Skripta za usmeni : Matematika I [PDF]

Zitiervorschau

2008

Skripta za usmeni  

MATEMATIKA I     

FAKULTET ELEKTROTEHNIKE  TUZLA  Autor: Suad Spahić

Skripta za usmeni   je konačan niz iskaza sastavljen pomoću logičkih konstanti 0 i 1 i glavnih promjenljivih iskaza , , . ..

Iskazni račun

:

Iskazna formula koja je tačna bez obzira na istinitosnu vrijednost iskaza u njoj, naziva se . 

    je osnovni pojam algebre iskaza. Pod iskazom se, dakle po definiciji, podrazumijeva smišljeno tvrđenje koje ima svojstvo da može biti samo istinito tačno ili samo neistinito netačno .

  :   Zakon identiteta:

0" nije iskaz   . „sedam je prost broj“ „ Istinitosnu vrijednost iskaza p označavamo sa τ  i ona je po definiciji:

,

1

Zakon isključenja trećeg:   Zakon kontradikcije:

, 

2

  

Zakon dvostruke negacije:

1  , ako je iskaz p tačan      0  , ako je iskaz p netačan

 τ p  

  ,            

3  ,

4

Zakon tranzitivnosti implikacije:

  

Pravilo izdvajanja Modus ponens :  

 

iskaza po definiciji iskaz

iskaza

 

 

je iskaz neistinit

č

i iskaza

tada je

 

  “ . Iskaz

1

0

0

1

je složeni iskaz

 

 

5  1  

 

 

.

7

je istinit ako i samo ako je

  & , č

 

 1 

6

 1

Zakon kontrapozicije:    „

 

   „     “  za koji

je inkluzivna iskaza

1

 

1 

i iskaza

je iskaz

čita se „     “ za

1

il    

1 ili   

  i iskaza je složeni iskaz implicira “ ili „ povlači “ za koji je  

0 

čita se „ slijedi “,“ 0 

iskaza i iskaza je složeni iskaz ako “ ili „ je ekvivalentno “ , za koji je

Fakultet Elektrotehnike | SUDO

1 

1    

1 

   

MATEMATIKA I

koji je

, čita se „ ako i samo    

 

 1 

Skripta za usmeni

Skupovi, relacije i preslikavanja

|

.

 

  A i B je skup \ koji sadrži elemente skupa , koji ne pripadaju skupu , tj.  je osnovni matematički pojam koji se ne definiše. Međutim to nije defini-cija za skup. Da bi element pripadao nekom skupu , mora posjedovati osobinu č         koju imaju svi elementi skupa . Dakle, definisa-no svojstvo atribut  određuje pripadnost elemenata skupu. Zato pišemo da je |  –         ć |

\

Definicija 1. obilježava sa

jednak je skupu 

, , ,

 

.

,

,  

|

. Neka je 1, 2, 3 ,   jevi. Tada možemo skupove i Dakle imamo skupove:

. 

  i skupa je skup , koji sadrži sve lemente skupa elmente skupa i samo njih. Dakle,

,

koji se kratko

,

i sve

|

,

. 

.  1, 2 , gdje su predstaviti

i

i

i

realni pozitivni bro-

1, 1 ,

1, 2 ,

2, 1 ,

2, 2 ,

3, 1

3, 2

1, 1 ,

1, 2 ,

1, 3 ,

2, 1 ,

2, 2 ,

2, 3

. I očigledno je

skupa  i skupa je skup koji sadrži elemente skupa istovremeno pripadaju i skupu . Dakle,

Fakultet Elektrotehnike | SUDO

je skup

  . *         dva neprazna skupa i je skup svih uređenih parova , , čija je prva komponenta  , a druga komponenta . Taj skup se označava:

Dakle

 

i

.

Definicija 2. Skup , , naziva se đ   u kojoj je prva, druga a treća komponenta; definiše se pomoću , , ,

.

  

 elemenata

|

koji

 2 

. Primjetimo da je

=3 i 2 3 

=2 dok je

MATEMATIKA I

kažemo da su jednaki ako je

đ   , .

u

 

C= S

Ako je svaki element skupa jednakovremeno i element skupa , tada za skup kažemo da je   B. Pišemo , a znak „ “ predstavlja jednu relaciju među skupovima i naziva se .

i

.

Specijalno, ako je , tada skup \ nazivamo odnosu na skup  i označavamo sa

Ako element pripada skupu , pišemo da je .  Skupove označavamo velikim slovima , , . ..dok elemente amorfnog skupa označavamo najčešće malim slovima. Skup može biti , zatim   , sa konačnim brojem elemenata ., , ,… , sa , , … … , sa elementima koji su i beskonačno mnogo elemenata ., sami skupovi.

Definicija 2. Za skupove Pišemo . . Skup , ,

|

Skripta za usmeni Definicija 6. Neka je skup A uređen. je minimum skupa majoranta skupa 1

Definicija 1. Neka su , Ø. Svaki podskup Dekartovog proizvoda naziva se     č relacija na skupu . Za dva elementa i  sa svojstvom ,  kažemo da su u relaciji i pišemo

Definicija 4. Element , ako je: 1

Definicija 1. Binarna relacija definisana u skupu naziva se   i označava sa „~“ (čita se „tlda“), ako je refleksivna, simetrična i tranzitivna.

**

  

 

   

 

    đ skupa 1 i označava se infimum .

    .

Kažemo da su i identični po modulu i pišemo   . Pokažimo da je pomoću **  definisana jedna relacija ekvivalencije u . ,

  ,

~

č

   0

,

 

 

   

  |

0   

,

 

 

 

 

 

  | 

     

  ~ .

 

 23 . Neka je

 

: 

 

 

   

Definicija 2.Neka je : . Ako je jednog , kažemo da je preslikavanje  √

.

1, 0,

proizvoljna familija skupova u kojoj je definisana

 

 

Ako pri tome element a pripada skupu 1. Fakultet Elektrotehnike | SUDO

1

       

       \  

1

Definicija 3. Preslikavanje :  naziva se ili skupa u skupu , ako i samo ako se različiti elementi skupa preslikavaju u različite elemente skupa . Ovo preslikavanje naziva se i “1 1” preslikavanje Dakle, po definiciji : je injekcija ako važi

Definicija 3. Neka je u skupu definisana relacija poretka . Element , ako je: naziva se gornje ograničenje skupa 1 :                   

, tj. ako je svaki iz slika bar ili preslikavanje “na”.

  : Neka je i 0 . Tada je preslikavanje definisano na surjekcija skupa na skup   0 . Sa označavamo pomoću skup realnih brojeva, a sa skup pozitivnih realnih brojeva.

. je jedna

(ili funkcijom) , kojim se  iz skupa  .

  : Neka je 0,1,2 ; tada preslikavanje : 0,1,2 definisano pomoću 1 nije surjekcija, jer element 2 iz nije slika nijednog .

relacija:

Ovako definisana relacija u

je maksimum skupa minoranata skupa 1   1. Skup može imati najviše jedan supremum

Elementi skupa  nazivaju se originali, a elementi skupa slike preslikavanja . Skup zovemo    i označavamo D( ), a skup slika (X)   i označavamo sa R( ).

Definicija 2.   definisana u skupu naziva se   i označava sa „ “, ako je refleksivna, antisimetrična i tranzitivna. Za dva elementa , koji su u relaciji „ “ kažemo da su uporedivi, a za skup u kome je definisana relacija poretka „ “ kažemo da je uređen. Za uređeni skup , kažemo da je   đ ili da je lanac, ako vrijedi: ,

b x.

:

Definicija 1.Neka su i neprazni skupovi. Pod skupa u skup podrazumijeva se svaki poskup elementu iz pridružuje jedan i samo jedan element

;

 

donje ograničenje skupa 1

0 fiksan broj, stavimo:

   

naziva se

.

1,

tada je a maksimalni element skupa

 3 

2

 

: 

1

2

 

1)

2

     

1

,

1

 

    .

MATEMATIKA I

. U skupu cijelih brojeva , neka je

ili gornja međa skupa 1. Označava se 1.

Skripta za usmeni : Preslikavanje : definisano pomoću injekcija skupa prirodnih brojeva u samog sebe  

1

2

2

Definicija 4. Za preslikavanje  : č   surjekcija. Definicija 1. preslikavanja  :

1

1

2

 

ž

1

2.

preslikavanja :  i         , definisano pomoću

         

Preslikavanje h zove se

1

1 je jedna

  kažemo da je  skupa X i skupa Y ili skupova ako je  jednovremeno injekcija i

      je preslikavanje  

2

2

 

   33 . Ako su : Y   : kompozicija bijektivno preslikavanje.

  , .   

 

  .   ili

ž

 

.

Z bijektivna preslikavanja, tada je i njihova

MATEMATIKA I

.Neka je z proizvoljan element skupa Z. Pošto je g surjekcija !     (znak ! čita se „postoji jedinstven“), takav da je  . Sa druge strane, je surjekcija !   , takav da je , odakle je . Dakle, postoji  X tako da je , čime smo pokazali da je surjekcija. . Dokaz će biti završen, ako pokažemo da Pretpostavimo sada da je . Međutim, to je gotovo očigledno, budući da su       , . je 3 2.

Fakultet Elektrotehnike | SUDO

 4 

Skripta za usmeni 1°

Tačka

2°

Realni brojevi

je minoranta skupa , tj. ,

Definicija. je preslikavanje :

Definicija 1.  45 . Skup realnih brojeva, u oznaci slijedeće aksiome:

, tako da je:

:    

0

4             

:             *

 

0

| |

| |

 

3          

, , , 1

4          

:        :   

  .

;  :          · 1

1;  

Množenje je distributivno prema sabiranju: . 1

:

2

,

3

, ,

4

:

 

;

 

;

:

5

,

Definicija 2. Tačka označava se 1°

Tačka

2°

*

:                      

0

0

 

0

Stav 3.

.

Fakultet Elektrotehnike | SUDO

3

 53 . Neka su ,

 

4

0. Ako je , te iz –

0, tada je | | slijedi  5 

 

|

| |

| |.

Ako saberemo * i ** , dobijamo:

 5 

| |

| |.

| | imamo **

u

, pa 49 –

| | , tj.

. Tada važi:

* Simetrično , primjenom na | |

đ   

.

. Ekvivalencija 4 primjenjena na | | ,

:

0, tada je

6

 

*

Definicija 3. Tačka naziva se   oznaci ako ima slijedeća svojstva:

 52 . Neka su ,

|

naziva se    đ     ako imamo slijedeća svojstva: , tako da je:

2

√

I ovdje ćemo razdvojiti  0i Ako je pak 0, tada je | | | | .

; :

je majoranta skupa , tj. ,

, ,

; :

,      

. Ako je 0,    | | ,    | | . Sa druge strane iz: 0 0 , na osnovu tranzitivnosti relacije " ", slijedi . Prema tome je: . Slično se dokazuje i slučaj kada je 0. Dokažimo sada obrnutu implikaciju, tj. da vrijedi relacija | | .

; 

:              ·

\0

√ ·

| |

; 

\0

max ,

Ovom definicijom smo dali tri definicije modula realnog broja. Pokazuje se da su ove definicije ekvivalentne. Npr. 1 2 :

0;

        U skupu definisana je i zatvorena operacija množenja, tj. bilo kom paru  ,     odgovara jedinstven element  · ; 1           2          

1

ili

; 

:          

0 0 0    ili

; 

 

           

u oznaci | |

| |

| |.

| |,

.

MATEMATIKA I

3             

, ,

, 0,    ,   

| |

U skupu  definisana je i zatvorena operacija sabiranja, tj. bilo kom paru elemenata ,   odgovara jedinstven element ; 1              , :        ;  2             

.

      realnog broja 0 , je definisano pomoću:

 

, je skup u kome važe

,

:

Skripta za usmeni | |

| |

| |

| |,

7

a 7 je prema 4 ekvivalentno sa 6 . Definicija 1. Skup prirodnih brojeva , je podskup skupa 1*

1 je prirodni broj, tj. 1

2*

Svaki prirodni broj ima svog sljedbenika ’ prirodan broj, tj. vrijedi: 1

3*

1 nije sljedbenik nijednog prirodnog broja.

4*

Ako je ’ ’, tada je jednog prirodnog broja.

5*

Ako je

, sa svojstvima: 1, koji je takođe  

, tj. svaki prirodni broj je sljedbenik najviše

i ako u M važe svojstva 1* i 2*, tada je

Svojstva 1*-5* definišu aksiome prirodnih brojeva. Aksiom 5* je poznat kao “princip indukcije“.   Iskaz

  ,

(a) (b)

č

 

 

, istinit je za svaki prirodan broj , ako je: P 1 istinito; Iz pretpostavke da je

istinit slijedi da je

1 istinito.

Dakle primjećujemo da je ovaj princip ustvari 5* aksiom. Ako se pokaže da je, npr. 1 , 2 , … , tačno, pa se na osnovu toga zaključi da je tačno za svako , takav zaključak ne mora biti tačan za     č    . 

Teorema   . Neka

*  povlači 

n, n

. Neka su  m, m

n, n

, tj.

m

i

MATEMATIKA I

Definicija 1. Skup | , , nazivamo   označavamo ga , . Skup | ,  nazivamo   ili segment i označavamo sa , , a skup || | simetrični segment. Skupovi oblika , ili , nazivaju se     . segmenti u , gdje je n i m n. Tada je

,

Fakultet Elektrotehnike | SUDO

 6 

Skripta za usmeni Definicija 4. Kompleksan broj 0,1 naziva se . Imaginarna jedinica ima svojstvo da je 1, gdje je  gore navedeni 1,0 Svaki kompleksan broj možemo napisati u obliku:

Kompleksni brojevi

,

,0

Što predstavlja poznati Definicija 1.     je skup svih uređenih parova , realnih brojeva u kome su definisane operacije sabiranja i množenja na slijedeći način: , ,

  ,

 

·   ,

 

,

 

 brojeva

,

Broj zove se piše:

1  

,

.

2

,

  se uvodi na osnovu jednakosti uređenih

 i 

2

,

,   

.

:  

1

,

·

,

,

:

,

3

Definicija 5. . 

2,

:

3

1·

2

·

1·  

3

2·

3

:

·

  . Za svaki kompleksan broj ,

0,0  

 

,  

 ,

   4

·

  · 1,0

,

,

5

    kompleksnog broja , u oznaci – , je kompleksni broj 0

Definicija 2.   koji zadovoljava uslov: Definicija 3.

       ,

č

 

kompleksnog broja

kompleksni broj koji zadovoljava uslov: Fakultet Elektrotehnike | SUDO

·

,

0,0 u oznaci

0,0  

 

od k.b 0

0

,2

   i  

 

,

,

1,0 ,   

1; 1 . Dakle rješenja

0, 1 u ounaci | |, je nenegativan broj

zaključujemo da je modul k.b rastojanje k.b

0,0 , koji jedini ima svojstvo da je |0|

Za broj kažemo da je Sabiranjem odnosno oduzimanjem 1 2

važi:

,

0 ,

. 

·

. 

             

0.

broju . dobijamo slijedeće jednakosti: 1 2

MATEMATIKA I

,

 

, 0 , 

 

ako ga zapišemo u obliku

| |

  . Operacija množenja distributivna je prema operaciji sabiranja, tj. ,

0,1   ·

0 ima dva rješenja u skupu . Neka

1,0

| |

  . Operacija množenja kompleksnih brojeva je komutativna i asocijativna operacija, tj , : · ·   1,

 

0,1

 

:

1

i označava sa 0,1 · 0,1

 broja 6   kompleksnog broja 6 . Često se

  

  . Operacija sabiranja kompleksnih brojeva je komutativna i asocijativna operacija, tj. vrijedi: ,

*  

,a  

 

  . Jednačina    

0

,0

 

   

.

odakle na osnovu  3  dobijamo jedan sistem jednačina u : 2 0, koji ima dva para rješenja 0, 1    0, jednačine 1 0  :

parova, tj. ,

.

0,  

  1,

je

1

 7 

Skripta za usmeni Iz trougla Oxz sa slike nalazimo ugao naziva se   . .

| |

, gdje je , . Ovaj , I označavamo ga sa

,  

Veza između argument k.b i njemu konjugovano k.b je 1 1 . Formula za

broja

  cos

 

 

ž

sin

 

*

cos

  ,

sin

,

3  

kompleksnog broja

 

*1

√ Ako prijeđemo u trigonometrijske oblike  i  

i iskoristimo Moivre-ovu formula za stepen, iz *1 dobijamo , odakle je na osnovu jednakosti k.b 2

√       Prema tome, ako je √ Definicija. kao i u skupu

0, 1, 2, … ,

, tada je 2

√  

 ,

2

 ,

0, 1, 2, . . . ;

broja z, u oznaci

 

  , definiše se

, tj. z

MATEMATIKA I

 

Fakultet Elektrotehnike | SUDO

 8 

Skripta za usmeni

1

Neka su     prirodni brojevi. Skup A    1,2, … , ;      1,2, … , kompleksnih brojeva koje zapisujemo u obliku pravougaone šeme

           

… …

 

1*

ć

 

realnih ili

  Neka je A=[ 

. 

    č

   

1,2, … ,

   č

Za elemente  

,

 

 

 -  

,…, .

 

 (1*), a brojevi

 

  1*

 

kvadratne matrice kažemo da čine

kvadratne matrice   reda je broj koji se korespondira matrici  preko elemenata matrice . Determinantu matrice obilježavaćemo …   … 1             Preciznije pod determinantom matrice podrazumijevamo broj, 1

 

reda n

 

 ,                                      2

  .   važi.

 

Za svaku kvadratnu matricu

Fakultet Elektrotehnike | SUDO

reda

, gdje je elemenata

ima slijedeće osobine:

 kolone 

  kolonom

 

 odnosno   .

3.

Ako u matrici promijene mjesta ma koje dvije kolone vrste , tad njena determinanta mijenja znak .

4.

Ako matrica

5.

Ako je jedna kolona vrsta matrice kolona vrsta  , tada je 0 .

6.

Determinanta matrice  se ne mijenja ako ma kojoj koloni vrsti dodamo linearnu kombinaciju ostalih kolona vrsta  matrice  .

7.

Det. množimo brojem tako što joj proizvoljnu kolonu vrstu pomnožimo tim brojem.

8.

Ako determinant sadrži čitavu kolonu vrstu  nula tada je njena

1

ima ima dvije jednake kolone vrste tada je

α p

0 .

linearna kombinacija ostalih

  Osobina 2. Za dokaz ove osobine podsjetimo se da za

Gdje je determinanta kvadratne matrice reda 1 koja je dobijena iz matrice brisanjem prve vrste i kolone. U relaciji 2 broj determinanata zove se elemenata . determinante matrice je determinanta Dakle, minor proizvoljnog elementa matrice, koja je dobijena iz matrice brisanjem vrste i kolone.

,

: ] kvadratna matrica reda  tada

1

, za ma koju kvadratnu matricu  .            matrice   linearna kombinacija          tj.oblika je  ,  tada je     gdje su          matrice dobijene iz matrice    zamjenom  

1. 2.

1,2, … ,

                    4

Neka je A=[  ] kvadratna matrica reda , tada proizvod zovemo       minor elemenata . 1 1 :   , 4 1 3

Za maticu 1* kažemo da ima vrsta i kolona, odnosno da je tipa formata   . Napomenimo da prvi indeks označava redni broj vrste a drugi broj kolone. Dakle brojevi    

1

(1

0.

) važi

(1)

α q

gdje smo sa   i q označili elemente kolona (vrsta)     . Ako (1) uvrstimo u razvoj detA po i-toj koloni, dobijamo 1

1

1

i svako ,   1 .

 9 

MATEMATIKA I

Matrice i determinante

                 3             

Skripta za usmeni

Osobina 3. Takođe osbinu 3. dokazujemo pomoću totalne matematičke indukcije. Za  2, tj. za kvadratnu matricu reda 2 neposredno se možemo uvjeriti da pri promjeni kolona determinanta matrice mijenja znak. Pretpostavimo da osobina 3. važi i za kvadratnu matricu reda 1. Determinantu matrice reda , možemo razviti po ma kojoj koloni, koja nije jedna od dvije koje su zamijenile mjesta. Kolone koje su zamijenile mjesta u tom slučaju nalaze se u svakom minoru razvoja determinante , pa budući da osobina 3. važi za 1, to pri zamjeni kolona svaki minor mijenja znak. Prema tome i determinanta matrice mijenja znak.

Definicija. Neka je    matrica reda   tada za minor reda  matrice kažemo da je  , ako je on različit od nule, a svi minori reda 1 ako postoje, su nule. Jasno da je min  , kao i da matrica može imati više različitih bazisnih minora koji su istog reda. Za dvije matrice istog reda koje se mogu transformisati jedna u drugu konačnim brojem elementarnih transformacija, kažemo da su  i pišemo .  Slične   ~ .   .

Osobina 4. Dokaz osobine 4. slijedi na osnovu osobina 2 i 3. Zaista pri promjeni jednakih kolona matrica se ne mijenja već samo mijenja znak u determinanti, tj.

0 1 2 5 0 2 4 11   0 0 0 1

0

Osobina 6. Ova osobina se dokazuje na osnovu osobina 2. i 5 ako je   kvadratna matrica reda n, tada proizvod 1 , gdje je minor elemenata zovemo   ili   . Dokazaćemo da važe relacije 0                 ,         0                 ,        

 

     

0 0 0

           

Fakultet Elektrotehnike | SUDO

 

0 0

0    0 0    0 0

0

1 0 2 5 0 0 0 1 0 0 0 1

1 0 0

5 2 0 1 0 0 1 0 0

1 0 0 0 0 1 0 0 Dakle, RgA=2. 0 0 0 0

 

2*

 

:

1*. Množenje kolona vrsta jednim brojem različitim od nule; 2*. Dodavanje jednoj koloni vrsti neke druge kolone vrste ; 3*. Zamjena mjesta dviju kolona  vrsta ;   .

Submatrica kvadratnog reda s nazivamo minori reda s matrice. Determinantu matrice 2* koja je reda , zovemo      matrice . … …

 

                        3

kojima ćemo se dalje koristiti. Ovdje su    kofaktori elemenata   . Kada je ralacija 2 je identična sa 3 u leplaceov-ov razvoju. Dakle 2 važi za . Za posmatrajmo matricu koja se dobije iz matrice kada se iz nje izbaci i-ta kolona a umjesto nje dopiše ta kolona. Dakle, matrica  ima dvije jednake kolona, pa je 0. Međutim, kako je lijeva strana relacija 2 predstavlja razvoj po toj koloni, relacija 2 važi i za . Relacija  3  se dokazuje analogno.

 

1 0 2 5 2 0 4 11 0 0 0 1

1 5 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0

                             2      

1 2 5 2 4 11 0 0 1

0 ć 

 132 . Pri elementarnim transformacijama rang matrice se ne mijenja. : Izračunati rang matrice 0 1 2 5 2 2 4 11     : 0 0 1 1

2  

Red bazisnog minora matrice   , 1,2, . . , ;    1,2, . . , zovemo   i obilježavamo sa . Ako su svi elementi matrice nule, tada po definiciji smatramo da je =0.

 10 

MATEMATIKA I

odakle je jasno da je

 132 . Ekvivalentne matrice imaju isti rang. Obrnuto ne važi. : Naći rang matrice ako je

Skripta za usmeni

tipa

 

  matrice

za koju je

   

matricu matrice  označavamo sa ,    

je matrica

 tipa

  1,2, … ,

    

1,2, … ,

0, dok su

matrica ima vrsta. Proizvod matrica  i  obilježavamo . Neka je  reda i matrica reda . Proizvod matrica i  je matrica čiji su elementi:

 

,   

. Transponovanu  

. 1,2, … ,

 ;    

1,2, … ,

1,2, … ,

;     

.

2 3 1 1 5 1 3 3 4 8 11  

 

1 4   2 1 1 5 1

;       

2 4 2

ž

  3 3 3

 

2 3 1 2 4 1 ;    

0 4 3

1 8 7 6 6 8

 

; komutativni zakon u odnosu na operaciju sabiranja

1. matrica; 

; asocijativni zakon u odnosu na operaciju

2. 3. 4.

sabiranja matrica;  α ; distributivnost operacije množenja brojem u odnosu na operaciju sabiranja matrica;  α , je distributivnost u odnosu     ; 

zove se Transponovana matrica, matrice , tj. matrica   , matrice i obilježava sa . Dakle, T , ,      , 1,2, … , . , ,…, množimo nekim brojem tako da pomnožimo brojem λ svaku komponentu matrice-vrste, tj. · · , ,…, , ,…, . Isto pravilo vrijedi i za

1.

Fakultet Elektrotehnike | SUDO

  ,

2 1 5 3

2 19 0

 ;    

. Budući da je to je zaista 2. =I to je

. kako je

   

   

  

to je, na osnovu predhodne, relacije

3.

  ,     

4.    det

 11 

 

 

.

  Kako je .

   

   

ima onoliko kolona koliko

2 9 33

=

.

·

 i  definiše se ako matrica

1 3 4 2

Dokazi za tvrđenja:

č

 

1 0 1 1 3 1 2 4 5

Posmatrajmo kvadratnu matricu reda . Za kvadratnu matricu kažemo da je   a ako je 0, a         0. Ako su  i  kvadratne matrice istog reda, tada kvadratnu matricu  zovemo    matrice , ako je ispunjen uslov gdje je I jednačina matrica istog reda kao "matrice" "A i B". 1    

.

·

1,2, … ,

1 2 0

: :

matrica  reda

  , . Kako je 1 odakle je

     det det

1       odnosno

   , .   

MATEMATIKA I

Kvadratna matrica koja ima samo elemente na glavnoj dijagonali svi ostali elemeti jednaki nuli, zove se     .

Skripta za usmeni š   Za uređenu -torku (c , c , … , c brojeva kažemo da je ako pri zamjeni , ,…, sistem 2 prelazi u jednakosti među brojevima.

Sistemi jednačina

*  

č

          

 

         

je oblika:

    ...         

  

1,2, … , ;      1,2, … ,     2 ,  ,    gdje    ,  , , … , nepoznate. slobodni članovi, a Ako je 0    1,2, … , tada za sistem 2 kažemo da je je bar jedan od brojeva 0 za sistem 2 kažemo da je  

 

1,2, … ,

‐ ‐

III.

IV.

, ako sistem.

 

prema broju rjršrnja sistema Sistem koji nema rješenje Sistem ima rješenje a. Tačno jedno rješenje b. ∞ mnogo rješenja đ - Homogeni sistemi to je sistem kod koga su svi slobodni članovi jednaki nuli uvijek ima rješenje 0,0, … ,0 i zove se trivijalno rješenje. 0 ‐ Nehomogeni sistemi 1, … ,     - odnos brojeva     1. kvadratni sistem  2. m n pravougaoni 

Za kolone  

,

,…,

,…, ,…, ,

,

,…,

,…,

njihova

,…,

Za dva sistema oblika 2 , koji ne moraju imati isti broj jednačina, kažemo da su , ako je svako rješenje jednog ujedno i rješenje drugog sistema i obrnuto. Ako sistem  2 nema rješrnje, tada kažemo da je on  ć  č . Ako sistem 2 ima bar jedno rješenje, tada kažemo da je on   š .  Pod   sistema linearnih jednačina smatramo slijedeće operacije: 1. 2. 3.

Zamjena mjesta dviju jednačina Množenje ma koje jednačine brojem različitim od nule Dodavanje jedne jednačine, koja je predhodno pomnožena nekim brojem 0, nekoj drugoj jednačini.

U zavisnosti od broja jednačina i broja nepoznatih primjenjujući Gauss-ov algoritam dolazimo do njemu ekvivalentnih sistema.   . * sistem 1 je saglasan tj. ima bar jedno rješenje, ako i samo ako je rang sistema 1 jednak rangu proširene matrice istog sistema.                                       

Fakultet Elektrotehnike | SUDO

,

·

, … , , … , matrice A i skalare je: ,

I. - Linearrrni sistemi - Nelinearni sistemi II.

      

gdje je vektor kolona

2

          

                    

 12 

1

MATEMATIKA I

   

· ·

… … … …

2

Skripta za usmeni

2

1. Ako sistem ima rješenje, tada relacija 2 pokazuje da je kolona slobodnih članova linearna kombinacija svih kolona matrica sistema, tj. matrice … …

,…, rješenje sistema 8 a   . Ako je odgovarajućeg homogenog sistema 9 , tada je rješenje sistema.

tzv. 2.

š

 

…

   

0 i 

Ako sada uvrstimo uređenu sistema 3 dobijamo

0 

torke

 

i 

,…,

 ,

1

Ako je

9

1 1 1;   1 2 1 1 2;   2 0

0

1 2 ;      3 2 1 1 1

0 2 2 3

1 2 1 2 1 0 ;   1 3 2 2 1 4;   1 3 2 1 1;   1 0

1 2 2 1

2 1 3 2

5 ; 1;

0;   2 1 1

jednačinu

0.

 13 

      ¤ 

;

1 2 1 2 1 3  ;      1 0 2 1 0 2;  3 2

,…,

1,2, … ,

0 tada matrična jednačina ima jedinstveno rješenja i ono je . Ako je singularna, tada ne postoji i u tom slučaju jednačina je protivrječna ili ima beskonačno mnogo rješenja :

. u

,…,

0 Fakultet Elektrotehnike | SUDO

0                                        0

,    

Iz Kroneker-Capelijevog stava slijedi da je svaki   . Pri tome -torka čiji su svi elementi nule tj. 0, . . . ,0 je rješenje sistema 3 . 0                                        3 0 152 . Ako su uređene

rješenje njemu ,…,

. Ako odgovarajuće zbirove zamjenimo u i-toj jednačini sistema 8

Ako je *, tada je bazisni minor matrice istovremeno i bazisni minor matrice * što znači da je kolona slobodnih članova linearna kombinacija onih kolona matrice koje sadrže elemente bazisnog minora. Prema tome kolona slobodnih članova je linearna kombinacija svih kolona matrice , čiji koeficijent predstavljaju rješenje sistema 1 .

  stav 2. rješenje sistema 3

8

,

dobijamo

.

 

                                      

,…,

4 5 1 1 2 0

1;  

MATEMATIKA I

*

                      

jednačinu sistema 3 , rješenje sistema 3 .

Ako je u sistemu 3 ostaje sistem od jednačina sa nepoznatih i determinantom  sistema  ≠0, pa na osnovu Cramerovog stava zaključujemo da je trivijalno rjršenje jedinstveno rješenje sistema.

Prema tome, dodavanjem kolone slobodnih članova matrici broj linearno nezavisnih kolona se ne povećava, pa je *, gdje je …

zadovoljava ,…,

,…, Dakle pa budući da je i proizvoljno to je

Skripta za usmeni   oblika

č

kvadratne matrice A podrazumijevamo izraz

 

                         1 | 0 zove se Jednačina 0,  | č   č     . Korijeni karakteristične jednačine matrice zovu se   vlastite   č   . gdje je neki od njih mogu biti jedn-aki Skup svih sopstvenih vrijednosti , , … , kad jednačina 4  ima višestruke korijene zove se   ; u oznaci . : 1 0 0 1 2 0

Odrediti spektar matrice 2 1 ć      0    0 1 2

to je det

det det

2 0

0 1 0

,

1

0

1

0 2 0

2 0

0

1

1

1

4 1

1

0 1

0

1,

3,

1,

1,1,3 .

MATEMATIKA I

Pa je spektar matrice    

4

Fakultet Elektrotehnike | SUDO

 14 

Skripta za usmeni

Vektorska algebra Definicija 1. Za vektore

,

,…,

 

ž

0 onda je linearno zavisan.

 

    0 a ako je

 

ako iz 0 za bar jedno

Za operacije sabiranja vektora važe slijedeće osobine: 1.

Definicija 3. Linearni vektorski prostor naziva se konačno dimenzionalan, ako je u njemu moguće naći konačan maksimalan linearno nezavisan sistem vekt-ora. Svaki takav sistem vektora zove se     . sa baze

 

           

 

,

,…,

1 na bazu

… …            

 

,

,…,

2. 3.

, ,     

 

 

4.

        2 .

… …

,

 ;

na ravan π   č       

    

,

 

; asocijativnost

, ,

;   je neutralni element operacijesabiranja postoji vektor takav da je

   

je duž    

    

    kao na slici.

  

 

Ako je T’ matrica prelaska sa baze 2 na bazu 1 , imamo ’ ’ odakle zamjenom u ’ i obrnuto, dobijamo ’ ; ’ ’ ’, tj., zbog  . linearne nezavisnosti baza i ’, ’ ’ ; odakle je ’

Pr

| |

 ;   

   

 ,   

Definicija. Vektori čiji su nosači paralelne prave zovemo ; sl Dakle, jednaki vektori su i kolnearni i imaju 1. Jednake intenzitete ; 2. Ako su tačke i       

Iste smjerove

sa raznih od tačke , tada su vektori , .     , a ako su     sa

iste strane tačke , vektori     imaju

 

.

  . Dva vektora su linearno zavisna ako i samo ako su kolinearni, tj. svaka dva vektora iz su linearno zavisna. Definicija. Vektori su paralelni jednoj te istoj ravni π, zovu se , sl

Fakultet Elektrotehnike | SUDO

 

 15 

 

MATEMATIKA I

Za dva vektora ;  kažemo da su jednaki i pišemo   ako postoji translacija prostora, koja tačku P prevodi u tačku , a tačku Q u tačku  

Skripta za usmeni  

 

1.

 · 

2.

=

3. 4. Stav 2.         ako i samo ako su komplanarni, tj. svaka tri vektora iz su linearno zavisna. Stav 4.  180 Vektor prostora kao linearna kombinacija vektora

može se na jedinstven način predstaviti , , istog prostora, tj. u obliku

 

:

ć  

 ·  ·

=| | ;

    | |

1 

   

=|  | ·

·

5.

 

 · 

 ,

| |· ·

 

; ;

  

     186 Skalarni proizvod dvaju vektora    čije su koordinate , ,   , , u ortonormiranoj bazi, jednak je zbiru proizvoda njihovih odgovarajućih kordinata, tj. ako je:

. Ugao među vektorima     je pozitivan, ako se rotira vector smjeru kazaljke na satu, do poklapanja sa  .

u suprotnom

tada je

 ;   

dva vektora     , koji obilježavamo sa [ , ] ili

, je

vektor:

      i definišemo ovako

    je skalar broj  koji obilježavamo sa | || |   ,   1

Čiji je intenzitet jednak |  || |sin , gdje je ugao između vektora   i . Koji je ortogonalan na svaki od vektora i . Ima takav smjer da vektori   , ,      , , čine trojku vektora iste orijenta-cije kao bazis , ,  , .

  . Dva vektora su ortogonalna ako i samo ako je njihov skalarni produkt nula. . Neka su vektori     ortogonalni. Tada je 0, pa je prema 1 skalarni produkt vektora       jednak nuli, tj.  ,

0

Obrnuto, neka je  , 0. Ako je jedan od vektora     nula vektor to možemo smatrati ortogonalnim prema ma kom drugom vektoru, pošto je pravac nula vektora nije definisan. Prema tome     su ortogonalni. Analogno zaključujemo da iz  , 0 slijedi da su vektori     ortogonalni i ako su oba vektori nula. Ako ni jedan od vektora     nije nula vektor tada je | | 0   | | >0 , pa iz uslova  , 0 i relacije 1 slijedi da je 0 odnosno , tj. vektori     su ortogonalni.

Fakultet Elektrotehnike | SUDO

  1. 2.

 16 

 

 

  Intenzitet vektorskog produkta brojno je jednak površini paralelogra-ma konstruisanog vektora nad vektorima     Vektorski produkt dva vektora je nula vektor ako su ti vektori kolinearni ili je bar jedan od njih nula vektor.

MATEMATIKA I

,

1. 2. 3.

Skripta za usmeni 3.

Zaista ako nad , , konstruišemo paralelopiped (sl.1) tada je   , gdje ort vektora , pri čemu vektori je površina osnove paralelopipedaa , , čine trojku koja ima istu orijentaciju kao i bazisni vektori. Dakle imamo | |Pr   ,    ,   Pr    . , ,   ,  

.

4.

.

5.

0;   

 ;  

,

 ;  

Kako je Pr  

;

 , a

Ako su , tada je

. ,

  i   ,

,

koordinate vektora    

  u ortonormiranoj bazi  ,  ,

·

, odnosno

,

 ;   6.

visina paralelopipeda, tada je

,     su

ako i samo ako je

,

0

,

MATEMATIKA I

Neka su ,     proizvoljni vektori iz koji su dovedeni na zajednički početak. š         , , je broj koji obilježavamo sa a koji je jednak skalarnom produktu vektora     , tj. , · . Geometrijska interpretacija:

Apsolutna vrijednost mješovitog produkta tri nekomplanarna vektora , , jednaka je zapremini paralelopipeda konstruisanog nad vektorima , , . Pri čemu je , , 0   0 u zavisnosti od toga da li je trojka vektora , , isto ili suprotno orijentisana od bazisnih vektora.

Fakultet Elektrotehnike | SUDO

 17 

Skripta za usmeni  

ž

 

   

1           2   gdje su 

1. ravan

,

|

;    

,

,

osi

3.

      

:

, 0,

gdje su , , , postoji ravan. Vektor , , koji je normalan na ravan zove se normalni ili karakteristični vektor . Ako je , , vektor položaja odnosno vektor ma koje tačke M ravni i njen karakteristični vektor, tada se jednačina (1) može napisati u vektorskom obliku  ,   0 Dakle, sve tačke ravni ,   ž  č   i je na vektor , zadovoljavaju jednačinu 1 , pa je 1 jednačina ravni .

Ako je

ravni

jer je njen karakterističan vektor

jer je njen karakterističan vektor

0 Ravan paralelna ravni 0, , 0 normalan na ose i

jer je njen karakterističan vektor

8.

0 1 konstante i ako je bar jedna od konstanti različita od 0 tada

0 Ravan paralelna osi normalan na osu

0, ,

0 Ravan paralelna ravni normalan na ose i

0, 0,

u Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu

0 Ravan paralelna ravni , 0, 0 ortogonalan na ose i , ,

ma koja tačka ravni Ax By

jer je njen karakterističan vektor

0 , tada je Cz

D 

0 i : 0 sijeku tada se , definiše kao ugao između njihovih karakterističnih

Ako se ravni : ugao između tih ravni vektora koji su redom

,

| što predstavlja        .

 18 

 

0 pa je

0

√ Što predstavlja normalnu jednačinu ravni.

,

      

,

,

Dakle možemo pisati

Fakultet Elektrotehnike | SUDO

.

0 Ravan paralelna osi jer je njen karakterističan vektor , , 0 ortogonalan na osu pošto je    ,   0

6. 7.

 ; odsječci koje

;   

0 Jednačina ravni koja prolazi kroz koordinatni početak

4.

|

 ;   

0 (3) Njen karakterističan vektor 0 (3)normalan na osu , jer je    ,  

5.

č       je jednačina oblika

č

, ||

A A

B B

C C  

|

između vektora

  

odnosno između

MATEMATIKA I

 

,

 

0 redom na koordinatnim osama

2. ,

   

Analitička geometrija (Rastojanje dvije tačke u prostoru V3). Ako su A i B dvije tačke na

  

Skripta za usmeni Što predstavlja č Ili u vektorskom obliku gdje je

    vektori

  

, ,

  u takozvanom

 

,

 ,   

,

č

.

 

0 , , .  

 ,      

         , potrebno je i dovoljno da njihovi karakteristič-ni budu kolinearni, što je ekvivelentno uslovu .

  Skup tačaka

, ,

    0 prostora čije koordinate zadovoljavaju sistem 0 0

Ako u kanoničnom obliku jednačine prave  stavimo

1’

,

tj. tačke koje istovremeno pripadaju i jednoj i drugoj ravni definisanoj jednačinama 1 obrazuje pravu u prostoru.

Gdje je parametar koeficijent proporcionalnosti , tada imamo

           1" , ,

prostora čije koordinate zadovoljavaju sistem 0 0

1

tj. tačka koje istovremeno pripadaju i jednoj i drugoj ravni definisanoj jednačinama 1 obrazuje pravu u prostoru. Zaista, ako su (1) jednačine dviju ravni i , pri čemu vektori , , ,  ,   ;   nisu kolinearni, tada je presjek ravni i .

Gore navedene jednačine zovemo Jednačina 2 predstavlja č       , ,    , , , u kanoničnom obliku.

,

 ; 

, ,

kolinearni , to je            Fakultet Elektrotehnike | SUDO

 

č  

 

.

č

                  2

, | || |

, , a paralelna je zadanom Neka je prava, koja prolazi kroz datu tačku vektoru , , (sl.1) gdje je 0. Uzmimo da je , , ma koja tačka prave . Kako su vektori ,

 

predstavlja

 

 

đ  

 

  

koje se sijeku.

Ako su prave      ortogonalne tada su i njihovi karakteristični vektori      međusobno ortogonalni,pa je

 19 

MATEMATIKA I

Skup tačaka

Skripta za usmeni  ,

0

Dakle, ralacija 4 predstavlja đ    . 

  

4  

 

 

Ako je zadana prava čija je jednačina    i  

potreban i dovoljan uslov da Ako je uslov 3 ispunjen prave

  

su

  

     ,  ,   data tačka van prave . Da bismo dobili rastojanje neka nam je  ,  ,   fiksirana tačka na pravoj i početak njenog karakterističnog

budu

. 0                         3

Ako su jednačine pravih

  

redom:         

Ako su:     , ,   i     , ,   fiksirane tačke na pravima     a       njihovi karakteristični vektori. Tada je najkraće rastojanje između pravih     jednako količniku zapremine paralelopipeda konstruisanog nad vektorima  , površine njegove osnove, tj. |

| |

|

 

i vektora , , dovedimo u tačku . Tada je, rastojanje , tačke prave , jednako količniku površine paralelograma konstruisanog nad vektorima

  

intenziteta vektora

od

, tj  |

| | |

Uslov paralelnosti prave i ravni :   ,   0 tj. Uslov ortogonalnosti prave i ravni :

0 jeste: 0 0 jeste:

0    .   

Dakle, prava  je

na ravan τ 

  

 

,

0, tj.

    

Ili u skalarnom obliku     

 

Fakultet Elektrotehnike | SUDO

 20 

 

 

0  .

 

MATEMATIKA I

Dakle prava je paralelna na ravan τ ako i samo ako je 0       

Skripta za usmeni Tada očigledno vrijedi     što predstavlja ograničenost niza.

 

,

 

Definicija 3.1. Kažemo da niz ( ) konvergira ka tački okolini tačke  nalaze skoro svi članovi niza. Definicija 1. Svako preslikavanje       , skupa prirodnih brojeva u skup realnih brojeva nazivamo   . Broj koji se ovim preslikavanjem dodjeljuje prirodnom broju označavamo sa ili češćee sa   , i nazivamo ga ti član niza. Pri tome broj  u oznaci nazivamo indeksom člana niza.  1.1. Niz 1,2,3, . . . , , 1, . .. je niz prirodnih brojeva. Niz 1,3,5, . . . , 2    1, . .. je niz neparnih prirodnih brojeva. Definicija 2. Kažemo da je realan broj a č   ili   ako ε 0  0   takav da za svaki prirodan broj   |xn − a|   što 0  jednostavnije zapisujemo matematičkom simbolikom sa 0 |   |    .   1.1 Gornju činjenicu zapisujemo sa   ili n   ∞  . n :  lim

3

1 1

n

 

1

č ako je skup svih elemenata tog Definicija 3. Za niz n  kažemo da je niza ograničen, tj. ako postoji realan broj 0 takav da je| n| za svako . Ovo zapisujemo sa  . 0        | |   Nije ograničen ako    0   , , takvo da je | | . 1 10 :             ,     1 √ | 10 Budući da je √ 1     | 1 10| | 1 10 ,   | 1 10| 10 10 | | 1 11 ,  1 √     ;          č .

Teorem 1.2.1. Ako niz ima graničnu vrijednost onda je ona jedinstvena. Pretpostavimo da vrijedi i Ako je , onda postoji 0 takvo da okoline oko tačaka i budu disjunktne ( dovoljno je uzeti da je ). Na osnovu definicije 3.1. zaklučujemo onda da su svi članovi niza ( ), počev od nekog indeksa , u okolini broja , biti u okolini ali isto tako bi morali svi članovi niza počev od nekog indeksa i od , zaključili tačke  Ako posmatramo članove niza čiji su indeksi veći i od bi smo da se oni nalaze i u jednoj i u drugoj okolini, što nije u saglasnosti sa disjunktnošću tih okolina. Teorem 1.4.1. vrijedi 1.

   

  

=

Neka su

 

:     

č 3

i

 nizovi za koje

= A.

2. Za skoro svako je x_n ≤ n   Tada i niz n ima graničnu vrijednost i važi 3 .  

 

. n

√2

3

2 3 2 · 3  ,  3 3 √2 .  Ako označimo sa  3    3 √2 , 

√2

  .

ž 

 

 "tada očigledno važi

3 

pa na osnovu teoreme o lopovu i dva policajca vrijed 3 3 √2         

Teorem 1.2.2. Svaki konvergentan niz je ograničen. Neka je niz ( ) konvergentan, tj. neka je lim . Neka je 0 proizvoljno, na primjer neka je 1. Na osnovu definicije konvergencije, svi 1, 1), odnosno članovi niza, počev od nekog indeksa , pripadaju okolini ( najmanja van ove okoline se nalazi konačno mnogo članova niza. Neka je vrijednost i najveća vrijednost od tih konačno mnogo članova koji su van okoline. Označimo sa        1, ,        1, . Fakultet Elektrotehnike | SUDO

ako se u svakoj

(b)

 

(c)

  ·

(d)

 21 

n

 

 

 

n

   

 

 

 

 

 

· ,

   

0   

0 

 

MATEMATIKA I

Nizovi i redovi

   

Skripta za usmeni   . . Izračunati

3·2

2·3

3·1

2·1

U oba slučaja kažemo da niz određeno divergira.

5 

:  za koga važi

n

1

: 

1

Teorem 1.4.2. Neka su dati nizovi 1.

n

  i

·

0, nazivamo

 

0

   

 i neka su zadovoljeni uslovi:

Niz

 je monotono rastući, tj.  

3.

Postoji konačna ili beskonačna granična vrijednost postoji

 

  ć   

 

ć 

.

  ć ć 

ć 

 

proizvoljan niz.  Uspostavljanje veze limestada

  

 

   

za skoro

 

1

1

konvereg ent an i akoje , onda je

2

 

3

1

Definicija 5. Kažemo da niz ∞, ako vrijedi

  3

   

Fakultet Elektrotehnike | SUDO

1. 2.

za skoro

  .

1

 

ć .  

0

1

1 2

1 2

1

2

1  2

1

1 2

 ∞, što označavamo sa

∞, ako

1 

 

Svaki ograničen niz realnih brojeva ima bar jednu tačku nagomilavanja u Svaki niz realnih brojeva ima bar jednu tačku nagomilavanja u *.

Ako sa označimo     č   niza , onda na osnovu Bolzano-Weierstrassove teoreme zaključujemo da je on nepraz-an u

   0                . divergira ka  ∞, što označavamo sa 0  

 

3

divergira ka

vrijedi

1

Definicija 7. Neka je dat niz i nekaje ,   , . . . , , . .. strogo monotono rastući niz prirodnih brojeva. Tada kažemo da je   Podniz može se posmatrati kao niz sa indeksima    1,2, . ..

Teorem 1.6.2.

,

svako

 

1

 

Akoje niz

   

ć

tada

1

svako 

 

opadajući.

: Niz

 

Akoje

Kažemo da niz

 

važi jednakost

Teorem 1.2.7.Nekaje relacija poretka

:  

 

.

:

2.

kazemo da je

Za niz koji posjeduje bilo koju od navedenih osobina kažemo da je   .

∞.

2.

1.

. Definicija 6. Za niz

1

∞

Definicija 8. Najveća tačka nagomilavanja niza     niza i označava se sa         lim    . lim

zove se

Najmanja tačka nagomilavanja niza zove se onji limes ili limes označava se sa  lim            lim   .

.

 22 

.

.

 

i

MATEMATIKA I

Definicija 4. Niz

∞;   

Skripta za usmeni 1    ;   1,1 ,

 

   lim

1,  lim

|

1.

Teorem 1.5.2.      č       . U ovoj teoremi treba razlikovati dva slučaja: 1. Ako je niz monotono rastući, zahtijevamo ograničenost odozgo. 2. Ako je niz monotono opadajući, zahtijevamo da je niz ograničen odozdo.   

 

1.

1,

2, . . . ,

n, . ..

  

 

 

 

Za red koji ne konvergira bilo da je lim kažemo da je . 1 :   č        1 1

1

n

1

1 2

 

1 2 1

1 1 3 3 1 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1 1

 

 0  

0

 

1 1

    

 

 ,

 

 

 

 

       : 

 

 

 

   

 

,

 

 

 opšti član je 

0.     očigledno

0.

brojeva beskonačna tj. dati red je divergentan.Spomenimo ovdje jedan važan red:    je konvergentan ako je 

     č Ako su skoro svi članovi reda

1, a divergentan ako je 

kažemo daje red sa pozitivnim članovima.   . . .

0

|

n+1

 

n+2

···  

n+p|

.

 

đ  

 23 

1.

nenegativni, onda za red … ,   

Teorem 2.1.3. Fakultet Elektrotehnike | SUDO

  

 

1

,

:    

· (2.3) Za svaki prirodan broj   vrijedi:  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 2 2 koristeći 2.3 , svaki od sabiraka u zagradi je veći od , pa je suma takvih

Teorem.     Red 2.1 konvergira ako i samo ako vrijedi  

 

: Posmatrajmo harmonijski red  ∑ je 

parcijalnih suma

∞, bilo da taj limes ne postoji

1,

1 1

n

 

1

1 1

, niza

č

i da mu je suma jednaka .

 

 

Neophodan uslov konvergencije numeričkog reda je dat slijedećom teorem-om.

naziva se beskonačnim redom s opštim članom an ili realnim .

reda 2.1 , onda kažemo da je Tada pišemo

 

  

  

 

  . . .  

n

 

 

Izraz

… ,                        2.1

Definicija 10. Ako postoji konačan limes

 

  2.  

 

Definicija 9. Neka je dat niz realnih brojeva

 

1,1

    1    

 

 

š  č

       2

 

MATEMATIKA I

:

Skripta za usmeni postoji 

 takav da je za 

.

2.  

Tada vrijedi,

1  1.

 

2.

 

 

  2

 

 

  1

 

 

 

1

    . . .  

 

’

 

1

4

;  

 

:

za 

    

1,

 

1 1

4

 

 č

 

 

 

   

 

 

   

 

   

   

   

1 

2

1

1

 

   

 

,  

   

… kriteriju primjećujemo da ako je

,

   

1 

 

   

.

2.

 

 

 

 

, takav da je

1. .

1 

 ;    

    

č

  

   

.

.

 

,  

1 1

 

Teorem 2.2.5.   

 

l = 1 kriteriji ne daju odluku o konvergenciji reda.

1 1 ~ 4

1 2.  

č

Iu

1, dati red je konvergentan.Ako postoji 

 

.  

 

  2 .

   

 

  1 ,

:Ispitat konvergenciju reda

1.

 

 

  

   

 

 

 

 

 

,

 0 i

   

  

š  č

 

, takvi daje za

, takav daje za

Neka postoji

   

1

 

 

.   

Ako postoji   konvergira. Ako postoji n0

 

Kn = l. Ako je

0,

   ,

n

n

  , onda dati red

 0, onda dati red divergira.

0 red konvergira, a ako je

0 rad

divergira.  

2 2 2 2

 

2

2

1 1 2 1

Teorem 2.2.4. 1.

     

 

   

; 

2 2

Definicija 11. Neka su 1

1

   

 

2 2

3

1

1 3

        2.4

  ,

 

   

 

  

 realni brojevi. Red

1 Zovemo

 konvergentan. Ako postoji 1, tada je dati red divergentan

Fakultet Elektrotehnike | SUDO

1 2 2 2

;

1, 

 

  

 

 č

.

Definicija 12. Ako red (2.5) konvergira, kažemo da red (2.4) konvergira apsolutno. Za red (2.4) kažemo da konvergira uslovno ako je on konvergentan,a pri tome ne konvergira apsolutno.

, takav daje za

|

 24 

|                2.5

MATEMATIKA I

: 

Skripta za usmeni

Granična vrijednost i neprekidnost

Definicija 5. Za funkciju f : Df →   takav da vrijedi

 

funkcije

 

 

∆

.

  ima osnovnu periodu  sin

jeste granična vrijednost kada

∆ ∆

, ako postoji broj

č

  :

Definicija 1.

, kažemo da je

0,

2 . 0

,

2 cos

2

0 2 2 ."Dakle za najmanji pozitivan broj"   2 . 

2

1

Ako postoji bilo da je konačan ili beskonačan. Definicija 6. Realna funkcija :   1. 2.

Eksplicitni

      

Parametarski

  

3.

Implicitno

4.

Tabelarno

,

 

      ,

    …

Definicija 3. Funkcija :   

:

       1

  

  

 

,

na razmaku ,     ć

      

  

;  a

   

  , je na

1    1 je

 ;  .

1

: Ispitat  monotonost, konveksnost funkcije  na skupu

č

ograničen skup . Drugim riječima je |

|

.

ako je

na 1

1 2

,

.  2  .  1

  Definicija. Neka je :   i           ∞, ∞ tačka nagomilavanja skupa D. Tačka       ∞, ∞ je č   funkcije f u tački kada ako za svaku okolinu V , , tačke postoji okolina , tačke a, tako da vrijedi ,

Fakultet Elektrotehnike | SUDO

 ;

   

na razmaku , ako ,  

 

   

,

Definicija 8. Za funkciju : kažemo da je   konveksnom skupu K, ako za svaku konveksnu kombinaciju vrijedi 1 1 ,

     

Definicija 7. Realna funkcija : |

   

  , definisana na simetričnom skupu

na skupu Df , ako vrijedi Df ako je

 

 ;

Za svaku od ovih funkcija     reći ćemo da je monotona funkcija na razmaku definiranosti ako je ; pišemo  .

… ,

, ,

na razmaku , ako ,  

ć ć

0;    

Grafik funkcije

na razmaku     

ć

 

   

5.

naziva se:

 

 25 

,

.

ili

MATEMATIKA I

č

Skripta za usmeni U tom slučaju koristimo oznaku  lim

Zapis sa okolinama i sa okolinom. Neka su  ,   i tačka nagomilavanja skupa   lim

0

. Tada |

0

0

|

 ima graničnu vrijednost 

: Funkcija  9.  3. lim

| , \ , \  . Budući da je V(b) možemo smatrati ograničenim skupom, onda je ograničen i skup | , \ , tj., . ,

.

|

|

. 

9 u tački

Drugim riječima, postoji

0,  

, označavamo sa  lim

lim

ili kraće 

ta vrijednost postoji i zovemo je desnom graničnom vrijednosti  ,  Tj. u tački . Ako je 0, onda se piše lim

 

funkcije

. Po analogiji definira se i lijeva granična 0 . Nije teško zaključiti da vrijedi

0       0 vrijednost lim

lim | |

:

lim

 ,

0;    0 lim

| |

lim

1 2

.

okolina

 253 . Ako je lim

, lim

 ,

         

,

, tada post-oji .

,

: Pretpostavimo da su i konačni. Neka je 1                 ,       , 2 tačke , simetričnu u okoline tačaka     , redom. Možemo izabrati okolinu U odnosu na tačku , za koju je

Kao i simetričnu okolinu U

| |   

 

tačke , takva da je

  1          lim

|

čime je teorem dokazan. Teorem 3

Definicija 1.  Vrijednost   

0, tako da za svako , \ vrijedi |

,

,

iste tačke, tako da je  

,

Jasno da je , Osim toga, za svako

, .   ,    , vrijedi . Ako stavimo , dobijamo novu okolinu tačke a ona se poklapa sa jedn, 1,2. , koja ima svojstvo  za svako om od okolina   \ . Time je teorem dokazan.

lim

Posljedica: Neka je lim

,

∞, ∞  

ako i samo ako

  ,

,

lim

  .

okolina

,

tačke , tako da vrijedi

Fakultet Elektrotehnike | SUDO

tačke

1

lim

2

lim

3

lim

4

lim |

 26 

  

u kojoj vrijedi

Teorem 4

0

 254 . Neka je lim ; ; ,    |

| |;

0. Tada postoji okolina

   za svako

|

Posljedica: Ako je lim lim

Teorem 2.  252 Ako realna funkcija ima konačnu graničnu vrijednost u  gdje je   = , tački , tada postoji δ okolina , tačke , tako da ,   klasa ograničenih funkcija na skupu U. . Neka je lim  ; tada za proizvoljnu oklinu tačke , može se odabrati

0, tako da je |

0;

tačke a i postoji

.

0 

0 , tada postoji okolina

    ,   lim

0 .        ,

 ; tada vrijedi

MATEMATIKA I

Njihova veza sa graničnom vrijednosti je

Skripta za usmeni |

za 2

|

|

|

||

|

|

|

| | | ||

|

Definicija 5. Neka je tačka prekida funkcije : . Kažemo da je u tački :     ako postoje konačne granične vrijednosti

|.  |

|

|

|

| ||

|,

      Neka su , , : date funkcije i neka je a tačka nagomilavanja skupa D. Ako postoji okolina tačke a, takva da za svako   ž  i postoje granične vrijednosti funkcija     u tački a, tada, ako je lim lim , ∞, ∞ , onda je i lim . .

1         

Lim

Definicija 2.

 

 ,   

, na skupu |

: ,

Npr:

,

  Funkcija : samo ako \ : 

;      

  .

,

0  

2;   

.

pri čemu je tačna barem jedna od relacija

,

 ,   

0

 ,         

0

 

 

 

    č  

0,

 

 

    .

Definicija. Vrijednost limesa  , , , naziva se        u tački ioznačavati , . Dakle, oscilacija funkcije je nenegativna, tj. vrije-di , 0. str.266   . Funkcija :

je neprekidna u tački

, ako i samo ako je

,

0.  

  Teorem 9. Ako su :

dvije neprekidne funkcije u tački

   :

, tada su u istoj tački neprekidne funkcije  ,

∞, ∞ tačka nagomilavanja skupa

    

D ; , a za svaku okolinu 2 : takva da je . Tada je lim Definicija 3. Za funkciju : 0 tj., ako je lim

 

∞

  č     ima konačnu graničnu vrijednost u tački ∞, ∞ ako i    0   okolina   tačke a, tako da vrijedi ,

1 1 sin   ,    lim sin  –

Teorem 8. Ako je 1 : , i lim

;

Ako je a tačka nagomilavanja samo jednog od skupova | ili | , onda se zahtijeva postojanje i konačnost samo odgovarajućeg limesa iz * .     je svaki prekid funkcije koji nije prekid prve vrste.

definira se pomoću

,

,          lim

lim

| .

0;  

,

   

,     *

     lim

lim

 tačke

lim

. Funkcija

|

u tački | ,

je neprekidna na skupu

neprekidna u svakoj tački toga skupa. U tom slučaju pišemo

Fakultet Elektrotehnike | SUDO

tačke a,

ako je

,

:

,

:

.

ako ako je

,

neprekidna, tada je neprekidna i funkcija

0

; :

u istoj tački .

.

 

, kažemo da je | |

0

postoji okolina

: 

Definicija 7. Funkcija : kada ∞ ako je

je beskonačno mala veličina 0  lim

lim :    

 27 

 ,

 

            ;

1

     

0

MATEMATIKA I

za 1

Skripta za usmeni

Λ gdje je α

 

 

 

0. Uzimamo da je 0i 0. Podijelimo segment na dva podsegmenta jednake dužine, znači tačkom . Ako je upravo u toj tački 0 , onda je

, 

.

Definicija 8. Kazaćemo da je funkcija f zanemarljivo mala u odnosu na funkciju g kada i označiti , ako postoji okolina tačke , tako da je   je beskonačno mala veličina kada .

  

, gdje

i teorem je dokazan.

Definicija 11. Za funkciju : kažemo da je ravnomjerno neprekidna na skupu ako se 0 može naći pozitivan broj , čije je međusobno rastojanje manje od δ takav da za svake dvije tačke , | , vrijedi | . Prema tome,

je ravnomjerno neprekidna funkcija na skupu 0

Definicija 10. Ako je količnik funkcija je funkcija

i

ograničena funkcija, tj. ograničena

| Dakle, funkcija

     

Teorem 15.

 

: .

1  Neka je

,

,

0

: Funkcija

je ravnomjerno neprekidna na

|

|

2

2

·

Teorem 16.

Ako je

,

Ako je

,

|

2

Odakle je jasno da se u relaciji , za bilo koje   preciznije odgovara svako pozitivno

. |,

0 može staviti .  

, tada je

,

. Još više, postoje

dostiže svoju najveću, odnosno svoj-u

 , tada je

ravnomjerno neprekidna na

,

.

,

i γ proizvoljno izabrana vrijednost iz α, β . Tada postoji tačka , , takva da je . Doakz. Očigledno ako su i različitog znaka, tj. ako je 0, tada će, prema tvrdnji teorema postojati , tako da je 0.Ne samo to, već ako to i primjenimo na pomoćnu funkciju  , dobijemo tvrdnju teorema. Tako smo dokaz teorema sveli na dokaz specijalnog slučaja tvrdnje. Pretpostavimo dakle, da neprekidna funkcija na segmentu , ima svojstvo Fakultet Elektrotehnike | SUDO

.      

.      

Teorem 17. ,

|

nije ravnomjerno neprekidna na skupu , ako

tačke toga segmenta u kojima funkcija najmanju vrijednost.

 

,

|

0

    Definicija. Pretpostavimo da je data funkcija  definirana za Λ Λ , gdje je Λ neki realan broj. Prava naziva se kosom asimptotom naziva se vertika-lna        ∞ ∞ , tj., 0,   | | 0 a asimptota krive , a horizontalnom ako je  0.

 

|

,

Gdje je okolina tačke , pisaćemo   i reći da funkcija dominira nad funkcijom , kada . Ako je istovremeno i   , kažemo da su funkcije i istoga reda kada .

 

0

, ako

Teorem 19. Neka je : , monotona funkcija, tj. , . Neka za sva-ku tačku γ koja leži između vrijednosti    postoji vrijednost , , tak-va da je (drugim riječima, neka funkcija slika segment [ , b] u neki segment). Tada je , . Posljedica. Neka je : ako je

 28 

,

,

, gdje je

monotona funkcija. Tada segment čiji su krajevi

i

,

.

, ako i samo

MATEMATIKA I

Teorem 13. Funkcija : ima graničnu vrijednost Λ , kada gdje je tačka nagomilavanja skupa D  ako i samo ako se može predstaviti u obliku

Skripta za usmeni

Teorem 20. Ako je : strogo monotona na skupu        : i ona je takođe strogo monotona tada postoji inverzna funkcija (rastuća ako je  rastuća i opadajuća ako je opadajuća).

,

MATEMATIKA I

Teorem 22. Neka je : , neprekidna i strogo monotona funkcija i , . Tada je E segment u čiji su krajevi    na kojem je definirana funkcija : koja je neprekidna na E i strogo monotona rastuća, ako je  rastuća, odnosno opadajuća, ako je opadajuća . . Ako mijenja znak u tački  , onda je funkcija sa jedne strane tačke rastuća u okolini  , sa druge strane opadajuća.prema teoremu 20, tačka  , prevojna tačka krive  .

Fakultet Elektrotehnike | SUDO

 29 

Skripta za usmeni Teorem 1. Funkcija vrijedi

2                ∆

Diferenciranje  

funkcije  je

 

  , ∆             Pretpostavimo da je postoji konačna granična vrijednost. ,

naziva se

       

  . Ako je diferencijabilna funkcija u tački neprekidna u istoj tački. : Iz relacije (2) slijedi

Drugim riječima kada je X=

0

Gdje

lim

∆

√∆ ∆

 , onda je lim

lim

, tada je ona i

0 kad

√∆

∆

0

Definicija. Za zadanu funkciju : tački , , ako postoji

, kažemo da ima

,

0 , tj. funkcija

I u tom slučaju, jednostranu derivaciju označavamo Analogno se definira i   u tački , 0

 ;  

u

 

lim

. √

∆

,

lim

lim

√ ;

lim

∆

2

:

  lim

∆

ukoliko ona postoji, konačna ili beskonačna. :   2 lim lim

je neprekidna u tački

č         0 diferencijalna u tački . dakle

lim

lim

=lim 2

ako i samo ako

Λ

gdje je –  

u tački

,

0;

ili pak , kao

0 .

lim

    šć . Najčešći razlog da funkcija nema derivaciju u nekoj tački jeste upravo nepoklapanje derivacija      u toj tački.

∞

 

:

| |

      ;         ;      

0   0

1  ,      1 Funkcija | | može biti nediferencijabilna , za slučaj potrebe tj.ako uzmemo da nam 0. | | 0 lim        ,

  Definicija 2. Za funkciju kažemo da je u tački , ako ima konačnu derivaciju u toj tački.

Fakultet Elektrotehnike | SUDO

   ili derivab-ilna

 30 

MATEMATIKA I

Definicija 1. granična vrijednost

je diferencijalna u tački

Skripta za usmeni da je definirana složena funkcija

. Neka, dalje, funkcija

 ima konačnu derivaciju u tački , a funkcija g ima prvu derivaciju u tački Tada superpozicija ima derivaciju u tački i vrijedi

Teorem 2. Neka su , ,

. Tada ako ,

,

0 . Još više,

,

,

onda je 

,

,

·  ,

Teorem 4.     . Neka funkcija derivaciju u tački . Neka dalje, postoji inverzna funkcija neprekidna u tački . Ako je 0 tada je funkcija 1.

.

ima , koja je diferencijabilna i vrijedi

vrijedi: Definicija 3.   u tački u kojoj je funkcija diferencijabi-lna, u oznaci ili , je proizvod derivacije funkcije i priraštaja nezavisno promjenljive u toj tački tj.

1° 2°

Ako uzmemo

3°  

, onda je prvi diferencijal ;

Dokaz. Neka je

i

0 , dovoljno mali broj. Tada je

:

lim  

lim

  .

Budući da su ,   Prema tome

, ,

to je desna strana u posljednjoj relaciji konačan broj. i . 

 ;   lim

1

  

 , prva derivacija konačna ili ∞ funkcije u tački , predstavlja koeficijent pravca tangente na krivu u tački . Da bi smo se u to uvjerili, najprije trebamo definirati tangentu krive. Opštost se neće umanjiti ako koristimo krivu i ostalr oznake sa slike. 

Pr 1:

Pr 2:

MATEMATIKA I

2   ·

1

Pr 3:  

Teorem 3.

 

ž

 

Fakultet Elektrotehnike | SUDO

. Neka su zadate funkcije  i

takve

 31 

Skripta za usmeni , za koju postoji limes *

tački  lim

        

:      

  č

   

  č

 

 

 

Definicija 4. Diferencijal reda funkcije , u oznaci diferencijal 1 diferencijala funkcije , odnosno

 

.

  č : Ako uzmemo kretanje tijela pri slobodnom padu čiji se pređeni put u jedinici vremena izražava funkcijom . Dakle zanima nas brzina kojom se tijelo kreće u trenutku funkcije u tački , tj. 1 2

1

lim 2

   2

 

. Jasno da je ta brzina ustvari derivacija

 

·

lim 2

 

 

 

1

gdje je

 .

Definicija 3.   u tački u kojoj je funkcija diferencijabi-lna, u oznaci ili , je proizvod derivacije funkcije i priraštaja nezavisno promjenljive u toj tački tj.

;  

,

1

,

, ako postoji okolina

ima u tački

 

tačke c, sa svojstvom da je; 0,   

Funkcija

, onda je prvi diferencijal

+

2

Definicija 5. Kažemo da funkcija

Ako uzmemo

, jeste prvi

 

ima u tački

, ako postoji okolina

 

tačke d, tako da vrijedi;

.

0,     

; č

:      

 

 

 

 

1. 2.

 

0  ·

·

 

 

  4.

Vrijednosti ·

 

Teorem 7.

  5.

toga reda funkcije

lim Gdje je Dakle

. Jasno,   funkcije

ti izvod funkcije

, . je prva derivacija funkcije

Fakultet Elektrotehnike | SUDO

su lokalni ekstremumi funkcije . Neka je funkcija

definirana na

,

i ima lokalni

ekstremum onda je

 

Indukcijom možemo uvesti i derivaciju ,kao  u tački

i

*

 u svakoj unutrašnjoj

u tački , . Tada, ako funkcija  ima derivaciju u tački c, 0. . Pretpostavimo da je max , tj. Da funkcija ima lokalni maksimum u tački . Tada je za  0 0 , Pa slijedi da je

lim

0 . sa druge strane, za

pozitivan, tj. Vrijedi:   0 ,

 32 

0 isti izraz je

MATEMATIKA I

3.

Skripta za usmeni ( )

Odakle je lim

Tada funkcija  ima stacionarnu tačku koja pripada

0 .

Budući da po pretpostavci teorema postoji 0 0.  Odakle, jasno, slijedi da je

.

:

, to je 0 ,

√

,

.

√ 0 ,

1, 1

  

,

    

0

:

Teorem 9.

Ako je funkcija  definirana na

,

i ispunjava

sljedeće uslove: ,

0

0

0,

0 ,

Pa funkcija ima lokalni minimum u nuli. Sa druge strane, lim

lim

lim

lim

√

1

lim

√

√

  ∞ 

1

lim

∞

√

postoji derivacija tako da vrijedi

u svakoj tački

Teorem 8.

,

,

Primjer 13. Funkcija iz primjera √ je očito neprekidna na [-1, +1] i vrijedi 1 1 . Prema tome uslovi i  teorema 8 su ispunjeni, međutim uslov , kao što smo pokazali u primjeru √ , ne. Znači, Rolleov teorem ne vrijedi za   √ , što se vidi iz same derivacije funkcije 2 0 , 1, 1 , 3√ Koja se dakle ne anulira. Teorem 13. Ako , nema stacionar-nih ,       , , , pri čemu tačaka na , , onda postoji , tako da vrijedi          5.15

zovemo

Neka je funkcija

, tada postoji

.

0 ne postoji, što je trebalo i pokazati. Definicija 6. Tačku 0.

,

 

funkcije , ako je

č

definirana na

i neka ispunjava

,

.  Razmotrimo funkciju Φ i Φ Za koju očito vrijedi Φ , parametar tako da je Φ Φ

,  . Osim toga, može se izabrati realni , . Nije teško vidjeti da

sljedeće uslove. () ( )

,

;

 

postoji derivacija

Fakultet Elektrotehnike | SUDO

 

  ,

 

u svakoj tački

,

;

Zadovoljava taj zahtjev. Sada funkcija Φ teorema, pa Φ ima stacionarnu tačku u ,

 33 

ispunjava sve uslove Rolleovog , tj. postoji , sa vojstvom

MATEMATIKA I

simetrična u odnosu na y-osu.Prema Budući da je funkcija parna, onda je tome za bilo koje 0 , pozitivno ili negativno, svejedno, vrijednost funkcije je 0 0 √ 0  ;    0 0 . Dakle,

;

Skripta za usmeni 0. Sa druge strane je 

:

Φ

φ(t)=|2-1|

;

2,

φ'(t)=

2  

odakle slijedi  5.15 čime je teorem dokazan. đ

 

 

   

č

 

∞ 0 ,     ,    0 · ∞ ,    ∞ ∞ 0

č

 

∞ ,    0 ,    ∞ ,    1

,

i neka je

,

. Ako je

0 i postoji lim

beskonačan. Tada postoji i

(i) (ii)

 , konačan ili

. Još više, tada vrijedi

 

2 2

2 4

lim

2

2 2

2 4

a) b)

1 2

 

  lim

,

 

     lim

lim

lim

Teorem 17. Ako je diferencijabilna funkcija , , tada je 0  0   ,

, na kome je ∞. .

š  š ,

0 i neka je

 

Funkcija je

rastuća opadajuća na intervalu

ii

Fakultet Elektrotehnike | SUDO

∞,

 

0, 0,

, ∞ , tada je u , ∞ ,  u tački

,

,

*

, tj. ima ima drugi tip konveksnosti, ako

;    ?… 0  1 Teorem 20. Neka je bila konveksna na , . Da bi dovoljno da funkcija raste na , .

 . 

  

 na

,

:  

.

∞,

na

1, vrijedi

,

   ,

.

Teorem 21. Naka funkcija : ,

Ako je 0, tački lokalni minimum Ako je 0, lokalni maksimum.

,

ako u * vrijedi obrnuta nejednakost.

. Ako je Teorem 18.  361 . Pretpostavimo da je okolina tačke     diferncijabilna na skupu , tada je u tački a lokalni ekstremum funkcije ako funkcija mijenja znak u tački . Pri tome i

kažemo da je

ako za proizvoljno izabrane , ,

; naka je

,

ne postiže se ekstrem funkcije postiže se ekstrem funkcije 0     0     

Definicija 7. Za funkciju :

Teorem 16.       Neka su funkcije     diferencijabilne u intervalu lim lim ,

1

0

definirana u stacionarnoj tački funkcije 0 , funkcija u stacionarnoj tački c ima

Opšti teorem: Neka je funkcija definisana na nekom intervalu 0; 0 ,  . . .

. :    lim

postoji lokalni minimum

 ,

     

Teorem 19.  362 . Neka je . Tada ako je 0 lokalni minimum (maksimum).

: 

Teorem 14.     neka funkcije f i g zadovoljavaju uslove Cauchyevog teorema na ,

        

je

da bude

. Da bi

ima drugu derivaciju u svakoj tački

bila konveksna konkavna na 0

potrebo je i

,

0 , za svako

,

,

, potrebno je i dovoljno

.

tačke i Definicija 8. Neka je funkcija definirana u nekoj okolini _0  . Tačka , naziva se prevojna tačka diferencijabilna na , ako je funkcija na skupovima krive različit tip konveksnosti, slika.

 34 

∞,

  i  

, ∞ ima

MATEMATIKA I

Φ c

Skripta za usmeni

Teorem 22. Neka je

, ima konačnu drugu derivaciju u svim tačkama

mijenja  tačke  , osim možda same tačke . Ako funkcija okoline znak pri prolazu argumenta kroz tačku  , tada je , prevojna tačka krive . . Ako mijenja znak u tački , onda je funkcija sa jedne strane tačke rastuća u okolini , sa druge strane opadajuća. Prema teoremu 20, tačka , je prevojna tačka krive  . 0,

0. Tada je

,

prevojna tačka krive

MATEMATIKA I

Teorem 23. Neka je ’’ .

Fakultet Elektrotehnike | SUDO

 35