Teoria Elasticitatii Si Plasticitatii [PDF]

Zitiervorschau

TEORIA ELASTICITĂŢII ŞI PLASTICITĂŢII

1.

a) b) c) d)

2.

∂σ x ∂τ yx + +X =0 ∂x ∂y Sistemul de ecuaţii reprezintă: ∂τ xy ∂σ y + +Y =0 ∂x ∂y

ecuaţiile de echilibru static ale unui element infinitezimal din interiorul unei şaibe aflate în stare plană de tensiune; ecuaţiile de echilibru dinamic ale unui element infinitezimal din interiorul unei şaibe aflate în stare plană de tensiune; condiţiile de contur în elasticitatea plană; condiţia de continuitate în elasticitatea plană. Tensorul tensiunilor dintr-un punct al unui corp solicitat este: σ x τ yx τ zx  20 0 4    Tσ = τ xy σ y τ zy  = 0 10 0  4 0 − 12  τ xz τ yz σ z  

  N  mm 2 

a.

Care dintre componentele tensorului este tensiune principală? 4 N/mm2 b. 10 N/ mm2 c. -12 N/ mm2

3.

Sistemul de ecuaţii

a)

ecuaţiile de echilibru static ale unui element infinitezimal din interiorul unei şaibe aflate în stare plană de tensiune; ecuaţiile de echilibru dinamic ale unui element infinitezimal din interiorul unei şaibe aflate în stare plană de tensiune; condiţiile de contur în elasticitatea plană; condiţia de continuitate în elasticitatea plană.

b) c) d) 4. a) b) c) d)

p x = σ x l + τ yx m p y = τ xy l + σ y m

20N/ mm2

reprezintă:

∂v ∂u ∂v ∂u + , reprezintă: , γ xy = , εy = ∂x ∂y ∂y ∂x ecuaţiile fizice în elasticitatea plană; ecuaţiile geometrice în elasticitatea plană; ecuaţiile fizice în elasticitatea spaţială; condiţiile de contur în elasticitatea plană.

Sistemul de ecuaţii ε x =

d.

5.

a.

Tensorul deformaţiilor dintr-un punct al unui corp omogen şi izotrop este: 1 1   γ yx γ zx  ε x 2 2 3 8   1 1 −4    Tε = = 10 3 − 4 γ εy γ zy   2 xy 2 0   0 1  1 γ γ ε xz yz z 2   2 O direcţie principală de deformaţie din acest punct coincide cu: direcţia axei Ox

(

b.

direcţia axei Oy

c.

0 0  4 

direcţia axei Oz

bisectoarea

d.

unghiului

xOˆ y

)

6.

Condiţia ∆ σ x + σ y = 0 reprezintă:

a) b) c) d)

ecuaţie de echilibru static în elasticitatea plană; condiţia de continuitate a deformaţiilor în elasticitatea plană, exprimată în tensiuni; condiţia de continuitate a deformaţiilor în elasticitatea spaţială, exprimată în tensiuni; condiţie de contur în elasticitatea plană.

7.

Rezolvarea în tensiuni a unei probleme de elasticitate plană, în coordonate carteziene, revine la rezolvarea ecuaţiei diferenţiale (notaţia ∇2∇2 ≡ ∆∆): p(x , y ) d 4 w p( x ) ∇ 2 ∇ 2 w (x , y ) = d. c. b. = ∇ 2 ∇ 2 F(r, ϑ) = 0 ∇ 2 ∇ 2 F( x , y) = 0 D D dx 4

a.

8.

Funcţia de tensiune F(x,y) generează următoarele tensiuni::

a)

σx =

b)

σx =

c)

σx =

d)

σx =

∂ 2F ∂x 2

σy =

;

∂F ; ∂y ∂2F ∂y 2

∂ 2F ∂x 2

σy = ;

σy =

−Χ⋅x ;

σy =

∂ 2F ∂ y2

τ xy =

;

τ xy = −

∂ 2F ; ∂x∂y

;

τ xy = −

∂ 2F ; ∂x∂y

−Υ ⋅ y ;

τ xy = −

∂ 2F ; ∂x∂y

∂F ; ∂x

∂ 2F ∂x 2 ∂ 2F ∂y 2

∂ 2F ; ∂x∂y

Pentru şaiba dreptunghiulară prezentată în figură, funcţia de tensiune este:

y

px N h

px 9.

x

N

N

h 1

l a.

F( x ) = p x

x2 2

b.

F( x , y) = p x xy ;

c.

F( y) = p x

y2 ; 2

d.

F( y) = p x

y3 6

10.

Polinomul corespunzător solicitării de întindere pe două direcţii (biaxială) este:

a.

F( x , y) =

11.

Polinomul algebric F( x , y) =

a.

întindere excentrică pe direcţia y

12.

Tensiunile generate de polinomul F( x , y) =

a.

σx = cy; τxy = -b

ax 2 + bxy 2

σy = a;

F ( x, y ) =

b.

b.

b.

ax 3 cy 3 + 6 6

c.

F ( x, y ) = bxy +

cy 2 2

d.

ay 2 dy 3 + corespunde solicitării de: 2 6 întindere excentrică pe încovoiere plană c. direcţia x dreaptă

ax 2 cy 3 au expresiile: + bxy + 2 6 σx = bx + cy; σy = a; σx = cy; σy = 0; c. τxy = -b τxy = -by

F ( x, y ) =

d.

d.

ax 2 cy 2 + 2 2

întindere biaxială

σx = bx + cy; τxy = 0

σy = a;

p 1

y 13.

1

Funcţia de tensiune în punctul „1” al şaibei de grosime unitară din figură este:

F1 = − pL

b.

F1 =

pL2 4

H=L

x

L2

L2 a.

c.

p

F1 = −

pL2 2

d.

F1 =

pL2 8

p

14.

y

Valorile corecte ale tensiunilor σy şi τxy în punctul „1” al elementului din figura de mai jos sunt:

a.

σy = p, τxy = 0

b.

σy = -p, τxy = p

1

1 x

L2 c.

p

H=L

L2

σy = -p, τxy = 0

d.

σy = 0, τxy = 0

p

1

Funcţia de tensiuni, în punctul 1 al şaibei din figură, folosind originea O – este:

H=L

15.

0

•

A L/2

a.

F1 =

pL2 12

b.

F1 =

pL2 24

c.

F1 = −

pL2 6

B L/2

d.

F1 = −

pL2 24

λ 16.

•

Ce valori au tensiunile σx, σy, τxy în punctul central al grinzii perete din figură, dacă determinarea lor se face prin metoda diferenţelor finite,cu reţeaua indicată în desen:

1 p

λ

λ a) b) c) d)

17.

a.

1 1 p, σ y = p, τ xy = 0 8 3 1 1 σ x = − p, σ y = p, τ xy = 0 6 3 1 1 σ x = p, σ y = p, τ xy = 0 2 4 1 1 σ x = p, σ y = p, τ xy = 0 3 4 σx =

Precizaţi valoarea raportului L/H pentru care un element plan dreptunghiular, încărcat în planul suprafeţei mediane, se consideră grindă perete: L L L L b. c. d. = 10 5 > 10 H H H H Pentru elementul finit plan triunghiular din figură, câmpul de deplasare se exprimă sub forma:

18.

vk

y

vi

o funcţii de tensiune

b.

forţe axiale

uk

ui

u(x,y) = Niui + Njuj + Nkuk, v(x,y) = Nivi + Njvj + Nkvk în care Ni, Nj, Nk sunt:

a.

λ

c.

funcţii de potenţial

uj vj x

d.

funcţii de formă (de interpolare)

19.

a.

20.

a.

Expresiile tensiunilor produse de presiunea interioară pi la un cilindru cu pereţi groşi sunt: B B σ r = 2A + σ θ = 2A − ; ; 2 r r2 Constantele 2A şi B se determină din următoarele condiţii la limită:

(σ r ) r = R i = p i ; (σ r ) r = R e = 0

b.

(σ r ) r = R i = − p i (σ θ ) r = R e = p i

c.

(σ θ ) r = R i = 0

(σ r ) r = R i = − p i

d.

(σ r ) r = R c = 0

(σ r ) r = R c = 0;

Tensiunile într-un punct al plăcii infinite cu un gol circular, pe frontiera căruia acţionează presiunea radială constantă p sunt:

R σ r = − p  r

2

r ( σ θ ) = p  R

2

b.

R σ r = − p  r (σ θ ) = 0

2

c.

R σ r = p  r (σ θ ) = 0

2

R σ r = −σ θ = −p  r 

d.

P

21.

y

0

Într-un punct al unui semiplan elastic, încărcat cu o forţă normală la suprafaţă, ca în figură, tensiunile radiale sunt:

r

θ

σr

x

a.

σr =

2P cos θ π r

b.

σr = −

2P cos θ π r

c.

σr = −

3P cos θ 2π r

d.

σr = −

3P cos θ 2π r 2

2

P o

22.

y

La un semiplan elastic acţionat de o forţă normală la contur, ca în figură, cercurile tangente la contur în origine, se numesc:

x a.

izocromate

b.

izocline

c.

traiectoriile tensiunilor principale σ 1

d.

izobare

P O θ

2P cos θ la un ⋅ π r semiplan acţionat de o forţă normală pe margine, care sunt valorile care determină izobarele:

Cunoscând σ r = −

23.

y

r

d

σr

x 2P πr

2P πr

2P πd

P πd

a.

−

24.

Ecuaţia diferenţială a suprafeţei mediane deformate în coordonate carteziene la plăci plane dreptunghiulare, încărcate cu forţe normale pe planul median, are forma:

a)

∂4F ∂x 4

b)

∂4w ∂x

c) d)

25.

a) b) c) d) 26.

a.

4

4

b.

+2

∂4F ∂x 2 ∂y 2

+2

∂4w 2

∂x ∂y

2

+

+

∂ 4F ∂y 4

∂y

−

d.

−

= 0;

∂4w 4

c.

=

p( x , y) ; D

2 d w 1 d 2 w 1 dw p(r ) − + = ; D dr 4 r dr 3 r 2 dr 2 r 3 dr d 4 w p( x ) = ; EI dx 4 d w

+

3

Eforturile care apar în plăcile plane dreptunghiulare, încărcate cu forţe normale pe planul median, sunt (forţele tăietoare se notează V sau Q): forţele axiale Nx , Ny ; forţele tăietoare Vx , Vy ; forţele axiale Nx , Ny ; momentele încovoietoare Mx , My ; momentele încovoietoare Mx , My ; momentul de torsiune Mxy = Myx = Mt; forţele tăietoare Vx , Vy; forţele axiale Nx , Ny ; momentul de torsiune Mxy = Myx; Unele dintre tensiunile care apar într-o placă plană încovoiată au valorile maxime în modul pe suprafeţele superioară şi inferioară, ale plăcii. Care sunt acestea? σ x , τ xz , τ yz ; σ y , τ xz , τ yz ; σ x , σ y , τ xy = τ yx ; τ xy , τ xz , τ yz ; b. c. d.

Mx h2

6M x

h2

La placile plane încovoiate, distribuţia tensiunilor σx pe grosime şi valorile maxime şi minime corecte sunt:

Mx ⋅z I

27.

d) c)

h2

b) a) a.

b.

Mx ⋅z I

c.

6M x

3 Mx 2 h2 d. 6M xy h2

6M xy 6M xy

28.

h2

h2

Care dintre distribuţiile de mai jos reprezintă variaţia pe grosimea plăcii încovoiate a tensiunilor τxy ?

d)

h2

c) b) a) a.

b.

c.

6

3 M xy 2 h2

d.

6M xy

M xy h2

x

O 29.

Condiţiile pe contur la placa dreptunghiulară din figură sunt:

b

a y

a.

pe laturile x = 0; w = 0  x = a  ∂w  ∂x = 0  pe laturile y = 0; w = 0  y = b  ∂w  ∂y = 0 

b.

pe laturile x = 0;

pe laturile x = 0; w = 0  x = a  ∂w  ∂x = 0  pe laturile y = 0;

w = 0  ; x = a ∂2w  2 =0  ∂x

c.

d.

pe laturile y = 0;

w = 0  y = b ∂2w  2 =0  ∂y

pe laturile x = 0; w = 0  ; x = a  ∂2w  2 =0  ∂x pe laturile y = 0; w = 0  y = b  ∂w  ∂y = 0 

w = 0  y = b ∂2w  2 =0  ∂y

y

P Tensiunile 30.

normale

extreme

σ

x max min

la

placa

1 m

dreptunghiulară din figură au valorile:

b>3a

x

a P a/2

a.

±

P h

2

b.

±

3Pa 2h

2

c.

±

m=Pa a/2

9Pa 1⋅ h

h 1

d.

2

±

6Pa 1⋅ h 2

P

31.

Ce grosime h trebuie să aibă placa dreptunghiulară din figură, dacă se realizează dintr-un material cu rezistenţa de comparaţie σ0 ?

b>3a

P h a/2

a.

Pa σ0

b.

3Pa 2σ 0

c.

6Pa σ0

a/2

d.

1 Pa 2σ 0

∆

x

∆

Pentru placa încărcată ca în figură, indicaţi valoarea corectă a termenului liber p1 , rezultat la transcrierea în diferenţe finite p( x , y) , în punctul 1 a ecuaţiei ∇ 2∇ 2 w ( x, y) = D

p1 = p +

P 2

∆

;

b.

p p1 = + P; 2

c.

p

P

y a 2

∆ a.

P

1

∆

32.

P

1

p P p1 = + ; 2 ∆2

∆ d.

p1 = p + P;

x a 1

P

•

a

y

P=pa2

a

a.

w1 =

pa 4 , 10D

M x1 = M y1 =

34.

a.

w1 = 1+ ν 2 pa 5

b.

M x1 M y1

pa 4 , 5D 1+ ν 2 = pa , 5 1+ ν 2 = pa 10

w1 =

c.

pa 4 , 4D

M x1 =

pa 2 , 5

M y1 =

pa 2 10

a.

w1 =

d.

pa 4 , 20D

M x1 =

pa 2 , 10

M y1 =

pa 2 5

La plăcile circulare şi inelare axial simetrice (cu simetrie polară) apar următoarele eforturi: b. Mθ , Mrθ = Mθr , Vθ ; c. d. Mr , Mθ , Vr ; Mr , Mrθ = Mθr , Vr ; Mr , Mθ , Mrθ = Mθr În cazul plăcii circulare pline, soluţia ecuaţiei diferenţiale ∇ 2∇ 2 w (r ) =

35.

a

p( r ) , are D

forma: w = A1 + B1r 2 + w p . Precizaţi condiţiile de rezemare corespunzătoare plăcii

R

33.

Săgeata şi momentele încovoietoare în punctul central al plăcii prezentate în figură, determinate prin metoda diferenţelor finite, utilizând reţeaua de puncte indicată, sunt:

r

circulare simplu rezemate pe contur, necesare pentru determinarea constantelor de integrare A1 si B1: pentru r = R dw d 2 w ν dw d2w d2w w = 0; = 0 b. w = 0 ; d. + = 0 c. w = 0 ; =0 w = 0 ; =0 dr dr 2 r dr dr 2 dθ 2

36.

pr 4 : 64D

Indicaţi cazul de încărcare al plăcii circulare, căreia îi corespunde soluţia particulară w p =

r

r a.

r c.

b.

p r

p

p

r

d.

p0

r R

R

r

r R

Expresia săgeţii la placa circulară din figură este w (r ) = A + Br 2 +

p

R

pr 4 . 64D

R r

Săgeata maximă are valoarea 37.

p

r R a.

pR 4 24D

38. a) b) c) d)

Care dintre condiţiile de mai jos nu este conformă cu realizarea stării de membrană la plăcile curbe subţiri: grosimea plăcii curbe, constantă sau variabilă lent, este mică; suprafaţa plăcii curbe este continuă (fără goluri, rigidizări etc.); rezemarea continuă este în planul tangent la suprafaţa mediană; încărcările sunt concentrate (forţe sau momente) şi pot avea orice sens.

b.

pR 2 32D

c.

pR 4 16D

R

d.

pR 4 64D

a) b) c) d)

La plăcile curbe subtiri de rotatie, axial simetrice, în teoria de membrană, efortul după meridian, Nφ, dintr-o R ∆ϕ , unde R∆ϕ este: secţiune precizată de unghiul φ, se exprimă cu relaţia N ϕ = − 2πr sin ϕ rază de curbură; reacţiunea pe contur; rezultanta încărcărilor gravitaţionale aferente; rezultanta reacţiunilor de pe contur.

40. a.

Pe grosimea placilor curbe subţiri aflate în starea de membrană tensiunile sunt: b. uniforme c. liniare nule

39.

d.

parabolice

(∆) Nϕ Nθ 41.

Efortul circumferenţial Nθ , la plăcile curbe subţiri de rotaţie, axial simetrice în teoria de membrană, se deduce dintr-o ecuaţie de echilibru algebrică de forma:(r1, r2 - razele principale de curbură într-un punct al suprafeţei)

Nθ Nϕ

Nϕ Nθ px py

pz Nϕ

a.

Nϕ r1

+

Nθ + px = 0 r2

Nϕ

b.

r1

+

Nθ + pz = 0 r2

Nϕ

c.

r1

+

Nθ + py =0 r2

Nϕ

d.

r2

+

R∆φ

42.

Nθ + pz = 0 r1

y

α α

Rezultanta R∆φ = R∆y a încărcării date de greutatea proprie (g – greutatea pe unitatea de suprafaţă), într-o secţiune curentă a cupolei conice din figură este:

r

r

g

r2 φ g ⋅ πry

a.

g ⋅ πr 2

43.

Componentele intensităţii încărcării din zăpadă, la plăcile curbe de rotaţie axial simetrice, sunt: p x = 0, p x = 0, p x = 0, p = 0,

a.

p y = g ⋅ sin ϕ,

b.

b.

g ⋅ πrl

c.

p y = 0,

p y = q ⋅ cos ϕ ⋅ sin ϕ,

c.

pz = γ ⋅ Hϕ

p z = g ⋅ cos ϕ

g ⋅ 2πry

d.

x

p y = 0,

d.

2

p z = q ⋅ cos ϕ

p z = p ⋅ sin ϕ ⋅ cos θ.

y

α 44.

py

r

Efortul de membrană Nθ, într-o secţiune curentă a cupolei conice din figură, se determină dintr-o ecuaţie algebrică de forma:

pz

r2

g, q

φ a.

Nϕ r1

+

Nθ + py = 0 r2

b.

Nϕ r2

+

Nθ + pz = 0 r1

c.

Nθ + py = 0 r2

d.

Nθ + pz = 0 r2

Nθ

Efortul în inelul de rezemare al cupolei din figură este:

a.

V ⋅ Ri

46.

b.

N ϕm ⋅ R i

H ⋅ Ri

c.

Ecuaţiile de echilibru ale plăcilor curbe cilindrice deschise, aflate în starea de membrană, sunt următoarele:  ∂N x 1 ∂N ϕx + + p x = 0;   ∂x R ∂ϕ  ∂N  xϕ 1 ∂N ϕ + + p y = 0;  R ∂ϕ  ∂x  Nϕ  + p z = 0.  R

ϕ

Nϕ

b.

Nx , Nxφ , Nφ

dx

pz

h

c.

dx

x

Nϕx

Nx Nx , Nφ , Nxφ

ds

dϕ

Eforturile se determină din acest sistem în ordinea:

a.

−H ⋅ R i

d.

R

45.

Nxϕ

ds

Nx ∂ Nx dx ∂x

px py

Nxϕ N ϕx

∂ Nϕx ϕ d ∂ϕ

∂ Nϕ d ϕ ∂ϕ Nφ , Nx , Nxφ

Nϕ

Nφ , Nxφ , Nx

∂ Nxϕ dx ∂x

d.

O

47.

a.

În acoperişul cilindric cu o deschidere şi o travee, rezemat pe timpane, efortul Nφ produs de greutatea proprie are expresia:

−2gx ⋅ sin ϕ

b.

2gR ⋅ cos ϕ

g R

L/2

x

L/2

φ

c.

−

 g  L2 − x 2  ⋅ cos ϕ  R  4 

d.

−gR ⋅ cos ϕ

q

48.

Efortul Nφ, produs de încărcarea cu zăpadă, în acoperişul cilindric cu o deschidere şi o travee, rezemat pe timpane, se determină cu relaţia:

qR ⋅ cos ϕ

O

g

R

L/2

x

L/2

φ

3 qx ⋅ sin 2ϕ 2

 3 q  L2 − x 2  ⋅ cos 2ϕ  2 R  4 

a.

− qR ⋅ cos 2 ϕ

49.

In cazul unei stări de tensiune, la care într-un punct se cunosc σ şi τ, criteriul de curgere (plasticitate) este: 1 σ1 = σ c σ2 + τ2 = σc d. b. c. σ 2 + 4τ 2 = σ c σ2 + τ2 = σc 2

a. 50.

a.

b.

c.

−

d.

−

Criteriul de curgere (plasticitate) von Mises pentru starea de tensiune exprimată prin σ şi τ este de forma: 1 c. d. σ 2 + 4τ 2 = σ c σ 2 + 2,6τ 2 = σ c b. σ 2 + 3τ 2 = σ c σ2 + τ2 = σc 2