Teoria numerelor [PDF]

Zitiervorschau

Traducere d e : dr. doc. Mcolae POPESCTI prof. Corneliu VLĂDOEEAHU

Z. L BOREVICl -

I. R. ŞAFAREVICI

TEORIA NUMERELOR

( ! ) 3. H. BopeBHH—H. P . ffla$ape.Bip-i TeopHH inceji (H3flaHne BTopoe) H8RaTem,CTBO HAYKA MocKBa, 1972

EDITURA ŞTIINŢIFICĂ Şl ENCICLOPEDICĂ Bucureşti, 1985

CUPRINS

Cuvînt înainte Prefaţă Capitolul I Congruenţe §1. Congruenţe moduîo n u m ă r prim 1. Sume de p u t e r i de resturi . . 2 . Teorema asupra numărului soluţiilor unei congruenţe 3. F o r m e pătratice modulo n u m ă r prim §2. Sume trigonometrice 1. Congruenţele şi sumele trigonometrice 2. Sume de p u t e r i 3. Modulul unei sume gaussiene . §3. Numere p-adice 1. Numere întregi p-adice 2. Inelul numerelor întregi p-adice . . 3. Numere fracţionare p-adice 4. Convergenţa în corpul numerelor p-adice §4. Caracterizarea axiomatică a corpului numerelor p-adice 1. Corpuri metrizate • 2. Metricile corpului numerelor raţionale §5. Congruenţele şi numerele întregi p-adice 1. Congruenţe şi ecuaţii în inelul Op 2. Despre rezolub ilitatea cîtorva congruenţe . §6. Forme pătratice cu coeficienţi p-adici 1. P ă t r a t e în corpul numerelor p-adice 2. Reprezentarea lui zero prin forme pătratice p-adice 3. Forme binare . 4. Echivalenţa formelor binare .• 5. Observaţii asupra formelor de grad superior . . • §7. F o r m e pătratice raţionale 1. Teorema Minkovski-Hasse 2. F o r m e de trei nedeterminate 3. F o r m e de p a t r u nedeterminate 4. Forme de cinci şi m a i m u l t e nedeterminate 5. Echivalenţa raţională 6. Observaţii asupra formelor de grad superior Capitolul II Reprezentarea numerelor prin forme decompozaMle §1. Forme decompozabile 1. Echivalenţa integrală a formelor 2. Construcţia formelor decompozabile 3. Module §2. Module complete şi inelul lor de stabilizatori 1. Baza unui m o d u l 2. Inelul stabilizatorilor

5

•

.

. . . .

.

9 H 13 15 15 17 19 21 21 24 28 32 32 35 39 41 49 49 54 58 58 60 68 68 69 73 77 79 85 85 86 93 95 96 98 102 104 104 105 109 m 111 115

' 3 . Unităţi . .." î. J O . . . 4. Ordinul maximal 5. Discriminantul unui modul complet §3. Metoda geometrică 1. Reprezentarea geometrică a numerelor algebrice 2. Reţele 3. Spaţiul îogaritmic 4. Reprezentarea geometrică a unităţilor 5. Noţiuni introductive asupra grupului unităţilor . §4. Grupul unităţilor 1. Criterii de completitudine ale unei reţele 2. Lema lui Minkovski • 3. Structura grupului unităţilor 4. Regulatorul •§5. Rezolvarea problemei reprezentării numerelor raţionale prin forme cpmplet decompozabile '.'.'., 1. Unităţi de normă + 1 . ' . . . . . 2. Forma generală a soluţiilor ecuaţiei N([i) —a . . . . . . . . . ..' . • 3. Construcţia efectivă a sistemului de unităţi fundamentale . . . . . 4. Numerele de normă dată dintr-un modul. . . ' . . ' . . . . ' . . . ' . . . . $6. Clase de module . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Norma unui modul 2. Finitudinea numărului claselor §7. Reprezentarea numerelor prin forme patratice' binare • . . . . . . . . 1. Corpuri pătratice 2. Ordinele dintr-un corp pătratic 3. Unităţi . 4. Module , ., . 5. Corespondenţa dintre module şi forme . 6. Reprezentarea numerelor prin forme binare şi modulele asemenea . 7. Asemănarea modulelor într-un corp pătratic imaginar Capitolul III Teoria divizibilităţii

;

§1. Cîteva cazuri particulare ale teoremei lui F e r m a t . . . . . . . . . . 1. Legătura dintre teorema lui F e r m a t si descompunerea în f a c t o r i . . 2. Inelul Z[Q . . ' . . . . . . . . . . , . . . . 3. Teorema lui Fermat în cazul unicităţii descompunerii în factori . . . : §2. Descompunerea în factori . . . ...... . . . . . . . . . 1. Factori primi 2. Unicitatea descompunerii . . . . . . . . . . . . . 3. Exemple de descompuneri neunice . . . . . . . . . . . . . . . . §3. Divizori . 1. Descrierea axiomatică a divizorilor 2. Unicitatea . . . . . - . , . . 3. închiderea întreagă a inelelor cu teoria divizorilor 4. Legătura dintre teoria divizorilor şi e x p o n e n ţ i . . . . . . . . . . §4. Exponenţi ' . . 1. Cele mai simple proprietăţi ale exponenţilor , . . . . . . . . . . 2. Independenţa exponenţilor . . . . •'„.: . . . . . . .. . . . . . . . . 3. Prelungirea exponenţilor 4. Existenţa prelungirilor §5. Teoria divizorilor pentru o extindere finită .. . . . . , . .. 1. E x i s t e n ţ a

2. Norma divizorilor . . . 3. Gradul de inerţie 4. Finitudinea numărului divizorilor primi ramificaţi

s

. . . . . .

117 120 122 125 125 130 134 136 138 139 139 140 145 148 151 151 152 153 157 158 159 162 165 165 166 169 173 177 180 183 195 195 195 197 201 206 206 207 209 212 212 • 215 217 218 226 226 227 231 235 239

•.-adice joacă un rol întru totul analog în problemele privind divizibilitatea la puteri a numărului prim p. Analogia. între numerele ^p-adice şi cele reale apare şi în alte privinţe. Mai mult, numerele s a d i c e se pot construi pornind de la cele raţionale cu ajutorul aceleiaşi construcţii care a condus la numere reale : prin adăugarea limitelor şirurilor fundamentale. Faptul că în aeest mod se ajunge la două tipuri diferite de numere se explică prin fun­ damentarea diferită a noţiunii de convergenţă. Să mai facem o observaţie. Dacă JP este o formă*), rezolubili­ tatea ecuaţiei (1) în numere întregi este evident echivalentă cu rezo­ lubilitatea sa în numere raţionale. Din această cauză în teorema Minkovski-Hasse se poate vorbi despre rezolubilitate in numere *) Prin formă autorii înţeleg un polmom omogen (de mai multe nedeterminate)^ de obicei cu coeficienţi raţionali. (N.T.)

14

raţionale în loc de rezolubilitate în numere întregi. Acest fapt evi­ dent devine important deoarece în cazul cînd F este un ponnoin arbitrar de gradul al doilea, teorema analoagă se păstrează numai cu condiţia ca să se refere la rezolubilitatea ecuaţiei în numere raţio­ nale. Aşadar în studiul ecuaţiilor nedefinite de gradul al doilea vom examina nu numai soluţiile întregi, ci şi pe cele raţionale. PROBLEME 1. Să se demonstreze că ecuaţia 15x 2 — 7i/2 = 9 nu are soluţii în numerele întregi. 2. Să se demonstreze că ecuaţia 5x 3 + li?/ 3 -f 13z 3 = 0 nu are alte soluţii în numere întregi în afară de x = 0, ij = 0, z = 0. 3. Să se demonstreze că un n u m ă r întreg de forma 8n + 7 nu se poate reprezenta ca o sumă de trei pătrate de numere întregi. 4. Folosind proprietăţile simbolului lui Legendre să se demonstreze că congru­ enţa (x a — 13)(x 2 — 17)(x 2 — 221) = 0 (mod/n) este rezolubilă oricare ar fi modulul m. Evident, ecuaţia (x 2 - 13)(x 2 - I7)(x a - 2 2 1 ) = 0 nu este rezolubilă în numere întregi. • • 5. Să se arate că ecuaţia nedefinită axxx + . . . + anxn = b, unde alt.. ., an şi b sînt numere întregi este rezolubilă în numere întregi, dacă şi numai dacă congruenţa corespunzătoare este rezolubilă pentru oricare modul m. 6. Să se demonstreze afirmaţia analoagă pentru sistemele de ecuaţii liniare cu coefi­ cienţi întregi.

§1. COSGBIJENŢE MODULO NUMĂB PEIM 1. Sume de puteri de resturi. Vom incepe prin a examina con­ gruenţele modulo număr prim. După cum se ştie, clasele de resturi modulo p formează un corp finit cu p elemente (care va fi notat ZP) şi orice congruenţă modulo p poate fi privită ca o egalitate in acest corp. Rezolvarea'congruenţelor modulo p este deci echivalentă cu rezolvarea ecuaţiilor în corpul Zp. Corpul Zp reprezintă doar un exemplu de corp finit. Toate raţionamentele din acest paragraf se transpun întocmai pentru cazul Unui corp finit oarecare (v. pro­ blemele 5 şi 6). ÎTe vom mărgini totuşi la studiul corpului Zp şi în locul egalităţilor vom scrie numai congruenţe. La alte corpuri finite vom recurge numai pentru a construi un exemplu la teorema 3. î n studiul problemei numărului de soluţii ale unei congruenţe modulo număr prim un rol important îl joacă următorul fapt simplu. TEOREMA 1. Fie m un număr natural. Suma x mod p

unde x parcurge un sistem complet de resturi modulo p este congruentă _ i modulo p, dacă m este divizibil cu p — 1 şi congruentă cu 0, m dacă m nu se divide cu p — 1. 15

Demonstraţie. Valoarea x = 0 (mo&p) poate fi evident omisă în suma JS. Presupunem că p — 1 divide pe m. Deoarece x**1 = 1 (mod p) pentru orice x care nu se divide la p, se deduce în acest caz că xm s 1 (modp) şi prin urmare S=p —1==—1 (mod p). Ad­ mitem acum că p — 1 nu divide pe m. Există atunci un număr a care nu se divide lajp şi astfel ca am=£ 1 (mod p) (a poate fi, de exemplu, o rădăcină primitivă modulo p). Cum împreună cu x şi produsull ax parcurge un sistem complet de resturi modulo p, rezultă că

2. Teorema asupra numărului soluţiilor unei congruenţe. Vom aplica rezultatele din §1 la demonstrarea următoarei afirmaţii. TEOREMA 2 (teorema lui Warning). Dacă gradul r al polinomului F(xx, . . . , xn) cu coeficienţi întregi este mai mic decît numărul n al variabilelor, atunci numărul soluţiilor congruenţei F(xx, . . . , x^ = s 0 (mod p) se divide la p. Demonstraţie. Fie N numărul soluţiilor congruenţei F = 0 (modp). Se consideră polinomul

amS = $] (ax)m E= S {moăp),

0(0?!, . . ., Xn) = 1 - F{X±1 . . .,

x mod p

de unde (am — 1)8 = 0 (mod p) şi prin urmare 8 = 0 (modp). CONSECINŢA. Jpie € > ( ^ , . . . , xn) un polinom cu coeficienţi întregi al cărui grad este mai mic decît n(p — 1). Atunci Y

O(0 1 ? ..., xn) = 0 (mod p),

(1)

unde în suma din membrul stîng xl7 , xn parcurg independent un sistem complet de resturi modulo p. Demonstraţie. Este suficientă examinarea cazului cînd ) es#6 divizibil cu p. Demonstraţie. Considerăm polinomul

de grad (rx + . . . + rm) (p — 1) < n(p — 1). Se arată, ca şi în cazul teoremei 2, că =

admite şi o soluţie nenulă. Cazul formelor pătratice de o nedeterminată teres (dacă a^ 0 (modj?) atunci congruenţa ax2 numai soluţia nulă). Să examinăm acum cazul formelor pătratice Vom considera că p i=- 2 (pentru n = 2, p = revistă uşor toate formele pătratice respective). î n poate fi scrisă astfel

nu prezintă in­ s 0 (modj)) are binare. 2 se pot trece în acest caz forma

Determinantul *) acesteia ac — b2 îl vom nota cu d. TEOREMA 6. Congruenţa M f ) - 0 (modjp)

{p-*2)

(3)

N{moăp),

de unde ţinînd seama de (1) rezultă că N = 0 (modp). OBSERVAŢIE. Teorema lui Warning admite următoarea generali­ zare (AX, J., Zeroes of polynomials over finite fields, Amer. J. Math. 86. B"! 2, 1964, 255-261). Fie F{xx, . . . , xn) un polinom de grad r < n cu coeficienţi din corpul finit S = OF{q)j q = pm, iar a cel "n mai mare număr natural pentru care a < — . Atunci numărul r N(F) al soluţiilor ecuaţiei F{xx, . . . , xn) = 0 în corpul S este divizi­ bil cu qa. Exponentul ma din congruenţa N(F) s 0 (mod j)ma) nu poate fi în general mărit. Pe de o parte, pentru cazul cînd r şi n sînt fixaţi (cu condiţia r < n) există polinomul FQe S O i , . . . , xn] de grad r astfel ca N(F0) # 0 (mod jp wa+1 ), iar pe de altă parte pentru 18

f{xu . . . , xn) =. 0 (modjp)

f(x, y) = ax2 + 2bxy + cy2.

oto,..., xu) = n [i - ^*(»i, • • •, a.)*-*] X &{%!, ...rxn)

cazul cînd ecuaţia F{x^ ..., xn) :.= 0 are cel puţin o soluţie în corpul 2 se deduce că N{F)>qn~r. (WA&OTNG ? -E., Bemerlîung zur vorsteJienden Arbeit von Herrn GJievalley, Abhandl. Math. Semin. Univ. Hamburg 11, H. 1 - 2 , 1935, 7 6 - 8 3 ) . 3. Forme pătratice modulo număr prim. Eezultatele obţinute mai sus le vom aplica la cazul formelor pătratice. Următorul rezul­ tat se deduce direct din teorema lui Chevalley. TEOBEMA 5. Fie f(x^ . . . , xn) o formă pătratică cu coeficienţi întregi. Dacă w^ 3, atunci congruenţa

are o soluţie nebanală, dacă şi numai dacă determinantul său d este divizibil cu p sau este rest pătr atic modulo p. Demonstraţie. Este evident că pentru două forme / şi /19 echi­ valente peste corpul 7JV (v. Complemente, §1, pct. 1), congruenţele (3) admit sau nu, simultan, o soluţie nenulă. Mai mult, fiindcă prin trecerea la o formă echivalentă determinantul se înmulţeşte cu pătratul unui element nenul al corpului Zv, în demonstraţia teoremei 6 se poate înlocui forma / cu orice formă echivalentă. Orice fbtnlă este echivalentă cu o formă diagonală (Complemente, §1, teorema 3); se poate astfel considera că f = ax2 -f cy2,

d == ac.

*) Ulterior acest număr va fi numit discriminant (cap. II, §7,••pct. 3) (N.T.).

19

Dacă a = O sau c = O (mod p), teorema este evidentă. Dacă însă ac& O (mod p) şi congruenţa (3) admite soluţia nenulă (a?0, y0)j atunci din congruenţa

6. Fie F ( x 1 , . . . , x w ) un polinom de grad r < n cu coeficienţi din corpul finit S de caracteristică p . Să se demonstreze că numărul soluţiilor ecuaţiei F(xlt . . . , xn) = 0 în corpul Ş este multiplu de p. Să se arate apoi că numărul soluţiilor sistemului fF 1 (x 1 , . . ., xn) = 0,

aa% + cyl s 0 (mod _p) se obţine

l F j ^ ( x 1 , . . . , Xfi) — 0,

— ac = ( - ^ J (mod^p)

în corpul S este multiplu de p dacă gradele rv. . . , rm ale polinoamelor Fv . . ., FTO (cu coeficienţi din S ) satisfac condiţia r x + • • • + rm < n. 7. Să se arate că dacă f e s t e o formă pătratică peste corpul Zp avînd rangul cel puţin doi şi a şâ 0 (mod p), atunci congruenţa

I fracţia w = — ( m o d p ) reprezintă rezultatul împărţirii în corpul Z p , adică soluţia congruenţei vw = w (modp)J. Astfel, j Reciproc, dacă ( -1 = 1 şi —ac = u2(m.odp)1 \ P ) (®oi Vo) =

K

J = 1.

se poate lua

«)•

f ~.a (mod p) este rezol ubilă. li. Folosind teoremele 2 şi 3 din §1 Complemente, să se demonstreze că în corpul Zp (p ^ 2) două forme păţraticc nesingiilare sînt echivalente, dacă şi numai dacă produsul determinanţilor acestora este un pătrat. !). Să se determine grupul Witt al claselor formelor păţraticc din corpul Zpi p =£ 2 (v. Complemente, §1, problema 5). 10. Dacă f(x, y) este o formă pătratică de determinant d ^k 0 (mod p), să se arate că numărul soluţiilor nenule ale congruenţei f(x, y) = 0 (mod p) este (p — 1) J1 + J — 11.

PROBLEME 1. Fie F ( r , , . . . , xw) un polinom cu coeficienţi întregi de grad r < n(p —1). Se ia a = n — I . Să se demonstreze că suma LP-IJ 2J

11. Folosind teorema 7 §1 Complemente, să se demonstreze că fiind dată o formă pătratică f(xlf . .,, xn) cu determinant d •£ 0 (mod p), în cazul p =£ 2 numărul soluţiilor nenule ale congruenţei f(xv . . ., xn) = 0 (mod p) este pn-i _j_ (p _ 1) _ v

F ( X P . . . , s„),

în care xlt ..,, xn parcurg independent un sistem complet de resturi modulo p, se divide prin pa. 2. Fie 1 < n ^ p —1 şi alf . . ., an numere întregi arbitrare. Să se construiască polinomul cu coeficienţi întregi f(xv..., xn) de grad p — 1 pentru care congruenţa f = 0 (mod p) are soluţia unică xt = ^ ( m o d p ) , 1 ^ i ^ n. 3. Să se determine numărul de soluţii ale congruenţei x 3 + r/3 -f~ z 3 + u 3 =s = 0 (mod 7).

p

_ | pn/z-if • y

pn-i __ \}

pentru n par, pentru n impar.

12!. î n condiţiile problemei (11) să se determine numărul soluţiilor congruenţei ;

f(xv

...,

Xn) ~ a (mod p).

§2. SUME TRIGONOMETRICE

4. Să se construiască o formă cubică F(x x , x 2 , x 3 ) astfel încît congruenţa

Să se demonstreze că suma S(m) este egală cu —1 dacă m se divide la q—1 şi este nulă în caz contrar.

.1. Congruenţele.şi sumele trigonometrice, î n acest paragraf (ca de altfel şi în cele precedente) se vor examina congruenţele modnlo un număr prim p dintr-un punct de vedere puţin modificat. Din teoremele prezentate în §1 au fost deduse anumite concluzii asupra numărului de soluţii al unei congruenţe în funcţie de gradul polinomului şi numărul nedeterminatelor sale. Rolul principal îl va în­ deplini acum mărimea modulului prim p. La începutul capitolului am menţionat că pentru rezolubilitatea ecuaţiei nedefinite F(w^ . . *,'•#„) = 0 este necesar ca congruenţa

20

21

F(xx,

x 2 , x 3 ) = 0 (mod 2)

să admită numai soluţia nulă. 5. Fie S un corp finit de caracteristică p avînd q = pn elemente. P e n t r u m^ se notează

1

S(m) = X 5».

.F = 'O (mod m) să fie rezolubilă pentru orice- modul m. Chiar; dacă ne limităm la cazul modulelor prime tot Vor apare o Miniţate de condiţii necesare. Este evident că aceste condiţii se vor dovedi utile numai clacă vom avea un procedeu finit (cu un număr finit de paşi) pentru verificarea lor. Vom arăta că există un asemenea procedeu (chiar foarte simplu) pentru o clasă foarte importantă de polinoame^ şi anume: fiind dat un polinom F cu coeficienţi întregi al acestei clase, congruenţele F == 0 (modjp) sînt automat rezolubile pentru orice modul p mai mare decît o anumită margine. Polinoamele res­ pective sînt definite în modul următor. DEFINIŢIE. Polinomul F(xlr ..., xn) cu coeficienţi raţionali se numeşte absolut ireductibil, dacă nu poate fi descompus în factori nebanali în nici o extindere a corpului numerelor raţionale. Este adevărată următoarea teoremă fundamentală : : TEOREMA A. Dacă F(xt, ...,, xn) este un polinom absolut ireduc­ tibil avînd coeficienţii întregi, atunci congruenţa F(Xu . . ., xn) = 0 (mod p)

(1)

este rezolubilă pentru orice număr prim p mai mare decît o..anumită margine care depinde numai de polinomul F. Un rezultat analog este valabil şi pentru soluţiile nenule : dacă se consideră că polinomul F este omogen şi, de asemenea, pentru sistemele de congruenţe (definind în mod corespunzător absolut ireductibilitatea). î n cazul n = 1 teorema este banală (©rice polinom de o nede­ terminată şi gradul mai mare decît 1 este reductibil în corpul nume­ relor complexe, iar pentru polinoamele de gradul întîi afirmaţia este evidentă). Pentru n = 2 demonstraţia necesită aplicarea unor metode profunde de geometrie algebrică. Prima demonstraţie a teoremei A pentru n = 2 a fost obţinută de Weil (WEIL, A.,' Sur Ies courbes algebriques et Ies varietes qui s'en deduisent, Act. ScL Ind. 1041, Paris, Hermann, 1948). Cele mai bune dintre variantele existente ale demonstraţiei acestei teoreme sînt cuprinse în lucrările; LANGL s., Abelian varieties, Interscience Tracts. N ° 7, IsTew York, 1959 şi MATTUK, A,, TATE, J., Despre inegalitatea CastellnuovoSeveti, Matematica (culegere de traduceri) 4 : 2 , 1960, 25 —28). Trecerea de la cazul n =±= 2 la cazul general este mult mai simpla. Aceasta s-a făcut in lucrările: OTSNEVIG, L. B.; Despre numărul punctelor unei varietăţi algebrice peste un corp finit prim, DokL A.N". SSSB 99,.E"£.l, 1954, 1 7 - 2 0 şi LANG, S., WEIL, A., Number of points of varieties in finite fields, Amer. J.Matli. 76, N^ 4, 1954, 819-827. î n lucrările amintite se demonstrează de fapt mult mai mult decît cele afirmate de teorema A. Anume, se arată că dacă se fixează 22

polinomul F iar modulul prim p variază, atunci numărul N al solu­ ţiilor congruenţei (1) tinde la infinit cînd p creşte nemărginit şi se evaluează chiar viteza de creştere a lui JV. Formularea riguroasă a acestui rezultat este conţinută în următoarea teoremă. TEOREMA B . Numărul N{F,p) al soluţiilor congruenţei {1) veri­ fica inegalitatea \N{F1p)-~pn-1\ 3, deoarece pentru n = 1 şi n = 2 numărul soluţiilor congruenţei F .== 0 (mod p) se deduce în mod evident. Conform formulei (4) numărul JSf al soluţiilor congruenţei

Se consideră suma

r

a

v^r\ + •

Dacă valorile ^ • . . , xn reprezintă o soluţie a congruenţei (1) atunci conform relaţiei (2) se deduce V ŢxF{Xl,.,., xn) = x

V ţxFţxlt...,xn)

P

y

yxF(xu...9

xn)m

,^(*i..'... *â.

•

(4>

Să observăm că această formulă pentru JV" sugerează teorema B . Mai mult, pn~1 apare ca un termen al lui JVVEste necesar să se de­ monstreze doar (tocmai în aceasta constă însă dificultatea) că atunci cînd p creşte, suma tuturor celorlalţi termeni creşte în modul mai lent decît termenul principal. 2. Sume de puteri. Vom aplica consideraţiile generale care au fost expuse la punctul 1 în cazul cînd polinomul F este o sumă de puteri ale nedeterminatelor, adică F(x±, ...,xn)

= a^

+ . . . -f anwţ»,

I ? l # . . . . #rc

şi poate fi reprezentat sub forma JT = pn - i

__ 1

(5)

Formula obţinută ne conduce la considerarea sumelor de forma %ţayr(a&Q(moâp)). Se observă uşor că

£ Cyr = £™(aOC",

Să separăm în suma (3) toţi termenii pentru care x = 0 (mod j>). Deoarece fiecare din aceşti termeni este 1, iar numărul acestora este pm (fiecare din argumentele x±1 . ..,a?„ ia în mod independent p valori), obţinem £

.+«»
) = /

cînd k s 0 (mod d),

[0,

cînd k & 0 (mod