1 (R+ ) mit g(X) ∈ L2 (R) sowie X 2 g(X) ∈ L1 (R) und P [{X E[g(X)] > E[Xg(X)]}] die Minimierung der Verlustfunktion LX auf eine Pr¨amie nach dem Esscher–Prinzip. 10.3.5 Bemerkungen. (1) F¨ ur ein gegebenes Pr¨amienprinzip l¨aßt sich die Pr¨amie im allgemeinen nicht f¨ ur jedes der versicherbaren Risiken durch Minimierung einer geeigneten Verlustfunktion bestimmen. Dies liegt daran, daß die Bedingungen an die Existenz und Endlichkeit von Momenten, die f¨ ur die Bestimmung der Pr¨amie durch Minimierung einer Verlustfunktion erforderlich sind, im allgemeinen st¨arker sind als diejenigen in der Definition der Klasse der unter dem gegebenen Pr¨amienprinzip versicherbaren Risiken. (2) F¨ ur die hier betrachteten Verlustfunktionen ¨andert sich der Minimierer nicht, wenn die Verlustfunktion mit einer strikt positiven Konstanten multipliziert wird oder eine Konstante addiert wird. Daraus folgt, daß die Minimierung verschiedener Verlustfunktionen auf eine Pr¨amie nach demselben Pr¨amienprinzip f¨ uhren kann.

254

Kapitel 10. Kalkulation von Pr¨ amien

(3) F¨ ur einige der in Abschnitt 10.2 betrachteten Pr¨amienprinzipien ist keine Verlustfunktion bekannt, aus der sich zumindest f¨ ur einige der unter dem Pr¨amienprinzip versicherbaren Risiken die Pr¨amie durch Minimierung der Verlustfunktion ergibt. Die Verwendung von Verlustfunktionen er¨offnet den Zugang zur Erfahrungstarifierung. Dabei wird f¨ ur ein Risiko mit der nicht beobachtbaren zuk¨ unftigen Schadenh¨ohe X und den beobachtbaren Schadenh¨ohen X1 , . . . , Xn der Vergangenheit die Pr¨amie durch Minimierung einer Verlustfunktion LX : ∆ → R+ bestimmt, wobei ∆ eine Klasse von zul¨assigen Pr¨amien ist, die selbst Zufallsvariable sind und von den beobachtbaren Schadenh¨ohen abh¨angen k¨onnen. Im vorher betrachteten Fall gilt ∆ = R+ ; in diesem Fall sind die zul¨assigen Pr¨amien konstant und h¨angen nicht von den beobachtbaren Schadenh¨ohen ab.

10.4

Pr¨ amien und Nutzenfunktionen

Sei J ⊆ R konvex. Eine Funktion u : J → R heißt Nutzenfunktion, wenn sie streng monoton wachsend und konkav ist. 10.4.1 Lemma. Sei u : R → R eine Nutzenfunktion und sei X ∈ L1 (R+ ) eine Zufallsvariable mit E[X] > 0 und u(−X) ∈ L1 (R) . Dann ist die Funktion UX : R+ → R mit UX (a) := E[u(a−X)] eine Nutzenfunktion. Im Fall supa∈R+ E[u(a−X)] > u(0) besitzt die Gleichung E[u(a−X)] = u(0) eine eindeutige L¨osung a∗ ∈ R+ und es gilt E[X] ≤ a∗ . Beweis. Da u streng monoton wachsend ist, gilt f¨ ur alle a ∈ R+ u(−X) ≤ u(a−X) ≤ u(a) und damit |u(a−X)| ≤ |u(a)| + |u(−X)| Wegen u(−X) ∈ L1 (R) folgt daraus E|u(a − X)| < ∞ . Aufgrund dieser Vor¨ uberlegung ist die Funktion UX wohldefiniert.

10.4 Pr¨ amien und Nutzenfunktionen

255

Da u streng monoton wachsend ist, ist nach Lemma 4.1.2 auch UX streng mour alle λ ∈ (0, 1) noton wachsend. Da u konkav ist, gilt f¨ ur alle a, b ∈ R+ und f¨

! UX λ a + (1−λ) b = E u λ a + (1−λ) b − X
! = E u λ (a−X) + (1−λ) (b−X) ! ≥ E λ u(a−X) + (1−λ) u(b−X) = λ E[u(a−X)] + (1−λ) E[u(b−X)] = λ UX (a) + (1−λ) UX (b) Daher ist auch UX konkav. Damit ist gezeigt, daß UX eine Nutzenfunktion ist. Wir nehmen nun an, daß supa∈R+ E[u(a−X)] > u(0) gilt. Sei a := E[X] > 0 . Da u konkav ist, folgt aus der Ungleichung von Jensen UX (a ) = E[u(a −X)] 
≤ u E[a −X] = u(0) < supa∈R+ E[u(a−X)] = supa∈R+ UX (a) Also gibt es ein a ∈ R+ mit UX (a ) ≤ u(0) < UX (a ) Da UX streng monoton wachsend ist, gilt a < a . Da UX konkav ist, ist UX stetig auf (0, ∞) . Daher gibt es ein a∗ ∈ [a , a ] ⊆ (0, ∞) mit UX (a∗ ) = u(0) Da UX streng monoton wachsend ist, ist a∗ eindeutig bestimmt und es gilt 2 E[X] = a ≤ a∗ . Sei u : R → R eine Nutzenfunktion. F¨ ur X ∈ L1 (R+ ) mit u(−X) ∈ L1 (R) und supa∈R+ E[u(a−X)] > u(0) bezeichne h[X] die L¨osung der Gleichung E[u(a−X)] = u(0) Sei ferner LH :=

5 3 5 X ∈ L1 (R+ ) 5 u(−X) ∈ L1 (R), supa∈R+ E[u(a−X)] > u(0) , 3 4! 4 P X > E[X] > 0

Dann heißt die Abbildung H : LH → R+ mit H[X] := h[X] Nullnutzen–Prinzip bez¨ uglich u .

256

Kapitel 10. Kalkulation von Pr¨ amien

10.4.2 Satz (Nullnutzen–Prinzip). Pr¨amienprinzip.

Das Nullnutzen–Prinzip ist ein

Beweis. Die Bedingung (i) ist offensichtlich erf¨ ullt, und die Bedingung (ii) ergibt sich aus Lemma 10.4.1. Wir betrachten nun eine Zufallsvariable X ∈ L1 (R+ ) mit u(−X) ∈ L1 (R) und supa∈R+ E[u(a − X)] > u(0) . Wir nehmen an, daß P [{X > h[X]}] = 0 gilt, und setzen a∗ := h[X] . Dann gilt P [{X > a∗ }] = 0 Aus der Definition von a∗ folgt ! 0 = E u(a∗ −X) − u(0) ! = E u(a∗ −X) − u(0)

! ! = E χ{Xa∗ } u(a∗ −X) − u(0)
! = E χ{X 0 gibt es ein a∗ ∈ R+ mit P [{X > a∗ }] = 0 und P [{X < a∗ }] > 0 . Da u streng monoton wachsend ist, folgt daraus E[u(a∗ −X)] = u(a∗ −x) P [{X = x}] x∈BX u(0) P [{X = x}] > x∈BX

= u(0) und damit supa∈R+ E[u(a − X)] > u(0) . Wegen var[X] > 0 gilt außerdem 2 P [{X > E[X]}] > 0 . Daher gilt X ∈ LH . Zwei Nutzenfunktionen u : R → R und u 6 : R → R heißen ¨aquivalent, wenn es α, β ∈ R gibt derart, daß f¨ ur alle x ∈ R u 6(x) = α + β u(x) gilt; in diesem Fall gilt β > 0 , da Nutzenfunktionen streng monoton wachsend sind. Der Beweis des folgenden Lemmas ist elementar; vgl. Aufgabe 10.4.A. 10.4.5 Lemma. Die Nullnutzen–Prinzipien bez¨ uglich ¨aquivalenten Nutzenfunktionen stimmen u ¨berein. Aufgrund des Lemmas gen¨ ugt es, Nutzenfunktionen u : R → R mit u(0) = 0 zu betrachten; im Fall der Differenzierbarkeit von u kann man aufgrund des folgenden Lemmas außerdem annehmen, daß u (0) = 1 gilt: 10.4.6 Lemma. Sei u : R → R eine differenzierbare Nutzenfunktion. Dann gilt u (0) > 0 . Beweis. Wir betrachten x, y ∈ R mit x < y . Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein z ∈ (x, y) mit u(y) − u(x) = u (z) y−x Da u konkav ist, ist u monoton fallend. Daher gilt u(y) − u(x) ≤ u (x) y−x

258

Kapitel 10. Kalkulation von Pr¨ amien

Da u streng monoton wachsend ist, gilt u(y) − u(x) > 0 und damit u (x) > 0 . Mit x := 0 folgt die Behauptung. 2 Wir untersuchen nun die Frage, f¨ ur welche Nutzenfunktionen das Nullnutzen– Prinzip positiv homogen ist. Wir nehmen f¨ ur den Rest dieses Abschnittes an, daß der Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P ) so reichhaltig ist, daß es zu jedem ϑ ∈ (0, 1) eine Zufallsvariable X : Ω → R gibt mit PX = B(ϑ) . 10.4.7 Satz. Sei u : R → R eine stetig differenzierbare Nutzenfunktion mit u(0) = 0 und u (0) = 1 . Dann sind folgende Aussagen ¨aquivalent: (a) Das Nullnutzen–Prinzip bez¨ uglich u ist positiv homogen. (b) Das Nullnutzen–Prinzip bez¨ uglich u ist proportional. (c) F¨ ur alle x ∈ R gilt u(x) = x . In diesem Fall stimmt das Nullnutzen–Prinzip bez¨ uglich u mit dem Nettopr¨amien–Prinzip u ¨berein. Beweis. Es ist klar, daß (b) aus (a) folgt und daß (a) aus (c) folgt. Wir nehmen nun an, daß (b) gilt, und betrachten c ∈ (0, 1) . • F¨ ur z ∈ (−∞, 0) sei ϑz :=

−u(z) −u(z) + u(1)

und Xz eine Zufallsvariable mit P [{Xz = 0}] = ϑz P [{Xz = 1−z}] = 1 − ϑz Nach Lemma 10.4.4 gilt Xz ∈ LH . Nach Definition von H[Xz ] gilt 0 = u(0)


! = E u H[Xz ] − Xz 

= u H[Xz ] ϑz + u H[Xz ] − 1 + z (1−ϑz )

und damit



 u H[Xz ] (−u(z)) + u H[Xz ] − 1 + z u(1) = 0

Daraus folgt H[Xz ] = 1 . Nach Lemma 10.4.4 gilt auch cXz ∈ LH . Da H proportional ist, gilt H[cXz ] = c H[Xz ] = c . Daher gilt 0 = u(0)


! = E u H[cXz ] − cXz
! = E u c − cXz

= u(c) ϑz + u(cz) (1−ϑz )

10.4 Pr¨ amien und Nutzenfunktionen

259

und damit u(c) (−u(z)) + u(cz) u(1) = 0 Differentiation der Gleichung u(cz) =

u(c) u(z) u(1)

nach z liefert c u (cz) =

u(c)  u (z) u(1)

ubergang z → 0 f¨ ur alle z ∈ (−∞, 0) . Da u stetig ist, erhalten wir durch Grenz¨ und mit u (0) = 1 c =

u(c) u(1)

und damit u(cz) = c u(z) f¨ ur alle z ∈ (−∞, 0) . • F¨ ur z ∈ (0, ∞) und n ∈ N mit z ≤ n sei ϑz :=

−u(−1) −u(−1) + u(z)

und Xz eine Zufallsvariable mit P [{Xz = n−z}] = ϑz P [{Xz = n+1}] = 1−ϑz Nach Lemma 10.4.4 gilt Xz ∈ LH . Nach Definition von H[Xz ] gilt 0 = u(0)


! = E u H[Xz ] − Xz

 = u H[Xz ] − n + z ϑz + u H[Xz ] − n − 1 (1−ϑz )

und damit

 u H[Xz ] − n + z (−u(−1)) + u H[Xz ] − n − 1 u(z) = 0

260

Kapitel 10. Kalkulation von Pr¨ amien

Daraus folgt H[Xz ] = n . Nach Lemma 10.4.4 gilt auch cXz ∈ LH . Da H proportional ist, gilt H[cXz ] = c H[Xz ] = cn . Daher gilt 0 = u(0)


! = E u H[cXz ] − cXz !
= E u cn − cXz = u(cz) ϑz + u(−c) (1−ϑz )

und damit u(cz) (−u(−1)) + u(−c) u(z) = 0 Differentiation der Gleichung u(cz) =

u(−c) u(z) u(−1)

nach z liefert c u (cz) =

u(−c)  u (z) u(−1)

ubergang z → 0 f¨ ur alle z ∈ (0, ∞) . Da u stetig ist, erhalten wir durch Grenz¨ und mit u (0) = 1 c =

u(−c) u(−1)

und damit u(cz) = c u(z) f¨ ur alle z ∈ (0, ∞) . • Nach dem bisher gezeigten gilt f¨ ur alle z ∈ R u(cz) = c u(z) Wegen c ∈ (0, 1) folgt daraus f¨ ur alle z ∈ R\{0} cn u(z) n→∞ cn z u(cn z) − u(0) = lim n→∞ cn z  = u (0)

u(z) = z

lim

= 1

10.5 Die Aufteilung der Pr¨ amie

261

Daher gilt u(z) = z f¨ ur alle z ∈ R . Damit ist gezeigt, daß (c) aus (b) folgt.

2

Der Satz zeigt, daß die Forderung der positiven Homogenit¨at oder auch nur der Proportionalit¨at den Nutzen des Nullnutzen–Prinzips zunichte macht.

Aufgaben ¨ ¨ 10.4.A Aquivalenz von Nutzenfunktionen: Zeigen Sie, daß die Aquivalenz von ¨ Nutzenfunktionen eine Aquivalenzrelation ist, und beweisen Sie Lemma 10.4.5. 10.4.B Grenznutzen: F¨ ur eine zweimal differenzierbare Funktion u : R → R sind folgende Aussagen ¨aquivalent: (a) u ist eine Nutzenfunktion. (b) F¨ ur alle x ∈ R gilt u (x) > 0 und u (x) ≤ 0 . F¨ ur eine zweimal differenzierbare Nutzenfunktion ist also der Grenznutzen u : R → R strikt positiv und monoton fallend. 10.4.C Risikoaversion: F¨ ur eine zweimal differenzierbare Nutzenfunktion u : R → R wird die Funktion r : R → R+ mit r(x) := −

u (x) u (x)

als Risikoaversion bezeichnet. Die Risikoaversionen ¨ aquivalenter zweimal differenzierbarer Nutzenfunktionen sind identisch. Außerdem sind im Fall aquivalent: u(0) = 0 und u (0) = 1 folgende Aussagen ¨ (a) Die Risikoaversion von u ist konstant. (b) F¨ ur alle x ∈ R gilt u(x) = x oder es gibt ein γ ∈ (0, ∞) mit u(x) =

 1
1 − e−γx γ

f¨ ur alle x ∈ R .

10.5

Die Aufteilung der Pr¨ amie

Wir betrachten einen Bestand von Risiken {Zi }i∈{1,...,n} ⊆ L0 (R+ ) mit n ≥ 2 und den Gesamtschaden des Bestandes S(n) :=

n i=1

Zi

262

Kapitel 10. Kalkulation von Pr¨ amien

Wir nehmen an, daß zun¨achst die Pr¨amie f¨ ur den Gesamtschaden  n  H[S(n)] = H Zi i=1

nach einem Pr¨amienprinzip H : LH → R+ mit S(n) ∈ LH bestimmt wird, und untersuchen die Frage, wie die Pr¨amie f¨ ur den Gesamtschaden auf die einzelnen Risiken des Bestandes aufzuteilen ist.

Additive Pr¨ amienprinzipien Ein Pr¨amienprinzip H heißt additiv, wenn f¨ ur alle m ∈ N und f¨ ur jede unH abh¨angige Familie {Xi }i∈{1,...,m} ⊆ LH mit m i=1 Xi ∈ L  H

m

 Xi

=

i=1

m

H[Xi ]

i=1

gilt. Sei H ein additives Pr¨amienprinzip. Dann gilt im Fall {Zi }i∈{1,...,n} ⊆ LH unter der Voraussetzung der Unabh¨angigkeit der Familie {Zi }i∈{1,...,n} H[S(n)] =

n

H[Zi ]

i=1

In diesem Fall kann also die Aufteilung der Pr¨amie f¨ ur den Gesamtschaden dadurch erfolgen, daß jedem Risiko des Bestandes die Pr¨amie nach demselben Pr¨amienprinzip zugeordnet wird. 10.5.1 Beispiele (Additive Pr¨ amienprinzipien). Folgende Pr¨ amienprinzipien sind additiv: (1) Das Nettopr¨amien–Prinzip. (2) Das Erwartungswert–Prinzip. (3) Das Varianz–Prinzip. (4) Das Exponential–Prinzip. (5) Das spezielle Esscher–Prinzip.

10.5.2 Bemerkung. Die Eigenschaft der Additivit¨at eines Pr¨amienprinzips ist der Additivit¨at der Varianz f¨ ur unkorrelierte Zufallsvariable nachgebildet und mag auf den ersten Blick attraktiv erscheinen; sie ist es aber nicht: – F¨ ur einen Bestand, dessen Risiken nicht unabh¨angig sind, bietet die Verwendung eines additiven Pr¨amienprinzips im Hinblick auf die Aufteilung der Pr¨amie auf die Risiken des Bestandes keinen Vorteil.

10.5 Die Aufteilung der Pr¨ amie –

263

F¨ ur einen Bestand, dessen Risiken unabh¨angig sind, findet bei der Verwendung eines additiven Pr¨amienprinzips auf den Gesamtschaden und auf die einzelnen Risiken des Bestandes kein Ausgleich im Kollektiv statt, da die Pr¨amie f¨ ur jedes Risiko unabh¨angig von der Gr¨oße des Bestandes ist; in diesem Fall ist es also sinnlos, die einzelnen Risiken zu einem Bestand zusammenzufassen.

Subadditive Pr¨ amienprinzipien Ein Pr¨amienprinzip H heißt subadditiv, wenn f¨ ur alle m ∈ N und f¨ ur jede  H X ∈ L Familie {Xi }i∈{1,...,m} ⊆ LH mit m i i=1  m  m H Xi ≤ H[Xi ] i=1

i=1

gilt. Sei H ein subadditives Pr¨amienprinzip. Dann gilt im Fall {Zi }i∈{1,...,n} ⊆ LH H[S(n)] ≤

n

H[Zi ]

i=1

In diesem Fall besteht also die M¨oglichkeit, die Pr¨amie H[S(n)] f¨ ur den Gesamtschaden auf die Risiken des Bestandes so aufzuteilen, daß die Pr¨amie f¨ ur ur Risiko i nicht gr¨oßer ist als H[Zi ] ; damit besteht zumindest das Potential f¨ einen Ausgleich im Kollektiv. 10.5.3 Beispiele (Subadditive Pr¨ amienprinzipien). Folgende Pr¨ amienprinzipien sind subadditiv: (1) Das Nettopr¨amien–Prinzip. (2) Das Erwartungswert–Prinzip. (3) Das Standardabweichung–Prinzip. (4) Das Semistandardabweichung–Prinzip.

Wir betrachten das Standardabweichung–Prinzip zum Parameter γ . – Wir nehmen zun¨achst an, daß die Risiken des Bestandes unabh¨angig sind (individuelles Modell), und setzen f¨ ur alle i ∈ {1, . . . , n} 7 var[Zi ] γi,n := γ n j=1 var[Zj ] Dann gilt

2 H[S(n)] = E[S(n)] + γ var[S(n)]  n

2 = E[Zi ] + γi,n var[Zi ] i=1

264

Kapitel 10. Kalkulation von Pr¨ amien und f¨ ur alle i ∈ {1, . . . , n} gilt wegen γi,n < γ 2 2 E[Zi ] + γi,n var[Zi ] < E[Zi ] + γ var[Zi ] = H[Zi ]

–

Mit dieser Aufteilung der Pr¨amie auf die einzelnen Risiken ergibt sich f¨ ur jedes Risiko des Bestandes eine Pr¨amie, die nicht gr¨oßer ist als die Pr¨amie des Risikos nach dem Standardabweichung–Prinzip und die außerdem mit zunehmender Gr¨oße des Bestandes f¨allt. Damit findet ein Ausgleich im Kollektiv statt. Wir nehmen nun an, daß die Risiken des Bestandes nicht nur unabh¨angig, sondern auch identisch verteilt sind (individuelles Modell f¨ ur einen homogenen Bestand). Dann gilt f¨ ur alle i ∈ {1, . . . , n} γ γi,n = √ n

Bei Anwendung des Standardabweichung–Prinzips zum Parameter γ auf den Gesamtschaden eines homogenen Bestandes kann also f¨ ur jedes Risiko √ die Pr¨amie nach dem Standardabweichung–Prinzip zum Parameter γ/ n bestimmt werden. Die hier betrachtete Aufteilung der Pr¨amie auf die Risiken des Bestandes ist nicht zwingend, aber sie ist sehr nat¨ urlich, weil der Parameter γi,n durch den Anteil der Varianz von Risiko i an der Varianz des Gesamtschadens bestimmt ist.

Das Kovarianz–Prinzip Die Aufteilung der Pr¨amie f¨ ur einen Bestand von unabh¨angigen Risiken, die wir f¨ ur das Standardabweichung–Prinzip vorgenommen haben, l¨aßt sich als Anwendung eines allgemeinen Prinzips verstehen, das auch f¨ ur Best¨ande mit abh¨angigen Risiken und f¨ ur andere Pr¨amienprinzipien anwendbar ist. Wir betrachten ein beliebiges Pr¨amienprinzip H : LH → R+ und setzen R[S(n)] := H[S(n)] − E[S(n)] Wegen H[S(n)] = E[S(n)] + R[S(n)] kann die Pr¨amie f¨ ur den Gesamtschaden in der Form  n

E[Zi ] + αi,n R[S(n)] H[S(n)] = i=1

mit αi,n :=

cov[Zi , S(n)] var[S(n)]

10.5 Die Aufteilung der Pr¨ amie

265

dargestellt werden. Wir bezeichnen diese Zerlegung der Pr¨amie f¨ ur den Gesamtschaden als Zerlegung nach dem Kovarianz–Prinzip. Das Kovarianz–Prinzip ist, obwohl sein Name das Gegenteil vermuten l¨aßt, kein ur Risiko i nicht nur von Pr¨amienprinzip, da die Pr¨amie E[Zi ] + αi,n R[S(n)] f¨ der Verteilung der Schadenh¨ohe von Risiko i , sondern von der gemeinsamen Verteilung der Schadenh¨ohen aller Risiken des Bestandes abh¨angt. 10.5.4 Bemerkung. F¨ ur alle i ∈ {1, . . . , n} mit cov[Zi , S(n)] < 0 gilt αi,n < 0 ; damit wird dem Risiko i mit der Pr¨amie E[Zi ] + αi,n R[S(n)] eine Pr¨amie mit einem negativen Sicherheitszuschlag zugeordnet. Dies stellt jedoch kein Problem dar, da f¨ ur das Versicherungsunternehmen nur eine ausreichende Pr¨amie f¨ ur den Gesamtschaden des Bestandes von Interesse ist. Die Aufteilung der Pr¨amie nach dem Kovarianz–Prinzip hat in Abh¨angigkeit von der Struktur des Bestandes unterschiedliche Auswirkungen: – Sind je zwei Risiken des Bestandes positiv korreliert, so gilt f¨ ur alle i ∈ {1, . . . , n} αi,n ≥ 0 –

Sind die Risiken des Bestandes unabh¨angig (individuelles Modell), so gilt f¨ ur alle i ∈ {1, . . . , n} var[Zi ] αi,n = n j=1 var[Zj ]

–

(F¨ ur diese Gleichung gen¨ ugt bereits, daß je zwei Risiken unkorreliert sind.) Sind die Risiken des Bestandes unabh¨angig und identisch verteilt (individuelles Modell f¨ ur einen homogenen Bestand), so gilt f¨ ur alle i ∈ {1, . . . , n} αi,n =

1 n

(F¨ ur diese Gleichung gen¨ ugt bereits, daß je zwei Risiken unkorreliert sind und alle Risiken dieselbe Varianz besitzen.) Damit gen¨ ugt das Kovarianz–Prinzip der nat¨ urlichen Bedingung, daß allen Risiken eines homogenen Bestandes dieselbe Pr¨amie zugeordnet wird. Das Kovarianz–Prinzip bewirkt eine Aufteilung der Pr¨amie nach dem Anteil der Varianz eines Risikos an der Varianz des Gesamtschadens. Es sollte daher nur f¨ ur solche Pr¨amienprinzipien angewendet werden, bei denen der Sicherheitszuschlag von der Varianz abh¨angt. Die Auswirkungen des Kovarianz–Prinzips h¨angen nicht nur von der Struktur des Bestandes, sondern auch von dem verwendeten Pr¨amienprinzip ab. Wir geben einige Beispiele.

266

Kapitel 10. Kalkulation von Pr¨ amien

10.5.5 Beispiele (Aufteilung der Pr¨ amie). (1) Varianz–Prinzip: Ist H das Varianz–Prinzip zum Parameter γ , so ergibt die Aufteilung der Pr¨amie nach dem Kovarianz–Prinzip f¨ ur einen Bestand von unabh¨angigen Risiken f¨ ur Risiko i die Pr¨amie E[Zi ] + γ var[Zi ] Es findet also kein Ausgleich im Kollektiv statt. (2) Standardabweichung–Prinzip: Ist H das Standardabweichung–Prinzip zum Parameter γ , so ergibt die Aufteilung der Pr¨amie nach dem Kovarianz–Prinzip f¨ ur einen Bestand von unabh¨angigen Risiken f¨ ur Risiko i die Pr¨ amie 7 2 var[Zi ] var[Zi ] E[Zi ] + γ n var[Z ] j j=1 Es findet also ein Ausgleich im Kollektiv statt. (3) Karlsruhe–Prinzip: Ist H das Karlsruhe–Prinzip zum Parameter k = 1 , so ergibt die Aufteilung der Pr¨amie nach dem Kovarianz–Prinzip f¨ ur einen Bestand von unabh¨angigen Risiken f¨ ur Risiko i die Pr¨amie var[Zi ] E[Zi ] E[Zi ] + n E[Z ] E[Zi ] j j=1 Es findet also ein Ausgleich im Kollektiv statt.

Aufgaben 10.5.A Beweisen Sie die Aussagen in den Beispielen 10.5.1. 10.5.B Nullnutzen–Prinzip: Das Nullnutzen–Prinzip ist genau dann additiv, wenn es mit dem Nettopr¨amien–Prinzip oder einem Exponential–Prinzip u ¨bereinstimmt. Hinweis: Mammitzsch [1986]. 10.5.C Beweisen Sie die Aussagen in den Beispielen 10.5.3. 10.5.D Beweisen Sie die Aussagen in den Beispielen 10.5.5.

10.6

Bemerkungen

Der positive Sicherheitszuschlag, der sich aus der Anwendung eines Pr¨amienprinzips H : LH → R+ auf ein Risiko X ∈ LH ergibt, l¨aßt sich als erwarteter Gewinn interpretieren: Bezeichnet man g(X) := H[X] − X als Gewinn, der aus der Anwendung des Pr¨amienprinzips H auf das Risiko X entsteht, so stimmt der erwartete Gewinn wegen E[g(X)] = H[X] − E[X] mit dem Sicherheitszuschlag u ¨berein. Aus der Definition eines Pr¨amienprinzips

10.6 Bemerkungen

267

folgt, daß der erwartete Gewinn stets positiv ist, w¨ahrend der Gewinn aufgrund der no–arbitrage Bedingung mit strikt positiver Wahrscheinlichkeit strikt negativ ist. Aus der Definition eines Pr¨amienprinzips folgt, daß unter einem gegebenen Pr¨amienprinzip im allgemeinen nicht jedes Risiko versicherbar ist. Die Ursache daf¨ ur ist die no–arbitrage Bedingung. In der Literatur wird in der Definition eines Pr¨amienprinzips anstelle der no– arbitrage Bedingung meistens die no–ripoff Bedingung 5 4 3 5 H[X] ≤ inf a ∈ R+ 5 P [{X > a}] = 0 gefordert. Unter der no–ripoff Bedingung darf die Pr¨amie die gr¨oßtm¨ogliche Schadenh¨ohe nicht u ¨bersteigen. Die no–ripoff Bedingung ist schw¨acher als die no–arbitrage Bedingung. Im Zusammenhang mit der no–ripoff Bedingung steht das in weiten Teilen der Literatur betrachtete Maximalschaden–Prinzip H : LH → R+ mit 5 3 4 5 LH := X ∈ L1 (R+ ) 5 ∃ a∈R+ P [{X > a}] = 0 und

5 4 3 5 H[X] := inf a ∈ R+ 5 P [{X > a}] = 0

Da das Maximalschaden–Prinzip die no–arbitrage Bedingung verletzt, ist es nach der hier gegebenen Definition eines Pr¨amienprinzips kein Pr¨amienprinzip. Der Ausschluß des Maximalschaden–Prinzips ist jedoch ohne Bedeutung f¨ ur die Praxis. In der Literatur werden außer den in diesem Kapitel betrachteten Familien von Pr¨amienprinzipien auch andere Familien von Pr¨amienprinzipien, wie etwa das Schweizer Prinzip und das Orlicz–Prinzip, untersucht. Entsprechendes gilt f¨ ur die in diesem Kapitel betrachteten Eigenschaften von Pr¨amienprinzipien: In der Literatur werden auch andere Eigenschaften von Pr¨amienprinzipien untersucht. Ein Beispiel ist die Translativit¨at, die in der Forderung H[X +c] = H[X] + c f¨ ur alle X ∈ LH und alle c ∈ (0, ∞) mit X + c ∈ LH besteht. Die Translativit¨at ist jedoch genau so sinnlos wie die Versicherbarkeit konstanter Risiken, da keine Notwendigkeit besteht, einen mit Sicherheit eintretenden Mindestschaden c mitzuversichern.

268

Kapitel 10. Kalkulation von Pr¨ amien

F¨ ur eine umfassende Darstellung von Pr¨amienprinzipien und ihren Eigenschaften verweisen wir auf Goovaerts, DeVylder und Haezendonck [1984]. Schließlich gibt es eine Reihe weiterer Resultate, die spezielle Familien von Pr¨amienprinzipien innerhalb gr¨oßerer Familien von Pr¨amienprinzipien durch zus¨atzliche Eigenschaften charakterisieren; die Beweise verlaufen ¨ahnlich wie der Beweis von Satz 10.4.7. Wir verweisen auf Gerber [1979], Mammitzsch [1986], Reich [1984a, 1984b, 1985], und Schmidt [1989]. Die Bedeutung von Verlustfunktionen zur Herleitung von Pr¨amienprinzipien wurde insbesondere von Heilmann [1987] hervorgehoben. F¨ ur eine Einf¨ uhrung in die Erfahrungstarifierung verweisen wir auf Hess und Schmidt [2001] und erg¨anzend dazu auf Schmidt [1992] sowie Schmidt und Timpel [1995].

Kapitel 11 Reservierung fu atsch¨ aden ¨ r Sp¨ Am Ende eines Gesch¨aftsjahres sind meist nicht alle Sch¨aden, die in diesem Gesch¨aftsjahr eingetreten sind, abschließend reguliert; diese Sch¨aden werden als Sp¨atsch¨aden bezeichnet. Sp¨atsch¨aden entstehen aus zwei Gr¨ unden: – Ein Schaden ist entstanden, aber noch nicht gemeldet (IBNR = incurred but not reported ). – Ein Schaden ist gemeldet, aber die H¨ohe des Schadens l¨aßt sich noch nicht bestimmen; daher ist die f¨ ur die Regulierung dieses Schadens gebildete Einzelschadenreserve unter Umst¨anden zu gering (IBNER = incurred but not enough reserved ). Das Problem der Sp¨atsch¨aden stellt sich grunds¨atzlich in allen Versicherungszweigen, insbesondere aber in der Haftpflichtversicherung: Man denke etwa an einen Konstruktionsfehler bei einer Br¨ ucke, der erst nach deren Einsturz erkannt wird, oder an einen Personenschaden mit einem ungewissen Verlauf der Heilung. In versch¨arfter Form stellt sich das Problem der Sp¨atsch¨aden f¨ ur den R¨ uckversicherer bei einer Einzelschadenexzedenten–R¨ uckversicherung, weil ein Schaden dem R¨ uckversicherer erst dann gemeldet wird, wenn zu erwarten ist, daß die Schadenh¨ohe die Priorit¨at u ¨berschreitet. Zur Einhaltung seines Leistungsversprechens ist der Versicherer verpflichtet, f¨ ur die im abgelaufenen Gesch¨aftsjahr entstandenen Sp¨atsch¨aden eine Reserve zu bilden; diese Sp¨atschadenreserve ist im Grunde nichts anderes als eine Pr¨amie f¨ ur die Selbstversicherung gegen Sp¨atsch¨aden. Wie jede andere Pr¨amie auch sollte die Sp¨atschadenreserve im Interesse der Versicherten ausreichend sein; andererseits sollte sie im Interesse der Allgemeinheit, der die Steuern aus Gewinnen zugute kommen, nicht zu hoch bemessen sein. Neben der Bestimmung der Sp¨atschadenreserve f¨ ur das gerade abgelaufene Gesch¨aftsjahr ist auch die Aktualisierung der Sp¨atschadenreserven f¨ ur weiter zur¨ uckliegende Gesch¨aftsjahre von Bedeutung. Wie wichtig die Bestimmung von Sp¨atschadenreserven ist, zeigt sich auch daran, daß die Gesamtreserve, also die Summe der Sp¨atschadenreserven f¨ ur alle abgelaufenen Gesch¨aftsjahre, die Pr¨amieneinnahme eines Gesch¨aftsjahres weit u ¨bersteigen kann.

270

11.1

Kapitel 11. Reservierung f¨ ur Sp¨ atsch¨ aden

Abwicklungsdreiecke

Im folgenden nehmen wir an, daß die Gesch¨aftsjahre mit den Kalenderjahren u ¨bereinstimmen; wir sprechen daher kurz von Jahren. Jeder Schaden hat eine Geschichte: – Der Schaden entsteht in einem Anfalljahr. – Der Schaden wird dem Versicherer gemeldet. – Der Versicherer leistet erste Zahlungen und bildet f¨ ur eventuell erforderliche weitere Zahlungen eine Einzelschadenreserve. – Der Schaden wird abschließend reguliert. Die Regulierung eines einzelnen Schadens, und damit erst recht die Regulierung aller Sch¨aden aus einem Anfalljahr, kann sich u ¨ber mehrere Abwicklungsjahre erstrecken. Grundlage f¨ ur die Bestimmung von Sp¨atschadenreserven ist das Abwicklungsdreieck , in dem f¨ ur jedes Anfalljahr und jedes Abwicklungsjahr – die Zahl der gemeldeten Sch¨aden, – die Zahl der abschließend regulierten Sch¨aden, – die Gesamtheit aller geleisteten Zahlungen, oder – der Schadenaufwand dargestellt wird; dabei ist der Schadenaufwand als die Gesamtheit aller geleisteten Zahlungen zuz¨ uglich der Ver¨anderungen der Einzelschadenreserven gegen¨ uber dem Vorjahr definiert. Zur Vereinfachung interpretieren wir die Daten eines Abwicklungsdreiecks bis auf weiteres als Zahlungen. 11.1.1 Beispiel (Abwicklungsdreieck). Unmittelbar nach dem Ende des Jahres 2000 liegt das folgende Abwicklungsdreieck f¨ ur die f¨ ur Sch¨ aden aus den Anfalljahren 1995–2000 in den einzelnen Abwicklungsjahren geleisteten Zahlungen (in  000 e) vor: Anfall– jahr 1995 1996 1997 1998 1999 2000

1995 1001

Abwicklungsjahr 1996 1997 1998 1999 854 1113

568 990 1265

565 671 1168 1490

347 648 800 1383 1725

2000 148 422 744 1007 1536 1889

F¨ ur Sch¨aden aus dem Anfalljahr 1998 wurden also noch im selben Jahr 1 490 000 e und in den folgenden Abwicklungsjahren 1 383 000 e bzw. 1 007 000 e gezahlt.

Das Abwicklungsdreieck wird etwas aussagekr¨aftiger, wenn die Abwicklungsjahre nicht als Kalenderjahre, sondern als Verz¨ogerungen in Bezug auf die Anfalljahre und damit als relative Abwicklungsjahre notiert werden:

11.1 Abwicklungsdreiecke

271

¨ 11.1.2 Beispiel (Abwicklungsdreieck). Durch den Ubergang von absoluten zu relativen Abwicklungsjahren erh¨alt man das folgende Abwicklungsdreieck: Anfall– jahr 1995 1996 1997 1998 1999 2000

0 1001 1113 1265 1490 1725 1889

Abwicklungsjahr k 1 2 3 854 990 1168 1383 1536

568 671 800 1007

565 648 744

4

5

347 422

148

Die im Jahr 2000 f¨ ur die Anfalljahre 1995–2000 geleisteten Zahlungen sind jetzt auf der Hauptdiagonalen dargestellt.

In dieser Form l¨aßt das Abwicklungsdreieck erkennen, ob die bisher geleisteten Zahlungen einen Trend in den Anfalljahren oder ein bestimmtes Muster in den Abwicklungsjahren aufweisen. Aus dem Trend und dem Abwicklungsmuster ergeben sich erste Hinweise auf die H¨ohe der zuk¨ unftigen Zahlungen und damit auf die erforderliche Sp¨atschadenreserve. Schließlich ist es im Hinblick auf die mathematische Behandlung des Problems der Reservierung f¨ ur Sp¨atsch¨aden von Vorteil, die Anfalljahre in gleicher Weise wie die Abwicklungsjahre und damit als relative Anfalljahre zu bezeichnen: ¨ 11.1.3 Beispiel (Abwicklungsdreieck). Durch den Ubergang von absoluten zu relativen Anfalljahren erh¨alt man das folgende Abwicklungsdreieck: Anfall– jahr i 0 1 2 3 4 5

0 1001 1113 1265 1490 1725 1889

Abwicklungsjahr k 1 2 3 854 990 1168 1383 1536

568 671 800 1007

565 648 744

4

5

347 422

148

Dieses Abwicklungsdreieck enth¨alt die Zahlungen in den relativen Abwicklungsjahren f¨ ur die relativen Anfalljahre.

In dieser Darstellung bezeichnen wir i + k mit i, k ∈ {0, 1, . . . , 5} als relatives Kalenderjahr. Das letzte Abwicklungsdreieck, das auch als run–off triangle bezeichnet wird, bildet die Grundlage f¨ ur alle weiteren Betrachtungen.

272

11.2

Kapitel 11. Reservierung f¨ ur Sp¨ atsch¨ aden

Das Grundmodell

Wir betrachten n + 1 Anfalljahre und nehmen an, daß jeder Schaden entweder im Anfalljahr selbst oder in einem der n folgenden Kalenderjahre abschließend reguliert wird. Wir betrachten ferner eine Familie {Zi,k }i,k∈{0,1,...,n} von Zufallsvariablen und interpretieren Zi,k als Zahlung im (relativen) Abwicklungsjahr k f¨ ur Sch¨aden aus dem (relativen) Anfalljahr i ; die Zahlung Zi,k wird damit im (relativen) Kalenderjahr i + k geleistet. Wir bezeichnen die Zufallsvariablen Zi,k auch als Zuw¨achse und nehmen an, daß die Zuw¨achse f¨ ur i + k ≤ n beobachtbar (aber noch nicht beobachtet) und f¨ ur i + k > n (noch) nicht beobachtbar sind. Die beobachtbaren Zuw¨achse werden in einem Abwicklungsdreieck dargestellt: Anfall–

Abwicklungsjahr

jahr

0

1

...

k

...

n−i

...

n−1

n

0 1 .. .

Z0,0 Z1,0 .. .

Z0,1 Z1,1 .. .

... ...

Z0,k Z1,k .. .

... ...

Z0,n−i Z1,n−i .. .

... ...

Z0,n−1 Z1,n−1

Z0,n

i .. .

Zi,0 .. .

Zi,1 .. .

...

Zi,k .. .

...

Zi,n−i

n−k .. .

Zn−k,0 .. .

Zn−k,1 .. .

...

Zn−k,k

n−1 n

Zn−1,0 Zn,0

Zn−1,1

Erg¨anzt man das Abwicklungsdreieck der beobachtbaren Zuw¨achse um die nicht beobachtbaren zuk¨ unftigen Zuw¨achse, so erh¨alt man das Abwicklungsquadrat. 11.2.1 Beispiel (Abwicklungsdreieck). Das Abwicklungsdreieck Anfall– jahr i 0 1 2 3 4 5

0 1001 1113 1265 1490 1725 1889

Abwicklungsjahr k 1 2 3 854 990 1168 1383 1536

568 671 800 1007

565 648 744

4

5

347 422

148

wird jetzt als eine Realisation des Abwicklungsdreiecks der beobachtbaren Zuw¨ achse mit n = 5 verstanden.

11.2 Das Grundmodell

273

Neben den Zuw¨achsen Zi,k betrachten wir auch die Schadenst¨ande Si,k :=

k

Zi,l

l=0

F¨ ur die Zuw¨achse gilt dann " Zi,k =

Si,0

falls k = 0

Si,k − Si,k−1 sonst

Wir interpretieren Si,k als Summe aller Zahlungen in den Abwicklungsjahren l ∈ {0, 1, . . . , k} f¨ ur Sch¨aden aus dem Anfalljahr i ; diese Zahlungen werden also in den Kalenderjahren q ∈ {i, . . . , i +k} geleistet. Entsprechend unserer ur i+k ≤ n Annahme u ¨ber die Zuw¨achse sind auch die Schadenst¨ande Si,k f¨ beobachtbar und f¨ ur i + k > n nicht beobachtbar. Die beobachtbaren Schadenst¨ande werden ebenfalls in einem Abwicklungsdreieck dargestellt:

Anfall–

Abwicklungsjahr

jahr

0

1

...

k

...

n−i

...

n−1

n

0 1 .. .

S0,0 S1,0 .. .

S0,1 S1,1 .. .

... ...

S0,k S1,k .. .

... ...

S0,n−i S1,n−i .. .

... ...

S0,n−1 S1,n−1

S0,n

i .. .

Si,0 .. .

...

Si,n−i

Sn−k,0 .. .

Si,k .. . Sn−k,k

...

n−k .. .

Si,1 .. . Sn−k,1 .. .

n−1 n

Sn−1,0 Sn,0

...

Sn−1,1

Wir bezeichnen Si,n−i als letzten beobachtbaren Schadenstand und Si,n als Endschadenstand aus dem Anfalljahr i . Mit Ausnahme des Anfalljahres i = 0 sind die Endschadenst¨ande nicht beobachtbar.

274

Kapitel 11. Reservierung f¨ ur Sp¨ atsch¨ aden

11.2.2 Beispiel (Abwicklungsdreieck). F¨ ur das Anfalljahr 3 gilt 1490 = 1490 1490 + 1383 = 2873 1490 + 1383 + 1007 = 3880 Insgesamt erh¨alt man die Realisation Anfall– jahr i 0 1 2 3 4 5

0 1001 1113 1265 1490 1725 1889

Abwicklungsjahr k 1 2 3 1855 2103 2433 2873 3261

2423 2774 3233 3880

2988 3422 3977

4

5

3335 3844

3483

des Abwicklungsdreiecks der Schadenst¨ande.

Das Problem der Reservierung f¨ ur Sp¨atsch¨aden besteht darin, die Erwartungswerte der nicht beobachtbaren Schadenst¨ande oder Zuw¨achse zu sch¨atzen. Von besonderem Interesse ist dabei die Sch¨atzung der erwarteten Endschadenst¨ande E[Si,n ] .

11.3

Das chain–ladder Verfahren

Das chain–ladder Verfahren ist ein heuristisches Verfahren zur Sch¨atzung der Erwartungswerte der nicht beobachtbaren Schadenst¨ande, das in der Praxis entstanden ist und eine weite Verbreitung gefunden hat. Um das chain–ladder Verfahren definieren und interpretieren zu k¨onnen, ben¨otigen wir Annahmen an die gemeinsame Verteilung der Schadenst¨ande. Wir formulieren diese Annahmen als Modell: Das chain–ladder Modell: Die beobachtbaren Schadenst¨ande sind strikt positiv und alle Schadenst¨ande besitzen einen endlichen Erwartungswert. Wir nehmen im gesamten Abschnitt an, daß die Annahmen des chain–ladder Modells erf¨ ullt sind. F¨ ur jedes Anfalljahr i ∈ {0, 1, . . . , n} und jedes Abwicklungsjahr k ∈ {1, . . . , n} definieren wir den (individuellen) Abwicklungsfaktor Fi,k :=

Si,k Si,k−1

Die Abwicklungsfaktoren Fi,k sind f¨ ur i + k ≤ n beobachtbar und f¨ ur i + k > n nicht beobachtbar.

11.3 Das chain–ladder Verfahren

275

11.3.1 Beispiel (Abwicklungsdreieck). F¨ ur den Abwicklungsfaktor f¨ ur das Anfalljahr 3 und das Abwicklungsjahr 2 ergibt sich die Realisation 3880 2873

≈ 1.351

Insgesamt erh¨alt man f¨ ur die Realisationen der beobachtbaren Abwicklungsfaktoren das folgende Ergebnis: Anfall– jahr i 0 1 2 3 4 5

0

Abwicklungsjahr k 1 2 3 1.853 1.889 1.923 1.928 1.890

1.306 1.319 1.329 1.351

1.233 1.234 1.230

4

5

1.116 1.123

1.044

Man erkennt, daß die beobachtbaren Abwicklungsfaktoren eines festen Abwicklungsjahres sich nur unwesentlich voneinander unterscheiden.

Mit Hilfe der nicht beobachtbaren Abwicklungsfaktoren lassen sich die nicht beobachtbaren Schadenst¨ande in der Form k 

Si,k = Si,n−i

Fi,l

l=n−i+1

darstellen, wobei Si,n−i der letzte beobachtbare Schadenstand des Anfalljahres i ist. Das chain–ladder Verfahren besteht aus zwei Schritten: – F¨ ur jedes Abwicklungsjahr k ∈ {1, . . . , n} wird der chain–ladder Faktor n−k j=0 Sj,k CL Fk := n−k j=0 Sj,k−1 –

gebildet. F¨ ur jedes Anfalljahr i ∈ {0, 1, . . . , n} und jedes Abwicklungsjahr k ∈ {n−i, . . . , n} wird aus dem letzten beobachtbaren Schadenstand und den chain–ladder Faktoren der zuk¨ unftigen Abwicklungsjahre der chain–ladder Sch¨atzer CL := Si,n−i Si,k

k 

FlCL

l=n−i+1 CL f¨ ur den erwarteten Schadenstand E[Si,k ] gebildet. Es gilt Si,n−i = Si,n−i .

276

Kapitel 11. Reservierung f¨ ur Sp¨ atsch¨ aden

Wegen

n−k j=0 Sj,k CL  = n−k Fk j=0 Sj,k−1 =

n−k j=0

=

n−k j=0

Sj,k−1 Sj,k n−k S j,k−1 h=0 Sh,k−1 Sj,k−1 Fj,k n−k h=0 Sh,k−1

ist jeder chain–ladder Faktor ein gewichtetes Mittel der beobachtbaren Abwicklungsfaktoren des betreffenden Abwicklungsjahres. Andererseits ist die Definition der chain–ladder Sch¨atzer der Gleichung k 

Si,k = Si,n−i

Fi,l

l=n−i+1

nachgebildet. 11.3.2 Beispiel (Abwicklungsdreieck). Aus dem Abwicklungsdreieck Anfall– jahr i 0 1 2 3 4 5

0 1001 1113 1265 1490 1725 1889

Abwicklungsjahr k 1 2 3 1855 2103 2433 2873 3261

2423 2774 3233 3880

2988 3422 3977

4

5

3335 3844

3483

ergeben sich f¨ ur die chain–ladder Faktoren der letzten Abwicklungsjahre die Realisationen 3483 ≈ 1.044 3335 7179 3335 + 3844 = ≈ 1.120 2988 + 3422 6410 10387 2988 + 3422 + 3977 = ≈ 1.232 2423 + 2774 + 3233 8430 Daraus ergeben sich f¨ ur die chain–ladder Sch¨atzer der erwarteten Schadenst¨ ande des Anfalljahres 3 die Realisationen 3880 × 1.232 ≈ 4780 4780 × 1.120 ≈ 5354 5354 × 1.044 ≈ 5590 Insgesamt erh¨alt man das folgende Ergebnis:

11.3 Das chain–ladder Verfahren Anfall– jahr i

Abwicklungsjahr k 1 2 3

0

0 1 2 3 4 5

277

1001 1113 1265 1490 1725 1889

Faktor

4

5

1855 2103 2433 2873 3261 3587

2423 2774 3233 3880 4334 4767

2988 3422 3977 4780 5339 5873

3335 3844 4454 5354 5980 6578

3483 4013 4650 5590 6243 6867

1.899

1.329

1.232

1.120

1.044

Hier sind die Realisationen der chain–ladder Sch¨atzer f¨ ur i + k > n in geneigter Schrift gesetzt.

F¨ ur i ∈ {0, 1, . . . , n} wird die Differenz CL := SCL − Si,n−i R i i,n als chain–ladder Reserve f¨ ur das Anfalljahr i bezeichnet. Die Summe CL := R

n

CL R i

i=0

wird als globale chain–ladder Reserve f¨ ur alle Anfalljahre bezeichnet. 11.3.3 Beispiel (Abwicklungsdreieck). F¨ ur die Realisation der chain–ladder Reserve f¨ ur das Anfalljahr 3 gilt 5590 − 3880 = 1710 Insgesamt erh¨alt man f¨ ur die Realisationen der beobachtbaren Schadenst¨ ande, der chain–ladder Sch¨atzer und der chain–ladder Reserven die folgende Tabelle: Anfall– jahr i 0 1 2 3 4 5

0 1001 1113 1265 1490 1725 1889

Abwicklungsjahr k 1 2 3 1855 2103 2433 2873 3261 3587

2423 2774 3233 3880 4334 4767

2988 3422 3977 4780 5339 5873

Reserve 4

5

3335 3844 4454 5354 5980 6578

3483 4013 4650 5590 6243 6867

Summe Die globale chain–ladder Reserve betr¨agt also 10 512 000 e.

0 169 673 1710 2982 4978 10512

278

Kapitel 11. Reservierung f¨ ur Sp¨ atsch¨ aden

Aufgabe 11.3.A Berechnen Sie f¨ ur die Daten aus dem Beispiel – f¨ ur jedes Abwicklungsjahr den chain–ladder Faktor nach der Definition und als gewichtetes Mittel der beobachtbaren Abwicklungsfaktoren. – f¨ ur jedes Anfalljahr die chain–ladder Sch¨ atzer der erwarteten zuk¨ unftigen Schadenst¨ande und die chain–ladder Reserve, sowie – die globale chain–ladder Reserve. Vergleichen Sie die chain–ladder Faktoren mit den arithmetischen Mitteln der beobachtbaren Abwicklungsfaktoren.

11.4

Das grossing–up Verfahren

Bei der Berechnung der chain–ladder Sch¨atzer f¨ ur die erwarteten Endschadenst¨ande ergeben sich als Zwischenergebnisse notwendigerweise die chain–ladder Sch¨atzer f¨ ur die Erwartungswerte aller nicht beobachtbaren Schadenst¨ande des betreffenden Anfalljahres. Diese zus¨atzliche Information ist von Interesse, wenn man die chain–ladder Reserve im Hinblick auf die Planung von Kapitalanlagen auf die zuk¨ unftigen Kalenderjahre aufteilen m¨ochte (asset–liability Management). Wir betrachten nun ein Verfahren, bei dem die erwarteten Endschadenst¨ande ohne die Sch¨atzung der Erwartungswerte der u ¨brigen nicht beobachtbaren Schadenst¨ande des betreffenden Anfalljahres direkt gesch¨atzt werden. Dieses Verfahren ist das grossing–up Verfahren. Wir nehmen im gesamten Abschnitt an, daß die Annahmen des chain–ladder Modells erf¨ ullt sind. Das grossing–up Verfahren ist ein rekursives Verfahren. Es besteht darin, daß f¨ ur alle i ∈ {0, 1, . . . , n} zun¨achst – die grossing–up Quote ⎧ ⎪ 1 falls i = 0 ⎪ ⎨  i−1 GU n−i := G j=0 Sj,n−i ⎪ ⎪ ⎩ i−1 SGU sonst j=0

–

j,n

und sodann der grossing–up Sch¨atzer Si,n−i GU := Si,n GU G n−i

f¨ ur den erwarteten Endschadenstand E[Si,n ] GU = S0,n . gebildet wird. Es gilt S0,n

11.4 Das grossing–up Verfahren

279

F¨ ur i ∈ {0, 1, . . . , n} wird die Differenz GU := SGU − Si,n−i R i i,n als grossing–up Reserve f¨ ur das Anfalljahr i bezeichnet. Die Summe GU := R

n

GU R i

i=0

wird als globale grossing–up Reserve f¨ ur alle Anfalljahre bezeichnet. 11.4.1 Beispiel (Abwicklungsdreieck). Aus dem Abwicklungsdreieck Anfall– jahr i

Abwicklungsjahr k 1 2 3

0

0 1 2 3 4 5

1001 1113 1265 1490 1725 1889

1855 2103 2433 2873 3261

2423 2774 3233 3880

2988 3422 3977

4

5

3335 3844

3483

ergeben sich f¨ ur die grossing–up Quoten der letzten Abwicklungsjahre und f¨ ur die grossing–up Sch¨atzer der ersten Anfalljahre die Realisationen 3483 1.000 3844 0.958 3977 0.855

1.000

2988 + 3422 3483 + 4013

=

3335 3483 6410 7496

≈ 0.958 ≈ 0.855

= 3483 ≈ 4013 ≈ 4651

Insgesamt erh¨alt man das folgende Ergebnis: Anfall– jahr i

0

Abwicklungsjahr k 1 2 3

Reserve 4

5

0 1 2 3 4 5

1001 1113 1265 1490 1725 1889

1855 2103 2433 2873 3261

2423 2774 3233 3880

2988 3422 3977

3335 3844

3483 4013 4651 5591 6247 6869

Quote

0.275

0.522

0.694

0.855

0.958

1.000

Summe Die globale grossing–up Reserve betr¨agt also 10 520 000.

0 169 674 1711 2986 4980

10520

280

Kapitel 11. Reservierung f¨ ur Sp¨ atsch¨ aden

Die in den Beispielen 11.4.1 und 11.3.2 berechneten Realisationen der grossing– up Sch¨atzer und der chain–ladder Sch¨atzer f¨ ur die erwarteten Endschadenst¨ande weichen nur geringf¨ ugig voneinander ab. Es wird sich zeigen, daß diese Abweichungen ausschließlich auf Rundungen zur¨ uckzuf¨ uhren sind. Das folgende Lemma stellt eine wichtige Beziehung zwischen den grossing–up Quoten und den chain–ladder Faktoren her: 11.4.2 Lemma. F¨ ur alle k ∈ {1, . . . , n} gilt GU FCL = G GU G k−1 k k

Beweis. Im Fall k = n gilt CL = S0,n−1 · S0,n GU G n−1 Fn S0,n S0,n−1 = 1 GU = G n Sei nun k ∈ {1, . . . , n−1} . Dann gilt Sn−k,k Sn−k,k = n−k−1 n−k Sj,k + Sn−k,k j=0 Sj,k j=0 Sn−k,k = n−k−1 GU GU  G S + Sn−k,k k

j=0

j,n

GU Sn−k,n = n−k GU j=0 Sj,n

und damit n−k−1 j=0

n−k j=0

Daraus folgt

Sj,k

Sj,k

Sn−k,k = 1 − n−k j=0 Sj,k GU Sn−k,n = 1 − n−k GU j=0 Sj,n n−k−1 GU Sj,n j=0 = n−k GU  j=0 Sj,n

11.4 Das grossing–up Verfahren GU FCL G k−1 k

281

n−k = =

j=0 Sj,k−1 n−k GU j=0 Sj,n n−k j=0 Sj,k n−k GU j=0 Sj,n n−k−1 Sj,k j=0

n−k j=0

· n−k j=0

Sj,k

Sj,k−1

= n−k−1 GU Sj,n j=0 GU = G k 2

Damit ist die Behauptung bewiesen. 11.4.3 Satz. F¨ ur alle i ∈ {0, 1, . . . , n} gilt GU CL = Si,n Si,n

Beweis. Aus Lemma 11.4.2 ergibt sich durch vollst¨andige Induktion f¨ ur alle i ∈ {0, 1, . . . , n} GU G n−i

n 

FlCL = 1

l=n−i+1

Daraus folgt die Behauptung.

2

Aufgrund des Satzes stimmen die grossing–up Sch¨atzer und die chain–ladder Sch¨atzer f¨ ur die erwarteten Endschadenst¨ande u ¨berein. Das grossing–up Verfahren l¨aßt sich erweitern, indem f¨ ur jedes Anfalljahr i ∈ {1, . . . , n} und jedes Abwicklungsjahr k ∈ {n−i, . . . , n−1} durch GU GU  GU Si,k Gk := Si,n

der grossing–up Sch¨atzer f¨ ur den erwarteten Schadenstand E[Si,k ] definiert wird. Es l¨aßt sich zeigen, daß auch diese grossing–up Sch¨atzer mit den entsprechenden chain–ladder Sch¨atzern u ¨bereinstimmen; vgl. Aufgabe 11.4.A.

Aufgaben 11.4.A Zeigen Sie, daß f¨ ur jedes Anfalljahr i ∈ {1, . . . , n} und jedes Abwicklungsjahr k ∈ {n − i, . . . , n − 1} der grossing–up Sch¨ atzer mit dem chain–ladder Sch¨atzer f¨ ur den erwarteten Schadenstand E[Si,k ] u ¨bereinstimmt. 11.4.B Berechnen Sie f¨ ur die Daten aus dem Beispiel die grossing–up Quoten und die grossing–up Sch¨atzer der erwarteten zuk¨ unftigen Schadenst¨ ande.

282

Kapitel 11. Reservierung f¨ ur Sp¨ atsch¨ aden

11.5

Das multiplikative Modell

Das chain–ladder Verfahren ist ohne Zweifel plausibel. Dennoch stellt sich die Frage, ob es, unter geeigneten Annahmen an die gemeinsame Verteilung aller Zuw¨achse, mit allgemeinen Prinzipien der Statistik vereinbar ist. In diesem Abschnitt betrachten wir ein besonders einfaches Modell zur Reservierung f¨ ur Sp¨atsch¨aden. In diesem Modell wird, zus¨atzlich zu den Annahmen des chain–ladder Modells, nur die Struktur der erwarteten Zuw¨achse E[Zi,k ] festgelegt. Das multiplikative Modell: Die beobachtbaren Zuw¨achse sind strikt positiv und es gibt α0 , α1 , . . . , αn ∈ (0, ∞) und ϑ0 , ϑ1 , . . . , ϑn ∈ (0, 1) mit n

ϑk = 1

k=0

derart, daß f¨ ur alle i, k ∈ {0, 1, . . . , n} E[Zi,k ] = αi ϑk gilt. Wir nehmen im gesamten Abschnitt an, daß die Annahmen des multiplikativen Modells erf¨ ullt sind. Im multiplikativen Modell, das offensichtlich ein Spezialfall des chain–ladder Modells ist, gilt f¨ ur alle i ∈ {0, 1, . . . , n} E[Si,n ] = αi Damit sind die erwarteten Zuw¨achse E[Zi,k ] proportional zum erwarteten Endschadenstand αi des Anfalljahres i und der Proportionalit¨atsfaktor ϑk h¨angt nur vom Abwicklungsjahr k ab. Die Gesamtheit der Parameter ϑ0 , ϑ1 , . . . , ϑn wird als Abwicklungsmuster bezeichnet. Zur Sch¨atzung der Parameter α0 , α1 , . . . , αn und ϑ0 , ϑ1 , . . . , ϑn betrachten wir 1 , . . . , α n und ϑ0 , ϑ1 , . . . , ϑn mit strikt positive Zufallsvariable α 0 , α n

ϑk = 1

k=0

wobei jede dieser Zufallsvariablen eine Funktion der beobachtbaren Zuw¨achse

11.5 Das multiplikative Modell

283

ist. Diese Zufallsvariablen werden als Marginalsummen–Sch¨atzer bezeichnet, wenn sie die Marginalsummen–Bedingungen n−i

n−i

Zi,k =

k=0

α i ϑk

k=0

f¨ ur alle i ∈ {0, 1, . . . , n} und n−k

n−k

Zi,k =

i=0

α i ϑk

i=0

f¨ ur alle k ∈ {0, 1, . . . , n} erf¨ ullen. Die Marginalsummen–Bedingungen sind den Gleichungen n−i

E[Zi,k ] =

k=0

n−i

αi ϑk

k=0

und n−k

E[Zi,k ] =

i=0

n−k

αi ϑk

i=0

nachgebildet, die sich unmittelbar aus dem multiplikativen Modell ergeben. Daher ist das Marginalsummen–Prinzip im multiplikativen Modell ein sehr nat¨ urliches Sch¨atzprinzip. Es stellt sich heraus, daß das Gleichungssystem, das die Marginalsummen–Sch¨atzer bestimmt, eine eindeutige und zudem u ¨berraschende L¨osung besitzt: 1 , . . . , α n und ϑ0 , ϑ1 , . . . , ϑn Zufallsvariable. Dann 11.5.1 Satz. Seien α 0 , α sind folgende Bedingungen ¨aquivalent: 1 , . . . , α n and ϑ0 , ϑ1 , . . . , ϑn sind Marginalsummen–Sch¨atzer. (a) α 0 , α (b) F¨ ur alle i, k ∈ {0, 1, . . . , n} gilt GU α i = Si,n

und

" ϑk =

GU G 0 GU G k

falls k = 0 −

GU G k−1

sonst

Insbesondere existieren eindeutig bestimmte Marginalsummen–Sch¨atzer, und die Marginalsummen–Sch¨atzer der erwarteten Endschadenst¨ande stimmen mit den chain–ladder Sch¨atzern u ¨berein.

284

Kapitel 11. Reservierung f¨ ur Sp¨ atsch¨ aden

Beweis. Wir nehmen zun¨achst an, daß (a) gilt, und f¨ uhren den Beweis durch vollst¨andige Induktion u ¨ber i ∈ {0, 1, . . . , n} .  Im Fall i = 0 folgt aus den Marginalsummen–Bedingungen wegen nk=0 ϑk = 1 zun¨achst n Z0,k α 0 = k=0 n  k=0 ϑk n = Z0,k k=0

= S0,n GU = S0,n

und sodann Z0,n ϑn = α 0 S0,n − S0,n−1 = GU S0,n = 1−

S0,n−1 GU S0,n

GU − G GU = G n n−1 Sei nun i ∈ {1, . . . , n} . Wir nehmen an, daß f¨ ur alle j ∈ {0, 1, . . . , i−1} GU α j = Sj,n

und GU − G GU ϑn−j = G n−j n−j−1 gilt. Dann gilt n−i

k=0 Zi,k n−i  k=0 ϑk Si,n−i = n 1 − k=n−i+1 ϑk Si,n−i = GU G

α i =

n−i

GU = Si,n

11.5 Das multiplikative Modell

285

Daraus ergibt sich f¨ ur i ∈ {1, . . . , n−1} mit Lemma 11.4.2 i j=0 Zj,n−i  ϑn−i = i j j=0 α i i j=0 Sj,n−i − j=0 Sj,n−i−1 = i GU j=0 Sj,n  i  i j=0 Sj,n−i j=0 Sj,n−i−1 = −1 i i GU j=0 Sj,n−i−1 j=0 Sj,n
 CL GU  = F − 1 G n−i

n−i−1

GU − G GU = G n−i n−i−1 und f¨ ur i = n ergibt sich ϑ0 = = =

=

n Zj,0 j=0 n α j nj=0 j=0 Sj,0 n GU j=0 Sj,n n−1 j=0 Sj,0 + Sn,0 n GU j=0 Sj,n  GU SGU GU n−1 SGU + G G 0 0 n,n j=0 j,n n GU S j,n

j=0

GU = G 0 Damit ist gezeigt, daß (b) aus (a) folgt. Wir nehmen nun an, daß (b) gilt. Dann gilt n

ϑk = 1

k=0

F¨ ur alle i ∈ {0, 1, . . . , n} gilt n−i

α i ϑk = α i

k=0

n−i

ϑk

k=0 GU  GU Gn−i = Si,n

= Si,n−i =

n−i k=0

Zi,k

286

Kapitel 11. Reservierung f¨ ur Sp¨ atsch¨ aden

F¨ ur k = 0 gilt n

α i ϑ0 =

i=0

n

GU  GU Si,n G0

i=0

GU = G 0

n−1

GU GU GU Si,n +G 0 Sn,n

i=0

= = =

n−1 i=0 n i=0 n

Si,0 + Sn,0 Si,0 Zi,0

i=0

und f¨ ur alle k ∈ {1, . . . , n} gilt nach Lemma 11.4.2 n−k

α i ϑk = ϑk

n−k

i=0

α i

i=0


=
=

GU − G GU G k k−1

n−k 

GU Si,n

i=0 n−k



GU FkCL − 1 G k−1

GU Si,n

i=0


=

=

=

FkCL − 1

n−k i=0 n−k

n−k 

Si,k −

Si,k−1

i=0 n−k

Si,k−1

i=0

Zi,k

i=0

Damit ist gezeigt, daß (a) aus (b) folgt.

2

Damit liefert das multiplikative Modell mit dem Marginalsummen–Prinzip eine einfache Begr¨ undung f¨ ur das chain–ladder Verfahren.

11.6

Das Multinomial–Modell

In diesem Abschnitt betrachten wir ein weiteres Modell zur Reservierung f¨ ur Sp¨atsch¨aden. In diesem Modell wird die gemeinsame Verteilung aller Zuw¨achse

11.6 Das Multinomial–Modell

287

vollst¨andig festgelegt. Das Multinomial–Modell: (i) Die Zuw¨achse aus verschiedenen Anfalljahren sind unabh¨angig in dem Sinn, daß f¨ ur jede Familie {Bi,k }i,k∈{0,1,...,n} ⊆ B(R) die Gleichung   n  n n n    {Zi,k ∈ Bi,k } = P {Zi,k ∈ Bi,k } P i=0 k=0

i=0

k=0

erf¨ ullt ist. (ii) Es gibt α0 , α1 , . . . , αn ∈ (0, ∞) derart, daß – f¨ ur alle i ∈ {0, 1, . . . , n} PSi,n = B(mi , ηi ) –

mit mi ηi = αi oder f¨ ur alle i ∈ {0, 1, . . . , n} PSi,n = P(αi )

–

oder f¨ ur alle i ∈ {0, 1, . . . , n} PSi,n = NB(βi , ηi )

mit βi ηi /(1−ηi ) = αi gilt. (iii) Es gibt ϑ0 , ϑ1 , . . . , ϑn ∈ (0, 1) mit n

ϑk = 1

k=0

derart, daß f¨ ur alle i ∈ {0, 1, . . . , n} und den Zufallsvektor Z i mit den Koordinaten Zi,0 , Zi,1 , . . . , Zi,n f¨ ur alle s ∈ N0 mit P [{Si,n = s}] > 0 PZ i |{Si,n =s} = M(s, ϑ0 , ϑ1 , . . . , ϑn ) gilt. Wir nehmen im gesamten Abschnitt an, daß die Annahmen des Multinomial– Modells erf¨ ullt sind. Das Multinomial–Modell bezieht sich auf Schadenzahlen, denn f¨ ur alle i, k ∈ {0, 1, . . . , n} gilt Zi,k ∈ L0 (N0 ) und damit auch Si,k ∈ L0 (N0 ) . Die Gesamtheit der Parameter ϑ0 , ϑ1 , . . . , ϑn wird als Abwicklungsmuster bezeichnet.

288

Kapitel 11. Reservierung f¨ ur Sp¨ atsch¨ aden

Unser Ziel ist es nun, die gemeinsame Verteilung aller beobachtbaren Zuw¨achse zu bestimmen. Dazu ben¨otigen wir das folgende Lemma: 11.6.1 Lemma. Sei i ∈ {0, 1, . . . , n} und sei p, q ∈ {0, 1, . . . , n} mit p ≤ q . (1) Im Fall PSi,n = B(mi , ηi ) gilt   q  {Zi,k = zi,k } P k=p

 mi − qk=p zi,k q q 8 9z mi ! q q = 1− ηi ϑk ηi ϑk i,k (mi − k=p zi,k )! k=p zi,k ! k=p k=p (2) Im Fall PSi,n = P(αi ) gilt   q  q

zi,k   −αi ϑk (αi ϑk ) {Zi,k = zi,k } = P e zi,k ! k=p k=p

(3) Im Fall PSi,n = NB(βi , ηi ) gilt   q  {Zi,k = zi,k } P k=p

 βi q  zi,k   Γ(βi + qk=p zi,k ) 1−ηi η i ϑk    = Γ(βi ) qk=p zi,k ! 1−ηi + ql=p ηi ϑl 1−ηi + ql=p ηi ϑl k=p

Beweis. In allen drei F¨allen gilt  n   P {Zi,k = zi,k } k=0

= P



n 

" {Zi,k = zi,k } ∩

Si,n =

n

# zi,k

5" # " # n 5 5 ·P Si,n = = P {Zi,k = zi,k } 5 Si,n = zi,k zi,k 5 k=0 k=0 k=0    " # n n ( nk=0 zi,k )!  zi,k n = ·P Si,n = ϑk zi,k k=0 zi,k ! k=0 k=0 k=0 n 

k=0 n

Wir betrachten den Binomial–Fall und f¨ uhren den Beweis durch vollst¨andige Induktion. Nach Voraussetzung gilt # " 

n n 9m − n z 8 mi z n 1−ηi i k=0 i,k ηi k=0 i,k = zi,k P Si,n = z i,k k=0 k=0

11.6 Das Multinomial–Modell

289

Daraus folgt   n  {Zi,k = zi,k } P k=0

   " # n n ( nk=0 zi,k )!  zi,k n = ·P Si,n = ϑk zi,k k=0 zi,k ! k=0 k=0   

 n n 9m − n z 8 ( nk=0 zi,k )!  zi,k mi z n = · n 1−ηi i k=0 i,k ηi k=0 i,k ϑk k=0 zi,k ! k=0 k=0 zi,k  mi − nk=0 zi,k n n 8 9z mi ! n n = 1− ηi ϑk i,k ηi ϑk (mi − k=0 zi,k )! k=0 zi,k ! k=0 k=0

Damit ist die Behauptung f¨ ur (p, q) = (0, n) gezeigt. Wir nehmen nun an, daß die Behauptung f¨ ur p, q ∈ {0, 1, . . . , n} mit p+1 ≤ q gilt. Dann ergibt sich aus  q−1  {Zi,k = zi,k } P k=p mi −

=

q−1

k=p

zi,k

P

zi,q =0 mi −

=

q 

 {Zi,k = zi,k }

k=p

 mi − qk=p zi,k q q 8 9z mi ! q q 1− ηi ϑk ηi ϑk i,k (m − z )! z ! i k=p i,k k=p i,k =0 k=p k=p

q−1

k=p

zi,q



zi,k

mi ! = q−1  (mi − k=p zi,k )! q−1 k=p zi,k !

1− ⎛

q−1

mi − q−1 q−1 k=p zi,k 8

ηi ϑk

k=p

q−1

 1−

k=p q−1 k=p



⎞mi − qk=p zi,k⎛

q

i k

mi ! = q−1  (mi − k=p zi,k )! q−1 k=p zi,k !

ηi ϑk

9zi,k

k=p

ηi ϑk ⎟ 1− 

⎜ k=p zi,k ⎜ ⎟ mi − q−1 z k=p ⎜ ⎟ i,k k=p ⎜ ⎟ q−1 ⎜ ⎟ z i,q zi,q =0 ⎝ 1− ηϑ ⎠

mi −

·



ηi ϑk

⎞zi,q

⎜ ⎜ ηi ϑq ⎜ ⎜ q−1 ⎜ ⎝ 1− ηϑ

i k

q−1 mi − k=p zi,k q−1 8

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

k=p

ηi ϑk

9zi,k

k=p

die Behauptung f¨ ur (p, q−1) , und in gleicher Weise ergibt sich die Behauptung f¨ ur (p+1, q) . Damit ist der Beweis im Binomial–Fall erbracht. Die Beweise im Poisson–Fall und im Negativbinomial–Fall verlaufen analog. 2 Aus dem Lemma ergeben sich insbesondere die Verteilungen der einzelnen Zuw¨achse:

290

Kapitel 11. Reservierung f¨ ur Sp¨ atsch¨ aden

11.6.2 Folgerung. Sei i, k ∈ {0, 1, . . . , n} . (1) Im Fall PSi,n = B(mi , ηi ) gilt PZi,k = B(mi , ηi ϑk ) . (2) Im Fall PSi,n = P(αi ) gilt PZi,k = P(αi ϑk ) . (3) Im Fall PSi,n = NB(βi , ηi ) gilt PZi,k = NB(βi , ηi ϑk /(1−ηi +ηi ϑk )) . Insbesondere gilt in allen drei F¨allen

E[Zi,k ] = αi ϑk Wegen E[Zi,k ] = αi ϑk erf¨ ullt das Multinomial–Modell eine Bedingung des multiplikativen Modells. Andererseits gilt f¨ ur das Ereignis 6 := Ω

n n−i  

{Zi,k > 0}

i=0 k=0

6 < 1 , w¨ahrend im multiplikativen Modell P [Ω] 6 =1 im Multinomial–Modell P [Ω] gilt. Aufgrund der Unabh¨angigkeit der Anfalljahre erhalten wir aus Lemma 11.6.1 auch die gemeinsame Verteilung aller beobachtbaren Zuw¨achse: 11.6.3 Lemma. (1) Im Fall PSi,n = B(mi , ηi ) f¨ ur alle i ∈ {0, 1, . . . , n} gilt  P

n n−i  

 {Zi,k = zi,k }

i=0 k=0

⎛ ⎞  n−i mi − n−i k=0 zi,k n−i n   8 9 mi ! z ⎝ = 1− ηi ϑk i,k⎠ ηi ϑk n−i n−i (m − z )! z ! i k=0 i,k k=0 i,k i=0 k=0 k=0 (2) Im Fall PSi,n = P(αi ) f¨ ur alle i ∈ {0, 1, . . . , n} gilt  P

n n−i  

 {Zi,k = zi,k }

i=0 k=0

 n  n−i

zi,k  −αi ϑk (αi ϑk ) e = zi,k ! i=0 k=0

(3) Im Fall PSi,n = NB(βi , ηi ) f¨ ur alle i ∈ {0, 1, . . . , n} gilt  P

n n−i   i=0 k=0

 {Zi,k = zi,k }

⎛  βi n−i  zi,k⎞ n−i n   Γ(β + z ) 1−η ϑ η i i k ⎝ i  k=0 i,k ⎠ = n−i n−i n−i z ! Γ(β ) η ϑ 1−η + 1−η + i i,k i i l i k=0 l=0 l=0 ηi ϑl i=0 k=0

11.6 Das Multinomial–Modell

291

Da wir an der Sch¨atzung der erwarteten Endschadenst¨ande αi = E[Si,n ] interessiert sind, die im Poisson–Fall bereits als Parameter auftreten, ersetzen wir im Binomial–Fall die Parameter mi durch mi =

αi ηi

und im Negativbinomial–Fall die Parameter βi durch βi =

αi (1−ηi ) ηi

Dann h¨angt die gemeinsame Verteilung aller beobachtbaren Zuw¨achse in allen F¨allen von den erwarteten Endschadenst¨anden α0 , α1 , . . . , αn und den Parametern ϑ0 , ϑ1 , . . . , ϑn (und im Binomial– und Negativbinomial–Fall außerdem von den Parametern η0 , η1 , . . . , ηn ) ab. Zur Sch¨atzung der unbekannten Parameter α0 , α1 , . . . , αn , ϑ0 , ϑ1 , . . . , ϑn und η0 , η1 , . . . , ηn (im Binomial– und Negativbinomial–Fall) verwenden wir das maximum–likelihood Prinzip. Der Grundgedanke des maximum–likelihood Prinzips besteht im vorliegenden Fall darin, f¨ ur jede Realisation {zi,k }i∈{0,1,...,n}, k∈{0,1,...,n−i} der Familie der beobachtbaren Zuw¨achse die von den Parametern α0 , α1 , . . . , αn , ϑ0 , ϑ1 , . . . , ϑn und η0 , η1 , . . . , ηn abh¨angige Wahrscheinlichkeit  n n−i   P {Zi,k = zi,k } i=0 k=0

durch geeignete Wahl der Parameter zu maximieren. Zur Verdeutlichung der Abh¨angigkeit dieser Wahrscheinlichkeit von den Parametern schreiben wir 5
 5 p {zi,k }i∈{0,1,...,n}, k∈{0,1,...,n−i}5 α0 , α1 , . . . , αn , ϑ0 , ϑ1 , . . . , ϑn , η0 , η1 , . . . , ηn  n n−i   := P {Zi,k = zi,k } i=0 k=0

und setzen 5 
5 L α0 , α1 , . . . , αn , ϑ0 , ϑ1 , . . . , ϑn , η0 , η1 , . . . , ηn 5 {zi,k }i∈{0,1,...,n}, k∈{0,1,...,n−i} 5
 5 := p {zi,k }i∈{0,1,...,n}, k∈{0,1,...,n−i}5 α0 , α1 , . . . , αn , ϑ0 , ϑ1 , . . . , ϑn , η0 , η1 , . . . , ηn

292

Kapitel 11. Reservierung f¨ ur Sp¨ atsch¨ aden

Zur Sch¨atzung der Parameter α0 , α1 , . . . , αn , ϑ0 , ϑ1 , . . . , ϑn und η0 , η1 , . . . , ηn betrachten wir strikt positive Zufallsvariable α 0 , α 1 , . . . , α n , ϑ0 , ϑ1 , . . . , ϑn und η0 , η1 , . . . , ηn mit n

ϑk = 1

k=0

und η0 , η1 , . . . , ηn < 1 , wobei jede dieser Zufallsvariablen eine Funktion der beobachtbaren Zuw¨achse ist. Diese Zufallsvariablen werden als maximum– likelihood Sch¨atzer bezeichnet, wenn sie alle partiellen Ableitungen (nach den Parametern) der durch 5 
5 L α0 , α1 , . . . , αn , ϑ0 , ϑ1 , . . . , ϑn , η0 , η1 , . . . , ηn 5 {Zi,k }i∈{0,1,...,n}, k∈{0,1,...,n−i} definierten likelihood Funktion annullieren (und damit die notwendige Bedingung f¨ ur Maximierer erf¨ ullen). Das folgende Lemma liefert die Gestalt der likelihood Funktion: 11.6.4 Lemma. (1) Im Fall PSi,n = B(mi , ηi ) f¨ ur alle i ∈ {0, 1, . . . , n} gilt 5 
5 L α0 , α1 , . . . , αn , ϑ0 , ϑ1 , . . . , ϑn , η0 , η1 , . . . , ηn5{Zi,k }i∈{0,1,...,n}, k∈{0,1,...,n−i} ⎛ ⎞  n−i mi − n−i k=0 Zi,k n−i n   8 9 ! m Z i = ⎝ 1− ηi ϑk ηi ϑk i,k⎠ n−i n−i (m − Z )! Z ! i k=0 i,k k=0 i,k i=0 k=0 k=0 mit mi = αi /ηi . (2) Im Fall PSi,n = P(αi ) f¨ ur alle i ∈ {0, 1, . . . , n} gilt 5
 5 L α0 , α1 , . . . , αn , ϑ0 , ϑ1 , . . . , ϑn , η0 , η1 , . . . , ηn5{Zi,k }i∈{0,1,...,n}, k∈{0,1,...,n−i}  n−i

n  Zi,k  −αi ϑk (αi ϑk ) e = Zi,k ! i=0 k=0

(3) Im Fall PSi,n = NB(βi , ηi ) f¨ ur alle i ∈ {0, 1, . . . , n} gilt 5
 5 L α0 , α1 , . . . , αn , ϑ0 , ϑ1 , . . . , ϑn , η0 , η1 , . . . , ηn5{Zi,k }i∈{0,1,...,n}, k∈{0,1,...,n−i} ⎛  βi n−i  Zi,k⎞ n−i n   Γ(β + Z ) 1−η η ϑ i i,k i i k ⎠ = ⎝  k=0  n−i Γ(βi ) n−i 1−ηi + n−i 1−η + η ϑ i i l k=0 Zi,k ! l=0 ηi ϑl l=0 i=0 k=0

mit βi = αi (1−ηi )/ηi .

11.6 Das Multinomial–Modell

293

Es stellt sich heraus, daß die maximum–likelihood Sch¨atzer im Fall ihrer Existenz die Marginalsummen–Bedingungen erf¨ ullen: 11.6.5 Satz. Wenn α 0 , α 1 , . . . , α n und ϑ0 , ϑ1 , . . . , ϑn (sowie η0 , η1 , . . . , ηn im Binomial– und Negativbinomial–Fall ) maximum–likelihood Sch¨atzer sind, dann 1 , . . ., α n und ϑ0 , ϑ1 , . . ., ϑn die Marginalsummen–Bedingungen. erf¨ ullen α 0 , α Beweis. Die likelihood Funktion L ist in allen drei F¨allen strikt positiv. Daher ist die log–likelihood Funktion 5 
5 log L α0 , α1 , . . . , αn , ϑ0 , ϑ1 , . . . , ϑn , η0 , η1 , . . . , ηn 5{Zi,k }i∈{0,1,...,n}, k∈{0,1,...,n−i} definiert und f¨ ur die Ableitung nach einem beliebigen Parameter der likelihood Funktion gilt (log L) = L /L . Daher stimmen die gemeinsamen Nullstellen der partiellen Ableitungen der likelihood Funktion mit den gemeinsamen Nullstellen der partiellen Ableitungen der log–likelihood Funktion u ¨berein. Im Binomial–Fall ergibt sich nun mit mi = αi /ηi aus Lemma 11.6.4 5
 5 log L α0 , α1 , . . . , αn , ϑ0 , ϑ1 , . . . , ϑn , η0 , η1 , . . . , ηn 5{Zi,k }i∈{0,1,...,n}, k∈{0,1,...,n−i}        n−i n n−i αi αi log Γ = +1 − log Γ − Zi,k + 1 − log(Zi,k !) ηi ηi i=0 k=0 k=0    n−i   n−i n−i
 αi − Zi,k log 1 − ηi ϑk + Zi,k log(ηi ) + log(ϑk ) + ηi k=0 k=0 k=0 Durch Nullsetzen der partiellen Ableitungen nach αi bzw. ηi erh¨alt man f¨ ur alle i ∈ {0, 1, . . . , n} die Gleichungen     n−i 1 Γ (αi /ηi + 1) Γ (αi /ηi − n−i k=0 Zi,k + 1) + ηi ϑk 0 = + log 1 −  ηi Γ(αi /ηi + 1) Γ(αi /ηi − n−i k=0 Zi,k + 1) k=0 und    n−i Γ (αi /ηi + 1) Γ (αi /ηi − n−i k=0 Zi,k + 1) + ηi ϑk + log 1 −  Γ(αi /ηi + 1) Γ(αi /ηi − n−i k=0 Zi,k + 1) k=0    n−i n−i ϑk − n−i αi 1 + − Zi,k + Zi,k k=0 n−i ηi η 1 − k=0 ηi ϑk k=0 i k=0

−αi 0 = ηi2



und damit die Marginalsummen–Bedingungen n−i k=0

αi ϑk =

n−i k=0

Zi,k

294

Kapitel 11. Reservierung f¨ ur Sp¨ atsch¨ aden

Ferner erh¨alt man durch Nullsetzen der partiellen Ableitungen nach ϑk f¨ ur alle j ∈ {0, 1, . . . , n} die Gleichung 0 =

n−j i=0



  n−i αi −ηi 1 − Zi,k + Zi,j  ηi ϑj 1 − n−i k=0 ηi ϑk k=0

und damit, unter Verwendung der bereits erhaltenen Marginalsummen–Bedingungen, die weiteren Marginalsummen–Bedingungen n−j

αi ϑj =

i=0

n−j

Zi,j

i=0

Damit ist der Beweis im Binomial–Fall erbracht. Der Beweis im Poisson–Fall ist elementar, und der Beweis im Negativbinomial– Fall verl¨auft wie der Beweis im Binomial–Fall. 2 Zusammen mit Satz 11.5.1 erhalten wir aus Satz 11.6.5 das folgende Ergebnis: 11.6.6 Folgerung. Auf dem Ereignis 6 = Ω

n n−i  

{Zi,k > 0}

i=0 k=0

stimmen die maximum–likelihood Sch¨atzer der erwarteten Endschadenst¨ande mit den chain–ladder Sch¨atzern u ¨berein. Damit liefert das Multinomial–Modell mit dem maximum–likelihood Prinzip eine weitere Begr¨ undung f¨ ur das chain–ladder Verfahren.

Aufgabe 11.6.A F¨ uhren Sie die fehlenden Teile der Beweise von Lemma 11.6.1 und Satz 11.6.5 aus.

11.7

Bemerkungen

Das chain–ladder Verfahren ist der bekannteste Vertreter einer Gruppe von Verfahren zur Reservierung f¨ ur Sp¨atsch¨aden, in denen die erwarteten Endschadenst¨ande durch Multiplikation der letzten beobachtbaren Schadenst¨ande mit geeigneten Faktoren gesch¨atzt werden. Da die chain–ladder Faktoren als gewichtete Mittel der beobachtbaren Abwicklungsfaktoren des betreffenden Abwicklungsjahres dargestellt werden k¨onnen, erh¨alt man eine Variante des

11.7 Bemerkungen

295

chain–ladder Verfahrens, indem man f¨ ur jedes Abwicklungsjahr k ∈ {1, . . . , n} eine Familie von Zufallsvariablen {Wj,k }j∈{0,1,...,n−k} mit n−k

Wj,k = 1

j=0

w¨ahlt und durch Si,k := Si,n−i

k 

Fl

l=n−i+1

mit Fk :=

n−k

Wj,k Fj,k

j=0

modifizierte chain–ladder Sch¨atzer definiert. Insbesondere kann man alle beobachtbaren Abwicklungsfaktoren eines Abwicklungsjahres gleich gewichten (arithmetisches Mittel) oder die beobachtbaren Abwicklungsfaktoren j¨ ungerer Anfalljahre st¨arker gewichten als die Abwicklungsfaktoren ¨alterer Anfalljahre. In Anbetracht der Vielfalt der M¨oglichkeiten, die beobachtbaren Abwicklungsfaktoren zu gewichten, stellt sich nat¨ urlich die Frage nach der optimalen Wahl der Gewichte; insbesondere stellt sich die Frage, unter welchen Bedingungen und in welchem Sinn die im chain–ladder Verfahren verwendeten Gewichte Sj,k−1 CL := n−k Wj,k h=0 Sh,k−1 optimal sind. Diese Frage wurde von Mack [1997] sowie von Schmidt und Schnaus [1996] und von Schmidt [1999a, 1999b, 1999c] untersucht. Das grossing–up Verfahren l¨aßt sich in ¨ahnlicher Weise variieren wie das chain– ladder Verfahren: Wegen GU G n−i =

i−1 j=0

GU Sj,n Sj,n−i i−1 GU GU h=0 Sh,n Sj,n

k¨onnen die grossing–up Quoten als gewichtete Mittel der (individuellen) Abwicklungsquoten GU := Sj,n−i G j,n−i GU Sj,n des betreffenden Abwicklungsjahres dargestellt werden. Durch die Wahl anderer Gewichte erh¨alt man modifizierte grossing–up Sch¨atzer.

296

Kapitel 11. Reservierung f¨ ur Sp¨ atsch¨ aden

¨ Die Ubereinstimmung der chain–ladder und grossing–up Sch¨atzer f¨ ur die erwarteten Endschadenst¨ande wurde von Lorenz und Schmidt [1999] gezeigt. Das ¨alteste stochastische Modell zur Begr¨ undung des chain–ladder Verfahrens ist das Poisson–Modell, das auf Hachemeister und Stanard [1975] zur¨ uckgeht: Das Poisson–Modell: (i) Die Familie aller Zuw¨achse ist unabh¨angig. (ii) Es gibt α0 , α1 , . . . , αn ∈ (0, ∞) und ϑ0 , ϑ1 , . . . , ϑn ∈ (0, 1) derart, daß f¨ ur alle i, k ∈ {0, 1, . . . , n} PZi,k = P(αi ϑk ) gilt. Wegen Lemma 11.6.1 ist das Poisson–Modell identisch mit dem Poisson–Fall des Multinomial–Modells. Das Multinomial–Modell wurde von Schmidt und W¨ unsche [1998] als Verallgemeinerung des Poisson–Modells vorgeschlagen; in dieser Arbeit wurde auch das multiplikative Modell als eigenst¨andiges Modell zur Begr¨ undung des chain–ladder Verfahrens eingef¨ uhrt. F¨ ur einen Vergleich verschiedener Modelle f¨ ur das chain–ladder Verfahren verweisen wir auf Hess und Schmidt [2002]. Die inhaltliche Verwandtschaft von Tarifierung und Reservierung findet ihren Niederschlag auch in den angewendeten Modellen und Methoden. Dies gilt insbesondere f¨ ur das multiplikative Modell und die Marginalsummen–Sch¨atzung, die seit langem bei der Tarifierung angewendet werden, wenn die Risiken eines Bestandes nach den Auspr¨agungen von Tarifmerkmalen, wie etwa Regionalklasse und Typklasse in der Kraftfahrt–Haftpflichtversicherung, klassifiziert werden; vgl. Mack [1997]. Andererseits k¨onnen die Modelle und Methoden der Erfahrungstarifierung auch bei der Reservierung f¨ ur Sp¨atsch¨aden angewendet werden; vgl. Witting [1987], Hesselager und Witting [1988] sowie Hess und Schmidt [2001]. F¨ ur weitere Einzelheiten zur Reservierung f¨ ur Sp¨atsch¨aden verweisen wir auf Mack [1997] und Taylor [2000] sowie auf Radtke und Schmidt [2004]. Die Reservierung f¨ ur Sp¨atsch¨aden stellt ein besonders vielschichtiges Problem der Versicherungswissenschaft dar, bei dem nicht nur mathematische, sondern vor allem auch rechtliche Aspekte zu ber¨ ucksichtigen sind. Eine Darstellung der nichtmathematischen Aspekte am Beispiel der Haftpflichtversicherung, die sich durch eine besonders lange Abwicklungsdauer auszeichnet, findet man bei Schmidt–Salzer [1984].

Sterbetafeln Die folgenden Sterbetafeln enthalten die von der Deutschen Aktuarvereinigung (DAV) bereitgestellten Sterbewahrscheinlichkeiten f¨ ur eine Versicherung auf den Todesfall und die zugeh¨origen Kommutationszahlen zum Zinssatz 3.25% . Die Werte f¨ ur x = (1−qx−1 ) x−1 und Dx = v x x sind ganzzahlig gerundet und die gerundeten Werte werden in der weiteren Rechnung verwendet. Die in den Sterbetafeln angegebenen Kommutationszahlen sind daher f¨ ur den Gebrauch in der Praxis nicht geeignet.

DAV–Sterbetafel 1994 T fu anner ¨ r M¨ x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

qx

x dx 0.011687 100000 1169 0.001008 98831 100 0.000728 98731 72 0.000542 98659 53 0.000473 98606 47 0.000452 98559 45 0.000433 98514 43 0.000408 98471 40 0.000379 98431 37 0.000352 98394 35 0.000334 98359 33 0.000331 98326 33 0.000340 98293 33 0.000371 98260 36 0.000451 98224 44 0.000593 98180 58 0.000792 98122 78 0.001040 98044 102 0.001298 97942 127 0.001437 97815 141

Dx 100000 95720 92613 89633 86765 83994 81313 78719 76210 73783 71435 69164 66964 64834 62771 60768 58820 56923 55074 53271

Cx 1132 94 65 47 40 37 34 31 28 25 23 22 22 23 27 35 45 57 69 74

Nx 2774172 2674172 2578452 2485839 2396206 2309441 2225447 2144134 2065415 1989205 1915422 1843987 1774823 1707859 1643025 1580254 1519486 1460666 1403743 1348669

Mx 12674 11542 11448 11383 11336 11296 11259 11225 11194 11166 11141 11118 11096 11074 11051 11024 10989 10944 10887 10818

298

Sterbetafeln x 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

qx 0.001476 0.001476 0.001476 0.001476 0.001476 0.001476 0.001476 0.001476 0.001476 0.001476 0.001476 0.001476 0.001489 0.001551 0.001641 0.001747 0.001869 0.002007 0.002167 0.002354 0.002569 0.002823 0.003087 0.003387 0.003726 0.004100 0.004522 0.004983 0.005508 0.006094 0.006751 0.007485 0.008302 0.009215 0.010195 0.011236 0.012340 0.013519 0.014784 0.016150 0.017625

x 97674 97530 97386 97242 97098 96955 96812 96669 96526 96384 96242 96100 95958 95815 95666 95509 95342 95164 94973 94767 94544 94301 94035 93745 93427 93079 92697 92278 91818 91312 90756 90143 89468 88725 87907 87011 86033 84971 83822 82583 81249

dx 144 144 144 144 143 143 143 143 142 142 142 142 143 149 157 167 178 191 206 223 243 266 290 318 348 382 419 460 506 556 613 675 743 818 896 978 1062 1149 1239 1334 1432

Dx 51520 49825 48185 46600 45066 43583 42149 40762 39421 38124 36869 35656 34483 33347 32247 31181 30147 29143 28169 27224 26305 25411 24542 23696 22872 22070 21287 20524 19779 19051 18339 17642 16958 16288 15630 14984 14349 13726 13114 12513 11924

Cx 74 71 69 67 64 62 60 58 56 54 53 51 50 50 51 53 55 57 59 62 65 69 73 78 83 88 93 99 106 112 120 128 136 145 154 163 172 180 188 196 204

Nx 1295398 1243878 1194053 1145868 1099268 1054202 1010619 968470 927708 888287 850163 813294 777638 743155 709808 677561 646380 616233 587090 558921 531697 505392 479981 455439 431743 408871 386801 365514 344990 325211 306160 287821 270179 253221 236933 221303 206319 191970 178244 165130 152617

Mx 10744 10670 10599 10530 10463 10399 10337 10277 10219 10163 10109 10056 10005 9955 9905 9854 9801 9746 9689 9630 9568 9503 9434 9361 9283 9200 9112 9019 8920 8814 8702 8582 8454 8318 8173 8019 7856 7684 7504 7316 7120

Sterbetafeln x 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

qx 0.019223 0.020956 0.022833 0.024858 0.027073 0.029552 0.032350 0.035632 0.039224 0.043127 0.047400 0.052110 0.057472 0.063440 0.070039 0.077248 0.085073 0.093534 0.102662 0.112477 0.122995 0.134231 0.146212 0.158964 0.172512 0.186896 0.202185 0.218413 0.235597 0.253691 0.272891 0.293142 0.314638 0.337739 0.362060 0.388732 0.419166 0.452008 0.486400 0.527137 1.000000

299

x 79817 78283 76643 74893 73031 71054 68954 66723 64346 61822 59156 56352 53415 50345 47151 43849 40462 37020 33557 30112 26725 23438 20292 17325 14571 12057 9804 7822 6114 4674 3488 2536 1793 1229 814 519 317 184 101 52 25

dx 1534 1640 1750 1862 1977 2100 2231 2377 2524 2666 2804 2937 3070 3194 3302 3387 3442 3463 3445 3387 3287 3146 2967 2754 2514 2253 1982 1708 1440 1186 952 743 564 415 295 202 133 83 49 27 25

Dx 11345 10777 10219 9671 9134 8607 8090 7581 7081 6589 6107 5634 5172 4722 4283 3858 3448 3055 2682 2331 2004 1702 1427 1180 961 770 607 469 355 263 190 134 92 61 39 24 14 8 4 2 1

Cx 211 219 226 233 239 246 253 262 269 275 280 284 288 290 290 289 284 277 267 254 239 221 202 182 161 139 119 99 81 65 50 38 28 20 14 9 6 3 2 1 1

Nx 140693 129348 118571 108352 98681 89547 80940 72850 65269 58188 51599 45492 39858 34686 29964 25681 21823 18375 15320 12638 10307 8303 6601 5174 3994 3033 2263 1656 1187 832 569 379 245 153 92 53 29 15 7 3 1

Mx 6916 6705 6486 6260 6027 5788 5542 5289 5027 4758 4483 4203 3919 3631 3341 3051 2762 2478 2201 1934 1680 1441 1220 1018 836 675 536 417 318 237 172 122 84 56 36 22 13 7 4 2 1

300

Sterbetafeln

DAV–Sterbetafel 1994 T fu ¨ r Frauen x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38

qx

x 0.009003 100000 0.000867 99100 0.000624 99014 0.000444 98952 0.000345 98908 0.000307 98874 0.000293 98844 0.000283 98815 0.000275 98787 0.000268 98760 0.000261 98734 0.000260 98708 0.000267 98682 0.000281 98656 0.000307 98628 0.000353 98598 0.000416 98563 0.000480 98522 0.000537 98475 0.000560 98422 0.000560 98367 0.000560 98312 0.000560 98257 0.000560 98202 0.000560 98147 0.000560 98092 0.000560 98037 0.000581 97982 0.000612 97925 0.000645 97865 0.000689 97802 0.000735 97735 0.000783 97663 0.000833 97587 0.000897 97506 0.000971 97419 0.001057 97324 0.001156 97221 0.001267 97109

dx 900 86 62 44 34 30 29 28 27 26 26 26 26 28 30 35 41 47 53 55 55 55 55 55 55 55 55 57 60 63 67 72 76 81 87 95 103 112 123

Dx 100000 95981 92879 89899 87030 84262 81585 78994 76486 74058 71708 69432 67229 65096 63029 61026 59084 57201 55374 53602 51886 50224 48616 47060 45553 44094 42682 41316 39992 38709 37467 36263 35095 33964 32868 31805 30774 29773 28803

Cx 872 81 56 39 29 25 23 22 20 19 18 18 17 18 19 21 24 26 29 29 28 27 26 26 25 24 23 23 24 24 25 26 26 27 28 30 32 33 35

Nx 2855451 2755451 2659470 2566591 2476692 2389662 2305400 2223815 2144821 2068335 1994277 1922569 1853137 1785908 1720812 1657783 1596757 1537673 1480472 1425098 1371496 1319610 1269386 1220770 1173710 1128157 1084063 1041381 1000065 960073 921364 883897 847634 812539 778575 745707 713902 683128 653355

Mx 10117 9245 9164 9108 9069 9040 9015 8992 8970 8950 8931 8913 8895 8878 8860 8841 8820 8796 8770 8741 8712 8684 8657 8631 8605 8580 8556 8533 8510 8486 8462 8437 8411 8385 8358 8330 8300 8268 8235

Sterbetafeln x 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79

qx 0.001390 0.001524 0.001672 0.001812 0.001964 0.002126 0.002295 0.002480 0.002676 0.002902 0.003151 0.003425 0.003728 0.004066 0.004450 0.004862 0.005303 0.005777 0.006302 0.006884 0.007530 0.008240 0.009022 0.009884 0.010839 0.011889 0.013054 0.014371 0.015874 0.017667 0.019657 0.021861 0.024344 0.027191 0.030576 0.034504 0.039030 0.044184 0.050014 0.056574 0.063921

301

x 96986 96851 96703 96541 96366 96177 95973 95753 95516 95260 94984 94685 94361 94009 93627 93210 92757 92265 91732 91154 90526 89844 89104 88300 87427 86479 85451 84336 83124 81804 80359 78779 77057 75181 73137 70901 68455 65783 62876 59731 56352

dx 135 148 162 175 189 204 220 237 256 276 299 324 352 382 417 453 492 533 578 628 682 740 804 873 948 1028 1115 1212 1320 1445 1580 1722 1876 2044 2236 2446 2672 2907 3145 3379 3602

Dx 27861 26946 26058 25196 24359 23546 22756 21989 21244 20520 19817 19133 18467 17819 17188 16573 15973 15388 14818 14261 13717 13185 12665 12156 11657 11167 10687 10216 9752 9295 8843 8397 7955 7517 7082 6649 6218 5787 5357 4929 4504

Cx 38 40 42 44 46 48 51 53 55 58 60 63 67 70 74 78 82 86 90 95 100 105 111 116 122 129 135 142 150 159 168 178 188 198 210 222 235 248 260 270 279

Nx 624552 596691 569745 543687 518491 494132 470586 447830 425841 404597 384077 364260 345127 326660 308841 291653 275080 259107 243719 228901 214640 200923 187738 175073 162917 151260 140093 129406 119190 109438 100143 91300 82903 74948 67431 60349 53700 47482 41695 36338 31409

Mx 8200 8162 8122 8080 8036 7990 7942 7891 7838 7783 7725 7665 7602 7535 7465 7391 7313 7231 7145 7055 6960 6860 6755 6644 6528 6406 6277 6142 6000 5850 5691 5523 5345 5157 4959 4749 4527 4292 4044 3784 3514

302

Sterbetafeln x 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

qx 0.072101 0.081151 0.091096 0.101970 0.113798 0.126628 0.140479 0.155379 0.171325 0.188318 0.206375 0.225558 0.245839 0.267270 0.289983 0.314007 0.340119 0.367388 0.397027 0.428748 0.462967 1.000000

x 52750 48947 44975 40878 36710 32532 28413 24422 20627 17093 13874 11011 8527 6431 4712 3346 2295 1514 958 578 330 177

dx 3803 3972 4097 4168 4178 4119 3991 3795 3534 3219 2863 2484 2096 1719 1366 1051 781 556 380 248 153 177

Dx 4083 3670 3266 2875 2500 2146 1815 1511 1236 992 780 600 450 328 233 160 106 68 42 24 13 7

Cx 285 288 288 284 276 263 247 227 205 181 156 131 107 85 65 49 35 24 16 10 6 7

Nx 26905 22822 19152 15886 13011 10511 8365 6550 5039 3803 2811 2031 1431 981 653 420 260 154 86 44 20 7

Mx 3235 2950 2662 2374 2090 1814 1551 1304 1077 872 691 535 404 297 212 147 98 63 39 23 13 7

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Verzeichnis der Symbole Zahlen x+ x+k x− |x|

max{x, 0} (x+ )k max{−x, 0} max{x, −x}

Mengen 2M Mk |M | χ M i∈I

Mi

Potenzmenge der Menge M k–faches kartesisches Produkt der Menge M Anzahl der Elemente der Menge M Indikatorfunktion der Menge M Vereinigung der disjunkten Familie {Mi }i∈I

Mengen von Zahlen und Vektoren N N0 R R+ R Rm

die Menge {1, 2, . . . } die Menge {0, 1, 2, . . . } die Menge der reellen Zahlen das Intervall [0, ∞) die Menge der erweiterten reellen Zahlen der m–dimensionale Euklidische Raum

Wahrscheinlichkeitsrechnung P [A] P [A|C] E[X] E[X|C] var[X] var[X|C] cov[X, Y ] cov[X, Y |C] σ[X] v[X] mX

Wahrscheinlichkeit von A bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter C Erwartungswert von X bedingter Erwartungswert von X unter C Varianz von X bedingte Varianz von X unter C Kovarianz von X und Y bedingte Kovarianz von X und Y unter C Standardabweichung von X Variationskoeffizient von X erzeugende Funktion von X

308 wX BX PX 0 SX 1 SX

Verzeichnis der Symbole Wachstumsfunktion von X Tr¨ager von X Verteilung von X ¨ Uberlebensfunktion von X ¨ integrierte Uberlebensfunktion von X

Verteilungen B(ϑ) B(n, ϑ) Geo(n, ϑ) H(n, N, K) Log(ϑ) M(n, ϑ1 , . . . , ϑm ) NB(β, ϑ) NM(β, ϑ1 , . . . , ϑm ) P(α) PH(n, N, N1 , . . . , Nm )

Bernoulli–Verteilung Binomial–Verteilung geometrische Verteilung hypergeometrische Verteilung logarithmische Verteilung Multinomial–Verteilung Negativbinomial–Verteilung Negativmultinomial–Verteilung Poisson–Verteilung polyhypergeometrische Verteilung

Familien von Mengen, Folgen, Zufallsvariablen und Verteilungen B(R) B(R) B(Rm ) F H(I) H(k) H(k, m) L0 (N0 ) L0 (R+ ) L0 (R) Lk (N0 ) Lk (R+ ) Lk (R) LH M0 (N0 ) M1 (N0 ) P k (N0 )

Borel’sche σ–Algebra auf R Borel’sche σ–Algebra auf R Borel’sche σ–Algebra auf Rm σ–Algebra der Ereignisse Familie der endlichen Teilmengen von I Familie der streng monoton wachsenden Folgen {ni }i∈{1,...,k} Familie der Folgen {ni }i∈{1,...,k} ∈ H(k) mit nk = m Familie der diskreten Zufallsvariablen X mit X(Ω) ⊆ N0 Familie der diskreten Zufallsvariablen X mit X(Ω) ⊆ R+ Familie der diskreten Zufallsvariablen Familie der Zufallsvariablen X ∈ L0 (N0 ) mit E[|X|k ] < ∞ Familie der Zufallsvariablen X ∈ L0 (R+ ) mit E[|X|k ] < ∞ Familie der Zufallsvariablen X ∈ L0 (R) mit E[|X|k ] < ∞ Definitionsbereich des Pr¨amienprinzips H Familie der Folgen f : N0 → R mit ∆f ≥ 0 Familie der Folgen f : N0 → R mit ∆f ≥ 0 und ∆2 f ≥ 0 Familie der Verteilungen der Zufallsvariablen in Lk (N0 )

Relationen ≈ ≤0 ≤k

n¨aherungsweise Gleichheit stochastische Ordnung stop–loss Ordnung vom Grad k

Verzeichnis der Symbole Finanzmathematik i p q v

Zinssatz Zins(fuß) Aufzinsungsfaktor Abzinsungsfaktor

Lebensversicherung dx

x px qx Cx Dx Mx Nx Tx k px k qx k Bx (∆) k Bx (Λ) k Bx (Π) k Kx k Lx Px [A] Ex [X] varx [X] covx [X, Y ]

Zahl der Toten Zahl der Lebenden ¨ einj¨ahrige Uberlebenswahrscheinlichkeit einj¨ahrige Sterbewahrscheinlichkeit abgezinste Zahl der Toten abgezinste Zahl der Lebenden summierte abgezinste Zahl der Toten summierte abgezinste Zahl der Lebenden verbleibende Lebensdauer ¨ k–j¨ahrige Uberlebenswahrscheinlichkeit k–j¨ahrige Sterbewahrscheinlichkeit Leistungsbarwert im Todesfall zum Zeitpunkt k Leistungsbarwert im Erlebensfall zum Zeitpunkt k Pr¨amienbarwert zum Zeitpunkt k Deckungskapital zum Zeitpunkt k Verlust des Versicherers im Versicherungsjahr k+1 P [A|{0 < Tx }] E[X|{0 < Tx }] var[X|{0 < Tx }] cov[X, Y |{0 < Tx }]

309

Verzeichnis der Beispiele Bei gruppierten Beispielen zur Finanz- Geometrische Verteilung, 55, 70, 74, 88, 101, 106, 107 mathematik und zur Lebensversicherung werden nur die Beispielgruppen genannt.

A Abh¨angige unkorrelierte Zufallsvariable, 91 Abwicklungsdreieck, 270, 271, 272, 274, 275, 276, 277, 279 Additive Pr¨amienprinzipien, 262 Aufteilung der Pr¨amie, 266

B

H Hypergeometrische Verteilung, 54, 74, 87

I Indikatorfunktion, 51, 52, 53, 76

K

Karlsruhe–Prinzip, 266 Bausparen, 15, 17 Kauf gegen Rente, 23 Bedingte Verteilung, 71 Bernoulli–Verteilung, 53, 74, 87 Binomial–Verteilung, 54, 70, 74, 87, 100, L 105, 107; 211, 214, 217, 228 Lebensdauer und verbleibende Bundesschatzbrief, 10 Lebensdauer, 115 Logarithmische Verteilung, 55, 74, 88, D 101, 106 Dreimaliger Wurf einer M¨ unze, 27, 35, 45

M

E

Multinomial–Verteilung, 62

Effektivzins, 12 Erwartungswert, 79, 80 Exponential–Prinzip, 256

N

G Gemischte Versicherung, 112, 122, 127, 133 Gesamtschaden, 168

Nachsch¨ ussige Renten, 21, 22 Negativbinomial–Verteilung, 55, 70, 74, 88, 101, 106, 107 Negativmultinomial–Verteilung, 63 Nettopr¨amien–Prinzip, 256 Nullnutzen–Prinzip, 256

312

Verzeichnis der Beispiele

P

Z

Panjer–Klasse, 213, 217, 229 Poisson–Verteilung, 54, 70, 74, 87, 100, 105, 107 Polyhypergeometrische Verteilung, 62 Pr¨ amien, 113, 122, 127, 133 Problem der Doppelsechs, 26, 34 Probl`eme des parties, 26, 27, 34, 36

Ziehen mit Zur¨ ucklegen, 40, 41, 43, 47, 65, 68 Ziehen ohne Zur¨ ucklegen, 39, 41, 43, 47, 64, 67 Zweimaliger Wurf einer M¨ unze, 45

R R¨ uckversicherungsprogramm, 206

S Schadenversicherung, 152, 161 Schadenzahl, 200 Sicherheitszuschlag, 148 Sparbuch, 8, 11 Spezielle Verteilungen, 53, 62, 70, 74, 87, 100, 105, 107 Standardabweichung–Prinzip, 266 Stiftungskapital, 23 Strikt positive Schadenh¨ohen, 155 Subadditive Pr¨amienprinzipien, 263 Summenexzedent, 186, 187, 188

U Urnenmodelle, 39, 41, 43, 47, 64, 67

V Varianz–Prinzip, 266 Versicherung auf den Erlebensfall, 111, 121, 126, 132 Versicherung auf den Todesfall, 110, 121, 126, 132 Verzinsung, 8 Vorsch¨ ussige Renten, 20, 21

W Wurf eines W¨ urfels, 26, 29, 30

Namenverzeichnis A

K

Albrecht, P., 162

Klugman, S. A., 181 Koch, P., 4 Krengel, U., 3 Kuon, S., 162 Kurzend¨ orfer, V., 140

B Bauer, H., 4 Billingsley, P., 4

D DePril, N., 182 DeVylder, F., 268 Dienst, H. R., 208

E Eisen, R., 4

L Liebwein, P., 205, 208 Liewald, A., 182 Locarek–Junge, H., 24 Lorenz, H., 296

M

Farny, D., 4

Mack, T., 181, 208, 295, 296 Mammitzsch, V., 266, 268 Milbrodt, H., 4, 118, 140 M¨ uller, A., 238

G

P

Gerathewohl, K., 208 Gerber, H., 140, 268 Goovaerts, M. J., 238, 268

Panjer, H. H., 181 Pfeiffer, C., 208

F

R H Hachemeister, C. A., 296 Haezendonck, J., 268 Heilmann, W. R., 268 Helbig, M., 4, 118, 140 Hess, K. T., 182, 208, 268, 296 Hesselager, O., 238, 296

J Jewell, W. S., 181

Radtke, M., 162, 296 Reich, A., 162, 268

S Schmidt, K. D., 4, 55, 182, 208, 268, 295, 296 Schmidt–Salzer, J., 296 Schmitz, N., 4 Schnaus, A., 295 Schradin, H. R., 208

314 Schr¨oter, K. J., 182 Shaked, M., 238 Shanthikumar, J. G., 238 Stanard, J. N., 296 Sterk, H. P., 208 Stoyan, D., 238 Sundt, B., 181

T Taylor, G. C., 296 Timpel, M., 268

W Walter, W., 4 Willmot, G. E., 181 Witting, T., 296 W¨ unsche, A., 296

Z Zweifel, P., 4

Namenverzeichnis

Sachverzeichnis A abgeschlossenes Intervall, 61 abgezinste Zahl der Lebenden, 125 abgezinste Zahl der Toten, 125 abh¨angige Ereignisse, 42, 44 abh¨angige unkorrelierte Zufallsvariable, 91 abh¨angige Zufallsvariable, 65 absolute H¨aufigkeit, 29 Abwicklungsdreieck, 270 Abwicklungsfaktor, 274 Abwicklungsjahr, 270 Abwicklungsmuster, 271, 282, 287 Abwicklungsquadrat, 272 Abwicklungsquote, 295 abz¨ahlbare Menge, 28 Abzinsungsfaktor, 8, 20 additives Pr¨amienprinzip, 262 aggregate excess–of–loss, 205 allgemeine Quote, 184 Anfalljahr, 270 Anfangskapital, 182 Annuit¨at, 16 Anteil der Erfolge, 30 Anzahl der Erfolge, 29 Anzahl der g¨ unstigen F¨alle, 35 Anzahl der m¨oglichen F¨alle, 35 Anzahl der Großsch¨aden, 196 Anzahl der Sch¨aden, 164 Anzahl der strikt positiven Schadenh¨ohen, 154 Anzahl der Zinstermine, 11 ¨aquivalente Nutzenfunktionen, 257, 261 ¨ Aquivalenzprinzip, 113, 118, 122, 134 asset–liability Management, 135, 278 aufgeschobene Leibrente, 111, 121, 126, 132, 133 aufgeschobene Rente, 19, 20, 21, 22

Aufschubzeit, 24 Aufteilung der Pr¨ amie, 261, 266 Aufzinsungsfaktor, 8, 20 Ausgleich im Kollektiv, 2, 141, 146, 148, 151, 183, 263, 264, 266 ausreichende Pr¨ amie, 1 Ausscheideordnung, 114, 116

B Barwert, 7, 20, 22, 132, 135 Bausparen, 15, 17 bedingte Kovarianz, 99 bedingte relative H¨ aufigkeit, 46 bedingte Varianz, 99 bedingte Verteilung, 71 bedingte Wahrscheinlichkeit, 46 bedingter Erwartungswert, 97, 98 bedingtes Moment, 97 Bernoulli–Verteilung, 53, 74, 87 beschr¨ankte Zufallsvariable, 82 Bestand, 141 Binomial–Koeffizient, 37, 38 Binomial–Modell, 141, 152, 154 Binomial–Moment, 103 Binomial–Verteilung, 54, 70, 74, 87, 100, 105, 107, 211, 214, 217, 228 Binomischer Satz, 38 Borel’sche σ–Algebra, 50, 61 Bruttopr¨ amie, 239 Bundesschatzbrief, 10

C Cat XL R¨ uckversicherung, 205 chain–ladder Faktor, 275 chain–ladder Modell, 274 chain–ladder Reserve, 277

316

Sachverzeichnis

chain–ladder Sch¨atzer, 275, 295 chain–ladder Verfahren, 274, 275

Erwartungswert–Prinzip, 244, 250, 252, 262, 263 erweitert reelle Zufallsvariable, 60 erzeugende Funktion, 100 D Esscher–Prinzip, 249, 253 ewige Rente, 20, 21, 22 Deckungskapital, 129, 134, 135 excess–of–loss R¨ uckversicherung, 205 disjunkte Ereignisse, 29 explizites Pr¨ amienprinzip, 244 diskrete Zufallsvariable, 52 Exponential–Prinzip, 247, 250, 256, 262 diskreter Zufallsvektor, 62 dreimaliger Wurf einer M¨ unze, 27, 35, 45 Exzedent, 205 durchschnittlicher Zinssatz, 9

F E Ecomor R¨ uckversicherung, 203 effektiver Zins, 9 effektiver Zinssatz, 9, 11, 12 Effektivzins, 7, 9, 11, 12 eindimensionale Randverteilung, 64 einfache Verzinsung, 8 Einmalpr¨amie, 113, 122, 127, 133, 135 Eintreten eines Ereignisses, 29 Eintrittsalter, 114 Einzelschadenexzedent, 191, 203, 204, 205, 269 Einzelschadenreserve, 269 Einzelwahrscheinlichkeit, 53, 62 Elementarschadenversicherung, 164 endlicher bedingter Erwartungswert, 99 endlicher Erwartungswert, 80 endliches Moment, 80, 88, 94 Endschadenstand, 273 Endwert, 7, 23 Ereignis, 28 Erfahrungstarifierung, 254, 296 Ergebnis, 27 Ergebnismenge, 27 Erlebensfallversicherung, 111, 121, 126, 133 erste Priorit¨at, 201 Erstversicherer, 183 erwarteter Barwert, 118 erwarteter Endschadenstand, 274 erwarteter Gewinn, 266 erwartungstreuer Sch¨atzer, 150, 151 Erwartungswert, 73, 79, 80

Fakult¨at, 36 Faltung, 69 Faltungsformel, 69, 107 Fehlerwahrscheinlichkeit, 150 Feuerversicherung, 181, 189, 205 Finanzmathematik, 7 F¨ unf–Gamma–Formel, 38

G Gammafunktion, 38 gemeinsame Verteilung, 64 gemischte Versicherung, 111, 112, 122, 127, 133 gemischte Verzinsung, 10 geometrische Verteilung, 55, 60, 70, 72, 74, 88, 101, 106, 107, 176 Gesamtschaden, 141, 142, 163, 164, 167, 168, 184, 186, 191, 202 Gesamtschaden–Prozeß, 182 Gesetz der Großen Zahlen, 148 Gewinn, 266 Gleichungen von Wald, 166, 169, 181 globale chain–ladder Reserve, 277 globale grossing–up Reserve, 279 Grenznutzen, 261 Gr¨oße eines Bestandes, 142 grossing–up Quote, 278 grossing–up Reserve, 279 grossing–up Sch¨ atzer, 278, 281, 295 grossing–up Verfahren, 278 Großschaden, 196 g¨ unstiger Fall, 35

Sachverzeichnis H

317

Kombinatorik, 36 Kommutationszahl, 123, 125 Haftpflichtversicherung, 181, 203, 269, konkave Funktion, 6 296 konsistente Folge von Sch¨ atzern, 150 Haftstrecke, 201 konstante Zufallsvariable, 82 Hausratversicherung, 141, 161, 181 konvexe Funktion, 6 H¨ochstalter, 128 Koordinate, 63 homogener Bestand, 141, 146, 152 Kovarianz, 89, 90 horizontale Risikoteilung, 205 Kovarianz–Prinzip, 145, 264, 265 hypergeometrische Verteilung, 54, 74, 87 Kraftfahrt–Haftpflichtversicherung, 3, 141, 146, 154, 161, 189, 209, 296 I Kraftfahrt–Kaskoversicherung, 3, 144, 202, 203, 208 IBNER, 269 Krankenversicherung, 208 IBNR, 269 Kumulschaden, 202 Indikatorfunktion, 51, 52, 53, 76 Kumulschadenexzedent, 202, 205 individuelle Abwicklungsquote, 295 individuelle Pr¨amie, 145 individuelle Quote, 185 L individueller Abwicklungsfaktor, 274 individuelles Modell, 141, 142, 144, 146, Laufzeit, 7, 14, 17 Layer, 201 152, 218, 221, 233, 236, 263, 265 individuelles Modell f¨ ur einen homogenen Lebensdauer, 114, 115 Lebensversicherung, 1, 3, 109, 141, 144, Bestand, 146 146, 239 inhomogener Bestand, 162, 164, 185 Leibrente, 111, 121, 126, 132, 133 integralinduzierte Ordnung, 238 Leistung, 110 ¨ integrierte Uberlebensfunktion, 221 Leistungsbarwert im Erlebensfall, 119, isotones Pr¨amienprinzip, 241, 250 131 Leistungsbarwert im Todesfall, 119, 131 J Leistungsplan auf den Erlebensfall, 111 Leistungsplan auf den Todesfall, 110 Jahr, 19, 109, 270 letzter beobachtbarer Schadenstand, 273 Jahresschadenexzedent, 202, 204, 205 likelihood Funktion, 292 Jahres¨ uberschadenexzedent, 205 Linearit¨ at des Erwartungswertes, 78, 84 j¨ahrliche Pr¨amieneinnahme, 182 log–likelihood Funktion, 293 logarithmische Verteilung, 55, 74, 88, K 101, 106, 176 Kalenderjahr, 19, 270 Kalkulation von Pr¨amien, 239 M Kapitalversicherung, 140 Marginalsummen–Bedingungen, 283 Karlsruhe–Prinzip, 249, 250, 266 Marginalsummen–Prinzip, 283 Katastrophenschadenexzedent, 205 Marginalsummen–Sch¨ atzer, 283 Kauf gegen Rente, 23 maximale Versicherungssumme, 188 Kollektiv, 141 maximaler Selbstbehalt, 185 kollektive Risikotheorie, 182 Maximalschaden–Prinzip, 267 kollektives Modell, 163, 164, 220, 234

318 Maximum, 185 maximum–likelihood Prinzip, 3, 291 maximum–likelihood Sch¨atzer, 292 Menge der Realisationen, 52, 62 Mittelwert–Prinzip, 247, 252, 253 Mitversicherung, 205 m¨ oglicher Fall, 35 Moment, 73, 80, 88, 94 monotone Funktion, 6 Multinomial–Modell, 286, 287 Multinomial–Verteilung, 62 multiplikatives Modell, 282

N nachsch¨ ussige Rente, 19, 21, 22 nachsch¨ ussige Zahlungsweise, 7 negativ korrelierte Zufallsvariable, 90 Negativbinomial–Verteilung, 55, 70, 74, 88, 101, 106, 107 negative Funktion, 6 negative reelle Zahl, 6 negativer Sicherheitszuschlag, 265 Negativmultinomial–Verteilung, 63 Nettopr¨amie, 142, 145, 239, 240 Nettopr¨amien–Prinzip, 242, 251, 256, 262, 263 nichtproportionale R¨ uckversicherung, 183, 190, 236 no–arbitrage Bedingung, 240 no–ripoff Bedingung, 267 Nominalzins, 11 nomineller Zinssatz, 11, 12 Nullnutzen–Prinzip, 255, 256, 266 Nutzenfunktion, 254

Sachverzeichnis Poisson–Approximation, 60, 162 Poisson–Modell, 296 Poisson–Verteilung, 54, 70, 74, 87, 100, 105, 107 polyhypergeometrische Verteilung, 62 Portefeuille, 141 positiv homogenes Pr¨ amienprinzip, 241, 243 positiv korrelierte Zufallsvariable, 90 positive Funktion, 6 positive reelle Zahl, 6 positive Zufallsvariable, 52 Positivit¨ at des Erwartungswertes, 79, 85 Pr¨amie, 1, 110, 112, 113, 122, 127, 133, 142, 145, 239, 251, 254 Pr¨amienbarwert, 119, 131 Pr¨amienplan, 112 Pr¨amienprinzip, 239, 240 Priorit¨at, 190, 191, 201, 202, 203 private Krankenversicherung, 208 Problem der Doppelsechs, 26, 34 probl`eme des parties, 26, 27, 34, 36 proportionale R¨ uckversicherung, 183, 184 proportionales Pr¨ amienprinzip, 241

Q Q/S R¨ uckversicherung, 205 quota–share, 205 Quote, 184, 185, 205 Quoten–R¨ uckversicherung, 184, 189, 205, 241

R O Orlicz–Prinzip, 267

P Panjer–Klasse, 169, 170, 172, 173, 175, 176, 177, 213, 217, 221, 229, 243, 250 Permutation, 37 Perzentil–Prinzip, 242

Randverteilung, 64 Realisation, 50, 61 rechnerisches H¨ ochstalter, 128 Rechnungszins, 109 Rekursion von DePril, 177, 180, 181, 182 Rekursion von Panjer, 177, 179, 181, 182 relative H¨ aufigkeit, 30 relatives Abwicklungsjahr, 270 relatives Anfalljahr, 271 relatives Kalenderjahr, 271

Sachverzeichnis Rendite, 9 Rente, 19 Rentenversicherung, 140 Reserve–Prozeß, 182 Reservierung, 269 Retrozession, 205 Risikoaversion, 261 Risikobeitrag, 136 Risikopr¨amie, 142, 145, 239 Risikoselektion, 128 Risikoteilung, 183, 205 Risikotheorie, 182 Risikoversicherung, 140 R¨ uckversicherer, 183 R¨ uckversicherung, 183 R¨ uckversicherungsprogramm, 206 Ruin, 2, 143, 182 run–off triangle, 271 Rundung, 6

S σ–Algebra, 28 Satz von Hattendorff, 136, 139 Schadenaufwand, 270 Schadenbedarf, 149 Schadenereignis, 202 Schadenexzedent, 205 Schadenh¨ohe, 142, 144, 155, 164, 197 Schadenstand, 273 Schadenversicherung, 152, 161, 239 Schadenzahl, 154, 164, 196, 200 Schadenzahl–Prozeß, 182, 208 Schadenzahl–Verteilung, 168, 169 Sch¨atzer, 150, 151 Sch¨atzfehler, 150 Sch¨atzung der Parameter, 149 Schweizer Prinzip, 267 Seeversicherung, 205 Selbstbehalt, 183, 185, 208 Semistandardabweichung–Prinzip, 247, 263 Semivarianz–Prinzip, 245 Sicherheitszuschlag, 142, 143, 145, 147, 148, 239, 240 SL R¨ uckversicherung, 205

319 Sparbeitrag, 136 Sparbuch, 8, 11 Sparplan, 13 Sp¨atschaden, 269 Sp¨atschadenreserve, 269 spezielle Verteilungen, 53, 62, 70, 74, 87, 100, 105, 107 spezielles Esscher–Prinzip, 249, 262 Standardabweichung, 92 Standardabweichung–Prinzip, 143, 246, 250, 263, 264, 266 Stationarit¨ atsbedingung, 118 Sterbetafel, 3, 118 Sterbetafel auf ein Leben: Frau, 300 Sterbetafel auf ein Leben: Mann, 297 Sterbewahrscheinlichkeit, 116, 117 stetige Verzinsung, 12 Stiftungskapital, 23 stochastische Ordnung, 209, 210, 211, 241 stop–loss Ordnung, 209, 221, 224, 237, 241 stop–loss R¨ uckversicherung, 205 streng, 6 Streuungsmaße, 86 strikt, 6 strikt positive Schadenh¨ ohe, 155 subadditives Pr¨ amienprinzip, 263 Summenexzedent, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 205 summierte abgezinste Zahl der Lebenden, 125 summierte abgezinste Zahl der Toten, 125 surplus R¨ uckversicherung, 205 symmetrischer Wahrscheinlichkeitsraum, 35 System der Ereignisse, 28

T Tarifmerkmal, 3, 141, 146, 296 technischer Zinssatz, 109 Tilgungsplan, 13, 16 Todesfallversicherung, 110, 121, 126, 132 Tr¨ager, 53, 62

320 translatives Pr¨amienprinzip, 267 typische Schadenh¨ ohe, 146, 165 typische Zufallsvariable, 70

U ¨ Uberlebensfunktion, 209, 210, 221 ¨ Uberlebenswahrscheinlichkeit, 116, 117 unabh¨angig und identisch verteilt, 70 unabh¨angige Ereignisse, 42, 44 unabh¨angige individuelle Modelle, 218 unabh¨angige kollektive Modelle, 219 unabh¨angige Schadenh¨ohen, 144 unabh¨angige Zufallsvariable, 65, 71 Unfallversicherung, 1, 161 Ungleichung von Cantelli, 96, 97, 142, 144, 147, 151, 167 Ungleichung von Jensen, 85 Ungleichung von Markov, 95, 97 Ungleichung von Tschebyschev, 95, 97 unkorrelierte Zufallsvariable, 90 unterj¨ahrige Verzinsung, 11 Urnenmodelle, 39, 41, 43, 47, 64, 67

Sachverzeichnis Verzinsung, 7, 8 Verzinsung mit Zinseszins, 9, 11 vorsch¨ ussige Rente, 19, 20, 21 vorsch¨ ussige Zahlungsweise, 7 Vorzeichenwechsel, 212, 213, 225, 227

W Wachstumsfunktion, 213 Wahrscheinlichkeit, 25, 30 Wahrscheinlichkeit des Ruins, 143 Wahrscheinlichkeitsmaß, 29, 30 Wahrscheinlichkeitsraum, 25, 33, 34 Wurf eines W¨ urfels, 26, 29, 30

X XL R¨ uckversicherung, 205

Z

Zahl der Lebenden, 123 Zahl der Toten, 123 Zahlungsplan, 7 Zeitperiode, 7 Zeitpunkt, 7 V Zerlegung eines Ereignisses, 29 Ziehen mit Zur¨ ucklegen, 40, 41, 43, 47, Varianz, 86 65, 68 Varianz–Prinzip, 245, 250, 262, 266 Ziehen ohne Zur¨ ucklegen, 39, 41, 43, 47, Variation, 37 64, 67 Variationskoeffizient, 93, 167 Zins, 8 verbleibende Lebensdauer, 114, 115 Zinseszins, 9, 11 Vergleich von Risiken, 209 Zinsfuß, 8 Verlust des Versicherers, 136, 137 Zinssatz, 8 Verlustfunktion, 251, 254 zuf¨allige Priorit¨ at, 203 versicherbares Risiko, 240 Zufallsexperiment, 25 Versicherung auf den Erlebensfall, 110, Zufallsvariable, 49, 50 111, 121, 126, 132 Versicherung auf den Todesfall, 110, 121, Zufallsvektor, 61 zul¨assige Pr¨ amie, 254 126, 132 Zuwachs, 272 Versicherungsgeschichte, 4 zweimaliger Wurf einer M¨ unze, 45 Versicherungs¨okonomie, 4 zweite Priorit¨ at, 201 Versicherungsrecht, 4 Versicherungssumme, 185, 188 Versicherungswissenschaft, 4 Verteilung, 49, 50, 60, 61 vertikale Risikoteilung, 205