Repeta - Matek 2 9638534168 [PDF]

Zitiervorschau

GERŐCS LÁSZLÓ

mATEK SCOLAR Q

K IA D Ó

Dr. Gerőcs László

REPETA - MATEK 2 Főiskol ai, e g ye te m i felvét el ire, ér et t sé gi re k é s z ü l ő k n e k

S C O f . A R K I A D Ó , B U D A P K S T , 1996

L ektorálta:

Érsek N ándor

A könyv á b ráit és a b orítót készítette:

Nagy Péter A borítón látható grafikát készítette:

G raphidea Stúdió - K ovács Tibor, Pozsonyi Jó zsef

€> Dr. G eröcs László, 1996

ISB N : 963 85341 6 8 K iadja a S C O L A R K ÍA D Ó Feleiös kiadó cs szerkesztő: É rsek N ándor A könyv form átum a: B/5. ivterjedelm e: 12 B etűcsalád: T im es N e w R om án CE N yom ta a K ncr N yom da Rt. D ürer N yom da és K iadó Kft, G yula

Bevezető M ásodik évfolyam ának végéhez ért a televízió REPETA M A T E K műsorsorozata. Ahogyan az első évfolyam végén m egjelent a m űsorhoz kapcsolódó feladatgyűjte­ m ényben ígértük, a m ásodik évfolyam teljes anyagát is igyekeztünk mihamarabb könyv form ájában is hozzáférhetővé tenni az érdeklődőknek. Em lékeztetőül; m iért is született meg ez a műsor? Gyakorló tanárok egyre többször tapasztalhatják, hogy sok diák azért nem tud eséllyel pályázni felsőfokú tanulm ányokra m atem atikából, m ert anyagi helyzete nem engedi m eg az egyre drágább külső segítség (tanfolyam ok, m agántanárok) igénybevé­ telét. M indezzel olyan, egyébként jó képességű, tehetséges diákok is kiszorulnak a továbbtanulók köréből, akiknek egyébként feltétlenül ott lenne a helyük. N os, az esélyegyenlőség biztosításának - de legalábbis a probéma enyhítésének érdekében született meg e m űsor gondolata. A z eltelt két évfolyam alatt érkezett szám talan levél, nézői vélem ény, építő kritika, de legfőképp a sok-sok köszönetnyil­ vánítás igazolta, hogy volt és van értelm e az effajta „egyetem i előkészítő tanfolyam ­ nak”. Term észetesen m indez nem lehet olyan hatékony, m int a közvetlen személyes kontaktusra épülő tanári m agyarázat, mégis azt gondoljuk, aki a kitűzött feladatokon „végigrágta” magát, netán m egoldásait be is küldte és a kijavított dolgozatának tanul­ ságait m egszívlelte, kom oly előkészületeket tett továbbtanulása érdekében. E m ásodik kötet - a tavalyihoz hasonlóan - az ez évi 28 feladatsort, m ajd ezt köve­ tően az idei egyetem i felvételi feladatsorokat és azok m egoldásait tartalm azza, A kitűzött feladatsorok végén - a könyv áttekinthetőbb használata érdekében - zá­ rójelben egy szám ot talál az olvasó. Ez arra utal, hogy a kérdéses feladatsor m egoldása hányadik oldalon található a kötetben. Végezetül e helyen szeretnék köszönetét m ondani sokaknak: elsősorban Paulai Il­ dikó és Kovács Károly tanároknak barátaim nak szakm ai tanácsaikért; Varga Zs. Csaba rendezőnek és Stodulka Péter szerkesztőnek, valam int a Magyar Televízió /. Stúdiója és Közművelődési Stúdiója valam ennyi dolgozójának a m üsorsorozat nagyszerű lebo­ nyolításáért, a L I CH T B O G E N S f-n e k anyagi tám ogatásáért, valam int a SCOLAR K I A D Ó - m k a precíz, gondos, tetszetős és gyors munkájáért. Köszönöm! Dr. Gerőcs László Budapest, 1996. május

Feladatsorok

REPETA ^

1.1. Oldja meg a következő egyenletet:

>

(1. sorozat) 1

[81

cos 4*

lóg« 128 1, 2 ,

Az x

- ( 2 \ g 2 ) x - ( b \ g 7 ) y + a = 0 egyenletű kör érinti az x-tengelyt.

Hol metszi ez a kör az v-tengelyt? \ 1.3. A z A B C D trapéz párhuzam os oldalai A B > CD. A z A B alapon levő szögfele­ zők a trapéz középvonalát P-ben, ¡11« 0 -b a n metszik. B izonyítsa be, hogy

? G ~ \A B J r C D ~ ^ BC + AD) 1.4,

M ely x, y, z (x, y > 1) valós szám ok elégítik ki az alábbi egyenletrendszert: ^ n í ^ I 2 logA.x' y~ + lóg v y ' x~ = V ->' + 4 y + 96 x

1.5.

lüg. 2

' +y

lóg.. Z

. louv V

.

+ (x + y + z)

T-

1996

Legyenek p > q olyan prímek, m elyekre p q + q p is prím . H atározza meg az

alábbi kifejezés pontos értékét: 3( p + q ) ( p - q ) ( p 2 + q 2 + p q ) ( p 2 + q 2 - p q )

(25)

(2. sorozat)

REPETA

2.1. M ely x, y, z egészek elégítik ki az alábbi egyen le trend szert: 1

1

. H,

v - x2 + 4x-3 .í ,3 3 2.2, Egy három szög a, b, c oldalaira: a + +c = c 2, a +b + c M ekkora a három szög 7 szöge? 2.3, H atározza m eg az alábbi kifejezés értelm ezési tartom ányát:

4 .

4 - I3.x2 + 36 + V x 2 - I 3 x + 36

2.4. A z / : i H . i +b x + c harm adfokú függvény helyettesítési értéke valam ely k valós szám ra f ( k ) — -4 3 . H atározza m eg k értékét, ha E f ( k - \ ) + f ( k + \ ) + f ( k - 2 ) + f ( k + 2 )+ + /( * - 3 ) + f ( k + 3 ) + / ( k - 4 ) + f ( ¿ + 4 ) - 1996 2.5. A z ABC D négyzet alakú papírlapot összehajtottuk az ábrán látható m ódon úgy, hogy az A csúcs a B C oldal C -hez közelebbi H harm adolópontjába, D csúcs az E pontba került. Az E H oldal DC-t 0 -b a n metszi. B izonyítsa be, hogy a QHC három szög beírható körének sugara E Q - v al egyenlő! (29)

REPETA

(3. sorozat)

3.1. Oldja meg az alábbi egyenletet: 6 4 2 —64 ----- cos2x = (sin

^

I995ics )

jr f | | 3,2. Legven 0 < x < ■ és legyenek a = —— + c o s* , b = -------- 1- sin a 2 sin a cos a Bizonyítsa be, hogy ekkor 3.3. Mely

a, y , z

a 2 + /T > 9 egész számok elégítik ki az alábbi egyenlőséget:

V -a " + 8 a - 15 + log 1

log2 (x + 6>0 - log2 (x + v + 2 ) = 2

4.2.

H atározza m eg azt az abed négyjegyű szám ot, m elyre

4.3.

ab + c d = 9 5 és cdab - a bed - 5 841 A k { és k 2 körök az A és B pontokban m etszik egymást. A z A B szakasz A-n

túli m eghosszabbításának egy tetszőleges pontja C. Egy B ponton át rajzolt szelő k x kört AZ-ben, k ? kört A-ben metszi. [ M és N pontok az A B egyenes különböző partjaira esnek.) C M egyenes fr, kört £>-ban, a CN egyenes k 2 kört P-ben metszi. B izonyítsa be, hogy MNPQ négyszög h űr négy szög! 4.4. A 2 a 2 + 2 ( m + 2 ) x + m + 4/w + 3 - 0 másodfokú egyenlet

a,

és

a2

gyökei

valósak. a) Határozza meg a gyökök összegének legkisebb ül. legnagyobb értékét! b) Bizonyítsa be, hogy ha x } = sinot, akkor x 2 = ± c o s a ! 4.5. M ely x, y valós számok elégítik ki az alábbi egyenlőségét: 3;y - 2 ■ 52' + 3 >+l = V 3 ' ( 2 - 5 " - 3 l' ) - 2 5 ' + 3 lil2 - 2 - 5 ' " + 4 10

(39)

REPETA

(5. sorozat)

5.1, ^-b ó l és tf-ből egyszerre szokott indulni egy autó és egy kerékpáros. M ikor az autó 5 -be ér, a kerékpáros még csak az. út harmadánál tart. Egy alkalom m al az autó szokásos sebességénél 10 km /h-val kisebb, a kerékpáros szokásos sebességénél 10 km/h-val nagyobb sebességgel haladt, s így m ikor az autó ¿?-be ért, a kerékpáros az út télénél tartott. M ekkora az autó és a kerékpár eredeti sebessége? 5.2. Egy három szög o ldalai: a = 2” ~2 - 2 ”+] +2“ ,

b = 2”+l _ 2 " + 2 " ''.

c = 3V3 -2"''

Mekkora a három szög legnagyobb szöge? i 5.3, H atározza m eg annak a körnek az egyenletét, mely érinti az v-tengelyt, az x ~ —1 egyenest és az ^-tengely hol 12 egység hosszúságú szakaszt m etsz ki! 5.4. Oldja meg az egyenletet a valós számok halm azán; V2sinx'-*-2>/2sinx - 1 + V3 + 2 s i n x - W 2 s i n x - 1 = 3 v 5.5. B izonyítsa he, hogy a három szög beírható körének középpontján áthaladó egyenes akkor és csak akkor felezi a három szög kerületét, ha a területét is felezi! (44)

REPETA

(6. sorozat)

6 , 1 . Áll ítsa nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi mennyi ségeket;

« = [lóg,

J10 (11 - ^ l - í ö )] ^cos(Í332L) .

\

jL

"J 6.2, Az A BC három szögben a = 5, b = l , ex + (3 = 120°, A z /í-ból és 5-ből induló m agasságokat a C-ből induló szögfelező P-ben, ¡11 Q-ban metszi. Határozza meg a P Q M három szög területét, ahol M a három szög m agasságpontja? v 6,3, Egy szabályos hatszög alapú egyenes hasáb alapsokszögének oldala a. M ek­ kora a test térfogata, ha a legrövidebb testátlója a leghosszabb testátlójának -^--ad o része? 6.4. Oldja m eg az alábbi egyenletet az x e ^ s in '.í

2 s' n" 2.r

szám halm azon

__

6.5. M ilyen m aradékot kapunk akkor, ha az 199519% + 19961>>5 összeget eloszljuk 1995* 1996 -tál? (47)

11

REPETA

(7. sorozat)

7.1. M ely x, y valós számok elégítik ki az alábbi egyenletet: sin 7 (jc + y ) - s i n 2 ( j c - y ) _ sin 2 y 7.2. Egy három szög oldalainak m éröszám aira c = ab,

(c + b ) ( c - b ) = b,

(a + b - C y Í 2 ) ( a + b + c 4 2 ) = 25

Mekkorák a három szög szögei? 7.3. Hány m egoldása van az alábbi egyenletnek, ahol a egy valós szám; \x 2 - 4 x -h 3j —

- 6 * + 5| = q

7.4. Oldja meg az alábbi egyenletet» ahol k egy egytől különböző pozitív valós szám: 1

,

1

2

2k‘

7.5. Egy három szögben -n y s in a sin p = 3sin" Bizonyítsa be, hogy ekkor a három szög oldalai valam ilyen sorrendben egy szám ­ tani sorozat egym ás utáni elem ei! (51)

REPETA

(8. sorozat)

8.1. Az A B C D téglalap oldalai A B = 10, B C = 5. A z A B oldal felezőpontja köré rajzolt r = 5 sugarú kör az A C átlót P -ben, BD átlót Ö-ban metszi. Szám ítsa ki az ABPQ négyszög területét! 2 t 8.2. Az / ( x ) : . v h j + a x + b m ásodfokú függvény együtthatói 0-tól és egym ás­ tól különböző valós számok. H atározza m eg az együtthatókat, ha f ( a + b) = a - b és f ( a - b ) = a - 4 b 8»3> Az A BC D szabályos három szög alapú egyenes gúla alapja az a-oldalú A B C szabályos háromszög. A z alaphoz tartozó m agasság felezőpontja F\ A z F A , FB, F C szakaszok páronként 60°-os szöget zárnak be egym ással. M ekkora a test térfogata? 2

2

8.4. Határozza meg annak a körnek az egyenletét, m ely érinti az x + y = 1, va­ lamint az ( x - 3 ) 2 + y 2 = 4 köröket, továbbá érinti azx-tengelyt! 2 ? ? 2 r 8.5. A z 1 , 2 “, 3“ , ..., 27" 27 db négyzetszám ot ossza három kilences csoportra úgy, hogy az egyes csoportokban levő négyzetszám ok összege egyenlő legyen! (56)

REPETA

(9. sorozat)

9*1, Tóm és Jerry, m iközben kergetik egym ást egyszerre érkeznek egy eső bejára­ tához. Tóm a csövön, Jerry a cső belsejében folytatja útját s közben m indketten pihen­ nek kicsit. Tóm harm adannyi ideig pihen, m int am ennyi időt Jerry futással tölt, Jerry pedig negyedannyi ideig pihen, m int am ennyit Tóm futással tölt, és így egyszerre ér­ keznek a cső végéhez. Tóm sebessége futás közben 99 N A SA (Nem zetközi Állat Se­ besség Egység). M ekkora Jerry sebessége? 9.2. M ely x, y egészek elégítik ki az alábbi egyenlőséget: ■yjx1 - 8 * + 12 + y l - x 2 + 9 * - 1 4 = l o g v(2jc + .v) 9.3. H atározza m eg az alábbi kifejezés értelm ezési tartom ányát: v 4 sin *" tlx_1 -----------------, {[2x]-l)yj3x-x2

([x] az jc valós szám egészrészét jelenti.)

9.4. Pisti - aki nem ismerheti a Ferm at-tételt, mely szerint az x n + y n = z n egyen­ letnek n > 2 esetén nincs m egoldása a pozitív egész számok körében - szeretne három kockát készíteni úgy, hogy ezek élei olyan egész szám ok legyenek, m elyek egy szám ­ tani sorozat szom szédos elem ei, és a két kisebb térfogatának összege egyenlő legyen a nagyobb kocka térfogatával. B izonyítsuk be, hogy ez nem lehetséges! 9*5* A z A B C hegyesszögű három szög belső szögfelezői a három szög köréírható körét A {, B [9 Cj-ben metszik. A z A ]B l egyenes BC-t A 3 -ban, AC-t B 2-ben, B }Ct egye­ nes AC-t B 3-bán, ÁB- 1 C2 -ben, az A XC} egyenes A B - 1 C3 -ban, BC-t A2 -ben metszi. Bi­ zonyítsa be, hogy az A 2 B 3, C2 A 3. B 2 C 3 egyenesek egy pontban m etszik egymást! (61)

REPETA

(10. sorozat)

10,1* O ldja meg az alábbi egyenlőtlenséget: log , ((3Vjc 2 -4„y + 4 - 2 ) - l > 0 10*2, A z Egyesült Univerzum Központi Bolygóján (Central Planete o f United Universum), ahol több quintofootus él. m int tertiofootus, az emberek száma a quintofootusok és tertiofootusok összegének ötöd része. A quintofootusoknak 5 lábuk és 3 tulük, a tertiofootusoknak 3 lábuk és 1 fülük van, A quintofootusok és tertiofootusok összes lábaik és összes Rlleik száma 160. Hány em ber él C PUU-n? 10*3, A z an m értani sorozat első elem e a x = 3 , hányadosa qu = 7, A bn mértani sorozat első elem e ¿ ,= 5 , hányadosa q b=\ 9. Jelölje Sa , ill.

a m egfelelő sorozalok

első n elem ének szorzatát. Szám ítsa ki az alábbi tört értékét: ( S o Sh Y J y j ( t]aqf, )*~"3 ■ 10*4, Bizonyítsa be, hogy 5 db pozitív egész negyedik hatványa között található két olyan, m elyek különbsége osztható 1 0 -zel! 10.5. Jelentse ® az alábbi m űveletet: ha x, y valós szám ok, akkor x ® y = ‘{x + y ) ! { \ + xy ) Oldja m eg a következő egyenlőtlenséget: (x ® 2) ® 2x < 0

(6 6 )

REPETA

(11. sorozat)

11.1. Egy term észetes szám nak 1996 osztója van. B izonyítsa b e? hogy e szám nem lehel osztható 1995-tel! 11.2. Legyenek af b, c egy három szög oldalai. Bizonyítsa be, hogy a b 7 x 1 + ( b “ + c* —a ~ ) x + c~ = 0 másodfokú egyenletnek nincs valós gyöke! 11.3. A z A B C három szög csúcsai rendre egy óra kör alakú szám lapjának 1, 5 és 8 órát jelző pontjaiban vannak. Az A-hói, ¡11. C-böl induló m agasságok talppontjai rendre A, és Cr C l m erőleges vetülcte A C oldalon C2, B izonyítsa be, hogy ekkor ÁC 2 = CA] ! 11.4. Határozza m eg az alábbi kifejezés értelm ezési tartom ányát: \/~ lo g 4 ( 2 |.r - 4 ) + log 4 ( 2 |j r |- 4 ) + 6 sin* 11.5. Á brázolja a sík azon P(x>y) pontjait, m elyek koordinátáira igaz, hogy

REPETA

(12. sorozat)

12.1. O ldja meg a következő egy enletet a valós számok halmazán: l0 ÍW,.r SÍnX + 4 l° g sln t COSX= 4 12.2. Egy derékszögű három szög nem derékszögű csúcsa a koordinátarendszer origójában van. A három szög többi csúcspontjának ^-koordinátái pozitívak és az x koordináták egy cf=5 differenciájú számtani sorozat szom szédos elemei. A háromszög területét az*-tcngcly harm adolja. H atározza meg a hiányzó csúcsok koordinátáit! 12.3. Az A B C D E F G hatszög alapú egyenes gúla alapja az A B C D E F szabályos hatszög. M ekkora a test térfogata, ha A CG szabályos három szög és tudjuk még, hogy a gúla felszínének és térfogatának m érőszám a egyenlő? n 2 12.4. Határozza meg az x * - ( w + 3)* + w = 0 m ásodfokú egyenletben az egész m param éter értékét úgy, hogy 2

2

X2

egész szám legyen, ahol x l és x 2 az egyenlet (nem feltétlenül különböző) gyökei. 12.5. A z x, y különböző term észetes számok számtani közepe az ab kétjegyű szám, mértani közepe az ab szám jegyeinek felcserélésével kapott ba kétjegyű szám. H atározza meg * és y értékét! (74) 14

REPETA

(13. sorozat)

13.1. Egy derékszögű trapéz alakú tetőszerkezet párhuzam os oldalai 6 m és 4 m, a merőleges szára 8 m. A szerkezet m erőleges szára vízszintes helyzetű. A szakértők szerint a nem m erőleges szárat úgy kell kitám asztani egy gerendával, hogy az a nem merőleges szár felezőpontjában, e szárra m erőleges legyen és a m erőleges szárra támaszkodjon. M ilyen hosszú c gerenda? 13*2. Határozza meg a C kifejezésben az a param éter érteket úgy, hogy az alábbi A, B, C m ennyiségek egy mértani sorozat három egymás utáni elem ét alkossák!

A ^

12

’

8

--lug;;5 f 6 " ' C0Sl 4 ) '

( s in o t+ c o s a ) 2 - 1 VTÖ8

C

13.3. Egy négyzet alapú egyenes gúla alapncgyzelenck oldala a. A gúla palástjá­ nak területe az alapnégyzet területének m ásfészerese, M ilyen távol van az alapnégyzet középpontja az oldallapoktól? 13.4. A z N term észetes szám prím tényezős alakja N = 2 X *3y • 5“ (x, y, z > 0 ). I lalározza m eg az N term észetes számol, ha tudja, hogy az N három szoro­ sának 15-tel, négyszeresének pedig 24-gyel, több osztója van, mint ,V-nek! 13.5. Értelm ezzük az alábbi 0 m űveletei a pozitív, I -töl különböző valós számok hal m ázán; x ® y = lóg v y - lóg v x Oldja meg a következő egyenletet: 2 (a ® b x - b ® a ' x) = 5(a ® b)

REPETA

(80)

(14. sorozat)

14.1. Á llítsa nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi három mennyiséget: .02 -35 n l7 , . 121icxl6 ,-17 x =2 , y =3 - 9 , z —( s in —-— ) 17 6

14.2. A z x + y - 2 a x - \ 2 y + a + 2 0 = 0 egyenletű kör origóból húzott érintői 60°-os szögei zárnak be egym ással. H atározza meg a sík azon pontjainak halmazát, melyekből a körhöz húzott érintők m erőlegesek egymásra! 14.3. M ely jc, v, z lóg . xy' + lóg

( a% y

>1) valós számok elégítik ki az alábbi egyenletrendszert:

x y = 4(1 + x z - z ~ ) —x~

sin_\ + sin(.\: + j ) + sin (x + z ) = 0

14.4. Egy három szög a, b , c oldalai egész számok, c = 6 . Az a és b oldalakhoz tartozó m agasságok összege a c oldalhoz tartozó m agasság három szorosa. M ekkorák a háromszög oldalai? 14.5. Az A B C derékszögű három szög oldalait azonos irányban a három szorosára nyújtjuk, így eljutunk a P Q R három szöghöz. Mi a szükséges és elégséges feltétele annak, hogy PQR három szög hasonló legyen az A B C három szöghöz? (85)

REPETA

(15. sorozat)

15.1. O ldja meg az alábbi egyenletet a valós szám ok halmazán: “ 8 [ * 'l “ 33

=0

1g (-x" + 1 8 x + 1 15) ahol [x] a z x valós szám egészrészét jelenti. 15.2. Legyenek a és b olyan pozitív valós számok, m elyekre ab*- l. Határozza meg az a 9 b param éterekét úgy, hogy az lóg** ( bx + 1> + x( 1 - \ogab a) = log „6 30 egyenlet gyökére a- < - 2 teljesüljön! 15.3. M it m ondhatunk arról a három szögről, melyre - a szokásos jelölésekkel (a - 6 ) ‘s in a + {b - c ) ‘SÍn(J + ( 5 prím szám ! B izonyítsa be, hogy létezik olyan n pozitív egész, melyre p n utolsó öt szám jegye p

= ...00001!

(107)

REPETA

(19. sorozat)

19.1. Oldja meg az alábbi egyenletet a valós szám ok halmazán: — * . 3 1 = V IT T • ( 2 + Vx~+T) b + V x+U 19.2. Az alábbi kifejezésben határozza meg az a param éter érteket úgy, hogy a ki­ fejezés értelm ezési tartom ányában egyetlen prím szám se szerepeljen (a szögletes záró­ iéi a valós szám egészrészéi jelöli): V n i o g 2 x f + 7 [lo g 2 x] — 10 ^ X -( ¿ 7 + 5) A’ + 5 a egy 19.3. M ely valós számok elégítik; ki az alábbi egyenlőtlenséget: ~1

+ 1 > 2COS.Í

Ct g.Y

sinx 19.4. A z A B C D szim m etrikus trapéz párhuzam os oldalai A B > CD. A trapéz át­ lóinak m etszéspontja M, a B C szár felezőpontja F, E az M D , G az MA szakasz felező­ pontja. B izonyítsa be, hogy ha EFG három szög szabályos, akkor a trapéz átlóinak hajlásszöge 60°! 19.5. A z ABCDA^B{C\D, kocka egyik lapja z z A B C D négyzet. A kocka AAr B B l, CCr

D D , élei párhuzamosak. Legyen P a kockán kfváilí olyan pont, melynek az

AlB lClD] lap síkjára eső m erőleges vetülete az A ]B C ]D l négyzet belsejébe esik. Igaze, hogy ha a PA DD{A{, P A B B {A ^ P B C C iB ], P C D D]Ci és PA]B ]C ]D l gúlák térfoga­ tának összegéből kivonjuk a PABCD gúla térfogatát, a kapott érték független a P pont választásától? (111)

REPETA

(20. sorozat)

20.1. O ldja meg az alábbi egyenletrendszert: x*

x-y

{ / 7 ^ \ 41oSiv>“ 7^” 2 |otíi

+ (v l3 )

4

0

x

" = 2x-v, '

+ 2y

----- e - = ;> x —2 y

20.2. A z v =

x + n ( h g N ) egyenes valam int a koordinátatengelyek alkotta hán romszög belsejében és határán összesen 415 olyan pont van, m elyeknek m indkét koordinátája egész szám. H atározza meg n értékét! 20.3. H atározza m eg az összes a a b b alakú négyzetszám ot! 20.4. O ldja m eg az alábbi egyenletet a valós szám ok halm azán: ¡7 + ló g t j - 4 -

\

2

/lóg, x + 3 + ¡4 + ló g , x + 2- jlö g , x + 3 = 3

Ml

V

2

V

2

20.5. B izonyítsa be, hogy a derékszögű három szög befogói m ellé írt körök közép­ pontjait összekötő szakasz hossza c J 2 T ahol c a három szög átfogója! 18

(116)

REPETA

(21. sorozat)

21.1, M ely valós x értékek elégítik ki az alábbi egyenletet:

21.2. A z

Hl* + 3| - \ x - 3 \ \ - 1| = a x + b

egyenletnek

végtelen sok valós m egoldása van. H atározza meg az a és b param éterek értékét! 21.3. O ldja meg az alábbi egyenletrendszert a 0 < x , y < tz/ 2 szám halm azon: x*'y + y 2x = ' ^

t

s m { x + y ) - s \ n ( x ' y ) = co s x

21.4. M elyek azok az négyjegyű számok, m elyeknek - nem feltétlen kü­ lö n böző-szám jegyeire:

(¿/d) = acb

és

(í/íí) = bcci

21.5. Az A B C három szög „4-ból induló szögfelezője a három szög köré írható körét E-ben metszi. A kör £-beli érintője Á C egyenest D-ben, A B egyenest F-ben metszi. Bizonyítsa be, hogy

AD^

F ~ th f

t 122)

REPETA

(22. sorozat)

22.1, Három testvér m indegyikének életkora prím szám . A z életkorok egy d = 4 differenciáj ú számtani sorozat szom szédos elemei. Hány évesek a testvérek? 22.2, O ldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halm azán: loe 1 - 2 Jl

i _____ L __________ L + 9 ) log3+2Vj \ ! x 2 -

’J x 2 - 6 . X

6

x +9

2

22.3. A z A B C D egyenlő szárú három szögben A C = B C . A három szögbe beírtunk egy olyan négyzetet, m elynek egyik oldala az AB alaprat egy-egy csúcsa (P és 0 pe­ dig cgy-cgy szárra illeszkedik. Ezután a P Q C három szögbe ismét beírtunk egy négy­ zetet, m elynek egyik oldala P 0 -ra , egy-egy csúcsa pedig a BC és A C szárakra illesz­ kedik. M ekkorák az A B C három szög szögei, ha a három szög területe, valam int e négyzetek területe egy m értani sorozat szom szédos elem ei? 22.4. Definiáljuk a valós számok halm azán az alábbi két m űveletet: a ob = a

2

— í-

és

a * b = c i -f —3

Határozza meg a sík azon P(x\y) pontjait, melyekre („to v)*C 1 valós számok: X2 - X +

= 9)

23.2. A z m x + k y = 6 és k x + m y = 6

lóg 5 y + lóg , X = l * y egyenletrendszerben m és k pozitív egészek.

H atározza m eg m és k értékét úgy, hogy az egyenletrendszer m inden (x,v) m egoldására x , y e N + legyen! 23,3» Egy számtani sorozat (a, * 0) első n elem ének kiszám ítottuk a szám tani kö­ zepét. Ezután az első, a m ásodik és az utolsó elem elhagyásával a m egm aradt elem eknek is kiszám ítottuk a számtani közepét. A z utóbbi átlag éppen a sorozat első elem ével nagyobb, m int az előbbi, Bizonyítsa be, hogy ekkor tetszőleges pozitív egész k-ra és minden n-re $Í!Í. = /C2 23*4. M ely x ( x e R ), y ( y e ÍV) szám ok elégítik ki az alábbi egyenletet: sin 6 x + cos 6 x —(1 —y ) sin 2 x cos 2 x = 0 23.5. A z Á B C D E négyzet alapú egyenes gúla alapja az a oldalú A B C D négyzet. Az oldalélek 3a hosszúak. A z A E oldalél F felezőpontján keresztül állítottunk egy olyan síkot, mely m erőleges az EC oldalélre. M ekkora területű négyszöget m etsz ki e sík a gúlából? ' ” (131)

REPETA

(24. sorozat)

24,1« Az A B C egyenlő szárú három szögben

AB = A C . A három szög alapja

B C = a , szemközti szöge a = 30°. A C csúcs körül rajzoltunk egy r = y sugarú kör­ ívet a három szög belsejébe. B-ből a körívhez húzott érintő érintési pontja E y AC-ve 1 alkotott m etszéspontja M A CE egyenes A B oldalt Ar-ben metszi. M ilyen hosszú az MN szakasz? 24>2. O ldja m eg az alábbi egyenletet a 0 < x < 2 k szám halm azon: 2 sin 2 x - s i n x - 1

1 + sin x - 2 sin 2 x

cosx

cosx

24.3, 222 db term észetes szám közül 221 db négyzetének összege egyenlő a 222. négyzetével. B izonyítsa be, hogy e 222 szám m indegyike nem lehet páratlan! 24.4. O ldja m eg az alábbi egyenletrendszert: lóg 2 x • lo g 2 y = 9

és

log 3 x 2 + log 2 y 3 ~ 9

24*5. A z A B C három szög oldalai a - 16, 6 = 13, c = V4 Ï . Egy az a oldalra m erő­ leges egyenes a három szög területét harm adolja. M ilyen hosszú ennek az egyenesnek a három szög belsejébe eső darabja? (136)

REPETA

(25, sorozat)

25.1, O ldja meg az alábbi egyenletrendszert a valós szám ok halmazán:

25,2* Az ABC D paralellogramma A, B és C csúcsai egy olyan körön vannak, melynek 0 középpontja az A D oldal belső pontja. Legyenek TV, M és K rendre a CD, A D és BO e g y e n e s e k n e k a körrel alkotott másik metszéspontjai. Bizonyítsa be, hogy N K = K M = K D ! 25.3, Legyenek egy három szög csúcsainak koordinátái M (lg s in a ;lg s in 2 o t), 5 (lg s in a ;lg c o s a ), C ( lg c o s a ;lg c o s a ) , ahol 0 < o . < n / 2 l A három szög súlypontja illeszkedik az y = x egyenesre. M ekkora a három szög legrövidebb oldala? 25*4, A z A B C három szög B C oldalának egy belső pontja A ]. Legyenek B} az A C egyenesnek, ill. C{ az A B egyenesnek olyan pontjai, m elyekre A A }, BB{ és CC, szaka­ szok párhuzam osak. H atározza m eg az A {B]C, három szög területét az A B C háromszög területének ismeretében! 25.5. Legyen n egy pozitív egész szám! Jelölje p(n) az alábbi egyenlet (*,;>) megoldásainak számát:

(x,yeN )

[Ha pl. n = 2 , akkor az egyenlet m egoldásai (3;6), (6;3), (4;4), tehát p ( 2) = 3.] a) H atározza m eg p( 1996) értékét!

b) M ilyen n-re lesz p { n ) = 1996?

REPETA

(26. sorozat)

26.1. Legyen A az legkisebb, B -¿b) legnagyobb, C pedig a c) legkisebb m egol­ dása! Igaz-e, hogy az A, B y C m ennyiségek egy szám tani sorozat egym ás utáni elemei? a) 6x -fr> x + 106 = Q x

b) log4 (x + 2 0 ) - lo g , 2 =

l

c) yll + x + x ' J x 2

+ 2

=x~]

2 - 4

26.2. M ekkora legyen a k [k * 0) param éter értéke, hogy csak egyetlen p valós szám legyen, m elyre az alábbi egyenletnek csak egyetlen valós m egoldása van: kx - 2 ( p - k ) x + p k = 0 26.3. M elyik az a legkisebb pozitív egész szám. am elyik 9, 10 és 11 egym ás utáni pozitív egész számnak is összege? 26.4. Legyen {an } egy nem állandó számtani sorozat m elynek első elem e ax = 1, {bn \ egy pozitív egészekből álló nem állandó m értani sorozat! H atározza m eg a szám ­ tani sorozat 1996. elem ét, ha az abr a h , elem ek mértani sorozatot alkotnak! 26.5. A dott egy k kör és annak egy tetszőleges A B húrja. A k { kör érintse belülről k-i az A pontban és A B - v t l való m etszéspontja legyen Aí! A k 2 kör ugyancsak áthalad M ponton, érinti k -1 belülről a B pontban és fc|-gyel való m ásik m etszéspontja N. Az MN szakasz ,V-en túli m eghosszabbítása k kört C-ben metszi. Az A C egyenes k { kört P-ben, B C egyenes k 7 kört 0 -b a n m etszi. Bizonyítsa be, hogy P Q egyenes a k { és k 2 körök közös külső érintője!

(145) 21

(140)

REPETA

(27. sorozat)

27*1. Egy háromjegyű prím szám m inden számjegye l-nél nagyobb négyzetszám. E prím et m egszoroztuk első számjegy ével. M it kaptunk eredm ényül? 27.2. Legyen A az a) egyenlet, B a b) egyenlet m egoldásainak halm azai Határozza meg a B \ A halm az elemeit! (A [ ] zárójel a valós szám egészrészét jelenti.)

«)

Iog, 4 ' o

= 4,

b)

|2.v2 - 3x - 54| = -2x2 + 3x + 54

27.3. Egy három szög két csúcspontjának koordinátái A( 2;6), 5 (1 0;2). A harmadik csúcs illeszkedik az y - - x

2

+ 4 parabolára. Határozza m eg a harm adik csúcspont

koordinátáit úgy, hogy a három szög területe a lehető legkisebb legyen! 27.4. Egy verseny kerékpáros (állandó sebességgel haladva egy m indkét irányban végtelen országúton) elm ent egy kilom éterkő m ellett, melyre az x y

kétjegyű szám

volt írva (y > „v). Egy óra m úlva egy m ásik kilom éterkőhöz crt, m elyen az y x két­ jegyű szám szerepelt. Ezután újabb 3 óra elteltével olyan kilom éterkőhöz ért, m elyre az x ( 2 y ) y három jegyű szám volt írva. M ekkora a kerékpáros sebessége? 27.5. B izonyítsa be, hogy ha a, b, c pozitív valós számok, akkor -VcT +a b + b “ < M*a2 - a c + c 2 + 'Jb2 - b c + c 1 Mikor áll fenn az. egyenlőség?

REPETA

(150)

(28. sorozat)

28.1. Szervác, Pongrác és Ronifác közül am ikor Szervác annyi idős volt, mint Pongrác most, Bonifác olyan idős volt, m int Szervác és Pongrác m ost együttvéve. Milyen idős volt Szervác akkor, am ikor Bonifác annyi idős volt, m int Szervác most? 28.2. A z AB CD trapéz átlóinak m etszéspontja M. Legyenek K a B C szár, L az A D szár egy-egy tetszőleges belső pontjai! M pontnak K-r& vonatkozó tükörképe P. í,-re vonatkozó tükörképe Q, B izonyítsa be, hogy a B PC három szög területe egyenlő az A D Q három szög területével! 28.3. M ely x yy \ z pozitív egészek elégítik ki az alábbi egyenletrendszert: lóg 2 y -r 2 t— 2 -> (.v l’ + y ) =4 ^[ x y\ x + 5z^ + 9 = 2 z ( 2 x + 3) 28.4. A z A B C három szög AB és A C oldalait metsző s a három szög területét felező egyenesek közül m elyik azt m elynek a három szög belsejébe eső darabja a legkisebb? 28.5. - Három elefántot kell berakodnunk szólt a hajóskapitány az elsőtiszthez., - És hány évesek ezek az. elefántok? - kérdezte az elsőtiszt. M indegyik elm últ m ár két éves és életkoraik szorzata 2450 - volt a válasz. - Hát életkoraik Összege? - A zt fölösleges elárulnom, m ert abból m ég nem tudnád m egállapítani élet­ korukat. m ondta a kapitány, majd hozzátette - Az egyikük idősebb nálam. - Akkor m ár tudom hogy hány évesek az elefántok - m ondta az elsőtiszt. Feltéve, hogy tényleg tudta; ... hány éves a kapitány ? (154) 22

Megoldások

1. sorozat 1.1. Legelőször alakítsuk át a m egoldandó 81

cos4x lóg, 1 2 8 egyenlet bal oldalát a hatványozás és a logaritm us definíciója, illetve m egfelelő azonosságai, valam int a sin a = sin ( a + 2 kiz) ism ert azonosság alapján. Mivel l ( 1371 ^ ■2 , ' 2 71 ( V3 V 3 sin { — J = S,n H * + 7 ) = sm T = ( — J = 4 log8 128 = lóg , 2 7 = ~

továbbá ezért írhatj uk

81

1

I oc

3“ 6

* M

7 _1 3 3

A

tehát az eredeti egyenlet így alakul ahonnan 4 x 5 f ± ± + 2 kK vagyis az eredeti egyenlet megoldásai x =í±

^ 7

+k n

( k e Z)

és ezek az értékek valóban kielégítik az eredeti egyenletet. 1,2, M índenekeklőtt alakítsuk át az x 2 + y2 -

(2

lg 2 )x - (61g2) v + o = 0

kör egyenletét oly módon, hogy a kör középpontja ism ert legyen. Kapjuk (x - lg 2 ) 2 + ( v - 3 I g 2 ) 2 - I01g2 2 + , + lg 2 2 = 0 Innen

^

6Ig2±V36)g22 - 4 i g 22

61g2±4V21g2

)g2(-„ 2 / Tj

Tehát a kör ^-tengellyel való m etszéspontjai: y 2 = (3 - 2 \ / 2 ) l g 2

>’i = (3 + 2 ^ 2 )lg2, é

2

M egjegyzés. Egyéb úton is eljuthattunk volna az a = lg 2 eredm ényhez. Ha a kör érinti az x-tengelyt, akkor az y = 0 helyettesítéssel adódó m ásodfokú egyenletnek (melynek megoldásai a kör és az x-tengely közös pontjait adják) csak egy m egoldása lehet. Ez azt jelenti, hogy az x~ - ( 2 1 g 2 )x + a = 0 egyenlet diszkrim inánsa 0 kell, hogy legyen, azaz 4 lg" 2 - 4 a = 0 y

ahonnan

« = lg2 2 Innen pedig a m ár előbb ism ertetett m ódon fejezhető be a feladat megoldása. 1.3. Két esetet kell vizsgálnunk attól függően, hogy AB + C D > B C + A D ,

vagy

AB + CD < B C + AD

Ha AB + CD = BC' + A D , akkor nyilván \AB + C D - ( B C + AD)\ P Q = ---------------- ^ ---------------[ = 0 ami érthető, hiszen ekkor nyílván érintőnégyszögről van szó, ugyanis a négyszög szögfelezői ekkor egy pontban m etszik egym ást, tehát ekkor P és Q pontok egybe­ esnek.

Legyen először a párhuzam os oldalak összege nagyobb, mint a szárak összege. Tekintsük az 1. ábrái, m elyen E F a trapéz

D

ezért EPAZ = PABZ = PAEZ

és \ . ábr a

FQBZ = QBAZ = QBFZ

hiszen AP és BQ szögfelezők. Ebből következik, hogy A P E és B Q F három szögek egyenlő szárnak, azaz EP= AE és FQ=BF A trapéz középvonala EF = EP + FQ+ PQ AB + CD

A B + CD

tehát

AD . B C , =— +— +PQ'

ahonnan kapjuk a bizonyítandó állítást AB + C D - ( A D + BC)

L

2

Legyen m ost a szárak összege nagyobb, mint a párhuzam os oldalak összege és te­ kintsük a 2. ábrát! Ugyanúgy, m int előbb A P E és B Q F három szögek egyenlő szárnak. A trapéz középvonala A B + CD

E F = EQ + Q P + P F

rí

2

r

De EP= EQ + Q P = AE FQ = F P + P Q - B F _____ _Q ÁB + CD +. P = E P_+ F_ Q = 2

/ L D + ö C - ( / l t f + CZ))

2 = BC 2

es így kapjuk

AD + BC „ . ahonnan 2

|>4£ + C D - ( / < 7 > + * C ) |

PQ

1.4

ábra

Alakítsuk át először a m egoldandó l°gvx

3 °

í ° / + l°6v J7' * “

2

+ 4 y + 96 (0

.x'W8''' + y ' vs' * + { x + y + z )

* = 1996

egyenletrendszer első egyenletének bal oldalát a logaritm us azonosságai alapján 27

lo g rx 3 + 1og xy 2 + l ó g , / + lóg ^

= 31ogxx + 31ogvv + 2 lo g vy + 2 logyx = = 6 + 2 (lóg xy + log^x)

Itt a zárójelben egy pozitív szám nak és reciprokának összege szerepel, m elyről tudjuk, hogy legalább 2 és pontosan akkor 2 , ha a kérdéses pozitív szám 1. Ezek sze­ rint az egyenlet bal oldala legalább 1 0 , azaz lo g v x'V

+ logv y ' x 2 = 6 + 2 (logx y + ló g , x) > 10

A jobb oldalon a négyzetgyök alatti m ennyiséget így alakíthatjuk át: ____ ^ - v 2 + 4 V + 96 = - [ / - 4;; - 9 6 ] = - [ ( y - 2 ) 2 - 10 0 ] ^ -

(

v

>

Ennek legnagyobb é rté k e n vilván 100 és pontosan akkor lesz 100, ha y = 2 . így J - y 2 + 4 v + 9ó < 10

Azt kaptuk, hogy az (1) egyenletrendszer első egyenletének bal oldala legalább 10, jobb oldala legfeljebb 1 0 , így az egyenlőség csak akkor teljesülhet, ha m indkét oldal 10-zel egyenlő. Ekkor v=2

cs

lóg v y = 1 ,

azaz

x =y =2 H elyettesítsük m ost a kapott eredm ényeket (1) m ásodik egyenletébe, kapjuk: 2 lng;í + 2 i08: -- + ( 2 + 2 +

= , 996;

ahonnan a logaritmus definíciója alapján z + z + 4 + z = 1996 3z = 1992,

le hál

z - 664 Az eredeti (1) egyenletrendszer m egoldásai tehát x - y = 2,

z = 6 64

A z ellenőrzési az olvasóra bízzuk. 1.5.

Legelőször próbáljuk m eghatározni a feltételekből a p, q prím eket. Ha

/ / + q r prím szám , akkor páratlan. így nyilván p és q m indegyike nem lehet páratlan, hiszen ekkor p* + q f> páros lenne. Ebből következik, hogy p és q valam elyike csak 2 lehet. Legyen pL q - 2. Ekkor tehát ¿>2 + 2 /' = prím

(2 )

V izsgáljuk m ost a p prím et 3-mai való oszthatóság szem pontjából. Egy prím 3-mal osztva 1, vagy 2 m aradékot ad (hacsak nem éppen 3), azaz p - 2 k ± l alakú. Ezzel (2 )-t így írhatjuk 28

(3k ± l ) 2 + 2 P = prím (3k±

\ ) 2

vagy m ásképpen

+ ( 3 - 1 ) ^ = prím

9 k 2 ± Gk +1 + (3 - 1);J = prím De (3 - 1 ) ^ a binom iális-tétel szerint egy olyan p + 1 tagú összeg, m elynek első p tagjának m indegyike osztható 3-mai, utolsó tagja pedig ( - 1)^ = - 1 , hiszen p páratlan. Ezek szerint valam ilyen pozitív egész N-nel (2) így alakul tovább: 9 k 2 ± + 6 * +1 + 3 N - \ = 9 k 2 ± 6 k ^ 3 N A kapott érték nyilván nem lehet prím, hiszen osztható 3-mai, így kizárólag csak p = 3 jöhet szám ításba. Ezzel (2) így alakul 32 + 2 3 = 9 + 8 = 17

és ez valóban prím. Tehát a feltételekből következik, hogy q = 2 és p = 3 lehet csak, Ezekkel a ki­ számítandó összeg: 3(/> + t f ) ( p - ? ) ( p 2 + 4 2 + w ) ( / ? 2 + ? 2 - p q ) = 3 - 5 'l 19 7 = 1995 Megjegyzés* Fontos tanulsága a feladatnak, hogy bárm ely 3-tól különböző prímszám négyzete 3-mal osztva csak I m aradékot adhat, azaz nem létezik olyan prím, melynek négyzete p

2

= 3k + 2 alakú lenne.

2. sorozat 2, 1,

M indenekelőtt vizsgáljuk meg. hogy az

í

u

1,

v'°8' r = 9

(3)

x^ + 4 x - 3 J

egyenletrendszernek m ilyen x, v, z egész szám ok esetén van értelme. (3) második egyenletéből x > 1, z > 0 kell legyen. A z első egyenletben a —x 2 + 4 x - 3 > 0

és

- y 2 + 8 v -1 5 > 0

egyenlőtlenségeknek kell teljesülniük. A z egyenlőtlenségek m egoldásához határozzuk meg a m ásodfokú kifejezések zerushelyeit -X 2 + 4 x - 3 = 0 - 4 ± V16 - 12 -2

x \ = 3, tehát 1 < x < 3, azaz csak x = 2 lehetséges.

-4 ±2 "

x2 =l,

-2

- / + 8 > --l5 = 0 -8 ± V ő 4 -ő 0 -2 ^=5,

-8 ±2

-22-

"

>’2 = 3,

tehát 3 < y < 5, a z a z y értéke csak 3, 4 vagy 5 lehetséges. Mivel az

egyenlet m egoldásai általában ¿7 = 1

és

n = tetszőleges, vagy

a = -1

cs

n — páros egész, vagy

n —Ö

és

a > 0 tetszőleges,

ennek m egfelelően (3) egyenletrendszer első egyenletének megoldásai a / o \l —x~ + 4 x - 1 = 1 és y = 3 ,4 ,5 ; vagy -yj-y 2 + 8 y —15 = 0

és

x =2

egyenletrendszerekből adódik. Első esetben —x~ +4jc —3 = 1, ■> .x" - 4 x + 4 = 0, (x~

2 )2

= 0,

azaz

tehát

x =2 . Második esetben —

v + 8 v -1 5 = 0 ,

m elynek m egoldásait m ár ismerjük: y i = 3 , y 2 = 5. M indent egybevetve (3) egyenletrendszer első egyenletének megoldásai x = 2,

y =3

x = 2n y = 4 x-2,

y-5

Nézzük most ezek felhasználásával a m ásodik egyenletet. Első esetben 3l0í- z = 9 = 3 2 log2 z = 2 t z=4 30

ahonnan tehát

Második esetben 4 lo' : " = 9,

ahonnan

( 2 2 )i°»--*=2 k* - ' ' = 9 , z" - 9,

vagyis

tehát

z = ±3

De z > 0, így csak z = 3 lehet. Végül harm adik esetben

5^:==9

ükkor nyilván 1 < lo g 2 z < 2 ,

azaz

log 2 2 < log 2 z < log 2 4 Innen pedig csak 2 < z < 4 adódhat, de z = 3 nem lehet, hiszen ekkor - m int láttuk a második esetben y —4 lenne. így a harm adik esetben nincs az egyenletnek egész z megoldása. Az egyes eseteket egybevetve az eredeti (3) egyenletrendszer megoldásai x = 2,

y = 3,

z=4

x = 2,

y = 4,

z= 3

és

Az ellenőrzést az olvasóra bízzuk.

\

2,2.

Szorozzuk meg az

-

3

+

/r’

+c

'3

¿7+/>+)

A kapott egyenlőség bal oldalát átalakítva 0

o

o

(¿7 + 6 )(íT - a b + b * ) = c “ (ű + 6 ),

ahonnan

a 2 — a b + b~ = c~

A feladat a három szög 7 szögét kérdezi, ezért írjuk fel a jobb oldali c r -re a cosinus-tételt; kapjuk a

2

2

°

^

- a b + b = c/~ + 6 " - 2 a 6 c o sy , -¿/ó = - 2 ^ c o s y , cosy = -i

Innen a három szög keresett 7 szöge: y = 60°.

azaz tehát

2.3. A

V / - \ 3 x * + 3 6 + VjT - 1 3 * + 36

kifejezésnek akkor van értelme, ha x 4 - 13x2 + + 3 6 > 0

cs

Keressük m eg először az x-ben, zérushelyeit!

x 2 -1 3 x + + 36> 0

ill.

,v“-ben

(4)

egyform a m ásodfokú

alakok

x 2 - 13*+ 36 = 0 _ 1 3 ± V l6 9 - 144 _ 13 + 5

*1’2“

2

9, x 7 = 4,

tehát

"2

ill.

Xj = 9, x*

Ezek szerint (4) egyenlőtlenségek megoldásai x < 4, vagy x > 9,

ill.

\x\ < 2 ?

x~ < 4 vagy x~ > 9,

vagy

azaz

|jt| > 3

Ábrázoljuk ezeket a m egoldásokat egy szám egyenesen (Id. 3. ábra) =----- — ■3^2

H------------ —■ ---------—----------- ► 0 2 3 4 9

3. ábra A kapott eredm ényeket egybevetve, az eredeti kifejezés értelm ezési tartom ánya (m elyet a 3. ábrán is szem léltettünk): x < -3

vagy

- 2