Topologia II [PDF]

Zitiervorschau

l

Sisältö 0

7

Peruskäsitteet Topologinen avaruus Kanta ..... Jatkuva kuvaus ...

9 9 17

4 5 6 7 8 9

Indusointi ja koindusointi Kuvauksen indusoima topologia . Relatiivitopologia ......... Kuvausperheen indusoima topologia Tulotopologia . Koindusointi . Tekijätopologia

33 33 36 41 46 60

Avaruuksien jaottelua Metriset ja metristyvät avaruudet . Erotteluaksiomat ... . Numeroituvuusaksiomat Yhtenäisyys Monista ..

74

10 11 12 13 14

115

15 16 17 18

Kompaktius Kompakti avaruus Kompakti metrinen avaruus ....... . Lokaalinen kompaktius ja kompaktisointi Kompaktius ja tulot . ... . . ..... .

117 117 127 131 136

I 1 2 3

II

111

IV

V

Lähtö .....

25

Metristys ja jatkaminen 19 Urysonin lemma.Avaruuden metristys 20 Kuvauksen jatkaminen ........ . 5

65

74

87 93

105

140 140 146

VI

21 22 23 24 25

Homotopia Kuvausten homotopia Po1kuhomotopia Perusryhmä . . . . . . Peitekuvaus . . . . . . Ympyrän perusryhmä

150 150 156 160 168

177

Liite. Zornin lemma

181

Ohjeita jatko-opiskeluun

186

Matemaatikkojen henkilötietoja

188

Kirjallisuus

189

Merkintöjä.

190

Hakemisto

191

6

\

O. Lähtö

0

Lähtö

0.1. Asetelma. Kirja on jatkoa kirjalle Topologia 1, joka käsitteli to­ pologiaa metrisissä avaruuksissa ja jota jatkossa sanotaan lyhyesti osaksi I. Pää.ero osaan I verrattuna on siinä, että nyt tarkastelun kohteena ovat alusta alkaen topologiset eivätkä metriset avaruudet. Osittain tekstissä ker­ rataan Topologia I:ssä esitettyä teoriaa tässä uudessa työympäristössä, jol­ loin esitetään kaikkien käsitteiden täsmälliset määritelmät ja myös runsaas­ ti osan I tulosten versioita topologisissa avaruuksissa. Jos metrisen tapauk­ sen todistus on sellaisenaan voimassa topologisissa avaruuksissa, se yleensä sivuutetaan. Kirjan henki on hieman erilainen kuin osassa I. Teorian loogiselle ke­ hittämiselle annetaan enemmän painoa; osassa I oli "hyödyllisyydellä" m e r ­ kittävämpi osa. Viittaus I.3.11 tarkoittaa osan I kohtaa 3.11. Numerointi on tarkistettu vastaamaan osan I kolmatta painosta (v. 2004), mutta eri painosten nume­ roinneissa on vain hyvin pieni eroja. Joukko-oppia

Tämän pykälän loppuosassa kertaamme ja täydennämme joukko-opin perusteita. 0.2. Joukko, kokoelma, perhe. Käytämme samaa jonkko-opin termistöä ja samoja merkintöjä kuin osassa J. Esim. tavallisimpia lukujoukkoja mer­ kitään seuraavasti: N = {1, 2, ... } = positiivisten kokonaislukujen joukko, Z = kokonaislukujen joukko, Q = rationaalilukujen joukko, R = reaalilukujen joukko, I = [O, 1] = suljettu yksikköväli. Euklidisen avaruuden Rn avoin yksikkökuula on Bn = {x E Rn : lxl < 1} ja yksikköpallo sn-l = {x E Rn : lxl = 1}. Joukkoa, jonka alkiot ovat joukkoja, sanotaan usein kokoelmaksi, ja sitä merkitään tavallisesti kirjoituskirjaimilla A, 'B, ..., mutta periaatteessa "joukko" ja "kokoelma" ovat synonyymejä. Kokoelman alkioita sanotaan myös sen jäseniksi. Usein kokoelma on annettu indeksöitynä, esim, A = { Aj : j E J}, jossa J on jokin joukko, jota sanomme indeksijoukoksi. Tällöin funktiota j t---t Aj sanotaan indeksöidyksijoukkoperheeksi, lyhyemmin joukkoperheeksi tai vain perheeksi. Sitä merkitään (Aj )jE J· Kokoelmalla ja joukkoperheellä on siis suunnilleen sama ero kuin järjestämättömällä ja järjestetyllä parilla. 7

0. Lähtö

Perhe (AJ )jE J määrää kokoelman A = {Aj : j E .J}, mutta jos vain A tunnetaan, ei tiedetä, mihin indeksiin j mikin A:n jäsen liittyy. Sama joukko voi liittyä useampaankin indeksiin, ts. funktion j 1---+ Aj ei tarvitse olla injekiio. Yleisemmin voidaan sanoa mitä tahansa joukossa J määriteltyä funk­ tiota j � aJ° perheeksi ja merkitä (aj) jEJ· Jos esim. on annettu joukkoper­ heet (Aj)JEJ ja (Bj ) Jr:J, joilla on sama indeksijoukko, voidaan tarkastella kuvausperheitä (JJ ) JEJ, jossa fJ; Aj - Bj , Tapaus J = N esiintyi jo osassa I; tällöin perhettä sanotaan jonoksi. Koska indeksijoukko N on tällöin yleensä asiayhteydestä selvä, käytetään jo­ nolle (x,i)nEN usein mukavampaa mutta epätäsmällisempää merkintää (xn). Kirjallisuudessa sanaa "perhe" käytetään usein myös joukon synonyy­ minä. 0.3. Mahtavuus. Joukoilla A ja B on sama mahtavuus, jos on ole­ massa bijektio f: A - B. Tällöin merkitään card A = card B. Joukko A on numeroituva, jos se on äärellinen tai jos sillä on sama mahtavuus kuin N :llä. Jälkimmäisessä tapauksessa sanomme, että joukko on numeroituvasti ääretön. Joukot 0, N, Z ja Q ovat numeroituvia, joukko R ei ole. Jos jouk­ ko ei ole numeroituva, se on ylinumeroituva. Numeroituvuutta käsitellään tarkemmin kohdassa 12.1. Osassa I käytimme joukon A alkioiden lukumäärälle merkintää #A. Äärellisillä joukoilla on #A = cardA, mutta äärettömillä joukoilla kirjoi­ tamme #A = oo erittelemättä eri mahtavuuksia. Numeroituvuus esiintyy tässä kirjassa melko usein, mutta ylinumeroi­ tuvat mahtavuudet vain aniharvoin. Mahtavuutta card R sanotaan konti­ nuumin mahtavuudeksi, ja sitä on tapana merkitä c:llä. Voidaan osoittaa, että c = card P(N). Mahtavuuksia vertaillaan keskenään asettamalla cardA � cardB, jos on olemassa injektio f: A -t B. Kun A =j:. 0, tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että on olemassa surjektio g: B -t A. Numcroituvti.us on pienin ääretön mahtavuus, ts. jokaisella äärcttömällä joukolla on numeroituvasti ääretön osajoukko. Ylinumeroituvieu joukkojen mahtavuuksicn vertailua esiintyy kirjassa vain eräissä huomautuksissa ja tehtävissä. Mainittakoon kuitenkin kaksi tähän liittyvää tulosta: 1. Schröderin-Bernstcinin lause: Jos cardA $ cardB $ cardA, niin cardA = cardB. 2. Jos A ja B ovat joukkoja, niin card A � card B tai card B � card A.

8

1. Topologinen ava1·uus

I. PERUSKÄSITTEET Lähdemme liikkeelle topologisen avaruuden määritelmästä ja käymme i;en jälkeen kcrtanksenomaiscsti läpi osasta I tuttuja käsitteitä ja niiden perusominaisuuksia siirtäen useita tuloksia mctrisistä avaruuksista topolo­ gisiin avaruuksiin. Näitä ovat mm. avoimet ja suljetut joukot, joukon sul­ keuma ja kuvauksen jatkuvuus. Uusina asioina käsittelemme topologian kantaa ja esikantaa, sekä avoimia ja suljettuja kuvauksia.

1

Topologinen avaruus

1.1. Joukon topologia. Topologinen avaruus. Olkoon X joukko ja 'J ko­ koelma X:n osajoukko ja, ts. 'J C '.J>(X). Sanomme, että 'J on X:n topologia, jos seuraavat ehdot ovat voimassa: (Tl) 'J sisältää jäsentensä mielivaltaiset yhdisteet, (T2) 'J sisältää jäsentensä äärelliset leikkaukset, (T3) 0 E 'J ja X E 'J. , Sana , mielivaltainen" (Tl):ssä tarkoittaa, että kyseeseen tulevat myös äärettömän monen joukon yhdisteet. Ilman sanoja se voidaan esittää mu(}­ dossa: (Tl) Uj E 'J, j E J => LJ{Uj : j E J} E 'J, tai ilman indeksejä vielä lyhyemmin: (Tl) '.D C 'J => U'.D E 'J. Helpolla induktiolla todetaan, että (T2) on yhtäpitävä seuraavan ehdon kanssa: (T2') Jos U E 'J ja V E 'J , niin U n V E 'J. Joukkoa, jossa on annettu jokin topologia, sanotaan topologiseksi ava­ ruudeksi tai lyhyesti avaruudeksi. Täsmällisesti: 1'opologinen avaruus on pari (X, 'J), jossa X on joukko ja 'J jokin X:n topologia. Mukavuussyistä , jätetään 'J usein mainitsematta ja käytetään lyhyttä sanontaa , topologinen avaruus X", jolloin topologia on joko asiayhteydestä selvä tai se ajatellaan hiljaisesti annetuksi. Topologian 'J jäseniä sanotaan avoimiksi (tarkemmin 'Y-avoimiksi) jou­ koiksi. Kuten osassa I, kirjoitarnmc U@ X, jos U ori avoin joukko X:ssä eli U E 'J. Tämä merkintä ei ole kansainvälisessä käytössä. AkRiomat (Tl)-('r:1) voidaan nyt kirjoittaa. seuraavasti: (Tl) Avointen joukkojen mielivaltainen yhdiste on avoin. 9

I. Peruskäsitteet (T2) Avointen joukkojen äärellinen ieikkaus on avoin. (T3) 0 ja X ovat avoimia. Osassa I käsiteltiin metrisiä avaruuksia, jolloin joukossa X oli annettu aksiomaattisesti metriikka d, jonka avulla avoin joukko määriteltiin (ks. 1.3 alla), ja ominaisuudet (Tl)-(T3) todistettiin oikeiksi (I.3.4 ja 1.3.5). Topologisissa avaruuksissa ei esim. esiinny kuulia B(x, r). Jos 'J1 ja 'Jz ovat joukon X topologioita ja jos 'J1 C 'J2 1 sanomme, että 'J1 on karkeampi (eli heikompi) kuin 'J2, ja 'J2 on hienompi (eli vahvempi) kuin 'J1. On kuitenkin mahdollista, että 1'1 ja 'J2 ovat X :n topoiogioita, ja 'J1 OO

= 0 # limsup A . j->oo j

16

2. Kanta

2

Kanta

Sanalla "kanta" tarkoitetaan matematiikan eri aloilla yleensä sitä, että jollekin struktuurille valitaan "edustajisto", joka jo määrää oli "virittää" koko struktuurin. Tarkastelemme topologisen avaruuden (X, 'J) kantoja ja esikantoja sekä pisteen x E X ympäristökantoja. 2.1. Topologian kanta. Olkoon 'J' joukon X topologia. Sanomme, että kokoelma '.B c J)(X) on 'J:n kanta, jos (1) '.B C 'J, (2) jokainen U E 'J, U /; 0, voidaan lausua yhdisteenä joistakin '.B:n jäsenistä. Sanomme myös, että '.B on avaruuden (X, 'J) kanta tai lyhyesti X:n kanta, jos 'J' on asiayhteydestä selvä. Ehdoista (1) ja (Tl) seuraa, että kannan jäsenten kaikki yhdisteet ovat 'J:n jäseniä, ts. avoimia. Siis kanta '.B määrää 'J':n yksikäsitteisesti: 'J':n jäseniä ovat 0 ja lisäksi täsmälleen ne X:n osa.joukot, jotka ovat yhdis­ teitä joistakin '.B:n jäsenistä. Mahdollisuus 0 E '.B sallitaan, mutta tällöin myös '.B \ {0} on 'J:n kanta. Hyödylliset kannat eivät yleensä sisällä tyhjää joukkoa jäsenenään. Periaatteessa kaikki mitä voidaan sanoa avaruudesta (X) 'J'), voidaan sanoa jo '.B:n avulla. Kannan eräs merkitys on siinä, että usein '.B on hu 0, jolla B(x, r) = Jx - r, x + r[ c U. Valitaan rationaaliluvut a ja b, joilla x-r < a < x < b < x+r. Tällöin x E Ja, b[ C U ja Ja., b[ E '.B, joten 2.4:n ohto (2) pätee. Huomaa, että tämä kanta on numeroituva ja siis selvästi pienempi ko­ koelma kuin topologia 'J. 2.8. Jonkon topologisointi kanna.n avulla. Olkoon X joukko (ilman to­ pologiaa) ja '.B C P(X). Kysymme, millä ehdoilla 13 on X:n jonkin topolo­ gian 'J kanta. Kuten 2.1:ssä totesimme, tällaisia topologioita 'J on enintään yksi, jolloin sen jäseniä ovat 0 ja kaikki '.B:n jä.(X). Tällöin '.B on X :n jonkin topologian kanta, jos ja vain jos seuraavat ehdot ovat voimassa: (Kl) '.B on X:n peite. (K2) Jos B1, B2 E '.B ja jos x E B 1 n B2 , niin on olemassa sellainen B E '.B, että X E B C B1 n B2 .

B2

Todistus. Olkoon '.B topologian 'J kanta. Ehto (Kl) todettiin jo edellä. Olkoot B1, Bz E '.B ja x E B 1 n B2. Koska B1 n B2 E 'J, niin 2.5:n nojalla on olemassa sellainen B E '.B, että x E B C B1 n B21 joten (K2) pätee. Käänteisesti, olkoot (Kl) ja (K2) voiml:l8sa. Merkitään 'J' = { 0} U { U : U on yhdiste joistakin '.B:n jäsenistä}. 19

I. Peruskäsitteet Riittää osoittaa, että 'J on X:n topologia. Ehto (Tl) seuraa siitä, että yh­ diste joukoista, jotka ovat yhdisteitä '.B:n jäsenistä, on yhdiste kaikista esiin­ tyvistä 'B:n jäsenistä. Ehto (T3) on selvästi voimassa. Ehdon (T2) todista­ miseksi oletamme, että U, V E 'Y, ja osoitamme, että U n V E 'Y. Olkoon x E U n V. Lauseen 2.3 nojalla riittää löytää sellainen B E 'B, että x E B C U n V. Koska x E U E 'J, niin 2.3:n nojalla on olemassa B 1 E 'B, jolla x E B1 c U. Samoin on olemassa B2 E 'B, jolla x E B2 C V. Ehdon (K2) avulla voidaan valita B E 'B, jolla x E B C B1 n B2, jolloin

xEBC UnV. 0

2.10. Huomautuksia. 1. Toisinaan kantalauseen ehto (K2) pätee vah­ vemmassa muodossa: (K2') B 1 , B2 E 'B =} B1 n B2 = 0 tai Br n B2 E 'B. Selvästi tästä seuraa (K2). Esim. R:n avointen välien kokoelma toteuttaa ehdon (K2'). Tason R2 kiekkojen B(x,r) kokoelma sitävastoin ei sitä to­ teuta, koska kahden kiekon leikkaus ei aina ole kiekko tai tyhjä joukko. Siis (K2') yhdessä (Kl):n kanssa on riittävä mutta ei välttämätön ehto sille, että 'B on X:n jonkin topologian kanta. 2. Ehtoa (K2) ei voi korvata lievemmällä ehdolla: B1 , B2 E 'B => B1 nB2 sisältää jonkin '.B:n jäsenen. Kuvassa on neljän pisteen avaruus ja kolmen osajoukon kokoelma, joka toteuttaa tämän ehdon, mutta ei ehtoa (K2), eikä se siis ole X:n. minkään topologian kanta.

2.11. Esimerkkejä. 1. Olkoon X= R ja 'B puoliavointen välien [a,b[, a < b, kokoelma. Selvästi 'B toteuttaa ehdot (Kl) ja (K2'), joten se on R:n erään topologian 'Jpa kanta. Tämä topologia on teoreettisesti hyvin mielenkiintoinen, joskin sen merkitys sovelluksissa on vähäinen. Koska välit {a, b[ eivät ole tavallisessa miele8sä avoimia, niin 'Ypa. :f:. 'Ttav · Topologia 'Jpa on aidosti hienompi kuin 'rtav, mikä seuraa Lauseesta 2.12 ja siitä, että jos x E ]a, b[, niin x E [x, b[ E 'B. Avaruus (R, 'Jpa) on Hausdorff, minkä näkee esim. siitä, että jos a < b, niin [a, b[ ja [b, b + 1[ ovat a:n ja b:n erilliset ympäristöt. Väite seuraa myös siitä, että jos Hausdorffin avaruuden topologia korvataan hienommalla topologialla, tuloksena on selvästi aina Hausdorffin avaruus. 2. Järjestystopologia. Olkoon (H, S) täysin järjestetty joukko; ks. Liite, Z.3. Yleistämme reaaJiakselilta tutut välien merkinnät H:hon ja merkit20

2. Kanta semme esim. ]a.,b[ = {x E H: a Y. Olkoon x E X. Lauseen 7.13 nojalla Xn - x tulotopologiassa 'J, jos ja vain jos Xn(j) -+ x(j) kaikilla j E J, ts. jos Xn - x pisteittäin J:ssä. Tämän vuoksi sanotaan tulotopologiaa toisinaan myös pisteittäisen suppenemisen topologiaksi. Jos (Y, d) on rajoitettu metrinen avaruus, niin Xn -+ x topologiassa @sup, jos ja vain jos Xn - x tasaisesti J:ssä.

7.lr.

Huomautus. Olkoot

X ja Y a.varuuksia. Tällöin kaikkien jatku­

vien kuvausten f: X - Y joukko C(X, Y) on tuloavaruuden yx osajoukko, joten C(X, Y):ssä voidaan tarkastella YX :n tulotopologian indusoimaa rela­ tiivitopologiaa. Jos Y on rajoitettu metrinen avaruus, saadaan C(X, Y):hyn myös topologia 'lsup lC(X, Y). Kumpikaan näistä topologioista ei riipu mi­ tenkään siitä, mikä topologia X:ssä on. Toisinaan on hyödyllistä käsitellä C(X, Y):ssä myös topologioita, jotka ottavat X:n topologian huomioon. Tärkein näistä. on kompakti-avoin topologia. Sen esikannan muodostavat joukot W(K, V)= {f E C(X,Y): JK C V}, jossa K C X on kompakti ja V @ Y. Sitä käsitellään mm. kirjoissa (Kolley, luku 7] ja [Dugundji, luku XII]. 7.18*. Esimerkki. Cantorin joukko. Esitämme tunnetun Cantorin jou­ kon konstruoinnin sekä. tuloava.ruutena että reaa.lia.kselilla. Sovelluksena saamme jatkuva.n surjektion janalta neliölle. Olkoon Y = {O, l} kahden alkion muodostama diskreetti avaruus. Ava­ ruutta X = yN varustettuna tulotopologialla sanomme Cantorin joukoksi. Tavallisesti tosin Cantorin joukoksi sanotaan X :n kanssa homeomorfista reaalilukujoukkoa, jonka seuraavaksi konstruoimme. Avaruuden X alkiot ovat päättymättömiä "bittijonoja" x = (x 1, x2, ... ), jossa Xj E Y, esim. x = 01101100101110 .... Määrittelemme kuvauksen J: X --+ R kaavalla

f(x)

= 2 L 3-ixj, 00

j=l

Tällä sarjalla on majorantt.ina geometrinen sarja 2 Ej 3 j, - jonka summa on 1. Siis sarja suppenee, ja O � J(x) � 1 kaikilla x E X. Väitärnme, että f on upotus. Osoitamme aluksi, että f on injektio. Olkoot x, y E X, x f= y. Olkoon k E N pienin luku, jolla Xk f= Yk· Siis 53

•

II. Indusointi ja koindusointi

Xj = YJ, kun 1 ;5 j � k - 1. Koska lxk -Ykl saadaan 00

lf(x) -J(v)I = 2 r�=rj (Xj -yj) j=k

z 2 . 3-k - 2 I:: 00

(7.d)

j=k+l

= 1 ja lxi -yj l � 1 kaikilla j,

2 2 · 3-k -2

3 j = 3-k >

L 00

J�k+l

3-J1xj -YJ I

o.

Siis f on injcktio, joten se määrittelee bijektion fi: X ---t JX C R. Kuvauksen f jatkuvuus voidaan todistaa suoraan (tehtävä 7:0) tai pää­ tellä siitä, cttä sarja suppcnee tasaisesti ja sen termit (x f--t 3-jxj): X ---t R ovat jatkuvia, koska x f--t Xj on projektio; ks. 10.12 ja 10.13. Se, että f on upotus, seuraa myöhemmin todistettavista tuloksista 15.17 ja 18.1, mutta se voidaan todistaa myös seuraavasti: Avaruuden X topolo­ gian esikannan muodostavat joukot Uj

= {x E X: Xj = O},

Vj

= {x E X: Xj = 1},

jossa j E N. Lauseen 3.3(5) nojalla riittää osoittaa, että joukot /Uj ja JVj ovat avoimia joukossa fX. Todistamme tämän Uj:lle. Olkoot x E Uj ja y E Vj. Olkoon taas k pienin luku, jolla Xk # Yk· Tällöin k � j, ja arvion (7.d) nojalla k lf(x) - f(y)l 3- 2 3-i.

z

Tästä seuraa, että ]f(x)-3-i,J(x) +3-i[nfX c JUj ,

a

Siis fUJ �JX. Edellisestä seuraa, että X = yN on homeomorfinen joukon C = fX C [O, 1] kanssa. Joukkoa C sanotaan myös Cantorin joukoksi, tarkemmin Can­ torin !-joukoksi. Nimitys johtuu C:n geometrisesta konstruktiotavasta, jon­ ka seuraavaksi esitämme. Poistetaan välistä J = [O, l] sen keskimmäinen avoin kolmannes, jolloin jäljelle jäävät välit Io = [O, 1/3] ja Ii = [2/ 3, 1]. Tällöin J(x) E Jo, jos x1 = 0, ja f(x) E /i, jos :c1 = 1. Siis C = fXC Io U Ii = A1.

54

7. Tulotopologia 1

1

0

� lou

A1

11

lo

�

1-----l

lrn

101

� A2 fu

Poistetaan väleistä Io ja Ii taas keskimmäinen avoin kolmannes, jolloin jäljelle jäävät kuvan osoittamat suljetut välit Joo, 101 , lw, 111, joiden pituus on 1/9. Nähdään taas, että f(x) E Iij, jos x1 = i ja .1:2 = j. Siis C sisältyy välien lij yhdisteeseen A2 . Jatkamalla samaan tapaan saadaan laskeva jono joukkoja I :=, A1 :=, A2 :=, ••.. Joukko An on yhdiste 2n :stä suljetusta välistä, joiden pituus on 3-n ja jotka on indeksöity äärcllisillä bittijonoilla, joiden pituus on n. Jokainen An sisältää joukon C. Joukko A = n{An n E N} on se, mitä jää jäljelle, kun I:stä poistetaan edellä esitetty jono keskimmäisiä kolmanneksia. Osoitamme, että A = C. Koska C C An kaikilla n, niin C C A. Käänteisesti, olkoon y E A. Määritellään x E X seuraavasti: Asetetaan x1 = 0 tai x1 = 1 sen mukaan, onko y E Jo vai y E fi. Seuraavaksi, x2 = 0, jos y E Joo U 110, ja x2 = 1, jos y E 101 U 111 . Yleisesti, kun vaiheessa n poistetaan edellisen vaiheen välin keskimmäinen kolmannes, niin Xn = 0 tai Xn = 1 sen mukaan, kuuluuko y vasemman vai oikean puo­ leiseen jäljelle jäävää.n kolmannekseen. Tällöin y kuuluu vaiheen n väliin, jonka pituus on 3-n ja jonka vasen päätepiste on 2 I:j=l 3-jxi. Siis IY- 2

n

L r x l ::; 3-n. j=l i

j

Kun n-+ oo, tämä antaa tuloksen y = f(x), joten y E

/X= C.

Seuraavaksi määritellään kuvaus g: X -+ R yhtälöllä g(x)

00

= I:2-JxJ, j=l

Muuntamalla hieman /:ää koskevia todistuksia nähdään, että sarja suppe­ nee, g on jatkuva, ja g(x) E J kaikilla x E X. Kuvaus g ei ole injektio, sillä esim. 9(1000 ... ) = g(Olll ... ) = 1/2. Osoitamme, että gX = I. Ol­ koon y EI. Puolitetaan I osavälciksi [0, 1/2] ja [1/2, 1] 1 ja merkitään Ji:llä 55

•

II. Indusointi ja koindusointi sitä näistä, joka i:;isältää y:n. Tapauksessa y = 1 /2 voidaan J1 :ksi valita kumpi osaväli tahansa. Puolitetaan .11 ja merkitään h:lla sitä osaväliä, joka sisältää y:n. Näin jatkamalla saadaan laskeva jono suljettuja välejä J1 ::) h ::) ..., jossa Jn:n pituus on 2-n ja y E ln . Merkitään .Jo = I ja määritellään x E X asettamalla Xn = 0 tai Xn = 1 sen mukaan, onko ln In -Pl vasemman vai oikean puoleinen osa. Nyt g(x) - y, mikä todistetaan samanlaisella arvio11a kuin edellä. Seuraavaksi määrittelemme kuvaukset h 1 , h2: X - X asettamalla h i (x) = (x1, X3, X5, ... ), h2(x) = (x2, x1, X6, ••• ). Koska hj:n komponenttikuvaukset ovat projektioita, on kumpikin hj j a t ­ kuva. Tästä seuraa, että myös kuvaus h = (h 1 , h2): X - X x X o n jat­ kuva. Kuvaus h on selvästi bijektio. Se on jopa homeomorfismi, mikä v o i ­ daan osoittaa nojautumalla taas kompaktiuteen tai myös helposti tutki­ malla käänteiskuvausta h- 1. Kuvaus g x g: X x X --+ I x J = I2 on jatkuva surjektio neliölle /2 . Kuvaus 'P = (g X g) 0 h O 1- 1 : C - [2 on yhdistetty kuvaus jatkuvista surjektioista, joten sekin on jatkuva surjek­ tio. Se voidaan jatkaa kuvaukseksi '1/J: I - 12 seuraavasti. Joukko I\ C koos­ tuu poistetuista avoimista kolmanneksista. Olkoon J yksi näistä. Tällöin J = Ja, b[, jossa a, b E C, joten ip(a) ja !(>(b) ovat määriteltyjä. Määritellään '1/J siten, että '1/JIJ on affiini, ts.

'1/J((l - t)a + tb) = (1 - t)ip(a) + tip(b),

•

kun O � t � 1. Saatu kuvaus 'l/): I - I2 on jatkuva surjektio; tarkan j a t ­ kuvuustodistuksen jätämme lukijalle. Jatkuva cp:n jatke löydettäisiin myös Tietzen jatkolauseen 20.3 avulla. Jatkuvan surjektion 'ljJ: I -t I2 olemassaolo saattaa tuntua yllättävältä; kyseessä on ns. pinnantäyttävä käyrä, joka kulkee neliön jokaisen pisteen kautta. Tällainen kuvaus ei voi olla bijektio, koska tällöin '1/J olisi homco­ morfismi, joka kuvaisi epäyhtenäisen joukon I \ {1/2} yhtenäiselle joukolle I2 \ {'l/,t(l/2)}. Ensimmäisen tällaisen kuvauksen konstruoi G. Peano vuonna

1890.

Vastaavalla tavalla löydetään jatkuva surjektio janalta jokaiselle kuu­ tiolle 1n , n E N. Voidaan osoittaa, että janan jatkuvia kuvia ovat tarkalleen ne Hausdorffi.n avaruudet, jotka ovat metristyviä, kompakteja, yhtenäisiä ja lokaa.listi yhtenäisiä eli n8. Peanon avaruuksia; ks. tehtävät 15:21 ja 19:9.

56

7. Tulotopologia Loka.alista yhtenäisyyttä käsitellään pykälässä 13. Se tarkoittaa sitä, että jokaisella pisteellä on mielivaltaisen pieniä yhtenäisiä ympäristöjä. Lisäksi janan voi jatkuva.c:;ti kuvata eräille avaruuksille, jotka eivät ole Hausdodf, ks. tehtävä 3:4. 7.19. Lause. Tuloavaruuden X ovat avoimia kuvauksia.

= IJjEJ Xj

projektiot prj : X

---t

Xj

Todist-us. Avaruudella X on kanta, jonka jäsenet ovat muotoa B = njEJ \tj, jossa kukin \lj on cpätyhjä ja avoin Xj :Ssä. Tällöin prjB = v; on avoin,joten tulos seuraa Lauseesta 3.10. D 7.20. Huomautus. Projektiot eivät aina ole suljettuja kuvauksia. Esim. pr 1 : R2 ---t R kuvaa suljetun joukon {(x,y): xy = I} joukoksi R \ {O}, joka ei ole suljettu. 7.21*. Inverssi raja. Käsitteinä "inverssi raja" ja "suora raja" on melko laaja käytäntö modernissa topologiassa, ja annamme niiden määritelmät mutta sivuutamme tarkemman teorian. Olkoon (H, :5) suunnattu joukko, ks. 3.15. Jnverssi avaruussysteemi on funktiopari,joka liittää jokaiseen alkioona E H topologisen avaruuden Xo. ja jo.kaiseen H:n pariin (a:,,8),jollaa :5 ,8,jatkuvan kuvauksen 0 ja M > 0, että IAxj � M kaikilla x E B(a, r) ja A E W. Arvioi lineaarisuuden avulla lukua jAyl, kun IYI ::; r.

85

• ·f

III. Avaruuksien jaottelua 10:19 Olkoon (X,d) metrinen avaruus. Epätyhjien rajoitettujen osajoukkojen Aja B Hausdorffin etäisyys on luku D(A,B) = max{supd(a,B), supd{b,A)}. aEA

bEB

Osoita, että D on pseudometriikk.a joukossa Y = {A : 0 =/ A C X, A rajoitettu} ja että Don metriikka joukossa Yo {F EY: F suljettu}.

=

10:20 Olkoon edellisessä tehtävässä X koelma on tiheä Y :ssä.

= R. Osoita, että äärellisten joukkojen ko­

10:21 Olkoon (X, d) rajoitettu metrinen avaruus ja Y kuten tehtävässä 10:19. Osoi­ ta, että kuvaus/: Y - Ron jatkuva, missä f(A) = d(A) on joukon A läpimitta. 10:22 Olkoon X joukko ja (Y,d) täydellinen metrinen avaruus. Todista: Jono ku­ vauksia /j : X - Y suppenee tasaisesti X :ssä, jos ja vain jos jokaista e > 0 kohti on olemassa sellainen j0 E N, että d(fj (x), fk (x)) < c:, kun j :2: j0 , k ;::: j0 ja xEX.

86

11. Erotteluaksiomat

11

Erotteluaksiomat

S0pim1ts. Oletamme koko pykälässä 11, että (X, T) on topologinen a v a ­ ruus. Esitämme ns. erottelu- eli T-aksiomat (T = 'Irennung) To, T1, T2 , T3, T4 . Näistä T2 on sama kuin aiemmin esillä ollut Hausdorffi.n ehto. 11.L Ehdot Tj . Olkoon j E {O, 1,2,3,4}. Sanomme, että avaruus X on Tj-avaruus tai lyhyesti että X on Tj , jos se toteuttaa alla olevan ehdon (TJ )· (To) Jos a, b E X jaa# b, niin ainakin toisella pisteistä a, b on ympäristö, johon toinen ei kuulu. (T1 ) Jos a, b E X jaa# b, niin kummallakin pisteistä a, b on ympäristö, johon toinen ei kuulu. (T2 ) Jos a, b E X ja a# b > niin pisteillä a, b on erilliset ympäristöt. (7\) Jos a E X, B @ X ja a rf:. B, niin a:Ha ja B:llä on erilliset ympäristöt. (T4 ) Jos A, B C X ovat erillisiä ja suljettuja, niin joukoilla A ja B on erilliset ympäristöt. Siis T2 avaruus on sama kuin Hausdorffin avaruus. Jos X on T3 ja T1 , se on säännöllinen. Jos X on T4 ja T1, se on normaali. Ehdoilla To ja T1 on melko vähäinen merkitys. Tosin T1 :llä on periaat­ teessa mielenkiintoinen tulkinta 11.2. Tärkein ehdoista on Hausdorffin ehto T2 , mutta myös säännöllisyys ja normaalius ovat hyödyllisiä käsitteitä. Joissakin kirjoissa (esim. [Kelley]) käytetään termistöä, jossa käsittei­ den T3 ja "säännöllinen" nimet on vaihdettu keskenään, samoin kuin käsit­ teiden T4 ja "normaali". 11.2. Lause. Avaruus X on T1 , jos ja vain jos sen jokainen yksiö on suljettu. Todistus. (a) Olkoon X T1 -avaruus jaa E X. Ehdon T1 nojalla joka!sella x E W = C{a} on ympäristö U(x) C W, joten W on avoin, ja siis {a} on suljettu. (b) Oletamme, että X :n jokainen yksiö on suljettu. Jos a, b E X, a # b, niin C{b} ja C{a} ovat a:n ja b:n ympäristöt, joihin toinen pisteistä ei kuulu. D

11.3. Havaintoja. 1. Selvästi T2 => T1 => To. 2. Avaruus on säännöllinen, jos ja vain jos se on 1'.1 ja T2. Ehdoista T3 ja T1 näet seuraa 11.2:n avulla T2 . 87

III. Avaruuksien jaottelua 3. Samoin avaruus on normaali, jos ja vain jos se on T4 ja T2 . 4. Metristyvä avaruus on normaali, mikä seuraa Lauseesta I.6.18. 5. Yhteenvetona saadaan implikaatiot metristyvä => normaali => säännöllinen => Hausdorff eli T2 => T1 => To.

z

11.4. Esimerkkejä. 1. Jos #X 2, niin (X, 7'mini) ei ole To. 2. Olkoon X kaksio {a, b}, a =f b, ja olkoot X :n avoimet joukot 0, { a} ja X. Tällöin X on To, mutta ei T1 . 3. Jos X on ääretön avaruus, jossa on kofiniitti topologia (tehtävä 1:3), niin X on T1 , mutta ei T2. 11.5. Lause. Olkoon X T1-avaruus (esim. Hausdorff}, A c X, ja x A:n kasautumispiste. Tällöin jokaisessa x:n ympäristössä on ääretön määrä A:n pisteitä. Todistus. Olkoon U x:n ympäristö. Merkitään F = U n (A \ { x}). Jos F on äärellinen, se on 11.2:n nojalla suljettu. Tällöin V = U \ F on x:n ympäristö, jossa ei ole A:n pisteitä, paitsi mahdollisesti x. Tämä on mah­ dotonta, koska x on A:n kasautumispiste. D 11.6. Lause. Avaruus X on T3, jos ja vain jos jokaista x E X ja jokaista x·:n ympäristöä U kohti on olemassa sellainen x:n ympäristö V, että V c U.

Todistus. (a) Olkoon X T3-avaruus, ja olkoon U x:n ympäristö. Joukko B = CU on suljettu eikä sisällä x:ää. Siis x:llä ja B:llä on erilliset ympäristöt V ja w. Koska V C Cw @X, niin V C C CB = u. (b) Oletamme käänteisesti, että X:llä on lauseen ominaisuus ja että x E X, B @ X, 3; � B. Nyt U = CB on x:n ympäristö. Siis x:llä on ympäristö V, jolla V C U. Joukot V ja W = CV ovat vaaditut x:n ja B:n erilliset ympäristöt. D

cw

11.7. Huomautus. Samoin nähdään, että X on T4, jos ja vain jos jo­ kaista A @ X ja jokaista A:n ympäristöä U kohti on olemassa sellainen A:n ympäristö V, että V C U. 11.8. Esimerkki. Olkoon X = R varustettuna topologialla Tpa, jon­ ka kantana ovat puoliavoimet välit [a, b[. Jo 2.11:ssä todettiin, että X on Hausdorff. Osoitamme 11.6:n avulla, että X on säännöllinen. Olkoon x E U @: X. Tällöin U sisältää x:n ympäristön V, joka on muotoa [x, b[. Tehtävässä 2:1 osoitettiin, että V on suljettu, joten V = V c U. Siis X on säännöllinen. 88

11. Erotteluaksiomat

Itse asiassa X on jopa normaali; ks. tehtävä 11:14 tai kohta 12.23.1. Se ei kuitenkaan ole metristyvä, mikä todetaan esimerkin 11.11.2 lopussa. 11.9. Lause. Ominaisuudet To 1 T1 ,T2,T3 ovat perinnöllisiä.

Todistus. Tehtävä 11:1. D sa.

11.10. Lause. Ominaisuudet To, T 1,T2 1 T3 säilyvät karteesisissa tulois-

Todistus. Todistamme tapauksen T.1 ja jätämme muut tehtäv?,ksi 11 :2. Olkoon X = rrjEJ Xj , jossa jokainen Xj on T3-avaru11A. Käytämme Lausetta 11.6 ja oletamme, että x E U @ X. Tällöin U sisältää x:n kan­ taympäristön B = rrjEJ uj , jossaxj E Uj @: Xj kaikillaj E .J ja Uj = Xj lu­ kuunottamatta äärellistä indeksijoukkoa K C .T. Koska avaruudet Xj ovat '.l3-avaruuksia, voimme jokaisella j E J( valita sellaisen Xj:n ympäristön 'vj, että l1J C Uj. Merkitsemme \.1j = Xj , kun j E J \ K. Tällöin V= ITjEJ Vj on x:n ympäristö, ja V= njEJ Vj C U (Lause 7.14). Siis X on T3. 0 11.11. Esimerkkejä. 1. Annamme esimerkin avaruudesta 1 joka on Haus­ dor.ff, mutta ei säännöllinen. Olkoon X= R2 , A C X x-akseli {(x, 0): x E R} ja 'B se X:n osajoukkojen kokoelma, jonka jäseniä ovat (1) ne X\ A:n osajoukot 1 jotka ovat avoimia tason tavallisessa topologiassa, (2) joukot B'(z, r) = (B(z,r) \ A) U {z}, z E A 1 r > 0. Kantalauseen 2.9 avulla on helppo osoittaa, että 'B on X:n erää.n topologian kanta. Saatu avaruus on Hausdor.ff 1 mutta ei säännöllinen. Todistamme viimeisen väitteen ja jätämme muut todistukset tehtäväk­ si 11:3. Olkoon U = B'(Ö,1). Jos X on säännöllinen, niin on olemassa sellainen Ö:n ympäristö V, että V C U. Valitaan r > 0, jolla B'(Ö, r) C V, ja merkitääna = (r/2,0). Tällöin a rJ. U. Koska B'(a,t)nB'(ö,r) # 0 kaikilla t > 0 1 niin a E V C U, ja saadaan ristiriita. Siis X ei ole säännöllinen. 2. Olkoon X kuten esimerkissä 11.8, ja olkoo�1 Y tuloavaruus X x X. Siis Y on taso R2 , jossa kantana ovat puoliavoimet suorakulmiot [a, b[ x [c, d[ (Lause 7.12). Koska X on säännöllinen, myös Y on säännöllinen. Osoitam­ me, että Y ei ole normaali. Olkoon L suora {(x, y) : x+y = 0}. Jos z = (x1 -x) E L L, 11iin U = [x, x + l[ x [-x, -x + 1 [ on z:n ympäristö, ui1 jolla L n U = {z}. Siis L on diskreetti. Lisäksi L on suljettu Y :ssä, mikä seuraa esim. siitä, että L on suljettu tason tavallisessa topologiassa, joka on karkeampi kuin Y:n topologia. Tästä seuraa, että L:n kaikki osajoukot ovat suljettuja Y:ssä. 1

89

III. Avaruuksien jaottelua Merkitään A = {(x, y) E L: x E Q} ja B = L \ A. JoH Y on normaali, niin A:lla ja B:llä on erilliset ympäristöt U ja V. Kun x E R ja n E N, niin neliö· Dn (x) = [x, x + 1/n[ x [-x, -x + 1/n[ on pisteen (x, -x) E L ympäriHtö Y:ssä. Merkitään

Fn = { X E R \ Q ; Dn (X) C V} . .Jos x E R \ Q, niin (x, -::i:) E V @: Y, joten on olemassa sellainen n E N, että Dn (x) C V. Siis R \ Q = LJ{Fn : n EN}. Merkitsemme Fn:lla F11 :n sulkcumaa R:n tavallisessa topologiassa. Edellisestä seuraa, että R on numeroituva yhdiste joukoista F'n ja yksiöistä {x}, x E Q. Soveltamalla Bairen lausetta 10.9 reaaliaksclin tavalli1,essa topologiassa löydetään F'n , joka sisältää reaaliakselin välin � = Ja, b[. Valitaan rationaaliluku r E �. Koska (r, -r) E U @: Y, niin on olemassa sellai­ -----, nen t E JO, 1/n[, että neliö E = [r, r + t[ x --�---, • 1 [-r, -r + t[ sisältyy U:hun. Koska� C P11 , niin x) i D n ( \ mikä nähdään tarkas­ telemalla kuvausta id: (X, '1)--+ (X> 'Jmini)·

90

11. Erotteluaksiomat Tehtäviä 11 11:1 Todista Lause 11.9. 11:2 T äydennä Lauseen 11.10 todistus. 11:3 Täydennä esimerkin 11.11.1 todistus osoittamalla, että '.B on erään topologian kanta ja että saatu avaruus on Hausdorff. 11:4 Todista: Jos X on To ja T3, niin X on säännöllinen. 11:5 Todista: Jos '.B on To-avaruuden X kanta, niin cardX :S card '.P('.B). ,Jos eri­ tyisesti '.B on numeroituva Uolloin X on N2-avaruus; ks. seuraava pykälä), niin cardX S: c (= card R). OhjP.. Määrittele kuvaus f: X -t P('B) ehdolla A E J(x) {:} x E A ja todista, että f on injektio. 11:6 Olkoon '.D avaruuden X ositus, jossa on tekijätopologia. Osoita, että 'D on T1-avaruus, jos ja vain jos '.D:n jäsenet ovat suljettuja joukkoja. 11:7 Osoita, että Hausdorffin avaruus X on säännöllinen, jos ja vain jos X/A on Hausdorff jokaisella A �X. 11:8 Olkoot f,g: X Osoita, että f = g.

-t

Y jatkuvia, Y Hausdorff, A C X tiheä ja JIA

11:9 Osoita, että avaruus X on Hausdorff, jos ja vain jos lävistäjä .6. x E X} on suljettu joukko tuloavaruudessa X x X.

=

glA.

= {(x,x)

:

11:10 Olkoon f: X -t Y jatkuva, missä Y on Hausdorff. Osoita, että J:n kuvaaja r = {(xJ(x)): x E X} on suljettu avaruudessa X xY. Päättele edellisen tehtävä.n avulla, että tulos ei ole voimassa ilman Hausdorffin ehtoa. 11:11 Olkoon X Hausdorff, A C X ja r: X -+ A retraktio, ts. r on jatkuva ja rlA = id. Osoita, että A on suljettu. 11:12 Todista, että normaalin avaruuden suljettu osajoukko on normaali. 11:13 Olkoon X T1 -avaruus ja A c X. Osoita, että A on kaikkien ympäristöjcnsä leikkaus. 11:14 Todista, että avaruus (R, 'Tpa) on normaali. Ohje. Olkoot A ja B erillisiä suljettuja joukkoja. Valitse jokaista x E A kohti väli [x, x + r(.:1:)[, joka ei kohtaa B:tä, jolloin näiden välien yhdiste U on A:n ympäristö. Muodosta vastaava B:n ympäristö ja osoita, että U ja V ovat erilliset.

91

III. Avaruuksien jaottelua 11:15 Olkoon X normaali avaruus ja '1J X:n ylöspäin puolijatkuva ositus, jonka jäsenet ovat suljettuja; ks. tehtävä 9:10. Osoita, että 1) on normaali avaruus te­ kijätopologiassa. 11:16 Olkoon (H, s) täysin järjestetty joukko, jossa on järjestystopologia; ks. esi­ merkki 2.11.2 ja tehtävä 2:11. Osoita: ( a) Väli [a., b] on suljettu, kun a b. (b) H on säännöllinen. Lisätieto. Voidaan osoittaa, että H on normaali (1Steen-Seebach], Esim. 39).

s

92

12. Numcroituvuusaksiomat

12

Numeroituvuusaksiomat

Sopimus. Oletamme koko pykälässä 12, että (X, '1) on topologincn ava­ ruus. Knsittelemme ehtoja, joissu numeroituvuus tulee esille. Näitä on neljä: N1 , N2, Lindelöfin ominaisuus ja separoituvuus. Tärkein näistä on N2 , joka merkitsee, että avaruudella on numeroituva kanta. 12.1. Numeroituvuus (joukko-oppia). Palautamme mieliin, että joukko A on numeroituva, jos se on äärellinen (mahdollisesti tyhjä) tai jos sillä on sama mahtavuus kuin joukolla N. Pidämme tunnettuina seuraavia perus­ asioita: (1) Numeroituva yhdiste numeroituvista joukoista on numeroituva. (2) Jos joukot A ja B ovat numcroituvia, niin joukko A x B on num 0, jolla B(y, 2r) C Uk . Riittää osoittaa, että kuula W = B(y, r) ei kohtaa joukkoja spt hn , kun n> 1/r ja n> k. Olkoon x E W. Koska Uk C Vn , niin d(x, CVri) 2: d(x, Cuk) 2: d(y, Cuk) - d(x, y) > r. Koska d(X) � 1, tästä seuraa, että fn(x) < 1 - nr < O. Siis hn (x) = 0 kaikilla x E W, joten W n spt hn = 0. Voidaan siis määritellä jatkuva funktio h = I:nE N hn : X - [O, oo[. Lisäksi h(x) > 0 kaikilla x E X, sillä jos n on pienin luku, jolla x E Un , niin x 0 ja siis h(x) 2: hn(x) > 0. Funktiot 9n = hn /h muodostavat vaaditun ykkösen osituksen. D 12.2r. Lause. Metristyvässä N2 -avaruudessa on jokaista avointa pei­ tettä kohti olemassa siihen sopiva ykkösen ositus.

Todistus. Olkoon (Uj)jEJ metristyvän N2-avaruuden X avoin peite. Lauseen 1.10.6 nojalla voidaan valita X:n metriikka d, joka määrää X:n topologian ja jossa d(X) � 1. Kullakin x E X valitaan indeksi i(x) E J, jolla x E Ui(x) , ja sitten luku r(x) > 0, jolla B(x, 2r(x)) C Ui(x) · Kuulat B(x, r(x)), x E X > muodostavat X:n avoimen peitteen. Koska X on Lindelöf Lauseen 12.14 nojalla, niin voidaan valita sellainen X:n jono (xn), että kuulat B(xn , r(xn)), n E N, peittävät X:n. Lemman 12.26 nojalla on olemassa ykkösen ositus (9n)nEN, jolla spt Yn C B(xni r(xn )) C Ui(x,.) kaikilla n EN. Kun j E J, merkitsemme I määritellään h1 nollafunktioksi. Summa on pisteittäin ää ­ rellinen, vaikka joukko K(j) voi olla ääretön. Funktio hj on jatkuva, ja joukko Aj = LJ{sptgn : n E K(j)} on suljettu Lauseen 12.25 nojalla. Siis spt hj c Aj C Uj kaikilla j E J. Perhe (hj) on haettu ykkösen ositus (tarkista yksityiskohdat!). 0 12.28*. Huomautus. Kuten Lauseen 12.27 todistus osoittaa, monet sen antaman ykkösen osituksen jäsenet voivat olla nolla.funktioita. Tehtävästä 12:21 seuraa, että Lindelöfin avaruuden ykkösen osituksen jäsenistä muut paitsi numeroituva määrä ovat nollafnktioita.

102

12. Numeroituvuusaksiomat Tehtäviä 12 12:1 Todista Lause 12.11. 12:2 Todista Lauseen 12.12 tapaus N1 . 12:3 Osoita, dt./:i. Lindelöfin avaruuden suljettu osajoukko on Lindelöf. 12:4 Todista, että avaruus on N2 , jos sillä on numeroituva esikanta. 12:5 Olkoot Xj , jossa j E J, Hausdorff-avaruuksia, joissa on vähintään kaksi pis­ tettä, ja olkoon J ylinumeroituva. Osoita, että tuloavaruus X = njE.J Xj ei ole N1 eikä siis metristyvä eikä N2 . Ohje. Valit:;e a, h E X, joilla aj =f. bj kaikilla j. Tällöin b E Ä, jossa A = {x E X : Xj = bj äärellisen monella j:llä ja Xj = a; muilla}, mutta mikään A:n jono ei suppene kohti b:tä. 12:6 Onko R \Q sepa.roituva? 12:7 Olkoot X ja A kuten esimerkissä 11.11.1. Todista: (a) X on separoituva, (b) osajoukko A ei ole separoituva, (c) X ei ole N2, (d) X ei ole Lindelöf. (c) Onko X N1 '? (f) Onko X metristyvä'/ 12:8 Olkoon X = JO, 1) x ]O, 1 [ C R2 ja A = {1} x JO, 1 [. Osojta, että tekijä.avaruus X/A ei ole N1. Ohje. Olkoon {Bn : n EN} A:n ympäristökanta X/A:ssa ja B� p- 1 B,,, . Konstruoi Rcllainen jono (xn), että X E B;,, \Aja X -+ (1 1 1). Tällöin (XJA) \{p(xn): n EN} on A:n ympäristö X/A:ssa.

=

n

n

12:9 Olkoon X separoituva ja A kokoelma X:n erillisiä avoimia osajoukkoja. Osoi­ ta, että A on numcroituva. 12:10 Osoita, että sepa.roituvuus ja Lindelöfin ominaisuus säilyvät jatkuvissa k u ­ vauksissa. 12:11 Osoita, että äärellinen avaruus toteuttaa aina kaikki neljä numeroituvuusak­ siomaa. 12:12 Osoita, että avaruus, jossa on kofiniitti topologia (tehtävä 1:3), on aina se­ paroituva.. 12:13 Olkoon X tuloavaruus {O, l}R. Osoita, että X on sepa.roituva, mutta ei (tehtävän 12:5 nojalla) N1• Ohje. Olkoon '.D niiden joukkojen U c R kokoel­ ma, jotka ovat äärellisiä yhdisteitä avoimista väleistä, joiden päätcpisteet ovat rationaalisia. Osoita, että '.D:n jäsenten karakterististcn funktioiden joukko A on numeroituva ja tiheä X:ssä.

103

III. Avaruuksien jaottelua 12:14 Olkoon X N2-avaruus ja A C X ylinumeroituva. Osoita, että A sisältää ylinumeroituvan määrän kasautumispisteitää.n. 12:15 Olkoot 'J ja 'J' joukon X topologioita ja 'J c 'J'. Osoita, että jos (X1 'J') on separoituva, niin myös (X, 'J) on separoituva. 12:16 Olkoon H = U[O, 1] jatkuvien funktioiden f: 1 - R avaruus varustettuna sup-normilla. Osoita, että E on separoituva ja siis N2 , Ohje. Tarkastele J:n ta­ savä1isiä jakoja ja funktioita, jotka saavat jakopisteissä rationaaliarvon ja jotka ovat osaväleillä affiineja, ts. muotoa J(t) = at + b. 12:17 Olkoon J = (xn ) jono N1 -avaruudessa X, ja olkoon a jonon J kasautumis­ arvo. Osoita, että J:llä on osajono, joka suppenee kohti a:ta. 12:18 Olkoot X ja A C X kuten tehtävässä 12:13 ja f E X joukon Q karakteris­ tinen funktio. Kirjoitamme A:n muodossa {gn : n E N}. Osoita, että f on jonon (gn) kasautumisarvo mutta että mikään osajono ei suppene kohti /:ää. Ohje. Tee vastaoletus ja osoita, että Q on G.s-joukko vastoin tehtävää 10:11. Huomautus. Le­ bcsguen mitan teoriasta seuraa myös, että mikään (gn):n osajono ei suppene kohti ei-mitallisen joukon karakteristista. funktiota. 12:19 Todista, että säännöllinen numeroituva avarum, on normaali. 12:20 Olkoon (Aj )jEJ lokaalisti äärellinen perhe suljettuja joukkoja avaruudessa X. Todista: (a) Joukko A = U{AJ : j E J} on suljettu . (b) Jos f: A - Y on kuvaus avaruuteen Y ja jos JIAj on jatkuva jokaisella j, niin f on jatkuva. 12:21 Olkoon (Aj )jEJ lokaalisti äärellinen joukkoperhe Lindelöfin avaruudessa X. Osoita, että {j E J: Aj f. 0} on numeroituva. 12:22 Avaruuden X peite (ViJ >.eK on peitteen (Uj )JEJ tihennys, jos jokainen Vk sisältyy johonkin joukoista UJ . Osoita Lauseen 12.27 avulla, että metristyvän Nr avaruuden jokaisella avoimella peitteellä on lokaalisti äärellinen avoin tihennys, vieläpä sellainen, jossa K = J ja V; c U1 kaikilla j E J. Lisätietoja. Hausdorffi.n avaruus on parakompakti, jos sen jokaisella avoimella peitteelläon lokaalisti äärellinen avoin tihennys. Pätee: metristyvä::::} parakompakti ::::} normaali. Lause 12.27 on voimassa. parakompakteissa avaruuksissa.

104

13. Yhtenäisyys

13

Yhtenäisyys

Sopimus. Oletamme koko pykälässä 13, että (X, 'J) ja (Y, �ff) ovat topo­ logisia avaruuksia. Yhtenäisyyttä on melko laajasti käsitelty osan I pykälässä 14. Tämä teoria ei lainkaan nojannut metriikkaan, joten se on lähes sellaisenaan siir­ rettävissä topologisHn avaruuksiin. Poikkeuksena tästä ovat konveksiuteen ja murtoviivoihin liittyvät tarkastelut, jotka ovat mielekkäitä vain normia­ varuuksissa. Kertaamme aluksi osassa I annetut määritelmät ja tulokset ilman to­ distuksia. Lauseiden lopussa oleva neliö D merkitsee, että osan I vastaavan tuloksen todistus on sellaisenaan voimassa. Uusina asioina käsittelemme polkukomponentteja, kvasikomponenttcja ja lokaalista yhtenäisyyttä.

13.1. Yhtenäinen avaruus ja joukko. Sanomme, että avaruus (X, 'J) on yhtenäinen, jos se ei sisällä sellaisia osajoukkoja A, B, että (l)X=AUB, (2) A # 0 =f B, (3) AnB = 0, (4) A r:g_ X, B@ X. Muutoin X on epäyhtenäinen. Osajoukko E C X on yhtenäinen, jos se on yhtenäinen topologinen avaruus relatiivitopologiassa. Avoin yhtenäinen joukko G C X on X:n alue. Ehto (2) on tarpeellinen, koska joukot X ja 0 toteuttavat aina ehdot

(1),(3),(4). 13.2. Separaatio. Yhtenäisyydelle voidaan antaa useita keskenään yhtä­ pitäviä määritelmiä. Eräs niistä perustuu separaation käsitteeseen. .Joukon E c X separaatio on olemassa sellainen E:n jako kahdeksi osajoukoksi A ja B, että (l)E=AUB, (2) A =f 0 # B, (3) A n B = 0 = A n .B. Täsmällisesti: .Joukon E separaatio on kaksio {A, B}, jossa joukot A ja B toteuttavat ehdot (1)-(3). Jos {A, B} on joukonE separaatio, kirjoitamme E=AIB, Koska pystyviivan molemmilla puolilla on joukko, merkintä tuskin sekaan­ tuu kuvauksen rajoittuman merkintään. 105

III. Avaruuksien jaottelua Ehto (3) on joukkojen Aja B irtioloehto. Siitä seuraa, että A nB = 0, mutta joukon Ä n B ei tarvitse olla tyhjä, sillä Ä ja i3 voivat kohdata E:n ulkopuolella. Näin tapal1tuu esim., kun X = R, A = JO, 1[, R = ]1, 2[ ja E = A U B. , Käsitteillä )lseparaatio , ja »separoituva avaruus" ei nimistä huolimatta ole mitö.ö.n tekemistä toistensa kanssa. Separaation määritelmässä joukot Ä ja fJ ovat sulkeumia X :ssä, joten käsite on ensi näkemältä relatiivinen. Tämä on kuitenkin vain näennäistä.: 13.3. Lause. Sp_,paraatio on absoluuttinen käsite: Olkoon E C H C X, ja olkoot A, B C E. Tällöin {A, B} on E:n separaatio X:ssä, jos ja vain jos se on E:n separaatio H :ssa. D 13.4. Lause. Jos X = A U n, niin seuraavat ehdot ovat yhtäpitävät: (1)At:0=/B, AnB=0, A@X, B@X, (2)Af0=/B, AnB=0, A@X, B@X, (3)A#0#B, AnB=0, A@X, A@X, (4) X=AIB. D 13.5. Lause. Avarnudelle X seuraavat ehdot ovat yhtäpitävät:

(1) X on epäyhtenäinen. (2) X= A U B, jossa A ja B ovat erillisiä, suljettuja ja epätyhjiä. (3) On olemassa sellainen A C X, että 0 # A i= X, ja A on sekä avoin

että suljettu. (4) On olemassa X:n separoatio X=AIB. (5) On olemassa jatkuva surjektio f: X --+ {O, 1}. D

13.6. Lause. Jos E C X, niin seuraavat ehdot ovat yhtäpitävät: (1) E on epäyhtenäinen. (2) E:llä on separaatio X :ssä. (3) On olemassa sellaiset U, V @ X, että (a) Ec UuV, (b) unvnE = 0, (c) Un E =/ 0 # V n E. 0 13.7. Lause. Jos E c X, E C F C E, ja E on yhtenäinen, niin F on yhtenäinen. Siis yhtenäisen joukon sulkeuma on yhtenäinen. D 13.8. Lause. Olkoot Ej , jossa j E J, avaruuden X yhtenäisiä osajouk­ koja, joilla on yhteinen piste. Tällöin joukkojen Ej yhdiste on yhtenäinen.

D

106

13. Yhtenäisyys 13.9. Reunanylityslause. Olkoon E C X yhtenäinen ja A C X. Jos E kohtaa A:n ja CA:n, se kohtaa myös 8A:n. 0 13.10. Lause. Jos X= A[B ja jos E C X on yhtenäinen, niin E C A tai E c B. 0 13.lL Lause. Olkoon E C R ja #E 2: 2. Tällöin E on yhtenäinen, jos ja vain jos E on väli, mahdollisesti rajaton. D 13.12. Lause. Yhtenäisen joukon kuva jatkuvassa kuvauksessa on yh­ tenäinen. 0 13.13. Seuraus . .Jos X on yhtenäinen ja jos X � Y, niin Y on yhtenäinen. 0 13.14. Lause. Olkoon X yhtenäinen ja f: X_, R jatkuva. Jos f saa arvot s ja t , missä s < t, niin f saa kaikki arvot välillä [s, t]. 0 13.15. Lause. Avaruudelle X seuraavat ehdot ovat yhtäpitävät: (1) X on yhtenäinen. (2) Jokaista paria x, y kohti on olemassa yhtenäinen E(x, y) c X, joka sisältää p isteet x ja y. (3) X= 0 tai on olemassa sellainen xo E X, että jokaista x E X kohti on olemassa yhtenäinen E(x) C X, joka sisältää x:n ja x0:n. 0 13.16. Avaruuden komponentit. Jos X on topologinen avaruus jaa E X, merkitsemme O(a, X)= LJ{A: a E A c X, A yhtenäinen}. Jos väärinkäsityksen vaaraa ei ole, voimme käyttää lyhyempää merkintää O(a) = C(a, X). Joukko O(a, X) on X:n eräs komponentti, tarkemmin sen a-komponentti. Tavalliseen tapaan määrittelemme osajoukon A C X k o m ­ ponentit käsittelemällä A:ta topologisena avaruutena relatiivitopologiassa. Komponentti ei koskaan ole tyhjä, ja tyhjällä joukolla 0 ei ole komponent­ teja. 13.17. Lause. (1) a E O(a,X) kaikilla a E X. (2) X:n komponentit ovat yhtenäisiä. (3) X :n komponentit muodostavat X :n osit1,ksen, t8. jokainen piste a E X kuuluu yhteen ja vain yhteen X:n komponenttiin.

107

III. Avaruuksien jaottelua

(4) Jokainen yhtenäinen osajonkko A C X, A :f: 0, sisältyy yhteen ja

vain yhteen X :n kornponenttiin. (5) Jos f: X -. Y on jatkuva, niin f kuvaa X :n kunkin komponentin johonkin Y:n komponenttiin. Jos f: X � Y, niin X :n komponenttien kuvat o·uat Y:n komponentit. D 13.18. Huomautus. Kohdista (2) ja (4) seuraa, että avaruuden X k o m ­ ponentit ovat X:n maksimaalisia yhtenäisiä os�joukkoja, ts. komponentti ei sisälly mihinkään aidosti laajempaan yhtenäiseen osajoukkoon. 13.19. Lause. Avaruuden komponentit ovat suljettuja joukkoja. D 13.20. Lause. Jos avaruudella X on äärellinen määrä komponentteja, niin ne ovat avoimia. D 13.21. Polku ja polkuyhtenäisyys. Merkitään taas / = [O, 1]. Jatkuvaa kuvaustaa: l ---,, X sanotaan X:n poluksi. Joskus poluksi sanotaan ylei­ semmin mielivaltaisen suljetun välin [a > b] jatkuvaa kuvausta 0:: [a, bJ --t X. Sanomme, että polkua: J-. X yhdistää X:n pisteeta(O) jaa(l), j o i ­ t a sanotaan o:n päätepisteiksi. Tarkemmin: a(O) on o::n alkupiste j a o:(l) sen loppupiste, jaa yhdistääa(O):n o:(1):ccn. Jos t E I ajatellaan aikapa­ rametriksi, polkua : I-. X esittää, kuinka pistea(t) liikkuu aikayksikössä (esim. sekunti) alkupistecstä o:(O) loppupisteeseen a(l). Avaruus X on polkuyhteriäinen, jos jokainen pari a, b E X voidaan yh­ distää polulla X:ssä. Poluna käänteispolkua,__ määritellään kaavallaa�-(t) = o:(1 - t). Mo­ nissa kirjoissa käänteispolulle käytetään merkintää a-1, mutta tällöin on varottava sekoittamasta käsitettä käänteiskuvaukseen, josta nyt ei ole kyse. Jos a., f3: I -. X ovat polkuja, joilla a(l) = ,8(0), määritellään niiden kompositio "Y: I -. X yhtälöllä 'Y(t) = {a(2t), f3(2t -1),

kun O::; t::; 1/2, kun 1/2::; t::; 1.

Kun t = 1/2, molemmat lausekkeet antavat saman pisteen ,y(l/2) =a(l) = (:J(O). Koska rajoittumat 1'1[0, 1/2] ja "Yl[l/2, l] ovat jatkuvia, niin, on jat­ kuva (Lause 5.13). Siis 1' on polku. Sille käytetään merkintää "'/ = a.{3. Kyseessä ei ole yhdistetty kuvaus, joka yleensä olisikin cpämiclckäs. Jos o:(1) :f: ,8(0), kompositiota cx,(3 ei määritellä. Kun t ajatellaan aikaparamctriksi, polku 'Y seuraa ensin puoli sekuntia polkua a ja sitten puoli sekuntia polkua (3, kumpaakin kaksinkertaisella nopeudella. 108

13. Yhtenäisyys 13.22. Huomautus. Avaruutta (X, 'J) sanotaan kaariyhtenäiseksi, jos sen mielivaltaiset kaksi eri pistettä a, b voidaan yhdistää kaarella X:ssä, ts. on olemassa sellainen upotus o:: I - X, että o:(O) = a ja o:(l) = b. Kaariyhtenäinen avaruus on tietysti polkuyhtcnäinen. Voidaan osoittaa, että käänteinen väite pätee, jos X on Hausdorff, mutta ei esim. tapauksessa #X 2: 2, 'J='J'mini• 13.23. Lause. Polkuyhtenäinen avaruus on yhtenäinen. D 13.24. Lause. Polkuyhtenäisen avaruuden kuva jatkuvassa kuvaukses­ sa on polkuyhtenäinen. D 13.25. Polkukomponentit. Määritellään avaruudessa X relaatio ,.._, aset­ tamalla a "' b, jos a voidaan yhdistää b:hen polulla X:ssä. Kyseessä on ekvivalenssirelaatio (tehtävä 13:1). Pisteen a sisältävää ckvivalcnssiluok­ kaa merkitään P(a, X):llä tai lyhyesti P(a):lla. Siis

P(a)

= {b : a voidaan yhdistää b:hen polulla X:ssä}.

Joukko P(a) on X:n a-polkukomponentti. Se on laajin polkuyhtenäinen X:n osajoukko, joka sisältää a:n. Koska P(a) polkuyhtenäisenä joukkona on yh­ tenäinen, on aina P(a, X) c C(a, X). 13.26. Esimerkkejä. 1. Olkoon A c R2 topologin sinikäyrä; ks. I.14.24. Joukolla Ä on kaksi polkukomponenttia A ja Ä \ A> mutta vain yksi kom­ ponentti. 2. Olkoon A kuten yllä ja

X= A U {(O, t): 0 .$ t � 1, t E Q}. Tällöin A C X c Ä, joten X on yhtenäinen, mutta sillä on ääretön määrä polkukomponentteja. 13.27. Lause. Olkoon X yhtenäinen avaruus, jonka jokaisella pisteellä on polkuyhtenäinen ympäristö. Tällöin X on polkuyhtenäinen. Todistus. Osoitamme aluksi, että X:n jokainen polkukomponentti P(x) on avoin. Olkoon y E P(x). Valitaan y:lle polkuyhtcnäinen ympäristö U. Tällöin U c P(y) = P(x), joten P(x) on avoin. Kiinnitämme pisteen a E X. Jos P(a) =f; X, niin X = P(a)l(X \ P(a)), sillä joukko X\ P(a) = LJ{P(x): x E X\P(a)} 109

III. Avaruuksien jaottelua on avoin avointen joukkojen yhdisteenä. Koska X on yhtenäinen, niin P(a) =X.D 13.28. Huomautus. Olkoon E normiavaruus. Koska E:n kuula on kon­ veksina joukkona polkuyhtenäinen, Lauseen 13.27 ehto on voimassa joloti­ sella alueella X c E. Siis normiavaruuden alueet ovat polkuyhtenäisiä, mikä Lauseessa I.14.aO todistettiin murtoviivojen avulla. 13.29. Lokaalinen yhtenäisyys. Avaruus X on lokaalisti yhtenäinen pis­ teessä a E X, jos jokainen a:n ympäristö sisältää a:n yhtenäisen ympäristön. Tämä ilmaistaan myös sanomalla, että a:lla on mielivaltaisen pieniä yh­ tenäisiä ympäristöjä, vaikka ympäristön kokoa ei voikaan mitata. Jos (X, d) on metrinen avaruus, ehto merkitsee sitä, että jokaista c > 0 kohti a:lla on yhtenäinen ympäristö U, jolla d(U) < E:. Jos X on lokaalisti yhtenäinen jokaisessa pisteessä a E X, sanomme lyhyesti, että X on lokaalisti yhtenäinen. 13.30. Esimerkkejä. 1. Koska normiavaruuden kuulat B( a, r) ovat yh­ tenäisiä, jokainen avoin joukko normiavaruudessa on loka.alisti yhtenäinen, mutta ei aina yhtenfönen. 2. Joukko Q ei ole lokaalisti yhtenäinen, sillä sen komponentit ovat yk­ siöitä, eikä siis sen millään pisteellä ole yhtään yhtenäistä ympäristöä. 3. Yhtenäisen avaruuden ei tarvitse olla lo­ kaalisti yhtenäinen. Eräs tällainen avaruus on topologin sinikäyrän A sulkeuma .A, joka ei ole lokaa.listi yhtenäinen pisteissä a E .A \ A; ks. I.14.24. Toinen esimerkki on oheisen kuvan esittämä tason osajoukko A. Se on yhdiste janoista Jn = [ö, e1 + e2/n], n E N, ja janasta [ö, e1J. Jouk­ ko A on yhtenäinen, jopa murtoviivayhtenäinen, mutta se ei ole lokaalisti yhtenäinen pisteissä 0 e1 te1, 0 x2 > ... ja 'D:n jäsenet Ui, U2, ... > joilla Xj E Uj ja ]xj , Xj-1] C Uj-1 · Jono päättyy, kun saadaan sellainen n E N, että Xn = 0. TäJlainen n on olemassa, sillä muutoin saadaan joukko {Xj : j E N}, jossa ei ole pienintä alkiota. Tällöin {U1, ..., Un } on haettu äärellinen osapcitc. Ylcistämme eräitä osassa I esitettyjä kompaktiutta koskevia perustulok­ sia topologisille avaruuksiHe. Koska käytämme uutta määritelmää, emme yleensä voi nojautua osan I todistuksiin. 15.5. Lause. Kompaktin avaruuden suljettu osajoukko on kompakti. Todistus. Olkoon X kompakti ja A @:_X. Olkoon 'D A:n X-avoin peite. Tällöin 1) 1 = 'DU{X\A} on X:n avoin peite. Koska X on kompakti, 'D1 :llä on äärellinen osapeite, joka voidaan kirjoittaa muodossa 'DoU{X \A}, jossa 'Do C 'D. Nyt 'Do peittää A:n, joten se on haettu kokoelma. D 15.6. Lause. Kompaktin joukon kuva jatknvassa kuvauksessa on kom­ pakti. Todistus. Olkoon X kompakti ja f: X -+ Y jatkuva. Olkoon 'D kuva­ joukon fX peite, joka on Y-avoir::. Tällöin {f-1 V : V E 'D} on X :n peite ja lisäksi avoin, koska f on jatkuva. Koska X on kompakti, tällä peitteellä on 1v , ... , 1-1v }, äärellinen osapeite, joka voidaan kirjoittaa muodossa 1 n jossa "Vj E 'D. Nyt {Vi, ... , "Vrt } on JX:n peite. Siis JX on kompakti. D

u-

15.7. Lause. Jos X -:f 0 on kompakti ja f: X -+ R jatkuva, niin f saa suurimman ja pienimmän arvonsa. Todistus. Edellisen lauseen perusteella joukko fX c R on kompakti. Lauseen 1.13.13 nojalla siinä on suurin ja pienin luku. D 118

15. Kompakti avaruus

15.8. Kompaktius suljettujen joukkojen avulla. Periaatteessa kaikki, mikä lausutaan avoimien joukkojen avulla, voidaan lausua myös suljettu­ jen joukkojen avulla. Teemme nyt tämän kompaktiudelle. Jos '.D c '.P(X), merkitään '.D* � {CA : A E '.D}. Koska De Morganin lakien nojaJla U'.D = C(n'.D*), todetaan heti, että '.Don X:n peite, jos ja vain jos n'D* = 0. Sanomme , että kokoelmalla :J' C '.P(X) on äärellistcn leikkausten o m i ­ naisuus, lyhennettynä ÄLO, jos n.A i- 0 kaikilla äärellisillä A, joilla 0 i­ A c :J'. Esim. välien kokoelmalla :J' = {[n, oo[ : n E N} on ÄLO, vaikka n:J' = 0. 15.9. Lause. Avanmddle X se11.raavat ehdot o?Jat yhtäpitävät: ( 1)X on kompakti. (2) Olkoon 3' kokoelma X :n suljettuja joukkoja ja olkoon n:J' = 0. Tällöin on olemassa sellainen äärellinen :J'o C :J', että n:'fo = 0. (3) Jos :J' on kokoelma X :n suljettuja joukkoja ja jos :J':llä on ÄLO, niin n:r f- 0. Todistus. Siirtymällä kompaktiuden määritelmässä komplementteihin todetaan heti, että (1) � (2). Selvästi (2) {::? (3). D

15.10. Lause. Jos Aja B ovat kompakteja X :n osajoukkoja, niin AUB on kompakti. Todistus. Tehtävä 15 :2. D

15.11. Lause. Olkoon X Hausdorff ja A, B c X kompakteja erillisiä joukkoja. Tällöin A:lla ja B:llä on erilliset ympäristöt.

i-

Todistus. Voidaan olettaa1 että A 0 # B. Oletamme aluksi, että Valitsemme kullakin a E A erilliset ympäristöt U(a) 3 aja V0 (b) 3 b. Koska {U(a) : a E A} on A:n avoin peite, sillä on osapeite {U(a) : a E F}, jossa F C A on äärellinen. Nyt

B

= {b} on yksiö.

u = U{U(a): a E F}

ja V= n{Va (b): a E F}

ovat A:n ja b:n erilliset ympäristöt. Olkoon sitten B mielivaltainen kompakti joukko. Edellisen nojalla voim­ me kullakin b E B valita erilliset ympäristöt Ub (A)::J Aja V(b) 3 b. K o s ­ ka B on kompakti, niin sillä on peite {V(b) : b E K}, jossa K C B on äärellinen. Halutut ympäristöt ovat U

= n{Ub(A): b E K}

ja V= LJ{V(b): b E K}. D 119

IV. Kompaktius

15.12. Lause. Kompakti Hausdorffin avaruus on normaali. Todistus. Tulos seuraa Lauseista 15.5 ja 1.5.11. D

15.13. Lause. Jos X on Hausdorff ja A C X kompakti, niin A on suljett1t. Todistus. Olkoon x E X\ A. Lauseen 15.11 mukaan x:llä ja A:lla on erilliset ympäristöt U ja V. Koska U C X \ A, niin X\ A on avoin, joten A on suljettu. D

15.14. Huomautuksia. 1. Lauseessa 15.13 on Hausdorffin ohto olen­ nainen. Jos osim. X:ssä on minitopologia, niin kaikki X:n osajoukot ovat kompakteja, mutta niistä vain 0 ja X ovat suljettuja. Tulos ei päde edes T1-avaruuksissa (Tehtävä 15:3). 2. Lause 15.13 on eräs syy siihen, että kompaktius on hyödyllinen käsite erityisesti Haus A ja V => B, että U x V c W.

Todistus. Tehtävä 15:6. D 15.25*. Lause. Kompaktin Hausdorffin avaruuden komponentit ovat kvasikomponentteja.

Todistus. Olkoon X kompakti HausAja V=> B, ja merkitään W = UUV. Olkoon� ,121

IV. Kompaktius

niiden joukkojen F kokoelma, joilla a E F ja jot,ka ovat avoimia ja suljettuja X:ssä. Lauseen 13.36 nojalla Q(a) = n'.r. Merkitään '.to = {F\ W: F E '.r}, jolloin nJ'0 = (nJ') \ W = Q(a) \ W = 0. Kokoelman �o jäsenet ovat suljettuja, joten X:n kompaktiudcn ja Lauseen 15.9:n nojalla '.to sisältää äärellisen osakokoelman, jonka jäsenten leikkaus on tyhjä. Siis voidaan va­ lita. S€11aiRP.t F1 , ... , Fn E 5', P-tt.i-i. F = F1 n · · · n Fn C W. Joukko F on suljettu ja avoin, joten F n U on avoin. Toisaalta F n U = F \ V on myös suljettu. Siis Q(a) C F n U C U, mikä on mahdotonta, koska 0 =/ B c Q(a) ja B n U = 0. Saatu ristiriita osoittaa, että Q(a) on yh­ tenäinen. D 15.26. Jonokompaktius. Avaruus X on jonokompakti, jos sen jokaisella jonolla on suppcncva osajono. Jonokompaktiuden päämerkitys on siinä, että metristyvissä avaruuksissa se on yhtäpitävä kompaktiuden kanssa. Tämä.n vuoksi oli mahdollista ottaa osassa I jonokompaktius kompaktin metrisen avaruuden määritelmäksi. Yleisessä topologisessa avaruudessa nämä omi­ naisuudet eivät ole yhtäpitävät. Itse asiassa kummastakaan ominaisuudesta ei seuraa toinen, kuten seuraavissa esimerkeissä osoitamme. 15.2r. Esimerkki. Olkoon X tuloavaruus { 0, 1}N ) ts. X on kohdas­ sa 7.18 tarkasteltu Cantorin joukko, jonka alkiot ovat bittijonoja x: N � {O, 1}. Tuloavaruus Z = {O ) l}x on myöhemmin todistettavan Tihonovin lauseen 18.4 nojalla kompakti. Osoitamme) että Z ei ole jonokompakti. Projektiot prn: X -t {O, 1}, n EN, ovat Z:n alkioita, ja prn(x) = Xn, kun x E X. Osoitamme ) että jonolla (prn) ei ole suppenevaa osajonoa. Vastaolctus: Osajono (prn.,.)kEN suppenee Z:ssa. Lauseen 7.13 nojalla tämä merkitsee sitä, että kullakin x E X jono (xn,J suppenee avaruudessa {O, 1}. Olkoon x E X se jono, jolla xn,. = 1, kun k on parillinen, ja Xj = 0, kun j = nk ja k on pariton tai kun j ei ole muotoa nk· Tällöin (xnk ) keN on jono 0, 1, 0, 1, ... , joka ei suppene, joten saadaan ristiriita. Siis jonolla (prn) ei ole suppenevaa osajonoa. 15.28*. Esimerkki. Konstruoimme avaruuden, joka on jonokompakti mutta ei kompakti. Sitä varten tarvitsemme hyvän järjestyksen lauseen, joka annetaan ilman todistusta Liitteen kohdassa Z.7.2. Olkoon Y ylinumeroituva joukko. Hyvän järjestyksen lauseen nojalla voidaan Y:ssä valita hyvä järjestys::;, jolloin jokaisessa epätyhjässä joukossa A C Y on pienin alkio min A. Merkitään O = min Y ja E = {y EY: [O, y[ on ylinumeroituva}, missä käytämme Y:n väleille tavanomaisia merkintöjä; ks. 2.11.2. Jos Ei= 0, merkitään = min E ja X = (0) O[. Jos E = 0, merkitään X = Y.

n

122

15. Kompakti avaruus Tällöin X on hyvin järjestetty joukko. Järjestystopologialla (2.11.2) varus­ tettuna se on säännöllinen avaruus (tehtävä. 11:16) ja itse asiassa normaali. Lisäksi X:llä on seuraavat ominaisuudet. (1) X on ylinumcroituva. (2) Jos x E X, niin [O, x[ja siis myös [O, x] on numcroituva. Joukossa X ei siis ole suurinta alkiota. (3) Jos 0-/- A c X ja jos A on numeroituva, niin A:lla on X:ssä yläraja ja siis (koska järjestys on hyvä) myös pienin yläraja sup A. Todistus. Jos A:lla ei ole ylärajaa, niin X = U{[O, a[: a E A}, ja siis X on (2):n nojalla numeroituva, mikä on vastoin ominaisuutta (1). (4) Jos x1 :'.S x2 � •.. on nouseva jono X:ssä, niin (xn) suppenee kohti alkiota b = sup{xn : n E N}, joka (3):n nojalla on olemassa. Todistus. Olkoon U b:n ympäristö. Se sisältää muotoa ]u, v[ olevan ympäristön (tai b = 0, jolloin Xn = 0 kaikilla n E N). Koska u < b, niin u ei ole joukon {xn : n E N} yläraja, joten :ck > ujollakin k E N, jolloin Xn E ]u, v[ C U kaikilla n� k. ( 5) Jos x 1 � xz � . .. on laskeva jono X:ssä, niin on olemassa sellainen no E N> että Xn = Xn0 kaikilla n� no, Todistus. Alkio min{xn: n E N} on muotoa Xn0, jolloin no on vaadittu luku. ( 6) X ei ole Lindelöf. Todistus. Kokoelma 'D = { (0, x[ : x E X} on X:n avoin peite, koska X:ssä. ei ole suurinta alkiota. Sillä ei ole numeroitu­ vaa osapeitettä, sillä muutoin X olisi numeroituva yhdiste numeroituvista joukoista [O, x[ ja siis numeroituva. (7) X ei ole kompakti. Tämä seuraa (6):sta. (8) X on jonokompakti. Todistus. Olkoon (xn ) jono X :ssä. Kohdan (4) nojalla riittää osoittaa, että jonolla (xn ) on nouseva osajono Xn(l),Xn (2), •••• Tämä löydetään induktiolla: Koska järjestys on hyvä, niin joukossa {Xi : i E N} on pienin aJkio, joten voidaan valita luku n(l), jolla Xn(l) = min{xi: i E N}. Kun luvut n(l) < · · · < n(k) on löydetty, voidaan samoin valita luku n(k + 1) > n(k), jolla Xn(k+l) = min{xi : i > n(k)}. Selvästi jono (xn(k)hEN on nouseva. 15.29"' . Numeroituva kompaktius. Sanomme, että avaruus X on nume­ roituvasti kompakti, jos sen jokaisella numeroi tuvalla peitteellä on äärellinen osapeite. Tämä ehto on yhtäpitävä sen kanssa, että X:n jokaisella jonolla on kasautumisarvo (tehtävä 15:26). Tästä seuraa, että jonokompakti avaruus on numeroituvasti kompakti. Kompakti avaruus on tietysti numeroituvas­ ti kompakti. Toisaalta on olemassa numeroituvasti kompakteja avaruuksia, jotka eivät ole kompakteja eivätkä jonokompakteja; ks. tehtävä 15:25.

123

IV. Kompaktius 15.30*. Huomautus. Annamme ilman todistusta kompaktiuden ka­ rakterisoinnit verkkojen ja filttcrikantojcn avulla. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitävät: ( 1) X on kompakti. (2) Jokaisella X :n verkolla on kasautumisarvo. (3) Jokaisella X:n filtt.erikannalla on kasautumispistc.

Tehtäviä 15 15:1 Todista Lause 15.3. 15:2 Todista Lause 15.10. 15:3 Olkoon X avaruus, jossa on kofiniitti topologia (Tehtävä 1:3). Osoita, että jokainen X:n osajoukko on kompakti. Päättele, ettei 15.13 päde T1 -avaruuksilla. 15:4 Olkoon (X, 'J) kompakti, (X, 'J1) Hausdorff ja 'J1 C 'J. Osoita, että '.T1 = 'J. Ohje. Sovella Lausetta 15.18 kuvaukseen id: (X, 'J) - (X, 'J1 ). Tulos ilmaisee, että kompakti Hausdorffi.n topologia on minimaalinen Haus­ dorffin topologia, ts. ei ole olemassa Hausdorffin topologiaa, joka olisi sitä aidosti karkeampi. 15:5 Todista Lause 15.23. 15:6 Todista Lause 15.24. Ohje. Todista ensin tapaus, jossa B on yksiö. 15:7 Todista, että edellisen tehtävän tulos pätee myös, kun A ei ole kompakti, mutta B = Y (sama ohje). 15:8 Olkoon '.B avaruuden X kanta. Oletetaan, että X:n jokaisella peitteellä '.D C '.B on äärellinen osapeite. Osoita, että X on kompakti. Huomautus. Vastaava tulos on voimassa myös esikannoille, mutta tämä on syvällinen tulos, jonka todistus vaatii Zornin lemman tai muun vastaavan tuloksen (IKelley, Lause 5.6J). 15:9 Olkoon X kompakti ja f: X --4 Y jatkuva. Osoita, että f:n kuvaaja r c X x Y on kompakti. 15:10 Onko väli [O, 2] kompakti topologiassa 'Ypa ? 15:11 Olkoon X avaruus ja (xn ) X:n jono, joka suppenee kohti pistettä a. Osoita, että joukko A = { a} U {Xn : n E N} on kompakti. 124

15. Kompakti avaruus 15:12 Hausdorffin avaruus (X,'J) on k-avaruus, jos A �X{:} AnF jos ja vain jos sillä on kasautumisarvo (ks. 1.11.19) > joten metristyvän avaruuden kompaktius voitiin karaktcrisoida myös tällä ehdolla. Yleisissä avaruuksissa tämä johtaa käsitteeseen numeroituva kompaktius (15.29), jol­ la on melko vähäinen merkitys. 16.5. Kertausta. Osan I pykälässä 13 todistettiin mm. seuraavat kom­ paktiutta koskevat tulokset, joissa on olennaista, että avaruus on metrinen eikä topologinen. Olkoon (X, d) metrinen avaruus. 1. Jos A, B c X ovat kompakteja ja cpätyhjiä, niin on olemassa a E Aja b E B, joilla d(a,b) = d(A, B). 2. Jos A c X on kompakti ja epätyhjä, niin on olemassa a, b E A, joilla d(a,b) = d(A). 3. Jos X on kompakti, (Y, d') metrinen avaruus ja f: X -+ Y jatkuva, niin f on tasaisesti jatkuva, ts. jokaista g > 0 kohti on olemassa sellainen > 0, että d1 (j(x), f(y)) < c, kun d(x, y) < 4. Kompakti metrinen avaruus on täydellinen. 5. Lebesguen poitolause: Jos A c X on kompakti ja 'D on A:n avoin peite, niin on olemassa sellainen A > 0, että jos B C A ja d(B) < >., niin B sisältyy johonkin '.D:n jäseneen. Lukua,\ sanotaan peitteen '.D Lebesguen luvuksi. 6. Joukko A c Rn on kompakti, jos ja vain jos se on suljettu ja rajoitettu.

o.

o

127

IV. Kompaktius 16.6*. Yhtäjatkuv'Uu�. Oletamme, että (X) 'J) on topologinen ja (Y, d') metrinen avaruus. Joukko W kuvauksia f: X - Y on yhtäjatkuva pisteessä a E X, jos jokaista E > 0 kohti on olemassa sellainen a:n ympäristö U, ottä d'(f(x), J(a)) 0 kohti on olemassa sellainen 8 > 0, että d'(f(x), f(y)) < e, kun d(x, y) < fJ ja f E W.

=

16:6 Olkoon W niiden 5-hilipschitz-kuvausten f: B2 - B2 joukko, joilla f(0) Ö. Olkoon a E B2 ja q(a) = inf{lf(a)I : f E W}. 01:!oita, että q(a) 2: lal/5 ja että on olemassa f E W, jolla 1/(a)j = q(a). Ohje. Jälkimmäisessä osassa valitse jono kuvauksia fn E W, joilla lfn (a)I -+ q(a) ja käytä Ascolin lausetta. 16:7 Todista seuraava käänteinen tulos Ascolin lauseelle: Olkoot (X, d) ja (Y, d') metrisiä avaruuksia ja W sellainen joukko jatkuvia kuvauksia f: X --> Y, että jokaisella. W:n jonolla on osa.jono, joka suppenee tasaisesti X:n jokaisessa kom­ paktissa osa.joukossa.. Tällöin W on yhtäjatkuva. Ohje. Jos W ei ole yhtäjatkuva pisteessä a, niin on olemassa€> 0, X:n jono (x.. ) ja W:n jono Un ), joilla X -+ a ja d'(fn (xn ), fn (a)) � €. Osajonoon siirtymällä voidaan olettaa., että fn - f ta­ saisesti kompakteissa joukoissa. Sovella tätä kompaktiin joukkoon K = { a} U {X n E N}, käytä flK:n jatkuvuutta ja johda ristiriita. n

n

16:8 Olkoon f: Rn -+ Rn jatkuva avoin kuvaus, B c Rn avoin kuula ja U joukon 1- 1 B rajoitettu komponentti. Osoita, että fU B.

=

130

17. Lokaalinen kompaktius ja kompaktisointi

17

Lokaalinen kompaktius ja kompaktisointi

Lähes kaikista topologisen avaruuden ominaisuuksista voidaan muodos­ taa vastaava lokaalinen eli paikallinen ominaisuus. Tämä voidaan tehdä kahdella tavalla: Vaaditaan, että jokaisella avaruuden pisteellä on joko (1) ympäristö tai (2) mielivaltaisen pieniä ympäristöjä, joilla on tämä ominai­ suus. Esim. lokaaiisessa yhtenäisyydessä käytimme tapaa (2). Kun sovellamme lokaalistamisajatusta kompaktiutccn, siirrymme lisäksi ympäristön sulkeumaan, sillä ympäristö ei yleensä ole suljettu eikä siis myöskään kompakti, ainakaan Hausdorffin avaruudessa. Käytämme tapaa (1), mutta osoitamme, että Hausdor.ffin avaruuksilla se antaa saman käsit­ teen kuin tapa (2). Käsittelemme myös avaruuden kompaktisointia, joka on hyödyllinen käsite erityisesti lokaaJis�i kompakteilla avaruuksilla. 17.L Määritelmä. Avaruus X on lokaalisti kompakti, jos jokaisella a E X on sellainen ympäristö U, että V on kompakti. 17.2. Esimerkkejä. 1. Kompaktj avaruus on lokaalisti kompakti. 2. Avaruus Rn on lokaalisti kompakti, sillä .B (x, r) on kompakti. 3. Yleisemmin, jokainen monisto on loka.alisti kompakti (tehtävä 17:7). 4. Joukko Q ei ole lokaalisti kompakti (tehtävä 17:1). 5. Avaruus 0[0, 1} varustettuna sup-normilla ei ole lokaalisti kompak­ ti; ks. tehtävä I.13:11. Voidaan osoittaa, että normiavaruus on lokaalistj kompakti, jos ja vain jos se on äärellisulotteincn. (Tehtävä 17:21.) 17.3. Lause. Olkoon X lokaalisti kompakti Hausdorffin avaruus, ja olkoon U pisteen a E X ympäristö. Tällöin a:lla on sellainen ympäristö V, että V on kompakti ja V C U.

Todistus. Koska X on lokaalisti kompakti, niin a:lla on ympäristö W, jonka sulkeuma on kompakti. Lauseen 15.12 nojalla W on normaali ja siis säännöllinen. Joukko U n W on a:n ympäristö W:ssa, joten a:lla on sellainen W-ympäristö V, että clwV c U n l--V. Koska V@ W ja V c U n W c W, niin V @ W @ X, mistä seuraa, että V on a:n ympäristö X:ssä. Koska V C W, niin V c V...', mistä Lauseen 5.9 avulla seuraa, että clw V = V n W = V. Siis V C U n W. Lisäksi V on kompakti, sillä V � W ja W on kompakti. D 17.4. linen.

Lause. Lokaalisti kompakti Hausdorffin avaruus on säännöl­

Todistus. Tulos seuraa heti Lauseista 11.6 ja 17.3. D 131

IV. Kompaktius 17.5. Lause. Olkoon X lokaalisti kompakti Hausdorffin avaruus. Jos A C X on avoin to.i suljettu7 niin A on lokaalisti kompakti. Todistus. Jos A on avoin, tulos seuraa heti 17.3:sta. Jos A on suljettu ja E a A, valitaan a:n ympäristö U, jolla (! on kompakti. Joukko V = U n A on a:n A y - mpäristö, ja clAV = A n V @: 0, joten clA V on kompakti 15.5:n nojalla. D 17.6*. Lause. (Bairen lauseen eräs versio) Olkoon X lokaalisti kom­ pakti Hausdorffin avaruus ja olkoon (Gj )jEN jono X :n avoimia tiheitä osa­ joukkoja. Tällöin joukko G = n{Gj: j E N} on tiheä. Todistus. Olkoon 0 =/= U @: X. Riittää osoittaa, että U kohtaa G:n. Valitaan x1 E U n G1 ja Lauseen 17.3 avulla sellainen x1 :n ympäristö Vi, että Vi on kompakti ja Vi c UnG 1 . Jatkamme induktiivisesti ja valitsemme jonon pisteitä x2 1 x3 1 ••• ja niiden ympäristöt V2 , \.'3, ... seuraavasti: Xn E Vn-1 n Gn , Vn on kompakti, ja Vn c Vn-1 n Gn . Tällöin V1 :) V2 :) ... on jono kompakteja cpätyhjiä joukkoja, joten Lauseen 15.20 nojalla voidaan valita y E n{Vn : n EN}. Tällöin y E Vn c Gn kaikilla n EN, joten y E G. Lisäksi y E V1 c U, joten y EU n G. D 17.7. Kompaktisointi. Kompaktit avaruudet ovat monessa suhteessa käteviä. Siksi ei-kompaktit avaruudet usein kompaktisoida.an lisäämällä nii­ hin pisteitä. Esim. reaaliakseli voidaan kornpaktisoida lisäämällä siihen pis­ teet oo ja -oo, jolloin luonnollisessa topologiassa siitä tulee homcomorfinen suljetun välin kanssa. Funktioteoriassa kompaktisoidaan kompleksitaso lisäämällä siihen yk­ si piste oo. Esitämme seuraavaksi, miten tämä yleistetään mielivaltaiselle Hausdorffin avaruudelle. Erityisen käyttökelpoinen tämä menetelmä on lo­ kaalisti kompakteissa avaruuksissa, sillä tällöin tuloksena on Hausdorffin avaruus.

17.8. Yhden pisteen kompaktisointi. Olkoon (X, 'J) Hausdor:ffin ava­ ruus. Valitaan olio, joka ei kuulu X:ään, ja merkitään sitä oo:llä. Joukossa X* = X U {oo} määritellään topologia 'J* = 'JU'J001 jossa 'Joo :n jäseniä ovat ne joukot U, joilla oo EU ja X\ U eli X*\ U on kompakti X:n osajoukko. Avaruus (X*, 'J*) on X:n yhden pisteen kompaktisointi eli Aleksandrovin kompaktisointi. 17.9. Lause. Jos X on Hausdorffin avaruus, niin (X*, 'J*) on topolo­ ginen avaruus, jolla on seuraavat ominaisuudet: (1) J'*IX = 'J.

132

17. Lokaalinen kompaktius ja kompaktisointi

(2) X* on kompakti. (3) X on kompakti, jos ja vain jos oo on X*:n erakkopiste. (4) x• on Hausdorff, jos ja vain jos X on lokaalisti kompakti. Todistus. Määritelmästä seuraa heti, että 'J* :llä on seuraava ominaisuus: (a) Jos V E'I', niin V n X E 'J ja X\ U @X. Osoitamme aluksi, että 'J* todella on X*:n topologia. Olkoot Uj E 'J•, jossa j E J, ja merkitään V = U{U; : j E J}. Jos oo t/: V, niin Uj E 'J kaikilla j, joten V E 'J c 'J*. Jos oo E U, niin oo E Uk jollakin k E J. Siis F =X\ Uk on kompakti ja siis suljettu X:ssä. Tällöin X\ U = n{X\ Uj : j E J} on suljettujen joukkojen leikkauksena suljettu X:ssä ja siis myös F:ssä, joten se on kompakti. Siis U E'J00 C 'J*. Olkoot sitten U, V E 'J*; väitämme, että U n V E 'J*. Jos toinen jou­ koista, esim. V, kuuluu 'J:hen, niin U n V= V n (V n X) E'J (a):n nojalla. Jos taas oo E U n V, niin X\ (V n V) = (X\ U) U (X\ V) on kahden kompaktin joukon yhdisteenä kompakti, joten U n V E 'J00 C: 'J* . Koska lisäksi X* E'J00 ja 0 E'J, niin 'J* on X*:n topologia. Väite (1) seuraa heti (a):sta, ja (2) seuraa Lauseesta 15.23. Piste oo on X* :n erakkopiste, jos ja vain jos { oo} E 'J*, ts. X on kompakti. Siis (3) pätee. Jos x• on Hausdorff, niin 17.5:n nojalla sen avoin osajoukko X on lokaalisti kompakti. On vielä osoitettava, että jos X on loka.alisti kompakti, niin X* on Haus­ dorff. Olkoot a, b E X*, a # b. Jos a, b E X, niillä on erilliset ympäristöt, koska X on Hausdorff. Olkoon sitten esim. b = oo. Valitaan a:n ympäristö U, jonka X -sulkeuma O on kompakti. Nyt U ja X*\ U ovat a:n ja oo:n erilliset ympäristöt. D 17.10*. Metrisen avaruuden yhden pisteen laajennus. Oletamme, että (X, d) on metrinen avaruus ja 'J = 'Jd sen topologia. Valitsemme taas olion oo (/. X ja merkitsemme nyt X= X U {oo}. Määritellään X:n topologia 'I = 'JU'I00 , jossa 'I00 :n jäseniä ovat ne joukot U, joilla oo EU ja X\ U eli X\ V on sulje.ttu ja. rajoitettu X:n osajoukko. Jätämme tehtäväksi 17:11 todistaa, että 'J on X:n topologia. Jos X= R\ niin (X, 'J) = (X*, 'J*), sillä A c Rn on kompakti, jos ja vain jos se on 811ljettu ja rajoitettu. Yleisessä tapauksessa topologiat 'J* ja 'I eivät aina ole samat, eikä (X, 'J) ole aina kompakti. Jos esim. E = C[O, 1] on varustettu sup-normilla, niin E on Hausdorff mutta ei kompakti, kun taas E* on kompakti mutta ei Hausdorff. Avaruutta (.X, 'J) sanotaan metrisen avaruuden (X, d) yhden pisteen laajennukseksi. 17.11*. Lause. Jos (X, d) on metrinen avaruus, niin dorffin avaruus. 133

(X, ':r)

on Haus­

IV. Kompaktius Todistus. Jos a E X, niin esim. B(a, 1) ja X\ B(a1 1) ovat a:n ja 00:11 erilliset ympäristöt, joten X on Haus 0. 17:9 Osoita, että lokaa.listi kompakti Haus että n{Ä: A EM} =/- 0. Osoitamme, että M:llä on seuraavat ominaisuudet: (1) Jos A EM ja B EM, niin A n B EM. (2) Jos B c X ja B n A i- 0 kaikilla A EM, niin B EM. Jos A, B E M, niin M U {A n B} toteuttaa ehdot (a) ja (b), joten M U {A n B} E H, ja (1) seuraa M:n maksimaalisuudesta. SoveltamaJla kohtaa (1) nähdään kohdassa (2), että M U {B} E H, ja myös (2) seuraa M:n maksimaalisuudesta. Olkoon j E J. Koska M:llä on ÄLO, niin sama ominaisuus on kokoe l ­ malla {pr1A : A EM}, ja siis myös kokoelmalla {cl pr1A: A EM}. Koska cl prj A: A EM} XJ on kompakti, niin Lauseen 15.9 nojalla joukko Yj = ei ole tyhjä. Valinta-aksioman Z.l nojalla on olemassa alkio y E njEJ Yj. Osoitamme, että y E Ä kaikilla A E M, jolloin Tihonovin lause tulee todis­ tetuksi. Olkoon A E M ja V y:n ympäristö. Valitaan y:n kantaympäristö B C V, joka on muotoa

n{

B

=

n

pr_;-1UJ,

jEL

jossa L c J on äärellinen ja YJ E U1 @: X1 kaikilla j. Koska YJ E cl prj A, niin Uj n pr1A =/- 0 ja siis A n pr; 1 UJ =f= 0 kaikilla j E L. Kohdan (2) 137

IV. Kompaktius nojalla on pr-;1Uj EM kaikilla j E L, mistä kohdan (1) avulla seuraa, että B EM. Koska M:llä on ÄLO, niin B n A i= 0, ja siis y E Ä. 0 18.5. Esimerkkejä. Avaruudet {O, 1} 8 ja !8 ovat kompakteja kaikilla joukoilla S. Jos S on ylinumeroitnva, ne eivät ole metristyviä eivätkä edes N1. Tihonovin lauseella on tärkeä merkitys mm. funktionaalianalyysissä. Näytteenä tästä todistamme Alaoglun lauseen, joka käsittelee normiava­ ruuden duaaliavaruuden heikkoa tähtitopologiaai ks. 6.4.3. 18.6*. Alaoglun lause. Normiavaruuden E duaaliavaruuden E* sul­ jettu yksikkökuula on kompakti heikossa tähtitopologiassa 'Jw•.

Todistus. Olkoon K = { tp E E* : l'PI s 1} E*:n suljettu yksikkökuula. Kohdassa 7.8 totesimme, että E* c RE ja että topologia 'Iw• on sama kuin E*:n R E:n tulotopologiasta perimä relatiivitopologia. Jos t.p E K, niin jprx ('P)I Siis K sisältyy välien Ix

= l'Pxl ::; fcpjJxl S lxl,

= [-lxl, jxl] tuloon Q

=

II 1x.

xEE

Tihonovin lauseen nojalla Q on kompakti, joten riittää osoittaa, että K on suljettu RE :ssä. Oletamme, että cp E R E kuuluu K:n sulkeumaan RE :ssä. Osoitamme, että r.p on lineaarinen. Olkoot x, y E E, a, b E R ja c > 0. Niiden '1/J E RE joukko U, joilla l'I/J(x) - cp(x)I < c:, l'I/J(y) - rp(y)I < c, l'lf'(ax + by) - rp(ax + l,y)I < c, on y.,:n ympäristö RE :ssä, joten se sisältää jonkin 'lj; E K. Koska '1/J on lineaarinen, niin '1/J( ax + by) = a'lj;(x) + b'l/;(y). Tästä seuraa, että

jip(ax + by) - ar.p(x) - bcp(y)I S 11/J(ax + by) - r.p(ax + by)I + l all1/J(x) - cp(x)I S: e + lalc + lblc, 138

+ lbll'lf'(Y) - r.p(y)J

18. Kompaktius ja tulot Koska e > 0 on mielivaltainen, saadaan ip(ax

+ by) = aip(x) + bcp(y)1

joten

että A i- 0 =/- B, sillä muutoin f voidaan valita vakioksi. Olkoon D niiden rationaalilukujen r E J joukko, jotka ovat muotoa r = k/2n , jossa n E N ja O � k � 2n . Nämä voidaan järjestää jonoksi 1 1 3 1 3 5 7 1 0> 1•2•4>4 1 8 1 8 1 8'8'16'"'

Ehdon T4 nojalla on olemassa A:n ympäristö G(O), jonka sulkeuma ei kohtaa B:tä; ks. 11.7. Merkitään G(l) =X\ B, jolloin G(O) c G(l). Osoitamme induktiolla > että jokaista r E D kohti voidaan valita sellainen avoin joukko G(r) c X, että (19.b)

G(r) C G(s), kun r < s ja r, s E D.

Oletamme, että joukot G(k/2n) on valittu, kun n< m ja O � k � 2n . Olkoon k pariton ja O < k < 2m. Joukoksi G(k/2m ) valitaan ehdon T4 avulla joukon c1 G((k - 1)/2m) ympäristö, jonka sulkeuma sisältyy jouk­ koon G((k + 1)/2m ). Saadut joukot G(r) toteuttavat selvästi ehdon (19.b). G(I/2)

G(l/4) \ G(O)

D

G(3/4)

[J

Määrittelemme kuvauksen f: X - I seuraavasti: f(x) = inf{r ED: x E G(r)}, kun x E X\ B > J(x) = 1, kun x E B. Selvästi fA = {O} ja fB = {1}, joten riittää osoittaa., että f on jatkuva mielivaltaisessa pisteessä a E X. Olkoon E > 0. Erotamme kolme tapausta. Tapaus 1. J(a) = 0. Valitaan sellainen r E D, että O < r < t. Tällöin G(r) on a:n ympäristö. Jos x E G(r), niin O S f(x) S r, joten lf(x) /(a)I < c. 141

V. Metristys ja jatkaminen Tapaus 2. 0 < f(a) < 1. Valitaan sellaiset r1 s, t ED, että J(a)-E < r < s < f(a) < t < f(a) +€.Tällöin a E G(t) jaa r/. G(s). Siis U = G(t) \ G(r) on a:n ympäristö. Jos x EU, niin r :S f(x) � t, joten lf(x) - f(a)I < E. Tapaus 3. f(a) = 1. Valitaan sellaiset r, s ED, että 1 - € < r < s < 1. Tällöin a 0, ja siis X E Bj C D

u.

19.5. Lause. Avaruudelle X seuraavat ehdot ovat yhtäpitävät:

(l) X on säännöllinen ja N2 , (2) X on metristyvä ja N2, (3) X voidaan upottaa Hilbertin kuutioon.

Erityisesti, säännöllinen N2 -avaruus on metristyvä. Todistus. Koska metristyvä avaruus on aina säännöllinen (11.3.5), niin (2) =} (1). Edellisestä lauseesta seuraa, että (1) =} (3). Koska. JN on metris­ tyvä ja N2 ja koska nämä ominaisuudet ovat perinnöllisiä, niin (3) ===> (2). D 19.6. Lause. Jokainen monista 011 metristyvä. Todistus. Monisto on lokaalisti kompakti ja siis säännöllinen, joten tulos seuraa edellisestä lauseesta. D 19.7. Huomautuksia. 1. Lauseen 19.5 nojalla voidaan sanoa, että met­ risten N2-avaruuksien teoria on topologisesti sama kuin Hilbertin kuution osajoukkojen teoria. 2. Voidaan osoittaa, että jokainen täysin säännöllinen avaruus voidaan upottaa muotoa 18 olevaan avaruuteen jollakin joukolla S (tehtävä 19:10). Käänteisesti, jos S on joukko, niin avaruuden 18 osajoukot ovat täysin säännöllisiä (tehtävä 19:11). 3. Tuloksesta 19.5 seuraa, että N2-avaruuden normaalius (ja myös sään­ nöllisyys) on yhtäpitävä metristyvyyden kanssa. Jos avaruus ei ole N2, on normaalius edelleen väJttämätön, mutta ei riittävä ehto metristyvyydelle. Esim. avaruus [R on Tihonovin lauseen nojalla kompakti ja siis normaa­ li, mutta ei metristyvä. Toisen esimerkin antaa ylinumeroituvan diskreetin avaruuden yhden pisteen kompaktisointi (tehtävä 17:12). Voidaan osoittaa, että seuraava ehto on välttämätön ja riittävä sään­ nöllisen avaruuden X metristyvyydelle: On olemassa X :n kanta, joka on numeroituva yhdiste lokaa.listi äärellisistä kokoelmista 'Bj . Tässä lokaalisen äärellisyyden voi korvata seuraavalla vahvemmalla ehdolla: Jokaisella a E X on ympäristö, joka kohtaa enintään yhden jäsenen 'Bj :ssä. 19.8. Historiaa. Moskovalaiset P.S. Uryson ja P.S. Aleksandrov kehit­ tivät voimakkaasti, osittain yhteistyössä, topologistcn avaruuksien teoriaa 1920-luvulla, mutta Urysonin tutkimustyö päättyi traagisesti, kun hän 26vuoUaana hukkui uintiretkeHä Ranskan rannikolla. 143

V. Metristys ja jatkaminen Tehtäviä 19 19:1 Osoita, että Urysonin lemmassa voidaan luvut Oja 1 korvata mielivaltaisilla luvuilla a, b E R, a < b. Ohje. Käytä Urysonin lemmaa ja homeomorfismia h: I --+ [a,b]. 19:2 Olkoon X normaali yhtenäinen avaruus ja #X >- 2. Osoita Urysonin lem­ man avulla, että card X � c. Huomautus. On olcmasi;a numeroituvasti äärettömiä yhtenäisiä Hausdor:ffin avaruuksia ([Dugundji, tehtävä VII.1.15]). 19:3 Osoita, että täysin säännöllinen avaruus on säännöllinen. 19:4 Todista: Jos X on lokaalisti kompakti, Hausdorff ja N2, niin X* on metristyvä. Apu. Tehtävä 17:14. 19:5 Todista: Jokainen lokaalisti kompakti separoituva metristyvä avarn111i voidaan upottaa avaruuden JN x R suljetuksi osajoukoksi. Ohje. Käytä edellistä tehtävää ja hae upotus muodossa g(cc) = (f(x), d(x, oo)-1 ). 19:6 Olkoon (X, d) separoituva metrinen avaruus, d(X) ::; 1 ja {an : n EN} tiheä X:ssä. Osoita, että kuvaui; f: X--+ JN , jolla fn (x) = d(x,an ), on upotus. Tästä saadaan uui;i todistus Lauseen 19.5 osalle (2) => (3). 19:7 Osoita, että edellisen tehtäväu kuvd.Us f: X --+ JN on isometria avaruuden JN sup-mctriikassa, ts. isomctrinen upotus normiavaruuteen l00 = raj (N, R). Huomautuksia. 1. Tulos on ehkä yllättävä, koska sup-metriikan määrittelemä JN :n topologia on aidosti hienompi kuin tulotopologia. Molemmat indusoivat kui­ tenkin saman relatiivi topologian osajoukkoon fX. 2. Jos ehto d(X) � 1 ei ole voimassa, saadaan isometria f: X --+ l00 vaJitse­ malla jokin Xo E X ja asettamalla fn (x) d(x, a,. ) - d(xo, an).

=

19:8 Olkoon A suljettu joukko normaalissa avaruudessa X. Osoita, että A on G0 (ks. tehtävä 10:4), jos ja vain jos on olemassa sellainen jatkuva funktio f: X --+ R, että A J-1{0}. Ohje. Jos A n{Un : n E N}, valitse fn : X --+ I, jolla J,,..A = {O} ja /,,.. [X\ Un J C {1}, ja aseta f(x) = I:nEN 2-n f11 (x).

=

=

19:9 Todista, että avaruus on Peanon avaruus (tehtävä 15:21), jos ja vain jos se on yhtenäinen, lokaalisti yhtenäinen, kompakti ja metristyvä. 19:10 Olkoon X täysin säännöllinen avaruus ja S = C(X, I) kaikkien jatkuvien kuvausten f: X--+ I joukko. Määritellään kuvaus F: X--+ I8 yhtälöllä F(x)(f) = f(x). Osoita, että F on upotus. Ohje. Osoita aluksi, että F on jatkuva injektio. Merkitse sitten Y = FX, jolloin saadaan kuvaus G: Y --+ X, jolla G(F(x)) x. Olkoon y E Y, x == G(y) ja U x:n ympäristö. VaJit:..c sopivd. J E S täyden säännöllisyyden avulla, merkitse V = pr:,1 [O, 1[ ja osoita, että GV C U, mistä seuraa G:n jatkuvuus y:ssä.

=

144

19. Urysonin lemma. Avaruuden metristys 19:11 Todista, että täysi säännöllisyys on perinnöllinen ominaisuus, ja tämän avul­ la edellisen tehtävän käänteistulos: Jos avaruus X voidaan upottaa avaruuteen I8, jossa S on jokin joukko, niin X on täysin säännöllinen.

145

V. Metristys ja jatkaminen

20

Kuvauksen jatkaminen

Todistamme Tietzen lauseen jatkuvan funktion jatkamisesta suUctusta joukosta koko avaruuteen. Käsittelemme lyhyeHti myös retrakticn teoriaa. 20.1. Johdanto. Olkoot X ja Y avaruuksia ja A C X. Palautamme mieliin, että kuvaus g: X - Y on kuvauksen f: A - Y jatke 1 jos gjA = f. Topologiassa tulee usein vastaan kysymys, onko annetulla jatkuvalla funk­ tiolla f: A-+ Y jatkuvaa jatketta 9: X -+ Y. Tätä on käsitelty Lausees­ sa I.12.15, jossa oletettiin, että avaruudet ovat metrisiä, Y täydellinen ja f: A - Y tasaisesti jatkuva. Tässä tapauksessa f:llä on aina yksi ja vain yksi jatkuva jatke joukkoon Ä. Seuraavassa tarkastelemme olennaisesti erilaista jatko-ongelmaa, jossa A C X on suljettu, ja haemme jatkuvaa jatketta koko avaruuteen X . .Jos tällainen jatke on olemassa 1 niitä on yleensä useita. Urysonin lcmma.ssa 19.2 oli kyse tämän ongelman erikoistapauksesta, jossa Y = I, ja f sai vain arvot Oja 1. Tämän pykälän päätulos, Tietzen jatkoiause, on yleistys tästä. Sen todistus perustuu seuraavaan aputulokseen: 20.2. Lemma. Olkoon X T4-avaruus, A C X suljettu, a > 0, ja f: A -+ [-a,a] jatkuva. Tällöin on olemassa sellainen jatkuva h: X -t [-a/3, a/3], että IJ(x) - h(:r) 1 � 2a/3 kaikilla x E A. Todistus. Joukot A1 = 1- 1 [-a, -a/3] ja A2 = 1- 1 [a/3, a] ovat suljettuja ja erillisiä. Urysonin lemmasta (ks. 19.3.1) seuraa, että on olemassa sellainen jatkuva h: X - [-a/3 1 a/3L että hA1 = {-a/3} ja hA2 = {a/3}. Selvästi h on vaadittu kuvaus. D

20.3. Tietzen jatkolause. Olkoon X T1 -avaruus, A C X suljettu, ja f: A - [a, bJ jatkuva. Tällöin f:llä on jatkuva jatke g: X - [a, b]. Todistus. Voidaan olettaa, että [a, b] = [-1, 1]. Edellisen lemman nojalla on olemassa jatkuva h1 : X-+ [-1/3, 1/3], joka toteuttaa cpäyhtälön

1/(x) - h1(x)I � 2/3 kaikilla x .E A. Siis f - h1 määrittelee kuvauksen A - [-2/3, 2/3]. Sovel­ tamalla Lemmaa 20.2 tähän kuvaukseen saadaan jatkuva funktio h2 : X [-2/32, 2/32), jolla 2 lf(x) - h1(x) - h2 (x)I � (2/3)

146

20. Kuvauksen jatkaminen

kaikilla x E A. Jatkamalla induktiivisesti saadaan jono jatkuvia kuvauksia hk : X ----t [-2k-l /3k 1 2k-l /3k] i jotka toteuttavat epäyhtälön IJ(x) -

L hk(x)I s (2/3)\ n

k=l

kun x E A. Tästä nähdään, että kun x E A, niin sarja I:k hk(x) suppenee kohti lukua f(x). Avaruudessa X sarjalla on geometrinen vakiomajorantti Lk 2k-l /3k , jonka summa on l. Weierstrassin testistä 10.14 seuraa, että sarja suppenee tasaisesti X:ssä kohti jotakin funktiota g: X -1 [-1, 1], joka Lauseen 10.13 nojalla on jatkuva. Siis g on vaadittu f:n jatke. 0 20.4. Retraktiot ja retraktit. Olkoon X avaruus ja A C X. Kuvaus r: X -1 A on retmktio, jos r on jatkuva ja jos rlA = id. Joukko A on X :n retrokti, jos on olemassa jokin retraktio r: X -. A. Hausdorffi.n avaruuden rctrakti on aina suljettu joukko. Tämä seuraa, kun sovelletaan Lausetta 3.7 kuvauksiin r ja idx. Esim. kuula [3n on Rn :n retrakti; retraktio r: Rn ---+ IP" saadaan esim. asettamalla. r(x) = x/lxl, kun lxl > 1. Sen sijaan {a, b} ei ole välin [a, bJ ret­ rakti, koska yhtenäisen avaruuden jatkuva kuva on yhtenäinen. Yleisemmin voidaan osoittaa, että sn-l ei ole tJn:n retrakti. Tapaus n= 2 käsitellään Lauseessa 24.12. Sanomme, että metristyvä avaruus Y on absoluuttinen retrokti eli AR, jos seuraava ehto on voimassa: Jos X on metristyvä 1 A @ X ja jos f: A ---+ Y on jatkuva, niin f:llä on jatkuva jatke g: X -t Y. Nimitys johtuu vaihtoeh­ toisesta määritelmästä, joka esitetään Lauseessa 20.8. Jos äskeisessä tilanteessa A:lla on aina ympäristö, johon f:llä on jatkuva jatke, niin Y on absoluuttinen ympäristöretrakti eli ANR (N = neighbor­ hood). 20.5. Esimerkkejä. 1. Tietzen lauseesta seuraa heti 1 että suljettu väli on AR. 2. Myös avoin väli (ja siis R) on AR (tehtävä 20:1). 3. AR on aina polkuyhtenä.inen, mikä nähdään valitsemalla X= I1 A = {O, l}. 4. Pallo sn-l ei ole AR, sillä sen identtisellä kuvauksella ei ole jatkuvaa jatketta f:Jn ----t sn-1, kuten 20.4:ssä totesimme. Kuitenkin sn-1 on ANR (tehtävä 20:2). 5. Voidaan osoittaa1 että jokainen monista on ANR. 20.6. Lause. AR-avaruuksien nu.meroituva tulo on AR. 147

V. Metristys ja jatkaminen

Todistus. Olkoon Y AR-avarnuksien Yj tulo, j E N. Lauseen 10.3 nojalla

Y on metristyvä. Olkoon X metristyvä, A @: X ja f: A -+ Y jatkuva. Jokaisella komponenttikuvauksella Jj: A --+ � on jatkuva jatke 9j : X -+ Yj . Nämä määrittelevät f:n jatkuvan jatkeen g: X -+ Y. D 20.7. Esimerkkejä. Rn , 1n ja Hilbcrtin kuutio ovat AR. 20.8*. Lause. Metristyvälle avaruudelle Y seuraavat ehdot ovat yhtä­ p itävät: (1) Y on AR. (2) Jos f on Y:n upotus metristyvän avaruuden X suljetuksi osajoukok­ si, niin fY on X :n retrakti. Todistus. (1) => (2): Olkoon f: Y --+ X kuten ehdossa (2) ja olkoon : fi Y-+ JY J:n määrittelemä homeomorfismi. Koska Y on AR, niin ku­ vauksella f1-1 : JY --+ Y on jatkuva jatke 9: X --+ Y, jolloin fi o 9: X --+ JY on retraktio. Käänteisen puolen todistus on vaikeampi ja sivuutamme sen; ks. [Bor­ suk, Lause IV.(4.1)}. Erikoistapaus käsitellään tehtävässä 20:3. D 20.9*. Upotuksen jatkaminen. Jos A C X ja jos J: A --+ X on upotus, voidaan kysyä, onko /:llä jatketta homeomorfismiksi g: X--+ X. Tällaisen g:n konstruktio on yleensä melko vaikeaa, ja myönteisiä tuloksia varten on oletettava, että X on verrattain yksinkertainen avaruus, esim X = Rn . Mainitsemme ilman todistusta Schoenftiesin lauseen, joka täydentää Jordanin käyrälausetta: Jokainen upotus f: S1 -+ R2 voidaan jatkaa ho­ meomor.fismiksi g: R2 '"" R2 . Vastaava tulos ei päde upotuksille /: sn-1 --+ Rn , kun n � 3, mutta se pätee lisäehdolla: On olemassa J:n jatke upotu k ­ seksi h: U - Rn , missä U on sn - l:n ympäristö. Nämä ongelmat kuuluvat geometriseen topologiaan. Tehtäviä 20 20:1 Osoita, että avoin väli (ja siis R) on AR. Ohje. Olkoon Y = ]-1, l[. Tietze antaa jatkeen g1: X -. f-1, l]. Hae vaadittu jatke muodossa g(x) = g1 (x)h(x), jossa h saadaan Urysonin lemman avulla. 20:2 Todista, että sn-l on ANR. Vihje. [-1, l]n on AR. 20:3 Todista Lauseen 20.8 osa (2) =>- (1), kun Y on lokaa.listi kompakti N2. Apu. Tehtävä 19:5. 148

20. Kuvauksen jatkaminen 20:4 Osoita, että jokainen ANR on lokaalisti yhtenäinen. Ohje. Olkoon a E U @:X. Merkitään Y = Uxl, A = Ux {O, l}U{a} xl ja f: A---+ X, f(x, 0) = x, f(x, t)= a, kun t > 0. Jokin f:n jatke g on määritelty muotoa V x I olevassa joukossa, ja V C g[V x J] C U. Muista tehtävä 13:23. 20:5 Olkoon (X,d) metrinen avaruus, A @:X ja f: A---+ 11,2] jatkuva. Osoita, että f:n jatkuva jatke g: X ---+ II,2] saadaan asettauw.J.la.

1 mf f(y)d(x, y), g(x) = .1, A) yEA X, kun x E X\A. 20:6 Todista McShanen jatkolause: Olkoon (X,d) metrinen avaruus, 0 ja f: A -> R M-Lipschitz. Tällöin yhtälö

:/,

ACX

g(x) = inf{f(y)+ Md(x,y): y E A} määrittelee J:n jatkeen g: X---+ R, joka myös on M Lipschitz. 20:7 Olkoon Ac Rn ja #As; 2. Osoita, että jokainen upotus f: A---+ Rn voidaan jatkaa homcomorfismiksi g: Rn ---+ R". 20:8 Osoita, että edellisen tehtävän tulos ei päde, jos A = {O} U

sn- 1•

20:9 Olkoon A suljettu joukko tasossa E = { x E R3 : x3 = 0}, ja olkoon A ::::; R. Osoita, että on olemassa sellainen homeomorfismi F: R3 ---+ R3 , että FA on suora. Opastus. Valitse homeomorfismi f: R ---+ Aja merkitse g = 1-1• Kysytty kuvaus on muotoa F = F2 o F1 , jossa F2(x) x - f(x3) ja homeomorfismi F1: R 3 ---+ R3 löydetään seuraavasti: Tehtävän 20:1 nojalla g:llä on jatkuva jatke G: E ---+ R. Aseta F1 (x) = x + G(Px)e3, jossa Px = (x 1,x2,0). Kuvausten F1 ja F2 homeo­ morfisuus nähdään muodostamalla käänteiskuvaukset, esim. F2 1 (x) = x + f(x3).

=

20:10 Yleistä tehtävän 20:7 tulos kaikille äärellisille joukoille A C Rn .

149

VI. Homotopia

VI. HOMOTOPIA Homotopiateoria on jatkuvan muuntamisen teoriaa. Sille on tyypillistä eteneminen tilanteesta toiseen jatkuvasti välivaiheiden kautta. Tämä t a ­ pahtuu reaalisen parametrin t avulla, jonka yleensä annamme liikkua yli välin J = [O, l]. Tarkastelemme aJuksi kuvausten homotopiaa, sovellamme sitten tätä polkuihin ja määrittelemme avaruuden perusryhmän. Käsittelemme myös peitekuvauksia, joiden sovelluksena määritämme ympyrän perusryhmän.

21

Kuvausten homotopia

Sopimus. Oletamme koko pykälässä 21, että (X, 'J) ja (Y, 'J') ovat topo­ logisia avaruuksia.

21.1. Kuvausten hornotopia. Olkoot J,g: X-+ Y jatkuvia kuvauksia. Sanomme, että f on homotooppinen g:n kanssa, jos on olemassa sellainen jatkuva h: X x J --t Y, että h(x, 0) = f(x) ja h(x, 1) = g(x) kaikilla x E X. Merkitsemme tällöin J '.::= 9 ja myös h: f � g. Kuvausta h sanotaan homotopiaksi, joka yhdistää /:n g:hen. Jos h: f � g, merkitsemme ht (x) = h(x, t), jolloin saadaan kullakin t E J kuvaus ht : X -+ Y, ja ho = f, h1 = g. Tämä on yhdistetty kuvaus X :!:+ X x I � Y, missä ip(x) = (x, t). Koska rp:n komponenttikuvaukset ovat id ja vakio, niin ip on jatkuva, ja siis ht on jatkuva kullakin t E J. Jos t ajatellaan aikaparametriksi, niin homotopia h kuvaa, kuinka kuvaus f = ho muuntuu aikayksikössä (esim. sekunti) välivaiheiden ht kautta kuvaukseksi g = h1. Jos f: X -" Y on homotooppinen vakiokuvauksen kanssa, sanomme, että f on nollahornotooppinen. 21.2. Esimerkkejä. 1. Olkoon X= {a} yksiö, ja f,g: X - Y. Tällöin f � 9, jos ja vain jos J(a) ja g(a) kuuluvat Y:n samaan polkukomponent­

tiin. 2. Kuvaus id: sn-l --+ sn-l ei ole nollahomotooppinen, mikä on help­ po uskoa mutta vaikea todistaa. Se on läheistä sukua seuraaville kahdelie tulokselle: (a) sn-l ei ole iJn:n retrakti; ks. 20.4. 150

21. Kuvausten homotopia

(b) Brouwerin kiintopistelause: Jos f: Bn ----. [3n on jatkuva, niin / :llä on ainakin yksi kiintopiste. Jos yksi näistä kolmesta tuloksesta tunnetaan, toiset kaksi saadaan mel­ ko helposti. Tapaus n = 1 on helppo todistaa yhtenäisyyspäättelyllä. T a ­ paus n = 2 selvitetään Lauseessa 24.12, mutta tapauksen n � 3 todistus jää tämän kirjan ulkopuolelle. 3. Olkoon X mielivaltainen avaruus ja Y normiavaruuden E konveksi osajoukko. Jos f,g: X - Y ovat jatkuvia, niin aina f '.::::'. g. Homotopian antaa janahomotopia

h(x, t)

= (1 - t)f(x) + tg(x).

4. Jos taas X C E on konveksi ja Y mielivaltainen, niin jokainen jatkuva f: X - Y on nollahomotooppinen. Tämä nähdään valitsemalla jokin a E X ja asettamalla h(x, t) = f((l - t)x + ta). 21.3. Lause. Homotopia on ekvivalenssi kaikkien jatkuvien kuvausten f: X--+ Y joukossa C(X, Y).

Todistus. (1) Homotopian h: f '.::::'. f antaa yhtälö h(x, t) = J(x). (2) Josh: J c.:::: g, niin h': 9 � f, missä h'(x, t) = h(x, 1 - t). (3) Olkoot h': Ii '.::::'. h ja h": h '.'.::'. fs. Homotopia h: fi � h saadaan asettamalla h(x' t) = {

h'(x, 2t), h"(x, 2t - 1),

kun O :$ t � 1/2, kun 1/2 � t � L

Tässä ja usein myöhemminkin päätellään paloittain määritellyn homoto­ pia.n jatkuvuus Lauseen 5.13 avulla. D

Ii

21.4. Lause. Olkoot Jo, fi: X ja 9o � 91, niin 90 o fo � 91 o /i.

--+

Y ja 90, 91: Y ----. Z. Jos Jo �

Todistus. Olkoot h': Jo '.::= fi ja h": go '.:::::'. g1. Homotopia h: 90 o Jo � 91 o Ii saadaan asettamalla ht = h� o h� eli h(x, t) = h"(h'(x, t), t). D

21.5. Relatiivinen homotopia. Usein on hyödyllistä tarkastella kuvauk­ sen f: X ----. Y homotopioita, joissa kuvausta ei homotopian aikana muuteta annetussa X:n osa.joukossa. Oletamme, että f, g: X ----. Y ovat jatkuvia ja että A C X on sellainen joukko, että flA = glA. Jos on olemassa sellainen

151

VI. Homotopia

hornotopia h: f � g, että h t lA = JIA = gjA kaikilla t E J, sanomme, että f on homotooppinen g:n kanssa A:n suhteen, mitä merkitään seuraavasti: f '.'.:::'. g rel A, ja myös h: f '.::: g rel A . .Jos A = 0, kyseessä on tavallinen homotopia. Jos A on yksiö {xo}, merkitsemme lyhyesti f :::::'. g rel xo.

21.6. Lause. (1) Olkoon A c X ja u: A----+ Y jatkuva. Tällöin homo­ topia rcl A on ekvivalenssirelaatio joukossa {J E C(X, Y) : /JA= u}. (2) Olkoon Lauseessa 21.4 Jo -.::::: fi rcl A ja 90 � 91 rcl B. Tällöin goofo:::::'.g1ofi rel Anfo 1 B. Todistus. Kuten 21.3 ja 21.4. D

21. 7. Määritelmiä. Jos x0 E X, paria (X, xo) sanotaan kantapiste­ avaruudeksi. Piste xo on (X, xa):n kantapiste. Kantapisteavaruus on siis avaruus, jossa yksi piste on asetettu erikoisasemaan. Jos (Y, y0) on toinen kantapisteavaruus, merkitsemme f : (X, xo) ----+ (Y, yo), jos f: X ----+ Y ja f(xo) = YoA varuus X on kutistuva, jos idx on nollahomotooppinen. Kantapistc­ avaruus (X, xo) on kutistuva, jos id: (X, xo)----+ (X, xo) on nollahomotoop­ pinen rel xo. 21.8. Esimerkkejä. 1. Jokainen konveksi joukko X normiavaruudessa E on kutistuva, mikä nähdään janahomotopialla. Samoin (X, xo) on kutistuva jokaisella xo E X. 2. sn -I ei ole kutistuva, mikä mainittiin 21.2:ssa. 3. Kutistuva avaruus on polkuyhtenäinen, sillä jos h: id :::::'. c, jossa c on vakiokuvaus c(x) = x0, niin polku t 1---t h(a, t) yhdistää pisteen a E X xo:aan. 21.9. Homotopiaekvivalenssi. Jatkuva kuvaus f: X -+ Y on homoto­ piaekvivalenssi, jos on olemassa sellainen jatkuva g: Y ---. X, että g o f '.:::'. idx ja f o g � idy. Kuvaus g on /:n homotopiainverssi. Niitä voi an­ netulla kuvauksella f olla useita. Jos on olemassa homotopiaekvivalenssi J: X ----+ Y, sanomme, että X on homotooppisesti ekvivalentti Y:n kanssa ja kirjoitamme tällöin X � Y. Vastaavat käsitteet määritellään kantapisteavaruuksille; tällöin homo­ topioiden on oltava rel kantapiste. Nähdään helposti, että nämä relaatiot todella ovat ckvivalensseja (teh­ tävä 21:1).

152

21. Kuvausten homotopia 21.10. Esimerkkejä. 1. Jokainen homeomorfismi f: X� Y on homo­ topiaekv ivalenssi; homotopiainverssinä on 1-1. Siis X� Y =>X� Y. 2. Olkoon X kutistuva avaruus, ts. idx � ca , jossa a E X ja X :::== Z. 21:2 Jaa kirjaimet Å, Ä, Ö (a) homeomorfismiluokkiin, (b) homotopiatyyppeihin. Todistuksen voi sivuuttaa.

21 :3 Osoita, että joukko R2 \ {-e 1, e1} on homotopiaekvivalentti kahdeksikon S(-e1, 1)u S(e1 , 1) kanssa.

153

VI. Homotopia 21:4 Osoita, että jokainen AR on kutistuva. 21:5 Olkoon X C R2 yhdiste koordinaattiakseleista ja janasta x+y = l, 0 ::; x � 1. Osoita, että X '.'.:::'. S 1. 21 :fi Olkoot, f, g: X - Y jatkuvia ja Y kutistuva. Osoita, että f � g. 21:7 Todista: Jos X on kutistuva avaruus ja f: X -+ Y jatkuva, niin f on nollaho­ motooppinen. Jos lisäksi Y on polkuyhtenäinen, niin kaikki kuvaukBet J: X - Y ovat keskenään hornotooppiset. 21:8 Olkoon X c R2 ns. kampa-avaruus

X= l x {0} U {0} x IU LJ({l/j} X/) . jEN

Todista: Avaruus X on kutistuva, mutta kantapisteavaruus (X, (0, 1)) ei ole kutis­ tuva. 21:9 Todista: Jatkuva kuvaus f: X - Y on homotopiaekvivalenssi, jos ja vain jos on olemassa sellaiset jatkuvat kuvaukset 91, 92: Y -+ X, että 91 o f � id ja f o g2 '.'.:::'. id. Vihje. Muodosta kuvaus 91 o f o 92. 21:10 Olkoon x0 E A c sn, A ::/= S'\ n EN. Osoita, että inkluusio j: (A,x0) tarkat todiatukset sivuuttaen > miten asia päätellään pe­ rusryhmien avulla. Vasta.oletus: On olemassll. homeomorfismi f; X � Y. Valitaan esim. xo = Ö ja merkitään Yo = f(xo). Tällöin f indusoi isomor­ fismin f*: 1r(X, xo) --t n(Y, ya). Tarkemmin tämä esitetään kohdassa 23.12. ),

: että O(Y, yo):ssa on polkuja, jotka kiertävät suoran L eivätkä ole nollahomotooppisia. Tämän tarkka todistus esitetään seuraavassa pykälässä. Topologi määritellään usein henkilönä, joka ei näe eroa kahvikupin ja munkkirinkilän välillä. Perusryhmän avulla hän kuitenkin osaa erottaa munkkirinkilän munkista. Muutamme esimerkkiä korvaamalla suoran pisteellä. Merkitsemme Z = 3 R \ {Ö} ja kysymme: Onko X � Z? Vastaus on taas kielteinen, mutta äskeinen päättely ei nyt toimi, sillä 1r(Z > zo) = 0 kaikilla z0 E Z. Sen sijaan voidaan ottaa avuksi toinen ho­ motopiaryhmä 1r2(Z, zo). Emme määrittele taxkemmin tätä emmekä kor­ keampia homotopiaryhmiä 1rn (Z > z0). Mainitsemme vain, että 1r,. (Z, zo):n alkiot ovat sellaisten kuvausten a: 1n -t Z homotopialuokkia rel 8In > joil­ la aåln = {z0}. Tällöin origo Ö saadaan pyydystetyksi sopivaan pussiin {3: 12 -t Z, kuten edellisessä esimerkissä suora L pyydystettiin silmukkaan /3: I -t Y. Väitteen X';/, Z voi todistaa myös ilman homotopiaai ks. tehtävä 13:27. Mainittakoon, että ryhmät nn (X, xo) ovat Abelin ryhmiä, kun n 2: 2. Muita algebrallisen topologian käyttämiä ryhmiä ovat homologiaryhmät Hn(X) ja kohomologiaryhmät Hn (X), n 2: 0. Ne ovat aina Abelin ryhmiä, ja niiden käyttö on mm. siitä syystä monessa suhteessa helpompaa kuin 161

'

VI. Homotopia

perusryhmän. Toisaalta niiden määrittely on kuitenkin monimutkaisempaa, ja ne jäävät valitettavasti tämän kirjan ulkopuolelle. 23.5. Kantapisteen vaihto. 'Tutkimme, miten perusryhmä1r(X, xo) riip­ puu kantapisteen xo valinnasta. Kaikki joukon O(X, xo) polut kulkevat pol­ kukornponentissa P(x0, X). Jos x0 ja x 1 kuuluvat X:n eri polkukomponent­ teihin,ei ryhmillä 1r(X, xo) ja 1r(X, x1) ole mitään tekemistä toistensa kans­ sa. Oletamme sitten, että piste xo voidaan yhdistää pisteeseen Xt X :n po­ lulla O'. Jos a E O(X, xo), niin a 0, että jh(y,s) - h(y,t)I < e:, kun ls - tf < ö ja y E S1 . Jos X E !3 2, X-::/= Ö ja lxl < J, niin Jr(x) - al

= [h(x/lxl, lxl) - h(x/lxl, 0) 1 < E:.

Siis r on jatkuva myös origossa. (5) Vastaoletus: J: B2 _. B2 on jatkuva, ja f(x) i= x kaikilla x. Kun x E B2, niin on ole­ massa täsmälleen yksi sellainen piste r(x) E S1 , että x on janalla [f(x), r(.x)]. Näin saadaan ku­ vaus r: B 2 -t S1 , jolla rlS1 = id. Kohdan (3) nojalla riittää taas osoittaa, että r on jatkuva. Tämä on geometrisesti ilmeistä, mutta se seuraa myös r:n lausekkeesta

f(x)

,... r....,,. . r(x) = x + ty, jossa y = ,� ���� 1, t = -x. y + .,/l--1 2 +---,-(x-, y..,.) 2, l x....,

jonka todentamisen jätämme lukijalle. D

24.13. Esimerkki. Olkoon X = R2 \ {Ö}. Inkluusio (S 1 , y0) a = b, (3) a s b s c ==> a ::; c. Järjestys s on täysi, jos lisäksi on voimassa (4) Jos a, b E H, niin a s b tai b s a. Jos $ on H:n järjestys, sanotaan paria (H, :$) jä1jestetyksi joukoksi.

Useissa kirjoissa sanotaan edellä määriteltyä järjestystä osittaiseksi jär­ jestykseksi ja täyttä järjestystä järjestykseksi. Olkoon (H, $) järjestetty joukko. Jos a $ b, merkitään b � a. Jos lisäksi a # b, merkitään a < b ja b > a. Järjestys $ indusoi luonnollisella 181

Liite. Zornin lemma

tavalla jokaiseen H:n osajoukkoon järjestyksen. Jos K:n järjestys on täysi, sanomme, että K on H:n ketju. Esimerkki. Olkoon X joukko. Tällöin C on järjestys joukossa '.J>(X). Tämä järjestys ei ole täysi, paitsi jos #X � 1. Jos esim. X = R, niin eräs ketju on {[-a, a] : a > O}. Olkoon A C H. Alkio b E H uu A:u yläraja, jos b 2:.: a kaikilla a E A. Jos lisäksi b E A, niin b on A:n suurin alkio. Alkio b E A on A:n maksimaalinen alkio jos ei ole olemassa sellaista a E A, että b < a. Vastaavasti määritellään käsitteet alaraja, pienin alkio ja minimaalinen alkio. Joukossa voi olla vain yksi suurin ja yksi pienin alkio, mutta useita maksimaalisia ja minimaalisia alkioita. Suurin alkio on aina maksimaalinen ja pienin alkio minimaalinen. Esim. joukon P(R) osajoukon A = {[O, 2], [1, 3]} molemmat alkiot ovat sekä maksimaalisia että minimaalisia A:n alkioita. Olkoon A edelleen järjestetyn joukon H osajoukko. Jos A:n ylärajojen joukossa on pienin alkio, se on A:n pienin yläraja, ja sille käytetään mer­ kintää sup A. Tällaisia voi joukolla olla enintään yksi. Vastaavasti määri­ tellään suurin alaraja inf A. Joukon '.P(X) jokaisella osajoukolla A on olemassa järjestyksen c suh­ teen supA= UAja infA = nA. Tällöin sovitaan, että U0 = 0 ja n0 = X. Z.4. Zornin lemma. Olkoon (H, :5) sellainen järjestetty joukko, että H -:f. 0 ja H:n jokaisella ketjulla K on pienin yläraja sup K E H . Tällöin H :ssa on ainakin yksi maksimaalinen alkio. , Huomautus. Zornin lernmasta voi sanan "pienin, jättää pois (tehtävä Z:2), mutta tarvitsimme tulosta vain yllä olevassa muodossa.

Z.5.

Z.6. Zornin lemman todistus. Seuraava todistus ei ole lyhyin mahdol­ linen, mutta tekijän mielestä selvin ja helppotajuisin. Teemme vastaoletuksen: H:ssa ei ole maksimaalista alkiota. Jokaisella x E H merkitään S(x) = {y E H: y > x}. Vastaoletus merkitsee, että S(x) f:. 0 kaikilla x E H. Sovellamme valinta­ aksiomaa joukkoihin S(x) indeksijoukkona H. Sen nojalla on olemassa sel­ lainen f: H-+ H, että f(x) E S(x) eli f(x) > x kaikilla x E H. Valitsemme alkion a0 E H, jota koko todistuksen ajan pidämme kiin­ teänä. Sanomme, että joukko Z C H on Zomin joukko, jos se toteuttaa ehdot: (1) ao E Z. (2) Jos x E Z, niin /(x) E Z.

182

Liite. Zornin lemma (3) Jos K on ketju ja 0 # K C Z, niin supK E Z. Esimerkiksi joukko {x E H: x 2: ao} on selvästi Zornin joukko. Olkoon Zo kaikkien Zornin joukkojen leikkaus, jolloin

ao E Zo C {x E H : x 2: ao}. Osoitamme aluksi, että Zo on Zornin joukko. Ehto (1) todettiin jo. Jos x E Zo, niin x E Z ja siis f (x) E Z kaikilla Zornin joukoilla Z, mistä seuraa, että f(x) E Zo, joten (2) pätee. Olkoon K ketju ja 0 # K c Zo. Tällöin K C Z ja siis sup K E Z jokaisella Zornin joukolla Z, mistä seuraa, että sup K E Zo , joten (3) on voimassa. Väite 1. Zo on ketju. Todistamme tämän myöhemmin, mutta osoitamme heti, miten siitä seu­ raa haluttu ristiriita. Ehdosta (3) seuraa, että sup Zo E Zo, joten ehdon (2) nojalla f (sup Zo) E Zo, mistä seuraa, että f (sup Zo ) S sup Zo. Tämä on mahdotonta, koska f(x) > x kaikilla x E H. Merkitsemme A:lla niiden alkioiden a E Zo joukkoa, joilla ehdoista x E Zo, x < a seuraa f(x) S a. Jokaisella a E A merkitään

B (a) = {x E Zo : x S a tai x 2: f (a)}. Väite 2. B(a) = Zo jokaisella a E A. Riittää osoittaa, että B(a) on Zornin joukko. (1): Koska Zo c {x: x 2: ao}, niin ao 5 a, ja siis ao E B(a). (2): Olkoon x E B(a). Tällöin on kolme mahdollisuutta: (a) x < a. Tällöin A:n määritelmän nojalla /(x) a. (b) x = a. Nyt f(x) = f(a). (c) x 2: f(a). Nyt f(x) > x 2 f(a). Siis kaikissa tapauksissa f(x) E B(a). (3): Olkoon K ketju ja 0 f K C B(a). Erotamme kaksi tapausta: (a) a on K:n yläraja. Tällöin supK a, joten supK E B(a). (b) a ei ole K:n yläraja. Tällöin on olemassa sellainen k E K, että ehto k 5 a ei ole voimassa. Koska k E B(a), niin k 2: f(a). Siis supK 2: f(a), joten sup K E B(a). Väite 2 on todistettu. Väite 3. A = Zo . Riittää taas osoittaa, että A on Zornin joukko. (1): ao E A, koska x 2 ao kaikilla x E Zo. (2): Olkoon a E A. On osoitettava, että f(a) E A. Sitä varten oletamme, että x E Zo ja x < f(a). Väitteestä 2 seuraa, että x E B(a). Siis x � a. Jos x < a, niin A:n määritelmän nojalla J(x) 5 a < f(a). Jos x = a, niin f(x) = f(a). Siis aina f(x) 5 f(a) > joten f(a) E A.

s

s

183

Liite. Zornin lemma (3): Olkoon K ketju ja 0 =/- K c A. On osoitettava, että supK E A. Koska Zo on Zornin joukko, niin sup K E Zo. Olkoon x E Zo ja x < sup K. Väitämme, että f(x) supK. Erotamme kaksi tapausta: (a) On olemassa k E K, jolla x < k. Koska k E A, niin f(x) S k S supK. (b) Tällaista alkiota k ei ole. Osoitamme, että tämä tapaus ei koskaan esiinny. Koska Väitteen 2 mukaan jokaisella k E K on x E Zo = B(k), niin kaikilla k E K on joko x = k tai x � J(k) > k. Siis x on K:n yläraja, joten supK $ x, mikä on vastoin oletusta. Väite 3 on todistettu. Todistamme nyt Väitteen 1. Olkoot a, b E Zo. Väitteen 3 nojalla a E A, joten B(a) on määritelty. Väitteen 2 nojalla b E B(a), joten joko b a tai b � f(a) > a. Siis Zo on ketju, joten Väite 1 ja sen mukana Zornin lemma on todistettu. D

s

s

Z. 7. Huomautuksia. l. Voidaan osoittaa, että käänteisesti Zornin lem­ masta seuraa valinta-aksioma. Tämän vuoksi näkee joskus sanottavan, ettei Zornin lemmaa voi todistaa, ja joskus jopa tähän vedoten otetaan Zornin lemma käyttöön aksiomana ilman perusteluja. On kuitenkin todettava, että Zornin lemman muotoilu on siinä määrin abstrakti ja mutkikas, että tuskin kenenkään intuitio sanoo ensi näkemältä sen totuudesta sitä tai tätä. Sen, joka käyttää Zornin lemmaa, on tunnettava sen todistus. 2. Joukko-opissa on useita muitakin lauseita, jotka ovat yhtäpitäviä valinta-aksioman ja siis myös Zornin lemman kanssa. Vanhin näistä on kuu­ luisa hyvän järjestyksen lause. Joukon järjestys on hyvä, jos sen jokaisessa epätyhjässä osajoukossa on pienin alkio. Esim. N:n tavallinen järjestys on hyvä, mutta joukkojen Z ja I järjestys ei ole hyvä. Hyvän järjestyksen lauseen mukaan jokaisessa joukossa on olemassa hyvä järjestys. Sen todistus on mm. kirjoissa [Kelley, 1.25] ja [Dugundji, II.2.1]. 3. Muita valinta-aksioman kanssa yhtäpitäviä lauseita ovat Tihonovin lause (tehtävä Z:6) ja Hausdorffin maksimaaliperiaate (tehtävä Z:l).

Tehtäviä. Z Z:1 Todista Hausdorffin maksimaaliperiaate: Olkoon (H, $) järjestetty joukko ja olkoon Ko C H ketju. Tällöin Ko sisältyy johonkin H:n maksimaaliseen ketjuun, ts. sellaiseen, joka ei aidosti sisälly mihinkään H:n ketjuun. Ohje. $ovella Zornin lemmaa joukkoon{!(: Ko c l( c H ja K on ketju}. Z:2 Todista edellisen tehtävä.n avulla, että Zornin lemmasta voidaan sana "pienin" jättää pois. 184

Liite. Zornin lemma Z:3 Olkoon (H, �) jä1jestetty joukko. Joukko B C H on H:n kanta, jos jokaista x E H kohti on olemassa sellainen A c B, että x = supA. Osoita, että jos (X, 'J) on topologinen avaruus ja jos H = 'J'\ {0} varustettuna järjestyksellä C, niin tämä käsite on yhtäpitävä. topologian kannan käsitteen kanssa. Z:4 Todista Brouwerin reduktiolause, joka on numeroituva variaatio Zornin lem­ masta: Olkoon (H, �) järjestetty joukko, jolla on numeroituva kanta. Olkoon L c H epätyhjä joukko, jonka jokaisella nousevalla ketjulla x1 � x2 � ... on yläraja L:ssä. Tällöin L:ssä on maksima.aJinen aJkio. Ohje. Olkoon {bn : n E N} H:n kanta. Valitse jokin Xo E L ja sitten induktiolla alkiot x1, X2, . . • siten, että Xn � bn ja. Xn � Xn -1, jos tällainen Xn E L on olemassa; muutoin x11 = x11_1• Osoita, että jonon x1 $ x2 ,::; •.. yläraja on L:n maksimaalinen alkio. Z:5 Olkoon (X, 'J) kompakti yhtenäinen N2-avaruus ja olkoon A c X. Osoita, että on olemassa sellainen kompakti yhtenäinen joukko K, että (1) A C K c X, (2) Ei ole olemassa kompa.ktia yhtenäistä K:n aitoa osajoukkoa, joka. sisäJtää A:n. Ohje. Sovella Brouwerin reduktiolausetta, jossa H = '.T' \ {0} ja L:n jäsenet ovat muotoa CK, jossa K on kompakti yhtenäinen joukko, joka toteuttaa ehdon (1). Tarvitaan myös tehtävän 15:19 tulos. Z:6 Osoitamme , että Tihonovin lauseesta seuraa valinta-aksioma. Täydennä to­ distuksen yksityiskohdat. Olkoon J =/= 0 joukko, ja olkoon Xi epätyhjä joukko .kaikilla j E J. Voimme olettaa , että joukot Xi ovat erilliset (perustele). Määritellään joukkojen Xj yh­ disteessä. Y topologia, jonka avoimia joukkoja ovat 0 ja joukkojen Xj äärellisten yhdisteiden komplementit. Tällöin Y on kompakti, joten Tihonovin lauseen nojal­ la myös tuloavaruus yJ on kompakti. Joukot Fj pr 1 Xj ovat suljettuja yJ:ssä, ja niiden perheellä on ÄLO (vaJinta-a.ksioma äärellisen monelle joukolle oletetaan tunnetuksi), joten niiden leikkaus ei ole tyhjä, ja siis fljEJ Xj =/= 0.

= 1

185

•

Ohjeita jatko-opiskeluun Luettelen eräitä matematiikan aloja, jotka kuuluvat tai ainakin lähei­ sesti liittyvät topologiaan, ja mainitsen kunkin kohdalla eräitä oppikirjoja. Alat peittävät osittain toisiaan. 1. Yleinen topologia. Pääosa tästä kirjasta kuuluu yleiseen topologi­ aan eli pistejoukkotopologiaan. Käsittelemättä jää kuitenkin paljon aineis­ toa, mm. parakompaktius, uniformiset avaruudet ja dimensioteoria. K i r ­ joista mainittakoon [Dugundji], [Hocking-Young], [Hurewicz-Wallman] ja [Kelley). 2. Algebrallinen topologia tutkii topologiaa algebrallisin menetelmin. Ai­ noana esimerkkinä tässä kirjassa on perusryhmä 71'(X, xo). Algebrallisella topologialla on kuitenkin keskeinen merkitys topologiassa. Esim.· yksinker­ taisen näköisiä euklidisen avaruuden ongelmia on usein vaikea ratkaista il­ man sitä. Tämän kirjan lukeneille suositankin seuraavana askeleena topolo­ gian poluilla tutustumista algebralliseen topologiaan, aluksi ns. singulaari­ seen homologiateoriaan. Runsaasta kirjallisuudesta mainittakoon (aloittaen alkeellisimmasta) [Wallace 1957], [Rotman], [Dold] ja [Spanier]. Euklidisiin avaruuksiin (erityisesti tasoon) sopiva yksinkertainen homologiateoria se>­ velluksineen on kirjassa (Newman].

3. Topologinen algebro tutkii joukkoja, joissa on annettu sekä topologia että yksi tai useampia laskutoimituksia, jotka toteuttavat tietyt algebral­ liset laskulait (esim. ryhmäa.ksiomat). Topologista ja algebrallista struk­ tuuria sitoo toisiinsa vaatimus, että laskutoimituksista saatavat kuvaukset ovat jatkuvia. Esimerkkeinä mainittakoon topologiset ryhmät [Husain] ja topologiset vektoriavaruudet [Roberts o n R - obertson].

4. Paloittain lineaarinen topologia tutkii lähinnä kombinatorisin me­ netelmin tahokkaita (engl. polyhedron), ts. joukkoja X C Rn , jotka ovat äärellisiä yhdisteitä simplekseistä (pisteet, janat, kolmiot, tetraedrit jne). Apukuvauksilla ja approksimaatioilla tuloksia voidaan soveltaa yleisempiin tapauksiin. Kirja: [Rourke-San ja mainitsemme niistä vain muu­ tamia. Tämän kirjan oheislukemistoksi sopivat (alkaen aJkeellisimmasta) [Mendelson], [Lipschutz], [Gamelin-Greene], [Kelley] ja [Dugundji].

C. Bessaga ja A. Pelczynski, Selected topics in infinite-dimensional topology, 1975.

K. Borsuk, Theory of retracts, 1967.

N. Bourbaki, Topologie generale, 1953; englanniksi: General topology, 1966. T. Bröcker ja K. Jänich, Einfilhrung in die Differentialtopologie, 1973. A. Dold, Lectures on algebraic topology, 1972. J. Dugundji, Topology, 1966. T.W. Gamelin ja R.E. Greene, Introduction to topology, 1983. F. Hausdorff, Grundzilge der Mengenlehre, 1914. J.G. Hocking ja G.S. Young, Topology, 1961. W. Hurewicz ja H. Wallman, Dimension theory, 1941. T. Husain, Introduction to topological groups, 1966. J.L. Kelley, General topology, 1955. S. Lipschutz, Theory and problems of general topology, 1965. B. Mendelson, Introduction to topology, 1962. E.E. Moise, Geometric topology in dimensions 2 and 3, 1977. M.H.A. Newman, Elements of the topology of plane sets of points, 1951. A.P. Robertson ja W. Robertson, Topological vector spaces, 1973. J.J. Rotman, An introduction to algebraic topology, 1988. C.H. Rourke ja B.J. Sanderson, Introduction to piecewise-linear topology, 1972. T.B. Rushing, Topological embeddings, 1973. E.H. Spanier, Algcbraic topology, 1966. L.A. Steen ja J.A. Seebach, Counterexamples in topology, 1970. K. Suominen ja K. Vala, Topologia, 1973. A.H. Wallace, An introduction to algebraic topology, 1957. A.H. Wallace, Differential topology, 1968. J. Väisälä, Topologia I, 1999.

189

Merkintöjä N, Z, Q, R, I, lukujoukkoja, 7 Bn, sn-I, avaruuden Rn avoin yksikkökuula ja yksikköpallo, 7 cardA, mahtavuus, 8 #A, alkioiden lukumäärä, 8 c, kontinuumin mahtavuus, 8 U @X, avoin osajoukko, 9 F @X, suljettu osajoukko, 12 'Jdi.s , diskreetti topologia, 10 'Jmini, minitopologia, 10 'Jiav, tavallinen topologia, 10 'Jd, metriikan d määräämä topologia, 10 'Jpa., puoliavointen välien topologia, 20 'Jw, heikko topologia, 42 Ä = cl A, sulkeuma, 12 clA E, relatiivinen sulkeuma, 37 int A, sisäpisteiden joukko, 13 ext A, ulkopisteiden joukko, 13 8A, reuna, 13 f; X � Y, homeomorfismi, 28 X � Y, homeomorfiset avaruudet, 28 j: A