Vektorianalyysi [3. ed.] 978-951-745-518-2 [PDF]

Zitiervorschau

VEKTORIANALYYSI OLLI MARTIO

© Limes ry 3. painos ISBN 978-951-745-518-2 Paino: Cosmoprint Oy Helsinki, 2012

iii SAATE

Tämä luentomoniste koostuu kirjoittajan Helsingin ja Jyväskylän yliopistoissa pitämistä usean muuttujan funktioiden differentiaali- ja integraalilaskenna.n luennoista. Kirjoittaja on pitänyt vastaavia luen­ toja myös ulkomailla. Sisällysluettelo antaa käsityksen mukaan otetusta materiaalista. Usean muuttujan analyysi jatkaa yhden muuttujan reaaliarvois­ ten funktioiden analyysia ja pohjautuu yhden muuttujan funktioiden differentiaali- ja integraalilaskennan hallintaan. Kurssi pyritään suorit­ tamaan yleensä toisena opiskeluvuonna. Fysikaalisten sovellusten vuok­ si se olisi hyödyllinen jo aikaisemmin. Kurssi koostuu yleensä 4-5 viikottaisesta luentotunnista yhden lu­ kukauden ajan, mikä aiheuttaa paineita materiaalin karsimiseen. Luen­ tomonisteen mitoitus tähtää lukukauden mittaiseen kurssiin. Osa to­ distuksista on jouduttu sivuuttamaan. Näistä mainittakoon käänteiskuvauslause, useat integrointia koskevat lauseet ) Stokesin lause. Useista lauseista esitetään vain todistuksen idea erikoistapauksessa. Näissä pyritään painottamaan niin sanottua "infinitesimaalista" ajat­ telua, joka ei yhden muuttujan funktioiden kurssilla ole kovin tärkeää, mutta jonka merkitys usean muuttujan funktioiden sovelluksissa on keskeinen. Monisteen etuna on yksiulotteisen tilanteen käyttäminen mallina moniulotteisessa tilanteessa. Siten se jatkaa luontevasti 1. vuoden kurs­ seja. Heikkouksia on useita:

lV

lrnvia ei ole, joten opiskelija joutuu piirt�imään ne itse, tietokonegrafiikan hiytössä ei ole opastettu käytettävien järjes­ telmien tiheästä nrnuttumistahclista johtuen, eräät määritelmistä on annettu epämääräisesti, esimerkkinä avoi­ men joukon positiivisesti smmnistettu reuna, käyrä- ja pintatcoria käsitellään ainoastaan alkeellisesta näkökulmasta, mcmisteessa ei ole kornnwnttcja alan historiasta, vain ha.rvoja sovelluksia käsitellään, Taylorin kaava esiintyy vain erikoistapauksessa. Monet ulkomaiset alan oppikirjat ovat laajoja. ja sisältävät rummas­ ti sarnankaltaisia harjoitustchtäviä. l\lfaäritdmissä ja lauseissa esiintyy yhtä pahoja tai pahempia aukkoja kuin tässä csitykscss�i.. Kirjat !MTJ ja !PBJ ovat erinomaisia ja selvästi laajempia kuin tämä moniste. Niissä myös selostetaan 11scita sovclluksia matemaattisc11 täsm�i.llisesti. Useista. suomcnkielisishi. monistcista ja kirjoista ovat painoksd; lop1m1wd, esimerkkeinä !LI, !Lei ja IVJ, mutta näihi löytää vidä kirjas­ toista. Muut ovat ylccnsii korkeakoulujen lrnstmmustnlojcn painatta­ mia hwntornonistjaa llSeis­ ta parammsehdot11ksista. I\Iyiis opiskelijat ovat tuoneet kiitcttiiviisti kirjoit1.ajan tidoon painovirlicitå ja luk('mista lwlpot1avia ('hdotuksia.

V

VIITTEET [AJ Adams, R. A., Calcnlus, fi111 editiou, Adclisou Wesley Lougman, 20CJ:3. [Ap] Apostol, T. 1\/I., Calculus, vol. II, .Jolm vVilcy & Sous, Inc., 10G9. [I3] I3ers, L., Calcnlus, Holt, Rindrnrt and Winston, 19G9. [EPJ Edwards, C. H. and Pcnrwy, D. E., Calculus, Prcuticc Hall, 1998. [KJ Kahanpäii., Lauri, Matematiikan mcnetclmiikurssi, Matematiikan laitos, Jyviis­ kyliin yliopisto, lumtom011istc 7, .Jyviiskylii, 1990. [LP] Lahtiuen, A. ja Pehkonen, E., Matmnatiikkaa soveltajillc, osa 2, Kirjayhtymä, 1994. ILHE] Larsou, R., Hostctkr, R and Edwards, B., Calculus, D. C. Heath and Cm11pany, l!J%. [Le] Lehto, 0., Differentiaali- ja intcgrnalilaskcuta II, Offset Oy, 1D82. [L] Lindelöf, E., Differentiaali- ja integra.alilaslrn ja seu sovellukset, osa II, monis­ tettu Hclsingiu yliopiston toimesta, 1DG9. [MT] Marsdcu, .J. E. and Tromlm, A. .l., Vec:tor Calculus, 4t1, edition, vV. H. Frcc­ man aud Company, 199G. [Pa] Patovaarn, T., Usean 1111mttujm1 funktiot, difforcutiaali- ja diffor('ussiyhtiiliit, Helsingin yliopisto, Tilastotickcu laitos, ope1.nsmonistc. f PI3] P('rsson, A. and Biiicrs, L-C., Analys i flcra variahlcr, Stnclcntlit('rntnr, 1D88. 1

Pn 1 J Pnn11onc11, V. T., ]\;Iitta- ja iutcgraaliteoria, ]\;latcnmtiikan laitos, .l yviiskyliin yliopisto, lncntomonistc 14, .Jyvfo,kylii, 1!)90.

f Pu�] Purmonm1, V. T., Diff 0,

että B(:c, r) C A. 1.3:3 Olkoon (Q)2 = {(x,y) E lR2 : :r E (Q),y E (Q)} avaruuden JR2 rationaalipisteiden joukko ja a joukon (Q)2 piste. Tällöin avoin pallo B(a, r) sisältää jokaisella r > 0 sekä jou­ kon (Q)2 että sen komplementin pisteitä, joten joukko (Q)2 ei ole avoin. Koska (Q)2 ei ole avoin, se on suljettu. Mikä virhe tässä päättelyssä tehdään ja mitä todella voit päätellä joukosta (Q)2 ? 1.3:4 Olkoon A C JRn diskreetti joukko, toisin sanoen joukko, jonka pisteet ovat erillisiä eli jokaisella :c E A on olemassa sellainen

r > 0, että pallo B(x, r) sisältää joukon A pisteistä ainoastaan pisteen :r. Tutki, onko joukko A avoin tai suljettu. l.3:5 Todista lauseen 1.3.9 toinen puoli: Jos A C JRn on kompakti, niin se on suljettu ja rajoitettu. 1.3:6 Olkoon A C JRn suljettu. Osoita, että åA C A.

:SSÄ

2. REAALIARVOISET FUNKTIOT

2.1. FUNKTIOT lR.11 :SSÄ Olkoon A

joukko ja n : A

--;1-

reaaliarvoinen funktio eli

knvaus joukossa A, toisin sanoen jokaiseen :r E A on liitetty yksikä­ sitteinen reaaliluku u(:r) E R Usein kirjoitetaan u(:i:) = it(:r 1, ... , eli

:1.:

= (:r1, ... , :rn ). Funktioiden kuvaajien eli graafien luonnostelu

on

:ssä, n � 2, hankalampaa kuin reaaliakselilla R Avaruuden funktion graafi on aina avaruuden JR11+1 osajoukko. Yksiulotteisessa ta­

pauksessa reaaliarvoisen funktion graafi on siis tasossa

, jolloin se on

helppo hahmotella. 2.1.1. Esimerkki. Olkoon origosta. Tapauksessa n

]Rn

·1.L :

u( :r) = lx 1, pisteen :c etäisyys

= 2 funktion u graafi on JR.3 :n osajoukko

Tämä on JR.:1 :n kartio, jonka kärki on origossa. 2.1.2. Esimerkki. Olkoon u: JR.n -+ JR., u(:1;)

, ... , :rn ), luvun :i:1 ensinunäinen desimaali. Tällöin ?l ei ole funktio, sillä jos :r 1 = 1, 00 ...

0, 99 ..., niin v,(:r)

= 0 tai u(x)

9, eikä siis 1t:n arvo pisteessä :r ole

yksikäsitteisesti määrätty. 2.1.3. Esimerkki. Olkoon f Joukkoa Cc

:

y2 sekä c E R

-+ JR., f(:r, y) =

= {(:r,y) E

: f(x, y)

c}

kutsutaan f :n tasa-arvokäyräksi. ,Joukon ei tarvitse olla "käyrä"; ylei­ kuvaukselle f se voi olla JR.2 :n mielivaltainen joukko. Tässä tapauk­ sessa C on helposti määrättävissä: f(:c, y)

=

C

{:}

(:c

y)

+y)

C.

VEKTORIANALYYSI

16

= 0 tai ::c + y = 0, mikä merkitsee, että C0 muodostuu suorasta :r = y tai :r: = -y. Jos c -/=- 0, niin Cc koostuu kahdesta hyperbelin kaaresta :r2 - y2 = c. Jos c

= 0, niin :r

y

Huomaa, että esimerkissä 2.1.3 käytimme merkinnän (:r 1 , :r2) si­

jaan merkintää (:r, y). Tämä on yleinen käytäntö lR2 :ssa. Vastaavasti avaruudessa JR:3 pisteiden tavallinen esitystapa on (:r, y, z). 2.1.4. Esimerkki. Olkoon f

:

JR:3 --+ lR. Nyt on mahdotonta piirtää

J:n graafia, koska tämä on JR4 :n osajoukko {(:r,y,z,f(:r,y,z)) E JR4 : (:c,y,z) E JR3 }.

Olkoon f(:c,y,z)

= :r2 - z. Nyt voi luonnostella funktion f

tasa-arvo­

pinnat eli joukot

Cc

= {(:r, Y, z) E lR3: f(:c, y, z) = c} =

{(:r,y,z) E JR3: x 2

-z

TT]):3 .• .,..., "' ,,.) E � - {(·,, ,_,, 'Y,,:_,,

-

,,,_,

.,

2

= c} -

.. c·} ,

Joukko Cc on parabolinen sylinteri.

HARJOITUSTEHTÄVIÄ

2.1:1 Missä tason JR2 joukossa ln(:ry) määrittelee funktion? Missä jou­ kossa funktio saa arvon O? Luonnostele tämän funktion tasa­ arvojoukkoja.

2.1:2 Olkoon :r = (:r 1, x 2 ) E lR 2 ja f : JR2 --+ JR, f(:i:) = e l ,cl. Luonnos­ tele f :n graafi. Mitä voidaan sanoa funktion f arvoista joukossa lR2 \B(O, ln 2).

2.

REAALIARVOISET FUNKTIOT JR11 :SSÄ

2.1:3 Olkoon :c

17

(x 1 ,:.1: 2 ) E JR2 . Mitä vikaa on funktion f: JR2

3 /;t1, kun x { 0lxl, kun x = 0,

.f(:r)

� JR,

0,

määrittelyssä?

2.2.

RAJA-ARVOT JA .JATKUVUUS

Olkoon A C 1Rn ja f : A � 1R sekä ::r0 E lRn ja a E lR. Funktiolla f on raja-arvo a pisteessä :r: 0 , jos jokaisella jonolla (xi), jolla :ri E A, Xi � ::ro ja 1;i i= 1: 0, pätee (2.2.1)

= a. Toisinaan käytetään myös merkintää

Merkitsemme lim 3,--,xo J(::r)

J_in\

a:EA\{:co}

f(::r) = a.

Jono (f(::r i)) on reaalilukujono ja kaavassa (2.2.1) esiintyy tavallinen reaalilukujonon raja-arvo. E A. Mikäli tämä ei päde, niin 1:0 E 1R n \A. Joukko 1Rn \A on avoin, joten on olemassa sellainen r > 0, että B(:c0, r) C 1Rn \A. Lisäksi A = A U DA, joten A C ja erityisesti B(::c0 , r) C 1Rn \A. Näin ollen ei ole olemassa sellaista joukon A jonoa (xi ), että xi � .r, 0• Vastaava päättely pätee myös, kun :.1:0 on joukon A erillinen piste, toisin sanoen kun jollakin r > 0 pätee B(1:0, r) n A {::i:0}. 2.2.2. Huornauhts. Jotta määritelmä olisi mielekäs, tulee olla

2.2.3. Esimerkki. Olkoon f: JR2 \{0} � JR,

.

f(:r,y)=

2xy X 2 +y 2

:i:0

18

VEKTORIANALYYSI

Tutkitaan, onko raja-arvo lim,,,-+O f(:r) olemassa. Ensinnäkin kysymys on mielekäs, koska O E JR 2 \{0} = . Tutkitaan raja-arvoa katsomalla, miten f käyttäytyy pisteissä f (:e i ) kun jono (:r i ) valitaan sopivasti. Valitaan ensin :ei

=

(1/i, 0) E JR 2 \{0}.

Nyt :e i -+ 0 = (0, 0), sillä j:ri - Oj

=

)(1/i - 0)2 + (0 - 0)2

Toisaalta f(:r 1)

= f(l/i, 0) =

2.

l/i2

joten f (e i ) -+ 0. Valitaan seuraavaksi

= 1/i ---+ 0.

. ()

0,

+ 02

Yi = (l/i, 1/i) E lR2 \{0}. Nyt myös y1 -+ 0 ja f (Yi)

f(

= 1,

1/i)

joten vakiojonona (f(y;)) toteuttaa f (y;) -+ 1. Tästä voimme päätel­ lä, .f:llä ole raja-arvoa origossa, sillä raja-arvon 011 oltava sama jokaisella jonolla. 2.

H'lwrnaulns. Raja-arvon määritelmä on sama kuin tapauksessa

n = 1. Ainoa ero on, että nyt f voi olla määritelty

mielivaltaisessa

joukossa A. Huomaa, että tällä määritelmällä tulevat toispuoleiset raja­ arvot välin päätepisteissä ki:isiteltyä samalla 2.2.5. Esimerkki. Olkoon f : JR 2 \{0} -+ f( :r, y) Osoitanune, että {O}. On

+ y2.

I (:c) 0. Olkoon f ( :ri , !Ii) -+ 0.

.lli)

·-J,

(0. 0),

E

2. R.EAALIAIWOISET FUNKTIOT ffi;n:sSi\. ------ ------

19

Todistus 1.

Olkoon

0. Jos ;ri -+ 0, niin :rf -+ 0. Näin ollen on olemassa sellainen < E kun i > seuraa.

:rnr; ')

2

:ei

')

c,

+ y;-?
i ::: ,

joten väite pätee. Edellisessä todistuksessa on virhe. Viirncinen arvio on mieletön, lmc;ka tapauksessa Yi voi olla 0, sillä vaikka (:r 1, Yi) 0, voi olla iJ; = 0. Päii.ttely voidaan kuitenkin korjat,:1, seuraavasti. -2nJJ

Todistvs -6?. Koska

=

2:: 0, niin

+ y;-" . T''asta.. seuraa

ollen pätee

2 sillä jos

')

-+ 0, kun i -+ oo,

0, Yi -+ 0, niin J:D(l/il -+ 0.

:l:i

Tarkastellaan Olkoon

:S 1r+

C

,

JRll.

jatkuvuuden käsitettä f : A -+

ja :r0 E

Kuvaus f cm

:r:o,

lirn f (:i:)

f---t:ro

6. Hwnnautu.s. Akateeminen tapaus: jos :r:0 on Aerillinen piste,

Jatki1v1111delle Kuvaus f kun

jonoilla.

f on automaat,tiscsti jatkuva

yhtäpitävä 011

jatkuva

) , joilla :c1

pistejono­

E Aja :e i -+ :r 0 ;i:0

silloin, ) -+ f(;ro).

V EKTO RIANALYYSI

20

Huomaa, että tässä Xi saa olla myös :r 0, mutta riittää tarkastella jonoja (:c 1), joilla pätee :z; i -/:- :c0 jokaisella i. 2.2. 7. Esimerkki. Tarkastellaan esimerkin 2.2.5 funktiota

f: �.2 \{0} ---+ IR,

f(:r,y)

=

'.

D

2

1j

.

2

:i; 2 +y

Funktion jatkuvuutta origossa ei voida tutkia, koska kuvaus f ei ole määritelty origossa. Pisteissä (x, y) -/:- (0, 0) jatkuvuuden tutkiminen on mielekästä. Olkoon (xi , Yi ) ---+ (:i:, y), (:ri, lli)-/:- (0, 0). Koska :r\---+ :c ja l!i---+ y, 2 2 2 2 niin ---+ :r ja yf ---+ y . Näin ollen :i:; yf ---+ :c y . Samoin + y; ---+ :c2 + y2 -/:- 0. Tästä seuraa, että

:i:;

:i:;

2 Tt2 11 t'-Ji


0 on olemassa sellainen c5 > 0, että lf(:c) f(y)j < r:: kun yj < c5. Vihje: Tt�e vastaoletus. :i:, y E A ja

22

VEKTORIANALYYSI 2.3. 0SITTAISDERIVAATAT

Olkoon D C JR.n avoin ja f

:

D -+ lR.. Kiinnitetään piste :c 0 E D. Koska D on avoin, on olemassa sellainen r > 0, että B(:i:0 , r) C D.

+ y, kun IYI < r. Kiinnitetään j = 1, 2, ... , n. Nyt funktio h 1-t f(:i:0 + he;) on määritelty ainakin, kun

Siten f on määritelty pisteissä

:i: 0

h E (-r, r). Jos raja-arvo lim -----'-----h

h-+o

= lim -------�-----------h�O

on olemassa, niin sitä kutsutaan funktion f ositt:aisderivaataksi rnuu.ttujan

suhteen pisteessä :r0 ja merkitään

Määritelmän nojalla åj f (:i:0) E JR., jos se on olemassa. Osittaisderivaatan geometrinen merkitys on helppo tulkita. Yksin­ kertaisuuden vuoksi tarkastellaan tapausta tasossa, eli kun n

=

2, ja

osittaisderivaattaa öi f(:r0 ). Funktio f rajoitetaan suoran

L = {:r: E

: :r

= :i:0 + te1, t E JR.},

ja D:n leikkaukseen, toisin sanoen tarkastellaan reaaliarvoista funktiota 8 8 g

j'(. s,

2. REAALIARVOISET FUNKTIOT

23

:SSÄ

Tämä on määritelty ainakin välillä ( ::r 0 ,1

- r, :r 0 ,1

+ r). Lasketaan tämän

funktion derivaatta, jos sellainen on olemassa, pisteessä

. Saadaan

. g(:_ro.1 + h) - g( xo 1) · 1nn

h-+0

h

lim ------------

h-+O

h

. f(xo + he1) = h--+0 11111 -------

-

h

åif(;1:0). Osittaisderivaatan laskeminen palautuu siis aivan tavallisen yksiulot­ teisen derivaatan laskemiseen. Ylläolevat merkinnät ovat turhan monimutkaisia. Siirtymällä käyt­ tämään tason JR2 pisteille merkintää ( :r, y) tarkastellaan funktiota (:r, y) H f(J;, y) pisteen (:r0, y0) E D lähellä. Asetetaan kuten yllä g( s) f ( s, y0), mutta käytetään s:n tilalla :r::ää, 9(1;) = f(:r, Yo). Nyt åif(J:o , Yo ) g'(:ro) ja vastaavasti åd(:ro, Yo ) h'(yo), h(y) f(:ro, y). Havaitaan siis, että osittaisderivaatan laskeminen pisteessä J:o muuttujan laan välillä

,

J

= (:ro,1, :i:0,2, ..., :To,n)

= 1, ... , n, suhteen palautuu seuraavaa.n. Tarkastel­ - r, :.Do,j + r) määriteltyä funktiota

8 H f(:1:0,1, ... , '.Co,)-1, 8,

'...'

ja muodostetaan sen derivaatta pisteessä :r o,j.

2.3.1. Esimerkki. Olkoon f : lR2 -+ JR, f (:1:, y) = 1:y. Määrätään åif (x0 , y0 ). Pitää derivoida funktio s H /(8, y0 ) pisteessä :r0 . Tämä sy0. Nyt g'(s) = y0 ja siis åif(:r:o, Yo) = Yo· Tämä on funktio g(s)

VEKTORIANALYYSI

24

voidaan tehdä helpommin muuttamalla merkintöjä. Osittaisderivaatan äif(:r0, y0) määräämiseksi pitää derivoida :r f----t f(:r, = :ry. Derivoiny. Vastaavasti ti :r:n suhteen, pitäen y:tä vakiona, antaa äi f (:c, y) å2f(:r , y) :r, sillä funktion s f---t :i:s derivaatta pisteessä y on :r. 2.3.2. Esimerkki. Olkoon f -+ lR, f(:r, y) = l:r:I. Mikä on y) = å2 f(:i:, y )? Tämän määräämiseksi pitää derivoida funktio y f----t J:rl, kun :r on kiinnitetty. Tämä on vakiofunktio. Siis D2f(:t: ) y) 0 jo-

kaisella (:i:, y) E lR 2. Määrätään seuraavaksi åi f( :i;, y). Pitää siis derivoida funktio :c J(x, y) l:rl, kun y on kiinnitetty. :r kun :r 0, åif(:i;, y) = ei määritelty, kun :r = 0.

{

f----t

)

Näin ollen osittaisderivaattaa åi f(O ) y) ei ole olemassa. 2.3.3. Esimerkki. Olkoon

l :r

-+

'y)

Tämä lauseke määrittelee funktion

+

f: JR 2\{(:r, y) E lR2: :r avoin joukko

O}-+ lR.

0, toisin sanoen y-akselin ulkopuolella. Määrätään D2 f(:r;, y) kun :2: Tätä varten kiinnitetään :r =/: 0 derivoidaan funktio y f----t

l :c

+ cos(;ry)

Tämän derivaatta on D2 f (:r, y)

0

sin(:1:y) · :D +

= -:rnin(:ry)

cos(:c +

cos(:c

.l

25

2. REAALIAHVOISET FUNKTIOT ffi. n

Korkeammissa ulottuvuuksissa osittaisderivaatat lasketaan täysin vastaavasti. f(:i:) :i:1:i:2 + tään 83/(:i:). Kiinnitetään x 1, �r 2 , :r4 ja derivoidaan funktio 2.3.4. Esimerkki. Olkoon f : JR4

. Määrä-

Tämän derivaatta on 2.S.5. Huomautus. Sovelluksissa J ei usein ole määritelty JRn :n avoi­ messa joukossa (JR11 :ssä esiintyy derivaatta myös päätepisteissä). Esi­ merkiksi funktio voi olla määritelty JR2 :n "suljetussa" neliössä. Tällöin on mielekästä tutkia osittaisderivaattoja myös neliön reunalla. Määri­ telmä muistuttaa toispuoleisia derivaattoja päätepisteissä.

HAR.JOITUSTEHTÄVIÄ

2.3:1 Muodosta funktion f : lR2 --+ ffi., f (x, y)

e'1'Y cosCc

taisderivaatat åi f(:1;, y) ja å2 J (1:, y). 2.3:2 Muodosta funktion f : --+ ffi., f(:i:, y) = siri2 :D taisderivaatat åi f(:c, y) ja Dd(:r, y). jokaisella

y) E

osit-

+ cos2 y, osit­

2.3:3 Anna esimerkki funktiosta f : JR2 --+ JR, jolla D1 ffi.2,

+ y),

y) = 0

mutta f ei ole jatkuva.

2.4. DERIVOITUVUUS JA TANGENTTITASO

f'(x) . .Jos J:llä on derivaatta .f'(2:) pisteessä :r, niin J on jatkuva pisteessä :c. Tapauksessa n = l pätee 81 f (:D)

VEKTORIANALYYSI

26

2.4.1. Esimerkki. Olkoon f: {

f(:1:, y)

0, kun ;r = 0 tai y 1, muulloin

0,

Selvästi äi f (O, 0) 0 = 32 ,((0, 0), sillä f saa arvon O koordinaattiakbelien muodostamalla ristikolla. Funktio f ei kuitenkaan ole jatkuva origossa, koska sillä ei ole origossa raja-arvoa. Edellinen esimerkki osoittaa, että osittaisderivaattojen losta tapauksessa n > 2

seuraa funktion jatkuvuus kyseisessä

Tarvitaan käsite, et.Ui funktiota f voidaan lähellä annettua pistettä approksimoida affönilla kuvauksella. Usein tämä ilrnaistaan siten, että funktiou f graafia voidaan, lähellä annettua pistettä :c0, approksimoida la1tgenttitasollaan. Tämä vastaa vaa --+ 0 kun :c --+ :r0. Ylläoleva

1nissä muotoon

f(:co + h) Kuvauksen :r: pisteen f: n tarkoittaa

- :En!1:(;r - :ro),

f(:ro) + f'(:ro)(:r- :co)

f(:1:)

H

f(:co)

f(:r 0)

kirjoitetaan

.((:ro)h + !h!1:(h), h--+ 0.

f'(:r 0 )

·-

:r 0) graati on suora, joka kulkee

, f(:i:0 )) kautta ja jonka kulmakerroin cm f'(:r 0). Tämä on pisteessä (:c 0, f( :r0)). Kuvauksen .f approksirnointi kuvauksen .f approksimointia affiiuilla kuvauksella :z: H f (:ro) +

(;c - :ro).

Tällä ihniöllä on luonnollinen vastine T'ällainen taso (joka

Suoraa

vastaa

kohtisuorassa. tasoa

2. REAALIARVOISET FUNKTIOT :c11 +1

27

:SSÄ

= 0 vastaan) on aina kuvauksen lH;_n --+ JR,

(2.4.2)

(:t:1' ... )

graafi

C;•

{( :1:1,. ·., :en, ao+ n1:1:1 + ... +

E

Kätevä tapa esittää taso on käyttää vektoreiden a ja ;i;

( T1, ...

,

(a 1, ... , a 11 )

pistetuloa. Nyt kuvaus (2.4.2) saa muodon :c

i--+

a 0 + a · :2:.

Tällaista kuva,usta sanotaan affiiniksi. Sen graafi on n-taso avaruudessa . Affiini kuvaus saadaan yhdistämällä lineaarikuvaus L : --+ JR,

L(:r) = a · :r, ja JR:n siirto t i--+ a 0 + t. Luonnollisesti myös kuvaus J:

1.-+ a 0 + a · (:r - :r o)

on afföni, vaikkakaan fli yleensä sama kuvaus. Olkoo11 D C

avoin, f : D --+

:i:: 0

E D. Asetctaa11 taso

kautta ja tulkitaan se kuvauksen

kulkemaan pisteen (:r0, f (:r0)) E :i; 1--t

Ja

CLo + (L •

( ;.i;

-

:Do)'

missä a 0 E , graafina. Tämä kulkee pisteen ja a E kautta täsmälleen silloin, kun a 0 f (:ro), eli kun :.r

f(:c 0)

i--+

+a·

Tämä johtaa seuraavaan käsitteesc)cn: fonktio f : D --+

on deri-

pistee.ssä :r0 E D, jo8 on olemassa a E

voitava jolla pätee (2.4.�3)

f (i;o)) E

J (;i:)

f (:r o)

+ a · (:1: - :i:o)

l:r

:co

28

VEKTO RIAN ALYYSI

missä

- :r 0 ) -t O kun :r -t

Vektoria a sanotaan funktion f

:i: 0 .

gradientiksi pisteessä :r0 ja merkitään a = V f (:r 0). Toisaalta h

V f (:i: 0 ) • h määrittelee lineaarikuvauksen L :

-t lR kaavalla L(h)

V f(xo) · h. Tätä lineaarikuvausta merkitään yleensä L f'(x:o)(h) = V f(:r o) · h.

2.4.4.

1--t

= f'(:i:0 ); siis

Huomautus. Kaava (2.4.3) on aina voimassa millä hyvänsä a E

n

]R , sillä voidaan asettaa , kun :1:

# :r0,

:i;

E A,

, kun :r = x0. :t:o) -t O kun

Sen sijaan ei yleensä ole totta, että

;i;

-t :co.

2.4.5. Lause. Olkoon f derivoitw,a pisteessä :r:0 . Tällöin V f(:co)

(åif(:r o), ... , Dnf(.To)).

Toisin sanoen pisteessä :r 0 derivoituvan funktion f osittais derivaatat

m1at kaikki olemassa pisteessä ;i: 0 ja ne antavat gradientin V f (:r0). Todistus. Lasketaan vektorin V f (;i;0)

a 1.

a ensimmäinen koordinaatti Muut koordinaatit lasketaan samoin. Olkoon x = :r 0 + he 1. Nyt

:r: E D kun h E lR on pieni. Kun h

0, niin sijoitetaan

(2.4.3). Tämä antaa

Tästä seuraa, että h

a · e1

lhl +h

Rajankäynnillä, kun h -t 0, saamme åi f (xo)

c:(he1).

a · e1

a 1.

:i

kaavaan

2.

REAALIARVOISET FUNKTIOT

JRn :ssA

29

2.4.6. Lause. Jos f on derivo·it'll,va pisteessä

:1: 0 1

niin kaavan (2.4.3)

vektori a on yksikäsitteisesti määrätty. Todistus. Seuraa lauseesta 2.4.5, koska osittaisderivaatat åd(:r0) ovat D

yksikäsitteisesti määrättyjä.

2.4, 7. !fuonu1/tdus. Kaava (2.4.3) kirjoitetaan usein muotoon f(:r:o + h)

(2.4.8) missä h on

f(ro)

+ v' f(:r:o) · h + lhlc(h),

vektori (yleensä lhl on pieni

että .f(:c0

h) on

määritelty) ja c(h) -+ 0 kun h -+ 0. 2.4.9. Lause. Olkoon D C JR;_n ja :r 0 E D. Jos funktfo f

: D-+

on

derivoituva pisteessä Todistus. On näytettävä,

lim:Hro f(:i:)

osoitettava, että ehdosta :ri -+

:1; 0,

f(:ci)

f(:ro)

f(:r0 ), toisin sanoen on

:ri E D seuraa .f(:ri) -+ f(:1;0 ). Nyt

+ v'f(:r:o) · (:ei - :ro) +

:ro 1

- :ro)

ja siis :co) 1

l.f(:1:1) - .f(:ro)I :S lv'f(:ro) · :rol

:ro)I -+ 0.

Tässä käytettiin Cauchy-Schwarzin epäyhtälöä, kaavaa (1.1.3). Tästä seuraa f(:r: i ) -+ f(:r: 0 ), kuten vaadittiinkin.

D

2.4.10. H1wrnautus. Vaikka. funktiolla f on osittaisderivaatat

niin f ei välttämättä ole derivoituva

.1; 0 :ssa,

sillä osittaisderivaatat voi­

vat olla olemassa, vaikka f ei ole edes jatkuva pisteessä :i: 0.

30

VEKTORIANALYYSI

Jos tiedetään, että f on derivoituva pisteessä :r: 0, ei ole mitään vaikeuksia määrätä gradienttia Vf(:-r0 ), sillä V f(:co)

= (åi f(xo),... ,Önf(:ro)).

Pitää siis vain laskea ositta.isderivaatat. Sen sijaan on vaikeampi pää­ tellä 1 milloin f on derivoituva x0 :ssa. Huomaa, yleensä kirjallisuu­ dessa määritellään gradientti yllä olevalla kaavalla, kunhan vain osit­ taisderivaatat ovat olemassa pisteessä :z:0. Gradientin olemassaolo ei siis edellytä derivoituvuutta. 2.4.11. Esimerkki. Olkoon f åif(:1:,y) Siten

:

lR2

JR, f (1;,y)

=

sin(1.:y). Tällöin

= 8,rf(1:,y) = ycos(:i;y) ja 82f(x,y) = Dyf(1:,y) = xcos(1:y). Vf(:r,y)

= (ycos(1;y),:rcos(xy)).

Annamme pian ehdon funktion f derivoituvuudelle pisteessä

1:0.

Ehto osoittaa muun muassa, että esimerkin 2.4.11 funktio f on derivoituva jokaisessa pisteessä. Jos f on derivoituva pisteessä :r0, niin tasoa

sanotaan j:n tangenttitasoksi pisteessä (:r0, f (x0)). Tämä on n-taso JR11+1 :ssä. Tätä tasoa kannattaa yleensä ajatella funktion JR11 -+ 1: 1-7 f (xo)

+ Vf (xo) · (x

1:0)

graafina JRn+ 1 :ssä. Graafi on taso, joka kulkee pisteen (1:0, f(x0)) E JRn+l kautta ja on kohtisuorassa :n vektoria (V f(:1:0), -1) vastaan.

(åi f(:r o), .. . ,8nf(:co), 1)

2. REAALIARVOISET FUNKTIOT JRn :SSÄ

12. Huomautus. Tapaus n Y missä y

31

1:

f(:ro)+ J'(:co)(:c - :ro ),

:cn+ l· Tämän suoran normaali on 1R 2 :n vektori (f'(:1.:0), -1).

Jos f derivoituva :r0 :ssa, niin f:ää voidaan approksimoida pisteen :c 0 pienessä ympäristössä affönilla kuvauksella (2.4.13)

:r H f(xo)+ Vf(:ro)·

- :ro),

katso kaava (2.4 .2). Tämä on pisteessä x0 derivoituvan funktion f tär­ kein ominaisuus. Tähän ei riitä osittaisderivaattojen eli gradientin ole­ massaolo pisteessä :r: 0, vaan approksirnointi vaatii funktion f derivoitu­ vuuden pisteessä 1:0. Huomaa, että kuvaus (2.4.13) on määritelty koko lRn:ssä.

2.4.14. Huornautus. Kuvaus h H V J:( r0) · h on lineaarinen kuvaus tähän palataan kappaleessa 2.6. Itse asiassa lineaarialgebran tietojen nojalla jokainen lineaarinen kuvaus L : lR" -+ 1R on muotoa L(h) = a · h jollakin a E lRn .

HARJOITUSTEHTÄVIÄ

2.4:1 Määritä funktion f: IR.2 \{0}-+ IR, f(;r) = ia:1 , gradientti. 2.4:2 Osoita, että funktio f : -+ IR, 0, on derivoituva origossa. 2.4:3 Olkoon J vakiofunktio.

-+ IR. ja åif

0

åzf. Osoita, että J on

32

VEKTORIANALYYSI

2.4:4 Olkoon f : IR 2 -+ IR, f(x,y) = :r2

4xy

2y2

+ 12:r - 12y -

2

1. Missä pisteissä (:r0, y0) E JR funktion f tangenttitaso on horisontaalinen eli missä pisteissä afliinin kuvauksen (:r,y) c-+ f(:co,Yo) + Vf(xo,Yo) · (x - :co,Y - Yo) graafi on (x, y)-tason suuntainen? 2.4:5 Olkoon f : IR 2 -+ JR, f(:r,y) = xeY . Määritä Vf(l, 1). Onko olemassa pisteitä (:z:,y) E JR2, missä Vf(:r,y) = (0,0)?

2.5. DERIVOIMISSÄÄNTÖJÄ Osittaisderivaattojen laskeminen tapahtuu samoilla säännöillä kuin yksiulotteisessa tapauksessa. Kuitenkin nämä säännöt yhdistettyjen ) funktioiden tapauksessa edellyttävät usein derivoituvuutta (eivät pel­ kästään osittaisderivaattojen olemassaoloa), joten tutkimme ensin seu­ raavaa kysymystä. Milloin voidaan päätellä, että funktio f

:

D -+ 1R

on derivoituva pisteessä :r0 E D? 2.5.1. Määritelmä. Olkoon D C 1Rn avoin ja f : D -+ R Funktio f kuulwt fookkaan C 1 (D) (kerran jatkuvasti derivoituvat funktiot D:ssä), jos a) osittaisderivaatat åi f(x0), ... , å,J(:c0) ovat olemassa D:n jokai­ sessa pisteessä ja b) nämä ovat jatkuvia D:ssä. Usein yllä olevassa määritelmässä oletetaan, että myös f on jatkuva joukossa D. Tämä on kuitenkin tarpeetonta. Seuraavan lauseen nojalla ehdoista a) ja b) seuraa funktion f jatkuvuus, sillä derivoituva funktio on aina jatkuva, kuten lauseessa 2.4.9 osoitettiin.

33

2. REAALIARVOISET FUNKTIOT JR:n :SSÄ

2.5.2. Lause. Jos f E C 1 (D), niin .f on derivoituva D:n joko:isessa pisteessä. Todisfos tapaukses8a n= 2. Olkoon .f : D--+ li: ja :r:o

(a, b) E D. On

näytettävä, että f on derivoituva pisteessä :r0, toisin sanoen (2.5.3)

/(:ro) + vf(:co ) ·

J(;c)

- :r o),

missä c:(:r - :r0) --+ 0 kun :r --+ .1:0. Huomaa, että V .f (:r 0) on olemassa, koska olettamuksen mukaan osittaisderivaa.tat åi f(:c 0) ja å2 f(;1:0 ) ovat olemassa. Kuten aiemmin totesimme, kaava (2.5.3) pitää aina paikkan­ sa; ainoa ongelma on funktion

E

raja-arvo.

Kiinnitetään neliö Q C D, jonka sivujen pituus on 2r ja jonka keskipiste on 1:0

= (a,b). Olkoon :r (a+h,b+k) E Q, missä (h, k) =/= 0.

Tällöin lhl, Iki < r. Nyt pätee

J(:r)- J(xo)

f(a + h, b + k)

f(a, b)

J(a+ h,b+ k)- f(a,b+ k) + f(a ,b+ k)

f(a,b).

f(a, b + k) on määritelty välillä (-r, r) ja derivoituva kyseisellä välillä, sillä tp'(t) öif(a + t, b + k). Soveltamalla tavallista väliarvolausetta välillä [O, h] (tai välillä Kiinteällä k funktio tp(t)

f(a + t, b + k)

[h, O]) saadaan

f(a + h,b + k)

f(a , b + k)

tp(h )- tp(O) = tp'(�)(h - 0) = åif(a

Samoin soveltanialla väliarvolausetta funktioon

�' b + k)h.

VEKTORIANALYYSI

34 saadaan f(a., b + k) - f(a, b) = ·i/J(k) - ·i/J(O) 0)

'lj/(O)(k

å2f(a , b + O)k.

Yhdistämällä nämä aikaisempaan yhtälöön saadaan f(:r)

J(:r:o) = åif(a. + (, b + k)h

Ö2f(a, b + O)k

(öif(a + E, b + k), ö2f(a, b + e)) · (h, k). Luku � on O:n ja h:n välissä ja luku e on vastaavasti O:n ja k:n välissä; huomaa, että h ja k voivat olla myös negatiivisia. Soveltamalla tätä kaavaan (2.5.3) saadaan funktiolle c lauseke 1 xo) = -- [(öi f(a + E, b + k), å2.f(a, b + e)) - Xo

- (åi f(xo), 82.f(:ro))] · (h, k) \

[(åif(a E, b+k) å i f(1:o), åd(a., b col Koska :r - :r0 = (h , k), tästä seuraa

lc(:r

B)

fhf(x0)) · (h, k)].

1 xo)I ::;; --- l(å i f(a + E, b + k) - åif(xo), åd(a, b + 0) 1

- 82.f(:ro)ll(h , k)I l(å i f(a + E, b + k)

åif(1:o), 82,[(a, b + B)

82.f(xo)I-+ 0,

kun (h, k) -+ 0. Tämä pätee, koska å i f ja å2 f ovat jatkuvia pisteessä :ro = (a, b); tällöin å i f(a+E, b+k)-+ åi f(xo) ja 82.f(a, b+e)-+ 82.f(;r0 ), kun (h, k) -+ 0. Tästä seuraa väite.

2.5.4. Esimerkki. Määrätään funktion f : lRn -+

J(1:)

j:rJ

D

2. REAALIARVOISET FUNKTIOT

35

:ssi\

gradientti 'Vf (:r:) ja tutkitaan funktion f derivoituvuutta. Osittaisderi­

vaattoja ei ole olernassa pisteessä :r = 0. Jätämme tämän todistamisen

harjoitustehtäväksi; tämä vastaa yksiulotteista tapausta, jossa funktiol­ la

2: i-+

!:r! ei ole derivaattaa origossa. Nyt funktio f ei ole derivoituva

pisteessä 0. Lasketaan vf(:r), kun :c-:/ 0. Kiinnitetään i ja tutkitaan yhden muuttujan, :e i , funktiota

1,2, ... ,n

Laskemalla tämän derivaatta saadaan ,I. åi f'(·')

,, )·-1/ - 1/2 (··.l,1·2 + · · · + Jn 2

-

2

2·J;i

Funktio f on derivoituva joukossa IR11 \ { 0}. Syy tähän on seuraava.

!:ei on jatkuva IR11 :nsä, mistä seuraa tapausta n = l vas­ taavasti, että ;i; i-+ 1/!:rl on jatkuva joukossa IRn \{O}. Funktio ;r; i-+ :ei on selvästi jatkuva IR11 :ssä ja kahden jatkuvan funktion tulo on jatku­ va, joten funktio :r i-+ :ri/1:r:! on jatlrnva joukossa IRn \ {O}. T ämä pätee kaikilla i = 1, 2, ..., n. Lauseen 2.5.2 nojalla f on siten derivoituva jou­ kossa IRn \{O}. Funktion f gradientille 'Vf(:c) saadaan pisteessä 1: 0 lauseke :Cn) ;:::, '( )) (1'.1 Vf (1; ) = (ål f(:i: ) , ... , Un f :c . = I :c I ' . · . , I ;:i; I Funktio :r

i-+

1

!1:j

' ... , Xn)

2. 5. 5. Huomautus. Tapaus n

= 'Vf(x) =

. !:cj

1: Olkoon f

T ällöin ft (:r)

1;

.T

=

:

( )

IR -+ IR, f :r

!1:1.

{ : 1, kun x � 0,

- -1, kun .r. < 0.

Tarkastellaan seuraavassa f :n osittaisderivaattojen määräämistä tapauksessa, kun f on yhdistetty funktio, eli johdetaan niin sanotut

36

VEKTORIANALYYSI

yhdistetyn funktion derivoimisen ket;iw,iiännöt. Tarkastelemme tilan­ netta ensin erikoistapausten kautta. Yleinen tilanne käsitellään kappa­ leessa 2.6.

A)

Olkoon D c

avoin ) 6 C IR väli, h : D -+ 6 ja g

Tarkastelemme funktion f

6 -+ IR.

= g o h derivoimista.

T ämä on helppoa, sillä osittaisderivaatat lasketaan rajoittamalla funktio JR n :n koordinaattiakselien suuntaisille suorille. Määrätään tässä

tapauksessa D1 f. Määritelmän mukaan

lim ----------t�o t Koska :r0 E D ja D on avoin, funktio cp(t)

= g o h(:r 0 te1)

on määritelty jollakin välillä (-8, 8), 8

0. Laskemalla tämän funktion

derivaatta O:ssa tavallisella yksiulotteisella ketjusäännöllä saadaan

cp'(O)

g'(h(:c0 + (k 1)) · å1h(:1:o + Oei) g'(h(:co))81 h{ro).

Toisaalta tp' (0)

= åi f(:i:o). Havaitaan siis, että cJi f(:c 0 ) g1(h(.2: 0 ))81h(:co), jos derivaatat a1h(::c 0) ja g'(h(a.:0)) ovat olemassa. Yleisesti saadaan ketjusääntö

2. REAALIARVOISET FUNKTIOT JRn :SSÄ

37

:

IR2 --+ IR, f(:1:, y) sin(:ry). Nyt f = g o h , missä h: IR2 --+ IR, h(:r,y) = :ry ja g: IR--+ IR, g(s) = siru,. Määrätään D2f(:z:, y). Ylläolevasta kaavasta saadaan 2.5.6. Esimerkki. Olkoon f

82f(:r, y)

g'(h(:i:, y)) · 82h(:c, y)

cos(h(x,y))x

cos(xy)x.

Sama tulos saadaan tietysti suoraan kiinnittämällä :r: ja derivoimalla y:n suhteen. B) Olkoot D, D' C IR11 avoimia, w : D -1- D' ja h: D' --+ IR. Tarkaste­ lemme funktion f h o w derivoimista. Kuvauksia eli funktioita w, joiden arvot ovat IRn:ssä, ei ole aikaisem­ min käsitelty. Nämä palautetaan reaaliarvoiseen tapaukseen seuraavas­ ti. Kuvauksen 'W : D --+ D' määritelmän mukaan jokaiseen ;r E D on liitetty yksikäsitteinen 1u(:r:) E D', toisin sanoen w(::r) (Y1, ... , Yn ), missä Yi on w(:r):n koordinaatti. Siten w määrää n kappaletta funktioi­ ta Yi = wi ( :r:), :r E D. N ärnä ovat kuvauksia Wi : D --+ IR, toisin sanoen w(:1:) = (w1 ( x), ... , w1i (:r)), missä tui on kuvauksen w i. koordinaatti­ fu:nktio. Siten h(·w1 (:r), ..., w11 (:c)).

h(w(1;))

f(:1:)

2.5. 7. Lause. Olkoot funktiot

1oi

derivoituvia pisteessä x0 E D ja h

derivo·it11:ua pisteessä w(x0). Tällö-i'n f on derivoifova pisteessä :c0 ja

L 8yfi(w(:1;o))Diw (:i:0), i = l, 2, ..., n. n

8d(:z:o) =

j=l

j

VEKTORIANALYYSI

38 Tochstus. Todistetaan kaava tapauksessa i vät samoin. On näytettävä, että åif(:ro) =

l. I\1uut indeksit i mene­

L å h(w(:r ))å1wj(:ro).

j=l

0

j

Määritelmän nojalla

·- f(:ro) f(:ro + Ö1 f( :co ) = lim -· ------t

t--,o

Olkoon t

f- 0 niin pieni, että ;Co+ te1 E D.

Nyt

Koska h on derivoituva pisteessä w(:r0), pätee jokaisella y E D'

h(y)

Vh(w(:ro)) · (y

h(-w(:ro))

w(.1:0))+ IY

vertaa kaava (2.4.8). Asettamalla y puolittain t:llä saadaan

= w(:r0 +

w(:1:o)I c(y

) E D' ja jakamalla

h(w(:r0 + te1)) - h(iu(:r 0))

t

Koordinaattifunktioiden avulla esittämällä saadaan w (:ro +

=

(·w1 (;ro

t

+

t

W1 (:ro)

'...'

-+ (D1w1(:ro), ... , D1·wn (:ro)),

w(.1:0)),

2. REAALIARVOISET FUNKTIOT JR.li:ssA

39

kun t -t 0. Yhdistämällä tämä aikaisempaan kaavaan ja antamalla t -t O havaitaan, että åif(:ro) =Vh(w(:ro)) · (D1w1(:J:o), ... ,D111\,(:ro)) + l(81w1(:ro), ... ,å1n1r,(:ro))I · 0

I: 87'1.(w(:r0))Ö1WJ(:z;o) . .i=l

Tämä on vaadittu summakaava. Funktion f derivoituvuus seuraa suh­ teellisen helposti funktioiden h ja wi , i = I, ... , n, derivoituvuudesta . .Jätämme todistuksen harjoitustehtäväksi. 2.5.8. Esimerkki. Olkoon f : JR.2 -+ JR., .f(�r,y)

sin(sin(:r)e'i:Y).

Osittaisderivaatta åi f(:c, y) on mahdollista määrittää tavalliseen ta­ paan kiinnittämällä y ja derivoimalla ;1::n suhteen. Käytetään kuiten­ kin ketjusääntöä asettamalla h(:r, y)

sin(:.:y),

w(:r,y) = (w1

y),w2 (;1;,y))

(sin:r,

Tällöin

(how) ,y)

h('w(:r,y))

h(w1 (a:,y),w2 (:r,y))

sin(sin(:r )e'1'Y)

f(1\ y).

Suoraan laskemalla saadaan funktion h gradientiksi Vh(:r,y)

= (81 h(1:, y), D2 h(:r,y))

(y cos(:cy), :r cos(:cy))

VEKTORIANALYYSI

40 ja osittaisderivaatoiksi

Kaikki funktiot ovat jatkuvia, joten voidaan käyttää ketjusääntöä. Se antaa åif(:c, y)

cos(sin(:r)e'"Y) · cos:r + sin(x) cos(sin(::z:)c":Y) . ye:cy.

C) Seuraava tilanne tulee usein vastaan. Olkoon 6- C lR väli, D c JR71 avoin joukko ja g : D -+ lR sekä 1 : 6- -+ D kuvauksia. Funktio 1

on siis kuvaus väliltä 6- avoimeen joukkoon D c

. Jokaisella t E D

n

kuvauksen I arvo pisteessä t on JR :n vektori (,1 (t), 12 (t), ... , 'Yn (t)), -+ i toisin sanoen 1 määrittelee koordinaattifunktiot 'Yi : 1, ... , n. Kuvausta I sanotaan jatkuvaksi, jos jokainen 11 on jatku­ va, ja jatkuvaa kuvausta 1 : 6- -+ D sanotaan poluksi joukossa D. Kuvauksen I derivaatta "'/(t) pisteessä t E 6- määritellään vektoriksi ,'(t)

(,� (t) ' ... ' ,;J t)) )

missä "'tHt) on tavallinen derivaatta. Tämä tietenkin edellyttää, että

jokainen derivaatoista ,I(t) on olemassa pisteessä t. Nyt on määritet­ tävä tavallisen reaaliarvoisen funktion u : 6- -+ lR derivaatta pisteessä x0 E 6-, kun n on muotoa

11,

g o "/.

2.5.9. Lause. Olkoont0 E 6- 1 "/(t0) olemassajag: D-+ lR derivoituva pisteessä 1(t0 ). Tällöin h'(to) Todistus. Harjoitustehtävä.

Vg(,(to)) · ,'(to).

41

2. REAALIARVOISET FUNKTIOT JR11 :ssA

Polkuja ja muita vektoriarvoisia funktioita käsitellään tarkemmin luvussa 3. HARJ OITUSTEHTÄVIÄ

1 Todista väliarvolause avaruudessa JRn : Olkoon D C

)R

n

avoin,

f EC (D), :r, y ED ja jana 1

l

{ty + (I - t)x: t E (0, 1]} CD.

Tällöin on olemassa sellainen �

l, että

f(y) J(:1;) = V f(O. (y :i;). Vil�je: Tarkastele funktiota 0 on olemassa sellainen c5 > 0, että

(2.6.2)

lc(h) 1 < c, kun lhl < 5.

Joukon D avoimuudesta seuraa, että c on määritelty ainakin jossain pallossa B(O, r), r > 0. Asettamalla E(O) = 0 havaitaan, että ehto (2.6.2) on yhtäpitävä sen kanssa, että c on jatkuva origossa. Kuten

43

2. REAALIARVOISET FUNKTIOT ffi'.11 :SSÄ

aikaisemminkin, on syytä huomata, että kaava (2.6.1) pätee jokaiselle lineaarikuvaukselle L

ehdosta c(h) -+ 0 kun

derivoituvuus sen sijaan riippuu

h-+ 0.

Käytämme seuraavassa lineaarialgebran kurssin tietoja, kun käsit­ telemme lineaarikuvauksia L : ffi'.11 -+ ffi'.

P

ffi'.P .

Muista, että kuvaus L:

on lineaarinen, jos L( ah+ /3h') = aL(h) + f:]L(h') kaikilla h, h' E

ffi'.

n

ja ct,fJ E R

Jos f on derivoituva pisteessä

niin lineaarikuvausta L kaavassa

(2.6.1) merkitään f'(:r 0):lla. Seuraava lause ei ole vaikea todistaa; sen todistus on sama kuin tapauksessa p l, vertaa lause 2.4.9. 2.6.3. Lause. Olkoon f

D -+

ffi'. P

derivoitnva pisteessä

:i: 0

E D.

Tällöi.n

(i) f on jatkuva pisteessä :c0, (ii) lineaariku:vo:us f' (:i:0) : ffi'. 11 -+ ffi'.P on yksikäsitteisesti määrätty1 (iii) koordinaattifunkt'iot fy, j l, ... ,P, ovat derivoituv'ia pisteessä D Ehdosta (iii) seuraa myös kuvauksen f derivoituvuus pisteessä x 0• Oletetaan, että f on derivoituva pisteessä :i: 0. Tällöin f'(x0 )

ffi'.P

: ffi'. n

-+

on lineaarikuvaus, ja jokaisella lineaarikuvauksella on esitysmatriisi,

joka tässä tapauksessa on (p x n)-matriisi

f'(:ro) =

au

a 12

a21

a22

a p1

a v2

a 1n

a2n

44

VEKTO RIANALYYSI

avaruuksien IR.n ja JRP standardikannassa. Tämä tarkoittaa, että kun h (h 1, ... , hn) E IR.n , niin f'(:r0) h on IR1>:n vektori

(au h1

+... + a1n hn, ... ,

apl h1

+...

apn

hn).

Edellä on merkitty, kuten lineaarikuvausten yhteydessä on tavallista, f'(:r0 ) h, toisin sanoen kuvauksen argumentin ympäriltä f'(x0 )(h) jätetään sulut pois. .Jos f on derivoituva pisteessä x0 ja lineaarikuvauksella f'(r 0 ) on edellä mainittu esitysmatriisi, niin määräämme seuraavaksi luvut °'fi , 1 S j S p, 1 S i S n, funktion f koordinaattifunktioiden fi osittaisde­ rivaattojen avulla lausuttuna. Valitaan kaavassa (2.6.1) h te 1 , t 0 ja L f'(x0 ). Nyt kuvauksen J'(:.r0 ) lineaarisuuden takia

ja toisaalta

Kaava (2.6.1) saadaan, jakamalla puolittain t:llä, muotoon

45

2. REAALIARVOISET FUNKTIOT JR.n :SSÄ 1

0

+ J!l c(te1) t

0 (au, a21, ..., ap1) +

ltl c te . ( 1) t

Koska c(tei ) -+ 0, kun t -+ 0, ja koska koordinaattifunktioilla fj on osittaisderivaatat

niin antamalla t -+ 0 nähdään, että vektorit

ja {a11, a21, ..., ap1) ovat samat ja siis aj 1 åi fj (x 0 ) jokaisella j 1, ..., p. Vastaavasti jokaisella i = 1, ..., n saadaan

missä 1 S i

s n ja

matriisi on muotoa (2.6.4)

1 S j S p. Siten lineaarikuvauksen f'(x 0 ) esitys­

f'(xo) =

åif1(1:o) åd1(xo) å1h(xo) å2h(xo)

ån fi (xo) ån h(xo)

å i fp (xo) ådP (xo)

ån fp (xo)

Yllä on itse asiassa todistettu aikaisempi tulos, lause 2.4.5, yleisemmäs­ sä muodossa. Lauseen 2.4.5 kaavassa vaakarivejä on vain yksi.

Samoin kuin aiemmin yksinkertaisemmassa tapauksessa pätee, että

kaikkien koordinaattifunktioiden derivoituvuudesta seuraa J:n derivoi­ tuvuus. Lisäksi pätee, että jos kaikki funktiot h E C 1 (D), 1 S j S p,

46

V EKTO RIAN ALYYSI

niin f on derivoituva D:n jokaisessa pisteessä. Näiden todistaminen ei ole oleellisesti vaikeampaa kuin aikaisempien tulosten. .Jos p = 1 eli f : D ----+ ffi., olemme määritelleet derivoituvuuden pisteessä :r0 E D kaavalla (2.4.3), missä vektori a = V f(x0 ). Derivoi­ tuvuus on tässä tapauksessa täsmälleen sama kuin yllä määritelty. Syy on se, että lineaarikuvaus f'(x0)

: ffi.

n

----+ ffi. tulee muotoon

J'(:ro) h = V f(:ro) · h,

(2.6.5)

mikä nähdään suoraan esityksestä (2.6.4). Kuten aiemmin todettiin, on jokainen lineaarikuvaus L :

jollakin kiinteällä a E

n

ffi. .

ffi.

n

----+ ffi. muotoa Lh = a · h, h E

n

ffi. ,

Tutkimme lopuksi ketjusääntöä yleisessä tapauksessa. Olkoon D c ffi.

n

ja D' C

ffi.P

avoimia joukkoja sekä f : D ----+ D' ja g : D' ----+

ffi_(J

kuvauksia. Seuraava lause ei ole vaikeampi todistaa kuin aikaisemmat ketjusäännöt. 2.6.6. Lause. Jos f on derivoituva pisteessä x0 ja g on derivoifava pisteessä f(x 0), niin yhdistetty kuvaus g o f : D ----+

ffi_(J

on derivoituva

pisteessä x 0 ja (g o J)'(xo) = g'(f(xo)) J'(:co).

(2.6.7)

D Kaava (2.6.7) tarkoittaa, että lineaarikuvaus (go f)'(:c 0 ) : ffi.n ----+ ffi_(J saadaan yhdistämällä lineaarikuvaukset f' (:r 0 ) : ffi.n ----+ ffi.P ja g'(f(x0)) ffi.P

----+

ffi_(J;

kuten tavallista, ei yhdistettyjen lineaarikuvausten välissä

käytetä merkintää o. Lineaarikuvausten (g o f)'(x 0 ) esitysmatriisi saa­ daan kertomalla g'(f(x 0 )):n ja f'(x 0 ):n esitysmatriisit. Kaikki aikai­ semmat ketjusäännöt ovat seurauksia lauseesta 2.6.6.

47

2. REAALIARVOISET FUNKTIOT lRn :ssA

2.6.8. Esimerkki. Olkoot f : IR2 -+ IR2, f(1:, y) IR 2 -+ JR, g(:i:, y) = xy. Tällöin g o f : IR 2 -+ (g o f)(1:, y) = g(J(:r, y))

(sin

1:y) ja g :

1:ysin x.

g(sin1: , :ry)

, joten kaikki kuvaukset ovat derivoituvia. Nyt g, f, g o f E C 1 Laskemme gradientin V(g o !)(1:, y) lauseen 2.6.6 kaavasta

(g O f)'(:i:, y) =

1 g (f (X, y))

lineaarikuvaus ll!:2 -;JR

o

----

f'(:r, y)

lineaarikuvaus JR2 -,E 2

lineaarikuvausten yhdistetty lineaarikuvaus lR 2 -+IR

käyttämällä derivaatan ja gradientin välistä yhteyttä (2.6.5), (g o J)'(:i:, y)h = V(g o f)(x, y) · h, missä h E IR 2. Kaavasta 2.6.4 saadaan lineaarikuvauksen f'(x, y) esi­ tysrnatriisiksi

f'(.i:,y) Käyttämällä kaavaa (2.6.5) kuvaukseen g saadaan Vg(x,y)·h

g' (x,

y) h = ( Ö1g(;i;, y), 82g(x, y)) (y, x) [::]

[hh2

1

yh 1 + xh2

]

(y,

. h.

48

VEKTORIAN ALYYSI

Lasketaan seuraavaksi yhdistetyn lineaarikuvauksen g'(f(;i;, y))of'(;i;, y) arvo vektorilla h E IR 2; tämä tulee suoraan edellisistä kaavoista. Saa­

daan

g'(f(:i:, y)) f'(:c, y) h

= g'(f(:r, y))(f'(:r, y) h) .

cos :r

= (2:y, sm:r) ( [

y

Ol

:r

_ , . · [ (cos 2;) h1 l - (;i;y, smx) y h1 + :r h2

= ;i;y (cos:c) h 1

h1 [ ]) h2

+ (sin;i;)(y h1 + :c h2)

= (2:y cos ;i; + y sin :r)h 1 + :r (sin :r) h2

= (:ry cos :r + y sin :r, :r sin:c) · (h 1 , h2). Saadaan siis 'v(g o J)(:1:, y)

= (:ry cos :r +y sin :r, :1: sin :c). Saman tulok­

sen saa helpommin laskemalla suoraan osittaisderivaatat.

HARJOITUSTEHTÄVIÄ

2.6: 1 Olkoon f : IR2

---'t

IR 2 ja f = (fi, h). Osoita, että jos fi ja h ovat

derivoituvia pisteessä :r:0 E IR 2, niin f on derivoituva pisteessä

:Co, 2.6:2 Määritä kuvauksen

f: IR 2 ---'t IR 2,

f{r, y)

f'(:r, y) esitysmatriisi pisteessä (:c, y)

(eY , :ry), derivaatan

= ( 1, 1).

2. REAALIARVOISET FUNKTIOT JRn :SSÄ

49

2.7. SUUNNATTU DERIVAATTA JA GRADIENTIN GEOMETRINEN MERKITYS Käsittelemme asiaa vain, kun n

= 2. Yleistys tapaukseen n 2 3 on

helppo. Reaaliarvoisen funktion osittaisderivaatat pisteessä x0 on otet­ tu koordinaattiakselien suuntaan. Yhtä hyvin osittaisderivaatta voi­ daan määritellä mihin suuntaan hyvänsä. Olkoon f : D -t JR, D avoin lR2 :ssa ja x 0 E D sekä v E JR2, lvl 1 eli v on yksikkövektori. Funktion f s·u·unnattu derivaatta pisteessä :r0 smmtaan von .. f(:1:0 11111 t-+0

+ t v) - f(:ro) t

,

mikäli kyseinen raja-arvo on olemassa. Havaitaan, että

2. 7 .1. Lause. Olkoon f derivoifova pisteessä :r0. Tällöin

Ja

iåvf(:ro)I s; 1'7f(xo)I. 2. 7.2. Jfo.omautus. Lauseen 2.7.1 epäyhtälössä vasen puoli on reaalilu­ vun itseisarvo ja oikea on vektorin pituus. Lauseen

7.1 todistus. Koska f on derivoituva pisteessä x0, pätee f(:1;0 + h)

f(xo)

= \7 f(xo) · h

ihl c( h).

50

VEKTORIANALYYSI

Valitaan h =

tv, t c:j:. 0. f(:ro + tv) t

Tällöin

Vf(:ro) · (tv)

t

+

. ltv l Vj(:ro). · v + t

Nyt

f'u

l l -E (tv ) t l ' ;,11

E(tv)

0,

t

kun t -+ 0, koska

t

Jvl

ja E(tv) -+ 0, kun t -+ 0. Näin ollen cJvf(:i:0) koska l vl = 1, saamme Cauchy-Schwartzin epäyhtälön (1.1.3) nojalla l8vf(:ro)I = IVf(:ro) · v! ::; !Vf(:ro)llvl

JVf(;ro)J.

2. 7.3. Esimerkki. Lasketaan funktion f (:rdJ) = sin :r

y s1mnnattu

derivaatta origossa suuntaan � + v. Huomaa, v2 Kuvaus f E C 1 , joten f on derivoituva origossa. Lisäksi joten

Vf (;c)

V.f(O) = (1, 1).

( D1 f (:r) , {)2.f ( :c) )

Lauseesta

1 /n( l + l) v2 Tämän voi laskea myös suoraan määritelmästä. avf (0)

= (1, 1) ·

1

2.7.1 saadaan

(1, 1))

=

D

Jvl

1.

1 ), 2 /n v12 = v2.

Selvitetään seuraavaksi gradientin VJ geometrinen merkitys. Ol­

koon D C Oletetaan, että f E (D). Tarkas­ ja f : D -+ tellaan f:n tasa-arvojoukkoa f(:r, y) c. Oletetaan 1 että on olernassa

polku

1(t) = (:r(t), y(t1),

51

2. REAALIARVOISET FUNKTIOT JRn :SSA

:r, y: [a, b] --+

siten, että. f(:r(t), y(t))

c,

toisin sanoen polku 1 "kulkee" tasa-arvojoukossa f(:r,y)

c. Oletetaan

lisäksi, että :1:,y E C ([a,b]). 1

2.7.4, Huoma,,1dus. Jos(:r'(t 0),y'(t 0))

::/ (0,0),

että polulla ')' on tangentti pisteessä t 0 . yhtälö on

y - y(to) Tähän palataan myöhenunin.

t0 E Jos y'(t 0 )

:r'(to) y to

= ----;--( )( :r

b],niin sanotaan, ::/

0, niin tangentin

- :1;(t o) .).

2. 7.5. Lause (Gradientin "geometria"). Olkoon I ja f k1wm1,ksfrt knte.n edellä. Tällöin VJ(r(t))·"/(t)

O,t

Vf(:r(t),y(t))·(:i:'(t), y'(t.))

[a,b] 0, t E [a, b].

Toisin sanoen V f on kohtisuorassa jokaista tasa-nrvojoukossa knll,xvrw C 1-polkua vastaan. Todistus. Olettamuksen perusteella f(:i:(t), y(t)) = c kaikilla f;

[a, b].

KäyteUiän ketjusääntöä C) ja tarkastellaan funktiota h t r-+ (f o 'Y)(t)

= f(:r(t), y(t:)).

Tämä on kuvaus väliltä [n, b] reaaliluvuille. Koska �/ sisältyy tasa-ar­ vojoukkoon, tämä funktio on vakio c välillä [a,b] , josta. seuraa, että (fo,y)'(t) = 0, t. E [a,b]. l'vfäärätään seuraavaksi Vf(''/(t))·"/(t). h'()t Ketjirnääntö C) antaa 0

= h' t)( = V Jly(t)) · ,'(t) ,

VEK TORIANAL Y Y SI

52 mikä onkin väite.

D

Lauseiden 2.7.1 ja 2.7.5 seurauksena saadaan, että funktion f gra­ dientilla Vf on seuraava ominaisuus: Gradientti Vf on kohtisuorassa f:n tasa-arvojoukkoja vastaan ja osoittaa suuntaan, johon f kasvaa voimakkaimmin. HARJOITU S T EHT ÄV IÄ

2.7:1 Osoita, että suunnatulle derivaatalle pätee IL 11 f(:i:) = -å11 f(:r). 2.7:2 Funktio f : IR.n -+ IR. on parillinen, jos f(-:r) = f(.T) kaikilla :r E IR.n . Osoita, että jos f on lisäksi derivoituva, niin Vf(-:r:) -Vf(:r). Määritä tällöin Vf(O). 2.7:3 Maaston korkeus pisteessä (:r,y) on h(:r,y) =

3

+

10 .r 2 + 2y 2

Pisteen (3, 2) kautta kulkee puro. Määritä puron suunta tässä pisteessä. 2.7:4 Olkoon f : IR.n -+ IR., :ro E IR.n ja åv f(:r o ) = 0 jokaisella v E IR.n , jolle lvl = 1. Mitä tällöin tiedetään funktion f käyttäytymisestä pisteestä :ro?

2.8.

KORKEAMMAN KERTALUVUN O SIT TAISDERIVAATAT JA TAYLORIN KAAVA

Olkoon D c IR.2 avoin joukko. Tarkastelemme funktioita f

:

D -+ R Yleistykset tapaukseen n � 3 ovat suoraviivaisia. Jos åi f(:r) on olemassa joukon D jokaisessa pisteessä, saadaan funktio åi f : D-+ IR..

53

2. REAALIARVOISET FUNKTIOT lR.11 :ssX

Funktiota åi f voidaan yrittää derivoida :r:n tai y:n suhteen eli muodos­

taa toisen kertalmnm osittaisderivaatat 81 åd, merkitään Dr J

= f1:x, tai

D2 åif fcy · Vastaavalla menettelyllä voidaan muodostaa D2Dd, mer­ f11;1;· Nämä ovat toisen kertaluvun osit­ kitään åif = fy11, tai D1 åd taisderivaattoja: kaikissa yllä mainituissa tapauksissa funktiota f on

derivoitu kaksi kertaa. Jatkamalla vastaavasti saadaan Df J å1 åJ)i f, 81 i:J2 åi f ja niin edelleen, mikäli kyseiset derivaatat ovat olemassa. Deri­

vaattaa åi1,f sanotaan n. kertaluvun osittaisderivaataksi ja esimerkiksi derivaattaa /J1 82 /Jif kolmannen kcrtaluvun osittaisderivaataksi. Käy­ tetään merkintää f E C11(D), jolla tarkoitetaan, että f ja sen kaikki kertalukua p tai tätä pienempää kertalukua olevat osittaisderivaatat ovat olemassa ja jatkuvia D:ssä. Tällöin C

0

(D)

= C(D)

{f : D -t lR: f jatkuva}

ja C 1 ( D) on jo tuttu kerran jatkuva,sti derivoituvien funktioiden luokka. 2.8.1. Esimerkki. Olkoon j'(;r, y) åif(:r, y)

= sin(:cy), (:r, y) E JR2 . Saadaan

ycos(:cy),

åd (:1:, y) = :r cos(:ry), å2 å1f(:r, y) = cos(:cy) 81 D1

, y)

åJhf (:1:, y)

sin(:cy),

sin(:ry),

= cos(:ry) :cy sin(:ry), sin(:cy),

Havaitaan, että /J1 82}'(:r, y) ole sattuma. Funktio .f

011

y). Osoittautuu, että tämä ei

sellainen, että sillä on kaikkien kertalukujen

54

VEKTORIANALYYSI

jatkuvat osittaisderivaatat JR2:ssa. Tällaisten funktioiden joukkoa mer­

kitään C00 (JR2). Yleisesti merkitään C00 (D), jos funktiolla .f on kaikkien kertalukujen jatkuvat osittaisderivaatat avoimessa joukossa D C JRn . 2.8.2. Esimerkki. Olkoon f : lR2 -+ JR, f(:r) = J:cJ eli f(x,y) = Jx2 +y2. Nyt f E C(JR2), mutta .f (/:. C1 (JR2), sillä f:llä ei ole osittais­ derivaattoja pisteessä 0. Kuitenkin

.f E C00 (JR2\ {O} ).

Todistus. Ideana on tavallisen väliarvolauseen käyttö. Pitää näyttää, että kun (x, y) E D, niin

Kiinnitetään (x, y)-keskinen neliö Q, joka kokonaisuudessaan on D:n sisällä. Tämä on mahdollista, koska D on avoin. Seuraavassa tarkastel­ laan pisteitä (x,y), (:c+h,y), (:c,y+k), (x+h,y+k), missä h, k =/= 0 ovat niin pieniä, että nämä pisteet ovat Q:n sisällä. Asetetaan 0, että (2.9.2)

f(:r:) ::S f(:i:o ), kun :r: E A n B(:1;0, 6).

Pisteessä :r: 0 on aito lokaa.Ii maksimi, jos kaa:vassa (2.9.2) pätee aito epäyhtälö kun :r f. :r: 0. Vastaavalla tavalla määritellään (aito) loka.ali minimi. 2.9.8. Huom.a1dns. Yllä on pieni ero tapauksessa n

= l annettuun

määritelmään. Olkoon esimerkiksi A = [O, 1] C lR ja f(:r) x. Yllä olevan määritelmän mukaan :r 0 = 0 on f :n aito lokaa.Ii minimipiste ja :r:0

= 1 on f:n aito lokaali maksimikohta. Yleensä reaaliakselin välillä Li

määritellyn funktion lokaali maksimi- ja minimikohta voivat olla vain !i:n sisäpisteissä. Joskus tätä käytetään rnyös kun n � 2. Sanornme joukon A C

pistettä :r0 A:n sisiipist:eekBi, jos on ole­ massa sellainen 8 > 0, että B(:i:0, 6) C A. Merkitsemme joukon A säpisteiclen joukkoa intA. Sisäpisteiden joukko intA on avoin joukko jokaisella joukolla A c JRn . Lokaaleja maksimi- ja minimipisteitä kutsutaan myös lokaaleiksi iiäriarvokohdiksi.

2.9.4. Esimerkki. Jos on avom, niin kaikki A:n pisteet ovat A:n sisäpisteitä. Jos A [O ) 1 J C JR, niin O ja 1 eivät ole A:n sisäpisteitä ja intA = (0, 1).

V EKTO RIANALYYSI

62

2.9.5. Lause (peruslause). Olkoon f : A -t° JR, :1; 0 jm1.kon A sisäpiste ja funktion f lokaali ääriarvopiste. Jos åd(x0 ) on olernassa jollakin i = 1, ..., n, niin åd(:1: 0 ) = 0.

Todistus. Lause seuraa vastaavasta lauseesta tapauksessa n koon

=

I. Ol­

funktion f lokaali maksimikohta. Tarkastellaan funktiota

:i: 0

t 8 f(:ro,1, ..., :ro,i-1, t, :ro,z+1, ..., :co,n), :1;0 = (:r0 ,1, ... , :ro,n). Koska :r0 on A:n sisäpiste, on((> määritelty ainakin jollakin välillä (:co,i - 5, x0 ,i + 5 ) = 6, 5 > 0. Koska f :llä on lokaali maksimi pisteessä 2: 0, niin valitsemalla 5 riittävän pieneksi pätee

kun t E 6. Siten funktiolla ((> on lokaali maksimi pisteessä :1; 0,i. Jos funktiolla ((> : 6

-t°

lR on derivaatta välin 6 sisäpisteessä

1 0. Toisaal­ :1:0 ,i, niin tunnetusti lokaalissa ääriarvopisteessä ((> (2:0 ,i) ta osittaisderivaatan määritelmän perusteella ((>'(xo,i) = åd(x0), joten

=

0. Vastaavasti näytetään, että 8d(:r0 ) kaali minimi pisteessä x0.

åd(1:0 )

=

0, jos f:llä on lo­ D

2.9.6. Määritelmä. Olkoon f E C 1 (D), D c JR.11 avoin. Pisteitä

:1;

E

D, joissa Vf(:r) = (åif(1:), ..., 81d(:r)) = (0, ..., 0) = 0, sanotaan f :n kriittisiksi pisteiksi. Näissä pisteissä saatuja J:n arvoja sanotaan f :n kriittisiksi arvoiksi. Lauseesta 2.9.5 seuraa: Olkoon D C JR.11 avoin ja f E C 1 (D). Tällöin J:n lokaalit ääriarvokohdat löytää J:n kriittisten pisteiden joukosta.

2.

REAALIARVOISET FUNKTIOT JR'.11 :SSÄ

63

·y2 ) e:r+11. 2.9. 7. Esimerkki. Olkoon f : JR'.2 -r JR, f(:r, y) = (4 Määrätään funktion f kriittiset pisteet. Osittaisderivaatoiksi saadaan åif(:i:, y) å2f(:r:, y)

(-2::c +4

=

:r2

· 2) 'y

)

(-2y +4-

Määrätään ne pisteet (:r, y), joissa

Koska löryhmän

> 0 kaikilla (:r:, y), niin kriittiset pisteet toteuttavat yhtä-2::i; + 4 x2 y 2 0, { -2y + 4- ;1; - y2 = 0. 2

Vähentämällä yhtälöt toisistaan saadaan a: ensimmäiseen yhtälöön seuraa, että x

=

y ja sijoittamalla tämä tai ::c = 1. Siten pisteet

(-2, -2) ja (1, 1) ovat ainoita mahdollisia funktion f kriittisiä pisteitä. Välittömästi havaitaan, että tämä kaksi pistettä todella toteuttavat \lf(x, y)

= (0, 0).

Vaikeampaa sen sijaan on päättää, ovatko kriittiset pisteet f :n lo­ kaaleja ääriarvokohtia. 2.9.8. Huomautus. Tapauksessa n

1 funktion f toinen derivaatta

tarjoaa riittävän ehdon lokaaleille ääriarvoille. 0lkoon f E C 2 ( a, b). Jos 0 ja f"(:r: 0) > 0, niin pisteessä ::i:0 on aito lokaali minimi ja f'(::c 0) vastaavasti jos f'(:r0 ) maksimi.

0 ja f"(:r0) < 0, niin pisteessä :r: 0 on aito lokaali

64

VEKTORIANALYYSI

Tutkitaan tapausta n

2 ja pyritään löytämään vastaava kriteerio lokaaleille ääriarvokohdille. Olkoon f E C3 (D) ja (x0 , y0 ) E D J:n kriit­ tinen piste eli V f (:c0, y0) = 0. Taylorin kaavasta, lause 2.8.4, seuraa: f(:co + h, Yo + k) = f(,ro, Yo)

+

( 81 åif (:r.o, Yo) h 2 + 2 8JJ2f(:co, Yo) hk + 82åd(:vo, Yo) k 2) vastaa f" ( a,o) :aa

(h2

+ k 2 )3;2 B(h, k).

Tämä johtaa tutkimaan muotoa

Q(h, k) olevan kuvauksen Q : IR2

ah2 �

+ 2bhk + ck 2, a, b, c E IR, IR käyttäytymistä. Funktiota Q sanotaan

toisen asteen neliörnuodoksL Riippuen vakioiden a, b, c arvoista Q käyttäytyy eri tavoilla. Seu­ raavat neljä tapausta ovat mahdollisia, ja valitsemalla a

Önf( :i:o, Yo),

b

812!(1:o, Yo),

c

Ö22f(xo, Yo)

voidaan tehdä alla olevat johtopäätökset.

(i) Q(h, k) on positiivisesti definiitti eli Q(h, k) > 0 (0, 0). Tällöin (:r0, y0) on aito lokaali minimi.

(h,k)

i=

(ii) Q(h,k) on negatiivisesti definiitti eli Q(h,k) < 0 kun (h,k) =/= (0, 0). Tällöin (x0 , y0) on aito lokaali maksimi.

(iii) Q(h, k) on indefiniitti eli saa sekä positiivisia että negatiivisia arvoja. Tällöin (:c 0, y0) ei ole ääriarvokohta, vaan niin sanottu satula.piste.

2. REAALIARVOISET FUNKTIOT 1!{11

65

(iv) Q(h, k) on positiivisesti (negatfivisesti) se1nidefiniitti eli Q(h,k)?:: 0 (Q(h,k)::; 0)

kaikilla (h, k) CJ(h, k) = 0 jollakin (h, k) 0. Mitään johtopäätöstä pisteen (:r 0, y0) ääriarvoluonteesta ei voida tällä pe­ rusteella tehdä, vaan tilanne pitää tutkia erikseen. Itse asiassa osoittautuu, että oletus f E C2(D) riittää ylläoleviin joh­ topäätöksiin. Sovelluksissa on kuitenkin yleensä voimassa f E C:3(D).

2.9.9. Hnornautus. Tapaus (iii) ei tule vastaan kun n= 1, sillä CJ(h) f"( :i:o) h2 . 2.9.10. Esimerkki.

(i) CJ(h, k) = h2 +k2 on positiivisesti definiit-

ti. (ii) Q(h, k) = -(h2 + k2) on negatiivisesti definiitti. (iii) Q(h, k) hk on indefiniitti, samoin Q(h, k) = h2 k2 (iv) Q(h,k) = h2 on positiivisesti semidefiniitti, koska Q(h, k) kun (h,k) (O,k).

0

Jätämme kohtien (i)-(iv) todistamisen harjoitustehtäväksi. Todis­ tus on samanlainen kuin tapauksessa n 1 ja perustuu Taylorin kaa­ vaan.

2. 9.11. Huomautus. Tilanteessa n ?:: 3 pitää tutkia neliörnuotoa C](h)

I:

i,j=l

Clij hi hj,

h

= (h1, ... , h11

),

Muuten tilanne on täysin vastaava. Funktiota Q kutsutaan f:n Hess·in neliöm:u.odoksi pisteessä :r 0. Tutkitaan seuraavaksi, milloin q(h, k) on jotain tyypeistä (i) - (iv). Olkoon Q edelleen CJ(h, k) ah2 + 2bhk ck2.

66

VEI 0 ja

determinantti a b

(2.9.12) (ii)

q

b

C

o.

= ac

on negatiivisesti definiitti täsmälleen silloin, kun a

< 0 ja

epäyhtälö (2.9.12) pätee. (iii)

q on indefiniitti täsmälleen silloin, kun a b b

(iv)

< 0.

C

q on semidefiniitti täsmälleen silloin, kun a b b

=0.

C

Näiden kriteerioiden todistaminen ei ole vaikeaa; itse asiassa ne liitty­ vät toisen asteen pintojen karakterisoimiseen. Vastaavat, hieman mo­ nimutkaisemmat ehdot ovat voimassa kun n 2". 3. 2.9.13. Esimerkki. Olkoon f :.IR2 --+ IR, f(x,y)

= 2:r 3

fö;y + 3y2•

Määritetään f :n kriittiset pisteet ja lokaalit ääriarvokohdat. Funktio f kuuluu joukkoon C 1 (IR 2), joten lokaalit ääriarvokohdat ovat kriittisten

{

pisteiden joukossa. Kriittiset pisteet Öif(:T, y) åd(:c, y)

= 6x2

y) toteuttavat yhtälöryhmän 6y = 0,

+ 6y

josta helpolla päättelyllä saadaan :r = 0 ja y

0,

= 0 tai x

1 ja y

= 1.

Ainoat kriittiset pisteet ovat siten (0, 0) ja (1, 1). Seuraavaksi pitää tutkia, ovatko nämä pisteet lokaa.leja ääriarvo­ kohtia. Koska f E C 3 (IR 2) (J E C 2 (IR 2) riittää), voidaan käyttää edellä

2. REAALIARVOISET FUNKTIOT lR;.71 :SSÄ

67

esitettyä teoriaa. Nyt derivaatat å1 åi .f(:c, y) 12:r, iJ1 å2 j(x, y) ja iJ2 82 ](;:c, y) = 6. Pisteessä (0, 0) a 0, b = -6, c = 6, joten a b b C

= -6

= -36.

Näin ollen piste (0, 0) on satulapistc eikä siten lokaali ääriarvokohta. Pisteessä (1, 1) a 12 > 0, b -6, c = 6, joten a b > 0, b C eli kohdan (i) nojalla Q on positiivisesti definiitti, mistä seuraa, että piste (1, 1) on (aito) lokaali minimipiste. 2.9.14. Esimerkki. Olkoon f Osittaisderivaatoiksi saadaan

:

å1 å1 f· (x, y)

:r.y (:r 2

8182 /(:r, y)

(1

82 82 ](1:, y)

JR 2 -t lR, f (:c, y)

3) e. -(x

2

+y 2 )/2

=

:i:y e-(x2 +Y 2 )/2.

,

:i: 2 ) (1 - y 2 )

= xy (y2 - 3)

ja koska f E C3 (JR 2 ), saadaan ensimmäisistä osittaisderivaatoista kriit­ tisiksi pisteiksi (0, 0), (1, 1), (1, -1), 1, 1) ja (-1, 1). Sijoittamalla piste (0, 0) saadaan a = c Oja b = 1, joten se on satulapiste. Pisteet (1, 1) ja (-1, -1) sijoittamalla saadaan a c = --2/e < 0 ja b 0, joten a b > 0. b C

68

VEKTORIANALYYSI

Nämä ovat siten aidot lokaalit maksimit. Pisteissä ( 1, -1) ja (-1, 1) saadaan a

c = 2/e > 0 ja b

0, joten a b b

C

> 0.

Nämä ovat siis aidot lokaalit rninirnit. Käsittelemme seuraavassa reaaliarvoisten kuvausten absoluuttisia eli globaalc�ja ää riarvoja. Olkoon f : A -+ JR, A C lauseet täydentävät vanhoja tuttuja tietoja välillä

. Allaolevat b] määriteltyjen

funktioiden käyttäytymisestä. 2.9.15. Määritelmä. Funktiolla f on absolmdtinen (glo baali} rninimi pisteessä

:i: 0

E A, jos

(2.9.16)

f(:i:) � J(:ro) kaikilla :r E A.

Pisteessä :r0 on aito absoluuttinen minimi, mikäli kaavassa (2.9.16) pä­ :r 0. Vastaavalla tavalla määritellään

tee aito epäyhtälö jokaisella :r (aito) absoluuttinen maksimi

2.9.17. Lause. Olkoon A C JRn kompakti, epiityMä joukko ja f: A-+ lR jatkuva. Tällöin f :llii on a:inakin yksi absofouttinen m.inirni- ja mak­ sirnipiste. Todistus. Näytetään ensin, että f on rajoitettu eli että on olemassa sellainen lvl < oo, että 1

f (:r;) 1

::;

lvf kaikilla

:i:

E A.

Tehdään vastaoletus: f ei ole rajoitettu. Tällöin on olemassa sellaiset pisteet :ei E A, i

1, 2, ... , että 1

f (:ri) 1 2: i.

69

2. REAALIARVOISET FUNKTIOT JR11 :SSÄ

Koska A on kompakti ) on olemassa sellainen osajono

, että

kun j -+ oo ja :z:0 E A. Nyt !.f(:r)I jatkuva, joten lf(:i;iJI -+ lf(:co)I < oo, '--v--' -too

mikä on ristiriita. Näytetään sitten, että f :llä on esimerkiksi maksimipiste. Koska f

on rajoitettu ja A ::J

0, on olemassa sup{f (x) : :r E A}

J\!/0 • Suprernu­

min määritelmästä seuraa, että on olemassa sellainen jono

:ei E A,

että f(;r1) -+ 1\10. Kuten edellä, joukon A kornpaktiudesta seuraa, että on olemassa jonon (:c1) osajono (:rij ) ja :r0 E A, joille pätee

Nyt J:n jatkuvuudesta seuraa, että f (:c 0)

A10 .

2.9.18. Esimerkki. Tutkitaan tilastotieteessä usein käytettyä pienim­ män neliösumrnan rnetodia. Tarkastellaan havaintosarjaa, jossa on teh­ ty useita mittauksia

missä esimerkiksi arvo :r 1 on kappaleen :c lämpötila, :c 2 on kappaleen a: läpimitta ja niin edelleen. Olkoon sitten x 1 taus,

(:rf, ... , :c�) 2. mittaus ja

=

(:cL ... , :r;J 1. mit­ viimeinen eli k.

(:c}, ... ,

mittaus. Oletamme, että mittaukset on tehty samoissa olosuhteissa, kuiten­ kin esimerkiksi eri mittaajia käyttämällä. Yritämme selvittää "parhaan" arvion :c:lle. Olkoon :Do

1

k

L

=k :i=1

i::z::. ·)

, ... , k:

,J

J,n C

,

VEKTORIANALYYSI

70

havaintojen :i_;J , j 1, ... , k, keskiarvo. Huomaa, että :i.: 0 on lR.n :n vek­ tori. Pyrimme löytämään sen pisteen ;D E JR.n , joka rninimoi lausekkeen -:r1j-?

... +j:c

k ? :z:'j-.

Näytämme, että keskiarvolla :c0 E JR.11 on tämä ominaisuus eli että

funktion f : JR.11

JR.,

jx

f (:c)

12

+ ... + 1.:t:-:c kl2 '

aito absoluuttinen minimi on pisteessä x 0• Kirjoittamalla J:n lauseke koordinaattirnuodossa :1: = saadaan k

1(:r)

' ... ':rn)

:1�n + ... + 2

I:r(:i.:1 j=l

Jos funktiolla f on aito absoluuttinen minimi pisteessä :z;, niin :r on funktion f kriittinen piste, koska .f E c = (JR.n). Näin ollen k

2 I:(:c1

8if

j=l

k

2 L(:r j=l

11

:i:{)

0

J

.·x: n )=O .

Näistä yhtälöistä seuraa T • t· -

joten todellakin x =

:1: 0.

1

k

k � � Tj j=l

di)

l.

]

) • .• )

TI')

On vielä näytettävä, että x0 on f :n aito ab­

soluuttinen minimi. Päätellään tämä suoraan. Ensinnäkin J(:c) 2:: 0

71

2. REAALIARVOISET FUNKTIOT ]Rn :SSÄ

jokaisella :r E

, ja pätee lim f ( :i;)

j:i:j-too

oo.

Tämä on helppoa nähdä, sillä kun l:rl on suuri, on jokin :ri myös )2 , joten myös f(:x;) on tällöin suuri. Siten

suuri ja f(:r) � (:ri -

f (:r) � 1 + f(:ro), kun 1:rl � A1 jollakin JVI > 0. Joukko B(O, .Af) on kompakti, joten f saa siellä absoluuttisen minimiarvonsa. Se on abso­ luuttinen minimi koko JRn :ssä, koska f(:r) � 1 + f(:r0 ) pallon B(O, Jvl) ulkopuolella ja pallossa B(O, ivf) funktio f saa arvon f(:r0), joka on pienempi kuin 1 f (:r0). Absoluuttisessa minimipisteessä osittaisderi­ vaattojen arvo 0. Ainoa tällainen piste on :r0 , joten pisteessä :i:0 funktio f saa absoluuttisen miniminsä pisteessä :r0 . Pitää vielä osoittaa, että piste :r0 antaa aidon absoluuttisen mini­ min. Tämä nähdään helposti vastaoletuksella: Jos :r E että f(:i:)

on sellainen,

f(;1: 0 ), niin myös pisteessä :r funktio f saavuttaa abso­

luuttisen minimin. Siten :r: on f :n kriittinen piste, jossa välttämättä V f(:i:)

0. Mutta :r0 on ainoa tällainen piste, joten :r:

:z:0.

Se, että pisteessä :i: 0 f saavuttaa aidon loka.alin minimin voidaan tutkia myös käyttämällä funktion .f Hessin neliömuotoa pisteessä x0,

jolloin havaitaan sen olevan positiivisesti definiitti. Myös suoralla kulla on mahdollista todistaa, että f(:i:) > f(:i: 0) kaikilla :r-/:- :r0.

HARJOITUSTEHTÄVIÄ

2.9:1 Määritä,funktion

f: JR3 -+ JR,

f(:r, y, z) kriittiset pisteet.

:r4

-

3:r:1/

+ 3:a + 2,

VEKTORIANALYYSI

72

Määritä edellisen tehtävän funktion f lokaaJit ääriarvokohdat. 2.9:3 Osoita ääriarvokohdan määritelmää 2.9.1 käyttäen, että piste (0,0) ei ole funktion .f: IR2 -+ kohta. 2.9:4 Olkoon A

{(:r,y)

E IR2: :r

f(:r,y) 0,y

= :z: 2 -y2, ääriarvo-

> 0, :r + y < 4} kolmio.

Etsi pisteet, joissa funktio f : A -+ IR, .f(;r, y)

, saa

suurimman ja pienimmän arvonsa. 2.9:5 Osoita, että jos neliömuoto Q : IR2 -+ IR, Q(h, k)

ah 2 + 2bhk + ck2,

on positiivisesti definiitti, niin on olemassa sellainen c > 0, että

+ k2) jokaisella (h, k) E IR 2 . E > 0, kun (h, k) on kornVil�je: Näytä ensin, että Q(h, k)

Q(h, k) 2". c(h2

paktin joukon åB(O, 1) piste, ja päättele tästä loput väitteestä. 2.9:6 Mitkä ovat sen suorakulmaisen laatikon mitat, jonka tilavuus

V > 0 ja jolla on pienin mahdollinen pinta-ala kantta lukuu­ nottamatta? Absoluuttista minimiä ei tarvitse perustella. 2.9:7 Olkoon .f E C 1 (IR) funktio, jolla on ainoassa kriittisessä pis­ teessään aito lokaa.Ii minimi. Osoita, että tällöin piste on myös funktion .f aito absoluuttinen minimi. Näytä, että tämä ei pä­ de, kun n

2.

Vihje: Kokeile funktiota .f: IR2 -+ .f(a:, y)

= -y4 -

ja näytä, että (0, 0) on ainoa aito lokaali minimipiste. Osoita jälkeen, että f :llä ole absoluuttista minimipistettä. 2.9:8 Onko funktioilla .f, g : IR2 -+ IR, f(x, y) :r + 2y ja g(:r, y) , suurimpia tai pienimpiä arvoja?

2.

73

REAALIARVOISET FUNKTIOT J:Rn :SSÄ

l, ... , n. Olkoon

2.9:9 On tehty joukko havaintoja (:i;i, yi) E

f: IR.2 -+ IR,

f(k, rn)

n

2 =" .L.)Yi - k:c 1 - 111)

i=l

Olkoon (ko, m0) funktion f absoluuttinen minimi. Minkä yhtä­ löryhmän piste (ko, m.0) toteuttaa? Tässä on kyseessä pienim­

män neliösumman metodilla tapahtuva regressiosuoran määrää­ minen. Absoluuttisen minimin olemassaoloa ei tarvitse tutkia. 2.9:10 Etsi ne pisteet, joissa funktio f

: IR.2

-+ IR, f(:r, y)

=

2:ry, saa

suurimman ja pienimmän arvonsa joukossa B(O, 2). 2.9:11 Olkoon A0 = { (:r, y) E IR.2 : i'> - x2 O}. Onko funktiolla

y, suurinta tai pienintä arvoa? 2.9:12 Määritä funktion f : IR. 2 -+ IR, f(:r, y) :r2 +:ry+ y2 :r - y, lokaalit ääriarvokohdat. Onko funktiolla f globaaleja ääriarvo­ kohtia IR.2 :ssa? f: Ao --+ IR, f(:r, :ZJ)

3. VEKTORIARVOISET FUNKTIOT

3.1. POLUT Olkoon L'.1 mikä tahansa väli reaaliakselilla R Tällöin kuvaus "f L1 --+ JR71 on polku, jos se on jatkuva. Tutkimme seuraavassa tapausta, jossa L'.1

= [a, b] on suljettu väli. Jokaisella t E [a,b] r(t)

b1(t), · ·, ,,n(t))

on IRn :n vektori ja siten I määrittelee kuvaukset ,'i : [a, b] --+ IR, i = 1, ... ,n. Näitä kutsutaan 1:n koordinaattifunktioiksi. Kuvauksen I jatkuvuus tarkoittaa, että jokainen

on jatkuva.

3.1.1. Määritelmä. Sanomme, että I E C 1 ([a, b]) eli I on C 1 -funktio, E C 1 ([a,b]), i jos 1, 2, ... , n. Kuvauksen I derivaatta 1' pisteessä t E [a, b] määritellään kaavalla ,'(t)

(rf (t), ... ,,;Jt))

h) - r(t) h

Päätepisteissä a ja b käytetään luonnollisesti toispuoleisia derivaattoja. Derivaatta 1 '(t) on siis myös IRn :n vektori. Yllä määritelty derivaat­ ta ei ole uusi käsite. Se vastaa tapausta n

1 kappaleessa 2.6. Ainoa

ero on, että määrittelyjoukko on suljettu väli [a, b], jolloin (toispuoleis­ ta) derivoituvuutta on hyödyllistä tutkia myös välin päätepisteissä. Itse asiassa derivaatta on lineaarikuvaus 1 1(t) : IR --+ IRn , joka määritellään kaavalla 1'(t)h

= (h,�(t), ... ,h,�(t))

h1 '(t), h E IR,

vertaa 2.6. Tämä lineaarikuvaus voidaan samaistaa vektorin ,'(t) kans­ sa.

76

VEKTORIANALYYSI

Fysikaalinen tulkinta polulle ,'(t) on "kulkijan" 1 nopeus hetkellä t ja l,'(t)I = (,i(t)2 + ... +,;Jt)2 ) 112 on kulkijan vauhti hetkellä t.

y= 0, niin ,1(t) antaa polun tangentin ( suunnan) paramet­ rin arvolla t. Jos ,'(t) y= 0, niin tangenttia edustaa suora Jos ,'(t)

,\ c-t 1(t) + ,\1'(t), ,\ E R Tämä on luonnollisesti myös polku, jonka määrittelyväli on koko R Jos,' on jatkuva, niin se määrittelee uuden polun,': [a, b] --+ ffi.11 Jos I E C2 ([a, b]), niin voidaan määritellä 111 : [a, b] --+ ffi.71 , ,

1

•

'(t) = (,�'(t), ..., ,;;(t)).

Fysikaalinen tulkinta polulle ,"(t) on "kulkijan" 1 kiihtyvyys hetkellä

t.

3.1.2. Esimerkki. Olkoon 1 [O, 27T] --+ ffi-2, ,(t) missä a, b > 0. Tällöin ,'( t) =

,

1

( a cos t, b sin t),

( - a sin t, b cos t)

'(t) = (-acost, -bsint) = -,(t).

Toinen derivaatta 111 ( t) on siis tässä tapauksessa vastakkaissuuntainen

vektoriin 1(t) nähden. Kun t käy läpi välin [O, 27T], niin ,(t) kiertää kerran ympäri pitkin ellipsiä x2 /a2 + y2 /b2 = 1. Jos I E C 1 ([a, b]), niin polun I pituuden l(,) antaa kaava t(,) =

1

b

,'( l t)I dt =

1

b

(,�(t)2

Polun pituutta, lähinnä tapauksessa n

+ ... +,;Jt)2 ) 112 dt.

= 2, on yleensä käsitelty yhden

muuttujan funktioiden teorian yhteydessä.

3. VEKTORIARVOISET FUNKTIOT

77

3.1.3. Esimerkki. Olkoon f : [a, b] ---+ IR jatkuva. Tällöin f on luon­ nollisesti myös polku, mutta f määrittelee myös polun 1: [a,b] ---+ JR2 kaavalla

,(t) = (t, f(t)).

Havaitaan, että �t([a, b]) =

{

y) E

: Y = f(x), x E [a, b]},

eli välin [a, b] kuva kuvauksessa 1 on funktion f graafi. Jos f :llä on derivaatta f' (t), niin

,'(t) = (1, f'(t)) # (0, 0). Polun 1 tangenttia pisteessä t E [a, b] edustaa suora

;\

1(t) + ;\1'(t) = (t, J'(t))

missä T: IR---+

;\(1, f'(t)) = (t

;\, f(t) + ;\f'(t)),

. Suoran pisteet (x,y) E T(JR) toteuttavat yhtälön

(saadaan eliminoimalla ;\)

y

f(t) + J'(t)(:i:

t).

Tämä on luonnollisesti f :n tangentin yhtälö pisteessä t.

HARJOITUSTEHTÄVIÄ

3.1:1 Olkoon 1: [0,2]---+ JR2, 1(t) (cost,sint). Osoita, että ,(t) ja 11 1' (t) ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden ja että 1 (t) on vas­

takkaissuuntainen vektoriin 1( t) nähden. 3.1:2 Olkoon 1 : [O, oo) ---+ JR3 partikkelin "polku". Oletetaan, että 1(0) (0, 0,1) ja 'l(O) (1, 1, 0) sekä ,"(t) = (0,0, -1) kaikilla t 2: 0. Määritä Millä "hetkellä" t > 0 partikkeli siirtyy :ry­ tason alapuolelle ja missä :ry-tason pisteessä tämä tapahtuu?

VEKTORIANALYYSI

78 3.2. PINNAT

Tarkastellaan "2-ulotteista" pintaa JR3 :ssa. Olkoon D c JR2 ja r D-tlR3 , Oletamme, että D on avoin, vaikka tämä ei välttämättä päde sovel­ luksissa; D voi olla esimerkiksi myös suljettu neliö. Kiinnitetään y0 ja tarkastellaan kuvausta

x 8 r(x,Yo).

Tämä määrää polun x0 :n sisältävällä välillä, kun piste (:r0, y0) E D. Tämä polku kulkee "pinnalla" r(D). Vastaava pätee polulle /4 r(x y 1-t 0 ,y).

Oletamme, että r E C 1(D), toisin sanoen

7\

E C 1(D), i = 1, 2, 3.

Tällöin on olemassa derivaatat Ö1 r(:1:,y) = (å1 r 1(:r,y),å1 r 2(:r ,y),å1 r3(:r,y)) = 1�(:r), Ö2r(:r,y) = (å2 r 1(x,y),å2r 2(x,y),å2r3(x,y)) = ,;(y), missä pisteen (x0, y0) asemasta on käytetty merkintää (x, y) polku­ jen 11 ja 12 määritelmissä. Jos vektorit å1 r(:r,y) ja å2r(x,y) eivät ole yhdensuuntaiset eivätkä nollavektoreita, niin ne virittävät tason, jo­ ka kulkee pisteen r(x,y) kautta. Tätä kutsutaan pinnan r tangent­ titasoksi pisteessä r(x,y) E r(D). Koska å1 r(:1;,y) ,}t D2r(x,y), niin D1 r(x,y) x å2r(x,y) -/: 0 ja D1 r(:r,y) x å2r(.r,y) on vektori, joka on kohti­ suorassa tangenttitasoa vastaan, toisin sanoen norrnaalivektori. Olem­ me yllä käyttäneet tavallista JR3 :n vektoreiden ristituloa. Tangenttitaso koostuu siis niistä vektoreista x, joilla

79

3. VEKTORIARVOISET FUNKTIOT

3.2.1. Esimerkki. Tarkastellaan R-säteistä origokeskistä pallopintaa IR3 :ssa,r : IR2 -t IR 3 , r

=

(r1 ,r2 ,r3)

(RsinBcoscp,RsinBsincp,RcosB),

missä olemme käyttäneet pallopinnan pisteille pallokoordinaatistoesi­ tystä (cp, B). Kulma() on laskettu positiivisesta x3 -akselista ja cp on na­ pakulma :r 1 x2 -tasossa. Pallopinnalla on se ominaisuus, että r

r(cp, B)

on yhdensuuntainen normaalivektorin kanssa. Tämän todentamiseksi lasketaan å1r(cp,B)

= R(-sinBsincp,sinBcoscp,O), R( cosBcoscp, cosBsincp,-sinB) .

å2 r(cp, B) Näistä saadaan edelleen Ö1r X Ö2r = R

2

e1

e2

sin e sincp sin e coscp

e

cos coscp

R2(- sin2 e coscp,

e

cos sincp

sin2 e sincp,

e3

0 sin

e

-sin() COS () sin2cp - sin() COS () COS 2 cp ) R2 (-sinB) ( sin (} cos cp, sin e sincp, cosB) R(-sinB)r(cp,B), eli ristitulo å1r x å2r on r(cp,B):n suuntainen. Huomaa, että tällä pal­ lopinnan esitystavalla 81r x å2r O pohjois- ja etelänavalla (B = 0 ja

() 1r).

80

VEKTORIANALYYSI HARJOITUSTEHTÄVIÄ

3.2:1 Olkoon D C JR2 avoin. Jatkuvan funktion f voidaan esittää pintana r(;c, y)

:

D -+ lR graafi

= (:r, y, f(:r, y)). Jos f E C 1 (D),

niin määritä tämän pinnan tangenttitason normaali pisteessä r(:i:, y). Sovella tätä tapaukseen f(x, y)

;i;y+.r. pisteessä (0, 0).

Mikä on tangenttitason yhtälö tässä tapauksessa?

3.3. KÄÄNTEISKUVAUSLAUSE

Käänteiskuvausten tutkiminen tapauksessa n

= 1 on varsin yksin­

kertaista. Jos f: (a,b)-+ JR, f E C 1 ((a,b)) ja f'(x) ::/= 0 jokaisella :v E (a,b), niin f määrittelee bijektion (a,b) olemassa g n

1- 1

-0

f((a,b))

= ,6. ja on

E C 1 (.6.). Tämä on käänteiskuvauslause tapauksessa

= I. Sen todistus perustuu siihen, että f' :n jatkuvuudesta ja ehdosta

f'(:c)

0 kaikilla

Olkoon D c

:1;

E (a, b) seuraa, että .f on aidosti rnonotoninen. avoin. Pyrimme löytämään ehtoja kuvauksen .f :

n

D -+ ]R loka.alille kääntyvyydelle. Kuvauksen f toteaminen hijektioksi koko D:ssä on hankalampaa, kun n 2': 2. Huomaa, että lähtö- ja maa­ lijoukon dimensio on sama. Vaikeuksia tapauksessa n 2': 2 tuottaa se, että lRn :ssä

ole yksinkertaista vastinetta aidosti rnonotoniselle ku­

vaukselle. Tarkastellaan ensin alkeellista tapausta. Olkoon f aarinen. Merkitään f

= Aja olkoon A

esitysrnatriisi

:

-+ lRn line-

3. VEKTORIARVOISET FUNKTIOT

81

Käytämme hyväksi lineaarialgebran tietoja: Kuvauksella A on käänteis­ kuvaus A- 1 : ffi.n -+ ffi.11 ( joka myös on lineaarinen) täsmälleen silloin, kun det A 0, missä

detA Kannattaa pitää mielessä, että detA = l/ det(A- 1 ). Olkoon nyt f : D-+ ffi.11 ja :r0 E D. Jos f on derivoituva pisteessä x0, niin kuvaus L

approksimoi f :ää pisteen :1:0 pienessä ympäristössä. Kuvaus f'(;c 0 ) ffi.n -+ on lineaarinen. Jos tällä kuvauksella on käänteiskuvaus eli jos det(J'(:r.o)) =J 0, niin kuvauksella L on käänteiskuvaus L- 1: ffi.11 -+ ffi.n , jonka antaa kaava

Tämän todistaminen on suoraviivaista. Jos :r: E ffi.1\ niin (L- 1 o L)(:1.:)

:ro + J'(:1; 0 )-1(L(:1:) J(xo)) xo + J'(:i:o)- 1J'(xo)(x - :i:o)

= :ro + :i:

:i:o = x.

Vastaavasti nähdään, että (L o L- 1 )(y) = y jokaisella y E JR.11 , joten L- 1 on L:n käänteiskuvaus. Jos kuvausta f approksimoiva kuvaus L on käännettävissä, niin vaikuttaa mahdolliselta, että myös kuvauksella f on käänteiskuvaus ainakin pisteen :1;0 ympäristössä. Tämä pitääkin

82

VEKTORIANALYYSI

paikkansa sopivilla säännöllisyysoletuksilla ja seuraava lause antaa riit­ tävän ehdon kuvauksen f lokaalille kääntyvyydelle. Sivuutamme todis­ tuksen; se pitää sisällään lukuisia yksityiskohtia. 3.3.1. Lause (käänteiskuvauslause). Olkoon D C lRn avoin1 f : D --+ n

]R

# 0 kaikilla :c E D. Tällöin jokaisella :r E D > 0, että kuvauksen f rajoittuma f JB(:r, r)

C 1 -kuvaus ja clet(f'(:c))

on olemassa sellainen r

pallossa B(:r, r) on ir�jektio ja f rnäärittelee b�jektion B(:r:, r) --+ J(B(2;, r)). Lisäksi J(B(:c, r)) on avoin1

1- 1 :

J(B(2:, r)) --+ B(:r:, r) on C 1 -kw1aus

sekä (3.3.2)

1- 11 (f (y)) = f'(y)-1

jokaisella y E B(:c, r).

D

Determinanttia det(f'(:c)) sanotaan J:n Jacobin detern1,inantiksi eli _jacobiaaniksi pisteessä :r ja merkitään det f'(:c) = T(:c, f). Huomaa kaawm (3.3.2) merkitys: Lineaarikuvauksen

1- 1' (J(y)) esitys­

matriisi saadaan lineaarikuvauksen f'(y) esitysrnatriisin käänteisrnat­ rnsma. Kannattaa muistaa, että lRn :ssä, n 2: 2, ei ole olemassa yksinker­

taista tulosta, joka takaisi, että kuvaus f : D --+ JR11 on injektio. Siitä,

että f on injektio jossakin pallossa B(:r, r,c) C D jokaisella :r E D ei seuraa, että f olisi injektio koko D:ssä. 3.3.3. Esimerkki. Olkoon f : JR 2 --+ JR2, J(:c, y) = (:c 2 - y2 , 2:ry). Selvästi f E C 1(JR2) ja J:n derivaatalla f'(:r,y) on pisteessä (:r,y) E JR 2

3. VEKTORIARVOISET FUNKTIOT esitysmatriisi

J'(:r, y) Nyt T((:c, y), f)

= det f'(:r, y)

83

2:r -2y [ l 2y 2x

2:i; -2y 2y

4:r2

2;D

+ 4:zl /. 0,

kun (:r:, y) /. (0, 0).

Lauseesta 3.3.1 seuraa, että jokaisella (te, y) /. (0, 0) on olemassa

ympäristö U

B((:1;, y), r), johon rajoitettuna f on injektio, f: U--+

f(U) on bijektio sekä

1- 1: f(U)--+ U on C 1 (f(U))-kuvaus.

2 ;i; 2 f(:x:, y), Toisaalta havaitaan, että f(-:r, -y) ( y ' 2:ry) eli f ei ole injektio missään (0, O):n ympäristössä. Erityisesti f ei ole

injektio joukossa R2 \ { (0, O)}, vaikka

T /.

Edellä oleva kuvaus f on kuvaus

kompleksitasoksi (:i:, y)

= :r + (11

0 tässä joukossa.

H

, jos taso JR'.2 tulkitaan

HARJOITUSTEHTÄV IÄ

:3.:3: 1 Määritä kuvauksen f : --+ hin determinantti pisteessä teissä se on O?

�3.�3:2 Olkoon f kuvaus?

, f(:r, Y, z) = , :ry, , Jacoy, . IVIissä avaruuden lff1 pis-

C 1 -bijektio. Onko

1- 1

ei_

84

VEKTORIANALYYSI

�3.4. LAGRANGEN KERTOIMET

Usean muuttujan reaaliarvoisen funktion f maksimi- ja minirnipis­ teitä tarkastellaan usein f:n rnäärittelyjoukkoa pienemmässä joukossa A 0 C , toisin sanoen tutkitaan funktiota JIAo eli funktion f rajoit­ tumaa joukkoon A0. Tavallisesti kyseeseen tulee "käyrä" 1 tai "pinta" S joukkona A0. Tarkastelemme tilannetta, kun n = 2 ja joukon A0 antaa polku 1. Olkoon ,6. C lR väli, A C JR2 joukko, 1 : ,6. -+ JR2 polku ja f: A-+ lR kuvaus. Oletetaan lisäksi, että Ao= �1(,6.) C A. Tehtävänä on määrätä yhdistetyn funktion f o 1 : ,6. -+ lR ääriar-

vokohdat. Olkoon t E ,6. ja 1(t)

(:r(t) i y(t)). Tällöin

(f o 1)(t) = f(:i;(t), y(t)). Tehtävä on periaatteessa helppo. Jos f on C 1 -kuvaus ja 1 derivoitu­ va, niin ääriarvokohdat löytyvät L'.:l.:n mahdollisista päätepisteistä tai pisteistä, joissa

(f O 1)'(t)

0.

Lauseessa 2.6.6 todettiin, että

U o 1Y(t) = vf(r(t)) · 1'(t) = aif(r(t)) :i/(t) + D2fb(t)) y'(t,) o, joten pitäisi vain löytää tämän yhtälön ratkaisut. Valitettavasti tilan­ netta ei ole yleensä annettu tässä muodossa. Polku annetaan yleensä tasa-arvojoukkona g(:r, y)

0, missä D c

JR2 on avoin ja g : D -+ JR. Tutkimme seuraavaksi tilannetta, jossa

f : D -+ lR ja g : D -+ lR ovat C 1 (D)-funktioita ja halutaan määrätä f:n ääriarvokohdat joukossa Ao

{ (;,:, y) E D : g(:c, y)

= 0}.

�">.

85

VEKTORIARVOISET FUNKTIOT

v

Oletetaan, että (:r 0 , y0 ) E A0 ja g(:r 0, y0) -/= 0. Tällöin funk­ tiolla JIAo ei voi olla ääriarvokohtaa pisteessä Yo), V f (:co, Yo) ja vg(:r 0,y0) eivät ole yhdensuuntaisia. Toisin sanoen jos (:r0 ,y0) on

JIA0 :n ääriarvokohta, niin

(3.4.1) jollakin,\ E R Huomaa,

arvo,\

0 on sallittu.

Tämän todistaminen on vaivalloista, mutta geometrinen idea tu­ loksen takana on varsin selvä. Pitää siis näyttää, että jos (3.4.1) ei

JIA0 :lla ei ole ääriarvokohtaa pisteessä (:c0, y0). Jos (3.4.1) ei ole voimassa, niin v f(:r 0 , y0) 0 (jos v f(:z: 0, y0) = 0, voidaan valita /\ = 0). Toisaalta v g(:r0, y0) -/= 0, jolloin voidaan käyttää irnpli­ ole voimassa, niin

siittifunktiolausetta, jonka mukaan joukko A 0 voidaan esittää pisteen

y0) eräässä ympäristössä funktion y = y(:c) (jos å2 g(:r 0, y0) -/= 0) tai funktion :r :1:(y) (jos å1 g(:r 0, y0) -/= 0) graafina eli joka tapauk­ sessa C 1 -polkurrn 1 : b] -+ A 0, missä �1(to) (:en,Yo), t0 E (a, b) ja ,'(to)-/= 0. 1'(t0) · vg(:r 0 ,y0) 0, katso lause 2.7.5, joten vektorit "'/(to) ja vg(:ro, y0) muodostavat tason kannan pisteessä (:e 0, y0). Suora

t i-7 (:ro,Yo) + tvg(:r: o, Yo) jakaa tason kahteen osaan T1 ja

ja koska

v f(:r0, y0)

ei ole yhden-

suuntainen vektorin vg(:i:0 ) y0) kanssa, se osoittaa toiseen, sanokaam­ me 1't :een, näistä osista. Nyt funktio f kasvaa voimakkaimmin suun­ taan v f (xo, y0) pisteestä (::r 0, y0) katsoen, ja koska A 0 "melkein" yhtyy vektorin

l ( t0 ) antamaan suoraan

t 1-t ( :ro,'.1/o) + t1/(to) f(:r,y) > Yo), missä ,y) E T1 n A0 ,y0), ,y) on lähellä pistettä (:i; 0 ,y0). Vastaavasti f(:r,y)
0'

:i:

2

+ y2

1}.

l, jolloin

A 0 = {(x, y) E IR2 : g(:r, y)

0, :r > O}.

= 1.

3. VEKTORIARVOISET FUNKTIOT

87

Nyt voidaan käyttää lausetta 3.4.2. Joukoksi D voidaan ottaa avoin joukko D

y) : :r > O}

{

eli avoin oikea puolitaso. Funktiot f

g ovat selvästi C 1 (D)-funktioita.

Siis jos f:llä on lokaali ääriarvo A0 :n pisteessä (:r, y), niin joko (1 tai Vg( x,y)

Vf(:r,y) = ,\'\lg(:c,y)

Y,

0. Jälkimmäinen ehto ei tule kyseeseen joukossa D eikä

siis joukossa A0 . Edellisestä yhtälöstä saadaan yhtälöryhmä {

y, -:r) = .\(2:r:, 2y) . g(:r, y) 0, (1

( A2:.D, A2y),

joka, voidaan kirjoittaa muotoon 1 y = .\2:r { -:r ,\2y :r 2 y2 = 1 Ensimmäisestä yhtälöstä saadaan 1

y

2:r ' ja sijoittamalla tämä toiseen yhtälöön jää ratkaistavaksi yhtälöryhmä { jonka ratkaisut ovat y

+ y2 -y :r 2 + y. 2 = 1., -x2

()'

= 1 ja y

1/2. Arvo y = 1 ei kelpaa, koska tällöin ;i;:n pitäisi olla 0. Näin ollen ainoa mahdollinen lokaali ääriar­ vokohta on piste ( ,/3/2, -1/2). Tarkastus osoittaa, että tämä todella toteuttaa alkuperäisen yhtälön. Selvitetään, onko k yseessä absoluuttinen maksimi. Joukko x2 +y2 I, x 2: 0 on kompakti (suljettu ja selvästi rajoitettu). Siten jatkuva

VEKTORIANALYYSI

88

funktio f(:r:, y)

:i:(1-- y) saa siinä maksin1iarvonsa. Pisteissä

(0, 1) ja

(0, -1) funktio saa arvon 0. Koska funktio f on ei-negatiivinen, saa­

vutetaan absoluuttinen maksimi ainoassa lokaalissa ääriarvopisteessä ( ./3/2, -1 /2). Ala on siis suurin, kun kolmio on tasa.sivuinen.

3.4.4. Esimerkki. On etsittävä lyhyin etäisyys origosta joukkoon Ao

= { (:r, y) E lR 2

Pisteen etäisyys origosta on

= 16}.

:

J:e 2 + y 2, nmtta minimoinnin kannal-

+ ;i/. Asetetaan

ta voidaan yhtä hyvin tutkia funktiota f(:r:, y) ,y) =

- 16. Tällöin Ao

{

: g(:i\ y)

y) E

= O}.

Lasketaan osittaisderivaatat

äf ···· - = 2J;' af [Jy

=

a

-·9 = 2:ry, 8:r

a9

åy

ja sovelletaan lausetta :3.4.2. Saadaan

+ 2>.:ry = -2y + 0 = a: 2 y 16

{ ()0

Ensimmäisestä yhtälöstä saadaan :r

O

>.y

1, joista ensimmäi­

nen ei kelpaa. Muihin yhtälöihin sijoittamisesta seuraa :r mikä antaa y

2. Mahdolliset ääriarvopisteet ovat

'v g (:r, y) =j:. 0 joukossa A0. Lyhin etäisyys on on selvää,

J8 + 4

±v12y,

2). Lisäksi 2./3. Geomet-

lyhin etäisyys on olemm,sa; tämän analyyttinen

todistan1inen jätetään harjoitustehtäväksi.

89

3. VEKTORIARVOISET FUNKTIOT

Yhdistämällä aikaisemmat tulokset mahdollisista ääriarvopisteistä avoimessa joukossa lauseeseen 3.4.2 saadaan aikaan metodi, jota käy­ tetään funktion f

C 1 (D) ääriarvokohtien löytämiseen kompaktissa

joukossa A AU 8A C D seuraavilla edellytyksillä: (i) Joukko A on avoin ja

= AU öA on kompakti.

(ii) Joukon A reuna åA

k

LJ i=l

missä ei C {(:c, y) : .9i(:i:,y)

= 0}

ja gi on C 1 (Di )-funktio jossakin joukon ei ympäristössä Di, i = 1 , ... , k. Tämä merkitsee, että A:n reuna 8A koostuu äärellises­ tä määrästä C 1 -funktioiden tasa-arvojoukkoja.

(iii) Joukot e; ovat pistev·ieraita., toisin sanoen C\ n C7 = (/) jokaisella i -/= j, lukuunottamatta äärellistä määrää "kulmapisteitä". Mahdollisia lokaaleja ääriarvokohtia funktiolle f joukossa a) pisteet (:r,y) E A, missä Vf(:r ,y) f kriittiset pisteet A:ssa,

ovat tällöin

0, toisin sanoen funktion

b) pisteet (:r,y) E ei, missä 'v'tJi(:r ,y) = 0, ·i 1, ... , k , c) pisteet (:z:,y) E ei , missä Vf(:r,y) >..Vgi(:r,y) , i = 1, ... ,k, >.. E lR (lause 3.4.2) ja d) mahdolliset "kulmapisteet" åA:lla. Koska

on kompakti, niin jatkuvana funktiona f saa absoluuttisen

maksiminsa ja miniminsä joukossa Aja nämä pisteet löytyvät kohdissa a)-d) mainittujen pisteiden joukosta.

90

VEKTORIANALYYSI

Yllä esitetty menetelmä seuraa siitä, että avoimessa joukossa mah­ dolliset ääriarvopisteet löytyvät kriittisten pisteiden joukosta ja jos piste (:;; , y) E äA on funktion f ääriarvopiste myös funktion Usein

niin se on varmasti

JliJA ääriarvopiste.

sisältää pisteitä, joissa J tai g eivät ole derivoituvia. Nämä

pisteet täytyy tutkia erikseen. 3.f 5. Huorncmtus. Teoria laajenee välittömästi tapaukseen n 2: 3. Kun n 2: 3, tasa-arvojoukko

A0 = {:r ED

C

: g(:r)

O}

on yleensä pintamainen. 3.4.6. Esimerkki. Määritä pisteet, joissa funktio J(:r, y)

+ 17y2

Sa: 2 -

Sfta s111trir11111c111 arvo11sa ja IJie11in1111ä11 arvo11sa s11ljett1ssa. )1l 0, että IR(J, Rij)

II
0 on olenwssa

sellainen ositi1,8 {Ri:i}, että S(f,Ri1) 4.1.3. Lause. Olkoon f

:

D --+

s(f,RiJ )
0 on olemassa sellainen, mahdollisesti äärellinen, jono suorakaiteita Ri [ci,di], että

:z= (b; (X)

[ai, bi] x

sc

ai)(di - 0 peittää I:n, toisin sanoen I C R, ja area(R) = 1 · (c/2 + c/2) = c:.

102

VEI åA nollajo·ukko ja f : A IR jatkuva. Tällöin integraali r f cb:dy

JA

on olemassa. b) Olkoon f : A --t IR rajoitett·n ja A C IR 2 k01npakti nollajoukko. Tällöin

f f ehdy

0.

JA

4, Hnornmttus. Lauseen 4.2.3 kohdassa a) ei tarvitse olettaa, että f on rajoitettu, koska jatkuva funktio on kompaktissa joukossa aina ra­

joitettu. Kohdassa b) oletus funktion f rajoittuneisuudesta tarvitaan: Riemann-integraali voidaan kohdistaa vain rajoitettuihin funktioihin.

Sitä ei ole määritelty rajoittamattomille funktioille, esimerkiksi

1

1

1

ch

ei ole Riemann-integraali. Se on niin sanottu epäoleellinen integraali,

joka lasketaan raja-arvona

lim [

€-+0+

.

1

1

ch:.

€

Epäoleellisia integraaleja käsittelemme kappaleessa 4.7. Lauseen 4.1.8 antamat integraalin perusominaisuudet yleistyvät

suorakaiteesta yleisemmille joukoille seuraavan lauseen avulla.

103

4. INTEGROINTI TASOSSA

a)

4.2.5. Lause.

Olkoot funktiot f, g : A --+

integroituvfo rajoi-

2

tetun jo·ukon A C JR. yli ja olkoon ,\ E lR. Tällöin

a1)

r

f

h(

+ g) ehdy =

r

h

f d:rdy +

f Af dxdy = >. f f

JA

JA

Lr g d:i:dy,

d:i:dy,

a3 ) jos f(:r:, y) :::;; g(x, y) jokaisella (:r:, y) E D, niin

r

b)

JA

f dx dy::;

r

g d:r dy.

JA

Olkoon funktio f : A --+ 1R int;egroituva yli ,joukon A, 8Ai nollajoukko jokaisella i ·1

=

1, ... , k,

A n Aj c

åA

n åAj ,

j, Ja LJA1

Tällöin Z:: i= l

1

A;

i=l

f ehdy =

A.

l

, A

f ehdy

D 4.2. 6. Huorncmtus. Ominaisuutta b) sanotaan kirjallisuudessa usein in­ tegraalin additiivisu11deksi. Riemann-integraali antaa mahdollisuuden määritellä joukon A C 2

JR. pinta-alan. Olkoon A

(4.2.7)

c JR.2

rajoitettu joukko. Jos integraali

r

JA

d:i:dy

104

VEKTORIANALYYSI

on olemassa, niin sitä sanotaan A:n Jordanin rnitaksi, kaksiulotteisessa

tapauksessa siis pinta-alaksii ja merkitään area(A). Integraali (4.2.7) tarkoittaa siis integraalia

l

XA d:r: dy,

missä D on joukon A sisältävä suorakaide ja XA joukon A kamkteristi­ nen funktio, toisin sanoen XA(:r)

={

1, kun ;i; E A, 0, kun :r: (/.-. A,

Seuraava lause antaa riittävän ja välttämättömän ehdon pinta-alan

area(A) olemassaololle.

4.2.8. Lause (Lebesgue). Rajoitetulla jmtkolla A C JR2 on pinta-ala täsmälleen silloin, k un åA on nollajoukko. Tällöin (4.2.9)

area(A)

h 1 d:rdy,

missä A = A U åA on jonkon A sulkeuma. Huomaa, että koska A on rajoitettu, myös A on rajoitettu. Näin

ollen se on suljettuna joukkona kompakti.

4.2.10. Huornautus. Funktio f: A-+ JR, f(:c)

= 1, on jatkuva kompak­

tissa joukossa A ja lauseen 4.2.3 a) mukaan kaavan (4.2.9) integraali on

olemassa, koska olemme olettaneet, että åA on nollajoukko. Lauseiden

4.2.3 b) ja 4.2.5 b) nojalla fx1 d:rdy

{

�A\A

1 d:rdy +

{ 1 d:rdy

JA

{ 1 ch: dy.

JA

4. INTEGROINTI TASOSSA

Jos area(A)

A

105

[a, b] x [c, d], niin olemme määritelleet A:n pinta-alaksi (b- a)(d- c). Koska JR.2 :n jana on nollajoukko, myös öA, eli

suorakaiteen reuna, on nollajoukko, ja lauseen 4.2.8 nojalla suorakai­ teella on yllämainittu pinta-ala. Lauseesta 4.2.8 havaitaan myös, että joukon A sisäpisteiden joukko intA area(intA)

= ( a, b)

x ( c, d) toteuttaa yhtälön

area(A\ sillä intA = A.

Yllä on käsitelty integrointia tasossa eli JR.2 :ssa. Tilannetta on syy­ tä verrata tarkemmin tuttuun yksiulotteiseen tapaukseen. Rajoitetulla joukolla A C lR on Jordanin pituus, toisin sanoen yksfolotteinen Jor­ danin rndta l(A), jos Riemann-integraali l(A)

=

1 a

b

XA(i) dt

on olemassa. Tässä [a, b] on suljettu väli, joka sisältää joukon A. Lebes­ guen lause 4.2.8 pätee myös yksiulotteisessa tapauksessa ja kertoo, että rajoitetulla joukolla A C lR on pituus täsmälleen silloin, kun A:n reu­ na åA on yksiulotteinen nollajoukko. Tämä merkitsee, että jokaisella E: > 0 on olemassa sellaiset välit [ai, bi], i ja

=

1, 2, ... , että äA C U i [a.i, bi ]

= Q n [O, l].

Olkoon Q rationaalilukujen joukko ja A

Tällöin A on

rajoitettu joukko, mutta XA ei ole Riernann-integroituva välillä [O, 1]. Tämä on helppo nähdä yksiulotteisten ylä- ja alasummien avulla, sillä jokainen yläsumma on 1 ja jokainen ala.summa 0. Tämä seuraa tietysti myös Lebesguen lauseesta 4.2.8, koska åA

=

yksiulotteinen nollajoukko. Yhtäsuuruus öA

[O, 1] ja siten åA ei ole [O, 1] on helppo nähdä:

jokaisen ;c E [O, 1] jokainen ympäristö sisältää sekä joukon A

Qn[O, 1]

VEKTORIANALYYSI

106

että joukon [O J 1]\Q pisteitä, joten :v E aA joukon A reunan määritel­ män perusteella. Jätämme harjoitustehtäväksi näyttää, että [O, 1] ei ole yksiulotteinen nollajoukko. Koska Q on numeroituva joukko, nähdään helposti, että A itse on yksiulotteinen nollajoukko. Joukko A ei lrni­ tenkaan ole kompakti, joten lauseen 4.2.3 b) yksiulotteista versiota ei voida käyttää. Riemann-integraalin avulla määritellyillä pituuden, pinta-alan ja tilavuuden käsitteillä on vikana, että harvoilla avaruuksien JR, JR 2 ja JR3 joukoilla on Jordanin mitta, toisin sanoen pituus, pinta-ala tai ti­ lavuus. Pääasiassa H. Lebesguen 1900-luvun alussa kehittämä mitta­ ja integraaliteoria pystyy vastaamaan näihin kysymyksiin paremmin kuin edellä esitelty Riemann-integraaliin perustuva teoria. Esimerkik­ si Lebesguen teoria antaa joukolle A

= Q n [O, 1] pituudeksi 0, vaikka

joukolla A ei ole pituutta edellä esitetyn teorian valossa.

HARJOITUSTEHTÄVIÄ

4.2:1 Olkoot A, B C JR 2 ja A c B. Osoita, että jos joukko A ei ole nollajoukko, niin myöskään joukko B ei ole nollajoukko. 4.2:2 Olkoon f

:

[a, b] --+

jatkuva ja N funktion f graafi, toisin

sanoen

N

{(:r,f(;r)) E lR2: :r E [a,b]}.

Näytä, että N on nollajoukko avaruudessa JR2.

107

INTEGROINTI TASOSSA

4.3. RIEMANNIN SUMMA YLEISESSÄ JOUKOSSA Olkoon D kompakti joukko IR2 :ssa ja 8D nollajoukko. Joukon D jaolla {Di} osiin Di , i 1, ... , k, tarkoitetaan seuraavaa: a) Joukot Di ovat kompakteja, b) Joukkojen Di reunat 8Di ovat nollajoukkoja, c) Di nDj c 8Di n8Dj , i =J j, toisin sanoen joukot D i ja Dj ovat oleellisesti pistevieraita ja d) LJDi D. =

max{d(Di)}, missä d(Di ) on joukon Di Jaon {Di } normi ll{Di}II sup{l:r YI : :r, y E halkaisija eli läpimitta, toisin sanoen d(Di) Di }- Seuraavan lauseen todistus perustuu jatkuvan funktion tasaiseen jatkuvuuteen kompaktissa joukossa. 4.3.1. Lause. Jos

f: D-+ IR

on jatkuva, niin

L f(:ri, Yi)area(D ) -+ J f d:1; dy, k

(4.3.2)

i

D

i=l

kun ll{Di}II-+ 0 ja

Yi) E Di, i

1, 2, ... , k.

D

4-3.3. Huomautus. Lause 4.3.1 on käytännössä tärkeä, kun pyritään ap­ proksimoimaan integraalin arvoa. Raja-arvo (4.3.2) tarkoittaa seuraa­ vaa: Jokaisella r::. > 0 on olemassa sellainen ö > 0, että kun 11 {D i} 11 < ö, niin

L f(:ri, Y ) area(Di) -1 f dx dy < r::., k

i

i=l

missä

D

, ;i/i) ovat mitä hyvänsä D(n pisteitä.

108

V EKTO RIANALYYSI 4.4. INTEGRAALIN KÄYTÄNNÖN LA SKEMINEN Usein tulee tehtäväksi laskea jatkuvan funktion

J : A -+

IR. inte­

graali yli joukon

A = {(:r,y) E IR. 2: 91(:r)::; y::; 9 2 (:r), missä funktiot 9i: [a,b]-+ IR. ovat jatkuvia, i

1;

E [a,b]},

= 1,2, ja g1(:T)::; g2 (:c)

kaikilla x E [a,b].

4.4-1. Hiwrnautuksia. a) Joukko A on kompakti. Tämä johtuu funk­ tioiden jatkuvuudesta. Jätämme todistuksen harjoitustehtäväksi. b) Joukon A reuna åA on nollajoukko. Tämä johtuu seuraavasta: i) A:n päädyt ovat janoja, joten ne ovat nollajoukkoja. ii) Funktioiden 9i, i = 1,2, ..., graafit ovat nollajoukkoja. Tämä perustuu jatkuvan funktion tasaiseen jatkuvuuteen suljetulla välillä. Jätämme tämän harjoitustehtäväksi. iii) Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko. Yhdistämällä edelliset huomautukset a) ja b) lauseeseen 4.2.3 näh­ dään, että integraali

lJ

ehdy

on olemassa. Miten integraali lasketaan käytännössä? On luonnollista käyttää iteroitua integraalia. Valitaan suorakaide

D = [a,b] x [c,d], missä esimerkiksi d

= max{g2(1:): :r E [a,b]}, c = min{g1 (:r): :1; E [a,b]}.

4.

109

INTEGROINTI TASOSSA

l

Tällöin D => A ja

l

f d:cdy =

missä

J dxdy,

, kun :c E A

](:r )

E D\A.

, kun

Nyt lauseen 4.1.7 nojalla

lj

d:i:dy

1·b1d Q C

f dydJ\

kunhan iteroidut integraalit ovat olemassa. Iteroitu integraali lasketaan seuraav&'3ti . Kiinnitetään x E (a, b]. Pitää laskea

d

1 ](x, y) dy. Nyt funktiolla y H ](1:, y)on välillä (c, d] enintään kaksi epäjatkuvuus­

kohtaa, nimittäin g1 (:c)ja g2 (1:), ja yhden muuttujan integraalilaskenta sanoo, että

sillä }(:r , y)

l

cd

f(:r, y) dy

A

91 (x)

f(:r, y) dy,

= 0, kun y E [c, d]\[g1 (::r), g2 (x)J.

Tästä seuraa , että

1

1g2(x)

fdxdy=

1

D

]dxdy=

1

lbl�w a , g1(x)

f(x,y)dyd:c,

koska ei ole vaikea nähdä, että funktio :c H

g2(i:)

91 (x)

f(x, y)dy

on jatkuva välillä [ a, b] , joten myös toinen iteroitu integraali on olemas­ sa.

VEKTORIANALYYSI

110

4.4.2. Esimerkki. Olkoon D kolmio, jonka kärjet ovat pisteissä (0, 0), (1, 0), (1, 1). Lasketaan I

lv

0 ja 9 2 (:r) = :r. Tällöin D voidaan esittää muodossa

Asetetaan 9 1 (:r.)

{(x,y) E

D

+ y2) d:i: dy.

{

R2 : g1(x) S y S 92(1:),

= {(:r.,y) E R 2: 0 S y < x, Lisäksi 91, 92 ja f(x, y)

I

r1

Jo

1

(

{X

Jo

:i:

a: E

E [0,1]}.

+ y2 ovat jatkuvia.

[O, 1]}

Näin ollen

( x2 1

[ (x + :r. 3

3

/3) d::r.

Jo� =4x /3 3

/ a:4 /3 = 1/3. 0

Huomaa rajat. Lasku on tässä tapauksessa hieman hankalampi. 4.4.3. Esimerkki. Määrätään tasolevyn D C R2 massa. Oletetaan, että levyn tiheys pisteessä

y) on p(x, y) (kg/m2). Huomaa, että

heys ei välttämättä ole vakio. Nyt D:n massaa m voidaan ajatella ap­ proksimoitavaksi Riemannin summilla

jotka lähestyvät integraalia

rn =

Jl p(x,

y)

dy,

4.

111

INTEGROINTI TASOSSA

kun IJ{Di }II -+ 0 ) mikäli kyseessä oleva integraali on olemassa. Tämä määrittelee massan m. Jos tiheys p(:1:, y) p0 on vakio, niin rn

=

ffv Po d:1; dy

p0 area(D).

Vakiopintatiheyksisellä levyllä D on siis massa, jos sillä on pinta-ala. Tämä tapahtuu lauseen 4.2.8 mukaan täsmälleen silloin, kun D on rajoitettu ja an on nolla.joukko.

HARJOITUSTEHTÄVIÄ

4.4:1 Olkoon A C JR2 kolmio, jonka kärjet ovat pisteissä (0, 0), (l, 0) ja (l, 1). Määritä integraali

Jl

::i;y d:1; dy.

4.4:2 Olkoon A C JR 2 tehtävän 4.4:1 kolmio. Määritä integraali

rr jj 1 +

xy

A

cl:E dy.

4.4:3 Olkoon A C JR 2 kompakti ja polkyhtenäinen joukko, toisin sa­ noen sellainen joukko, että jokaisella x, y E A on olemassa polku 1 : [a, b] -+ A siten, että 1(a) ::r ja 1(b) = y. Osoita, että jos f : A -+ lR on jatkuva ja åA on nollajoukko, niin on olemassa sellainen (:r0, y0) E A, että

Jl

f(x, y) dx dy

f(::co, Yo)area(A).

Vihje: Kompaktissa joukossa jatkuva funktio saa suurimman ja

pienimmän arvonsa. 4.4:4 Olkoon L'.}.. kolmio O :.:; x: :.:; 7r /2, 0 :.:; y

f

:.:;

(:r 3y + cos :1:) dx dy.

x. Määritä integraali

112 VEKTORIANALYYSI -----------------·-------·-4.4:5 Olkoon f : [a, b] --+

jatkuva. Näytä, että

2 [[ J(x)f(y) dyd2:

([ f(:c) dx)

2

4.4:6 Funktion f : D --+ JR, D c JR2 , graafin pinta-alalla on lauseke area(graph .f)

=

1/�

d:i; dy.

Millä oletuksilla graafilla on varmasti pinta-ala? 4.4:7 Olkoon D suorien :r:

() ja :r: + y

0, y

I rajaama kolmio.

Määritä funktion f : D --+ JR, f(:c, y) :r + y, graafin pinta-ala. 4.4:8 Olkoon D : x S y S l, 0 S :r S l}. Määritä {(:c, y) E integraali

ffv

4.5.

;i:

d:r dy.

MUUTTUJAN VAIHTO INTEGRAALEISSA

Yksiulotteisten Riemann-integraalien ehkä hyödyllisin muunnos­ kaava on

(4.5.l) missä g( a)

1

ab

= a, g(/3)

f(:r) d;i: =

j'(3 f(g(t))g'(t) dt, o:

b ja kaikki esiintyvät funktiot ovat jatkuvia.

Huomaa, ettei yllä vaadita, että g : [c�, joukolle [a, b]. Väli

--+

määrittelisi bijektion

/3] voi olla lisäksi "väärinpäin". Kaavan

5.1)

todistus perustuu integraalifunktion käsitteeseen ja on helppo. Olkoon

F funktion .f integraalifunktio eli F'(:r) = f(:c). Tällöin yhdistetyn funktion derivoimissäännön nojalla pätee

f(g(t)) g'(t) = F'(g(t)) g'(t) = (F o g)'(t\

4. INTEGROINTI TASOSSA

113

Ja SllS

b

1 f(:r:) cl:z:

F(b)

=

1

o:

/3

F(a) = F(g(/3))

(F o g)'(t) dt

1

:

O f]

F(g(ct))

f(g(t)) g'(t) clt.

Tilanne on hankalampi, kun n 2:'. 2. Teoriaa

tällöin voida perus-

taa integraalifunktion käsitteeseen. Lisäksi integroimisjoukot tarjoavat lisävaikeuksia. Tarkastellaan tilannetta, jossa D, D' c JR 2 ovat avoimia,

D'

kompakteja ja BD, 8D' nolla.joukkoja. Oletamme, että kuvaus w : D --+ D' on bijektio (kuvauksen w ei tarvitse olla bijektio D --+ D1 ) ja että w

(w 1, w 2) on C 1 (D)-kuvaus, toisin sanoen koordinaattifunktiot

'w1, w2 E C 1 (D). Olkoon lisäksi f: D'--+

jatkuva tai f: D'--+ JR vain

Riemann-integroituva. 4.5.2. Lause. Yllä olevilla oletuksilla pätee

Jl,

f(:c:, y) dx dy

= Jlt(w1(1:,y),w2 ,y))ldetw'(x,y)j d:rdy

l

f(w) jT(w)I d:1:dy,

missä w 1 (1;, y) : JR 2 ·--+ IR2 on kuvauksen w derivaatta pisteessä (:-c, y) E

D. Kuvaus w'(x,y) on lineaarik-uvaus, jonka esitysmatriisi on (}1 W1 [ 01W2

Ö2 W1 ] 021..Llz

Ja T(w)(x,y)

= detw'(x,y) =

Ö1W1

Ö2W1

Ö1 W 2

Ö2Wz

114

V EKTO RIAN ALYYSI

on lineaarikuva·uksen v/ (:c, y) esitysmatriisin deterrninantti

funktion

w Jacobin determinantti pisteessä (;r:, y) E D. 4,5.S. Hnornautuksia. a) Lause 4.5.2 ei päde aivan yllä olevassa muo­ dossaan, koska funktio (4.5.4)

(:r:, y) c-+ f('w(:1:, y)) lr(w)(:c, v)I

ei välttämättä ole Rienmnn-iutegroituva joukossa D. F\mktion ei nimit­ täin tarvitse olla rajoitettu. Kuitenkin jokaisella Di , missä D i C D, kompakti D:ssä ja l)Di on nollajoukko, pätee, että funktio ( 4.5.4) on Riemann-integroituva joukossa Di . Lisäksi jos

ja

mm

Em f f(w) lrCw)I

1.-,00 jD;

cly

on olernassa ja riippumaton jonosta D1 • Tätä raja-arvoa merkitään (4.5.5)

l

f'(,w) lr(w)I d:rdy,

ja se on sama kuin lauseen 4.5.2 integraali. Itse asiassa (4.5.5) on merkki epäoleellisesta integraalista, joita käsittelemme kappaleessa b) Lauseen 4.5.2 kaava pätee myös, kun D:n tilalla on D ja D':n tilalla

-1

D. Syy tähän on, että sekä åD että åD' ovat nollajoukkoja. Lanseen 4,5.2 toclist-us. Esittelemme todistuksen idean. Huomautuksen a) valossa yksityiskohdissa on melko paljon työtä. Merkitään w:n

4. INTEGROINTI TASOSSA

käänteiskuvausta w- 1

:

115

D' -+ D. Olkoon { Di } joukon D jako, katso

kappale 4.3. Nyt pätee

missä D�

= 1_u(Di) ja w(:ri, l!i) = (:i:�, y:).

Kuvaus

approksirnoi kuvausta w joukossa Di. sitä tarkemmin, mitä pienempi D i on. Tämä johtuu siitä, että w on derivoituva ja kyseessä on kuvauksen 111

lokaali approksirnointi derivaatta.kuvauksen avulla. Olkoon L :

-+

[a, b] x [a, b] C IR2 neliö.

lineaarikuvaus ja A

Tällöin A:n pinta-ala on area(A) = ( b- a) 2, ja lineaarialgebran tietojen nojalla neliön kuvan pinta-ala. toteuttaa. area(L(A))

1

det LI area(A).

Tämä ei päde pelkästään neliöille vaan kaikille joukoille A, joilla on pinta-ala. Lineaarikuvaukses8a. kuva.joukon pinta-ala saadaan yllä ole­ vasta kaavasta. Soveltamalla tätä pinta-alan muuttumisen kaavaa f :n Riemannin surmnaan ja lineaarikuvaukseen L

, Yi) sekä otta­

maJla huomioon, että area(DD

arca(w(Di )) � area(L(Di)) = j det

'.lli)larea(D1),

saadaan

L f(:c:, y;) area(D;) � L f(1u(:ri, 1/i))j det k

i=l

k

, 1/i)I area(D.;)

i=l

;::::; f f("w)l det1u'I JD

d;1:du. D

VEKTORIANALYYSI

116 4.5.6. Esimerkki. Lasketaan I missä D' on suorien 2x

!!

_:r_, - d2; dy, + 2y

�D' ;i;

0, :r + 2y

y

2, :r + 2y = 1 ja 2:1: -y

joittmna suorakaide. Kuvaus w: !R -+ IR 2

2

,

w(x, y) = (22: - IJ, :r + 2,y), .._,,_:.., .._,,_:..,

on lineaarikuvaus, ja sen käänteiskuvauksella w- 1 : !R 2 -+ (!(2u 5

2 ra­

'f.f.

'U

on lauseke

1 (-u + 2v)) 5

+ v),

Tämä saadaan ratkaisemalla yhtälöryhmä {

u = 2x

y

V= ir + 2y

:r:n ja y:n suhteen. Kuvaus w on valittu siksi, että se kuvaa suorakaiteen

D' bijektiivisesti suorakaiteelle D, jonka kärkipisteet ovat (0, 1), (0, 2), (2, 1) ja (2, 2). Jos lineaarikuvauksella on käänteiskuvaus, niin käänteis­ kuvaus on myös lineaa.rikuvaus. Ktivauksen w- 1 derivaatan esitysmat­ riisi (tämä on sama kuin kuvauksen esitysrnatriisi, sillä lineaariku­ vauksen derivaatta on joka pisteessä kuvaus itse) on

[

2/5 1/5 ] -1/5 2/5

joten sen determinantiksi saadaan

2/5 1/5 1/� 2/5

1

5

Kuvaus w- 1 on selvästi C 1 -kuvaus !R2 :ssa. Asettamalla f(:r, y)

1;

+ 2y

4. INTEGROINTI TASOSSA

117

ja soveltamalla lausetta 4.5.2 kuvaukseen w- 1 saadaan

I=

rr}} D' ::C. +::c 2y. cl:r dy = }}rrD {{

}} D

f( w- 1 ( u, V)) lr(w- 1 )(u, V) 1 d·n dv

rr

1 2u+v. 21l ( . + 1) dudv �dudv = 5v 5 25 }} D V

2 2 1 21 ( f j ( '. ' + 1) dv) dv. _!_ j\2uln 2 + 1) O}.

Kuvaus w on selvästi C 1 -kuvaus joukossa (a, b) x (0, 211) ja sen Jacobiu

determinantille saadaan lauseke r(w)(r,cp) =

cos cp -r sin cp 8111 ({>

'l' cos