Secc. 7.6, Sistemas de E.D. Lineales [PDF]

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7.6 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES REPASO DE MATERIAL ● Solución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. INTRODUCCIÓN Cuando se especifican las condiciones iniciales, la transformada de Laplace de cada ecuación en un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes reduce el sistema de ED a un conjunto de ecuaciones algebraicas simultáneas en las funciones transformadas. Se resuelve el sistema de ecuaciones algebraicas para cada una de las funciones transformadas y luego se determinan las transformadas de Laplace inversas en la manera usual.

FIGURA 7.6.1 Sistema resorte/masa acoplado. RESORTES ACOPLADOS Dos masas 𝑚1 y 𝑚2 están conectadas a dos resortes 𝐴 y 𝐵 de masa despreciable con constantes de resorte 𝑘1 y 𝑘2 respectivamente. A su vez, los dos resortes están unidos como se muestra en la figura 7.6.1. Sean 𝑥1 (𝑡) y 𝑥2 (𝑡) los desplazamientos verticales de las masas desde sus posiciones de equilibrio. Cuando el sistema está en movimiento, el resorte B está sujeto a elongación y compresión; por lo que su elongación neta es 𝑥2 – 𝑥1 . Por tanto, se deduce de la ley de Hooke que los resortes A y B ejercen fuerzas −𝑘1 𝑥1 y 𝑘2 (𝑥2 − 𝑥1 ) respectivamente, en 𝑚1 . Si ninguna fuerza externa se aplica al sistema y si ninguna fuerza de amortiguamiento está presente, entonces la fuerza neta en 𝑚1 es −𝑘1 𝑥1 + 𝑘2 (𝑥2 − 𝑥1 ). Por la segunda ley de Newton se puede escribir 𝑚1

𝑑2 𝑥1 = −𝑘1 𝑥1 + 𝑘2 (𝑥2 − 𝑥1 ) 𝑑𝑡 2

De igual manera, la fuerza neta ejercida en la masa 𝑚2 se debe sólo a la elongación neta de B; es decir, −𝑘2 (𝑥2 − 𝑥1 ). Por tanto, se tiene 𝑑22 𝑚2 2 = −𝑘2 (𝑥2 − 𝑥1 ). 𝑑𝑡 En otras palabras, el movimiento del sistema acoplado se representa por el sistema de ecuaciones diferenciales simultáneas de segundo orden

𝒎𝟏 𝒙′′ 𝟏 = −𝒌𝟏 𝒙𝟏 + 𝒌𝟐 (𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 ) (1) 𝒎𝟐 𝒙′′ 𝟐 = −𝒌𝟐 (𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 ) En el ejemplo siguiente se resuelve (1) bajo las suposiciones de que 𝑘1 = 6, 𝑘2 = 4, 𝑚1 = 1, 𝑚2 = 1 y que las masas comienzan desde sus posiciones de equilibrio con velocidades unitarias opuestas. EJEMPLO 1 Resortes acoplados Resuelva 𝑥1′′ + 10𝑥1

− 4𝑥2 = 0 (2)

−4𝑥1 + 𝑥2′′ + 4𝑥2 = 0 sujeta a 𝑥1 (0) = 0, 𝑥1′ (0) = 1, 𝑥2 (0) = 0, 𝑥2′ (0) = −1. SOLUCIÓN La transformada de Laplace de cada ecuación es 𝑠 2 𝑋1 (𝑠) − 𝑠𝑥1 (0) − 𝑥1′ (0) + 10𝑋1 (𝑠) − 4𝑋2 (𝑠) = 0 −4𝑋1 (𝑠) + 𝑠 2 𝑋2 (𝑠) − 𝑠𝑥2 (0) − 𝑥2′ (𝑠) + 4𝑋2 (𝑠) = 0, donde 𝑋1 (𝑠) = ℒ{𝑥1 (𝑡)} y 𝑋2 (𝑠) = ℒ{𝑥2 (𝑡)}}. El sistema anterior es igual a (𝑠 2 + 10)𝑋1 (𝑠) −

4𝑋2 (𝑠) = 1 (3)

−4𝑋1 (𝑠) +

(𝑠 2

+ 4)𝑋2 (𝑠) = −1

Resolviendo (3) para 𝑋1 (𝑠) y usando fracciones parciales en el resultado, se obtiene 𝑋1 (𝑠) =

𝑠2 1/5 6/5 =− 2 + 2 , 2 2 (𝑠 + 2)(𝑠 + 12) 𝑠 + 2 𝑠 + 12

y por tanto 𝑥1 (𝑡) = −

1 5√2

=−

ℒ −1 {

6 √2 √12 −1 } + ℒ { } 𝑠2 + 2 𝑠 2 + 12 5√12

√2 √3 𝑠𝑒𝑛 √2𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 2√3𝑡. 10 5

Sustituyendo la expresión para 𝑋1 (𝑠) en la primera ecuación de (3), se obtiene 𝑋2 (𝑠) =

𝑠2 + 6 2/5 3/5 =− 2 − 2 , 2 2 (𝑠 + 2)(𝑠 + 12) 𝑠 + 2 𝑠 + 12

y 𝑥2 (𝑡) = −

2 5√2

=−

ℒ −1 {

3 √2 √12 } − ℒ −1 { 2 } 2 𝑠 +2 𝑠 + 12 5√12

√2 √3 𝑠𝑒𝑛 √2𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 2√3𝑡. 5 10

Por último, la solución del sistema (2) es 𝑥1 (𝑡) = −

√2 √3 𝑠𝑒𝑛 √2𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 2√3𝑡 5 10 (4)

𝑥2 (𝑡) = −

√2 √3 𝑠𝑒𝑛 √2𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 2√3𝑡 5 10

Las gráficas de 𝑥1 y 𝑥2 de la figura 7.6.2 revelan el complicado movimiento oscilatorio de cada masa.

FIGURA 7.6.2 Desplazamientos de las dos masas. REDES En (18) de la sección 3.3 vimos que las corrientes 𝑖1 (𝑡) e 𝑖2 (𝑡) de la red que se muestra en la figura 7.6.3 con un inductor, un resistor y un capacitor, estaban gobernadas por el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden 𝑳

𝒅𝒊𝟏 + 𝑹𝒊𝟐 = 𝑬(𝒕) 𝒅𝒕

𝑹𝑪

(5)

𝒅𝒊𝟐 + 𝒊𝟐 − 𝒊𝟏 = 𝟎. 𝒅𝒕

Resolvemos este sistema con la transformada de Laplace en el siguiente ejemplo.

FIGURA 7.6.3 Red eléctrica. EJEMPLO 2 Una red eléctrica Resuelva el sistema en (5) bajo las condiciones 𝐸(𝑡) = 60 𝑉, 𝐿 = 1 ℎ, 𝑅 = 50 Ω, 𝐶 = 10−4 𝑓 y al inicio las corrientes 𝑖1 e 𝑖2 son cero. SOLUCIÓN Debemos resolver

𝑑𝑖1 + 50𝑖2 = 60 𝑑𝑡 50(10−4 )

𝑑𝑖2 + 𝑖2 − 𝑖1 = 0 𝑑𝑡

sujeta a 𝑖1 (0) = 0, 𝑖2 (0) = 0. Aplicando la transformada de Laplace a cada ecuación del sistema y simplificando, se obtiene 60 𝑠 −200𝐼1 (𝑠) + (𝑠 + 200)𝐼2 (𝑠) = 0 𝑠𝐼1 (𝑠) +

50𝐼2 (𝑠) =

donde 𝐼1 (𝑠) = ℒ{𝑖1 (𝑡)} e 𝐼2 (𝑠) = ℒ{𝑖2 (𝑡)}. Resolviendo el sistema para 𝐼1 e 𝐼2 y descomponiendo los resultados en fracciones parciales, se obtiene 𝐼1 (𝑠) =

60𝑠 + 12000 6/5 6/5 60 = − − 2 𝑠(𝑠 + 100) 𝑠 𝑠 + 100 (𝑠 + 100)2

𝐼2 (𝑠) =

12000 6/5 6/5 120 = − − 𝑠(𝑠 + 100)2 𝑠 𝑠 + 100 (𝑠 + 100)2

Tomando la transformada inversa de Laplace, encontramos que las corrientes son 𝑖1 (𝑡) =

6 6 −100𝑡 − 𝑒 − 60𝑒 −100𝑡 5 5

𝑖2 (𝑡) =

6 6 −100𝑡 − 𝑒 − 120𝑒 −100𝑡 5 5

Observe que tanto 𝑖1 (𝑡) como 𝑖2 (𝑡) del ejemplo 2 tienden hacia el valor 𝐸/𝑅 = 6/5 conforme 𝑡 → ∞. Además, puesto que la corriente a través del capacitor es 𝑖3 (𝑡) = 𝑖1 (𝑡) − 𝑖2 (𝑡) = 60𝑡𝑒 −100𝑡 , se observa que 𝑖3 (𝑡) → 0 conforme 𝑡 → ∞. PÉNDULO DOBLE Considere el sistema de péndulo doble que consiste en un péndulo unido a otro como se muestra en la figura 7.6.4. Se supone que el sistema oscila en un plano vertical bajo la influencia de la gravedad, que la masa de cada varilla es despreciable y que ninguna fuerza de amortiguamiento actúa sobre el sistema. En la figura 7.6.4 también se muestra que el ángulo de desplazamiento 𝜃1 se mide (en radianes) desde una línea vertical que se extiende hacia abajo desde el pivote del sistema y que 𝜃2 se mide desde una línea vertical que se extiende desde el centro de masa 𝑚1 . La dirección positiva es a la derecha; la dirección negativa es a la izquierda. Como se esperaría del análisis que condujo a la ecuación (6) de la sección 5.3, el sistema de ecuaciones diferenciales que describe el movimiento es no lineal:

FIGURA 7.6.4 Péndulo doble. (𝑚1 + 𝑚2 )𝐼12 𝜃1′′ + 𝑚2 𝐼1 𝐼2 𝜃2′′ cos(𝜃1 − 𝜃2 ) + 𝑚2 𝐼1 𝐼2 (𝜃2′ )2 sen(𝜃1 − 𝜃2 ) + (𝑚1 + 𝑚2 )𝐼1 𝑔𝑠𝑒𝑛 𝜃1 = 0 𝑚2 𝐼22 𝜃2′′ + 𝑚2 𝐼1 𝐼2 𝜃1′′ cos(𝜃1 − 𝜃2 ) + 𝑚2 𝐼1 𝐼2 (𝜃1′ )2 sen(𝜃1 − 𝜃2 ) + 𝑚2 𝐼2 𝑔𝑠𝑒𝑛 𝜃2 = 0. Pero si se supone que los desplazamientos 𝜃1 (𝑡) y 𝜃2 (𝑡) son pequeños, entonces las aproximaciones cos(𝜃1 − 𝜃2 ) ≈ 1, sen(𝜃1 − 𝜃2 ) ≈ 0, sen 𝜃1 ≈ 𝜃1 , sen 𝜃2 ≈ 𝜃2 , nos permiten reemplazar el sistema (6) por la linealización ′′ (𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 )𝑰𝟐𝟏 𝜽′′ 𝟏 + 𝒎𝟐 𝑰𝟏 𝑰𝟐 𝜽𝟐 + (𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 )𝑰𝟏 𝒈𝜽𝟏 = 𝟎

(7) ′′ 𝒎𝟐 𝑰𝟐𝟐 𝜽′′ 𝟐 + 𝒎𝟐 𝑰𝟏 𝑰𝟐 𝜽𝟏 + 𝒎𝟐 𝑰𝟐 𝒈𝜽𝟐 = 𝟎.

EJEMPLO 3 Doble péndulo Se deja como ejercicio completar los detalles de usar la transformada de Laplace para resolver el sistema (7) cuando 𝑚1 = 3, 𝑚2 = 1, 𝐼1 = 𝐼2 = 16, 𝜃1 (0) = 1, 𝜃2 (0) = −1, 𝜃1′ (0) = 0 y 𝜃2′ (0) = 0. Debe encontrar que 𝜃1 (𝑡) =

1 2 3 cos 𝑡 + cos 2𝑡 4 4 √3

1 2 3 𝜃2 (𝑡) = cos 𝑡 − cos 2𝑡 2 2 √3 En la figura 7.6.5 se muestran con la ayuda de un SAC las posiciones de las dos masas en 𝑡 = 0 y en tiempos posteriores. Véase el problema 21 en los ejercicios 7.6.

FIGURA 7.6.5 Posiciones de masas del péndulo doble en diferentes tiempos.

EJERCICIOS 7.6 En los problemas 1 a 12, use la transformada de Laplace para resolver el sistema dado de ecuaciones diferenciales. 1.

𝑑𝑥 = −𝑥 + 𝑦, 𝑑𝑡 Solución:

𝑑𝑦 = 2𝑥, 𝑑𝑡

𝑑𝑥 = 2𝑦 + 𝑒 𝑡 , 𝑑𝑡 Solución:

𝑑𝑦 = 8𝑥 − 𝑡, 𝑑𝑡

𝑥(0) = 1,

𝑑𝑥 = 𝑥 − 2𝑦, 𝑑𝑡 Solución:

𝑑𝑦 = 2𝑥 − 𝑦, 𝑑𝑡

𝑥(0) = −1,

2.

3.

𝑥(0) = 0,

𝑦(0) = 1

𝑦(0) = 1

𝑦(0) = 2

𝑑𝑥 𝑑𝑦 + 3𝑥 + = 1, 𝑑𝑡 𝑑𝑥 Solución: 4.

𝑑𝑥 𝑑𝑦 + − 2𝑥 = 1, 𝑑𝑡 𝑑𝑥 Solución: 5. 2

𝑑𝑥 𝑑𝑦 −𝑥+ − 𝑦 = 𝑒𝑡, 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑑𝑥 𝑑𝑦 + − 3𝑥 − 3𝑦 = 2, 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑥(0) = 0,

𝑥(0) = 0,

𝑦(0) = 0

𝑦(0) = 0

𝑑𝑥 𝑑𝑦 +𝑥− + 𝑦 = 0, 𝑑𝑡 𝑑𝑥 Solución: 6.

𝑑2𝑥 7. + 𝑥 − 𝑦 = 0, 𝑑𝑡 2 Solución:

𝑑𝑥 𝑑𝑦 + + 2𝑦 = 0, 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑑2 𝑦 + 𝑦 − 𝑥 = 0, 𝑑𝑡 2

𝑥(0) = 0,

𝑥(0) = 0,

𝑦(0) = 1

𝑥 ′ (0) = −2, 𝑦(0) = 0,

𝑦 ′ (0) = 1

𝑑 2 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 8. + + = 0, 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑦 ′ (0) = 5 Solución:

𝑑2𝑥 𝑑2 𝑦 + = 𝑡2 , 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 Solución: 9.

𝑑 2 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + −4 = 0, 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑑2𝑥 𝑑2𝑦 − = 4𝑡, 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2

𝑥(0) = 1,

𝑥(0) = 8,

𝑥 ′ (0) = 0, 𝑦(0) = −1,

𝑥 ′ (0) = 0, 𝑦(0) = 0,

𝑦 ′ (0) = 0

𝑑𝑥 𝑑3𝑦 10. − 4𝑥 + 3 = 6𝑠𝑒𝑛 𝑡, 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑦′′(0) = 0 Solución:

𝑑2𝑥 𝑑𝑦 11. + 3 + 3𝑦 = 0, 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 Solución:

𝑑𝑥 𝑑3𝑦 + 2𝑥 − 2 3 = 0, 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑑2𝑥 + 3𝑦 = 𝑡𝑒 −𝑡 , 𝑑𝑡 2

𝑥(0) = 1,

𝑥(0) = 0,

𝑦(0) = 0, 𝑦′(0) = 0,

𝑥 ′ (0) = 2, 𝑦(0) = 0,

𝑑𝑥 = 4𝑥 − 2𝑦 + 2𝒰(𝑡 − 1), 𝑑𝑡 Solución: 12.

𝑑𝑦 = 3𝑥 − 𝑦 + 𝒰(𝑡 − 1), 𝑑𝑡

𝑥(0) = 0,

1 𝑦(0) = , 2

13. Resuelva el sistema (1) cuando 𝑘1 = 3, 𝑘2 = 2, 𝑚1 = 1, 𝑚2 = 1 y 𝑥1 (0) = 0, 𝑥1′ = (0)1, 𝑥2 (0) = 1, 𝑥2′ (0) = 0. Solución:

14. Construya el sistema de ecuaciones diferenciales que describe el movimiento vertical en línea recta de los resortes acoplados que se muestran en la figura 7.6.6. Use la transformada de Laplace para resolver el sistema cuando 𝑘1 = 1, 𝑘2 = 1, 𝑘3 = 1, 𝑚1 = 1, 𝑚2 = 1 y 𝑥1 (0) = 0, 𝑥1′ (0) = 1, 𝑥2 (0) = 0, 𝑥2′ (0) = 1.

FIGURA 7.6.6 Resortes acoplados del problema 14. Solución:

15. a) Demuestre que el sistema de ecuaciones diferenciales para las corrientes 𝑖2 (𝑡) e 𝑖3 (𝑡) en la red eléctrica que se muestra en la figura 7.6.7 es 𝐿1

𝑑𝑖2 + 𝑅𝑖2 + 𝑅𝑖3 = 𝐸(𝑡) 𝑑𝑡

𝐿2

𝑑𝑖3 + 𝑅𝑖2 + 𝑅𝑖3 = 𝐸(𝑡). 𝑑𝑡

b) Resuelva el sistema del inciso a) si 𝑅 = 5 Ω, 𝐿1 = 0.01 ℎ, 𝐿2 = 0.0125 ℎ, 𝐸 = 100 𝑉, 𝑖2 (0) = 0 e 𝑖3 (0) = 0. c) Determine la corriente 𝑖1 (𝑡).

FIGURA 7.6.7 Red del problema 15. Solución:

16. a) En el problema 12 de los ejercicios 3.3 se pide demostrar que las corrientes 𝑖2 (𝑡) e 𝑖1 (𝑡) de la red eléctrica que se muestra en la figura 7.6.8 satisface 𝐿

𝑑𝑖2 𝑑𝑖3 +𝐿 + 𝑅1 𝑖2 = 𝐸(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑡

−𝑅1

𝑑𝑖2 𝑑𝑖3 1 + 𝑅2 + 𝑖 =0 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐶 3

Resuelva el sistema si 𝑅1 = 10 Ω, 𝑅2 = 5 Ω, 𝐿 = 1 ℎ, 𝐶 = 0.2 𝑓. 120, 𝐸(𝑡) = { 0,

0≤𝑡