SOLUCIONARIO Jeremy [PDF]

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SOLUCIONARIO

CAPITULO 8 1. Los países A y el B tienen ambos la función de producción: Y = F(K, L) = K1/3 L2/3 a) ¿Tiene esta función de producción rendimientos constantes de escala? Razone su respuesta. b) ¿Cuál es la función de producción por trabajador, y = f(k)? c) Suponga que en ninguno de los dos países hay crecimiento demográfico o progreso tecnológico y que todos los años se deprecia un 5 por ciento del capital. Suponga, además, que el país A ahorra el 10 por ciento de la producción todos los años y el B el 20 por ciento. Utilizando su respuesta a la pregunta (b) y la condición del estado estacionario según la cual la inversión es igual a la depreciación, halle el nivel de capital por trabajador del estado estacionario correspondiente a cada país y, a continuación, los niveles de renta por trabajador y de consumo por trabajador del estado estacionario. d) Suponga que ambos países comienzan teniendo un stock de capital por trabajador de 2. ¿Cuáles son los niveles de renta por trabajador y de consumo por trabajador? Recordando que la variación del stock de capital es la inversión menos la depreciación, calcule cómo evolucionará el stock de capital por trabajador con el paso del tiempo en los dos países. Calcule la renta por trabajador y el consumo por trabajador correspondientes a cada año. ¿Cuántos años tardará el consumo del país B en ser mayor que el del A?

SOLUCIÓN: a) Una función de producción tiene rendimientos constantes a escala si el aumento de los factores de producción por una salida igual causas porcentuales a aumentar en el mismo porcentaje. Matemáticamente, una función de producción tiene rendimientos constantes a escala si zY=F(zK, zL) para cualquier numero z positivo. Es decir, si multiplicamos tanto la cantidad de capital y la cantidad de trabajo por alguna cantidad z, entonces la cantidad de salida se multiplica por z. Por ejemplo, si duplicamos la cantidad de capital y trabajo que utilizamos (ajuste z=2), entonces la salida también se duplica.

Para ver si la función de producción Y = F(K, L) = K1/3 L1/3 tiene rendimientos constantes a escala, escribimos: F(zK, zL) = (zK)1/3 (zL)2/3=z K1/3 L1/3 = z K1/3 L2/3 = Y Por lo tanto, la función de producción Y = K1/3 L1/4 si tiene rendimientos constantes a escala. b) Para encontrar la función de producción por trabajador, divida la función de producción Y = K1/3 L1/3 por L. Y = K1/3 L2/3 L L : Si definimos y=Y/L como la producción por trabajador, entonces reescribimos la expresión anterior como y= K1/3 /L1/3 Si definimos k=K/L como el capital por trabajador, entonces reescribimos la expresión anterior como y= k1/3 c) Conocemos los siguientes hechos sobre los países A y B: δ= tasa de depreciación = 0.05 sa=tasa de ahorro del país A=0.1 sb=tasa de ahorro del país B=0.2 y= k1/3 / L5/12 es la función por trabajador derivada en la parte (b) para los países A y B. El crecimiento del stock de capital ∆k es igual a la cantidad de inversión sf(k), menos la cantidad de depreciación δk. Es decir, ∆K=sf(k)- Δk. En estado estacionario, el capital social no crece, por lo que podemos escribir esto como sf(k)=δk . Para encontrar el nivel de estado estacionario del capital por trabajador, conecte la función de producción por trabajador a la condición de la inversión en estado estacionario, y resolver para k*. sk1/3= δk Reescribimos lo siguiente: k1/3=s/δ k= (s/δ)3 Para encontrar el nivel de estado estacionario del capital por trabajador k*, conecte la tasa de ahorro de cada país en la formula anterior: Pais A: k*a=(sa/δ)3=0.1/0.05)3=8 Pais B: k*b=(sb/δ)3=0.2/0.05)3=64

Ahora que hemos encontrado k* para cada país, podemos calcular los niveles de estado estable de ingreso por trabajador para los países A y B porque sabemos que y=k1/3: y*a=(8)1/3=2 y*b=(64)1/3=4 Sabemos que, de cada dólar de ingresos, los trabajadores ahorran una fracción s y consumen una fracción (1-s). Es decir, la función de consumo es c=(1-s)*y. Como sabemos los niveles de estado estable de ingresos en los dos países, encontramos. País A: ca*=(1-sa)ya*=(1-0.1)(2)=1.8 País B: cb*=(1-sb)yb*=(1-0.2)(4)=13.2 d) El uso de los siguientes hechos y ecuaciones, calculamos los ingresos por trabajador y, el consumo por trabajador c, y el capital por trabajador k: sa=0.1 sb=0.2 δ=0.05 k0=2 para ambos países y=k1/3 c=(1-s)y Year k 1 2 2.041 2 3 2.082 2.122 4 2.162 5 1.264 6

y=k1/3 1.259 1.268 1.276 1.285 1.293 1.1376

c=(1-sa)y 1.1331 1.1412 1.1484 1.1565 1.1637 1.1376

i=say 0.1259 0.1268 0.1276 0.1285 0.1293 0.1264

δk 0.1 0.10205 0.1041 0.1061 0.1081 0.1101

∆k=i- δk 0.0259 0.02475 0.0235 0.0224 0.0212

0.0163

Year 1 2 3 4 5 6

y=k1/3

k

c=(1-sb)y

i=sby

δk

∆k=i- δk

2.369

1.259 1.297 1.333

1.0072 1.0376 1.0664

0.2518 0.2594 0.2666

0.1 0.10915 0.11845

0.1518 0.15025 0.14815

2.559

1.367

1.0936

0.2734

0.12795

2.751 2.943

1.401

1.1208

0.2802

0.13755

0.14545 0.14265

1.433

1.1464

0.2866

0.14715

0.13945

2 2.183

Tenga en cuenta que tardara SEIS años antes de su consumo en el país B es más alto que el consumo en el país A.

3. Considere la economía descrita por la función de producción: Y = F(K, L) = K0.6L0.4 a) ¿Cuál es la función de producción por trabajador? b) Suponiendo que no hay crecimiento de la población ni progreso tecnológico, halle el stock de capital por trabajador, la producción por trabajador y el consumo por trabajador del estado estacionario en función de la tasa de ahorro y de la tasa de depreciación. c) Suponga que la tasa de depreciación es del 10 por ciento al año. Elabore un cuadro que muestre el capital por trabajador, la producción por trabajador y el consumo por trabajador del estado estacionario correspondientes a una tasa de ahorro del 0 por ciento, del 10 por ciento, del 20 por ciento, del 30 por ciento, etc. (necesitará una calculadora con una tecla para calcular funciones exponenciales). ¿Qué tasa de ahorro maximiza la producción por trabajador? ¿Qué tasa de ahorro maximiza el consumo por trabajador? d) (Más difícil.) Utilice el cálculo para hallar el producto marginal del capital. Añada el producto marginal del capital a su cuadro una vez descontada la depreciación correspondiente a cada una de las tasas de ahorro.

¿Qué muestra su cuadro sobre la relación entre el producto marginal neto del capital y el consumo del estado estacionario? SOLUCION a) Sequimos, “Aproximacion al estado estacionario”: Un ejemplo numérico. La función de producción es Y= K0.5L0.5.Para derivar la función de producción por trabajador f(k), divide ambos lados de la función de producción con la producción de la fuerza de trabajo L: Y/L= K0.6L0.4/L Reorganizando para obtener: Y= K0.6/L0.6 Debido a que y=Y/L y k=K/L, esto se convierte en: y=k0.6 b) Recordemos que ∆k=sf(k)- δk El valor de estado estacionario del capital del trabajador k* se define com el valor de k en la que el capital por trabajador es constante, por lo ∆k=0. De ello se desprende que, en el estado de equilibrio 0=sf(k)- δk O equivalente: k*/(k*)0.6=s/ δ agrupando k*=(s/ δ)1/0.4 Sustituyendo esta ecuación para el capital del estado estacionario por trabajador en la función de producción por trabajador de la parte (a) se obtiene: y*=(s/ δ)0.6/0.4 El consumo es la cantidad de producción que no se invirtió. Dado que la inversión en el estado estacionario es igual δk*, se deduce que: c*=f(k*)- δk*=(s/ δ)0.6/0.4 - δ(s/ δ)1/0.4 (nota: Un enfoque alternativo para el problema es tener en cuenta que el consumo también es igual a la cantidad de producción que no se guarda: c*=(1-s)f(k*)=(1-s)(k*)0.6=(1-s) (s/ δ)0.6/0.4 Algunas manipulaciones algebraicas muestran que esta ecuación es igual a la ecuación anterior) c) La siguiente tabla muestra k*, y* y c* de la tasa de ahorro en la columna izquierda, usando las ecuaciones de la parte (b). Asumimos una tasa de

depreciación del 10 por ciento (es decir=0.1). (La última columna muestra el producto marginal del capital, que se deriven de la parte (d) a continuación).

MPK- δk*

s 0 0.1 0.2

k* 0 1 5.65

y* 0 1 2.82

c*

0.3

15.58

5.19

3.633

-0.2648 -1.3579

0.4 0.5 0.6

32 55.9 88.18

8 11.18 14.69

4.8 5.59 5.876

-3.05 -5.4699 -8.7179

0.7

129.64

18.52

5.556

-12.8782

0.8 0.9 1

181.01 243 316.22

22.62 27 31.62

4.524 2.7 0

-18.0259 -24.2333 -31.5619

0 0.9 2.256

0.5

Tenga en cuenta que una tasa de ahorro del 100 por ciento (s=1) maximiza la producción por trabajador. en caso, por supuesto nada de consume por lo que c*=0. Consumo por trabajador se maximiza a una tasa de ahorro del 0.6 por ciento, es decir, donde s es igual a la participación del capital en el producto. Este es el nivel de la regla de oro de s. d) El producto marginal del capital (PMK) es el cambio en la producción por trabajador (y) para un cambio dado en el capital por trabajador (k). Para encontrar el producto marginal del capital, diferenciar la función de producción por trabajador en la relación con el capital por trabajador(k). PMK=0.6k-0.4 =0.6/k0.4 Para encontrar el producto marginal del capital neto de la depreciación, utilice la ecuación anterior para calcular el producto marginal del capital y luego restar la depreciación, que es del 10 por ciento el valor del nivel de estado estacionario del capital por trabajador. Estos valores aparecen en la tabla anterior. Tenga en cuenta que cuando se maximiza el

consumo por trabajador, el valor del producto marginal del capital neto de la depreciación es cero.

CAPÍTULO 9 EJERCICIO 1 Suponga que una economía descrita por el modelo de crecimiento de Solow tiene la siguiente función de producción: Y = K 1/3 (LE) 2/3 a) ¿Cuál es f (k) en esta economía? b) Utilice la respuesta a la parte (a) para hallar el valor de y correspondiente al estado estacionario en función de s, n, g y δ. c) Dos economías vecinas tienen la función de producción anterior, pero sus parámetros tienen valores diferentes. Atlantis tiene una tasa de ahorro del 28 por ciento y una tasa de crecimiento de la población del 1 por ciento al año. Xanadu tiene una tasa de ahorro del 10 por ciento y una tasa de crecimiento de la población del 4 por ciento al año. En las dos economías, g = 0,02 y δ = 0,04. Halle el valor de y correspondiente al estado estacionario en cada país.

SOLUCION a) En el modelo de Solow con el progreso tecnológico, y es definido como la producción por trabajador efectivo y k se define como el capital por trabajador efectivo. El número de trabajadores efectivos es definido como LE donde L es el número de trabajadles y E la medida de la eficiencia de cada trabajador. Para encontrar la producción por trabajador efectivo se divide la producción total por el número de trabajadores efectivos 𝑌 𝐾 1/3 (𝐿𝐸)2/3 = 𝐿𝐸 𝐿𝐸 𝑌 𝐾 1/3 = 1/3 1/3 𝐿𝐸 𝐿 𝐸 𝑦 = 𝑘1/3 b) Para resolver el valor del estado estacionario de y cm un función de s, n, g, δ comenzamos con la ecuación para el cambio en el stock del capital en el estado de equilibrio.

∆𝑘 = 𝑠 𝑓(𝑘) − (𝛿 + 𝑛 + 𝑔)𝑘 = 0 La función de producción 𝑦 = 𝑘1/3 puede ser escrita también como 𝑘 = 𝑦 3 . Al conectar esta función en la ecuación para el cambio en el stock del capital, encontramos que en el estado de equilibrio. 𝑠𝑦 − (𝛿 + 𝑛 + 𝑔) 𝑦 3 = 0 Resolviendo:

𝑦= √

𝑠 𝛿+𝑛+𝑔

c) Tenemos la siguiente información: Atlantis s = 0.28, n = 0.01, g = 0.02, δ = 0.04 Xanadu s = 0.10, n = 0.04, g = 0.02, δ = 0.04 Calculando el valor de y para cada país en el estado de equilibrio: 0.28

Atlantis y* = √0.04+0.01+0.02 = 2 0.10

Xanadu y* = √0.04+0.04+0.02 = 1

EJERCICIO 2 En Estados Unidos, la participación del capital en el PIB es del orden del 40 por ciento; el crecimiento medio de la producción gira en torno al 4 por ciento al año; la tasa de depreciación es del 5 por ciento anual aproximadamente; y la relación capital-producto es de alrededor de 3.5. Suponga que la función de producción es Cobb-Douglas, por lo que la participación del capital en la producción es constante, y que Estados Unidos se encuentra en un estado estacionario (para un análisis de la función de producción Cobb-Douglas, véase el apéndice del capítulo 3). a) ¿Cuál debe ser la tasa de ahorro en el estado estacionario inicial? [pista: utilice la relación del estado estacionario, sy = (δ + n + g) k]. b) ¿Cuál es el producto marginal del capital en el estado estacionario inicial? c) Suponga que las medidas adoptadas por el Gobierno elevan la tasa de ahorro, por lo que la economía alcanza el nivel de capital correspondiente a la regla de oro. ¿Cuál será el producto marginal del capital en el estado estacionario de la regla de oro? Compare este producto marginal con el del estado inicial. Justifique su respuesta.

d) ¿Cuál será la relación capital-producto en el estado estacionario de la regla de oro? [pista: en la función de producción Cobb-Douglas, la relación capitalproducto está relacionada simplemente con el producto marginal del capital]. e) ¿Cuál debe ser la tasa de ahorro para alcanzar el estado estacionario de la regla de oro?

SOLUCION: La función de producción de Cobb – Duglas tiene la forma 𝑦 = 𝑘 𝛼 donde α son las acciones de capital de ingresos. La pregunta nos dice que α = 0.4 así que la función de producción es 𝑦 = 𝑘 0.4 En el estado de equilibrio se sabe que la tasa de crecimiento de la producción es igual al 4%, por lo que n + g = 0.04 La tasa de depreciación es δ = 0.05 𝐾

𝑘

La proporción capital – producción 𝑌 = 3.5 . Pero 𝑦 =

𝐾/𝐿𝐸 𝑌/𝐿𝐸

=

𝐾

𝑘

, entonces 𝑦 = 3.5 𝑌

(La proporción capital – producción es la misma en términos de trabajadores efectivos como en los niveles) a) Por la condición de estado estable sy = (δ + n + g) k. Reescribiendo la ecuación, esta conduce a una fórmula para el ahorro en el estado estable. 𝑠 = (𝛿 + 𝑛 + 𝑔)

𝑘 𝑦

Conectando con los valores establecidos anteriormente: 𝑠 = (0.05 + 0.04) (3.5) = 0.315 La tasa inicial de ahorro es de 31.5 %

b) Conocemos con la función de Cobb – Douglas que la participación del capital 𝐾 𝛼 en el ingreso es 𝛼 = 𝑀𝑃𝐾 (𝑌 ). Reescribiendo tenemos que: 𝑀𝑃𝐾 = 𝐾/𝑌 Conectando con los valores establecidos anteriormente: 𝑀𝑃𝐾 =

0.4 = 0.11 3.5

c) Conocemos que la Regla de Oro del estado de equilibrio: 𝑀𝑃𝐾 = (𝑛 + 𝑔 + 𝛿) Conectando con los valores establecidos anteriormente:

𝑀𝑃𝐾 = 0.04 + 0.05 = 0.09 En el estado estacionario de la Regla de Oro, el producto marginal del capital es de 9% mientras que es de 11% en el estado de equilibrio inicial. Por lo tanto a partir de la constante inicial tenemos que incrementar k para alcanzar el estado estacionario de la Regla de Oro.

d) Conocemos con la función de Cobb – Douglas que: 𝑀𝑃𝐾 = de este para la relación capital – producto establece que

𝐾 𝑌

=

𝛼 𝐾/𝑌 𝛼

La solución

𝑀𝑃𝐾

Podemos resolver para la Regla de Oro, la razón capital – producción usando esta ecuación. Si nosotros hacemos hincapié en el valor de 0.09 para la Regla de Oro del estado de equilibrio marginal del capital estatal y el valor 0.4 para α, se establece que: 𝐾 0.4 = = 4.44 𝑌 0.09 En el estado de equilibrio de la Regla de Oro la razón capital – producción se iguala a 4.44, comparado con la razón corriente capital – producción cuyo valor es 3.5.

e) Conocemos que

𝑘

𝑠 = (𝛿 + 𝑛 + 𝑔) 𝑦 donde k/y es la razón de capital – 𝐾

𝑘

producción en el estado de equilibrio. Se sabe también que 𝑌 = 𝑦. En la parte d encontramos que K/Y = 4.44. Conectando este valor y los valores obtenidos anteriormente: 𝑠 = (0.05 + 0.04)(4.44) = 0.40 Para alcanzar la Regla de Oro en el estado de equilibrio, la tasa de ahorro debería elevarse de 31.5% a 40%.

EJERCICIO 4 Dos países, Ricolandia y Pobrelandia, son descritos por el modelo de crecimiento de Solow. Tienen la misma función de producción Cobb-Douglas, F (K, L) = A K α L1-α, pero con cantidades diferentes de capital y de trabajo. Ricolandia ahorra el 36 por ciento de su renta, mientras que Pobrelandia ahorra el 12 por ciento. En Ricolandia, el crecimiento de la población es de un 2 por ciento al año, mientras que en Pobrelandia es de un 3 por ciento (las cifras que hemos elegido en este problema son una descripción más o menos realista de los países ricos y los pobres). Ricolandia tiene una tasa de progreso tecnológico del 4 por ciento al año y Pobrelandia del 6 por ciento al año. Ricolandia tiene una tasa de depreciación del 7 por ciento al año y Pobrelandia del 8 por ciento al año. a) ¿Cuál es la función de producción por trabajador f (k)? b) Halle el cociente entre la renta por trabajador en el estado estacionario de Ricolandia y la de Pobrelandia (pista: el parámetro α desempeñará un papel en su respuesta). c) Si el parámetro α de la función Cobb-Douglas toma el valor convencional de alrededor de 1/3, ¿en qué cuantía debe ser mayor la renta por trabajador de Ricolandia que la de Pobrelandia? d) La renta por trabajador de Ricolandia es, en realidad, 16 veces mayor que la de Pobrelandia. ¿Puede explicar este hecho cambiando el valor del parámetro α? ¿Cuál debe ser? ¿Se le ocurre alguna forma de justificar ese valor de este parámetro? ¿De qué otra forma podría explicar la gran diferencia entre la renta de Ricolandia y la de Pobrelandia? SOLUCIÓN

a) La función de producción por trabajador es: 𝐹(𝐾, 𝐿) 𝐴 𝐾 𝛼 𝐿1−𝛼 𝐾 = = 𝐴 ( )𝛼 = 𝐴 𝑘 𝛼 𝐿 𝐿 𝐿

b) En el estado de equilibrio ∆𝑘 = 𝑠 𝑓(𝑘) − (𝛿 + 𝑛 + 𝑔)𝑘 = 0 Por lo tanto, 𝑠 𝐴 𝑘 𝛼 = (𝛿 + 𝑛 + 𝑔)𝑘 ∗

Después de reordenar, 𝑘 = (

𝑠𝐴 𝛿+𝑛+𝑔

)

1 1−𝛼

Relacionándola con la función de producción de la parte a, se obtiene:

1

𝑦 ∗ = 𝐴1−𝛼 (

𝛼 𝑠𝐴 )1−𝛼 𝛿+𝑛+𝑔

La proporción de ingresos en el estado de equilibrio por trabajador en Ricolandia y Pobrelandia es: ∗ 𝑦𝑟𝑖𝑐𝑜𝑙𝑎𝑛𝑑𝑖𝑎 ∗ 𝑦𝑝𝑜𝑏𝑟𝑒𝑙𝑎𝑛𝑑𝑖𝑎

𝑠𝑟𝑖𝑐𝑜𝑙𝑎𝑛𝑑𝑖𝑎 𝛼 𝛿𝑟𝑖𝑐𝑜𝑙𝑎𝑛𝑑𝑖𝑎 + 𝑛𝑟𝑖𝑐𝑜𝑙𝑎𝑛𝑑𝑖𝑎 + 𝑔𝑟𝑖𝑐𝑜𝑙𝑎𝑛𝑑𝑖𝑎 1−𝛼 =( ) 𝑠𝑝𝑜𝑏𝑟𝑒𝑙𝑎𝑛𝑑𝑖𝑎 𝛿𝑝𝑜𝑏𝑟𝑒𝑙𝑎𝑛𝑑𝑖𝑎 + 𝑛𝑝𝑜𝑏𝑟𝑒𝑙𝑎𝑛𝑑𝑖𝑎 + 𝑔𝑝𝑜𝑏𝑟𝑒𝑙𝑎𝑛𝑑𝑖𝑎

0.36 ∗ 𝛼 𝑦𝑟𝑖𝑐𝑜𝑙𝑎𝑛𝑑𝑖𝑎 0.07 + 0.02 + 0.04 )1−𝛼 = ( ∗ 0.12 𝑦𝑝𝑜𝑏𝑟𝑒𝑙𝑎𝑛𝑑𝑖𝑎 0.08 + 0.03 + 0.06 ∗ 𝛼 𝑦𝑟𝑖𝑐𝑜𝑙𝑎𝑛𝑑𝑖𝑎 = (4)1−𝛼 ∗ 𝑦𝑝𝑜𝑏𝑟𝑒𝑙𝑎𝑛𝑑𝑖𝑎

c) Si α es igual a 1/3, entonces Ricolandia debe ser 41/2 o dos veces más rica que Pobrelandia 𝛼

𝛼

d) Si (4)1−𝛼 = 16 entonces 1−𝛼 = 2 lo que quiere decir que α = 2/3. Por lo tanto si la función de producción pone 2/3 del peso del capital y solo 1/3 de la mano de obra, entonces podemos explicar una diferencia de 16 veces en los niveles de ingresos por trabajador. Una forma de justificar esto podría ser la de pensar en el capital de manea más amplia para incluir el capital humano, que también deben ser acumulados a través de la inversión tanto en la forma que uno acumula capital físico.