TOP 7 - Az ezredforduló legkihívóbb matematikai problémái 9789639664814, 9639664812 [PDF]

Zitiervorschau

Top 7

A kiadó ajánlata: Tikk Domonkos: Szövegbányászat (2007) Járai Antal: Modern alkalmazott analízis (2007) Kiss Emil: Bevezetés az algebrába (2007) Friedl Katalin – Recski András – Simonyi Gábor : Gráfelméleti feladatok (2006) Raymond Smullyan: Gödel nemteljességi tételelei (2006)

Pierre Basieux

TOP 7 Az ezredforduló legkihívóbb matematikai problémái

Budapest, 2008

A könyv megjelenését az MTA Könyv- és Folyóiratkiadó Bizottsága támogatta. A m˝u eredeti címe: Die Top Seven der mathematischen Vermutungen c 2004 by Rowohlt Verlag GmbH ° c Hungarian translation Bognár János, Typotex; 2008 ° ISBN 978-963-9664-81-4 Témakör: matematika

Kedves Olvasó! Önre gondoltunk, amikor a könyv el˝okészítésén munkálkodtunk. Kapcsolatunkat szorosabbra f˝uzhetjük, ha belép a Typoklubba, ahonnan értesülhet új kiadványainkról, akcióinkról, programjainkról, és amelyet a www.typotex.hu címen érhet el. Honlapunkon megtalálhatja az egyes könyvekhez tartozó hibajegyzéket is, mert sajnos hibák olykor el˝ofordulnak.

Kiadja a Typotex Elektronikus Kiadó Kft., az 1795-ben alapított Könyvkiadók és Könyvterjeszt˝ok Egyesülésének tagja. Felel˝os kiadó: Votisky Zsuzsa Szerkesztette és tördelte: Gerner József Borítóterv: Tóth Norbert Terjedelem: 11,25 (A/5) ív Készült a Naszály Print Kft. nyomdájában Felel˝os vezet˝o: Hemela Mihályné

Tartalom

Millenniumproblémák és dollármilliók A számelmélet millenniumproblémái A topológia millenniumproblémái A matematikai fizika millenniumproblémái Az elméleti informatika millenniumproblémája Mostanában bebizonyított híres sejtések További közérthet˝o, megoldatlan problémák Igaz-e, hogy a világ matematikai jelleg˝u? Irodalom Tárgymutató Tárgymutató

7 17 43 71 89 113 131 145 157 163 163

Millenniumproblémák és dollármilliók

„Észrevettem”, mondta K. úr, „hogy sok mindenkit azzal riasztunk el tanainktól, hogy mindenre tudjuk a választ. Nem állíthatnánk össze propagandaként egy listát azokról a kérdésekr˝ol, amelyek számunkra teljesen megoldatlanoknak t˝unnek?” Bertolt Brecht, Keuner úr történetei

Hét fontos probléma mindeddig ellenállt a matematikusok mégoly kitartó fáradozásainak is. Aki valamelyiket megoldja, arra nemcsak örök dics˝oség, hanem egy csinos summa, egymillió dollár is vár. A kezdeményez˝o Landon T. Clay amerikai multimilliomos volt, aki ebb˝ol a célból megalapította a cambridge-i (USA, Massachusetts állam) Clay Matematikai Intézetet (CMI) és a Millennium-díjat. A CMI célja „a gondolkodás szépségének, erejének és univerzális voltának el˝omozdítása”. Az Intézet reményei szerint a kit˝uzött díjak – amellett, hogy ösztönzik speciálisan ennek a hét problémának a megoldását – további fiatalokat fognak a matematikához vonzani. A problémákat, hivatkozva a matematika fontos klasszikus kérdéseire, a CMI tudományos felügyel˝obizottsága választotta ki. A bizottságnak nem az volt a célja, hogy a következ˝o évszázadra meghatározza a matematika fejl˝odési irányát. Figyelmét inkább néhány olyan, régóta ismert, központi helyet elfoglaló matematikai kérdésre összpontosította,

8

M ILLENNIUMPROBLÉMÁK ÉS DOLLÁRMILLIÓK

amely a szakemberek hosszú ideje tartó komoly er˝ofeszítései ellenére mindmáig megoldatlan maradt. A hét probléma közül kett˝o-kett˝o a számelmélethez, a topológiához és a matematikai fizikához, egy pedig az elméleti informatikához sorolható. A matematikai fizikához tartozó problémák nem sejtések a szó sz˝ukebb értelmében, hanem olyan egyenletekre vonatkoznak, amelyeknek egzakt megoldások helyett csak közelít˝o megoldásai ismeretesek. 2000. május 24-én a párizsi Collège de France-ban neves matematikusok részvételével millenniumi találkozót („Millennium Meeting”) tartottak. Ebb˝ol az alkalomból a következ˝o sajtónyilatkozatot1 tették közzé: „A matematika megkülönböztetett helyet foglal el a tudományok között, az emberi gondolkodás kvintesszenciáját testesíti meg, és az emberi er˝ofeszítések minden területére behatol. Ma a matematikai megismerés határai a felszín alatt, áttekinthetetlen pályák mentén tágulnak. Sok alapvet˝o eredmény más tudományágak felfedezéseivel szoros összefüggésben születik meg. A matematika technológiai alkalmazásai megkönnyítik életünket, például kriptográfiai módszerekkel kommunikálhatunk, lehet˝oségünk van utazásra és navigálásra, többet tehetünk egészségünk, jó közérzetünk és biztonságunk meg˝orzéséért. Emellett ezek az alkalmazások központi szerepet játszanak a gazdaságban is. A matematika evolúciójának dönt˝o jelent˝osége lesz a civilizáció további fejl˝odésében. A matematikai igazság kereteinek helyes felmérése kihívás az emberi szellem számára. A matematika új évezredbeli szerepének hangsúlyozása céljából a cambridge-i (Massachusetts) Clay Matematikai Intézet (CMI) hét „millenniumproblémát” t˝uzött ki díjazásra. A CMI tudományos felügyel˝obizottsága a problémák kiválasztásánál azokra a fontos, els˝osorban klasszikus kérdésekre koncentrált, amelyeket évek hosszú során át nem sikerült megoldani. Ezen problémák megoldására a CMI igazgatósága hétmillió dolláros díjalapot határozott meg: egymillió dollárt mindegyik problémára. A problémákat a kérdéses terület egy-egy vezet˝o szakért˝oje fogalmazta meg. A díj odaítélésének szabályaira a CMI

1

Az eredeti angol szöveg a www.claymath.org címen olvasható.

M ILLENNIUMPROBLÉMÁK ÉS DOLLÁRMILLIÓK

9

tudományos felügyel˝obizottsága tett javaslatot; a javaslatot az igazgatóság elfogadta. A millenniumi találkozón, amelyre 2000. május 24-én a Collège de France-ban került sor, a nagyközönség számára Timothy Gowers tartott el˝oadást „A matematika jelent˝osége” címmel, míg John Tate és Michael Atiyah magukról a problémákról beszélt. David Hilbert száz évvel ezel˝ott, 1900. augusztus 8-án Párizsban, a 2. nemzetközi matematikai kongresszuson tartotta híres el˝oadását a matematika megoldatlan problémáiról. Ez indított minket arra, hogy a millenniumproblémákat egy párizsi találkozó központi témájaként hirdessük meg. A tudományos felügyel˝obizottság és az igazgatóság tagjai kötelességüknek tartják, hogy meg˝orizzék e díj jellegét, egységét és szellemét. Párizs, 2000. május 24.”

A sajtó reakciója leny˝ugöz˝o volt. A Nature-ben már másnap a következ˝o cím jelent meg: „Az absztraktság értéke. Egy új díjcsalád, amely méltóan ünnepli a tiszta matematika jelent˝oségét és csodáját.” (2000. május 25., 405. kötet). Folyóiratok és napilapok százai cikkeztek az eseményr˝ol, tévé- és rádióadók is közölték a bejelentést – miközben a nagyközönséget vélhet˝oen nem maguk a megoldandó problémák hozták lázba, hanem inkább a kit˝uzött pénzdíj nagysága. A történelmi el˝ozmény A 2000 májusában rendezett millenniumi találkozónak volt egy híres el˝ozménye: 1900 augusztusában Párizsban, a nemzetközi matematikai kongresszuson David Hilbert göttingai professzor „Matematikai problémák” címmel el˝oadást tartott, amely aztán a 20. század matematikai kutatásainak irányt˝ujévé vált. Ha valaki 38 éves korában nyilvánosan kísérletet tesz az eljövend˝o évszázad legfontosabb problémáinak összeállítására, az persze arcátlanságnak t˝unik, hiszen a matematika már 1900-ban is rendkívül szerteágazó tudomány volt. Hilbert azonban nem volt akárki: az algebra, geometria, matematikai fizika és logika kérdéseir˝ol írott messzeható munkái igazolták, hogy o˝ (az akkor 46 éves párizsi

10

M ILLENNIUMPROBLÉMÁK ÉS DOLLÁRMILLIÓK

Henri Poincaré mellett) a kor vezet˝o matematikusa. Hilbert listáján 23 probléma2 szerepelt. Ezzel az el˝oadással eldördült a startpisztoly, megkezd˝odött a 20. század matematikai versengése. A problémák közül nyolc a matematika alapjainak módszeres kutatását érintette. Abban az id˝oben ugyanis a matematika alapjai válságban voltak. Bertrand Russell nyugtalanító paradoxonokat fedezett fel magán a logikán belül. Olyan esetekre mutatott rá, amelyekben látszólag jól megalapozott gondolkodásunk ellentmondásra vezet. Ez megrendítette a logika és vele együtt a szintén a logikára épül˝o matematika alapjait. A Russell által felfedezett egyik paradoxon a következ˝oképpen szólt: Legyen M az összes olyan halmaz halmaza, amely önmagát nem tartalmazza elemként. Vajon M eleme-e önmagának? Ha igen, akkor M nem tartozik hozzá ahhoz a halmazhoz, amelyet az összes, önmagát elemként nem tartalmazó halmaz alkot. Márpedig ez a halmaz éppen az M halmaz. Tehát M nem tartalmazza elemként önmagát. Megfordítva, ha abból indulunk ki, hogy M nem tartalmazza elemként önmagát, akkor szintén a kiindulással ellentétes következtetésre jutunk. Tehát önellentmondással, más szóval antinómiával van dolgunk.3 A problémát, bár ártatlan szójáték benyomását keltheti, a 20. század néhány nagy gondolkodója nagyon is komolyan vette. Hilbert úgy vélte, a logika válságát egy kifogástalan formalizmus, az „axiomatikus módszer” segítségével lehet leküzdeni: megfogalmazunk bizonyos alapvet˝o állításokat („posztulátumokat” vagy „axiómákat”) és jól definiált következtetési szabályokat, majd az axiómákból érvényes tételeket vezetünk le a szabá-

2 3

Hilbert, D.: Die Hilbertschen Probleme.

A Russel-féle paradoxon egy korai formáján már a régi görögök is törték a fejüket. A következ˝o, „hazugságparadoxonként” ismert kijelentés állítólag egy bizonyos Epimenideszt˝ol származik: „Ez az állítás hamis.” Hamis-e ez az állítás? Ha igen, akkor a mondat állítása teljesül, vagyis az állítás igaz. Akár igaznak, akár hamisnak tekintjük az állítást, az ellentmondást nem tudjuk elkerülni!

M ILLENNIUMPROBLÉMÁK ÉS DOLLÁRMILLIÓK

11

lyok segítségével.4 Számára arról volt szó, hogy tökéletes világosságot kell teremteni a játékszabályok, vagyis a definíciók és az alapfogalmak, a nyelvtan és a nyelv körül, tehát egy újfajta radikalizmusról a matematika teljes kör˝u formalizálásának szándékával. Az évszázad meglepetése volt, amikor 1931-ben a bécsi Kurt Gödel „nemteljességi tételével” halálos csapást mért Hilbert víziójára. Hilbert tévedése mégis rendkívül gyümölcsöz˝onek bizonyult. Nem a (hibás) válaszáért, hanem a jó kérdéséért jár ki neki a dics˝oség. Kérdésével ugyanis új kutatási területet alapozott meg: a metamatematikát. A metamatematikának az a célja, hogy kiderítse: a matematika mely eredményeket képes elérni és melyeket nem (az elméleti informatika millenniumproblémájáról szóló fejezetben erre még visszatérünk). A további 15 probléma közül tizenkett˝ot teljesen, a többit jelent˝os részben megoldották – egyetlen kivétellel: az úgynevezett Riemann-sejtés mindmáig rejtély, kihívás a matematikusok számára, és napjainkban a tiszta matematika legfontosabb megoldatlan problémájaként tartják számon. Néhány versenyszabály Mivel nagyon magas pénzdíj forog kockán, természetes, hogy a versenyt szigorú feltételek szabályozzák. Például már az ellen˝orzési folyamat is hónapokat vesz igénybe. Hiszen mégiscsak igen nehéz problémákról van szó, amelyeknek a megoldása a szakembereknek több éves vagy akár több évtizedes feladat. Érthet˝o tehát, hogy a kollégáknak is id˝ore van szükségük a megoldás minden kétséget kizáró végiggondolásához. Bár a Hilbert-féle problémák megoldására nem t˝uztek ki pénzdíjat, újra meg újra prioritási viták robbantak ki körülöttük. A javasolt megoldások néhány esetben hibásak vagy hiányosak vol4

Az axiomatikus módszer mintapéldája Euklidesz Elemek cím˝u m˝uve. Ez a m˝u axiómákból kiindulva, napjainkban is bámulatot kelt˝o világossággal vezeti le mindazt a tudást, amivel a görögök Kr. e. 300 körül rendelkeztek.

12

M ILLENNIUMPROBLÉMÁK ÉS DOLLÁRMILLIÓK

tak – de ez évtizedeken át senkinek nem t˝unt fel.5 Ezért kizárólag a CMI igazgatóinak van felhatalmazásuk, hogy a díjalapból kiutalásokat engedélyezzenek vagy a szabályokat megváltoztassák. Minden matematikai tárgyú döntést is a CMI igazgatótanácsa hoz meg, saját tudományos felügyel˝obizottságának javaslata alapján. A CMI tudományos felügyel˝obizottsága (The Scientific Advisory Board, SAB) egy millenniumprobléma javasolt megoldását akkor veszi figyelembe, ha teljes matematikai megoldásról van szó. (Azt az esetet, amikor valaki bizonyítás helyett ellenpéldát fedez fel, külön kezelik.) Egy millenniumprobléma javasolt megoldását nem lehet közvetlenül a CMI-nél benyújtani. (Az intézet így akarja elkerülni, hogy laikusok minden évben ezer és ezer, többnyire hibás bizonyításokat tartalmazó küldeménnyel árasszák el, amint ezt sok matematikai intézet más esetekb˝ol már jól ismeri; a szokásos témák közé tartozik Fermat utolsó tétele, a Goldbach-sejtés, az a kérdés, hogy létezik-e végtelen sok ikerprímszám,6 s˝ot olyan problémák is, amelyeknek a megoldhatatlanságát már régen bebizonyították, például a kör kvadratúrája, a kocka megkett˝ozése vagy a szögharmadolás körz˝ovel és vonalzóval.) Miel˝ott egy javasolt megoldást vizsgálni kezdenének, annak meg kell jelennie egy hivatalos, világszerte elismert matematikai szakfolyóiratban, és a közlés után két évvel a matematikai közösségben még általános elfogadottságot kell élveznie. E kétéves várakozási id˝o után a SAB eldönti, hogy a közzétett megoldást részletesebb vizsgálatnak veti-e alá. Ha igen, akkor megalakít egy speciális vizsgálóbizottságot, amely legalább egy SAB-tagból és legalább két nem-tagból, a szóban forgó terület avatott szakért˝oib˝ol áll. A javasolt megoldást a speciális vizsgálóbizottság legalább egy tagjának ellen˝oriznie kell. 5 6

Yandell, B. H.: The Honors Class: Hilbert’s Problems and Their Solvers.

E máig nyitott problémák közül néhányat a „További közérthet˝o, megoldatlan problémák” cím˝u fejezetben fogunk tárgyalni. Fermat utolsó tétele id˝oközben bizonyítást nyert, és a „Mostanában bebizonyított híres sejtések” cím˝u fejezetben els˝o példaként fog szerepelni.

M ILLENNIUMPROBLÉMÁK ÉS DOLLÁRMILLIÓK

13

A speciális vizsgálóbizottság megfelel˝o id˝on belül jelentést tesz a SAB-nak, s az e jelentés és esetleges további tájékozódás alapján ajánlást tesz az igazgatóknak. A SAB ajánlhatja, hogy a díjat egyetlen személynek ítéljék oda. Azt is javasolhatja, hogy egy bizonyos díjat osszanak meg több személy vagy azok örökösei között. Ennek során különös figyelmet kell fordítania arra, hogy a megoldás érdemben felhasznál-e olyan felismeréseket, amelyek a kérdéses megoldásnál korábban kerültek közlésre. A díj odaítélése során a SAB ajánlhatja (de nem köteles) egy ilyen, kiindulásul szolgáló m˝u elismerését is. Itt bonyolult szabályok következnek arra az esetre, ha a SAB nem tud egyértelm˝u döntést hozni – például a megoldás helyességér˝ol. Negatív bizonyítás, vagyis egy kit˝uzött problémára talált ellenpélda esetén szintén bonyolult szabályok érvényesek. Erre is két év várakozási id˝ot írnak el˝o a publikálástól, a SAB csak ennek leteltével foglalkozik vele. Ráadásul ilyenkor szabad a bizonyítás eredeti kiinduló feltevését átfogalmazni azon lehet˝oség kizárása céljából, hogy az ellenpélda valamilyen triviális speciális esetre vonatkozik. El˝ore foglalkoztak azzal a lehetséges gonddal is, hogy a speciális vizsgálóbizottság tagjai kit˝un˝o szakemberek annak a millenniumproblémának a területén, amelynek a megoldását véleményezniük kell, és talán maguk is képesek lennének a megoldást megtalálni – esetleg egy izgalmas, zseniális ötlet alapján. Erre való tekintettel további szabályokat állítottak fel, amelyek minden visszaélést kizárnak. Emellett gyakorlatilag minden tanácskozást, amely a díjak odaítélésével kapcsolatos, bizalmasan kezelnek. Az igazgatók, a SAB és az összes érintett él˝o személy beleegyezése nélkül 75 évig sem a tanácskozások jegyz˝okönyvét, sem a vonatkozó levelezést nem szabad nyilvánosságra hozni. A verseny összes szabályának, részvételi feltételének hivatalos angol szövege és természetesen a hét millenniumprobléma hivatalos matematikai formája megtalálható a világhálón, a www.claymath.org címen.

14

M ILLENNIUMPROBLÉMÁK ÉS DOLLÁRMILLIÓK

E könyv f˝o célja . . . . . . csupán az lehet, hogy a millenniumproblémákat valamennyire érthet˝ové tegye. Mivel e problémák a maguk teljes mélységében csak szakemberek számára átláthatók, s˝ot közelít˝o szakmai tartalmukat is többnyire csak képzett matematikusok foghatják fel, merészség lenne egy népszer˝usít˝o m˝uben e problémák néhány felszíni vonatkozásának ismertetésénél többre vállalkozni. Olykor csupán arra lesz lehet˝oség, hogy homályos képet adjunk azokról a keretekr˝ol, amelyek között a probléma a maga életét éli. A matematika legtöbb területéb˝ol még sohasem sikerült azonnali fogyasztásra alkalmas szellemi táplálékot készíteni. Másfel˝ol ezek a területek gyakran egyszer˝uek és tiszták, akár a forrásvíz, mivel kizárólag gondolati képz˝odményekre és azok viszonyaira vonatkoznak. E gondolati tevékenység tisztasági szabályzatát a logika egyszer˝u és kristálytiszta szabályai alkotják. Strukturális tudomány lévén, a matematika els˝osorban ezt a „tisztasági parancsolatot” köteles követni. Hézagmentes, a logikán alapuló bizonyításaiknak köszönhet˝oen a matematikai állítások „örök igazságok”, és már pusztán ezért is elb˝uvöl˝oek. De ezeknél is igézetesebbek a még bizonyítatlan állítások, más szóval a sejtések, valamint a még ismeretlen egyenletmegoldások. Bizonyos matematikai kérdések és témák mindenki számára nehezen érthet˝ok, nem vezet hozzájuk kényelmes, királyi út – elvégre a matematika nem számítógépes játékok vagy népszer˝u táncdalok gy˝ujteménye. Aki rendelkezik egy minimális általános m˝uveltséggel a matematika és a természettudományok területén, továbbá veszi a fáradságot, hogy a problémák néhány lényeges el˝ofeltevését megértse, csak az fogja átérezni a háttérben meghúzódó gondolatok szépségét. Olykor jeleket és képleteket is fogok használni, tekintsék ezeket afféle rövidítéseknek. Nem akarom azt az illúziót kelteni, hogy a matematika er˝ofeszítés nélkül bárki számára felfogható, és semmiképp nem szeretném azt sugallni az olvasónak, hogy a képleteket a fontos dolgokról való lemaradás nélkül, nyugod-

M ILLENNIUMPROBLÉMÁK ÉS DOLLÁRMILLIÓK

15

tan átugorhatja; valóban, vízben úszni többet ér, mint ugyanezt a szárazföldön csinálni. Az olvasónak szert kell tennie valamilyen homályos benyomásra, meg kell éreznie az istállószagot, hogy fogalmat szerezzen: hogyan kódolják gondolataikat a matematikusok. Mivel a jelek és képletek gondolati objektumokat írnak le, és ezek rendszerint természetes nyelven is kifejezhet˝ok, azt tanácsolom az olvasónak, hogy tekintse a gondolatok e két megfogalmazását egyetlen egységnek. Elvégre a képletek nem fejeznek ki több igazságot, mint természetes nyelven történ˝o megfogalmazásuk – csak szabatosabbak. Ne féljünk hát a képletekt˝ol! Egy szippantás a cirkuszi leveg˝ob˝ol senkinek nem árt meg. Bár némelyik sejtés annyira elvont, hogy tapasztalt matematikusok is túlzott feltételezésnek tekintik o˝ ket, ez a könyv nemcsak arra tesz kísérletet, hogy a millenniumproblémák tartalmát tegye valamennyire érthet˝ové, hanem arra is, hogy teljes általánosságban megvilágítsa a megoldatlan matematikai problémák jellegét és hátterét, mégpedig mostanában megoldott híres problémák, valamint további közérthet˝o sejtések és még megoldatlan problémák párhuzamos ismertetése útján. A gyakran feltett zárókérdés, hogy tudniillik a világ matematikai jelleg˝u-e, azt firtatja, hogy a természeti törvények vannak a matematika nyelvén megírva, vagy mégis a matematika az, ami „világi” jelleg˝u.

A számelmélet millenniumproblémái

A filozófia, a szellemtudományok és a természettudományok jónéhány modern területe a módszeres o˝ rület benyomását kelti. Ha ez a matematikára is igaz, akkor ott mindenesetre a leglogikusabb módszeres o˝ rülettel van dolgunk. Ellentétben minden más tudással, a bebizonyított matematikai állítások többé nem cáfolhatók: örök igazságok. Elemelkedve a konkrét dolgoktól, amelyek az embert körülveszik, a matematikai objektumoknak saját él˝o lelkük van. A fikciók varázsa és az absztraktság esztétikuma a matematikát a tudományok lírájává teszi.7 Természet és matematika, világ és szám viszonyáról az utolsó fejezetben még szó lesz. Az biztos, hogy nincs a létez˝o dolgoknak olyan észlelése, amely abszolút igazságnak volna tekinthet˝o. Elmélet felállítása nélkül nem tudjuk felismerni, hogy a világegyetemben mi valóságos – nincs a valóságról modellt˝ol független elképzelésünk. Így a nekünk valódinak t˝un˝o természet csak a róla 7

Ez a matematikára mint „magánvalóra” vonatkozik – de kevésbé érvényes a matematikát nyelvként használó természettudományokra, például a fizikára. A matematikusok megengedhetik maguknak, hogy az esztétika iszonyú hatalma elcsavarja a fejüket; az elméleti fizikusok azonban kénytelenek a kemény tényeknek biztosítani els˝obbséget. Félreértések elkerülésére: az esztétika hatalmának és a fikciók varázsának emlegetése nem jelenti a platonizmus valamilyen válfajának a pártolását. A matematika kétségkívül a tapasztalatból n˝ott ki, a platóni elképzelés pedig, hogy a világ matematikai elvek alapján van a priori megkonstruálva, szerintem az abszolút utáni végtelen metafizikai vágyódást fejezi ki – ugyanúgy, mint a (fizikailag megalapozott) antropocentrikus elv, egy olyan világ eszméje, amely pont az ember számára teremt˝odött meg. Erre a kérdésre az utolsó fejezetben még visszatérünk.

18

A SZÁMELMÉLET MILLENNIUMPROBLÉMÁI

alkotott modellünk. Ugyanakkor minden magyarázat, amely jelenségeket vagy más észleléseket számunkra kézenfekv˝ové tesz, ezáltal szintén „bizonyos realitást” nyer. A számok is ilyen magyarázatok részei: többé-kevésbé konkrét dolgoknak és azok egymás közötti összefüggéseinek leírásai, strukturált mutatói. A halmazelmélet absztrakt nyelve által nyújtott leny˝ugöz˝o látomás ellenére a matematika központi témáját mindig is a konkrét számtartományok és a közöttük definiált függvények képezték és fogják képezni. Régi mondás: a matematika a tudományok királyn˝oje ... .

A matematika királyn˝oje: a számelmélet Leopold Kronecker német matematikustól ered a következ˝o kijelentés: „Az egész számokat Isten teremtette, minden egyéb az ember m˝uve.”8 Azt jelenti-e ez, hogy a matematika igazságait pusztán kitalálják, nem pedig felfedezik? Kronecker talán így gondolta, de ezt már sokszor megcáfolták. Elvégre minden kitalálás egyben egy reális lehet˝oség felfedezése is – mert a kitalálás, ha nem lehetséges dologról szól, természetesen maga sem volna lehetséges. Egy biztos: a számoknak van valamilyen, fent körülírt valóságtartalmuk. A természetes számoknak mindenképpen – bár a természetben még senki nem látta o˝ ket. De a racionális, irracionális, transzcendens, s˝ot képzetes számoknak is van. Ugyanis mindegyikük a valóságról szerzett észleléseinket leíró elemként fordul el˝o. (Lehetséges, hogy ennek a „valamilyen valóságtartalomnak” az abszolút szabatos jellemzését egy komplementer fogalomhoz kapcsolódó határozatlansági reláció akadályozza meg 8

Eltekintve attól, hogy ez a kijelentés nem a logikai ellentmondás-mentesség iskolapéldája, élete során Kroneckert nem éppen az objektivitás és a tolerancia jellemezte – például amikor Georg Cantort, a halmazelmélet megalapítóját a végtelenség végtelen sok fokozatának bebizonyításáért kíméletlenül megtámadta; vagy amikor Ferdinand Lindemann-nak azt mondta: „Mire valók az Ön ügyes vizsgálatai a π számmal kapcsolatban? Miért foglalkozik ilyen problémákkal, hiszen irracionális számok nincsenek is?” (Ez 1882-ben történt, pontosan abban az évben, amikor Lindemann bebizonyította, hogy π transzcendens.)

A SZÁMELMÉLET MILLENNIUMPROBLÉMÁI

19

– lásd a kvantumfizika komplementer mennyiségeit, például hely és impulzus.) A számfogalom hagyományos felépítése N-t˝ol C-ig A különböz˝o számhalmazok megszerkesztése nagyon könnyen elvégezhet˝o, ha formailag a történelmi fejl˝odést követjük, amelynek során a számfajták egyenletek megoldáshalmazaiként adódtak. Manapság abban a helyzetben vagyunk, hogy a számkörök ezen b˝ovítéseinek vagy teljessé tételeinek a mechanizmusát strukturálisan követni tudjuk. El˝oször azonban nézzük meg, hogyan történtek a „szervesen kialakult” b˝ovítések, és tekintsük a következ˝o öt egyszer˝u egyenletet, ahol x a mindenkori ismeretlen: (1) x − 1 = 0, (2) x + 2 = 0, (3) 2x − 1 = 0, (4) x2 − 2 = 0 és (5) x2 + 1 = 0. Az (1) egyenlet, x − 1 = 0, megoldása x = 1, azaz egy természetes szám; 1 ∈ N. (A természetes számok halmazának jele N = {1, 2, 3, . . . }, és a természetes számok halmazáé a nullával együtt N0 = {0, 1, 2, 3, . . . }.) A (2) egyenlet, x + 2 = 0, megoldása úgy adódik, hogy az egyenlet mindkét oldalából kivonjuk a 2 számot. Az eredmény, x = −2, azonban már nem természetes szám; −2 ∈ / N0 . Felmerül a kérdés, hogyan kell N0 -t kib˝ovíteni, hogy a b˝ovített halmazban az ilyen egyenleteknek már legyen megoldásuk. Válasz: N0 -t úgy b˝ovítjük ki, hogy hozzávesszük a −n, n ∈ N0 alakú számokat, és a b˝ovebb számhalmazt az egész számok halmazának, Z-nek nevez-

20

A SZÁMELMÉLET MILLENNIUMPROBLÉMÁI

zük el. A (2) egyenlet tehát N-ben és N0 -ban nem oldható meg, de Z-ben már igen. A (3) egyenlet, 2x − 1 = 0, megoldása x = 12 , de ez nem egész / Z. Ismét felvet˝odik a kérdés, hogyan kell Z-t kib˝ovíszám, 12 ∈ teni, hogy a b˝ovített halmazban az ilyen egyenleteknek már legyen megoldásuk. Most az összes m/n, n 6= 0, viszonyszám vagy tört jön szóba. Ezeket együttesen a racionális számok halmazának nevezzük és Q-val jelöljük. Ha n = 1, akkor a Q halmaz Z-re redukálódik. A (4) egyenlet, x2 − 2 = 0, els˝o lépésben az x2 = 2 alakba írható. Vajon van-e olyan, természetes vagy egész m és n 6= 0 számokból képzett m/n tört, amelyre (m/n)2 = 2, azaz m2 = 2n2 teljesül? Nem, ilyen tört biztosan nem létezik – ezt Euklidész bizonyította be. Ez azonban azt jelenti, hogy a (4) egyenletnek a racionális számok között, vagyis Q-ban, nincs megoldása. A megoldás, amelyre √ végül mégis rátalálunk, irracionális, neve négyzetgyök 2, jele 2. Ez azt jelenti, hogy a törtek Q halmazát újra ki kell b˝ovítenünk, ezúttal az összes irracionális számmal. Így jutunk el a valós számok halmazához, R-hez. Egy ilyen tág számhalmaztól már elvárnánk, hogy minden elképzelhet˝o egyenletnek legyen benne megoldása. De távolról sincs így! Az (5) egyenletet, x2 + 1 = 0, az x2 = −1 alakban is felírhatjuk. Nincs azonban olyan valós szám, amelynek a négyzete negatív lenne, mert „mínusszor mínusz az plusz”. Az (5) egyenletnek tehát nincs valós – azaz R-beli – megoldása. Mi lehet a kiút? Helyes: megint egy b˝ovítés. Így jutunk el a komplex számok halmazához, amelyet C-vel jelölünk. (Az x2 = −1 egyenletre kés˝obb visszatérünk.) A számhalmazok b˝ovítési lépéseit az N0 ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

inklúziósorozat9 segítségével jegyezhetjük meg – a természetes számok (és a nulla) N0 halmaza és a négy b˝ovítési fokozat: Z (az 9

A ⊂ B vagy a ⊆ B azt jelenti, hogy a B halmaz tartalmazza az A halmazt.

A SZÁMELMÉLET MILLENNIUMPROBLÉMÁI

21

0.1.. ábra. Az N0 , Z, Q, R, C számhalmazok inklúziósorozata

egész számok halmaza), Q (a racionális számok halmaza), R (a valós számok halmaza) és C (a komplex számok halmaza). Minket f˝oleg a természetes, a valós és a komplex számok fognak érdekelni – vagyis az inklúziósorozatban a legkisebb halmaz, N0 , továbbá R és C. Természetes számok (N), oszthatóság, prímszámok A természetes számok körében az egyik centrális fogalom az oszthatóság (mely természetes számok oszthatók maradék nélkül más, 1-t˝ol és önmaguktól különböz˝o természetes számokkal?), a másik pedig a prímszám – olyan, 1-nél nagyobb természetes szám, amelynek nincs valódi, azaz 1-t˝ol és önmagától különböz˝o osztója. A prímszámok sorozata így kezd˝odik: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, . . . . Már Euklidész bebizonyította több mint kétezer évvel ezel˝ott, hogy e sorozat nem lehet véges – vagyis hogy nincs legnagyobb prímszám. Másrészt érvényes az aritmetika f˝otétele: minden természetes szám (a tényez˝ok sorrendjét˝ol eltekintve) egyértelm˝uen el˝oállítható prímszámok (illetve prímszámhatványok) szorzataként. A prímszámok eloszlására vonatkozó ilyen és más kérdések a legnehezebbek közé tartoznak. Ezek hosszú id˝on át tisztán elméleti természet˝uek voltak, ma azonban a prímszámokat már számos területen, például a kriptológiában is alkalmazzák.

22

A SZÁMELMÉLET MILLENNIUMPROBLÉMÁI

A valós számok (R) A valós számok R halmaza bizonyos értelemben annak a b˝ovítéssorozatnak a végén áll, amely az elképzelt objektumok leírásához szükséges. Mindenesetre tartalmazza az irracionális számokat is, amelyek nem állíthatók el˝o egész számok √ hányadosaként. Például az egységnégyzet átlójának hossza 2 hosszegység, és már láttuk, hogy a 2 szám négyzetgyöke nem racionális. A valós számok halmaza a szokásos alapm˝uveletekkel ellátva testet alkot – azaz olyan algebrai struktúrát, amelyben a jól ismert számolási m˝uveleteket el tudjuk végezni (a nullával való osztás tilos!) –, továbbá tudjuk, hogy R geometriai jelentése az egyenes vonal vagy számegyenes. Fontos fogalom két halmaz, A és B szorzathalmaza vagy Descartes-szorzata. Ez azoknak az (a, b) rendezett pároknak a halmaza, amelyeknek az els˝o komponense, a, az A halmaznak, második komponense, b pedig a B halmaznak egy eleme: A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}. A rendezett pár a és b komponensét az (a, b) ∈ A × B elem els˝o és második koordinátájának is fogjuk nevezni. Legyen most A = B = R, ekkor a Descartes-szorzat R × R vagy röviden R2 lesz: a valós a, b számokból álló (a, b) rendezett párok halmaza. Ennek a halmaznak is számunkra ismer˝os geometriai jelentése van, nevezetesen ez a „lineáris algebra és analitikus geometria” koordinátasíkja. Az R2 koordinátasíkot euklideszi síknak is nevezzük. Mivel a halmazszorzatképzés bármely két halmaz között értelmezve van, nehézség nélkül kapjuk az R3 , R4 , . . . és egész általánosan az Rn halmazt, vagyis a három-, négy-,. . . és általában az ndimenziós valós számteret, amelyeknek a geometriai ábrázolása a megfelel˝o (3, 4, . . . , n) dimenziójú euklideszi tér. A dimenzió fogalma már sejteti, hogy e terek elemeit vektoroknak foghatjuk fel – a kezd˝opontból kiinduló irányított nyilaknak, ahol maga a nyíl az ábrázolt elemre mutat.

A SZÁMELMÉLET MILLENNIUMPROBLÉMÁI

23

0.2.. ábra. Az (a, b) elem az R2 koordinátasíkon A komplex számok (C) Hogy is volt az az x2 + 1 = 0 egyenlettel és a valós számoknak komplex számokká való kib˝ovítésével? Az egyenlet √ megoldása 2 során azt kapjuk, hogy x = −1, és folytatva x = −1. Remélhet˝oleg ezt a matematikatanár nem látja, mert o˝ belénk sulykolta, hogy negatív valós számnak nincs négyzetgyöke. . . De ez a kíváncsi szellemeket sohasem akadályozta meg abban, hogy kísérletezzenek. A 16. században Geronimo Cardano orvos, matematikus és játékos felfedezte, hogy bizonyos harmadfokú [!!] egyenletek megoldásait könnyebb kiszámítani, ha – tisztán formálisan – negatív számok négyzetgyökeit is bevonjuk a játékba. Ezek a számok nem látszottak annyira igazinak, mint a valós számok, nem voltak valóságosak, ezért „képzetesnek” is nevezték o˝ ket (az elnevezés a mai napig fennmaradt). A képzetes egységet i-vel jelölték, vagyis azt kívánták, hogy i olyan szám legyen, amelyre i2 = −1.

√ Tehát i-vel (nem −1-gyel) jelölték az x2 = −1 egyenlet explicit megoldását. Az id˝ok során kiderült, hogy i-vel ugyanúgy lehet számolni, mint a közönséges számokkal. Ehhez definiálták a

24

A SZÁMELMÉLET MILLENNIUMPROBLÉMÁI

z komplex számokat mint egy a valós szám és i-szer (képzetes egységszer) egy b valós szám összegét, képletben z = a + ib; az a számot a z komplex szám valós részének, a b számot pedig z képzetes részének hívják. A komplex számok halmaza formálisan a következ˝oképpen írható fel: C = {z = a + ib | a ∈ R, b ∈ R, i2 = −1}. Két komplex szám összeadása és összeszorzása a megszokott módon történik: (a + ib) + (c + id) = a + c + ib + id = (a + c) + i(b + d) ∈ C és (a + ib)(c + id) = ac + aid + ibc + i2 bd = (ac − bd) + i(ad + bc) ∈ C.

Csak az i2 = −1 összefüggést kell felhasználni, amikor lehetséges. Továbbá könny˝u igazolni a következ˝oket: i3 = −i, i4 = 1, i5 = i, i6 = −1, i7 = −i, i8 = 1 stb. A z ∈ C komplex számokat általában mint (x, y) ∈ R × R = R2 valós számpárokat vezetik be illetve definiálják. Halmazként tehát C egyenl˝o az R × R Descartes-szorzattal. Ennek az a következménye, hogy az R2 , C halmazok a bennük értelmezett számolási szabályokkal (összeadás és szorzás, valamint a megfelel˝o fordított m˝uveletek: kivonás és osztás) ellátva azonos algebrai szerkezet˝uek – két egymással izomorf testet alkotnak, rövidítve: R2 ∼ = C. A „tiszta” valós számok pontosan az (x, 0) alakúak, és a (0, 1) komplex szám az i képzetes egység. C geometriai ábrázolása, amelyet Gauss-féle számsíknak hívnak, ekvivalens az R2 Euklidész-féle vagy Descartes-féle síkkal. Speciálisan minden z = (x, y) = x + iy komplex számnak megfelel az x, y koordinátákkal rendelkez˝o P(x, y) pont a Descartes-féle síkban (amelynek a tengelyei egymásra mer˝olegesek), és megfordítva. De a z = (x, y) = x + iy komplex szám alkalmas módon ábrázolható a Gauss-féle számsík vektoraként is – nevezetesen mint a kezd˝oponttól a P(x, iy) pontba mutató irányított nyíl (vektor),

A SZÁMELMÉLET MILLENNIUMPROBLÉMÁI

25

0.3.. ábra. A z = x + iy komplex szám ábrázolása a Gauss-féle számsíkon r = |z| abszolút érték˝u és ϕ argumentumú vektorral (az argumentum a vektornak a pozitív valós x-tengellyel bezárt szöge) amelynek abszolút értéke p r = |z| = x2 + y2

(Pitagorasz-tétel!), és ϕ-vel jelölt argumentuma a vektornak a pozitív valós x-tengellyel bezárt szöge (lásd a 3. ábrát). A komplex függvénytanban bebizonyítják az exp(iϕ) = cos ϕ+ i sin ϕ egyenletet, ebb˝ol pedig a komplex számok nagyon hasznos z = r exp(iϕ) normálalakja adódik, ahol 0 ≤ ϕ < 2π.10 A komplex számokkal végzett számolási m˝uveleteknek a Gauss-féle számsíkban a hozzájuk tartozó vektorok közötti geometriai m˝uveletek felelnek meg. Például két komplex szám szorzatát úgy kapjuk meg, hogy abszolút értéküket összeszorozzuk és argumentumu10

A szerz˝o Die Top Ten der schönsten mathematischen Sätze cím˝u könyvében a komplex számok normálalakja mellett a bizonyára legleny˝ugöz˝obb és legszebb matematikai képlet, exp(iπ) = −1 levezetése is szerepel.

26

A SZÁMELMÉLET MILLENNIUMPROBLÉMÁI

kat (szögüket) összeadjuk. Egy 1 hosszúságú vektorral való szorzás egyszer˝uen egy bizonyos szöggel történ˝o elforgatás. Egyébként az összes 1 abszolút érték˝u vektor alkotja a kezd˝opont körüli 1 sugarú kört, azaz az egységkört. A zn − 1 = 0 alakú egyenleteknek (ahol n ∈ N) minden megoldása ezen az egységkörön helyezkedik el. Így a 3. ábra egységkörén látható a z4 − 1 = 0 egyenlet összes megoldása, vagyis az 1, i, −1, −i negyedik egységgyökök. A komplex osztás különleges ínyencfalat. A reciprok érték képzése (z leképezése 1/z-re) – a vízszintes tengelyre való tükrözést˝ol eltekintve – az egységkörre vonatkozó inverzióból áll. Ez a leképezés például a két egyenes közötti helyet kitölt˝o, egyenl˝o nagyságú körökb˝ol a két kör közötti helyet kitölt˝o, különböz˝o nagyságú köröket csinál.11 Ez már így is nagyon szép, de igazán nagyszer˝uvé a hatványsorok bevezetésével válik. Képezzük egy x szám tetsz˝olegesen magas hatványait, szorozzuk meg o˝ ket ak együtthatókkal, és a szorzatokat adjuk össze; így egy a0 +a1 x+a2 x2 +· · ·+an xn alakú összeget kapunk, amelyet n-edfokú polinomnak nevezünk és P(x)-szel jelölünk. Mindegyik szám lehet komplex is, hiszen a szerepl˝o m˝uveletek velük is egyértelm˝uen elvégezhet˝ok. Minden n-edfokú polinomnak n zérushelye van – persze ezek a számok is lehetnek komplexek. Ezt mondja ki az algebra alaptétele, amelyet a 18. században több nagy matematikus, így Leonhard Euler és Joseph Louis Lagrange, hiába próbált bebizonyítani, és amelynek bizonyítása a húszéves Carl Friedrich Gaussnak sikerült 1797-ben. Ezt a tételt, amelyet „a komplex számok algebrai f˝otételének” is hívnak, a következ˝oképpen lehet megfogalmazni: Minden komplex együtthatós, pozitív fokú polinomnak létezik komplex zérushelye. Ebb˝ol következik, hogy minden ilyen P(x) polinomnak pontosan n zérushelye van: x1 , x2 , . . . , xn , és hogy a polinom 11

Részletes kidolgozás található a következ˝o dolgozatban: OMEGA, Spektrum Spezial 4/2003, „Wurden die komplexen Zahlen entdeckt oder erfunden?” (C. Pöppe). Definíciók és ábrázolások találhatók a dtv-Atlas Mathematik cím˝u m˝uben is (lásd az irodalomjegyzéket).

27

A SZÁMELMÉLET MILLENNIUMPROBLÉMÁI

n számú, x − xk alakú lineáris tényez˝ore (k = 1, 2, . . . , n) bomlik fel: P(x) = (x − x1 )(x − x2 ) . . . (x − xn ). E tulajdonság miatt azt is mondjuk, hogy C „algebrailag zárt”. Ha végtelen sok tag van, akkor határértékek lépnek fel – ezek komplex számoknál nem különböznek lényegesen a valós számok esetét˝ol. Minden függvény, amely kifejezhet˝o egy 2

n

a0 + a1 x + a2 x + · · · + an x + · · · =

∞

∑ ak xk

k=0

végtelen hatványsorral, komplex x értékekre is értelmezve van. „Lehetetlen” és „haszontalan” dolgokkal foglalkozik-e az így kialakított formalizmus, ahogy azt a filozófusok ismételten állították? Vagy éppen ellenkez˝oleg, a természet leírásánál a komplex számoknak „bizonyos fokú realitásuk” van? A választ nem sokáig kell keresni. Egyrészt azért, mert az oszthatóság és a prímszámeloszlás „természetes” problémáját a komplex függvénytan segítségével lehet a legjobban megközelíteni. Másrészt mert manapság a komplex számok a matematika elektrotechnikai, aerodinamikai, hidrodinamikai és kvantumelméleti alkalmazásainak is alapvet˝o eszközei, és ezen alkalmazások központi problémáit éppen a millenniumproblémákban láthatjuk viszont.

A Szent Grál: a Riemann-sejtés Leonhard Euler már 1737-ben észrevette, hogy a ζ(x) = 1 +

1 1 1 1 1 + + + + + . . . (x valós és x > 1) 2x 3x 4x 5x 6x

sort, amely reciprok értékekb˝ol álló végtelen összeg és zetafüggvénynek hívják, fel tudja használni prímszámokkal kapcsolatos eredmények bizonyítására (ζ a görög z bet˝u, neve „zeta”). Euler bebizonyította azt a tételt, amely szerint a prímszámok reciprok

28

A SZÁMELMÉLET MILLENNIUMPROBLÉMÁI

értékeinek összege divergens sort alkot:12 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + · · · = ∞. 2 3 5 7 11 13 17 Ez a tétel egyrészt azt mondja ki, hogy végtelen sok prímszám létezik – amit már Euklidész bizonyítása óta tudunk, másrészt azonban azt is megmutatja, hogy a prímszámok a természetes számok között viszonylag s˝ur˝un fordulnak el˝o (például s˝ur˝ubben, mint az 1, 2, 4, 8, . . . négyzetszámok, hiszen az ezek reciprok értékeib˝ol álló sor konvergál). Ráadásul Euler a zetafüggvényt összeg helyett olyan szorzatként is fel tudta írni, amelyben minden prímszám el˝ofordul: ζ(x) = 1/(1 − 2−x )(1 − 3−x )(1 − 5−x )(1 − 7−x )(1 − 11−x ) . . . Bernhard Riemann 1859-ben megjelent, „Egy adott értéknél kisebb prímszámok számáról” cím˝u nyolcoldalas dolgozatában Euler ötleteinek továbbfejlesztésével megalapozta az analitikus prímszámelméletet. Többek között kiterjesztette a zetafüggvényt az s ∈ C komplex számokra. Ebben a m˝uvében Riemann megfogalmazott egy sejtést, amely mindmáig a legmakacsabb bizonyítási és cáfolási kísérleteknek is ellenállt: a prímszámok számított gyakoriságától a tényleges számuk pontosan olyan gyakran tér el, mint amilyen gyakran egy érme ismételt feldobásakor az írások és fejek számában egyensúlytalanság következik be. Más szóval: a Riemann-sejtés szerint a prímszámok fellépése ugyanazokat a törvényeket követi, mint a véletlen események. Ez a sejtés volt az 1900. évben Hilbert által megfogalmazott 23 probléma közül 12

Ennek a sornak az összege nem létezik, azaz végtelen nagy (∞). Divergens sorra híres példa a „harmonikus sor”, amelynek tagjai a természetes számok reciprokjai. Ezzel szemben az 1+

1 1 1 + + +... 2 4 8

geometriai sor konvergens; összege 2. Ez a jól ismert 1 + q + q2 + q3 + . . . geometriai sornak (ahol q < 1) egy speciális esete; összege 1/(1 − q).

A SZÁMELMÉLET MILLENNIUMPROBLÉMÁI

29

a nyolcadik, és egyedül ez nincs még megoldva. Ez a hét millenniumprobléma közül a legrégibb. Továbbra is – az id˝oközben Riemann-félének elnevezett – zetafüggvény tulajdonságairól van szó, komplex s értékek mellett: ζ(s) = 1 + 1/2s + 1/3s + 1/4s + 1/5s + . . . Meglep˝o módon a zetafüggvényt a matematikusok igazából nem függvényként használják, azaz nem receptként, amellyel egy s komplex számhoz meg lehet találni a ζ(s) függvényértéket; ez tulajdonképpen senkit nem érdekel. E függvényt inkább eszköznek tekintik, hogy végtelen sok szám tulajdonságait áttekinthet˝o formában összefoglalják, és bel˝olük további tulajdonságokat vezessenek le. A Riemann-féle zetafüggvény szorzatalakja komplex s esetén ugyanúgy írható fel, mint az Euler-féle szorzat: ζ(s) = 1/(1 − 2−s )(1 − 3−s )(1 − 5−s )(1 − 7−s )(1 − 11−s ) . . . . Ebb˝ol kiindulva vizsgálta Riemann a prímszámok eloszlását, és bámulatosan pontos becsléseket kapott. Hány prímszám található n-ig? Ha x ≥ 2 egy valós szám, akkor π(x)-szel jelöljük mindazon p prímszámok számát, amelyekre 2 ≤ p ≤ x.13 A múlt században a prímszámok eloszlásáról kiterjedt elméletek születtek. Ezek közül a legismertebbet a „prímszámtétel” alapozta meg, amelyet 1792-ben egymástól függetlenül Carl Friedrich Gauss és Adrien-Marie Legendre mondott ki sejtésként, és csak mintegy száz évvel kés˝obb (1896-ban) – megint egymástól függetlenül (de egy Riemann-dolgozatból kiindulva) – Jacques Hadamard és Charles de la Vallée-Poussin bizonyított be a komplex függvénytan eszközeivel. A tétel azt állítja, hogy nagy A π(.) függvény argumentumát x-nek és nem n -nek írjuk, mivel π(x)-et valós függvények segítségével lehet kifejezni, ahogy ezt mindjárt látni fogjuk. Továbbá nem fenyeget az a veszély, hogy π(x)-et összetévesztjük a π számmal. 13

30

A SZÁMELMÉLET MILLENNIUMPROBLÉMÁI

x értékekre az x-nél kisebb prímszámok száma egyre jobban közelíthet˝o az x/ ln x kifejezéssel (az ln x kifejezés x természetes logaritmusát jelenti), képletben: π(x) ≈

π(x) x vagy másképpen: lim x→∞ x/ ln x ln x

(„π(x) és x/ ln x egymással aszimptotikusan egyenl˝o”, azaz x → ∞ esetén, vagyis a végtelenben, a két függvény egyformán viselkedik). Csakugyan, x növekedésével x/ ln x egyre jobban közeledik a π(x) tényleges értékhez, amint ezt az 1. táblázatban a két függvény hányadosa mutatja. Létezik egy második, szigorúbb prímszámtétel is, amely még jobb közelítést ígér π(x)-re, mint az x/ ln x. Ez úgy szól, hogy π(x) aszimptotikusan az x

L(x) =

1 ∑ ln k k=2

függvénnyel állítható el˝o. Az 1/ ln x tagot felfoghatjuk „prímszáms˝ur˝uségként”, illetve annak a „valószín˝uségeként, hogy x aszimptotikusan prímszám”. Végeredményben a π(x) ∼ L(x) ∼ x/ ln x aszimptotikus összefüggést kapjuk. Lehet keresni még jobb közelítéseket is – és itt érkezünk vissza a Riemann-féle zetafüggvényhez. A prímszámok eloszlására vonatkozó tételekben szerepelnek a zetafüggvény zérushelyei, vagyis azok a (komplex) s értékek, amelyekre ζ(s) = 0. Mármost a zérushelyeknek két fajtája van: a „triviális zérushelyek” a negatív páros egész számok (s = −2, −4, −6, . . . ), míg a „nem triviális zérushelyek” valós része 0 és 1 közé esik. Ennyi bizonyos.14 14

Még az úgynevezett triviális zérushelyeket sem könny˝u kiszámítani, szükség van hozzá a komplex függvénytan eszközeire, amelyek általában leghamarabb a f˝oiskolai tanulmányok harmadik félévi anyagában szerepelnek.

31

A SZÁMELMÉLET MILLENNIUMPROBLÉMÁI

x 2 10 102 103 104 105 106 107 108 109 1010

π(x) 1 4 25 168 1229 9592 78498 664579 5761455 50847534 455052512

x/ ln x

π(x) x/ ln x

2, 885 4, 343 2, 174 × 10 1, 449 × 102 1, 086 × 103 8, 695 × 103 7, 238 × 104 6, 204 × 105 5, 429 × 106 4, 825 × 107 4, 343 × 108

0, 347 0, 921 1, 150 1, 159 1, 132 1, 103 1, 085 1, 071 1, 061 1, 054 1, 048

0.1.. táblázat. A prímszámok száma (a π(x) tényleges érték és a prímszámtétel szerinti x/ ln x érték) 2 és x között, valamint a két érték hányadosa.

És éppen a nem triviális zérushelyekben rejlenek egy olyan függvényre („logaritmikus integrál”) vonatkozó részletes információk, amely az x-nél kisebb prímszámok számát még sokkal jobban megközelíti, mint az eddigi approximációk. Riemann „nagyon valószín˝unek” tartotta, hogy a zetafüggvény nem triviális zérushelyeinek valós részei mindannyian 1/2-del egyenl˝ok – speciálisan, hogy mindezek a zérushelyek egy egyenesen fekszenek. Ez a Riemann-sejtés. Ellenpéldát senki nem talált. Kiterjedt gépi számolásokkal meghatározták a zetafüggvény els˝o 1,5 milliárd nem triviális zérushelyét, és mindegyiknek a valós része 21 . De mit segít ez? „A számelmélet tele van olyan sejtésekkel, amelyek kézenfekv˝ok és amelyeket látszólag leny˝ugöz˝oen sok számítás támaszt alá, mégis hamisak” – állítja Andrew Odlyzko matematikus, aki mindenki másnál többet foglalkozott a zetafüggvény zérushelyeivel.

32

A SZÁMELMÉLET MILLENNIUMPROBLÉMÁI

Ha a Riemann-sejtés igaznak bizonyul – és alig van, aki ebben komolyan kételkedne –, akkor ennek mélyreható következményei lesznek a számelméletben és a matematikán túl is, egészen a kvantumkáosz-elméletig. Az utat a kvantumkaotikus fizika fogja megmutatni? Amióta a Clay Matematikai Intézet a bizonyításra egymillió dolláros díjat t˝uzött ki, a megoldásra irányuló er˝ofeszítések – úgy látszik – új lendületet vettek. Sokasodnak a jelek, hogy valaki hamarosan besöpörheti a pénzt. „Az az érzésem, hogy a problémát a következ˝o években megoldják”, véli Michael Berry a bristoli egyetemr˝ol. A sikert várhatóan az úgynevezett „kvantumkáosz” elmélete, a kvantummechanika és a káoszelmélet avantgárd kombinációja fogja meghozni – egy merész képzettársítás, amelyre Hugh Montgomery matematikus és Freeman Dyson fizikus egy délutáni teázás közben jutott, amikor megállapították, hogy a zetafüggvény zérushelyei közötti távolságok pontosan úgy viselkednek, mint az energiaszintek távolságai a kvantumkaotikus rendszerekben. Tudvalev˝oleg a kvantummechanika lényegéhez tartozik, hogy objektumai a határozatlansági relációnak vannak alávetve, és tulajdonságaikat csak valószín˝uségekkel lehet leírni. Peremfeltételekt˝ol függ˝oen adódhatnak világosan meghatározható valószín˝uségek, de kaotikus folyamat is el˝oállhat – amelynél egy elektron tartózkodási valószín˝usége gyakran éppoly kevéssé meghatározható, mint az olyan golyó pályája, amely makrofizikai-kaotikus hatás alatt áll, ahogyan a 4. ábra mutatja. Mármost, ha létezne olyan kvantumkaotikus elrendezés, amelynek az energiaszintjei egzaktul megegyeznek a zetafüggvény zérushelyeivel, akkor a Riemann-sejtés igazolva lenne. Alain Connes francia matematikus nemrég kieszelt egy rendszert, amely megfelelhet. Nyitva maradt azonban a kérdés, hogy nincs-e néhány többletzérushely, amelyhez nem lehet energiaszintet rendelni. A probléma várhatóan hamarosan mégis megoldódik. Nem

A SZÁMELMÉLET MILLENNIUMPROBLÉMÁI

33

0.4.. ábra. Egy makrofizikai-kaotikus modell ábrázolása: kemény akadályokon szóródó kemény golyók pályainstabilitása – a kezdeti feltételek legkisebb eltérései teljesen eltér˝o golyópályákra vezetnek.

ez lenne az els˝o eset, hogy matematikai elgondolások a modern fizikától kapnak dönt˝o lökést.

Egészszámúság: Birch és Swinnerton-Dyer sejtése Birch és Swinnerton-Dyer sejtésében olyan egyenletek egész számú megoldásairól van szó, amelyekben az ismeretleneken kívül csak egész számok, a négy alapm˝uvelet és a hatványozás fordul el˝o. Már David Hilbert listáján szerepelt olyan eljárás keresése, amellyel eldönthet˝o, hogy egy fenti típusú egyenlet megoldásai egész számok-e. 1970-ben azonban Jurij Matijaszevics szovjet matematikus bebizonyította, hogy általánosan érvényes módszer erre nem létezhet. Speciális esetekben viszont nagyonis találhatók megfelel˝o állítások. A témakörben Brian Birch és Peter Swinnerton-Dyer brit matematikusok az 1960-as években kiterjedt számítógépes vizsgálatokat végeztek.

34

A SZÁMELMÉLET MILLENNIUMPROBLÉMÁI

Egy kiindulópont, sok általánosítás A matematikusokat minden korban foglalkoztatta a feladat, hogy megtalálják és jellemezzék egy algebrai egyenlet, például a2 + b2 = c2

(0.1)

összes egész számú a, b, c megoldását.15 Utóbbiak alkotják az úgynevezett pitagoraszi számhármasokat. Ezen egyenlet harmadik, negyedik stb. hatványra való általánosítása vezetett el kés˝obb az an + bn = cn (a, b, c és n egészek, n ≥ 3) Fermat-egyenlethez, valamint Fermat utolsó tételének16 Andrew Wiles által adott bizonyításához. Vannak más irányú általánosítások is. De kezdjük néhány el˝okészülettel. Az egészszámúságtól a racionálisságig Az (0.1) Pitagorasz-egyenletben minden tagot eloszthatunk a c2 (6= 0) mennyiséggel: (a/c)2 + (b/c)2 = 1. Az x = a/c és y = b/c jelöléssel kapjuk: x2 + y2 = 1.

(0.2)

Az a, b, c egész számokkal ellentétben x és y tört, azaz racionális szám. Megfordítva, ha találunk egy (x, y) megoldást, amely racionális számokból áll, akkor ezek a számok egy c közös nevez˝ore hozhatók. A nevez˝ok eltávolítása után az a2 + b2 = c2 egyenletnek egy egész számokból álló megoldását kapjuk. Tehát az (0.1) 15

Azokat az egyenleteket, amelyeknek az egész számú megoldásait keressük, diofantoszi egyenleteknek is nevezzük. Az alexandriai Diofantosz volt a matematikatörténetben a számelmélet els˝o m˝uvel˝oje. Kr. u. 250 körül élt. 16

Lásd a „Mostanában bebizonyított híres sejtések” cím˝u fejezetet.

A SZÁMELMÉLET MILLENNIUMPROBLÉMÁI

35

egyenlet egész számokból álló megoldásainak megtalálása ekvivalens a (0.2) egyenlet racionális számokból álló megoldásainak megtalálásával. A (0.2) egyenlet a Descartes-féle sík úgynevezett egységkörét írja le, vagyis azt az 1 sugarú kört, amelynek középpontja az x és y koordinátatengely kezd˝opontja (lásd az 5. ábrát). Az x abszcisszájú és y ordinátájú P pont derékszög˝u háromszöget határoz meg, amelynek átfogója 1, befogói pedig x és y. Most a probléma úgy fogalmazható meg, hogy keressük a körön fekv˝o összes racionális pontot, azaz minden olyan pontot, amelynek az x és y koordinátája racionális szám. Érvényes a következ˝o tétel: az (x = −1, y = 0) megoldástól eltekintve az összes többi racionális megoldást úgy kapjuk meg, hogy az 2t 1 − t2 és y = x= 1 + t2 1 + t2

(0.3)

képletben t helyébe racionális értékeket helyettesítünk. A t racionális számból x-et és y-t a négy alapm˝uvelet segítségével kapjuk, tehát ezek is racionális számok lesznek. Az, hogy a (0.3) képletek valóban a (0.2) egyenlet megoldásait szolgáltatják, egyszer˝u behelyettesítéssel igazolható. Ha a kitev˝o 2, az x2 + y2 = 1 egyenlet racionális megoldásait megtalálni még viszonylag egyszer˝u feladat, mert a kör tulajdonságai jól áttekinthet˝ok. Összehasonlíthatatlanul nehezebb azonban az xn + yn = 1 egyenlettel jellemzett görbe racionális koordinátájú pontjainak meghatározása (n > 2). (A 6. ábrán az x3 + y3 = 1 egyenlettel megadott Fermat-görbe látható.) Az ekkor kapott görbe már nem rendelkezik a kör kedvez˝o tulajdonságaival, és vizsgálata nem látszik egyszer˝ubbnek, mint a kiindulási egyenleté, s˝ot kifejezetten nehézkes volta arra vezetett, hogy e problémák közül sok csak évszázadok múltán nyert megnyugtató megoldást. A matematikusok elkezdtek olyan járulékos struktúrákat keresni, amelyek nem adódnak közvetlenül a görbe geometriájá-

36

A SZÁMELMÉLET MILLENNIUMPROBLÉMÁI

0.5.. ábra. Egységkör – a (0.2) egyenletet kielégít˝o P(x, y) pontok halmaza; x és y valós.

0.6.. ábra. Fermat-görbe n = 3-ra; egyenlete x3 + y3 = 1. ból. Azt remélték, hogy a viszonyoknak a járulékos struktúra által eredményezett nagyobb összetettsége hasznos mintákra fog

A SZÁMELMÉLET MILLENNIUMPROBLÉMÁI

37

fényt deríteni, és végül eredményt hoz. Egy másik megközelítési módnál a problémát úgy általánosították, hogy megengedtek tetszés szerinti kétváltozós polinomot. Kiderült azonban, hogy ez az általánosítás nem megy elég messzire. Valójában még sokkal több struktúrára van szükség – úgy látszik, a görbék egymagukban nem tartalmaznak elég sok hasznos mintát. Bármilyen paradoxul is hangzik: ha az alapul vett egyszer˝u kérdéseknek nincs triviális megoldásuk, akkor el˝oször alaposan túl kell bonyolítani o˝ ket, miel˝ott egyáltalán remény lenne a kielégít˝o válaszra! Komplex változók, térbeli felületek és az egyenletek neme Jött tehát egy további általánosítás, amely az egyenlet x, y változóit többé nem valós, hanem komplex érték˝unek tekinti. Az egyenlet ekkor síkbeli görbe helyett térbeli felületet határoz meg, viszont a komplex számok és függvények minden el˝onye kihasználható.17 Ezenkívül teljes egészében támaszkodni lehet a zárt, irányítható felületek topológiájára, és e felületekre már van egy bebizonyított osztályozási tétel, amely kimondja, hogy minden zárt, irányítható felület topológiailag ekvivalens egy fülekkel ellátott gömbfelülettel. A fülek számát a felület „nemének” hívják.18 Az xn + yn = 1 egyenlet nemére (n − 1)(n − 2)/2 adódik (ez egész szám, mert valamelyik tényez˝o osztható 2-vel). Kiderült, hogy az egyenlet racionális megoldásainak meghatározására vonatkozó probléma szorosan összefügg az egyenlet 17

Lásd például a szerz˝o Die Top Ten der schönsten mathematischen Sätze cím˝u zsebkönyvét (speciálisan a „Der Fundamentalsatz der Algebra” cím˝u fejezetet). Ezen alaptétel szerint, amelyet „a komplex számok algebrai f˝otételének” is hívnak, C egy algebrailag zárt test. Ráadásul igénybe lehet venni a komplex függvénytan nagyon termékeny analitikus módszereit (éppen ezért vizsgálják a prímszámok eloszlását komplex függvénytani eszközökkel; lásd még a Riemannsejtésr˝ol szóló szakaszt). 18

Ha a felület a leírt módon valamilyen egyenletb˝ol származik, egészen természetes és kézenfekv˝o ezt a számot „az egyenlet nemének” nevezni. Lásd például a szerz˝o Abenteuer Mathematik cím˝u zsebkönyvét (különösen a „Basar des Bizarren” cím˝u fejezetet).

38

A SZÁMELMÉLET MILLENNIUMPROBLÉMÁI

0.7.. ábra. Két elliptikus görbe. Bár a bal oldali függvény grafikonja két görberészre esik szét, az alakzatot egyetlen görbének tekintjük. A jobb oldali függvény grafikonja önmagát metszi a kezd˝opontban. nemével. Minél nagyobb a nem, annál bonyolultabb a felület geometriája, és annál nehezebb racionális pontokat találni. A legegyszer˝ubb a 0 nem tárgyalása, például a pitagoraszi x2 + y2 = k egyenleteké. Itt csak két lehet˝oség van: az egyenletnek vagy van racionális megoldása, vagy egyáltalán nincsen, mint például a k = −1 esetben. Az el˝obbi esetben – hasonlóan az egységkör esetéhez – egyértelm˝u megfeleltetést lehet létesíteni az összes t racionális szám és a megfelel˝o görbe összes racionális pontja között. Itt tehát végtelen sok racionális megoldás létezik, és mindegyiket a t-megfeleltetés útján lehet kiszámítani. Elliptikus görbék, és ezek pontjainak struktúrája A dolgok már az 1 nem esetében is sokkal bonyolultabbak. Azokat a görbéket, amelyeket 1 nem˝u egyenlet határoz meg, „ellip-

A SZÁMELMÉLET MILLENNIUMPROBLÉMÁI

39

tikus görbéknek” nevezzük, mivel ellipszisívek számításánál lépnek fel.19 (Két példa a 7. ábrán látható.) Itt megtörténhet ugyanaz, mint a 0 nem˝u görbéknél, nevezetesen, hogy egy elliptikus görbének esetleg egyetlen racionális pontja sincs. Ha viszont van, akkor mindig található a görbén véges számú racionális pont, amelyekb˝ol egyszer˝u explicit számolási eljárással az összes többi megkapható annak ellenére, hogy a racionális pontok száma véges és végtelen is lehet. Ezt Lewis Mordell angol matematikus fedezte fel a huszadik század elején. Így hát, még ha a görbén végtelen sok racionális pont is van, ezek valamilyen struktúrát, mintát alkotnak. Egy E elliptikus görbe általános algebrai alakja az x, y változókban y2 = x3 + Ax2 + Bx +C, és ez a Descartes-féle (x, y) síkban görbével ábrázolható. Az A, B, C egész számú együtthatóknak ki kell elégíteniük bizonyos feltételeket. A számelmélet m˝uvel˝ojét nemigen érdeklik az elliptikus görbék formás ívei, sokkal inkább a hozzájuk tartozó algebrai egyenletet kielégít˝o (x, y) számpárok halmaza. És ezek a megoldások valamilyen mintát követnek – struktúrájuk van. Egy bizonyos képlet segítségével ugyanis két ilyen számpárhoz (ponthoz) mindig meghatározható egy harmadik, amelyet az eredeti kett˝o összegének hívnak, minthogy az így definiált kapcsolatra teljesül az összeadás minden klasszikus számolási szabálya. Egy elliptikus görbe összes pontjának halmaza tehát „csoport” az elemi algebrában szokásos értelemben.20 Egy elliptikus görbe két racionális pontjának összege ismét racionális pont (két tört összege is tört). Ennélfogva a racionális 19

Az elliptikus görbéknek számos szép tulajdonságuk van, ami nagyon hasznossá teszi o˝ ket a számelméletben. Ezen alapulnak például a nagy számok szorzatfelbontásának gyors módszerei. 20

A csoportfogalom elemi tárgyalását lásd például a szerz˝o Abenteuer Mathematik cím˝u zsebkönyvében.

40

A SZÁMELMÉLET MILLENNIUMPROBLÉMÁI

pontok részcsoportot alkotnak az elliptikus görbe összes pontjából álló (b˝ovebb) csoportban. Mindkét csoportra alkalmazhatók a csoportelmélet kiterjedt módszerei, amelyek mindenekel˝ott a csoportok kisebb alkotórészekre történ˝o felbontására szolgálnak. A racionális pontokból álló, fent említett részcsoport felbontható egy T véges csoportra és az egész számok jól ismert Z csoportjának r számú példányára.21 Az r egész számot a görbe „rangjának” nevezik. Ennyit az elliptikus görbék pontjainak struktúrájáról – ez azonban önmagában véve nem nyújt elegend˝o ismeretet a racionális megoldások meghatározásához. A Birch és Swinnerton-Dyer által az 1960-as években végzett kiterjedtebb, számítógépes vizsgálatok nem magukra az elliptikus görbékre vonatkoztak, hanem a hozzájuk rendelt (az s komplex változótól függ˝o) úgynevezett L-függvényekre: E elliptikus görbe → hozzá tartozó LE (s) L -függvény, s ∈ C. Ezek az L-függvények a ζ(s), s ∈ C, Riemann-féle zetafüggvény közeli rokonai. Birch és Swinnerton-Dyer sejtése Ezeknek az L-függvények segítségével most meg lehet fogalmazni Birch és Swinnerton-Dyer sejtését. A két matematikus ugyanis megállapította, hogy minden általuk vizsgált példában az E elliptikus görbéhez tartozó L-függvény, LE , felvilágosítást adott arról, hogy E-nek van-e végtelen sok (x, y) ∈ Q2 racionális pontja. És ez pontosan akkor következett be, amikor LE (1) = 0 volt. Így kimondták azt a sejtést, hogy ez általában is érvényes. Vagyis ha az LE függvénynek az 1 pontban zérushelye van, akkor az E elliptikus görbének végtelen sok racionális pontja kell hogy legyen, ha pedig LE (1) 6= 0, akkor E-nek csak véges sok ilyen pontja lehet. Mivel az E elliptikus görbe r rangjának fogalmát már bevezettük, segítségével pontosíthatjuk Birch és Swinnerton-Dyer sejté-

21

Ez egy önmagában is mélyreható matematikai tétel, amelyet 1901-ben Henri Poincaré mondott ki sejtésként és 1922-ben Lewis Mordell bizonyított be.

A SZÁMELMÉLET MILLENNIUMPROBLÉMÁI

41

sét: pontosan akkor lesz az E elliptikus görbe rangja r, ha LE (s)nek az s = 1 helyen r-szeres zérushelye van.22 A Birch és Swinnerton-Dyer sejtésével kapcsolatban kidolgozott módszerekkel legalábbis remélni lehet, hogy racionális megoldásokra bukkanunk. Az utóbbi évtizedekben elért mélyreható eredmények közül példaként megemlítjük Leonhard Euler 1769ben megfogalmazott sejtését, amely szerint az x4 + y4 + z4 = t 4 egyenletnek nincs nemtriviális megoldása. 1988-ban N. Elkies matematikus az addig kifejlesztett módszerekkel a 26824404 + 153656394 + 187967604 = 206156734 speciális megoldást találta. Érvei arra utalnak, hogy az Euleregyenletnek végtelen sok megoldása van. Így remélhet˝o, hogy Birch és Swinnerton-Dyer sejtésének bizonyítása is mélyebb bepillantást fog nyújtani az általános problémába.

22

Azaz ha LE (s)/(s − 1)r határértéke nem egyenl˝o 0-val, amikor s tart 1-hez. Az utóbbi 25 évben e téren elért eredményekr˝ol lásd Barry Cipra áttekint˝o cikkét az OMEGA Spektrum Spezial folyóirat 4/2003 számában.

A topológia millenniumproblémái

Topológia, geometriák és algebraizálásuk A topológia a geometriának egy rendkívül szokatlan, egzotikusnak t˝un˝o ága. A szokatlanság abban áll, hogy az ismer˝os és nyilvánvaló jelenségekkel – például a geometriai alakzatok formájával és méretével – nem tör˝odünk, hanem helyettük számos, gyakran egyáltalán nem látható, szinte rejtett tulajdonságot veszünk figyelembe. Ez szokatlan gondolatkísérleteket igényel és alkalmanként nagyon bonyolultnak t˝unhet, de alapjában véve nem az – csak, mint mondtuk, szokatlan. Minthogy azonban a szokatlan gondolatmeneteket nem lehet megszokottakkal tetszés szerint helyettesíteni – különben nem lenne bennük semmi szokatlan –, a matematikai fikciók megértéséhez sajnos nem vezet királyi út. A topológiában szükséges megfontolások hosszú id˝on át még a hivatásos matematikusok számára is szokatlanok és így nehezek voltak. Végtére is ez a tudományág a maga alig 100 évével nagyon fiatal az euklideszi geometriához képest. A topológia (toposz görögül hely, logosz görögül tudomány) a matematika önálló, fontos részévé fejl˝odött. Központi kérdése: a geometriai (vagy geometriailag értelmezhet˝o) objektumok mely tulajdonságai maradnak „plasztikus deformáció” során változatlanok (invariánsak)?23 Változásként (egyel˝ore) csak a hajlítás, nyújtás, összenyomás és csavarás – a plasztikus deformációk (más 23

Az emberek felfedezték, hogy különféle területeken, sokféle változás közepette létezik valamilyen állandóság. Ez a sajátosság megjelenik a buddhizmus

44

A TOPOLÓGIA MILLENNIUMPROBLÉMÁI

néven topologikus transzformációk vagy folytonos leképezések) specifikus elemei – vannak megengedve. Feltesszük, hogy a deformált objektum teljesen rugalmas és akárhány ilyen manipulációt sértetlenül kibír – pusztán gondolatban. A topológia tehát az alakzatok azon geometriai tulajdonságaival foglalkozik, amelyek plasztikus deformáció során megmaradnak – amelyek topologikus transzformációval (folytonos leképezéssel) szemben invariánsak. Az ilyen tulajdonság topologikus invariáns – az alakzat mélyen fekv˝o geometriai tulajdonsága. Valójában a változás közben mutatkozó (bizonyos transzformációkkal szembeni) invariancia fogalma a matematika sok más területén ugyanilyen alapvet˝o fontosságú. Például centrális szerepe van a csoportelméleti szimmetriavizsgálatokban. Felix Klein 1872b˝ol származó híres „erlangeni programja” célul t˝uzte ki a különböz˝o ismert geometriafajtáknak az invarianciafogalom segítségével történ˝o rendezését és egységesítését. A topológia a plasztikus deformáció kifejezésnek köszönheti a „gumigeometria” gúnynevet. Például egy gumiabroncs felületi pontjai megtartják egymáshoz viszonyított helyzetüket – teljesen függetlenül attól, hogy az abroncs milyen er˝os nyújtást, hajlítást vagy csavarást szenved el; a pontok szomszédsági viszonyai megmaradnak. Gumigeometria helyett mondhatnánk szomszédsági vagy környezeti geometriát is. A plasztikus deformáció tehát (egyel˝ore) kizárja azokat a m˝uveleteket, amelyek az objektum – mindig csak képzeletbeli – elvágásával vagy szétszakításával járnának. Ezzel szemben teljes mértékig meg van engedve az alakzat elvágása olyan transzformációk végrehajtásához, amelyek másképpen nem volnának lehetségesek. Ennek feltétele, hogy a vágási éleket utólag megint össze lehessen illeszteni és „ragasztani” úgy, hogy a felvágás el˝ott egymáshoz közel elhelyezked˝o pontok az eljárás végén is szomszédosak legyenek. Ezeket a m˝uveleteket (plasztikus deformáció, elvágás és összeragasztás) a topológusok formálisan, szávallásfilozófiai tanaiban, a kubista festészeti stílusban, valamint a matematika területén a topológiában.

A TOPOLÓGIA MILLENNIUMPROBLÉMÁI

45

0.8.. ábra. Egyszer˝u zárt görbe, amely a Jordan-féle görbetétel szerint a síkot egy bels˝o és egy küls˝o részre osztja. A P pont belül vagy kívül fekszik? És Q?

molással hajtják végre. Ilyesfajta, de összehasonlíthatatlanul szelídebb számolási módszerekkel elemi fokon már a gimnazista is találkozik, amikor megismerkedik a konvergens sorozatokkal és az egyváltozós valós függvények differenciálszámításával. A számolás minden lényeges lépése „határátmeneteket” használ fel – azaz egy vizsgálandó helyhez történ˝o tetszés szerinti közelítéseket. Ha a topológia egyfajta gumigeometria, akkor mi különbözteti meg a megszokott, merev euklideszi geometriától? A geometria eredetileg földmérést jelentett. Ebben gyökeredzett a kés˝obb Euklidész által felépített geometria, amelyet a régi egyiptomiak fejlesztettek ki több mint két és fél ezer évvel ezel˝ott földjeik felmérése és házak építése céljából. Itt távolság- és szögmérések állnak az el˝otérben, a „metrika” (vagy távolságfüggvény) uralkodik. Viszont a topológiában ez másként van: a speciális küls˝o forma, a kiterjedés és a távolságok lényegtelenek. A topológia a geometriai létezés invariáns vonásait vizsgálja. Számára például a kör csupán reprezentánsa az

46

A TOPOLÓGIA MILLENNIUMPROBLÉMÁI

egyszer˝u zárt görbéknek, amelyeknek egyértelm˝uen meghatározott belsejük és külsejük van (ez a tulajdonság a Camille Jordanról elnevezett Jordan-féle görbetétel állítása). Ennek a típusnak egy másik reprezentánsa a 8. ábrán feltüntetett egyszer˝u zárt görbe, amely a síkot szintén egy bels˝o és egy küls˝o részre osztja. Topológiai szempontból nem játszik szerepet, hogy egy ilyen görbét tekintünk, vagy egy ellipszist vagy egy egyszer˝u kört. Ez viszont azt jelenti, hogy bonyolult képz˝odményeket struktúratartó topologikus transzformációk segítségével egyszer˝u, áttekinthet˝o alakzatokká változtatunk, tehát bonyolultat egyszer˝ure tudunk visszavezetni – a lényeges részletek elvesztése nélkül. Absztrakció mint egyszer˝usítési eljárás. Strukturális egyenl˝oség a topológiában A matematikus számára, aki valamilyen fogalom segítségével definiált objektumosztályt vizsgál, mindig az osztályozási probléma áll a középpontban. Ilyenkor az a kérdés, hogy melyek a tekintett objektumosztály lényegre nézve különböz˝o reprezentánsai. Most csak a csoportok osztályozási tételére emlékeztetek. Valahányszor két speciális objektumról kiderül, hogy lényegre – azaz struktúrára – nézve egyenl˝ok, ennek az igazolása egy speciális struktúratartó, a strukturális egyenl˝oséget nyilvánvalóvá tev˝o transzformáció vagy leképezés révén történik. Ennek a speciális leképezésnek, amely az els˝o objektum pontjaihoz egyértelm˝uen hozzárendeli a második objektum pontjait, nemcsak meg kell o˝ riznie a struktúrát, hanem léteznie kell olyan megfordításának (inverz leképezésének) is, amely a második objektumot az els˝ore képezi le és szintén struktúratartó. Csoportoknál az ilyen struktúratartó leképezést (csoport-)izomorfizmusnak hívják. Hogyan fest mindez a topológiai alakzatoknál? A struktúratartó hozzárendelések most a folytonos leképezések (plasztikus deformációk). Milyen pótlólagos feltételeket kell ezekre kiróni, hogy két alakzat strukturális egyenl˝osége biztosítva legyen? A feltételek az el˝oz˝o bekezdésben leírt általános sémát követik: ha

A TOPOLÓGIA MILLENNIUMPROBLÉMÁI

47

két alakzat között létezik olyan megfordítható folytonos leképezés, amelynek a megfordítása is folytonos, akkor az alakzatokat „topologikusan ekvivalensnek” (vagy egymással homeomorfnak) nevezzük. Ilyenkor az alakzatok topológiai struktúrája megegyezik, és minden (topológiailag lényeges) eredmény, amely egy alakzatra igaz, a vele topologikusan ekvivalens alakzatokra is érvényes. (A homeomorfia tehát topológiai strukturális egyenl˝oséget jelent, ahogy az izomorfia az algebrai strukturális egyenl˝oséget fejezi ki.) Az alakzatok között csomókra is gondolhatunk. Valóban, az id˝ok folyamán szabályos csomóelmélet alakult ki.24 A csomók a térgörbék legközvetlenebb topológiai jellemz˝oi. Mivel azonban a matematikusok a háromdimenziós térrel egymagában nincsenek megelégedve, magasabb dimenziókban is megvizsgálták a csomóval rendelkez˝o alakzatokat. A csomóelmélettel, legyen bármilyen vonzó, a továbbiakban nem foglalkozunk. A görbék után következnek a felületek. És a felületek után – hogy is lehetne másképp – a magasabb dimenziójú általánosítások, a „sokaságok”. A topológusok ezeket, valamint az objektumok és terek átláthatatlan dzsungelét vizsgálják. Ennek során id˝onként furának tetsz˝o eredmények kerülnek napvilágra, például a híres „sünifrizura-tétel”: ha egy biliárdgolyó körös-körül hajjal van ben˝ove, akkor nem lehet forgó keletkezése nélkül megfésülni. Mivel a folytonosság topológiai fogalom, és a folytonossági megfontolások majdnem mindenütt fontos szerepet játszanak, a topológia a matematika egyik alappillérévé vált. A természettudományokban egyre fontosabb szerepet játszik, különösen a matematikai fizikában. A terület a legnagyobb fejl˝odését eredményez˝o fél évszázadban, 1920 és 1970 között azonban nagyon absztrakttá vált. Egyébként a topológia története hasonlóan szétszórt eredményekkel és ártatlanul kezd˝odött, mint a káoszelméleté – általában véve a két terület több érintkezési ponton és átfe24

Rövid, ajánlható áttekintést ad Sossinsky A csomók matematikája: egy elmélet keletkezése cím˝u könyvecskéje.

48

A TOPOLÓGIA MILLENNIUMPROBLÉMÁI

dési tartományban szinergetikusan együttm˝uködik és kölcsönösen megtermékenyíti egymást.25 Iránymutató kezdetek Történelmileg egy tudomány kezdeti korszakát gyakran az izolált példák jellemzik. Az egyedi néz˝opontokban a közöset csak kés˝obb fedezik fel és hozzák közös tet˝o alá. Nemcsak a véletlenr˝ol és a valószín˝uségr˝ol, valamint a káoszról és a bonyolultságról szóló elméletek követték ezt a mintát, hanem a csoportelmélet és a topológia is. A topológia (és speciálisan a gráfelmélet) kezdetét általában az 1735-ös évre teszik, arra az évre, amelyben Leonhard Euler26 megoldotta a königsbergi hídproblémát.27 A königsbergi hídprobléma A Pregel folyó a Régi és az Új Pregel összefolyásánál két ágra szakad és egy szigetet alkot. Az összes partot hét híd köti össze (lásd a 9. ábrát). Kérdés: Átmehet-e egy königsbergi polgár egyhuzamban mind a hét hídon úgy, hogy mindegyiken csak egyszer megy át? Euler tagadó választ adott – és egyidej˝uleg megoldotta (illetve eldöntötte) az azonos típusú általánosított problémát is. A hidak pontos helye és mérete nem játszik szerepet, csak az, hogy hogyan – mely területeken keresztül – vannak összekötve.

25

Például Benoît Mandelbrot fraktális alakzatokra vonatkozó dimenzióelméleténél, Ilya Prigogine kémiai folyamatok irreverzibilitásáról szóló munkáinál, René Thom katasztrófaelméleténél vagy Hermann Haken szinergetikájánál. Ezenkívül a dinamikai rendszerek differenciálegyenleteinek területén is fontos témák tartoznak ehhez az átfedési tartományhoz. 26

A svájci Leonhard Eulert sokan minden id˝ok legtermékenyebb matematikusának tekintik. Lásd például az OMEGA Spektrum Spezial folyóirat 4/2003 számát, amely súlyponti témaként a gráfelméletet és alkalmazásait mutatja be. 27

Ha a matematikusok azt mondják, hogy „megoldottak” egy problémát, azt nem mindig pozitív értelemben gondolják. Ha például sikerül egy sejtést megcáfolni, az is a sejtés megoldásának, azaz eldöntésének számít.

A TOPOLÓGIA MILLENNIUMPROBLÉMÁI

49

0.9.. ábra. A Régi és az Új Pregelen átvezet˝o hét híd: a königsbergi hídprobléma a modern gráfelmélet egyik o˝ sfeladata.

Az Euler-féle poliéderképlet Volt néhány korábbi felfedezés is. Mintegy száz évvel azel˝ott, hogy Euler megoldotta a königsbergi hídproblémát, René Descartes számára már világos volt, hogy egy E csúccsal, K éllel és F lappal rendelkez˝o poliéderre fennáll az E − K + F = 2 invariáns összefüggés. 1751-ben Euler erre is közölt egy bizonyítást.

A Möbius-szalag A nagy Carl Friedrich Gauss, bár többször utalt az alakzatok alapvet˝o geometriai tulajdonságaival foglalkozó vizsgálatok fontosságára, a csomókat (és láncolatokat) illet˝o néhány megjegyzésen kívül keveset tett az ügyért. Gauss tanítványa, August Möbius volt az els˝o, aki a topologikus transzformációkat mint olyan, alakzatok közötti kölcsönösen egyértelm˝u hozzárendeléseket definiálta, amelyek az egyik alakzat egymáshoz közeli pontjait a másik alakzat egymáshoz közeli pontjaiba viszik át. 1858-ban o˝ és Johann Listing felfedezte, hogy léteznek egyoldalú (vagy nem irányítható) felületek; ezek közül a leghíresebb a Möbius-szalag. Vegyünk egy hosszabbfajta derékszög˝u papírcsíkot, csavarjuk el az egyik végét 180 fokkal,

50

A TOPOLÓGIA MILLENNIUMPROBLÉMÁI

0.10.. ábra. A gömbfelületen minden zárt görbét ponttá lehet összehúzni, a tóruszfelületen viszont nem. Mivel ez topológiailag lényeges tulajdonság, a két felület nem lehet ekvivalens.

és ragasszuk össze a végeket. Ha megpróbáljuk azt, ami a csík két oldalának látszik, két különböz˝o színre befesteni, akkor az elforgatás következtében a színek valahol egymásnak ütköznek: a Möbius-szalagnak a valóságban csak egy oldala van. További meglepetés: ha az egész szalagot a közepén hosszában elvágjuk, akkor egyáltalán nem esik szét két darabra, hanem egy darabban marad. Két (összekapcsolódó és önmagában elcsavart) szalagot csak újabb elvágással kapunk. Alakzatok, lyukak, fülek: a nem meghatározása hurkokkal A tömör gömb topologikusan ekvivalens a tömör kockával és minden más tömör poliéderrel, és ez a megfelel˝o felületekre is érvényes. Mostantól kezdve csak az említett alakzatok zárt felületeit fogjuk tárgyalni. Tóruszról beszélve kerékpártöml˝ore vagy ment˝oövre gondolhatunk. Ekvivalens-e a tórusz a gömbbel? Nem: tórusz és gömb között nem létesíthet˝o homeomorfizmus (azaz olyan deformáció, amely strukturális egyenl˝oséget valósítana meg). Ezt durván a kö-

A TOPOLÓGIA MILLENNIUMPROBLÉMÁI

51

vetkez˝oképpen lehet megmutatni. A gömbfelületen bármely kör (vagy bármely zárt vonal) összehúzható egyetlen ponttá anélkül, hogy a gömbfelületet elhagyná. Más a helyzet a tóruszon. Ott nagyonis léteznek olyan zárt vonalak, amelyek a felületen belül nem húzhatók össze egyetlen ponttá, amint ezt könnyen magunk elé képzelhetjük. Ehhez elég egy frissen mázolt talajon kerékként gördül˝o tóruszon kirajzolódó körre gondolni, vagy arra, amelyet a tórusz vastagságát mér˝o szalag jelöl ki (lásd a 10. ábrát). Az a körülmény, hogy egy felületen egy tetszés szerinti zárt görbe egyetlen ponttá húzható össze a felület elhagyása nélkül, topológiai tulajdonság. Így ennek meg kellene maradnia, ha a gömb és a tórusz ekvivalens lenne. A matematikusoknak mindig fontos, hogy tudják, két objektum mikor strukturálisan egyenl˝o és mikor nem, továbbá hogy osztályozzák egy kategória minden lehetséges objektumát. Ennélfogva minden osztályban kiválasztanak egy standardobjektumot reprezentánsnak. A közönséges háromdimenziós térben elhelyezked˝o kétdimenziós topológiai felületek esetében a gömböt választják standardfelületnek. Láttuk azonban, hogy a tórusz nem ekvivalens a gömbbel. Így felmerül a kérdés: mit kell a gömbön megváltoztatni ahhoz, hogy az ekvivalencia létrejöjjön? A rafinált topológusok szürrealistának ható megoldást találtak: kivágtak a gömbb˝ol két lyukat, és összekötötték o˝ ket egymással egy töml˝o alakú képz˝odmény, más szóval fül segítségével (nyugodtan gondoljunk egy kávéscsésze fülére). És lám: a tórusz és a füles gömb ekvivalensnek bizonyul. (Lelki szemeinkkel követni is tudjuk, amint a füles gömb plasztikus deformációval gy˝ur˝ube megy át, és megfordítva. Próbáljuk meg!) És ha a tórusz kett˝os tórusz, azaz két lyuka van, mint egy 8asnak? Nem gond. Olyan gömbbel lesz ekvivalens, amelynek két füle van. Megjegyzés: a tórusz esetében a „lyuk” elnevezés nem egészen helyes. A tórusz egy sima felület, amelyen semmiképpen nincsenek lyukak. Például ha egy óriási tóruszon élnénk, a felü-

52

A TOPOLÓGIA MILLENNIUMPROBLÉMÁI

0.11.. ábra. Egy felület bemélyedése topológiai értelemben nem „lyuk”, eltér˝oen a tóruszétól. Az ábrán látható füles csésze a tórusszal, a fül nélküli a gömbbel ekvivalens.

letén anélkül vándorolhatnánk, hogy bármilyen lyukat találnánk. A lyuk sokkal inkább azzal függ össze, hogy ez a speciális alakzat miképpen van a háromdimenziós térbe beágyazva. Más szóval: a lyuk itt nem a felület, hanem az o˝ t körülvev˝o tér tulajdonsága. A 11. ábra azt mutatja be, hogy egy gömbfelületen kialakított deformáció, ill. bemélyedés – például tál vagy csésze el˝oállítása céljából – még nem olyan „lyuk”, mint ami egy fül felhelyezésével keletkezne. Már sejtjük, mi lesz a folytatás. Mindazonáltal: hogy áll a dolog a létez˝o számtalan háromdimenziós alakzattal? Például a tetsz˝oleges alakú, átlyuggatott gombócokkal. Ekvivalens-e mindegyikük egy fülekkel ellátott gömbbel? Igen, mondják a matema-

A TOPOLÓGIA MILLENNIUMPROBLÉMÁI

53

tikusok a felülettopológia f˝otételében: minden zárt, kétoldalú28 felület topologikusan ekvivalens egy meghatározott számú füllel ellátott gömbbel. Ennélfogva a topológiának van egy standardfelületekb˝ol álló egyszer˝u, áttekinthet˝o reprezentánsrendszere. Ez a fajta absztrakció, számtalan objektum összefoglalása jellegosztályokba, a matematika jellemz˝o vonása. A gömbön elhelyezked˝o fülek száma (vagy ami ezzel egyenérték˝u, a tóruszon található lyukak száma) topologikus invariáns, és a felület „nemének” hívják (nem tréfa). Ez határozza meg az objektum jellegosztályát. Mivel egy négylyukú gomb ekvivalens egy négyfül˝u gömbbel, azért (topológiai) neme 4, viszont egy normális (fül nélküli) gömb – és ugyanígy egy gumimackó – neme 0. Vannak további topologikus invariánsok és tulajdonságok is, amelyekkel dolgozni szoktak, és amelyek a valós és komplex analízisben is felhasználásra kerülnek. A föld megmuvelése: ˝ a geometriák egységesítése algebrai módszerek alkalmazásával 1872-ben Felix Klein, a híres német matematikus Erlangenben ismertetett egy programot a geometria egységesítésér˝ol. Abban az id˝oben a geometria számtalan különböz˝o diszciplínára oszlott: euklideszi és nem-euklideszi geometria (Gauss, Riemann, Lobacsevszkij és Bolyai nyomán), Möbius-féle síkgeometria és konform geometria, projektív és affin geometria, differenciálgeometria és az újonnan felbukkanó topológia. S˝ot voltak véges sok pontról és egyenesr˝ol szóló geometriák is. Klein megpróbálta ezt az összevisszaságot egy magasabb elv alapján rendezni – egyszer˝usíteni. Sikerült is találnia egy rendezési elvet, amennyiben minden geometriát a hozzá tartozó transzformációcsoport „invariánsaival” (változatlan mennyiségeivel) hozott összefüggésbe. (Tud28

Az a feltétel, hogy a felület kétoldalú (vagy irányítható) legyen, nem mell˝ozhet˝o. (A Möbius-szalag egyoldalú vagyis nem irányítható; mindamellett nem is zárt, hanem van határa.) A tér egyoldalú zárt felületeinek (amilyen például a – nem realizálható – Klein-féle palack) esetét itt figyelmen kívül hagyom. Rájuk azonban egy analóg osztályozási tétel érvényes.

54

A TOPOLÓGIA MILLENNIUMPROBLÉMÁI

juk, hogy az automorfizmusoknak, vagyis egy objektum struktúratartó önleképezéseinek halmaza a leképezések kompozíciójával mint m˝uvelettel ellátva csoportot alkot – az automorfizmuscsoportot.29 ) Lássuk röviden e rendezési elv lényegét. A klasszikus euklideszi geometriában, amit az iskolában tanulunk, alapvet˝o fogalom az egybevágóság, a fedési egyenl˝oség. Az alak és a méret (háromszögeké és más alakzatoké), amelyeket szögek és távolságok határoznak meg, képezik az invariánsokat, a változatlan mennyiségeket, és a hozzájuk tartozó transzformációk a sík merev elmozdulásai, amelyek az alakzatokat egymásba viszik át. E merev elmozdulások halmaza transzformációcsoportot alkot, és az euklideszi geometriában vizsgált tulajdonságok éppen azok, amelyek ezen csoport hatására nem változnak meg, például a hosszúságok és szögek. Ezzel analóg módon a hiperbolikus geometriában a csoport a merev hiperbolikus elmozdulásokból, a projektív geometriában a projektív transzformációkból, a topológiában pedig a topologikus transzformációkból áll (a rendezési elv szemléltetéséhez nincs szükségünk a speciális definíciók részletezésére). A geometriák közötti különbségtétel alapjában véve egy csoportelméleti jelleg˝ure megy vissza: a magasabb rendezési elvre. De ez még nem minden, ahogy Klein kifejtette: néha a csoportok segítségével lehet egyik geometriáról a másikra áttérni. Ha két látszólag különböz˝o geometria elvileg ugyanazon a csoporton alapszik, akkor ez a két geometria valójában megegyezik. Például a komplex projektív egyenes geometriája lényegében ugyanaz, mint a valós Möbius-sík geometriája, ez pedig ugyanaz, mint a valós hiperbolikus sík geometriája. Klein felismerése egy csapásra világosságot és rendet teremtett az addigi z˝urzavarban. Volt azonban egy kivétel: A Riemannféle „sokaságok geometriája” ellenállt Klein totális osztályozásra irányuló kísérletének. Nagyjában és egészében mégis lehet˝ové vált egy geometriának egy másikkal való összehasonlítása, to29

A matematikai struktúrák alapfogalmairól lásd például a szerz˝o Die Architektur der Mathematik: Denken in Strukturen cím˝u tanulmányát.

A TOPOLÓGIA MILLENNIUMPROBLÉMÁI

55

vábbá egyik geometria eredményeinek felhasználásával tételek bizonyítása egy másikban. Klein programja nemcsak hogy rendkívül sikeres volt, hanem még mindig nagy hatása van. Ez közvetlenül nem mindig érzékelhet˝o, mert Klein nézetei ma általánosan elfogadottak – ez viszont kétségtelenül a program sikerét jelenti. A vizsgálatok eszközeiket ma is túlnyomórészt a csoportelméletb˝ol veszik, amelyet a topológiára alkalmazva egy külön terület, az algebrai topológia jön létre. A cél a topológiai kérdések visszavezetése az absztrakt algebrára – amelyet régebben és jobban ismerünk. A nagy francia matematikus, Henri Poincaré (Klein kortársa és bizonyára vetélytársa is) a 19. és a 20. század fordulóján elkezdte a topológiát szisztematikusan „algebrai˝ maga ezen elmélet (az algebrai topológia) egyik atyja zálni”. O volt, és o˝ találta fel a fundamentális csoportot.30 Erre épül a geometriának és az algebrának egy ügyes keveréke – ami Klein erlangeni programja után már nem okozhat meglepetést, hiszen annak mottója a következ˝o volt: „A geometria nem más, mint csoportelmélet.” Magasabb dimenziók és a 3-dimenziós gömbfelület A felületek, amelyeket – sok egyéb mellett – a topológiában vizsgálnak, egyáltalán nem mindig csak kétdimenziósak, mint egy gömb- vagy egy perecfelület. Lehetnek akárhány dimenziójúak is. Mivel a matematikusok szívesen mozognak magasabb dimenziójú terekben, néhány ilyen irányú megjegyzéssel kezdjük. A négydimenziós térben a kockának nem csak hosszúsága, szélessége és magassága van, hanem van ezen felül még egy kiterjedése, amelyet bár térben elképzelni nem tudunk, de ugyanúgy lehet vele számolni, mint a már jól ismert másik három dimenzióval. Ha a közönséges kocka egy pontjának koordinátái x, y és z, amelyeket röviden (x, y, z) vektorként lehet összefoglalni, ak30

Az algebrai geometria alapfogalmainak pontos szakmai definícióját és ismertetését (utak és homotóp utak topologikus terekben → algebraizálás utak összekötésével → utak homotópiaosztályai → homotópiacsoport → fundamentális csoport) lásd például a dtv-Atlas Mathematik cím˝u kiadványban.

56

A TOPOLÓGIA MILLENNIUMPROBLÉMÁI

kor a négydimenziós kocka egy pontját egyszer˝uen az (x, y, z, u) koordinátákkal adhatjuk meg. Vagy egy példa a fizikából: Albert Einstein óta a fizika a szokásos három térbeli dimenzió mellett az id˝ot mint negyedik dimenziót kezeli. A térid˝o egy pontjának koordinátái (x, y, z,t). A kozmológusok is arra tanítanak minket, hogy a világegyetem, amelyben élünk, egy olyan négydimenziós képz˝odmény háromdimenziós felülete, amely topologikusan ekvivalens egy négydimenziós gömbbel (hipergömb). A számításoknál mindenesetre nem jelent semmilyen különbséget, hogy egy pont csak az x-tengely mentén mozog, vagy a térben rögzítve az id˝o folyása során tekintjük – tehát a t-tengely mentén „mozog”. Mármost mi az a 3-dimenziós gömbfelület? Itt is célszer˝u az alacsonyabb dimenziókon keresztül történ˝o megközelítés. Az 1-dimenziós gömbfelület a (kétdimenziós) R2 euklideszi síkban a közönséges kör, amely algebrailag az x2 + y2 = 1 egyenlettel definiálható. A 2-dimenziós gömbfelület az R3 -ban elhelyezked˝o közönséges gömb felülete, és algebrailag a körrel analóg módon definiálható: x2 + y2 + z2 = 1. Topológusok ezt a 2-dimenziós gömb, a mi jól ismert háromdimenziós euklideszi terünkbe való beágyazásának nevezik. A kétdimenziós sokaságok egyik szép tulajdonsága, hogy minden ilyen (irányítható) sokaság beágyazható R3 -ba. A 3-dimenziós gömbfelületet legegyszer˝ubb formálisan, algebrailag definiálni mint az x2 + y2 + z2 + v2 = 1 egyenlet megoldáshalmazát R4 -ben, vagyis a négy (x, y, z, v) koordinátával kifejezhet˝o pontok halmazában, más szóval a négydimenziós euklideszi térben. Sajnos ezt a teret és a benne elhelyez-

A TOPOLÓGIA MILLENNIUMPROBLÉMÁI

57

0.12.. ábra. Az 1-dimenziós gömbfelületnek (körnek) az egyenesre és a 2-dimenziós gömbfelületnek a síkra való sztereografikus projekciója. A kör legfels˝o pontjának, ill. az Északi-sarknak a képe az egyenes, ill. a sík végtelen távoli ∞ határpontja („kompaktifikálás”). ked˝o objektumokat nagyon nehéz elképzelni. Hogy elmagyarázzuk o˝ ket, használjuk mankóként az 1-dimenziós és a 2-dimenziós gömbfelületet. Fogjuk fel a kört mint egy számegyenest meg a végeit egyesít˝o ∞ pontot. Ezt az egyezést egy egyszer˝u leképezés, az úgynevezett sztereografikus projekció (lásd a 12. ábrát) útján kapjuk: képzeljünk el a kör legfels˝o pontjában egy pontszer˝u fényforrást, és azonosítsuk a kör minden pontját az egyenesre vetett árnyékával. Ugyanígy a 2-dimenziós gömbfelület nem más, mint a végtelen sík kiegészítve egy ∞ ponttal, amely az „Északi-sarknak” tekinthet˝o – ez a gömbfelület egyetlen pontja, amelyr˝ol a projekció nem hoz létre képet a síkban. Az 1-dimenziós gömbfelület hasonlít az egyenesekhez, a 2dimenziós gömbfelület pedig a síkhoz; csak mindkett˝ot, egyenest és síkot, a kiegészít˝o ∞ ponttal, a „végtelen távoli ponttal” végessé kell tenni, „kompaktifikálni” kell. Analóg módon a 3-dimenziós gömbfelület lényegében véve ugyanaz, mint az R3 háromdimenziós euklideszi tér, hozzávéve a kissé titokzatos végtelen távoli pontot.

58

A TOPOLÓGIA MILLENNIUMPROBLÉMÁI

Amin nincs lyuk, az gömb: a Poincaré-sejtés Sokaságok és azok mikrostruktúrája A felülettopológia magasabb dimenziókra való általánosítását Bernhard Riemann kezdeményezte. Az így általánosított, magasabb dimenziójú felületeket (n-dimenziós) „sokaságoknak” hívják. Szemünkkel persze éppoly kevéssé érzékelhetjük o˝ ket közvetlenül, mint a rádióhullámokat, a mágneses mez˝oket vagy a gammasugárzást. Csak a háromdimenziós tér kétdimenziós sokaságait tudjuk valamennyire is közvetlenül elképzelni (hasonlóan ahhoz, ahogy a külvilág képei az elektromágneses sugárzásnak csak a látható tartományában, a fénysugarakéban juthatnak el az agyunkba). A magasabb dimenziókkal kapcsolatos munkához a matematikusoknak speciális fogalmakra és eszközökre van szükségük – ugyanúgy, ahogy az orvosnak bizonyos vizsgálatokhoz ismernie kell a szerv vagy a sejtek szerkezetét és rendelkeznie kell röntgen- vagy EKG-készülékkel. Azok az eszközök, amelyekkel a topológusok az általuk vizsgált struktúrákat láthatóvá teszik, éppen a topologikus leképezések és m˝uveletek. Mivel pedig a transzformációk pontonként vannak definiálva, pontosan ismerniük kell objektumaik (matematikai) mikrostruktúráját. Ezt logikailag kifogástalan, a célnak megfelel˝o fogalmak és definíciók segítségével rögzítik. Hogyan lehet mármost a magasabb dimenziójú sokaságok mikrostruktúráját elképzelni? Minden (kétdimenziós) felület (a közönséges háromdimenziós térben), bármilyen görbült vagy bonyolult legyen is, mindig elképzelhet˝o mint kicsiny, kerek, összeragasztott foltok halmaza, amelyek mindegyike topologikusan éppen olyan, mint egy folt a közönséges síkban. Ezt úgy szokták kifejezni, hogy a felületek lokális struktúrája topológiai szempontból ugyanaz, mint a jól ismert euklideszi síké. Ha egyszer ezt beláttuk, az n dimenzióra való általánosítást könny˝u elképzelni: az n-dimenziós sokaságok ugyanúgy kis foltokból vannak összerakva, ezek azonban a sík

A TOPOLÓGIA MILLENNIUMPROBLÉMÁI

59

helyett az n-dimenziós térb˝ol vannak kivágva – mindig gondolatban és számításokban. Mármost, elképzelési próbálkozásainktól függetlenül, a topológia egyik központi kérdése a következ˝oképpen hangzik: Hogyan lehet meghatározott geometriai objektumokat, amelyeknek a dimenziója n ≥ 3, a lehet˝o legegyszer˝ubb tulajdonságokkal jellemezni? Matek lasszóval Térjünk mégis vissza az alacsonyabb dimenziókra. Ugyanis a Poincaré-sejtésnél négydimenziós testek háromdimenziós felületér˝ol van els˝osorban szó. A háromdimenziós képz˝odmények kétdimenziós zárt felületei közül csak a gömbbel egyez˝o nem˝uek „egyszeresen összefügg˝ok”. Így fennáll a már ismertetett tulajdonság, hogy a felület minden zárt görbéje a felület elhagyása nélkül összehúzható. A négydimenziós hipergömb háromdimenziós felülete szintén egyszeresen összefügg˝o. Viszont, ellentétben az el˝obbi esettel, nem ismeretes, hogy a háromdimenziós hipergömbfelület (és vele azonos nem˝u társai) az egyedüli egyszeresen összefügg˝o felületeke, vagy pedig egy négydimenziós világban létezhetnek más testek is, amelyek felülete a nem tekintetében különbözik a hiper˝ ezt nem higömbfelülett˝ol és mégis egyszeresen összefügg˝o. O szi, jelentette ki 1904-ben Henri Poincaré, a híres matematikus. Más szóval: meg volt gy˝oz˝odve róla, hogy ebben a dologban az eggyel magasabb dimenziójú tér nem különbözik az általunk jól ismertt˝ol.31

31

A fundamentális csoport segítségével matematikailag kifejezve: a 3dimenziós gömbfelület fundamentális csoportja triviális (abban az értelemben, hogy a 3-dimenziós gömbfelületen minden zárt görbe összehúzható), a megfelel˝o tóruszé (a négydimenziós tórusz felületéé) viszont nem; Poincaré sejtése az volt, hogy minden háromdimenziós sokaságnak, amely nem homeomorf (topológiailag strukturálisan egyenl˝o) a 3-dimenziós gömbfelülettel, a fundamentális csoportja nem triviális – ami minden ma ismert háromdimenziós sokaságra igaz.

60

A TOPOLÓGIA MILLENNIUMPROBLÉMÁI

Bizonyítani azonban ezt nem tudta. „Ez a kérdés túlságosan letérítene bennünket a helyes útról”, mondta a francia tudós, miel˝ott más témák felé fordult. A Poincaré-sejtés aztán az egész topológia leghíresebb problémájává vált. Sajnos a háromdimenziós sokaságokról nagyon nehéz áttekintést szerezni. A kétdimenziós esetben rendelkezésre áll egy osztályozás: minden kétdimenziós sokaságot el lehet helyezni végtelen sok jól ismert fiók valamelyikében. Háromdimenziós sokaságokra a Kaliforniai Egyetemen (Davis) dolgozó William Thurston az 1970-es években megfogalmazott egy osztályozásról szóló sejtést. Ha ez a sejtés bizonyítást nyer, azzal a Poincaré-sejtés kérdése is azonnal megoldódik. A visszaszámlálás folyik. . . és elakad A matematikai tényállások magasabb dimenziókra történ˝o általánosításával kipuhatolásuk nehézsége általában egyre növekszik. Nem így ebben az esetben. Minden er˝ofeszítés ellenére, amely a Poincaré-sejtés bebizonyítására vagy megcáfolására irányult, a kérdés 1960-ig keményen ellenállt minden megoldási kísérletnek. Akkor azonban Stephen Smale amerikai matematikus be tudta bizonyítani a sejtést minden öt és annál magasabb dimenziójú sokaságra. Az eredmény olyan jelent˝os volt, hogy Smale-t teljesítményéért Fields Medal kitüntetésben részesítették. Három és négy dimenzióra azonban Smale módszerei cs˝odöt mondtak. Mintegy húsz évnek kellett még eltelni, amíg 1981-ben egy másik amerikai, Michael Freedman a sejtést négydimenziós sokaságokra is be tudta bizonyítani. (Ezzel n ≥ 4 esetén minden ndimenziós sokaságra bizonyítást nyert, hogy fundamentális csoportja pontosan akkor triviális, ha a sokaság homeomorf az (n + 1)-dimenziós tér gömbjének n-dimenziós felületével.) Most már csak a háromdimenziós sokaságok problémája várt megoldásra, azoké, amelyekre Poincaré a sejtését eredetileg kimondta. Miért éppen a négydimenziós tér háromdimenziós sokaságai ilyen renitensek? A fejfájást okozó sz˝uk hézag abból ered, hogy a háromdimenziós térben a kétdimenziós sokaságok sem-

A TOPOLÓGIA MILLENNIUMPROBLÉMÁI

61

0.13.. ábra. Folytonos, de a „csúcsokban” nem sima A vonal és (a végpontok között) mindenütt sima B vonal.

milyen komolyabb bonyolultságot nem tesznek lehet˝ové, az öt és magasabb dimenziójú terekben pedig a négy és magasabb dimenziójú sokaságoknak elég helyük van, hogy szépen át lehessen rendezni o˝ ket. Az R4 -beli háromdimenziós sokaságok esete a kemény dió. Ez óriási kihívást jelent a kreativitás számára: egyrészt az alapul szolgáló tér elég nagy ahhoz, hogy érdekes bonyodalmak léphessenek fel, másrészt azonban a háromdimenziós sokaságok túlságosan bele vannak zsúfolva, semhogy könnyen egyszer˝usíthet˝ok lennének. Mintha egy differenciálszámítás nem is lenne elég. . . Még ha eltekintünk is az eredeti Poincaré-sejtés renitens voltától, van a négydimenziós térben még egy különös jellegzetesség, egy drámai meglepetés, amely pont a mi univerzumunk lényegét érinti. Ehhez különbséget kell tennünk folytonos és sima között. Egy görbe akkor folytonos, ha – durván szólva – nincsenek megszakításai, vagyis ha megrajzolhatjuk anélkül, hogy közben a ceruzát felemelnénk. Ett˝ol még lehetnek sarkai és csúcsai, azaz olyan pontjai, amelyekben a görbe hirtelen megváltoztatja az irányát. A 13. ábrán a folytonos görbék két fajtáját az A és a B vonal szemlélteti. Ha egy görbe az irányát mindenütt folytonosan változtatja, úgyhogy minden pontjában érint˝ot lehet rajzolni, akkor sima (vagy

62

A TOPOLÓGIA MILLENNIUMPROBLÉMÁI

differenciálható) görbér˝ol beszélünk. „Egy f függvény differenciálása egy x pontban” lineáris függvénnyel való közelítést jelent, vagyis érint˝ot rajzolunk az f függvény által megadott görbe (x, f (x)) pontjában. Az ábrán látható B görbe mindenütt sima. Ezzel szemben a (folytonos) A vonal nem mindenütt (hanem legfeljebb szakaszonként) sima, mert vannak olyan pontjai illetve csúcsai, amelyekben nem lehet érint˝ot rajzolni. A sima görbék folytonosak, de a folytonos görbék nem szükségképpen simák. (Léteznek tönkretett folytonos vonalak is, amelyek egyetlen pontjukban sem simák. Ezeket senki emberfia nem tudja képszer˝uen elképzelni, még kevésbé lerajzolni – legalábbis nem tudta addig, amíg az els˝o számítógépes képek a fraktálokról – például a Mandelbrot-halmazról – fel nem bukkantak.) A folytonosság jó, a simaság (differenciálhatóság) még jobb. Ugyanis ezáltal lehet˝ové válik a differenciálszámítás m˝uvelése és alkalmazása – ami a matematikának ezt az ágát az analízis és a fizika egyik legfontosabb módszerévé teszi. Sokan közülünk a „közönséges” differenciálszámítást az iskolában tanulták – és hamarosan újra elfelejtették.32 Ez az egy valós változós differenciálszámítás tisztán topológiailag kifejezve nem más, mint az egydimenziós sokaságok differenciálhatósági struktúrájának tanulmányozása. A tetszés szerinti dimenziójú topologikus sokaságok közül különösen érdekesek azok, amelyeknek van differenciálhatósági struktúrájuk, tehát amelyekben lehet differenciálszámítást végezni. Az ilyen sokaságokat simának vagy differenciálhatónak nevezzük – ugyanúgy, mint a megfelel˝o görbéket a síkban. A topológusok felfedezték, hogyan lehet bármely sima sokaságot egy darabonként lineáris (és ezáltal nagyon egyszer˝uen kezelhet˝o) struktúrával ellátni – képszer˝uen kifejezve: hogyan lehet egy to-

32

Egyesek azt is tanulták, hogy egy tömegpont x(t) útfüggvényének az id˝o szerinti els˝o deriváltja, amelynek jele x′ (t) vagy dx/dt, a tömegpont v(t) sebességét adja, míg ennek a deriváltja, x′′ (t) = d2 x/dt 2 = v′ (t) = dv/dt pedig a tömegpont a(t) gyorsulását.

A TOPOLÓGIA MILLENNIUMPROBLÉMÁI

63

jást addig hajlítani, amíg olyan nem lesz, mint egy letört keménysajtdarab. Sikerült bebizonyítani, hogy a differenciálhatósági struktúra minden térben, bármennyi legyen is a dimenziója, egyértelm˝u – azaz, hogy lényegében csak egyféleképpen lehet differenciál- és integrálszámítást m˝uvelni –, egyetlen, mindazonáltal jelent˝os kivételt˝ol, mégpedig univerzumunk négydimenziós téridejét˝ol eltekintve! A kudarc annál is kínosabb volt, mivel a fizikusokat persze éppen ez az eset érdekli a legjobban. Az a gondolat, hogy a négydimenziós térid˝oben létezik a differenciálásnak egy, a szokásostól eltér˝o módszere is, egyszer˝uen hihetetlennek t˝unt. 1982 nyarán azonban a hihetetlenr˝ol kiderült, hogy igaz. A hír nem volt sem elkésett áprilisi tréfa, sem az uborkaszezonra id˝ozített szenzáció, hanem igazi bomba a témán dolgozó tudósok számára. Simon Donaldson, az oxfordi egyetem 24 éves hallgatója, bebizonyított (Freedman munkája alapján) egy eredményt, amelyb˝ol következik, hogy négydimenziós térid˝onkben létezik egy a szokásostól eltér˝o differenciálhatósági struktúra. Más szóval: az egész világ fizikusai és matematikusai által használt analízis nem az egyetlen lehetséges! Mintha egy differenciálszámítás nem volna elég. . . Clifford Taubes topológus azonban még rátett egy lapáttal, amikor ehhez kapcsolódva megmutatta, hogy a térid˝o szokásos differenciálhatósági struktúrája csak egy a (nem megszámlálhatóan) végtelen sok lehet˝oség közül! Mi az a speciális a négy dimenzióban, ami miatt ez a jelenség csak ott lép fel? A négydimenziós eset egyre különösebbnek látszik. Az, hogy a matematikusok logikailag következetes fikcióikat a valóságtól eltávolodva is ápolják, aligha fog bárkit is zavarni. De mi a helyzet a fizikusokkal, akik azért a lehet˝oséghez képest valóságközeli modellekkel próbálják (fizikai) világunkat leírni és eközben differenciál- és integrálszámítást kell végezniük? Vajon a „helyes” differenciálhatósági struktúrát alkalmazzák-e? Vagy inkább az a helyzet, mint a különféle geometriáknál, ahol azon múlik a dolog, hogy a valóság melyik részletér˝ol van szó? Van

64

A TOPOLÓGIA MILLENNIUMPROBLÉMÁI

esetleg e struktúrák között egy „univerzális”, amely bizonyos értelemben az összes többit tartalmazza? A Poincaré-sejtést ezúttal tényleg bebizonyították? 1986 elején két topológus, a portugál Eduardo Règo és a brit Colin Rourke bemutatott egy bizonyítást. Ezzel a problémával kapcsolatos óriási nehézségek azon mérhet˝ok le, hogy a szakembereknek több hónapra volt szükségük ahhoz, hogy Règo és Rourke dolgozatában egy hibát felfedezzenek. Ez az eset nem volt egyedi, ugyanis a Poincaré-sejtésbe már sok matematikusnak beletört a bicskája. Már maga Poincaré is közölt egy bizonyítást, de kés˝obb tévesnek találta és visszavonta. A legutóbbi kudarcot a brit Martin Dunwoody (Southampton Egyetem) szenvedte el; o˝ 2002-ben publikált egy bizonyítást – amelyet nem sokkal kés˝obb vissza kellett vonnia. A probléma továbbra is megoldatlan. Vagy mégsem? 2003 áprilisában a sajtó ismét óriási izgalomba jött: lehet, hogy Grigorij „Grisa” Perelman orosz matematikus bebizonyította a Poincaré-sejtést! A Frankfurter Allgemeine Sonntagszeitung április 20-i száma még fényképet is közölt a szakállas oroszról, akinek a megjelenése akaratlanul is Raszputyint juttatja az eszünkbe. Perelmant azonban külföldi kollégái komoly matematikusként jellemzik. A szegény orosz tudós évekig a szentpétervári Sztyeklov Intézetben sáncolta el magát, és abból élt, amit korábban az Egyesült Államok különböz˝o intézeteiben kapott fizetéséb˝ol félretett. Amikor 2002 novemberében szép csendben feltett a világhálóra egy kéziratot, csak a specialisták ismerték fel, hogy itt valaki szorosan a nyomában van a matematika egyik legnehezebb feladatának.33 A „Poincaré-sejtés” megjelölés a dolgozat 39 oldalán át egyszer sem fordul el˝o. Egy hitetlenked˝o matematikus elektronikus levélben érdekl˝odött, hogy Perelman netán bebizonyította a híres Poincaré-sejtést. A tömör válasz: „Így van.”

33

2003 tavaszán Perelman részletes bizonyítást közölt.

A TOPOLÓGIA MILLENNIUMPROBLÉMÁI

65

Ha ez igaz, akkor a csend és a szegénység alighanem véget ér. Az oroszt az amerikai keleti part legfontosabb intézetei már régóta kézr˝ol kézre adják, hogy fogadja a kollégák kérdéseit. Állítólag mindenkinek, aki megpróbálta Perelman esetleges gyenge pontjait kitapogatni, rá kellett jönnie: eddig mindenre van válasza. Van egy ok, amiért dolgozatában a „Poincaré-sejtés” kifejezés nem szerepel. A Poincaré-sejtés bizonyítása Perelmannak csak mellékes cél. Amir˝ol az orosz számára ténylegesen szó van, az az (átfogóbb) „geometrizálási sejtés”, amely nem kevesebbet jelent, mint a háromdimenziós sokaságok teljes osztályozásának William Thurston által az 1970-es években felvetett (és már említett) ötletét. E sejtés bebizonyításának el˝ofeltétele lett volna a Poincaré-sejtés bizonyítása. A probléma továbbra is ugyanolyan izgalmas, mint egy másik esetben volt, mintegy tíz évvel ezel˝ott, amikor Andrew Wiles el˝oadta Fermat utolsó tételére vonatkozó bizonyítását – szintén magának a tételnek a megemlítése nélkül (mert o˝ az átfogóbb Taniyama–Shimura-sejtést bizonyította be, amelyb˝ol Fermat tétele már következik).

Az algebra és a geometria szintézise: a Hodge-sejtés Teljes általánosságban beszélve William Hodge sejtése, amelyet el˝oször 1950-ben állított fel, az algebra és a geometria kapcsolatára épít. A matematikusok az egyenletek ismeretlen megoldásainak segítségével geometriai tereket konstruálnak és feltárják ezek tulajdonságait, amelyek alapján következtetéseket vonnak le az eredeti egyenletek megoldásaira. Mint oly sokszor a topológiában, ezúttal is magasabb dimenziójú sokaságokról van szó, amelyek azonban most algebrai egyenletrendszerekkel vannak definiálva. A sejtés filozófiája a következ˝o lehetne: az, amit az olvasó az algebrailag definiált sokaságokról mindig is tudni

66

A TOPOLÓGIA MILLENNIUMPROBLÉMÁI

akart, de megkérdezni nem mert, az analízis eszközeivel, azaz differenciál- és integrálszámítással vizsgálandó. Az algebrailag definiált sokaságok polinomegyenlet-rendszerek megoldáshalmazai. Egy n-változós egyenlet rendszerint (n − 1)-dimenziós „hiperfelületet” definiál. Például a háromváltozós x2 + y2 + z2 = 1 egyenlet, mint már tudjuk, a 2-dimenziós gömbfelületet definiálja – egy közönséges gömb felületét R3 -ban. Egy k egyenletb˝ol álló rendszer megoldáshalmaza a hozzá tartozó hiperfelületek metszethalmaza. Ennek a dimenziója általában n − k. Sajnos az ilyen képz˝odményeket gyakorlatilag már nem tudjuk elképzelni, különösen akkor, ha a változók komplex számok. De azért jól lehet velük számolni, mert a matematika lényegében ugyanúgy m˝uködik, mint a megszokott alacsony dimenziójú esetben. Ezt nem vigasznak szánjuk. Emlékezzünk vissza a Birch és Swinnerton-Dyer sejtésénél követett eljárásmódra: az elliptikus görbék egyenleteinek túl kevés struktúrájuk van ahhoz, hogy kielégít˝o eredményeket kapjunk. Így b˝ovítésekkel és általánosításokkal próbálkozunk, és ha még ez sem segít, a matematikai mennyországban absztrakt meséket hordunk össze asszociatív módon – remélve, hogy az eredetileg feltett kérdésekre valamilyen csodálatos módon mégiscsak kielégít˝o válaszokat kapunk. Ezt a sémát, amelynek vázlata a 14. ábrán látható, gyakran alkalmazzák a matematikában. Az absztrakció segít a dolgok megértésében. Hogyan muködik ˝ ez az eljárásmód a Hodge-sejtésnél? Els˝osorban az algebrai geometria területéhez tartozó újabb formalizmusok és technikák találnak alkalmazásra. Közben id˝or˝ol id˝ore felmerülnek ismer˝os fogalmak is, például a vektortéré. 34 34

Lásd például a szerz˝o Die Architektur der Mathematik cím˝u zsebkönyvét (csoportok, vektorterek, topologikus vektorterek, függvényterek fogalma).

A TOPOLÓGIA MILLENNIUMPROBLÉMÁI

67

0.14.. ábra. Egy matematikai eljárásmód sematikus ábrázolása arra az esetre, ha az alapul vett konkrét kérdésfeltevésnek túl kevés struktúrája van ahhoz, hogy kielégít˝o eredményeket lehessen elérni. El˝oször az ember kib˝ovíti és általánosítja a kérdésfeltevést, majd megpróbálja már vizsgált, absztrakt struktúrákkal kapcsolatba hozni, amelyek viszont következtetéseket tesznek lehet˝ové az eredeti kérdésfeltevés megoldására. Talán ilyen módon egyszer tényleg megalkotják A matematika nagyszabású egységes elméletét – egy grandiózus univerzális elméletet, amelyen az egész matematika nyugszik.

Mihelyt azonban „a differenciálformák vektortere” – az úgynevezett Hodge-tér – kerül szóba, az ember már kissé tanácstala-

68

A TOPOLÓGIA MILLENNIUMPROBLÉMÁI

nul kotorászik matematikai emlékezetében.RAz f dx „differenciálról” itt csak annyit mondhatunk, hogy az f (x) dx integrálban ezt „integráljuk”; a „differenciálformák” pedig ennek magasabb dimenziójú általánosításai.

0.15.. ábra. A Hodge-sejtésben szerepl˝o három f˝osík sematikus ábrázolása. A Hodge-teret olyan elemi differenciálformák feszítik ki (generálják), amelyek algebrailag definiált részsokaságokból származnak. Mármost a Hodge-sejtés azt állítja, hogy ezt a vektorteret minden algebrailag definiált sokaság esetében olyan differenciálformák feszítik ki (generálják), amelyek algebrailag definiált részsokaságokhoz tartoznak. Ez a jelek szerint egy strukturális összefüggésekr˝ol szóló, mélyreható kijelentés, amellyel azonban még a matematikus is, ha nem pont ezen a területen dolgozik, nehe-

A TOPOLÓGIA MILLENNIUMPROBLÉMÁI

69

zen tud mit kezdeni. Próbáljuk meg, hogy egy vázlat segítségével (15. ábra) alkossunk képet magunknak. A Hodge-sejtést már pontosan megfogalmazni sem könny˝u. ˝ Ez egyébként els˝o kísérletre magának Hodge-nak sem sikerült. O egy általánosítást fogalmazott meg, amely hamisnak bizonyult. Ezt 1969-ben Alexandre Grothendieck francia matematikus javította ki egy dolgozatában, amely a következ˝o drasztikus címet viselte: „Hodge általános sejtése triviális okokból hamis”. Ma már a matematikusok közül a specialisták elég jól értik az elméletet ahhoz, hogy biztosak legyenek a sejtés megfogalmazásának korrektségében, és általában az a véleményük, hogy a sejtés helyes. Ennek ellenére még mindig kiderülhet, hogy hamis – olyan „triviális” okokból, amelyek az utóbbi 50 évben elkerülték a szakemberek figyelmét. A Clay Matematikai Intézet (CMI) teljes általánosságban készen áll arra, hogy a kit˝uzött díjat bizonyítás helyett cáfolatért is odaítélje – feltéve, hogy a cáfolat gyökeresen megváltoztatja az elmélet lényegét. Ha viszont csak valamilyen kis hiba felfedésér˝ol van szó – mint Grothendiecknél –, akkor a CMI fenntartja a jogot, hogy a problémát újra kit˝uzze.

A matematikai fizika millenniumproblémái

A természeti törvények kifejezési formái: differenciálegyenletek A Navier–Stokes és a Yang–Mills egyenletek pontos bemutatását és részletes tárgyalását talán egy van Gogh- vagy Picasso-kép képpontonkénti leírásához lehetne hasonlítani. A szükséges speciális matematikai ismeretek egyes gimnáziumi matematika- és fizikatanárokat is próbára tennének. A Navier–Stokes és a Yang– Mills egyenletek meglehet˝osen bonyolult differenciálegyenletek – és a differenciálegyenletek a természeti törvények legf˝obb kifejezési formái. Hogy ezek az egyenletek milyen jelleg˝uek, megkísérlem – amennyire lehet – elemien kifejteni. Az analízis (közönséges és parciális) differenciálegyenletekkel foglalkozó ágának tanulmányozásához legalább egy évig kell ismerkedni a differenciál- és integrálszámítással, egy olyan területtel, amelynek fontos részeit már a gimnázium fels˝o osztályaiban tanítják – többek között görbevizsgálatra és széls˝oértékfeladatokra való alkalmazásokkal együtt. Fizikatanulmányai során az olvasó talán maga is felírta az acélrugón rezg˝o tömeg vagy a leng˝o inga mozgására a megfelel˝o képletet. Arra is emlékezhet még, hogy végül – a fizikai körülményekt˝ol, például a súrlódástól függ˝oen – különböz˝o esetek, illetve megoldási formák adódtak: aperiodikus kúszás esete, aperiodikus határeset, csillapított eset és csillapítatlan eset. Itt egy „másodrend˝u, állandó együtthatós, homogén lineáris differenciálegyenletr˝ol” van szó.

72

A MATEMATIKAI FIZIKA MILLENNIUMPROBLÉMÁI

Már a differenciálegyenlet szokásosan használt általános definíciója is túlságosan nehéz lenne majdnem minden olvasónak, aki nem matematikus vagy fizikus. Ezért néhány egyszer˝u példára szorítkozom, olyanokra, amelyek nem igényelnek több analízist, mint amennyit a gimnáziumban tanítanak. Mi az, hogy differenciálegyenlet? Az olyan egyenletet, amelyben y(x) változókon kívül ezek dy ′′ d2 y y = , y = 2 ,... dx dx differenciáljai (vagy deriváltjai) is el˝ofordulnak, differenciálegyenletnek hívják. Néhány példa: 1 x + 2y ′′ , y + 2xy′ − y = cos 2x. y′ = x + 1, y′ = x(y − 2), y′ = 2 x ′

Vegyük az els˝o, legegyszer˝ubb példát: y′ = 12 x+1. Keresni kell az (összes) olyan valós érték˝u y = f (x) függvényt, amelynek a deriváltja 12 x + 1. Ezek lesznek a differenciálegyenlet megoldásai – amelyeknek a helyességét, az algebrai egyenletek megoldásaihoz hasonlóan – behelyettesítéssel ellen˝orizzük.35 A polinomok deriválási szabályaiból tudjuk, hogy a keresett függvény egy másodfokú polinom: ax2 + bx + c. Ennek els˝o deriváltja 2ax + b. Az együtthatókat az 21 x + 1 polinoméval összehasonlítva kapjuk: a = 14 és b = 1. Ennélfogva mindegyik F(x) = fc (x) = 41 x2 + x + c függvény az y′ = 21 x + 1 differenciálegyenlet megoldása. Próba a derivált kiszámításával: 1 1 f ′ (x) = 2 x2−1 + x1−1 + 0 = x + 1 = y′ . 4 2 35

Az ismeretlenek itt függvények és nem számok, mint az algebrában. Ha van egy egyenletünk, például x2 + 2x + 5 = 0, rögtön tudjuk, hogy x az az ismeretlen szám, amelyet meg kell keresnünk. Az egyenletnek két komplex megoldása van: x1 = −1 + 2i és x2 = −1 − 2i (i a képzetes egység). Ezeket a megoldásokat úgy ellen˝orizhetjük, hogy a talált értékeket behelyettesítjük az eredeti egyenletbe és megállapítjuk, teljesül-e az egyenl˝oség.

A MATEMATIKAI FIZIKA MILLENNIUMPROBLÉMÁI

73

0.16.. ábra. Kivágás a nagyon egyszer˝u y′ = 12 x + 1 differenciálegyenlet F(x) = fc (x) = 41 x2 + x + c megoldásseregéb˝ol. Parabolákról van szó. Az (x0 , y0 ) = (1, 2) feltételt kielégít˝o f ∗ (x) partikuláris megoldásfüggvény a ponton átfektetett parabola (az egyetlen, amely átmegy a megadott ponton). Ha minden megoldásfüggvény minden pontjában megrajzoljuk az érint˝ot, akkor megkapjuk a differenciálegyenlethez tartozó úgynevezett iránymez˝ot. Ezt az egyszer˝u differenciálegyenletet közvetlenül, integrálással is meg lehet oldani: Z Z Z Z 1 1 1 x dx+ 1dx = x2 +x+c, F(x) = y′ dx = ( x+1) dx = 2 2 4

74

A MATEMATIKAI FIZIKA MILLENNIUMPROBLÉMÁI

ahol c az integrációs állandó. Tehát függvények egész seregét kapjuk. Az alkalmazásoknál gyakran nemcsak arról van szó, hogy egy differenciálegyenlet akármilyen megoldásait kell megtalálni, hanem olyan megoldásokat keresünk, amelyek bizonyos kiegészít˝o feltételeket is teljesítenek. Egy speciális keresett megoldást kapunk, ha például y(x0 ) = y0 alakú kiegészít˝o feltételek vannak el˝oírva. Ilyenkor „kezdetiérték-feladatról” beszélünk. Például, ha a feltétel (x0 , y0 ) = (1, 2), akkor az általános megoldásba való behelyettesítéssel F(x0 = 1) = 41 · 12 + 1 + c = 2 = y0 , tehát c = 43 , és így a speciális megoldás 3 1 y′ = f ′ (x) = x2 + x + 4 4 lesz. A 16. ábra bemutat néhány megoldást, köztük a speciálist is. Ha olyan függvényekkel van dolgunk, amelyeknek a változója a t id˝o, akkor a deriválási vessz˝oket a hagyománynak megfelel˝oen pontokkal helyettesítjük. Az alábbiakban az ≡ szimbólum az azonosság jele: d2 d x(t) ≡ x(t), ˙ x(t) ≡ x(t). ¨ dt dt 2 Különösen a fizika foglalkozik id˝ot˝ol függ˝o természeti változások leírásával és magyarázatával. Idetartoznak a testek helyváltoztatásai is. Például egy test súrlódásmentes szabadesésénél36 a megtett x(t) utat mint a t id˝o függvényét az x(t) = − 21 gt 2 egyenlet írja le, ahol d2 x ≡ x¨ = −g dt 2 a nehézségi gyorsulás. Az olvasó talán még a következ˝o példára is emlékszik: egy középhelyzet körüli ideális, súrlódásmentes rezgést az x = a cos (ωt + β) vagy röviden x¨ = −ω2 x 36

Nagyon jó bevezetést ad W.Blum Die Grammatik der Logik: Einführung in die Mathematik cím˝u könyve.

A MATEMATIKAI FIZIKA MILLENNIUMPROBLÉMÁI

75

egyenlettel lehet leírni. Ezzel a következ˝ot akarom mondani: a fizikai mozgások lényegét gyakran a gyorsulásra vonatkozó egyenlettel – tehát differenciálegyenlettel – fejezik ki. A differenciálegyenleteknek számtalan fajtája van: explicit, homogén, inhomogén, lineáris, nemlineáris, n-edrend˝u, állandó együtthatós stb. Ezeken a „közönséges” differenciálegyenleteken kívül, amelyeknél csak egyváltozós megoldásfüggvényeket keresünk, léteznek „parciális” differenciálegyenletek, is, amelyeknél többváltozós megoldásfüggvények lépnek fel, és ahol ennek megfelel˝oen a parciális deriváltaknak van szerepük. Ha például f (x, y, z) valós érték˝u függvény a háromdimenziós R3 térben, akkor tekinthetjük a ∂ f /∂x, ∂ f /∂y, ∂2 f /∂z2 , ∂2 f /∂x ∂y stb. parciális deriváltakat. Parciális differenciálegyenletekkel, amelyeknek az elmélete még nehezebb, itt nem foglalkozunk. A legtöbb differenciálegyenlethez egyáltalán nem léteznek általános megoldási módszerek; néha csak ügyességgel, türelemmel vagy szerencsével sikerül alkalmas megoldást találni.37 Miel˝ott rátérnénk a matematikai fizika millenniumproblémáira, lássunk még néhány szemléletes példát, amelyek megmutatják, milyen sokrét˝uek a differenciálegyenletek alkalmazásai: a fizikai (Newton-féle) rulett, egy közgazdasági növekedési modell, biológiai modellek – és egy „szerelmi differenciálegyenlet” mint játékelméleti-pszichológiai magatartásminta. Rulett: alternatív út az els˝o millióhoz? Differenciálegyenletek segítségével nemcsak rakéta- és m˝uholdpályákat határoznak meg és szabályoznak. A szerencsejátéknak tartott rulett fizikai vonatkozásai is messzemen˝oen leírhatók a Newton-féle mechanikával. A rulettnél a golyó által a cilinderben megtett x(t) utat mint a t id˝o függvényét a következ˝o alakú 37

Hasonló szituációval fogunk szembesülni az elméleti informatika milleniumproblémájáról szóló fejezetben is: a körutazás-problémára semmiféle – hatékony – polinomiális idej˝u algoritmus nem ismeretes; mindmáig az egyetlen hatékony módszer a szerencsés találgatás.

76

A MATEMATIKAI FIZIKA MILLENNIUMPROBLÉMÁI

másodrend˝u kvadratikus differenciálegyenlet írja le (ahol a, b, c és d fizikai állandók): ¶ µ ¶2 µ ¶ d d d2 x(t) + b · x(t) + c · x(t) + d = 0 a· dt 2 dt dt µ

vagy röviden ax¨ + bx˙2 + cx˙ + d = 0. Itt x˙ (sebesség) az els˝o és x¨ (fékez˝odés) a második deriváltja xnek a t id˝o szerint. Az x(t) egzakt megoldás nagyon bonyolultnak látszik (hiperbolikus függvényeket is tartalmaz többek között), de egy egyszer˝u, x(t) = α · eβt + γ

alakú exponenciális függvénnyel (α, β és γ alkalmas állandók)38 elég jól approximálható.39 (A probléma tisztán kaotikus részének – a golyó ugrálásának – a megoldása külön történik.) A megtett út mint a θ = θ(t) szög függvénye is el˝oállítható (radiánban, rad). A golyómozgás differenciálegyenletei ilyenkor természetesen meg˝orzik a fenti globális szerkezetet: ˙ Ω ˙ = −α · Ω2 + β − γ · sin θ, Ω = θ,

vagy röviden

θ¨ = −αθ˙ 2 + β − γ sin θ,

38

Thorp, E. O.: The Physical Prediction of Roulette. Thorpnak azonban analóg technikával kellett dolgoznia (ugyanis 40 évvel ezel˝ott még nem léteztek megfelel˝o digitális miniszámítógépek); azaz neki a differenciálegyenletet egy alkalmas elektromos áramkörrel kellett szimulálnia. 39

Mások approximációként egyszer˝uen t-nek egy másodfokú függvényét választották, megint mások reprezentatív tanulási játékok segítségével valamiféle „statisztikus algoritmust” dolgoztak ki, amely szerint a további lépések prognózisát a kezdeti feltételek lehet˝o legnagyobb hasonlósága alapján lehet kialakítani – feltehet˝oen ez a legokosabb, legáltalánosabb realizáció, amely ráadásul nem igényli számos fizikai állandó körülményes meghatározását (mert ezek a tanulási játékokban implicit módon már benne vannak).

A MATEMATIKAI FIZIKA MILLENNIUMPROBLÉMÁI

77

ahol α, β és γ fizikai állandók, Ω = θ˙ a szögsebesség (rad/sec mértékegységben) és sin a szinuszfüggvény.40 Adott kezdeti feltételek mellett és ismerve a fizikai állandókat ki lehet számítani a golyónak a menet vége felé bekövetkez˝o különösen érdekes pozícióit – például, hogy pontosan hol és mikor hagyja el a cilinder peremét vagy ütközik valamelyik fémakadálynak, és mindezt d˝olés nélküli és csekély d˝olés˝u cilinderekre is. Ezen elv alapján többféle „ballisztikai algoritmust” dolgoztak ki, és ezeket zsebszámítógépen kivitelezték. A kaszinókban való alkalmazás pozitív várható értékekre vezetett – minek következtében a számítógépeket szigorúan kitiltották a kaszinókból. (Fizikai alapú nyerési módszerek alkalmazásához azonban nem feltétlenül kell képletekkel vesz˝odni. Megfigyelés és tapasztalat alapján mindenki meg tud oldani ilyen differenciálegyenleteket, még a meglehet˝osen bonyolultnak t˝un˝oket is. Ha például egy autóvezet˝onek sikerül egy fal el˝ott lefékezni vagy a kocsisorban el˝otte haladónak nem nekiszaladni, akkor állandóan és sikeresen megoldja a legkülönfélébb differenciálegyenleteket – hiszen minden mozgást, minden gyorsulást, fékez˝odést, irányváltozást differenciálegyenletek írnak le. A rulettnél a differenciálegyenletek megoldásának ez az „empirikus” módja az úgynevezett vizuális ballisztika – más néven „wheel watching” vagy cilindernézés – révén valósul meg.41 A gördül˝o golyó differenciálegyenletének megoldására a Clay Matematikai Intézet alapítványa nem t˝uzött ki díjat. Így az embernek jobb híján játékkal kell a milliócskáját megkeresni – amennyiben a kaszinók (tiltott segédeszközök nélkül) ezt lehet˝ové teszik. . .

40 41

Eichberger,J.-I.: Roulette Physics.

Lásd a szerz˝o Die Zähmung des Zufalls cím˝u könyvét vagy a Die Welt als Roulette cím˝u zsebkönyvét. A várható érték csak akkor lehet pozitív, ha a golyó futásának kaotikus része – szóródási viselkedése vagy ugrálása – nem vonja maga után az eredmények teljesen egyenletes eloszlását (ami a leggyakoribb eset).

78

A MATEMATIKAI FIZIKA MILLENNIUMPROBLÉMÁI

Differenciálegyenletek a közgazdaságtanban és a biológiában A differenciálegyenletek matematikai kifejezésformák, amelyek minden olyan helyen fellépnek és a jelenségek leírásához felhasználásra kerülnek, ahol változásoknak kitett mennyiségeket vizsgálnak, és ahol kölcsönhatások és visszacsatolások lépnek fel, röviden szólva ahol dinamikai rendszerekr˝ol van szó. És ez már régen nem korlátozódik a fizikai törvényekre. Vonatkozik a közgazdaság majdnem minden aspektusára is, méghozzá nemcsak a sz˝orszálhasogató ökonometriai modellek keretében. Ha például egy ismeretlen ökonómiai, id˝ofügg˝o x(t) növekedési függvényt vizsgálunk, akkor ennek x˙ = dx/dt els˝o deriváltját növekedési sebességnek nevezhetjük (hasonlóan ahhoz, ahogy egy autó sebességét a megtett út els˝o deriváltjaként lehet el˝oállítani). Nevezzük az x/x ˙ hányadost „növekedési rátának”, és tegyük fel a kérdést: mely x(t) függvényeknek van konstans k növekedési rátájuk? Máris megkaptuk a konstans növekedési rátájú közgazdasági modell differenciálegyenletét: x˙ = k (vagy x˙ = kx). x Az x(t) megoldások csak exp(kt) = ekt alakúak lehetnek,42 ugyanis az exponenciális függvény az egyetlen, amely egyenl˝o az els˝o deriváltjával. Tehát a konstans növekedési ráta exponenciális növekedést von maga után. Differenciálegyenletek írják le a biológiai kiválasztódás dinamikai rendszereit is. Teljesen mindegy, hogy ez a kiválasztódás gének gyakoriságát (populációgenetika), állatpopulációk egyedszámát43 (populációökológia), önreprodukáló makromolekulák koncentrációit (prebiotikus evolúció) vagy – a játékelmélet sed Egyébként fennáll xx˙ = 1x dx dt = dt ln x (ahol ln a természetes, azaz e alapú logaritmus jele), és így az xx˙ = k differenciálegyenlet a dtd ln x = k alakban is felírható. Integrálással kapjuk: ln x(t) = kt + ln x(0), azaz x(t) = x(0)ekt . 42

43

A biológiában talán a ragadozó–zsákmány modell a legismertebb (lásd Hofbauer/Sigmund: Evolutionstheorie und dynamische Systeme).

A MATEMATIKAI FIZIKA MILLENNIUMPROBLÉMÁI

79

gítségével – az állatok örökletes viselkedési mintáinak valószín˝uségét (szociobiológia) szabályozza. Speciálisan a játékelmélet viselkedési stratégiái, úgy t˝unik, az er˝os híd szerepét játsszák a közgazdaságtan és a biológia között – utóbbit kiterjesztve az ember pszichológiájára is, amint ezt a következ˝o példa sugallja. Differenciálegyenlet a szerelemre? A házastársi civakodás sajátos szabályokat követ. Az empirikus pszichológia évtizedek óta azon fáradozik, hogy a nagyon is emberi jelenséget kvantitatíve is megfogja. Most John Gottman kapcsolatkutató áttörésr˝ol ad hírt. Sikerült neki a házasélet természeti törvényeit matematikailag megfejteni. A pszichológiaprofesszor egy negyed évszázad óta filmez veszeked˝o párokat „szerelmi laboratóriumában”, a Washingtoni Egyetemen. Doktoranduszai több ezer videót értékeltek ki. Minden mondatot, minden arckifejezést elhelyeztek egy érzelemskálán, amely a megvetést˝ol a siránkozáson át az odafordulásig terjedt. Ebb˝ol általános empirikus szabályokat tudtak levezetni: egy elvileg intakt kapcsolatban a partner bizonyos fokig visszatükrözi a másiknak az érzéseit még akkor is, ha kiabálnak egymással. Ha azonban a n˝o nevet, miközben a férfi lármázik, vagy fordítva, akkor szakítás fenyeget. A triviálisan hangzó megállapítások Gottmannál tudományos felismeréssé nemesednek. Adatai szerint a vizsgált párok több mint 90 százalékánál sikerült a válást helyesen megjósolnia. Hogy az elméletnek a magasabb matematika fennköltségét kölcsönözze, Gottman megírta 37. könyvét: The Mathematics of Marriage – Dynamic Nonlinear Models. A kapcsolatguru ebben differenciálegyenletekkel írja le a házastársak kölcsönhatásait. „Befolyásfüggvények” segítségével meghatározza, hogy az egyik partner negatív érzelmei milyen nyomot hagynak a másik hangulatán. A kommunikáció értékelése koordinátarendszerekben történik, vektorok mutatják a dühkitörést vagy a belenyugvást. A többi már kézenfekv˝o: ha az érzelemgörbe els˝o deriváltja a végtelenhez tart, akkor a házasságtörés szingularitása fenyeget. Lehet, hogy a házasság matematikájával Gottman ugyanúgy lezárta az empiri-

80

A MATEMATIKAI FIZIKA MILLENNIUMPROBLÉMÁI

kus pszichológiát, mint Isaac Newton a klasszikus mechanikát. Igazán izgalmassá azonban az újszülött megérkezésével válik a dolog – ugyanis három testt˝ol kezdve a káoszelmélet uralkodik.

Id˝ojárásfraktálok, turbulenciák: a Navier–Stokes-egyenletr˝ol Hullámok követik csónakunkat, mikor a tavon siklunk, és korszer˝u repül˝ogépen történ˝o utazásunkat turbulens légáramlatok kísérik. A matematikusoknak és fizikusoknak az a véleményük, hogy lehetséges az áramlatokat és turbulenciákat a Navier–Stokesegyenletek megoldásainak segítségével leírni és el˝orejelezni. Bár ezeket az egyenleteket már a 19. században papírra vetették, máig sem értettük meg o˝ ket eléggé. A kihívás abban áll, hogy lényeges haladást érjünk el egy olyan matematikai elmélet irányában, amely felfedi számunkra a Navier–Stokes-egyenletekben rejt˝oz˝o titkokat. A Clay Matematikai Intézet ilyen ártatlannak t˝un˝o népszer˝utudományos formában fogalmaz meg egy problémát, amelynek megoldásáért egymillió dollárt helyezett kilátásba. Olyan természeti jelenségek matematikai megértésér˝ol van tehát szó, amelyek során víz és leveg˝o megváltoztatja dinamikáját, és például lamináris áramlásból turbulensbe megy át. Az eltér˝o számértékekt˝ol eltekintve a folyadékok és a gázok mozgására ugyanaz az egyenlet, a valójában két egyenletb˝ol álló Navier–Stokes-egyenlet vonatkozik. Ez azt írja le, hogy a fizikai törvények (lényegében Newton híres „er˝o egyenl˝o tömegszer gyorsulás” képlete) hogyan változtatják meg az áramlás állapotát egy meghatározott helyen és id˝opontban. A Navier–Stokes-egyenlet a klasszikus mechanikának egy nemlineáris parciális differenciálegyenlete. Mivel nem akarom az olvasót megijeszteni, a 17. ábrán a probléma hivatalos szövegének, amelyet a Clay Matematikai Intézet megbízásából Charles L. Fefferman fogalmazott meg, csak az elejét mutatom be, pusztán az érdekesség kedvéért és további magyarázat nélkül. Látjuk a Navier–Stokes-egyenleteket (az (1)–(2)

81

A MATEMATIKAI FIZIKA MILLENNIUMPROBLÉMÁI

0.17.. ábra. „A Navier–Stokes-egyenlet egzisztenciája és simasága” cím˝u probléma Charles L. Fefferman által a Clay Matematikai Intézet megbízásából készített hivatalos megfogalmazásának els˝o sorai. parciális differenciálegyenleteket), valamint a kezdeti feltételeket kifejez˝o (3) egyenletet.44 Tehát a következ˝o kezdetiérték-feladat vár megoldásra:45 adva van a közeg (folyadék vagy gáz) állapota bizonyos kezdeti id˝opontban; meghatározandó a viselkedése a jöv˝oben. A megoldást általában rendkívül nehéz megtalálni. Egzakt megoldás csak nagyon ritkán, triviális esetekben létezik: ha a tó a kezdeti id˝opontban teljes nyugalomban van és küls˝o er˝ok nem hatnak, akkor végig nyugalomban marad. Ez azonban érdektelen. Mit csinálnak például a meteorológusok és a repül˝ogépgyártók, akik az egyenletet naponta használják? Számítógépet vesznek igénybe, és a nu44

A teljes ötoldalas megfogalmazás www.claymath.org címen. 45

Lásd a 74. oldalt.

megtalálható

a

világhálón,

a

82

A MATEMATIKAI FIZIKA MILLENNIUMPROBLÉMÁI

merikus közelít˝o megoldásokkal többnyire nagyon jól elboldogulnak. De egyáltalán léteznek-e egzakt megoldások tetszés szerinti kezdeti feltételek mellett? A probléma éppen ez – ugyanis máig se tudja senki, hogyan lehet a Navier–Stokes-egyenletet egzaktul megoldani. Ugyanakkor a témáról minden hónapban új tudományos publikációk tucatjai jelennek meg. Dinamikai rendszerek és káosz Az áramlások dinamikai rendszerek. Mára általánosan elfogadottá vált az a nézet, hogy majdnem minden dinamikai rendszer teret enged a káosznak. A kiindulási helyzet vagy a befolyásoló tényez˝ok bármilyen csekély megváltozása elég ahhoz, hogy gyökeresen eltér˝o eredményre jussunk. Megszokott világunk leírása egyre több kiszámíthatatlan, nemlineáris, kaotikus és el˝ore nem látható jelenséget tár fel. Igen, még a determinisztikus sem mindig el˝orejelezhet˝o – elvileg sem. Stephen Smale topológus megvizsgálta, hogy a dinamikai rendszerek tipikus differenciálegyenletei mindig el˝orejelezhet˝oen viselkednek-e. A meglep˝o válasz: „nem”. Valóban, egy teljesen determinisztikus egyenletnek is lehetnek olyan megoldásai, amelyek minden megfontolás ellenére véletlenszer˝unek t˝unnek.46

46

És néha a dinamikai rendszer még csak nem is számítható ki egzaktul, mint például egy kett˝os inga vagy egy bukdácsoló Jupiter-hold; a híres háromtestprobléma is idetartozik. Két, tömegpontnak képzelt test esetén a Newton-féle mozgásegyenleteknek létezik zárt alakban felírható egzakt megoldásuk (Kepler-féle ellipszisek). Ezzel szemben három test viselkedése rendkívül bonyolult; amennyire ma tudjuk, ilyenkor nincsenek zárt alakban felírható megoldások. Felhasználva az alkalmat, kitérek egy pontatlan és félrevezet˝o kifejezésmódra. Néha azt mondják, hogy az n-test probléma n ≥ 3 esetén „még nincs megoldva”. Ez azonban attól függ, hogy mikor mondunk egy problémát „megoldottnak”. Ha megköveteljük, hogy egy „megoldott problémánál” semmilyen kérdés nem maradhat nyitva, akkor „megoldott problémák” egyáltalán nem léteznek. Amennyiben viszont egy problémát „megoldottnak” tekintünk, ha adva van egy általános módszer, amelynek segítségével a megoldást véges sok lépésben, el˝oírt pontossággal ki tudjuk számítani, akkor az n-test probléma „megoldott problémának” számít, mégpedig több mint 100 éve.

A MATEMATIKAI FIZIKA MILLENNIUMPROBLÉMÁI

83

Matematikailag nézve minden olyan rendszer er˝osen káoszgyanús, amelynek kett˝onél több „szabadságfoka” (mozgáslehet˝osége) van; ez gyakorlatilag minden összetett természeti folyamatnál fennáll: – Id˝ojárás: az aerodinamikai turbulenciák és a klíma alakulása éppoly kiszámíthatatlanok, mint a csepeg˝o vízcsapok. – Biológia: az élet folyamata olyan, mint egy hegygerincen történ˝o vándorlás rend és káosz között, állandó próbálkozás a káosz elkerülésére; a mutációk is kisebbfajta katasztrófák, a járványhullámok pedig gyakran apró okok szörny˝u következményei. – Gazdaság és társadalom: a t˝ozsdei árfolyamok alakulása, valamint a társadalmi viselkedés a pszichológiai, irracionális tényez˝ok figyelembevételével kicsiben nem el˝orejelezhet˝ok. (Lásd még a 78–80. oldalon található példákat.) Vajon a Navier–Stokes-egyenlet fölött is lebeg ilyen Damoklesz-kard? Sem azt nem tudjuk, hogyan kell megoldani, sem azt, hogy mindig van-e megoldása. Elvileg a közegben kialakulhat „szingularitás” is – a térnek egy vagy több olyan pontja, amelyben az áramlás nem folytonos és így az egyenlet értelmét veszti.47 Például egy ilyen pont körül a közeg kör alakban áramolhatna, éspedig annál gyorsabban, minél közelebb helyezkedik el a közeg a szinguláris ponthoz. A millenniumfeladat éppen annak a bebizonyítása, hogy ez nem történhet meg: ha a kezdeti feltételek simák (differenciálhatók), akkor az áramlás végig sima marad. A másik lehet˝oség persze éppen ennek a megcáfolása! Aki talál egy sima kezdetifeltétel-rendszert, amely mellett az áramlás nem marad sima, az megnyerte a díjat. A megfelel˝o kétdimenziós problémát mintegy 40 évvel ezel˝ott megoldották: Olga Ladizsenszkaja, a szentpétervári (akkor: Leningrád) Styeklov Intézet kutatója megmutatta, hogy sima kezdeti feltételek mindig sima áramlást eredményeznek. A kétdimenziós esetben azonban nincsenek turbulenciák – három dimen47

„Natura non facit saltus”, mondta ki alapfeltevésként Gottfried Wilhelm Leibniz: a természet nem csinál ugrásokat. A folytonosság ezt a rendkívüli fontos követelményt fejezi ki a természetleírásban.

84

A MATEMATIKAI FIZIKA MILLENNIUMPROBLÉMÁI

zióban éppen ezek képezik az igazi nehézséget. Mindazonáltal egy részeredmény a háromdimenziós esetben is ismeretes: minden, kezdetben sima áramlás legalább egy kis ideig sima marad; és egy elég lassú, sima áramlás mindvégig sima marad. Tegyük a kezünket a szívünkre: intuíciónk is ezt súgta. De ez kevés – nagyon kevés.

Elemi részecskék, kvantumterek: a Yang–Mills-elméletr˝ol Az elemi részecskék világában a kvantumfizika törvényei jelentik azt, amit a makroszkopikus világban a klasszikus mechanika Newton-féle törvényei. Csaknem fél évszázaddal ezel˝ott Yang és Mills figyelemre méltó új matematikai rendszert vezetett be elemi részecskéknek a geometriában is el˝oforduló struktúrák segítségével történ˝o leírására.48 Napjainkban az elemi részecskék elméletének nagy részéhez a Yang–Mills-féle kvantumelmélet szolgáltatja az alapot, el˝orejelzéseit számos laboratórium kísérletileg ellen˝orizte, matematikai megalapozása azonban még mindig késik. A Yang–Mills-elméletnek az er˝os kölcsönhatás leírására való sikeres alkalmazása a „tömeghézag” nev˝u finom kvantummechanikai tulajdonságon múlik: a kvantumrészecskéknek pozitív tömegük van, pedig a klasszikus hullámok fénysebességgel haladnak. Ezt a tulajdonságot a fizikusok kísérletek révén fedezték fel és számítógépes szimulációval igazolták, de elméleti szempontból még mindig nem értettük meg. Ahhoz, hogy a Yang–Millselmélet és a „tömeghézag”-tulajdonság kulcsfontosságú megalapozásában haladást lehessen elérni, gyökeresen új gondolatokra 48

Az említett geometriai struktúrák (részletes taglalásukat mell˝ozzük) az úgynevezett fibrált terek, absztrakt geometriai objektumok, amelyek mélyebben rejl˝o, az algebrai geometria és a parciális differenciálegyenletek közötti összefüggéseket hordoznak. Ezeknek az elméletét a matematikusok az 1970-es és a korai 80-as években dolgozták ki – egyébként függetlenül az elméleti fizikusoktól, akik ebben az id˝oben „Yang–Mills-tereket” vizsgáltak (és egészen hasonló struktúrákra bukkantak, még miel˝ott a matematikusok munkáiról tudomást szereztek volna).

A MATEMATIKAI FIZIKA MILLENNIUMPROBLÉMÁI

85

lesz szükség – mind a fizikában, mind a matematikában. Ez a Clay Matematikai Intézet által készített népszer˝u-tudományos leírás már nem látszik olyan ártatlannak, mint a Navier–Stokesegyenletek hullámok és áramlások segítségével adott leírása. A kvantumfizikával szerzett tapasztalataink jogossá teszik az óvatosságot. A szubatomi méretek fizikája ritkán szemléletes, és a kvantumlogikának a józan emberi ésszel sohasem volt sok közös vonása. A kvantumvilágban a „reális” szó gyakran csak annyira értelmes, mint az, hogy „kukurikú”.49 A kvantummechanikától a kvantum-kromodinamikáig A kvantummechanika majdnem 100 év óta segíti a természet leírását a szubatomi tartományokban.50 A kvantummechanikában az olyan klasszikus fogalmak, mint „a részecske pályája”, többé nem érvényesek. De a részecskék kvantummechanikája a történetnek csak a fele. A 19. és a korai 20. század fizikájában számos természeti jelenség leírására tereket vezettek be: az elektromos és a mágneses teret, amelyek a Maxwell-egyenletekben jelennek meg, valamint a gravitációs teret, amelyet az Einstein-féle egyenletek írnak le. Az er˝oket (például az elektromos er˝ot) a terek (amelyek a tér minden pontjában léteznek) közvetítik. És az elektromágneses tér ténylegesen létezik. De hogy áll a dolog a terek létezésével szubatomi méretekben – mi van a kvantumterekkel?

49

Néha már hasznos lenne, ha a kvantumtörvények makrovilágunkra is megtartanák érvényességüket. Például a határozatlansági reláció miatt az emberre sohasem lehetne rábizonyítani, hogy egy bizonyos térid˝opontban túl gyorsan hajtott. . . 50

Már az Einstein által a fotonok (fényrészecskék) korpuszkuláris tulajdonságára adott bizonyítás, amelynek során fotonokkal elektronokat l˝ott ki egy fémlemezb˝ol (1905), a kvantummechanika korai el˝ozményének tekinthet˝o. Ezért, és nem relativitáselméleteiért kapta meg Einstein 1921-ben a fizikai Nobel-díjat.

86

A MATEMATIKAI FIZIKA MILLENNIUMPROBLÉMÁI

A klasszikus fogalmak egy sor tulajdonságon keresztül51 el˝oször az elemi részecskék fizikájának standardmodelljéhez, majd a Yang–Mills-féle kvantumtérelméletekhez (1954) vezettek. Mindazonáltal csak kereken 20 évvel kés˝obb sikerült megérteni, hogy ezek az elméletek alkalmasak az er˝os és a gyenge kölcsönhatás leírására. Viszont máig is hiányzik annak a matematikai bizonyítása, hogy a Yang és Mills által bevezetett kvantumterek egyáltalán léteznek. A Clay Matematikai Intézet „slágerlistájának” ez a pontja tehát arról szól, hogy meg kell mutatni: a kvantumterek tanulmányozásának matematikai váza, nevezetesen a Yang–Mills-elmélet, helyesen írja le és alapozza meg a kvarkokból, gluonokból és a részecske-állatkert többi egyedéb˝ol álló szubatomi világot. Speciálisan az elméletnek képesnek kellene lennie megjósolni az energiaspektrum már említett „tömeghézagait”. Ez a következ˝oképpen értend˝o: Az üres tér energiája nullával egyenl˝o, de mihelyt akár csak egyetlen részecske is felbukkan, a tér energiája legalább egy bizonyos E minimumenergiával lesz egyenl˝o. Einstein E = mc2 képlete szerint a részecskéhez az m tömeget lehet hozzárendelni. Azt kell tehát bebizonyítani, hogy a Yang–Mills-elmélet szerint 0 és E közötti energiák nem fordulhatnak el˝o. A fizikusok azt remélik, hogy a Yang–Mills-elmélet aktuális változatából, az úgynevezett kvantum-kromodinamikából (QCD) 51

Helysz˝uke miatt ezekre a tulajdonságokra itt nem térhetünk ki (elméleti fizikusok számára szép feladat lenne tanulmányt írni ezekr˝ol a leny˝ugöz˝o fogalomvilágokról, amelyek sokkal inkább az empíriához, mint az abból levezetett tisztán matematikai problémákhoz köt˝odnek). Alább csak néhány ilyen fogalmat említünk, felsorolásszer˝uen és további magyarázat nélkül: A filozófia Leibniz-féle elégséges ok elve nyomán Hermann Weyl kidolgozta az úgynevezett „kalibrálási elvet”, egy gondolatot, amely fizikai elvvé válva megalapozta az elemi részecskék fizikájának standardmodelljét. Az invarianciák és szimmetriák is a fizikai mennyiségek olyan tulajdonságai, amelyek az elméleteket gazdagítják. A szimmetriák algebrai struktúrája megegyezik a csoportokéval, és tényleg a fizikusok a csoportok legnagyobb fogyasztói. Mindez (és sok minden egyéb is) nagyon szemléletesen, képletek nélkül le van írva Lee Smolin Warum gibt es die Welt? cím˝u könyvében.

A MATEMATIKAI FIZIKA MILLENNIUMPROBLÉMÁI

87

a tömeghézag levezethet˝o – egyéb kívánatos tulajdonságokkal együtt (például hogy kvarkok izoláltan nem léphetnek fel). A QCD-vel kapcsolatos gépi számítások valóban erre utalnak, és ezek el˝orejelzéseit mostanra kísérletekkel igazolták – részecskegyorsítókon, például az európai CERN-en dolgozó tudósok is. De a szigorú bizonyítás még hiányzik. A probléma hivatalos megfogalmazása ennél messzebbre megy. A QCD ugyanis csak egy a sok Yang–Mills-elmélet közül, mégpedig az, amelyik az SU(3) nev˝u, szimmetriákból álló kalibrálócsoporton alapszik. (Ezen durván a háromdimenziós komplex tér forgáscsoportját érthetjük.) Meg kell mutatni, hogy egy még kidolgozásra váró Yang–Mills-elmélet minden kalibrálócsoport esetén rendelkezik a tömeghézag-tulajdonsággal. Ez már túlmegy minden határon, de különben hogyan lehetne a kvantumtereket igazából megalapozni és megérteni – és végül közelebb kerülni az egységes elmélet álmának megvalósításához. . .

Az elméleti informatika millenniumproblémája

David Hilbert: a programozási nyelvek o˝ satyja? David Hilbertet tulajdonképpen a programozási nyelvek és az elméleti informatika o˝ satyjának tekinthetjük hasonlóan ahhoz, ahogy egyes zenetörténészek Johann Sebastian Bachban a dzsessz o˝ satyját látják. David Hilbert mint a programozási nyelvek és az elméleti informatika szellemi elindítója? Abban az id˝oben, amikor o˝ a matematika fundamentumát akarta formalizálási programjával megmenteni, se programozási nyelvek, se számítógépek nem léteztek. De Hilbert megidézte a szellemeket és többé nem tudott t˝olük szabadulni, és ami még rosszabb, azok megsemmisít˝o csapást mértek víziójára – éppen annak a formalizmusnak a segítségével, amelynek célja egy világos és mindenekel˝ott egyértelm˝u nyelv megalkotása volt a matematika módszertana számára. Ez nem változtat azon, hogy a Hilbert-féle program konkrét kérdései rendkívül eredményes kutatási irányokat nyitottak meg. Az els˝o fejezetben, „A történelmi el˝ozmény” cím˝u alszakaszban már ismertettem ennek a fejl˝odésnek a kezdetét. Csak az igazat – méghozzá a teljes igazat? Kurt Gödel, egy Brünnb˝ol (ma Brno, Cseh Köztársaság) származó fiatal osztrák, 1931-ben a bécsi egyetemen bebizonyította nemteljességi tételét: eszerint minden formális axiómarendszer,

90

A Z ELMÉLETI INFORMATIKA MILLENNIUMPROBLÉMÁJA

amely megkísérli az igazat és csak az igazat mondani – például az összeadásról, szorzásról és a természetes számokról –, szükségképpen nem teljes.52 Ha tehát az axiómarendszert úgy konstruáljuk meg, hogy csak az igazat tudja mondani, akkor nem mondja meg a teljes igazat. Egyrészt vannak téves állítások, amelyeket az axiómarendszer nem tud tévesként leleplezni, másrészt vannak igaz állítások, amelyeket nem tud bebizonyítani. A Hilbert-féle vízió, az egész matematika formalizálása számára ez volt a vég kezdete. Gödel eredeti dolgozatában olyan struktúrák szerepeltek, amelyeket manapság formális programozási nyelvként interpretálhatunk.53 Neumann János, a kor másik híres matematikusa (és a modern játékelmélet megalapítója), azonnal felismerte Gödel eredményének jelent˝oségét – bár o˝ maga sohasem nyilatkozott arról, hogy Hilbert programjának keresztülvihet˝oségét illet˝oen kétségei lennének.54 Tudhatom-e egy programról annak elindítása nélkül, hogy le fog-e állni? Öt évvel kés˝obb, 1936-ban a brit Alan Turing még mélyebb rést ütött Hilbert víziójának épületén azzal, hogy felfedezte a nemkiszámíthatóságot. Hilbert sohasem fejtette ki közelebbr˝ol, hogyan képzeli el azt a „mechanikus eljárást”, amellyel a bizonyítások helyességét vagy helytelenségét el lehetne dönteni. Ezt tette most meg Turing, amennyiben o˝ a mechanikus eljárást egy virtuális, azaz képzeletbeli géppel („Turing-gép”) végeztette el. A Turing-gépet úgy 52

Gödel nemteljességi tétele pontosabban: egy ilyen axiómarendszer vagy nem teljes, vagy ami még rosszabb, bels˝o ellentmondásokat tartalmaz. 53

Analógia áll fenn a LISP programozási nyelvvel, amelynél gyakran kerülnek felhasználásra rekurzív függvények (olyan függvények, amelyek listákat futtatnak). 54

Kés˝obb Neumann az Egyesült Államokban dönt˝oen el˝omozdította a számítógépes technológia fejl˝odését.

A Z ELMÉLETI INFORMATIKA MILLENNIUMPROBLÉMÁJA

91

képzelhetjük el, mint egy univerzális számítógépet, amely minden olyan számítást végre tud hajtani, amelyre az ember is képes. De feszültséget a megfontolásokba el˝oször az ellenkérdés hoz: mit nem tud az ilyen gép? Gödel érvelését átgondolva Turing olyan problémára bukkant, amelyet egyetlen Turing-gép sem tud megoldani: az úgynevezett leállási problémát. Ez úgy szól, hogy el˝ore el kell dönteni, miszerint egy Turing-gép (vagy bármilyen számítógépes program) egy kit˝uzött feladatot végül megold-e és utána leáll-e. El˝oírt id˝otartam esetén a leállási probléma egyszer˝uen megoldható: elindítjuk a programot, és az el˝oírt ideig futtatjuk. Utána csak meg kell nézni, készen van-e. A feladat csak akkor válik nehézzé, ha nem szabunk id˝okorlátot. Vannak programok, amelyek „vég nélkül ismétl˝od˝o hurkokat” tartalmaznak; ezeknél örökké várhatnánk. Az id˝okorlát nélküli leállási probléma megoldása tehát annak a kitalálását jelenti a program elindítása nélkül, hogy a program biztosan le fog-e állni. Turing megmutatta, hogy ez a probléma elvi okokból megoldhatatlan. A következmények ugyanabba az irányba mutatnak, mint a Gödel-dolgozat esetében. Turingnak egyébként sikerült jelent˝osen általánosítania Gödel állítását. Gödel munkájához hasonlóan Turing munkája is tartalmaz egy struktúrát, amelyet ma programozási nyelvnek neveznénk. A két nyelv azonban nagyon különböz˝o.55

Véletlen, bonyolultság, információ, entrópia Az 1960-as években Gregory Chaitin és Andrej Kolmogorov, egymástólfüggetlenül, új ötletekkel állt el˝o egy „algoritmikus infor55

Turing „programozási nyelve” nem rendelkezik semmilyen magasabb rend˝u nyelv, mint amilyen a LISP, szerkezetével, hanem inkább egy nullákból és egyesekb˝ol álló primitív gépi nyelvével, amely a központi aritmetikai egységnek minden egyes akciót hajszálpontosan el˝oír.

92

A Z ELMÉLETI INFORMATIKA MILLENNIUMPROBLÉMÁJA

mációelmélet” megteremtésére. Az egyszer˝u alapgondolatok arról szólnak, hogy hogyan lehet mérni egy számítás bonyolultságát, vagyis azt a ráfordítást, amire a probléma megoldásához minimálisan szükség van. A számítógép a szavakat mint 0 és 1 számjegyekb˝ol álló sorozatokat dolgozza fel, és ezek a sorozatok alkotják a programok utasításait. Vannak sorozatok, amelyek rendkívül egyszer˝uek, mégpedig azok, amelyek csupa 0-ból állnak, és azok, amelyekben váltakozva szerepel a 0 és az 1. Az els˝o sorozatot egy minimálisan 1 hosszúságú programmal lehet leírni. Ez a program el˝oírja, hogy „minden n-re az n-edik számjegy 0”, és végrehajtatja a „0 ismétlése” parancsot. A második sorozatot egy 2 hosszúságú programmal lehet jellemezni: „a páratlan számok 0-nak, a páros számok 1-nek felelnek meg”, úgyhogy a következ˝o parancsok kerülnek behívásra: „ha 0, akkor következik 1, és ha 1, akkor következik 0”. Egy általános (racionális) szám bináris alakban els˝o pillantásra bonyolultnak t˝unhet, de valójában a benne szerepl˝o nullák és egyesek számánál sokkal-sokkal rövidebb programmal is leírható. Tekintsünk most egy n hosszúságú sorozatot, amelynél a 0 és az 1 egyaránt 1/2 valószín˝uséggel kerül kiválasztásra. Ekkor rendszerint nem létezik a sorozatnak olyan jellemzése, amelynek a hossza észrevehet˝oen kisebb, mint n.56 Tehát az átlagos információ, amit fair pénzfeldobási játszmáknak egy sorozata nyújt, egyenl˝o azon kérdések számával, amelyeket fel kell tenni ahhoz, hogy megkapjuk az eredmények sorozatát. Minél véletlenszer˝ubb a sorozat, annál több kérdés szükséges a rekonstruálásához, vagyis a sorozat annyival bonyolultabb. Bonyolult az, amit nehezen lehet leírni. A bonyolultság és az információ egy érme két oldala. A teljes véletlenszer˝uség azonnal elvész, ha a 0 és az 1 szimbólum közül az egyiknek a valószín˝usége sokkalta kisebb, mint

56

A „rendszerint” szó azt jelenti, hogy vannak kivételek, de ezeknek a valószín˝usége nagyon kicsivé válik, ha n viszonylag nagy.

A Z ELMÉLETI INFORMATIKA MILLENNIUMPROBLÉMÁJA

93

a másiké. De elvész akkor is, ha él valamelyik korábbi dobás57 emléke, például ha a nulla-egy sorozat egy szabályosan visszatér˝o, pszeudovéletlen mintát követ. Ebben az esetben az ismétl˝od˝o mintákat egy sokkal rövidebb program segítségével „komprimálni” lehet. Kolmogorov nyomán egy nulla-egy sorozat bonyolultságán az o˝ t leíró számítógépprogram minimális hosszúságát értjük. Ezek szerint egy meghatározott sorozat bonyolultsága a sorozat véletlen természetével áll kapcsolatban: a véletlen olyasvalami, ami tovább már nem komprimálható. Egy teljesen véletlenszer˝u objektum leírására az az egyetlen lehet˝oség, ha minden adatát hiánytalanul felsoroljuk. Mivel struktúra nincs, rövidebb el˝oállítás nem lehetséges. (A másik véglet a nagyon szabályos struktúrájú objektum, például az 1001 számjegysorozat egymilliárdszori ismétl˝odése: nagyon nagy objektum nagyon rövid jellemzéssel.) Ki a legjobb hazudozó? Az egyformán valószín˝u realizációkkal rendelkez˝o, véletlenszer˝uen létrejött nulla-egy sorozatoknak a bonyolultsága maximális. Ennélfogva az a legjobb hazudozó, aki a legmegbízhatóbban a legbonyolultabb sorozatokat produkálja, azaz olyan sorozatokat, amelyeket nehezen lehet kitalálni. Ennek a tényállásnak létezik egy játékelméleti megfelel˝oje. Sok bimátrixjátéknál, mint például a zérus összeg˝u kockajátéknál („a papír beburkolja a követ”, „a k˝o kicsorbítja az ollót”, „az olló elvágja a papírt”), nincs optimális stratégia – nincs egyensúlyi állapot.58 Mindazonáltal a kockajátékosok egyensúlyt hozhatnak létre, ha három stratégiájukat statisztikusan 1/3 − 1/3 gyakorisággal és egymástól függetlenül alkalmazzák. Ebben az esetben 57

A klasszikus rulett alapaxiómáját is a dobások véletlenszer˝usége és függetlensége képezi. A Laplace-axióma állítása: a 37 elemi esemény egyformán valószín˝u. A Bernoulli-axióma pedig a következ˝oket mondja ki: egy ilyen kísérlet megismétlései egymástól függetlenek. 58

Lásd például a szerz˝o Abenteuer Mathematik cím˝u zsebkönyvét.

94

A Z ELMÉLETI INFORMATIKA MILLENNIUMPROBLÉMÁJA

a két játékos egyikének sincs többé oka, hogy kevert stratégiájától (1/3, 1/3, 1/3) eltérjen.59 Fontos, hogy az ellenjátékos ne fedezzen fel semmilyen árulkodó sémát, amelyb˝ol következtetéseket vonhatna le és megválaszthatná a leghatékonyabb választ. Ezt a legjobban úgy lehet biztosítani, hogy a döntést a magunk részér˝ol nyitva hagyjuk, és inkább egy véletlen mechanizmusra bízzuk – követve a mottót: „Az információ elárulása ellen a legjobb módszer a tudatlanság”.60 Ennek a stratégiának a labdarúgásban is biztos helye van. Egy szakért˝o egyszer így kommentálta Zinedine Zidane francia labdarúgó játékát: o˝ a világ egyik legjobb játékosa, és technikai tökéletessége folytán megengedheti magának, hogy ne tudja, mit fog tenni a következ˝o pillanatban, amikor nála lesz a labda. A jó hazudozó vagy cselez˝o nem alkalmaz árulkodó sémákat. Információ és entrópia A valószín˝uség és az információ, továbbá a véletlen halmaz és az információhalmaz fogalma közötti formális megkülönböztetéshez társul még egy, a fizikából származó fogalom, nevezetesen az entrópiáé – amely els˝osorban az energiával és az információval áll kapcsolatban.61 Az entrópia kimagasló szerepet játszik a híres fizikus, Ludwig Boltzmann munkáiban. Termodinamikai állapothatározóként az entrópia a „rendetlenség” fokát, vagy pontosabban a rendszeren belüli szervezettség hiányát fejezi ki. A kristályok entrópiája kicsi, míg a gázok, például szobah˝omérsékleten, nagy entrópiával rendelkeznek. Az entrópiafogalom össze59

E speciális tényállás általánosítása vezet „John Nash nemkooperatív nszemélyes játékokra vonatkozó egyensúlyi tételéhez”. 60

Neumann János nyomán. Ezt az elvet jól illusztrálják a titkosszolgálatok holt levélszekrényei: ha az ügynök a kapcsolattartóját nem ismeri, akkor nem is árulhatja el. 61

Az entrópiát úgy is lehet értelmezni, mint egy statisztikus törvények alapján vezérelt hírforrás információtartalmának a nagyságát. Ez a fogalom, amelyet 1948-ban Claude Shannon vezetett be az információelmélet modern alapvetésében, az elmélettel foglalkozó minden bevezet˝o m˝u elején megtalálható.

A Z ELMÉLETI INFORMATIKA MILLENNIUMPROBLÉMÁJA

95

függ azzal az alapvet˝o filozófiai kérdéssel, hogy az id˝o miért irreverzibilis – miért csak egy irányba halad. A cseréphalom magától nem áll újra össze vázává. A Boltzmann-féle elmélet ezt úgy fejezi ki, hogy zárt rendszerekben az entrópia globálisan mindig csak n˝oni tud, vagyis a rendszerben a rendetlenség mindig nagyobb lesz, mert a világ minden eseménye energialeértékel˝odéssel jár: a forró testek melegüket rendszerint hidegebb testeknek adják át mindaddig, amíg a h˝omérsékletek ki nem egyenlít˝odnek. Energiát nyerni viszont csak h˝omérsékletkülönbségek révén lehet.62 Bonyolultság – algoritmikus szempontból A számolási lépések száma (vagy a futásid˝o) minden algoritmusnál a probléma betáplált adatainak mennyiségét˝ol függ. A betáplált adatok mennyiségére a matematikai köznyelvben a probléma „dimenziója” elnevezés is meghonosodott. Így az algoritmusok hatékonyságát azzal a móddal mérhetjük, ahogyan a futásid˝o változik a probléma dimenziójának függvényében. 1965-ben az a javaslat született, hogy a két széls˝o eset, amelyek durván a minden tapasztalat szerint „jó” illetve „rossz” algoritmusoknak felelnek meg, a polinomiális, illetve exponenciális futásid˝o nevet kapja. Ha a futásid˝o a probléma n dimenziójával úgy növekszik, mint egy fix hatvány, például n2 vagy 10n17 + 3n5 , akkor az algoritmus polinomiális id˝o alatt fut le (polinomiális idej˝u algoritmus). Ha úgy növekszik, mint 2n vagy gyorsabban, például mint 3n + n100 , s˝ot akár mint n!, akkor exponenciális id˝o alatt fut le (exponenciális idej˝u algoritmus). Eszerint az iskolából ismert euklideszi algoritmus (amely két természetes szám legnagyobb közös osztóját határozza meg) „jó” vagy hatékony, mert lineáris id˝o (n els˝o hatványa) alatt fut le, viszont a tényez˝okre bontás módszere „rossz62

Mindazonáltal nem haladunk az „abszolút h˝ohalál” felé, amit a 19. századi fizikusok jósoltak: bár univerzumunk folyamatosan tágul és h˝ul, közben növeli a csillagok belseje és az égi háttér közötti h˝omérsékletkülönbséget – ez az a kozmikus energiaforrás, amely (ön)szervez˝odést létesít, és ennek sodrásában élet keletkezhet.

96

Futásid˝ofügg- 10 vény

A Z ELMÉLETI INFORMATIKA MILLENNIUMPROBLÉMÁJA

20

Adatmennyiség: n 30 40 50

60

n 0,00001 s 0,00002 s 0,00003 s 0,00004 s 0,00005 s 0,00006 s n2 0,0001 s 0,0004 s 0,0009 s 0,0016 s 0,0025 s 0,0036 s n3 0,001 s 0,0008 s 0,027 s 0,064 s 0,125 s 0,216 s 2n 0,001 s 3n 0,059 s

1,0 s 58 perc

17,9 perc 12,7 nap 35,7 év 36600 év 6,5 év 385500 év 2 · 1010 év 1, 3 · 1015 év

0.2.. táblázat. A számolási id˝o függése az adatmennyiségt˝ol és a futásid˝o-függvényt˝ol polinomiális és exponenciális futásid˝onél. Figyeljük meg a két exponenciális függvény esetében a kifejezetten robbanásszer˝u növekedési sebességet. A számolási id˝o a 3n futásid˝o-függvénynél n = 50-re 20 milliárd év, láthatóan több, mint a világegyetem becsült életkora, n = 60-ra pedig a számolási id˝o még 65000-szer ilyen hosszú.

nak” vagy nem hatékonynak bizonyul, mert futásideje exponenciális. A körutazási problémára szintén nem ismeretes olyan algoritmus, amely (ebben az értelemben) hatékony volna. 1798-ban Thomas Malthus angol lelkész egy híressé vált értekezést írt a demográfiáról, szembeállítva az élelmiszerkészletek lineáris növekedését a lakosság exponenciális növekedésével. A dönt˝o pont az, hogy hosszú futásid˝oknél az exponenciális növekedés elkerülhetetlenül túlsúlyra jut, bármilyen lassan kezd˝odik is. Így a fenti 3n + n100 kifejezésben az n100 polinomtag, bármilyen ijeszt˝onek látszik is, nagy n értékek esetén a 3n exponenciális taggal szemben alig játszik szerepet. Tegyük fel, hogy egy számítógép egy elemi számolási m˝uveletet egy milliomod másodperc (0,000001 s) alatt hajt végre. A 2. táblázat, amelyben a feltüntetett értékek zsebszámológéppel könnyen és gyorsan ellen˝orizhet˝ok, megmutatja, hogy adott n

A Z ELMÉLETI INFORMATIKA MILLENNIUMPROBLÉMÁJA

97

adatmennyiség és adott futásid˝o-függvény mellett a számítógépnek mennyi id˝ore van szüksége a számítás elvégzéséhez. Ez emlékeztet Douglas Adams Per Anhalter durch die Galaxis cím˝u könyvére. Ebben a híres tudományos-fantasztikus regényben Földön kívüli lények egy kolosszális szuperszámítógépet építenek, és felteszik neki a kérdést: mi az értelme az életnek, a világegyetemnek és minden egyébnek. Hét és fél millió évi számolás után63 az elektronikus agy közli válaszát, amely így hangzik: 42.

P=NP, avagy boldogul-e a matematika szerencsés találgatás nélkül? Legyen P azon problémák osztálya, amelyek megoldhatók polinomiális id˝o alatt lefutó algoritmussal: ezek a könny˝u problémák, amelyeknek van jó, hatékony algoritmusuk. Az iskolában megismert legtöbb matematikai probléma ilyen típusú: összeadás, szorzás, gyökvonás, hatványozás, egyenletrendszerek megoldása és így tovább. Nagyonis léteznek azonban olyan P típusú problémák is, amelyek jelenlegi kutatások tárgyát képezik – például osztályozási eljárások. Az algoritmusok ügyes optimalizálásával elérhet˝o, hogy például n névjegy ne igényelje a kézenfekv˝o, bet˝urend szerinti osztályozási eljárásnál szükséges, durván n2 számú egyedi lépést, hanem a kitev˝o közel 1-re legyen legszorítható. Ennek jelent˝os kihatásai vannak, hiszen az osztályozások sok számítógépes alkalmazásnál alapvet˝o szerepet játszanak. De mi a helyzet a következ˝o problémával: „keressük meg egy osztóját a megadott, n-jegy˝u a számnak, amelyr˝ol tudjuk, hogy nem prím”? Az s vagy t tényez˝o megtalálásához (a = s · t) az ember szisztematikusan kipróbál minden jelöltet 2-t˝ol a négyzetgyökéig, hogy osztója-e a-nak. A matematikusok meg tudják mu63

Nagyon rövid id˝o, ami arra utal, hogy az univerzum és az élet értelmére vonatkozó kérdés megválaszolásának véletlen része (ebben a tudományos-fantasztikus regényben) nagyon csekély lehetett – ez viszont ellentmondhat a konkrét válasznak. . . vagy talán mégsem.

98

A Z ELMÉLETI INFORMATIKA MILLENNIUMPROBLÉMÁJA

tatni, hogy ez egy n-jegy˝u számnál elvileg 10n/2 számolási m˝uveletet jelent, ami jóval magasabb nagyságrend, mint nk bármilyen rögzített k mellett. (A fenti eljárás – és egyébként az összes többi ma ismert eljárás – alapján még mindig nem tudjuk, hogy P típusú problémáról van-e szó; elképzelhet˝o ugyanis, hogy valaki valamikor olyan módszert fog kitalálni, amelynél n2 számú számolási lépés is elegend˝o.) A P típusú problémák nagyobb bonyolultság esetén is viszonylag könnyen megoldhatók számítógép segítségével – ennélfogva e problémákat „egyszer˝unek” tekinthetjük. Ebben az értelemben az el˝obb említett osztókeresési probléma a tudomány jelenlegi állása szerint nem egyszer˝u. Ez annak a (feltehet˝oen) általánosabb osztálynak egy reprezentánsa, amely a legtöbb érdekes, nehéz problémát tartalmazza, és amelyet NP-nek neveznek: azon problémák osztálya, amelyek nem-determinisztikus polinomiális id˝o alatt oldhatók meg. Itt az eddigi durva, polinomiális/exponenciális megkülönböztetés további érdekes differenciálása történik. Veszünk egy tetszés szerinti optimalizálási problémát, amelynek z(x) célfüggvényét minimalizálni kell. Tegyük fel, hogy egy adott b számra (amelyhez például szerencsés találgatással jutottunk) polinomiális id˝o alatt megállapítható, hogy a problémának van-e olyan – megengedett – x megoldása, amelyre z(x) < b. Ekkor azt mondjuk, a probléma az NP osztályba tartozik. Figyeljük meg, hogy a nehéz rész – az optimális megoldás megtalálása – nem szerepel követelményként. Tegyük fel, hogy egy Turing-gép képes egy optimalizálási problémára irányuló számítások különböz˝o stádiumaiban valószín˝uségi becsléseket adni. Ez csak gondolatkísérlet, mert ilyen gép gyártására még nincs lehet˝oség. Ha azonban rendelkezésünkre állna egy ilyen hipotetikus segédeszköz (egy úgynevezett nemdeterminisztikus Turing-gép, amely képes volna helyes, illetve optimális véletlen becsléseket adni), akkor a körutazási probléma

A Z ELMÉLETI INFORMATIKA MILLENNIUMPROBLÉMÁJA

99

megoldható volna polinomiális id˝o alatt; a probléma egyszer˝uvé válna, az algoritmus pedig hatékonnyá.64 Mármost világos, hogy minden P-beli probléma NP-beli. De igaz-e ennek a fordítottja is? Más szóval: ha egy megoldást polinomiális id˝o alatt tesztelni lehet, lehet-e polinomiális id˝o alatt megtalálni is? Alig feltételezhet˝o – és alig elképzelhet˝o! A titkos hírközlés, a PIN-kódok és az elektronikus aláírások (kriptológia) azon alapulnak, hogy a tényez˝okre bontás módszere nehéz. De a matematikában az elképzelhetetlen már többször valóra vált. Itt ennek nem csak hátrányai, hanem el˝onyei is lennének. Ha ugyanis az elképzelhetetlenr˝ol (olyan elméleti megfontolások alapján, amelyek ma még egyáltalán nem léteznek) kiderülne, hogy igaz, akkor a gazdaság érdekes optimalizálási problémáira tényleg hatékony algoritmusokat lehetne megadni. Mi azonban inkább arra számítunk, hogy a két bonyolultsági osztály, P és NP különbözik egymástól, P6=NP, azaz hogy az NP osztály valójában b˝ovebb, mint a P osztály. Els˝o pillantásra ennek az eldöntése egyáltalán nem látszik nehéznek, de nem ez a helyzet. A dologban a következ˝o a kellemetlen: mint kiderült, rendkívül nehéz bebizonyítani, hogy egy problémát nem lehet polinomiális id˝o alatt megoldani. Ehhez minden lehetséges algoritmust el kellene képzelni, és megmutatni, hogy egyikük sem hatékony. A nemlétezés-bizonyítások gyakran renitensek, gondoljunk csak a kör kvadratúrájára, az ötödfokú egyenlet megoldására, a párhuzamossági axióma bizonyítására vagy a kontinuumhipotézis igazolására. Az a körülmény, hogy egy NPproblémára, amelyr˝ol nem nyilvánvaló, hogy P-hez tartozik, még nem találtak hatékony algoritmust, ugyanis egyáltalán nem bizonyítja, hogy ilyen nincs is. Másfel˝ol egyel˝ore nem ismerünk olyan problémát, amely bizonyítottan nem P típusú, viszont NP 64

Egy hatékony nem-determinisztikus találgató stratégia, amely az NPprobléma fogalmának alapjául szolgál, és amely feltételezi, hogy a Turing-gép mindegyik becslése helyes – ennek az eseménynek a valószín˝usége a körutazási problémánál csak 1/n! nagyságrend˝u –, azonban teljes ellentétben áll az algoritmusnak mint determinisztikus eljárásnak a lényegével.

100

A Z ELMÉLETI INFORMATIKA MILLENNIUMPROBLÉMÁJA

0.18.. ábra. Az elméleti informatika millenniumproblémáját érint˝o problémák két f˝o (a számítógépes praxis számára érdekes) osztálya, P és NP (ahol P⊂ NP). Kérdés: igaz-e az is, hogy NP⊂ P? Vagy vannak olyan NP-problémák, amelyek igazolhatóan nem tartoznak P-hez? Gyakorlatilag minden érdekes optimalizálási probléma, amely nem tartozik P-hez, NP-teljes, azaz: ha valamikor egy NP-teljes probléma kielégít˝o megoldást nyer, akkor rendelkezésünkre állnak azok a technikai eszközök, amelyekkel minden NP-probléma kielégít˝oen megoldható.

típusú. Ez olyan probléma lenne, amelyet elvi okokból csak szerencsés találgatással lehetne megoldani.65 Egy másik érdekes tulajdonság abban áll, hogy mindazok a problémák, amelyekr˝ol remélhet˝o volt, hogy NP-hez tartoznak, de nem tartoznak P-hez, egymással nagymértékben egyenrangúak. Ennélfogva nehéz eldönteni, hogy az ember hol kezdje. 1971ben Richard Karp amerikai matematikus felfedezte, hogy az NPproblémáknak van egy részkategóriája, amelynek az elemei bi65

Ez emlékeztet a differenciálegyenletek rendkívül kiterjedt elméletére, ahol gyakran csak ügyességgel, türelemmel vagy szerencsével sikerül egzakt megoldást találni.

A Z ELMÉLETI INFORMATIKA MILLENNIUMPROBLÉMÁJA

101

zonyos értelemben az NP-beli összes probléma o˝ stípusai. Ezeket az elemeket „NP-teljes” problémáknak nevezte el. Ha valamikor a matematikusok, így hangzott Karp végkövetkeztetése, egy NP-teljes problémát kielégít˝oen meg tudnak majd oldani, akkor rendelkezni fognak a technikai eszközökkel ahhoz, hogy minden NP-problémát kielégít˝oen megoldjanak. Ezt bebizonyította – szintén 1971-ben – a Toronto Egyetemen dolgozó Stephen Cook is, amikor megmutatta: ha egy NP-beli egyedi problémára, amelyr˝ol azonban nem nyilvánvaló, hogy már P-be is beletartozik, sikerülne egy polinomiális idej˝u algoritmust felfedezni, akkor ezzel az algoritmussal a nehéz problémáknak egy tág osztályához tartozó minden más problémát, köztük az NP-nehezeket is, hatékonyan meg lehetne oldani. A körutazási probléma, amelyet alább röviden ismertetünk, egy ilyen NP-teljes reprezentáns – ahogy a legtöbb érdekes optimalizálási probléma is az66 (a legérdekesebb problémaosztályokról lásd a 18. ábrát). A körutazási probléma – egy NP-teljes reprezentáns A körutazási probléma (más néven utazó-ügynök probléma) könynyen leírható. Egy utazó ügynöknek n számú várost kell felkeresnie, majd vissza kell térnie a kiindulási helységbe. Hogyan tervezze meg az útvonalat, hogy a költség a lehet˝o legkisebb legyen? A költség helyett lehet az utat (vagy az id˝ot) is minimalizálni. Ez a probléma azért vált híressé, mert benne a kérdésfeltevés egyszer˝usége a megoldás nehéz voltával párosul. A nehézséget els˝osorban a „kiszámítási stratégia” megválasztása okozza, hiszen megoldás nyilvánvalóan létezik. Nevezetesen ha a körutazás 66

A szerz˝o Abenteuer Mathematik: Brücken zwischen Wirklichkeit und Fiktion cím˝u könyvében a 6.fejezetet a döntéselméletnek szenteli – egy átfogó matematikai területnek, amelyen belül számos speciális diszciplína ágazik szét: a legkülönböz˝obb optimalizálási problémák, tervezéskutatás, operációkutatás, valamint a játékelmélet kiterjedt részei is. Néhány részletesen ismertetett optimalizálási példa: lineáris programozás, órarendprobléma, arbitrázsprobléma, hálótervezési módszerek, példák Petri-hálóra, sorbanállások, dinamikus programozás, példák az egészszámú optimalizálásra mint amilyen a hátizsákprobléma stb.

102

A Z ELMÉLETI INFORMATIKA MILLENNIUMPROBLÉMÁJA

során minden helység csak egyszer kerül sorra, akkor a lehetséges útvonalakra az (n−1)! = 1×2×3×· · ·×(n−1) csillagászati szám adódik, miközben egy vagy több útvonal is járhat minimális költséggel. Például 15! nagyságrendileg már 1, 3 × 1012 (1300 milliárd, azaz 1,3 billió). Egy 30 rend˝u körutazási problémánál az összes lehet˝oség teljes felsorolása még a leggyorsabb számítógépek számára is túl van minden lehet˝oségen, mivel 30! körülbelül 2, 65 × 1032 -nel egyenl˝o: még ha egy szuperszámítógép másodpercenként egymilliárd (109 ) körutazást tudna is listára venni, akkor is 2, 65 × 1032−9 = 2, 65 × 1023 másodpercre volna szüksége. Összehasonlításképpen megemlítjük, hogy mintegy 3 × 1016 másodperc már egymilliárd évnek felel meg. Olyan kombinatorikus optimalizálási feladatról van szó, amelynél a számolási ráfordítás a probléma n rendjével exponenciálisan n˝o. A matematika nem egzakt tudomány? A kérdés, hogy P=NP (amit még nem lehet kizárni) vagy P6=NP (ami plauzibilisnak látszik), mindenesetre kimagaslik az elméleti informatika megoldatlan problémái közül; így érthet˝o, hogy megoldására a Clay Matematikai Intézet alapítványa egymillió dolláros díjat t˝uzött ki. És ha egy napon tényleg kiderülne, hogy NP6=P: nem lehetséges-e, hogy a Gödel-féle nem-teljesség (és általánosabban a Turing-féle nem-kiszámíthatóság) képezi az NP⊆P inklúzió érvényességének leküzdhetetlen akadályát? Felvethetjük a kérdést, hogy mi lehet a mélyebb oka ennek a nem-teljességnek és nemkiszámíthatóságnak. És itt egyáltalán nem lenne meglep˝o, ha valamikor sikerülne bebizonyítani azt a sejtést, hogy világunk egyik fontos pillére a kvantumvilágra támaszkodik és arra épül. Így olyan területre érkeznénk, ahol az események elvileg sem jelezhet˝ok el˝ore, ahol tehát a véletlen uralkodik – az igazi és tiszta, amely nem csak a tudatlanságunkból fakad. A véletlen mint mélyebb ok? A tiszta matematikában is? Gondoljunk csak az elemi számelméletre, speciálisan a prímszámok eloszlására. Hogy egy meghatározott szám prím-e vagy

A Z ELMÉLETI INFORMATIKA MILLENNIUMPROBLÉMÁJA

103

sem, eléggé megjósolhatatlannak és véletlenszer˝unek t˝unik. Másrészt vannak statisztikus állítások, például a prímszámtétel (vele a Riemann-sejtésr˝ol szóló szakaszban ismerkedtünk meg), amely a prímszámok relatív gyakoriságát egy nagy tartományon belül már nagyon pontosan leírja. A matematika nem egzakt tudomány? Ébredjünk rá, hogy mi a matematikát és a problémákat egy makrovilágban fogalmazzuk meg – makroinformációk segítségével. Nem létezik-e egy matematikai mikrovilág is – mikroinformációkkal? És ez milyen? Mik az elemei, a léptékei, az alaptörvényei? Érvényesül-e az emberi agyban és gondolkodásban mindkét világ?

A matematikai optimalizálást maga a természet végzi el? Optimalizálás több célkituzés ˝ esetén Az eddigiekben tekintett optimalizálási problémáknak, bármily bonyolultak vagy összetettek is kombinatorikájuk miatt, csak egy célkit˝uzésük van. Ezek azonban mesterségesen idealizált esetek, az egyetlen célkit˝uzésre vonatkozó optimalizálás leegyszer˝usítés. Az élet ugyanis, mint a stratégiai ravaszság próbája, sokkal keményebb. A rideg hétköznapokban gyakran többféle célt kell egyidej˝uleg megvalósítani: a piaci részesedést, a forgalmat, a nyereséget és a min˝oséget maximalizálni, ugyanakkor mindenféle költséget és kockázatot minimalizálni kell. A több célkit˝uzés tekintetében optimális döntés, amit „vektormaximumproblémának” is hívnak, a döntéselmélet bonyolult területe. Az egymással verseng˝o szándékok sokfélesége és a rendelkezésre álló eszközök sz˝ukössége közötti ellentmondás a döntés el˝ott álló embert rendszerint azzal a ténnyel szembesíti, hogy a lehetséges alternatívák egyike sem biztosítja a maga elé t˝uzött és egyszerre követett célok egyidej˝u maximális teljesülését.

104

A Z ELMÉLETI INFORMATIKA MILLENNIUMPROBLÉMÁJA

Vajon a természet a célok ütközése esetén hogyan oldja meg az optimalizálást? Maga is a szükséges alkalmazkodási kompromiszszumot valósítja meg: „Az él˝olényeknek a szabad ökológiai zugokhoz való optimális alkalmazkodás révén történ˝o természetes kiválasztódása olyan viselkedésmódot és szerveket követel meg, amelyek optimálisan alkalmazkodnak (a legfels˝o helyet elfoglaló túlélési célon belül) a legkülönfélébb részcélokhoz”, írja Überlebensformel cím˝u könyvében Vitus Dröscher. „Még azok a szervek is, amelyekr˝ol nyilvánvaló, hogy jobban megfelelnének rendeltetésüknek, ha más formájuk lenne, érthet˝ové válnak, ha kiderül, hogy több funkciójuk is van, és alakjuk egyszer˝uen a különböz˝o követelmények közötti legjobb kompromisszumot képezi. A harkály cs˝ore a lárvák felcsipegetésénél csipeszként, a lombok közötti keresésnél lapátként, a harkályodú készítésénél vés˝oként, a hangképzésnél hangfenékként, végül tollazatápolóként is szolgál: ha e feladatok közül mindig csak egyet kellene ellátnia, akkor biztosan más, az illet˝o célnak megfelel˝o alakja volna.” A döntéshozó itt maga a természet, amely a kísérlet és tévedés elve alapján jár el: kísérlet véletlen mutáció útján és döntés a kiválasztódás megrostált véletlene útján – egy elv, amelynek messzeható jelent˝osége van. Tekintettel az evolúcióra, a vizsgált „P=NP” problémával kapcsolatban felmerül a következ˝o kérdés: lehet-e az evolúciót mint valamiféle algoritmust – amely talán egy kozmikus nem-determinisztikus Turing-gépen fut le – értelmezni? Ha igen, akkor ennek, minden kombinatorikát meghazudtolva, rendkívül hatékony algoritmusnak kell lennie, mivel nyilvánvaló, hogy számtalan bonyolult optimalizálása járt és jár sikerrel – egy olyan id˝otartamon belül, amely nekünk, embereknek mindenesetre távolról sem volna elegend˝o az akár csak 30 városra kiterjed˝o körutazási probléma lehet˝oségeinek jegyzékbe foglalására. Molekuláris-biológiai optimalizálás Elismerem, hogy ez az összehasonlítás alapjában véve sántít, mivel nyilvánvaló, hogy a természet a célfüggvényeit nem fogal-

A Z ELMÉLETI INFORMATIKA MILLENNIUMPROBLÉMÁJA

105

mazza meg el˝ore pontosan, hanem a meglev˝ovel „dolgozik”. Mindenesetre az evolúcióból kiinduló optimalizálási folyamat más elveknek engedelmeskedik, mint amelyek példáink alapját képezik. Ennek ellenére lehetséges, hogy a matematikai optimalizálás jöv˝oje a természetben rejlik. Vajon a genetikai algoritmusok (amelyeknél adatok harcolnak a sz˝ukös tárhelyekért), a neuronális hálóprogramok (amelyek adaptív tanulást valósítanak meg) és a bionika nem egy új, az evolúció mintáját követ˝o megközelítés el˝ofutárai-e? A bionika esetében számos m˝uszaki eljárás optimalizálása a természet ügyes másolásán alapszik. Ésszer˝unek t˝unik, ha az evolúció során összegy˝ult kísérletezési tapasztalatokat, amelyeket a biológiai struktúrák tartalmaznak, m˝uszaki célokra kiaknázzuk. „Az egész Föld egy óriási laboratórium, amelyben a természet kísérletezik” – mondja Ingo Rechenberg, a Berlini M˝uszaki Egyetem bionikai intézetének vezet˝oje. A biológiai rendszerek révén az embernek rendelkezésére áll „egy olyan adatfeldolgozó rendszer, amely sok millió év alatt fejl˝odött ki”, áradozik Leonard Adleman matematikus (a kriptológia RSA-rendszerének társfeltalálója), aki el˝oször használta a DNS örökl˝odési molekulát számítógépnek, és ezen az úton megoldotta a körutazási problémát hét város esetére. Annyi helyen, amennyi egy számítógép tárolójának egy bit információhoz szükséges, egy testsejt 1000 milliárd bitet képes tárolni. És azzal az energiával, amit a számítógépek egyetlen m˝uvelethez elfogyasztanak, a sejt 10 milliárd számítási lépést tud elvégezni. „A sejtek a DNS-molekulával olyan mágikus eszköz birtokában vannak, amely a legnagyobb teljesítmény˝u szuperszámítógépet is abakusszá degradálja.” Várható, „hogy a természett˝ol eltanulhatunk néhány számítási trükköt”.

Segíteni fog-e a kvantuminformatika? Néhány éve már olyan újfajta kvantumszámítógépekr˝ol is lehet olvasni, amelyek fotonok, elektronok és ionok kvantumállapotainak egzotikus tulajdonságait (például „keresztezés”, „telepor-

106

A Z ELMÉLETI INFORMATIKA MILLENNIUMPROBLÉMÁJA

tálás”)67 használják fel rendkívül hatékony számítások elvégzésére. Megvannak már az els˝o (elméleti) algoritmusok is nehéz problémák polinomiális id˝o alatt történ˝o megoldására. Mindez egyel˝ore a fáradságos alapkutatás stádiumában van, és a piacérett kvantumszámítógépek gyártása csak távlati, nagyratör˝o célnak tekinthet˝o; de a megismerésnek bizony meg kell el˝oznie az alkalmazást – Max Planck után szabadon. Klasszikus számítógépeink bevált szilíciumtechnikája valamikor el fogja érni lehet˝oségei határát. Jelenleg még a chipek teljesít˝oképessége körülbelül 18 hónaponként megduplázódik, a tranzisztorok egyre kisebbek lesznek, a nanotechnológia egyre sikeresebb. Ha a fejl˝odés így folytatódik, 2020 felé az áramköri elemek feltehet˝oen már csak kisszámú atomból fognak állni, és egyre hajlamosabbá válnak a meghibásodásra. Legkés˝obb akkor megkezd˝odik a szilíciumchip utáni korszak. Erre a jöv˝ore már ma intenzív el˝okészületek folynak. Szakmai körökben a technológia (legalábbis elméletben) rendkívüli teljesít˝oképessége lelkesedést kelt. „Eljön a nap, amikor feltehet˝oen egyetlen kvantumszámítógép teljesítménye nagyobb lesz, mint az összes mai készüléké együttvéve”, mondja Herbert Walther, a kvantumoptikával foglalkozó garchingi Max Planck Intézet igazgatója. A kvantuminformatika hardvere Az újfajta gépek (ezekb˝ol a széls˝oségesen bonyolult, egyel˝ore csak nagyon egyszer˝u feladatokkal megbirkózó kvantumszámítógépekb˝ol eddig csak néhány prototípus létezik) az atomok és elemi részecskék mikrokozmoszában érvényesül˝o különös játékszabályokat használják ki. A szokásos PC-khez hasonlóan ezek is minden adatot nullák és egyesek sorozataként állítanak el˝o. A szilíciumchipekt˝ol eltér˝oen azonban a „nulla” és az „egy” fizikai megfelel˝oje nem az, hogy „van áram” vagy „nincs áram”, hanem 67

Lásd az irodalomjegyzékben szerepl˝o számos érdekes cikket, valamint Anton Zeilinger könyvét.

A Z ELMÉLETI INFORMATIKA MILLENNIUMPROBLÉMÁJA

107

hogy „a rendszer a 0 kvantumállapotban” vagy „a rendszer az 1 kvantumállapotban” van. A két kvantumállapot jelentheti atomok eltér˝o rezgéseit vagy egy elektron két különböz˝o energiaszintjét. Itt szokatlan helyzettel állunk szemben. Az atomi világ lakói nem szívesen hagyják magukat egy meghatározott állapot mellett elkötelezni. A kvantummechanika törvényei szerint egyszer úgy viselkednek, mint a tömör részecskék, másszor úgy, mint a kiterjedt hullámok, és még a tartózkodási helyük sincs egyértelm˝uen meghatározva. Ennek az állhatatlan természetnek köszönhet˝oen a kvantumszámítógép információhordozói, atomok és elektronok, olykor egyidej˝uleg vannak a „nulla” és az „egy” állapotban. Ezért a számítógép a megszokott bitek helyett, amelyek kizárólag a „nullának” vagy az „egynek” felelnek meg, a „nulla” és az „egy” összes úgynevezett egymásra rakódásával (szuperpozíciójával), az úgynevezett qubit-ekkel is dolgozik. Egyetlen qubit esetében ez nagyjából egy érme feldobásához hasonlítható: a leveg˝oben való repülés közben az érme állapota „fej és írás közötti”. A landolás után csak egy eredmény van: fej vagy írás, tehát „nulla” vagy „egy”. Több qubit szuperpozícióira példa lehetne több érme feldobása, egy kocka feldobása, vagy akár egy rulettgolyó elindítása. A golyó, mialatt a cilinderben kering, a „0, 1, 2, 3, . . . , 35 és 36 közötti állapotban” van. A kvantumvilágban történ˝o bonyolult számolás a gépnek nagy tempóel˝onyt biztosít klasszikus, makrofizikai alapon m˝uköd˝o társaival szemben. A qubitek furcsa kett˝os élete lehet˝ové teszi, hogy a kvantumgép egyidej˝uleg sok feladatot oldjon meg. Ha a gép egy qubitet tartalmaz, akkor egyszerre két állapotot tud felvenni, és ezáltal két számítást tud párhuzamosan elvégezni; két qubit esetén négyet, tíz esetén már több mint ezret (210 = 1024), és n qubit esetén 2n számú állapotot képes felvenni. Nem létezik olyan fizikai törvény, amely akadályozná egy kvantumszámítógép megépítését, de a technikai megvalósítás már más kérdés. Az ionszámítógép aritmetikai egysége és egyben lelke egy elektromos csapda. Ebben elektromosan töltött atomok (ionok) ülnek, mintha gyöngyfüzéren sorakoznának. Minden ion egy qubi-

108

A Z ELMÉLETI INFORMATIKA MILLENNIUMPROBLÉMÁJA

tet képvisel. Normálállapota a „nulla” értéknek felel meg. Ha az ion burkában egy elektron lézerimpulzus által lökést kap és magasabb energiájú állapotba kerül, akkor a qubit az „egy” értéket veszi fel. A lézerimpulzusok hosszának ügyes változtatásával minden, „nulla” és „egy” közötti szuperpozíciós állapot beállítható. Az ionok elektromosan taszítják egymást, ezért állandó érintkezésben vannak, és lézerrel az eddigieken felül még együttes rezgésre is késztethet˝ok. Így a részecskék között elvileg egy jól koordinált számolóáramkör jön létre. Ennek során a következ˝o probléma lép fel: minél több atom van a csapdába bezárva, az izgága részecskék annál gyakrabban lökik el egymást a nekik szánt helyekr˝ol, és zavarják egymást a munkában. Egyel˝ore továbbfejlesztésre alkalmas hardver keresésér˝ol van leginkább szó. Már készültek szerkesztési tervek valamiféle ionos nagyszámítógépre. Ennek a processzora állítólag részecskecsapdák százaiból fog összetev˝odni, amelyek olyan ravaszul vannak, egy tárhelyeket és munkaterületeket magába foglaló, viszonylag tágas alagútrendszerré összekapcsolva, hogy benne a qubitek nincsenek egymásnak láb alatt. Még jobb b˝ovítési lehet˝oségeket ígér egy másik készüléktípus. Ennek a belseje, ketrecben szabadon lebeg˝o részecskék helyett, szilárd anyagból áll. „Az lenne a legegyszer˝ubb, ha a kvantumszámítógépek lényegileg olyanok lennének, mint a hagyományos PC-k merevlemezei” – mondja Gerd Schön fizikus a Karlsruhe Egyetemr˝ol. „Akkor az új gépek kiépítésénél a régi szakmai ismereteket fel lehetne használni.” Az ilyen szilárdtest-kvantumszámítógépek épít˝oköveiként például parányi szupravezet˝o fémlapkák jönnek szóba. Elektromos feszültségek segítségével ezek célzottan ide-oda kapcsolhatók különböz˝o töltésállapotok között és így qubitként használhatók. Mindazonáltal a kvantummódszereknek van egy szépséghibája: a számítógép az egyszerre kiszámított eredményeket nem egymástól elkülönítve köpi ki. Helyette egy komplex, átfogó eredményt szolgáltat, amely az összes lehetséges egyedi eredményb˝ol tev˝odik össze. A villámszámítógépek tehát mindennapi használatra nemigen alkalmasak – kivéve ha olyan programokkal dol-

A Z ELMÉLETI INFORMATIKA MILLENNIUMPROBLÉMÁJA

109

goznak, amelyek pont az o˝ öntörvény˝u m˝uködésmódjukhoz vannak igazítva. A kvantuminformatika szoftverje 1994 óta teljes g˝ozzel folyik az ilyen speciális szoftverek keresése. Akkoriban dolgozott ki Peter Shor68 amerikai matematikus (elméleti modellként) egy hatékony faktorizálási algoritmust, amely bombaként hatott a szakmai közvéleményre. Ha addig a kvantumszámítógépek a fizikusok ezoterikus álmának t˝untek69 és elnéz˝o mosoly tárgyát képezték, most hirtelen az egész elektronikus adatforgalom biztonságát fenyeget˝o rém alakját öltötték. Sok általánosan használt rejtjelzési eljárás ugyanis azt használja ki, hogy a hagyományos számítógépek nehezen tudnak nagy számokat prímtényez˝okre bontani. Egy 260-jegy˝u szám felbontásán alapuló titkosírás megfejtéséhez ma még a leggyorsabb számítógépeknek is több mint egymillió évre lenne szükségük.70 A Shor-féle (polinomiális id˝ot igényl˝o) faktorizálási algoritmussal viszont egy kvantumszámítógép a titkos kódot néhány óra alatt meg tudná fejteni. Bár a kvantumszámítógép a keresett eredményt csak bizonyos valószín˝uséggel adja meg helyesen, Shornak sikerült bebizonyítania, hogy a hibavalószín˝uség tetsz˝olegesen kicsi lesz, ha ezt a számítási lépést az ember elég sokszor megismétli. A kvantumszámítógépet ez az ismétlés meglassít-

68

A Berlinben tartott Nemzetközi Matematikuskongresszus megnyitó ülésén (1998. augusztus 18-án) Peter Short úttör˝o munkásságáért Nevanlinna-díjjal tüntették ki – a legmagasabb kitüntetéssel, amely a matematikán belül az elméleti informatika területén elért eredményekért adományozható. 69

Schrödinger kvantummacskás gondolatkísérlete inkább elméleti metaforának tekinthet˝o. 70

Eddig általános eufória uralkodott az úgynevezett Public-Key kódok – amelyek közül a széles körben elterjedt RSA eljárás a leghíresebb – biztonságosságával kapcsolatban. Az RSA-t 1977-ben Ronald Rivest, Adi Shamir és Leonard Adleman matematikusok találták fel (innen a rövidítés), és ma szabványnak számít a digitális pénzügyi m˝uveletek, valamint az elektronikus aláírás területén.

110

A Z ELMÉLETI INFORMATIKA MILLENNIUMPROBLÉMÁJA

hatja, de még mindig lényegesen gyorsabb marad, mint a hagyományos számítógépek. A kvantumszámítógéppel történ˝o számítások filozófiáját, legalábbis az intuíció szintjén, nem túl nehéz megérteni: ha a kvantumszámítógép aritmetikai egységében az egymásra rakódott állapotok száma a qubitek számával exponenciálisan n˝o, amint azt egy nehéz problémánál a megvizsgálandó lehet˝oségek száma a probléma dimenziójának függvényében teszi, akkor az arány legfeljebb polinomiális nagyságrendben n˝ohet. Kommersz kvantumszámítógépek: mikor? Minden kutató egyetért abban, hogy az igazi kommersz kvantumszámítógépek kifejlesztéséig még eltelik egy kis id˝o. Kvantumprocesszorral m˝uköd˝o desktop rendszerek a legközelebbi években nem várhatók – s˝ot pesszimisták szerint sok évtizedig sem. Ennek ellenére sok informatikai cég végez kutatásokat a kvantumadatfeldolgozás területén, mert azt remélik, hogy az elvek némelyikét hamarosan fel tudják majd használni a meglev˝o alkalmazásokhoz is. Az IBM több éve kutatja ezt a területet. 2000-ben a vállalat tulajdonát képez˝o és Isaac Chuang vezetése alatt álló Almaden Research Centre bemutatta az egyik legels˝o valódi kvantumszámítógéprendszert, amely öt, fluoratomokból álló qubitet használ, és ennek segítségével a kutatócsoport könnyen meg tudta határozni adott függvények rendjét. Kvantum-számítógéprendszerek számára ez a matematikai probléma (Order Finding) nagyon könny˝u, hagyományos bináris processzorok számára viszont rendkívül nehéz. A rendmeghatározás problémáját Peter Shor a következ˝oképpen magyarázza el: „Képzeljünk el egy épületet, sok szobával és ugyanannyi, véletlenszer˝uen elhelyezked˝o folyosóval, amelyeken csak az egyik irányban lehet végigmenni. Egyes folyosók szobákat kötnek össze, mások visszavezetnek ugyanabba a szobába. Aki minden szobán és folyosón végigsétál, valamikor visszaér a kiindulópontba; de mekkora azon folyosók minimális száma, amelyeken el˝oz˝oleg végig kell menni?” Az IBM kvan-

A Z ELMÉLETI INFORMATIKA MILLENNIUMPROBLÉMÁJA

111

tumrendszer e probléma minden változatát, bármilyen szoba- és folyosószám mellett, egy lépésben meg tudta oldani, míg a hagyományos matematikai rendszereknek ehhez, a probléma dimenziójától függ˝oen, akár négy lépésre is szükségük volna. 2001-ben Chuang, egy másik csapattal, bemutatta e technika továbbfejlesztett változatát. Sikerült Shor faktorizálási algoritmusát, amely addig csak elméleti modell volt, kiviteleznie egy hét qubitet tartalmazó rendszerben. Ennek hatására Nabil Amer, az IBM információfizikai kutatócsoportjának vezet˝oje és stratégája bizakodónak mutatkozott: „Ez az eredmény meger˝osít minket bizakodásunkban, hogy a kvantumszámítógépek egy szép napon megoldhatnak majd olyan problémákat is, amelyeket összetettségük miatt a legnagyobb teljesítmény˝u klasszikus szuperszámítógépek több millió évi számolással sem tudnak megoldani.” Az „egy szép napon” kitétel lényeges. Chuang becslése szerint egy kvantumszámítógépnek több tucat, s˝ot esetleg több ezer qubitet kell vezérelnie ahhoz, hogy gyakorlati haszna legyen. Eddig azonban még senkinek nem sikerült ezen hiperérzékeny társaságok közül akár csak kicsiket is tartósabban és elfogadható ráfordítással vezérelni. A kvantum-adatfeldolgozás területén már a Microsoft is széleskör˝u beruházásokat eszközölt. De ugyanúgy, mint az IBM, fenntartásait is hangoztatja. Christian Borgs, a Microsoft elméleti csoportjának egyik vezet˝o tudósa azt hiszi, hogy a kiterjedt hibajavítások, amelyek a kvantumszámítógépek kifogástalan m˝uködéséhez az egyes qubitek közötti interferencia miatt szükségesek lennének, akadályozni fogják e gépek kereskedelmi forgalomba hozatalát, még ha elméleti érdekességük vitathatatlan is. Ennélfogva a Microsoft a gyakorlati alkalmazás szempontjából egyel˝ore hasznosabbnak tartja a nanotechnológiás rendszereket. „Bármelyik opcióra esik is végül a választás, mi ott leszünk, és kidolgozzuk a megvalósításhoz szükséges algoritmusokat”, mondja a vállalat egyik szóviv˝oje.

112

A Z ELMÉLETI INFORMATIKA MILLENNIUMPROBLÉMÁJA

A Microsoft nyilatkozataiból kit˝unik, hogy a kvantumszámítógépek további fejlesztése a nanotechnológiáéval71 párhuzamosan folyik. Kvantumkriptográfia: egy közbens˝o alkalmazás A kvantum-adatfeldolgozás legkonkrétabb alkalmazási lehet˝osége azonban a kvantumkriptográfia, amely a kvantum-adatfeldolgozás egyik leggyakrabban tárgyalt fogalma. Itt lényegében két külön kérdésfeltevésr˝ol van szó: el˝oször is, hogy a meglev˝o titkosírási rendszereket kvantumszámítógépekkel meg lehet-e fejteni, másodszor hogy lehet-e kvantumszámítógéppel olyan új, biztonságos adatforgalmazásra alkalmas eljárásokat kidolgozni, amelyek a létez˝o modellekt˝ol alapvet˝oen különböznek. Amit általában kvantumkriptográfiának hívnak, az tulajdonképpen klasszikus és kvantumrendszerek kombinációja, amelynél a kvantummechanikai tulajdonságokat a jelkulcs átvitelére, vagyis a legtöbb korszer˝u titkosírási rendszer legfontosabb m˝uveletére használják. Ezek a rendszerek biztonságos jelkulcsokat cserélnek egy kvantum-adatátviteli csatornán keresztül (optikai kábelen átvitt fotonokkal), és rejtjelezett adatokat egy hitelesített hagyományos csatornán keresztül. Ezáltal az átvitel hatótávolsága korlátozott lesz, viszont olyan jelkulcsot készíthetünk, amelyet nem lehet észrevétlenül elfogni, mert a fotonok, ha nem az el˝ore egyeztetett módon olvassák le o˝ ket, az állapotukat véletlenszer˝uen változtatják. Ezek a rendszerek ma még többnyire csak kísérletek, de id˝ovel felmerülhetnek a kvantum-adatfeldolgozás számára további alkalmazási lehet˝oségek is, amelyek egyel˝ore a jöv˝o zenéi.

71

A nanotechnológiát is sok probléma terheli, de eddig észrevehet˝oen több alkalmazási lehet˝osége van, mint a kvantumszámítógépnek. A nanorendszereket már ma is sok mindenre használják a processzor- és memóriatervezést˝ol az autóalkatrészekhez és a napsugárzás elleni védekezéshez szükséges bevonatok gyártásáig.

Mostanában bebizonyított híres sejtések

Fermat utolsó tétele: több mint háromszáz éven át tartó er˝omutatvány A jogász Pierre de Fermat volt az, aki a 17. század els˝o felének Franciaországában majdnem önállóan rakta le az egész számok elméletének alapjait. Olyan kreatív és élesesz˝u volt, hogy nyugodtan vállalhatta volna az összehasonlítást korának legjobb hivatásos matematikusaival is. Ennek ellenére némely matematikatörténész nem volt hajlandó o˝ t a szakma nagyjai közé sorolni. Egyébként Fermat nem csak a számelméletre szorítkozott. Egyes munkái megel˝olegezték a differenciál- és integrálszámítás, úgyszintén a valószín˝uségszámítás alapgondolatait. Hírneve más matematikusokkal folytatott levelezésén alapszik; o˝ maga nagyon keveset publikált. Halálakor (1665) rengeteg tételt hagyott hátra, amelyeknek a bizonyítását, ha egyáltalán valaki, akkor csak o˝ ismerte. A leghírhedtebbet széljegyzetként firkálta bele Diofantosz Arithmetica-jának saját tulajdonát képez˝o példányába: „Lehetetlen egy köbszámot két köbszámra, egy negyedik hatványt két negyedik hatványra, vagy általában bármilyen, kett˝onél magasabb hatványt két ugyanilyenre felbontani. Felfedeztem erre egy igazán csodálatos bizonyítást – amely ezen a lapszélen nem fér el.” Ez volt a nagy vagy utolsó Fermat-tétel, ahogy kés˝obb nevezték.

114

M OSTANÁBAN BEBIZONYÍTOTT HÍRES SEJTÉSEK

Ez 1637-ben történt. Amit ma a nagy Fermat-tételr˝ol tudunk, az olyan módszereket igényel, amelyek a 17. században még nem állhattak rendelkezésre. Mármost Fermat állítása, hogy talált egy bizonyítást, önáltatás volt-e vagy óriási blöff? Vagy tényleg meglátott valamit, ami azóta mindenkinek elkerülte a figyelmét? Egyébként már az is sportszer˝utlenség, ha valaki egyszer˝uen kijelenti, van egy csodálatos bizonyítása, és utána meghal. Ennek ellenére Fermat szinte mellékesen odavetett széljegyzete hatalmas fejl˝odést indított el a matematikában; 350 éven át nem hagyta nyugodni a matematikusvilágot. Fermat megfontolásai a Diofantosz által vizsgált – egy-egy derékszög˝u háromszög oldalait képez˝o egész számokból álló – ˝ ok óta ismeretes pitagoraszi számhármasokból indultak ki. Osid˝ volt, hogy ha egy háromszög oldalai három, négy és öt egység hosszúak, akkor a háromszögnek van egy derékszöge. Pitagorasz tételének felhasználásával az általános probléma úgy fogalmazható meg, hogy keresni kell a, b és c egész számokat, amelyekre teljesül a2 + b2 = c2 – ahogy a 3, 4 és 5 számra fennáll 32 + 42 = 52 , azaz 9 + 16 = 25. Egy, kb. a Kr.e. 1900 és 1600 közötti id˝ob˝ol származó óbabiloni k˝otábla már felsorol 15 ilyen számhármast; ezeket kétségkívül próbálgatással nyerték. Fermat, miközben Diofantosz pitagoraszi számhármasaival foglalkozott, bizonyára elkezdett gondolkozni a köbökre, negyedik hatványokra stb. vonatkozó analóg problémán, vagyis az xn + yn = zn (x, y, z és n egész, n ≥ 3) Fermat-egyenleten. Ezt a fent említett széljegyzetb˝ol tudjuk, amely azt állítja, hogy n > 2 esetén nem létezik egészszámú megoldás. Nem nehéz megmutatni, hogy elég ezt n = 4-re és minden (páratlan) n prímszámra bebizonyítani. Fermat n = 4-re adott bizonyításának vázlata megmaradt az utókornak. Leonhard Euler 1780-ban megoldotta az n = 3 esetet. Az ezután következ˝o 50 (igen, 50) évben sikerült az igazolást elvégezni az 5, 7 és 13 kitev˝ore, majd a dolog egyel˝ore ennyiben maradt.

M OSTANÁBAN BEBIZONYÍTOTT HÍRES SEJTÉSEK

115

A hivatásos matematikus szemszögéb˝ol a Fermat-egyenlet története hasonlít egy hosszú, egyre elvontabbá váló krimihez, amely mind több és több bepillantást nyújtott a diofantoszi egyenletek bels˝o egységébe és rendjébe. A problémával kapcsolatos számtalan, els˝osorban az úgynevezett algebrai geometriába vágó dolgozat, amelyeket szakmájuk leghíresebbjei közé tartozó, de a nyilvánosság számára továbbra is meglehet˝osen ismeretlen matematikusok írtak, egy évszázadon át növelte a feszültséget, míg végül 1983-ban a 28 éves német Gerd Faltings be nem bizonyította az (1922-ben felállított) Mordell-féle sejtést, amelynek egyetlen speciális esetéb˝ol következik, hogy minden kett˝onél nagyobb nre a Fermat-egyenletnek csak véges sok megoldása van (ha egyáltalán létezik megoldás). A „véges sok” azonban minden n-re a megoldások milliárdjait jelentheti, ami távolról sem ugyanaz, mint az „egy se” – Fermat állításának megfelel˝oen. A teljes bizonyítás felé vezet˝o úton tehát még hézag tátongott. Egy megszállottság odüsszeája Az 1980-as évek közepén Andrew Wiles brit matematikus nekilátott, hogy a hézagot betömje. Gyermekkora óta valóságos megszállottja volt Fermat utolsó tételének. Több mint hét éven át absztrakt töprengésekbe merült padláson lev˝o irodájában anélkül, hogy magányos tevékenységér˝ol a szakmai közvéleményt tájékoztatta volna. Aztán 1993 júniusában készen lett. Wiles, aki az Egyesült Államokban, a Princeton Egyetemen dolgozik, angol szül˝ovárosát, Cambridge-et választja a szakma néhány képvisel˝oje el˝ott tartandó háromnapos el˝oadása színhelyének. Az el˝oadás címe: „Moduláris formák, elliptikus görbék és Galois-reprezentációk”. Fermat tételére nincs utalás. A vendégek kezdetben csak spekulálhatnak. Csak a harmadik nap végén vonja le Wiles a végkövetkeztetést, hogy o˝ most Taniyama sejtésének egy általános esetét bizonyította be, majd mintegy lábjegyzetként hozzáteszi: ez bizony azt jelenti, hogy Fermat utolsó tétele igaz. Q.e.d. – ezt kellett bebizonyítani. A bejelentés bombaként hat. Rövid csend, azután

116

M OSTANÁBAN BEBIZONYÍTOTT HÍRES SEJTÉSEK

taps, kamerák, kérdések és megint üdvrivalgás ebben a történelmi órában. A 40 éves Wiles egy csapásra híressé válik. Aki egy sokéves vagy sok évszázados sejtést bebizonyít, az olyan, mint az u˝ rhajós, aki els˝oként lép egy idegen égitestre. De a történetnek még nincs vége. A rákövetkez˝o hetekben több kisebb hibára derül fény, ezeket Wiles azonnal korrigálni tudja. Kés˝obb azonban, 1993 o˝ szén, egy szaklektor rámutat, hogy az egyik állítás nincs megindokolva; a bizonyítás kell˝os közepén egy becslés meger˝osítésre szorul. Bár a számolás intuitíve helyesnek t˝unik, a becslés bizonyítása ezzel egyáltalán nincs elintézve. A Wiles érvelésében talált hézagról kiderül, hogy bonyolult probléma – teljes az összeomlás. Siker és kudarc gyakran nem esik távol egymástól. Milyen sokan áldozták életük tíz, húsz vagy annál is több évét egy bizonyítás gondolatmenetére, amely végül tévútnak bizonyult. Wiles visszatér padláskamrájába és újra nekilát a munkának, ezúttal egykori tanítványa, Richard Taylor támogatásával. A „mindent vagy semmit” esete forog fenn. Szorongás és feszültség tartja hatalmában o˝ ket. M˝uködni fog a konstrukció, vagy összeomlik, mint a korábbiak? Ez a „mindent vagy semmit”, ami illusztrálja a bizonyításokkal szemben támasztott könyörtelen követelményeket, ilyen formában csak a matematika szigorú tudományában fordulhat el˝o. 1994 végén a gerincvándorlás végre befejez˝odik, a gondolati hézagot a jelek szerint sikerült megszüntetni. A majdnem tízéves intenzív er˝ofeszítés egy több mint 200 oldalt megtölt˝o bizonyításba torkollik. Ebben Wiles kiteljesít egy sor igen merész ötletet, amelyek messze túlmennek a bizonyított tételen, és feltárják az „Istent˝ol kapott” 1, 2, 3 stb. természetes számokból levezetett absztrakt struktúrák bels˝o szépségét. Egyesek ezt a m˝uvet nagy lépésnek tekintik a matematika nagyszabású egységesített elmélete irányába, egy grandiózus univerzális elmélet felé, amelyen minden matematika nyugszik.

M OSTANÁBAN BEBIZONYÍTOTT HÍRES SEJTÉSEK

117

Négyszínprobléma és Kepler-sejtés: gigantikus rendezési gyakorlatok A négyszínprobléma: szemléletes, de bonyolult A négyszínprobléma azért vált híressé és hírhedtté, mert nagyon szemléletesen lehetett megfogalmazni, de nagyon nehéz volt megválaszolni. Közismertsége ellenére a probléma tulajdonképpen nem esik a matematika f˝o sodrába. Inkább egy óriási rendezési gyakorlatról van szó. Megoldása mégis érdekl˝odésre tarthat számot, mert új gondolatokat hozott, és f˝oleg mert új fényt vet a matematikai bizonyítás fogalmára.72 Annak a bebizonyítása, hogy legalább négy szín szükséges egz tetszés szerinti térkép kiszínezéséhez, ha a közös határral rendelkez˝o országoknak különböz˝o szín˝ueknek kell lenniük, nagyon gyorsan elvégezhet˝o egy egyszer˝u példa útján, ahol három szín nem elég. Azt is könny˝u volt bebizonyítani, hogy lehetetlen öt országot egy térképen úgy elhelyezni, hogy mindegyiknek mind a négy másikkal legyen közös határa. Els˝o pillantásra ez bizonyításnak t˝unhet négy szín elegend˝o voltára, de ez a következtetés egyáltalán nem helytálló. 73 Ugyanis a szükséges színek száma nem kell, hogy megfeleljen az egymással határos országok maximális számának. A négyszínsejtés bizonyítására irányuló vállalkozás mindenekel˝ott azért volt olyan rendkívül nehéz, mert a sejtés minden elképzelhet˝o térképre vonatkozik. Ha tudjuk, hogy konkrét térképek ezreihez sohasem kellett négynél több szín, az semmit nem segít, mert mindig akadhat egy újabb térkép, amelyhez öt szín kell – akkor is, ha ez 5000 év alatt el˝oször fordul el˝o. Ehelyett olyan bizonyításra volt szükség, amely minden esetet – követhet˝o mó72

A probléma hosszú történetér˝ol, 1852-t˝ol kezdve, és néhány idevonatkozó példáról és ellenpéldáról lásd a szerz˝o Abenteuer Mathematik cím˝u zsebkönyvét. 73

A négyszínsejtés 1852 és 1976 (a probléma megoldásának éve) között publikált számos téves bizonyítása közül sok éppen ezen a helytelen következtetésen alapszik.

118

M OSTANÁBAN BEBIZONYÍTOTT HÍRES SEJTÉSEK

don – lefed. Ennek során az országok speciális alakja nem játszik szerepet, csak az elhelyezkedésük. Ennyiben a négyszínsejtés topológiai probléma. Az id˝ok folyamán a négyszínproblémát számos matematikus – és még sokkal több amat˝or – vizsgálta. De tévedés lenne azt hinni, hogy a matematikusok néhány hónapnál vagy évnél hoszszabb ideig is szakadatlanul egyetlen megoldatlan problémával foglalkoznak (a kivételek csak er˝osítik a szabályt). Legalábbis a makacs kutatók id˝oközben gyakran új fikciókat tárnak fel, amelyek azután a matematika más ágaiban hasznosnak bizonyulnak. A négyszínprobléma megoldására irányuló kísérletek során olyan módszerek kerültek kidolgozásra, amelyek a topológián belül majdnem önálló területeket alapoztak meg, például a hálózatelméletet és a gráfelméletet. Valóban, a térképekre vonatkozó négyszínproblémát egy hálózatproblémára lehetett visszavezetni, amelyet valamivel könnyebb volt kezelni. Az e problémán úrrá lenni kívánó er˝ofeszítések hosszú történetét nagy matematikusnevek ékesítik; a leghíresebbek közül megemlítjük Sir William Hamiltont a dublini Trinity College-ból, valamint az amerikai George Birkhoffot. A történet a probléma megoldásához való folyamatos közeledés során a haladás számos lépcs˝ojén ment végig. Percy John Heawood már 1890-ben bebizonyította az úgynevezett ötszíntételt. A „négy szín” azonban még sokáig kemény dió maradt. 1922-ben bizonyítást nyert, hogy minden 25 vagy kevesebb országból álló térkép kiszínezhet˝o négy színnel. Ez így, apránként, ment tovább mintegy fél évszázadon át: 1926-ban a bizonyítást kiterjesztették 27 országra, 1938-ban 31-re és 1940-ben 35 országra. Ekkor egy id˝ore szünet állt be, majd 1970-ben sikerült a sejtést bebizonyítani minden 40nél kevesebb országot tartalmazó térképre. A szám 96-ra is felment, amíg aztán a tulajdonképpeni és teljes bizonyítás minden ilyen részeredményt feleslegessé nem tett.

M OSTANÁBAN BEBIZONYÍTOTT HÍRES SEJTÉSEK

119

A számítógépes bizonyítások kezdete Az amerikai Kenneth Appel és a Németországból származó Wolfgang Haken, az Illinois Egyetem matematikusai 1976-ban bejelentették, hogy a négyszínsejtést maradéktalanul bebizonyították. Ez már önmagában is szenzációnak számított, hiszen a matematika egyik leghíresebb megoldatlan problémájáról volt szó. Ugyanakkor a hír sok matematikusra drámaian hatott. A dráma a bizonyítás módjában rejlett, mivel a terjedelmes és lényeges részeket számítógéppel hajtották végre. Ami azonban a bírálók szemében még súlyosabbnak t˝unt: a programra nézve dönt˝o megfontolások szintén számítógép által generált adatokon alapultak. És hogy az ügy egészen áttekinthetetlenné váljon, a program olyan lehet˝oséget is tartalmazott, hogy saját menetét módosítsa. Tehát a bizonyítás egy lényeges része kivonja magát az ember közvetlen ellen˝orzése alól. Appel és Haken négy évnyi kemény munkát és 1200 óra gépid˝ot fektetett a megoldásba. A szükséges gépid˝o mennyiségénél fogva egyetlen matematikus sem remélheti, hogy az összes lépést kézzel valaha is ellen˝orizni fogja. Ezzel a „matematikai bizonyítás” fogalma alapjaiban változott meg. Egy aggodalom, amely már azóta kísértett, hogy az 1950-es években megszülettek az els˝o elektronikus számítógépek, végül valóra vált: egy valódi matematikai bizonyítás konstrukciójának egyik lényeges részénél a matematikus helyébe a számítógép lépett. A bizonyítás elfogadásához azonban az embernek el kell hinnie, hogy a számítógépes program pontosan hajtja végre azokat a számításokat, amelyeket megalkotói elvárnak t˝ole. És sok matematikus a bizonyítást nem pusztán elhinni akarja, hanem – amint azt tudományáguk hagyománya el˝oírja – végigkövetni is, ahogy a fizikusok és a molekuláris biológia m˝uvel˝oi is a szakmabeliek kísérleteit saját laboratóriumukban újra elvégzik.

120

M OSTANÁBAN BEBIZONYÍTOTT HÍRES SEJTÉSEK

Mikor bizonyítás egy bizonyítás? A tételek még a 19. században is sokáig akkor számítottak helyesnek, ha szemléletesek és meggy˝oz˝oek voltak. Ez jól hangzik, de nem feltétlenül indokolt. Egyrészt mind több szemléletes és meggy˝oz˝o álllítást fedeztek fel, amely matematikailag hamisnak bizonyult; másrészt mind több olyan gigantikus gondolati építményt konstruáltak meg helyesen, amelyr˝ol senkinek nem volt szemléletes elképzelése. Ezért a matematikusok már a 20. század beköszönte el˝ott megpróbálták a pusztán szemléletességre épített fogalmakat szigorúbbakkal helyettesíteni. E fáradozások csúcspontja David Hilbert programja volt. Így a gyakorlatban a formalista irányzat vált uralkodóvá. A bizonyítás érvek kifogástalan láncolata volt, amelyek segítségével a matematikusnak meg kellett gy˝oznie a többieket feltevésének helyességér˝ol. A bizonyítás követésével a többi matematikus meggy˝oz˝odhetett róla, hogy a szóbanforgó állítás igaz, és az indokokat is megérthette. Mi több, a bizonyítást csak azért tekintették bizonyításnak, mert ezeket az indokokat kifejtette. A négyszíntétel bizonyítása azonban többet kívánt meg, mint a szigorú gondolati formalizmust. Számítógépes támogatást igényelt, ami nélkül a bizonyítás máig sem lett volna lehetséges. Közben John Milnor amerikai matematikus azt jósolja, hogy két emberölt˝o múlva a bizonyítások úgyis csak akkor lesznek érvényesek, ha ellen˝orizte o˝ ket egy számítógép. Talán a problémák egy osztályánál ez tényleg be fog következni. Ha azonban Milnor jóslata korlátozás nélkül teljesülne, szól a számítógépes bizonyításokat kritizálók véleménye, az mai néz˝opontból kétszeresen is nyugtalanító lenne. Egyrészt senki nem tudná ellen˝orizni, hogy a számítógép – esetleg több száz óra futásid˝o alatt – azt csinálja, amit kell neki. Másrészt nagymértékben veszend˝obe menne az esztétika: minél tömörebb és eredetibb egy bizonyítás, annál nagyobb az esztétikai élvezet, viszont a hosszadalmas számításokat, amelyek az elektronikus számítógépeknek egyenesen az er˝osségei, a matematikusok unalmasnak érzik.

M OSTANÁBAN BEBIZONYÍTOTT HÍRES SEJTÉSEK

121

A matematika esztétikájának fejl˝odése Megpróbálkoznék a szintézissel és e célból annak a két lényeges, egymást egyáltalán nem kizáró lehet˝oségnek az ismertetésével, amely a jöv˝oben megnyílik el˝ottünk. Egyrészt megalapozott remény van a megszokott esztétikai élvezet meg˝orzésére, mert a matematikusok számára kétségkívül nagyszer˝u kihívást jelent, hogy olyan állításokat, mint a négyszíntétel, számítógép nélkül is be tudjanak bizonyítani. Mintegy 20 évvel Appel és Haken ellen˝orzés alól kicsúszó számítógépes bizonyítása után az Egyesült Államokban dolgozó négy matematikusnak sikerült a tételt elegánsabban bebizonyítani. Az új bizonyítás, amelyet a brit Paul Seymour és munkatársai mutattak be, sokkal világosabb és – legalábbis a specialisták számára – követhet˝o. Mindazonáltal ez is használ számítógépet. A kellemetlen részletszámításokhoz egy munkaállomásnak tizenkét órára van szüksége. Ez azonban csak töredéke annak az id˝onek, amit Appel és Haken számítógépének kellett a feladatra fordítania. Most már szabad az út egy még rövidebb és talán teljesen számítógépmentes bizonyítás felé. És a kritikusok ismét optimistán nézhetnek a jöv˝obe azt remélve, hogy a matematika klasszikus esztétikájáról nem kell lemondanunk. Nézzük a második lehet˝oséget, azaz hogy Milnornak igaza lesz – legalábbis a problémák egy meghatározott osztályát illet˝oen. Amikor Appel és Haken benyújtotta dolgozatát közlés céljából az Illinois Journal of Mathematics cím˝u folyóirathoz, a szerkeszt˝ok intézkedtek a bizonyítás számítógép segítségével végzett részének ellen˝orzésér˝ol, nevezetesen egy másik számítógépen lefuttattak egy, az eredetit˝ol függetlenül létrehozott programot.74 Nem jelent-e ez végigkövetést – ha a matematikában kissé szokatlan módon is? Elvégre további szkeptikus szakembe74

A probléma akkor is fennáll, amikor a matematikusok nagyszámítógépek segítségével sok milliárd tizedesjegy pontossággal kiszámítják például a π számot. Az összes számjegy ellen˝orzése csak egy második, más algoritmust használó számítással történhet. (A sportszer˝uségi osztályzatnak, amit az efféle számítás kap, nem szabad feledtetnie a mélyebb okot, hogy tudniillik ilyenkor gyakran valamilyen értékes kutatás tev˝odik át a programozás területére.)

122

M OSTANÁBAN BEBIZONYÍTOTT HÍRES SEJTÉSEK

rek Appel és Haken bizonyítási ötleteit saját programokba foglalhatják bele, és igazolhatják vagy megcáfolhatják o˝ ket. Hogy a fizikai vagy biokémiai kísérletek példájával érveljünk: e kísérleteknél szintén az a helyzet, hogy egyes lényeges vonatkozásokat az ember nem tud közvetlenül megfigyelni, például ha bizonyos jelenségek igazolására elektronmikroszkópot kell használni. A szakmabeliek az elképzeléseket csak ugyanolyan m˝uszerrel tudják követni. A négyszíntétel bizonyítása óta a matematikusnak is van egy m˝uszere, amely láthatóvá tesz számára valamit, amit különben nem látna. Ami a természettudósnak a mikroszkóp vagy a távcs˝o, az most a matematikusnak a számítógép – legalábbis bizonyos problémáknál. És egyszer˝uen elhamarkodott dolog az esztétika miatt szomorkodnunk – hiszen a szellem univerzális esztétikája aligha szorítkozhat viszonylag sz˝uk gondolatkörök ceruzával és papírral történ˝o puszta követésére. Ellenkez˝oleg, bizakodnunk kell, hogy az esztétika – illetve valamelyik formája – egy szép napon a számítógéppel generált bizonyításokban is meg fog nyilvánulni. A gyümölcsárus-bölcsesség teljes bizonyítása: a Kepler-sejtés Amit a gyümölcsárusok évszázadok óta tudnak, végre a matematika is bebizonyította: helykímél˝obben, mint a m˝uvészien feltornyozott narancspiramisokban a piacon, nem lehet gömböket egymásra rakni. Hogy ez a csomagolás a legs˝ur˝ubb, azt a matematikus és csillagász Johannes Kepler, akir˝ol inkább a bolygómozgás általa felfedezett törvényei jutnak eszünkbe, már 1610 körül kimondta. Csak nem tudta bebizonyítani. A probléma annyira nehéznek bizonyult, hogy majdnem 400 évig – még a híres Fermatsejtésnél is hosszabb ideig – nyitva maradt. Bár újra és újra akadtak matematikusok, akik sikerr˝ol számoltak be, aggályoskodó kollégák minden alkalommal találtak a gondolatmenetben valami hézagot. 1998 nyarán a Michigan Egyetemen, Ann Arborban dolgozó Tom Hales matematikus óvatosan bejelentette: lehet, hogy talált egy bizonyítást – de ezt a szakmának ellen˝oriznie kell.

M OSTANÁBAN BEBIZONYÍTOTT HÍRES SEJTÉSEK

123

0.19.. ábra. Körlemezek két szabályos elrendezése a síkban: négyzetes síkkitöltés és hatszöges síkkitöltés. Az elnevezések azokból az alakzatokból erednek, amelyeket az egymást érint˝o körök közös érint˝oi határoznak meg.

A gyakorlatban a legs˝ur˝ubb elrendezés éppoly egyszer˝u, mint amilyen hatékony. Két egymás mellett fekv˝o narancsra úgy helyezünk egy harmadikat, hogy mindkét másikat érintse. A következ˝o gyümölcsök szintén érintkeznek két már ott fekv˝ovel. Amikor az asztalt így befedtük, nekilátunk a második rétegnek, amely pontosan úgy fog kinézni, mint az els˝o. Id˝oközben a narancsok maguktól lecsúsznak az alsó réteg hézagaiba; csak aki alaposan odafigyel, veszi észre, hogy minden második hézag szabadon marad. Így illeszkedik réteg a réteghez. Az ismertetett√elrendezés mellett a gömbök részaránya a teljes térfogatban π/ 18; ez végülis 74,048 százalék. A gömbelhelyezési probléma könnyebb, kétdimenziós megfelel˝oje a következ˝o: hogyan lehet egyforma körlemezeket a síkon a lehet˝o legs˝ur˝ubben elhelyezni? A 19. ábra a két legkézenfekv˝obb lehet˝oséget mutatja be síknak körlemezekkel való kitöltésére, nevezetesen a négyzetes és a hatszög˝u elrendezést. Elméletileg és három dimenzióban viszont a dolog bonyolult. „A matematikának ezt a területét hírhedtté teszik a hibás bizonyítások” – mondja Hales. Az ember akaratlanul is arra hajlik, hogy a gömböket gondolatban el˝oször egy síkra helyezze; ez azonban

124

M OSTANÁBAN BEBIZONYÍTOTT HÍRES SEJTÉSEK

egyáltalán nem szükségszer˝u. Ráadásul végtelen sok változtatható mennyiség van: a gömbközéppontok. Miképpen bizonyíthatnánk be, hogy e csillagászati számú lehet˝oség között nem létezik olyan elrendezés, amelynek a csomagolási s˝ur˝usége talán mégis nagyobb, mint az ismerté? A Fermat-tételhez hasonlóan a Kepler-sejtésnél is valamiknek a nemlétezését kellett bebizonyítani – Fermat-nál ezek bizonyos egyenletek egészszámú megoldásai voltak, Keplernél pedig olyan gömbelhelyezések, amelyek a teret 74,048 százaléknál nagyobb arányban töltik ki. A feladatot már ez nehézzé tette. Ezenkívül kis tartományokban a gömbök nyugodtan fekhetnek s˝ur˝ubben is. Ha három gömbre felül ráteszünk egy negyediket, akkor a középpontok olyan gúlát alkotnak, amelynek az alaplapja és az oldallapjai egyenl˝o oldalú háromszögek. A gömbök ennek a szabályos tetraédernek sz˝uk 78 százalékát töltik ki. Ha az ilyen tetraéderes elrendezéseket halomba raknánk, helykímél˝obb megoldást kapnánk, mint a Kepler-féle. De a tetraéderek a körülöttük lev˝o gömböket kedvez˝otlenebb pozíciókba kényszerítik, ami a lokális s˝ur˝uségel˝onyt újra felemészti. Ennek a bebizonyítása céljából Hales el˝oször azt mutatta meg, hogy végtelen sok gömb helyett elég, ha legfeljebb 53 gömbb˝ol álló halmokat tekintünk. Sam Ferguson nev˝u doktorandusza és egy számítógép segítségével azután lefuttatta a gömbhalmok megmaradt 5000 típusát; óriási rendezési gyakorlat, amely a négyszíntétel bizonyítása esetében az összes térképtípus elintézéséhez hasonlítható. Eltér˝oen Wilestól, aki csendben és titokban birkózott a Fermatsejtéssel padlásszobájában, Tom Hales már öt évvel el˝ore feltett az internetre egy tervet, amelynek a Kepler-sejtés bizonyításához kellett elvezetnie. „A programot azért jelentettem be, mert fel akartam biztatni másokat, hogy segítsenek” – meséli. A végén már állandóan a Kepler-sejtésen dolgozott, csak az alváshoz és evéshez tartott rövid szüneteket. Amikor aztán a bizonyítás elkészült és így a probléma már nem létezett, teljes ürességérzés

M OSTANÁBAN BEBIZONYÍTOTT HÍRES SEJTÉSEK

125

fogta el. És mi fogja az u˝ rt kitölteni? Természetesen a következ˝o kemény dió, a Kelvin-probléma.75 Állj! Biztos, hogy Hales bizonyítása megtámadhatatlan? Ahogy az egy csaknem 400 éves probléma megoldásának dukál, Hales 250 oldalas kéziratát az egyik legtekintélyesebb szakfolyóirat, az Annals of Mathematics közölte le. De a Kepler-sejtés már oly sok ragyogó elmén fogott ki, hogy az Annals szerkeszt˝oje a dolgozatot rögtön tizenkét bírálónak küldte el a szokásos kett˝o vagy három helyett. Mindenesetre volt ok a kétkedésre: tíz évvel azel˝ott Wu-Yi-Hsiang, a Kaliforniai Egyetem munkatársa már közzétett egy bizonyítást, amelyr˝ol kés˝obb kiderült, hogy hibás. Ezenkívül ott volt a rossz érzés, hogy a probléma feldarabolásával nyert 5000 egyedi eset vizsgálata masszív számítógéphasználattal történt.76 A tizenkét szakért˝o nagy lendülettel látott neki a feladatnak, még szemináriumokat is tartottak, amelyeken a bizonyítást átrágták – és 2003 elején kimerülten feladták a küzdelmet. A csoport szóviv˝oje, Fejes Tóth Gábor magyar matematikus – akinek az apja, Fejes Tóth László 1965-ben megjósolta, hogy a Keplersejtést egyszer majd számítógéppel fogják bebizonyítani – úgy

75

A 19. században William Kelvin azon gondolkodott, hogyan lehet a teret egyenl˝o térfogatú részekre felosztani úgy, hogy ezek együttes felszíne minimális legyen. „A Kelvin-probléma rendelkezik a jó problémák minden ismertet˝ojegyével” – véli Hales. – „Könnyen megfogalmazható, gazdag története van – és olyan nehéz, hogy szerintem egy emberölt˝onél tovább fog tartani, amíg megoldják.” 76

Számítógépes bizonyításoknál a min˝oségellen˝orzés nehéz, mert hogy pontosan mi történik a számítógépben, azt az ember nem tudja követni. Ráadásul Hales kereskedelmi forgalomban kapható programokat használt, amelyeknek mindjárt két hátrányuk is van. El˝oször is meg kell vizsgálni, hogy az alkalmazott szoftver m˝uködése hibátlan-e. Ez azonban lehetetlen, mivel a cégek szoftverjük forráskódját titokban tartják. Másodszor a programok gyorsan elavulnak. Azok a verziók, amelyekkel Hales a számításokat végezte, egyrészt már nem kaphatók, másrészt korszer˝u számítógépeken többé nem futnak.

126

M OSTANÁBAN BEBIZONYÍTOTT HÍRES SEJTÉSEK

nyilatkozott, hogy o˝ 99 százalékig meg van gy˝ozve.77 De tökéletes biztonsággal a csapat nem tudta igazolni, hogy a Halesféle bizonyítás jó. Ezt követ˝oen Hales lesújtó e-mailt kapott az Annals szerkeszt˝oit˝ol. A bírálók „nincsenek abban a helyzetben, hogy megállapítsák a bizonyítás helyességét, és a jöv˝oben sem lesznek abban a helyzetben. Erejük végére értek.” Lehet, hogy Halesnek át kellett volna dolgoznia és könnyebben olvashatóvá kellett volna tennie kéziratát. De talán a problémával töltött sok év után neki is elege volt és ereje végére ért. Most mégis az a döntés született, hogy a dolgozatot leközlik – de nem vállalnak érte felel˝osséget, azzal a magyarázattal, hogy a kézirat helytállóságát nem sikerült teljes egészében ellen˝orizni. Ez bosszantja Halest: „Rendkívül szokatlan, hogy a szerkeszt˝ok így elhatárolódjanak egy dolgozattól. Nem ismerek más esetet, ahol ilyesmi megtörtént volna.” A kiút: új, érthet˝obb bizonyítás! Szerencsére eddig kevés olyan eset volt, amikor fontos matematikai kérdéseket csak számítógép segítségével lehetett megoldani. A leghíresebbet, a négyszínproblémát, már tárgyaltuk. Wolfgang Haken és Kenneth Appel a problémát 1476 esetre bontotta fel, amelyekkel azután a számítógép birkózott meg. Az o˝ munkájukat minden olyan megjegyzés nélkül közölték, hogy a szerkeszt˝ok a tartalomért nem vállalnak felel˝osséget. Pedig annak hibátlanságát éppoly kevéssé lehetett tökéletes biztonsággal ellen˝orizni, mint Hales bizonyításáét. Az 1990-es évek közepén Neil Robinson, Daniel P. Sanders, Paul Seymour és Robin Thomas matematikusok ellen˝orizni akar77

Magától értet˝odik, hogy 99 százalékos meggy˝oz˝odés nem elég; hiszen ha egy hosszú dedukciós láncban csak egy apró lépés is hibás a sok millió közül, az az egész épület összeomlásához vezethet. (Csak amit egyszer 100 százalékig helyesnek ismertek el, kerül be örökre a matematika gondolati építményébe, és gyakran további elágazások kiindulópontjává is válik. Ezért a szakma nagyon fontosnak tartja, hogy csak kifogástalan bizonyítások kerüljenek publikálásra. Mert hát a matematikusok az örökkévalóságnak dolgoznak.)

M OSTANÁBAN BEBIZONYÍTOTT HÍRES SEJTÉSEK

127

ták a bizonyítást. Hamarosan észrevették, hogy egyszer˝ubb a sejtést újra bebizonyítani, mint Haken és Appel kéziratát megérteni. Az eredmény a négyszíntételnek egy új bizonyítása volt, amely ugyan maga is számítógépet vesz igénybe, de lényegesen könnyebben érthet˝o. „Nem ellen˝oriztük, hogy a számítógép pontosan m˝uködik-e, sem azt, hogy a fordítóprogram hibátlane”, ismerik el a szerz˝ok. Mivel több futtatásnál mindig ugyanaz az eredmény jött ki, szerintük annak a valószín˝usége, hogy valami nincs rendben, „végtelenül kisebb”, mint egy ember által elkövetett hibáé. A Kepler-sejtés esetében a bizonyítás ugyanilyen meger˝osítése még várat magára.

A Catalan-sejtés bizonyítása: közös hajtóvadászat 1844-ben a belga Eugène Charles Catalan,78 a hírneves párizsi École Polytechnique akkor 30 éves repetitora (instruktorféle, adjunktusi beosztásban) olvasói levelet írt a Crelle’s Journal für die Reine und Angewandte Mathematik cím˝u folyóiratnak, amelyb˝ol a lap a következ˝o kivonatot közölte: Uram, arra kérem Önt, hogy közölje gy˝ujteményében a következ˝o tételt, amelyet én igaznak tartok, bár teljesen bebizonyítanom még nem sikerült; mások talán szerencsésebbek lesznek: 8 és 9 kivételével két egymásra következ˝o egész szám nem lehet teljes hatvány, másképpen kifejezve: az xm − yn = 1 egyenletnek, ahol az ismeretlenek pozitív egész számok, csak egyetlen megoldása van. Sokáig másoknak sem volt több szerencséjük. A Catalan-féle sejtés teljes 158 évig bizonyítatlan maradt. Csak 2003-ban sikerült végleg leteríteni, miután számos matematikus munkái már meglehet˝osen sarokba szorították. Az utolsó lövést a Paderborn 78

Baloldali politikai beállítottsága miatt, amit nem titkolt, Catalan 1852-ben elvesztette párizsi posztját, és ezután csak 1865-ben Liège-ben jutott hozzá egy professzori álláshoz.

128

M OSTANÁBAN BEBIZONYÍTOTT HÍRES SEJTÉSEK

Egyetemen dolgozó, Romániából származó Preda Mihailescu matematikus adta le. Aki szívesen játszik természetes számokkal és azok hatványaival, gyakran bukkan ilyen kérdésekre. Arra is gyorsan rájön, hogy 23 = 8 és 32 = 9 közvetlenül egymás után következik, és talán felteszi magának a kérdést: vajon léteznek-e további, egymástól 1 távolságra lev˝o hatványpárok is (xm − yn = 1). Hangsúlyozzuk, valódi hatványokról van szó, tehát m ≥ 2 és n ≥ 2; ugyanis az m = 1 esetben az egyenlet x = yn + 1 lenne, amelynek minden y-ra és n-re létezik egy (triviális és érdektelen) x megoldása. Keresünk tehát további párokat, el˝oször fejben, azután esetleg számítógéppel, és nem találunk. 52 = 25 és 33 = 27 távolsága 2, 53 = 125 és 27 = 128 távolsága 3, 112 = 121 és 53 = 125 távolsága 4. Ha írunk egy kis programot, amely egymillióig minden teljes hatványt felsorol, akkor egyrészt tendenciájukban növeked˝o távolságokat, másrészt azonban – mindig újra – kicsiny hézagokat is találunk. Például 215 − 1812 = 7 és 2532 − 403 = 9. De mi az az egymillió? – természetes számból, nem dollárból. . . Miért ne következhetne a természetes számok végtelenül hosszú sorozatában, valahol messze, két hatvány egymás után? Tisztán véletlenül. A statisztikai érvelés tehát nem visz messzire; elvégre az ember biztosat akar tudni, nem pedig valószín˝uségszámítással bíbel˝odni – bár az egymásra következ˝o hatványok kis hézagainak az eloszlása hasonlóan véletlenszer˝unek t˝unik, mint a prímszámok eloszlása. Ebb˝ol viszont csak arra lehet következtetni – mivel a messze távolban a hatványok sokkal ritkábban vannak elhintve, mint a prímszámok –, hogy az ilyen „ikerhatványok” el˝ofordulása még sokkal valószín˝utlenebb, mint az ikerprímszámoké,79 ugyanakkor nem lehetetlen, és éppen ez a Catalan-sejtés állítása. Pont ez a „majdnem lehetetlen” és „teljesen lehetetlen” közötti kis különbség került roppant sok fáradságba. Ráadásul még 79

Az ikerprímszámok távolsága 2, például 5 és 7, 11 és 13, vagy 17 és 19. Azt a kérdést, hogy létezik-e végtelen sok ikerprímszám, a „További közérthet˝o, megoldatlan problémák” cím˝u fejezetben fogjuk tárgyalni.

M OSTANÁBAN BEBIZONYÍTOTT HÍRES SEJTÉSEK

129

mindig, a sejtés bebizonyítása után is hiába keressük azt az egy lelkesít˝o ötletet, a „zseniális fogást”, amely az ügyet egy csapásra elintézné. Ugyanis az egész bizonyítás inkább egy óriási sz˝onyegre hasonlít, amely egy hajtóvadászat kalandos jeleneteib˝ol van összeállítva. Maga Mihailescu három különböz˝o „falkát” nevez meg, amelyek a riadt vadat sarokba szorították: a transzcendenst, az algebrait és a számításost. Mindegyik falka több matematikusból áll, akik évtizedek alatt halmozták fel a problémával kapcsolatos tudást. Az utazás további állomásai: transzformációk, mindenféle ravasz becslések, irracionális számok megközelítései racionálisokkal, prímtényez˝os felbontás a komplexben, „ideálok” (ezek olyasmik, mint a felpuhított prímszámtulajdonsággal rendelkez˝o számhalmazok). Végül eljutunk a „körosztási testek” elméletéhez, ahol Mihailescu végül megválaszolta Catalan kérdését. Izgalmas krimi vagy horrorutazás – aszerint, hogy van-e érdekl˝odés és motiváció vagy nincs.80

80

Lásd Christoph Pöppe Der Beweis der Catalanschen Vermutung cím˝u kiváló ismertetését.

További közérthet˝o, megoldatlan problémák

Egyáltalán nem meglep˝o, hogy számtalan megoldatlan probléma létezik. Az viszont igen, hogy sok közülük látszólag oly egyszer˝u, hogy majdnem mindenki számára könnyen érthet˝o. Azokat a híres problémákat, amelyeknek a megoldhatatlanságát már régen bebizonyították, például a kör kvadratúráját, a kocka megkett˝ozését vagy a szögharmadolást, nem fogom tárgyalni.81 A szórakoztató matematikát82 – ez különálló, hatalmas terület, amely sok örömöt okozhat – szintén nem fogom érinteni. A prímszámproblémáknak egészen különleges varázsa van; nézzünk el˝oször néhány ezekre vonatkozó vizsgálatot. Botrányos, hogy sok ilyen probléma máig sincs megoldva – pedig látszólag olyan egyszer˝uek. Nehezítik a helyzetet azok az 1931 óta felmerül˝o kétségek, hogy bizonyos, a prímszámokkal összefügg˝o centrális kérdések egyáltalán, valaha is megválaszolhatók-e. A fenti id˝opontig az a nézet uralkodott, hogy egy jól definiált matematikai keretben elvileg minden állítás bebizonyítható. De ekkor Kurt Gödel osztrák logikus kimutatta, hogy a számelmélet, elvi okokból, nem teljes tudomány, mert olyan kijelentésekhez vezethet, amelyeket saját eszközeivel sem bebizonyítani, sem megcáfolni 81

Számos autodidakta bogarászó még ma is fáradhatatlanul keresi a „megoldásokat” (lásd Dudley szórakoztató, Mathematik zwischen Wahn und Witz cím˝u könyvét). Ebbe a kategóriába sorolhatnánk néhány már bebizonyított tényállást is, például az euklideszi párhuzamossági axióma függetlenségét vagy az „impotenciaelvet” – a nyerés lehetetlenségét a klasszikus ruletten. 82

Az utóbbi id˝oben különösen a b˝uvös négyzetekr˝ol voltak új hírek.

132

T OVÁBBI KÖZÉRTHET O˝ , MEGOLDATLAN PROBLÉMÁK

nem tud – ezeket a tételeket eldönthetetlen állításoknak hívják. Semmit nem segít, ha az ilyen állításokat hozzávesszük a rendszer talpköveihez, a posztulátumokhoz vagy axiómákhoz, mert ekkor a kib˝ovített rendszer ismét tartalmazni fog eldönthetetlen állításokat, amelyek kicsúsznak az ember keze közül. Ezenfelül Gödel munkája alapján egyes esetekben még azt sem tudhatjuk, hogy egy állítás eldönthetetlen vagy sem! Megnyílt egy szakadék, a matematikában beállt egy alapvet˝o bizonytalanság, és a szakmának meg kellett tanulnia ezzel együttélni. Némelyik megoldatlan prímszámprobléma esetleg ilyen Gödel-féle lyukba esik – és lehetséges, hogy ezt, megint csak elvi okokból, egyáltalán nem tudjuk bebizonyítani. A prímszámok kezelhetetlen természete Minél messzebb jutunk az egyre nagyobb számok felé haladva a természetes számok sorozatában, annál nagyobb hézagok fordulnak el˝o, amelyek nem tartalmaznak prímszámot. Mindazonáltal a prímszámok nem olyan ritkán vannak elhintve, mint az ember a tetsz˝olegesen naggyá váló prímszámmentes hézagok83 alapján gondolhatná. Valóban, egy tétel kimondja, hogy minden 1-nél nagyobb természetes szám és a kétszerese között lennie kell egy prímszámnak.84 Egymásra következ˝o természetes számok négyzetei között, azaz n2 és (n + 1)2 között, ahol n ≥ 2, szintén mindig található kell hogy legyen legalább egy prímszám. Ezt azonban még senki nem tudta bebizonyítani. Ha segítségül hívjuk a Bertrand-féle posztulátumot, akkor csak annyi biztos, hogy n2 és 2n2 között létezik prímszám. 2n2 azonban n ≥ 3 esetén könnyen igazolhatóan

83

A bizonyítást lásd például a szerz˝o Die Top Ten der schönsten mathematischen Sätze cím˝u zsebkönyvének 18. oldalán. 84

A „Bertrand-féle posztulátumról” van szó, amelyre az id˝ok folyamán több bizonyítás is született – Pafnutij Csebisevt˝ol, Srinivasa Ramanujantól és Erd˝os Páltól.

T OVÁBBI KÖZÉRTHET O˝ , MEGOLDATLAN PROBLÉMÁK

133

nagyobb, mint (n + 1)2 , úgyhogy 2n2 el˝ott Bertrand szerint kell ugyan lennie prímszámnak, de (n + 1)2 el˝ott nem feltétlenül. A prímszámok különös viselkedést mutatnak, és a természetes számok között látszólag véletlenszer˝uen vannak elszórva. Egyszer s˝ur˝usödnek, máskor ritkulnak. Egyetlen eddig ismert szabály sem képes ezt a jelenséget megmagyarázni. Don Zagier, az egyik legtapasztaltabb amerikai számelmélet-kutató, a matematikai szakirányú bonni Max Planck Intézet tudományos munkatársa, a prímszámok skizofrén jellegét a következ˝oképpen értékeli: egyrészt „egyszer˝u definíciójuk ellenére a legönhatalmúbb, legkezelhetetlenebb objektumok közé tartoznak azok közül, amiket a matematikusok egyáltalán tanulmányoznak. Úgy tenyésznek a természetes számok között, mint a gyom, a véletlenen kívül látszólag semmilyen más törvénynek nem alávetve, és senki nem tudja el˝ore megmondani, hol fog kin˝oni a következ˝o, sem egy számról megállapítani, hogy prím-e vagy sem.” Másrészt azonban, ezzel teljes ellentétben, „a prímszámok hihetetlen szabályosságot mutatnak, és teljes mértékben alá vannak vetve bizonyos törvényeknek, amelyeket szinte kínos pontossággal követnek”. Így, miközben számos becslés létezik, például hogy egy meghatározott n értékig hány prímszám fordul el˝o (ez a tartalma a „prímszámtételnek”85 ), konkrét befogásukhoz mégis egészen speciális „hálókra” van szükség. Erre a célra Euklidész honfitársa, a kirénei Eratosztenész Kr.e. 250 körül kigondolt egy módszert, amely „Eratosztenész szitája” néven vonult be a matematika történetébe – egy egyszer˝u, még ma is használatos eljárást. A módszer listát generál egy megadott n értékig terjed˝o összes prímszámról azáltal, hogy az összetett számokat, vagyis a prímszámok többszöröseit (n-ig) eltávolítja. Ez, f˝oleg nagyon nagy n-ekre, hosszadalmas eljárás, de mivel nincs olyan megbízható képlet, amely tetsz˝olegesen nagy prímszámokat, és csak prímszámokat, generálna, a számelmélet-kutatóknak a szitát kell használniuk – ügyesen vagy kevésbé ügyesen.

85

Lásd a Riemann-sejtésr˝ol szóló szakaszt.

134

T OVÁBBI KÖZÉRTHET O˝ , MEGOLDATLAN PROBLÉMÁK

A prímszámok tehát mindeddig dacoltak azokkal a próbálkozásokkal, amelyek a természetes számok sorozatában pontosan kiszámítható helyet akartak hozzájuk rendelni. Minél messzebb megyünk a természetes számok sorozatában, annál „ritkábban vannak elhintve”. Ennek ellenére számos kézenfekv˝o tulajdonság, gyakran sejtés formájában, arra látszik utalni, hogy a prímszámok titokzatos törvényeknek vannak alávetve. Hogy itt mire gondolunk, azt néhány híres sejtés példájával fogjuk illusztrálni. Létezik-e végtelen sok ikerprímszám? A prímszámok között újra és újra fellépnek egymásra következ˝o páratlan számokból álló párok: 3 és 5; 5 és 7; 11 és 13; 17 és 19; 29 és 31; 41 és 43; de 209267 és 209269 is, és így tovább. Statisztikai érvek szólnak amellett, hogy végtelen sok ilyen ikerprímszám-pár van. Mindenesetre a számrendszer igen magas régióiban is fedeztek fel ikerprímszámokat. A minél nagyobb ikerprímek után állandó nyomozás folyik, és néhány évenként új rekordok születnek. Ennek ellenére senki nem tudja, hogy van-e az ilyen párok között legnagyobb, vagy létezik-e végtelen sok ilyen pár. Érdekes módon az összes ikerprímszámról, feltéve hogy végtelen sok van, mégis lehet egy pontos kvantitatív kijelentést tenni. Nevezetesen, míg az összes prímszám reciprok értékéb˝ol álló sor (mint már tudjuk) divergál, 1 = ∞, p p prím

∑

addig az összes ikerprímszám reciprok értékéb˝ol álló sor konvergens, ¶ µ 1 1 + < ∞, ∑ p p + 2 p prím, p+2 prím s˝ot pontos összege is ismert! Ez körülbelül olyan, mintha valaki, aki nem tudja, mennyi pénze van, mégis fillérre pontosan tudná, mi mindent vásárolhat érte. Ezt a bizarr tényállást felfedez˝oje,

T OVÁBBI KÖZÉRTHET O˝ , MEGOLDATLAN PROBLÉMÁK

135

Viggo Brun norvég matematikus után „Brun-féle viccnek” nevezik (1919). A Goldbach-sejtés Híres és könnyen érthet˝o, de rendkívül kezelhetetlen a Goldbachsejtés is.86 Azt mondja ki, hogy minden páros szám el˝oállítható két prímszám összegeként. Ezen a sejtésen a prímszámtudorok több száz éve törik a fejüket. Tartsuk szem el˝ott az egyszer˝u adottságokat: egyrészt minden második szám páros, másrészt két szomszédos prímszám között az átlagos távolság egyre nagyobb lesz – és mégis minden második számot meg kell hogy kapjunk pusztán két prímszám összeadásával. Az imént megfogalmazott állítás neve „er˝os Goldbach-sejtés”. Létezik azonban egy „gyenge Goldbach-sejtés” is, amely szerint minden 7-nél nagyobb páratlan szám el˝oállítható három (nem feltétlenül különböz˝o) páratlan prímszám összegeként. 1937-ben I. M. Vinogradov szovjet számelmélet-kutató megmutatta ugyan, hogy minden „elég nagy” páratlan természetes szám három prímszám összege; azt azonban nem tudta pontosan meghatározni, hogy az „elég nagy” milyen nagy. Csak 1956-ban sikerült tanítványának, K. V. Borodcinnak konkrét korlátra becslést adnia. A korlát azonban olyan gigászian nagy, hogy a megmaradó véges sok eset ellen˝orzéséhez a legmodernebb számítógépek sem elegend˝ok. (S˝ot a szükséges id˝oráfordítás miatt a legtöbb „kicsiny”, 100-jegy˝u mamutszám is túl van a számítógépes vizsgálat lehet˝oségein.) Mivel azonban csak véges sok kivétel létezhet, a gyenge sejtést ezzel „lényegében” bizonyítottnak tekintik. Az er˝os változat sokkal makacsabb. 1966-ban J. R. Chen kínai matematikus megmutatta, hogy minden eléggé nagy természetes szám el˝oállítható egy prímszám és egy másik szám összegeként, ahol ez a másik szám vagy maga is prím, vagy két prímszám összege. A bekerítés halad el˝ore. 86

A sejtést 1742-ben Christian Goldbach német matematikus fogalmazta meg egy Leonhard Eulerhez intézett levelében.

136

T OVÁBBI KÖZÉRTHET O˝ , MEGOLDATLAN PROBLÉMÁK

Számos sejtést amilyen könny˝u megérteni, olyan nehéz bebizonyítani. Példa erre a négyszínprobléma, Fermat utolsó tétele és a Kepler-, valamint a Catalan-sejtés. A matematikai bizonyítások gyakran rejtvények és trükkök gy˝ujteményeinek t˝unhetnek: sok ember szemében a matematika nehezen érthet˝o gondolati akrobatika. De azért nem ennyire rossz a helyzet: a matematikusok is csak vízzel f˝oznek. Nekik sincsenek kész receptjeik új állítások igazolására, és bizonyos tapasztalatra van szükségük, úgy mint a sakkozóknak. Egy bizonyítás „megnyitási lehet˝oségei” azonban gyakran változatosabbak, mint a sakkjátéknál, így az sem csoda, hogy számos könnyen érthet˝o állítás máig ellenállt a bizonyításnak (illetve cáfolatnak). Prímszámproblémákon kívül könnyen érthet˝o, de kezelhetetlen néhány, természetes számok sorozataira vonatkozó probléma is – például a következ˝o. A Collatz-féle probléma: bántóan egyszeru˝ Mintegy 30 évvel ezel˝ott Lothar Collatz (1910-1990) német matematikus tankönyveit sok diák ismerte. Mikor még o˝ maga egyetemre járt, Collatz megfogalmazott egy máig megoldatlan problémát,87 amely szinte bántóan egyszer˝unek látszik, természetes számok sorozatairól szól. Legyen a sorozat els˝o tagja, a0 bármelyik természetes szám. Ha ez a szám páros, akkor legyen a következ˝o tag, a1 , az a0 szám fele: a1 = a0 /2. Ha viszont a0 páratlan (és ezért a felezés nem eredményezne természetes számot), akkor a következ˝o tagot, a1 -et a következ˝oképpen definiáljuk: a1 = 3a0 + 1. 87

Az id˝ok folyamán a probléma sok más elnevezést is kapott, amelyeket problémaként, algoritmusként vagy sejtésként olyan nevekkel hoznak kapcsolatba, mint Hasse, Kakutani, Syracuse, Thwaites és Ulam.

T OVÁBBI KÖZÉRTHET O˝ , MEGOLDATLAN PROBLÉMÁK

137

Minden további tagot (a2 , a3 , a4 , . . . ) ugyanezen szabály szerint képezünk. Lássunk egy példát. Vegyük a0 kezd˝otagnak az 50 számot. Mivel 50 páros, a következ˝o tag a1 = 50/2 = 25 lesz. Ez a tag páratlan, tehát a harmadik tag a2 = 76. Ez a szám megint felezhet˝o, így negyedik tagnak a3 = 38 adódik. A következ˝o tag a4 = 19, majd a5 = 58 (azaz képeznünk kell a 3 × 19 + 1 számot, mert 19 páratlan), és így tovább. Valahányszor a sorozat egy tagja páros és ezért 2-vel osztható, a következ˝o tag kisebb lesz, és valahányszor egy tag páratlan, a következ˝o tag nagyobb lesz. Hamar világossá válik, hogy néhány „fel” és „le” után az ember eljut az 1 számhoz – és onnan kezdve örökké az 1,4,2,1 hurokban kering, amint rögtön látni fogjuk néhány példán. Ez a Collatz- vagy (3n + 1)-probléma felveti a kérdést, hogy vajon biztosan, tehát a kiindulási a0 természetes számtól függetlenül beleütközünk-e valamikor az 1 számba. A 3. táblázatban végigszámoltunk néhány példát, ahol a0 -nak rendre az els˝o tíz természetes számot választottuk.

Az els˝o a0 , a1 , a2 , a3 , . . . sorozatok 1(4,2,1) 2,1 3,10,5,16,8,4,2,1 4,2,1 5,16,8,4,2,1 6,3,10,5,16,8,4,2,1 7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 8,4,2,1 9,28,14,7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 10,5,16,8,4,2,1 0.3.. táblázat. A Collatz-probléma sorozatai az els˝o tíz természetes számra; a sorozatok az 1 számhoz érkezve megszakadnak (ugyanis 1-b˝ol kiindulva az 1,4,2,1,. . . hurkot többé nem tudják elhagyni.)

138

T OVÁBBI KÖZÉRTHET O˝ , MEGOLDATLAN PROBLÉMÁK

Az az állítás, hogy a sorozat mindig elvezet az 1 számhoz, máig sincs bebizonyítva, ennélfogva csak sejtésr˝ol beszélhetünk. Ugyanakkor több százmilliárd számot teszteltek számítógéppel. Egy esetleges ellenpélda, amely a sejtést megcáfolná, csak ezen átvizsgált, elképeszt˝oen hosszú szakaszon túl fordulhatna el˝o, és bizonyára nem lesz könny˝u megtalálni. A mai napig nem létezik olyan átüt˝o elméleti felismerés, amellyel a sejtést bizonyítani vagy cáfolni lehetne. Elemi eszközökkel gyorsan és kifogyhatatlan mennyiségben találhatunk kérdéseket és sejtéseket. Ezt a könnyen érthet˝o, nyitott problémát bárki megpróbálhatja megoldani. De vigyázat – az ember nagyon hamar belebonyolódhat és függ˝ové válhat! Ha a világhálón a Google keres˝oprogramba beírjuk, hogy „Collatz problem”, egy pillanat alatt sok ezer bejegyzésr˝ol kapunk listát. Néhány példa a klasszifikációs problémával kapcsolatban Bármit gondolnak is ki a matematikusok: el˝oször a (logikai) egzisztencia mint alapvet˝o kérdés érdekli o˝ ket, tehát hogy az elgondolt dolog valóban létezik-e és ellentmondások nélkül megalkotható-e. Utána következik az egyértelm˝uség kérdése. Az egyértelm˝u objektumok és elemek mindig dönt˝o szerepet játszanak az elgondolt objektumok összes tulajdonságának vizsgálatában. Speciális objektumkategóriáknál a matematikai feltárás évszázadokig tarthat. Az egyik legfontosabb hosszú távú cél a klasszifikációs probléma megoldása: egy definiált objektumnak milyen különböz˝o osztályai vannak? Csak a messzemen˝o vagy akár teljes kategorizálás biztosít kielégít˝o áttekintést. A csoportok esetében a klasszifikációs probléma megoldása rendkívül fáradságos és hosszadalmas volt; véglegesen 1980-ban oldották meg. Azóta tudjuk, hogy az egyszer˝u csoportok azokból a csoportokból tev˝odnek össze, amelyek a reguláris végtelen csoportok 18 családját alkotják, valamint 26 szórványcsoportból. Más egyszer˝u csoport nincs! A csoport fogalmából kiindulva,

T OVÁBBI KÖZÉRTHET O˝ , MEGOLDATLAN PROBLÉMÁK

139

amelyet mindössze néhány egyszer˝u tulajdonság határoz meg,88 ez az az eredmény, amely matematikai szakfolyóiratokban, több mint 150 szerz˝o 500 cikkében, mintegy 15000 (igen, tizenötezer) oldalon nyert bizonyítást. A Poincaré-sejtésr˝ol szóló szakaszban már találkoztunk Grigorij Perelmannak, annak az orosz matematikusnak a nevével, aki ezt a nehéz topológiai problémát talán megoldotta. De o˝ t tulajdonképpen az átfogóbb „geometrizálási sejtés” foglalkoztatta, célja tehát a háromdimenziós sokaságok teljes osztályozása volt. E sejtés bizonyításából a Poincaré-sejtés bizonyítása következményként adódna. További példa a fonatok és csomók matematikája. (Ide elég az intuitív definíció; a 20. ábra szemlélteti a „fonatok” és a „fonatok zárása csomókká és áthurkolódásokká” fogalmat.89 Egyrészt a fonatok osztályozhatók90 (Emil Artin német matematikus egy tétele szerint), másrészt minden csomó egy fonat zárása (James W. Alexander amerikai matematikus egy tétele szerint). A csomók ennek ellenére nem osztályozhatók a fonatok segítségével! Klasszifikációjuk egyel˝ore megoldatlan probléma. Egyébként a csomók egyáltalán nem tekinthet˝ok izolált topológiai objektumoknak. Egy ideje fontos szerepet játszanak a fizikának az anyagról és a világegyetemr˝ol vallott elképzeléseiben. Már 1867-ben Lord Kelvin olyan atomelméletre tett javaslatot, amely szerint az atomok csomók az éterben. Ezen elmélet, az „atomok örvényelmélete” mellett több ésszer˝u érv is szólt. Be88

A csoportfogalom eredetér˝ol (Évariste Galois) és definíciójáról lásd például a szerz˝o Abenteuer Mathematik cím˝u zsebkönyvét. 89

Alexei Sossinsky Mathematik der Knoten: Wie eine Theorie entsteht cím˝u könyvéb˝ol (41.oldal). 90

A fonatoknak ráadásul csoportszerkezetük is van. [Ezt a kijelentést azon olvasók kedvéért, akik ismerik a csoport definícióját, egy kicsit részletezzük. A fonatok halmazában létezik egy algebrai kapcsolat, a „fonatszorzat”, amely két tetsz˝oleges fonathoz hozzárendel egy fonatot mint szorzatot, és amely rendelkezik a következ˝o tulajdonságokkal: (1) a fonatszorzat asszociatív; (2) létezik egy neutrális elem – a „triviális fonat”; és (3) minden fonathoz létezik egy inverz fonat (a fonatszorzatra vonatkozóan).]

140

T OVÁBBI KÖZÉRTHET O˝ , MEGOLDATLAN PROBLÉMÁK

0.20.. ábra. Fonatból kiindulva csomót, ill. áthurkolódást kaphatunk a zárás m˝uveletével, amely abban áll, hogy a kötelek fels˝o végét összekötjük az alsóval. Az (a) esetben csomót kapunk (amely definíció szerint csak egy kötelet tartalmaz), a (b) esetben pedig áthurkolódást, amelynek két komponense van. lefért a sokféle csomóból – amelyeknek az osztályozását éppen abban az id˝oben kezdték meg – származó sok különböz˝o atomfajta. Magyarázatot adott az atomok stabilitására és a spektrumvonalakban megmutatkozó atomi rezgésfolyamatokra. Kelvin örvényelmélete azonban, matematikai eleganciája ellenére, ugyanarra a sorsra jutott, mint Platón antik atomelmélete. Végül Niels Bohr modellje szorította ki, amely szerint az atomok többékevésbé úgy foghatók fel, mint pici naprendszerek. Id˝oközben Bohr elméletét is, mint túl naivat, feladták, és újra megn˝ott a csomóelmélet becsülete. Némely fizikus (például Edward Witten) most úgy véli, hogy az anyag „szupersztringekb˝ol” áll, a térid˝oben elhelyezked˝o apró összecsomózott hurkokból, amelyeknek a tulajdonságai szorosan kapcsolódnak összecsomózottságuk fokához.

T OVÁBBI KÖZÉRTHET O˝ , MEGOLDATLAN PROBLÉMÁK

141

Ki talál R-nek egy „jólrendezést”? Utalni szeretnék itt még a halmazelméletnek (és rendezési struktúráinak) egy „kemény” megoldatlan problémájára (anélkül, hogy a részletekbe91 belemennénk). Georg Cantor egyik legjelent˝osebb teljesítménye a jólrendezett halmaz definíciója. A halmazelméletben a jólrendezett halmaz fogalmának bevezetése jelent˝os haladás volt, mert ez megteremtette a feltételeket annak az igazolásához, hogy minden halmaz – a végtelenek is – „összehasonlítható”. A jólrendezett halmaz fogalmát Cantor a következ˝oképpen vezette be: Egy rendezett halmazt jólrendezettnek mondunk, ha minden nemüres részhalmazának van (a rendezési struktúrára nézve) els˝o eleme. Nyilvánvaló, hogy minden véges halmaz jólrendezett – mégpedig minden lehetséges rendezés mellett. De a természetes számok halmazának is megvan ez a tulajdonsága. Bárhogyan is definiáljuk N-nek egy (nemüres) részhalmazát, ennek mindig van legkisebb eleme. Ezzel szemben az egész számok Z halmaza és ugyanígy a racionális számok vagyis törtek Q halmaza nem jólrendezett, ha ezek az alaphalmazok a szokásos ≤ („kisebb vagy egyenl˝o”) rendezési struktúrával vannak ellátva. (Hiszen a negatív számok halmazában – mint Z részhalmazában – nincs legkisebb elem. Ugyanez érvényes például az { x | x ∈ Q, 0 < x < 1 } halmazra mint Q részhalmazára. Nyilvánvaló, hogy minden pozitív racionális q számhoz található egy nála kisebb, mondjuk q/2.) Cantornak azonban sikerült közismert, híres megszámlálási sémája segítségével az összes racionális számot végigszámozni: fc : N → Q. 91

A részletekr˝ol lásd például a szerz˝o Die Architektur der Mathematik cím˝u zsebkönyvét.

142

T OVÁBBI KÖZÉRTHET O˝ , MEGOLDATLAN PROBLÉMÁK

Ezáltal a természetes számok rendezése a Q halmazon is indukálódik: fc : (N, Math>Number Theory>Open Problems. . . ). Nagyon hamar rábukkanunk az egyetemek és nemzetközi intézetek matematikai oldalaira is, amilyen például a www.claymath.org vagy a mathworld.wolfram.com, úgyhogy a b˝oség zavarában fogunk szenvedni.

Igaz-e, hogy a világ matematikai jellegu? ˝

A természet könyve a matematika nyelvén van megírva. Galileo Galilei Nem hiszek a matematikában. Albert Einstein Képtelenség! Aki birtokolja a matematikát, az még távolról sem érti a világot. Így valószín˝uleg sokan hajlanak arra, hogy ezzel a kérdéssel ne is foglalkozzanak. És ezzel egyáltalán nem tévednek olyan nagyot. Aki azonban úgy véli, hogy a matematika és a természettudományok fölöslegesek – akár „csak” kulturális szempontból is –, az túl korán örül. Ezeknek a szemellenz˝osöknek lelki-szellemi kiegyenlítésül azt ajánlom, lapozgassák Ernst Peter Fischer Die andere Bildung cím˝u könyvét. De közeledjünk a kérdéshez pragmatikusan, meggondolatlan elkötelezettség nélkül – és ne riadjunk vissza a szokatlan gondolatoktól se. Az oldal tetején álló idézet Galileo Galilei olasz csillagásztól és fizikustól származik – az els˝o embert˝ol, aki távcs˝ovel figyelte az égboltot –, és közkelet˝u rövidített formája az 1623-ban keletkezett Az aranymérleg cím˝u m˝uvéb˝ol vett következ˝o idézetnek: „A filozófia abban a nagy könyvben van megírva, amely állandóan nyitva áll a szem el˝ott (az univerzumról beszélek). De ezt a könyvet addig nem lehet megérteni, amíg az ember meg nem tanulta megérteni a könyv nyelvét és nem ismeri a bet˝uit. A nyelv a matematika nyelve, a bet˝uk pedig háromszögek, körök és más geometriai alakzatok. Ezen eszközök nélkül az embernek lehetet-

146

I GAZ - E , HOGY A VILÁG MATEMATIKAI JELLEG U˝ ?

len, hogy a könyvb˝ol egyetlen szót is megértsen, ezek nélkül egy sötét útveszt˝oben bolyongana hiába.” A háromszögek, körök és egyéb geometriai alakzatok, amelyekb˝ol az univerzum leírására szolgáló szavak összeállnak, persze jelképesen értend˝ok, és a ma is használt matematikai módszereket képviselik. De egyrészt ez a valóságnak csak felszínes megközelítése lehet, másrészt nem minden tartozik a fizikához és a csillagászathoz, tehát jól tesszük, ha nem vetjük el a sulykot. Az Einstein-idézet (amely megtalálható Guido Walz Faszination Mathematik cím˝u könyvében) els˝o pillantásra tagadni látszik Galilei kijelentését. Ez megdöbbent˝o, különösen mivel Einstein munkáit matematika nélkül nemigen lehet megérteni (˝o maga nem volt matematikus szellem – ami nem érinti kimagasló teljesítményét és a 20. század legjobb fizikusának járó hírnevét).92 De Einstein itt csak a platonizmust93 vonja kétségbe. Ez viszont nem meglep˝o, hiszen o˝ soha nem titkolta, hogy az önálló matematikai létez˝oket nem sokra tartja. Amikor David Hilbert a holland Luitzen Brouwer matematikussal (az intuicionista, ill. konstruktív matematika megalapítójával) Georg Cantor végtelenségbizo92

2005-ben volt Einstein „csodálatos évének” (annus mirabilis) századik fordulója. 1905-ben a berni szabadalmi hivatalnok mindjárt öt tudományos munkát írt, és ezek forradalmasították a fizika világképét – megmagyarázták a fény természetét, felvázolták a relativitáselméletet és megfogalmazták az E = mc2 képletet, a tudomány talán leghíresebb képletét. (Lásd John Stachel: Einsteins Annus mirabilis: Fünf Schriften, die die Welt der Physik revolutionierten.) 93

Platón számára a matematika felismerései bepillantások az ideák birodalmába. A híres barlanghasonlat szerint ezek a Platón számára nagyon reális ideák úgy viszonyulnak a képeikhez, mint a valóságos tárgyak a barlangbeli árnyképeikhez. A Platón-féle ideál szerint a világ egy tökéletes matematikai forma visszatükröz˝odése. Ennek az álomnak az ereje nem tagadható, amit például a bolygómozgás Kepler-féle törvényeib˝ol vagy a gravitáció Einstein-féle egyenleteib˝ol láthatunk. Mégis egyes természettudósok számára ez közönséges matematikai miszticizmus – puszta hit vagy vallás. Lee Smolin elméleti fizikus és kozmológus: „Persze nincs semmiféle ok, amiért a természetnek az alapok szintjén bármilyen köze kellene, hogy legyen a matematikához. [. . . ] Különben is, a matematikának a fizikában elért nyilvánvaló sikereit˝ol eltekintve, soha nem hallottam egy jó a priori érvelést arról, hogy miért kellene a világnak matematikai elvek szerint berendezve lenni.” (Warum gibt es die Welt? Die Evolution des Kosmos, 214.old.)

I GAZ - E , HOGY A VILÁG MATEMATIKAI JELLEG U˝ ?

147

nyításai94 kapcsán különösen heves vitába keveredett, mindkét fél megpróbált álláspontjához prominens támogatókat szerezni. Albert Einsteint is érintette az ügy; o˝ azonban nem hagyta magát ebbe az általa „béka-egér harcnak” nevezett konfliktusba bevonni. Létezik-e matematikus-isten? Számtalan természettudós t˝un˝odött már azon, hogy miért látszik a „valóság” annyira matematikainak. Megmagyarázhatatlan csodát látnak ebben. James Jeans brit csillagász azt a következtetést vonta le, hogy mi és a természet egy matematikus-isten álma vagyunk. Roger Penrose brit fizikus a Mandelbrot-féle almaemberke kimeríthetetlenségében pedig egyenesen arra a Platón-féle gondolatra lát utalást, hogy a matematikai létez˝ok egy külön létszférában foglalnak helyet, ahol a matematikusok felfedezik és nem kitalálják o˝ ket. Gottlob Frege is platonikus volt, és mulatott azokon a kísérleteken, hogy a természetes számokat csupán az almákkal és körtékkel való mindennapos tapasztalat absztrakciójaként származtassák.95 Kiélezve – mondja néhány természettudós – a kérdést a kvantumfizika veti fel, ahol az állapotfüggvények a végtelendimenziós Hilbert-terekben a megfigyel˝ot˝ol függetlenül létez˝o „valóságot” reprezentálják, míg az általunk „valóságosan” megfigyelt mérési eredmények csak egy a kontextustól függ˝o résszempontot írnak le. Ez mindnyájunk számára éppen olyan titokzatosnak t˝unhet, mint az anyag vagy az élet önmagában – vagy pedig meglehet˝osen triviálisnak. De az is lehetséges, hogy amit titokzatosnak érzünk, az téves vagy ingatag feltevéseken alapul. Einstein is, aki 94 95

Lásd a szerz˝o Abenteuer Mathematik cím˝u zsebkönyvét.

Hogy itt egy professzor nem vette túl komolyan saját magát és matematikai fundamentalizmusát? Talán Fregének lett volna a legkevesebb oka, hogy az említett származtatási kísérleteken mulasson, viszont saját f˝o területén egyszer˝uen nem vette észre a legegyszer˝ubb antinómiákat (Bertrand Russellnek kellett erre rávezetnie).

148

I GAZ - E , HOGY A VILÁG MATEMATIKAI JELLEG U˝ ?

biztosan nem volt platonikus, csodálkozott: „Hogyan lehetséges, hogy a matematika, amely mégiscsak a szabad emberi gondolkodás terméke és független a valóságtól, olyan csodálatosan illeszkedik a valóság dolgaihoz?” Nem kell logikai szakembernek lenni, hogy az ember kételkedjen az itt tett feltevésekben. El˝oször is elemezni lehet, hogy az emberi gondolkodás mennyiben teljesen szabad, másodszor pedig kétségbe kell vonni, hogy egyáltalán lehet-e a valóságtól független. Ennyit a feltevésekr˝ol. A végkövetkeztetésre, hogy „a matematika olyan csodálatosan illeszkedik a valóság dolgaihoz”, csak akkor juthatunk, ha olyan szemüveget veszünk fel, amely minden mást kisz˝ur 96 (erre még visszatérek). Jeansnek és Penrose-nak egy matematikus-istent˝ol származó létez˝oit sem tartom sokkal többre, mint a villámnak a villámisten o˝ seinkhez küldött üzeneteként való interpretációját. A kvantumfizikában nem feltétlenül a helyzet „kiélez˝odését” látom, hanem, ködösen fogalmazva, valami olyasmit, mint egy „nem-teljességi feltételezést” a világ (legalábbis egy részének) megmagyarázásáról. A „végtelen Hilbert-terekkel” úgy áll a dolog, mint a végtelen Cantor szerinti végtelen sok fokozatával: lehet, hogy egyáltalán nem valódiak, mégis logikailag konzisztensen megalkotott értelmezési kísérletek. A matematikai létez˝oket tulajdonképpen nem vetem el mindenestül. Játékos ötletekként és értelmezési kísérletekként mindenképpen jogos a használatuk. Véleményem szerint öröklött helyük van Karl Popper tudományfilozófus „háromvilág-modelljében”

96

Hogy „a matematika a valóság dolgaihoz olyan jól illeszkedik”, az, tekintettel a matematikai leíráslehet˝oségek végtelen számára, majdnem triviálisnak t˝unhet. Példának vegyük egy test súrlódás nélküli szabadesését a Föld felszínén. A függ˝olegesen, a z-tengely irányában megtett z(t) utat mint a t id˝o függvényét a z(t) = 21 gt 2 egyenlet írja le, ahol z¨ = −g a Föld vonzásának gyorsulása (normálgyorsulás, g ≈ 9, 81 [méter/szekundum2 ]. Mármost ha a valóságban z a t-nek egy másik függvénye volna , mondjuk z(t) = kt α valamilyen α 6= 2 kitev˝ovel, akkor a matematika ezt a másfajta eséstörvényt is képes volna korrektül leírni.

I GAZ - E , HOGY A VILÁG MATEMATIKAI JELLEG U˝ ?

149

is.97 Viszont az az elképzelés, hogy a világ eleve matematikai elvek alapján van megkonstruálva, nekem úgy t˝unik, mint egy óriási metafizikai sóvárgás az abszolút után (egyébként hasonlóan az antropológiai elvhez, egy olyan világ ideájához, amelyet pontosan az ember számára teremtettek98 ). Ez sokkal inkább megfelel az ember szépen berendezett univerzum iránti vágyának, mint a realisztikus kép egy z˝urzavaros világról, amelyet túlnyomórészt a véletlen és az evolúció irányít. Empíria mint matematikai naturalizmus? A platonizmust egyszer valahol „intellektuális skizofréniának” neveztem99 (egyúttal ez a kiindulópontja a test-lélek problémának is, amelyet a filozófusok annyira élveznek). Ma is ez a személyes meggy˝oz˝odésem. Mi lenne természetesebb, mint feltételezni, hogy az absztrakt matematikai struktúrák a keletkezésüket kevésbé absztrakt struktúráknak köszönhetik, és a tempó kölcsönhatásban áll az emberi kultúra növekedésével? Itt nem arról van szó, hogy a legegyszer˝ubbt˝ol, a konkréttól egyetlen hídveréssel rögtön eljussunk a legabsztraktabb, kigondolt struktúrákhoz. Ez sokkal inkább egy hosszadalmas, lépésr˝ol lépésre haladó folyamat. Miért ne képzelhetnénk el, hogy a fokozatosan egyre absztraktabbá váló matematikai fogalmak kézzelfogható, mindennapos tapasztalatokból alakultak ki? Például az el˝oember 97

Popper három „világot” különböztet meg: az „1. világ” a fizikai valóság, a „2. világ” a saját tudatunk világa, a „3. világ” f˝o alkotórészei pedig a problémák és elméletek. A „3. világ” id˝ot˝ol függetlenül és objektíve ellenáll gondolkodásunknak, bár ez hozza létre. Például a szám olyan találmány, amellyel független módon új, objektív matematikai problémák kigondolására kerül sor. Tehát valahol a „3. világban” létezik egy szobácska vagy egy fiók, ahol az úgynevezett „tiszta matematika” elb˝uvöl˝o objektumai és problémái kivirágoznak és esetenként megtermékenyítik környezetüket. . . 98

Az az érv, hogy az anyag formái és az élet fajtái elvileg lehetetlenek volnának, ha a természeti állandóknak más értékük lenne, nekem nagyon egyoldalúnak t˝unik. Ahogy fizikában elég gyakran megmutatkozott, a természet jóval okosabb, mint mi vagyunk. 99

Die Architektur der Mathematik, 168.old.

150

I GAZ - E , HOGY A VILÁG MATEMATIKAI JELLEG U˝ ?

kövekkel és szerszámokkal végzett tevékenykedéséb˝ol, periodikus folyamatok, például nap és éj vagy a holdfázisok megfigyeléséb˝ol, stb. Ily módon egész biztosan megalapozható lenne egy nem platonikus matematikai naturalizmus.100 Ahelyett, hogy az abszolút utáni misztikus vágyakozásukat a platonizmussal és az antropológiai elvvel támasztanák alá, a matematikusoknak és elméleti fizikusoknak a biológusokról kellene példát venniük. Lee Smolin szerint:101 „A biológusok már a 19. században megtanulták, hogy a fajokat többé ne úgy képzeljék el, mint valami örökkévalót, hanem mint valami dinamikusat. A természetes kiválasztódás önszervez˝odési folyamata révén az él˝ovilág saját magát hozza létre. Ezzel önök eljutottak a biológiának egy lényegesen racionálisabb alapvetéséhez, ugyanis a lények tulajdonságainak most már okai vannak, és ha ismerjük a lény múltját, ezeket az okokat követni lehet visszafelé. A platonikusnak, aki a racionalitást összetéveszti az örök ideák képzeletbeli világának megtalálásával, ez talán nem így t˝unik, a biológusok és geológusok azonban megtanultak egy megfizethetetlen leckét: azzal, hogy a természeti jelenségeket id˝oben létez˝onek tekintjük, hogy dinamikusnak és véletlenszer˝unek fogjuk fel o˝ ket, teljesebb és racionálisabb bepillantást nyerünk ezekbe a jelenségekbe. Véleményem szerint abban, ahogy a fizikát és a kozmológiát értelmezzük, hasonló változásnak kell végbemenni. Ugyanúgy, mint a biológiai fajok, talán a természeti törvények sem örökélet˝uek,102 hanem inkább egy természetes id˝obeli folyamat eredményei. Lehetnek okai, hogy a fizika törvényei pont olyanok, mint 100

Érdekes párhuzamok minden lehetséges területen találhatók. Diákkoromban egyszer elkísértem egy jogász barátomat egy jogfilozófiai el˝oadásra, amelyben a professzor azt a kérdést vizsgálta, hogyan lehetne egy igazságérzeti naturalizmust a „primitív” társadalmak történetével megalapozni. 101 102

Warum gibt es die Welt? Die Evolution des Kosmos, 25. old.

Néhány éve egyre élénkebb vita tárgya, hogy az úgynevezett természeti állandók csakugyan örök érvény˝uek-e, vagy – kozmologikus id˝otartamokat tekintve – mégis id˝ofügg˝oek. Én mindenesetre nem látok semmi okot, amiért az evolú-

I GAZ - E , HOGY A VILÁG MATEMATIKAI JELLEG U˝ ?

151

amilyennek mutatkoznak, de ezek az okok – hasonlóan a biológia esetéhez – részben a múltjukban és a véletlenben rejlenek.” Ezen eszméknek a biológiából a fizikába való bevonulása a matematikát sem fogja érintetlenül hagyni. A matematikai gondolkozás kétségkívül a konkrét valóságban gyökeredzik, még ha a genealógiát olykor nehéz is felismerni. Neumann János, a 20. század els˝o felének egyik legkreatívabb szelleme, ezt a következ˝oképpen fejezi ki: „Az igazság viszonylag jó közelítésének tartom – az igazság, bonyolultsága miatt, nem enged meg mást, mint közelítést –, hogy a matematikai képzetek az empíriából erednek. . . Ha azonban az ember egyszer szert tett rájuk, a dolog saját életet kezd élni, és inkább kreatívnak tekinthet˝o, teljes egészében esztétikai indítékok által vezéreltnek, semhogy. . . empirikus tudományokkal hasonlíthatnánk össze.” Még Nicolas Bourbaki (a leghíresebb formalista irányzat álneve) is ír az empirikus és a matematikai világ közötti összefüggések nagy problémájáról: „Azt, hogy a kísérleti jelenségek és a matematikai struktúrák között szoros kapcsolat áll fenn, egészen váratlan módon látszanak igazolni a kortárs fizika legújabb felfedezései [. . . ] Így végül az derült ki, hogy a matematikának és a valóságnak ez a szoros kapcsolata, amelynek harmonikus bels˝o szükségszer˝uségét csodálnunk kellene, csak véletlen érintkezés volt két diszciplína között, amelyeknek a valódi összefüggései sokkal mélyebben vannak elrejtve, mint ahogy a priori fel lehetett tételezni.” Ha van egy mélyen elrejtett összefüggés, akkor az empíria és a matematika közötti érintkezés olyan nagyon véletlenszer˝u nem lehet. Áthidaló magyarázat bizonyára csak úgy képzelhet˝o el, ha elfogadjuk, hogy a matematika és az empíria közötti harmonikus bels˝o szükségszer˝uség – a legkisebb közös nevez˝o – egyszer˝uen a közös logikai mag. És ett˝ol sem természetes nyelvünket, sem emberi kultúránkat úgysem tudjuk összességében megfosztani.

ció oly termékeny képzete, amelyet az ember saját áttekinthet˝o otthona számára természeti elvként felfedezett, ne lehetne az egész kozmoszra is érvényes.

152

I GAZ - E , HOGY A VILÁG MATEMATIKAI JELLEG U˝ ?

Még egyszer vissza az alapokhoz: a tyúk vagy a tojás? A matematika ered a világ struktúrájából, vagy a világ struktúrája a matematikából? A kérdés hasonlít ahhoz, mint amin Valentin Braitenberg t˝un˝odött egy tanulmányban:103 „A logika ered az agyból, vagy az agy a logikából? Ha erre egyértelm˝u válaszunk volna, az azt jelentené, hogy a tudományelméletet jobban megértettük – vagy legalábbis azt hisszük –, mint jelenlegi állapotunkban.” – véli Braitenberg ironikusan. Mindazonáltal rossz érzés fog el: van-e egyáltalán az így feltett kérdésnek értelme? Nem forgunk-e egy helyben, nem tételezzük-e fel hallgatólagosan, hogy vagy az egyik, vagy a másik – vagy a tyúk, vagy a tojás – feltétlenül el˝obb kellett hogy létezzen? Ha a logika az univerzum egyik alappillére, akkor az agyra és annak funkcióira is rányomta struktúrájának bélyegét – amire az ember most nagy fáradsággal, önreflexió útján rájön. Ha ellenben a logika nem lenne a világ alappillére, akkor bizonyára posztulálni kellene, hogy legalábbis némely agyfunkciók nem evilágiak, hanem független, teremtési eredet˝uek – tehát egyet-mást, amit létrehoznak, világon kívüli forrásból teremtenek. Ez azonban a világnak mint univerzumnak a fogalmát abszurddá teszi. A legegyszer˝ubb feltevés még alighanem az lenne, hogy sz˝oröstül-b˝oröstül – agyunkkal és szellemünkkel együtt – az evolúció termékei és ennek a világnak szerves alkotórészei vagyunk. Az agyunkból származó gondolkozási struktúrák ebben az összefüggésben csak néhány (kétségtelenül befejezetlen) megformálódást jelentenek a lehet˝oségeknek egy (talán szintén befejezetlen) keretén belül. Annak a kérdésnek a megválaszolása, hogy a matematika erede a világ struktúrájából, vagy a világ struktúrája a matematikából, ezzel tendenciájában világosabbá vált. Egyrészt számomra az az érvelés, hogy a világ azért matematikai, mert néhány (vagy akár sok) matematikai leírás ráillik, hamisnak t˝unik. Az, hogy „a világ miért követ matematikai szabályokat”, egyszer˝uen hibás kérdés103

Lásd: Die Natur ist unser Modell von ihr.

I GAZ - E , HOGY A VILÁG MATEMATIKAI JELLEG U˝ ?

153

feltevés. Másrészt a világ valódi mibenléte nem tekinthet˝o egyenl˝onek a róla adott leírásunkkal. De térjünk vissza a felszínre, a pragmatikára. Tulajdonképpen mire képes a matematika? A matematika lényegében arra képes, hogy leírjon és megismerjen – és részben arra is, hogy el˝orejelezzen. Megfelel˝o modellek felhasználásával a matematika segítséget nyújt más tudományoknak, például a fizikának vagy a közgazdaságtannak, a tényállások és jelenségek megmagyarázásában. A matematika a természet és a valóság gazdag, sokrét˝u és nem csak kvantitatív leírási lehet˝oségeivel rendelkezik. De az értelmezés az ember feladata. Így távolról sem minden, ami matematikailag leírva, esztétikailag kiérlelt formában rendelkezésre áll, felel meg valamilyen valóságos tényállásnak. „Ó, tudja, a matematikának sokkal több lehet˝osége van, mint amennyit a természet meg tud valósítani”, mondta Harald Lesch professzor 2004. február 29-én a ZDF televízió éjszakai m˝usorában, amikor a vita egyik résztvev˝oje szóba hozta az id˝o megfordítását (mint a termodinamika második f˝otétele szerinti entrópianövekedés ellenszerét). Ráadásul a matematika leírási lehet˝oségei olyan széles kör˝uek, hogy kezdetben sok modell hibás. Ha a matematikai modell lefordításának min˝osége nem megfelel˝o – például mert egy feltevés nem került kell˝o ellen˝orzésre a tényleges történések alapján, vagy hiányzik –, akkor az ember egészen zavaros következtetésekre is juthat. Ronald Graham matematikus104 visszaemlékezése: „Ezzel kapcsolatban eszembe jutnak azok az emberek, akik els˝oként vizsgálták meg matematikailag, hogyan repülnek a méhek, és arra az eredményre jutottak, hogy elméletileg a méhek egyáltalán nem tudnak repülni. A méheket ez persze nem zavarta. A modellt azután úgy módosították, hogy a méhek végül matematikailag tekintve is tudtak repülni.” 104

Garfunkel, S./Steen, L.A. (szerk.) Mathematik in der Praxis, 45. old.

154

I GAZ - E , HOGY A VILÁG MATEMATIKAI JELLEG U˝ ?

Az irónia csúcsát Hans-Peter Beck-Bornholdt és Hans-Hermann Dubben érik el Das Genuesische Zepter cím˝u történetükkel.105 Egy állítólag a történelem el˝otti id˝okb˝ol származó leletbe bekarcolt öt számból (A = 294, B = 11, C = 3, D = 70 és E = 20) több obskúrus tudóssal levezettetik a legfontosabb természeti állandókat – valamint bizonyos információkat a jöv˝or˝ol – mégpedig az Y = Aa × Bb ×Cc × Dd × E e képlet segítségével, ahol a kitev˝ok a −5 és 5 közötti egész értékeket vehetik fel. Ez a matematikai képlet majdnem tetsz˝oleges pontossággal leírja az összes természeti állandót: a π számot, a természetes logaritmusok e alapszámát, a fénysebességet, az elektron nyugalmi energiáját, az elemi töltést, a protontömeget, a Bohr-féle rádiuszt, a gravitációs állandót, stb. De ez nem elég. Az évezredekkel ezel˝ott a jogarba belekarcolt számok bámulatba ejt˝o pontossággal megjósolnak néhány nagyon aktuális eseményt is, például az élet felfedezését a Marson, a második világháború kezdetét és végét, a német újraegyesítés évét, Berlin lakosainak a számát 1990. október 3-án, a Szuezicsatorna és a kínai Nagy Fal hosszát, s˝ot a baden-württembergi ment˝oszolgálat telefonszámát is – hosszú-hosszú id˝ovel a telefon feltalálása el˝ott. Egyszer˝uen pompás. A könyv új kiadásában talán Daniel Küblböck születési évét is le fogják vezetni. . . Ön még kételkedik a matematikai leírások mindenhatóságában? Most kellene csak igazán kételkednie, mert ezek a leírások egyszer˝uen triviálisak; alkalmassá lehet o˝ ket tenni mindenre – de ez azt is jelenti, hogy maguktól valójában semmire nem alkalmasak. Annál, amire a matematika képes, nem csak mennyiségekre vonatkozó képletekr˝ol van szó, hanem úgyszintén és mindenekel˝ott értelmezésekr˝ol, interpretációkról és struktúrákról. A matematika els˝osorban egy strukturális leíró nyelv. A világ jöv˝obeni leírásához elvben már minden matematikai elem rendelkezésre 105

Lásd: Der Hund, der Eier legt: Erkennen von Fehlinformation durch Querdenken

I GAZ - E , HOGY A VILÁG MATEMATIKAI JELLEG U˝ ?

155

áll – úgy, mint az összes jöv˝obeni m˝uhöz az ábécé bet˝ui vagy a hangjegyek. Matematika és valóság Minden magyarázat, amely jelenségeket vagy más realitásokat számunkra plauzibilissá tesz, ezáltal szintén realitássá válik. A számok, akár konkrétnak, akár absztraktnak érezzük o˝ ket, realitások. A természetes számok mindenesetre. De a racionálisak és irracionálisak is. És a képzetesek úgyszintén. A természetben? Mivel a természet modellje számunkra maga a természet, a matematikai létez˝ok ennek szerves alkotórészei. A matematika (többékevésbé intellektuális) játék a fejünkben létez˝o realitásokkal. De mi szab határt a matematikai játéknak? Leginkább azok a kérdések, amelyeket nem teszünk fel – és természetesen az alapul vett logika. Tartalmi szempontból a matematikai struktúrák a priori nem bírnak jelentéssel. Ezt a tényt azonban fáradság nélkül a feje tetejére is állíthatjuk: mivel nem vonatkoznak semmi konkrét dologra, lehet úgy érvelni, hogy minden elképzelhet˝ore vonatkoznak. És ha hébe-hóba „ráillenek” konkrét világunk valamelyik tényállására, akkor el vagyunk ragadtatva. A valóban mélyreható felismeréseknek, a játékelmélet területén is, speciális dimenziójuk van: egyszer˝uen látókörtágítók – intuíciónkra vonatkozóan is. (Vannak azonban olyan játékelméleti modellek is, amelyek egyáltalán nem illenek rá a konkrét világra – az olvasó emlékszik még a méhek repülésének els˝o modelljére; és a legtöbb matematikai modell, amely a közgazdaságtanra vonatkozik, nem is akar olyan nagyon passzolni; Neumann János szerint „az igazság, bonyolultsága miatt, nem enged meg mást, mint közelítést. . . ”; akkor hát játékosan kell továbbjutni.) Másrészt nem minden matematikai, azaz „örök érvény˝u” dolog érdekes – ami érthet˝ové teszi, hogy egyes matematikai témák id˝ovel elavulnak. Bizonyára vannak kézenfekv˝o dolgok, amelyek szokásos nyelvünkön nem fejezhet˝ok ki, amint léteznek megfigyelhet˝o jelenségek, amelyek matematikánkkal nem számíthatók ki. Talán olyan

156

I GAZ - E , HOGY A VILÁG MATEMATIKAI JELLEG U˝ ?

dolgokról és észlelésekr˝ol van szó, amelyekhez még nem találtunk hozzáill˝o nyelvet, megfelel˝o matematikát, azaz még nincs magyarázó modellünk. Vagy pedig olyan folyamatokkal állunk szemben, amelyek talán elvileg és örökre kikerülik a matematikai kerít˝ohálót. Ebben az esetben egy napon talán olyan megismerési formák jöhetnek létre, amelyek a matematikán, ahogy azt ma gondoljuk és értjük, lényegesen túlmennek – olyan megismerési formák, amelyek nagyobb fokú univerzalitással rendelkeznek. A matematika, mint természetes nyelvünk kulturális kib˝ovítése és gazdagítása, nekem sokkal nagyobb mértékben t˝unik világinak, mint amennyire a világ matematikai.

Irodalom

A millenniumproblémák hivatalos megfogalmazását valamint a részvételi feltételeket a www.claymath.org internetcímen találja meg az olvasó. Könyvek Aczel, A. D.: Fermats dunkler Raum: Wie ein großese Problem der Mathematik gelöst wurde. München 1999 Adams, D.: Per Anhalter durch die Galaxis. München 2001 Aigner M., Behrends, E. (Hrsg.): Alles Mathematik: Von Pythagoras zum CD-Player. Braunschweig 2002 Barrow, J. D.: Warum die Welt mathematisch ist. Frankfurt am Main 1993 Basieux, P.: Abenteuer Mathematik: Brücken zwischen Wirklichkeit und Fiktion. Reinbek 1999 Basieux, P.: Die Top Ten der schönsten mathematischen Sätze. Reinbek 2000 Basieux, P.: Die Architektur der Mathematik: Denken in Strukturen. Reinbek 2000 Basieux, P.: Die Welt als Roulette: Denken in Erwartungen. Reinbek 1995 Basieux, P.: Roulette: Die Zähmung des Zufalls. München 2001 Beck-Borholdt, H.-P., Dubben, H.-H.: Der Hund, der Eier liegt: Erkennen von Fehlinformationen durch Querdenken. Rein-

158

I RODALOM

bek 1998 [magyarul: A tojást rakó kutya. Magyar Könyvklub 2001] Blum, W.: Die Grammatik der Logik: Einführung in die Mathematik. München 1999 Braitenberg, V., Hosp, I. (Hrsg.): Die Natur ist unser Modell von ihr: Forschung und Philosophie. Reinbek 1996 Davis, P. J., Hersh, R.: Erfahrung Mathematik. Basel 1994 [magyarul: A matematika élménye. M˝uszaki Könyvkiadó 1984] Deutsch, D.: Die Physik der Welterkenntnis. Auf dem Weg zum universellen Verstehen. München 2000 Devlin, K.: The Millennium Problems: The Seven Greatest Unsolved Mathematical Puzzles of Our Time. New York 2002 Devlin, K.: Muster der Grammatik: Ordnungsgesetze des Giestes und der Natur. Heidelberg 2002 Devlin, K.: Mathematics: The New Golden Age. New York 1999 dtv-Atlas Mathematik. 2. Bände; München 1998 Dröschner, V. B.: Die Überlebensformel. Düsseldorf 1979 Dudley, U.: Mathematik zwischen Wahn und Witz. Basel 1995 Einstein, A., Infeld, L.: Die Evolution der Physik. Reinbek 1995 /2002 Feynman, R. P.: QED: Die seltsame Theorie des Lichts und der Materie. München 2002 Fischer, E. P.: Die andere Bildung. München 2001 Garfunkel, S., Steen, L. A. (Hrsg.): Mathematik in der Praxis: Anwendungen in Wirtschaft, Wissenschaft und Politik. Heidelberg 1989 Hilbert, D.: Die Hilbertschen Probleme. Thun/Frankfurt a. M. 1998 Hofbauer, J., Sigmund, K.: Evolutionstheorie und dynamische Systeme – Mathematische Aspekte der Selektion. Berlin/Hamburg 1984 Meschkowski, H.: Denkweisen großer Mathematiker. Braunschweig 1990 Nagel, E., Newman, J. R.: Der Gödelsche Beweis. München 1992

I RODALOM

159

Polya, G.: Schule des Denkens: Vom Lösen mathematischer Probleme. Tübingen 1995 [magyarul: A gondolkodás iskolája, Libri 2000] Popper, K. R.: The Logic of Scientific Discovery. London 1977 Russell, B.: Human Knowledge: Its Scope and Limits. London 1976 Russell, B.: Probleme der Philosophie. Frankfurt am Main 1973 Smolin, L.: Warum gibt es die Welt? Die Evolution des Kosmos. München 2002 Sossinsky, A.: Mathematik der Knoten: Wie eine Theorie entsteht. Reinbek 2000 Stachel, J. (Hg.): Einsteins Annus mirabilis: Fünf Schriften, die die Welt der Physik revolutionierten. Reinbek 2001 Stewart, I.: Mathematik: Probleme – Themen – Fragen. Basel 1990 Stewart, I.: Die Zahlen der Natur: Mathematik als Fenster zur Welt. Heidelberg 1998 [magyarul: A természet számai. Kulturtrade 1997] Thorp, E. Q.: The Physical Prediction of Roulette. 1982 Walz, G. (Hrsg.): Faszination Mathematik. Mit Beiägen von Sir M. Atiyah, H. S. MacDonald Coxeter u.a. Heidelberg 2003 Whitehead, A. N., Russell, B.: Principia Mathematica. Mit einem Beitrag von K. Gödel. Frankfurt am Main 1999 Yandell, B. H.: The Honors Class: Hilbert’s Problems and Their Solvers. Natick (Massachusetts) 2002 Zeilinger, A.: Einsteins Schleier: Die neue Welt der Quantenphysik. München 2003 Cikkek Awschalom, D. D. et al.: Mit Spintrotik auf dem Weg zum Quantencomputer. Spektrum der Wissenschaft Nr. 8/2002 Behrends, E.: P = NP? Die Zeit Nr. 10/1999 Bennett, C. H. et al.: Die Evolution der Kettenbriefe. Spektrum der Wissenschaft Nr. 1/2004

160

I RODALOM

Blum, W.: Pipeline zur Wahrheit (Warum folgt die Welt mathematischen Regeln?). Die Zeit Nr. 35/1998 Blum, W.: Obsthändlers Weisheit (Kepler’sche Vermutung). Die Zeit Nr. 14/1999 Blum, W.: Obst in Formeln (Kepler’sche Vermutung). Die Zeit Nr. 34/2003 Blum, W.: Mathematik für Millionen. Die Zeit Nr. 3/2001 Chaitin, G. J.: Grenzen der Berechenbarkeit (Komplexitätstheorie) Spektrum der Wissenschaft SPEZIAL Nr. 4/2003 Cipra, B.: Wer wird Millionär? OMEGA: Das Magazin für Mathematik, Logik und Computer/Spektrum der Wissenschaft Nr. 4/2003 Connes, A.: Schweinwerfer auf di Realität: Wie die Mathematik Wirklichkeiten findet und erschließt. Frankfurter Allgemenine Zeitung 26.2.2000 Dähn, A.: Teilchen im Irgendwo (Quantencomputer). Die Zeit Nr. 44/2002 Dawson, jr. J. W.: Kurt Gödel und die Grenzen der Logik. Spektrum der Wissenschaft Nr. 9/1999 Eichberger, J.-I.: Roulette Physics. http://wwww.roulette.gmx/home.de (Dec. 27, 2003) Grötschel, M., Padberg, M.: Die optimierte Odyssee (Kombinatorische Optimierung). Spektrum der Wissenschaft Nr. 4/1999 Hawking, S.: Mein Standpunkt (Was ist die Realität?). Die Zeit Nr. 34/1993 Hersh, R.: Ist die Mathematik von dieser Welt? Frankfurter Allgemeine Sonntagszeitung Nr. 41/2001 Lessmöllmann, A.: Brillantes Versagen (Paradoxien der Logik) Die Zeit Nr. 26/2001 Lessmöllmann, A.: Mathe mit Lasso (Poincaré-Vermutung, Mathematiker G. Perelman) Die Zeit Nr. 18/2003 Nielsen, M. A.: Spielregeln für Quantencomputer. Spektrum der Wissenschaft Nr. 4/2003

I RODALOM

161

Pöppe, C.: Wurden die komplexen Zahlen entdeckt oder erfunden? OMEGA: Das Magazin für Mathematik, Logik und Computer/Spektrum der Wissenschaft SPEZIAL Nr. 4/2003 Pöppe, C.: Der Beweis der Catalan’schen Vermutung. OMEGA: Das Magazin für Mathematik, Logik und Computer/Spektrum der Wissenschaft SPEZIAL Nr. 4/2003 Pöppe, C.: Der Beweis der Kepler’schen Vermutung. Spektrum der Wissenschaft Nr. 4/1999 Randow, G. v.: Glänzende Ideen, brillant ins Bild gestzt (Visuelle Mathematik). Frankfurter Allgemeine Sonntagszeitung Nr. 48/2001 Rauchhaupt, U. v.: Jeder ist so komplex wie das Universum (Mathematiker Stephen Wolfram). Frankfurter Allgemeine Sonntagszeitung Nr. 20/2002 Rauchhaupt, U. v.: Das Eine-Million-Dollar-Problem (PoincaréVermutung, Mathematiker G. Perelman). Frankfurter Allgemeine Sonntagszeitung Nr. 16/2003 Rauner, M.: Sechs, Ehe kaputt – Die Wissenschaft schenkt uns die Differenzialgleichung der Liebe. Die Zeit Nr. 22/2003 Springer, M.: Die Kepler-Vermutung – Ein erschöpfender Beweis. Spektrum der Wissenschaft Nr. 9/2003 Stewart, I.: Ein Vierteljahrhundert Mathematik (Mathematisches Denken). Spektrum der Wissenschaft Nr.5/2003 Tegmark, M., Wheeler, J. A.: 100 Jahre Quantentheorie. Spektrum der Wissenschaft Nr. 4/2001 Tetens, H.: Die Grenze (Naturwissenschaft und Mathematik). Spektrum der Wissenschaft Nr. 37/1999 Wehr, M.: Die unheimliche Macht der Ästhetik (Wenn theoretischen Physikern Daten fehlen). Die Zeit Nr. 2/2001

Tárgymutató

Adams, Douglas, 97 Adleman, Leonard, 105, 109 Alexander, James W., 139 algebrai topológia, 55 algoritmus, 99 Appel, Kenneth, 119, 126 automorfizmus, 54 axiomatikus módszer, 10 Berry, Michael, 32 Bertrand-posztulátum, 133 bimátrixjáték, 93 bionika, 105 Birch és Swinnerton-Dyer sejtése, 33, 40 Birch, Brian, 33 Birkhoff, George, 118 Boltzmann, Ludwig, 94 Bolyai János, 53 bonyolultság, 92, 95, 97 Borgs, Christian, 111 Borodcin, K. V., 135 Braitenberg, Valentin, 152 Brouwer, Luitzen, 146 Cantor, Georg, 18, 141 Cardano, Geronimo, 23 Catalan, Eugène Charles, 127 Catalan-sejtés, 127 Chaitin, Gregory, 91 Chen, J. R., 135 Chuang, Isaac, 110

Cipra, Barry, 40 Collatz, Lothar, 136 Collatz-féle probléma, 136 Connes, Alain, 32 Csebisev, Pafnutij, 132 Descartes-féle sík, 24 Descartes-szorzat, 22 differenciálegyenlet, 72, 75, 78, 80 differenciálhatósági struktúra, 62 divergens sor, 28 Donaldson, Simon, 63 Dröscher, Vitus, 104 Dunwoody, Martin, 64 Dyson, Freeman, 32 egész szám, 19 egészszámúság, 34 egyenletek neme, 37 Einstein, Albert, 56, 147 elemi részecskék, 84 elliptikus görbék, 38 entrópia, 94 er˝os Goldbach-sejtés, 135 erlangeni program, 44, 53 Eukleidész, 11 euklideszi geometria, 54 Euler, Leonhard, 48, 49, 114, 135 Euler-féle poliéderképlet, 49 Faltings, Gerd, 115 Fefferman, Charles E., 80 Ferguson, Sam, 124

164

TÁRGYMUTATÓ

Fermat, Pierre de, 113 Fermat-egyenlet, 34, 115 Fischer, Ernst Peter, 145 folytonosság, 47 fraktál, 62 Freedman, Michael, 60 Frege, Gottlob, 147 fundamentális csoport, 55 Gödel, Kurt, 11, 89 Galilei, Galileo, 145 Galois, Évariste, 139 Gauss, Carl Friedrich, 49 Gauss-féle számsík, 24 genetikai algoritmusok, 105 Goldbach, Christian, 135 Goldbach-sejtés, 12, 135 Graham, Ronald, 153 gyenge Goldbach-sejtés, 135 Hadamard, Jacques, 29 Haken, Hermann, 48 Haken, Wolfgang, 119, 126 Hales, Tom, 122, 124 Hamilton, Sir William, 118 határozatlansági reláció, 32 Heawood, Percy, 118 Hilbert, David, 9, 33, 89, 120, 146 Hilbert-terek, 148 Hodge, William, 65 Hodge-sejtés, 65 homeomorfia, 47 ikerprímszámok, 134 információ, 92, 94 invariáns, 43, 54 invariancia, 44 izomorfizmus, 46 jólrendezés, 141 jólrendezett halmaz, 141 Jeans, James, 147 Jordan, Camille, 46 Jordan-féle görbetétel, 46

königsbergi hídprobléma, 48 káosz, 82 képzetes szám, 23 Karp, Richard, 100 Kelvin, Lord, 139 Kelvin, William, 125 Kelvin-probléma, 125 Kepler, Johannes, 122 Kepler-sejtés, 122, 124 kiválasztódás, 78 klasszifikációs probléma, 138 Klein, Felix, 53, 55 Kolmogorov, Andrej, 91 komplex osztás, 26 komplex szám, 20, 23 komplex számok algebrai f˝otétele, 26 komplex változók, 37 Kronecker, Leopold, 18 kvantum-kromodinamika, 85 kvantuminformatika, 106, 109 kvantumkriptográfia, 112 kvantumterek, 84 Ladizsenszkaja, Olga, 83 Lindemann, Ferdinand, 18 Listing, Johann, 49 lokális struktúra, 58 Möbius, August, 49 Möbius-szalag, 49 Malthus, Thomas, 96 Mandelbrot, Benoît, 48 Mandelbrot-halmaz, 62 metrika, 45 Milnor, John, 120 Montgomery, Hugh, 32 Mordell, Lewis, 40 négyszínprobléma, 117 négyszínsejtés, 118 négyszíntétel, 127 nagy Fermat-tétel, 113 nanotechnológia, 112 Navier–Stokes-egyenletek, 71, 80

165

TÁRGYMUTATÓ

nem-euklideszi geometria, 53 Neumann János, 94 neuronális hálóprogramok, 105 Newton, Isaac, 80 optimalizálás, 103, 105 oszthatóság, 21 pí, 18 Penrose, Roger, 147 Perelman, Grigorij, 64, 139 Pitagorasz-télel, 25 Planck, Max, 106 plasztikus deformáció, 44 Platón, 146 Poincaré, Henri, 10, 40, 55, 59 Poincaré-sejtés, 58–60 Popper, Karl, 148 populációgenetika, 78 prímszám, 21, 28, 29, 133 Prigogine, Ilya, 48 Règo, Eduardo, 64 racionális szám, 20 Ramanuja, Srinivasa, 132 Rechenberg, Ingo, 105 rendezett pár, 22 Riemann, Bernhard, 28, 58 Riemann-féle zetafüggvény, 29, 30 Riemann-sejtés, 27, 32 Rivest, Ronald, 109 Robinson, Neil, 126 Rourke, Colin, 64 rulett, 75 Russell, Bertrand, 10, 147 Russell-paradoxon, 10 Sanders, Daniel P., 126 Seymour, Paul, 126 Shamir, Adi, 109 Shannon, Claude, 94

Shor, Peter, 109, 110 Smale, Stephen, 60, 82 sokaságok, 54, 58 Sossinsky, Alexei, 139 Stachel, John, 146 strukturális egyenl˝oség, 46 Swinnerton-Dyer, Peter, 33 számelmélet, 18 szomszédsági viszonyok, 44 távolságfüggvény, 45 tórusz, 50 Taubes, Clifford, 63 természetes szám, 19, 21 Thomas, Robin, 126 topológia, 43 topologikus transzformáció, 44, 49 transzformációcsoport, 53 Turing, Alan, 90 Turing-gép, 90, 98 véletlen halmaz, 94 véletlenszer˝uség, 92 valós szám, 20, 22 Vallée-Poussin, Charles de la, 29 Vinogradov, I. M., 135 vizuális ballisztika, 77 Walther, Herbert, 106 Walz, Guido, 146 Weyl, Hermann, 86 Wiles, Andrew, 115 Witten, Edward, 140 Yandell, B. H., 12 Yang–Mills-egyenletek, 71 Yang–Mills-elmélet, 84, 87 Yang–Mills-terek, 84 Zagier, Don, 133