Teorija konstrukcija. Deo 3, Stabilnost konstrukcija i dinamika konstrukcija [PDF]

Zitiervorschau

I. P. PROKOFJEV Profesor, doktor

tehničkih

nauka

A. F. SMIRNOV Profesor, doktor

tehničkih

nauka

TEORIJA l(ON·STRUI(CIJA DEO III STABILNOST KONSTRUKCIJA I _D INAi\UKA KONSTR.UKCIJA ·

_-P reveo s r uskog Ing. M IL UTI N MAKS I MOVI Ć

I ZDAVAČKO PREDUZEĆE » GRAĐEVINSKA

KNJIGA«

BEOGRAD , 1961. i

i I

f i

'

1. i

f

Naslov originala :

H.

n.

\

flpOKOcpbeB

CTpocpeccop, ~01 P 2 i P 4 . .l\tlnožeći ove sile sa fJ, treba naći takvu kritičnu veličinu parametra /3kr pri kojoj će se okvir, opterećen silama P 1 (Jfl„ P"4 /3kr P 3 i P 4 fJk„ nalaziti u kritićnom sranju. Pri računanju na !-.tabilnost nije tako bitno izračunavanje ukupne veličine kritičnog opterećenja, već iznalaženje rezerYe stabilnosti, tj. određivanje kritičnog parametra. § 2. METODE IZNALAŽENJA KRITIČNIH SILA

Postoji više metoda za iznalaženje kritičnih sila od kojih su glavne dve: i energetska. Jvli ćemo pre svega razmotriti ove dve. 8

....

--

- -

statička

. .A:.

„

·"'.

~·~

Statička

1.

m eto da

Statička metoda se sastoji u tom, što se elascični siscem posmacra u ravnoceži pri cakvom defonnisanom stanju koje se razlikuje od dacog poscojanjem beski·ajno nu;zlih pomeranja koja prouzrokuju novi oblik defornzaczj"e, različic od zadacog. Sve dok su deformacij e male, mogu se približne linear ne diferencijalne jednačine koristiti kao jednačine elastične linije. Jednačine ravnoteže, zajedno sa graničnim uslovima omogućavaju nam da sačinimo sistem linearnih homogenih jednačina čiji je broj jednak broju nepoznatih konstanti koje se pojavljuju pri integrisanju diferencijalnih jednačin2.. · Za homogene jednačine je karakteristi čno to, da one nemaju samo jedno rešenje. Prema jednom mogućnom rešenju sve konstante su jednake nuli - što odgo~ vara slučaj u nedeformisanog stanja sistema. Da bismo d obili novo, deformisano stanje, dovoljno je da konstante, koje ulaze u sastav sistema jednačina ravnoteže budu različite od nule. Ovaj će uslov biti ispunjen onda, kad determinanta, sastavljena od koeficijenata a pored nepoznatih bude jednaka nuli: D(a) = O. CQ

Ova jednačina će nam biti baš ona karakteristična jednačina - a nju ćemo u b uduće nazivati jednačinom scabilnosci koja će nam dati veliči nu kritične sile Ph„ (ili kritičnog parametra f3kr). Sada ćemo na primeru pritisnutog štapa, s jednog kraja uklještenog, a sa drugog kraja zglobasto vezanog prikazati primenu ove statičke metode (sl. 8). Momenat savijanja u ma kom preseku x j.ednak je:

M x = -Py

+ Q(l -x),

pncem je Q reakcija gornjeg oslonca a. Koristeći se diferencijalnom jednačinom ugiba: 2

Hl d y = M, dx 2 dobićemo:

Ely" Integral

jednačine

y pričem

(2)

+ Py =

Sl. 8

. (2)

O(l -x)

biće :

= A cos nx

+ B sin nx + 2-cz -x), p

(3)

s u A i B p·roizvoljne konstante, a

Jednačina (3)

n=V:1

sadrži, na taj

ćemo iznaći pomoću graničnih

pri pri pri

način,

(4)

tri nepoznate

veličine:

A, B i ;

, a njih

uslova:

X = X = X =

Q Q f

y y' y

= o) = o } .= o J

(5)

9

Iz graničnih uslova (5) i genih j ednačina :

jednačine elastične

linije (3) dobijamo sistem homo-

) A cos nl

+ B sin nl =

O;

. o

Jednačine

Bn --=-= O. p (6) zadovoljene su pri:

I ~ I J

·.· (6)

A= B = -Q =O.

p lvleđutim, taj slučaj odgovara stabilnoj ravnoteži, jer su u skladu sa izrazom (3) pri navedenim vrednostima A, B i Q u gibi jednaki nuli, pa prema tome štap ostaje prav. Nas međuti.m interesuje slučaj ravnoteže štapa u iskrivljenom stanju, .tj. slučaj kad su konstante A, Bi Q različite od nule. Ovo će pak biti mogućno samo onda kad determinanta sistema (6) bude jednaka nuli. Tom slučaju odgovaraju neodređene vrednosti konstanti, a one su karakteristične za indiferentnu ravnotežu. Prema tome, jednačina stabilnosti će biti: 1 o l D = cos nl sin nl o =o. o n - 1

Razvijanj em determinante dobijamo : tg nl = nl.

(7)

Tehnički, nama je interesantan najmanji - nejednak nuli - koren jednačine (7). Putem biranja nalazimo nl = 4,493. Pomoću jednačine (4) nalazimo kritičnu silu EJ Phr = 20,19 . (8)

z2

..,

U onim slučajevima, kad se diferencijalna jednačina elastične linije ne integriše u zatvorenom vidu, r ešenje se može tražiti u obliku beskonačnih redova. Sama m etoda sastavljanja j ednačina stabilnosti pak ostaje i u tom slučaju ista kao i pre. 2. Energetska metoda

U § J mi smo se upoznali sa energetskim znacima stabilne ili labilne ravnoteže krutog tela (loptice), pa smo ustanovili da svakom mogućnom izvođenju tel.a iz stabilne ravnoteže odgovara porast njegove p otencijalne (položajne) energij e i obratno: svako otstupanje od labilne ravnoteže propraćeno je smanjenjem potencijalne energije. Slične znake ravnoteže imamo i kod elastičnog t ela. Ako pri bilo kakvom (m alom) otstupanju elastičnog štapa od datog oblika ravnoteže potencijalna energija bude rasla, - t o će označavati da je štap u stabilnoj ravnoteži. Nasuprot ovome, ako potencijalna energija pri izvođenju iz ravnotežnog položaja bude opadala - znači da je ravnoteža bila labilna. J dveju momentnih linija. M edusobno množenje vrši se sarno izmedu trapeza, momentnih površina Mm z M„ od

._§.

I

~

\

I

\

I

I

I

I

~

I \

1

i::

\ \

fi)

'-...

I-

t~

.'ll

\ ~

c

b

II' I

I

I

I '~ ~~

I

-~ .

~

~

I . I I' '.~ . :::::-,

~I

' "l

'}

;]

Sl. 68

69

'

poprečnog opterećenja, bez uziman.fa u obzir momenme površine M p od aksij"alne pritiskujuće sile čifi uticaj dolazi do izraž aja preko množitelja a (v) i ~ (v). Među­ 1 sobno množenje trapeza (sl. 68) vrši se množenjem istoimenih trouglova I · I' i II· I I' sa popravkom množenjem sa a (v) i raznoimenih trouglova I· I I' i I I· I' sa popravkom množenjem sa /3 (v). b) Jednostrano uklješteni štap Na sl. 69 prikazan je štap, uklješten svojim donjim krajem, a opterećen prmskujućom silom P kao i grupom poprečnih sila Qm u obliku momenta i siie. Desno na sl. 69 prikazana je momentna površina koja ima d va dela: desni trapezasti deo koji dole ima ordinatu c a pri vrhu d pretstavlja momente od poprečnih opterećenja; levi pak deo sa ordinatom Pc5 0 pri dnu pretstavlja uticaj sile P; c5 0 označava pomeranje vrha štapa od ravnotežnog položaja. Veličina c5 0 ne zavisi samo od sile P već i od veličina poprečnih sila Q"'. Da ne bismo morali da uvek izračunavamo svaku vrednost ·

1,

i veličine O~ (v) i 03 (v) onda j.:: tako doći

a) Sl. 74

§ '..U. IZBOR OSNOVNOG SISTEMA l STATIČKI NEODREĐENIH VELIČINA

Odmah treba reći da će nas - načelno govoreći - svaki osnovni sistem koji zadovoljava opšte uslove koji se od osnovnih sistema zahtevaju (v. deo II ove knjige) dovesti do istih rezultata proračuna. Nleđutim, mi smo i kod uobičajenih računa statički neodređenih sis tema ukazivali na to, da često od izbora osnovnog sistema zavisi hoćemo li račun sprovesti prostije ili komplikovanije. Pri računanju na stabilnost je još mnogo važnije pogoditi naj podesniji osnovni sistem, jer od tog ovde još u mnogo većoj ir:.eri zavisi tok računa: ako smo odabrali pogodan sistem, račun će nam biti lak i prost, ako pak nismo, račun se preterano komplikuje. ,. I !-' I

V

Sl. 73

Sl. 76

Pri računanju okvira na stabilnost glavno je postići to, da iznalaženje koeficijenata kanonskih jednačina bude što prostije. NajprostiJi postupak će biti pak kod onih osnovnih sistema, kod kojih pritisnuti štapovi budu pretstavljeni u obliku prostih gredica sa krajevima oslonjenim na nepomerljive zglobove, ili pak kao gredice, uklještene jednim svojim krajem. U oba ta slučaja možemo za izračuna­ vanje pomeranja ptimenjivati obrasce, izvedene u § 20. Sada ćemo - primera radi izabranih osnovnih sistema.

razmotriti izvestan broj uspešno ili neuspešno

73

1 Na sl. 75 vidimo najprostiji okvir, čiji je stub opterećen silom P. Tri mogućne sheme osnovnog sistema prikazane su na sl. 76 (I, II i III). Za prvu i drugu shemu karakteristično je to, da je stub u oba slučaja obična gredica, - po shemi I ta gredica je oslonjena svojim krajevima na nepomične zglobove, a u drugom je slučaju to jed11ostrano uklješ'tena gredica. Jedinična pomeranja u oba ova slučaja nalazimo vrlo lako, primenjujući obrasce ( 134) i (138). Pri trećem osnovnom sistemu izračunavanje P3 pomeranja postaje veoma komplikovano pa r-----. je stoga taj sistem nepogodniji od prva dva. Ako budemo poredili prvi i drugi sistem, videćemo da je prvi nešto povoljniji od drugog, jer se popravni množitelji a (v) i ~ (v) koji ulaze u izračunavanje pomeranja, Sl. 77 nalaze lakše za zglobasto oslonjen štap nego veličine Đ 1 (v), Đ 2 (v) i 8 3 (v) koje ulaze u obrasce za iznalaženje pomeranja jednostrano uklještenog štapa.

f

Crteži 78 i 79 pretstavljaju dva mogućna osnovna sistema za okvir, dat na sl. 77. Sistem, prikazan na sl. 78 relativno je prost, dok je onaj drugi (st. 79) vrlo komplikovan, pa ga ne treba uzimati. Sada ćemo bliže razjasniti pojam raditi pri računanju na stabilnost. ·

statički

nepoznatih

veličina

s kojima

ćemo

Pri ovom našem radu karakteristična je nagla, trenutna pojava izvijanja pritisnutih elemenata, pa prema tome i svih elemenata okvira u trenutku gubitka stabilnosti. Otstranjujući ma koju od unutarnjih veza, mi ćen;10 je nadoknaditi ne samo silama koje je zamenjuju, a koje su se javljale u njoj do trenutka gubitka stabilnosti, već i silama koje nastaju u trenutku izvijanja štapova. Sile prve vrste su nam poznate iz elementarnih proračuna, dok sile drugog tipa (neznatnih veličina, uostalom) uzimamo kao nepoznate veličine.

..x-.., •' t2 · u:--~--