Transferencia de Calor - Capitulo 4 - 2011 [PDF]

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Capítulo 4 Conducción de calor en régimen transitorio Objetivos • • • •

Estudiar los procesos de transferencia de energía por conducción en sistemas de estado inestable. Introducir el estudio de sistemas de parámetros concentrados. Introducir el estudio de procesos de conducción unidimensional transitoria. Introducir el estudio de conducción de calor en sólidos semi-infinitos.

Conducción de calor en régimen transitorio Procesos transitorios:
El sistema puede almacenar o perder energía
La energía que entra puede ser mayor o menor que la energía que sale
La situación puede incluir variaciones espaciales de temperaturas

Sistemas concentrados: Conducción de calor:  ∂T  ∂ k ∂T   ∂T  ∂ k ∂ k     ∂y  ∂T ∂x  ∂z     = + + + e&gen ρc ∂t ∂x ∂y ∂z

 Energía  Energía Cambio de  + Energía   − de energía dentro = de  generada       del sistema  entrada salida  

La temperatura puede variar con la posición y con el tiempo.

Profesor Miguel Jované

Profesor Miguel Jované

Conducción de calor en régimen transitorio Sistemas concentrados:

Sistemas concentrados:

Para un sólido en reposo,

d (mu ) & = Qentrada − Q& salida + E& generada dt

∂U sistema = Q& entrada − Q& salida + E& generada ∂t

U sistema =

dT (t ) & = Qentrada − Q& salida + E& generada dt

En sistemas concentrados la difusión es rápida y los gradientes posicionales de temperatura son pequeños. ¿De qué forma puede entrar o salir calor del sistema concentrado?

vol

La temperatura puede ser función de la posición y el tiempo.

T = T (t ) U sistema = ρu (T ) ∫ dV = mu vol

Profesor Miguel Jované

mc

∫ ρu (T )dV = ρ ∫ u (T )dV

vol

Conducción de calor en régimen transitorio

¿Qué ocurre si los gradientes de temperatura espaciales son pequeños dentro de un sólido pero el sólido recibe más energía de la que sale del sistema?

Casos posibles: Transferencia de calor por convección en la frontera, no hay energía generada.

Qent = hAs (T∞ − T ) hA cdT = s dt (T∞ − T ) m

Ti = T (t = 0 ) Profesor Miguel Jované

Conducción de calor en régimen transitorio Sistemas concentrados:

Sistemas concentrados:

Casos posibles: Transferencia de calor por convección en la frontera, no hay energía generada.

hAs t cdT ∫ (T∞ − T ) = m ∫0 dt Ti

T

hA dT = st (T∞ − T ) ρV Ti

c∫

hA cdT = st m ∞ −T)

∫ (T

Ti

Casos posibles: Transferencia de calor por convección en la frontera, no hay energía generada. Calor específico constante:

T

T

Conducción de calor en régimen transitorio

 (T − T )  hAs ln  ∞ t =− ρVc  (T∞ − Ti ) 

 (T − T )  hAs ln  ∞ t =− ρVc  (T∞ − Ti ) 

 (T − T∞ )  hAs ln  t =− ρVc  (Ti − T∞ ) 

(T − T∞ ) = e − ρhAVc t (Ti − T∞ ) s

(T − T∞ ) = e − ρhAVc t (Ti − T∞ ) s

Profesor Miguel Jované

Conducción de calor en régimen transitorio Sistemas concentrados: Casos posibles: Transferencia de calor por convección en la frontera, no hay energía generada.

¿Cuándo es aceptable suponer que un sistema se comporta como sistema concentrado?

 Se debe comparar la capacidad de transferir calor por convección y la capacidad de transferir calor por conducción.  Si la capacidad de conducir calor es mayor que la capacidad para transferir calor por convección el error introducido por asumir sistema concentrado será menor.

Q& convección = hAs ∆T

Profesor Miguel Jované

Casos posibles: Transferencia de calor por convección en la frontera, no hay energía generada.

∆T Q& conducción ≈ kAs Lc

Bi =

Bi = Profesor Miguel Jované

t

Sistemas concentrados:

Número de Biot:

∆T Q& conducción ≈ kA L

hAs

ρVc

Conducción de calor en régimen transitorio

Lc = longitud caracterís tica =

∆T dT ≈ kA Q& conducción = − kA ∆x dx

T (t ) = T∞ + (Ti − T∞ )e

−

Q& convección Q& conducción hAs ∆T ∆T kAs Lc

Profesor Miguel Jované

V As

Conducción de calor en régimen transitorio Sistemas concentrados: Casos posibles: Transferencia de calor por convección en la frontera, no hay energía generada.

Número de Biot: Bi =

hLc k

Ejemplo 4-20 Considere una esfera con diámetro de 5 cm, un cubo con una longitud de arista de 5 cm y un prisma rectangular con dimensiones de 4cm x 5cm x 6 cm, todos inicialmente a 0 oC y hechos de plata (k=429 W/m-oC, ρ=10500 kg/m3, c=0.235 kJ/kgoC) . A continuación estas tres configuraciones se exponen al aire ambiente a 33 oC sobre todas sus superficies con un coeficiente de transferencia de calor de 12 W/m2oC. Determine: a) El número de Biot para las tres configuraciones, b) ¿cuánto tardará la temperatura de cada configuración geométrica en elevarse hasta 25 oC? k=429 W/m-oC, ρ=10500 kg/m3, 0.235 kJ/kg-oC Ti=0oC, Tf=25oC, h= 12 W/m2-oC Esfera: Desfera=5cm Cubo: Larista=5cm Prisma: L1=4cm, L2=5cm, L3=6cm Bi, t

Datos:

En general, si el número de Biot (Bi) es menor que 0.1, la aproximación de sistema concentrado es aceptable

Encontrar:

Suposiciones: sustancia incompresible, calores específicos constantes, radiación despreciable en la superficie.

¿Cómo se analizaría el problema si hubiese radiación, convección en la superficie y energía generada?

Ecuaciones básicas:

Bi =

Profesor Miguel Jované

hLc k

Lc =

V As

Profesor Miguel Jované

Ejemplo

Ejemplo

4-20 Considere una esfera con diámetro de 5 cm, un cubo con una longitud de arista de 5 cm y un prisma rectangular con dimensiones de 4cm x 5cm x 6 cm, todos inicialmente a 0 oC y hechos de plata (k=429 W/m-oC, ρ=10500 kg/m3, c=0.235 kJ/kgoC) . A continuación estas tres configuraciones se exponen al aire ambiente a 33 oC sobre todas sus superficies con un coeficiente de transferencia de calor de 12 W/m2oC. Determine: a) El número de Biot para las tres configuraciones, b) ¿cuánto tardará la temperatura de cada configuración geométrica en elevarse hasta 25 oC?

4-20 Considere una esfera con diámetro de 5 cm, un cubo con una longitud de arista de 5 cm y un prisma rectangular con dimensiones de 4cm x 5cm x 6 cm, todos inicialmente a 0 oC y hechos de plata (k=429 W/m-oC, ρ=10500 kg/m3, c=0.235 kJ/kgoC) . A continuación estas tres configuraciones se exponen al aire ambiente a 33 oC sobre todas sus superficies con un coeficiente de transferencia de calor de 12 W/m2oC. Determine: a) El número de Biot para las tres configuraciones, b) ¿cuánto tardará la temperatura de cada configuración geométrica en elevarse hasta 25 oC?

Solución:

Solución:

Esfera: Bi =

hLc k

Lc =

5 x10 −2 m 6

Biesfera

Cubo: L3 L V Lc = = arista = arista 2 As 6 Larista 6

4 πr 3 V r D Lc = = 3 2 = = As 4πr 3 6

Lc =

(

)

2 o 5 x10 −2 m hLc 12 W m − C 6 = = k 429 W m − o C

Bi =

5 x10 −2 m = Lc ,esfera 6 hLc k

Bicubo = Biesfera

Biesfera = 2.33 x10 −4 < 0.1 Profesor Miguel Jované

Profesor Miguel Jované

Bicubo = 2.33 x10 −4 < 0.1

Ejemplo

Ejemplo

4-20 Considere una esfera con diámetro de 5 cm, un cubo con una longitud de arista de 5 cm y un prisma rectangular con dimensiones de 4cm x 5cm x 6 cm, todos inicialmente a 0 oC y hechos de plata (k=429 W/m-oC, ρ=10500 kg/m3, c=0.235 kJ/kgoC) . A continuación estas tres configuraciones se exponen al aire ambiente a 33 oC sobre todas sus superficies con un coeficiente de transferencia de calor de 12 W/m2oC. Determine: a) El número de Biot para las tres configuraciones, b) ¿cuánto tardará la temperatura de cada configuración geométrica en elevarse hasta 25 oC?

4-20 Considere una esfera con diámetro de 5 cm, un cubo con una longitud de arista de 5 cm y un prisma rectangular con dimensiones de 4cm x 5cm x 6 cm, todos inicialmente a 0 oC y hechos de plata (k=429 W/m-oC, ρ=10500 kg/m3, c=0.235 kJ/kgoC) . A continuación estas tres configuraciones se exponen al aire ambiente a 33 oC sobre todas sus superficies con un coeficiente de transferencia de calor de 12 W/m2oC. Determine: a) El número de Biot para las tres configuraciones, b) ¿cuánto tardará la temperatura de cada configuración geométrica en elevarse hasta 25 oC?

Solución:

Solución: tiempo

Prisma: L1 L2 L3 V Lc = = As 2(L1 L2 + L1 L3 + L2 L3 )

(5 x10 )(4 x10 )(6 x10 )m )(4 x10 ) + (5 x10 )(6 x10 ) + (4 x10 )(6 x10 )]m −2

Lc =

[(

2 5 x10

−2

 (T − T∞ )  hAs ln  t =− ρVc  (Ti − T∞ ) 

−2

−2

−2

−2

−2

3

−2

−2

2

Lc = 0.811x10 −2 m

hLc 12 W m − C (0.811m ) = k 429 W m − o C 2

Bi prisma =

o

Bi prisma = 2.27 x10 −4 < 0.1

Profesor Miguel Jované

t=−

 (T f − T∞ ) ln   hAs  (Ti − T∞ ) 

ρVc

1  (T f − T∞ ) t = − ln   b  (Ti − T∞ )  Profesor Miguel Jované

Ejemplo

Ejemplo

4-20 Considere una esfera con diámetro de 5 cm, un cubo con una longitud de arista de 5 cm y un prisma rectangular con dimensiones de 4cm x 5cm x 6 cm, todos inicialmente a 0 oC y hechos de plata (k=429 W/m-oC, ρ=10500 kg/m3, c=0.235 kJ/kgoC) . A continuación estas tres configuraciones se exponen al aire ambiente a 33 oC sobre todas sus superficies con un coeficiente de transferencia de calor de 12 W/m2oC. Determine: a) El número de Biot para las tres configuraciones, b) ¿cuánto tardará la temperatura de cada configuración geométrica en elevarse hasta 25 oC?

4-20 Considere una esfera con diámetro de 5 cm, un cubo con una longitud de arista de 5 cm y un prisma rectangular con dimensiones de 4cm x 5cm x 6 cm, todos inicialmente a 0 oC y hechos de plata (k=429 W/m-oC, ρ=10500 kg/m3, c=0.235 kJ/kgoC) . A continuación estas tres configuraciones se exponen al aire ambiente a 33 oC sobre todas sus superficies con un coeficiente de transferencia de calor de 12 W/m2oC. Determine: a) El número de Biot para las tres configuraciones, b) ¿cuánto tardará la temperatura de cada configuración geométrica en elevarse hasta 25 oC?

Solución: tiempo

Solución: tiempo

Esfera

b=

Esfera

hAs ρVc

b=

besfera = 5.835 x10 −4 s −1

h ρLc c

besfera =

tesfera = −

12 W m 2 − o C  5 x10 − 2  10500 kg m 3  m 235 J kg − o C 6  

(

Profesor Miguel Jované

)

tesfera = −

1 besfera

 (T f − T∞ ) ln    (Ti − T∞ ) 

 (25o C − 30 o C ) 1 ln   5.835 x10 − 4 s −1  (0 o C − 30 o C ) 

Profesor Miguel Jované

tesfera = 3070s

Ejemplo

Ejemplo

4-20 Considere una esfera con diámetro de 5 cm, un cubo con una longitud de arista de 5 cm y un prisma rectangular con dimensiones de 4cm x 5cm x 6 cm, todos inicialmente a 0 oC y hechos de plata (k=429 W/m-oC, ρ=10500 kg/m3, c=0.235 kJ/kgoC) . A continuación estas tres configuraciones se exponen al aire ambiente a 33 oC sobre todas sus superficies con un coeficiente de transferencia de calor de 12 W/m2oC. Determine: a) El número de Biot para las tres configuraciones, b) ¿cuánto tardará la temperatura de cada configuración geométrica en elevarse hasta 25 oC?

4-20 Considere una esfera con diámetro de 5 cm, un cubo con una longitud de arista de 5 cm y un prisma rectangular con dimensiones de 4cm x 5cm x 6 cm, todos inicialmente a 0 oC y hechos de plata (k=429 W/m-oC, ρ=10500 kg/m3, c=0.235 kJ/kgoC) . A continuación estas tres configuraciones se exponen al aire ambiente a 33 oC sobre todas sus superficies con un coeficiente de transferencia de calor de 12 W/m2oC. Determine: a) El número de Biot para las tres configuraciones, b) ¿cuánto tardará la temperatura de cada configuración geométrica en elevarse hasta 25 oC?

Solución: tiempo

Solución: tiempo

Cubo:

b=

Prisma

h

ρLc,cubo c

Lc ,cubo = Lc ,esfera bcubo = besfera tcubo = tesfera = 3070s Profesor Miguel Jované

Conducción de calor en régimen transitorio Conducción de calor transitorio en paredes planas grandes, cilindros largos y esferas : Características del proceso: • • •

La temperatura puede variar con respecto al tiempo. La temperatura puede variar con la posición. No hay generación de calor a lo interno del sólido.

Profesor Miguel Jované

b=

h

ρLc, prisma c

b prisma =

12 W m 2 − o C (10500 kg m3 )(8.11x10−4 m)235 kJ kg −o C

b prisma = 6 x10 −4 s −1 > besfera t prisma = −

( (

) )

 25 o C − 30 o C  1 ln   6 x10 − 4 s −1  0 o C − 30 o C 

t prisma = 2987 s

Conducción de calor en régimen transitorio Conducción de calor transitorio en paredes planas grandes, cilindros largos y esferas : Régimen transitorio: Suposiciones: • Conducción unidimensional a lo interno del sólido. • Conductividad térmica constante. • Calor especifico constante. • El sólido intercambia calor por convección con los alrededores.

Profesor Miguel Jované

Conducción de calor en régimen transitorio

Conducción de calor en régimen transitorio Conducción de calor transitorio en paredes planas grandes, cilindros largos y esferas :

Conducción de calor transitorio en paredes planas grandes, cilindros largos y esferas :

Coordenadas cartesianas:

Coordenadas cartesianas: Condiciones de frontera:

 ∂T  ∂ k ∂T   ∂T  ∂ k    ∂y  ∂ k ∂T x ∂  +  ∂z  + e& +  ρc =  gen ∂t ∂x ∂y ∂z

Q& conducción (x = L, t ) = Q& convección − kA

ρc ∂T

∂ 2T = 2 k ∂t ∂x

−k

Condiciones de frontera: Simetría en la pared plana

Q& conduccion (x = 0, t ) = 0

∂T (x = 0, t ) = 0 ∂x

∂T (x = L, t ) = hA[T (x = L, t ) − T∞ ] ∂x

∂T (x = L, t ) = h[T (x = L, t ) − T∞ ] ∂x

¿Qué limitaciones tienen estas condiciones de frontera?

Profesor Miguel Jované

Profesor Miguel Jované

Conducción de calor en régimen transitorio

Conducción de calor en régimen transitorio

Conducción de calor transitorio en paredes planas grandes, cilindros largos y esferas :

Conducción de calor transitorio en paredes planas grandes, cilindros largos y esferas :

Coordenadas cartesianas:

Coordenadas cartesianas: representación adimensional

Condición inicial:

T ( x, t = 0) = Ti

Variable espacial adimensional:

X= Formulación matemática (resumen):

x L

Temperatura adimensional:

1 ∂T ∂ 2T = 2 α ∂t ∂x ∂T (x = 0,t ) = 0 ∂x ∂T (x = L,t ) = h[T (x = L,t ) − T∞ ] −k ∂x T ( x,t = 0 ) = Ti

θ=

T ( x, t ) − T∞ Ti − T∞

Tiempo adimensional:

τ= Profesor Miguel Jované

αt L2

Profesor Miguel Jované

1 ∂T ∂ 2T = 2 α ∂t ∂x

Conducción de calor en régimen transitorio

Conducción de calor en régimen transitorio

Conducción de calor transitorio en paredes planas grandes, cilindros largos y esferas :

Conducción de calor transitorio en paredes planas grandes, cilindros largos y esferas :

Coordenadas cartesianas: representación adimensional

Coordenadas cartesianas: representación adimensional ∂T ∂θ = (Ti − T∞ ) ∂x ∂x

∂θ ∂  T ( x, t ) − T∞   =  ∂t ∂t  Ti − T∞ 

∂ 2T ∂ 2θ ( ) = − T T i ∞ ∂x 2 ∂x 2

∂θ 1 ∂T = ∂t Ti − T∞ ∂t ∂T ∂θ = (Ti − T∞ ) ∂t ∂t

(Ti − T∞ ) ∂θ = (T − T ) ∂ 2θ i ∞ 2

1 ∂T ∂ 2T = α ∂t ∂x 2

∂θ ∂  T ( x, t ) − T∞   =  ∂x ∂x  Ti − T∞  Profesor Miguel Jované

Profesor Miguel Jované

Conducción de calor en régimen transitorio

α

∂t

∂x

1 ∂θ ∂ 2θ = α ∂t ∂x 2

Conducción de calor en régimen transitorio

Conducción de calor transitorio en paredes planas grandes, cilindros largos y esferas :

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Coordenadas cartesianas: representación adimensional

Coordenadas cartesianas: representación adimensional 2 ∂ 2θ 2 ∂ θ = L ∂X 2 ∂x 2

∂θ ∂θ  ∂x  =   ∂X ∂x  ∂X  X=

x L

x = XL

∂x =L ∂X

∂θ ∂θ =L ∂X ∂x

∂ 2θ ∂  ∂θ  ∂x = L  2 ∂X ∂x  ∂x  ∂X Profesor Miguel Jované

∂ 2θ 1 ∂ 2θ = ∂x 2 L2 ∂X 2

1 ∂θ ∂ 2θ = α ∂t ∂x 2 2 ∂ 2θ 2 ∂ θ = L ∂X 2 ∂x 2

1 ∂θ 1 ∂ 2θ = 2 α ∂t L ∂X 2 Profesor Miguel Jované

L2 ∂θ ∂ 2θ = α ∂t ∂X 2

Conducción de calor en régimen transitorio

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Conducción de calor transitorio en paredes planas grandes, cilindros largos y esferas :

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Coordenadas cartesianas: representación adimensional

Coordenadas cartesianas: representación adimensional Condiciones de frontera adimensional:

tα τ= 2 L

∂θ ∂ 2θ = ∂τ ∂X 2 Condiciones de frontera adimensional:

−

∂T ( X = 1,τ ) hL = θ ( X = 1,τ ) ∂X k

−

∂T ( X = 1,τ ) = Biθ ( X = 1,τ ) ∂X

Condición inicial:

∂T ( x = 0, t ) (Ti − T∞ ) ∂θ ( X = 0,τ ) = =0 ∂x L ∂X

T ( x, t = 0) = Ti

∂θ ( X = 0,τ ) =0 ∂X

T (x, t = 0) − T∞ Ti − T∞ = Ti − T∞ Ti − T∞

θ ( X ,τ = 0 ) = 1 Profesor Miguel Jované

Conducción de calor en régimen transitorio

Profesor Miguel Jované

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Conducción de calor transitorio en paredes planas grandes, cilindros largos y esferas :

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Coordenadas cartesianas: representación adimensional

Coordenadas cartesianas: solución exacta (separación de variables)

∂θ ∂ 2θ = ∂τ ∂X 2 ∂θ ( X = 0 ,τ ) = 0 ∂X ∂θ ( X = 1,τ ) = Biθ ( X = 1,τ ) ∂X θ ( X,τ = 0) = 1

Profesor Miguel Jované

θ ( X ,τ ) = F ( X )G (τ ) hL Bi = k

∂θ ∂ = [F ( X )G (τ )] = G(τ ) ∂F ∂X ∂X ∂X ∂2 F (X ) ∂ 2θ ( ) τ G = ∂X 2 ∂X 2 ∂θ ∂G (τ ) = F (X ) ∂τ ∂τ

∂θ ∂ 2θ = ∂τ ∂X 2

F (X )

∂G (τ ) ∂2 F (X ) = G (τ ) ∂τ ∂X 2

Profesor Miguel Jované

Conducción de calor en régimen transitorio

Conducción de calor en régimen transitorio

Conducción de calor transitorio en paredes planas grandes, cilindros largos y esferas :

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Coordenadas cartesianas: solución exacta (separación de variables)

Coordenadas cartesianas: solución exacta (separación de variables) ∂2F (X ) 2 1 ∂G (τ ) 2 + λ F (X ) = 0 = −λ ∂X 2 G (τ ) ∂τ

F (X )

∂G (τ ) ∂2 F (X ) = G (τ ) ∂τ ∂X 2

∂G (τ ) ∂G = −∂τλ2 G (τ )

1 ∂G (τ ) 1 ∂2 F (X ) = G (τ ) ∂τ F ( X ) ∂X 2

F ( X ) = C1 cos(λX ) + C2 sin (λX )

ln G (τ ) = −∂τλ2 + C

1 ∂G (τ ) 1 ∂2 F (X ) = = −λ2 G (τ ) ∂τ F ( X ) ∂X 2

G (τ ) = e −τλ +C = eC e −τλ

1 ∂G (τ ) = −λ2 G (τ ) ∂τ

G (τ ) = C3e −τλ

1 ∂2 F (X ) = −λ2 F ( X ) ∂X 2

2

2

2

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Conducción de calor en régimen transitorio

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Conducción de calor en régimen transitorio

Conducción de calor transitorio en paredes planas grandes, cilindros largos y esferas :

Conducción de calor transitorio en paredes planas grandes, cilindros largos y esferas :

Coordenadas cartesianas: solución exacta (separación de variables)

Coordenadas cartesianas: solución exacta (separación de variables)

θ ( X ,τ ) = F ( X )G (τ ) 1 ∂G (τ ) 1 ∂ F (X ) = = −λ2 2 G (τ ) ∂τ F ( X ) ∂X 2

F ( X ) = C1 cos(λX ) + C2 sin (λX )

2 ∂θ = e −τλ λ [− A sin (λX ) + B cos(λX )] ∂X 2 ∂θ ( X = 0,τ ) = e −τλ λ [− A sin (0) + B cos(0)] = 0 ∂X

B=0

G (τ ) = C3e −τλ

2

θ ( X ,τ ) = C3e −τλ [C1 cos(λX ) + C2 sin (λX )]

θ ( X ,τ ) = Ae −τλ cos(λX )

θ ( X ,τ ) = e −τλ [A cos(λX ) + B sin (λX )]

∂θ ( X = 1,τ ) = Biθ ( X = 1,τ ) ∂X

2

2

Profesor Miguel Jované

2

Profesor Miguel Jované

Conducción de calor en régimen transitorio

Conducción de calor en régimen transitorio

Conducción de calor transitorio en paredes planas grandes, cilindros largos y esferas :

Conducción de calor transitorio en paredes planas grandes, cilindros largos y esferas :

Coordenadas cartesianas: solución exacta (separación de variables)

Coordenadas cartesianas: solución exacta (separación de variables)

2 ∂θ ( X = 1,τ ) = − Ae −τλ λ sin (λ ) ∂X

θ ( X = 1,τ ) = Ae

−τλ2

∞

θ ( X ,τ ) = ∑ An e −τλ cos(λn X ) n =1

cos(λ )

[

An =

]

Ae −τλ λ sin (λ ) = Bi Ae −τλ cos(λ ) 2

2

λn tan (λn ) = Bi

λ tan (λ ) = Bi ∞

θ ( X ,0) = 1 = ∑ An cos(λn X ) n =1

2 n

4 sin (λn ) 2λn + sin (2λn )

λn tan (λn ) = Bi n =1→ ∞ ¿Será necesario considerar todos los términos de la sumatoria?

4 sin (λn ) An = 2λn + sin (2λn )

Profesor Miguel Jované

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Conducción de calor en régimen transitorio

Conducción de calor en régimen transitorio

Conducción de calor transitorio en paredes planas grandes, cilindros largos y esferas :

Conducción de calor transitorio en paredes planas grandes, cilindros largos y esferas :

Solución aproximada: primer término de la serie infinita

Solución aproximada: primer término de la serie infinita (cartesiano)

Coordenadas cartesianas:

θ ( X ,τ ) = A1e −τλ cos(λ1 X ) 2 1

Coordenadas cilíndricas:

θ ( X ,τ ) = A1e −τλ J 0 (λ1r ro ) 2 1

λ1

J1 (λ1 ) = Bi J 0 (λ1 )

Coordenadas esféricas:

θ ( X ,τ ) = A1e −τλ

2 1

sin (λ1r ro ) λ1r ro

1 − λ1 cot (λ1 ) = Bi

¿Cómo se pueden obtener las constantes A1 y λ1?

Profesor Miguel Jované

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Conducción de calor en régimen transitorio

Conducción de calor en régimen transitorio

Conducción de calor transitorio en paredes planas grandes, cilindros largos y esferas :

Conducción de calor transitorio en paredes planas grandes, cilindros largos y esferas :

Solución aproximada: primer término de la serie infinita (cartesiano)

Solución aproximada: primer término de la serie infinita (cilíndrico)

Profesor Miguel Jované

Conducción de calor en régimen transitorio

Profesor Miguel Jované

Conducción de calor en régimen transitorio

Conducción de calor transitorio en paredes planas grandes, cilindros largos y esferas :

Conducción de calor transitorio en paredes planas grandes, cilindros largos y esferas :

Solución aproximada: primer término de la serie infinita (cilíndrico)

Calor transferido: Considere el sólido completo como un sistema:

Qtransferido = ρc ∫ [T (x, t ) − Ti ]dV vol

¿Cuándo se habrá transferido la máxima cantidad de calor?

Qmax = ρc pV [T∞ − Ti ] Profesor Miguel Jované

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Conducción de calor en régimen transitorio

Conducción de calor en régimen transitorio

Conducción de calor transitorio en paredes planas grandes, cilindros largos y esferas :

Conducción de calor transitorio en paredes planas grandes, cilindros largos y esferas :

Calor transferido:

Calor transferido:

Qtransferido (t ) Qmax

=

Qtransferido (t ) Qmax Qtransferido (t ) Qmax

Qtransferido = ρc ∫ [T (x, t ) − Ti ]dV

∫ ρc p [T (x, t ) − Ti ]dV

V

vol

ρc pV [T∞ − Ti ]

∫ [T (x, t ) − T ]dV i

=V

=

V [T∞ − Ti ]

1  T (x, t ) − Ti + T∞ − T∞   dV  [T∞ − Ti ] V V∫  

Profesor Miguel Jované

Conducción de calor en régimen transitorio

Qtransferido (t ) Qmax Qtransferido (t ) Qmax Qtransferido (t ) Qmax

=

1  [T (x, t ) − T∞ ] [Ti − T∞ ] dV −  [T∞ − Ti ] V V∫  [T∞ − Ti ]

=

1  [T (x, t ) − T∞ ] [Ti − T∞ ] + dV − [Ti − T∞ ] [Ti − T∞ ] V V∫ 

=

1 [1 − θ (x, t )]dV V V∫

Profesor Miguel Jované

Conducción de calor en régimen transitorio

Conducción de calor transitorio en paredes planas grandes, cilindros largos y esferas :

Conducción de calor transitorio en paredes planas grandes, cilindros largos y esferas :

Solución aproximada: primer término de la serie infinita (cartesiano)

Solución aproximada: primer término de la serie infinita (cilíndrico)

Profesor Miguel Jované

Profesor Miguel Jované

Conducción de calor en régimen transitorio

Conducción de calor en régimen transitorio

Conducción de calor transitorio en sólidos semi-infinitos:

Conducción de calor transitorio en sólidos semi-infinitos: Análisis:

¿Qué pasa con la distribución de temperatura de un sólido en condiciones transitorias? ¿Qué sucedería si las dimensiones del sólido fueran muy grandes?

Suposiciones: • Conductividad térmica constante. • Conducción unidimensional. • Sólo una pared esta expuesta y puede intercambiar energía con los alrededores. • La longitud del sólido es lo suficientemente grande para que el calor no pueda penetrar hasta la frontera no expuesta. • Sustancia incompresible. • Calor específico constante.

Formulación matemática: Coordenadas cartesianas:

1 ∂T ∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T e&gen = + + + α ∂t ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 k Profesor Miguel Jované

Profesor Miguel Jované

Conducción de calor en régimen transitorio

Conducción de calor en régimen transitorio

Conducción de calor transitorio en sólidos semi-infinitos:

Conducción de calor transitorio en sólidos semi-infinitos:

Formulación matemática:

Formulación matemática:

Coordenadas cartesianas:

Coordenadas cartesianas:

1 ∂T ∂ T = α ∂t ∂x 2 2

Condición inicial:

T (x, t = 0 ) = Ti Primera condición de frontera:

T (x → ∞, t ) = Ti Segunda condición de frontera: Temperatura fija en la superficie:

Segunda condición de frontera: Flujo de calor fijo en la superficie:

Q& ( x = 0, t ) Q& ∂T (x = 0, t ) = = −k A A ∂x Convección de calor en la superficie

Q& conveccion = Q& conduccion ( x = 0, t )

h[T∞ − T ( x = 0, t )] = −k

T (x = 0, t ) = Ts Profesor Miguel Jované

Profesor Miguel Jované

∂T (x = 0, t ) ∂x

Conducción de calor en régimen transitorio Conducción de calor transitorio en sólidos semi-infinitos:

Conducción de calor en régimen transitorio Conducción de calor transitorio en sólidos semi-infinitos:

Formulación matemática:

Formulación matemática:

Coordenadas cartesianas:

Coordenadas cartesianas:

T (x, t = 0 ) = Ti

Variable de semejanza:

1 ∂T ∂ T = α ∂t ∂x 2 2

η= −

t = 0 ⇒η → ∞

x

T (η → ∞ ) = Ti

2 αt

T ( x → ∞, t ) = Ti

1 η ∂T 1 ∂ 2T = α 2t ∂η 4αt ∂η 2

x → ∞ ⇒η → ∞

T (η → ∞ ) = Ti

d 2T dT + 2η =0 2 dη dη Profesor Miguel Jované

Profesor Miguel Jované

Conducción de calor en régimen transitorio

Conducción de calor en régimen transitorio

Conducción de calor transitorio en sólidos semi-infinitos:

Conducción de calor transitorio en sólidos semi-infinitos:

Formulación matemática:

Solución:

Coordenadas cartesianas:

Coordenadas cartesianas:

dw = −2ηdη w

d 2T dT + 2η =0 2 dη dη w=

ln (w) = −η 2 + C0

dT dη

w = e (−η

dw d 2T = dη dη 2 dw + 2ηw = 0 dη Profesor Miguel Jované

2

+ C0

) = eC e −η

C1 = e C0

dw = −2ηdη w

w=

2 dT = C1e −η dη

Profesor Miguel Jované

0

2

Conducción de calor en régimen transitorio Conducción de calor transitorio en sólidos semi-infinitos:

Conducción de calor en régimen transitorio Conducción de calor transitorio en sólidos semi-infinitos:

Solución:

Solución:

Coordenadas cartesianas:

Coordenadas cartesianas: Temperatura específica en la superficie:

dT = C1e −η dη 2

T (x = 0, t ) = Ts

0

T (η = 0 ) = Ts = C1 ∫ e −u du + C2

η

T (η ) = C1 ∫ e

2

−u 2

du + C2

0

0

C2 = Ts

¿Cómo se evalúan las constantes C1 y C2?

Ti = C1

∞

T (η → ∞ ) = Ti = C1 ∫ e

−u 2

du + C2

0

∞

∫e

−u 2

du =

0

π

Ti = C1

2

π 2

C1 =

+ C2 Profesor Miguel Jované

π 2

+ C2

2(Ti − Ts )

π

T (η ) =

2(Ti − Ts )

π

η −u ∫ e du + Ts 2

0

Profesor Miguel Jované

Conducción de calor en régimen transitorio

Conducción de calor en régimen transitorio

Conducción de calor transitorio en sólidos semi-infinitos:

Conducción de calor transitorio en sólidos semi-infinitos:

η=

Solución: Coordenadas cartesianas: Temperatura específica en la superficie:

T ( x, t ) − Ts 2 = (Ti − Ts ) π T ( x, t ) − Ts 2 = (Ti − Ts ) π 2

π

η

∫e

−u 2

−u 2

Coordenadas cartesianas:

T ( x, t ) − Ti = −(Ts − Ti )erf (η ) + (Ts − Ti )

η −u 2

du

T ( x, t ) − Ti = 1 − erf (η ) Ts − Ti

0

du = erf (η )

0

erf (η ) = función de error Profesor Miguel Jované

Solución:

T ( x, t ) − Ts = (Ti − Ts )erf (η ) + Ti − Ti

du

0

∫e

2 αt

Temperatura específica en la superficie:

η

∫e

x

1 − erf (η ) = erfc(η ) = función de error complement aria T ( x, t ) − Ts = erf (η ) (Ti − Ts )

T ( x, t ) − Ti = erfc(η ) Ts − Ti Profesor Miguel Jované

Conducción de calor en régimen transitorio

Conducción de calor en régimen transitorio

Conducción de calor transitorio en sólidos semi-infinitos:

Conducción de calor transitorio en sólidos semi-infinitos:

Solución:

Solución:

Coordenadas cartesianas:

Coordenadas cartesianas:

Temperatura específica en la superficie:

Convección de calor en la superficie x=0:

Qcond ( x = 0, t ) ∂T (x = 0, t ) = −k ∂T (η = 0) ∂η = −k A ∂x ∂η ∂x

Suposición: T∞ es constante y h es constante y uniforme.

Qcond ( x = 0, t ) kw( x = 0 ) =− A 2 αt Qcond ( x = 0, t ) kC1 =− A 2 αt Qcond ( x = 0, t ) k (T − T ) =− i s A παt Profesor Miguel Jované

Conducción de calor en régimen transitorio

Conducción de calor en régimen transitorio

Conducción de calor transitorio en sólidos semi-infinitos:

Conducción de calor transitorio en sólidos semi-infinitos:

Sólidos semi-infinitos en contacto:

Sólidos semi-infinitos en contacto:

Despreciando la resistencia térmica de contacto, la temperatura en la superficie es la misma y el flujo de calor debe ser el mismo.

 Q& cond   A −

  Q&   =  cond  s, A  A s,B

k A (Ti , A − Ts )

πα At

(T (T

i, A i,B

− Ts ) − Ts )

=

(kρc ) T (kρc )

p A i, A p A

πα B t αA

=

k A2

αB

+ +

(kρc ) T (kρc ) p B

i,B

p B

La temperatura de superficie estará más cerca de la temperatura inicial del material que tenga mayor kρcp

k B (Ti , B − Ts )

k B2 Profesor Miguel Jované

Ts =

α=

k ρc p Profesor Miguel Jované

Ejemplo

Ejemplo

Un niño travieso abre la puerta del congelador y decide tocar la parrilla de aluminio (k=168 W/m-K, cp=883 J/kg-K, ρ=2790kg/m3) con su lengua. Suponga que la parrilla de aluminio y la lengua del niño se pueden considerar sólidos semi-infinitos y suponiendo que la lengua esta compuesta mayormente de agua (ρ=994 kg/m3, cp=4180 J/kg-K, k=0.612 W/m-K). Si inicialmente la parrilla de aluminio esta a -5oC y la temperatura inicial del niño es de 36 oC, determine la temperatura de la superficie de contacto entre la lengua y la parrilla.

Un niño travieso abre la puerta del congelador y decide tocar la parrilla de aluminio (k=168 W/m-K, cp=883 J/kg-K, ρ=2790kg/m3) con su lengua. Suponga que la parrilla de aluminio y la lengua del niño se pueden considerar sólidos semi-infinitos y suponiendo que la lengua esta compuesta mayormente de agua (ρ=994 kg/m3, cp=4180 J/kg-K, k=0.612 W/m-K). Si inicialmente la parrilla de aluminio esta a -5oC y la temperatura inicial del niño es de 36 oC, determine la temperatura de la superficie de contacto entre la lengua y la parrilla.

Aluminio (sólido A) Ti,A= -5 oC, k=168 W/m-K, cp=883 J/kg-K, ρ=2790kg/m3 Lengua (sólido B) Ti,A= 36 oC, k=0.612 W/m-K, cp=4180 J/kg-K, ρ=994kg/m3 Ts

Datos:

Encontrar:

Suposiciones: Conductividad térmica constante, solido semiinfinito.

(kρc ) T (kρc )

p A i, A p A

+ +

(kρc )

=

(168 W m− K )(2790 kg m )(883 J kg − K ) = 20344 J m − K

(kρc )

=

(0.612 W m− K )(994 kg m )(4180 J kg − K ) = 1594.6 J m − K

p A

p B

Ts =

Ecuación básica:

Ts =

Solución:

p B

2

3

Ts = 271.13K = −2.02o C

i,B

Profesor Miguel Jované

2

20344 J m 2 − K (− 5 + 273.15)K + 1594.6 J m 2 − K (36 + 273.15)K 20344 J m 2 − K + 1594.6 J m 2 − K

(kρc ) T (kρc ) p B

3

Profesor Miguel Jované