Topologia-Pedro Jose Herrero Piñeyro [PDF]

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Topolog´ıa de Espacios Me´ tricos Pedro Jos´e Herrero Pi˜neyro

Murcia 2010

Hola

Topolog´ıa de Espacios Me´ tricos Pedro Jos´e Herrero Pi˜neyro

Murcia 2010

Foto de portada “Banda de M¨obius con tanques y excavadoras en la calle Narodni de Praga”. Obtenida en http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Praha Narodni trida Moebiova paska s tanky a buldozery.jpg Fotos de la secci´on ”Algunos nombres propios de la Topolog´ıa“ Cap.-1 Obtenidas en The MacTutor History of Mathematics archive. http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/ Foto de la secci´on ”El problema de los puentes de K¨onigsberg“ Cap.-1 ”Mapa de K¨onigsberg por Merian-Erben, a˜no 1652” Obtenida en http://en.wikipedia.org/wiki/File:Image-Koenigsberg, Map by Merian-Erben 1652.jpg

´ Indice general

-1. Un poco de historia

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´ 0. Conjuntos, aplicaciones y numeros

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0.1. Teor´ıa de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 0.1.1. Operaciones b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 0.1.2. Otras operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 0.1.3. Familias de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 0.2. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 0.2.1. Tipos de aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29 0.2.2. Composici´on de aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . .31 0.3. Conjuntos finitos y numerables . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32 0.3.1. Conjuntos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32 0.3.2. Conjuntos numerables . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 0.4. Los n´umeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36 1. Espacios m´etricos

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1.1. Distancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42 1.1.1. Subespacio m´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50 1.2. Distancia a un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51 1.3. Topolog´ıa asociada a un espacio m´etrico . . . . . . . . . . . . . .56 1.3.1. Conjuntos abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60 1.3.2. Abiertos en subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . .64 1.3.3. Conjuntos cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66 1.3.4. Cerrados en subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . .68 5

´INDICE GENERAL

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1.4. Distancias equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69 1.5. Espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71 2. Subconjuntos destacados en la topolog´ıa m´etrica

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2.1. Entornos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76 2.2. Adherencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79 2.2.1. Adherencia relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82 2.3. Puntos de acumulaci´on (o l´ımite) y puntos aislados . . . . . . . .82 2.4. Interior de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85 2.5. Frontera de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87 2.6. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89 2.6.1. Subconjuntos densos y espacios separables . . . . . . . .93 3. Funciones continuas

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3.1. Aplicaci´on continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98 3.1.1. Continuidad global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101 3.1.2. Continuidad y subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . .102 3.2. Homeomorfismos y embebimientos . . . . . . . . . . . . . . . .103 3.2.1. Aplicaciones abiertas y cerradas . . . . . . . . . . . . . .103 3.2.2. Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104 3.2.3. Embebimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108 3.3. Continuidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109 3.3.1. Isometr´ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110 4. Espacios compactos

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4.1. Compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114 4.2. Subconjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115 4.3. Compacidad y funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . .118 4.4. Compactos en R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120 4.5. Compacidad secuencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122 4.5.1. Conjuntos totalmente acotados . . . . . . . . . . . . . . .124 4.6. Propiedad de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . .126 4.7. Compactos en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128 4.8. Propiedad de la intersecci´on finita . . . . . . . . . . . . . . . . .131 Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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´INDICE GENERAL

5. Espacios m´etricos completos

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5.1. Sucesiones de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136 5.2. Espacios m´etricos completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138 5.3. Completitud y compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142 5.4. Algunos resultados interesantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144 5.5. Completado de un espacio m´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . .145 6. Espacios conexos

151

6.1. Conjuntos separados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152 6.2. Espacios conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153 6.2.1. Subespacios conexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154 6.2.2. Conjuntos conexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .156 6.3. Conexos en R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .158 6.4. Conexi´on y continuidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159 6.4.1. Espacios producto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .160 6.5. Componentes conexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161 6.6. Conexi´on por caminos (o arcos). . . . . . . . . . . . . . . . . . .162 A. Completar un Espacio M´etrico

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´ B. Construcci´on de los numeros reales.

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Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

´INDICE GENERAL

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-1 Un poco de historia La Topolog´ıa es b´asica en la formaci´on de cualquier matem´atico actual; no en vano, forma parte de las materias troncales (fundamentales) de los primeros cursos de la titulaci´on en Matem´aticas en cualquier facultad. La Topolog´ıa se encuentra ´ presente en casi todas las a´ reas de las Matem´aticas: el Algebra, la Geometr´ıa, el An´alisis, etc. (y e´ stas, como no, tambi´en en la Topolog´ıa). Sus m´etodos y sus resultados facilitan el tratamiento de numerosos problemas e incluso permiten abordar otros que no tienen un origen estrictamente topol´ogico. La Topolog´ıa ha alcanzado, digamos su madurez, recientemente. La mayor´ıa de los estudiosos de la historia de las Matem´aticas sit´uan su puesta de largo en las primeras d´ecadas del s. XX, a partir de los trabajos de F. Hausdorff (), P. Alexandroff () y W. Sierpinski (). Cuando decimos madurez o puesta de largo, queremos decir que es en esos a˜nos, y despu´es de bastantes aproximaciones (como m´as adelante veremos), cuando se fijan las definiciones fundamentales, cuando el perfil de su actuaci´on, de los problemas de los que se ocupa, etc., quedan dibujados de manera suficientemente clara. A partir de ese momento, la Topolog´ıa inicia (o contin´ua) un r´apido desarrollo hasta convertirse en un a´ rea imprescindible. Los inicios pueden situarse, sin embargo, un poco m´as lejos, retrocediendo al siglo XVIII. Hasta entonces los problemas matem´aticos hab´ıan estado vinculados, en mayor o menor grado, a la idea de medida, magnitud o distancia, y en esa e´ poca se empiezan a plantear problemas en los que estos aspectos dejan de tener importancia. Son problemas que no dependen de la distancia o el tama˜no, sino del lugar, de las conexiones, etc. De hecho, los primeros matem´aticos que los abordan dan al estudio de estos problemas el nombre de Geometria situs o Analysis situs 9

10 cuya traducci´on viene a ser Geometr´ıa o An´alisis de la situaci´on o de la posici´on. Fue G. Leibniz (–) el primero que parece referirse a este tipo de problemas y con el nombre anterior Geometria situs, como atestigua L. Euler (– ) en Solutio Problematis ad Geometriam Situs Pertinentis publicado en , que constituye lo que podr´ıamos llamar el origen de la Topolog´ıa y en cuyo comienzo, Euler escribe lo siguiente.

Adem´as de esta parte de la geometr´ıa que trata de las magnitudes y que desde siempre ha sido cultivada con mucho celo, existe otra completamente desconocida hasta nuestros d´ıas, de la que Leibniz habl´o por primera vez y que llama “Geometria Situs”. Seg´un e´ l, esta parte de la geometr´ıa se ocupa de determinar solamente la posici´on y buscar las propiedades que resulten de esta posici´on; en este trabajo no es necesario considerar las magnitudes por s´ı mismas, ni calcular; pero a´un no est´a muy bien establecido cu´ales son los problemas de este tipo que pertenecen a la “Geometria Situs” y cu´al es el m´etodo que hay que utilizar para resolverlos; es por lo que, cuando recientemente se me present´o un problema que parec´ıa ligado a la geometr´ıa ordinaria, pero cuya soluci´on no depend´ıa de la determinaci´on de las magnitudes ni del c´alculo de las cantidades, no he dudado en relacionarlo con la “Geometria Situs”, tanto por las consideraciones de posici´on que u´ nicamente entran en la soluci´on, como porque el c´alculo no interviene para nada. Por tanto, he cre´ıdo u´ til expresar aqu´ı, como un ejemplo de la “Geometria Situs”, el m´etodo que he encontrado para resolver los problemas de este g´enero.

El problema al que se refiere Euler es . . .

El problema de los puentes de K¨onigsberg El r´ıo Pregel atraviesa la ciudad de K¨onigsberg formando una isla a partir de la cual el r´ıo continua con dos brazos como se puede apreciar en el plano de la ciudad en la e´ poca de Euler. Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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-1. Un poco de historia

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Dicha isla est´a unida a la ciudad por siete puentes cuyo esquema puede verse de una manera m´as clara en el siguiente gr´afico:

El problema consist´ıa en determinar si una persona que partiera de un lugar determinado de la ciudad podr´ıa regresar al punto de partida tras cruzar cada puente una sola vez. Parece claro que en este problema son intrascendentes las dimensiones; no importa la longitud de los puentes, la anchura del r´ıo o el tama˜no de la isla o la ciudad; lo que realmente caracteriza el problema es la situaci´on de los puentes, la ciudad y la isla. Euler demostr´o que el problema era equivalente (topol´ogicamente equivalente) a recorrer el siguiente gr´afico con un l´apiz sin levantarlo del papel, de manera que se empiece en un punto y se regrese a e´ l recorriendo cada camino una sola vez.

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12 Podemos reflexionar sobre este problema durante unos minutos; no obstante, puestos a jugar, y con el fin de comprender mejor estos problemas, pensemos que una figura est´a dibujada en una superficie de goma que se puede deformar: estirar, retorcer, encorvar, etc., es decir, modificaciones que llevan consigo cambios del tama˜no o de la forma de la figura original. No valen transformaciones como cortar, hacer agujeros, pegar otro trozo, etc. Las primeras son transformaciones que podemos llamar continuas, son transformaciones que no cambian la topolog´ıa de la figura y que dan lugar a la misma figura, topol´ogicamente hablando; las segundas no son continuas, llevan consigo alg´un tipo de ruptura, no son topol´ogicas y, consecuentemente, no dan lugar a la misma figura desde el punto de vista topol´ogico. Por ejemplo, dibuje un cuadrado dividido en dos regiones A y B mediante un segmento como el de la figura:

A B

Podemos estirar o retorcer la superficie de goma, pero las dos regiones estar´an separadas por una linea y las letras A y B no podr´an estar nunca en la misma regi´on. El cuadrado anterior es topol´ogicamente equivalente a la figura siguiente:

A B Sin embargo, no es topol´ogicamente equivalente a ninguna de las situaciones que se muestran en las tres figuras siguientes:

B

A A

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B

A

C

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-1. Un poco de historia

En la primera, la regi´on B est´a contenida totalmente en la regi´on A; en la segunda, las dos regiones no tienen un “lado” en com´un sino s´olo un punto, y en la tercera hemos hecho un agujero. (En el libro Aventuras topol´ogicas de J.L. Carlavilla y G. Fern´andez, Ed. RUBES, 1994, se pueden encontrar numerosos e interesantes problemas “topol´ogicos”.) Ahora es m´as comprensible por qu´e Euler concluy´o que el problema de los puentes de K¨onigsberg era equivalente al del gr´afico que propon´ıamos antes:

Para terminar de ilustrar estas ideas, digamos que en el cl´asico libro Topolog´ıa General (Ed. EUDEBA, 1975), el autor John L. Kelley escribe en una nota a pie de p´agina lo siguiente: “un top´ologo es un se˜nor que no sabe la diferencia entre una rosca (bizcocho en forma de anillo) y una taza de cafe”. Si pensamos que el rosco est´a hecho de una masa el´astica, por ejemplo plastilina, un h´abil modelador podr´ıa efectuar una transformaci´on topol´ogica para, sin hacer rupturas y respetando el agujero central de la rosca, llegar a la taza de caf´e haciendo que dicho agujero sea el del asa y viceversa.

Un poco m´as de historia Antes de hacer un recorrido hist´orico m´as concreto, una nueva cita, esta vez del profesor J.M. Rodr´ıguez Amilibia en el pr´ologo del libro Introducci´on a la Topolog´ıa (J. Margalef y E. Otourelo, Ed. Complutense, 1993): Cuando un top´ologo es invitado a dar una conferencia, o a escribir unas l´ıneas sobre el significado de la Topolog´ıa, no es raro que comience hablando de toros y de tazas de caf´e; de superficies y de bandas de M¨obius; de botellas de Klein y planos proyectivos; y tal vez coja una cuerda y comience a mostrarnos pr´acticamente la teor´ıa de nudos. Pero el mismo top´ologo, una vez en clase, no dir´a nada de eso, y partiendo de un m´etodo axiom´atico, fr´ıo y duro como un trozo de acero, nos hablar´a de entornos, de abiertos, de espacios conexos, de compactificaciones, de redes, etc. OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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14 Eso es, precisamente, lo que vamos a hacer aqu´ı. Las razones de esto vienen a coincidir con las que el propio profesor Rodr´ıguez Amilibia aduce en el citado pr´ologo; hay que buscarlas en la evoluci´on hist´orica de la Topolog´ıa y en su vinculaci´on con otras a´ reas. Como indicaba Euler, podr´ıamos decir que la Topolog´ıa surge como una hermana peque˜na de la Geometr´ıa, pero pronto se hace mayor y permite el estudio de nuevos problemas e incluso de problemas antiguos con perspectivas diferentes. Se vincula con otras ramas como el An´alisis interactuando mutuamente. Una de las consecuencias es que podemos dividir la Topolog´ıa en dos grandes ramas que tienen desarrollos paralelos y cuya vinculaci´on no es demasiada: la Topolog´ıa Algebraica y la Topolog´ıa General (que estudia los conjuntos de puntos). Esta u´ ltima es el objeto del presente curso y tiene sus primeras aproximaciones en el s. XIX.

Un breve recorrido cronol´ogico J.B. Listing (–) fue el primero en utilizar la palabra topolog´ıa en un art´ıculo cuyo t´ıtulo fue Vorstudien zur Topologie (Introducci´on al estudio de la Topolog´ıa), aunque no se puede decir que e´ ste fuera el comienzo de una rama consolidada como tal. Listing hace un trabajo, digamos parcial, sobre la conexi´on de superficies. Lo cierto es que en el s. XIX hubo una gran preocupaci´on por la b´usqueda del rigor en las definiciones y conceptos (l´ımite, continuidad, etc.), intentando abandonar las ideas m´as intuitivas que se hab´ıan ido manejando hasta entonces; esto y, entre otras cosas, los trabajos de G. Cantor (–) sobre conjuntos dan pie a plantearse la necesidad de extender conceptos, basados esencialmente en los n´umeros, a otros conjuntos cuyos elementos eran diferentes: funciones, curvas, etc. Se hacen esfuerzos en la elaboraci´on de una teor´ıa de espacios abstractos que permita sistematizar todas estas ideas que son vislumbradas por algunos matem´aticos. Hasta consolidar el tratamiento axiom´atico definitivo, son numerosas las aproximaciones que se van haciendo y que resumimos a continuaci´on. Alg´un autor atribuye la paternidad de la Topolog´ıa a B. Riemann (–), aduciendo que se acerca a la noci´on actual de espacio topol´ogico como una teor´ıa aut´onoma y que incluso concibe un programa de estudios al respecto; no obstante, sus ideas todav´ıa quedaban un poco lejos de lo que ser´ıa la propia Topolog´ıa. Tambi´en H. Poincar´e (–) contribuye con su obra Analysis situs () haciendo un estudio muy riguroso sobre conexi´on vinculado a lo que actualmente se llama Topolog´ıa Algebraica; alg´un autor escribe que, de no ser por lo disperso de su quehacer matem´atico (Poincar´e estudi´o de casi todo), suya habr´ıa sido la sistematizaci´on a que nos venimos refiriendo; en todo caso, tambi´en hay que decir que Poincar´e mostr´o poco inter´es sobre la Topolog´ıa conjuntista, como muestra su intervenci´on en el Congreso Internacional de Matem´aticas de , donde se Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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-1. Un poco de historia

refiri´o a la teor´ıa de conjuntos de Cantor como una enfermedad de la que las generaciones posteriores estar´ıan curadas. F. Riesz (–) y M. Fr´echet (–) hacen importantes trabajos que suponen una nueva aproximaci´on; de hecho, Fr´echet introduce los espacios m´etricos en su tesis doctoral (). Concluyamos diciendo que la primera definici´on de espacio topol´ogico en t´erminos de entornos fue dada en  por F. Hausdorff (–), partiendo de los trabajos de Riesz, a˜nadiendo la propiedad de separaci´on de puntos (que se conoce como propiedad T2 o de Hausdorff), que m´as adelante ser´ıa eliminada de la definici´on. Las definiciones de espacios topol´ogicos en t´erminos de abiertos son obra de P. Alexandroff (–) en  y W. Sierpinski (–) en . A partir de entonces la Topolog´ıa ha ido evolucionando y revel´andose, como dec´ıamos al comienzo, como una rama fundamental en la formaci´on de cualquier matem´atico actual.

Algunos nombres propios de la Topolog´ıa

G. Leibniz (–) Aunque es una figura destacada dentro del C´alculo, fue el primero que se refiri´o como Geometria Situs (Geometr´ıa de la posici´on) a problemas en los que no interven´ıan las magnitudes: estaba intentando resolver problemas combinatorios de posici´on. Se puede considerar como un precursor de la teor´ıa de grafos y de la Topolog´ıa.

L. Euler (–) Public´o en  el primer trabajo sobre Geometr´ıa de la posici´on, con el problema de Los puentes de K¨onigsberg, donde se dio cuenta de que exist´ıa un nuevo tipo de Geometr´ıa donde la distancia no es relevante. En  enunci´o su conocido teorema que relaciona el n´umero de caras C, de aristas A y de v´ertices V de un poliedro: C − A + V = 2. OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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J.B. Listing (–) Es el primero en utilizar la palabra topolog´ıa en su libro Vorstudien zur Topologie, pero se trata de un trabajo parcial. En  public´o Der Census raumlicher Complexe oder Verallgemeinerung des Euler’schen Satzes von den Polyedern en el que estudiaba diversas generalizaciones de la f´ormula de Euler.

B. Riemann (–) En  Riemann defendi´o su tesis doctoral, que contiene importantes ideas tanto topol´ogicas como anal´ıticas, como por ejemplo las superficies de Riemann y sus propiedades. Concibi´o las ideas cercanas a lo que despu´es ser´ıa la Topolog´ıa como una teor´ıa aut´onoma.

G. Cantor (–) En  public´o su primer art´ıculo sobre teor´ıa de conjuntos, donde describ´ıa rigurosamente la noci´on de infinito y probaba el controvertido resultado de que casi todos los n´umeros reales son trascendentes. Con sus estudios sobre conjuntos dio pie a la formulaci´on de ideas “topol´ogicas”; e´ l mismo proporcion´o las primeras definiciones de conjunto derivado y punto l´ımite. Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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-1. Un poco de historia

F. Hausdorff (–) Figura indiscutible de la topolog´ıa y la teor´ıa de conjuntos, introdujo la idea de conjunto parcialmente ordenando en . En  introdujo tipos especiales de ordinales en un intento de probar la hip´otesis del continuo. En  public´o Grundz¨uge der Mengenlehre donde present´o la primera definici´on axiom´atica de espacio topol´ogico.

M.R. Fr´echet (–) Introdujo la idea de conjunto compacto, aunque actualmente dicho concepto se denomina compacidad por punto l´ımite o de acumulaci´on. Tambi´en introdujo en  los espacios m´etricos y prob´o que las ideas de Cantor de subconjuntos abiertos y cerrados pod´ıan extenderse de manera natural a los espacios m´etricos.

F. Riesz (–) Trabaj´o sobre las ideas de Fr´echet expuestas en su tesis doctoral, proporcionando un v´ınculo entre los trabajos de Lebesgue (sobre funciones reales) y Hilbert (sobre ecuaciones integrales). Introdujo el concepto de convergencia d´ebil de una sucesi´on de funciones y realiz´o una aproximaci´on a la definici´on axiom´atica de espacio topol´ogico. OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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W. Sierpinski (–) Comenz´o a interesarse en la teor´ıa de conjuntos en  y en 1912 public´o su libro Outline of Set Theory. En los a˜nos 20 ampli´o su inter´es a la topolog´ıa general, realizando contribuciones importantes en el axioma de elecci´on y la hip´otesis del continuo. Particularmente famosa es la curva de Sierpinski, que llena todo el cuadrado unidad.

P. Alexandroff (–) En  introdujo, junto con Uryshon, los espacios numerablemente compactos, localmente compactos y compactos, tal y como se conocen actualmente. En , estando en la Universidad de Princeton, decidi´o junto con Hopf publicar una obra, en 3 vol´umenes, sobre Topolog´ıa, que no ver´ıa la luz hasta . En ella, present´o la definici´on de espacio topol´ogico en t´erminos de conjuntos abiertos.

Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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0 Conjuntos, aplicaciones y ´ numeros En este cap´ıtulo presentamos los conceptos fundamentales sobre la teor´ıa de conjuntos que nos ser´an muy u´ tiles en el desarrollo de la asignatura. En primer lugar recordamos las operaciones b´asicas: pertenecia, uni´on, intersecci´on y diferencia. A continuaci´on introducimos el producto cartesiano de 2 o m´as conjuntos y el conjunto potencia. Despu´es recordamos el concepto de aplicaci´on y sus diferentes tipos: inyectiva, sobreyectiva y biyectiva, as´ı como la composici´on de aplicaciones. Dedicamos una secci´on a los conjuntos finitos e infinitos, numerables y no numerables, y finalizamos con una secci´on dedicada a los n´umeros reales y sus principales propiedades.

0.1.Teor ´ıa de conjuntos A la hora de estudiar los conjuntos no se pretende elaborar una teor´ıa demasiado formalista y rigurosa que se aleje, a veces demasiado, de los objetivos de la asignatura. Por esto, nosotros adoptaremos un punto de vista, mayoritario por otra parte, simple: supondremos que todo el mundo sabe lo que es un conjunto, al menos una idea intuitiva bastante razonable. Para avanzar un poco tambi´en supondremos conocidos algunos conceptos b´asicos sobre los conjuntos. No obstante, recordaremos brevemente, y sin entrar en muchos detalles, las ideas necesarias para abordar un curso de introducci´on a la Topolog´ıa de Espacios M´etricos. 19

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0.1. Teor´ıa de conjuntos

0.1.1.Operaciones b a´ sicas Como siempre, fijaremos una notaci´on b´asica antes de empezar. La primera operaci´on que se define con un conjunto es la de pertenencia de sus elementos: si un elemento a pertenece a un conjunto A escribiremos a ∈ A, mientras que utilizaremos el s´ımbolo 6∈ para indicar que el objeto a no es un elemento del conjunto A. Utilizaremos la notaci´on A ⊂ B para indicar que todos los elementos de A son tambi´en elementos de B. Entonces se dir´a que A es un subconjunto de B. Si existe alg´un elemento de B que no est´a en A, entonces diremos que A es un subconjunto propio de B, y se representar´a como A ( B. Cuando se trabaja en alguna de las a´ reas de Matem´aticas, normalmente se tiene un conjunto de referencia que se suele llamar conjunto universal o conjunto total, y que nosotros denotaremos habitualmente por X. Por ejemplo, en geometr´ıa eucl´ıdea plana este conjunto es el formado por todos los puntos del plano; en otras a´ reas de las matem´aticas, este conjunto puede ser el formado por todos los n´umeros reales, o por todas las funciones, etc. En Topolog´ıa de Espacios M´etricos ser´a un espacio m´etrico. Dado un conjunto cualquiera A ⊂ X, definimos el complementario de A (en X), y lo denotaremos por Ac o X − A, como el conjunto Ac = X − A = {x ∈ X : x 6∈ A}. Es necesario recordar tambi´en el concepto de conjunto vac´ıo, que representaremos por ∅, y que es el conjunto que no tiene ning´un elemento; lo consideraremos finito y supondremos que est´a contenido en cualquier otro conjunto. Adem´as, satisface las siguientes igualdades: X − X = Xc = ∅

y

X − ∅ = ∅c = X.

Dados dos conjuntos A y B, podemos definir tres operaciones elementales entre ellos: la uni´on, la intersecci´on y la diferencia. Uni´on de conjuntos La uni´on de los conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos, y se representa por A ∪ B = {x : x ∈ A o x ∈ B}. Los elementos que son comunes a ambos conjuntos no se duplican. Por ejemplo, si A = {1, 2} y B = {2, 3}, entonces A ∪ B = {1, 2, 3}. V´ease la Figura 1. Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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;;;; ; 21

´ 0. Conjuntos, aplicaciones y numeros

A

A

A

A

B

B

B

∪B

A

∩B

A −B

´ interseccion ´ y diferencia de conjuntos. Figura 1 – Union,

Intersecci´on de conjuntos

La intersecci´on de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen simult´aneamente a los conjuntos A y B, y se representa como A ∩ B = {x : x ∈ A y x ∈ B}.

La intersecci´on de dos conjuntos puede ser el conjunto vac´ıo. Por ejemplo, si A = {1, 2} y B = {3, 4}, entonces A ∩ B = ∅. V´ease la Figura 1. Diferencia de conjuntos

La diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen a B, y se representa como A − B = {x : x ∈ A y x 6∈ B}. El conjunto A − B se llama a veces el complemento o el complementario de B en A. V´ease la Figura 1.

Ejemplos Ej.0.1. Consideremos los conjuntos A y B (v´ease la Figura 2)definidos como: A = {x ∈ R : (x − 1)2 < 4}, B = {x ∈ R : |x| > 2}. Observemos que A = (−1, 3) y que B = (−∞, −2) ∪ (2, +∞). Vamos a determinar los conjuntos A ∪ B, A ∩ B y A − B (tambi´en gr´aficamente). En primer lugar, anal´ıticamente, los conjuntos se pueden expresar como sigue: A ∪ B = {x ∈ R : x < −2 o x > −1}. A ∩ B = {x ∈ R : 2 < x < 3} = (2, 3). A − B = {x ∈ R : (x − 1)2 < 4 y |x| ≥ 2} = (−1, 2]. Gr´aficamente, dichos conjuntos est´an representados en la Figura 2.

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22

0.1. Teor´ıa de conjuntos

AB: A:

(

)

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

AB: B:

) (

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

(

)

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

A-B:

( )

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

(

]

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

´ interseccion ´ y diferencia de dos conjuntos. Figura 2 – Union,

Algunos conjuntos de uso habitual. Recordemos la notaci´on habitual para referirnos a los conjuntos de n´umeros: N (n´umeros naturales o enteros positivos), Z (n´umeros enteros), Q (n´umeros racionales), R (n´umeros reales) y C (n´umeros complejos).

Ejercicios y Problemas P.0.1 Pruebe que A − B = A ∩ (X − B). P.0.2 Estudie cu´ales de las siguientes afirmaciones son verdaderas. En caso de ser verdadera, demu´estrela; y si es falsa, encuentre un contraejemplo. (a) A ⊂ B y A ⊂ C ⇒ A ⊂ B ∪ C. (b) A ⊂ B y A ⊂ C ⇒ A ⊂ B ∩ C. (c) A ⊂ B o A ⊂ C ⇔ A ⊂ B ∪ C. (d) A ⊂ B y A ⊂ C ⇔ A ⊂ B ∩ C.

0.1.2.Otras operaciones El producto cartesiano Ya hemos visto que la uni´on (∪), la intersecci´on (∩) y la diferencia son operaciones que nos permiten obtener, a partir de dos conjuntos dados, un nuevo conjunto. Pero tambi´en podemos construir el conjunto formado por todas las parejas de elementos de ambos conjuntos. Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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´ 0. Conjuntos, aplicaciones y numeros

M´as precisamente, dados dos conjuntos A y B, el producto cartesiano A × B es el conjunto definido por A × B = {(x, y) : x ∈ A e y ∈ B}. Dado que la notaci´on (x, y), cuando estamos trabajando en el conjunto R de los n´umeros reales, indica tambi´en el intervalo abierto de extremos x e y, es posible tambi´en utilizar la notaci´on x × y para indicar el elemento del conjunto A × B. El conjunto potencia ¿Y qu´e ocurre cuando los elementos de un conjunto A son, a su vez, conjuntos? Bueno, para evitar malentendidos y no caer en contradicciones, en este caso diremos que A es una colecci´on de conjuntos o una familia de conjuntos. No obstante, como suele ser habitual, tambi´en se utiliza el t´ermino conjunto de conjuntos. Utilizaremos letras caligr´aficas para referirnos a las familias de conjuntos: A, B, etc. El ejemplo m´as inmediato es el siguiente. Dado un conjunto A, el conjunto formado por todos los subconjuntos de A se denomina conjunto potencia de A y se denota por P(A). Tambi´en se suele decir que P(A) es el conjunto de las partes de A.

Ejemplos Ej.0.2. Si A es el conjunto de tres elementos {a, b, c}, entonces el conjunto potencia de A, P(A), es la colecci´on de (¡todos!) los subconjuntos de A. As´ı pues: P(A) = {{∅}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}

Algunas propiedades. Leyes distributivas: Son dos: (pru´ebelas como ejercicio) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

y

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Leyes de De Morgan: Tambi´en son dos: A − (B ∪ C) = (A − B) ∩ (A − C)

y

A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C). OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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0.1. Teor´ıa de conjuntos

Ejercicios y Problemas P.0.3 Sean X e Y dos conjuntos, A, C ⊂ X y B, D ⊂ Y . Demuestre las siguientes igualdades y contenidos: A × (B ∩ D) = (A ∩ B) × (A ∩ D). A × (B ∪ D) = (A ∪ B) × (A ∪ D). A × (Y − B) = (A × Y ) − (A × B). (A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D). (A × B) ∪ (C × D) ⊂ (A ∪ C) × (B ∪ D). Encuentre un ejemplo que muestre que la inclusi´on puede ser estricta. (f) (X × Y ) − (A × B) = (X × (Y − B)) ∪ ((X − A) × Y ).

(a) (b) (c) (d) (e)

P.0.4 Demuestre las leyes de De Morgan. P.0.5 Estudie cu´ales de las siguientes afirmaciones son verdaderas. Demu´estrelas cuando lo sean y proporcione un contraejemplo en caso contrario. (a) A ⊂ C y B ⊂ D ⇒ (A × B) ⊂ (C × D). (b) (A × B) ⊂ (C × D) ⇒ A ⊂ C y B ⊂ D (c) (A × B) ⊂ (C × D) ⇒ A ⊂ C y B ⊂ D, suponiendo que A y B son no vac´ıos. (d) (A × B) ∪ (C × D) = (A ∪ C) × (B ∪ D).

0.1.3.Familias de conjuntos Las operaciones uni´on e intersecci´on que hemos definido para dos conjuntos se pueden extender sin ninguna dificultad a una familia arbitraria de conjuntos. Sea A una familia de conjuntos. Entonces la uni´on de los elementos de A se define como el conjunto de todos los elementos que pertenecen a alguno de los conjuntos de A y lo representaremos por [ A = {x : x ∈ A para alg´un A ∈ A}. A∈A

De modo similar, la intersecci´on de los elementos de A se define como el conjunto formado por los elementos que pertenecen a todos los elementos de A, es decir, \ A = {x : x ∈ A para todo A ∈ A}. A∈A

Las leyes distributivas y de De Morgan que hemos visto anteriormente pueden extenderse sin excesiva dificultad al caso de familias arbitrarias de conjuntos. Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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´ 0. Conjuntos, aplicaciones y numeros

25

Proposici´on 0.1.1 (Leyes distributivas). Sea A = {Ai : i ∈ I} una familia arbitraria de conjuntos y B un conjunto. Entonces: (1) B ∪ (

\

Ai ) =

i∈I

(2) B ∩ (

[

\

(B ∪ Ai ).

i∈I

Ai ) =

i∈I

[

(B ∩ Ai ).

i∈I

´ . S´olo demostraremos la propiedad (1), pues la otra se prueba D EMOSTRACI ON de manera totalmente an´aloga. Sea x ∈ B ∪ (∩i∈I Ai ). Si x ∈ B, entonces x ∈ (B ∪ Ai ) para todo i, por lo que x ∈ ∩i∈I (B ∪ Ai ). En otro caso, x ∈ ∩i∈I Ai , por lo que x ∈ Ai para todo i. Entonces x ∈ B ∪ Ai para todo i, por lo que estar´a en su intersecci´on. Rec´ıprocamente, si x ∈ ∩i∈I (B ∪ Ai ) entonces x ∈ B ∪ Ai para todo i; si x ∈ B entonces tambi´en x ∈ B ∪ (∩i∈I Ai ). En otro caso, x ∈ Ai para todo i, es decir, x ∈ ∩i∈I Ai , y as´ı x ∈ B ∪ (∩i∈I Ai ). Proposici´on 0.1.2 (Leyes de De Morgan). Sea A = {Ai : i ∈ I} una familia arbitraria de subconjuntos de un conjunto dado X. Entonces: (1) X − (

[

Ai ) =

i∈I

(2) X − (

\ i∈I

\

(X − Ai ).

i∈I

Ai ) =

[

(X − Ai ).

i∈I

´ . Probaremos s´olo el apartado (1), pues el (2) es totalmente D EMOSTRACI ON an´alogo. Si x ∈ X − (∪i∈I Ai ) entonces x 6∈ Ai para todo i, de modo que x ∈ X − Ai para todo i, luego x ∈ ∩i∈I (X − Ai ). Rec´ıprocamente, si x ∈ ∩i∈I (X − Ai ) entonces x 6∈ Ai para todo i, por lo que x 6∈ ∪i∈I Ai ; entonces debe estar en su complementario. Para finalizar esta secci´on enunciamos el siguiente resultado acerca de la diferencia de conjuntos. Proposici´on 0.1.3. Sean A y B dos subconjuntos de X. Entonces se verifica lo siguiente: (1) A − (A − B) = A ∩ B. (2) A − (A ∩ B) = A − B. OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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0.2. Aplicaciones

´ . La prueba es bastante sencilla y basta repetir las ideas expuesD EMOSTRACI ON tas en las demostraciones anteriores. Demostremos, por ejemplo, el apartado (1). Si x ∈ A − (A − B) entonces x ∈ A y x 6∈ A − B. Esta segunda condici´on implica que x ∈ B. Entonces x ∈ A ∩ B. Rec´ıprocamente, si x ∈ A ∩ B entonces x ∈ A y x ∈ B, que implica x ∈ A y x 6∈ A − B. Y as´ı x ∈ A − (A − B).

0.2.Aplicaciones En esta secci´on nos proponemos recordar otro concepto igual de importante que el de conjunto: el concepto de aplicaci´on o funci´on. Grosso modo, una aplicaci´on entre dos conjuntos A y B es una regla que asigna a cada elemento del conjunto A otro elemento del conjunto B. f f (x) = y

x X Y

´ entre dos conjuntos X e Y . Figura 3 – Aplicacion

Definici´on 0.2.1. Sean X e Y dos conjuntos. Una aplicaci´on (tambi´en se le llama funci´on) f entre X e Y es una correspondencia o regla de asignaci´on entre ellos tal que a cada punto x de un subconjunto de X (dicho subconjunto puede coincidir con X), se le asocia un u´ nico punto y de Y , denominado imagen de x y denotado por f (x). La denotaremos por f : X −→ Y

o

f

X −→ Y

X se llama el origen de f e Y se llama recorrido o rango de f . El subconjunto de X en el que est´a definida f se denomina dominio y se denota por Dom(f ); el subconjunto de Y formado por todas las im´agenes de elementos del dominio se denomina conjunto imagen y se denota por Im(f ). Una funci´on f : X −→ Y puede ser considerada como un subconjunto del producto cartesiano X × Y con la propiedad de que cada elemento de X aparece como la primera coordenada de, a lo sumo, un par ordenado. Podemos concebir f como el conjunto Γ(f ) definido por Γ(f ) = {(x, y) ∈ X × Y : x ∈ Dom(f ), y = f (x)} y que denominaremos gr´afica de f o grafo de f . Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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´ 0. Conjuntos, aplicaciones y numeros

27

Definici´on 0.2.2. Sea f : X −→ Y una funci´on y sea A ⊂ X. El conjunto imagen de A por f , que denotaremos por f (A), es el subconjunto de Y formado por todas las im´agenes de los elementos de A, es decir: f (A) = {y ∈ Y : y = f (x) para alg´un x ∈ A}. La aplicaci´on f restringida al subconjunto A se denomina la restricci´on de f a A y se denota por f |A .

Ejemplos Ej.0.3. Sean las aplicaciones f : R −→ R, y g : R −→ R+ , donde R+ denota los n´umeros reales no negativos definidas como f (x) = x4 y g(x) = x4 . Es f´acil ver que dichas aplicaciones son distintas, ya que aunque est´an definidas de la misma manera y tienen el mismo origen, sin embargo el recorrido de ambas funciones es distinto.

Definici´on 0.2.3. Sea f : X −→ Y una funci´on y sea B ⊂ Y . La imagen inversa de B por f , que denotaremos por f −1 (B), es el subconjunto de X formado por todos los elementos cuya imagen pertenece a B, es decir: f −1 (B) = {x ∈ X : f (x) ∈ B}. Si B es un conjunto unipuntual, por ejemplo B = {y}, usaremos la notaci´on f −1 (y) para referirnos a f −1 ({y}). Tambi´en es importante tener en cuenta que f −1 (B) no es m´as que una notaci´on, y el s´ımbolo f −1 no indica que exista una aplicaci´on entre Y y X que sea inversa de f . Proposici´on 0.2.4. Sea f : X −→ Y una aplicaci´on y consideremos los subconjuntos A ⊂ X y B ⊂ Y . Entonces se satisfacen: (1) A ⊂ f −1 (f (A)). (2) f (f −1 (B)) ⊂ B. ´ . La demostraci´on de ambas propiedades es inmediata y se le D EMOSTRACI ON propone como ejercicio. Las inclusiones que aparecen en la proposici´on anterior no son, en general, igualdades. Pueden encontrarse ejemplos de funciones donde las inclusiones son propias. OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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0.2. Aplicaciones

Ejemplos Ej.0.4. A continuaci´on mostramos dos ejemplos de funciones f en los que las inclusiones de la Proposici´on 0.2.4 son estrictas. √ (1)Consideremos f : R −→ R, f (x) = x2 , y el conjunto A = [1, 2]. Entonces f (A) = [1, 2] y por tanto √ √ f −1 (f (A)) = [− 2, −1] ∪ [1, 2] A. (2)Consideremos f : R −→ R, f (x) = sen x, y el conjunto B = [−2, 2]. Entonces f −1 ([−2, 2]) = R pero f (f −1 (B)) = [−1, 1] ! B.

Veamos ahora algunas propiedades de las aplicaciones en relaci´on con las inclusiones, las uniones, las intersecciones y las diferencias. Las demostraciones se le proponen, de nuevo, como ejercicio. Proposici´on 0.2.5. Sea f : X → Y y sean Bi ⊂ Y para i = 1, 2. Entonces: (a) B1 ⊂ B2 ⇒ f −1 (B1 ) ⊂ f −1 (B2 ). (b) f −1 (B1 ∪ B2 ) = f −1 (B1 ) ∪ f −1 (B2 ). (c) f −1 (B1 ∩ B2 ) = f −1 (B1 ) ∩ f −1 (B2 ). (d) f −1 (B1 − B2 ) = f −1 (B1 ) − f −1 (B2 ). Proposici´on 0.2.6. Sea f : X → Y y sean Ai ⊂ X para i = 1, 2. Entonces: (a) A1 ⊂ A2 ⇒ f (A1 ) ⊂ f (A2 ). (b) f (A1 ∪ A2 ) = f (A1 ) ∪ f (A2 ). (c) f (A1 ∩ A2 ) ⊂ f (A1 ) ∩ f (A2 ). (d) f (A1 − A2 ) ⊃ f (A1 ) − f (A2 ). La generalizaci´on de los apartados (b) y (c) de la Proposici´on 0.2.5 a un n´umero arbitrario de subconjuntos de Y se enuncia a continuaci´on. Haga, como ejercicio la demostraci´on. Proposici´on 0.2.7. Sea {Bi ⊂ Y : i ∈ I} una familia de subconjuntos de Y . Entonces se verifica: (1) f −1 (

[ i∈I

Bi ) =

[

f −1 (Bi ).

i∈I

Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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´ 0. Conjuntos, aplicaciones y numeros

(2) f −1 (

\

Bi ) =

i∈I

\

f −1 (Bi ).

i∈I

A continuaci´on se generalizan los apartados (b) y (c) de la Proposici´on 0.2.6 a un n´umero arbitrario de subconjuntos de X. La demostraci´on, como en el caso anterior, se deja como ejercicio. Proposici´on 0.2.8. Sea {Ai ⊂ X : i ∈ I} una familia de subconjuntos de X. Entonces se verifica: (1) f (

[

Ai ) =

\ i∈I

f (Ai ).

i∈I

i∈I

(2) f (

[

Ai ) ⊂

\

f (Ai ).

i∈I

0.2.1.Tipos de aplicaciones Definici´on 0.2.9. Una aplicaci´on f : X → Y se dice que es inyectiva (o uno-auno) si para cada par de puntos distintos de X, sus im´agenes por f son distintas. Se dice que es sobreyectiva (o que f aplica X sobre Y ) si cada elemento de Y es la imagen por la funci´on f de alg´un elemento de X. Si f es a la vez inyectiva y sobreyectiva, se dice que es biyectiva (o se llama una correspondencia uno-auno). Cuando f es biyectiva entonces existe una aplicaci´on de Y en X, denominada inversa de f , que se representa por f −1 : Y −→ X, definida como f −1 (y) = x, donde x es el u´ nico elemento de X tal que f (x) = y.

Ejercicios y Problemas P.0.6 Conteste las siguientes preguntas, justificando las respuestas. (a)¿Cu a´ l de las siguientes funciones f : R −→ R es inyectiva? f (x) = x3 ,

f (x) = x2 ,

f (x) = tan(x).

(b)¿Cu a´ l de las siguientes funciones f : R −→ R es sobreyectiva? f (x) = x3 ,

f (x) = x2 ,

f (x) = tan(x).

(c)¿Cu a´ l de las siguientes funciones f : R −→ R es biyectiva? f (x) = x4 , OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

f (x) = x7 ,

f (x) = cos(x). e´ Herrero Pi˜neyro

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0.2. Aplicaciones

f (x) = x2

f (x) = x3

f (x) = cos(x)

f (x) = tan(x)

´ Figura 4 – Graficas de algunas funciones.

Proposici´on 0.2.10. Sea f : X −→ Y una aplicaci´on y consideremos los subconjuntos A ⊂ X y B ⊂ Y . Entonces se satisface: (1)Si f es inyectiva entonces A = f −1 (f (A)). (2)Si f es sobreyectiva entonces f (f −1 (B)) = B.

´ . La demostraci´on de ambas propiedades es inmediata y se le D EMOSTRACI ON propone como ejercicio.

Para completar las propiedades indicadas en la Proposici´on 0.2.6, presentamos el siguiente resultado. Proposici´on 0.2.11. Sea f : X → Y una aplicaci´on inyectiva y sean Ai ⊂ X para i = 1, 2. Entonces: (a) f (A1 ∩ A2 ) = f (A1 ) ∩ f (A2 ). (b) f (A1 − A2 ) = f (A1 ) − f (A2 ). Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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´ 0. Conjuntos, aplicaciones y numeros

0.2.2.Composici o´ n de aplicaciones Para construir nuevas aplicaciones a partir de otras dadas, podemos restringir los conjuntos origen o modificar los rangos de las mismas, como ya hemos visto. Otro mecanismo para formar nuevas aplicaciones es componerlas. f f (x) = y

x

g

X

g(f (x )) = g (y) = z Z

Y ´ entre dos aplicaciones. Figura 5 – Composicion

Definici´on 0.2.12. Sean las funciones f : X −→ Y y g : Y −→ Z. Se define la composici´on g ◦ f de f y g como la aplicaci´on g ◦ f : X −→ Z dada por (g ◦ f )(x) = g(f (x)).

Ejemplos Ej.0.5. La composici´on g ◦ f de las aplicaciones siguientes f : R −→ R, f (x) = 3x3 + 7, g : R −→ R,

g(x) = 4x2 .

es la funci´on (g ◦ f )(x) = 4(3x3 + 7)2 .

Proposici´on 0.2.13. Sean f : X → Y y g : Y → Z. Se verifica lo siguiente: (a)Si C ⊂ Z, entonces (g ◦ f )−1 (C) = f −1 (g −1 (C)). (b)Si f y g son inyectivas, entonces g ◦ f es inyectiva. (c)Si g ◦ f es inyectiva, entonces f es inyectiva. (d)Si f y g son sobreyectivas, entonces g ◦ f es sobreyectiva. (e)Si g ◦ f es sobreyectiva, entonces g es sobreyectiva. ´ . La demostraci´on se le propone como ejercicio. D EMOSTRACI ON OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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0.3. Conjuntos finitos y numerables

0.3.Conjuntos finitos y numerables En esta u´ ltima parte del cap´ıtulo vamos a introducir algunos tipos destacados de conjuntos: finitos, infinitos, numerables y no numerables.

0.3.1.Conjuntos finitos Dediquemos unas palabras a los conjuntos m´as sencillos: los finitos. Definici´on 0.3.1. Un conjunto X se dice que es finito si existe un n´umero natural n y una aplicaci´on biyectiva entre X y el conjunto {1, . . . , n}. El n´umero n se llama el cardinal de X. Si X = ∅ entonces su cardinal es 0. Algunas propiedades relativas a los conjuntos finitos son las siguientes. Proposici´on 0.3.2. (1)Si X es finito, entonces no existe una aplicaci´on biyectiva entre X y un subconjunto propio de X. (2)El cardinal de un conjunto finito X est´a un´ıvocamente determinado por el conjunto X. (3)Si A es un subconjunto de un conjunto finito X, entonces A es finito. Si A es un subconjunto propio, entonces el cardinal de A es menor que el cardinal de X. ´ . La demostraci´on de estas propiedades no es nada trivial, en D EMOSTRACI ON contra de lo que pudiera pensarse a primera vista. Las claves son las dos propiedades siguientes, que enunciamos sin demostraci´on: (a)Sea n un entero positivo. Sean X un conjunto y x0 un elemento de X. Entonces existe una aplicaci´on biyectiva f entre el conjunto X y el conjunto {1, . . . , n + 1} si, y s´olo si, existe una aplicaci´on biyectiva del conjunto X − {x0 } con {1, . . . , n}. (b)Sea X un conjunto y supongamos que f : X → {1, . . . , n} es una aplicaci´on biyectiva para alg´un n ∈ N. Sea A un subconjunto propio de X. Entonces no existe biyecci´on alguna g : A → {1, . . . n}, y si B 6= ∅ entonces existe una aplicaci´on biyectiva h : A → {1, . . . , m} para alg´un m < n.

Ejemplos Ej.0.6. El conjunto N de los n´umeros naturales no es finito ya que la funci´on f : N → N − {1}, definida por f (n) = n + 1, es una biyecci´on entre N y Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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´ 0. Conjuntos, aplicaciones y numeros

un subconjunto propio de s´ı mismo, lo que contradice el apartado (1) de la Proposici´on 0.3.2.

Proposici´on 0.3.3. Si X es un conjunto no vac´ıo, son equivalentes: (1) X es finito. (2)Existe un n u´ mero natural n y una aplicaci´on f : {1, . . . , n} −→ X sobreyectiva. (3)Existe un n u´ mero natural n y una aplicaci´on f : X −→ {1, . . . , n} inyectiva. ´ . Se le propone como ejercicio. D EMOSTRACI ON Proposici´on 0.3.4. Las uniones finitas y los productos cartesianos finitos de conjuntos finitos son finitos. ´ . Lo veremos s´olo para el caso de dos conjuntos. La demostraD EMOSTRACI ON ci´on en el caso general es an´aloga y se realiza por inducci´on en el n´umero de conjuntos. Demostraremos primero que si X e Y son conjuntos finitos, tambi´en lo es X ∪ Y . Si X o Y es vac´ıo no hay nada que probar. En caso contrario, existir´an biyecciones f : {1, . . . , m} → X y g : {1, . . . , n} → Y para determinados m y n. Definimos entonces una funci´on h : {1, . . . , m + n} → X ∪ Y de la forma h(i) = f (i) si i = 1, 2, . . . , m y h(i) = g(i − m) si i = m + 1, . . . , m + n. Es f´acil ver que h es sobreyectiva, de lo que se deduce que X ∪ Y es finito. Veamos ahora que el producto cartesiano de dos conjuntos finitos X e Y tambi´en es finito. Dado x ∈ X, el conjunto {x} × Y es finito, pues tiene el mismo cardinal que Y . Pero X × Y es la uni´on de estos conjuntos, por lo que X × Y es una uni´on finita de conjuntos finitos, y por tanto finito.

0.3.2.Conjuntos numerables Definici´on 0.3.5. Todo conjunto X que no sea finito se dice que es infinito. Si X es un conjunto infinito que est´a en correspondencia biyectiva con N, entonces se dice que es infinito numerable. En otro caso X se dice que es infinito no numerable. Diremos que X es numerable si es finito o infinito numerable. OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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0.3. Conjuntos finitos y numerables

Ejemplos Ej.0.7. Todo subconjunto A ⊂ N de los n´umeros naturales es numerable. Supongamos que A es infinito. Vamos a construir una aplicaci´on biyectiva f entre A y N. f (1) ser´a el menor elemento de A y, entonces llamaremos A1 = A − {f (1)}; f (2) ser´a el menor elemento de A1 y ahora llamaremos A2 = A1 − {f (2)} = A − {f (1), f (2)}; y as´ı sucesivamente. En general, sea f (m) el menor elemento de Am−1 y denotemos Am = Am−1 − {f (m)}. Como A no es finito, el proceso anterior no acaba y para cada m ∈ N existe f (m) > f (i), para i < m. Es f´acil ver que f es una aplicaci´on biyectiva (observemos que f (m) ≥ m para todo m).

La siguiente propiedad es an´aloga a la Proposici´on 0.3.3, pero en t´erminos de los conjuntos numerables. Proposici´on 0.3.6. Si X es un conjunto no vac´ıo, entonces son equivalentes: (1) X es numerable. (2)Existe una aplicaci o´ n sobreyectiva f : N → X. (3)Existe una aplicaci o´ n inyectiva g : X → N. Hagamos un inciso aqu´ı para referirnos a las aplicaciones f : N → X. Este tipo de aplicaciones se denominan sucesiones y habitualmente se denotan como ∞ (xn )∞ on con n=1 o {xn }n=1 , donde xn = f (n). No debemos confundir una sucesi´ su conjunto imagen. Proposici´on 0.3.7. Si A es un subconjunto de un conjunto numerable X, entonces A es tambi´en numerable. ´ . Como X es numerable, existe una aplicaci´on f : N −→ X D EMOSTRACI ON sobreyectiva. Definimos una aplicaci´on g : X −→ A por la condici´on g|A = 1, de modo que h = g ◦ f : N −→ A es una aplicaci´on sobreyectiva, lo que implica que A es numerable. Lema 0.3.8. El producto finito de copias de N es un conjunto numerable. ´ . Lo demostraremos para el producto N × N; el caso general se D EMOSTRACI ON hace por inducci´on en el n´umero de copias. Ordenemos el conjunto N × N de la siguiente forma: Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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35

´ 0. Conjuntos, aplicaciones y numeros

 (1,3)  . . .  (1,2) (1,1)       ...  (2,2)  (2,3) (2,1)      (3,3) . . .  (3,2) (3,1)    .. .. .. .. . . . .  

Es f´acil ver que la aplicaci´on f : N −→ N × N, representada por el gr´afico anterior, es una aplicaci´on sobreyectiva. Expl´ıcitamente, la funci´on f anterior puede definirse como sigue. Si ponemos f (k) = (m(k), n(k)), entonces r(r − 1) 2 n(k) = r + 1 − m

m(k) = k −

donde r es el u´ nico n´umero natural tal que r(r − 1) (r + 1)r y, entonces x + z > y + z. Si x > y y z > 0, entonces x · z > y · z. Otras propiedades (7)La relaci o´ n de orden < verifica la propiedad del supremo. (8)Si x < y, existe un elemento z tal que x < z y z < y. La “propiedad del supremo” se puede definir tambi´en para un conjunto ordenado arbitrario. En primer lugar, necesitamos algunas definiciones preliminares. Supongamos que X es un conjunto ordenado por la relaci´on < y sea A un subconjunto de X. Decimos que un elemento b es el m´aximo de A si b ∈ A y si x ≤ b para todo x ∈ A. Es f´acil ver que un conjunto tiene, a lo sumo, un m´aximo. El subconjunto A de X est´a acotado superiormente si existe un elemento b de X tal que x ≤ b para todo x ∈ A; el elemento b se denomina una cota superior para A. Si el conjunto de todas las cotas superiores de A tiene un m´ınimo, ese elemento se denomina el extremo superior o supremo de A. Se representa por sup A y puede pertenecer o no a A. Si pertenece, es el m´aximo de A. Ahora ya podemos definir la propiedad del supremo. OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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38

´ 0.4. Los numeros reales

Definici´on 0.4.1. Un conjunto ordenado A se dice que tiene la propiedad del supremo si todo subconjunto no vac´ıo A de X que est´e acotado superiormente tiene supremo. An´alogamente se pueden definir los conceptos de m´ınimo, conjunto acotado inferiormente, extremo inferior o ´ınfimo y la propiedad del ´ınfimo. Un n´umero real es positivo si x > 0, y negativo si x < 0. Los reales positivos se denotar´an por R+ . Las propiedades (1)-(5) implican que R es un cuerpo; y la propiedad (6) nos permite decir que es un cuerpo ordenado. Por otro lado, las propiedades (7) y (8) implican s´olo a la relaci´on de orden; por satisfacer estas propiedades, se dice que R es un continuo lineal. Otra propiedad interesante de los n´umeros reales es la propiedad arquimediana, de la que presentamos dos versiones. Proposici´on 0.4.2 (Propiedad arquimediana, v.1). Para cualquier n´umero real positivo  > 0, existe un n´umero natural n tal que n > 1. Proposici´on 0.4.3 (Propiedad arquimediana, v.2). Para cualquier par de n´umero reales x < y, existe un n´umero racional q tal que x < q < y.

Ejercicios y Problemas P.0.9 Demuestre que A tiene la propiedad del supremo si, y s´olo si, tiene la propiedad del ´ınfimo. P.0.10 Calcule los siguientes conjuntos: T (a) n∈N (− n1 , n1 ) S (b) n∈Z (n − 1, n + 1) S (c) n∈N (−n, n) T (d) n∈N (−n, n) P.0.11 Calcule la diferencia A − B en cada caso: (a) A = [0, 1] (b) A = (−1, 1] B = (−1, 0) B = [−1, 1]. P.0.12 Dados los conjuntos A, B y C, exprese cada uno de los siguientes conjuntos en t´erminos de A, B y C, utilizando los s´ımbolos ∪, ∩ y −: D = {x : x ∈ A y (x ∈ B o x ∈ C)}, E = {x : (x ∈ A y x ∈ B) o x ∈ C}, F = {x : x ∈ A y (x ∈ B ⇒ x ∈ C)}. P.0.13 Dos conjuntos tienen el mismo cardinal si se pueden poner en correspondencia biyectiva. Pruebe lo siguiente: Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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39

´ 0. Conjuntos, aplicaciones y numeros

(1) R y el intervalo (−1, 1) tienen el mismo cardinal. (2)Dos intervalos abiertos acotados tienen el mismo cardinal. (3) R tiene el mismo cardinal que cualquier intervalo (a, b). P.0.14 Sea R el conjunto de los n´umeros reales. Determine si cada uno de los siguientes subconjuntos de R × R es igual al producto cartesiano de dos subconjuntos de R. (a) {(x, y) : x es un entero}. (b) {(x, y) : 0 < y ≤ 1}. (c) {(x, y) : y > x}. (d) {(x, y) : x no es un entero e y es un entero}. (e) {(x, y) : x2 + y 2 < 1}. P.0.15 Sea f : R → R la funci´on f (x) = x3 − x. Restringiendo adecuadamente el dominio y el rango de f , obtenga a partir de f una funci´on biyectiva g. Dibuje las gr´aficas de g y g −1 (hay diferentes elecciones posibles para g). P.0.16 Represente gr´aficamente los siguientes subconjuntos de R2 : A = {(x, y) : x ∈ [n, n + 1], y ∈ [n, n + 1] para alg´un n ∈ Z} B = {(x, y) : 0 ≤ x − y ≤ 1} C = {(x, y) : 1 < x2 + y 2 ≤ 4} D = {(x, y) : 1 < x2 ≤ 4} E = {(x, y) : (x + 2)2 + (y − 1)2 < 16; x ≤ y} F = {(x, y) : |xy| > 1} ∪ {(0, 0)} P.0.17 Considere las funciones f, g : R −→ R dadas por f (x) = 2x + 1 y g(x) = x2 − 2. Determine expl´ıcitamente las funciones compuestas f ◦ g y g ◦ f. P.0.18 Sea el intervalo A = [−1, 1] y considere las funciones f, g, h : A −→ A definidas por f (x) = sen x, g(x) = sen(πx) y h(x) = sen(πx/2). Estudie si estas funciones son inyectivas, sobreyectivas o biyectivas. P.0.19 Considere la funci´on f : R −→ R definida por f (x) = x2 . Calcule: (a) f −1 (25) (b) f −1 ({x : x ≥ 0}) (c) f −1 ({x : 4 ≤ x ≤ 25}) P.0.20 Calcule los siguientes conjuntos: T (a) n∈N [0, n1 ] T (b) n∈N (0, n1 ] OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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40

´ 0.4. Los numeros reales

(c)

T

1 n∈N [0, n )

(d)

T

n∈N [n, +∞)

P.0.21 ¿Son ciertas o falsas las siguientes igualdades? Razone la respuesta.   ∞  ∞  [ \ 1 1 1 0, 1 − = [0, 1] a − ,b + = [a, b] n n n n=1

n=1

P.0.22 Sea A un conjunto cualquiera y, para todo x ∈ A, sea Gx un subconjunto de A tal que x ∈ Gx ⊂ A. Demuestre que A = ∪x∈A Gx . P.0.23 Considere las familias de conjuntos An = {x : x es m´ultiplo de n}, n ∈ N, y Bm = [m, m + 1], m ∈ Z. Determine los siguientes conjuntos: (a) A3 ∩ A5 S (b) i∈P Ai , donde P denota el conjunto de los n´umeros primos. (c) B3 ∩ B4 S (d) m∈Z Bm S (e) A5 ∩ ( m≥7 Bm ) P.0.24 Para toda aplicaci´on f : X −→ Y se define la aplicaci´on asociada fˆ entre los conjuntos potencia fˆ : P(X) −→ P(Y ) como sigue: fˆ(A) = {y ∈ Y : y = f (x) para alg´un x ∈ A}. Demuestre que si f es inyectiva entonces fˆ tambi´en lo es. P.0.25 Sean f, g : R −→ R las funciones definidas como:  2x − 5 si x > 2 f (x) = y g(x) = 3x + 1. 2 x − 2|x| si x ≤ 2 Encuentre: (a) (g ◦ f )(1), (b) (f ◦ g)(2), (c) (f ◦ f )(3). ¿Puede determinar expl´ıcitamente las funciones compuestas f ◦ g y g ◦ f ? P.0.26 Sea g : X −→ X una funci´on constante g(x) = x0 para todo x ∈ X. Demuestre que para cualquier funci´on f : X −→ X la composici´on g ◦ f es constante e igual a x0 . ¿Qu´e puede decirse de f ◦ g? P.0.27 Demuestre que una aplicaci´on f : X −→ Y es biyectiva si, y s´olo si, f (Ac ) = [f (A)]c para todo A ⊂ X. P.0.28 Demuestre que todo conjunto infinito contiene un subconjunto infinito numerable.

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1 Espacios m´etricos En este primer cap´ıtulo, se introduce la noci´on de Espacio m´etrico y de subespacio m´etrico, estudiando numerosos ejemplos y propiedades b´asicas. Se introduce la noci´on de topolog´ıa asociada a un espacio m´etrico introduciendo las bolas abiertas y a a partir de aqu´ı se estudian los conjuntos abiertos, los cerrados y sus propiedades. Se pretenden alcanzar las siguientes competencias espec´ıficas: Utilizar los conceptos b´asicos asociados a la noci´on de espacio m´etrico. Reconocer y utilizar las propiedades sencillas de la topolog´ıa m´etrica. Construir ejemplos de espacios m´etricos usando las nociones de subespacio m´etrico y espacio m´etrico producto. Se desarrollar´an los contenidos siguientes: Distancia. Espacio m´etrico. Distancias en R y Rn . Ejemplos de espacios m´etricos. Subespacio m´etrico. Distancia a un conjunto y distancia entre conjuntos. Bolas. Topolog´ıa asociada a una m´etrica. Conjuntos abiertos y cerrados. Propiedades. Producto de espacios m´etricos. 41

42

1.1. Distancias

1.1.Distancias Definici´on 1.1.1. Dado un conjunto X, una distancia sobre X, es una aplicaci´on d : X × X −→ R que a cada par de puntos x, y ∈ X le asocia un n´umero real d(x, y), que cumple las siguientes condiciones: (1) d(x, y) ≥ 0. (2) d(x, y) = 0 si, y s´olo si, x = y (separaci´on). (3) d(x, y) = d(y, x) para todo x, y ∈ X (simetr´ıa). (4) d(x, y) ≤ d(x, z)+d(z, y) para todo x, y, z ∈ X (desigualdad triangular). Definici´on 1.1.2. Un espacio m´etrico es un par (X, d), donde X es un conjunto y d es una distancia definida en X.

Ejemplos Ej.1.1. En el conjunto de los n´umeros reales R podemos definir una distancia tomando el valor absoluto de la diferencia, es decir, d : R×R → R definida como d(x, y) = |x − y|. Las condiciones de distancia se deducen inmediatamente de las propiedades conocidas del valor absoluto. A esta distancia le llamaremos distancia usual de R. Ej.1.2. El espacio m´etrico discreto. Sea X un conjunto no vac´ıo cualquiera; definimos una distancia dD como sigue:  0 si x = y dD (x, y) = 1 si x 6= y Esta distancia se llama distancia discreta y verificar las condiciones de distancia se reduce a una mera comprobaci´on. Observemos adem´as que cambiando el 1 por cualquier otro valor num´erico obtenemos otra distancia, tambi´en discreta. Las dos siguientes desigualdades, ser´an u´ tiles en el desarrollo de los dos pr´oximos ejemplos que juegan un importante papel. Lema 1.1.3. Si a1 , a2 , . . . , an y b1 , b2 , . . . , bn son n´umeros reales cualesquiera, entonces, se cumplen: (a)(Desigualdad de Cauchy-Schwarz) !2 n X a i bi ≤ i=1

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n X i=1

! a2i

n X

! b2i

.

i=1

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43

1. Espacios m´etricos

(b)(Desigualdad de Minkowski) !1/2 n X 2 (ai + bi ) ≤ i=1

n X

!1/2 a2i

+

i=1

n X

!1/2 b2i

.

i=1

´ . Veamos en primer lugar la desigualdad (a) de Cauchy-Schwarz. D EMOSTRACI ON P Dado cualquier n´umero x ∈ R se verifica que ni=1 (ai x+bi )2 ≥ 0. Si desarrollamos el y agrupamos tendremos que Ax2 + 2Bx + C ≥ 0, tomando P Pcuadrado P n n n A = i=1 a2i , B = i=1 ai bi y C = i=1 b2i . En estos t´erminos, lo que queremos probar es que B 2 ≤ AC. Si A = 0 entonces ai = 0 para todo i la desigualdad se verifica claramente. Si A 6= 0 podemos poner   B 2 AC − B 2 2 + 0 ≤ Ax + 2Bx + C = A x + A A para todo x ∈ R. La u´ ltima expresi´on es m´ınima si x = − B A y si sustituimos dicha expresi´on obtenemos AC − B 2 , lo cual implica AC − B 2 ≥ 0 A y, por tanto, B 2 ≤ AC; con lo que queda demostrada la desigualdad. 0≤

Por u´ ltimo, observemos que demostrar la desigualdad de Minkowski, es equivalente a demostrar la desigualdad !1/2 n !1/2 n n n n X X X X X 2 2 2 2 2 (ai + bi ) ≤ ai + bi + 2 ai bi i=1

i=1

i=1

i=1

i=1

Si desarrollamos el binomio de la izquierda n X

(ai + bi )2 =

i=1

n X i=1

a2i +

n X i=1

b2i + 2

n X

a i bi r

i=1

Con lo cual, s´olo queda simplificar y aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz (1.1.3)(a) anterior. Sigamos con m´as ejemplos de distancias y, por tanto de espacios m´etricos.

Ejemplos Ej.1.3. Sea X = R2 . Para los puntos x = (x1 , x2 ) e y = (y1 , y2 ) se definen las aplicaciones: d1 (x, y) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 |, p d2 (x, y) = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 , d∞ (x, y) = m´ax(|x1 − y1 |, |x2 − y2 |). OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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44

1.1. Distancias

Las tres aplicaciones son distancias en el plano (una demostraci´on de esto la proporcionaremos en el siguiente ejemplo). Las funciones anteriores miden la distancia de una forma distinta, y en la siguiente Figura 1.1 se puede ver una representaci´on gr´afica de cada una ellas: y

y

x

x

d1 (x, y)

d2 (x, y)

y y x

x

d∞ (x, y) con |x2 − y2 | > |x1 − y1 |

d∞ (x, y) con |x1 − y1 | > |x2 − y2 |

´ Figura 1.1 – Graficos de d1 , d2 y d∞ .

Las tres distancias son generalizaciones de la distancia usual que hemos definido en R y las tres tienen nombre propio: d1 se llama la distancia del taxi, d2 se llama la distancia eucl´ıdea o usual y d∞ se llama la distancia del ajedrez o del m´aximo. Ej.1.4. El Ejemplo Ej.1.3. anterior se puede generalizar f´acilmente a Rn como sigue. Sean los puntos x = (x1 , . . . , xn ) e y = (y1 , . . . , yn ) de Rn . Se definen: d1 (x, y) =

n X

|xi − yi |,

i=1

d2 (x, y) =

n X

!1/2 (xi − yi )

2

,

i=1

d∞ (x, y) = m´ ax{|xi − yi |; i = 1, . . . , n}. La prueba de que d1 y d∞ son distancias es una mera comprobaci´on. En efecto, tal y como se han definido, las dos son no negativas; adem´as como |xi − yi | = 0 y (xi − yi )2 = 0 si, y s´olo si, xi = yi se cumple la condici´on Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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1. Espacios m´etricos

(2) de distancia. Adem´as |xi − yi | = |yi − xi | y (xi − yi )2 = (yi − xi )2 , con lo que obtenemos la condici´on (3). Para la desigualdad triangular s´olo hay que tener en cuenta la desigualdad triangular del valor absoluto para cada i |xi − yi | ≤ |xi − zi | + |zi − yi |, con lo que en el caso d1 tenemos: d1 (x, y) =

n X

|xi − yi | ≤

i=1 n X

n X

(|xi − zi | + |zi − yi |) =

i=1

|xi − zi | +

n X

i=1

|zi − yi | = d1 (x, z) + d1 (z, y);

i=1

y para d∞ : d∞ (x, y) = m´ ax{|xi − yi | : i = 1, . . . , n} ≤ m´ ax{|xi − zi | + |zi − yi | : i = 1, . . . , n} ≤ ≤ m´ ax{|xi − zi | : i = 1, . . . , n} + m´ax{|zi − yi | : i = 1, . . . , n} = d∞ (x, z) + d∞ (z, y). (1.1) Lo mismo sucede con las propiedades (1), (2) y (3) para la distancia usual d2 ; no as´ı con la propiedad (4) en la que hay que utilizar la desigualdad de Cauchy-Schwarz 1.1.3(a). Sean x, y, z ∈ Rn y consideremos  (d2 (x, z) + d2 (z, y))2 = 

n X

!1

n X

2

(xi − zi )2

+

=

2

(xi −zi ) +

i=1

n X

2

(zi −yi ) +2

i=1

2

(zi − yi )2

 =

i=1

i=1 n X

! 1 2

n X

(xi − zi )

i=1

2

n X

!1

2

(zi − yi )

2

= (∗)

i=1

Aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz 1.1.3(a) al u´ ltimo sumando de la expresi´on anterior: (∗) ≥

n X

2

(xi − zi ) +

i=1 n X 

n X i=1

2

(zi − yi ) + 2

n X

(xi − zi )(zi − yi ) =

i=1

 (xi − zi )2 + (zi − yi )2 + 2(xi − zi )(zi − yi ) =

i=1

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1.1. Distancias n X

[(xi − zi ) + (zi − yi )]2 =

i=1

n X

(xi − yi )2 =

i=1



n X



!1/2 2 (xi − yi )2

 = (d2 (x, y))2 ,

i=1

de donde se deduce la desigualdad triangular. Ej.1.5. El conjunto C de los n´umeros complejos es un espacio m´etrico con la distancia dada por el m´odulo de la diferencia: d(z1 , z2 ) = |z1 − z2 | con z1 , z2 ∈ C. Compruebe como ejercicio, que se verifican las condiciones de distancia. Ej.1.6. Se pueden considerar otros conjuntos que no son num´ericos, como el conjunto de las funciones reales acotadas X = A([a, b], R) = `∞ ([a, b]) = {f : [a, b] → R : |f (x)| ≤ M, M > 0}. Dadas dos funciones f, g ∈ X definimos d∞ (f, g) = sup {|f (x) − g(x)|}. x∈[a,b]

Puede comprobar, a partir de las propiedades del valor absoluto, que d∞ es una distancia, denominada la distancia del supremo; en la Figura 1.2 se representa la distancia del supremo entre dos funciones f y g.

Figura 1.2 – Distancia del supremo en el espacio A([a, b], R).

Ej.1.7. Tambi´en podemos considerar el conjunto C([a, b], R), de las funciones reales continuas sobre un intervalo cerrado [a, b]. La aplicaci´on d dada por Z b d(f, g) = |f (x) − g(x)|dx a

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1. Espacios m´etricos

´ Figura 1.3 – La distancia es el area comprendida entre dos curvas.

es una distancia, que viene dada por el a´ rea comprendida entre funciones continuas. En la Figura R b 1.3 se representa tal distancia. Sabemos que si f (x) ≥ 0, entonces a f (x)dx ≥ 0 para cada x ∈ [a, b] y tambi´en que Rb olo si, f ≡ 0; por tanto se cumplen las dos primeras a f (x)dx = 0 si, y s´ condiciones de distancia. De la simetr´ıa del valor absoluto (|f (x) − g(x)| = |g(x) − f (x)|), se obtiene la tercera condici´on; y por u´ ltimo, de la desigualdad triangular del valor absoluto, de la aditividad de la integral y de que f (x) ≤ g(x) implica Rb Rb a f (x)dx ≤ a g(x)dx, se deduce b

Z

|f (x) − g(x)|dx ≤

d(f, g) = a

b

Z |f (x) − h(x)|dx +

=

(|f (x) − h(x)| + |h(x) − g(x)|)dx a

b

Z

b

Z

a

|h(x) − g(x)|dx = d(f, h) + d(h, g). a

Ej.1.8. O bien el conjunto de las sucesiones reales acotadas `∞ ={(xn )∞ on acotada con xn ∈ R} n=1 : sucesi´ = {x : N −→ R : x est´a acotada}

(1.2)

∞ ∞ Dadas dos sucesiones (xn )∞ n=1 , (yn )n=1 ∈ ` , definamos

d∞ ((xn )n , (yn )n ) = sup{|xn − yn |}. n∈N

Pruebe que d∞ es una distancia en `∞ . Ej.1.9. Tambi´en se pueden construir espacios m´etricos a partir de otros conocidos. En efecto, sean (X1 , d) y (X2 , d0 ) dos espacios m´etricos. Para puntos OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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1.1. Distancias

x = (x1 , x2 ) e y = (y1 , y2 ) de X1 × X2 se define: d1 (x, y) = d(x1 , y1 ) + d0 (x2 , y2 ), d2 (x, y) = (d(x1 , y1 )2 + d0 (x2 , y2 )2 )1/2 , d∞ (x, y) = m´ ax{d(x1 , y1 ), d0 (x2 , y2 )}. Entonces d1 , d2 y d∞ son distancias en el espacio producto X1 × X2 . Verificar que d1 , d2 o d∞ son distancias es un proceso similar al del Ejemplo Ej.1.3. anterior y es recomendable que, como ejercicio, concrete los detalles. Este es un procedimiento, digamos estandar, para definir distancias en espacios que son el producto cartesiano de una colecci´on finita de espacios m´etricos. As´ı, si (X1 , d1 ) . . . (Xn , dn ) son n espacios m´etricos, se pueden definir en X1 × · · · × Xn las distancias: ρ1 (x, y) =

n X

di (xi , yi ),

i=1

ρ2 (x, y) =

n X

!1/2 di (x1 , y1 )2

,

i=1

ρ∞ (x, y) = m´ ax{di (xi , yi ) : i = 1, . . . , n}, con x = (x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn ) ∈ X1 × · · · × Xn . La siguiente, es una propiedad que nos ser´a u´ til, junto con el resultado que aparece en el Problema P.1.2. Proposici´on 1.1.4. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Para todo x, y, z ∈ X se verifica: |d(x, z) − d(z, y)| ≤ d(x, y). ´ . Aplicando la desigualdad triangular y la simetr´ıa de la distanD EMOSTRACI ON cia, tenemos d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) = d(x, y) + d(z, y), por lo que d(x, z) − d(z, y) ≤ d(x, y). De forma an´aloga podemos poner d(z, y) ≤ d(z, x) + d(x, y) = d(x, z) + d(x, y) y tendremos que −d(x, y) ≤ d(x, z) − d(z, y). Usando estas dos desigualdades tenemos −d(x, y) ≤ d(x, z) − d(z, y) ≤ d(x, y) lo que concluye la demostraci´on. Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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1. Espacios m´etricos

Estamos en condiciones de practicar y profundizar un poco por cuenta propia. De modo que puede trabajar con los ejercicios y problemas siguientes.

Ejercicios y Problemas P.1.1 Sea d : N × N −→ R definida por d(m, n) = |m2 − n2 |. ¿Es (N, d) un espacio m´etrico? Justifique la respuesta. [I] P.1.2 Sea (X, d) un espacio m´etrico. Demuestre que se cumple |d(x, y) − d(z, t)| ≤ d(x, z) + d(y, t) para todo x, y, z, t ∈ X. [I] [R] P.1.3 Sea X un conjunto. Demuestre que una aplicaci´on d : X × X −→ R es una distancia si, y s´olo si, para x, y, z ∈ X, se verifican (a) d(x, y) = 0 ⇔ x = y; (b) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z). [I] P.1.4 Sea (X, d) un espacio m´etrico. Se definen δ, y ρ y η como sigue: δ(x, y) = kd(x, y),

k ∈ R+

ρ(x, y) = m´ın{1, d(x, y)} η(x, y) = [d(x, y)]2 Demuestre que δ y ρ son distancias sobre X, pero que η no tiene por qu´e ser necesariamente una distancia. [I] P.1.5 Sea X un conjunto y f : X −→ R una aplicaci´on inyectiva. Demuestre que la aplicaci´on d(x, y) = |f (x) − f (y)| es una distancia sobre X. [I] P.1.6 Sea f : R −→ R una funci´on estrictamente creciente. Demuestre que d(x, y) = |f (x) − f (y)| es una distancia sobre R. [I] [R] P.1.7 Considere el conjunto C([0, 1]) de las funciones reales continuas en el intervalo [0, 1]. Sean f (x) = x(1 − x) y g(x) = x. Calcule d∞ (f, g) y d(f, g) seg´un las definiciones de los Ejemplos Ej.1.6. y Ej.1.7.. [I]

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1.1. Distancias

1.1.1.Subespacio m e´ trico El siguiente resultado nos permite definir un subespacio m´etrico, simplemente como un subconjunto A ⊂ X y la distancia d restringida a A. Proposici´on 1.1.5. Sea (X, d) un espacio m´etrico y sea A ⊂ X un subconjunto de X. Sea la funci´on dA : A × A −→ R definida por dA (x, y) = d(x, y), para cada x, y ∈ A. Entonces dA es una distancia sobre A, que se denomina distancia inducida por d. El par (A, dA ) se dice que es un subespacio m´etrico de X. La demostraci´on se reduce a una mera comprobaci´on que puede realizar, sin dificultad, como ejercicio. Est´a claro que cualquier subespacio m´etrico, considerado de forma aislada es un espacio m´etrico y, por supuesto, todo espacio m´etrico es un subespacio de s´ı mismo. Esta es una nueva forma de construir nuevos espacios m´etricos, a partir de otros conocidos. Se˜nalaremos que, si A ⊂ Rn , cuando se hable de A como de un espacio m´etrico, supondremos que su distancia es la distancia inducida por la distancia eucl´ıdea de Rn , salvo que se diga lo contrario. Veamos algunos ejemplos de subespacios para afianzar este concepto.

Ejemplos Ej.1.10. [0, 1] con la distancia inducida por el valor absoluto es un subespacio m´etrico de R. Ej.1.11. El conjunto C([a, b], R) de las funciones reales continuas en [a, b], con la distancia inducida por d∞ , es subespacio m´etrico del conjunto A([a, b], R) de las funciones acotadas en dicho intervalo. Ej.1.12. El espacio co de las sucesiones reales con l´ımite 0 es un subespacio m´etrico del espacio de las sucesiones acotadas `∞ , con la distancia del supremo. Ej.1.13. Veamos las distancias que se inducen en algunos conjuntos. Podemos identificar desde el punto de vista conjuntista, la recta real R y el subconjunto de R2 , definido como R × {0} = {(x, 0) : x ∈ R}, mediante la aplicaci´on x 7→ (x, 0). Es evidente que se trata de una biyecci´on ¿verdad?. Nos podemos plantear la cuesti´on siguiente. ¿Qu´e relaci´on hay entre la distancia eucl´ıdea, d2 y la distancia del valor absoluto en R?; ve´amoslo. Si calculamos la distancia entre dos puntos de (x, 0), (y, 0) ∈ R × {0}, tenemos p d2 ((x, 0), (y, 0)) = (x − y)2 = |x − y| = d(x, y), (1.3) Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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1. Espacios m´etricos

y esta u´ ltima es la distancia usual de R. Esto significa que, en cierto modo podemos considerar la recta real como un subespacio m´etrico del plano R2 . Observe que ocurre lo mismo con las distancias d1 y d∞ ; compru´ebelo tal y como se le sugiere en el Problema P.1.8.

Podemos practicar un poco m´as, de nuevo por nuestra cuenta.

Ejercicios y Problemas P.1.8 Estudie las distancias que, sobre R, inducen d1 y d∞ consideradas sobre R2 . ¿Y si considera las distancias d1 , d2 y d∞ sobre Rn e intenta calcular las que inducen, respectivamente, sobre Rn−k , con 1 < k < n? P.1.9 Sea A ⊂ R2 definido como A = {(x, y) ∈ R2 : y = x2 }. Calcule expl´ıcitamente las distancias inducidas sobre A por d1 , d2 y d∞ .

1.2.Distancia a un conjunto Nos planteamos ahora la posibilidad de medir distancias entre un punto y un conjunto, o entre dos conjuntos, a partir de la distancia definida en un espacio m´etrico. Parece que de forma intuitiva podr´ıamos pensar, por ejemplo, que la distancia entre un punto y un conjunto, ser´ıa la distancia entre tal punto y el punto del conjunto m´as cercano a aquel. Esto no es tan sencillo como puede parecer a primera vista. Veamos en esta secci´on algunas de las cosas que podemos saber sobre estas ideas. Definici´on 1.2.1. Sea (X, d) un espacio m´etrico, A ⊂ X un subconjunto de X y x0 un punto de X. La distancia de x0 al subconjunto A se define como d(x0 , A) = ´ınf{d(x0 , x) : x ∈ A}. Recordemos que el ´ınfimo de un conjunto de n´umeros reales acotado inferiormente siempre existe, de modo que la definici´on es buena. Definici´on 1.2.2. Sean A y B dos subconjuntos de X. La distancia del subconjunto A al subconjunto B se define como d(A, B) = ´ınf{d(x, y) : x ∈ A, y ∈ B}. Observemos que si a ∈ A, entonces d(a, A) = 0 o si A ∩ B 6= ∅, d(A, B) = 0, pero sin embargo ... OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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1.2. Distancia a un conjunto

Ejemplos Ej.1.14. Consideremos los conjuntos A = (0, 1) y B = (1, 2), en R con la distancia usual, tenemos que 1. d(0, A) = 0 y, sin embargo 0 ∈ / A; y 2. d(A, B) = 0 y A ∩ B = ∅. En efecto, el primer caso, supongamos que d(0, A) = ε > 0, es claro que ε < 1; entonces existe un n´umero real entre 0 y ε, por ejemplo, ε/2, por lo que ε no ser´ıa el ´ınfimo. Respecto al segundo caso, si suponemos que d(A, B) = ε > 0 (tambi´en ha de ser ε < 1), tenemos que 1 − ε/3 ∈ A y 1 + ε/3 ∈ B y d(1 − ε/3, 1 + 3ε) = |1 − ε/3 − (1 + 3ε)| = 2ε/3 < ε, en contra de que ε es el ´ınfimo. Ej.1.15. Si d es la m´etrica discreta sobre X, x ∈ X y A, B ⊂ X. Entonces si x ∈ A, d(x, A) = 0; por el contrario, si x ∈ / A, entonces d(x, y) = 1 para todo y ∈ A y, en consecuencia, d(x, A) = 1. En resumen: ( 1 si x ∈ /A d(x, A) = 0 si x ∈ A Veamos qu´e pasa con la distancia entre dos conjuntos A, B ⊂ X. Tenemos que d(A, B) = ´ınf{d(x, y) : x ∈ A, y ∈ B}; entonces si existe x ∈ A∩B, d(A, B) = d(x, x) = 0; pero si A ∩ B = ∅ entonces d(x, y) = 1 para todo x ∈ A y todo y ∈ B, con lo que d(A, B) = 1. Por tanto: ( 1 si A ∩ B = ∅ d(A, B) = 0 si A ∩ B 6= ∅ Ej.1.16. En (R2 , d2 ) consideremos los subconjuntos A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1} B = {(x, y) ∈ R2 : x + y = 2}. Vamos a calcular la distancia d(A, B). La Figura 1.4 siguiente ayuda a visualizar que la distancia que queremos calcular es la diferencia entre la √ longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1, que es 2, y el√radio del c´ırculo A que es 1, por tanto, la distancia buscada es d(A, B) = 2 − 1.

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1. Espacios m´etricos

Figura 1.4 – La distancia d(A, B) es

√

2.

Proposici´on 1.2.3. Si (X, d) es un espacio m´etrico y dos subconjuntos A, B ⊂ X, se verifican: (a) d(x, A) ≤ d(x, y) + d(y, A), para todo x, y ∈ X (b) |d(x, A) − d(y, A)| ≤ d(x, y), para todo x, y ∈ Xy (c) d(A, B) ≤ d(x, A) + d(x, B), para todo x ∈ X ´ . Para demostrar la desigualdad (a), tenemos que, si x ∈ X, D EMOSTRACI ON para todo a ∈ A, entonces d(x, A) ≤ d(x, a) ≤ d(x, y) + d(y, a); y como esto es para todo a ∈ A, la desigualdad (a) se cumple. Respecto a la desigualdad (b), si en la desigualdad (a) intercambiamos los papeles de x e y, tenemos la desigualdad d(y, A) ≤ d(x, y) + d(x, A) de donde se deduce que −d(x, y) ≤ d(x, A) − d(y, A); mientras que de la desigualdad (a) de forma directa, se obtiene d(x, A) − d(y, A) ≤ d(x, y) y combinando estas dos u´ ltimas desigualdades obtenemos la buscada. Por u´ ltimo, para ver la desigualdad (c), si alguno de los dos conjuntos A o B es no vac´ıo, el resultado es evidente. Supongamos, entonces que A y B son no vac´ıos. Sea ahora ε > 0, y A ∈ A de manera que d(x, a) ≤ d(x, A) + ε/2 y b ∈ B tal que d(x, b) ≤ d(x, B) + ε/2. Entonces d(A, B) ≤ d(a, b) ≤ d(a, x) + d(x, b) ≤ d(x, A) + d(x, B) + ε, como esto se puede hacer para todo ε > 0, deducimos la desigualdad buscada. Un u´ ltimo concepto para terminar esta secci´on. OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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1.2. Distancia a un conjunto

Definici´on 1.2.4. Sea (X, d) un espacio m´etrico y A ⊂ X un subconjunto acotado. El di´ametro de A, representado por diam(A) = δ(A), se define como diam(A) = δ(A) = sup{d(x, y) : x, y ∈ A}.

Ejemplos Ej.1.17. Los di´ametros de los subconjuntos [1, 2], [1, 2) y {0} ∪ [1, 2) de R con la distancia usual son, respectivamente, 1, 1 y 2. En efecto, en el caso de [1, 2] no hay nada que probar pues 1 es precisamente, la longitud del intervalo. En el caso del intervalo [1, 2), supongamos que δ([1, 2)) = r < 1, entonces 1 + r ∈ [1, 2), y existe ε > 0 tal que 1 + r + ε ∈ [1, 2) con lo que d(1, 1 + r + ε) = |1 + r + ε − 1| = r + ε > r, en contra de que δ([1, 2)) = r. De forma similar se prueba el u´ ltimo caso. Int´entelo como ejercicio. Ej.1.18. Consideremos el subconjunto A = [0, 1] × [0, 1] de R2 , es decir, el cuadrado unidad, y veamos su di´ametro para cada una de las distancias d1 , d2 y d∞ (es conveniente que repase el Ejemplo Ej.1.3.).

´ Figura 1.5 – Diametro del cuadrado unidad para d1 , d2 y d∞ .

En el caso de d1 el di´ametro es diam1 (A) = δ1 (A) = 2, pues se trata del m´aximo del las sumas de los valores absolutos de las diferencias entre las coordenadas, a saber, la suma de dos lados del cuadrado. En el caso d2 es la mayor distancia entre dos puntos del cuadrado, es decir la longitud de la diagonal √ diam2 (A) = δ2 (A) = 2. Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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1. Espacios m´etricos

Por u´ ltimo, en el caso d∞ , se trata del mayor valor absoluto de la diferencia entre coordenadas, es decir la longitud de uno de los lados diam∞ (A) = δ∞ (A) = 1. Vea para cada caso, la Figura 1.5; y adem´as, observe que el di´ametro de un conjunto, como era de esperar, depende de la distancia.

De nuevo podemos practicar de forma que profundicemos un poco.

Ejercicios y Problemas P.1.10 Consideremos R con la distancia usual d(x, y) = |x − y| y el conjunto A = (1, 2] ⊂ R. Responda las siguientes cuestiones justificando las respuestas: 1.¿Cu a´ nto vale d( 23 , A)? 0, − 21 o 12 . 2.¿Cu a´ nto vale d(1, A)? 12 , 0 o 3.¿Cu a´ nto vale d(0, A)? 1,

1 2

1 4

o0

P.1.11 Si (X, d) es un espacio m´etrico y A, B ⊂ X no vac´ıos, demuestre que d(A, B) = ´ınf{d(y, A) : y ∈ B} = ´ınf{d(x, B) : x ∈ A}. P.1.12 Considere R con la distancia usual y A = {1/n + (−1)n : n ∈ N}. Calcule d(1, A) y d(−1, A). [I] P.1.13 Sea (X, d) un espacio m´etrico. En el Problema P.1.4 hemos visto que la aplicaci´on ρ : X × X −→ R definida por ρ(x, y) = m´ın{1, d(x, y)}, es una distancia. Considere el espacio (R2 , ρ) con ρ(x, y) = m´ın{1, d2 (x, y)} y el conjunto A = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}. Halle los puntos de R2 que verifican d(x, A) = 1. P.1.14 Sea (R2 , d2 ) y A = {(x, y) ∈ R2 : x + y < 1, x > 0, y > 0}. Calcule el di´ametro de A.

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1.3. Topolog´ıa asociada a un espacio m´etrico

1.3.Topolog ´ıa asociada a un espacio m´etrico A continuaci´on vamos a estudiar los subconjuntos, quiz´as m´as importantes, de un espacio m´etrico: las bolas. Se trata de una generalizaci´on del concepto conocido de intervalo abierto centrado en un punto de R. Definici´on 1.3.1. Sea (X, d) un espacio m´etrico, a ∈ X un punto y r > 0 un n´umero real. La bola abierta en X con centro en a y de radio r es el conjunto B(a, r) = {x ∈ X : d(x, a) < r}. Al conjunto B(a, r) = {x ∈ X : d(x, a) ≤ r}, se le llama bola cerrada. Si se necesita especificar con qu´e distancia se est´a trabajando, se representar´a por Bd (a, r). Las bolas juegan un papel muy importante a lo largo del desarrollo del presente curso, de modo que vamos a detenernos en estudiar algunas de ellas.

Ejemplos Ej.1.19. En (R, | |) la bola abierta de centro a y radio r > 0 es el intervalo abierto de extremos a − r y a + r: B(a, r) = {x ∈ R : |x − a| < r} = (a − r, a + r)

Ej.1.20. Este ejemplo justifica el nombre de bola. En (R2 , d2 ) tenemos que B(a, r) = {(x, y) ∈ R2 : (x − a)2 + (y − b)2 < r2 }, que es el interior del c´ırculo (es decir sin la circunferencia) de radio r centrado en el punto (a, b).

Figura 1.6 – Bola abierta para la distancia d2 .

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1. Espacios m´etricos

En el espacio tridimensional (R3 , d2 ) se tiene B(a, r) = {(x, y, z) ∈ R3 : (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 < r2 } que es el interior de la bola s´olida (sin la esfera) de radio r centrada en a = (a, b, c). Ej.1.21. Las bolas abiertas, sin embargo, pueden ser realmente muy diferentes y no tener la apariencia de una esfera, como se muestra en los siguientes casos. En (R2 , d∞ ) la bola B(0, r) es el interior del cuadrado de centro 0 y de lados paralelos a los ejes de coordenadas y con longitud 2r. En este caso la bola es B((0, 0), r) = {(x, y) ∈ R2 : d∞ ((0, 0), (x, y)) < r}, es decir, los puntos del plano que verifican m´ax{|x|, |y|} < r. Por tanto ha de cumplirse que |x| < r e |y| < r; en definitiva, las coordenadas x e y han de estar en el intervalo (−r, r), de modo que la bola ser´a B((0, 0), r) = (−r, r) × (−r, r). De la misma forma se obtiene que para cualquier punto (a, b) ∈ R2 (v´ease la Figura 1.7), B((a, b), r) = (a − r, a + r) × (b − r, b + r).

´ Figura 1.7 – Las bolas metricas en las distancias d∞ y d1 .

Ej.1.22. En (R2 , d1 ) la bola B(0, r) es el interior del cuadrado centrado en el punto (0, 0) y con v´ertices en los puntos (0, r), (0, −r), (r, 0), (−r, 0). Ahora tenemos B((0, 0), r) = {(x, y) ∈ R2 : d1 ((0, 0), (x, y)) < r}, es decir, los puntos del plano que verifican |x| + |y| < r. Si suponemos que x, y ≥ 0 se debe cumplir x + y < r, es decir, se trata de los puntos OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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1.3. Topolog´ıa asociada a un espacio m´etrico

del plano cuyas coordenadas son no negativas y verifican y < r − x; en definitiva, los puntos del primer cuadrante que est´an por debajo de la recta y = r − x. Razonando de la misma manera sobre los posibles signos de las coordenadas se obtiene el cuadrado a que nos refer´ıamos antes (v´ease la Figura 1.7). Ej.1.23. Sea un espacio m´etrico discreto (X, dD ). La bola B(a, r) es el conjunto  {a} si r ≤ 1 B(a, r) = X si r > 1 Ej.1.24. Sea H = [0, 1] ⊂ R con la distancia dH inducida por la distancia d de R. Entonces en R con la distancia usual la bola Bd (1, 1) es el intervalo (0, 2) mientras que, para la distancia inducida en H, BdH (1, 1) es el intervalo (0, 1], que es precisamente (0, 2) ∩ [0, 1]. Ej.1.25. Sea una funci´on f0 ∈ (C([0, 1], R), d∞ ). La bola B(f0 , r) es el conjunto B(f0 , r) = {f ∈ (C([0, 1], R) : sup{|f0 (x) − f (x)| ≤ r : x ∈ [0, 1]} de todas las funciones continuas f en [0, 1] cuya gr´afica se encuentra entre las gr´aficas de las funciones f0 − r y f0 + r (v´ease la Figura 1.8).

´ Figura 1.8 – Las bolas metricas en la distancia d∞ sobre C([0, 1], R).

Otra vez, puede ser un buen momento para pensar por su cuenta.

Ejercicios y Problemas P.1.15 Definimos la aplicaci´on d : R2 × R2 −→ R como sigue:  |x2 − y2 | si x1 = y1 d[(x1 , x2 ), (y1 , y2 )] = |x2 | + |x1 − y1 | + |y2 | si x1 6= y1 Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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1. Espacios m´etricos

Pruebe que d es una distancia sobre R2 . Determine y represente gr´aficamente las bolas B((0, 0), 1), B((1, 0), 1), B((0, 1), 1) y B((2, 3), 1). [R] P.1.16 Se define la parte entera de un n´umero real x ∈ R como [x] = el mayor n´umero entero menor o igual que x. Sea la aplicaci´on ρ : R × R −→ R definida como ρ(x, y) = |[x] − [y]| + |(x − [x]) − (y − [y])|. (a)Pruebe que ρ es una distancia en R. (b)Estudie c o´ mo son las bolas Bρ (0, 1) y Bρ ( 23 , 1) ¿C´omo son las bolas abiertas? (c)Pruebe que ρ y la distancia d(x) = |x − y| inducen la misma distancia en el conjunto Z de los n´umeros enteros. P.1.17 Pruebe que la aplicaci´on definida como d(x, y) = m´ ax{|x1 − x2 |, dD (y1 , y2 )}, con x = (x1 , y1 ), y = (x2 , y2 ), es una distancia en R2 . Determine c´omo son las bolas.

[R]

P.1.18 Sea d : R × R −→ R definida por d(x, y) =

2|x − y| . 1 + 3|x − y|

Compruebe que es una distancia y determine la bola Bd (0, r). [I] P.1.19 Sea d : R × R −→ R la distancia definida por  d(x, y) =

0 dD (x, 0) + dD (0, y)

si x = y si x 6= y

siendo dD la distancia discreta. Determine anal´ıtica y geom´etricamente las bolas Bd (x, r). [I] P.1.20 Sea C([0, 2π]) con la distancia del supremo. Describa anal´ıtica y gr´aficamente c´omo son las bolas de radio 1 y centro en las funciones f (x) = sen x y g(x) = 2 + cos x, respectivamente.

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1.3. Topolog´ıa asociada a un espacio m´etrico

1.3.1.Conjuntos abiertos Definici´on 1.3.2. Sea (X, d) un espacio m´etrico y A ⊂ X. Diremos que A es un conjunto abierto, si para cada punto a ∈ A, existe una bola B(a, ra ) contenida en A. Entenderemos que ∅ es abierto. Proposici´on 1.3.3. En un espacio m´etrico, cada bola abierta es un conjunto abierto. ´ . Sea la bola abierta B(a, r) y veamos que si x ∈ B(a, r), existe D EMOSTRACI ON δ > 0 tal que B(x, δ) ⊂ B(a, r). En efecto, tomemos δ = r − d(x, a) > 0, y comprobemos que si y ∈ B(x, δ), entonces y ∈ B(a, r). Tenemos que d(x, y) < δ y seg´un la desigualdad triangular d(a, y) ≤ d(a, x) + d(x, y) < d(a, x) + δ = r, lo que significa que y ∈ B(a, r) y por tanto que B(x, δ) ⊂ B(a, r) (v´ease la Figura 1.9).

Figura 1.9 – Las bolas abiertas, son conjuntos abiertos.

Teorema 1.3.4 (Propiedad de Hausdorff). Sea (X, d) un espacio m´etrico y dos puntos distintos x, y ∈ X. Entonces existen rx , ry > 0 tales que B(x, rx ) ∩ B(y, ry ) = ∅. ´ . Sea r = d(x, y), entonces las bolas B(x, r/2) y B(y, r/2) D EMOSTRACI ON abiertas, tienen intersecci´on vac´ıa. En efecto, veamos que ning´un punto de la primera puede estar en la segunda. Si z ∈ B(x, r/2), entonces, por la desigualdad triangular d(z, y) ≥ d(x, y) − d(z, x) = r − d(z, x) > r − r/2 = r/2, con lo que z ∈ / B(y, r/2). Para la otra bola se hace de la misma forma. Lema 1.3.5. La intersecci´on de dos bolas abiertas en un espacio m´etrico (X, d), es un abierto. Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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1. Espacios m´etricos

´ . Si la intersecci´on de ambas bolas es vac´ıa, no hay nada que D EMOSTRACI ON probar. Supongamos entonces que x ∈ B(a, r) ∩ B(b, s) y veamos que tal intersecci´on es un entorno de x. Se cumple que d(x, a) < r y d(x, b) < s; tomemos δ < m´ın{r−d(x, a), s−d(x, b)} y comprobemos que B(x, δ) ⊂ B(a, r)∩B(b, s) (v´ease la Figura 1.10). En efecto, si y ∈ B(x, δ), entonces d(y, a) ≤ d(y, x) + d(x, a) < δ + d(x, a) < r − d(x, a) + d(x, a) = r, y por tanto y ∈ B(x, a). De la misma forma se prueba que B(x, δ) ⊂ B(b, s). Con esto hemos probado que la intersecci´on de las dos bolas contiene una bola centrada en cada uno de sus puntos y, por lo tanto es un abierto.

´ de bolas abiertas es abierto. Figura 1.10 – La interseccion

El siguiente resultado es de gran trascendencia. Teorema 1.3.6. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Entonces se cumplen las propiedades siguientes: (a) X y ∅ son abiertos. (b)La uni o´ n de una familia cualquiera de conjuntos abiertos, es abierto. (c)La intersecci o´ n de una colecci´on finita de conjuntos abiertos, tambi´en es abierto. ´ . D EMOSTRACI ON (a) No hay nada que probar. (b) Sea {Ai }i∈I una familia cualquiera de subconjuntos abiertos del espacio X; si x ∈ ∪i∈I Ai , entonces x ∈ Ai0 para alg´un i0 ∈ I. Como Ai0 ∈I es abierto, existe r0 > 0 tal que B(x, r0 ) ⊂ Ai0 ⊂ ∪i∈I Ai y por tanto este u´ ltimo conjunto es abierto puesto que contiene una bola centrada en cada uno de sus puntos. (c) Si la intersecci´on es vac´ıa no hay nada que probar. Supongamos entonces, que A1 y A2 son dos conjuntos abiertos cuya intersecci´on es no vac´ıa. Si x ∈ A1 ∩A2 , existen r1 , r2 > 0 de modo B(x, r1 ) ⊂ A1 y B(x, r2 ) ⊂ A2 ; entonces seg´un el OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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1.3. Topolog´ıa asociada a un espacio m´etrico

Lema 1.3.5, hay una bola centrada en x contenida en la intersecci´on de ambas bolas, lo que implica que dicha bola tambi´en est´a en A1 ∩ A2 y que este u´ ltimo conjunto es abierto. Mediante un sencillo proceso de inducci´on se prueba que la intersecci´on de cualquier familia finita de abiertos es un abierto.

A la familia de todos los conjuntos abiertos de un espacio m´etrico (X, d) se le llama topolog´ıa asociada a la distancia d y la designaremos mediante Td , o simplemente T si no hay ambig¨uedad respecto de la distancia. Como era de esperar, teniendo en cuenta el nombre de la asignatura, estas familias ser´an las protagonistas de nuestro estudio. En general, si tenemos un conjunto X, a cualquier familia de subconjuntos de X que verifica las tres condiciones del Teorema 1.3.6 se le llama topolog´ıa sobre X. En este curso, nos limitaremos a estudiar topolog´ıas asociadas a espacios m´etricos aunque hay espacios topol´ogicos que no son m´etricos, como se muestra en el Ejemplo Ej.1.26.

Ejemplos Ej.1.26. Si X es un conjunto con m´as de un punto, la familia formada por el conjunto vac´ıo y el propio X es una topolog´ıa TI = {∅, X} sobre X, pues verifica las tres condiciones del Teorema 1.3.6 f´acilmente y no proviene de una distancia pues no verifica la Propiedad de Hausdorff 1.3.4. Esta topolog´ıa se llama topolog´ıa gruesa o indiscreta. Ej.1.27. Cualquier intervalo abierto de la recta real, acotado o no acotado, es un subconjunto abierto con la distancia usual. Tambi´en lo son las uniones de intervalos abiertos. Sin embargo, los intervalos [a, b], [a, b) y (a, b] no lo son. Realice, como ejercicio, los detalles. Ej.1.28. Un conjunto abierto no tiene por qu´e ser una bola abierta. As´ı, el subconjunto de R2 : A = {(x, y) ∈ R2 : |x| < 1, |y| < 2} no es una bola abierta de R2 para la distancia eucl´ıdea y, sin embargo, s´ı es un subconjunto abierto. Se ve f´acilmente que el conjunto A es el rect´angulo abierto (sin “bordes”) (−1, 1) × (−2, 2) (v´ease la Figura 1.11 (a)). Para ver que es abierto, comprobemos que contiene una bola, de radio adecuado, centrada en cada uno de sus puntos. Sea (a, b) ∈ A , es decir a ∈ (−1, 1) y b ∈ (−2, 2); si tomamos r < {1−|a|, 2−|b|} se tiene que B((a, b), r) ⊂ A. En efecto, si (x, y) ∈ B((a, b), r) se tiene (x − a)2 + (y − b)2 < r2 , de Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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1. Espacios m´etricos

(a)

(b)

Figura 1.11 – No todo conjunto abierto es una bola.

donde se deduce que |x − a| < r < 1 − |a| y, por tanto, −1 + |a| + a < x < 1 − |a| + a, de modo que si |a| = a (a ≥ 0) queda −1 + 2a < x < 1 y x ∈ (−1, 1); y si |a| = −a (a < 0) queda −1 < x < 1 + 2a, y tambi´en es x ∈ (−1, 1). De forma similar se comprueba que y ∈ (−2, 2). Por el contrario, el conjunto siguiente no es abierto B = {(x, y) ∈ R2 : |x| < 1, |y| ≤ 2}. Ahora B es el rect´angulo (−1, 1)×[−2, 2]. Para comprobar que no es abierto basta con encontrar un punto de B tal que cualquier bola con centro en ese punto tenga puntos fuera de B. Tomemos el punto (0, 2); entonces para todo r > 0 el punto (0, 2 + r/2) ∈ / B y, sin embargo, est´a en la bola B((0, 2), r) (v´ease la Figura 1.11 (b)). Ej.1.29. Sea (X, TD ) un espacio m´etrico discreto (TD es la topolog´ıa inducida por la distancia discreta). Entonces cualquier subconjunto es abierto como se deduce del Ejemplo Ej.1.23.. Ej.1.30. La intersecci´on arbitraria de abiertos no es, en general, un abierto. M´as a´un, la intersecci´on no finita de bolas conc´entricas, no es, necesariamente OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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1.3. Topolog´ıa asociada a un espacio m´etrico

una bola. Si consideramos la familia de abiertos {(− n1 , n1 ) : n ∈ N} en (R, | |), su intersecci´on es  ∞  \ 1 1 = {0}, − , n n n=1

que no es abierto (por cierto ¿sabr´ıa demostrar que la intersecci´on anterior es, precisamente {0}?). Ej.1.31. La condici´on de ser abierto depende naturalmente de la distancia y del espacio total. (a) El subconjunto {0} ⊂ R es abierto para la distancia discreta, pero no lo es para la distancia eucl´ıdea.

Proposici´on 1.3.7. En un espacio m´etrico (X, d), un conjunto es abierto si, y s´olo si, se puede expresar como uni´on de bolas abiertas. ´ . “⇒” Si A ⊂ X es un abierto, para cada x ∈ A, existe rx > 0 D EMOSTRACI ON tal que B(x, rx ) ⊂ A, de modo que ∪x∈A B(x, rx ) ⊂ A, pero como cada punto de A est´a en una de estas bolas, tambi´en se cumple A ⊂ ∪x∈A B(x, rx ), con lo que A es uni´on de bolas abiertas. El rec´ıproco es evidente.

1.3.2.Abiertos en subespacios Vamos a ver ahora c´omo son los abiertos en los subespacios. Evidentemente, considerados como espacios m´etricos en s´ı mismos, los abiertos tienen las propiedades descritas en la secci´on anterior. Pero nos planteamos estudiar su relaci´on con los abiertos del espacio total. Proposici´on 1.3.8. Sea (X, d) un espacio m´etrico y un subconjunto H ⊂ X. (a)Las bolas abiertas del subespacio m e´ trico (H, dH ) son la intersecci´on de bolas abiertas en el espacio total, con el subconjunto; es decir, BdH (a, r) = Bd (a, r) ∩ H. (b)Un subconjunto de H es abierto en (H, dH ) si, y s´olo si, es intersecci´on de un abierto en X con H. ´ . D EMOSTRACI ON (a)Efectivamente, observemos BdH (a, r) ={x ∈ H : dH (x, a) = d(x, a) < r} = {x ∈ X : d(x, a) < r} ∩ H = Bd (x, r) ∩ H. Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

(1.4)

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1. Espacios m´etricos

(b)Veamos la condici o´ n directa. Supongamos que A ⊂ H es abierto para la distancia inducida, entonces, seg´un la Proposici´on 1.3.7 A es uni´on de bolas abiertas en H, luego tenemos, aplicando el apartado (a) ! A=

[

BdH (a, ra ) =

a∈A

[

(Bd (a, ra )

\

H) =

a∈A

[

(Bd (a, ra )

\

H.

a∈A

(1.5) y queda demostrado. Para ver la condici´on inversa s´olo hay que invertir correctamente el razonamiento anterior.

Ejemplos Ej.1.32. Observemos que, aunque los abiertos en el subespacio, son intersecci´on de abiertos del espacio con el subconjunto en cuesti´on, los abiertos del subespacio no son necesariamente, abiertos en el espacio; en efecto, el intervalo [0, 1) es abierto en ([0, 2], d[0,2] ), pues se puede expresar como (−1, 1) ∩ [0, 2] (intersecci´on del abierto (−1, 1) en R con el subespacio), pero no lo es en R con la distancia usual.

Proposici´on 1.3.9. Sea (X, d) un espacio m´etrico y un sunconjunto H ⊂ X. Entonces son equivalentes: (a)Todo abierto en (H, dH ) es tambi´en abierto en (X, d). (b) H es abierto en (X, d). ´ . D EMOSTRACI ON (a)⇒(b) Est´a claro puesto que H es abierto en (H, dH ). (b)⇒(a) Seg´un la Proposici´on 1.3.8(b), si A ⊂ H es abierto en H, entonces A = B ∩ H para alg´un abierto B ⊂ X; entonces A es intersecci´on de dos abiertos en X y, por tanto tambi´en es abierto (v´ease el Teorema 1.3.6). Hace demasiado tiempo que no pensamos en algunos problemas. OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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1.3. Topolog´ıa asociada a un espacio m´etrico

Ejercicios y Problemas P.1.21 Justifique si son abiertos los siguientes conjuntos en (R2 , d2 ): A= {(x, y) ∈ R2 : xy = 0} B= {(x, y) ∈ R2 : x ∈ Q} C= {(x, y) ∈ R2 : |x| < 1} D= {(x, y) ∈ R2 : 0 < x < 1, 0 < y < 1}

S

{(x, y) ∈ R2 : x2 +y 2 = 0}

[I]

P.1.22 Demuestre que el intervalo H = [a, b] es abierto en (H, dH ), pero que no lo es en el espacio total R con la distancia eucl´ıdea. P.1.23 Sea (X, d) un espacio m´etrico, a ∈ X y r > 0. Demuestre que el conjunto {x ∈ X : d(a, x) > r} es abierto. [I] [R]

1.3.3.Conjuntos cerrados Los que llamaremos conjuntos cerrados juegan, en los espacios m´etricos, o si queremos, en la topolog´ıa m´etrica, un papel tan importante como los conjuntos abiertos y, en cierto sentido dual. Definici´on 1.3.10 (Conjunto cerrado). Sea (X, d) un espacio m´etrico y C ⊂ X un subconjunto; diremos que C es un conjunto (o subconjunto) cerrado si su complementario X − C = C c es un abierto. Esta claro, a partir de la definici´on anterior, que tanto X como ∅ son cerrados. La siguiente Proposici´on 1.3.11 ofrece una primera caracterizaci´on de los conjuntos cerrados. Proposici´on 1.3.11. Un subconjunto C de un espacio m´etrico (X, d) es cerrado si, y s´olo si, para todo x ∈ / C existe una bola abierta, de centro x y radio r > 0 tal que B(x, r) ∩ C = ∅. ´ . D EMOSTRACI ON ⇒ Si C ⊂ X es cerrado quiere decir que C c es abierto; por tanto, para todo x∈ / C (x ∈ C c ) existe r > 0 tal que B(x, r) ⊂ C c y por tanto se cumple que B(x, r) ∩ C = ∅. ⇐ Si para todo x ∈ / C (x ∈ C c ) existe r > 0 tal que B(x, r) ∩ C = ∅, entonces B(x, r) ⊂ C c y as´ı C c es abierto, luego C es cerrado. Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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1. Espacios m´etricos

Proposici´on 1.3.12. Las bolas cerradas son conjuntos cerrados. ´ . D EMOSTRACI ON S´olo hay que ver que su complementario es abierto; y esto es, precisamente lo que propone el Problema P.1.23.

Ejemplos Ej.1.33. En R, con la distancia usual, los intervalos cerrados son subconjuntos cerrados (pru´ebelo); tambi´en lo son las semirrectas cerradas [a, +∞) o (−∞, b] (pru´ebelo tambi´en). No son cerrados, los intervalos de la forma [a, b), (a, b], pero observe que tampoco son abiertos (pru´ebelo), lo que significa que hay conjuntos que no son ni abiertos ni cerrados. Sin embargo, un intervalo (a, b) es abierto y no es cerrado. Ej.1.34. En (R2 , d2 ), el conjunto A = {(x, y) ∈ R2 : |x| < 1, |y| ≤ 2} no es cerrado, pero B = {(x, y) ∈ R2 : |x| ≤ 1, |y| ≤ 2} s´ı lo es, lo cual se puede comprobar razonando de forma similar al Ejemplo Ej.1.28.. Ej.1.35. Cualquier recta en (R2 , d2 ) es un conjunto cerrado. Basta ver que su complementario es abierto. Si un punto est´a fuera de la recta, la bola de centro este punto y radio menor que la distancia de dicho punto a la recta est´a contenida en el complementario de la recta, lo que prueba que es abierto. Ej.1.36. Los conjuntos unipuntuales, tambi´en son cerrados en un espacio m´etrico, basta aplicar la Propiedad de Hausdorff 1.3.4. ¿Y los conjuntos finitos?

Los conjuntos cerrados juegan un papel sim´etrico respecto de los abiertos, de hecho, observe el siguiente resultado y comp´arelo con el Teorema 1.3.6. Teorema 1.3.13. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Entonces se cumplen las propiedades siguientes: (a) X y ∅ son cerrados. (b)La intersecci o´ n de cualquier familia de conjuntos cerrados, es cerrado. (c)La uni o´ n de una colecci´on finita de conjuntos cerrados, tambi´en es cerrado. OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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1.3. Topolog´ıa asociada a un espacio m´etrico

´ . La propiedad (a) es evidente (ya lo hemos comentado antes). D EMOSTRACI ON Respecto a la propiedad (b), sea la familia de cerrados {Ci }i∈I , Si la intersecci´on es vac´ıa no hay nada que probar, de modo que supongamos ∩i∈I Ci 6= ∅. Veamos que el complementario es abierto, para esto aplicamos las leyes de De Morgan \ [ X− Ci = (X − Ci ), i∈I

i∈I

como cada uno de los Ci es cerrado, entonces X − Ci es abierto; lo que implica que la uni´on de todos ellos lo es, lo que demuestra que la intersecci´on ∩i∈I Ci es cerrado. Para finalizar veamos que la uni´on finita de conjuntos de la familia en cuesti´on, es cerrado. De nuevo veremos que su complementario es abierto. Sea ∪ni=1 Ci la uni´on de una cantidad finita de conjuntos; entonces, aplicando las leyes de De Morgan otra vez n n [ \ X− Ci = (X − Ci ) i=1

i=1

y esta u´ ltima intersecci´on es abierto por ser intersecci´on finita de abiertos, con lo que concluye la prueba.

Ejemplos Ej.1.37. La uni´on arbitraria de cerrados  no es, necesariamente, un cerrado. Consideremos la familia { 0, 1 − n1 : n ∈ N} de intervalos cerrados en R; su uni´on es el conjunto no cerrado  [ 1 = [0, 1). 0, 1 − n n∈N

Ej.1.38. Cualquier subconjunto en la distancia discreta es cerrado y tambi´en abierto. Observe entonces que puede darse el caso de conjuntos que son, a la vez, abiertos y cerrados.

1.3.4.Cerrados en subespacios Al igual que hac´ıamos en la secci´on 1.3.2, nos planteamos estudiar c´omo son los cerrados en los subespacios, y su relaci´on con el espacio total. Proposici´on 1.3.14. Sea (X, d) un espacio m´etrico y sea H un subconjunto de X. Entonces: Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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1. Espacios m´etricos

(a)Las bolas cerradas del subespacio m e´ trico (H, dH ) son intersecci´on de bolas cerradas en el espacio total, con el subconjunto; es decir, B dH (x, r) = B d (x, r) ∩ H. (b)Un subconjunto de H es cerrado en (H, dH ) si, y s´olo si, es intersecci´on de un cerrado en X con H. ´ . D EMOSTRACI ON (a). En efecto B dH (a, r) = {x ∈ H : dH (a, x) ≤ r} = {x ∈ X : d(a, x) ≤ r} ∩ H = B(x, r) ∩ H. (b). Sea C ⊂ H un cerrado en (H, dH ), entonces H − C es abierto en H y seg´un la Proposici´on 1.3.8 H − C = A ∩ H con A un abierto, esta vez en X; pero como C ⊂ H, C ⊂ X − A (si c ∈ C ∩ A, c ∈ H luego c ∈ A ∩ H, en contra de que c ∈ H) y por tanto (X − A) ∩ H = C. El rec´ıproco es evidente.

Ejercicios y Problemas P.1.24 Sea (X, d) un espacio m´etrico, a ∈ X y r > 0. Demuestre que el conjunto {x ∈ X : d(a, x) ≥ r} es un conjunto cerrado. P.1.25 Considere el espacio m´etrico de las sucesiones reales acotadas (`∞ , d∞ ). ∞ : l´ Pruebe que el conjunto A = {(xn )∞ ımn→∞ xn = 0} es n=1 ∈ ` cerrado. [I] [R]

1.4.Distancias equivalentes Nos planteamos en esta secci´on la posibilidad de comparar las topolog´ıas que sobre un mismo conjunto, generan distancias diferentes, en el sentido de que sean, o no, iguales, es decir, que tengan los mismos abiertos. Definici´on 1.4.1. Dos distancias d y d0 sobre un mismo conjunto X son equivalentes si dan lugar a la misma topolog´ıa m´etrica, es decir, si Td = Td0 , es decir, generan los mismos conjuntos abiertos. Proposici´on 1.4.2. Sean d y d0 dos distancias definidas sobre un conjunto X. Entonces d y d0 son equivalentes si, y s´olo si, para todo x ∈ X y para todo r > 0 existe δ > 0 tal que Bd (x, δ) ⊂ Bd0 (x, r) OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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1.4. Distancias equivalentes

y existe δ 0 > 0 tal que Bd0 (x, δ 0 ) ⊂ Bd (x, r). ´ . D EMOSTRACI ON ⇒ Supongamos que d y d0 son equivalentes. Dados x ∈ X y r > 0, Bd0 (x, r) es un abierto de Td0 y, por tanto, tambi´en est´a en Td ; entonces existe δ > 0 tal que Bd (x, δ) ⊂ Bd0 (x, r). An´alogamente se demuestra la segunda afirmaci´on. ⇐ Rec´ıprocamente, si suponemos que se cumplen las dos afirmaciones, veamos que d y d0 son equivalentes. Sea A un abierto de Td y sea x ∈ A. Entonces existe r > 0 tal que Bd (x, r) ⊂ A. Aplicando la segunda propiedad, existir´a δ 0 > 0 tal que Bd0 (x, δ 0 ) ⊂ Bd (x, r), y, como esto es para todo x ∈ A, tenemos que A ∈ Td0 y es, por tanto, abierto en esta topolog´ıa. De forma an´aloga se demuestra que todo abierto de Td0 lo es tambi´en de Td . Teorema 1.4.3. Dos distancias d y d0 sobre un conjunto X son equivalentes si existen constantes m, M > 0 tales que para todo par de puntos x, y ∈ X se satisface m d(x, y) ≤ d0 (x, y) ≤ M d(x, y). ´ . Sean x ∈ X y r > 0. Entonces tomando δ = r/M se tiene D EMOSTRACI ON que d(x, y) ≤ δ implica que d0 (x, y) ≤ M d(x, y) ≤ M δ = r, con lo que Bd (x, δ) ⊂ Bd0 (x, r). De forma an´aloga, tomando δ 0 = mr se tiene que Bd0 (x, δ 0 ) ⊂ Bd (x, r).

Ejemplos Ej.1.39. No todas las distancias definidas en un conjunto son equivalentes. Por ejemplo, la distancia eucl´ıdea y la distancia discreta sobre R2 no son equivalentes, ya que los puntos no son abiertos en la topolog´ıa usual (generada por la distancia eucl´ıdea) y s´ı lo son en la topolog´ıa discreta (generada por la distancia discreta).

Ejercicios y Problemas P.1.26 Demuestre que las tres distancias d1 , d2 y d∞ en Rn son equivalentes, de modo que generan la misma topolog´ıa m´etrica (que coincide con la topolog´ıa usual). En particular, en el caso n = 1, las tres distancias son iguales a la distancia usual de R, que viene dada por el valor absoluto. [I] Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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1. Espacios m´etricos

P.1.27 En C([0, 1]) consideremos la distancia d∞ y la distancia del a´ rea: 1

Z

|f (x) − g(x)|dx.

d(f, g) = 0

Sea 0 < r ≤ 2 y consideremos las funciones f y g definidas por ( 4x − + 4 si 0 ≤ x ≤ 12 r f (x) = 2 para todo x ∈ [0, 1] y g(x) = r 2 si 12 r ≤ x ≤ 1 Pruebe que g ∈ Bd (f, r) pero g ∈ / B∞ (f, 1). Deduzca que d y d∞ no son equivalentes.

1.5.Espacios normados Vamos a ver una clase de espacios m´etricos interesantes e importantes en otras ramas de las matem´aticas. Definici´on 1.5.1. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K (R o C). Una aplicaci´on k.k : V −→ R, es una norma sobre V si verifica: (i) kxk ≥ 0. (ii) kxk = 0 si, y solo si, x = 0. (iii) kλxk = |λ|kxk. (iv) kx + yk ≤ kxk + kyk. Diremos entonces, que (V, k.k) es un espacio vectorial normado. Proposici´on 1.5.2. Un espacio normado (V, k.k) es un espacio m´etrico, con la distancia d : V × V −→ R definida como d(x, y) = kx − yk. ´ . Es una consecuencia directa de la definici´on de norma. D EMOSTRACI ON

Ejemplos Ej.1.40. kxk = |x| es una norma sobre R (considerado R como espacio vectorial sobre s´ı mismo). Ej.1.41. Considerando Rn como espacio vectorial sobre R, las siguientes, son normas sobre Rn , con x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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1.5. Espacios normados

kxk1 =

n X

|xi |.

i=1

kxk2 =

n X

!1/2 x2i

.

i=1

kxk∞ = m´ ax{|xi | : i = 1, . . . , m}. Observe que estas tres normas dan lugar, respectivamente, a las distancias d1 , d2 y d∞ que hemos estudiado con detalle.

Ejercicios y Problemas P.1.28 Sea (X, d) un espacio m´etrico. Definimos δ(x, y) =

d(x, y) 1 + d(x, y)

(a)Demuestre que se trata de una distancia. (b)Una distancia d es acotada, si existe M > 0 tal que d(x, y) ≤ M para todo x, y. Demuestre que tanto δ como ρ(x, y) = m´ın{1, d(x, y)} (v´ease el Problema P.1.4), son acotadas. (c)Demuestre que d, δ y ρ son equivalentes. (d)Si d es la distancia usual de R, determine las bolas en (R, ρ) y en (R, δ). P.1.29 Si X es un conjunto e (Y, d) es un espacio m´etrico, sea A(X, Y ) el conjunto de las aplicaciones acotadas de X en Y , es decir f ∈ A(X, Y ) si f (X) ⊂ Y es un conjunto acotado. Demuestre que si definimos la aplicaci´on d∞ : A(X, Y ) × A(X, Y ) −→ R, como d∞ (f, g) = sup{d(f (x), g(x)) :∈ X}, se trata de una distancia (distancia del supremo). P.1.30 Sea f : [0, +∞) −→ [0, +∞) una funci´on estrictamente creciente verificando: (a) f (0) = 0; (b)Si x, y ≥ 0 ⇒ f (x + y) ≤ f (x) + f (y). Si (X, d) es un espacio m´etrico, pruebe que la aplicaci´on d0 = f ◦ d, es decir, d0 (x, y) = f (d(x, y)), es tambi´en una distancia sobre X. [I] [R] Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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1. Espacios m´etricos

P.1.31 Sea (R2 , d2 ) y consideremos el subconjunto A dado por A = {(x, y) ∈ R2 : (x−2)2 +y 2 ≤ 2}

[

{(x, y) ∈ R2 : (x+2)2 +y 2 ≤ 2}.

Determine en (A, d2 |A ) la bola cerrada de centro (0, 0) y radio 1. P.1.32 De muestre que en R con la topolog´ıa usual, se verifican: (a)Un conjunto es abierto, si y s o´ lo si, se puede expresar como uni´on de intervalos abiertos. (a)M a´ s a´un, un conjunto es abierto si, y s´olo si, es uni´on de una colecci´on numerable de intervalos abiertos disjuntos. P.1.33 Consideremos el conjunto 2

` = {(an )n sucesi´on real :

∞ X

a2n es convergente}.

n=1

Entonces k(an )n k =

∞ X

! |an |2

n=1

es una norma, y por tanto `2 es un espacio m´etrico. P.1.34 Si, en la definici´on de distancia, la condici´on (2) se cambia por (2’) “si x ∈ X, entonces d(x, x) = 0” (admitimos la posibilidad de la existencia de x, y ∈ X distintos con d(x, y) = 0), entonces se dice que d es una pseudom´etrica. Sea, entonces d una pseudom´etrica sobre un conjunto X. Definimos la siguiente relaci´on: x ∼ y, si, y s´olo si d(x, y) = 0 1.Demuestre que se trata de una relaci o´ n de equivalencia. 2.Demuestre que la siguiente aplicaci o´ n es una distancia sobre el conjunto cociente X/ ∼= {ˆ x : x ∈ X} (ˆ x es la clase de equivalencia de x); ρ(ˆ x, yˆ) = d(x, y). [I] [R]

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1.5. Espacios normados

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2 Subconjuntos destacados en la topolog´ıa m´etrica En este cap´ıtulo, introducimos una serie de conceptos ligados a los puntos y a conjuntos que por el importante papel que juegan en la topolog´ıa m´etrica, llamamos destacados; como son los entornos, la adherencia de un conjunto, los puntos aislados, de acumulaci´on, interiores, exteriores y frontera, presentando relaciones entre ellos. Cuando entra en juego un subespacio, es necesario estudiar la adherencia, el interior y la frontera relativos. Finalizamos con una secci´on dedicada a las sucesiones, ya que juegan un importante papel en los espacios m´etricos. Se pretenden alcanzar las siguientes competencias espec´ıficas: 1.Utilizar los conceptos b a´ sicos asociados a la noci´on de espacio m´etrico. 2.Reconocer y utilizar las propiedades sencillas de la topolog ´ıa m´etrica. 3.Saber calcular la adherencia, el interior y la frontera de subconjuntos de algunos espacios m´etricos, en particular, de los espacios eucl´ıdeos. 4.Saber caracterizar diferentes propiedades y conceptos topol o´ gicos mediante el uso de sucesiones, particularmente la continuidad, la adherencia, los subconjuntos cerrados y los subconjuntos compactos. Los contenidos desarrollados son los siguientes: Adherencia, interior y frontera. 75

76

2.1. Entornos

Puntos aislados y de acumulaci´on. Adherencia, interior y frontera relativos. Sucesiones. Convergencia. Caracterizaci´on mediante sucesiones de los puntos adherentes y puntos frontera. Conjuntos densos y espacios separables.

2.1.Entornos Definici´on 2.1.1. Si (X, d) es un espacio m´etrico, diremos que un subconjunto U ⊂ X es entorno de un punto x ∈ X si verifica que x ∈ U y existe un abierto A ∈ T , tal que x ∈ A ⊂ U . A la familia de entornos de un punto x ∈ X la denotaremos por Ux . Proposici´on 2.1.2. Si (X, d) es un espacio m´etrico, son equivalentes: (a) U ⊂ X es entorno de un punto x ∈ X. (b)Existe r > 0, tal que B(x, r) ⊂ U . ´ . D EMOSTRACI ON “(a)⇒(b)” Por ser U entorno de x, existe A abierto con x ∈ A ⊂ U , luego para alg´un r > 0, B(x, r) ⊂ A y por tanto B(x, r) ⊂ U . “(b)⇒(a)” Como B(x, r) es abierto, es consecuencia de la definici´on.

Ejemplos Ej.2.1. En un espacio discreto, un subconjunto U es entorno de un punto x si, y s´olo si, x ∈ U ; en particular un conjunto unipuntual es entorno del punto en cuesti´on, pues seg´un hemos visto en el Ej.1.23., todos los subconjuntos de un espacio discreto son abiertos (y tambi´en cerrados). Ej.2.2. En R con la distancia usual, el intervalo [0, 2] es entorno del 1 (¿por qu´e?). En consecuencia un entorno no es necesariamente, un conjunto abierto. Ej.2.3. Una bola abierta es entorno de todos sus puntos, pues seg´un hemos visto en la Proposici´on 1.3.3, contiene una bola centrada en cada uno de sus puntos. Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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2. Subconjuntos destacados en la topolog´ıa m´etrica

Proposici´on 2.1.3. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Son equivalentes: (a) A ⊂ X es abierto. (b) A es entorno de todos sus puntos. ´ . D EMOSTRACI ON “(a)⇒(b)” Si x ∈ A y A es abierto, entonces x ∈ A ⊆ A, es decir, A ∈ Ux . “(a)⇒(b)“ Si A es entorno de cada uno de sus puntos, para cada uno de ellos, existe Ax ∈ Td abierto, tal que x ∈ Ax ⊂ A, lo que significa que A = ∪x∈A Ax que es abierto por ser uni´on de conjuntos abiertos. Proposici´on 2.1.4. Sea (X, d) un espacio m´etrico y un punto x ∈ X. La familia de entornos de x, Ux verifica las siguientes propiedades: (1) Si U ∈ Ux , entonces x ∈ U . (2) Si U ∈ Ux y U ⊂ V , entonces V ∈ Ux . (3) Si U, V ∈ Ux , entonces U ∩ V ∈ Ux . (4) Si U ∈ Ux , existe V ∈ Ux tal que x ∈ V ⊂ U y V ∈ Uy para todo y ∈ V . ´ . D EMOSTRACI ON (1)Por la propia definici o´ n de entorno. (2)Como U ∈ Ux , entonces existe un abierto A de modo que x ∈ A ⊂ U , pero entonces x ∈ A ⊂ V ; por tanto, V ∈ Ux . (3)Si U, V ∈ Ux existen abiertos A, B, tales que x ∈ A ⊂ U y x ∈ B ⊂ V . Esto implica que x ∈ A ∩ B ⊂ U ∩ V , y como A ∩ B es abierto por ser intersecci´on de dos abiertos, tendremos que U ∩ V ∈ Ux . (4)Como U ∈ Ux , existe un abierto A ∈ T tal que x ∈ A ⊂ U ; basta tomar A = V , ya que al ser abierto es entorno de todos sus puntos.

La familia de todos los entornos es habitualmente muy grande y, con frecuencia, dif´ıcil de manipular. Incluso en el caso de R, con la topolog´ıa usual, los entornos pueden no ser sencillos, lo que se resuelve trabajando con los intervalos. En el caso general introduciremos un concepto que facilitar´a el trabajo de forma semejante. Definici´on 2.1.5. Sea (X, d) un espacio m´etrico, un punto x ∈ X y una subfamilia Bx ⊂ Ux de la familia de entornos de x. Bx es una base de entornos de x, o base local de x en (X, d), si se verifica que para todo entorno U ∈ Ux existe V ∈ Bx tal que V ⊂ U . OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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2.1. Entornos

Ejemplos Ej.2.4. En un espacio m´etrico, las bolas abiertas centradas en un punto son base de entornos de dicho punto, como consecuencia de la Proposici´on 2.1.3 y de que todo abierto es uni´on de bolas abiertas (Proposici´on 1.3.7). En concreto, en R con la distancia usual, una base de entornos para cada punto x ∈ R es la familia formada por los intervalos abiertos de centro x y radio r > 0, es decir, {(x − r, x + r) : r > 0}. Ej.2.5. Si (X, dD ) es un espacio m´etrico discreto, {x} es un entorno de x, para todo x ∈ X. Entonces la familia formada s´olo por este entorno Bx = {{x}} es claramente una base de entornos de x. Estamos en condiciones de practicar y profundizar un poco por cuenta propia. De modo que puede trabajar con los ejercicios y problemas siguientes. Por otra parte, la parte correspondiente al estudio de los entornos en los subespacios presenta dos resultados b´asicos que se enuncian en los Problemas P.2.1 y P.2.2, a los que debe prestar atenci´on.

Ejercicios y Problemas P.2.1 Sea (X, d) un espacio m´etrico y sea H ⊂ X. Dado x ∈ H, un subconjunto V ⊂ H es un entorno relativo de x, es decir, en (H, dh ) ( V ∈ UxH ) si, y s´olo si, existe U entorno de x en el espacio total ( U ∈ Ux ) de forma que V = U ∩ H. [I] [R] P.2.2 Sea (X, d) un espacio m´etrico y sea x ∈ H ⊂ X. Si Bx es una base de entornos de x en (X, d), la familia BxH = {B ∩ H : B ∈ Bx } es una base de entornos para la distancia relativa. [I] [R] P.2.3 Demuestre que, en un espacio m´etrico, todo punto tiene una base de entornos numerable. [I] P.2.4 En R con la topolog´ıa (distancia) usual,  estudie si los
siguientes intervalos 1 1 1 son entornos de 0 o no lo son: − 2 , 2 ; (−1, 0]; 0, 2 ; (0, 1]. P.2.5 Considere el espacio m´etrico (R2 , d2 ). Estudie cu´ales de los siguientes conjuntos son entornos del origen de coordenadas: (− 12 , 21 ] × (− 14 , 41 ] (− 12 , 0] × (−1, 0] [0, 12 ) × (0, 41 ] (0, 1] × (0, 12 ].

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2. Subconjuntos destacados en la topolog´ıa m´etrica

2.2.Adherencia Definici´on 2.2.1. Sea (X, d) un espacio m´etrico y sea A un subconjunto de X. Se dice que x ∈ X es un punto adherente de A si todo entorno U de x cumple que U ∩ A 6= ∅, es decir, no hay ning´un entorno de x totalmente contenido en X − A. El conjunto de puntos adherentes de A se llama la adherencia o la clausura de A y se representa por A. Observaci´on 2.2.2. Tal y como hemos definido la adherencia de un conjunto A, es evidente que A ⊂ A. Proposici´on 2.2.3. Sea (X, d) un espacio m´etrico y A ⊂ X un conjunto. Entonces, x ∈ X es x ∈ A si, s´olo si, para todo r > 0, se cumple B(x, r) ∩ A 6= ∅. ´ . Es consecuencia inmediata de las definiciones de entorno y de D EMOSTRACI ON punto adherente. Teorema 2.2.4. Sea (X, d) un espacio m´etrico y A ⊂ X. Entonces: (a)El conjunto A es cerrado. (b) A es el menor cerrado que contiene a A, es decir, si B es un conjunto cerrado tal que A ⊂ B, entonces A ⊂ B. ´ . D EMOSTRACI ON (a)Veamos que el complementario de A es abierto. Si x ∈ X − A, de acuerdo con la Proposici´on 2.2.3 existe r > 0 tal que B(x, r) ∩ A = ∅, lo que significa que B(x, r) ⊂ X −A; veamos que, adem´as, B(x, r) ⊂ X −A con lo que este u´ ltimo conjunto ser´a abierto. En efecto, para todo y ∈ B(x, r), la bola B(x, r) es un entorno de y que no corta a A, luego y ∈ / A. Es decir, B(x, r) ⊂ X − A, como deseabamos probar. (b)Razonaremos por reducci o´ n al absurdo. Sea B un cerrado tal que A ⊂ B y supongamos que A 6⊂ B, es decir, que existe un punto x ∈ A tal que x∈ / B. Entonces X − B es un abierto que contiene al punto x y como que A ⊂ B, se cumple que (X − B) ∩ A = ∅. Por tanto, x no es un punto adherente de A, lo cual es una contradicci´on.

Corolario 2.2.5. Sea (X, d) un espacio m´etrico y A ⊂ X. Se verifican: (a) A es el conjunto intersecci´on de todos los conjuntos cerrados en X que contienen a A. OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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2.2. Adherencia

(b) A es cerrado si, y s´olo si, A = A. ´ . Ambas son consecuencia inmediata del Teorema 2.2.4. D EMOSTRACI ON Proposici´on 2.2.6. Sea (X, d) un espacio m´etrico, A y B subconjuntos de X. Entonces se cumplen las propiedades siguientes: (a)Si A ⊂ B entonces A ⊂ B. (b) A ∪ B = A ∪ B. ´ . D EMOSTRACI ON (a)Si x ∈ A, entonces para todo U ∈ Ux se cumple que U ∩ A 6= ∅. Como U ∩ A ⊂ U ∩ B, se cumple tambi´en que U ∩ B 6= ∅. Por tanto, x ∈ B. (b)“ ⊂” Tenemos que A ⊂ A ∪ B y B ⊂ A ∪ B, luego por la propiedad (a) se cumple que A ⊂ A ∪ B y B ⊂ A ∪ B. Por tanto A ∪ B ⊂ A ∪ B. “⊃” Para ver la inclusi´on contraria, sea x ∈ A ∪ B. Si x no es adherente a A ni a B, existir´an dos entornos U1 , U2 ∈ Ux tales que U1 ∩ A = ∅ y U2 ∩ B = ∅. Por otra parte, U1 ∩U2 es entorno de x tal que (U1 ∩U2 )∩(A∪B) = ∅; pero esto es contradictorio con el hecho de que x ∈ A ∪ B pues todo entorno de x deber´ıa cortar a A ∪ B.

Veamos algunos ejemplos que ayuden a asimilar estos u´ ltimos resultados.

Ejemplos Ej.2.6. Consideremos R con la distancia usual. Si A = (0, 1] entonces A = [0, 1], ya que cada entorno del n´umero 0 interseca a A, mientras que cada punto fuera de [0, 1] tiene un entorno disjunto con A. En efecto, si (−r, r), con r > 0, es un entorno de 0, est´a claro que (−r, r) ∩ (0, 1] 6= ∅, con lo que 0 ∈ A y, por tanto, [0, 1] ⊆ A. Para comprobar que la anterior inclusi´on es una igualdad, supongamos que x ∈ A pero x ∈ / [0, 1]; si x > 1 existe δ > 0 tal que 1 < x − δ, por lo que (x − δ, x + δ) es un entorno de x que verifica (x − δ, x + δ) ∩ A = ∅, en contra de que x es un punto adherente. An´alogamente se comprueba que si x < 0 entonces x ∈ / A. Ej.2.7. En un espacio discreto, un punto x es adherente a un conjunto si, y s´olo si, pertenece a dicho conjunto, ya que los conjuntos unipuntuales son bolas abiertas. Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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2. Subconjuntos destacados en la topolog´ıa m´etrica

Proposici´on 2.2.7. Sea (X, d) un espacio m´etrico y A ⊂ X un subconjunto. Entonces un punto x ∈ A si, y s´olo si, la distancia de x a A es d(x, A) = 0. En otras palabras A = {x ∈ X : d(x, A) = 0}. ´ . D EMOSTRACI ON “⇒“ Supongamos que x ∈ A y que, sin embargo, d(x, A) = λ > 0; entonces B(x, λ/2) ∩ A = ∅, ya que si y ∈ B(x, λ/2) ∩ A, entonces d(x, y) < λ/2 < λ y λ no ser´ıa el ´ınfimo. Esto contradice el hecho de que x es un punto adherente de A. “⇐“ Rec´ıprocamente, si 0 = d(x, A) = ´ınf{d(x, y) : y ∈ A}, entonces para cualquier n ∈ N existe un punto y ∈ A tal que d(x, y) < 1/n, de modo que B(x, 1/n) ∩ A 6= ∅. Por tanto, x ∈ A Practique por su cuenta.

Ejercicios y Problemas P.2.6 Determine la clausura de los siguientes subconjuntos de R, justificando adecuadamente su respuesta: (1) (2) (3) (4) (5)

B = {1/n | n ∈ Z+ }. C = {0} ∪ (1, 2). Q (el conjunto de los n´umeros racionales). N (el conjunto de los n´umeros enteros). R+ (el conjunto de los n´umeros reales positivos).

P.2.7 Demuestre que si A es un cerrado en un espacio m´etrico y x ∈ / A, entonces d(x, A) > 0. [I] P.2.8 Demuestre que una bola cerrada, en un espacio m´etrico, es la adherencia de la correspondiente bola abierta. P.2.9 Encuentre en R con la topolog´ıa usual (o en R2 ), ejemplos de conjuntos A y B, de manera que los conjuntos siguientes sean distitntos A ∩ B,

A ∩ B,

A∩B

y

A ∩ B.

P.2.10 Si A y B son dos subconjuntos de un espacio m´etrico, demuestre que (A ∩ B) ⊆ A ∩ B. El ejercicio P.2.9 anterior le habr´a proporcionado un ejemplo que muestre que la inclusi´on puede ser estricta.

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2.3. Puntos de acumulaci´on (o l´ımite) y puntos aislados

2.2.1.Adherencia relativa Veamos cual es el comportamiento de los subespacios con respecto a la adherencia. Si tenemos un espacio m´etrico (X, d) y un subconjunto H ⊂ X, se puede H estudiar la adherencia de un subconjunto A ⊂ H, tanto en H, A , como en X, A. ¿Cu´al es la relaci´on entre ambas? Vamos a estudiarla a continuaci´on. Proposici´on 2.2.8. Sea (X, d) un espacio m´etrico y H ⊂ X. Consideremos el subespacio m´etrico (H, dH ) y sea A ⊂ H ⊂ X. Entonces H

A

= A ∩ H.

´ . D EMOSTRACI ON “⊂” Como A es cerrado en X, seg´un la Proposici´on 1.3.14, el conjunto A ∩ H es cerrado en H. Adem´as, como A ⊂ H, tenemos que A ⊂ A ∩ H y como la adherencia de A en H es el menor de los cerrados de H que contiene a A, H tendremos que A ⊂ A ∩ H. H

“⊃” Rec´ıprocamente, sea x ∈ A ∩ H. Para ver que x ∈ A , hay que ver que toda bola BH (x, r) tiene intersecci´on no vac´ıa con A. En efecto, seg´un la Proposici´on 1.3.8, BH (x, r) = B(x, r) ∩ H; y como x ∈ A, tenemos que B(x, r) ∩ A 6= ∅, y H por tanto BH (x, r)∩A = B(x, r)∩H ∩A 6= ∅, lo que significa que x ∈ A .

Ejemplos Ej.2.8. La adherencia de (0, 1) en (0, +∞) (considerado este u´ ltimo como subespacio topol´ogico de R con la topolog´ıa usual) es (0, 1], ya que, aplicando la Proposici´on 2.2.8 anterior (0, 1)

(0,+∞)

= (0, 1) ∩ (0, +∞) = [0, 1] ∩ (0, +∞) = (0, 1].

2.3.Puntos de acumulaci o´ n (o l´ımite) y puntos aislados Definici´on 2.3.1. Sea (X, d) un espacio topol´ogico y A ⊂ X. Diremos que un punto x ∈ X es un punto de acumulaci´on (o punto l´ımite) de A si cualquier entorno U de x contiene un punto de A distinto de x. Es decir, si (U − {x}) ∩ A 6= ∅. El conjunto de todos los puntos de acumulaci´on de A se llama conjunto derivado de A, y se representa por A0 . Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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2. Subconjuntos destacados en la topolog´ıa m´etrica

Proposici´on 2.3.2. Sea (X, d) un espacio m´etrico y A ⊂ X un subconjunto. Entonces x ∈ X es un punto de acumulaci´on de A si, y s´olo si, para todo r > 0 se cumple que (B(x, r) − {x}) ∩ A 6= ∅ ´ . Se trata u´ nicamente de aplicar la definici´on de abierto en un D EMOSTRACI ON espacio m´etrico. Un concepto dual, en cierto sentido, es el de punto aislado. Definici´on 2.3.3. Sea (X, d) un espacio m´etrico y A ⊂ X. Diremos que un punto x ∈ A ⊂ X es un punto aislado de A si existe un entorno U de x tal que U ∩ A = {x}. Proposici´on 2.3.4. Sea (X, d) un espacio m´etrico y A ⊂ X un subconjunto. Entonces x ∈ X es un punto de aislado de A si, y s´olo si, existe r > 0 de modo que que B(x, r) ∩ A = {x} ´ . Se trata u´ nicamente de aplicar la definici´on de abierto en un D EMOSTRACI ON espacio m´etrico. El siguiente resultado proporciona una relaci´on entre puntos adherentes, puntos de acumulaci´on y puntos aislados. Proposici´on 2.3.5. Sea (X, d) un espacio topol´ogico y A ⊂ X. Entonces: (a) El conjunto de puntos aislados de A es A − A0 . (b) A = A ∪ A0 . ´ . D EMOSTRACI ON (a) Si x ∈ A es un punto aislado, tambi´en es un punto adherente puesto que A ⊂ A, pero, sin embargo, no puede ser punto de acumulaci´on puesto que existe r > 0 con B(x, r) ∩ A = {x}. Rec´ıprocamente, si x ∈ A − A0 , significa que toda bola centrada en x corta al conjunto A, pero como x ∈ / A0 , existe una bola B(x, r) − {x} = ∅, es decir B(x, r) ∩ A = {x}, luego x es un punto aislado de A. (b) “⊃” Si x ∈ A0 , cada bola de centro x interseca a A en un punto distinto de x, luego x ∈ A, luego A0 ⊂ A y, como A ⊂ A, se sigue que A ⊃ A ∪ A0 . “⊂” Supongamos ahora que x es un punto de A. Si x ∈ A, es claro que x ∈ A∪A0 . Supongamos que x ∈ / A; como x ∈ A, cada bola B(x, r) interseca a A, pero como x ∈ / A, dicha bola tener en com´un con A un punto distinto de x y, por tanto x ∈ A0 ; en definitiva, x ∈ A ∪ A0 . Veamos algunos ejemplos. OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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2.3. Puntos de acumulaci´on (o l´ımite) y puntos aislados

Ejemplos Ej.2.9. Consideremos la recta real R. (a) El punto 0 es un punto de acumulaci´on de A = (0, 1] , puesto que toda bola B(0, r) = (−r, r) cumple (−r, r) ∩ (0, 1] 6= ∅. De hecho, cada punto del intervalo [0, 1] va a ser un punto de acumulaci´on de A, pero ning´un otro punto de R es un punto de acumulaci´on de A. En efecto, si x < 0 entonces existe δ > 0 tal que x + δ < 0, de modo que (x − δ, x + δ) ∩ A = ∅, por lo que x ∈ / A0 . An´alogamente se prueba que si x > 1 entonces x ∈ / A0 . (b) El conjunto derivado de B = {1/n : n ∈ Z+ } es B 0 = {0}, pues 0 es un punto de acumulaci´on de B y cualquier otro punto x de R tiene un entorno que, o no llega a intersecar a B, o interseca a B s´olo en el propio punto x. En efecto, 0 ∈ B 0 pues para todo r > 0, el intervalo (−r, r) es un entorno de 0 y existe m ∈ N tal que 1/m < r con lo que [(−r, r) − {0}] ∩ B 6= ∅. Para comprobar que ning´un otro n´umero real est´a en B 0 vamos a contemplar varios casos. Primero, supongamos que x = 1/m para alg´un m ∈ N; entonces si tomamos r < 1/m − 1/(m + 1) est´a claro que el intervalo (1/m − r, 1/m + r) corta a B en un u´ nico punto que es, precisamente, 1/m; segundo, si x ∈ / B y x > 1 basta tomar r < x − 1 para que (x − r, x + r) ∩ B = ∅; de forma an´aloga se razona si x < 0. Por u´ ltimo si, para alg´un m ∈ N es 1/(m + 1) < x < 1/m, tomamos r < m´ın{x − 1/(m + 1), 1/m − x} y entonces (x − r, x + r) ∩ B = ∅. Con esto queda probado que B 0 = {0}. (c) Si C = {0} ∪ (1, 2), entonces C 0 es igual a [1, 2]. La demostraci´on es an´aloga a la del apartado anterior. Ej.2.10. Vamos a determinar los conjuntos derivados de Q, N y R+ en (R, du ). En primer lugar, es f´acil ver que cada punto de R es un punto de acumulaci´on de Q, pues en cualquier intervalo abierto existen n´umeros racionales. En cuanto a N, ning´un punto de R es un punto de acumulaci´on de N. En efecto, si x ∈ / N entonces existe un n´umero natural n tal que n < x < n+1. Sea δ < m´ın{x − n, n + 1 − x}. Entonces (x − δ, x + δ) ∩ N = ∅, por lo que x ∈ / N (y, por tanto, x 6∈ N0 ). Pero si ahora suponemos que x ∈ N entonces (x − 1, x + 1) ∩ N = {x}, por lo que x 6∈ N0 . Finalmente, si R+ es el conjunto de los reales positivos, entonces cada punto de {0} ∪ R+ es un punto de acumulaci´on de R+ , y ning´un otro punto de R es un punto de acumulaci´on. El razonamiento es an´alogo al Ej.2.9. (a). Ej.2.11. En R con la topolog´ıa usual, todo n´umero natural n ∈ N es un punto adherente de N pero no es de acumulaci´on; es decir, los naturales son puntos aislados en (R, du ). En efecto, la bola (B(n, 1/2) − {n}) ∩ N = ∅. Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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2. Subconjuntos destacados en la topolog´ıa m´etrica

2.4.Interior de un conjunto Definici´on 2.4.1. Sea (X, d) un espacio m´etrico y A ⊂ X un subconjunto. Diremos que x ∈ A es un punto interior de A, si A es un entorno de x. El conjunto ◦

de los puntos interiores de A se denomina el interior de A y se representa por A o Int A. Un punto x ∈ / A se dice que es exterior a A si x ∈ Int(X − A), y el conjunto de puntos exteriores de A se denomina exterior de A y se representa por Ext A. Observaci´on 2.4.2. Es obvio que para cualquier conjunto A ⊂ X se satisface ◦

A ⊂ A ⊂ A. ◦

Observaci´on 2.4.3. Si A es un subconjunto de un espacio m´etrico, entonces A es, obviamente, un conjunto abierto.

Ejemplos Ej.2.12. En R con la topolog´ıa usual, Int[0, 1) = (0, 1). En efecto, como (0, 1) es abierto, es entorno de todos sus puntos y, por tanto, se da la inclusi´on (0, 1) ⊂ Int[0, 1). Por otra parte, 0 ∈ / Int[0, 1), pues para todo δ > 0, se tiene claramente que (−δ, δ) ∩ [0, 1)c 6= ∅, luego la inclusi´on es una igualdad. ◦

Ej.2.13. En R con la topolog´ıa usual, Q = ∅ pues para todo q ∈ Q y todo r > 0, el entorno (q −r, q +r) contiene irracionales. De la misma manera se comprueba que el exterior de Q, es decir, el interior de R−Q (irracionales), tambi´en es vac´ıo.

Proposici´on 2.4.4. Sea (X, d) un espacio m´etrico y A ⊂ X, entonces ◦

A = X − X − A. ´ . D EMOSTRACI ON ◦

Tenemos que x ∈ A, si, y s´olo si, existe r > 0, tal que B(x, r) ⊂ A , es decir B(x, r) ∩ (X − A) = ∅, lo que es equivalente a que x ∈ / X − A. Una importante caracter´ıstica del interior de un conjunto es que se trata del mayor abierto contenido en dicho conjunto. OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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2.4. Interior de un conjunto

Proposici´on 2.4.5. Un subconjunto A de un espacio m´etrico (X, d) es abierto si, ◦

y s´olo si, A = A. ´ . D EMOSTRACI ON ◦

Como A ⊂ A, s´olo hay que probar la inclusi´on en sentido contrario. Si x ∈ A, ◦

como A es abierto, se tiene que el propio A es entorno de x, por tanto x ∈ A, de ◦

donde se deduce que A ⊂ A. Las propiedades que se recogen en los tres Problemas P.2.11, P.2.12 y P.2.13 siguientes son importantes y conviene que les preste atenci´on.

Ejercicios y Problemas P.2.11 Sea (X, d) un espacio m´etrico y A ⊂ X. Entonces un punto x ∈ A es un punto interior de A si, y s´olo si, d(x, X − A) > 0. [I] [R] P.2.12 El interior posee las siguientes propiedades, que son duales de las correspondientes de la adherencia, probadas en la Proposici´on 2.2.6. Sea (X, d) un espacio m´etrico, y sean A1 y A2 subconjuntos de X. Entonces: ◦

◦

(a)Si A1 ⊂ A2 , entonces A1 ⊂ A2 ◦

◦

(b) A1 ∩ A2 = (A1 ∩ A2 )◦ . ◦

◦

(c) (A1 ∪ A2 )◦ ⊇ A1 ∪ A2 . Encuentre un ejemplo en el que se muestre que la inclusi´on puede ser estricta. [I] [R] P.2.13 Sea (X, d) un espacio m´etrico y H ⊂ X. Consideremos el subespacio m´etrico (H, dH ) y sea A ⊂ H ⊂ X. Entonces ◦

IntH A ⊃ A ∩ H. [I]

[R]

P.2.14 Compruebe que la inclusi´on anterior puede ser estricta considerando Q como subespacio de R con la topolog´ıa usual; para ello compare el interior de Q en R y el interior de Q en el subespacio Q

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2. Subconjuntos destacados en la topolog´ıa m´etrica

2.5.Frontera de un conjunto Definici´on 2.5.1. Sea (X, d) un espacio m´etrico y A ⊂ X un subconjunto. Diremos que x ∈ X es un punto frontera de A si para todo entorno U de x se cumple que U ∩ A 6= ∅ y U ∩ (X − A) 6= ∅. El conjunto de los puntos frontera de A se denomina la frontera de A, y se representa por Fr(A), o tambi´en como ∂A. Como consecuencia de la definici´on, el siguiente resultado es obvio. Proposici´on 2.5.2. Si (X, d) es un espacio m´etrico y A ⊂ X, entonces x ∈ Fr(A) si, y s´olo si, para todo r > 0, B(x, r) ∩ A 6= ∅ y B(x, r) ∩ (X − A) 6= ∅. Adem´as se cumplen las dos propiedades recogidas en la siguiente proposici´on. Proposici´on 2.5.3. Sea (X, d) un espacio m´etrico y A ⊂ X un subconjunto. Entonces: (a) Fr(A) = A ∩ X − A. (b) Fr(A) es cerrado. ´ . D EMOSTRACI ON El apartado (a) es una consecuencia inmediata de las definiciones de frontera y adherencia (aseg´urese de que para usted es inmediato). El apartado (b) se deduce del (a), ya que la intersecci´on de dos cerrados es un cerrado. Algunos ejemplos nos ayudar´an a ilustrar los u´ ltimos conceptos y resultados.Veamos algunos ejemplos.

Ejemplos Ej.2.14. La frontera de (0, 1) en (R, du ) es el conjunto de dos elementos {0, 1}. En efecto, utilizando la Proposici´on 2.5.3 se tiene Fr(0, 1) = (0, 1) ∩ R − (0, 1) = [0, 1] ∩ {(−∞, 0] ∪ [1, +∞)} = {0, 1}.

Ej.2.15. Todos los n´umeros reales son puntos frontera de Q, es decir, Fr(Q) = R, ya que si q ∈ Q entonces el entorno (q − r, q + r), para todo r > 0, contiene n´umeros racionales e irracionales.

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2.5. Frontera de un conjunto

Corolario 2.5.4. Sea (X, d) un espacio m´etrico y H ⊂ X. Consideremos el subespacio m´etrico (H, dH ) y sea A ⊂ H ⊂ X. Entonces, si FrH (A) es la frontera de A relativa a H, FrH (A) ⊂ Fr(A) ∩ H. ´ . D EMOSTRACI ON La frontera de A en H est´a dada, seg´un la Proposici´on 2.5.3, por H

FrH (A) = A ∩ H − A

H

= (A ∩ H) ∩ (H − A ∩ H)

= A ∩ H − A ∩ H ⊂ A ∩ X − A ∩ H = Fr(A) ∩ H.

Ejemplos Ej.2.16. En general, la inclusi´on del Corolario 2.5.4 es estricta ya que FrQ Q = ∅ ⊂ Fr Q ∩ R = Q ∩ R = Q.

Para finalizar veamos una bonita relaci´on entre los conjuntos interior, clausura y frontera. Proposici´on 2.5.5. Sea (X, d) un espacio m´etrico y A ⊂ X un subconjunto. ◦

Entonces Fr(A) = A − A. ´ . D EMOSTRACI ON La Proposici´on 2.5.3 implica que Fr(A) = A ∩ X − A. Entonces usando la Proposici´on 2.4.4 tenemos ◦

◦

A ∩ X − A = A ∩ (X − A) = A − A,

El Problema P.2.15 siguiente, corresponde, de nuevo, a una interesante propiedad a la que debe prestar atenci´on.

Ejercicios y Problemas P.2.15 Sea (X, d) un espacio topol´ogico y A ⊂ X. Entonces A es abierto si, y s´olo si, Fr(A) ∩ A = ∅. [I] [R] Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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2. Subconjuntos destacados en la topolog´ıa m´etrica

P.2.16 En (R, du ) se consideran los subconjuntos A = [0, 1), B = Q ∩ [1, 2], C = (2, 3] ∪ {4}, D = A ∪ B ∪ C. D

D

D

Calcule las adherencias de A, B y C relativas a D, es decir A , B y C . P.2.17 En (R2 , d2 ) calcule el interior, el exterior y la frontera de los conjuntos siguientes: A = {(x, y) ∈ R2 : x = 1/n, n ∈ N, 0 ≤ y ≤ 1}, B = {(x, y) ∈ R2 : xy > 1}, C = {(x, y) ∈ R2 : x = n, y = 1/n, n ∈ N} P.2.18 Sea (X, d) un espacio m´etrico. Demuestre que si A ⊂ B, entonces todo punto de acumulaci´on de A es un punto de acumulaci´on de B, es decir, A0 ⊂ B 0 . P.2.19 Demuestre que un conjunto A es abierto en un espacio m´etrico (X, d) si, y s´olo si, para todo M ⊂ X tal que A ∩ M = ∅, tambi´en se cumple que M ∩ A = ∅. [I] [R]

2.6.Sucesiones En esta secci´on vamos a estudiar el concepto de sucesi´on en un espacio m´etrico. Estos subconjuntos juegan un papel importante en la topolog´ıa de los espacios m´etricos. Definici´on 2.6.1. Sea (X, d) un espacio m´etrico, una sucesi´on en X es un subconjunto de X definido mediante una aplicaci´on x : N −→ X, de tal modo que x(n) = xn ∈ X; denotaremos a la sucesi´on mediante (xn )n∈N , o (xn )∞ n=1 o simplemente (xn )n ; y a los elementos de la sucesi´on les llamaremos t´erminos. Observaci´on 2.6.2. la aplicaci´on que define la sucesi´on no ha de ser necesariamente inyectiva, lo que significa que puede haber t´erminos repetidos en una sucesi´on; por ejemplo ((−1)n )n es la sucesi´on {−1, 1, −1, 1, . . . }. Definici´on 2.6.3. Sea (X, d) un espacio m´etrico y (xn )∞ on de punn=1 una sucesi´ ∞ tos de X. Diremos que (xn )n=1 converge a x en (X, d), y lo denotaremos por xn → x o l´ımn xn = x, si para todo ε > 0, existe n0 ∈ N, tal que si n ≥ n0 , entonces d(xn , x) < ε. En otras palabras si OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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2.6. Sucesiones

para toda bola B(x, ε), existe n0 ∈ N, tal que si n ≥ n0 , entonces xn ∈ B(x, ε). En este caso se dice que la sucesi´on es convergente hacia el punto x, o que x es el l´ımite de la sucesi´on.

Ejemplos Ej.2.17. Si (X, dD ) es un espacio discreto una sucesi´on (xn )∞ n=1 converge a un punto x si, y s´olo si es constante igual a x a partir de un t´ermino (a estas sucesiones se les llama de cola constante, ya que las bolas de centro x y radio menor que 1 coinciden con el conjunto unipuntual {x}. Ej.2.18. El concepto de convergencia que acabamos de definir coincide con el ya conocido de convergencia en R con el valor absoluto, es decir, en la topolog´ıa usual. Recordemos que una sucesi´on (xn )∞ n=1 x ⊂ R converge a x ∈ R si para todo ε > 0, existe n0 tal que si n > n0 , entonces |xn −x| < ε. Fij´emonos que si |xn − x| < ε, entonces −ε < xn − x < ε

y

x − ε < xn < x + ε,

lo que significa que xn ∈ (x − ε, x + ε) y tenemos la definici´on en t´erminos de bolas.

En los espacios m´etricos, en caso de existir, el l´ımite de una sucesi´on es u´ nico. Teorema 2.6.4. Si (xn )∞ on convergente en un espacio m´etrico n=1 es una sucesi´ (X, d), su l´ımite es u´ nico. ´ . - Supongamos que (xn )∞ D EMOSTRACI ON n=1 tiene dos l´ımites distintos x 6= y. Seg´un el Teorema 1.3.4, X es un espacio de Haussdorff y, por tanto existe r > 0 tal que B(x, r) ∩ B(y, r) = ∅. Por otra parte, como (xn )∞ n=1 converge a x, tenemos que dado r > 0, existe n1 tal que si n ≥ n1 , entonces xn ∈ B(x, r); adem´as como (xn )∞ n=1 converge a y, dado r > 0, existe n2 tal que si n ≥ n2 , entonces xn ∈ B(y, r); si tomamos n ≥ n1 y a la vez n ≥ n2 se verifican ambas condiciones a la vez y xn ∈ B(x, r) y xn ∈ B(y, r), lo que contradice que la intersecci´on de estas dos bolas es vac´ıa.

Ejercicios y Problemas P.2.20 Considere R con la distancia usual. Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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2. Subconjuntos destacados en la topolog´ıa m´etrica

(a)Demuestre que la sucesi o´ n de n´umeros reales (1/n)n , con la distancia usual, converge a cero. (b)Demuestre que si (xn )n es una sucesi´on de n´umeros reales no negativos tal que xn ≤ 1/n para cada n ∈ N, entonces l´ımn xn = 0. P.2.21 Toda sucesi´on convergente en un espacio m´etrico (X, d), es un conjunto acotado. [I]

El siguiente resultado caracteriza la convergencia de sucesiones en espacios m´etricos, a trav´es de la convergencia de sucesiones de n´umeros reales no negativos del siguiente modo. Teorema 2.6.5. Sea (X, d) un espacio m´etrico y (xn )∞ on en X. n=1 una sucesi´ ∞ ∞ Entonces (xn )n=1 converge a x si, y s´olo si, la sucesi´on (d(xn , x))n=1 de las distancias, converge a 0 en (R, | |). ´ . - Se trata de una consecuencia directa de la definici´on de suceD EMOSTRACI ON si´on convergente. La convergencia de sucesiones, en los espacios m´etricos, caracteriza algunos de los conjuntos destacados que se han estudiado en las secciones anteriores, as´ı como otros conceptos topol´ogicos. De ah´ı su importancia. Proposici´on 2.6.6. Sea (X, d) un espacio m´etrico y sea A ⊂ X. Entonces x ∈ A si, y s´olo si, existe una sucesi´on (xn )∞ n=1 ⊂ A tal que xn → x. ´ . D EMOSTRACI ON “⇒” Supongamos que x ∈ A. Entonces tenemos que B(x, 1/n) ∩ A 6= ∅, para cada n ∈ N. Podemos construir entonces una sucesi´on de la siguiente forma: Para n = 1 tomamos x1 ∈ B(x, 1) ∩ A. Para n = 2 tomamos x2 ∈ B(x, 1/2) ∩ A. Y as´ı sucesivamente: para cada n tomamos xn ∈ B(x, 1/n) ∩ A. De esta manera obtenemos una sucesi´on (xn )∞ n=1 de puntos de A que converge a x puesto que para cada n ∈ N es d(xn , x) < 1/n. Por tanto seg´un hemos visto en el Problema P.2.20, la sucesi´on (d(xn , x))n converge a cero lo que implica por el Teorema 2.6.5 que xn −→ x. “⇐” Si existe una sucesi´on (xn )∞ ımn xn = x, entonces para todo n=1 en A tal que l´ ε > 0, n0 tal que n > n0 implica que xn ∈ B(x, ε), es decir, B(x, ε) ∩ A 6= ∅. Por tanto, x ∈ A. OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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2.6. Sucesiones ◦

Proposici´on 2.6.7. Sea (X, d) un espacio m´etrico, y A ⊂ X entonces x ∈ A si, y s´olo si dada una sucesi´on (xn )∞ ımn xn = x, existe n0 ∈ N tal n=1 en X tal que l´ que si n > n0 , entonces xn ∈ A. ´ . D EMOSTRACI ON ◦

“⇒” Si x ∈ A, existe r > 0 tal que B(x, r) ⊂ A; y si (xn )∞ on n=1 es una sucesi´ que converge a x, dado r > 0, existe n0 tal que si n ≥ n0 entonces se tiene que xn ∈ B(x, r) ⊂ A. “⇐” Rec´ıprocamente, si para cada sucesi´on (xn )∞ n=1 que converge a x todos los t´erminos a partir de un xn0 est´an en A y, razonando por reducci´on al absurdo, ◦

suponemos que x ∈ / A, significa que cualquier bola de centro x contiene puntos que no son de A. Podemos construir entonces una sucesi´on Para n = 1 tomamos x1 ∈ B(x, 1), x1 ∈ / A. Para n = 2 tomamos x2 ∈ B(x, 1/2), x2 ∈ / A. Sucesivamente, para n, tomamos xn ∈ B(x, 1/n) y xn ∈ /A La sucesi´on (xn )∞ n=1 as´ı construida, converge a x puesto que d(x, xn ) < 1/n para cada n pero sin embargo no tiene ninguno de sus t´erminos en A, lo que nos lleva a una contradicci´on. Como consecuencia inmediata de los dos u´ ltimos resultados tenemos el siguiente corolario donde se caracterizan los abiertos y los cerrados. Corolario 2.6.8. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Se cumplen: (a)Un subconjunto A ⊂ X es cerrado si, y s´olo si (xn )∞ n=1 ⊂ A es una sucesi´on convergente, entonces limn xn ∈ A. (b) A ⊂ X es abierto si, y s´olo si para cada sucesi´on (xn )∞ n=1 en X que converge a un punto x ∈ A, existe n0 tal que n ≥ n0 implica que xn ∈ A. Respecto a los puntos de acumulaci´on y los puntos frontera, los resultados correspondientes est´an enunciados en los dos siguientes ejercicios, cuya demostraci´on debe hacer con detalle.

Ejercicios y Problemas P.2.22 Sea (X, d) un espacio m´etrico y A ⊂ X. Un punto x ∈ X es x ∈ Fr A ∞ si, y s´olo si, existen sucesiones (xn )∞ n=1 en A e (yn )n=1 en X − A tales que xn → x e yn → x. [I] Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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2. Subconjuntos destacados en la topolog´ıa m´etrica

P.2.23 Sea (X, d) un espacio m´etrico y A ⊂ X. Un punto x ∈ X es x ∈ A0 si, y s´olo si, existe una sucesi´on (xn )∞ erminos distintos dos a dos n=1 ⊂ A de t´ convergente a x. [I] [R]

2.6.1.Subconjuntos densos y espacios separables Concluimos este cap´ıtulo con la definici´on de conjunto denso y el estudio de algunas de sus propiedades. Este tipo de conjuntos desempe˜nan un papel importante en la topolog´ıa de los espacios m´etricos y dan motivo para definir el concepto de espacio separable. Definici´on 2.6.9. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Diremos que un subconjunto A ⊂ X es denso en X si A = X. Los subconjuntos densos pueden ser caracterizados de la siguiente forma. Proposici´on 2.6.10. Sea (X, d) un espacio m´etrico y A ⊂ X. Entonces A es denso en (X, d) si, y s´olo si, B ∩ A 6= ∅ para todo abierto B ∈ X. ´ . D EMOSTRACI ON “⇒” Supongamos que A ⊂ X es denso, es decir, A = X y sea B 6= ∅ un abierto. Si x ∈ X, como x ∈ A = X y B es entorno de x se cumple, por la definici´on de adherencia, que B ∩ A 6= ∅. “⇐” Supongamos ahora que todo abierto B 6= ∅ satisface B ∩ A 6= ∅. En particular ocurre que para cada x ∈ X, cualquier bola abierta B(x, r) verifica B(x, r) ∩ A 6= ∅, lo que signitica que x ∈ A; es decir A = X.

Ejemplos Ej.2.19. El conjunto de los racionales Q es denso en R con la distancia usual seg´un la Proposici´on 2.6.10, pues cualquier intervalo abierto no vac´ıo (a, b) contiene n´umeros racionales. Por tanto, R contiene un subconjunto numerable denso. Por la misma raz´on los irracionales R − Q tambi´en son un subconjunto denso en R. Ej.2.20. En R con la distancia usual, podemos considerar el subespacio (0, 1); el conjunto de los racionales contenidos en (0, 1), es decir Q ∩ (0, 1), es denso en (0, 1). En efecto, seg´un la Proposici´on 2.2.8, se obtiene el resultado buscado puesto Q

(0,1)

= Q ∩ (0, 1) = R ∩ (0, 1) = (0, 1).

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2.6. Sucesiones

Las sucesiones nos permiten caracterizar los subconjuntos denso de la siguiente manera. Proposici´on 2.6.11. Sea (X, d) un espacio m´etrico y A ⊂ X un subconjunto. Entonces A es denso en X si, y s´olo si, para todo x ∈ X existe una sucesi´on (xn )∞ n=1 en A tal que xn → x. ´ . Simplemente hay que tener en cuenta la Definici´on 2.6.9 de D EMOSTRACI ON conjunto denso y la Proposici´on 2.6.6. Los subconjuntos numerables densos juegan en la topolog´ıa un papel importante, de hecho los espacios que poseen un conjunto de este tipo reciben un nombre propio. Definici´on 2.6.12. Un espacio m´etrico (X, d) es separable si contiene un subconjunto numerable denso.

Ejemplos Ej.2.21. La recta real R con la distancia usual es separable, puesto que Q es numerable y denso, como hemos visto.

Teorema 2.6.13. Sea (X, d) un espacio m´etrico separable; entonces toda familia de abiertos disjuntos entre s´ı es numerable. ´ . Como el espacio es separable, existe un conjunto A ⊂ X nuD EMOSTRACI ON merable y denso. Si {Bi }i∈I es una familia de abiertos en X que son disjuntos entre s´ı, se tiene que A ∩ Bi 6= ∅ seg´un la Proposici´on 2.6.10; y adem´as A ∩ Bi es numerable. Por otra parte, para cada i, j ∈ I se tienen (A ∩ Bi ) ∩ (A ∩ Bj ) = ∅. Entonces, como A es numerable, tambi´en lo es la familia {A ∩ Bi }i∈I y esta familia se puede poner, claramente en correspondencia biyectiva con {Bi }i∈I , lo que significa que tambi´en esta u´ ltima familia es numerable.

Ejercicios y Problemas P.2.24 Demuestre que dos distancias d y d0 sobre un conjunto X son equivalentes si, y s´olo si, se verifica la propiedad siguiente: Una sucesi´on (xn )∞ olo si n=1 x ⊂ X converge a x ∈ X en (X, d) si, y s´ converge a x en (X, d0 ). [I] [R] Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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2. Subconjuntos destacados en la topolog´ıa m´etrica

P.2.25 Considere en R2 , con la distancia usual el conjunto M = {(1/n, y) ∈ R2 : n = 1, 2, . . . ; y ∈ [0, 1]}. Calcule el interior y la adherencia de M (con la adecuada justificaci´on). P.2.26 Sea C ⊂ R cerrado y acotado con la topolog´ıa usual. Entonces C est´a contenido en un intervalo [a, b] de manera que a, b ∈ C. [I] [R] P.2.27 Considere el siguiente subconjunto de la recta real A = [0, 1) ∪ (1, 3) ∪ {5}, con la topolog´ıa TA inducida por la usual de R. (a)Estudie si {5} es abierto o cerrado en A. (b)Estudie si (1, 3) es abierto o cerrado en A. (c)Calcule la adherencia de [0, 1) en A. (d)Estudie si [0, 1/2] es un entorno de 0 en A. P.2.28 Sean A y B dos subconjuntos cerrados disjuntos en un espacio m´etrico (X, d). Entonces existen dos abiertos disjuntos G y H tales que A ⊂ G y B ⊂ H. [I] [R] P.2.29 Sean (X, d) un espacio m´etrico y A un subconjunto de X. Se dice que ◦

A es fronterizo cuando A ⊂ Fr(A) y que A es raro cuando A = ∅. ◦

(a)¿Es cierto que A es fronterizo si, y s´olo si, A = ∅? (b)¿Es cierto que A es fronterizo si, y s´olo si, el complementario de A es denso en X? (c)Encuentre en (R, du ) dos ejemplos de conjuntos fronterizos. (d)Encuentre en (R, du ) dos ejemplos de conjuntos raros. (e)¿Todo conjunto raro es fronterizo? (f)¿Todo conjunto fronterizo es raro? (g)¿ A abierto implica que Fr(A) es raro? (h)¿Todo conjunto cerrado y raro es la frontera de un conjunto abierto? [I]

P.2.30 Sea (X, d) un espacio m´etrico: (1)Demuestre que D ⊂ X es denso en X si, y s´olo si, X − D tiene interior vac´ıo. OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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2.6. Sucesiones

(2)Pruebe que un subconjunto A ⊂ R con la topolog´ıa usual es denso en R si, y s´olo si, todo punto de R es l´ımite de una sucesi´on de puntos de A. ∞ (3)Sea la sucesi o´ n (1/n)∞ n=1 en R. Pruebe que R − {(1/n)n=1 } es denso en R y que la sucesi´on no es densa en R. P.2.31 Sean (X, d) e (Y, d0 ) dos espacios m´etricos y el producto X × Y dotado de la distancia d((x, y), (x0 , y 0 )) = m´ax{d(x, x0 ), d0 (y, y 0 )}. Si (xn )∞ n=1 y (yn )∞ son dos sucesiones en X e Y respectivamente, demuestre que n=1 la condici´on necesaria y suficiente para que la sucesi´on (xn )∞ convern=1 ja a x ∈ X y la sucesi´on (yn )∞ converja a y ∈ Y es que la sucesi´on n=1 ∞ en X × Y , converja a z = (x, y) ∈ X × Y . (zn )∞ = (x , y ) n n n=1 n=1 P.2.32 Considere los siguientes subconjuntos de R y calcule su interior, exterior, frontera y adherencia primero considerando la distancia discreta y despu´es la distancia usual.   (−1)n (0, 1), [0, 1], :n∈N , Q n

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3 Funciones continuas De entre todas las aplicaciones que pueden definirse entre dos espacios m´etrico, las aplicaciones continuas ocupan un papel preponderante. Su estudio es fundamental no s´olo en topolog´ıa, sino tambi´en en an´alisis, geometr´ıa diferencial y en general, en la mayor´ıa de ramas de las matem´aticas. En este cap´ıtulo estudiamos la continuidad de funciones entre espacios m´etricos. Caracterizamos las continuidad a trav´es de sucesiones, de conjuntos abiertos o de conjuntos cerrados, y presentamos las principales propiedades de las aplicaciones continuas. Estudiamos algunas aplicaciones especiales: abiertas, cerradas y homeomorfismos. Finalizamos estudiando la continuidad uniforme en espacios m´etricos. Se pretenden alcanzar las siguientes competencias espec´ıficas: Utilizar los conceptos b´asicos asociados a la noci´on de espacio m´etrico. Reconocer y utilizar las propiedades sencillas de la topolog´ıa m´etrica. Determinar cu´ando una funci´on entre espacios m´etricos es continua y, en particular, cu´ando es un homeomorfismo. Saber caracterizar diferentes propiedades y conceptos topol´ogicos mediante el uso de sucesiones, particularmente la continuidad. Se desarrollar´an los contenidos siguientes: Continuidad de funciones entre espacios m´etricos. Continuidad en un punto. Continuidad global. 97

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3.1. Aplicaci´on continua

Caracterizaci´on de la continuidad mediante sucesiones. Principales propiedades de las aplicaciones continuas. Aplicaciones abiertas, cerradas y homeomorfismos. Aplicaciones continuas en subespacios. Continuidad uniforme. Isometr´ıas.

3.1.Aplicaci o´ n continua Definici´on 3.1.1. Sean (X, d) e (Y, d0 ) dos espacios m´etricos y f : X −→ Y una aplicaci´on. Diremos que f es continua en a ∈ X, si para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que d(x, a) < δ, implica d0 (f (x), f (a)) < ε; en otras palabras para cada BY (f (a), ε), existe BX (a, δ) tal que f (BX (a, δ)) ⊂ BY (f (a), ε). Observaci´on 3.1.2. L´ogicamente, coincide con la definici´on, ya conocida, de funci´on f : R −→ R continua en un punto a ∈ R, es decir, f es continua en a si para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que |x − a| < δ, implica |f (x) − f (a)| < ε; que en t´erminos de entornos (bolas) es: para cada ε > 0, existe (a−δ, a+δ) tal que f ((a−δ, a+δ)) ⊂ (f (a)−ε, f (a)+ε).

Ejemplos Ej.3.1. Toda aplicaci´on constante entre dos espacios m´etricos (X, d) y (Y, d0 ) es continua. En efecto, si f (x) = y0 para todo x ∈ X, es evidente que toda bola BY (y0 , r) contiene a f (X) = {y0 } y por tanto cumple la definici´on. Ej.3.2. La aplicaci´on identidad 1X : (X, d) −→ (X, d), de un espacio en s´ı mismo, es continua en cada punto x ∈ X, pues B(1X (x), r) = B(x, r). ¿Y si las distancias son diferentes, es decir, si ahora consideramos la aplicaci´on 1X : (X, d) −→ (X, d0 ) con d0 6= d? Ej.3.3. Si (X, dD ) es un espacio discreto e (Y, d) es un espacio m´etrico cualquiera, entonces toda aplicaci´on f : X −→ Y es continua en cada punto x ∈ X, ya que si consideramos una bola Bd (f (x), r), basta con que tomemos la bola BdD (x, 1/2) = {x} para que f (BdD (x, 1/2)) ⊂ Bd (f (x), r). ¿Ocurre lo mismo si la aplicaci´on es f : Y −→ X? Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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3. Funciones continuas

Ej.3.4. El concepto de continuidad es conocido en R, lo que nos proporciona numerosos e interesantes ejemplos de aplicaciones f : (R, | |) −→ (R, | |) continuas como son las funciones elementales xa , sen(x), cos(x), ex y sus inversas en sus dominios de definici´on. De la misma forma sabemos que la suma y el producto de funciones continuas da como resultado una funci´on continua; as´ı como la inversa de una funci´on continua no nula. Las sucesiones caracterizan la continuidad en los espacios m´etricos, convirti´endose as´ı, en una herramienta frecuentemente u´ til. Lo vemos en el siguiente Teorema. Teorema 3.1.3. Sean dos espacios m´etricos (X, d) e (Y, d0 ), f : X −→ Y una aplicaci´on entre ellos y a ∈ X. Entonces son equivalentes: (a) f es continua en a. (b) Si (xn )∞ on en X con l´ımite a, entonces (f (xn ))∞ n=1 es una sucesi´ n=1 es convergente y su l´ımite es f (a). ´ . D EMOSTRACI ON “⇒” Supongamos que (f (xn ))∞ n=1 converge a f (a) y f no es continua en a. Esto significa que existe ε > 0 tal que para cada δ > 0 hay un punto xδ ∈ X tal que d(xδ , a) < δ y d0 (f (xδ ), f (a) ≥ ε. Entonces: Dado δ = 1 existe x1 con d(x1 , a) < 1 tal que d0 (f (x1 ), f (a)) ≥ ε. Dado δ =

1 2

existe x2 con d(x2 , a)
n0 entonces f (xn ) ∈ BY (f (a), ε). Como f es continua en a, dada BY (f (a), ε), existe δ > 0 tal que f (BX (a, δ)) ⊂ BY (f (a), ε). Por otra parte, como (xn )∞ n=1 converge hacia a, dado BX (a, δ), existe n0 tal que si n > n0 entonces xn ∈ BX (a, δ), con lo que f (xn ) ∈ f (BX (a, δ)) ⊂ BY (f (a), ε), que es lo que quer´ıamos probar. OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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3.1. Aplicaci´on continua

Ejemplos  Ej.3.5. La funci´on f : R −→ R, definida por f (x) =

1 x−1

1

si x 6= 1 si x = 1

´ ´ f (x) del Ejemplo Ej.3.5.. Figura 3.1 – Grafica de la funcion

considerando la distancia usual en ambos casos (v´ease la Figura 3.1), no es continua en x = 1, pues la sucesi´on xn = 1 + n1 tiene por l´ımite 1 y, sin embargo, 1 l´ım f (xn ) = l´ım 1 = l´ım n 6= f (1). n n n n +1−1

La composici´on de aplicaciones continuas es tambi´en una aplicaci´on continua. Encontramos, por tanto, un interesante m´etodo para construir numerosas aplicaciones de este tipo. Proposici´on 3.1.4. Sean (X, d), (Y, d0 ) y (Z, d00 ) tres espacios m´etricos, y sean dos aplicaciones f : X −→ Y y g : Y −→ Z tales que f es continua en a ∈ X y g es continua en f (a) ∈ Y . Entonces g ◦ f es continua en a. ´ . D EMOSTRACI ON Sea ε > 0; como g es continua en f (a), existe δ > 0 tal que si d0 (f (a), y) < δ, entonces d00 (g(f (a)), g(y)) < ε. Por otra parte, como f es continua en a, dado el δ > 0 anterior, existe η > 0 de modo que si d(x, a) < η, entonces d0 (f (a), f (x)) < δ. Para concluir la prueba s´olo hay que combinar las dos afirmaciones anteriores. Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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3. Funciones continuas

3.1.1.Continuidad global Definici´on 3.1.5. Sean dos espacios m´etricos (X, d) e (Y, d0 ) y sea f : X −→ Y una aplicaci´on. Diremos que f es continua si lo es en todo punto de X. La Proposici´on siguiente una caracterizaci´on de la continuidad global en t´erminos de los conjuntos abiertos y de los conjuntos cerrados. Se trata de un importante resultado que, adem´as ser´a de utilidad frecuente. Proposici´on 3.1.6. Sean (X, d) e (Y, d0 ) dos espacios m´etricos y f : X −→ Y una aplicaci´on. Entonces son equivalentes: (a) f es continua. (b) Para todo abierto A ⊂ Y , el conjunto f −1 (A) es abierto en X. (b) Para todo cerrado F ⊂ Y , el conjunto f −1 (F ) es cerrado en X. ´ . D EMOSTRACI ON “(a)⇒(b)” Supongamos que f es continua y que A ⊂ Y es un abierto. Veamos que f −1 (A) es abierto. Sea x ∈ f −1 (A), entonces f (x) ∈ A y como A es abierto, existe ε > 0 tal que BY (f (x), ε) ⊂ A. Por otra parte, como f es continua, para este ε > 0 existe δ > 0, tal que f (BX (x, δ)) ⊂ BY (f (x), ε) ⊂ A, lo que significa que BX (x, δ) ⊂ f −1 (A). Como esto es para cada x ∈ f −1 (A), tenemos que f −1 (A) es abierto en X. “(b)⇒(c)” Si F ⊂ Y es cerrado, entonces su complementario Y − F es abierto y por tanto X − f −1 (F ) = f −1 (Y − F ) es abierto, de donde se deduce que f −1 (F ) es cerrado en X. “(c)⇒(a)” Consideremos f (x) ∈ Y y una bola abierta BY (f (x), ε); entonces el conjunto Y − BY (f (x), ε) es cerrado en Y , por tanto X − f −1 (BY (f (x), ε)) = f −1 (Y − BY (f (x), ε)) es cerrado en X, lo que significa que f −1 (BY (f (x), ε)) es abierto en X y entonces, para alg´un δ > 0 se tienen que BX (x, δ) ⊂ f −1 (BY (f (x), ε)); de donde deducimos que f (BX (x, δ)) ⊂ BY (f (x), ε) y f es continua en x. Aunque las anti-im´agenes, mediante una aplicaci´on continua, de un abierto o de un cerrado, son a su vez, abierto o cerrado respectivamente, las im´agenes de abiertos o de cerrados no son, en general, abiertos o cerrados. Veamos un ejemplo.

Ejemplos Ej.3.6. La funci´on f : R −→ R, dada por f (x) = sen x, es continua para la topolog´ıa usual y, sin embargo no transforma abiertos en abiertos pues f ((−2π, 2π)) = [−1, 1] no es un abierto en R. OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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3.1. Aplicaci´on continua

Ej.3.7. En el Ejemplo Ej.3.3., hemos visto que toda aplicaci´on entre un espacio discreto y cualquier otro espacio m´etrico es siempre continua. En particular, la aplicaci´on identidad 1X : (R, dD ) −→ (R, | |), es continua. Cualquier subconjunto de R es cerrado para la topolog´ıa discreta, por ejemplo (0, 1); y sin embargo, 1X (0, 1) = (0, 1) no es cerrado en R con la topolog´ıa usual, de modo que esta aplicaci´on no transforma cerrados en cerrados.

Ejercicios y Problemas P.3.1 Si A es un subespacio de un espacio m´etrico (X, d), demuestre que la funci´on inclusi´on j : (A, dA ) −→ (X, d) (j(x) = x) es continua. [I] [R] P.3.2 Sea f : (X, d) −→ (Y, d0 ) una aplicaci´on. (a)Demuestre que f es continua en un punto a ∈ X si, y s´olo si, para todo entorno U de f (a) se cumple que a ∈ [f −1 (U )]◦ (b)Demuestre que f es continua en X si, y s´olo si, para todo conjunto B ⊂ Y se cumple ◦

f −1 (B) ⊂ [f −1 (B)]◦ . [I]

[R]

P.3.3 Sea (X, d) un espacio m´etrico y x0 ∈ X un punto. Demuestre que la aplicaci´on f : (X, d) −→ (R, | |) definida como f (x) = d(x, x0 ), es continua. [I] P.3.4 Sea (X, d) un espacio m´etrico y A ⊂ X un subconjunto no vac´ıo determinado. Demuestre que g : (X, d) −→ (R, | |) definida como g(x) = d(x, A), es continua. [I] P.3.5 Sea (X, d) un espacio m´etrico y f1 , . . . , fn : X −→ R, una colecci´on de n funciones continuas (considerando R con la distancia usual). Entonces la funci´on f : X −→ Rn (Rn tambi´en con la distancia usual) definida como f (x) = (f1 (x), . . . , fn (x)) continua.

3.1.2.Continuidad y subespacios Proposici´on 3.1.7. Si f : (X, d) −→ (Y, d0 ) es continua y A es un subespacio de X, entonces la funci´on restringida f |A : (A, dA ) −→ (Y, d0 ) es continua. Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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3. Funciones continuas

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´ . D EMOSTRACI ON Como en el ejercicio (3.1) hemos visto que la inclusi´on j es continua y la funcion f |A se puede expresar como f |A = f ◦ j, es composici´on de aplicaciones continuas y, por tanto, f |A es continua. Definici´on 3.1.8. Sea f : (X, d) −→ (Y, d0 ) una aplicaci´on y A ⊂ X un subconjunto. Diremos que f es continua en A si f |A : (A, dA ) −→ (Y, d0 ) es continua.

3.2.Homeomorfismos y embebimientos 3.2.1.Aplicaciones abiertas y cerradas Hemos visto que aunque la imagen inversa de un conjunto abierto, mediante una funci´on continua, es un abierto (lo mismo ocurre para cerrados), las imagenes de abiertos o de cerrados no son, necesariamente, abiertos o cerrados respectivamente. Las aplicaciones que transforman abiertos en abiertos o cerrados en cerrados, juegan un papel importante. Definici´on 3.2.1. Sean dos espacios m´etricos (X, d) e (Y, d0 ) y f : X −→ Y una aplicaci´on. Diremos que f es abierta si para todo abierto A ⊂ X, f (A) es abierto en Y y diremos que f es cerrada si para todo C ⊂ X cerrado, f (C) ⊂ Y es cerrado.

Ejemplos Ej.3.8. Consideremos R con la topolog´ıa usual y [0, 1] con distancia inducida por la usual de R. Entonces la aplicaci´on inclusi´on j : [0, 1] −→ R es cerrada puesto que al ser cerrado [0, 1], todos los cerrados en este espacio tambi´en son cerrados en R (vea la Proposici´on 1.3.14) y, sin embargo no es abierta pues [0, 1/2) es abierto (¿por qu´e?) en [0, 1] pero no en R. Ej.3.9. Las aplicaciones pueden ser abiertas y cerradas a la vez; en efecto la aplicaci´on f : R −→ R (en ambos casos con la distancia usual), definida como f (x) = kx con k ∈ R, no nulo, es continua, es abierta y cerrada. Ej.3.10. Las aplicaciones abiertas y/o cerradas no son, necesariamente, continuas. Consideremos el espacio X = {a, b}, formado por dos u´ nicos puntos con la distancia discreta dD ; y sea la aplicaci´on f : (R, | |) −→ X, definida como ( a si x ≥ 0 f (x) = b si x < 0 OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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3.2. Homeomorfismos y embebimientos

Es f´acil (¿?) ver que es abierta y cerrada. Sin embargo no es continua, pues el conjunto {a} es abierto y cerrado en X y f −1 ({a}) = [0, ∞) no es abierto en R, con lo que la Proposici´on 3.1.6 no se verifica. Ej.3.11. La proyecci´on π : (R2 , d2 ) −→ (R, du ) del plano sobre el eje de abcisas,

Figura 3.2 – Las proyecciones son aplicaciones abiertas pero no cerradas.

π(x, y) = x, es una aplicaci´on abierta puesto que la proyecci´on de cualquier bola abierta B((a, b), r) es un intervalo abierto (a − r, a + r). Pero no es cerrada, puesto que la proyecci´on del conjunto cerrado C = {(x, y) ∈ R2 | x > 0, xy ≥ 1} es el intervalo (0, +∞), que no es cerrado (v´ease la Figura 3.2).

3.2.2.Homeomorfismos Vamos a estudiar ahora unas importantes aplicaciones continuas entre espacios m´etricos. Definici´on 3.2.2. Sean (X, d) e (Y, d0 ) dos espacios m´etricos. Un homeomorfismo entre X e Y es una aplicaci´on biyectiva f : X → Y tal que tanto f como su inversa f −1 son continuas. Diremos que dos espacios topol´ogicos son homeomorfos si existe un homeomorfismo entre ellos. Diremos que una propiedad en un espacio topol´ogico es una propiedad topol´ogica si es invariante por homeomorfismos. La siguiente proposici´on proporciona una caracterizaci´on de los homeomorfismos. Proposici´on 3.2.3. Sea f : X → Y una aplicaci´on biyectiva entre dos espacios m´etricos (X, d) e (Y, d0 ). Son equivalentes: Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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3. Funciones continuas

(a) f es un homeomorfismo. (b) Un subconjunto A ⊂ X es abierto si, y s´olo si, f (A) es abierto. (c) Un subconjunto C ⊂ X es cerrado si, y s´olo si, f (C) es cerrado. ´ . D EMOSTRACI ON Es consecuencia directa de la definici´on y de la Proposici´on 3.1.6. Veamos ejemplos de homeomorfismos entre espacios topol´ogicos. Algunos nos van a resultar u´ tiles e incluso, quiz´as, hasta sorprendentes.

Ejemplos Ej.3.12. Dos espacios m´etricos discretos son homeomorfos si, y s´olo si, existe una biyecci´on entre ellos. Ej.3.13. La aplicaci´on sen : (0, π/2) → (0, 1) es un homeomorfismo, ya que restringida a estos intervalos es biyectiva, y tambi´en es continua su aplicaci´on inversa arcsen : (0, 1) → (0, π/2) (v´ease la Figura 3.3).

Figura 3.3 – El sen x es un homeomorfismo entre (0, π/2) y (0, 1).

Ej.3.14. La funci´on f : R −→ R dada por f (x) = 3x + 1 es un homeomorfismo (v´ease la Figura 3.4). Si definimos g : R → R mediante la ecuaci´on 1 g(y) = (y − 1) 3 entonces se puede comprobar f´acilmente que, para todos los n´umeros reales x e y, f (g(y)) = y y que g(f (x)) = x. Se sigue que f es biyectiva y que g = f −1 ; la continuidad de f y g es un resultado conocido de an´alisis. Ej.3.15. La funci´on f : (−1, 1) → R definida por f (x) = OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

x 1 − x2 e´ Herrero Pi˜neyro

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3.2. Homeomorfismos y embebimientos

Figura 3.4 – Homeomorfismo en la recta real.

Figura 3.5 – Ejemplo de homeomorfismo entre un intervalo abierto y R.

es un homeomorfismo (v´ease la Figura 3.5). En primer lugar, observemos que f es una correspondencia biyectiva que conserva el orden; su inversa es la funci´on g definida por g(y) =

2y . 1 + (1 + 4y 2 )1/2

El hecho de que f sea un homeomorfismo se puede probar usando la continuidad de las funciones algebraicas y la funci´on ra´ız cuadrada. En efecto, tanto f como g son continuas al ser composici´on de funciones continuas. Ej.3.16. El hecho de ser acotado no es una propiedad topol´ogica. El intervalo (−1, 1) y R son topol´ogicamente equivalentes (como se prueba en el Ejemplo (3) anterior) pero el primero de ellos est´a acotado y el segundo no. Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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3. Funciones continuas

Ej.3.17. Una funci´on biyectiva puede ser continua sin ser un homeomorfismo. Denotemos por S 1 a la circunferencia unidad S 1 = {(x, y) : x2 + y 2 = 1} considerado como subespacio del plano R2 , y sea f : [0, 1) −→ S 1 la aplicaci´on definida por f (t) = (cos 2πt, sen 2πt). Entonces f es biyectiva y continua (v´ease el Problema P.3.5), pero no es un homeomorfismo. El hecho de que f sea biyectiva y continua se sigue de propiedades familiares de las funciones trigonom´etricas, que ya suponemos conocidas. Pero la funci´on f −1 no es continua ya que, por ejemplo, la imagen mediante f = (f −1 )−1 del conjunto abierto U = [0, 14 ) del dominio no es abierta en S 1 , puesto que el punto p = f (0) no pertenece a ning´un conjunto abierto V de R2 tal que V ∩ S 1 ⊂ f (U ) (v´ease la Figura 3.6).

´ biyectiva que no es homeomorfismo. Figura 3.6 – Ejemplo de aplicacion

Ejercicios y Problemas P.3.6 Sea la aplicaci´on f : (R, du ) −→ (R, du ) definida por f (x) = −

1 . 1 + x2

¿Es abierta? ¿Es cerrada? Justif´ıquelo. P.3.7 Estudie la continuidad de la funci´on “valor absoluto” | | : R −→ R (distancia usual). ¿Es homeomorfismo? P.3.8 Encuentre un homeomorfismo entre el intervalo (a, b) de R y el propio R, con las topolog´ıas usuales. Idem para los intervalos [a, b] y [0, 1]. [I] [R] OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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3.2. Homeomorfismos y embebimientos

P.3.9 Sea (a, b) ∈ X × Y . Demuestre que la “rebanada horizontal” X × b es homeomorfa a X, y que la “rebanada vertical” a × Y es homeomorfa a Y con la topolog´ıa usual definida para el producto de espacios (vea el Ejemplo Ej.1.9.). P.3.10 Sean (X, d) e (Y, d0 ) dos espacios m´etricos y f : X −→ y una aplicaci´on. Demuestre: (a) f es cerrada si, y s´olo si, f (A) ⊂ f (A) para todo A ⊂ X. ◦

(b) f es abierta si, y s´olo si, f (A) ⊂ [f (A)]◦ para todo A ⊂ X. [I] [R] P.3.11 Pruebe que las siguientes son propiedades topol´ogicas: (i) punto de acumulaci´on; (ii) interior; (iii) frontera; (iv) desidad y (v) entorno. [I] [R] P.3.12 Sean (X, d), (Y, d0 ) y (Z, d00 ) tres espacios m´etricos y dos funciones continuas f : X −→ Y y g : Y −→ Z. Si g ◦ f : X −→ Z es un homeomorfismo, demuestre: (a)Si g es inyectiva, entonces f y g son homeomorfismos. (b)Si f es sobreyectiva, entonces f y g son homeomorfismos. [I] [R]

3.2.3.Embebimientos Ahora supongamos que f : (X, d) −→ (Y, d0 ) es una aplicaci´on continua e inyectiva. La f funci´on f¯ : X −→ f (X), donde f (X) ⊂ Y tiene la topolog´ıa inducida, obtenida al restringir el rango de f , es biyectiva. Si ocurre que f¯ es un homeomorfismo de X con f (X), decimos que la aplicaci´on f : X → Y es un embebimiento topol´ogico, o simplemente un embebimiento, de X en Y .

Ejemplos Ej.3.18. La aplicaci´on sen : (0, π/2) −→ R es claramente un embebimiento. Ej.3.19. La aplicaci´on f : (0, +∞) −→ R, dada por f (x) = 1/x, es un embebimiento, ya que f¯ : (0, +∞) → (0, +∞) es un homeomorfismo. Ej.3.20. Consideremos la funci´on g : [0, 1) −→ R2 obtenida a partir de la funci´on f del Ejemplo Ej.3.17. al extender el recorrido. La aplicaci´on g es un ejemplo de una aplicaci´on continua e inyectiva que no es un embebimiento.

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3. Funciones continuas

3.3.Continuidad uniforme En la Definici´on 3.1.1 de continuidad que venimos manejando, el n´umero real δ depende de ε y, en general, tambi´en depende del punto en el que estamos “estudiando” la continuidad. No obstante, hay casos en los que esto u´ ltimo no ocurre y δ s´olo de pende de ε. Observemos los siguientes ejemplos.

Ejemplos Ej.3.21. Consideremos la conocida par´abola. Se trata de una funci´on f : R −→ R (distancias usuales), definida como f (x) = x2 . Sabemos que esta aplicaci´on es continua y si tomamos ε = 10−2 y estudiamos la continuidad en √ −2 a = 0, basta tomar |x| < 10 = 10−1 , para que |x2 | < ε = 10−2 . Sin embargo si pensamos en a = 3 y tomamos el mismo valor ε = 10−2 , tenemos que si x = 3 + 10−1 /2 = 3 + 1/20, entonces |x − 3| = 1/20 < 1/10 y, sin embargo, |x2 −33 | = |x2 −9| = |x−3||x+3| = (1/20)(6+1/20) = 121/400 > 10−2 . Es decir el valor de δ tomado para a = 0 no es v´alido para el punto a = 3. Ej.3.22. Consideremos ahora la aplicaci´on f (x) = x+3, y sea ε > 0 observemos que para x = a, para que |f (x) − f (a)| = |x + 3 − a − 3| = |x − a| < ε, basta tomar δ = ε, y esto es v´alido para cualquier punto x = a. Las aplicaciones que tienen esta u´ ltima, digamos, “peculiaridad” reciben un nombre particular. Definici´on 3.3.1. Una aplicaci´on entre espacios m´etricos f : (X, d) → (Y, d0 ) es uniformemente continua si para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que para todo x, y ∈ X con d(x, y) < δ se verifica que d0 (f (x), f (y)) < ε. Observaci´on 3.3.2. Es f´acil probar que toda aplicaci´on uniformemente continua es continua, pero el rec´ıproco no es cierto: basta considerar la funci´on f (x) = x2 del ejemplo anterior. No obstante lo podemos hacer de forma m´as general. En efecto, dado  > 0, para todo δ > 0 siempre podemos encontrar dos n´umeros x e y en R tales que |x − y| < δ y, sin embargo, |x2 − y 2 | > . Observemos que x2 − y 2 = (x − y)(x + y). Dados  y δ, tomamos x e y tales que |x − y| = δ/2 y |x + y| > 2/δ, entonces |x2 − y 2 | = |x − y| |x + y| > . OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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3.3. Continuidad uniforme

3.3.1.Isometr ´ıas Definici´on 3.3.3. Dados dos espacios m´etricos (X, d) e (Y, d0 ), diremos que una aplicaci´on biyectiva f : X → Y es una isometr´ıa si conserva la distancia, es decir, d(x1 , x2 ) = d0 (f (x1 ), f (x2 )) para todo x1 , x2 ∈ X. En este caso decimos que (X, d) e (Y, d0 ) son espacios isom´etricos. Proposici´on 3.3.4. Una isometr´ıa es una aplicaci´on uniformemente continua. ´ . D EMOSTRACI ON Se trata de una consecuencia directa de la definici´on. Proposici´on 3.3.5. Si dos espacios m´etricos son isom´etricos, entonces tambi´en son homeomorfos. ´ . D EMOSTRACI ON De nuevo, no es m´as que una consecuencia de las definiciones de isometr´ıa y homeomorfismo.

Ejemplos Ej.3.23. El rec´ıproco de la u´ ltima proposici´on no es cierto, en general; es decir no todo homeomorfismo es isometr´ıa. Si consideramos R con la distancia discreta dD y con la distancia ( ˜ y) = d(x,

2 0

si x 6= y si x = y

˜ es un homeomorfisentonces la aplicaci´on identidad Id : (R, dD ) → (R, d) mo que no es isometr´ıa, pues si x 6= y entonces dD (x, y) = 1 mientras que ˜ ˜ y) = 2. d(Id(x), Id(y)) = d(x, Ej.3.24. Vimos en el Ejemplo Ej.1.5., que C es un espacio m´etrico con la distancia d(z1 , z2 ) = |z1 − z2 |. La aplicaci´on f : (R2 , d2 ) −→ (C, d) definida como f (x, y) = x+iy, es una isometr´ıa entre ambos espacios. Demostrarlo se reduce a una mera comprobaci´on.

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3. Funciones continuas

Ejercicios y Problemas P.3.13 Se dice que una aplicaci´on f : (X, d) → (Y, d0 ) es de Lipschitz si existe un n´umero real k > 0 tal quep, para todo x, y ∈ X, d0 (f (x), f (y)) ≤ kd(x, y). Demuestre que una aplicaci´on de Lipschitz es uniformemente continua. P.3.14 Sea f : (X, d) −→ (Y, d0 ) continua y sobreyectiva. Demuestre que si D ⊂ X es un conjunto denso, entonces f (D) tambi´en es denso en Y . P.3.15 Sea f : (X, d) −→ (Y, d0 ) y a ⊂ X. Demuestre que si f es continua en A y constante en A, entonces es constante en A. [I] [R] P.3.16 Demuestre que la aplicaci´on f : (0, 1) −→ R, f (x) = 1/x, es continua en (0, 1] con la distancia usual relativa, pero no es uniformemente continua. P.3.17 Sea (X, d) un espacio m´etrico y (R, du ). (a)Si a ∈ X, demuestre que la aplicaci´on f : X −→ R, f (x) = d(a, x) es uniformemente continua. (b)Si A ⊂ X, demuestre que la aplicaci´on g : X −→ R, g(x) = d(A, x) es uniformemente continua. [I] P.3.18 Sean (X, d) e (Y, d0 ) dos espacios m´etricos y f, g : X −→ Y una aplicaci´on continua. Demuestre: (a)El conjunto {x ∈ X : f (x) = g(x)} es cerrado en X. (b)El conjunto {x ∈ X : f (x) = a}, con a ∈ Y fijo, es cerrado en X. (c)Si {x ∈ X : f (x) = g(x)} es denso en X, entonces f = g. P.3.19 Sean (Y1 , ρ1 ), . . . , (Yn , ρn ) y (X, d) espacios m´etricos y una aplicaci´on f : X −→ Y1 × · · · × Yn . Demuestre que f es continua en a ∈ X si, y s´olo si, fi = πi ◦ f : X −→ Yi es continua en a ∈ X para cada i = 1, . . . , n. [I] P.3.20 Sea f : (X, d) −→ (R, du ). Demuestre que f es continua si, y s´olo si, para cada a ∈ R, son abiertos los conjuntos Aa = {x ∈ X : f (x) < a} y Ba = {x ∈ X : f (x) > a}. P.3.21 Sea la funci´on f : R −→ R definida como ( x si x ≤ 2 f (x) = x2 si x > 2 OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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3.3. Continuidad uniforme

Si du es la distancia usual, dD es la distancia discreta y ρ(x, y) = 2|x − y|, estudie la continuidad de la funci´on en los siguientes casos f : (R, du ) −→ (R, du ), f : (R, du ) −→ (R, dD ), f : (R, dD ) −→ (R, ρ), f : (R, ρ) −→ (R, du ). P.3.22 Sea (X, d) un espacio m´etrico y A, B ⊂ X cerrados (o abiertos) tales que X = A ∪ B. Sean f : A −→ Y y g : B −→ Y continuas. Demuestre que si f (x) = g(x) para cada x ∈ A∩B, entonces es continua la aplicaci´on h : X −→ Y definida como ( f (x) si x ∈ A h(x) = . g(x) si x ∈ B Estudie la continuidad de las siguientes funciones de R en R con la topolog´ıa usual: ( ( x si x ≤ 0 x − 2 si x ≤ 0 f (x) = , g(x) = , x/2 si x ≥ 0 x + 2 si x ≥ 0 ( h(x) =

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x − 2 si x < 0 x + 2 si x ≥ 0

.

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4 Espacios compactos En este cap´ıtulo introducimos los conceptos de espacio y subespacio compacto. Se estudian propiedades de los conjuntos compactos, as´ı como relaci´on entre la compacidad y las funciones continuas. Analizamos c´omo son los subconjuntos compactos de la recta real y del espacio eucl´ıdeo Rn y, en general en los espacios m´etricos, la compacidad secuencial y la compacidad por punto l´ımite o propiedad de Bolzano-Weierstrass, hasta el teorema de Heine-Borel-Lebesgue. Finalizamos probando que la compacidad est´a caracterizada por la propiedad de la intersecci´on finita. La estandarizaci´on del concepto de compacidad tard´o muchos a˜nos en producirse. Desde principios del siglo XX se fueron introduciendo distintas definiciones de compacidad, que pretend´ıan extender a espacios topol´ogicos arbitrarios algunas propiedades conocidas de los intervalos cerrados y acotados [a, b] de la recta real, cruciales en la demostraci´on de ciertos teoremas, tales como el teorema del valor m´aximo y el teorema de la continuidad uniforme. Surgieron as´ı los distintos “tipos” de compacidad: compacidad numerable, compacidad por punto l´ımite, compacidad secuencial, etc. Posteriormente, los matem´aticos asumieron que era posible encontrar una definici´on en t´erminos m´as d´ebiles y generales; de hecho, en t´erminos de recubrimientos del espacio por conjuntos abiertos. Se pretenden alcanzar las siguientes competencias espec´ıficas: Utilizar los conceptos b´asicos asociados a la noci´on de espacio m´etrico. Reconocer y utilizar las propiedades sencillas de la topolog´ıa m´etrica. 113

114

4.1. Compacidad

Identificar los subconjuntos compactos de la recta real y, en general, de los espacios eucl´ıdeos. Relacionar los conceptos de compacidad y continuidad en un espacio m´etrico. Saber caracterizar diferentes propiedades y conceptos topol´ogicos mediante el uso de sucesiones, particularmente la continuidad, la adherencia, los subconjuntos cerrados y los subconjuntos compactos. Se desarrollar´an los contenidos siguientes: Espacio y subespacio compacto. Relaci´on entre la compacidad y las funciones continuas. Subconjuntos compactos de la recta real y del espacio eucl´ıdeo Rn . Compacidad secuencial. Propiedad de Bolzano-Weierstrass. Teorema de Heine-Borel-Lebesgue. Propiedad de la intersecci´on finita.

4.1.Compacidad Definici´on 4.1.1. Sea X un conjunto y sea A ⊂ X. Un cubrimiento o recubrimiento de A es una familia A = {Ai }i∈I de subconjuntos de X de manera que A ⊂ ∪i∈I Ai . Un subcubrimiento o subrecubrimiento es una subfamilia B ⊂ A que es tambi´en un recubrimiento de A. Un recubrimiento es finito si est´a formado por una cantidad finita de conjuntos. Cuando (X, d) es un espacio m´etrico y cada Ai es un abierto de X, se dice que A es un recubrimiento abierto de A.

Ejemplos Ej.4.1. Sea X = R, entonces la familia A = {[−n, n]}∞ n=1 constituye un recubrimiento de R, pero no es un recubrimiento abierto para la distancia usual. Un ejemplo de un subrecubrimiento de A es D = {[−2n, 2n]}∞ n=1 , pues s´olo contiene los intervalos cuyos extremos son n´umeros pares. La familia {(−n, n)}∞ en es un recubrimiento, esta vez abierto, de n=1 tambi´ R, pero no es un subrecubrimiento de A, pues estos intervalos son abiertos y aquellos son cerrados. Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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4. Espacios compactos

Definici´on 4.1.2. Un espacio m´etrico (X, d) es compacto si todo recubrimiento abierto de X admite un subrecubrimiento finito.

Ejemplos Ej.4.2. La recta real R no es compacta, pues el recubrimiento de R por intervalos abiertos A = {(n, n + 2) : n ∈ Z} no contiene ning´un subrecubrimiento de R. En efecto, si suponemos que la familia {(n, n + 2) : n ∈ H}, con H ⊂ Z finito, es un subrecubrimiento finito, entonces S tomando n1 = m´ın{n : n ∈ H} y n2 = m´ax{n : n ∈ H} tenemos que n∈H (n, n + 2) ⊂ (n1 , n2 + 2), que no coincide con R. Ej.4.3. Cualquier espacio X que contenga a un n´umero finito de puntos es compacto, pues de cualquier recubrimiento por abiertos de X se puede extraer claramente un subrecubrimiento finito. Ej.4.4. El intervalo (0, 1], con la topolog´ıa inducida por la usual de R, no es compacto; el recubrimiento abierto A = {(1/n, 1] : n ∈ N, n ≥ 2} no contiene ning´un subrecubrimiento finito. En efecto, si suponemos que la colecci´on {(1/n, 1] : n ∈ H, n ≥ 2}, con H ⊂ N finito, es un subrecubrimiento finito de (0, 1], tomamos n0 = m´ax{n : n ∈ H} de modo que [ (1/n, 1] = (1/n0 , 1] n∈H

que, evidentemente, no es (0, 1]. Aplicando un argumento an´alogo se demuestra que tampoco es compacto el intervalo (0, 1) con la topolog´ıa usual inducida. Ej.4.5. Cualquier conjunto infinito con la distancia discreta (X, dD ) no es compacto, puesto que {{x} : x ∈ X} es un recubrimiento abierto de X del que no se puede extraer ning´un subrecubrimiento finito.

4.2.Subconjuntos compactos Definici´on 4.2.1. Sea (X, d) un espacio m´etrico y K ⊂ X un subconjunto. Diremos que K es un conjunto compacto en (X, d) si (K, dK ), con la topolog´ıa relativa, es un espacio compacto. En este caso se dice que (K, dK ) es un subespacio compacto. OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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4.2. Subconjuntos compactos

Ejemplos Ej.4.6. El siguiente subespacio de R es compacto con la distancia usual inducida, X = {0} ∪ {1/n : n ∈ N}. Esta claro que se trata de la sucesi´on convergente {1/n}∞ n=1 junto a su l´ımite 0. Para todo recubrimiento abierto A de X, existe un elemento A0 de A que contiene al 0. Como A0 es abierto, contiene una bola B(0, ε); y como 1/n −→ 0, existe n0 tal que si n > n0 , entonces 1/n ∈ B(0, ε) ⊂ A0 ; es decir, el conjunto A0 contiene a todos los puntos de la forma 1/n excepto a un n´umero finito de ellos; elijamos para cada uno de estos puntos que no est´an en A0 un elemento de A que lo contenga. La colecci´on de estos elementos de A, junto con el propio A0 , constituyen un subrecubrimiento finito de X.

Proposici´on 4.2.2. Sea K un subespacio de un espacio m´etrico (X, d). Entonces K es compacto si, y s´olo si, para toda familia {Ai }i∈I de abiertos en X tal que K ⊂ ∪i∈I Ai , existe una subfamilia finita {Ai }ni=1 tal que K ⊂ ∪ni=1 Ai . ´ . D EMOSTRACI ON ”⇒”Supongamos que K es compacto y sea K ⊂ ∪i∈I Ai , donde {Ai }i∈I es una familia de abiertos de (X, d). Entonces, seg´un la definici´on de topolog´ıa relativa, la familia {Ai ∩ K}i∈I es un recubrimiento de K por abiertos de (K, dK ). Como este subespacio es compacto, se puede extraer un subrecubrimiento finito de modo que K = (Ai1 ∩ K) ∪ · · · ∪ (Ain ∩ K). De aqu´ı se deduce que K ⊂ Ai1 ∪ · · · ∪ Ain . ”⇐”Veamos que (K, dK ) es compacto. Para ello, sea {Ai }i∈I una familia de abiertos de (K, dK ) que recubren K. Entonces cada abierto Ai se puede escribir de la forma Ai = Bi ∩ K, donde Bi es un abierto en (X, d) y as´ı se tiene que K ⊂ ∪i∈I Bi . Por hip´otesis, existir´an Bi1 , . . . , Bin tales que K ⊂ Bi1 ∪ · · · ∪ Bin de forma que K = (Bi1 ∪ · · · ∪ Bin ) ∩ K = (Bi1 ∩ K) ∪ · · · ∪ (Bin ∩ K) = Ai1 ∪ · · · ∪ Ain y, por tanto, K es compacto. A partir de este u´ ltimo resultado hablaremos de subconjuntos compactos en general, obviando que se trata de la topolog´ıa relativa. Veamos a continuaci´on algunas propiedades sobre subconjuntos compactos. Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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4. Espacios compactos

Observaci´on 4.2.3. Observe que si d y d0 son distancias equivalentes (vea la Definici´on 1.4.1), (X, d) y (X, d0 ) tienen los mismos subconjuntos compactos, ya que la definici´on de compacidad est´a dada en t´erminos de los abiertos. Teorema 4.2.4. En un espacio m´etrico compacto (X, d), todo subconjunto cerrado C ⊂ X es compacto. ´ . D EMOSTRACI ON Sea A = {Ai }i∈I un recubrimiento abierto de C en (X, d). Entonces C c es abierto y A ∪ C c es un recubrimiento abierto de X, del cual se puede extraer un subrecubrimiento finito; si este subrecubrimiento finito no contiene a C c , estar´a formado u´ nicamente por una cantidad finita de conjuntos de A y como C ⊂ X ya estar´ıa probado. Si C c est´a en el recubrimiento finito, dicho recubrimiento ser´a de la forma {Ai1 , . . . , Ain , C c } y como C ⊂ X = Ai1 ∪ · · · ∪ Ain ∪ C c , tenemos que C ⊂ Ai1 ∪ · · · ∪ Ain . Teorema 4.2.5. Sea (X, d) un espacio m´etrico y K ⊂ X un subconjunto compacto. Entonces se verifican: (a) K es cerrado. (b) K es acotado. ´ . D EMOSTRACI ON (a) Probaremos que si K ⊂ X es compacto, su complementario K c es abierto demostrando que es entorno de todos sus puntos. Sea a ∈ / K; si x ∈ K, x 6= a, la propiedad de Hausdorff, que cumplen los espacios m´etricos, nos asegura que existen bolas abiertas disjuntas B(a, rx ) y B(x, rx ). Entonces la familia {B(x, rx )}x∈K obtenidas de esta manera, son un recubrimiento abierto del compacto K, por tanto, se puede extraer un subrecubrimiento finito B(x1 , rx1 ),. . . ,B(xn , rxn ), para ciertos puntos x1 , . . . , xn ∈ K (recordemos que para cada i ∈ {1, . . . , n}, se cumple B(xi , rxi ) ∩ B(a, rxi ) = ∅). Entonces si tomamos ra = m´ın{rxi : i = 1, . . . , n}, la bolaSB(a, ra ) est´a contenida en cada B(a, rxi ) y tiene intersecci´on vac´ıa con K = ni=1 B(xi , rxi ), lo que significa que B(a, ra ) ⊂ K c y, por tanto, que K c es entorno de a ∈ K. Como esto se puede hacer para todo a ∈ K c , entonces K c es abierto. (b) Si a ∈ K la colecci´on de bolas {B(a, n)}n∈N es un recubrimiento abierto de K que, como es compacto, admite un subrecubrimiento finito {B(a, ni )}ki=1 . Como se trata de bolas conc´etricas, si m = m´ax{n1 , . . . , nk } se tiene K⊂

k [

B(a, ni ) = B(a, m),

i=1

por lo que K est´a acotado. OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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4.3. Compacidad y funciones continuas

Ejercicios y Problemas P.4.1 Sea (X, d) un espacio m´etrico. Demuestre: (a)La intersecci o´ n de cualquier familia de subconjuntos compactos es un subconjunto compacto. (b)La uni o´ n de una familia finita de subconjuntos compactos es un conjunto compacto. ¿Y la uni´on de una familia arbitraria? P.4.2

(a)Pruebe que, en (R, | |), no son compactos los intervalos (a, b), [a, b), (a, +∞), [a, +∞). (b)Estos conjuntos le proporcionan contraejemplos del Teorema 4.2.4 (si el espacio no es compacto, un cerrado no es en general, compacto); del Teorema 4.2.5(b) (un conjunto acotado, en general, no es compacto). Identif´ıquelos con las explicaciones adecuadas.

4.3.Compacidad y funciones continuas Teorema 4.3.1. Si f : X → Y es una aplicaci´on continua entre espacios m´etricos y K ⊂ X es compacto, entonces f (K) es compacto en Y . ´ . D EMOSTRACI ON Supongamos que {Ai }i∈I es un recubrimiento abierto de f (K) en Y . Entonces {f −1 (Ai )}i∈I es un recubrimiento abierto de K. Por la compacidad de K, existe un subrecubrimiento finito: K ⊂ f −1 (A1 ) ∪ · · · ∪ f −1 (An ) = f −1 (A1 ∪ · · · ∪ An ), lo que implica que {A1 , . . . , An } es un subrecubrimiento finito de f (K). Corolario 4.3.2. Sea f : (X, d) −→ (Y, d0 ) continua y X un espacio compacto. Entonces f es una aplicaci´on cerrada. ´ . - Supongamos que C ⊂ X es cerrado, por el Teorema 4.2.4, D EMOSTRACI ON C es compacto, luego seg´un el Teorema anterior 4.3.1, como f es continua, f (C) es compacto en Y , que es cerrado seg´un el Teorema 4.2.5. Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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4. Espacios compactos

Ejemplos Ej.4.7. La compacidad del espacio de partida en el Corolario 4.3.2 anterior es imprescindible. En efecto, R, con la distancia usual no es compacto; la aplicaci´on 1 f : R −→ R definida como f (x) = , 1 + x2 es continua y la imagen de [0, +∞) (cerrado) es f ([0, +∞)) = (0, 1], que no es cerrado (v´ease la Figura 4.1).

Figura 4.1 – La imagen de un cerrado, en general no es cerrado.

Proposici´on 4.3.3. Sea K ⊂ X un subconjunto compacto de un espacio m´etrico (X, d). Entonces toda funci´on continua f : (X, d) → (Y, d0 ) est´a acotada en K, es decir f (K) es un conjunto acotado en Y .. ´ . D EMOSTRACI ON Por el Teorema 4.3.1, f (K) es compacto en Y , luego es un seg´un el Teorema 4.2.5 f (K) conjunto acotado, lo que equivale a decir que la funci´on f est´a acotada. Corolario 4.3.4 (Teorema de Weierstrass). Sea K ⊂ X un subconjunto compacto de un espacio m´etrico (X, d). Entonces toda funci´on continua f : X → R alcanza sus extremos en K. ´ . D EMOSTRACI ON Si K es compacto entonces f (K) es un subconjunto compacto de R y, por tanto, es cerrado y acotado. Luego seg´un el Problema P.2.26, f (K) est´a contenido en un intervalo [a, b] ⊂ R con a, b ∈ f (K), de modo que existir´an x, y ∈ K tales que f (x) = a y f (y) = b. Proposici´on 4.3.5. Toda aplicaci´on continua f : (X, d) → (Y, d0 ) entre espacios m´etricos, donde (X, dd ) es compacto, es uniformemente continua. ´ . D EMOSTRACI ON Como f es continua, dado x ∈ X y OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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4.4. Compactos en R.

dado ε > 0, existe δx > 0 tal que si d(x, y) < δx entonces d0 (f (x), f (y)) < ε/2. Fijado ε > 0, la colecci´on de bolas {B(x, δx /2)}x∈X constituye un recubrimiento abierto de X que admite un subrecubrimiento finito {B(xi , δi /2)}ni=1 ya que X es compacto. Tomemos δ = m´ın{δi /2 : i = 1, 2, . . . , n}. Tomemos x, y ∈ X arbitrarios cumpliendo d(x, y) < δ; tendremos que x ∈ B(xk , δk /2) para alg´un k ∈ {1, . . . , n}. Entonces d(y, xk ) ≤ d(y, x) + d(x, xk ) < δ + lo que implica que

δk ≤ δk , 2

ε d0 (f (y), f (xk )) < , 2

y entonces d0 (f (x), f (y)) ≤ d0 (f (x), f (xk )) + d0 (f (xk ), f (y))
0 tal que [a, a + δ) ⊂ G. En efecto, como a ∈ [a, b] ⊂ ∪i∈I Ai , existir´a un ´ındice j ∈ I tal que a ∈ Aj . Como Aj es abierto, existe δ > 0 tal que (a − δ, a + δ) ⊂ Aj y, por tanto, [a, a + δ) ⊂ Aj . Esto implica que si x ∈ [a, a + δ), [a, x] ⊂ [a, a + δ) ⊂ Aj , que es un subrecubrimiento finito. Por tanto, [a, a + δ) ⊂ G. Paso 2. G es un intervalo. Si x, y ∈ G, entonces [x, y] ⊂ G ya que para todo z ∈ [x, y] se satisface [a, z] ⊂ [a, y] ⊂ G. Aplicando el Lema 4.4.1, G debe ser un intervalo. Paso 3. b ∈ G. Consideremos c = sup{G}, y veamos que c = b. Como a es cota inferior de G, OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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4.5. Compacidad secuencial

entonces a < c. Supongamos, razonando por reducci´on al absurdo, que c < b. Como [a, b] ⊂ ∪i∈I Ai , entonces c ∈ Ak para alg´un k ∈ I. Ak es abierto, luego es entorno de c y, por tanto, existe ε > 0 tal que (c − ε, c + ε) ⊂ Ak . Pero como c = sup{G} entonces c−ε ∈ G. Por tanto, [a, c−ε] ⊂ Ai1 ∪· · ·∪Ain , con lo cual tenemos que c + ε tambi´en est´a en G, ya que [a, c + ε] tiene un subrecubrimiento finito de la forma [a, c + ε] ⊂ Ai1 ∪ · · · ∪ Ain ∪ Ak , y esto es una contradicci´on con el hecho de que c = sup{G}. Por tanto, c = b ∈ G y [a, b] tiene un subrecubrimiento finito. Proposici´on 4.4.3. En(R, | |) un conjunto K es compacto si, y s´olo si, es cerrado y acotado. ´ . Realice la demostraci´on como ejercicio. D EMOSTRACI ON

Ejercicios y Problemas P.4.5 Demuestre la Proposici´on 4.4.3. [I] P.4.6 Sea [c, d] ⊂ R y x ∈ R. Demuestre que S = {x} × [c, d] es compacto en R2 con la topolog´ıa usual (v´ease la Figura 4.2). [I]

Figura 4.2 – El conjunto S = {x} × [c, d] es compacto.

4.5.Compacidad secuencial Vamos a estudiar ahora un nuevo concepto de compacidad ligado a la idea de sucesi´on convergente. Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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4. Espacios compactos

Definici´on 4.5.1. Sea (X, d) un espacio m´etrico y x : N −→ X, una sucesi´on (xn )∞ on mon´otona estrictamente cren=1 ⊂ X y sea τ : N −→ N una aplicaci´ ciente. La aplicaci´on x ◦ τ : N −→ X es otra sucesi´on contenida en la anterior y se dice que es una subsucesi´on; que se denota (xnk )k∈N = (xτ (k) )k∈N .

Ejemplos Ej.4.8. Cualquier sucesi´on es subsucesi´on de s´ı misma. ∞ Ej.4.9. Si (xn )∞ on en un espacio m´etrico (X, d), n=1 = (x(n))n=1 es una sucesi´ entonces si tomamos τ : N −→ N definida como τ (n) = 2n, tenemos una aplicaci´on estrictamente creciente y (x ◦ τ )(n) = x(2n) = x2n . De modo que hemos obtenido una subsucesi´on (x2n )∞ erminos n=1 , formada por los t´ de (xn )∞ que ocupan lugar par. n=1

Teorema 4.5.2. Sea (X, d) un espacio m´etrico y (xn )∞ on. n=1 x ⊂ X una sucesi´ Entonces (xn )∞ converge a x ∈ X si, y s´ o lo si, cada subsucesi´ o n (x ) de n k∈N n=1 k (xn )∞ , converge a x. n=1 ´ . D EMOSTRACI ON “⇒” Supongamos que xn → x, entonces para cada ε > 0 existe n0 ∈ N tal que si n > n0 se cumple d(xn , x) < ε. Esto quiere decir que xn ∈ B(x, ε) y, por tanto, s´olo hay una cantidad finita de t´erminos de la sucesi´on que no est´an en dicha bola. En consecuencia, ninguna subsucesi´on (xnk )k puede tener infinitos t´erminos fuera de la bola, luego debe ser convergente a x. “⇐” Es evidente puesto que cualquier sucesi´on es subsucesi´on de s´ı misma.

Ejemplos Ej.4.10. Si una sucesi´on no converge, no quiere decir que ninguna subsucesi´on sea convergente. Por ejemplo, la sucesi´on ((−1)n )∞ n=1 no es convergente pero tiene al menos dos subsucesiones convergentes: (1, 1, . . . ) que converge a 1 y la de los t´erminos impares (−1, −1, . . . ) que converge a −1. En general, una subsucesi´on arbitraria de ((−1)n )∞ a convergente si, n=1 ser´ y s´olo si, a partir de un cierto valor n0 todos los t´erminos son iguales, es decir, es una sucesi´on de “cola constante”. Ej.4.11. La sucesi´on (n)n∈N en R con la distancia usual, no posee ninguna subsucesi´on convergente.

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4.5. Compacidad secuencial

Definici´on 4.5.3. Sea (X, d) un espacio m´etrico y K ⊂ X un subconjunto. Diremos que K es secuencialmente compacto si cada sucesi´on (xn )∞ n=1 en K posee una subsucesi´on (xnk )k convergente a un punto de K.

Ejemplos Ej.4.12. En el Ejemplo Ej.4.3. hemos visto que cualquier espacio m´etrico finito es compacto. Adem´as tambi´en es secuencialmente compacto pues cualquier sucesi´on s´olo puede tener una cantidad finita de t´erminos distintos, luego la subsucesi´on constante, formada por los infinitos t´erminos iguales es convergente. Ej.4.13. El intervalo abierto (0, 1), con la topolog´ıa inducida por la usual de R, no es secuencialmente compacto: la sucesi´on (1/n)∞ n=2 ⊂ (0, 1) converge a 0 en R y, por tanto, cualquier subsucesi´on suya tambi´en converge a 0; pero 0∈ / (0, 1).

4.5.1.Conjuntos totalmente acotados Definici´on 4.5.4. Dado un espacio m´etrico (X, d) y T ⊂ X un subconjunto, diremos que T es totalmente acotado si para cada r > 0 existe un n´umero finito de puntos x1 , . . . , xn ∈ T tales que T ⊂ B(x1 , r) ∪ · · · ∪ B(xn , r). Proposici´on 4.5.5. Sea (X, d) un espacio m´etrico y T ⊂ X. Se verifican: (a) Si T es compacto, entonces T es totalmente acotado. (b) Si T es totalmente acotado, T es acotado. ´ . D EMOSTRACI ON (a) Supongamos que T es compacto y sea r > 0. Entonces {B(x, r) : x ∈ T } es un recubrimiento abierto de T del que se puede extraer un subrecubrimiento finito T ⊂ B(x1 , r) ∪ · · · ∪ B(xn , r) con x1 , . . . , xn ∈ T , lo que significa que T es totalmente acotado. (b) Sea r > 0 y supongamos que T ⊂ B(x1 , r) ∪ · · · ∪ B(xn , r). Definamos R = m´ ax{d(x1 , xi ) : i = 2, . . . , n} Entonces T ⊂ B(x1 , R+r), lo que significa que est´a acotado. En efecto, si x ∈ T , entonces x ∈ B(xi , r) para alg´un i = 1, . . . , n, de modo que d(x, x1 ) ≤ d(x, xi ) + d(xi , x1 ) < r + R.

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4. Espacios compactos

Los rec´ıprocos de los dos apartados de la Proposici´on 4.5.5 no se cumplen, como se pone de manifiesto en el siguiente ejemplo.

Ejemplos Ej.4.14. Ya hemos visto que el intervalo (0, 1) ⊂ R, con la distancia usual, no es ni compacto, ni secuencialmente compacto, sin embargo, es totalmente acotado. En efecto, si r ≥ 1, entonces (0, 1) ⊂ (−r, r) y no hay nada que probar; si 0 < r < 1, sea n el menor n´umero natural tal que nr ≥ 1, entonces la familia de bolas   r  r 3r 3r − r, + r , (r − r, r + r), − r, + r , . . . , (nr − r, nr + r) 2 2 2 2 contiene a (0, 1), es decir, (0, 1) es uni´on de una cantidad finita de bolas de radio r. Ej.4.15. R con la distancia discreta es acotado pues B(0, 2) = R, pero no es totalmente acotado puesto que B(x, 1/2) = {x} y, por tanto, no se puede expresar como uni´on de un n´umero finito de bolas de radio 1/2.

Proposici´on 4.5.6. Si (X, d) es un espacio m´etrico y K ⊂ X es secuencialmente compacto, entonces K es totalmente acotado. ´ . D EMOSTRACI ON Supongamos que K es secuencialmente compacto y no es totalmente acotado. Existir´a un n´umero r > 0 de modo que K no se puede expresar como una uni´on finita de bolas de radio r con centro en puntos de K. Vamos a construir una sucesi´on de la siguiente manera. Sea x1 ∈ K un punto arbitrario. Escogemos los puntos de la siguiente forma: x2 ∈ K tal que d(x1 , x2 ) ≥ r, que existe pues de lo contrario B(x1 , r) ser´ıa un recubrimiento finito de K. Tomamos x3 ∈ K tal que d(x1 , x3 ) ≥ r y d(x2 , x3 ) ≥ r, que existe pues en caso contrario {B(x1 , r), B(x2 , r)} ser´ıa un recubrimiento finito de K. Y as´ı sucesivamente. Obtenemos una sucesi´on (xn )∞ n=1 en K que verifica que d(xn , xm ) ≥ r si n 6= m y que no tiene ninguna subsucesi´on convergente en K, pues si tuvi´eramos (xnk )k con l´ımk xnk = x ∈ K, dado r > 0 existir´ıa kr ∈ N tal que si nk > nkr entonces d(xnk , x) < r/2, con lo que tendr´ıamos que si nk , nm > nkr distintos, d(xnk , xnm ) ≤ d(xnk , x) + d(x, xnm ) < OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

r r + = r, 2 2 e´ Herrero Pi˜neyro

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4.6. Propiedad de Bolzano-Weierstrass

en contra de que d(xnk , xnm ) ≥ r. Entonces K no ser´ıa secuencialmente compacto. Lema 4.5.7 (de Lebesgue). Sea (X, d) un espacio m´etrico, K ⊂ X un subconjunto secuencialmente compacto y {Ai }i∈I un recubrimiento abierto de K. Entonces existe r > 0 tal que para cada x ∈ K existe i ∈ I de modo que B(x, r) ⊂ Ai . Este n´umero r > 0 se llama numero de Lebesgue del recubri´ miento. ´ . D EMOSTRACI ON Supongamos que {Ai }i∈I es un recubrimiento abierto de K para el que no existe ning´un n´umero de Lebesgue. Entonces para cada n ∈ N existir´a xn ∈ K tal que B(xn , 1/n) no est´a contenida en ning´un Ai para todo i ∈ I, y de esta manera hemos construido una sucesi´on (xn )∞ n=1 . Como K es secuencialmente compacto, ha de existir una subsucesi´on (xnk )k convergente a un punto x ∈ K. Adem´as, como {Ai }i∈I es un recubrimiento de K, entonces x ∈ Aj para alg´un j ∈ I. Pero Aj es abierto, luego existe nj ∈ N tal que B(x, 2/nj ) ⊂ Aj . Como la subsucesi´on anterior converge a x, dado nj > 0 existir´a r0 ∈ N tal que si nr ≥ nr0 entonces xnr ∈ B(x, 1/nj ). Tomemos ahora nr ≥ nr0 tal que tambi´en sea nr ≥ nj . Entonces se verifica que B(xnr , 1/nr ) ⊂ B(x, 2/nj ) ya que si y ∈ B(xnr , 1/nr ) tendr´ıamos d(x, y) ≤ d(x, xnr ) + d(xnr , y)
0 para este recubrimiento. Por la Proposici´on 4.5.6, K es totalmente acotado, de modo que existe un recubrimiento finito de X por bolas de radio r, {B(x1 , r), . . . , B(xn , r)}. Pero por el Lema de Lebesgue cada bola B(xi , r) ha de estar contenida en un abierto Aj del recubrimiento {Ai }i∈I , por lo que {A1 , . . . , An } es un subrecubrimiento finito de X.

Ejercicios y Problemas P.4.7 Sea K un subconjunto compacto de un espacio m´etrico (X, d) y un punto a ∈ X, a ∈ / K. De uestre que existen en X dos conjuntos abiertos A y B tales que a ∈ A, K ⊂ B y A ∩ B = ∅. [I] [R] P.4.8 Sea K un subconjunto compacto de un espacio m´etrico (X, d). Demuestre que si a ∈ X−K, entonces, existe un abierto A tal que a ∈ A ⊂ K c . Utilice este resultado para demostrar que todo compacto en un espacio m´etrico, es cerrado. [I] P.4.9 Sean K y H dos compactos disjuntos en un espacio m´etrico (X, d). Demuestre que existen dos abiertos disjuntos A, B ⊂ X tales que K ⊂ A y H ⊂ B. [I] [R]

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4.7. Compactos en Rn

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4.7.Compactos en

Rn

Vamos a ver en esta secci´on que los rect´angulos, o primas, generalizados [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] × · · · × [an , bn ], son compactos en Rn con la topolog´ıa usual (v´ease la Figura 4.3.

Figura 4.3 – Los prismas generalizados son compactos en Rn .

Haremos la prueba en R2 y con un procedimiento similar por inducci´on se prueba en Rn . Adem´as, como las tres distancias d1 , d2 y d∞ en Rn son equivalentes, por comodidad en el razonamiento utilizaremos d∞ , teniendo en cuenta tambi´en que la topolog´ıa inducida por estas distancias sobre R es la usual. Lema 4.7.1. Sea un intervalo [c, d] ⊂ R, x ∈ R y {Ai }i∈I un recubrimiento abierto del conjunto {x} × [c, d] en R2 . Entonces existe r > 0 tal que el producto (x − r, x + r) × [c, d] est´a recubierto por una cantidad finita de elementos de {Ai }i∈I . ´ . D EMOSTRACI ON Sea {Ai }i∈I un recubrimiento abierto de {x} × [c, d]. Por el Problema P.4.6 este conjunto es compacto, y por tanto, admite un subrecubrimiento finito {Aj }nj=1 . Para cada y ∈ [c, d], el punto (x, y) ∈ Ak para alg´un k ∈ {1, 2, . . . , n}; y como estos conjuntos son abiertos, existe ry > 0 tal que (recuerde como son las bolas para d∞ , Ejemplo Ej.1.21.) (x, y) ∈ B∞ ((x, y), ry ) = (x − ry , x + ry ) × (y − ry , y + ry ) ⊂ Ak . Entonces que {(y − ry , y + ry )}y∈[c,d] es un recubrimiento abierto de [c, d], que es compacto. Luego existe un subrecubrimiento finito {(yj − ryj , yj + ryj )}m j=1 . Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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4. Espacios compactos

Ahora tomamos r = m´ın{ryj : j = 1, . . . , m}, de modo que (x − r, x + r) =

m \

(x − ryj , x + ryj ).

j=1

Se concluye entonces que (x − r, x + r) × [c, d] ⊂

m [

{(x − r, x + r) × (yj − ryj , yj + ryj )} ⊂

j=1

⊂

m [

{(x − ryj , x + ryj ) × (y − ryj , y + ryj )} ⊂

j=1

n [

Ak ,

k=1

obteniendo el subrecubrimiento finito buscado. Proposici´on 4.7.2. Un rect´angulo [a, b] × [c, d] ⊂ R2 es compacto. ´ . D EMOSTRACI ON Si {Ai }i∈I es un recubrimiento abierto de [a, b] × [c, d], tambi´en es un recubrimiento de {x} × [c, d], para cada x ∈ [a, b]. Por el Lema 4.7.1, para cada x existe rx > 0 tal que el conjunto (x − rx , x + rx ) × [c, d] admite un subrecubrimiento finito. Pero {(x − rx , x + rx )}x∈[a,b] es un recubrimiento abierto de [a, b]. Por la compacidad de [a, b], dicho recubrimiento admite un subrecubrimiento finito {(xk − rxk , xk + rxk )}m k=1 . Entonces tenemos que [a, b] × [c, d] ⊂

m [

{(xk − rxk , xk + rxk ) × [c, d]}

k=1

y cada uno de los conjuntos (xk − rxk , xk + rxk ) × [c, d] est´a recubierto por un n´umero finito de elementos de {Ai }i∈I . Luego el rect´angulo [a, b] × [c, d] est´a contenido en una uni´on finita de elementos Ai . Corolario 4.7.3. Los rect´angulos generalizados [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] × · · · × [an , bn ] son compactos en Rn . ´ . D EMOSTRACI ON La demostraci´on es un proceso de inducci´on a partir de la Proposici´on 4.7.2 anterior. Teorema 4.7.4 (de Heine-Borel en Rn ). Sea K ⊂ Rn con la topolog´ıa usual. Entonces K es compacto si, y s´olo si, K es cerrado y acotado. OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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4.7. Compactos en Rn

130 ´ . D EMOSTRACI ON “⇒” Se trata del Teorema 4.2.5.

“⇐” Si K est´a acotado, hay alguna bola cerrada tal que K ⊂ B ∞ (a, r), para alg´un a ∈ Rn . Esta bola es un rect´angulo cerrado que, por el Corolario 4.7.3, es compacto. Como K es cerrado y est´a contenido en un compacto, el Teorema 4.2.4 implica que K es compacto.

Ejemplos Ej.4.16. La esfera unidad S n−1 = {(x1 , . . . , xn ) : x21 + · · · + x2n = 1} y la bola cerrada unidad B n = {(x1 , . . . , xn ) : x21 + · · · + x2n ≤ 1} en Rn son compactos, pues son cerrados y acotados. Ej.4.17. El conjunto A = {(x, y) : 0 ≤ x, 1 ≤ y ≤ 2} es cerrado en R2 , pero no es compacto porque no est´a acotado (v´ease la Figura 4.4(a)).

Figura 4.4 – Subconjunto de R2 no compacto: no acotado y cerrado.

Ej.4.18. El conjunto A = {(1/n, y)) : n ∈ N, 0 ≤ y ≤ 1} est´a acotado en R2 , pues A ⊂ [0, 1] × [0, 1] (v´ease la Figura 4.5), pero no es compacto porque no es cerrado ya que (0, 0) ∈ / A pero (0, 0) ∈ A.

Figura 4.5 – Subconjunto de R2 no compacto: acotado pero no cerrado.

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4. Espacios compactos

Despu´es de los resultados que hemos demostrado en los espacios m´etricos referidos a la compacidad, podemos completar el Teorema 4.7.4 de Heine-Borel. Teorema 4.7.5 (Teorema de Heine-Borel-Lebesgue en Rn ). Sea K ⊂ Rn con la topolog´ıa usual. Las siguientes condiciones son equivalentes: (a) K es compacto. (b) K es cerrado y acotado. (c)Todo subconjunto S ⊂ K infinito tiene un punto l´ımite en K. (d) K es secuencialmente compacto.

Ejercicios y Problemas P.4.10 ¿Cu´ales de los siguientes subespacios de R y R2 son compactos? Justifique la respuesta. 1. Q ∩ [0, 1] 2. D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1} 3. E = {(x, y) ∈ R2 : |x| + |y| ≤ 1} 4. F = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 1} 5. G = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 1, 0 ≤ y ≤ 1/x} P.4.11 Sea (R, d) el espacio m´etrico de los n´umeros reales con la distancia d(x, y) =

|x − y| . 1 + |x − y|

Sea A = [1, +∞). Estudie si A es cerrado, acotado o compacto en dicho espacio. P.4.12 Demuestre que un tri´angulo, incluidos sus lados, es compacto en R2 . [I] P.4.13 Demuestre que, en un espacio m´etrico, el conjunto formado por una sucesi´on convergente junto con su l´ımite, es compacto. [I] [R]

4.8.Propiedad de la intersecci o´ n finita Definici´on 4.8.1. Sea F una familia de subconjuntos de un conjunto X. Se dice que F tiene la propiedad de la intersecci´on finita si la intersecci´on de cualquier subfamilia finita de F es no vac´ıa. OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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4.8. Propiedad de la intersecci´on finita

Ejemplos Ej.4.19. La familia {(0, 1/n)}n∈N de subconjuntos de R tiene claramente la propiedad de la intersecci´on finita. Ej.4.20. La familia {[n, n + 1]}n∈N de subconjuntos de R no tiene la propiedad de la intersecci´on finita, pues, por ejemplo, [2, 3] ∩ [4, 5] = ∅.

Proposici´on 4.8.2. Sea X un espacio m´etrico. Entonces X es compacto si, y s´olo si, toda familia {Fi }i∈I de cerrados en X que tiene la propiedad de la intersecci´on finita tiene intersecci´on no vac´ıa. ´ . D EMOSTRACI ON “⇒” Supongamos que X es compacto y que {Fi }i∈I es una familia de subconjuntos cerrados de X con la propiedad de la intersecci´on finita tal que ∩i∈I Fi = ∅. Si tomamos complementarios tendremos que ∪i∈I Fic = X, luego obtenemos un recubrimiento abierto de X que, por ser compacto, admite un subrecubrimiento finito, F1c ∪· · ·∪Fnc = X. Tomando de nuevo complementarios F1 ∩· · ·∩Fn = ∅, en contra de que la familia {Fi }i∈I tiene la propiedad de la intersecci´on finta. “⇐” Sea {Ai }i∈I un recubrimiento abierto de X; entonces (∪i∈I Ai )c = ∅. Por tanto ∩i∈I Aci = ∅, con lo que tenemos una familia de cerrados {Aci }∈I que no tiene la propiedad de la intersecci´on finita; luego debe existir una subfamilia finita cuya intersecci´on es vac´ıa: Aci1 ∩ · · · ∩ Acin = ∅. Tomando complementarios obtenemos que Ai1 ∪ · · · ∪ Ain = X y as´ı hemos obtenido un subrecubrimiento finito.

Ejemplos Ej.4.21. (R, du ) no es compacto, cosa que ya sabemos porque no es acotado. Pero esto mismo puede deducirse de otra forma. La familia de cerrados {[m, +∞)}m∈Z tiene la propiedad de la intersecci´on finita y, sin embargo, la intersecci´on de todos los elementos de esta familia es vac´ıa. Ahora basta aplicar la Proposici´on 4.8.2.

Ejercicios y Problemas P.4.14 ¿Cu´ales de las siguientes familias de subconjuntos de R satisfacen la propiedad de intersecci´on finita? Justifique la respuesta en cada caso. 1. {(n, n + 2)}n∈N Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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4. Espacios compactos

2.



n−1 n+1 n , n


n∈N

3. {(−n, n)}n∈N P.4.15 Demuestre que un espacio m´etrico (X, d) Tes compacto si, y s´olo si, para toda familia de cerrados {Ci }i∈I tales que i∈I Ci = ∅, existe una subfamilia finita {Ci1 , . . . , Cik } que cumple Ci1 ∩ · · · ∩ Cik = ∅. P.4.16 Demuestre que si (X, d) e (Y, d0 ) son dos espacios m´etricos e Y es compacto, entonces la proyecci´on π1 : X × Y → X es una aplicaci´on cerrada. P.4.17 Sea (X, d) un espacio m´etrico con la propiedad de Bolzano-Weierstrass. (a)Si f : X → Y es continua, ¿Tiene f (X) la propiedad de BolzanoWeierstrass? (b)Si A es un subconjunto cerrado de X, ¿es A compacto por punto l´ımite? P.4.18 Un espacio (X, d) es numerablemente compacto si cada recubrimiento numerable de abiertos de X contiene una subcolecci´on finita que recubre a X. Demuestre que para un espacio m´etrico, la condici´on numerablemente compacto equivale a la de compacto por punto l´ımite. [I] P.4.19 Demuestre que X es numerablemente compacto si, y s´olo si, cada sucesi´on encajada C1 ⊃ C2 ⊃ · · · de conjuntos cerrados no vac´ıos de X tiene intersecci´on no vac´ıa. P.4.20 Dado un espacio m´etrico (X, d), se dice que un subconjunto M ⊂ X es relativamente compacto si M es compacto. Pruebe: (a)Todo conjunto compacto es relativamente compacto. Busque un ejemplo en R con la topolog´ıa usual que muestre que el rec´ıproco no es cierto en general. (b)Todo conjunto relativamente compacto y cerrado es compacto. (c)Todo conjunto relativamente compacto es acotado. (d)Todo conjunto relativamente compacto es totalmente acotado. ¿Es cierto el rec´ıproco? (e)Todo subconjunto de un conjunto relativamente compacto es relativamente compacto. Deduzca que todo subconjunto de un conjunto compacto es relativamente compacto. P.4.21 Sea K un conjunto compacto en un espacio m´etrico (X, d). Demuestre que para todo subconjunto B ⊂ X, existe un punto x0 ∈ K tal que d(x0 , B) = d(K, B). [I] [R] P.4.22 Sea K un conjunto compacto en un espacio m´etrico (X, d) y B ⊂ X un cerrado tal que K ∩ B = ∅. Demuestre que d(K, B) > 0. [I] [R] OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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134

4.8. Propiedad de la intersecci´on finita

P.4.23 Sea K y H dos conjuntos compactos en un espacio m´etrico (X, d). Demuestre que existen x ∈ K e y ∈ H tales que d(x, y) = d(K, H). [I] P.4.24 Sea K un conjunto compacto en un espacio m´etrico (X, d). Demuestre el conjunto derivado K 0 es compacto. [I] [R] P.4.25 Demuestre que toda sucesi´on {Cn }n∈N decreciente (Cn+1 ⊂ Cn ) de cerrados no vac´ıos, contenidos en un subconjunto compacto K de un espacio m´etrico, tiene intersecci´on no vac´ıa. P.4.26 Demuestre el Teorema de Bolzano-Weierstrass: En R, toda sucesi´on acotada posee una subsucesi´on convergente. [I]

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5 Espacios m´etricos completos Comenzamos introduciendo las sucesiones de Cauchy, que relacionamos con las sucesiones convergentes. En el caso de que coincidan, se trata de un espacio m´etrico completo. Estudiamos los espacios eucl´ıdeos Rn y relacionamos la completitud y la compacidad. Se estudian algunas interesantes propiedades como el teorema de encaje de Cantor y un teorema de Baire. El concepto de completitud en R suele aparecer en los libros de textos de an´alisis matem´atico: es un concepto b´asico para todos los aspectos del an´alisis. La completitud es una propiedad m´etrica, m´as que una propiedad topol´ogica, pero muchos teoremas que implican a los espacios m´etricos completos son de naturaleza topol´ogica. El ejemplo m´as familiar de espacio m´etrico completo es el espacio eucl´ıdeo con cualquiera de sus distancias usuales. Con este cap´ıtulo s´olo pretendemos introducir al lector en este tema. Se pretenden alcanzar las siguientes competencias espec´ıficas: Utilizar los conceptos b´asicos asociados a la noci´on de espacio m´etrico. Reconocer y utilizar las propiedades sencillas de la topolog´ıa m´etrica. Conocer las propiedades m´as sencillas de los espacios m´etricos completos. Relacionar los conceptos de completitud y compacidad en los espacios m´etricos. Se desarrollar´an los contenidos siguientes: 135

136

5.1. Sucesiones de Cauchy

Sucesiones de Cauchy. Los espacios eucl´ıdeos (Rn ). Relaci´on entre la completitud y la compacidad. Algunos resultados interesantes: teorema de encaje de Cantor, un teorema de Baire, teorema del punto fijo. Completado de un espacio m´etrico.

5.1.Sucesiones de Cauchy Definici´on 5.1.1. Sea (X, d) un espacio m´etrico y una sucesi´on (xn )∞ n=1 ⊂ X. Diremos que es una sucesi´on de Cauchy si dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que, si n, m ≥ n0 , entonces d(xn , xm ) < ε. Observaci´on 5.1.2. Observe que lo que viene a decir la definici´on es que, a partir de un t´ermino, todos los dem´as, est´an tan cerca uno de otro, como se desee.

Ejemplos Ej.5.1. Las u´ nicas sucesiones de Cauchy en un espacio m´etrico discreto X son las de cola constante, es decir, aquellas sucesiones (xn )∞ n=1 para las que existe un punto a ∈ X y un n´umero natural n0 de tal manera que xn = a para todo n ≥ n0 . En efecto, si la sucesi´on es de cola constante, entonces es claramente de Cauchy. Rec´ıprocamente, si (xn )∞ on de n=1 es una sucesi´ Cauchy en un espacio discreto, tenemos que para todo ε0 existe n0 tal que si n, m > n0 entonces dD (xn , xm ) < ε. Si tomamos ε < 1 se tiene que xn = xm para todo n, m > n0 , lo que implica que la sucesi´on es de cola constante. Ej.5.2. La sucesi´on (1/n)∞ n=2 es de Cauchy tanto en (R, | |) como en ((0, 1), | |). En efecto, dado ε > 0 existe n0 tal que 1/n < ε para todo n ≥ n0 . Entonces si n, m > n0 se verifica     1 1 1 1 1 1 d , = − < m´ax , < ε. n m n m n m Ej.5.3. La sucesi´on (n)∞ n=1 no es de Cauchy en (R, | |). Observemos que para todo ε > 0 y todo n´umero natural n0 siempre existen n´umeros n, m > n0 tales que |n − m| > ε. Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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137

5. Espacios m´etricos completos

Proposici´on 5.1.3. Toda sucesi´on de Cauchy (xn )∞ etrico n=1 , en un espacio m´ (X, d), est´a acotada. ´ . D EMOSTRACI ON Sea (xn )∞ on de Cauchy y consideremos ε = 1. Por la condici´on de n=1 una sucesi´ Cauchy existe n0 tal que si m, n > n0 se tiene que d(xn , xm ) < 1, de modo que si n > n0 , entonces xn ∈ B(xn0 +1 , 1). S´olo quedan un n´umero finito de t´erminos que pueden estar fuera de esta bola. Sea r = m´ ax{d(x1 , xn0 ), . . . , d(xn0 , xn0 +1 )}. Para todo n se cumple que d(xn , xn0 +1 ) ≤ r. As´ı deducimos (xn )∞ n=1 ⊂ B(xn0 +1 , r + 1), como quer´ıamos. Proposici´on 5.1.4. Toda sucesi´on convergente en un espacio m´etrico es una sucesi´on de Cauchy. ´ . D EMOSTRACI ON En efecto, si (xn )∞ on tal que xn → x, entonces para todo ε > 0 n=1 es una sucesi´ existe n0 tal que si n > n0 se cumple que d(xn , x) < ε/2. As´ı pues, para todo n, m > n0 se tiene d(xn , xm ) ≤ d(xn , x) + d(x, xm )
0 existe n1 tal que para todo n=1 es una sucesi´ n, m > n1 se cumple que ε d(xn , xm ) < . 2 OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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138

5.2. Espacios m´etricos completos

Por otra parte, la subsucesi´on (xnk )k es convergente a x, luego existe k0 tal que si nk > nk0 se cumple que ε d(xnk , x) < . 2 Consideremos n0 = m´ ax{n1 , nk0 } y tomemos n > n0 y k tal que nk > n0 , entonces ε ε d(xn , x) ≤ d(xn , xnk ) + d(xnk , x) < + = ε, 2 2 ∞ de modo que la sucesi´on (xn )n=1 converge a x.

Ejercicios y Problemas ∞ P.5.1 Demuestre que, si (xn )∞ n=1 e (yn )n=1 son dos sucesiones de Cauchy en ∞ R (topolog´ıa usual), entonces las sucesiones (xn + yn )∞ n=1 y (xn yn )n=1 tambi´en son de Cauchy. [I] [R]

P.5.2 Sea (X, d) un espacio m´etrico y (xn )∞ on de Cauchy n=1 ⊂ X una sucesi´ que posee un punto de acumulaci´on x; entonces la sucesi´on converge a x. [I]

[R]

P.5.3 Sean d y d0 dos distancias definidas sobre un mismo conjunto X. Demuestre que si d y d0 son equivalentes, entonces toda sucesi´on de Cauchy en (X, d) es tambi´en de Cauchy en (X, d0 ) y viceversa. [I] [R] P.5.4 Demuestre que, en R con la distancia usual, una sucesi´on es de Cauchy si, y s´olo si, es convergente. [I]

5.2.Espacios m e´ tricos completos Definici´on 5.2.1. Un espacio m´etrico (X, d) es completo si toda sucesi´on de Cauchy en X es convergente.

Ejemplos Ej.5.5. R con la distancia usual es completo despu´es del Problema P.5.4 anterior. Ej.5.6. Todo espacio m´etrico discreto es completo, como se deduce del Ejemplo Ej.5.1.. Ej.5.7. (0, 1) no es completo con la distancia usual (v´ease el Ejemplo Ej.5.4.). Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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5. Espacios m´etricos completos

Ej.5.8. Si (X, d) es completo, entonces X es completo con la distancia acotada ¯ y) = m´ın{d(x, y), 1}, d(x, y rec´ıprocamente, dado que una sucesi´on (xn )∞ n=1 es de Cauchy para la distancia d¯ si, y s´olo si, es una sucesi´on de Cauchy para la distancia d (v´ease el Problema P.5.3). Y una sucesi´on converge en la distancia d¯ si, y s´olo si, converge en la distancia d. Ej.5.9. (Q, | |) no es un espacio completo. En efecto, vamos a construir una sucesi´on de Cauchy de n´umeros racionales que no es convergente en Q. Para cada n ∈ N sea kn el mayor natural tal que kn2 ≤ 22n+1 . Definimos, para cada n ∈ N, la sucesi´on kn xn = n , 2 que es una sucesi´on de n´umeros racionales y verifica las afirmaciones siguientes: (A) La sucesi´on (xn )∞ n=1 verifica que xm ≤ xn si m ≤ n. En efecto, por definici´on de kn se tiene (2kn )2 ≤ 22 22n+1 = 22(n+1)+1 , 2 y como kn+1 es el mayor natural que verifica kn+1 ≤ 22(n+1)+1 , se deduce que 2kn ≤ kn+1 . Por tanto

xn =

kn kn+1 ≤ = xn+1 , n 2 2 · 2n

y de aqu´ı se obtiene de forma inmediata la afirmaci´on (A). (B) Para todo m ≤ n se verifican x2m

 ≤2
22n+1 , de donde se obtiene que para todo m, n ∈ N se cumple 

1 xn + n 2

2

 =

kn 1 + n n 2 2

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2 =

(kn + 1)2 22n+1 > = 2. 22n 22n

(5.2)

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140

5.2. Espacios m´etricos completos

Combinando las desigualdades (5.1) y (5.2) se deduce x2m

 ≤2
x p − xn −

1 1 = − n. 2n 2

Combinando las dos desigualdades anteriores, llegamos a |xp − xq | ≤

1 . 2n

A partir de aqu´ı es f´acil deducir que la sucesi´on es de Cauchy, pues dado ε > 0 racional, existe n0 tal que 2n10 < ε ya que ( 21n )∞ on n=1 es una sucesi´ de racionales que converge claramente a 0. Por tanto, basta tomar p, q ≥ n0 para obtener 1 |xp − xq | ≤ n0 < ε. 2 (D) La sucesi´on (xn )∞ n=1 no es convergente en Q. Para demostrar esta u´ ltima afirmaci´on, supongamos que l´ımn xn = x, con x ∈ Q. Como la sucesi´on { 21n }∞ n=1 converge a cero tenemos l´ım x2n n



1 = x = l´ım xn + n n 2

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2

2 , e´ Herrero Pi˜neyro

141

5. Espacios m´etricos completos

pero en (B) hemos visto que x2n

 ≤2
n1 ; procediendo de esta manera construimos una subsucesi´on (xnk )k , tal que cada xnk ∈ Bk . Veamos que esta subsucesi´on es de Cauchy. Sean p, q ∈ N con p < q. Como Bp ∩ Bq 6= ∅, si y ∈ Bp ∩ Bq tendremos que d(xnp , xnq ) ≤ d(xnp , y) + d(y, xnq ) ≤

1 1 1 1 1 + < p + p = p−1 . 2p 2q 2 2 2

Por tanto, dado ε > 0 existe m tal que 1/2m−1 < ε, y si p, q > m (con p > q por ejemplo), entonces d(xnp , xnq )
n0 , entonces diam(Cn ) < ε. Por tanto, como la sucesi´on de cerrados es decreciente, si n, m > n0 , con m > n, tenemos que xn , xm ∈ Cn . Entonces d(xn , xm ) < diam(Cm ) < ε y la sucesi´on es de Cauchy. Como X es completo, la sucesi´on (xn )∞ n=1 es convergente a un punto x ∈ X. Veamos que x ∈ ∩n∈N Cn . Supongamos que no fuera as´ı. Entonces existir´ıa k ∈ N tal que x ∈ / Ck ; como Ck es cerrado, tenemos que d(x, Ck ) = r > 0, con lo que la bola B(x, r/2) y Ck no tienen puntos comunes. Pero si n > k, entonces xn ∈ Ck (pues la sucesi´on de cerrados es decreciente), lo que implica que xn ∈ / B(x, r/2), lo cual es imposible puesto que xn → x. Veamos, finalmente, que este punto es el u´ nico en la intersecci´on. Supongamos que existe otro punto y ∈ ∩n∈N Cn , entonces d(x, y) ≤ diam(Cn ) para todo n ∈ N y como l´ımn diam(Cn ) = 0 ha de ser d(x, y) ≤ 0. Pero d es una distancia, luego d(x, y) = 0. Por tanto, x = y.

Teorema 5.4.2 (Teorema de Baire). Sea (X, d) un espacio m´etrico completo y sea {An }∞ on de abiertos de X tales que An es denso en X para n=1 una sucesi´ cada n ∈ N. Entonces se cumple que ∩∞ n=1 An es denso en X. ´ . D EMOSTRACI ON Es suficiente probar que todo abierto no vac´ıo de X corta a ∩∞ n=1 An . Sea A ⊂ X un abierto. Como A1 es denso, A ∩ A1 es no vac´ıo y, por tanto, x1 ∈ A ∩ A1 . Como A∩A1 es abierto, existe r1 < 1 tal que la bola cerrada B(x1 , r1 ) ⊂ A∩A1 . Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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5. Espacios m´etricos completos

La bola B(x1 , r1 ) es abierta no vac´ıa y A2 es denso, luego B(x1 , r1 ) ∩ A2 es no vac´ıo. Por tanto, existe x2 ∈ B(x1 , r1 ) ∩ A2 ; esta intersecci´on es abierta, luego existe r2 < 1/2 tal que B(x2 , r2 ) ⊂ B(x1 , r1 ) ∩ A2 ⊂ A ∩ A1 ∩ A2 . As´ı, por inducci´on, se puede construir una sucesi´on de bolas {B(xn , rn )}∞ n=1 tales que rn < 1/n para cada n ∈ N y B(xn , rn ) ⊂ A ∩ A1 ∩ · · · ∩ An . otesis Si consideramos las bolas cerradas, la familia {B(xn , rn )}∞ n=1 cumple la hip´ del Teorema 5.4.1 de encaje de Cantor y, por tanto, su intersecci´on es un u´ nico punto: ∩∞ x ∈ X. n=1 B(xn , rn ) = {x}, ∞ En consecuencia, x ∈ A ∩ (∩∞ n=1 An ) por lo que ∩n=1 An es denso.

5.5.Completado de un espacio m e´ trico ˆ ρ) es un completado de Definici´on 5.5.1. Diremos que un espacio m´etrico (X, ˆ un espacio m´etrico (X, d), si X es completo y X es isom´etrico a un subconjunto ˆ denso de X

Ejemplos Ej.5.11. R con la distancia usual es un completado de Q, puesto R es completo y Q es denso en R.

Teorema 5.5.2. Sea (Y, d) un espacio m´etrico y X un conjunto. Entonces son equivalentes: (a) (Y, d) es completo. (b) El espacio de las funciones acotadas (A(X, Y ), d∞ ) es completo (v´ease el Problema P.1.29) . ´ . D EMOSTRACI ON “(a)⇒(b)“ Sea (fn )∞ on de Cauchy en (A(X, Y ), d∞ ). Entonces n=1 una sucesi´ para cada x ∈ X la sucesi´on (fn (x))∞ on de Cauchy en (Y, d); en n=1 es una sucesi´ efecto, dado ε > 0, como (fn )∞ es una sucesi´ o n de Cauchy en A(X, Y ), existe n=1 n0 tal que si n, m ≥ n0 , entonces d∞ (fn , fm ) < ε y por tanto, para todo x ∈ X, tenemos d(fn (x), fm (x)) < ε . OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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5.5. Completado de un espacio m´etrico

Como (Y, d) es completo, para cada x ∈ X la sucesi´on (fn (x))∞ n=1 converge a un punto en Y que llamaremos f (x). A partir de estos l´ımites definimos la funci´on f : X → Y tal que a cada x ∈ X le hace corresponder el l´ımite de la sucesi´on (fn (x))∞ n=1 . Veamos que la sucesi´on (fn )∞ on es de Cauchy, n=1 converge a f . Como la sucesi´ para todo ε > 0, existe n0 tal que si m, n > n0 entonces d∞ (fn , fm ) < ε. En particular, si tomamos n > n0 fijo y p ∈ N, tendremos que d∞ (fn , fn+p ) < ε. Entonces para todo x ∈ X se cumple que d(fn (x), fn+p (x)) < ε. Si ahora tomamos l´ımites cuando p → ∞, para todo x ∈ X se tiene d(fn (x), fn+p (x)) → d(fn (x), f (x)), lo que implica que d(fn (x), f (x)) < ε. Concluimos que si n > n0 entonces d∞ (fn , f ) < ε, lo que implica que (fn )∞ n=1 converge a f . Lo anterior tambi´en implica que f ∈ A(X, Y ), es decir, est´a acotada. En efecto, como (fn )∞ en est´a acotada (v´ease la Proposici´on 5.1.3), n=1 es de Cauchy tambi´ luego existe M > 0 de manera que (fn )∞ on n=1 ⊂ B∞ (g, M ) para alguna funci´ cong ∈ A(X, Y ), es decir, d∞ (g, fn ) < M para todo n ∈ N. Como (fn )∞ n=1 verge a f , existe un n1 tal que si n > n1 , entonces d∞ (fn , f ) < 1. Por tanto, d∞ (g, f ) ≤ d∞ (g, fn ) + d∞ (fn , f ) < M + 1, si n > n1 , de modo que f ∈ A(X, Y ). ”(b)⇒(a)” Supongamos que (Y, d) no es completo. Por tanto, existe una sucesi´on (yn )∞ on de n=1 en Y que es de Cauchy pero no converge. Consideremos la sucesi´ funciones constantes fn : X → Y definidas como fn (x) = yn para cada x ∈ X y cada n ∈ N; claramente (fn )∞ as, es de Cauchy; en efecto, n=1 ⊂ A(X, Y ) y, adem´ dados n, m ∈ N tenemos d∞ (fn , fm ) = d(yn , ym ). La sucesi´on (yn )∞ n=1 es de Cauchy, por tanto, para todo ε > 0 existe n0 tal que si n, m ≥ n0 entonces d(yn , ym ) < ε y as´ı, tambi´en d∞ (fn , fm ) < ε. Como A(X, Y ) es completo por hip´otesis, (fn )∞ on n=1 converge a cierta funci´ ∞ ∞ f ∈ A(X, Y ), lo que significa que la sucesi´on (fn (x))n=1 = (yn )n=1 converge a f (x) en Y , para cada x ∈ X, lo cual es imposible. Corolario 5.5.3. El espacio de las funciones reales acotadas A(X, R) es completo para cualquier conjunto X. ´ . Es una consecuencia inmediata del teorema anterior, ya que R D EMOSTRACI ON es un espacio completo. Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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5. Espacios m´etricos completos

Veamos ahora un resultado cl´asico, el cual afirma que todo espacio m´etrico se puede embeber isom´etricamente en un espacio m´etrico completo, es decir, todo espacio m´etrico “se puede completar”. Teorema 5.5.4. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Existe un embebimiento isom´etrico de X en un espacio m´etrico completo. ´ . D EMOSTRACI ON Sea A(X, R) el conjunto de todas las funciones acotadas de X en R. Sea x0 un punto fijo de X. Dado a ∈ X, definamos φa : X → R mediante la ecuaci´on φa (x) = d(x, a) − d(x, x0 ). Aseguramos que φa est´a acotada. Efectivamente, de las desigualdades d(x, a) ≤ d(x, b) + d(a, b), d(x, b) ≤ d(x, a) + d(a, b), se deduce que |d(x, a) − d(x, b)| ≤ d(a, b). Poniendo b = x0 , concluimos que |φa (x)| ≤ d(a, x0 ), para todo x. Definamos Φ : X → A(X, R) por Φ(a) = φa . Vamos a probar que Φ es un embebimiento isom´etrico de (X, d) en el espacio m´etrico completo (A(X, R), d∞ ). Es decir, vamos a probar que, para todo par de puntos a, b ∈ X, d∞ (φa , φb ) = d(a, b). Por definici´on, d∞ (φa , φb ) = sup{|φa (x) − φb (x)| : x ∈ X} = sup{|d(x, a) − d(x, b)| : x ∈ X}. Por tanto, concluimos que d∞ (φa , φb ) ≤ d(a, b). Por otro lado, esta desigualdad no puede ser estricta, ya que si x = a entonces |d(x, a) − d(x, b)| = d(a, b), y as´ı concluye la prueba. OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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5.5. Completado de un espacio m´etrico

Ejercicios y Problemas P.5.5 Demuestre que toda sucesi´on de Cauchy en un espacio m´etrico es totalmente acotada. [R] P.5.6 El teorema de encaje de Cantor necesita de todas las hip´otesis: (a) El espacio m´etrico ha de ser completo. El espacio (0, 1) con la distancia inducida por la usual de R no es un espacio completo y adem´as {(0, 1/n]}∞ otesis n=2 es una familia de cerrados que verifican las hip´ del teorema cuya intersecci´on es vac´ıa. (b) Los conjuntos han de ser cerrados. Demuestre que {(0, n1 )}∞ n=1 es una familia de conjuntos “no cerrados” en R (que es completo) que verifica el resto de las hip´otesis del teorema y, sin embargo, su intersecci´on es vac´ıa. (c) La sucesi´on de los di´ametros ha de ser convergente a 0. {[n, ∞)}∞ n=1 es una familia decreciente de conjuntos cerrados en R cuya sucesi´on de di´ametros no converge a 0 y tiene intersecci´on vac´ıa. P.5.7 (Teorema del punto fijo de Banach) Si (X, d) es un espacio m´etrico, una aplicaci´on f : X → X se dice que es una contracci´on si existe un n´umero α < 1 tal que d(f (x), f (y)) ≤ αd(x, y), para todos x, y ∈ X. Demuestre que si f es una contracci´on de un espacio m´etrico completo, entonces existe un u´ nico punto x ∈ X tal que f (x) = x. [I]

[R]

P.5.8 Sea (xn )∞ on de Cauchy en un espacio m´etrico (X, d) y sea n=1 una sucesi´ (yn )∞ una sucesi´ o n tal que d(xn , yn ) < 1/n para todo n ∈ N. Den=1 muestre: (a) (yn )∞ en una sucesi´on de Cauchy. n=1 es tambi´ ∞ (b) (yn )n=1 converge a un punto y ∈ X si, y s´olo si, (xn )∞ n=1 converge al punto y. [R] P.5.9 Sean (X, d) e (Y, d0 ) dos espacios m´etricos; considere el espacio X × Y con cualquiera de las distancias del Ejemplo Ej.1.9. (d∞ sin ir m´as lejos). Demuestre: (a)Una sucesi o´ n (xn , yn )∞ olo si, las n=1 es de Cauchy en X × Y si, y s´ ∞ ∞ sucesiones (xn )n=1 y (yn )n=1 son de Cauchy en X e Y respectivamente. (b) X e Y son completos si, y s´olo si, X × Y es completo. Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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5. Espacios m´etricos completos

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P.5.10 Sea (X, d) un espacio m´etrico en el que toda bola cerrada es compacta. Demuestre que X es completo y que los subconjuntos compactos de X son los cerrados y acotados. [R]

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5.5. Completado de un espacio m´etrico

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6 Espacios conexos En este cap´ıtulo estudiamos los espacios conexos y su relaci´on con otras propiedades ya estudiadas. Despu´es de presentar unos resultados de los espacios conexos, estudiamos los subespacios conexos de la recta real. A continuaci´on relacionamos conexi´on y continuidad y estudiamos la conexi´on de los productos cartesianos. Estudiamos las componentes conexas y finalizamos el cap´ıtulo con la conexi´on por caminos, que implica la conexi´on ordinaria. La definici´on de conexi´on para un espacio m´etrico es muy natural. As´ı, se dice que un espacio puede ser “separado” (no conexo), si es posible “dividirlo” en dos conjuntos abiertos con intersecci´on vac´ıa. En caso contrario, diremos que el espacio es conexo. Se pretenden alcanzar las siguientes competencias espec´ıficas: Utilizar los conceptos b´asicos asociados a la noci´on de espacio m´etrico. Reconocer y utilizar las propiedades sencillas de la topolog´ıa m´etrica. Identificar los subconjuntos conexos de la recta real y, en general, de los espacios eucl´ıdeos. Relacionar los conceptos de conexi´on y continuidad en un espacio m´etrico. Se desarrollar´an los contenidos siguientes: Espacios m´etricos conexos. Propiedades. 151

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6.1. Conjuntos separados

Los subespacios conexos de la recta real. Conexi´on y continuidad. Componentes conexas. Conexi´on por caminos.

6.1.Conjuntos separados Definici´on 6.1.1. Dado un espacio m´etrico (X, d) y dos subconjuntos A, B ⊂ X, diremos que A y B est´an separados si A ∩ B = A ∩ B = ∅. Es evidente que si A y B est´an separados, entonces son disjuntos. Sin embargo, el rec´ıproco no es cierto como queda de manifiesto en los siguientes ejemplos.

Ejemplos Ej.6.1. En R con la topolog´ıa usual, los intervalos (0, 1) y (1, 2) est´an separados, pero los intervalos (0, 1) y [1, 2) no lo est´an, a pesar de que son disjuntos, pues (0, 1) = [0, 1] y [0, 1] ∩ [1, 2] = {1}. Ej.6.2. En (R2 , d2 ) el exterior de la bola abierta de centro el origen de coordenadas y radio 1 Ext B((0, 0), 1) = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 > 1} y la propia bola abierta

´ separados. Figura 6.1 – Ext B((0, 0), 1) y B((0, 0), 1) estan

B((0, 0), 1) = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 1} est´an separados puesto que Ext B((0, 0), 1) = {(x, y) : x2 + y 2 ≥ 1} y Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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6. Espacios conexos

B((0, 0), 1) = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 1} y es evidente que que Ext B((0, 0), 1) ∩ B((0, 0), 1) = Ext B((0, 0), 1) ∩ B((0, 0), 1) = ∅ (v´ease la Figura 6.1). Ej.6.3. En R con la topolog´ıa usual, los conjuntos Q y R − Q no est´an separados, pues Q = R ⊃ R − Q. Ej.6.4. Los conjuntos A = {(0, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ 1} y B = {(1/n, y)) : n ∈ N, 0 ≤ y ≤ 1} no est´an separados, pues todos los puntos de A son adherentes a B (v´ease la Figura 6.2).

Figura 6.2 – Subconjuntos de R2 no separados.

6.2.Espacios conexos Definici´on 6.2.1. Diremos que un espacio m´etrico (X, d) es conexo si X no es uni´on de dos subconjuntos no vac´ıos y separados. En caso contrario diremos que X es no conexo. Proposici´on 6.2.2. Sea (X, d) un espacio m´etrico y A, B ⊂ X dos subconjuntos disjuntos tales que X = A ∪ B. Son equivalentes: (a) X es no conexo (A y B est´an separados). (b) A y B son cerrados. OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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6.2. Espacios conexos

(c) A y B son abiertos. ´ . D EMOSTRACI ON “(a)⇒(b)“ Supongamos que los conjutos A y B est´an separados, es decir, que A ∩ B = A ∩ B = ∅ y veamos que A es cerrado. Podemos poner A = A ∩ X = A ∩ (A ∪ B) = (A ∩ A) ∪ (A ∩ B) = A ∪ ∅ = A. Por tanto, A es cerrado. An´alogamente se prueba que B tambi´en es cerrado. ”(b)⇒(c)” Suponemos ahora que A y B son cerrados. Como A ∪ B = X y A ∩ B = ∅ entonces A = B c y B = Ac . Por tanto, A y B son abiertos (pues son complementarios de cerrados). “(c)⇒(a)“ Supongamos que A y B son abiertos disjuntos tales que A ∪ B = X. Procediendo como en la implicaci´on anterior podemos probar que A y B son cerrados (pues son complementarios de abiertos). Entonces A ∩ B = A ∩ B = ∅ y A ∩ B = A ∩ B = ∅, luego A y B est´an separados. La conexi´on se puede formular de otro modo, como muestra el siguiente corolario cuya demostraci´on es consecuencia de la Proposici´on 6.2.2. Corolario 6.2.3. Un espacio m´etrico (X, d) es conexo si, y s´olo si, los u´ nicos subconjuntos que son, a la vez, abiertos y cerrados son X y ∅. ´ . D EMOSTRACI ON Si A ⊂ X, A 6= X, abierto y cerrado, entonces Ac tambi´en es abierto y cerrado, y X = A ∪ Ac , con lo que X ser´ıa no conexo. La Proposici´on 6.2.2 nos permite introducir un nuevo concepto. Definici´on 6.2.4. Sea X un espacio m´etrico. Una separaci´on de X es un par A, B de abiertos (o cerrados) disjuntos no triviales de X cuya uni´on es X.

6.2.1.Subespacios conexos. Definici´on 6.2.5. Sea un espacio m´etrico (X, d) y un subconjunto S ⊂ X. Diremos que S es un subespacio conexo o un subconjunto conexo si (S, dS ) es conexo. Proposici´on 6.2.6. Un subconjunto S de un espacio m´etrico (X, d) es conexo si, y s´olo si, no existen dos subconjuntos A, B ⊂ X separados tales que A ∪ B = S. ´ . Es una consecuencia inmediata de la definici´on de topolog´ıa D EMOSTRACI ON relativa y la Proposici´on 6.2.2. Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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6. Espacios conexos

Ejemplos Ej.6.5. Sea Y el subespacio [−1, 0) ∪ (0, 1] de la recta real R. Los conjuntos [−1, 0) y (0, 1] son no vac´ıos y abiertos en Y (aunque no en R); de esta forma, constituyen una separaci´on de Y . Por otra parte, obs´ervese que ninguno de estos conjuntos contiene puntos de acumulaci´on del otro. Ej.6.6. Sea X el subespacio [−1, 1] de la recta real. Los conjuntos [−1, 0] y (0, 1] son disjuntos y no vac´ıos pero no forman una separaci´on de X ya que el primer conjunto no es abierto en X. Por otro lado, obs´ervese que el primer conjunto contiene un punto de acumulaci´on, el 0, del segundo. De hecho, probaremos enseguida que no existe una separaci´on del espacio [−1, 1]. Ej.6.7. El conjunto de los n´umeros racionales Q no es conexo. Es m´as, los u´ nicos subespacios conexos de Q son los conjuntos unipuntuales: si Y es un subespacio de Q conteniendo dos puntos p y q, es posible elegir un n´umero irracional a entre p y q y escribir Y como la uni´on de los abiertos Y ∩ (−∞, a)

e

Y ∩ (a, +∞).

Ejercicios y Problemas P.6.1 Sean A, B y C tres subconjuntos de un espacio m´etrico. Demuestre: (a)Si A y B est´an separados y C ⊂ A, entonces C y B est´an separados. (b)Si C y A est´an separados y C y B tambi´en est´an separados, entonces C y A ∩ B est´an separados. (c)Si A y B est´an separados, entonces A ∩ C y B ∩ C est´an separados. [I]

[R]

P.6.2 Demuestre que un espacio discreto con m´as de un punto, es no conexo. P.6.3 Demuestre que si A y B son dos subconjuntos disjuntos de un espacio m´etrico y ambos son abiertos o ambos son cerrados, entonces est´an separados. [I] [R] P.6.4 Sea (X, d) un espacio m´etrico y A, B ⊂ X separados. Pruebe: (a)Si A ∪ B es abierto, entonces A y B son abiertos. (b)Si A ∪ B es cerrado, entonces A y B son cerrados. [I] [R] P.6.5 Demuestre que si A es un subconjunto conexo de un espacio m´etrico, entonces A es infinito. OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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6.2. Espacios conexos

P.6.6 ¿Es conexa la intersecci´on de dos subconjuntos conexos? En caso afirmativo demu´estrelo y en caso negativo encuentre un contraejemplo.

6.2.2.Conjuntos conexos. Lema 6.2.7. Sea (X, d) un espacio m´etrico y sea S ⊂ X un subconjunto conexo. Si A, B ⊂ X son una separaci´on de X, entonces bien S ⊂ A, bien S ⊂ B. ´ . D EMOSTRACI ON Supongamos, por reducci´on al absurdo, que S ∩ A 6= ∅ y S ∩ B 6= ∅; entonces, como A ∪ B = X, tenemos S = (S ∩ A) ∪ (S ∩ B). Por tanto S ∩ A y S ∩ B son abiertos disjuntos en S, no vac´ıos y verificando (S ∩ A) ∩ (S ∩ B) = ∅, con lo cual ambos conjuntos constituyen una separaci´on de S, en contra de que S es conexo. Teorema 6.2.8. La uni´on de una colecci´on de subespacios conexos de X que tienen un punto en com´un es conexa. ´ . D EMOSTRACI ON Sea {Ai }T on de subespacios conexos i∈I una colecci´ S de un espacio X y sea p un punto de i∈I Ai . Probemos que el espacio Y = i∈I Ai es conexo. Supongamos que Y = C ∪ D es una separaci´on de Y . El punto p est´a, o bien en C, o bien en D, pero no en ambos; supongamos que p ∈ C. Como S cada Ai es conexo y p ∈ C, seg´un el Lema 6.2.7 anterior, Ai ⊂ C. Por tanto, i∈I Ai ⊂ C, contradiciendo el hecho de que D era no vac´ıo. Teorema 6.2.9. La uni´on de una colecci´on de subespacios conexos de X tales que no est´an separados dos a dos es conexa. ´ . D EMOSTRACI ON Supongamos que {Ai }i∈I es una familia de subconjuntos conexos de X no separados dos a dos, y supongamos que su uni´on A = ∪i∈I Ai es no conexo; entonces seg´un el Corolario 6.2.3, existe B ( A no vac´ıo que es abierto y cerrado en (A, dA ). Como B 6= ∅, existe x ∈ B ⊂ A y como B 6= A, existe y ∈ A, y ∈ / B. Por tanto, para ciertos ´ındices ix , iy ∈ I tenemos x ∈ Aix e y ∈ Aiy . Entonces Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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6. Espacios conexos

B ∩ Aix 6= ∅ es abierto y cerrado en (Aix , dix ) que es conexo por hip´otesis, luego B ∩ Aix = Aix lo que implica que Aix ⊂ B. De la misma forma (A − B) ∩ Aiy 6= ∅ es abierto y cerrado en (Aiy , diy ), luego (A − B) ∩ Aiy = Aiy , lo que implica que Aiy ⊂ B − A. Pero A y A − B est´an separados en (A, dA ), pues son dos abiertos y cerrados no vac´ıos cuya uni´on es A, lo que lleva consigo que Aix y Aiy tambi´en est´an separados, en contra de la hip´otesis, lo que concluye la prueba. La demostraci´on del siguiente corolario es consecuencia del Teorema 6.2.9 y se le propone como ejercicio. Corolario 6.2.10. Sea (X, d) un espacio m´etrico y {Ai }i∈I una familia de subconjuntos conexos no vac´ıos de X tales que Ai ∩ Aj 6= ∅ para cada par i, j ∈ I. Entonces A = ∪i∈I Ai es conexo. Teorema 6.2.11. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Entonces se verifican: (a) Si H ⊂ X es un subconjunto conexo y S ⊂ X tal que H ⊂ S ⊂ H, entonces S es conexo. (b) Si S es un subconjunto conexo de X, entonces S es conexo. ´ . D EMOSTRACI ON (a) Si x ∈ H, entonces H ∪ {x} es conexo puesto que H y {x} S son conexos no separados (H ∩ {x} = {x}). Entonces podemos poner S = x∈S (H ∪ {x}) y, teniendo en cuenta que H ⊂ S ⊂ H, S es uni´on de conexos no disjuntos, lo que implica que S es conexo. (b) Es una consecuencia inmediata de (a).

Ejercicios y Problemas P.6.7 Sea {An }n∈N una sucesi´on de subespacios S conexos de X que verifican An ∩ An+1 6= ∅ para cada n. Demuestre que n∈N An es conexo. [I] [R] P.6.8 Sean {Aα }α∈J una colecci´on de subespacios conexos de X y A un subespacio S conexo
de X. Demuestre que si A ∩ Aα 6= ∅ para todo α, entonces A∪ α∈J Aα es conexo. P.6.9 Sea (X, d) un espacio m´etrico y A, B ⊂ X una separaci´on de X, es decir X = A ∪ B y A y B est´an separados. Demuestre que si S ⊂ X es conexo, entonces est´a contenido u´ nicamente, o bien en A, o bien en B.

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6.3. Conexos en R.

6.3.Conexos en

R.

Teorema 6.3.1. Un subconjunto S R, con la distancia usual, es conexo si, y s´olo si, es un intervalo o un conjunto unitario. ´ . D EMOSTRACI ON ”⇒” Supongamos que S es conexo. Si S es unitario no hay nada que probar. Supongamos entonces que ni es unitario ni es un intervalo; entonces seg´un el Lema 4.4.1 existen x, y ∈ S tales que [x, y] no est´a contenido en S, es decir, existe z ∈ (x, y) tal que z ∈ / S. Consideremos los conjuntos A = (−∞, z) ∩ S

y

B = (z, +∞) ∩ S.

Entonces A y B est´an separados y S = A ∪ B, en contra de que S es conexo. ”⇐” Si S es unitario no hay nada que probar. Supongamos entonces que S es un intervalo y que es no conexo. Esto quiere decir que existen A, B ⊂ R no vac´ıos y separados tales que S = A ∪ B. Sean x ∈ A, y ∈ B y supongamos que x < y. Como S es un intervalo, el Lema 4.4.1 implica [x, y] ⊂ S. Consideremos el conjunto C = [x, y] ∩ A, que es no vac´ıo (x ∈ A) y est´a acotado superiormente por y; por tanto, existe α = sup C. Tenemos entonces que x ≤ α ≤ y, es decir, α ∈ [x, y] ⊂ S. Luego, o bien α ∈ A, o bien α ∈ B, pero no a los dos. Supongamos que α ∈ A, esto implica que α < y. Como A es abierto en S, por definici´on de topolog´ıa relativa existir´a G abierto en R tal que A = G ∩ S. Luego α ∈ G, de modo que existe ε > 0 tal que (α − ε, α + ε) ⊂ G. Adem´as, α < y, de modo que podemos tomar ε > 0 tal que α + ε < y, luego α + ε ∈ S y, por tanto, α + ε ∈ G ∩ S = A, en contra de que α es supremo. De forma an´aloga se ve que α no puede estar en B. Corolario 6.3.2. R con la topolog´ıa usual es un espacio conexo. ´ . Es una aplicaci´on directa del Teorema 6.3.1 anterior. D EMOSTRACI ON

Ejemplos Ej.6.8. Q no es conexo puesto que no es un intervalo. Ya hab´ıamos visto que Q es no conexo en el Ejemplo Ej.6.7. utilizando otros argumentos. Ej.6.9. A partir del Corolario 6.3.2, concluimos que en (R, | |), los u´ nicos conjuntos abiertos y cerrados a la vez son R y ∅.

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6. Espacios conexos

6.4.Conexi o´ n y continuidad. Teorema 6.4.1. Sean (X, d) e (Y, d0 ) dos espacios m´etricos, f : X → Y una aplicaci´on continua y S ⊂ X un subconjunto conexo en X. Entonces f (S) es conexo en Y . ´ . D EMOSTRACI ON Supongamos que f (S) es no conexo, entonces existen A, B ⊂ Y no vac´ıos y separados tales que f (S) = A ∪ B. Como f : S → f (S) es continua y A y B son abiertos y cerrados en f (S) con la topolog´ıa relativa, tendremos que f −1 (A) y f −1 (B) ser´an abiertos y cerrados en S con la distancia dS inducida por d. Adem´as son no vac´ıos, disjuntos y cumplen S = f −1 (f (S)) = f −1 (A ∪ B) = f −1 (A) ∪ f −1 (B), con lo que S ser´ıa no conexo, en contra de la hip´otesis. La conexi´on es una propiedad topol´ogica. Corolario 6.4.2. Sean (X, d) y (Y, d0 ) dos espacios m´etricos homeomorfos. Entonces X es conexo si, y s´olo si, Y es conexo. ´ . Se trata de una aplicaci´on directa del Teorema 6.4.1 anterior. D EMOSTRACI ON

Los dos Problemas siguientes P.6.10 y P.6.11 corresponden a dos importantes proposiciones a las que debe prestar especial atenci´on y cuya sencilla demostraci´on, a partir del Teorema 6.4.1, se le propone como ejercicio.

Ejercicios y Problemas P.6.10 Un espacio m´etrico (X, d) es conexo si, y s´olo si, cualquier aplicaci´on continua entre X y el espacio discreto {0, 1} es constante, es decir, o bien f (x) = 0 para todo x ∈ X, o bien f (x) = 1 para todo x ∈ X. P.6.11 Si (X, d) es un espacio m´etrico no conexo, entonces existe una aplicaci´on f : X → {0, 1} continua y no constante. P.6.12 Demuestre que si (X, d) es conexo y f : (X, d) → (R, du ) es una aplicaci´on continua, entonces f (X) es un intervalo.

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6.4. Conexi´on y continuidad.

Teorema 6.4.3 (del valor intermedio). Un espacio m´etrico (X, d) es conexo si, y s´olo si, cada aplicaci´on continua f : X → R cumple que si x, y ∈ X y c ∈ R es tal que f (x) ≤ c ≤ f (y), entonces existe z ∈ X tal que f (z) = c. ´ . D EMOSTRACI ON ”⇒” Si X es conexo, entonces f (X) es conexo en R y, por tanto, es un intervalo, de modo que contiene todos los puntos intermedios. ”⇐” Supongamos que X es no conexo, entonces X = A∪B con A y B no vac´ıos y separados. Consideramos una funci´on g : X → {0, 1} continua tal y como la proporciona el Problema P.6.11 y tal que g(A) = {0} y g(B) = {1}. Sea la inclusi´on i : {0, 1} −→ R, que es continua (observe que la distancia usual de R induce sobre {0, 1} la distancia discreta y revise el Problema P.3.1), y consideremos la composici´on h = i ◦ g : X −→ R que, al ser composici´on de funciones continuas, tambi´en es continua. Entonces h no cumple las hip´otesis, pues 0 < 1/2 < 1 y, sin embargo, no hay ning´un punto de X cuya imagen por h sea distinta de 0 o de 1, en contra de la hip´otesis.

6.4.1.Espacios producto. Teorema 6.4.4. Sean (X, d) e (Y, d0 ) dos espacios m´etricos conexos. Entonces el producto X × Y es conexo. (Con cualquiera de las distancias d1 , d2 o d∞ del Ejemplo Ej.1.9.). ´ . D EMOSTRACI ON Tomemos un punto (a, b) ∈ X × Y . La “rebanada horizontal” X × {b} es conexa, ya que es homeomorfa a X, y tambi´en lo es cada “rebanada vertical” {x} × Y para cada x ∈ X ya que e´ stas son homeomorfas a Y (v´ease el Problema P.3.9). Por otra parte, para cada x ∈ X la intersecci´on de los conjuntos X ×{b} y {x}×Y es no vac´ıa, en concreto es precisamente (X × {b}) ∩ ({x} × Y ) = {(x, b)}. Por tanto, el conjunto (X × {b}) ∪ ({x} × Y ) es conexo por ser uni´on de conexos no disjuntos (v´ease la Figura 6.3). Entonces la uni´on [

{(X × {b}) ∪ ({x} × Y )}

x∈X

de todos estos conjuntos es precisamente X × Y y es conexo pues todos tienen en com´un al conjunto X × {b} (v´ease de nuevo la Figura 6.3).

Corolario 6.4.5. El producto cartesiano de una cantidad finita de espacios m´etricos conexos, es un espacio conexo. Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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6. Espacios conexos

´ en el espacio producto. Figura 6.3 – Conexion

´ . La prueba para cualquier colecci´on finita de espacios conexos D EMOSTRACI ON puede realizarse por inducci´on, utilizando el hecho (¿f´acilmente demostrable?) de que X1 × · · · × Xn es homeomorfo a (X1 × · · · × Xn−1 ) × Xn .

Ejemplos Ej.6.10. Rn con cualquiera de las distancias d1 , d2 o d∞ es conexo.

6.5.Componentes conexas Definici´on 6.5.1. Sea (X, d) un espacio m´etrico y C ⊂ X un subconjunto, diremos que C es una componente conexa de X si C es conexo y no hay ning´un subconjunto conexo y propio de X que contenga a C. Observaci´on 6.5.2. (a)Obviamente si X es conexo, tiene una u´ nica componente conexa que coincide con todo el espacio. (b)Cualquier espacio, conexo o no, tiene componentes conexas no vac ´ıas. Definici´on 6.5.3. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Se llama componente conexa C(x) de un punto x ∈ Xa la uni´on de todos los subconjuntos conexos de X que contienen al punto x. Observaci´on 6.5.4. Es obvio que C(x) es el mayor conjunto conexo que contiene a x y que C(x) es la componente conexa de X que contiene a dicho punto. OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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6.6. Conexi´on por caminos (o arcos).

Teorema 6.5.5. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Entonces las componentes conexas de X constituyen una partici´on de X, es decir son disjuntas entre s´ı y la uni´on de todas ellas es X. ´ . - Sean x, y ∈ X veamos que si C(x) y C(y) son sus comD EMOSTRACI ON ponentes conexas respectivas, entonces o bien coinciden ,C(x) = C(y), o bien C(x) ∩ C(y) = ∅. En efecto, supongamos que C(x) ∩ C(y) 6= ∅, entonces se trata de dos conjuntos conexos no separados, lo que significa que C(x) ∪ C(y) es conexo, pero la componente conexa es el mayor conexo que contiene al punto, de modo que C(x) = C(x) ∪ C(y) = C(y). Por otra parte, es evidente que la uni´on de todas las componentes conexas es todo X. Como en ocasiones anteriores, los Problemas siguientes recogen importantes resultados sobre componentes conexas, cuya demostraci´on se le propone como ejercicio. Debe prestarles la necesaria atenci´on.

Ejercicios y Problemas P.6.13 Sea (X, d) un espacio m´etrico. Demuestre que cada subconjunto conexo de X est´a contenido en una u´ nica componente conexa. P.6.14 Cada subconjunto conexo de un espacio m´etrico que es a la vez abierto y cerrado, es una componente conexa. P.6.15 Cada componente conexa de un espacio m´etrico es un cerrado. P.6.16 Considere en (R, | |), el conjunto C = {0} ∪ {1/n : n ∈ N} con la distancia inducida por la usual. Pruebe que {0} es una componente conexa de C y concluya que las componentes conexas no son, necesariamente abiertos.

6.6.Conexi o´ n por caminos (o arcos). La conexi´on de los intervalos en R nos conduce a la condici´on de que cualquier par de puntos de X pueda unirse mediante un camino o un arco en X. Y esto nos lleva a la conexi´on por caminos (tambi´en llamada conexi´on por arcos). Definici´on 6.6.1. Sea (X, d) un espacio m´etrico y dos puntos x, y ∈ X: Un camino o un arco en X, que une el punto x con el punto y, es una aplicaci´on continua f : [a, b] −→ X, donde [a, b] ⊂ R es intervalo cerrado con la distancia usual, tal que f (a) = x y f (b) = y. Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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6. Espacios conexos

Un espacio X se dice que es conexo por caminos o conexo por arcos si cada par de puntos de X se pueden unir mediante un camino en X. Observaci´on 6.6.2. Dado que cualquier intervalo cerrado [a, b] es homeomorfo al intervalo [0, 1] (v´ease el Problema P.3.8). Por composici´on, la definici´on de camino se puede establecer diciendo que la aplicaci´on continua est´a definida en el intervalo [0, 1]; de hecho en numerosas ocasiones, y por comodidad, as´ı lo haremos.

Ejemplos Ej.6.11. Si f : [0, 1] −→ (X, d) es un camino que une x e y, entonces La aplicaci´on fˆ : [0, 1] −→ (X, d) definida como fˆ(t) = f (1 − t), es un camino que une y con x (digamos, que cambia el sentido del camino). Ej.6.12. Si f : [0, 1] −→ (X, d) es un camino que va del punto x al punto y y g : [0, 1] −→ (X, d) es un camino que une y con z, definimos la aplicaci´on ( f (2t) si 0 ≤ t ≤ 1/2 (f ∗ g)(t) = . g(2t − 1) si 1/2 ≤ t ≤ 1 f ∗g es un camino (es continua) que une x con z siguiendo el camino que va de x a y y, a continuaci´on de forma continua, el que une y con z. El camino f ∗ g recibe el nombre de yuxtaposici´on de f y g. Ej.6.13. La bola cerrada de radio unidad, centrada en cualquier punto de Rn , es decir B n = B(x, 1) = {x ∈ Rn : kxk2 ≤ 1}, donde kxk2 = k(x1 , . . . , xn )k2 = (x21 + · · · + x2n )1/2 es la norma eucl´ıdea (v´ease el Ejemplo Ej.1.41.), es conexa por caminos. En efecto, dados dos puntos x, y ∈ B n , el segmento f : [0, 1] → Rn definido por f (t) = (1 − t)x + ty es continuo y est´a contenido en B n ya que kf (t)k2 = k(1 − t)x + tyk2 ≤ (1 − t)kxk2 + tkyk2 ≤ 1.

Ej.6.14. Rn con la distancia usual es conexo por caminos.

Teorema 6.6.3. Todo espacio m´etrico conexo por caminos es tambi´en conexo. OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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6.6. Conexi´on por caminos (o arcos).

´ . D EMOSTRACI ON Supongamos que X un espacio conexo por caminos pero no conexo. Por tanto existen dos conjuntos no vac´ıos {A, B ⊂ X} que constituyen es una separaci´on de X, es decir X = A∪B y A y B est´an separados. Sea f : [0, 1] → X un camino en X. Como [0, 1] es conexo y f es continua, por el Teorema 6.4.1, el conjunto f ([0, 1]) es conexo y, en consecuencia, debe estar contenido enteramente o bien en A, o bien en B (v´ease el Problema P.6.9). Por tanto, no existen caminos en X que unan puntos de A con puntos de B lo cual es contrario con el hecho de que X sea conexo por caminos. Teorema 6.6.4. Sea (X, d) un espacio m´etrico conexo por caminos, e (Y, d0 ) un espacio m´etrico. Si f : X −→ Y es una aplicaci´on continua, entonces f (X) es conexo por caminos. ´ . - Si y1 , y2 ∈ f (X), entonces f −1 (y1 ), f −1 (y2 ) ∈ X y como D EMOSTRACI ON X es conexo por caminos, existe g[0, 1] −→ X continua tal que g(0) = f −1 (y1 ) y g(1) = f −1 (y2 ). Entonces f ◦ g es un camino que conecta y1 con y2 . El rec´ıproco del Teorema 6.6.3 anterior no es cierto en general, es decir, un espacio conexo no es necesariamente conexo por caminos; as´ı lo muestra el siguiente ejemplo.

Ejemplos Ej.6.15. Sean los subconjuntos de R2 siguientes: 1 A = {(x, 0) : 0 ≤ x ≤ 1}, Bn = {( , y) : 0 ≤ y ≤ 1} para cada n ∈ N. n Consideremos el punto P (0, 1) y el conjunto C = A ∪ (∪n∈N Bn ) ∪ {p} dotado con la topolog´ıa inducida por la usual de R2 y cuya representaci´on gr´afica puede ver el la Figura 6.4. Entonces X es conexo pero no es conexo por caminos. (1) X es conexo. En efecto, tanto A como cada uno de los Bn es conexo por caminos puesto que se trata segmentos y, por tanto seg´un el Teorema 6.6.3 tambi´en son conexos. Adem´as, para cada n ∈ N, A ∩ Bn = {(1/n, 0)}, lo que implica que el conjunto A ∪ (∪n∈N Bn ) es uni´on de conexos no separados, y por tanto es conexo. Por u´ ltimo P es un punto adherente a A ∪ (∪n∈N Bn ) ya que para todo ε > 0 existe n ∈ N con 1/n < ε por lo que, (1/n, 1) ∈ B(P, ε), entonces, seg´un el Teorema 6.2.11 (a), C es conexo. Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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6. Espacios conexos

Figura 6.4 – El Conjunto C es conexo pero no es conexo por caminos.

(2) C es no conexo por caminos. Para demostrar esto vamos a comprobar que cualquier camino f : [a, b] → C que comience en P , cumple que f (t) = P para todo t ∈ [a, b] y, por tanto, no existe ning´un camino que una P con otro punto de C. Esto u´ ltimo ser´a consecuencia, a su vez, de que f −1 (P ) es abierto y cerrado en [a, b] que es conexo, con lo cual tendremos que f −1 (P ) = [a, b]. Como f es una aplicaci´on continua y {P } es un conjunto cerrado, f −1 (P ) es cerrado. Vamos a ver que f −1 (P ) tambi´en es abierto. Consideremos una bola abierta centrada en P en el subespacio C. Esta bola ser´a la intersecci´on de una bola en R2 con C, B(P, r) ∩ C; y tomemos r < 1, de manera que no corte al eje de abscisas. Sea un punto x0 ∈ f −1 (B(P, r) ∩ C), entonces como consecuencia de la continuidad de f , existe, en [a, b], una bola centrada en x0 , B(x0 , δ) = (x0 − δ, x0 + δ), tal que f (B(x0 , δ)) ⊂ (B(P, r) ∩ C). Como B(x0 , δ) es un intervalo, es conexo y, por tanto, f (B(x0 , δ)) tambi´en lo es, por lo que no puede contener ning´un punto distinto de P . De lo contrario, si existe (1/m, s) ∈ (B(P, r) ∩ C) (0 < s ≤ 1), tomamos α ∈ R tal que se cumpla 1/(m + 1) < α < 1/m con lo que tenemos que (−∞, α) × R y (α, +∞) × R son dos abiertos disjuntos en R2 , por lo que [(−∞, α) × R] ∩ (B(P, r) ∩ C) y [(α, +∞) × R] ∩ (B(P, r) ∩ C) constituyen una separaci´on de (B(P, r) ∩ C. Como f (B(x0 , δ)) es conexo y contiene a P , se tiene que f (B(x0 , δ)) ⊂ [(−∞, α) × R] ∩ (B(P, r) ∩ C), OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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6.6. Conexi´on por caminos (o arcos).

por lo que no contiene a (

1 , s) ∈ [(α, +∞) × R] ∩ (B(P, r) ∩ C) m

y, por tanto, f (B(x0 , δ)) = {P } lo que significa B(x0 , δ) ⊂ f −1 (P ) y f −1 (P ) es abierto, que es lo que quer´ıamos demostrar. Ej.6.16. El espacio eucl´ıdeo agujereado es Rn − {0}, con la distancia usual inducida; donde 0 es el origen en Rn . Si n > 1, este espacio es conexo por caminos (y por tanto conexo): dados x, y ∈ Rn − {0} , podemos unir x e y mediante el segmento que ambos determinan, si este segmento no pasa por el origen. En caso de que as´ı ocurriera, podemos elegir otro punto z que no est´e contenido en la recta que determinan x e y y a continuaci´on considerar el “segmento quebrado” que determinan x, z e y y ya tenemos un camino que une los puntos x e y. Sin embargo, si n = 1, entonces R − {0} = (−∞, 0) ∪ (0, +∞) no es conexo, pues esta uni´on es una separaci´on de R − {0}. Ej.6.17. A partir del Ejemplo Ej.6.16. anterior, podemos concluir que R y R2 , con las distancias usuales, no son homeomorfos. En efecto si existiera un homeomorfismo f : R2 −→ R; y f (0, 0) = a; entonces la restricci´on de f a R2 − {(0, 0)}, ser´ıa un homeomorfismo entre este conjunto y R − {a}, pero R2 − {(0, 0)} es conexo y, sin embargo R − {a} no lo es, en contra del Corolario 6.4.2. Ej.6.18. La esfera unidad S n−1 en Rn , o (n − 1)-esfera es la frontera de la bola de centro el origen y radio 1 S n−1 = {x ∈ Rn : kxk = 1}. Si n > 1, la (n − 1)-esfera S n−1 es conexa por caminos ya que la aplicaci´on g : (Rn − {0}) −→ S n−1 definida por g(x) = x/kxk es continua y sobreyectiva; y seg´un el Teorema 6.6.4, conexo por caminos.

Ejercicios y Problemas P.6.17 Estudie si son homeomorfos la recta real y la circunferencia, con la distancia usual. [I] P.6.18 Sean An = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, , y = x/n} para cada n ∈ N; y B = {(x, 0) ∈ R2 : 1/2 ≤ x ≤ 1}. Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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6. Espacios conexos

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(a)Haga una representaci o´ n gr´afica del conjunto A = ∪n∈N An y estudie si es conexo por caminos y/o conexo. (b)Idem para el conjunto A ∪ B. [I] P.6.19 Sea (X, d) un espacio m´etrico, M ⊂ X un subconjunto conexo y una aplicaci´on continua f : M → R. (a)Pruebe que si a ∈ M y α ∈ R es tal que f (a) < α entonces existe U ∈ Ua tal que f (x) < α para todo x ∈ M ∩ U . (b)Supongamos que para todo entorno U ∈ Ua existen x, y ∈ U ∩M tales que f (x) y f (y) son de signos opuestos; demuestre que f (a) = 0. (c)Pruebe que si para a, b ∈ M , f (a) y f (b) tienen signos opuestos, existe c ∈ M tal que f (c) = 0. [I] [R] P.6.20 Sea X un espacio m´etrico y A ⊂ X un subconjunto. Demuestre que todo subconjunto conexo P ⊂ X que corte a A y Ac , tambi´en corta a la frontera de A. [I] [R] P.6.21 Sea X un espacio m´etrico, A, B ⊂ X dos cerrados tales que A ∩ B y A ∪ B son conexos. Pruebe que, entonces, A y B son conexos. Busque un contraejemplo en R, con la topolog´ıa usual, mostrando que la exigencia de que A y B sean cerrados es necesaria. [I] [R] P.6.22 Sean A un subconjunto propio de X y B un subconjunto propio de Y . Si X e Y son conexos, demuestre que el conjunto (X × Y ) − (A × B) es conexo. [I] [R] P.6.23 Un espacio m´etrico (X, d) es totalmente disconexo si para cada par de puntos distintos x, y ∈ X existen dos subconjuntos G, H ⊂ X separados, tales que x ∈ G e y ∈ H. (a)Demuestre que el conjunto Q de los n´umeros racionales con la distancia inducida por la usual de R, es totalmente disconexo. (b)Demuestre que las componentes conexas de un espacio totalmente disconexo son los conjuntos unipuntuales. P.6.24 (Teorema del punto fijo). Sea f : [0, 1] −→ [0, 1] una aplicaci´on continua. Demuestre que existe x0 ∈ [0, 1] tal que f (x0 ) = x0 . [R] P.6.25 (Teorema de Bolzano) Sea f : [a, b] −→ R continua, de manera que f (a) · f (b) < 0. demuestre que existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0. P.6.26 Si (X, d) es un espacio m´etrico, demuestre que X es conexo si, y s´olo si, para todo A X no vac´ıo, se cumple que Fr(A) 6= ∅. [I] OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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6.6. Conexi´on por caminos (o arcos).

P.6.27 Sea (R2 , du ) y consideremos el conjunto A = ((0, 1) × (0, 1)) ∪ {(0, q) : q ∈ Q, 0 ≤ q ≤ 1}. ¿Es A conexo? Justifique la respuesta.

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Ap´endices

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6.6. Conexi´on por caminos (o arcos).

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A Completar un Espacio M´etrico Un procedimiento, digamos estandar, permite “completar” un espacio m´etrico cualquiera. En este ap´endice vamos a desarrollar dicho procedimiento. Sea (X, d) un espacio m´etrico. En el conjunto C de todas las sucesiones de Cauchy en X, definimos la siguiente relaci´on: ∞ (xn )∞ n=1 ∼ (yn )n=1

l´ım d(xn , yn ) = 0.

si

n

Lema A.0.5. La relaci´on “∼” es una relaci´on de equivalencia. ´ . D EMOSTRACI ON La relaci´on es, claramente, reflexiva; es sim´etrica como consecuencia de la simetr´ıa de la distancia; y se comprueba, f´acilmente, que es transitiva aplicando la de∞ ∞ ∞ sigualdad triangular. En efecto, si (xn )∞ n=1 ∼ (yn )n=1 e (yn )n=1 ∼ (zn )n=1 , se tiene l´ımn d(xn , yn ) = l´ımn d(yn , zn ) = 0; aplicando la desigualdad triangular d(xn , zn ) ≤ d(xn , yn ) + d(yn , zn ), para todo n ∈ N. Como los t´erminos que forman las sucesiones de las distancias son positivos, se ∞ tiene l´ımn d(xn , zn ) = 0, lo que implica que (xn )∞ n=1 ∼ (zn )n=1 y, en consecuencia, la relaci´on es transitiva. ˆ = C/∼, cuyos elementos denotaremos por Consideremos el conjunto cociente X [xn ], indicando la clase de equivalencia de la sucesi´on (xn )∞ n=1 ; y definamos la ˆ ×X ˆ −→ R mediante aplicaci´on ρ : X ρ([xn ], [yn ]) = l´ım d(xn , yn ). n

171

172 ˆ Lema A.0.6. La aplicaci´on ρ est´a bien definida y es una distancia sobre X. ´ . D EMOSTRACI ON En primer lugar, se˜nalemos que este l´ımite siempre existe, puesto que dado ε > 0, ∞ como (xn )∞ n=1 e (yn )n=1 son de Cauchy, existe n0 (podemos tomar el mismo para las dos sucesiones) tal que si m, n ≥ n0 se tiene d(xn , xm ) ≤

ε 2

ε d(yn , ym ) ≤ . 2

y

Por tanto, si tomamos n, m ≥ n0 y aplicamos una propiedad conocida de la distancia, se tiene |d(xn , yn ) − d(xm , ym )| ≤ d(xn , xm ) + d(yn , ym )
0, existe n0 tal que si n > n0 entonces ρ(ˆ xn , x) < ε, ˆ y, mediante la habremos probado que la sucesi´on (ˆ xn ) ∞ converge a x en X n=1 identificaci´on de la Observaci´on A.0.8 anterior, habremos probado (a). En efecto, como (xn )∞ n=1 es de Cauchy en X, existe n0 tal que si m, n ≥ n0 entonces d(xn , xm ) < ε/2. Tengamos en cuenta que, tal y como se ha definido la relaci´on, la clase de equivalencia de (xn )∞ on (xn )∞ n=m n=1 es la misma que la sucesi´ que resulta de suprimir los m − 1 primeros t´erminos. Por tanto, fijado n ≥ n0 , tenemos ρ(ˆ xn , x) = l´ım d(xn , xm ) ≤ m

ε < ε, 2

para todo n ≥ n0 ,

luego (ˆ xn ) ∞ n=1 converge a x. ˆ la sucesi´on (xn )∞ (b) Seg´un el apartado (a) anterior, para todo x = [xn ] ∈ X, n=1 es de Cauchy en X y converge a x. Entonces x es un punto adherente a X y, por ˆ tanto, X es denso (X = X). ˆ ρ) es un espacio m´etrico completo. Teorema A.0.10. (X, ´ . D EMOSTRACI ON ˆ es convergente en X. ˆ Tenemos que demostrar que toda sucesi´on de Cauchy en X ∞ ˆ Sea (ˆ xn )n=1 una sucesi´on de Cauchy en X, de modo que para todo ε > 0 existe OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

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174 n0 tal que si n, m ≥ n0 , se tiene que ρ(ˆ xn , x ˆm ) < ε/3. Observemos que podemos tomar n0 > 3/ε para que se cumpla 1 ε < n 3

y

1 ε < . m 3

ˆ para cada x Como X es denso en X, ˆn existe un elemento xn ∈ X tal que 1 ρ(ˆ xn , xn ) < n (identificando xn , una vez m´as, con la clase de equivalencia determinada por la sucesi´on constante cuyos t´erminos son todos iguales a xn ). De este modo obtenemos una sucesi´on (xn )∞ n=1 en X que es de Cauchy; en efecto, si n, m ≥ n0 tenemos d(xn , xm ) = ρ(xn , xm ) ≤ ρ(xn , x ˆn )+ρ(ˆ xn , x ˆm )+ρ(ˆ xm , x m ) ≤

1 ε 1 + + < ε. n 3 m

ˆ Entonces (xn )∞ n=1 converge a un punto x ∈ X que es precisamente x = [xn ]. Veamos que l´ımn x ˆn = x, con lo que habr´a terminado la demostraci´on. Como (xn )∞ converge a x, existe m0 , que podemos tomar mayor o igual que n0 , tal n=1 que si n ≥ m0 se tiene ρ(xn , x) < ε/3. Entonces tomando n, m ≥ m0 tendremos ρ(ˆ xn , x) ≤ ρ(ˆ xn , xn ) + ρ(xn , xm ) + ρ(xm , x)
0 y n0 ∈ N tal que si n ≥ n0 se cumple que |xn | > ε0 . 175

176 ´ . D EMOSTRACI ON Como (xn )∞ umero racional ε0 > 0 tal que para n=1 no converge a 0, existe un n´ todo n ∈ N se puede encontrar un n´umero m ≥ n tal que |xm | > 2ε0 . Por otra parte, (xn )∞ on de Cauchy, luego para dicho ε0 existe n0 ∈ N tal n=1 es una sucesi´ que si n, m ≥ n0 se tiene |xn − xm | < ε0 , es decir x m − ε0 < x n < x m + ε0 . Tomemos m ≥ n0 de tal modo que |xm | > 2ε0 , lo cual implica que o bien xm > 2ε0 , o bien xm < −2ε0 . Si n ≥ n0 y se da la primera posibilidad, tenemos ε0 = 2ε0 − ε0 < xm − ε0 < xn ; por el contrario, si ocurre lo segundo, nos queda xn < xm + ε0 < −2ε0 + ε0 = −ε0 , y de las dos u´ ltimas desigualdades se deduce que |xm | > ε0 . Suma y producto Dados dos elementos x = [xn ], y = [yn ] ∈ R, definimos las siguientes operaciones: · Suma: x + y = [xn + yn ] · Producto: xy = [xn yn ] Veamos que las definiciones son consistentes. En efecto, si [x0n ] e [yn0 ] son otros representantes de x e y respectivamente, comprobemos que [x0n + yn0 ] define la misma clase de equivalencia que [xn + yn ]. Como [xn ] = [x0n ] e [yn ] = [yn0 ] se cumple l´ım(xn − x0n ) = l´ım(yn − yn0 ) = 0, n

n

luego l´ım(xn + yn − (x0n + yn0 )) = l´ım(xn − x0n ) + l´ım(yn − yn0 ) = 0, n

n

n

lo que implica que x + y = [xn + yn ] = [x0n + yn0 ]. De forma similar para el producto podemos poner xn yn − x0n yn0 = xn yn − xn yn0 + x0n yn − x0n yn0 = xn (yn − yn0 ) + x0n (yn − yn0 ) y como toda sucesi´on de Cauchy es acotada y el producto de una sucesi´on convergente a 0 por otra acotada, converge a 0, tenemos que l´ımn (xn yn − x0n yn0 ) = 0, con lo que xy = [xn yn ] = [x0n yn0 ]. Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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´ B. Construcci´on de los numeros reales.

Proposici´on B.0.13. R con las operaciones suma y producto es un cuerpo. ´ . D EMOSTRACI ON Es f´acil comprobar que R con la suma es un grupo abeliano aditivo cuyo elemento neutro es 0 = [0], la clase de equivalencia de la sucesi´on constante con todos sus t´erminos iguales a 0. Tampoco ofrece dificultad probar que R con el producto es un grupo abeliano multiplicativo cuyo elemento neutro es 1 = [1], la clase de equivalencia de la sucesi´on constante cuyos t´erminos son iguales a 1. S´olo veremos que todo elemento x ∈ R distinto de 0, tiene un inverso que denotaremos por x−1 . Si x = [xn ] la sucesi´on (xn )∞ un n=1 es de Cauchy y no converge a 0; seg´ el Lema B.0.12 existe un n´umero racional ε0 > 0 y un n´umero n0 ∈ N tales que si n ≥ n0 , entonces |xn | > ε0 , es decir, xn 6= 0, de tal modo que para todo n ≥ n0 on (xn )∞ existe x−1 n = 1/xn . Definimos entonces la sucesi´ n=1 y como   0 si n < n0 1 yn = −1 si n ≥ n0  xn = xn Esta sucesi´on verifica: (A) (yn )∞ on de Cauchy. n=1 es una sucesi´ En efecto, dado un n´umero racional ε > 0, por ser (xn )∞ on de n=1 una sucesi´ Cauchy, existe m0 ∈ N, que podemos tomar m0 ≥ n0 , tal que |xp − xq | < ε20 ε si p, q ≥ m0 ; por tanto, podemos escribir 1 |xp − xq | 1 |xp − xq | ε20 ε |yp − yq | = − = < < = ε. x p yq |xp ||xq | ε20 ε20 (B) [yn ] es el inverso de [xn ]. Para probar que [xn yn ] = [1] vamos a demostrar que l´ımn (xn yn − 1) = 0. Si ∞ n ≥ n0 tenemos que xn yn − 1 = xn x−1 n − 1 = 0, es decir, (xn yn )n=1 es la sucesi´on constante 1 a partir del t´ermino n0 . El resto de propiedades de cuerpo son de comprobaci´on inmediata. Diremos que un elemento x = [xn ] ∈ R es positivo si existe un racional ε0 > 0 y un n´umero n0 ∈ N tales que si n ≥ n0 se verifica xn > ε0 ; en este caso escribiremos x > 0. Esta definici´on no depende del representante elegido; en efecto, si [x0n ] = x es otro representante de x y consideramos ε0 > 0, existe m0 , que podemos tomar m0 > n0 , tal que si n > m0 entonces |xn − x0n | < ε0 /2, de donde se deduce que x0n = xn − (xn − x0n ) > ε0 −

ε0 = ε0 , 2

con lo que queda clara la independencia del representante elegido. OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

e´ Herrero Pi˜neyro

178 Proposici´on B.0.14. R es un cuerpo totalmente ordenado. ´ . D EMOSTRACI ON Dados x, y ∈ R, definimos la siguiente relaci´on: x≤y

si, y s´olo si,

x − y ≥ 0,

entendiendo que “x − y ≥ 0” si x − y es positivo o 0. Veamos que es una relaci´on de orden total. En primer lugar, es claramente reflexiva. En cuanto a la antisimetr´ıa, si x ≤ y e y ≤ x, podemos suponer que x − y > 0, pues si x − y = 0, entonces x = y (por ser R un cuerpo) y no habr´ıa nada que probar. Entonces existe ε0 > 0 y n0 tales que si n ≥ n0 , se tiene que xn − yn > ε0 . An´alogamente, si suponemos y − x > 0, existe ε00 > 0 racional y n00 tales que si n ≥ n00 se tiene que yn − xn > ε00 . Si tomamos ε000 = m´ın{ε0 , ε00 } y n ≥ m´ax{n0 , n00 }, se verifican ambas desigualdades a la vez, es decir xn − yn > ε000

e

yn − xn > ε000 ,

y la segunda desigualdad es equivalente a xn − yn < −ε000 , lo cual es una contradicci´on, con lo que tendremos x = y. Tambi´en satisface la propiedad transitiva; supongamos x ≤ y e y ≤ z. Si x = y no hay nada que probar y lo mismo sucede si y = z, de modo que supongamos que y − x > 0 y que z − y > 0. Entonces existen ε0 > 0 racional y n0 tales que n ≥ n0 implica yn − xn > ε0

y

existen ε00 > 0 racional y n00 tales que n ≥ n00 implica zn − yn > ε00 ; si, como en el caso anterior tomamos ε000 /2 = m´ın{ε0 , ε00 } y n ≥ m´ax{n0 , n00 } se verifican ambas desigualdades a la vez y tendremos zn − x n = zn − y n + y n − x n >

ε000 ε00 + 0 = ε000 , 2 2

con lo que z − y > 0 y por tanto x ≤ z. S´olo nos resta demostrar que el orden es total, es decir, que si x, y ∈ R entonces bien x ≤ y, bien y ≤ x. Si uno de ellos es 0 o son iguales, no hay nada que probar. Supongamos entonces que x e y son distintos y ninguno de ellos es 0. Si x = [xn ] e y = [yn ], se tiene que [yn − xn ] 6= [0] y (xn − yn )∞ on n=1 es una sucesi´ de Cauchy que no converge a 0. Por el Lema B.0.12 se tiene que bien x ≤ y, bien y ≤ x. Con lo que termina la demostraci´on de la proposici´on. Proposici´on B.0.15. El cuerpo ordenado Q de los n´umeros racionales es isomorfo a un subcuerpo de R. Es decir, existe un subcuerpo R ⊂ R y una aplicaci´on f : Q −→ R que verifica: Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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´ B. Construcci´on de los numeros reales.

(a) f es biyectiva. (b) f (p + q) = f (p) + f (q) para todo p, q ∈ Q. (b) f (pq) = f (p)f (q) para todo p, q ∈ Q. (d) Si p ≤ q, entonces f (q) ≤ f (q). ´ . D EMOSTRACI ON Si tomamos R el subconjunto de R formado por los elementos que tienen por representantes a sucesiones constantes, es f´acil ver que es un subcuerpo. De modo que definimos f : Q −→ R como f (p) = (p) la sucesi´on constante p; es inmediato probar que f es biyectiva. La demostraci´on del resto de propiedades se reduce a una mera comprobaci´on. Veamos, por ejemplo, la propiedad (d). Si p ≤ q tenemos que bien p = q, y no hay nada que probar, bien q − p es positivo; en este caso, las sucesi´on constante f (q) − f (p) tambi´en es positiva, lo que implica que f (p) ≤ f (q). A partir de aqu´ı podemos identificar Q con el subcuerpo R. Tambi´en podemos definir el valor absoluto como  x si x ≥ 0 |x| = −x si x < 0 Se comprueban, tambi´en f´acilmente, las propiedades conocidas del valor absoluto y que (R, | |) es un espacio m´etrico. Antes de demostrar que se trata de un espacio m´etrico completo, veamos dos resultados interesantes. Proposici´on B.0.16. Sean x, y ∈ R tales que x < y. Entonces existe q ∈ Q de manera que x < q < y. ´ . D EMOSTRACI ON Sean x = [xn ] e y = [yn ]. Como x < y, existen un racional ε > 0 y un natural n0 tales que si n ≥ n0 se cumple que yn − xn > ε. ∞ Por otra parte, las sucesiones (xn )∞ n=1 e (yn )n=1 son de Cauchy, por lo que existe m0 ≥ n0 (que podemos tomar el mismo para las dos), tal que si m, n ≥ m0 , se cumplen las desigualdades:

ε 4

y

ε |yn − ym0 | < , 4

ε ε < x n < x m0 + 4 4

y

ym 0 −

|xn − xm0 | < que es equivalente a xm0 −

OCW-Universidad de MurciaPedro Jos

ε ε < y n < y m0 + . 4 4 e´ Herrero Pi˜neyro

180 Tomemos q = 12 xm0 +ym0 y veamos que este racional verifica la tesis del teorema. Si n ≥ m0 se verifica ε 1 1 q − x n = x m 0 + y m 0 − x n > x m 0 + ym 0 − x m 0 − 2 2 4 ε 1 ε ε ε = (ym0 − xm0 ) − > − = , 2 4 2 4 4 lo que significa que [xn ] < [q]. De forma an´aloga se comprueba que si n ≥ m0 entonces yn − q > ε/4, con lo que [q] < [yn ]. Proposici´on B.0.17. Se verifican: (a) Toda sucesi´on (xn )∞ n=1 de Cauchy en Q es convergente en R y su l´ımite es precisamente x = [xn ], es decir, la clase de equivalencia determinada por (xn )∞ n=1 . (b) Q es denso en R. ´ . D EMOSTRACI ON (a) Tenemos que demostrar que para todo n´umero real ε > 0 existe n0 tal que si n ≥ n0 , entonces |xn − x| < ε. Seg´un la Proposici´on B.0.16, existe un racional ε0 > 0 cumpliendo 0 < 2ε0 < ε. Como (xn )∞ n=1 es de Cauchy en Q, existe n0 tal que si m, n ≥ n0 se cumple |xn − xm | < ε0 , lo que es equivalente a que −ε0 < xn − xm < ε para todo n, m ≥ n0 . Tomemos k ≥ n0 fijo. Entonces si m ≥ n0 podemos escribir 2ε0 − (xk − xm ) > 2ε0 − ε0 = ε0 , lo que significa que los n´umeros reales [xk − xm ] = [xk ] − [xm ] y [2ε0 ] cumplen [xk −xm ] = [xk ]−[xm ] < [2ε0 ] (se entiende que, al haber fijado k, (xk ) representa la sucesi´on constante con todos sus t´erminos iguales a xk y [xm ] es la clase de equivalencia de (xn )∞ on (xn )∞ n=1 , ya que (xm ) representa la sucesi´ n=1 a partir del t´ermino n0 ). Por tanto, [xk − xm ] = [xk ] − [xm ] es un representante del n´umero real xk − x, y as´ı tenemos xk − x < 2ε0 . Teniendo en cuenta que esto se puede hacer para todo k ≥ n0 concluimos que xn − x < 2ε0 < ε, para todo n ≥ n0 . De nuevo fijando k ≥ n0 y tomando m ≥ n0 obtenemos que 2ε0 − (xm − xk ) > 2ε0 − ε0 = ε0 , y con un razonamiento similar al anterior se concluye que x − xn < 2ε0 < ε, para todo n ≥ n0 , Topolog´ıa de Espacios M´etricosPedro Jos

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´ B. Construcci´on de los numeros reales.

lo que significa que |xn − x| < ε para todo n ≥ n0 , y concluye la demostraci´on. (b) Seg´un el apartado (a) anterior, para todo x = [xn ] ∈ R, la sucesi´on (xn )∞ n=1 es de Cauchy en Q y converge a x, con lo que tenemos que x es un punto adherente a Q. Por tanto, Q es denso (Q = R). Teorema B.0.18. (R, | |) es un espacio m´etrico completo. ´ . D EMOSTRACI ON Sea (xn )∞ on de Cauchy en R. Entonces para todo real ε > 0, existe n=1 una sucesi´ n0 tal que si n, m ≥ n0 se tiene que |xn − xm | < ε/3. Observemos que podemos tomar n0 > 3/ε para que se cumpla 1/n < ε/3 y 1/m < ε/3. Por otra parte, para cada n ∈ N se tiene xn < xn + 1/n de modo que, seg´un la Proposici´on B.0.16, existe un racional qn tal que xn < qn < xn + 1/n, con lo que tenemos definida una sucesi´on (xn )∞ n=1 q que es de Cauchy en Q. En efecto, si n, m ≥ n0 tenemos |qn − qm | ≤ |qn − xm | + |xm − xn | + |xn − qn |
0 real existe m0 (de nuevo lo podemos tomar m0 > 2/ε0 ) tal que si n > m0 se cumple que |qn − x| < ε0 /2. Entonces tomando n > m0 podemos poner |xn − x| ≤ |xn − qn | + |qn − x|