Tarea 3 Electromagnetismo 1 [PDF]

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Universidad Nacional Aut´onoma de M´exico Facultad de Ciencias Tarea 3 Electromagnetismo 1 Gerardo Gonz´alez Garc´ıa [email protected] Fecha de entrega: 6 de septiembre de 2019

Resumen del cap´ıtulo 23: Ley de Gauss ~ a un vector normal a la Dada una superficie con forma de cuadrado de a´rea A, se denota A ~ superficie cuya magnitud es justamente A, es decir A = Aˆ n, con n ˆ un vector unitario normal. ~ se le llama flujo Siguiendo el an´alogo de la mec´anica de fluidos, dado un campo el´ectrico E, el´ectrico a la cantidad: ~ ·A ~ Φ := E (1) que se puede pensar como la cantidad de campo el´ectrico que atraviesa la superficie cuadrada. Debido al producto punto de la definici´on, se deduce que el flujo depende directamente de la inclinaci´on de la superficie con respecto al plano, por ejemplo, si la superficie es paralela al ~ yA ~ ser´an ortogonales. Si una figura est´a formada por uniones campo, el flujo ser´a cero, pues E razonables de superficies cuadradas, el flujo sobre esa superficie se define como: X ~ ·A ~k Φ := E (2) k

Para una superficie m´as general se puede extender la definici´on de flujo el´ectrico parti´endola en cuadrados de tama˜ no diferencial y sumando todas las contribuciones, esta suma se convierte en una integral: Z ~ ~ · dA Φ := E (3) S

El flujo el´ectrico tambi´en se puede pensar como una cantidad proporcional al n´ umero de lineas de campo que atraviesan la superficie. De las ecuaciones anteriores se aprecia que: [Φ] =

N m2 C

(4)

El matem´atico alem´an C. F Gauss estableci´o una relaci´on entre el flujo de campo el´ectrico en una superficie cerrada y la carga que esta contiene en su interior, se le conoce en su honor, como la ley de Gauss: 0 Φ = qencerrada (5) si sustituimos la definici´on general de flujo, la ley de Gauss queda como: I ~ = qencerrada ~ · dA 0 E

(6)

S

La carga encerrada es la suma algebraica de las cargas que encierra la superficie S, considerando su signo. A estas superficies se les llama superficies gaussianas. Por convenci´on se toma la orientaci´on positiva de la superficie, es decir, la parametrizaci´on cuyo vector normal apunta hacia el exterior de la superficie cerrada. Con esta convenci´on se tiene que, si el flujo resulta negativo, significa que la carga neta encerrada por la superficie es negativa, o de manera equivalente, al encerrar cargas negativas el campo entra a la superficie, por lo cual, el flujo es negativo. A pesar de ser una ley general, la ley de Gauss es dificil de aplicar, pero el trabajo se facilita enormemente en distribuciones con una alta simetr´ıa. En estos casos, si se quiere calcular el campo en alg´ un punto del espacio debido a una distribuci´on de carga, se deben considerar superficies cerradas que contengan al punto y cuyas partes coinicidan con superficies equipotenciales de la distribuci´on. A continuaci´on se enlistan las aplicaciones m´as comunes de la ley de Gauss: 1

1. Aplicando la ley de Gauss a una carga puntual con una superficie gaussiana (una esfera con centro en la carga) se puede demostrar la ley de Coulomb. 2. En un conductor aislado, cualquier exceso de carga se encuentra en la superficie del material. Esto se puede mostrar tomando superficies gaussianas en el interior del conductor. 3. En la superficie de un conductor cuya distribuci´on superficial de carga es σ, el campo est´a dado por: σ E= (7) 0 Esto se puede mostrar tomando un cilindro peque˜ no que atraviesa la superficie del conductor, quedando con una tapa en el interior del conductor y la otra en el exterior. 4. En una linea infinita de carga con una densidad lineal uniforme λ, el campo est´a dado por: E=

λ 2π0 r

(8)

donde r es la distancia perpendicular a la linea de carga. Esto se muestra tomando un cilindro finito cuyo eje coincida con la linea cargada. La u ´nica contribuci´on importante ser´a la de la superficie lateral del cilindro. 5. En una hoja no conductora cargada con una distribuci´on superficial uniforme el campo el´ectrico est´a dado por: σ E= (9) 20 Para mostrarlo se debe tomar un cilindro que atraviese la superficie de manera perpendicular y aplicar la ley de Gauss, las u ´nicas contribuciones importantes ser´an las de las tapas. 6. Con la ley de Gauss se pueden demostrar los teoremas de capas mencionados en el cap´ıtulo 21. Para mostrarlo se deben tomar esferas conc´entricas a los cascarones. La ley de Gauss tambiense puede utilizar para calcular la carga en alguna regi´on delimitada por una superficie cerrada si se cuenta con el campo el´ectrico en todo el espacio.

Problemas Todos los c´alculos de los siguientes ejercicios fueron hechos en Wolfram Mathematica. Problema. 3 .El cubo de la figura 1 tiene longitud de arista 1.40 m y est´a orientado como se indica en una regi´on de campo el´ectrico uniforme. Encuentre el flujo el´ectrico que pasa por la cara derecha si el campo el´ectrico, en newton por coulomb, lo da a) 6.00ˆi, b)−2.00ˆ y c)−3.00ˆı + 4.00ˆ kN/C. d)¿Cu´al es el flujo total que pasa por el cubo por cada campo? Soluci´ on. a) La cara derecha tiene como vector normal a ˆ, por lo cual, usando la f´ormula del flujo sobre una superficie: Z Z Z Z ~ ~ ~ E · dA = E·n ˆ dA = 6ˆıN/C · ˆdA = 0N/CdA = 0N m2 /C (10) S

S

S

S

2

Figura 1

b) Hacemos el mismo c´alculo cambiando el campo: Z Z Z ~ = (−2ˆN/C) · ˆdA = (−2N/C) dA = (−2N/C)(1.40m)2 = −3.92N m2 /C (11) ~ · dA E S

S

S

c)Nuevamente repetimos el c´alulo: Z Z Z ~ = (−3ˆı + 4ˆ ~ · dA E k)N/C · ˆdA = 0N/CdA = 0N m2 /C S

S

(12)

S

e)Como los tres campos son constantes y las mismas lineas de campo que entran al cubo, salen, entonces el flujo neto de todos los campos anteriores es cero, no es necesario calcular todas las integrales. En este reactivo, todas las respuestas coincidieron con las del texto. N Problema. 9 .Se encuentra en forma experimental que el campo el´ectrico en cierta regi´on de la atm´osfera terrestre est´a dirigido verticalmente hacia abajo. A una altitud de 300 m el campo tiene magnitud de 60.0N/C; a una altitud de 200.0 m, la magnitud es de 100N/C. Encuentre la cantidad neta de carga contenida en un cubo de 100 m por lado, con caras horizontales a la altitudes de 200 y 300 m.

Figura 2

Soluci´ on. Se usar´a la ley de Gauss, pues es posible calcular el flujo en el cubo y ser´a proporcional a la carga contenida por una constante −1 0 . Ya que el campo no atraviesa las caras laterales del cubo, solo se calcula el flujo en las caras superior e inferior, con campos E + y E − , como se muestra en la imagen. I I Z Z ~ ~ ~ ~ ~ ·n Φ= E · dA = E·n ˆ dA = E·n ˆ dA + E ˆ dA S

S+

S

3

S−

Z

Z Z Z + − ~ ~ ˆ ˆ = E ·n ˆ dA + E ·n ˆ dA = (−60kN/C) · kdA + (−100ˆ kN/C) · (−ˆ k)dA + − + − S S S S Z Z = −60N/C dA + 100N/C dA = (−60N/C)(100m)2 + (100N/C)(100m)2 S−

S+

= (40N/C)(100m)2 = 4 × 105 N m2 /C =

qencerrada 0

(13)

Despejando la carga encerrada encontramos que: qencerrada = (4 × 105 N m2 /C)0 = (4 × 105 N m2 /C)(8.85 × 10−12 C 2 /N m2 ) = 3.54 × 10−6 C (14) El resultado coincide con el texto, solo que est´a expresado en µCN Problema. 15 .La figura 3 muestra una superficie de Gauss cerrada en forma de cubo de longitud de arista de 2.00 m con una esquina en x1 = 5.00 m, y1 = 4.00 m. El cubo est´ a en 2 ~ ˆ una regi´on donde el vector de campo el´ectrico lo da E = −3.00ˆı − 4.00y ˆ + 3.00kN/C, con y en metros. ¿Cu´al es la carga neta contenida por el cubo?

Figura 3

Soluci´ on. Se usar´a la ley de Gauss de la misma forma que en el problema anterior, calculando las integrales en todas las caras: I I ~ ~ ~ ·n E · dA = E ˆ dA S

Z

Z

~ · ˆdA + E

~ · (−ˆ)dA + E

Z

S2

S1

Z

2

=

S

~ ·ˆ E kdA +

Z

Z

2

2

(−4y )N/m Cdxdz + S2

(−3)N/Cdydz + S5

S6

Z dxdz − 64N/C

= 16N/C S1

(−3)N/Cdxdy+ S4

Z

(−4)(4) N/Cdxdz + S1

Z

3N/Cdydx + 2

3N/Cdydz =

~ · (−ˆı)dA E

Z

S3

Z

Z S6

Z

2

Z

~ · ˆıdA + E

S5

4y N/m Cdxdz +

S1

Z

~ · (−ˆ E k)dA +

S4

S3

Z

4(2)2 N/Cdxdz

S2

dxdz = 16(4)N m2 /C − (64)(4)N m2 /C = −192N m2 /C (15)

S2

por u ´ltimo, de la ley de Gauss se tiene que: qencerrada = Φ0 = (−192N m2 /C)(8.85 × 10−12 C 2 /N m2 ) = −1.6992 × 10−9 C En el tecto, el autor ha redondeado a −1.7nC N 4

(16)

Problema. 19 .Una esfera conductora uniformemnte cargada de 1.2 m de di´ametro tiene una densidad de carga superficial de 8.1µC/m2 . a)Encuentre la carga neta sobre la esfera. b)¿Cu´ al es el flujo el´ectrico toral que sale de la superficie de la esfera? Soluci´ on. a) Con la densidad de carga y las dimensiones de la esfera, se puede calcular la carga total de ella mediante la siguiente f´ormula: q = σA = σ(4πR2 ) = 4π(0.6m)2 (8.1µC/m2 ) = 36.6435 × 10−6 C

(17)

b)Finalmente, de la ley de Gauss se calcula el flujo: Φ=

36.6435 × 10−6 C qencerrada = = 4.14051 × 106 N m2 /C 0 8.85 × 10−12 C 2 /N m2

(18)

En el texto, el autor ha redondeado ambos resultados, pues presenta las respuestas 37µC y 4.1 × 106 N m2 /C respectivamente. N Problema. 27 .La figura 4 es una secci´on de una varilla conductora de radio R1 = 1.30mm y longitud L = 11.00m dentro de una capa cil´ındrica conductora coaxial, paredes delgadas de radio R2 = 10.0R1 y (la misma) longitud L. La carga nerta sobre la varilla es Q1 = +3.40 × 10−12 C, la carga neta sobre la capa es Q2 = −2.00Q1 . ¿Cu´ales son a)la magnitud E y b) la direcci´ on (radialmente hacia adentro o hacia afuera) del campo el´ectrico a una distancia radial r = 2.00R2 ? ¿Cu´ales son c)E y d)la dircci´on en r = 5.00R1 ? ¿Cu´al es la carga en la superficie e)interior y f )exterior de la capa?

Figura 4

Soluci´ on. a) y b) Se usar´a la ley de Gauss en su forma integral tomando un cilindro que recubra al cable completo, cuyo eje coincide con la varilla interior y de la misma longitud, suponiendo que la normal est´a orientada hacia afurea del alambre. Por simetr´ıa, el campo ser´a constante en este cilindro gaussiano y ser´a paralelo al vector normal, por lo cual, no habr´a flujo en sus tapas. Si el signo del campo resulta positivo, el campo ir´a hacia afuera, lo contrario se cumplir´ a si resulta negativo. I I Z qencerrada ~ ~ ~ = E · dA = E·n ˆ dA = EdA 0 S S Slateral Z =E dA = E(2πRL) (19) Slateral

5

de aqu´ı se obtiene que: E=

3.4 × 10−12 C − 6.8 × 10−12 C qencerrada = 2π0 RL 2π(8.85 × 10−12 C 2 /N m2 )(26 × 10−3 m)(11m) = −0.213791N/C

(20)

entonces el campo va hacia adentro en esta ocasi´on. El autor ha redondeado E = 0.214N/C, pero el sentido del campo concuerda con las repuestas. c) y d) En estos incisos se hace el mismo c´alculo que arriba, solo que en esta ocasi´on, el cilindro gaussiano solo encierra a la varilla y no a la capa. E=

qencerrada 3.4 × 10−12 C = 2π0 RL 2π(8.85 × 10−12 C 2 /N m2 )(6.5 × 10−3 m)(11m) = 0.855165N/C

(21)

en este caso, el campo apunta hacia afuera, lo cual coincide con las repuestas del texto, aunque el autor ha redondeado E = 0.855N/C. e) y f ) Ya que se trata de un conductor, la carga se distribuye en la superficie exterior y en la interior de manera uniforme, entonces cada una tendr´a la mitad de la carga total de la capa, es decir −3.4 × 10−12 C N Problema. 35 .Una placa met´alica cuadrada 8.0 cm de longitud de arista y grosor insignificante tiene una carga total de 6.0 × 10−6 C. a) Estime la magnitud E del campo el´ectrico justo fuera del centro de la placa (por ejemplo, a unda distancia de 0.50mm del centro) suponiendo que la carga est´a distribuida uniformememnte sobre las dos caras de la placa. b)Estime E a una distancia de 30.0 m (grande con respecto al tama˜ no de la placa) suponiendo que la palca es una carga puntual. Soluci´ on. a) Se cubre la placa con una superficie gaussiana en forma de caja, de modo que la placa la corta a la mitad, como se muestra en la imagen.

Figura 5

Ya que el flujo no atraviesa las caras laterales, solo habr´a que calcular el flujo en las caras S y S − , El campo en estas caras es constante, adem´as de que es el mismo flujo en ambas caras, por lo cual: I I Z Z qencerrada ~ = ~ · dA ~ ·n ~ ·n ~ ·n = E E ˆ dA = E ˆ dA + E ˆ dA (22) 0 S S S+ S− Z Z ~ =2 E·n ˆ dA = 2 EdA = 2EA +

S+

S+

6

entonces, al despejar: E=

qencerrada 6 × 10−6 C = = 5.29661 × 107 N/C 2A0 2(8 × 10−2 m)(8.85 × 10−12 C 2 /N m2 )

(23)

Naturalmente el autor hadedondeado la respuesta del texto a 5.3 × 107 N/C. b) Para calcular el campo suponiendo la placa como una part´ıcula puntual, habr´a que aplicar la ley de Coulomb: E=

−6 1 qencerrada 9 2 2 6 × 10 C = (9 × 10 N m /C ) = 60N/C 4π0 R2 (30m)2

(24)

Esta repuesta coincide perfectamente con la propuesta por el autor. N Problema. 65 .Una capa esf´erica met´alica de paredes delgadas tiene un radio de 25.0 cm y carga de 2.00 × 10−7 C. Encuentre E para un punto a) dentro de la capa, b) justo fuera de ella, y c) 3.00 m desde el centro. Soluci´ on. a) Al dibujar una esfera gaussiana dentro de la esfera, se observa que no contendr´ a carga alguna, por lo cual el flujo es cero seg´ un la ley de Gauss, adem´as, como el radio de la esfera no est´a fijo, el campo es cero. b) Utilizando la ley de Gauss: I I I qencerrada ~ ~ ~ EdA = EA = E(4πR2 ) (25) E·n ˆ dA = E · dA = = 0 S S S al despejar: E=

qencerrada 2 × 10−7 C = = 28773.8N/C 4π0 R2 4π(8.85 × 10−12 C 2 /N m2 )(0.25m)2

cuya respuesta no coincide con la del autor, pues redonde´o a E = 2.88 × 104 N/C c) En este inciso habr´a que repetir el procedimiento del inciso anterior, pero cambiando el radio de la esfera gaussiana: E=

qencerrada 2 × 10−7 C = = 199.818N/C 4π0 R2 4π(8.85 × 10−12 C 2 /N m2 )(3m)2

En este inciso, el autor redonde´o directamente a E = 200N/C N Pr´acticamente se obtuvieron las mismas repuestas que en el texto, salvo por redondeos del autor o que se use la constante Coulombiana como K = 9 × 109 N m2 /C 2

Bibliograf´ıa [1] Fundamentos de Fisica. H. Resnck. Editorial Patria 2009 [2] Electricidad y magnet´ısmo. E. Purcell. Editorial Revert´e 1994 [3] Introduction to electrodynamics. D. Griffiths Editorial Pearson 2013

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