Riješeni zadaci elementarne matematike [PDF]

Zitiervorschau

SADRŽAJ L ARITMETIKA I ALGEBRA §

1. Razlomci

. . . .. . . .. . .. .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. .. .. .. . . .. . . . .. .

l. Općenito o razlomcima . .... , .............•.. . ... . ..... , .......... ,

a)

obični

razlomci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b) Decimalni razlomci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c) Pretvaranje običnog razlomka u decimalni. Periodski decimalni

razlomci

12 14 15 15 16 18 19 21

Operacija s općim brojevima . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l. Zbrajanje i oduzimanje , . . ... „ .. , .... „ .•.. „ .... „ .. „ .. „ .. „ . . . 2. Množenje .. . .. ... .... ............. , . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . 3. Dijeljenje . .. . . .. .. . . .. .. . . .. . .. . .. . . .. . . .. . . .. . .. . .. . . .. . . .. . . . .. 4. Potendranje . . . . . . . . . . . . . ............ •. ......... ..... .. . ... .. , . . a) Cijeli poziUvni eksponenti . , „ . „ . „ ... „ ..•. „ „ .. „ „ „ „ „ „. b) Cijeli negativni eksponenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Vađenje korijena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23 23 24 26 26 28 29

3. Potenclje s razlomljenim eksponentima pozitivnim I negativnim . . . . . . . O brojevima . ............. . ........ , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34 36

1. Realni brojevi: racionalni i iracionalm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . • . 2. Imaginarni i kompleksni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . .

36 37

5. Rastavljanje pollnoma i blnoma u množltelje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Racionaliziranje nazivnik.a ..... , ...... , ......... . .. . ....... , . . . . . . . . .

38

2. 3. 4. 5. 6, 7.

§

§

§ § § §

11 11

. .. . .. .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . . . .. .. . .. . . .. . . . .. . . .. . obični . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Proširivanje razlomaka ... .... ... . . .............. .. . .... .... .. , . . . . Skraćivanje razlomaka. Najveća zajednička mjera . . . . . . . . . . . . . . . . . Zbrajanje i oduzimanje razlomaka. Najmanji zajednički višekratnik Množenje razlomaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dijeljenje razlomaka ... ... .. . . , .. .. ..... .. . ... ....... . . . .. , .. , , . . . . Dvostruki razlomci .... , . .......... . ........ . ......... , ..... . . , . . . .

d) Pretvaran je decimalnog razlomka u

§

11 11

, z,

••

'!. Razn:tjer (proporcija)

§ §

8. 9. 10.

§

lL

....... .... • . ...... , .... , . , . . . . . • . . . . . . • • . . . . . . . . TroJno pravilo .......... ... , ............... , ........... . , , . . . . . . . . . . . Postotni račun ................. . . ... , .... . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potenciranje binoma, binomni poućak, kvadrat lrinoma i polinoma . . . Jednadžbe .. . . „ . . . . . . .. .. „ . . . • . . ~ • . , •. , . . . . . . . . . . . . . ..• „ .. „.....

23

39 41 43

45 48 51

1. Opća pravila . . . . . . . . . . . . . . . . ...... . . .. .. , , .'... . . . . . . . . . . . . . . • • . . 2. Linearne jednadzbe .......... .. .. ... . .... .... . . ..... , . . . . • . , • , a) Linearna jcdnadžbtJ s j ednom ne poznanlc(Jm . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

b) Sustav od dvije lin c::.rne jednadžbe sa dvije nepoznate . . . . • . . . . . c) Sustav od n linearnih Jednadžbi sa n n epoznan icama . . . . . . • • . . . .

52 55

51 51

5

3. Kvadratne jednadžbe ... ..............•... .. ........... .• • ........ a) Rješavanje kvadratne jednadžbe .... ......... . ........ . ....... .

b) Rastavljanje kvadratne jednadžbe u množitelje .. .. ....•........ 4. Jednadžbe višeg stupnja, koje se svode na kvadratne ............. .

a) Blkvadratne jednadžbe .......... ....... ....................... . bJ Recipročne Ili simetrične jednadžbe ..... .. .... ... ... „ ........ . c) Binomne Jeđnndžbe ...... . .................................. . . .

I

12. NejednacUbe ................................................. .... ... . 1. Pojam I osnovne svojst va nejednadžbi ..... .. ..................... . 2. Rješavanje odredbenih nejednadžbi .......................... ..... .

a) Općenito ............................................ .......... . b) Nejednadžbe prvog stupnja sa jednom nepoznanicom .... ... .. . c) Sustavi nejednadžbl prvog stupnja ..................... ........ . d) Nejednadžbe drugog stupnja ....................... .. .. ........ .

60 60 61 63

a) Prizm?'; .. : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b) Piramida . .. . . .. . .. . . . .. .. . .. . .. . . .. . . . . .. .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . c) Valjak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d) Stožac . . . . .. . . .. . .. . .. . . .. .. .. .. . . . . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . . . c) Približno iuačunavanje obujma krnje piramide I krnjeg stošca . . O Kugla i njezini dijelo,·i ............................... „... .....

71 76

77

. ........ . ............... . ... . . . . .................. .

77

U. Prlbll!no računanje .......... ................. .. ...... . ........ ..... . l. LogarltmlranJe ........................ ..... . .. . .. . . ....•....... • . 2. Skraćeno množenje ................... .. .. .......... ....... ... ... .

80 80

112

112 113 lH 114

1 14 115 115 116

117 118 119

li li

l . Definicija gonlomctrijsklb. trigonometrijskih ili cirkula rnih funkcija . .

12 l

2. Proširenje definicije gonlometrljsklb funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

125 125

Predočavanje

goniomctrijskih funkcija dužinuma u jediničnoj kružnici Neke vdjednosti goniometrijskih runkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

li

3. Nerativni kutovi između

12'i

. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . . . .. . .. . . .. . . .. . . . .. . . . .. .

131

ronlometrijsklh funkcija istog kuta a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

132

§

4. Veu

88

§

5. Prijelaz na šiljate kutove ........ ; . . ......... , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

134

............ .. .. ... . ........ .................. .

89

§

6. Funkcije zbroja kutova (teorem adlclje) ............... , . . . . . . . . . . . . . . .

136

račun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Složene kamate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Sadašnja I konačna vrijednost glavnice uložene uz složene kamate . 3. Perlodske uplate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a) Konačna I sadašnja vrijedn ost periodskih uplata ... . ... ._........ b) Povećanje glavnice periodsklm ulaganjem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Otplata duga. Anuiteti ...... .. ...... .............. . 5. Rente . . . .. .. . . .. .. . . .. . . . . . . .. . .. . . .. . . . .. . .. . .. .. . .. . .. . . . .. . .. .

91 91 91

§

7. Funkcije razlike kutova ... , ................ , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

137

§

8. Funkcije dvostrukog I

95 95 97 98 100

§

9. Zbroj i razlika sinusa i kosinus a

3.

Skraćeno

dijeljenje

f 15. Kamatno-kamatnl

„..............

1. PlaoJmetrUa

105

1. Trokut

105

a) Sukladni trokuti ....... .. ....... ........ ...................... . b) Slični trokuti ............................................. · · · · .. c) Cetlri značajne tačke trokuta ...... . ........................... . d ) Površina trokuta ....... ..... .... ........... ...... · .. · · · · · · · · · · · e) Pravokutni trokut ......... . .......... .. ....... · · · · · · · · · · · · · · · · · 2. Cetvorokuti

.............. . . .. .......... . ... · · · · • • · · · · · · · · · · · · · · · · a) Parelelogram ...... . .... .. ... • .. . ........ · · · · · · · · · • · · · · · · · · · · · · b) Pravokutnik c) Kvadrat d) Romb e) Trapez •........ ....................... ............ . f) Deltold g) Tetlvnl če·t~~k · t · ·· · · ·· · · ·· · ·· · · ·· · · ·· · ·· · ·· · · ·· ·· · ·· · · ·· · ·· · · ' h) T . u ·· ···· ··· ·· ·· · ······· · · · ·· ········ · ·····•··· · · angentnl četverokut ............. . ... . .. .. .... ............... , .. 3. Mnogokutl (poligoni) ....... : ... „ ... . .................. .......... .

............

vrijedenosti kuta iz zadane vrijednosti goniomelrijs ke funkcije

145

§ 13. RJešavauJe pravokutnih trokuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

149

1. Određivanje kateta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Određivanje hipotenu.zc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

H9 149

14. Rješavanje kosokutni.h trokuta ........... ........ .................... .

152 152 152 153

a ) Općenito

b) Pravl\nl

m~~iioic~·ti · ·:::::::::: :: :::: :::: ::::::::::::::::::::::::

I

110 110 110

12.

Izračunavanje

Računanje

predočen

1. Obični slučajevi rješa\•anja kosokulnih trokuta ................. . . . a) Sin usov poučak .......................... .... ....... . ......... . b) Kosinusov poučak ...... ...... ................................. .

c) Tangensov

poučak

143

. ............................................ . za rješavanje kosokutnib trokuta ..................... .. .......... . ...... . ... . 2. Složeni slučajevi rješavanja trokuta. Mollweldeove Jednadžbe .... . .

155

15. Pioština koll.u&a • ...... .. ... .... ......... .........• .. . ........••......

162

154

d) Primjena sinusova, kosinusova i tangensova poučka

.§

108

109

'

10. Umnožak sinusa i kosinusa

fi 11. §

108

109

138 Hl

107

109 109

predočeni

142

107 107

108 108

kuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

u obliku zbroja I razlike . . . . . . . . vrijednos ti goniomelrlj.skib funkcija iz zadanog kuta . . .

i

105 106

108

polovičnog

umnoškom . . . . . . . . . . . . . . . . .

ll. GEOMETRIJA

I

112

IIL GONIOMETRIJA I TRIGONOMETRIJA

73 76

§

2. Slereomdri.ja (oplošje I obujam) .... ........ „ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l. cavalierijev stavak .... ............. '......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Izračunavanje oplošja i obujma (volumena) geometrijskih tjelesa . .

69 69 69

1. Aritmetički niz ........... .. .... ..... . ........... ................ . 2. Geomet rijski niz ......... . .......... ...... .................. ..... . Konačni geometrijski niz .......... . .. Beskonačni geometrijski niz .. . ... .. ..

§

66 66

·I 13. NI.zovi (slljedovl) ....... ...................... . ................ ..... . . a) b)

4. Kružnica .. . .. . . .. . . .. . .. . .. . .. . .. . . .. . . . . .. . . .. . .. . . .. . . . .. . .. . . . a) Kutovi u kružnici , .. •. „ .. ... .. „............................... b) Sekanta i tangenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c) Opseg i površina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56 56 59

159

IV. ANAUTICKA GEOMETRIJA U RAVNINI §

1. Koordinatni sustavi I njihova veza ..... ............. ... . . ... ....... •.

165

1. Pravokutni koordinatni sustav . . ........ .... ... .. ........ ... . .. . . • . 2. Polarni koordinatni sustav ........ ..................... . . . ..... .•. 3. . Veza između polarnih I pravokutn ih koordinata ................... .

165 166 167

7

6

§

2. Traneformr.clJe pravokatnlh koordJnata ...................... · ·........

1. Translacija koordlnatnog sustava duž osi X........ ............... . . 2. Translaclja koordlnatnog sustava duž osi Y . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Traoslacija koordlnatnog sustava duž oslju X i Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Vrtnja koordlnatnog sustava oko Ishodišta za kut a . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Translaclja koordlnatnog sustava duž osiju X i Y l vrtnja za kut tt • tačab

I

3. Udalje.oost dviju

§

4. Koordinate Wlte koja dijeli zadana

169

169

172

u zadanom omj eru m : n . .

173

I

5. Ploštlna trokuta • . . . . . . . • • . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . • . . . . . . .

177

I

6.

krivulje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

179

§

7. Pravac

Jeđnad!ba

• . • . . . • . . . • . • • . •. . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

180

1. Jednadžbe pravca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a) Eksplicitni oblile jednadžbe pravca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b) Konstrukcija pravca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . • . . . . . . . . . . • c) Opc!! Ili Implicitni oblik jednadžbe pravca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d) Segmentnl oblik jednadžbe pravca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e) Normalni lll Hesseov oblik jednadžbe pravca . '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f) Jednadžba pravca kroz zadanu tačku T1 (:r„ 111) • • • • • . • • • • • • • • • • g) Jednadžba pravca kroz dvije zadane tačke T 1 (%10 111) I Te (:r,, tic)

180 180 182 184 185 186 190 190

Usporednost dvaju pravaca: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . Presjeclšte dvaju pravaca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kut dvaju pravaca . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Okomitost dvaju pravaca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Udaljenost tačke od pravca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Simetrala kuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

191 192 193 194 195 198

2. 3. 4. 5. 6. 7.

I

I

s.

Kružnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Definicija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . 2. Jednadžbe kružnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a) Središnja Jednadžba kružnice polumjera T • • • • • . • • • • • • • • • • • • • • • • • • b) Opća jednadžba kružnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Pravac kružnica . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a) Položaj pravca spram kružnice. Uvjetne jednadžbe . . . . . . . . . . . . . . b) Jednadžbe tangente I normale povučenih u zadanoj tačkl kružnice c) Jednadžbe tangenta povučenih Iz zadane tačke izvan kružnice 4. Popis formula i upute za rješavanje zadataka u vezi s kružnicom . .

9. EliJ>S& . • . . . . • . . . . • . . • • • . . • • . . . . . . . • . . . . . . • . . • . . . . • . . . . . . . . . . . . • . . . . • • . . l. Definicija elipse. Kontrukcija žarišta I same elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Linearni I numerički ekscentrlcitet elipse. Parametar elipse . . . . . . . . . 3. Jednadžbe elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a) Središnja jednadžba elipse . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b) Vršna jednadžba elipse ....................... „ . . . . . . . . . . . . . . . . . c) Jednadžba elipse, kojoj je središte u tačkl S, (p, q), a osi su usporedne a koordinatnim osima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Pravac I elipsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a) Uvjetna jednadžba .... , ....... ....... .. .... , .... , . . . . . . . . . . . . . . . b) Jednadžbe tangente I normale povučenih u zadanoj tačkl elipse c) Konstrukcija tangente u zadanoj tačkl ellpse ....... , .. , . . . . . . . . . d) Jednadžbe tangenata povučenih iz zadane tačke Izvan elipse . . . . e) Konstrukcija tangenata povučenih Iz zadane tačke Izvan elipse . . 5. Svojstva potare. KonJuglranl promjeri elipse. Konstrukcija elipse Iz zadanog para konjuglranlh promjera .. , ....... , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Apolonljevl teoremi ..... ...... ......... . .. , .. ... , ..•... . , ..... , . . . .

8

O

170 170

.. . . . . .. . .. . .. . .. . .. . .. .. . . .. . . . . . .•. . . . . .. . . . đu!fnn

7. Približna konstrukcija elipse. Polumjeri zakrivljenosti elipse u vrhovima. Ploština elipse .. .... .... .......•...................... , . .. .. . 8. Popis formula I upute >'z a rješavanje zadataka u vezi s elipsom ... .

169 169

I

221

222 222 224

239

2. Konstrukcija žarišta hiperbole i hiperbole same. Para.metar hiperbole 3. Jednaclibe hiperbole .................... . ................... . ..... . a) Središnja jEidnađžba hiperbole . „ .............................. . b) Vršna jedriadžba hiperbole ............... ............. .... .... . . 4. Pravac i hiperbola ........ ... .......... ........................... . a) Aslmptote hiperbole i njihova konstrukcija ................... . b) Jednadžbe tangente, normale i polare povučenih u zadanoj tački hiperbole .......... ....................................... .... . c) Konstrukcija tangente u zadanoj tačkl hiperbole .......... .. .. . . d) Jednadžbe tangenata povučenih Iz zadane tačke Izvan hiperbole e) Konstrukcija tangenata povučenih iz tačke izvan hiperbole ..... . 5. Jednadžba istostrane hiperbole s obzirom na koordinatni sustav, čije se osi podudaraju s asimplotama hiperbole .............. ......... . 6. Popis formula i upute za rješavanje zadataka u vezi s hiperbolom ..

240 241

11. Parabola

..... -· ..................................................... . ~

konstrukcija parabole. Njen parametar i numerički ekscentricitet ..... , . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Vršna jednadžba parabole .. . ......... , .................. „......... 3. Pravac I parabola ............ , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a) Jednadžbe tangente, normale i potare povučenih u zadanoj tački parabole ........ .. .... .. ....... ". ......... , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b) Konstrukcija tangente u zadanoj tačkl parabole . . . . . . . . . . . . . . . . c) Jednadžbe tangenata povučenih iz zadane tačke izvan parabole , . d) Konstrukcija tangenata povučenih iz tačke Izvan parabole . . . . . . e) Dijametri parabole konstrukcija parabole kojoj je zadan d!Jametar i jedna po!ara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . !) Konstrukcije parabola pomoću tangenata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . g) Ploština parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Popis formula i upute za rješavanje zadataka u vezi s parabolom . . . .

200

220 220

237

10. Hiperbola ............. · .. · · · · · · · · · · .. · · ........ · ................. . . .. . 1. Definicija hiperbole. Linearni I numerički ekscentrlcltet ........... .

239 241

242

243 243 246 247 247 252 252 253

255

I. _Definicija i

200 200 200 201 203 203 207 210 217

236

I

12. OpeenUo o krivuljama drugog reda ilJ presJeclma stočca . . . . . . . . . . . . . . l. Presjeci stošca

. .. .. .. .. .. .. . . .. . . .. .. . . . . .. . . .. . .. . . . .. . . .. . .. . . . 2. Opća jednadžba presjeka stošca u pravokutnim koordinatama . . . . . . 3. Redukcija opće jednadžbe krivulja drugog reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a) Postupak za elipsu i hiperbolu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b) Postupak za parabolu ............. . ...... , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~. Opća jednadžba presjeka stočca u polarnim koordinatama . . . . . . . . . .

255

256 257 257 258 258 262 262

262 263

263 269 269 270 270 270

272 278

225 227

227 228 228 230

233 23S

235

9

I. ARITMETIKA I ALGEBRA § l. RAZLOMCI 1. OPCENITO O RAZLOMCIMA

a)

Obični

r azlomci

~ je prav i razlomak, ako je brojnik a manji od nazivni.ka b, tj. a < b. b

Znak < 2

Npr.

z' 3'

7

S

znači

>manji od«

itd. su pravi razlomci.

a'

bje n ep r a v i razlomak, ako je a > b. Znak > 3

Npr.

8

znači •veći

od«

13

2 , 7, 5 itd. su nepravi razlomci

M j e š o v i t i b r o j je zbroj cijelog broja i pravog razlomka, pri čemu se dogovorno ne p iše znak + između cijelog i razlomljenog dijela broja.

Mješoviti se broj pretvara u "nepravi razlomak tako da se cijeli broj pomnoži s nazivnikom, tom urnnošku se pribroji brojnik, pa se tako dobiveni zbroj podijeli s nazivnikom. 3 Primjer: 5 - = 1

s + -3 1

=

5. 7 + 3 38 = . 7

-:;

b) Decimalni razlomci

~Ion;iak kojem je nazivnik jedinica s jednom ili više nula zove s17 decu~.a1~1 razlomak, pa se radi jednostavnosti piše tako da se u brojniku odiJeli od lijeva na desno >decimalnom« tačkor:n ili zarezom toliko 1l

znamenaka, koliko ima nula u nazivniku. U tom slučaju pisanje nazivnika postaje nepotrebnim, te se izostavlja. Ima li brojnik manji broj znamenaka negoli nazivnik nula, znamenke koje nedostaju zamjenjuju se nulama. 3

JO -

Npr.:

2. Ako nazivnik običnog razlomka ne sadrži množitelje 2 i 5 dolazimo dijeljenjem brojnika s nazivnikom do čist o per i od s k 0 g b e s k o n a č n o g d e c i- m a 1 n o g r a z 1 o m k a. Primjer:

0,3

2

33 100 -= 0,03

20 20 20

137

JO=

itd.

13,7

137

- --

1000000

=

. 0,000137 1td.

Decimalni razlomak ne mijenja svoje· vrijednosti ako mu se na kraju pripišu nule.

Brojke koje se ponavljaju čine per i o d beskonačnog decimalnog razlomka, koji se označuje tako da se stave tačke iznad svake znamenke perioda ili samo iznad prve i poslednje znamenke perioda ili se čitav period stavi u zagrade. . 3

1° -

. . 723~ 72J6 72.36 = 72,36000, 1cr JC ~ = = 72,36.

1

Npr.

. 2: 3 - 0,666 .. . - 0,6 = 0,(6).

lciQ

.. ... . . . 3: 7 = 0,428S71428S714 ... ~ 0,428571 = 0,428S71 = 0,{428571 ) 30

20 60 40

c) Pretvaranje

običnog

O b i č n i r a z l o m a k p r e t v a r a s e u d e c i m a 1 n i tako da se brojnik podijeli s nazivnikom. Tu mogu biti tri slučaja: 1. Nazivnik običnog razlomka sadrži samo množitelje 2 i 5 (10 = 2 · 5), odnosno samo 2 ili samo 5. U tom slučaju dobiva se k o n a č ni d e c im a I n i r a z 1o m a k. li - =li : 80 = 0,137S 80 110 (80 = 2 · 2 · 2 · 2 · S).

600 400

60 40

so 10 30

'

20 i1d.

Primjeri:

- =05 2 ' 1

= 0,25

3

4= 0,75 I

8

12

Jš -

(3S = S · 7)

I

4

12

20

I.

o

Pamti:

10 30

3. Ako i;iaz~vnik. ~bičnog razlomka sadrži osim drugih množitelja tak~er .n:mož1telJe 2 ili 5, odnosno 2 i 5, dolazimo dijeljenjem brojnika s ~az1vnikom do mješovit o g per i od s kog b e s konačnog d ec 1 m a l n o g r a z 1 o m k a.

Npr.:

300

so

razlomka u decimalni. Periods\d decimalni razlomci

=0, 125.

. .. . . . . . 12: 3S - 0,3428S71428S714 ... - 0,3428S71 - 0,3428S71 - 0,3(428571 )

120 ISO 100 300 200 2SO

so 150 100

300 200 250 50 ISO itd.

13

z. PBOSUtIVANJE RAZLOMAKA 97 · = 97 : 440 = 0,22oc4š4) - o,22o454 - 0,220(454) 440 (440 = 2 . 2 . 2 . 5 . 11).

2.

Vrijednost razlomka se ne mijenja ako mu se brojnik i nazivnik pomnože s i s tim brojem. Proširivanje razlomka daje mogućnost svodenja dvaju ili više razlomak:a na zajednički nazivnik.

d) Pretvaranje decimalnog razlomka u obični Tu mogu biti također tri slučaja:

l) K

0

n a č n i d e c im a 1 n i_ r a~ 1 o~ a k 1

0

1

.

.

p~e~ar~ ~i~i ~~~~

!~.u broj~vnikn~p~: s~~~ s~~~~~~:1~ ~oliko de~malni razlo-

tako, da malnu ta.._......, a u naz1 mak ima mamenaka iza decimalne tačke.

Primjer: Koji od razlomaka 2

razlomak sa 4, dobijemo: 8

Kako je

2

7

3

12

2.4

ima

veću

vrijednost? Proširimo li prvi

8

T - J:4"' = 12 ·

7

2

l2 > 12' bit te i T

>

7

12 .

Primjeri: 17 0,17- 100

I.

Proširiv.anjem d e ci m a I n ih r a z I om a ka opravdava se pripisivanje nula na kraju decimalnog razlomka.

613

100000

0,00613 =

2.

Npr. 7,9 - 7,90 = 7,900 - itd.

s

5,87 =

3.

87 J(JO 3. SKRACIVANJB RAZLOMAKA. NA.JVECA. ZAJEDNICKA MJERA

587 ili= 100·

C· e r i 0 d s k i r a z 1 o m a k pretvara se u obični tako da se u ;;ojni~t~aopJe period, a u n~ivnik broj koji se sastoji od toliko devetica, koliko ima znamenaka u periodu. Primjeri:

.

3

9

I

0,3 =

2.

0,37 =

3.

7,(013) = 7 999.

..

=

3

1.

37

99

13

3) M j e š o v i t i p e r i o d s k i r a z l o m a k pretvara se u obični tako da se u brojnik napiše razlika između broja što ga či~e sve zna:nenke zadanog razlomka i broja koji se sastoji od znamenaka ispod peno~ad a u nazivnik broj k~ji ima toliko deve~ica kolik~ ima znamenaka u peno u, i toliko nula koliko ima znamenaka 1Spred penoda. Primjeri: 1.

2.

. 34-3 31 0,34 „ -"9() - 90

1,1s438 =

15438- IS 1

99900

15423

= '99900

skraćivanja.

' Skratiti razlomak znači podijeliti brojnik i nazivnik s njihovom najmjerom. Na j već a za j e d n i č ka m j era dvaju ili više brojeva jest onaj najveći broj, s kojim možemo sve zadane brojeve podijeliti bez ostatka. ~o su ~rojnik i nazivnik veći brojevi, određivanje njihove najveće zajedručke. m1~e, s kojom će se brojnik i nazivnik podijeliti da se razlomak skrati, vrši se tako, da se oba broja napišu jedan uz drugi, pa se traži onaj množitelj koji je sadržan u oba broja, s tim množiteljeril dijele se oba broja, pa se postupak nastavlja dok ide. Tražena najveća zajednička mjera jednaka je umnošku ispisanih množitelja. većom zajedničkom

Primjer: Neka se skrati razlomak: 924 ' 1092 462, S46 231 ' 273 77' 91 li ' 13

2 2 3 7

924

Najveća zajednička

924 1092

mjera je 2 · 2 · 3 · 7 = 84 924 : 84 11 1092: 84 ~ i3.

Skraćivanje d c c i m a 1 n ih r a zlo m a ka svodi se na brisanje nula na kraju razlomka.

·

Dokaz postupka navedenog pod 2) i 3) vidi dalje, § 13, 2, b).

14

Vrijednost razlomka se ne mijenja ako mu se brojnik i nazivnik podijele s i s tim brojem. To svojstvo razlomaka daje mogućnost njihova

Npr.: 3.0050700 = 3,00507.

JS

„ -

Primjeri;

4. ZBRAJANJE I ODUZIMANJE RAZLOMAKA. NAJMANJI ZAJEDNICKI

VJSEKRATNIK

9

I.

3

---~~

3·

a b a± b --'-+-=--· c - c c

Zajedničkf nazivnik je 36, jer je 36 : 4 = 9,

27 . ~ 1· - ·tl f ' 21-21-11 = 36-36-36 = 36

Primjer:

3

8

5

3+8-5 17

11-5

=-1-„-

ad cb bd - db

-+-=-+-=

ad

7

± bc

3S

bd

=

Prije zbrajanja, odnosno oduzimanja, treba razlomke svesti na z a-

je djeljiv bez ostatka sa svim nazivniGima zadanih r a z 1 om a ka. Drugim riječima, određivanje zajedničkog nazivnika svodi se na određivanje n a j m a n j e g z a j e d n i č k o g v i š e k r a t n i k a za sve nazivnike razlomaka koji se zbrajaju, odnosno oduzimaju. Taj zajednički nazivnik (ili najmanji. zajednički višekratnik nazivnika) dijelimo redom sa svim nazivnicima, pa brojnik i nazivnik množimo s rezultatima tog dijeljenja, što je dopušteno jer se vrijednost razlomka ne mijenja ako njegov brojnik i nazivnik pomnožimo s istim brojem. Na taj način dobivamo sve razlomke jednakih nazivnika, pa ih možemo zbrajati, odnosno oduzimati, tj. imamo slučaj a). Pri određivanju zajedničkog nazivnika mogu biti tri slučaja: 1. Svi nazivnici zadanih razlomaka nem.a ju zajedničkih množitelja; tada je zajednički nazivnik jednak umnošku svih nazivnika.

.

6

2 · SS

99 105 165 - 165

110

+ 16S =

99 - 10S + 110 J65

209-105 104 165 = 165.

Ukoliko je moguće, treba skratiti razlomak dobiven kao rezultat zbrajanja, odnosno oduzimanja. . 2. Svi. s~ nazivnici zadanih razlomaka mali brojevi i imaju zajed~ ~:e ~0~1te~Je. 'l! t~m slučaju treba ispitati ne bi li najveći nazivnik bio itdza~:~ dnba~vnik. Ako ~o nije, množimo taj najveći nazivnik sa 2, 3 0 i3emo traženi zajednički nazivnik. .,

16

2

36

s 36

lS

.._..

3

- 3S - 6 - 4S 1S

4S

- 86

= 75 =

86

-15 = -

11

l

75 ·

. 3 .. Naz~vn~ci zadanih razlomaka veći su brojevi. U tom slučaju za-

odrediti na gore navedeni način, već treba š':'e nazivnike rastavi~ na proste množitelje. U tu svrhu pišemo sve naziv~ike red0m 1 pa. n8;1az1mo ~naj prosti množitelj koji je sadržan barem u va zadan8: n~1vn1ka. S tun rnnožiteljem dijelimo ta dva nazivnika a o~tal.e P.rep1su3~mo. Postupak ~astavljamo dok ide. Traženi zajednički ~a­ zivnik1. Je~ak Je umnošku svih ispisanih 'množitelja i brojeva preostalih u pes, 3ednJem retku. Primjer: 1155 l 340

392100 -

20825

374

11

-132 + 1050 = , IOSO , S2S , 525 .) 175 li ' 35

34-0 170 , 8S 85 17 •

= ~

2975 7

132 66 33 11

2 · 2· 3·

392700 : 340 ~ 1155,

Zajednički nazivnik: S· 11 · 3 = 165, jer je 165 : 5 = 33, 165 : 11 = 15, 165 : 3 = 55 7 · 15

_3_6_ =

3edhlč~ ~zrvnik n~ ~ožemo

Zajeonički nazivnik:

U:tš + 3 · 55 =

3

..._..

-15 -15 -15 =

Primjer:

_ 3 · 33 S· 33 -

=

25 nije zajednički nazivnik., jer broj 2S nije djeljiv sa 15 25. 2 = 50 također, ali 25 ·a= 75 je traženi zajednički nazivnik, jer je 75 : 15 = s: 75 : 25 = 3; 75 : 5 = 15

j e d ni č ki naziv n i k, tj. treba naći onaj na j ma n j i broj ko ji

-

36 : 12 = 3, 36 : 36 - 1 27 - 32 -s

·_iš _2š_s = S

2.

6

= 17·

b) Razlomci imaju različite nazivnike: a c b - d

li

4-12-36 -

a) Razlomci imaju jednake nazivnike:

17+17-17 =

7

392700 +

.2 2 3

s

s · 17 · 11 · 35 =

392700 : 132 = 2975,

4114 392700

=

392700 392700 : 1050

1155-20825 + 4ll4 392700

- 15556

=

374

5269 - 20825 392700

~

15556

392700 = - 392700 .

Zbrajanje · · d e c 1· m a 1 n i h r a z l o m a k a vrši se tako da r' odnosno. 0 duzrmanJe dođu ispod s~e 1 ~azlomci.potpisuju jedan ispod drugoga, pazeći da desetice decimalna hlJ·es~ 1~a,. stotice is~d stot!ca itd., pri čemu se kod oduzimanja s a OJ