Samengevat Wiskunde B Vwo [5 ed.] 9789006078800 [PDF]

Zitiervorschau

samengevat.nl

samen eva '

·, 1

! : 1

'

''

vwo

,

•

Zeker slagen met Examenbundels, meer dan oefenexamens!

}

#geenexamenstress

samen gevat

MEER DAN ALLEEN EXAMENS

>

• Oefenen met echte examens. met uitleg en toelichting van docenten en vakexperts.

EXAMENSTOF ALLES IN ÉÉN } • Alle examenstof in één boek, compact en overzichtelijk.

• Oefenen met voorbeeldvragen per onderwerp.

• Perfecte samenvattingen met voorbeelden uit de laatste examens.

• Voldoet aan de laatste exameneisen.

• Overzichten met begrippen en definities.

• Nog meer oefenen én gericht stuäieadvies op examenbundel.nl.

• Te gebruiken naast elke lesmethode. • Met handig trefwoordenregister achterin.

#

SPECIAAL VOOR DE TALEN# • De ideale voorbereiding op zowel het centraal schriftelijk examen als de schoolexamens. • Meer dan 1000 idioomwoorden met realistische voorbeeldzinnen. • Thematisch gerangschikt. • Aandacht voor leesvaardigheid, gespreksvaardigheid én schrijfvaardigheid.

LEREN KUN JE LEREN f • Handig hulpmiddel naast Examenbundel, Samengevat en Examenldioom. • Ontdek welke leerstrategieën het best bij jou passen.

• Bevat tips over effectief leren, plannen en motivatie. • Meer tijd over voor andere dingen zoals werken en sporten.

www.samengevat.nl

samen eva vwo

wiskunde B

N.C. Keemink P.Thiel

Vormgeving: Criterium, Arnhem

Opmaak: Grafivorm, Meppel

Omslagfoto: agsandrew I Shutterstock

Over ThiemeMeulenhoff ThiemeMeulenhoff ontwikkelt zich van educatieve uitgeverij tot een learning design company. We brengen content. leerontwerp en technologie samen. Met onze groeiende expertise, ervaring en leeroplossingen zijn we een partner voor scholen blj het vernieuwen en verbeteren van onderwijs. Zo kunnen we samen beter recht doen aan de verschillen tussen lerend en en scholen en ervoor zorgen dat leren steeds persoonlijker, effectiever en efficiënter wordt. Samen leren vernieuwen. www.thiememeulenhoff.nl

ISBN 978 90 06 07880 0 eerste druk, vierde oplage, 2021 «) ThlemeMeulenhoff,

Amersfoort, 2017

Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegeveni;bestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16B Auteurswet 1912 j" het Besluit van 23 augustus 1985, Stbl. 471 en artikel 17 Auteurswet 1912, dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Publicatie-en Reproductierechten Organisatie (PRO), Postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp (www.stichtlng-pro.nl). Voor het overnemen van gedeette(n) uit deze uitgave In bloemlezingen, readers en andere compi• latiewerken (artikel 16 Auteurswet) dient men zich tot de uitgever te wenden. Voor meer informatie over het gebruik van muziek, fllm en het maken van kopieën in het onderwijs zie www.auteursrechtenonderwijs.nl. De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Degenen die des• ondanks menen zekere rechten te kunnen doen gelden, kunnen zich alsnog tot de uitgever wenden.

Deze uitgave i5 volledig CO,·nwtraal geproduceerd. Het voor deze uitgave gebruikte papler is voor:zien vin het FSC•• keurmeO

voorbttld herschrijf tot een vorm zonder wortel in de noemer

.ff •

V-:i

v'3 _ v'3. -./7,. ✓i

■ .r.~

vB-0

-./îv'î

~ _ v'2l _ 1. ..fi2 7 7

ill

vermenigvuldig teller en noemer met -./8 + D

A -./8 + D ( -./8 + D) · A ( -./8 + D) · A -./8 - D -./8 + D = ( ..JBJ2 _02- • 8 - D2

■ ,..A

vB+D

vermenigvuldig teller en noemer met -./8 - D

A -./8 - D ( vB - D) · A (-./8 - D) · A -./8 + D. -./8 - D = (-.f8) 2 _ 02 = 8- D 2 ■

b· ..JA +c· ..JA= (b+c)• ..JA

■

v'A + B = C

wortel wegwerken

■ wortel isoleren

..JA = C -

8 2

■ kwadrateer om de wortel weg te werken ( vA) =- (C - 8) 2 dus A = (C - 8) 2 ■

controleer het antwoord in de wortelvergelijking

9

toeHchting

1.3

vereenvoudig zo ver mogelijk en schrijf het antwoord zonder wortelteken in de noemer

a 2VS+3./so=

c v's+v'3•

b 2v'7·5ill=

v'2

e _3_

9 v's+ v'3

v's +2

a 2VS + 3./so = 2..r.f:"2 + 3 ~ • 2\14 · v'2 + 3ill · v'2 = 2 · 2vi + 3 · 5v2 = 4v2 + 15 = 19 · v'2

v'2

b 2v'7 · Sill-= 10v245 "'10\1'49 · v's= 10.fii · v's= 10 · 7 ·v's= 70v'S c v's+ v'3 = kan niet verder vereenvoudigd worden d

.CT .ITT - vTf ./IT v's väs 1 V :,5 - Vs v's = v's · v's= 5 = S v'85

(85

.

IS

. niet te delen door 4, 9, 26, 25, ... dus het

antwoord is niet verder te vereenvoudigen.) e _3_, v'S-2=3(v's-2).3(v's-2)=3v'S-6 v'5+2 v'S-2 5-4

1.4

t

(-2-) 2 = - - 4 - = 4 . 14+6v's" s6+24v's "56+_l~v's = 3!+ 1!vs v's - 3 5 - 6v'S + 9 14 - 6v'S 14 + 6v'S 196 - 36 · 5 16 2 2

g

v'2 . v's - v'3 v's+v'3 v's-v'3

v'îo - v'6 = v'îo - v'6 = !v'îo - !v'6 5-3

2

2

2

ga na welke fundles hetzelfde zijn h{x) = v'4x-16

k(x) = 2vx- 4

p(x) = ../4x - VÏ6

l(x) = 0,5\!8x - 32

n(x) = v'4x-12

Herschrijf de functies en controleer welke formules hetzelfde zijn. h(x)= v4x-16 = \i4(x-4) = v4 · ../x-4 =2'/x-4

k(x) = 2 ,jx - 4 = Y4 · v' x - 4 = ../4x - 16 p(x) .. ,/4i.- v'16"'" h(x) want vO + ..fb '#-va+ b

!~

m(x) = 2 · Vx 2 - 6x + 9 = 2 · y (x - 3) 2 4

m(x) = 2 · lx-31½= t(x) = .fOJ} ·

2

•

2 · (x - 3)4 dus

v14 · yjx- 31 = vl4x....:12[

vsx- 32 = .,/0,25 · vsx- 32 = hx-8

n(x) = v(4x - 12) Conclusie: h(x) = k(x) en m(x) = n(x) mits x.:: 3 Controleer je antwoord door de grafieken op de grafische rekenmachine te plotten; grafieken die hetzelfde zijn, vallen samen. 1.5

werk de haakjes uit en schrijf zo eenvoudig mogelijk

a V9x 2 = a

W

b Vl6x

= v9 ·

b t'16x =

vx2 = 3 · lxl

=V16 ·W= 2 ·W

want 24 = 16

C (Vä + v'x) 2 = (2+ v'x) 2 = 4+4v'x +x

10

begrippen en relaties algebraische vaardigheden

rekenen met letters zie ook hoofdstuk 3

optellen van dezelfde w:,rmen, let op dat de machten en de letters hetulfde zijn ■ A2 +A 2 =2·A 2 en 5A+7A::12A

■ 5 · A 2 • 8 3 · C + 7 ·A 2 • 8 3 • C = 12 · A 2 • 8 3 • C ■ A 2 • 8 • C + 7 A 2 • 8 3 • C kunnen niet worden samengenomen ■ A 2 + A en A + AB kunnen niet worden samengenomen

vermenigvuldigen, delen, machtsverheffen (zie ook H3 exponentiële functies) ■ A 0 •lenA 1 =A ■ AP,Aq=Ap+q bijvoorbeeld A3 ·A 4 =A ·A ·A ·A ·A ·A ·A =A 7

AP " A 5 )( • )( • )( • A · A 2 ■ Aq =AN b1Jvoorbeeld A 3 .. - )( • )FX- = A

■ _!_ = A-q bijvoorbeeld _!_ = A-4 Aq A4 ■ (AP)q =Ap,q bijvoorbeeld (A 4 ) 3 =A 4 • A 4 • A 4 = AH• A 12 ■ (A · B)P = AP · 9P bijvoorbeeld (A • 8) 3 = A 3 • 8 3

■ A½ -~=\IA

■ Al =rA"

bijvoorbeeld 9(½) = ../9 = 3

bijvoorbeeld A (¼) =~

e4 •

(~) v-:,

■ A =~ bijvoorbeeld A ~ =vA 2 bijzondere producten ■ CA+B) 2 a::A 2 + 2AB+B 2 ■ (A-8)2 =A2-2AB+B2 ■

(A+B)(A-8) =A2_ 8 2 ■ dit merkwaardige product wordt gebruikt om wortels uit de noemer weg te werken

.. bee Id b11voor

1

v'a + ..Jb

=

1 ,/Q + ..fb

·

v7i ,/Q -

../b- = v7i - ../b - ../b - - - •v7i -vb O (want wortel) (2x+ 1) 2 = (2v'x 2+x) 2 ⇒ (kwadrateren levert) 4x 2 +4x+l = 4 · (x 2 +x) ⇒ 4x 2 +4x+ 1-= 4x 2+4x::a::>

1 = o dit klopt niet conclusie: geen oplossingen

17

toelichting

1.15

wortelvergelijking exact oplossen - 4--3=0

b

a -..Cx 2 +9 = v'4x+9

vT-1

a beide kanten kwadrateren geeft -x2 + 9 = 4x + 9. op nul herleiden geeft-x2 -4x = 0 dus -x(x + 4) = 0 dus x = Oof x" -4. controleer x = 0: ../0 + 9 =

vo + 9

controleer x s-4:

+-9 = v'-16 + 9 voldoet niet, dus oplossing is x = 0

\·::..(-4) 2

klopt

b - 4- = l dus4•3v1-1 ent>ldus 16=9(t-l)dus 16 =t-1 dus t=1+ 16 ,..2Z v't-1 1 9 9 9

4 3 controleren: . r::=,-; = 1 klopt

V29-l

1.16

herschrijf tot de vorm A =

a t= 12v'x

5b V=2+A+3

.!A

C

t=3../A+2

2

a

t

12v'x kru1smgsvermemgvu . 1• • Id"1gen l A-t=l2vx r.: dusA=-t24v'x 2

1 =-1-

2A

v- 2

5

5

5

b - 1-"' A + 3 dus (V- 2)(A + 3) = 5 dus (A -t 3) = (V _ 2) dus A • (V- 2) - 3

(½f

c t"'v'A+2 kwadrateren

1.17

herleid

A---=x = ' 11A+"

3x 1-x

=A+2dusA=~-2=~t 2 -2

tot A = v9x 2 - 9,c 4

1 vl + x k . 1· • Id" 3xv'l _ x = - A - ruis mgs vermemgvu 1gen

3xv'l-x · v'l +x =A 3x\(1 -x)(l +x) = A

v9 · ,✓ x2 · V(l->< 2) =A \9·x 2 ·{1-x 2) -=AdusAa V9x 2 -9x 4 1.18

0herleid - -

100-a

lOOb 3 __ _ b 3+25 ooo

= 0,00004b 3 tot a .. -

k . 1· • Id" l00a_ 0 = 0,00004b3 - -1- - ruis mgs vermemgvu 1gen

a - 0,00004b 3 • (100- a) a = 0,004b 3 - 0,00004b 3 • a a + 0,00004b 3 • a = o,004b 3

a · (1 + 0,00004b 3 ) = 0,004b 3 a.

=

0,004b3 dus a = 0,004b3 . 25 000 dus a = 100b3 1 + 0,00004b 3 1 + 0,00004b 3 25 000 b 3 + 25 ooo

18

begrippen en relaties

functies en grafieken

(lineair-, macht-, wortel-, gebroken-, absoluut-)

functies algemeen een relatie waarbij ieder origineel (x) precies één beeld lY) heeft ■ notaties y als functie van x;y uitdrukken in x; in de grafieky uitzetten tegen x ■ y= 3x+4 formule ■ J{x)

= 3x + 4 functievoorschrift 3x + 4 pijl notatie

■ f .x ➔

kenmerkende eigenschappen grafiek Alle onderdelen die van belang kunnen zijn bij het werken met grafieken worden hier genoemd. Per soort grafiek wordt later in dit hoofdstuk aangegeven wat van belang is. ■

■

■ ■ ■

domein alle x-waarden die je in de formule mag invullen

-------~----------~=_h(c,d) 1

D1 = [a, v) u (v, ➔) bereik alle y-waarden

B1= (~. h) snijpunt y-as berekenf{O) = nulpunt, snijpunt x-as los op f{x) = O extreme waarden maximum,

(a,b)

minimum, top, randpunt zoals min f{a) =ben maxf{c) = d in de figuur ■ f'(x}

= O toppen of buigpunt met horizontale buigraaklijn

■

randpunt zoals f{a) = b ■ bepaal het gedrag aan de rand de richting van de grafiek ■ asymptoot grafiek nadert deze rechte lijn; afstand tussen de rechte lijn en de grafiek nadert op den duur naar O; zoals de verticale asymptoot x = v en de horizontale asymptooty •hinde figuur ■

perforatie een gat in de grafiek ■ vorm soort stijging of daling zie figuur ■

symmetrie ■ puntsymmetrie in (0,0) alsf{x) = -f{-x)

stijging

daling

afnemende

toenemende

Î

_)

~

\

■ lijn symmetrie in de y-as als f{x) =f{-x)

grafiek ■

grafiek tekenen er moet een nauwkeurige grafiek op papier getekend worden met daarin de voor de vraag relevante(= belangrijke) eigenschappen ■

assenstelsel met schaalverdeling eenheden wat staat er bij de assen, bijvoorbeeld km, m, cm, kg, gram, Newton, euro, centen, uren, dagen, m/sec, m 2 ■ assenverdeling waar komt bijvoorbeeld de l? ■ grafiek schetsen teken een globale grafiek op papier, met daarin de voor de vraag relevante (= belangrijke) eigenschappen (gebruik bijvoorbeeld de plot) ■

19

toelichting

2.1

kenmerkende eigenschappen van de grafiek 3 3 .~ Gegeven.f{x) =X -Sx+x+ V9 - x-

J

Schets de grafiek en geef de kenmerkende eigenschappen van de grafiek. · k"'k .-----~~----, 3 · ,.:---,9 2 a domein: Ij naarx+ V':I - xidusx*O X

\l9-x 2 dus9-x2~odus -3sxs3 domein is (-3, 31 en x

*0

b bereik zie de globale plot; scherminstelling van de plot is: [-3, 3) x [-15, 15] bereik is IR

c nulpunten nulpunten aflezen uit de plot of tabel geeft x-= - 0,5 en x"' -2,3

d extreme waarden

X

extreme waarden: min.f{l,5)"' 0,5; max.f{-1,4) .. 4,8 en max.f{2,997) .. 13,07

1

randpunten: min./(-3) = -13 en max.f{3) = 13

1.~ 1.3

e asymptoten asymptoten: verticale asymptoot x = 0

f gedrag in de randen x = -3 en x = 3

1.1

;.... 1.&

Y1 1.B:2:B"t

1.3'1!:13 .97755 .70839 .5'1016 .lt7308 .50112

X=l.5

met behulp vanf' ./(x) =x 3 -Sx+¾+ V9 - x 2 =x 3 - sx+3x- 1 +{9 - x 2)½ dus

f(x) = 3x 2 - 5 - 3x- 2 + !{9 - x 2 )-½ - 2x = 3x 2 - S _ _1_ _ x (zie hoofdstuk 6) 2 x 2 V9-x 2 . ( 3x 2 - 5 3 - - -X- - ) =oa 11m x2 V9 - x2

...~-3

3 X ) 1.1m ( 3x 2 -s-----=== xh x 2 .; 9 _ x2

=-oo

(

3 -3 ) en 3·9-5---9 ../o (

3 3 ) 3·9-5---9 ,/o

grafiek loopt verticaal in de randen (zie uitvergrote grafiek in de plot)

g grafiek van f y

--------' Ü:t.Rffl,

v,u.,nm

~--------~

begrippen en relaties functies en grafieken (lineair-, macht-, wortel-, gebroken-, absoluut-)

intervalnotaties

.

x 0) of berg (a < 0) ■

teken snijpunt y-as

■ eigenschappen van y =air+ bx + c ■ domeinR

■

bereik ■

■

als a > 0 dan berelky è!Ytop

■ als a < 0 dan bereiky~Ytop snijpunt y-as bepaal J{O) =

■ snijpunt x-as bepaal air + bx + c = O ■

vier manieren abc-formule

.I - 20 ~-~

-b± vb 2 -4ac

Xi. 2 = ~

■ discriminant D = b2 - 4oc

dalparabool a >O

bergparabool a < 0

\} A

V (\

V, T\

of

ontbinden in factoren a(x - p)(x - q) = 0 of

■

kwadraat afsplitsen ■ herschrijf ox2 + bx + c = 0 tot de vorm a(x + q) 2 = p of

■

■

grafische rekenmachine

top exact berekenen ■ f'{x) = lax + b = 0

oftewel top berekenen met afgeleide f'{x) = O Top

verschillende schrijfwijzen voor tweedegraads functies

■ y•air+bx+c ■ y" ox1 parabool met als top (0, O) ■ y"' a(x - p)J + q topvergelijking van de parabool met als top (p, q) ■ y = ir vermenigvuldigen t.o.v. de x-as meta geeft y = ox1 ■y

■

D>O

D O twee snijpunten met x-as D < O geen snijpunt met x-as D = 0 één snijpunt met x-as ■

26

= air transleren (verschuiven) over (p, q) geefty = a(x- p) 2 + q y = a(x- b)(x- c) nulpuntenvergelijking parabool met nulpunten x =ben x • c

D=O

--

27

toelichting

2.11

parabolen fix) = ax1 - 5x + 4

voor welke o heeft de grafiek een negatief minimum? b voor welke o ligt de top van de parabool op de lijn y = 2x7 De grafiek vang is een parabool met top (2, -3) door (0, 0) c Geef een vergelijking voor de grafiek vang. a negatief minimum als a >0 (dalparabool) en D > O(2 snijpunten) 0

D=(-5)2-4xax4"25-16a>Odus -16a>-25alsa< 25 o > Oen a < 16

conclusie:/ heeft een negatief minimum voor O< a
0

n even

n oneven

c>O

1/ .

1:

~-c i_ 1

1

■ neven

en c positief twee oplossingen x = c• ={Yc of x • -c• =-{Yc

■ neven

en c negatief geen oplossing

■

1

n oneven altijd één oplossing x = c• • ::lè n even

n oneven

~-,

cO t wee op 1ossmgen x = c • = - = - o x = - -

■

neven en c < O geen oplossing

■

. n oneven altIJ.. d e'é n op 1ossmg x • c_!•

,¼

{Yc

=,1 = 1

~

C"

■ eigenschappen en bijzondere sltuatles

{Yc

vC

y = ax" met neen geheel getal

■

n = 2 grafiek is een parabool

■

n = 0 dan geldty = a dus een horizontale lijn door (0, a)

■

nis oneven: de grafiek heeft een buigpunt in (0, 0)

■

n < O de grafiek heeft de x-as en de y-as als asymptoot

30

31

toelichting

!.16

bereken exact de oplossingen van de volgende vergelijkingen ,l == B b x-4 = 6 c x➔ = O

0

d

x5 • B

e

x5 =-7

1

a

x6 = 8 dus

b

x◄ • 6 dus x" ±6-¼ = ± 11 •±;,even macht met positief antwoord, dus twee oplossingen

x •±ai=~ even macht met positief antwoord, dus twee oplossingen 6-.

v6

c x-'J • 0 geen oplossing {x-9 = \ en dit kan nooit 0 worden) X

l

d x5 • 8 dus x = 8' •W oneven macht, dus één oplossing e

!.17

x5 • -7

l

dus x ={-7)' •9'=7 =-.»"

los de volgende ongelijkheden exact op b x4 >-5

a x3 -2

r-rr·, rm111,~I d

C

'ldus verticale asymptootx=4 X-

x.l-4

X-

xÎ4

let op: vanwege de -+- nadertf de lijn x "' 4 rechtsboven, vanwege de

~

nadertf de lijn x = 4 linksonder.

y

- __2

■

scheve asymptoot macht van de teller is één hoger dan de macht van de noemer, dus als fü;uftx) • ax + b of xl!fn..J(x) :: ax + b voorbeeld

Y""

3x 2 -x-2 x-2

..

HerschnJven geefty=

3x 2 - x - 2 x- 2

=

3x(x - 2) + Sx - 2

~ - -- = 3x+

dan lim(3x+ 5+__!_ ) = 3x+5 +O = 3x+ 5, X- 2 X➔oo

5(x - 2) + 8 s ~ - = 3x+5 + x- 2 2

x-

y

l/

dus scheve asymptoot is y = 3x + 5 en ook X---+-lim (3x+ 5 +__!_ ) = 3x+ 5- O = 3x+ 5, X- 2 dUS

1 1

scheve asymptoot is y = 3x + 5

, 1 1 1

let op: vanwege de 3x+ 5 + 0 nadert/de lijny = 3x+ 5 van boven, vanwege de 3x + 5 - 0 nadert f de lijn y • 3x + 5 van onder.

,,l' ,' 1 1 1 1

,

1' 1

5,

,

1

i

2

X

41

toelichting

2_31

x2 Bereken de verticale asymptoten van h(x) = - 2 - - -

verticale asymptoten

x +3x-4 verticale asymptoot x =a als voor x"' a geldt: noemer =Oen teller* O noemer: x 2 + 3x - 4 = o dus als x = -4 en dan teller* Oen x = 1 dan teller,,. O linkerlimiet lim ( xî--4

2

2

x

X + 3x-4

)

1(6 )) = oo (ga na oo) en = lim (-( - ~)-(~)) .. lim ( xî-4 X+4 X-1 xÎ--4 -5 · X+4

2 2 16 rechterlimiet lim ( 2 x ) = lim ( x ) = lim ( )- -00 (ga na--) xi-4 x + 3x - 4 xi--4 (x + 4)(x - 1) xJ.-4 -5 . (x + 4)

linkerlimiet lim( xÎl

linkerlimiet lim( xJ.1

X

X

x

2

x

2

2

+ 3X - 4

2

+ 3X - 4

) -

2 lim((x -~)( )-) = lim( ( 1 )) xîl +4 X - 1 xîl 5 • X - 1

) •

lim(( xh

2

X

x)(

+4

X-

--))

1

=lim( (l .1tJ.1 5 · X -

)) 1

=-=oo

(ga na--)

(ga na oo)

dus verticale asymptoten zijn x = -4 en x = 1

2.32

verticale asymptoten

- Bereken de verticale asymptoten van de grafiek van k(x) = 3x 3 ~ ix + 5

2x +5x verticale asymptoot x = a als voor x = a geldt: noemer= 0 en teller,,. 0 noemer: 2x 3 + 5x" 0 dus x • (2x 2 + 5) = Odus als x = 0 en dan teller,,. 0 (teller is 5) ) 1.1n ker1·1m1·et 1·1m (3x3-2x+5) = 1·1m ( - 0-0+5 3 2 2x + 5x

xTo

xTo

x • (2x + 5)

• -oo

(ga na: waarom -oo) en

rechterlimiet lim( O- 0/ 5 ) = oo (ga na: waarom +oo) xJ.o X • (2x + 5) dus verticale asymptoot is x = o let op: omdat de linkerlimiet gelijk is aan -- nadert k de lijn ,c = Olink5onder, omdat de rechterlimiet gelijk is aan +- nadert k de lijn ,c • Orechtsboven

2.33

scheve asymptoten

- Bereken de scheve asymptoot van de grafiek van g(x) = 3x 2 + 5; + 8. x+

scheve asymptoot: macht van de teller is één hoger dan de macht van de noemer.

g

(x) = 3x(x+ 2) -x+ 8 = 3x(x+ 2)- (x+ 2) + ~ = 3x(x+ 2) + -(x+ 2) +_!Q_ x+2 x+2 x+2 x+2 x+2

dus g(x) • 3x - 1 + _!Q_ x+2 dus lim(3x-l+_!Q_ )• 3x-l+O = 3x-1 en lim (3x-l+_!Q_ x➔~

X

+2

dus scheve asymptoot is y = 3x-1

x➔-

X+2

)= 3x- l-0 • 3x-1

42

begrippen en relaties functies en grafieken (llneair•, macht-, wortel-, gebroken·, absoluut-)

■

perforatie P(a, c) in de grafiek als noemer • 0 en teller = 0 ■

als lim.f(x) • lim.f(x) = c en.f(o) bestaat niet, dan perforatie bij xîo

xJ..a

x" o

lfOorbeeld

y=

x 2 +x-2 x 2 - 4x + 3

(x-l)(x+2) (x - l)(x - 3}

=-- -

dan lim ~ l}(x ~-2) • lim (x + 2) = 2.... xî1 ~ ( x - 3) xh (x - 3) -2

. (;\'--1-}(x + 2) . (x + 2) 3 e n h m - - - · .. h m - - = xJ.1 ~ ( x - 3) xH(x- 3) -2

:~

dus perforatie bij x = 1 en y = -1½ (zie punt P)

~·:

----------~-----,3

x-as

1 1 1

■

sprong Sin de grafiek als noemer• 0 en teller= O ■ als lim .f(x) =ben lim J(x) • c en b * c en.f(a) bestaat niet, dan sprong bij x = a xîo

x.J.o

voorbeeld

x 3 - 2x 2

y• lx-21 . xl - 2x2

. xz(x - 2)

.

z

dan hm 1 21 = hm ( ) "' hm( - x ) = -4 xtz X xÎ2 - X - 2 xÎ2 . xl - 2x2 . xz(x - 2) . z en hm 1 21 "'hm ( ) = hm(x ) = 4 x.J.2 XÛZ X- 2 x!2

dus lim.f(x) xîz

* lim.f(x) dus sprong bij x = 2 xJ.2

y

L. ,

Jet op: vanaf links nadert y tot -4, vanaf rechtJ nadert y tot 4

ga na dat het linkerdeel van de grafiek hoort bij y • x2 en het rechterdeel bij y " -x1

X

43

toelichting

34 perforatie en asymptoten 2x 2 - 2x - 12 . Bereken de asymptoten en de perforatie van de grafiek van fix) = - 2-x -9

2·

horizontale asymptooty = 2 want 2x 2 _ 2x _ 12 2 _1 _ 12 2 x2 x2 . 2 2x - 2x-12 . x x x 2 = =---..:;._-..;. 2 0 O= 2 lim - - - - - .. hm - - - - = hm x--+bx2 - 9 x---+±x2 9 x--+,i;,. 1- ~ 1- 0

x2 - x2

x2

verticale asymptoot als noemer= Oen teller.,,,_ 0, perforatie als noemer= 0 en teller= 0 noemer = Odus x 2 - 9 = Odus x = 3 of x = -3 invullen in teller:

x = -3 geeft 2 · ( - 3) 2 - 2 · -3 - 12 = 12 * Odus x • -3 is verticale asymptoot want lim 2x2 - 2x -12 = lim 2(x~ -x - 6) = lim 2(x_- 3)(x + 2) = lim 2(x + 2) • llm~,. oo xî-3 x 2 -9 xî-3(X-3)(x+3) xî-3(x-3)(x+3) xî-3(X+3) xî-3(X+3) . 2x 2 _ 2x - 12 1. 2(x 2 - x - 6) 1• 2(x- 3)(x + 2) 1. 2(x + 2) 1. -2 hm - - - = ,m --- --- - - = ,m --c------,---- = ,m--- • , m - - • xJ.-3 x2 - 9 x.l.-3{X - 3)(x + 3) xJ..-3 (x - 3)(x + 3) .r.l.-3 (x + 3) xJ.-3(X + 3)

-oo

x-= 3 geeft 2 · (3) 2 - 2 · 3 - 12 • Odus x = 3 geeft waarschijnlijk perforatie . 2x 2 - 2x - 12 I' x2- 9 =

2(x 2 -

X-

6)

I' 2(X - 3)(X + 2)

I' 2(x + 2)

~W 2 x-2 x 2 -6x+ 5 = 0 dusx = 5 (x= 1 vervalt) b let op domein . ~ wortel en breuk, dus x vx+ 5

>-s

2x=-x· vx+ 5 of2x=-x· vx+ 5 4x 2 =x 2 • (x+ 5) =x 3 + Sx 2

x 3 +x 2 = 0 x 2 (x+ 1) = 0 X"' o of x= -1 controle levert als antwoord x = O

2.50 denkadiviteit: oppervlakte driehoek Gegeven is de functiej(x) = (x- 6) 2 Punt P beweegt zich tussen x =Oen x = 6 over de grafiek vanf. De verticale lijn door P, de x-as en de lijn door Oen P vormen een driehoek.

- Bereken de maximale oppervlakte van de driehoek. Analyse (onderstreep, maak een schets, bepaal de deelvragen):

y-a

Deelvragen:

P ligt op de grafiek vanf. Geef de coördinaten van P. Maak een formule voor de oppervlakte van de driehoek. Gebruik de grafische rekenmachine om de oplossing te vinden Wat noteer je/ oplossing:

li'iiiMrtl'lf'I 1111 !IUlilil

P = (x, (x - 6) 2 ) opp.= ½·x • (x- 6) 2 "' ½x 3 - 6x 2 + 18xmet 0

\'L:.

O én

o * 1, b e IR, c > 0

■ ln(c) = b dan c = e" ■ 0 1og(l) c O want a0 = 1 ■ 0 1og(a) = 1 want o1 = o ■ ■

log(c) = 101og(c) de 10 als grondtal wordt meestal weggelaten ln(c) = elog(c) natuurlijke logaritme; logaritme met grondtal e (., 2,718281 ... )

rekenregels voor log(aritmen) a log(c) 1 1og(c) ln(c) ■ log(c) = log(a) = 'log(a) = ln(a) deze regel gebruiken om een functie in de rekenmachine in te voeren

■

0

1og(c") = n · 0 1og(c)

■ ln(c") "' n · ln(c) ■

'log(a) + 11og(b) ='log(a • b) en ln(o) + ln(b) = ln(o • b)

■ flog(a)-'log(b)='log(1) en ln{o)-ln(b)=ln(Ë) ■ a = 91og(g") regel om een willekeurig getal als logaritme te schrijven ■ a = ln(e°) regel om een willekeurig getal als natuurlijke logaritme te schrijven 1

■ i log(a) = - 91og(a) logaritmische vergelijking algebraïsch oplossen ■

voorwaarden begin altijd met het domein. werk bv. toe naar één van onderstaande mogelijkheden

■

ln(A) = ln(S) of 'log(A) = 91og(B) er geldt dan A = B (mits voldaan is aan de voorwaarden) voorbeeld: Bereken exact tn(x - 1) + 3 tn(2) - 1 = 4 dus ln(x - 1) + ln(2 3) .. S dus S

5

ln(x- 1) + ln(8) = ln(e 5) dus ln(B(x - 1)) = ln(e 5) dus x - 1 = ~ dus x .. ~ + 1 ■

stel bijvoorbeeld ln(x) =pof 91og(x) • p om de vergelijking te vereenvoudigen voorbeeld:

■

ln 2 (x) - 3 ln(x) - 4 • 0 is te vereenvoudigen tot p2- 3p- 4 = 0 dus

(p- 4) (p + 1) = O dus p z 4 of p = -1 dus ln(x) = 4 of ln(x) = -1 dus x =e4 of x =e-1 controleer het antwoord met behulp van de grafische rekenmachine

logaritmische ongelijkheid algebraïsch oplossen ■

voorwaarden begin met het domein, let op asymptoten. voorbeeld: Bereken exact de oplossing van 2 1og(x + 2) 2: 2 1og(x - 1) + 3 voorwaarden x > -2 en x > 1 dus voorwaarde x > 1 2 1og(x + 2)

= 2 1og(x - 1) + 3 dus

2 1og(x + 2)

- 2 1og(x - 1) = 3 dus 2 1og(; ~ ~) = 3

x+ 2

3 10 x _ 1 = 2 dus x + 2 = Bx - 8 dus x = 7 (controleer het antwoord)

conclusie: oplossing x E

(

l, ~] (zie schets)

y

IC

1

65

toelichting

3.10

rekenregels logaritmen

a Gegeven 2/og(a + 5) + 1 "'b. Schrijf a als functie van b. b Gegeven Y"' 0,5 ln(7x + 2) - 3. Schrijf x als functie van y. a 21og(a + 5) = b - 1 a + 5 = 21>--1 dus a = 2b · 2-1 - 5 = 0,5 · 2b - 5 a = 0,5 · 2b- 5

b y = 0,5 ln(7x + 2) - 3 dus y + 3 = 0,5 ln(7x + 2) dus 2y + 6"' ln(7x + 2) dus 7x + 2 = e 2.r+6 dus 7x = e 2.r+6 - 2 dus x = .½te 2.r+6 - 2) 7

3.U vergelijking algebraïsch oplossen l a 21og(x + 3)- 3 · 2 1og(5) = 4 b ln(x)-2 = ln(x- 3)

c 21og2 (x) + 3 • 2 1og(x) • 4 a voorwaarde: x + 3 > 0 oftewel x > -3 2 1og(x + 3) + 3 - 2 1og(5) =21og(24 ) 21og(x + 3) + 2 1og(5 3) = 2 1og(16) 21og(x +

3) + 2 1og(125) =2 1og(l6)

21og(125(x +

3)) =21og(16)

125x + 375 = 16 dus x .. -;;; = -2

Î~: =- -2,87 (voldoet aan de voorwaarde)

• x = - 2109 conc1us1e: 125 b voorwaarden: x > Oen x - 3 > 0 oftewel x > 3 ln(x)- ln(e 2 ) .. ln(x- 3) dus ln(x) = ln(e 2 ) + ln(x- 3) ln(x),. ln(e2(x- 3)) dus x = e2(x- 3)

x - e2x = -3e 2

dus x(l - e2 ) = -3e 2

. -3e 2 conclusie: x • - 1- e2 c

2 1og2 (x)

p2+

+ 3 . 2 1og(x) = 4 stel

2 1og(x)

=p

3p - 4 = O dus (p- l)(p + 4) = 0 dus p =1 of p "'-4 dus 2log(x) =1 of 21og(x) ""-4

conclusie: x = 2 of x = 2-4 "

f6

3.12 ongelijkheid f(x) = 31og(2x + 4)

- Los algebraïsch op f{x) +f(-x) < 2 f(-x) = 3 1og(-2x + 4) voorwaarden:2x+4>0en-2x+4>0dusx>-2 én x O en

■ ln(c) = b dan c - eb ■

log(c) =10 1og(c) en ln(c) = elog(c)

■

010

(c) = log(c) = 9 1og(c) .. ln(c) g

■ ■

log(a)

91og(a)

ln(a)

"log(c") = n •alog(c) en ln(c") = n • ln(c) 91og(a) +'log(b) =glog(a • b) en ln(a) + ln(b) = ln(a • b)

■ 9Jog(a)-!JJog(b) :::91og(f) en ln(a)-ln(b) = ln(f) ■

a = 'log(g") en a = ln(e") 1

■ 'log(a) -= - 'log(a) logaritmische functie eigenschappen van de grafiek

■ y = d • 91og(ax-b) + c

met verticale asymptoot als ax- b = O dus x =

!

71

toelichting

3,21

denkadlviteit afstand Gegeven zijn de functies vanf{x) = e" en g(x) = ln(x). Op de grafieken van/ eng liggen respectievelijk de twee punten Pen Q.

Bereken de kleinst mogelijke afstand tussen deze twee punten Pen Q. Analyse (onderstreep, schets, deelvragen, vergelijkingen):

y

Jen g zijn elkaars spiegelbeeld (elkaars inverse) ten opzichte van de lijn y "x. Kleinste afstand tussen Pen Q als ook de afstand tussen Pen de lijn y = x het kleinst is. Dus alsf'(x) = 1 en g'(x) = 1 en Pen Q liggen op dezelfde loodlijn van y = x Wat noteer je/ oplossing:

X

Kleinste afstand bijf'(x) .. 1 dus als~ .. 1 dus

,,

als x = 0 levert bijbehorende punt P(o, 1) Kleinste afstand bij !l'(x) = 1 dus als½= 1 dus als x = 1 levert bijbehorende punt Q(l, 0) Loodlijn van y

• x door P(0, 1) is y = -x +1. Punt Q(l, 0) ligt ook op deze loodlijn.

Dus P(0, 1) en Q(l, 0) zijn de punten met de kleinst mogelijke afstand. conclusie: gevraagde afstand is 3.22

l'ï

denkadiviteit vierkant Gegeven zijn de functies f{x) .. ~ en g(x) .. ln(x). Op de grafiek van/ligt het punt P met x" a met O < a < 1 en op de grafiek vang ligt op gelijke hoogte punt R. Deze punten Pen Rvormen samen met de x-as een rechthoek, waarbij de breedte PR drie maal zo groot is als de hoogte. - Bereken de waarde van a in twee decimalen nauwkeurig. Analyse (onderstreep, schets, deelvragen, vergelijkingen):

Maak een schets met daarin de grafieken van de functies J(x) =e" en g(x) =ln(x) en op gelijke hoogte de genoemde punten P(a,y) en R(x,y). Er is sprake van een rechthoek met hoogte h is drie maal gelijk aan breedte b. Twee decimalen, dus gebruik GR is toegestaan. Wat noteer je/ oplossing:

P(a, e'1) en Rop dezelfde hoogte, dus

y = ln{x) = e0 dus x = e 1e'l breedte b = e1e'l - a en hoogte h = e0 breedte= 3 · hoogte dus b = e'e'> -

a = 3e 0

Y1" e(e'> _x

y 2 = 3e" intersect levert x"' 0,57 conclusie: a.,, 0,57

X

begrippen en relaties exponentiële en logarltmische functies

72

hoofdzaken vervolg logaritmische vergelijking (exact) oplossen (indien benader, niet exact enz.: gebruik GR)

■ 0 1og(x) • b herschrijven tot x =a1' bijvoorbeeld 21og(x) =3 dus x =2 3 "' 8 ■ c + d • 0 1og(kx +IJ• b bijvoorbeeld 1 + 4 · 21og(Sx - 2) = 13 dus 21og(sx - 2) = 3 enz. ■ 'log(x) + n •'log(b) = d - 91og(c) (gebruik rekenregels) ■ 31og(x) + 2 • 3 1og(S) = 1- 3 log(8) dus 31og(x) + 3 1og(52 ) = 31og(3) - 3 log(8) dus 3 1og(25x)

= 3 log(1) dus 25x "1 dus x = - 3- = O 015

8

8

200

'

ongelijkheden oplossen ■

■

J{x) > g(x) f boven de grafiek vang J{x) < g(x) f onder de grafiek vang (let op domein en asymptoten)

inverse van exponentiële en logaritmische functies

J{x) ""ex en g(x) = ln(x) zijn elkaars inverse functies ■ inverse van k(x) = ax is m(x) = 0 1og(x) zijn elkaars inverse functies ■

afgeleide f'en primitieve F van exponentiële functies/ (zie ook HS) ■ f(x).,

e"

f (x) = e"

f'{x) = e"'

let op:functie en afgeleide van y" e' zijn dus hetzelfde

■

F(x) = - 1- · o"' ln(o)

f (x) = o"'

f'{x) • o"' · ln(o) • ln(o) · o"'

gebruik kettingregel bij onderstaande functies

■

F(x)

=} e

0

"

■ F(x) = _1_. 9 ax o · ln(g)

/(x) = eax

f'(x) • o · e0 "

f (x) = gax

f'(x) "'a • ln(g) • gax

afgeleide van logaritmische functies (zie ook HS) ■ F(x)

■

= x ln(x) -x

F(x) = Int) · (x ln(x) - x)

f'(x) =

ln(x) 1 f(x) = 91og(x) • = - · ln(x) ln(g) ln(g)

J'(x) = _l_. ! ln(g) x

let op: de primitieve hoefje niet te kennen let op gebruik kettingregel, de a komt hier niet terug in de afgeleide ■f ■f

(x) = ln(ox) (x) ., 91og(ox)

½

f(x)"' ln(x)

=:x =½ 1 o 1 1 (x) = ln(g) . ax = ln(g) . x

f'(x)

f

,

73

toelichting

3.23

denkactiviteit rechthoeken met gelijke oppervlakte Gegeven zijn de functies van.f{x) • l + 2Iog(10-x) en g(x) = 2 Iog(0,5x-4). Op de grafieken van/ eng liggen, op dezelfde hoogte, respectievelijk de punten P(aJ{o)) en Q. Recht onder P en Q liggen op de x-as, de punten P'(o, 0) en Cl. De horizontale lijn door Pen Q snijdt de y-as in punt R. Zo ontstaan twee rechthoeken OP'PR en P'Q'QP. Voor zekere waarde van o zijn de oppervlaktes van beide rechthoeken gelijk.

Bereken voor welke waarde van a de oppervlaktes van de rechthoeken OP'PR en P'Q'QP gelijk

zijn. Analyse (onderstreep, schets, deelvragen, vergelijkingen): Oppervlaktes gelijk dus breedte· hoogte0 ,,.p11 = breedte· hoogtep'Q'OP

Py = Oy dus hoogte beide rechthoeken is Py =.f{a) = 1 + 2Iog(10 - a) Breedte van de rechthoeken moet gelijk zijn. Omdat P'(a, 0) geldt breedte rechthoek OP'PR is a. Dus ook breedte rechthoek P'Q'QP is Ox- Px = o dus Ox= 2a

Wat noteer je/ oplossing: Hoogte Pis gelijk aan hoogte Q, dus breedte OP is gelijk aan breedte P'Q'. Omdat F'(a, 0) geldt Q'(2a, 0). Dus geldt.f{a) = 9(20) dus 1 + 2 Iog(10-a) .. 2 Iog(0,5 · 20-4) 2Iog(2)

+ 2Iog(10 - a) = 2Iog(o - 4) dus 2Iog(20 - 2a) = 2Iog(a - 4) dus 20- 2a = o - 4

conclusie: oppervlaktes van beide rechthoeken zijn gelijk voor a = 8

begrippen en relaties exponentiële en logarltmlsche functies

74

denkactiviteiten ■

bij ingewikkelde opgaven spelen meerdere stappen een rol.

■ ga niet meteen rekenen maar analyseer het probleem met een aantal stappen (zie

hieronder). stappenplan bij het oplossen van een complexe opgave verdeel de oplossing van het probleem in de volgende stappen ■

analyse ■ lees de hele opgave door ■ noteer of onderstreep de gegevens die van belang zijn ■ maak een schets een analyse figuur

■

■

zet gegevens uit de opgave in de schets

■

vul de schets aan

■

gebruik getallenvoorbeelden om de situatie duidelijk te krijgen

deelvragen stellen en beantwoorden welke onderliggende deelvragen kun je stellen bij de eindvraag en in welke volgorde los je dit op (in welke stukjes kun je de vraag opdelen)

■

bedenk welk wiskundige oplossingen passen bij de vraag (zie ook de hoofdzaken) denk aan ■ vergelijking opstellen en oplossen ■

formule opstellen en omschrijven

■

formule herschrijven naar andere vorm

■

waarde van parameter uitrekenen of waarde van x uitrekenen

■

welke formules passen bij het probleem

■ abstraheer van getallenvoorbeeld naar algemene oplossing met variabele ■ rekening houden met een combinatie van vergelijkingen/grafieken

houd bij deze theorie speciaal rekening met ■ ■

log(c)

ln(c)

log(a) correct gebruik rekenregels

ln(a)

a"=c dan x-= 0 log(c)=--=--

■ goede groeifactor bij verschillende (tijds-)eenheden ■

verband logaritme en exponentiële vorm

■

verschil lineaire groei en exponentiële groei

■

verticale asymptoot bij logaritmische functie

■ horizontale asymptoot (grenswaarde) bij exponentiële functies ■

de oplosslng wat noteer je ■ schets/tekening ■ oplossing met alle stappen ■ controle en conclusie als je het antwoord hebt, lees nogmaals de vraag, controleer ■ heb je de tussenberekeningen goed opgeschreven? ■

heb je antwoord gegeven op de vraag?

■

is het antwoord logisch?

■

klopt de afronding?

75

toelichting

].24

denkactiviteit verhouding Gegeven de functiej{x) = e" met daarop punt P met x = a. De raaklijn aan de grafiek vanf in punt p snijdt de x-as in Sen dey-as in R. Zo ontstaan llOSR en llASP met A(a, 0).

Druk opp llOSR : opp llASP uit in a Anal~e (onderstreep, schets, deelvragen, vergelijkingen): Maak een schets met daarin de grafiek van de functie/f.x) = e", het punt P met de raaklijn en

de punten Sen R. De coördinaten van P zijn te bepalen. Raaklijn dus afgeleide. Oppervlakte driehoek=½· b · h

y

Wat noteer je/ oplossing: Gegeven is de functie J{x) = e" en de afgeleide f'(x) "' e" Raakpunt P(a, ea)

e" enf'(a) "'e0 " Raaklijn is dus y = ea x + q

Afgeleidef'(x) •

richtingscoëfficient raaklijn in P A X

Raakpunt P(a, e") invullen levert: ea = ea •a + q dus q = ea - ea • a Raaklijn is dus: y = ea x + ea -

e0 a Punt S berekenen met e0 x+ ea-e 0 a = 0 dus ea x =-e0 + e0 a dus Xs = a-1 Punt R(O, e0

-

e0 a)

opp. OSR = ½ • b • h = ½ • (o - 1) • (a • e0

-

e0 ) (ga na, want oppervlakte is positief}

AA o

■

bol f"{x) < O

■

in het buigpunt gaat de grafiek van hol naar bol

buigraaklijn y = rx + b ■

bereken buigpunt (o, b) zoals hierboven

■

bepaal de richtingscoëfficiënt r van de buigraaklijn: , = f'(a)

123

toelichting

s.16

top berekenen - Bereken coördinaten van de top van de grafiek van ft.x) "'x ln(x) - x topalsf'(x)=x·½+ln(x)-1•0 dus ln(x)=O dus x=leny=-1

5.17

buigraaklijn Gegeven is de functie h(x) "'x3 - 3x2- 9x - Stel met een exacte berekening de vergelijking van de buigraoklijn op. h'(x) • 3x2- 6x- 9 en buigpunt als h"(x) = 6x- 6"' 0 dus x • 1 h(l) = 13 - 3 • 12 - 9 • 1:: -11, dus het buigpunt is (1, -11) h'(l) = 3 • 12 -6 • 1-9 .. -12 • r.c. raaklijn. conclusie: vergelijking buigraaklijn is y- -12x + 1

5.18

buigpunten o Bewijs dot de grafiek van ft.x) = ox 3 + bx 2 + ex+ d voor elke waarde van o, b, c end ( a '# 0) precies één buigpunt heeft. b Waar moeten o, b, c end aan voldoen wil er sprake zijn van een horizontaal buigpunt? a f'(x) • 3ox 2 + 2bx + c en f"(x) "' 6ax + 2b Omdat f"(x)• 0 altijd precies één oplossing heeft en f"(x) wisselt van teken in dit nulpunt heeftj{x) altijd precies één buigpunt b horizontale raaklijn, dus geldt:

f'(x) =3ox 2 + 2bx + c • 0 en xi. 2 =- 3b0 ±

ia ,·4b

2-

12oc

één buigpunt, dus geldt: f"(x) = 6ox + 2b = 0 dus x = _J?_ 30

b 1 .- 2 b --±-V4b -12oc=-3o 6a 3a conclusie: 4b 2 - 12oc" 0 dus b 2 - 3oc"' 0 en o ._ 0 Voord geldt geen beperkende voorwaarde, d zorgt immers voor de verticale verschuiving en verandert dus niets aan de richting van de grafiek van f 5.19

oppervlakte mlnlmaliseren Met 100 cm draad wordt een deel van een cirkelschijf omspannen. De 100 cm draad wordt gebruikt voor de twee stralen Ren een deel b van de cirkelboog. De keuze van R heeft invloed op de oppervlakte van het deel D van de schijf die omspannen wordt.

• Bepaal met een exacte berekening de exacte waarde van R waarvoor geldt dat de oppervlakte van het te omsponnen deel D van de cirkelschijf maximaal is.

b + 2R = 100 cm, dus b = 100 - 2R omtrek cirkel is 21tR, dus deel D van het totaal = 10~;/R oppervlakte = lOO - iR · rr.R 2 = WOR - iR 2 = 50R - R2 D 2rr.R 2 oppervlakte maximaal als opp' = 50 - 2R = 0 dus als R"' 25

124

begrippen en relaties differentiëren

hoofdzaken

y

r

afgeleide functie of hel Ii ngfunctie van J(x) is f'(x) ■

f'(a)

= richtingscoëfficiënt raaklijn in punt A(a,.f{a)) )(

regels voor differentiëren ■ /(x)=c ■

f'(x) = 0 want grafiek vanf (x) = c loopt horizontaal f'(x) = a want de re van de lijn is a

■

/(x) = ax+b /(x) =x"

J'(X) = n f1

■

f (x) • c · g(x)

f'(x) •

c·

g'(x)

■

f'(x) = g'(x) + h'(x) wordt ook wel som regel genoemd

■

f'(x) = a • n · X-1 + b differentieer elke term apart

f (x) = g(x) + h(x) /(x) = ax" +bx+c ■ /(x) = (2x+ 3)(x-1)

werk eerst de haakjes weg:/ (x) = 2x2 + x- 3 dus j'(x) = 4x+ 1

1

schrijf eerst als f (x)

■ f(x)=-

xn

x-n ⇒

se hnJ"f eerst a1s/ (x ) = x !.2

• /(x) = vX ■

f (x) = cos(x)

f'(x) = -sin(x)

■

/(x) • sin(x)

f'(x) = cos(x)

■ /(x)=e•

f'(x) = e"

■ /(x)=~

f'(x)

■f

2

=er· ln(a) j'(x} • ¼

(x) • ln(x)

j'(x) • _1_. l ln(g) x

■

f'(x} = n·(u(x))n-1 • u'(x}

■ /(x) = yu(x)

j'(x) = u'(x} 2yu(x)

■

j'(x) = -a · sin(ax)

f (x) = cos(ax) ■ /(x) = sln(ax) ■ f (x) = cos(u(x)) ■ /(x) = sin(u(x))

er

f'(x) = -u'(x) · sin{u(x)} j'(x) = u'(x) · cos(u(x)) f'(x) • u'(x} · eu{x)

■ /(x)=c,"{.wl

f'(x) = In a · u'(x} · au(>0)

en

J.flxl dx • In( - x) + c (voor x < O) ■ .l{x)

=,-

■ .f{x)=~

J.f(x) dx" l . 9" + c lng

■ .l{x) = ln(x)

J.flx) dx=e"+c J.f(x) dx. X. ln(x) -

■ .l{x) = 'log(x)

J.f{x) dx = In~) (x · ln(x) - x) + c

■ .l{x) = sin(x)

J.f(x) dx = -cos(x) + c

■ .l{x) = cos(x)

J.f(x) dx" sin(x) + c

X +C

135

toelichting

6.4

bepaal de primitieve functie

a

f 3,c dx

d j4x 2 • ,ïx dx

1

a ln{3) ·

3K

f 3 sin(x} dx

b

1-dx JX+2

c

e

i(½-1 + ln(x)) dx

f jln(2x} dx

+c

b Inlx+2I +c c -3cos(x) + c d

8 3 · ,ïx + c j 4x 2 · ,ïxdx = J4x 2 · x•dx • j 4x 221dx = -4x ~ = -x l

2

3.!

7

2

e lnIxI -x+ x ln(x)-x = lnIxI + x ln(x) - 2x + c ln(2x) dx = J (ln(2) + ln(x)) dx = X ln(2) + x ln(x) - x + c

f

f

(ook goed is½· (2x ln(2x} - 2x) = x ln(2x) - x + c} (rekenregels logaritmen) 6.5

integralen voorbeelden van berekening 1

4

2

a f' = c en M ( 1, ½) invullen levert

Snijpunt x-as A(2, 0) en snijpunt y-as

1

15

k:-4x+J!:-3 16 7.21

stelsel van vergelijkingen: afhankelijk Gegeven I: 2x + 3y = 9 en k: y = ax + b • Bereken a en b zodat I en k afhankelijk zijn.

I: 2x + 3y = 9 dus 1: y = -¾x + 6 dus I en k vallen samen als a =-¾en b"' 6 7.22

stelsel van vergelijkingen: strijdig

Gegeven het stelsel {

-5x+By=40

s

y=sx+4

- Los het stelsel op.

-Sx+ By= 40 eny =ix+4dus-5x+ 8 • (¾x+4) = 40 dus Ox+ 32 = 40 Kan niet dus het stelsel is strijdig (de twee grafieken lopen evenwijdig, er is geen snijpunt).

166

begrippen en relaties meetkunde en cirkels

hoeken tussenlijnen ■ hoeka tussen lijn l:y • ax +ben x-as berekenen meta= tan-1 (a) ■

hoek 1> tussen twee lijnen voorbeeldl

■y

=2x +pen y =-3x + q

levert a = tan-1 (2) en

J3 = tan-1 (-3)

cp = 1a - 131 = 63,4° + 71,6° = 135,0° gevraagde scherpe hoek is 180° -135,0° = 45,0° voorbeeld 2

■y

=2x +pen y = 3x + q

levert a

=tan- 1 (2) en J3 = tan-1(3)

gevraagde hoek is

A

er geldt (zie figuur): OA + AB = 08 dus AB = 08 - OA 7.41

0

vectoren berekenen Gegeven zijn de vectoren a = (_~)ende somvector ä + b=

- Bereken de verschilvector ä - b b=

(:!)-(_~) = (_81 ) enä-b= (_~)-(_81 ) • (=1)

(:!)

174

begrippen en relaties meetkunde en cirkels

vermenigvuldigen met een getal

■ vermenigvuldiging k · (:) = (t :) voorbeeld

-½ •(_86 ) = (-34 )

ontbinden van vectoren in loodrechte componenten ■

componenten van een vector een vector vmet lengte liil en een hoek a met de x-as, kan ontbonden worden in

■ horizontale component

met lengte

lv"l = cos(a) • lvl

■ vertkale component met lengte liiyl • sin(a) · liil

want cos(a) =

l~I

want sin(a) = 1 1

~!

voorbeeld ■

ii

heeft lengte 10 en maakt een hoek a = 30° met de x-as, kan ontbonden worden in een horizontale component

lvKI = 10 · cos(30°) = Sv3 en een verticale component

■

v" ontbinden van een vector in twee onderling loodrechte componenten, waarvan een component evenwijdig aan een gegeven lijn

■ een vector

vmet lengte liil

en een hoek a met lijn m, kan ontbonden worden in

■ een component in richting m met lengte

läl = cos(a) · liil en

■ een tweede component loodrecht op m met lengte lbl = sin(a) · liil voorbeeld ■

v heeft lengte 10 en maakt een hoek a •

30° met lijn

kan ontbonden worden in

läl = 10 · cos(30°) = 5v3 en lbl = 10 • sin(30°). sv'J ■

parallelogramconstructie vector p kan ontbonden worden door middel van een parallelogramconstructie ■

ontbind pin twee componenten evenwijdig aan men n teken een parallellogram waarvan p de diagonaal is (zie figuur) teken de componenten ä en b (de zijden van het parallellogram)

m,

175

toelichting

7.42

normaalvectoren

- Geef normaalvectoren van(!) en (_23 )

7.43

vectoren ontbinden Gegeven is een vector vmet lengte lvl " 10 en een hoek a = 20° met lijn Deze vector

m.

vkan ontbonden worden in een component

in richting m een tweede component loodrecht op m.

- Bereken de lengte van beide componenten in twee decimalen nauwkeurig. Lengte van de component in richting m heeft lengte lal • cos(cx) · lvl dus geldt

läl " 10 • cos(20°) = 9,40 Lengte van de component loodrecht op m heeft: lengte

ll:il = sin(a) · lvl dus

geldt

Uil = 10 • sin(20°) = 3,42 7.44

steen op een hellend vlak Een steen ligt op een hellend vlak. De zwaartekracht op de steen is 60 N. Het vlak maakt een hoek van 27 graden met het horizontale vlak. De wrijvingskracht is gelijk aan 15 N.

- Bereken de kracht loodrecht op het hellende vlak, bereken de kracht evenwijdig aan het hellende vlak en ga na of de steen gaat bewegen. Gebruik gelijkvormige driehoeken. In llABC geldt : LC = 90° en ~+ex= 90° en et= 27° dus geldt:

Ilnl = IÄël = 60 · cos(27°) ,. 53,5 llrl = l&I = 60 • sin(27°)"" 27,2 De kracht langs het hellende vlak naar beneden is 27,2 N en de wrijvingskracht is 15 N, dus de kracht die overblijft naar beneden is 12,2 N. Dus de steen beweegt naar beneden.

176

begrippen en relaties meetkunde en cirkels

lijnen ■

opstellen parametervoorstelling of vectorvoorstelling van een lijn door punten (a, b) en (c, cl)

■ plaatsvector ofsteunvector (:)of(~) ■ richtingsvector

(~

=:) of(:=~) of een vereenvoudiging van deze vectoren

voorbeeld ■

vectorvoorstelling opstellen lijn door de punten (1, 2) en (4, 1) levert

(;) = (~) + ■

x(_3i) of(;)=(~)+ 1c(-;) of ......

parametervoorstelling van een lijn maken als de vergelijking gegeven is

■ y=ax+bdan (;) = (~)+1c(!)

■ p x + qy = c dan is de normaalvector= (:)

dus (;) =

(!)

+

1c(-~)

voorbeeld ■

■

vectorvoorstelling opstellen van lijn 2x + 3y • 5 levert bijvoorbeeld

vergelijking van een lijn maken als de parametervoorstelling gegeven is

■ (;) = (:) + x(:) dan is de rv., (:) dus de normaalvector= (~q) dus de vergelijking wordt: -qx + py = c voorbeeld

■

vergelijking lijn opstellen van (;) = (}1 ) +

x(;)

normaalvector=(:) dus 4x+ 3y = c met c = 4 · 2 + 3 · -1 = 5 dus 4x+3y=S

■ inproduct ä • b van vectoren ä en b is

■ ä · b • läl - lbl · cosa meta de grootte van de hoek tussen ä en b of

■ ä=

G:) en b= G:) dan ä· b=x ·xb+Ya 'Yb 0

■

■

inproduct wordt ook wel inwendig product genoemd meetkundige betekenis van Inproduct het product van de lengte van vector ä met de

lengte van de loodrechte projectie van vector bop ä

Ö·b

Xa·Xb+Ya'Yb

■ hoek tussen vectoren berekenen met cos(q,)"' läl • lbl = - läl7'i-l-

(o)- (0)

en ä ~ 0 , b ~ 0

want ä · b • x0 • xb + Ya · Yb én ä · b = läl · lbl • cos(q,) dus cos(q,) = ~0 :_xb +Y1_01 · Yb läl · b

177

toelichting

7.45

vectorvoorstelling maken bij twee gegeven punten

Geef een vectorvoorstelling van de lijn door de punten A(2, 4) en 8(5, -8) Steunvector(!) of (}8 ), richtingsvector (_~ 2 ) of (_14 )

7.46

vectorvoorstelling maken bij gegeven vergelijkingen

Ix + 4 en m: ¼x + ½v =1

Geef een vectorvergelijking bij de vergelijkingen 1: y =

Steunvector(~). richtingsvector(:) dus 1:(;) =- (~) +cp(:) Steunvector(~) of

7.47

(6)• richtingsvector (_12 ) dus m :(;) = (~) + À.(_1i)

vergelijking maken bij een gegeven vectorvoorstelling

Geef een vergelijking van de vectorvoorstelling (;) =

(!) + À.( _23 )

~ = (_23 ) dus r.c. =-¾ =-1½ dusy = -l½x+ ben punt (2, 4) invullen levert b = 7 dusy =-l½x+ 7 of il= 7.48

G) dus 3x+ 2y • b punt (2, 4) invullen dus 3x+ 2y

= 14

bereken de hoek

• Bereken het inproduct van ä =(_~)en b = inproduct is a· b =(_~)

G)

· (!) =4-6 =-2

• Bereken het inproduct als läl = 3 en liil = 7 en de hoek tussen ä en bis 40° inproduct is ä • b = 3 • 7 • cos(40°) = -14,01 --+ en CB • A(2, 5) en 8(-3, 10) en C(l, -1), bereken hoek AC8, dus de hoek tussen de vectoren CA

(!)·(~~) d -1( ) () ff7. vi 37 = 1·-4+6·11 ~·· ~ \fSQGg · ·.., 0,8708 us q>.., cos 0,8708 ""29,4 Bereken de hoek tussen de lijnen /: y =2x + 5 en k: y =¼x - 3

er geldt cos q> =

-

1

IG)-(1)1 =

re.,,. 2 en rc.k = -4 dus cos(0dust>2 onderzoek x en y voort ➔ oo en t J, 2 want t ➔ -oo en j~x(t) = j~ln(t- 2) = oo en J!!;!!Y(t} ..

f~t

t î 2 vervallen.

=0

dus horizontale asymptooty = 0, oftewel de x-as (aan de linkerkant) limx(t} z limln(t - 2) = -oo en limy(t) = limi = i tJ.2 rJ.2 1.J.2· 1.l.2 t 2 dus horizontale asymptooty = 2½ (rechts)

184

begrippen en relaties meetkunde en cirkels

■

zwaartepunt of evenwichtspunt in driehoek is het snijpunt van de drie zwaartelijnen van die driehoek ■

zwaartelijn gaat vanuit een hoekpunt van een driehoek naar het midden van de tegenoverliggende zijde

■

het zwaartepunt Z verdeelt elke zwaartelijn in de verhouding 1 : 2

■ voor het zwaartepunt Z

in àABC geldt Xz = j1dx:t.lU3333

J

begrippen en relaties grafische rekenmachine Texas lnstruments (Tl-84 Plus Tof TI-84 Plus CE-T)

218

b

integreren JJ{x)dx a

eerste manier via het grafiekenscherm ■

met behulp van CALC ■

Y" voer de functie in bij Y"" ■ GRAPH plot de grafiek met de juiste vensterinstellingen (WINDOW)

■ CALC-menu 7: f.f{x)dx ■ x-waarden van linkergrens

x = a en rechtergrens x = b

intikken ■ betreffende oppervlakte wordt gearceerd en berekend

1

lo-Lil'llit? l~~ __

~ ,

opmerking: oppervlakte onder x-as wordt negatief gerekend ■

oppervlakte verwijderen met DRAW- menu 1: ClrDraw tweede manier ■

met behulp van MATH ■ MATH menu 9: fnlnt(

■ J(---)d ... verschijnt op het scherm b

■ J(t{x))dx betekent de integraal Q vanf(x) met variabele x en grenzen a en b

!\---~- -1 1----::,,.......,-.__j 1

, lf(X)fr-2.&'6"1i7

toelichting

s.21

219

oppervlakte en Inhoud benaderen J{x) = x 2 en Vis het gebied ingesloten door de grafiek vanf en de lijn y = 4x a

Bepaal de oppervlakte van gebied V

b V wordt gewenteld om de x-as. Bepaal de inhoud.

a Bepaal de snijpunten (0,0) en (4, 16) 4

4

f

f x 2dx =

0

0

oppervlakte"' 4xdx -

1

eerste manier

grafiekenscherm met behulp van 2ND CALC sJJ{x)dx

1

4

f 4xdx = 32

(let op dat je op de juiste grafiek staat)

0

4

fx 2dx"" 21,333 0

conclusie: gevraagde oppervlakte is 32 - 21,3333 "'10,67 tweede manier 4

f (4x - x

2)dx"'

10,67.

0

Maak een nieuwe functie y = 4x - x 2 (zie plots) grafiekenscherm met behulp van 2ND CALC s:ff{x)dx

.------~-l

4

f (4x - x

2 )dx"'

10,67

0

conclusie: gevraagde oppervlakte is 10,67 derde manier 4

f (4x - x 2 )dx"' 10,67 0

4

4

2

b inhoud=1tJ(4x) 2dx-1tJ(x 2) dx=o

0

bijv. ploty = (4x) 2 - (x 2) 2 (zie schermafbeeldingen) 4 7t

4

4

J(4x) 2dx - 1tf (x 2) 2dx = ,cf ((4x) 2 0

0

(x 2 ) 2 )dx =

0

136,5333 • ,c (zie plots) conclusie: gevraagde inhoud is 136,5333 · 1t"' 428,93

:----.J.all~' ~(X)~X~1~._66_66_&_7 _ _

j

begrippen en relaties grafische rekenmachine Texas lnstruments {Tl-84 Plus Tof Tl-84 Plus CE-T)

220

parametervoorstelling invoeren zie ook H4 bewegingsformule, Lissajous, cirkelbeweging ■ MODE

■

r....iiiiiii~sc1~c,1G___ -

Par

0123'1!:178' DEGIIEt

Xn=

P1IL

■ Y• en [ Y _ 1r-

DGT

4• ~

NDRIZ

rt"t" G-T

LDCKQ&-SMCMl~!l:I

snelheid zie H4 ■

SEI

SVIUL '

snelheid van P((x(t),y(t)) op tijdstip t

■ berekenen met v(t) = \.'(x'(t)) 2 + (y'(t)) 2 ent invullen ■

zichtbaar maken op grafische rekenmachine ■

MODE en Dot levert een stippellijn waarbij een grotere afstand tussen de stippen naar een grotere snelheid verwijst. met Tstep (WIN DOW) stapafstand instellen Cl

[DG

[GREC

ln 1

f'DL

1canncrnD IDl 4+Coi,

IIIIRIZ

m;r· --- -

__

1 :D '1!: & 719

sn

TRin•0 Tr1ax=6. 2831853... Tst.eP=.1

XMin= ·3 XMax=3

SINUL

.........

G-T

m CLDuitd,1!f!!b_&:ll;j

Xscl=l

Vr1in=-2

helling of richting van de raaklijn

■

helling berekenen met ddy = ~ X

■

X

2nd CALC in grafiekenscherm (zie scherm) t = ... invoeren geeft gevraagde waarde van de helling

■ verticale raaklijn als x'(t) = O en y'(t) ,t. O zie bv. 8.22d ■

MODE Func

■ Y1 voer de functie x(t) in bij Y1 ■

MATH kies 8:nDeriv( vervolgens ENTER, VARS, Y-VARS

■ Y2 = -fx-