Simulation Des Systémes Mécaniques en Vibration [PDF]

Zitiervorschau

Avant-propos I. Introduction II. Espace de travail MATLAB III. Présentation de SIMULINK III-1- Exemple simple IV. Simulation des systèmes mécaniques en vibration IV-1-Système à un degré de liberté IV-2-Système à deux degrés de liberté IV-3-Système à trois degrés de liberté V. Vibrations des poutres droites VII-1-Encastré-encastré VII-2-Encastre-appuyé VII-3-Appuyé-appuyé VII-4-Libre-libre VI. Conclusion VII. Bibliographie

MATLAB est une abréviation de Matrix LABoratory. Écrit à l’origine, en Fortran, par C. Moler, MATLAB était destiné à faciliter l’accès au logiciel matriciel développé dans les projets LINPACK et EISPACK. La version actuelle, écrite en C par the MathWorks Inc., existe en version professionnelle et en version étudiant. Sa disponibilité est assurée sur plusieurs platesformes: Sun, Bull, HP, IBM, compatibles PC (DOS, Unix ou Windows), Macintoch, iMac et plusieurs machines parallèles. MATLAB est un environnement puissant, complet et facile à utiliser destiné au calcul scientifique. Il apporte aux ingénieurs, chercheurs et à tout scientifique un système interactif intégrant calcul numérique et visualisation. C'est un environnement performant, ouvert et programmable qui permet de remarquables gains de productivité et de créativité. MATLAB est un environnement complet, ouvert et extensible pour le calcul et la visualisation. Il dispose de plusieurs centaines (voire milliers, selon les versions et les modules optionnels autour du noyau Matlab) de fonctions mathématiques, scientifiques et techniques. L'approche matricielle de MATLAB permet de traiter les données sans aucune limitation de taille et de réaliser des calculs numériques et symboliques de façon fiable et rapide. Grâce aux fonctions graphiques de MATLAB, il devient très facile de modifier interactivement les différents paramètres des graphiques pour les adapter selon nos souhaits. L'approche ouverte de MATLAB permet de construire un outil sur mesure. On peut inspecter le code source et les algorithmes des bibliothèques de fonctions (Toolboxes), modifier des fonctions existantes et ajouter d’autres. MATLAB comprend aussi un ensemble d'outils spécifiques à des domaines, appelés Toolboxes (Ou Boîtes à Outils). Indispensables à la plupart des utilisateurs, les Boîtes à Outils sont des collections de fonctions qui étendent l'environnement MATLAB pour résoudre des catégories spécifiques de problèmes. Les domaines couverts sont très variés et comprennent notamment le traitement du signal, l'automatique, l'identification de systèmes, les réseaux de neurones, la logique floue, le calcul de structure, les statistiques, etc.… MATLAB fait également partie d'un ensemble d'outils intégrés dédiés au Traitement du Signal. En complément du noyau de calcul MATLAB, l'environnement comprend des modules Optionnels qui sont parfaitement intégrés à l'ensemble : 1) une vaste gamme de bibliothèques de fonctions spécialisées (Toolboxes) 2) Simulink, un environnement puissant de modélisation basée sur les schémas blocs et de Simulation de systèmes dynamiques linéaires et non linéaires 3) Des bibliothèques de blocs Simulink spécialisés (Blocksets) 4) D'autres modules dont un Compilateur, un générateur de code C, un accélérateur,... 5) Un ensemble d'outils intégrés dédiés au Traitement du Signal : le DSP Workshop.

I- Introduction: On désigne par vibration mécanique les petits mouvements autour d’une positon de référence .L’origine de ses mouvements peut être très divers (jeu, desserage, déséquilibre…) Une partie de l’énergie fournie va être consommer pour effectuer ces mouvements ce qui va entraîner une modification de la répartition de l’énergie initialement prévue pour effectuer la tache demandée, cela peut nuire au bon fonctionnement des installations. Ces petits mouvements sont indésirables sont la cause des modification des contraintes dans la structure qui peuvent entraîner à la longue la rupture du matériau, les chocs causent l’usure du matériau.En fin ces mouvements vont émettre des bruits dans le milieu environnent souvent nuisible à l’homme travaillant à coté d’une machine. Les vibrations d’origine mécanique sont souvent néfastes pour l’homme et la machine elles sont donc indésirables. Donc l’ingénieur concepteur et tout ingénieur chargé de la maintenance jouent un rôle primordial que ça soit lors de la conception en prévoyant le comportement vibratoire de la structure ; ou encore lors de l’utilisation de la machine , les phénomène précités peuvent apparaître d’une manière progressive d’où la nécessité de surveiller régulièrement l’état vibratoire des machines (maintenance préventive) et pouvoir intervenir au bon moment en mesurant le niveau vibratoire et veiller au respect des normes en vigueur pour chaque type de machine . Dans ces cas l’ingénieur doit intervenir de façon à ramener le niveau vibratoire dans un domaine tolérable afin que la machine puisse effectuer sa tâche dans les meilleures conditions.

II- Espace de travail MATLAB :

5

4

3

2

1

1 : L'éditeur/débugger est utilisé pour créer, éditer et débugger les fichiers Matlab (fonctions ou scripts) 2 : La console de commandes permet de lancer les fonctions et les scripts Matlab 3: L'explorateur de l'espace de travail permet de manipuler, organiser et tracer les différentes variables utilisées 4 : Le navigateur du répertoire courant permet la maintenance des fichiers 5 : L'historique des commandes permet de voir ou de rejouer les commandes précédentes

III- Présentation de SIMULINK : Pour démarrer simulink il suffit de taper simulink dans l’espace de travail de MATLAB ou de cliquer sur l’icône comme il est illustré ci-dessous : Pour démarrer simulink

En cliquant sur l’icône création d’un nouveau modèle on aura une nouvelle page modèle ou on peut glisser les blocks à partir de Simulink Library

III-1- Exemple simple : Après le glissement des blocks, on fait la liaison entre ces derniers a l’aide de la sourie.

Remarque : Avant de commencer la simulation il faut régler d’abord les paramètres de la simulation comme ce qui est expliqué ci-dessus, en cliquant sur Simulation paramètres on aura le block suivant :

Début de simulation

Début de simulation

Erreur relative

Type du pas Pas minimum

Erreur absolue

Pas maximum

Le réglage des paramètres de chaque block est indispensable, il se fait de la manière suivante :

Après le réglage, on clique sur play pour visualiser la réponse du système sur le scope, comme suit :

Autoscale

Si par exemple nous avons obtenu une réponse non clair on peut utiliser la commande autoscale en cliquant sur le scope par le bouton droit de la sourie ou utilisé l’icône autoscale sur la barre de menu comme suit :

IV- Simulation des systèmes mécaniques en vibration : Les vibrations mécaniques peuvent être enregistrées à l’aide d’un système d’acquisition de données et visualiser à l’aide d’un écran ou d’une table traçante ou d’un magnétophone ou tout autre support magnétique. Les données ainsi collecter peuvent être analysé à l’aide d’un microordinateur à l’aide de logiciel approprié, dans notre cas la simulation est faite à l’aide de logiciel MATLAB 7p1

IV-1- Système à un degré de liberté :

On a l’équation : M 1X&& + f 1X& + K 1X = u (t ) Qui s’écrire aussi comme : u (t ) X&& = − W02 X − 2αW0 X& M1 K1 f1 Avec W0 = et α = M1 2 M 1W0 Les blocks à utiliser dans la maquette sont :

Ø Générateur de signaux : Il génère des signaux sinusoïdaux, carrés, triangulaires ou aléatoires. La boîte de dialogue permet de choisir le signal adéquat, son amplitude, sa fréquence ainsi que l’unité de cette dernière (rad/s ou hertz).Il appartient à la librairie (source) de SIMULINK. Par exemple pour un signal sinusoïdale

Ø Echelon (Step) : Il appartient à la librairie (source) de SIMULINK. Paramètre de la boite de dialogue : Le signal part de la valeur initiale 0, met un temps de 1 seconde (step time) pour arriver à la valeur finale 1.

Ø Intégrateur : Sa fonction est d’intégrer le signal qu’on lui injecte à son entrée, il appartient à la librairie (continus) du SIMULINK. La saisie de la valeur initiale se fait dans la boite de dialogue de l’intégrateur.

Ø Le gain : Le gain permet de multiplier son entrée par une constante k qui doit être déterminer dans la boite de dialogue, ce block appartient à la librairie (Math) de SIMULINK.

Ø La sommation : Quand deux ou plusieurs signaux s’additionnent, on obtient une opération de sommation, il appartient à la librairie (Math) de SIMULINK.

Ø L’oscilloscope (scope) : C’est un élément de la librairie (sinks), il permet de visualiser un ou plusieurs signaux au même temps en utilisant le block mux le réglage des axes se fait à partir de la boite de

dialogue du scope, on peut aussi utiliser le bouton de commande autoscale avec précision les coordonnés d’un point sur l’écran du scope.

pour trouver

Ø Le block (to work space) : Ce block nous aide pour récupérer les variables dans l’éditeur MATLAB, il appartient à la librairie (sinks) de SIMULINK.

Donc la maquette est la suivante :

Pour simuler le système on doit définir les paramètres (M1, f1, K1, W0, U1, alpha et E1). En utilisant le fichier d’initialisation ci-dessous :

En faisant l’exécution du fichier d’initialisation sous l’éditeur MATLAB on aura :

a) Pour ALPHA< 1

Interprétation : Dans ce cas le mouvement pris par la masse M est un mouvement oscillatoire mais amorti ce mouvement est pseudo-périodique.

b) Pour ALPHA=1

Interprétation : Le mouvement est apériodique amorti limite ou régime critique dû au système, le retour se fait rapidement à une position très proche de la position d’équilibre.

a) Pour ALPHA >1 : On voit la réponse ci-dessous :

Interprétation Dans ce cas le mouvement et dit apériodique amorti le retour à la position d’équilibre se fait au bout d’un temps infini.

IV-2- Système à deux degrés de liberté :

On a les équations : M 1X&&1 + ( K 1 + K 2) X 1 = K 2 X 2 M 2 X&& 2 + ( K 3 + K 2) X 2 = K 2 X 1 Avec dans ce cas f1=f2=f3=0

Donc la maquette est la suivante :

Pour simuler le système on doit définir les paramètres : (M1, M2, K1, K2, K3, W1, W2, U1, U2, f1, f2, f3). En utilisant le fichier d’initialisation ci-dessous :

a) Cas Général : On donne M1 # M2, K1 # K2 # K3 , W1 # W2 Par exemple : M1 = 2 Kg , M2 = 1 Kg K1 = 1 N/m , K2 = 3 N/m , K3 = 2 N/m W1 = 1.5 rd/s , W2 = 2.3 rd/s U1 = U2 = 0 On voit la réponse suivante :

b) Cas particulier On prend

M1 = M2 = M

,

K1 = K2 = K3 = K

v Modes normaux : F Pour le mode propre 1 : W = sqrt (K/M) : On pose M = 1 Kg , K = 4 N/m donc W= 2 rd/s x10 = x20 =6

INTERPRETATION DES RESULTATS : On voit pour le premier mode que les masses M1 et M2 vibrent en phase ce qui correspond aux résultats théoriques. F Pour le mode propre 2 : w=sqrt (3k/M) On pose M = 1 Kg, K = 3 N/m donc W = 3rd/s x10 = 6 et x20 = -6

INTERPRETATION DES RESULTATS : On voit pour le premier mode que les masses M1 et M2 vibrent en opposition de phase. Puisque x10 = -x20, on constate que ces résultats correspondent aux résultats théoriques.

c) Régime Forcé M1 = M = M , K1 = K2 = K , W1 = W2 = W On a les équations suivantes: MX&&1 + 2 KX 1 − KX 2 = 0 MX&& 2 + 2 KX 2 − KX 1 = 0 Par exemple M=1 Kg K = 4 N/m W = sqrt(K/M) = 2 rd/s U1 = 6 , U2 = 0 On voit la réponse ci-dessous :

INTERPRETATION DES RESULTATS : On voit pour ce mode propre w=w0 (pulsation propre) que la réponse des masses M1 et M2 diverge en augmentant l’amplitude, ce la dû à l’absence De l’amortissent.

IV-3- Système à trois degrés de liberté :

On a les équations :

&& 1 + (K1 + K2)X && 1 = K2X2 M1X && 2 + (K1 + K2)X2 = K3X3 + K2X1 M2X && 3 + K3X3 = K3X2 M3X

Avec dans ce cas f1 = f2 = f3 = 0

Donc la maquette est la suivante :

Pour simuler le système on doit définir les paramètres : (M1, M2, M2, K1, K2, K3, K4, W1, W2, W3, U1, U2, U3, f1, f2, f3, a1, a2, a3 ). En utilisant le fichier d’initialisation ci-dessous :

On donne M1 # M2 , k1#k2#k3 , w1#w2 et m =1 Kg Par exemple : M1 = 2 × m , M2 = m , M3 = 3 × m k1 = k , k2 = 2 × k , k3 = k et k =1 N/m w1 = 0.3243 × sqrt(k/m) = 0.3243 rd/s w2 = 0.8983 × sqrt (k/m) = 0.8983 rd/s w3 = 1.9819 × sqrt (k/m) = 1.9819 rd/s On voit la réponse ci-dessous

Interprétation : On voit que la réponse du système pour chaque masse est composée de trois signaux, ce qui est normal puisqu’ on interférence de trois mouvement .Pour chaque signal on peux le décomposé en trois signaux à l’aide la transformé de FOURIER.