Theorie Quantique Pour Master de Physiqu [PDF]

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UNIVERSITÉ DE NGAOUNDÉRÉ FACULTÉ DES SCIENCES DÉPARTEMENT DE PHYSIQUE

SCIENCE DE LA MATIÈRE MASTER I PHYSIQUE SPÉCIALITÉ AMI

THÉORIE QUANTIQUE II SMM1PH01 UE Optionnelle CM : 35h - TD : 25h - Crédits : 6

NANA ENGO

Année académique 2012 − 2013 c Nana Engo - Sous la licence CC BY-SA 3.0 2012

TABLE DES MATIÈRES

Avant-propos

ii

1 Oscillateur harmonique 1.1 Oscillateur harmonique simple . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 État propre de l’opérateur quanta . . . . . . . . . . 1.1.2 Propriétés des opérateurs a et a† . . . . . . . . . . 1.1.3 Fonctions propres de H . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 États cohérents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Opérateur déplacement et fonctions propre . . . . . 1.2.3 Mesure de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Fluctuations dans l’état cohérent . . . . . . . . . . 1.2.5 Évolution d’un état cohérent - Cohérence . . . . . . 1.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Opérateurs amplitude et phase du champ électrique 1.3.2 Champ oscillant et principe du Maser . . . . . . . . 2 Quantification du champ électromagnétique 2.1 Mode du champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Espace réciproque - Série de Fourier . . . . . 2.1.2 Dynamique des champs transverses . . . . . 2.1.3 Dynamique des variables normales . . . . . 2.1.4 Énergie du rayonnement . . . . . . . . . . . 2.1.5 Impulsion du champ de rayonnement . . . . 2.2 Quantification canonique du rayonnement . . . . . 2.2.1 Variables canoniques conjuguées d’un mode 2.2.2 Règles de commutation . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Hamiltonien du rayonnement . . . . . . . . 2.3 Opérateurs de champ et d’impulsion . . . . . . . . 2.3.1 Opérateurs de champ . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Opérateur d’impulsion . . . . . . . . . . . . 2.4 Espace de Fock des photons . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Diagonalisation du hamiltonien . . . . . . . 2.4.2 Photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

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1 1 2 3 5 9 9 11 12 13 14 16 16 18

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20 20 21 22 23 24 25 25 25 26 26 27 27 28 28 28 29

ii

TABLE DES MATIÈRES . . . . . . . . . .

29 30 32 32 32 35 37 37 39 42

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44 45 45 46 47 48 49 49 50 51 53 53 54 55 57 57 60 61 62 62 64 68 70 70 71 72 76 76 76 76 76 77

4 Moment Angulaire 4.1 Formalisme général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Les opérateurs d’échelle J± . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Diagonalisation de J 2 et Jz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80 81 81 81

2.5 2.6

2.7

2.4.3 Propriétés de l’état vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Photons droits et onde tournante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Électrodynamique en cavité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Présentation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Hamiltonien de Jaynes-Cummings . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3 Émission spontanée de l’atome excité à l’intérieur de la cavité Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Traitement quantique d’une onde laser . . . . . . . . . . . . . 2.7.2 États comprimés - Bruit quantique standard . . . . . . . . . . 2.7.3 Atome à deux niveaux dans une cavité . . . . . . . . . . . . .

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3 Symétries et invariances 3.1 Transformations continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Transformation unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Symétrie et dégénérescence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Générateur infinitésimale de transformation . . . . . . . . . . . 3.1.4 Propriétés générales des transformations continues unitaires . . 3.2 Opérateur translation dans le temps et invariance . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Groupe des translations dans le temps . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Invariance par translation dans le temps . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Équation du mouvement de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Opérateur de translation dans l’espace et invariance . . . . . . . . . . . 3.3.1 Groupe des translations dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Invariance par translation dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Potentiel périodique et bande d’énergie . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Opérateur de rotation dans l’espace et invariance . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Groupe des rotations dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Invariance par rotation dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Spectre du rotateur rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Transformations discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Inversion d’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Permutation de deux quantons identiques . . . . . . . . . . . . . 3.6 Invariance de jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1 Règles de quantification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2 Opérateur unitaire de transformation de jauge . . . . . . . . . . 3.6.3 Invariance des prévisions physiques par transformation de jauge 3.6.4 Invariance de forme de l’équation de Schrödinger . . . . . . . . 3.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1 Opérateur parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.2 Évolution temporelle de l’opérateur position . . . . . . . . . . . 3.7.3 Représentation de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.4 Invariance du courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.5 Niveaux de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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THÉORIE QUANTIQUE II

iii

TABLE DES MATIÈRES

4.2 4.3

4.4

4.1.3 Représentation matricielle . . . . . . . . . . . . . Matrice de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Moment angulaire orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Définition et formules en coordonnées sphériques . 4.3.2 Relations de commutations . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Les harmoniques sphériques . . . . . . . . . . . . 4.3.4 Exemples d’harmoniques sphériques . . . . . . . . 4.3.5 Opérateur angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Moment angulaire orbital . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Opérateurs projectifs du spin 1/2 . . . . . . . . . 4.4.3 Rotations et SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.4 Système physique de moment orbital ` = 1 . . . . 4.4.5 Rotateur plan et spatial . . . . . . . . . . . . . .

5 Méthodes d’approximations 5.1 Méthode de perturbation stationnaire . . . 5.1.1 Série de Brillouin-Wigner . . . . . . 5.1.2 Série de Rayleigh-Schrödinger . . . 5.1.3 Relation avec la diagonalisation . . 5.1.4 Perturbation d’un niveau dégénéré 5.1.5 Exemples d’application . . . . . . . 5.2 Méthodes des variations . . . . . . . . . . 5.2.1 Niveau fondamental . . . . . . . . . 5.2.2 Exemples d’application . . . . . . .

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6 Corrélations quantiques 6.1 Produit tensoriel et états intriqués . . . . . . . . . . 6.1.1 États . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 États corrélés ou intriqués . . . . . . . . . . 6.2 Théorème de Bell et interférences des états corrélés 6.2.1 L’analyse EPR - Dieu ne joue pas au dés . . 6.2.2 Théorème de Bell . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Interférences à deux quantons . . . . . . . . 6.3 Information quantique . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Non-clonage quantique . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Cryptographie quantique . . . . . . . . . . . 6.3.3 Fax quantique ou téléportation quantique . 6.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Inégalités de Bell avec des photons . . . . . 6.4.2 Cryptographie quantique . . . . . . . . . . . 7 Calculs quantiques 7.1 Notion de calculateur . . . . . . . . . . . . 7.2 Les circuits quantiques . . . . . . . . . . . 7.2.1 Énergie - information - réversibilité 7.2.2 Parallélisme quantique . . . . . . .

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83 84 87 87 88 88 90 91 93 93 93 93 94 95

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96 96 97 98 100 102 103 106 106 107

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111 112 112 113 114 117 117 118 119 121 121 123 127 130 130 131

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133 133 135 135 136

THÉORIE QUANTIQUE II

iv

TABLE DES MATIÈRES

7.3

7.4

7.5 7.6

7.2.3 Portes single-qubit . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.4 Portes de contrôle et génération de l’intrication Portes quantiques universelles . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Porte CV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Porte de TOFFOLI . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3 Resumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.4 Évaluation quantique d’une fonction . . . . . . Algorithme de Deutsch-Jozsa . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 Problème et solution classique . . . . . . . . . . 7.4.2 Algorithme quantique de Deutsch-Jozsa . . . . . Transformation de Fourier quantique . . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.1 Effets des erreurs d’amplitude et de phase . . . 7.6.2 Opérateur racine carrée NOT . . . . . . . . . . 7.6.3 Algorithme quantique . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.4 Circuit intraportation . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.5 Téléportation d’une paire EPR . . . . . . . . . 7.6.6 Transformée de Fourier Quantique . . . . . . . .

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A Mécanique analytique

137 140 144 145 145 147 147 148 148 149 150 153 153 153 154 155 156 157 158

B Modèle de Schwinger du moment angulaire 160 B.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 B.2 Vecteurs propres commun à J 2 et Jz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 B.3 Formule générale des matrices de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 C Éléments Cryptologie C.1 Fonctionnalités de la cryptographie . C.2 Principe du chiffrement symétrique . C.3 Problématique de l’authentification . C.4 Principe du chiffrement asymétrique .

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164 164 165 165 165

D Code RSA

167

E Théorie de l’information classique E.1 Entropie de Shannon . . . . . . . E.2 Information conditionnelle . . . . E.3 Information mutuelle . . . . . . . E.4 Probabilité conjointe . . . . . . .

169 169 172 172 172

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THÉORIE QUANTIQUE II

AVANT-PROPOS Les grandes articulations de cette UE sont : • Oscillateurs harmoniques : Opérateurs quanta et ses états propres ; États cohérents. • Quantification du rayonnement : Mode du champ ; Quantification canonique du rayonnement ; Opérateurs de champ et d’impulsion ; Espace de Fock des photons ; Photons droits et onde tournante ; Électrodynamique en cavité - Modèle de Jaynes–Cummings. • Symétrie et invariance : générateurs infinitésimaux des transformations continues et transformations discrètes ; invariance de jauge. • Moments angulaires : Opérateurs d’échelle, base standard ; matrice de rotation ; moment angulaire orbital. • Méthodes d’approximations : méthode des perturbations ; méthodes variationnelles (linéaires). • Corrélations quantiques : Produit tensoriel ; Interférences des états corrélés ; Analyse EPR et inégalités de Bell ; Non-clonage quantique ; Cryptographie quantique ; Téléportation quantique. • Calculs quantiques : Calculs réversibles ; Portes logiques et circuits quantiques ; Bases de Bell ; Algorithme de Deutsch-Jozsa ; Transformation de Fourier quantique. Ce Cours est publié sous la licence libre Creative Commons-BY-SA : http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr BY : Paternité. Vous devez citer le nom de l’auteur original. SA : Partage des Conditions Initiales à l’Identique. Si vous modifiez, transformez ou adaptez cette création, vous n’avez le droit de distribuer la création qui en résulte que sous un contrat identique à celui-ci. En outre, à chaque réutilisation ou distribution, vous devez faire apparaître clairement aux autres les conditions contractuelles de mise à disposition de cette création. Chacune de ces conditions peut être levée si vous obtenez l’autorisation du titulaire des droits.

v

CHAPITRE

1 OSCILLATEUR HARMONIQUE

Sommaire 1.1

Oscillateur harmonique simple

1.2

États cohérents

1.3

Exercices

L’oscillateur harmonique à une dimension met en exergue la puissance et l’élégance du formalisme de Dirac. Son traitement se fera aussi bien dans la base des états propres de l’énergie que dans celle des états cohérents ou états quasi-classiques, ainsi nommés parce qu’ils conduisent à des comportements extrêmes proches de ceux d’un champ classique (section 1.2). Les états cohérents ont de nombreuses applications en optique quantique ou optique des phénomènes nécessitant l’utilisation des notions de champ électromagnétique quantifié. Lequel champ quantifié est l’objet du chapitre 2.

1.1

Oscillateur harmonique simple

L’oscillateur harmonique est sans doute le système le plus simple et le plus important de toute la physique théorie, car il modélise approximativement de nombreux systèmes physiques. On peut définir comme oscillateur, tout système physique susceptible d’être le siège de phénomènes physiques se produisant au cours du temps au voisinage d’un état d’équilibre stable. L’oscillateur est dit harmonique lorsque sa grandeur oscillante, x par exemple, vérifie l’équation d2 x + cx = 0, c constante positive. (1.1.1) dt2 Les quantons, qui à très basse température, ont tendance à rester près de leur position d’équilibre qui est la position de plus basse énergie, sont des oscillateurs harmoniques. Le modèle de 1

1.1. OSCILLATEUR HARMONIQUE SIMPLE

2

l’oscillateur harmonique sert de fil conducteur lors de la quantification du rayonnement, laquelle est à l’origine de nombreuses innovations technologiques, dont les dispositifs photoniques. Il sert aussi de fil conducteur lors de l’étude de la condensation de Bose-Einstein1 à 2D.

1.1.1

État propre de l’opérateur quanta

L’hamiltonien d’un oscillateur harmonique simple est2 1 p2 + mω 2 x2 , H= 2m 2

(1.1.2)

où m est la masse de l’oscillateur et ω sa fréquence. La forme du potentiel V (x) = 21 mω 2 x2 , illustrée par la figure (1.1.1) suggère que • les valeurs propres de l’énergie E seront positives ou nulles puisque V (x) est positif ou nul ; • le spectre d’énergie sera discret puisque le quanton est confiné dans le potentiel V (x) ; • le système n’aura qu’un seul nombre quantique puisque le problème est à une dimension. Classiquement, une particule dans un puits harmonique V (x) = 21 mω 2 x2 est confinée dans une région bornée de l’espace [−a, +a]. Sa densité de probabilité de présence ρ(x) est telle que ρ(x)dx =

dx 2dx √ √ = . ωT a2 − x2 π a2 − x 2

(1.1.3)

est minimale en x = 0, point où la particule passe très vite et tend vers l’infini aux deux points extrêmes du mouvement (a et −a) où la vitesse s’annule (voir la figure (1.1.2)). ρ(x) est identiquement nulle pour |x| supérieur à a.

Figure 1.1.1 – Énergie potentiel d’un oscilla-

Figure 1.1.2 – Densité de probabilité classique

teur harmonique à une dimension

de l’oscillateur harmonique. Elle est maximale aux bords ±a et minimale en x = 0.

1

Un condensat de Bose-Einstein est un superfluide en phase gazeuse formé d’atomes refroidis à des températures proches du zéro absolu. Il est équivalent à une cavité laser et si l’on pratique une fuite dans le piège magnétique qui le maintien, il en sort un jet d’atomes cohérent. On parle alors de laser atomique. 2 Contrairement à la section ??, nous notons ici les opérateurs positions et impulsions en minuscule (x et p) et nous réservons la notation en majuscule (X et P ) aux opérateurs réduits afin de nous conformer aux usages concernant l’oscillateur harmonique quantique.

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THÉORIE QUANTIQUE II

3

1.1. OSCILLATEUR HARMONIQUE SIMPLE

Pour trouver le spectre de cet oscillateur harmonique simple, nous allons adopter une démarche générale adaptée aux problèmes possédant une symétrie dynamique. A cet effet, introduisons les opérateurs de création et d’annihilation 1 1 a := √ (X + iP ), a† := √ (X − iP ), 2 2

(1.1.4)

où X et P sont les opérateurs réduits définis par p P := √ , X := mω~

r

mω x, ~

(1.1.5)

avec [X, P ] = ~1 [x, p] = iI. Comme X et P commutent avec leur commutateur et que 1 H = ~ω(X 2 + P 2 ), 2

(1.1.6)

on a ∂H = −i~ωP, ∂P ∂H [H, P ] = [X, P ] = i~ωX. ∂X

[H, X] = [P, X]

(1.1.7a) (1.1.7b)

Il apparaît que tous commutateurs quelconques de deux des quatre opérateurs hermitiens H, X, P, I, est une combinaison linéaire de ces opérateurs. Ils forment donc l’algèbre de Lie de l’oscillateur harmonique. Il est à noter qu’une algèbre de Lie d’opérateurs est un ensemble d’opérateurs hermitiens formant un espace vectoriel réel de dimension fini n et stable par l’opérateur de commutation. On vérifie facilement que [a, a† ] = I, (1.1.8) et

1 1 H = ~ω(a† a + aa† ) = ~ω(a† a + ). 2 2

(1.1.9)

L’opérateur nombre de quanta N := a† a est définie par la représentation

X

N := |ninhn|, n ∈ N, hn|mi = δnm ,

(1.1.10a) (1.1.10b)

|nihn| = I.

(1.1.10c)

n

Ainsi, 1 H = ~ω(N + ), (1.1.11) 2 et il apparaît que [H, N ] = 0. Par conséquent, les vecteurs propres |ni de N sont aussi ceux de H.

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THÉORIE QUANTIQUE II

4

1.1. OSCILLATEUR HARMONIQUE SIMPLE

1.1.2

Propriétés des opérateurs a et a†

Les opérateurs a et a† , qui ne sont pas hermitiens, ont respectivement, l’importante propriété physique de diminuer (annihiler ou décrémenter) et d’augmenter (créer ou incrémenter) la valeur propre n de l’opérateur N. C’est pourquoi on les appelle aussi opérateurs d’échelle. Examinons cela de plus près. Puisque a et a† sont deux opérateurs qui commutent avec leur commutateur [a, a† ] = I, on a ∂N = −a, ∂a† ∂N = a† . [N, a† ] = [a, a† ] ∂a

[N, a] = [a† , a]

(1.1.12a) (1.1.12b)

Les quatre opérateurs N, a, a† , I, forment donc une nouvelle base de l’algèbre de Lie de l’oscillateur harmonique, avec des relations de commutation plus simples. De (1.1.12b), il vient     

N (a|ni) = N a|ni = (aN − a)|ni = (n − 1)(a|ni), (1.1.13) †

†

†

†

†

N (a |ni) = N a |ni = (a N + a )|ni = (n + 1)(a |ni).

Autrement, a|ni et a† |ni sont des vecteurs propres de N avec les valeurs propres respectives (n − 1) et (n + 1). D’autre part, on sait que si λ est une valeur propre non-dégénérée, les vecteurs propres qui lui sont associés sont colinéaires. Ainsi donc,  N (a|ni)

= (n − 1)(a|ni) N |n − 1i = (n − 1)|n − 1i et

 N (a† |ni) N |n + 1i

= (n + 1)(a|ni) = (n + 1)|n + 1i

⇒ a|ni = Ca |n − 1i,

(1.1.14)

⇒ a† |ni = Cb |n + 1i.

(1.1.15)

Si les états |ni sont normés, alors  ka|nik2

= hn|a† a|ni = hn|N |ni = n ka† |nik2 = hn|aa† |ni = hn|(N + 1)|ni = n + 1

⇒

 kC

2 ak kCb k2

√ = n ⇒ Ca = n, √ = n + 1 ⇒ Cb = n + 1. (1.1.16)

On en déduit a|0i = 0, √ a|ni = n|n − 1i (n 6= 0), √ a† |ni = n + 1|n + 1i.

(1.1.17a) (1.1.17b) (1.1.17c)

Les relations (1.1.17) justifient les appellations opérateur d’annihilation (absorption) de a et opérateur de création (émission) de a† . Soulignons que si n n’était pas entier, il s’ensuivrait une suite infinie d’états de norme négative avec n < 0, ce qui est impossible puisqu’on a supposé dès le départ que le produit bilinéaire est défini positif sur l’espace des états. c Nana Engo - Sous la licence CC BY-SA 3.0 2012

THÉORIE QUANTIQUE II

5

1.1. OSCILLATEUR HARMONIQUE SIMPLE

1.1.3

Fonctions propres de H

L’état |0i est donc l’état fondamental3 de l’hamiltonien (1.1.11) 1 H|0i = ~ω|0i. 2

(1.1.18)

On constate que contrairement au traitement classique, l’énergie de l’état fondamental n’est pas nulle. Ce résultat est en accord avec le principe quantique ou principe d’action minimale : "il n’y a pas d’action minimale inférieure à ~2 dans la nature." Ce qui veut aussi dire que le zéro absolu (T = 0 K) ne peut pas être accessible puisque la température évalue l’agitation atomique : le repos n’existe pas ou alors le repos est une notion macroscopique. Les états excités s’obtiennent par application successive de a† , 1 |ni = √ (a† )n |0i, n!

(1.1.19a)

1 . H|ni = En |ni, En = ~ω n + 2 



(1.1.19b)

Les niveaux d’énergie (1.1.19b) accessibles par l’oscillateur harmonique sont quantifiés et sont équidistants. La fonction d’onde normalisée de l’état |ni, ψn (x) = hx|ni, se trouve aisément en appliquant l’opérateur différentiel 1 a = √ (X + iP ) = 2

r

!

~ d mω x+ , 2~ mω dx

(1.1.20)

sur la fonction d’onde ψ0 (x) = hx|0i : !

~ d mω hx|a|0i = hx| x+ |0i = 0 2~ mω dx ! r mω ~ d x+ hx|0i = 0, ⇒ 2~ mω dx r

soit ψ00 (x) + αxψ0 (x) = 0, α =

(1.1.21a) (1.1.21b)

mω 2 ⇒ ψ0 (x) = Ce−αx /2 . ~

(1.1.21c)

Après la normalisation, on trouve  1

ψ0 (x) =

α π

4

e−αx

2 /2

.

(1.1.22)

q

~ qui est une gaussienne de largeur σ = mω . Elle vérifie la propriété fondamentale de la fonction d’onde d’un état fondamental : elle est paire et ne s’annule pas. 3

état de plus petite énergie, c’est l’état "vide", car ne possédant pas de photon. C’est un état comme les autres, seulement il est stationnaire et ne peut fournir de l’énergie. C’est pour cette raison qu’il est indétectable.

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THÉORIE QUANTIQUE II

6

1.1. OSCILLATEUR HARMONIQUE SIMPLE Des relations (1.1.19a) et (1.1.22), on déduit les fonctions d’ondes des états excités |ni, 1 ψn (x) = hx|ni = √ hx|(a† )n |0i n! !!n 1 1 d 1 √ |0i = √ hx| √ αx − √ α dx 2 n! !n  1 √ α 4 1 1 d 2 √ ψn (x) = αx − √ e−αx /2 . n π α dx 2 n!

(1.1.23a) (1.1.23b) (1.1.23c)

Soit, en introduisant le polynôme d’Hermite Hn (y),  1/4

ψn (x) =

α π

√

√ 1 2 e−αx /2 Hn ( αx). 2n n!

(1.1.24a)

avec dn exp(−y 2 ), dy n H0 (y) = 1, H1 (y) = 2y, Hn+1 (y) = 2yHn (y) − 2nHn−1 (y) si n ≥ 2, Hn0 (y) = 2nHn−1 (y), Z +∞ √ 2 Hn (y)Hm (y)e−y dy = π2n n!δnm . Hn (y) = (−1)n exp(y 2 )

(1.1.24b) (1.1.24c) (1.1.24d) (1.1.24e)

−∞

L’équation (1.1.24a) permet de retrouver explicitement autant de fonctions propres que l’on désire. Le tableau 1.1.1 donne les expressions des quatorze premières et quelques unes sont représentées, de même que les densités de probabilités sur la figure 1.1.3. On note sur les figures 1.1.3 que, 1. les fonctions propres sont alternativement paires ou impaires, ce qui est normal puisque le potentiel V (x) est pair ; 2. la fonction propre d’ordre n possède n zéros ou nœuds, en plus des deux à l’infini ; 3. dans son état fondamental ψ0 , l’oscillateur harmonique quantique a une densité de probabilité de présence ou de localisation maximale en x = 0, là où précisément l’oscillateur harmonique classique est minimale ; 4. la densité probabilité de présence ou de localisation d’ordre n possède (n + 1) sommets (ou n nœuds) qui se resserrent quand n augmente ; 5. la densité probabilité de présence ou de localisation n’est quantiquement pas égale à zéro dans la région classiquement interdite, |x| > xM , xM étant l’amplitude du mouvement classique d’énergie En ; 6. pour les états d’énergie de plus en plus grands, la densité de probabilité de présence ou de localisation |ψn |2 se rapproche de plus en plus, en moyenne, de la courbe représentant la densité de probabilité de présence ou de localisation en chaque point ρ(x) = √ 12 2 , π

xM −x

d’un oscillateur classique de même énergie. Ce qui justifie le principe suivant :

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THÉORIE QUANTIQUE II

7

1.1. OSCILLATEUR HARMONIQUE SIMPLE ψn (x) 1 −x2 /2 √ 4 πe

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

√ 2 − 1 x2 √ 4 π xe 2 √ −x2 /2 2e√ (2x2 − 1) 24π √ −x2 /2 3e√ (2x3 − 3) 34π √ −x2 /2 6e √ (3 − 12x2 + 4x4 ) 12 4 π √ 2 /2 15e−x √ (15x − 20x3 + 4x5 ) 4 30 π √ −x2 /2 5e √ (90x2 − 15 − 60x4 + 8x6 ) 60 4 π √ 2 /2 70e−x √ (210x3 − 105x − 84x5 + 8x7 ) 420 4 π √ 2 /2 70e−x √ (105 − 840x2 + 840x4 − 224x6 + 16x8 ) 1680 4 π √ 2 /2 35e−x √ (945x − 2520x3 + 1512x5 − 288x7 + 16x9 ) 4 2520 π √ −x2 /2 7e √ (9450x2 − 945 − 12 600x4 + 5040x6 − 720x8 + 32x10 ) 5040 4 π √ 2 /2 154e−x √ (34 650x3 − 10 395x − 27 720x5 + 7920x7 − 880x9 + 32x11 ) 55 440 4 π √ 2 231e−x√/2 (10 395 − 124 740x2 + 207 900x4 − 110 880x6 + 23 760x8 − 2112x10 + 64x12 ) 332 640 4 π √ 2 6006e−x√/2 (135 135x − 540 540x3 + 540 540x5 − 205 920x7 + 34 320x9 − 2496x11 + 64x13 ) 4324 320 4 π

13 Table 1.1.1 – Expression des quatorze premières fonctions d’onde de l’oscillateur harmonique simple.

Principe 1.1.1. Principe de correspondance de Bohr. Les résultats de la mécanique quantique doivent se confondre avec ceux de la mécanique classique à la limite des grands nombres quantiques. Exemple 1.1.1. Capacité calorifique des matériaux : modèles d’Einstein4 . On modélise un atome de carbone dans un cristal de diamant par un quanton oscillant autour de sa position d’équilibre. Dans l’approximation harmonique, son mouvement selon l’axe x est décrit par l’hamiltonien 1 p2 + mω 2 x2 , (1.1.25) H= 2m 2 et par conséquent ses niveaux d’énergie sont quantifiés 1 En = ~ω n + , n ≥ 0. 2 



(1.1.26)

A température nulle, l’atome est dans le niveau |0i d’énergie le plus bas E0 = 21 ~ω. Classiquement, il est plutôt immobile (p = 0) dans sa position stable (x = 0) et son énergie est nulle. A température T plus élevée, il est dans un état |ni d’énergie En avec la probabilité 1 En Pn = exp − Z kB T 



,

(1.1.27)

d’après la loi de Boltzmann ; Z est la constante de normalisation ou fonction de partition. 4

Ce modèle a été introduit en 1907 par Einstein, bien avant la connaissance de la théorie quantique.

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THÉORIE QUANTIQUE II

8

1.1. OSCILLATEUR HARMONIQUE SIMPLE

→ ψ 0(x)

|ψ1(x)|² ↑

→ ψ1(x)

|ψ0(x)|² ←

|ψ5(x)|² ↑

→ |ψ2(x)|²

→ ψ5(x)

→ ψ2(x)

→ ρ(x)

|ψ7(x)|² ↑

→ |ψ12(x)|² → ψ7 (x)

-x

M

+x

M

Figure 1.1.3 – Fonctions propres et densités de probabilité de quelques états de l’oscillateur harmonique simple.

Tant que kB T  ~ω, l’atome a une probabilité négligeable d’atteindre les niveaux excités n ≥ 1. Il restera dans l’état fondamental |0i : son mouvement est gelé. Son énergie moyenne reste donc constante, hEi ' E0 = 21 ~ω, et sa capacité calorifique c(T ) =

d hEi ' 0. dT

(1.1.28)

Pour le diamant, cela correspond à T  ΘE = k~ωB = 1 320 K, la température d’Einstein. C’est donc le cas à température ambiante (T ' 300 K). A plus haute température, l’agitation thermique lui permet d’atteindre les premiers niveaux excités, et alors, c(T ) > 0. En conclusion, le modèle des oscillateurs harmoniques simples permet d’expliquer pourquoi c(T ) → 0 pour T  ΘE . Remarque 1.1.1. Puisque on a la relation de commutation [H, a] = ~ω[N, a] = −~ωa, c Nana Engo - Sous la licence CC BY-SA 3.0 2012

(1.1.29)

THÉORIE QUANTIQUE II

9

1.2. ÉTATS COHÉRENTS l’évolution temporelle de l’opérateur a est donnée, en vertu du théorème d’Ehrenfest, par d i a = [H, a] = −iωa ⇒ a(t) = a(0)e−iωt . dt ~

(1.1.30)

Ce résultat coïncide formellement avec le résultat classique. En effet, soit le nombre r

z(t) =

s

mω 1 x(t) + i p(t). 2~ 2m~ω

(1.1.31)

A partir des équations du mouvement classique ou équations canoniques de Hamilton-Jacobi dx(t) ∂H 1 dp(t) ∂H = = p(t), =− = −mω 2 x(t), dt ∂p m dt ∂x

(1.1.32)

on obtient

dz(t) = −iωz(t) ⇒ z(t) = z0 e−iωt . (1.1.33) dt Ce nombre complexe z(t) décrit une trajectoire circulaire dans le plan complexe ou plan de phase (x(t), p(t)) avec une vitesse constante (figure 1.1.4). P z(t)

X

Figure 1.1.4 – Trajectoire circulaire de z(t) dans le plan (X, P ). On en déduit s

2~ Re z(t), mω √ p(t) = 2m~ω Im z(t),

(1.1.34b)

E = ~ω|z0 |2 .

(1.1.35)

x(t) =

(1.1.34a)

et l’énergie Les résultats (1.1.30) et (1.1.33) suggèrent de chercher les vecteurs propres de l’opérateur a qu’on appelle états cohérents.

1.2 1.2.1

États cohérents Définition

Les états propres |ni de l’hamiltonien ne sont pas très utiles pour faire le lien avec la théorie classique de l’oscillateur harmonique. A cette fin, on introduit de nouveaux états |zi, appelés

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THÉORIE QUANTIQUE II

10

1.2. ÉTATS COHÉRENTS

états cohérents5 , et qui sont non seulement états propres de a6 , mais une superposition de tous les états propres |ni de H : a|zi := z|zi, |zi :=

X

(1.2.1a)

|nihn|zi =

X

n

αn |ni, z ∈ C.

(1.2.1b)

n

Ces états constituent l’outil de base de la correspondance entre théorie classique et théorie quantique du rayonnement électromagnétique. On montrera par exemple que dans les états |zi, les valeurs moyennes des opérateurs positions X et impulsions P ont des propriétés aussi voisines que possibles des valeurs propres classiques (??) de la position x(t) et l’impulsion p(t). Déterminons les amplitudes de projection αn = hn|zi :   a|zi  a|zi

= z|zi = z

P n

=

P n

αn |ni

αn a|ni =

P n

√

αn n|n − 1i

⇒ αn+1 = √

z zn αn ⇒ αn = √ α0 . n+1 n!

(1.2.2)

En supposant l’état |zi normalisé et α0 réel, on a hz|zi =

XX n

=

X n

αn∗ αm hn|mi =

m

|αn |2

(1.2.3a)

n

|z|2n 2 2 α0 = e|z| α02 = 1 n!

⇒ α0 = e−|z| Il s’ensuit,

X

2 /2

.

X zn zn 2 2 √ e−|z| /2 |ni. αn = √ e−|z| /2 et |zi = n! n! n

(1.2.3b) (1.2.3c)

(1.2.4)

On vérifie sans peine que |zi est vecteur propre de a : ∞ X

zn 2 √ e−|z| /2 a|ni n! n=0 ∞ X zn √ 2 √ e−|z| /2 n|n − 1i = n! n=1 ∞ X z n−1 2 q =z e−|z| /2 |n − 1i (n − 1)! n=1

a|zi =

(1.2.5)

a|zi = z|zi. Il vient am |zi = z m |zi, ou plus généralement, f (a)|zi = f (z)|zi,

(1.2.6)

où f est une fonction analytique quelconque. 5

Ils ont été inventés par Schrödinger en 1926 et réintroduits par Glauber dans les années 1960. Ils jouent un rôle important en Optique Quantique (étude des propriétés quantiques de la lumière). 6 Il n’est pas à priori évident que a, qui n’est pas hermitien, ait des vecteurs propres, et encore moins, que ceux-ci appartiennent à l’espace H. c Nana Engo - Sous la licence CC BY-SA 3.0 2012

THÉORIE QUANTIQUE II

11

1.2. ÉTATS COHÉRENTS

La forme de α0 de l’équation (1.2.3) montre que l’état fondamental est une gaussienne et est un état cohérent particulier car c’est aussi un état propre H. Les autres états ne le sont pas puisqu’ils sont des superpositions des vecteurs propres de l’oscillateur harmonique. D’autre part, hz2 |z1 i = e

− 12 (|z1 |2 +|z2 |2 )

XX n

∗

m

1

1 (z2∗ )n (z1 )m 2 2 ∗ √ δnm = e− 2 (|z1 | +|z2 | −2z2 z1 ) n!m!

2

hz2 |z1 i = ei Im(z2 z1 ) e− 2 |z1 −z2 | 6= 0.

(1.2.7a) (1.2.7b)

Ainsi, bien que |z1 i et |z2 i soient deux vecteurs propres de a avec des valeurs propres différentes, ils ne sont pas orthogonaux parce que a n’est pas hermitien. Le recouvrement de ces états cohérents diminue rapidement avec la distance |z1 − z2 i. Une mesure de cette distance est 2

|hz2 |z1 i|2 = e−|z1 −z2 | .

(1.2.8)

Les états cohérents forment une base surcomplète d Re zd Im z |zihz| = I. π

Z

(1.2.9)

Ainsi, les éléments diagonaux hz|A|zi suffisent à définir complètement un opérateur A. En résumé les états cohérents |zi sont tels a|zi := z|zi, X zn 2 √ e−|z| /2 |ni, |zi := n! n

(1.2.10a) (1.2.10b)

2

|hz2 |z1 i|2 = e−|z1 −z2 | .

1.2.2

(1.2.10c)

Opérateur déplacement et fonctions propre

Des relations (1.1.19a) et (1.2.4), on a |zi = e−|z|

2 /2

X n

X (za† )n zn 2 2 † √ |ni = e−|z| /2 |0i = e−|z| /2 eza |0i. n! n! n

(1.2.11) ∗

Ceci se met sous une forme plus élégante grâce à la relation a|0i = 0 qui conduit à e−z a |0i = |0i, et par suite 2 † ∗ |zi = e−|z| /2 eza e−z a |0i, (1.2.12) ou |zi = D(z)|0i, avec l’opérateur déplacement D(z) := eza

† −z ∗ a

(1.2.13) (1.2.14)

,

l’équivalent de l’opérateur translation e−ipx0 /~ pour un oscillateur harmonique matériel. En effet, puisque [za† , z ∗ a] = |z|2 , za† et z ∗ a commutent avec leur commutateur |z|2 , on a, d’après 1 la formule de Baker-Campbell-Hausdorff (BCH), eA eB = eA+B e 2 [A,B] , †

eza e−z c Nana Engo - Sous la licence CC BY-SA 3.0 2012

∗a

= eza

† −z ∗ a

e+|z|

2 /2

.

(1.2.15) THÉORIE QUANTIQUE II

12

1.2. ÉTATS COHÉRENTS

La relation (1.2.13) signifie que les états cohérents sont donc obtenus par le déplacement du vide |0i. Examinons quelques propriétés remarquables de D(z). D(0) = I,

(1.2.16a)

†

−1

D (z) = D(−z) = D (z), [a, D(z)] = zD(z),

(1.2.16b) (1.2.16c)

D(z)D† (z) = D† (z)D(z) = I,

(1.2.16d)

†

D (z)aD(z) = a + z,

(1.2.16e)

D† (z)a† D(z) = a† + z ∗ .

(1.2.16f)

En effet, [a, D(z)] = [a, a† ] et D(z)D† (z) = (eza

† −z ∗ a

)(ez

∂D(z) = zD(z), ∂a†

∗ a−za†

) = eza

(1.2.17)

† −z ∗ a+z ∗ a−za†

= I,

(1.2.18)

puisque [za† − z ∗ a, z ∗ a − za† ] = 0. L’équation (1.2.16d) ou (1.2.16b) signifie que D(z) est un opérateur unitaire. Notons que le nom d’opérateur déplacement vient des relations (1.2.16e et 1.2.16f). Démontrons celles-ci. D† (z)aD(z) = e−|z|

2 /2

∗

†

ez a e−za ae|z|

2 /2

†

eza e−z

∗a

∗

†

†

∗

= ez a e−za aeza e−z a .

(1.2.19)

Comme pour tous opérateurs A et B, −αA

e

Be

αA

α2 α = B − [A, B] + [A, [A, B]] + . . . 1! 2!

on a pour A = a† et B = a,

†

†

e−za aeza = a + z.

(1.2.20)

(1.2.21)

En insérant (1.2.21) dans l’équation (1.2.19), on obtient la propriété de déplacement (1.2.16e) pour l’opérateur D(z). La propriété de déplacement (1.2.16f) peut être démontrée de façon similaire. Les fonctions propres des états |zi sont φz (x) = hx|zi = φz (x) =

X n

avec

X

X

n

n

hx|nihn|zi =

zn 2 √ e−|z| /2 ψn (x), n!

 1/4

ψn (x) =

αn hx|ni

α π

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√

√ 1 2 e−αx /2 Hn ( αx). 2n n!

(1.2.22a) (1.2.22b)

(1.2.22c)

THÉORIE QUANTIQUE II

13

1.2. ÉTATS COHÉRENTS

1.2.3

Mesure de l’énergie

La mesure de H dans l’état |zi donnera les valeurs propres possibles En associées aux vecteurs propres |ni de H (d’après le principe de quantification). Immédiatement après la mesure, en vertu du postulat de réduction du paquet d’onde, le système est dans l’état Pn |zi

q

|nihn|zi αn |ni = |ni. = q = αn hz|Pn |zi |αn |2

(1.2.23)

La probabilité d’observer cet état |ni est, d’après le principe de décomposition spectrale Pn (z) = |hn|zi|2 = |αn |2 =

X n

|z|2n −|z|2 e . n!

(1.2.24)

C’est une distribution de Poisson (voir la figure 1.2.1). On peut aisément vérifier que Pn (z) est maximale pour n =partie entière de |z|2 et (voir Eq. (1.2.30b)) ∆N|zi =

q

hN i|zi = |z|.

(1.2.25)

Figure 1.2.1 – Histogramme de valeur du nombre de photons n lorsque le système est dans un état cohérent |zi, avec |z|2 = 4. q

Cette dépendance en hN i|z| est caractéristique de la distribution de Poisson. Pour des grandes valeurs de hN i|zi , et donc de |z|, la distribution Pn (z) est caractérisée par une largeur très grande en valeur absolue (∆N|zi → ∞), mais très petite en valeur relative ∆N|zi 1 1 =q → 0. = hN i|zi |z| hN i|zi

(1.2.26)

Un état cohérent, hormis l’état fondamental, n’est pas état propre de N (sa dispersion n’est pas nulle), mais son amplitude |z| sera de mieux en mieux déterminée lorsque l’état représentera un nombre moyen de quanta hN i|z| élevé.

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THÉORIE QUANTIQUE II

14

1.2. ÉTATS COHÉRENTS

1.2.4

Fluctuations dans l’état cohérent

Dans l’état |zi, la valeur moyenne de l’énergie est 1 hHi|zi = hz|H|zi = ~ωhz|(a† a + )|zi 2   1 = ~ω hz|a† a|zi + 2   1 = ~ω ka|zik2 + 2 1 hHi = ~ω(|z|2 + ). 2

(1.2.27)

Celle des opérateurs réduits X et P est  X

=

P

=

√1 (a + a† ) 2 1 √ (a − a† ) i 2

⇒

 hXi|zi

=

hP i

=

|zi

√1 (z + z ∗ ) = 2 1 √ (z − z ∗ ) = i 2

√

2 Re z, √ 2 Im z,

(1.2.28)

Lorsqu’on ignore l’énergie du point zero ~ω dans l’expression de hHi|zi , ces résultats sont 2 identiques aux résultats classiques (1.1.34) et (1.1.35), sauf que les valeurs de X et P ne sont pas précisément déterminées.   Puisque H 2 = ~ω (a† a)2 + a† a + 14 , et hz|(a† a)2 |zi = hz|a† aa† a|zi = |z|2 hz|aa† |zi = |z|2 (1 + |z|2 ),

(1.2.29)

(∆H)2|zi = hH 2 i|zi − hHi2|zi = (~ω)2 |z|2 ,

(1.2.30a)

on a

∆H|zi = ~ω|z| et ∆N|zi = |z|.

(1.2.30b)

Ce résultat signifie que l’action d’une force extérieure sur l’oscillateur harmonique dans son état fondamental conduit l’oscillateur à un autre état cohérent. Intéressons nous maintenant aux fluctuations des opérateurs réduits X et P dans l’état |zi.  X 2

= 21 (a2 + (a† )2 + 2a† a + 1) P 2 = − 1 (a2 + (a† )2 − (2a† a + 1)) 2

(1.2.31a) ⇒

 hX 2 i

|zi

hP 2 i

|zi

 (∆X)2

1 |zi = 2 (∆P )2 = 1 |zi 2

= 21 ((z + z ∗ )2 + 1) = 12 (1 + 4(Re z)2 ) = − 12 ((z − z ∗ )2 − 1) = 12 (1 + 4(Im z)2 ) (1.2.31b)

⇒ ∆X∆P = 1/2.

(1.2.32)

Il y a saturation de la gaussienne : les états cohérents sont les états le moins quantiques possibles, ils minimisent la relation de Heisenberg spatiale. En ce sens, ils se rapprochent le plus des trajectoires classiques, d’où le nom d’étatsquasiclassiques. c Nana Engo - Sous la licence CC BY-SA 3.0 2012

THÉORIE QUANTIQUE II

15

1.2. ÉTATS COHÉRENTS Pour |zi  1 ∆H|zi ∆N|z| 1 → 0, ' = hHi|zi hN i|zi |z|

(1.2.33)

les dispersions autour des valeurs moyennes sont les plus faibles possibles. Pour s’en convaincre un peu plus, examinons leur évolution temporelle.

1.2.5

Évolution d’un état cohérent - Cohérence

Étant donné que d’après le postulat d’évolution d’un système, 1

|n(t)i = e−iEn t/~ |ni = e−i(n+ 2 )ωt |ni,

(1.2.34)

on déduit de (1.2.4) que ∞ X

zn √ e−iωnt |ni n! n=0 −iωt 2 X |z| i (e z)n √ = e− 2 − 2 ωt |ni n! n

|z(t)i = e−

|z|2 − 2i ωt 2

i



(1.2.35)

E

= e− 2 ωt e−iωt z(0) , z(0) ≡ z. Le paramètre z, tout comme son homologue classique (1.1.33), effectue un mouvement circulaire dans le plan complexe (ou dans l’espace de phase (X, P )), avec une fréquence ω et une amplitude |z| constante, donc sans déformation. Autrement, un état cohérent reste toujours vecteur propre de a au cours du temps avec la valeur propre ze−iωt . Les états |z(t)i et ketz sont physiquement indiscernables puisque |z(t)|2 = |z|2 . D’où le terme état cohérent. Ce résultat n’est guère surprenant car nous avons obtenu que l’état fondamental |0i d’un oscillateur harmonique simple est une gaussienne (Eq. (1.1.22)). Or nous savons qu’au cours de son évolution, un paquet d’ondes gaussien reste un gaussien. Le fait que le module |z| ne change pas au cours du temps provient de ce que |z|2 est égal à la valeur moyenne de N : hz|N |zi = hz|a† a|zi = ka|zik2 = |z|2 .

(1.2.36)

Puisque N commute avec l’hamiltonien de l’oscillateur harmonique, il s’ensuit que hN i|zi est une constante de mouvement d’après le théorème d’Ehrenfest. Notons, pour achever cette section, que les états cohérents sont faciles à produire expérimentalement : • les sources classiques de rayonnement électromagnétique (antenne, source micro-onde,. . . ) produisent ce type d’état ; • la plupart des lasers, lorsqu’ils fonctionnent largement au-dessus du seuil, produisent ce type d’état ; • toutes sources de lumière habituelles (lampes thermiques ou à décharge) produisent des superpositions statistiques d’états cohérents ; • un état lumineux très fortement atténué se rapproche d’un état cohérent.

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THÉORIE QUANTIQUE II

16

1.3. EXERCICES

1.3

Exercices

1.3.1

Opérateurs amplitude et phase du champ électrique

Définition des opérateurs On pose a := Aeiφ ,

(1.3.1)

où A et φ sont respectivement les opérateurs hermitiens amplitude et phase que l’on cherche à définir. Sachant que les opérateurs N = a† a, a et a† ont les propriétés suivantes √ √ (1.3.2) N |ni = n|ni, a|ni = n|n − 1i, n 6= 0, a† |ni = n + 1|n + 1i, [a, a† ] = I, 1. montrer que l’opérateur amplitude est parfaitement défini par √ X √ A := N + 1 = |ni n + 1|ni.

(1.3.3)

n

2. Montrer que l’opérateur (facteur de) phase est défini par F := eiφ = (N + 1)−1/2 a.

(1.3.4)

Aurait-on pu définir F si on avait posé a = eiφ A?

(1.3.5)

Propriétés de F . 1. Montrer que F F † = I. 2. En appliquant F et F † sur les états |ni, montrer que F n’est pas hermitien. 3. Calculer les éléments de matrices de l’opérateur F † F sur la base {|ni} des vecteurs propres de N et en déduire que F † F = I − |0ih0|,

(1.3.6)

i.e., que l’opérateur F † est isométrique (il transforme un système orthonormé en un autre système orthonormé), mais est non-unitaire. 4. Calculer les commutateurs [N, F ] et [N, F † ], et en déduire que hn|[F, F † ]|ni = δn0 . L’opérateur F est-il normal, i.e., [F, F † ] = 0 ? Opérateurs "cosinus" et "sinus" Puisque F est construit sur une réminiscence de eiφ , on introduit, par analogie avec cos φ et sin φ, les opérateurs 1 1 C := (F + F † ), et S := (F − F † ). (1.3.7) 2 2i 1. Montrer que i hn|[C, S]|ni = δn0 . (1.3.8) 2 2. Calculer [N, C] et [N, S] et en déduire les inégalités de Heisenberg ∆N ∆C et ∆N ∆S c Nana Engo - Sous la licence CC BY-SA 3.0 2012

(1.3.9) THÉORIE QUANTIQUE II

17

1.3. EXERCICES États de phase

Puisque C et S ne commutent pas, ils n’admettent pas de systèmes complets de vecteurs propres communs. Cependant, il existe des états qui s’en approchent étrangement. Étant donné les paramètres ϕ, réel, et s, entier positif, on définit les états de phase |ϕ, si := √

s X 1 einϕ |ni. s + 1 n=0

(1.3.10)

1. Évaluer hϕ, s|ϕ, si, hϕ, s|F |ϕ, si,

(1.3.11a) (1.3.11b)

hϕ, s|F † |ϕ, si,

(1.3.11c)

†

hϕ, s|F F |ϕ, si, hϕ, s|F 2 |ϕ, si.

(1.3.11d) (1.3.11e)

2. En déduire les valeurs moyennes hϕ, s|C|ϕ, si, hϕ, s|S|ϕ, si, hϕ, s|C 2 |ϕ, si et hϕ, s|S 2 |ϕ, si. Quelles sont les limites de ces valeurs moyennes quand s → ∞? 3. En déduire les limites des dispersions de C et de S dans l’état |ϕ, si lorsque s → ∞. Qu’observe-t-on par rapport aux inégalités de Heisenberg (1.3.9) ? 4. En vertu des questions (2) et (3), que peut-on dire des kets |ϕ, si ? Propriétés des états de nombre de quanta q

Les états propres |ni de N sont bien sûr états propres de l’amplitude N + sions sont nulles dans ces conditions. Qu’en est-il des opérateurs de phase ?

1 2

dont les disper-

1. Calculer les valeurs moyennes hn|C|ni, hn|S|ni, hn|S 2 |ni et hn|C 2 |ni. 2. En déduire les valeurs des dispersions ∆C et ∆S dans l’état |ni. Quelle observation peut-on faire par rapport au spectre des grandeurs associées aux opérateurs C et S ? 3. Calculer, dans un état |ni, les valeurs moyennes et la dispersion de l’opérateur champ électrique s ~ω E(r, t) = i {ae−i(ωt−k·r) − a† ei(ωt−k·r) }. (1.3.12) 2ε0 V 4. Interpréter qualitativement les valeurs moyennes et dispersion du champ électrique dans l’état |ni, en tenant compte des propriétés de A et F dans cet état. Représenter, en un lieu r, dans un état de nombre de photons |ni, quelques unes des équiprobables valeurs du champ électrique E(r, t).

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18

1.3. EXERCICES

1.3.2

Champ oscillant et principe du Maser

Cette partie développe le principe du Maser (Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation) qui a révolutionné la physique des ondes hertziennes et les télécommunications. Supposons qu’avec le jet moléculaire de vitesse v, on sépare les molécules avec le gradient de champ précédent et qu’on sélectionne les molécules dans l’état (|ψa i ≡ |bi, ~ωb = E + δE ). 2 On va obliger ces molécules à restituer leur énergie δE ≡ ~ω1 en retombant dans l’état (|ψs i ≡ ), en les faisant passer dans une cavité à haute fréquence où règne un champ |ai, ~ωa = E − δE 2 oscillant E = E0 cos ωt, polarisé linéairement suivant Ox. La pulsation ω est très voisine de la pulsation ω1 . 1. Donner l’expression du hamiltonien H(t) en fonction de ωa , ωb et ω. 2. On considère l’état non-stationnaire |ψ(t)i = a(t)|ai + b(t)|bi, caractérisant l’évolution temporelle du système supposé dans l’état |bi à l’instant initial t = 0. (a) A partir du postulat d’évolution d’un système d’hamiltonien H(t), écrire le système d’équation différentielles traduisant l’évolution temporelle de a(t) et b(t). On posera Ω = η~ = E~0 d , la pulsation de Rabi. (b) En utilisant les transformations (passage au référentiel tournant)  A(t)

= a(t) exp(iωa t), B(t) = b(t) exp(iωb t),

(1.3.13)

˙ et B(t), ˙ calculer A(t) en fonction de ω1 et ω. Le système d’équations trouvé devrait correspondre à des oscillations forcées avec un phénomène de résonance à ω1 = ω. Dans l’approximation des ondes tournantes ou approximation de quasi-résonances, ˙ ˙ i.e., ω ∼ ω1 , donner les expressions de A(t) et B(t). (c) En introduisant le désaccord à résonance δ = ω − ω1 , et en posant  A(t)

= A1 (t)eiδt/2 , B(t) = B1 (t)e−iδt/2 ,

(1.3.14)

transformer le système d’équation trouvé en système d’équations couplées à coefficients constants dont la solution générale est de la forme A1 (t) = C1

Ω Ω e−iδt/2 + C2 eiδt/2 , Ω1 − δ Ω1 + δ

(1.3.15)

√ avec Ω1 = Ω2 + δ 2 la pulsation de Rabi généralisée. En tenant compte des conditions initiales, donner la solution de l’équation (1.3.14). (d) En déduire la probabilité Pba (t), appelée formule de Rabi, pour qu’au bout du temps t, les molécules initialement dans l’état |bi soient passées dans l’état |ai. min max Quelles sont les valeurs minimale (Pba ) et maximale (Pba ) de cette probabilité ? max Comment se comporte Pba lorsque la fréquence d’excitation ω varie autour de la fréquence de Bohr ω1 ? 3. On se place à la résonance (ω = ω1 ). c Nana Engo - Sous la licence CC BY-SA 3.0 2012

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1.3. EXERCICES

(a) Quelle est la valeur du temps T au bout duquel toutes les molécules sont dans l’état |ai ? (b) Montrer que pour une valeur de tp , notée tp,π/2 , les populations des états |ai et |bi deviennent égales. On observe alors des transitions cohérentes, i.e., une directivité de l’émission, l’apparition d’un battement entre la lumière de fluorescence et un faisceau cohérent avec le faisceau d’excitation. 4. On suppose que la cavité à une longueur L ajustée telle que L = (2n + 1)vT.

(1.3.16)

(a) Dans quel état se trouvent les molécules à la sortie de la cavité ? (b) Quelle doit être la valeur de pulsation du champ oscillant pour qu’elle s’autoentretienne dans la cavité. Les horloges atomiques, qui sont les étalons du temps actuel, fonctionnent suivant un principe très voisin et ont une précision relative de 10−14 . Une telle précision est essentielle aussi bien dans le domaine de la physique appliquée, comme la navigation par satellite (système GPS (Global Positioning System)), qu’en physique fondamentale pour l’Astrophysique ou pour les tests en théorie de la relativité.

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CHAPITRE

2

QUANTIFICATION DU CHAMP ÉLECTROMAGNÉTIQUE

Sommaire 2.1

Mode du champ

2.2

Quantification canonique du rayonnement

2.3

Opérateurs de champ et d’impulsion

2.4

Espace de Fock des photons

2.5

Photons droits et onde tournante

2.6

Électrodynamique en cavité

2.7

Exercices

De nombreuses expériences simples comme l’effet Compton et le rayonnement du corps noir, confirme la nature quantique du rayonnement dont nous présentons ici le formalisme. Nous allons considérer l’oscillateur harmonique décrivant une onde plane comme un oscillateur harmonique simple.

2.1

Mode du champ

Avant de passer à la quantification du champ, il faut procéder à la décomposition modale des champs électromagnétiques. Pour cela, il faut trouver un ensemble complet de paires de variables canoniques conjuguées (Qj , Pj ) permettant d’exprimer l’énergie du système, et telles que les équations de Hamilton (A.0.9) redonnent les équations de Maxwell,

20

21

2.1. MODE DU CHAMP

ρtot (r, t) 2 1 ∂E(r, t) , c ∇ × B(r, t) = J tot (r, t) + , ε0 ε0 ∂t ∂B(r, t) ∇ · B(r, t) = 0, ∇ × E(r, t) = − . ∂t ∇ · E(r, t) =

(2.1.1a) (2.1.1b)

Les équations (2.1.1a) dépendent des sources du champ électromagnétique (ρtot , J tot ) et les équations (2.1.1b) sont les équations de structure du champ électromagnétique. Comme ces équations de Maxwell sont des équations aux dérivées partielles, il est commode de recourir à des séries de Fourier ou à l’espace réciproque.

2.1.1

Espace réciproque - Série de Fourier

Le champ électromagnétique forme un système dynamique avec un nombre infini de degré de liberté. Ce champ est complètement caractérisé par le potentiel-vecteur A(r, t) et le potentiel scalaire U (r, t). Lorsqu’on résout les équations de Maxwell, on isole les degrés de liberté indépendants. Chaque degré de liberté du champ électromagnétique dans le vide est alors une onde plane, εe−i(ω` t−k·r) , caractérisé par son mode, i.e., son vecteur d’onde k et sa polarisation ε. Or nous savons qu’une combinaison linéaire de ses ondes planes est aussi solution des équations de Maxwell1 : 1 ZZZ 3 d r A(r, t)e−ik·r . (2.1.2a) A(k, t) := 3 L V

Réciproquement, on écrit A(r, t) :=

1 ZZZ 3 d k A(k, t)eik·r , L3

(2.1.2b)

V

qui montre qu’il est possible décomposer tout champ dans le volume V sur une base de d’ondes planes, A(k, t) étant l’amplitude de la composante du champ A(r, t) sur le mode eik·r . On dit encore queA(k, t) est la composante de Fourier spatiale du champ A(r, t). C’est pourquoi on appelle l’espace des fonctions A(k, t) l’espace de Fourier ou espace réciproque. Il est à noter que A(r, t) étant réel, A∗ (k, t) = A(−k, t). (2.1.3) Afin d’éviter que l’amplitude de décomposition en ondes planes du champ (sa transformé de Fourier) soit une intégrale divergente (problème connu), cantonnons le champ dans une boîte de volume V = Lx Ly Lz avec la condition de périodicité sur les parois opposées. Ceci implique 2π 2π 2π nx , kny = ny , knz = nz , nx , ny , nz ∈ N, (2.1.4) knx = Lx Ly Lz autrement, les extrémités de kn forment un réseau cubique de pas 2π qui est d’autant plus L serré que V est grand. Nous ramenons ainsi l’infinité continue des solutions de base eikn ·r à une infinité dénombrable et nous changeons les intégrales (2.1.2) en sommation : X 1 ZZZ 3 d k≈ , 3 L n

(2.1.5)

V

ce qui revient à dire que la densité dans l’espace de kn vaut ( 2π )3 . L 1

Nous effectuons ici un choix de normalisation tel que la dimension du champ électrique est préservé dans l’espace réciproque. c Nana Engo - Sous la licence CC BY-SA 3.0 2012

THÉORIE QUANTIQUE II

22

2.1. MODE DU CHAMP

A chaque vecteur kn donné, correspond deux vecteurs unitaires indépendants et arbitraires, orthogonaux à kn (voir la figure 2.1.1), que l’on adoptera comme vecteurs de base de polarisation et qu’on notera2 εˆn1 et εˆn2 ou sous forme condensée, εˆns , s = 1, 2. Ainsi, chaque mode est repéré par un ensemble de quatre indices (nx , ny , nz ; s) que l’on condensera par le notation ` = (nx , ny , nz ; s). Le vecteur polarisation εˆ` vérifie la condition de jauge de Coulomb ou de transversalité εˆ` · k` = 0, Figure 2.1.1 – Composantes de

(2.1.6)

et sa condition de normalisation s’écrit

polarisation

εˆ` · εˆ∗` = εˆ` · εˆ−` = 1.

(2.1.7)

Finalement, on écrira dans le vide, A(r, t) =

X

A` εˆ` eik` ·r , k` = kn , εˆ` = εˆns , εˆ` ⊥ k` ,

(2.1.8a)

`

E(r, t) = −

∂A X dA` = E` εˆ` eik` ·r , E` = − , ∂t dt `

B(r, t) = ∇ × A =

X

B` εˆ0` eik` ·r , B` = ik` A` ,

(2.1.8b) (2.1.8c)

`

εˆ0` =

2.1.2

k` dBn (t) × εˆ` , car ikn × En (t) = − . k` dt

(2.1.8d)

Dynamique des champs transverses

Puisque que dans l’espace réciproque les équations de Maxwell dans le vide s’écrivent, ik` · E` (t) = 0, 1 dE` (t) ik` × B` (t) = 2 , c dt ik` · B` (t) = 0, dB` (t) ik` × E` (t) = − , dt

(2.1.9a) (2.1.9b) (2.1.9c) (2.1.9d)

la dynamique couplée locale entre les champs électrique et magnétique transverses dans l’espace réciproque est, en vertu de (2.1.9b) et (2.1.9d), dE` (t) = −ic2 k` B` , dt dB` (t) = −ik` E` . dt

(2.1.10a) (2.1.10b)

Ce sont ces équations qui sont à l’origine du rayonnement. 2

(kn , εˆn1 , εˆn2 ) forme un trière direct, i.e., kn × εˆn1 = εˆn2 et kn × εˆn2 = −ˆ εn2 .

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THÉORIE QUANTIQUE II

23

2.1. MODE DU CHAMP

` Les équations (2.1.10a) et (2.1.10b) et les relations E` = − dA et B` = ik` A` montre que dt

les ensembles de paires variables (E` , B` ) ou (

dA` , A` ) ou (E` , A` ) dt

(2.1.11)

sont presque des paires de variables dynamiques ou conjuguées, mais elles sont complexes. Il faut donc identifier des paires de variables réelles, qu’on appellera variables normales que l’on peut obtenir par combinaison linéaire de E` et B` ou A` .

2.1.3

Dynamique des variables normales

Les équations différentielles linéaires couplées (2.1.10a) et (2.1.10b) se réécrivent, en vertu de B` = ik` A` , sous la forme dE` (t) = ω`2 A` (t), ω` = ck` , dt dA` (t) = −E` (t). dt

(2.1.12a) (2.1.12b)

On en déduit

d (ω` A` − iE` ) = −iω` (ω` A` − iE` ). dt On est ainsi conduit à définir les variables normales du champ

(2.1.13)

i (E` (t) + iω` A` (t)), 2ξ` i β` (t) = − (E` (t) − iω` A` (t)), 2ξ`

α` (t) = −

(2.1.14a) (2.1.14b)

où le coefficient de normalisation ξ` sera choisi de manière à avoir une énergie totale H une expression aussi simple et expressive que possible. La réalité des champs E ⊥ et B et le fait que ξ` = ξ−` imposent que β−` = α`∗ .

(2.1.15)

En vertu du fait k−` = −k` , il en résulte que ξ` ∗ (α` (t) + α−` (t)), ω` X ξ` X ξ` ∗ A(r, t) = εˆ` (α` (t) + α−` (t))eik` ·r) = εˆ` (α` (t)eik` ·r + α`∗ (t)e−ik` ·r ). ω ω` ` ` ` A` (t) =

(2.1.16a) (2.1.16b)

Dans le cas où il n’y a pas de charges, la relation (2.1.13) s’écrit dα` (t) = −iω` α` (t), dt

(2.1.17)

α` (t) = α` (0)e−iω` t .

(2.1.18)

qui conduit à

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THÉORIE QUANTIQUE II

24

2.1. MODE DU CHAMP

Les variables normales ont des évolutions totalement découplées les unes des autres. Chaque mode a une évolution de type oscillateur harmonique de pulsation ω` décrivant un mode normal de vibration du champ libre. Ce qui justifie l’appellation de variables normales qu’on donne aux α` (t). En définitive, on a A(r, t) =

X

εˆ`

`

2.1.4

ξ` (α` e−i(ω` t−k` ·r) + α`∗ e+i(ω` t−k` ·r) ), ω`

(2.1.19)

Énergie du rayonnement

Par définition, l’énergie du champ de rayonnement ou champ transverse est ZZZ

H⊥ =

V

d3 r

ε0 2 (E + c2 B 2 ). 2

(2.1.20)

En développant sur les modes et en utilisant sur la relation de Parseval-Plancherel ZZZ

d3 r|F (r, t)|2 = V

X

H⊥ =

(2.1.21)

`

V

on a

|F` (k, t)|2 ,

ε0 V X ε0 V X dA` 2 (|E` |2 + ω`2 |A` |2 ) = (| | + ω`2 |A` |2 ). 2 ` 2 ` dt

On note l’analogie formelle avec l’hamiltonien H =

m 2

P



`

 dx` 2 dt

+

ω`2 x2`

(2.1.22)



d’une assemblée

d’oscillateurs harmoniques indépendants de même masse m et de pulsation ω` , analogie que nous allons exploiter à la section (2.2) pour quantifier le champ. Le champ électromagnétique est un ensemble d’oscillateurs harmoniques indépendants, de fréquence ω` , de masse m = ε0 V, • d’impulsion complexe P` = ε 0 V

dA` ∗ = −ε0 VE` = −iε0 Vξ` (α` − α−` ), dt

(2.1.23)

• et de position complexe Q` = A` =

ξ` ∗ (α` + α−` ). ω`

(2.1.24)

Afin d’exprimer H⊥ en fonction de α` , on introduit dans (2.1.22) l’expression (2.1.16a), H⊥ =

X ε0 V X 2 ξ`2 (α∗` · α` + α∗−` · α−` ). ξ` (|α` − α∗−` |2 + |α` + α∗−` |2 ) = ε0 V 2 ` `

(2.1.25)

Puisque la constante de normalisation est invariante sous la transformation n → −n, on a X

ξ`2 α∗−` · α−` =

`

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X

ξ`2 α∗` · α` ,

(2.1.26)

`

THÉORIE QUANTIQUE II

25

2.2. QUANTIFICATION CANONIQUE DU RAYONNEMENT ce qui permet de récrire H⊥ sous la forme H⊥ =

X

2ε0 Vξ`2 |α` |2 =

X

`

(2.1.27)

H` .

`

En définitive, l’énergie du rayonnement apparait comme la somme d’énergies associées à chaque mode.

2.1.5

Impulsion du champ de rayonnement

Classiquement, l’impulsion du champ transverse est proportionnelle à l’intégrale sur le volume V du vecteur de Poynting S(r, t) = c2 ε0 E × B, P⊥ =

ZZZ 1 ZZZ 3 d r S(r, t) = ε d3 r E × B. 0 2 c V

(2.1.28)

V

En utilisant l’égalité de Parseval-Plancherel (2.1.21), on a P ⊥ = ε0 V

X

E`∗ × B` = ε0 V

`

X

E`∗ × (ik` × A` ).

(2.1.29)

2ε0 Vξ`2 |α` |2 k` . ω`

(2.1.30)

`

Compte tenu du fait que k` · E` = 0, il vient P ⊥ = iε0 V

(E`∗ · A` )k` =

X

X

`

`

L’impulsion totale du rayonnement est la somme d’impulsions associées à chaque mode. L’impulsion d’un mode est dirigée suivant le vecteur d’onde k` de ce mode. |α` |2 apparait comme l’excitation du mode.

2.2

Quantification canonique du rayonnement

Avons-nous obtenu un véritable hamiltonien ? Les équations de Hamilton redonnent-elles les équations de Maxwell ? Pour quelles paires de variables canoniques conjuguées réelles ?

2.2.1

Variables canoniques conjuguées d’un mode

L’équation d’évolution (2.1.17) obtenue des équations de Maxwell peut encore s’écrire d