TP2 Pendule Elastique Vertical - 2 [PDF]

Zitiervorschau

1re B et C

TP 2 : Pendule élastique vertical

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TP 2 : Pendule élastique vertical 1. Considérations théoriques a) Dispositif Un corps solide de masse m est suspendu à un ressort hélicoïdal de constante de raideur k, de masse mressort, accroché à un point fixe B. On déplace le corps verticalement à partir de sa position d’équilibre, et on le lâche, sans vitesse initiale. Il effectue des oscillations libres de translation verticale. (D’autres mouvements, plus compliqués, seraient possibles avec d’autres modes de lancement.)

b) Forces mises en jeu Nous négligerons les actions de freinage produites par l’air. De même, nous négligerons la masse du ressort mressort devant m. La masse m est soumise à son poids    P  mg et à la tension T du ressort. On sait qu’un ressort de raideur k, de longueur naturelle l0, de longueur actuelle l, tend à reprendre sa longueur naturelle en exerçant une force T = k(l  l0). *

Système en équilibre.   Le centre d’inertie G est alors en G0 sur la verticale de B, et les forces Téq et P s’équilibrent :    mg  Téq  0 Projetons cette relation verticale sur un axe vertical Oz orienté vers le haut, et dont l’origine se trouve au niveau de G0. La longueur du ressort à l’équilibre est notée léq de sorte que l’allongement du ressort vaut à l’équilibre léq  l0. On obtient donc :  mg + k(léq  l0) = 0

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Système hors de sa position d’équilibre, à une date t quelconque du mouvement Considérons le passage de G en un point quelconque de hauteur z. La longueur du ressort s’écrit dans tous les cas (G au-dessus de G0, ou au-dessous): l = léq  z. La tension du ressort s’écrit alors : T = k(léq  z  l0).   Hors de l’équilibre, la résultante de deux forces P et T n’est pas nulle. Sa composante suivant Oz vaut :  Fz  k  l éq  z  l 0   mg  k  z  k l éq  l 0   mg  k  z On voit que :  z > 0, alors Fz < 0,  F est donc orienté vers le bas ;  z < 0, alors Fz > 0,  F est donc orienté vers le haut.  La résultante  F est une force de rappel : elle rappelle continuellement le système vers la position d’équilibre.

c) Equation différentielle du mouvement Appliquons à la masse m le principe fondamental de Newton.   F  ma

F

Projection sur l’axe Oz :

z

 Equation différentielle :

 maz

k  z  m 

d 2z dt 2

d 2z k   z 2 dt m

d) Solution de l’équation différentielle La solution est la fonction z = Zmcos(0 t + ) où l’amplitude Zm et la phase initiale  sont des constantes qui dépendent des conditions initiales de lancement. k Par contre, la pulsation propre 0 vaut: 0  . m

e) Période propre La période propre T0 se déduit de la pulsation propre 0, et vaut :

T0  2 

m k

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f) Cas où la masse du ressort n’est pas négligeable Ceci correspond à la réalité où il faut tenir compte de l’énergie cinétique du ressort. Nous distinguerons deux cas idéaux : 1) L’espacement entre les spires est constant le long du ressort. Ceci veut dire que nous négligeons l’allongement du ressort dû à son propre poids vis-à-vis de l’allongement produit par la masse accrochée. Nous traiterons de cette façon les oscillateurs qui comprennent des ressorts de masse largement inférieure à la masse accrochée. On peut montrer que la masse m intervenant dans la formule de la période propre de l’oscillateur doit être remplacée par m m corps  ressort . 3 2) L’espacement entre les spires augmente d’une spire à l’autre du bas vers le haut. Au le cas où l’espacement augmente linéairement d’une spire à l’autre, on montre que la masse m intervenant dans la formule de la période propre de l’oscillateur doit être remplacée par m corps  0,511925  m ressort . Nous traiterons de cette façon l’oscillateur qui comprend le ressort “Slinky”.

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2. Mesures Déterminer la période propre de l’oscillateur pour différentes valeurs de la masse m. Afin d’améliorer la précision, mesurer la durée d’un grand nombre de périodes (par ex. 10, 20 ou 30), puis diviser par le nombre de périodes.

a) Ressort large et mou Masse (g)

60

50

40

30

20

150

120

90

60

Période (s)

b) Ressort mince et dur Masse (g)

180

Période (s)

c) Ressort “Slinky” Masse (g) Période (s)

0

10

20

30

40

50

60

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3. Exploitation des résultats expérimentaux Elevons au carré l’expression de la période propre! m corps m m Dans les cas a) et b), nous obtenons: T02  4 2  4 2  4 2 ressort . k k 3k 2 On voit que la fonction T0  f ( m corps ) est une fonction affine, dont on déterminera par un calcul de régression linéaire, la pente et l’ordonnée à l’origine. En déduire la raideur k et la masse mressort. Etablir de même la formule de T02  f ( m corps ) pour le cas c). En déduire la masse du ressort et sa raideur. Raideur (N/m)

Masse du ressort (g)

Ressort large et mou Ressort mince et dur “Slinky” Comparer ces valeurs avec celles qu’on obtient en mesurant la masse du ressort avec une balance électronique, et la raideur du ressort à l’aide d’une mesure d’allongement statique ! Raideur (N/m) Ressort large et mou Ressort mince et dur “Slinky” Formuler une conclusion personnelle !

Masse du ressort (g)

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