Termodynamikk : grunnlag for ingeniørfag 8200413691 [PDF]

Zitiervorschau

Gunnar Buset Svein Erik Pedersen

TERMODYNAMIKK Grunnlag for ingeniørfag

Universitetsforlaget

© Universitetsforlaget AS 1995

ISBN 82-00-41369-1

Det må ikke kopieres fra denne boka i strid med åndsverkloven og fotografiloven eller i strid med avtaler om kopiering inngått med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk.

Henvendelser om denne boka kan rettes til:

Universitetsforlaget AS Postboks 2959 Tøyen 0608 OSLO

Illustrasjoner: Bjørn Norheim Omslag: Clas Hansen Trykk: HS-Trykk A/S, Oslo 1995

Forord

Arbeidet med denne boka starta ut fra ønsket om å gi ut ei norsk lærebok som dek­ ket grunnleggende kunnskaper i termodynamikk på en måte som kunne avlaste læreren og gi støtte for studentenes eget arbeid utover det som presenteres på fore­ lesninger. Allerede i starten var det klart at det ikke var noe mål å gjøre boka kort­ fatta. Enkle, lettleste framstillinger av sentrale tema har vært et hovedmål, så får leserne selv vurdere om en har lykkes. Det er ikke mulig å unngå bruk av matema­ tikk i dette faget. En har imidlertid unngått å bruke vanskelig matematikk som ofte tar knekken både på initiativ og interesse. Boka skal dekke pensum i faget Varme- og strømningslære ved de maritime høgskolene, ingeniørhøgskolene og maskinlinja ved teknisk fagskole. Erfaring fra undervisningen i dette faget tilsier at en presenterer stoffet på en ordentlig og sam­ menhengende måte, og lar studentenes arbeidsvilje avgjøre resten. Når studentene får presentert en bunke med øvingsoppgaver, så er det uheldig dersom de støter på problemer som fører til frustrasjoner og bortkasta tid. Oppgavene bør fungere som trening i faget, jo mer trening, desto bedre. De som arbeider oppriktig med opp­ gaveløsningen, vil få en bedre forståelse for faget. Hvis oppgavene er lagt godt nok til rette, vil alle studentene oppnå bedre forståelse. I boka har en prøvd å unngå store og uoversiktlige oppgaver, og lagt vekt på en naturlig progresjon i oppgavene, etter hvert som studentene fordyper seg i faget. Det er en forutsetning at en har tilgang til fysiske tabeller med de nødvendige oppslagsdataene. Oppslagsverk finner studentene på biblioteket. I en del uten­ landsk litteratur finner en til dels omfattende tabeller og diagrammer i bøkene, men de samme dataene er også å finne i norske kilder. Universitetsforlaget og forfatterne setter pris på tilbakemelding fra lærere, stu­ denter og andre brukere av boka.

Våren 1995 Gunnar Buset Svein Erik Pedersen

5

Innhold Symboloversikt 13 Enheter og likninger 17 Grunnenheter 17 Generelle likninger i fysikk Analyser av diverse enheter Historikk 19 Miljøtruslene 20 Energiforbruket i Norge 19

18 18

1 Elementære begreper 23 1 1Energi. Hovedsetninger i termodynamikken 23 2 1System 24 3 1Arbeidssylinderen 25 4 1Trykk 26 5 1Kompressibilitet 30 6 1Densitet 31 7 1Ulike energiformer 31 8 1Indre energi. En viss fysisk innsikt 34 Arbeidende medium 35 9 1Tilstandsstørrelser 36 Tilstand 36 Intensive og ekstensive tilstandsstørrelser 37 10 Likevekt. Definisjon av varme 37 111 Temperaturskalaen. Målemetoder 40 1Kelvinskalaen 42 12 Potensial. Ekvipotensialflater 44 11-13 Prosesser 47 Syklusen 49 1-14 Sammendrag 50 Oppgaver til kapittel 1

51

2 Egenskapene til rene stoffer 57 1 2Rene stoffer 57 2 2Faseovergang. Tørr, metta damp 58 3 2Uavhengige egenskaper og tilstander i rene stoffer 59 4 2Kokepunkt. Temperatur og trykk 60 5 2TKdiagram for fuktig, metta og overheta damp 62 6 2pV-diagram for rene stoffer, inkludert fast fase 64 Utvidelse av diagrammene for å ta med fast fase 65 7 2^diagrammet 67 8 2pv^flate 67

6 Tabeller over tilstandsstørrelser. Entalpi 69 Entalpi, en kombinert størrelse 69 10 Beregninger i fuktig dampområde 70 211 Tilstandslikninga for ideelle gasser 74 2Spesielle mengdemål for gasser. Normalkubikkmeter Volumutvidelse 77 12 Korreksjon av tilstandslikninga 78 22-13 Sammendrag 82

9 2-

Oppgaver til kapittel 2

76

83

3 Energiloven for et lukka system 88 1 3Innledning 88 2 3Varme 88 3 3Arbeid 89 Elektrisk arbeid 90 Mekaniske former for arbeid 92 Volumendringsarbeid 92 Størrelser som varierer med prosesskurven 94 Tyngdekraftarbeid 96 Akselerasjonsarbeid 97 Akselarbeid 97 4 3Varmetransport samtidig med volumforandring 98 5 3Termodynamikkens første hovedsetning 99 Den første hovedsetningen for en meget liten tilstandsendring (en infinitesmal prosess) 101 6 3Termodynamiske prosesser 101 Adiabatisk prosess 102 Isobar prosess 102 Isokor prosess 102 Isoterm prosess 103 Indre energi 104 7 3Termodynamikkens 1. hovedsetning for et system som gjennomløper en syklus 106 Syklus i et arbeidende medium. Omdanning av varme til arbeid ved kretsprosesser 108 8 3Varmekapasitet 109 Spesifikke varmekapasiteter for kompressible medier 111 9 3Indre energi, entalpi og spesifikk varmekapasitet for ideell gass 112 Molar varmekapasitet og gasskonstanten 114 Sammenhengen mellom cv, cp og R, den individuelle gasskonstanten 114 10 Beregninger ved hjelp av spesifikke varmekapasiteter 115 311 Adiabatisk prosess for ideell gass 118 3Polytropeksponenten n 119 12 Sammendrag 121 3-

Oppgaver til kapittel 3

122

7 4 Energiloven for åpne system med stasjonær strømning 129 1 4Generelt om strømning 129 Strømningsprosesser 129 Massekontinuitet 130 2 4Beregning av massestrømmen m 131 3 4Stasjonær strømning 133 4 4Energiloven for kontrollvolum 134 5 4Fortrengningsarbeid 135 6 4Energi i fluidstrømning 136 7 4Stasjonære strømningsprosesser 137 8 4Energibalanse for en stasjonær strømning 139 9 4Maskininnretninger som er basert på stasjonær strømning 142 Diffusor 142 Dyse 143 Kompressor 144 Dampturbin 145 Trykkreduksjonsorganer 147 Varmevekslere 149 Strømning i rør og kanaler 151 Vannoppvarming og dampkjeler 153 Energilikninga for stasjonær drift av en dampkjel 155 10 Strømning av ideell væske i rør. Bernoullis likning 156 411 Sammendrag 159 4Oppgaver til kapittel 4

160

5 Kretsprosesser 169 1 5Termodynamikkens andre hovedsetning 169 2 5Energireservoar 170 3 5Varmeenergimaskiner 172 Termisk virkningsgrad 176 Kan vi spare QL? 177 Den andre hovedsetningen i termodynamikk: Kelvin-Plancks utsagn. Eksergi og anergi 179 4 5Kjølemaskiner og varmepumper 181 Kjølemaskiner 181 Ytelsessiffer (= kuldefaktor) 182 Varmepumper 184 Varmefaktor ev 185 Den andre hovedsetningen. Utsagnet til Clausius 187 5 5Perpetuum mobile 187 6 5Reversible og irreversible prosesser 188 Carnots to prinsipper 190 Irreversibiliteter 191 Isoterm, reversibel tilstandsforandring 193 Internt og eksternt reversible prosesser 193 7 5Carnots kretsprosess 194 Reversible kretsprosesser 195

8

Den omvendte carnotprosessen 196 Kelvin-skalaen. Absolutt temperatur 196 Virkningsgraden til en varmeenergimaskin som arbeider etter Carnots kretsprosess 198 11 Energikvalitet 200 55-12 Den omvendte carnotprosessens ytelsessiffer og varmefaktor 202 5-13 Maskiner med indre forbrenning 203 Ottoprosessen (forgassermotoren) 204 Dieselprosessen 206 Jouleprosessen (åpen gassturbin) 208 Energibalanse (åpen gassturbin) 210 5-14 Sammendrag 211 8 559 10 5-

Oppgaver til kapittel 5

213

6 Entropi. Tilstandsforandringer 221 1 6Innledning 221 2 6Clausius’ ulikhet for reversible og irreversible sykluser 221 3 6Entropi 226 To spesielle tilfeller 229 4 6Entropiendringer 231 Isolert system 233 5 6Tilstandsdiagrammer 234 TS-diagrammet 234 Carnotsyklusen i TS-diagram 237 T/S-diagrammet 238 6 6To viktige uttrykk i termodynamikken 240 Fullstendig differensial 240 7 6Arbeidstap, 241 8 6Entropiendringer i faste stoffer og væsker 243 9 6Entropiendringa i en ideell gass 244 10 Eksakt beregning av isentropiske prosesser 247 611 Reversibel stasjonær strømning 250 66-12 Kompressorarbeid. Kjøling av kompressorer 255 Utveksling av varme ved en polytropisk kompresjon 256 Entropiendring, polytropisk prosess 257 6-13 Kompresjon i flere trinn med mellomkjøling 257 6-14 Isentropisk virkningsgrad 261 Isentropisk virkningsgrad, ideell gass 263 Arbeidstapet W{ 263 Kompressorer 263 6-15 Sammendrag med kommentar til kapitlet 266

Oppgaver til kapittel 6

269

9

7 Hydromekanikk 275 1 7Væskekraft mot ei plan flate 275 Trykksentrum 278 2 7Væskekraft mot ei krum flate 282 3 7Oppdrift og stabilitet 284 Oppdrift 284 Stabilitet 286 4 7Væske i rotasjon 290 Sentrifuge 292 5 7Viskositet 293 6 7Strømningsformer 296 7 7Strømning med tap 298 Bernoullis likning med tap 299 Trykktap 299 Strømningstap ved laminær strømning i rør 300 Strømningstap ved turbulent strømning i rør 303 Strømningstap i rørelementer 306 Forskjellige innløps- og utløpstap 307 Ventiler 309 Ekvivalent ledningslengde 310 8 7Strømningstap ved fritt utløp 311 9 7Måling av trykk og hastighet 313 Statisk og dynamisk trykk 315 Oppgaver til kapittel 7

317

8 Gassblanding. Fuktig luft 329 1 8Innledning 329 2 8Masse- og molsammensetning 329 3 8Blanding av ideelle gasser 332 Sammenhengen mellom masse- og molandeler 334 4 8Blanding av reelle gasser 335 5 8Tilstandsstørrelsene i en gassblanding 336 6 8Fuktig luft. Grunnlag. Mollierdiagram 339 7"S-diagram for vanndamp. Fuktighet 341 Mollierdiagram for fuktig luft 343 Bygningskonstruksjoner 345 7 8Bruk av Ax-diagrammet for fuktig luft 346 Konstant x 346 Opptak av vann (befuktning). Våtkuletemperatur 348 Psykrometeret 349 Blanding av luftmengder 350 Kondensering eller utfelling 352 Kuldeytelse 354 Vann- eller dampinnsprøyting i luft 356 8 8Sammendrag 358

Oppgaver til kapittel 8

359

10 9 Grunnbegreper i varmeoverføring 363 1 9Innledning 363 2 9Varmeledning 364 Varmeledning gjennom plan vegg 364 Varmeledning gjennom en sylindrisk vegg 366 3 9Konveksjon 367 Varmeovergangskoeffisient 369 Turbulent strømning i rør 370 Laminær strømning i rør 372 Tvungen konveksjon, grensesjiktsstrømning på plan plate 372 Tvungen konveksjon vinkelrett mot sylinder 374 Naturlig konveksjon på vertikal flate 375 Naturlig konveksjon omkring horisontal sylinder 376 Varmeovergang ved kondensasjon 378 Kondensasjon på horisontale rør 380 Varmeovergang ved koking 381 Varmegjennomgang ved samtidig ledning og konveksjon 384 4 9Termisk stråling 388 Absorpsjon, transmisjon og refleksjon 388 Svart legeme 389 Plancks strålingslov 390 Punktformig stråling 391 Stråling fra «ikke-svarte legemer» 391 Strålingseffekt mellom to legemer 392 Avskjerming av varmestråling 400 Varmeovergangstall for stråling 401 Gasstråling 402 5 9Varmevekslere 403 Middeltemperaturdifferanse 405 Korreksjon av LMTD 408

Oppgaver til kapittel 9

411

10 Forbrenning 416 1 10Innledning 416 2 10Kjemilikninger, luft og avgass 417 Massebalanse 417 Luft 418 CO2-innhold og røykgassproblemer 3 10Luftbehov 425 Luftbehovet /Ot 425 Luftoverskudd 426 4 10Brenselets brennverdi 426 Brennverdi 430 5 10CO-dannelse. Dissosiasjon 432 CO-dannelse 432 Dissosiasjon 433

423

11 10-6 NOx-dannelse 436 Overslagsberegning 437 10-7 Sammendrag 438

Oppgaver til kapittel 10

439

11 Strømning og krefter. Dyser 441 1 11Krefter fra væskestråler 441 Kraft fra en stråle mot ei plan flate 442 Stråle mot ei bevegelig, plan flate 443 Kraft fra en stråle mot ei krum flate 443 Reaksjonskrefter fra en stråle 444 Kraft på dyser 444 Strømningskrefter i rørbend 446 2 11Strømning med endring av volumet 449 Energilikninga for gasser 449 Utstrømning gjennom dyser 452 Det kritiske trykkforholdet 453 Den kritiske hastigheten 455 Lydhastighet 457 Oppgaver til kapittel 11

458

12 Strømning nær faste overflater 463 1 12Grensesjikt 463 2 12Avløsning 466 Krefter fra strømning mot et fast legeme Kraft på en roterende sylinder 473 Vibrasjon fra strømning 474 12-3 Stokes likning 478 12-4 Modellforsøk 478

Oppgaver til kapittel 12

Litteratur

Fasit

484

487

Stikkord

499

481

467

13

Symboloversikt

Symbol

Begrep

1 akselerasjon 2 temperaturledningsevne 3 lydhastighet 4 avstand areal A 1 fart c 2 spesifikk varmekapasitet 1 varmekapasitet C 2 strålingskonstant 3 konstant (f.eks. integrasjonskonstant) dragkoeffisient CD motstandstall (flate) CF løftkoeffisient cl D eller d diameter hydraulisk diameter spesifikk energi e 1 energi E 2 elektrisk feltstyrke eksergi E. f frekvens 1 kraft F 2 korreksjon av LMTD 1 gravitasjonens akselerasjon g 2 gravitasjonens feltstyrke 1 høyde h 2 Plancks konstant 3 spesifikk entalpi 4 varmeovergangskoeffisient falltap hN entalpi = U + pV H forbrenningsentalpi A^r elektrisk strøm I 1 varmeoverføringskoeffisient k 2 Boltzmanns konstant 3 antall komponenter (i en blanding) l eller L lengde spesifikk smeltevarme Is

a

Enhet m/s2 m2/s m/s m m2 m/s J/(kgK) J/K W/(m2K4) (1) (1) (1) (1) m m J/kg J N/C J s-1 N (1) m/s2 N/kg m J•s J/kg W/(m2K) J/kg J J ampere W/(m2K) J/K (1) m J/kg

14 L m m ™Lr

M n

«L

O P Po P q

Q Q r R

S

s t T ^Tm u U v V

V w

W W x, y x

ladning masse massestrømning virkelig luftmengde støkiometrisk luftmengde molar masse 1 polytropeksponent 2 antall mol 3 svingetall støkiometrisk koeffisient omkrets (våt-) trykk atmosfæretrykk effekt (blant annet stråling) 1 spesifikk varme 2 heteflatebelastning varme varmestrømning 1 spesifikk fordampningsvarme 2 radius 1 individuell gasskonstant 2 motstand (isolasjon) 3 overflatemotstand (stråling) molar gasskonstant 1 spesifikk entropi 2 veilengde 3 saltinnhold entropi 1 tid 2 temperatur 1 temperatur 2 vrimoment logaritmisk middeltemperaturdifferanse LMTD spesifikk indre energi 1 indre energi 2 elektrisk spenning spesifikt volum 1 volum 2 potensial volumstrøm mengde 1 spesifikt arbeid 2 strømningshastighet arbeid effekt (det samme som P) koordinater 1 dampandel 2 absolutt fuktighet 3 masseandel

Coulomb kg kg/s kg kg kg/kmol (1) mol (eller k) s (1) m Pa (= N/m2) kPa W J/kg W/m2 J J/s (= W) J/kg m J/(kgK) s • K/J m 2 J/(molK) J/(kgK) m °/oo J/K s °C K Nm centigrader J/kg J volt m3/kg m3 J/kg m3/s nm3 (normalkubikkmeter) J/kg m/s J kW

kg/kg kg damp/kg tørrluft (1)

15 y z

z

molandel = volumandel høyde korreksjonsfaktor

(1) m (1)

Dimensjonsløse størrelser: Froudes tall Fr Grashofs tall Gr Nusselts tall Nu Peclets tall Pe Prandtls tall Pr Reynolds tall Re Strouhals tall S

Greske bokstaver: 1 absorptans a 2 kontraksjonskoeffisient volumutvidelseskoeffisient «V sirkulasjon r spesifikk vekt 7 tykkelse eller lengde d endelig endring av en størrelse A 1 kompresjonsgrad (= V]/V2) € 2 ytelsessiffer (= kjølefaktor) 3 emissivitet varmefaktor motstandstall r virkningsgrad V adiabateksponent K 1 varmeledningsevne X 2 luftfaktor 3 rørfriksjonskoeffisient 4 bølgelengde dynamisk viskositet kinematisk viskositet f 1 densitet (tetthet) P 2 fulltrykksforhold 3 reflektans 1 overflatespenning a 2 Stefan-Boltzmanns konstant 1 skjærspenning T 2 transmittans 1 relativ fuktighet $ 2 trykkforhold 3 hastighetskoeffisient 4 formfaktor (view factor) varmestrøm Indekser: abs absolutt ad adiabatisk

(1) (1) K-1 m2/s N/kg m

(1) (1) (1) (1) (1) (= Cp/^v)

W/(mK) (1) (1) m kg/(ms) m2/s kg/m3 (1) (1) N/m W/(m2K4) N/m2 (1) (1) (1) (1) (1) W

16 b blanding c Carnot d eller D damp dyn dynamisk e ekspansjon f 1 friksjon 2 tilstand i fuktig dampområde 3 film (f.eks. dampfilm) H høy (= høy temperatur) i 1 isentropisk (eller indre) 2 innløp 3 innvendig k 1 kinetisk 2 kompresjon kor korrigert kr kritisk (- punkt, - hastighet) 1 eller L luft L lav (= lav temperatur) m 1 middel (eller gjennomsnittlig) 2 antall hydrogenatomer 3 munnstykke (dyse) 4 modell (skipsmodell) metn metning M molar (eksempel RM) n antall karbonatomer o barometerstand p0 p 1 potensiell 2 trykk («pressure») P 1 produkt (produkt av en forbrenning) 2 prototype R 1 redusert 2 reaktant 3 reaksjon (f.eks. reaksjonskraft) 4 relativt (- trykk, - volum) s stråling st statisk t 1 termisk virkningsgrad 2 tørr gass u 1 utløp 2 utvendig V væske v 1 volum 2 vegg 3 vann 0 1 teoretisk luftmengde 2 normaltilstanden 1 begynnelse 2 slutt -

17

Enheter og likninger

Grunnenheter (Definisjonene er tatt fra Norsk Standard. Dette gjelder ikke meterdefinisjonen som er en oversettelse fra den engelske teksten vedtatt av «Conférence Générale des Poids et Mesures» (CGPM)). _______________

Navn

Definisjon

m

meter

En meter er den lengden lyset tilbakelegger i tomt rom i løpet av 1/299 792 458 av et sekund.

kg

kilogram

Et kilogram er massen av den internasjonale kilogramnormalen.

s

sekund

Et sekund er 9 192 631 770 perioder av den strålinga som svarer til overgangen mellom de to hyperfinnivåene i grunntilstanden for cesiumatomet 133.

K

kelvin

En kelvin er brøkdelen 1/273,16 av den termodynamiske temperaturen for vannets trippelpunkt.

mol

mol

Et mol er stoffmengden i et system som inneholder like mange elementære entiteter som det er karbonatomer i 0,012 kilogram karbon 12. Når enheten mol nyttes, må elementærentitetene spesifiseres. Disse kan for eksempel være atomer, molekyler, ioner, elektroner, andre partikler eller spesielle grupper av slike partikler.

Symbol

18

Generelle likninger i fysikk Kraft

Arbeid

Energi

F = ma

W = Fs

Potensiell energi:

£p = mgh

Kinetisk energi:

Ek = mc2/2

Analyser av diverse enheter Kraft F = m (kg) • a

= mtz(N)

Enheten for kraft, N, er altså satt sammen av (kgm)/s2.

Arbeid W - F(N) • s(m) = Fs(Nm) eller (joule)

Hvis vi erstatter newton med grunnenhetene igjen, så får vi for energi eller arbeid enhetsuttrykket (kgm2)/s2.

Potensiell energi Ep - m (kg) • g l ™ j • h (m) = mgh /deg • m2\ \ s2 /

= (J)

Kinetisk energi m (kg) • c2 Ff?

E* =------ r—

mc2 /kg • m2\ 2 \ s2 /

= (J)

Produktet av trykk p og volum V / NI \

P‘ V = 77 (m2/ ’

/Nm3\

= ^(“m2/ = pK(Nm)

= (J)

Dette produktet har altså den samme enheten som energi.

Effekt p _ W (Nm) W ’ r-(s) ~~T

kgm2\ /1 \ = (watt) s2 /\s/

19

Historikk

Framgangen i levestandard har for den industrialiserte delen av verden vært formi­ dabel etter at den industrielle revolusjonen starta i England for over 200 år siden. Den første praktisk brukbare dampmaskinen ble bygd i 1712 av Thomas Newcomen. Den ble vesentlig forbedra av James Watt i 1769, og utnyttelsen av dampdrevet storindustri og utbygging av jern- og stålindustri basert på steinkull omkring 1780 handler hele tida om teknisk utnytting av jordas energikilder. Opp­ finnelser av spinnemaskiner og vevstol, utvikling av en effektiv dampmaskin og nye metoder for smelting og foredling av jernmalm gjorde den industrielle revolu­ sjonen mulig. På 1820-tallet arbeidet Sadi Carnot med sine teorier for termiske kretsprosesser. I 1834 innfører Clapeyron pF-diagrammet. Etter 1830 gav utbygginga av jernbane­ ne industrialiseringa større utbredelse. Den stadig økende bruken av dampmaski­ ner førte til et intenst studium av gasser og damper. Flere avhandlinger ble skrevet om sammenhengen mellom arbeid og varme. De mest verdifulle bidragene kom fra J. R. Meyer, L.A. Colding og J.P. Joule. De tre hadde, uavhengig av hverandre og på forskjellig måte, funnet ut at en bestemt mengde varme svarte til en bestemt mengde arbeid. Bestemmelsen av den mekaniske varmeekvivalenten førte til termodynamikkens første hovedsetning. Ordet «termodynamikk» ble først brukt i en publikasjon av lord Kelvin i 1849. Og i 1851 hadde lord Kelvin og Clausius for­ mulert den andre hovedsetningen. Den første læreboka i termodynamikk ble skre­ vet av W. Rankine i 1859; Rankine var professor ved universitetet i Glasgow. Clausius innførte entropibegrepet i 1865, et av de aller viktigste bidragene til be­ handlinga av termodynamikken. I dag utnyttes energikildene i større grad enn noensinne. Intensiteten i forsknin­ gen øker, og utviklinga av bedre utstyr med høyere effektivitet går videre. Denne hundre år gamle utviklinga viser seg nå i at hver husstand kan vise fram eksempler på bruken av termodynamikk. Hele boligen er utvikla på grunnlag av termodyna­ miske kunnskaper. Det dreier seg om bygningsisolasjon, oppvarming enten med brensel eller med elektrisitet, kjøleskap og fryser for oppbevaring av nærings­ midler, ventilasjon og luftbel andling, vannoppvarming, koking og tilberedning av mat, stryking av klær, til og med datamaskinen og tv-en. I alminnelig utnytting av energi er det transport som er av aller størst betydning. Kommunikasjonsbehovet har gitt seg utslag i moderne bilmotorer, skipsmaskiner og jetmotorer. Raketter utnyttes til å sende opp satellitter. De største enhetene som forbruker energi, er varmeenergiverkene og atomenergiverkene, som står for stor­ parten av elektrisitetsforsyninga.

20

Miljøtruslene I dette avsnittet blir det ikke plass til å ta med særlig mye stoff om miljøet. Men to typer forurensning skal nevnes. Disse typene knytter seg til forbrenning av fossilt brensel og til raseringa av de tropiske regnskogene. Overdrevet bruk av bil (bilis­ men), for eksempel, bidrar sterkt til karbondioksidinnholdet i atmosfæren. Fossilt brensel som inneholder svovelforurensning, kull og olje, er opphav til betydelig skade i områder der grunnen fra før er sur. I løpet av de siste tiår (fra ca. 1960 og utover) har man blitt oppmerksom på virk­ ningene av det ukritiske forbruket av fossilt brensel. Forbrenninga fører til større innhold av CO2- gass i atmosfæren. CO2-gass har den egenskapen at atmosfæren med ekstra innhold av karbondioksid reflekterer den strålinga som jordkloden el­ lers ville ha sendt ut i verdensrommet. Atmosfæren er dermed i ferd med å heve temperaturen. Det er seriøse vitenskapsfolk som hevder dette synspunktet. Hvor mye det nåværende utslippet av CO2 har påvirka temperaturen i atmosfæren, er det imidlertid ikke mulig å si noe om. Men denne faren er det som har fått navnet drivhuseffekten, figurene a og b.

a) Med «ren» atmosfære vil jorda reflektere solstrålinga «normalt» b) Strålinga ut fra jorda kan bli redusert

På internasjonalt plan blir det samarbeidet om å begrense CO2-utslippene. Men oppvarming av atmosfæren vil påvirke isbreene ved polene, og smeltevannet vil få havet til å stige. Svovel i brenselet spres som SO2 og blir fordelt over områder som er så store at man ikke skulle tro at det kunne få betydning. Men for Norges vedkommende fører det til helt håndgripelige skader. Om noen på 1950-tallet nevnte at sur nedbør tok livet av ferskvannsfisk på Sørlandet, så trodde ikke folk på det. De var i hvert fall ikke i stand til å forbinde industrirøyken fra Europa med surheten i norske vass­ drag. Nå, 35 år senere, vet vi at slik er det. Også skogsvekstene lider under for stor surhet, i sentrale deler av Europa ser man resultatene av «skogsdøden» i form av nakne trestammer med svarte greiner.

21

Energiforbruket i Norge Prosentvis fordeling av energiforbruk på energibærere, 1992, Statistisk årbok 1994

Energiforbruk Fast brensel og gass i prosent

Petroleums­ produkter

Elektrisitet

Fjernvarme

Nyttiggjort energi

18,8

67,9

0,8

12,5

Energiinnhold i energibærere levert til sluttforbruk (1992): 680 PJ Nyttiggjort: 516 PJ

Tap: 163 PJ

Oljeforbruket På verdensbasis regner man grovt at forbruket av den produserte oljen fordeler seg slik:

• 50 % til transport • 40% til oppvarming og elektrisitet • 4% til produksjon av plast Resten går til andre formål.

ELEMENTÆRE BEGREPER

23

1 Elementære begreper

1 Energi. Hovedsetninger i termodynamikken 1Faget termodynamikk kan defineres som vitenskapen om energi. De fleste har en følelse av hva energi er, enten man tenker på oppvarming eller på framdrift av kjøretøyer. Energi kan betraktes som en mulighet til å utføre et arbeid eller som en mulighet til å forårsake forandring. Disse betraktningsmåtene er selvfølgelig lite egnet som definisjon. En presis definisjon er det faktisk vanskelig å gi. Energien er konstant. Den kan ikke gå til spille, bare endre form. Det er i korthet termodynamikkens første lov eller hovedsetning. På engelsk kalles det «the conservation of energy principle». Dette forholdet er av aller største betydning for vår egen eksistens og for naturforholdene generelt. Arbeidsutfoldelse innebærer at energi blir omforma fra en form til en annen. Energi som kan utnyttes til arbeid, kommer gjerne fra kilder som betraktes som meget verdifulle. Etter omforminga opptrer energien i like stor mengde. Energi i form av mat, for eksempel, må omformes slik at ikke kroppen blir nødt til å lagre overskuddsenergi i form av fett. Ubegrenset inntak av energirike næringsmidler fører til fedme, figur 1-1.

Figur 1-1 Energiloven slik den virker for en gris Termodynamikken lærer om forbruk og omforming av energi i de forskjelligste former. Den handler også om egenskapene til stoffene og forandring av disse egen­ skapene på grunn av energiomforming. Denne vitenskapen baserer seg på eksperi­ mentelle observasjoner. Eksperimenter har aldri vist avvik fra termodynamikkens første hovedsetning, for eksempel. Termodynamikkens andre hovedsetning er en annen referering av naturlovene. Når varm kaffe blir slått opp i koppene på et kjøkkenbord, vil kaffen kjølne litt om senn. Man opplever aldri at en kopp kaffe blir varmere av seg selv når koppens temperatur er høyere enn kjøkkenets temperatur, figur 1-2.

24

ELEMENTÆRE BEGREPER

Figur 1-2 En varm kopp blir aldri enda varmere av seg selv

Stoffene som fins i naturen, er satt sammen av astronomiske antall av de minste delene: molekyler eller atomer. Men vi behøver ikke kjenne antallet av gassmolekyler i en gassbeholder for å måle trykket i beholderen. Det er nok å montere et manometer på beholderen. Denne behandlinga av gassen som et makroskopisk system (motsatt: mikroskopisk, det som bare kan betraktes gjennom mikroskop) som ikke krever kunnskap om oppførselen til de minste partiklene, kalles klassisk termodynamikk. Den omfatter de kunnskapene som er nødvendige for å løse ingeniørens problemer på en direkte og enkel måte. Det fins en annen retning innenfor termodynamiske studier som kalles statistisk termodynamikk. Denne retningen baserer seg på studier av midlere verdier av egenskapene til store grupper enkeltpartikler, altså det mikroskopiske systemet.

2 System 1Når man utforsker egenskapene til de stoffene man har med å gjøre og de forand­ ringene som energi kan forårsake, så er man nødt til å konsentrere oppmerksom­ heten om en ting og forsøke å begrense undersøkelsen til et minst mulig område. Vi vil derfor allerede nå introdusere begrepet system.

Et system kan inneholde: - gass, væske eller fast stoff (eller alle fasene samtidig) - apparater/utstyr

Systemgrensa er grensa mellom systemet og omgivelsene. Grensene kan være virkelige grenser i form av innsida i en tank, veggene i et kjølerom osv. Eller systemgrensa er et tenkt skille som omslutter et område i rommet. A Et lukka system inneholder en konstant mengde stoff. Energi kan passere sys­ temgrensa i form av arbeid eller varme eller begge deler, figurene 1-3 og 1-5. B Et åpent system som også kalles kontrollvolum, er et system der også stoff kan passere grensa i tillegg til varme og arbeid, figur 1-4. Systemgrensa kalles også kontrollflata, og kontrollvolumet er da det rommet som kontrollflata omgrenser. Stoff kan passere kontrollflata i form av en massestrøm m (kg/s). Massestrømmen og dens retning eller hastighet varierer generelt sett med tida. C Isolert system. Systemets masse er konstant, stoffet forblir i systemet. Syste­ mets grense hindrer effektivt all utveksling av energi, figur 1-6. Et isolert system er et teoretisk begrep som ikke eksisterer i virkeligheten.

25

ELEMENTÆRE BEGREPER

3 Arbeidssylinderen 1Figur 1-3 viser et spesielt system i form av et fluidum* som er innesperra i en sylin­ der med et bevegelig stempel. Dette lukka systemet brukes overalt i termodynamikklitteratur. For leseren er denne arbeidssylinderen en meget enkel illustrasjon av sammenhengen mellom varme, figur 1-5, indre energi og arbeid (behandles i kapittel 3). I den teoretiske behandlinga av sylinderen gjør man et par antakelser for lettvinthets skyld: For det første tenker man seg at stempelet slutter helt tett til sylinderveggen. For det andre glir stempelet uten friksjon. Trykket på hver side av stempelet er da iden­ tisk det samme så lenge stempelet ikke er belasta.

Stempel

Figur 1-3 I et lukka system varierer både trykk, temperatur og volum

Figur 1-4 Åpent system (= kontrollvolum), et system med variabel masse

* fluidum = stoff i væske- eller gassfase

26

ELEMENTÆRE BEGREPER

Stempel

Stempelet er en bevegelig del av systemgrensen

Figur 1-5 Utvidelse av et lukka system på grunn av oppvarming

m(kg) = konstant

Figur 1-6 Et isolert system har ikke noe samspill med omgivelsene

4 Trykk 1Med trykk mener vi kraft per flateenhet. Kaller vi krafta F, flata A og trykket p, får vi F P = A

1-1

Krafta måler vi vinkelrett på flata. I en ideell væske eller gass i ro er trykket i et bestemt punkt likt i alle retninger, figur 1-7. Enheten for trykk blir newton per kvadratmeter (N/m2) = pascal (Pa). Fordi arealenheten kvadratmeter (m2) er svært stor i forhold til kraftenheten newton, har det vært en del motstand mot en­ heten pascal, men etter internasjonal standard bør vi bruke pascal.

ELEMENTÆRE BEGREPER

27

120 kPa~ A --------►€) A

Figur I- 7 Trykket i punkt A er det samme i alle retninger Enheten bar har vært brukt i meteorologien i mange år, men i dag brukes hPa (100 Pa). Bar har også fått stor utbredelse i tekniske fag, fordi 1 bar * 1 kp/cm2, og man kunne uten for store problemer bruke de samme tallverdiene ved moderate trykk. 1 bar = 105 Pa Her i landet har enheter som kp/cm2, atm og mm Hg (torr) vært brukt i mange år. Vi bør helst unngå å bruke slike enheter.

1 kp/cm2 = 98,066 5 • 103 Pa 1 atm = 760 mm Hg = 101, 325 • 103 Pa

Det engelske systemet med pund (pound, lb) og tomme (inch) som grunnenheter bruker pound force per square inch (lbf/in2) eller psi, som også har vært brukt her i landet. 1 lbf/in2 = 6,894 76 • 103 Pa

I en tank med stillestående væske eller i et vannbasseng vil trykket øke proporsjo­ nalt med dybden. På figur 1-8 ser vi et lite væskeelement i en dybde h under væskeflata. Over væskeflata er trykket pQ.

Væskeelementet blir utsatt for trykk fra væska omkring og fra tyngdekrafta. Der­ som vi sier at elementet har arealet cL4 i horisontal retning, og forutsetter at væskas densitet p og tyngdens akselerasjon g ikke forandres med væskedybden, kan vi set­ te opp en likevektslikning i y-retningen.

28

ELEMENTÆRE BEGREPER

p • g • d/? • cL4 + /? • cL4 - (p + d/?)cL4 = 0 p • g • dh — dp = 0 P

h

Idp = /p-g-dh o

Po

P ~ Po = P ■ g • h p = p0 + p • g • h

1-2

Av dette ser vi at trykket i en væske øker lineært med dybden under væskeflata. Dersom vi skulle bruke likning 1-2 på luft eller en annen gass, måtte vi ta hensyn til at gassens densitet er avhengig av trykket. Vi kan derfor ikke nytte likning 1-2 ukritisk på beregninger i lufthavet.

EKSEMPEL 1-1 En ubåt befinner seg på 35 m dyp. Hvor stort absolutt trykk virker på ubåten når vannet har densiteten 1025 kg/m3 og barometertrykket er 1010 hPa? Løsning-. Absolutt trykk: p = p0 + p ■ g ■ h = 1010 • 102 N/m2 +

1025 kg/m3 • 9,8 m/s2 • 35 m = 452,6 kPa

EKSEMPEL 1-2 Et trykk blir oppgitt til 100 lbf/ft2. Hvor stort er trykket i pascal? Løsning-. 1 Ibf = 4,448 22 N og Ift2 = 92,903 • 10~3 m2

F 4,44822 N/lbf • 100 Ibf ^oo „ 92,903-10-W =4™Pa P = A-=

EKSEMPEL 1-3 Et manometer viser 15 kp/cm2. Hva er trykket i pascal?

Løsning-. Trykket i Pa: p - 15 kp/cm2 • 98,0665 • 10~3 Pa/kp/cm2 = 1,47 MPa

Absolutt trykk. Overtrykk og undertrykk Ved utledning av likning 1-2 kalte vi trykket over væskeflata pQ som kan være atmosfæretrykket patm. Det totale eller det absolutte trykket på væskeelementet ble så summen av atmosfæretrykket og væskesøylens trykk.

Pabs

—

P

/?atm

Det absolutte trykket må vi bruke når vi skal regne med idealgasslovene. Ved de fleste andre beregninger er det upraktisk å arbeide med absolutt trykk. I strømningslæren leser vi av trykk ved hjelp av ulike måleinstrumenter (manometre). De viser oftest trykk i forhold til atmosfæretrykket. Vi kan se på dette ved hjelp av figur 1-9.

29

ELEMENTÆRE BEGREPER

Overtrykk

Atmosfærelinje

P atm P a2

0-linje

Figur 1-9

pa pover pu Patm

= = =

absolutt trykk overtrykk undertrykk (vakuum) atmosfæretrykk

I punkt 1 på figur 1-9 er det absolutte trykket: PaA

Palm + Po

I punkt 2 er det absolutte trykket: Pal ~~ Palm

Pu

EKSEMPEL 1-4 I en beholder C er det en gass med densitet 1,8 kg/m3. Til tanken er det koplet et U-rør fylt med kvikksølv. Finn trykket i sentrum av tanken når hx = 0,6 m og h2 - 1,5 m.

Figur 1-10

30

ELEMENTÆRE BEGREPER

Løsning: Trykket i punkt B: Pu ~ PHg • S • ^2 - 13,6 • 103 kg/m3 • 9,8 m/s2 • 1,5 m = 200 kPa

Pa = Pb Trykket i C: Pa - p• g ■ h} + p p = pA — p • g • h\ = 200 • 103 Pa - 1,8 kg/m3 • 9,8 m/s2 • 0,6 m = 199,9 kPa

5 Kompressibilitet 1Væsker som blir utsatt for høye trykk, minker svært lite i volum. For praktiske for­ mål kan vi se helt bort fra sammentrykkeligheten. Vi sier at væsker er lite kompres­ sible, eller at de er inkompressible. Et unntak som bør nevnes, er det som kan skje ved en hurtig hastighetsendring i et rør. Det kan skje dersom en pumpe i et rørsystem plutselig stopper. Da oppstår det en kraftig trykkforandring som i det vesentlige er bestemt av væskas sammentrykkelighet. Med kompressibiliteten av en væske mener vi den relative volumforandringen som følger av en trykkendring. Matematisk kan det uttrykkes slik: dJ/= -k-dp- K

=>

k = -

dp

1-3

Her er k kompressibilitetsfaktoren for væska, dKer volumforandringen, Eo er vo­ lumet ved trykket p, dp er trykkendringa, E er elastisitetsmodulen til væska.

Elastitetsmodulen E = — ~ [N/m2] er et mål på stoffets deformasjon ved en viss trykkendring.

Dimensjonen blir kraft per flate (N/m2). Minustegnet i likninga betyr at volumet minker (dF < 0) når trykket øker (dp > 0). Av likninga ser vi også at kompressibi­ liteten er omvendt proporsjonal med elastisitetsmodulen. I tabeller kan vi finne at stål har E ~ 2 • 10” Pa, og at vann har E - 2,2 • 109 Pa. Altså er vann ca. 100 ganger mer kompressibel enn stål. EKSEMPEL 1-5 En stor hydraulisk sylinder rommer 250 1 olje når den er trykkfri. Hva er oljens volumminkning når trykket er 26 MPa og kompressibilitetsfaktoren 20- lO"11 Pa"1?

Løsning: Volumminking:

AK = - k • Eo • Ap = - 20 • 10"11 Pa"1 • 250 • 10~3 m3 • 26 • 106 Pa = -1,3 • 10~3 m3

31

ELEMENTÆRE BEGREPER

6 Densitet 1Densitet er forholdet mellom masse og volum.

m r. , 31 P = -y [kg/m3]

1-4

Vi kan si at faste stoffer har konstant densitet. For væsker betyr temperaturen mye for densiteten. Ser vi på ferskvann ved atmosfæretrykk, er densiteten 1000 kg/m3 ved ca. 4 °C og 958 kg/m3 ved 100 °C. Fra fysikken kjenner vi likninga for sam­ menhengen mellom temperaturen og væskers densitet:

1-5 p Po av AT

= = = =

densitet ved temperaturen t densitet ved temperaturen t0 volumutvidelseskoeffisient K-1 temperaturforskjell i K

Sammenhengen mellom densitet og trykk for væsker kan vi finne av:

p Po E Ap

= = =

densitet ved temperatur t densitet ved temperatur t0 væskens elastitetsmodul N/m2 trykkforskjell i bar

EKSEMPEL 1-6 Ferskvann har ved 20 °C og 1 bar densiteten 998 kg/m3. Hva er densiteten når trykket øker 80 bar og temperaturen holdes konstant? Vannets elastitetsmodul er 2,06 ■ 109 N/m2.

Løsning'. Densitet ved økt trykk: p = --P\- =------ 998 kg/m . _ Ap N 1 E 80 • 105 m2 1 2,06 • 109 _N_

= 1002 kg/m3 --------------

m2

7 Ulike energiformer 1Energi kan forekomme i tallrike former, slik som termisk, potensiell, kinetisk, elektrisk, magnetisk, kjemisk energi og kjerneenergi. Summen av disse energitypene danner et systems totale energi E. Termodynamikken gir ikke alltid opplysnin­ ger om den totale energien i et system. Det som egentlig er av interesse i termodynamikkproblemer, dreier seg for det meste om endringa av de forskjellige energi­ formene. I allmenn fysikk kommer kinetisk og potensiell energi inn under samlebegrepet

32

ELEMENTÆRE BEGREPER

mekanisk energi. Et prosjektil, for eksempel, som skytes ut bratt oppover fra bak­ ken, starter med en kinetisk energi som er bestemt av den farten prosjektilet har fått. Etter som prosjektilet oppnår høyde, øker den potensielle energien, mens far­ ten, og dermed den kinetiske energien, avtar fordi den samla energien er konstant. Et system som beveger seg og forandrer høyde over bakken, vil ha en kinetisk og potensiell energi som til sammen er bestemt av systemets totale masse, fart og høy­ de. Fart og høyde bestemmes ut fra referanser i omgivelsene. I og med at systemet betraktes som en enhet eller gjenstand, kan man også kalle energien makroskopisk energi, figurene 1-11 til 1-13. Samtidig kaller man den energien som er forbundet med molekylstruktur og molekylaktivitet, mikroskopisk energi. Denne energitypen er uavhengig av referanser i omgivelsene. Summen av alle mikroskopiske energityper kalles indre energi i systemet og symboliseres med U. Et system som beveger seg som på figur 1-12 med farten c (m/s), har en kinetisk energi, Ek. Hvis alle deler av systemet beveger seg med samme fart som på figu­ ren, uttrykkes den kinetiske energien som £k = mc2/2

1-7

(J)

eller spesifikk kinetisk energi: ek = c2/2

1-8

(J/kg)

der symbolet c = fart (m/s). I praksis måles c i forhold til bakken. Energi på grunn av systemets høyde i et felt av gravitasjonskrefter kalles altså potensiell energi og uttrykkes som Ep = mgz

1-9

(J)

eller spesifikk, potensiell energi:

ep = gz

(J/kg)

1-10

der z er høyden fra et referansenivå (for eksempel havflata) til tyngdepunktet i systemet.

Figur 1—11 Den makroskopiske energien til et legeme endrer seg med høyde og fart

Figur 1-12 Hele systemet på figuren har farten c. TP er tyngdepunktet

33

ELEMENTÆRE BEGREPER

m (kg)

=7a=

Figur 1-13 Kassens potensielle energi Ep = mgz. Golvet på figuren er referansenivå

Hvis vi regner at bare kinetisk, potensiell og indre energi har betydning for syste­ met, kan vi uttrykke den totale energien som

E = Ep + E± + U

(J)

1-11

Likning 1-7 og 1-9 innsatt i likning 1-11 gir: E - mgz + mc2/2 + U

1-12

eller som spesifikk energi (per enhetsmasse): e - gz + c2/2 + u

(J/kg)

1-13

I denne teksten vil lukka systemer vanligvis være i ro, og det skjer ingen endring av kinetisk og potensiell energi. Vi snakker om stasjonære systemer. Endringa i total energi E for et stasjonært system er identisk med endringa av indre energi U.

8 Indre energi. En viss fysisk innsikt 1Denne energitypen har sammenheng med et systems molekylstruktur og graden av molekylenes aktivitet. Den kan sees på som summen av molekylenes kinetiske og potensielle energi. Skal man få en bedre forståelse av den indre energien, må man undersøke et system på molekylnivå. Et enkelt molekyl i et system vil generelt sett, bevege seg omkring med en eller annen fart, vibrere i forhold til andre molekyler og rotere omkring sin egen akse i en vilkårlig bevegelse. Forbundet med rettlinjet fart, vibrerende (fram og tilbake) og roterende bevegelse har vi tre typer kinetisk energi (se figur 1-14) som utgjør molekylets samla kinetiske energi. Den delen av den indre energien som er forbundet med disse molekylbevegelsene, kaller vi følbar energi.

2 - Teknisk termodynamikk

34

ELEMENTÆRE BEGREPER

Translasjon, kinetisk energi

Rotasjon (w = vinkelhastighet), kinetisk energi Vibrasjon (n = svingetall), kinetisk energi

Figur 1-14 Mikroskopisk energi: Figuren viser de forskjellige typene av molekylær energi som utgjør såkalt følbar energi

D. Bernoulli arbeidet med denne typen problemer ved midten av 1700-tallet. I sitt pionerarbeid knytta han temperaturen til molekylenes bevegelser. Først 100 år senere tok A. Kronig og R. Clausius opp ideen og la grunnlaget for den såkalte kinetiske gassteorien. J. C. Maxwell og L. Boltzmann videreutvikla denne teorien, som viser at den absolutte temperaturen og den midlere kinetiske energien per molekyl er proporsjonale. Ek = m • c2/2 = 3 kT/2

1-14

Her er m massen til et molekyl, cer middelhastigheten til molekylene i det aktuelle systemet, og T er absolutt temperatur i gassen, k er den såkalte Boltzmanns konstant: k = 1,38 • 10’23

(J/K)

Molekylene forandrer fart og retning ved sammenstøt med hverandre. Disse beve­ gelsene kalles termiske bevegelser. Også atomer og molekyler i faste stoffer har ter­ miske bevegelser. Men i faste stoffer vil det virke krefter mellom molekylene slik at avstanden holder seg konstant og molekylenes posisjoner er fastlåst. Tempera­ turforandring i fast stoff gir seg utslag i sterkere eller svakere vibrasjon av hvert molekyl. Man kan observere en viss utvidelse med økende og sammentrekning ved minkende temperatur i faste legemer. Den indre energien er også forbundet med de intermolekylære kreftene i et sys­ tem. Disse kreftene er sterkest i faste stoffer, svakest i gasser. Tilføres nok energi til molekylene i faste stoffer eller væske, vil de overvinne disse molekylkreftene og fare av gårde slik at systemet går over til gass. Det er denne prosessen som kalles faseovergang. Det betyr ikke at de intermolekylære kreftene forsvinner, men at avstanden mel­ lom molekylene er vilkårlig, og at molekylenes posisjon og fart varierer etter som de tiltrekker eller frastøter hverandre. På grunn av den tilførte energien er et system i gassfase på et høyere indre energinivå enn fast og flytende stoff. Den indre ener­ gien som er forbundet med systemets fase, kalles latent energi.

35

ELEMENTÆRE BEGREPER

Arbeidende medium Disse termiske bevegelsene og volumforandringene som skyldes endringer i mole­ kylenes energi etter som temperaturen varierer, innebærer i sin ytterste konsekvens at et hvilket som helst legeme, fast, flytende eller i gassform, kan betraktes som et arbeidende medium. Vi skal se at en volumendring også er knytta til arbeid. Det kommer av at legemets omgivelser må skyves unna for å gi plass til volumendringa, se figur 1-15. Vi betrakter et lite flateelement AA som er påvirket av en kraft F normalt på ele­ mentet på overflata av et vilkårlig legeme. Vi registrerer at en volumendring forår­ saker en bevegelse Av normalt på flateelementet. Da er det følgelig utført et arbeid A W = F • As (joule). Energiloven forteller oss at energien til å utføre dette arbeidet enten må komme fra legemet eller fra omgivelsene. Er arbeidet utført på legemet slik at volumet har avtatt, kommer energien fra omgivelsene. Etter at arbeidet er utført, har legemets indre energi økt tilsvarende. Er derimot arbeidet utført på om­ givelsene ved at legemets volum har økt, så er energien hentet fra legemets indre energi, som følgelig avtar.

Volumutvidelse

Figur 1-15 Volumendring. Arbeidet W - AF ■ As

Det totale arbeidet som er forbundet med volumendringa, kan dermed beregnes som summen av AW for alle flateelementene som dekker legemet (se også kapittel 3).

36

ELEMENTÆRE BEGREPER

9 Tilstandsstørrelser 1Egenskapene i et system er for eksempel trykk p (Pa), temperatur t (°C), volum V (m3) og masse m (kg). Disse fire størrelsene er kanskje de første man tenker på i forbindelse med et system. Andre egenskaper er viskositet, varmeledningsevne, elastisitetsmodul, termisk utvidelseskoeffisient og elektrisk motstand. De kalles tilstandsstørrelser (engelsk «properties»). Til og med hastighet og høyde kan kom­ me inn under dette begrepet. Mange tilstandsstørrelser er en kombinasjon av andre størrelser, slik som massetetthet (densitet, likning 1-4):

m

P=V

1-15

som kan leses som «masse per enhetsvolum». En enda vanligere størrelse i termo­ dynamikken er spesifikt volum, som er det omvendte av tetthet:

som leses «volum per enhetsmasse».

Tilstand Anta et system som ikke endrer seg. I så fall kan alle størrelser som har noe med systemets egenskaper å gjøre, bli målt eller beregnet for alle deler av systemet. Det vil gi oss et sett med tilstandsstørrelser som gir en fullstendig beskrivelse av forhol­ dene - eller tilstanden — til systemet. I en gitt tilstand har alle systemets egenska­ per fikserte verdier. Man kan ikke endre verdien av bare én størrelse, det vil ha kon­ sekvenser for de andre tilstandsstørrelsene samtidig. Figur 1-16 viser et system i to forskjellige tilstander.

Figur 1-16 Systemets volum er fordoblet. Hva med tetthet og trykk?

Vi legger merke til at i klassisk termodynamikk ser man bort fra atomstrukturen til et stoff. Stoffet betraktes som en kontinuerlig masse uten mikroskopiske hull mellom eller innenfor molekylene. Denne idealiseringa holder så lenge vi arbeider med volum, arealer og lengder som er svært store i forhold til intermolekylære dimensjoner.

37

ELEMENTÆRE BEGREPER

Intensive og ekstensive tilstandsstørrelser Tilstandsstørrelser er enten intensive eller ekstensive. De intensive størrelsene er de som er uavhengige av størrelsen på systemet. Temperatur, trykk og tetthet er slike størrelser. Ekstensive størrelser varierer med størrelsen eller utstrekningen av systemet. Masse m, volum V og total energi E er eksempler på slike størrelser. Forskjellen mellom intensive og ekstensive størrelser ser vi best ved å dele et sys­ tem i to og finne de nye tilstandsstørrelsene for det halve systemet. De intensive størrelsene er uforandret, de ekstensive er halvert. Ekstensive tilstandsstørrelser per enhetsmasse kalles spesifikke størrelser: Eksempler: e = E/m = spesifikk energi (J/kg) v = y/m - spesifikt volum, og u = U/m = spesifikk indre energi

10 1-

Intensive størrelser

Ekstensive størrelser

p, kg/m3 T, Kelvin e, J/kg u, J/kg

m, kg V, m3 E, J U, J

Likevekt. Definisjon av varme

Figur 1-17 Likevekt. Systemet er ikke i termodynamisk likevekt før alle de aktuelle størrelsene er i balanse

Tilstanden til et system vil bare vedvare en tid hvis systemet er i likevekt. Det kan dreie seg om mekanisk, termisk og kjemisk likevekt og om faselikevekt, figur 1-17. Mekanisk likevekt knytter seg til trykket. Systemet er i mekanisk likevekt når trykket i et gitt punkt ikke forandrer seg med tida, figur 1-18a.

38

ELEMENTÆRE BEGREPER

EKSEMPEL 1-7

Figur l-18a Sylinderens belastning er lik krafta Fi

La stempelet med areal A m2 være belasta med krafta Fx , figur 1-18a. Finn et ut­ trykk for systemets trykk p. Finn også ut hvor mye større p må være enn pG.

Løsning: Stempelet er i ro når kreftene i hver retning er like, se figur 1-18b:

Figur l-18b

Trykkresultanten F = p • A (N) Atmosfæretrykket p0: FQ = p0- A Vi må ha

F] + Fo = F Fx + Pq-A = p- A

p

Absolutt trykk pabs -

ri

+ Pq

1-17

Den delen av trykket i systemet som skal til for å holde belastningen Fx i balanse, er overtrykket:

1-18

Se figur 1-19. Når vekta av stempelet virker loddrett, som i dette tilfellet, så er stempelet med på å bestemme trykket i sylinderen. Trykket skriver seg fra moleky­ lene i fluidet. Gassmolekyler som er i fart, støter mot stempelflata og forårsaker støtkrefter. Dessuten virker de intermolekylære kreftene frastøtende mellom mole­ kylene når avstanden blir liten nok.

39

ELEMENTÆRE BEGREPER

Figur 1-19 Gassmolekylene beveger seg lineært og frastøter hverandre når avstanden er liten nok Termisk likevekt er et resultat av de samme molekylstøtene eller kollisjonene. Atomene i sylinderveggen påvirkes av gassen. Et gassmolekyl som støter mot veg­ gen, avgir energi som øker veggatomenes svingninger. I sin tur vil veggatomene bi­ dra til gassmolekylenes energi i de sammenstøtene der veggatomene har større energi enn gassmolekylene. Varmen Q vil gå fra et varmt legeme til et kaldt legeme når to slike legemer har kontakt, figur 1-20. Varmen er energi som overføres på grunn av temperaturfor­ skjellen. Det varme legemet blir kaldere og det kalde varmere inntil begge når den samme temperaturen og likevekt opprettes. Et slikt forløp er i overensstemmelse med de erfaringer alle og enhver har gjort mange ganger.Det er med andre ord et naturlig fenomen, en naturlov. Man kaller denne loven termodynamikkens nulte hovedsetning. Termisk likevekt i systemet har vi når temperaturen er jevn overalt i systemet (figur 1-21). Og systemet er i termisk likevekt med omgivelsene når netto energioverføring mellom vegg og gass er null, dvs. Q = 0. Det eneste som kan føre til Q = 0, er at systemet har den samme temperaturen som omgivelsene. Ingen for­ mer for isolasjonsmaterialer kan hindre varmeoverføring hvis det forekommer et temperaturfall, figur 1-21. Faselikevekt i et system som for eksempel omfatter både damp (gass) og væske av samme stoff, innebærer at dampmassen mD og væskemassen mv holder seg konstant over tid. Fordelingen av den totale massen på dampfase og væskefase er helt avhengig av tilstanden ellers i systemet. Til slutt må vi nevne den kjemiske likevekta. Et system er i kjemisk likevekt når den kjemiske sammensetningen ikke endrer seg med tida. Da skjer det heller ingen kjemiske reaksjoner. Et system er ikke i termodynamisk likevekt før alle disse kriteriene er tilfreds­ stilt, se figur 1-17.

Termisk likevekt er opprettet Q = 0

40

ELEMENTÆRE BEGREPER

aimjuinjHijrr 2

t = 25 °C

2

10 °C

Q

■iLiuuuinrw

Figur 1-21 Isolasjonen kan ikke stanse varmeoverføringa, bare gjøre den langsommere

11 1-

Temperaturskalaen. Målemetoder

Som det framgår av avsnittet «indre energi», er temperaturen proporsjonal med molekylenes aktivitet i form av kinetisk energi. Dette forholdet gjør at temperatu­ ren ikke er målbar med direkte metoder, den måles indirekte. Det mest brukte ter­ mometeret er væskesøyletermometeret, figur 1-22. Utvidelsen av væske som er fylt i et tynt rør, leses av på en skala som er montert sammen med væskerøret. En slik skala er lineær, det vil si at utvidelsen av væska mellom f. eks. 5 og 6 °C er lik utvi­ delsen mellom 80 og 81 °C. Et annet enkelt system er en passende mengde gass innestengt i en beholder, fi­ gur 1-23. Ved moderate trykk p vil p variere proporsjonalt med temperaturen i gassen. Guillaume Amontons (1663-1705) var en fransk fysiker og oppfinner. Ved be­ gynnelsen av 1700-tallet fant Amontons ut at trykket i en avstengt gassmengde sank når han avkjølte gassen. Han mente at det ikke ville gå an å få lavere tempera­ tur enn den som ville tilsvare null trykk i gassen. Den temperaturen foreslo han å kalle det absolutte nullpunktet for temperatur. Hans arbeid bidrog til teorien om det absolutte nullpunktet, som lord Kelvin utvikla i forrige århundre.

Kapillarrør, lite volum

Tykk glassvegg

Stort volum Tynn glassvegg

Figur 1-22 Væsketermometer

ELEMENTÆRE BEGREPER

41

Figur 1-23 Gass med konstant volum

Blant alle temperaturavhengige egenskaper, eller såkalte termometriske egenska­ per, er trykket i en gass som hindres i å endre volum, enestående med hensyn til følsomhet, målenøyaktighet og reproduserbarhet. Konstantvolumgasstermometeret er framstilt skjematisk på figur 1-24. Gassen fyller beholder C. Vanligvis nyttes helium. Trykket i gassen måles med det åpne U-rørsmanometeret, som er fylt med kvikksølv. Hvis gasstemperaturen øker, vil gassen ekspandere og tvinge kvikksølvet ned i rør B, opp i rør A. Rørene står i for­ bindelse med et kvikksølvreservoar R via slangen D. Hever vi R, kan vi bringe kvikksølvsøylen i B tilbake til et referansemerke ved E, og gassens volum er ufor­ andret. Gasstrykket bestemmes av differansen i kvikksølvnivå mellom A og B. Gasstermometrene brukes hovedsakelig av standardiseringsbyråer og forsk­ ningslaboratorier. De tar stor plass, og det er tidkrevende å oppnå termisk likevekt i dem.

42

ELEMENTÆRE BEGREPER

Kelvinskalaen Kalibrering av et konstantvolumgasstermometer går ut på å forsyne U-røret A-B på figur 1-24 med en skala der temperaturverdiene er påtegna. Nullpunktet må fastlegges som vanlig, i Norge er det celsiusskalaen som er enerådende. Denne ska­ laens nullpunkt bestemmes ved hjelp av en blanding av is og vann ved atmosfæretrykk. Det andre faste punktet på skalaen er kokepunktet 100°C ved 1 atm trykk. Ved en slik kalibrering kunne man gjøre seg nytte av en graf som på figur 1-25. Den viser sammenhengen mellom gasstrykk og temperatur. Den heltrukne linja anty­ der det temperaturområdet man kan ta trykkmålinger i. Den stipla ekstrapolasjonen til venstre antyder at ved en viss hypotetisk temperatur blir trykket lik null. Det overraskende er at denne temperaturen er den samme for et stort antall forskjellige gasser, nemlig —273,15 °C. Av forskjellige grunner kan ikke denne nulltrykkssituasjonen bli observert. En grunn er at de fleste gasser kondenserer til væske ved så lave temperaturer (helium ved - 268,9 °C), og da gjelder ikke lenger proporsjonaliteten mellom trykk og temperatur (grafen på figur 1-25 er en rett strek, det vil si proporsjonalitet). Temperaturskalaen til Celsius er basert på de naturlige egenskapene til vann. Oppdagelsen av den ekstrapolerte nulltrykkstemperaturen og dens gyldighet for mange gasser danner grunnlaget for en mer fundamental måte å definere tempera­ turskalaens nullpunkt på. Det er basisen for kelvinskalaen, oppkalt etter lord Kel­ vin (1824-1907). En grad celsius er lik en «kelvin», men nullpunktet er bytta om slik at 0 K = —273,15 °C, og 0°C er lik 273,15 K. I denne boka vil vi nytte følgende skrivemåte:

T - t + 273,15 (eller enklere = t + 273) Stor T markerer at temperaturen måles etter kelvinskalaen, liten t brukes om tem­ peratur etter celsiusskalaen.

Figur 1-25 Grafen for trykk og temperatur

43

ELEMENTÆRE BEGREPER

Kokepunkt H20

373 --

100--

Is/vann

273 --

0--

Fast CO2

195 --

-78--

90--

-183 - -

Kondens O2

Absolutt null

0-1K

-273 J— °C

Figur 1-26 Sammenlikning mellom celsiusskalaen og kelvinskalaen

Figur 1-27 Vann, damp og is i likevekt i en «celle» I SI-terminologi brukes ikke «grader» om kelvinskalaen. For eksempel: Vanlig romtemperatur, 20 °C, blir (20 + 273,15)K eller cirka 293 K, som vi leser «293 kel­ vin», ikke «grader kelvin». Temperaturen kalles altså «kelvin», som forkortes til K. (Den uoffisielle lesemåten «grader kelvin» er likevel ikke uvanlig.) For sammen­ likning mellom celsiusskalaen og den absolutte temperaturskalaen, se figur 1-26. Kelvinskalaen har vi ovenfor definert med utgangspunkt i celsiusskalaen, som har to fikseringspunkter, nemlig frysepunktet og kokepunktet for vann. Den kan imidlertid også defineres med utgangspunkt i et gasstermometer (med lavt trykk) og ett eneste referansepunkt på temperaturskalaen. Vi fastlegger forholdet mellom to temperaturer 7] og 7^ på kelvinskalaen som forholdet mellom de tilsvarende trykkene px og p2 i gasstermometeret:

h = P1 Ti Pi

1-19

44

ELEMENTÆRE BEGREPER

Ved valg av referansepunkt på temperaturskalaen tar vi hensyn som går på presi­ sjon og krav om gjentakelsesmulighet. Og da er vannets trippelpunkt det beste valget. Hjelpemidlet er en «celle» i form av en glasskolbe som nesten er fylt med vann av høyst mulig renhet, figur 1-27. Den er permanent lukka. Ved nedkjøling sørger man for at en del av vannet fryser til is. Den likevekta som da innstiller seg, om­ fatter is, vann og damp. Trippelpunkttemperaturen er 0,0100°C eller 273,1600 K. Kalibrering med en trippelpunktcelle er nøyaktig innenfor 0,0001 K, og slike celler stemmer overens innenfor et intervall på 0,0002 K. Damptrykket over blandinga av is og vann er 610 Pa eller omkring 0,006 atmosfærer. Hvis gasstermometeret på figur 1-24 viser trykket p3 ved trippelpunktet og p er trykket ved en annen temperatur T, så er verdien av T på kelvinskalaen gitt av

T= f — P3

1-20

(K)

med 7j fastlagt lik 273,16 K. Se figur 1-23 og likning 1-19.

12 1-

Potensial. Ekvipotensialflater

I jordens gravitasjonsfelt blir alle masser påvirket av tyngdekrafta G - mg (N). Den potensielle energien regnes gjerne lik null ved havflata. Men for eksempel gruveanlegg går langt under dette nivået. Den potensielle energien til en masse kan i en gruve bestemmes ut fra hvor langt den kan falle, eller hvor høyt den må løftes. Feltstyrken g regnes som kraft per masseenhet: g = G/m

(N/kg)

1-21

I Norge er g = 9,82 N/kg ved havoverflata. Kommer man noen kilometer over havflata, så begynner g å avta, idet den er avhengig av avstanden fra jorda. Lokalt sett er jordoverflata plan. Nivå med lik potensiell energi er derfor horisontale fla­ ter i en avstand h fra havflata. Man snakker om ekvipotensialflater, figur 1-28. 40 m 30 m

20 m

10 m

g = 9,82 N/kg

h = 0

Figur 1-28 Ekvipotensialflater like ved jordoverflata. I Norge gjelder g = 9,82 N/kg

I tyngdefeltet, som i alle andre kraftfelt, kan vi knytte den potensielle energien til begrepet potensial, vi snakker om gravitasjonspotensial. Et potensial er da energi per enhetsmasse, J/kg. Størrelsen potensial får vanligvis symbolet V. Velger vi jordoverflata som referansenivå, det vil si h - 0, definerer vi potensialet i et gitt punkt som:

45

ELEMENTÆRE BEGREPER

£p

1-22

m

Her er m massen til det legemet som befinner seg i punktet, og Ep = mgh er den potensielle energien i forhold til referansenivået. Dermed får vi for gravitasjonspotensialet: V= g•h

(J/kg)

EKSEMPEL 1-8 Arbeidslikninga W - F ■ s skal brukes til å påvise at innholdet i tanken på figur 1-29 har den samme makroskopiske energien enten det gjelder en masseenhet av væska på bunnen av tanken eller på toppen av den.

H

Tetthet p

7777777777T77777777777.

Figur 1-29 Tankinnholdets arbeidspotensial er V = g H

Løsning: 1 kg av væska som befinner seg på overflata i tanken, figur 1-29, representerer en potensiell energi som er Ep = mgH

eller ep = gH

(J)

(J/kg)

idet massen settes lik 1 kg og vi regner bunnen av tanken som referansenivå. 1 kg av væska som ligger på bunnen av tanken, har en potensiell energi lik null. Imidlertid beregner vi et trykk på bunnen som er lik Pover ~ P ’ S ‘ H

(Pa)

Vi monterer et utløp fra tanken og inn på en hydraulikksylinder som befinner seg på høyde med bunnen av tanken, figur 1-30. Vi lar 1 kg væske trenge inn i sylinde­ ren under trykk. Trykkresultanten på stempelet er F - p • A, der A er sylinderens

46

ELEMENTÆRE BEGREPER

tverrsnitt og p er overtrykket. Slaglengden 5 svarer til volumet av 1 kg væske, med andre ord det spesifikke volumet, figur 1-31. Arbeidet som blir utført av stempelstanga:

Figur 1-31 Slaglengden s bestemmes av volumet av 1 kg væske

w = F-s = p-A-s

1-23

(J/kg)

eller, når vi setter inn for trykket: w = p ■g■H■A •s Væskevolumet v - A • s = V/m

Arbeidet

og altså

(m3/kg, massen lik en kg)

w = p- g- H-v = p- g- H/p w = g•H

(J/kg)

Dette resultatet viser at uansett hvor i tanken vi henter massen m - 1 kg, så har denne massen et potensial-. K = ep = g-H

(J/kg)

1-24

Arbeidet i sylinderen på figur 1-30 kan vi enklest skrive som

(J)

W = p-V

l-25a

når V er volumendringa V - A • s (m3) og p - pgH

(Pa)

Det totale arbeidet vi må regne med hvis vi også tar hensyn til omgivelsestrykket, er: ^ot

der

Pabs ’

Pabs =

V

P + Po

1—25b

(J) (se figur 1-30)

ELEMENTÆRE BEGREPER

47

1-13 Prosesser Enhver overgang fra én likevekt i et system til en annen kalles en prosess. I løpet av en prosess kan det skje en mer eller mindre vilkårlig utvikling av trykket, tempe­ raturen og volumet. Hvis denne utviklinga er en forholdsvis rolig overgang fra en likevekt til en annen likevekt som skjer kontinuerlig, kalles prosessen en kvasilikevektsprosess. Verdiene av trykk og volum kan da plottes inn i et trykk/volumdiagram og danner da en sammenhengende kurve, prosesskurven (engelsk «path»). Skal man beskrive en prosess fullstendig, må man oppgi begynnelses- og sluttilstanden sammen med prosesskurven. Det er klart at et system der trykk og volum forandres, ikke er i likevekt. En pro­ sess forandrer jo nettopp likevekta. Men et system kan være nær likevekt eller langt ute av likevekt. Hvis prosessen foregår tilstrekkelig langsomt slik at det bare opp­ står infinitesimale (uendelig små) avvik fra likevekt, så kan man altså karakterisere forløpet som en kvasilikevektsprosess.

Figur 1-32 Snitt gjennom en sylinder Når en gass komprimeres plutselig i en sylinder av et stempel med høy hastighet og akselerasjon, må man anta at det oppstår trykkgradienter. Det vil si at moleky­ lene ikke får tid til å fordele seg jevnt i sylinderen. Under slike forhold der en del av gassen må antas å bevege seg i forhold til andre deler, vil den kinetiske energien i de små, lokale strømningene uunngåelig gå over til vilkårlige molekylbevegelser og følbar varme, noe som gjør kompresjonen mer arbeidskrevende. Systemet er ikke i likevekt under prosessen. Mange hurtiggående motorer må antas å arbeide under slike forhold, figur 1-32. Det fins imidlertid mer langsomtarbeidende maskiner, for eksempel store skipsdieselmotorer. De kommer nærmere et kvasilikevektsforløp. Ingeniører er interes­ sert i kvasilikevektsprosesser av to grunner: For det første er de enkle å analysere. Beregninger som baseres på kvasilikevekttilnærmelsen, gir neglisjerbare feil. For det andre er kraftmaskiner (maskiner som leverer kraft) mest ressursvennlige når prosessen i systemet er langsom. Kvasilike­ vektsprosesser tjener derfor som sammenlikningsprosesser for aktuelle prosesser.

48

ELEMENTÆRE BEGREPER

Prosesskurver er resultatet av behovet for å «synligjøre» prosessen. En mulighet som er brukt, er å danne et diagram med trykkskala loddrett og volumskala vann­ rett, et pF-diagram, figur 1-33. Prosesskurven fra 1 til 2 viser en kvasilikevektskompresjon av gassen i sylinderen. Stempelet har beveget seg så langsomt at til­ standen hele tida kan sies å være uniform, og hvert punkt på kurven gjengir tilstandsstørrelsene riktig.

System

Figur 1-33 Kvasilikevektsforløp

Figur 1-34 Forløpet av en hurtig prosess kan bare antydes

For ikkelikevektsforløp er vi uten kjennskap til verdien av tilstandsstørrelsene. Temperatur og trykk kan variere over tverrsnittet i sylinderen, og det er ikke mulig å plotte inn mellomtilstandene i diagrammet. Derfor kan vi heller ikke snakke om en prosesskurve, i diagrammet kan vi bare antyde retningen av prosessen, figur 1-34. Hvis noen av tilstandsstørrelsene er konstante i løpet av en prosess, gir man pro­ sessen navn etter den aktuelle størrelsen. Det er trykk, volum og temperatur som blant annet er av interesse. En isobar prosess er en prosess uten trykkendring, en isokor prosess er uten volumendring, og en isoterm prosess er uten temperaturen­ dring. Forstavelsen iso- betyr like-.

49 ELEMENTÆRE BEGREPER

Syklusen Figur 1-33 viser en prosess i pF-diagram. Et lukka system forandrer tilstand etter som volumet endres og energi i form av varme og arbeid transporteres over systemgrensa. Vi har sett at volumendring innebærer arbeid, avsnitt 1-8. Hvis vi fortset­ ter med nye prosesser i pF-diagrammet, kan tilstanden for eksempel få en slik ut­ vikling at man er tilbake i begynnelsestilstanden, figur 1-35. Hele forløpet er en syklus som består av flere prosesser, der den siste prosessen bringer systemet til­ bake til det samme volumet og trykket og den samme temperaturen. Systemet er da klart til å gjennomføre syklusen på ny, og kan fortsette med disse syklusene i det uendelige. Arbeid utføres kontinuerlig av maskinanlegg der arbeidsmediet hele tida gjen­ nomløper en og samme syklus. Et dampenergianlegg er det beste eksemplet på en syklus der det samme mediet (H2O) sirkulerer gjennom flere apparater i et lukka kretsløp. Dampenergianleggets syklus kalles Rankine-prosessen. Liknende syklu­ ser har man i kjølemaskiner og varmepumper. Den teoretiske Carnot-prosessen brukes både som varmeenergiprosess der arbeid utvinnes, og som kjøle- eller varmepumpeprosess. I diesel- og bensinmotorer går arbeidsmediet (luft) gjennom maskinen uten noe kretsløp. Likevel sammenlikner man med teoretiske kretsprosesser, figur 1-36.Det samme gjelder gassturbiner. Den teoretiske sammenlikningsprosessen for gass­ turbiner er Joule-prosessen, figur 1-37.

Figur 1-35 Syklus i pV-diagram

Figur 1-36 Otto-prosessen for en bensinmotor

50

ELEMENTÆRE BEGREPER

Figur 1-37 Joule-prosessen for gassturbiner

1-14 Sammendrag Energi. Ifølge energiloven er energien totalt sett en konstant størrelse. Den kan bare endres ved at den skifter fra en energiform til en annen. Den andre naturloven i termodynamikken dreier seg om energiendring eller om­ forming av energi. Varme flytter seg utelukkende i retning av et temperaturfall. Bruken av termometer, for eksempel, baserer seg på at temperaturen jevner seg ut; i løpet av kort tid vil et termometer være i termisk likevekt med sine omgivelser. Denne likevekta er et resultat av termodynamikkens nulte hovedsetning. Et system er uttrykket for en utvalgt stoffmengde som er gjenstand for analyse, og som er begrenset av en systemgrense. Systemgrensa skiller systemet fra omgi­ velsene.

Indre energi, arbeid. Den indre energien i et system er summen av alle former for energi som befinner seg innenfor systemgrensene. Dersom systemet er et stoff i gassform, er gassens indre energi lik den følbare energien pluss latent energi. Gassens molekylbevegelser er en følge av opplagret arbeid; i det mikroskopiske sy­ stemet kan enhver overføring av energi nemlig ses på som opplagring av mekanisk energi. Systemet tærer på den opplagrede energien når det utfører arbeid på omgivelse­ ne. Ethvert stoff kan ses på som et arbeidende medium på grunn av termisk og elas­ tisk volumforandring. Likevekt. Et system er i termodynamisk likevekt når trykket ikke forandrer seg, når temperaturen er konstant og det ikke forekommer temperaturdifferanser, når massefordelingen på faststoff, væske og gass ikke forandrer seg, og når det ikke foregår kjemiske reaksjoner. Flere systemer som berører hverandre, vil ifølge termodynamikkens nulte hovedsetning før eller senere få den samme temperaturen.

Temperatur. Denne størrelsen måler vi ved å registrere den indre energiens innfly­ telse på andre fysiske størrelser, blant annet trykk eller volum. Internasjonalt sam­ arbeid har fastlagt temperaturen ved vannets trippelpunkt til 273,16 K. Potensial. Arbeidspotensialet til en masse i et felt av gravitasjonskrefter er

v=^ = g.h m b

kg,

ELEMENTÆRE BEGREPER

51

der g er feltstyrken og h er 1: høyden over referansenivået, 2: dybden i det væskebassenget der væskemassen befinner seg. I det siste tilfellet er bunnen i bassenget referansenivå, og væska er inkompressibel.

Sylinder. Arbeidet som blir utført når en væske med volum V under konstant trykk p trenger inn i en sylinder

W = p - V(J) Prosesser. Kvasilikevektsprosesser kan framstilles som en graf (kurve) i et diagram fordi vi regner med at det rår en uniform (= ensartet) tilstand i systemet selv om prosessen er en endring av tilstanden. Flere prosesser som følger etter hverandre slik at systemet kommer tilbake til de samme tilstandene, danner en syklus. Typiske sykluser finner vi i dampenergianlegg.

Oppgaver til kapittel 1 Enheter 1-1

Kraftenheten N er sammensatt av tre grunnenheter. Hvilken formel baserer vi kraftenheten på? Og hvordan ser kraftenheten ut uttrykt ved hjelp av grunnenhetene?

1-2 Vis hvilke formler energienheten J er basert på, og finn energienheten uttrykt ved hjelp av grunnenhetene.

1-3

Hvilken størrelse kan sammensetningen kgm2/s3 forkortes til?

1-4 Hvilken faktor (blant andre) har enheten kelvin opphøyd i minus en, det vil si K-1?

1-5

Hvilke fire grunnenheter inngår i enheten for spesifikk varmekapasitet?

1-6

Fra kinetisk gassteori har vi formelen mc1/! = 3 kT/1. Finn enheten for k, Boltzmanns konstant.

1-7 Uttrykk enheten Pa for trykk ved hjelp av grunnenheter. 1-8

Gjør følgende trykk om til bar: 8 kPa, 12 kPa, 10 MPa, 0,1 N/mm*-, 100 N/mm2, 1 kp/cm2, 10 kp/mm2. (1 kp = 9,80665 N)

1-9 Finn et eksempel som viser at produktet pVer lik et arbeid. Vis også at pro­ duktet har den samme enheten som arbeid.

1-10 Symbolet for potensial er V. Hvilken enhet har produktet av masse og potensial?

System 1-11 Kjølevannet i motorblokka til en bilmotor frakter overskuddsvarme til radia­ toren, der vannet kjøles av luftstrømningen. Skal radiatoren betraktes som et lukka eller som et åpent system?

52

ELEMENTÆRE BEGREPER

1-12 En kanne med saft settes i kjøleskapet for å bli avkjølt. Ville du analysere kanna som et lukka eller et åpent system?

1-13 På hvilke måter kan energi krysse grensa til et lukka system? Kan masse krys­ se grensa til et lukka system? 1-14 En enkeltvirkende sylinder har bare ett rør for trykkluft, se figuren. Skal rommet på trykkluftsiden betraktes som et lukka eller et åpent system?

Figur 1-38

Energiloven. Mekanisk energi 1-15 Et eple henger 2,2 m over bakken. Eplets masse er 2 hg, det er modent og fal­ ler. Hva er eplets potensielle energi så lenge det henger på greina? Hvor mye kinetisk energi, og hvor stor fart, har eplet idet det når bakken? Hvor høyt over bakken er eplet når den kinetiske energien er 1,8 J?

Figur 1-39 1-16 På figuren blir en kloss sendt ut over bordkanten med farten 2 m/s. Hvor stor fart har klossen idet den når golvet?

Figur 1-40

ELEMENTÆRE BEGREPER

53

1-17 Ei kule slippes fra 100 m høyde. I 80 m høyde har kula opparbeidd en kinetisk energi på 500 J. Finn kulas totale energi. 1-18 En bil kjører i motbakke 200 meter o.h. med farten 60 km/time. Hva er bilens makroskopiske energi når bilens masse er 1100 kg? 5 minutter senere er bilen kommet opp i 280 meter o.h., og farten er 70 km/t. Hvor stor er endringa i energi, og hva skyldes denne økninga?

Trykk 1-19 Barometerstanden viser 1030 mbar. I en beholder der det foregår en vakuumprosess viser manometeret — 0,4 bar. Hvor stort absolutt trykk er det i beholderen?

1-20 Et barometer viser at lufttrykket er 750 mm Hg. Et manometer viser at tryk­ ket i en rørledning er 185 kPa. Hvor stort absolutt trykk er det i røret? Sett tettheten til kvikksølv lik 13,59 kg/dm3.

1-21 I en stor bensintank er dybden 11 meter. Bensinen har tettheten 740 kg/m3. Finn overtrykket på bunnen av tanken i kilopascal (kPa). 1-22 En lufttrykkmåler viser 1020 mbar ved foten av en skyskraper. På toppen av bygningen måler man samtidig 986 mbar. Hvor høy er bygningen? Vi lar luftas tetthet være tilnærma konstant lik 1,209 kg/m3.

1-23 En tank for oljelagring er 8 meter høy og er halvfull av vann med en tetthet på 1000 kg/m3. Den øverste halvdelen er fylt med petroleum med tettheten 800 kg/m3. Finn trykkdifferansen mellom toppen og bunnen av tanken.

1-24 Barometerstanden er en dag 79 cm Hg. Et manometer som er montert på en beholder viser samtidig et trykk på 2,4 bar. Kvikksølvet har tettheten 13 590 kg/m3. Regn ut beholderens absolutte trykk.

Temperatur 1-25 En beholder med heliumgass har et trykk på 1,2 bar, og temperaturen 7] = 273,16 K. Temperaturen økes slik at man leser av 1,8 bar på trykkmåleren. Den siste -verdien p2 — 1,8 bar settes av 110 mm til høyre for px = 1,2 bar i et rettvinklet diagram. Sett 1 bar = 5 cm. Hvor mange millimeter blir da 1 K på temperaturskalaen? Hvor høy er temperaturen T21

1-26 Bruk tabell og finn kokepunktet til disse stoffene på kelvinskalaen: aceton, etanol, metanol, kvikksølv og svovelsyre. Finn smeltepunktet i kelvin for: argon, helium, klor, eddiksyre og kvikksølv.

Potensial 1-27 Vannmagasinene til Tafjord Kraft har høyder over havet på opptil omkring 1300 meter o.h. Hvor stor er vannmassen når arbeidspotensialet til et maga­ sin er 4000 MJ og overflata er 1300 meter o.h.? Se figuren på neste side.

54

ELEMENTÆRE BEGREPER

1-28 En gjenstand har en potensiell energi på 200 J i en bestemt høyde over bak­ ken. 5 m høyere er den potensielle energien 700 J. Hvor stor masse har gjen­ standen? 1-29 Væska i en åpen tank har et potensial på 44,2 J/kg regnet i forhold til bunnen av tanken. Hvor stor er dybden i tanken?

Figur 1-42

1-30 En pumpe tar vann fra kanalen og pumper det opp i tanken til nivået står 6 m over kanalens nivå. Hvor mye energi har da pumpa tilført vannet som er på tanken? (Diameter lik 1,8 m.)

Figur 1-43

ELEMENTÆRE BEGREPER

55

Arbeidssylinder 1-31 En sylinder har en diameter på 63 mm. Overtrykket er 6 bar og slaglengden 40 cm. Hvor stor kan belastningen på stempelstanga være? Hvor stort er det maksimalt nyttige arbeidet som kan utføres på ett slag? 1-32 0,8 1 hydraulikkolje strømmer inn i en sylinder under 160 bars overtrykk. Finn stempeldiameteren når slaglengden er 20 cm. Hvor stort var det nyttige arbeidet?

1-33 En hydraulikksylinder utfører et nyttig arbeid på 3,2 J. Belastningen på stem­ pelstanga er 8 kN, og oljetrykket er 16 bar overtrykk. Finn hvor lang stempelbevegelsen er. Hva er sylinderdiameteren? 1-34 En hydraulikksylinder utfører et nyttig arbeid på 200 J. Oljens overtrykk er 250 bar. Beregn oljeforbruket i 1.

Figur 1-44

1-35 Atmosfæretrykket p0 = 1,02 bar. Trykkluftanlegget leverer luft med p = 7 bar absolutt. Hvor stor belastning F kan sylinderen skyve når diameteren er 40 mm? Beregn det nyttige arbeidet ved en slaglengde på 35 cm. 1-36 Ved stort forbruk av luft i fabrikken der anlegget i oppgaven foran befinner seg, synker overtrykket i rørene til 4,5 bar. Hvor stor belastning kan sylinde­ ren i oppgave 1-35 i så fall ta? Beregn det nyttige arbeidet på 35 cm lengde nå. 1-37 Hvis trykket er konstant i løpet av en arbeidsoperasjon av en sylinder (belast­ ningen F er konstant), så er arbeidet W - p • Vs. 1^ er da det volumet som stempelet passerer i løpet av slaglengden 5. Hvis trykket i sylinderen er 3 bar overtrykk og stempelet passerer et volum Vs = 2 1, hvor stort er da det nyt­ tige arbeidet?

1-38 En sylinder med 40 mm diameter har et slagvolum V = A ■ L = 0,63 1. Regn ut det nyttige arbeidet når trykklufta har overtrykk: bar - 4 bar = 2 bar = 8 bar

Pover =

1-39 En sylinder er 100 mm i diameter. Disponibelt lufttrykk er 7 bar absolutt. Pq = 1010 mbar. Sylinderen skal flytte en belastning på F = 3142 N. Hvor stort trykk forårsaker denne belastningen i sylinderen? Arbeidet var 1885 J. Hvor langt flyttet sylinderen belastningen? Hvor stor belastning kan sylinde­ ren flytte maksimalt på 0,6 m slaglengde? Hvor stort nyttig arbeid kan sylin­ deren utføre maksimalt?

56

ELEMENTÆRE BEGREPER

1-40 En sylinder utfører et nyttig arbeid W = 2000 J. Atmosfæretrykket Po = 1010 mbar og trykket i trykkluftanlegget er 6 bar absolutt. Trykket under denne arbeidsoperasjonen er 6 bar. Hvor stort er slagvolumet Sylinderens slaglengde er 0,5 m. Hvor stor er belastningen på stempelet? Hvor stor diameter har sylinderen?

1-41 Sett F = 0 og barometerstanden p0 = 1 bar. Hva er da det mekaniske arbei­ det en sylinder med diameter 125 mm utfører når stempelet beveger seg ut slaglengden s = 40 cm?

40 cm

Figur 1-45

1-42 En sylinder er 65 mm i diameter. Trykket under en arbeidsoperasjon er 6 bar overtrykk, mens atmosfæretrykket er 1020 mbar. Slaglengden er 0,5 m. Beregn sylinderens slagvolum. Beregn det nyttige arbeidet sylinderen utfører. Hvor stort er det totale arbeidet sylinderen utfører?

EGENSKAPENE TIL RENE STOFFER

57

2 Egenskapene til rene stoffer

1 Rene stoffer 2I dette kapitlet skal vi ta for oss felles egenskaper ved stoffene i og omkring oss. I det forrige kapitlet brukte vi betegnelsen fase og forutsatte dermed at ordet fase var kjent. De tre fasene til vann ser vi i det daglige liv: is, vann og damp. For dette stoffet gjelder dessuten at vann består av kun en komponent (H2O). Lufta som vi puster i, består av flere komponenter, men grovt regnet er lufta en blanding av oksygen (O2) og nitrogen (N2). De to gassene har forskjellig tetthet, molmassen for O2 er 32 gram/mol, mens den er 28 gram/mol for N2. De reagerer også litt forskjellig på temperatur, kokepunktet ved 1 atmosfæres trykk er -196°C for nitrogen, mens oksygen koker (eller kondenserer) ved -183°C. Oksygen er flytende helt ned til -219°C, mens nitrogen er flytende ned til — 210°C. Felles for alle stoffer er altså at de har et smeltepunkt og et kokepunkt gitt av temperatur og trykk. Kommer man under et visst trykk, vil et stoff bare bestå av fast fase og gassfase. Det opptrer altså en nedre trykkgrense for flytende fase, den såkalte trippellinja (se avsnitt 2-6). Denne grensa varierer fra stoff til stoff. En egenskap som er spesiell for gassfasen, er at en gass alltid vil fylle ut hele det hulrommet den er innestengt i. Pumper man hydrogen inn i en beholder som alle­ rede inneholder luft, vil hydrogenmolekylene om en stund ha spredt seg til hele rommet i beholderen. Det forklares med at gassmolekylene har så stor energi at de flyr omkring tilfeldig med hastigheter og retninger som er resultatet av kollisjoner mellom molekylene og mellom molekylene og veggene i beholderen, figur 2-1. Italieneren Avogadro innførte molekylbegrepet. Han definerte et molekyl som den minste partikkelen et stoff kan deles ned til uten at stoffets egenskaper blir endret. Definisjonen kan fortsatt aksepteres hvis man begrenser egenskaper til kje­ miske egenskaper, og tar i betraktning at molekylbegrepet ikke alltid er relevant. En volumenhet må inneholde like mange gassmolekyler ved samme trykk og tem­ peratur, enten det gjelder hydrogen, oksygen eller andre gasser og gassblandinger (Avogadros lov, 1811).

Figur 2-1 Molekyler i gassfase har tilfeldige hastigheter i tilfeldige retninger

58

EGENSKAPENE TIL RENE STOFFER

2 Faseovergang. Tørr, metta damp 2I termodynamikken behøver man ikke å bry seg om molekylstrukturen og mole­ kylenes oppførsel i de forskjellige fasene. Det er imidlertid en støtte å ha en viss forståelse for molekylfenomenene som hver fase involverer, derfor skal vi kort se på noen allment anerkjente betraktningsmåten Fra vårt daglige liv vet vi at ved romtemperatur er kopper et fast stoff (metall), kvikksølv er flytende, propan er en gass, og så videre.

Figur 2-2 Molekylene i et fast stoff holdes i faste posisjoner av store intermolekylære krefter

I fast stoff, figur 2-2, ligger molekylene ordnet på forskjellig vis i tre retninger i rommet. Metallene, for eksempel, er krystallinske. Det vil si at metallatomene ligger ordnet på en helt bestemt måte, plasseringene gjentar seg i hver retning. Avstanden mellom molekylene er svært liten og de sammenbindende kreftene store. Disse kreftene holder molekylene i faste posisjoner. Imidlertid vil moleky­ lene gå over til å frastøte hverandre hvis avstanden blir for liten. Så selv om mole­ kylene ikke kan forandre plass i forhold til hverandre i et fast stoff, vil det være en viss vibrasjon omkring likevektsposisjonen (oscillering). Denne vibrasjonen er av­ hengig av temperaturen. Jo høyere temperatur, desto større fart og større utslag fra likevektsposisjonen må vi anta at molekylene får, figur 2-3.

Figur 2-3 Svingninger av et molekyl omkring likevektsposisjonen

Vi forestiller oss at molekylet på figuren holdes fast av en elastisk streng (fjær). Blir farten stor nok, vil det rive seg løs. Det tilsvarer det som skjer med faste stoffer ved høye temperaturer, molekylenes vibrasjoner blir så voldsomme at de inter­ molekylære kreftene overvinnes og stoffet smelter, figur 2-4.

EGENSKAPENE TIL RENE STOFFER

59

Figur 2-4 Molekylene går over i væskefase

Smelting medfører for de fleste stoffer en økning av volumet. I flytende fase er ikke molekylenes avstand til hverandre særlig mye større enn i fast stoff. Et unntak er is, som reduserer volumet når den smelter til vann. Energien som må tilføres for å smelte 1 kg is er 334,4 J/kg. /s = 334,4 J/kg er spesifikk smeltevarme for is. Derfor har vi generelt: Q = Zs • m (J)

2-la

Gassfasen skiller seg ut med en vesentlig endring av volumet. Særlig ved lav tetthet er de intermolekylære kreftene små, og kollisjoner er den eneste innflytelsen mel­ lom molkylene. Over en væskeflate vil molekylene bli tiltrukket av væska (figur 2-5), men energien til molekylene som går tilbake til væska, går da med til å gjøre andre molekyler fri. Situasjonen er bestemt av at energien er konstant. Er det ikke andre molekyler til stede enn molekylene fra væska, betegner vi gassen som tørr, metta damp.

Figur 2-5 Mengden av damp over væskeflata balanserer, slik at energien er konstant

3 Uavhengige egenskaper og tilstander 2i rene stoffer En viktig grunn til å beskrive begrepet rene stoffer er at tilstanden blir fullstendig fastlagt av to uavhengige, intensive tilstandsstørrelser. Det er ikke nødvendig å oppgi verdien av alle tilstandsstørrelsene. Når to slike verdier er gitt, så er resten av størrelsene automatisk fastlagt. Denne læresetningen gjelder når systemet ikke er i bevegelse, ikke er påvirket av gravitasjonskraftfelt, magnetisk eller elektrisk kraftfelt, og heller ikke er under innflytelse av overflatespenninger.

60

EGENSKAPENE TIL RENE STOFFER

Hvis for eksempel gravitasjonen har betydning, så må ytterligere en tilstandsstørrelse spesifiseres, nærmere bestemt høyden (for eksempel høyden over havet). Har man oppgitt det spesifikke volumet og temperaturen for et stoff, så er til­ standen til stoffet bestemt. Det spesifikke volumet er uavhengig av temperaturen. For å belyse uttrykket «uavhengig egenskap» minner vi om tilstanden i kokende væske og metta damp hos et rent stoff. Disse to fasene har samme trykk og tempe­ ratur, men fasene er svært forskjellige. I et system med flere faser i balanse, figur 2-6, er derfor ikke trykk og temperatur uavhengige egenskaper. Ved overføring av energi kan man påvirke volumet uten at trykket eller temperaturen endres. Andre eksempler på uavhengige egenskaper er spesifikt volum og trykk eller spesifikt volum og dampandelen x (se avsnitt 2-10).

Figur 2-6

Trykk og temperatur er konstante med metta damp til stede

4 Kokepunkt. Temperatur og trykk 2Siden vann er så velkjent fra vårt daglige liv, er det naturlig å ta dette stoffet som utgangspunkt for utgreiingen her. Vannet er et rent stoff og den oppførselen vi kan observere hos vannet, kan også observeres hos de andre rene stoffene. Det som er forskjellig, er bare at stoffene har innbyrdes ulike data. Det vil for eksempel si at vann er flytende i temperaturområdet 0-100 °C, mens ammoniakk er flytende i temperaturområdet —78°Ctil —34°C. Den aller vanligste observasjonen er den man gjør av en åpen gryte med vann i når den står på en elektrisk varmeplate og vannet omsider begynner å sirkulere og det stiger opp dampbobler. Da koker vannet, og den dampen som driver av fra gryta, er for varm til å komme borti med hendene. Dette forløpet er så å si en del av barnelærdommen vår. Vi har også erfart at vannmengden avtar hvis gryta blir stående på varmen. Den volumutvidelsen som skjer fra flytende fase til damp, er veldig stor. Utvi­ delsen innebærer også at lufta (= omgivende atmosfære) må skyves unna for å gi plass til dampen. Det er derfor naturlig at trykket er medbestemmende for når kokingen inntreffer. I termodynamikk er det ukorrekt å si at «vann koker ved 100 °C». Det rette er: «Vann koker ved 100 °C og 1 atmosfæres trykk». Jamfør figur 2-7.

61

EGENSKAPENE TIL RENE STOFFER

Figur 2-7 Ved havflata koker vann ved 100 °C

Figur 2-8 Belastningen på stempelet bestemmer trykket og koketemperaturen

Med utrustningen på figur 2-8 kan trykket økes til den verdien vi ønsker. Ved 500 kPa begynner vannet å koke ved 151,9 °C. Dampen som utvikler seg under ko­ king ved dette trykket, står i nær kontakt med vann med den samme temperaturen. Data for tørr, metta damp og kokende væske finner vi i damptabeller. Tabeller for vann og ammoniakk er grunnlag for figur 2-9, der sammenhørende verdier av trykk og temperatur for væskenes kokepunkt danner grafene i diagrammet. Ved en faseovergangsprosess er trykk og temperatur avhengige av hverandre. Det vil si: Z^metn — ^^metn.

2-lb

62

EGENSKAPENE TIL RENE STOFFER

Figur 2-9 Grafen for kokende væske og metta damp i et pT-diagram Forløpet av temperatur og volum ved oppvarming av vann fra ca. 20°C til koke­ punkt, fordamping og videre oppheting av overheta damp for et trykk lik 1 atm. er vist grafisk på figur 2-10.

Figur 2-10 TV-diagram for oppheting av vann ved atmosfæretrykk Volumskalaen på figuren er ikke i riktig målestokk. Spesifikt volum v' for kokende vann er 0,00104 m3/kg mens metta damp i punkt 2 har volumet v" = 1,673 m3/kg, altså ca. 1670 ganger større.

5 2-

TV-diagram for fuktig, metta og overheta damp

Ved et trykk på 1 MPa ved 100 °C har vannet litt mindre volum enn ved 0,101 MPa og 100°C. Vannets spesifikke volum avhenger av trykket, avsnitt 1-5, men man klarer ikke å skille linjene (isobarene) for konstant trykk fra hverandre i et dia­ gram. Avstanden mellom linjene for konstant trykk er derfor sterkt overdrevet i venstre del av figur 2-11. Metta damp har mindre spesifikt volum ved 179,9°C enn ved 100°C. Den horisontale linja mellom punktene for kokende væske og metta damp blir kortere

EGENSKAPENE TIL RENE STOFFER

63

ved høyere temperaturer, slik det tydelig framgår av figur 2-11. For varm ved 22,09 MPa og 374,14 °C har denne avstanden skrumpet inn til et punkt, nemlig det kritiske punktet. Det spesifikke volumet vkrit = 0,003155 m3/kg er det samme for damp som for vann. Ved dette trykket går væska derfor over til damp uten volum-

Figur 2-11 TV-diagram med data for vann. Isobaren fra figur 2-10 er supplert med flere trykk

Over den kritiske temperaturen betraktes stoffet som overheta damp. Under den kritiske temperaturen snakker man om komprimert væske, figur 2-12. Noe mar­ kert skille forekommer ikke i virkeligheten, slik som på diagrammet.

Figur 2-12 TV-diagram med øvre og nedre grenselinje

64

EGENSKAPENE TIL RENE STOFFER

Tegner man i diagrammet inn en linje gjennom punktene for kokende væske, så skiller man området for komprimert væske fra området for fuktig damp, figur 2-12. Denne linja er den nedre grenselinja for fuktig damp. En linje som forbinder punkter for metta damp, er den øvre grenselinja. Når vannet fordamper, går det direkte fra væske, figur 2-10 punkt 1, til metta damp, punkt 2. Mellomtilstanden eksisterer for så vidt ikke. Et punkt på forbindelseslinja mellom punktene 1 og 2 kan oppfattes som en blanding av metta damp og vanndråper (tåke). Det spesifik­ ke volumet til fuktig damp måles ikke, det beregnes av:

vf = x • v" + (1 - x) • v' (m3/kg)

2-2

v " er den mettede dampens volum, og v' er volumet til væska, x er masseandelen av metta damp. Av 1 kg som opprinnelig var væske, har x kg fordampet. Linjer for x - konstant er vist på figur 2-13. (Se også avsnitt 2-10.)

Figur 2-13 Linjene for x - konstant starter i det kritiske punktet

6 /2K-diagram for rene stoffer, 2inkludert fast fase pV- og TE-diagrammene for ett og samme stoff ser svært like ut. Temperaturlinjene T = konstant i pL-diagrammet på figur 2-14 synker fra venstre mot høyre, bort­ sett fra området for fuktig damp, der temperatur og trykk følges langs horisontale linjer. Trykklinjene p = konstant stiger derimot mot høyre i W-diagrammet på figur 2-12.

EGENSKAPENE TIL RENE STOFFER

65

Utvidelse av diagrammene for å ta med fast fase

Figur 2-15 Is flyter på vann

Likevektstilstand mellom to faser av et stoff er vi vel vant med, figur 2-15. Men for eksempel den selvfølgeligheten at is flyter på vann, er likevel svært uvanlig sett i sammenheng med antallet stoffer som har denne egenskapen. De fleste stoffer får større tetthet ved overgang til fast fase, mens vann altså får mindre tetthet, slik at is er litt lettere enn vann. joKdiagrammene for begge gruppene av stoffer er gjengitt på figurene 2-16 og 2-17. De to diagrammene er forskjellige bare i området med likevekt mellom fast stoff og væske. Under visse forhold eksisterer de tre fasene av et rent stoff i like­ vekt. I pU-diagrammene er de tre fasene markert med punktene 1, 2 og 3. Punkt 1 viser tilstanden til det faste stoffet, punkt 2 væska og 3 dampen, alle tre faser er i likevekt. Forbindelseslinja mellom de tre tilstandene kalles trippellinja. Tempera­ tur og trykk er konstant langs trippellinja. 3 - Teknisk termodynamikk

66

EGENSKAPENE TIL RENE STOFFER

Figur 2-16 pV-diagram for stoff som krymper ved størkning

v Figur 2-17 pV-diagram for stoff som ekspanderer ved størkning

T

Figur 2-18 pT-diagram for rene stoff

EGENSKAPENE TIL RENE STOFFER

67

7 prdiagrammet 2I et /zTdiagram kommer trippellinja fram som et punkt fordi linja står vinkelrett på /zTplanet. Punktet kalles trippelpunktet, figur 2-18. Fordampingslinja, figur 2-18, fra trippelpunktet til det kritiske punktet svarer til området for fuktig damp på figur 2-12. (Trippelpunktdata for vann, se avsnitt 1-11.) Ved trykk under trippelpunktet vil fast stoff gå direkte over til damp, figur 2-19. Dette fenomenet kalles sublimering.

Figur 2-19 Ved lave trykk sublimerer faste stoffer

8 pvPflate 2Anta at et rent, kompressibelt stoff er fylt på en beholder og vi ønsker å undersøke tilstanden i beholderen. Det er nok å undersøke to uavhengige egenskaper. De and­ re egenskapenes verdi er gitt av de to man først velger. Alle tilstandsstørrelsene er fiksert når man har fastlagt to av dem, se avsnitt 2-3. Vi minner om at enhver likning med to uavhengige variabler av formen z = z(x, y) representerer en flate i rommet. Derfor kan pvrsammenhengen til et stoff representeres som en pvT^flate, se figurene 2-20 og 2-21. Her betrakter vi T og v som uavhengige variabler (basen), mens p er den avhengige variabelen. Alle punkter på flata representerer likevektstilstander. Og alle tilstandspunkter langs kurven for en kvasilikevektsprosess ligger på flata i og med at en slik prosess må passere gjennom likevektstilstander. Enfaseområdene framtrer som krumme deler av pvT-flata, og tofaseområdene som flater normalt på /zFplanet. Det siste er ventet i og med at projeksjonen av tofaseområdene på //^planet er linjer, figur 2-18. Alle de todimensjonale diagrammene som vi har redegjort for så langt, er pro­ jeksjoner av den tredimensjonale flata. /jvT-flata byr på mye informasjon, men i en termodynamisk analyse er det mer anvendelig med de vanlige todimensjonale diagrammene slik som pV- og 7V-diagrammene.

68

EGENSKAPENE TIL RENE STOFFER

Figur 2-21 pvT-flate for et stoff som utvider seg ved størkning (for eksempel vann)

EGENSKAPENE TIL RENE STOFFER

69

Gass og damp er ord som brukes om hverandre. Dampfasen til et stoff kalles van­ ligvis gass når tilstanden er over den kritiske temperaturen. Damp er oftest en gass som ikke er langt unna øvre grenselinje eller kondensering.

9 Tabeller over tilstandsstørrelser. Entalpi 2For de fleste stoffer er sammenhengen mellom de termodynamiske egenskapene for kompliserte til å uttrykkes ved hjelp av enkle likningen Derfor er det nødvendig å gjengi verdiene i tabeller. Noen termodynamiske egenskaper kan måles lettvint. Andre kan ikke måles direkte, men blir kalkulert på grunnlag av sammenhengene som knytter dem til målbare egenskaper. Resultatene av målinger og beregninger blir presentert i tabeller, som må ha et hendig format. For hvert stoff trengs det mer enn en tabell. Man kan dele tabellverket inn i tabel­ ler for hvert av områdene «komprimert væske», «overhetet damp» og kokepunktstabell (kokepunkt, metta damp). Figur 2-23 er et utdrag fra en trykktabell (ref. 9) og er et eksempel på den sistnevnte tabellkategorien. Oftest vil man finne at den indre energien u ikke er listet opp i slike tabeller. Der­ imot finner vi en annen størrelse, nemlig entalpi.

Entalpi, en kombinert størrelse I analyser av visse prosesser, slik som varmeenergiprosesser og kjøleprosesser som vi viser sterkt forenklet på figur 2-22, støter vi på kombinasjonen U + pV. På grunn av forenklingen og anvendeligheten blir denne summen definert som en ny egenskap, entalpi, som har fått symbolet H: H = U + p-V

(J)

2-3

Eller, når likninga gjelder per enhetsmasse: h = u +p•v

(J/kg)

2-4

Figur 2-22 Entalpi er en kombinasjon av størrelsene på figuren

Produktet p • V får enheten (Pa) • (m3). En enkel analyse av disse enhetene vil vise at produktets enhet er joule (J), enheten for energi. Vi kommer tilbake til anvendel­ sen og betydningen av tilstandsstørrelsen entalpi i avsnitt 4-5. Det bør nevnes at noen tilstandsstørrelser blir «nullstilt» i et tilstandspunkt som kan velges mer eller mindre tilfeldig. Dette punktet blir et referansepunkt der til-

70

EGENSKAPENE TIL RENE STOFFER

standsstørrelsens verdi settes lik null. Det kan man gjøre fordi man i termodyna­ mikken er opptatt av forandringer av tilstandene og ikke av tilstandsstørrelsenes absolutte verdi (unntak: trykk, volum, temperatur). Størrelsene kan til og med bli negative som et resultat av referansepunktet som er valgt (for eksempel entalpi, indre energi, entropi). Utdrag fra en damptabell over kokepunkt og metta damp framgår av figur 2-23. Trykktabell Trykk p i bar Spesifikt volum v i m3/kg Spesifikk entalpi h i kJ/kg

Spesifikt volum p

°C

Væske

0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,0

89,96 91,78 93,51 95,15 96,71 98,20 99,63

0,0010359 0,0010371 0,0010384 0,0010397 0,00104009 0,0010421 0,0010431

Damp

Spesifikk entalpi

Væske

2,3643 376,805 2,2166 384,489 2,0868 391,761 1,9717 398,666 1,8691 405,243 1,7770 411,527 1,6938 417,550

Fordampningsvarme 2282,89 2278,18 2273,70 2269,44 2265,36 2261,46 2257,71

Damp 2659,69 2662,67 2665,46 2668,11 2670,61 2672,98 2675,25

Figur 2-23 Utdrag av en damptabell (ref. 9)

10 2-

Beregninger i fuktig dampområde

De aktuelle damptabellene inneholder data over temperatur, trykk, entalpi og så videre for tilstander der væska og væskedampen er i likevekt. Slike tabeller fins i ref. 1, 3, 5, 9, 10 og 11. Vi har allerede påvist betydningen av en og to tødler, for eksempel v' og v". En /-indeks står for en verdi i området for fuktig damp, for eksempel vf, se likning 2-2.

Figur 2-24 Prinsipiell skisse av et pV-diagram

EGENSKAPENE TIL RENE STOFFER

71

I norske lærebøker står r for fordampingsvarme, som er det samme som fordampingsentalpi (latent energi), r representerer den energimengden som trengs for å fordampe en masseenhet av væska. For vann ved atmosfæretrykk og 100 °C er r = 2257 kJ/kg. r avtar ved høyere kokepunkt, se trykk px, p2 og p3, figur 2-24, og er lik null ved det kritiske trykket pkr. Fuktig damp er en sammensetning av to tilstander av stoffet, figur 2-25. A er tilstandspunktet for væska i den fuktige dampblandinga, mens punkt C er tilstandspunktet for den mettede dampen. Massebalansen:

wtotai = mD +

2-5

mD = massen av damp mv = massen av væske

Figur 2-25 Den fuktige dampens to bestanddeler

Fuktigheten x er forholdet mellom mD og mtotal:

W total (I engelskspråklige bøker kalles fuktigheten x «quality».) Vi ser at x har verdier fra null til ert (figur 2-13). I området for fuktig damp kan x stå som en av de to uavhengige tilstandsstørrel­ sene som trengs for å spesifisere en tilstand. Merk at punkt A, figur 2-25, er tilstandspunktet for vannet i den fuktige dampblandinga, mens punkt C er tilstandspunktet for den mettede dampen i blandinga. I løpet av fordampingsprosessen av­ tar mv, men dette vannets tilstand holder seg konstant. Fuktig damp er altså en kombinasjon av to undersystemer: væske og damp. Fordelingen av massen på mD og mv er som regel ukjent. Derfor er det mest hensiktsmessig å forestille seg at de to fasene er svært godt blandet slik at blandinga er homogen, figur 2-26. Da vil tilstandsstørrelsene til denne blandinga rett og slett være gjennomsnittet av væske og damptilstandsstørrelsene. Betydningen av denne betraktningsmåten blir tyde­ ligere når man kommer til beregninger av dampenergianlegg.

72

EGENSKAPENE TIL RENE STOFFER

V"

Metta damp

Fuktig damp V7

væske

Figur 2-26 I beregninger forestiller man seg gjerne tofasesystemet som en homogen blanding

Hvis volumet av en tank er opptatt av V" kubikkmeter metta damp og V kubikk­ meter væske, så er altså totalvolumet r= v + v"

Total masse mT: V = m-f • vf

(m3)

der vf er det spesifikke volumet til den fuktige dampen.

Videre:

V - ny ■ v' + mD • v" mv - mT - mD

(m3)

(kg)

Vi erstatter volumet Vog væskemassen my i den siste volumlikninga og dividerer så med mT: mT • vf = (wt — wd) • v' + • v" vf = (1 - x) • v' + x • v" (m3/kg)

(likning 2-2)

Denne likninga løser vi med hensyn på x: vf - v' X = —,,------ 7

V

2-7

— V

Figur 2-27 Dampandelen x er proporsjonal med avstanden AB i diagrammet

EGENSKAPENE TIL RENE STOFFER

73

Basert på denne likninga kan vi finne den fuktige dampens tilstand i pV- eller TVdiagram, figur 2-27.

, , AB mm Dampandelen x = —

2-8

Avstandene måles altså i diagrammet med millimetermål (forutsatt lineær skala). Punktet* = 0,5 er da midtpunktet på AC. Beregningsmåten kan overføres til indre energi og entalpi, i det hele tatt kan likning 2-2 skrives om med andre symboler slik at én likning tjener flere oppgaver: Vf = xy" + (1 - x)y'

2-9

Ifølge figur 2-27 må vi ha y' Oppvarming av gass i en stengt beholder er et eksempel på isokor prosess.

4 Isoterm prosess

Figur 3-22 Isoterm kompresjon, Q = W

Isoterm betyr «med konstant temperatur». Hvis en prosess skal kunne betraktes som isotermisk, må systemet forbli i termisk likevekt. Det innebærer at trykk- og volumforandringene må skje langsomt nok til at temperaturen kan holdes kons­ tant. Generelt for virkelige stoffer vil ingen av størrelsene Q, AU eller W være lik null etter prosessen. Under spesielle betingelser avhenger et systems indre energi bare av temperatu­ ren. Det mest kjente systemet som har denne egenskapen, er en ideell gass. Hvis temperaturen er konstant i et slikt system, blir dU = 0, og den første hovedsetnin­ gen lyder: Q - 0 + W

eller 0 = W. Volumendringsarbeidet Wv blir beregnet som i eksempel 3-3. Ved en ekspansjon som forløper isotermt, går all varmen med til å utføre arbeid. For ideell gass har vi tilstandslikningen pv = RT. På grunnlag av denne likninga går det an å vise at u = w(7)

(J/kg)

3-26

Det vil si at den indre energien i en ideell gass er en funksjon av temperaturen alene. Denne sammenhengen kommer vi tilbake til. Ved en isoterm prosess i en ideell gass må energi som er tilført som varme Q, føres bort igjen som arbeid W. Det gjelder altså bare for ideell gass, for generelt sett kan den indre energien variere selv om temperaturen er konstant.

104

ENERGILOVEN FOR ET LUKKA SYSTEM

EKSEMPEL 3-5 En isokor prosess ab er tegnet inn i pF-diagrammet, figur 3-23. Fra b til d er pro­ sessen isobar. I prosessen ab blir 6 kJ varme tilført systemet, 2 kJ varme tilføres mellom b og d. Finn a) endringa i indre energi fra a til b og b) fra b til d. Finn c) endringa i indre energi fra a til d.

P

220 kPa--

80 kPa--

7,3 ■ 10-3

y(m3)

Figur 3-23 Diagram

Løsning: a) Her er det ingen volumendring, og W - 0. Dermed er AU = Q = 6 kJ.

b) Likning 3-25:

W= = = =

p • (F2 - Vx) 2,2- 105 - (11,3 - 7,3)- 10~3 880 J 0,88 kJ

Likning 3-21: AU = Q - W = 2 - 0,88 = 1,12 kJ

c) Prosess a til d:

AU = AUa + AUb = 6 + 1,12 = 7,12 kJ

Indre energi I avsnitt 2-3 ble det hevdet at tilstanden i et arbeidende medium er fastlagt av to uavhengige, intensive tilstandsstørrelser. To punkter 1 og 2 er tegnet inn i pVdiagrammet, figur 3-24. I punkt 1 er tilstandsstørrelsen p} og V{ gitt, men da er samtlige andre størrelser også fastlåst. Vi skal se at også den indre energien er en tilstandsstørrelse som har sin bestemte verdi i punkt 1.

105

ENERGILOVEN FOR ET LUKKA SYSTEM

Figur 3-24 Kurvene A og B har samme AU

Går vi fra punkt 1 til 2 via A, så er Q og av kurven.

Differansen

gitt, idet disse størrelsene er avhengig

(Q — W)A = AUa

Da er verdien av U fastlagt for punkt 2. Vi kan finne den ved hjelp av størrelsene Q og for kurve A når vi kjenner den indre energien i punkt 1. Går vi fra 1 til 2 via B, får vi: (Q —

= At7B

Sett nå at A(7B er forskjellig fra AUa. Det ville føre med seg at mediet kunne ha forskjellige verdier av U\ punkt 2. Hvordan skulle man da kunne endre den indre energien fra en verdi til en annen uten å endre på noen annen tilstandsstørrelse i punkt 2? Det måtte innebære at man kunne ødelegge energi eller skape ny energi, noe som ifølge energiloven er umulig. Den indre energien er derfor en tilstands­ størrelse, og AUA - AUb. Den tidligere definisjonen av indre energi i et system som den samla mikrosko­ piske kinetiske og potensielle energien er ubrukelig som utgangspunkt for å bereg­ ne denne energien. Det vil si at definisjonen ikke beskriver hvordan man kan finne den definerte størrelsen på grunnlag av fysiske, målbare størrelser. Endringa i indre energi defineres derfor ved hjelp av likning 3-21. Både Q og W er størrelser som kan måles. Vi har ikke dermed definert selve energien U, bare AU. Men i termody­ namikken er ikke det et hinder. Man fikserer et systems indre energi i en nærmere spesifisert tilstand, og denne fikserte verdien sammen med likning 3-21 gir oss verdien av den indre energien i en hvilken som helst annen tilstand. Det vi her fore­ tar oss, er i prinsippet det samme som vi gjorde for å beregne potensiell energi. Et systems potensielle energi settes lik null når systemet befinner seg på et nærmere bestemt referansenivå. Her snakker vi om en referansetilstand der indre energi for eksempel kan settes lik null. Et isolert system som er uten samspill med omgivelsene, utfører ikke noe arbeid og utveksler heller ikke varme med omgivelsene. Selv om det foregår prosesser innenfor systemgrensene, har vi: Q = 0, W = 0

og følgelig også AU = 0, med andre ord: Den indre energien i et isolert system holder seg uendret. Dette utsagnet er det mest generelle angående energiloven. Den indre energien i et isolert system kan ikke forandres av noen prosess (mekanisk, elektrisk, kje­ misk, kjernefysisk eller biologisk) som finner sted innenfor systemgrensene.

106

ENERGILOVEN FOR ET LUKKA SYSTEM

EKSEMPEL 3-6 I eksempel 3-5 og på figur 3-23 føyer vi til en alternativ prosess, figur 3-25, pro­ sessen acd. Finn den totale varmen som tilføres systemet i denne prosessen. Pl »d

220 kPa--

80 kPa--

a•

7,3 • 10-3

>

c 11,3 • 10~3

Figur 3-25

Løsning: Siden At/ er uavhengig av kurven, er endringa av indre energi den samme som for prosessen abd: A(/= 7,12 kJ Det totale arbeidet for kurven acd er = p • (K2 - FJ = 8 • 104 • (11,3 - 7,3) • 10-3(Pa • m3) = 320 J

Likning 3-21 gir da

Q = AU + W = 7,12 + 0,32 = 7,44 kJ

7 Termodynamikkens 1. hovedsetning 3for et system som gjennomløper en syklus Vi betrakter det enkle systemet på figur 3-26a. Loddet kan veksle mellom en øvre posisjon og en nedre med en loddrett avstand h (ni). Tauet forutsettes å være tynt og lett slik at vi kan se bort fra tauets masse.

ENERGILOVEN FOR ET LUKKA SYSTEM

107

Bremsekloss

Vi utfører et arbeid på systemet ved å dra i tauet for å heve loddet. I øvre posi­ sjon lar vi bremsen overta, figur b. Bremseklossen kan enten holde loddet stille eller la det gli tilbake til nedre posisjon. Bremsefriksjonen vil utvikle varme, og temperaturen øker i bremseflata. Loddet har gjennomført sin del av syklusen, men temperaturen må senkes igjen før vi kan si at systemet er tilbake til utgangstilstanden. Varmen Q må med andre ord ledes bort fra systemet, figur c.

Figur 3-26 Den totale energien er uforandret, AE = 0

Arbeidet med å heve loddet er W = Fh (Nm). I øvre posisjon finner vi igjen det­ te arbeidet som potensiell energi. Under senkingen av loddet ved hjelp av bremse­ klossen blir den potensielle energien omforma til varme på grunn av friksjonen. Av dette slutter vi at:

Q = W = mgh

(Nm)

Når bremseklossen senker loddet pent og pyntelig til nedre posisjon, så er det ingen krefter i omgivelsene som beveger seg. Derfor utføres det heller ikke noe arbeid. For transport av energi over systemgrensa har vi alt i alt: Q = W

(Joule)

På grunn av Sl-enhetssystemet har disse størrelsene felles enhet (se innledning).

108

ENERGILOVEN FOR ET LUKKA SYSTEM

Syklus i et arbeidende medium. Omdanning av varme til arbeid ved kretsprosesser Et forløp der varmen blir omgjort fullstendig til arbeid, har vi lært å kjenne som en isoterm ekspansjon. Samtidig med at arbeidsmediet utfører arbeid, synker imidlertid trykket (eksempel 3-3). Forløpet kan derfor bare gjennomføres en gang og kan ikke gjentas periodisk over lengre tid enn reservene av arbeidsmediet til­ later. Riktignok kan mediet komprimeres langs den samme kurven i et omvendt forløp tilbake til begynnelsestilstanden, hvis systemets omgivelser er de samme. Men da vil man bruke opp akkurat det arbeidet som ble utført i ekspansjonen, figur 3-27a. Hvis vi vil oppnå en vedvarende utvinning av arbeid med den samme mengden av arbeidsmediet, så må vi gjennomføre en annen tilstandsforandring langs en annen kurve tilbake til begynnelsestilstanden. Da må vi skifte systemets omgivel­ ser, figur 3-27b. De forskjellige prosesskurvene i syklusen lukker seg omkring et område i diagrammet, figur 3-27c. Langs et lite element av denne kurven blir det utført et arbeid dPL =pdV som er lik den skraverte stripa. Samtidig tilføres varmen dQe = d(7 + påV

under ekspansjon og blir ført bort under kompresjon: dQk = dt/ + p&V

I løpet av hele syklusen utføres altså nettoarbeidet ^clM= '*p d v

som er lik arealet av det inntegnede området.

Figur 3-27a Systemet returnerer til 1

ENERGILOVEN FOR ET LUKKA SYSTEM

109

Omgivelser f

Figur 3-27b System med forskjellige omgivelser, 7} > T2

Sirkelen på integraltegnet markerer at integrasjonen skal foretas langs den lukka kurven. Integrerer vi varmemengden på samme måte, så får vi ifølge den første hovedsetningen a«.o = ■£-4 = 4431 kPa

b) Volumendrings- eller kompresjonsarbeidet beregner vi ved hjelp av likning 3-21: Q = U2 — U\ + kK der Q = 0. Det vil si (se også likning 3-19): WV=UX-U2 = mcJJ\ - T2)

Luftmassen m i sylinderen:

p • V _ 105 • 0,001 = 0,0012 kg RT~ 287 • 290

cv for luft = 718 J/(kgK) W. = 0,0012 • 718 • (290 - 857) = -488,6 J c) Arbeidet tilsvarer endringa av indre energi:

Wv = mcJJ\ - T2) Vi går til likning 3-40: cp = cv + R. Setter vi cv utenfor parentes etter å ha flyt­ tet om leddene i likninga, får vi for cv:

og vi får Wv =

• (mR7\ - mRT2)

for volumendringsarbeidet. Benytter vi oss videre av tilstandslikninga 2-15, blir resultatet:

=

35O

f\

1

ENERGILOVEN FOR ET LUKKA SYSTEM

12 3-

121

Sammendrag

Dette kapitlet etablerer en likning som viser sammenhengen mellom de tre formene for energi som influerer på tilstanden til et lukka system, termodynamikkens første hovedsetning: Q= kU + W

W ex fellessymbolet for arbeid som kan utføres på systemet eller av systemet. Det kan være elektrisk arbeid, volumendringsarbeid, tyngdekraftarbeid, akselerasjonsarbeid eller akselarbeid.

Spesielle termodynamiske prosesser Den første hovedsetningen, selve likninga, forandres etter hva slags termodyna­ misk prosess det er snakk om:

Adiabatisk prosess

W = -MJ

Isobar prosess

Q = &U + p • AK

Isokor prosess

Q = AD

Isoterm prosess

Q = w

Isolert system Energien i et isolert system er konstant.

Varmekapasitet Den spesifikke varmekapasiteten til et homogent stoff er lik den varmen som skal til for å heve temperaturen 1 grad i en masseenhet av stoffet. Siden denne varme­ mengden varierer langs temperaturskalaen, må temperaturpunktet spesifiseres sammen med varmekapasiteten. Denne varmemengden er dessuten avhengig av kompressibiliteten. For stoffer med stor volumutvidelseskoeffisient, spesielt gass, må det derfor oppgis hvilken termodynamisk prosess det dreier seg om. Vanligvis blir den spesifikke varme­ kapasiteten oppgitt i tabeller for isokor og isobar prosess. For faste stoffer og væsker ser en vanligvis bort fra volumutvidelsen i denne forbindelsen (volumutvidelsesarbeidet er tilnærma lik null). For sammenhengen mellom individuell gasskonstant R, cv og cp gjelder

cp = cv + R Forholdet

c

=

k

kalles adiabateksponenten.

Beregning av Au og Ah. Ved hjelp av middelverdier cvm og cpm beregner vi endrin­ gene Aw og A/z som produkt: Au = cvm(7^ - 7j)

og

A/z = cpm(T2 - 7j)

122

ENERGILOVEN FOR ET LUKKA SYSTEM

Beregning av en adiabatisk prosess. Etter å ha etablert en differensiallikning med de variable størrelsene temperatur og volum, finner man sammenhengen T • VK~1 = konstant

når Q = 0. Beregning av en polytropisk prosess. Adiabateksponenten n = polytropeksponenten:

k

er en spesialverdi av

n = 0 isobar prosess n = 1 isoterm prosess n -

k

adiabatisk prosess

n = oo isokor prosess

Volumendringsarbeidet ved en polytropisk prosess: w z

1 — n

Oppgaver til kapittel 3 Varme og arbeid 3-1

Hvordan ser fortegnsreglene ut for utveksling av energi i form av varme og arbeid mellom et system og omgivelsene?

3-2 Gassen som er innestengt i en arbeidssylinder av et stempel, vil få høyere tem­ peratur når stempelet presses inn og komprimerer gassen. Er denne prosessen utveksling av arbeid eller av varme?

Figur 3-39

ENERGILOVEN FOR ET LUKKA SYSTEM

3-3

123

Når er utvekslingen av energi arbeid, og når er det varme?

3-4 Et rom er utstyrt med panelovner. La rommet medreknet ovnene være syste­ met vårt. Er oppvarmingen ved hjelp av de elektriske ovnene utveksling av varme eller av arbeid? 3-5

Hva er en prosessavhengig størrelse, og hvordan skiller den seg fra tilstandsstørrelsene? Nevn eksempler.

3-6 En bil med masse 1180 kg bruker 5 s på å starte fra null og oppnå 30 km/h. a) Finn akselerasjonsarbeidet. b) Hvor stor kinetisk energi har bilen opparbeidet etter 5 s? 3-7 Et fat med olje med vekta G = 1600 N skal opp på et lasteplan til en bil. Høy­ den er 1,5 m. Man ruller fatet langs et skråplan som heller 18°. Regn ut arbei­ det som må utføres langs skråplanet (friksjon = 0).

Figur 3-40

3-8

En elektrisk komfyr er utstyrt med en plate med største effekt på 1500 W. 10 1 vann skal varmes opp fra 12 °C til koking. Sett vannets varmekapasitet til 4,2 kJ/(kgK), og regn ut hvor lang tid det vil ta å varme opp vannet. For enkelhets skyld ser vi bort fra oppvarming av omgivelsene (= varmetap) og av kasserollen.

3-9 En sylinder leverer trykkluft til et anlegg der en beholder tar imot lufta og sørger for å jevne ut trykkvariasjoner. Stempelet skyver 2 1 luft med trykk px = 700 kPa inn på anlegget. a) Avgjør om arbeidet skal betraktes som positivt eller negativt. b) Beregn arbeidet.

3-10 En gass under konstant trykk lik 600 kPa og med volumet 0,05 m3 blir kjølt ned inntil volumet har minket til 0,04 m3. Beregn det arbeidet gassen har utført.

3-11 3,6 kmol av en ideell gass blir varmet opp ved konstant trykk fra 17 °C til 117 °C. Beregn det arbeidet gassen har utført.

124

ENERGILOVEN FOR ET LUKKA SYSTEM

3-12 I en beholder med variabelt volum har vi avstengt en ideell gass med trykket p = 580 kPa, volumet kJ = 0,0083 m3 og temperaturen = 290 K. Vi til­ fører varme slik at temperaturen stiger til t2 = 320 °C, mens trykket holder seg konstant. Beregn det arbeidet gassen utfører.

3-13 Vi lar 0,10 kg vann koke bort ved et trykk på en atmosfære. Hvor stort arbeid utfører dampen på omgivelsene?

Den første hovedsetningen, Q - AU + W 3-14 En isolert tank med flytende innhold er utstyrt med en rører som holder væska i bevegelse. Dermed stiger temperaturen i tanken. a) Har det blitt tilført varme? b) Har det blitt utført arbeid? c) Hvilket fortegn har A LP.

3-15 Gassen i en sylinder ekspanderer fra 3 1 til 6 1 mens det tilføres akkurat nok varme til å holde trykket konstant på 200 kPa. Varmemengden som tilføres, er 1600 J. a) Beregn det arbeidet gassen utfører. b) Beregn endringa i indre energi i gassen. c) Spiller det noen rolle for beregningen om gassen er ideell eller ikke?

3-16 To mol av en ideell gass har temperaturen t - 27 °C. Mens temperaturen hol­ des konstant, blir volumet redusert inntil trykket fordobles. a) Beregn arbeidet som gassen utfører. b) Hvor mye varme må bortføres? c) Hvor stor er endringa i indre energi?

3-17 Et lukka system gjennomgår en prosess der det mottar en varmemengde på 140 J og samtidig yter 64 000 Nm arbeid. Hvor mye har den indre energien økt eller minket? 3-18 Når en prosess endrer tilstanden i et system fra a til b langs kurven acb, ledes 160 J varme til systemet, og 60 J arbeid blir utført. Se figur 3-43.

ENERGILOVEN FOR ET LUKKA SYSTEM

125

Figur 3-43

a) Hvor mye varme ledes til systemet i prosessen adb hvis arbeidet er 20 J? b) Hvis systemets tilstand føres tilbake fra b til a via den krumme prosess­ kurven, hvor mye varme må da utveksles, og i hvilken retning hvis arbeidet er 30 J? c) Hvis Ua - 100 J og L/d = 180 J, beregn varmen som blir utvekslet i pro­ sessene ad og db. 3-19 En sylinder med stempel inneholder nitrogen med volum Vx = 0,1 m3, p} = 150 kPa og 0 - 25 °C. Stempelet komprimerer nitrogenet til trykket 1 MPa og temperaturen 150 °C. Kompresjonsarbeidet er 20 kJ. cv for 7V2 er lik 743 J/(kgK). Beregn varmemengden Q, og bestem om Q blir ført bort eller tilført.

3-20 En ideell gass er avstengt i en sylinder. Ved hjelp av varme forandrer vi tryk­ ket og volumet til gassen fra (kj, px) til (V3, p3). Temperaturene er Tx = 250 K, T2 = 500 K og V 750 K. Pn

P2-

2

3

7----- T

I I -i---------k-

Figur 3-44 a) Finn den varmen som er nødvendig for å føre gassen fra tilstand 1 til 3, når varmekapasiteten til gassen ved konstant trykk er cp = 20,8 J/K og ved konstant volum cv = 12,8 J/K. b) Finn arbeidet kF>3. (Tips: At/ = cv • AT)

Termodynamiske prosesser 3-21 Hva er det som kjennetegner en adiabatisk prosess? 3-22 Hva er kjennetegnet på en isobar prosess? Hvilke formler bruker vi i oppga­ vene (3-9, 3-10, 3-11, 3-12, 3-13) foran for å beregne arbeidet i løpet av en slik prosess? Og hvordan beregnes endring av indre energi og tilført varme?

3-23 Hva er kjennetegnet på en isokor prosess? Hvordan beregnes arbeidet og endring i indre energi i løpet av en isokor prosess?

126

ENERGILOVEN FOR ET LUKKA SYSTEM

3-24 Hva er kjennetegnet på en isoterm prosess? Hvordan beregnes arbeid og varme i løpet av en slik prosess? Hvor mye endrer den indre energien seg i løpet av en isoterm prosess i en gass under lavt trykk?

3-25 Hva er kjennetegnet på en polytropisk prosess? Vi vil beregne arbeidet i løpet av en slik prosess. Hvilke størrelser trenger vi da?

Syklus, AQ = AfT 3-26 En sylinder får tilført varme slik at temperaturen stiger fra tx til t2. Et instru­ ment registrerer temperaturen /2 - 200°C. Da har systemet fått overført 500 J. Deretter settes sylinderen i kontakt med kaldere omgivelser slik at tem­ peraturen synker til tx idet stempelet berører stopperne. Da er en varme­ mengde på 425 J ført bort fra systemet. Hvor mye arbeid må systemet da ha utført?

Figur 3-45

3-27 Et liknende system som på figur 3-45 utfører et arbeid W = Fs = 100 J i lø­ pet av en ekspansjon. Tilført varme er Q - 400 J. Hvor mye varme må bort­ føres før man kan repetere syklusen?

Spesifikk varmekapasitet 3-28 En aluminiumsblokk på 400 kg har temperaturen 8°C. Temperaturen stiger til 18 °C. Hvor mye varme har aluminiumsblokken absorbert? 3-29 Et aluminiumskar med temperatur t = 20°C og masse 2 kg får tilført var­ men Q = 45 kJ. Hvilken temperatur vil karet få? 3-30 12 kg vann av 50 °C blandes med 6 kg vann av 8 °C. Beregn blandingstemperaturen når vi ser bort fra varmeutveksling med omgivelsene.

3-31 En prøve av et ukjent materiale har massen 0,05 kg. Med en temperatur på 100 °C legges prøven ned i et kalorimeter med 0,20 kg vann som holder 20 °C. Kalorimeterbeholderen er av 0,10 kg kopper. Blandingstemperaturen som måles, er 22 °C. Beregn materialets spesifikke varmekapasitet.

3-32 Et kalorimeter inneholder 0,200 kg vann ved temperaturen 12 °C. Vi leder tørr, metta vanndamp med temperatur 100 °C ned i vannet. Temperaturen i kalorimeteret stiger til 45 °C. Ved veiing finner vi at massen av vannet har økt

ENERGILOVEN FOR ET LUKKA SYSTEM

127

til 0,212 kg. Kalorimeterets varmekapasitet er oppgitt til 0,05 kJ/K. Regn ut vanndampens spesifikke kondensasjonsvarme. 3-33 Et kalorimeter med = 200 gram vann har temperaturen 0 - 42 °C. Kalorimeterets varmekapasitet er C = 100 J/K. Hvor mye is med temperatu­ ren t0 = 0°C må vi legge i kalorimeteret for at temperaturen skal bli 22 °C?

3-34 50 g is med temperaturen tx = —10 °C blir lagt i et kalorimeter med = 200 g vann som har temperaturen t1 = 10 °C. Varmekapasiteten til kalorimeteret er C = 100 J/K. Hvor mye is smelter?

Varmekapasiteter for ideell gass 3-35 Slå opp tabellverdier for cp og R (gasskonstanten) for oksygen. Finn også molmassen M (kg/kmol). Beregn så k og den molare gasskonstanten RM for oksygen. 3-36 Adiabateksponenten for en ideell gass er k = 1,4. Beregn de molare varme­ kapasitetene for konstant volum og for konstant trykk.

3-37 Heliumgass varmes opp fra -20°C til 25 °C i en tett beholder med volum 10 1. Ved 25 °C er trykket 2 bar. a) Hvor mye varme gikk med til å heve temperaturen? b) Hvor stor er AU? 3-38 En sylinder inneholder 2 gram luft. Under varmetilførsel heves temperaturen fra 0 til 100°C mens trykket holdes konstant. a) Beregn endringa av indre energi. b) Beregn endringa av entalpien. c) Hvor mye varme ble tilført? 3-39 1 kg luft med trykk lik 3 bar og volum 0,3 m3 varmes opp isotermt. Tilført varme er Q = 148 kJ. Hva var temperaturen når R for luft er 287 J/(kgK)? Hvor mye arbeid ble utført?

3-40 Hvor mye varme må vi tilføre per kilogram for å varme opp en ideell toatomig gass 100°C når M = 24 kg/kmol? a) ved konstant trykk? b) ved konstant volum? c) Hvor store er de tilsvarende entalpiforandringene? 3-41 Luft med temperaturen 800 °C ekspanderer slik at temperaturen synker til 100 °C og trykket til atmosfæretrykk. Finn verdien av cvm for dette temperaturintervallet. Polytropeksponenten n = 1,5. Beregn volumendringsar­ beidet per kg luft. Beregn Aw, og finn deretter q. (cp = 1,01 kJ/(kgK) ved t - 100°C, cp - 1,157 kJ/(kgK) ved 800°C, mens k - 1,397 ved 100°C og = 1,332 ved 800°C).

Adiabatiske prosesser for en ideell gass 3-42 En ideell gass som i utgangspunktet har 0,4 bar absolutt trykk og 290 K, blir komprimert adiabatisk til 100 kPa. Finn sluttemperaturen hvis gassen er a) enatomig eller b) toatomig.

128

ENERGILOVEN FOR ET LUKKA SYSTEM

3-43 2 m3 heliumgass med 100 kPa absolutt trykk blir komprimert adiabatisk slik at volumet blir y av det opprinnelige. Finn sluttrykket.

3-44 10 1 av en ideell gass med temperaturen 313 K ekspanderer adiabatisk slik at temperaturen synker til 260 K. Finn sluttvolumet a) hvis gassen er enatomig eller b) toatomig. 3-45 I oppgave 3-43 blir 2 m3 helium komprimert. Beregn volumendringsarbei­ det. Hvor mye endres gassens indre energi?

3-46 283 1 luft med 80 °C og manometertrykk 150 kPa ekspanderer isobarisk til volumet 1,42 m3. Deretter skjer det en adiabatisk ekspansjon til sluttvolu­ met 2,27 m3 og sluttrykket som viser 30,1 kPa på manometeret. Omgivelsestrykket er 1010 mbar. Tegn prosessforløpet i pKdiagram, og beregn arbeidet som lufta utfører. 3-47 Kompresjonsgraden i en dieselmotor er 14. Sett begynnelsestrykket til 100 kPa og temperaturen lik 7°C. a) Hva er da sluttrykket og sluttemperaturen? b) Beregn det spesifikke kompresjonsarbeidet (arbeid per kg).

3-48 Etter fullført forbrenning i dieselmotorens sylinder ekspanderer gassen som et lukka system. Sett begynnelsesvolumet Pj = 0,01 m3, tx = 2400°C og px = 443 bar. Volumforholdet er V2/Vx - 4,75. a) Finn sluttrykk og sluttemperatur. b) Finn ekspansjonsarbeidet når vi betrakter gassen som luft.

Figur 3-46

ENERGILOVEN FOR ÅPNE SYSTEM MED STASJONÆR STRØMNING

129

4 Energiloven for åpne system med stasjonær strømning

Etter at den første hovedsetningen som gir uttrykk for energibalansen i et lukka system, har blitt utvikla, så er neste skritt en tilsvarende likning for åpne systemer (eller kontrollvolumer K.V.).

1 Generelt om strømning 4Et maskinanlegg, enten det er kraftmaskiner eller arbeidsmaskiner, kan ofte fram­ stilles svært forenklet fordi mediet som passerer gjennom maskinene som en massestrøm m (kg/s), passerer bare ett innløp og må komme ut igjen som like stor mas­ se per sekund gjennom utløpet, figur 4-1. Et eksempel er radiatoren som alle væskekjølte bilmotorer er utstyrt med.

Figur 4-1 Åpent system med ett innløp og ett utløp

Hvis vi tenker oss at strømningen stanses i et kort glimt (sagt på en annen måte: strømningen «fryses»), så kan den markerte massen m} i innløpet i denne situasjo­ nen betraktes som et lukka system. For denne massen gjelder da den første hovedsetningen, pluss at massen m, har en energi som kan bestemmes ved hjelp av likning 1-11: Emi = Ep + Ek + U

En masse m^ som «fryses» i utløpet, kan betraktes på samme måten, figur 4-1.

Strømningsprosesser Strømningsprosesser kan klassifiseres som stasjonære eller ikke-stasjonære pro­ sesser. Strømningen i røret på figur 4-2 er stasjonær hvis hastigheten c i alle punk5 - Teknisk termodynamikk

130

ENERGILOVEN FOR ÅPNE SYSTEM MED STASJONÆR STRØMNING

ter i røret er konstant og har fast retning i løpet av en dag, for eksempel. Kontroll­ flata som omfatter tverrsnittsovergangen, blir gjerne lagt slik at man har en mest mulig stabil hastighet der massestrømmen passerer flata, figur 4-2. Man prøver altså å unngå posisjoner der forandringer i røret har innflytelse på hastighetsprofilen, se punkt 1 og punkt 2. Rør

Figur 4-2 Kontrollflate for en tverrsnittsovergang Hastighetsprofilen i punkt 1, figur 4-2, viser at hastigheten c ikke er lik (uniform) over tverrsnittet. Tenker vi oss at massestrømmen er overheta damp, for eksempel, så er heller ikke temperaturen helt lik eller uniform langs en diameter, på grunn av varmetapet til rørveggen. Et kontrollvolum kan i prinsippet ha et ubegrenset antall utløp og innløp, figur 4-3.

Figur 4-3 Kontrollvolum med fire innløp og to utløp

Massekontinuitet I et lukka system er loven om massekontinuitet implisert, idet systemets masse er uforanderlig. I et åpent system krysser imidlertid massen grensene slik at noe mas­ se, /??,, kommer inn i kontrollvolumet, mens massen forsvinner ut, figur 4-4.

10 kg

Figur 4-4 Loven om massekontinuitet

ENERGILOVEN FOR ÅPNE SYSTEM MED STASJONÆR STRØMNING

131

Med masseutveksling i mange retninger (figur 4-3) må vi summere: Em, - Emu = AmKV

^-1

AmKV er forandringen i kilogram av massen innenfor kontrollvolumet. Massestrømmen m (kg/s) er underlagt loven om massekontinuitet. Likning 4-1 uttrykker loven på en slik måte at den er gyldig for et hvilket som helst kontrollvolum i en hvilken som helst prosess.

2 Beregning av massestrømmen m 4Mengden av fluidum som strømmer gjennom et tverrsnitt per tidsenhet, kalles massestrøm og betegnes, som vi har sett, med rh (kg/s). Massestrømmen gjennom et rør eller en kanal er proporsjonal med tverrsnittet A, densiteten p og farten c av fluidet. Farten er imidlertid sjelden uniformt fordelt over tverrsnittet av en kanal. Vi beregner derfor massestrømmen for et arealdifferensial cL4, figur 4-5:

Figur 4-5 Beregning av m i tverrsnittet A

drh = p • cn • dA

4-2

Her er cn er hastighetskomponenten normalt på cL4. Så finner vi m ved å integrere over hele arealet A: 4-3

En aktuell hastighetsfordeling ved rørstrømning er vist i punkt 1, figur 4-2.

Hvis volumet av massestrømmen er V (m3/s), finner vi gjennomsnittsfarten Cm

V A

/m

\. s /

4-4

Tettheten p antas vanligvis å være konstant (uniform) over tverrsnittet av strømnin­ gen. Massestrømmen m finner vi da som:

rh = p • cm • A

4-5

132

ENERGILOVEN FOR ÅPNE SYSTEM MED STASJONÆR STRØMNING

Massestrømningen og volumstrømningen er proporsjonale: TZ m = p-V = -

4-6

Her er v spesifikt volum. For enkelhets skyld sløyfer vi indeksen m for middelfart. Når ikke noe annet er sagt, mener vi med c gjennomsnitts- eller middelfarten til strømningen. På figur 4-6 ser vi at volumstrømmen V vil fylle volumet V i løpet av ett sekund. V svarer til volumet i en rørlengde lik farten cm i meter (c = cm (m/s) • 1 (s)).

Figur 4-6 Volumstrømmen vil fylle volumet V på ett sekund

EKSEMPEL 4-1 I rørbend vil et fluidum ha en tendens til å gå rett fram. Ser vi på et snitt som står vinkelrett på rørets akse, figur 4-7, danner strømningen i et punkt i senter av rørbendet en vinkel a med snittplanet. Hvis det gjennom et areal på 10 cm2 ved ak­ sen i et bend strømmer V = 0,8 1/s, og hastigheten danner 60° vinkel med snittet, hvor stor er da hastigheten c?

Figur 4-7

Løsning: Hastighetskomponenten cn beregner vi ved hjelp av likning 4-4: cn = kZ4 = (0,8 dm3/s)/(0,l dm2) = 8 dm/s Siden vinkelen mellom c og cn er 30°, figur 4-7, finner vi c ved hjelp av cosinus:

c = cn/(cos 30) = 8/0,8660 = 9,2 dm/s = 0,92 m/s

ENERGILOVEN FOR ÅPNE SYSTEM MED STASJONÆR STRØMNING

133

3 Stasjonær strømning 4Betrakt kontrollvolumet ABCD med innløpsareal AB og utløpsareal CD, begge vinkelrett mot innløpshastigheten q og utløpshastigheten c2, figur 4-8.

B

Figur 4-8 Kontrollvolum ABCD Vi regner med en todimensjonal og stasjonær strømning. Massen som kontroll­ volumet omfatter, mKV, er konstant.

Kontinuitetslikninga px • q • Aj = p2 ■ c2 ■ A2

4-7

Det vil si at i kontrollvolumet strømmer per tidsenhet en like stor masse inn som ut. For fluider generelt må man ta hensyn til at tettheten varierer i strømningsretningen fordi trykket varierer. Men for inkompressible fluider (p, = p2) er også volumstrømmene like:

V — q • v4] — c2 • v42

4-8

Når prinsippet om massekontinuitet tilpasses et forgreningspunkt i et rørlednings­ nett, figur 4-9, får vi at summen av inngående masse er lik summen av utgående, det vil si AmKV = 0.

Figur 4-9 Rørforgrening

Likning 4-1 kan vi altså skrive: q • Pi • >li 4- c2 • p2 • /12 + Cj • p2 • A3 — c4 • p4 • A4 + q • P5 • /Is

4 9

For inkompressible fluider gjelder den samme forenklingen som i likning 4-8.

134

ENERGILOVEN FOR ÅPNE SYSTEM MED STASJONÆR STRØMNING

EKSEMPEL 4-2 En rør fører olje med en middelhastighet 3 m/s. Diameteren er 32 mm. Røret har en forgrening der et 20 mm rør fører oljen med hastigheten 1,8 m/s, mens 32 mmrøret fører resten av oljestrømmen. a) Beregn oljemengden V. b) Hvor stor er farten i 32 mm-røret etter avgreningen?

Løsning: a) Oljemengden V = c • A. Tverrsnittet /132 = 0,000804 m2 V = 3 • 0,000804 = 0,00241 m3/s = 2,41 1/s b) Røret på 20 mm vil føre en mengde som er V = c ■ A20 = 0,57 1/s. Da er det igjen 2,41 - 0,57 = 1,84 1/s i 32 mm-røret. Hastigheten c = 1,84/0,0804 = 22,9 dm/s = 2,3 m/s

4 Energiloven for kontrollvolum 4-

Figur 4-10 Varmtvannsbereder. EKVer kontrollvolumets energi i øyeblikket

Det er åpenbart mulig for et åpent system å endre kontrollvolumets energi også gjennom massestrømmen til eller fra systemet. For eksempel: Når noe varmt vann tappes fra varmtvannsberederen på figur 4-10, kommer det kaldt vann inn i stedet, og berederens energi avtar på grunn av vannstrømmen m. Da kan energiloven for et kontrollvolum som gjennomgår en prosess uttrykkes som: energiutveksling over systemgrensa i form av arbeid W og varme Q

/ energi i massen som entrer K.V.

Q - W + EEinn - EEut = AFk v

/ energi i \ massen som forlater K.V.

(J)

' netto \ endring av energien innen K.V.

4-10

Hvis massen som entrer eller forlater systemet, faller bort (m = 0), blir likning 4-10 åpenbart redusert til energilikninga for et lukka system: Q — W = AU

(1. hovedsetning, kapittel 3)

ENERGILOVEN FOR ÅPNE SYSTEM MED STASJONÆR STRØMNING

135

Til tross for sin enkelhet gjelder likning 4-10 for ethvert kontrollvolum i en hvilket som helst prosess. Leddene i likninga kan også endres til energi per tidsenhet, slik at likning 4-10 går over til å beskrive energitransporten. Energien som skal til for å dytte mediet inn i og ut igjen av kontrollvolumet, kal­ les fortrengningsarbeid. Dette fortrengningsarbeidet kan man også se på som tryk­ kets arbeid. Betrakter vi figur 4-11, innser vi at vi må ha et trykkfall fra innløpet til utløpet, ellers får vi ingen strømning, og m = 0.

Figur 4-11 Energien i et kontrollvolum kan endres ved massestrømning så vel som ved utveksling av varme og arbeid

5 Fortrengningsarbeid 4I kapittel 3 så vi på arbeidet som ble utført av en bestemt, avgrenset stoffmengde. I maskinteknikk dreier det seg mest om å utvinne arbeid ved at en massestrøm pas­ serer gjennom en maskin. Et slikt anlegg kan illustreres ved hjelp av figur 4-12 (E. Schmidt, ref. 5). På figuren er I en beholder med en teoretisk sett ubegrenset mengde av arbeidsmediet i tilstand 1, som kjennetegnes av px, Vj og 7j. Arbeidsmediet strømmer gjennom maskinen M, der arbeidet W blir avgitt. Der­ etter går mediet til beholder II, der tilstanden er p2, v2 og T2. Trykket i begge be­ holderne tenker vi oss konstant. På figuren er det symbolisert av stemplene, som er utsatt for en fast belastning. Maskinen kan være av en hvilken som helst type (stempelmaskin, turbin osv.), men verken beholderne eller maskinen skal utveksle varme med omgivelsene.

Figur 4-12 Skjematisk framstilt anlegg som utvinner arbeid

136

ENERGILOVEN FOR ÅPNE SYSTEM MED STASJONÆR STRØMNING

Når mengden m strømmer gjennom maskinen og utfører arbeidet W, så må ifølge den første hovedsetningen endringa av indre energi være lik summen av energi (po­ sitiv eller negativ) som blir tilført utenfra. I beholder I har m volumet og stem­ pelet utfører arbeidet p} • når massen trenges ut av beholderen. Dette arbeidet representerer tilført energi. Ved innstrømning i beholder II heves stempelet, og arbeidet p2 • V2 representerer avgitt energi, idet V2 er volumet til massen m i behol­ der II. Dermed får vi følgende balanse av energitransporten til og fra maskinen:

Mottatt

= Avgitt

+ Pi • H

= W + U2 + p2 • v2

~ u2

= W + p2 • V2 - px • Vx

eller

4-11 (J)

W = ({7j + Pi • Fj) — (U2 + p2 • V2)

Ved å innføre H for entalpi får man:

W=

4-12

- H2

Produktet p • V kalles fortrengningsarbeidet, og den utledningen vi har gjennom­ ført her, viser hvilken betydning dette produktet har. Det er produktet av to til­ standsstørrelser og er følgelig selv en tilstandsstørrelse. Det utgjør det arbeidet som er nødvendig for å gjøre plass for en masse med volumet V i et rom med trykket p.

6 Energi i fluidstrømning 4La oss vende tilbake til figur 4-1. For en vilkårlig masse som passerer en kanal, har vi energien:

E = Ep + Ek + U (J)

1-5

Hvis en masse m av mediet skal transporteres inn gjennom innløpet til et åpent system, må det tilføres et fortrengningsarbeid p; • Vx, der Vx er massens volum når tilstanden er lik innløpets tilstand, figur 4-13. Når massen blir ført gjennom inn­ løpet, har vi tilført systemet en energi som er lik: •^i - ^pi + £ki +

+ P\ • K (J)

Figur 4-13 Åpent system. Fortrengningsarbeidet i innløpet er p, • V,

4-13

137

ENERGILOVEN FOR ÅPNE SYSTEM MED STASJONÆR STRØMNING

Vi dividerer hvert ledd med massen m i kilogram: e> = epi + eki + u. + px • v,

4-14

(J/kg)

Denne likninga representerer den totale, spesifikke energien til mediet i innløpet. Forandrer man indeksen til u, får man likninga for den totale, spesifikke energien til mediet i utløpet. Kombinasjonen av p, v og u slås som før (kapittel 2) sammen til entalpi h:

4 15

^pu "f ^ku 4”

eller

e, = c2/2 + gz} + fy

og

Cu =

\

4-10

+ gZu + fyj

z er høyden i henholdsvis innløpet og utløpet. Forfattere av termodynamikkbøker er ikke blitt enige om hvordan produktet p • V skal betraktes. Noen kaller det strømningsenergi, andre trykkenergi o.l. Det må være riktig at dette leddet ikke er en del av mediets energi, men at det er et arbeid som utføres for å transportere mediet gjennom et tverrsnitt (for eksempel en rørledning), se avsnittet ovenfor. Ved å bruke entalpi i stedet for indre energi til å representere energien i et strøm­ mende medium så behøver man ikke ta fortrengningsarbeidet i betraktning. Omsetninga av energi i forbindelse med å dytte mediet inn i og ut igjen av kontroll­ volumet tas automatisk vare på av egenskapen entalpi. I det følgende betrakter vi altså fortrengningsarbeidet som en del av arbeidsmediets energi, fordi det forenk­ ler utviklinga av energilikninga for kontrollvolum. Fra nå av vil energien i mediet som strømmer inn i eller ut av kontrollvolumet, bli representert av likning 4-16. Derfor vil symbolet W i energilikningene for kontrollvolum representere alle andre former for arbeid (volumendring, aksel, elektrisk osv.) utenom fortrengningsarbeid.

7 Stasjonære strømningsprosesser 4b)

a)

Kl. 10.00

Kl. 8.00

350 K

350 K

450 K

450 K

500 K

500 K

Q = 5 kW

Q = 5 kW

► 300 K

300 K

Figur 4-14 Stasjonære forhold i systemet Ganske mange typer maskinutstyr, slik som turbiner, kompressorer, vifter, dyser og pumper, arbeider i lange perioder under uforandrede belastninger eller forhold. Denne kontinuiteten kan illustreres skjematisk som på figurene 4-14a og b: I en

138

ENERGILOVEN FOR ÅPNE SYSTEM MED STASJONÆR STRØMNING

stasjonær strømningsprosess kan arbeidsmediets tilstand forandre seg med posi­ sjonen, men ikke med tida. Noen maskiner, for eksempel stempelmotorer eller stempelkompressorer, til­ fredsstiller ikke definisjonen på stasjonær strømning. Strømningen vil pulsere, og varierer altså innenfor en omdreining av maskinen. Men mediets tilstandsstørrel­ ser varierer periodisk. Strømningen gjennom slike innretninger kan bli analysert som en stasjonær strømningsprosess ved at man bruker tidsgjennomsnitt for ver­ diene av tilstandsstørrelser og varmestrømning over kontrollflata, figur 4-15.

Figur 4-15 Diagram over pulserende tilstand

Figur 4-16 Kontinuitetslikninga for en brannslange

Brannslange d}, munnstykke d2: c2 = cj •

w ^2/

4-17

Når det gjelder gasstrømning, kan volumstrømmen i innløp og utløp være svært forskjellig, figur 4-17. For dampkjelen på figur 4-18 øker volumet fra 0,001 til m3 0,1633 —. s

Figur 4-17 Luftkompressor

ENERGILOVEN FOR ÅPNE SYSTEM MED STASJONÆR STRØMNING

~ KV

139

Metta damp 12 bar

V2 = 0,1633 m3/s

Vann V, = 0,001 nvVs

'

Figur 4-18 Dampkjel

8 Energibalanse for en stasjonær strømning 4Vi betrakter maskinanlegget på figur 4-19, der systemgrensa er tegnet utenfor mas­ kineriet selv om det er de innvendige veggene i maskinens kanaler som egentlig er kontrollflate, figur 4-20.

Figur 4-19 Åpent system med brennkammer og turbin

Figur 4-20 Apent system. Forenkling av figur 4-19

140

ENERGILOVEN FOR ÅPNE SYSTEM MED STASJONÆR STRØMNING

Arbeidsmediet kommer som en massestrøm m inn i innløpet og får tilført var­ men Qi (J/s) i forbrenningskammeret. Mediet har i innløpet høyden zt og i utløpet høyden z2- Mediet taper varmen Q2 til omgivelsene på grunn av ufullkommen iso­ lasjon av anlegget, figur 4-20. Arbeidet W er akselarbeid som representerer den nytten man har av anlegget. Mediet avgir altså energi til turbinhjulet som er mon­ tert på akselen. EKy er konstant for en stasjonær prosess, figur 4-14. Energibalansen krever at den økningen i total energi som mediet gjennomgår mens det strømmer gjennom det åpne systemet, må være lik tilført varme minus varmetap og utført arbeid. Termodynamikkens første hovedsetning anvendt på det åpne systemet, figur 4-20 (som er en forenkling av 4-19), kan verbalt uttrykkes slik: All energi som krysser kontroll­ flata som varme og arbeid pr. tidsenhet

Total energi transportert ut av K.V. med masse pr tidsenhet .

Total energi transportert inn i K.V. med masse pr tidsenhet

eller: EQ — W = m2 • eT2 - Wj • eT1

4-18

Her er eT arbeidsmediets totale energi ifølge likning 4-16. Hadde man her å gjøre med et system som hadde flere innløp og utløp enn på figur 4-19, ville man få: Q - W = EwueTu - EråjeTi

4-19

(W)

Q og JV står for LQ (er lik netto varme per tidsenhet) og LJF( = netto arbeid per tidsenhet). Vi erstatter eTu og eTi:

/ c2 - £mx I /tj + + gZi

+

4-20

Denne likninga er den generelle formen for termodynamikkens første hovedset­ ning for et åpent system med stasjonær strømning. For anlegget på figur 4-19, der vi har m2 = mx, får vi: r2 _

/

r2

Q - w = m-(h2 — hx + 2. ---1

(W)

4-21

\

Forkorter vi med m i likninga, får vi energi per masseenhet: /^2 _ ^2'

q - tv = h2 — hx +

eller

e

203

KRETSPROSESSER

EKSEMPEL 5-6 En varmepumpe skal hente varme fra sjøvann med 8 CC og levere varmen ved en oppholdstemperatur 22 °C. Energibehovet er 7200 kJ per time. Forutsatt at varmefaktoren for dette anlegget er lik evc, skal vi beregne a) varmefaktoren evc b) nødvendig tilført effekt, Wf (figur 5-42)

Løsning: a) For verdien av denne varmefaktoren gjelder likning 5-20, og med absolutte temperaturer TL = 281 K, 7^ = 295 K får vi:

281 = 295

Cvc =

b) Definisjonslikning , _ Qh .

v

W, '

w = Qh 1 ev

Qh = 7200 kJ/time

Nødvendig effekt: 7200 W' = 360^07 = °’0949 kW =

295 K

281 K

Figur 5-42 Varmepumpe

5-13 Maskiner med indre forbrenning I kapittel 10 skal vi se nærmere på hvilken energi slike maskiner utnytter. Når bren­ sel og forbrenningsluft har reagert, er brenselets kjemiske energi omgjort til ter­ misk energi. Vi betrakter deretter røykgassen som om en varmemengde Qh er blitt tilført. (Se også figur 5-34).

204

KRETSPROSESSER

Ottoprosessen (forgassermotoren) Den vanlige bensinmotoren som brukes i de fleste biler, kan sammenliknes med Otto-prosessen, som er en reversibel prosess. I pK-diagrammet på figur 5-43 framgår det at syklusen består av to adiabatiske og to isokore prosesser.

Figur 5-43 Ottoprosessen

Det som foregår i selve sylinderen, kan beskrives ved hjelp av figur 5-44. Blandin­ ga av bensin og luft strømmer inn gjennom inntaksventilen a mens stempelet går ned. Volumet øker fra minimum V2 til det største volumet Kp Motorens kompresjonsgrad e er bestemt av

Ej=e-K2,

5-21

med andre ord av de geometriske forholdene i motoren. Typisk verdi på e er ca. 8. Ved slutten av innsugningsslaget stenger ventilen, og blandinga blir komprimert til volum V2 når stempelet går opp igjen. Reaksjonen settes da i gang av en gnist fra tennpluggen c. Trykket stiger på svært kort tid til maksimum, gassen utfører så et arbeid på stempelet ved at det skyves ned, d. Etter ekspansjonsslaget åpner eksosventilen e og røykgassen skyves ut. Stempelet går en gang opp og ned bare for å blåse ut røykgassen og ta inn ny bensin/luft-blanding (fire takter), figur 5-45. Begge ventiler stengt

Figur 5-44 Firetaktsmotor med indre forbrenning

205

KRETSPROSESSER

1/

Figur 5-45 Firetaktsforløp

Den termiske virkningsgraden er en funksjon av kompresjonsgraden. Først betrak­ ter vi prosessene 2-3 og 4-1 på figur 5-43, som er de isokore tilstandsendringene. Varmemengdene er bestemt av temperaturene: Qh = n • cv ■ (7j - T2) Ql = n • cv • (7J - T4)

Innsatt i likning 5-6: Vt

5-22a

! -r + ri ~74

idet vi forkorter bort felles faktorer. Dette uttrykket forenkler vi videre ved hjelp av likning 3-46 for temperatur/volum-sammenhengen langs adiabatene 1-2 og 3-4:

7]. vr1 =

= 7] • (c • w1

T3. Ff1 = T4 • FF1 = T4 • (e •

I disse uttrykkene kan vi forkorte bort den felles faktoren FkA. Så setter vi uttryk­ kene for 7j og T2 inn i virkningsgradformelen og forkorter til slutt bort 7j — T4: V, = 1 -

5~22b

Likning 5-22 er den termiske virkningsgraden for ottomotorer. Den er framstilt grafisk på figur 5-46.

206

KRETSPROSESSER

Figur 5-46 Ottoprosessens termiske virkningsgrad

Dieselprosessen

Figur 5-47 Dieselprosessen i pV-diagram

Denne kretsprosessen, figur 5-47, er utvikla med utgangspunkt i at brenselet, som er dieselolje (se kapittel 10), blir injisert (sprøytet inn) i sylinderen mens trykket er på maksimum, punkt 2 i pK-diagrammet. Kretsprosessen har fått navn etter Rudolf Diesel og stammer fra 1890-årene. Injeksjonen kommer fra en brennstoffpumpe. Figur 5-48 viser et snitt gjennom pumpa slik at vi ser ett av pumpestemplene. Pumpebevegelsen kommer fra kamakselen som vises nederst på figuren. Denne kamakselen er koplet til motorens hovedaksel.

KRETSPROSESSER

207

Figur 5-48 Snitt gjennom brennstoffpumpa til en dieselmotor (Kilde: Bosch)

Teoretisk forårsaker forbrenninga en isobar prosess 2-3, se figur 5-47. All var­ men blir altså tilført ved konstant trykk p2. For øvrig er kretsprosessen lik otto­ prosessen. Mens en bensinmotor må unngå selvantenning, skjer antenningen i dieselmoto­ ren ved at kompresjonstemperaturen T2 er over antenningstemperaturen til brense­ let. Kompresjonsgraden til dieselmotoren kan ligge på verdier omkring 15. Den termiske virkningsgraden til kretsprosessen er en funksjon av kompresjons­ graden e og av fulltrykksforholdet p eller volumforholdet under forbrenning: p

= r3/r2

Varmemengdene er: Qh = m • cp • (7j - 7^) Ql - m • Cv • (Ti ~ f)

Innsatt i likning 5-6:

5-23

208

KRETSPROSESSER

På grunnlag av likningen 3-46 kan vi påvise:

T2/7\ = e-1 og 1\/T\ = pK Derfor blir likninga for ijt:

-1-1 k

PK ~ 1 e*-1 • (p — 1)

5-24

Denne likninga er framstilt grafisk på figur 5-49.

Figur 5-49 Dieselprosessens termiske virkningsgrad avhenger av fulltrykksforholdet p og av e

Jouleprosessen (åpen gassturbin) En åpen gassturbin, figur 5-50, tar inn luft (3) i en (turbo-) kompressor (4) som sender lufta til et brennkammer (5) der drivstoff (8) sprøytes inn og forbrenner. Den varme, komprimerte gassen driver så en turbin (6). Fra turbinen passerer ekso­ sen en diffusor (7) og går ut i atmosfæren igjen.

209

KRETSPROSESSER

Figur 5-50 Åpen gassturbin, snittegning («Dresser-Rand», Kongsberg)

Denne typen gassturbiner må også regnes til kategorien forbrenningsmotorer sam­ men med diesel- og forgassermotorene. Trykkforholdet v = p1/px over kompressoren. Lufta strømmer ideelt sett uten trykktap gjennom brennkammeret og til turbinen. En ideell sammenlikningsprosess for åpen gassturbin er derfor en syklus som består av en adiabatisk kompre­ sjon, en isobar ekspansjon, en adiabatisk ekspansjon og en isobar kompresjon, se pE-diagrammet på figur 5-51.

Figur 5-51 Jouleprosessen i et pV-diagram Vi vil utvikle et uttrykk for den termiske virkningsgraden på grunnlag av likning 5-6: _ i 4. Ql _ i

''

Qh

+ m ■ c^Ti - T>> = , _ Tt m-c„(T,-T2) T, - T2

210

KRETSPROSESSER

For prosessen 1 til 2, figur 5-51, kan vi lage denne sammenhengen:

5-25 Vi ser av diagrammet, figur 5-51, atp3//?4 = p2/px. Vi har samtidig at 7}/7] = 7j/ T2. Derfor kan vi skrive den termiske virkningsgraden som i

7]

Vt = 1 ~ r

y2

i

IrA

= 1 - V *

5-26

Virkningsgraden som funksjon av trykkforholdet framgår av diagramnet på figur 5-52. Forutsetningen for figuren er at luft og eksos er en ideell gass med k = 1,4.

Figur 5-52 Jouleprosessens virkningsgrad

Energibalanse, åpen gassturbin Med tanke på energiøkonomisering er det om å gjøre å kjenne til hvor mye energi som står til rådighet i forskjellige former etter turbinenheten. Den mest høyverdige energien kommer via giret som akselarbeid, figur 5-53. På denne figuren forutset­ tes det at turbinen er koplet til en elektrogenerator. Eksosen forlater enheten med temperaturen 473 °C. En temperaturreduksjon til 140°C vil frigjøre en termisk energi som svarer til 54 % av den tilførte energien. Resten av eksosens termiske energi, under 140 °C, kan gå til oppvarmingsformål, men denne energien må i alle fall betraktes som lawerdig.

211

KRETSPROSESSER

2300 kW brennstoff inn (1978000 kcal/hr)

Figur 5-53 Energidiagram, gassturbin (tidl. Kongsberg Våpenfabrikk)

5-14 Sammendrag Dette kapitlet handler om hva den andre hovedsetningen betyr for energimaskiner og arbeidsmaskiner. Ingen energimaskin har 100% effektivitet, slik at et konti­ nuerlig arbeidende anlegg må operere mellom to energireservoarer. Energileveransen fra en energimaskin er lik tilført varme minus bortført varme, eller lik forskjellen mellom utført arbeid og tilført arbeid.

Effektivitetsfaktorer Den teoretiske, termiske virkningsgraden for en varmeenergimaskin

„ = 2K = 1+2l Qh

Qh

Ytelsessifferet til en kjølemaskin:

e=

Winn

=__ 1 \Qh\ I Ql\

- 1

Varmefaktoren til en varmepumpe: _ Qh_ =_____ V

^inn

i

1 I.

= 1 + e

212

KRETSPROSESSER

Reversible prosesser En reversibel prosess er en prosess som kan reverseres slik at systemet vender til­ bake til begynnelsestilstanden uten å etterlate spor i omgivelsene. De teoretiske kretsprosessene er reversible prosesser som alltid har større effekti­ vitet enn de reelle prosessene som sammenliknes med dem. Alle reversible varmeenergimaskiner som opererer mellom de samme to energireservoarene, har lik virkningsgrad, som er høyere enn virkningsgraden til en irre­ versibel maskin. Det karakteristiske ved energireservoarene er temperaturen. For­ holdet mellom den varmen som blir ført bort fra maskinen ved lav temperatur Ql, og varmen QH som maskinen får tilført ved høy temperatur, er lik forholdet mellom temperaturene:

= 2L th

Carnot Den reversible kretsprosessen til Carnot består av en isoterm varmeoverføring, en adiabatisk ekspansjon, en ny isoterm varmeoverføring og en adiabatisk kompre­ sjon tilbake til begynnelsestilstanden. Går kretsprosessen med urviseren i pVdiagrammet, så er det en varmeenergiprosess som forteller oss om grensa for hvor mye arbeid man kan få produsert per kilojoule utnyttet energi. Går kretsprosessen mot urviseren i ^K-diagrammet, er det en sammenlikningsprosess for kjølemaskiner, og den viser hvor mye varme som teoretisk kan fjernes fra et kjøle- eller fryselager per J arbeidsinnsats. Brukt som varmepumpe viser carnotprosessen hvor mye varme som teoretisk kan leveres til oppvarming per J arbeidsinnsats under nærmere angitte forhold. Den termiske virkningsgraden eller carnotvirkningsgraden:

Varmefaktor

evc =

Ottoprosessen Termisk virkningsgrad

Dieselprosessen Termisk virkningsgrad

??, = 1---- -r ; eK 1

e =

rjt = 1 - - •

v2

~ 1

Jouleprosessen Termisk virkningsgrad

1

LlA


i = T„

yHi

= AQH - Q»

Arbeid:

Varmeenergimaskiner: A50o

(varmeenergimaskin nr o)

A)

Eller Qo. = To ■

JLo

Arbeid:

fEu0 - AQ_ - Q0o m

^e„o =

Summering:

z

“ i E= a +o E= n«io

Vi erstatter Wuo og Wu ved hjelp av likningene ovenfor. Nettoarbeidet er lik el­ ler mindre enn null, følgelig: m

m

Qh ~ Ql ~ E^Qh + i = a

i = a

z

z

o = n

o = n

+ E^a - Ea0 < o

Dette reduserer seg til m

z

Ea, - Ea» s o i = a

o = n

Denne likninga viser at FFnett0 er Hk summen av all varmeutveksling til og fra reservoaret med temperatur To på figur 6-2.

225

ENTROPI. TILSTANDSFORANDRINGER

Merknad: For å kunne legge sammen varmemengdene må vi igjen gå over til å betrakte stør­ relsene som algebraiske størrelser som får fortegnene sine bestemt etter de gjelden­ de reglene. z

Egs o i=a

På grunnlag av de uttrykkene vi har funnet ovenfor for

É r0.^=

og Qqo, har vi da:

o

a

Da får vi til slutt:

Her er AQ varmeutveksling mellom ottomotoren og varmereservoar med samme temperatur T som ottomotorens arbeidsmedium. I avsnitt 5-3 ble det som sagt påvist at for et system som utveksler varme med ett eneste reservoar, må arbeidet være enten negativt eller lik null så lenge det dreier seg om kontinuerlig arbeid. Akselarbeid som går med til å drive en rører som skal lage bevegelse i et tankinnhold, for eksempel, blir omforma irreversibelt til varme. Denne varmen må ledes bort til omgivelsene hvis tilstanden i tankinnholdet skal holdes konstant. Q vil være negativ (forutsatt at det ikke foregår varmeoverføring til eller fra systemet ellers). For irreversible sykluser får vi med andre ord konklu­ sjonen:

f

< 0

6-4

Prosesser som omformer arbeid til varme, er ikke reversible. Ifølge den andre hovedsetningen kan varmen bare delvis omformes tilbake til arbeid. Med andre ord må arbeidet H^ett0 være lik null når det sammensatte anlegget på figur 6-2 er totalt reversibelt. Man kan aldri få varmen til å gå over til arbeid i en slik grad at summen (integralet) av dQ/T blir positiv, fordi det ville innebære at > 17C, noe som strider mot Carnots prinsipp. Konklusjonen for reversible sykluser er da:

4^=0

6-5

Vi må derfor akseptere den alminnelige gyldigheten av likning 6-1.

EKSEMPEL 6-1 Et varmeenergianlegg opererer med en høyeste temperatur lik 800 K og en laveste lik 290 K. Qh - 10 MJ er den tilførte varmen, mens bortført varme QL - 6,5 MJ. a) Beregn carnotvirkningsgraden. b) Undersøk om Clausius’ ulikhet er oppfylt for anlegget. c) Beregn anleggets virkelige r?t.

8 - Teknisk termodynamikk

226

ENTROPI. TILSTANDSFORANDRINGER

800 K

3,5 MJ

290 K

Figur 6-3

Løsning: a) Uttrykket for carnotvirkningsgraden utledet vi i kapittel 5, likning 5-18: v

i 1

7l _ i Th

290 _ n ,. 800 —

b) Høytemperaturkilden har en temperatur på 800 K. Det er en altfor sparsom opplysning, vi vet ikke hvilken temperatur arbeidsmediet har til enhver tid. Men vi velger å anta at på de stedene der varme krysser grensa til varmeenergimaskinen, er temperaturen den samme for arbeidsmediet som for reservoarene. Da kan vi bruke likning 6-3 på denne formen: Qh . Ql Th Tl

,. 10 • 106 6,5 • 106 OO1 . T/ir Med tallverdier....-r----------— = -991,4 J/K

c) Effektiv, termisk virkningsgrad, likning 5-6:

= 1 - y = 0,35

Kommentar. Beregningen av summen av Q/Tgir negativt svar og kretsprosessen er irreversibel. Det innebærer ifølge Carnots prinsipp at virkningsgraden er mindre enn carnot­ virkningsgraden, som er lik virkningsgraden for en reversibel kretsprosess. Denne varmeenergimaskinen bryter ikke noen av de lovene og prinsippene som vi har utvikla hittil.

3 Entropi 6Clausius’ ulikhet danner grunnlaget for definisjonen av en ny tilstandsstørrelse: entropi. Først tar vi for oss et lukka system, figur 6-4a:

227

ENTROPI. TILSTANDSFORANDRINGER

Figur 6-4 a) Tilstanden vender tilbake til utgangspunktet b) Tre reversible prosesser

Figuren viser tre stadier i en syklus: begynnelsesstadiet, mellomstadiet og sluttilstanden. Alle tilstandsstørrelsene vender tilbake til begynnelsesverdien, tilstand 3 er altså lik — 1. Vi velger fritt to av systemets uavhengige tilstandsstørrelser som vi kaller x og y. I et xy-diagram har vi to vilkårlige, reversible prosesser A og B, figur 6-4b. 2,

.

La oss inntil videre anse det som sannsynlig at ff-y^A i x 2

er avhengig av prosesskurven og derfor er forskjellig fra j i x

Prosessenes endepunkter er 1 og 2. Vi lar systemet gå tilbake til utgangstilstand 1 via en C-prosess og sammenlikner syklus AC med BC:

og

Hvis antakelsen om ulikhet er riktig, må vi få:

Men begge disse kretsintegralene er lik null for reversible sykluser og er dermed like, slik at vår midlertidige antakelse var feil. Det leder videre til at integralet av dQ/T fra 1 til 2 er uavhengig av prosesskur­ ven. Integralet kan derfor representere endringa til en tilstandsstørrelse som har en bestemt verdi Sj i punkt 1 og en annen verdi i punkt 2, slik at:

i

228

ENTROPI. TILSTANDSFORANDRINGER

Eller uttrykt ved hjelp av differensialer:

_ /dQ\ \ 7" /rev'

6-7

S er symbolet for entropi, og enheten er J/K. Suffikset «rev.» står der for å markere at sammenhengen er riktig for en reversibel prosess. Legg merke til at vi bare har definert endringa av entropi, dS, ikke selve tilstandsstørrelsen S. Det er analogt med defineringen av endringa av indre energi, avsnitt 3-6. Entropien til et legeme kan altså settes lik null i en nærmere angitt tilstand. Entropien i andre tilstander kan vi beregne ved hjelp av likning 6-6 ved å velge tilstand 1 som referanse, Sj = 0.

EKSEMPEL 6-2 Entropiendringa for en gitt tilstandsendring er 1,8 J/K. Systemets entropi i begyn­ nelsestilstanden var Sj = 14 J/K. Finn entropien i sluttilstanden. Løsning: Verdien av integralet, likning 6-6, for en reversibel prosess:

og S2 = AS + Sj = 1,8 + 14 = 15,8 J/K Når tilstandene 1 og 2 er fastlagt for en prosess, er AS den samme uavhengig av kurve, reversibel eller irreversibel prosess. EKSEMPEL 6-3

Figur 6-5

En isolert tank inneholder 6 kg luft ved 17 °C, figur 6-5. Et elektrisk varmeelement inne i tanken skrus på inntil temperaturen har økt til 45 °C. Finn entropiendringa i lufta i løpet av denne prosessen. Løsning: I teksten i avsnittet her heter det at entropiendringa beregnes ved hjelp av likning 6-6. Vi må imidlertid huske på at den likninga bare gjelder en reversibel prosess. Og oppvarming ved hjelp av elektrisk strøm er irreversibel ifølge kapittel 5. Men det fins flere prosesser som fører systemet fra tilstand 1 til tilstand 2 med t2 = 45 °C; entropiendringa er den samme for samtlige. Vi kan derfor velge en re­ versibel prosess som hever temperaturen til 45 °C. Vi antar at varmen blir tilført fra omgivelsene, og at temperaturutviklinga i systemet er en internt reversibel pro­

229

ENTROPI. TILSTANDSFORANDRINGER

sess. Det er en isokor prosess med dFF = 0. Vi betrakter lufta som en gass med konstant spesifikk varmekapasitet i det temperaturintervallet som det er snakk om:

dQ = mcvdT

Da kan vi sette inn i likning 6-6: 2

2

f dQ r mp.dT . T2 AS = f = I —y— = m • cv • In y 1

i

i

= 0,40 J/K

= 6 • 0,718 • In

To spesielle tilfeller 1 Isoterm prosess i et lukka system 2 Adiabatisk prosess i et lukka system 1 Utveksling av varme ved konstant temperatur i systemet er en internt reversibel prosess. Entropiendringa på grunn av en slik prosess kan derfor beregnes ved hjelp av integralet i likning 6-6: 2

2

AS = J

= y -JdQ

(T = konstant)

i

i

som forenkler seg til

AS = 2 /

6L

6-8

\K/

Q er totalt overført varme i løpet av prosessen fra 1 til 2, overføringa skjer ved temperaturen T Likning 6-8 er nyttig til å beregne entropiendringa til et termisk reservoar som enten kan gi fra seg eller absorbere varme uten at temperaturen blir påvirka, figur 6-6.

Figur 6-6 Likning 6-8 anvendt på reservoar

Figur 6-6 er et eksempel på at entropien avtar (AS S]

Generelt sett har vi ASadiab > 0

6-9

4 Entropiendringer 6Vi betrakter sykluser som et system gjennomgår ved hjelp av x-y-diagrammet, der x og y kan være to fritt valgte, uavhengige tilstandsstørrelser, figur 6-9. Syklus AB er reversibel. Vi kan derfor skrive: 2

1,

]W)a + 1 X

= 0

L Ukning

2

Syklus AC er irreversibel, derfor gjelder ulikheten 6-4: 2. likning

Figur 6-9 Sammenlikning av en reversibel og en irreversibel syklus

Vi trekker nå 2. likning fra 1. likning og arrangerer hensiktsmessig:

232

ENTROPI. TILSTANDSFORANDRINGER

Siden B-prosessen er reversibel og S2 — SI er lik enten man går langs den ene eller den andre kurven, så er:

Kombinerer vi nå disse resultatene, får vi: i/

(Si — S2)c >J Uypyc 2 '

7

For det generelle tilfellet kan vi altså skrive: 2

dS >

og

S2- Si >

6-10 i

I likning 6-10 gjelder likhetstegnet i grensetilfellet når irreversibilitetene reduseres mot null slik at prosessen er reversibel. Ulikheten gjelder irreversible prosesser. Essensen i likninga er å slå fast innflytelsen av irreversibiliteter på entropien i et lukka system. I det følgende skal vi anvende uttrykkene på de forskjellige variantene av proses­ ser i både lukka og åpne systemer. Et system kan stå i forbindelse med flere andre systemer. Man må kunne betrak­ te en kombinasjon av småsystem som et eget system med omgivelser. Det vil alltid være mulig å velge en tilstrekkelig vid grense som omslutter både system og omgi­ velser på en slik måte at Q = 0 for denne grensa, figur 6-10. Man står da overfor et adiabatisk system som kjennetegnes av likning 6-9: AS > 0

Figur 6-10 Adiabatisk system, AS = 0

Prinsippet om økende entropi i likning 6-9 kan uttrykkes med følgende likning: AStotal = ASjyst. + ASomg

>

6-11

0

Her er ASsyst = S2 — Sj = m(s2 - sj

(J/K)

ENTROPI. TILSTANDSFORANDRINGER

233

Isolert system For et isolert system er både Q og W = 0. Prinsippet om økende entropi kan ut­ trykkes ved hjelp av en redusert likning 6-11: ^^Total ~ ■^syst — ®

som er identisk med likning 6-9. Sagt med ord: Entropiendringa på grunn av en prosess i et isolert system er alltid positiv. I grensetilfellet med reversibel prosess er endringa lik null.

EKSEMPEL 6-4 En arbeidssylinder, figur 6-11, inneholder vann og vanndamp ved 120 °C. Belast­ ningen på stempelet er konstant. Omgivelsenes temperatur er 17 °C. En varme­ mengde Q = 1,2 J blir overført til omgivelsene uten at all vanndampen konden­ serer. a) Hvor stor er systemets entropiendring? b) Hvor stor er omgivelsenes entropiendring? c) Er denne prosessen reversibel? Løsning: a) Trykket i sylinderen er konstant og derfor også temperaturen t = 120 °C (så len­ ge det fins damp i systemet). Varmebortføringen er en internt reversibel prosess. Entropiendringa for denne isoterme prosessen beregner vi ved hjelp av likning 6-8: -

_

dj

_ 2 _ -1200 393

T

2 K

= -3,05 J/K

b) Entropiendringa i omgivelsene beregner vi på samme måten. Vi ser på lufta om­ kring sylinderen som et sluk som ikke endrer temperatur. Likning 6-8:

S4 - Sj = 2“ = W = 4’147 J/K yomg

c) Hvis denne prosessen er reversibel, må vi ifølge likning 6—11 få: ^^syst + ^omg —

Her får vi imidlertid: -3,05 + 4,14 = 1,09 J/K

Den totale entropiendringa er positiv. Det betyr at prosessen er irreversibel.

234

ENTROPI. TILSTANDSFORANDRINGER

Konklusjonen under spørsmål c var ventet fordi vi vet at varmeoverføringa er irre­ versibel. Varmen går i retning av temperaturfallet, som er forskjellig fra null (At = 103°) Derfor er prosessen irreversibel.

5 Tilstandsdiagrammer 6I kapittel 2 viste vi diagrammer for rene stoffer som omfatter tilstandsstørrelsene P, v og T ^-diagrammet er brukt i tidligere kapittel i sammenheng med den første hovedsetningen. Et temperatur/entropi-diagram eller et entalpi/entropidiagram er svært tjenlig i sammenheng med den andre hovedsetningen. Ved hjelp av disse diagrammene får man straks konstatert hvordan naturlige prosesser utvik­ ler seg. Med naturlig prosess mener vi en prosess som ikke strider mot noen av ho­ vedsetningene.

TS-diagrammet Likning 6-7, som definerer entropiendring, kan omdannes:

dQ=F-dS

(J)

Figur 6-12 viser et diagram som er dannet av en temperaturskala og en entropiskala. Man har plottet inn en prosess 1-2. Produktet T ■ dS vises som et smalt rektan­ gel. I prinsippet har det uendelig lite areal, men det er altså lik d£>, slik at arealet under kurven 1-2 er lik utvekslingen av varme Q i løpet av prosessen: 2

Figur 6-12

Arealet er lik varmen Q

Arealet under kurven for en internt reversibel prosess representerer i et TS-diagram altså varmen Q. Det er analogt med at pF-diagrammet presenterer volumendrings­ arbeidet som arealet mellom kurven og V-aksen. TS-diagrammet kalles derfor også et «varmediagram». Når integrering av likninga for Q er aktuell, må vi kjenne sammenhengen mel­ lom temperaturen T og entropien S i løpet av prosessen. I en isoterm prosess er temperaturen konstant, og som vi har sett tidligere, likning 6-8: Q = T ■ AS (J). I denne likninga vil fortegnet til AS følge fortegnet til Q.

ENTROPI. TILSTANDSFORANDRINGER

235

Figur 6-13 Isoterm prosess Figur 6-13 framstiller prosessen i et TS-diagram. En isentropiskprosess kjennetegnes i TS-diagrammet av at AS = 0. Prosesskur ven er derfor en loddrett strek 1-2, figur 6-14. Prosessen innebærer ikke varme overføring, derfor er arealet under kurven lik null. TS-diagrammet er tjenlig i mas kinteknikk fordi en del utstyr arbeider etter adiabatiske prosesser. I TS diagrammet vil derfor sluttilstanden være et punkt som ligger til høyre for en isent ropisk linje gjennom begynnelsestilstanden, fordi dS > 0

(irreversibel prosess)

Figur 6-14 Isentropisk prosess 1-2 i TS-diagram For en isokor prosess gjelder Qv = t/2 - Ux. Hvis Qv blir tilført, øker entropien. Qv er lik arealet under prosesskurven, slik at vi alt i alt får diagrammet på figur 6-15. Tilstandsendringa her har endetemperaturene 7] og T2.

Figur 6-15 Isokor prosess

236

ENTROPI. TILSTANDSFORANDRINGER

Med en isobar prosess mellom temperaturene 7] og 7^ må man tilføre varmen Qp = 772 — Ff. Da blir diagrammet som på figur 6-16.

Figur 6-16 Isobar prosess TS-diagrammet for vanndamp framgår i prinsippet av figur 6-17. Den karakteris­ tiske figuren, som består av nedre og øvre grensekurve med kritisk punkt på top­ pen, er iøynefallende. En par regler kan trekkes ut av diagrammet:

1 I området for fuktig damp er isobarer og isotermer parallelle. 2 I området for væskefase vil isobarene nesten falle sammen med den nedre grensekurven (fordi væskas spesifikke volum er svært lite påvirka av trykk). Tn

400 -

300

1 200 CL

100 -

Entropi. kJ/kg K

Figur 6-17 TS-diagram for vanndamp

Entropiskalaens referansepunkt som ble omtalt i avsnitt 6-3, er 0°C. Entropiens absolutte størrelse er av mindre interesse i denne sammenhengen, mens entropidifferansen ofte brukes til å bestemme varmemengder. Det samme gjelder for indre

ENTROPI. TILSTANDSFORANDRINGER

237

energi og entalpi. I tabeller og diagrammer har en derfor valgt dette referansepunk­ tet. Ved t = 0°C har vi altså:

Vannets entropi 5 = 0 J/(kg K), entalpi h = 0 J/kg La oss ta for oss en isobar oppvarming av vann, fordamping og overheting av dam­ pen i TS-diagrammet, figur 6-18. Utgangspunktet er A, der t = 0°C. Vannet var­ mes opp til det koker, punkt B. Dampen fra det kokende vannet har tilstanden D, der entropien er S". BD er parallell med s-aksen. Arealet S'-S"-D-B-S' er lik fordampingsvarmen r (J/kg). Denne varmen må altså tilføres vannet i tilstand B for at det skal gå over til damp. På samme måten er arealet S'-B-A lik varmen

Figur 6-18 En isobar prosess A-E

Tilstanden C er bestemt av dampmengden mD = x ■ m

Kjenner vi x, kan vi finne Sf av:

Sf = x. (S"-S') + S’

Carnotsyklusen i TS-diagram Carnots teori (1824) kom før både pV- og TS-diagrammet, men denne syklusen framstilles aller enklest i TS-diagram. Vi repeterer først pK-diagrammet på figur 5-33 (figur 6-19).

---------------------------------------------

V Figur 6-19 pV-diagratn for en carnotsyklus

238

ENTROPI. TILSTANDSFORANDRINGER

Figur 6-20 TS-diagram for en carnotsyklus Syklusen består av isoterm ekspansjon og kompresjon, figur 6-13, og isentropisk ekspansjon og kompresjon, figur 6-14. I løpet av syklusen har vi bare entropiendring i forbindelse med varmeutveksling som skjer ved konstant temperatur, se lik­ ning 6-8. TiS-diagrammet ser derfor ut som figur 6-20 viser. Entropiøkningen på grunn av er lik entropireduksjonen på grunn av QL, fordi vi har

AS =

I Qh I

Omdreiningsretningen for syklusen er med urviseren for energimaskiner og mot urviseren for kjølemaskiner og varmepumper. Verdien av carnotsyklusen er at den danner en «standard» som reelle sykluser vurderes mot. Syklusens termiske virkningsgrad er en funksjon av den høyeste og den laveste temperaturen til varmereservoarene. Sammenlikner vi med en reell energimaskins 7?e, kan vi se om maskinen utnytter ressursene godt eller dår­ lig-

/zS-diagrammet Det andre diagrammet som brukes i maskinteknikk, er entalpi/entropidiagrammet. Siden koordinatene i diagrammet angir verdien til to tilstandsstørrel­ ser som er av hovedinteresse for utstyr som turbiner, dyser og kompressorer, så er det et av de viktigste diagrammene. Diagrammet tegnes opp på grunnlag av det ak-

l

2

t-------------- ► S

Figur 6-21 En reversibel, adiabatisk prosess i hS-diagram Wturbin = rn.(h}- h2)

ENTROPI. TILSTANDSFORANDRINGER

239

tuelle mediets tilstandsstørrelser. En isobar kurve i diagrammet, for eksempel, re­ presenterer en reversibel isobar prosess. I en reversibel, adiabatisk turbin vil eks­ pansjonen følge en loddrett linje i diagrammet, og arbeidet vil være lik avstanden på entalpiaksen, figur 6-21. Det fullstendige /?S-diagrammet for vanndamp, figur 6-22, kalles et mollierdiagram etter tyskeren R. Mollier (1863-1935).

Figur 6-22 hS-diagrammet for vanndamp

I en dampturbin der turbinhuset er omhyggelig isolert mot varmetap, vil dampen ekspandere fra innløpstrykk til utløpstrykk langs en isentropisk linje dersom vi tenker oss turbinen som en ideell maskin der dampen avgir energi i form av arbeid på turbinbladene. A//is = h} - h2, figur 6-21, som er entalpiendringa for den isentropiske ekspansjonen mellom de to trykkene, er da et mål for det arbeidet som det er mulig å utvinne. I en aktuell turbin vil entropien øke As på grunn av en irre­ versibel strømning i turbinen. Entalpiendringa blir mindre enn A/iis, og sluttilstanden vil ligge til høyre for en isentropisk prosess i AS-diagrammet, figur 6-23. Ut­ vinninga av arbeid vil være betydelig mindre enn i den ideelle turbinen.

irreversibilitetene

240

ENTROPI. TILSTANDSFORANDRINGER

6 To viktige uttrykk i termodynamikken 6Endringa av entropi finner vi generelt ved å integrere dQ/Tlangs en kurve for en reversibel prosess mellom to aktuelle tilstandspunkter (likning 6-6). Hvis proses­ sen er en reversibel, isoterm prosess, er integreringen grei (avsnitt 6-3). Men når temperaturen varierer i løpet av prosessen, må vi kjenne sammenhengen mellom Q og Tfor å gjennomføre integreringen. Her skal vi innføre to viktige uttrykk som gjelder for enkle, kompressible system. Disse uttrykkene er

og

T-dS=d(7-l-/>-dK

T-dS = dH - V- dp

Grunnlaget er likning 3-23:

6-12

6-13

dQ = dU + dW

For en reversibel prosess skriver vi:

dQ = T-dS og

dW = p-dV Erstatter vi dQ og dJEi likning 3-23, får vi likning 6-12. Denne likninga inneholder faktorer som alle er tilstandsstørrelser. Anta at vi har en irreversibel prosess fra en begynnelsestilstand til en sluttilstand. Forskjellen i systemets egenskaper ville vært den samme om prosessen hadde vært reversibel, fordi tilstandsstørrelsene bare er avhengige av tilstanden. Likning 6-12 blir derfor ofte brukt på irreversible prosesser. Integreringen skjer langs en reversibel kurve mellom de to aktuelle tilstandene. Entalpi er definert ved hjelp av uttrykket H = U + pV. Differensiering fører til:

dH = d U + pd V + Vdp Vi bruker dette uttrykket til å erstatte dDi likning 6-12 02 står igjen med likning 6-13.

Fullstendig differensial Betegnelsen «fullstendig differensial» er et matematikkuttrykk. Har man uttrykt differensialet til en størrelse ved hjelp av en likning som inneholder to eller flere uavhengige variabler og integreringen av differensialet er uavhengig av kurven mel­ lom to aktuelle endepunkter, så har man et fullstendig differensial. Den tilførte varmen (likning 3-24): dQ = dU + pdV

er ikke et fullstendig differensial, fordi Q ifølge avsnitt 3-4 er avhengig av kurven. Ved divisjon med absolutt temperatur T får vi et fullstendig differensial:

dQ _dc MJ + p-dV T(p, V) d ' T(p, F)

T er ifølge tilstandslikninga en funksjon av p og V.

6-14

ENTROPI. TILSTANDSFORANDRINGER

7 Arbeidstap 6-

241

Wf

Et arbeidende medium (det vil si et system) endrer sin entropi på grunn av den in­ terne omforminga av energi og på grunn av utvekslingen av arbeid og varme med omgivelsene. Tilført varme vil øke entropien, mens bortført varme senker entro­ pien til et medium. Som påpekt i avsnitt 5-6 er det typisk at alle naturlige prosesser øker uordenen, men dermed øker også entropien. Entropi er et mål for uorden. Alle irreversibiliteter bidrar til arbeidstapet Wf og dermed til å øke uordenen. Uorden i denne forbindelsen er et uttrykk for at energikvaliteten er blitt redusert, se avsnitt 5-11. Naturlige prosesser reduserer energikvaliteten. a)

Figur 6-24 Prosessene på figur a og figur b viser maksimalt arbeidstap Wf Vi går nok en gang tilbake til den frie ekspansjonen, figur 6-24a. Ved en slik eks­ pansjon er arbeidet lik null, ekspansjonen er irreversibel. La oss sammenlikne med en reversibel prosess der systemet ekspanderer til den samme sluttilstanden, figur 6-24b. Gassen i sylinderen får tilført varme slik at temperaturen holdes konstant mens systemet utfører arbeidet W. Den første hovedsetningen:

Q = AU + W

Arbeidet ved den reversible prosessen er det arbeidet en maksimalt kan oppnå ved denne temperaturen. For en reversibel tilstandsforandring gjelder: dQ = T • dS og d W = p • d V

Den irreversible ekspansjonen foregikk uten at muligheten til å få utført arbeid ble utnyttet, man må kunne snakke om et tapt arbeid. Et visst arbeidstap vil opptre ved alle irreversible prosesser. Figur 6-24a illustrerer det ekstreme arbeidstapet Wf = PL idet den frie ekspansjonen ikke avgir noe arbeid. For et enkelt, kompres­ sibelt system kan vi skrive: p. dK= dW + dJFf

6-15

Her representerer dW det nyttige arbeidet og dWf arbeidstapet. Da kan likning 6-12 skrives:

TdS = dU + dW+ dWf

Ved hjelp av likning 3-23: dQ - dU + dW, får vi: T-dS - dQ + dPFf

Eller: 6-16

242

ENTROPI. TILSTANDSFORANDRINGER

En viktig konklusjon vi kan trekke av likning 6-16, er at entropien i et system kan økes på to måter: Den ene måten er å tilføre varme til systemet. Den andre måten er å la systemet gjennomløpe en irreversibel prosess.

Siden arbeidstapet ikke kan bli mindre enn null, er det bare en mulighet til å redu­ sere entropien i et system, og det er å lede bort varme slik at dQ < 0. Ved en adia­ batisk prosess der dQ = 0, skyldes økningen av entropi alltid irreversibilitetene. Når det gjelder framstilling av irreversible prosesser i pV- og TS-diagrammer, så bør det klargjøres nærmere. Arbeidet i en irreversibel prosess er ikke lik integralet Jp d V, og varmeoverføringa er heller ikke lik fT • dS. Det må vi slå fast fordi vi overhodet ikke kjenner tilstandene som systemet passerer igjennom, se figur 1-34. Prosessene på figur 6-24 vil derfor danne pV- og TS-diagrammer som er vist på fi­ gur 6-25. Figur 6-25a viser den irreversible prosessen fra figur 6-24a. Siden arbei­ det for denne prosessen er lik null, så har ikke arealet under den strekede kurven i pK-diagrammet noen betydning. Varmeoverføringa vil også være lik null. Er det en ideell gass, så er temperaturen uforandret. Derfor har heller ikke arealet i TSdiagrammet noen betydning. Figur 6-25b viser diagrammene for den reversible prosessen. Da representerer arealet 1-2-b-a-l arbeidet i pK-diagrammet og varmen i TS-diagrammet.

2 1

I

I I -+-► b S

Figur 6-25 a) Irreversibel prosess

b) Reversibel prosess

EKSEMPEL 6-5 Man skal slepe en kasse på 120 kg 20 meter på et plankeunderlag, figur 6-26. Friksjonstallet settes til 0,5. a) Under forutsetning av at arbeidet foregår om sommeren ved en temperatur på 27 °C på bakken, hvor stor er økningen i entropi? b) Forutsett vinter med t = 2°C på bakken. Hvor stor er økningen i entropi da?

Figur 6-26

243

ENTROPI. TILSTANDSFORANDRINGER

Løsning: a) Dette arbeidet fører til en irreversibel omforming av energi til varme. Vi må overvinne friksjonen for å flytte kassa. Friksjonskrafta F{ = m • mg = 0,5 • 120 • 9,81 = 588,6 N Friksjonsarbeidet Wf = F{ s - 588,6 • 20 = 11 772 J

11 772 J fordeler seg som varme på strekningen på 20 m og på kassa. Denne var­ men vil knapt ha noen innvirkning på temperaturen, vi kan anta at prosessen foregår isotermt ved T - 300 K. Likning 6-16: Økning av entropi AS =

Wf _ 11772 T ~ 300

39,24 J/K

b) Vi foretar en sammenlikning mellom situasjon a og en situasjon der temperatu­ ren er 273 + 2 = 275 K: Entropiøkningen AS - 11 772/275 = 42,8 J/K

Konklusjon-, AS er størst ved den laveste temperaturen. Energiutfoldelsen er den samme, men uordenen øker mest når T er liten.

8 Entropiendringer i faste stoffer og væsker 6Bruken av likning 6-6 forutsetter en kjent sammenheng mellom Q og T I kapittel 3 antydet vi at volumutvidelseskoeffisienten for et stoff i fast eller flytende fase er svært liten. På det grunnlaget kan man slå sammen de spesifikke varmekapasitete­ ne cp og cv til c slik det går fram av likning 3-30. Varmedifferensialet er derfor d

(

4 m • 2 m -l----- —I • 8 m

- 873,5 kN

Resultantkraft:

Fr = Vf2 + F2 = V(784 ■ 1O3)2N2 4- (873,5 • 103)2N2 = 1,174 MN

284

HYDROMEKANIKK

Dersom vi har et problem som vist på figur 7-10, der væska er på utsiden av den krumme flata, kan vi også bruke likning 7-18 for å finne krafta i y-retningen. Vi tenker oss at det fins et volum på utsiden av tanken, skravert på figur 7-10. Vi finner volumet av det skraverte volumet og bruker likning 7-18. Krafta i yretningen Fy - p • g • V går gjennom volumets tyngdepunkt.

Figur 7-10

EKSEMPEL 7-4 En tank har form som på figur 7-10. Avstanden fra væskeflata til punkt 1 er 3 m, den buede flata er en kvart sylinder med radius 1 m, og avstanden fra punkt 2 til bunnen er 1 m. Lengden av tanken er 4 m. Det er olje med densiteten 900 kg/m2. Finn kreftene i x- og y-retning.

Løsning-. Kraft i x-retningen: Fx = p • g • y0 • Ax = 900 kg/m2 • 9,8 m/s2 • (3 + 0,5)m • 1 m • 4 m = 123,5 kN

Kraft i j-retningen: /

qr

. O2

iyi

2\

Fy - p • g • V - 900 kg/m3 • 9,8 m/s2 (1 m • 3 m + —j 4 m = 133,5 kN

3 Oppdrift og stabilitet 7Oppdrift Fra faget fysikk er oppdrift behandlet i sammenheng med Arkimedes’ lov. Vi ser på et legeme av et vilkårlig stoff og med vilkårlig form. Legemet senkes ned i en væske, og dersom legemet har høyere densitet enn væska, kan vi henge det i en tråd, se figur 7-11. Fra væska vil det virke krefter, som står vinkelrett på overflata av legemet. Dersom legemet er i ro, må summen av alle kraftkomponentene i horisontalretningen være lik null. Kreftene i vertikalretningen er noe mer kompliserte. Vi kan tenke oss at legemet løftes ut av væska, men uten at dette virker forstyrrende på den øvrige væska.

285

HYDROMEKANIKK

Figur 7-11

Væska som har tatt legemets plass, er påvirka av tyngdekrafta G og trykket fra den omliggende væska, og summen av disse kreftene må være lik null. Tyngdekrafta kan ikke påvirke væska i horisontal retning, og da må resultanten av det vertikale væsketrykket være den krafta vi kaller oppdrift Fo. I vårt eksem­ pel må tyngden G og oppdriften Fo være like stor og motsatt rettet. Vi repeterer Arkimedes’ lov: Et fast legeme som senkes ned i en væske, blir påvirka av en oppdrift som virker vertikalt oppover. Oppdriften er like stor som tyngden av den væska legemet for­ trenger, og den har en virkelinje som går gjennom tyngdepunktet til den fortrengte væska. Forholdet mellom tyngde og oppdrift er avgjørende for om et legeme skal flyte eller synke. Oppdrift er ikke bare i væsker. En ballong fylt med en gass som er lette­ re enn luft, stiger opp på grunn av oppdrift. EKSEMPEL 7-5 En flåte har en grunnflate på 4 m2. Flåten med last har masse på 2000 kg. Hvor dypt synker flåten i sjøvann med densiteten 1025 kg/m3?

Løsning'. Flåtens tyngde: G = m • g = 2000 kg • 9,8 m/s2 = 19,6 kN

Fortrengt væskevolum:

Tyngde av flåte med last = oppdrift Fo - V-p-g

V - W25 kg/m3 9 8 m/s2

E95 m

Flåtens dypgående: V = A • Ah — Ah =

1 QS m3

- - = 0,49 m 4 m2 --------

Flåten flyter med dypgående 0,49 m. Dersom flåten belastes ytterligere, vil den synke dypere, og altså skaffe større oppdrift. Det er hele tiden kravet til likevekt som er viktig.

286

HYDROMEKANIKK

EKSEMPEL 7-6 En bøye har sylindrisk form, med utvendig diameter 1 m og høyde 2,5 m. Bøyen står vertikalt i stille vann med 1 m av volumet neddykket. Vannet har densiteten 1025 kg/m3, og bøyen har massen 700 kg. Finn ut om bøyen flyter eller synker med de opplysningene som er gitt over. Løsning-. Vi ser først på tyngden av bøyen: G = m • g - 700 kg • 9,8 m/s2 = 6,86 kN Oppdriften av bøyen:

Fo = V- p • g =

7T • 1

4

m~

1 m • 1025 kg/m3 • 9,8 m/s2 = 7,89 kN

Vi ser nå at oppdriften er større enn tyngden Fo > G. For at det skal bli likevekt må bøyen ha en tilleggskraft rettet nedover. Det kan være strekk i en vaier eller kjetting som holder bøyen «nede».

Strekk-kraft: Fs = Fo - G = (7,89 - 6,86)103 N = 1,03 kN

Stabilitet Vi skal se på stabiliteten til flytende legemer. Et legemes stabilitet mot krengning i en gitt retning bort fra likevektsstillingen undersøkes ved at legemet tenkes dreid en vinkel z ~ x • tan Av dette får man følgende uttrykk for den lille oppdriftskrafta dF0:

d^> = p • g ■ x • tan

■ dA

Oppdriftskrafta d/^, gir et dreiemoment dM om dreiepunkt 0: dM = x • p • g • x ■ tan

■ cL4 = p • g • tan

■ x2 • cL4

Det samla dreiemomentet finner vi ved å integrere delmomentene: M - j dM - p ■ g ■ tan

j x2 d4

Integralet [x2 dA kalles flatetreghetsmoment Vi kan så finne momentet om dreieaksen 0:

M - p • g • tan

• 4)

Dette dreiemomentet er identisk med forflytningsmomentet som oppstår ved for­ skyvning av oppdriftskreftene i likevekt til oppdriftstyngdepunktet Sod' i utkrengning: M = a • Fo a • Fo = p ■ g • tan $ • /0

288

sm

HYDROMEKANIKK

= a

a

z,

x •

- fl = (Aw + e)sm^

Fo (hm + ejsin