Rpeartition Transversale Des Efforts Dans Les Tabliers de Ponts A Poutres [PDF]

Zitiervorschau

Institut Supérieur du Bâtiment et des Travaux Publics

Etude technique

Thème

RÉPARTITION TRANSVERSALE DES EFFORTS DANS LES TABLIERS DE PONTS

Tabliers de ponts à poutres

Présenté par : M. Norine Abderrahmane TURKI

54ème promotion 2006/2007

RÉSUMÉ

Le but de cette étude est d’analyser le fonctionnement tridimensionnel des tabliers de ponts, en cherchant à déterminer la distribution des efforts dans le sens transversal, et notamment dans le cas de chargements excentrés. Cette étude intégrera plusieurs aspects du fonctionnement de telles structures, à savoir l’interaction flexion – torsion, la déformation des sections droites, l’existence de contraintes normales dues au gauchissement gêné et la non validité du principe de De Saint – Venant. Nous exposerons, ci – après, quelques unes des méthodes d’analyse les plus courantes, se basant chaque une sur certaines hypothèses. Le choix de la méthode d’analyse, sera guidé par la validité de telle ou telle hypothèse. Mots clés : poutres – entretoisement – plaque – torsion – efforts.

ABSTRACT

The aim of this work is to study the three – dimensional behaviour of bridge decks, by analyzing distribution of efforts in the transverse direction, and in particular in the case of offset loads. This study will take into account several aspects of the behaviour of these structures, namely the bending – torsion interaction, deformation of cross – sections, existence of normal stress due to constrained warping et the non validity of De Saint – Venant principle. We will expose some of the most current analysis methods, basing each one on certain assumptions. The choice of the analysis method will depend on the valid assumption for the structure. Key – words : beam – bracing – plate – torsion.

TABLE DES MATIÈRES INTRODUCTION 1 I. ÉTUDE DES TABLIERS DE PONTS A SECTION DROITE INDEFORMABLE.................2 I.1 Méthode des entretoises rigides.......................................................................................................2 Exposé de la méthode ........................................................................................................................2 Répartition de l’effort tranchant .......................................................................................................4 I.2 Analyse à partir de la théorie de la torsion non uniforme............................................................6 I.2.1 Hypothèses de base de la théorie usuelle des poutres ..........................................................6 Sections à parois minces ................................................................................................................6 Principe de De Saint – Venant .....................................................................................................6 Principe de Navier – Bernoulli .....................................................................................................6 I.2.2 caractéristiques sectorielles d’une section ouverte à parois minces ....................................7 Aire sectorielle.................................................................................................................................7 Autres caractéristiques sectorielles ...............................................................................................8 Centre de cisaillement ....................................................................................................................8 I.2.3 Torsion non uniforme et torsion gênée des poutres à section en profil mince ouvert....9 Equation différentielle de torsion.................................................................................................9 I.2.2 Principe de la méthode ..............................................................................................................9 Définition de la structure étudiée ...............................................................................................10 Caractéristiques mécaniques........................................................................................................10 Etude des sollicitations dans le tablier.......................................................................................12 Définition du coefficient d’excentrement .................................................................................13 II. ÉTUDE DES TABLIERS DE PONTS A SECTION DROITE DEFORMABLE ..................14 II.1 méthode des matrices – transfert de flexion transversale.........................................................14 II.1.1 hypothèses de base de la méthode .......................................................................................14 Hourdis n° i ...................................................................................................................................15 Poutre n° i......................................................................................................................................15 Déplacement des hourdis et des poutres ..................................................................................16 Etude de la bande de hourdis n°i ...............................................................................................16 Equilibre de la poutre n°i ............................................................................................................17 Résolution du problème ..............................................................................................................19 II.1.2 modalités pratiques d’application de la méthode ...............................................................19 II.1.3 Exemple numérique ...............................................................................................................20 Détermination des caractéristiques de la structure ..................................................................20 II.2 méthode de Guyon – Massonnet : calcul des grillages de poutres et dalles orthotropes ....23 II.2.1 principe de la méthode...........................................................................................................23 Le coefficient de répartition transversale et ses propriétés.....................................................26 II.2.2 Exemple d’application............................................................................................................27 Calcul des paramètres  et .......................................................................................................30 Répartition du moment fléchissant............................................................................................30 Etude du chargement...................................................................................................................32 Répartition de l’effort tranchant.................................................................................................36 Etude du chargement...................................................................................................................38

LISTE DES FIGURES Figure 1 : poutraison transversale du tablier d’un pont à poutres.........................................................2 Figure 2 : charge concentrée sur une entretoise intermédiaire ..............................................................2 Figure 3 : position longitudinale et transversale de la charge Q............................................................4 Figure 4 : section à paroi mince ouverte ...................................................................................................7 Figure 5 : profil en travers de la structure étudiée .................................................................................10 Figure 6 : détermination du centre de torsion........................................................................................11 Figure 7 : caractéristiques géométriques de la structure étudiée..........................................................14 Figure 8 : efforts tranchants et moments sollicitant les éléments du tabliers....................................15 Figure 9 : géométrie de la structure étudiée et poutre isolée................................................................20 Figure 10 : ligne d’influence du moment fléchissant dans la poutre n°1 ...........................................22 Figure 11 : structure réelle discontinue ...................................................................................................24 Figure 12 : remplacement de la charge par une charge sinusoïdale ....................................................25 Figure 13 : déformée de la structure sous l’effet du chargement ........................................................26 Figure 14 : Dimensions de la dalle fictive et positions actives des poutres. ......................................29 Figure 15 : ligne d'influence du coefficient K pour la poutre centrale .............................................32 Figure 16 : positionnement des charges afin d’obtenir le cas le plus défavorable ............................34 Figure 17 : ligne d'influence du coefficient  et   pour la poutre centrale..................................37

LISTE DES TABLEAUX Tableau 1 : numérotation des poutres et positions actives ..................................................................28 Tableau 2 : tables de GUYON-MASSONNET .............................................................................................30 Tableau 3 : table de K0 relative à  =1,4339...........................................................................................30 Tableau 4 : table de K1 relative à  =1,4339...........................................................................................31 Tableau 5 : Valeurs du coefficient de répartition K ............................................................................31 Tableau 6 : Valeurs du coefficient de répartition K relatives aux positions réelles .......................31 Tableau 7 : Valeurs de K pour les charges concentrées......................................................................33 Tableau 8 : Valeurs de K pour les charges réparties............................................................................35 Tableau 9 : Moments réels à mi-travée obtenus à partir des K et des moments équitablement répartis..........................................................................................................................................................35 Tableau 10 : valeurs du coefficient de répartition  ...........................................................................36 Tableau 11 : valeurs du coefficient de répartition   ...........................................................................36 Tableau 12 : valeurs du coefficient de répartition  pour les positions réelles des poutres. .........37 Tableau 13 : valeurs du coefficient de répartition   pour les positions réelles des poutres. .........37 Tableau 14 : Effort tranchant réel sur appui. .........................................................................................38 Tableau 15 : Effort tranchant réel à L/4 ................................................................................................38

Répartition transversale des efforts dans les tabliers de ponts

1

INTRODUCTION Le caractère tridimensionnel du fonctionnement des tabliers de ponts, est apprécié dans les calculs en analysant la structure à partir de modèles plus ou moins simplifiés ; un premier modèle de poutre servant à étudier le comportement dans le sens longitudinal, suivi de modèles s’intéressant au fonctionnement dans le sens transversal afin de déterminer la répartition des charges entre les différents éléments portants (poutres, parois minces) et qui dépend de l’efficacité de la liaison entre ces derniers. En effet l’interaction transversale est d’autant plus grande que la liaison transversale est plus parfaite ou, en d’autres termes, que la répartition des charges entre éléments porteurs est plus équitable ; ce qui rend la structure plus économique, notamment dans le cas de très lourdes charges réparties sur des surfaces réduites. La résistance des matériaux repose sur un certain nombre d’hypothèses et d’approximations, telles que le parallélisme des fibres et l’indéformabilité des sections droites des poutres. Or beaucoup de tabliers de ponts ont une section transversale à parois minces (ponts à poutres, ponts caissons), dont les fibres ne sont pas forcément parallèles, et dont la déformabilité ne peut être négligeable. Afin d’avoir une évaluation fine de l’état des contraintes dans ces sections à parois minces, il faut surtout éviter le dissociation entre le fonctionnement longitudinal et transversal, car il y’a sous l’effet de chargement excentrés une interaction entre la flexion et la torsion. Nous allons, dans cet exposé aborder le cas des tabliers de ponts à poutres. Et les méthodes d’analyse structurale seront rangées dans deux familles distinctes : la première considère que les sections transversales sont rigoureusement indéformables, et la seconde prend en compte, d’une façon plus ou moins accentuée, la déformabilité des sections. De plus, il convient de distinguer les tabliers à deux poutres des tabliers comportant plus de deux poutres. En effets, dans les tabliers symétriques à deux poutres, les modes de chargement symétriques n’engendrent aucun gauchissement de la section. On peut alors calculer les contraintes engendrées par ces modes selon les méthodes usuelles de la résistance des matériaux. Par contre dans les tabliers à plus de deux poutres sous chaussée, mêmes symétriques, une distribution symétrique de charges peut induire un gauchissement symétrique de la section qui s’explique facilement. Si les poutres n’étaient pas reliées entre elles par le hourdis, elles subiraient, dans le cas général, des flexions différentes de leurs fibres, en particulier de leurs fibres supérieures. Dans la structure réelle, ces déformations sont gênées par la présence du hourdis, mais ce dernier n’est pas suffisamment indéformable pour uniformiser les contraintes normales dont il est le siège

Répartition transversale des efforts dans les tabliers de ponts

2

I. ÉTUDE DES TABLIERS DE PONTS A SECTION DROITE INDEFORMABLE Les entretoises, faisant fonction de poutraison transversale, ont une hauteur voisine de celle des poutres, ce qui leurs confère une bonne rigidité. Par le passé, les ponts à poutres en béton armé ou en béton précontraint, étaient munis d’un nombre suffisant d’entretoises intermédiaires pour assurer l’indéformabilité de la section transversale. chaussée hourdis

pré-dalle

entretoise

Figure 1 : poutraison transversale du tablier d’un pont à poutres

I.1 Méthode des entretoises rigides

Exposé de la méthode Cette méthode due à J. COURBON, consiste en premier lieu à déterminer les sollicitations globales comme si le tablier était une poutre sans dimensions transversales, et à répartir ces sollicitations sur l’ensemble des éléments porteurs au prorata de leurs inerties et en fonction de leurs excentricités respectives. On considère un tablier à poutres sous chaussée assimilé à un ensemble de poutres parallèles de même portée, aux appuis alignés perpendiculairement aux poutres, dont les inerties suivent la même loi de variation à un facteur de proportionnalité près en fonction de l’abscisse longitudinale, et solidarisées par des entretoises qui leurs sont disposées normalement. On commence par étudier les effets d’une charge verticale P concentrée sur une entretoise intermédiaire dont l’excentricité algébrique est notée d. Z

P

d

entretoise

0

yi

R1

Y Ri

Rn

a

Figure 2 : charge concentrée sur une entretoise intermédiaire

b

Répartition transversale des efforts dans les tabliers de ponts

3

Sous l’effet de la charge P, les points homologues (de même abscisse longitudinale) des différentes poutres restent alignés en raison de la proportionnalité des lois d’inertie, puisqu’ils le sont au droit de l’entretoise chargée. Ceci entraîne que les entretoises autres que celle chargée n’interagissent pas avec les poutres. Soient yi et Ii l’abscisse transversale et l’inertie de la poutre n° i, et appelons Ri l’action verticale de l’entretoise chargée sur cette poutre. Dans la mesure où l’on néglige l’inertie de torsion des poutres, nous pouvons écrire :

R i  I i ( a  by i ) Où a et b sont deux constantes indépendantes de la poutre considérée. Exprimons alors que l’entretoise est en équilibre sous l’effet de P et des réactions Ri : - équilibre en projection suivant Oz :

P  a I i  b yi I i i

-

i

équilibre en moments par rapport à Ox :

Pd  a  y i I i  b  y i2 I i i

i

Choisissons alors comme repère Oyz de la section un repère tel que :

 yi I i  0 i

De sorte que l’on puisse écrire :

 Ii PI i Ri   i avec  i  1  i 2 y i d  Ii  yi I i i

i

i est appelé le coefficient d’excentricité relatif à la poutre n° i et à l’excentricité d de la charge. Dans le cas où la structure se compose de n poutres égales au même espacement b, l’axe Oz est l’axe de symétrie de la section et l’on montre que, pour n pair ou impair,

i  1  6

n  1  2i d n²  1 b

A condition que les poutres soient numérotées de 1 à n à partir du côté où d est positif. Pour une charge disposée sur une entretoise, les moments fléchissants dans les différentes poutres sont proportionnels aux réactions Ri. Si la charge n’est pas disposée sur une entretoise, mais si les entretoises sont suffisamment rapprochées, on admet que l’on ne commet qu’une erreur minime en sur les moments fléchissants en supposant qu’ils sont proportionnels aux mêmes quantités Ri. Après avoir déterminé le moment fléchissant longitudinal Mx à l’abscisse x (modèle poutre), on répartit ce moment sur les différentes poutres selon la loi :

Mi  M

Ii i I i i

Répartition transversale des efforts dans les tabliers de ponts

4

Et si les poutres sont identiques :

Mi 

M i n

Répartition de l’effort tranchant En ce qui concerne l’effort tranchant, l’effet répartiteur de l’entretoisement disparaît près des appuis parce que les flèches des poutres y deviennent petites par rapport aux flèches de courbure des entretoises. Il est nécessaire, alors de distinguer deux zones dans la travure : la zone courante, et la zone comprise entre les appuis et la première entretoise intermédiaire. En zone courante on admet que l’effet tranchant se répartit entre les poutres selon la même loi que le moment fléchissant.

Vi  V

Ii i I i i

Si toutes les poutres sont identiques :

Vi 

V i n

Dans la zone comprise entre les appuis et la première entretoise, on considère qu’il n’y a pas de répartition sur appui, et qu’elle est complète au droit de la première entretoise. Il convient alors de faire une interpolation linéaire entre ces deux sections. Exemple : Le schéma suivant représente la zone de travure comprise entre l’appui et la première entretoise intermédiaire du tablier d’un pont à poutres. Soit Q une charge concentrée, appliquée à l’abscisse longitudinale D, et à une distance transversale b de la poutre n° i. Q

1ère entretoise intermédiaire

b Q

D D

poutre i

Figure 3 : position longitudinale et transversale de la charge Q

L’effort tranchant longitudinal calculé pour un modèle poutre sans dimensions transversales vaut :

VQ

L  D L

Répartition transversale des efforts dans les tabliers de ponts

5

Au niveau de l’appui, l’effort tranchant repris par la poutre n° i, est calculé selon l’hypothèse d’indépendance des poutres (pas de rôle d’entretoisement). On supposera les dalles articulées sur poutres (travée isostatique).

Vi appui  Q 1   

L  D L

Au droit de l’entretoise, l’effort tranchant repris par la poutre n° i, est calculé selon l’hypothèse de répartition totale.

Vi entretoise  V

Ii i I i i

L’effort tranchant dans la poutre n° i, au point d’abscisse d est obtenu par interpolation linéaire entre les deux valeurs, il vaut :

Vi  1   Vi appui  Vi entretoise

Répartition transversale des efforts dans les tabliers de ponts

6

I.2 Analyse à partir de la théorie de la torsion non uniforme

I.2.1 Hypothèses de base de la théorie usuelle des poutres Sections à parois minces Dans la construction, on emploie souvent des poutres résultant de l’association d’éléments linéaires de faible épaisseur. De telles poutres offrent une grande résistance et une grande rigidité pour un poids relativement faible. Leur mode de fonctionnement particulier nécessite un modèle spécifique : le modèle de la poutre à parois minces (ou profil mince). Sous certains modes de sollicitations comme la torsion, les sections droites sont affectées d’un gauchissement qui peut ne pas être négligeable. Principe de De Saint – Venant Dans les poutres à section pleine de forme régulière ; les contraintes et, par suite les déformations dans une zone suffisamment éloignée des points d’application d’un système de forces ne dépendent que des éléments de réduction du torseur constitué par ces forces (gauchissement non uniforme : gêné). En particulier, deux systèmes de forces équivalents produisent les mêmes effets, dans une région assez éloignée de leurs points d’application. Le principe de De Saint – Venant n’est pas applicable pour les poutres à sections à parois minces : les effets des efforts concentrés et les particularités de bord engendrent des perturbations dans l’état de contrainte et déformation de la poutre sur des zones d’étendue essentiellement plus grande que dans le cas des poutres à section pleine. L’analyse des contraintes nécessite alors des méthodes plus élaborées. Principe de Navier – Bernoulli Lors de la déformation des poutres, les sections droites, planes avant déformation, le restent après application des efforts. Cette hypothèse est bien vérifiée pour les déformations dues aux seules composantes de flexion. Par contre en présence d’effort tranchant, les sections ne restent pas planes : on dit qu’elles se gauchissent. Toutefois dans les poutres à section pleine, ce gauchissement n’affecte guère la distribution des contraintes normales. Tout comme le principe de De Saint – Venant, le principe de Navier – Bernoulli doit être abandonné dans l’étude des poutres à section constituée de parois minces soumises à la torsion.

Répartition transversale des efforts dans les tabliers de ponts

7

I.2.2 caractéristiques sectorielles d’une section ouverte à parois minces Dans la pratique, les caractéristiques sectorielles interviennent dans l’étude des cisaillements d’effort tranchant et de torsion dans les poutres à parois minces. Une section est dite ouverte si elle ne comporte aucune cellule. Dans le plan rapporté aux axes Oy, Oz faisant partie d’un repère Oxyz orthonormé direct, on considère une section à parois mince ouverte, représentée par sa ligne médiane () qui est une courbe supposée rectifiée et orientée. On note s l’abscisse curviligne sur (), e l’épaisseur de la section au point courant, I(y0,z0) l’origine de la courbe et M(y,z) le point courant. Par ailleurs on considère un point P du plan, de coordonnées (yp,zp) qui sera appelé pôle. z 

P(yp,zp) r

M' M(y,z)

z0

I

e(s)

s

y0

y

Figure 4 : section à paroi mince ouverte

Aire sectorielle On appelle aire sectorielle de pôle P attachée au profil mince considéré la grandeur vectorielle définie par : S

 P   PM  ds 0

Sous forme différentielle on peut écrire :

d P  PM  ds Soit M’ le point de (), infiniment voisin de M tel que MM’ = ds, on voit donc que la différentielle de l’aire sectorielle de pôle P est égale au double de l’aire du triangle élémentaire (P,M,M’). Si on appelle r la distance entre P et la tangente à () au point M, on peut écrire :

d P  r . ds L’accroissement de dP est positif lorsque le rayon – vecteur PM tourne dans le sens trigonométrique.

Répartition transversale des efforts dans les tabliers de ponts

8

Autres caractéristiques sectorielles On sera amené à utiliser d’autres caractéristiques. Moment statique sectoriel

M    eds 

Moments linéaires sectoriels

M y   zeds et M z   yeds 



Moment d’inertie sectoriel

I     ²eds 

Dans toutes les intégrales, l’épaisseur est une fonction arithmétique. Les calcules peuvent être menés, lorsque la section de la poutre ne comporte que des voiles plans, par la même méthode que celle applicable aux intégrales de Mohr. Centre de cisaillement Il existe un point C, par rapport auquel le moment des cisaillements d’effort tranchant est nul. Ainsi si on sollicite, par exemple, une poutre console par un effort dont la ligne d’action ne passe pas par le centre de cisaillement de la section d’application de cet effort, le torseur des sollicitations de la poutre admettra une composante de torsion dont les effets se superposent à ceux de la flexion. La position du centre de torsion est définie par les conditions :

 yC eds  0



et

 zC eds  0



Supposons que les caractéristiques sectorielles d’une section donnée sont déterminées pour un pôle P quelconque, et par rapport aux axes principaux d’inertie. On peut alors déterminer ces mêmes caractéristiques pour le point C, en effectuant un changement de pôle. L’aire sectorielle vaut alors :

C   P   y C  y P z  z 0   z C  z P  y  y 0 

On exprime les conditions donnant la position du centre de cisaillement en fonction des caractéristiques pour le pôle P :

 zC eds  0   zP eds   yC  y P I y





 yC eds  0   yP eds  z C  z P I z





On trouve finalement les coordonnées du centre de cisaillement :

 zP eds

yC  y P  

Iy

et z C  z P 

 yP eds



Iz

Répartition transversale des efforts dans les tabliers de ponts

9

I.2.3 Torsion non uniforme et torsion gênée des poutres à section en profil mince ouvert La torsion uniforme peut engendrer dans les poutres à section pleine, des contraintes normales au voisinage des zones d’application d’efforts concentrés, là où le gauchissement peut être gêné. Mais, en vertu du principe de De Saint – Venant, ces zones sont d’étendue très limitée, et partout ailleurs on peut admettre que le gauchissement est uniforme, ce qui n’entraîne l’apparition d’aucune contrainte normale. Par contre, lorsqu’une poutre est soumise à une densité linéaire de couples longitudinaux, le gauchissement n’est plus uniforme et il apparaît des contraintes normales. Toutefois on peut considérer que les contraintes normales dues à la torsion non uniforme, sans être gênée, sont d’intensité modérée et peuvent souvent être négligées dans les calculs. Par contre, dans les poutres dont la section est en profil mince (ouvert ou fermé) la torsion non uniforme ou gênée engendre des contraintes normales dont l’intensité est loin d’être négligeable, car le principe de Saint – Venant ne leur est pas applicable. En fait, dans les constructions réelles, la torsion n’est généralement pas uniforme et le gauchissement peut être limité dans certaines sections du fait de liaisons particulières ou de modes de chargement spéciaux. Equation différentielle de torsion L’équation différentielle, à laquelle satisfait l’angle de rotation des sections (x), est :

d 3 d EI  3  GK T dx dx Avec T couple de torsion globale repris en partie par des cisaillements de torsion pure (T1) et en partie par des cisaillements secondaires* (T2).

T1  GK Le terme GK

d dx

et

T2  E

d 3  2 eds 3  C dx 

d représente l’inertie de torsion propre des éléments de la section transversale dx

(négligée par la méthode des entretoises rigides).

I.2.2 Principe de la méthode Cette méthode est applicable aux tabliers de ponts entretoisés dans la mesure où elle suppose l’indéformabilité de la section transversale. Nous allons déterminer les sollicitations dans le tablier : moment de flexion et de torsion, et les contraintes normales dues à la flexion, et celles provoquées par le gauchissement non uniforme, en intégrant l’équation différentielle de torsion.

L’existence de contraintes normales variables, le long de l’axe longitudinal de la poutre, entraîne celle de contraintes de cisaillement dites secondaires. *

Répartition transversale des efforts dans les tabliers de ponts

10

Définition de la structure étudiée Nous considérons un tablier de pont constitué de n poutres identiques, de hauteur h et d’épaisseur constante ea. Le hourdis est un voile de largeur totale B et d’épaisseur constante es. Les poutres sont régulièrement espacées, et on appelle b la distance entre l’axe de deux d’entre elles. La section droite sera assimilée à un profil mince, et la présence d’entretoises est prise en compte par le fait que l’on suppose cette section indéformable. Le chargement considéré est constitué par une densité linéaire constante de charges verticales, d’intensité Q. d Q

b

Figure 5 : profil en travers de la structure étudiée

On introduit les notations suivantes :

S s  Be s

S a  he a

s 

Ss Sa



b B

Caractéristiques mécaniques En partant des notations présentées précédemment : Aire totale de la section

S t  S a n   s 

Position du centre de gravité

Vs 

h n h n  2 s ; Vi  2 n  s 2 n  s

Moments principaux d’inertie

Iy 

 S a h 2 n n  4 s  S h2   ; I z  a  s2  n n 2  1  12 n  s 12   





Inertie de torsion n



1 1 K   L i e i3  S a  s e s2  ne a2 3 1 3



Pour déterminer le centre de torsion on utilise la méthode sectorielle. On commence par construire l’épure de l’aire sectorielle de pôle O, point du hourdis situé sur Gz, et de même origine. Le centre de torsion étant, par symétrie, sur Gz. On calcule l’intégrale

 yO eds par la



méthode utilisée pour le calcul des intégrales de Mohr : On doit tracer l’épure en y de la section.

Répartition transversale des efforts dans les tabliers de ponts

11

O

-2bh

-bh

+bh

+2bh

épure de l'aire sectorielle de pôle et d'origine O

2b

b

2b

b

O -b

-2b

-b

-2b

épure en y de la section C b



b

-b(h-)

-2b(h-)

-b

b(h-)

-2b

2b(h-)

épure de l'aire sectorielle principale

Figure 6 : détermination du centre de torsion

On calcule :

1 2  yO eds   24 Sa hb n n ²  1



Et en appliquant la formule concernant le changement de pôle :

 yO eds

zC  zO  

Iz

 zO 

h  ² n n ²  1  zO   2  S   ²n n ²  1

On peut alors tracer l’épure de l’aire sectorielle principale (de pôle C et d’origine O). On constate en particulier, qu’au droit de la fibre inférieure de la poutre d’abscisse yi selon Gy, la valeur de l’aire sectorielle principale est :



h 2 S   ² n n ²  1 yi 2  S   ²n n ²  1

Répartition transversale des efforts dans les tabliers de ponts

12

L’expression de l’inertie sectorielle en découle :

I 

S a b ²h ² n n ²  14 S   ²n n ²  1 144  S   ²n n ²  1

Etude des sollicitations dans le tablier Sous l’effet de la densité linéaire uniforme q, le tablier subit une flexion et une torsion. Le moment fléchissant engendré par q a pour expression :

1 M ( x )  qx L  x  2 Ce moment engendre sur la fibre inférieure des poutres une contrainte de traction égale à :

 inf   M ( x )

Vi 6 n  2 s  M( x ) Iy hS a n( n  4 s )

Par ailleurs le moment de torsion global a pour expression :

L T ( x )  qd   x  2  L’angle de rotation (x) engendré par le moment de torsion satisfait à l’équation :

d 3 d EI  3  GK  T(x ) dx dx En posant   2

GK , elle s’intègre sous la forme suivante : EI  qd L d  A ch x  B sh x  (  x) dx GK 2

A priori, les entretoises d’about empêchent la rotation des sections correspondantes, mais n’empêchent pas leur gauchissement. C’est pourquoi, pour calculer les constantes d’intégration, on exprime que :

d 2 d 2 ( L )  2 (0)  0 dx 2 dx Tous calculs faits, on aboutit à :

d 2 qd  ch L 2  x   1    ch L 2  dx 2 GK  Le gauchissement non uniforme des sections engendre des contraintes normales (et des contraintes tangentes corrélatives) dont l’expression générale est :

qd  ch L 2  x   d 2 1    ( x , s )  EC ( s ) 2  EC ( s ) GK  ch L 2  dx

Répartition transversale des efforts dans les tabliers de ponts

13

Compte tenu de la valeur de l’aire sectorielle principale au droit de la fibre inférieure des poutres (formule donnée précédemment), on en déduit qu’à l’abscisse yi suivant Gy, la contrainte normale sur cette fibre inférieure a pour expression : '  inf ( yi )  

E qdh 2 S   ² n n ²  1  ch L 2  x    y i 1  GK 2  S   ²n n ²  1  ch L 2 

Définition du coefficient d’excentrement La contrainte normale au droit de la fibre inférieure de la poutre d’abscisse transversale yi est la somme de la contrainte due à la flexion et à la torsion non uniforme. On peut donc définir un coefficient d’excentrement de la poutre d’abscisse yi comme étant le coefficient i tel que : '  inf   inf ( yi ) i   inf

Avec les expressions précédemment déterminées, il vient :

i  1 

E S a h ² n n  4 S 2 S   ² n n ²  1 y i d .F ( x ) G 6KL ² n  2 S  S   ²n n ²  1

Avec

F(x ) 

ch L 2  ch L 2  x  x x (1  )ch L 2 L L

Ainsi que nous venons de voir, la méthode des entretoises rigides et la méthode de la torsion gênée conduisent à des résultats voisins. Dans les applications pratiques, la méthode des entretoises rigides est beaucoup plus simple à mettre en œuvre que la seconde. Elle ne semble, toutefois, bien adaptée que dans le cas des tabliers en béton (armé ou précontraint). En effet, dans le cas des ponts en ossature mixte ou métalliques, les effets du gauchissement des sections peuvent affecter de façon sensible les bords des semelles inférieures des poutres principales. Or, ces effets ne peuvent être quantifiés par la méthode des entretoises rigides, qui présente un caractère relativement global. Donc si l’on veut examiner de près le niveau de contraintes dans les semelles des poutres de ponts métalliques, il est préférable de recourir à la théorie de la torsion non uniforme ou gênée.

Répartition transversale des efforts dans les tabliers de ponts

14

II. ÉTUDE DES TABLIERS DE PONTS A SECTION DROITE DÉFORMABLE Pour des raisons économiques et de facilité de réalisation, les ponts à poutres précontraintes ne comportent plus d’entretoises que sur appui, il est clair que la section droite ne peut être considérée comme étant indéformable. Le comportement mécanique de tels tabliers s’écarte donc de celui résultant de l’application des méthodes classiques de la résistance des matériaux.

II.1 méthode des matrices – transfert de flexion transversale Cette méthode a été développée au départ par P. Cart et J. Fauchart. Il s’agit d’un modèle d’analyse initialement prévu pour le calcul des dalles nervurées dépourvues d’entretoises intermédiaires. Mais elle est couramment employée pour le calcul de la répartition transversale des sollicitations dans un tablier de pont à poutres, moyennent quelques adaptations évoquées ci – après. Dans ce qui suit nous la présentons à l’aide du formalisme des matrices – transfert.

II.1.1 hypothèses de base de la méthode La structure étudiée est une travée de pont indépendante de longueur L, comportant m poutres entretoisées seulement sur appui, reliées par un hourdis d’épaisseur h. z x

poutre (m)

hourdis (i+1)

bi+1

poutre (i)

2ai

bi

y Figure 7 : caractéristiques géométriques de la structure étudiée

On note 2ai la largeur mesurée au niveau au niveau de la fibre supérieure de la poutre n°i, et on appelle Ri=EIi et i=GKi les rigidités flexionnelle et torsionnelle suivant l’axe longitudinal (Ox). Par ailleurs, la bande de hourdis n°i, compris entre les poutres n° (i-1) et (i) est de largeur bi. Les poutres sont simplement appuyées en flexion, mais encastrées à la torsion grâce eux entretoises d’about. La complexité de cette structure vient du fonctionnement en plaque du hourdis. Ce dernier sera considéré comme étant formé de bandes transversales indépendantes entre les poutres. Cette hypothèse néglige les effets de flexion longitudinale du hourdis.

Répartition transversale des efforts dans les tabliers de ponts

15

m''i

qpi(x) i

v''i

hourdis (i)

qhi

m'i

poutre (i)

vi mi

v'i

i

y

bi

Ti Figure 8 : efforts tranchants et moments sollicitant les éléments du tabliers

Hourdis n° i Soit D la rigidité flexionnelle dans le sens transversal par unité de longueur :

Eh 3 D 121   ²  Soient v’i et v’’i les efforts tranchants, par unité de longueur, en ses extrémités, m’i et m’’i les moments fléchissants, par unité de longueur en ces mêmes extrémités. Le hourdis est soumis à une densité linéaire de charge, « en lame de couteau » notée qhi(x), située à la distance i de son origine. Poutre n° i Elle subit une flexion dans son plan moyen vertical (flèche zpi, comptée positivement suivant Oz) et une torsion d’axe longitudinal, caractérisée par l’angle de rotation i. On note respectivement Vi(x) et Ti(x) son effort tranchant et son moment de torsion. Elle est soumise de la part des hourdis qui sont enracinés : - aux densités v’’i et m’’i d’effort tranchant et de moment fléchissant, transmis par le hourdis n°i. - aux densités v’i+1 et m’i+1 d’effort tranchant et de moment fléchissant, transmis par le hourdis n°i+1. Par ailleurs elle peut supporter une densité de charge longitudinale « en lame de couteau » de densité qpi(x), située à une distance i de son plan moyen.

Répartition transversale des efforts dans les tabliers de ponts

16

Déplacement des hourdis et des poutres Il est facile d’établir que le déplacement vertical à l’origine du hourdis n°i (enraciné à la poutre n° i-1) est égal à :

z p , i 1  a i 1 i 1 Est que le déplacement vertical en son extrémité (enraciné à la poutre n° i) est égal à :

z p ,i  a i  i Les angles de rotation transversale des extrémités de cette bande de hourdis sont égaux respectivement à i-1 et i. Etude de la bande de hourdis n°i En comptant les coordonnées y à partir de l’origine de la bande de hourdis considérée, on note vi(y), mi(y), i(y) et zhi(y) l’effort tranchant, le moment fléchissant, l’angle de rotation et le déplacement vertical de cette bande à la distance y de son origine. L’effort tranchant et le moment fléchissant s’entendent par unité de longueur dans le sens de l’axe Ox. Les équations d’équilibre et de déformation appliquées à cette bande se traduisant par :

v i ( y )  v ' i q hi Y  y   i  * (Y fonction de Heaviside)*

m i ( y )  m ' i v ' i y  q hi  y   i Y  y   i 

i ( y )   i 1  m ' i

y y2 1  v 'i  q hi  y   i 2 Y  y   i  D 2D 2D

y2 y3 1 z hi ( y )  z p , i 1  a i 1 i 1  y i 1  m ' i  v 'i  q hi  y   i 3 Y  y   i  2D 6D 6 D En faisant y=bi dans ces équations, en se souvenant que z hi ( b i )  z p , i  a i  i et en remplaçant i par sa précédente expression, il vient :

v "i  v ' i q hi

m"i  m ' i b i v ' i q hi b i   i 

bi b2 1  i   i 1  m ' i  v ' i  q hi b i   i 2 D 2D 2D

z pi

*

bi bi  2a i  bi2 bi  3a i   z p , i 1  a i 1  bi  a i  i 1  m ' i  v 'i  2D 6D 1 qhi bi   i 3 3a i  bi   i  6D

Fonction de Heaviside :

1 si y   Y y    0 si y  

Répartition transversale des efforts dans les tabliers de ponts

17

Ces relations peuvent se mettre sous la forme matricielle :

 b i ( 2a i  b i )  z pi  1 ( a i 1  b i  a i ) 2D     bi  i   0 1  m"    D  i  0 0 1  v "i   0 0  1  0   0 0 0

 b i2 ( 3a i  b i ) q  hi b i   i 2 3a i  b i   i  z p , i 1  6D 6D    b i2 q hi  i 1   bi   i 2  m ' i  2D 2D   bi  q hi b i   i  v '  i  1  q hi  1   0 1

On appelle alors les vecteurs d’état à l’origine et à l’extrémité de la bande de hourdis n°i les vecteurs :

 z pi   z p , i 1       i    i 1  Ei"   m"i  et Ei' 1   m ' i       v "i   v 'i   1   1      La précédente relation peut alors s’écrire sous la forme synthétique suivante :

Ei"  H i Ei' 1 Où Hi est la matrice – transfert de la bande de hourdis n°i, il convient de noter que les termes de la cinquième colonne de cette matrice sont, à priori, des fonctions de l’abscisse x par l’intermédiaire du facteur qhi. Equilibre de la poutre n°i On considère une tranche de poutre de longueur dx. Les équations fondamentales d’équilibre de cette tranche sont les suivantes :

dVi  v i"  v i' 1  q pi dx





dV  i dx

d 2 i dT et i  i 2 dx dx

dTi  a i v i"  v i' 1  q pi  i  m i' 1  m i" dx Mais

Ri

d 4 z pi dx 4

On en déduit donc

Ri

d 4 z pi dx

4

 v i"  v i' 1  q pi

d 2 i i  a i v i"  v i' 1  q pi  i  m i' 1  m i" 2 dx





Répartition transversale des efforts dans les tabliers de ponts

18

L’équilibre de la poutre n°i se traduit donc par une deux équations différentielles. Pour les linéariser, on effectue une développement en série de sinus des diverses grandeurs m’i, m’’i, v’i, v’’i, zpi, i et qpi, ainsi que la densité de charge qhi. Le k-ième terme du développement en série de ces grandeurs est affecté de l’indice k. en particulier, 

z pi   z pi ,k sin k 1

kx L



 i   i ,k sin

et

k 1

kx L

Le développement en série de sinus permet de satisfaire aux conditions sur appui de la travée indépendante. On note alors que :

d 4 z pi dx 4



  z pi ,k sin( k 1

k 4 kx ) sin L L

 d 2 i k 2 kx    sin( ) sin  i , k L L dx 2 k 1

et

On pose alors

 i ,k  R i (

k 4 k ) et  i ,k  i ( )2 L L

Et on peut écrire

 i ,k z pi ,k  v i",k  v i' 1,k  q pi ,k   i ,k i ,k  a i ( v i",k  v i' 1,k )  q pi ,k i  m i' 1,k  m i",k Désormais, pour alléger les écritures, nous omettons l’indice k, étant entendu que les relations explicitées sont relatives à chaque terme du développement en série de sinus. De même, la matrice Hi établie au paragraphe précédent est calculée pour chaque terme du développement en série de sinus de qhi(x). On peut alors écrire :

v i' 1    i z pi  v i''  q pi m i' 1   i  i  a i ( 2v i"   i z pi  q pi )  q pi  i  m i" On introduit les vecteurs d’état de part et d’autre de la poutre n°i :

 z pi   z pi       i   i  Ei' 1   m ' i 1  et Ei"   m"i       v ' i 1   v "i   1   1      A l’aide de ce qui précède on peut écrire matriciellement

Ei' 1

 1   0    a i i   0  0 

0 1

0 0

0 0

i 0 0

1 2a i 0 1 0 0

    q pi ( a i   i )  Ei"   q pi   1  0 0

Répartition transversale des efforts dans les tabliers de ponts

19

Ou encore

Ei' 1  Pi Ei" Où Pi est la matrice – transfert de franchissement de la poutre n°i. Résolution du problème Pour chaque poutre est chaque bande de hourdis, nous avons pu établir l’expression de la matrice – transfert relative à chaque terme du développement en série de sinus des grandeurs longitudinales. On peut alors calculer les termes de la matrice – transfert F de flexion transversale telle que :

Em' 1  FE1" Avec

F  Pm H m 1Pm 1 .....H 2 P1 Le problème se résout en explicitant les conditions aux limites le long des bords du tablier, au niveau de l’enracinement des bandes de hourdis latérales sur la poutre n°1 ou la poutre n°m. par exemple si ces bandes ne sont pas directement chargées,

m n' 1  v n' 1  0 et m1"  v 1"  0 Compte tenu de ces conditions, la relation Em 1  FE1 permet d’expliciter deux équations '

"

relatives aux inconnues zp1 et 1. Une fois ces inconnues calculées, on peut déterminer le vecteur d’état de flexion transversale en tout point de la section.

II.1.2 modalités pratiques d’application de la méthode Telle qu’elle vient d’être décrite, la méthode ne se prête guère au calcul manuel ; par contre, elle est parfaitement adaptée à un calcul automatique. Dans la pratique on applique une seule charge en « lame de couteau » d’intensité longitudinale constante, égale à l’unité, que l’on déplace transversalement de façon à tracer la ligne d’influence d’une sollicitation donnée (par exemple le moment fléchissant dans une poutre). On atteint une bonne précision, dans le cas de charges réparties, en ne considérant que le premier terme du développement en série de sinus. Mais le problème majeur réside toujours dans l’affectation aux poutres caractéristiques de flexion et de torsion appropriées ; il convient d’affecter aux poutres la rigidité de flexion et de torsion calculées en leurs attribuant la portion de hourdis qui leur revient : en effet il faut pouvoir tenir compte du fait que ce hourdis transmet des contraintes normales dans le sens longitudinal, même si dans le sens transversal on le suppose découpé en bandes entre ses sections d’enracinement sur les poutres. Il convient aussi de prendre en compte le moment d’inertie de torsion des dalles évalué selon la théorie des plaques et non selon la théorie des poutres.

Répartition transversale des efforts dans les tabliers de ponts

20

II.1.3 Exemple numérique Dans allons utiliser la méthode des matrices – transfert pour étudier une travée indépendante de 30m d’un tablier en forme de dalle nervurée.

Figure 9 : géométrie de la structure étudiée et poutre isolée

Pour appliquer la méthode, on associe à chaque poutre la moitié de la largeur du tablier, soit 4,50m. Détermination des caractéristiques de la structure - Centre de gravité de la section : distance comptée à partir de la fibre supérieure.

YG  -

 S i Yi  Si



3,375  0,12  0,6132m 5,7

Le moment d’inertie de flexion de chaque poutre :

I  0,5177m 4 - Le moment d’inertie de torsion de chaque poutre : L’inertie de torsion du hourdis sera calculée selon la théorie des plaques :

1 1 1 K 1   bh hh3    3  0,2 3  0,004 m 4 23  6 L’inertie de torsion de la nervure :

K 2  bn hn3  0,141  1,5  1,5 3  0,7138m 4 * K  K 1  K 2  0,7178m 4 On calcule les termes des matrices – transfert des poutres et de la bande hourdis intermédiaire (les matrices – transfert des bandes de hourdis latérales ne sont pas calculées car les charges sur ces bandes peuvent être directement introduites dans la cinquième colonne des matrices des

Inertie de torsion d’une section rectangulaire :  est en fonction du rapport b/h ; cette valeur est donnée dans un tableau tiré du cours de résistance des matériaux de M. Courbon. *

Répartition transversale des efforts dans les tabliers de ponts

21

poutres avec leurs excentricités réelles  2   1  0,75 et  0,75   2  2 où  est compté à partir de la mi – largeur de la poutre). Pour déterminer la matrice – transfert des poutres, on se borne au premier terme du développement en série de sinus (k=1).

k 4  )  1  EI ( )4  6,22 10 5 E L L k   GK ( )2   1  GK ( )2  3,42 10  3 E L L

1,k  EI (  1,k

L’expression de la matrice – transfert de la poutre n°1 est :

1   0    4 ,66.10 5  0   0 

0 1 3,42.10 3 0 0

0 0 0   0 0 0  1 1,5  q1 ( 0,75   1 )   0 1  q1   0 0 1 

L’expression de la matrice – transfert de la poutre n°2 est identique à la précédente, en remplaçant q1 par q2 et 1 par 2. L’expression de la matrice – transfert du hourdis intermédiaire est la suivante : 1 5 1, 28.10 4 1,72.104  2,44.10 2 q 2' 3,5   2 5,57      3 3  7,33.10 2 q 2' 3,5   2 0 1 5,13.10 8,98.10  0 0  1 3,5  q 2' 3,5      0 1  q 2' 0 0  0 0  0 0 1   On effectue alors les produits matriciels et, en exprimant les conditions aux limites (v’’1= m’’1=0 et v’3= m’3=0), on peut déterminer zp1 en déplaçant la charge linéaire q sur toute la largeur du hourdis. Comme on ne s’intéresse qu’au premier terme du développement en série de sinus, il convient de

faire q  4  dans chacune des positions étudiées. Le moment fléchissant dans la poutre n°1 en découle puisque :

M 1  I (

 2 ) z p1 30

Les valeurs numériques trouvées pour M1 sont les suivantes : y

0

1,25

2

2,75

3,75

4,5

5,25

6,25

7

7,75

9

M1 74,78 72,19 70,64 69,09 64,08 58,05 52,02 47,02 45,47 43,92 41,33 On constate que lorsque est dans la section médiane (y=4,5m), le moment, égal à 58,05, est peu différent du moment théorique (56,25). C’est pourquoi, il est généralement suffisamment de s’en

Répartition transversale des efforts dans les tabliers de ponts

22

tenir au premier terme du développement en série de Fourrier. Le dessin de la figure montre l’allure de la ligne du moment fléchissant dans la poutre n°1.

Figure 10 : ligne d’influence du moment fléchissant dans la poutre n°1

Répartition transversale des efforts dans les tabliers de ponts

23

II.2 méthode de Guyon – Massonnet : calcul des grillages de poutres et dalles orthotropes Le calcul des grillages de poutres à fait dans le passé, l’objet d’un grand nombre de publications. Ce problème complexe et d’hyperstaticité élevée a été résolu, en général à partir de la forme réelle de la construction. Comme les méthodes rigoureuses ne se prêtaient pas aux besoins de la pratique, différentes méthodes approchées ont été établies, facilitant d’une part les calculs mais réduisant, d’une part, leur exactitude et, par là, leurs possibilités d’application. La méthode de Guyon – Massonnet est une méthode pratique de calcul des dalles ou de réseaux de poutres largement appliquées au calcul des tabliers de ponts. Initialement développée pour des dalles isotropes, elle fut ensuite étendue au cas des dalles orthotropes. Le grillage consiste en deux familles de poutres pouvant, en général, se couper sous un angle quelconque. Ces familles sont ordinairement perpendiculaires l’une à l’autre. De plus, l’une ou plus souvent toutes les deux sont solidaires d’une dalle constituant le platelage ou le tablier de pont.

II.2.1 principe de la méthode Le grillage de poutres constitué des poutres longitudinales et des entretoises d’about, sera substitué par une dalle droite orthotrope (analysable rigoureusement par le calcul différentiel), ayant deux bords libres et deux bords simplement appuyés. Cette structure possède les mêmes rigidités moyennes à la flexion et à la torsion que l’ouvrage réel. L’hypothèse de base de la méthode consiste à admettre que le coefficient de Poisson du matériau constitutif, supposé homogène, est nul. Cette hypothèse est admissible, dans le cas des ponts en béton : - pour les tabliers à poutres, car le gonflement du béton dans le sens transversal peut s’effectuer librement, - pour les dalles pleines, précontraintes dans le sens longitudinal mais simplement armées dans le sens transversal, car les fissures longitudinales affectant le béton tendu nous ramènent au cas précédent. Par contre, dans le cas d’une dalle pleine, doublement précontrainte, l’hypothèse est contestable. Nous considérons une structure (longueur L, largeur 2b) constituée de m poutres longitudinales (portée L, espacées de b1), et de n entretoises espacées de l1 mètres. Désignons par BP = EIP la rigidité flexionnelle des poutres, et par BE = EIE celle des entretoises, et appelons d’autre part CP=GKp et CE=GKE les rigidités torsionnelles respectives des poutres et des entretoises.

Répartition transversale des efforts dans les tabliers de ponts

24

l1

b

b

a p p u i

e n t r e t o i s e s

p o u t r e s

s i m p l e

a p p u i

b1 x

s i m p l e

L y

Figure 11 : structure réelle discontinue

La dalle fictive à structure continue équivalente au pont réel, aura pour rigidités flexionnelles par unité de longueur :

P 

BP I E P b1 b1

et

E 

BE I E E l1 l1

Et aura pour rigidités torsionnelles par unité de longueur :

P 

CP K G P b1 b1

et

E 

CE K G E l1 l1

L’équation différentielle des dalles orthotropes, dans le cas du problème considéré, peut se mettre sous la forme :

 4W  4W  4W P   P   E  2 2   E  q( x , y ) x 4 x y y 4 Dans cette expression, W(x,y) représente la déformée de la dalle, comptée positivement suivant l’axe Oz, q(x,y) es la densité de charge par unité de surface, également comptée positivement suivant Oz. L’hypothèse de nullité du coefficient de Poisson simplifie beaucoup l’expression des sollicitations puisque :

 2W  2W  2W  2W M x  P ; M y  E ; M xy   P ; M yx   E xy xy x 2 y 2 Si le tablier est formé de poutres dont la résistance à la torsion est négligeable, le coefficient

(  P   E ) est pratiquement nul. Au contraire, si le pont est une dalle isotrope, on a :

P  E  

et

 P   E  2

Répartition transversale des efforts dans les tabliers de ponts

25

Les structures réelles ayant un comportement intermédiaire entre ces deux comportements particuliers, l’équation différentielle est mise sous la forme :

 4W  4W  4W P  2  P  E  E  q( x , y ) x 4 x 2 y 2 y 4 Avec



P E 2 P  E

Le coefficient  est appelé paramètre de torsion : il caractérise la rigidité de la plaque à la torsion ; il évolue entre 0 et 1. Par ailleurs, on peut montrer que le fonctionnement du tablier est complètement défini par ce paramètre, et par un autre paramètre , qui caractérise la souplesse de l’entretoisement :



b P 4 L E

Pour analyser de manière approchée l’effet de la répartition transversale des charges, on admet qu’elle est la même si ces charges se réduisaient au premier terme de leur développement en série de Fourrier suivant l’axe de la dalle :

q( x , y )  q1 ( y ) sin

x L

Où q1(y) est la valeur constante du chargement. Massonnet* justifie cette hypothèse par le fait qu’on obtient, dans une poutre, les moments fléchissants maxima en chargeant la construction entière sur toute la longueur dans une bande d’une certaine largeur, et en situant la charge maximum aux environs du milieu de la portée. En ajoutant à ces charges utiles le poids mort uniformément réparti, nous constatons que la charge totale est répartie presque sinusoïdalement (fig. 12).

Figure 12 : remplacement de la charge par une charge sinusoïdale MASSONNET Ch. : méthode de calcul des ponts à poutres multiples tenant compte de leur résistance à la torsion. Mémoires A.I.P.C 10, 1950, pp. 147 – 182. *

Répartition transversale des efforts dans les tabliers de ponts

26

Le coefficient de répartition transversale et ses propriétés Sous l’effet de la charge linéaire répartie appliquée à la construction (fig. 13) sur une parallèle à l’axe X d’excentricité e, et suivant la loi sinusoïdale

q( x , y )  q1 ( y ) sin

x L

La structure prend une déformée en demi – onde de sinusoïde selon l’équation :

( x , y )  W ( y ) sin

x L P1 sin(x/L)

e

b X W(y)

Y

b

L Figure 13 : déformée de la structure sous l’effet du chargement

Si la charge P(x), au lieu d’être répartie sur une droite, est répartie uniformément sur la larguer 2b de la construction (tout en restant sinusoïdale dans le sens longitudinal), la structure prend, dès lors, une déformée en surface cylindrique d’équation :

0 ( x )  W0 sin

x L

Désignons le rapport du déplacement vertical (x,y) d’un point de la construction sous l’effet d’une charge linéaire p(x) à celui de 0(x,y) du même point, mais sous l’effet de la charge p0(x) uniformément répartie sur la largeur du pont, par le coefficient de répartition transversale K(y) :

K( y ) 

( x , y ) W ( y )  0 ( x ) W0

De ce qui a été dit plus haut, il résulte que le coefficient K dépend : a) de la valeur du paramètre d’entretoisement  ; b) de la valeur du paramètre de torsion  ; c) de l’excentricité relative(e/b) de la charge linéaire ; d) de l’ordonnée relative (y/b) du point considéré de la structure. La flèche moyenne de la section transversale de la structure est donnée par l’égalité :

W0 

1 b W ( y )dy 2b b

Répartition transversale des efforts dans les tabliers de ponts

27

Si l’on divise membre à membre cette égalité par la valeur W0 et que l’on introduit la définition de K, on peut écrire :

1 b K ( y )dy  1 2b b Ce qui signifie que la l’ordonnée moyenne de la ligne d’influence  doit être égale à l’ordonnée  d'une structure chargée uniformément sur toute la largeur. On divise la construction dans le sens de la largeur, en 8 bandes de même largeur. Ayant fait cela, il est facile de calculer, de manière approchée, la surface d’influence, par la méthode de Simpson ou par la méthode des trapèzes.

K 8  2b  K 0        b K ( y )dy  8  2  K 1  K 2  K 3  K 4  K 5  K 6  K 7  2  b

En vertu du théorème de Betti, le déplacement vertical en y dû à la ligne de forces unitaires en e est égal à celui en e provoqué par la ligne de forces unitaire en y. la même propriété de réciprocité doit être appliquée aux coefficients K, ceux – ci étant, au fond, les déplacements verticaux divisés par une certaine constante. On peut donc écrire :

K ( a ,b )  K ( b , a ) Comme il a été indiqué, le coefficient K dépend entre autres, de la valeur du paramètre . Pour éviter de calculer séparément K pour chaque valeur de  à partir de relations complexes, Massonnet à déduit, sur la base de calculs d’un grand nombre de cas, la formule d’interpolation :

K   K 0  K 1  K 0   Dans laquelle on emploie les coefficients K0 et K1 pour les valeurs extrêmes =0 et =1.

II.2.2 Exemple d’application La structure étudiée est un pont de 35m de longueur et de 23m de largeur, construit en béton précontraint. La section transversale est constituée de 15 poutres (distance entre – axes 1,535m), et de deux entretoises de rive, assurant l’encastrement des poutres à la torsion. La dalle fictive qui modélisera le pont et fera l’objet de notre étude, aura une largeur de 2b, Comptant un nombre entier de distances entre axes des poutres. Elle est alors supérieure à la largeur réelle du pont. Soit n le nombre de poutres, et b1 la distance entre axes des poutres. 2b = n  b1 = 15  1,535 = 23,025m. Nous étudierons la moitié de la dalle fictive soit une largeur b=11,5125m, comportant 8 poutres. Les positions des poutres seront alors calculées à partir de l’axe de symétrie du pont ; la position de la poutre n°i sera donc 1,535 i. La position active d’une poutre est le rapport entre sa position et la largeur de la dalle b. La position active de la poutre Px sera :

1,535x b 11,5125

Répartition transversale des efforts dans les tabliers de ponts

28

poutre Position Position active 0 0,0000 0,0000 1 1,5350 0,1333 b 2 3,0700 0,2666 b 3 4,6050 0,4000 b 3 6,1400 0,5333 b 5 7,6750 0,6666 b 6 9,2100 0,8000 b 7 10,7450 0,9333 b Tableau 1 : numérotation des poutres et positions actives

On trace pour chaque effort la ligne d’influence de son coefficient de répartition transversale et cela pour les différentes excentricités de charges e = (±b ; ±3b/4 ; ±b/2 ; ±b/4 ; 0), et pour les cinq sections de la largeur active de la dalle y = (0 ; +b/4 ; +b/2 ; +3b/4 ; +b). On utilise ensuite l’interpolation linaire pour passer des positions y des bandes de la dalle aux positions actives des poutres, et on déplace la surcharge de façon à obtenir les plus grandes ordonnées et on retiendra pour les calculs des efforts l’excentricité qui donne les plus grandes valeurs des coefficients.

poutre -7

poutre -6

poutre -5

poutre -4

poutre -3

poutre -2

poutre 0

dalle fictive

structure réelle

poutre -1

axe de symétrie du pont

poutre 1

poutre 2

poutre 3

b=11,5125

11,25

poutre 4

poutre 5

poutre 6

poutre 7

Répartition transversale des efforts dans les tabliers de ponts 29

Figure 14 : Dimensions de la dalle fictive et positions actives des poutres.

Répartition transversale des efforts dans les tabliers de ponts

30

Calcul des paramètres  et  On calcul ces paramètres en utilisant les expressions données précédemment :



P E b P 4  1,4339 et    0,204 L E 2 P  E

Répartition du moment fléchissant Le coefficient de répartition du moment fléchissant K dépend bien sûr des paramètres  et  et des excentricités des poutres y et des charges e. Pour des valeurs de  supérieures ou égales à 1 :

K  K 0  ( K1  K 0 )  Vu que la valeur de  trouvée est de 1,4339, nous aurons besoin des tables de MASSONNET

GUYON

–

donnant les valeurs de K0 et K1 pour les valeurs de  égales à 1,4 et 1,5.

y K0 =1,40 0,0 b/4 b/2 3b/4 b = 1,50 0,0 b/4 b/2 3b/4 b

e -b

- 3b/4

- b/2

- b/4

0,00

b/4

b/2

3b/4

b

-0,5558 -0,1892 -0,0058 0,0445 0,0525

-0,0833 -0,1691 -0,0948 -0,0173 0,0445

0,6947 0,0067 -0,1461 -0,0948 -0,0058

2,0637 0,6806 0,0067 -0,1691 -0,1892

3,1479 2,0637 0,6947 -0,0833 -0,5558

2,0637 3,1979 2,1085 0,5281 -0,8337

0,6947 2,1085 3,2447 2,0248 0,0415

-0,0833 0,5281 2,0248 3,7775 4,0743

-0,5558 -0,8335 0,0415 4,0743 12,4402

-0,4676 -0,1076 0,0265 0,0381 0,0189

-0,1217 0,5893 2,0738 3,3539 2,0738 -0,1583 -0,0620 0,5700 2,0738 3,4056 -0,0711 -0,1516 -0,0620 0,5893 2,1332 -0,0053 -0,0711 -0,1583 -0,1217 0,4499 0,0381 0,0265 -0,1076 -0,4676 -0,8768 Tableau 2 : tables de GUYON-MASSONNET

0,5893 2,1332 3,4762 2,0315 -0,2397

-0,1217 0,4419 2,0315 3,9049 3,8974

-0,4676 -0,8768 -0,2397 3,8974 13,3287

Cette table donne les valeurs du coefficient K0 pour  =1,40 et 1,50 en fonction des positions y des bandes étudiées par la théorie y = (0 ; +b/4 ; +b/2 ; +3b/4 ; +b) ; et des excentricités des charges e = (±b ; ±3b/4 ; ±b/2 ; ±b/4 ; 0). On procède par interpolation linéaire pour déterminer les valeurs de K0 pour  =1,4339. y e K0 =1,4339 0,0 b/4 b/2 3b/4 b

-b

- 3b/4

- b/2

- b/4

0,00

b/4

b/2

-0,5259 -0,1615 0,0051 0,0423 0,0411

-0,0963 0,6590 2,0671 3,2177 2,0671 0,6590 -0,1654 -0,0166 0,6431 2,0671 3,2683 2,1169 -0,0868 -0,1480 -0,0166 0,6590 2,1169 3,3232 -0,0132 -0,0868 -0,1654 -0,0963 0,5016 2,0271 0,0423 0,0051 -0,1615 -0,5259 -0,8483 -0,0538 Tableau 3 : table de K0 relative à  =1,4339

3b/4

b

-0,0963 0,4989 2,0271 3,8207 4,0143

-0,5259 -0,8482 -0,0538 4,0143 12,7414

Répartition transversale des efforts dans les tabliers de ponts

31

De la même manière, nous déterminons les valeurs de K1. y e K1 =1,4339 0,0 b/4 b/2 3b/4 B

y e K =1,4339 0,0 b/4 b/2 3b/4 b

-b

- 3b/4 - b/2

0,2169 0,0831 0,0318 0,0130 0,0061

0,3930 0,7988 1,5664 2,2626 1,5664 0,7991 0,1598 0,3493 0,7795 1,5664 2,2836 1,6225 0,0637 0,1459 0,3493 0,7988 1,6225 2,4159 0,0269 0,0637 0,1598 0,3930 0,9123 1,8965 0,0130 0,0318 0,0831 0,2169 0,5514 1,3423 Tableau 4 : table de K1 relative à =1,4339 - b/2

- b/4

- b/4

0,00

0,00

b/4

b/4

b/2

-b

- 3b/4

b/2

-0,1903 -0,0510 0,0172 0,0291 0,0253

0,1248 0,7222 1,8408 2,7861 1,8408 0,7223 -0,0185 0,1488 0,7048 1,8408 2,8233 1,8935 -0,0188 -0,0152 0,1488 0,7222 1,8935 2,9132 0,0049 -0,0188 -0,0185 0,1248 0,6872 1,9681 0,0291 0,0172 -0,0510 -0,1903 -0,2158 0,5771 Tableau 5 : Valeurs du coefficient de répartition K

3b/4

b

0,3930 0,9123 1,8965 3,0249 3,0426

0,2169 0,5514 1,3423 3,0426 6,0063

3b/4

b

0,1248 0,6857 1,9681 3,4611 3,5752

-0,1903 -0,2157 0,5771 3,5752 9,6979

Ces valeurs sont données en fonctions des cinq bandes, étudiées par la théorie et Pour passer aux positions réelles des poutres, nous utiliserons l’interpolation linéaire entre leurs positions actives données précédemment, et les positions y des bandes étudiées. y e -b - 3b/4 - b/2 - b/4 0,00 K 0,0 -0,1903 0,1248 0,7222 1,8408 2,7861 0,133b -0,1160 0,0484 0,4164 1,2349 2,2820 b/4 -0,0510 -0,0185 0,1488 0,7048 1,8408 0,266b -0,0464 -0,0185 0,1378 0,6677 1,7663 0,400b -0,0101 -0,0186 0,0504 0,3712 1,1696 b/2 0,0172 -0,0188 -0,0152 0,1488 0,7222 0,533b -0,0040 -0,0611 -0,0088 0,4475 1,7894 0,666b 0,0251 -0,0030 -0,0176 0,0373 0,3239 3b/4 0,0291 0,0049 -0,0188 -0,0185 0,1248 0,800b 0,0283 0,0098 -0,0116 -0,0250 0,0618 0,933b 0,0263 0,0226 0,0076 -0,0423 -0,1062 b 0,0253 0,0291 0,0172 -0,0510 -0,1903 Tableau 6 : Valeurs du coefficient de répartition Ka

b/4

b/2

3b/4

1,8408 0,7223 0,1248 2,3648 1,3469 0,4239 2,8233 1,8935 0,6857 2,7613 1,9615 0,7712 2,2654 2,5053 1,4551 1,8935 2,9132 1,9681 4,0488 4,6018 -0,6994 1,0893 2,2831 2,9634 0,6872 1,9681 3,4611 0,5066 1,6899 3,4839 0,0250 0,9480 3,5448 -0,2158 0,5771 3,5752 relatives aux positions réelles

b

-0,1903 -0,2039 -0,2157 -0,1629 0,2599 0,5771 -4,7796 2,5758 3,5752 4,7998 8,0652 9,6979

On trace pour chaque poutre la ligne d’influence représentée par ces coefficients de répartition. L’ordonnée de chaque point du diagramme représente la valeur de K pour cette poutre quand une charge unitaire serait placée sur son abscisse. Le coefficient K représente le rapport entre le moment réel et celui obtenu par répartition équitable sur l’ensemble des poutres.

Répartition transversale des efforts dans les tabliers de ponts

32

Structure réelle Dalle fictive Poutre centrale

-b -0,5000 1 0,0000 0,5000 1,0000 1,5000 2,0000 2,5000 3,0000

-3b/4 -0,1903

-b/2

-b/4

0

b/4

b/2

3b/4

b -0,1903 0,1248

0,1248 0,7222

0,7223 1,8408

1,8408 2,7861

Figure 15 : ligne d'influence du coefficient K pour la poutre centrale

Nous remarquons que le coefficient de répartition dans ce cas à une allure symétrique ce qui est dû à la position de la poutre centrale qui coïncide avec l’axe de symétrie du pont. Ce graphe représente un maximum au droit de la poutre étudiée ce qui est logique ; car la poutre la plus proche du chargement est celle qui est la plus sollicitée. Les autres graphes seront donnés en annexe. Etude du chargement Nous allons à présent passer des excentricités e de la charge unitaire données par les graphes aux positions réelles des surcharges. Le pont ne sera pas chargé dans le sens transversal dans la totalité de sa largeur; les surcharges sur les trottoirs –par exemple- se verrons limiter par les glissières de sécurité et le garde corps, ceci dit elles ne circulent que sur une largeur de 1,65m de part et d’autre du tablier, et seront représentées par des charge partiellement réparties cette largeur. Les surcharges roulantes seront limiter par les bordures et devrons laisser des surlargeurs données par le cahier de prescription des surcharges. - Le système A(L) chargera toute la largeur chargeable, soit 4m pour une seule file. - Le système Bc sera représenté comme deux charges concentrées au milieu des roues, espacées de 2m, et seront positionnées au moins à 25cm depuis les bordures. - Le système Bt lui aussi sera considéré comme deux charges concentrées espacées de 2m mais positionnées à 50cm au moins depuis les bordures. - Le convoi Mc120 sera considéré comme deux charges partiellement réparties sur 1m, et seront éloignées d’au moins 0,50m des bordures. - Le convoi D240 sera considéré comme une charge répartie sur une largeur de 3,2m et sera éloigné d’au moins 1,9m des bordures.

Répartition transversale des efforts dans les tabliers de ponts

33

Nous placerons ainsi les systèmes un par un pour chaque cas de chargement, et nous déterminerons pour chaque chargement le coefficient de répartition résultant. Les systèmes seront placés afin de générer le coefficient le plus grand possible, puisque pour les K la régression est parabolique et le cas le plus défavorable est quand les charges sont placées en symétrie par rapport à l’axe de la poutre étudiée. La figure suivante montre le chargement maximal relatif à la poutre centrale, Nous devons rapprocher les systèmes le plus possible de la poutre tout en respectant les distances à laisser depuis les bordures. ns le cas des charges concentrées ; la valeur sera directement lue sur le graphe, pour le système Bc par exemple ; on prendra la moyenne des valeurs trouvées pour les deux charges. K  du convoi 

 K n

Avec n nombre de charges du convoi. Pour les charges réparties la valeur du coefficient sera déterminée comme suit :

K 

S l

Avec S aire du graphe sous la largeur chargée. Elle sera calculée par la méthode des trapèzes. Et l largeur chargée. Les positions des charges sont calculées depuis l’axe du pont. Les résultats relatifs à la poutre centrale sont détaillés dans les tableaux qui suivent : Convoi

Bc 1file chargée 2files chargées

21file chargée

3files chargées

4files chargées

Position des charges 1,2500 3,2500 1,2500 3,2500 3,7500 5,7500 1,2500 3,2500 -1,2500 -3,2500 1,2500 3,2500 3,7500 5,7500 -1,2500 -3,2500 1,2500 3,2500 3,7500 5,7500 -1,2500 -3,2500 -3,7500 -5,7500

K par charge

K par convoi

Convoi

Position des charges

Bt 2,3756 2,0360 1file chargée 1,6963 2,3756 1,5747 2files chargées 1,6963 1,5020 0,7247 2,3756 2,0360 21file chargée 1,6963 2,3756 1,6963 2,3756 1,7284 3files chargées 1,6963 1,5020 0,7247 2,3756 1,6963 2,3756 1,5747 4files chargées 1,6963 1,5020 0,7247 2,3756 1,6963 1,5020 0,7247 Tableau 7 : Valeurs de K pour les charges concentrées.

1,5000 3,5000 1,5000 3,5000 4,5000 6,5000 1,5000 3,5000 -1,5000 -3,5000 1,5000 3,5000 4,5000 6,5000 -1,5000 -3,5000 1,5000 3,5000 4,5000 6,5000 -1,5000 -3,5000 -4,5000 -6,5000

K par charge 2,2935 1,5992 2,2935 1,5992 1,2105 0,5679 2,2935 1,5992 2,2935 1,5992 2,2935 1,5992 1,2105 0,5679 2,2935 1,5992 2,2935 1,5992 1,2105 0,5679 2,2935 1,5992 1,2105 0,5679

K par convoi 1,9464 1,4178

1,9464

1,5940

1,4178

Répartition transversale des efforts dans les tabliers de ponts

3,3

Mc120

3,2

4 1,9

Bt

axe de symétrie du pont

1

50

terre plein central 25 Bc

A(L)

D240

8,5

surchages sur les trottoirs

34

Figure 16 : positionnement des charges afin d’obtenir le cas le plus défavorable

Répartition transversale des efforts dans les tabliers de ponts

Convoi

A(L) 1file chargée 2files chargées 21file

3files chargées

4files chargées

Abscisses de début et fin du chargement 1,0000 5,0000 1,0000 9,0000 1,0000 5,0000 -1,0000 -5,0000 1,0000 9,0000 -1,0000 -5,0000 1,0000 9,0000 -1,0000 -9,0000

K par abscisse

K par convoi

35

Convoi

Abscisses de début et fin du chargement

D240 1file chargée

2,4577 1,7669 2,9000 1,0162 6,1000 2,4577 1,1228 2files chargées 2,9000 0,0848 6,1000 2,4577 1,7669 -6,1000 1,0162 Mc120 2,4577 1file chargée 2,0000 1,0162 5,3000 2,4577 1,3375 2files chargées 2,0000 0,0848 5,3000 2,4577 -2,0000 1,0162 -5,3000 2,4577 1,1228 Trottoirs 0,0848 Trot. de gauche 10,3250 2,4577 Trot. de droite -10,3250 0,0848 2 trottoirs Tableau 8 : Valeurs de K pour les charges réparties

K par abscisse

K par convoi

1,8323 0,6509 1,8323 0,6509 0,6509

1,2138

2,1293 0,8996 2,1293 0,8996 2,1293 0,8996

1,5145

1,2138

1,5145

-0,0603 -0,0603 -0,0603

Les moments longitudinaux à mi – travée dus chaque chargement étant calculés, et divisés par le nombre de poutres, pour donner les moments équitablement répartis, qui sont à leur tour multipliés par le coefficient de répartition transversale, pour donner le moment réel supporté par la poutre centrale. convoi

A(L) 1file chargée 2files chargées 21file 3files chargées 4files chargées D240 1file chargée 2files chargées Mc120 1file chargée 2files chargées Trottoirs 1 trott. chargé 2 trott. chargés

Moment réel (t.m)

Moment (t.m)

K convoi

34,1213 68,2425 68,2425 102,3638 136,4851

1,7669 1,1228 1,7669 1,3375 1,1228

60,2892 76,6223 120,5784 136,9115 153,2445

98,8000 197,6000

1,2138 1,2138

119,9280 239,8559

62,4158 124,8317

1,5145 1,5145

94,5257 189,0513

Convoi

Bc 1file chargée 2files chargées 21file 3files chargées 4files chargées Bt 1file chargée 2files chargées 21file 3files chargées 4files chargées

Moment réel (t.m)

Moment (t.m)

K convoi

30,3703 55,6788 60,7405 86,0491 111,3576

2,0360 1,5747 2,0360 1,7284 1,5747

61,8323 87,6746 123,6647 148,7286 175,3493

18,4183 36,8365 36,8365 55,2548 73,6730

1,9464 1,4178 1,9464 1,5940 1,4178

35,8484 52,2259 71,6968 88,0743 104,4518

2,3843 -0,0603 -0,1438 4,7685 -0,0603 -0,2875 Tableau 9 : Moments réels à mi-travée obtenus à partir des K et des moments équitablement répartis

Nous remarquons que la répartition entre les poutres n’est pas équitable, l’effort repris par la poutre centrale peut aller jusqu’à 2 fois le moment équitablement réparti, ce qui soulage les poutres directement chargés. On remarque aussi, qu’elle subira un soulèvement provoqué par les charges de trottoirs (hyperstaticité dans le sens transversal).

Répartition transversale des efforts dans les tabliers de ponts

36

Toutefois, la présence du corps plein central sur cette poutre, fait qu’elle n’est pas directement chargé, ce qui veut dire que les valeurs restent inférieures par rapport à d’autres poutres qui supporterons directement les charges. En effet le coefficient le plus élevé sera celui relatif à la poutre n°4. Répartition de l’effort tranchant La répartition de l’effort tranchant se fait de la même manière utilisée pour le moment fléchissant, sauf que la répartition est différente pour les sections sur appui et les sections en travée. Pour les sections sur appui on utilise le coefficient de répartition  .

  0  ( 1  0 )

si

  0  ( 1  0 ) 

si

3b 4 3b ye  4

ye 

Pour les autres sections ; on utilise le coefficient de répartition   .

    0  ( 1   0 )

si

    0  ( 1   0 ) 

si

3b 4 3b ye  4

ye 

Les valeurs de  0 , 1 , 0 , 1 sont données comme pour K pour des valeurs de  déterminées. On extrait par interpolation linéaire les valeurs relatives à =1,4339, et on calcul par les formules ci – dessus les valeurs des coefficients. y



e

=1,4339 0,0 b/4 b/2 3b/4 B y

e

-b

- 3b/4

- b/2

- b/4

0,00

b/4

b/2

3b/4

B

-0,1016 -0,0172 -0,0010 0,0033 0,0042

-0,0136 -0,0178 -0,0094 -0,0018 0,0046

0,0889 -0,0028 -0,0155 -0,0085 0,0025

0,3059 0,0873 -0,0026 -0,0112 -0,0083

0,6272 0,3060 0,0894 -0,0112 -0,0263

0,3059 0,6334 0,4448 0,0650 -0,0337

0,0889 0,3118 0,7773 0,2909 0,0922

-0,0136 0,0542 0,2743 0,8377 0,5683

-0,0518 -0,0835 -0,0098 0,4108 1,5435

-b

- 3b/4

- b/2

- b/4

0,00

b/4

b/2

3b/4

B

-0,0908 -0,0128 0,0008 0,0039 0,0042

-0,0064 -0,0103 -0,0062 -0,0005 0,0046

0,0991 0,0034 -0,0088 -0,0057 0,0025

0,3092 0,0970 0,0035 -0,0049 -0,0083

0,5542 0,3092 0,0994 -0,0052 -0,0263

0,3092 0,5608 0,4487 0,0872 -0,0337

0,0991 0,3161 0,6205 0,3010 0,0922

-0,0064 0,0818 0,2937 0,6943 0,5683

-0,0409 -0,0586 0,0412 0,4896 1,5435

Tableau 10 : valeurs du coefficient de répartition  .

 =1,4339 0,0 b/4 b/2 3b/4 B

Tableau 11 : valeurs du coefficient de répartition   .

Les cellules grisées, son celles pour lesquelles la deuxième condition est vérifiée.

Répartition transversale des efforts dans les tabliers de ponts

37

Nous passons maintenant aux positions réelles des poutres. y

e

-b

- 3b/4

- b/2

- b/4

0,00

b/4

b/2

3b/4

b

-0,1016 -0,0566 -0,0161 -0,0075 -0,0087 0,0019 0,0035 0,0040

-0,0136 -0,0158 -0,0172 -0,0127 -0,0230 -0,0043 -0,0005 0,0029

0,0889 0,0400 -0,0037 -0,0104 -0,0278 -0,0108 -0,0063 -0,0004

0,3059 0,1893 0,0813 0,0334 0,0129 -0,0083 -0,0106 -0,0091

0,6272 0,4559 0,2915 0,1760 0,2693 0,0223 -0,0142 -0,0223

0,3059 0,4806 0,6209 0,5202 1,1233 0,1916 0,0453 -0,0074

0,0889 0,2078 0,3428 0,5911 1,6463 0,4530 0,2512 0,1452

-0,0136 0,0225 0,0689 0,1863 -0,7322 0,6499 0,7838 0,6402

-0,0518 -0,0687 -0,0786 -0,0393 -0,7615 0,2706 0,6374 1,2414

-b

- 3b/4

- b/2

- b/4

0,00

b/4

b/2

3b/4

B

-0,0908 -0,0492 -0,0119 -0,0046 -0,0049 0,0029 0,0040 0,0042

-0,0064 -0,0085 -0,0100 -0,0078 -0,0163 -0,0024 0,0005 0,0032

0,0991 0,0481 0,0026 -0,0039 -0,0143 -0,0068 -0,0041 0,0003

0,3092 0,1960 0,0908 0,0409 0,0185 -0,0021 -0,0056 -0,0074

0,5542 0,4235 0,2952 0,1833 0,2863 0,0297 -0,0094 -0,0207

0,3092 0,4434 0,5533 0,4935 1,0945 0,2077 0,0630 -0,0015

0,0991 0,2148 0,3364 0,4987 1,1913 0,4075 0,2592 0,1479

-0,0064 0,0406 0,0959 0,2089 -0,4221 0,5608 0,6691 0,6019

-0,0409 -0,0503 -0,0519 0,0013 -0,7600 0,3401 0,7004 1,2624

 0,0 0,133b 0,266b 0,400b 0,533b 0,666b 0,800b 0,933b y

Tableau 12 : valeurs du coefficient de répartition  pour les positions réelles des poutres. e

 0,0 0,133b 0,266b 0,400b 0,533b 0,666b 0,800b 0,933b

-0,2000 -0,1000 1 -0,1016 0,0000 0,1000 0,2000 0,3000 0,4000 0,5000 0,6000 0,7000

Tableau 13 : valeurs du coefficient de répartition   pour les positions réelles des poutres.

-0,0518 -0,0136

-0,0136 0,0889

0,0889 0,3059

0,3059

0,6272

-0,2000 1 -0,0908 0,0000

-0,0409 -0,0064

-0,0064 0,0991

0,0991

0,2000 0,3092

0,3092

0,4000 0,5542

0,6000

Figure 17 : ligne d'influence du coefficient

 et   pour la poutre centrale.

Répartition transversale des efforts dans les tabliers de ponts

38

Etude du chargement On charge la largeur du pont comme pour les moments tout en respectant les distances à laisser depuis les bordures. Il faut noter que les coefficients  et   ont une régression hyperbolique, ce qui veut dire que la symétrie par rapport à l’axe de la poutre ne donne pas toujours le cas le plus défavorable pour un convoi, il faut vérifier les cas où l’une des charges du convoi coïncide avec l’axe de la poutre. Les coefficients relatifs aux convois sont calculés de la même façon que pour les K. On multiplie l’effort tranchant dû aux surcharges et équitablement réparti sur l’ensemble des poutres par les coefficients calculés, on obtient l’effort tranchant réel. convoi

A(L) 1file chargée 2files chargées 21file chargée 3files chargées 4files chargées D240 1file chargée 2files chargées Mc120 1file chargée 2files chargées Trottoirs 1 trott. chargé 2 trott. chargés

convoi

A(L) 1file chargée 2files chargées 21file chargée 3files chargées 4files chargées D240 1file chargée 2files chargées Mc120 1file chargée 2files chargées Trottoirs 1 trott. chargé 2 trott. chargés

T appui (t)

 convoi

T réel (t)

4,0143 8,0285 8,0285 12,0428 16,0571

0,3127 0,1802 0,3127 0,2244 0,1773

1,2551 1,4471 2,5102 2,7022 2,8469

11,6160 23,2320

0,1843 0,1843

2,1413 4,2827

7,3407 14,6813

0,2636 0,2636

1,9350 3,8700

0,2805 0,5610

T à L/4(t)

T appui (t)

convoi

T réel (t)

4,0451 7,4160 8,0902 11,4612 14,8321

0,3827 0,2738 0,3827 0,3101 0,2738

1,5481 2,0301 3,0961 3,5537 4,0603

2,2106 4,4211 4,4211 6,6317 8,8422

0,3594 0,2338 0,3594 0,2757 0,2338

0,7944 1,0337 1,5887 1,8280 2,0673

Bc 1file chargée 2files chargées 21file chargée 3files chargées 4files chargées Bt 1file chargée 2files chargées 21file chargée 3files chargées 4files chargées

-0,0653 -0,0183 -0,0507 -0,0284 Tableau 14 : Effort tranchant réel sur appui.

  convoi

T réel(t)

2,2580 4,5161 4,5161 6,7741 9,0321

0,3152 0,1859 0,3152 0,2290 0,1858

0,7118 0,8395 1,4236 1,5513 1,6783

7,6240 15,2480

0,1926 0,1925

1,4681 2,9359

5,3240 10,6480

0,2612 0,2612

1,3906 2,7813

0,1578 0,3156

 Convoi

Convoi

T à L/4(t)

  convoi

T réel(t)

2,7687 5,0760 5,5375 7,8447 10,1520

0,3660 0,2693 0,3660 0,3015 0,2693

1,0134 1,3668 2,0267 2,3653 2,7337

1,6466 3,2933 3,2933 4,9399 6,5865

0,3519 0,2416 0,3519 0,2784 0,2416

0,5795 0,7957 1,1589 1,3752 1,5915

Bc 1file chargée 2files chargées 21file chargée 3files chargées 4files chargées Bt 1file chargée 2files chargées 21file chargée 3files chargées 4files chargées

-0,0267 -0,0042 -0,0414 -0,0130 Tableau 15 : Effort tranchant réel à L/4

Répartition transversale des efforts dans les tabliers de ponts

39

On fait de même pour les 8 poutres (poutre centrale et poutres d’un seul coté (symétrie)), et on extrait la valeur du coefficient de répartition le plus important, qui donnera les efforts sollicitant les plus élevés. La précontrainte et le ferraillage des poutres seront déterminés à partir de ces sollicitations. Dans notre cas se sera la poutre n°4, qui supportera 4,7 fois le moment équitablement réparti sur l’ensemble des poutres, (valeurs données en annexe).

ANNEXE

- lignes d’influence du coefficient K pour les 8 poutres.

-0,5000

1

0,0000

-0,1903 0,1248

0,5000

-0,1903 0,1248

0,7222

0,7223

1,0000 1,5000 1,8408

2,0000

1,8408

2,5000 2,7861

3,0000

Ligne d’influence de K poutre centrale Ka P1

-0,5000 1 0,0000 0,5000

-0,2039

-0,1160 0,0484 0,4164

1,0000

0,4239 1,2349

1,3469

1,5000 2,0000

2,28202,3648

2,5000

Ligne d’influence de K poutre P1 Ka P2

-1,0000 1 0,0000

-0,0464

-0,0185

-0,1629

0,1378 0,6677

1,0000

0,7712 1,7663

2,0000

1,9615 2,7613

3,0000

Ligne d’influence de K poutre P2 Ka P3

-1,0000 1 0,0000 1,0000 2,0000

-0,0101

-0,0186

0,0504

0,2599

0,3712 1,1696

1,4551 2,2654

3,0000

Ligne d’influence de K poutre P3

2,5053

Ka P4

-10,0000 -5,0000 1 0,0000

-4,7796 -0,0040

-0,0611

-0,0088

0,4475

-0,6994 1,7894

5,0000

4,0488

4,6018

10,0000

Ligne d’influence de K poutre P4 Ka P5

-1,0000 1 0,0000

0,0251

-0,0030

-0,0176

1,0000

0,0373

0,3239 1,0893

2,0000

2,2831

3,0000

2,5758 2,9634

4,0000

Ligne d’influence de K poutre P5 Ka P6

-2,0000 1 0,0000

0,0283 0,0098 -0,0116 -0,0250 0,0618 0,5066 1,6899

2,0000

3,4839 4,7998

4,0000 6,0000

Ligne d’influence de K poutre P6 Ka P7

-2,0000 1 0,0000 0,0263 2,0000 4,0000 6,0000 8,0000 10,0000

0,0226

0,0076

-0,0423 -0,1062 0,0250

0,9480 3,5448 8,0652

Ligne d’influence de K poutre P7