Trigonometrie [PDF]

Zitiervorschau

Prezentare Realizata De Catre

MoSuLeT AdRiAn Enjoy !!

Functiile trigonometrice simple 1.Functia arcsin Functia f(x) = sinx; f :

(Fig 1.) este bijectiva,deci

este inversabila. Functia inversa f -1 se noteaza f -1(x)= arcsinx unde arcsinx : [-1,1] →

si a graficului sau (Fig.2) este simetricul

graficului functiei f(x) = sinx, f : bisectoare a axelor de coordonate y=x.

fata de prima

Observatii :  Este inversabila orice restrictie a functiei sin cu conditia ca aceasta sa fie bijectiva,dar numai inversa restrictiei la intervalul ( f

o

se numeste arcsin.

f -1 )( x ) = x => sin( arcsinx ) , pentru x є [-1,1].

 ( f -1 0 f ) ( x ) = x => arcsin( sinx ) = x , pentru x є  Functia f -1 este impara,adica arcsin( -x ) = - arcsinx,

x є [-1,1].

2.Functia arccos In mod analog functia f : [ 0,π ] → [ -1,1 ], f(x) = cosx (Fig.4) este bijectiva,deci inversabila si atunci functia inversa f -1 notam cu arccos x,unde : f -1( x ) = arccos : [-1,1] → [0, π].

Observatii : A.Graficul functiei f -1 (x) = arccosx : [ -1,1 ] → [ 0,π ] ( Fig. 5 ) este simetricul graficului functiei f(x) = cosx, f :[ 0,π ] → [-1,1].fata de prima bisectoare.

B. ( f o f -1 )( x ) = x => cos(arccosx) = x, C. ( f -1 0 f ) ( x ) = x => arccos(cosx)= x, D. arccos(-x) = π – arccosx,

x є [-1,1]

x є [-1,1]. x є [ 0,π ]

3.Functia arctg Functia f :

,f(x) = tgx,este surjectiva,dar nu este

injectiva.Restrictia sa la intervalul

,fiind monoton crescatoare,este

injectiva si deci bijectiva si atunci f :

,f(x)= tgx este inversabila(Fig. 6)

Inversa sa f -1 se numeste arctgx si se noteaza : f -1 (Fig. 6 – linia rosie ).Graficul sau este simetricul functiei f(x) = tgx : ,fata de prima bisectoare.

f (x) = arctgx

, -1

Se observa ca dreptele

si

sunt asimptote orizontale

pentru graficul functiei arctgx.

Aceste asimptote sunt simetricele asimptotelor verticale graficului functiei directe. Scriem arctg arctg 0=0 pentru ca tg0 = 0; arctg arctg

etc.

Observatii : 1.arctg(tgx) = x,

xє

2.tg(arctgx) = x,

xє

3.arctg(-x) = -arctgx, x є

si arctg ,pentru ca

si

ale

.Se deduce usor ca ;

4.Functia arcctg Restrictia bijectiva a functiei f(x) = ctgx; f : este functia f : ( 0,π ) → ,f(x) = ctgx.Inversa sa se numeste arcctg x si se scrie : f -1( x ) = arcctgx ; f -1 : → ( 0,π ). Graficul sau este simetricul functiei f(x) = ctgx : ( 0,π ) → de prima bisectoare (Fig. 7).

fata

Se observa ca functia arcctgx este pozitiva pe ,iar graficul sau are dreptele y=0 si y=π asimptote orizontale care sunt simetricele fata de prima bisectoare a asimptotelor verticale x=0 si x=π la graficul functiei directe. Avem : arcctg 0 = ;arcctg Observatii : 1.arcctg(ctgx) = x , 2. ctg(arcctgx) = x,

;arcctg =0;arcctg x є ( 0,π ). xє

.