So 7 [PDF]

Zitiervorschau

Bài tập về phương tích - trục đẳng phương Nguyễn Văn Linh Số 5

Bài 1. Cho tam giác ABC. Hai điểm E, F bất kì nằm trên cạnh AB, AC. Các điểm P, Q nằm trên PE QF = . Chứng minh rằng các đường tròn (AEF ), (AP Q), (ABC) đồng cạnh AB, AC sao cho PB QC trục. Bài 2. Một đường thẳng d bất kì cắt hai đường tròn (O) và (I) theo thứ tự tại các cặp điểm A, A0 và B, B 0 . Chứng minh rằng giao điểm của các tiếp tuyến với (O) tại A, A0 và các tiếp tuyến với (I) tại B, B 0 cùng nằm trên một đường tròn có tâm thẳng hàng với O và I. Bài 3. Cho hai đường tròn (O1 ) và (O2 ) ngoài nhau. Gọi X, Y lần lượt là giao điểm của các cặp tiếp tuyến chung ngoài và chung trong của (O1 ) và (O2 ). Chứng minh rằng đường tròn đường kính XY đồng trục với (O1 ) và (O2 ). Bài 4. Cho tam giác ABC nội tiếp (O) với trực tâm H, trọng tâm G. Chứng minh rằng đường tròn đường kính HG đồng trục với (O) và đường tròn Euler của tam giác ABC. Bài 5. Cho tam giác ABC. Gọi ωB , ωC lần lượt là đường tròn tâm B và tiếp xúc với AC, đường tròn tâm C và tiếp xúc với AB. E, F lần lượt là chân đường phân giác trong và ngoài ∠BAC. Chứng minh rằng (AEF ), ωB , ωC đồng trục. Bài 6. Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). Tia DA giao tia CB tại P . (P AB) cắt (P CD) tại M khác P. Chứng minh rằng ∠P M O = 90◦ . Bài 7. Cho tam giác ABC nội tiếp (O), ngoại tiếp (I). (BIC) cắt (I) tại hai điểm P, Q. Gọi K là giao của hai tiếp tuyến chung ngoài của (I) và (BIC). a) Gọi T là giao của đường tròn đường kính AI với (O). Chứng minh rằng T, K, P, Q đồng viên. b) Chứng minh rằng (KP Q) tiếp xúc với (O). Bài 8. Cho tam giác ABC nội tiếp (O). P là điểm bất kì nằm trên phân giác góc A. Hai điểm Y, Z thỏa mãn Y A ⊥ P A, Y C ⊥ P C, ZA ⊥ P A, ZB ⊥ P B. Gọi E, F là hình chiếu vuông góc của P trên AC, AB. Y E cắt ZF tại Q. D là điểm chính giữa cung BAC của (O). DQ, AQ cắt (O) lần lượt tại M, N. a) Chứng minh rằng D là trung điểm của Y Z. b) Chứng minh rằng E, F, M, N đồng viên. Bài 9. Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). Gọi I1 , I2 , I3 , I4 lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD, ADC, DBC, ABC. I1 I3 cắt AC tại P , I2 I4 cắt BD tại Q. I1 I3 cắt I2 I4 tại S. a) Chứng minh rằng I1 I2 I3 I4 là hình chữ nhật. b) Chứng minh rằng OS ⊥ P Q.

1