TD 2 m├йc rationnelle 1- 2019 [PDF]

Zitiervorschau

Ecole Supérieure des Sciences Appliquées –Tlemcen

2ième Année Tronc Commun

MECANIQUE RATIONNELLE 1 Série TD N° 2

EXERCICE 01 : Soient les trois vecteurs ⃗ = 3⃗ + ⃗ , ⃗ = −2⃗ + ⃗ et ⃗ = −5⃗ + 2 ⃗ définis dans un repère orthonormé ( , ⃗, ⃗, ⃗) et liés respectivement aux points (2,0,0), (0,1,0), (0,0,3). 1. Déterminer les éléments de réduction en O du torseur [ ] . 2. Déterminer le pas et l’axe central du torseur [ ] . 3. Calculer le moment de deux façons différentes au point D de coordonnées (2, 1,-2). 4. En déduire [ ] . EXERCICE 02 : Soient deux torseurs [ ] et [ ] définis au même point A par leurs éléments de réduction dans un repère orthonormé ( , ⃗, ⃗, ⃗): [ ] = 1. 2. 3. 4. 5. 6.

⃗ = 2⃗ + ⃗ + 3 ⃗

[ ] =

⃗ = 4⃗ + ⃗ − 3 ⃗

⃗ = 3⃗ − 2⃗ + 4 ⃗ = −3⃗ + 2⃗ − 4 ⃗ Montrer que les axes centraux des deux torseurs sont perpendiculaires. Calculer l’invariant scalaire du torseur [ ] . Déterminez l’axe central du torseur [ ] . Calculer le pas du torseur [ ] . Construire le torseur [ ] = [ ] + [ ] . De quel type est le torseur somme ? Calculer le produit des deux torseurs. ⃗

EXERCICE 03 : Dans un repère orthonormé ( , ⃗, ⃗, ⃗), on considère le champ de vecteurs ⃗ défini par : = ( + (1 − ) +

1. 2. 3. 4. 5.

)

+ ( − 1) +

= (−2 − =( +

−

−

)

+ (1 − ) )

Où , et sont les coordonnées du point dans le repère , et sont deux constantes réelles. Calculer ⃗( )au point O. Anti-symétriser ce champ. Déterminer les éléments de réduction au point O du torseur associé. Déterminer sa nature et son axe central dans les deux cas : = 0 et ≠ 0. Pour ≠ 0, calculer le moment au point D de coordonnées (−2, 1, −1).

EXERCICE 04 :

y

Soit un repère ( , ⃗, ⃗, ⃗) orthonormé direct. Sur une poutre OA de longueur l, encastrée dans un mur à son extrémité O, s’exerce une action mécanique répartie, définie en tout point ( ) de OA par sa densité linéique ⃗( ) = − ( − )⃗ où P représente la pression de contact au point O. 1. Déterminer la résultante et le moment au point O du champ de vecteurs ⃗( ) défini en tout point M de OA.

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O

A

x

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2. En déduire l’expression du moment au point infini de glisseurs.

( = ) de l’ensemble

EXERCICE 05 : Dans un repère ( , ⃗, ⃗, ⃗), on considère une plaque rectangulaire de longueur et de largeur , avec (0,0,0), (0, , 0), ( , , 0) ( , 0,0) soumise à une répartition de densité de force sur ses cotés. La répartition est uniforme sur les cotés et , elle est de norme et respectivement. La répartition est linéaire sur les cotés et . On donne la fonction densité de force : ⃗ ∈[ ] ⎧− ⎪− ⃗ + ∈[ ] ⃗( ) = ⃗ ⎨− + ∈[ ] ⎪ ⎩− ⃗ ∈[ ] 1. Déterminer les éléments de réduction du torseur [ ] aux points A et C associé à cette densité de force. 2. Discuter la nature du torseur [ ]. 3. Supposons que = , donner l’expression du torseur [ ] . 4. De plus, la plaque est soumise aux forces suivantes : ⃗ = ⃗ au point A, ⃗ = ⃗ au point B, ⃗ = ⃗ au point C et ⃗ = ⃗ au point D. Déterminer les éléments de réduction du torseur [ ] associé à cet ensemble de vecteurs liés. 5. Dans le cas ou = , déterminer les éléments de réduction du torseur [ ] forces appliquées sur cette plaque. EXERCICE 06 : Un panneau indicateur est soumis à son propre poids et à l’action du vent sur sa partie rectangulaire. Le poids linéique des montants OA et AB est ⃗ = − ⃗ . Le poids du panneau CDEF est ⃗ = − ⃗. L’action du vent sur CDEF est représentée par une densité surfacique d’efforts ⃗ = − ⃗ . Calculer le torseur d’action mécanique en O du sol sur cette structure. On donne : = 7.5 ; =3 ; =3 ; =4 = 750 . ; = 5. 10 . ; = 7. 10

associé à toutes les

y D A

G2 B

E G3

C

F

G1

O

x

EXERCICE 07 : Soit le champ des moments ⃗ qui a pour valeur : ⃗ = ( , 2, −1); ⃗ = (1, , 0); ⃗ = (1,1, ) , où A, B et C sont les points : A(1,0,0) ; B(0,1,0) et C(0,0,1) a. Calculer a, b, c. b. Déterminer les éléments de réduction en O du torseur dont ⃗ est le moment. Que représente le vecteur (a, b, c) ? ; c. Déterminer le moment résultant en un point quelconque ; dDéterminer l’axe central. EXERCICE 08 : Soit le repère orthonormé

, ⃗, ⃗, ⃗ et

⃗, ⃗ , ⃗ trois vecteurs non nuls. Si on a l’égalité suivante :

⃗ ∧ ⃗ = ⃗ . Rechercher l’équation vectorielle donnant ⃗ en fonction de ⃗ et ⃗ .

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CORRIGE EXERCICE 01 : 1. Les éléments de réduction du torseur au point O

[ ] =

⃗ =

⃗= ⃗ + ⃗ + ⃗ ⃗∧ ⃗ + ⃗∧ ⃗ +

⃗∧ ⃗

−2 3 0 −5 ⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗ = 1 + −2 + 0 = −1 3 0 1 2 0 1 0 0 3 2 1 0 0 −5 ⃗ = 0 ∧ 1 + 1 ∧ −2 + 0 ∧ 0 = 0 + 0 + −15 = −15 0 2 0 3 2 0 1 0 0 2 −2 ⎧ ⃗ = −1 ⎪ 3 [ ] = 1 ⎨ ⎪ ⃗ = −15 ⎩ 2 2. Le pas et l’axe central du torseur [ ] a. Le pas :

=

⃗. ⃗ ⃗

=

19 14

b. L’axe central :

⃗=

⃗∧ ⃗ ⃗

+

⃗=

1 1 −2 ∧ −1 −15 + 14 3 2

43 −2 14 −2 1 −1 ⇒ = − 2 ⎨ 3 31 ⎪ = +3 ⎩ 14 ⎧ ⎪

=

3. Calculer le moment au point D de coordonnées (2, 1,-2) a. On applique la formule du transport des moments

⃗ = ⃗ +

−2 1 −2 0 ⃗ ∧ ⃗ = −15 + −1 ∧ −1 = −13 2 2 3 2

B. Somme des moments des trois vecteurs : (2,0,0), (0,1,0), (0,0,3)

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⃗∧ ⃗ +

⃗ =

⃗∧ ⃗ +

−2 3 0 −2 0 0 −5 ⃗ ∧ ⃗ = −1 ∧ 1 + 0 ∧ −2 + −1 ∧ 0 = −13 5 2 0 2 1 2 2

−2 ⎧ ⃗ = −1 ⎪ 3 .[ ] = 0 ⎨ ⎪ ⃗ = −13 ⎩ 2 EXERCICE 02 : 1. L’axe central d’un torseur est parallèle à sa résultante L’axe central de [ ]

est parallèle à

⃗ ; l’axe central de [ ]

est parallèle à

⃗ , s’ils sont

perpendiculaires c.-à-d. : ⃗ . ⃗ = 0 4 2 ⃗ . ⃗ = 1 . 1 =0 3 −3

Ce qui est vérifié.

2. l’invariant scalaire (auto-moment) du torseur[ ] . 2 −3 = 1 . 2 = −16 3 −4 3. L’axe central du torseur [ ] = = ⃗ . ⃗

⃗ =

⃗ ∧ ⃗

+

⃗ =

2 −3 1 ∧ 2 + −4 3

⎧− + 2 2 ⎪ 1 = − + ⎨ 3 ⎪ +3 ⎩

4. Le pas du torseur [ ]

=

⃗ . ⃗

4 3 . − 1 2 −3 4 = −2 = −1 = 26 26 13

5. Le torseur somme [ ] = [ ] + [ ]

[ ] =

⎧ ⎪

6 ⃗= ⃗ + ⃗ = 2 0

⎨ ⎪ ⃗ = ⃗ ⎩

+ ⃗

0 = 0 0

a. La nature du torseur somme : C’est un torseur glisseur (l’auto-moment est nul). 6. le produit des deux torseurs [ ] .[ ] = ⃗ . ⃗

+ ⃗ . ⃗

4 2 3 −3 = 1 . −2 + 1 . 2 = 18 −3 −4 3 4

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EXERCICE 03 :  1. Calculer le vecteur U M au point O. U x   a  (1  b ) x  by  bz    U y    2 a  bx  (b  1) y  bz   U z   a  bx  by  (1  b ) z  a  U O  2a a

2. Anti-symétriser ce champ: 







Le champ est antisymétrique si : U M .O M  U O .O M

  U M .OM  ax  x 2  bx 2  bxy  bxz  2 ay  bxy  by 2  y 2  byz  az  bxz  byz  z 2  bz 2   U O .OM  ax  2 ay  az





 x2  y2  z2  b x2  y2  z2  b  1

U x  a  y  z  Le champ est un torseur pour b=1 : U y   2 a  x  z  U z  a  x  y

3. Les éléments de réduction au point O du torseur associé :    R T 0  U  0 a  x  y  z  0  U O  2 a a

Pour calculer la résultante, on applique la formule des transports des moments:

    U M  UO  MO  R   a  y  z  a    x   Rx  2a  x  z    2a     y    R  a  x  y  a  z   y       R  z

    

 y  z  yR  zR  0 z y   x  z  zR  xR 0  x z  x  y  xR  yR  0 y x 

Après, la résolution du système d’équations, on trouve : R  1; R  1; R  1

x

y

z

 1  R  1  1 Enfin, T    0 a  U O  2a  a  4. a. La nature du torseur pour a=0 et a ≠ 0: a=0

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0 −1 = ⃗ . ⃗ = 0 . −1 = 0 0 −1 a ≠ 0: = ⃗ . ⃗ = −2

−1 . −1 = 0 −1

C’est un torseur glisseur dans les deux cas. 4. b. L’axe central du torseur dans les deux cas : Pour a=0 :

⃗=

⃗∧ ⃗ ⃗

+

⃗=

0 1 −1 −1 ∧ 0 + 3 0 −1

⃗=

1 −1 −1 ∧ −2 3 −1

−1 −1 = −1

−1 −1 −1

l’axe central est parallèle à la résultante.

Pour a ≠ 0 : ⃗=

⃗∧ ⃗ ⃗

+

+

− − −1 −1 = − − −1

⇒

=− − =− = −

5. Le moment au point D de coordonnées (−2, 1, −1) dans le cas où

⃗ = ⃗ +

⃗ ∧ ⃗ = −2

⇒

+ −2 =0

≠0

+2 −1 2 + −1 ∧ −1 = −2 + 1 −3 −1 1

EXERCICE 04 :

1. La résultante et le moment au point O a. La résultante ⃗( ) est la densité linéique de l’action mécanique, c’est la force mécanique qui s’exerce sur la poutre OA par unité de longueur.

⇒

⃗( ) =

⃗

= − ( − )⃗

⇒

⃗ = ⃗( )

D’où la résultante de toutes les forces qui s’exercent sur OA est :

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0 ⃗=

⃗=

− ( − )

⃗=−

2

⃗= −

2 0

b. Le moment en O ⃗ ∧

⃗ =

⃗=

⃗ ∧ (− ( − ))

⃗=−

6

0 0

⃗= −

6

2. Le moment au point

⃗ = ⃗ + ⃗∧

0 0

⃗= −

0 0

0 + −

2 0

6

∧ 0 = 0

2

( − ) 3

+

⃗

= −

+

⃗

= −

EXERCICE 05 : 1.

La résultante du torseur

⃗= ⃗ + ⃗ + ⃗ + ⃗ Avec : ⃗ =

− ⃗

⃗ =

−

⃗ =

− ⃗

⃗ =

−

−

−

=

− ⃗

+

⃗

=

− ⃗

+

⃗

=−

=

⃗

−

−

= −

=

− 2

+

⃗

+

⃗

⃗

−

−

− 2

Finalement ⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗ + ⃗ = −( + )( + ) ⃗ 2. Le moment du torseur au point A ⃗ = ⃗

⃗

=

+ ⃗

+ ⃗

⃗ ∧ ⃗( )

+ ⃗

=

⃗∧ − ⃗

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−

⃗

=

⃗ ∧ ⃗( )

=

( ⃗ + ⃗) ∧ −

⃗

=

⃗ ∧ ⃗( )

=

( ⃗ + ⃗) ∧ − ⃗

⃗

=

⃗ ∧ ⃗( )

=

−

⃗∧ −

⃗

+

⃗

+

D’où

⃗ = ⃗

+ ⃗

+ ⃗

+ ⃗

+ ( 2

=−

)⃗ +

+

2 + 3

+

⃗

Finalement le torseur s’écrit :

[ ] =

⃗ = −( + )( + ) ⃗ ⃗ =−

+ 2

(

2

+

)⃗ +

2 +

2

3

⃗

+

Le moment au point C : On applique la formule du transfert des moments ⃗ = ⃗ +

⃗∧ ⃗ =−

(

)⃗ +

+

+

⃗ + (− ⃗ − ⃗) ∧ −( + )( + ) ⃗

3. La nature du torseur l’automoment (l’invariant scalaire I où A) du torseur

= =

⃗. ⃗ = 0

Et en plus si: =

=0⇒

⃗ = 0⃗ ⃗ = 0⃗

=− ≠0⇒

⃗ = 0⃗ ⃗ ≠ 0⃗

≠ − ⇒ ⃗ ≠ 0⃗

∶

[

∶

[ ] est un torseur couple.

∶

[ ] est un torseur glisseur.

4. l’expression du torseur [ ] si

[ ] =

1]

est un torseur nul.

=

⃗ = −2 ( + ) ⃗ ⃗ =− (

+

)⃗ + (

+

)⃗

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5. les éléments de réduction du torseur [ ] associé à cet ensemble de vecteurs liés. ⃗2 = ⃗ + ⃗ + ⃗ + ⃗

[ ] =

⃗2 = ⃗

+ ⃗

⃗

⃗

+ ⃗

⃗

+ ⃗ (⃗ )

+ +

⃗ =

0 Et

⃗ ⃗

⃗

⃗

⃗ ∧ ⃗ = 0⃗

=

⃗∧ ⃗ =

=

0

0

0 ⃗

⃗

0 0

⃗∧ ⃗ =

=

∧

0 ⃗

= 0⃗

∧

=

0

0

0

− 0

0

⃗

⃗∧ ⃗ = 0 ∧ 0 0

=

=

0

D’où :

[ ] =

⎧ ⎪ ⎪

⃗2 =

⎨ ⃗ ⎪ ⎪ 2 = − ⎩

+ +

0 0

0 +

6. les éléments de réduction du torseur [ ]

associé à toutes les forces appliquées sur cette

plaque. ⎧ ⎪ ⎪ [ ] =[ ] +[ ] =

+ + −2 ( + ) ) − ( + ( + ) = − +

⃗3 = ⃗ + ⃗2 =

⎨ ⃗ ⃗ + ⃗2 ⎪ ⎪ 3 = ⎩

EXERCICE 06 : 1. Le torseur d’action mécanique en O

[ ] =

⃗= ∑⃗ ⃗ = ∑ ⃗

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0 ⃗= ⃗

+ ⃗

+⃗

⃗

⃗ =

⃗ (⃗

⃗

⃗ =

⃗ ∧⃗

0 0 0 0 = −14875 = −5625 + −2250 + −7000 + 0 −6000 0 1 −6000 0

+ ⃗

) + ⃗ (⃗

)+ ⃗ (⃗

⃗ ∧⃗

+

+

)

+ ⃗ (⃗

⃗ ∧ ⃗

+

) ⃗ ∧ ⃗

0 0 0 0 0 1,5 5 5 ⃗ = 3,75 ∧ −5625 + 7,5 ∧ −2250 + 7,5 ∧ −7000 + 7,5 ∧ 0 0 −6000 0 0 0 0 0 1 0 0 7,5 −45000 ⃗ = 0 + −1,5 + + 0 30000 = 0 −35000 −3375 0

−44992,5 −45000 = 29998,5 30000 −38375 −38375

0 ⎧ ⎪ ⃗ = −14875 ⎪ ⎪ −6000 [ ] = −45000 ⎨ ⎪ ⎪ ⃗ = 30000 ⎪ ⎩ −38375

EXERCICE 07 : 1. Calcul de a, b et c : Le champ des moments est antisymétrique (équiprojectif) alors :

⃗ .

⃗= ⃗ .

⃗

⃗ .

⃗= ⃗ .

⃗

D’où :

−1 1 −1 (1) ⇒ 2 . 1 = . 1 ⟺ − + 2 = −1 + ⇒ −1 0 0 0 1 −1 −1 (2) ⇒ 2 . 0 = 1 . 0 ⟺ − − 1 = −1 + ⇒ + = −1 1 1 1 1 0 0 (3) ⇒ . −1 = 1 . −1 ⟺ − = −1 + ⇒ + = 0 1 1

⃗= ⃗ .

⃗ .

⃗

+

=

=1 =2 = −1

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les composantes du moment au point (0,0,0).

De même soient , ⃗ .

⃗= ⃗ .

⃗

(4)

⇒

⃗ .

⃗= ⃗ .

⃗

(5)

⇒

⃗ .

⃗ = ⃗ . 0⃗

(6)

⇒

1 1 2 . 0 . 0 = −1 0 0 1 0 0 . 1 . 1 = 0 0 0 1 0 0 . 0 = 1 . 0 1 1

⟺

=

=

⟺

=

=

⟺

=

=−

⃗ vérifie :

Donc le vecteur de composante ( , , ), représente le moment au point (0,0,0). 2. Les éléments de réduction du torseur [ ] ∶ Soient

[ ] =

,

,

les composantes de la résultante ⃗ du torseur.

⃗= ⃗+ ⃗+ ⃗ = ⃗ + 2⃗ − ⃗

⃗

Pour déterminer les composantes de la résultante, on applique la formule du transport des moments : ⃗

1 1 1 = ⃗ + 0⃗∧ ⃗ ⟹ 2 = 2 + 0 ∧ 0 −1 −1

⃗

0 1 1 = ⃗ + 0⃗∧ ⃗⟹ 2 = 2 + 1 ∧ 0 −1 0

⇒

⇒

=0

=0

=1

D’où : [ ] =

⃗=⃗ ⃗ = ⃗ + 2⃗ − ⃗

3- Le moment résultant en un point N quelconque Soient ( , , ) les coordonnées du point N. En appliquant la formule du transfert des moments pour déterminer le moment en ce point .

⃗

= ⃗ +

0⃗ ∧ ⃗ ⇒

− 1 = 2 + − − −1

1 ∧ 0 ⇒ 0

=1 =2− = −1

D’où : 1 ⃗ = 2− −1

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Le torseur [ ] d’action mécanique en O du sol sur cette structure

0 ⃗ = 14875 6000 [ ] = −[ ] = 45000 ⎨ ⎪ ⃗ = −30000 ⎩ 38375 ⎧ ⎪

EXERCICE 08 :

Cherchons d’abord une solution particulière avec ⃗ , tel que: ⃗ ⊥ ⃗ Alors on a : ⃗ ∧ ⃗

⇒ ⃗ . ⃗ = 0.

= ⃗.

En multipliant vectoriellement par ⃗ l’équation ⃗ ∧ ⃗ = ⃗ , on obtient : ⃗∧ ⃗∧ ⃗

= ⃗∧

⃗ ou bien ⃗ . ⃗ . ⃗

− ⃗ . ⃗. ⃗ = ⃗ ∧

⇒ ⃗ =

On a ainsi :

⃗∧ ⃗ = ⃗

(1)

⃗∧ ⃗ = ⃗

(2)

⃗

⃗∧ ⃗

D’où (2) − (1) nous donne la solution générale ⃗ : ⃗ ∧ ⃗ − ⃗ ∧ ⃗ = 0⃗ ⇒

⃗ // ⃗ − ⃗

⇒

⇔ ⃗− ⃗

⃗∧ ⃗− ⃗

= 0⃗

⃗

=

Finalement : ⃗= ⃗ +

⃗ ⇒ ⃗=

⃗∧ ⃗

+

⃗

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