Subiecte Titularizare Matematica [PDF]

Zitiervorschau

INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDEȚEAN – OLT

CASA CORPULUI DIDACTIC - OLT

Nr. .........../.................................

Nr. .........../..............................

Inspector școlar de matematică

Avizat,

Avizat,

LICEUL CU PROGRAM SPORTIV METODICĂ

RESPONSABIL COMISIE

Nr. .........../...........................

Profesor: SIMONA GUȘATU

Director: profesor, VIRGINIA GHIRĂ

Avizat,

SUBIECTE REZOLVATE DIN PROGRAMA DE TITULARIZARE LA MATEMATICĂ AUTOR, PROFESOR: OANCEA CĂTĂLINA ILEANA LICEUL CU PROGRAM SPORTIV

-AUXILIAR CURRICULAR-

-2016-

CONCURSUL PENTRU OCUPAREA POSTURILOR DIDACTICE/ CATEDRELOR DECLARATE VACANTE/ REZERVATE ÎN ÎNVĂŢĂMÂNTUL PREUNIVERSITAR

PROGRAMA PENTRU

DISCIPLINA MATEMATICĂ

2

A. NOTĂ DE PREZENTARE

Programa pentru disciplina Matematică se adresează absolvenţilor învăţământului superior de specialitate şi profesorilor care se prezintă la Concursul pentru ocuparea posturilor didactice/ catedrelor declarate vacante/ rezervate în unităţile de învăţământ preuniversitar. Programa pentru concurs este elaborată luând în considerare şi programele şcolare în vigoare din învăţământul preuniversitar, respectiv programele pentru evaluările şi examenele naţionale la disciplina Matematică. Programa este în concordanţă cu profilul absolventului de învăţământ superior care urmează să fie încadrat în învăţământul preuniversitar, competenţele şi conţinuturile din programă fiind stabilite în conformitate cu abordarea curriculară sistemică a activităţilor didactice. Din această perspectivă, aspectele fundamentale vizate prin această programă sunt:  cunoaşterea conţinuturilor ştiinţifice fundamentale şi a conexiunilor pe care Matematica le are cu alte discipline studiate în învăţământul preuniversitar;  aplicarea conceptelor de bază şi a principiilor didacticii generale şi ale metodicii predării matematicii în gimnaziu şi în liceu în contexte educaţionale specifice.

B. COMPETENŢE ALE PROFESORULUI DE MATEMATICĂ

Pe lângă conţinuturile ştiinţifice de specialitate şi cele de metodica predării matematicii, programa vizează competenţe pe care profesorul de matematică trebuie să şi le formeze, să le dezvolte şi să le probeze pe parcursul desfăşurării activităţii didactice. Aceste competenţe sunt:  cunoaşterea conţinuturilor ştiinţifice de specialitate, probată prin: 3

 identificarea unor date, relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost definite;  prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunţuri matematice;  utilizarea algoritmilor şi a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situaţii concrete;  exprimarea

caracteristicilor

matematice,

cantitative

sau

calitative, ale unei situaţii concrete şi a algoritmilor de prelucrare a acestora;  analizarea şi interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii-problemă;  modelarea matematică a unor situaţii variate, prin integrarea cunoştinţelor din diferite domenii;  aplicarea principiilor didacticii matematicii şi a cunoştinţelor de metodica predării matematicii, probate prin:  capacitatea de proiectare a unui demers didactic pentru ciclul gimnazial sau liceal;  adecvarea strategiilor didactice la conţinuturi şi la competenţele vizate, prin construirea unor demersuri didactice interactive, stimulative, participative;  asigurarea concordanţei între strategii de evaluare, competenţe, conţinuturi şi instrumente de evaluare. C. TEMATICA ŞTIINŢIFICĂ PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ Algebră (cu elemente de logică matematică, teoria mulţimilor, aritmetică, teoria probabilităţilor şi statistică) Propoziţii.

Operatori

logici.

Predicate.

cuantificator existenţial.

4

Cuantificator

universal

şi

Mulţimi. Mulţimi de numere (N, Z, Q, R, C). Operaţii cu mulţimi. Principiul includerii şi excluderii. Relaţii binare. Relaţii de ordine. Relaţii de echivalenţă, clase de echivalenţă. Numere cardinale, operaţii. Mulţimi finite şi mulţimi infinite. Mulţimi numărabile şi mulţimi nenumărabile. Metoda inducţiei matematice. Funcţii. Funcţii injective, surjective, bijective. Compunerea funcţiilor. Funcţii inversabile, inversa unei funcţii. Funcţii reale de variabilă reală monotone, periodice, pare, impare. Operaţii cu funcţii reale. Şiruri. Şiruri recurente. Progresii aritmetice şi progresii geometrice. Numere naturale şi numere întregi. Teorema împărţirii cu rest. Divizibilitate. Criterii de divizibilitate. Numere prime. Teorema fundamentală a aritmeticii. C.m.m.d.c., c.m.m.m.c a două sau mai multor numere întregi. Algoritmul lui Euclid pentru determinarea c.m.m.d.c. a două numere întregi. Ecuaţii diofantice: ax + by = c; x2 + y2 = z2. Probleme de numărare. Permutări, aranjamente, combinări. Binomul lui Newton. Evenimente aleatoare, operaţii cu evenimente. Probabilitatea unui eveniment în cazul evenimentelor elementare egal probabile (cazul finit). Probabilităţi condiţionate. Evenimente independente. Scheme clasice de probabilitate (Poisson şi Bernoulli). Variabile aleatoare. Radicalul de ordinul n dintr-un număr real. Puteri cu exponent raţional şi puteri cu exponent real. Funcţia exponenţială şi funcţia logaritmică. Numere complexe. Forma algebrică, modulul şi conjugatul unui număr complex. Forma trigonometrică a unui număr complex. Operaţii cu numere complexe. Formula lui Moivre. Rădăcinile de ordinul n ale unui număr complex. Ecuaţii binome. Interpretări geometrice ale operaţiilor cu numere complexe. Aplicaţii în geometrie ale numerelor complexe. Lege de compoziţie. Asociativitate, comutativitate, element neutru, elemente simetrizabile. Monoid, grup, subgrup. Morfism de grupuri, izomorfism de grupuri. Teorema lui Lagrange. Grup ciclic. Ordinul unui element într-un grup. Teorema

5

lui Cauchy. Grup de permutări. Descompunerea unei permutări în produs de cicli disjuncţi. Transpoziţie. Signatura unei permutări. Inel unitar, subinel, divizori ai lui zero. Morfism de inele, izomorfism de inele. Grupul unităţilor unui inel. Inel integru. Caracteristica unui inel. Inelul claselor de resturi modulo n. Indicatorul lui Euler. Mica teoremă a lui Fermat, teorema lui Euler, teorema lui Wilson. Lema chineză a resturilor. Corp, subcorp. Morfism de corpuri, izomorfism de corpuri. Inelul polinoamelor de o nedeterminată, cu coeficienţi într-un inel comutativ. Gradul unui polinom. Funcţie polinomială. Polinoame simetrice, teorema fundamentală a polinoamelor simetrice. Teorema împărţirii cu rest pentru polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ. Divizibilitate, asociere în divizibilitate, c.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. a două sau mai multor polinoame, algoritmul lui Euclid pentru aflarea c.m.m.d.c. a două polinoame. Rădăcinile unui polinom cu coeficienţi într-un corp comutativ. Teorema lui Bézout. Teorema fundamentală a algebrei. Rădăcini multiple. Derivata formală a unui polinom. Formula lui Taylor pentru polinoame cu coeficienţi într-un corp de caracteristică zero. Teorema de caracterizare a rădăcinilor multiple pentru un polinom cu coeficienţi într-un corp de caracteristică zero. Relaţiile lui Viète. Sumele lui Newton. Polinoame cu coeficienţi întregi, raţionali, reali, complecşi. Polinoame ireductibile. Spaţiu vectorial, subspaţiu. Dependenţă liniară, independenţă liniară, sistem de generatori. Bază a unui spaţiu vectorial. Aplicaţie liniară. Matrice cu elemente într-un inel comutativ. Operaţii cu matrice. Transpusa unei matrice. Determinantul de ordin n. Proprietăţi ale determinanţilor. Determinantul produsului a două matrice. Matrice inversabilă, inversa unei matrice. Rangul unei matrice cu elemente într-un corp comutativ. Matricea asociată unei aplicaţii liniare. Sisteme de ecuaţii liniare. Teorema lui Cramer. Teorema Kronecker-Capelli. Sisteme omogene. Metoda lui Gauss de rezolvare a sistemelor de ecuaţii liniare. Date statistice. Reprezentarea grafică a datelor statistice. Eşantionare. Frecvenţă. Medii. Dispersie. 6

Graf, graf arbore. Distanţă, drumuri, lungimea unui drum. Geometrie şi trigonometrie Poziţii relative ale punctelor, dreptelor şi planelor. Segment, triunghi, semidreaptă, semiplan, unghi, poligon, poligon convex. Distanţa dintre două puncte. Lungimea unui segment, măsura unui unghi. Congruenţa segmentelor, a unghiurilor şi a triunghiurilor. Inegalităţi relative la laturile şi unghiurile unui triunghi. Drepte paralele în plan, axioma de paralelism, perechi de unghiuri congruente formate de o secantă cu două drepte paralele. Suma măsurilor unghiurilor într-un triunghi. Patrulatere: paralelogram, dreptunghi, romb, pătrat, trapez. Linii importante într-un triunghi (mediane, înălţimi, mediatoare, bisectoare) şi concurenţa lor. Teorema lui Thales. Asemănarea triunghiurilor. Relaţii metrice într-un triunghi. Calcularea lungimii medianelor, a bisectoarelor şi a înălţimilor unui triunghi. Teorema lui Menelaus şi teorema lui Ceva. Cercul. Cercul înscris şi cercul circumscris unui triunghi. Coarde, arce şi unghiuri în cerc. Puterea unui punct faţă de un cerc, axă radicală a două cercuri. Poligoane înscrise sau circumscrise unui cerc, poligoane regulate. Lungimea cercului şi lungimea arcului de cerc. Aria suprafeţelor poligonale plane. Aria discului şi aria sectorului circular. Drepte paralele în spaţiu, dreaptă paralelă cu un plan, plane paralele. Unghiul a două drepte, drepte perpendiculare. Dreaptă perpendiculară pe un plan, teorema celor trei perpendiculare, plane perpendiculare. Proiecţii. Unghiul unei drepte cu un plan, unghiul a două plane. Distanţa de la un punct la un plan. Perpendiculara comună a două drepte necoplanare, distanţa dintre două drepte. Corpuri poliedrale: prisma, piramida, trunchiul de piramidă. Corpuri de rotaţie: sfera, cilindrul circular drept, conul circular drept, trunchiul de con circular drept. Secţiuni cu un plan. Arii şi volume.

7

Vectori în plan şi în spaţiu. Operaţii cu vectori: adunarea, înmulţirea cu numere reale, produsul scalar şi produsul vectorial. Vectori de poziţie. Repere carteziene pe dreaptă, în plan şi în spaţiu. Ecuaţii ale dreptelor în plan şi în spaţiu. Ecuaţii ale planului. Condiţii de coliniaritate, paralelism şi perpendicularitate în plan şi în spaţiu, condiţii de coplanaritate. Determinarea unghiurilor dintre drepte, plane, drepte şi plane. Distanţa de la un punct la o dreaptă în plan şi în spaţiu. Distanţa de la un punct la un plan. Aria unui triunghi. Volumul unui tetraedru. Ecuaţiile cercului. Ecuaţia carteziană redusă a elipsei, a hiperbolei, a parabolei. Tangente la cerc, elipsă, hiperbolă, parabolă. Funcţii trigonometrice, formule fundamentale, funcţii trigonometrice inverse. Ecuaţii trigonometrice şi sisteme de ecuaţii trigonometrice. Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie. Locuri geometrice. Analiză matematică Mulţimea numerelor reale: structura de ordine, axioma lui Cantor. Mulţimi mărginite şi mulţimi nemărginite. Vecinătăţi. Puncte interioare, aderente, de acumulare. Mulţimi deschise, închise, compacte. Dreapta reală încheiată. Şiruri de numere reale. Subşir. Limita unui şir. Convergenţa şirurilor monotone şi mărginite. Convergenţa şirurilor Cauchy. Operaţii cu şiruri care au limită, cazuri de nedeterminare. Criterii de existenţă a limitei: criteriul cleştelui, criteriul majorării, criteriul raportului. Lema Stolz-Cesarò, criteriul rădăcinii. Trecerea la limită în inegalităţi. Şiruri remarcabile: şiruri cu limita e, şirul sumelor parţiale ale seriei armonice generalizate. Funcţii reale de o variabilă reală. Funcţii mărginite. Funcţii convexe, funcţii concave. Limite de funcţii, definiţii echivalente. Operaţii cu limite de funcţii, cazuri de nedeterminare.

8

Continuitate. Puncte de discontinuitate. Operaţii cu funcţii continue. Funcţii continue pe intervale. Teorema lui Weierstrass. Proprietatea lui Darboux. Discontinuităţi ale funcţiilor monotone şi discontinuităţi ale funcţiilor cu proprietatea lui Darboux. Continuitate uniformă. Derivabilitate. Operaţii cu funcţii derivabile. Proprietăţi ale funcţiilor derivabile, derivata funcţiei inverse. Derivate de ordin superior. Puncte de extrem local. Tangenta la graficul unei funcţii într-un punct, puncte de inflexiune, puncte de întoarcere, puncte unghiulare. Teorema lui Fermat. Teorema lui Rolle. Teorema lui Lagrange. Teorema lui Cauchy. Teorema lui Darboux. Studiul monotoniei şi al convexităţii cu ajutorul derivatelor. Teoremele lui l'Hospital. Formula lui Taylor cu restul lui Lagrange. Dezvoltarea în serie Taylor pentru funcţiile sin x, cos x, ln(1 + x), (1 + x)a, ex. Integrabilitate Riemann, criteriul lui Darboux. Integrarea funcţiilor monotone şi a funcţiilor continue. Teorema de medie. Primitive, teorema de existenţă a primitivelor funcţiilor continue. Formula Leibniz-Newton. Metode de calcul al integralelor. Aplicaţii ale calculului integral în geometrie. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale cu variabile separabile, a ecuaţiilor diferenţiale liniare de ordinul I şi a ecuaţiilor diferenţiale de ordinul al II-lea cu coeficienţi constanţi.

D. BIBLIOGRAFIE OBLIGATORIE PENTRU TEMATICA ŞTIINŢIFICĂ DISCIPLINA MATEMATICĂ

*** Manuale şcolare alternative aprobate pentru disciplina Matematică, conform

Catalogului

manualelor

şcolare

valabile

în

învăţământul

preuniversitar, www.edu.ro 1. Becheanu M., Dincă A., Ion I., Niţă C., Purdea I., Radu N., Ştefănescu C.: Algebră pentru perfecţionarea profesorilor, EDP, Bucureşti, 1983 9

2. Brânzei D., Onofraş E., Aniţa S.: Bazele raţionamentului geometric, Editura Academiei, Bucureşti, 1983 3. Brânzei D., Zanoschi A.: Geometrie, probleme cu vectori, Editura Paralela 45, Piteşti, 2003 4. Colojoară I.: Analiză matematică, EDP, Bucureşti, 1983 5. Miron R., Brânzei D.: Fundamentele aritmeticii şi geometriei, Editura Academiei, Bucureşti, 1983 6. Miron R., Papuc D. (coord.): Geometrie pentru perfecţionarea profesorilor, EDP, Bucureşti, 1983 7. Năstăsescu C., Niţă C., Vraciu C.: Bazele algebrei, vol. I, Editura Academiei, Bucureşti, 1986 8. Nicolescu M., Dinculeanu N., Marcus S.: Analiza matematică, EDP, Bucureşti, 1980 9. Nicolescu L., Boskoff V.: Probleme practice de geometrie, Editura Tehnică, Bucureşti, 1990 10.Nicula V.: Numere complexe, Editura Scorpion, Bucureşti, 1993 11.Panaitopol L., Gica Al.: Elemente de teoria numerelor, Editura Universităţii din Bucureşti, 2001 12.Panaitopol L., Şerbănescu D.: Probleme de teoria numerelor şi combinatorică, Editura Gil, Zalău, 2002 13.Popa E.: Analiză matematică. Culegere de probleme, Editura Gil, Zalău, 2005 14.Singer Mihaela, Voica C., Neagu Mihaela: Statistică şi probabilităţi – curs introductiv pentru elevi, studenţi şi profesori, Editura Sigma, Bucureşti, 2003 15.Tomescu I.: Probleme de combinatorică şi teoria grafurilor, EDP, Bucureşti, 1981 16.Ţiţeica G.: Culegere de probleme de geometrie, Editura Tehnică, Bucureşti, 1965.

10

E. TEMATICA PENTRU METODICA PREDĂRII MATEMATICII I. Proiectarea, organizarea şi desfăşurarea activităţii didactice 1.

Componentele curriculumului naţional: planuri-cadru, programe şcolare, manuale şcolare şi auxiliare curriculare; alţi termeni de referinţă ai curriculumului naţional: cadru de referinţă, competenţe generale, competenţe specifice etc.

2.

Proiectarea

activităţii

didactice:

planificarea

calendaristică,

proiectarea unei unităţi de învăţare. 3.

Proiectarea curriculumului la decizia şcolii (aprofundare/ extindere/ opţional ca disciplină nouă): structură, condiţionări, modalităţi de adecvare la grupuri ţintă diferite.

II. Strategii didactice utilizate în procesul de predare-învăţare-evaluare la Matematică 1.Metode didactice specifice matematicii, metode de învăţare centrate pe elev. 2.Forme de organizare a activităţii didactice (frontal, individual, grup): clasificare, caracterizare. 3.Mijloace de învăţământ (tipuri, caracterizare, funcţii didactice); integrarea lor în procesul de predare-învăţare-evaluare. III. Evaluarea procesului instructiv-educativ, a progresului şi a rezultatelor şcolare; valorizarea activităţii elevului 1.

Evaluarea: obiective, funcţii, tipuri de evaluări; calităţi ale instrumentelor

de

evaluare:

validitate,

fidelitate,

obiectivitate

şi

aplicabilitate. 2.

Metode de evaluare: tradiţionale, alternative; erori de evaluare şi modalităţi de minimizare a lor.

3.

Tipologia itemilor: definiţie, clasificări, caracteristici, reguli de proiectare.

11

F. BIBLIOGRAFIE OBLIGATORIE PENTRU METODICA PREDĂRII MATEMATICII *** Ghid de evaluare pentru matematică, SNEE, Editura ProGnosis, Bucureşti, 2000 *** Ghid metodologic pentru aplicarea programelor de matematică primar – gimnaziu, Editura SC Aramis Print, Bucureşti, 2001 *** Ghid metodologic aria curriculară Matematică şi Ştiinţe ale naturii – liceu, Editura SC Aramis Print, Bucureşti, 2002 *** Curriculum naţional. Programe şcolare în vigoare pentru matematică, www.edu.ro *** Planurile-cadru în vigoare pentru matematică, www.edu.ro 1.

Brânzei D., Brânzei Rodica: Metodica predării matematicii, Editura Paralela 45, Piteşti, 2000

2.

Catană Aurelia, Săvuică M., Stănăşilă O.: Metodica predării analizei matematice, EDP, Bucureşti, 1983

3.

Cristea S.: Fundamentele pedagogiei, Editura Polirom, Iaşi, 2010

4.

Cucoş C.: Psihopedagogie pentru examenele de definitivare şi grade didactice, Editura Polirom, Iaşi, 2009

5.

Dragomir Mariana: Managementul activităţii didactice, Editura Eurodidact, Cluj-Napoca, 2003

6.

Pânişoară O.: Comunicarea eficientă. Metode de interacţiune eficientă, Editura Polirom, Iaşi, 2003

7.

Polya G.: Descoperirea în matematică, EDP, Bucureşti, 1971

8.

Savu I. ş. a.: Ghidul profesorului de matematică – Concursul pentru ocuparea posturilor didactice - 2004, Editura Sigma, Bucureşti, 2004 12

9.

Singer Mihaela, Voica C.: Învăţarea matematicii. Elemente de didactică aplicată pentru clasa a VIII-a, Editura Sigma, Bucureşti, 2002

1. Mulțimea numerelor complexe I. 1. Construcţia mulţimii numerelor complexe. Operaţii cu numere complexe. Definiţia I. 1. 1. O pereche ordonată de numere reale (a, b) = z se numeşte număr complex iar mulţimea C = {(a, b) / a, b

∈

R} se numeşte mulţimea numerelor complexe. Observaţia I. 1. 1. Două numere complexe (a, b) şi (c, d) sunt egale (a, b) =

(c, d), dacă şi numai dacă a = c şi b = d.

În mulţimea numerelor complexe se definesc două legi de compoziţie. Definiţia I. 1. 2. Pentru numerele complexe z = (a, b) şi z’ = (c, d) se definesc z + z’ = (a, b) + (c, d) = (a+c, c+d) (adunarea) şi z ∙ z’ = (a, b)∙ (c, d) = (ac – bd, ad + bc) (înmulţirea). Rezultă imediat că operaţiile sunt legi de compoziţie, adică pentru orice z, z’

∈

C rezultă că z + z’

C şi z ∙ z’

∈

∈

C.

Teorema I. 1. 1. Mulţimea numerelor complexe, înzestrată cu cele două legi de compoziţie are următoarele proprietăţi: A. 1. Oricare ar fi z, z’, z’’

∈

C rezultă că (z + z’) + z’’ = z + (z’ + z’’)

(asociativitatea); A. 2. Există (0, 0) = 0 ∈

∈

C astfel încât z + 0 = 0 + z = z pentru orice z

C (elementul 0 = (0, 0) se numeşte element neutru);

A. 3. Oricare ar fi z

∈

C, există (-z)

∈

C astfel încât z + (-z) = (-z) +

z = 0 (elementul (-z) se numeşte opusul lui z şi dacă z = (a, b) atunci (-z) = (-a, -b)); 13

A. 4. Oricare ar fi z, z’

C rezultă că z + z’ = z’ + z (comutativitatea);

∈

I. 1. Oricare ar fi z, z’, z’’

∈

C rezultă că (z ∙ z’) ∙ z’’ = z ∙ (z’ ∙ z’’)

(asociativitatea); I. 2. Există un element (1, 0) = 1 (element neutru) astfel încât pentru orice

z

∈

C rezultă z ∙ 1 = 1 ∙ z = z;

I. 3. Pentru orice z ∙

∈

C, z

¿

0, există z-1

∈

C astfel încât z ∙ z-1 = z-1

-1

z = 1 şi în acest caz z se numeşte inversul lui z şi se notează cu

1 z .

Prin calcul se poate deduce că dacă z = (a, b) atunci a −b , 2 2 2 z = ( a +b a + b ). 2

-1

I. 4. Oricare ar fi z, z’

∈

C rezultă că

z ∙ z’ = z’ ∙ z (comutativitatea); D. 1. Oricare ar fi z, z’,

∈

C rezultă că z ∙ (z’ + z’’) = z ∙ z’ + z ∙ z’’

(distributivitatea înmulţirii faţă de adunare). Verificarea propoziţiilor A. 1. – A. 4., I. 1. – I. 4. şi D. 1. se poate face prin calcul direct, ţinând cont de definiţiile celor două operaţii. Observaţia I. 1. 2. Mulţimea C împreună cu adunarea formează grup abelian iar împreună cu adunarea şi înmulţirea formează corp comutativ. Definiţia I. 1. 3. Pentru orice numere complexe z şi z’ numărul z – z’ = z + (-z’) se numeşte diferenţa numerelor complexe z şi z’. Pentru orice z,

z’

∈

≠

∙

C, z’ 0, numărul z : z’ = z (z’)-1 = z

numerelor complexe z şi z’. Pentru un număr n

14

∙

1 z , se numeşte câtul

∈

N* - {1} se defineşte

numărul zn = z ∙ z ∙ . . . ∙ z produsul a n termeni egali. Pentru n = 1, z 1 = z

iar pentru z

¿

1 zn .

0, z0 = 1 şi z-n =

Elementul (0, 1) se va numi unitate imaginară şi se va nota cu i iar (1, 0) se va numi unitate reală. I. 2. Forma algebrică a numerelor complexe Fie C0 = { (x, 0) / x

∈

R} o submulţime a numerelor complexe. Cele

două operaţii induse se efectuează astfel: (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) şi (x, 0) ∙ (y, 0) = (xy, 0); deci adunarea şi înmulţirea în mulţimea C0 se execută după aceleaşi reguli ca adunarea şi înmulţirea în mulţimea numerelor reale R. Rezultă astfel că C0 este un subcorp al lui C iar aplicaţia f : R

→

C0,

f(x) = (x, 0) este izomorfism de corpuri. Acest fapt permite identificarea lui R cu C0 şi deci „scufundarea” lui R în C. Astfel, perechea (x, 0) se notează cu x şi, în particular, (0, 0) = 0, (1, 0) = 1. Cum z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y, 0) ∙ (0, 1) rezultă că z = x + yi, care reprezintă forma algebrică a numărului complex z. Numărul x = Re (z) se numeşte partea reală a lui z, iar y = Im (z) se numeşte partea imaginară. Definiţia I. 2. 1. Un număr z

∈

C, z

¿

0 pentru care

Re (z) = 0 se numeşte pur imaginar. Ţinând cont că i2 = (0, 1) ∙ (0, 1) = (-1, 0) rezultă că i2 = -1, adică mulţimea C este aceea în care ecuaţia z 2 + 1 = 0 are soluţii. 15

I. 3. Reprezentarea geometrică a numerelor complexe Fie P un plan raportat la un sistem de axe de coordonate rectangulare xOy. Fiecărui număr complex z = (x, y) îi corespunde un punct M

∈

P

de abscisă x şi ordonată y. Punctul M se numeşte imaginea geometrică a numărului complex z = (x, y) care, la rândul său, poartă numele de afixul punctului M. Se construieşte astfel o bijecţie f:P

→

C unde f (M) = zM = (xM, yM)

∈

C,

( ∀ )M

∈

P, fapt

pentru care mulţimea C poate fi identificată cu planul considerat. Punctele planului se vor numi tot numere complexe şi planul însuşi, în care se reprezintă numerele complexe, se va numi plan complex. Numerele reale sunt reprezentate prin punctele axei Ox, numită, de aceea, axă reală, iar numerele complexe pur imaginare, adică cele de forma (0, y) sunt reprezentate pe axa Oy care se va numi axă imaginară. I. 4. Coordonate polare în plan. Forma trigonometrică a unui număr complex. Fie M (z) un punct din planul complex, unde z (C* = C – {0}).

16

∈

C*

Punctul M(z) este complet determinat dacă se cunosc distanţa r = MO şi măsura φ a unghiului format de semiaxa pozitivă Ox şi semidreapta (OM ,φ

∈

(-π,π].

Din figura 1 se poate deduce că r = MO =

|z| este chiar modulul

numărului z şi se numeşte rază polară. Unghiul φ, unic determinat în (-π, π], poartă denumirea de argument polar al lui z şi se notează φ = arg z. Numerele r şi φ, unde r > 0 şi φ

∈

[0,2π), poartă numele de coordonate

polare ale punctului M şi vom scrie M(r, φ). Din figura 1, pentru z = (x, y)

¿

(0, 0), coordonatele carteziene sunt: x = r cosφ şi y = r sinφ (4.1.). Trecerea de la coordonate carteziene la coordonate polare se obţine cu formulele:

φ=arg z = r=

y y y Π arctg ,x>0,y∈R¿ Π+arctg ,x0¿−Π+arctg ,x 1 , se intersectează construcţia descrisă anterior.

Dacă

|z|= 1 , atunci 1/z este simetricul lui z faţă de axa reală.

1 1 | |=| W |= | z | care pe figură Construcţia lui 1/z se bazează pe relaţiile: z 1 revine la asemănarea triunghiurilor Oz1z şi Oz1W şi pe relaţia arg z 21

=

- arg z (cu excepţia numerelor negative unde are loc egalitatea arg

1 z

=

arg z) care pe figură înseamnă că 1/z este simetricul faţă de axa reală al punctului W.

I. 6. Distanţa euclidiană Pentru z1, z2

∈

C, z1 = (x1, y1), z2 = (x2, y2) calculul direct arată că

| z 1 − z 2| = √ ( x1 − x2 )2 + ( y 1 − y 2 )2 . De aici rezultă că | z1 − z2| reprezintă distanţa euclidiană între punctele z1 şi z2 ale planului. Observaţia I. 6. 1. Mulţimea punctelor z pentru care | z − z 0| = r, z0 C fixat,

r

∈

∈

R, r > 0 reprezintă mulţimea punctelor cercului cu

centrul în z0 şi raza r. Arg (z1 – z2) este, prin definiţie, unghiul pe care îl formează vectorul z 1 – z2 cu sensul pozitiv al axei reale. Din fig. 3 se vede că arg (z1 – z2) este unghiul format de vectorul cu originea în z2 şi vârful în z1 cu sensul pozitiv al axei reale. Aplicaţia definită pe C x C cu valori în R+, prin care fiecărei perechi (z1, z2) de numere complexe îi corespunde numărul real nenegativ | z1 − z2| este o metrică deoarece ea verifică următoarele proprietăţi: 1) | z1 − z2| = 0

⇔

z1 = z2

2) | z1 − z2| = | z2 − z1| 3) | z1 − z2| < | z 1 − z3| + | z 3 − z 2| 22

Mulţimea C împreună cu această metrică devine astfel un spaţiu metric. Observaţia I. 6. 2. Din definiţia metricii în C rezultă că ea coincide cu metrica uzuală care se introduce în R2. Deci, din punctul de vedere al structurilor tipologice care se imprimă în C, respectiv în R 2, nu există nici o deosebire între R2 şi C. Vecinătăţile de bază ale punctelor din C sunt discuri deschise cu centrele în aceste puncte şi raze pozitive. Dacă z0

∈

C atunci discul cu centrul în z0 şi raza r > 0 este mulţimea

V(z0, r) = {z C / | z – z 0| < r} iar discul închis, corespunzător, este mulţimea

V (z0, r) = {z C / | z – z0| < r}.

23

2. ŞIRURI DE NUMERE REALE Definiţie Se numeşte şir de numere reale orice funcţie x : N { A ¿ k → R, unde Ak ={0,1,2 , … k /kϵN } sau Ak =∅ .

Numărul real x (n) se notează cu x n şi se numeşte termenul general de rang n al şirului x . Şirul x va fi notat cu ( x n) n. Exemplu Progresiile aritmetice şi progresiile geometrice

PROGRESII ARITMETICE

PROGRESII GEOMETRICE

DEFINIŢIE

DEFINIŢIE

Se numeşte progresie aritmetică un şir

Se numeşte progresie geometrică un

de numere reale (a n)n ≥1 în care fiecare

şir de numere reale (b n)n ≥1 în care

termen al şirului, începând de la al II–

fiecare termen al şirului, începând de la

lea, se obţine din termenul precedent

al II–lea, se obţine din termenul precedent

prin adunarea unei constante, notată cu

prin înmulţirea cu o constantă, notată cu q,

24

r, numită raţia progresiei aritmetice. a n+1=a n+ r , ∀ n ≥ 1

numită raţia progresiei geometrice.

b n+1=b n ∙ q , ∀ n ≥1

∙

NOTAŢIE: ∙ (a n)n ≥1

∙∙

NOTAŢIE: ∙∙ (b n)n ≥1

a n=a1 +r ( n−1 ) , ∀ n ≥1

b n=b1 ∙ qn−1 , ∀ n ≥1

( formula termenului general)

( formula termenului general)

Definiţie Două şiruri de numere reale ( x n) n şi ( y n )n sunt egale dacă x n= y n , ∀ nϵN . Definiţie Se numeşte subşir al şirului x : N → R orice compunere x ◦k , a lui x cu un şir strict crescător de numere naturale k : N → N . ¿◦k ¿ ( n ) =x ( k ( n ) )=x ( k n ) =x k , ∀ nϵN . n

Exemplu nπ Pentru şirul ( x n) n cu termenul general x n=cos 2

( )

subşirul x 2 n+1=cos

(

n∈ N

, subşirul x 2 n=cos ( nπ )=(−1)n, iar

(2 n+1) π π =cos nπ + =0 . 2 2

) (

)

Definiţia cu vecinătăţi a limitei unui şir, şiruri convergente Definiţie Spunem că l ∈ R´ este limita unui şir de numere reale ( x n) n dacă orice vecinătate a lui l conţine toţi termenii şirului, exceptând ( eventual) un număr finit de termeni. Formulare echivalentă: l ∈ R´ este limita unui şir de numere reale ( x n) n dacă în afara oricărei vecinătăţi a lui l se află cel mult un număr finit de termeni ai şirului. 25

Notaţie lim x n=l sau x n → l

n→∞

Definiţie Un şir de numere reale ( x n) n care are limita finită l ∈ R se numeşte şir convergent. Un şir de numere reale care nu este convergent se numeşte şir divergent. Un şir este divergent în una din următoarele situaţii: 1) nu are limită; sau 2) are limită infinită (+∞ sau -∞). Şiruri remarcabile 1) Şirul puterilor cu exponent real (n α )n ∈N , αϵR ¿

α

lim nα

Natura şirului

n→∞

α 0

0 1

convergent convergent divergent

∞

2) Şirul exponenţial cu baza q (q ¿¿ n)n∈ N , qϵR ¿ ¿

q

lim q n

Natura şirului

n→∞

q 1

nu există nu există 0 1

divergent divergent convergent convergent divergent

∞

Teoremă Orice şir convergent de numere reale este mărginit.

Corolar 26

Orice şir nemărginit de numere reale este divergent. Proprietăţile limitei unui şir 1) Dacă un şir are limită, aceasta este unică. 2) Prin schimbarea ordinii termenilor unui şir care are limită, se obţine un şir care are aceeaşi limită cu şirul dat. 3) Prin adăugarea/ înlăturarea unui număr finit de termeni dintr-un şir care ale limită, se obţine un alt şir, dar cu aceeaşi limită. 4) Limita unui şir convergent având termeni pozitivi este pozitivă. ( analog pentru un şir cu termeni negativi) ¿ 5) Dacă şirul x n → lϵR şi l>0, atunci există un rang n0 ϵ N astfel încât x n >0 , ∀ n≥ n0.

6) Limita unui şir strict crescător este mai mare decât termenii şirului. ( analog pentru un şir strict descrescător). 7) Dacă x n → lϵR, atunci ¿ x n∨→∨l∨¿. 8) Dacă un şir are limită ( finită sau infinită), atunci orice subşir al său va avea aceeaşi limită. 9) Un şir este divergent dacă conţine două subşiruri convergente cu limite diferite. 10) Teorema Bolzano-Weiwerstrass Din orice şir mărginit se poate extrage un subşir convergent. 11) Consecinţă Dacă toate subşirurile unui şir sunt convergente la acelaşi număr, atunci şirul dat este convergent la acel număr. 12) Dacă un şir este reuniunea a două sau mai multe subşiruri care au aceeaşi limită, atunci şirul are aceeaşi limită. Alte criterii pentru existenţa limitei unui şir 1. Criteriul majorării Teoremă 1) Criteriul majorării pentru şiruri convergente 27

Dacă există lϵR şi şirul (∝n) n astfel încât ¿ x n−l∨≤ ∝n , ∀ n ∈ N şi ∝n → 0, atunci x n → l. 2) Criteriul majorării pentru şiruri divergente a) Dacă există şirul (∝n) n astfel încât x n ≤ ∝n , ∀ n ∈ N şi ∝n →−∞, atunci x n →−∞. b) Dacă există şirul (∝n) n astfel încât x n ≥ ∝n , ∀ n ∈ N şi ∝n → ∞ , atunci x n → ∞ . 2. Trecerea la limită în inegalităţi. Teorema „cleştelui” ( a „celor doi jandarmi”) Teoremă (Trecerea la limită în inegalităţi) Fie ( x n) n şi ( y n )n două şiruri care au limită ( finită sau infinită). Dacă x n ≤ y n , ∀ nϵN ( sau ∀ n ≥ n0 ϵN , n0 fixat, atunci lim x n ≤ lim y n. n →∞

n→∞

Teorema „cleştelui” ( a „celor doi jandarmi”) Fie ( x n) n , ( y n )n şi ( z n )n trei şiruri de numere reale care îndeplinesc simultan condiţiile: 1. x n ≤ y n ≤ z n , ∀ nϵN ( sau ∀ n ≥ n0 ϵN , n0 fixat x n=lim z n=l Atunci şirul ( y n )n are limită şi lim y n=l . 2. nlim →∞ n→∞ n→∞

Limita şirurilor monotone. Proprietatea lui Weierstrass Teoremă ( limita şirurilor monotone nemărginite) 1. Orice şir crescător şi nemărginit superior de numere reale are limita ∞ . 2. Orice şir crescător şi nemărginit inferior de numere reale are limita −∞ . Proprietatea lui Weierstrass Orice şir monoton şi mărginit de numere reale este convergent. 1 Şirul remarcabil e n= 1+

n

( n)

nϵ N

¿

28

Proprietăţi ¿ 1. (e ¿¿ n)n ∈N ¿ este strict crescător şi mărginit , 2 ≤ en ≤3 , ∀ n ϵ N . ¿

2 .Conform Proprietăţii lui Weiwerstrass, şirul (e ¿¿ n)n ∈N ¿este convergent. Notăm ¿

cu e limita sa. e ∈ R ¿, e ≅ 2,71.

3. Limite remarcabile ( 1∞) xn

1 xn

( ) → e; 1 b) Dacă x →−∞, atunci (1+ x ) → e ; a) Dacă x n → ∞ , atunci 1+

xn

n

n

1

c) Dacă x n → 0, atunci ( 1+ x n ) x → e. n

3. FUNCŢII DERIVABILE 29

Definiţia derivatei unei funcţii într-un punct Fie f:E

R unde E este un interval sau o reuniune de intervale din R

→

1. Se spune că funcţia f are derivată în x 0 ∈ E dacă limita

lim

f ( x )−f ( x0 )

x → x0

x−x 0

există în R=R∪{−∞,+∞ } ' În acest caz această limită se notează cu f ( x 0 ) şi se numeşte derivata

funcţiei f în x 0

Deci

f ' ( x0)=

(x ) lim f ( xx)−f −x 0

0

x → x0

2. Se spune că funcţia f este derivată în x 0 ∈ E dacă limita

lim x → x0

f ( x )−f ( x0 ) x−x 0

există în R (există şi este finită) ' În acest caz această limită se notează cu f ( x 0 ) , adică

f ' ( x0)=

(x ) lim f ( xx)−f −x 0

0

x → x0

3. Se spune că funcţia f este derivată pe un interval I dacă este derivabilă în fiecare

punct al intervalului I.

OBS. 1. Funcţia f are derivată în x0 '

'

⇔

f are derivate laterale în x0 şi

'

f s ( x o )=f d ( x 0 ) =f ( x 0 )

30

f ( x ) −f ( x 0 ) ¿ x− x 0

(

ℜ ;

există în

f ( x ) −f ( x 0 ) ¿ x− x 0

ℜ )

există în

TABEL CU DERIVATELE FUNCŢIILOR ELEMENTARE

DERIVATA FUNCŢIA

c( constan

DOMENIUL DE

FUNCŢIA

DERIVABILITATE

COMPUSĂ

DERIVATA

0

ℜ

1

ℜ

u

u'

nx n−1

ℜ

n u ( n ∈ ℵ)

n⋅u n−1⋅u'

αxα −1

Df ' ⊇ ( 0 ;∞ )

uα ( α ∈ ℜ, u≻0 )

α⋅uα −1⋅u'

tă) x x

n

( n∈ Ν ¿ ) x

α

( α ∈ ℜ¿ ) ( n

√ x=x

1 n

) 1 x

−

1 x2

1 ( u≠0 ) u

u' − 2 u

( 0;∞ )

√ u ( u≻0 )

u

¿

1

√x

ℜ

2√x ex

a x , 0≺a≠1

'

2 √u

ex

ℜ

eu

e u⋅u '

a x ln a

ℜ

au

au⋅u'⋅ln a

31

ln x

1 x

( 0;∞ )

ln u

u u

loga x

1 x ln a

( 0;∞ )

log a u

u' u ln a

cos x

ℜ

sin u

- sin x

ℜ

cos u

sin x cos x

'

cos u

¿u

- sin u ¿u

1 cos 2 x

cos x ¿ 0

1 2 - sin x

sin x ¿ 0

tg x ctg x

u ¿0 )

(-1;1)

√1−x 2 arccos x

ctg u (sin

'

'

−

-

(-1;1)

arccos u

(|u|≤1 )

1

u sin 2 u

u'

arcsin u

(|u|≤1 )

'

u cos 2 u

u ¿0 )

1

arcsin x

tg u (cos

√1−u 2 −

u'

√1−u2

√1−x 2 1 1+x 2

arctg x arcctg x -

1 1+ x 2

ℜ

arctg u

ℜ

arcctg u

Derivate laterale; continuitatea unei funcții derivabile Fie I un interval, sau o reuniune de intervale și f : I →R .

Definiții:

32

'

u' 1+u 2 −

u' 1+u 2

1) Dacă

’ spunem că funcția f are derivată la stânga în x 0

x 0 ∈ [ I ∩( −∞ , x 0 ) ]

dcă există și este finită sau infinită

f ( x)−f ( x 0 ) not ' lim ¿ x→x0 ¿ ¿ = f s ( x 0 )¿ x−x 0 x