VDI-Wärmeatlas (VDI-Buch) (German Edition) [10., bearb. u. erw. Aufl.] 9783540255048 [PDF]

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Verein Deutscher Ingenieure VDI-Gesellschaft Verfahrenstechnik und Chemieingenieurwesen (GVC) Zehnte, bearbeitete und erweiterte Auflage

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Verein Deutscher Ingenieure VDI-Gesellschaft Verfahrenstechnik und Chemieingenieurwesen (GVC)

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3-540-25504-4 978-3-540-25504-8

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Vorwort zur 10. Auflage

Der VDI-Wärmeatlas wird inzwischen seit mehr als fünfzig Jahren erfolgreich publiziert und genutzt. Er hat sich, der Entwicklung des Fachgebietes entsprechend, von Auflage zu Auflage verändert und erweitert. Die zehnte Auflage wurde vom Redaktionsausschuss, bestehend aus den Herren Prof. Dr.-Ing. Volker Gnielinski, Karlsruhe, Prof. Dr.-Ing. Stefan Kabelac, Hamburg, Prof. Dr.-Ing. Matthias Kind, Karlsruhe, Prof. Dr.-Ing. Holger Martin, Karlsruhe, Prof. Dr.-Ing. Dieter Mewes, Hannover, Prof. Dr.-Ing. Karlheinz Schaber, Karlsruhe und Prof. Dr.-Ing. Peter Stephan, Darmstadt, unter Berücksichtigung neuerer Entwicklungen strukturell und inhaltlich vorbereitet. Die organisatorische Vorbereitung lag in den Händen von Frau Sigrid Cuneus, Frau Simone Schlegel und Herrn Thomas Lehnert, Berlin. Bei der Auswahl neuer Bearbeiter wurde ± wie schon bei den Vorauflagen ± auf ausgewiesene Fachleute besonderer Wert gelegt. Gegenüber der 9. Auflage wurden folgende Abschnitte neu verfasst: Da Dba Dbb Dca Dd Dea Deb Dec Ded Dfb Lbb Lbd Lcc Lcd Me

Berechnungsmethoden für Stoffeigenschaften Stoffwerte von Wasser Stoffwerte von Luft Stoffwerte von sonstigen chemisch einheitlichen Flüssigkeiten Stoffwerte von technischen Wärmeträgern Stoffwerte von reinen Metallen und Metalllegierungen Stoffwerte von feuerfesten Materialien Stoffwerte von Kälte- und Wärmedämmstoffen Wärmeleitfähigkeit von Erdreich, Mauerwerk, Holz und Baustoffen Dampf-Flüssigkeit-Gleichgewicht von Polymerlösungen Druckabfall von Gas-Flüssigkeitsströmungen in Rohren Berechnen von kritischen Massenströmen Druckverlust in pneumatischen Transportanlagen Zyklone zum Abscheiden fester Partikel aus Gasen Wärmeübertragung an nichtnewtonschen Flüssigkeiten.

Wesentlich überarbeitet wurden die Abschnitte: Hab Je Ka Kb Kc Kf Lba Lca Lda Ldc Ldd

Behältersieden Spontane Kondensation und Aerosolbildung Strahlung technischer Oberflächen Einstrahlzahlen Gasstrahlung; Strahlung von Gasgemischen Superisolationen Gas-Flüssigkeitsströmungen Bewegung fester Partikel in Gasen und Flüssigkeiten Bildung und Bewegung von Tropfen und Blasen Lamellentropfenabscheider Zyklone zur Abscheidung von Tropfen.

Darüber hinaus wurden zahlreiche Aktualisierungen und Ergänzungen vorgenommen, denen zum Teil Zuschriften der Leser zu Grunde lagen. Diese Abschnitte des Wärmeatlas wurden ± entsprechend der Vorgehensweise bei den Vorauflagen ± einem umfassenden fachlichen Prüfverfahren unterzogen, in das auch die Mitglieder des VDI-GVC-Fachausschusses ¹Wärme- und Stoffübertragungª einbezogen waren. Damit erhält der Nutzer dieses Werkes ein Höchstmaû an Sicherheit, dass die Berechnungsverfahren, Aussagen und Daten dem neuesten Stand des Wissens entsprechen, soweit dieses veröffentlicht vorliegt. Gleichwohl ist vom Nutzer des VDI-Wärmeatlas eine hinreichende fachliche Kompetenz zu fordern, da eine unsachgemäûe Anwendung der Formeln und Daten zu fehlerhaften Ergebnissen führen kann.

Am Grundkonzept des VDI-Wärmeatlas, wie im Vorwort der ersten Auflage beschrieben, hat sich nichts geändert. Allen Bearbeitern und Fachgutachtern sowie den Mitgliedern des Redaktionsausschusses und des VDI-GVC-Fachausschusses ¹Wärme- und Stoffübertragungª wie auch den Damen und Herren vom Springer-Verlag sei an dieser Stelle für ihre Mitarbeit an diesem Standardwerk gedankt. Karlsruhe und Düsseldorf, Juni 2005

VDI-Gesellschaft Verfahrenstechnik und Chemieingenieurwesen (GVC) Vorsitzender des Redaktionsausschusses Professor Dr.-Ing. H. Martin

Vorwort zur 1. Auflage Die vorliegende Sammlung von Diagrammen soll die schnelle Berechnung von Wärmeaustauschern ermöglichen. Sie unterscheiden sich in ihrer Art grundsätzlich von den bisher bekannten Lehr- und Handbüchern, die eine Darstellung der verschiedensten theoretischen und experimentellen Erkenntnisse bringen. Der VDI-Wärmeatlas gibt demgegenüber für ein bestimmtes Wärmeübergangsgebiet nur eine Gleichung an, die nach eingehender Prüfung aller verfügbaren Arbeiten als zur Zeit zuverlässigste Lösung angenommen wird. In allen Fällen ist die Begrenzung der Gültigkeitsbereiche angegeben, in denen eine experimentelle Bestätigung vorliegt oder in denen nach den derzeitigen theoretischen Erkenntnissen keine merkliche Abweichung zu erwarten ist. Durch die besondere Vorarbeit einer Sichtung, Beurteilung und Auswahl des Schrifttums wird dem Benutzer eine umfangreiche Arbeit abgenommen, für die dem in der Praxis tätigen Ingenieur nicht nur die Zeit und die oftmals schwierig zu beschaffende Literatur, sondern auch die theoretischen Spezialkenntnisse fehlen. Die Berechnung von Wärmeaustauschern erfordert trotz aller Schematisierung in der Anwendung von Formeln ein besonderes Einfühlungsvermögen in die physikalischen Vorgänge. Eine allgemeine Einführung in die theoretischen Grundlagen soll dies erleichtern. Die Kenntnis der mathematischen Ansätze und das Wissen um die verhältnismäûig wenigen analytischen Lösungen für geometrisch einfache Körperformen sind dabei ebenso wichtig wie die Vermittlung der Fähigkeit, sich den Strömungsverlauf bewegter Medien oder den Wärmefluû in Körpern vorstellen zu können. Bei allen Bewegungsvorgängen, sowohl bei der natürlichen wie auch bei der erzwungenen Strömung spielt die Art dieser Strömung, ob laminar oder turbulent, eine besondere Rolle für den Wärmeübergang. An der Grenze beider Bereiche, dem kritischen Strömungszustand, scheiden sich die physikalischen Vorstellungen und Gleichungsformen, das Grenzgebiet selbst ist mathematisch kaum zu fassen. Die Vielzahl der Variablen, die durch Strömungsvorgänge, wärmeaustausch- und temperaturabhängige Stoffwerte bedingt werden, erschwert die experimentelle und rechnerische Behandlung von Wärmeübergangsproblemen auûerordentlich. Hier hilft die Anwendung von ¾hnlichkeitsbetrachtungen, die zu besonders übersichtlichen und klaren Gleichungsformen mit weitgreifenden und allgemein anwendbaren Gültigkeitsbereichen führen. Diese in der Praxis noch viel zu wenig gewürdigte und geübte Darstellungsart wird im vorliegenden Werk weitgehend angewandt. Die Hauptgleichung für jedes Wärmeübergangsproblem wird in einem ersten Blatt möglichst in den dimensionslosen Kenngröûen (Reynolds-Zahl, Prandtl-Zahl, Nuûelt-Zahl usw.) dargestellt. Für Wasser und Luft als häufigste Stoffe folgen meist besondere Blätter, zum Teil mit Tabellen, die eine Umrechnung auf andere Stoffe ermöglichen. Die Abschnitte Leitung und Strahlung enthalten neben graphischen Darstellungen zahlreicher analytischer und experimenteller Lösungen, die die Berechnung der meisten in der Technik gegebenen Aufgaben ermöglichen, noch umfassende Diagramme und Tabellen für Wärmeleitzahlen und Strahlungszahlen. Bei der Wärmeübertragung durch Kondensation und Verdampfung mit ihren auûerordentlich hohen Übergangszahlen spielen Grenzschichtprobleme und Oberflächeneigenarten eine besondere Rolle. Zum Verständnis dieser Fragen und zur richtigen Beurteilung ihrer Einflüsse an technischen Apparaten waren ausführlichere Erläuterungen im Textteil erforderlich. Ein besonderer Abschnitt enthält Stoffwerte der häufigst vorkommenden Flüssigkeiten und Gase. Diese sind vorwiegend in Tabellen dargestellt, da in Kurvenblättern die Linien sich zu sehr überschneiden. Als Sondergebiete sollen der Wärmeübergang in Rührkesseln, in Füllkörperschichten, periodische Vorgänge, berippte Oberflächen u. ä. behandelt werden. Eine groûe Erleichterung für den Berechnungsingenieur wird die Aufstellung anzunehmender überschläglicher k-Werte für verschiedenartige Stoffe und Formen technischer Wärmeaustauscher bieten ebenso ein besonderer Abschnitt über die Konstruktion von Apparaten. Das Erscheinen des vorliegenden Werkes entspricht einem dringenden Bedürfnis der Praxis, vor allem aus dem Kreis der in der chemischen Industrie und verwandten Gebieten tätigen Ingenieure. Eine Arbeitsmappe ähnlicher Art war bereits seit vielen Jahren in den Werken des früheren I.G. Farben-Konzerns in Gebrauch. Der I.G.-Wärmeatlas war von den Werken Ludwigshafen und Oppau, unter Leitung von Prof. Dr.-Ing. W. Wilke, bearbeitet und herausgegeben worden, wobei zahlreiche Anregungen und Beiträge von den übrigen Konzernwerken kamen. Die hervorragende Eignung und die praktische Bewährung sowie die Anerkennung, die man auch auûerhalb des I.G. Farben-Konzerns dem Wärmeatlas zusprach, gaben den Anlaû dazu, denselben dem Verein Deutscher Ingenieure zur Verfügung zu stellen und damit der Allgemeinheit zugänglich zu machen. Dieser Entschluû enthielt aber auch die Verpflichtung zu einer Neubearbeitung und Ergänzung, da die ersten Anfänge des I.G.-Wärmeatlasses bis in die Jahre 1930±1933 zurückreichten und teilweise veraltet waren.

Als nach Kriegsende solche Arbeiten wieder möglich wurden, übernahm der Arbeitsausschuû ¹Wärmeaustauscher und Verdampferª in der VDI-Fachgruppe Verfahrenstechnik diese offensichtlich in sein Arbeitsgebiet fallende Aufgabe. Es ist der unermüdlichen Vorarbeit von Dr.-Ing. Gg. Kling zu danken, daû schon auf der ersten Sitzung des Ausschusses 1947 in Marburg ein Programm als Gerippe für die Neubearbeitung vorlag. Die einzelnen Wärmeaustauschgebiete wurden dann auf einen Mitarbeiterkreis aufgeteilt, dem folgende Herren angehören: Dr.-Ing. J. Blomert, Farbenfabriken Bayer, Leverkusen, Prof. Dr.-Ing. Fr. Bosnjakovi^c, Technische Hochschule, Braunschweig, Prof. Dr.-Ing. H. Brauer, Technische Universität, Berlin, Prof. Dr.-Ing. W. Fritz, Phys.-Techn. Bundesanstalt, Braunschweig, Dr.-Ing. U. Grigull, Farbenfabriken Bayer, Leverkusen, Prof. Dr.-Ing. H. Hausen, Technische Hochschule, Hannover, Dr.-Ing. Gg. Kling, Badische Anilin- u. Sodafabrik, Ludwigshafen/Rh., Dr.-Ing. H. Komoûa, Deutsche Worthington G.m.b.H., Hamburg, Dr.-Ing. H. Krauûold, C.H. Boehringer Sohn, Ingelheim, Dr.-Ing. C. A. Landfermann, Dr. Schmitz & Apelt, Wuppertal-Langerfeld, Dipl.-Ing. K. Lehmann, Chemische Werke Hüls, Marl/Westf., Dr.-Ing. G. Lück, Badische Anilin- und Sodafabrik, Ludwigshafen/Rh., Prof. Dr. L. Schiller, Weilburg/Lahn, Prof. Dr.-Ing. T.H.E. Schmidt, Technische Hochschule, Karlsruhe, Dipl.-Ing. R. Schumacher, Rütgerswerke, Frankfurt, Dr.-Ing. M. Schunck, Badische Anilin- und Sodafabrik, Ludwigshafen, Dr.-Ing. R. Söhngen, Farbenfabriken Bayer, Leverkusen, Dr.-Ing. Jos. Spangler, Farbwerke Höchst, Frankfurt-Höchst, Priv. Doz. Dr.-Ing. K. Stephan, Mannesmann-Forschungsinstitut, Duisburg-Wanheim, Dipl.-Ing. W. Wanninger, Phys.-Techn. Bundesanstalt, Braunschweig. Obwohl hiermit die eigentliche Ausarbeitung der Beiträge gesichert war, bestanden lange Zeit erhebliche Schwierigkeiten in der Ausführung der zeichnerischen und rechnerischen Darstellung, wodurch sich die Herausgabe des Werkes mehrmals verzögerte. Erst als es dem Obmann der Fachgruppe Verfahrenstechnik, Dir. Dr.-Ing. E. h. K. Rieû, gelang, Geldmittel für hauptamtliche Bearbeiter zu beschaffen (von denen hier Prof. Dr.-Ing. A.Geberg besonders genannt sei) und die Farbenfabriken Bayer in Leverkusen die erforderlichen Arbeitsräume bereitstellen, konnte das Werk unter der Leitung von Dr.-Ing. R. Söhngen und Dr.-Ing. J. Blomert rasch gefördert werden. Geschäftstelle und Verlag des Vereins Deutscher Ingenieure haben uns mit allen Kräften unterstützt. Allen beteiligten Stellen und Mitarbeitern, die eine oft sehr mühevolle Arbeit neben ihrer eigentlichen Berufstätigkeit geleistet haben, sei an dieser Stelle besonders gedankt. Was heute vorliegt, ist ein erster Teil, weitere Blätter werden laufend bearbeitet und können in den Ringordner eingefügt werden. Ebenso ist es gegebenenfalls möglich, überholte Darstellungen gegen neue auszuwechseln. Anregungen zu Ergänzungen und Erweiterungen aus dem Kreis der Benutzer des Atlasses werden wir gern entgegennehmen. Arbeitsausschuû ¹Wärmeaustauscher und Verdampferª der Fachgruppe Verfahrenstechnik im Verein Deutscher Ingenieure H. Krauûold, Obmann

VDI-Wärmeatlas 10. Auflage 2006

Inhalt

A Einführung in die Lehre von der Wärmeübertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 1 bis A 27 B Formelzeichen, Einheiten, Dimensionslose Kenngröûen a) Formelzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ba 1 bis Ba 2 b) Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bb 1 bis Bb 6 c) Dimensionslose Kenngröûen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bc 1 bis Bc 3

Alle Rechte vorbehalten  Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2006

C Berechnung von Wärmeübertragern a) Berechnung von Wärmeübertragern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b) Wärmedurchgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c) Überschlägige Wärmedurchgangskoeffizienten bei einigen Wärmeübertragerbauarten . . . . . . . d) Wärmeübertragungsnetzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e) Kosten und Wirtschaftlichkeit von Wärmeübertragern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D Stoffwerte und Zustandsgröûen a) Berechnungsmethoden für Stoffeigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ba) Stoffwerte von Wasser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bb) Stoffwerte von Luft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bc) Stoffwerte von Stickstoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bd) Stoffwerte von Kohlendioxyd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . be) Stoffwerte von Sauerstoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bf) Stoffwerte von Ammoniak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bg) Stoffwerte von R134a (1,1,1,2-Tetraflourethan) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca) Stoffwerte von sonstigen chemisch einheitlichen Flüssigkeiten und Gasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . cb) Stoffwerte bei Sättigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d) Stoffwerte von technischen Wärmeträgern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ea) Stoffwerte von reinen Metallen und Metallegierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . eb) Stoffwerte von feuerfesten Materialien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ec) Stoffwerte von Kälte- und Wärmedämmstoffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ed) Wärmeleitfähigkeit von Erdreich, Holz, Holzwerkstoffen, allgemeinen Baustoffen und Mauerwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ee) Wärmeleitfähigkeit von Schüttschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ef) Stoffwerte von Kunststoffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . fa) Dampf-Flüssigkeit-Gleichgewichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . fb) Dampf-Flüssigkeit-Gleichgewicht von Polymerlösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . fc) Dampfdrücke über wäûrigen Salzlösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ca 1 bis Ca 34 Cb 1 bis Cb 7 Cc 1 bis Cc 4 Cd 1 bis Cd 11 Ce 1 bis Ce 4 Da 1 bis Da 30 Dba 1 bis Dba 15 Dbb 1 bis Dbb 16 Dbc 1 bis Dbc 17 Dbd 1 bis Dbd 17 Dbe 1 bis Dbe 17 Dbf 1 bis Dbf 17 Dbg 1 bis Dbg 17 Dca 1 bis Dca 46 Dcb 1 bis Dcb 23 Dd 1 bis Dd 64 Dea 1 bis Dea 15 Deb 1 bis Deb 9 Dec 1 bis Dec 4 Ded 1 bis Ded 12 Dee 1 bis Dee 9 Def 1 bis Def 3 Dfa 1 bis Dfa 35 Dfb 1 bis Dfb 7 Dfc 1 bis Dfc 12

E Wärmeleitung a) Wärmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ea 1 bis Ea 12 b) Wärmeverlust von Wänden und Rohrleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eb 1 bis Eb 6 c) Instationäre Wärmeleitung in ruhenden Körpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ec 1 bis Ec 24 F Wärmeübertragung bei freier einphasiger Strömung a) Wärmeübergang durch freie Konvektion an umströmten Körpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b) Wärmeabgabe von Heizkörpern beim Betrieb mit Warmwasser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c) Wärmeübergang durch freie Konvektion in geschlossenen Fluidschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . d) Freie Konvektion in offenen Fluidschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e) Wärmeübergang durch Mischkonvektion (überlagerte freie und erzwungene Konvektion) an umströmten Körpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fe 1 bis Fe 3

G Wärmeübertragung bei erzwungener einphasiger Strömung a) Wärmeübertragung bei der Strömung durch Rohre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b) Wärmeübertragung im konzentrischen Ringspalt und im ebenen Spalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c) Wärmeübertragung bei der Strömung durch Rohrwendeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d) Wärmeübergang bei der Strömung längs einer ebenen Wand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e) Wärmeübertragung an einzelnen längsumströmten Zylindern, Drähten und Fäden . . . . . . . . . . . f) Wärmeübertragung bei Querströmung um einzelne Rohre, Drähte und Profilzylinder . . . . . . . . g) Wärmeübertragung bei der Querströmung um einzelne Rohrreihen und durch Rohrbündel . . . . h) Wärmeübertragung im Auûenraum von Rohrbündel-Wärmeübertragern mit Umlenkblechen . . j) Wärmeübertragung Partikel ± Fluid in durchströmten Haufwerken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k) Wärmeübergang bei Prallströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ga 1 bis Ga 9 Gb 1 bis Gb 10 Gc 1 bis Gc 2 Gd 1 bis Gd 5 Ge 1 bis Ge 5 Gf 1 bis Gf 4 Gg 1 bis Gg 4 Gh 1 bis Gh 6 Gj 1 bis Gj 2 Gk 1 bis Gk 6

Fa 1 bis Fa 6 Fb 1 bis Fb 5 Fc 1 bis Fc 7 Fd 1 bis Fd 4

H Wärmeübergang bei der Verdampfung aa) Behältersieden unterkühlter Flüssigkeiten (Sieden bei freier Konvektion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . ab) Behältersieden (Sieden bei freier Konvektion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ba) Strömungssieden unterkühlter Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bb) Strömungssieden gesättigter Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bc) Kritische Siedezustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bd) Wärmeübergang nach der Siedekrise (bei erzwungener Konvektion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J

Wärmeübergang bei der Kondensation (ruhende und strömende Dämpfe) a) Filmkondensation reiner Dämpfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ba) Filmkondensation von binären Gemischen ohne und mit Inertgas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bb) Kondensation von Mehrstoffgemischen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c) Tropfenkondensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d) Misch- und Einspritzkondensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e) Spontane Kondensation und Aerosolbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

K Wärmestrahlung a) Strahlung technischer Oberflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b) Einstrahlzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c) Gasstrahlung; Strahlung von Gasgemischen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d) Wärmestrahlung von Gas-Feststoff-Gemischen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e) Wärmestrahlung in Brennräumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f) Superisolationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L Druckverlust aa) Druckverlust in einphasigen Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ab) Druckverlust in durchströmten Rohren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ac) Druckverlust in Leitungen mit Querschnittsänderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ad) Druckverlust in querangeströmten Bündeln aus glatten sowie berippten Kreisund Ovalrohren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ae) Druckverlust im Auûenraum von Rohrbündel-Wärmeübertragern mit und ohne Einbauten . . . . af) Druckverlust bei der Strömung durch Schüttungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ag) Druckverlust bei der Durchströmung von Lochplatten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ah) Druckverlust bei der Strömung von Suspensionen und Schlämmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . aj) Maximaler Gasdurchsatz in laminar durchströmten Rohren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ba) Gas-Flüssigkeitsströmungen ± relative Phasenanteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bb) Druckverlust von Gas-Flüssigkeitsströmung in Rohren, Leitungselementen und Armaturen . . . bc) Druckverlust in durchströmten Verdampferrohren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bd) Berechnen von kritischen Massenströmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . be) Druckverlust für Gas-Flüssigkeits-Filmströmung in vertikalen Kanälen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bf) Druckverlust und Flutpunkt in berieselten Packungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bg) Nasser Druckverlust und Leerblasen von Kolonnenböden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca) Bewegung fester Partikel in Gasen und Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cb) Strömungszustände und Druckverlust in Wirbelschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cc) Druckverlust in pneumatischen Transportanlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cd) Zyklone zum Abscheiden fester Partikel aus Gasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . da) Bildung und Bewegung von Tropfen und Blasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . db) Entstehen und mechanisches Zerstören von Schäumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dc) Lamellentropfenabscheider . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dd) Zyklone zur Abscheidung von Tropfen und feststoffbeladenen Tropfen aus Gasen . . . . . . . . . . . de) Zerstäubung mit Hohlkegeldüsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M Sonderprobleme der Wärmeübertragung a) Wärmeübergang und Rührleistung in Rührbehältern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b) Wärmeübergang an berippten Oberflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c) Wärmeübertragung durch Wände mit aufgeschweiûten Rohrschlangen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d) Wärmeübergang an senkrechten berieselten Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e) Wärmeübergang an nichtnewtonschen Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f) Wärmeübergang in Wirbelschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . g) Wärmeübergang von einer Heizfläche an ruhende oder mechanisch durchmischte Schüttungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h) Wärmeleitung und Dispersion in durchströmten Schüttungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Haa 1 bis Haa 10 Hab 1 bis Hab 28 Hba 1 bis Hba 12 Hbb 1 bis Hbb 35 Hbc 1 bis Hbc 37 Hbd 1 bis Hbd 19 Ja 1 bis Ja 16 Jba 1 bis Jba 13 Jbb 1 bis Jbb 38 Jc 1 bis Jc 6 Jd 1 bis Jd 6 Je 1 bis Je 32 Ka 1 bis Ka 11 Kb 1 bis Kb 10 Kc 1 bis Kc 11 Kd 1 bis Kd 9 Ke 1 bis Ke 12 Kf 1 bis Kf 22 Laa 1 bis Laa 2 Lab 1 bis Lab 5 Lac 1 bis Lac 9 Lad 1 bis Lad 15 Lae 1 bis Lae 10 Laf 1 bis Laf 5 Lag 1 bis Lag 4 Lah 1 bis Lah 4 Laj 1 bis Laj 3 Lba 1 bis Lba 8 Lbb 1 bis Lbb 15 Lbc 1 bis Lbc 3 Lbd 1 bis Lbd 16 Lbe 1 bis Lbe 5 Lbf 1 bis Lbf 8 Lbg 1 bis Lbg 3 Lca 1 bis Lca 9 Lcb 1 bis Lcb 11 Lcc 1 bis Lcc 17 Lcd 1 bis Lcd 12 Lda 1 bis Lda 15 Ldb 1 bis Ldb 10 Ldc 1 bis Ldc 3 Ldd 1 bis Ldd 3 Lde 1 bis Lde 6 Ma 1 bis Ma 27 Mb 1 bis Mb 4 Mc 1 bis Mc 8 Md 1 bis Md 8 Me 1 bis Me 5 Mf 1 bis Mf 9 Mg 1 bis Mg 16 Mh 1 bis Mh 15

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Inhalt

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j) k) l) m) n) o)

Inhalt

Berechnung von Rückkühlwerken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Be- und Entfeuchten von Luft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wärmerohre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Druckverlust und Wärmeübergang in Plattenwärmeübertragern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wärmeübertragung bei schallnahen Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wärmeübergang und Strömung in verdünnten Gasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Mj 1 bis Mj 15 Mk 1 bis Mk 18 Ml 1 bis Ml 11 Mm 1 bis Mm 7 Mn 1 bis Mn 17 Mo 1 bis Mo 17

N Wärmeübertragung in Regeneratoren a) Wärmeübertragung in Regeneratoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Na 1 bis Na 14 b) Kombinierte Wärme- und Stoffübertragung in Regeneratoren mit bewegter Speichermasse . . . Nb 1 bis Nb 16

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O Konstruktive Hinweise für den Bau von Wärmeübertragern a) Arten der Wärmeübertragung und die für sie üblichen Bauformen der Wärmeübertrager . . . . . . b) Konstruktive Hinweise für den Bau von Wärmeübertragern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c) Schwingungen in Wärmeübertrager-Rohrbündeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d) Verschmutzung von Wärmeübertragerflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oa 1 bis Oa 2 Ob 1 bis Ob 24 Oc 1 bis Oc 36 Od 1 bis Od 30

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Autorenverzeichnis

Auracher, H., Prof. Dr.-Ing., Berlin Hbc Anders, K. ², Dr.-Ing., Stuttgart Mo Bender, E. ², Prof. Dr.-Ing., Kaiserslautern Dfa Bodmer, T., Dipl.-Ing., Marl Dea Bornhütter, K., Dr.-Ing., Dorsten Lbf Brodhagen, A., Dr.-Ing., Dannstadt Lbd Brummel, H. G., Dr.-Ing., Berlin Kd Buggisch, H., Prof. Dr. rer. nat., Karlsruhe Lah Burghardt, A., Prof. Dr., Gliwice (Polen) Jbb Busweiler, U., Prof. Dr.-Ing., Darmstadt Mk Chawla, J. M. ², Prof. Dr.-Ing., Ettlingen Lbc Dahl, H. D., Dr.-Ing., Marl Ldc, Ldd, Lde Drescher, G., Dipl.-Ing., Erlangen Hbc

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Ehrler, F., Dr., Karlsruhe Je Elgeti, K., Prof. Dr.-Ing., Leverkusen Ea, Eb Eschner, A., Dr., Wiesbaden Deb Frohn, A., Prof. Dr. rer. nat., Stuttgart Mo Fullarton, D., Dr.-Ing., Köln Jba Fütterer, G., Dr.-Ing., Ludwigshafen Ob Gaddis, E., Dr., Clausthal-Zellerfeld Gh, Lad, Lae, Ma Gaiser, G., Dr.-Ing., Stuttgart Nb Gampert, B., Prof. Dr.-Ing., Essen Ge Gelbe, H., Prof. Dr.-Ing., Berlin Oc Glück, A., Dr.-Ing., Ebersbach Dd Gnielinski, V., Prof. Dr.-Ing., Karlsruhe Ga, Gb, Gc, Gd, Gf, Gg, Gh, Gj Gorenflo, D., Prof. Dr.-Ing., Paderborn Hab Görner, K., Prof. Dr.-Ing., Essen Ke Hahne, E., Prof. Dr.-Ing., Stuttgart Ea Hauck, J., Dipl.-Ing. (FH), Ludwigshafen Ob Heidemann, W., Dr.-Ing., Stuttgart Mc Hein, D., Prof. Dr.-Ing., München Hbc Herbst, O., Dipl.-Ing., Erlangen Hbc Hochberg, U., Dr.-Ing., Offenburg Jd Hunold, D., Dr.-Ing., Bielefeld Dd Joh, R., Dr. rer. nat., Frankfurt/Main Da, Dca Kabelac, S., Prof. Dr.-Ing., Hamburg Ka, Kb, Kc Kasparek, G., Dr.-Ing., München Dec Kast, W., Prof. Dr.-Ing., Darmstadt Laa, Lab, Lac Katsaounis, A., Prof. Dipl.-Ing., Berlin Hbc, Hbd Kefer, V., Dr.-Ing., Erlangen Hbc Kirchner, G., Dipl.-Ing. (FH), Ludwigshafen Ob Klan, H., Dr.-Ing., Darmstadt Fa, Fb, Fc, Fd, Fe Kleiber, M., Dr.-Ing., Karlsruhe, Da, Dca Köhler, W., Dr.-Ing., Erlangen Hbc Krauss, R., Dipl.-Ing., Stuttgart Dbc, Dbd, Dbe, Dbf, Dbg Kuhn, P., Dipl.-Ing., Düsseldorf Na Leipertz, A., Prof. Dr.-Ing., Erlangen Jc Mach, E., Dr.-Ing., Heidelberg Oa Martin, H., Prof. Dr.-Ing., Karlsruhe A, Ba, Bb, Bc, Ea, Ec, Gk, Mf, Mm

Mersmann, A., Prof. Dr.-Ing., München Lbf, Ldb Mewes, D., Prof. Dr.-Ing., Hannover Lbe Mitra, N. K. ², Prof. Dr., Bochum Mn Müller, J., Dr.-Ing., Ludwigshafen Ja Müller-Steinhagen, H., Prof. Dr.-Ing., Stuttgart Od Muschelknautz, E., Prof. Dr.-Ing., Stuttgart Lcc, Ldc, Ldd, Lde Muschelknautz, S., Dr.-Ing., Höllriegelskreuth Lbb Muschelknautz, U., Dr. rer. nat., Stuttgart Lcc, Lcd Neubronner, M., Dr.-Ing., Gehrden Dea, Def Numrich, R., Prof. Dr.-Ing., Marl Ja Palen, J. W., Dr., Bandung (Indonesien) Md Poppe, M., Dr.-Ing., Leverkusen Mj Räbiger, N., Prof. Dr.-Ing., Bremen Lda Reiss, H., Prof. Dr. rer. nat., Heidelberg Kf Richter, W. ², Dr.-Ing., Essen Ke Roetzel, W., Prof. Dr.-Ing., Hamburg Ca, Cb, Cc, Ce Rögener, H., Prof. Dr., Hannover Mj Roth, H., Dr.-Ing., Duisburg Cd Sandner, H., Dr.-Ing., München Dea Schabel, W., Dr.-Ing., Karlsruhe Dfb Schaber, K., Prof. Dr.-Ing., Karlsruhe Je Schlünder, E.-U., Prof. Dr.-Ing. Dr. h.c. / INPL, Karlsruhe Jba, Laj Schlüter, M., Dr.-Ing., Bremen Lda Schmidt, F., Dipl.-Ing., Hannover Lbd Schmidt, H., Dr.-Ing., Erlangen Lba Schmidt, K. G., Prof. Dr.-Ing., Duisburg Mb Schnabel, G., Dr.-Ing., Biberach Md Schröder, J. J. ², Dr.-Ing., Hannover Haa, Hba Schröder, K. ², Dipl.-Ing., München Oc Seelinger, P., Dr.-Ing., Ludwigshafen Ob Sommerfeld, M., Prof. Dr.-Ing. habil., Halle Lca Span, R., Dr.-Ing., Paderborn Dbb, Dcb Spang, B., Dr.-Ing., Hamburg Ca, Cb, Cc, Ce, Lad Steiner, D. ², Prof. Dr.-Ing., Karlsruhe Dfa, Hbb Stephan, P., Prof. Dr.-Ing., Darmstadt Ml Stichlmair, J., Prof. Dr.-Ing., Garching Lag, Lbg Sucker, D., Prof. Dr.-Ing., Düsseldorf Na Tsotsas, E., Prof. Dr.-Ing., Magdeburg Dee, Mg, Mh Ulrych, G., Dr.-Ing., Erlangen Hbc Vortmeyer, D., Prof. Dr., München Ka, Kb, Kc Wagner, M. H., Prof. Dr.-Ing., Stuttgart Me Wagner, W., Prof. Dr.-Ing., Bochum Dba, Dcb Wellenhofer, A., Dipl.-Ing., Höllriegelskreuth Lbb Werner, H. W., Prof. Dr.-Ing., München Ded Wirth, K.-E., Prof. Dr.-Ing., Erlangen Laf, Lcb Wolf, H., Dr.-Ing., Rieden bei Nussbaumen (Schweiz) Dfc Zeller, M., Prof. Dr.-Ing., Aachen Mk Ziada, S., Prof. Dr.-Ing., Hamilton (Kanada) Oc

Alfa Laval Mid Europe GmbH Wilhelm-Bergner-Str. 1 D-21509 Glinde Tel.: ++49(0)40/72 74-27 55 Fax: ++49(0)40/72 74-2 22 48 E-Mail: [email protected] Internet: www.alfalaval.com 4 seitiger Einhefter zw. S. Ca 34/Cb 1

Fragol Schmierstoff GmbH & Co. KG Reichspräsidentenstraûe 21±25 D-45470 Mülheim Tel.: ++49(0)208/3 00 02-22 Fax: ++49(0)208/3 00 02-46 E-mail: [email protected] Internet: www.fragol.de

API Schmidt-Bretten GmbH & Co. KG Langenmorgen 4 D-75015 Bretten Tel.: ++49(0)7252/53-0 Fax: ++49(0)7252/53-2 00 E-Mail: [email protected] Internet: www.APISchmidt-Bretten.de

Funke Wärmeaustauscher Apparatebau GmbH Zur Dessel 1 D-31028 Gronau Tel.: ++49(0)5182/5 82-0 Fax: ++49(0)5182/5 82-48 E-mail: [email protected] Internet: www.funke.de

Bertrams Heatec AG Bizenenstr. 55 CH-4132 Muttenz Tel.: ++41(0)61/4 67-75 75 Fax: ++41(0)61/4 67-75 00 E-Mail: [email protected] Internet: www.bertrams-heatec.com Calorplast Wärmetechnik GmbH Siempelkampstr. 94 D-47803 Krefeld Tel.: ++49(0)2151/87 77-0 Fax: ++49(0)2151/87 77-33 E-Mail: [email protected] Internet: www.calorplast.de

S. Ml 12

S. Cd 12

S. Mm 8

Wilhelm Deller GmbH & Co. KG Langenauer Str. 2 D-57078 Siegen Tel.: ++49(0)8 06-0 Fax: ++49(0)8 06-215 E-Mail: [email protected] Internet: www.wilhelm-deller.de

S. Mn 18

Dow Europe GmbH Bachtobelstr.3 CH-8810 Horgen Tel.: ++8 00-3-6 94-63 67 oder ++32/3/4 50-22 40 (gebührenfrei) Fax: ++32/3/4 50-28 15 Internet: www.dow.com

S. Dcb 24

HES Heat Exchanger Systems GmbH Hohe-Flum-Str. 31 D-79650 Schopfheim Tel.: ++49(0)76 22/6 66 89-0 Fax: ++49(0)76 22/6 66 89-30 E-Mail: [email protected] Internet: www.hes-kapp.de

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Lesezeichen

S. Bc 4

vor S. A 1

HTT energy systems GmbH Füllenbruchstr. 183 D-32051 Herford Tel.: ++49(0)5221/3 85-0 Fax: ++49(0)5221/3 85-12 E-Mail: [email protected] Internet: www.htt.de 2-seitiger Einhefter zw. S. Dcb 24/Dd 1 Lauterbach Verfahrenstechnik Spöcker Weg 23 a D-76344 Eggenstein Tel.: ++49(0)721/97 82 20 Fax: ++49(0)721/78 21 06 E-Mail: [email protected] Internet: www.LV-soft.de Einhefter vor Inhaltsverzeichnis

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Inserentenverzeichnis

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Einführung in die Lehre von der Wärmeübertragung *)

A1

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Gliederung 1 Begriffe und Grundgesetze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 1 1.1 Wärme, Arbeit, Energiebilanz . . . . . . . . . . . . . . A 1 1.2 Kinetik der Wärmeübertragung . . . . . . . . . . . . . A 2 1.2.1 Wärmeübertragung durch Kontakt . . . . A 2 1.2.2 Wärmeübertragung durch Strahlung . . . A 3 1.3 Gröûenordnung von Wärmeströmen . . . . . . . . A 3 1.4 Gröûenordnung der wichtigsten Stoffeigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 4 1.4.1 Volumetrische Wärmekapazität . . . . . . . A 4 1.4.2 Wärmeleitfähigkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . A 4 1.4.3 Emissionsverhältnis . . . . . . . . . . . . . . . . . A 5

2.6.2 Schüttungen, Wirbelschichten . . . . . . 2.6.2.1 Wärmeübergang Fluid/Partikel . . . . . . . . . . . . . 2.6.2.2 Wärmeübergang Wand/Schüttgut . . . . . . . . . . . 2.7 Kopplung der Wärmeübertragung mit anderen Vorgängen. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Freie Auftriebsströmung . . . . . . . . . . . 2.7.2 Kondensation und Verdampfung reiner Stoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.3 Stoffübertragung, Diffusion . . . . . . . .

2 Berechnung von Wärmeübergangskoeffizienten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 5 2.1 Definition des Wärmeübergangskoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 5 2.2 Stationäre Wärmeleitung in ruhenden Medien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 6 2.3 Instationäre Wärmeleitung in ruhenden Medien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 7 2.4 Stationär durchströmte Kanäle . . . . . . . . . . . . . A 9 2.4.1 Kolbenströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 9 2.4.2 Laminare Strömung . . . . . . . . . . . . . . . . . A 9 2.4.3 Turbulente Strömung . . . . . . . . . . . . . . A 10 2.4.4 Analogie zwischen Impuls- und Wärme- oder Stofftransport . . . . . . . . A 11 2.5 Überströmte Einzelkörper . . . . . . . . . . . . . . . A 12 2.5.1 Reibungsfreie Umströmung . . . . . . . . A 12 2.5.2 Schleichende Umströmung . . . . . . . . . A 13 2.5.3 Laminare Grenzschichtströmung . . . . A 13 2.5.4 Turbulente Umströmung . . . . . . . . . . . A 13 2.6 Durchströmte Haufwerke . . . . . . . . . . . . . . . . A14 2.6.1 Rohrbündel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 14

3 Zur Auslegung von Wärmeübertragern. . . . . . 3.1 Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Wärmedurchgangskoeffizienten . . . . . . . . . . 3.3 Temperaturverlauf, mittlerer Temperaturunterschied, Stromführung . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Kennzahlen für Wärmeübertrager. . . . . . . . . 3.5 Wirtschaftlich optimale Auslegung . . . . . . . 3.5.1 Optimale Strömungsgeschwindigkeit 3.5.2 Optimale Temperaturänderung . . . . .

1 Begriffe und Grundgesetze 1.1 Wärme, Arbeit, Energiebilanz Der Begriff Wärme ist definiert durch den ersten Hauptsatz der Thermodynamik (Mayer, 1842) DE=Q+W.

Die Energie des Systems kann noch in innere Energie, U, potentielle Energie, Epot , und kinetische Energie, Ekin , unterteilt werden.

A 14 A14 A 14 A14 A 15 A 18 A 19 A 19 A 20 A 20 A 21 A 22 A 22 A 23 A 24 A 24 A 25 A 25 A 26 A 26 A 26

5 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 26

Innere Energie, U, ist damit der im Inneren des Systems gespeicherte Anteil der Energie, der durch Zufuhr von Wärme und Arbeit erhöht wird. In den meisten Anwendungen aus dem Bereich der Wärmeübertragung spielt die ¾nderung der potentiellen und der kinetischen Energie eines Systems keine Rolle, so daû

(1)

Er sagt aus, daû die Energie, E, eines abgeschlossenen Systems durch Zufuhr von Wärme, Q, und durch Zufuhr von Arbeit, W, geändert wird. Mit dem Begriff ¹Systemª wird dabei ein gedanklich abgegrenzter Bereich des Universums ± ein Bilanzraum ± bezeichnet. Bei einem abgeschlossenen System wird über die Grenze des Bilanzraums hinweg keine Masse transportiert.

DE=D(U+Epot+Ekin).

4 Möglichkeiten zur Verbesserung der Wärmeübertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Vergröûerung der Übertragungsfläche . . . . . 4.2 Vergröûerung der Wärmeübergangskoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Durch Strukturierung der Oberfläche 4.2.2 Durch Strukturierung der Strömung . 4.2.3 Durch Einwirkung äuûerer Feldkräfte 4.3 Hinweise zur Vertiefung. . . . . . . . . . . . . . . . .

A 14

DE=DU

(3)

gesetzt werden kann. Mit der Definition der Enthalpie, H, als Summe von innerer Energie, U, und dem Produkt aus Druck, p, und Volumen, V, H=U+p V

(4)

kann man den ersten Hauptsatz für abgeschlossene Systeme dann auch in der Form

(2)

*) Bearbeiter des Abschnitts A: Prof. Dr.-Ing. H. Martin, Karlsruhe

DH=Q+W+D(p V)

(5)

A

A2

Einführung in die Lehre von der Wärmeübertragung

schreiben. Bei konstantem Druck, p=p0 , ist D(p V)=p0 DV. Für einen volumenfesten Bilanzraum folgt daraus DH=DU. Für einen massefesten Bilanzraum, dessen Grenze (z. B. die Oberfläche eines Festkörpers) sich gegen die Umgebung verschieben kann, bleibt von D(p V) bei konstantem Druck, p=p0 nur der Term p0 DV, der die vom System gegen die Umgebung geleistete Verschiebearbeit darstellt. Falls keine sonstige Arbeit über die Systemgrenze geleistet wird, (W+p0 DV=0), lautet der erste Hauptsatz für einen massefesten Bilanzraum bei konstantem Druck also DH=Q.

(6)

Für offene Bilanzräume, d. h. solche, über deren Grenzen Masse, M, zu oder abströmen kann, wird die Energie des Inhalts zusätzlich durch die mit diesen Zu- und Abströmen verbundenen Energieinhalte geändert. Mit jedem _ ist ein Enthalzu- oder abflieûenden Massenstrom, M, _ piestrom, H, verknüpft, der sich als Produkt aus dem Massenstrom und der massenspezifischen Enthalpie, h, darstellen läût. _ M _ h. H=

(7)

Für ein differentielles Zeitelement dt lautet der erste Hauptsatz für offene Systeme mit volumkonstanter Bilanzraumgrenze (und vernachlässigbarer ¾nderung von potentieller und kinetischer Energie)
dH _ ‡ H_ ˆ Q_ ‡ W zu dt

ab

‡V

dp : dt

…8†

Der Index ¹zuÐabª an dem Term, der Wärmeströme, Leistungen (=Arbeitsströme) und Enthalpieströme enthält, soll andeuten, daû hier alle dem System zugeführten Energieströme positiv, alle abgeführten Ströme negativ zu addieren sind. Bei konstantem Druck wird der letzte Term auf der rechten Seite zu Null. Die Enthalpie kann stets als Produkt aus Masse, M=V r, und spezifischer Enthalpie, h, geschrieben werden. dH=d(M h)=V r dh+h d(V r).

(9)

Die spezifische Enthalpie, h, hängt von Temperatur, Druck und Zusammensetzung ab. Für konstante Zusammensetzung, d. h. ohne stoffliche Veränderung im Bilanzraum, gilt r dh=r cp dT+(1Ðb T) dp.

(10)

Darin ist b der thermische Ausdehnungskoeffizient   1 ¶r , …11† bˆ r ¶T p der für ein ideales Gas bideal, g=1/T wird, so daû generell für ideale Gase und speziell für konstanten Druck der zweite Term auf der rechten Seite von Gl. (9) verschwindet. Gleichung (7) wird für volumfeste Bilanzgrenzen mit Gl. (8) und Gl. (9)
dT 1 _ dp dr _ ‡ H_ ‡b T ˆ Q‡W h : …12† rcp zu ab dt V dt dt

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Die zugehörige Massenbilanz am festen Volumen V lautet dr _ V …13† ˆ Mzu ab : dt Der letzte Term in Gl. (12), (Ðh dr/dt), ist also gleich Null, wenn zu- und abflieûende Massenströme die gleichen Beträge haben. Bei konstantem Druck (dp/dt=0) kann in diesem Fall die zeitliche ¾nderung der Temperatur eines offenen Systems auf die Differenz der zu- und abgeführten Summen von Wärme-, Arbeits- und Enthalpieströmen zurückgeführt werden. In den Bilanzgln. (8) bis (13) sind die nicht (mit ¹zuÐabª) indizierten Gröûen (H, h, r cp , T, b, p, r) jeweils als Mittelwerte dieser Zustandsgröûen über das betrachtete Bilanzvolumen V zu Ç , W, _ H, _ M) _ treten dagegen nur verstehen. Die Ströme (Q an den Rändern, d. h. an der Oberfläche des Bilanzvolumens V, auf. Neben den hier dargestellten Bilanzgleichungen für die Energie (1. Hauptsatz) und für die Masse (Massenerhaltung, Kontinuitätsgleichung) benötigt man zur Beschreibung der Strömungsvorgänge zusätzlich Impulsbilanzen. Die geeignete Wahl des Bilanzraumes hängt von der Art des zu lösenden Problems ab. Generell sollte der Bilanzraum so groû wie möglich und nur so klein wie nötig gewählt werden. Wenn Aussagen über lokale Verteilungen von Zustandsgröûen gemacht werden sollen, dann muû man notwendigerweise differentielle Volumenelemente dV als Bilanzräume wählen. Dabei kann ein solches Volumenelement in einer, in zwei oder in drei räumlichen Koordinatenrichtungen differentiell gewählt werden. Man spricht dann von 1-D-, 2-D- oder 3-D-Modellierung des betrachteten Vorgangs. Die differentiellen Formen der Bilanzgleichungen für Masse, Impuls und Energie findet man in vielen Lehrund Handbüchern der Strömungsmechanik sowie der Wärme- und Stoffübertragung. Auch in einzelnen Abschnitten des VDI-Wärmeatlas werden, soweit erforderlich, spezielle Formen dieser differentiellen Bilanzgleichungen angegeben. 1.2 Kinetik der Wärmeübertragung Mit dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik, Gln. (1), (5), (8) und (12), ist zwar gesagt, wie Wärme (und Arbeit) mit Energieänderungen des Systems zusammenhängen, es ist aber noch nichts darüber ausgesagt, wie die Wärme auf die Körper übertragen wird, deren Energie sie ändert. Grundsätzlich kann Wärme auf zwei Arten übertragen werden: durch Kontakt und durch Strahlung. 1.2.1 Wärmeübertragung durch Kontakt Die Berechnung der Wärmeübertragung durch Kontakt geschieht mit Hilfe des Grundgesetzes der Wärmeleitung nach Fourier [1]: q_ ˆ l

¶T : ¶s

…14†

Ç /dA, d. h., der _ Hierin ist q_ die Wärmestromdichte, q=dQ auf die Durchtrittsfläche A bezogene lokale Wärme-

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strom; l ist die Wärmeleitfähigkeit des betreffenden Stoffes und s eine Ortskoordinate, die normal (d. h. senkrecht) zur Durchtrittsfläche A gewählt wird. Die lokale Wärmestromdichte, eine vektorielle Gröûe, ist demnach dem (negativen) lokalen Gradienten des Temperaturfeldes direkt proportional.

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1.2.2 Wärmeübertragung durch Strahlung Die Berechnung der Wärmeübertragung durch Strahlung einer ¹grauenª Oberfläche geschieht mit Hilfe des Stefan-Boltzmann-Gesetzes, das Stefan 1879 aus damals bekannten Versuchsdaten ermittelt und Boltzmann fünf Jahre später [2] theoretisch begründet hat. Boltzmann hat in seiner sehr einfachen und klaren Begründung den nach Maxwell bekannten Zusammenhang zwischen dem Strahlungsdruck prad und der inneren Energie eines evakuierten Hohlraums pro Volumeneinheit, urad=dUrad/ dV, prad=urad/3, mit den Hauptsätzen der Thermodynamik verknüpft und daraus die Proportionalität dieser Energie (und damit auch der ausgestrahlten Leistung) zur vierten Potenz der absoluten Temperatur gefunden. Noch in der zweiten Auflage seiner ¹Principien der Wärmelehreª [3] im Jahre 1900 hat Mach diese Arbeiten seiner Zeitgenossen Stefan und Boltzmann ignoriert und das ältere, von Dulong und Petit 1817 empirisch gefundene Gesetz mitgeteilt, wonach die Strahlungsleistung exponentiell mit der Temperatur ansteigen sollte. Erst die Herleitung des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspektrum durch Planck [4] im Dezember 1900, die den Beginn der modernen Physik (Quantentheorie) markiert, hat dem Stefan-Boltzmann-Gesetz zum Durchbruch verholfen. Aus der Integration des Planckschen Strahlungsgesetzes über alle Wellenlängen folgt ebenfalls das Stefan-Boltzmann-Gesetz _ E=e sT 4 .

(15)

Hierin ist e das Emissionsverhältnis der Oberfläche; e ist kleiner, höchstens gleich Eins und von der Natur der Oberfläche abhängig. s ist die Stefan-Boltzmann-Konstante; sie hat den Wert s=5,67 ´ 10 ±8 W m ±2 K ±4. T ist die absolute Temperatur und E_ die emittierte flächenbezogene Strahlungsleistung. Die Konstante s, die zuvor nur empirisch zu ermitteln war, ist durch das Plancksche Gesetz mit dem dabei erstmals postulierten Wirkungsquantum h und zwei anderen Naturkonstanten, der Vakuum-Lichtgeschwindigkeit und der Boltzmann-Konstanten, verknüpft. Der Wärmestrom, der durch Strahlung zwischen zwei grauen Oberflächen der Temperaturen T1 und T2 durch den leeren Raum oder auch durch einen gasgefüllten Raum übertragen wird ± insbesondere die ein- und zweiatomigen Gase sind für die Strahlung weitgehend durchlässig ± berechnet sich daraus zu Q_ 12 ˆ c12 …e1 ; e2 ; j12 † A1 …T14

T24 †:

…16†

Dabei ist c12 von den Emissionsverhältnissen e1 , e2 der beiden Oberflächen und von der geometrischen Lage der Flächen zueinander (Winkelverhältnis j12) abhängig (s. Abschn. Ka). Für j12=1 (d. h., die gesamte von Fläche 1 ausgehende Strahlung trifft auf Fläche 2) und

A3

e1=e2=1 (¹schwarze Strahlerª) wird c12=s. Allgemein ist c12 kleiner als die Stefan-Boltzmann-Konstante s. 1.3 Gröûenordnung von Wärmeströmen Die Wärmeströme, die für das menschliche Leben auf der Erde von Bedeutung sind, liegen in einem sehr weiten Bereich unterschiedlichster Gröûenordnungen. An der oberen Grenze dieses Bereiches liegt die von der Sonne auf die Erde eingestrahlte Leistung von Q_ zu; Erde ˆ E_ 0 p rE2 ,

…17†

für welche man mit der Solarkonstanten E_ 0=1367 W/m2 und mit dem mittleren Erdradius rE=6370 km den Wert Ç zu, Erde=1,7 ´ 1017 W Q berechnet. Die Solarkonstante, die nach Messungen den Wert E_ 0=1367 W/m (18) hat, ist die Wärmestromdichte der Sonnenstrahlung auf einer Kugeloberfläche A=4 p r2 mit dem mittleren Erdbahnradius r=rB=149,6 Gm (ein Gigameter=109 m=106 km) um den Sonnenmittelpunkt. Multipliziert man E_ 0 mit dieser Fläche, so erhält man die insgesamt von der Sonne in den Raum abgestrahlte Leistung Q_ ab, Sonne ˆ E_ 0 4 p rB2 ,

…19†

die mit 3,8 ´ 1026 W mehr als 2 Milliarden mal gröûer als der auf die Erde eingestrahlte Teil ist. Auf der Sonnenoberfläche mit dem Radius rS=0,696 Gm ist die Wärmestromdichte im Verhältnis (rB/rS)2, d. h. 46 200mal gröûer als die Solarkonstante; sie beträgt E_ S=63,2 ´ 106 W/m2. Aus dem Stefan-Boltzmann-Gesetz, Gl. (15), errechnet sich damit die Oberflächentemperatur der Sonne als ¹schwarzem Strahlerª (e=1) zu TS=5777 K. Solche Überlegungen wurden offenbar in ähnlicher Form schon um 1885 angestellt (man vergleiche dazu den Aufsatz von Cheng und Fujii [5] zur Geschichte der Wärmeübertragung sowie die erst kürzlich wiederentdeckte Antrittsvorlesung von Hertz, die er als 28jähriger Physikprofessor am 20. April 1885 in Karlsruhe zum Thema ¹Der Energiehaushalt der Erdeª gehalten hat [6]). Aus einer Energiebilanz um einen ¹schwarzenª Planeten, der seine Bahn mit dem Radius rB um eine ¹schwarzeª Sonne mit der Oberflächentemperatur TS und dem Radius rS zieht, läût sich mit dem Stefan-BoltzmannGesetz ein sehr einfacher Zusammenhang zwischen der mittleren Temperatur des Planeten TP (im Beharrungszustand, d. h. bei dT/dt=0) und der Oberflächentemperatur der Sonne herleiten: r rS TP ˆ T S : …20† 2 rB

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Einführung in die Lehre von der Wärmeübertragung

Mit den vorstehend verwendeten Werten rS=0,696 Gm, rB=149,6 Gm und TS=5777 K erhält man die Temperatur einer fiktiven schwarzen Erde (oder eines schwarzen Sonnensatelliten auf Erdbahn) von TP=279 K (  6 C). Die Temperatur TP nach Gl. (20) hängt offensichtlich nicht von der Gröûe des Planeten ab. Da die reale Erde keineswegs ein scharzer Strahler ist, erfordert eine sinnvolle Bilanzierung eine wesentlich komplexere Modellierung, die die wechselseitige Beeinflussung der zu- und abgeführten Energieströme durch Reflektion, Absorption und Emission auf Wasser, Erdboden, Eisschichten, die Atmosphäre und darin v. a. die Wolken berücksichtigen muû. Die Energiebilanz des menschlichen Körpers zeigt, daû die mit der Nahrung aufgenommene Energie von etwa 2000 kcal/Tag (4187 J/kcal, 86 400 s/Tag) bei einem durchschnittlichen Erwachsenen zu einer Wärmeabgabe im Ruhezustand von rund Ç ab, Mensch, Ruhe  100 W Q

(21)

führen muû. Dieser Energiestrom setzt sich je nach Umgebungszustand aus unterschiedlichen Anteilen von Strahlung, Kontakt mit der Umgebung (Konvektion) und Verdunstung zusammen. Der Verdunstungs-Anteil besteht aus den Enthalpieströmen, die mit der Wasserdampfbeladung der Atemluft und dem aus den Schweiûdrüsen verdunstenden Wasser verbunden sind. Bei Umgebungstemperaturen von 37 C und darüber bleibt nur noch dieser letztere Anteil für die Wärmeabgabe übrig. 1.4 Gröûenordnung der wichtigsten Stoffeigenschaften Die wichtigsten Stoffeigenschaften zur Berechnung von Wärmeströmen und Temperaturen aus den Bilanzgleichungen und den Ansätzen für die Kinetik der Wärmeübertragung sind die volumetrische Wärmekapazität r cp (s. Gln. (10) und (12)), die Wärmeleitfähigkeit l (in Gl. (14)) und die Emissionsverhältnisse e der strahlenden Oberflächen (in Gl. (15, 16)).

~ T zur Abschätzung ~=p/R Für ideale Gase gilt mit r p …r cp †g ˆ 3,5 : …23† T Dabei gilt der Wert 3,5 für zweiatomige Gase wie Wasserstoff, Stickstoff oder Sauerstoff. Bei einatomigen Gasen gilt stattdessen der Vorfaktor 2,5. Für mehratomige Gase erhöht sich der Zahlenwert weiter; er wird auch stärker temperaturabhängig. Mit dem Normaldruck p0=105 Pa und der Normtemperatur T0=298,15 K erhält man (Pa=N/m2=J/m3) (r cp)g, 0=1,174 kJ m ±3 K ±1

(24)

Dieser Wert liegt sehr nahe (0,2% zu niedrig) an dem aus der Dichte und der massenspezifischen Wärmekapazität bei 1 bar und 25 C in den Tabellen von Abschn. Dbb zu findenden Wert. Für Flüssigkeiten und für Feststoffe findet man, daû das Produkt r cp viel weniger variiert als die Dichten und die massenspezifischen Wärmekapazitäten für sich. Für Überschlagsrechnungen ist es daher sinnvoll, sich den Bereich (25) 1 MJ m±3 K±1  (r cp)l, s  4 MJ m ±3 K ±1 zu merken. Dabei liegt Wasser mit 4,18 MJ m ±3 K ±1 an der oberen Grenze; einige Metalle liegen ebenso hoch. Organische Stoffe liegen eher im mittleren und unteren Bereich. Wenn man also die Kapazität und die Dichte nicht kennt, dann ist (r cp)l, s  2 MJ m ±3 K ±1 eine sinnvolle erste Schätzung. Es ist wichtig zu wissen, daû die volumetrischen Kapazitäten von Flüssigkeiten und Festkörpern um den Faktor 1000 (MJ gegen kJ) höher liegen als diejenigen der Gase bei Normalbedingungen. Für mehrphasige Systeme, die Gase bei Normalbedingungen enthalten, kann deshalb oft vereinfachend angenommen werden, daû die gesamte Wärmekapazität in den kondensierten Phasen (Flüssigkeit und Feststoff) konzentriert sei. Die Temperatur der Gasphase folgt dann quasistationär dem Temperaturverlauf dieser kondensierten Phasen. 1.4.2 Wärmeleitfähigkeit

1.4.1 Volumetrische Wärmekapazität Die volumetrische Wärmekapazität r cp kann als Zustandsgröûe bei mehrphasigen Systemen einfach volumenanteilig gemittelt werden. Dies ist bei der kinetischen Stoffeigenschaft l nicht möglich. Für überschlägige Rechnungen, die sehr häufig schon über die Frage der Realisierbarkeit eines Prozesses entscheiden können, ist es wichtig, die Gröûenordnung dieser Stoffeigenschaften zu kennen. Das Produkt aus Dichte r und massenspezifischer Wärmekapazität cp kommt in den Energiebilanzen stets nur gemeinsam vor, wenn man die Temperatur als die geeignete Variable zur Beschreibung eines Vorgangs dieser Art verwendet. Dieses Produkt r cp ist das Gleiche, wenn ~ und man statt der Massendichte r die molare Dichte r statt der massenspezifischen Wärmekapazität cp die molare Wärmekapazität ~cp verwendet. r ~cp . rcp=~

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(22)

Wärmeleitfähigkeiten l, die durch das Fouriersche Gesetz definiert werden, hängen sehr stark von der Natur des Stoffes ab (s. auch Seite Dea 1). Für Gase bei Normalbedingungen liegen sie etwa im Bereich 0,015 W K ±1 m ±1  lg, 0  0,15 W K ±1 m ±1. (26) Als typischen Wert für technisch wichtige Gase kann man sich l für Luft bei 1 bar und 80 C und für Wasserdampf bei 140 C im Sattdampfzustand, d. h. bei 3,6 bar, merken: (27) lLuft, 80 C=lSattdampf, 140 C=0,03 W K ±1 m ±1. Niedrigere Werte findet man für gröûere Gasmoleküle wie SO2 und CO2 , deutlich höhere Werte nur für die beiden leichtesten Gase H2 (l25 C=0,18 W K ±1m ±1) und He (l25 C=0,15 W K ±1m ±1). Die Wärmeleitfähigkeiten vieler Flüssigkeiten (ohne flüssige Metalle) liegen im Bereich (28) 0,1 W K ±1m ±1  ll, 0  0,6 W K ±1m ±1.

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Der Wert an der oberen Grenze ist auch der Merkwert für flüssiges Wasser ll, Wasser  0,6 W K ±1m ±1, das demnach 20mal besser leitet als Luft. Viele organische Flüssigkeiten und auch feste Polymere haben Wärmeleitfähigkeiten um 0,1 bis 0,3 W K ±1m ±1. Für viele nichtmetallische Festkörper liegt l im Bereich von etwa ls, Nichtmetall  1 . . . 10 W K ±1m ±1.

(29)

Eis (festes Wasser) hat am Schmelzpunkt eine Wärmeleitfähigkeit von etwa 2 W K ±1m ±1. Bei reinen Metallen liegen die Werte um ein bis zwei Gröûenordnungen höher:

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lCu  400 W K ±1m ±1, lAl  200 W K ±1m ±1, lFe  85 W K ±1m ±1, lCr  95 W K ±1m ±1, lNi  95 W K ±1m ±1, lPb  35 W K ±1m ±1. Legierungen weisen stets kleinere Leitfähigkeiten auf als ihre Komponenten: lStahl, 18Cr8Ni  (15 . . . 20) W K ±1m ±1. 1.4.3 Emissionsverhältnis Emissionsverhältnisse e, die die Minderung der emittierten Strahlung einer realen Festkörperoberfläche gegenüber derjenigen des ¹schwarzen Strahlersª beschreiben, sind Zahlen im Bereich von 0 bis 1 (s. Abschn. Ka). Bei Raumtemperatur liegen die Emissionsverhältnisse vieler Nichtmetalloberflächen (unabhängig von ihrer sichtbaren Farbe) bei eNichtmetall=0,8 . . . 0,95.

(30)

Solche Oberflächen reflektieren nur 5% bis 20% der einfallenden Strahlung und absorbieren 80% bis 95%. Für metallische Oberflächen ist e generell niediger und dabei sehr stark vom Zustand der Oberfläche (hochglanzpoliert, poliert, vorpoliert, oxidiert, stark oxidiert etc.) abhängig. Für walzblankes Aluminium bei 170 C findet man beispielsweise eAl, walzblank=0,05. In diesem Fall ist demnach die Emission von Strahlung auf 5% derjenigen des ¹schwarzen Strahlersª bei gleicher Temperatur reduziert. Die Verkleidung einer Apparatur oder einer Rohrleitung mit Aluminiumfolie kann also zu deutlich verminderten Wärmeverlusten durch Abstrahlung genutzt werden.

A5

durch molekularen Transport übertragen wird, so daû dort das Fouriersche Grundgesetz, Gl. (14), gilt. 2.1 Definition des Wärmeübergangskoeffizienten Der Wärmeübergangskoeffizient a ist definiert durch den linearen Ansatz für die Kinetik der WärmeübertraÇ =a A DT : gung, Q Q_ aˆ : …31† A…TMedium TKontaktfläche † Der Temperaturunterschied TMediumÐTKontaktfläche (allgemein DT ) und in gewissen Grenzen auch die Durchtrittsfläche A können mehr oder weniger willkürlich festgelegt werden. Der Zahlenwert von a hängt von diesen Festlegungen ab. Er ist ein Maû für die Intensität des Ç /AÇ=q) _ wird Wärmestroms; die Wärmestromdichte (Q auf einen treibenden Temperaturunterschied bezogen: _ a=q/DT. Der lineare Ansatz (31) entspricht der experimentellen Erfahrung bei der Wärmeübertragung durch Kontakt. Das Newtonsche Abkühlungsgesetz für die zeitliche ¾nderung der Temperatur eines zuvor erhitzten metallischen Festkörpers im Wind (s. [5]), (32) ÐdT/dt=DT/tc , erfordert eine solche lineare Kinetik. Die Zeitkonstante tc im Newtonschen Abkühlungsgesetz, Gl. (32), ergibt sich aus der Bilanz, Gl. (12), und der linearen Kinetik, Gl. (31), zu tc=M cp/(a A), wenn die Temperatur der Körperoberfläche (Kontaktfläche A) praktisch gleich der mittleren Temperatur des (gut leitenden) Festkörpers der Masse M und der spezifischen Wärmekapazität cp ist. Auch das Fouriersche Grundgesetz der Wärmeleitung, Gl. (14), ist ein (differentieller) linearer Ansatz. In integrierter Form kann man es für einen stationären Zustand, d. h. zeitlich unveränderliche Temperaturen mit T1=T (s1), T2=T (s2), s=(s2Ðs1), auch l Q_ ˆ A…T1 T2 † …33† s schreiben, was für T1 ± T2=DT und a=(l/s) vollständig mit Gl. (31) übereinstimmt. Der Wärmeübergangskoeffizient a ist demnach als Quotient der Wärmeleitfähigkeit l und einer Länge s zu verstehen, die man bei gekrümmten Temperaturprofilen als thermische Grenzschichtdicke bezeichnen kann.

2 Berechnung von Wärmeübergangskoeffizienten

Hat der Körper, auf den Wärme übertragen wird, eine für den Vorgang maûgebende Abmessung von der Länge d, so läût sich der Wärmeübergangskoeffizient in dimensionsloser Form mit dem Fourierschen Grundgesetz der Wärmeleitung, Gl. (14), schreiben:

Befinden sich die Körper, zwischen denen Wärme durch Kontakt übertragen wird, relativ zueinander in Ruhe, so spricht man von ¹Wärmeübertragung durch Leitungª. Befinden sich die Körper, zwischen denen Wärme übertragen wird, relativ zueinander in Bewegung, so spricht man üblicherweise ± wenn auch thermodynamisch nicht ganz korrekt ± von ¹Wärmeübertragung durch Konvektionª. Beide Fälle unterscheiden sich, wie Nuûelt [7] schon 1915 erkannte, nicht grundsätzlich voneinander, da die Wärme an der Kontaktfläche der Körper stets

ad …¶T=¶s†Kontaktfläche ˆ …34† l DT=d a d/l wird als Nuûelt-Zahl Nu bezeichnet. Die Wahl der Länge d ist willkürlich. Die Nuûelt-Zahl Nu=a d/l miût den Wärmeübergangskoeffizienten a in Vielfachen von (l/d), was nach Gl. (33) der Wärmeübergangskoeffizient für die stationäre Wärmeleitung durch eine ruhende Schicht der Leitfähigkeit l und der Dicke d wäre. Da nach Gl. (33) die Gröûe (l/a) als thermische Grenzschichtdicke zu verstehen ist, kann man die Nuûelt-Zahl

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Einführung in die Lehre von der Wärmeübertragung

auch als Verhältnis der (gewählten) charakteristischen Länge d zu dieser Grenzschichtdicke auffassen. Letztere wird i. allg. von der Zeit, vom Strömungszustand des Mediums und von seinen Stoffeigenschaften abhängen. Der Wärmeübergangskoeffizient a ist deshalb keine Stoffeigenschaft, sondern eine bezogene Wärmestromdichte, d. h. eine Gröûe, die von allen Variablen des betrachteten Vorgangs beeinfluût wird. Wärmeübergangskoeffizienten a lassen sich natürlich auch dann definieren, wenn die Kinetik der Wärmeübertragung nicht einem einfachen linearen Gesetz wie in den Gln. (31) und (32) folgt. Sie sind dann zusätzlich vom treibenden Temperaturunterschied selbst abhängig. Dies ist z. B. dann der Fall, wenn das treibende Temperaturgefälle über die temperaturabhängige Dichte eine Strömung erzeugt (freie Konvektion, Kondensation, Verdampfung). Zu Vergleichszwecken kann die Definition a=f (DT) dennoch auch in diesen Fällen durchaus nützlich sein. Die Definition eines Wärmeübergangskoeffizienten für die nichtlineare Kinetik des Wärmetransports durch Strahlung führt beispielsweise zu einer zweckmäûigen linearisierten Form des Stefan-Boltzmann-Gesetzes für den Strahlungsaustausch zwischen zwei grauen Oberflächen (s. Gl. (16)): mit

Q_ 12 ˆ arad A…T1 arad ˆ

oder

T2 †

…35†

c12 …T14 T24 † …T1 T2 †

arad ˆ 4 c12 Tm3



DT 1‡ ST

2 !

2.2 Stationäre Wärmeleitung in ruhenden Medien Für den stationären, d. h. zeitlich unveränderlichen Ç =konst) durch eine ruhende Schicht der Wärmefluû (Q Dicke s gilt Gl. (33), die integrierte Form des Fourierschen Grundgesetzes. Definiert man hierfür einen Wärmeübergangs- oder besser Wärmedurchgangskoeffizienten für stationäre Wärmeleitung as ˆ

Q_ Am …T1 T2 †

(36)

für Überschlagsrechnungen merken. Erhöht man die mittlere absolute Temperatur auf das Vierfache Tm=1200 K (=926,85 C), dann erhält man den 64fachen Wert (43=64) arad(1200 K)  320 W m ±2 K ±1 für den Wärmeübergangskoeffizienten durch Strahlung.

…37†

so folgt unmittelbar as=l/s. Die Durchtrittsfläche wird als geeigneter Mittelwert Am zwischen einer inneren Fläche Ai (an der T=T1 herrscht) und einer äuûeren Fläche Aa(T=T2) definiert, wenn die Schicht zylindrisch oder kugelförmig gekrümmte Oberflächen hat. Aus der entsprechenden Integration des Fourierschen Grundgesetzes für diese Geometrien findet man für Am das logarithmische Mittel von Ai und Aa für Zylinderschalen (z. B. Rohrwände); für Kugelschalen erhält man das geometrische Mittel (s. auch Abschn. Cb). Der Wärmeübergangsoder Wärmedurchgangskoeffizient für die eindimensionale stationäre Wärmeleitung durch eine Schicht der Dicke s hängt demnach nur von der Wärmeleitfähigkeit l der Schicht und von der Schichtdicke (oder dem Leitweg) s ab. Würde man auch für diesen einfachsten Fall eine Nuûelt-Zahl, Nu=a s/l, mit der Schichtdicke s als charakteristischer Länge definieren, so erhielte man als erste ¹Standardgleichungª der Wärmeübertragung Nus=1 (Wärmeleitung, stationär, 1-D).

Der Koeffizient c12 , der von den Emissionsverhältnissen (e1 , e2) und der geometrischen Anordnung (Winkelverhälnis j12) der beiden Oberflächen abhängt, ist stets kleiner als die (höchstens gleich der) Stefan-BoltzmannKonstante (c12  s). Tm=ST/2 ist der arithmetische Mittelwert, DT die Differenz und ST die Summe der beiden absoluten Temperaturen T1 und T2 . In vielen Fällen ist das Quadrat von Differenz durch Summe der absoluten Temperaturen sehr klein gegen Eins. Selbst im Extremfall (wenn die tiefere Temperatur gegen den absoluten Nullpunkt geht) kann dieses Quadrat höchstens den Wert Eins haben. Man kann also die linearisierte Form des Stefan-Boltzmann-Gesetztes in guter Näherung mit einem Wärmeübergangskoeffizienten arad schreiben, der der dritten Potenz der mittleren absoluten Temperatur proportional ist. Bei einer mittleren Temperatur von Tm=300 K (=26,85 C) und (DT/ST)2  1 ist arad(300 K)  6,12 W m ±2 K ±1. Praktisch kann man sich mit c12  0,8 s bei nichtmetallischen Oberflächen arad(300 K)  5 W m ±2 K ±1

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(38)

Daraus berechnet man as=(l/s) Nus . Die Definitionen eines Wärmeübergangskoeffizienten as und einer Nuûelt-Zahl sind hier offensichtlich unnötig. Im Hinblick auf das Verständnis dieser Gröûen als Basis für die folgenden komplizierteren Fälle kann eine solche EinheitsNuûelt-Zahl für die stationäre eindimensionale Wärmeleitung aber sicher eine brauchbare Gedächtnishilfe sein. ¹Standardgleichungenª zur Berechnung von Wärmeübergangskoeffizienten werden häufig ± auch im VDIWärmeatlas ± in der Form Nu=f (P1 , P2 , P3 , . . . )

(39)

dargestellt, wobei die dimensionslosen Kennzahlen Pi Potenzprodukte der physikalischen Einfluûgröûen (Längen, Zeiten, Geschwindigkeiten, Stoffwerte etc.) enthalten, von denen der Wärmeübergangskoeffizient für den jeweils betrachteten Standardfall abhängt. Die eindimensionale stationäre Wärmeleitung hat für die Kugelschale einen interessanten, auch praktisch wichtigen Grenzfall. Nach Gl. (37) gilt mit dem geometrischen Mittel von Innen- und Auûenfläche Am=(Ai Aa)1/2= 4 p ri ra für den stationären Wärmefluû durch die Kugelschale der Dicke s=raÐri Q_ ˆ

l ra

ri

4 p ri ra DT

…40†

Läût man den Auûenradius ra der Schale gegen unendlich gehen, während der Innenradius ri=r die Oberfläche (4 p r2) einer kleinen Kugel konstanter Oberflächen-

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temperatur To bezeichnet, erhält man la Q_ min ˆ 4 p r 2 …To r

Ta †:

…41†

Die Leitfähigkeit der (unendlich dicken) Kugelschale wird jetzt zweckmäûigerweise mit ¹aª indiziert, wie die Temperatur am Auûenrand, d. h. in hinreichend groûer Entfernung von der Oberfläche der kleinen Kugel. Für dieses Problem ist die Definition eines Wärmeübergangskoeffizienten mit der mittleren Fläche Am natürlich nicht mehr sinnvoll, da mit ra auch Am ! 1 geht. Hier bietet es sich an, die kleine Oberfläche 4 p r2 als Bezugsfläche zu wählen. Dann erkennt man sofort aus Gl. (41), daû ein damit definierter Wärmeübergangskoeffizient amin=la/r

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Numin=2

(43)

hat. Diese zweite Standardgleichung hat eine praktische Bedeutung als Grenzfall für den äuûeren Wärmeübergang von kleinen Kugeln, die von einem ausgedehnten Fluid überströmt werden (überströmte Einzelkörper (s. auch Abschn. Gj)), wenn die Reynolds-Zahl Re=w d/n als die maûgebliche Kennzahl für die Strömung (w Relativgeschwindigkeit, n kinematische Viskosität), die den Kugeldurchmesser d in Vielfachen der ¹Längeª n/w miût, gegen Null geht. Für die stationäre zweidimensionale Wärmeleitung in ruhenden Körpern wird nach Langmuir (zitiert in [8]) ein Formfaktor Sl definiert, der den konstanten Wärmestrom zwischen zwei Isothermen T1 und T2 (Linien in der Zeichenebene), bezogen auf die Länge l einer zylindrischen Anordnung senkrecht zur Zeichenebene, in dimensionsloser Form darstellt: Q_ l l…T1

bildung eine analytische Lösung für diese Problemklasse (Formfaktoren für reguläre konzentrische n-Eck-Rohre) zu finden. Für n ! 1 erhält man daraus wieder Gl. (45). Die heute verfügbaren Computer-Algebra-Programme (z. B. MAPLE) erleichtern diese analytische Arbeit, v. a. auch die Auswertung von analytischen Lösungen, beträchtlich. Für die stationäre Wärmeleitung in ruhenden Körpern gilt generell, daû die Nuûelt-Zahlen (oder auch die Formfaktoren) nur von der geometrischen Anordnung abhängige Konstanten sind. Wärmeübergangs- oder -durchgangskoeffizienten sind folglich der Wärmeleitfähigkeit direkt und der charakteristischen Abmessung umgekehrt proportional.

(42)

und eine mit dem Durchmesser d=2 r der kleinen Kugel gebildete Nuûeltzahl Nu=a d/l den konstanten Zahlenwert

Sl ˆ

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T2 †

…44†

Ç /DT=a A kann man also auch Sl=a(A/l)/l schreiMit Q ben, was nichts anderes als eine Nuûelt-Zahl mit der charakteristischen Länge A/l ist. Tabellen mit Formeln für solche Formfaktoren findet man in Abschn. Ea. Für den (eindimensionalen) Fall der Wärmeleitung zwischen zwei konzentrischen Kreiszylinderflächen, das Kreisrohr, findet man aus Gl. (37) mit dem logarithmischen Mittel der Innen- und Auûenflächen Am=2 p l(ra ± ri)/ln(ra/ri) sowie aus Gl. (44) den Formfaktor Sl=2 p/ln(ra/ri).

(45)

Exakt den gleichen Sachverhalt kann man in diesem Fall auch durch die Nuûelt-Zahl Nus=1, Gl. (38), darstellen. Für den Fall, daû man das Kreisrohr durch ein Rohr von Polygonquerschnitt (gleichseitiges Dreieck, Quadrat, Fünfeck, Sechseck, ..., reguläres n-Eck) ersetzt, war man bisher für jeden Einzelfall auf numerische Berechnung oder Abschätzung angewiesen. Erst kürzlich gelang es Nickolay et al. [8] mit der Methode der konformen Ab-

2.3 Instationäre Wärmeleitung in ruhenden Medien Für die instationäre Wärmeleitung in ruhenden Körpern hängt der Temperaturverlauf im Innern von Ort und Zeit ab; damit ist auch der Wärmefluû über die Oberfläche nicht mehr zeitlich konstant. Definiert man nach Schlünder [9] (s. dazu auch Cheng und Fujii [5]) den Momentanwert ai, t und integralen zeitlichen Mittelwert ai eines inneren Wärmeübergangskoeffizienten für die instationäre Wärmeleitung _ O q…t† a i, t ˆ  T…t† TO …t† ai ˆ

1 „t ai, t …t 0†dt 0 t0

Momentanwert),

(46)

(integraler zeitlicher Mittelwert), (47)

so können diese im Prinzip exakt aus der Kenntnis des Temperaturfeldes berechnet werden. Der Index ¹Oª steht in Gl. (46) für die Oberfläche. Diese inneren Wärmeübergangskoeffizienten für die instationäre Wärmeleitung sind naturgemäû nicht nur von der geometrischen Anordnung (charakteristische Länge X) und der Leitfähigkeit l, sondern auch von der Zeit t und damit zusätzlich auch von der volumetrischen Wärmekapazität r cp abhängig (s. auch Abschn. Ec) ai=f (X, l, r cp , t, . . . ). Dabei zeigt sich, daû man für kurze Zeiten (z. B. kurz nach dem Eintauchen eines heiûen Festkörpers in eine kältere Umgebung konstanter Fluidtemperatur) asymptotische Lösungen für Nui=ai X/l findet, die für konstante Oberflächentemperatur, d. h. für einen äuûeren Wärmeübergangskoeffizienten (Oberfläche/Fluid) aa  (li/X), Bi ˆ

aa X , Bi ! 1 li

…48†

(oder Biot-Zahl gegen unendlich), als Momentan- bzw. Mittelwerte 1 2 Nui, t, 0 ˆ p bzw: Nui, 0 ˆ p …49† p Fo p Fo

A

A8

Einführung in die Lehre von der Wärmeübertragung

nur von der dimensionslosen Zeit (Fourier-Zahl) Fo abhängen lt at ˆ , …50† Fo ˆ r cp X 2 X 2 in der man die kombinierte Stoffeigenschaft l/(r cp) auch als Temperaturleitfähigkeit a abkürzt. Nach Gl. (49) ist der Wärmeübergangskoeffizient für den Beginn eines plötzlichen Abkühl- oder Erwärmungsvorgangs formal zunächst unendlich groû und nimmt umgekehrt proportional zur Wurzel aus der Zeit ab. In diesem asymptotischen Grenzfall spielt die charakteristische Länge X noch keine Rolle. Schreibt man Gl. (49) in der Form r p l r cp , …51† Nui, t, 0 p Fo ˆ 1 oder ai, t, 0 ˆ pt so erkennt man leicht, daû sich die Länge X herauskürzt. Im anderen Grenzfall (lange Zeiten) ändern sich die Temperaturverläufe im Innern geometrisch ähnlich an jeder Stelle exponentiell abklingend mit der Zeit. Zähler und Nenner in Gl. (46) folgen dann demselben Zeitgesetz, der Quotient ist konstant. Nui, 1=konst.

(52)

Der Zahlenwert der Konstanten hängt von der Körperform (z. B. Platte, Zylinder, Kugel) ab und auch von der gewählten Randbedingung. Für Bi ! 1 ergeben sich die Werte Nui, 1=2,467 (Platte), Nui, 1=2,892 (Zylinder), Nui, 1=3,290 (Kugel). Für eine grobe (nullte) Näherung kann man die Zeitabhängigkeit des inneren Wärmeübergangskoeffizienten vernachlässigen und mit einem konstanten Mittelwert rechnen [10]: …0† Nui, X  2 ‡ a v …nullte Näherung†:

…53†

Darin ist av*=A X/V, und man erhält mit der charakteristischen Länge X als halber Dicke einer Platte (av*=1), Radius eines Zylinders (av*=2) oder einer Kugel (av*=3) die Werte

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ai  3(li/X)

für die Platte der Dicke 2 X,

ai  4(li/R)

für den Zylinder des Durchmessers 2 R,

ai  5(li/R)

für die Kugel des Durchmessers 2 R.

Diese einfachste Näherung ist insbesondere für kleine Biot-Zahlen (Bi 2

1 ‡ exp … 2 NTU1 † 4 …1 ‡ NTU1 †

1 R1

gˆ

‡ …e0,5 NTU …1

…2 R1 † …2 ‡ R1 exp ‰ NTU1 …1 ‡ R1 =2†Š† R1 …2 ‡ R1 † …2 R1 exp ‰ NTU1 …1 R1 =2†Š†

1 R1 ek NTU1 ‡ 1 ˆ 1 ‡ ‡ k k NTU 1 P1 e 2 1 q x ˆ 0,5 R21 ‡ 4 P1 ˆ

1

…eNTU1 …0,5 R1 1† 1† …e0,5 R1 NTU1 ‡ 1† 1† …eNTU1 …0,5 R1 1† ‡ e0,5 R1 NTU1 † ‡ …R1 e0,5 R1 NTU1 ‡ 1† …eNTU1 …0,5 R1

R1 6ˆ 2

…0,5 R1

1†

…1 R1 1

2 k e0,5 NTU1 …1‡k† k 1 ‡ …k ‡ 1† ek NTU1

b†2 …1 g† 2 b2 …1 g† exp‰ NTU1 …2 ‡ R1 †=4Š 1 ‡ 2=R1

1 exp‰ NTU1 …2 R1 †=2Š 2=R1 exp‰ NTU1 …2 R1 †=2Š

…1 ‡ 2 NTU1 † eNTU1 e NTU1 2 ‡ …3 ‡ 4 NTU1 † eNTU1 e NTU1

 1

k e0,5 NTU1 …k 1† 1 ek NTU1



1 R1 ˆ1‡ ‡k P1 1 2

P1 1 ˆ

8 < :

2 ‡ R1 ; R1  2 2 ‡ R1 ‡ R21 1=R1 ; R1 > 2

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C

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Berechnung von Wärmeübertragern

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Berechnung von Wärmeübertragern

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Rohrbündelwärmeübertrager mit ungerader Zahl innerer Durchgänge können näherungsweise mit den Gleichungen für den 1,3-RWÜ mit zwei gleich groûen Gegenstromdurchgängen berechnet werden, wenn das NTUVerhältnis e mit der Summe der Flächen aller Gleichstromdurchgänge gebildet wird (z. B. e=3/7 für insgesamt sieben Durchgänge gleicher Fläche, davon vier im Gegenstrom). Bei mehreren inneren Durchgängen kann, wie schon erwähnt, der erste innere Durchgang im Gegenstrom (Schaltung I) oder im Gleichstrom (Schaltung II) zum Auûenstrom geschaltet sein. Bei ungerader Zahl innerer Durchgänge ist immer Schaltung I günstiger, weil die Zahl der Gegenstromdurchgänge überwiegt. Bei gerader Zahl innerer Durchgänge mit gleich groûen Flächen ergibt die Rechnung mit konstanten Wärmedurchgangskoeffizienten, daû beide Schaltungsvarianten gleichwertig sind. Eine genauere Rechnung mit veränderlichen Wärmedurchgangskoeffizienten zeigt jedoch, daû die Schaltung günstiger ist, bei der die Wärmedurchgangskoeffizienten für die Gegenstromdurchgänge gröûer sind als für die Gleichstromdurchgänge [8; 9]. Daraus läût sich bei gerader Zahl von inneren Durchgängen folgende Regel ableiten: Bei Erwärmung einer Flüssigkeit in den Rohren sollte der erste innere Durchgang im Gleichstrom (Schaltung II) und bei Abkühlung im Gegenstrom (Schaltung I) zum Auûenstrom geschaltet sein. Bei Gasen in den Rohren gilt die umgekehrte Regel. Zur Erzielung gröûerer Temperaturänderungen können mehrere identische 1, n-RWÜ in Serie geschaltet werden (m, (m
n)-RWÜ). Die Berechnung erfolgt nach der für Gegenstromschaltung gleicher Einzelapparate gültigen Koppelungsgleichung (46) bzw. (47) in Abschn. 4.1. Für den sehr häufig eingesetzten m, 2 m-RWÜ (Koppelung von m 1,2-RWÜ) sind in Bild 28 und 29 die Diagramme für 2 und 4 äuûere Durchgänge dargestellt. Die in diesem Abschnitt mitgeteilten Gleichungen und Diagramme gelten strenggenommen nur bei fehlenden oder unendlich vielen mantelseitigen Umlenkblechen und in guter Näherung bei ausreichend groûer Anzahl von Umlenkblechen. Nach Gardner und Taborek [19] sind dies für Gegenstrom mindestens 10 und für den 1,2-RWÜ mindestens 5 Umlenkbleche. Bei kleiner Zahl von Umlenkblechen ist zu berücksichtigen, daû zwischen zwei Umlenkblechen die beiden Ströme im Kreuzstrom geführt werden. Dies läût sich mit der in Abschn. 2.1 beschriebenen Zellenmethode erreichen, wobei jede Zelle nach den Gleichungen für Kreuzstrom mit 1 Rohrreihe (Abschn. 3.4) und quervermischtem Mantelstrom 1 (entspricht dem Rohrstrom 1 nach der für Kreuzstromwärmeübertrager vereinbarten Indizierung) berechnet wird. Hinsichtlich der Lage der Ein- und Austrittsstutzen zueinander muû man bei endlicher Zahl von Umlenkblechen zwei Schaltungsvarianten unterscheiden (Bild 5). Bei Schaltung A haben die beieinanderliegenden Eintritts- bzw. Austrittsstutzen eine gewisse Gleichstromwirkung, während bei Schaltung B durch die beieinan-

Ca 9

derliegenden Ein- und Austrittsstutzen eine gewisse Gegenstromwirkung erzielt wird. Rechnungen mit der Zellenmethode zeigen [2; 3], daû Schaltung B der Schaltung A grundsätzlich überlegen und deshalb vorzuziehen ist. Die Überlegenheit ist allerdings nur schwach ausgeprägt.

Bild 5. Schaltmöglichkeiten bei Rohrbündelwärmeübertragern mit zwei inneren und einem äuûeren Durchgang mit mantelseitigen Umlenkblechen. Schaltung A: Die benachbarten Stutzen der Stoffströme 1 und 2 sind beide Eintrittsstutzen oder Austrittsstutzen. Schaltung B: Die benachbarten Stutzen der Stoffströme 1 und 2 sind ein Eintrittsstutzen und ein Austrittsstutzen

3.4 Kreuzstromwärmeübertrager Für asymmetrische Stromführungen wird hier der Index 1 dem Rohrstrom und der Index 2 dem Auûenstrom zugeordnet. Während bei den Rohrbündelwärmeübertragern (Abschn. 3.3) für alle Stromführungen in jedem Durchgang vollständige Vermischung quer zur Strömungsrichtung angenommen wird, ist bei den Kreuzstromwärmeübertragern auch der Grenzfall eines überhaupt nicht quervermischten Stromes von Bedeutung. Dadurch ergeben sich drei grundlegende Kreuzstromführungen bei jeweils einem Durchgang auf beiden Seiten: ± Beide Ströme nicht quervermischt (Reiner Kreuzstrom, Bild 30). ± Strom 1 (Rohrstrom) quervermischt und Strom 2 (Auûenstrom) nicht quervermischt (Kreuzstrom mit einer Rohrreihe, Bild 31). ± Beide Ströme quervermischt (beidseitig quervermischter Kreuzstrom, Bild 32). Die Gleichungen für diese Stromführungen sind in Tabelle 6 angegeben. Da durch Quervermischung (in einem Durchgang) die thermische Leistung erniedrigt wird, liefert die Rechnung mit vollständiger Quervermischung Ergebnisse auf der sicheren Seite. Hinsichtlich der Quervermischung auf der Rohrseite und der thermischen Leistung liegen die Kreuzstromführungen für n Rohrreihen (n=2, 3, . . .) und einem Durchgang zwischen dem Kreuzstrom mit einer Rohrreihe und dem reinen Kreuzstrom (Bild 33 bis Bild 35 sowie Gleichung in Tabelle 6). Bei Kreuzstromwärmeübertragern mit mehreren Durchgängen ist die thermische Leistung neben dem Grad der Quervermischung in jedem Durchgang auch von der Stromführung beider Fluide über den gesamten Apparat (Gegen- oder Gleichstrom) und vom Grad der Vermischung zwischen den Durchgängen abhängig. Ist der Auûenstrom nicht quervermischt, dann hängt die thermi-

C

Ca 10

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Berechnung von Wärmeübertragern

Tabelle 6. Gleichungen für Kreuzstromwärmeübertrager Reiner Kreuzstrom [20; 21] i=1, 2 Kreuzstrom mit einer Rohrreihe [22]

C

Gleichung

Grenzkurve

1 X 1 Ri NTUi mˆ0

Pi ˆ

P1 ˆ 1

Kreuzstrom mit n Rohrreihen und einem Durchgang 1)

1 ˆ Pi 1

e

NTUi

1 ‡ e NTUi 1

P1 ˆ 1

n 1  X

nB

e

m X 1 NTUji j! jˆ0

Ri NTUi

 j …nj n

1

jˆ0

aˆe Kreuzgegenstrom mit zwei Rohrreihen und zwei Durchgängen, gegensinnig [23] Kreuzgegenstrom mit drei Rohrreihen und drei Durchgängen, gegensinnig [23] Kreuzgegenstrom mit vier Rohrreihen und vier Durchgängen, gegensinnig [24] Kreuzgegenstrom mit vier Rohrreihen und zwei Durchgängen, gegensinnig [24]

mit d ˆ 1 1 1

P1

mit d ˆ 1 1 1

P1

ˆ

1 1

P1

ˆ

1 1

P1

ˆ eB

a nj 1 †

P1 1 ˆ 1

e

P1 1 ˆ 1

2 1 ‡ e2=R1

j a2 vj

1

 4

d‡

d 4



d2 R1



 d ed=R1 2

1

d 2



2d R1

1

 1

d 2

   2 d2 d d2 ‡ ‡d 1 …1 2 8 R1  2 2 d 1‡ R1

n 1 Y



 e2d=R1 ‡ 1

P1 ˆ 1

 d 3 4d=R1 e 2

1

e4 d=R1 † ‡ e4 d=R1 1

dj

1

jˆ0

i X mj

R1 B 2



n R1

j



2 R1

3

4



e1=R1 ‡ e3=R1

 8 ˆ3‡4 1 P1 1

1 R1



e2=R1 ‡ e4=R1

1 ˆ P1 1

1 2 R1

 3‡

 2 5 ‡ …1 e4=R1 † ‡ e4=R1 R1 8  2 1 1‡ R1

d1 1 ˆ e1=R1 di 1 ˆ d1 1

1

R1 NTU1 =n

; B ˆ …1

n 1 Y 1 ˆ e1=R1 dj1 P11 jˆ0

mit d0 1 ˆ 1

a mj 1 ; i ˆ 2, 3, 4, ::: iQ1 dk

ˆ 0; m0 ˆ 1
1  mj‡1 ˆ R1 B2 ‡ 2 j a ‡ a mj j‡1

1

j n

a†=R1

kˆi j‡1

aˆe

 n 1 X 1 1 j! jˆ0

n=R1

R1 NTU1 =4

i 2

m

1 1 ‡ Ri

 ; j ˆ 0, 1, 2, . . .

d 2 d=R1 e 2

mit d0 ˆ 1; d1 ˆ eB di ˆ d1

1=R1

R1 NTU1 =4

1 3 d 2 R1

e

e



  d d2 ‡d 1 ‡ 2 4

1 e

1; Ri  1 1=Ri ; Ri > 1

R1 NTU1 =3



mit d ˆ 1

 Pi 1 ˆ

Pi1 ˆ

2   d e3 d=R1 ‡ d 1 2

e d 2

m X 1 …Ri NTUi †j j! jˆ0

R1 NTU1 =2

e

 ˆ 1

mit d ˆ 1 Kreuzgegenstrom mit n Rohrreihen und n Durchgängen, gleichsinnig 1)

; B ˆ …1

 1 d ˆ ‡ 1 1 P1 2

Ri NTUi

1 NTUi

1

R1 NTU1 =n

e

P1 1 ˆ 1

ˆ 0; v0 ˆ 1
1  vj‡1 ˆ n R1 B2 ‡ 2 j a ‡ a v j j‡1 mit v

1

#)

P1 †Š

Ri e

#"

1†=R1 Š

1 ln‰1 ‡ R1 ln…1 R1

NTU1 ˆ Beidseitig quervermischter Kreuzstrom [22] i=1, 2

1 Ri NTU1

exp ‰…e

oder

("

j a2 mj

1

 ; j ˆ 0, 1, 2, . . .

a†=R1

1=R1 i X jˆ2

1 j! Rj1

iQ1 kˆi j‡1

dk 1

i ˆ 2, 3, 4, . . .

) Diese Gleichungen wurden von Herrn Dr.-Ing. habil. T. Bes, Institut für Thermodynamik, Universität der Bundeswehr Hamburg, in einer bisher nicht veröffentlichten Arbeit hergeleitet.

sche Leistung auûerdem davon ab, ob der Rohrstrom zwischen den Durchgängen nur umgelenkt wird (gegensinnige Stromführung, vgl. z. B. Schema in Bild 36) oder zusätzlich auf die andere Seite zurückgeführt wird (gleichsinnige Stromführung). Dadurch ergeben sich sehr viele mögliche Stromführungen, von denen aber nur wenige praktische Bedeutung haben. Bei ausreichender Vermischung beider Ströme zwischen allen Durchgängen sind die Koppelungsgleichungen für Gegenstrombzw. Gleichstromschaltung nach Abschn. 4.1 zu verwenden. Für den mit Rohrbündelapparaten rechteckiger Querschnittsform einfach zu realisierenden gegensinnigen Kreuzgegenstrom mit unvermischtem Strom 2 sind in Bild 36 bis Bild 41 Diagramme dargestellt. Die Gleichungen für die Stromführungen mit bis zu vier Durchgängen und vollständig quervermischtem Strom 1 (eine Rohrreihe je Durchgang, Bild 36 und Bild 37) sowie für

die Stromführung mit zwei Durchgängen und zwei Rohrreihen je Durchgang (Bild 39) sind in Tabelle 6 enthalten. Das Diagramm für sechs Rohrreihen und sechs Durchgänge (Bild 38) wurde nach einer von Nicole [24] angegebenen Gleichung berechnet. Die Diagramme für sehr groûe Rohrreihenzahl je Durchgang (jeder Durchgang wie reiner Kreuzstrom, Bild 40 und Bild 41) wurden numerisch mit einem Differenzenverfahren berechnet, wobei jeder Durchgang in 40 mal 40 Zellen unterteilt wurde. Gegensinnige Kreuzgegenstromapparate mit vier oder mehr Durchgängen und einer Rohrreihe je Durchgang lassen sich auch nach folgender Näherungsgleichung berechnen [25]:   NTU1 p R1 3 sinh n n   , …32† p
Fˆ NTU1 p NTU1 R1 R1 1 ‡ 2 cosh n

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Stromführung

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wobei n die Anzahl der Durchgänge ist. Die dimensionslose Temperaturänderung Pi (i = 1, 2) ergibt sich dann aus Gl. (25) bzw. (26).

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Gl. (32) beruht auf einer Herleitung von Hausen [26] für den eingeschwungenen Zustand (ohne Berücksichtigung der ersten Rohrreihen) und gilt zunächst [26] nur für den Sonderfall R1=1. In diesem Sonderfall ist NTU1 = NTU2=NTU. Diese Gleichung wurde auf allgemeine Fälle R1 6ˆ 1 erweitert, indem für NTU der geometrische 1=2 Mittelwert NTU ˆ …NTU1
NTU2†1=2 ˆ NTU1
R 1 eingesetzt wurde. Die so gefundene Gl. (32) liefert für n  4 im gesamten Bereich von 0  R1  1 bis hin zu NTU=1 in Verbindung mit Gl. (25) bzw. (26) Fehler von P von höchstens 1%. Stromführungen mit sehr groûer Rohrreihenzahl je Durchgang und unvermischtem Strom 2 zwischen den Durchgängen (Bild 40 und 41) können in erster Näherung wie eine Gegenstromschaltung von reinen Kreuzstromapparaten mit Vermischung des Stromes 2 zwischen den Durchgängen berechnet werden; Abschn. 4.1, Gl. (46) bzw. (47). Die günstigere gleichsinnige Kreuzgegenstromführung wird technisch durch den Schlangenrohrapparat (Bild 6)

Bild 6. Schematische Darstellung eines Schlangenrohrwärmeübertragers mit n=10 Windungen (Durchgängen)

Ca 11

realisiert, wobei jede Windung einem Durchgang mit einer Rohrreihe entspricht. Mit wachsender Anzahl der Durchgänge geht diese Stromführung in den reinen Gegenstrom über. Bei groûen NTU (NTU>5) kann aber erst ab etwa 20 Durchgängen mit den Gleichungen für Gegenstrom gerechnet werden. 3.5 Plattenwärmeübertrager Die folgende Darstellung beschränkt sich auf die thermische Berechnung bei groûen Plattenanzahlen, d. h. bei Vernachlässigung des thermischen Randeffektes (Randkanäle übertragen nur auf einer Seite Wärme). Nach Kandlikar und Shah [27] kann dieser Randeffekt im allgemeinen bei mehr als 40 Platten im gesamten Apparat vernachlässigt werden. Für kleinere Plattenanzahlen und verschiedene Stromführungen findet man in der Literatur [27; 28] numerisch bzw. analytisch berechnete Ergebnisse. Plattenwärmeübertrager können nach der Anzahl der Durchgänge für beide Ströme klassifiziert werden. Der Index 1 wird hier dem Strom mit der kleineren Anzahl von Durchgängen zugeordnet. Stromführungen mit jeweils gleicher Anzahl von Durchgängen auf beiden Seiten sind symmetrisch. Für jede Anordnung mit einer bestimmten Anzahl von Durchgängen auf beiden Seiten gibt es mehrere mögliche Stromführungen, die hinsichtlich der thermischen Leistung teilweise gleichwertig sind. Die thermische Leistung kann bestimmt werden, indem man die jeweilige Stromführung in ein System von seriell und parallel geschalteten Gegenstrom- und Gleichstromapparaten zerlegt und die Koppelungsgleichungen (Abschn. 4.1) anwendet. In Bild 42 bis Bild 45 sind Diagramme für die jeweils günstigste Stromführung von 4 verschiedenen Anord-

Tabelle 7. Gleichungen für Plattenwärmeübertrager [29] P1c dimensionslose Temperaturänderung für reinen Gegenstrom (Tabelle 4) P1p dimensionslose Temperaturänderung für reinen Gleichstrom (Tabelle 4) Stromführung

Gleichung   ein Durchgang für Strom 1 1 1 P ˆ ‡ P P P P R 1 1c 1p 1 1c 1p und zwei Durchgänge für 2 2 Strom 2 mit P1c=P1c (NTU1 , R1/2) und P1p=P1p (NTU1 , R1/2)     ein Durchgang für Strom 1 1 1 1 P R R P ˆ ‡ P 1 P P 2 1 1p 1c 1 1p 1 1c und drei Durchgänge für 3 3 3 Strom 2, zwei Gegenmit P1c=P1c (NTU1 , R1/3) und P1p=P1p (NTU1 , R1/3) stromdurchgänge   ein Durchgang für Strom 1 1 P R ˆ d 1 d 1 1 und vier Durchgänge für 4   Strom 2 1 1 dˆ P1c ‡ P1p R1 P1c P1p 2 4 mit P1c=P1c (NTU1 , R1/4) und P1p=P1p (NTU1 , R1/4) zwei Durchgänge für Strom 1 und vier Durchgänge für Strom 2, Gegenstromschaltung

d …1 d† …1 d R1 † P1 ˆ d ‡ 1 d2 R1   1 1 P1c ‡ P1p R1 P1c P1p dˆ 2 2 mit P1c=P1c (NTU1 , R1/2) und P1p=P1p (NTU1 , R1/2)

Grenzkurve  2=…2 ‡ R1 †; R1  2 P1 1 ˆ R1 > 2 1=R1 ;  P1 1 ˆ

 P1 1 ˆ

 P1 1 ˆ

…9 R1 †=…9 ‡ 3 R1 †; R1  3 R1 > 3 1=R1 ;

…4=…4 ‡ R1 ††2 ; R1  4 R1 > 4 1=R1 ;

4=…4 ‡ R21 †; R1  2 R1 > 2 1=R1 ;

C

nungen von Durchgängen dargestellt. Die Berechnungsgleichungen sind in Tabelle 7 zusammengefaût. Für Anordnungen mit gleicher Anzahl von Durchgängen auf beiden Seiten entspricht die günstigste Stromführung dem reinen Gegenstrom.

C

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3.6 Spiralwärmeübertrager Spiralwärmeübertrager in Gegenstromschaltung haben bei endlicher Windungszahl eine geringere thermische Leistung als der reine Gegenstrom. Bild 7 zeigt schematisch die Stromführung. Mit dem Index 1 wird der Strom, der innen eintritt, gekennzeichnet. Zur Berechnung kann folgende Näherungsgleichung [30] für den Korrekturfaktor der logarithmischen mittleren Temperaturdifferenz verwendet werden:   1 ‡ C2 ln 1 ‡ n2 C 2 , …33† Fˆ C2 mit ni nˆ : …34† ni ‡ n Dabei ist n die Zahl der Windungen und ni=ri/b das Verhältnis des Kernrohrradius ri zur Kanalbreite b. C ist eine dem NTU-Wert analoge Kennzahl, die mit dem geometrischen Mittelwert der Wärmekapazitätsströme und der äuûeren Oberfläche AS=p d0 h0 des Spiralapparates gebildet wird: k AS …35† C ˆ p : _ 1W _2 W Gleichung (33) gilt für konstante Wärmedurchgangskoeffizienten. Zur Berücksichtigung von durch den veränderlichen Krümmungsradius und durch temperaturabhängige Stoffwerte sich ändernden Wärmedurchgangskoeffizienten haben Bes und Roetzel [31] eine Berechnungsmethode angegeben. Mit dem Korrekturfaktor F läût sich nach Gl. (25) bzw. (26) (Abschn. 2.4) die Temperaturänderung Pi (i=1, 2) bestimmen. Der relative Fehler von P ist für n  4 und F>0,8 kleiner als 1%. Die Näherungsgleichung liefert

symmetrische Ergebnisse, während die Stromführung tatsächlich eine leichte Asymmetrie aufweist. 3.7 Doppelrohrapparat als Einbauwärmeübertrager Die dimensionslose Temperaturänderung P eines Heiz_ oder Kühlmediums mit dem Wärmekapazitätsstrom W, das einen Doppelrohrapparat mit geschlossenem Rohrende durchströmt (,,Heizkerzeª, Bild 8) kann nach folgender Gleichung berechnet werden [1]: Pˆ2 mit

1 e m NTU 1 ‡ m ‡ …m 1† e

m NTU

…36†

J 0 J 00 …k A†a NTU ˆ _ J 0 Js W s …k A†i mˆ 1‡4 …k A†a Pˆ

Dabei ist vorausgesetzt, daû die Temperatur Js des zu heizenden oder zu kühlenden Mediums konstant ist (vollständige Durchmischung oder Phasenänderung). (k
A)a ist das Produkt aus Wärmedurchgangskoeffizient und Fläche am Auûenrohr, (k
A)i das entsprechende Produkt für das Innenrohr. Gl. (36) gilt unabhängig davon, ob das Heiz- oder Kühlmedium am Innen- oder Auûenrohr eintritt.

Bild 8. Doppelrohrapparat zur Heizung oder Kühlung eines Mediums mit konstanter Temperatur

4 Systeme von Wärmeübertragern 4.1 Gekoppelte Wärmeübertrager

Bild 7. Schematische Darstellung eines Spiralwärmeübertragers mit n=3 Windungen der Doppelspirale

Mehrere Wärmeübertrager gleicher oder unterschiedlicher Bauart können durch Verbindungsleitungen zu einem Gesamtsystem gekoppelt werden. Von der Schaltungsart, dem Verhalten der einzelnen Elemente und dem Grad der Vermischung der Ströme zwischen den Elementen hängt es ab, welche Temperaturänderungen mit dem Gesamtsystem gekoppelter Wärmeübertrager erreicht werden können. Im folgenden wird vorausgesetzt, daû die Ströme zwischen den Einzelapparaten vollständig vermischt und die Wärmekapazitätsströme im Gesamtsystem konstant sind. Die einfachsten Schaltungsarten sind die Serienschaltung im Gleichstrom (Bild 9) und im Gegenstrom (Bild 10) sowie die Parallelschaltung mit Aufteilung des Stromes 2 in mehrere Ströme (Bild 11). Von der Schaltungsart unberührt bleibt die individuelle Stromführung des Einzelapparates. Für den Einzelapparat gelten ent-

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Ca 12

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sprechend der Stromführung die in Abschn. 3 angegebenen Gleichungen und Diagramme. Bei allen Schaltungsarten setzt sich die Kenngröûe NTU1 ges des Gesamtsystems ebenso wie die Übertragungsfläche A additiv aus den entsprechenden Kenngröûen NTU1i der Einzelapparate zusammen: n X NTU1 i : …37† NTU1 ges ˆ

Der Zusammenhang zwischen den dimensionslosen Temperaturänderungen P1i der Einzelapparate und der Temperaturänderung P1ges des Gesamtsystems ist bei den einzelnen Schaltungsarten unterschiedlich. a) Serienschaltung im Gleichstrom Es gilt [32] 1

iˆ1

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(38)

Bei den Serienschaltungen (Bild 9 und 10) sind die Wärmekapazitätsstromverhältnisse R1 bzw. R2 für alle Einzelapparate gleich und identisch mit den entsprechenden Gröûen des Gesamtsystems. Bei der Parallelschaltung (Bild 11) gilt n X 1 1 ˆ …39† R1 ges iˆ1 R1 i und für gleiche Werte R1a=R1b = . . . = R1 1 n ˆ : R1 ges R1

P1 ges …1 ‡ R1 † ˆ

n Y

C ‰1

P1 i …1 ‡ R1 †Š: …41†

iˆ1

Für gleiche Werte NTU1a=NTU1b = . . . = NTU1 gilt NTU1 ges=n NTU1 .

Ca 13

…40†

Bei einem Gesamtsystem können Gruppen von Einzelapparaten zusammengefaût und als ein Einzelapparat aufgefaût werden. Die Gesamtwirkung ist von der Reihenfolge der Einzelelemente unabhängig. Für den Sonderfall gleicher dimensionsloser Temperaturänderungen in allen Einzelapparaten P1a=P1b = . . . = P1 , der z. B. bei gleichartigen Einzelapparaten in guter Näherung erfüllt ist, vereinfacht sich Gl. (41) zu 1ÐP1 ges (1+R1)=[1ÐP1 (1+R1)]n.

(42)

Bei Gleichstromschaltungen kann es vorkommen, daû stromabwärts zuvor erreichte und erwünschte Temperaturänderungen teilweise wieder rückgängig gemacht werden. Dies geschieht dann, wenn sich im Einzelapparat die Temperaturen kreuzen, d. h. wenn P1i (1+R1) >1 ist. Im nachfolgenden Apparat wird dann durch abermalige Kreuzung die Gesamtwirkung verschlechtert. Dieser nachteilige Effekt wirkt sich in besonderem Maûe bei einer geraden Anzahl von Einzelapparaten aus. b) Serienschaltung im Gegenstrom

Bild 9. Drei gekoppelte Wärmeübertrager in Gleichstromschaltung, schematisch

Für die im Prinzip wirksamere Gegenstromschaltung gilt [32]  n  Y 1 P1 ges 1 P1i für R1 6ˆ 1 …43† ˆ 1 R1 P1 ges iˆ1 1 R1 P1i bzw. n X Pges Pi ˆ 1 Pges jˆ1 1 Pi

…44†

für R1=1 (Pi=P1 i=P2 i und Pges=P1 ges=P2 ges). Auûerdem läût sich aus Gl. (43) folgender einfacher Zusammenhang herleiten zwischen dem Korrekturfaktor Fges für das Gesamtsystem und den Korrekturfaktoren Fi der Einzelapparate: Bild 10. Drei gekoppelte Wärmeübertrager in Gegenstromschaltung, schematisch

Fges NTU1 ges ˆ Fges

n X iˆ1

NTU1 i ˆ

n X

Fi NTU1 i

…45†

iˆ1

In dem Sonderfall gleicher Temperaturänderungen Pi=P ergibt sich aus Gl. (43) und (44)   1 P1 ges 1 P1 n ˆ für R1 6ˆ 1 …46† 1 R1 P1 ges 1 R1 P1 bzw.

Bild 11. Drei Wärmeübertrager in Parallelschaltung, Strom 2 in drei Teilströme aufgeteilt, schematisch

Pges nP ˆ für R1 6ˆ 1: 1 Pges 1 P

…47†

In diesem Sonderfall gilt Fges=F, wenn F der Korrekturfaktor für den Einzelapparat und Fges der Wert für die Gesamtschaltung ist.

c) Parallelschaltung mit Teilung des Stromes 2 Es gilt [33] 1

P1 ges ˆ

n Y

…1

P1 i †:

Für das Gesamtsystem gilt …48†

P1 ges ˆ

J01 J01

R1 ges ˆ

_1 W 1 ˆ _ 2 R2 ges W

jˆ1

C

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Berechnung von Wärmeübertragern

Für den Sonderfall gleicher dimensionsloser Temperaturänderungen in den Einzelapparaten P1i=P1 vereinfacht sich Gl. (48) zu n

1 Ÿ P1 ges=(1 Ÿ P1) .

NTU1 ges ˆ

(49)

J001 J02

…k A†eff : _1 W

Auûer den behandelten Schaltungsarten sind beliebig viele andere Schaltungsarten denkbar, die meist zweidimensionalen Charakter haben. So ist z. B. eine Kreuzstromschaltung denkbar, bei der beide Wärmekapazitätsströme W_ 1 und W_ 2 in m bzw. n parallele Ströme aufgeteilt werden, die sich in Einzelapparaten schneiden. Für solche Schaltungen kann man aber nur in Sonderfällen einfache Gleichungen für P und Pges angeben. Im allgemeinen muû man schrittweise von Einzelapparat zu Einzelapparat rechnen.

Zum Nachrechnen eines Systems werden zunächst die dimensionslosen Temperaturänderungen P11 (NTU11 , R11) und P22 (NTU22 , R22) der Einzelapparate mit Hilfe der Gleichungen und Diagramme aus Abschn. 3 für die jeweilige Stromführung des Einzelapparates bestimmt.

Bei der in Abschn. 2 beschriebenen Zellenmethode wird ein einziger Apparat als gekoppeltes System von Einzelelementen betrachtet.

berechnet werden.

4.2 Koppelung zweier Wärmeübertrager durch einen umlaufenden Wärmeträgerstrom Bei der Wärmeübertragung zwischen zwei Gasen werden gelegentlich aus räumlichen oder aus sicherheitstechnischen Gründen zwei Einzelapparate verwendet, die durch einen umlaufenden Wärmeträgerstrom (Flüssigkeit) gekoppelt sind. Ein solches System ist in Bild 12 dargestellt.

Danach kann die dimensionslose Temperaturänderung des Gesamtsystems nach der Gleichung [1; 34] 1 1 1 ˆ ‡ R1 ges P1 ges P11 P22

R11 ,

…50†

Hinsichtlich der Temperaturänderung P1 ges gibt es einen optimalen umlaufenden Kapazitätsstrom W_ s, opt [1]. Bei zwei Gegenstromapparaten erhält man diesen Umlaufstrom nach der Gleichung [35] 1 k1 k2 ˆ ‡ _1 W _2 _ Ws, opt W mit k1 ˆ

…51†

…k A†1 …k A†2 ; k2 ˆ : …52† …k A†1 ‡ …k A†2 …k A†1 ‡ …k A†2

Wird der optimale Umlaufstrom gewählt, so läût sich das System aus zwei gekoppelten Gegenstromapparaten wie ein einziger Gegenstromapparat mit dem effektiven Wert von (k A)eff 1 1 1 ˆ ‡ …k A†eff …k A†1 …k A†2

…53†

berechnen [35].

NTU11 ˆ

NTU22 ˆ

Bei von Gegenstrom abweichenden Stromführungen der Einzelapparate kann man näherungsweise so vorgehen, daû man in den Gln. (51) bis (53) die Ausdrücke (k A)1 und (k A)2 durch F1(k A)1 bzw. F2(k A)2 ersetzt [35]. Die wirtschaftlich optimale Aufteilung der Flächen auf beide Apparate hängt vom Verhältnis der Korrekturfaktoren F1/F2 , dem Verhältnis der Wärmedurchgangskoeffizienten k1/k2 sowie vom Verhältnis der spezifischen Flächenpreise (in e/m2) p1/p2 beider Apparate ab [35]. Mit Schätzwerten dieser Verhältnisse können zunächst optimale Werte von k1 und k2 nach r r 1 k2 F2 p1 1 k1 F1 p2 ˆ1‡ ˆ1‡ , …54† k1 F1 p2 k2 k2 F2 p1 k1

R11

R22

berechnet werden. Damit können nach Gl. (51) der optimale Wärmekapazitätsstrom W_ s, opt und nach

Bild 12. System von zwei durch einen umlaufenden Wärmeträgerstrom gekoppelten Wärmeübertragern, schematisch

Es gelten folgende Bezeichnungen für die Einzelapparate. Bei Doppelindizierung bezieht sich der erste Index auf das Fluid, der zweite auf den Apparat. Apparat 1

P11

Apparat 2

…k A†1 _1 W _1 W ˆ _s W ˆ

J01 J01

J001 J0s1

P22

…k A†2 _2 W _2 W ˆ _s W ˆ

J002 J0s2

J02 J02

J00s1 ˆ J0s 2 ˆ k1 J01 ‡ k2 J002 , J0s1 ˆ J00s 2 ˆ k1 J001 ‡ k2 J02

…55†

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Ca 14

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Berechnung von Wärmeübertragern

die nicht gegebenen Ein- und Austrittstemperaturen des Umlaufstroms ermittelt werden. Mit Hilfe der Diagramme oder Gleichungen für die jeweilige Stromführung nach Abschn. 3 ergeben sich dann die Korrekturfaktoren F1 und F2 sowie die erforderlichen Werte von (k A)1 und (k A)2 . Die Wärmeübergangsrechnung liefert die Werte von k1 und k2 . Mit verbesserten Werten für die Verhältnisse k1/k2 und F1/F2 wird die Rechnung wiederholt. Auch der Schätzwert für das Flächenpreisverhältnis p1/p2 kann im Laufe der Rechnung möglicherweise verbessert werden, wenn die Konstruktion genauer bekannt ist.

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4.3 Phasenänderung mit Überhitzung und Unterkühlung Ebenfalls als gekoppeltes System von Einzelapparaten betrachtet man üblicherweise Wärmeübertrager, in denen überhitzter Dampf abgekühlt, vollständig kondensiert und das Kondensat unterkühlt wird. Das gleiche gilt für den umgekehrten Fall der Verdampfung. Die drei Vorgänge werden wie in getrennten Apparaten berechnet, und die Einzelflächen werden zur Gesamtfläche addiert. In Bild 13 sind die über dem Strömungsquerschnitt gemittelten Temperaturen beider Stoffströme über dem vom Dampf im Wärmeübertrager abgegebenen Wärmestrom Q_ bei Gegenstromschaltung aufgetragen (konstante spezifische Wärmekapazitäten und konstanter Druck bei der Kondensation). Da zunächst nicht bekannt ist, wie sich die gesamte Übertragungsfläche auf die drei Teilprozesse aufteilt, müssen Annahmen bezüglich der Stromführung im Enthitzungsteil a und im Unterkühlungsteil c getroffen werden. Diese Annahmen sind anhand der Ergebnisse zu überprüfen, und die Rechnung ist gegebenenfalls zu wiederholen. Wenn die Ein- und Austrittstemperaturen für den Gesamtapparat sowie die Siedetemperatur Js gegeben sind, dann kann man aus den Energiebilanzen für den Enthitzungs- und Unterkühlungsteil die Temperaturen J2 a b und J2 b c und damit die dimensionslosen Temperaturänderungen P1 j und P2 j (j=a, b, c) der drei Teilapparate berechnen. Aus P1 j und P2 j lassen sich dann für die individuellen Stromführungen der Teilapparate die Anzahl der Übertragungseinheiten NTU2 j ( j=a, b, c) nach Abschn. 3 bestimmen. Für den Kondensationsteil b gilt dabei immer (unabhängig von der Stromführung) Gl. (28) mit i=2. Der mittlere Wärmedurchgangskoeffizient im Kondensationsteil kann nach dem Drei-PunktVerfahren (Abschn. Cb 6) berechnet werden, mit den einphasigen Wärmeübergangskoeffizienten an beiden Enden ab und bc. Aus NTU2 j sind (k A)j und Aj ( j=a, b, c) unmittelbar zu berechnen und zur Gesamtfläche aufzuaddieren. Dieses einfache Berechnungsverfahren gilt eigentlich nur für die Kondensation und Verdampfung in den Rohren eines Gegenstromapparates und liefert in anderen Fällen nur sehr grobe Anhaltswerte. Genauere Ergebnisse sind nur durch eine schrittweise numerische Rechnung zu erzielen [36].

Ca 15

C

Bild 13. Temperaturen in Abhängigkeit vom übertragenen Wärmestrom beim Gegenstromkondensator mit Dampfüberhitzung und Kondensatunterkühlung

5 Anwendungsbeispiele Bei der Berechnung von Wärmeübertragern gibt es grundsätzlich zwei Aufgabenstellungen, nämlich ± das Nachrechnen vorhandener Wärmeübertrager und ± das Entwerfen oder Bemessen von (noch nicht vorhandenen) Wärmeübertragern. Je nach Aufgabe kommen die angegebenen Gleichungen und Diagramme in unterschiedlicher Weise zur Anwendung. Dies sei im folgenden in Form einiger charakteristischer Beispiele erläutert. 5.1 Nachrechnen vorhandener Wärmeübertrager Bei dieser Aufgabe sind die Konstruktion des Wärmeübertragers, die Massenströme (und damit die Wärmekapazitätsströme W_ 1 und W_ 2) sowie die Eintrittstemperaturen J01 und J02 bekannt. Das Ziel ist die Berechnung der Austrittstemperaturen J001 und J002 und der thermischen _ Aus den konstruktiven Daten und den MasLeistung Q. senströmen kann man mit Hilfe von geschätzten Stoffwerttemperaturen den Wert des Produktes (k A) bestimmen (vgl. Abschn. Cb). Die Schätzwerte für die Stoffwerttemperaturen müssen am Ende anhand der Ergebnisse überprüft werden. Gegebenenfalls ist die Rechnung mit neuen Stoffwerttemperaturen zu wiederholen.

Beispiel 1 Es soll Umgebungsluft (Volumenstrom am Eintritt 2 m3/s, Eintrittstemperatur J02 =20 C, Druck 1 bar) in einem vorhandenen Wärmeübertrager mit heiûem Wasser (Massenstrom 1 kg/s, Eintrittstemperatur J01 =120 C, Druck 10 bar) aufgeheizt werden. Der Wärmeübertrager besteht aus einem rechteckigen Rohrbündel mit 120 Rippenrohren (Werkstoff Aluminium) in versetzter Anordnung. Die Rohre sind in 6 Rohrreihen mit 6 rohrseitigen Durchgängen angeordnet. Die Luft strömt im Auûenraum quer zu den wasserdurchströmten Rohren. Die Rippenrohre haben folgende Abmessungen: Rohrauûendurchmesser Rohrinnendurchmesser Rohrlänge Kreisrippen mit Auûendurchmesser Rippenteilung Rippendicke Rohrteilung im Bündel

16 mm 12 mm 1m 42 mm 400 Rippen/m 0,4 mm 45 mm

Berechnung von Wärmeübertragern

Zu berechnen sind die Austrittstemperaturen und die thermische Leistung. Zusätzliche Wärmeübergangswiderstände durch Schmutzschichten sind dabei zu vernachlässigen. Lösung:

C

In diesem Fall soll näherungsweise mit dem üblichen Mittelwert als mittlerem Wärmedurchgangskoeffizienten gerechnet werden: k  ~k (vgl. Abschn. Cb). In Abschn. Cb Beispiel 2, wird gezeigt, daû der übliche Mittelwert in diesem Fall eine sehr gute Näherung für den tatsächlichen mittleren Wärmedurchgangskoeffizienten ist. Es müssen die Bezugstemperaturen (arithmetischer Mittelwert von Ein- und Austrittstemperatur) geschätzt werden: Rohrseite J1=100 C, im Auûenraum J2=60 C. Bei diesen Temperaturen werden die Stoffwerte von Wasser und Luft bestimmt (Abschn. Dba und Dbb). Für den Wärmeübergang auf der Rohrseite ergibt sich nach Abschn. Ga

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Beispiel 2 In diesem Beispiel kommt die Zellenmethode (Abschn. 2.1) zur Anwendung. Gegeben sind die konstruktiven Daten eines Rohrbündelwärmeübertragers. Die Stromführung besteht aus zwei inneren Durchgängen und einem äuûeren Durchgang mit einem mantelseitigen Umlenkblech. Wärmeübertragung: k
A=4749 W/K; Strom 1 im Auûenraum: _ 1 ˆ 3500 W=K, J01 ˆ 100  C W Strom 2 in den Rohren: _ 2 ˆ 3500 W=K, J02 ˆ 20  C: W

a1=4625 W/m2 K,

Gesucht sind die Austrittstemperaturen J001 und J002 . Um die Nachrechnung dieses Zahlenbeispiels zu erleichtern, wurde (unrealistisch) nur ein mantelseitiges Umlenkblech angenommen.

wobei die Korrektur für temperaturabhängige Stoffwerte vernachlässigt wurde. Für den Wärmeübergang im Auûenraum ergibt sich nach Abschn. Mb

Lösung: Der Wärmeübertrager wird als System von vier gleichen Einzelapparaten aufgefaût (Bild 14).

Re1=1,88
104 und

Re2=3,78
103 und a2=48,7 W/m2 K. Damit ist nach Abschn. Cb k
A=4495 W/K. Mit den Wärmekapazitätsströmen W_ 1=4220 W/K

und

W_ 2=2404 W/K können die dimensionslosen Kenngröûen NTU2 und R2 bestimmt werden: NTU2=1,87 R2=0,57

(NTU1=1,06)

(R1=1,76).

Aus dem Diagramm Bild 38 für gegensinnigen Kreuzgegenstrom mit 6 Rohrreihen und 6 Durchgängen erhält man P1=0,42

(P2=0,74).

Die gesuchten Austrittstemperaturen errechnen sich nach Gl. (9) und (10) zu J001 ˆ 78  C und J002 ˆ 94  C: Nach Gl. (7) ist die thermische Leistung _ Q=177 kW. Hinweis: Dem Diagramm Bild 38 kann man entnehmen, daû im vorliegenden Betriebspunkt der Korrekturfaktor F gröûer als 0,99 ist. Generell gilt, daû die thermische Leistung für kleine NTU-Werte kaum von der Stromführung beeinfluût wird. Man erhält dann mit den Gleichungen für reinen Gegenstrom (oder dem Diagramm Bild 17) praktisch die gleichen Ergebnisse. Es läût sich aber keine generelle Grenze angeben, unterhalb der der Einfluû der Stromführung vernachlässigbar ist (siehe z. B. die Stromführung ¹Beidseitiger Rührkesselª nach Bild 15 mit den NTU-Werten und Wärmekapazitätsstromverhältnissen dieses Beispiels). Es wird empfohlen, immer die Gleichung oder das Diagramm für die jeweils vorliegende Stromführung zu verwenden, da dies keinen wesentlichen Mehraufwand bedeutet.

Bild 14. System von vier gekoppelten Wärmeübertragern als Modell für einen Rohrbündelwärmeübertrager mit zwei inneren Durchgängen und einem äuûeren Durchgang mit einem mantelseitigen Umlenkblech in Schaltung A (Beispiel 2) Es wird angenommen, daû in den Einzelapparaten der Stoffstrom 2 (in den Rohren) nicht quervermischt und der Stoffstrom 1 (im Auûenraum) quervermischt ist. Als individuelle Stromführung des Einzelapparates wird also der einseitig quervermischte Kreuzstrom oder der Kreuzstrom mit einer Rohrreihe (Diagramm Bild 31, Gl. in Tabelle 6) gewählt. Für den Gesamtapparat ergibt sich mit Hilfe von Gl. (11) und (12) NTU1 ges=NTU2 ges=1,357 (R1=R2=1). Entsprechend Gl. (17) erhält man für die einzelne Zelle 1 NTU1,2 ˆ
NTU1,2 ges ˆ 0,3392: 4 Aus der Gleichung für Kreuzstrom mit einer Rohrreihe (Tabelle 6) ergibt sich P1=P2=0,25. Für die weiteren Rechnungen werden zur Vereinfachung dimensionslose Temperaturen T1 und T2 gemäû Gl. (18) eingeführt. Am Eintritt ist T10 ˆ 1 bzw. T20 ˆ 0. Die noch unbekannten dimensionslosen Austrittstemperaturen der Einzelapparate werden entsprechend Bild 14 mit T1 a , T1 b , T1c und T1 d=1 Ÿ P1 ges sowie T2 a , T2 b , T2 c und T2 d=P2 ges bezeichnet. Für die acht Unbekannten können acht Gleichungen angegeben werden, wenn man die individuellen dimensionslosen Temperatur-

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Berechnung von Wärmeübertragern

änderungen der Einzelapparate entsprechend den Definitionsgleichungen (9) und (10) ausdrückt. Verfolgt man zunächst den Stoffstrom 2, so ergeben sich der Reihe nach P2 a ˆ

T2 a T1 b

0 , 0

P2 c ˆ

T2 c T2 b , 1 T2 b

P2 b ˆ

T2 b T1 c

T2 a , T2 a

P2 d ˆ

T2 d T1 a

T2 c : T2 c

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Bei untereinander gleichen Einzelapparaten ist P2 a=P2 b=P2c=P2 d=P2 . Verfolgt man nun den Stoffstrom 1 auf seinem Weg durch die Einzelapparate, so erhält man P1 c ˆ

1 1

T1 c , T2 b

P1 a ˆ

T1 b T1 a , T1 b 0

P1 b ˆ

T1 c T1 c

T1 b , T2 a

P1 d ˆ

T1 a T1 a

T1 d : T2 c

Ca 17

Lösung: In diesem Beispiel soll ein Rohrbündelwärmeübertrager mit mehreren äuûeren und der jeweils doppelten Anzahl innerer Durchgänge gewählt werden. Diese Stromführung entspricht der Koppelung von mehreren gleichen Rohrbündelwärmeübertragern mit jeweils einem äuûeren und zwei inneren Durchgängen in Gegenstromschaltung. Die dimensionslosen Temperaturänderungen für den gesamten Apparat ergeben sich zu P1 ges ˆ und P2 ges ˆ

300 300

160 ˆ 0,7 100

270 300

100 ˆ 0,85: 100

Das Wärmekapazitätsstromverhältnis ist 8500 ˆ 1,214 …R2 ˆ 0,8235†: 7000

Auch in diesem Fall gilt P1 a=P1 b=P1 c=P1 d=P1 .

R1 ˆ

Dieses lineare Gleichungssystem kann iterativ mit den bekannten Verfahren aus der numerischen Mathematik gelöst werden. Die Ergebnisse sind in Tabelle 8 angegeben.

Damit kann man aus Gl. (46) für die Serienschaltung gleicher Einzelapparate im Gegenstrom in Verbindung mit der Gleichung für den Rohrbündelwärmeübertrager mit einem äuûeren und zwei inneren Durchgängen (Tabelle 5) berechnen, daû mindestens drei äuûere Durchgänge benötigt werden, um die geforderte Leistung zu erreichen. Bei drei äuûeren Durchgängen ist der Korrekturfaktor F für die logarithmische mittlere Temperaturdifferenz etwas kleiner als 0,7. Bei zu kleinen Werten von F (Faustregel F>0,7 bis 0,8, vgl. aber auch [37]) liegt der Betriebspunkt in einem Bereich, in dem sich F bei kleinen ¾nderungen von P sehr stark ändert, so daû die thermische Leistung gegenüber Schwankungen sehr empfindlich ist. Praktisch benötigt man also für die geforderten Temperaturänderungen mindestens vier äuûere Durchgänge. Für vier äuûere Durchgänge ergibt sich mit P1=0,426 NTU1=0,95 und NTU1 ges=4 ´ 0,95=3,8.

Aus den dimensionslosen Austrittstemperaturen T1d und T2d ergeben sich die dimensionslosen Temperaturänderungen für den gesamten Apparat zu P1 ges=P2 ges=0,5 und die wirklichen Austrittstemperaturen nach Gl. (9) und (10) zu J001 ˆ J002 ˆ 60  C:

Tabelle 8. Ergebnisse der Berechnung der dimensionslosen Austrittstemperaturen der Einzelapparate für P1=P2=0,25 T2 a

T2 b

T2 c

T2 d

T1 c

T1 b

T1 a

T1 d

0,167

0,333

0,5

0,5

0,833

0,667

0,5

0,5

5.2 Entwerfen oder Bemessen von Wärmeübertragern In einem solchen Fall ist ein Wärmeübertragungsproblem gegeben, und es soll ein Wärmeübertrager entworfen werden, der die gestellte Aufgabe erfüllt. Das Entwerfen oder Bemessen ist eine weit schwierigere Aufgabe als das Nachrechnen und erfordert viel Erfahrung. Die Vorgehensweise richtet sich nach der speziellen Aufgabenstellung, besonders danach, welche Gröûen durch die Wärmeübertragungsaufgabe vorgeschrieben sind.

Da die konstruktiven Details bei der Bemessung zunächst noch nicht festliegen, muû man zur Abschätzung der Übertragungsfläche auf Erfahrungswerte für den Wärmedurchgangskoeffizienten (Abschn. Cc) zurückgreifen. Mit k=500 W/m2 K (Flüssigkeit innerhalb und auûerhalb der Rohre) ergibt sich die erforderliche Gesamtfläche zu …Ages †erf ˆ

_2 R1 NTU1 ges W  65 m2 : k

Nach Festlegung der konstruktiven Details läût sich der Wärmedurchgangskoeffizient bestimmen und durch Nachrechnen (Abschn. 5.1) überprüfen, ob die geforderte Leistung tatsächlich erreicht wird. In diesem Fall lieû sich der NTU-Wert des Einzelapparates aus einer expliziten Gleichung NTU=f (P, R) berechnen. Bei den meisten Stromführungen ist dies nicht möglich. Dann muû die Gleichung P=f (NTU, R) iterativ gelöst werden, wenn P und R gegeben sind und NTU gesucht ist.

Beispiel 3

Beispiel 4

Gegeben sind die Wärmekapazitätsströme und die Eintrittstemperaturen:

Bei luftgekühlten Kreuzstromwärmeübertragern sind üblicherweise die Ein- und die Austrittstemperatur sowie die Wärmekapazität des Prozeûstromes 1 gegeben, während von der Luft (Strom 2) nur die Eintrittstemperatur bekannt ist. Man kennt jedoch Erfahrungswerte für bevorzugte Luftanströmgeschwindigkeiten w2 bei bestimmten Rippenrohrbündeln; mit diesen Werten läût sich der Wärmedurchgangskoeffizient und damit auch die Anzahl der Übertragungseinheiten NTU2 abschätzen. Hierzu müssen nicht die gesamte Übertragungsfläche A und die Anströmfläche f im einzelnen bekannt sein, sondern nur deren Verhältnis, wie der Zusammenhang

W_ 1=8500 W/K, J01

ˆ 300  C,

W_ 2=7000 W/K, J02 ˆ 100  C:

Die geforderte Austrittstemperatur für Strom 1 ist J001 ˆ 160  C. Die Austrittstemperatur für Strom 2 ergibt sich aus der Energiebilanz für den gesamten Apparat nach Gl. (7) zu J002 ˆ 270  C. Es soll ein Rohrbündelwärmeübertrager mit mehreren äuûeren Durchgängen und zwei inneren Durchgängen pro äuûerem Durchgang eingesetzt werden. Wie groû muû die Zahl der äuûeren Durchgänge sein, und welche Gesamtfläche ist erforderlich?

NTU2 ˆ

kA w2 f r2 cp2

…56†

C

Berechnung von Wärmeübertragern

zeigt. Man kann auch den auf die Anströmfläche f bezogenen Wärmedurchgangskoeffizienten kf ˆ

C

kA f

…57†

einführen, mit dem sich später sofort die erforderliche Anströmfläche berechnen läût: ferf ˆ

…k A†erf : kf

…58†

In Abschn. Cc sind für die überschlägige Berechnung Werte des Wärmedurchgangskoeffizienten (auf die Auûenfläche bezogen) von 12 bis 50 W/m2 K angegeben. Mit k=20 W/m2 K ergibt sich kf=2640 W/m2 K. Die Luftanströmgeschwindigkeiten liegen üblicherweise im Bereich von 2 bis 5 m/s. Mit w2=2 m/s ergibt sich nach Gl. (56) NTU2=1,25.

Es werden die Stromführung und die Wärmeübertragungsaufgabe von Beispiel 1 verwendet.

Nach Gl. (9) ist

Gegeben sind die Stromführung, bestehend aus Kreuzgegenstrom mit 6 Rohrreihen und 6 Durchgängen, gegensinnig, und die konstruktiven Daten des Rippenrohrbündels nach Beispiel 1 auûer der Rohrlänge. Der Prozeûstrom (Wasser, W_ 1=4220 W/K) soll von J01 ˆ 120  C auf J001 ˆ 70  C abgekühlt werden. Die Eintrittstemperatur der Luft beträgt J02 ˆ 20  C. Es sollen die benötigte Anströmfläche und die Rohrlänge berechnet werden.

P1=0,5.

Lösung: Aus den geometrischen Daten des Rippenrohrbündels ergibt sich das Verhältnis von Übertragungsfläche A zu Anströmfläche f A ˆ 132: f

Bild 15. Beidseitiger Rührkessel

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Aus dem Diagramm Bild 38 ergeben sich P2=0,57 und R2=0,88. Damit ist NTU1=R2 NTU2=1,10 und (k A)erf=4640 W/K. Aus Gl. (58) folgt ferf=1,76 m2. Mit den geometrischen Daten des Rohrbündels ergibt sich die erforderliche Rohrlänge zu 1,96 m  2 m.

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Bild 16. Einseitiger Rührkessel

Bild 17. Reiner Gegenstrom

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Bild 18. Reiner Gleichstrom

Bild 19. Rohrbündelwärmeübertrager, ein äuûerer und zwei innere Durchgänge, e=1/2

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Bild 20. Rohrbündelwärmeübertrager, ein äuûerer und vier innere Durchgänge

Bild 21. Rohrbündelwärmeübertrager, ein äuûerer und drei innere Durchgänge, zwei im Gegenstrom, e=1/3

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Bild 22. Rohrbündelwärmeübertrager, ein äuûerer und zwei innere Durchgänge, beide im Gegenstrom

Bild 23. Rohrbündelwärmeübertrager, ein äuûerer und fünf innere Durchgänge, drei im Gegenstrom

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Bild 24. Rohrbündelwärmeübertrager, geteilter Auûenstrom mit einem Durchgang, ein innerer Durchgang

Bild 25. Rohrbündelwärmeübertrager, geteilter Auûenstrom mit einem Durchgang, zwei innere Durchgänge

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Bild 26. Rohrbündelwärmeübertrager, geteilter Auûenstrom mit Längsumlenkblech und jeweils zwei Durchgängen, zwei innere Durchgänge

Bild 27. Rohrbündelwärmeübertrager, zweimal geteilter Auûenstrom mit zwei Längsumlenkblechen und jeweils zwei Durchgängen, zwei innere Durchgänge

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C

Bild 28. Rohrbündelwärmeübertrager, zwei äuûere und vier innere Durchgänge

Bild 29. Rohrbündelwärmeübertrager, vier äuûere und acht innere Durchgänge

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Bild 30. Reiner Kreuzstrom

Bild 31. Kreuzstrom mit einer Rohrreihe, einseitig quervermischter Kreuzstrom

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Bild 32. Beidseitig quervermischter Kreuzstrom

Bild 33. Kreuzstrom mit zwei Rohrreihen und einem Durchgang

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Bild 34. Kreuzstrom mit drei Rohrreihen und einem Durchgang

Bild 35. Kreuzstrom mit zehn Rohrreihen und einem Durchgang

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C

Bild 36. Kreuzgegenstrom mit zwei Rohrreihen und zwei Durchgängen, gegensinnig

Bild 37. Kreuzgegenstrom mit drei Rohrreihen und drei Durchgängen, gegensinnig

Ca 30

Berechnung von Wärmeübertragern

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Bild 38. Kreuzgegenstrom mit sechs Rohrreihen und sechs Durchgängen, gegensinnig

Bild 39. Kreuzgegenstrom mit vier Rohrreihen und zwei Durchgängen, gegensinnig

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C

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Berechnung von Wärmeübertragern

Ca 31

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C

Bild 40. Kreuzgegenstrom mit zwei Durchgängen, gegensinnig, Strom 2 unvermischt, Strom 1 nur zwischen den Durchgängen vermischt

Bild 41. Kreuzgegenstrom mit drei Durchgängen, gegensinnig, Strom 2 unvermischt, Strom 1 nur zwischen den Durchgängen vermischt

Ca 32

Berechnung von Wärmeübertragern

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Bild 42. Plattenwärmeübertrager, ein Durchgang für Strom 1, zwei Durchgänge für Strom 2

Bild 43. Plattenwärmeübertrager, ein Durchgang für Strom 1, drei Durchgänge für Strom 2, zwei im Gegenstrom

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C

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Berechnung von Wärmeübertragern

Ca 33

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C

Bild 44. Plattenwärmeübertrager, ein Durchgang für Strom 1, vier Durchgänge für Strom 2

Bild 45. Plattenwärmeübertrager, zwei Durchgänge für Strom 1, vier Durchgänge für Strom 2, Gegenstromschaltung

Berechnung von Wärmeübertragern

6 Literatur

C

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Ca 34

Alfa Laval Mid Europe GmbH Wilhelm-Bergner-Strasse 1 21509 Glinde bei Hamburg Telefon 0 40 / 72 74 - 27 55 Telefax 0 40 / 72 74 - 22 48

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Wärmedurchgang*)

Cb 1

Gliederung 1 Örtlicher Wärmeübergangskoeffizient. . . . . . . . Cb 1 2 Mittlere Wärmeübergangskoeffizient. . . . . . . . . Cb 1 3 Örtlicher Wärmeübergangskoeffizient. . . . . . . . Cb 1 4 Mittlerer Wärmeübergangskoeffizient. . . . . . . . Cb 2 5 Berücksichtigung des Längeneffektes . . . . . . . . . Cb 2 6 Berücksichtigung des Temperatureffektes . . . . Cb 4 6.1 Übliche Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cb 4

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1 Örtlicher Wärmeübergangskoeffizient Als Wärmedurchgang wird der stationäre Wärmetransport durch eine ein- oder mehrschichtige Wand mit Wärmeübergang an beiden Oberflächen bezeichnet. Der örtliche Wärmeübergangskoeffizient aloc = aloc (x, J, Jw) hängt bei konvektivem Wärmeübergang direkt vom Strömungsweg x und zusätzlich von den örtlichen Temperaturen des Fluids (J) und der Oberfläche der überströmten Wand (Jw) ab. Die direkte Abhängigkeit vom Strömungsweg kommt durch die Entwicklung der Geschwindigkeits- und Temperaturprofile zustande und wird Längeneffekt genannt. Die Temperaturabhängigkeit wird durch die Veränderlichkeit der Stoffwerte mit der Temperatur oder durch Strahlung hervorgerufen und als Temperatureffekt bezeichnet.

2 Mittlerer Wärmeübergangskoeffizient

1 „L 1„ aloc dx ˆ aloc dA: L xˆ0 AA

7 Verminderung des Wärmedurchgangs infolge von Schutzschichten und Verschmutzungen . . . Cb 6 8 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cb 7

widerstand Rw läût sich durch Addition der örtliche Wärmedurchgangswiderstand und somit der örtliche Wärmedurchgangskoeffizient berechnen: 1 1 1 ˆ ‡ Rw ‡ : kloc A a1; loc A1 a2; loc A2

…1†

Dies ist der bei konstanten Temperaturen J und Jw (oder bei konstanten Stoffwerten) über dem Strömungsweg oder der überströmten Fläche gemittelte Wärmeübergangskoeffizient. Dieser mittlere Wärmeübergangskoeffizient ist nur bezüglich des Längeneffektes gemittelt und hängt noch von den örtlichen Temperaturen J und Jw ab:

…2†

Die Fläche A auf der linken Seite der Gleichung kann beliebig gewählt werden. Der Wandwiderstand errechnet sich aus der Schichtdicke d und der Wärmeleitfähigkeit l des Wandwerkstoffes nach der Gleichung Rw ˆ

d ; l Am

…3†

wobei Am die für die Wärmeleitung maûgebende mittlere Fläche bedeutet. Für ein kreisrundes, zylindrisches Rohr gilt Am ˆ

Aus den Berechnungsgleichungen für den konvektiven Wärmeübergang (Abschn. Ga) erhält man den mittleren Wärmeübergangskoeffizienten aˆ

6.2 Drei-Punkt-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cb 4 6.2.1 Temperaturabhängige Wärmekapazitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cb 4 6.2.2 Konstante Wärmekapazitäten . . . . . . . Cb 4 6.2.3 Mittelung der Wärmeübergangswiderstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cb 5 6.2.4 Andere Stromführungen . . . . . . . . . . . Cb 5

A1

A2 d1 d2 ˆ pL A1 d1 ln ln A2 d2

und für eine Kugelschale p Am ˆ A1 A2 ˆ d1 d2 p:

…4†

…5†

Die örtlichen Temperaturen der wärmeübertragenden Oberflächen Jw1 und Jw2 lassen sich nach den folgenden Gleichungen berechnen: a1, loc A1 (J1 Ÿ Jw1) = a2, loc A2 (Jw2 Ÿ J2) = kloc A (J1 Ÿ J2).

(6)

3 Örtlicher Wärmedurchgangskoeffizient

Besteht die Wand aus n Schichten, so errechnet sich der gesamte Wandwiderstand aus der Summe der einzelnen Wandwiderstände:  n n  X X d Rwj ˆ : …7† Rw ˆ l Am j jˆ1 jˆ1

Aus den örtlichen Wärmeübergangswiderständen an beiden Oberflächen (A1 und A2) der Wand und dem Wand-

Die Zwischentemperaturen Jz, p hinter der p-ten Schicht, von der Temperatur Jw1 aus gesehen, erhält man aus

a = a (J, Jw).

*) Bearbeiter des Abschnitts Cb: Prof. Dr.-Ing. W. Roetzel und Dr.-Ing. B. Spang, Hamburg

C

der Gleichung …Jw1

Jz; p †

n X

Rwj ˆ …Jw1

Jw2 †

jˆ1

C

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Wärmedurchgang

p X

Rwj : …8†

jˆ1

Der örtliche Wärmedurchgangskoeffizient nach Gl. (2) hängt von beiden Fluidtemperaturen, von beiden Wandtemperaturen und von beiden Strömungswegen ab: kloc = kloc (J1, J2, Jw1, Jw2, x1, x2).

4 Mittlerer Wärmedurchgangskoeffizient Zur Anwendung der Gleichungen und Diagramme des Abschnitts Ca muû man einen geeigneten Mittelwert k für den über der Übertragungsfläche veränderlichen (Längeneffekt, Temperatureffekt) Wärmedurchgangskoeffizienten kloc vorausberechnen. Häufig wird ein Mittelwert ~k berechnet, indem in den Gl. (2) und (6) die örtlichen durch die mittleren Wärmeübergangskoeffizienten ersetzt werden: 1 1 1 ‡ Rw ‡ : ˆ ~kA a1 A1 a2 A2

…9†

Dieser mittlere Wärmedurchgangskoeffizient hängt nur noch von den örtlichen Fluid- und Wandtemperaturen ab: ~k = ~k (J1, J2, Jw1, Jw2). Bei der Berechnung des Wärmedurchgangskoeffizienten nach Gl. (9) oder der Wandtemperaturen sind im allgemeinen Iterationen notwendig, weil die Wärmeübergangskoeffizienten von den Wandtemperaturen abhängen und umgekehrt. In einigen praktisch wichtigen Fällen kann der Wärmeübergangskoeffizient auch ohne Iteration berechnet werden [1]. Der nach Gl. (9) berechnete Mittelwert ~k ist nur eine Näherung für den wahren mittleren Wärmedurchgangskoeffizienten k. Aus Gl. (1) bis (4) in Abschn. Ca folgt zunächst nur für eine über der Übertragungsfläche unveränderliche Temperaturdifferenz (DJ = J1 Ÿ J2 = konst) für den wahren Mittelwert 1 „ kloc dA; …10† k ˆ kA ˆ AA wobei der örtliche Wärmedurchgangskoeffizient in beliebiger Weise vom Ort und von den Temperaturen abhängen darf. Wie man zeigen kann, ist darüber hinaus der flächengemittelte Wärmedurchgangskoeffizient nach Gl. (10) bei Gleich- und Gegenstrom uneingeschränkt der wahre Mittelwert, wenn die Wärmekapazitätsströme konstant sind. Bei den meisten anderen Stromführungen gilt Gl. (10) nicht. Je genauer jedoch das P1, P2-Diagramm im Betriebsbereich mit dem Diagramm für reinen Gegenstrom oder dem für reinen Gleichstrom übereinstimmt, um so geringer ist der Unterschied zwischen kA und k. Besonders gering ist der Unterschied bei Kreuzgegenstrom und bei Gegenstromschaltungen mehrerer Apparate (gute Übereinstimmung mit Gegenstrom) sowie bei

Kreuzgleichstrom, bei Gleichstromschaltungen mehrerer Apparate und bei beidseitig quervermischtem Kreuzstrom (gute Übereinstimmung mit Gleichstrom). Bei reinem Kreuzstrom und Kreuzstromapparaten mit kleiner Anzahl von Durchgängen können gröûere Unterschiede auftreten [2]. Einschränkungen müssen auch bei den gemischten Stromführungen gemacht werden, in denen sogenannte oder echte Gleich- und Gegenstromdurchgänge auftreten. Hierzu gehören die mehrgängigen Plattenwärmeübertrager (echte Gleich- und Gegenstromdurchgänge) und Rohrbündelapparate. Hier muû man bei genaueren Rechnungen für jeden Durchgang einen individuellen (flächengemittelten) Wärmedurchgangskoeffizienten berechnen, weil durch die relative Gröûe der Gleichstrom- und Gegenstromdurchgänge (NTU-Werte) zueinander die Qualität der Stromführung beeinfluût wird (Abschn. Ca 3.3). Vereinfachend kann man auch für alle Gleichstromdurchgänge und alle Gegenstromdurchgänge je einen gemeinsamen Mittelwert berechnen [3]. Bei temperaturabhängigen Wärmedurchgangskoeffizienten und gröûeren Abweichungen vom reinen Gegenstrom oder Gleichstrom kann bei dem im folgenden beschriebenen Verfahren durch Korrektur der Bezugstemperaturen ein Näherungswert für k berechnet werden [2]. Bei temperaturabhängigen spezifischen Wärmekapazitäten muû mit einem scheinbaren Mittelwert gerechnet werden [2], der sich auch bei Gleich- und Gegenstrom vom Mittelwert k nach Gl. (10) unterscheidet. Bei der Berechnung des gesuchten Mittelwertes k sind der Längeneffekt und der Temperatureffekt zu unterscheiden; sie werden zweckmäûigerweise getrennt berücksichtigt.

5 Berücksichtigung des Längeneffektes Bei dem üblichen Mittelwert ~k nach Gl. (9) ist der Längeneffekt nur näherungsweise berücksichtigt, denn man müûte analog zu Gl. (1) entsprechend Gl. (10) den örtlichen Wärmedurchgangskoeffizienten kloc bei konstanten Temperaturen (oder Stoffwerten) über der Fläche integrieren, anstatt einfach mit den bereits integrierten Wärmeübergangskoeffizienten zu rechnen. Zur Unterscheidung wird deshalb der Mittelwert mit korrekter Berücksichtigung des Längeneffektes k bezeichnet. Dieser Mittelwert hängt, ebenso wie der übliche Mittelwert ~k, noch von den örtlichen Fluid- und Wandtemperaturen ab: k = k (J1, J2, Jw1, Jw2). In den meisten praktisch wichtigen Fällen (z. B. turbulente Strömung auf beiden Seiten) ist der Längeneffekt so schwach ausgeprägt, daû die vereinfachte, übliche Berechnungsweise nach Gl. (9) eine brauchbare Näherung darstellt (~k  k [5]). Bei ausgeprägtem Längeneffekt können allerdings unzulässige Fehler auftreten. So beträgt bei laminarer

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Wärmedurchgang

Strömung der Fehler bis zu 10% auf der unsicheren Seite (~k  k). In diesen Fällen sollte der Näherungswert ~k korrigiert werden: k = ~k V.

(11)

Die Korrekturfaktoren V  1 können nach den folgenden Gleichungen berechnet werden, wobei zwischen mehreren Fällen zu unterscheiden ist [6; 7].

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Es wird angenommen, daû der Wärmeübergangskoeffizient aL, loc eines der beiden Ströme entsprechend der Gleichung   1  x  1=p aL; loc ˆ aL 1 p L mit ganzzahligem p  2 direkt vom Strömungsweg x abhängt. Bei laminarer Strömung in Kanälen konstanten Querschnitts ist p = 3 [5; 6]. Der Wärmeübergangskoeffizient des anderen Stromes ist nicht direkt vom Strömungsweg abhängig. Dann gilt "    p 1 p 1 p ln 1‡ V ˆ …1‡ u†…p 1† u p u…p 1†  j # p 1 u p 2 X p …12† ‡ p 1 j jˆ0 mit der Abkürzung aL AL ~k A

1;

1†

1 X jˆ1

a1 = aL 1 A1,

a2 = aL 2 A2

(14)

für die Produkte aus den mittleren laminaren Wärmeübergangskoeffizienten und den Wärmeübertragungsflächen gelten folgende Näherungsgleichungen: Gegenstrom Vˆ1

0,65 ‡ 0,23
Rw …a1 ‡ a2 † a1 a2 4; 1 ‡ ‡ ‡ 3 Rw …a1 ‡ a2 † ‡ 2 R2w a1 a2 a2 a1 (15)

Kreuzstrom V ˆ1

0,44 ‡ 0,23
Rw …a1 ‡ a2 † : a1 a2 4;1‡ ‡ ‡ 3 Rw …a1 ‡ a2 † ‡ 2 R2w a1 a2 a2 a1 (16)

Gl. (16) gilt zunächst für Kreuzstromführungen mit einem Durchgang auf beiden Seiten. Bei mehreren Durchgängen mit jeweils neuem thermischen Anlauf muû Gl. (16) auf jeden Durchgang angewendet werden. Gleichstrom

wobei AL die Oberfläche der Wand auf der Seite des vom Strömungsweg abhängigen Wärmeübergangskoeffizienten ist. Gl. (12) gilt für alle ganzzahligen Werte p  2 und beliebige Werte von u. Ihre numerische Auswertung bereitet aber für p > 5 und u > 1 Schwierigkeiten. In diesem Fall kann folgende über eine Reihenentwicklung hergeleitete Gleichung verwendet werden: V ˆ …1 ‡ u† …p

entwickelt [5; 6]. Bei der Berechnung der mittleren Wärmeübergangskoeffizienten aL für laminare Strömung (Abschn. Ga) ist zu beachten, daû die Randbedingungen von der Stromführung abhängen. So wird bei etwa gleich groûen Wärmekapazitätsströmen (R  1) der Gegenstrom besser mit der Randbedingung ¹konstante Wärmestromdichteª, der Gleichstrom besser mit der Randbedingung ¹konstante Wandtemperaturª beschrieben. Mit den Abkürzungen

a) Längeneffekt auf einer Seite

uˆ

Cb 3

 u

1 j 1

p p

…13† …1

p

j†

für u (p Ÿ 1)/p > 1. Gl. (13) gilt auch für nichtganzzahlige Werte von p. Wird die Reihe nach m Gliedern abgebrochen, so ist der Abbruchfehler stets kleiner als der Betrag des (m + 1)-ten Gliedes. Gl. (12) und (13) gelten für jede beliebige Stromführung (ohne Längsvermischung). b) Beide Ströme laminar Die folgenden Gleichungen wurden für laminare Strömung in Kanälen konstanten Querschnitts mit Längeneffekten entsprechend der Gleichung  x  1=3 2 aL; loc ˆ aL 3 L

Mit der Abkürzung Zˆ gilt [7]

Rw 1 1 ‡ a1 a2

 V ˆ …1 ‡ Z† 1

…17†

  4 8 3 Z ‡ Z 2 ln 1 ‡ : …18† 3 9 2Z

Bei Spiralwärmeübertragern tritt ein zusätzlicher Längeneffekt dadurch auf, daû die Wärmeübergangskoeffizienten vom Krümmungsradius der Kanalwand abhängen, der sich (bei der archimedischen Spirale linear) mit dem Strömungsweg verändert. Dieser Längeneffekt wird durch die übliche Berechnungsweise mit gemittelten Wärmeübergangskoeffizienten genügend genau berücksichtigt, da sich (ähnlich wie bei zwei laminaren Strömen im Gleichstrom) die Wärmeübergangskoeffizienten auf beiden Seiten der gekrümmten Wand in der gleichen Weise verändern. Die laminaren Längeneffekte sind unabhängig davon in der oben beschriebenen Weise zu berücksichtigen. Andere ausgeprägte Abhängigkeiten der örtlichen Wärmeübergangskoeffizienten vom Strömungsweg treten in Kanälen veränderlichen Querschnitts auf, z. B.

C

C

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Wärmedurchgang

in konischen Rohren. In derartigen Fällen kann auch der Mittelwert k durch Integration bei konstanten Temperaturen über dem Strömungsweg x mit mehreren Stützstellen berechnet werden. Beim konischen Rohr wäre es hierbei vorteilhaft, das Produkt kloc
d über der Länge zu integrieren.

6 Berücksichtigung des Temperatureffektes Die einfachste Methode besteht darin, den temperaturabhängigen Mittelwert k für je eine mittlere Fluidtemperatur (Bezugstemperatur), meist den arithmetischen Mittelwert von Ein- und Austrittstemperatur 1 0 …J ‡ J00i † mit i ˆ 1; 2; 2 i

zu berechnen. Ebenso wird meist bei der Berechnung des Druckverlustes verfahren (vgl. Abschn. Laa). Bei stark temperaturabhängigen Stoffwerten oder bei Strahlung und freier Konvektion kann diese Berechnungsweise zu unzulässigen Fehlern führen. In solchen Fällen wird eine genauere Methode mit Berechnung der Wärmeübergangskoeffizienten an mehreren Punkten des Wärmeübertragers empfohlen [4; 5]. In ähnlicher Weise kann man auch den Druckverlust genauer berechnen [4; 5].

DJ1=2 ˆ …DJa DJb †1=2 :

…20†

Danach werden die örtlichen spezifischen Enthalpien beider Fluide h1,1/2 und h2,1/2 mit Hilfe der Gleichung (i = 1, 2) hi; b †

DJ1=2 DJa

DJb DJb

…21†

berechnet, wobei hi, a und hi, b die Enthalpien an beiden Enden des Wärmeübertragers bedeuten. Im Grenzfall DJa = DJb (R = 1) nimmt der Quotient in Gl. (21) den Wert 1/2 an. Aus den Enthalpien h1,1/2 und h2,1/2 werden jetzt mit Hilfe von Zustandsgleichungen, Tabellen oder Diagrammen die örtlichen, wahren Temperaturen J1,1/2 (h1,1/2) und J2,1/2 (h2,1/2) ermittelt. Mit diesen Bezugstemperaturen werden die wahre örtliche Temperaturdifferenz DJ1/2 und der wahre Wärmedurchgangskoeffizient k1/2 (J1,1/2; J2,1/2) sowie daraus der scheinbare Wärmedurchgangskoeffizient k ˆ k1=2 DJ1=2 1=2 DJ1=2

…22†

und damit der gesuchte Wärmedurchgangskoeffizient k nach Gl. (19) berechnet.

6.2 Drei-Punkt-Verfahren Dieses Verfahren gilt für Gleich- und Gegenstrom (einschlieûlich des Grenzfalls W_ 1 = 1 oder W_ 2 = 1 bei beliebigen Stromführungen auûer Rührkessel). Sowohl temperaturabhängige Wärmeübergangskoeffizienten als auch temperaturabhängige Wärmekapazitäten können berücksichtigt werden. Bei gleichzeitig auftretenden, ausgeprägten Temperaturund Längeneffekten wird angenommen, daû sich der örtliche Wärmedurchgangskoeffizient kloc (wie ein Wärmeübergangskoeffizient) im betrachteten Zustandsbereich als Produkt einer reinen Ortsfunktion und einer reinen Temperaturfunktion annähern läût [5]. Der gesuchte Mittelwert k wird nach der Gleichung 1 1 1 2 1 1 1 ˆ ‡  ‡  k 6 ka 3 k1=2 6 kb

Zunächst berechnet man die dort herrschende, örtliche hypothetische Temperaturdifferenz

hi; 1=2 ˆ hi; b ‡ …hi; a

6.1 Übliche Methode

Ji ˆ

der mittleren Stützstelle ¹1/2ª. Er wird wie folgt ermittelt [4].

…19†

berechnet. Hierin bedeuten ka und kb die mittleren Wärmedurchgangskoeffizienten an beiden Enden ¹aª und ¹bª des Gleich- oder Gegenstromapparates, berechnet mit den dort herrschenden Ein- und Austrittstemperaturen. Die örtlichen, positiven Temperaturdifferenzen an beiden Enden werden mit DJa und DJb bezeichnet. 6.2.1 Temperaturabhängige Wärmekapazitäten Der in Gl. (19) erscheinende Wärmedurchgangskoeffizi ist ein für veränderliche Wärmekapazitäten maûent k1=2 gebender, scheinbarer Wärmedurchgangskoeffizient an

Dieser Mittelwert k ist bei veränderlichen Wärmekapazitäten ebenfalls als ein scheinbarer Wärmedurchgangskoeffizient aufzufassen, der sich von dem flächengemittelten Wert nach Gl. (10) und sogar von einem über der Übertragungsfläche unveränderlichen Wärmedurchgangskoeffizienten k = k a = kb = k1/2 unterscheidet: k 6ˆ k. Bei stark temperaturabhängigen spezifischen Wärmekapazitäten oder bei anderen ausgeprägten Nichtlinearitäten zwischen Enthalpie und Temperatur (z. B. Kondensationskurve h (J) bei der Kondensation von Gemischen) kann es bei Gegenstrom mit groûen Werten von NTU1  NTU2 vorkommen, daû sich die Temperaturverläufe beider Fluide rein rechnerisch schneiden (J1 = J2). Dies bedeutet, daû der Prozeû so nicht möglich ist. Ein derartiger Fall liegt vor, wenn bei positiven Werten von DJa, DJb und DJ1=2 die Temperaturdifferenz DJ1/2 negativ wird oder verschwindet. 6.2.2 Konstante Wärmekapazitäten Im Sonderfall konstanter Wärmekapazitäten, den man vielfach näherungsweise annehmen darf, vereinfacht sich die Berechnung an der mittleren Stützstelle. Die hypothetische und die wahre Temperaturdifferenz stimmen überein: DJ1=2 ˆ DJ1=2 , ebenso wie der scheinbare und der wahre Wärmedurchgangskoeffizient k ˆ k1=2 . 1=2

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Wärmedurchgang

Auûerdem lassen sich die Bezugstemperaturen J1,1/2 und J2,1/2 mit Hilfe von Gl. (21) direkt berechnen, indem in Gl. (21) die Enthalpien durch die Temperaturen ersetzt werden: Ji; 1=2 ˆ Ji; b ‡ …Ji; a

Ji; b †

DJ1=2 DJa

DJb DJb

:

…23†

Beispiel 1 Durchgerechnet wird ein von Colburn [9] angegebenes Beispiel mit dem Drei-Punkt-Verfahren.

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In einem Gegenstromwärmeübertrager soll Anilin (W_ 1 = 5,4 kW/K) von J01 ˆ 125  C auf J001 ˆ 25  C abgekühlt werden. Als Kühlmittel wird Wasser (W_ 2 = 12 kW/K) mit der Eintrittstemperatur J02 ˆ 20  C verwendet. Aus der Energiebilanz folgt J002 ˆ 65  C. Der Wandwiderstand sei 1,76
10Ÿ4 K/W. Die Wärmekapazitäten sind hier (Flüssigkeiten) in guter Näherung konstant. Die Strömung ist auf beiden Seiten turbulent, so daû auch Längeneffekte keine Rolle spielen. Für die von Colburn verwendeten Daten kann die Temperaturabhängigkeit der Wärmeübergangskoeffizienten durch folgende Zahlenwertgleichungen ausgedrückt werden [9] (in SI-Einheiten umgerechnet): a1 ˆ 829 ‡ 8,3 J1 ‡ 0,0834 J21 a2 = 6092 (1 + 0,0127 J2) J in C, a in W/(m2K). Die übliche Methode (Berechnung der Wärmeübergangskoeffizienten bei den mittleren Fluidtemperaturen J1m = 75 C bzw. J2m = 42,5 C) liefert hier mit A1 = A2 = A den Näherungswert k = 1245 W/(m2K). Beim Drei-Punkt-Verfahren müssen zunächst die mittleren Wärmedurchgangskoeffizienten ka und kb an den beiden Enden berechnet werden. Daraus ergibt sich ka (J1 = 125 C, J2 = 65 C) = 1720 W/(m2K) kb (J1 = 25 C, J2 = 20 C) = 816 W/(m2K). Die örtliche Temperaturdifferenz DJ1=2 ˆ DJ1=2 (konstante Wärmekapazitäten) an der mittleren Stützstelle ¹1/2ª ist nach Gl. (20) DJ1=2 ˆ 17; 3 K. Aus Gl. (23) ergeben sich die Stoffstromtemperaturen an der Stützstelle ¹1/2ª zu

Gl. (19) und (22) k durch a und 1/Rw ersetzt. Die dreimalige Anwendung der Gl. (19) liefert dann die für veränderliche Wärmekapazitäten maûgebenden, scheinbaren Mittelwerte (bezüglich Temperatureffekt) beider Wärmeübergangskoeffizienten und des Wandwiderstandes. Anschlieûend kann man den bezüglich des Temperatureffekts gemittelten Wert ~k nach Gl. (9) und bei laminarer Strömung mit Hilfe der Korrekturgleichungen (11) bis (18) den gesuchten Mittelwert k = k berechnen. 6.2.4 Andere Stromführungen Das streng nur für reinen Gleich- und Gegenstrom gültige Drei-Punkt-Verfahren läût sich näherungsweise auch auf hinsichtlich des thermischen Verhaltens ähnliche Stromführungen anwenden. Dem Gegenstrom ähnlich sind die Gegenstromschaltung im Spiralwärmeübertrager, alle Kreuzgegenstromführungen und Systeme von Einzelapparaten in Gegenstromschaltung. Bei einem System von gleichen Apparaten kann ein für alle Apparate gültiger, gemeinsamer mittlerer Wärmedurchgangskoeffizient wie für einen einzigen Gegenstromapparat berechnet werden. Die Gesamtwirkung wird dadurch richtig beschrieben, Zwischentemperaturen werden allerdings mit dem gemeinsamen Mittelwert nicht richtig berechnet. Bei gröûeren Abweichungen vom reinen Gegenstrom empfiehlt sich eine zusätzliche Korrektur der Bezugstemperaturen zur Berechnung des wahren Wärmedurchgangskoeffizienten [7]. Hierbei wird als Maû für die Abweichung vom reinen Gegenstrom der Korrekturfaktor F verwendet. Die Korrektur verschwindet, wenn F = 1 wird. Zur Vereinfachung wird nur am mittleren Bezugspunkt ¹1/2ª korrigiert, und diese Korrektur wird zum Ausgleich mit dem vergröûerten Gewicht 3/2 versehen [2]. Die Korrekturgleichungen lauten dann für i = 1, 2 und den Bezugspunkt ¹1/2ª 3 Ji; 1=2; korr ˆ Ji; 1=2 ‡ … 1†i 2

J1,1/2 = 47,4 C und J2,1/2 = 30,1 C


…J1; 1=2

und damit der mittlere Wärmedurchgangskoeffizient zu k ˆ k1=2 ˆ 996 W=…m2 K†: 1=2 Mit Gl. (19) erhält man als Näherung für den gesuchten Mittelwert k = 1030 W/(m2K). Eine numerische Rechnung mit einem Differenzenverfahren führt zu einem exakten Wert k = 1034 W/(m2K).

Die Colburn-Methode [9] liefert für dieses Beispiel ebenfalls gute Ergebnisse, weil der Wärmedurchgangskoeffizient zufällig nahezu linear von der Temperatur des Anilins abhängt, was für ihre Gültigkeit Voraussetzung ist. In allgemeineren Fällen kann die ColburnMethode sehr fehlerhafte Ergebnisse liefern, während das vorgeschlagene Drei-Punkt-Verfahren seine Genauigkeit beibehält. 6.2.3 Mittelung der Wärmeübergangswiderstände Wegen der Additivität der Wärmeübergangswiderstände in Gl. (9) und (19) lassen sich die Gl. (19) bis (23) auch getrennt auf 1/a1, Rw und 1/a2 anwenden, indem man in

Cb 5

J2; 1=2 †

1

F :

…24†

2=3

1 ‡ Ri

Die beiden korrigierten Bezugstemperaturen werden nur zur Berechnung der wahren Wärmedurchgangskoeffizienten k1/2 verwendet; die übrigen Gleichungen bleiben unberührt. Beispiel 2 Es soll überprüft werden, ob der für die Rechnung in Beispiel 1 des Abschnitts Ca verwendete übliche Mittelwert ausreichend genau ist. Lösung: Da die Strömung in diesem Fall auf beiden Seiten turbulent ist, muû nur der Temperatureffekt berücksichtigt werden: k = ~k. Die Wärmekapazitäten des Wassers und der Luft ändern sich im vorliegenden Temperaturbereich und bei den vorliegenden Drücken nur geringfügig, so daû hypothetische und wahre Temperaturdifferenz sowie scheinbarer und wahrer Wärmedurchgangskoeffizient praktisch übereinstimmen.

C

Zunächst müssen die Austrittstemperaturen geschätzt werden. Man verwendet die in Abschn. Ca, Beispiel 1, errechneten Austrittstemperaturen. Somit sind die Temperaturen an den beiden Enden des Wärmeübertragers J1; a ˆ J01 ˆ 120  C; J2; a ˆ J002 ˆ 94  C

C

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Wärmedurchgang

und J1; b ˆ J001 ˆ 78  C; J2; b ˆ J02 ˆ 20  C: Die Temperaturdifferenz an der mittleren Stützstelle ¹1/2ª ist nach Gl. (20) DJ1=2 ˆ DJ1=2 . Für die Fluidtemperaturen an der Stützstelle ¹1/2ª ergibt sich aus Gl. (23) (konstante Wärmekapazitäten) J1,1/2 = 103 C, J2,1/2 = 64 C. Da der Korrekturfaktor F gröûer ist als 0,99 (Abschn. Ca Beispiel 1), ist die Korrektur nach Gl. (24) vernachlässigbar. Bei den Fluidtemperaturen an den beiden Enden a und b sowie an der mittleren Stützstelle ¹1/2ª werden den Tabellen in Abschn. Dba und Dbb (gegebenenfalls durch Interpolation) die Stoffwerte für Wasser beim Druck von 10 bar und für Luft bei 1 bar entnommen. Mit diesen Stoffwerten ergeben sich nach Abschn. Ga für die rohrseitigen Wärmeübergangskoeffizienten an der Stelle a: a1, a = 4912 W/(m2K), an der Stelle b: a1, b = 4129 W/(m2K) und an der Stelle ,,1/2ª: a1,1/2 = 4668 W/(m2K).

eher wie Gegenstrom und der beidseitig quervermischte Kreuzstrom eher wie Gleichstrom. Bei gemischten Stromführungen mit Gleich- und Gegenstromdurchgängen gelten besondere Überlegungen. Bei einem Rohrbündelapparat, z. B. mit einem äuûeren und n inneren Durchgängen (1, n-RWÜ), sollte man für jeden Durchgang ,, jª einen individuellen Mittelwert kj berechnen. Hierzu kann man einen für alle Durchgänge gültigen, mittleren Wärmeübergangskoeffizienten a1 für den Auûenstrom nach dem Drei-Punkt-Verfahren berechnen und hierbei den Gesamtapparat als Gleichstromapparat auffassen. Die individuellen Wärmeübergangskoeffizienten a2, j für den Rohrstrom lassen sich (bei kleinen Temperaturänderungen in jedem Durchgang) nach der üblichen Methode mit einer einmaligen Berechnung beim arithmetischen Mittelwert der Endtemperaturen des betreffenden Durchgangs errechnen [3; 4]. Der individuelle Mittelwert kj kann dann, wie beschrieben, falls erforderlich mit dem jeweiligen Korrekturfaktor V für Gleich- bzw. Gegenstrom, berechnet werden. Auch temperaturabhängige Wärmekapazitäten kann man beim 1, n-RWÜ berücksichtigen [3; 4]. Der Effekt ist jedoch bei Flüssigkeiten auf beiden Seiten vernachlässigbar.

Im Auûenraum ergibt sich nach Abschn. Mb an der Stelle a: a2, a = 50,3 W/(m2K), an der Stelle b: a2, b = 46,8 W/(m2K) und an der Stelle ,,1/2ª: a2,1/2 = 49,0 W/(m2K). Gl. (9) liefert die mittleren Wärmedurchgangskoeffizienten k = ~k. Es ergibt sich an der Stelle a: ka A = 4679 W/K, an der Stelle b: k b A = 4253 W/K und an der Stelle ,,1/2ª: k1/2 A = 4528 W/K, wobei die Fläche A beliebig ist. Nach Gl. (19) ist der gesuchte Mittelwert k A = 4504 W/K. Im vorliegenden Fall weicht also der übliche Mittelwert k A = 4495 W/K nur geringfügig vom tatsächlichen Mittelwert ab.

7 Verminderung des Wärmedurchgangs durch Schutzschichten und Verschmutzungen

Für Gleichstromspiralapparate, Kreuzgleichstrom und Systeme von Wärmeübertragern in Gleichstromschaltung gelten entsprechende Überlegungen wie für Gegenstrom. Das Gleichstromsystem kann zur Berechnung des gemeinsamen Mittelwertes k als ein Gleichstromapparat aufgefaût werden, solange P1ges + P2 ges < 1 ist.

Viele Wärmeübertragungsflächen müssen wegen korrodierender Stoffe mit einer Schutzschicht versehen werden. Auûerdem können sich durch chemische Umsetzungen zwischen dem Übertragungswerkstoff und dem strömenden Medium teils erwünschte, teils unerwünschte Schichten bilden, z. B. Oxidschichten. Ferner werden die Heiz- oder die Kühlflächen häufig durch Abscheidungen aus dem strömenden Stoff belegt. Hierbei entstehen mehr oder weniger festhaftende Schichten (Abschn. Od).

Bei anderen Stromführungen läût sich durch Vergleich des P1, P2-Diagramms mit dem des Gegenstroms bzw. des Gleichstroms entscheiden, ob die betreffende Stromführung eher dem Gegenstrom oder dem Gleichstrom zuzurechnen ist. So verhält sich z. B. der reine Kreuzstrom

Alle diese Ablagerungen hemmen den Wärmefluû durch die Wandung. Ihr Einfluû hängt auûer von der Dicke der Schicht und ihrer Wärmeleitfähigkeit vor allem von dem Wärmedurchgang durch die Wand selbst ab. Während z. B. eine Verbleiung der Heizfläche bei einem Gasküh-

Tabelle 1. Wärmeleitfähigkeit in W/m K bei Raumtemperatur Schutzschichten Zinn Blei Glas Quarzglas Email Gummi Asphalt Igelit (PVC-Folie)

65 35 0,76 bis 0,84 1,34 0,9 bis 1,2 0,15 bis 0,17 0,76 0,16

Oppanol säurefeste Steine Kohlenstoffstein Porzellan

Verschmutzungen 0,2 bis 0,35  1,2 1,6 bis 4,7 1,7 bis 3,5

Kesselstein, gipsreich Kesselstein, silikatreich Ruû, trocken Kohlenstaub, trocken Eis Kühlwasser-Gallertschicht Sole-Gallertschicht Salz

0,6 bis 2,3 0,08 bis 0,18 0,035 bis 0,07 0,11 1,75 bis 2,3  0,35  0,46  0,6

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Cb 6

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Wärmedurchgang

ler praktisch ohne Wirkung auf den Wärmedurchgang ist, kann dieselbe Bleischicht die Wärmeleistung eines Verdampfers bei den hier üblichen hohen Wärmestromdichten stark herabsetzen. Die Verminderung des Wärmedurchgangs läût sich durch den Berichtigungsfaktor ausdrücken: k = j k o.

(25)

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Hierbei ist ko der Wärmedurchgangskoeffizient ohne Berücksichtigung der Schichten und k der wirkliche Wärmedurchgangskoeffizient. Mit den Schichtdicken dj und den entsprechenden Wärmeleitfähigkeiten lj ergibt sich  n  X 1 d : …26† ˆ 1 ‡ ko A j l Am j jˆ1 Tabelle 1 gibt die Wärmeleitfähigkeit einiger Schutzschichten sowie von Verschmutzungen wieder. Weitere Werte für die Wärmeleitfähigkeit besonders von Baustoffen und Dämmschichten finden sich in Abschn. Dec, Ded, Werte bezüglich Schmutzschichten in Abschn. Od.

8 Literatur [1] Roetzel, W.: Iteration-Free Calculation of Heat Transfer Coefficients in Heat Exchangers. Chem. Eng. J. 13 (1977) No. 3, S. 233/237.

Cb 7

[2] Spang, B., u. W. Roetzel: Test of a Thermal Design Method Considering Variable Transfer Coefficients and Heat Capacities for Cross-Flow Arrangements. Heat Transfer, 3rd UK Natnl. Conf. Incorp. 1st Europ. Conf. Thermal Sciences, IChemE Symp. Ser. No. 129, 1992, Vol. 1, S. 435/442. [3] Roetzel, W., u. B. Spang: Analytisches Verfahren zur thermischen Berechnung mehrgängiger Rohrbündelwärmeübertrager. Fortschr.-Ber. VDI, Reihe 19, Nr. 18. Düsseldorf: VDIVerlag 1987. [4] Roetzel, W.: Analytische Berechnung von Wärmeübertragern mit nachträglicher Berücksichtigung temperaturabhängiger Wärmekapazitäten. Wärme- und Stoffübertragung 23 (1988) S. 175/177. [5] Roetzel, W.: Berücksichtigung veränderlicher Wärmeübergangskoeffizienten und Wärmekapazitäten bei der Bemessung von Wärmeaustauschern. Wärme- und Stoffübertragung 2 (1969) S. 163/170. [6] Peters, D. L.: Heat Exchanger Design with Transfer Coefficients Varying with Temperature or Length of Flow Path. Wärme- und Stoffübertragung 3 (1970) S. 222/226. [7] Roetzel, W.: Heat Exchanger Design with Variable Transfer Coefficients for Cross-Flow and Mixed Flow Arrangements. Int. J. Heat Mass Transfer 17 (1974) S. 1037/1049. [8] Roetzel, W.: Calculation of Single Phase Pressure Drop in Heat Exchangers Considering the Change of Fluid Properties along the Flow Path. Wärme- und Stoffübertragung 6 (1973) S. 3/ 13. [9] Colburn, A. P.: Mean Temperature Difference and Heat Transfer Coefficient in Liquid Heat Exchangers. Ind. Eng. Chem. 25 (1933) S. 873/877.

C

VDI-Wärmeatlas 10. Auflage 2006

Überschlägige Wärmedurchgangskoeffizienten bei einigen Wärmeübertragerbauarten*)

Die im folgenden zusammengestellten Erfahrungswerte sollen zur überschlägigen Berechnung von Wärmeübertragern dienen. Die kleineren Werte gelten für verhältnismäûig unvorteilhafte Bedingungen (z. B. bei kleinen Strömungsgeschwindigkeiten, zähen Flüssigkeiten, freier Konvektion und bei der Neigung zu Verschmutzungen), die groûen Werte sind bei besonders geeigneten Bedingungen (z. B. bei groûer Strömungsgeschwindig-

Bauart

keit, dünnen Flüssigkeitsschichten, optimalen Mengenverhältnissen der beiden Stoffe zueinander und bei sauberen Oberflächen) einzusetzen. Die angegebenen Werte können in Sonderfällen nach oben oder unten überschritten werden; sie sind deshalb mit der nötigen Kritik und Vorsicht zu verwenden. In diesen k-Werten sind die Wärmeleitwiderstände von Isolier- und Schutzschichten nicht berücksichtigt.

Übertragungsbedingungen

Gas (  1 bar) innerhalb und Gas (  1 bar) auûerhalb der Rohre Gas, Hochdruck (200 bis 300 bar) auûerhalb und Gas, Hochdruck (200 bis 300 bar) innerhalb der Rohre

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Cc 1

überschlägiger k-Wert W/m2 K 5 bis 35 150 bis 500

Flüssigkeit auûerhalb (innerhalb) und Gas (  1 bar) innerhalb (auûerhalb) der Rohre

15 bis 70

Gas, Hochdruck (200 bis 300 bar) innerhalb und Flüssigkeit auûerhalb der Rohre

200 bis 400

Flüssigkeit innerhalb und auûerhalb der Rohre

150 bis 1200

Heizdampf auûerhalb und Flüssigkeit innerhalb der Rohre

300 bis 1200

als Verdampfer und Kondensator siehe unten

Heizdampf auûerhalb der Rohre 1. mit natürlichem Umlauf a) zähe Flüssigkeiten b) dünne Flüssigkeiten 2. mit Zwangsumlauf

300 bis 900 600 bis 1700 900 bis 3000

Ammoniak-Verdampfer, mit Sole geheizt

200 bis 800

Kühlwasser innerhalb und organische Dämpfe oder Ammoniak auûerhalb der Rohre

300 bis 1200

Dampfturbinenkondensator (reiner Wasserdampf; dünne Messingrohre) k-Wert nimmt mit wachsendem Inertgas-Anteil stark ab.

*) Bearbeiter des Abschnitts Cc: Prof. Dr.-Ing. W. Roetzel und Dr.-Ing. B. Spang, Hamburg

1500 bis 4000

C

Cc 2 Bauart

Überschlägige Wärmedurchgangskoeffizienten bei einigen Wärmeübertragerbauarten Übertragungsbedingungen

heiûe Gase innerhalb der Rohre und siedendes Wasser auûerhalb der Rohre

VDI-Wärmeatlas 10. Auflage 2006 überschlägiger k-Wert W/m2 K 15 bis 50

C

5 bis 12 12 bis 50

Gas (  1 bar) innerhalb und Gas (  1 bar) auûerhalb der Rohre

10 bis 35

Gas, Hochdruck (200 bis 300 bar) innerhalb und Gas (  1 bar) auûerhalb der Rohre

20 bis 60

Gas, Hochdruck (200 bis 300 bar) innerhalb und Gas, Hochdruck (200 bis 300 bar) auûerhalb der Rohre

150 bis 500

Gas, Hochdruck (200 bis 300 bar) innerhalb und Flüssigkeit auûerhalb der Rohre

200 bis 600

Flüssigkeiten innerhalb und auûerhalb der Rohre

300 bis 1400

Kühlwasser auûerhalb und Gas (  1 bar) innerhalb der Rohre

20 bis 60

Kühlwasser auûerhalb und Gas, Hochdruck (200 bis 300 bar) innerhalb der Rohre

150 bis 350

Kühlwasser auûerhalb und Flüssigkeit innerhalb der Rohre

300 bis 900

Berieselungskondensator, z. B. für Kältemittel: Kühlwasser auûerhalb und kondensierender Dampf innerhalb der Rohre

Kühlwasser oder Sole auûerhalb und Gas (  1 bar) innerhalb der Rohrschlange

300 bis 1200

20 bis 60

Kühlwasser auûerhalb und Gas, Hochdruck (200 bis 300 bar) innerhalb der Rohrschlange

150 bis 500

Kühlwasser oder Sole auûerhalb und Flüssigkeit innerhalb der Rohrschlange

200 bis 700

Kühlwasser oder Sole auûerhalb und kondensierender Dampf innerhalb der Rohrschlange

350 bis 900

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Wasserdampf oder Heiûwasser innerhalb der Rippenrohre und Gas auûerhalb der Rippenrohre a) freie Strömung (Heizkörper) b) erzwungene Strömung

VDI-Wärmeatlas 10. Auflage 2006 Bauart

Überschlägige Wärmedurchgangskoeffizienten bei einigen Wärmeübertragerbauarten*) Übertragungsbedingungen

ebene Kanäle, Gas an Wasser ebene Kanäle, Flüssigkeit an Wasser

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Profilplatten, Flüssigkeit an Flüssigkeit

Cc 3 überschlägiger k-Wert W/m2 K

20 bis 60 350 bis 1200 1000 bis 4000

Gas an Gas (  1 bar)

10 bis 35

Gas an Flüssigkeit

20 bis 60

Flüssigkeit an Flüssigkeit

700 bis 2500

kondensierender Dampf an Flüssigkeit

900 bis 3500

A. Auûenmantel kondensierender Dampf auûerhalb und Flüssigkeit innerhalb des Kessels

500 bis 1500

kondensierender Dampf auûerhalb und siedende Flüssigkeit innerhalb des Kessels

700 bis 1700

Kühlwasser oder Sole auûerhalb und Flüssigkeit innerhalb des Kessels

150 bis 350

B. Schlange innen kondensierender Dampf innerhalb der Schlange und Flüssigkeit innerhalb des Kessels kondensierender Dampf innerhalb der Schlange und siedende Flüssigkeit innerhalb des Kessels Kühlwasser oder Sole innerhalb der Schlange und Flüssigkeit innerhalb des Kessels

700 bis 2500 1200 bis 3500 500 bis 1200

C. Auûenberohrung auf Mantel aufgeschweiût kondensierender Dampf innerhalb der Heizkanäle und Flüssigkeit innerhalb des Kessels

500 bis 1700

kondensierender Dampf innerhalb der Heizkanäle und siedende Flüssigkeit innerhalb des Kessels

700 bis 2300

Kühlwasser oder Sole innerhalb der Kühlkanäle und Flüssigkeit innerhalb des Kessels

350 bis 900

C

C

Überschlägige Wärmedurchgangskoeffizienten bei einigen Wärmeübertragerbauarten

Formel- Bedeutung SI-Einheit zeichen A Übertragungsfläche m2 cp isobare spezifische Wärmekapazität J/kg K d Durchmesser m F Korrekturfaktor für die logarithmi- ± sche mittlere Temperaturdifferenz, Abschn. Ca, Gl. (23) h spezifische Enthalpie J/kg k mittlerer Wärmedurchgangskoeffi- W/m2 K zient kA flächengemittelter WärmedurchW/m2 K gangskoeffizient nach Abschn. Cb, Gl. (10) k Mittelwert des Wärmedurchgangs- W/m2 K koeffizienten mit korrekter Berücksichtigung des Längeneffekts ~k Mittelwert des Wärmedurchgangs- W/m2 K koeffizienten nach Abschn. Cb, Gl. (9) L Länge m _ M Massenstrom kg/s n Anzahl der Durchgänge, Rohrreihen, ± Windungen, Apparate oder Schichten NTU Anzahl der Übertragungseinheiten, ± Abschn. Ca, Gl. (11), (12) P dimensionslose Temperaturänderung, ± Abschn. Ca, Gl. (9), (10) Q_ Wärmestrom W q_ Wärmestromdichte W/m2 R Wärmekapazitätsstromverhältnis, ± Abschn. Ca, Gl. (13), (14) Rw Wandwiderstand K/W T dimensionslose Temperatur, ± Abschn. Ca, Gl. (18)

W_ x z a d e

J DJ DJm l

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Wärmekapazitätsstrom, Abschn. Ca, Gl. (6) Koordinate des Strömungswegs Anzahl der Umlenkbleche mittlerer Wärmeübergangskoeffizient Schichtdicke NTU-Verhältnis des Gleichstromdurchgangs, Abschn. Ca, Gl. (28) dimensionslose mittlere Temperaturdifferenz, Abschn. Ca, Gl. (8) Temperatur Temperaturdifferenz mittlere Temperaturdifferenz Wärmeleitfähigkeit

W/K m ± W/m2 K m ± ± K K K W/m K

Indizes 1, 2 1/2 a, b a, i G ges L loc m w z 0

00

*

Stoffstrom 1, 2 an der mittleren Stützstelle an den Enden des Wärmeübertragers auûen, innen (Abschn. Ca, Gl. (42)) für reinen Gegenstrom gesamt auf der Seite des laminaren Stroms örtlicher Wert mittlerer Wert Wand Zwischenwert am Eintritt am Austritt scheinbarer Wert (bei a und k), hypothetischer Wert (bei Temperaturen)

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Cc 4

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Wärmeübertragungsnetzwerke *)

Cd 1

Gliederung 1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cd 1 2 Grundlagen der Wärmeintegrationsanalyse . . . Cd 1 2.1 Minimaler Betriebsmitteleinsatz für die Prozeûheizung und -kühlung . . . . . . . . . . . . . . Cd 2 2.1.1 Graphische Ermittlung des minimalen Betriebsmitteleinsatzes für Prozeûheizung und -kühlung . . . . . . . . Cd 2 2.1.2 Rechnerische Ermittlung des minimalen Betriebsmitteleinsatzes für Prozeûheizung und -kühlung . . . . . . . . Cd 3

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1 Einleitung Zur Optimierung von Wärmeübertragernetzwerken ist in den letzten Jahren eine Reihe von Methoden entwickelt und erfolgreich in der industriellen Praxis einangewandt worden. Mit diesen Methoden konnte die Wärmeintegration in existierenden und/oder zu planenden Prozessen überprüft und nach vorzugebenden Kriterien verbessert werden. Diese Verfahren zeichnen sich dadurch aus, daû sie ± die Zielfunktion ± i. allg. die jährlichen Gesamtkosten für den Betrieb des Netzwerkes ± durch eine möglichst geringe Anzahl unabhängiger Variablen darstellen, ± die Berechnung der Zielfunktion vereinfachen, indem sie diese in einfache, unabhängige Funktionen, z. B. die erforderlichen Investitions- und Betriebskosten, zerlegen und ± den Lösungsraum der Struktur- und Arbeitsparameter durch die Einbeziehung thermodynamischer Überlegungen erheblich einschränken. Ein etabliertes Verfahren ist die Wärmeintegrationsanalyse nach der Pinch-Methode. Sie ermöglicht die Abschätzung ± des minimalen Wärme- und Kühlbedarfs eines Prozesses, ± der Anzahl der erforderlichen Wärmeübertrager und ± der Wärmeübertragungsfläche; zudem zeigt sie ± mögliche Verschaltungen von aufzuheizenden und abzukühlenden Stoffströmen sowie ± die jeweiligen Betriebsmittel für die Aufheizung bzw. Abkühlung von Stoffströmen. Dieses Verfahren wird in den folgenden Abschnitten beschrieben und an einfachen Beispielen erläutert. *) Bearbeiter des Abschnitts Cd: Dr.-Ing. H. Roth, Duisburg

2.2 Maximale Anzahl der erforderlichen Wärmeübertrager für die Prozeûheizung und -kühlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cd 5 2.3 Abschätzung der erforderlichen Wärmeübertragungsfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cd 6 3 Entwurf von Wärmeübertragernetzwerken . . . Cd 7 3.1 Verschaltung aufzuheizender und abzukühlender Stoffströme . . . . . . . . . . . . . . . Cd 7 4 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cd 11

2 Grundlagen der Wärmeintegrationsanalyse Für die Durchführung einer Wärmeintegrationsanalyse werden zunächst folgende Festlegungen und Annahmen getroffen: ± Die eingesetzten Wärmeübertragungsapparate sind reine Gegenstrom-Wärmeübertrager. ± Die Temperaturen und Enthalpien der ein- und austretenden Stoffströme sind vorgegeben. ± Die ¾nderungen der potentiellen und kinetischen Energien der Stoffströme werden vernachlässigt. ± Die Wärmeverluste an die Umgebung werden vernachlässigt. Das Ziel einer Wärmeintegrationsanalyse ist die Erstellung eines nach ökonomischen Kriterien optimierten Wärmeübertragungsnetzwerkes, das unter den vorgegebenen Randbedingungen die geringsten jährlichen Gesamtkosten Kges aufweist. Die jährlichen Gesamtkosten Kges für den Betrieb eines Wärmeübertragernetzwerkes setzen sich aus den jährlichen verbrauchs- und betriebsgebundenen Kosten, die in erster Näherung den Energiekosten KE entsprechen, sowie den annualisierten Kapitalkosten zusammen. Beide Kostenarten weisen tendenziell einen gegenläufigen Verlauf auf. Es gilt näherungsweise Kges ˆ

KI ‡ KE : tN

…1†

In Gl. (1) steht KI für die Summe der Investitionen und tN für die Nutzungszeit der Anlage. Die Investitionssumme kann nach KI ˆ

n X

Ki

…2†

iˆ1

aus der Summe der Kosten Ki für die n einzelnen Wärmeübertrager bestimmt werden. Diese Kosten können durch den empirischen Ansatz Ki ˆ a ‡ c Abi

…3†

C

Cd 2

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Wärmeübertragungsnetzwerke

korreliert werden. In Gl. (3) sind a und c empirisch ermittelte Kostenparameter, die im wesentlichen Material und Bauart der Wärmeübertrager berücksichtigen. Ai ist die Wärmeübertragungsfläche des Wärmeübertragers i und b ein empirischer Degressionskoeffizient. Die jährlichen Energiekosten KE werden durch die spezifischen Kosten CH und CK für das Heiz- und das Kühlmedium, den Wärme- bzw. Kühlbedarf Q_ H und Q_ K und die jährliche Betriebsdauer tB nach KE=tB(Q_ H CH+Q_ K CK)

(4)

bestimmt. Vor dem eigentlichen Entwurf eines Wärmeübertragernetzwerkes ist es sinnvoll, aus den Prozeûdaten und den jeweiligen Rahmenbedingungen natürliche Unter- bzw. Obergrenzen für die wesentlichen Einfluûgröûen ± minimaler Betriebsmitteleinsatz für Prozeûheizung Q_ H min und -kühlung Q_ K min ± maximale Anzahl der erforderlichen Wärmeübertrager nW, max und ± minimale zu installierende Wärmeübertragungsfläche Amin , die die Kosten für das Netzwerk dominieren, zu ermitteln. 2.1 Minimaler Betriebsmitteleinsatz für die Prozeûheizung und -kühlung

(5)

Die durch die Wärmezu- oder -abfuhr hervorgerufenen Zustandsänderungen der Stoffströme lassen sich als Strecken mit der Steigung DTi 1 ˆ _i DHi W

j

Dabei läuft j über alle in diesem Temperaturintervall existierenden abzukühlenden Stoffströme. Die Enthalpiestromänderungen der abzukühlenden Stoffströme über alle Temperaturintervalle können zusammengefaût und als ¹ heiûe Summenkurveª in einem Linienzug in _ einem T, DH-Diagramm dargestellt werden.

j

Für die Zustandsänderung, die ein Stoffstrom i mit der Anfangstemperatur Ta und der Endtemperatur Te durch die Zu- oder Abfuhr von Wärme erfährt, gilt unter Berücksichtigung der zuvor getroffenen Annahmen nach dem 1. Hauptsatz der Thermodynamik

si ˆ

die Ein- bzw. Austrittstemperaturen der einzelnen heiûen Stoffströme festgelegt. Für die gesamte Enthalpiestromänderung der heiûen Stoffströme in einem Intervall i gilt X _ j: W DH_ Hi ˆ DTi …7†

Analog gilt für die Enthalpiestromänderung der aufzuheizenden Stoffströme in einem Temperaturintervall i X _ j: W …8† DH_ Ki ˆ DTi

2.1.1 Graphische Ermittlung des minimalen Betriebsmitteleinsatzes für Prozeûheizung und -kühlung

Q_ i=DH_ i .

Bild 1. Darstellung der Zustandsänderungen aufzuheizender und _ abzukühlender Stoffströme im T,D H-Diagramm

…6†

_ in einem T, DH-Diagramm veranschaulichen. Der Kehrwert der Steigung s kann als mittlerer Wärmekapazitätsstrom W_ interpretiert werden. Beispielhaft sind in Bild 1 für einen Prozeû die Zustandsänderungen von zwei aufzuheizenden und zwei abzukühlenden Stoffströmen schematisch dargestellt. Die Strecken, die _ die Zustandsänderungen eines Stoffstromes im T, DHDiagramm repräsentieren, sind ohne Informationsverlust oder -verfälschung horizontal, d. h. isotherm verschiebbar. Wie Bild 1 zeigt, gibt es in diesem Prozeû Temperaturintervalle, bei denen nur ein heiûer Stoffstrom existiert, und solche, in denen zwei heiûe Stoffströme existieren. Die Grenzen dieser Temperaturintervalle werden durch

Hier läuft j über alle im Temperaturintervall existierenden aufzuheizenden Stoffströme. Eine Aufsummierung der Enthalpiestromänderungen der aufzuheizenden Stoffströme über alle Temperaturintervalle liefert die Summenkurve der aufzuheizenden Stoffströme. Bild 2 veranschaulicht diese Vorgehensweise für die in Bild 1 dargestellten aufzuheizenden und abzukühlenden Stoffströme. Die Enthalpiestromdifferenz zwischen Anfangs- und Endpunkt einer Summenkurve ist ein Maû für den insgesamt von den jeweiligen Stoffströmen aufzunehmenden bzw. abzugebenden Wärmestrom. Die Unstetigkeitsstellen dieser Linienzüge sind durch die Eintritts- oder Austrittstemperatur eines Stoffstromes vorgegeben.

Bild 2. Darstellung der Summenkurven aufzuheizender und abzukühlender Stoffströme

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Die Annäherung beider Summenkurven wird durch eine vorher festgelegte minimale Temperaturdifferenz DTmin bestimmt. Die Stelle, an der sich die minimale Tempera_ turdifferenz im T, DH-Diagramm einstellt, fällt i. allg. mit einer Ein- bzw. Austrittstemperatur eines Prozeûstromes zusammen. Diese Stelle wird auch als ¹Pinchª bezeichnet. Hat man beide Summenkurven, wie es in Bild 2 angedeutet ist, soweit verschoben, daû sie sich am Pinch bis auf die zuvor festgelegte minimale Temperaturdiffe_ renz DTmin angenähert haben, so können aus dem T, DHDiagramm der dem Prozeû mindestens zuzuführende Wärmestrom Q_ H min und der mindestens aus dem Prozeû abzuführende Wärmestrom Q_ K min abgelesen werden. Je kleiner die minimale Temperaturdifferenz DTmin gewählt wird, desto geringer ist der Betriebsmitteleinsatz für die Prozeûheizung und -kühlung.

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Damit sind auch die jährlichen Energiekosten nach Gl. (4) als Funktion nur noch einer Variablen ± der minimalen Temperaturdifferenz DTmin ± darstellbar. Für die Stoffströme, die unmittelbar am Pinch auftreten, gilt oberhalb des Pinch X X _ Kj  _ Hj W W …9† j

j

und unterhalb des Pinch X X _ Kj  _ H j: W W j

…10†

Cd 3

ströme um DTmin/2 angehoben. Damit berühren sich die _ Summenkurven im T, DH-Diagramm am Pinch. Durch diese vertikale Verschiebung der Summenkurven werden weder der Wärmebedarf noch der Kühlbedarf des Prozesses oder die Temperaturdifferenzen zwischen den Ein- und Austrittszuständen der einzelnen Stoffströme verändert. Anschlieûend werden Temperaturintervalle DTi definiert. Die Grenzen der Temperaturintervalle DTi werden, wie in Bild 3 gezeigt, durch die Unstetigkeitsstellen der verschobenen heiûen und kalten Summenkurven, d. h. letztlich durch die Ein- bzw. Austrittstemperaturen der heiûen und kalten Stoffströme, festgelegt. Zwangsläufig ist damit auch die Pinch-Temperatur eine Intervallgrenze. Innerhalb dieser Temperaturintervalle können die heiûen Stoffströme einen Wärmestrom abgeben, der ihrer Enthalpiedifferenz in diesem Intervall entspricht. Analog haben die kalten Stoffströme einen entsprechenden Wärmebedarf. Durch die Anhebung bzw. Absenkung der Ein- und Austrittstemperaturen der Prozeûströme unterscheiden sich die Temperaturen heiûer und kalter Stoffströme in einem Temperaturintervall genau um DTmin. Das Wärmeangebot der heiûen Stoffströme hat damit nach thermodynamischen Kriterien gerade die Qualität ± nicht jedoch unbedingt die Quantität ± , die ausreicht, um den Wärmebedarf der kalten Stoffströme zu decken.

j

Der Pinch unterteilt den Prozeû in zwei wärmetechnisch getrennte Teilprozesse. Dem Teilprozeû oberhalb des Pinch muû über das Heizmedium der Wärmestrom Q_ H min zugeführt werden; er stellt deshalb eine Wärmesenke dar. Der Teilprozeû unterhalb des Pinch gibt den Wärmestrom Q_ K min an das Kühlmittel ab. Es gelten folgende Regeln: ± keine Wärmeabfuhr über das Kühlmittel aus dem Teilprozeû ¹Wärmesenkeª oberhalb des Pinch, ± keine Wärmezufuhr über das Heizmedium in den Teilprozeû ¹Wärmequelleª unterhalb des Pinch, ± keine Wärmeübertragung vom Teilprozeû ¹Wärmesenkeª auf den Teilprozeû ¹Wärmequelleª. Eine Regelverletzung würde in jedem Fall zu einem Mehreinsatz von Betriebsmitteln und damit zu einer Steigerung der Energiekosten führen.

2.1.2 Rechnerische Ermittlung des minimalen Betriebsmitteleinsatzes für Prozeûheizung und -kühlung Für Prozesse mit sehr vielen Stoffströmen ist die graphische Ermittlung des minimalen Wärme- bzw. Kühlbedarfs sehr aufwendig. Mit der Temperaturintervallanalyse steht ein Rechenalgorithmus zur Verfügung, der eine genaue Berechnung auf eine schnelle und sichere Weise ermöglicht. Für die Anwendung dieses Rechenverfahrens werden die Eintritts- und Austrittstemperaturen der heiûen Stoffströme um DTmin/2 abgesenkt und die der kalten Stoff-

Bild 3. Verschobene Summenkurven und Temperaturintervalle

Ausgehend vom Intervall mit dem höchsten Temperaturniveau kann jetzt für jedes Temperaturintervall DTi das Wärmeangebot der heiûen Stoffströme, der Wärmebedarf der kalten Stoffströme und der resultierende Wärmeüberschuû bzw. das resultierende Wärmedefizit nach ! X X _Qi ˆ _ _ …11† WK j WH j DTi j

j

berechnet werden. Es ist grundsätzlich möglich, Wärmeüberschüsse aus Temperaturintervallen mit einem höherem Temperaturniveau zur Deckung der Wärmedefizite von Temperaturintervallen mit einem niedrigerem Temperaturniveau einzusetzen. Umgekehrt ist die Nutzung der Wärmeüberschüsse heiûer Stoffströme aus Temperaturintervallen auf niedrigerem Temperaturniveau zur Deckung des Wärmebedarfs kalter Stoffströme auf einem höheren

C

Cd 4

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Temperaturniveau nicht möglich. Die Wärmeüberschüsse bzw. -defizite der einzelnen Temperaturintervalle werden nun ± angefangen vom höchsten Temperaturintervall ± addiert. Diese addierten Werte sind in Bild 4 als sog. Wärmestromprofil dargestellt.

C

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Beispiel 1 Für den in Bild 5 vorgestellten Prozeû mit jeweils zwei aufzuheizenden und zwei abzukühlenden Stoffströmen sollen der mindestens zuzuführende Wärmestrom Q_ Hmin und der mindestens abzuführende Wärmestrom Q_ Kmin ermittelt werden. In den verwendeten Gegenstrom-Wärmeübertragern soll eine minimale Temperaturdifferenz DTmin=10 K nicht unterschritten werden. a) Man stelle die Summenkurven der aufzuheizenden und abzu_ kühlenden Stoffströme in einem T, DH-Diagramm dar. b) Durch Parallelverschiebung der ¹kaltenª Summenkurve zur _ DH-Achse sollen der dem Prozeû mindestens zuzuführende Wärmestrom Q_ Hmin und der mindestens aus dem Prozeû abzuführende Wärmestrom Q_ Kmin graphisch ermittelt werden. c) Durch die Anwendung der Temperaturintervallanalyse berechne man die dem Prozeû mindestens zu- bzw. abzuführenden Wärmeströme.

Bild 4. Wärmeüberschüsse und -defizite im Wärmestromprofil

In einem Temperaturintervall stellt sich das betragsmäûig gröûte Wärmedefizit ein, d. h., es gibt prozeûintern keine Überschuûwärme, die eine ausreichende thermodynamische Qualität besitzt, um dieses Wärmedefizit abzudecken. Dieser Wärmestrom muû daher dem Prozeû von auûen in ausreichender Qualität über das Heizmedium zugeführt werden. Der Kühlbedarf des Prozesses resultiert aus der Addition des Wärmeüberschusses bzw. -defizits des Temperaturintervalls mit dem niedrigsten Temperaturniveau und dem Heizwärmestrom. Damit sind der bisher nur graphisch durch Verschieben der Summenkurve ermittelte minimale Wärmebedarf Q_ H min sowie der minimale Kühlbedarf Q_ K minrechnerisch bestimmt. Die Konsequenz dieser Maûnahme ist in Bild 4 angedeutet. Auch aus dieser Darstellung wird die Unterteilung des Gesamtprozesses in die beiden Teilprozesse ¹Wärmequelleª und ¹Wärmesenkeª deutlich.

a) In Bild 6 sind die Zustandsänderungen der einzelnen heiûen und _ kalten Stoffströme des Prozesses in einem T, DH-Diagramm dargestellt. Dieser Darstellung ist zu entnehmen, daû sowohl für die aufzuheizenden (¹kaltenª) als auch für die abzukühlenden (¹heiûenª) Stoffströme jeweils drei Temperaturintervalle existieren.

_ Bild 6. Stoffströme im T,DH-Diagramm (Beispiel 1) ± Summenkurve der heiûen Stoffströme Die Temperaturintervalle sind durch die Ein- bzw. Austrittstemperaturen der zwei heiûen Stoffströme festgelegt: DTH1=450 KÐ400 K=50 K, DTH2=400 KÐ350 K=50 K, DTH3=350 KÐ310 K=40 K. Im ersten Temperaturintervall existiert nur der Stoffstrom 4 mit W_ 4=1,0 kW/K. Im zweiten Temperaturintervall treten die beiden heiûen Stoffströme 1 und 4 auf. Der Wärmekapazitätsstrom wird damit (W_ 1+W_ 4)=(1,0+2,0)=3,0 kW/K. Im dritten Temperaturintervall existiert nur noch der Stoffstrom 1 mit W_ 1=2,0 kW/K. Entsprechend folgen die summarischen Enthalpieänderungen der heiûen Stoffströme in den drei Temperaturintervallen zu DH_ H1=W_ 4 DTH1=50 kW, DH_ H2=(W_ 1+W_ 4) DTH2=150 kW, DH_ H3=W_ 1 DTH3=80 kW. ± Summenkurve der kalten Stoffströme

Bild 5. Verfahrensflieûschema für Beispiel 1

Die Temperaturintervalle sind durch die Ein- bzw. Austrittstemperaturen der zwei kalten Stoffströme festgelegt:

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Lösung

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Cd 5

DTK1=390 KÐ370 K=20 K, DTK22=370 KÐ330 K=40 K, DTK3=330 KÐ300 K=30 K. Im ersten Temperaturintervall der kalten Stoffströme existiert Stoffstrom 2 mit W_ 2=1,8 kW/K. Im zweiten Intervall treten die beiden kalten Stoffströme 2 und 3 mit dem Wärmekapazitätsstrom (W_ 2+W_ 3)=(1,8+4,0)=5,8 kW/K auf. Im dritten Temperaturintervall der kalten Stoffströme tritt wiederum nur noch der kalte Stoffstrom 2 auf. Die Summe der Enthalpieänderungen der kalten Stoffströme in den jeweiligen Temperaturintervallen folgt damit zu DH_ K1=W_ 2 DTK1=36 kW, DH_ K2=(W_ 2+W_ 3) DTK2=232 kW,

C

Bild 8. Verschiebung der Ein- und Austrittstemperaturen der Stoffströme

DH_ K3=W_ 2 DTK3=54 kW.

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Die berechneten Enthalpieänderungen der heiûen und kalten Stoffströme in den jeweiligen Temperaturintervallen können nun im _ T, DH-Diagramm Bild 7 graphisch dargestellt werden. b) Durch Parallelverschiebung der kalten Summenkurve in horizontaler Richtung wird an einem Punkt, dem sog. ¹Pinchª, die zulässige minimale Temperaturdifferenz DTmin=10 K zwischen der heiûen und kalten Summenkurve vorgegeben. Im vorgestellten Beispiel wird der Pinch durch die Eintrittstemperatur T3 e des kalten Stoffstromes 3 festgelegt. Aus dem Diagramm kann für die vorgegebene zulässige minimale Temperaturdifferenz der für den Betrieb des Prozesses mindestens erforderliche Wärmestrom zu Q_ Hmin=48 kW und der mindestens abzuführende Wärmestrom zu Q_ Kmin=6 kW bestimmt werden.

zesses. Für dieses Temperaturintervall ergibt sich ein Wärmedefizit von DQ_ 3=(ÐW_ 1ÐW_ 4+W_ 2+W_ 3) DT3=84 kW. In den vorhergehenden Temperaturintervallen betrug der addierte Überschuû des Wärmeangebots der heiûen Stoffströme gegenüber dem Wärmebedarf der kalten Stoffströme insgesamt 74 kW. Diese können, da das Temperaturniveau und damit die Qualität des Wärmeangebots ausreichend ist, zur teilweisen Deckung des Wärmedefizits im Temperaturintervall DT3 genutzt werden. Nach diesem Intervall hat der Beispielprozeû damit ein kumuliertes Wärmedefizit von 10 kW. Tabelle 1 enthält die vollständige Temperaturintervallanalyse und die daraus abgeleitete Wärmekaskade. Das gröûte kumulierte Wärmedefizit tritt mit 48 kW im Temperaturintervall 4 auf. Dieser Wärmestrom muû dem Prozeû mindestens ± wie im rechten Tabellenteil gezeigt ± über das Heizmedium zugeführt werden. Der minimale Kühlbedarf folgt aus der Addition des Wärmedefizits des Temperaturintervalls 5 und der minimalen Wärmezufuhr Q_ Hmin .

Tabelle 1. Temperaturintervallanalyse und Wärmekaskade für den Beispielprozeû i

Bild 7. Summenkurven der heiûen und kalten Stoffströme (Beispiel 1) c) Für die Temperaturintervallanalyse werden zunächst die Ein- bzw. Austrittstemperaturen der heiûen Stoffströme um DTmin/2=5 K herabgesetzt und die der kalten Stoffströme um DTmin/2=5 K angehoben. Bild 8 zeigt die modifizierten Eintrittsbzw. Austrittstemperaturen der vier Stoffströme des Beispielprozesses. Diese Darstellung zeigt, daû die modifizierten Ein- bzw. Austrittstemperaturen der Stoffströme fünf Temperaturintervalle definieren, deren wesentliches Merkmal eine unterschiedliche Anzahl existierender heiûer und kalter Stoffströme sind. Für die einzelnen Temperaturintervalle DTi werden die Wärmeüberschüsse oder -defizite DQ_ i nach Gl. (11) berechnet. Exemplarisch soll diese Vorgehensweise für das Temperaturintervall DT3 zwischen 345 K und 375 K demonstriert werden. In diesem Temperaturintervall existieren sowohl beide heiûen als auch beide kalten Stoffströme des Pro-

H 1 2 3 4 K

DTi K

DQ_ i kW

DQ_ kum kW

DQ_ i kW

DQ_ kum kW

50 20 30 10 30

Ð50 Ð24 + 84 +38 Ð6

0 Ð50 Ð74 +10 +48 +42

Ð50 Ð24 + 84 +38 Ð6

Ð48 Ð98 Ð122 +38 0 Ð6

Die dem Prozeû mindestens zuzuführende Wärme beträgt damit in Übereinstimmung mit dem graphisch ermittelten Ergebnis a) Q_ Hmin=48 kW. Der Kühlbedarf des Prozesses ergibt sich zu Q_ Kmin=6 kW.

2.2 Maximale Anzahl der erforderlichen Wärmeübertrager für die Prozeûheizung und -kühlung Aus technischen und wirtschaftlichen Gründen sollte die Anzahl der Wärmeübertrager in einem Wärmeübertragernetzwerk möglichst gering gehalten werden. Die ma-

Cd 6

ximale Anzahl von Wärmeübertragern nW, max in einem Wärmeübertragernetzwerk ist von der Anzahl der Stoffströme des Prozesses nS und der Anzahl der eingesetzten Betriebsmittel nB für die Prozeûheizung bzw. -kühlung abhängig. Sie kann aus dem Euler-Theorem der Graphentheorie bestimmt werden. Nach diesem Theorem sind für die Verschaltung von (nB+nS) Stoffströmen maximal nW, max ˆ …nB ‡ nS

1†

…12†

wärmeübertragende Apparate zwischen diesen Stoffströmen erforderlich. Diese nW, max Wärmeübertrager stellen damit ein Wärmeverschiebungssystem dar, über das die Abdeckung des Wärme- bzw. Kühlbedarfs jedes Prozeûstromes sichergestellt wird. Jeder zusätzliche Wärmeübertrager ist redundant.

strömen auf die kalten Stoffströme übertragen werden kann, zugeordnet. Unterstellt man nun eine optimale Nutzung des treibenden Temperaturgefälles zwischen den heiûen und kalten Stoffströmen, so hat die Anzahl der Wärmeübertrager grundsätzlich keinen Einfluû auf die gesamte Fläche des Wärmeübertragernetzwerkes. Kann man mit genügender Genauigkeit von einem konstanten Wärmedurchgangskoeffizienten km für den gesamten Prozeû ausgegangen werden, so läût sich der mindestens für die Wärmeübertragung erforderliche Flächenbedarf nach Ages ˆ

  1 X Q_ km i DTln i

…16†

2.3 Abschätzung der erforderlichen Wärmeübertragungsfläche Entsprechend den vorangestellten Annahmen werden für den ersten Entwurf des Wärmeübertragernetzwerkes nur Gegenstrom-Wärmeübertrager eingesetzt. Die für die Übertragung eines Wärmestromes Q_ in einem Gegenstrom-Wärmeübertrager erforderliche Fläche läût sich nach Q_ …13† Aˆ kDTln ermitteln. In Gl. (14) steht DTln für die mittlere logarithmische Temperaturdifferenz, die für einen GegenstromWärmeübertrager durch DTln ˆ

…THe

TKa † …THa TKe †   THe TKa ln THa TKe

…14†

gegeben ist und k für den Wärmedurchgangskoeffizienten, für den 1 1 s 1 ˆ ‡ ‡ k aH l aK

…15†

gilt. Die Gröûen aH und aK sind die Wärmeübergangskoeffizienten des wärmeabgebenden bzw. wärmeaufnehmenden Stoffstromes; l ist die Wärmeleitfähigkeit und s die Dicke der Rohrwand. In einem Wärmeübertragernetzwerk wird die Gesamtfläche der zu installierenden Wärmeübertrager dann minimiert, wenn das zur Verfügung stehende treibende Temperaturgefälle für die Wärmeübertragung zwischen heiûen und kalten Stoffströmen optimal genutzt wird. Die_ ses treibende Temperaturgefälle ist im T, DH-Diagramm durch den vertikalen Abstand zwischen den Summenkurven der heiûen und kalten Stoffströme gegeben. _ Aus der Darstellung der Summenkurven im T, DH-Diagramm kann man für einen vorgegebenen Prozeû Enthalpieintervalle DH_ i identifizieren. Die Grenzen dieser Enthalpieintervalle werden, wie Bild 9 zeigt, durch die Unstetigkeitsstellen der Summenkurven festgelegt. Jedem dieser Enthalpieintervalle DH_ i ist eine mittlere logarithmische Temperaturdifferenz (DTln)i und ein Wärmestrom Q_ i , der in diesem Intervall von den heiûen Stoff-

Bild 9. Festlegung von Enthalpieintervallen aus den Summenkurven

abschätzen. In Gl. (16) ist Q_ der im Enthalpieintervall i übertragene Wärmestrom und DTln die mittlere logarithmische Temperaturdifferenz zwischen den heiûen und kalten Stoffströmen, die dieses Enthalpieintervall repräsentieren. Sind die Wärmeübergangskoeffizienten k der einzelnen heiûen und kalten Stoffströme bekannt, kann der gesamte Flächenbedarf des Wärmeübertragernetzwerkes aus ! X 1 X Q_ j …17† Ages ˆ DTln i aj i j i

berechnet werden. Die für die Wärmeübertragung mindestens erforderliche Fläche bestimmt nach Gl. (3) neben der Anzahl der zu installierenden Wärmeübertrager maûgeblich die erforderliche Investition. Diese Fläche ist, wie die vorangegangenen Ausführungen zeigen, in erster Näherung nur vom treibenden Temperaturgefälle für die Wärmeübertragung zwischen heiûen und kalten Stoffströmen des Prozesses und damit letztlich von der festgelegten minimalen Temperaturdifferenz DTmin abhängig. Damit sind sowohl die Kapitalkosten als auch die Betriebskosten des Wärmeübertragernetzwerkes in erster Näherung als Funktion einer einzigen Variablen ± der minimal im Wärmeübertragernetzwerk zulässigen Temperaturdifferenz DTmin ± darstellbar.

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Cd 7

Beispiel 2 Für den in Bild 5 vorgestellten Prozeû soll die Höchstanzahl der zu installierenden Wärmeübertrager und der mindestens erforderliche Flächenbedarf Amin für das Wärmeübertragernetzwerk einschlieûlich der externen Heizer bzw. Kühler abgeschätzt werden. Als Betriebsmittel sollen Kühlwasser (K) mit TK=konst=290 K und Heizdampf (H) mit TH=konst=500 K dienen. Die Wärmeübergangszahlen der einzelnen Stoffströme sind durch

C

a1=500 W/m2/K, a2=750 W/m2/K, a3=600 W/m2/K, a4=800 W/m2/K, aK=850 W/m2/K, aH=5000 W/m2/K gegeben. Die Wärmeleitwiderstände der Rohrwände können vernachlässigt werden. Bild 10. Enthalpieintervalle für Beispiel 2

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3 Entwurf von Wärmeübertragernetzwerken

Die Anzahl der maximal erforderlichen Wärmeübertrager kann aus der Anzahl der heiûen Stoffströme nH=2, der Anzahl der kalten Stoffströme nK=2 und der Anzahl der Betriebsmittel nB=2 (Heizdampf und Kühlwasser) nach Gl. (12) zu

3.1 Verschaltung aufzuheizender und abzukühlender Stoffströme

n=(nH+nK+nB)Ð1=5 bestimmt werden. Zur Abschätzung des erforderlichen Flächenbedarfes für die Wärmeübertragung werden zunächst aus den in Bild 10 dargestellten _ Summenkurven der heiûen und kalten Stoffströme im T, DH-Diagramm sieben Enthalpieintervalle DH_ i festgelegt. Für jedes einzelne Intervall i werden die mittlere logarithmische Temperaturdifferenz DTln i und die von den einzelnen Stoffströmen bzw. Betriebsmitteln j aufgenommenen bzw. abgegebenen Wärmeströme Q_ ij ermittelt. Aus diesen Daten kann nach Gl. (17) der Mindestflächenbedarf für die Wärmeübertragung in jedem Enthalpieintervall DH_ i abgeschätzt werden. Die Ergebnisse der Berechnung sind für alle Enthalpieintervalle in Tabelle 2 zusammengefaût. Somit kann der mindestens erforderliche Flächenbedarf für die Wärmeübertragung zu X Ages  Ai ˆ 43,64 m2 abgeschätzt werden.

Ein wesentliches Problem der Wärmeintegration ist der Entwurf einer Verschaltung von heiûen und kalten Stoffströmen, die die Realisierung der minimalen Wärmezuund -abfuhr gestattet. Diese Verschaltung sollte aus technischen und wirtschaftlichen Gründen mit einer möglichst geringen Anzahl von wärmeübertragenden Apparaten durchgeführt werden. Die Anzahl der möglichen Verschaltungen nimmt mit der Anzahl der auftretenden heiûen und kalten Stoffströme nach nS ˆ …nH nK †!

…18†

zu. In Gl. (18) steht nH für die Anzahl der wärmeabgebenden heiûen und nK für die Anzahl der wärmeaufnehmenden kalten Stoffströme. Für einen relativ einfachen Prozeû mit zwei heiûen und zwei kalten Stoffströmen existieren damit bereits 24 Möglichkeiten, diese Stoff-

Tabelle 2. Abschätzung des Flächenbedarfs für das Wärmeübertragernetzwerk des Beispielprozesses) Enthalpieintervall 1

2

Q_ i 1

kW

Q_ i 2

kW

Q_ i 3

kW

±

Q_ i 4

kW

±

Q_ i K

kW

Q_ i H

kW

THe

±

3 ±

36,0

4 ±

5

6

7

Ð100,0

Ð20,0

Ð54,0 54,0

3,8

15,5

46,6

6,2

8,4

34,4

103,5

13,8

±

Ð50,0

Ð50,0

±

±

±

Ð36,0

Ð12,2

K

500,0

THa

K

TKe

Ð6,0 ±

±

±

±

±

±

±

±

±

±

±

±

±

±

500,0

450,0

400,0

350,0

340,0

313,0

500,0

500,0

400,0

350,0

340,0

313,0

310,0

K

370,0

367,9

359,3

333,4

330,0

300,0

290,0

TKa

K

390,0

370,0

367,9

359,3

333,4

330,0

290,0

DTln i

K

119,7

131,0

59,0

26,9

13,0

11,4

21,5

Ai Å Ages c

X

m

2

Ai ˆ 4364 m2

0,46

0,16

2,38

18,48

5,48

6,0

15,79

0,89

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ströme miteinander zu verschalten. Von diesen Möglichkeiten sind jedoch nur eine geringe Zahl als technisch und wirtschaftlich sinnvoll anzusehen. Ein Algorithmus zum Auffinden der möglichen Verschaltungen sollte technisch und wirtschaftlich unsinnige Lösungen von vornherein ausschlieûen.

Oberhalb des Pinch, d. h. im Subsystem ¹Wärmesenkeª, muû zunächst die Anzahl der kalten Stoffströme am Pinch gröûer oder gleich der Anzahl der heiûen Stoffströme am Pinch sein, also

Das Auffinden und die Visualisierung der jeweiligen Verschaltungsmöglichkeiten geschieht zweckmäûigerweise in einer Gitterdarstellung. In dieser Darstellung werden, wie Bild 11 zeigt, die einzelnen Stoffströme durch waagerechte Strecken repräsentiert. Strecken, die für kalte (aufzuheizende) Stoffströme stehen, verlaufen von links nach rechts. Analog verlaufen Strecken, die heiûe (abzukühlende) Stoffströme repräsentieren, von rechts nach links. Wärmeübertragende Apparate werden durch Kreise symbolisiert. Handelt es sich dabei um Heizer und Kühler, so werden diese Apparate durch ein H oder ein K gekennzeichnet. Wärmeübertrager zwischen einem heiûen und einem kalten Stoffstrom werden durch eine vertikale Linie zwischen den Kreisen markiert.

Ist diese Forderung nicht erfüllt, muû man einen kalten Stoffstrom aufspalten, da es sonst zwangsläufig bei der Verknüpfung heiûer und kalter Stoffströme zu einer Unterschreitung der minimal zulässigen Temperaturdifferenz in einem Wärmeübertrager kommt. Diese Vorschrift ist in Bild 13 illustriert. Dargestellt sind zunächst die heiûe und die kalte Summenkurve oberhalb des Pinch. Es treten zwei heiûe und ein kalter Stoffstrom auf, d. h., die Forderung nK>nH ist nicht erfüllt. Während es problemlos möglich ist, den heiûen Stoffstrom 1 in einem Wärmeübertrager mit dem kalten Stoffstrom zu verknüpfen, ist eine anschlieûende Verschaltung des heiûen Stoffstromes 2 mit dem kalten Stoffstrom nur bei Unterschreitung der minimal zulässigen Temperaturdifferenz DTmin in diesem Wärmeübertrager möglich. Diesen Verstoû kann man durch eine Aufspaltung des kalten Stromes in die beiden Teilströme a und b verhindern. Verschaltet man nun den heiûen Stoffstrom 1 mit dem kalten Stoffstrom a und den heiûen Stoffstrom 2 mit dem kalten Teilstrom b, so ist die Wärmeintegration in diesem Subsystem ohne Unterschreitung der minimalen Temperaturdifferenz möglich.

nK  nH .

(19)

Bild 11. Gitterdarstellung eines Wärmeübertragungsnetzwerkes

Zum Entwerfen des jeweiligen Wärmeübertragernetzwerkes wird nun, wie in Bild 12 angedeutet, der betrachtete Prozeû in der Gitterdarstellung in die beiden Teilprozesse ¹Wärmequelle" und ¹Wärmesenkeª geteilt. Anschlieûend wird das Wärmeübertragernetzwerk für jedes dieser Teilsysteme in beliebiger Reihenfolge getrennt entworfen. Durch diese Vorgehensweise ist sichergestellt, daû keine Wärme über den Pinch von der Wärmesenke auf die Wärmequelle übertragen wird. Für jedes der beiden Teilsysteme wird mit der Verknüpfung heiûer und kalter Stoffströme am Pinch begonnen. Aus der Definition, daû sich am Pinch die minimale Temperaturdifferenz zwischen heiûen und kalten Stoffströmen einstellen muû, folgen einige Regeln und Vorschriften für die Verknüpfung heiûer und kalter Stoffströme. Bild 13. Stromteilung bei nh >nk oberhalb des Pinch

Eine weitere wichtige Regel für Verknüpfungen heiûer und kalter Stoffströme des Subsystems ¹Wärmesenkeª am Pinch ist, daû für die Wärmekapazitätsströme des wärmeaufnehmenden kalten Stoffstromes und des wärmeabgebenden heiûen Stoffstromes die Relation W_ K  W_ H Bild 12. Teilprozesse ¹Wärmesenkeª und ¹Wärmequelleª in der Gitterdarstellung

(20)

gilt. Ist dieses Kriterium nicht erfüllt, muû ein heiûer Stoffstrom in Teilströme aufgespalten werden, da es sonst auch in diesem Fall zu einer Unterschreitung der in

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den Wärmeübertragern zulässigen minimalen Temperaturdifferenz DTmin kommt.

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Bild 14 erläutert dieses Kriterium an einem Beispiel mit einem heiûen und zwei kalten Stoffströmen. Eine direkte Verschaltung des heiûen Stoffstromes mit einem der beiden kalten Stoffströme ist nicht möglich, da in jedem Fall in den Wärmeübertragern die minimal zulässige Temperaturdifferenz unterschritten werden würde. Teilt man jedoch den heiûen Stoffstrom in die beiden Teilströme a und b auf, so ist durch eine Wärmeübertragung z. B. zwischen dem heiûen Teilstrom a und dem kalten Stoffstrom 1 sowie dem heiûen Teilstrom b und dem kalten Stoffstrom 2 eine Wärmeübertragung ohne Unterschreitung der minimalen Temperaturdifferenz möglich.

C

Bild 15. Verschaltung von Stoffströmen im Teilprozeû ¹Wärmequelleª

Bild 14. Stromteilung bei W_ k5 % aus. Der mittlere Fehler für die Constantinou/Gani-Methode ist gröûer (2.3 %), was darauf zurückzuführen ist, dass der Normalsiedepunkt nicht als Eingangsinformation verwendet wird. Etwa 11 % der getesteten Substanzen hatten einen Fehler >5 %. Die Constantinou/Gani-Methode ist aber überlegen, wenn der Normalsiedepunkt nicht zur Verfügung steht, sondern abgeschätzt werden muss. Für den kritischen Druck liegt nach Poling et al. der mittlere Fehler bei 4.6 % (Joback) bzw. 5.5 % (Constantinou/Gani). Diese Fehler können sich ggf. auf die Schätzung des Dampfdrucks (Abschn. 5) oder auf die Genauigkeit von kubischen Zustandsgleichungen (Abschn. 4.2) übertragen. Von geringerer Wichtigkeit ist das kritische Volumen. Es geht lediglich bei der Schätzung der Flüssigkeitsdichte mit der COSTALD-Methode ein, wenn kein Referenzwert vorhanden ist. Die mittleren Fehler beider Methoden sind 3.1 % (Joback) und 3.7 % (Constantinou/Gani). Die Angaben zu den mittleren

D

Da 4

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Berechnungsmethoden für Stoffeigenschaften

D

Strukturgruppe

DT

Dp

Dv

DNBP

DM

DH

DG

ÐCH3 >CH2 >CHÐ >C< =CH2 =CHÐ =C< =C=  CH  CÐ ÐCH2Ð (Ring) >CHÐ (Ring) >C< (Ring) =CHÐ (Ring) =C< (Ring) ÐF ÐCl ÐBr ÐI ÐOH (Alkohole) ÐOH (Phenole) ÐOÐ ÐOÐ (Ring) >C=O >C=O (Ring) ÐCH=O ÐCOOH ÐCOOÐ =O ÐNH2 >NH >NH (Ring) >NÐ ÐN= ÐN= (Ring) =NH ÐCN ÐNO2 ÐSH ÐSÐ ÐSÐ (Ring)

0,0141 0,0189 0,0164 0,0067 0,0113 0,0129 0,0117 0,0026 0,0027 0,0020 0,0100 0,0122 0,0042 0,0082 0,0143 0,0111 0,0105 0,0133 0,0068 0,0741 0,0240 0,0168 0,0098 0,0380 0,0284 0,0379 0,0791 0,0481 0,0143 0,0243 0,0295 0,0130 0,0169 0,0255 0,0085

Ð0,0012 Ð0,0000 Ð0,0020 Ð0,0043 Ð0,0028 Ð0,0006 Ð0,0011 Ð0,0028 Ð0,0008 Ð0,0016 Ð0,0025 Ð0,0004 Ð0,0061 Ð0,0011 Ð0,0008 Ð0,0057 Ð0,0049 Ð0,0057 Ð0,0034 Ð0,0112 Ð0,0184 Ð0,0015 Ð0,0048 Ð0,0031 Ð0,0028 Ð0,0030 Ð0,0077 Ð0,0005 Ð0,0101 Ð0,0109 Ð0,0077 Ð0,0114 Ð0,0074 Ð0,0099 Ð0,0076

Ð65 Ð56 Ð41 Ð27 Ð56 Ð46 Ð38 Ð36 Ð46 Ð37 Ð48 Ð38 Ð27 Ð41 Ð32 Ð27 Ð58 Ð71 Ð97 Ð28 Ð25 Ð18 Ð13 Ð62 Ð55 Ð82 Ð89 Ð82 Ð36 Ð38 Ð35 Ð29 Ð 9

Ð5,10 Ð11,27 Ð12,64 Ð46,43 Ð4,32 Ð 8,73 Ð11,14 Ð17,78 Ð11,18 Ð64,32 Ð 7,75 Ð19,88 Ð60,15 Ð 8,13 Ð37,02 Ð15,78 Ð13,55 Ð43,43 Ð41,69 Ð44,45 Ð82,83 Ð22,23 Ð23,05 Ð61,20 Ð75,97 Ð36,90 155,50 Ð53,60 Ð 2,08 Ð66,89 Ð52,66 101,51 Ð48,84

0,0496 0,0437 0,0031 0,0119 0,0019

Ð0,0101 Ð0,0064 Ð0,0084 Ð0,0049 Ð0,0051

Ð91 Ð91 Ð63 Ð54 Ð38

125,66 152,54 Ð63,56 Ð68,78 Ð52,10

Ð59,89 127,24 Ð20,09 Ð34,40 Ð79,93

Ð76,45 Ð20,64 Ð 29,89 Ð 82,23 Ð9,63 Ð 37,97 Ð 83,99 Ð142,14 Ð 79,30 Ð115,51 Ð26,80 Ð 8,67 Ð 79,72 Ð 2,09 Ð 46,43 Ð251,92 Ð71,55 Ð29,48 Ð 21,06 Ð208,04 Ð221,65 Ð132,22 Ð138,16 Ð133,22 Ð164,50 Ð162,03 Ð426,72 Ð337,92 Ð247,61 Ð22,02 Ð 53,47 Ð 31,65 Ð123,34 Ð 23,61 Ð 55,52 Ð 93,70 Ð 88,43 Ð66,57 Ð17,33 Ð 41,87 Ð 39,10

Ð43,96 Ð 8,42 Ð 58,36 Ð116,02 Ð 3,77 Ð 48,53 Ð 92,36 Ð136,70 Ð 77,71 Ð109,82 Ð3,68 Ð 40,99 Ð 87,88 Ð 11,30 Ð 54,05 Ð247,19 Ð64,31 Ð38,06 Ð 5,74 Ð189,20 Ð197,37 Ð105,00 Ð98,22 Ð120,50 Ð126,27 Ð143,48 Ð387,87 Ð301,95 Ð250,83 Ð 14,07 Ð 89,39 Ð 75,61 Ð163,16

Ð34

Ð23,58 Ð22,88 Ð21,74 Ð18,25 Ð18,18 Ð24,96 Ð24,14 Ð26,15 Ð 9,20 Ð27,38 Ð27,15 Ð21,78 Ð21,32 Ð26,73 Ð31,01 Ð0,03 Ð38,13 Ð66,86 Ð93,84 Ð92,88 Ð76,34 Ð22,42 Ð31,22 Ð76,75 Ð94,97 Ð72,24 169,09 Ð81,10 Ð10,50 Ð73,23 Ð50,17 Ð52,82 Ð11,74 Ð74,60 Ð57,55

Fehler beziehen sich in allen Fällen auf Moleküle mit mehr als drei Kohlenstoffatomen, da für Stoffe mit weniger Kohlenstoffatomen in der Regel Messdaten vorliegen und eine Schätzung daher nicht sinnvoll ist. Da die Schätzung nach Constantinou/Gani nur auf der Strukturformel aufbaut, besteht auch die Möglichkeit, ähnliche Stoffe mit bekannten kritischen Daten als Referenz zu nehmen und nur die unterschiedlichen Strukturgruppen auszutauschen. Dies führt häufig zu Verbesserungen, garantiert ist dies aber nicht. Der Zweck dieser Vorgehensweise liegt vielmehr darin, dass die Sicherheit vor groben Fehlern erhöht wird. Ein Beispiel für diese Vorgehensweise findet sich unten.

Ð68,40

auf ihre Plausibilität hin zu überprüfen. Zc liegt erfahrungsgemäû innerhalb des Wertebereiches 0.211

0,1,2 0,1 0,1,2,3 0,1,2 0,1,2 0,1,2 0,1,2,3 0,1,2 0,1,2 0,1,2 0,1,2 0,1,2

Die Strukturgruppeneinteilung für m-Xylol ist:

b) Methode Constantinou/Gani Die Strukturgruppeneinteilung für m-Xylol lautet:

4”=CH- (Ring)

4”ACH

2”=C< (Ring)

2”ACCH3

2”ÐCH3

Second-Order-Groups können nicht zugeordnet werden.

Für die Gruppenbeiträge ergeben sich: X DT 5 4
…0:0082† 1 2
…0:0143† 1 2
…0:0141† 5 0:0896 X Dp 5 4
…0:0011† 1 2
…0:0008† 1 2
… 0:0012† 5 0:0036 X Dv 5 4
…41† 1 2
…32† 1 2
…65† 5 358

Für die Gruppenbeiträge ergeben sich: X DT 5 4
…3:7337† 1 2
…8:213† 5 31:3608 X Dp 5 4
…0:007542† 1 2
…0:01936† 5 0:068888 X Dv 5 4
…0:04215† 1 2
…0:10364† 5 0:37588

Damit berechnen sich die kritischen Daten zu:

Damit berechnen sich die kritischen Daten zu: 2

Tc 5 412:25 K=…0:584 1 0:965
0:0896 pc 5…0:113 1 0:0032
18 3

0:0896 † 5 622:32 K

0:0036† 2 bar 5 35:86 bar 3

vc 5…17:5 1 358† cm =mol 5 0:3755 m =kmol

Tc 5 181:128 K
ln 31:3608 5 624:09 K 2

pc 5‰…0:10022 1 0:068888† vc 5…0:37588

3

1 1:3705Š bar 5 36:34 bar

0:00435† m =kmol 5 0:37153 m3 =kmol

Alle Rechte vorbehalten  Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2006

D

Strukturgruppe

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Berechnungsmethoden für Stoffeigenschaften

Da 7

3.2 Azentrischer Faktor

Bild 2. Strukturformel von Toluol c) Methode Constantinou/Gani mit Toluol als Referenzstoff Für Toluol gilt: Tc=591.75 K, pc=41.1 bar, vc=0.3156 m3/kmol Rückwärts gerechnet ergeben sich für die Gruppenbeiträge von Toluol: X

Alle Rechte vorbehalten  Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2006

X X

DT, Toluol 5 exp…591:75=181:128† 5 26:233 Dp, Toluol 5…41:1

1:3705†

Dv, Toluol 5 0:3156

0:5

0:10022 5 0:05843

X X

DT 5 26:233

…3:7337† 1…8:213† 5 30:7123

Dp 5 0:05843

…0:007542† 1…0:01936† 5 0:070248

Dv 5 0:31125

…0:04215† 1…0:10364† 5 0:37274

Damit berechnen sich die kritischen Daten zu: Tc 5 181:128 K
ln 30:7123 5 620:3 K pc 5‰…0:10022 1 0:070248† vc 5…0:37274

2

1 1:3705Š bar 5 35:78 bar

0:00435† m3 =kmol 5 0:36839 m3 =kmol

Die experimentell gefundenen Werte für m-Xylol lauten: Tc=617.05 K pc = 35.4 bar vc=0.37516 m3/kmol In allen drei Varianten ist die Übereinstimmung der geschätzten und der experimentell gefundenen Werte bemerkenswert gut. Die Prüfung von Zc ergibt mit Zc 5

w5 1

  ps lg pc T=Tc 5 0:7

…8†

0:00435 5 0:31125

Die Strukturformeln von m-Xylol und Toluol unterscheiden sich darin, dass eine ACH-Gruppe durch eine ACCH3-Gruppe ersetzt wurde. Damit lassen sich die Gruppenbeiträge für m-Xylol bestimmen zu: X

Das einfache Korrespondenzprinzip besagt, dass eine generalisierte, für alle Stoffe gültige Zustandsgleichung mit nur zwei stoffspezifischen Parametern, z. B. Tc und pc , aufgelegt werden kann. Der Erfolg dieses Ansatzes beschränkte sich auf die Darstellung der Eigenschaften einfacher, kugelförmiger Moleküle wie z. B. Ar, Kr, Xe oder CH4 , wo Dampfdruck und Kompressibilitätsfaktor befriedigend in generalisierter Form dargestellt werden konnten. Bei anderen Molekülen führte das einfache Korrespondenzprinzip zu beträchtlichen Abweichungen. Hinreichend gute generalisierte Darstellungen konnten mit dem sog. erweiterten Korrespondenzprinzip erzielt werden, bei dem noch ein dritter stoffspezifischer Parameter, der eine Aussage über die Dampfdruckkurve macht, eingeführt wird. Der bekannteste Parameter dieser Art ist der azentrische Faktor w, definiert als

35:4
105
0:37516
10 8:3143
617:05

3

5 0:259

einen plausiblen Wert zwischen 0.21 und 0.29.

Physikalisch berücksichtigt w den Einfluss orientierungsabhängiger intermolekularer Wechselwirkungen auf die Stoffeigenschaften. Der Parameter wird in vielen Korrelationen zur Schätzung von Stoffeigenschaften verwendet, insbesondere ist er entscheidend bei der Anwendung kubischer Zustandsgleichungen (Abschn. 4.2). Die Definition ist insofern sinnvoll, als Dampfdrücke als Funktion der Temperatur zum einen relativ leicht zugänglich und zum anderen sehr charakteristisch sind. Die Bezugstemperatur T=0.7 Tc wurde gewählt, weil diese Temperatur häufig in der Gröûenordnung des Normalsiedepunktes liegt. Eine Schätzung von w läuft daher auf eine Schätzung der Dampfdruckkurve bzw. des Normalsiedepunktes hinaus. Obwohl Schätzmethoden für den azentrischen Faktor bekannt sind (z. B. Gruppenbeitragsmethode nach Constantinou/Gani [6]), wird dieses Konzept im Rahmen dieser Darstellung nicht propagiert, da die Schätzung von w lediglich eine Redundanz zur Schätzung des Normalsiedepunktes darstellt. Auch um Inkonsistenzen zu vermeiden, wird als Vorgehensweise empfohlen, w direkt über die Definitionsgleichung (8) aus der Dampfdruckkurve zu ermitteln. Für den Fall, dass die Dampfdruckkurve unbekannt ist, kann man ggf. den Normalsiedepunkt (Abschn. 3.3) und den kritischen Punkt (Abschn. 3.1) schätzen und daraus über die in Abschn. 5 beschriebene Hoffmann-Florin-Gleichung die Dampfdruckkurve bestimmen. Der azentrische Faktor steigt mit der Gröûe des Moleküls, es treten aber nur in Extremfällen Werte >1 auf. Helium (w=Ð0.39) und Wasserstoff (w=Ð0.216) haben als sog. Quantengase negative azentrische Faktoren. Methan und die Edelgase Argon, Krypton, Xenon und Neon haben Werte, die wenig gröûer als 0 sind. Ansonsten ist wC< =CH2 =CHÐ =C< =C=  CH  CÐ ÐCH2Ð (Ring) >CHÐ (Ring) >C< (Ring) =CHÐ (Ring) =C< (Ring) ÐF ÐCl ÐBr ÐI ÐOH (Alkohole) ÐOH (Phenole) ÐOÐ ÐOÐ (Ring) >C=O >C=O (Ring) ÐCH=O ÐCOOH ÐCOOÐ =O ÐNH2 >NH >NH (Ring) >NÐ ÐN= ÐN= (Ring) =NH ÐCN ÐNO2 ÐSH ÐSÐ ÐSÐ (Ring)

19,500 Ð0,909 Ð23,000 Ð66,200 23,600 Ð8,000 Ð28,100 27,400 24,500 7,870 Ð6,030 Ð20,500 Ð90,900 Ð2,140 Ð8,250 26,500 33,300 28,600 32,100 25,700 Ð2,810 25,500 12,200 6,450 30,400 30,900 24,100 24,500 6,820 26,900 Ð1,210 11,800 Ð31,100

Ð0,808 9,500 20,400 42,700 Ð3,810 10,500 20,800 Ð5,570 Ð2,710 2,010 8,540 16,200 55,700 5,740 10,100 Ð9,130 Ð9,630 Ð6,490 Ð6,410 Ð6,910 11,100 Ð6,320 Ð1,260 6,700 Ð8,290 Ð3,360 4,270 4,020 1,960 Ð4,120 7,620 Ð2,300 22,700

1,5300 Ð9,670 Ð0,5440 1,190 Ð2,6500 12,000 Ð6,4100 30,100 1,7200 Ð10,300 Ð0,9630 3,560 Ð3,0600 14,600 1,0100 Ð5,020 1,1100 Ð6,780 Ð0,0833 0,139 Ð0,0800 Ð1,800 Ð1,6000 6,240 Ð9,0000 46,900 Ð0,0164 Ð1,590 Ð1,4200 6,780 1,9100 Ð10,300 1,8700 Ð9,960 1,3600 Ð7,450 1,2600 Ð6,870 1,7700 Ð9,880 Ð1,1600 4,940 1,1100 Ð5,480 0,6030 Ð3,860 Ð0,3570 0,286 2,3600 Ð13,100 1,6000 Ð9,880 0,8040 Ð6,870 0,4020 Ð4,520 0,1270 Ð1,780 1,6400 Ð9,760 Ð0,4860 1,050 1,0700 Ð6,280 Ð3,2000 14,600

8,830 5,690 36,500 25,900 35,300 19,600 16,700

Ð0,384 Ð0,412 Ð7,330 Ð0,374 Ð7,580 Ð0,561 0,481

0,4350 Ð2,600 1,2800 Ð8,880 1,8400 Ð10,300 1,2900 Ð8,880 1,8500 Ð10,300 0,4020 Ð2,760 0,2770 Ð2,110

Für cid p führt das auf ~cid p 5…62:591 37:93† 1…0:11904 1 0:21†
…298:15† J=molK
1 2:918
10 4 3:91
10 4
…298:15†2
1 2:267
10 7 1 2:06
10 7
…298:15†3

muss, um die Moleküle voneinander zu entfernen. Wird diese Energie nicht von auûen zugeführt, kühlt sich der Stoff bei der Expansion ab (z. B. adiabate Drosselung bei der Luftverflüssigung). Um Effekte dieser Art zu berücksichtigen, ist die spezifische Wärmekapazität im Zustand des idealen Gases nicht mehr ausreichend. Die Enthalpiedifferenz vom Zustand des idealen Gases bei p=0 und einem Zustand in der Gasphase bei beliebigem Druck kann bei nichtassoziierenden Stoffen für eine gegebene Temperatur über die kubischen Zustandsgleichungen ermittelt werden. Die entsprechenden Ausdrücke lauten: Peng-Robinson-Gleichung: ~ Dhreal Gas 5 h…T, p†

Für Gemische idealer Gase gilt als exakte Mischungsformel X ~xi ~cid …54† ~cid p, Gem 5 p, i i

6.3 Realgaskorrekturen Mit zunehmendem Druck spielen bei der Berechnung der spezifischen Enthalpie von Gasen auch intermolekulare Kräfte eine Rolle. In der Regel sind diese Kräfte anziehender Natur, so dass Energie aufgewendet werden

~h…T, p 5 0† 5 R ~ T…Z 1† p !  ¶a v 1…1 1 2† b p T …55† ln ¶T v 1…1 2 †b

 1 p a 8b

Soave-Redlich-Kwong-Gleichung: ~ Dhreal Gas 5 h…T, p†  1 a b

~h…T, p 5 0† 5 R ~ T…Z

T

   ¶a v1b ln ¶T v

1†

…56†

Der Realteil der spezifischen Wärmekapazität von Gasen wird dann durch Ableiten der entsprechenden Ausdrücke Dcreal p, Gas 5

  ¶ Dhreal Gas ¶T p

…57†

gebildet. Da dies auf einen sehr komplizierten Ausdruck führt, wird für Einzelanwendungen empfohlen, den Differentialquotienten in Gl. (57) durch den Differenzenquotienten anzunähern. Die Berücksichtigung von Realteilen von Enthalpien ist besonders wichtig bei assoziierenden Substanzen. Berücksichtigt man nur die Dimerisation gleichartiger Moleküle, lässt sich mit dem in Abschn. 4.2 beschriebenen Assoziationsmodell der Realteil der Enthalpie durch Dhreal Gas, Ass: 5

5 113:397 bzw. cid p =1.287 J/gK. Der tatsächliche Wert beträgt 1.298 J/gK.

Da 17

~zD DhD ~zM 1 2~zD

…58†

mit ~ f 0B DhD 5 R

…59†

wiedergeben, wobei B der Koeffizient aus Gl. (34) ist. Bereits diese Rechnung ist recht komplex, da zunächst über die Gleichungen (36) und (38) die wahren Konzentrationen berechnet werden müssen. Der Realteil der spezifischen Wärmekapazität muss wieder durch Bildung des Differenzenquotienten ermittelt werden. Bild 8 zeigt die spezifischen Wärmekapazitäten mit und ohne Berücksichtigung des Realanteils für Essigsäure.

D

Die Korrelation der spezifischen Wärmekapazität kann erfolgen mit der Gleichung  2  3 cflp T T T E 1D 1 …62† 5 A1B 1C K K K J=kgK …T=K†2

7 p = 0.1 bar p = 1 bar

6

p = 5 bar

cp / J/gK

5 4 3 2 1 ideal, p = 0 0 0

50

100

150

t / °C

200

250

300

350

Bild 8. Spezifische Wärmekapazität von gasförmiger Essigsäure bei verschiedenen Drücken

6.4 Spezifische Wärmekapazität der Flüssigkeiten Die spezifische Wärmekapazität der Flüssigkeiten ist eine Funktion der Temperatur, die Abhängigkeit vom Druck kann in der Regel vernachlässigt werden. Im Gegensatz zum idealen Gas ist es wegen der weitgehenden Inkompressibilität von Flüssigkeiten unerheblich, zwischen isobarer und isochorer Wärmekapazität zu unterscheiden. Bei niedrigen Temperaturen (ca. bis zum Normalsiedepunkt) besteht eine näherungsweise lineare Abhängigkeit von der Temperatur, die dann zu höheren Temperaturen hin immer steiler wird. Oft bildet sich beim Temperaturverlauf auch ein flaches Minimum aus (Bild 9). Am kritischen Punkt ist die spezifische Wärmekapazität der Flüssigkeit unendlich. 5

Nur für wenige Stoffe müssen alle Koeffizienten angepasst werden. Meist ist eine quadratische Abhängigkeit von der Temperatur ausreichend; auf die Extrapolation zum kritischen Punkt hin wird normalerweise kein Wert gelegt, da die Gröûe wegen der gröûer werdenden Differenz zwischen cp und cs ohnehin nicht mehr sauber zu handhaben ist. Für viele Substanzen existieren keine Daten für cflp oberhalb des Normalsiedepunktes. Meist ist dann nur eine lineare Temperaturabhängigkeit gerechtfertigt, deren Extrapolation zu höheren Temperaturen dann völlig willkürlich ist. Abhilfe schaffen kann hier die Generierung zusätzlicher Werte mit einer Schätzmethode. Koeffizienten zur Beschreibung der spez. Wärmekapazität mit Gl. (62) sind in Abschn. Dca für 275 Stoffe aufgeführt. Zur Schätzung von cflp kann die Methode von RowlinsonBondi verwendet werden, die auf der spez. Wärmekapazität des idealen Gases und dem erweiterten Korrespondenzprinzip aufbaut: ~ ~ ~cflp 5~cid p 1 1:45 R 1 0:45 R…1

Tr †

1

~
‰17:11 1 0:25 w R

4.9 4.8

1 25:2…1

4.7

fl

cp / J/gK

D

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Berechnungsmethoden für Stoffeigenschaften

4.6

Tr †1=3 Tr 1 11:742…1 Tr † 1 Š

…63†

Die zu erwartende Abweichung beträgt gröûenordnungsmäûig 5 %.

4.5 4.4 4.3 4.2 4.1 0

50

100

t / °C

150

200

250

Beispiel 11

Bild 9. Spezifische Wärmekapazität von fl. Wasser in Abhängigkeit von der Temperatur

Man schätze die spezifische Wärmekapazität von Methylethylketon bei t=100 C ab.

Für eine siedende Flüssigkeit, wie sie in der Verfahrenstechnik häufig auftritt, ist die spezifische isobare Wärmekapazität cp keine sinnvolle Gröûe, da in diesem Fall eine Wärmezufuhr bei konstantem Druck nicht zu einer Temperaturerhöhung, sondern zu einer Verdampfung führen würde. In der Praxis verwendet man daher eine ¹spezifische Wärmekapazität entlang der Siedelinieª (cs), ohne dass im Sprachgebrauch zwischen diesen beiden Gröûen unterschieden wird. Der Zusammenhang ist "  # ¶v d ps ~cs 5 ~cp 1 v T …60† ¶T p dT

Gegeben sind: cid p (100 C)=1.671 J/gK, Tc=535.55 K, w=0.323, ~ 72.11 g/mol. M=

Der Unterschied zwischen den beiden Gröûen ist nur für hohe Temperaturen bedeutsam. Faustregel ist, dass er für T0.7 Tc empfiehlt Sastri [23] die Gleichung    1 T=Tc  h ln h…TNBP † 1 TNBP =Tc a h…TNBP † ln 5 …85† ln mPas ln‰a h…TNBP †Š mPas Bei Alkoholen ist a=0.1175 zu setzen, für andere Komponenten a=0.248. Mit Abweichungen um 10 % ist zu rechnen. Beispiel 13 Man bestimme die dynamische Viskosität von siedendem n-Butan bei 100 C. TNBP=272.65 K, Tc=425.15 K, hNBP=0.202 mPas.  1 1 h ln 0:202 ln 5 mPas ln‰0:248
0:202Š

373:15=425:15 272:65=425:15

ln…0:248
0:202† 5 2:418

) h 5 0:089 mPas Der tatsächliche Wert ist 0.079 mPas.

Mit zunehmendem Druck steigt die Viskosität der Flüssigkeit an. Nach Lucas [15] lässt sich der Effekt abschätzen über h…T, p† 5 h…T, ps …T††

1 1 D…Dpr =2:118†A 1 1 C w Dpr

…86†

mit Dpr 5

p

ps …T† pc 4:674
10 4 1:0523Tr 0:03877 1:0513

A 5 0:9991 D5

…86 a†

0:3257 1:0039

Tr2:573


0:2906

0:2086

C 5 0:07921 1 2:1616 Tr

13:404 Tr2 1 44:1706 Tr3

84:8291 Tr4 1 96:1209 Tr5

59:8127 Tr6 1 15:6719 Tr7

Der zu erwartende Fehler dieser Beziehung liegt im Bereich von 10 %.

Da 22 Beispiel 14

Man bestimme die dynamische Viskosität von Methylcyclohexan bei 300 K und 500 bar. h (300 K, Siedelinie)=0.66 mPas ps (300 K)=67 mbar pc=34.7 bar Tc=572.15 K w=0.236 Für die einzelnen Terme ergeben sich folgende Werte: Tr=0.5243 Dpr=14.407 A=0.98221 D=0.13717

kinetische Energie der Teilchen steigt und somit mehr Impuls übertragen werden kann. Die dynamische Viskosität von Gasen kann bei niedrigen Drücken abgeschätzt werden nach Lucas [16]: hid FPid  5 0:807 Tr0:618 10 7 Pas x

mit dem Korrekturfaktor Fid P zur Berücksichtigung des Einflusses der Polarität, die durch das reduzierte Dipolmoment mr  2   2 m p c Tc mr 5 52:46 …89† debye bar K

h…300 K, 500 bar†

für 0  mr  0:022

110:13717
…14:407=2:118†0:98221 5 1:04 mPas 1 1 0:06191
0:236
14:407

für 0:022  mr  0:075

Für Gemische lässt sich die Viskosität abschätzen über X h h ~xi ln i 5 ln …87† Pas Pas i

Beispiel 15 Man bestimme die dynamische Viskosität eines Methanol-WasserGemisches bei t=40 C für ~xMethanol =0.5164. hWasser=0.6796 mPas, hMethanol=0.4468 mPas. h 5 0:5164 ln 0:4468 1 0:4836 ln 0:6796 5 0:6028 mPas ) h 5 0:5473 mPas

Der tatsächliche Wert ist mit h=0.9345 mPas gröûer als beide Reinstoffwerte, was bei der Struktur der Gl. (87) nicht reproduziert werden kann.

7.2 Dynamische Viskosität von Gasen Nach der kinetischen Gastheorie ist die Viskosität eines idealen Gases unabhängig von der Dichte [17]. Dies kann anschaulich dadurch erklärt werden, dass bei geringen Gasdichten einerseits zwar weniger Teilchen für den Impulsaustausch zur Verfügung stehen, andrerseits aber durch die gröûere mittlere freie Weglänge pro Stoû mehr Impuls übertragen werden kann. Beide Effekte heben sich beim idealen Gas gegeneinander auf; beim realen Gas nimmt dagegen die Viskosität mit der Dichte zu. Dagegen gibt es eine ausgeprägte Abhängigkeit von der Temperatur, weil mit steigender Temperatur die mittlere

FPid 5 1130:55…0:292 Zc †1:72 j0:96 10:1…Tr 0:7†j für mr  0:075 x wird als inverse reduzierte Viskosität bezeichnet und kann bestimmt werden aus  1=2    1=6  ~ Tc pc 2=3 M x 5 0:176 …91† g=mol K bar Es gibt noch einen weiteren Korrekturfaktor, der nur bei den sog. Quantengasen H2 , D2 und He berücksichtigt wird [19, 20]. Der mittlere Fehler der Methode beträgt ca. 1...4 %, weshalb auf Messungen dieser Gröûe in aller Regel verzichtet wird. Der typische Verlauf der dynamischen Viskosität von Gasen ist in Bild 14 dargestellt. Für die Prozessrechnung kann er durch ein einfaches Polynom  2  3  4 hid T T T T 5 A1 B 1C 1D 1E …92† K K K K Pas wiedergegeben werden. Koeffizienten für Gl. (92) sind in Abschn. Dca angegeben. 50.00 45.00 40.00 35.00

-6

Mehr als eine Gröûenordnung lässt sich auf diese Weise jedoch nicht ermitteln. Durch Zuhilfenahme eines Messwertes oder die Anwendung von Gruppenbeitragsmethoden lassen sich erhebliche Verbesserungen in der Genauigkeit erzielen. Eine ausführliche Zusammenstellung von Methoden dieser Art findet sich in [19].

Zc †1:72

FPid 5 1 1 30:55…0:292

Der experimentell gefundene Wert liegt bei 1.09 mPas.

…90†

30.00 25.00 20.00 15.00 10.00 5.00 0.00 -100

200

t / °C

500

800

Bild 14. Dynamische Viskosität von gasförmigem Wasser in Abhängigkeit von der Temperatur

Alle Rechte vorbehalten  Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2006

FPid 5 1

Daraus folgt dann:

ln

…88†

charakterisiert wird. Es gilt:

C=0.06191

5 0:66 mPas

0:357 exp… 0:449 Tr †

1 0:34 exp… 4:058 Tr † 1 0:018Š

η / 10 Pas

D

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Berechnungsmethoden für Stoffeigenschaften

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Berechnungsmethoden für Stoffeigenschaften

Beispiel 16

mit

Man bestimme die dynamische Viskosität von Ammoniak bei t=300 C und p=1 bar.

B Z2 5 0:6 1 0:76 pA r 1…6:99 pr

0:6†…1

Tr †

…96 a†

A 5 3:262 1 14:98 p5:508 r

Gegeben sind:

B 5 1:39 1 5:746 pr

Tc=405.65 K

und dem Korrekturfaktor

pc=112.8 bar

Fp 5 1 1…Fpid

Zc=0.242

Als Faustwert für die Genauigkeit gibt der Autor 10 % an. In beiden Fällen gibt es auch für die Quantengase wieder gesonderte Korrekturfaktoren [16], auf die hier nicht eingegangen wird.

m=1.5 debye ~ M=17.03 g/mol Es sind dann:

mr 5 52:46
1:52
112:8
405:65

2

x 5 0:176…405:65†1=6 …17:03†

…112:8†

1=2

2=3

0:357 exp… 0:449
1:4129†

1 0:34 exp… 4:058
1:4129† 1 0:018Š 5 197:2 ) hid 5 19:72m Pas Der tatsächliche Wert ist hid=20.1 m Pas.

h 5 hid Z2 Fp

…93†

0:3286

1:7368 exp…2:231 Tr D5 Tr

†

…94 a†

37:7332

7:6351

†

Fp 5

1†Z2

Fpid

†

h

5 Z2

Fp x

und damit

Fp 5

A pEr 5 4:7936 1 F Bpr 1…1 1 C pD r †

1 1…1:1756 1†
4:7936 1:1756

3

5 0:8520

Die dynamische Viskosität beträgt dann: h 5 14:6 m Pas
4:7936
0:852 5 59:6 m Pas Der experimentelle Wert ist h=57.1 m Pas.

…95†

Für Tr104 vor. Im Übergangsbereich 2300 …FrGm †0tt,,5Gr1 : X  0,34 und FrGm

Nebelströmung liegt in Abhängigkeit von (We/Fr)L vor, wenn gilt ,5 0,5 X < 0,51 und FrGm  …FrGm †0Gr2 :

Die Ringströmung ergibt sich als letzte Alternative der Abfrage und ist durch mehrere Grenzkurven festgelegt. In Bild 6 ist nicht nur die Grenze für den Fall turbulenter Gas- und Flüssigkeitsströmung (Index t, t) eingezeichnet, sondern auch für den Fall turbulenter Gasströmung bei laminarer Flüssigkeitsströmung (Index l, t). Da die Unterschiede für die Praxis keine Bedeutung haben, sind nur die für den turbulenten Fall geltenden Gleichungen angegeben worden. Sonderfälle sind in [8] zu finden.

Hierin bedeuten …Fr Eu†G ˆ xG ˆ

Beispiel 1 In einem horizontalen Verdampferrohr mit d=14 mm strömt das Kältemittel R 12 bei einem Siededruck p=1,51 bar (Js= ± 20 C).

xG …m_ x_ †2 , 2 d g rG …rL rG † sin Q

0,3164 ReG0,25

…11†

,

…12†

ReG ˆ m_ x_ d=hG :

…13†

Weiterhin sind folgende dimensionslose Gröûen verwendet worden, die man mit Hilfe der in Bild 7 aufgezeichneten geometrischen Gröûen unter Vorgabe der Flüssig-

_ Die Massenstromdichte beträgt m=80 kg/m2 s. Man berechne die sich einstellenden Strömungsformen für die x_ -Werte 0,01; 0,02; 0,1; 0,2; 0,3; 0,5; 0,7; 0,8 und 0,9.

Tabelle 1. Ergebnisse zum Berechnungsbeispiel 1 x_

0,01

0,02

0,1

0,2

0,3

0,5

0,7

0,8

0,9

6,75

3,65

0,83

0,41

0,25

0,12

0,058

0,036

0,018

1,09

2,18

10,44

19,69

27,62

0,5 FrGm

0,019

0,037

0,187

(Fr EuL)0,5

0,021

0,021

0,019

X …ReL Fr0G †

0,5

0,374

0,561

±

±

0,934

± 1,31

± 1,5

1,68

±

±

±

±

±

±

(We/Fr)L

±

±

±

±

±

±

196

196

196

ReL

3412,7

3378,3

3102,5

±

±

±

±

±

±

±

±

±

±

±

±

Wellenströmung

Ringströmung

Wellenströmung

Wellenströmung

xL

0,0414

0,0415

0,0424

Ergebnis ge- Schichtenmäû Bild 6 strömung

Schichtenströmung

Schichtenströmung

WellenWellenströmung *) strömung

*) Nach Abschn. 3.2 ist wegen …ReL Fr G0 †0,5  2
…ReL Fr G0 †tt0,,5Gr bei x_ =0,2 der Bereich ¹Schichten-Wellen-Strömungª vorhanden. Werden nach den Abfragekriterien die anderen Kenngröûen nicht benötigt, so fehlen in dieser Tabelle die Zahlenwerte.

H

Hbb 6

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Strömungssieden gesättigter Flüssigkeiten

ben. Rouhani [10] gab eine Korrelation an, die mit Meûwerten gut übereinstimmt [8]:    1 x_ x_ x_ eˆ …1 ‡ 0,12 …1 x_ †† ‡ rL rG rG # 1 …26† 1,18 …1 x_ † …g s …rL rG ††0,25 : ‡ m_ rL0,5 Bild 7. Querschnitts- und Umfangsanteile in einem Kreisrohr

Mit e ergeben sich iterativ der unbenetzte Winkel j im Bogenmaû

~hL ˆ h=d:

…14†

Die Indizes L und G bedeuten Flüssigkeit bzw. Dampf; i ist die Phasengrenzfläche. Sie sind im folgenden alternativ zu benutzen:

H

~ L, G, i ˆ UL, G, i =d , U

…15†

~fL, G ˆ fL, G =d 2 :

…16†

Für 0  ~hL  1 gilt q ~ Ui ˆ 2 ~hL …1 ~hL †:

…17†

j ˆ 2 p e ‡ sin …j 180=p† und der Näherungswert ~hL, o ˆ

~ L ˆ y=2 , U

…18 a†

FrGm  …FrGm †tt, Gr1 16 ~fG3  ˆ q p2 1 …2 ~hL 1†2

…20†

~fL ˆ …y

sin …y 180=p††=8,

…21†

~fL :

…22†

…23†

~L ˆ p U

~G , U

…24†

~fG ˆ …j

sin …j 180=p††=8,

~fL ˆ p 4

~fG :

…25 a† …25 b†

Ä L,G,i=f (~hL) und ÄfL,G=f (~hL) sind, läût sich aus Da U Gl. (10) die mittlere relative Flüssigkeitshöhe ~hL (X) iterativ berechnen. Hierfür ist i. allg. ein brauchbarer Näherungswert erforderlich. Dieser ermöglicht, abgesehen vom Fall ~hL  0,5, auch die Entscheidung über die gültigen Gleichungen entsprechend der Fallunterscheidung ~hL  0,5 oder ~hL>0,5. Für geschichtete Strömungsformen ist die mittlere Flüssigkeitshöhe durch den Dampfvolumenanteil e 3) gege3

) Der Dampfvolumenanteil e ist in Abschn. Hba durch Gl. (1) definiert und wird volumetrischer Dampfgehalt genannt.



Fr We

! 1 ‡ , L cos Q



Blasenströmung: ~ i† , …Fr Eu†L  ……Fr Eu†L †Gr ˆ 128 ~fG ~fL2 =…p2 U (31)

…18 b†

~ G ˆ j=2, U

p2 25 ~h2L

(30)

Fall ~hL>0,5: ~i , j ˆ 2 Arc sin U

…226,3†2 ~ ~2 fL fG , …29† p3

Wellenströmung:

…19†

~L , U

…28†

Schichtenströmung: …ReL Fr0G †  …ReL Fr0G †tt, Gr ˆ

~G ˆ p U ~fG ˆ p 4

15 p …1 e† : 8 …3 sin j=2 ‡ 4 sin j=4†

Die Berechnung der Grenzkurven erfolgt nun mit der bekannten relativen Flüssigkeitshöhe ~hL (X), die in die Ä i einzusetzen ist. Dabei benötigten Funktionen ÄfL , ÄfG , U ist es unbedingt notwendig, folgende Reihenfolge in der Abfrage einzuhalten, um ein eindeutiges Resultat zu erhalten:

Fall ~hL  0,5, Winkel y=360 ± j (j s. Bild 7): ~i , y ˆ 2 Arc sin U

…27†

Schwall- oder Pfropfenströmung: Ist X  0,34 und ReL  1187, ReG  1187, so muû gelten FrGm > …FrGm †tt, Gr1 :

…32†

Bei turbulenter Gas- und laminarer Flüssigkeitsströmung (ReG  1187, ReL …FrGm †tt, Gr1 :

…33†

Nebelströmung: X30 verwendet man die Gleichungen für das senkrechte Rohr (Abschn. 3.1). Rohrwendeln In gebogenen Rohren treten durch die Krümmung Zentrifugalkräfte auf, die eine Sekundärströmung in Form eines Doppelwirbels hervorrufen. In Rohrwendeln mit räumlicher Krümmung ist beim Durchlaufen der Wendel die Krümmungsebene ständig etwas zu drehen, so daû sich den Doppelwirbeln eine zusätzliche Drallströmung überlagert. Bei nicht zu groûen reduzierten Drücken ist infolge des groûen Dichteverhältnisses r 0 /r 00 die Dampfgeschwindigkeit so hoch, daû Doppelwirbel und Drallströmung effektiv genug sind, um in den meisten technischen Anwendungen die Rohrwand ganz zu benetzen. Die Untersuchungen von Bell und Mitarbeitern [45; 46] _ mit Wasser bei p*  0,006, m=70 kg/m2 s bis 2 _ m=310 kg/m s und Austrittsdampfgehalten x_ =0,13 bis x_ =0,96 in Rohrwendeln mit d/DW=0,024 und d/DW=0,05 bestätigen dies. Die gefährdetsten Stellen in bezug auf die Austrocknung waren bis q_ zu=250 000 W/ m2 der Scheitel und der Grund des Rohres. Diese zwei Stellen wurden ab Strömungsdampfgehalten 0,8 bis 0,95 trocken, während die Auûen- und Innenseite der Wendel häufig bis x_ =0,99 benetzt blieben. Anhand dieser Ergebnisse wird vorgeschlagen, für p*  0,3 den umfangsgemittelten Wärmeübergangskoeffizienten mit Hilfe von Gl. (38) zu berechnen. Ist p*>0,3, so ist Gl. (38) nur dann anzuwenden, wenn die Massenstromdichte m_  500 kg/m2 s beträgt, da bei kleinerem m_ die Gefahr der teilweisen Benetzung des Rohrumfangs besteht. Kann Teilbenetzung vorkommen, so sind die entsprechenden Gleichungen für das horizontale Rohr (Abschn. 3.2, Teilbenetzung) zu verwenden. Stets sind in allen Gleichungen für die einphasigen Wärmeübergangskoeffizienten aLO und aGO die Gleichungen für Rohrwendeln (Abschn. Gc) einzusetzen. Alle benötigten Stoffwerte sind Werte im Sättigungszustand von Flüssigkeit und Dampf.

4 Blasensieden reiner Stoffe in durchströmten Rohren Bei Verdampfungsvorgängen im Blasensiedebereich ist der Wärmetransport bestimmt durch Keimstellenaktivierung, Blasenwachstum und Ablösung. Die überlagerte Zwangskonvektion hat direkt einen Einfluû auf die Blasenablösung, wie die Untersuchung von Koumoutsos und Mitarbeitern [21] gezeigt hat. Weiterhin ist die ¾nderung des Temperaturprofils beim Blasensieden strömender Flüssigkeit-Dampf-Gemische zum Temperaturprofil bei freier Konvektion zu berücksichtigen. Diese ¾nderung der Temperatur in der Grenzschicht, die das Blasenwachstum und die Zahl aktiver Keimstellen beeinfluût, erfaûte Chen [15] durch die Einführung des S-Faktors. Da es bisher noch keine Theorie gibt, die es ermöglicht, den Wärmeübergangskoeffizienten beim Blasensieden strömender Flüssigkeit-Dampf-Gemische zu berechnen, werden im folgenden erweiterte Ansätze verwendet, die Borishanskij und Mitarbeiter [22] unter Anwendung des verallgemeinerten Korrespondenzprinzips der Thermodynamik zur Berechnung des Wärmeübergangs beim Behältersieden verwendet haben. 4.1 Blasensieden in senkrechten Rohren Aufwärtsströmung im senkrechten Rohr Im senkrechten Rohr ist bei allen Strömungsformen die Heizwand vollständig benetzt, so lange der kritische Siedezustand (Abschn. Hbc) nicht überschritten wird. Der Wärmeübergangskoeffizient kann mit Hilfe des folgenden Ansatzes berechnet werden:  n q_ a …z†B _ x_ †: ˆ CF F …p*† F …d† F …W† F …m, …51† q_ 0 a0 Darin werden die Flüssigkeitseigenschaften durch CF , die Heizwandeigenschaften durch F (W), die Rohrabmessungen in F (d) und die Strömungseinflüsse durch _ x_ ) berücksichtigt. F (p*) enthält den Einfluû des F (m, Siededrucks, während die Abhängigkeit von der Wärmestromdichte mit dem Potenzansatz q_ n beschrieben wird. Der Normierungswert a0 ist der Wärmeübergangskoeffizient des Behältersiedens (Abschn. Hab). Einfluû der Wärmestromdichte und des Siededrucks Messungen im Blasensiedebereich zeigen für alle Stoffe _ die charakteristische a, q-Abhängigkeit, die in Bild 11 dargestellt ist. Es ist deutlich zu erkennen, daû mit stei-

H

Hbb 12

Strömungssieden gesättigter Flüssigkeiten

gendem reduzierten Druck p* die Geraden flacher werden, d. h., der Exponent n in Gl. (51) ist druckabhängig.

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Zur Ermittlung der Druckfunktion wurden die Meûergebnisse von [33; 52; 55; 56; 63; 68; 94; 95; 97; 98; 103; 104; 107] verwendet. Ein Vergleich mit Hilfe von Bild 12 zeigt, daû die Abweichungen für einen Stoff, z. B. für Wasser, von der Mittelkurve genauso groû sind wie die Abweichungen verschiedener Stoffe von dieser Kurve. Eine stoffspezifische Abweichung liegt also nicht vor.

Bild 11. Wärmeübergangskoeffizient a (z)B in Abhängigkeit von der Wärmestromdichte im senkrechten Rohr

Weiterhin zeigen die Versuche, daû bei Annäherung an die kritische Wärmestromdichte q_ kr (Abschn. Hbc) der Exponent n in Gl. (51) kleiner wird. Dieser Einfluû kann z. Z. noch nicht gleichungsmäûig berücksichtigt werden.

H

Für anorganische Stoffe, z. B. Wasser und Ammoniak, Kohlenwasserstoffe, z. B. n-Butanol und halogenierte Kohlenwasserstoffe, z. B. R 22, R 134 a, R 227, gilt n ˆ 0,8

0,1
10…0,76 p*† :

…52†

Für kryogene Stoffe (Tief- und Tiefstsieder, d. h. mit Siedetemperaturen  180 K, ausgenommen Methan und Ethan), z. B. N2 , H2 , He, findet man eine schwächere Druckabhängigkeit und bis p*  0,6 auch kleinere Werte als bei den vorgenannten Stoffen. Für die kryogenen Stoffe wird die Funktion n ˆ 0,7

0,13
10…0,48 p*†

Bisher veröffentlichte Gleichungen [1±5; 15; 16] zur Berechnung des Wärmeübergangs beim Blasensieden in senkrechten Rohren geben unterschiedliche Abhängigkeiten von den Strömungsparametern m_ und x_ an. Zur Klärung dieser Widersprüche wurden die Meûergebnisse von [47; 49; 52; 55; 67; 94; 97; 98; 103] bei sonst konstant gehaltenen Parametern ausgewertet. Das Ergebnis ist in Bild 13 wiedergegeben. Demzufolge wird der Wärmeübergang beim Blasensieden im senkrechten Rohr nicht von der Massenstromdichte beeinfluût. Dies gilt auch dann, wenn sehr hohe Massenstromdichten bis 4500 kg/m2 s vorliegen, wie die Untersuchungen zeigen. Die Erhöhung des Strömungsdampfgehaltes verändert über die Querschnittsbelegung und die Schleppwirkung des Dampfes ganz wesentlich das Geschwindigkeitsprofil der Flüssigkeit. Anhand von Bild 14 wird für verschiedene Stoffe gezeigt, daû im gemessenen Bereich des Strömungsdampfgehaltes von 0 bis 0,8 kein Einfluû auf den Wärmeübergangskoeffizienten vorhanden ist. Zum Strömungseinfluû kann festgestellt werden, daû der Wärmeübergangskoeffizient beim Blasensieden nicht _ x_ und anderen Kennzahlen abvon den Parametern m, hängen kann, die im wesentlichen m_ und x_ enthalten,

…53†

vorgeschlagen. Zur Berechnung des a (z)B-Wertes muû die Druckabhängigkeit bekannt sein, die auf den Wärmeübergang, besonders bei niederen und höheren p*-Werten, einen wesentlichen Einfluû hat. Entsprechend der vorgenommenen Gruppeneinteilung der Stoffe 8) kann ± unter Beachtung der stoffspezifisch verschieden groûen Normierungswerte q_ 0 (Tabelle 3) ± die relative Druckabhängigkeit des Wärmeübergangskoeffizienten mit einer Funktion beschrieben werden:   1,7 0,45 ‡ 3,4 ‡ …54† F …p*† ˆ 2,816 p* p* 3,7 : 1 p* 7

8

) Beim Blasensieden strömender Flüssigkeit-Dampf-Gemische war es aus praktischen Erwägungen notwendig, die Stoffe in vier Gruppen einzuteilen: 1. Anorganische Stoffe, 2. Kohlenwasserstoffe und halogenierte Kohlenwasserstoffe, 3. Tiefsiedende Stoffe mit Siedetemperaturen 180 K, ausgenommen Methan und Ethan, und 4. Helium als einzigen Stoff in dieser Gruppe.

Bild 12. Relative Druckabhängigkeit des Wärmeübergangskoeffizienten beim Blasensieden im senkrechten Rohr bei den stoffspezifischen Werten q_ 0

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Einfluû der Massenstromdichte, des Strömungsdampfgehaltes und des Rohrdurchmessers

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Strömungssieden gesättigter Flüssigkeiten

d. h., es wird _ x_ † ˆ 1 F …m,

…55†

gesetzt.

Verschiedene Autoren [33; 52; 53; 68] verwendeten in der eigenen Versuchsanlage mehrere Meûstrecken mit unterschiedlichem Rohrinnendurchmesser d, um den Einfluû von d auf den Wärmeübergangskoeffizienten zu ermitteln. Bei gleichen anderen Parametern wurde von mehreren Autoren [103±107] der Wärmeübergangskoeffizient von Helium I in Rohren mit verschiedenen Innendurchmessern gemessen. Die Ergebnisse sind in Bild 15 wiedergegeben. Demnach nimmt ± bei sonst konstant gehaltenen Parametern ± der Wärmeübergangskoeffizient beim Blasensieden mit steigendem Rohrdurchmesser ab. Im Mittel gilt F …d† ˆ …d0 =d†0,4 , mit d0=10

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Hbb 13

±2

…56†

m.

H

Bild 13. Wärmeübergangskoeffizient beim Blasensieden im senkrechten Rohr in Abhängigkeit von der Massenstromdichte

Bild 15. Abhängigkeit des Wärmeübergangskoeffizienten vom Rohrdurchmesser beim Blasensieden im senkrechten Rohr

Einfluû der Heizwandeigenschaften Die beim Behältersieden festgestellten Abhängigkeiten von der Oberflächenstruktur, dargestellt durch den Mittenrauhwert Ra , und vom Materialeinfluû der Heizwand, charakterisiert durch die Wärmeleitfähigkeit l, die Dichte r und die spezifische Wärmekapazität c, konnten in den vorliegenden Versuchen nicht nachgewiesen werden. Es war bisher nur der Einfluû der Oberflächenstruktur festzustellen. Beim Behältersieden gibt Stephan [23] für Oberflächen, die durch Drehen oder Ziehen hergestellt wurden, die Beziehung aB  R0p, 133 Bild 14. Wärmeübergangskoeffizient beim Blasensieden im senkrechten Rohr in Abhängigkeit vom Strömungsdampfgehalt

an. Rp war als mittlere Glättungstiefe definiert (s. Abschn. Hab).

Strömungssieden gesättigter Flüssigkeiten

Für das Blasensieden strömender Flüssigkeit-Dampf-Gemische liegen systematische Messungen zum Rauhigkeitseinfluû auf den Wärmeübergang von Takagi [43] und Müller [56] vor. Während Takagi ein rechteckiges, horizontales Rohr verwendete, dessen untere Heizwand stets vollständig benetzt war, führte Müller seine Messungen in senkrechten Rohren aus. Die Ergebnisse, die Bild 16 zeigt, bestätigen im Mittel die von Stephan angegebene Abhängigkeit. Unter Beachtung von DIN 4762 (Ausg. 1989, identisch mit ISO 4287/1, 1984) war der Rauhigkeitseinfluû beim Blasensieden auf eine neue Rauheitskenngröûe zu beziehen. In Abschn. Hab wird als charakteristische Gröûe der arithmetische Mittenrauhwert Ra verwendet. Diese Gröûe wird auch für das Strömungssieden übernommen. Gorenflo und Mitarbeiter (s. Abschn. Hab) ermittelten Ra=0,4 Rp als Zusammenhang zwischen der ¹altenª Glättungstiefe Rp und dem Mittenrauhwert Ra für mechanisch bearbeitete und geschmirgelte Flächen. Anhand von Meûdaten für gezogene Kupfer- und Nickelrohre, die beim Strömungssieden eingesetzt waren, wurde im Rauheitsbereich 0,06  Ra  0,7 der Zusammenhang Ra=0,6 Rp festgestellt. Bis zum Vorliegen weiterer Ergebnisse wird deshalb verwendet: F …W† ˆ …Ra =Rao †0,133 :

…57†

H

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Unter Berücksichtigung der diskutierten Einflüsse berechnet man den Wärmeübergangskoeffizienten im senkrechten aufwärtsdurchströmten Rohr sowohl im Unterdruckbereich als auch bei höheren Drücken gemäû  n…p*†  q_ a …z†B 2,816 p* 0,45 ˆ CF q_ o ao     0,4  0,133 , 1,7 do Ra 3,7 p*
‡ 3,4 ‡ 7 d Rao 1 p* (58) 9

und n (p*) ) mit Hilfe von Gl. (52) oder (53), je nach dem vorliegenden Stoff. Die mit dem Index o versehenen Werte sind Normierungswerte. Für diese gilt do=1
10 ± 2 m und Rao=1
10 ± 6 m. ao ist der Normie±6 rungswert bei p m. o =p/pc=0,1 und Rao=1
10 Er ist zusammen mit den stoffspezifischen Werten q_ o der Tabelle 3 zu entnehmen. Auf der Grundlage der Messungen [33; 47; 49; 50; 52; 55; 63; 67; 68; 94; 97; 98; 103-107; 108; 109; 140; 141] ist der Faktor CF für verschiedene Stoffe ermittelt worden. Das Ergebnis ist in Tabelle 2 für H2 bis R 113 zusammengestellt. Gültigkeitsbereich von Gl. (58): 0,001  p*  0,985; 1  d/mm  32

und

0,05  Ra/mm  5. Der Rauhigkeitsbereich wurde für gezogene Rohre und gezogene Präzisionsrohre, geschweiûte Rohre und geschweiûte Präzisionsrohre, die nach dem Schweiûen kaltgezogen oder kaltgewalzt worden sind, aus den zugrunde liegenden Messungen zusammengestellt. Die CF-Werte von Tabelle 2 zeigen einen Zusammen~ Unter Ausnutzung dieser hang mit der molaren Masse M. Abhängigkeit kann der CF-Wert von Stoffen, die nicht in Tabelle 2 enthalten sind, bestimmt werden gemäû ~ M ~ H2 †0,27 : CF ˆ 0,435 …M=

…59†

~ H2=2,016 g/mol die Molmasse von In Gl. (59) ist M Wasserstoff. Nach vorliegenden Ergebnissen sollte als obere Grenze CF  2,5 beachtet werden. Bild 16. Einfluû der Rohrrauhigkeit auf den Wärmeübergangskoeffizienten beim Blasensieden

Setzt man als Normierungswert Rao=1 mm fest, so ergibt sich aus den Beziehungen Ra=0,4 Rp bzw. Ra=0,6 Rp unter Beachtung des bisher in Gl. (58) als Rauheitskenngröûe verwendeten ¹altenª Rp-Wertes rein rechnerisch eine Erhöhung des Wärmeübergangskoeffizienten um 7 bzw. 13%. Diese Erhöhung wird im folgenden nicht beachtet und führt zu einer konservativen Auslegung des Wärmeübertragers. Der Wert Rao=1 mm liegt lt. DIN 4766, T. 2, bei den meisten Fertigungsverfahren im möglichen Bereich.

Gl. (59) wurde auf verschiedene Kohlenwasserstoffe [68; 100; 101; 102 a; 102 b] angewendet. Die sich aus den Messungen ergebende Standardabweichung ist für die Stoffe Methanol bis R 11 in Tabelle 2 angegeben. Aus den Werten ermittelt man eine gute Übereinstimmung zwischen Rechnung und Messung. Soweit Versuche zum Blasensieden in Ringspalten vorliegen [36; 37; 47; 51], ergibt sich eine ausreichende Übereinstimmung zwischen Messungen und Nachrechnung unter Einführung von dh nach Gl. (37).

9

) Bei Auslegung in der Nähe von q_ kr (Abschn. Hbc) ist zu beachten, daû der Exponent n(p*) kleiner ist als nach Gl. (52) oder (53) berechnet. Die Unsicherheit der Berechnung wird gröûer.

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Hbb 14

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Strömungssieden gesättigter Flüssigkeiten

Soll der Wärmeübergangskoeffizient für Stoffe berechnet werden, die nicht in Tabelle 3 enthalten sind, so ist ±6 der Normierungswert ao (p m o =0,1) für Ra=1
10 gemäû Abschn. Hab in folgenden Schritten zu ermitteln: a) Berechnung von a0,03 beim normierten Druck p*=0,03 mit Stoffwerten im Sättigungszustand und der Wärmestromdichte q_ o=20 000 W/m2 nach Abschn. Hab, Gl. (11). b) Umrechnung des Wertes a0,03 (p*=0,03) auf den Wert ao bei p o =0,1 unter Verwendung der Gl. (8 a) bzw. (8 b) in Gl. (10), Abschn. Hab. c) Muû ao laut Tabelle 3 entsprechend der vorgeschriebenen Stoffgruppe mit einem q_ o-Wert berechnet werden, der sich von 20 000 W/m2 unterscheidet, so ist nach Abschn. Hab mit Gl. (7 a) bzw. (7 b) der Exponent n (p o =0,1) zu ermitteln und ao mit Hilfe von Gl. (10) zu berechnen.

Bild 17. Wärmeübergangskoeffizient im senkrechten Rohr bei Aufund Abwärtsströmung (Messungen mit R 113 [67])

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Abwärtsströmung im senkrechten Rohr Eine Untersuchung zum Einfluû der Strömungsrichtung auf den Wärmeübergang von R 113 beim Blasensieden im senkrechten Rohr liegt von Pujol [67] vor. Dieser verwendete ein Rohrregister, so daû bei der Auswertung der Meûdaten in ausreichendem Abstand von den Rohrbogen alle Einfluûgröûen gleich sind. Aus den Versuchen, zusammengestellt in Bild 17, erkennt man, daû bei Abwärtsströmung der Wärmeübergangskoeffizient kleiner ist als bei Aufwärtsströmung gemäû a …z†B, abw ˆ 0,75 a …z†B :

Hbb 15

Auch Hahne und Mitarbeiter [98 b] untersuchten mit R 12 den Einfluû der Auf- und Abwärtsströmung auf das Blasensieden. Mit relativen Rohrlängen l/d  100 vor der Meûstrecke lieû sich kein deutlicher Einfluû der _ Strömungsrichtung auf den Wärmeübergang für m=310 bis 1540 kg/m2 s und x_ =0 bis 0,17 feststellen. Auf Grund der bisher vorliegenden Ergebnisse ist keine endgültige Aussage möglich. Es wird empfohlen, sicherheitshalber Gl. (60) auch bei anderen Stoffen und Parametern bei Abwärtsströmung zu verwenden.

…60†

a (z)B ist der Wert bei Aufwärtsströmung nach Gl. (58). Thome und Mitarbeiter [98 a] untersuchten in einer Anlage mit schwenkbarem Rohr das Strömungssieden bei Auf- und Abwärtsströmung. Verwendet wurde R 134 a _ bei m=100 bis 300 kg/m2 s und einem reduzierten Druck von ca. p*=0,1. Im untersuchten Bereich des Strömungsdampfgehaltes (_x=0,07 bis 0,5) wurden bei Abwärtsströmung im Vergleich zur Aufwärtsströmung deutlich niedrigere Wärmeübergangskoeffizienten gemessen, die im Mittel mit Gl. (60) berechnet werden können.

4.2 Blasensieden in horizontalen Rohren Liegt eine stabile, vollständige Benetzung der Heizwand vor, so erhält man im horizontalen Rohr umfangsgemittelte Wärmeübergangskoeffizienten, die näherungsweise mit denen im senkrechten Rohr übereinstimmen [25]. Dieser Strömungszustand ist nicht häufig zu erreichen, da auch bei Ringströmung eine mehr oder weniger asym-

Tabelle 2. Faktor CF und Standardabweichung s a) für untersuchte Stoffe im senkrechten Rohr Stoff

H2 (Para)

NH3

H2O

N2

R 22

R 134 a

R 12 c

R 116

SF6 c

R 113 c

CF

0,35

0,86

1,24

0,72

0,8

1,2

1,67 )

1,21

2,46 ) 2,07 )

2,2

s

0,11

0,31

0,23

0,26

0,77

0,36

0,18

0,14

0,18

0,8

Anzahl Meûpunkte Stoff

41

97

Methanol b

128 Ethanol b

10 262

82

n-Butanol

Benzol

990

524

Cyclohexan

n-Pentan

n-Heptan

1,191 )

1,143 )

1,249 )

1,36 b)

s

0,15

0,1

0,39

0,18

0,22

0,2

0,22

0,58

113

b

R 11

1,168 )

115

b

302

1,151 )

111

b

353

1,013 )

154

b

570

0,918 )

99

b

256

0,16

CF

Anzahl Meûpunkte 123 a

He

126

92

) s ist ein Maû für die Streuung der Versuchswerte um den Mittelwert. Normalverteilung vorausgesetzt liegen 68% der Versuche im Intervall CF  s. b ) mit Gl. (59) berechnet c ) Lokale Meûwerte für vollbenetztes Verdampferrohr.

H

Hbb 16

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Strömungssieden gesättigter Flüssigkeiten

H

a

Stoff

Formel

pc bar

~ M kg/kmol

q_ o W/m2

ao W/m2 K

Methan Ethan Propan n-Butan n-Pentan Isopentan n-Hexan n-Heptan Cyclohexan Benzol Toluol Diphenyl Methanol Ethanol n-Propanol Isopropanol n-Butanol Isobutanol Aceton Fluortrichlormethan Difluordichlormethan Trifluorchlormethan Trifluorbrommethan Difluorchlormethan Trifluormethan Trifluortrichlorethan Tetrafluordichlorethan Pentafluorchlorethan 1,1-Dichlor-2,2,2-Trifluorethan 1,1,1,2-Tetrafluorethan 1,1-Difluorethan Hexafluorchlorpropan Heptafluorpropan Cyclooktafluorbutan R 22/R 115, azeotrop Chlormethan Tetrachlormethan Tetrafluormethan Helium I Wasserstoff (Para) Neon Stickstoff Argon Sauerstoff Wasser Ammoniak Kohlendioxid Schwefelhexafluorid

CH4 C2H6 C3H8 C4H10 C5H12 C5H12 C6H14 C7H16 C6H12 C6H6 C7H8 C12H10 CH4O C2H6O C3H8O C3H8O C4H10O C4H10O C3H6O CFCl3 CF2Cl2 CF2Cl2 CF3Br CHF2Cl CHF3 C2F3Cl3 C2F4Cl2 C2F5Cl C2HCl2F3 C2H2F4 C2H4F2 C3HF6Cl C3HF7 C4F8 R 22/R 115 CH3Cl CCl4 CF4 He H2 Ne N2 Ar O2 H 2O NH3 CO2 SF6

46,0 48,7 42,5 38,0 33,7 33,3 30,3 27,4 40,7 48,9 40,5 38,5 81,0 61,3 50,5 47,6 44,1 43,0 47,6 44,0 41,6 38,6 39,8 49,9 48,7 34,1 32,6 31,3 36,7 40,6 45,2 30,6 29,3 28,0 40,8 66,8 45,6 37,4 2,275 12,97 26,5 34,0 48,6 50,8 220,64 113,5 73,8 37,6

16,04 30,07 44,10 58,12 72,15 72,15 86,18 100,20 84,16 78,11 92,14 154,21 32,04 46,07 60,10 60,10 74,12 74,12 58,08 137,37 120,91 104,47 148,93 86,47 70,02 187,38 170,92 154,47 152,93 102,03 66,05 186,48 170,03 200,03 111,6 50,49 153,82 88,0 4,0 2,02 20,18 28,02 39,95 32,0 18,02 17,03 44,01 146,05

20 000 20 000 20 000 20 000 20 000 20 000 20 000 20 000 20 000 20 000 20 000 20 000 20 000 20 000 20 000 20 000 20 000 20 000 20 000 20 000 20 000 20 000 20 000 20 000 20 000 20 000 20 000 20 000 20 000 20 000 20 000 20 000 20 000 20 000 20 000 20 000 20 000 20 000 1 000 10 000 10 000 10 000 10 000 10 000 150 000 150 000 150 000 150 000

8 060 5 210 4 000 3 300 3 070 2 940 2 870 2 420 2 420 2 730 2 890 2 030 2 770 3 610 3 130 2 920 2 580 2 940 3 290 2 690 3 290 3 910 3 380 3 930 4 870 2 180 2 460 2 890 2 600 a) 3 500 4 000 a) 3 700 3 800 a) 2 710 2 900 4 790 2 320 4 500 1 990 c) 12 220 a) 8 920 4 380 3 840 4 120 25 580 36 650 18 890 b) 12 230 b)

(R 11) (R 12) (R 12) (R 13 B 1) (R 22) (R 23) (R 113) (R 114) (R 115) (R 123) (R 134 a) (R 152 a) (R 226) (R 227 ea) (RC 318) (R 502)

) Stoffeigenschaften z. T. noch nicht genau bekannt. ) Gl. (11), Abschn. Hab, am Tripelpunktsdruck ausgewertet, da p*=0,03 unter dem Tripelpunktsdruck liegt c ) Gl. (11), Abschn. Haa, bei p*=0,3 ausgewertet (dabei pHe  0,68 bar) b

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±6 Tabelle 3. Wärmeübergangskoeffizienten ao bei p m und Normierungswerte der Wärmestromo ˆ 0,1, Rao=1
10 dichte q_ o

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metrische Filmdicke vorliegt [26]. Daraus resultiert u.a., daû im horizontalen Rohr der kritische Siedezustand (Abschn. Hbc) am Rohrscheitel [62 a] viel früher eintritt als bei vergleichbaren Zuständen im senkrechten Rohr. Diese Grenze muû bei der Auslegung von hochbelasteten Verdampfern stets beachtet werden. Die Teilbenetzung bzw. die thermisch wirksame Benetzungsgrenze (Abschn. 3.2) macht sich auch beim Wärmeübergang im Bereich des Blasensiedens ausgeprägt bemerkbar. Die Auswirkung der teilweisen Benetzung in einem Kupferrohr mit lW s=0,95 W/K wird z. B. für Stickstoff in Bild 18 gezeigt: Der umfangsgemittelte Wärmeübergangskoeffizient nimmt mit dem Strömungsdampfgehalt ab, und zwar um so mehr, je gröûer die Wärmestromdichte ist. Im Gegensatz zum senkrechten Rohr wird beim Blasensieden im horizontalen Rohr eine Abhängigkeit des umfangsgemittelten Wärmeübergangskoeffizienten 10) von den Strömungsparametern m_ und x_ gemessen. Die Ursache dieser Abhängigkeit ist eine teilweise Austrocknung. Mit Hilfe von Messungen [75; 82; 87; 113±115] in Kupferrohren mit lW s  0,7 W/K konnte folgende Funktion ermittelt werden:  0,25 "  0,3 # _ m_ q _ x_ † ˆ 1 p* 0,1 F…m, x_ : …61† m_ o q_ kr, Bs

10

) Die Verwendung umfangsgemittelter Wärmeübergangskoeffizienten beim Blasensieden im horizontalen Rohr ist eine Näherung (siehe Abschn. A). Eine physikalisch begründete Vorausberechnung hätte von lokalen (punktweisen) Wärmeübergangskoeffzienten und relativen Benetzungsfunktionen auszugehen. Diese Werte sind z. Z. noch nicht vorhanden.

Hbb 17

Hierin ist q_ kr, Bs ˆ 2,79 q_ kr; 0,1 p* 0,4 …1

p†,

und q_ kr; 0,1 ˆ 0,13 Dhvo r o00 0,5 …so g …r0o

…62† r o00††0,25 : …63†

m_ o ist ein Normierungswert; es gilt m_ o=100 kg/m2 s. Alle Stoffwerte in Gl. (63) sind zum Druck p o =0,1 zu bestimmen. In Abschn. Hab werden Gl. (62) und (63) zur Berechnung der maximalen Wärmestromdichte beim Behältersieden verwendet. In Gl. (61) ist q_ kr, Bs nur ein Referenzwert, aus dessen Anwendung nicht geschlossen werden darf, daû mit Gl. (62) und (63) der kritische Siedezustand in horizontalen Rohren berechnet werden kann. Nach den vorliegenden Messungen [39; 75; 82; 87; 90; 113±115] kann auch die Druckabhängigkeit von a (z)B nicht mehr mit der Gleichung für das senkrechte Rohr (Gl. (54)) beschrieben werden. Bild 19 zeigt die Meûergebnisse. Eingetragen ist auch die Ausgleichsfunktion F …p*† ˆ 2,692 p* 0,43 ‡

1,6 p* 6,5 : 1 p* 4,4

…64†

Eine Auswirkung der Austrocknung ist aus den Versuchen auch für die Abhängigkeit des Wärmeübergangskoeffizienten von der Wärmestromdichte festzustellen. Danach findet man selbst für gut wärmeleitende und dickwandige Rohre (lW s  0,7 W/K) kleinere Exponenten n der Wärmestromdichte als im Fall des Wärmeübergangs in senkrechten Rohren. Die Auswertung zeigt, daû ab p*>0,1 die Versuche in Edelstrahlrohren von Riedle [68] mit lW s0,7 W/K. Für anorganische Stoffe, Kohlenwasserstoffe und halogenierte Kohlenwasserstoffe ergibt sich für lW s  0,7 W/K die Beziehung n ˆ 0,9

0,36 p* 0,13

…65†

und für kryogene Stoffe bei lW s  0,7 W/K n ˆ 0,9

0,44 p* 0,085 :

…66†

Durch numerisches Lösen der Wärmeleitungsgleichung unter Vorgabe der Benetzungsgrenze und von punktweisen Wärmeübergangskoeffizienten konnte Müller-Steinhagen [27] zeigen, daû im horizontalen Rohr der umfangsgemittelte Wärmeübergangskoeffizient in Abhängigkeit vom Wärmeleitvermögen lW s mit steigendem Rohrdurchmesser abnimmt. Wird berücksichtigt, daû im senkrechten Rohr a (z)B  d ± 0,4 gilt, so wird im horizontalen Rohr eine stärkere Abhängigkeit vom Durchmesser erwartet. Aus den Versuchen [68; 75] gemäû Bild 20 erhält man Bild 18. Wärmeübergangskoeffizient beim Blasensieden im horizontalen Rohr in Abhängigkeit vom Strömungsdampfgehalt

F …d† ˆ …do =d†0,5

mit do=10 ± 2 m.

…67†

H

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Bild 19. Relative Druckabhängigkeit des Wärmeübergangskoeffizienten beim Blasensieden im horizontalen Rohr bei den stoffspezifischen Werten q_ o

Wärmeübergang in Rohren mit hohem Wärmeleitvermögen (lW s  0,7 W/K)

H

_ Randbedingung q=konst. Alle Abhängigkeiten zusammengefaût, ist das Blasensieden in horizontalen Rohren für den Fall lW s  0,7 W/K nach folgender Gleichung zu berechnen:  n…p*†   a …z†B 1,6 p* 6,5 q_ 0,43 ˆ CF 2,692 p* ‡ q_ o ao 1 p* 4,4 0,133  0,25  0,5  m_ do Ra
…68† m_ o d Ra, o "  0,3 # q_ 0,1
1 p* x_ , q_ kr, Bs und n (p*) ermittelt man mit Gl. (65) oder (66), je nach dem vorliegenden Stoff. q_ kr, Bs ist nach Gl. (62) zu berechnen, wobei q_ kr;0,1 der Tabelle 4 zu entnehmen oder nach Gl. (63) zu berechnen ist. Für die mit dem Index o versehenen Normierungswerte gilt do=1
10 ± 2 m, m_ o=100 kg/m2 s, Rao=1
10 ± 6 m. Die Normierungs±6 m) und q_ o sind werte ao (bei p o =0,1 und Rao=1
10 der Tabelle 3 zu entnehmen. Zur Ermittlung des Faktors CF wurden folgende Messungen verwendet: [39; 43; 66; 68; 70; 72±75; 82; 87; 90; 111±115; 140; 141]. CF ist in Tabelle 4 für den Fall lW s  0,7 W/K angegeben. Randbedingung TW=konst. Für Schichten- und Wellenströmung ist zum Grenzwert lW s ! 1 aus Bild 21 der Korrekturwert y zu bestimmen (y=0,86). Dieser Wert ist in Gl. (72) und Gl. (68) einzusetzen. Alle anderen Gleichungen bleiben unverändert. Bei den anderen Strömungsformen ist keine Korrektur zu beachten. Gültigkeitsbereich von Gl. (68): 0,03  p*  0,93 (kryogene Flüssigkeiten), 0,005  p*  0,85 (alle anderen Flüssigkeiten), 4  d/mm  25, 0,05  Ra/mm  5.

Bild 20. Abhängigkeit des Wärmeübergangskoeffizienten vom Rohrdurchmesser beim Blasensieden im horizontalen Rohr

Diese Rauhigkeiten haben gezogene Rohre und gezogene Präzisionsrohre, geschweiûte Rohre und geschweiûte Präzisionsrohre, die nach dem Schweiûen kaltgezogen oder kaltgewalzt worden sind. Unter Berücksichtigung der Streubreite ergibt sich eine ~ Für StofAbhängigkeit für CF von der molaren Masse M. fe, die nicht in Tabelle 4 enthalten sind, wird zur Berechnung von CF näherungsweise folgende Korrelation empfohlen: ~ M ~ H2 †0,11 : CF ˆ 0,789 …M=

…69†

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Hbb 19

Tabelle 4. Faktor CF und q_ kr; 0,1 für horizontale Rohre Stoff

H2 (Para)

H2O a)

Ne

N2

Ar

R 134 ab)

R 22

R 12

R 116 b)

R 11

SF6 b)

CF

0,79

0,72

0,95

1,67

0,93

1,23

1,67

1,06

1,87

2,46

2,07

s

0,17

0,29

0,09

0,30

0,34

0,18

0,18

0,30

0,32

0,21

0,15

q_ kr; 0,1

79410

3293 350

126 870

230 000

295 220

429 580

370 665

324 150

363 400

12

1 008

89

1 310

965

819

990

1 182

1207

252 362

264 309

W=m2 Anzahl Meûpunkte

570

353

a

) Ein Teil der Meûwerte von Wasser sind der Arbeit von Mumm [39] entnommen; hierin ist lW s=0,01 W/K. Die bei der Auswertung ermittelten Korrekturwerte sind: k=1, y=1 (Gl. (70) und (72)). b ) Randbedingung Tw=konst

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~ H2=2,016 g/mol ist die Molmasse von Wasserstoff. M Nach vorliegenden Ergebnissen sollte als obere Grenze CF  2,5 beachtet werden. Wärmeübergang in Rohren mit niedrigem Wärmeleitvermögen (lW s < 0,7 W/K) _ Randbedingung q=konst. Die Auswirkungen der teilweisen Benetzung sind bei dünnwandigen Rohren und Rohren mit geringer Wärmeleitfähigkeit, d. h. bei kleinem Wärmeleitvermögen lW s noch erheblicher. Nach den wenigen vorliegenden Messungen [68; 70; 82; 90], die zum Vergleich ausgewertet werden können, erhält man folgende ¾nderungen in den Korrelationen: a) Der Exponent n der Wärmestromdichte nimmt ab, praktisch unabhängig von den Strömungsformen. Diese ¾nderung wird durch den Faktor k erfaût, dargestellt in Bild 21.

b) Der Wärmeübergangskoeffizient vermindert sich im Vergleich zum Wärmeübergang bei lW s  0,7 W/K bei sonst gleichen Parametern, abhängig davon, welche Strömungsformen im unbeheizten Schauglas beobachtet werden. Die Korrektur wird gemäû Bild 21 durch den Faktor y erfaût. Die in Bild 21 dargestellten Abhängigkeiten können wie folgt durch Funktionen beschrieben werden. Für alle Strömungsformen gilt: k ˆ 0,675 ‡ 0,325 tanh …3,711 …lW s

3,24
10 2 ††: (70 a)

Unter Beachtung der Strömungsformen erhält man für den Faktor y : Schichten- und Wellenströmung y ˆ 0,46 ‡ 0,4 tanh …3,387 …lW s

Bild 21. Korrekturwerte k und y in Abhängigkeit vom Wärmeleitvermögen lW s der Rohrwand

8,62
10 3 †† , …70 b†

H

Strömungssieden gesättigter Flüssigkeiten

Schwallströmung y ˆ 0,671 ‡ 0,329 tanh …3,691 …lW s

3

8,42
10 †† (70 c)

und Ringströmung y ˆ 0,755 ‡ 0,245 tanh …3,702 …lW s

1,25
10 2 ††: (70 d)

Näherungsweise ergibt sich somit beim Fall lW s(a(z)B)Gl. (58) wird, gilt also a …z†B ˆ …a…z†B †Gl:…58† :

Für horizontale Rohre liegen im Bereich des Blasensiedens keine Untersuchungen zum Einfluû z. B. von Rohrbogen auf den Wärmeübergangskoeffizienten vor. Die in Abschn. 3.2 mitgeteilten Ergebnisse lassen darauf schlieûen, daû bei gebräuchlichen Rohrbogen mit R/d=2 bis R/d=10 auf l/d=10 bis l/d=20 die Phasenverteilung verändert wird. Ob diese Störung die bereits vorhandene Austrocknung noch verstärkt, ist zur Zeit noch nicht bekannt. Es wird deshalb vorgeschlagen, eine weitere Verminderung des Wärmeübergangskoeffizienten nicht vorzunehmen.

(71 a)

und an Stelle von n nach Gl. (66) 0,085

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…74†

Einfluû von Rohrbogen und Krümmern (zu Abschn. 4.1 und 4.2) Die angegebenen Gleichungen zur Berechnung von a (z)B in senkrechten und horizontalen Rohren enthalten nicht den Einfluû von Störungen der Zweiphasenströmung durch Rohrbogen, Krümmer und u. a. Pujol [67] führte mit R 113 Messungen an Rohrregistern mit senkrechten Rohren auch im Blasensiedebereich aus. Für Bogen mit R/d  4,1 wurden nach l/d=20 keine Störungen mehr gemessen (Abschn. 3.1). Es muû i. allg. damit gerechnet werden, daû infolge asymmetrischer Filmdicken bei hohen Wärmestromdichten eine teilweise Austrocknung, d. h. eine Verminderung des Wärmeübergangskoeffizienten auf l/d=5 bis l/d=10 vorkommt.

Einfluû von präparierten Oberflächen (zu Abschn. 4.1 und 4.2) Zusätzliche Rauhigkeiten, die auf der Rohrwand z. B. durch Sinterüberzüge und Sandstrahlen erzeugt werden, können nicht durch die Funktion F (W) (Gl. (57)) erfaût werden. So hat Haffner [95] beim Blasensieden ein Rohr eingesetzt, das innen mit Aluminiumoxid gestrahlt war und dann einen Mittenrauhwert Ra=0,33 mm hatte. Im Mittel sind die mit R 12 und R 22 gemessenen Wärmeübergangskoeffizienten um den Faktor 1,7 höher als die nach Gl. (58) berechneten Werte mit Ra=0,33 mm. Die Abhängigkeiten von q_ und p* stimmen jedoch befriedigend mit den nach Gl. (58) angegebenen überein. Einfluû von Verunreinigungen (zu Abschn. 4.1 und 4.2) Unter Verunreinigungen soll die Lösung von Stoffen, z. B. von Netzmitteln, Ölen oder anderen Flüssigkeiten, in kleiner Konzentration in der zu benutzenden Flüssigkeit verstanden werden. Diese haben beim Blasensieden einen erheblichen Einfluû auf den Wärmeübergang. So ergeben Öle in Kältemitteln je nach Konzentration entweder eine Erhöhung oder eine Verminderung des Wärmeübergangskoeffizienten [86]. Scheiden sich die gelösten Stoffe durch das Sieden auf der Heizfläche ab, so kann es zu den als ¹Foulingª bekannten Schwierigkeiten kommen (Abschn. Od). So ergab sich beim Blasensieden im horizontalen Rohr mit Argon, das 40 vpm Restkomponenten der Luft enthielt, eine zeitabhängige Verminderung des Wärmeübergangskoeffizienten bis auf 1/3 des ursprünglichen Wertes [115]. Berechnung von CF beim Vorhandensein von Meûwerten Die in den Tabellen 2 und 4 enthaltenen bzw. die nach Gl. (59) und (69) berechneten Werte für CF können beim Vorhandensein von Meûwerten für die vorgegebene Kombination Flüssigkeit ± Rohrwand in der Genauigkeit verbessert werden, wenn aus Gl. (58) oder (68) bzw. (74) ein Wert für CF bestimmt wird. Zur Extrapolation auf andere Zustände können dann die angegebenen Gleichungen verwendet werden, da die Abhängigkeiten von _ p, d, m_ und x_ entsprechend den bisher den Parametern q, vorliegenden Messungen (z. B. [140; 141]) als gesichert gelten dürfen.

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4.3 Blasensieden in geneigten Rohren und in Rohrwendeln

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Geneigte Rohre Zum Blasensieden in geneigten Rohren liegen nur wenige Messungen mit Wasser vor. Bogdanov [57] untersuchte ein unter 45 geneigtes Rohr von d=20 mm bei m_  200 bis m_  3000 kg/m2 s und p*=0,045 bis p*=0,55. Gilli [58] verwendete Rohre mit d=15 mm und d=23 mm, die unter 15 zur Horizontalen geneigt waren. Gemessen wurde bei Massenstromdichten im Bereich m_  200 kg/m2 s bis m_  860 kg/m2 s und bei p*=0,07 und p*=0,13. Mit diesen wenigen Daten können keine Gesetzmäûigkeiten für geneigte Rohre ermittelt werden. Es wird deshalb vorgeschlagen, bis zum Vorliegen weiterer Messungen für Rohre mit Q=0 bis 30 Neigung den umfangsgemittelten Wärmeübergangskoeffizienten nach den Gleichungen des horizontalen Rohres (Abschn. 4.2) zu berechnen. Bei einer Neigung Q>30 werden die Gleichungen für das senkrechte Rohr (Abschn. 4.1) empfohlen. Rohrwendeln Über Untersuchungen zum Blasensieden berichten [45; 46; 60±62]. Carver und Mitarbeiter [60] führten die meisten Messungen bei kritischen Siedezuständen aus. _ _ Für Wasser bei m=300 bis m=3300 kg/m2 s und reduzierten Drücken p*=0,3 bis p*=0,86 geben Gilli und Mitarbeiter [61] eine Gleichung an. Danach berechnet man den umfangsgemittelten Wärmeübergangskoeffizienten gemäû  5 hkr a …z†B ˆ 26
103 hkr ‡ Dhv   2,4 : d 0,57…Dhv =hkr †0,16 3 _
…0,86
10 q† 1 : DW (75) DW ist der mittlere Durchmesser der Rohrwendel, Dhv die spezifische Verdampfungsenthalpie beim Siededruck p. Ferner ist für Wasser hkr=2 107 400 J/kg zu verwenden. Für Wasser auûerhalb des zuvor angegebenen Bereiches und für andere Flüssigkeiten liegen nur wenige bzw. keine Versuche vor. Nach Collier [25] ist das Blasensieden in Rohrwendeln mit der Gleichung für das senkrechte Rohr zu berechnen. Gemäû Abschn. 3.3 ist diese Näherung nur so lange gültig, wie keine Teilbenetzung der Rohrwand vorkommt. Liegen durch Beobachtung der Phasenverteilung bereits in unbeheizten Rohrwendeln geschichtete Strömungsformen vor, so wird vorgeschlagen, die Gleichungen für das horizontale Rohr (Abschn. 4.2) zur Berechnung von a (z)B zu verwenden.

5 Zusammenfassende Darstellung des Wärmeübergangs beim Strömungssieden reiner Stoffe In Abschn. 3 und 4 ist die Berechnung des umfangsgemittelten Wärmeübergangskoeffizienten für das konvek-

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tive Sieden und das Blasensieden von in Rohren strömenden Flüssigkeit-Dampf-Gemischen beschrieben. Beides sind Teilbereiche, die aus den Messungen mit verschiedenen reinen Stoffen und bei den verschiedensten Zuständen ermittelt wurden. Der Wärmeübergangskoeffizient ist in beiden Teilbereichen nur mit unterschiedlichen Gesetzmäûigkeiten beschreibbar [17]. Bei der Auswertung der Versuche wurde darauf geachtet, den Übergangsbereich so weit wie möglich nicht in die Teilbereiche einzubeziehen. Dieser ist ein Bereich, in dem sowohl konvektives Sieden als auch Blasensieden vorkommt, d. h. ein Gebiet, wo eine deutliche Anzahl von Blasen vorhanden ist. Dies zeigten z. B. Beobachtungen in beheizten Glasrohren von Gouse und Mitarbeitern [79]. Messungen im Übergangsbereich liegen z. B. in den Untersuchungen [33; 70; 75; 82; 87; 90] vor. Ohne Beachtung von Kriterien, wann konvektives Sieden oder Blasensieden vorkommt, und unter Einschluû des Übergangsbereiches ist der umfangsgemittelte Wärmeübergangskoeffizient je nach Neigung des Rohres gemäû a …z† ˆ

q 3 a …z†3k ‡ a …z†3B

…76†

zu berechnen mit a (z)k nach Abschn. 3.1 bis 3.3 und a (z)B nach Abschn. 4.1 bis 4.3. Sowohl in Gl. (76) als auch in Abschn. 4 darf a (z)B nicht für beliebig kleine Wärmestromdichten berechnet werden. Zur Blasenbildung ist in der wandnahen Flüssigkeit stets eine bestimmte Überhitzung, d. h. eine bestimmte Wärmestromdichte q_ onb notwendig. Wird diese Wärmestromdichte nicht erreicht, so ist in Gl. (76) nur konvektives Sieden zu berücksichtigen; dies ist besonders für den Bereich des Strömungsdampfgehaltes x_ =0 bis etwa x_ =0,3 zu beachten. Die Wärmestromdichte am Blasenentstehungspunkt kann gemäû q_ onb ˆ

2 s Ts aLO rkr r 00 Dhv

…77†

abgeschätzt werden mit rkr=0,3
10 ± 6 m für alle Heizflächen entsprechend der zulässigen Oberflächenbeschaffenheit (Rauhigkeit) nach Abschn. 4. aLO ist der lokale einphasige Wärmeübergangskoeffizient an der Stelle z=0, wenn die Flüssigkeit mit der Massenstromdichte m_ vorliegen würde. Unter Beachtung der Reynolds-Zahl ReLO ˆ

m_ dh hL

…78†

der hydrodynamischen Bedingungen und der thermischen Randbedingungen (q_ zu=konst, TW=konst) ist für die vorhandene Form des Rohrquerschnitts aLO nach den Gleichungen in Abschn. 7 oder nach Abschn. Gb zu berechnen. Für Rohrwendeln ist aLO nach Abschn. Gc zu bestimmen. Die Stoffwerte sind Werte im Sättigungszustand zum Siededruck p.

H

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6 Strömungssieden von Gemischen Der Wärmeübergangskoeffizient für Gemische, die keine Mischungslücke haben, ist nach Gl. (2) definiert. In dieser Gleichung ist die Siedetemperatur Ts die Gleichgewichtstemperatur zum Systemdruck p und zur Zusammensetzung ~x der flüssigen Mischphase an der Stelle z im Verdampferrohr. Unter Beachtung des Realverhaltens der Komponenten j und der Mischphase ist Ts …z† ˆ Ts …p, ~x† entsprechend Abschn. Dfa (Beispiel 6) iterativ zu berechnen. Es ist zu berücksichtigen, daû bei reinen Stoffen die Siedetemperatur durch den Druckverlust bedingt stets abnimmt. Im Gegensatz dazu kann sich Ts (z) bei Gemischen infolge der Anreicherung der schwerer flüchtigen Komponente entlang dem Strömungsweg z auch erhöhen. 6.1 Konvektives Strömungssieden von Gemischen Anhand der bisher angestellten Untersuchungen, z. B. [120±141], kann festgestellt werden, daû auch bei Gemischen die zwei Siedebereiche konvektives Sieden und Blasensieden vorkommen. Deutlich zeigen dies die lokalen Messungen von Wettermann [141]. In Bild 22 sind die Ergebnisse eines binären Gemisches für die Massenstromdichten 80 bis 400 kg/m2 s dargestellt.

H

Bild 22. Lokaler Wärmeübergangskoeffizient (Segment 4) in Abhängigkeit von der Wärmestromdichte für das Gemisch C2F6/C2H2F4 ± h ± Massenstromdichte 80 kg/m2 s ± n ± Massenstromdichte 240 kg/m2 s ± s ± Massenstromdichte 400 kg/m2 s Druck: 11 bar, Strömungsdampfgehalt 0,65, Zusammensetzung 23 mol-% C2F6

Nach den vorliegenden Ergebnissen kann im konvektiven Bereich der Wärmeübergangskoeffizient a (z)k nach den in Abschn. 3 angegebenen Gleichungen berechnet werden, wenn man die Stoffwerte des Gemisches einsetzt. Die Stoffwerte des Gemisches sind nach Abschn. Da zu berechnen. Auch zur Berechnung der lokalen einphasigen Wärmeübergangskoeffizienten aLO und aGO (s. Abschn. 7) sind die Stoffwerte des Gemisches zu verwenden. Die einzusetzende Zusammensetzung des Gemisches ist nach Abschn. 6.4 zu berechnen. Liegen Käl-

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temittel-Öl-Gemische ohne Mischungslücke vor [64; 84; 86; 88; 92], so sind die Gemischstoffwerte entsprechend Abschn. Da zu ermitteln. Dazu sind die Stoffwerte der Kältemittel als Werte im Sättigungszustand beim Systemdruck einzusetzen und die Stoffwerte des Öls bei der Siedetemperatur Ts(p) des Kältemittels zu bestimmen. Senkrechtes Rohr Die Rohrwand ist an allen Stellen benetzt. Es gilt a (z)k nach Gl. (38). Horizontales Rohr Für alle Strömungsformen, ausgenommen Schichtenströmung und Schichten-Wellen-Strömung, wird a (z)k mit Hilfe von Gl. (40) berechnet. Liegt Schichtenströmung und Schichten-Wellen-Strömung vor, so ist a (z)k bei Beachtung der Teilbenetzung unter Verwendung der _ Gl. (40) bis (48) für die Randbedingungen q=konst und TW=konst zu berechnen. Die Bestimmung der Strömungsformen geschieht mit Hilfe der Strömungsformenkarte (Abschn. 2.2) und den dort mitgeteilten Grenzbedingungen. Dazu sind in allen Kenngröûen und Gleichungen die Stoffwerte der Gemische (s. Abschn. Da) zu verwenden. Wie die Untersuchungen von Gropp [137] zeigten, ist bei normal viskosen Gemischen ein verhältnismäûig geringer Einfluû des flüssigseitigen Stoffübergangswiderstandes im konvektiven Siedebereich vorhanden. Kommen hochviskose Gemische vor, so zeigen die Ergebnisse von Palen [138], der die Gemische Ethylenglykol/H2O und Propylenglykol/H2O untersucht hat, daû beim konvektiven Sieden der Wärmeübergangskoeffizient im Vergleich zum linear gemittelten Wert, berechnet aus den Wärmeübergangskoeffizienten der Reinstoffe, Gl. (79), deutlich vermindert ist. Eine Analyse von Numrich [142] zeigt jedoch, daû auch diese Werte ohne Beachtung des Stofftransportwiderstandes berechnet werden können. Es ist nur der konvektive Wärmeübergang mit Gleichungen zu berechnen, die den experimentell belegten Einfluû der Reynolds- und Prandtlzahl auf den Wärmeübergang enthalten. Dies sind für senkrechte Rohre a (z)k nach Gl. 38 und für horizontale Rohre die Gln. (40) bis (48). Die in den Gleichungen einzusetzenden Stoffwerte sind Gemischstoffwerte.

6.2 Blasensieden von Gemischen in durchströmten Rohren Obere Grenze des Blasensiedebereiches ist auch bei Gemischen der kritische Siedezustand (Abschn. Hbc). Da senkrecht eingebaute Verdampferrohre bis zu dieser Grenze auf der Gemischseite stets vollständig benetzt sind, während horizontale Verdampferrohre bereits vor dem kritischen Siedezustand auch teilbenetzt sein können, wird der Wärmeübergang für das senkrechte und horizontale Rohr mit verschiedenen Gleichungen beschrieben. Grundsätzlich ist das Gemisch bei gegebenem Druck p nach steigenden Siedetemperaturen zu ordnen. Index j=1: leichtest siedende Komponente, Index j=K: schwerst siedende Komponente.

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6.2.1 Blasensieden in senkrechten Rohren Auf Grund des zugänglichen Schrifttums [120±138] und umfangreicher eigener systematischer Messungen [140; 141] wurde die beste Übereinstimmung zwischen verschiedenen Modellen [119 a;119 b] und den experimentellen Daten mit Hilfe folgender Gleichungen erreicht: 1

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aid, B

ˆ

K X ~xj : a B, j jˆ1

…79†

Die an der Stelle z vorhandenen Wärmeübergangskoeffizienten aB, j der reinen Stoffe j sind mit Hilfe von Gl. (58) zu den örtlich vorliegenden Parametern zu berechnen. Da azeotrope Gemische wie reine Stoffe sieden, sind mittels der Gleichgewichtsbeziehung, siehe Dfa, zuerst die azeotropen Punkte (Zusammensetzung) zu ermitteln. Für das zu verdampfende Gemisch ist dann bereichsweise der Bezugswert aid, B nicht azeotroper Gemische mit Hilfe der eingrenzenden reinen Stoffe und azeotropen Punkte zu berechnen. Der Wärmeübergangskoeffizient des Gemisches beim Blasensieden ist dann durch folgende Gleichung gegeben 11): a …z†B ˆ aid, B

 aid, B DTbp 1 1‡ q_

1 B0 q_ exp ~L D~hv bL r

:

…80†

Die in Gl. (80) enthaltenen Gröûen sind folgendermaûen definiert: ! 1 K X ~L ˆ ~xj ~uj ; …81† r jˆ1

darin sind die molaren Volumen der reinen Stoffe ~uj bei Ts (z) und p zu bestimmen. Oft sind die molaren Dichten der Reinstoffe bei Ts(z) und p bekannt, so daû gilt 1

~uj ˆ …~ rj † :

…82†

Auch die molaren Enthalpien von Flüssigkeit ~ hj0 und 00 ~ Dampf hj sind im Sättigungszustand zu Ts (z) und p für die reinen Stoffe j zu berechnen. Die molare Verdampfungsenthalpie ist dann wie folgt festgelegt: D~hv ˆ

K X jˆ1

~yj ~h j00

K X jˆ1

~xj ~h0j ,

…83†

wobei ~yj der Gleichgewichtsmolenbruch zu ~xj ist. Sind die Sättigungsenthalpien ~hj0 und ~hj00 nicht bekannt, so kann folgende Näherung verwendet werden: D~hv ˆ

K X

D~hvj …Tsj …p†† ~xj :

…84†

jˆ1

11

) In dem von Schlünder [119 a] zugrundegelegten Modell ist B0 ein Parameter, der den Anteil der zur Blasenverdampfung benötigten Heizleistung, bezogen auf die gesamte Heizleistung, darstellt. Die Gröûe bL ist der flüssigseitige Stoffübergangskoeffizient, da bei der Blasenverdampfung nur der flüssigseitige Stofftransportwiderstand beachtet wird.

Hbb 23

Für Gemische aus halogenierten Kohlenwasserstoffen und Gemische aus anorganischen Verbindungen und halogenierten Kohlenwasserstoffen [140; 141] liegen in einem groûen Bereich der Betriebsparameter Ergebnisse vor. Anhand dieser Daten gilt:  1,19   0,77 q_ m_ B0 aid, B x_ 0,15 : …85†
ˆ 40,6 q_ 0 m_ 0 bL cpL rL Als Normierungswerte sind einzusetzen: q_ 0 ˆ 20 000 W/m2, m_ ˆ 100 kg/m2 s. Diese Korrelation wurde mit Daten aus der Literatur [128; 134; 135] verglichen und eine gute Übereinstimmung von gemessenen und berechneten Werten festgestellt. Hinweis: Für andere Gemische bzw. zur schnellen Berechnung kann der Wert B0/bL=5 ´ 103s/m eingesetzt werden. Die obigen Gleichungen konnten mit Meûdaten binärer und tenärer Gemische überprüft werden. 6.2.2 Blasensieden in horizontalen Rohren Nach den bisher vorliegenden Kenntnissen wird die Teilbenetzung in den umfangsgemittelten Wärmeübergangskoeffizienten 12) aB, j der reinen Stoffe beachtet. Es gilt für das horizontale Rohr 1 aid, B

ˆ

K X ~xj : aB , j jˆ1

…86†

Die Wärmeübergangskoeffizienten aB, j der reinen Stoffe j sind zu den an der Stelle z vorhandenen Parametern gemäû Gl. (65), (66), (68) bis (72) unter Beachtung der _ Strömungsformen und Randbedingungen q=konst und TW=konst zu berechnen. Für azeotrope Gemische gelten die gleichen Bedingungen wie bei Gl. (79) angegeben. Die Untersuchungen von Niederkrüger [140] und Wettermann [141] mit binären und ternären Gemischen in verschiedenen Zuständen zeigten, daû die in Abschn. 2.2 mitgeteilte Strömungsformenkarte und die angegebenen Grenzbedingungen auch für Gemische brauchbare Voraussagen erlauben, wenn in allen Kenngröûen und Gleichungen die Stoffwerte für Gemische (s. Abschn. Da) eingesetzt werden. Es gilt nun als Rechenvorschrift, daû die an der Stelle z für das Gemisch ermittelte Strömungsform zur Berechnung der Reinstoffwerte aB,j zu verwenden ist. Der Gemischwärmeübergangskoeffizient a (z)B ist dann mit Hilfe von Gl. (80) zu berechnen. Auf beiden Seiten der Gl. (80) ist aid, B der Wert, den man mit Gl. (86) bestimmt hat. Auch im horizontalen Rohr gelten die bereits in Abschn. 6.2.1 gegebenen Hinweise für B0/bL . 12

) Eine physikalisch besser begründete Vorausberechnung der Wärmeübergangskoeffizienten hätte von lokalen (punktweisen) Werten unter Beachtung des benetzten Rohrumfangs auszugehen. Diese Methode findet man für einige Gemische bei Wettermann [141].

H

Eine Überprüfung dieser Gleichungen war nach den vorliegenden Untersuchungen für ternäre Gemische möglich, die von Zizyukin und AeÂrov [123] untersucht worden sind. Auf Grund dieser Basis wird eine erweiterte Anwendbarkeit auf Vielstoffgemische unterstellt. 6.3 Gesamter Wärmeübergangskoeffizient beim Strömungssieden von Gemischen Auch bei Gemischen ist Blasensieden erst dann möglich, wenn eine bestimmte Wandüberhitzung bzw. eine bestimmte Wärmestromdichte q_ onb vorhanden ist. Näherungsweise gilt die Gleichung q_ onb ˆ

2 s Ts aLO , ~ 00 D~hv rkr r

…87†

mit Ts für z=0. Alle Stoffwerte sind Gemischstoffwerte. ~ 00 gilt Gl. (81) entFür die Gemischdichte des Dampfes r sprechend. Die spezifische Verdampfungsenthalpie des Gemisches ist mit Hilfe von Gl. (83) zu berechnen, die Oberflächenspannung nach Abschn. Da. Auch für Gemische gilt rkr=0,3
10 ± 6 m. Die Gröûe aLO ist der lokale einphasige Wärmeübergangskoeffizient an der Stelle z=0 (s. Abschn. 7), wenn die Flüssigkeit mit der Massenstromdichte m_ vorliegen würde. Die zur Berechnung von aLO benötigten Stoffwerte sind die Stoffwerte des flüssigen Gemisches.

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Ist die an der Stelle z zu übertragende Wärmestromdichte q_ (z)  q_ onb , dann ist der gesamte umfangsgemittelte Wärmeübergangskoeffizient unter Beachtung der Orientierung des Rohres mit Hilfe der Gleichung q 3 …88† a …z† ˆ a …z†3k ‡ a …z†3B ,

menge (Modell geschlossene Verdampfung), gilt: Kj …Ts …z†, ~x† 

~yj : ~xj

…92†

Für das zu verdampfende Gemisch muû der Verteilungskoeffizient Kj 13) berechnet werden. Oft werden die Fugazitätskoeffizienten mittels einer Zustandsgleichung für das flüssige und dampfförmige Gemisch berechnet, siehe Abschn. Dfa. Die Komponentenbilanz ergibt N_ L, ein ~xj, ein ˆ N_ L, aus ~xj, aus ‡ N_ G, aus ~yj, aus :

…93†

Hier wird vorausgesetzt, daû das Gemisch im Siedezustand eintritt. Durch Einsetzen der Gln. (90), (91) in (93) folgt _ L, aus _ G, aus M M ~xj, aus ‡ ~y ~ L, aus ~ G; aus j, aus M M

_ L, ein M ~x ˆ 0: ~ L, ein j, ein M

…94†

Unter Beachtung der Beziehungen _ L, ein ˆ m_ A; M _ L, aus ˆ m_ A…1 M

…95† x_ aus †;

…96†

_ G, aus ˆ m_ A x_ aus M

…97†

erhält man die Zielfunkton ZF ZF ˆ

x_ aus …1 x_ aus † ~x ‡ ~y ~ G, ein j, aus ~ L, aus j, aus M M

~xj, ein ˆ 0: ~ L, ein M

…98†

Bei vorgegebenem Druck wird mittels Gl. (92) die Zielfunktion iterativ gelöst. Somit sind an jeder Stelle z die Werte ~xj, aus und ~yj, aus bekannt.

zu berechnen. Es gilt a …z† ˆ

q_ …z† : TW …z† Ts …z†

…89†

Ist q_ (z) < q_ onb , dann ist nur der konvektive Anteil zu beachten, d. h. es gilt a (z)=a (z)k . 6.4 Zustandsänderung des Gemisches Bei Kenntnis des übertragenen Wärmestromes je Längenelement Dz am Verdampferrohr ist der Zusammenhang zwischen vorhandener Flüssigkeitszusammensetzung ~x und noch vorhandenem Massenstrom der Flüssig_ L an der Stelle z zu bestimmen. Hierzu werden folkeit M gende Gröûen definiert. Die Stoffmengenströme von Flüssigkeit und Dampf sind _ G mit Hilfe der mola_ L und M aus den Massenströmen M ~ ~ ren Massen M L und M G zu berechnen: _ L =M ~ L …~x† , N_ L ˆ M

…90†

_ G =M ~ G …~y†: N_ G ˆ M

…91†

Unter der Annahme, daû an jeder Stelle z in Strömungsrichtung die noch vorhandene Flüssigkeitsmenge im Gleichgewicht steht mit der dort befindlichen Dampf-

Bild 23. Molenbruch der leichter siedenden Komponente in Abhängigkeit vom Strömungsdampfgehalt für drei verschiedene Ausgangszusammensetzungen (d). Gemisch C2F6/C2H2F4 ± geschlossene Verdampfung p=11 bar _ m=74 bis 426 kg/m2 s 13

) Ist Komponente j gleichzeitig die leichter flüchtige Komponente, dann ist Kj>1; sonst ist Kj durchgerechnet, als ob für n-Butanol der Wert ao nicht in Tabelle 3 enthalten wäre.

Stoffwerte bei p=1,51 bar und Js= ± 20 C:

Stoffwerte für po=0,03 pc=0,03
49,6 bar=1,488 bar und Tso=402,14 K: r 0 =697,87 kg/m3;

r 00 =3,36 kg/m3;

h 0 =3,698
10 ± 4 kg/m s;

s

=1,622
10 ± 2 kg/s2;

l 0 =1,243
10 ± 1 W/m K;

b

=35;

cp0 =3400 J/kgK;

Dhv=575 820 J/kg.

Nach Gl. (10) folgt ao=a0,03 F (p o )/F (0,03) =1563 W/m2 K
1,759  2750 W/m2 K bei Rao=1
10 ± 6 m. Der Wärmeübergangskoeffizient beim Blasensieden a (z)B wird nach Abschn. 4.1 berechnet, während die Werte a (z)k beim konvektiven Sieden nach Abschn. 3.1 zu berechnen sind. Die ermittelten Daten sind in Tabelle 5 zusammengestellt. Ermittlung der Rohrlänge zur Verdampfung des n-Butanols von x_ e=0 bis x_ a=0,3:

ˆ

m_ f D_x Dhv ˆ q_ p d

250 kg=m2 s
5,73
10

4

m2
0,3
509 700 W s=kg

2

60 000 W=m
p
2,7
10

2

m

ˆ 4,3 m:

Zur ¾nderung des Dampfgehaltes um D_x=0,05 werden jeweils Dl=0,717 m benötigt.

Tabelle 5. Berechnungsergebnisse zum Naturumlaufverdampfer (Beispiel 2) 0,15

0,2

0,25

r 00 =9,15 kg/m3;

l 0 =8,562
10 ± 2 W/m K;

l 00 =7,34
10 ± 3 W/m K;

h =3,249
10

Für p*=0,1 wird nach Abschn. Hab, Gl. (8 a), F (p o )=1,0055, und F (0,03)=0,5715.

m_ f D_x Dhv ˆ q_ p dl, l ˆ

r 0 =1459,9 kg/m3; 0

Nach Abschn. Hab, Gl. (11), folgt damit bei q_ o=20 000 W/m2 der Wert a0,03=1563 W/m2 K.

H

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Strömungssieden gesättigter Flüssigkeiten

x_

0

0,05

0,1

0,3

z m

0 *)

0,717

1,434 2,15

2,867 3,584 4,3

aLO W/m2 K

1274

992

978

973

970

968

967

aGO W/m2 K

1188

924

912

907

904

902

901

a…z†k aLO

1

2,350

3,038 3,592 4,072 4,505 4,904

a (z)k W/m2 K

1274

2330

2972

3495

3950

4361

4740

a (z)B W/m2 K

4870

4870

4870

4870

4870

4870

4870

a (z) W/m2 K

4899

5042

5215

5409

5616

5833

6055

±4

h 00 =1,08
10 ± 5 kg/m s;

kg/m s;

cp0 =904,9 J/kg K;

Dhv=161 780 J/kg;

cp00 =600,1

s

J/kg K;

=1,43
10 ± 2 kg/s2.

Am Eintritt in das Verdampferrohr-nach dem Expansionsventil und dem Kältemittelverteiler-liegt für die Strömung hydrodynamischer Einlauf vor. aLO , aGO und aG sind für den hydrodynamischen Einlauf bei q_ zu=konst mit Hilfe von Gl. (A 4), (A 6) bis (A 8) und (A 10) bis (A 12) zu berechnen. Bei z=0 ist aLO=246,5 W/m2 K. Somit ist die Wärmestromdichte am Blasenentstehungspunkt (Gl. (77)) q_ onb=4019 W/m2. Da q_ zu=9000 W/m2 > q_ onb ist, hat man konvektives Sieden und Blasensieden zu berechnen. Konvektives Strömungssieden Schichten- oder Schichten-Wellen-Strömung liegt nach dem Kriterium in Abschn. 3.1 und der Strömungsformenkarte bei x_ =0,1 und x_ =0,2 vor (Tabelle 6). Gemäû Gl. (26) und (27) wird der unbenetzte Bogen berechnet. Damit ist dhG nach Gl. (47) zu ermitteln. Der thermisch wirksame unbenetzte Bogen zur Berechnung von a (z)k ist nach Gl. (50) zu berechnen. Die Rippenkennzahl M und a (z)k haben folgende Werte: x_

M

a (z)k W/m2 K

0,1

0,98

780

0,2

0,65

505

Da M1, so ist x_ kr, u=1 zu setzen. Gegenüber den Verhältnissen beim vertikal durchströmten Rohr ist eine beginnende Siedekrise beim horizontalen Rohr mit einer geringeren Temperaturerhöhung verbunden. Dies ist u. a. auf den Wärmefluû in der Rohrwand von der unbenetzten Oberseite zur benetzten Unterseite zurückzuführen.

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Beispiel 3 Für ein wasserdurchströmtes horizontales Verdampferrohr ist der kritische Dampfmassenanteil an der Ober- und Unterseite zu bestimmen.

Hbc 13

2.1.2) läût sich auch beim gewendelten Rohr eine erste Siedekrise (Ort des erstmaligen Auftretens) und eine letzte Siedekrise (Ort des letztmaligen Auftretens) beobachten. Wie Bild 19 schematisch für eine vertikale Wendelachse zeigt, wird die Siedekrise bei höheren Betriebsdrücken (p>100 bar) hauptsächlich durch die Massenstromdichte beeinfluût. Infolge der Zentrifugalkraft bei hohen _ Massenstromdichten (m>850 kg/m2 s) wird die Flüssigkeit an die Auûenseite der Wendel gedrängt: die Siedekrise tritt an der Innenseite auf [57; 14]. Bei niedrigen Massenstromdichten überwiegt der Einfluû der Schwerkraft; deshalb tritt die Siedekrise zuerst an der oberen Seite des Wendelrohrs auf. Sekundäre Querströmungen bewirken bei niedrigen Betriebsdrücken und höheren Massenstromdichten einen Transport der flüssigen Phase von der Auûen- zu der Innenseite der Wendel. Die Siedekrise ist dann überwiegend zuerst an der Auûenseite der Wendel zu beobachten.

Parameter: Rohrinnendurchmesser d =20
10 ± 3 m Druck p =150 bar _ Massenstromdichte m=500 kg/m2 s Wärmestromdichte q_ =300 kW/m2 Nach Bild 6 wäre in einem vertikalen von unten nach oben durchströmten Verdampferrohr mit einem kritischen Dampfmassenanteil von x_ kr=0,49 zu rechnen. Die Dampf- bzw. Wasserdichte bei 150 bar beträgt r 00 =96,71 kg/m3 bzw. r 0 =603,17 kg/m3.

H

Nach Gl. (6) errechnet sich die Froude-Zahl zu x_ kr m_ p00 r Fr ˆ p g d …r 0 r 00† cos j 0,49
500 p 96,71 ˆ p ˆ 2,50: 9,81
20
10 3 …603,17 96,71†
1 Der Unterschied im kritischen Dampfmassenanteil beim Austrocknen der Ober- und Unterseite beträgt nach Gl. (7) 16 16 D_xkr ˆ ˆ ˆ 0,79: …2 ‡ Fr†2 …2 ‡ 2,50†3 Damit errechnen sich mit Gl. (8) die kritischen Dampfmassenanteile beim Austrocknen der Ober- bzw. Unterseite zu Dxkr 0,79 ˆ 0,095, ˆ 0,49 x_ kr, o ˆ x_ kr 2 2 D_xkr 0,79 ˆ 0,885: x_ kr, u ˆ x_ kr ‡ ˆ 0,49 ‡ 2 2 Die Siedekrise tritt in diesem Fall an der Oberseite bereits bei sehr kleinem Dampfmassenanteil auf, während die Unterseite fast bis zur völligen Verdampfung benetzt bleibt.

2.1.3 Gewendelte Rohre In gewendelten oder gebogenen Rohren sind die Strömungsformen durch Auftriebskräfte, Zentrifugalkräfte und sekundäre Querströmungen auf Grund von Druckgradienten senkrecht zu der Hauptströmungsrichtung gekennzeichnet. In Abhängigkeit von den geometrischen Abmessungen der Wendel werden Separationseffekte in der Strömung hervorgerufen, die die Siedekrise beeinflussen. ¾hnlich wie beim horizontalen Rohr (Abschn.

Bild 19. Position der Siedekrise in gewendelten Rohren Nach [57]

Die Siedekrise in gewendelten Rohren ist bis heute experimentell und theoretisch wenig untersucht. Im Schrifttum sind nur vereinzelt Angaben zu diesem Thema zu finden [14±23]. Zum Beispiel berechnet Ünal [14; 20] für die Betriebsparameter 0,442 erfordert, kann die spontane Kondensation durch heterogene Keimbildung bereits bei Sättigungsgraden nahe S=1 ausgelöst werden, wenn eine ausreichende Anzahl von Kondensationskernen im Gas vorhanden ist. Beispielsweise erfordern atmosphärische Wasserdampfkondensation und Wolkenbildung Sättigungsgrade S2 beeinflussen, auf Grund ihrer geringen Teilchendichte allerdings keine spontane Kondensation auslösen. Für

Je 7

die heterogene Keimbildung an unlöslichen Kondensationskernen wurde von Fletcher [42] in Anlehnung an die klassische Keimbildungstheorie ein Modell für kugelförmige Kerne entwickelt, mit dem man kritische Sättigungsgrade in Abhängigkeit von Benetzungswinkel und Fremdpartikelgröûe bestimmen kann. Dabei wird in den Ausdruck für die freie Bildungsenthalpie DG* ein Faktor f eingeführt, der eine Funktion des Kontaktwinkels Q (m=cos Q) zwischen dem flüssigen Kondensat und dem Material des kugelförmigen Fremdkerns mit dem Radius R wie auch des Verhältnisses R/r* ist: 2 …28† DG ˆ p r2 s f …m; R=r*†: 3 Das Modell bestätigt den empirischen Befund, daû gut benetzbare Partikeln bei Durchmessern dp>0,01 mm minimale Sättigungsgrade erfordern (1,0 1 vorliegt. Dann können sehr eng begrenzte Sättigungsspitzen mit Werten S > Skrit einen Keimbildungsvorgang auslösen. Die örtlich auftretenden kleinskaligen Rückströmungen bzw. Diffusionsvorgänge bewirken dann (im Gegensatz zur heterogenen Keimbildung) auch auûerhalb der eigentlichen Nukleationszone bei Sättigungsgraden S >1 ein weiteres Tropfenwachstum, das erst endet, wenn der Sättigungsgrad S = 1 erreicht ist. Für die praktische Auslegung von Kondensatoren für Inertgas-Lösungsmitteldampf-Gemische ist somit stets mit Nebelbildung zu rechnen, wenn diese bei hohen Tempe-

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Rigorose Kondensatormodelle beinhalten Korrekturfaktoren für hohe Stoff- und Wärmestromdichten, die Stefan-Maxwell-Gleichungen für den Stoffaustausch und Ansätze für die Strömung des Flüssigkeitsfilms [50].

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raturdifferenzen zwischen Kühlmittel und kondensierendem Gemisch betrieben werden sollen. Zur Minimierung oder Vermeidung der Nebelbildung gelten die gleichen unter 6.2 aufgeführten Hinweise.

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7 Spezielle Formelzeichen dp J K m1 ni

m m±3 s±1 m±3 s±1 kg m±3

NA O Pel ~ R S ~vi

mol ± 1 m2 W J mol ± 1 K ± 1 ± m3 mol ± 1

mi

J mol ± 1

L

m

Partikel-(Tropfen-)durchmesser Keimbildungsrate Frequenzfaktor Masse eines Moleküls Teilchenzahldichte der Komponente i (Anzahlkonzentration) Avogadro-Zahl Tropfen- bzw. Keimoberfläche elektrische Leistung universelle Gaskonstante Sättigungsgrad partielles molares Volumen der Komponente i chemisches Potential der Komponente i in der Mischung mittlere freie Weglänge der Moleküle

Indizes D Dampf bzw. Dampfgemisch s Sättigung L Flüssigkeit G Gas Tr Trägergas * Zustandsgröûen an der Phasengrenze bzw. kritische Gröûen bei der Keimbildung Weitere Bezeichnungen sind im laufenden Text erklärt.

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J

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J

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Strahlung technischer Oberflächen *)

Gliederung 1

Einführung 1.1 Intensitäts- und Richtungsverteilung der Strahlung

2

Berechnung des Wärmeflusses durch Strahlung 2.1 Einfache Fälle 2.2 Einstrahlzahlen oder Winkelverhältnisse

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1 Einführung

1.1 Der Schwarze Körper Als Bezugsgröûe bei der Berechnung der Wärmestrahlung dient die Strahlung des Schwarzen Körpers, weil nur hierfür ein physikalisch fundiertes und einfach anzuwendendes Modell bekannt ist. Der Schwarze Körper ist ein idealisierter Strahler, der alle auftretende Strahlung absorbiert. Bei einer vorgegebenen Temperatur strahlt die Oberfläche des Schwarzen Körpers einen für diese Temperatur charakteristischen Maximalwert der Strahlungsenergie ab. Die spektrale flächenspezifische Ausstrahlung Mls , d. h. der auf die Oberfläche des Schwarzen Körpers bezogene Energiestrom, der in einem infinitesimalen Wellenlängenintervall dl bei einer Wellenlänge l in den Halbraum emittiert wird, berechnet sich nach der Gleichung von Max Planck zu c1 …1† Mls …l, T † 5 5 l ‰exp…c2 =l
T † 1Š mit W
m 2
mm 1 als möglicher Einheit. Die beiden Konstanten c1 und c2 ergeben sich aus Naturkonstanten zu

c2 5 14387,7 mm K:

3

Berechnung des Strahlungsaustausches zwischen mehreren Oberflächen 3.1 Methode des umschlossenen Raumes (Bruttomethode, enclosure method) 3.2 Wärmestrahlung in Schüttungen 3.3 Wärmestrahlung aus Vertiefungen

4

Die wichtigsten verwendeten Formelzeichen

5

Literatur

Tabelle 1. Strahlung des schwarzen Körpers

Alle materiellen Körper emittieren und absorbieren bei Temperaturen T > 0 K Energie durch Wärmestrahlung (thermische Strahlung), wobei diese Prozesse bei undurchsichtigen Körpern auf dessen Oberfläche konzentriert sind. Wärmestrahlung ist elektromagnetische Strahlung im Wellenlängenbereich von ca. 0,1 mm < l < 1000 mm, deren Ausbreitung nicht an ein Trägermedium gebunden ist. Als Folge der Emission und Absorption findet zwischen verschieden temperierten Oberflächen eine Energieübertragung statt, die thermodynamisch die Bedeutung eines Wärmestromes hat. Im thermischen Gleichgewicht ist der resultierende Wärmestrom null. Die Berechnung von Strahlungswärmeströmen, die ggf. dem konvektiven Wärmeübergang überlagert sind, ist Inhalt dieses Abschnitts, einführende Literatur siehe [1±4].

c1 5 3,741775
10

Ka 1

16

W W m 5 3,741775
10 2
mm4 , m 2

8

Die zweite Version der Konstanten c1 in Gl. (1) ist zu empfehlen, wenn die Wellenlänge l durchweg in mm eingesetzt wird.

Temperatur

Ms

Temperatur

C

K

W/m2

C

Ð 100 Ð 50 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950

173 223 273 323 373 423 473 523 573 623 673 723 773 823 873 923 973 1023 1073 1123 1173 1223

50 140 314 617 1 097 1 815 2 838 4 242 6 112 8 541 11 631 15 493 20 244 26 012 32 933 41 151 50 819 62 099 75 159 90 178 107 343 126 849

1000 1050 1100 1150 1200 1250 1300 1350 1400 1450 1500 1550 1600 1650 1700 1750 1800 1850 1900 1950 2000

Ms K

1273 1323 1373 1423 1473 1523 1573 1623 1673 1723 1773 1823 1873 1923 1973 2023 2073 2123 2173 2223 2273

W/m2 148 900 173 709 201 495 232 489 266 927 305 058 347 134 393 420 444 188 499 717 560 296 626 224 697 805 775 354 859 194 949 656 1 047 080 1 151 815 1 264 217 1 384 652 1 513 494

In Bild 1 ist die spektrale spezifische Ausstrahlung eines Schwarzen Körpers Mls für unterschiedliche Temperaturen über der Wellenlänge l aufgetragen. Die spektrale spezifische Ausstrahlung realer Körper liegt grundsätzlich unterhalb der des Schwarzen Körpers gleicher Oberflächentemperatur. Durch Integration von Gl. (1) über die Wellenlänge erhält man die spezifische Ausstrahlung des Schwarzen Körpers gemäû der Gleichung von Stefan-Boltzmann Ms 5

1 „ 0

M sl …l, T † dl 5 s
T 4 :

…2†

Ms hat die SI-Einheit W/m2, und für die Stefan-Boltzmann- Konstante s gilt s 5 5,67040
10

8

W : m2 K4

Die Temperatur T in Gl. (1) und (2) ist die thermodynamische Temperatur in Kelvin. In Tabelle 1 ist die spezifische Ausstrahlung eines Schwarzen Körpers abhängig von seiner Temperatur zur schnellen Ermittlung der Strahlungsemission angegeben.

*) Bearbeiter des Abschnitts Ka: Prof. Dr.-Ing. S. Kabelac, Hamburg und Prof. Dr. D. Vortmeyer, München

K

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Strahlung technischer Oberflächen

Bild 1. Spektrale, flächenspezifische Ausstrahlung Mls eines Schwarzen Körpers bei unterschiedlichen Temperaturen. Die gestrichelte Linie kennzeichnet die Position des jeweiligen Maximums gemäû des Wienschen Verschiebungsgesetzes

1.2 Die Ausstrahlung realer Körper Der Energiestrom D E_ (auch Strahlungsleistung genannt), welcher von einem in Bild 2 dargestellten Element D A der Oberfläche eines Körpers der Temperatur T ausgestrahlt wird, setzt sich aus Beiträgen für jeden Wellenlängenbereich und jedes Raumwinkelelement zusammen. Somit muss bei einer genauen Berechnung der Ausstrahlung eines realen Körpers von der spektralen Strahldichte Ll als Basisgröûe ausgegangen werden. Die spektrale Strahldichte Ll wird durch den Ausdruck D3 E_ Ll 5 cos b D A D W Dl

K

…3†

definiert. D E_ ist hier der Energiestrom, der im Wellenlängenbereich zwischen l und l + D l in den Raumwinkel DW abgestrahlt wird, bezogen auf die projizierte Fläche cos b
D A. Eine mögliche Einheit von Ll ist W
m 2
mm 1
sr 1 : Das Raumwinkelelement DW wird aus dem Polarwinkel b und dem Azimutwinkel j gemäû Db 5 sin b Db Dj berechnet, vgl. Bild 2. Die Integration der spektralen Strahldichte über den Halbraum

Bild 2. Strahlung eines Flächenelementes

…0  b  90 ; 0  j  360 † ergibt die spektrale spezifische Ausstrahlung M l (l, T) „ …4† Ml …l, T † 5 Ll …l, T, b, j† cos b DW, eine weitere Integration über die Wellenlänge ergibt die flächenspezifische Ausstrahlung M (T) M …T † 5

1 „ 0

Ml …T, l† Dl:

…5†

Verändern sich die Strahlungseigenschaften eines Körpers entlang seiner Oberfläche, muss jedes Flächenelement separat betrachtet und anschlieûend über die Oberfläche integriert werden. Wird umgekehrt die spektrale Strahldichte Ll zunächst über die Wellenlänge integriert, ergibt sich die Strahldichte L als gerichtete, von der Wellenlänge unabhängige Gröûe L …b, j, T † 5

1 „ o

Ll …l, T, b, j† Dl,

…6†

welche nach Integration über den Halbraum wieder auf die spezifische Ausstrahlung M (T) führt. Die spezifische Ausstrahlung fasst als hemisphärische Gesamtgröûe den bei allen Wellenlängen und in alle Richtungen des Halbraumes ausgesandten flächenspezifischen Strahlungsenergiestrom zusammen. Die Strahldichte bleibt entlang ihres Ausbreitungsweges konstant, sofern keine Absorption bzw. Streuung stattfindet. Somit bezieht sich eine Strahlungsbilanz (Strahlungstransportgleichung) auf die Strahldichte nach Gl. (3) bzw. (6). Für die Berechnung der Wärmeübertragung durch Strahlung wird nur in Ausnahmefällen mit spektral aufgelösten Strahlungsenergieflüssen gerechnet. Die Abhängigkeit der Strahldichte typischer elektrisch nicht leitender Körper vom Polarwinkel b ist in Bild 3 dargestellt. Hier ist die Richtungsabhängigkeit der Ausstrahlung geringer als bei Metallen mit glatter Oberflä-

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Ka 2

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Strahlung technischer Oberflächen

Ka 3

auf die Ausstrahlung des Schwarzen Körpers zurückgeführt. Der gerichtete spektrale Emissionsgrad 0

el …l, T, b, j†: 5

Ll …l, T, b, j† Lsl …l, T †

…7†

beschreibt die Richtungs- und Wellenlängenabhängigkeit der Ausstrahlung eines realen Körpers im Vergleich zur spektralen Strahldichte des Schwarzen Körpers Lsl 5 Mls =p bei derselben Temperatur. Entsprechend kann ein hemisphärisch spektraler Emissionsgrad Bild 3. Richtungsverteilung der Wärmestrahlung einiger Nichtleiter, nach [1]: a feuchtes Eis, b Holz, c Glas, d Papier, e Ton, f Kupferoxid, g rauher Korund

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che, die sich typischerweise wie in Bild 4 dargestellt verhalten. Die Strahldichte L als richtungsunabhängig zu betrachten ist in der Regel, insbesondere bei nicht elektrisch leitenden Oberflächen, eine sinnvolle Näherung. Oberflächen, für welche dieses exakt zutrifft, werden diffuse Strahler genannt. Die Integration über den Raumwinkel entsprechend Gl. (4) ergibt für den diffusen Strahler Ml …l,T † 5 p Ll …l, T † bzw: M …T † 5 p L …T †: Für den Energiestrom, der von einem Flächenelement DA unter dem Polarwinkel b in ein Raumwinkelelement DW abgestrahlt wird, gilt für einen diffusen Strahler D2 E_ 5 L …T †
cos b DA DW (Lambertsches Kosinusgesetz). Der Schwarze Strahler ist ein diffuser Strahler. Für die komplizierte Wellenlängenabhängigkeit der Ausstrahlung realer Oberflächen, ein Charakteristikum des jeweiligen Materials, sind nur grobe Vereinfachungen möglich. Nur für den Schwarzen Körper kann die spektrale spezifische Ausstrahlung gemäû Gl. (1) berechnet werden. Für reale Körper ist die spektrale Berechnung der Ausstrahlung auch unter vereinfachenden Annahmen durch Lösen der elektromagnetischen Feldgleichungen sehr aufwendig [5] und wenigen Spezialfällen vorbehalten [6]. Daher wird die Ausstrahlung von Oberflächen realer Körper durch einen Emissionsgrad e

el …l,T †: 5

Ml …l, T † 1 „ 0 5 e …l, T, b, j† cos b DW Mls …l, T † p l

sowie ein gerichteter Gesamt-Emissionsgrad e 0 …T, b, j†: 5

L …T, b, j† p 5 4
L …T, b, j† s L …T † sT

definiert werden. Für die nachfolgend beschriebene praktische Berechnung der Strahlungswärmeübertragung ist der hemisphärische Gesamt-Emissionsgrad e (T) von Bedeutung, der als Verhältnis der spezifischen Ausstrahlung M (T) eines realen Körpers zu der spezifischen Ausstrahlung M s (T) des Schwarzen Körpers bei derselben Temperatur T definiert wird e …T †: 5

M …T † M …T † 5 : M s …T † s
T 4

…8†

Ist der Emissionsgrad e oder der spektrale Emissionsgrad el für einen realen Körper bei einer Temperatur T bekannt, kann die spezifische Ausstrahlung des Körpers bei dieser Temperatur durch M …T † 5 e …T †
M s …T † 5 e …T †
s
T 4 1 „ 5 el …l, T † Mls …T, l† Dl

…9†

o

berechnet werden, z. B. mit Hilfe von Tabelle 1. Ein idealisierter Körper, dessen spektraler Emissionsgrad el über alle Wellenlängen konstant ist, el (T) = konst. = e (T), wird grauer Strahler genannt. Für graue Strahler wird üblicherweise zusätzlich die Gültigkeit des Lambertschen Kosinusgesetzes angenommen, so daû es sich wie beim Schwarzen Körper um einen diffusen Strahler handelt. In Bild 5 ist die spektrale spezifische Ausstrahlung Ml für einen schwarzen Strahler, einen grauen Strahler sowie beispielhaft für einen realen Strahler je-

Bild 4. Richtungsverteilung der Wärmestrahlung einiger Metalle mit glatter Oberfläche. Nach [1]

K

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Strahlung technischer Oberflächen

Bild 5. Die spektrale spezifische Ausstrahlung eines Schwarzen, grauen und realen Körpers derselben Temperatur

weils derselben Temperatur über der Wellenlänge dargestellt. In Tabelle 2 sind die hemisphärischen Gesamt-Emissionsgrade e (T) sowie in einigen Fällen der gerichtete Gesamt-Emissionsgrad en 5 e 0 …b 5 0 † in Normalenrichtung für verschiedene Materialien angegeben. Eine Umrechnung von en in e ist näherungsweise nach Bild 6 möglich, das den Zusammenhang zwischen e und en darstellt. Es ist auch zu beachten, dass als Folge von unter-

schiedlicher Oberflächenbeschaffenheit für gleiche Stoffe unterschiedliche Emissionsgrade in der Literatur angegeben werden. In Tabelle 2 wurden nur solche Werte aufgenommen, für die in verschiedenen Quellen annähernd einheitliche Werte angegeben wurden. Umfangreichere Angaben ± allerdings mit gröûeren Unterschieden für gleiche Stoffe ± lassen sich in [7±12] finden. Die weiteren Strahlungsgröûen Absorptionsgrad, Reflexionsgrad und Transmissionsgrad, die zur Charakterisie-

Tabelle 2. Emissionsverhältnisse bei der Temperatur T Material

K

1. Metalle Aluminium, walzblank ±, hochglanzpoliert ±,poliert ±, vorpoliert ±, oxidiert bei 872 K ±, stark oxidiert Blei, grau oxidiert ±, nicht oxidiert ±, oxidiert bei 422 K Bronze, 4 bis 7% Al, ±, poliert ±, oxidiert Chrom, poliert Cobalt, poliert ±,oxidiert Gold, hochglanzpoliert Kupfer, poliert

T [K]

en

e

443 773 500 850 373 373 472 872 366 777 297 400 500 472

0,039 0,05 0,039 0,057 0,095 0,18 0,11 0,19 0,2 0,31 0,28 0,057 0,075 0,63

0,049

422 1089 422 1089 423 1089 422 1089 589 1089 500 900 293

0,03 0,052 0,08 0,144 0,058 0,36 0,1 0,225 0,15 0,3 0,018 0,035 0,03

Material

T [K]

en

±, leicht angelaufen ±, schwarz oxidiert ±, oxidiert ±, geschabt Inconel, gewalzt ±, sandgestrahlt Eisen und Stahl, hochglanzpoliert

293 293 403 293 1089 1089

0,037 0,78 0,76 0,07

±, poliert ±, geschmirgelt Guûeisen, poliert Stahlguû, poliert

0,071

Eisen, vorpoliert oxidierte Oberflächen: Eisenblech, rot angerostet ±, stark verrostet ±, Walzhaut Guûeisen, oxidiert bei 866 K Stahl, oxidiert bei 866 K Stahlblech, dicke rauhe Oxidschicht Guûeisen, rauhe Oberfläche, stark oxidiert geschmolzene Oberflächen:

e

0,69 0,79

450 500 700 1300 293 473 1044 1311 373

0,052 0,064 0,144 0,377 0,242 0,21 0,52 0,56 0,17

293 292 294 472 872 472 872

0,612 0,685 0,657 0,64 0,78 0,79 0,79

297

0,8

311 bis 512

0,95

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Ka 4

VDI-Wärmeatlas 10. Auflage 2006 Material

T [K]

en

Guûeisen, geschmolzen reines Eisen, geschmolzen

1572 1789 2044

0,29 0,42 0,45

Holz, Eiche gehobelt ±, Buche Kohlenstoff, nicht oxidiert

1833 1983 311 811 298 373 473 873 1000 2866 373 1673 298 373 473 873 1089 1366 422 1089 422 1089 298 373 422 1089 311 644 422 1089 422 1089 644 1089 353 298 773 1273 1773 500 600

0,27 0,39 0,07 0,18 0,035 0,035 0,61 0,59 0,096 0,292

±, Fasern ±, graphitisch

301 297 298 373 297

0,228 0,276

Stahl, 0,25% bis 1,2% C, leicht oxidiert, geschmolzen Magnesium, poliert Messing, nicht oxidiert ±, oxidiert Molybdän

Nickel, nicht oxidiert ±, oxidiert Alle Rechte vorbehalten  Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2006

Strahlung technischer Oberflächen

Niob, nicht oxidiert Palladium Platin Quecksilber, nicht oxidiert Rhodium, poliert Silber, poliert Tantal, poliert ±, oxidiert Titan, oxidiert Wismut, blank Wolfram

Zink, rein poliert verzinktes Eisenblech ±, blank ±, grau oxidiert Zinn, nicht oxidiert verzinntes Eisen, blank

0,026 0,094 0,022 0,123 0,1 0,12 0,012 0,068 0,022 0,031 0,03 0,07 0,42 0,42 0,34

0,045 0,055

e

0,071 0,17 0,045 0,06 0,37 0,478 0,19 0,24

Asbest, Pappe ±, Papier Asphalt Beton, rauh Dachpappe Gips Glas Quarzglas (7 mm dick) Gummi

366 673 1073 1600 296 0,96 311 0,93 644 0,94 300 273 bis 366 294 0,91 293 0,8-0,9 293 0,94 555 0,93 1111 0,47 293 0,92

Korund, Schmirgel, rauh Lacke, Farben: Ölfarbe, schwarz ±, grün ±, rot ±, weiû Lack, weiû ±, matt schwarz Bakelitlack Menniganstrich Heizkörper (nach VDI-74) Emaille, weiû auf Eisen Magnesiumoxid Marmor, hellgrau poliert Papier Porzellan, weiû Quarzschamotte Siliziumoxid Thoriumoxid

0,54 0,59 0,366 0,024 0,071 0,15 0,23

0,043 0,05 0,06

2. Nichtmetalle Aluminiumoxid

Material

0,9 0,76 0,623 0,4

0,93 0,94

Ton, glasiert ±, matt Uranoxid Wasser Eis, glatt mit Wasser ±, rauher Reifbelag Schnee Ziegelstein, rot

Ka 5 T [K]

en

273 bis 366 343 298 773 533 373 773 353 0,85 366 366 366 366 373 353 353 373 373 292 550 1100 273 bis 366 273 366 295 473 1073 1673 473 1073 1473 716 1100 298 298 1300 1600 273 373 273 273 273 273 bis 366

0,925 0,97 0,935 0,93 0,925 0,897 0,55 0,2

0,58 0,21

0,95 0,96 0,966 0,985

e 0,9 0,91 0,81 0,79 0,95 0,76 0,71 0,84 0,92 0,95 0,97 0,94

0,9 0,92 0,94 0,924 0,84 0,56 0,47 0,82 0,52 0,39 0,9 0,93 0,79 0,78 0,92 0,8 0,93

Die Tabelle enthält nur Messwerte. Die überwiegend in Richtung der Normalen gemessenen Werte en lassen sich näherungsweise nach Bild 6 in die auf den Halbraum (Gesamtemission) bezogenen e-Werte umrechnen. Weitere Angaben finden sich in [7-12].

K

rung der Strahlungseigenschaften von Körperoberflächen genutzt werden, sind nicht auf die SchwarzkörperStrahlung, sondern auf die Bestrahlungsstärke E der auf eine Oberfläche einfallenden Strahlung bezogen. Die Bestrahlungsstärke einer Oberfläche ist dabei der aus dem Halbraum einfallende über alle Wellenlängen summierte flächenspezifische Strahlungsenergiestrom. Entsprechend der spezifischen Ausstrahlung kann auch die spektrale (spezifische) Bestrahlungsstärke El eingeführt werden, so dass E5

1 „ o

El …l† Dl

gilt. Reale Körper absorbieren im Gegensatz zum Schwarzen Körper nur einen Teil der einfallenden Strahlung. Dieser absorbierte Strahlungsenergiestrom wird in innere Energie des Körpers umgewandelt, der Rest wird reflektiert bzw. durchgelassen (transmittiert). Der hemisphärische Gesamt-Absorptionsgrad a …T † 5

„ 11 al …T, l† El …l† Dl Eo

gibt den Teil der absorbierten Bestrahlungsstärke E an, mit al (T, l) als dem spektralen Absorptionsgrad. Der Absorptionsgrad wie auch der spektrale Absorptionsgrad des Schwarzen Körpers sind gleich eins. Dem Emissionsgrad entsprechend können auch gerichtete Absorptionsgrade eingeführt werden [2]. Nach den Hauptsätzen der Thermodynamik müssen der spektrale gerichtete Ab0 sorptionsgrad al und der spektrale gerichtete Emissions0 grad el eines Körpers bei derselben Temperatur und gleichen anderen Argumenten übereinstimmen [13] 0

0

al …T, l, b, j† 5 el …T, l, b, j†:

K

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Strahlung technischer Oberflächen

…10†

Gleichung (10) wird als das Gesetz von Kirchhoff bezeichnet. Hat der Körper eine diffus strahlende Oberflä-

che, so gilt auch al = el . Ist der Körper zudem ein grauer Strahler, so ist auch a (T) = e (T). Analog zum Absorptionsgrad wird der hemisphärische Gesamt-Reflexionsgrad einer Körperoberfläche durch r …T† 5

„ 11 rl …T, l† El …l† Dl Eo

als der reflektierte Teil der Bestrahlungsstärke E definiert, wobei rl (T, l) den spektralen Reflexionsgrad bedeutet. Für strahlungsdurchlässige Körper wird noch der spektrale Transmissionsgrad tl eingeführt, welcher für jede Wellenlänge l den hindurchgelassenen Anteil der spektralen Bestrahlungsstärke El angibt. Für die drei spektralen Strahlungsgröûen gilt die Bilanzgleichung al …l, T † 1 rl …l, T † 1 tl …l, T † 5 1: Ausführliche Tabellen zu diesen Strahlungsgröûen sind z. B. in [7] enthalten.

2 Berechnung des Wärmeflusses durch Strahlung 2.1 Einfache Fälle Für zwei parallele schwarze Oberflächen von gleicher Gröûe beträgt der durch Strahlung entstehende Wärmefluss Q_ 12 in der Einheit W:
Q_ 12 5 sA T14 T24 : …11† Für die Gültigkeit von Gl. (11) müssen die linearen Ausdehnungen der Flächen bedeutend gröûer sein als ihr Abstand voneinander. Bei grau strahlenden Oberflächen mit den Emissionsverhältnissen e1 und e2 ergibt sich infolge der zu beachtenden Reflexionen ein etwas komplizierter Zusammenhang:
Q_ 12 5 C12 A T14 T24 : …12† Dabei bezeichnet man s C12 5 1 1 1 1 e1 e2

…13†

als Strahlungsaustauschzahl. Diese wird durch die Geometrie und durch e bestimmt. So ergibt sich für den

Bild 7. Innen- und Mantelrohr

Bild 6. Verhältnis e/en der Gesamtstrahlung zur Strahlung in Richtung der Flächennormalen in Abhängigkeit von en für schlechte elektrische Leiter (Kurve a) und für Metalle (Kurve b). Die eingetragenen Punkte sind Messwerte.

Strahlungsaustausch zwischen einem Innen- und einem Mantelrohr gemäû Bild 7 bei grauen Strahlern s  : …14† C12 5 1 A1 1 1 1 e1 A2 e2

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Ka 6

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Strahlung technischer Oberflächen

Zur Bestimmung des Wärmeflusses Q_ 12 nach Gl. (12) wird in diesem Fall die Innenfläche A1 eingesetzt. Sonderfälle:

Ka 7

a) Reziprozitätsbeziehung Ai jik ˆ Ak jki ;

A1  A2 (z. B. Rohrleitung in einem groûen Raum):

…18†

dies folgt unmittelbar aus der Definitionsgleich von jik .

C12 5 e1 s;

b) Erweiterte Reziprozitätsbeziehung gemäû Bild 8

A1  A2 (Innenrohr schmiegt sich dem Mantelrohr eng an): s C12 5 1 1 1 1 e1 e2

A1 j14 5 A2 j23 5 A3 j32 5 A4 j41 :

…19†

Diese über ¹Eckeª geltende Regel gilt für aneinander grenzende oder parallele Ebenen.

Dieser Sonderfall entspricht dem System paralleler Platten.

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2.2 Einstrahlzahlen oder Winkelverhältnisse In den meisten Fällen, bei denen sich zwei Flächen im Raum gegenüberstehen, kann man nicht wie im vorangegangenen Abschnitt davon ausgehen, dass die gesamte von der einen Oberfläche emittierte Strahlung auf die andere auftrifft: Ein groûer Teil der zum Beispiel von A1 emittierten Energie erreicht A2 nicht. Die Berechnung des Strahlungsaustausches zwischen diesen Flächen bezieht sich also darauf, herauszufinden, welcher Energiebetrag der von A1 insgesamt emittierten Energie auf A2 trifft und dann absorbiert wird. Diese hauptsächlich rein geometrisch zu lösende Aufgabe ist insbesondere in Abschnitt Kb beschrieben. Der zwischen den schwarzen Flächen A1 und A2 übertragene Wärmestrom ergibt sich zu Q_ 12 5 j12 A1 sT14

j21 A2 sT24 :

…15†

Die dimensionslosen Gröûen j12 und j21 werden Einstrahlzahlen (auch Formfaktoren oder Winkelverhältnisse) genannt, die wie folgt definiert sind: 1 „ „ cos b1 cos b2 dA1 dA2 …16 a† j12 5 pA1 A1 A2 s2

Bild 8. Erweiterte Reziprozitätsbeziehung

c) Summationsbeziehung gemäû Bild 9 Bei der Betrachtung des Strahlenaustausches einer Fläche i mit allen Flächen k des i umschlieûenden Raumes führt der Energieerhaltungssatz zur Summationsbeziehung n X k51

jik 5 1:

…20†

Die Einstrahlzahl jii braucht nicht gleich null zu sein. Bei konkaver Krümmung ist jii ˆ 0. (Die Fläche kann sich selbst sehen.)

mit j21 5

A1 j : A2 12

…16 b†

Mit Hilfe von Gl. (16 b) lässt sich für Gl. (15) schreiben
…17 a† Q_ 12 5 j12 A1 s T14 T24 : Für grau strahlende Oberflächen gilt unter Berücksichtigung wechselseitiger Reflexionen
se1 e2 A1 j12 T14 T24 : Q_ 12 5 …17 b† 1 …1 e1 †…1 e2 †j12 j21 Eines der Hauptprobleme bei Strahlungsaustauschrechnungen ist die Beschaffung der Einstrahlzahlen. Da es sich dabei um die Auswertung rein geometrischer Beziehungen handelt, s. Gl. (16), liegen für verschiedene geometrische Konfigurationen berechnete Winkelverhältnisse in groûer Anzahl vor (Abschn. Kb, Bild 1 bis 25). Bevor diese erläutert werden, ist es jedoch zweckmäûig, einige wichtige Rechenregeln für die Einstrahlzahlen jik zu kennen.

Bild 9. Summationsbeziehung

d) Zerlegungsgesetz gemäû Bild 10 0

00

A1 5 A1 1 A1 : Der Winkel F ist beliebig groû; 0

0

00

00

A1 j12 5 A1 j12 1 A1 j12 :

…21†

K

Ka 8

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Strahlung technischer Oberflächen

Bild 12. Zur Definition der Begriffe Bild 10. Zerlegungsgesetz

Bi 5 Ei 1…1

X k

Beispiel 1

Qi 5…Bi

Ein Hohlraum besteht aus einer Kugelschale A2 und der unten abschlieûenden Kreisebene A1 , wie in Bild 11 gezeigt. Gesucht sind sämtliche Einstrahlzahlen. A1 j21 5 …Reziprozitätsbeziehung†; A2 A1 …Summationsbeziehung†: A2

Qi 5

Ai 1

e

Bk jik ;

…23†

Hi †Ai für ei  1;

…24†

…Ei

…25†

eBi † für e1 < 1:

Sind wie in den meisten Fällen die Temperaturen der n Wände eines abgeschlossenen Raumes vorgegeben, so wird die Berechnung des Strahlungsaustausches auf die Lösung eines Systems von n linearen algebraischen Gleichungen (Gl. (23)) zurückgeführt. Für strahlungsadiabate Wände (Refraktorium) gilt Q1 5 0 und Hi 5 Bi :

…26†

Beispiel 2 Bild 11. Kugelschale (Beispiel 1)

Der Strahlungsaustausch zwischen zwei sehr groûen parallelen Platten gemäû Bild 13 soll bestimmt werden. Die Flächen A3 und A4 seien vernachlässigbar klein. A1 5 A2 5 A; e1 < 1, e2 < 1;

3 Berechnung des Strahlungsaustausches zwischen mehreren Oberflächen 3.1 Methode des umschlossenen Raumes (Bruttomethode, enclosure method)

K

Das allgemeine Problem der Strahlungsaustauschrechnung besteht in der Wechselwirkung einer Oberfläche mit der gesamten Umgebung, da jeder Körper bei T > 0 Strahlung emittiert und deshalb von allen Seiten Strahlung einfällt. Nur dann, wenn zwei Oberflächen in ihrer Umwelt besonders hohe Temperaturen annehmen, liegt in der Hauptsache ein Austausch zwischen diesen beiden Flächen vor, wie oben beschrieben.

j11 5 j22 5 0, j12 5 j21 5 1; j13 5 j23 5 j14 5 j24 5 0: Nach Gl. (23) folgt B1 5 E1 1…1

e1 †B2 j12 ;

B2 5 E2 1…1

e2 †B1 j21 :

Hieraus ergibt sich für B1 und B2 B1 5

E1 1…1 e1 †E2 , e1 1 e2 e1 e2

B2 5

E2 1…1 e2 †E1 : e1 1 e2 e1 e2

Für Q1 folgt nach Gl. (24)

Entsprechend Bild 12 sind die Defintionen besonderer Begriffe zu beachten:

Q_ 1 5…B1

Hi insgesamt auf eine Flächeneinheit der Fläche Ai fallende Strahlungsdichte (Helligkeit) in W/m2;

Q_ 1 5

Bi insgesamt von der Flächeneinheit ausgehende Strahlung, bestehend aus der Eigenemission Ei und dem reflektierten Anteil …1 ai † Hi : Bi 5 Ei 1…1 ai †Hi in W=m2 ;

H1 †A1 5…B1

sA 1 1 1 e1 e 2

1

T14

B2 †A1 5

e2 E1 e1 E2 A; e1 1 e2 e1 e2


T24 :

In diesem Sonderfall der parallelen Platten besteht trotz der unterschiedlichen Definition von Qi und Qik Übereinstimmung von Gl. (12) für Q12 .

Qi der von Ai abgegebene oder aufgenommene Wärmefluss durch Strahlungsaustausch in W. Diese Begriffsbestimmungen ergeben folgende mathematischen Aussagen, wenn wieder grau strahlende Oberflächen (a = e) zugrunde gelegt werden: X Bk jik ; …22† Hi 5 k

Bild 13. Strahlungsaustausch zwischen parallelen Platten (Beispiel 2)

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j11 5 0; j12 5 1:

j22 5 1

ei †

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Strahlung technischer Oberflächen

Ka 9

3.2 Wärmestrahlung in Schüttungen Für die Strahlung sind Schüttungen opaker Teilchen mit d  l optisch dichte Medien, in denen die mittlere freie Weglänge eines Photons etwa dem Teilchendurchmesser entspricht. Es ist deshalb mit bestimmten Einschränkungen möglich, den Strahlungstransport in Schüttungen durch ein der Fouriergleichung analoges Transportgesetz für Wärmestrahlung zu beschreiben:  dT  in W=m2 : …27† q_ s 5 ls dx Nach Vortmeyer [14] kann die Strahlungsleitfähigkeit ls aus folgender Beziehung berechnet werden:

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ls 5

2B 1 e…1 B† s4T 3 d …in W=m K†:…28† 2 … 1 B † e …1 B †

In Gl. (28) bedeuten e Emissionsgrad des Schüttgutes, B Strahlungsdurchlasszahl, d Teilchendurchmesser, s Stefan-Boltzmann-Konstante des schwarzen Körpers. Im Mittel kann bei einem Lückenvolumen von 40 % für die Strahlungsdurchlasszahl der Wert B = 0,1 verwendet werden. Für genauere Rechnungen ist die Abhängigkeit der Strahlungsdurchlasszahl B vom Emissionsgrad e zu berücksichtigen, die in Bild 14 für ein Lückenvolumen von 40 % dargestellt ist [15].

Bild 15. Effektiver Emissionsgrad einer Hohlkugel

Näherung schwarze Strahlung emittiert …eeff  1†, ergeben sich bei gleicher Temperatur der Oberflächen von Vertiefungen effektive Emissionsgrade eeff , die gröûer als die Emissionsgrade des Wandmaterials sind. Nach Eckert beträgt zum Beispiel der der Öffnung einer Hohlkugel entsprechend Bild 15 zuzuordnende effektive Emissionsgrad e : eeff 5 0 A e 1 …1 e† A Aus Bild 16 bis 23 sind eeff-Werte für weitere technisch wichtige Konfigurationen zu entnehmen. Dabei ist zu beachten, dass die durch die offene Fläche A austretende Strahlung Q 5 eeff A 0sT 4 nicht diffus verteilt ist, selbst wenn die Originalflächen diffuse Strahlung emittieren.

K

Bild 14. Strahlungsdurchlasszahl B in Abhängigkeit vom Emissionsgrad e

Die Herleitung der Gl. (28) basiert auf der Vorstellung, dass die Schüttung aus gut wärmeleitenden Feststoffpartikeln besteht. Deshalb unterscheiden sich die nach Gl. (28) berechneten Strahlungsanteile etwas von denen, die nach Gl. (8) in Abschnitt Mg für Schüttungen mit schlecht leitendem Feststoffanteil berechnet sind. Eine ausführliche vergleichende Darstellung unter Einbeziehung auch anderer Theorien zum Strahlungstransport in Schüttungen enthält das Schrifttum [16]. 3.3 Wärmestrahlung aus Vertiefungen Wie bei einem Hohlstrahler, dessen Öffnung unabhängig vom Emissionsgrad des Wandmaterials in sehr guter

Bild 16. Effektiver Emissionsgrad für Öffnungen von zylindrischen Bohrungen in Abhängigkeit von L/R und dem Emissionsgrad der Wand; nach [17]

4 Die wichtigsten verwendeten Formelzeichen e Gesamt-Emissionsgrad einer Oberfläche el spektraler Emissionsgrad en Emissionsgrad der Strahlung in Richtung der Normalen n a Absorptionsgrad einer Oberfläche s Strahlungskonstante (Stefan-Boltzmann-Konstante) der schwarzen Oberfläche (5,67040
10 8 W=m2 K4 )

Strahlung technischer Oberflächen

Bild 17. Effektiver Emissionsgrad für Öffnungen von rechteckigen Nuten in Abhängigkeit von L/h und dem Emissionsgrad der Wand; nach [17]

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Bild 19. Effektiver Emissionsgrad für eine unendlich lange Rundrille; nach [18]

K

Bild 18. Effektiver Emissionsgrad für einen unendlich langen Keilspalt mit gleichen Schenkeln in Abhängigkeit von e; nach [18]

Cik Strahlungsaustauschkonstante in W/m2K4 zwischen zwei Flächen i und k E einfallende Wärmestrahlung je Flächeneinheit in W/m2 L Strahldichte in W/m2 sr Ll spektrale Strahldichte in W/m2 mm sr Ç ik Wärmefluss (in W) zwischen den Flächen i und k Q durch Strahlungsaustausch Ç i der von der Fläche i aufgenommene oder abgegebeQ ne Wärmefluss (in W) durch Strahlungsaustausch mit der gesamten Umgebung Hi insgesamt auf eine Flächeneinheit der Fläche i fallende Strahlungsdichte in W/m2

Bild 20. Effektiver Emissionsgrad für einen unendlich langen Parallelspalt; nach [18]

Bi insgesamt von der Flächeneinheit der Fläche i ausgehende Strahlung, bestehend aus der Eigenemission Ei und dem reflektierten Anteil …1 ai †Hi in W/m2 W Raumwinkel b Winkel zwischen Strahlungsrichtung und Flächennormale jik Einstrahlzahl zwischen den Flächen i und k Indizes 1 bezogen auf die Fläche mit der höheren Temperatur 2 bezogen auf die Fläche mit der niedrigeren Temperatur s bezogen auf den schwarzen Körper

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Ka 10

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Strahlung technischer Oberflächen

Bild 21. Effektiver Emissionsgrad für eine beidseitig offene zylindrische Bohrung; nach [18]

Bild 22. Effektiver Emissionsgrad für parallele Kreisscheiben; nach [18]

5 Literatur [1] Siegel, R., J. R. Howell u. J. Lohrengel: Wärmeübertragung durch Strahlung. Teil 1, Berlin: Springer, 1988. [2] Baehr, H. D. u. K. Stephan: Wärme- und Stoffübertragung. 4. Aufl., Berlin: Springer, 2004.

Ka 11

Bild 23. Effektiver Emissionsgrad für ein unendlich langes Winkelstück mit rechtem Winkel und ungleichen Schenkeln; nach [18]

[3] Siegel, R. u. J. R. Howell: Thermal radiation heat transfer. 4. Aufl., New York: Taylor & Francis, 2002. [4] Brewster, M. Q.: Thermal Radiative Transfer & Properties. New York: John Wiley & Sons, 1992. [5] Jordan, E. C.: Electromagnetic Waves and Radiating Systems. 2. Aufl., London: Prentice-Hall, 1968. [6] Dimenna, R. A. u. R. O. Buckius: Electromagnetic Theory Predictions of the Directional Scattering from Triangular Surfaces. J. of Heat Transfer, 116 (1994), S. 639±645. [7] Touloukian, Y. S.: Thermophysical Properties of Matter. Bd. 7, 8 u. 9, New York: IFI Plenum, 1972. [8] Tables of Emissivity of Surfaces. Int. J. Heat & Mass Transfer 5 (1962), S. 67±76. [9] Gubareff, Jansen u. Torborg: Thermal Radiation Properties. Honeywell Research Center, Minneapolis, 1960. [10] Sala, A.: Radiant properties of materials. Amsterdam: Elsevier Science Publishers, 1986. [11] Kirchhoff, R.: Bestimmung der spektralen Emissionsgrade feuerfester Baustoffe und keramischer Spezialerzeugnisse. Göttingen: Cuvillier Verlag, 1999. [12] Landolt-Börnstein: Zahlenwerte und Funktionen aus Naturwissenschaften und Technik, z. B. Band 15, Berlin: Springer, 1985. [13] Kabelac, S.: Thermodynamik der Strahlung. Braunschweig: F. Vieweg & Sohn, 1994. [14] Vortmeyer, D.: Fortschr.-Ber. VDI, Reihe 3, Nr. 9; Habilitation vom 28. Juli 1965. Düsseldorf: VDI-Verlag, 1966. Ferner: Vortmeyer, D.: Chem. Ing. Techn. 38 (1966), S. 404. [15] Vortmeyer, D., u. B. Börner: Chem. Ing. Techn. 38 (1966), S. 1077/79. [16] Vortmeyer, D.: Radiation in Packed Solids. Germ. Chem. Engng. 3 (1980), S. 124/38. [17] Sparrow, E. M., u. R. D. Cess: Radiation Heat Transfer. Brooks/Cole Publishing Co., 1966. [18] Kast, W.: Fortschr.-Ber. VDI, Reihe 6, Nr. 5. Düsseldorf: VDI-Verlag, 1965.

K

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Einstrahlzahlen *)

Kb 1

Gliederung 1 Bestimmung der Einstrahlzahl (Winkelverhältnis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kb 1

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2 Bestimmung der Einstrahlzahl j12 für den Strahlungsaustausch einer Fläche endlicher Gröûe mit einem Flächenelement . . . . . . . . . . . Kb 1 2.1 Zeichnerisches Verfahren [3] . . . . . . . . . . . . Kb 1 2.2 Analytische Verfahren (Sonderfälle). . . . . . Kb 2

1 Bestimmung der Einstrahlzahl (Winkelverhältnis) Die Einstrahlzahlen zwischen zwei beliebigen diffus strahlenden endlichen Flächen können nach Abschn. Ka, Gl. (16 a) bestimmt werden. Für verschiedene geometrische Verhältnisse existieren jedoch bereits Lösungen, die in diesem Abschnitt aufgeführt sind. Ist eine der beiden Flächen, z. B. A1, sehr klein, und kann diese somit als Flächenelement d A1 betrachtet werden, vereinfacht sich Gl. (16 a) zu 1 „ cos b1 cos b2 dA2 : …1† j12 ˆ s2 p A2 Auch für diese Gleichung existieren für bestimmte geometrische Verhältnisse Lösungen, die im folgenden dargestellt sind.

3 Bestimmung der Einstrahlzahl j12 für den Strahlungsaustausch von Flächen endlicher Gröûe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kb 5 4 Strahlung von Rohrreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . Kb 9 5 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kb 10

2.1 Zeichnerisches Verfahren [3] Bild 1 erläutert das Vorgehen. Man legt durch das Flächenelement DA1 eine Ebene (x, y-Ebene) und schlägt um den Mittelpunkt O des strahlenden Elementes eine Halbkugel. Man zieht von O die Strahlen Oa2, Ob2, Oc2, Od2 nach der Umfangslinie der bestrahlten Fläche A2 (in Bild 1 z. B. ist es die Rechteckfläche a2 b2 c2 d2). Diese Strahlen schneiden die Kugel in den Punkten a0, b0, c0, d0. Die Kugelfläche a0 b0 c0 d0 wird senkrecht auf die x, y-Ebene projiziert, wodurch die schraffierte Fläche a1 b1 c1 d1 entsteht. Das Verhältnis dieser schraffierten Fläche zur Fläche des Kreises, entstanden als Schnitt der Kugel mit der x, y-Ebene, ist gleich der gesuchten Einstrahlzahl j12.

Die hier angegebenen Einstrahlzahlen gelten für einfache Geometrien und häufig vorkommende technische Anwendungen. Weitere Einstrahlzahlen sowie weitere Berechnungsmethoden wie die Monte-Carlo-Methode sind ausführlich z. B. in [1; 2] zu finden.

2 Bestimmung der Einstrahlzahl j12 für den Strahlungsaustausch einer Fläche endlicher Gröûe mit einem Flächenelement Bei Annahme der Gültigkeit des Lambertschen Kosinusgesetzes (vgl. Abschn. Ka) läût sich für kleine, diffus strahlende Flächenelemente die Einstrahlzahl nach den folgenden zeichnerischen und rechnerischen Verfahren bestimmen.

Bild 1. Graphische Bestimmung der Einstrahlzahl j12

*) Bearbeiter des Abschnitts Kb: Prof. Dr. D. Vortmeyer, München, und Prof. Dr.-Ing. S. Kabelac, Hamburg

K

Kb 2

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Einstrahlzahlen

2.2 Analytische Verfahren (Sonderfälle) Für verschiedene relativ einfache Fälle kann die Einstrahlzahl j12 des Flächenelementes DA1 gegen A2 nach den folgenden Gleichungen bzw. den danach entworfenen Diagrammen bestimmt werden. Die Form der Fläche A2 und ihre Lage gegenüber DA1 sind jeweils angegeben und gehen ebenso wie die verwendeten Bezeichnungen aus Bild 2 bis 11 hervor.

Bild 6 a. Parallel zum Flächenelement liegende Kreisfläche

Bild 2. Ebene, die parallel zu DA1 und groû im Verhältnis zum Abstand ist

Zu Bild 2: j12=1.

Bild 3. Unendlich lange Fläche von beliebigem Profil mit Erzeugenden, die zu dem Flächenelementstreifen parallel sind

Zu Bild 3: j12 ˆ

sin a0 ‡ sin a 00 : 2

…3†

Bild 4. Unendlich ausgedehnte Fläche, die die Ebene des Flächenelementes unter dem Winkel a schneidet

K

Bild 6 b. Einstrahlzahl j12 bei der Strahlung eines Flächenelementes auf eine dazu parallele Kreisfläche in Abhängigkeit von R und B

Zu Bild 6: b r Bˆ ; Rˆ , a a

Zu Bild 4: 1 j12 ˆ …1 ‡ cos a†: 2

…4†

j12 ˆ

1 2

1 ‡ B2 R 2 q : …6† 2 B4 ‡ 2 B2 …1 R2 † ‡ …1 ‡ R2 †2

Bild 5. Kreisfläche, deren Mittelsenkrechte durch das Flächenelement geht

Zu Bild 5: j12=sin2 a cos b, wenn (a+b)  90 , a sin a cos a j12 ˆ für b=90 , p

(5)

d. h. die Kreisfläche A2 steht senkrecht zu DA1; hierbei wird nur die halbe Kreisfläche, die über dem Horizont von DA1 liegt, angestrahlt.

Bild 7 a. Senkrecht zum Flächenelement liegende Kreisfläche

Zu Bild 7: b r Bˆ ; Rˆ a a

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(2)

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Einstrahlzahlen

Kb 3

Bild 7 b. Einstrahlzahl j12 bei der Strahlung eines Flächenelementes auf eine dazu senkrechte Kreisfläche in Abhängigkeit von R und B

2

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j12 ˆ

3 2

2

1 6 1‡B ‡R 4q 2B B4 ‡ 2 B2 …1 R2 † ‡ …1 ‡ R2 †2

7 15:

…7†

Gl. (7) und Bild 7 b gelten nur, wenn b  r, also die Kreisfläche über dem Horizont von DA1 liegt.

Bild 8 a. Parallele Rechteckfläche mit einer Ecke in der Mittelsenkrechten des Flächenelementes Bild 8 b. Einstrahlzahl j12 bei der Strahlung eines Flächenelementes auf eine parallele Rechteckfläche in Abhängigkeit von B und C

Zu Bild 8:

Für senkrechte Rechtecke allgemeiner Lage gilt ähnliches, wie für parallele Rechtecke ausgeführt wurde.

b c Bˆ ; Cˆ , a a 1 j12 ˆ 2p



B C p arctan p 2 1‡B 1 ‡ B2  C B ‡ p arctan p : 1 ‡ C2 1 ‡ C2

Bild 9 a. Rechteckfläche senkrecht zum Flächenelement mit einer Seite in der Ebene des Elementes und mit einem Eckpunkt, dessen Normale durch DA1 geht

…8†

Fällt kein Eckpunkt des Rechteckes in die Normale zum Flächenelement, so kann man das Rechteck in Teilrechtecke zerlegen, deren gemeinsamer Eckpunkt in der Normalen liegt, oder es als Summe und Differenz von Rechtecken darstellen, die einen derartigen gemeinsamen Eckpunkt haben. Durch mehrfache Anwendung von Gl. (8) oder des Diagramms Bild 8 b ist dann für jede Teilfläche das Winkelverhältnis zu bestimmen, woraus sich durch sinngemäûe Addition oder Subtraktion das gesuchte Winkelverhältnis der vorliegenden Fläche A2 ergibt.

Zu Bild 9: b c Bˆ ; Cˆ , a a  1 j12 ˆ arctan B 2p

 1 B p arctan p : 1 ‡ C2 1 ‡ C2

…9†

K

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Einstrahlzahlen

Bild 9 b. Einstrahlzahl j12 bei der Strahlung eines Flächenelementes auf eine dazu senkrechte Rechteckfläche in Abhängigkeit von B und C

Bild 10 b. Einstrahlzahl j12 bei Strahlung zwischen Flächenelement und Zylinder in Abhängigkeit von A und B

Bild 10 a. Strahlung zwischen Zylinder und parallelem Flächenelement, dessen Mittelsenkrechte die Zylinderachse am Ende des Zylinders schneidet

Bild 11. Strahlung zwischen einer ebenen Fläche A2 und einer differentiellen Kugelfläche DA1 Nach [6]

Zu Bild 10:

K

a b Aˆ ; Bˆ , r r X=(1+B)2+A2,

Zu Bild 11:

Y=(1 Ÿ B)2+A2, 1 A arctan p pB B2 1 s " A X 2B X…B 1† p arctan ‡ p B XY Y…B ‡ 1†

j12 ˆ

1 arctan B

r# …10† B 1 : B‡1

a b Aˆ ; Bˆ , h h 1 j12 ˆ 8

1 arctan 4p

r 1 ‡ A 2 ‡ B2 : A2 B2

…11†

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Kb 4

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Einstrahlzahlen

Kb 5

3 Bestimmung der Einstrahlzahl j12 für den Strahlungsaustausch von Flächen endlicher Gröûe

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In den folgenden beschriebenen Sonderfällen ist zur Bestimmung der Einstrahlzahl eine Aufteilung der strahlenden Flächen in Flächenelemente nicht erforderlich, da geschlossene Lösungen der ganzen Fläche vorliegen. Der durch Strahlung von A1 nach A2 übergehende Wärmefluû wird nach Gl. (17 a) oder (17 b) aus Abschn. Ka bestimmt.

Bild 13 a. Strahlung zwischen parallelen, gleich groûen, gegenüberliegenden Rechteckflächen

Zu Bild 13: b c Bˆ ; Cˆ , a a  1 1 …1 ‡ B2 † …1 ‡ C2 † 2 j12 ˆ ln arctan C p BC 1 ‡ B2 ‡ C 2 B 2 2 p2 B arctan B ‡ 1 ‡ C arctan p C C 1 ‡ C2   p 2 C 1 ‡ B2 arctan p : ‡ (14) B 1 ‡ B2

Bild 12 a. Strahlung zwischen parallelen Kreisflächen mit gemeinsamer Mittelpunktssenkrechten

Zu Bild 12: R1 ˆ

r1 r2 ; R2 ˆ , a a

j12 ˆ

…

1 1 ‡ R21 ‡ R22 2 R21 q …12† …1 ‡ R21 ‡ R22 †2 4 R21 R22 :

Gleich groûe Kreisflächen r1=r2=r; R=r/a als Sonderfall: p 1 1 ‡ 4 R2 †: j12 ˆ 2 …1 ‡ 2 R2 …13† 2R

K

Bild 13 b. Einstrahlzahl j12 bei der Strahlung zwischen parallelen, gleich groûen, gegenüberliegenden Rechteckflächen in Abhängigkeit von B und C

Bild 13 c. Streifenpaare als Sonderfall

Streifenpaare gemäû Bild 13 c als Sonderfall:

Bild 12 b. Einstrahlzahl j12 bei der Strahlung paralleler Kreisflächen mit gemeinsamer Mittelpunktssenkrechten in Abhängigkeit von R1 und R2

b c B ˆ ; C ˆ ˆ 1, a a p 1 ‡ B2 1 j12 ˆ : B

…15†

Einstrahlzahlen

Bild 14 a. Strahlung eines Streifens auf eine parallele Rechteckfläche gleicher Seitenlänge

Zu Bild 14: b c Bˆ ; Cˆ , a a  1 C B p arctan p j12 ˆ p 1 ‡ C2 1 ‡ C2 ! …16† p 1 ‡ B2 C 1 arctan p ‡ arctan C : B 1 ‡ B2 B

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Bild 15 a. Strahlung zwischen einem Flächenstreifen und dazu senkrechter Rechteckfläche gleicher Seitenlänge

Zu Bild 15: b c Bˆ ; Cˆ , a a  1 1 B 1 p arctan p arctan j12 ˆ 2 2 2 p B B ‡C B ‡ C2  2 2 2 B …B ‡ C † …1 ‡ B † : ln 2 …1 ‡ B2 ‡ C 2 † B2

…17† Alle Rechte vorbehalten  Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2006

Kb 6

Liegen je zwei Eckpunkte von A1 und A2 nicht übereinander, so führt eine zweimalige Verwendung der letzten Gleichung oder des Diagramms zum Ziel. Je nach der Lage von A1 sind dann die beiden j12-Werte zu addieren oder zu subtrahieren.

K

Bild 15 b. Einstrahlzahl j12 bei der Strahlung zwischen Flächenstreifen und der dazu senkrechten Rechteckflächen in Abhängigkeit von B und C

Zu Bild 16:

Bild 14 b. Einstrahlzahl j12 bei der Strahlung eines Streifens auf eine parallele Rechteckfläche gleicher Seitenlänge in Abhängigkeit von B und C

b c Bˆ ; Cˆ , a a  1 1 1 j12 ˆ B arctan ‡ C arctan pB B C p 1 B2 ‡ C2 arctan p B2 ‡ C 2  2 1 …1 ‡ B ‡ C 2 † B2 ‡ B2 ln 2 …B ‡ C 2 † …1 ‡ B2 † 4  …1 ‡ B2 ‡ C2 † C2 1 ‡ B2 ‡ C 2 ‡C 2 ln 2 ln : …B ‡ C2 † …1 ‡ C2 † …1 ‡ B2 † …1 ‡ C2 † (18)

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Einstrahlzahlen

Kb 7

Bild 16 a. Strahlung zwischen zwei zueinander senkrechten Rechteckflächen mit einer gemeinsamen Seite

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Beispiel für allgemeine Lage der beiden zueinander senkrechten Rechteckflächen entsprechend Bild 16 c:

Bild 16 b. Einstrahlzahl j12 bei der Strahlung zwischen zwei zueinander senkrechten Rechteckflächen mit einer gemeinsamen Seite in Abhängigkeit von B und C Bild 16 c. Allgemeine Lage der beiden zueinander senkrechten Rechteckflächen

Bild 18 a. Strahlung zwischen zwei konzentrischen Zylindern endlicher Länge

Die wiederholte Anwendung obiger Gleichung führt zum Ziel: j12 ˆ jA1 A2 ˆ

B00 …jB00 C00

jB00 C0† B 0 …jB0 C00 B00 B0

jB0 C0†

: (19)

Die Bedeutung der j-Werte geht aus den Indizes hervor.

b c Xˆ ; Yˆ , a a

K

A=Y 2+x2 Ÿ 1;

Zu Bild 17: j12 ˆ

Zu Bild 18:

cos b1 cos b2 n1 n2 A2 ˆ 4 A2 : 2 ps ps

…20†

b1 (bzw. b2) ist der Winkel zwischen der Flächennormalen von A1 (bzw. A2) und der Verbindungsstrecke s der beiden Flächenmittelpunkte. n1 (bzw. n2) ist der senkrechte Abstand der Ebene der Fläche A1 (bzw. A2) vom Mittelpunkt von A2 (bzw. A1). Diese Verhältnisse sind in Bild 17 für den Sonderfall, daû die Mittelsenkrechten der beiden Flächen in einer Ebene liegen, skizziert.

B=Y 2 Ÿ X2+1, p! 1 2 2 X2 1 ‡ arctan j11 ˆ 1 Y X pX 2 3 Y2 2 (p 2 1† ‡ 2 …X 2†7 64 …X Y 4 X2 ‡ Y 2 X 7 arcsin 6 4 5 2pX Y 2 ‡ 4 …X 2 1† Y X2 2 p ‡ arcsin X2 2

p 4 X2 ‡ Y 2 Y

!) 1

;

…21†

Bild 17. Strahlung zwischen Flächen, die im Verhältnis zu ihrem Abstand klein sind

Kb 8 1 j12 ˆ X

1 j13 ˆ …1 2

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Einstrahlzahlen  1 B arccos pX A

q …A ‡ 2†2 4 X 2  …22† B 1 pA
arccos ‡ B arcsin ; XA X 2

j12

j11 †:

1 2Y

Bild 19. Strahlung zwischen gekrümmten Flächen mit parallelen Erzeugenden und endlicher Längsausdehnung

…23† Zu Bild 19: …AA0 D ‡ BC0 C†

_

2 AB

…AC ‡ BD†

:

…24†

Bild 20 a. Strahlung zwischen den gesamten Mantelflächen zweier paralleler Zylinder verschiedener Radien und unendlicher Länge

Bild 18 b. Einstrahlzahl j12 der Strahlung des Auûenzylinders auf sich selbst in Abhängigkeit von X und Y

Zu Bild 20: r2 s Aˆ ; Bˆ ; C ˆ1‡A‡B r1 r1  q q 1 C 2 …A 1†2 p ‡ C2 …A ‡ 1†2 j12 ˆ 2p   A 1 ‡ …A 1† arccos …25 a† C C   A 1 …A ‡ 1† arccos ‡ : C C Für den Sonderfall r2=r1 vereinfacht sich j12 zu    p 1 2 2 4 C 2 arccos p‡ C : …25 b† j12 ˆ 2p C

K

Bild 18 c. Einstrahlzahl j12 der Strahlung des Auûenzylinders auf den Innenzylinder in Abhängigkeit von X und Y

Bild 20 b. Einstrahlzahl j12 in Abhängigkeit von C und A

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j12 ˆ

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Einstrahlzahlen

Bild 21. Strahlung zwischen Zylinder und parallel zur Zylinderachse liegender, unendlich ausgedehnter Fläche

Zu Bild 21:

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a b c Aˆ ; Bˆ ; Cˆ , r r r   1 B A j12 ˆ arctan arctan : B A C C

…26†

Kb 9

gistern in elektrischen Widerstandsöfen erfolgt nach denselben Gesetzmäûigkeiten. In Bild 23 bis 25 sind von Eckert [4] und Hottel [5] berechnete Einstrahlzahlen angegeben, mit denen der Strahlungsfluû zwischen einer strahlenden Fläche und Rohren berechnet werden kann. In diesem besonderen Fall nennt man die Einstrahlzahl  auch Flächenverhältnis Y. Zu unterscheiden ist in diesen Darstellungen zwischen den Einstrahlzahlen, die den direkten Austausch zwischen strahlender Wand und Rohrregister angeben und solchen, die sich auf den Gesamtenergieaustausch beziehen. Die zuletzt genannten Einstrahlzahlen wurden unter der Voraussetzung ermittelt, daû die hinter den Rohrreihen liegende feuerfeste Wand eine für den Strahlungsaustausch adiabate Fläche darstellt (sie gibt alle auffallende Strahlungsenergie zurück), und daû Rohre sowie strahlende Fläche schwarze Strahler sind.

Bild 22. Strahlung zwischen Zylinder und parallel zur Zylinderachse liegender, endlicher Rechteckfläche

Zu Bild 22: a b c Aˆ ; Bˆ ; Cˆ , r r r X=A2+C2+g2 Ÿ 1, Y=C2 Ÿ A2 Ÿ g2+1, j12 ˆ

2 B

B=2 „ 0

f …g† dg;

K …27 a†

 A A Y 1 f …g† ˆ 2 arccos 2 2 2 A ‡ g p …A ‡ g † X 2C " ! p Y p
X 2 ‡ 4 C2 arccos X A2 ‡ g2 ! #) 1 pX ‡ Y arcsin p : (27 b) 2 A2 ‡ g2 Nach Einsetzen der dimensionslosen Zahlen A, B, C und der abhängigen Kennzahlen X und Y in Gl. (27 b) kann die Einstrahlzahl j nach Gl. (27 a) über eine einfache numerische Integration bestimmt werden.

4 Strahlung von Rohrreihen Im Kessel- und Ofenbau ist die Strahlung an Rohren wichtig, die vor oder in der Wand verlaufen. Flächenhafte Rohrbelegungen dieser Art nennt man auch Rohrregister. Die Berechnung der Strahlung von den Stabre-

 für die mit einer Rohrreihe bedeckte Bild 23. Flächenverhältnis Y Fläche A. Nach [4] Kurve a

gesamte Einstrahlung in die Rohrreihe nach Fall 1

Kurve b

nach Fall 2

Kurve c

nach Fall 3

Kurve d bzw. e unmittelbare Einstrahlung nach Fall 1 und 2 bzw. nach Fall 3

Da erfahrungsgemäû in Öfen und Kesseln das Emissionsverhältnis eR der Rohre und ew der strahlenden Fläche dem Wert eins nahekommen, läût sich für den durch Strahlung entstandenen Wärmestrom unter Vernachlässigung der reflektierten Anteile schreiben  …Tw4 q_ w ˆ ew eR s y

TR4 †:

…28†

K

Einstrahlzahlen

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 für die mit einer Rohrreihe mit zwei Bild 24. Flächenverhältnis Y Rohrreihen in Dreieckstellung bedeckte Fläche A=BL. Nach [4; 5]

 für die mit einer Rohrreihe oder zwei Bild 25. Flächenverhältnis Y fluchtenden Rohrreihen bedeckte Fläche A=BL (Rohrteilung s1=2 da). Nach [5]

q_ w ist der auf 1 m2 strahlende Wandfläche bezogene Wärmestrom. Die je m2 Rohrfläche im Mittel übertragene Strahlungsenergie ergibt sich aus

ablesen. Daraus ergeben sich dann die Heizflächenbelastungen für jede einzelne Rohrreihe.

q_ R ˆ

q_ w s da p

…29 a†

für eine Rohrreihe und q_ R ˆ

q_ w s 2 da p

…29 b†

für zwei Rohrreihen, wenn s der Abstand der Rohrachsen ist (Bild 23).  Aus Bild 24 und 25 lassen sich indes auch die Y-Werte von zweireihigen Registern für jede Reihe einzeln

5 Literatur [1] Howell, J. R.: Radiation Configuration Factors, McGraw Hill, 1982. [2] Siegel, R., J. R. Howell u. J. Lohrengel: Wärmeübertragung durch Strahlung, Teil 2. Springer-Verl. 1991. [3] Nuûelt, W.: Z. VDI 72 (1928) S. 673. [4] Eckert, E.: Arch. f. Wärmewirtsch. Bd. 13 (1932) S. 241. [5] Hottel, H. C.: Trans. Amer. Mech. Engrs. Bd. 53 (1931) S. 241. [6] Eckert, E.: Technische Strahlungsaustauschrechnungen und ihre Anwendung in der Beleuchtungstechnik und beim Wärmeaustausch. Berlin: VDI-Verlag 1937.

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Kb 10

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Gasstrahlung; Strahlung von Gasgemischen *)

Kc 1

Gliederung 1 Strahlungsintensität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kc 1

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2 Absorption und Strahlung in Gasen mit konstanten Temperaturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kc 1

6 Strahlung aus Gasräumen mit Temperaturunterschieden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kc 10

3 Strahlungsaustausch zwischen Gas und Wand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kc 5

7 Kombinierter Wärmetransport durch Wärmeleitung und Wärmestrahlung in Gasen, Flüssigkeiten und Glasschmelzen . . . . . . . . . . . Kc 10

4 Gasmischungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kc 8

8 Die wichtigsten verwendeten Formelzeichen Kc 10

5 Analytische Berechnung der Emissionsgrade von H2O, CO2 und deren Mischungen. . . . . . . . . Kc 9

9 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kc 10

Auûer den festen und flüssigen Körpern strahlt auch ein Teil der Gase merklich Wärme aus und absorbiert somit nach dem Kirchhoffschen Gesetz einfallende Wärmestrahlung. Die elementaren Gase, wie zum Beispiel O2 , N2 , H2 , sowie trockene Luft und Edelgase sind praktisch durchlässig für Wärmestrahlung. Dagegen sind andere Gase und Dämpfe, wie zum Beispiel H2O, CO2 , CO, O3, SO2 , HCl, NH3 und CH4 , wirksame Strahler, die innerhalb enger Wellenbereiche (Banden) ausstrahlen und absorbieren (selektive Strahler). Auch die Kohlenwasserstoffe haben eine beträchtliche Eigenstrahlung und Absorption, und zwar um so mehr, je mehr Atome das Molekül hat.

1 Strahlungsintensität Zur Formulierung der Absorptions- und Emissionsgesetze innerhalb eines Gases ist der Begriff der Intensität sehr wichtig. Bezeichnet DE_ die in den Raumwinkelbereich DW von der kleinen Fläche D A emittierte Strahlungsenergie gemäû Bild 1, so ist die Intensität I definiert als Iˆ

DE_ : …D A cos b DW†D A, D W ! 0

2 Absorption und Strahlung in Gasen mit konstanten Temperaturen Die Abnahme der Intensität d I entlang eines Weges ds wird durch das Absorptionsgesetz von Bouguer angegeben. Es gilt d I=ÐaI d s

(2)

oder d Il=Ðal Il d s bei Wellenlängenabhängigkeit. Die Intensitätsabnahme ist demnach proportional der auffallenden Intensität multipliziert mit der kleinen Länge d s des im absorbierenden Medium zurückgelegten Weges. Der Proportionalitätsfaktor a wird Absorptionskonstante genannt. Dieser pauschale Stoffwert, der sich aus der wellenlängenabhängigen Absorption (al) zusammensetzt, ist druck- und temperaturabhängig. Ausgehend von der Vorstellung, daû bei nicht zu hohen Drücken a proportional der absorbierenden Teilchenanzahl ist und diese über das ideale Gasgesetz linear mit dem Druck verbunden ist, spaltete Beer die Konstante a in ein Produkt k p auf und formulierte das nach ihm benannte Gesetz zu

…1†

d I=Ðk p I d s.

(3)

Für die Absorption in Gasen mit konstanter Temperatur führt die Integration von Gl. (2) und (3) zu I=I0 e±as

(4)

I=I0 e±kps.

(5)

bzw.

Die insgesamt absorbierte Intensität entlang der Strecke s beträgt Bild 1. Zur Definition der Strahlungsintensität

Bei Abstrahlung in ein Vakuum und konstantem Winkel b ist diese Gröûe eine Konstante, in welcher Entfernung von der strahlenden Fläche sie auch immer gemessen wird. Absorptionsgesetze sind deshalb stets auf Intensitäten zu beziehen.

I0ÐI=I0 (1Ðe±kps).

(6)

Während Gl. (6) die Absorption entlang eines jeden ¹Intensitätsstrahlesª beschreibt, ist der Strahlungsaustausch zwischen diffus strahlender Wand und Gas zusätzlich noch ein Problem der geometrischen Gestalt des Gasraumes, da über alle von einem Flächenelement ausgehen-

*) Bearbeiter des Abschnitts Kc: Prof. Dr. D. Vortmeyer, München, und Prof. Dr.-Ing. S. Kabelac, Hamburg

K

Kc 2

Gasstrahlung; Strahlung von Gasgemischen

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den ¹Strahlenª integriert werden muû. Bild 2 zeigt den Einfluû der geometrischen Gestalt am Beispiel der Halbkugel und Kugel:

Bild 3. ¾quivalenzfaktor d in Abhängigkeit von der optischen Dicke t am Beispiel einer Schicht zwischen zwei parallelen Wänden, unendlich ausgedehnt

In der Halbkugel legen alle von dem Flächenelement D A ausgehenden ¹Intensitätsstrahlenª gleichlange Wege zurück, in dem kugelförmigen Raum dagegen sind die Wege unterschiedlich. Beim Durchgang durch den halbkugelförmigen Gaskörper wird die von D A emittierte Energie um einen Betrag proportional zu (1Ðe±ar)

(7)

geschwächt. Es hat sich als zweckmäûig erwiesen, die für die Halbkugel exakt gültigen integralen Absorptionszahlen in der obigen Schreibweise auch für andere Geometrien beizubehalten, indem r in Gl. (7) durch den gleichwertigen Halbmesser bzw. durch die gleichwertige Schichtdikke sgl (Bild 2) zu ersetzen ist: Av ˆ 1

K

e

asgl

:

…8†

Av ist der geometrieabhängige Absorptionsgrad. Als gleichwertige Schichtdicke wird der Radius der Ersatzhalbkugel bezeichnet (Bild 2), die von der bei D A ausgehenden Strahlung gerade so viel Strahlung absorbiert wie die dargestellte Kugel, die stellvertretend für verschiedene andere Geometrien eingezeichnet ist. Der Nachteil dieses Verfahrens liegt darin, daû sgl für eine gegebene Geometrie noch abhängig von der optischen Dicke des absorbierenden Mediums ist. Um dies zu zeigen, sind in Bild 3 für eine ebene Schicht zwischen zwei parallelen Wänden die exakt berechneten Werte sgl/D=d als Funktion der optischen Dicke t aufgetragen; hierbei ist t das Produkt aus Plattenabstand D und Absorptionszahl a. Tabelle 1 gibt aus solchen Rechnungen abgeleitete Richtwerte an, die sich auf den Bereich optischer Dicken von etwa t=0,2 beziehen. In unbekannten Fällen kann man den gleichwertigen Halbmesser aus der Näherungsgleichung sgl ˆ 0,9

4V A

…9†

berechnen; V ist das Volumen und A die Oberfläche des Gaskörpers.

Das zunächst nur für die Absorption Gesagte gilt ebenso für die Strahlungsemission von Gasvolumen konstanter Temperatur. Die Anwendung von Gl. (9) ist allerdings auf den Strahlungsaustausch mit der gesamten Oberfläche beschränkt. Ist lediglich eine Teilfläche von Interesse, kann keine Näherungsgleichung angegeben werden. Emissionsgrade von CO2 und H2O bei einem Gesamtdruck von p = 1 bar Für technische Berechnungen ist die Strahlung von Kohlendioxid CO2 und Wasserdampf H2O besonders wichtig. Die Gesamtstrahlung eines Gases, die für die Berechnung des Wärmeüberganges benötigt wird, läût sich grundsätzlich aus der Kenntnis der Spektralbereiche und der Absorptionsstärke bei den einzelnen Wellenlängen berechnen. Methoden hierfür wurden zuerst von Nuûelt [2] und Schack [3], Hottel [4], in neuerer Zeit von Hertel [5], Goody [6] und Plass [7] entwickelt. Eine zusammenfassende Darstellung hierzu findet sich in [8]. Unsicherheiten dieser Rechnungen ergaben die Notwendigkeit praktischer Messungen bei den technisch in Frage kommenden Temperaturen, Drücken und Schichtstärken. Solche Messungen wurden von Schmidt, Eckert, Hottel, Mangelsdorf, Egbert [9±12] und anderen durchgeführt. Diesen Messungen kommt auch heute noch grundlegende Bedeutung zu. Der Emissionsgrad eg wurde für verschiedene Gase experimentell durch Bezug auf die Strahlung des schwarzen Körpers bestimmt. Auûer von der Temperatur und der Schichtdicke ist der Emissionsgrad vom Partialdruck pg des die Strahlung emittierenden Gases wie auch in unterschiedlichem Maûe vom Gesamtdruck p der Gasmischung abhängig. Nach den von Beer für die Absorption entwickelten Vorstellungen (Abschn. Kc 1) sollte auch die Emission nur von dem Produkt aus Partialdruck und Schichtdicke (pg s) abhängig sein. Dieser einfache Ansatz lieû sich experimentell allerdings nicht in allen Fällen bestätigen. Deshalb wurden von Hottel und Egbert [12] Diagramme entwickelt, in denen als wichtiger Parameter das Produkt pg s beibehalten wird, die aber für H2O zusätzlich Korrekturen erfordern: Während Bild 5 die Emissionsgrade für CO2 bei p=1 bar Gesamtdruck für alle Partial-

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Bild 2. Einfluû der geometrischen Gestalt des Gasraumes beim Strahlungsaustausch zwischen Wand und Gas

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Gasstrahlung; Strahlung von Gasgemischen

Tabelle 1. Gleichwertige Schichtdicke sgl=dD verschiedener Gaskörper für t  0,2 (gilt nur für diffus strahlende Flächen) Gaskörper und Art der Einstrahlung

charakteristische Dimension D

¾quivalenzfaktor d

Kugel

Durchmesser

0,63

Durchmesser

0,94 0,9

Zylinder, unendlich lang, Strahlung auf den Mantel Strahlung auf den Mittelpunkt der Grundfläche Strahlung auf die gesamte Grundfläche

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Zylinder h=D, Strahlung auf den Mittelpunkt der Grundfläche Strahlung auf Gesamtoberfläche Zylinder h=0,5 D, Strahlung auf eine Grundfläche Strahlung auf Zylindermantel Strahlung auf die Gesamtoberfläche Zylinder h=2 D, Strahlung auf beide Endoberflächen Strahlung auf Mantelfläche Strahlung auf gesamte Oberfläche Zylinder mit halbkreisförmigem Querschnitt, unendlich lang Strahlung auf Mittellinie der flachen Seite Würfel

0,65

Durchmesser

0,6

Durchmesser

drücke pCO2750 K.

(13)

Ist der berechnete Wert von fp, H2O nach Gl. (11) gröûer als A aus Gl. (12), wird fp, H2O=A gesetzt. 2,8 2,8 3,8 3,5

Die Methode kann im Bereich 1  p  100 bar und Tg  700 K angewendet werden. Eine Partialdruckkorrektur nach Bild 4 a, wie sie bei einem Gesamtdruck p=1 bar durchgeführt werden muû, ist hier nicht erforderlich, da die Partialdruckabhängigkeit des Druckkorrekturfaktors fp, H2O bereits in Gl. (11) und (12) berücksichtigt ist.

K

Gasstrahlung; Strahlung von Gasgemischen

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Bild 4. Emissionsgrad eH2O des Wasserdampfes bei 1 bar Gesamtdruck in Abhängigkeit von der Temperatur und dem Produkt pH2O sgl . Nach [12]

K

Bild 4 a. Korrekturfaktor f für Wasserdampf (Gesamtdruck p  1 bar). Nach [12]. Für Gesamtdrükke p>1 bar ist Gl. (11) zu verwenden

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Kc 4

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Gasstrahlung; Strahlung von Gasgemischen

Kc 5

Bild 5. Emissionsgrad eCO2 von Kohlendioxid bei 1 bar Gesamtdruck in Abhängigkeit von der Temperatur und dem Produkt pH2O sgl . Nach [12]



Kohlendioxid: Für den Emissionsgrad von CO2 bei höheren Drücken gilt eCO2 (p)=fp, CO2
eCO2 (pCO2 sgl , Bild 5).

(14)

Für den Druckkorrekturfaktor fp, CO2 gilt "  2 # B fp, CO2 ˆ 1 ‡ …A 1† exp 0,5 log 100 pCO2 sgl (15) "

#   Tg pCO2 ‡ 0,23 0,1 ‡1 p 1 ‡ 0,28 1000 K p Aˆ   1,45   Tg pCO2 0,1 ‡p 1 ‡ 0,28 ‡ 0,23 1000 K p 



1,45

(16)

2 Tg für Tg  700 K B ˆ 0,225 1000 K  2 Tg B ˆ 0,054 für Tg  700 K. 1000 K Ist fp, CO2 nach Gl. (15) gröûer als A nach Gl. (16), wird fp, CO2=A gesetzt. Die Methode kann im Bereich 0  p  100 bar und Tg  600 K angewendet werden.

K

(17)

3 Strahlungsaustausch zwischen Gas und Wand Für den Nettoenergiestrom zwischen einem Gasvolumen und der Wand, die den Gasraum einschlieût, wird folgende Gleichung verwendet: ew Q_ gw ˆ A s …eg Tg4 Av Tw4 †: …18† 1 …1 ew † …1 Av † Diese Gleichung ist nur gültig, wenn das Gas jeweils konstante Temperatur, Dichte und Konzentration hat.

Gasstrahlung; Strahlung von Gasgemischen

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Bild 6. Emissionsgrad von Ammoniak bei 1 bar Gesamtdruck in Abhängigkeit von der Temperatur und dem Produkt pNH3 sgl . Nach [14]

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Bild 7. Emissionsgrad von Schwefeldioxid bei 1 bar Gesamtdruck in Abhängigkeit von der Temperatur und dem Produkt pSO2 sgl . Nach [13]

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Gasstrahlung; Strahlung von Gasgemischen

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Bild 8. Emissionsgrad von Methan bei 1 bar Gesamtdruck in Abhängigkeit von der Temperatur und dem Produkt pCH4 sgl . Nach [15]

Zur Berechnung des Wärmeflusses Q_ gw nach Gl. (18) müssen Emissions- und Absorptionsgrad des Gases bekannt sein. Während der Emissionsgrad nur vom Zustand des Gases (Tg , Gesamtdruck p, Partialdruck der strahlenden Komponenten pg) sowie von der gleichwertigen Schichtdicke sgl abhängt, wird der Absorptionsgrad noch zusätzlich von der Wandtemperatur Tw beeinfluût: eg=eg (p, Tg , sgl pg), Av=Av (p, Tg , Tw , sgl pg). Nur im Temperaturgleichgewicht (Tw=Tg) gilt Av=eg . In allen anderen Fällen sind die von Hottel u. a. [1] vorgeschlagenen Umrechnungen anzuwenden, die auch theoretisch begründbar sind.

bzw. bei sgl pH2O (Tw/Tg) zu entnehmen ist:  0,45   Tg Tw Av ˆ für p ˆ 1 bar:
eg Tw ; sgl
pH2 O
Tw Tg (19) Da die Spektralbereiche der Emission durch den Gesamtdruck und den Wasserdampfpartialdruck beeinfluût werden, ist dieser Effekt noch zusätzlich durch einen Korrekturfaktor f zu berücksichtigen, der für Drücke bis 1 bar in Bild 4 a aufgetragen ist und für Drücke p>1 bar nach Gl. (11) bestimmt wird:  0,45   Tg Tw Av ˆ f : …20†
eg Tw ; sgl
pH2 O
Tw Tg Kohlendioxid:  Av ˆ fp, CO2

0,65

  Tw …21†
eg Tw ; sgl
pCO2
Tg

mit fp, CO2 nach Gl. (15) (fp, CO2=1 für p=1 bar).

Wasserdampf:  Av ˆ egw

Tg Tw

Tg Tw

0,45

für p ˆ 1bar:

egw ist ein Emissionsgrad, der aus Bild 4 bei der Wandtemperatur Tw und bei dem auf Wandtemperatur umgerechneten Partialdruck pH2O (Tw/Tg) des Wasserdampfes

Schwefeldioxid:  0,5  1,5 ! Tg Tw Av ˆ
eg Tw ; sgl
pSO2
…22† Tw Tg bei p=1 bar.

K

Gasstrahlung; Strahlung von Gasgemischen

Korrekturen für andere Gesamtdrücke sind nicht bekannt. Ammoniak und Methan: Emissionsgrade von Ammoniak und Methan sind Bild 6 und 8 zu entnehmen. Für diese Gase gibt es zur Zeit weder Umrechnungsformeln für Av , noch Korrekturfaktoren für andere Drücke als 1 bar. Bei Strahlungsaustauschrechnungen mit diesen Gasen ist deshalb eg=Av zu setzen. Von Eckert [10] und in verbesserter Form von Elgeti [21] wurden noch andere Berechnungsmethoden für Q_ gw vorgeschlagen. Wie vergleichende Rechnungen zeigten, ist die Übereinstimmung zwischen den Ergebnissen dieser für CO2 und H2O entwickelten Verfahren und den Ergebnissen von Gl. (18) befriedigend.

4 Gasmischungen Der Emissions- und Absorptionsgrad für eine Mischung aus CO2 , H2O und nichtstrahlenden Bestandteilen setzen sich nach Hottel und Egbert [12] gemäû eg=eH2O+eCO2Ð(De)g Av ˆ Av H2 O ‡ Av CO2 …De†w

(23 a) …23 b†

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zusammen; die Werte (De)g und (De)w können den Diagrammen Bild 9 a bis 9 c bei der entsprechenden Gasbzw. Wandtemperatur entnommen werden. Diese Korrektur muû wegen Überlagerung einzelner Emissionsbanden vorgenommen werden. Die Emissions- und Absorptionsgrade der Teilgase werden in bekannter Art und Weise den Diagrammen bei den entsprechenden Partialdrücken entnommen.

Beispiel 1 Es soll der Nettostrahlungsstrom in einem mit Gas gefüllten würfelförmigen Strahlungsraum bestimmt werden. Die Daten des Raumes und des Gases sind: Kantenlänge Wandtemperatur Gastemperatur

D = 1 m, Jw = 600 C Jg = 1400 C ew = 0,9.

Das Gas enthält 11% Wasserdampf und 10% CO2 (Volumengehalte). Der Gesamtdruck beträgt 1 bar. Aus Tabelle 1 ergibt sich für einen Würfel sgl=0,6 D. Damit ist pCO2 sgl=0,06 bar m, pH2O sgl=0,066 bar m.

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Bild 9. Korrektur De bei Gasmischungen aus Kohlendioxid und Wasserdampf bei a) 130 C, b) 540 C und c) 920 C und darüber. Nach [15]

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Gasstrahlung; Strahlung von Gasgemischen

Mit diesen Werten lassen sich aus den Diagrammen Bild 4 und 5 für eCO2 und e0H2 O folgende Werte ablesen: e0H2 O ˆ 0,052 …nicht korrigierter Wert†, eCO2=0,063. Der Korrekturfaktor fH2O wird dem Diagramm Bild 4 a entnommen. Daraus ergibt sich eH2O=0,052
1,08=0,0562. Mit Hilfe des Diagramms 9 c und Gl. (25 a) ergibt sich der Gesamtemissionsgrad des Gases zu eg=0,108. Der Absorptionsgrad der Einzelgase wird gemäû Gl. (19) und (21) bestimmt. Man entnimmt zunächst Bild 4, 4 a und 5 die Emissionsgrade (eH2O)w und (eCO2)w , jedoch jetzt bei der Wandtemperatur und dem korrigierten Produkt aus Partialdruck und gleichwertiger Schichtdicke: (eCO2)w=0,078;

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Die Werte der Koeffizienten von Gl. (24) sind der folgenden Tabelle zu entnehmen: i

b1i

b2i

b3i

1 2 3 4 5 6

0,1074 0,027237 0,058438 0,019078 0,056993 0,0028014

Ð0,10705 Ð0,10127 Ð0,001208 Ð0,037609 Ð0,025412 Ð0,038826

Ð0,072727 0,036 Ð0,043773 0,3586 Ð0,0006558 3,06 Ð0,015424 14,76 Ð0,0026167 102,28 Ð0,020198 770,6

Für H2O gilt bei 1 bar Gesamtdruck für 700 K < Tg2
106) eine Abnahme des Druckverlustbeiwertes mit zunehmender relativer Rauhigkeit [10]. Im unterkritischen Bereich (Re104 untersucht. Das versetzte Rohrbündel weist einen höheren Druckverlustbeiwert auf als das fluchtende Rohrbündel mit gleichem Querteilungsverhältnis. Bei allen untersuchten Rohrbündeln ist die Neigung des x-Re-Verlaufs im Bereich 104