Teoria funcţiilor de o variabilă complexă, vol. 1 [PDF]

Zitiervorschau

Reflective

OCTAV MAYER

TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILĂ COMPLEXĂ

E D I T U R A A C A D E M I E I REPUBLICII S O C I A L I S T E R O M Â N I A Bucureşti

1981

Theory o f Functions of a Complex Variable TeOpHH 4>yHKIţHH KOMnJleKCHOH nepeMeHHoă

E D I T U R A A C A D E M I E I R E P U B L I C I I SOCIALISTE R O M Â N I A 79717 Calea Victoriei 125, sector 1, telef. 507680, Bucureşti

Prefaţă

Tratatul de faţă, redactat de academicianul Octav Mayer în timpul vieţii sale (+1966), constituie o amplă prezentare a pro­ blemelor legate de cursul de „teoria funcţiilor de o variabilă complexă", predat de autor între anii 1948 şi 1960 la Facultatea de matematică a Universităţii „Al. I. Cuza" din Iaşi. Publicarea volumului repre­ zintă un pios omagiu adus ilustrului dispărut. Deşi specialitatea lui O. Mayer era geometria, acest tratat de teoria funcţiilor de o variabilă complexă este unul din cele mai bune şi complete pe care le avem în momentul de faţă la noi în ţară. Calităţile sale de bază sînt claritatea, rigoarea, tendinţa de a fi exhaus­ tiv, cît şi o mare bogăţie de exemple, probleme şi exerciţii (care ar fi fost suficiente pentru o culegere), cea mai mare parte a lor fiind rezolvate. Ele au fost repartizate în cadrul paragrafelor corespunză­ toare sau la sfîrşitul lor. Faptul că autorul era specialist în geome­ trie se reflectă în accentul pe care îl pune pe teoria geometrică a func­ ţiilor, cît şi în interpretările geometrice ale diferitelor rezultate de teoria funcţiilor (cum ar fi de exemplu transformarea cercurilor în cercuri prin transformări liniare). Faţă de redactarea autorului, s-au făcut un minim de modifi­ cări, dintre care unele privesc terminologia şi notaţiile. Ne-am îngă­ duit să facem acest lucru deoarece este vorba de un tratat destinat şi studenţilor şi deci este natural ca ei să întîlnească într-însul termi­ nologia şi notaţiile cu care sînt familiarizaţi. Prin bogăţia proble­ melor pe care le conţine, poate fi un auxiliar preţios cadrelor didac­ tice, iar din modul exhaustiv de a trata problemele poate servi drept studiu introductiv specialiştilor din acest domeniu. Tratatul de faţă conţine generalităţi asupra noţiunilor de func­ ţie de o variabilă complexă, limită, continuitate, apoi teoria seriilor şi produselor infinite (cu numeroase incursiuni în teoria funcţiilor de o variabilă reală şi cu încadrarea lor în teoria mai generală a funcţiilor depinzînd de un parametru); în continuare, după intro­ ducerea noţiunii de monogenitate, se tratează pe larg transformările liniare şi funcţiile elementare şi, în sfîrşit, topologia planului lui Gauss. Ultimele 3 capitole se ocupă de teoria integrării, dezvoltării în serie Taylor şi Laurent şi de studiul singularităţilor, unde se pune accentul pe teoria reziduurilor şi aplicaţiile lor (ilustrată şi prin numeroase probleme).

Cartea este prevăzută şi cu numeroase figuri reprezentând un suport intuitiv pentru urmărirea demonstraţiilor sau a rezolvării problemelor. Am considerat util să adăugăm un indice de materii şi unul de autori. Ar mai fi de menţionat că unele demonstraţii, care erau numai schiţate în redactarea autorului, au fost completate de noi. De aseme­ nea, cea mai mare parte din probleme şi exerciţii, care se aflau în caiete separate, au fost verificate şi intercalate în text, la locul consi­ derat cel mai potrivit. Ţinem să menţionăm cu această ocazie că majoritatea modificărilor făcute au fost discutate cu prof. N. Negoescu, iar unele şi cu prof. Al. Climescu, cărora le mulţumim şi pe această cale.

Petru

Caraman

Tabla de materii

Introducere

11

Cap. I . Variabila complexă. Funcţii. Limite. Continuitate. Serii şi produse infinite Numere şi variabile complexe 1. 2. .5. 4. 5.

Definiţia numerelor complexe. Expresia carteziană Expresia trigonometrică a numerelor complexe Reprezentarea geometrică a numerelor complexe Inegalităţi pentru moduli Variabila complexă. Planul lui Gauss şi sfera lui Riemann

13 15 18 19 21

Exerciţii

25 Funcţii. Limite. Continuitate

6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

Noţiunea de funcţie de variabile complexe (în sens larg) Noţiunile de limită şi continuitate Cîteva teoreme referitoare la domeniul de definiţie al funcţiei Criteriul lui Cauchy Limita unui şir infinit Calculul cu limite pentru modul şi argument Calculul cu limite pentru mai multe funcţii şi aplicaţii la continuitate Continuitatea uniformă

26 29 31 33 35 37 40 42

Exerciţii

45 Convergenţa seriilor şi produselor infinite

14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29.

Serii (generalităţi) Operaţii cu serii Natura unei serii Condiţii necesare Criterii de convergenţă sau divergenţă pentru serii simple cu termeni pozitivi Criterii de comparaţie Criteriul lui Kummer Criterii de convergenţă pentru serii multiple cu termeni pozitivi Convergenţa absolută a seriilor Teorema lui Weierstrass Criterii de convergenţă pentru serii oarecare Transformarea seriilor simple Produsul a două serii convergente Produse infinite. (Generalităţi) Criterii generale de convergenţă pentru produse infinite Criterii de convergenţă pentru produse infinite simple cu factori pozitivi, supraunitari sau subunitari

46 50 52 54 56 60 66 68 71 78 79 85 90 92 94 97 7

30. Convergenţa absolută, a produselor infinite 31. Criterii de convergenţă pentru produse oarecare Exerciţii

9S 100 102

Convergenţa funcţiilor depinzînd de parametri şi in special a seriilor şi produselor infinite de funcţii 32. Generalităţi

111

Cap. I I . Noţiunea de funcţie monogenă (olomorfă) de o variabilă şi reprezentările conforme plane. Funcţiile elementare Monogeneitate (derivabilitate) 33. Diferenţiabilitate 34. Derivata unei funcţii de o variabilă complexă Exerciţii

113 116 122

Reprezentarea definită de o funcţie olomorfă 35. Funcţia inversă 36. Transformarea domeniilor 37. Reprezentări conforme (Generalităţi) Exerciţii

125 127 129 132

Transformări liniare (omografice) 38. 39. 40. 41. 42. 43.

Proprietăţi generale Drepte şi cercuri în planul lui Gauss. Păstrarea lor în transformările liniare.. Puncte duble. Clasificarea transformărilor liniare Simetrii faţă de drepte şi cercuri Reprezentări conforme de discuri pe discuri Proprietăţi grupale ale transformărilor liniare şi antiliniare Exerciţii

134 135 139 142 145 147 H8

Funcţii elementare 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52.

n

Funcţiile z (n întreg), $z (n întreg > 1). Polinoame şi funcţii raţionale Funcţia e (exponenţială) Funcţia log z Funcţiile a şi z* Funcţiile circulare cos z şi sin z Funcţiile ciclometrice arc cos z şi arc sin z Funcţiile circulare tg z şi ctg z Funcţiile ciclometrice arc tg z şi arc ctg z Funcţiile hiperbolice

151 154 157 159 160 167 169 174 175

Exerciţii

176

z

z

Cap. I I I . Elemente de topologie a planului lui Gauss 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62. 63. 64. 65. 8

Spaţii cu vecinătăţi Noţiunile topologice fundamentale (în spaţii ( P Y ) = ( « P ) Y

a + 0 = a,

a • 1= A

fundamentale:

(asociativitate),

a, A

( P + Y) =

P+

A

T

(distributivitate),

care, împreună cu univocitatea adunării şi înmulţirii, constituie bazele logice ale calculului cu numere reale, întrucît nu este vorba de relaţii de m ă r i m e (care în cîmpul c o m p l e x nu sînt definite). Se poate spune că cele patru operaţii cu numere c o m p l e x e se efectuează aplicînd expresiilor imaginare regulile calculului algebric şi făcînd înlocuirile 2

(8)

3

4

5

i = - l , i = - i , i =

1, i = i, ...

Să observăm în particular că ap = 0 atrage a = 0 sau p = 0 din cauza univocitaţii împărţirii. Definiţie. Se defineşte ca număr (9)

conjugat

cu a = a + ib:

ă = a — ib.

Avem /«^ (10)

a + ă a =———»

.. ib =

a — â ;

li

îs

deci ă = a e condiţia pentru ca a să fie real, iar ă = — a e condiţia pentru ca a să fie pur imaginar.

§ 2. Expresia trigonometrică a numerelor complexe Definiţie. Fiind

dat numărul

OL = a + ib, se numeşte norma 2

(11)

lui:

2

Oloi = a + b

şi modulul

lui: 2

(12)

| a | = Va +

Qlv. şi | a | sînt numere

2

b.

reale>0.

a = 0 este echivalent cu flta. = 0 sau cu | a | = 0. D a c ă a e real, |aj e valoarea sa Avem (13) (14)

Gl* = aâ =

m

,

absolută. |a| = | 5 | , 2

tf£a=!a| . 15

Definiţie. Fiind

dat a = a + ib ^ O, să punem

(15)

r = |a|.

Relaţiile

a = r cos 8, b = r sin 0, \2

corn\patibile fiindcă ^ — j

e

^

nesc

u

d fi

n

unghi

0

/a

multiplu

de 2TZ (dacă unul din ele este G , toate sînt cuprinse în G = 0 + 2Arc, Ar oarecare). Acest unghi se numeşte argumentul sau amplitudinea lui a şi se notează: 0

(16)

O

G = arg a,

G fiind definit de ( 1 5 ) . D e obicei se consideră « v a l o a r e a p r i n c i p a l ă » a argumentului: pentru care — n < G < iz. A v e m acum: (17)

aceea

a = r(cos G + i sin 0 ) ,

care e expresia trigonometrică a numerelor c o m p l e x e . Aceasta se pretează m a i bine ca cea carteziană în operaţiile de înmul­ ţire şi împărţire. F i e şi numărul a' = r' (cos 0' + i sin 0 ' ) . A v e m aa' = rr [(cos G cos 0' — sin G sin 0 ' ) + i (cos G sin 0' + sin 0 cos 0 ' ) ] = =

rr' [cos (0 + 0 ' ) + i sin (0 + 6 ' ) ] ,

de unde rezultă (18)

laa'l = | a ] • |a'|, arg ( a a ' ) = arg a + arg a'

şi, în general (pentru un număr finit de factori),

(18')

arg (a a' a" . . . ) = arg a + arg a' + arg a" +

î n c u v i n t e : înmulţirea se face înmulţind modulii şi adunînd argumentele. Cît despre împărţire, aceasta fiind inversa înmulţirii, putem scrie fără alt calcul: (19)

a a

arg | a' |

arg a — arg a a

D i n (9) şi (15) a v e m (20)

ă = r (cos 0 — i sin 0 ) ,

deci (21)

arg â = — arg a. A p l i c î n d ( 1 3 ) , (21) în ( 1 8 ) , (19) a v e m

(22) ceea ce rezultă din ( 1 4 ) . 10

1,

arg (a a ) = 0,

D i n ( 1 8 ' ) urmează pentru n întreg > O n

(23)

n

| a | = | a | , arg a" = n arg a,

unde a° =

1 este

n

o definiţie. D e asemenea m e n ţ i n e m definiţia oC =

•

Cum 111 = 1 şi arg 1 = 0 (căci 1 = cos 0 + i sin 0 ) , a v e m n

(24)

n

|of | =

|a|" , arg of* = — n arg a

şi astfel formulele (23) sînt adevărate pentru n întreg oarecare. E l e se scriu în una singură: a

n

n

= r ( c o s nQ + i sin n 8 ) .

Pentru r = 1 a v e m formula lui M o i v r e : n

(25)

cos wG + i sin nQ = (cos 6 + i sin G ) ,

de unde prin identificarea celor doi m e m b r i : cos wG = cos (

tt

8

-

( ^)

sin wG = sin G11^

^

C O S

""

jcos""

1

1

8

^

6 -

+

°

( 4) w

| * jcos ~

3

C O S

4

""

°

S i n 4

° ~

" "

2

6 sin G + ...J.

Se v e d e că (26').

cos wG = P „ ( c o s G), sin nQ = sin G • ^ » _ i ( c o s G),

P şi ^ _ ! fiind polinoame de gradele n şi n — 1, bineînţeles după ce s-a făcut în prealabil substituţia sin 6 = 1 — c o s G. Operaţia inversă ridicării la puterea w(întreg) e extragerea rădăcinii n

n

2

i n

de indice n: f a = a .

2

i

Dacă a

M

= r' (cos G' + i sin G ' ) , trebuie

să a v e m

n

r(cos G + i sin G) = r ' ( c o s wG' + i sin wG'), de unde

n

r = r' ,

Q + 2kn = nQ'.

Astfel, a (27)

= r

n

cos —

V

î

+ n

1

s

m

•

• )

n

n

Aşadar, a are n valori, care se o b ţ i n luînd în (27) pentru k un sistem complet de resturi m o d n, cum sînt k = 0, 1, w — 1 (căci două valori ale lui k ce diferă cu un multiplu de n dau aceeaşi v a l o a r e expresiei ( 2 7 ) , pe cînd cele n valori considerate sînt diferite fiindcă argumentele lor nu diferă cu mul­ tipli de ITZ). Mai putem spune: numerele (27) sînt rădăcinile ecuaţiei binoame z = a. Se v e d e că dacă a e real > 0 , deci G = 0, a v e m pentru n par două rădăi — fi cini reale, ± r , corespunzătoare la k = 0, — ; iar pentru n impar o singură 2 n

n

j_ 91

rădăcină reală, r ,

corespunzătoare la k = 0. D a c ă a e real < 0 , deci G = TT, i

nu a v e m rădăcini reale cînd n e par, sau a v e m una, —r k =

, cmd

n

, corespunzătoare la

n e impar.

2 — Teoria funcţiilor — c. 1275

17

§ 3. Reprezentarea geometrică a numerelor complexe Gauss şi, puţin înaintea lui, Wessel şi A r g a n d , au reprezentat numerele complexe prin punctele unui plan referit la axe carteziene ortogonale (fig. 1). î n acest scop se ia ca imagine a unui număr a = a + ib punctul de abscisă a şi ordonată b, pe care-1 v o m numi afixa lui a şi-1 v o m nota tot cu a. D e obicei însă v o m vorbi, m a i scurt, despre «punctul a » pentru a indica, indife­ rent, şi numărul a şi afixa sa a.

Fig. 1

Fig. 2

D i n (12), (15) şi triunghiul figurii 1 se v e d e că

/ \ | a| =

Oa,

arg

a =

XOOL, / \

unde distanţa Oa e luată absolut, iar unghiul XOOL e măsurat algebric (faţă de sensul de rotaţie direct ca sens p o z i t i v ) : r = | a | şi G = arg a sînt coordonate polare ale afixei a. N u m e r e l e reale sînt pe axa Ox, care se numeşte axa reală, iar numerele pur imaginare, pe axa Oy — axa imaginară. Reprezentarea pune, de e x e m p l u , în evidenţă că numerele a, —a, ia, —ia (a r e a l # 0 ) au modulul a şi argumentele respectiv egale cu 0, n, — > 2 — — » (valori principale) (fig. 2 ) . 2 Punctele a şi —a sînt simetrice faţă de O. Punctul O are argumentul complet nedeterminat. Două numere c o m p l e x e conjugate au afixele simetrice faţă de axa reală (fig. 3 ) . Formulele (13), (21) sînt evidente geometric.

y\

^

Fig. 4

Fig. 3

Să interpretăm geometric cele patru operaţii. Formula (V) arată imediat că suma a + a' = a" se obţine —•

—y

construind

—>•

vectorul Oa" = Oa + O a ' (fig. 4 ) . D a c ă punctele O, a, a' sînt coliniare, ceea ce se întîmplă cînd arg a = arg a' sau arg a = — arg a', Oa" se obţine adu18

nînd vectorii coliniari Oa şi O a ' . î n primul caz, a, a', a" sînt de aceeaşi parte faţă de O şi arg a = arg a' = arg a", î n cazul al doilea, a şi a' sînt separaţi de O. Cînd arg a 96 -j- arg a', a" se construieşte ca al patrulea vîrf al parale­ logramului de laturi Oa, Oa', sau luînd aa" echipolent cu Oa' (sau viceversa).

Fig. 5

Fig. 6

P e n t r u a construi diferenţa a' — a = a" (fig. 5 ) , v o m lua a'a" echipolent cu —Oa (căci a" = a' + ( — a ) ) .

vectorul

Aceasta revine la

a

lua

Oa" echipolent cu aa'. R e z u l t ă observaţiile foarte utile: | a ' — a| este distanţa a a ' ; arg (a' — a) este unghiul vectorului aa' (sau al dreptei orientate a a ' ) cu axa reală. Produsul aa' = a" se obţine construind triunghiul Oa'a" direct ase­ menea cu triunghiul O l a (fig. 6 ) . într-adevăr, figura 6 arată că a" are coor­ donate polare r" = rr' (din asemănarea triunghiurilor) şi 0" = G + 0'. î n sfîrşit — = a" se obţine construind Oa"a' asemenea cu O l a . a

§ 4. Inegalităţi pentru moduli D i n construcţia sumei rezultă uşor importantele inegalităţi: (28)

| a + a'| < | a | +

|a'|

cu = cînd arg a = arg a' |sau — > O j > (29)

|a+a'| >

cu = cînd arg a = — a r g a ' | s a u —

||a|-|a'||

< o j (reies din triunghiul Oaa", cu latu­

rile |a|, |a'|, | a + a ' | ) . Demonstraţia

algebrică

a formulei

r = | | = V^+~P, a

2

r" = |

a

+ a'|

2

2

= {a + a')

( 2 8 ) . Să punem / = |a'| = 2

+ {b + V)

+ 2

= r + /

2

2

V, + 2{aa' +

bV). 19

Din

identitatea

lui L a g r a n g e , 2

2

(a

2

2

+ b )(a'

2

+ V ) = (aa' + bb')

2

+ (aV -

a'b)

t

avem 2

2

2

r r' >(aa'

+ bb')

r/>aa'

t

+

bb';

deci, r

adică

"2


|

R. Se aplică identitatea 2

2

[* — a (cos 0 -f i sin 0)] Iz — a (cos 0 — i sin 0)] = z — laz cos 0 -f a . 8. Daca* a -j

— — 2 cos 0, avim a* -\ a

— = 2 cos n0. a n

9. Să se verifice că următoarele ecuaţii (unde t ia toate valorile reale) reprezintă curbele scrise în dreptul lor. \ z — a| = r, cerc de centru a şi rază r |* — a| = \z — p| (a # p) perpendiculara pe mijlocul segmentului (a, (J), arg (* — a) = a (real), semidreaptă de origine ol şi înclinare a; Re(a* + P) = 0 (a ^ 0), dreaptă; Im — = c (real),

cerc dacă c # 0;

[** — 1| = 1, z = ol + $t, z » a + r (cost -f i sint)(r > 0), i = s ? - f - e* (cos W + i sin * r*a/i),

lemniscata lui Bernoulli; dreapta prin a, paralelă cu vectorul p, cerca/ a> centru a razJ r ; spirala logaritmică;

1

0

25

— J cos / -{- i | a

2z = | a H

— | sin / sau \z ± ^2

2

— 1J = a j± ±

1, elipsă de focare

z = ±

1 (oaca a # ± 1). 10. Daca i ( ^ , tq, Q = 0 este ecuaţia tangenţială omogenă a unei curbe (condiţia ca dreapta \x + f\y + £ = 0 să-i fie tangentă ) , focarele reale ale curbei stntrădăcinile ecuaţieiF(l, i, — z) = 0 . R. Focarele reale sînt punctele reale ale tangentelor izotrope ale curbei, X — x ± i[Y — — -y) = 0; dacă z = # -f iy este un focar, ecuaţia tangenţială este verificată de £ = 1, tq = ± i, 7

Z = - ( * ± iy)11. Pentru ca a sâ fie un număr complex de modul 1, este necesar si suficient ca I /i'g

număr negativ sau a = ±

1.

( 2

A — 1 — —A

2

(A real),

—— j

1

-f ^ 2 a

1 1-aJ

Q / 1 _i_ \ 2 = — ctg — . Invers, dacă I I 2 l l - a j a

2

=

± 2ki

urmează a =

, de unde Jaj =

1.

2

A + 1

Funcţii. Limite. Continuitate § 6. Noţiunea de funcţie de variabile complexe ( î n sens larg) Definiţie. Se zice că o variabilă complexă w = u + iv este f u n c ţ i e de o v a r i a b i l ă complexă z = x -\- iy în mulţimea D, dacă la fiecare punct ze D corespunde (în virtutea unei prescripţii anumite) una sau mai multe valori (în număr finit sau enumerabile) ale variabilei w. în primul caz funcţia este numită uniformă, în cazul al doilea multiformă. Se scrie w = f (z). Trebuie bine înţeles că în definiţia unei funcţii intră două e l e m e n t e : 1°. Mulţimea D, numită şi domeniu de definiţie al funcţiei, care de obicei v a fi un domeniu sau închiderea unui d o m e n i u ; ceea ce se v a specifica cînd această restricţie v a fi necesară pentru valabilitatea rezultatelor. Punc­ tele w = f(z) formează şi ele o mulţime E, în planul unde este reprezentată variabila w (fig. 9 ) . 2°. Corespondenţa z->w este reprezentată prin simbolul sau « o p e r a t o r u l » / . D e cele m a i multe ori această corespondenţă este rezultatul unui şir de operaţii aritmetice sau operaţii de trecere la limită. î n acest caz domeniul de definiţie este format din punctele z unde operaţiile în chestiune au sens 1 (se pot efectua). Aşa funcţia nu este definită prin această expresie în punctele z = ± iy •w

x

O Fig. 9

Acelaşi lucru se petrece în real. Este însă de observat că unele funcţii deiinite prin expresii analitice care nu au sens în real pot căpăta sens în c o m p l e x . Astfel, f(x) = Vj~#] în real nu e definită pentru x < 0. î n complex a v e m însă, 26

pentru x < O, f{x)=

± i V | # j , funcţia

variabilă c o m p l e x ă f(x) = Jz. F i i n d dată o funcţie w = f(z), D , funcţiile reale u şi v de x şi y:

reală înglobîndu-se în funcţie

de

sînt evident definite, în acelaşi domeniu

f(z) = u(x, y) + iv(x, y) sau R e f(z) = u(x, y), lmf(z)

= v(x, y).

Natural, putem considera aceste funcţii în locul funcţiei f(z), făcînd apel la cunoştinţele din analiza reală. Dar nu v o m urma această cale decît în foarte puţine cazuri; studiul direct în c o m p l e x fiind aproape întotdeauna m a i simplu şi m a i elegant, atît ca m e t o d ă , cît şi în ce priveşte formularea rezultatelor — ceea ce este de aşteptat, căci în loc de a v o r b i de două funcţii de două varia­ bile este m a i simplu să v o r b i m de o singură funcţie de o variabilă. O funcţie de m a i multe variabile c o m p l e x e se defineşte în acelaşi m o d şi se notează: w = f(z z , . . . , £ „ ) . î n acest caz fiecare variabilă z z , z descrie o mulţime D D şi funcţia este definită pentru toate grupele de valori (z z ) luate respectiv din D D (fig. 10), Pentru unificarea limbajului v o m numi punct (abstract) un asemenea grup de valori. T o t a l i ­ tatea acestor puncte (abstracte) formează o mulţime (abstractă) D, care se numeşte produsul cartezian al mulţimilor D D , D şi se notează: lt

lf

lt

2

lt

2

n

H

n

lf

n

lt

D = D

x

x

D

2

x

2

... X

n

D. n

Fig. 10

Această mulţime este domeniul de definiţie al funcţiei. E a se găseşte într-un spaţiu abstract cu 2 n dimensiuni, care e produsul cartezian al pla­ nelor (zx), (z ) unde am reprezentat variabilele z z. Cele m a i simple funcţii uniforme se obţin aplicînd variabilelor şi unor constante numai operaţii de adunare şi înmulţire: polinoamele. U n polinom P(z z ) este o sumă de m o n o a m e : n

v

lt

n

n

27

unde coeficienţii a sînt constanţi (sau nu depind de variabilele z z) şi exponenţii m ... m sînt numere întregi * 0 . Suma acestora, m + ... ... + m este gradul monomului şi gradul cel m a i mare al monoamelor ce constituie polinomul este gradul polinomului. U n polinom de o variabilă de grad m se scrie lt

lt

t

n

n

x

n

m

P(z)

= aoZ + a ^ -

1

+ ... +

a. m

împărţirea polinoamelor se face în c o m p l e x ca şi în real. După cum se ştie, pentru ca polinomul P(z) să admită rădăcina a, este necesar şi suficient ca el să se d i v i d ă cu (z — a ) . A v e m atunci p[z)

= {z-*yp

(z),

1

,1*1,

şi dacă P i ( a ) # 0„ \L este multiplicitatea rădăcinii a. întrebuinţînd termino­ logia specială a teoriei funcţiilor, se m a i zice că a este un zero de ordin \L al lui P(z). V o m demonstra m a i tîrziu şi « t e o r e m a fundamentală a a l g e b r e i » : U n polinom P(z) de grad m are m rădăcini, dacă fiecare rădăcină este socotită cu multiplicitatea ei. D e unde rezultă descompunerea bine cunoscută P(z) = a (z — cc )...(z 0

1

— a ) m

(factorii putînd fi e g a l i ) , relaţiile dintre rădăcini şi coeficienţi etc. Cînd varia­ bilele sînt implicate şi în operaţii de împărţire obţinem funcţii raţionale. O funcţie raţională este totdeauna reductibilă la un cît de polinoame, P(z) R(z) = (* l i variabile). Se v a presupune că factorii comuni n c

a

z

u

u

n

e

polinoamelor au fost îndepărtaţi. Funcţia nu este definită în punctele pentru care numitorul Q = 0. Cele m a i simple funcţii multiforme sînt acelea în care, pe lîngă operaţiile precedente, variabilele sînt supuse şi la extrageri de rădăcini. Astfel, z =yHcos \

h î sm n

n

\, )

k = 0, ...,n—

l,

este o funcţie cu n valori ( a m pus z = r(cos 0 + i sin 0 ) ) . Asemenea funcţii se numesc iraţionale. E l e fac parte din categoria m a i vastă a funcţiilor algebrice care sînt funcţiile definite implicit prin ecuaţii algebrice: F(z

z;

lt

n

w) = 0.

O asemenea funcţie e raţională sau are un număr finit ( > 1 ) de valori (egal cu gradul lui F în variabila w). Funcţiile care nu sînt algebrice (deci nici raţionale şi nici iraţionale) se numesc transcendente. Aşa este e , care v a fi definit printr-o serie conver­ gentă ca în r e a l : z

2

+

z z — + — 1 2 !

n

z + . . . + — + . . . , n\ z

care este o funcţie uniformă, sau inversa lui e , care după cum se v a v e d e a are expresia log z = l o g | z\ + i arg z şi deci are valori diferind între ele prin multipli de 27ii. 28

Deocamdată ne v o m ocupa numai de funcţii uniforme. P r i m u l pas v a fi extinderea în c o m p l e x a noţiunii fundamentale de limită şi a celorlalte noţiuni bazate pe aceasta: continuitate, convergenţă, derivată. Se v o r obţine rezultate în cea m a i mare parte analoge cu cele din r e a l ; abia atunci cînd v o m pune funcţiilor de care ne ocupăm condiţia de a avea o derivată v o m intra în domeniul propriu teoriei funcţiilor de variabilă complexă.

§ 7. Noţiunile de limită şi continuitate Definiţie. Fie w = f(z) o funcţie uniformă definită în D şi a un punct limită al acestei mulţimi. Zicem că f{z) are limita (tinde la) X pentru z tinzînd la OL (în punctul OL ) dacă: la orice vecinătate V din planul variabilei w cores­ punde, în planul variabilei z, o vecinătate U astfel ca valorile funcţiei în toate punctele din U — OL să fie cuprinse în V : x

a

a

x

(31)

f(z)

Se scrie

e V

x

pentru

z e U, a

z^cc.

atunci l i m f(z) = X Z-KX.

sau

încă f{z) —> X pentru z - » a (fig. 11).

N a t u r a l , punctele din U despre care este vorba în definiţie sînt numai cele unde funcţia este definită, adică punctele intersecţiei D 0 (U — a ) . Aceasta se v a subînţelege în toate cazurile analoge. D e asemenea nu v o m m a i scrie z ^ OL, această condiţie rămînînd subînţeleasă în toate chestiunile relative la l i m i t e . D i n definiţie urmează că X este punct aderent pentru mulţimea E descrisă de w. D a t ă o vecinătate V , vecinătatea corespunzătoare U nu este unică; deoarece U' c U satisface de asemenea condiţia (31). Dar printre toate vecinătăţile punctului OL, care au această proprietate, există una m a x i m ă 1£ , care le conţine pe t o a t e ; aceasta corespunde univoc lui V\. Cînd a ^ oo a

a

x

a

a

a

a

O

x

0

u

Fig. 11

(a finit), U este cercul de rază egală cu marginea superioară a razelor vecină­ tăţilor U considerate. Cînd a = oo (şi cînd considerăm ca vecinătăţi exte­ rioarele cercurilor de centru 0), vecinătatea m a x i m ă ^foo este exteriorul cercului de centru O şi rază egală cu marginea inferioară a razelor vecinătăţilor U

—

- I pentru z —> 0, z ~* 0. x

z

9

h + i)

Ca consecinţă a teoremei precedente a v e m Teorema 3. Dacă o funcţie f(z) definită în D este continuă în punctul OL g D ea rămîne continuă şi atunci cînd o considerăm într-o mulţime D cz D rare conţine punctul OL. t

x

De e x e m p l u pe o curbă prin a. Observaţiile de m a i sus se pot repeta şi p r i v i t o r la continuitate. Teorema 4. Dacă funcţiile fi(z) şi f (z) sînt continuie în domeniile sau domeniile închise D D respectiv, iar în D f]D avem fx(z) = f (z) atunci funcţia 2

lf

2

1

2

2

\fi(z)

în D

\f (z)

în D

f

r

2

2

este continuă în D = D \J D . ±

2

Funcţia f(z) este uniformă în D. Este de văzut numai că, în orice punct OL e D, limitele (despre care se poate v o r b i ) ale funcţiilor f , fD fD sînt egale, ştiindu-se că ultimele două există (nu este deci cazul de a aplica teorema p e ­ nultimă). Să considerăm întîi cazul cînd D şi D sînt domenii închise. D a c ă (de exemplu) a e D dar a £ D , există o vecinătate U disjunctă de D şi lim f = h m f pentru că aceste limite se pot considera în U , unde f = /z^. D

x

lt

D

lf

t

2

2

a

Di

2

a

D

Iar dacă a e D şi a e D , condiţia (34) este satisfăcută de /z> într-o vecină­ tate U\ şi de / d într-o vecinătate U\, cu X = / ( a ) ; acea condiţie e deci satisfă­ cută de f într-o vecinătate U a UI f) UI şi astfel lim f = l i m fn = lim fn = X. 1

2

x

2

D

a

Dl

2

Şi acum să considerăm cazul cînd D şi D sînt domenii şi să presupunem (de exemplu) a e D A t u n c i condiţia (31) este satisfăcută de / d , într-o v e c i ­ nătate Uţ a D a D cu X = / ( a ) , independent dacă există sau nu puncte de-ale lui D în U\, căci în astfel de puncte f (z) = f (z); aşadar lim f = l i m f = X. 1

2

v

x

2

Di

x

2

D

F a c e m observaţia că ipoteza ca D şi D să fie ambele domenii sau ambele domenii închise este justificată de faptul că dacă de e x e m p l u D ar fi un d o m e ­ niu închis, iar D un domeniu, teorema n-ar m a i fi în general adevărată. A ş a de exemplu, dacă Z>! este discul unitate \z\ < 1, iar D coroana circulară 1 < 1*1 < 2 şi f = 0, f = 1, atunci f (definită ca m a i sus) nu m a i este continuă pe \z\ = 1. x

2

1

2

2

Dl

Dt

D

§ 9. Criteriul lui Cauchy Noţiunea de l i m i t ă în c o m p l e x se poate reduce la aceea de l i m i t ă în real prin Teorema 1. Fie, în mulţimea f(z) 3 — Teoria funcţiilor — c. 1275

D,

= u(x, y) + i v(x,

y), 33

şi a = a + ib un punct limită al mulţimii este necesar şi suficient Avem

să existe

lim

D. Pentru ca să existe lim f(z) u[x, y) şi

lim

v[x, y)

finită,

finite.

atunci

(35)

l i m f(z) =

lim

z->cc

u(x, y) + i

x-±a,y-*b

lim

v(x, y)

*->a, y->b

sau lim R e / = R e l i m / , l i m I m / = I m l i m / . Să presupunem

că există l i m f(z) = l + im = X finită. A t u n c i la

un

z->a

e > O corespunde un 73 > 0 aşa

că \z

— a|
O, a v e m | S — S | < c pentru v, cee n > v, n' > v. Făcînd n' —* oo urmează nn

ce arată că £ S converge la S. într-o serie putem exclude d e la sumaţie un număr finit d e valori ale indicilor sau grupuri d e valori (cînd seria e m u l t i p l ă ) ; aceasta r e v i n e la a considera nuli termenii excluşi. Astfel putem începe o serie simplă cu terW

00

menul d e rang 1:

w , ceea ce revine la a pune w = O e t c . i Teorema 3. Natura unei serii nu se schimbă dacă se neglijează (adaugă) un număr finit de termeni sau chiar, în cazul unei serii duble, un număr finit de serii orizontale ori verticale convergente etc. Dacă seria dată converge la o sumă s şi suma termenilor (seriilor) ce am neglijat (adăugat) este S, suma seriei rămase este s-S (respectiv s + S). Să luăm cazul unei serii duble, în care neglijăm un număr finit d e ter­ meni. Seria rămasă se poate obţine înlocuind cu O aceşti termeni şi sumele e i parţiale sînt s ^ = s — S, dacă n, n' sînt destul d e m a r i pentru ca s * să cuprindă termenii neglijaţi. R e z u l t ă că l i m s ' şi l i m s > există î n ace­ laşi t i m p sau nu, şi c ă în cazul cînd există, s = s — S. n

n

0

nn

nn

n n

Utn

oo

Să

presupunem apoi c ă neglijăm

o serie orizontală, £^ze/

0 W

'=S ,con0

o

vergentă. N o t î n d cu W * sumele parţiale ale acesteia, a v e m s > = s — — W^o.n' Şi c u m W —* S , aceeaşi concluzie subsistă la limită, şi în c a z de convergenţă s = s — S . N e g l i j î n d apoi o altă serie orizontală, v o m avea la fel s = s —- S — S e t c . Qtn

0t1l

nn

n n

0

0

0

x

1 —a" n

Exemple. 1. Seria geometrică

a are sumele parţiale S =

, deci ea este:

n

1

o

-

a

1

convergentă pentru |a| < 1, avînd suma

,

divergentă pentru |a| > 1 sau a = 1, oscilatoare pentru |a| = 1 şi a # 1. 2. Seria geometrică dublă (cum se vede sumind după linii).

_2L J l

n

n

a B '

are sumele parţiale S ' —

Ea este convergentă si are suma ( l _

48

1_ n a

nn

a

)

î ( l _

.

1 — fin'

—

numai W

cînd \ol\ < 1, |B| < 1, atunci putem suma după linii orizontale: S =

> > ^ S„ =

n

1

.

£ -a" = E

—1 1-a

^ n O

i -p v

1 — = S. 1-1 CO CO

în general o serie geometrică multiplă, ^ T ^ ^ ^ ... a ( î . . . este convergentă numai pentru n

o

n /

0

loc] < 1, |B| < 1, ... şi are suma

• (l-a)(l -?)...

OO

00

3. ^ " ^ y ^ ( n ' — n) are sume parţiale oricît de mari sau oricît de mici, deci e oscilatoare. o

O

Dar sumată după pătrate sau după diagonale obţinem serii care au toţi termenii şi deci suma 0. De asemenea, ordonînd seria după pătrate sau diagonale se olţin serii oscilatoaie. F i i n d dat un şir infinit, e x i s t ă t o t d e a u n a

o serie pentru care el este

şirul sumelor parţiale, astfel că, în caz d e c o n v e r g e n ţ ă sau divergenţă, limita şirului este egală cu suma seriei corespunzătoare. P e n t r u un şir simplu S » , această serie este e v i d e n t S

0

+ (Si -

S ) + ... + ( 5 0

n + 1

-

S ) + ... = S + £ ( S . o n

0

+ 1

-

S ). u

Pentru un şir dublu S „ ' , seria corespunzătoare este n

So.o + (So,i — ^o.o) + ( 5 2 — So,i) + . . . + ( 5 i 0>

— S ,i

+

0

+

fSi

I— Si,o + So>o

— S

> 2

>0

— S o) + 0)

_|_ . . .

0 t 2

l— Si,i + So,i

sau •$0,0

+ ^ ( « ^ o . n ' + i — S ') o

+

0n

00

^2

{Sn+i,o ~

S ) nQ

+

u

00

{Sn+l,n'+l

Sn,n'+l

^n+l,»' +

Sn,n')

O O

etc. A c e a s t ă observaţie p e r m i t e să scriem serii cu sume cunoscute sau

să

sumăm unele serii ( v e z i şi e x e m p l u l 1). 4. Avem sau

• O, deci O = 1 + Y M *tf \ (n -f 1)!

n!

H

log f 1

deci

V

l

= 1.

(•»+ »)•

V 5. Fig seria

n! )

— V Observăm că log f 1 2

&

* J S„ = log

4 — Teoria funcţiilor — c. 1275

n

+

1

- log 2

l

— 1 = log " *» J

n

* — log — - — n- 1

- log 2.

49

Astfel Ş l o g ( l - - i ) = - l o 1

V^N

1

2.

g

1

(

* \

> = — I R *** H e întreg^ U + 1 într-adevăr, 1

n

f

1

l

'

V

= — p

l

^

—î

l

I unde p întreg > O si ol nu OL +

w

1

- p

p) 1

— — „ > (

P

1

).

Ultima sumă, avînd un număr finit de termeni (=P), tinde la 0. Cazuri particulare:

V

*iP + n)

p[

1

-

p)

2

=1.

1

• = — (a # 0, - 1, - 2 , . . . ) . < V (a + n)(a + n + 1) a 7. Avem

0=

—*0 pentru n —• oo, n'—• oo; ^ci n + n'

1

£f\n+\ ac

n)

*Y *-f\n -f n' + 2

oo

n +n' + \

i

^

1

YY(

t

t

w

+ 'M + ' -r W

W

n + n')

=— • +

+ 2)

2

§ 15. Operaţii cu serii Cu privire la operaţiile ce se pot face asupra seriilor, putem spune deocam­ dată următoarele: Teorema 1. Seriile convergente şi divergente poseda proprietatea în sensul că, dacă se sumează termeni consecutivi în număr finit, obţinută are aceeaşi sumă ca cea dată.

asociativă, seria astfel

00

D e exemplu, dacă în seria convergentă sau divergentă y ~ ) w = S sumăm o cîte doi termeni consecutivi, o b ţ i n e m n

(w + w ) + ( w + w ) + ... + (w 0

x

z

3

2p

+ w ) 2p+1

+ ... = 5 .

Afirmaţia reiese din faptul că sumele parţiale ale seriei a doua sînt şi sume parţiale ale seriei d a t e ; se aplică teorema 2, § 10. 50

D a c ă a v e m dreptul de a introduce paranteze într-o serie fără a-i schimba natura şi suma, nu a v e m tot aşa dreptul d e a desface parantezele. oo

Exemplul

1. Fie seria convergentă

oo

w =S; n

o

w

putem scrie ^^l( n o

— 1) + 1] = S. Dacă

desfacem parantezele obţinem seria (w - 1) + 1 + K - 1) + ... + 1 + (w - 1) + ... + . 0

n

care e oscilatoare. Căci sumele ei sînt S n = Sn> $2n+i = 5 2

— 1 deci *Ş —• S, iar S n+i —*S — 1.

n + 1

2n

2

I a t ă două cazuri în care desfacerea parantezelelor nu schimbă conver­ genţa şi suma unei serii simple. T e o r e m a 2 . Desfacerea parantezelor nu schimbă convergenţa şi suma serii cînd toţi termenii din paranteze sînt pozitivi (sau toţi negativi).

unei

Căci seria dată a v î n d sumele parţiale crescătoare şi mărginite, tot aşa sînt sumele parţiale ale seriei obţinute prin desfacerea parantezelor. Astfel această serie este c o n v e r g e n t ă şi se aplică teorema precedentă. T e o r e m a 3. Seria obţinută prin desfacerea parantezelor are aceeaşi sumă ca cea dată dacă termenii ei tind la zero, şi numărul termenilor din paranteze nu întrece un număr fix k. OO

într-adevăr, fie ^ w ipoteză fiecare w

n

00

n

= S seria dată şi ^

este o sumă de cel mult

k

w'

v

seria

obţinută.

termeni w

şi

p

Prin

l i m w' = 0. p

/>->oo

O sumă parţială S' relativă la a doua serie este de forma p

S'p = S + «C+l. n

unde n depinde de p şi w* este suma unei părţi formează paranteza w , în număr < k. A v e m n+1

din

termenii

w'

p

ce

n+1

lim S

= S

n

pentru că l i m S

= S şi l i m n = oo /căci evident

n

— — l ]•

Apoi lim

ze£

+1

= 0.

£->CO

într-adevăr, ZE£

+1

conţine cel mult

termenii

dat e > 0, există v > 0, aşa ca \ a \ < — k p

a

9

şi

prin

ipoteză,

pentru p > v deci

pentru p > v + k, ceea ce probează ultima afirmaţie. R e z u l t ă acum l i m S

p

N i c i comutativitatea nu este v a l a b i l ă pentru speciale pe care le v o m preciza.

serii,

= S.

decît în cazuri

51

Exemplul 2. (Dirichlet). Să plecăm de la seria convergentă (exemplul 1, § 16) s - i - _ L + _ L - - L + . . . 2 3 4 unde de altfel s = log 2(aplicaţia 1 la teorema 2, § 89). Avem, aplicînd teoremele 1 şi 4,

*-('-TMT-rM-i-H+-HT-TM-J-i-Mi-£)+••• H ' - t

+

t - t H t - t + t - | ) + -

şi adunînd (vezi teorema 5)

¥=('+i-!)+(!+i-!)+-•• (aplicînd teorema precedentă). Or, ultima serie rezultă din permutarea termenilor în seria ini­ ţială; ea are altă sumă. Teorema 4. Dacă se înmulţesc termenii unei serii a cărei sumă este s, cu un acelaşi număr k, se obţine o serie a cărei sumă este ks. Căci a doua serie are sumele parţiale ks -> ks. n

Teorema 5. Date fiind

seriile

£w„ o

convergente

= s

Ş

i

f>;=s'

(

o

avem £ > „

+ *E>;) = S + S ' ;

0

şi la fel se pot aduna două serii multiple convergente. Dacă o serie este conver­ gentă şi a doua divergentă, seria astfel definită e divergentă. R e z u l t ă imediat din relaţia dintre sumele parţiale ale celor trei serii, S + S' = S « , prin trecere la l i m i t ă . n

n

înmulţirea seriilor v a fi studiată m a i departe.

§ 16. Natura unei serii Problema fundamentală d e care ne v o m ocupa în această secţiune este: F i i n d dată o serie, să se recunoască natura ei (convergentă, divergentă sau oscilatoare). Chestiunea se poate reduce î n t o t d e a u n a la aceea relativă la serii cu ter­ meni reali: Teorema 1. Pentru ca o serie să fie convergentă, este necesar şi ca seriile formate de părţile reale şi cele imaginare ale termenilor ei să fie gente ; dacă acestea au sumele q şi r, seria dată are suma q + ir. 52

suficient conver­

Fie, de exemplu, ^

w,

unde

n

w = u == + iv n

n

şi

%

S „ = q + \r , n

n

o

n

w Un

Y n

9n = ^2 *

=

V n

Xy

* ^

e

n

t

r

u

ca 5 —> ^ + i r (finit) este necesar şi sufin

o

0

oo

oo

cient ca q —> q, r —> r (§ 9, teorema 1), adică y ^ = q, y ^ y = r. o o D e m u l t e ori însă este m a i avantajos să t r a t ă m chestiunea convergenţei direct în c o m p l e x . Sînt cunoscute o mare m u l ţ i m e d e criterii d e convergenţă, unele nece­ 00 00 sare, altele suficiente şi — pentru serii oarecari — unul -singur necesar şi T e o r e m a 2. (Cauchy). Pentru c a ^ - • • y ^ w ...,n să fie convergentă, este suficient t o t o d a t ă : acesta este criteriul lui C a u c h y , acelaşi ca la şiruri (§ 10). o u n

n

w

nv

necesar şi suficient

ca la orice z > O să corespundă w « v > 0 aşa ca: I S » + * „ ...,»*+** ~

(4$)

x

pentru

k

S n , n

k

| < e

n > v, n > v ; p ...,p arbitrari > 0. Acest criteriu, d e importanţă teoretică fundamentală, aplicabil în practică. x

k

lt

•

( _ l)n-l

i

»

"Exemple 1.

k

este

arareori

este convergentă. Avem

-s.i-f-! - ) + (M + .~>o. In+ 1 n+ 2j lw + 3 u+ 4J expresiile din paranteze fiind pozitive şi termenul rămas în cazul p impar de asemenea pozitiv Urmează |S

N + J

>-S»L = n+

i Vw + 2

1

\_...< « + 3; n+

1

- e . şi p arbitrar. 6 j — (seria armonică) este divergentă. 1

pentru

n> oo

2.

» - ^ 41 1

l^n+p-^nl =

n + 1

1

£

7 + ' ' ' +' n +— p > n -\- p

Condiţia lui Cauchy nu este satisfăcută, căci luînd p = n, avem S

|Sn+î>- nl > ~Y — e pentru w > v oarecare. Deci seria nu e convergentă şi fiind cu termeni pozitivi e divergentă. Pentru clase particulare d e serii p o t exista criterii necesare ciente speciale. A ş a se cunoaşte din analiza reală: T e o r e m a 3. Pentru ca o serie simplă cu termeni pozitivi să fie este neecesar şi suficient

ca sumele parţiale

m a r

t m

şi

c o n v e r

sufi­

e n i a

\ S {divergentă

e

să fie \ S * [nemărginite. 53

Este criteriul de convergenţă pentru şiruri monotone, aplicat la şirul sumelor parţiale. Şi acesta e greu de aplicat în practică. Exemplul 3.

— e convergentă. n

0

5

» =

1

+

1

!

+ T 7 + - - - + - T

2!

'


-f- oo, avem (46)

n

—

(ktfVo

iar k

n

+ ... + k w ) n

un şir de numere > O

O

n

(Kronecker)

K

Fie e > 0. După criteriul lui Cauchy, există un

\i > O astfel că

l»Wi +••• + » » l < -7 Zs

pentru n > jx. N o t î n d K

n

\ K

şi există un u >

U

\ £ ^

expresia

(\w \ +... 0

+

(46), avem K J ) +

\w

M

+ ... +

w\ n

fx astfel că prima parte din m e m b r u l I I să fie < — 2

n > v. V o m avea deci \K \ < e pentru n > v. n

54

pentru

T e o r e m a 3. Dacă

seria Y) u

cu termeni pozitivi necrescători, este conver-

n

O

gentă, (47)

nu

-> O

n

Căci k

=

n

(Olivier).

— este un sir de numere > O nedescrescătoare şi k

-> +

n

o° '$

00

astfel (47) se obţine

oo

Exemplul 2. Seria

n-

i nu se pot

N i c i ultimele două teoreme

0 0

u

aplicînd (46) seriei ^

inversa.

ţ

- e s t e *-şf n log n

divergentă (vezi exemplul 2, § 18) deşi nw

0.

n

1 — este divergentă pentru că nw —* 1^0. Din acelaşi motiv e divergentă seria

3.

n

N

1

J

00

iperarmonică

— pentru a < 1. n*

^ QO

n

4. Cum

Ja| sste convergentă pentru |a| < 1, av*m na" —• O, pentru |a| < 1. O

Altă

aplicaţie: 00

T e o r e m a 4. ( C a u c h y ) . Z ^ c a ^ T } ^ = 5 (sau dacă S

- > S ) , avem

n

O S

(46')

° +

S

l

+ -

+

S

»

->S.

n + 1 L u î n d în (46) & =

1> ^i = 2,

0

k

w + 2w 0

= n +

n

1, a v e m într-adevăr

+ ... + (n +

1

1)

c

>

1 :

^N+L

0

n + 1 şi înlocuind aici ze> = s , w = s — s , ^ = S — obţinem î n legătură cu aceasta v o m m a i face următoarea aplicaţie: T e o r e m a 5. Dacă S ->S şi S' ->S', avem 0

0

±

n

±

0

(46').

n

n

SoS'n + S i S ^ - i + ••• + S*S'o

> t

gg'

n + 1 Căci p u t e m scrie — i - r (S S' n + 1 0

n

+ ... + S S' )= n

0

- J — [(S, n + 1

S)S; +

+ — ^ — s ( 5 + ... +

(Si -

S ) S ^ + ...]

+

s;).

0

w + 1 Partea a doua - > S S ' după teorema

4, iar

partea întîia - > 0 .

cum \S' \ < M ( f i x ) , modulul părţii întîia este < M n

|

5

° ~ ~

5

| +

'"

+

într-adevăr, |

5

n

~

S

|

-> O

n + 1 (deoarece S

n

— S -> 0 ) . 55

§ 18. Criterii de convergenţă sau divergenţă, pentru serii simple cu termeni pozitivi Deşi seriile cu termeni p o z i t i v i ies din cadrul acestui curs, v o m trece în revistă criteriile de convergenţă sau divergenţă referitoare la aceste serii, pentru că v o m avea deseori ocazia să le aplicăm şi în cîmpul c o m p l e x . A p r o a p e toate seriile cu termeni pozitivi ce se prezintă în practică au termenii m o n o t o n descrescători. L a ele se referă următoarele trei criterii, care au o mare rază de acţiune. -r

Teorema 1.

(Criteriul

de condensare Cauchy-Schlomilch).

Fie y ^ u

o

n

O

serie cu termeni > 0 monoton descrescători; şi fie v un şir de numere ^ 0 crescătoare, astfel că (începînd de la o valoare a lui k)

întregi

k

v,. < M(v - v^J

-

(* >

t

OO

M fiind

un număr fix

> 0. Atunci

k ), 0

00 V

seriile y ^ u şi^2

V

( O+I — * )

n

a

u

aceea

ŞÎ

O

u

natură. P u t e m presupune condiţia satisfăcută chiar începînd c u ^ = 0 căci putem neglija termenii cu k < k . Q

F i e n < v . N o t î n d cu U = S - I , a v e m k

S

VO

< S v ; atunci k

S

n

> S , ^ (w v

Vo+1

+ ... + u ) + ... + («v _ Vi

fc

l+1

+ ... + u ) Vk

>

> (Vi — V ) M + ... + (vj, — V^i) U , 0

Vk

V i

d e unde, ţinînd socoateală de condiţia enunţului, MS

n

> (v — v ) Uv + ... + (v 2

x

x

k+1

— VJT) iKk,

adică MS

n

> t — t, k

0

de unde se v e d e că dacă seria întîia este convergentă, este şi a doua. Astfel seriile converg simultan şi deci d i v e r g simultan. î n aplicaţii se poate lua, de e x e m p l u v = m (m întreg > 1), atunci condiţiile teoremei sînt împlinite cu M = m; sau = k? (p întreg > 1), k

k

v

i

v

atunci

\\p

fcp

= > 1 şi pentru k destul de mare (k>k ) vom * — *t-i k — (k — \y putea satisface condiţiile cu M = 2. Teorema precedentă este remarcabilă prin aceea că face să depindă natura unei serii numai de o parte din termeni, neglijînd chiar o infinitate 0

v

56

p

d e termeni.

D e exemplu,

pentru

= 2\

natura seriei date este hotărîtă

00 u

numai de seria ^

2*«2* = o + 2 « 2 + 4 « + 8 « + — (acesta este cazul găsit 4

8

o de Cauchy). 1 (convergentă pentru a > 1 . Exemple. 1. > ^ — «te J (seria nxperarmonică), deoarece are t-ţ* n [divergentă pentru a < 1 2* —2* 1 aceeaşi natură ca —-—-— ^ ^ ^ > care este o serie geometrică convergentă pentru 1 ~ ^ ' < 1 a > 1, divergentă in cazul contrar. 22. ! ^convergentă pentru a > 1 (^fel ) deoarece este la fel ca seria ^^n(logn) [divergentă pentru a < 1 3*+* — 3* 2 1 = — , deci ca seria hiperarmonică. ^ 3*(log 3*)° (log 3) ^ k a

+1

(

a

î

f

a

00

0 0

a

a

00

T e o r e m a 2. (Criteriul

integral al lui Cauchy).

Fie^2u

o serie

n

cu

ter-

»#

meni > O f i monoton descrescători; fie f(x) o funcţie reală, care, pentru x> n , este monoton descrescătoare şi ia valorile f(n) = u . Atunci seria dataşi integrala improprie 0

n

/(*) dx

j = \

sînt convergente sau divergente în acelaşi timp. E v i d e n t , putem presupune n = 0. A v e m 3

(48)

^ / < * * < * • < .n

( " /dx . n —1

(n>l)

pentru că în intervalul (n, n + 1) a v e m / ( # ) < / ( w ) = u , iar în ( » — 1, n) avem / ( # ) > / ( w ) = (din cauza m o n o t o n i e i ) . Sumînd cu începere de la » = 1: n

(49)

\ Ji

/ d * < S „ - «

0

< \

/da Jo

P r i m a inegalitate arată că dacă integrala d i v e r g e , şi seria diverge, iar a doua inegalitate spune că d^că integrala converge şi seria face la fel. Observaţia 1. î n aplicaţii se v a putea face uz de criteriile de conver­ genţă pentru integrale improprii cu limita superioară + oo. Cel m a i simplu este: Dacă există

lim

x?f(x) ^ O, oo, integrala

converge, cînd

a > 1,

diverge

cînd a < 1. Observaţia S

n

2. N o t î n d J

= V f(x)

n

— J»^* fdx n

n

dx,

a v e m din ( 4 8 ) , ( 4 9 ) , + (u» 0

/„

# + 1

) > O,

+

(S» - /,) - (S^ - z^) = £Vd* - u > o. M

57

Acestea dovedesc că şirul 5 „ — J e m o n o t o n descrescător şi tinde la o l i m i t ă cuprinsă între 0 şi u„ . î n cazul unei serii d i v e r g e n t e a v e m astfel o aproximare asimptotică a sumelor ei. n

o

Observaţia 3. P e n t r u o serie c o n v e r g e n t ă se poate obţine la fel o apro­ ximare a resturilor R = S — S„. Din (48). n

Cn+p+l V fdx^S Jn + l de unde,

rn+p n + p

—S ^\

fdx,

n

Jn

făcînd p - > oo,

J-Jn ikRn^J-U +1

Exemple. 3. Se regăseşte rezultatul relativ la seria hiperarmonică f

+

V J

c o

1);

ăx este convergentă pentru a > 1, divergentă pentru a ^ 1. *

a

1

OO

4.

(exemplul

*—* n log n • log n ... log _! n • (log n) a

2

p

p

este convergentă, pentru a > 1, divergentă pentru a ^ 1. (aia log = log log, ...,log = log log^-J. Pentru a evalua pe / observăm că 2

P

d

d

1

logp x = ăx

d , logp-i x, l o g _ ^ ăx

log (log _ x) = p

x

ăx

P

x

de unde se deduce d

1

i

— ăx l o g x = x - log x ... logp^ # p

Se găseşte apoi a # 1,

ăx

(l-a)(log ^)S°-i p

a

log *...log _! * (logp x) p

log

p + 1

*

a = 1,

de unde reiese că / este convergentă pentru a > 1, divergentă pentru a < 1. 5. 5w'ttZ 1+ — 2

— -logn n

este pozitiv, descrescător şi are o limită C cuprinsă între 0 şi 1 (C = 0,577 ... se numeşte constanta 1 lui Mascheroni sau a lui Euler). Este o aplicaţie a observaţiei 2 la — (w = 1, J = logn). V 0 0

0

n

oo

1

6. Pentru seria hiperarmonicâ

— (a > 1) avrm

f

T

+

c

0

1

d*

w -"

deci 1

(n + l) " a - l 58


0 n

şi monoton

n

»j

descrescători; fie f(x) o funcţie reală care satisface condiţiile teoremei precedente pentru x > n ; şi cp(x) o funcţie care pentru x > n , este monoton crescătoare, are derivată continuă şi este >x. Atunci seria dată este 0

t

j convergentă

^

0

(x)Mx))

[ divergentă

i < K < 1

f(x)

{

x

>

^

{^ 1

î n cazul inegalităţii superioare P

fdx

= C