Solucionario Análisis Matemático II - Eduardo Espinoza Ramos [PDF]

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ANALISIS MATEMÁTICO 11 PARA ESTUDIANTES DE CIENCIA E INGENIERÍA t Y = f(x )

f° f(x)d x= Ja

n->~

n

~

1= 1

b - a. f(a + ° - ai) n

EDUARDO ESPINOZA RAMOS SPLU C IO N A RIO

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IMPRESO EN EL PERÚ 01 -01 -2012

» DERECHOS RESERVA D O S

Este libro no puede reproducirse total ó parcialmente por ningún método gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo los sistemas de fotocopia, registros magnéticos o de alimentación de datos, sin expreso consentimiento ^ del autor y Editor.__________ t RUC

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Escritura Publica

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PRÓLOGO

Habiéndose adaptado a nivel universitario, en el curso de análisis matemático, el texto de Análisis Matemático para Estudiantes de Ciencias e Ingeniería por su acertado desarrollo teórico, siendo necesario como consecuencia de la concepción teórica, ahondar en las aplicaciones y ejercicios a fin de desarrollar la habilidad mediante la práctica; por eso el objetivo del presente volumen de problemas desarrollados del texto Análisis Matemático para estudiantes de Ci :ncias e Inge -iería de Eduardo Espinoza Ramos orienta su intención de ser complemento teórico-práctico para el estudiante universitario.

Su contenido sigue en esencia las pautas del texto, la solución de los problemas están detalladas en forma clara y precisa, se ha puesto especial cuidado en los gráficos, pues pensamos que un "buen dibujo" por señalar en forma natural, es el camino a seguir en el bus que da la solución de un problema.

Agradezco por anticipado la acogida que ustedes brindan a cada una de mis publicaciones, las que emanan el deseo de que encuentren en ellas una agenda para su avance y desarrollo intelectual

EDUARDO ESPINOZA RAMOS

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ÍNDICE 1. CAPITULO 1 1.1. INTEGRACIÓN MEDIANTE SUSTITUCIÓN Y CAMBIO DE VARIABLE............. 1 1.2. INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA..........................................................104 1.3. INTEGRACION

TRIGONOMÉTRICA

MEDIANTE

REDUCCIÓN

DE

ÁNGULOS............................................................................................. 118 1.4. INTEGRACIÓN POR PARTES.................................................................131 1.5. FRACCIONES PARCIALES....................................................................... 189 1.6. INTEGRACIÓN

DE

FUNCIONES

RACIONALES

DE

SENO

V

COSENO..................................................................................i.......... 242 1.7. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES IRRACIONALES......................................265 1.8. MISCELÁNEA........................................................................................ 275 1.9. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA. .......................... 320 .2. CAPITULO 2 2.1. SUMATORIAS......... :............................... ...........................................351 2.2. ÁREAS CON SUMATORIAS.................................................................... 395 2.3. PRIMER TEOREMA DEL CÁLCULO..........................................................427 2.4. ÁREAS.................................................................................................. 536 3. CAPITULO 3 3.1. VOLÚMENES.........................................................................................629 3.2. ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN........................................ 692 *

3.3. LONGITUD DE ÁREA.............................................................................709

4. CAPITULO 4 4.1. INTEGRALES IMPROPIAS......................................................................727 4.2. ÁREAS CON INTEGRALES IMPROPIAS................................................... 747 5. CAPITULO 5

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5.1. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA A LA FÍSICA

I

.759

6 . CAPÍTULO 6

7.

% 6.1. ECUACIONES PARAMÉTRICAS........................................

.777

6.2. COORDENADAS POLARES...............................................

.781

CAPÍTULO 7 7.1. COORDENADAS POLARES...............................................

791

7.2. APLICACIONE DE LAS COORDENADAS POLARES..........

.821

SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMATICO II

.

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www. solucionarios. net CAPITULO I

f

EPUARPO ESPINOZA RAMOS «

jr a a a m n a INTEGRACIÓN MEDIANTE SUSTITUCIÓN 0 CAMBIO DE VARIABLE Calcular las siguientes integrales indefinidas inmediatas:

O

r 3ax‘ - 2bx

Hacemos u =ax3 -bx2

_ r 3ax_^bx dx J Vax3 -bx2

Diferenciando: du =(3ax2 -2bx)dx

Tabla a usar: n+i f undu = —— +C J n +1

Sustituyendo: I=

du •* Jü

■1,/2 1/2

= fu~,/2du = -— +C = 2■Vax’ +bx2 +C

[xSen(x) +C o s (x )- lJ

| = f-----xCos(x)dx----_ [xSen(x) +C os(x)-l]

Hacemos u = xSen(x) +Cos(x)-l

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V

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Diferenciando:

)

CAPÍTULO I

du = [Sen(x) +xCos(x)-Sen(x)]dx = xCos(x)dx

Sustituyendo:

1= f— = fu""du.^——+C- [ XSen^X)+C0S^X)~1^' " +C J um J

C

O J

1-m

1-m

dx

J O - 1)|Ln|[x +Vl- x2j

dx

'-i ^(l +x2)Ln|x +Vi +x^j

Hacemos u = Ln|x +Vl +x2 j

Diferenciando:

dx

du = x +Vl VÍ +x'

x +>/l +x2

x +Vl +x2

Vi + x2

Su ituyendo: dx

■J

rdu r _,/5 u1'2 = -7= = u du =--- +C

J V¿ J

1/2

I = 2^Ln|x +>/l +x2 j +C

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capitulo i

Q

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

J Lnj_Cos(x)]Tg(x)dx

jjE S C D H E ffli w

1 = |Ln[Cos(x)]Tg(x)dx

Hacemos u = Ln[Cos(x)]

Diferenciando: d(Cos(x)) -Sen(x) . du = —— 7~~P~ --- r-rdx = -Tg(x)dx Cos(x) Cos(x) Sustituyendo:

. M2 -Ln TCos(x)l I = -íudu = — +C =------— - +C J o 2

O J

3/l +Ln(x)

, un+l Tablaausar: | u du = — - +C J n +1

_

dx

M í f 3/l +Ln(x) dx x

I = J j í ----

Hacemos

u = 1 +Ln(x)

Diferenciando:

. ..dx du = ~

Sustituyendo: .r i +Ln(x)l , u 3 [l +Ln(x)] = f L--- —dx = f u du =-------+C =— ------- -— +C J v J 4/3 4

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I

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)

CAPITULO I

xn~'dx

O I Va +bx" J K 2 S I n m sttf x dx I = í -----1 va +bx"

Hacemos u = a +bxn

Diferenciando:

du = nbxn_'dx

— = xn"'dx nb Sustituyendo: du/,nb) 1 f..-1/su.. u,/2 I = f — -— t = — Ju-,/2du = — -^ Tu nb-* nb( 1 / 2 )

O j

^

2 Va +bx" +C nb

x-Arctg( 2 x) 9 dx 1+4x

[ , í x-Arctg(2x)dx =J _ ^ l +4x‘

dx_ .A rcti ( ^

* -*1+4x

1+4x

En la primera integral: t = 1+4x2, derivando: dt = 8 xdx

=>

— = xdx 8

En la segunda integral: u = Arctg(2x), diferenciando: d u = d(2x) 1+4x

i

_

d u _ dx 2 1+4x2

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CAPITULO I

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

Sustituyendo: ,

rd t /8 rudu 1 . | u _ = ----- ---- = -Ln t --- +C J 2 8 M 4

J t

I = - Ln |1+4x21- - Arctg* (2x) +C

dx ^[Arcsen(x )]3 V l- x 2

'S S ü H M f dx

' =íi[Arcsen(x)]'

Hacemos: u = Arcsen ( x) 1-x‘

Diferenciando: du =

dx

Sustituyendo: l = í —y = í u-3du =—— +C =— --- -----j +C J u J -2 2[Arcsen(x)]

O í

dx e

+e i m m m vm

dx i,f d* . . f — . ¡ e-*+e* J l//ex e x+ex +e

r exdx r JJ 1 +(exf

Hacemos: u =ex

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)

CAPITULO I

Diferenciando: du - e

Sustituyendo: l= Í 7 7 7 =Arcts(e ,) +c

. e- +i jdx =

ww* edukperu com

X

- e‘ +Ln|x| +C =

---e” + Ln|x| +C

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O

J Sen (2x )

CAPITULO I

+2Cos ( 2x )dx

I = |Sen(2x)^l +2Cos(2x)dx

Hacemos: u = l +2Cos(2x)

diferenciando: du =-4Sen(2x)dx

=*

- ^ u -Sen(2x)

Sustituyendo:

i = / ^ ( - f ) = - 7 K du=- 4 & + c = - K ,+2Cos(2xW3'

+C

JV x (x 3/2 - 4 )3 dx

0

I = J7 x (x 3'2 - 4 )J dx

Hacemos: u = x3/2-4

diferenciando: du = - x'/2dx 2

=>

3

= xl/2dx

Sustituyendo: 2u4 . ( x 3/2-4)4 . f 3 f 2du^ 2 f 3 . I = u --- =- udu = — +C = ------ —+C

J

8

l 3

)

3J

3(4)

6

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CAPITULO I

O

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

..................................................................................................................................A.-------------------------------------------------------

xdx

\a +bx‘

xdx bx‘

Hacemos: u = a +bx~ du — = xdx b

diferenciando: du = 2 bxdx

Sustituyendo: f d u/(2 b )

l = | --- i— J

O

u

l r du 1 , 1 1 /1 , i u 2l r = — I — = — L n u + C = — Ln a + b x + C 2bJ u 2b M 2b 1

ax +b

í px +q dx

.

r ax ax + +b u J px +q

,

Dividimos:

1 = ---- dx

ax+b

px+q

-ax-aq/p

a/p

b-aq/p

b-ay p ax +b a ------ = — + ----px +q = — f dx

Q

p

px +q

P r px +q

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)

CAPITULO

a ( bp-aq^ f d(px +q) a í bp -aqY , , _ | =- x + r M I —-----¿ = -x+ --- H Lnpx +q+ C q { p2 / px +q q l P J 1

xdx

O

í Vx! +1

i

f xdx

,,

,

r— •= ■

Hacemos: u = 1+x

du = 2 xdx

=>

J Vx'+T

diferenciando:

. — = xdx 2

Sustituyendo:

.

fdu/2

1 e _,/2

' ’ / ^ - =5 Í U

u,/s

_

r -- r

2(T72)+

dx X

10

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www. solucionarlos, net CAPITULO I

(

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

...................................................................................................................... ->

,

^

diferenciando:

— ------

dx

du = — x

v 1/2

. .2

1

I = J x",/£dx +J udu =— - +— +C = 2>/2 +- Uv (x) +C

r xdx

®

^77^8

l-J

Hacemos: u = 8 +x‘

XdX V?+8

diferenciando:

du = 2xdx

=>

du — = xdx

Sustituyendo 1/ 0

rdu/2

J

O

I r -wd

u— _ +c = V8+x2 +C

2J

2(1/2)

dx

I Vl6-9x2 g g ^ S S M iS tK f \

,- f dX -f dX ^ Vl6-9xs^4! -(3 x f

- 1 [ , d(3>

diferenciando:

— = exdx b

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wwi/i/l solucionarlos, net

at .

,kpfe. co.r

4

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CAPITULO i

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

Sustituyendo: I - f du = 1 [du = —Ln|u| +C = —Ln|a +bevI+C J u b1 ' bb

dx

j (x-2)

O

+4

1= f--- ^ -J íx - 2 f+ 4

2

Q

r

Por aplicación de tabla directa:

2

xdx

1(3 +2x2)

+6

I = f --- -----(3 +2x2)2+6

f du/4

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Hacemos u = 3 +2x2

1

' u )

=>

du = 4xdx => -^ = xdx 4

„ 1 f 3 +2x2 , +C = — = Arctg — +C

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¿ JS W

)

CAPITULO I

f Ben(x)dx 1-Cos(x)

Sen( x )dx I =J-—-— — •Cos(x)

Hacemos u = l-C os(x)

Derivando: du

Sen(x)dx

Sustituyendo I = J — = Ln|u| +C = Ln|l -Cos(x)| +C

dx

j« a w a i» ia T I = f /— r = f 0 ,X^X—r J x(x -8) J x (x -8) du = 2xdx

=>

Hacemos u = x2-8

— = xdx 2

diferenciando:

x2 = u +8

Sustituyendo: du _ 1 I - f du/2 _ 2 r du _ i_ r •’ u(u +8) 2 u2+8u 2 J ( U+4)2 _16 2(2)(4)

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fu +4-4^| (u +4 +4 ;

• .'••Hru.com 1

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CAPÍTULO i

— Ln 16

donde: u = x2- 8

x2-8

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

+C

Sec2(x)dx

O

í a +bTg(x)

,Sec2(x)dx

Hacemos u =a +bTg(x)

diferenciando:

J a +bTg(x) du = bSec2(x)dx

=>

^ = Sec2(x)dx

Sustituyendo:

1= í^ r= ^ ir=¿Ln|u|+c=¿1Jl|a+bTs(x)l+c O

, See2(x)dx ■ >6 +2Tg2(x)

j. See2(x)dx _ 1 j-Sec2(x)dx

Hacemos u =Tg(x)

derivando:

U ' 6 +2Tg2( x ) _ 2 ' 3 +Tg2(x)

du =Sec2(x)dx

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J

CAPITULO I

Sustituyendo: i

©

íe

1 f du 1 A * í ur- +C =— j= Arctg ^Tg(x)^ +C ~ 2-^3 +u2 =22V3 J3 { JJ 32 J 2V3 73

I

dx

I =Je 2x sdx = ^ J< :x 5d(2x-5) = ^e2x-5+C • (mediante aplicación de tabla directa)

O

dx

| xLn2(x)

dx

=J xLn2(x)

Hacemos u = Ln(x)

dx du = — x

diferenciando:

1= f ~ - íu ‘2du = -u~’ +C = - - +C = — +C J u2 J u Ln(x) 2X3X

■dx

/tES SSSH E M tf = r ? ^ dx, r J

V

CX‘ Í

J

& c2 / r x \

52(5x)

x = 2 r ^ x = 2 r í ‘ |d)

Sustituyendo: rdu/2 1 r _J . u*1 1 I = — r— = — u du =— +C = —---- ----- +C J u2 2J -2 2(1 +Tg(2x))

O

4dx

í V-4x2 -20x-9

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H

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)

CAPITULO I

4dx ,--ÍV-4x 2 - 20x -9

Completamos cuadrados: 4dx

■=/

^ 4 (- x 2- 5 x - 9 / 4 )

I _ r______ zax______ 2 dx _ r__________ r 2 dx__________ "zax >/-(x2+5x)-9/4

^-(x +5/2)? +25/4-9/4

I = f-p - 2dX= 2Arcsení — J ^4-(x +5/2 )2 l

2

C =2Arcsen| —— ^1 +C ; l

4

r ArctgVxdx

Vx+2x2+x3

,

-

r ArctgVxdx -p= = — W x +2 x2 +x3

Hacemos

=>

du = — --2>/x(1 +x)

/ r-\ u = Arctg Vx => 1

=> 2 du =

(Vx)'dx du = -— --i +(Vx)

>/x (1 +x)

Arreglamos la diferencial (■ ArctgVxdx r ArctgVxdx f ArctgVxdx . 2 _ I = —= = = = = =. — =——f ---- = 2 udu = u +C ^x(l +2x +x2) ^x(1 +x)2 Vx(x +1)

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CAPITULO I

I = Arctg' (V x ) +C

O

dx

í Cos2(x)^1 +Tg(x)

dx

-Sec2(x)dx

Cos2(x)^1 +Tg(x)

-

du = Sec2 (x)dx ;

O

Hacemos

u = l +Tg(x)

^1 +Tg(x) du

I ==fu-"Jdx=i£ - +C = 2,/l+Ts(x) +C

J yju

1/2

. 2x- jArcsen(x)

I ----. —

■ dx

m am m .2 x - >/Arcsen(x)Hv_ , 2xdx 7 l- x 2

r VArcsen( x) ^

W 1-x8

V l- x 2

Hacemos t = 1- x2en la primera integral y u = Arcsen(x) en la segunda.

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)

Diferenciando -dt = 2dx

CAPITULO I

•

du =

Vi-

+c = f tp - - J x/üdu = f t-,,!dt - Ju ,,!du =_ i ü Vt 1 1 1 1/2 3/2 I = 2 V 1 -x 2 -^ [A rcsen(x)]} 2 +C

Ln(x) ,dx — -- 1 J x|1 :[l +ILn2(x )]

r Ln(x) "" x [l +Ln2( x ) ] dX

du = 2Ln(x)— x

Hacemos: u = l +Ln2(x) diferenciando:

=>

— = Lnx.— 2 x

Sustituyendo:

l = / ^ P = | Lnlul +c = ] Ln|l +Ln!(x)| +c

©

26

J

.

(e!“ -l)d> e2x +1

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CAPITULO I

f (e 2x-l)dx f e 'x(e2x-l)dx (ex-e"x)dx |= fi----- L— = f— i---- L — [ i------ L— J e +1 J e 'x(e2x +l) J ex+e'x diferenciando:

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

Hacemos: u =ex+e'x

du =(e* -e~x)dx

Sustituyendo: I =J — = Ln|u| +C = Ln|ex- e 'x|+C

O \Míhldx lr f(x )

f Ln(x)-1 I = f — r—— dx J Ln (x) El logaritmo al cuadrado indica la derivada de ina división, así como el uno en el numerador indica el haber simplificado la expresión derivada del logaritmo.

x Hacemos: u =— 7—r Ln(x)

«

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Ln(x)-x(l/x) Ln(x)-1 diferenciando:du=-----/ \ — -dx = , i< Ln (x) Ln2 (x)

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V

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)

CAPITULO I

Sustituyendo: I = fdu = u +C =— r +C J Ln(x) f g'(x)dx

©

ta r T T V H 'tiW !•5 g'(x)dx | A |UA *=J —— ^¡rdx [S (x )j

Hacemos: u = g(x) difei andando: au =g'(x)c

Sustituyendo:

i 1f — du =Jf U-2du j u"' +^ 1 +C„ 1= =—C =— — J u2

© j

J

-1

g(x)

xLn(x)-(l +x‘ )Arctg(x) dx x(l +x2 )Ln2(x)

El logaritmo al cuadrado indica la derivada de

x(l +x2 ) ü r (x )

una división. La otra función complicada es el arcotangente. Arctg(x) Hacemos: u =--- diferenciando: Ln(x)

dU~

Ln(xtóMí)A rcts‘x) Ln2 (x)

dx“ X + Ln2 (x)X

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dX

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CAPITULO I

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

xLn(x)-(x‘ +1)Arctg(x) du =----- r r — ; --- -dx x(x' +l) ü r ( x ) Sustituyendo: , Arctg(x) I = du = u +C =--- —V 1 +C J Ln(x)

1-xLn(x) xex

*

r 1-xLn(x) . I = f ----J xex

Multiplicando al numerador y denominador por ex

f ex-xexLn(x)

1 = f ------5— ^ d x '

xe

Ln(x) Hacemos: u = — — ex

x

diferenciando:

_ e*(1/x)-e*ln(x) ------ xe!‘

_ e"[l-xLn(x)]

[l-xLn(x)] xe"

I

Sustituyendo:

I =jdu =u+C « H £ U C

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V

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j

gs

f.x*[xLns(x) +xLn(x)- 1 ~| _

W

‘

xLn*(x)

CAPITULO I

< ^X

f xx[xLn2 (x) +x Ln (x)-ll I ------- , > ----- ^dx J x ü r(x )

El logaritmo al cuadrado indica la derivada de una

división. La otra función complicada es x* u xx Hacemos: u = ■ ■ Ln(x)

Ln(x)(xx)'-x ,t(l/ x ) diferenciando: du = — -— — -------- -dx Ln’ ( x )

du= Hacemos t = xx

=>

Ln(x)(x“ )'-x” ( 1 /x) J \ ’ - --- ídx . . . ( 1 )

^ (»)

Ln(t) = Ln(xx)

Y =[x (l/ x ) +Ln(x)]dx

=>

Ln(t) = xLn(x)

=>

dt = t [l +Ln(x)]dx = xx[ l +Ln(x)]dx

En (1): _ Ln(x)(xx) [ l +Ln (x )]-xx(l/ x )^ u=

xx[xLn2 (x) +xLn (x)-l]

dx=

Sustituyendo: I = [du = u +C = - x---+C J Ln(x)

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^

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CAPITULO I

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

m&s.uiHUvwa/ r Vi -x 2Arcsení x) - x

! = [ - = = -------V - ^ - T dx

1-x 2 (Arcsen(x))

V

El Arcseno al cuadrado en el denominador indica la derivada de una división. La función posible en el numerador es x.

x Arcsen(x)-x(Arcsen(x))' Hacemos: u =----- r—r diferenciando: du =---------------;----- dx Arcsen(x) (Arcsen(x))*

Arcsen(x)

,

>/l-x2Arcsen(x)-x

d u = ------------ V l _ x _ d x = l = = ------- ^ - ^ d x

(Arcsen(x))

...(1 )

V l- x 2 (Arcsen(x))

Sustituyendo: = ídu = u +C =--- X +C J Arcsen(x)

O í

g(x)g'(x)dx

_ r S(x)g (x )ac Hacemos: u = l+[*g(x)T diferenciando: .du =2 g(x)g'(x)dx

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j

CAPÍTULO I

Sustituyendo: .

rdu/2

J u'/2

1 r _|/2 . /x

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Hacemos:

Vx =>

du =

Vx

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J

CAPÍTULO I

I = ^JSen(u)du = -^Cos(2>/x j +C = -Cos* (Vx)+C

. Ln(2x) +Ln; (x)

>

3x

, . j N 5 í h i Í L Í i ^ . i J [ Ln(2 )+Ln(x)+Ln, ( x ) ] ^ dx Hacemos: u = Ln(x) =>du =—

= 5 l [ Ln( 2) +u +u’!]du = 5 ^ L n ( 2 ) +j

+ y ^ +C

* = ^Ln(2)Ui(x) +^Ln 8(x) +^Ln 3 (x)+C

Lrt(x)+1/x -dx

ln(x)*l/x

,1/X

I =J — r- d x =j — Hacemos: u = x_1

=>

3— dx » J — du =- x !dx =*

_ g l /X

dx =J — dx X*

-du = ^

I = J e u(-du) = -eu+C = C - e ,/x

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CAPITULO i

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

h!e e' *xdx

0

I = J e '' ee’ +Xdx = J er er' exdx u = e,-r =>

du =er d(ec‘ j

=*

du = ec du =er ec e*dx

= u +C = e"' +C

xb

0

J.

xdx (l +x4)Arctg3 (x2) j« .iiT r H T O M r

| = J---- —---- u ~ 2 \ (l +x4)Arctg3 (x2)

Hacemos: u = Arctg(x2)

du =

1 +( x*) du

xdx

2

1 +x4 -8

I _ f du /2 _ 2 f u-3du = _ 1 L_ +C ------- 5 - t t t +C ' u3 2-J 4 4Arctg‘! (x )

©

Sen(2x)dx

i Cos2 (x) +4

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)

----------------------------- ----------------------- J....................................................................................

CAPITULO I

r Sen(2x)dx ^Cos! (x ) +4

Hacemos:

du =-2Cos(x)Sen(x)dx •=

O

=>

u

= Co s ! ( x ) + 4

-du = Sen(2x)dx

= -Ln(u) +C = -Ln|Cos2 (x) +4| +C

J e xSen(4ex+2)dx

J K H M SM ! =J e xSen(4ex+2)dx

Hacemos: u =4ex+2

=>

du =4exdx

l = JSen(u)^ = - jco s(u )+ C = --C os( 4ex+2 ) +C

4

O

4

4

(x +2 )2dx

í Vx3 +6x* +12x +4 r

(x +2 Vdx Hacemos: u = x3 +6x2 +12x +4 Vx +6x +12x +4

1 = I ~y%

du=(3x! +12x! +12)dx=» — =(x! +4x9+4)dx J

=>

y

=(x +2 )*dx

| « j d u / 3 = 1J u-^clu * | u ,/2+C = ?>/x3+6x2+ 1 2 x + 4 + C Vu 3J 33

g | S01UCI0NARI0 ANÁLISIS MATEMATICO II

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■K(-

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0

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

x:i +x +5 dx x2 +1

I

f x X 3 +x + X +^ 5 l = j — r — dx J x +

,

Dividimos

x'+x +5 -x3 -x

x2 +1 X

5

I =— +5Arctg(x) +C

/l-x2 dx — -dx f---

J

n/3-3x 2

a n n ñ i,Tí i T r (4 +V l- x 2) dx

'-f

>/3 - 3 x*

^ ( 1 -x2) = V

©

3

^3(1 -x2)

>/3 V l- x 2

>/3

Arcsen ( x) +-j= x +C v3

f (x +1)(x2 +l)Ln(x 2 +l) +2x2dx e xdx

J

7T T ~

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)

CAPITULO I

.(x +1)(x2 +l)Ln(x* +l)+2x2dx |= íl--- ----- L A . -- L------ exdx * ye +1 Puesto que la función logaritmo debe integrarse en forma indirecta, se busca un cambio de variable que satisfaga a una derivada de producto triple:

Hacemos: u = xe*Ln(x2 +1)

^

du = exLn(x2 +l) +xe*Ln(x2 +l)+ xe 7 ' ’ x* + 1

du =

(x

+1 ) ( x 2 +l)Ln(x 2 +1) + 2 x x +1

dx

e'dx

1=Jdu =u +C = xe*Ln(x2 +l)+C

75 í &

J^3x 4 +4x3 +6x2 +12x+9(x3 +x2 +x +l)dx

=|V3x* +4x3 +6x2 +12x +9(x 3 +x! +x +l)dx Hacemos: u=3x4 +4x3 +6x2+ 12 x +9

=*

du =( l 2 x3 +12 x2 +12 x +12 )dx =>

^ = (x 3 +x* + x +l)dt

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w 'v v t s d u k p e r o

co m

www. solucionarlos, net CAPSULO,

i

1

EDUARDO ESP1NOZA RAMOS «

1

6/5

1= fV ü d ü / 1 2 = — f u ,/5d u = — 7 ----r + C = — (3 x 4 + 4 x J + 6 x 2 +12x + 9 Í J 12J 1 2 (6 / 5 ) 72 1

©

+C

í xjLn[l_n3 (Ln(x))J¡ dx Ln[Ln(x)]Ln(x)

jw e g P B ijia f I = f —jr— F-------- ^ — -----r----- Hacemos: u = LnjLn1 [Ln(x)l¡ xjLn^LiV (Ln(x))J|Ln[Ln(x)]Ln(x)

=>

{Ln:

du xdx — =—3— 2 x +1

udu “2 I =3Arctg(x) +J^-^ = u +C = 3Arctg(x) +— +C

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"l CAPITULO

VI-x

xdx

>/l-x4

Hacemos: u = x2

du = 2 xdx

=>

=>

du

A

~2 ~= xdx

ir = x

,_ r du/2

1

. .

i

7 j7 7 - 2 Arcsen(u) +c=2Arcsen(x2) +c I = 3Arctg(x) +1 Lne(x 2 +1 ) +C

0

vx -4x +13

W fí'T Y ñ U M P * ._ f

(x - 2 )dx Vx! - 4x +13

Hacemos: u = x! -4x +13

du .

du =(2x-4)dx

*

— =( x - 2 )dx f du /2

1 f .1/9,

J VJ " 2J U

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1 ul/2 1 n 2 ^T72/ C = >^

"

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-----------

4x + 13 + C

------------ — -------

w\vw edjkp«ro.com

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) CAPITULO I

Sustituyendo: 1= fdu = u +C = - - ^ +C 3 Sen(x)

Ln(x)dx (1-Ln- (x))x

r

Ln(x)dx (1-Ln2 (x))x

Hacemos:

u = ü r (x)

du = -2Ln(x)—x

2

diferenciando:

=*=Ln(x)v ' x

Sustituyendo:

i=- / ^ =4 u' (u)+c=4 Lnti ' Ln' w ] +c x3dx

— Hacemos: u = x4 =*

1 =í T = = 7 vi -x

.

I=

0

íe

r du/4

4

du = 4x3dx

1 / . 1 . = - Arcsen(u)+C = -Arcsen(x4) +C

e'dx - 6ex+13

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=>— =x3dx•u

www. solucionarlos, net CAPITULO I

C~EDUARDO ESPINOZA RAMOS

..........

-X

f ^ Completamos cuadrados: I = ----- -5-----(e* - 3) " 9 +13

p xdx

I = f --- -----J e2x-6ex+13

Hacemos: u = ex-3

=>

du = evdx

I=f = 1 Arctg £ +C = - Arctg J u +4 2 \ 2 J2

+C

Sec2 (x)dx ^Tg2 (x) +4Tg(x) +l im rg r« T ?if I=f

Sec (x)dx ^Tg2 (x) +4Tg(x) +1

Completamos cuadrados:

^ ,

Sec2 (x)dx >/[Tg(x) +2]2-4 +i

Hacemos: u = Tg(x) +2

diferenciando: du = Sec~(x)dx

Sustituyendo: |= f - ^ = r = Ln(u +Vu2-3) +C = Ln[Tg(x) +2 +^[Tg(x) +2 ]'- 3 ] +C Vu-3 v / V / I = Ln^Tg(x) +2 +^Tg2 (x) +4Tg(x) +1j +C

f (2x +3)dx ®

J

«

v---------------------------------------------- --------

n/T^T

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r

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j

CAPITI

É ta m m a m f f (2x +3)dx f 2xdx of dx J rr~ : = I rz— + 3 1~rf= vx +1 J Vx2+1 J VxF+1

, „ Hacemos: u = l + x‘

diferenciando: du = 2 xdx Sustituyendo:

1 = / ^ +3Ln ( x +Vx2 + 1 ) = J u ',/2du+3Ln ( x +>/x2 +1 ) = 2 u,/2 +3 Ln (x + >/x2 +1 j + C I = 2>/l +x2+3Ln(x W x 2+l ) +C

i_ f dx f e'*dx 1 = I — ¡— ; = ~r=--e " V l- e

Hacemos: u =e"*

‘ y lu P *

diferenciando: du = e *dx

Sustituyendo: •=J-^¡= = = Arcsen(u)+C = Arcsen(e~x)+C

©

j.

dx

V5-4x-x 2

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CAPITULO I ......................................................................................................................

r I = [

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

V--------------------------------------------- --------------

dX ■ —

. f I = I

C o m p le t a m o s c u a d r a d o s :

V 5 - 4x - x 2

dx .

=====

y 5 - (4x + x

I=f i

[

^ 5 - (x + 2 ); +4

)

■■■------ = A r c s e n í + C ^ 9 - ( x + 2 )"

v

'

í Vl5 +dx 2x-x2

.«Bwcwnrar.T«f I s=f

dx

Completamos cuadrados:

I = f -7=======

Vl5 +2x-x! |= f

O

^15-(xs -2x)

dX -f dX - a r ^ n í ji- J L r ^15-(x-1)s +1 Jl6 - (x - 1 )! 3 '

dx

í Xyj4-9U\2(x) f < • dx |= |— ---x^4 -9Ln2 (x) . l = I- —

du = - |

1 r ,

d (2u) ■ —

/ \ Hacemos: u = Ln(x)

=>

dx du = — x

1 f 3u^ _ 1 . í 3 L n (x ) | = - A re se n — + C = - A re se n —

3

U J

3

2

J

+c

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O

í

j

C^P.TULC

e xdx

V2-e2x +3ex

« T O i'W r exdx

■-Í

Completamos cuadrados:

y / 2 - e 2*+3e*

exdx

^ 2 -(e*' -3 e")

=/•

^17/4-(e*-3/2)

Hacemos: u =ex - 3 / 2 du

>/l7/4-u* I = Aresen

exdx

exdx

^ 2 -(ex-3/2 )2 +9/4

du =exdx = Aresen

7)7/2

' e* -3/2> , VÍ7/2 ,

©

"J

+C = Aresen

+C

2ex- 3 l

+C

Sen(x)dx

1>/2-Cos2(x) f Sen(x)dx l _ J ^ ~ Cos¿ ( x)

Hacemos: u = Cos(x) diferenciando: du = -Sen(x)dx

Sustituyendo:

-du '=/ y/2-t? = -Aresen

|

.Js)

+C = - Aresen

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h

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+C

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CAPITULO!

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

dx >/5-6x-9x2

dx

' - l V5-6x-9x 2

i-j.

Completamos cuadrados:

dx _______________

1f

^ 5 / 9 - ( 2 x / 3 + x 2)

3

dx

'- í dx

dx ^ 5 / 9 - ( x + l / 3 ) 2 + 1 /9

____________ 3

^ 2 / 3 - (x +1 / 3 )

„ 1 A f 3x +l^ r fx +1/3^ 1 I 3x +l +C = -Arcsen — ¡=- i+C ! _ -• +C = -Arcsen — t= = - Arcsen 3 l v/6 J l 7273 J 3 UV273 3

dx

O I V 12x-9x2 -2 jg E S M íE M dx

■=í V12x-9x2 - 2 !

Completamos cuadrados:

1 f

dx

'■ í ^9(4x/3-x 2 +4/9)

dx________ _ ] r __________ dx

~3-> /-2/9-(x 2-.4x /3)

3 >/-2/9-(x-2/3 )2 +4/9 dx

l =l f ^J 3 ^2/9-(x-2/3)¿

Cos(x)d> - Sen2 ( x) +3Sen ( x )

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r I = -7 —

J

CAPITULO I

Cos(x)dx

rr.v, - Sen2 ( x) +3Sen ( x) I

r

Completamos cuadrados:

Cos(x)dx

yJ-2 - Sen2 ( x) +3Sen ( x) Cos(x)

í

-I

[Sen2 (x)-3Sen(x) . f I =J

Cos(x)dx ■ >/l/4-[Sen(x)-3/2 ]2

]

r

Cos(x)dx

J h - \ [Sen2 (x)-3/2] 2 +9/4 , v Hacemos: u = Sen (x )- 3 / 2

du = Cos(x)dx du

I = f~7= -U-

= Aresen —

W l/ 4 - u !

©

J

+C = Arcsen("2Sen(x)-3] +C L J

dx n/9x !

-6 x +2 M

, r dx I = y." =• V9x2 - 6x +2

■-1 f

B

f l í

„ , , Completamos cuadrados:

*

3 ^(x-1 /3 )2 -1/9 +2/9

-*[

, f Cos(x)dx I = --■■ ■ ■ ^9(x! -2x/3 +2/9) dx

3 ^ (x - l/ 3 )2 +1/9

I = ^Ln|^x-1 /3 + ^ (x - l/ 3 )2 +1/9 j +C = ^Ln|3x-1 + V9x2- 6x + 2 j+C

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www. solucionarlos, net F.DUARDO ESPINOZA RAMOS «

CAPITULO i

3dx

í \yj4Ln‘ (x) +9 ám m sM sm dx

3dx

Hacemos: u = Ln( x) =>du = —

•-i x^4Ln2 (x) +9 ,.r

du

1 r

x d (2 u )

1

« Ir - ja S L .ifa u + V ^ I+ c '/4ui -9 2 yj(2u)‘ -9 2 = ~ üi^2Ln(x) +^4Ln (x )- 9 j +C

xdx

i------ “

>/x4 +6x2 +5

I=í

3xdx __

Completamos cuadrados:

I = 3í ----

( x2+3) - 9 +5

J Vx 4+6x2+5 Hacemos: u = x2 +3

diferenciando:

du =2xdx

du =* — = xdx

Sustituyendo: I = 3 j - ^ Ü = 2[j)ju + Vü^~-3) +C = ^Lní x2 +3 +^(x" +3)‘ - 4 V e

I = - En |x? +3 +Vx*’+*6x2+5 j +C

99.

dx x +px +q

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I

_____ _

------------------------------------- -------------------------------------i _ ......................................

| =J

_ V* +P* +Q

CAPITUU

Completamos cuadrados:

I= í — — ^(x-p/2) 2 -p2/4 +q

l = Ln( x-p/2 +>/(x-p/2) 2 +q-p2/4 j +C = Lnj^x-^ +7x2+Px +Q j +C

e'dx

© J >/l +ex+e2x ilf^ T T P IÍIlff i f exdx I = -7--— —■ ' /í^

„

,

. e>xdx Completamos cuadrados:I=í-

^

^(e’ +1/2)* —1/4 +1 Hacemos: u = ex+1 / 2

=>

du =exdx

1= f-F=^~---= L n íu W u 2 -t-3/4 ) +C 1 J Vu2 +3/4 1 l = Lníex+^ +Ve2x +ex+ l] +C

dx V-26-16x-2x"

dx

I = í ~r

Completamos cuadrados:

I = í ——

V-26-16x-2x2 »- 1 f >/2

1 f ^ - 1 3 - (x 2+ 8 x)

dx

^2(l3-8x-x2)

&

dx ^ - 1 3 - ( x + 4 ) 2 + 16

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_ 1 f ^

dx ^ ( x

+ 4 )*

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CApmjL0,

x +4 = -==Arcsen I T ■Ji

®

f

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

+c

Ln(x)dx x^1-4Ln(x)-Ln 2(x) j^ á S ü á ílliM f I =f

Ln(x)dx

Completamos cuadrados:

x>Jl-4Ln(x)-Lnsí(x) Ln(x)dx x^1 - [ü r (x)+4Ln(x)J Ln(x)dx

«-Í

'=J

. dx du = — x

Hacemos u = Ln(x) +2

x^1-[Ln(x) +2 j +4

(u - 2 )du n/5-u2

I=f J

j. udu

p< • du

W 5-u2

y¡5-ü¡*

2 Arcsen Vt

Hacemos: t =5 - u2

+C = - - f t_,/ydt —Arcsen 9J

dt = 2 udu r_ u _ >

+C

I = Vt -2 Arcsen ~ +C = VíTm/ - 2Arcsen +C [y/5 J S j I = -^5-[Ln(x) +2]‘ -2Arcsen

I = -^1 -Ln2 (x)-4Ln(x) - 2Arcsen

w w w e 3 u k p e r u .c o m

Ln(x) +2 '

+c

'Ln(x) +2'

+C

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f,

J

CAPITULO I

Cos(x>dx

yjSen2(x) +Sen(x) +1

r Cos(x)dx I = -f.. = VSen2 (x) +Sen(x) +1

Completamos cuadrados:

l =f -----Cos( x)dx---[Sen(x) +1 /2]‘ +3 /4 =*

Hacemos u = Sen(x) +1/2

du =Cos(x)dx

I = j-j=J Í ==r = Ln|u +Vir +3/4 j +C = Ln^Sen(x) +1/2 +^[Sen(x) +1/2]~ +3/4 j+C

I = Ln|Sen(x) +1/2 +^Sen2 (x) +Sen(x)+1 j +C

Sec2 (x)dx 7 TS! + T s (x )+ 1

it c n m t a r n r M a r , r I=

Sec2 (x)dx

• ^Tg2 +Tg(x) +1

Completamos cuadrados:

Sec2 (x)dx

|

>/[Tg(x) +l/ 2 ] 2 -1/4 +1

Hacemos u = Tg(x) +l/2

Sec2 (x)dx ^[Tg(x) +l/ 2 ] 2 +3/4

diferenciando: du = Sec2 (x)dx

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capítulo i

Sustituyendo: I = f- r - - J—= = Lníu +Vu" +3/4 ) +C j yju2+3/4 r>/A V I

__ I = Lnj^Tg(x) +1/ 2 +^[Tg(x) +1/2 j' +3/4 J +C I = Ln|2Tg(x) +2 +^Tg' (x) +Tg(x) +1j +C

jm k

r (3x +1)dx ^ V5x2 +1

^

M ubj r a ,

f (3x +1)dx j >/r ..22 + . 11 /5x

.... u

f 3xdx JJ V5x2+1 /c„2 . 1

___ . r 1 f d( ^ x)

Hacemos: u = 1+5x

n/5 J n/5x 2+1

diferenciando: du = lOxdx

Sustituyendo: _ |3duTlO +

1 in |>/5 X +V5 x" +1J =^ J u’’ ‘du +-J=Ln(\/5 x +>/5 x* +1j I = — u,/2 +-7=Ln(>/5 x +>/5x2 + l) +C 10 V5 ' ' ' I = —>/l +5x2 +-]=Ln(>/5x +>/5x2 +1) +C 5 V /

tTT

&

( 6 -x)dx

í >/4x2-12x +7

■

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i-------

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I

CAPfTULO I

(6 x)d*— J >/4x2-12x +7

I= f

Hacemos: u = 4x2 -1 2x + 7

du =(8x-12)dx

=>

diferenciando:

, ^ = (2x-3)dx

Sustituyendo: 1 j. (2x-12)dx

_

2* V4x2-12x +7 ~

1 j« (2x-3)dx

^ 9 r _______ dx_______

2 J V4x2-12x+7 + 2^ ^ 4( x* _ 3x +7 /4j

( _ 9 r __________ dx____________ 1 f du/4 4 ^ (x - 3 / 2 ) -9/4 +7/4

I - Qf

f

d X

4 y j [ x - 3 / 2 f -1/2

Vü

--- 1— u,,?

dx

4 ^ (x - 3 /2 )*- 9 /4 +7/4

| - 9

2

8( 1/2)

- l . / i t w « - 1 0 v ^ 7

4

l = ^Ln^x-3/2 +^ (x - 3 / 2 )2 -1/2 j--j-V4x2 -12x +7 +C

l = ^Ln|2x-3 +>/4x2 -12x +7 j- ^ V 4 x 2-12x + 7 +C

4dx Cos(x)Vl-Sen(2x) +2Cos2 (x)

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capítulo i

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

Dividimos entre Cos2 (x)

I = f _______ 4dx Cos ( x) ^1 - Sen (2x) +2Cos2 ( x ) 4dx/Cos2 (x)

|

¿ r r A >/l-2Sen(x)Cos(x)-2Cos- (x) LO S i X I

. ____________ 4Seca(x)dx____________ _ i*_________4Sec2 (x)dx_________ — , Jl-2Sen(x)Cos(x)-2Cos 2 (x) l l - 2Sen( x) Cos( x) - 2Cos (x) Cos(x)^ v '¡ v ^ Cos* (x)

4Sec2 (x)dx

f

_ r

1 _ ,’ > /Sec2 (x)-2Ts(x) +2

4Sec2 (x)dx

4Sec2 (x)dx

,

^ l +Tg2 (x)-2Tg(x) +2

>/Tg2 (x)-2Tg(x)+3

Hacemos: u = Tg(x)-1 =>

du = Sec2 (x)dx

Completamos cuadrados: |= f

^ eC ( x)dx ^ [T g (x )- l] -1+3

I = 4 Í - ^ Í = =4Lníu +Vu2 +2j +C =4 L n ílg (x )- l- ^ [T g (x )- l] - 2 I +C >/u2 +2 ^ ' l =

__ ®

4Ln(Tg(x)-l +>/Tg2 (x)-Tg +3)+C

f Cos2 (x)rTg 2 (x) +l]dx

1

^Sen(x)+Cos(x)]*

w wwedukperu com

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)

CAPITULO I

iw - T T n m ^

■Cos? (x )[T ÿ (x )+ l]d x

IS e n 8( x ) + C o s » ( x ) ] d x _______ ^ _______

[Sen(x) +Cos(x)]‘

[Sen(x)+ C os(x)J

[Sen(x) +Cos(x)]!

Dividimos entre Cos2 (x) I

r

UA /

^A

J

*

[Sen(x) +C o s(x )J

Sen(x) +Cos(x)

Cos2 (x)

Cos(x)

Hacemos

u =Tg(x) +1

=>

[ l +Tg(x)]S

du = Sec2(x)dx

1= J-^ = j V 2du =-J. +C =--- _ L — +C J u J u Tg(x) +1

u C Sec(x)-Tg(x)

. 1/Cos(x)-Sen(x)/Cos(x)

_ . I l-Sen (x)

J VSec(x) +Tg(x)

^ 1 /C o s(x ) +Sen(x)/Cos(x)

J J l +Sen(x)

Multiplicamos por la conjugada del denominador: = r [l- S e n (x )][l- S e n (x )l J ^ [l+ S c n (x )][l- S e n (x )]

a

|[ l- S e n (x )]^ f [l-Sen (x )]d x ' ^ [ l - S e n ! (x )]

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J

^Cos'(x)

www. solucionarlos, net CAPITULO I

(

f [l-Sen (x )]dx

f

dx

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

fT ,

:-í c S ( í j - / T8(x)d> I = Ln¡ Sec(x) +T g(x)l-Ln[Sec(x)] +C

__ ®

,

(8x-3)dx

J 7l2x-4x»-5

l = f - ~ = = L = Hacemos: u = 12-4x2-5 J V12x-4x2 -5

diferenciando: du = ( 1 2 - 8x)dx =* -du =( 8x - 1 2 )dx

Sustituyendo: ( 8x - 1 2 )x

' -J V 12x-4x*-5 dx ' =9 Jí

2 ^-(x 2 -3x)-5/4

dx ^ 4 (3 x - x 2- 5 / 4 )

r-du _ 9 r dx J . C —9 J >/ü 2 ^1 -(x-3/2)

= - Arcsen(x-3/2)-2>/l2x-4x2 -5 +C

1= - Arcsenf ^--■ ^'i~2Vl2x-4x 8 -5 +C

2

1 2

dx

&

í Va2 +tr

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)

CAPITULO I

___ , c I=

1 r

dx

____d(bx) 1 n —z n .-■■ = = —Ln bx +1 +Va +b'x +C

J > / ¡Ñ w

b

Cos(ax)dx

©

Í ^a2 +Sen2 (ax)

f Cos(ax)dx ' =J " r r — ^a +Sen (ax)

Hacemos: u = Sen (ax) V-

. => du =aCos(ax)dx V '

I = J ^ = = = = ^Ln|u W u * +a2 ) +C = ^Ln|sen(ax) +^Sen2 (ax) +a? ) +C

jV x 2 +2x +5dx

I = jV x 2 +2 x +5dx

Completamos cuadrados: 1 = J^ (x +1)2 - 1 +5 dx

l = |^ (x +1 ) ’ +4dx = i i i ^/(x + 1)* +4 +- U i

I

=

V x 2 +2x

+5 +2Ln

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X +

1+>/(x + 1 )2 +4 +C

x +1 + >/x2 + 2 x

~

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+5 +C

v.-.v. •

i P^rj CD-

www. solucionarlos, net (

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

capitulo i

m iM r = J >/2 - x - x2dx

Completamos cuadrados: I =- (x 2+x)dx

l = J ^2 + [ ( x + l / 2 ) 2 - 1 / 4 ] d x = | j 2 -(x + l / 2 ) 2 + 1 / 4 d x = J ^ - ( x +l/2 fd x

u x^ 2 J 9 _ (x+1/2)! +9 M ^

( 2 | 1 /2 J +C

_ 2x4 1^2-x-x1 +- Arcsenl 2x + ^ I+C

x2 +xdx

I = J Vx! +xdx Completamos cuadrados: I = J^ (x +1/2) -1/4dx l = £ ± ^ ( x + 1/2)J - 1 / 4 - l ^ L n | x + 1/2 +v/(x + l/2)! +1/4

| , 2í± 2 ^ x ! + x-ÍLn|2x +1+2>/x! +x +C 4 8

{££)

JV x 2 - 2 x +2 dx r .s o L u c i » = J 7 x 2 - 2 x +2 dx

www.edukper

Completamos cuadrados: I = J - J ( x - I ) - 1 +2 dx

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1

CAPÍTULO I

+ ldx =

I =J

>/(x-l)‘ +1 + ^Ln x - 1 +^ (x - 1 )? +1 +C

l =— >/x2-2x +2+-Ln x-1 + V x2-2x+2| + C 2 2

jV x 9 -2x-3dx

^|J¡)

I = J>/x^-2x-3dx

Completamos cuadrados:

1= J^(x-1)2- l-3dx

l= J^ ( x - lf- 4 d x = ^ y í^ (x - 1 )t - 4 - |L n x - 1 + ^ (x -1)! -4 +C

I=

Vx2 -2x-3 -2Ln x-1 +Vx2 -2x-3 +C

J \lbx-x¿ dx Vi I = JV 6x - x 2dx Completamos cuadrados: I = J^-(x 2 - 6x)dx I = J J- |(x - 3 )' -9|dx = J y¡9 - (x - 3 f dx x-3 r ----r 9 1= -—- v'í)x - x’ +-Arcsení -—-)+ C 2 2 l 3 J

dx i V x - 1 W x +1

«a

I

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO NÁL MATIC a.

■ •

x#

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{

i

dx '--i-V x - Í +>/x + 1

Por conjugada a! denominador:

7T)dx ^

( ^

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

f ( V ^ T - V x 7 i)d x

+v ^ ) ( 7 ^ T - ^ ) =-í ( ^

f - ( ^

f (V ^ i- V ^ 7 T )d x

) í= J

x - '- x - '

l = i J ( x +1 )''! d x - i f ( x - 1 )w = I(x +i r - I ( x - l f +C

_aEÜ SSE2l dx

Por conjugada al denominador:

■-Í-V 2 x + Í-V x (>/2 x +l +>/x jdx ^(n/ V x )(V 2 x +1l + +n/x) (>/2 x +l1 -Vx Vx )

Í>/2 xTT +Vxjdx

ÍV 2 x +1 +>/x j

(V22xx+ (V +l )TV-(VxV - (V x )

2 x+ 1 -x

r V2 x +1 dx

r Vxdx

=J " T ^ r +J " Í Í T En la primera integral: u‘ = 2x +1 x= En la segunda integral: t 2 = x

u2- l

dx - udu dx = 2 tdt

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO II 1 ^ |

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)

CAPITULO I

Sustituyendo: , ViZ(udu) ■ ’ (u 2 -

f VtF ( 2 tdt) _ , 2 u2du

1 ) / 2 +1

ts +1

J u2 +1

r 2 tgdt ^ t'+ l

f (u + 1 -l)du . (t 1 —1 )dt du at dt = 2 Í---- 5-- +2 p ------ 5----— = 2 f du - 2 f -4 — +2 f dt - 2 f -j— J u +1 t‘ +1 •' • 'u + l J t +1 I = 2u-2Arctg(u) +2t-2Arctg(t)+C I = 2V2x +l -2Arctg(>/2x +1) +2>/x -2Arctg( >/x) +C

^2)

J x2Scn — = u dx 2

= x2SCT,f d u ^ r H|| w J

u

Ln(u) + u+C = Lnf | jLn|Ln(5x)j + Ln(x) + C

dx

ex+4 ^ n n ta r .T M f

f dx

c

dx

f e Xdx

Hacemos: u = 1+ 4e

■J ex+4 “ ■ >ex(l +4e‘x) ” -’ 1+4e-x Derivando: du = -4e *dx

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du

.

----- = e dx 4

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J

CAPITULO I

dx >/Vx+7 jH E L L S 3 2 IíC B 2 f

,

r

dx

1 = I ~r— ¡=

Hacemos: x = u => dx = 2udu

Vvx +1 i f 2 udu I = I -7 = = Vu +1

l= j ! M

AU „ Ahora: t = u +1 => du = 2tdt

! ^

= 4j (t, _ 1 ^

= 4 r e _ t v c = 4 (u+ ])„ _ 4^

+

| = i ( ^ +l) ‘,3 -4>/7^T +C

ám m m nnm / Hacemos: u = 2x+3

diferenciando: du =2xLn(2)dx

Arreglamos la diferencial para poder hacer cambio de variables. Multiplicamos y dividimos por 3 y luego sumamos y restamos 2X. !_ (• dx _ 1 r 3dx _ 1 , (2*+3-2*)dx 2X+3

3 J 2x+3

3J

2X+3

}

1 f 2xdx

3^

3 J2 x+3

___________ _______________ SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO II

'

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-e-j r.or

www. solucionarios. net (

......... .................................................................

CAPITULO 1

EDUARDO ESP1N0ZA RAMOS «

........................-v--------------------------------------------- ------------------------------

Sustituyendo:

1

d u ^ J

3

1(2, +3)+c 33Ln(2)’

=l x _ u

dx :Ln(2,,)Jln (x ) +yjin(x) +Jin (x ). .00 -x

dx V JA Íeü'i2*^ ILn(x) +yjLn(x) r < ^ +,jLn(x).

.OC -x

dx

2yjLn(x) +yjin(x) +yjin (x )... qo - 1

________________________ Hacemos: u = ^Ln(x) +^Ln(x) +^Ln(x)... qo u2 =Ln(x) +>|Ln(x) +^Ln(x) +> /Ln(x)... co u2 =Ln(x)+u

diferenciando: 2udu = — +du =s> — =(2u-1)du X

x

Sustituyendo: = f (2u 1^dU-= ídu = u +C = Jin (x )+ J ld ( x ) +Jlñ (x ) J

>v.vw.edukperú corn

2u -1

J

qo +C

v

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J

vArlTU LO I

x5dx

eru.corr

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e

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

CAPITULO I

1

, x 1

1 f ( 6e2x)dx

i

1 f du

i

|._U ,(„)_- Jd x +5J 1 ? r - 3- 5li.(u)--x+5J-¡r u I l ü1 (u) - i x+c . I l U l( 3 e - - 4 ) - Ix +C

I - f —— —

Hacemos: u2 =e*-1

dx = 2 udu ex

^

diferenciando: 2udu = exdx

pero:ex =u2 +1

=>

dx = ^ u +1

Sustituyendo:

1 _ f — 2udu y

+i ) ^

= 2 Í- ^ - = 2Arctg(u) +C =2Arctg(>/ex- l| +C J uí +i ' ;

e‘ Vex+2 dx ex+6 j

^ ¡2 ¡2 ]2 M Í

exVe* +2dx — ------ex+6

., 2 x.0 Hacemos: u = e +2

diferenciando: 2 udu =exdx

. X _ . ,2 p e r o :e *-u- 2

Sustituyendo: |= [ u( 2 u)d» = 2 r j M L s 2 f ( u8^ - 4) du =2 f du- 8J du •’ u2-2 +6 J u +4 ■ * u“ +4 • ■ * x +4

i.

.

.

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CAPÍTULO I

Ve ‘ +2

2u - 4Arctg Í ^ I +C = 2>/e*T2 - 4Arctg

+C

y

V

e2>dx

if f T IT T r 'T i e2xdx

Hacemos: u2 = ex +1

>Jex+1 diferenciando: 2 udu = exdx

pero:e*=u2- l

Sustituyendo: |= J^

, ( u>-l)(_2u)du =

^

1= ^ - - 2u + C = ^(e" + l ) M - 2 V e ” + 1 +C

Ln(x)dx [Ln (x )- 1 ] 3 jK a jü á L M f

i f

Ln(x)dx

f

Ln(x)dx

“ J TTFTTT-TT t5"~ J i x3 [L n (x )- l] [xLn (x )-x j'

Hacemos: u = xLn(x)-x

dx du = x—- +Ln(x)dx-dx = Ln(x)dx

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*

www. solucionarlos, net {

CAPITULO I

i = Jí “U37 = Jf u d ü = i 9r +c =

+Ln(x! + 1 ) # ^

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

+c=2[xLn(x)-x]‘

+C

2x? [L n (x )- l]

’ +-J7^\

1 -------V 1x : '+,W/e +x2 e -x -1

> ' 1 ------dX

, 7 ¡F ^ ie A'‘,'!W +Ln (x! +1

' —------ dx I = [ ------Vx2 +We* +x2e* -x' - 1 Ve* - l e ^ * ' +^x* (ex -l)Ln(x* +1) +Vex-1

dx

Vx2 +l^ e x(l +x2 )- (x 2 +1 ) + xLn(x2+ l)+ l] ^

'- J

dx =J

, /_x Vx2 +W x 2 +W e ' - 1,

f eA« e ^3(x) x|

r e ^ + xLnfx2+1)+1

f xLn(x2 +1)

■r

l= í ^ 7 7 dx+í

X‘ +J

x+ 1

f dx dx+l x +1

En la primera integral:

u = Arctg(x)

=>

du =

En la segunda integral:

t = Ln( x2 +1)

=>

dt =

.edtjkperu.com

dx

dx

1 +x2

2 xdx 1 +x2

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)

CAPITULO

I = eA'°s,x) +1 lti2( xs +i ) +Arctg(X)+C

JSen(a +bx)dx ja^-:onwro^MMr I =J Sen(a +bx)dx = -j-JSen(a +bx)d(a +bx) = -Cos(a +bx) +C

f Sen[Ln(x)]^

J

v

u f Sen[Ln( x) ] dx

1

Hacemos: u = Ln(x)

X

=»

v '

du = * í X

I = |Sen(u)dü = -Cos(u) +C =Cos[Ln(x)] +C

JxCos(2-x2)dx

I = JxCos(2-x2)dx

Hacemos: u = 2-x

l = |C o s (u ) d u í-y j = -is e n (u ) + C = -^ S e n (2 -x : )+c

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EDUARDO ESP1 NOZA RAMOS «

CAPITULO I.......................................................................................................................................... A—

jjp

J Sen5 (4x)Cos(4x)dx

I = |Sen 5 (4x)Cos(4x)dx

Hacemos: u = Sen(4x)

du =Cos(4x)dx

T

=> du =4Cos(4x)dx

l = f u f ^ ] = ^7 u6+C = — Sen^xj +C

=>

ffitiw n n M r

'■

M

Hacemos: u = Tg| -

- ldx

lK

13

f

Sen(x)Cos(x)

x 'ldx

3J 3

=3ju’du =|u *+C=f Tg< í|l+c

dx

3du =Sec2

du = Sec2

^

VCos2 (x)-Sen 2 (x)

M i

f

W

ñ '\ M

Sen(x)Cos(x)

^

^ VCos2 (x)-Sen 2 (x)

f

2Sen(x)Cos(x) =dx 2VCosz(x)-Sen 2 (x)

Puesto que: Cos(2x) = Cos2 (x)-Sen*(x) I^

^ n (2 x )_d x 2^Cos(2x)

;

Sen(2x) = 2Sen(x)Cos(x) Hacemos: u = Cos(2x)

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CAPITULO I

rjy

du = -2Sen(2x)dx

I =- - f dui .-2 = - - [ u~l/:¿dii =— —!— -u' 2 +C = - - JCos(2x) +C 2* ^ 4J 4(1/2) 2V v '

=>

$

— — = Sen(2x)dx

J Cosí Sen(x) +2x][Cos(.x) +2]dx

1= JCos[Sen(x) +2 x][Cos(x) +2]dx

Hacemos: u = Sen(x) +2x

du = [Cos(x) +2]dx I = JCos(u) =Sen(u)+C = Sen[Sen(x) +2x] +C

|Tg(Sen(x) +5)Cos(x)dx ;

1 = jTg(Sen(x) +5)Cos(x)dx

Hacemos: u = Sen(x) +5

=>

du = Cos(x)dx =>

•

&

1= jTg(u)du = Ln[Sec(u)] +C = Ln[Sec(Sen(x)+5)] +C

\ See2 [Cos(Ln(x))]^

-^ X)] dX

I = JS e c * 1 Cos(Ln(x))"¡---E— — -—

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""I

Hacemos: u = Cos[Ln(x)]

.

,

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CAPITULO i

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

-SenÍLn(x)]dx => du =-----------x I = -JSec 2 (u)du = -Tg(u) +C = -Ts[Cos(Ln(x))] +C

JCos[Sen(x)]Cos(x)dx

1= JCos[Sen(x)]Cos(x)dx

Hacemos: u = Sen(x)

=> du = Cos(x)dx

1 = JCos(u)du =Sen(u) +C =Sen[Sen(x)] +C

2du =

dx 7?

= JSen(u)(2du) = -2Cos(u) +C =-2Cos(Vx) +C

r----r

,

3dX

Hacemos: u = V3x +1 => du =— ,

2\3x +1

2 ,

dx

-du = 3 v 3x +T

www.eaukpei-j.corr.

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=*

)

I = j T g ( u ) ^ ^ j = |lji[ S e c ( u ) ] + C = | L n [s ec (V 3x + 1 )]

J E dx — x

—

f

. . Hv Hacemos: u = Ln(x) => du = — v ' x

=> l =JCtg(u)du = Ln[Sen(u)] +C= Ln[Sen(Ln(x))] + C

I = Í Tgí ^Lnf x) ) — 1x-^Ln(x)

Hacemos: u = VLnx

=> 2du = — x^L^)

=> I = JTg(u)(2du) = 2Ln[Sec(u)] + C = 2Lr|sec(>/Ln(x))j +C

dx

$

I Cos (1 —4x)

,

f ____ d x _____ 1 f J C os 2(1-4 x )

d(-4x)

4 J Cos 2(1 -4 x ) ~

1 - d (l- 4 x )

]

4 J Co s ? (1 -4 x )

^ T s ( l - 4x)cbc

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'

www. solucionarlos, net EDUARDO ESPINOZA R A M O S « ___________ CAPITULO I

CosJ (x)dx

I l-Sen(x) JM PCTTratiflM rf r Cos3 (x)dx _ f Cos*(x)Cos(x)dx _ fl-Se n ; (x)]Cos(x) ' " J l-Sen (x )

J

1-Sen(x)

‘

Hacemos: u = Sen(x)

J

l-Sen(x)

du = Cos(x)dx

,["l-u2]du r ( 1 -u )(1 +u)du f . . u r | =j L _ _ J _ =| i ¿ L _ í _ = J (1 +u)du = u +Y +C

j |

, „ Sen2x _ I = Senx+— -— +C Cos2x I = Senx--- -— +C,

©

Í l +Cos(10x) ic w a m r r a iiT M r _ f dx *1 +Cos(10x)

r dx 31+Cos[2(5x)]

i-__________dx_________ l +Cos2 (5x)-Sen‘ (5x)

r _________dx_________r___________dx________ r______ dx--- +C J l-Sen 2 (5x)+Cos*(x) J Cos2 (5x) +Cos2 (5x) J 2Cos: (5x) J _ .

d(5 x)_

2 (5 )JC o s 2(5 x)

«S »

} 10

>

í 4 +5Cos dx 2 (x)

—— —

———

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)

CAPITULO I

ig M R iiw ir r iM í

r dx •= J - - 5Cosg ^^ ^

Dividimos entre Cos2 (x) cada término:

f dx/Cos (x) f Sec2 (x)dx ^ 4/Cos*(x)t5 = M S ec 1 (x ) + 5

E" el denominador:

Sec8 (x) = 1+Tg2 (x) f Sec2 (x)dx f Sec2 (x)dx , v =^ [ i +TS’ ( x )]+ 5 =W ( x ) h-9Hacemos u = Tg(x) =* du = Sec‘ (x)dx i

f

du

r

du

' =^

1

4

=i(3 ) ^

f 2 u"\ _ i

1

2Tg(x)

T J +c=6 ^

+C

dx

©

í 4 +5Sen2 (x)

r dx ' = J 4 +5Sen~(x)

Dividimos entre Cos2 (x) cada término:

! = r_________dx/Cos2 (x)__________ , ■ *4/Cos2 (x) +5Sen2 (x)/Cos 2 (x)

Sec2(x)dx

■ >4Sec2 (x) +5Tg2 (x)

En el denominador: Sec2(x) = 1+Tg2 ( x) f

Sec2 (x)dx f Sec2 (x)dx 4 [l +Tgs(x)]+5Tg! (x) =^9Tg£(x) +4

Hacemos u =TS(x)

du =Sec2 (x)dx

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■


ní2x^ Sen(2x) J’ 2Seníx^Cosíx) 2Sen(x)Cos(x)

dx

I = -Ln("Tg(x)l +^Tg(x) +C 2

^

2

v

J x/l +Cos(2x)dx

av.;-.

e fljk rs 'u & ■-

'

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I = J ^ 1+Cos(2x)dx

CAPITULO I

Mediante identidades:

Cos(2x) = Cos2 (x)-Sen 2 (x) ; Cos2 (x)= 1-Sen2 (x) I =J

+Cos2 ( x) - Sen2 ( x)dx = Jyjcos2(x) +Cos' ( x)dx = Jyj2Cos2( x }d> I = JV2Cos(x)dx = >/2Sen(x) +C

#

-Cos( 2 x)dx jM TfO

I = J^1 -Cos(2 x)dx

Mediante identidades:

Cos(2x) = Cos2 ( x) - Sen* ( x); Cos° (x) = 1—Sen* ( x) I = J ^ 1 -Cos2 (x) +Sen2 (x)dx = J ^Sen2 (x) +Sen? (x)dx = J ^2 Serr (x)dx I = J V 2Sen(x)dx = -V 2 Cos(x) +C

JV l +Cos(8x)dx

I = J^l +Cos(8x)dx

Mediante identidades:

Cos(8x) = Cos? (4x)-Sen’ (4x) ;

Cos'(4x) = 1-Sen2 (4x)

I = J^1 +Cos2 (4x) - Sen2 (4x)dx =J^Cos2 (4x) +Cos'(4x)dx = J^2Cos‘ (4x)dx I = J72Cos(4x)dx = — Sen(4x)+C

ucionario

éoWdfónarios, net

WWVk ©d jK D SfU .C O rr.

www. solucionarios. net EDUARDO ESPINOZA RAMOS « CAPITULO I

ijjjft

...........................................................................................................................

-V--------------—--------------------------------------

JV l- C o s ( 8x)dx M fT ñ T liB f I =J V l-Cos( 8x)dx

Mediante identidades: J Cos(8 x) = Cos2(4x)-Sen? (4x) ; Cos2 (4x) =1-Sen2 (4x)

=J ^ l -Cos2 (4x)+Sen2(4xjdx =\ ^Sen2(4x)+Sen2(4x)dx =J ^Sen 2(4x)dx Jv

I = J >/2Sen(4x)dx = — Cos(4x) +C

©

J Sen ( Jc ö s (x j j ^Tg(x)Señ(x)dx

uJSenlVC osfxjjVTsfxlSenfxJdx

=> du=

-Sen(x)dx , 2 >/cös(x)

=> -2 du=

Hacemos: ÍSen2 (x) — y-fdx \ Cos X

u=f o s (x j

=>

-2du = Víg(x)Sen(x)dx

l =JSen(u)(-2du) =2Cos(u) +C =2Cos^VCos(x) ] +C

|-Cos(6x) +óCos(4x) +15Cos(2x) +10^ ®

'

Cos(5x) +5Cos(3x) +10Cos(x)

X

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO II

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1

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~J

CAPITULO I

( _ |-Cos(6x) +6Cos(4x)i-15Cos(2x) +10 •*

Cos(5x) +5Cos(3x) +10Cos(x)

Multiplicamos por Cos(x) al numerador y denominador: j.[Cos(6x) +6Cos(4x)+ 15Cos(2x)+ 10jCos(x) [Cos(5x) +5Cos(3x) +10Cos(x)]Cos(x) Arreglamos el denominador: ^ , [Cos( 6x) +6Cos(4x) +15Cos(2x) +10jCos(x) Cos(5x)Cos(x)+ 5Cos(3x)Cos(x) +lOCos (x) Mediante las siguientes identidades en el denominador: Cos(a)Cos(b) = |[C o s (a - b ) +Cos(a +b )]

; Cos2 (x) = i [ l +Cos(2 x)]

[Cos( 6x) +6Cos(4x) +15Cos(2x) +10]Cos(x)

-dx 5r _ /4 v „ n 10, ^ [Cos( 6x) +Cos(4x)]+ ^ TCos(4x) +Cos(2x)] + ■ [l +Cos(2x)]

>=/i

-

[Cos( 6x) +6Cos(4x) +15Cos(2x) +10]Cos(x)

Cos(6x) +Cos(4x) +5Cos(4x) +5Cos(2x) +10 +10Cos(2x)C,X

t = g f[Ca»( 6x) +6CCs(4x) +15CM(gx)^10]Cos(x) Cos(6x)+6Cos(4x) +15Cos(2x) +10 I = 2Sen(x) +C I II

^

©

Jx 2Cosh(x3+3)dx

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_ J

www. solucionarlos, net f CAPITULO I

............. ....

a

EDUARDO E SP IN O ZA R A M O S «

------------------------------------------------------------

jg g so ira ra ra t í 1 = Jx 2Cosh(xJ +3)dx

Hacemos u = x +3 => du =3x‘dx

rr>

du 2. --= xdx

1 =JC o s h (u )^ = ^Senh(u) +C = ^Senh(x’ +3) +C 3

3

Jx 2Cosh(x3 +3)dx

1 = J x 2Cosh(x3 +3)dx

Hacemos u = xJ +3

l = JCosh(u)-^ = - Senh(u) +C = -Senh^x* +3) +C

(§ )

Je 2xCosh(x)dx

I = J e 2xCosh(x)dx Sabemos que el coseno hiperbólico se define como: Cosh(x) = f

I = J e2x

w w A v e d u k p e r u .c o m

x e* +e-X

\

e +e

e3*

e*

dx=^l(e3,+e")dx+c=V +T +c

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CAPÍTULO I

J e*Senh(x)dx JM H .n iix i.T I = J exSenh(x)dx

Sabemos que el seno hiperbólico se define como: Senh(x)=

e -e

JSenh 3 (x)Cosh’(x)dx

I =J Senh1 (x)Coshí’ (x)dx = JSenh' (x)Cosh 2 (x)Sen(x)dx Identidad: Senh2 ( x) = 1+Cosh2( x) I = J[l- C o s h 2 (x)JCosh2 (x)Sen(x)dx

Hacemos: u = Cosh(x)

du =Senh(x)dx l = J [ l - u í ]u=du = J[ u ! -u']du = ^ - | - +C = Í 2 | ^ + C ^ x +c

f 7 [ Ln(e) +Ln( x) Ln(e" )]dx

1=J — [ü i(e)+ Ln (x )lji(e’‘ )]dx =J — [1 +xLn(x)Ln(e)]dx =J — ^ +xlnfo^dx

■oll'cionariowww^solucionarlos, net

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CAPITULO I

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

Hacemos: u =e Ln(x) 3/2 \/udu 1 f „ i/ u . _ u . / ( x + 4) ,q = f 1 ^ . = 1 f U,/2dU = -^— r +C = J 2 2J 2(3/2)

j V2 ax - x'dx

I =J V2ax-x2dx

I =J yj-( x2- 2ax)dx

Completamos cuadrados:

I =J J-j^x-a)2-a2jdx =J yja' -(x-a)‘dx « ^ 2 ¡T 7

2

**

+^ A r c s e n ( ^ 2 ^ a

+C

. (x 2 +2 x)dx 3/x3 +3x2 +1

. (x 2 +2 x)dx

-Í

Hacemos: u = x +3x +1 =>

du = 3(x'+2x)dx

3/x1 +3x2 +1 du

3 =(x2 +2 x)dx

* f= I f u-'»du = - ^ - r +C = - ( x3 +3x* +1f 5 +C j 3J 3(2/3) 2* ’

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)

CAPITULO I

xdx

T T T T T T iW xdx

=1

>/9-x4

i- j.

>1^

Hacemos: u = x2 du /2

du = 2 xdx => — = xdx 2

1

= - Arcsen

+C 3,

Jó x e 'd x

l = Jóxe x dx

Hacemos: u = -x2

=>

du --- = xdx

du = -2 xdx

2

■

dui

= 6j e u

«Si

=-3eu+C = -3e-x’ +C

(2e2x- e x-3) Í1

j— giTitrarìTna^ ,

f ( 2 e - - e '- 3) _

f (2e»-3)(e*+l)dx

J

¡

es'- 2 e ’ -3

l= í-— ¡— -— + f e dx J e -3 J e -3 •

(e” - 3 )(e “ +l)

f (2e‘ -3)dx

1

e«-3

Hacemos: u = e*-3 =» du = e“dx

I = Jdx +J— = x +Ln ( u) = x +Ln ( ex- 3) +C

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.

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www. solucionarlos, net capitulo

(

i

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

. ( 6 - 2 x)dx

$ JB E 2 2 2 E M Í I = f (6 2x)dx^ J V 8 -4 x-4 x2

Hacemos: u = 8 - 4 x - 4 x 2 =>

du / , « — = (-1 - 2 x)dx 4

, r 7dx . f (-1-2x)dx,¿ ; I = —,--------------- + I i -J y/8-4x-4x J V8-4x-4x 2

. . Completando cuadrados:

l=Zf dx 2 ^2-(x 2 +x) 7f i = - ——

dx

. f 7dx rdx/4 I= . + — j=~ J >/4(2-x-x2) J Vu . +l f ü-'«du = Z f . 2 ^2-(x +1/2)2 +1/4

4

dX

-+-)fu-1/gdu

4

u1/s „ 7 A ( x+1/2^. >/8-4x-4x2 , ^ --- -+C = -Arcsen| — —— +---- ---- +C

-—

2 ^ 9 /4 -(x +1/2)2

du = (-4 -8x)dx

4 ( 1/2)

2

l

3/2 J

7 . r2x +n V8-4X-4X2 _ I = - Arcsen ---- +---------- +C 2 l 3 J 2

©

x +3x , —dx

1

b e es em ,

f ,Xx 3 + 3 xx _1.

m

fp xX 3 + xx + 2 x _ ,,

è

!

f x* ( x

+ ^l L .

f

2x

,

1 = I — ---dx = --- ---- dx = I —^ ---

www.édukperu.cor

du = 2 xdx

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V

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)

CAPÍTULO I

! = J x d x + | ^ = ^ -+ L n (u )+ C = ^ -+ L n (x í + 1 )+ C

j.(2x +5)dx x2 +2x +5 liT T V T T iiW

,

f (2x +5)dx 2 x +5

, = J x2T

_ S‘ u = x ‘ + 2 x + 5

=> du =( 2 x +2 )dx

|-(2 x +2 )dx x +2x +5

dx

3 JJ ^x +2x +5

Completando cuadrados:

dx

dx = Ln|u| +3j ( x +1)* -1 +5 r ' J (x + 1)2 + 4 3 A . Y x +1 I = Ln|x2 +2x +5| +-Arctg +C

(x +3)dx

yjxs +2 x

(x +3)dx '- f

Hacemos: u = x2 +2x

Vx2 +2 x f

- 0 +x)dx

=> du =(2x +2)dx

dx S> I = J Í ^ +2J >/x2 +2 x Vx2 +2 x

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO II

#

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www. solucionarios. net CAPÍTULO i................................................................................................................................................... A

[

EDUARDO ESPINOZA RAMOS « --------------

Completando cuadrados: I = f5ÍH^ +2 f - = ¿ L = = = - fu"'/sdu +2Lní x +1 +J ( x +1)2 - l ] +C 1 73 >/(x+ 1 )¿ - 1 2 ^ I = _ i^ - +2üi^x + l4 ^ (x + l f - 1 j +C = N/xJ +2x +2Ln(x +l +^x! +2x) +C

©

í Sen5(x)Cos(x)dx

1=Jsen^fxjcosíxjdx => du = Cos(x)dx

Hacemos: u = Sen(x)

=>

=> du =Cos(x)dx

I = Ju sdu = - u6 fC =--Senb(x) +C

dx

#

15x2 -20x +23

i = f _____ — ---- = 1 f ----- — ----■ * 5x2 - 20x +23 5 J xs -4x + 23/5

|=l f _____ _____ _ =i f --- * — 5J ( x - 2 f - 4 +23/5

Completando cuadrados:

=

5 j ( x - 2)'+3/5

’

5,/3/5

M a J ± ¿ ) +c l>/3/5j

jbKI(H+ cs¿A Kí(x'2).

+c

^3(25)/5

t f í!

^

í - ^ -

J x —2x +4

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CAPITULO I

I = f ———--- Completando cuadrados: I = f ---- ^ --J x2 -2x +4 J (x-1) -1 + dx 1 . ^ fx -1 '■ í (X,1 )8+3 = ^ Sl V 3 j

+c

dx

$

í 7-5-12 x -3 x 2

dx

Completandocuadrados:

V-5- 12x-3x2

I

=f

-*

------

^3(-5/3-4x-x2) dx +C i f 5/3-(x 2 +4x) >/3 ^-5/3-(x +2)s +4 dx

" i75f Y dx V3

Aresen

y¡7/3-(\ +2 f

+C

&

dx

1 M u m m s** I=í

Hacemos: u2 = x

-.-■ ■ ■

1 VXV9-x

f _ 2 udu____ r 2 udu J 7 ^ 7 w

J u7^v

-LO,

=> dx = 2udu

du____ 94r_

n

^ l+ C

"J 7 w

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WMw wdukperu corr

www. solucionarlos, net f capítulo

EDUARDO ESP IN O ZA RAMOS v
= —Arcsení—1+C

b ^a 2 -(bx)!

b

VaJ

jV ? d x

/ B E iS S M M Í I = | Ve*dx = Je"!dx = 2 j ex,íd (x /2 ) = 2e‘,! +C

.* dx ] Ln(x)

l = f -- r Hacemos u = Ln(x) J xLn(x)

diferenciando: du =—

I = J— = Ln|u| +C = Ln|Ln(x)| +C

.

•»

SOLUCIONARIO O ANÁLISIS M MATQWATICO A T^IÁ TIC O II

.

, .,

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x

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EDUARDO ESPINOZA RAMOS '•

capitulo i

^

r Ln(x)dx í- V -

, Ln(x)dx J y

Hacemos u = Ln( x)

diferenciando: du =

dx X

f u* - Ln4(x) I = J Lidu = — +C = — ^— +/2x-3dx +1

•-J (2x —3)

dx = 3u5du

6i/du =2 dx

=>

x=

u6 +3

Sustituyendo: , u3u5du

r u8du

^ u2 +1 "

J u2+l

V ^ (3 u 5)du =j

(ufc),/3 +l

Dividimos:

u2 + 1 -u8

u6 - u4 +u2 - 1

-u6 -u u6

+u4 -u4

-u2 -u

I = 3 J(u 6 -u 4 +u2

/w edukperu.corr.

+

+

_ 3u +3Arctg(u) +C

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO II fjj

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CAPITULO I

Pero: u =(2x-3 )16 I _ 3 (2x-3)--- 3 (_2*

3 )_ +y/2x- 3 - 3V2x - 3 +3Arctg (^2x - 3) +C

J x>/x+1 dx é k t .t u m m í

I = J xVx +ldx Hacemos u2 = x +1 diferenciando:

2 udu = dx ; x = u2 - 1

Sustituyendo: I = J(u 2 - l)(u )( 2 udu) = 2 j(u 4 -u 2 )du = ^ - - ^ - +C 5 3

2 ( X+i r

2(x + i r ic

J x>/2-5xdx

I = J x>/2-5xdx

Hacemos u2 = 2 - 5x diferenciando: 2udu = -5dx

x=

2 -u 2

Sustituyendo:

SOLUCIONARIO

m m m m ó n a rio s .n e t

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CAPITUU) I

( 2 -u‘ )(u)(- 2 udu)

J

= 2 u l . 4 ¿ +c- Vv •

í_

5(5)

2

5

[2 - 5x j

I*—"u = x

EPIMROO ESPIHOZA R*MOS> «
/x +4dx Hacemos u2 = x +4

diferenciando:

2 udu =dx

= u 2-4

x

Sustituyendo: l =j(u*-4)(u)(2udu) =2 j(u ‘ -4u’ )du = * ,

2 (x

+4) s,í

' ------ 5

'3

i

8 ( x +4 )3/í

3 ~ +C

----------

x5dx +x

m m inirnaf .

f x5dx

r (x 2)2 xdx

~ J TrX — ~ =J 7 7 v9 +xJ V9 +x2

Hacemos u5 = x2 +9

diferenciando: 5u4du = 2xdx

xdx =

=> x2 =us -9

5u4du

Sustituyendo: f (u5 -9) 2 (5u4du/2)

■ -/i----- ^

5r/

,

- -- - - - = f / ( u - 1 8 u 5 +8l)u3du = | /

u13 -18u8+81u3)du

( x 2+9)45 , 81u uu 20u +--—— + C = 5 i - 1 T L - 2 ( x 2 +9) ts 8 l(x *+ 9 )4" 14 4

2

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4

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CAPITULO i

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

dx

$

í

(l +Vx + l) OLUCIO dx

■=I

Hacemos: u2=x +1

diferenciando: 2udu = dx

(i+>/x7T)

Sustituyendo: f ( 2 udu) V

„ f (u+ 1 - 1 )du

u f

J

(H u f

, (u+ 1 )du "

j (V+“ f

du V » ) "

, .„ , -V,2(u +l f ! 2(u +l)'/¿ = 2 j(u +1 ) du- 2 j(u +1 ) du — i _ J ------ V 2 * 3/2 I = 4 ( u +1)

$

1/2

U+1

- 1 +C =

4Vx +1

(>/x +1 +2 )

Jx 2(x +3)'dx — 1= j V ( x +3)” dx

S H M M f

Hacemos: u = x +3 du = dx

;

diferenciando: x = u-3

Sustituyendo: l = | ( u - 3 )2 (u")du = |(u 2 - 6u +9)u"du = J(u 13-6u,2 +9u” ) |

u^ 14

www' 6clukperu.com

6u13 ( 3u12 | C _ (x +3)u 13

4

14

6 (x +3)13

3(x +3),g |C

13

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m

¡

J

CAPITULO I

ex>/e2x -4 - 2e2x(ex+2) dx

2(ex+2)VeSx-4 T T fT U iiW e - V ^ - 2e ^ ( e * , 2 ) ^

2(ex+2)Ve2x -4

e»(c- + 2 ) ^ 2(ex+2)>/e2x-4

l=f

eL

2 (ex+2 )

^ 2(ex+2)>/e2K-4

d x -f dx ] y íé ^ A

En la primera integral: u =ex+2

=>

du = exdx

En la segunda integral: t = e2x +2

=>

dt =2 e2xdx

l = / f - í 1 r = í ü' ( u) - í l r , '!d ,= i ü ’(e' +2) - ,,,!+ c I = - Ln(ex+2)->/e2x -4 +C

¿ffh

rx 2 -5x +9 .

f Xx2 — -5x DX + + 9 V ,. rx f X 2 --5x D X + + 6+3 O+ J . f , „(• dx 1 = I —------ dx = — -------- dx= d x - 3 --■'x'-ôx +ô ■ * x —5x +6 * M(x-5/2) x-25/4 +6 .

x-5/2-1/2 x-3 I = f dx - 3 Í----- ------- = x — -——-Ln = x —3Ln +C x-2 x-5/2 +1/2 J J (x - 5 /2 ) - 1 /4 2 ( 1 /2 )

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v\'wvv.®dukoeru.corT)

www. solucionarlos, net [

CAPITULO i

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

rx 2 -3x-8 . —------- dx J x* - 2 x +1

.

r x*-3x-8_, í^ n p T T T

rx 2 -2x +1 - x - 9 ^ r (x - ') dx ,(x J ---- ~ ----dx = J-7 — — ' i (x -

' (x-ir

1 )“

J

1+10)dx

(x-1)

l = J d x - J ^ - 1 0 j - ^ = x - L n | x - l | - 1 0 j ( x - 1 ) ! dx

I = x-Ln|x-l| +1 0 (x - l)

10

+C = x-Ln jx-l| + ^—j +C

(xJ + l)d> ( x +2)2

M O L ÍZ f (x! +l)dx

f (x 2 +4x +4-4x-3)dx

(x +2)2

( x +2 )!

I- f « * < - 4 r í 2 i ^ + 5 r — 1

1 (x +2 )

^(x +2)2dx

^ (x +2)2

(x +2 )

|.(4x +8-5)dx (x+ 2 )’

x - 4 j - ^ + 5 j ( x + S ) - 2dx x +2

J

I = x-4Ln¡x +2|-5(x +2) ' +C = x-4Ln|x +2|--^-^ +C

n

f (4x +5)dx

©

J x2 +2 x +2

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)

_ |.(4x +5)dx

(4x +5)dx

Completando cuadrados:

' - J x2 +2 x +2 f (4x +4 +l)dx

l=J

CAPITULO I

(x +1 ) +1

f 4(x +l)dx

f

' ■ í (x +1)2 - 1 +2

dx

. +J J (x +1)*+1 J (x +1)*+1

Si u =(x +1)‘ +1

du = 2 (x +1 )dx I _ J?S!H +Arctg(x +l) = 2Ln|u| +Arctg(x +1) +C I = 2Ln|(x +1)‘ +l| +Arctg(x +1) +C I = 2Lnjx2 +2x +2| +Arctg(x +1)+C

(3x-5)dx

#

í x2 - 8x +42 j. (3x-5)dx x

2- 8 x

(3x-5)dx

Completando cuadrados:

+42

• ' - J (x-4)* -16 +42

, f (3x-12 +7)dx f 3(x-4)dx f 7dx *) u y - m a - r - =\ 7 — ( x - 4 ) '+26 (x - 4 )‘ +26 (x-4)~+26

Si u =( x —4 )* +26

du = 2(x-4)dx ,

f 3du/2

7

A _ f x-4i

,=J - ^ s u - + T7S?Arc,s \¡2b [ jj í b )

3, , «

2

7

A

x-4

S?Arctg [yÍ2b ^26

+c

, =| H ( x - 4) ^ H +¿ A r c t S[ ^ ¿ ) +C

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I = - Ln ¡x2 - 8x +42| +-j= Arctg

$

í

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

.. .c

CAPÍTULO i

'x - 4 '

+c

5x +3 -dx x:' +4x +4 (5x +3)dx

5x +3 -dx ■-J x2 +4x +4

Completando cuadrados:

f (5x +3)dx _ f ( 5 x +10-7)dx =J

(x + 2)!

=J

(x + 2)e

■ -Í (x-2)* - 4 +4

dx

f (x +2)dx_. "

J (x + 2)?

1

(x + 2)*

| = 5j — ^ L _ - 7 | (x +2 )’2dx = 5Ln|x +2j +7(x +2) ' +C (x +2 ) l = 5Ln|x +2| +- ^ +C

(x 2 +l)dx (x 3 +3x - 7)

(x 2 +l)dx

■-Í (x 3 +3x-7 )2

Hacemos: u = x3 +3x - 7

diferenciando:

du = (3x’ +3)dx =(x 2 +!)dx

y

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l - J ^ - i J « - d u +C - Í K ) +C

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)

C\PITULOI

+C 3 (

x

3 + 3

x

- 7 )

(x +4)dx (x 2 +8x),/4

■ f (x*4)dx

Hacemos: u = x2 +8x

(x! +8x)'/*

diferenciando:

du =( 2 x +8 )dx du

=(x +4)dx

I = f ~~U7~ = “ f u',/4du +C = — ~ — -(u3/4 ) +C J u,/4 2J 2(3/4)v '

_

2 (x 2 +8x)J 4 _

+c

ver ejercicio 174 ver ejercicio 175 ver ejercicio 74

[V 2 x2 +1 -x +ljdx

#

í

V2 x Ñ l

■y.;M i ÜH1 |

[^ T T ^ .jd x J

VÜT+Í

dx J

dx J V2 x2 +1

J

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+1

WWW.'Sdukpa’U Ct>T.

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CAPITULO I

Para el segundo término, hacemos u = 2x’ +1

diferenciando: du =4xdx I = x +- 1u' 1,sdu +

Ln ( +

V^x^Tl J

72 I = x +^ u '' +4=Ln(V2x W 2 x'! + 1 ) i v I = x +- > / 2 x 2 +1 +-\=Ln ( >/2x +^ x ' + 1 ) 2 72 1 1

OT +x

du = 4Cos(4x)dx SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO II

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J

CAPITULO I

5x

3Sen(4x)

3Sen(8x)

16

32

128

_ 5x

3Sen(4x)

3Sen(8x)

1

32

128

32

16 5x

3Sen(4x)

~ Tó

1

- s l M

32

3Sen(8x) +

128

32

+C

u3 ’ u--- +C 3> Sen3(4x)

Sen(4x) +

í

+

96

+

O í Sen5! - Idx

= JSen5|^ jd x

' =í

Mediante identidad:

Sen2

Sen2 (0) = ^ [l- C o s(2 0 )]

Sen

Ahora u = Cosí -

SenI - |dx

i =>du = --S e n í - dx => Sen - dx = -2du

2)

2

{2 J

2

l = -2 j [ l - u 2] du = -2 j [ l - 2 u2 +u4] = -2 u +í^ - - — +C 3 5 I = j f 1 - Cos2 ^ j Sen^dx =J ( l - u 2 )2 (- 2 du)

= -2 j ( l - 2 u2 +u4)du = -2 u +i i 3 ————+c 3 5 X 4„ 3 X 2_ 5x = -2Cos - +- C o s --- Cos - +c 2 3 2 5 2

|Q | J(Sen 2 (3x) +Cos(3x))'dx

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»ITULO I

I =J (Sen2 ( 3 x) +Cos (3x))‘ dx = J (Sen * (3x) +2Cos (3x) Sen* (3x) +Cos2 (3x) )dx Sen2 (0) =^[1 -Cos(20)J

Mediante identidad:

Cos2 (0) = ^ [l +Cos(20)]

I = J[Sen 4( 3 x)]dx +2j Sen2(3x)Cos(3x)dx +J En la segunda integral: u =Sen(3x)

1+Cos(6x)

d\

=> du =3Cos(3x)dx

l-Cos( 6 x)

^ru^'du x Sen(6x) dx +2 |--- +-+• 3 2 12

•-J

'= j J [ 1- 2Cos(6x)-fCos,(6x) ] dx+^ - +^ ' |-Sen/26x* [

3x Sen(6x) ^ 1 , 1+Cos(12x) " 4

12 3x

Sen(6x)

x

■+

12

Sen(12x)

%

2Sen1 (3x)

Sen(6x)

12

Sen(6x)

-------------

h -------------------1- •-------------------1

8

8

2Sen3(3x) dx +

12

%

|Cos6(3x)dx M fi I =JCosb(3x)dx

I =[Cos2 (3 x )J dx =J

ww edukoerucon

Mediante identidad: 1+Cos(6x)

Cos2 (0) =-¡ 1+Cos(20)]

dx =- J ("1+3Cos( 6x) +3Cos2 ( 6x) +Cos3 ( 6x)]dx

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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS

C A P ÍT U L O

I

Cos2 ( 0 ) =•^ [l +Cos(20)J

Mediante identidad:

Cos2 (&) = 1-Sen 2 (0)

1 Sen(6x) 3 f l +Cos(12x) l = -x +---1— -+dx +-JC o s 2 ( 6x)Cos( 6x)dx aJ 8 16 8 1 =

Sen(6x)

- X

3

Sen(12x)

+ ----------- i -------- - + —

8

16

X + ------------------------- +

16

16

8

64

u = Sen( 6x)

1

- J [ l -Sen 2 ( 6x)]Cos( 6x)dx

=> du = 6Cos(6x)dx Sen(12 x)

l [r

64

8 JL

16

\ 6 )

I _ 5x + Sen(í>x) + Sen(12x) + 1 ( 16 16 64 48 f_ 5 x ^Sen(6x) ^Sen(12x) _ Tó+

16

+

64

_ 5 x i Sen(6x) " Í6+

12

f

+

u3

+C /

Sen(6x)

Sen*(6x)

24

72

Sen(12x)

Sen3 ( 6x)

64

144

+C

+

JxCos 3 (x2)dx

1 = JxCos3 (x2)dx

Hacemos u = x2 => du = 2 xdx

=> dx = ^

Sustituyendo: I = JCos 3 ( u ) ^ = i JCos 2 (u)Cos(u)du = ^ J[l- S e n 2 (u)]Cos(u)du Ahora:

t = Sen(u) => dt =Cos(t)dt

l = l í ( 1 _ t , )d , = | [ t _ j ] = ¿ ( 3 , “ t3) + c = — r ^ [ 3 - S e n ' ( u) ] + c

í

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capitulo i

, . Ü ? í £ ) [ 3 - S e n ’ (x’ ) > C

^

J[Sen* (x) +Cos(x)] dx

= J[Se n 2 (x) +Cos(x)Jdx = J[Sen 4(x) +2Sen‘ (x)Cos(x) +Cos'(x)]dx

= J[Sen‘ (x )]2 dx +2 j Sen2 (x)Cos(x)dx +| .Ahora:

1+Cos(2x)

dx

t =Sen(u) => dt=Cos(t)dt

l-Cos(2x)

•-J

dx +jV d t +|

1+Cos(4x) = í x - i Sen(2x)+j í

1+Cos(2x)

K

Sen(2x) 2Sen3 (x) 1 dx +---- — +- x + 3 2

2Sen (x) 7x Sen(4x) 2Sen (x) Sen(4x) +---- — +C = — +--- — -+----- — +C x +■ 3 8 32 3

—

I = f Tg6(x)dx

9rnmariT ? w r

La solución se basa en la identidad: Tg! (É>) = Sec! (tf)-1

I = jTg 4(x)Tg2 (x)dx = | Tg4(x)[Sec? (x)- l]dx =J Tg4(x)Sec 2 (x)dx - jTg 4(x)dx I = jTg 4(x)Sec 2 (x)d x-jT g' (x)Tg2 (x)dx www.edukperu.com

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)

CAPITULO I

I = J Tg4( x) Sec2 ( x) dx - J Tg" ( x) [Sec 2 ( x) - 1 ] dx • I = jTg 4(x)Sec 2 (x)dx - jTg 2 (x)Sec 2 (x)dx +jTg 2 (x)dx

I

Hacemos u = Tg(x) para las dos primeras integrales: u =Tg(x)

=>

du = Sec'(x)dx

l = Ju 4d u - Ju 2du + J[Sec 2 (x )- l]d x = — - — +Tg(x)-x +C 5 3 l = ^Tg5 ( x ) ~ T g 3 (x) +Tg(x)-x +C o

o

I - irto 5 í v W - f Cos5(x)dx _ f Cos4(x)Cos(x)dx _ f [Cos2 (x )]gCos(x)dx ■ ' J Sen'(x) J Sen5 (x) ' Sens(x) .Ti-Sen 2 (x)~f Cos(x)dx I =J ------ ^ ------

f ( 1 -u2Vdu

f ( l - 2 u2 +u4)du

Hacemos: u = Sen(x)=>du = Cos(x)dx

J

i\

ij-4

= ----_ — — = j(^s-2uJ + -jciu = — + u-í+ Ln(u)+C

Í sm" ( x ) +s ^

+^ sen(x) ^ c= í f ¿ w ] +cts!(x) +i +ül[sen(x^

+C

1= —^[Cts 2 (x )—i ] +Ctg2 (x) +1+Ln[Sen(x)] +C I = " C t g 4(x)-^Ctg 2 (x) +^ +Ctg2 (x) +Ln[Sen(x)] +C I = ~^Ctg 4(x) +^Ctg2 (x) +Ln[Sen(x)] +C

4

I

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z o rf

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cAp|nJL0 ,

0

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j T g 3(x )d x

f f Sen3 (x)dx f Sen2 (x)Sen(x)dx 1 - jT g ( x)dx= J y os3 j xj - J Cos3 (x)

, [l-C o s 2 (x)]Sen(x)dx J Cos3 (x)

Hacemos: u =Cos(x) =>du = -Sen(x)dx

2Coss(x) ' Ln[ Cos( x)] +C = 2 SeCÍ*x) +Ln^COs(x)] +C I = i[T g *(x ) +l l +Ln[Cos(x)] +C = ^Tg! (x) +Ln[Cos(x)] +C

Jctg 4(3x)dx

I =JCtg 4(3x)dx

La solución se basa en la identidad: Ctg2 ( p ru c o m

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CAPITULO I

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

— See" (4x)- — Sec"'! (4x)+C 18 26

jTg’ (x)Sec 3 (x)dx

x r Sen3 (x)dx f Sen2 (x)Sen(x)dx = [Tg3 (x)Sec 1 (x)dx= f 3~ r'\ =J ---- r t7~[--J 5 v ’ v ’ J Cos3 (x)Cos 3 (x) J Cos (x) .[l- C o s 2 (x)JSen(x)dx ■ * Hacemos:

u =Cos(x)

Cosb(x)

du = -Sen(x)dx

Sustituyendo: r Pl-u2ldu

l =í

v

„r -- í ( u “ u )dufc-

V 5

U~3^ +C -5-3

________ \ -- +C = -Sec 5 (x )- - S e c 3 (x) +C J ____ L ----------------+c = 1 5u5 3u3 5Cos’(x) 3Cos (x) 5 3

dx ^Sen3 (x)Cos5 (x)

dx

dx

■ 4 ^SecJ (x)Coss(x)

r dx =Í 7 - 7 J Cos‘ ( x ) n/t ¡ ’ M

^ jsén’ (x)

1 ' I

fSec 8 (x)Sec'(x)dx

Per0; Secí (x)=Tg 2 (x)+1

J

• av. a

edukoe1

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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS j •«-------------------------- *

CAPÍTULO I

.rT g 2(x )+ l]S e c ‘ (x )d x

l=fJ=----—

-*

----

; u = Tq(x)=>du = Sec~(x)dx

n/TS3 (x) +u M )du = — >.

3

- 2 u ,,! +C = 2 l-TS*X-j----- -S 3 VTS(x)

+c

+c

,Sen 3 (x)dx

( = >£en3 (x)dx _ . Sen; (x)Sen(x) ^ = ■[)-C os 8(x)]Sen(x)^ ^Cos‘ (x)

Cos(x)^Cos(x) u = Cos(x)

Cos(x)^Cos(x) => du =-Sen(x)dx

, =| [ ' - u~ ] H uj =

_ u-.o j du . 3L|.'*3+3U-"3+C

I =3¿/Cos(x) + . +C v ^ o ó

Sec4 (x)

O í

dx

TS‘ (X)

fS e c 'íx l

i'

r Sec2 (x)Sec! (x)dx ¿ (X )

... . , S « - W - V ( x ) +1

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CAPITULO I

f Séc' (x) Tg‘ (x) +l]dx l = [ ------ - ---t--- -— J Tg (x)

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

Hacemos: u = Tg(x)

=> du =Sec2 (x)dx (u! +l)du l= ---- -r— = u - u J II4 Jv

, du =----- u 1 =-/ q TTo3! 3Tgs(x)

, Tg(x)

+c

I =-^Ctg(x)-Ctg(x) +C

©i

Sen2 (tix) Cos6( 7tx)

dx

1=f ^ | ™ ) dx=í Ts2(ro!)Sec2(” n(x)dx

Puesto que: Sen(-2x) =-Sen(2x)

1 =\ J[Sen(x)Sen(4x)-Sen(x)Sen(2x)]Sen(x)dx Mediante la identidad:

S e n (a )S e n (b )

=~[Cos(a-b)-Cos(a +b)]

l =-lj[Cos(3x)-Cos(5x)-Cos(x)+Cos(3x)]5en(x)dx

l =Ij[2Cos(3x)Sen(x)-Cos(5x)Sen(x)-Cos(x)Sen(x)]dx

l =-|[2Sen(-2x)+2Sen(4x)-Sen(-4x)-Sen(6x)-Sen(2x)]dx

3Cos(2x) = -J[3Sen(4x)-3Sen(2x)-Sen(6x)]dx =^

3Cos(4x) Cos(4x) ^ Cos(6x)

fCos(4x)Cos(5x)dx

m nm m m t I =JCos(4x)Cos(5x)dx Mediamela identidad:

Cos(a)Cos(b) =^[Cos(a-b) +Cos(a +b)]

l =5 Í [ Cos( x) +Cos((,x) ] dx =5

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Sen(x)-

Sen(9x)

+C

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+C

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)

CAP.TULOI

I = JCos 2 (x)Sen~ (4x)dx Mediante la identidad:

Sen2(x) = ^ f 1 -Cos(2x)l

Cos2 (x) = ~ [l +Cos(2x)] 1= 1 J [ l +Cos(2 x) l[l-C o s( 8 x)]dx = l j [ l +Cos(2x)-Cos(8x)-Cos(2x)Cos(8x)^dx

1=1 x +

Sen(2x)

SenfSx)

4

x

Sen(2x)

Sen( 8 x)

~4+

"8

32

^ x ^Sen(2x) ~4 f

Sen Y

8

-1 J[C o s( 6x)+ Cos(10x )]dx i Sen(6x)

8

~6

Sen(8 x)

Sen(6x)

32

48

Sen(lOx) ‘

kT~

+C

Sen(lOx) +

80

+

l=

V '

v

f Ln(x)dx

+6 Í J

V/ X

x2

;

f :x-' 1 v = J x dx = — = —

;

u = Ln x

=*du =

dx X

v = í x 2dx = — = - — J -1 X •

!

Ln’ (x) X

3Ln-(x) X

X

6Ln( x) , 6 r,c-2dx "*

3Lr|!( x) x

x

x

6Ljl( x)

6 ,c

x

f Ln2 (x)dx x5/3

o j

~

íf Ln2~(x)dx rr

0/ . u = L n (x )

=►

2Ln(x)dx du = — ^ L L -

f

x'2'3 3 v = x'5' !dx =---- =--- — J -2/3 2x

Aplicamos integración por. partes:

1

1 = uv - J vdu

3ür’( x) . 3 ío, f Ln(x)dx x 2 l “ jJ x2/3x

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-

*

www. solucionarios. net f _ EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

CAPITULO I

u = Ln(x)=*du = — _

3Ln2(x) , 3(3)Ln(x) 3 , 2x ! '3

2x2'3

(

I—

O

2

;

v= J

r dx _

-2/3 3Ln2(x)

^ x2,'3x

9Ln(x)

2x2'3 + 2x2'3

3Lrr(x)

9Ln(x)

27

2x' /3

2xs/3

4x2/3

2x2

9(

3 )

2Uxw J

+C

. Ln[Cos(x)]dx Cos2 (x)

r LníCosí x) Idx l = J " Cos2 (x)

dü_[Cos(x)]'dx

Hacemos: u = Ln[Cos(x)]

Cos(x)

Cos2 (x) Aplicamos integración por partes:

I = uv - J vdu

I = - T g (x )L n [C o s (x)J+ jT g 8(x)dx = -T g (x )L n [C o s (x )]+ J [S e c 2( x ) - lJ d x

= Tg(x)Ln[Cos(x)J +Tg(x)-x +C

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O

CAPITULO I

í(** -2x +3)l_n(x)dx

I =J( x 2- 2 x +3)Ln(x)dx

du =

Hacemos: u = Ln(x)

dx

y3 v = J(x 2 -2x +3)dx = — -x 2 +3x Aplicamos integración por partes:

I = uv - J vdu

( X3 - x2+3x -x 2 +3x L n (x )- j 13

1=

1 = — -x 2 +3x 3

(

H

xW

t - x+3

V3

v3

X2

9

2

dx x dx

* 2 o 1 = --- x +3x Ln (x )-— +— -3x +C v ’

J x 3U r (x)dx

I = J x 3ü r (x)dx

Hacemos: u = Ln’(x)

Aplicamos integración por partes:

=> du = 2 Ln(x)— I = uv - J vdu

x4Ln2 (x) f 2x4Ln(x)dx x'Ln2(x) ' * — ¿ - J — z r ------u = Ln(x)

=> du = —

Aplicamos integración por partes:

v = J x 3dx = —

;

l f ,

v = J x 3dx = — I = uv - J vdu

_____ 'J

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wwMv’.edJkr'an: ~otn

www. solucionarlos, net C EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

CAPITULO I

x‘U r (x )

xJ Ln*(x)

4

8

1 f x'dx +8 J

!=

x4Ln2 (x) _

x4Lrr(x)

x4lf r (x )

4

8

x

x4Ln2 (x) -

|1 ,

_

8J

x4

— +C

32

ÍLn 2 (x)d>

l = |Lrr(x)d x

Hacemos: u = Ln2 (x)

Aplicamos integración por partes:

QX

=> du =2Ln(x)—

;

r

v =Jdx =

I = uv - J vdu

l = xLn8( x ) - J 2-X— -— — = xLng(x)-2|Ln(x)dx u =Ln(x) Aplicamos integración por partes:

=> du = —

v = Jdx = x

I = uv - í vdu

I = xLn2( x) - 2 xLn(x) +J ^ ^

= xLn2(x)-2xLn(x) +2jdx

I = xür (x)-2xLn(x) +2x +C

xLn(x)dx

I

wmv

( i - 1) '"

edukpecü.corr.

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MA

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)

CAPITULO I

mmm l_ jX L n (x )d x ,,______ , 9/ \ . , \dx r xdx Hacemos: u = Ln2 (x) => du = 2 Ln(x)— ; v = J(l —x2) ' ' x J (l- x 2) Hacemos: t = l-x"=* du = -2xdx ;

v=

J

= -- ft l/fdt = — 1 2J 2(1 2( 1/ 2)

t

v=— (i— x2y* I=W¡-7ln(x)+

-W W U ,(x )+

Ahora: u‘ = 1- x2

J

=> udu = -xdx

1 -U

J

1 -U

l = -> / Í^ ? L n ( x ) + } d u - | ~ = - > / r^ ;í Ln (x )+ u - i ü ^ ~ j + C

I = - V l- x 2Lri(x) +V l- x J --Ln 0 ~ u) 1 -u 2 V

\i > | = Vl-x* [l-Ln(x)]--í-Ln 0 - ^ ) 1 - 1 +x5

I = >/l-x‘ [l- L n (x )]- Ln

HI

-x

&

^•V

1 +x

1 -VT-:

+C

+C

dx

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i

www. solucionarios. net f

l = JxLn|^— -jdx

Hacemos: u = Ln|^—- j = Ln(1-x)-Ln(t +x) -2 xdx

- x - l+ l- x * 1

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

* 1

—

f

2 1,1+ x ) * 1- x

=l ¥

. t j h

9V

í ) . I H

2 l^l + x j - '

= J xdx = i 2 ^

g H

dx.

x

= ^ J I z í l - r xdx + j J ^ = ^ L n í ^ ] - ^ - I ü 1( l - x M + C 2

O i

U +x J

J1 —x

2

U +x J

2

2

’

v

Ln(x)dx

f Ln(x)dx = J _ L i — ; u = ü l(x )

=>

dx du = —

;

r ^ . x"2 1 v = J x !dx = — = —

2

2x

Aplicamos integración por partes: I = uv - J vdu

1=

Ln(x)

2 x¿

i 2Ln(x) +1 lfx->dx = - ^ - - L +C = +C o 2x 4x 2i 4x2

Ln[Ln(x)]dx

©

J

wvt-w.edi.iKperu.com

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1 - j i íl M

í

'

;

'

t = Ln(x)

-

APITULO I

d t = ^ = » , = jLn(t)dt

Aplicamos integración por partes: I = uv - J vdu u = Ln(t)

=>

du = — ;

v= fdt = t

J l = t L n ( t ) - J ^ = tLn(.t)-Jdt = tLn(t)-t+ C = t[L n (t)- l]+ C

J

J Lri^Vx +>/l + xjdx

I = Jlnj^Vx +VTTx jdx Aplicamos integración por partes:

u = Ln(>/x +>/x+l J

=>

I = iiv —f vdu du =

( ^ +v/7ñ)dx

( i ^ +2^

(Vx+VxTT) ^ _ W x +1 du =

2 >/xVxTT .

, r- —

dx

------------------------------- 7—

.r.\

i

;V = [dx=

2 Vx2 +x

4 u = x2 +x

|V x+ V x+ i)

dx

( Vx +Vx +1 )

Hacemos:

t ldx

Vx2 +x

4 Vx‘ +x

du = ( 2 x + l)dx

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v/wv. Pdtikperu.©

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[

I

EDUARDO ESPtNOZA RAMOS «

1/4 I = xLn(Vx +VxTT) -

1Ju '^ d u +1Ln| x +^ W x ‘ +x J

= xLn(Vx +V 7 7 T )- - U—

+1 Ln(2x +1 + 2 > /7 7 í) +C

« x L n (> / x W x + l ) - ^ p ^ - + ÍL n ( 2 x + 1+2Vxa + x ) +C

^

3r \ f Ln/ (2 +/x)— —-4u +8Ln(u +2) +C

pero u = xl/3

I = xLn(2 +V x )- ^ +x!/3 -4sfx +8Ln(2 +>/x) +C

f(7 +x-3x 2 )e~*dx

| = J(7 +x-3x 2 )e'*dx Aplicamos integración por partes: u =7 +x-3x 2

=*

I = uv - J vdu du =(1-6x)dx

;

v = jV*dx = -e"x

I =(3x2 -x +7)e'* +J(1-6x)e xdx u = 1 - 6x

=>

du = -6dx

v = Je'^dx = - e 'x

l =(3x2 -x +7 )e 'x +(6x-1)e‘x - 6j e ' xdx =(3x' +5x-8)e~* +6e * +C

_______ ______________________________________________________________ — -f ¡g fftf SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO II

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EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

I = (3x2 +5x-2)e * +C

r xe'dx

J(^ ? aareiT»W T'T,'M r I = J(7 +x-3x2)e ~*dx Aplicamos integración por partes: u = xe"

I = uv - J vdu

=> du = (xe“ +e', )dx = e'(x + l)d x

¡ v =J (x + l )8

x +1

l =_ j ^ + fM ) £ d x =_ x t + f e * d x - - ^ +e*+C x +1 •* (x +1) x +1 3 X+1

•e' "dx J E I =J — —

1

u =v

2 2 Ü M tS f

Aplicamos integración por partes: I = uv - J vdu dx • r e,/xdx => du=--- => v = — — v

J

vX"4

;

1 . dx t = - =>dt = — jy X

y* X‘

v = -Je'dt = -e’ =-e' J/x a V* « » 'M v O 1' * , P' l = -£--- r i _ ™ = _ « _ + e'dt = ------ e',x +C X J X x J x

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■r-

O

C V IT U L O I

J(2 x - 3 )(x - 3 x - l)* Ln(x8 -3x-l)rix

I = J(2 x - 3 )(x 2- 3 x - l)4Ln(x2 -3x-l)d x Aplicamos integración por partes: I = uv - j vdu

u = Ln(x2 - 3 x - l)

=>

=> v= f(2 x ~ 3 )(x í - 3 x - lV dx X

o X

— I

t = x2 -3x-1 =>dt = (2x-3)dx ts ( x2 - 3x -1) v = í t d t = — = --------- L J 5 5 (x * - 3 x - l)5 i . I = ----- 5---— Ln(x2- 3 x - l)- ^ J(2 x - 3)(x2 - 3 x - l) dx (x2 —3x —1)

( x 2-3 x -1)"

l - i ---- — - Í- L n (x '- 3 x - l)- !---+C

f x 'V d x

ííTftTSTiu

l = J V e xdx u = x2

=>

Aplicamos integración por partes: l = uv-Jvdu du =2 xdx

l = - x V x+2 jxe~xdx ;

u =x

=> v =| e xdx = -e"x =*du = dx

=*

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v = j V xdx = -e*

r iw. »culpen', cp'"

!

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)

CAPITULO I

I = -(x 2 - 2 x +5 )e'x +J ( 2 x - 2 )e‘ xdx u = 2x-2

=*

du = 2dx ;

v = Je~xdx = -e"x

I = -(x 2 -2x +5 )e 'x-(2x-2)e x+2je Xdx = -(x 2 -2x +5+ 2x-2)e'x-2e'x+C I = (x2+3 +2 )e'x +C = -(x2+5)e'x +C

j( x 3 -3x)ebxdx

I = J(x ? -Sxje^dx

Aplicamos integración por partes: l = uv-Jvdu

u = x3 -3x

=>

du = (3x2 -3)dx

(x ’ -3x)e6x . 3(x 2 - l)e 6xdx I = ----- -----f —----- ---a

1=

J

;

f*6x => v = J e 6xdx = —-

u = x* - 1

=>du = 2 xdx

=>

a

(x 2 - l)e bx a

-eox( 2 xdx)

( 2 x3 -x 2 - 6x +l)e < > x i

J a

12

du = dx ( 2 x3 -x 2 - 6x +l)e bx

v = fe 6xdx = — J 6

] xebx +6

12

6

1

- - fe6xdx a 6J

(óx1 -3x'' -17x +3) _ J _ et> +c 36

216

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c

CAPITULO i

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

ox I = — (36x3- 18x2- 102x +17) +C 216v ’

{3\¿ +2 x +l)dx

e

\

4e

f (3x2 +2x +l)dx ' =4^

*

Aplicamos integración por partes: I = uv - J vdu u = 3x2 +2x +1

du =( 6x +2)dx

=>

r e-3* v =J e '3xdx =---O ,

=*

— -3/x i 13 **—— (3x2 +2x +l) +— f( 6x+2)e~3xdx ’ 1 2 JV ' 12 1

12

=>

u = 3x +1

l = - —

(3

12 v

(3x2 +2x +l)+ - J(3 x +1)e-3*dx

x

2 + 2

r

du = 3dx

x

+1) +; 6

0

=> v = | e 3xdx=---■ i 'í ^ ^ 4 l(3 )e - d x

>-3x

„-3x

(3x! +2x + l ) - — (3x+1)- — +C 18 12 I =---- (3x2 +2x +l ) -----(3x +2) +C 12 V

I

is '

>

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)

CAPÍTULO I

1= - — (9x* +6x +5) +C

J ( 8x3 +6x2 +2 x +5)e4'dx

l = J ( 8 x3 +6x2 +2x +5)e4xdx Aplicamos integración por partes: I = uv - J vdu u = 8x3 + 6 x £ +2x +5

=*

du = (24x2 + 12x +2)dx

=>

v= fe4xdx = — J 4 (24x' +6x2 +2x +5)e4x 4

f (24x2+12x +2)e4*dx J

4

(24x3+6x2+2x +5)e4x i- . I =-------- ----------- - f ( l 2 x2 +6x +1 )e4xdx .4«

u = 12x*+6x +l

=>

du = (24x +6)dx

( 8x3 4 6 x’ +2x +5)e4*

=> v = J e 4xdx =—

] (12x - +6x +l)e 4x 4

-6 ( 4 x +l)e 4xdx J

(l6x 3 -2x +9)e4x 3 , ----- §--+" |(4x +1 )e4,dx

u = 4x +1

^

=>

du = 4dx

= J e 4xdx =

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T~

^

www. solucionarlos, net gAprrULO I

(

(l6x 3 -2x +9)e4x 3 (4x +l)e 4x f 4e4'd x] ----- '---------8 +4 4 J 4 (32x3+8x +2l)e4x 16 *

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

(32x*+8x +2 l)e4x 3 --------:--- '— +- e d x 16 4J

3e du = ■t

r

.

X

xdx Integramos por partes: I = xArctgí Vx)- f — =----- ©sjni 6bn¡>s J 2 v x (l +x) I = xArctg(>/x)-^J-^=L

Hacemos

x = u2

=> dx = 2udu

l = x A r c l g ( ^ ) - l | ^ ^ = x A r c t g (^ )- f(U lJ ' • I'. !: • • | ’ " I = xArctg(\/x)- Jdu +J - ^ 7 = xArctg(Vx)-u +Arctg(u) +C +u xArc l =: xArctg(>/x)->/x +Arrtg(>/x j +C

JxArctga(x)dx

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I

www. solucionarios. net '-V*

»

EDUARDO ESPINOZA RAMOS

)

CAPITULO 1

1= JxArctg2 (x)dx Si u = Arctg'(x) => du =

; v = Jxdx = —■

. x2 A 2 / \ f2Arag(x)x2dx Integramos por partes: 1=— Arctg ( x ) - --- —- - — 2 v 7 J 2 ( 1 +x ) x2 A . 2 / x f Arctg(x)x2dx l= 2 Arctg2 (x) J ^

;

f (x_ +1 -l)dx

x2dx V = i 1 +x * ^

u = Arctg(x) f

=>

dx du = 1 +x*

f dx

H *

1= 2 Arctg! (x)-xArct8 (x)+Aretg, ( x )+ J)+x¡,

J

En la primera integral u = x2 + 1

=>

du = 2 xdx

En la segunda integral t = Arctg(x)

1=

=>

dx dt =-— 1 +x'

Arctg2 (x) - xArctg( x)+Arctg2 ( x) +J —

—J tdt

x? 0 1 t2 1= — Arctg2(x)-xArctg(x) +Arctg2(x)+ -Ln(u)- — +C

1= ^-Arctg2 (x)-xArctg(x) +Arctg2 (x) +lL n (x 2 +1 ) - —

l = ~ Arctg2 (x)-xArctg(x) +^ ^ | - l —^+lL n (x s +1 )^C

l = l ( x 2 +l)Arctg 2 (x)-xArctg(x) +lL n (x 2 +1) +C

1 1. r jT |

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+C

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Arctg(x)dx

O

1

( l + X *)

Integramos por partes: Arctg(x) —

f

=>

du =

../\

f Arctg(x)dx

Aras' M +. f ( ^ +í - r ^ -

—

,

dx

■ u=Arc,3W

dx

1 +x (x! +1 -x! )dx

Arcts(x)

3 ( X) * J ---U ? ---

X

J

Arctg(x) . . ' f du/2 Arctg2 (x) I ------_ L J - A r c t S-(x) +Ln(x)-|-— -+--- ^

l =

. A

^

_ W

= Ln

( x ) + H x ) _ 1 H u ) + A!c | ( x ) +c

Arctg(x)

Arctg2 (x) +c 2

Vx2+1

|Arctg(x)dx

.www edükperu :.om

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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS

D

CAHIiULOI

,Arctg(x)dx dx I = I ----^ — Si u = Arctg(x) => du =----

J

X

;

f . 1 v = I x dx = —

1+ X

J

X

Integramos por partes: Arctg(x) x Arctg(x)

1 =---- - ^ +

j-

dx

Arctg(x)

•'xjl +x2) r dx

x

. (x 2 +1-x2)dx J

x(l +x2)

f xdx

=>

x

Arag(x)

. . .

f xdx

Arctg(x)

du = 2 xdx fdu/2

_Arctg(x) +c

•J77Î O

í x ’Arctg(3x)dx

I = J x íArag(3x)dx

Si u = Arctg(3x) => du =

3dx 1+9x*

= J x2dx =

Integramos por partes:

3(1 +9x) I = 4rArctg(3x)-~fxdx +- f XC*x o ; 3 v 7 9J 9 J 1+r9x

u = 1+9xs => du = 18xdx

i x . _ / 0 v x* 1 fdu/18 x3 A /o \ x 1 , , v _ l = — Arctg(3x)— - +- -----= — Arctg(3x)---- +— Ln(u) +C 3 v 1 i« QJ ti • ^ 18 162

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-

-,

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¡APITULO i

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

l =^ A r c tg (3 x )- ^ +^ L n ( l +9x! ) +C

f (x* + ije'dx *

>

(x +1f

' _

I_ f* (x + 1f

f (xg+2x +1-2x)e*dx (x +1)8

‘

f [(x +1)‘ -2x]e‘dx

f ( x +1 )V d x

(x +1/

(x +l f

Aplicamos integración por partes:

nf xe'dx (x +1)

I = uv - J vdu

u = xex =* du =(xex+ex)dx = ex(x +1)dx ;

v =J

dx

1

(x +1)2

x +1

r xex f (x +l)e*dx xenr x , ¿xe2 xex 1= --e i - jíe e ,dx ax + +2 ¿x—+— i 21 ¿J --j x +—1j— =e +2---x'+1 2 Je dx = —x + 1 +C

¡>

Aplicamos integración por partes:

I = uv - J vdu

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151

Arreglamos e

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>

)

CAPITULO I

i Í x +M i / i\ u-ü, — I-U,(*+1)-Iii ,(/k -1) * xdx

t = l- x 2

=>

dx

dt =-2 xdx ;

dx

2dx

=-- ft "1 dt =— ^ 2J 29/1 ( 1 /2 )

v =f J

V = - V l - X 2

, =_ v t v 4

— V f ? ^ ^ = - > / w ü i í ^ l +2 f - ± _ U - iJ J ux2 lx - iJ J7 ÍT 7 I =- V l- x 2Ln

^

+2Arcscn(x)+C

|Arctg(Vx +l)dx

mm¿í2Jtsf 1=jArctg(Vx+í)dx

Si u = Arctg(Vx +l ) =>

(T ^ T )d x dx du = --0 = — =====----1 + ( ^ 7 T)- 2 V ^ ( 2 +x) Integramos por partes:

I = xArctg(Vx +1)-J

l = xA rctg (V x T T )--f-= = ^ --1 ’ 2 JV ^ T T (2 +x)

;

v = dx = x j

— -

Hacemos: x+1 = u2 => dx =2udu

i i--- \ 1 r ( u2 - l ) ( 2 udu) , ,--f (u2 + l- 2 )du I ■ x A r c t 3 (V ^ )- - J- — — — y - - xA rag(7xTT)-J ■

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wv. a

e o 'jk p e r u .c o m

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....................................................... - -

capi tulo i

I = xArctg^Vx +1 ) - Jdu +2

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

-V----------

j = xArctg(Vx +1) u * 2Arctg(u) +C

I = xArctg(Vx +l)- (V x +1) +2Arctg(>/x +l ) +C l = (x +2 )Arctg(>/x +Í)- (V x +l ) +C

^

J xArctgVx2 -1dx

I = | xArctgVx2 -1dx

Hacemos: t2 = x2 -1

diferenciando: 2tdt = 2xdx

Sustituyendo: I = JtArctg(t)dt u = Arctg(t) ■2

Integramos por partes: l = uv-Jvdu =>

du = ^ 2

;

v = Jtdt = —

(.2.1y.

*2 1

(t 2 —l+ l)dt

' =I Arcts(t,_ í i ( T 7 ? ) =I A r a s (t)' l l - T T ? “

^lArctsíO-ljdt+lj^^ArctgW-ItflArctsOl+C Pero t = V ? - i x -

I = — Arctg | Vx2 -1 j - - Vx2 -1 +C

^T-TT-

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1

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^

I

J Arctg J VVx - 1 J dx

I = jA rctg jV V x -ijd x

Integramos por partes: I = uv-Jvdu

u = Arctg|V>/x- 1

J =>

(V V x - l)'d x

(>/x-l)dx

1+|7Vx -1 )

2>/Vx —1(l -»-Vx —l)

du =

dx u = ---r=== 4xV>/x-1

;

4>/x>/>/x -iV x

v = fdx = x J

I

Hacemos: x = u2

=>

dx = 2udu

l = x A r c t g | V V x ^ l)- ^ J^ ^ y

I = x A r « g (V 7 T T ) - i

Ahora: u - l = t!

=>

du = 2tdt

= x A rc tg (V T ^ T )- j(t‘ ♦, ) *

l = x A rc tg |V V x - l)- y - t +C = xArctg|>/Vx-l)-^(t2 +3) +C

Pero: t = Vu-1

I = xArctg|VVx-1 j - --^~-(u-1+3) +C

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CAPITULO i

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

I = x A r c t s | V V x — -(Vx +2 ) +C

xArctg(x)dx

O

i

w Si: u = Arctg(x)

=>

du =

(U x ’ f

= ír ^ V

;

‘ =x!+ i

-

d t=2xd* • v =

dx

1 +x"

dt /2 1 Í T =- r

2 (x 2 +l)

Integramos por partes: Arctg(x) | , 2 (

x

2 + 1)

dx 2 (l+

x

2 )"

Arctg(x)

Arctg(x)

1 , (l +x2 - x )d x

2 (x 2 + iy

2

1 r dx

(l + x 2 /

1 r x2dx

= _ 2(7 TT) + 2J U x 2" 2J ( 1+ x2)2 Integramos por partes: u =x

=>

du = dx ;

v =I

xdx

dt = 2 xdx

t = x2 +1

(H x e

_ f^Z2 =_J_ =____ L_ 2t

* ts

Arctg(_x) 2(x¿ +1)

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1 2

1

2 (x 2 + ’ ) x

1 2

1 r dx

+•

2 (x 2 +l) i 2 lj 1 +x

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j

CAPITULO I

Arctgj x )

\

2(x +l)

2

( '

,x_

BV ’ ^ l +x*)

1

( )

4

Sl '

l=_ ^ ( x ) +1

+_ x

2(x +1)

4(l +x )

4

+c

r X4 -xArctg(x)d>

¿Q

J

('- ■ ) *

I

, x4 -xArctg(x)dx

=J

( U x 2f

j.x4 +2x’ -t-1 -2x2 -1-xArctg(x)dx

=/x)dx (Senlyfx )dx

Hacemos: x = t s; => dx = 3 3rdt r

I =JSen(t)(3 t 2dt) = 3jt*Sen(t)dt

Integramos por partes: u = t2

du =2 tdt I = -3t2Cos(t) +óJtCos(t)dt ; Ordenamos: u =t dv =Cost

f du = dt -y.

lv = Sent

I =-3t2Cos ( t ) 4 6tSen (t) - ój Sen ( t) dt I = -3t2Cos(t) +6tSen(t) +6Cos(t) +C Pero: t = y/x I = -3>/)?Cos ( y/x) +ó^xSen ( l/x ) +6Cos ( >/x) +C

JxSen(x)Cos(x)dx

I = J xSen(x)Cos(x)dx

vvwv c-dukperu ;om

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V

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j

CAPITULO I

Ordenamos: du = dx

u =x dv = SenxCosxdx

Cos2x v =----

I = - —Cos(2x) +-|Cos(2x)dx = - Sen(2x)--Cos(2x) +C

J x 3Sen(x)dx

I = Jx'Sen(x)dx

u = x*

=>

du =3x‘dx ; v =JSen(x)dx = -Cos(x)

l = -x3Cos(x) +3jx 2Cos(x)dx ; u = x2

=>

du = 2xdx

v = |Cos(x)dx = Sen(x) I = -x,Cos(x) +3x2Sen(x)-6jxSen(x)dx

; u = x=*

du = dx

v =|Sen(x)dx = -Cos(x) I =-x3Cos ( x)+3x'Sen ( x ) +6 xCos ( x) - 6J Cos ( x ) dx I = -x3Cos(x) +3x2Sen(x) +6xCos(x)- 6Sen(x)+C

+5x +ó)Cos(2x)dx

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www. solucionarios. net f

| =J( x 2 +5x +6)Cos(2x)dx ;

u = x2 +5x +6

EDUARDO ESPINOZA R A M O S «

=*

du =(2x +5)dx

v = JCos(2x)dx = ^Sen(2x)

I = ^(x 2 +5 x +6 )Sen( 2 x ) - ^ J ( 2 x +5)Sen(2x)dx ; u = 2x +5 => du = 2 dx

v = JSen(2x)dx = -^Cos(2x)

I = - (x 2 +5x +6)Sen(2x) +-(2x +5)Cos(2x) +2 ( 2 )|Cos( 2 x)dx

I = ^ (x2 +5x + 6)Sen(2x)+-^(2x + 5)Cos(2x) + ^Sen(2x) + C I = -^(2x'J + 10x + 13)Sen(2x) + -j-(2x + 5)Cos(2x) + C

|^ |

JxSec 2 (3x)dx

I = JxSec 2 ( 3 x)dx

u =x

=>

du = dx ; v = JS e c (3x)dx = ^Tg(3x)

l = ^Ts(3x)-^jTs(3x)dx =|T s(3 x ) +iü i[C o s (3 x )] +C

O

JxCsc2(|)

dx

= Jx C sc^ - jd x

u =x

=>

du = dx ; v = JC s c ^ jdx =-2Ctg

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)

C A P IT U L O I

I =-2xCtg! ^ I +2jCtg, ^ jdx = -2xCtgí ~ j +4Ln

O

SCn[ 2

+C

j V ’Sen(x)d>

I = Jx 2Sen(x)dx

u = x2

I =-x2Cos(x) +2jxCos(x)dx ;

=> u =x

du = 2xdx ; v = JSen(x)dx =-Cos(x)

=>

du = dx ; v - JCos(x)dx =Sen(x)

I = -x2Cos(x)+2xSen(x)-2|Sen(x)dx = -x2Cos(x) +2xSen(x)+2Cos(x)+C

|9xTg2 (3x)dx

1= |9xTg2 (3x)dx

;

u =9x

du =9dx

v = |Tg 2 (3x)dx = |[Sec 2(3x)-l]dx = ^Tg(3x)-x

l = -9x2 +9x(-l]lg(3x) +9 jx d x - 9 ÍiljT g (3 x )d x

I = -9x2 +3xTg(3x)+^- +3^IjLn[Cos(3x)] + C

I = 3 x T g (3 x )-^ - + Ln[Cos(3x)] + C

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i

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

' --------------------------------------------------- ----------------------

r xdx J Sen'(x)

h

m m m io p í

i l= f

xdx- ; u = x Sen (x)

=>

du = dx ; v = J — =-Ctg(x) Sen (x)

I = xCtg(x) +JCtg(x)dx = -xCtg(x)4 Ln[Sen(x)] +C

JSen(>/2x)dx

1 = |Sen(v/2x)dx

Hacemos: 2x = t 2

1=JSen(t)(tdt) = JtSen(t)dt

=>

dx = tdt

Integramos por partes: u=t =* du = dt

v = JSen (t) = -Cos(t) I = -tCos(t) +JCos(t)dt = -tCos(t) +Sen(t) +C Pero: t = >/2x I = ->/2xCos ( \Í2x j +Sen ( >/2x j +C

xCos(x)dx

0

í

Sen2 (x)

r xCos(x)dx J f Cos(x)dx l = f ----; u= x => du =dx ; v= —— - - ; t = Sen(x) > Sen! (x) 1 Sen (x)

c« / « \

=* dt = Cos(x)dx

WV’ \\ f'-ikr-fr

.

'

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO II

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)

CAPITULO I

I = -xCsc(x) +JCsc(x)dx = -xCsc(x) +Ln Tg

+C

JxCos(3x)dx

I = JxCos(3x)dx

; u= x => du = dx ;

v = JCos(3x)dx = -Sen(3x) 3

I = ^Cos(3x) +^ jSen(3x)dx =-Cos(3x) +-Cos(3x) +C 3 3 3 9 JxSerr (x)dx

x t í'W M W B f

I = JxSen* (x)dx , u=x => du = dx ; v=JSen~(x)dx = ^ J[l-C o s(2 x )]d x Sen(2x) v = — x —■

2

Sen2x i= * x —■

2

-5 J

X-

Sen(2x)

x* xSen(2x) x* 1 , v klx = T ---- ----- — -Cos(2s) +C

x? xSen(2x) 1 .. I = --------¿— ---Cos(2x) +C 4 4 8

O

í 3‘ Cos(x)dx S i* !

SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMÁTICO II

L

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capjtuloi

1 = j3 xCosxdx ; u = 3v =>du = 3xLn(3)dx

;

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

v^JCos(\)dx = Sen(x)

I = 3xSen(x)-Ln(3)j3xSen(x)dx , u=3x =>du =3' Ln(3)dx v = JSen(x)dx = -Cos(x) I = 3‘ Sen(x)-Ln(3)|^-3xxCox +Ln(3)j3xCos(x)dx] I =3'Sen(x)-Ln(3)|^-3xCos(x)-Ln(3)J 3xCos(x)dxj I =3vSen(x)+ Ln(3)3xCos(x)-Ln 2(3 )|3 yCos(x)dx

Pero I = j3 xCos(x)dx I = 3xSen(x) +Ln(3)3xC os(x)-U r (3)1 I = [i +Ln* (3)] = 3X[Sen(x) +Ln(3)Cos(x)]

1 = T T ¿ F(3 )tSen( x) +Ln( 3)Cos] +c

10 ^

|Sec 5 (x)dx

r dx ((Serrx) +Cos! (x )fd x = See (x)dx = --- t —- = -------- T-—-----J v } ' CosJ (x) J Cos (x)

f ( Sen4x) +2Sen‘¿ ( x) Cos11 ( x) +Cos1 ( x) dx Cos5 (x)

l =J ,Sen4(x)dx J Cnc5 I v \

,Sen2(x)dx J Cn ci (

jJI

dx

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)

CAPITULO]

. v u =Sen'(x)=>du =3Serv(x)Cos(x)dx ;

Sen3 (x) 4Cos 4( x )

1

,3Sen2 (x)Cos(x)dx

/.Sen (x)dx

4Cos4(x)

J

/ ,

,

3 ^ PSen2(x)dx

I = -Sec(x)Tg (x) + 2 - — f ---4 U 5 U 1 4 j J Cos (x)

dx Cos(x)

Co s ' ( x )

,/ v (

1

f Sen(x)dx

f

dx

j Cos(x)

/v r Sen(x)dx 1 u = Sen x)=>du = Cos x)dx ; v= ---=-------- r—— 1 ' v / * j Cos3 j xj 2Cos (x) Sen(x) l = -Sec(x)Tg 3 (x) +4 4 2Cos2 (x) l

, Cos(x) J Cos i 2 (x)

dx

í Cos(x)

dx =Isec(x)T83(x)+|sec(x)Ts(x)+^-|jj Cos(x)

=^

^

-^ X^[2Sec2 (x) +5] +-Ln[Sec(x)+Tg(x)] +C

Arcsen(x)dx

O

I

Vx+T

Arcsen(x)dx a / v dx |g f— u = Arcsen(x)=>du =-j===: ; v= í(x+1)-,/2dx = 2V^TT

J

Vx +1

V 1 -X 2

J

Ordena: u = Arc.Senx

dv =

du =

dx

dx Vx +1

v = 2 >/x+1

01 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICGHI

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wv»a

ec.Ac ■-,i com

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CAPITULO i

I = 2Vx +ÍArsen ( x) - f ' J VT7

=2>/x+lArcsen ( x ) - 2 í x-X--tL^- dx j V0 - x ) 0 +x)

l = 2v/x +1Arsen(x)-2j(l-x)

^

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

dx =2>/x +TArcsen(x) +4\/l -x +C

J[A rcse n (x )J dx

I = J[Arcsen(x)]* dx

; u = Arcsen2 (x) =>du = 2arcsen(x) . _ = dx

v = | dx = x

12xArcsen(x)dx „ l=xArcsen‘(x) - | ---- . --J J h ?

Integramos por partes nuevamente 4x u = Arcsen(x) =>du = ,— = ;

r xdx v = f ----= = ->]1-x 2

I = xArcsen ( x) +2Arcsen ( x) V l- x ‘ r ,

2f ,

2"

__________

X- = xArcsen2 ( x) +2x>/l - x1’ - 2Ídx

J I = xArcsen2 (x) +2Arcsen(x)Vl-x* -2x +C

©

I arccos(x)dx

1= Jarccos(x)dx ; u =arccos(x) =t>du =

dx

r

> v=jdx

=

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167

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-----------------------------------------------------

)

CAPITULO I

dx

du = -

u = are. eos x dv =dx

V =

I = xarc cos( x) 4-J

X

2 = xarccos(x)^ Ju 1 :du

1/2 I = xarcos(x)---— +C v ; 2 1 / 2 +C = xarcos(x)-Vl-x* v )

Aresen (x)dx

O

I E im ra itT r a * f Aresen (xdx) I =J ----- y --- ; u=Aresen(x) =>du = Arcsen(x)

f

dx

1 =-------— + 1 — 7=

X

XVI-x J -Vi-

f -cu/i-

aresenx x aresenx

aresenx

r

dx ; V = | X "dX = -

^ =--T=-1 =>dx t t2

dt

Aresen(x)

-Ln +>/t2 - 1 +C

1 y/b^: -Ln —+■ x x

+C

-Ln

+C

i.

www.solucionarios.net

x' 1

www. solucionarlos, net capitulo

C

i

arcsenx

0

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

+c

-Ln

I xArcsen(x2 )dx

I = J xArcsen(xL' )dx hacemos: t = x2 => dt = 2xdx

I = J xarcsenx’dx = J arcSent.^ =

arcSent.dt

Ahora integramos por partes: dt u = Arcsen(t) => du = —,— — ; v = í dt =

Vl-t2

J

u=1-t2 =>du = 2tdt =>tdt = — ^

I = - tArcsen(t)-- [ J^ =

1 1 1 u,/2 I = - tArcsen ( t ) +- J u',/2du = tArcsen ( t ) +- — +C

I = tArcsen(t) +- VT-t2 +t2 =

©

Arcsen(x2) +^ Vi - x4 +C

|6 x‘ Arcsen(2x)dx

2cJx

1= Í6x2Arcsen(2x)dx u = Arcsen(2x) => du = - = = = J I V l- 4 x .

.

c

; v = J 6xJdx = 2x

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)

CAPI ruLI

|= 2xJ. - - ■-== t- dx

2udu = -8 xdx

2 x3.2 dx

J 6x2Arcsen ( 2 x) dx = 2 x farcsen ( 2 x ) -

v i - 4x'J , X = 2 x fresen ( 2 x ) - 4 1 ______dx

I = 2xJ Arcsen(2x)-j u = l -4x‘

4x‘xd> XC*X ...(1) Vl-4x

=> xdx =

4

2 1 —li X =--Ar x2xdx _ l f 1 -U2 . I f " « f a ) J y/l- 4 x2 J 4 'u { 4 J u1' = - 7 Í ( 1- u!) du = -7 u--3 u ^ i_ 3 Vl-4x ÜT

V l-4 x 2 ( l _ !1 4x2 3

J

(2 +4x2) ...(2)

I = 2x3Arcsen(2x) +—

+C

| Arcsen(2x)dx « g .f iW ia R 'K 3 8 r

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www. solucionarios. net EDUARDO ESPINOZA RAMOS « capitulo i

2 dx I = J Arcsen(2x)dx u=Arcsen(2x) = d u -j= = =

r ; v = J dx = x

1= xArcsen(2x)-J-j^X^X - = xArcsen(2x) +- |d u

xArcsen(x)dx

O

I

(71, -x) J — jiin r a m M T

u = arc.senx dv =

í xaicsenxdx

du =

dx 1

xdx

= - s fT 7 Aresenx - f

-\/l - x'dx

¿

x' arc.senx +Jdx =-Vi -x 2arc.senx +x +c

^

J(arcCos(x)-Ln(x))dx

r

• JBBEEM f J(arcCos(x)-Ln(x))dx u =arc.Qosx - Lux => dv = dx

=>

1= xArcos(x)-xLn(x) +J-- t= = +Jdx

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du = -

1

1

= +— dx

VÑx2 x

v =x

= x. arccos x - x L n x - i/ W + x

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i

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)

CAPIIULOj

= x(arc.cosx-Lnx +1 )- V l- x J +c ©

j4 x 3Arcsen^- jdx

f4x3Aresen¡ - Idx

J

u = Aresen( x Ì =>du = = --- ^ — V ] sF T ^ * x V í^ l

;

UJ v = 1 4xfdx = x4

iI = x4a Aresen í -o + r —xMx , = x 4Aresen r- n + r x,2xdx U J J x V U J

1= x4Aresení - 1 + U J

= x4Aresenf-1 + J V77i

U J

u* = x* - 1 =>udu = xdx ; x*=u* +1 l=x4Aresen^-j +j í —

-j= --- = x4Arcsenx^-j +J(u "

+l)du

l=x4Arcsení-1 + - - + u + C = x4Aresenf-i + —------- - + C U J

3

U J

3

#x arc.sen| - | + ---------r---------+C

Aresen^/(x)dx

©

í

Arcsen(7x)dx d (Ä ) dx I = I ----- =---- ; u=Arcsen Vx =>du = — ==■ = — ■ F= -= = J

>/x

v

>/1-

x

v = J x' 1 ‘dx = 2 Vx

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2 v x > /l- x

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.V---------------------------------------------

CAPITULO I

I =2>/xArcsenx(\/x)

-

= 2>/xArcsen(>/x)-2j(1-x)

dx

l =2 Vx Arcsen í Vx) + 2>/T^x + C

.

l = J x2Arcsen(x)dx

u=Arcsen( x) =>du = ^

I = -x 3Arcsen(x)-~ f

dx

r ¡ , x ; v = Jx dx - —

; u’=1-x2 =>udu =-xdx ; x‘ -1-u"'

1 > 1 f x2xdx / v 1 r 0 -u )(~ uC,u) l = - x 3A rcse n (x )- - J^ = = = x A rcsen (x )--J---- -j= ----

u i x ’ Arcsenfxj +i í u - ^ +fl- x 1) ' = i x ’Arcsen(x) +^ í —

O

+C

| xCos’xdx -y.-.

¡¿ j

1 = JxCosJ (x)dx ; u=x => du = dx v = JCos 2 (x)dx =JCos2 (x)Cos(x)dx =J[1 - Sen2 (x)]Cos(x)dx = | Cosxdx - 1SenxCosxdx _ Sen3x = Senx--- -—

3

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173

■

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CAPITULO I

I

Ir?: % I = xSen(x)--^en---- |Sen(x)d'du = - e ' xdx ; v = J S e n (3 x )d x _ _ £ ^ 3 x

I = ^ - [ 3Sen(3 x )-C o s ( 3 x ) 4 C]

j.Sen2(x)dx

¡

■- ¡i

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--

---------------------

www. solucionarlos, net (

CAPITULO I

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

,Serv^x)dx _ u = Sen2(x\=>du = 2Sen(x)Cos(x)dx = Sen(2x)dx

J

e* v = jV *d x = -e x I = -e *Sen2 (x) + Je xSen(2x)dx ...(1)

Si hacemos: l =Je vSen(2x)dx . Cos(2x) u = e x =>du = -e'xdx ; v =J Sen(2 x)dx =-----—

e~*Cos(2x) f e-,Cos(2x)d ' 2 J 2 u =e

=>du = -e"*dx ; v = JC os( 2 x)dx = Sgn^2XxCos(2x)

“ 2

1

! ^ í ! í l + lje->Sen(2)dx

2

Pero I = J e xSen(2x)dx e xCos(2x) e *Cos(2x)

e *Sen(2x)

1(

4

4

o e *Sen(2x)

1 1 ^ f ^ j j, __e_^|-9rng9v ^ S(,n9xj 4.r

l = --[Sen(2x)+2Cos(2x) je'“ +C

Je'Sen(x)Sen(3x)dx j— ?T'Tdu = -2Sen(2 x)dx ; v=[exdx = ex I, =exCos(2x) +2 je KSen(2x) u=Sen(2x)=>du = 2Cos(2x)dx v = J e xdx =ex 1, =exCos(2x) +2jV S e n (2x)- 2 J e xCos2(dx)j Pero I, = J e xdx(2x)dx I, =exCos(2x)+2exSen(2x)-4l, => I, (1 +1) =ex[Cos(2x)+2Sen(2x)] +C I, =^-[Cos(2x) +2Sen(2x)] +C

Para la segunda integral: l2 = J x 2Cos(4x)4 ;

u = Cos (4x) =>dx = -4Sen(4x) dx ; v = Je'd x =ex

l2 =exCos(4x) +4 je xSen(4x)du u=Sen(4x)=>du = 4Cos(4x)dx v = J e xdx = ex l2 =exCos(4x) +4[exCos(4x)dx] Pero l2 =J e xCos(4x)dx I, = exCos(4x) +4exSen(4x)-16l, => I,(1 +I 6) = ex[Cos(4x) +4Sen(4x)] +C

1

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www. solucionarios. net CAPITULO I

(

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

l2 = ~ [C o s(4 x) +4Sen(4x)]ex+C

End)

I = ^.^[Cos2x + 2Sen2x]-l.y^[Cos4x + 4Sen4x]ex+C I = I, +1-^-[Cos(2x) + Sen(2x)]4- — [Cos(4x) + 4Sen(4x)" + C 34'

= Je^Cosfbxjdx ; u=e2x =>du = ae*‘dx ; v = JCos(bx)x =

Sen(bx)

u = e " =>du = ae"dx ; v = J 2 (dx)dx = - F OS^bx) uaxSen(ax)

a

eaxCos(bx) k

( _ e 8xSen(bx) b

a —J e ÍXCos(bx)dx aeaxCos(bx)

a2

b2

b2

Pero I = j V xCos(dx)x

'i = ^-j-[bSen(bx) +aCos(bx) ¡+C ,+ ¡ ? , 1= - ^ — rl bSen(bx) +aCos(bx)l +C a" + b J

www.edukperu corn

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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS

)

CAPITULO I

j V xCos(e*)dx

1= j V xCos(ex)dx Hacemost = ex I =JtCos(t)dt

dt = exdx=> 1= jV C o s(e x)e'dx

u =t => du = dt ; v= JCos(t)dx = Sen(t)

l = tSen(t)-JSen (t)dt = tSen(t) +Cos(t) + C perot = e* I = exSen(ex) +Cos(ex) +C

JSen 2 [Ln(x)]dx

am w m vw * I = JSen 5 [Ln(x)]dx u = Sen2 [Ln(x)l =>du = 2Sen[Ln(x)]Cos[Ln(x)]— X

du = Sen(2Lnx)—

; v =Jdx = x

l = x Se n -[U ,(x )]-fX! ? t y f l dX...0 )

Si hacemos: I = JSen[2Ln(x)]dx u = Sen[2Ln(x)] =>du =2Cos[2Ln(x)]— v = Jdx = x

I = xSen["2Ln(x)]-2|--------^— = xSen[2Ln(x)]-2jCos[2Ln(x)]dx

u = C os[2 Ln (x )]^ du = -2Sen["2Ln(x)]—

H

____________________

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X

; v=fdx = x

J

www. solucionarlos, net cApmJL0,

f

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

'= xSeni[2Ln(x)]-2 lxCos[2Ln(x)]+2j——

—^-^— 1

Pero l=|Sen(2Lnx)dx 1'= xSen[2Ln(x)]-2xCos[2Ln(x)] +4r =>51= xSen[2Ln(x)]-2xCos[2Ln(x)] =i r=-{Sen[2Ln(x)]-2Cos[2Ln(x)]} 3

End) I = xSen2 [Ln(x)]--Cos[2Ln(x)]-2Cos[2Lnx]+C

^

j V e " x dx

j M a ro ramr m t ■

_p~** l = JxV **dx ; u=-x2 =>du = -2 xdx v=Jxe'x*dx = —-— , x2e ' x3 r -x3^ x2e xl e x e’x2/i r 1=------ xe dx =------ +--- +C =----(1 +x ) +C 2 J 2 2 2

JxArcsec(x)dx fn r r m ia r f

dx = íxArcsec(x)dx u=Arcsec(x) =>du = — . v=fxdx = — xvx 2 - 1 2

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)

CAPITULO I

dx x2 A , x f x2 dx x A . v 1I fr xxux = — Are sec (x )- — .— 7= =— Arcsen(x)-- I -7 === 2 M J 2 x V T Ii 2 2 J Vx2- ?

u = x 2 —1 => d u = 2 xdx

'2

1 f d u /2

x2

= — - A rc s e c (x )- - f—t=- = ^-Arcsec(x)--^ fu' 2 v ' 2 J Vü 2 v ' 4J x2 u'/2 = — Arcsec(x)4 (V 5 )+C’ T Arcsec(x)' 4

2du

±1+C

j(A rcsecx )2 dx iM f z = Are sec x

- r

I T

=> x = Secz => dx = Secz.Tgzdz

J(arcsecx )2 dx = J z 2Secz.Tgzdz, por partes u = z*

du = 2 zdz

dv = Secz.Tgzdz

v = Secz

J(arcsecx )2 dx = z‘Secz- 2 | zSeczdz

V.

u =z

du = 2 zdz

dv = Secz.dz

v = Ln|Secz +Tgz|

J(aresec x y dx = z'Secz - 2zLn|Secz +Tgz| +2JLn(Secz +Tgz|dz x —1

+c f(arcsecx )2 dx = x(arcsecx)' — r------- -Ln jv / \ ' x -x x 2 x +1

© f x2Arctg(x)dx .y * ' ‘

1

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www. solucionarlos, net CApmJU),

(

I = Jx'JArctg(x)dx ; u=Arctg(x) =>du = - ^ 7 l= ^ s

|=

X

A

,

; v=J xydx = —-

Arct(x)- i f ^ ! 3 J 1+x2

I = — Arctg(x)-- fxdx-t-- f u 3 V ; 3J 3 J 1+x2 .

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

V

X*

\ r d u r ¿

= x2+1 du=2xdx

X “

,

v

X

I ,

/

X

-

Arctg(x)- — +- J — — = — Arctg(x)- — +-Ln(u) +C 6 3J u 3 6 6 l = y A rc tg (x )- ^ - +^Ln(x 2 +l)+C

^

[ VxLn ( x) dx

l = JVxLnxdx

; u = Ln(x)=> du = —

; v = J x 'd x = ^-—

Aplicamos integración por partes: I = uv - Jvdu

2 x3/2Ln(x)

^

3

r 2x3/2dx = 2x* aLn(x) 3 3x

JJ

m m x

4 3j

_ 2x3c?Ln(x) 3

4x3/2 | c 9

)

= JSen(x)Ln[l +Sen(x)]dx ; u=Ln[l 4-Sen(x)] =>du =

.VV.■* e d IK.

-

u C - ,"

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181

www. solucionarios. net y;.'-r'v

» EDUARDO ESPINOZA RAMOS

D

CAPITULO I

v =j Sen(x)dx = -Cos(x)

Aplicamos integración por partes: I = uv - J-x

1= -Cos(x)Ln[l +Sen(x)] + J[l-Sen(x)]dx I = -Cos(x)Ln[l +Sen(x)] +x+Cos(x) +C

< D Si f"(x ) = -af(x) y g"(x) = bg(x), donde a y b son constantes. Encontrar la integral jf(x )s "(x )d x -

-, ” V vsr

Aplicando el método de integración por partes: u = f(x ) [dv = g"(x)dx

|du = f'(x)dx ] v =g'(x)

j f(x)g"(x)dx = f(x )g ’( x ) - J f ’(x).g'(x)dx

Nuevamente se integra por partes: Jf(x )g "(x )d x = f(x )g '(x )- Jf'(x )g '(x )d x u = f'(x )

du = f"(x)dx

dv- = g’(x)dx

v =g(x)

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Y.'W

S'u.caf

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(

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

j f(x)g"(x)dx = f(x)g'(x)-f'(x)dx-t-Jf''(x).g(x)dx

Nuevamente por partes y de los datos al reemplazas se tiene el resultado: Jf(x )g ''(x ) =- ^ - [f(x )g '(x )- f'(x )g (x )]+ C

^

|Cos[Ln(x)]dx

j^ E S E E B S M f

dx I = jCosLn(x) = x u = Cos[Ln(x)] =>du +Sen[Ln(x)] — v =J dx +x Aplicamos integración por partes: I = uv - j vdu I = xCos[Ln(x)] +JxSen[Ln(x)] ^ = xCos[Ln(x)] +JSen[Ln(x)]dx

u = Sen[Ln(x)]=>du = C o s [L n (x )j^ y = Jdx = x

Aplicamos integración por partes: I = uv - J vdu l = x C o s [L n (x )]

+Sen[Ln(x)]-}Cos[Ln(x)]dx Perol=fCos[Ln(x)]dx

I = xCos[Ln(x)] +xSen[Ln(x)]-1 => 21 = xCos[Ln(x)] +xSen[Ln(x)] I = |C o s[Ln (x )]+ |Sen [Ln (x )]+ C

_________________ _______________ SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO II v i

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©

)

CAPITULO i

J(3x +1)Arctg(2x)dx

2 dx

1= J(3x +l)Arctg( 2 x)dx ; u=Arctg(2 x)=>du = —

4x

v = J(3x +1)dx = ^ - +x 3x

1=

1=

1=

3x

3x

3r

\

1=

x2dx Arctg(2x)-3j— 4x dx

Arctg(‘2x)--|dx +- J —

■+ X

•+ X

■+ X

4x

3 3 Arctg(2x) — Jdx +- ~ Arctg(2x) +C

r 3x2 3] --- + X H--- Arct(2x)--x +C 2 8

J ( x 2 +5x +l) e xdx

l = J ( x 2+5x +l)exdx

Aplicamos integración por partes I = 4 x-f vdx u = x2+5x+=>du =(2x +5)dx v=Jexdx =e* I =(x2+5x +l)e x-J(2 x +5)exdx U = 2x +5 =>du = 2dx v=Jexdx =ex I =(x2+5x +l)e x-(2x +x)e +2 je xdx =(x2+3x-6)ex +2ex+C SOLUCI ONARI O ANÁLI SI S MATEMÁTI CO II

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www. solucionarlos, net CAPITULO l

(

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

I =(x 2 +3x-4)ex+1

© í ( x2 +x +l)Sen(x)dx ü l'i V i l i l i W I = J ( x 2+x +!)Sen(x)d?< Aplicamos integración por partes: I = uv - J vdx u = x2 +x +1=>du =(2x +1)dx=> Jsen(x)dx =-Cos(x) I = -(x 2 +x + l)Cos(x) +J(2x +1)Cos(x)dx u = 2x +l =>du =2dx ; v=JCos(x)dx =Sen(x) I = -(x 2 +x +l)Cos(x)+(2x +1)Sen(x) +2jSen(x)dx I = -(x 2 + x +l)Cos(x) +(2x +1)Sen(x)-2Cos(x)+C I = (1 —x2 -x)Cos(x)+(2x +1)Sen(x)+C

J(3x 2 +7x +l)e xdx

1= J(3x 2 +7x +l)exdx

Aplicamos integración por partes: I = uv - J xdu u = 3x2 +7x +l =>du =( 6x +7)dx ; v=Jexdx = ex I = (3x2 +7x +l)e x- J ( 6x +7)dx u = 6 x +7 =>du = ódx v=| exdx =ex

•-V.VA f.-: - } ; - r u CO ;-

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO II

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)

C t P IT U L O I

I =(3x~ +7x +l) e du =(2x +3)dx v = Je xdx = -e"x I =-(x 2 +3x +4 )e 'x+J(2x +3)e"xdx

u = 2 x +3=>du +2 dx ; v=Je_xdx =- e x I = -(x 2 +3x +4)“x - (2x +3 ) e x +2J e ‘xdx =(-x 2 - 5x- 7 ) r x- 2e~x +C =(x 2 +5x +9)e"x+C

Q

í ( * ! +2x +5)(2Senx +3Cosx)dx

u = x2 +2x +5 dv =(2Senx +3Cosx)dx

í du =(2x +2)dx (v =3Senx-2Cosx

J( x 2 +2x +5)(2Senx +3Cosx)dx = (x 2 +2x +5)(3Senx-2Cosx) -2j(x +1)(3Senx-2Cosx)dx

...(1)

u = x +1

í

dv =(3Senx - 2Cosx) dx

du = dx

[ v = -3Cosx - 2Senx

J ( x +1) ( 3Senx - 2 Cosx) dx =- ( x +1) (3Cosx +2Senx) +J (3Cosx +2Senx) dx = -(x +1)( 3Cosx +2Senx) +3Senx - 2Cosx = - ( 3 x +5)Cosx-(2x-1)Senx ...(2)

Reemplazando (2) en (1): J (x2 +2x +5 )( 2 Senx+3 Cosx)dx =(x 2 +2x +5 )( 3 Senx -2Cosx) +2(3x +5)Cosx +2(2x-1)Senx +C SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO II P I S É

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D

CAPITULO I

= (3x? +l0x +13)Senx-2(x2+1)Cosx +C

Jx 2Ln(x6-l)dx '

6x5 du = —— dx x6- 1

u = Ln(x6 - l)

.,3

dv = x2dx

J x ’Ln(x»-l)dx = x3Ln|x6 -l|

-—

„

J

x* ^

-2¡ { X +

3

x 3Ln|x6 - l |

2x3

, xgdx

3

3

J x 6- 1

Jx 3e2xdx

I =J x 3e2xdx Aplicamos integración por partes: u = x3 =>du =3x2dx =>v = í e2x

I = uv - J vdu

dx = —

i

o

I = —o ---f x 2exdx ;’ u=x2 =>du =2 xdx =>v = fe2 xdx o=-— oJ J l=

xe

2

u =x

l=

3 xe

x'e2“

x3e2x 3x2e2x

- Jx e 8,,dx

du = dx

3x*eiK

xe

c3e2x 3xe2x 3xeÍK 3e2

1

— fe2xdx

8

9 J

V

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO II

.

A

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+C

Mww.eoukpsnj coff

www. solucionarlos, net M>(m0l

(

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

FRACCIONES PARCIALES Calcular las siguientes integrales indefinidas

r I-

f

2x*+4|x-9|

í ------------------- 1

-

1---- r d X

' (x - l)(x +1)(x-4)

_ r

2x +41x-91

_________________ —

r iv

(x +l)(x +3)(x-4)

Hacemos descomposición por fracciones parciales:

2x2+4|x -9|

A

(x-1)(x +3)(x-4) . x-1

B

C

x +3 x-4

2x2 +41x-91 = A (x +3 )(x-4 ) +B (x - l)(x - 4 )+ C (x - 1 )(x +3)

Mediante la sustitución de puntos críticos: x = 1=>2 +41-91 = A(4)(-3) +B(0) +C(0)=>-12A = ^48=> A = 4 x = 3 =>18-123-91 = A ( 0 ) +B(28) +C(0)=>28B = -196=>l = -7 x = 4 =>32 +164 - 91 = A(0) +B(0) +C(3)(7) =>21C = 105 =>C = 5

Luego: l = 4 r _ ^ +7 f _ ! ^ +5 f- ^ - = 4Ln(x-l)-7Ln(x +3)+5Ln(x-4)+C J x-1 J x +3 J x-4 •| = Ln

(x - 1 )'(x - 4 )

+C

(x +3)2

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO

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u

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CAPITULO I

j

“ 5) --O •fÍ' t(x~(2X -5x2 +5)

( 2 x 2 +5)

j2 x s-5)

_

V44 - 5 x 2 + 6 ’’ x

* (l x 2 - x 2 + 8 q\)

(2x! - 5 ) x4 - 5 x 2 + 6

2 x*

_

-5

(x * - 2 )(x 2 -3)

Hacemos descomposición por fracciones parciales: (2x2 -5)

A

(x -V 3 )(x +^ )( x - V 2 )( x +^ )

x-^2

B

C

D ■+— x +>/2 x - J 5 x +>/3

2xs -5A(x 2 -3)(x +>/3) +B(x 2 -3)(xV2) +C(xe-2)íx +>/3) +D(x 2 -2)(x->/3)

Mediante la sustitución de puntos críticos: x = Vx

-4 - 5 = -A (2>/2) +B(0) +C(0) +D(0) =>A = — ■

x =-V2 =>4 -5 = A (0)- B(-2>/3) +C(0) +D(0) =>B = -

X=

-V3=>6-5 = A(0)-B(0)+ C (2^)+ D (0)= > C

= -

^

x =->/3 =* 6-5 = A(0) +B(0)+C(0)+D(-2>/3) => D =

Luego: I

_ ~

l= i ^

1

r d x

1

_ _ _ _ _ _ _

2>Í2^ x ->/2

= u ,( x - ,/ 5 ) " i ^

r

dx

|

1

r

dx .

2s[2* x +j 2 +2sÍ3K-> l3

lJ’( x + ^ ) + i ^

1

t

2>/3^x7^

Ln( x - ^ ) - ^ =

JS| SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO II

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dx

Ln( x + ^ ) + c

tvww eduKoecj co?n V

www. solucionarlos, net (

PITULO I

Z Á +— p=:Ln x +>/3 2v3 x +s \ +' :+ j2

I = — =Ln 2V3

f j

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

(2X+- ll- d x ( x 3- 7 x +6)

«

•

' »

i*

1 0 - 7 6

r ( 2x +1 ) I = J t 4 ----i-rdx (xJ -7x +6 )

1 1 - 6 1

Factorizamos:

1 1 - 6 0

( 2 x +l)

( 2 x +1 )

( 2 x^-1 )

(x 3 -7 x + 6)

(x - 1 )(x 2 + x - 6 )

(x - 1 )(x +3 )(x - 2 )

Hacemos descomposición por fracciones parciales: (2x +1) (x - l)(x +3)(x-2)

A

_B_ _C^

x +3 ^ x-1

x -t 2

2 x + 1 = A ( x - 1 ) ( x - 2 ) + B(x + 3 ) ( x + 2 ) + C(x + 3 ) ( x - 1 )

Mediante la sustitución de puntos críticos

/ww eduknenJ.com

x - 1 » 2 +1= A(0) +B(4)(-1)+C(0) = B = - -

x-1 =>-6 +1- A(-4)(-5)+B(0) +C(0) =>A = - x = 2=>4 +1= A (0) +B(0) +C(5)=»C = 1

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO II

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j

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j

CAPITULO!

W: Luego: l = . l r * L _ 3 f _ É L + r ^ =_ 2 u , ( x +3 )- lL n (x - l ) +Ln(x-2) +C 4 J x +3 4 J x-1 J x-2 4 v ' 4 v (x - 2 ) I = -Ln +C 4 l(x +3)(x-1) J

(4x3+4x2-18x +6 ) ^ (x 4 -3x 3 +x'+3x)

. 4x 3+4x 2-18x +6)

----- --- ---- r-dx

' (x -3x +x +3x)

Hacemos descomposición por fracciones parciales:

4x4 -4x 2 -18x +6 A B C D = — +--- +--- +■ x(x-3)(x +1 )(x -l) x x +1 x-1 x-3

4x3 +4x2 -18x +6 = A (x 3 -3x 2 -x +3)+Bx(x 2 -4x +3)+Cx(x 2 2x-3) +Dx(x2 - i)

Mediante la sustitución de puntos críticos x = 0 =>6 = 3A +(0)+C(0)+D(0)=> A = 2 x = -1 =>24 = A(0)-B(8)+C(0)+D(0)=>B = -3

/ V

: -

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a ’jwv.edukperu .com

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capitulo i

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

x = 1 =>24 = A(0)+ B(0) +C(-4) +D(0)=>C = 1 x = 3 => 132 = A(0) +B(0) +C(0) +D(24)=>D =4 I = 2 Í — - 3 Í - ^ - + f — —+ 4 f — —

J x

x +1

x-1

^ x -3

I = 2Ln(x)-3Ln(x +l) +Ln(x-1) +4Ln(x +3) +C

! -x)

i,r

dx x(a 2 -x)

Hacemos descomposición por fracciones parciales:

1

1

x(a 2 -x) ~ x(a-x )(a +x)

-A

B_____C_

x

a-x

a +x

1 = A (a 2 -x2) +Bx(x +a) +Cx(a-x)

Mediante la sustitución de puntos críticos: x =0=>1 = A (a2) +B(0) +C(0)=> A = -^-

x = -a=>1 = A(0) +B(0)-Ca(2a)=>C = - ~

x = a=>1 = A ( 0 ) +Ba(2a) +C(0) =>B =

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193

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D

» EDUARDO ESPINOZA RAMOS

Luego: 1 fdx

I r dx

a2 •* x2 a' J a - x

1 f dx

2a ■ ’ x +a

\ Ln( x) - —L Lnía - x) - í- Ln(x +a) +C = Ln 2 a 2a ' 2a v ' 2 a2 a -x 2

2 x2 - 1

O í

X

+c

dx

- X

Hacemos descomposición por fracciones parciales:

2 x8 - 1 x

(

x

-1 ) (

x

+ 1)

A x

B C x +1 x —1

2x2 -1 = A(x +1)(x-1) +Bx(x-1)+Cx(x +1)

Mediante la sustitución de puntos críticos:

x =0 =>0-1 = A(-1)+ B(0)+C(0) =>-A = -1 =>A = 1 x =-1 =^2-1 = A(0)+ B(2)+C(0)=>2B = 1=>B = -

x = -l=>2-1 = A(0) +B(0) +C(2)=>2C = l=>C = ^

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vww.edukpeitixorrr'

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CAPITULO I

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

Luego:

I = f— +1 += Ln(x) +-Ln(x-1) +-Ln(x +1) +C J x 2J x-1 2J x-1 v ' 2 v ’ 2 v ' l =Ln¡x>/x'¿ -1 +C

r________ 32x________ . ' (2x -l)(4 xc - I 6x +

15)

f

32

.

x

= ----- :— ---------dx •* ( 2 x - 1 ) ( 4 x -16x +15)

Hacemos descomposición por fracciones parciales: 32x

32x

( 2 x - 1 ) ( 4 x 2 - 1 6 x + 15)

(2

x

A

- l) ( 2 x - 5 ) ( 2 x - 3 )

2

x

- 1

.

B 2

x

+

- 5

C 2

x

- 3

32x = A ( 2 x - 5 )( 2 x - 3 ) +B(2x-1)(2x-3) +C(2x-1)(2x-5)

Mediante la sustitución de puntos críticos x = i =>16 = A(-4)(-2) +B(0) +C(0) o 8 A = 16 =>A =2

x =^

48 = A(0) +B(0) +C(-4) =>-4C =48 =^>C = -12

x = 5=>80 = A(0) +B ( 8 ) +C(0)=>8B =80=>B =8

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)

CAPITULO I

Luego: dx

..r

dx

.„ r

dx 2x +3

I = Ln(2x +!) +5Ln(2x-5)-6Ln(2x-3) +C

^

r (5x 1 +2)dx x -5x‘ +4x

I

r (5x3 +2)dx ^ x3 -5x 2 +4x

f f (25x2-20x +2) I = 5Ídx + (-— --------- 1 3 3 x2 -5x +4x

5x3 +2

x^ -5x 2 +4x

-5x3 +25x2-20x

5

25x2-20x +2

Hacen descomposición por fracciones parciales: 25x2- 20x +2

25x2-20x +2

A

x*-5x 2 +4x

x(x-1)(x-4)

x

B

C

x-1 T x-4

25x2- 20x +2 = A (x-1 )(x -4 )+ Bx(x-4 ) +C x (x - 1 )

Mediante la sustitución de puntos críticos: x =0 =>2A(4)+ B(0) +C(0) =>4x = -18 =>A =

x = 1 =>25 - 20 +2 = A(0)+B(-3) +C(0)=>-3B = 7=>B = - 3 x = 4 =>400-80+2=A(0)+ B(0)+C( 12) => 12C = 322 => SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO II

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C =— 6

*

www. solucionarlos, net EDUARDO ESPINÓZA RAMOS «

ftPlTULO i

Luego:

r dx _ Z | • dx JT

dx

161 r

3 J x - 1 ' 6 ' x-4

I =5x +^Ln(x-1) +^ L n (x - l) +^ L n ( x - 4 ) +C =5x +Ln

V x (x - 4 )'

+C

(x-1)

xdx

ií

i '

x -3x

+2

— x -3x

Hacemos:

+2

,=A f -------- ^ 2 J (u-3 /2 )

2(2)( 1/ 2)

Ln

u=x2 => du= 2xdx l = f - -d u / ^— J u2- 3 u + 2

du -------- = i f — - 9 /4 +2 2 J (u U- 3 / 2 ) -1/4

u —3 / 2 —1/2 u-3/2+ 1/2

+C = —Ln 2

u- 2 u —1

x -2

+C = L n J——- +C x* -1

+ 1l ]d )d x r j (xx + J x3 +x2- 6x

IM j. ( x + l ) d x ■’ x 3 + x 2 - 6

j. x

J

W ñ ‘} \ W t (x + l)d x

x

( x

+3 )(x - 2 )

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1

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)

CAMiolo

Hacemos descomposición por fracciones parciales: x +1 -A x(x +3)(x-2) x

B | C x +3 x-2

x +1= A(x +3)(x-2) +Bx(x-2) +Cx(x +3)

Mediante la sustitución de puntos críticos: x = 0 =>I = A (- 6 ) +B(0) +C(0) =>-6 A = 1

A = -^

x = 2=>2 +1= A (0) +B(0) +C(0)=>!0C = 3=>C = —

x

=3=>-3 +1= A (0) +B(15) +C(0)=>15B = 2=>3 = -

4

15

Luego:

I fdx r dx 2 r dx 1. / \ 3. / = — — + ------- -----= — Ln x +— Ln(x +3) 6 J x J x +3 15J x-2 6 10 ; (x+3 )3

1= Ln x

Oí

2(

x

n 2 . . L n x - 2 ) +C 15 ' '

+C

- 2 ) ‘

x3 - 1 ■dx 4x -x

x —1 dx -x

'*í 4x

SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMÁTICO II

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1

www. solucionarlos, net f

c apitulo i

dx

I =- f dx +- f A j

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

d J

Hacemos descomposición por fracciones parciales: x-4

A

x ( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1)

x

B

C

2x-1

2x + 1

x-4 = A (2 x -1)(2 x + 1) + Bx (2 x +1) +Cx (2 x -1)

Mediante la sustitución de puntos críticos: x = 0 =>0-4 = A (-1) + B (0) + C (0) =>-A = -4 =>A = 4 x = | =>| - 4(0)+B ( l ) +C(0) =>B = -1 =>B -

x - I ^ - I - 4 - A ( 0 ) +B( 0KC( t ) =>c —

|

Luego: _ 1r dx

7 r dx

4 Xx

8 2x -1

9 r dx 8 2x +1

.I = -x 1 +— 1 .Ln +C 4 16 ( 2 x - 1 ): ( 2 x - 1 ) (3x + 5)dx

© í x3- x2 - x +1

j. (3x +5)dx _/• x3 —x —x + 1

(3x +5)dx x2(x - 1 ) - (x - l)

/■

3x +5

(x + 1)(x-1)2

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J

CAPITULO |

Hacemos descomposición por fracciones parciales: 3x +5

_

A

(x +1 )(x —1 )'( x_1)

^

B

( X —1 )2

C X +1

3x +5 = A (x - l)(x +1) +B(x + 1) +C(x-1 )2

Mediante la sustitución de puntos críticos: x = l=>3 +5 = A(0)+B(2)+C(0)=>2B = 8 =*B = 4 x = -1=>-3 +5 = A(0) +B(0)+C(4)=>4C =2 =í>C = ^

x = 0 =>5 = A(-1) +B +C =>- A +4 + ^ = 5 =>A = ^

Luego: I = - - f-^ - +4Í 2 J x-1

j

4

x- 1

f

©

-d* -7 +^Ln( x-1) —

( x -1)

1 . +-Ln

2

2

x- 1 x-1

v

'

4

x-1

1 +¿Ln(x +1)+C 2

v

+C

(3 x -2 )

J ( x +1)(x +2)(x-1) X

,-f

____ dx

* (x-f1 )(x +2 )(x - 1 )

m il SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO II

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www.í-di;!

oorh

t

www. solucionarlos, net ■n-ULO |

(

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

Hacemos descomposición por fracciones parciales 3 x - 2

A

(x +1)(x +2)(x-1)

3x-2 = A

B

C

+--- +■ x —1 x +2 x +1

+2)(x +1) +B(x-1)(x +1)+C(x-1)(x +2)

( x

Mediante la sustitución de puntos críticos 3 +2 = A ( 6 ) +B(0) +C(0) =>6A = 1=>A = -

x =1

8

x = -1=x>-3-2 = A(0) +B(0) +C(-2) = -5C = -1 => B = |

x

= - 2 = > - 6 - 2 =

A(0) + B(3)+C(0) =3 x

=

-6 =>C = -

5

3

Luego:

\ 8. , oX . 1 f dx 5 f dx 8 r dx 1, , \ 5. , I = - --- +- ------ ---- = - L n (x - l) +-Ln x +1) — Ln x +2 +C 6 J x-1 2^ x +1 3 J x +l 6 v ’ 2 y 1 3 v ’

.

(2x2+ 3 x-l)

' (x -1 )(x +3)(x +2)

w m ni Í2x2 +3x —1)

r

1 =í—

J x-1

---w "

~;dx

x +3)(x +2) .

Hacemos descomposición por fracciones parciales: 2x2x +3x -1

A

(x + l)(x + 3)(x +2)

x-1

2x' + 3 x-1 - A

«r

Mrr

( x

B

■+«■ x

C +3

x

+2

+ 3)(x + 2) + B (x - 1 )(x +2)-+C(x-1)(x+3)

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO II

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v

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X

O

—X + 1

í :x4-5x3+5x" +5x-6

)

CAPITULO I

dx

SOLUCIO

(x2-x +l) í x 4 -5 x 3+ 5x +5x-6

dx

Hacemos descomposición por fracciones parciales: 2 *1 X —X 4-1

x2-x +T

(x-1)(x +1)(x2 -5x +6 )

(x-1)(x +1)(x-2)(x-3)

X —X +

x4 -5x 3 +5x +5x-6

X —X +1

(x-1)(x +1)(x-2)(x-3)

A B C 1 +--- +----+• x —1 x +1 x-2 x-3

x2-x +1 = A(x +1)(x +2)(x +3 )+ B (x - l)(x - 2 )(x - 3 ) + +C(x2 - l)(x -3)+ D(x2 - l)(x - 2 ) Mediante la sustitución de puntos críticos

x = 1 =>1 = A (4 ) +B(0) +C(0)+D(0)=> 4A = 1=>A = ^

x = -1=>3 = A(0)+B(-24) +(0)+D(0)=>-24B = 3=>B--

x = 2 =>3 = A(0)-f B(0)+C(-3)+ D(0)=> -3C = 3 =>C = -1 x =3=>7 = A(0) +B(0) +C(0) +D( 8 )=>8B =7 =>B = ~

8

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(~

CAPITULO I

Luego: 1 l rf ox dx

1 i fr dx QX

rr ax dx

7/ fr ux dx

4-’ x - l

S-'x +l

■ ’ x-2

8 JX - 3

I = ÍL n (x - 1 )- ^ Ln (x + 1 )+ ^ L n (x - 3 )- L n |x - 2 |

x6 -2x4 +3x3 -9x 2 +4 x +5x +4x

dx

f x6 -2x4 +3x3 -9x2 +4 I = -----?--- -------- dx J x5 +5x +4x , f J f 3x4 +3x3 -13x2 +4 I = i xdx + í ---— --- --- r— dx ■ ’ x(x -5x +4) Hacemos descomposición por fracciones parciales: 3x4 +3x3 -13x2+4

3x4 +3x3 -13x2+4

x(x 4 - 5 x2 +4 )

x (x - 1 )(x +l)(x - 2 )(x +3)

3x4 +3x3 -13x2+4 x(x

- 1 )( x +1)( x - 2 ) ( x +2 )

A | B | C | D , E x - 1 x +1 x - 2 x +2 x

3x4 +3x3 -13x2+4 = A x ( x + 1)( x 2-4 ) +Bx(x-1)(x 2 - 4 ) +

+Cx(x2 - l)(x +2) +Dx(x2 - l)(x - 2 )+ E(x 2 - l)(x 2 -4) Mediante la sustitución de puntos críticos:

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I

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)

CAPITULO I

x = 0=>4 = A(0) + D(0)+C(0) + D(0) + E(4)=>4E = 4=>E = 1

x = 1=>-3 = A(0)+B(0)+C(0) + D(0) + E(0)=>CA = 3=>A = i

x = -1 =>-9 = A(0) +B(-6)+C(0) +D(0) +B(0) =>6B = 9=>B = | x = 2 => 24 = A(0) + B(0) + C(24)+ D(0) + E(0) => 24C = 24 => C = 1 x = -2 =>= A (0) + B(0) + C (0) + D(24) + E(0)

24D = -24 = D = -1

Luego: l = f xdx + 3 f J í _ + 3 f ^ í . . f ^ . + f d i J 2 ' x - 1 2' x +1 •* x +2 J x

x* 1 3 I = y + -L n (x -1 ) + -Ln(x + 1) + Ln(x + 2)-Ln(x + 2)+Ln(x) + C

x . x (x - 2 )^ (x - 1 )(x +1)3 — +Ln +C 2 x +2

O

I

x +3x -5x -4x +17 dx x +x2 -5x +3

Ü M iH JK Í x +3x -5x -4x +17 dx x +x2 -5x +3

H

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CAPITULO I

i

(/ f(x

)

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

r-2x 2 +3x +11 4 í x3 +xg - 5x +3

Hacemos descomposición por fracciones parciales 3x-2x2 +11

3x-2x 2 +11

x3 +x2 -5x +3

(x +1)(x2 +2x-3)

3x-2x2 +11 ( x - 1 )(x - 1 )(x

+3)

3x-2x 2 +11-A(x-1)(x +3)t B(x +3) +C(x-1 )2 Mediante la sustitución de puntos críticos

x=1 => 12 = A(0) + B(4) + C(0) =>4B = 12=> B = 3 x = -3 =>-Í 6=A(0)+B(0)+C( 16) => 16C = -16 =>C = -1 x = 0 => 11 = A (-3) + 3(3) - 1 =>-3A = 3 =>A = -1 Luego:

l = Jf '(x +2 )d ^ +3J (x-1) i / V iJ — ' x - Ji X-1 x +4

2 O I = ^- +2 x - L n (x - l)---- --Ln(x +3) +C

l = i — 2x - - ~ +ln [( X-1)(X+3)]+C

I = — +2x— ^--Ln(x 2 +2x-3) +C

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0

)

CAPITULO i

f 35X - J 1X+5 dX

J x -4x‘ +5x-2

J K 22M

¡ M

Í

. r 5x2 -11x +5 •= -s--- 5------ dx J x -4x +5x-2 Hacemos descomposición por fracciones parciales

5x*-11x +5

_ 5x

(x - l)(x 2 - 1 +2)

X

5

x

2 - 1 1

x

+ 5

1 1x-3

+1 (x-2)

A

B

C

(x - 1 )! ( x - 2 ) ~ í r ¡ + (x - 1 )! + x^2

5x* - 1lx + 5 = A (x-1Xx-2) + B(x-2) + C (x-1)2 Mediante la sustitución de puntos críticos:

x = l=>x

= A(0) + B (rl) + C (0) => -B = -1 => B = 1

x = 2 =>3 = A (0) + B (0) + C (0) =C = 3 x =0

=>

5 = A (2 )- 2 + 3=>2A = 4=>A = 2

Luego:

=2J £

m

+J

^

+3J ^ =

H

M

- ¿ +3u,|x-2|+c

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EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

CAPITULO I ......................................................................•................................................................................... -V----------------------- ---------------------------- --------

i

é ís r 0 /

l = Ln(x-1)! (x - 2 ) 3 - ^ - j+ C

_

'x

x2dx 4-5x2+4

| = í ____ — = f ---- — -dx •*x4 - 5 x 2 + 4 J (x 2 - 4 ) ( x 2 -1)

Hacemos descomposición por fracciones parciales:

_____£ _____ = (x 2 -

4)(x 2- 1)

+ x+1

+ x

-1

+ x-2

x +2

x5 = A (x - l)(x 2 -4) +B(x-1)(x 2 - 4 ) +C(x! +l)(x +2) +D(x! - l)(x - 2 )

Mediante la sustitución de puntos críticos:

x =1=>1= A(-6)+B(0)+C(0) +D(0)=> -6 A =1=>A = —

x = -1 => I = A(0) + B(0) + C(0) + D(0) => 6B = 1=> B = i

x = 2=>4 = A(0) +B(0)+C(12) +D(0)=>12C = 4=>C = j

x = -2=>4 = A(0) + B(0)+C(0) + D(-12)=>-12D = 4=>D = - ~ * *► :

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)

CAPITULO I

Luego:

i =_ i f - Í L + f +i f _ * L - 1 f _ l x 6 J x - 1 J x +1 3J x-2 3 J x +!

l =- ^ L n (x - l) +^Ln(x +l) + ^Ln(x-2) +^Ln(x +3) +C

I = -Ln 6

® \

x +1 X —1

x +2 +-Ln +C 3 x- 2

2 x4 - 2 x +1 dx 2 x5 -x 4

2 x4 - 2 x +li fjcx--scx

f 2x4-2x +l ,

'■-y~ ^rr 'dx■>

■

r2x4-2x +1

J-- ^ 1 7

dx

Hacemos descomposición por fracciones parciales: 2x4 -2x +1 A B C D E =— +* T +-T +—r +x4( 2 x - 1 ) x x' x3 x4 2 x - 1

2x4 - 2 x +1 = Ax3 (2x-1) +Bx2 (2x-1) +Cx(2x-l) +D (2 x -l) +Ex4 Mediante la sustitución de puntos críticos: x = 0 =>1 = A (0) +B(0) +C(0) +D(-1)+ E(0) =>D = - 1

x = ^ = >5 A (0 )+ B(0) + C(0)+ D (0 )+ E ^ lj= > E » 2 SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMÁTICO II

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www. solucionarlos, net C

CAPITULO I ...................................................................................................

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

Ahora mediante identidades algebraicas: + 1= A ( 2 x 4 -

2x4 - 2 x

x3

) +B

(2 x 3

- x2) +C(2x2-

x

) + D(2x -1 ) +Ex4

x4 :=>A + E = 2=>A =2-1 = 1 x3 :=>-A + B = 0 => B = 1 x2 :=>-B +C = 0=>C = 1

Luego:

' = j f +í f +í f - í f +Í ^ ^ W

“

- ¿ - ¿ +^ x+1)+c

dx

o \

x3 +3x*

, = f _ d x ____ f

•’ x3 +3x2

dx _

•'x‘ (x +2)

Hacemos descomposición por fracciones parciales: _ J ___ x2 (x +3)

A

B | C

x + x2 + x +3

I = Ax(x +3) +B(x +3) +Cx? SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO II

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)

CAPITUL

Mediante la sustitución de puntos críticos:

x = 0=>l = A (0) +B(3) +C(0)=>B = I 3

x = -3=> I = A(0) +B(0) +C(9)=c> B = -

x

= 1=>1 = A (4) +B(4) +C=>4A = 1 - - - Ì= > A = — X 3 9 9

Luego: . 1 rdx 1 fdx 1 f dx 1, / V i1 1. / „V ~ 1 •= - - I — +- —r +- — - = - —Ln(x)--- +-Ln(x +3)+C 9J x 3 J x2 9 J x +3 9 3x 9 x +3 I = -Ln 9 V a /- T 3x" +c

W

J

X( X + t)

Hacemos descomposición por fracciones parciales: 3x +2 x( X + 1)

A B C D = — +--- +----- r +■ X x +1 (x +1) (x-1 )3

3x +2 = A (x - 1 )’ +Bx(x-1 )2 +Cx(x-1) +Dx SOLUCIONARIO ANÁL ISIS MATEMATICO II ANALISIS

■ Ä

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www. solucionarlos, net ¡apitulo I

EDUARDO ESPINOZA RAMOS « .V------------- — -------------

.................................................................

Mediante la sustitución de puntos críticos: x = 0 =.2 = A(1) +B(0)+C(0)+ D(0) =>A = 2 x = -l=>-3 +2 = A(0)+ B(0) +C(0)-D=>D = l

Ahora mediante identidades: 3x +2 = A (x 3 +3x 2 +3x +l)+ B (x 3 +2x 2+ x ) +C ( x " + x ) + Dx

+ B =0=>B = -2

x 3 :A

x 2:3A

+2B +C = 0=>C = -6 +4=-2

Luego: dx

„ r dx

nr

X +1

dx

f

(x + 1)

dx (x +1)

I =2Lji(x)-2Ln(x +1) +-^—-

1,+C

. u .|-2l T +_ í 5± 2_+c

x+l j

(x2 + x)dx x3—x2—x +1

—

' 2(x + l)2

.

(x2+ x —1)

J x2(x - 1 )- (x - 1 )

(x 2+ x + l)dx (x —1)2- (x +1)

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)

CAPITULO I

Hacemos descomposición por fracciones parciales: x2-f x -1

_

A

B

C

( x - 1 ) 2 ( x + 1 ) ~ x - 1 + ( x - 1)2 + x + 1

Mediante la sustitución de puntos críticos:

x = 1 => 1+ 1-1 = A (0 )+ B (2 ) +C{0)=> -2B = 1 => B = ^

x = - l = > 1 -1 -1 = A (0 )+ B (0 )+ C (4 )= > 4 C = - 1 = * C = ~

x = 0 = ^ - l = A ( - l ) + B +C = > -A + " - = -1 = > A = -|v / 2 4 4 Luego:

, = ^ f_£5L +-L f — —L =—L n (x - I)— j—^— ---Ln(x +1 )+C 4 J -1 4 V 2(x-1) 4 4 J x- l 2* (x - l)

|x —| j I=

--- -dx Hacemos descomposición por fracciones parciales: J x +4x

x + ^ = — + ^ - ^ => x + 1= a ( x ‘¿ +4) + B x 1: +Cx x x +4 c(x' +4) J

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO II

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^PITUtO I

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

Mediante la sustitución de puntos críticos:

x = 0=>1=4A +B(0) +C(0)=>A = i

Ahora mediante identidades:

X

2 : = > 1= A + B = > B = 7

4

X := >

C= 1

Luego:

I = l f 2 í +2 f J Í Í L + f - ^ ! _ = lL n (x ) +ÍL n (x ! +4) +Í A r c t g í | i +C

4J x

4 J x ! + 4

V

+

4

3

4

'2

U J

D f(x3+4xtl) X 4+ X 2 + 1

* 3

(x 3+4x + l)dx x4 + x2+1

.

(x 3+4x + l)dx

^ (x2-x + l)( x 2 +x + l)

Hacemos descomposición por fracciones parciales: x3 +4x +1 (

x

2-

x

+1 ) ( x 2 +

Ax + B x

+1)

, Cx +D

x2 +x +l

x2-x +l

x3 +4x + 1= Ax(x 2 +x+ l) +B(x 2 +x

+

1) + C

x (x j - x

+1 ) +D

(x 2

- x +l)

x3 +4x +1= Ax(x* +x2 +x) +B(x 2 +x +l) +Cx(x3 -x 2 + x)+D(x 2 -x +l) v

vsd-jkrer. '.£>r.

"

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V»** ¡

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)

CAPITULOi

Mediante identidades: x3 =>A +C = 1=>C = 1- A...(l) x2:=^A +B- C +D = 0...(2) x:=> A +B +C-D = 4...(3) x° :=>B +D = 1=>B = 1-D...(4) Sustituyendo (1) en (2) y (3): A +B - l +A +D = 0=>B +2 +D = 1...(5) A +B +1 -A -D = 4=>B-D = 3....(6) (4) en (6):

l-D -D = 3=>D =-1 B=2 En (5) 2+2A-1 = 1=>A =0 C=1 Luego:

¡ _ 2f

I

; f

xdx dx dx + f xax f ^ x2—x +1 *x5+x +1 x2+X +1 dx

| 1 r (2x + 1)dx

(x -1 /2 )z -1/4 + 1 2 J xs + x + 1

3,

dx

2 '’ ( x + 1)( x 2+3/4)

( x - 1I //2 4 ^ 1 I •/2^ aX t ( x+1/0 I = -7=— Arctg -7 =-- + - L n (x +X +1)— —- — -Arctg —=— +C V3/2 73/2 J 2 2(73/2) 173/2

2x-l)

I =-Ln(x2+x +l) +-^=Arctg 0 V '7 3 l 73

+ 73Arctg

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2 x +1

I/I

+C

< 73 ; w»vw.6dukoíru.com

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EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

capitulo i

r 2 xdx

\ hX

+ X

+1

¡

2xdx

f

2x‘dx

'■•)x, +x + l " J x '+ 2 x , +1-x!

f ___2xL'dx

r

J (x2+l)s -x2

2xdx (x! +l)(x*+x +l)

Hacemos descomposición por fracciones parciales: 2x2 (X! -X + 1)( X2 + X + 1)

Ax +B

Cx +D +•

x2- x +1 x2 + x + l

2x = Ax(x2 +x + l) + B(x2 +x + 1 )+Cx(x2- x +1) + D(x2- x +4)

2x2 = A (x 3+ xz +x) +B (x 2 +x + 1) +c (x 3- x 2 + x) + D(x2- x +l)

Mediante identidades: x ! :=>A +C =0 =í >C = - A x' :=>A +B-C +D-2 x:=> A +B+C-D = 0 x° =>B +D = 0=>B = -D Sustituyendo C y B: A +B +C+D = 2=>B +2A +D = 2 A+B+C-D=0 •

=>B-D = 0=>B = 0 ^ B = 0 D = 0 A=1

C=1

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j

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J

CAPITULO I

Luego: f

xdx

f

1 r (2x-l +l)dx ^ 1 , (2x +l-1)dx

xdx

1f

K¿-

X +1

(x !

K)l

-1

1 f (2x-1)dx

X„ 1

x2—x +1 ^x2+ x +1 2^ dx

x + l ) + 2 Jj

x2-x +1

2*

1 f (2x +l)dx

1, - í:

dx

f

dx

--Ln (x 2 +x +1)

2 J ( x - 1 /2 ) - 1/4 +1 1

x2+x +l

2

dx

2 J (x + 1 / 2)2 -

l = -Ln

2

I = -Ln

2

I = -Ln

2

x+x+1

>/x - x + 1

dx

dx

x2 - x + l

( x - l S j +3/4

2 (

1 A

2 J (x +1/2)‘ +3/4

f x - 1 /2 i

1

A

f x+ 1 /2 ^

x 2 + X +1

x2 -x +1 X + X +1

■—f=Arctg v3

Í 2x - 1

3?

+C

+-= Arctg £ í ± i i +c V3 V5 J

(-24x3+30x2+52x +17)dx 9x4 - 6x3 —1lx2 +4x +4

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l

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i

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EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

f (-2x3 +30x2+52x +17)dx J 9x4 - 6x3 -11x2 +4x +4

Factorización por Ruffini: 9 -6

-11

4

4

9 3

3

-8

-4

-4

0

9

-8 12

9 12

4

0

9

1

4 C

De donde: ( x -1)2(9 x 2 +12 x +4) = (x - 1 )~ (3 x ± 2 )2

Hacemos descomposición por fracciones parciales: -24x3+3x2 +52x +17 _ A ( x —1)2 (3x +2)2

C

D

3x +2

(3x +2)

B

x-1 + (x - 1)2

-24x3+30x2+52x +17 = A(x-1)(3x +2) +B(3x +2)' +C(3x +2)(x-1 )2

1+D(x-1)'

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)

CAPITULO I

Mediante la sustitución de puntos críticos: x = 1=>75 = A (0 ) + B(5) + C (0 )+ D (0 )= > B = 3

x = 2>/3 => 2 5 /9 = A (0 ) + B(0) + C (0) + D (25/ 9 ) => D = 1

x = G.=> 17 = A (- 2 )+ B ( 4 ) + C (2 ) + D = ^ C - A =2...(1)

x = -1 => 19 = A ( 2 ) + B ( l) + C ( - 4 ) + D (4)=> A - 2 = 6...(2)

D e(1)y(2) C = -8

;

A = 10

Luego:

+C

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CAPITULO I

........................................

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

.................................................................................. ................................................................

flUffflitwrn.’M f [

(x‘ -3x-7)dx ^ ( 2 x +3)(x +1)2

Hacemos descomposición por fracciones parciales: x2 -3x-7

A

t B

(2x +3 )(x +1)2

2 x +3

x

t

+1 ( x + 1)

Mediante la sustitución de puntos críticos: x =3/2=>9/4+9/2-7 = A(-1/2)2 +B(0)+C(0)=>A = -1

x = -1 =>-3 = A(0) +B(0) +C(1)=> C = -3 x = 0 =>-7 = A(1) +B(3) +C(3) =>B = 1

Luego: f—

J 2x +3

+ f - ^ - - - 3 Í - — — “- 2 = L n ( x + l ) - ^ L n ( 2 x + 3 ) + ^ - j +

x +1

J (x +1)

C

2

dx

J K Í U 'M O ttf dx '= í x2(x +l f ¿5=------------------------------ SOLUCIONADO ANALISIS MATEMATICO II

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)

CAPITULO I

Hacemos descomposición por fracciones parciales:

x2(x +1 )

A

B C

x

x2

x +1

D ( x +i )2

I = Ax(x +1)‘ +B(x +l) i +Cx2(x +1)+Dx2...(1)

Mediante la sustitución de puntos críticos: x =0=>1 = A(0)+B(1)+C(0) +D(0)=>B = 1 x = -1 =>1= A(0)+ B(0) +C( 0 )+D( 1 )=5’ D = 1 Ahora mediante identidades, para ello arreglamos la ecuación (1): 1= A (x 3 +2x2 +x)+ B(x 2 +2x + 1) + C ( x 3 +x2) +D x2

x‘ :=^A +C =0 x2 :2A +B+C +D =0=>2A+C = -2 A = -2 C = 2

Luego:

l . _ 2 f* S + f ^ +2 f ^ L f _ Í L Jx

= 2Ln

x +l

X + l ' (x + 1 ^

1

1

x

x +1

+C

(x 2 -3x +2)dx

© í x(x 2 +2 x+ l) SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMATICO II

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(

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

f lr r m w (x 2 -3x +2)dx

.(x 2 -3x +2)dx

■ * x(x 2 +2 x +l)

**

x(x + l)‘

Hacemos descomposición por fracciones parciales: x2 -3x +2 x(x +l )2

A | B x

C

x +1

(X +1)2

x2 - 3x +2 = A (x +l) ‘ +Bx(x +1) +Cx...(1)

Mediante la sustitución de puntos críticos: x = 0 =>2 = A(1) +B(0) +C(0) =>A =2 x = -1 =>6 = A (0 ) +B(0) +C(-1) =>C = -6 x = 1=>0 = 4A +2B +C =>8 +2B-6 =0=>B =-1

Luego:

l = 2 Í — - í — — 6 Í -d* T = 2Ln(x)-Ln(x +1) +-^J x x +1 ( x +1 ) W x+1

I = Ln

jvwa ed-jk;-.- u cor-

v x +1 ,

r +—6 +c x +1

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x + 2 Y

dx

x ^ T j

~x ~

)

CAPITULO I

x-1

Jx

J x(x-1)2

Hacemos descomposición por fracciones (x +2)¿

A | B

C

x ( x —1 )2 x + x - l + (x - 1)2

(x +2)~ = A (x -1 )2 +Bx(x-1) +Cx...(1) Mediante la sustitución de puntos críticos. x =0

4= A (l) + B(0) + C(0) =>A = 4

x = 1=>9 = A(1)+B(0) +C(1)=>C = 9 x = -1=>l = 4A +2B +C=>16+2B-9 = 1=>B = -3 Luego:

® f x3 +5x‘J +8x +4

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www. solucionarlos, net í

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

CAPITULO i

r

xgdx

* _ * X3 + 5x2 +8x +4

Factorización por Ruffini: 1

5

8

4

-1

-4

-4

4

4

0

1

-1

De donde: (x + l)( x 2 + 4x +4) = (x +l)(x +2)

Hacemos descomposición por fracciones parciales: A (

x

+ 1)(x + 2)2

B C +--- +•

* + 1

x + 2

(x + 2)

Mediante la sustitución de puntos críticos:

x = -1 => 1= A(1) +B = (0) +C(0) => A = 1 x = -2 =>4 = A (0 ) + B(0) +C (- l) => C = -4 x = 0=>0 = 4 A -2 B +C=>B = 0

Luego:

= f — 7“ 4Í — J x +1

www.edykperu com

J (x +2)

=Ln(x +1) +7+2

+C

x +¿

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©

i /

)

CAPITULO I

“

X -X

dx i _ f dx f dx ■J v - _ y2 - J í x4 -x 2 J x2 (x 2 - 1 ) J x* ( x- 1 )(x +1 ) Hacemos descomposición por fracciones parciales:

x2 (x-1)(x +1)

A B C D = — +— +--- +■ X x2 X -1 x +1

I = A fx 2 -x) +B(x 2 -1) +C(x 3 +x2) +D(x 3 -xs) Mediante la sustitución de puntos críticos:

x = 1 =>=A (0) +B(0) +C(2) +D(0) =>2C = 1=>C = ^

x =- 1 =>= A(0) +B(0)+C(0) +D(-2) =>-2D = 1=>D = - -

x = 0 =>1= A(0) +B(-1) +C(0)+D(0) =>-B = 1=>B = - 1 X3 :

A+C+D=0

=>

A =0

Luego: r dx

1 f dx

r dx

1

1

,

-vi.

/

=" J ^ + 2 / ^ T T - JíT T = x + 2 Ln4 = A (0) +B(4) +C(0) +D(0)=>B = 1

x = -4=>16 = A(0) +B(0) +C(0) +D(4)=>D =4 x = 0=>0-32A +16 +16C +16=>2A +C =2 | = 1=>l = 9A +9 +3C +4=>3A +C = -4=>C = 2A = -2

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)

CAPITULO»

Luego:

-2 Í- ^ - + í — — — +2 Í- ^ - +4 Í— — x +2 J ( x +2f x +4 (x +4)2

!= 2Ln(x +2 )--- — +2Ln(x +4 )— — +C x+2

1 = 2Ln|'*±1') x +1)

x+4

+C = 2ln í +C

(x + 2)(x +4)

x +2 J x + 6 x + 8

( x1-6x* +9x +7)dx

©

I

( x - 2 )3( x -5 )

(x 2 -6x2 +9x +7)dx

" I

( x - 2 )3( x -5)

Hacemos descomposición por fracciones parciales: x3 - 6x2 +9x +7

A

B + ------- r +

( x - 2 )3( x - 5 )

x

-2

( x - 2 )2

C

D

------- r + ■

( x -2)

( x -5 )

Mediante la sustitución de puntos críticos: x = 2=>9 = A (0 ) +B(4)+C(-3) +D(0)=>C = -3 x = 5=>27 = A (0) +B(0) +C(0)+D(27)=>D = 1 SOLUCIONARIO ANÁ LISIS MATEMÁTICO‘11

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CAPITULO I

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

Ahora por identidades algebraicas: x3 - 6x2 +9x +7 = A (x 3 -9x 2 +24x-20) +B(x 2 -7x-fl(0) +C (x-5) +l(x ))

'x3 :A +D = 1=>A = 1—1=0 x2 : -9A +3-6D = -6 =>-9(0) +B - (l) = -6 =>B =0 Luego:

l = -3 í ; - í b +í ^ (x+ 2 )

= r r 1 ^ +LJ1 (x - 5 )+C 2 (x - 2 )

x2 -2x +3 ( x + 1 ) ( x '

dx -4x~ +3x)

(x 2 -2x +3)

f

(x + 1)(x3 -4x2+3x)

J

(x! -2x +3) x (x

C A B — +--- +■

ñ dx =Jí [ x - 1 )( x - 3 )( x Z - 1)

x-1

( x -1)2

D x-3

x2 -2x +3 = A ( x - l ) 2(x - 3 ) + B x (x - 1 )(x - 3 ) +C x (x-3 )+ D x(x-1 )2

Para x==0

1 3 = -3A +B (0) + c(0) +D(0)= -A = _1

para x = 1 ; 2 * A (0) +B(0) +-2C +D(0)=>C = -1

Para

Para www edjRperu.corrí

x =3

; 6 = A(0) +B(0) +C(0) +12D=>D = 1/2

x =2

; 3 = -2A-2B +2C +2D=*-2B = -2=>B = 1

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dx

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)

CAPITULO I

x2 - 2x +3

J( x - l) ( x J -4x2 +3x)dx =J

1

— + X X

1 - 1

1 (x-1 )2

1

+ — ----- —

2 (x -3)

dx

= - In x +In ¡x - 1|+—— +^ In jx - 3| +C

= In

(5x2 +6x +9)

(x-1)>/x-3

+— +C x- 1

dx

(x ~ 3 )2(x + 1)

. Í5x 2 +6x +9) l =f ----- ----- ^dx ( x ~3) (x +1)

Hacemos descomposición por fracciones parciales: (5 x 2+6 +9)

A

(x-3 )(x +1)2

x +3

B

C D +--- +■ (x-3) x +1 (x +1)

5x2 +6x +9 = A (x - 3 )(x +1 )~ +B(x +1 )¿ +C (x-2)2(x +1)+D(x-3)‘

«i

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CAPITULO I

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

Mediante la sustitución de puntos críticos:

x = -1=> 5 -6 +9 = A

(0 )

+ B(0) +C (0) +D(16)=>16D = 8=>D = ^

x = 3=> 45 + 18 +9 = A (0 ) + B(0) +C(0) + D(0)=>16B = 72=>B = -

x = 0=>9 = A (-3 )+ |+ C (9 ) +|= » 3 C - A =0

x = 1=>20 = A

(- 8 )

+18+8C +2 =>8C - 8A =0=>C =0 A=0

Luego: 9r 2 ^ (

(2x +3)

O

dx x

- 3 ) !

1r

9________ L _ +r

dx

+ 2^ x +1 ) !

= _ 2(

x

- 3 ) ~ 2 (

x

+ 1)

-dx

í ( x - 1 ) (x +2 )

(2x +3)

-dx

í (x - 1 )2(x +2)

www edukperu rom

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229

w

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j

CAPITULO I

Hacemos descomposición por fracciones parciales: 2x +3

A

(x -1 )*(x +2)

( x -1)

B

+ 1 ----r +• ( x -1)

x

C +2

2x +3 = A (x -1 )(x -2 ) +B(x +2) +C(x-1 )2

Mediante la sustitución de puntos críticos:

x = 1=>2 +3 = A(0)(3) +B(3)+C(0)=>3B = 5=>B = ó

x = -2=>-4 +3 = A(-3)(0)+ B(0) +C(9)=>9C = -1=>C = -^

x » 0 = » 3 - A ( - 1) ( 2) + B ( 2) + C ( 1) = . - 2A + i - I . 3 = » A = I

Luego: . 1 r dx 1 r 4x 5 f dx . v 1 / v 5 l= í / 7 r i - 2 Í ^ +3 Í ( ^ i f = u’(x - , ) - ^ (x+ 2 ) - 5 ( ^ 2 )

+c

„ i j i r l i . _ 1 _ +c 9

U+1;

3(x +2)

(x* +x-l)dx O

í

_____________ t SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO II

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CAPITULO I

f (x 2 +x-l)dx x3 +x2

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

j.(x2 +x-l)dx J

x2(x +l)

Hacemos descomposición por fracciones parciales: x2 +x —1 2 ( +1 )

x

x

A x

B C x2 x +1

Mediante la sustitución de puntos críticos: x = 0 =>-1 = A(0) +B (l) +C(0)=> B = -1 x = - 1 =>- 1 - A (0) +B(0) +C(1) =>C = -1 x = 1=> 1= A(2)+ B(2) +C => A = 2 Luego:

I =2 j— - J — ^ = 2Ln(x) +^-Ln(x +l) +C = Ln

+- +C x

6x3dx

D I

pe- con

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CAPITULO I

■ Hacemos u = x2 +1=>x2 = u-l

I = í -^-X

(x!+1)

• Derivamos:

du = 2xdx

En la integral:

,6 ^

,6(uJ|du/2 = ,du

J (x2 +l)

J

u2

j d u ( } 3 J u2

J u

v ;

u

l-3 *«(x, + l ) + ^ + C

dx

$ í '

: ( x 3 +1)

ju n nrcM?— r

-J

dx :(x 3 +l)2

Hacemos descomposición por fracciones parciales: A B C = — +---- -+-- —H x (x 3+ l)2

x (x + 1)2(x 2- X + l ) 2

X

( X + 1)

( x + 1)¿

Dx +E -------x¡2

X +1

Fx +G (x 2 —x +l)'

1 = a ( x 3 +1)2 + B x (x 2 + 1 )(x 2 - x + 1) + +Cx ( x 2+ x + 1)2 +

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(

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

+Dx2(x + l) ( x 2 + l) + E(x + l) ( x 3 +1) + Ex(x + 1) + C (x + 1)8

Mediante la sustitución de puntos críticos:

x=0 => 1 = A( 1) =>

=>A = 1

x=-1 => 1 =C(9) =>

C= - i

Mediante identidades algebraicas 1 = a ( x 6 +2 x 3 +1) + B ( x 4 - x 5 + x 3 -

x 2+ x

)+

C(x2 -2 x 4 +3x3 -2 x 2+x) + +D(x6 +x5 +x3+x2) +E(x 5 + x4 +x2 +x) +F(x 3 +2x2 +x) +G (x 2+2x + 1)

x6 :=>A +B +D =0=>B +D=A...(1)

x5 :=>-B +C +D +E = 0=>D +E - B = ^...(2) -

x4 :=>B-2C + E = 0=>B + E = -?...(3)

De (1) en (2) y luego con (3):

2D+ E = -£ = > D -E = - ^ = >3D =-2=>D = - ¡ B = --1 e = 1

x3:=>2A +B+3C +D +F = Q=>F = -2 +^ +i +^ = - |

:

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)

CAPITULO I

-B-2C +D +E +2F+G = 0=>G = - - - - +- - - +- = ' 3 9 3 2 3 3 Luego:

, _ rdx "J x

1 j- dx

1f

dx

1 r{Ír3x)dX v2 f (2-x)dx

3 Jx +1 9 J ( X +1)2+9J x’ -x +l * 5 J ( X« _ X +1)’

I = Ln(x)-^Ln(x +1)+——í— -+J- L n (x2-x +l ) - — f----- ^ ---, 3 V . 7 9(x +1) 18 * > 1 8 J(x _ 1/2)2+3/4

1 |. ( 2 x-l)dx ; 3 W(x 2 —x +l)

i j.

dx

^ [x -1/2]'+3(4)

. = ^ x ) - i ü 1 (x +1 ) +^ l - Í J + l u , ( x ' - x +l ) +¿ A

rc,S ( í i ^

+c

dx

@ í x +x +1

-f

dx

4

^ xx + + xx2 + +1 1

«_ i* , dx

V+ x'+ 1

_ f

.

dx ax

_ r

x + + 2x 9 x 2 +1-x 4-1 — v 2 JJ x

_ r

dx

J (x ! + 1 )j - x !

dx

JJ /^x2+-j)

¿,xs

_ r ________ dx________

' J (x, +x+l)(x'-x+l)

. V

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w w w .e d u k p * . - ' o r

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CAPITULO I

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

Hacemos descomposición por fracciones parciales:

1

Ax +B

(x2-x +l)(x 2+x +l)

x2-x +1

I = Ax(x 2 +x +l) +B(x 2 +x +1) +C x

(x 2

Cx +D +« x2+x +l

-x +l) +D(x2-x +l)

I = A (x 3 + x2 + x) +B(x 2 + x + l) + c(x 3 + x2 + x) + D(x 2 -

x

+

1)

Mediante identidades: x3 :=>A +C =0=>C = A...(1) x2 :=>A +B-C+D = 0....(2) x :=>A +B +C-D = 0...(3) x° :=>B+D = I...(4) Sustituyendo (1) en (2) y (3) A +B +C +D =0=>B +2A +D =0...(5) A +B +C-D =0=>B = D...(6) (4) con ( 6) B = 1/2 D= V6

C = 1/2

A = Vé

Luego: _ 1 , ( 2 x - 1 +l)dx

2 -*

x2 —x +1

1 r

dx

1 r

xdx

+ 2 ^x2-x +1 + 2 ' x 2+x +1

1 r

dx

2 ^ x2 + x +l ■—

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)

1 *( 2 x - 1 +1 )dx

f,

2 -'

2 -*x‘ -x +1

x2-x +1

dx

1 j.(2 x +1 - 1 )dx 2 -’

x2+x +1

1 dx 2' x2 +x +1

1 /-( 2 x - l ) d x ^ r _ d x _ + 1 r (2x + l)dx 2^ x2 + x +1

x2 —x +1

2 -'x 2+x + l + 1

dx l = i u i ( x ! - x + l)+;U - > ( x +x +1) +C 2 J (x - l/ 2 ) -1/4 +1 2

I = -Ln

2

x —x +1 X +X

dx f+1 2 (x-1 /2)2 +3/4

x2 +X +1 1 x - 1/ 2 I = -Ln Arctg +C 2 x2 +X + 1 2( n/3/2)

-Ln

2

x2 - X +1 4>__ 1 x2+x +1

V3

2x- 1

+C

y/3

x dx xb- 10x +9

x dx x -10x +9

Hacemos: u = x3 =>du= 3x2dx

du/3

' ■ 1JU- r- 10u +9 236

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CAPITULO I

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

u-5 +4 du 1 Ln h u-5 +4 3 (u - 5 )2 -16 3(2)(4)

1

du (u - 5 )2 -25 +9

— Ln 24

u-9

x3 -9 +C +C =— Ln x +1 24

f x_dx_ _ r x x' dx (_)acemoS; u = x 1- 1

'x 3- 1

c

=>

du=3x dx

^ x1- 1 ,(u +1)du/3 J

ii

l = 5 Jd u+ i J ^ » i u +Í L n(u )+C = 5 (x 3 - l)+ | U i(x 3 - l ) +

+C = ^x 3 +^Ln(x 3 -l)+ C

x3 +x2

_ r

dx

•'x3 + xrj

_ f

dx

■'x2(x +1 ) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO II

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CAPITULO I

Hacemos descomposición por fracciones parciales:

1

A B C = — +— +■ x2(x +1) X x2 x +1 I = Ax(x +1) +B(x +1)+Cx2 Mediante la sustitución de puntos críticos-. x = 0=>1 = A(0)+B(1) +C(0)=>B = 1 x = -1=>1 = A (0 ) +B(0) +C(1)=>C = 1 x = 1=>1= A (2) +B(2)+C =>2A = 1—2 —1=>A = —1 Luego:

l = - í — + ( —* + f-^ - = -Ln(x)-- +Ln(x +1) +C = Ln J x J x J x +1 x

íx +n

dx

© í;

dx x(x 4 - l)

238

Wk

J x(x 2 t

1)(x 2+1)

dx x

(

x

- 1 ) (

x

+ 1)(x * +1)

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1 _ — +C

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CAPITULO I ............................................................................................

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

.......................................V_____ — ---------------------------------------------------------------------—

Hacemos descomposición por fracciones parciales:

1

A

( x -1)( x -1)( x 2-1)

x

B C Dx+1 +--- +• x —1 x +1 x +1

l = A ( x -1)( x +1)(x 2+ 1) +Bx ( x +1)(x '+1) +Cx ( x -1)( x -+1) +

• Dx2(xs -l) + Ex(x2-l) Mediante la sustitución de puntos críticos:

x = 0 =5» 1= A(-4) + B(0) + C(0) + D(0) + E(0)=> A = -1

x = —1 => 1 = A(0) + B(0) + C(4) + D(0) + E ( 0 ) ^ C —

x

=

1=>1 = A(0) + B(4) + C(0) + D(0) + E(0)=>B = ^

Punto auxiliar: x = 2 => 1 = A(15) + B (30) + C (10)+D(12)+6E

1 =-15+30/4+10/4+12D+6E =>2D + 1 =1 Punto auxiliar x = -2

1 = A( 15) + B( 10) + C(80) + D( 12) -6E

1 = -15+10/4+30/4+12D-6E =>2D - E = 1

Luego: r■ ddx x

1I 2 ' t ' ^ 1 + Arctg l+ C ^ a r c t g

tg

V3

r dt

J t2+2

m i

V2
/3 >

;

dx 2Sen(x) +Cos(x) +3 g%51 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO II

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wwA.edjko3\i cono'

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CAPITULO I

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

I = í ------r-— — 7—r— Hacemos t = Tgf ^ |,Sen(x) = ——¿ J 2Sen(x) +Cos(x) +3 {2 J v 1+t2 „ . , 1 - t2 . 2dt Cos ( x) = ~— 2"'dx = i—17 v ’ 1 +t2 1 +tz

Sustituyendo: d/(l 2d /(1 +t2) t ) ’ = ^ 2 ( 2 t)/ (l +t2) +( l - t 2j/ (l +t2) +3 _

_ r

dt

” J t2 +2t +2

_ r

dt

4t +1-t2 +3 +3t2

r

J (t +i) 2- l +2

I = Arctg(t +1) +C = Arctg

® \

2 d t ______ r

,

2 dt M +4t +2t

dt

MM Jt+lf+1 f

Tsl | K1 +c

dx 8-4Sen(x) +7Cos(x¡

' - I

2t /x N dx Hacemos t =Tg . Sen( x) = ^ ? r . 8-4Sen(x) +7Cos(x)

w w w e d u k p e ru c o m

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)

CAPITULO I

1 - t2

2dt

Sustituyendo: dt/(l +t2) = f__________ j2____________________ _ , ________ 2dt________

8 +4(2t)/(l +t2) +7 (l- t2)/(l +t2)

8 (l +t2) - 8t +7 (l- t2)

,

2 dt t2 - 8t +15

dt

1 =2 /

dt = 2 J; (t —4) -16 +15 (t —4) -1

2, f t-4-1 Tg(x/2)-5 -Ln +C = Ln +C 2 11-4 +1 Tg(x/2)-3

l-Cos(x) O

í

1+Sen(x)

dx

j — ar.Tfíra^j-iiar

l =2Arctg(Tg(x/2))-2Ln(t +l ) - ^ +C = 2arctg tg - |- 2 ln f 1 -cosx

1 +eos x

_ r

dx

f cosxdx

M +senx M +senx

= f —— ---- ln|l +cosx| J l +senx 1 1

2 dt = J 1+t2 -ln|l +cosx| +C 2t 1+ 1 +t 2 ^

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/

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■

)

CAPITULO I

I _ 2 i*________ dt________

2 /•_______ dt_______

3-'(t +4-2)2-16/9-1

3 J (t +4/3)2-25(x)

1=

Ln 3(2V5/3)

3Tg(x/2)-1 +C = -Ln +C 5 Tg(x/2) +3

1+4/3-5/3 t+4/3+5/3

8dx

O í OLUCIO

8dx 8dx ' “ í 3Cos(2x) +1 - JJ 3Cos*’ (x)-3Sen 2 (x) +1 8dx/Coss(x)

'- J 3Cos2 ( x) /Cos2( x) - 3Sen2( x) /Cos2( x) +1 /Cosí ( x) 8Sec‘ (x)dx l = f --------

8Sec2 (x)dx

3-3Tg‘ (x) +Sec2 (x)

l = 4 f i V T s ^ (t )'

Ln

2>/2

J 3-3Tg2 (x)+Tg? (x) +1

u = TS (x)=>du = Sec*(*)dx

u +V2

+C = >/2Ln

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO.II

.

Tg(x) +72

Ts (x )-V5

,

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l =4í ^ 5

+C

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c

CAPITULO I

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

Cos(x)dx

0

í 1+2Cos(x)

_ ,C o s (x )d x M +2Cos(x)

1 |-2Cos(x)dx

] , [ l +2Cos(x)] _ i>

2 m +2Cos(x)

2^ 1+2Cos(x)

dx 1 ,

2-*

2M+2Cos(x)

2dt S « ( x ) - í í ? ,C o .(x )- ¡ =? 1d - 1+tt

Hacemos: t = Tg

Sustituyendo: i- ifd

1f

d t / ( u t g)

x

2* X 2 -* 1 +2 (t - t 2) / (l- t 2)

.

x

1 . f l +>/3

r

dt

„

x

S ,

2

6

dt

_ X f

2 •*1 +t 2 +2 - 2 t2

2

^t2-3

Tg(x/2) +-V3 ^

I =----- =Ln --- ■== +C = - +— Ln — ---- --- f= +C

2

2S

[t- S )

vTg(x +2) +V3

f dx .. t = TS( i ) ' Sen(X^= í+ tF = ----— ----- — — Hacemos J 2Sen(x) +2Cos(x)+3 1-tg 2dt

1

1 +t* '

1 +t2

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CAPI i ULO I

Sustituyendo: ,

2 dt/(l +tg)

f

2 c l t _____ f

2(2t)(l +t2) +2 (l- t 2)/(l +t)+3

J 4t+2-2ts +3 +3t

dt_______ J t*+4t +5

I = 2 Í---- ^ ---- = 2 Í---- ^ — = 2Arctg(t +2) +C =2Arctg Tg! - 1+2 +C ( t —2) +1 +5 (t +2) +1 V 'U J .

dx

O

Í Sen(x)+Cos(x )+1 jM E S S S S iiS M tl t* tt-

dx ■=j Sen(x)+Cos(x )+1

Hacemos

^2 '

Se n x = - ? L

l +t2

2 dt 1 +t2

Sustituyendo:

,_ f

2 d t/ (l + r )

' 2 t / ( l + t 2) + ( l + t 8) / ( l + t)+ 1

2dt ^ 2t + 1 - t 2 +1 + t 2

_ 2 f 2dt J 2t + 2

l= í í 7 í =Ln( ,+1) +c=Ln( Ts | | ) +,) +c

dx

or Sen(x) +3Cos(x) +1 SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMÁTICO II

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PITULO I

dx . v— =Jf---r— Sen(x) +Cos(x) +l SeníxW

Cos(x)= I z í 1 +t 2

, v 2t Hacemos t = Tg - ,Sen(x) = ——j 12

dx =

x 2t t^ .s e n x ^

2 dt 1 +t 2

Sustituyendo: r

2 d t(l+ ta)

f

^ 2 t/ (l +ta) +3 (l- t2)/ (l +t2) +l

J t! - t- 2

gqt

_ „ r ____ « ----

2t +3-3t2 +1+t2

J - 2 t '+2t +4

_______ * _______ - f -----■** J ( t —1/2) -1/4-2 U .t ~ 1| -9/4

Tg(x/2) +r 1 ,_('t-1/2+3/2'l +c = l Lnf t +1 +C = -Ln Ln Tg(x/2)-2y 2 l' 2n U - 1 / 2 - 3 / 2 J 3 \ t- 2 J 3

dx a! +b2 -2abCos(x) a M iT T » r a t .M r

1 = í ---- !—------ — Hacemos t =Tg( £ J a2 +b2 -2abCos(x) v2

w w w .e d u k p 9 r u .c o m

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CAPITULO I

r , v 1 - t2 . 2 dt Cos(x) =---- dx =

1

1 +t 2

+t

Sustituyendo:

I_

f ____________2 dt /(1 \

2 dt

+t /_______________f f f

a2 +b2 - 2 a b (l- t 2)/ (l+ t2)

^(a2+b2 )(l+ t2) - 2 a b (l- t2)

| = f __________ ? * __________ = 2f ______________ Í _____________ ( a2 +b2) t2 +a2 +b2 +2 abt2 1(a 2 +b2 ) t2 +a2 +b! - 2 ab+2 abt! dt

= 2J

(a 2 +2ab +b2)r* -»-a2 - 2 ab +b 2

2 f _______ « _______ (a+ b)*t 2 + (a-b )2 2

r

t2 j 'a - b j

(a +b)

(a +b)!

a2 -b 2

dt

'a - b i ,a +b j

arctg

arctg

a +b

t(a +b) a-b

( x \\

a - b tSl 2

+C

+C

dx Sen*x-5SenxCosx SOLUCION ARIO»ANALISIS ANALISIS MATEMATICO IIil

..

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/w v*

j '. ir

05iru.com

www. solucionarlos, net EDUARDO ESPINOZA RAMOS « CAPITULO I

, __________ dx__________ r _________________ dx/Cos»(x)______________ '

^ Sena(x)-5Sen(x)Cos(x)

.

* Sene(x)/Cos^(x)-53en(x)Cos(x)/Cos (x)

Sec2(x)dx

Sec*(x)dx

' = J tg! (x)-5Ts(x) '

‘[T g (x )-5 /2 ]'

-2 5 /4

u =Tg(x)-5/2=> du = Sec2 (x)dx

du 25/4

I = -Ln 5

TS(x)-5/2-5/2

u-5/2 1. Ln ----- +C = - Ln Tg(x)-5/2 +5/2 +C u + 5/2 5 2(5/2)

Tg(x)-5

1

+C = -Ln|l-5Ctg(x)|+C

Ts(x)

Cos(x)d>

a i Sen2 (x )- 6Sen(x) +5

i = f _____ C °s( x)dx---- Completamos cuadrados: ' Sen2 ( x )- 6Sen(x) +5 Cos(x)d>

-i [Sen(x)-3]

-9 +5

= f — Cos(x)dx— Hacemos u = Sen(x)-3 => du = Cos(x)dx J [Sen(x)-3 ]-4 v/ww edukperu.com

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y

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)

CAPITULO |

Sen(x)-3-2 Sen(x)-5 +C = -Ln +C = -Ln +C u +2 4 Sen(x)-1 Sen(x)-3 +2 4 u- 2

2/2

dt

O í Cos2(x) +2Sen(x)Cos(x) +2Sen¿ (x)

IH M É É É lÉ f É a W dt Cos2 ( x) +2Sen ( x) Cos ( x) +2Sen* ( x) dx/Cos2 (x) Cos2 (x)/Cos 2 (x)-2Sen(x)Cos(x)/Cos 2 (x)+2Sen2 (x)/Cos 2 (x)

Sec2 (x)dt See2_______ I r >=/ 2Tg2 (x)-2Tg(x)+l “ 2 o JJ Tg2 (x)-Tg(x)+1/2

!= i f

Sec’ (x)

9 i

u = Tg(x)-1/2=> du =Sec2(x)dx

14

/

^

= 2(17i)Arc,s( í 7 2 ) +c = Arc,st 2Ts( x) - ,] +c

_______________dx_______________

O í Sen2(x) +3Sen(x)Cos(x)-Cos‘ (x) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO II

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CAPITULO I

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

, = f ______________ __________________ J Sen2 (x) +Sen(x)Cos(x) +Cos2(x) .

dx/CosJ (x)

1 ” J Sen2 (x)/Cos 2 (x) +3Sen(x)Cos(x)/Cos2 (x)-Cos 2(x)/Cos2x Sec2 (x)dx

,

Sec2 (x)dx

r

f

See2 (x)dx

^ -------9/4-1 í: '[T g (x ) +3 / 2 j - 13

t S (x) +2

u = Tg(x)+3/2=> du =Sec2 (x)dx

■ Í 7 I 13/4

2 Vl3 2

,= ^ ln 13

j.

u-

1

du

In u+

n/13

2u-VÍ3 >/Í3.n +C +rC =--In 13 2u +>/Í3 yj]3

2 tgx +3-Vl3 2tgx +3 +>/Ì3

+C

Sen(2x)dx

J Sen4(x) +Cos4(x)

Sen(2x)dx Sen4(x) +Cos4 (x)

Sen(2x)dx

/•

1-Cos(2x)

2

2

l +Cos(2x)

2

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)

CAPiruW I

| = 4f _________________ Sen(2x)dx_________________ 1-2Cos(2x) +Cos'(2x) +l +2Cos(2x) +Cosl!(2x)

_

. Sen(2x)dx = . Sen(2x)dx J 2-2Cos(2x)

I = 2J

' 1+Cos (2x)

=

= {

J

[

'

=- Arctg ( u) +C = - Arctg [Cos (2x )] +C

I = -Arctg[Cos2 (x)-Sen 2 (x )] +C =-Arctg [l- S e rr (x)-Sen 2 (x )] +C

I = -Arctg [i - 2Sen2 (x )] +C = Arctg[2Sen2 (x )- 1j+C

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CAPITULO I

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES IRRACIONALES

Calcular las siguientes integrales: dx____ O ^r (x +2)Vx +1

I = f ----Hacemos u2 = x +1 => dx =2udu ; x = u2 -1 J (x +2 )Vx +1 Sustituyendo:

l =L

0

, 2udUr r = í - ^ = 2 Arcts(u) +C = 2Arctg('/7ri) +C

(u -1 +2)Vú V + 1

'

(7^7T+i)dx P J

--- — V jT ñ - 1

(Vx +1 +l)dx I = i -— ■-■ — Hacemos u? = x +1 J yfx +í - 1

dx = 2udu; x = u -1

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)

CAPÍTULO I

Sustituyendo:

J

J u- 1

(> / ?- l)

= 2j(u + 2 ) + 4 j - ^ = u2 +4u + 4Ln(u-l) +C

l = x + 4>/x +1+4Ln(Vx +1- l) +C

yjxdx ,, . . f I = -7 -7=— 7= 7 Hacemos x = u => dx = 6u du i x(>lx +& )

Sustituyendo:

y¡\f~.bub I =f v» °u du au _ rr 3

I. .6 . 3/. .6 \

U^Vu* +>/¡7)

u?..ou 6usdu u au _ r u2.6u5du J U ..b°(VÜ* / I. .2 +>/!/) 3 /. .6 \ JJ u6(u 3 +u2)

- 6 Í u dU ' J u8(u +1 )

= 6j

?r

ftf du J u ! +u

du

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CAPITULO I

2 ( 1 /2 )

Oí

Ln

xw

f

u +1 /2 - 1/2 ^u +1 /2 - 1 /2 ;

+C =6Ln

x,/6+1

+C

+C = Ln

(x +1 )dx x>/x- 2 » I

•

(x + 1 )dx

■-J

XyJx-2

/

Hacemos u2 = x -2 =s>dx = 2udu, x = /y’ +2

Sustituyendo:

=

r (u2 +2 +l ) ( 2 udu) f f du 2 fu ------- ^ r = - ! =2 í du+2 í - r ^ =2u+- ^ Arcts 15 +C

1

(u*+2)>lxF

J“+2

1

>/2

lv/2

I = 2\lx +2 +\¡2Arctg v«

2 / XV

Oí

yfxdx Vx-^/x

Vxdx

' - í yix-lfx

vv.vw ed jkr>ftr..j

.0

Hacemos x = u6 =>dx =6u5du

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r

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)

........................................................................................

Sustituyendo:

, _ f yfyf ( 6ti5duj

^fUV d u

¿j-u^du

J 7 ^ F “ 6J ü ^

I =ój(u5+u2+u3+u2+u+l)h +6 j- ^ 6u^ 3u4 I = u6 +-^- +-^- +2u3 +3u2 +6u +6Ln(u-1) +C pero u = Vx

í»v5/6 ^v,/3 •= x +—— +- y - +2Vx +3>/x +6>/x +6Ln(>/x -ij+C

dx

O J

V í(V í- i)

I = f —. ,1— r Hacemos x = u3 =>dx = 3u2du ‘ V x (V x - l)

Sustituyendo:

l = | ^ - 3.UÍj-U \ =3 f ~ 7 =3Ídu +3f-^J V ? ( > A ? - i) J u-’ 1 u-i

1=3u +3Ln(u-1) +C = 3^x +3Ln(>/x -l)+ C

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capitulo

I

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CAPITULO I

yfxd VXOX

l=r

= 1 2 f _ U _ du J “ 5- i

Sustituyendo

=12J Í u. + u. + J ! L \ du

l i lu

,,3

1

= 12Í— +— +-ln|u5 -l| +C J 10 5 5 1 1 v5lü

= 12f —— + —— J 10

Oí

5

-I +-ln|x5/,í -l| +C

5 1

dx V2x-2-3dx =4uJdu

,

r 4u3du/3

l =1

^

7

4 p u3du =3

t e

4 ru2du

4 /3x--2 + 4 *J2^Z2 +—In IV3x - 2 - 1| +C 3 3 3 1 1

O í

n/xdx +>/x

| = f — — — Hacemos x = u6=>dx = óu'du

Sustituyendo: f

6u5du

, r u5du

^fu'du

| = 6 j ( l í - u +l)d u +6 j ^

I = 2u3 -3u2 +6u +6Ln(u +1) +C pero u =í/x

I =2 Vx - 3>/x +6>/x +6ln (Vx +1) +C

e2*dx

S0LUC10NARI0 ANÁLISIS MATEMÁTICO

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)

CAPITULO I

- f e~xdx _ j-exexdx e +1 ,

Hacemos ex+1 = u4

exdx = 4uJdu

ve* +1

r ( u< —l)(4 u ‘du)

( u/3X +2)dx

(l->/x +2 )dx - Hacemos u2 = 3 x +2 =>3dx = 2udu I = | ---- .!■ J l +V3x +2

x = i ( u 2 - 2 x)

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CAPITULO I

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

Sustituyendo ( i - V F ) 2u

=í

du 2 r u2-u

J _ = _± fH _ L H d u = _ £ f ; U -2 + —

(i+ V ¡7 )

3 J u +1

3J V

du

u+

y - 2 u +2ln|u +l| +C

3x+.2 --2V3x +2+2ln|>/3x +2 +l| +C

= -x +—>/3x +2 - —In |V3x +2 +1! +C 3 3 I

dx

O í Vx +1 +yjx +1

^X-■ — =rr Hacemos ú* = x + 1=>dx = 4u ’du, x= u4 -1

■ í Vx+ 1 +vx+l Sustituyendo:

_ r _ W d u _ = 4f u!du_ = 4 f u!du = r [ u —1+ n

Ju ’ +u I = 4 J(u —1) d u 4J

Ju+1

"

du

U+1J

= 2u; -4u +4Ln(u +l) +C SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO II

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1

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J

CAPITUI

I = ¿VxTT-4Vx^TT^4Lri(

I = JV2 +Vxdx

Hacemos u2 = x =>dx = 2 udu

Sustituyendo: I =JV 2 +u (2udu) =2ju\/2 +udu Ahora u + 2 = t2 =>du = 2tdt

2 j(t 2 -2)>/tF (2tdu) = 4 j(t 4 -2t2)dt = —— — +C = — (3t*-2) +C S 3 3

= | ( u +2)$,í(3u +4 )+C

= | ( ^ +2 f ( 3 ^ +4) +C

' _ 4(2 +u)

j-3 (u _ 2 )_ 5] +c j l ( g ^ ) _