Trabajo Previo Evaluación 3 2121 [PDF]

Zitiervorschau

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS CARRERA DE ECONOMIA ASIGNATURA: MATEMATICA APLICADA II TEMA: TRABAJO PREPARATORIO ANTES DE RENDIR LA TERCERA EVALUACIÓN DEL SEMESTRE 2021 - 2021

I. RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS 1. Determine si las siguientes integrales son convergentes o no. Evalúe las que converjan. a)

3

∫0

1 2 (𝑥−1)3

𝑑𝑥

∞

∞ 2𝑥+1 𝑑𝑥 𝑥 2 +𝑥+1

2𝑥

b) ∫−∞ ( 𝑥 2 +1)2 𝑑𝑥

c)∫1

2. Calcular las siguientes integrales múltiples, 3

1

1

a) ∫1 ∫−2(4𝑥 3𝑦 + 2𝑥𝑦 3 )𝑑𝑦 𝑑𝑥

1

1

1

b) ∫0 ∫0 (𝑥+1 + 𝑦+1) 𝑑𝑥 𝑑𝑦

3. En los ejercicios primero dibuje la región de integración, invierta el orden de esta operación (en caso de ser necesario) y por último evalué la integral que resulte. 2

√2𝑦

a) ∫0 ∫− 2𝑦(3𝑥 + 2𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦 √

2

4𝑥−𝑥 2

b) ∫0 ∫2𝑥

𝑑𝑦𝑑𝑥

1

1

2

c) ∫0 ∫𝑦 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦

4. En los ejercicios, use integración doble para encontrar el área de la región en el plano xy limitado por las curvas dadas. Sugerencia: Dibuje las dos funciones en un solo plano cartesiano a) 𝑦 = 2𝑥 + 3 ; 𝑦 = 6𝑥 − 𝑥 2

b) 𝑥 = 𝑦 2 ; 𝑥 + 𝑦 = 2

5. La función de densidad para una variable aleatoria X está dada por: 𝑘 𝑥 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 4 𝑓(𝑥) = { Encuentre: 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 a)

El valor de k

b)

La 𝑃(2 < 𝑋 < 3)

c)

La 𝑃(3 < 𝑋 < 5)

d)

La 𝑃(𝑋 > 2,5)

e)

La 𝑃(𝑋 > 0)

f)

Encuentre la media aritmética (𝜇) sabiendo que +∞

𝜇 = 𝐸(𝑋) = ∫−∞ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 g) Encuentre la media desviación estándar (𝜎 2 ) sabiendo que +∞

𝜎 2 = ∫−∞ 𝑥 2 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − 𝜇 2 6. El número de pares de zapatos vendidos cada día por un almacén es una variable 2 aleatoria continua, cuya función de densidad es 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑥𝑒 −(𝑥/20) . Determine: a) El valor de c. b) La probabilidad de que se vendan más de 40 pares de zapatos un día

cualquiera.

7. Suponga que la población del mundo en 1960 era de 4000 millones y que en1990 era de 5000 millones de habitantes. Si se supone una ley de crecimiento exponencial. ¿Cuál es la población esperada en el año 2020? 8. En una ciudad de 80 000 habitantes ocurre un brote de sarampión. Cuando el departamento de salud comienza a registrar casos, hay solo 450 personas infectadas. Quince días más tarde hay 1200 infectados. Suponiendo un crecimiento logístico, estime el número de personas infectadas cuatro semanas después de que comenzó el registro. 9. Si la tasa de cambio de la esperanza de vida L al nacer, de las personas que 𝑑𝐿 12 nacen en cierto país, puede modelarse por 𝑑𝑡 = 2𝑡+50, donde t es el número de años a partir de 1940 y la esperanza de vida era de 65 años en 1940, encuentre la esperanza de vida para las personas que nacieron en el 2020 10. Suponga que la población del mundo en 1960 era de 4000 millones y que en1990 era de 5000 millones de habitantes. Si se supone una ley de crecimiento exponencial. ¿Cuál es la población esperada en el año 2020? 11. Cierta región con depresión económica tiene una población que está en disminución. En 1970, su población era de 500 000, y a partir de ese momento su población estaba dada por un modelo de decrecimiento exponencial 𝑃(𝑡) = 500 000𝑒 −0.03𝑡 donde t es el tiempo en años. Además, determine la población en 2019. Suponiendo que esta tendencia continua, determine la población en el 2022. 12. Si se supone un crecimiento exponencial, ¿en cuántos años aproximadamente se duplicará una población, si esta se triplica en 160 años. 13. Una acción con valor inicial de 5500 dólares crece continuamente a una tasa constante del 5,4% anual: a) Encuentre el valor de la acción al cabo de t años. b) ¿Después de cuánto tiempo el valor de la acción será 20450? 14. Una inversión inicial de 10 000 dólares crece continuamente a una tasa de interés nominal del 6% a) Determinar el valor de la inversión en cualquier instante t. b) ¿Cuál es el valor de la inversión después de 9 años? c) ¿Después de cuántos años el valor de la inversión ascenderá a 30000 dólares? 15. Una compañía cree que la producción de cierto artículo en sus instalaciones dy actuales tendrá un crecimiento logístico dado por dt = ky(m − y). En la actualidad se producen 200 unidades diarias y esta cantidad crecerá a 300 por día en un año. Si la producción está limitada a 500 unidades por día, ¿cuál es la producción diaria prevista para dentro de dos años? Dé su respuesta a la unidad más cercana. 16. La temperatura 𝑇 de un cuerpo que se está enfriando o (calentando), cambia de 𝑑𝑇 acuerdo con la ecuación diferencial 𝑑𝑡 = 𝑘(𝑇𝑎 − 𝑇), donde 𝑇𝑎 es la temperatura ambiente. a) Encuentre una expresión matemática pata 𝑇(𝑡), en el caso cuando 𝑇(0) = 𝑇𝑜.

b) Suponga que un objeto a 1oC se encuentra en una habitación donde la temperatura es de 21oC. SI después de 1 hora la temperatura del objeto es de 9oC, ¿Cuánto tiempo transcurrirá antes que el objeto llegue a 18 oC?

17. Se cometió un homicidio en un almacén abandonado y la policía descubrió el cuerpo de la víctima a las 3:17 a.m. En ese momento la temperatura del cadáver era de 27 ºC y la temperatura del almacén era de - 5ºC. Una hora después la temperatura del cadáver era de 19 ºC y no había cambiado la temperatura del almacén. La matemática forense de la policía realiza sus cálculos utilizando la ley de enfriamiento de Newton. a) Encuentre una expresión matemática pata T(t), en el caso cuando T(0) = To. b) ¿A qué hora reportará que ocurrió el asesinato? 18. El agua a temperatura de 100 ℃ se enfría en 10 minutos a 80 ℃ en un cuarto cuya temperatura es de 25℃. Encuentre la temperatura del agua después de 20 minutos. Cuánto tardará en enfriarse a 40 ℃. 19. Un pedazo de carne de 4 libras a 50℉ se coloca en un horno a 375 ℉ a las 17h00. A las 18h00 la temperatura de la carne es de 125 ℉ . Cuándo esta lista para servirla a término inglés ? (150 ℉ ) 20. En la Universidad Central del Ecuador UCE con aproximadamente 40 000 estudiantes, se cree que el número de estudiantes con tono de timbre especial en sus teléfonos móviles está siguiendo un patrón de crecimiento logístico. El periódico estudiantil investiga cuándo revela una encuesta que 500 estudiantes tienen el tono de llamada. Una semana después, una encuesta similar publica que 1500 estudiantes lo tienen. El periódico escribe una historia sobre esto e incluye una fórmula para predecir el número 𝑁 = 𝑁(𝑡) de los estudiantes que tendrá el tono de llamada t semanas después de la primera encuesta. ¿Cuál es la fórmula que publica el periódico? 21. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales a) (𝑥 − 𝑦 2 𝑥)𝑑𝑥 + (𝑦 − 𝑥 2 𝑦)𝑑𝑦 = 0 3𝑥 3 𝑦+𝑥 2 𝑦

b) 𝑦 ′ − 2𝑦 3 𝑥 2−𝑦𝑥 2 𝑥 2 𝑦+𝑥 2

c) 𝑦 ′ − 𝑦 2 𝑥−𝑦 2 d) 𝑦 ′ −

𝑦𝑥𝑒 𝑥

𝑦(2) = 0

2

𝑦 2 +3

𝑦(0) = 2

BIBLIOGRAFÍA:

•

Espinoza, E. Análisis Matemático II para estudiantes de Ingeniería, Lima Perú

•

Arya, J; Lardner; R. (2009), Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía, Quinta edición, editorial Pearson, México.

•

Haeussler E y Richards P.

(2015), Matemática para Administración y Economía, Décima tercera Edición, Editorial Pearson, México.