Valor de Dinero en El Tiempo [PDF]

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VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

Mgtr. CESAR WILBERT RONCAL DIAZ CIENCIAS EMPRESARIALES-ESCUELA CONTABILIDAD

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VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO Los fondos obtenidos en préstamo para lograr con ellos una ganancia potencial se intercambian generalmente por bienes, servicios o instrumentos de producción. Esto conduce a la consideración del poder que tiene el dinero para generar ganancias, y que es motivo por el cual los individuos (o agentes económicos), están dispuestos a pagar una renta por su posesión temporal. El dinero puede generar utilidades a una cierta tasa de interés si se invierte durante un período de tiempo. Es esta relación entre interés y tiempo la que nos conduce al concepto del “valor del dinero en el tiempo”. Por ejemplo, una unidad monetaria que se tenga hoy en la mano (llámese nuevo sol, dólar, etc.), posee mayor valor que una que se reciba dentro de 5 años. ¿Porqué? Porque si se tiene dicha unidad monetaria ahora, existe la oportunidad de invertirla durante los 5 años, y obtener más que la cantidad que va a ser recibida dentro de 5 años. Se concluye que el hecho de que el dinero tenga un valor en el tiempo significa que iguales cantidades de unidades monetarias, pero en distintos puntos en el tiempo, tienen diferente valor. La tasa de interés esta presente cuando se abre una cuenta de ahorros, se utiliza una tarjeta de crédito, o se hace un préstamo de dinero .Su nivel debe ser la preocupación diaria de cualquier persona o empresa porque mide tanto el rendimiento como el costo del dinero. El nivel de las tasas de interés esta afectado por diversas variables a saber: la inflación, la devaluación, la oferta, la demanda y el riesgo empresarial. Estas variables, en conjunto o individualmente, determinan en un momento determinado el costo del dinero. La tasa de interés también es una herramienta de política económica que utiliza el Banco Central de Reserva para estimular una economía en crisis, como también para frenar una economía acelerada.

TIPOS DE TASA A. TASA NOMINAL

Es la tasa de interés expresada anualmente que capitaliza varias veces al año y como su nombre lo indica es un tasa de referencia que existe solo de nombre, porque no nos dice la verdadera tasa de que se cobra en una operación financiera, simplemente expresa la tasa anual y que parte se

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cobra en cada periodo por ejemplo una tasa del 28% trimestre vencido significa que de la tasa anual del 28% se cobra el 7% cada trimestre. B. TASA EFECTIVA Es la tasa que mide el costo de un crédito o la rentabilidad efectiva de una inversión y resulta de capitalizar la tasa nominal. Cuando se habla de tas efectiva se involucra el concepto del interés compuesto, porque refleja la reinversión de los intereses. Fórmulas de Cálculo: m 1. Para i’. Partimos de: (1+i’) = (1 + J/m) m

i' = (1+ J/m)

-1 m

2.

Para J. Partimos de: (1+i’) = (1 + J/m) 1/m

J = [(1+ i’ )

– 1]x 100 x m

TASAS EQUIVALENTES

Dos tasas de interés son equivalentes cuando ambas obrando en condiciones diferentes producen la misma tasa efectiva anual o el mismo valor futuro. El concepto de operar en condiciones diferentes hace referencia a que ambas capitalizan en periodos diferentes o que una de ellas es vencida y que la otra es anticipada. Caso 1 Efectiva ↔ Efectiva Conocida una tasa se necesita calcular otra efectiva equivalente. Puede ser el caso de una tasa efectiva menor a una tasa efectiva mayor o viceversa. 1.-Hallar la tasa trimestral equivalente a una tasa del 2.20% mensual 3 TET = (1+0.022) – 1 = 0.06746 6.746% 2.- Hallar la tasa mensual que es equivalente a una tasa del 40% efectiva anual? 1/12 TEM = (1+0.40) -1= 0.028436 2.84% Caso 2 Efectiva ↔ Nominal Conocida una tasa efectiva se pide calcular una tasa nominal equivalente. 1.- A partir de una tasa efectiva anual del 40%, calcular la tasa nominal con capitalización trimestral equivalente. 1/4 TNA = (1+0.40) -1 = 0.08776 8.776% x 4 trimestres = 35.10% Caso 3 Nominal ↔ Efectiva Conocida la tasa nominal del crédito se necesita conocer la tasa efectiva equivalente.

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1.- A partir de una tasa nominal anual del 36% calcular la tasa efectiva anual si capitaliza: a) mensualmente

(1+0.36/12)

b) bimestralmente

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-1 = 0.4258

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(1+0.36/6) -1 = 0.4185 4

c) trimestralmente (1+0.36/4) -1 = 0.4116 2 d) semestralmente (1+0.36/2) -1 = 0.3924

42.58% 41.85% 41.16% 39.24%

Caso 4 Nominal ↔ Nominal Muchas veces se necesita, por razones de liquidez u otra circunstancia, cambiare l periodo de capitalización de la tasa de interés nominal con que se pacto una operación financiera. Este caso conduce a calcular una tasa nominal conocida a otra nominal. 1.- Convertir una tasa del 36% anual capitalizable mensualmente a otra tasa nominal capitalizable trimestralmente equivalente. 12

TEA = (1+0.3612) -1 = 0.4258 42.58% ¼ TET = ( 1+0.4258) -1 = 0.0927 9.27% TNA = 9.27% x 4 trimestres = 37.09%

C. TASA REAL

Se define como la tasa que el mercado financiero estaría dispuesto a pagarle a cualquier inversionista en ausencia de la inflación. Esto indica que la tasa real es la tasa de interés sin la inflación. está dado por: Ir = ⎛⎜ 1 + i ' ⎞⎟ − 1 X 100 ⎝1 + Π ⎠ donde: Ir : Tasa real es la tasa a la que se le descuenta la inflación i’ : Tasa de Interés efectiva Π : Tasa de Inflación Ejemplo: • ¿Cuál es la tasa real de una inversión que ganó el 6% de interés mensual si la tasa de inflación mensual fue del 3.5%?

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Ir = ?

i’ = 0.06

Π = 0.035

1 + 0.06 Ir = − 1x100 1.035 Ir = 2.42% Interpretación Poder de compra (2.42%)

: Billete ganado (6%)

S.1.1EJERCICIOS 1. A partir de una tasa de interés del 34% con capitalización mensual, calcular la tasa efectiva anual equivalente. 2. Calcular la tasa efectiva anual partiendo de una tasad el 36% con capitalización trimestral 3. ¿Cuál es la tasa efectiva trimestral equivalente a una tasa del 35% capitalizable mensualmente? 4. Conocida la tasa nominal del 45% con capitalización mensual, hallar: a. La tasa efectiva trimestral b. La tasa efectiva semestral c. La tasa efectiva d. La tasa efectiva bimestral e. La tasa efectiva anual 5. A partir de la tasa efectiva anual de 33%, hallar: a. La tasa efectiva semestral b. La tasa efectiva mensual c. La tasa efectiva trimestral d. La tasa efectiva bimestral 6. ¿Qué tasa de interés trimestral es equivalente a: a. Tasa del 26% nominal anual con capitalización mensual? b. Tasa del 3.5% efectiva mensual? 7. ¿Qué tasa de interés capitalizable semestralmente es equivalente a: a. Una tasa de 18% capitalizable trimestralmente? b. Una tasa de 20% capitalizable mensualmente? c. Una tasa del 45% capitalizable trimestralmente? d. Una tasa del 54% capitalizable anualmente? 8. Un capital de $5.000.000 se invierte a una taza de interés del 38% capitalizable mensualmente durante 2 años. Si la inflación permanece constante en un 1.23% mensual, calcular: a. Valor futuro en términos nominales o corrientes b. Valor futuro en términos reales o constantes

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9. El señor García invierte $20.000.000 a una tasa de interés del 2% durante un año. Durante el primer mes la inflación fue del 1.06%, para el segundo mes del 2.3% y de ahí en adelante la inflación se mantuvo constante en un 0.9%. Determinar si el señor García ganó o perdió dinero. ¿Por qué? 10. ¿Qué tasa de interés nominal anual capitalizable mensualmente equivale a: a. 33% efectiva anual? b. 18% semestral capitalizable mensualmente? 11. Con base en las tasas efectivas ¿qué es más conveniente? a. Invertir en una sociedad que garantiza duplicar el capital cada 36 meses b. Depositar el dinero en una cuenta que reconoce el 34% capitalizable trimestralmente 12. ¿En cuánto tiempo debemos retirar una inversión realizada en el día de hoy, a una tasa nominal del 41.91% capitalizable mensualmente, si deseamos que se triplique la inversión? 13. Su empresa necesita $3.000.000 para comprar inventarios. Usted encuentra en el mercado financiero 3 compañías financieras que le ofrecen el préstamo en las siguientes condiciones: - Compañía A: exige cancelar el préstamo con un pago único de $3.800.000 al finalizar el año - Compañía B: cobra una tasa del 34% anual capitalizable mensualmente - Compañía C: cobra una tasa de 3.5% mensual pagadera por anticipada 14. Un inversionista realiza una inversión de $20.000.000 durante 6 meses a una tasa de interés del 2% mensual. La inflación de los 3 primeros meses fue en promedio del 1.5% mensual y en otros 3 meses del 2% mensual. Calcular a. Rendimiento real b. ¿Qué sucede si la tasa de inflación promedio mensual del último trimestre llegó al 3.5%? 15. Usted tiene 3 opciones para aceptar un crédito bancario: - A una tasa del 36% trimestre anticipado - A una tasa del 38% trimestre vencido - A una tasa del 38% mes vencido 16. A partir de una tasa del 38%, calcular la tasa efectiva anual cuando a. Las capitalizaciones son mensuales b. Las capitalizaciones son trimestrales c. Las capitalizaciones son semestrales

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S.1.2EJERCICIOS • El Banco de Trabajo cobra 195% anual por préstamo ¿Cuál es la tasa mensual? ia = 1.95 1/12 im = [(1+ - 1] x 100 im = 1/12 1.95) [(2.95) - 1] x 100 im = 9.43% • Tasa mensual es del 7% ¿Cuál es la tasa diaria? 1/30 id = [(1+ 0.07) - 1] x 100 1/30 id = [(1.07) - 1] x 100 id = 0.226% • Se dice que para los próximos ocho meses la devaluación acumulada será del 16%. ¿Cuál será la tasa de devaluación mensual? i8m = 0.16 1/8 im = [(1+ - 1] x 100 im = 1/8 0.16) [(1.16) - 1] x 100 im = 1.87 % • Si la tasa anual es de 195% y quiero la tasa efectiva para 8 meses. ¿Cuál sería esa tasa? ia = 1.95 8/12 i8m = [(1 - 1] x 100 i8m = 8/12 + ia) [(2.95) - 1] x 100 i8m = 105.6907 % • La tasa es del 7% mensual. ¿Que tasa se le cobrará a un cliente que se demoró 117 días en pagar? im = 0.07 117/30 i117dias = [(1.07) - 1] x 100 i8m = 30.1957 % • Si la tasa semestral es del 16% Hallar : Tasa trimestral : it = Tasa 5 años : i5años = Tasa para 7 meses : i7meses = Tasa para 18 días : i18dias = • La tasa de devaluación del primer trimestre es del 20% Hallar : Tasa diaria : id = Tasa semestral : is = Tasa anual : ia = Tasa mensual : im = Tasa para 5 semestres : i5s = Tasa para 7 meses : i7m = Tasa para 11 días : i11d =

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SESIONES 4, 5 Y 6: INTERES COMPUESTO INTERES COMPUESTO El interés compuesto es la operación que consiste en colocar un capital a un tiempo y tasa determinada, donde los intereses generados se incorporan al capital inicial por lo tanto el interés y capital son crecientes durante todo el periodo. Al proceso de incorporar los intereses se le llama capitalización. Fórmulas n

S = P(1+i)

P=

S n (1 + i)

n = log s/p log (1+i) i = [ n s/p

- 1 ] x 100 x m

Nomenclatura S = Monto, stock final, valor futuro P = Capital, stock inical, valor presente i = tasa por período n = # total de periodos m = # periodos al año 1) Hallar el monto que se obtiene con un capital de 43000 colocado en un banco que paga el 54% anual capitalizable mensualmente durante 1 año 4 meses n S=x S = P(1+i) 16 P = 43000 S = 43000 (1.045) = 86962 i = 0.54 = 0.045 12 n = 16 2) ¿Cuál es el capital que colocado al 54% anual capitalizable mensualmente luego de 16 meses nos da un monto de 86962? P=x P= S n S = 86962 (1+i) i = 0.54 = 0.045 12 P = 86962 = 43000 16 n = 16 (1.045) 3) ¿En qué tiempo un capital de 43000 colocado al 54% anual capitalizable mensualmente nos da un monto de 86962? n=x n = log s/p P = 43000 (1+i)n i = 0.54 = 0.045 12 n = log 86962/43000 S = 86962 log 1.045 4) ¿A qué tasa anual de Interés Compuesto ha sido colocado un capital de 43000 para que luego de 480 días nos de un monto de 86962 en un banco que capitaliza mensualmente? i=x P = 43000 i = n s/p - 1 x 100 x m n = 16 S = 86962 i = n 86962/43000 - 1 x 100 x m i = 54 % anual

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LOS VALORES FUTURO Y ACTUAL Se ha mencionado que toda decisión financiera es una comparación de beneficios y costos a u mismo tiempo. Pero, ¿cómo llevar esos beneficios y costos a un mismo tiempo? Los conceptos de valor futuro y valor actual responden a esta pregunta. El valor futuro equivale a llevar una cantidad de dinero a un tiempo adelante. Ello puede calcularse a interés simple o compuesto. Si preguntó cual sería mi saldo en cuenta de ahorros por un depósito de 100 soles que genera un interés simple de 18% anual, dentro de 55 días, estoy preguntando por el valor futuro de la operación. La fórmula del valor futuro se deriva de las siguientes ecuaciones: I = Pit S= P+I Entonces: S= P (1+ it) En el ejemplo: S= 100 (1 + 0.8 55/360) S= 103

S.4.1.CASO A DESARROLLAR ALTERNATIVAS DE AHORRO El señor Bocanegra, vecino suyo, se jubila este fin de mes, debiendo percibir por sus beneficios sociales un capital calculado en S/.40’000,000.00. Este capital lo necesitará para iniciar su propio negocio como intermediario en la compra y venta de granos, donde ha ganado experiencia a través de la empresa donde venía trabajando. Iniciarse en su propio negocio requiere realizar diversas gestiones administrativas (Constitución, licencias, certificados, etc.), coordinaciones de servicios (transporte, almacenaje, etc.) y coordinaciones comerciales (contratos con productores, minoristas, etc.) que calcula, quedaran terminados en 90 días, proyectando gastos para estos menesteres del orden de S/. 10 millones. Como desea optimizar el valor de su capital restante S/. 30 millones durante el tiempo que va a estar expuesto a la inflación, habiendo desechado el ahorro a plazo fijo, ha bosquejado cuatro posibilidades, las que son: PRIMERA POSIBILIDAD

Efectuar un depósito en ahorro bancario que paga una tasa de interés mensual de 16% No existe riesgo en esta posibilidad.

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SEGUNDA POSIBILIDAD

Recurrir a la banca paralela que paga 21% de tasa mensual, pero que conlleva un 10% de riesgo, por lo que solo deberá considerar el 90% del monto final a obtener, además con el inconveniente de hacer las renovaciones mensuales que estima afectarán el inicio de su negocio en 15 días. Aspecto que valoriza en una pérdida de S/. 500,000 TERCERA POSIBILIDAD

Invertir en la mesa de negociaciones de la bolsa de valores de lima, que le pagaría una tasa mensual de 19%, descontándole mensualmente el 2.2% por el servicio de intermediación y gestiones administrativas. No existe riesgo en esta posibilidad. CUARTA POSIBILIDAD

Comprar dólares en el mercado libre de Ocoña, conociendo que la devaluación mantiene una proporción de incremento similar al crecimiento de la inflación. Se proyecta una inflación para el país de 19.5% promedio mensual para los tres meses siguientes. El vecino Bocanegra, conocedor de sus estudios en IPAE le ha solicitado su consejo técnico para identificar la posibilidad más conveniente. Ejemplos: •

Se tienen dos deudas de S/.500 cada uno que vencen dentro de 3 y 12 meses. a. Si se desea saldar ambas deudas en el séptimo mes cuanto se deberá ofrecer. 4 = 500(1.02) 5000 = 9,940.81 D7 m (1.02) + 5 b. D Hoy

Cuanto debe el día de hoy = 8,654.08 50003 = + 5000 (1.02) 12 (1.02)

c.

Cuanto deberá en total si no paga hasta fin de año.

D12 meses

= 5000(1.02)

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+ 5000 = 10,975.46

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S.4.2.CASO A DESARROLLAR COMERCIAL SANTA FE El Sr. Tomas Vega gerente de “Comercial Santa Fe” necesita alquilar un local para el próximo año, la inmobiliaria “Corredores S.A.” propietaria de la tienda que el ha elegido le ha hecho llegar dos propuestas de alquiler para el local. El Sr. Vega deberá elegir la más conveniente para la empresa a fin de firmar el contrato cuanto antes por lo que solicita el estudio y análisis de sus asistentes. ¿Cuál de las alternativas le aconsejaría usted? Alternativa A Un alquiler de S/.60,000 mensuales reajustables trimestralmente de acuerdo al índice inflacionario que publica el INE (Se espera que la inflación sea del 20% mensual durante los doce meses siguientes. Alternativa B Un alquiler fijo de S/. 112,000 mensuales para los doce meses siguientes.

EJERCICIOS PROPUESTOS

a. Determine el valor actual de un préstamo de 2500 con vencimiento dentro de 9 meses, suponiendo un rendimiento mensual del 6%: • El día de hoy • Dentro de 3 meses • Dentro de 7 meses • Dentro de 1 año b. El señor Robles debe 450 con vencimiento de 4 meses y 600 con vencimiento de 6 meses. Si desea saldar las deudas mediante un pago único inmediato, cual será el importe de dicho pago suponiendo un rendimiento del 5% mensual? c. En el problema anterior cual debió ser el pago después de 5 meses para saldar ambas deudas? d. Que oferta es más conveniente para el comprador de una casa: 4000 de inicial y 6000 después de 6 meses o 6000 de inicial y 4000 después de un año? Supóngase un interés mensual del 6 % y compárese en la fecha de la compra, el valor de cada oferta e. Una persona debe 2000 para pagar en un año con intereses al 6% mensual. Conviene en pagar 500 al final de 6 meses.¿Que cantidad tendrá que pagar al final del año para liquidar el resto de la deuda suponiendo en rendimiento mensual del 6%

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f. Una persona adquiere un terreno de 5000 mediante una pago al contado de 500. Conviene en pagar el 6% de interés sobre el resto. Si paga 2000 tres meses después de la compra 1500 seis meses más tarde ¿cuál será el importe del pago que tendrá que hacer un año después para liquidar completamente la deuda? g. Una persona debe 500 con vencimiento en 3 meses e intereses al 5% mensual, y 1500 con vencimiento en 9 meses al 4% mensual. ¿Cuál será el importe del pago único que tendrá que hacerse dentro de 6 meses para liquidar las deudas suponiendo un rendimiento mensual del 6% h. Una persona debe 2000 con vencimiento en dos meses, 1000 con vencimiento en 5 meses y 1800 con vencimiento en 9 meses. Desea liquidar sus deudas mediante dos pagos iguales con vencimiento en 6 y 12 meses respectivamente. Determinar el importe de cada pago suponiendo un rendimiento del 6% mensual. PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Un cliente pregunta a su banquero en que suma se convertirán S/.16,000 colocados durante 9 años al 11% de interés anual capitalizable semestralmente. 2. El Sr. Obando depositó S/.1,200 en el Banco de los Andes que paga el 4% bimensual. ¿Cuánto tiempo deberá transcurrir para obtener un monto de S/.1,459.98 si se capitaliza bimensualmente? 3. ¿Qué tasa de interés anual capitalizable trimestralmente, tendría que recibir Carlos Segura para que su depósito inicial de S/.16,500 se convierta en S/.186,483.9644 al cabo de 10 años? 4. Cuando murió el Sr. Fortini sus albaceas descubrieron que 20 años antes había hecho un depósito de S/.4,000 en dos bancos distintos. Uno de ellos pagó, durante esos 20 años intereses a razón de 9% anual capitalizable trimestralmente, en tanto que el otro pago el 9% capitalizable semestralmente. Compárese el interés ganado por cada uno de los depósitos de S/. 4,000. 5. ¿Cuál es la tasa efectiva ganada por un capital depositado en un banco de ahorro cuando la tasa nominal es 16% capitalizable trimestralmente? 6. ¿Que tasa nominal, capitalizable mensualmente, es equivalente a una tasa efectiva del 18% anual? 7. Perú tenía en 1950 una población de 8’860,000 habitantes. En 1975 esta cifra había crecido hasta 15’643,162.00 ¿Cuál fue la tasa anual aproximada de crecimiento durante este cuarto de siglo? 8. J. Henríquez ofreció comprar un pagaré de S/. 1,500 que no devengaba interés y vencía a los seis meses, en un precio tal que le produjera el 2.5% 9. En la tumba de Tut-Ankh-Amen se descubrieron tesoros cuyo valor se estimulo en $15’000,000 y que habían estado enterrados durante 3,500 años. Si esa suma de dinero se hubiese podido mantener invertida al 1% capitalizable semestralmente, durante ese largo periodo de tiempo. ¿Cuál hubiera sido su valor acumulado? 15

10. ¿A que tipo aproximado de interés anual se triplicara un capital en 5 años? • Dos letras de S/. 5,000 cada una vence dentro de 3 y 12 meses. Si desea hacer un pago único en el quinto mes. ¿Cuánto se va a ofrecer? Si j = 48% anual capitalizable trimestralmente.

D 5meses

⎛ = 5000⎜1 + ⎝

0.48

2 4x 12

⎞ ⎟ 4 ⎠

5000

+

0.48 ⎛ ⎜1 + ⎞ ⎟ 4 ⎠ ⎝ D5meses = 5,392.399 + 4,100.52

7 4x 12

D5meses = 9,492.92 • Como cambia la respuesta si la tasa nominal anual de 48% se capitaliza mensualmente. D5meses ⎝

0.48 ⎞ ⎛ = 5000⎜1 + ⎟ + 12 ⎠

2

⎝ D5meses = 5,408 + 3,799.59

5000 7

0.48 ⎞ ⎛ ⎜1 + ⎟ 12 ⎠

D5meses = 9,207.59 EJERCICIOS PROPUESTOS

1. M firma un documento comprometiéndose a pagar a N 3000 en 6 años con intereses del 5% convertible trimestralmente. 4 años después N vende el documento a P. Cuanto pagó P por el documento si la tasa de interés era del 4 % convertible semestralmente 2. Una deuda de 500 pagaderos en 2 años y otra de 750 pagaderos en 6 años se van a liquidar mediante un pago único dentro de 4 años. Hallar el importe del pago suponiendo un rendimiento del 4% convertible trimestralmente. 3. Una deuda de 250 vencida hace 2 años y otra de 750 pagaderos en 3 años se van a liquidar a la fecha mediante un pago único. Hallar el importe del pago suponiendo un rendimiento al 5% convertible semestralmente. 4. M debe 1000 pagaderos dentro de 3 años. Si hace el día de hoy un pago de 400, cual será el importe del pago que tendrá que hacer en 2 años para liquidar su deuda suponiendo un rendimiento del 5% convertible semestralmente.

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5. El día de hoy un comerciante compra artículos por valor de 1500. Paga 500 al término de 4 meses. Suponiendo un rendimiento del 6 % convertible mensualmente, ¿cuál será el importe del pago final que tendrá que hacer al término de 6 meses. 6. M firmo un documento comprometiéndose a pagar 1500 con intereses acumulados por 2 años al 5% convertible trimestralmente, vencido el día de hoy. Paga 500 únicamente y acuerda pagar el resto en 1 año. Hallar el importe del pago requerido. 7. Sustituir 2 deudas de 400 y 800 con vencimiento en 3 y 5 meses, por dos pagos con vencimiento en 2 y 4 años, suponiendo un rendimiento del 5% convertible semestralmente. 1. VALOR ACTUAL DEFINICIÓN ¿Cuánto se debe invertir ahora para recibir después una cantidad determinada? Una vez que se conoce el método para determinar el valor futuro de un determinado capital mediante el proceso de cálculo del interés compuesto, se puede plantear la situación inversa: ¿Cuál es el valor actual de una suma final prometida, garantizada y sin riesgo? Como ejecutivo de finanzas, el lector tendrá que contestar esta pregunta cada vez que examine proyectos que prometan una remuneración futura pero exigen que la inversión se haga ahora. Se puede definir valor actual como aquel capital que, a interés compuesto, tendrá en una fecha futura un monto equivalente. M La formula de valor actual es C= n (1 + i ) Donde la expresión, recibe el nombre de factor de actualización simple. El valor actual o suma presente, posee además unas características que lo hacen indicando como base de comparación: Primero, tiene en cuenta el efecto del tiempo sobre el valor de la moneda de acuerdo con el valor de tasa de interés que se haya seleccionado para el cálculo. Segundo, resume el valor equivalente de cualquier flujo de caja, de presta o pagos en diferentes periodos en un índice único, en un punto particular sobre la escala de tiempo. Tercero, el valor de la cantidad presente es siempre único, cualquier secuencia de ingresos y desembolsos generara un valor presente único para un valor dado de tasa de interés. Ejemplos:

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1. La compañía de maderas “El Tablazo” firma un contrato de venta de un terreno de aquí a 3 años por S/. 860,000. Suponiendo que el precio del dinero sea el 16% anual. ¿Cuál es el valor actual del contrato? 860,000 C= (1 + 0.16 )3 C = 550,965.60 2. ¿Cuál es el valor actual de un pagare de S/.70,000 pagaderos dentro de un año 6 meses, si la tasa es del 15% capitalizable semestralmente? 70,000 2 x1.5

⎝

C=

C = 56,347.24

⎛ 0.15 ⎞ ⎜1 + ⎟ 2 ⎠

3. Una persona debe S/.10,000 pagaderas dentro de dos años y S/. 20,000 a cinco años plazo. Pacta con su acreedor efectuar un pago único dentro de 3 años a la tasa del 18% capitalizable trimestralmente. Calcular el valor único del pago. 4 x1

x = 10,000⎜1 + ⎝

⎛ ⎝

0.18 ⎞ ⎟ 4 ⎠

X = 11,925.18 + 14,063.70

+

20,000 0.18 ⎞ ⎛ ⎜1 + ⎟ 4 ⎠

4x2

X = 25,988.88 Tendrá que hacer un pago único por S/.25,988.88

2. ACTUALIZACION DE FLUJOS DE CAJA Cuando una oportunidad de inversión tiene a la vez ingresos y desembolsos que se presentan simultáneamente, se calcula un flujo neto de caja. El flujo neto de caja es la suma aritmética de los ingresos (+) y los desembolsos (-) que se presentan en un mismo punto sobre la escala de tiempo. La actualización de flujos de caja nos da una base realista para hacer comparaciones de inversiones alternativas ya que refleja las diferencias

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entre alternativas teniendo en cuenta el efecto del tiempo sobre el valor de la moneda. Por ejemplo: 1. Actualice el siguiente flujo de caja teniendo en cuenta que el valor del dinero es 21% anual. Años Ingresos Egresos Flujo Neto

VAN = −5000

2000

(1 + 1 0.21)

0 1 2 0 4000 5000 5000 2000 1000 -5000 2000 4000

3 4 0 7000 1000 0 7000 1000

4000 1000 7000 + 2 + 3 + (1 + 0.21) (1 + 0.21) (1 + 0.21)4

VAN = -5000 + 1652.89 + 2732.05 - 564.47 + 3265.55 VAN = 2086.02 2. Actualice el siguiente flujo de caja empleando las siguientes tasas de interés: i=0%. i=20%, i=22%, i=30%, i=-50% Años Flujo Caja

0 1 de -1000 400

2 400

3 400

4 400

3. EVALUACIÓN DE ALTERNATIVAS Como ya se menciono, el valor actual es un arma eficaz para evaluar diferentes alternativas o proyectos, veamos los siguientes ejemplos: 1. La empresa textil “San Jacinto” cuenta con dos alternativas técnicas para la instalación de una nueva línea de tejidos, ambos proyectos producirán, una cantidad similar de tejido durante su vida útil. Se pide actualizar los datos referentes a los costos a fin de escoger la mejor alternativa.

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Proyecto A 100,000 30,000 10 16%

Inversión Fija Inicial Costos de Producción Anuales Duración (años) Tipo de Interés

Proyecto B 70,000 35,000 10 16%

Actualizando los costos de producción para el proyecto A 30,000

+

30,000

+

30,000

+

30,000

+

30,000

+

30,000

+

30,000

+

30,000

+

30,000

1

2

1.16 1.16 1.16 30,000 = 144,996.82 1.1610

3

1.16

4

1.16

5

1.16

6

1.16

7

1.16

8

1.16

9

Actualizando los costos de producción para el proyecto B 35,000 35,000 35,000 35,000 35,000 35,000 35,000 35,000 35,000 + +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 1 9 1.16 1.16 1.16 1.16 1.16 1.16 1.16 1.16 1.16 35,000 = 169,162.96 1.1610

Finalmente Proyecto A Inversión Fija Inicial 100,000 Costos anuales 144,996.82 actualización Costos actualizado total 244,996.82%

Proyecto B 70,000 169,162.96 239.162.96%

El proyecto B representa un menor costo para la empresa. 2. ¿Qué oferta es más conveniente para la compra de una propiedad? • S/. 900,000 al contado • S/. 400,000 al contado y el saldo en tres pagares iguales de S/. 300,000 cada uno a 1 año, 2 años y 3 años plazo, si el rendimiento del dinero es del 24%

X = 40,000 +

300,000

+

300,000 300,000 + 1 2 1.24 1.24

X = 994,390.92 La oferta b es superior en S/. 94390.92

20

1.24

3

SESIÓN 7: EXAMEN PARCIAL SESIONES 8, 9 Y 10: LAS RENTAS O ANUALIDADES S.8.DEFINICION Son una sucesión de pagos periódicos (anual, semestral, trimestral, etc.) que por lo general son constantes y que pueden ser cubiertos al comienzo o final de cada período. Cada pago o depósito está sujeto a un interés compuesto por el tiempo que permanece colocado o por el tiempo que se le descuenta. ¾ Se llaman Rentas “Temporales” porque tienen duración limitado de “n” períodos, siendo éste el número de pagos. ¾

Son Rentas “Perpetuas” cuando su duración es ilimitada

¾ Son Rentas “Inmediatas” cuando comienzan a pagarse al principio de cada operación, ya sean adelantadas o vencidas. ¾ Son Rentas “Diferidas” porque en un primer momento no se efectúa ningún pago y luego de este período de gracia recién se efectúan los pagos, ya sean adelantadas o vencidas. Creemos conveniente explicar las 6 fórmulas principales que se utilizan tanto en Matemática Financiera como en Finanzas para lo cual explicaremos nomenclatura. NOMENCLATURA P = Stock Inicial, Capital Inicial, Valor Presente, Capital. S = Stock Final, capital Final, Valor Futuro, Monto. R = Flujo, Renta, Anualidad n = # de Períodos, Tiempo, Horizonte Temporal. i = Tasa de Interés por período. FSC = Factor Simple de Capitalización, sirve para convertir un stock inicial en un stock final. n S = P (1+i) S = P x FSC FSA = Factor Simple de Actualización, sirve para convertir un stock final en un stock inicial. P = S ( 1 ) P = S x FSA n (1+i) FCS = Factor de Capitalización de la Serie, sirve para convertir una renta en un stock final. n S = R x (1+i) – 1 S = R x FCS

21

i FDFA = Factor de Depósito al Fondo de Amortización, sirve para convertir un stock final en una renta o anualidad. R = S x ( i ) R = S x FDFA n ( 1+i) – 1 FAS = Factor de Actualización de la Serie, sirve para convertir una renta en un stock inicial. n P = R x (1+i) – 1 P = R x FAS n i (1+i) FRC = Factor de Recuperación del Capital, sirve para convertir un stock inicial en una renta. n R = P x i (1+i) R = P x FRC n (1+i) – 1 Ojo las seis (6) fórmulas son vencidas. P = S x FSA

R = P x FRC

P = S ( 1 ) (1+i)

0

1

n

S = P x FSC

R = P x i (1+i) n (1+i) – 1

2

P = R x FAS

3

4

5

6

n

S = P (1+i)

7

8

R = S x FDFA n

P = R x (1+i) – 1 i n (1+i)

22

R = S x ( n (1+i) – 1

i

9

1 0

1 1

n

1 2

S = R x FCS )

n

S = R x (1+i) – 1 I

Fórmula Siglas en Notación N° Español usual

1

FSC

s

Expresió Valores Valores n Lim N Æ Lim i = 0 Matemát y . (1+i)

n

0

1 (1+i)

Siglas en Inglés

1

SPCAF

1

SPPWF

n

USCAF

1/n

SFDF

n

USPWF

1/n

CRF

n

2

FSA

a

3

FCS

(1+i) – 1 1

4

FDFA

I (1+i) – 1

n

n

n

5

FAS

(1+i) – 1 i n (1+i)

6

FRC

i (1+i) n (1+i) – 1

n

PROBLEMAS. 1. Hallar el monto de un capital de S/.1,600,000 luego de 1 año y medio en un banco que paga el 34% anual capitalizable trimestralmente Datos: S = ? P = 1,600,000 n = 6 Trimestres i = 0.34 = 0.085 4

Solución

S = P x FSC 60.085 6 S = 1,600,000 (1.085) S = 2,610,348 2. Cuál es el capital que colocado al 34% anual capitalizable trimestralmente luego de 18 meses nos dá un monto de S/.2,610,348 Datos: P = ? Solución S = 2,610,348 P = S x FSA 60.085 n = 6 Trimestres i = 0.34 = 0.085 P = 2,610,348 x 1 6 (1.085) 4 P = 1,600,000

23

3. Se obtiene un préstamo de S/.1,600,000 a devolverse es un año y medio en cuotas trimestrales a la tasa del 34% anual capitalizable trimestralmente. Hallar el valor de las letras de devolución del préstamo. Datos: R = ? P = 1,600,000 n = 6 Trimestres i = 0.34 = 0.085 4

Solución R = P x FRC 60.085 6 R = 1,600,000 x 0.085 (1.085) 6 (1.085) - 1 R = 351,371.33

4. A cuánto equivale hoy sucesivos depósitos trimestrales de S/.351,371 durante 1 año y medio en un banco que paga el 34% anual capitalizable trimestralmente. Datos: P = ? R = 351,371.33 n = 6 Trimestres i = 0.34 = 0.085 4

P = R x FAS 60.085 6 P = 351,371.33 x (1.085) -1 6 0.085(1.085) P = 1,600,000

5. En cuánto se convierten sucesivos depósitos trimestrales de S/.351,371.33 durante 1 año y medio en un banco que paga el 34% anual capitalizable trimestralmente. Datos: S = ? R = 351,371.33 n = 6 Trimestres i = 0.34 = 0.085 4

Solución S = R x FCS 60.085 6 S = 351,371.33 (1.085) - 1 0.085 S = 2,610,348

6. Una maquinaria debe costar dentro de 1 año y medio S/.2,610,348 cuanto debo depositar en un banco que paga el 34% anual capitalizable trimestralmente para poder comprar la maquinaria. Datos: R = ? S = 2,610,348 n = 6 Trimestres i = 0.34 = 0.085 4

Solución R = S x FDFA 60.085 R = 2,610,348 (0.085) 6 (1.085) - 1 R = 351,371.33

24

EJERCICIO Nº 1

COMPAÑEROS Dos compañeros universitarios dejan de verse durante muchos años. Cuando estudiaban juntos a los 21 acostumbraban fumar una cajetilla al día. El valor de la cajetilla alcanzaba de $5 actuales. Después de 25 años, se encuentran en una calle céntrica y, luego de saludarse, uno de ellos dice al otro: -Hoy es un día muy especial para mí, puesto que acabo de firmar en la notaría la escritura de propiedad de un lindo departamento en el sector céntrico de la ciudad. -¿Cuánto te costó? -, pregunta el otro. La respuesta fue: -deje de fumar a los 21 años, y durante esos años decidí ahorrar el equivalente al valor diario de la cajetilla. Así todos los meses deposité en el banco la suma de $ 150. El banco me pago el 1 por ciento mensual de interés real y con el producto total pude comprar el departamento ¿Cuál fue el precio? Respuesta

Si el compañero ahorró la suma de 150 mensuales durante 25 años entonces fue 300 veces al banco, por lo tanto S=RxFCS300 0.01

S= 281,827.

EJERCICIO Nº 2

Moto Hoy es 18 de octubre y dentro de tres años el primogénito de Manuel Calle cumplirá la mayoría de edad. Su padre desearía regalarle una moto que costaría $6400 en dólares de hoy. Para adquirirla decide ahorrar una cantidad mensual en un instrumento bancario que rinde el 2 por ciento mensual. Si la tasa de rendimiento no cambia en ese tiempo, ¿cuánto tendría que ahorrar Manuel cada mes para poder adquirir la moto? Respuesta

La incógnita es determinar cuanto debo depositar mensualmente durante tres años para poder comprar la moto R=SxFDFA360.02

R= 123.

EJERCICIO Nº 3

Lotería Al ver las noticias acerca del premio otorgado por la Lotería, Cesar Campos se dijo: -Llevo 15 años apostando y nunca he ganado nada. Si en ese entonces le hubiese hecho caso a mi tío, quien me recomendó que jamás jugara y que, por el contrario, depositara todas las semanas el valor del cartón, tendría mis buenos ahorros. Si el costo del cartón es de $ 2 y la tasa efectiva anual es de 12 por ciento ¿cuánto tendría ahorrado?

25

Respuesta

Se debe hallar la tasa semanal para lo cual sacamos la raíz 52 ava de 1.12 lo que nos da 0.0021817744. Luego hallamos S=RxFCS7800.002181744

S= 4101

EJERCICIO Nº 4

Luis Chunga Luis Chunga no sabe si firmar un contrato con la MGM por siete temporadas, por lo cual recibirá la suma de US$ 400.000 por período. Sin embargo, desea saber a cuánto corresponde su valor presente. Por otro lado, Universal Studios le ofrece un contrato por US$ 1,900.000 pagaderos hoy. ¿Podría usted asesorarlo si sabe que el costo alternativo de Luis Chunga es de 10 por ciento? Respuesta

Para hallar el valor presente de los flujos utilizamos P=RxFAS70.1

P=1947368

EJERCICIO Nº 5

Fumadores Un joven de 23 años está meditando sobre la conveniencia de dejar de fumar. Además de los beneficios asociados a una menor probabilidad de contraer cáncer, enfermedades respiratorias o del corazón, y de terminar de una vez por todas con las discusiones de su novia, quien no le acepta besos nicotinosos, contempla el beneficio económico de ahorrarse lo que en promedio gasta diariamente en cigarrillos (350 al mes). Si la tasa de interés mensual en su cuenta de ahorros de 2 por ciento mensual, ¿en cuántos años habrá reunido una suma de 55320? Respuesta

Para hallar el valor de n solo hay que aplicar una de las formulas correspondientes para hallar n, las cuales son: Log Si + 1 R n=

(a) n en función del FCS o FDFA Log ( 1 + i)

Log R n = -Log ( 1 + i )

26

1-

Pi (b) n en función del FRC o FAS

Aplicando la formula (a) con los datos correspondientes obtenemos que la respuesta es 72 meses. EJERCICIO Nº 6

Tiempo Un banco paga un interés del 10 por ciento anual sobre cuentas de ahorro nos anuncia que nuestro depósito inicial de $700 se ha acumulado hasta llegar a $2196.9 ¿Cuánto tiempo ha permanecido ese depósito en el banco? Respuesta

Para hallar el valor de n despejamos la formula de monto compuesto la cual nos da: n = LogS/P Log(1+i)

Aplicando el resultado es de 12 años. EJERCICIO Nº 7

Consultorio Usted desea comprar una casa, cuyo precio es de $48,000, para instalar un consultorio. Puede pagar $20,000 al contado y el resto lo cancela en 15 cuotas anuales iguales ¿Cuál será el valor de estas cuotas si la deuda devenga un interés anual de 12 por ciento? Respuesta

El saldo por financiar es de 28,000 xFRC 4,111.

15

0.12

nos dará como resultado

EJERCICIO Nº 8

Mantenimiento de vehículo Se estima que el costo de mantenimiento de vehículo nuevo será de US$ 5000 al final del primer año y aumenta en US$ 1,000 cada año durante los seis años que se piensa mantener. El vehículo tiene hoy un valor US$ 22,000 Si el banco le da un cinco por ciento de interés anual sobre los depósitos que usted ha estado realizando y si usted no tiene posibilidad de disponer de dinero para el mantenimiento a futuro, ¿cuánto debería tener ahorrado hoy en el banco para estar seguro de que con ese monto más los intereses que le paga el banco podría adquirir el auto y costear su mantenimiento futuro?

27

Respuesta La idea es saber cuanto debo depositar hoy en el banco de tal forma que yo pueda disponer para los gastos de mantenimiento incluyendo la compra del auto en el período “o” para lo cual tenemos la siguiente ecuación: P= 22,000+ 5,000 + 6,000 +7,000 +8,000 +9,000 +10,000 1 2 3 4 5 6 (1.05) (1.05) (1.05) (1.05) (1.05) (1.05) Lo cual dará como resultado $ 59,346. EJERCICIO Nº 9

Testamento El testamento de Luis Torres estipula que su albacea deberá vender todo el activo de su herencia e invertir el producto líquido en un bono a 10 años que pagará cupones anuales a su sobrino Manuel Acorda. El albacea encuentra que el único activo encuentra que existe en la herencia consiste en US$ 500.000 de pagares oro de la Compañía Maracaibo Petroleum Oil, que vencen a los 8 años y devengan TEA 6 por ciento de interés pagadero semestralmente. Poco antes de morir Luis Torres, la Compañía Maracaibo Petroleum Oil tropezó con dificultades financieras y convino con los tenedores de sus pagarés suspende el pago regular de los cupones, que quedarían como un pasivo diferido. Al momento de vencer los pagares se cancelaría los tenedores de bonos, de una vez, el capital más los cupones con el interés sobre los mismos, que capitalizarían semestralmente al 6 por ciento anual. Estos valores no pueden se negociados en el mercado pero una AFP ofrece comprarlos a un precio que se determinaría al calcular su valor actual tomando una tasa de 7,5 por ciento anual. El capital que se obtenga se usa para adquirir un bono pagadero de cupones anuales, afecto de 5,5 por ciento anual. ¿Cuál es el monto de estos cupones? Respuesta

Primero se debe identificar cada una de las incógnitas 1ª Determinar el monto del pagare al 6% dentro de 8 años. 2ª Determinar el valor presente de este monto a la tasa pagada por la AFP del 7.5% 3ª Calcular la anualidad que se adquiere a 10 años a la tasa del 5.5% anual para así poder determinar lo que el heredero recibirá anualmente. 1ª S= PxFSC160.029563014 2ª P=SxFSA80.075

796,924 446,837

3ª R = PxFRC100.055

59,281

28

EJERCICIO Nº 10

Depósito Una persona desea hacer hoy un depósito por US$ 50.00 en un banco con el propósito de continuar efectuando diez depósitos adicionales semestrales por el mismo monto, el primero de ellos dentro de 6 meses. Si el banco le paga 10 por ciento semestral, ¿cuánto retirará seis meses después del último depósito? Respuesta

El objetivo de este problema es determinar el valor futuro de los ahorros efectuados por esta persona. Si hoy realiza el primer depósito y seis meses después comienza a hacer 10 depósitos adicionales semestralmente significa que ha efectuado en total 11 transacciones y luego pasan 6 meses más sin efectuar un nuevo depósito y se le carga interés por un periodo. S= RxFCS110.10

926,558

S= PxFSC10.1

1019214.

EJERCICIO Nº 11

Maestría Una maestría en Administración de Negocios tiene un costo de $190 por cada crédito de estudios. El plan curricular contempla 60 créditos que pueden ser aprobados satisfactoriamente en el plazo de 2 años. Carla Venegas, estudiante de contabilidad que a la fecha le faltan 3 años para concluir el bachillerato, ha decidido seguir la maestría al término de su bachillerato. Para estos efectos, a fin de cada mes y durante los tres años siguientes ahorrará un determinado importe constante que le permita sufragar el costo de su maestría. Considerando que Carla puede percibir una TEM del 0.5% por sus ahorros y que los pagos de la maestría se realizarán en cuotas iguales cada fin de mes, ¿cuánto debe ahorrar mensualmente Carla? Respuesta

a) Costo Total de la maestría $190 x 60 créditos = $11,400 b) Cálculo cuotas mensuales de la maestría

$11;400 /24 = 475

c) Monto a acumular al final del mes 36 para cubrir 24 pagos de $475 240 P=R xFAS .005 $10,717. d) Renta mensual que se debe ahorrar hasta el mes 36 360 R=10,717 x FDFA .005 $272.45

29

EJERCICIO Nº 12

Pagos La empresa Colacci decide cancelar las últimas cuotas fijas de un préstamo contraído con el banco agrario Cada una de las cuotas asciende a 40,000 las mismas que vencerán dentro de 30,60, 90,y 120 días ¿Qué importe deberá cancelar hoy la empresa si le cobran una TEM 5%. Respuesta P=RxFAS

4

$141,838

0.05

EJERCICIO Nº 13

Electrógeno La empresa El Carmen quiere adquirir un grupo electrógeno dentro de 6 meses, para poder reemplazar al que tienen actualmente. El precio del equipo se estima en $9000 .El administrador Mario Maguiña ha sugerido empezar a ahorrar un monto fijo mensual de tal manera que llegado el momento se pueda cubrir el precio del nuevo equipo ¿Que importe debe ahorrar la empresa cada fin de mes si un banco paga una tasa del 30% anual y capitaliza mensualmente? Respuesta R=SxFDFA0.0256

$1409

EJERCICIO Nº 14

Computadora La Sra. Maria Spencer desea comprarse una computadora a través de una de las campañas hechas por el banco Continental La computadora que pretende comprar cuesta $ 5,475 ¿Cuántos meses deberá depositar $500 a fin de mes si el banco paga el 24% anual y capitaliza mensualmente? Respuesta

Log Si + 1 R n=

(a) n en función del FCS o FDFA Log ( 1 + i)

Tendrá que hacer 10 depósitos mensuales vencidos de $500

30

EJERCICIO Nº 15

Préstamo Hallar el numero de letras de 291788 que a la tasa del 48% anual capitalizable mensualmente permita pagar un préstamo de 34000000? Respuesta Log 1 R

Pi

n = -Log ( 1 + i )

Tendrá que hacer 16 pagos de $291788

31

(b) n en función del FRC o FAS

SESIONES 11, 12 Y 13: RENTAS O ANUALIDADES ANUALIDADES GENERALES 1. Hallar el monto que se forma con sucesivos depósitos trimestrales de 1,500 durante 2 años en un banco que paga el 48% anual capitalizable mensualmente. Primera Forma 1500

S=x R = 1,500 trim. i = 0.04 men n = 2 años

0 0.04

R = S.FDFA30.04 R = 1,500 x

2

3

R = 480.52

0,04

3

1

(1,04) – 1 S = R. FCS240.04 24 S = 480.52 x (1,04) – 1 0.04

S = 18,771

1500

Segunda Forma

0 0.04

1

2

3

S = R.x FCS80.124864 8 S = 1500 x (1.124864) – 1 0.124864

i’ = (1+0.04)3 – 1 x100= 12.4864 % S = 18,771

2. Hallar el monto que se forma con sucesivos depósitos mensuales de 500 durante 2 años en un banco que paga el 48% anual capitalizable trimestralmente.

0.07

Primera Forma

0 500

1

2

3

1/3

i’ = (1+0.07) – 1 x100= 2.2809122 % S = R.x FCS240.022809122 24

S = 500 x (1.0228091229) 0.022809122

32

–1

S = 15,743

0.07

Segunda Forma

0 500

1

R=Sx _ 1/n (1+i) - 1

2

3

i

R = 500 x 0.07 1/3 1534.47 (1.07) - 1 S = R x FCS80.07 8 S = 1534.47 x (1.07) – 1 0.07

= = 15,743

1. EJERCICIOS

1. Hallar el monto que se forma con sucesivos depósitos trimestrales de 1700 durante 2 años en un banco que paga el 48% anual capitalizable mensualmente 2. Hallar el monto que se forma con sucesivos depósitos cuatrimestrales de 1500 durante 3 años en un banco que paga el 39% anual capitalizable bimestralmente. 3. Hallar el monto que se forma con sucesivos depósitos semestrales de 5300 durante 2 años y medio en un banco que paga el 30% anual capitalizable mensualmente 4. Hallar el monto y el capital que se forma con sucesivos depósitos semestrales de 4500 durante 4 años en un banco que paga el 27% anual capitalizable bimestralmente 5. Hallar el monto y el capital que se forma con sucesivos depósitos anuales de 7400 durante 60 meses en un banco que paga el 34% anual capitalizable trimestralmente. 6. Hallar el monto que se forma con sucesivos depósitos mensuales de 900 durante 2 años en un banco que paga el 36% anual capitalizable trimestralmente 7. Hallar el monto y el capital que se forma con sucesivos depósitos bimestrales de 1500 durante 3 años y medio en un banco que paga el 28% anual y capitaliza semestralmente 33

8. Hallar el monto y el capital que se forma con sucesivos depósitos mensuales de 500 durante 1 año 2/3 en un banco que paga el 39% anual y capitaliza cuatrimestralmente 9. Hallar el monto y el capital que se forma con sucesivos depósitos trimestrales de 700 durante 36 meses en un banco que paga 30% anual capitalizable cuatrimestralmente 10. Hallar el monto que se forma con sucesivos depósitos trimestrales de 2500 durante 2 años en un banco que paga el 48% anual capitalizable mensualmente 11. Hallar el monto que se forma con sucesivos depósitos cuatrimestrales de 4100 durante 3 años en un banco que paga el 33% anual capitalizable bimestralmente 12. Hallar el monto que se forma con sucesivos depósitos mensuales de 600 durante 2 ½ años en un banco que paga el 48% anual capitalizable trimestralmente 13. Hallar el monto y el capital que se forma con sucesivos depósitos semestrales de 6800 durante 2 ½ años en un banco que paga el 18% anual capitalizable mensualmente 14. Hallar el monto y el capital que se forma con sucesivos depósitos anuales de 7300 durante 48 meses en un banco que paga el 21% anual capitalizable bimestralmente 15 Hallar el monto y el capital que se forma con sucesivos depósitos bimestrales de 700 durante 36 meses en un banco que paga el 45% anual capitalizable cuatrimestralmente 16. Hallar el monto y el capital que se forma con sucesivos depósitos trimestrales de 1300 durante 1080 días en un banco que paga el 43% anual capitalizable anualmente. 17.Hallar el monto y el capital que se forma con sucesivos depósitos bimestrales de 400 durante 1 ½ años en un banco que paga el 38% anual capitalizable trimestralmente.

2. EJERCICIOS

• Cuál es el monto final a obtener el día que se jubile si se deposita mensualmente en una AFP cada fin de mes S/.80.00, durante 470 meses a la tasa de interés mensual mínima al 1 %. S = ¿?

34

R = 80 m n = 470 m

[

80 (1.01) S= 0.01

470

−1

]

i = 0.01 m

S = 851,281.90

• Una persona debe 24 letras mensuales de S/.250.00, la tasa de interés pactada es del 24% anual. Si no ha pagado las últimas seis letras. ¿Cuánto deberá pagar en el séptimo mes?

[

250 (1.018 ) − 1 S= 0.0181 7

]

S = 1,847.94 • Un padre de familia deposita el día de hoy rentas trimestrales del S/. 480.00 durante 5 años, la tasa interés anual es del 26% ¿Cuál será el monto final a obtener? • Cual es el monto que se espera recibir después de aportar 450 meses en una AFP cuotas de S/. 280 soles, considerando una tasa de interés mensual de 0.06%. • Una persona debe 7 letras mensuales de 800 y desea cancelar su deuda el día de hoy. Si la tasa de interés mensual es de 2% cuanto se tendrá que cobrar. • El dueño de una propiedad cobra por el alquiler de ella S/. 6,000 por mes adelantado. Hallar la pérdida que le significa en dos años, si el arrendatario le paga por mes vencido. (tasa nominal 84% anual capitalizable mensualmente? • Qué suma debe depositar una persona en un banco de ahorro cada año si dentro de 5 años desea hacer un viaje a Inglaterra, para el que necesitara $ 2,500, el banco abona el 9% de interés anual capitalizado anualmente • Con el objeto de ampliar su negocio un comerciante contrae una deuda a 3 años por S/. 1’800,000 con el 32% de interés capitalizable trimestralmente. Para cancelar la deuda, ahorra cierta cantidad cada comienzo de trimestre, en una cuenta de ahorros que paga el 29% capitalizable trimestralmente. Hallar el desembolso trimestral que tiene el comerciante.

35

3. EJERCICIOS

1. Cual es el valor de un artefacto por el cual se paga una cuota inicial de $100 y 7 letras mensuales igual a la cuota inicial, la tasa de interés es 2% mensual.

100

VA =

[(1 . 02 ) − 1 ] 1 . 02 (

8

0 . 02 (1 . 02

)

)8

VA = 747.20 2. Cuanto se deberá ofrecer el día de hoy para cancelar 15 letras de $250 si la tasa de interés mensual es del 2%

250

VA =

[(1 . 02 ) − 1 ]

15

0 . 02 (1 . 02

)15

VA = 3,212.30 3. Cual es el préstamo por el cual se paga rentas mensuales de $ 200 durante 2 años y medio y la tasa de interés anual es de 26% 200

VA =

[( 1 .

0194 0 . 0194 (1 . 0194

)30

−1

]

)30

VA = 4,516.47 4. Se hace un préstamo que será pagado en 36 cuotas mensuales de $ 200 cada uno con una tasa de interés mensual del 2% a. Hallar el valor del préstamo b. Si no se pagan las 8 primeras letras cuanto se deber{a cancelar en el noveno mes? c. Si faltan 10 letras para cancelar, cuanto se deber{a ofrecer el día de hoy? d. Si no se cancelan las 11 primeras letras y en el 12vo mes se quiere cancelar el integro de la deuda cuanto se deberá ofrecer? 5.

Una persona que viaje fuera de su localidad deja una propiedad en

alquiler por 5 años, con la condición que se pague S/.9,000 por trimestre

36

vencido que serán consignados en una cuenta de ahorros que paga 21% anual. Hallar el monto en los 5 años y el valor actual del contrato de alquiler. 6. Una compañía vende refrigeradoras con una cuota inicial de S/.2500 y 14 mensualidades de S/.700. Si se carga el 30% de interés con capitalización mensual, hallar el valor de contado. 8. La iglesia de la Ascensión está pagando un órgano que adquirió recientemente, por medio de pagos de S/.640 al comienzo de cada trimestre. Transcurrido un año cuando aún le quedan por hacer 8 pagos, la iglesia recibe algunos donativos que le permiten liquidar de una vez la deuda pendiente. ¿Cuánto tendrá que liquidar en la fecha indicada, si el interés se calcula sobre la base del 60% efectivo anual?

37

4. EJERCICIO

Una máquina de coser se vende en S/.4,200. Si la venta es al contado se descuenta el 18%. A plazos, se puede comprar con una cuota inicial de S/.1,200 y el saldo en 12 cuotas mensuales. Hallar el valor de las cuotas y la tasa efectiva de interés anual cargado. RESUMEN DE FORMULAS Aquí tenemos el resumen de las formulas que han sido presentadas hasta el momento:

(a.1 +S i=) R− 1 n

Formula para hallar el monto de una anualidad

i

vencida b. P = R

c. R = S

(1 + i ) − 1 n i (1 + i )

Formula para hallar el valor actual de una anualidad

i (1 + i ) n −

Formula para hallar la renta de una anualidad

n

vencida.

vencida, conocido el monto.

1 d. R = P

Formula para hallar la renta de una anualidad

i (1 + i ) (1 + i ) n − n

vencida, conocido el valor actual.

1

[

n R (1 + i ) − (1 + i ) Formula para hallar el monto de una anualidad

e. S =

1 i

]

anticipada

(f.1 P+ =i )R − 1 i (1 + i ) n

(1 + i)

n

g. R =

Si

[ (1 + i )

n

]

− 1 (1

Formula para hallar el valor actual de una anualidad anticipada.

Fórmula para hallar la Renta de una anualidad

+ i) anticipada, conocido el monto P(i)(1 + i )

n

h. R =

[(1 + i )

n

]

− 1 (1

Fórmula para hallar la Renta de una anualidad

+ i) anticipada, conocido el. valor actual

38

CASO A DESARROLLAR

El Sr.X extranjero que radica en el país, posee un fundo Agroindustrial en Satipo, Junín, y habiendo decidido retornar a su país desea venderlo en 4 partes anuales iguales a la valorización que proporcionen las utilidades netas del Fundo, calculadas en función de las plantaciones, en diversas etapas de su crecimiento, todo destinadas a la exportación. El señor X ha calculado que las utilidades empezaran a ser efectivas a partir del quinto año sobre el año presente, designando 0 al año presente. El programa de utilidades netas ha sido previsto para 15 años así como sus correspondientes tasas de interés, según el cuadro que se describe a continuación. Años Del 0 al 5 Del 5 al8 Del 8 al 9 Del 9 al 15

Utilidades netas ----10000 12000 14000

tasa

10% 10% 11% 12%

¿Cuánto pedirá por cada cuota de pago el Sr. X?

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Un gerente halla que si compra una nueva computadora personal que cuesta 2500 Podrá prescindir de los servicios de un empleado cuyo sueldo asciende a 790 por año. Cuantos años tendrá que prestar servicio la computadora suponiendo un rendimiento del 10% anual para que el gerente decida que le conviene la compra? 2. Cual de estas dos maneras de acumular 100000 es la más rápida. Depositar 8200 en un banco que paga el 44% anual capitalizable trimestralmente, o depositar en ese mismo banco 990 al comienzo de cada trimestre. 3. Una persona tiene que pagar una anualidad 56000 trimestrales durante 8 años. Si no efectúa los 4 primeros pagos, cuanto debe pagar al vencer la quinta cuota, para poner al día su deuda si la tasa de operación es 36% anual con capitalización trimestral. 4. Cual es el valor al contado de un equipo comprado con el siguiente plan: 44000 de cuota inicial, 4600 mensuales durante 15 meses y un ultimo pago de 7400 si se carga el 35% anual con capitalización mensual? 5. Para mantener en buen estado cierto puente es necesario repararlo cada 6 años con un costo de 2600,000. El municipio desea establecer una reserva mensual parar reparaciones futuras del puente. Si esta reserva se deposita en

39

una cuenta que abona el 56% de interés efectivo anual halle el valor de la reserva mensual para reponer el puente. 6. Una persona necesita reunir 900,000 en 9 meses y con este fin hace depósitos iguales cada fin de mes en un banco que abona el 6% de interés efectivo mensual. Transcurridos 4 meses, el banco eleva la tasa al 8%. Hallar el valor de los depósitos mensuales antes y después de que el banco elevara la tasa de interés. 7. Al cumplir un joven 12 años, su padre deposita 90000 en un banco que abona el 32% anual capitalizable mensualmente, para que al cumplir el hijo 18 años, reciba una renta anual suficiente para costear sus estudios universitarios, durante 5 años. Hallar el costo anual de los estudios. 8. Una ley de incentivos para la agricultura permite un agricultor adquirir equipos por un valor de 80000 para pagarlos dentro de 2 años, con 8 cuotas trimestrales. Si la ley fija el 6% de interés anual para estos prestamos, halle el valor de las cuotas trimestrales.

40

SESIÓN 14: EXAMEN PARCIAL SESIONES 15, 16 Y 17: APLICACIONES 1. VALOR ACTUAL NETO (VAN) El valor actual neto(VAN) de un capital se define como el valor obtenido actualizando separadamente para cada año, la diferencia entre todas las entradas y salidas de efectivo que se suceden durante un período de tiempo a una tasa de interés fija predeterminada. Esta diferencia se actualiza hasta el momento en que se supone se ha realizado la inversión. El criterio del VAN sirve para decidir si un proyecto es rentable o no. (será rentable si VAN>ó = 0) La fórmula del VAN es la siguiente

VAN =

∑

FLUJO

n

t =1

DE EFECTIVO (1 + K )

t

−I

Donde El VAN es el valor actual neto esperado d la inversión, t son los años durante los que ocurrirá el flujo de efectivo de la inversión, n el último año que habrá flujo de efectivo, k es el porcentaje del rendimiento requerido por la inversión, e I es el desembolso inicial de la inversión. Ejemplo Una empresa requiere comprar un camión de transporte de personal, con lo que se ahorra los gastos de alquiler de transporte. La inversión será por 50000 que será cubierto en tres armadas, 25000 al momento de la compra, 15000 al fin del primer año y 10000 al fin del segundo año, estas cantidades ya incluyen los intereses. El costo anual de alquiler del transporte es de 15000. La vida útil del vehículo es de 5 años. El costo de recuperación final es de cero. Solución: 0 + 50000 (1.12) − 1* 1 2 +15000 * 3 (1.12)2 (1.12 ) (1.12) 0.12(1.12) 3

VAN = -2500+

VAN = 7.71, como es >0 el proyecto es rentable.

Ejercicios 1. Diga si es rentable o no los siguientes flujos de efectivo:

41

Inversión inicial Beneficios anuales Vida del proyecto Tasa de retorno anual

15000 5000 4 años 12%

2. Se tienen dos proyectos de inversión ¿en cuál se minimiza el costo? Proyecto A

Proyecto B

Inversión inicial 700 Costos anuales 200 Vida del proyecto 4 años Tasa de retorno anual 10%

550 290 4 años 10%

2. COSTO ANUAL EQUIVALENTE El método del costo uniforme anual equivalente permite que una suma invertida en una fecha dada se convierta en una serie equivalente de valores anuales o periódicos iguales. Este método es muy usado en la evaluación de proyectos. El desembolso para realizar la inversión inicial se puede interpretar como el pago anticipado por un determinado insumo. En realidad este se ira desgastando paulatinamente, a lo largo de su vida útil, pero el pago sujeta a depreciación. Para poder sumar el costo de este particular insumo con los otros, que se pagan según se van utilizando, se convierte la inversión inicial en una serie de cuotas anuales iguales, que son homogéneas con los demás gastos y por esto se pueden sumar. R = P i (1 + i ) (1 + i ) n − 1 n

Para tal fin utilizamos la formula

Esta formula permite considerar en un solo rubro anual, la depreciación y los intereses o el servicio de amortización e intereses de un crédito. • Si volvemos al ejemplo, donde buscábamos elegir el mejor proyecto de inversión para la empresa “San Jacinto” a través de la actualización de sus costos totales, podemos hallar el mismo resultado, sin repetir el largo procedimiento expresando la inversión inicial en un costo equivalente anual. Proyecto A R = 100,000

0.16(1.16 ) (1.16 )10 − 1

10

42

R = 20,690.10 Proyecto B R = 70,000(0.2069) R = 14,483.07 El costo total anual es la suma de los costos anuales de producción más los costos equivalentes de la inversión: Proyecto A = 20,690.10 + 30,000 = 50,690.10 Proyecto B = 14,483.07 + 35,000 = 49,483.07 2.1. EFECTOS DE LA TASA DE INTERES

Conviene ver lo que ocurre cuando hay fuertes variaciones de la tasa de interés. Los resultados en términos de costo equivalente anual para el ejemplo anterior a distintas tasas se muestran en el siguiente cuadro: % 0 10 16 20

Proyecto A 40,000 46,274 50,690 53,852

Proyecto B 42,000 46,392 49,483 51,696

A-B -2,000 118 1,207 2,156

Este cuadro nos permite apreciar que a medida que baja el tipo de interés disminuye la ventaja de B sobre A. Es decir, a medida que sube la tasa de interés, el uso del capital se encarece y el proyecto que tiene un mayor costo de capital se hace mas caro sin poder compensar los menores costos de operación el elevado costos del capital. Al comparar alternativas técnicas como las del ejemplo, frente a la posibilidad de conseguir un crédito, puede ser muy importante el tipo de interés para decidir la inversión fija del proyecto. 2.2. ANÁLISIS CON NIVELES DE INGRESO DESIGUALES

Si los gastos anuales de funcionamiento en un proyecto son desiguales, no se avanzara mucho expresando la inversión inicial en costo anual equivalente, porque no se sabrá cuál de los años tomar como representativo. En este caso, la comparación entre proyectos se facilita mediante el cálculo de valores actualizados. Estos valores actualizados se pueden convertir a costo equivalente anual uniforme para el número de años que se desee, haciendo así que la comparación sea posible también en términos de costo anual.

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EJEMPLO 1. Se trata de evaluar un proyecto manufacturero con las siguientes características: Inversión fija Vida útil Capacidad física de producción

S/. 16’000,000 15 años 1’000,000.00 u. anuales

Utilización prevista de la capacidad de producción: 50% anual 75% anual 100% anual

los primeros 3 años los 2 años siguientes los 10 años finales

Costos de producción estimados por unidad con 50% de capacidad de fabrica S/.14 con 75% S/.12 con 100% S/.10. Se prevé variaciones de precio con el curso del tiempo, de tal manera que en los años 11 al 15 el costo por unidad bajara a S/. 9 Precios unitarios de venta del producto: S/.14 salvo los años 11 al 15, en que bajara a S/.12 Con estos datos y con tasas de 6, 8 y 10 por ciento de interés, se propone actualizar todos los costos e ingresos a la fecha de la inversión. Resumen de Ingresos y Egresos del proyecto Años 1-3 4-5 6-10 11-15

Producción 500,000 750,000 1’000,000 1’000,000

Costos Unitarios 14 12 10 9

Egresos 7’000 9’000 10’000 9’000

Precio Venta 14 14 14 12

Ingresos 7’000 10’500 14’000 12’000

Siendo distintos los valores anuales de ingresos y egresos, para obtener un valor equivalente anual es condición previa colocar los valores en términos actualizados a la fecha inicial. Hecha esta actualización se podrá convertir las sumas en valores equivalentes uniformes anuales si así se desea.

Actualización de Ingresos y Egresos:

44

Años 1-3: n=3 i = 6%

Se actualiza una serie de 3 años iguales VA = R x f.a. (Factor de actualización)

Egresos: 7’000, x 2.67 = 18’711 Ingresos: 7’000, x 2.67 = 18’711 Año 4: “0” cada valor n=4 i = 6%

Se actualiza separadamente porque se va a llevar al año C = M x f.a.s.

(Factor de actualización singular)

Egresos: 9’000, x 0.79 = 7’128 Ingresos: 10’500, x 0.75 = 7’846 Año 6-10: Primero se actualiza la serie de 5 años, llevándola al año 5. Luego se llevan estos valores al año 0 mediante el f.a.s. n=5 i = 6% f.a.=4.21 f.a.s.=0.7473 Egresos: 10’000, x 4.21 = 42’123 x 0.74 = 31’478 Ingresos: 14’000, x 4.21 = 58’973 x 0.74 = 44’078 Año 11-15: Se procede similarmente, se actualiza la serie de 5 años llevándola al año 10. Luego estos valores se llevan al año 0 n=5 i = 6% C = M x f.a.s. (Factor de actualización singular) f.a. = 4.21 n = 10 i = 6% f.a.s = 0.55 Egresos: 9’000, x 4.21 = 37’911 x 0.55 = 21’169 Ingresos: 12’000, x 4.21 = 50’548 x 0.55 = 28’226 Los valores totales actualizados se indican en la siguiente tabla: Años 1-3 4 5 6-10 11-15 Totales

Egresos 18’711 7’128 6’725 31’478 21’169 85’211

45

Ingresos 18’711 8’317 7’846 44’070 28’226 107’170

Valores Actualizados totales a distintas tasas de interés % 6 8 10

Egresos 85’211 74’612 65’850

Ingresos 107’170 93’141 81’591

Costos Totales a distintas tasas de interés Egresos totales Inversión Costos Totales Ingresos totales Razón Beneficio / costo

85’211 16’000 101’211 107’170 1.06

74’612 16’000 90’612 93’141 1.02

65’850 16’000 81’850 81’591 0.99

Conversión de Valores Actualizados a Valores Uniformes Equivalentes Anuales con Distintas Tasas de Interés %

f.r.c.

6 8 10

0.1029 0.1168 0.1314

Costos Actualizados 101’211 90’612 81’850

46

Costos Equivalentes 10’420 10’586 10’760

Ingresos Actualizados 107’170 93’141 81’591

Ingresos Equivalentes 11’034 10’881 10’728

S.15.CASO A DESARROLLAR PLANEANDO LA JUBILACIÖN

El señor Durand es un empleado público con 25 años de servicio. Ha oído hablar de la posibilidad de próximos despidos y se encuentra muy preocupado. Hoy en día se encuentra frente al dilema de que hacer para asegurar su futuro después de la jubilación la fecha cuenta con un ahorro de 3000 dólares. Un amigo le ofrece la posibilidad de un auto de segunda por los tres mil dólares, para que pueda usarlo cono taxi, y no requiere de inversión alguna para trabajarlo de inmediato. Entregándole a un extraño para que lo trabaje bajo la modalidad de un alquiler fijo, el auto le reportaría 300 dólares mensuales. Los gastos de reparación que corren por cuenta del propietario, ascenderían a 100 dólares mensuales, pero al cabo de dos años el auto estaría en condiciones inservibles (valor residual 0). Si el Sr. Durand lo trabaja el mismo, podría tener ingresos mensuales de 350 $, los gastos de reparación disminuirían en un 20% y la vida útil del auto se extendería a 4 años. Para esto el Sr. Durand tendría que dejar de trabajar y dejar de percibir su sueldo de empleado que asciende a 120$ mensuales. La última alternativa es enviar sus tres mil dólares a un banco que le pagaría el 10.5% anual capitalizable mensualmente y seguir laborando en su trabajo hasta donde le sea posible. Que le recomendaría Ud.? EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Un estudiante del primer semestre desea comprar una calculadora para sus estudios evaluada en $80 para después de los 4 años venderla en 25$. Si la tasa de interés es del 10% anual halle el costo anual de dicha calculadora. 2. Que le recomendaría al dueño de un hotel que desea cambiar sus alfombras. Una inversión de 200 pero que requiere un cambio de alfombras cada dos años, ó una inversión de 320 pero que requiere un cambio de alfombras cada tres años. La tasa de interés es del 10% anual. 3. Una empresa industrial puede adquirir una máquina de uso especial por 22000 con una cuota inicial de 2500 y el saldo en 5 cuotas anuales con el 8% de interés sobre el saldo. Como alternativa, la maquina puede adquirirse por 19000 al contado. Si la tasa mínima atractiva de retorno para la empresa es del 10% cual de las dos alternativas debe aceptarse.

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4. Una empresa tiene dos alternativas para mejorar su sistema actual de producción: Maquina A

Maquina B

Costo inicial de instalación 1500 2500 Costos anuales de operación 800 650 Vida útil 5 años 8 años Valor residual 0 0 Determinar la tasa de retorno sobre la inversión extra en la maquina B y seleccionar la mejor alternativa para una tasa de interés del 15%. 5. Los postes de madera utilizados por una compañía ferroviaria tienen un costo de 300$ cada una, y deben ser reparados cada 5 años. Por medio de un tratamiento químico puede prolongarse a 3 años más la vida útil de los postes. Qué valor máximo puede pagarse por el tratamiento de cada poste si la tasa de interés comercial es del 12% anual. 6. Un distribuidor mayorista está considerando la construcción de un nuevo depósito en una zona no atendida hasta el momento. De los seis lugares donde podría construirse el depósito, se han obtenido los siguientes datos referentes a ingresos y costos esperados. Ubicación A B C D E F

Costo Inicial 100,000 112,000 126,000 142,000 162,000 190,000

Ingreso neto anual 40718 44479 48238 51842 54777 56248

Si se estima una vida útil del deposito de 15 años, y la tasa mínima atractiva de retorno es del 12% donde debo localizar este?

48

CUADROS DE SERVICIO DE LA DEUDA CUADROS DE SERVICIO DE LA DEUDA Los principales cuadros de servicio de la deuda son: Método Francés o De Cuotas constantes Método Alemán o de cuotas Decrecientes Método Americano METODO FRANCES O DE CUOTAS CONSTANTES Ejemplo Haga una tabla de amortización que muestre como se cancela un préstamo de1000, que será pagado en 4 cuotas mensuales con el 2% de interés mensual. Datos P = 1000 i = 0.02 n=4 R = ¿? Pasos -hallar el Valor de la cuota n P(i) 1 i R =( + )n (1 + i ) − 1

[

]

1000(0.02) (1.02 ) R= (1.02 )4 − 1 4

[

]

= 262.62

-Elaborar laTabla 1=Fórmula Periodo 0 1 2 3 4

2= i x saldo

3= 1-2

Cuota Interés Cuota Capital Pago total 262.62 20 242.62 262.62 15.15 247.47 262.62 10.20 252.42 262.62 5.15 257.47

49

4= 4-3 Saldo 1000 757.38 509.90 257.48 -

METODO ALEMAN O DE CUOTAS DECRECIENTES Con los datos del ejemplo anterior elabore la tabla de amortización con el método alemán Pasos: Pr estamo cuotas

-Hallar la cuota de capital =

= 4

1000

= 250

-Elaborar la Tabla 1=2+3 Periodo 0 1 2 3 4

2= i x saldo Cuota Interés

Pago total 270 265 260 255

20 15 10 5

3= Formula 4= 4-3 Cuota Saldo Amortización 1000 250 750 250 500 250 250 250 -

METODO AMERICANO Consiste en el pago únicamente de los intereses Elaborando la tabla de amortización Periodo 0 1 2 3 4

Cuota Interés Saldo 1000 20 20 20 20

. S.18.EJERCICIOS

1. Una deuda de S/.100,000 a dos años y medio de plazo debe pagarse con el siguiente plan de amortizaciones: pagos trimestrales iguales con la tasa del 38% anual capitalizable trimestralmente, durante los primeros 9 meses se pagarán sólo intereses y, a partir del cuatro trimestre, se pagarán cuotas hasta extinguir la deuda hasta el final de su plazo. Elabore una tabla de amortización. Intereses al final de cada uno de los tres primeros períodos:

50

⎛100,000⎜ 0.38 ⎟ 9,500 ⎞ = ⎝ 4 ⎠ P = 100,000 n = 7 i = 0.38/4 = 0.095

R = 100,000 x 0.2020 R = 20,203.60 Fin Monto Periodo Adeudado 0 100,000 1 100,000 2 100,000 3 100,000 4 100,000 5 89,296.4 6 77,576.0 7 64,742.1 8 50,689.0 9 35,300.8 10 18,450.8

Cuota de Cuota de Amortización Intereses 0 0 0 9,500 0 9,500 0 9,500 10,703.6 9,500 11,720.4 8,483.2 12,833.9 7,369.7 14,053.1 6,150.5 15,388.2 4,815.4 16,850.0 3,353.6 18,450.8 1,752.8

Pago Total 0 9,500 9,500 9,500 20,203.6 20,203.6 20,203.6 20,203.6 20,203.6 20,203.6 20,203.6

• Nótese que la columna de pago total es igual a la suma de los intereses más la amortización. 2. Con el objeto de desarrollar un área industrial, se conceden préstamos de fomento con el siguiente plan de amortización: Plazo 5 años, cuotas semestrales con la tasa del 16% efectivo semestral, en los dos primeros años se amortiza el 20% de la deuda y, en los tres últimos años el 80% restante. Aplicar el modelo a un préstamo de S/. 500,000. Cuota para los dos primeros años: R = 35,737.50 Cuota para los tres últimos años: R = 108,556.00

51

Fin Periodo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Monto Adeudado 500,000.00 500,000.00 480,262.50 457,367.00 430,808.22 400,000.04 355,444.04 303,759.09 243,804.54 174,257.27 93,582.43

Cuota de Amortización 0 19,737.50 22,895.50 26,558.78 30,808.18 44,556.00 51,684.95 59,954.55 69,547.27 80,674.84 93,582.43

Cuota de Intereses 0 80,000 76,842 73,178.72 68,929.32 64,000.00 56,871.05 48,601.45 39,008.73 27,881.16 14,973.57

Pago Total 0 99,737.50 99,737.50 99,737.50 108,556.00 108,556.00 108,556.00 108,556.00 108,556.00 108,556.00 108,556.00

Ejercicios: 1. Elabore una tabla de amortización para un préstamo de 7000 que será cancelado mediante 5 cuotas mensuales con el 5% de interés mensual. 2. En el ejemplo anterior, como se modificaría la tabla si después del segundo pago la tasa de interés cambia al 6% 3. Si en el ejercicio uno, después del tercer pago si vuelve a pedir un préstamo de 2000 y nos dan tres meses adicionales como sería la nueva tabla 4. Si en el ejercicio uno la tasa de interés cambia al 5.5% después del tercer pago y pedimos un préstamo adicional de 1500 y todo el ejercicio se basa en 8 meses muestre loa tabla de amortización

52

CUADROS DE DEPRECIACIÓN S.20.DEFINICIÓN La depreciación es la disminución del valor de un activo fijo como consecuencia de su uso Los principales cuadros de depreciación son: • • • •

Método lineal Método de la suma de los Años dígitos Método del Fondo de Amortización Método del Porcentaje Fijo

METODO LINEAL Una maquinaria que cuesta 52000 tendrá un valor de recupero de 4000 dentro de 6 años, depreciarla por el método lineal Datos: S= Valor del Activo Fijo R=Depreciación anual n= Numero de años, vida útil L= Valor de recupero, chatarra, residuo Formula: R = S – L N R=52000-4000 = 8000 6 Periodo DEPRECIACIÓN DEPRECIACIÓN VALOR EN ANUAL ACUMULADA LIBROS 0 ---------0 52000 1 8000 8000 44000 2 8000 16000 36000 3 8000 24000 28000 4 8000 32000 20000 5 8000 40000 12000 6 8000 48000 4000

53

METODO DE LA SUMA DE LOS AÑOS DIGITOS Un activo fijo que cuesta 52000 tendrá un valor de recupero de4000 dentro de 6años, depreciarlo por el método de la suma de los años dígitos Periodo FACTOR 0 1 2 3 4 5 6

---------6/21 6/21 6/21 6/21 6/21 6/21

BASE FIJA 0 48000 48000 48000 48000 48000 48000

DEPRECIACIÓN DEPRECIACIÓN ANUAL ACUMULADA 0 0 13714 13714 11429 25143 9143 34286 6857 41143 4571 45714 2286 48000

N=21 METODO DEL FONDO DE AMORTIZACION Un activo fijo que cuesta 45000 tendrá un valor de recupero de 3000 dentro de 6años. Si los depósitos ganan el 28% anual, depreciarlo por el método del fondo de amortización. *En este método las cuotas anuales de depreciación deben de ser convertidas en efectivo, de modo que al final de la vida útil del activo se pueda disponer de la cantidad necesaria para fines de reposición Datos: S= Valor del Activo Fijo R=Depreciación anual n= Numero de años, vida útil L= Valor de recupero, chatarra, residuo i = Tasa de interés que gana Formula: R =( S – L)* FDFA R=(45000-3000)* 0.28 6 (1.28) -1

54

= 3461

Periodo DEPRECIACIÓN 0.28 INCREMENTO INCREMENTO ANUAL INTERES ANUAL ACUMULADO 0 1 2 3 4 5 6

---------3461 3461 3461 3461 3461 3461

0 0 969 2209 3797 5829 8431

0 3461 4430 5670 7258 9290 11892

0 3461 7891 13561 20819 30109 42001

VALOR EN LIBROS 45000 41539 37109 31439 24181 14891 2999

METODO DEL PORCENTAJE FIJO Un activo fijo que cuesta 52000 tendrá un valor de recupero de 4000 dentro de 6, depreciarlo por el método del porcentaje fijo. Datos: S= Valor del Activo Fijo n= Numero de años, vida útil L= Valor de recupero, chatarra, residuo i = Porcentaje fijo Fórmula: 1/n i = 1 – (L/S) i = 1 – (4000/52000)

1/6

= 0.3479

Periodo VALOR EN DEPRECIACIÓN DEPRECIACIÓN LIBROS ANUAL ACUMULADA 0 52000 0 0 1 33909 18091 18091 2 22112 11797 29888 3 14419 7693 37581 4 9403 5016 42597 5 6132 3271 45868 6 3999 2133 48001 EJERCICIOS •

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SESIÓN 22: EXAMEN FINAL