TDs [PDF]

Zitiervorschau

On se propose d’étudier le mécanisme présenté sur le schéma cinématique (figure 1 document 1, et figures 3,4 et 5 document 2). Le mécanisme prend une lame rangée verticalement dans le panier, la remonte verticalement dans une première phase, puis le galet 6 entre en contact avec une came 5, ce qui fait basculer l’ensemble « pince + lame » d’un quart de tour. But de l’étude : déterminer l’angle de rotation 01 de la manivelle 1 de manière à obtenir un basculement de l’ensemble pince + lame de

 radians. 2

Hypothèse : pour simplifier, on suppose que la came est droite, comme sur le schéma cinématique (document 3).

Question 1. En étudiant le système bielle – manivelle, déterminer la relation donnant sinθ01 en fonction des longueurs l, r, et λ.

Question 2. En étudiant le cycle constitué par la figure O-F-E-C, écrire deux relations entre les paramètres : λ, 04 , 05 , a , c , ρ, δ.

Question 3. On suppose que le rayon ρ est petit devant les autres longueurs. Déterminer λ en fonction des angles 04 , 05 , et des longueurs a et c.

Question 4. En déduire une relation donnant sin 01 en fonction de l, r, c, a, 04 , 05 . Hypothèse supplémentaire : En position basse, on a 01 =

 et 04 = 0 . Le mouvement 2

de remontée de la lame s’effectue sans contact avec la came jusqu’à 01 = 0 , la lame restant donc verticale. Lors de cette première partie du mouvement, la manivelle 1  tourne dans le sens horaire, sur un angle de − . 2

1

A partir de 01 = 0 , le galet 6 entre en contact avec la came 5 fixée au bâti 0, ce qui fait basculer l’ensemble pince + lame dans le sens trigonométrique jusqu’à obtenir 04 = On donne également l’angle d’inclinaison de la came : 05 =

 2

 4

Question 5. Déterminer une relation donnant a en fonction de l , r , c, lors du début de contact entre le galet 6 et la came 5. Question 6. Donner l’expression de sin 01 1 en fonction de l , r , c , pour que la pince tourne de 04 =

 2

2

Système bielle – manivelle et came

Document 1

Schéma cinématique : un ressort non représenté permet de maintenir le contact en F. y0

y2

Bâti 0 x1 θ01

manivelle 1 A B

Bâti 0 a y4

x5 bielle 2

O

x0

Figure 1

λ

coulisseau 3 x4 θ02

y0

θ04

C came 5 y5

F

galet 6 E θ05

Bâti 0

pince 4 x0

D lame

Paramétrage : CD = L CA = λ r r ( x0 , x1 ) = θ 01

r y2

r y0

θ01 r z0

r x1 θ01

OA = a

EF = ρ r r ( x0 , x5 ) = θ 05

Figures 2

Figures de calcul : r y1

EC = c FO = δ r r ( x0 , x4 ) = θ 04

BC = l AB = r r r ( y0 , y 2 ) = θ 02

r x0

r y0

r y4

θ02 r z0

r x2 θ02

r x0

3

r y0

r y5

θ04 r z0

r x4 θ04

r x0

r y0

θ05 r z0

r x5

θ05

r x0

4

Pince en position basse θ01 = π/2 θ04 = 0

Le galet n’est pas en contact

Disque fendu à définir

Figure 3

Pince en position intermédiaire θ01 mini< θ01< 0 0 < θ04 < π/2

Contact galet came

Figure 4

Schéma en 3D du mécanisme de transfert de lame

Pince en position haute et pivotée θ01= θ01 mini θ04 = π/2

Figure 5

Document 2

Exercice 1 : CHARIOT FILOGUIDE Un schéma cinématique du système d’orientation de la roue du chariot filoguidé :

Soit R 0 (O, x, y,z) un repère lié au bâti (S) du chariot. Le bras (S1) est en liaison pivot d'axe (O, z) avec (S). Soit R1 (O, x1 , y1 , z) un repère lié à (S1). On pose  = (x , x1 ) angle contrôlé par le moteur d’orientation. La roue (S2) de centre B est en liaison pivot d'axe (A, y1 ) avec (S1). Soit R 2 (O, x 2 , y1 ,z 2 ) un repère lié à (S2). On pose OA = −h z + a y 2 avec h et a sont des constantes positives et  = (x1 , x 2 ) angle du moteur d’avance. On observe un point C de la roue, dont la position est donnée par AC = −a y 2 + r z 2 Question 1. Représenter les changements de bases entre les bases des 3 repères Question 2. Déterminer le vecteur vitesse du point C appartenant à (S2) dans son mouvement par rapport à (S) : V(C  S2 / S) Question 3. Déterminer le vecteur accélération du point C appartenant à (S2) dans son mouvement par rapport à (S) (C  S2 / S)

5

Exercice 2 : ROBOT A PARALLELOGRAMME DEFORMABLE. Le système étudié (cf. figures) est un robot industriel destiné à la manutention de pièces lourdes. Ce robot a une structure en parallélogramme déformable qui lui permet de déplacer son poignet dans l’aire de travail. On associe à chaque solide i une base orthonormée directe Bi ( x i , yi ,z) Le mouvement de 1/0 est une rotation autour de l’axe (A, z) ; on pose  = (x 0 , x1 ) Le mouvement de 2/0 est une rotation autour de l’axe (A, z) ; on pose  = (x 0 , x1 ) Le mouvement de 1/3 est une rotation autour de l’axe (B, z) ; tel que AB = L x1 Le mouvement de 2/4 est une rotation autour de l’axe (E, z) ; tel que EA = D x 2 Le mouvement de 3/4 est une rotation autour de l’axe (C, z) ; tel que EC = L x 4 Par ailleurs : CB = D x 3 et BJ = H x 3

Les mouvements du robot sont commandés par 2 moteurs : -

Le solide 1 a son mouvement de rotation commandé par un moteur M1 Le solide 2 a son mouvement de rotation commandé par un moteur M1

Question 1 : Tracer les figures planes définissant les deux paramètres d’orientation. Question 2 : Déterminer le torseur cinématique de chaque liaison en son centre Question 3 : En déduire les torseurs cinématiques de V(4 / 0) et V(3 / 0) . Question 4 : En déduire le vecteur vitesse V(J  3 / 0) 6

Exercice 3 : ANALYSE CINEMATIQUE D'UN MANIPULATEUR (DOCUMENTS 1, 2) Le manipulateur étudié aide l’ouvrier dans la prise d'un collecteur (masse de 17 kg), La préhension du collecteur est effectuée par l’outil de prise. Un vérin d’équilibrage alimenté par de l’air comprimé à 0,70 MPa, fournit un effort qui compense le poids du collecteur. L’utilisateur maintient l’outil de prise et peut commander le vérin d’équilibrage, qui n’agit que lors d’un mouvement de montée ou de descente. Les autres mouvements possibles sont assurés manuellement par l’ouvrier. Le DOCUMENT 1 représente un dessin du manipulateur, lors de la prise de pièce, le collecteur étant au départ sur un convoyeur. On se propose d’effectuer une étude cinématique du manipulateur dans cette même position, laquelle est paramétrée sur le schéma cinématique donné DOCUMENT 2.

Paramétrage : voir les figures de calcul sur le document 2.

01 = (x 0 , x1 ) AB = l2 x 2

12 = (x1 , x 2 ) BC = l5 x1

17 = (x1 , x 7 ) CD = l7 x 7 − h 7 y7

78 = (x 7 , x8 ) PD = l8 y 7

Question 1 : Déterminer V(B  2 /1) en fonction de l2 , 12 Question 2 : Au cours du mouvement du manipulateur, BC reste horizontal, orienté selon x1 . Quel est alors le mouvement de 5/1 ? En déduire V(C  7 /1) Question 3 : Déterminer V(D  7 /1) en fonction de l2, l7, 12 , 17 Question 4 : Déterminer V(P  8 /1) en fonction de l2, l7, 12 , 17 Question 5 : Déterminer V(P  8 / 0) en fonction de V(P  8 /1) et du vecteur rotation

 (1/ 0) Question 6 : Déterminer V(P  8 / 0) en fonction de l2, l5, l7, 12 , 17 , 01 , 12

7

Manipulateur DOCUMENT 1

8

Manipulateur – Schéma cinématique y7

y1 G

A

Bras supérieur 3 H E Bras inférieur 2

Tête 5 C

Fourche 1 Corps vérin 6

x1

B

Piston 4

x2

I Bras terminal 7 O

x1

Bâti 0

y8

x7

D

DOCUMENT 2

Collecteur 10

x8 P

Outil de prise 8 et volant de manœuvre

Convoyeur

Figures de calcul : x1 x0 θ01

y2 y 1 θ12 θ01

z1

θ12

z0 y0 = y1

x7 x1 θ17 x2

x8 x7 θ78 θ17

x1

z7

θ78

z1

z1 = z2

y1 = y 7 9

z8 z7

y7 = y 8

Exercice 1 : Transformation de mouvement par Excentrique Le principe, représenté ci-contre, est utilisé pour transformer un mouvement de rotation continu (de l’excentrique 1 par rapport au bâti 0) en un mouvement de translation alternatif (du poussoir 2 par rapport au bâti 0).

Soit R 0 (O, x, y,z) un repère lié au bâti 0 du mécanisme. Soit R1 (O, x1 , y1 , z) un repère lié à l’excentrique 1. Celui-ci est assimilé à un disque de centre C et de rayon R. Il est animé d’un mouvement de rotation autour de l’axe (O, z) par rapport au bâti. Posons  = (x , x1 ) et OC = e x1 . Soit R 2 (A, x , y, z) un repère lié au poussoir 2. Celui-ci est animé d’un mouvement de translation suivant la direction y par rapport au bâti 0.

Question : Déterminer le vecteur vitesse de glissement au point I de (2) par rapport à (1). 10

Exercice 2 : Guidage d’un chariot de machine-outil L’étude suivante porte sur le guidage en translation d’un chariot de machine-outil S1 par rapport au bâti de la machine S0. Ce guidage est réalisé par deux séries de billes, S2 et S3, qui roulent dans des rainures en V. La figure ci-dessous présente, en coupe, la réalisation technologique de ce guidage.

Les billes 𝑺 de rayon R roulent sans glisser sur les plans d’une rainure en V d’angle égal à 90° usinée dans 𝑺𝟐 et sur les plans d’une autre rainure en V d’angle égal à 120° usinée dans 𝑺0. Les billes 𝑺3 de rayon r roulent sans glisser sur les plans d’une rainure en V d’angle égal à 2  usinée dans 𝑺𝟏 et sur le plan (P) de 𝑺0. On note

0   le torseur cinématique du mouvement du chariot 𝑺1 par  x  

V(1/ 0) = 

rapport au bâti 𝑺0. Question 1 : Traduire les conditions de non glissement. Montrer que  (2 / 0) = 20 y et

 (3 / 0) = 30 y Question 2 : Déterminer V(C  2 / 0) en fonction de v, puis V(E  3 / 0) en fonction de v. Déterminer V(C  2 / 0) en fonction de 20 , puis V(E  3 / 0) en fonction de 30 En déduire une relation entre 20 et v, puis une relation entre 30 et v. Question 3 : En déduire les torseurs cinématiques des mouvements de 𝑺𝟐 / 𝑺0 et 𝑺3 / 𝑺0 en fonction de v et des caractéristiques géométriques. Question 4 : Déterminer les vecteurs vitesses des centres des billes dans leur mouvement par rapport au bâti 𝑺0: V(O2  2 / 0) et V(O3  3 / 0) . Question 5 : Déterminer  pour que ces vecteurs vitesse soient identiques. 11

Cinématique graphique Dans cette partie on suppose que : La liaison entre le chariot (1) et le bâti (0) est bloquée, ainsi les solides (1) et (0) constituent une seule pièce notée (0) (voir le document- réponse page 2/2 ). Le vérin 6 est bloqué, ainsi les solides (60) et (61) constituent une seule pièce notée (6). Le système ainsi modélisé est étudié dans la position de la figure R3 du document réponse DR3. On rappelle que les solides 4 et 3 constituent aussi une seule pièce. L’objectif de cette partie est de déterminer graphiquement la vitesse V(G 4  4 / 0) du point G4 de la tête de traite. La vitesse de sortie du vérin 5 = {50+51} est de 100 mm/s. Les constructions graphiques doivent être réalisées sur document- réponse page 2/2 et les justifications sur votre copie.

Question 1 : Représenter, à l’échelle proposée, le vecteur vitesse V(D  51/ 50) . Question 2 : Par composition des vitesses en D, déterminer les vecteurs vitesses

V(D  50 / 0) et V(D  2 / 0) . Question 3 : Déterminer le vecteur vitesse V(B  2 / 0) . Question 4 : Déterminer et tracer la direction du vecteur vitesse V(E  3 / 0) . Question 5 : Déterminer le centre instantané de rotation I30 du mouvement de (3) par rapport à (0). Question 5 : Déterminer le vecteur vitesse V(G 4  4 / 0) , donner sa norme.

12

Echelle des vitesses : 0,1 m / s → 1,5 cm

13

Exercice 1 : Poutre encastrée Considérons une poutre encastrée, soumise à des actions linéiques réparties : Une action répartie, constante, P1 en N/m le long de la portion [O,A] Une action répartie variable avec Pmax = P2 en N/m le long de la portion [B,A] Ces répartitions de charge induisent des éléments d'efforts orientés suivant la direction − z , aux points courant des poutres soumis aux répartitions.

Question 1. Déterminer en O le torseur des actions réparties sur l'ensemble de la poutre. Question 2. Déterminer le point où le torseur résultant des actions sur la poutre est équivalent à un glisseur.

Exercice 2 : Frein à disque Le document BENDIX de la figure 1 représente un frein à disque de véhicule automobile de la première génération. Il est essentiellement constitué du disque 1 lié à la roue du véhicule, des plaquettes 2 et 3 serrées contre le disque 1, pendant le freinage, par un piston guidé en translation dans l’étrier 4. Le but de l’étude est de déterminer l’action mécanique exercée par la plaquette 3 sur le disque 1 lors du freinage. Pour cela, la plaquette 3 est schématisée par une surface 14

limitée par un conteur circulaire d’angle 2 et d’une couronne circulaire de rayon intérieur r et de rayon extérieur R (figure2). Soit R(O, x, y, z) un repère tel que l’axe (O, z) soit confondu avec l’axe de la roue. Le plan (O, x, y) est placé dans le plan médian du disque d’épaisseur 2e.

La plaquette 3 exerce sur le disque 1 une action mécanique représentée en chaque point M de la surface de contact par la densité surfacique f (M) = p z + t v sachant que le repère R1 (O,u, v,z) est tel que :

OM = u u − e z

avec

r  u R

 = (x , u)

avec

−   

Les composantes normale et tangentielle p et t sont positives On suppose la pression p uniforme sur la surface de contact et on note f le coefficient de frottement entre le disque 1 et la garniture de la plaquette 3. 15

Question 1. Déterminer, au point O, le torseur d’action mécanique exercée par la plaquette 3 sur le disque 1 en fonction de p, f, r, R e et  . Question 2. En déduire le torseur d’action mécanique exercée par les plaquettes 2 et 3 sur le disque 1, au point O. Question 3. Déterminer le point I où le torseur d’action mécanique exercée par les plaquettes 2 et 3 sur le disque 1, est équivalent à un glisseur.

16

Exercice 1 : Cisaille F 500

 F E

30°

A

30°

150

B D

20

C

100

280

La figure ci-dessus représente une cisaille d’atelier permettant la découpe de pièces de fortes sections.  L’opérateur agit sur la cisaille en F et exerce une action mécanique verticale F . L’action mécanique nécessaire pour cisailler la pièce est de 600daN appliquée verticalement en C.

On considère que les liaisons sont sans frottement et que les poids des pièces sont négligeables devant les autres actions mécaniques.

17

Question 1. Traduire l'équilibre de la pièce (1) et déterminer les directions des actions mécaniques de contact dans les liaisons en E et D, en déduire la relation entre les deux composantes des actions mécaniques de contact dans la liaison en E et dans la liaison en D. Question 2. Traduire l'équilibre de la pièce (2) et déterminer analytiquement les actions mécaniques de contact dans les liaisons en B et D.

Question 3. Déterminer graphiquement les actions mécaniques de contact dans les liaisons en B et D en étudiant l'équilibre de la pièce (2).

Question 4. Traduire l'équilibre du levier (3) et déterminer analytiquement les actions mécaniques de contact dans les liaisons en A et E ainsi que l’effort exercé par l’opérateur.

Question 5. Déterminer graphiquement les actions mécaniques de contact dans les liaisons en A et E ainsi que l’effort exercé par l’opérateur en étudiant l'équilibre du levier (3).

Exercice 2 : Pompes à pistons axiaux La pompe est constituée par un corps (0) dans lequel sont répartis six pistons (1) dont les axes sont situés sur un cylindre de révolution d'axe (O, z0 ) et de rayon R. La liaison entre chaque piston (1) et le corps (0) est une liaison pivot glissant d'axe ( D, z0 ) . L'extrémité D de chaque piston vient en contact, par l'intermédiaire d'une rotule de centre D, avec un patin (2). Chaque patin (2) fait l'objet d'une liaison plane avec le plateau incliné de l'arbre moteur (3). Le point E est la projection orthogonale du point D sur le plateau incliné, la longueur ED est constante et égale à h. L'intersection du plateau incliné avec l'axe de rotation de l'arbre (3) est le point F. Le plateau incliné, donc aussi l'arbre (3) auquel il est lié, est en liaison pivot d'axe (O, z0 ) avec le bâti (0). La rotation de l'arbre moteur (3) entraîne le déplacement des pistons et l'aspiration ou le refoulement du fluide hydraulique. L'étude a pour objet le calcul des efforts dans les liaisons de ce mécanisme en fonctionnement quasi statique. L'action d'un ressort permettant de plaquer le patin (2) sur le plan incliné lié à (3) n'est pas prise en compte.

18

Toutes les liaisons sont supposées parfaites. Les actions de pesanteur sont négligées. Le torseur d'action mécanique de la pièce (i) sur la pièce (j) sera noté :

M

F (i → j ) = M

L'action

du

 X ij   Yij Z  ij

fluide

Lij   M ij  Nij ( −,−,− )

hydraulique

 0 F ( fluide → 1) =  0 D − p .S r D 

sur

0  0 0 ( x , y , z 3

3

3)

19

le

piston

(1)

est

un

glisseur :

L'action

du

moteur

sur

l'arbre

(3)

est

un

couple

tel

que :

0 0  F (moteur → 3) = 0 0  F 0 C  ( x , y , z F  3

3)

3

On donne :

FD = R.x0 + .z0 avec R constant et  variable

ED = h.w3 avec h constant et w3 vecteur normal au plan d'appui entre (2) et (3)

FE = X .u3 + Y . y3 avec X et Y variables. Question 1. Préciser les torseurs suivants : D

F

F (0 → 3)( x , y , z ) , D F (3 → 2)(u , y ,w ) 3

3

3

3

3

3

F (2 → 1)( x , y , z ) et D F (0 → 1)( x , y , z ) 3

3

3

3

3

3

Question 2. Traduire l'équilibre de la pièce (1) et écrire les équations scalaires qui en sont déduites.

Question 3. Traduire l'équilibre de la pièce (2) et écrire les équations scalaires qui en sont déduites. Question 4. Traduire l'équilibre de la pièce (3) et écrire les équations scalaires qui en sont déduites. Question 5. Résoudre le système d'équations obtenu de façon à exprimer chaque composante inconnue des torseurs transmissibles et le couple moteur C en fonction de la pression pr.

20

Etude inertielle approchée d’une jante On assimile une jante à deux cylindres creux (Cy1) et (Cy2) d’épaisseurs négligeables rigidement liés par trois plaques rectangulaires (P1), (P2) et (P3) d’épaisseurs négligeables aussi. Ces trois plaques sont uniformément réparties comme les montre la figure 4.

Le but est de déterminer la matrice d’inertie de la jante (s) = {Cy1, Cy2, P1, P2, P3} Soit R(O, x, y, z) le repère lié aux cylindres (Cy1) et (Cy2). O étant le centre d’inertie commun et (O, x) leur axe de symétrie matérielle de révolution. Les cylindres creux et les plaques rectangulaires sont supposés homogènes. On note M1 et M2 les masses respectivement de (Cy1) et (Cy2) et mp celle de chacune des plaques (Pi). On note L la longueur de la jante donc celle des deux cylindres creux (Cy 1) et (Cy2) et des trois plaques (Pi). On note r1 le rayon de (Cy1) et r2 celui de (Cy2). La longueur de chaque plaque (Pi) est a = r2 – r1. Question 1. Déterminer la matrice d’inertie du cylindre creux (Cy1) (Voir la figure 5) d’épaisseur négligeable, en son centre d’inertie O dans la base (x, y, z) .

21

On note R i (Gi , x, yi , zi ) le repère lié à la plaque (Pi), tel que x et z i soient parallèles respectivement au grand et au petit coté de (Pi), yi perpendiculaire au plan de celle-ci et Gi son centre d’inertie.

Question 2. a) Donner en fonction de mp, L et a, la matrice d’inertie de la plaque (Pi) en son centre d’inertie Gi et dans la base (x, yi , z i ) liée à celle-ci. b) Donner en fonction de mp, L, r1 et a, la matrice d’inertie de la plaque (Pi) au point O et dans la base (x, yi , z i ) . Par la suite la matrice d’inertie de la plaque (Pi) au point O dans la base (x, yi , z i ) sera notée :

A 0 0   IO (Pi ) =  0 B 0   0 0 C  ( x , y ,z ) i

i

Question 3. Détreminer en fonction de B, C et ϴi le moment d’inertie de la plaque (Pi) par rapport à l’axe (O, y) noté Ioy(Pi) Question 4. Détreminer en fonction de B, C et ϴi le moment d’inertie de la plaque (Pi) par rapport à l’axe (O, z) noté Ioz(Pi) Question 5. Monter que la matrice d’inertie de la jante (S) = {Cy1, Cy2, P1, P2, P3} au point O dans la base (x, y, z) est de la forme : Déterminer As, Bs et Cs.

 AS 0 0   IO (S) =  0 BS 0   0 0 CS  ( x , y,z)

22

EOLIENNE

Soit R(O, x , y, z) un repère lié au support 0 d'une éolienne. La girouette 1 a une liaison pivot d'axe (O, z) avec le support 0. Soit R1 (O, x1 , y1 , z) un repère lié à la girouette 1, on pose :  = (x , x1 ) L'hélice 2 a une liaison pivot d'axe (G, x1 ) avec la girouette 1, tel que : OG = a x1 (a est une constante positive). Soit R 2 (O, x1 , y2 ,z 2 ) un repère lié à l'hélice 2, de telle façon que l'axe (G,z 2 ) soit confondu avec l'axe PQ de la pale de l'hélice. On pose : GP = b z 2 (b est une constante positive) et  = (z,z 2 ) On considère qu'il existe un balourd 3, modélisant un déséquilibre de l'hélice en rotation, représenté par une masse ponctuelle au point P.

23

Caractéristiques d'inertie : Girouette 1 : moment d'inertie par rapport à l'axe (O, z) : I Balourd 3 : masse m Hélice 2 : centre d’inertie G Masse M

A 0 0    matrice d'inertie au point G dans la base ( x1 , y 2 , z 2 ) :  IG (2) =  0 B 0   0 0 C  ( x , y ,z ) 1 2 2

Question 1. Déterminer le moment cinétique, de la girouette 1 dans son mouvement par rapport au support 0 par rapport à l'axe (O, z) . Question 2. Déterminer le moment cinétique, de l'hélice 2 dans son mouvement par rapport au support 0 au point O. Question 3. En déduire le moment dynamique, par rapport à l'axe (O, z) , de l'hélice 2 dans son mouvement par rapport au support 0. Question 4. Déterminer le moment cinétique, au point O, du balourd 3 dans son mouvement par rapport au support 0 Question 5. Déterminer l'énergie cinétique de l'ensemble E = {1, 2, 3} dans son mouvement par rapport au support 0.

24

Machine d’assemblage de coffrets Le sujet consiste à étudier un chariot automatisé qui gère le stockage des coffrets répartiteurs utilisés pour les installations domestiques ou industrielles. La figure 1 cidessous représente le schéma cinématique minimal du système. Le chariot se déplace sur des rails suivant la direction x , il est constitué des éléments suivants: - Le support (1) en translation suivant x par rapport au bâti (0). - Le coulisseau (2) en translation suivant z par rapport au support (1). - Le bras (3) en liaison pivot d’axe (O 3 , z) avec (2). - Le bras (4) en liaison glissière de direction y 3 avec le bras (3).

Le paramétrage est tel que : R(O, x, y, z) repère lié au bâti (0), supposé galiléen avec z vecteur ascendant.

R1 (O1 , x, y,z) repère lié au solide (1), tel que OO1 = x(t) x avec x(t) = cte , le solide (1) est de masse m1. 25

R 2 (O2 , x, y,z) repère lié au solide (2), tel que O1O2 = z(t) z , le solide (2) est de masse m2, de centre d’inerte G2 tel que O2G 2 =

L y et admet (O2 , y, z) comme plan de symétrie 2

matérielle.

R 3 (O3 , x 3 , y3 , z) repère lié au solide (3), tel que O2O3 = L y et (x, x 3 ) = (y, y3 ) =  , le solide (3) est de masse m3, de centre d’inerte G3 tel que O3G 3 = a x 3 + b y3 + c z3 avec a, b et c sont des constantes et admet (O3 , y3 , z) comme plan de symétrie matérielle.

R 4 (O4 , x3 , y3 , z) repère lié au solide (4), tel que O3O4 = y(t) y3 , le solide (4) est de masse m4, de centre d’inerte G4 tel que O4G 4 = L y3 et admet (G 4 , y3 ,z) et (G 4 , x 3 , y 3 ) comme plans de symétrie matérielle. Pour produire le mouvement on place au niveau de chaque liaison un actionneur de masse négligeable. Les actions mécaniques exercées par les actionneurs sont : - Actionneur (vérin) V12 au niveau de la liaison entre (1) et (2) : R(V12 → 2) = F12 z au point O2. - Actionneur (moteur) M23 au niveau de la liaison entre (2) et (3) : M O3 (M 23 → 3) = C23 z - Actionneur (vérin) V34 au niveau de la liaison entre (3) et (4) : R(V34 → 4) = F34 y3 au point O4.

Question 1. Donner les formes simplifiées des matrices d’inertie des solides (2), (3) et (4). Question 2. Montrer que le repère R1 (O1 , x, y,z) lié au solide (1) est galiléen. Question 3. Tracer le graphe d’analyse des actions mécaniques. Question 4. Isoler le solide (4) et appliquer le théorème de la résultante dynamique en projection suivant y 3 , en déduire l’expression de F34 en fonction des données. Question 5. Isoler le système E1 = 3, 4, V34  , et appliquer le théorème du moment dynamique en projection suivant (O 3 , z) . En déduire l’expression de C23 en fonction des données. Question 6. Isoler le système E 2 = 2,3, 4, V34 , M 23  , et appliquer le théorème de la résultante dynamique en projection suivant z , En déduire l’expression de F12 en fonction des données. 26

La figure ci-contre représente le schéma cinématique d’un mécanisme d’ouverture automatique d’une trappe de désenfumage. Dimensions et paramétrage Au bâti (0) est associé le repère R g (O, x g , yg , z g ) supposé galiléen avec yg vertical ascendant on pose OB = b x g + c y g Le bras (1) de masse m1 et de centre d’inertie G1, est lié au bâti (0) par une liaison pivot parfaite d’axe (O, z g ) , le repère

R1 (O, x1 , y1 , zg ) est lié à (1), on pose OA = a x1  = (x g , x1 ) OG1 = e x1 , le moment d’inertie du bras (1) par rapport à l’axe (O, z g ) est I1. La roulette (2) de masse m2, de rayon R et de centre d’inertie A, est lié au bras (1) par une liaison pivot parfaite d’axe (A, z g ) , le repère R 2 (Q, x 2 , y2 , z g ) est lié à (2), et on pose

 = (x1 , x 2 ) , le moment d’inertie de La roulette (2) par rapport à l’axe (A, z g ) est I2. Le plateau (3) de masse m3 et de centre d’inertie G3, est lié au bâti (0) par une liaison glissière parfaite d’axe (B, yg ) , le repère R 3 (C, x g , yg , z g ) est lié à (3). On pose BC =  y g

CG 3 = k y g

La roulette (2) est en contact linéaire rectiligne en I de normale yg avec le plateau (3). Le problème est supposé plan.

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Le bras (1) est entraîné par une courroie qui exerce su (1) le couple :  0  F(Courroie → 1) =   L’action de la trappe sur le plateau (3) est modélisée par le Cm z g O

YB yg    0 B

torseur : F(trappe → 3) = 

Question 1. En supposant qu’il n’y pas de glissement en I entre (2) et (3), déterminer

 et  en fonction de  On note  = 1, 2, 3

Question 2. Calculer l’énergie cinétique de l’ensemble  dans son mouvement par rapport au repère R0 en fonction de 

Question 3. Tracer le graphe des efforts extérieurs

Question 4. Déterminer la puissance des efforts intérieurs à 

Question 5. Déterminer la puissance des efforts extérieurs à  dans son mouvement par rapport au repère Rg en fonction de 

Question 6. Déterminer le couple Cm en fonction de  et YB dans le cas où  est constant

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