Relativistische Quantenmechanik [1 ed.] 3540229221, 9783540229223 [PDF]

Zitiervorschau

Springer-Lehrbuch

Armin Wachter

Relativistische Quantenmechanik Mit 67 Abbildungen, 44 Aufgaben und vollständigen Lösungswegen

Dr. Armin Wachter Internet: www.wachter-hoeber.com E-mail: [email protected]

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Vorwort

Im Hinblick auf Fehler ist wiedergutmachen wichtiger als vorbeugen. Das ist der Kern der Philosophie der menschlichen Erkenntnis, die als kritischer Rationalismus bekannt ist und ihren vielleicht st¨arksten Niederschlag in den modernen Naturwissenschaften findet. Erkenntnis entwickelt sich demnach aus einer Folge von Vermutungen und Widerlegungen, von vorl¨aufigen Probleml¨ osungen, die durch kompromißlose und gr¨ undliche Pr¨ ufungen kontrolliert werden. Wichtig hierbei ist die Feststellung, daß gewonnene Erkenntnis nie verifizierbar, sondern allenfalls falsifizierbar ist. Mit anderen Worten: Eine naturwissenschaftliche Theorie kann h¨ ochstens als nicht bewiesener” maßen falsch“ angesehen werden, und zwar nur so lange, bis diese Theorie nachpr¨ ufbar falsche Vorhersagen liefert. Ein hinreichendes Kriterium f¨ ur ihre Richtigkeit gibt es dagegen nicht. Die Newtonsche Mechanik, zum Beispiel, konnte als nicht bewiesenerma” ßen falsch“ angesehen werden, bis Ende des 19. Jahrhunderts erstmals Experimente zur Messung der Lichtgeschwindigkeit durchgef¨ uhrt wurden, die im Widerspruch zu den Vorhersagen von Newtons Theorie standen. Weil sich innerhalb Albert Einsteins spezieller Relativit¨atstheorie bis heute kein Widerspruch zur physikalischen Realit¨ at finden l¨aßt (und diese Theorie dar¨ uber hinaus einfach im Sinne der ihr zugrundeliegenden Annahmen ist), wird die relativistische Mechanik zur Zeit als legitimer Nachfolger der Newtonschen Mechanik angesehen. Dies bedeutet nicht, daß deshalb die Newtonsche Mechanik v¨ ollig aufgegeben werden muß. Sie hat lediglich ihren fundamentalen Charakter verloren, weil ihr G¨ ultigkeitsbereich nachweislich auf den Bereich kleiner Geschwindigkeiten im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit eingeschr¨ ankt ist. Der G¨ ultigkeitsbereich der Newtonschen Theorie wurde allerdings im ersten Jahrzehnt des 20. Jahrhunderts noch in anderer Hinsicht eingeschr¨ankt, n¨ amlich in Bezug auf die Gr¨ oße der physikalischen Objekte, die sie beschreibt. In jener Zeit wurden Experimente durchgef¨ uhrt, aus denen hervorging, daß sich mikroskopische Objekte wie Atome und Molek¨ ule v¨ollig anders verhalten als es die Newtonsche Mechanik vorhersagt. Die Theorie, die diesen neuartigen Ph¨ anomenen in besserer Weise Rechnung tragen konnte, war die im Folgejahrzehnt entwickelte nichtrelativistische Quantenmechanik. Von ihr war allerdings schon zum Zeitpunkt ihrer Entstehung abzusehen, daß sie ebenfalls

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Vorwort

nur begrenzt g¨ ultig sein kann, eben weil sie die Prinzipien der Relativit¨atstheorie nicht ber¨ ucksichtigt. Heute, etwa ein Jahrhundert nach dem Aufkommen der nichtrelativistischen Quantentheorie, werden als nicht bewiesenermaßen falsche“ Theorien ” zur Beschreibung mikroskopischer Naturerscheinungen sog. Quantenfeldtheorien angesehen. Sie zeichnen sich dadurch aus, daß sie • lorentzkovariant formulierbar sind, also mit der speziellen Relativit¨atstheorie im Einklang stehen, • Viel-Teilchentheorien mit unendlich vielen Freiheitsgraden sind und u.a. Teilchenerzeugungs- und -vernichtungsprozessen in qualitativ und quantitativ exzellenter Weise Rechnung tragen. Der Weg zu diesen modernen Theorien verlief nat¨ urlich u ¨ ber einige Zwischenschritte. Man ging zun¨ achst von der nichtrelativistischen Quantenmechanik – mit der zugeh¨ origen Ein-Teilchen-Wahrscheinlichkeitsinterpretation – aus und versuchte, diese so zu erweitern, daß sie lorentzkovariant ist. Dies f¨ uhrte als erstes zur Klein-Gordon-Gleichung als relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen. Mit dieser Gleichung war jedoch ein grundlegender Makel verbunden. In ihr treten n¨ amlich L¨ osungen mit negativer Energie auf. Abgesehen davon, daß sie sich a priori einer vern¨ unftigen Interpretation zu entziehen scheinen, bedeutet ihre Existenz aus quantenmechanischer Sicht, daß es z.B. keine stabilen Atome geben d¨ urfte, da ein atomares Elektron durch fortw¨ ahrende Strahlungs¨ uberg¨ ange auf immer tiefere Niveaus des nach unten unbeschr¨ ankten negativen Energiespektrums rutschen k¨onnte. Ein weiteres Problem dieser Gleichung besteht in dem Fehlen einer positiv definiten Wahrscheinlichkeitsdichte, welche f¨ ur die gewohnte quantenmechanisch-statistische Deutung unerl¨ aßlich ist. Diese Schwierigkeiten waren der Grund daf¨ ur, daß man lange Zeit nicht an einen physikalischen Sinn der KleinGordon-Gleichung glaubte. In dem Bestreben, an einer positiv definiten Wahrscheinlichkeitsdichte festzuhalten, entwickelte Dirac stattdessen eine Gleichung zur Beschreibung von Elektronen (allgemeiner: Spin-1/2-Teilchen), die allerdings auch L¨osungen mit negativer Energie liefert. Hier war es jedoch aufgrund der guten ¨ Ubereinstimmung der Diracschen Vorhersagen mit experimentellen Befunden im niederenergetischen Bereich, wo die negativen Energiel¨osungen vernachl¨ assigt werden k¨ onnen (z.B. Energiespektrum des Wasserstoffatoms, gyromagnetisches Verh¨ altnis des Elektrons), schwer m¨oglich, den physikalischen Sinn dieser Theorie v¨ollig zu negieren. Um die Elektronen innerhalb seiner Theorie vor einem Sturz in negative Energiezust¨ ande zu bewahren, f¨ uhrte Dirac einen Kunstgriff ein, die sog. L¨ochertheorie. In ihr wird davon ausgegangen, daß das Vakuum aus einem vollst¨ andig besetzten See“ von Elektronen mit negativer Energie be” steht, der aufgrund des Paulischen Ausschließungsprinzips mit keinem weiteren Teilchen gef¨ ullt werden kann. Diese neuartige Annahme erm¨oglicht

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dar¨ uber hinaus eine (zumindest qualitativ akzeptable) Erkl¨arung f¨ ur Teilchenzahl ¨ andernde Prozesse. So kann z.B. ein Elektron mit negativer Energie Strahlung absorbieren und in einen beobachtbaren Elektronzustand mit positiver Energie angeregt werden. Zus¨ atzlich hinterl¨aßt dieses Elektron ein Loch im See der negativen Energien, zeigt also die Abwesenheit eines Elektrons mit negativer Energie an, das von einem Beobachter relativ zum Vakuum als Anwesenheit eines Teilchens mit entgegengesetzter Ladung und entgegengesetzter (also positiver) Energie gedeutet wird. Dieser Prozeß der Paarerzeugung impliziert offensichtlich, daß es neben dem Elektron ein weiteres Teilchen geben muß, welches sich lediglich im Vorzeichen der Ladung vom Elektron unterscheidet (Antiteilchen). Dieses Teilchen, das sog. Positron, wurde kurze Zeit sp¨ ater tats¨ achlich gefunden und lieferte eine eindrucksvolle Best¨atigung der Diracschen Ideen. Heute weiß man, daß zu jedem Teilchen ein Antiteilchen mit umgekehrten (nicht unbedingt elektrischen) Ladungsquantenzahlen existiert. In der Klein-Gordon-Theorie konnte schließlich das Problem des Fehlens einer positiv definiten Wahrscheinlichkeitsdichte umgangen werden, indem die Gr¨ oßen ρ und j als Ladungsdichte und Ladungsstromdichte uminterpretiert wurden (Ladungsinterpretation). Der Sturz von positiven Energiezust¨ anden auf negative Niveaus ließ sich allerdings in diesem Fall nicht durch eine l¨ ochertheoretische Vorstellung beseitigen, da das Paulische Ausschließungsprinzip hier nicht greift und es deshalb keinen vollst¨andig besetzten See von Spin-0-Teilchen mit negativer Energie geben kann. Die Klein-Gordon- und Dirac-Theorie liefern experimentell verifizierbare Aussagen, solange man sich auf niederenergetische Ph¨anomene beschr¨ankt, bei denen Teilchenerzeugungs- und -vernichtungsprozesse keine Rolle spielen. Sobald man allerdings auch hochenergetische Prozesse einzubeziehen versucht, treten in beiden Theorien unweigerlich M¨angel und Widerspr¨ uche zutage. Den erfolgreichsten, weil bisher in keinem Widerspruch zu experimentellen Erfahrungen stehenden Ausweg bietet aus heutiger Sicht, wie bereits ¨ erw¨ ahnt, der Ubergang zu quantisierten Feldern, also zu Quantenfeldtheorien. Dieses Buch greift einen Ausschnitt des soeben beschriebenen Erkenntnisprozesses heraus und besch¨ aftigt sich mit den Theorien von Klein, Gordon und Dirac zur relativistischen Beschreibung von massiven, elektromagnetisch wechselwirkenden Spin-0- bzw. Spin-1/2-Teilchen, und zwar unter weitestgehender Ausklammerung quantenfeldtheoretischer Aspekte (relativistische Quantenmechanik im engeren Sinne“). Hierbei steht vor allem die Beant” wortung folgender Fragen im Vordergrund: • Inwieweit lassen sich die Konzepte der nichtrelativistischen Quantenmechanik auf relativistische Quantentheorien u ¨bertragen? • Wo liegen die Grenzen einer relativistischen Ein-Teilchen-Wahrscheinlichkeitsinterpretation?

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• Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede bestehen zwischen der KleinGordon- und Dirac-Theorie? • Wie lassen sich relativistische Streuprozesse, insbesondere solche mit Beteiligung von Paarerzeugungs- und -vernichtungseffekten, im Rahmen der Klein-Gordon- bzw. Dirac-Theorie beschreiben, ohne den Formalismus der Quantenfeldtheorie zu bem¨ uhen, und wo liegen hier die Grenzen? Im Gegensatz zu manchen anderen Lehrb¨ uchern, in denen die reinen Theo” rien“ von Klein, Gordon und Dirac zusammen mit deren Ein-Teilcheninterpretation zugunsten einer m¨ oglichst fr¨ uhen Einf¨ uhrung der Feldquantisierung relativ schnell abgehandelt werden, betont das vorliegende Buch gerade diesen Standpunkt, um so ein tieferes Verst¨ andnis der damit verbundenen Probleme zu vermitteln und letztlich die Notwendigkeit von Quantenfeldtheorien zu motivieren. Dieses Lehrbuch wendet sich somit an alle Studierenden der Physik, die an einer u ¨ bersichtlich geordneten Darstellung der relativistischen Quantenmechanik im engeren Sinne“ und deren Abgrenzung zur weiterf¨ uhrenden ” Quantenfeldtheorie interessiert sind. Seinen Anspruch in Bezug auf Verst¨andlichkeit und physikalische Einordnung priorisierend, bewegt sich dieses Buch mathematisch auf mittlerem Niveau und kann von jedem gelesen werden, der die theoretischen Kursvorlesungen zu den Gebieten der klassischen Mechanik, klassischen Elektrodynamik und nichtrelativistischen Quantenmechanik absolviert hat. Das Buch ist in drei Kapitel plus Anhang aufgeteilt. Das erste Kapitel besch¨ aftigt sich mit der Darlegung der Klein-Gordon-Theorie zur relativistischen Beschreibung von Spin-0-Teilchen. Der Schwerpunkt liegt dabei, wie bereits erw¨ ahnt, auf den M¨ oglichkeiten und Grenzen der EinTeilcheninterpretation dieser Theorie im Sinne der gewohnten nichtrelativistischen Quantenmechanik. Dar¨ uber hinaus werden umfassende Symmetriebetrachtungen der Klein-Gordon-Theorie angestellt, ihre nichtrelativistische N¨aherung systematisch in Potenzen von v/c entwickelt und schließlich einige einfache Ein-Teilchensysteme diskutiert. Im zweiten Kapitel behandeln wir die Dirac-Theorie zur relativistischen Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen, wobei auch hier wieder großer Wert auf ihre Ein-Teilcheninterpretation gelegt wird. Beide Theorien, die ja aus bestimmten Erweiterungen der nichtrelativistischen Quantenmechanik hervorgehen, erlauben prinzipiell einen sehr direkten Eins-zu-Eins-Vergleich ihrer Eigenschaften. Dem wird in besonderer Weise dadurch Rechnung getragen, daß die einzelnen Abschnitte dieses Kapitels strukturell gleich aufgebaut sind wie diejenigen des ersten Kapitels – nat¨ urlich nur bis auf Dirac-spezifische Themen, wie z.B. die L¨ ochertheorie oder den Spin, die an geeigneten Stellen gesondert betrachtet werden. Das dritte Kapitel enth¨ alt die Beschreibung relativistischer Streuprozesse im Rahmen der Dirac- und, weiter hinten, der Klein-Gordon-Theorie. In Anlehnung an die nichtrelativistische Quantenmechanik werden relati-

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vistische Propagatorverfahren entwickelt und mit den bekannten Konzepten der Streuamplitude und des Wirkungsquerschnittes in Zusammenhang gebracht. Auf diese Weise entsteht ein Streuformalismus, mit dessen Hilfe sich sowohl Ein-Teilchenstreuungen in Anwesenheit eines elektromagnetischen Hintergrundfeldes als auch – mit entsprechenden Erweiterungen – Zwei-Teilchenstreuungen approximativ berechnen lassen. Anhand konkreter Betrachtungen von Streuprozessen in den niedrigsten Ordnungen werden die Feynman-Regeln entwickelt, die alle erforderlichen Rechnungen auf eine gemeinsame Grundlage stellen und graphisch formalisieren. Dabei muß betont werden, daß sich diese Regeln in ihrer Allgemeinheit nicht zwingend aus dem verwendeten Streuformalismus ergeben, sondern in h¨oheren Ordnungen auch rein quantenfeldtheoretische Aspekte beinhalten. Genau an dieser Stelle geht dieses Buch also erstmalig u ¨ ber die relativistische Quantenmechanik im en” geren Sinne“ hinaus! Die anschließende Diskussion der quantenfeldtheoretischen Korrekturen (allerdings ohne ihre tiefere Begr¨ undung) und deren exzel¨ lente Ubereinstimmung mit experimentellen Befunden mag in diesem Buch als der vielleicht gr¨ oßte Motivator zur Besch¨ aftigung mit Quantenfeldtheorien selbst, als theoretischem Fundament der Feynman-Regeln, dienen. Wichtige Gleichungen und Zusammenh¨ ange werden in Form von Definitions- und Satzk¨ asten zusammengefaßt, um so dem Leser ein strukturiertes Lernen und schnelles Nachschlagen zu erm¨ oglichen. Desweiteren befinden sich nach jedem Abschnitt eine Kurzzusammenfassung sowie einige Aufgaben (mit L¨osungen), mit deren Hilfe das Verst¨ andnis des behandelten Stoffes u uft ¨ berpr¨ werden kann. Der Anhang enth¨ alt eine kurze Zusammenstellung wichtiger Formeln und Konzepte. Abschließend sei der Hoffnung Ausdruck verliehen, daß dieses Buch dazu beitragen m¨ oge, die L¨ ucke zwischen der nichtrelativistischen Quantenmechanik und modernen Quantenfeldtheorien zu schließen und die Notwendigkeit quantisierter Felder durch Darlegung der relativistischen Quantenmechanik im engeren Sinne“ physikalisch verst¨ andlich zu motivieren. ”

K¨ oln im Februar 2005

Armin Wachter

Inhaltsverzeichnis

Aufgabenverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XV 1.

Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen . . . . . . . . . 1.1 Klein-Gordon-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Kanonische und lorentzkovariante Formulierung der Klein-Gordon-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Hamiltonsche Formulierung der Klein-Gordon-Gleichung 1.1.3 Interpretation der negativen L¨osungen, Antiteilchen . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Symmetrietransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Aktive und passive Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Lorentz-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Diskrete Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Ein-Teilcheninterpretation der Klein-Gordon-Theorie . . . . . . . . 1.3.1 Verallgemeinertes Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Ein-Teilchenoperatoren und Feshbach-Villars-Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 G¨ ultigkeitsbereich des Ein-Teilchenkonzeptes . . . . . . . . . 1.3.4 Klein-Paradoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Nichtrelativistische N¨ aherung der Klein-Gordon-Theorie . . . . . 1.4.1 Nichtrelativistischer Grenzfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Relativistische Korrekturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Einfache Ein-Teilchensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Kastenpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Radiale Klein-Gordon-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 Freies Teilchen und kugelsymmetrischer Potentialtopf . 1.5.4 Coulomb-Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.5 Oszillator-Coulomb-Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 4 4 10 12 19 23 23 25 26 31 32 33 36 42 45 49 54 55 56 63 66 66 71 73 78 82 87

XII

2.

3.

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Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen . . . . . . . 2.1 Dirac-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Kanonische Formulierung der Dirac-Gleichung . . . . . . . 2.1.2 Dirac-Gleichung in lorentzkovarianter Form . . . . . . . . . . 2.1.3 Eigenschaften der γ-Matrizen und kovariante Bilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Spinoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5 Projektionsoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6 Interpretation der negativen L¨osungen, Antiteilchen und L¨ ochertheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Symmetrietransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Eigentliche Lorentz-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Spin der Dirac-L¨ osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Diskrete Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Ein-Teilcheninterpretation der Dirac-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Ein-Teilchenoperatoren und Feshbach-Villars-Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 G¨ ultigkeitsbereich des Ein-Teilchenkonzeptes . . . . . . . . . 2.3.3 Klein-Paradoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Nichtrelativistische N¨ aherung der Dirac-Theorie . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Nichtrelativistischer Grenzfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Relativistische Korrekturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Einfache Ein-Teilchensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Kastenpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Radiale Form der Dirac-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Freies Teilchen und kugelsymmetrischer Potentialtopf . 2.5.4 Coulomb-Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91 92 92 99

146 150 152 155 161 161 163 168 170 170 174 177 180 186

Relativistische Streutheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 R¨ uckblick: Nichtrelativistische Streutheorie . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 L¨ osung der allgemeinen Schr¨odinger-Gleichung . . . . . . . 3.1.2 Propagatorzerlegung nach Schr¨odinger-L¨osungen . . . . . 3.1.3 Streuformalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Coulomb-Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Streuung von Spin-1/2-Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 L¨ osung der allgemeinen Dirac-Gleichung . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Fourier-Zerlegung des freien Fermionpropagators . . . . . 3.2.3 Streuformalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Spurbildungen mit γ-Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

189 191 191 195 197 206 209 216 216 219 223 229

104 107 110 113 122 130 130 135 136 142 146

Inhaltsverzeichnis

XIII

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Spin-1/2-Streuprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Coulomb-Streuung von Elektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Elektron-Proton-Streuung (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Elektron-Proton-Streuung (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Vorl¨ aufige Feynman-Regeln im Impulsraum . . . . . . . . . . 3.3.5 Elektron-Elektron-Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.6 Elektron-Positron-Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.7 Compton-Streuung an Elektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.8 Elektron-Positron-Vernichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.9 Fazit: Feynman-Regeln im Impulsraum . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Korrekturen h¨ oherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Vakuumpolarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Selbstenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Vertexkorrektur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.4 Physikalische Konsequenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Streuung von Spin-0-Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 L¨ osung der allgemeinen Klein-Gordon-Gleichung . . . . . 3.5.2 Streuformalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.3 Coulomb-Streuung von Pionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.4 Pion-Pion-Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.5 Pionproduktion durch Elektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.6 Compton-Streuung an Pionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.7 Fazit: Erweiterte Feynman-Regeln im Impulsraum . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

234 236 238 247 259 267 271 276 282 290 295 300 308 312 318 323 327 335 337 338 340 342 345 351 355 361 363

A. Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1 Spezielle Relativit¨ atstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 Bessel-Funktionen, sph¨ arische Bessel-Funktionen . . . . . . . . . . . A.3 Legendre-Funktionen, Legendre-Polynome, Kugelfl¨ achenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4 Dirac-Matrizen und Bispinoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

369 369 376 377 380

Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

Aufgabenverzeichnis

Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen 1. L¨ osungen der freien Klein-Gordon-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . 2. Lagrange-Dichte und Energie-Impuls-Tensor des freien Klein-Gordon-Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Lorentzartigkeit der P CT -Symmetrietransformation (I) . . . . . . 4. Eigenschaften V-hermitescher und V-unit¨arer Operatoren . . . . 5. Feshbach-Villars-Transformation (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Konstruktion von Ein-Teilchenoperatoren mittels Vorzeichenoperator (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Zitterbewegung (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Diagonalisierbarkeit der Hamiltonschen Klein-Gordon-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 9. Diagonale Hamiltonsche Klein-Gordon-Gleichung bis O v 6 /c6 10. Exponentialpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen 11. L¨ osungen der freien Dirac-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Nichtunitarit¨ at von Bispinortransformationen (I) . . . . . . . . . . . 13. Ladungskonjugation freier Dirac-Zust¨ande . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. Erwartungswerte ladungskonjugierter Dirac-Zust¨ande . . . . . . . 15. Dirac-Gleichung f¨ ur strukturierte Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . 16. Quadratische Form der Dirac-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17. Lagrange-Dichte und Energie-Impuls-Tensor des freien Dirac-Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18. Vollst¨ andigkeits- und Orthogonalit¨ atsrelationen freier Bispinoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19. Nichtunitarit¨ at von Bispinortransformationen (II) . . . . . . . . . . . 20. Freie Dirac-Zust¨ ande unter Raumspiegelung und Zeitumkehr . 21. Erwartungswerte zeitumgekehrter Dirac-Zust¨ande . . . . . . . . . . . 22. Lorentzartigkeit der P CT -Symmetrietransformation (II) . . . . . 23. Feshbach-Villars-Transformation (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24. Konstruktion von Ein-Teilchenoperatoren mittels Vorzeichenoperator (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25. Gordon-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19 20 31 49 51 52 53 63 64 87

122 123 124 124 126 127 128 142 143 143 144 145 155 157 158

XVI

Aufgabenverzeichnis

26. 27. 28. 29.

Zitterbewegung (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anomales magnetisches Moment strukturierter Teilchen . . . . . Fouldy-Wouthuysen-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eigenschaften der Spinorkugel߬ achenfunktionen . . . . . . . . . . . .

159 168 169 186

Relativistische Streutheorie 30. Integraldarstellung der Θ-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31. Fourier-Zerlegung von G(0,±) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32. Allgemeine Eigenschaften von G(±) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33. Unitarit¨ at der Streumatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34. Quadrat der δ-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0) 35. Zerlegung von SF nach ebenen Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0) 36. Kausalit¨ atsprinzip von SF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37. Kinematische Konstellationen bei der Compton-Streuung . . . . 38. Elektron-Positron-Vernichtung im Schwerpunktsystem . . . . . . . 39. Elektron-Positron-Erzeugung im Schwerpunktsystem . . . . . . . . 40. Furry-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41. Beseitigung der Infrarotkatastrophe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0) 42. Kausalit¨ atsprinzip von ∆F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43. Pion-Antipion-Streuung im Schwerpunktsystem . . . . . . . . . . . . 44. Pion-Antipion-Vernichtung im Schwerpunktsystem . . . . . . . . . .

209 211 213 214 215 234 234 300 301 304 306 335 363 364 366

1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

In diesem Kapitel besch¨ aftigen wir uns mit der relativistischen Beschreibung von Spin-0-Teilchen im vorwortlich beschriebenen engeren Sinne“, d.h. auf ” der Grundlage einer ad¨ aquaten Erweiterung der nichtrelativistischen Quantenmechanik. Hierbei wollen wir soweit wie m¨oglich an der Ein-TeilchenWahrscheinlichkeitsinterpretation der nichtrelativistischen Theorie festhalten. Bevor wir mit unserem Programm beginnen, bietet es sich an, die dieser Interpretation zugrundeliegenden Prinzipien wie folgt zusammenzufassen: Satz 1.1: Prinzipien der nichtrelativistischen Quantenmechanik 1) Der quantenmechanische Zustand eines physikalischen Systems wird durch einen Zustandsvektor | ψ(t)
in einem komplexen unit¨aren HilbertRaum H beschrieben. Auf diesem Raum ist ein positiv definites Skalarprodukt  ψ| ϕ
mit folgenden Eigenschaften definiert: •  ψ| ψ
≥ 0 ∗

•  ψ| ϕ
=  ϕ| ψ
•

 ψ| (λ1 | ϕ1
+ λ2 | ϕ2
) = λ1  ψ| ϕ1
+ λ2  ψ| ϕ2
( ψ1 | λ1 +  ψ2 | λ2 ) | ϕ
= λ∗1  ψ1 | ϕ
+ λ∗2  ψ2 | ϕ
, mit | ψ1,2
, | ϕ1,2
∈ H , λ1,2 ∈ C .

2) Physikalische Observable sind Gr¨ oßen, die experimentell gemessen werden k¨ onnen. Sie werden i.d.R. durch hermitesche Operatoren – mit reellen Eigenwerten und einer vollst¨ andigen, orthogonalen Eigenbasis – beschrieben. Den unabh¨ angigen klassischen Gr¨ oßen Ort xi und Impuls pi entspreur die folgende Kommutatorrelationen chen die Operatoren x ˆi und pˆi , f¨ gelten: [ˆ xi , x ˆj ] = [ˆ pi , pˆj ] = 0 , [ˆ xi , pˆj ] = i¯ hδij , i, j = 1, 2, 3 . Die zu den klassischen dynamischen Variablen Ω(xi , pi ) korrespondierenden hermiteschen Operatoren ergeben sich aus der Zuordnung ˆ = Ω(xi → x Ω ˆi , pi → pˆi ) .



2

1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

Es gibt jedoch auch Observable ohne klassisches Analogon wie z.B. den Spin. 3) Jeder Zustandsvektor | ψ
l¨ aßt sich nach der orthonormierten Eigenbasis ˆ entwickeln: {| ωi
} einer Observablen Ω  ˆ | ωi
= ωi | ωi
,  ωi | ωj
= δij . | ωi
 ωi | ψ
, Ω | ψ
= i

ˆ korrespondierenden dynamischen VaEine Messung der zum Operator Ω riable ergibt einen seiner Eigenwerte ωi mit der Wahrscheinlichkeit W (ωi ) =

|  ωi | ψ
|2 .  ψ| ψ


ˆ der Der statistische Mittelwert (Erwartungswert) der Observablen Ω, sich aus einer großen Anzahl von gleichartigen Messungen identischer Systeme ergibt, lautet bei Normierung von | ψ
auf  ψ| ψ
= 1 ˆ = ψ|Ωψ
ˆ = ψ|Ω|ψ
ˆ Ω
. 4) Der Zustandsvektor | ψ(t)
gen¨ ugt der Schr¨odinger-Gleichung d | ψ(t)
ˆ | ψ(t)
. =H dt ˆ der hermitesche Operator der Gesamtenergie (HamiltonHierbei ist H Operator). Im einfachsten Fall ergibt er sich aus der Hamilton-Funktion des korrespondierenden klassischen Systems: i¯ h

ˆ = H(xi → x ˆi , pi → pˆi ) . H ˆ folgt der Erhaltungssatz d  ψ| ψ
/dt = 0. Aus der Hermitezit¨ at von H Diese, im Schr¨ odinger-Bild formulierten quantenmechanischen Grunds¨atze lassen sich durch die Wahl einer bestimmten Darstellung (einer bestimmten Basis) weiter konkretisieren. In der Ortsdarstellung, die wir im weiteren Verlauf fast ausschließlich betrachten werden, wird der abstrakte Zustandsvektor | ψ(t)
durch eine Wellenfunktion ψ(x, t) repr¨asentiert, welche alle raumzeitlichen und sonstigen Informationen des zu beschreibenden physikalischen ur Systems enth¨ alt. Die Gr¨ oße |ψ(x, t)|2 wird als Wahrscheinlichkeitsmaß daf¨ interpretiert, das physikalische System am Raumzeitpunkt (x, t) vorzufinden. Orts- und Impulsoperator sind in dieser Darstellung gegeben durch h x ˆi = xi , pˆi = −i¯

∂ . ∂xi

Die entsprechenden Ausdr¨ ucke f¨ ur das Skalarprodukt und den Erwartungsˆ lauten wert einer Observablen Ω

1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

  ψ| ϕ
=

ˆ d3 xψ † ϕ , ψ|Ω|ψ
=



3

ˆ . d3 xψ † Ωψ

Hieraus und aus dem o.g. vierten Grundsatz folgt die f¨ ur die statistische EinTeilcheninterpretation notwendige Erhaltung der Gesamtwahrscheinlichkeit  d d3 x|ψ(x, t)|2 = 0 . dt Angesichts dieser Prinzipien – insbesondere der letzten Beziehung, welche die Erhaltung der Teilchenzahl bzw. die Erhaltung des einen betrachteten Teilchens zum Ausdruck bringt – lassen sich bereits schon jetzt einige grunds¨atzliche Aussagen dar¨ uber treffen, inwieweit eine relativistische Erweiterung des Ein-Teilchenkonzeptes u oglich ist. ¨ berhaupt m¨ • Wegen der M¨ oglichkeit der Teilchenerzeugung bei Wechselwirkungsenergien, die mindestens gleich der Ruheenergie des betrachteten Teilchens sind, ist der G¨ ultigkeitsbereich der zu entwickelnden Ein-Teilchentheorie auf Teilchenenergien E, Teilchenimpulse p und elektromagnetische Wechankt, f¨ ur die gilt selwirkungspotentiale Aµ beschr¨ e    |E − m0 c2 | < m0 c2 , |p|,  Aµ  < m0 c , ∆E  m0 c2 , ∆p  m0 c , c wobei m0 die Ruhemasse des Teilchens bezeichnet. Dies ist gerade der Bereich der nichtrelativistischen N¨aherung. • Aufgrund dieser Einschr¨ ankungen und der Heisenbergschen Unsch¨arferelation folgt h ¯ h ¯  . ∆x ≥ ∆p m0 c Dies bedeutet, daß ein relativistisches Teilchen nicht genauer lokalisiert sein darf als auf ein Gebiet, dessen lineare Ausdehnung groß ist im Vergleich zur Compton-Wellenl¨ange λc = h ¯ /(m0 c) des Teilchens. Diese Punkte werden wir bei der nun folgenden Diskussion der Klein-GordonTheorie (wie auch bei der Behandlung der Dirac-Theorie im n¨achsten Kapitel) besonders ber¨ ucksichtigen und weiter konkretisieren. Im ersten Abschnitt dieses Kapitels werden die Grundz¨ uge der KleinGordon-Theorie zur relativistischen Beschreibung von Spin-0-Teilchen entwickelt. Hierbei werden wir u.a. mit negativen Energiezust¨anden konfrontiert, die sich mit Hilfe der Transformation der Ladungskonjugation mit Antiteilchen in Verbindung bringen lassen. Der zweite Abschnitt besch¨aftigt sich mit den Symmetrieeigenschaften der Klein-Gordon-Theorie. Neben den kontinuierlichen Symmetrietransformationen sind hier insbesondere auch die diskreten Symmetrien von Interesse, weil sie uns zu einem tieferen Verst¨andnis der negativen Energiel¨ osungen f¨ uhren werden. Im dritten Abschnitt erweitern und vervollst¨ andigen wir das Ein-Teilchenbild der Klein-GordonTheorie. Durch Einf¨ uhrung eines verallgemeinerten Skalarproduktes modifizieren wir den nichtrelativistisch-quantenmechanischen Rahmen dergestalt,

4

1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

daß eine konsistente Ein-Teilcheninterpretation m¨oglich wird. Wir diskutieren ferner den G¨ ultigkeitsbereich des Klein-Gordonschen Ein-Teilchenbildes und zeigen einige Interpretationsschwierigkeiten auf, die sich außerhalb dieses Bereiches ergeben. Der vierte Abschnitt behandelt die nichtrelativistische N¨aherung der Klein-Gordon-Theorie. Es wird zun¨achst der nichtrelativistische Grenzfall diskutiert, der erwartungsgem¨ aß zu den Gesetzm¨aßigkeiten der nichtrelativistischen Quantenmechanik f¨ uhrt. Im Anschluß werden (h¨ohere) relativistische Korrekturen einbezogen, indem die Klein-Gordon-Gleichung mittels des Fouldy-Wouthuysen-Verfahrens in Potenzen von v/c entwickelt wird. Dieses Kapitel endet mit dem f¨ unften Abschnitt, wo wir einige einfache Klein-Gordonsche Ein-Teilchensysteme betrachten, und zwar auch vor dem Hintergrund einer konsistenten Ein-Teilcheninterpretation. Anmerkung. Um Mißverst¨ andnisse zu vermeiden, weisen wir darauf hin, daß im weiteren Verlauf die Begriffe Wellenfunktion“, L¨osung“ und Zu” ” ” stand“ synonym verwendet werden. Sie alle beziehen sich auf die L¨osungsfunktionen der Klein-Gordonschen Wellengleichung. Die in der Natur realisierten und beobachtbaren Zust¨ ande nennen wir dagegen (Anti-)Teilchen“. ” Das Kennzeichen ˆ “ f¨ ur quantenmechanische Operatoren wird nachfolgend ” unterdr¨ uckt.

1.1 Klein-Gordon-Gleichung Wir beginnen unsere Diskussion der Klein-Gordon-Theorie mit dem Aufstellen der Klein-Gordon-Gleichung in kanonischer Form. Hierbei stoßen wir sofort auf zwei neuartige Ph¨ anomene, die sich im Rahmen der gewohnten quantenmechanischen Betrachtungsweise einer vern¨ unftigen Interpretation zu entziehen scheinen, n¨ amlich die Existenz von negativen Energiel¨osungen und das Fehlen einer positiv definiten Wahrscheinlichkeitsdichte. Anschließend u uhren wir die kanonische Gleichung in Hamiltonsche bzw. Schr¨odinger¨berf¨ sche Form, die sich f¨ ur viele Folgebetrachtungen als sehr n¨ utzlich erweisen wird. Zum Schluß kommen wir auf die o.g. zwei Ph¨anomene zur¨ uck und entwickeln hierf¨ ur mit Hilfe der Transformation der Ladungskonjugation eine physikalisch akzeptable Deutung. 1.1.1 Kanonische und lorentzkovariante Formulierung der KleinGordon-Gleichung In der nichtrelativistischen Quantenmechanik ist der Ausgangspunkt die Energie-Impuls-Beziehung p2 , 2m welche durch die Korrespondenzregel E=

1.1 Klein-Gordon-Gleichung

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∂ , p −→ −i¯ h∇ ⇐⇒ pµ −→ i¯ h∂ µ (Viererimpuls) ∂t auf die Schr¨ odinger-Gleichung f¨ ur freie Teilchen, E −→ i¯ h

∂ψ(x, t) h2 2 ¯ =− ∇ ψ(x, t) , ∂t 2m f¨ uhrt. Diese Gleichung ist aufgrund der unterschiedlichen Ordnungen der zeitlichen und r¨ aumlichen Ableitungen nicht lorentzkovariant (siehe Fußnote 1 auf Seite 372 im Anhang A.1). Das heißt sie ¨andert ihre Struk¨ tur beim Ubergang von einem Inertialsystem zu einem anderen und steht somit im Widerspruch zum Relativit¨ atsprinzip. Um zu einer relativistischquantenmechanischen Wellengleichung zu gelangen, bietet es sich daher an, von der entsprechenden relativistischen Energie-Impuls-Beziehung  E = c2 p2 + m20 c4 (1.1) i¯ h

f¨ ur freie Teilchen auszugehen, wobei m0 die Ruhemasse des betrachteten Teilchens bezeichnet. Dies f¨ uhrt mit obiger Ersetzung zu der Gleichung 1/2 ∂φ(x)
2 2 2 = −c ¯ h ∇ + m20 c4 φ(x) , x = (xµ ) . i¯ h ∂t Diese Beziehung weist jedoch zwei schwerwiegende M¨angel auf. Einerseits ist wegen des unsymmetrischen Auftretens der Raum- und Zeitableitungen die relativistische Forminvarianz mit ihren Konsequenzen schwer zu u ¨ berblicken. Andererseits ist der Operator auf der rechten Seite eine Quadratwurzel, deren Entwicklung zu einer hochgradig nichtlokalen Theorie f¨ uhrt. Freie Klein-Gordon-Gleichung. Beide Schwierigkeiten k¨onnen umgangen werden, indem man die quadratische Form von (1.1) zugrunde legt, also E 2 = c2 p2 + m20 c4 ⇐⇒ p20 − p2 = pµ pµ = m20 c2 . In diesem Fall erh¨ alt man mit obiger Korrespondenzregel die freie KleinGordon-Gleichung in kanonischer Form,  ∂ 2 φ(x)
2 2 2 −¯ h2 = −c ¯ h ∇ + m20 c4 φ(x) , x = (xµ ) , (1.2) ∂t2 die sich sofort in manifest lorentzkovarianter Form schreiben l¨aßt, 
(1.3) pµ pµ − m20 c2 φ(x) = 0 , so daß hierin z.B. das Transformationsverhalten der Wellenfunktion φ bei einem Wechsel des Bezugssystems leicht abzusehen ist. Diese Gleichung wurde von Erwin Schr¨ odinger selbst im Jahre 1926 als relativistische Verallgemeinerung der Schr¨ odinger-Gleichung vorgeschlagen und in der Folgezeit von Oskar Benjamin Klein und Walter Gordon im Detail studiert. Als erstes ist festzustellen, daß die Klein-Gordon-Gleichung im Gegensatz zur Schr¨ odinger-Gleichung eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung in der Zeit ist, d.h. zur eindeutigen Spezifikation eines Klein-GordonZustandes ben¨ otigt man die Anfangswerte φ(x) und ∂φ(x)/∂t. Desweiteren

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1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

ist zu erkennen, daß die Klein-Gordon-Gleichung zur Beschreibung von Spin0-Teilchen (spinlose Bosonen) geeignet erscheint, weil φ eine skalare Funktion ist und keine inneren Freiheitsgrade besitzt, bzw. weil der in (1.3) stehende Operator nur auf die ¨ außeren Freiheitsgrade (Raumzeitkoordinaten) von φ wirkt. Die freien L¨ osungen von (1.2) bzw. (1.3) mit definiertem Impuls lassen sich leicht finden und lauten  −i(cp0 t−px)/¯ h , p0 = + p2 + m20 c2 > 0 φ(1) p (x) = e +i(cp0 t−px)/¯ h φ(2) p (x) = e

bzw. φ(r) p (x)

=e

−i
r pµ xµ /¯ h

 , r =

+1 f¨ ur r = 1 −1 f¨ ur r = 2 ,

wobei wir hier und im weiteren Verlauf mit p0 stets die positive Wurzel bezeichnen. Offensichtlich besitzt die Klein-Gordon-Gleichung neben L¨osungen mit positiven Energieeigenwerten E = +cp0 auch solche mit negativen Energieeigenwerten E = −cp0 , die durch das verbotene“ Energieintervall ” ur die positi] − m0 c2 : m0 c2 [ voneinander getrennt sind.1 W¨ahrend sich f¨ ven L¨ osungen die Interpretation als Teilchenwellenfunktion anbietet, ist die physikalische Bedeutung der negativen L¨ osungen a priori unklar, was die Klein-Gordon-Theorie als relativistische Verallgemeinerung der Schr¨odingerTheorie zun¨ achst unattraktiv erscheinen l¨ aßt. Wie wir im weiteren Verlauf jedoch sehen werden, k¨ onnen die negativen L¨osungen mit Antiteilchen in Verbindung gebracht werden, die in der Natur auch beobachtet werden, so daß sich hier in der Tat eine fruchtbare Erweiterung der nichtrelativistischen (2) Theorie andeutet. Hiermit h¨ angt u ¨ brigens auch zusammen, daß wir φp (x) als negative L¨ osung mit Impulsindex p betrachten, obwohl sie den Impulseigenwert −p besitzt. Wir greifen das Interpretationsproblem der negativen Energien sp¨ater wieder auf und untersuchen im folgenden zun¨ achst weitere Eigenschaften der Klein-Gordon-Gleichung. Wechselwirkung mit elektromagnetischen Feldern, Eichinvarianz. Die Wechselwirkung eines relativistischen Spin-0-Teilchens mit einem elektromagnetischen Feld l¨ aßt sich wie in der Schr¨ odingerschen Theorie durch folgende Operatorersetzung, der sog. minimalen Kopplung, in der freien KleinGordon-Gleichung ber¨ ucksichtigen: i¯ h 1

∂ ¯ h e ∂ h ¯ e −→ i¯ h − eA0 , ∇ −→ ∇ − A ⇐⇒ pµ −→ pµ − Aµ , ∂t ∂t i i c c

Im weiteren Verlauf werden die L¨ osungen, deren Energieeigenwerte sich oberhalb des verbotenen Intervalls befinden (nach unten beschr¨ ankt sind), positive L¨ osungen und entsprechend diejenigen L¨ osungen, deren Energieeigenwerte sich unterhalb des verbotenen Intervalls befinden (nach oben beschr¨ ankt sind), negative L¨ osungen genannt.

1.1 Klein-Gordon-Gleichung

7



A0 wobei (Aµ ) = das elektromagnetische Viererpotential und e die elekA trische Ladung des betrachteten Teilchens bezeichnen. Hiermit gehen (1.2) und (1.3) schließlich u ¨ber in2

  2 2  h ¯ e ∂ 0 2 2 4 ∇ − A − m0 c φ = 0 −c i¯ h − eA (1.4) ∂t i c bzw.

 e  e  (1.5) pµ − Aµ pµ − Aµ − m20 c2 φ = 0 . c c Bekanntlich sind die Maxwellschen Gleichungen invariant unter lokalen Eichtransformationen der Art 1 ∂χ A0 −→ A0 = A0 − , A −→ A = A + ∇χ c ∂t bzw. Aµ −→ Aµ = Aµ − ∂ µ χ ,

(1.6)

wobei χ = χ(x) eine beliebige reelle skalare Funktion der Raumzeitkoordinaten bezeichnet. Diese lokale Eichinvarianz l¨ aßt sich wie in der nichtrelativistischen Theorie auf die Klein-Gordon-Gleichung (1.4) bzw. (1.5) u ¨bertragen, indem die Wellenfunktion φ durch Multiplikation einer Phase geeignet mittransformiert wird: φ(x) −→ φ (x) = eiΛ(x) φ(x) .

(1.7)

Um die Funktion Λ zu finden, dr¨ ucken wir (1.5) durch die gestrichenen Gr¨oßen aus und rechnen wie folgt:    e e e e 0 = pµ − Aµ − ∂µ χ pµ − Aµ − ∂ µ χ − m20 c2 φ e−iΛ c c c

c   e e e e = pµ − Aµ − ∂µ χ e−iΛ pµ − Aµ − ∂ µ χ + h ¯ ∂ µΛ c c c  c − m20 c2 e−iΛ φ   e e e e = e−iΛ pµ − Aµ − ∂µ χ + h ¯ ∂µ Λ pµ − Aµ − ∂ µ χ + h ¯ ∂ µΛ c c c c  2 2  (1.8) − m0 c φ .

Mit der Wahl e χ(x) Λ(x) = hc ¯ 2

(1.9)

Die minimale Kopplung ist allenfalls f¨ ur punktf¨ ormige, strukturlose Spin-0Teilchen korrekt, die bisher in der Natur allerdings nicht beobachtet wurden. Prinzipiell sind daher zus¨ atzliche (ph¨ anomenologisch motivierte) Terme der Form λFµν F µν φ mit F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ in (1.5) in Betracht zu ziehen.

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1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

geht (1.8) u ¨ ber in die zur Klein-Gordon-Gleichung (1.5) formgleiche Gleichung   e  e pµ − Aµ pµ − Aµ − m20 c2 φ = 0 . c c Da physikalische Observable durch Bilinearformen der Art  φ| . . . |φ
repr¨ asentiert werden, spielt ein gemeinsamer gleicher Phasenfaktor in φ keine Rolle. Die Klein-Gordon-Gleichung mit minimaler Kopplung ist deshalb unter lokalen Eichtransformationen des elektromagnetischen Feldes invariant.3 Kontinuit¨ atsgleichung. Multipliziert man (1.4) bzw. (1.5) von links mit φ∗ und subtrahiert davon im Anschluß das komplex Konjugierte, dann ergibt sich eine Kontinuit¨ atsgleichung der Form ∂ρ(x) + ∇j(x) = 0 , ∂t mit

(1.10)

 ∗   ∂φ i¯ h e ∗ ∂φ ρ(x) = − A0 φ∗ φ φ φ − 2 2m0 c ∂t ∂t m 0 c2 e i¯ h Aφ∗ φ . [φ∗ ∇φ − (∇φ∗ )φ] − j(x) = − 2m0 m0 c

Oder in lorentzkovarianter Darstellung: ∂µ j µ (x) = 0 , j µ =

i¯ h e Aµ φ∗ φ , (j µ ) = (φ∗ ∂ µ φ − φ∂ µ φ∗ ) − 2m0 m0 c



cρ j

.

Hierbei wurde ein Overall-Faktor in ρ und j aus Analogiegr¨ unden zur nichtrelativistischen Quantenmechanik eingef¨ ugt. Wie u ¨ blich folgt aus (1.10) durch Integration u ¨ ber den gesamten Raum der Erhaltungssatz  Q = d3 xρ(x) = const . Offensichtlich ist ρ(x) nicht positiv definit, weil φ und ∂φ/∂t zu einem gegebenen Zeitpunkt t willk¨ urliche Werte annehmen k¨onnen, so daß ρ und j als Wahrscheinlichkeitsgr¨ oßen nicht interpretiert werden k¨onnen. Diese Schwierigkeit f¨ uhrte zusammen mit der Existenz von negativen L¨osungen dazu, daß man die Klein-Gordon-Gleichung zun¨ achst verwarf und stattdessen nach einer relativistischen Wellengleichung von erster Ordnung in der Zeit und mit positiv definiter Wahrscheinlichkeitsdichte suchte, die durch Dirac dann auch gefunden wurde. Wir wir in Kapitel 2 sehen werden, liefert allerdings auch die Dirac-Gleichung L¨ osungen mit negativen Energieeigenwerten.

3

Bemerkenswerterweise ist die Transformation (1.7) zusammen mit (1.9) gleich derjenigen, die auch in der nichtrelativistischen Theorie zur Eichinvarianz der Schr¨ odinger-Gleichung f¨ uhrt.

1.1 Klein-Gordon-Gleichung

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Wir fassen unsere bisherigen Ergebnisse wie folgt zusammen: Satz 1.2: Klein-Gordon-Gleichung in kanonischer und lorentzkovarianter Form Die relativistische Verallgemeinerung der Schr¨odinger-Gleichung f¨ ur Spin0-Teilchen ist die Klein-Gordon-Gleichung. Sie lautet f¨ ur ein minimal angekoppeltes elektromagnetisches Feld 

 2 2  h ¯ e ∂ 0 2 2 4 ∇ − A − m0 c φ(x) = 0 −c (1.11) i¯ h − eA ∂t i c bzw. in manifest lorentzkovarianter Notation  e  e  (1.12) pµ − Aµ pµ − Aµ − m20 c2 φ(x) = 0 , c c wobei m0 die Ruhemasse und e die elektrische Ladung des Teilchens bezeichnen. Diese Gleichungen sind invariant unter lokalen Eichtransformationen des elektromagnetischen Feldes. Aus der Klein-Gordon-Gleichung folgt die Kontinuit¨ atsgleichung  cρ , ∂µ j µ = 0 , (j µ ) = j mit

⎫  ∗   ∂φ i¯ h e ∗ ∂φ 0 ∗ ⎪ ⎪ − A φ φ φ φ − ⎬ 2m0 c2 ∂t ∂t m 0 c2 ⎪ i¯ h e ⎪ ⎭ Aφ∗ φ , j(x) = − [φ∗ ∇φ − (∇φ∗ )φ] − 2m0 m0 c ρ(x) =

(1.13)

sowie der Erhaltungssatz  Q = d3 xρ(x) = const . Die L¨ osungen der freien Klein-Gordon-Gleichung (Aµ = 0) lauten   1 m0 c −i
r pµ xµ /¯h (r) φp (x) = e , p = + p2 + m20 c2 , 0 p0 (2π¯ h)3/2 mit dem Impulseigenwert +p (f¨ ur r = 1) bzw. −p (f¨ ur r = 2). Sie sind bzgl. der sich aus ρ ergebenden Normierung (f¨ ur freie Teilchen) in folgender Weise normiert: ⎤ ⎡    (r
) (r)∗ ∂φ

i¯ h ∂φ p p (r ) − φp
⎦ = r δrr
δ(p − p ) . d3 x ⎣φ(r)∗ p 2m0 c2 ∂t ∂t

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1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

1.1.2 Hamiltonsche Formulierung der Klein-Gordon-Gleichung F¨ ur unsere weitere Diskussion ist es n¨ utzlich, die Klein-Gordon-Gleichung aus Satz 1.2, die ja eine Differentialgleichung zweiter Ordnung in der Zeit ist, in ein System von gekoppelten Differentialgleichungen von erster Ordnung in der Zeit zu u uhren. Dies hat den Vorteil, daß sie eine Schr¨odinger¨ berf¨ artige Form erh¨ alt, in der sich analog zur nichtrelativistischen Theorie ein Hamilton-Operator identifizieren l¨ aßt. Zu diesem Zweck gehen wir von der Klein-Gordon-Gleichung (1.11) aus und schreiben sie durch Einf¨ uhrung von  ∂ (1.14) φ = ϕ + χ , i¯ h − eA0 φ = m0 c2 (ϕ − χ) ∂t  ⎧ 1 ∂ ⎪ 2 0 ⎪ h − eA φ m0 c + i¯ ⎨ϕ = 2m0 c2 ∂t  =⇒ (1.15) ⎪ 1 ∂ 2 0 ⎪ ⎩χ = + eA c − i¯ h m φ 0 2m0 c2 ∂t um zu  ∂ i¯ h − eA0 (ϕ + χ) = m0 c2 (ϕ − χ) ∂t    1 e 2 ∂ p − A + m0 c2 (ϕ + χ) . i¯ h − eA0 (ϕ − χ) = ∂t m0 c Addition und Subtraktion dieser beiden Gleichungen f¨ uhrt auf das zu (1.11) aquivalente gekoppelte Differentialgleichungssystem von erster zeitlicher Ord¨ nung, e 2 1 ∂ϕ p − A (ϕ + χ) + (m0 c2 + eA0 )ϕ = i¯ h ∂t 2m0 c e 2 1 ∂χ p − A (ϕ + χ) − (m0 c2 − eA0 )χ . = − i¯ h ∂t 2m0 c Durch die Zusammenfassung  ϕ ψ= χ ergibt sich schließlich die Klein-Gordon-Gleichung in Hamiltonscher Form ∂ψ e 2 τ3 + iτ2 i¯ h p − A + τ3 m0 c2 + eA0 . = Hψ , H = ∂t 2m0 c Hierbei bezeichnen    01 0 −i 1 0 , τ2 = , τ3 = τ1 = 10 i 0 0 −1 die Pauli-Matrizen, die folgender Algebra gehorchen: τi τj = i ijk τk + δij , [τi , τj ] = 2i ijk τk , {τi , τj } = 2δij .

1.1 Klein-Gordon-Gleichung

11

F¨ ur die L¨ osungen der freien Klein-Gordon-Gleichung i¯ h

∂ψ (τ3 + iτ2 )p2 = H (0) ψ , H (0) = + τ3 m0 c2 ∂t 2m0

(1.16)

folgt (siehe Aufgabe 1)  µ m0 c + p 0 (1) ψp (x) = e−ipµ x /¯h m0 c − p 0  µ m0 c − p 0 (2) ψp (x) = e+ipµ x /¯h . m0 c + p 0 Zur Berechnung von ρ und j in der Hamiltonschen Formulierung setzen wir (1.14) und (1.15) in (1.13) ein und erhalten ρ(x) = ψ † (x)τ3 ψ(x) = ϕ∗ ϕ − χ∗ χ ! i¯ h ψ † τ3 (τ3 + iτ2 )∇ψ − (∇ψ † )τ3 (τ3 + iτ2 )ψ j(x) = − 2m0 e Aψ † τ3 (τ3 + iτ2 )ψ . − m0 c Insgesamt folgt der zu Satz 1.2 ¨ aquivalente Satz 1.3: Klein-Gordon-Gleichung in Hamiltonscher Formulierung Durch die Ersetzungen   ∂ ϕ 0 2 φ = ϕ + χ , i¯ h − eA φ = m0 c (ϕ − χ) , ψ = χ ∂t folgt aus (1.11) die Klein-Gordon-Gleichung in Hamiltonscher Form, ∂ψ e 2 τ3 + iτ2 i¯ h p − A + τ3 m0 c2 + eA0 , = Hψ , H = (1.17) ∂t 2m0 c wobei τi die Pauli-Matrizen bezeichnen. Die zugeh¨origen Ausdr¨ ucke f¨ ur ρ und j lauten ρ(x) = ψ † (x)τ3 ψ(x) = ϕ∗ ϕ − χ∗ χ ! i¯ h ψ † τ3 (τ3 + iτ2 )∇ψ − (∇ψ † )τ3 (τ3 + iτ2 )ψ j(x) = − 2m0 e − Aψ † τ3 (τ3 + iτ2 )ψ m0 c   Q = d3 xρ(x) = d3 xψ † (x)τ3 ψ(x) = const . Die L¨ osungen der freien Klein-Gordon-Gleichung sind in der Hamiltonschen Formulierung gegeben durch



12

1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

⎫ 1 (r) −i
r pµ xµ /¯ h⎪ ⎪ Ψ (p)e ⎬ (2π¯ h)3/2  1 m0 c + r p 0 ⎪ Ψ (r) (p) = √ ,⎪ ⎭ m c −

p 2 m0 cp0 0 r 0 (r)

ψp (x) =

(1.18)

mit dem Impulseigenwert +p (f¨ ur r = 1) bzw. −p (f¨ ur r = 2). Sie sind bzgl. der sich aus ρ ergebenden Normierung (f¨ ur freie Teilchen) in folgender Weise normiert:  (r
) d3 xψp(r)† (x)τ3 ψp
(x) = r δrr
δ(p − p )


Ψ (r)† (p)τ3 Ψ (r ) (p) = r δrr
, Ψ (r) (p) = Ψ (r) (−p) .

(1.19)

Zum tieferen Verst¨ andnis dieses Satzes beachte man, daß der HamiltonOperator H in (1.17) nicht hermitesch ist, weil iτ2 nicht hermitesch ist. Hieraus wird sofort klar, warum sich keine positiv definite Wahrscheinlichkeitsdichte mit zugeh¨ origer erhaltener Gesamtwahrscheinlichkeit finden l¨aßt, denn unter Benutzung des in der nichtrelativistischen Theorie verwendeten Skalarproduktes   (1.20)  ψ| φ
= d3 xψ † φ ,  ψ| O |φ
= d3 xψ † Oφ und der Adjunktionsbeziehung " #∗  ψ| O |φ
= φ| O† |ψ (O linearer Operator)

(1.21)

haben wir ∂ψ ∂ψ ∂ψ † = Hψ =⇒ i¯ hψ † = ψ † Hψ , −i¯ ψ = (Hψ)† ψ = (ψ † Hψ)∗ i¯ h h ∂t ∂t ∂t " # ∂ ∗ =⇒ i¯ h  ψ| ψ
=  ψ| H |ψ
−  ψ| H |ψ
= ψ| H − H † |ψ = 0 . ∂t Desweiteren ist die Nichthermitezit¨ at von H verantwortlich daf¨ ur, daß seine Eigenzust¨ ande i.a. nicht orthogonal im Sinne von (1.20) sind. Eine weitere wichtige Konsequenz aus der Nichthermitezit¨at von H ist, arer Operator ist. Unter anderem deswegen erscheint die daß eiH kein unit¨ Verwendung des Skalarproduktes (1.20) in der Klein-Gordon-Theorie ungeeignet, weil es in verschiedenen Bildern (z.B. Schr¨odinger-Bild, in dem wir uns momentan befinden, oder Heisenberg-Bild) zu unterschiedlichen Ergebnissen f¨ uhrt. Mit diesem Problem werden wir uns in Unterabschn. 1.3.1 n¨aher besch¨ aftigen. 1.1.3 Interpretation der negativen L¨ osungen, Antiteilchen Bis hierher haben wir die Klein-Gordon-Gleichung in kanonischer, lorentzkovarianter und Hamiltonscher Form niedergeschrieben und einige ihrer for-

1.1 Klein-Gordon-Gleichung

13

malen Eigenschaften kennengelernt. Wir wenden uns jetzt den bisher vernachl¨ assigten negativen Klein-Gordon-L¨ osungen zu mit dem Ziel, f¨ ur diese und f¨ ur die Gr¨ oßen Q, ρ und j eine physikalisch sinnvolle Interpretation zu finden. Ladungskonjugation C. Betrachten wir hierzu noch einmal die kanonische Klein-Gordon-Gleichung 

 2

e 2 ∂ 0 2 2 4 − c p − A − m0 c φ(−) (x) = 0 , (1.22) i¯ h − eA ∂t c wobei φ(−) eine L¨ osung mit negativer Energie bezeichne. Nun transformieren wir diese Gleichung, indem wir von ihr das komplex Konjugierte nehmen und erhalten die mathematisch ¨ aquivalente Beziehung 

 2

e 2 ∂ (−) 0 2 2 4 − c p + A − m0 c φC (x) = 0 , (1.23) i¯ h + eA ∂t c mit (−)

φC (x) = φ(−)∗ (x) . Die sich hieraus ergebenden Konsequenzen werden noch deutlicher, indem man von der Eigenwertgleichung eines negativen Energieeigenzustandes Ψ (−) in Hamiltonscher Formulierung ausgeht,   e 2 τ3 + iτ2 2 0 p − A + τ3 m0 c + eA Ψ (−) (x) = −|E|Ψ (−) (x) , (1.24) 2m0 c und an ihr die komplexe Konjugation ausf¨ uhrt. Dies ergibt  

 2 e τ3 + iτ2 (−) (−) p + A + τ3 m0 c2 − eA0 ΨC (x) = +|E|ΨC (x) , (1.25) 2m0 c mit (−)

ΨC (x) = τ1 Ψ (−)∗ (x) . Insgesamt folgt: Beschreibt φ(−) bzw. ψ (−) einen negativen Klein-GordonZustand der Ladung +e im Potential Aµ , dann beschreibt (−) (−) φC = φ(−)∗ bzw. ψC = τ1 ψ (−)∗ einen positiven Klein-Gordon-Zustand der Ladung −e im selben Potential Aµ . Dementsprechend nennt man die obige Transformation Ladungskonjugation. Sie ist offensichtlich eine reziproke Operation, weil ihre zweifache Ausf¨ uhrung wieder auf die Ausgangsgleichung f¨ uhrt. Dar¨ uber hinaus ist sie antilinear4 , weil sich das relative Vorzeichen ¨ zwischen den Ableitungs- und Potentialtermen beim Ubergang von (1.22) nach (1.23) umdreht. Anhand der Ladungskonjugation er¨offnet sich somit

4

Ein Operator O heißt antilinear, falls O(α1 ψ1 + α2 ψ2 ) = α∗1 Oψ1 + α∗2 Oψ2 .

14

1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

ein Weg zur physikalischen Interpretation der negativen Klein-Gordon-L¨osungen, daß n¨ amlich deren Ladungskonjugierte die quantenmechanischen Wellenfunktionen von Antiteilchen der Ladung −e sind. Bezogen auf die freien Klein-Gordon-L¨ osungen bedeutet die Ladungskonjugation (1,2)

(1,2)

φp,C (x) = φp(2,1) (x) , ψp,C (x) = ψp(2,1) (x) . Das heißt hier sind sowohl die urspr¨ unglichen als auch die ladungskonjugierten Wellenfunktionen L¨ osungen derselben Gleichung, was nat¨ urlich daran liegt, daß im freien Fall die Unterscheidung zwischen Zust¨anden verschiedener Ladung nicht m¨ oglich ist. Ladungsdichte, Ladungsstromdichte. Wir sind nun in der Lage, den Gr¨ oßen Q, ρ und j eine physikalisch sinnvolle Interpretation zuzuf¨ uhren. Wie wir weiter oben gesehen haben, kommt die Gr¨oße  d3 xρ(x) = Q = const ρ = ψ † τ3 ψ = ϕ∗ ϕ − χ∗ χ , i.a. als Wahrscheinlichkeitsdichte nicht in Betracht, weil sie nicht positiv definit ist. Beschr¨ ankt man sich jedoch auf den (sp¨ater genauer zu definierenden) G¨ ultigkeitsbereich der Ein-Teilcheninterpretation, also im wesentlichen auf die am Anfang dieses Kapitels erw¨ ahnte nichtrelativistische N¨aherung, so ist ρ f¨ ur positive Klein-Gordon-L¨ osungen positiv definit, |ϕ|  |χ|, und f¨ ur negative L¨ osungen negativ definit, |ϕ|  |χ| (siehe Unterabschn. 1.4.1). Da aufgrund des oben Gesagten positive L¨ osungen zu Teilchen der Ladung +e und die Ladungskonjugierten der negativen L¨osungen zu Antiteilchen der ucke Ladung −e geh¨ oren, bietet es sich an, die durch ψ (±) gebildeten Ausdr¨ (±) als elektrische Ladungsdichte und dementsprechend j (±) als elektrische ρ Ladungsstromdichte von Teilchen bzw. Antiteilchen zu interpretieren. Demzufolge ist Q(±) = ±1 die (erhaltene) Gesamtladung des betrachteten Teilchens bzw. Antiteilchens (Ladungsinterpretation).5 Zusammenfassend halten wir fest: Satz 1.4: Ladungskonjugation C und Ladungsinterpretation in der Klein-Gordon-Theorie • Die Ladungskonjugation C der Klein-Gordon-Theorie ist definiert durch die Transformation φ(x) −→ φC (x) = φ∗ (x)

(kanonische Darstellung)

ψ(x) −→ ψC (x) = τ1 ψ ∗ (x) (Hamiltonsche Darstellung). 5

Diese Interpretation l¨ aßt sich auch außerhalb des G¨ ultigkeitsbereiches des EinTeilchenbildes aufrechterhalten. In diesem Fall bedeutet Q die erhaltene Gesamtladung aller betrachteten Teilchen und Antiteilchen, so daß die Ladungsdichte ρ an verschiedenen Raumzeitpunkten unterschiedliches Vorzeichen annehmen kann.



1.1 Klein-Gordon-Gleichung

15

Sie macht aus einer positiven [negativen] Klein-Gordon-L¨osung der Ladung +e [−e] eine negative [positive] Klein-Gordon-L¨osung der Ladung −e [+e]. • Eine positive Klein-Gordon-L¨ osung φ(+) bzw. ψ (+) repr¨asentiert ein physikalisches Spin-0-Teilchen der Ladung +e im Potential Aµ , w¨ahrend die (−) (−) Ladungskonjugierte der negativen L¨ osung φC bzw. ψC (und nicht die negative L¨ osung selbst) das physikalische Antiteilchen mit entgegengesetzter Ladung −e im selben Potential Aµ beschreibt. • Die durch φ(+) bzw. ψ (+) [φ(−) bzw. ψ (−) ] gebildeten Gr¨oßen Q, ρ und j k¨ onnen als elektrische Ladung, Ladungsdichte und Ladungsstromdichte des physikalischen Teilchens [Antiteilchens] interpretiert werden (Ladungsinterpretation). W¨ ahrend also die Wellenfunktion eines Antiteilchens durch die ladungskonjugierte negative L¨ osung beschrieben wird, erh¨ alt man seine Ladungsgr¨oßen Q, ρ und j durch Verwendung der negativen L¨ osungen selbst. Im u ¨ bern¨achsten Abschnitt werden wir dieses Prinzip auf die Definition von bildunabh¨angigen Skalarprodukten und Erwartungswerten erweitern. Jetzt wird u andlich, warum wir der negativen freien ¨ brigens auch verst¨ (2) (2) Klein-Gordon-L¨ osung φp [ψp ] den Index p gegeben haben, obwohl sie den Impulseigenwert −p besitzt. Weil sie n¨ amlich auf das zugeh¨orige physikalische Antiteilchen (mit entgegengesetztem Impuls- und Energieeigenwert) bezogen sein soll. Daß die in Satz 1.4 getroffenen Feststellungen in der Natur auch tats¨achlich ihren Niederschlag finden, wird einerseits durch die experimentelle Tatsache untermauert, daß bisher zu jedem bekannten Spin-0-Teilchen das entsprechende Antiteilchen gefunden wurde. Andererseits sprechen hierf¨ ur die experimentell verifizierbaren Aussagen der Streutheorie, wie wir in Kapitel 3 sehen werden. Insgesamt sehen wir, daß die relativistische Verallgemeinerung der Schr¨odingerschen Theorie zur Klein-Gordon-Theorie zu einem neuen Freiheitsgrad, n¨ amlich der elektrischen Ladung, f¨ uhrt, wogegen die nichtrelativistische Theorie lediglich Zust¨ ande mit festem Ladungsvorzeichen beschreibt.6 In diesem Zusammenhang ist auch die Feststellung wichtig, daß wir bei unseren Betrachtungen von vornherein mit der Klein-Gordon-Gleichung f¨ ur Zust¨ ande mit der Ladung −e h¨ atten beginnen k¨onnen, weil an keiner Stelle das Ladungsvorzeichen eine ausschlaggebende Rolle gespielt hat. Demzufolge w¨ urden Teilchen die Ladung −e tragen und durch positive L¨osungen beschrieben und Antiteilchen die Ladung +e tragen und durch ladungskonjugierte negative L¨ osungen beschrieben. 6

Dies ist u ¨ brigens ein Charakteristikum aller relativistisch-quantenmechanischen Erweiterungen.

16

1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

Interpretation der negativen L¨ osungen selbst. Nachdem wir also den ladungskonjugierten negativen Klein-Gordon-L¨osungen eine physikalisch sinnvolle Interpretation geben konnten, bleiben dennoch zwei gravierende Punkte offen, n¨ amlich in Bezug auf • die physikalischen Implikationen, die mit der bloßen Existenz von negativen L¨ osungen verbunden sind, und • die physikalische Interpretation der negativen L¨osungen selbst. Die Existenz der L¨ osungen mit negativer Energie f¨ uhrt im Rahmen unserer ¨ bisherigen Uberlegungen zu Schwierigkeiten und zu physikalischem Unsinn. Man denke hierbei z.B. an ein pionisches Atom, bestehend aus einem positiv geladenen Atomkern und einem umkreisenden negativ geladenen Pion (Spin-0-Teilchen). Das zugeh¨ orige Energiespektrum l¨aßt sich z.B. durch Verwendung des Coulomb-Potentials in der Klein-Gordon-Gleichung berechnen (siehe Unterabschn. 1.5.4) und ist in Abb. 1.1 qualitativ wiedergegeben. E

Positives Energiekontinuum

2

+m0 c

0

−m0 c2

Gebundene Zust¨ ande

Negatives Energiekontinuum

Abb. 1.1. Qualitatives Energiespektrum eines pionischen Atoms. Aufgrund der Existenz von negativen Energiezust¨ anden k¨ onnte das Pion durch laufende Strahlungs¨ uberg¨ ange energetisch immer tiefer fallen.

Die gebundenen Zust¨ ande direkt unterhalb des positiven Energiekontinuums mit E < m0 c2 stimmen i.a. sehr gut mit dem Experiment u ¨berein. Es besteht daher kein Zweifel, daß es sich hierbei um die Bindungszust¨ande des

1.1 Klein-Gordon-Gleichung

17

Pionatoms handelt. Andererseits bedeutet die Existenz des negativen Energiekontinuums, daß z.B. ein im Grundzustand befindliches Pion durch fortgesetzte Strahlungs¨ uberg¨ ange immer tiefer rutschen k¨onnte. Das Atom w¨are demnach instabil, und es g¨ abe aufgrund der laufenden Emission von Licht eine Strahlungskatastrophe.7 Nun ist klar, daß nichts dergleichen beobachtet wird; unsere Welt k¨ onnte gar nicht existieren, wenn es diesen Zerfall g¨abe. Wie wir weiter hinten sehen werden, besteht genau dasselbe Problem auch in der Dirac-Theorie zur Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen. Dort f¨ uhrte Dirac zur Verhinderung der Strahlungskatastrophe einen Kunstgriff ein, der unter dem Namen L¨ochertheorie bekannt ist. Der hier interessante Aspekt dieses Modells ist, daß das Vakuum als ein See“ betrachtet wird, der mit ” Spin-1/2-Teilchen negativer Energie vollst¨ andig besetzt ist und aufgrund des Paulischen Ausschließungsprinzips mit keinem weiteren Teilchen gef¨ ullt werden kann. Abgesehen davon, daß hierdurch nun die Strahlungskatastrophe unterbunden ist, erhalten die negativen Zust¨ ande eine unmittelbare physikalische Bedeutung, die physikalische Konsequenzen nach sich zieht wie z.B. die Erzeugung und Vernichtung von Teilchen-Antiteilchen-Paaren oder die Vakuumpolarisation. Nun ist klar, daß die L¨ ochertheorie auf den vorliegenden Spin-0-Fall nicht u ¨bertragbar ist, da hier das Pauli-Prinzip nicht greift. Aber selbst wenn die L¨ochertheorie auch hier irgendwie“ angewandt werden k¨onnte, so ist zu ” ber¨ ucksichtigen, daß sie in jedem Fall eine Abkehr vom Ein-Teilchenkonzept hin zu einer Viel-Teilchentheorie mit unendlich vielen Freiheitsgraden bedeutet. Im Rahmen der von uns angestrebten Ein-Teilcheninterpretation bleibt uns deshalb nichts anderes u ¨ brig, als das Ausbleiben der Strahlungskatastrophe im Klein-Gordon- und Dirac-Fall zu postulieren. Dies bedeutet auch, daß wir die physikalische Interpretation der negativen L¨osungen selbst offen lassen m¨ ussen. Res¨ umee. Alles in allem ist festzustellen, daß wir mit Hilfe der Ladungskonjugation und der Ladungsinterpretation den positiven und ladungskonjugierten negativen Klein-Gordon-L¨ osungen sowie Q, ρ und j eine physikalisch sinnvolle Deutung als Teilchen, Antiteilchen, Ladung, Ladungsdichte und Ladungsstromdichte geben konnten. Im Hinblick auf eine konsistente Ein-Teilcheninterpretation im gewohnten nichtrelativistisch-quantenmechanischen Sinne sind allerdings drei Punkte noch ungekl¨art: [1] Die Ein-Teilcheninterpretation verlangt, daß sich die positiven und negativen L¨ osungen vollst¨ andig entkoppeln lassen, d.h., daß sich jeder gela¨ dene Klein-Gordon-Zustand durch eine Uberlagerung von rein positiven oder rein negativen L¨ osungen darstellen l¨ aßt. Im allgemeinen setzt sich 7

Streng genommen ist das Pionatom aufgrund anderer Effekte nicht wirklich stabil. Jedoch spielen sich diese Effekte sehr viel langsamer ab, als die durch die Strahlungs¨ uberg¨ ange in negative Energieniveaus prognostizierte Lebensdauer des Atoms.

18

1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

ein Klein-Gordon-Zustand jedoch aus dem vollst¨andigen System von positiven und negativen L¨ osungen zusammen. Es ist also zu kl¨aren, unter welchen Voraussetzungen bzw. innerhalb welcher Grenzen eine vollst¨andige Entkopplung von positiven und negativen L¨osungen m¨oglich ist. Eine derartige Aufspaltung f¨ uhrt gleichzeitig zu einer positiv bzw. negativ definiten Ladungsdichte, so daß eine quantenmechanisch-statistische Interpretation m¨ oglich wird. [2] Die vollst¨ andige Entkopplung von positiven und negativen L¨osungen bedeutet auch, daß nicht alle relativistischen Operatoren im Sinne des Ein-Teilchenkonzeptes anwendbar sind, da sie i.a. positive und negative Zust¨ ande mischen. Es erhebt sich deshalb die Frage, was sinnvolle EinTeilchenoperatoren sind und wie sich diese konstruieren lassen. [3] Um quantenmechanische Wahrscheinlichkeitsaussagen u ¨ ber den Zustand von Spin-0-Teilchen machen zu k¨ onnen, ben¨otigen wir eine physikalisch sinnvolle Definition von Skalarprodukten und Erwartungswerten, die u odinger-, Heisenberg-, Dirac-Bild ¨berdies vom verwendeten Bild (Schr¨ etc.) unabh¨ angig ist (siehe die Bemerkungen nach Satz 1.3). Wie wir im weiteren Verlauf sehen werden, k¨ onnen diese (und andere) Punkte in zufriedenstellender Weise gekl¨ art werden, so daß sich schließlich ein einigermaßen widerspruchsfreies Ein-Teilchenbild der Klein-Gordon-Theorie innerhalb definierter Grenzen ergibt. Zum Schluß dieses Abschnittes sei noch auf folgenden wichtigen Punkt hingewiesen: Die Ladung, durch die sich ein Boson von seinem Antiboson unterscheidet, muß nicht unbedingt elektrischer Natur sein. W¨ahrend sich z.B. das Pion π − und Antipion π + in der Tat nur im elektrischen Ladungsvorzeichen unterscheiden, treten in der Natur auch Bosonen wie etwa das ¯ 0 auf, die beide elektrisch neutral sind aber unterKaon K0 und Antikaon K schiedliche Vorzeichen der sog. Strangeness-Ladung besitzen. Ein Boson kann auch u ur die zugeh¨orige Wellenfunktion muß ¨ berhaupt keine Ladung tragen. F¨ dann offensichtlich gelten: φ = φC [ψ = ψC ] =⇒ Q = 0 , ρ = 0 , j = 0 . In einer konsistenten Ein-Teilcheninterpretation ist allerdings die Betrachtung derartiger neutraler Teilchen problematisch, weil hierbei eine vollst¨andige Entkopplung von positiven und negativen L¨osungen nicht m¨oglich ist (siehe [1]). Zusammenfassung • Die Klein-Gordon-Theorie ist die relativistische Verallgemeinerung der nichtrelativistischen Quantenmechanik zur Beschreibung von Spin0-Teilchen. Ausgehend von der kanonischen bzw. lorentzkovarianten



Aufgaben

19

Darstellung l¨ aßt sich diese Theorie durch entsprechende Ersetzungen in Hamiltonsche Form u uhren. ¨berf¨ • Die Klein-Gordon-Theorie unterscheidet sich in zwei wesentlichen Punkten von der nichtrelativistischen Theorie: Zum einen f¨ uhrt die KleinGordon-Gleichung auf L¨ osungen mit positiver und negativer Energie. Zum anderen ist j 0 aufgrund der Nichthermitezit¨at des KleinGordonschen Hamilton-Operators nicht positiv definit und kann deshalb nicht als Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden. • Mit Hilfe der Ladungskonjugation und der Ladungsinterpretation lassen sich diese beiden Ph¨ anomene in physikalisch sinnvoller Weise deuten: Teilchen der Ladung +e werden durch positive Klein-GordonL¨ osungen und Antiteilchen der Ladung −e durch die Ladungskonjugierten der negativen L¨ osungen beschrieben. j 0 ist die elektrische Ladungsdichte des betrachteten Teilchens und j die zugeh¨orige Ladungsstromdichte. • Im Rahmen des Ein-Teilchenkonzeptes lassen sich die mit den negativen L¨ osungen verbundenen Probleme (Interpretation, Strahlungskatastrophe) nicht l¨ osen. • Im Hinblick auf eine m¨ oglichst konsistente Ein-Teilchen-Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Klein-Gordon-Theorie bleibt zu kl¨aren, inwiefern eine vollst¨ andige Entkopplung von positiven und negativen L¨osungen m¨ oglich ist und wie sich ein physikalisch sinnvolles sowie bildunabh¨angiges Skalarprodukt definieren l¨ aßt.

Aufgaben 1. L¨ osungen der freien Klein-Gordon-Gleichung. Zeigen Sie, daß die L¨ osungen der freien Klein-Gordon-Gleichung (1.16) mit scharfem Impuls durch (1.18) gegeben sind. L¨ osung. Zur L¨ osung von (1.16) machen wir den Ansatz  ϕ0 ei(px−Et)/¯h , ψ(x) = χ0 der auf das Gleichungssystem  ⎫ p2 p2 2 ⎪ E− − m0 c ϕ0 − χ0 = 0 ⎪ ⎬ 2m0 2m0  ⎪ p2 p2 ⎭ ϕ0 + E + + m 0 c 2 χ0 = 0 ⎪ 2m0 2m0

(1.26)

20

1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

f¨ uhrt. Notwendige Voraussetzung f¨ ur die Existenz nichttrivialer L¨osungen ist das Verschwinden der Koeffizientendeterminante,   2   p2   E − p − m 0 c2 −   2m0 2m0 =0    2 2 p p  E+ + m0 c2   2m0 2m0  2 2  2 2 p p ⇐⇒ E 2 − + m 0 c2 + =0, 2m0 2m0 woraus sich erwartungsgem¨ aß wieder die relativistische Energie-Impuls-Beziehung ⎧ $ ⎨ E (+) = +c p2 + m20 c2 = +cp0 E 2 = p2 c2 + m20 c4 =⇒ ⎩ E (−) = −c$p2 + m2 c2 = −cp 0 0 f¨ ur freie Teilchen ergibt. Die zu E (+) und E (−) geh¨orenden (unnormierten) L¨osungen berechnen sich schließlich aus (1.26) zu  m0 c + p 0 (+) (+) : ψ (x) = e−i(cp0 −px)¯h ∼ ψp(1) (x) E m0 c − p 0  m0 c − p 0 (2) (−) (−) E : ψ (x) = e+i(cp0 +px)/¯h ∼ ψ−p (x) . m0 c + p 0 2. Lagrange-Dichte und Energie-Impuls-Tensor des freien KleinGordon-Feldes. Bestimmen Sie die Lagrange-Dichte des freien Klein-Gordon-Feldes in der Hamiltonschen Formulierung. Zeigen Sie anschließend unter Verwendung des Energie-Impuls-Tensors, daß die Energie durch den Ausdruck  p2 E = d3 xψ † τ3 H (0) ψ , H (0) = (τ3 + iτ2 ) + τ3 m0 c2 2m0 gegeben ist. L¨ osung. In der Hamiltonschen Formulierung lautet die Bewegungsgleichung f¨ ur das freie Klein-Gordon-Feld ∂ψ = H (0) ψ . (1.27) i¯ h ∂t ψ ist ein zweikomponentiges komplexes Feld und l¨aßt sich durch die beiden reellen Felder ψ1,2 in der Weise ψ = ψ1 + iψ2 ausdr¨ ucken. Die Lagrange-Dichte ist deshalb als Funktion dieser beiden ¨ Felder und deren Ableitungen darstellbar. Aquivalent hierzu l¨aßt sich die Lagrange-Dichte aber z.B. auch als Funktion von ψ und ψ¯ = ψ † τ3 und deren

Aufgaben

21

Ableitungen formulieren. Wir wollen nun zeigen, daß sie im letzteren Fall gegeben ist durch ∂ψ h2 ¯ ¯ 3 + iτ2 )∇ψ − m0 c2 ψτ ¯ 3ψ . L = i¯ hψ¯ − (∇ψ)(τ ∂t 2m0 Hierzu variieren wir nach bekannter Methode das Wirkungsfunktional  I = d4 xL . (1.28) Die Variation nach den Komponenten von ψ¯ f¨ uhrt gerade auf (1.27), denn wir haben (α = 1, 2) ∂L ∂I ∂L = 0 =⇒ ¯ − ∂µ = 0 (Lagrange-Gleichungen) ¯ ∂ ψα ∂ ψα ∂(∂µ ψ¯α ) ∂L ∂L ∂ ∂L ⇐⇒ ¯ − −∇ =0 ¯ ∂t ∂(∂ ψα /∂t) ∂ ψα ∂(∇ψ¯α ) ∂L ∂ψα ∂L , = −m0 c2 [τ3 ψ]α + i¯ h =0 ∂t ∂ ψ¯α ∂(∂ ψ¯α /∂t) ∇

h2 ∇2 ¯ ∂L [(τ3 + iτ2 )ψ]α = − 2m0 ∂(∇ψ¯α )

und deshalb

⎛

h ∇ ¯ ∂ψα =− [(τ3 + iτ2 )ψ]α + m0 c2 [τ3 ψ]α ∂t 2m0 2

i¯ h

2

⎞ freie ⎝ Klein-Gordon- ⎠. (1.29) Gleichung

Durch Variation von (1.28) nach den Komponenten von ψ erh¨alt man die ¯ entsprechende Bewegungsgleichung f¨ ur ψ: ∂L ∂L ∂I = 0 (Lagrange-Gleichungen) = 0 =⇒ − ∂µ ∂ψα ∂ψα ∂(∂µ ψα ) ∂L ∂ ∂L ∂L −∇ =0 − ⇐⇒ ∂ψα ∂t ∂(∂ψα /∂t) ∂(∇ψα ) ∂L ∂L ¯ 3 ]α , = i¯ hψ¯α = −m0 c2 [ψτ ∂ψα ∂(∂ψα /∂t) ∇

h2 ∇2 ¯ ¯ ∂L =− [ψ(τ3 + iτ2 )]α ∂(∇ψα ) 2m0

=⇒ −i¯ h

h2 ∇2 ¯ ¯ ∂ ψ¯α ¯ 3 ]α =− [ψ(τ3 + iτ2 )]α + m0 c2 [ψτ ∂t 2m0

⎛

⎞ freie ⎜ adjungierte ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ Klein-Gordon- ⎠. Gleichung

Als n¨ achstes berechnen wir aus dem Energie-Impuls-Tensor

22

1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

T µν =

∂L ∂L ∂ ν ψα + ∂ ν ψ¯α − g µν L ∂(∂µ ψα ) ∂(∂µ ψ¯α )

die Energiedichte T 00 : T 00 = =

∂ψα ∂L ∂L ∂ ψ¯α + −L ¯ ∂(∂ψα /∂t) ∂t ∂(∂ ψα /∂t) ∂t ¯2 h ¯ 3ψ . ¯ 3 + iτ2 )∇ψ + m0 c2 ψτ (∇ψ)(τ 2m0

Dies f¨ uhrt schließlich zu der Energie  E = d3 xT 00  2   h ¯ 3 2¯ ¯ = d x (∇ψ)(τ3 + iτ2 )∇ψ + m0 c ψτ3 ψ 2m0 (partielle Integration)



 ¯ ∇ h (τ3 + iτ2 ) + m0 c2 τ3 ψ 2m0   ¯ (0) ψ = d3 xψ † τ3 H (0) ψ , = d3 xψH 

2

d3 xψ¯ −

=

2

welche sowohl f¨ ur positive als auch f¨ ur negative freie Klein-Gordon-Felder positiv ist. Die Interpretation dieses Sachverhaltes wird in Unterabschn. 1.3.1 deutlich, wo wir ein mit dem Ein-Teilchenkonzept vertr¨agliches verallgemeinertes Skalarprodukt f¨ ur Spin-0-Teilchen und -Antiteilchen entwickeln werden. Man beachte: H¨ atten wir die Lagrange-Dichte L mit ψ † anstatt mit ψ¯ formuliert, so w¨ aren wir bei der Variation von L nach ψα† auf dieselbe Bewegungsgleichung (1.29) gestoßen. Wir fordern jedoch, daß die Wirkung I reell sein soll, was im Falle von ψ¯ auf die Bedingung    ∂ψ h2 ¯ 3 2¯ ¯ ¯ I = d xdt i¯ hψ (∇ψ)(τ3 + iτ2 )∇ψ − m0 c ψτ3 ψ − ∂t 2m0 

(partielle Integration)

 h ∇ ¯ ∂ d3 xdtψ¯ i¯ h + (τ3 + iτ2 ) − m0 c2 τ3 ψ ∂t 2m0    ∂ = d3 xdtψ † τ3 i¯ h − H (0) ψ = Re(I) ∂t 

2

2

=

f¨ uhrt. Wie sich leicht zeigen l¨ aßt, ist dies tats¨achlich der Fall, weil sowohl i¯ hτ3 ∂/∂t als auch τ3 H (0) hermitesch sind. Das Integral I w¨are dagegen nicht reell, wenn in L anstelle von ψ¯ das Feld ψ † st¨ unde.

1.2 Symmetrietransformationen

23

1.2 Symmetrietransformationen In diesem Abschnitt stellen wir unsere Bem¨ uhungen um eine physikalisch konsistente Ein-Teilcheninterpretation der Klein-Gordon-Theorie zun¨achst ein wenig zur¨ uck und besch¨ aftigen uns stattdessen mit weiteren formalen Eigenschaften der Klein-Gordon-Gleichung, n¨ amlich ihren Symmetrieeigenschaften. Zu diesem Zweck pr¨ azisieren wir zuerst die Begriffe Transformation“ ” und Symmetrietransformation“. Im Anschluß behandeln wir die kontinuier” lichen und diskreten Symmetrien der Klein-Gordon-Gleichung. Hierbei werden uns Letztere in Kombination mit der Ladungskonjugation C aus Unterabschn. 1.1.3 zu einem tieferen Verst¨ andnis der negativen L¨osungen f¨ uhren, und zwar gerade auch im Hinblick auf die angestrebte Ein-Teilcheninterpretation. 1.2.1 Aktive und passive Transformationen Prinzipiell hat man zwischen zwei Klassen von Transformationen zu unterscheiden. Die eine Klasse besteht aus den aktiven Transformationen, die sich dadurch auszeichnen, daß bei ihnen der physikalische Zustand transformiert wird, wobei der urspr¨ ungliche und transformierte Zustand von ein und demselben Bezugssystem betrachtet werden. Ein Beispiel hierf¨ ur sind die Eichtransformationen des elektromagnetischen Feldes [siehe (1.6) und (1.7)], die wir bereits als Symmetrietransformation der Klein-Gordon-Theorie identifiziert haben, weil sie die Form der Klein-Gordon-Gleichung nicht ¨andern. Die zweite Klasse sind die passiven Transformationen. Hierbei wird nicht der physikalische Zustand selbst, sondern das Bezugssystem (bzw. das Basissystem) transformiert, so daß sich lediglich die Perspektive ¨andert, von der aus derselbe Zustand betrachtet wird. Weil mit derartigen Transformationen immer auch ein Wechsel der Raumzeitkoordinaten verbunden ist, nennt man sie auch Koordinatentransformationen. Da wir in diesem Buch relativistische Theorien betrachten, sind die uns interessierenden Koordinatentransformationen nat¨ urlich gerade die Lorentz-Transformationen. Nun ist klar, daß man jeder passiven Transformation eine aktive Transformation zuordnen kann, die zu denselben Konsequenzen in Bezug auf die Erscheinungsform bzw. Beschreibung des physikalischen Zustandes f¨ uhrt. Mit anderen Worten: Das Erscheinungsbild eines physikalischen Zustandes ist unabh¨ angig davon, ob das Bezugssystem des Betrachters oder stattdessen der physikalische Zustand im gegenl¨ aufigen Sinne“ transformiert wird. ” Um den allgemeinen Zusammenhang zwischen einer passiven und der zugeh¨ origen aktiven Transformation zu verdeutlichen, betrachten wir einen Beobachter, der mit seinem Referenzsystem fest verbunden ist und auf einen Raumpunkt schaut, dessen Lage er mit dem Koordinatenvektor x beschreibt. Das Erscheinungsbild irgend eines physikalischen Zustandes (z.B. Spin-0Teilchen oder elektromagnetisches Feld), den er dort sieht, nennt er z(x). Stellen wir uns nun zun¨ achst vor, daß eine Transformation des Referenzsystems

24

1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

(z.B. Verschiebung oder Drehung) durchgef¨ uhrt und dem Beobachter das zugeh¨ orige Transformationsgesetz mitgeteilt wird.8 Der Beobachter berechnet daraus den Koordinatenvektor x seines urspr¨ unglichen Beobachtungspunktes im transformierten System, schaut aus der neuen Perspektive auf den urspr¨ unglichen Zustand und bezeichnet dessen Erscheinung mit z  (x ). Dieser

z(x),z  (x )

passive Transformation aktive Transformation z(x),z  (x)

Abb. 1.2. Passive und aktive Transformation. Oberes Bild: Vom passiven Standpunkt aus wird das Referenzsystem nach unten rechts verschoben. Unteres Bild: Beim aktiven Standpunkt wird der physikalische Zustand in die entgegengesetzte Richtung verschoben.

Vorgang ist offensichtlich gleichbedeutend mit der passiven Transformation (siehe Abb. 1.2 oben) z(x) −→ z  (x ) . Jetzt nehmen wir stattdessen an, daß der Beobachter w¨ahrend der Transformation die Augen schließt und den Bezugssystemwechsel nicht bemerkt. Sobald er wieder aufblickt, sieht er eine von z(x) verschiedene Erscheinung, die er mit z  (x) bezeichnet, weil er der Meinung ist, immer noch in dieselbe Richtung und auf denselben Punkt zu schauen. Nun hat aus Sicht des Beobachters offensichtlich die aktive Transformation z(x) −→ z  (x) 8

Ohne Beschr¨ ankung der Allgemeinheit wird f¨ ur dieses Beispiel vereinfachend angenommen, daß der betrachtete Zustand zeitunabh¨ angig und die Transformation rein r¨ aumlich ist.

1.2 Symmetrietransformationen

25

stattgefunden, und er hat den Eindruck, daß der physikalische Zustand transformiert wurde. (siehe Abb. 1.2 unten). Ist das Transformationsgesetz f¨ ur eine passive Transformation z.B. in der Form z  (x ) = fK ([z(x)] , x = K(x) , x = K −1 (x ) bekannt, dann folgt f¨ ur die entsprechende aktive Transformation
! !   −1  z (x) = z K (x ) = fK z K −1 (x) .

(1.30) (1.31)

Wir sehen also, daß die Zuordnung passive Transformation −→ aktive Transformation im Prinzip immer m¨ oglich ist. Die Umkehrung gilt dagegen i.a. nicht. Das heißt es gibt aktive Transformationen, die sich nicht (oder nur zum Teil) mit passiven Transformationen in Zusammenhang bringen lassen. Dies wird z.B. anhand der Ladungskonjugationstransformation (siehe Satz 1.4) sofort deutlich. Vor diesem Hintergrund l¨ aßt sich jetzt der Begriff Symmetrietransforma” tion“ wie folgt genauer fassen: Eine Symmetrietransformation f¨ uhrt zu formal identischen Bewegungsgleichungen und damit zu physikalisch ¨aquivalenten Si¨ tuationen, und zwar beim Ubergang vom urspr¨ unglichen zum transformierten ¨ Bezugssystem im passiven Fall oder beim Ubergang vom urspr¨ unglichen zum transformierten physikalischen Zustand im aktiven Fall. Diese Zwischenbemerkungen in Erinnerung behaltend wenden wir uns nun den Symmetrieoperationen der Klein-Gordon-Theorie zu. 1.2.2 Lorentz-Transformationen Die grundlegende Motivation zum Aufstellen der Klein-Gordon-Gleichung war, daß sie den Prinzipien der speziellen Relativit¨atstheorie gen¨ ugen soll. Dies impliziert die Forminvarianz der Klein-Gordon-Gleichung (1.12) unter Lorentz-Transformationen (siehe Anhang A.1), und zwar streng genommen nur unter den eigentlichen Transformationen. Nun l¨aßt sich leicht zeigen, daß die Klein-Gordon-Gleichung sogar unter allgemeinen LorentzTransformationen der Art xµ −→ xµ = Λµ ν xν + aµ

(1.32)

forminvariant ist. Denn einerseits folgt aufgrund des skalaren Charakters der Klein-Gordonschen Wellenfunktion, daß diese unter (1.32) h¨ochstens um eine Phase ge¨ andert wird, d.h. also im passiven Fall φ(x) −→ φ (x ) = λφ(x) , |λ| = 1 . Auf der anderen Seite ist der auf φ wirkende Operator in (1.12) wegen pµ −→ pµ = Λµ ν pν , Aµ (x) −→ Aµ (x ) = Λµ ν Aν (x) ein Lorentz-Skalar. Hieraus folgt sofort die Forminvarianz der Klein-GordonGleichung unter der vollen Poincar´e-Gruppe. Beschr¨ankt man sich auf eigentliche Lorentz-Transformationen, also Boosts und Drehungen, dann h¨angt Λµ ν

26

1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

von kontinuierlichen Parametern ab, deren m¨ ogliche Werte auch die identische Transformation beinhalten. In diesem Fall muß deshalb die Phase λ = 1 sein.9 1.2.3 Diskrete Transformationen Parit¨ atstransformation P . Als Beispiel f¨ ur uneigentliche (diskrete) lorentzartige Symmetrietransformationen betrachten wir die orthochrone Transformation der Raumspiegelung, die auch Parit¨atstransformation genannt wird und definiert ist durch ⎛ ⎞ 1 0 0 0 ⎜ 0 −1 0 0 ⎟ 0 µ ⎟ (Λµ ν ) = ⎜ ⎝ 0 0 −1 0 ⎠ , Λ 0 > 0 , det(Λ ν ) = −1 . 0 0 0 −1 Sie dreht das Vorzeichen der r¨ aumlichen Koordinaten um und l¨aßt die zeitliche Komponente unver¨ andert. Offensichtlich muß hierbei λ2 = 1 gelten, da die zweifache Anwendung der Raumspiegelung gerade die identische Transformation ist (Λ2 = 1). Wir haben also im passiven Fall ⎫ x −→ x = −x , t −→ t = t ⎪ ⎪ ⎪ ⎪   ⎬ passive φ(x, t) −→ φP (x , t ) = λP φ(x, t) , λP = ±1 ⎪ Raumspie⎪ A0 (x, t) −→ A0P (x , t ) = A0 (x, t) ⎪ gelung P , ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ A(x, t) −→ AP (x , t ) = −A(x, t) wobei P f¨ ur Parit¨ atstransformation steht. Das heißt entweder verh¨alt sich φ unter Raumspiegelung wie ein Skalar (+) oder wie ein Pseudoskalar (−). Die zugeh¨ orige aktive Transformation ergibt sich unter Ber¨ ucksichtigung des allgemeinen Schemas von (1.30) und (1.31) zu ⎫ φ(x, t) −→ φP (x, t) = λP φ(−x, t) ⎪ ⎪ ⎬ aktive 0 0 0 Raumspie(1.33) A (x, t) −→ AP (x, t) = A (−x, t) ⎪ ⎪ ⎭ gelung P . A(x, t) −→ AP (x, t) = −A(−x, t) Die Invarianz der Klein-Gordon-Gleichung unter dieser Transformation bedeutet physikalisch, daß ein in einem planaren Spiegel betrachteter und im Einklang mit der Klein-Gordon-Theorie stehender physikalischer Prozeß 9

Wellenfunktionen, die sich unter Raumdrehungen nicht ¨ andern, beschreiben per definitionem Teilchen mit Spin 0. Wir haben hier somit ein gruppen- bzw. transformationstheoretisches Argument daf¨ ur vorliegen, daß die Klein-GordonGleichung Spin-0-Teilchen beschreibt. In Unterabschn. 2.2.2 werden wir ein transformationstheoretisches Argument daf¨ ur liefern, daß die Dirac-Gleichung Spin-1/2-Teilchen beschreibt.

1.2 Symmetrietransformationen

27

ebenfalls einen realisierbaren, durch die Klein-Gordon-Gleichung beschreibbaren Prozeß darstellt.10 Wendet man die aktive Raumspiegelung auf die (1,2) freien Klein-Gordon-Zust¨ ande φp (x, t) an, so ergibt sich (1,2)

(x, t) −→ λP φp(1,2) (−x, t) = λP φ−p (x, t) . φ(1,2) p Auf Teilchenebene bedeutet dies im Einklang mit unserer Erwartung: Die Raumspiegelung dreht den Impuls eines Spin-0-Teilchens um. Zeitumkehrtransformation T . Neben lorentzartigen existieren auch nichtlorentzartige diskrete Symmetrieoperationen wie z.B. die Zeitumkehrtransformation. Der physikalische Gehalt der Zeitumkehrinvarianz der Klein-GordonGleichung l¨ aßt sich am einfachsten anhand eines Films erkl¨aren. Nimmt man einen mit der Klein-Gordon-Theorie im Einklang stehenden physikalischen Prozeß mit einer Filmkamera auf, dann bedeutet Zeitumkehrinvarianz, daß der r¨ uckw¨ arts abgespielte Film ebenfalls eine Folge physikalisch realisierbarer Ereignisse beschreibt. Bei der Zeitumkehrtransformation, die man besser Bewegungsumkehr” transformation“ nennen sollte, werden neben der Zeitrichtung alle Bewegungsrichtungen und somit alle r¨ aumlichen Komponenten des Viererimpulses umgedreht. Seine nullte Komponente bleibt dagegen wegen p0 = p0 (p2 ) unver¨ andert. Dasselbe gilt f¨ ur das Viererpotential, da A durch bewegte Str¨ome und A0 durch Ladungen erzeugt werden. Vom passiven Standpunkt aus betrachtet bedeutet die Zeitumkehr11 (angedeutet durch das Symbol T ) also ⎫ x −→ x = x , t −→ t = −t ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ passive 0 0   0 ZeitumA (x, t) −→ AT (x , t ) = A (x, t) (1.34) ⎪ ⎪ kehr T ⎪ A(x, t) −→ AT (x , t ) = −A(x, t) ⎭ und h∂ 0 = −i¯ h∂ 0 , i¯ h∂ i −→ i¯ h∂ i = i¯ h∂ i . i¯ h∂ 0 −→ i¯ Um zu sehen, wie sich die Wellenfunktion φ unter der Zeitumkehr transformiert, starten wir von der Klein-Gordon-Gleichung im transformierten (gestrichenen) System, 10

11

Diese Analogie ist noch nicht vollst¨ andig, da ein Spiegel lediglich die zu seiner Ebene senkrecht stehende Komponente umdreht. Erst nach einer zus¨ atzlichen Drehung um π um diese Senkrechte gelangt man zur Parit¨ atstransformation. Die Drehung ist aber eine eigentliche Lorentz-Transformation und wurde soeben diskutiert. Wir betonen noch einmal, daß es sich bei der Zeitumkehr um eine nichtlorentzartige Transformation handelt. Deshalb ist es streng genommen auch nicht gerechtfertigt, in diesem Zusammenhang von einer passiven Transformation“ zu ” sprechen. Die Zeitumkehr ist nicht zu verwechseln mit der nichtorthochronen Lorentz-Transformation der Zeitspiegelung, auf die wir in Aufgabe 3 noch zu sprechen kommen werden.

28

1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen



  e e  i¯ h∂µ − AT,µ i¯ h∂ µ − AµT − m20 c2 φT (x ) = 0 , (1.35) c c und dr¨ ucken die Ableitungs- und Potentialterme durch die urspr¨ unglichen Gr¨ oßen aus: e  e  e  i e i 0 = −i¯ h∂0 − A0 −i¯ h∂ 0 − A0 + i¯ h∂i + Ai i¯ h∂ + A c c c  c − m20 c2 φT (x ) .

Wie leicht zu erkennen ist, f¨ uhrt diese Beziehung auf die zu (1.35) formgleiche Klein-Gordon-Gleichung im ungestrichenen System, falls φ in der Weise + passive   ∗ Zeitumφ(x, t) −→ φT (x , t ) = λT φ (x, t) , |λT | = 1 (1.36) kehr T transformiert wird. Die hierin enthaltene Bedingung f¨ ur λT reflektiert die Tatsache, daß die zweimalige Anwendung der Zeitumkehr wieder zum Ausgangszustand f¨ uhrt. Die aktive Zeitumkehrtransformation ergibt sich aus (1.34) und (1.36) zu ⎫ φ(x, t) −→ φT (x, t) = λT φ∗ (x, −t) ⎪ ⎪ ⎬ aktive 0 0 0 ZeitumA (x, t) −→ AT (x, t) = A (x, −t) (1.37) ⎪ ⎪ ⎭ kehr T . A(x, t) −→ AT (x, t) = −A(x, −t) Angewandt auf die freien Klein-Gordon-L¨ osungen liefert die aktive Zeitumkehr (1,2)

φ(1,2) (x, t) −→ λT φ(1,2)∗ (x, −t) = λT φ−p (x, t) . p p Genau wie die Parit¨ atstransformation dreht auch die Zeitumkehr den Impuls eines Spin-0-Teilchens herum. P CT -Transformation (keine Symmetrietransformation). Wir kommen nun auf einen zentralen Punkt zu sprechen, der insbesondere f¨ ur den weiteren Aufbau der Ein-Teilcheninterpretation im n¨achsten Abschnitt und die relativistische Streutheorie in Kapitel 3 von entscheidender Bedeutung ist. Aufgrund der in Unterabschn. 1.1.3 diskutierten Ladungskonjugation erh¨alt man die Wellenfunktion eines physikalischen Spin-0-Antiteilchens der Ladung −e, indem man von der negativen Klein-Gordon-L¨osung φ(−) mit der Ladung (−) +e ausgeht und von ihr die Ladungskonjugierte φC nimmt. Da die soeben besprochenen Transformationen der Raumspiegelung P und der Zeitumkehr T Symmetrietransformationen sind, k¨ onnen wir sie ebenso gut auch bei der Konstruktion von Antiteilchenwellenfunktionen mitverwenden. Kombinieren wir also die drei Transformationen P , T und C und wenden sie auf die negative L¨ osung φ(−) an, so folgt aufgrund von Satz 1.4, (1.33) und (1.37) im aktiven Fall (ohne Ber¨ ucksichtigung etwaiger Phasen) (−)

φ(−) (x) −→ φP CT (x) = φ(−) (−x) .

1.2 Symmetrietransformationen

29

(−)

Weil es sich bei φP CT aufgrund der C-Operation um die Wellenfunktion eines Antiteilchens handeln muß, ergibt sich hieraus folgende wichtige Aussage, die unter dem Namen Feynman-St¨ uckelberg-Interpretation bekannt ist: Satz 1.5: Feynman-St¨ uckelberg-Interpretation in der Klein-Gordon-Theorie Aufgrund der P CT -Transformation kann die Wellenfunktion eines physikalischen Spin-0-Antiteilchens der Ladung −e aufgefaßt werden als eine negative Klein-Gordon-L¨ osung der Ladung +e, die sich r¨ uckw¨arts in Raum und Zeit bewegt. Wir k¨ onnen die Richtigkeit dieser Interpretation leicht nachpr¨ ufen, indem wir wieder die Eigenwertgleichung eines negativen Klein-Gordon-Zustandes der Ladung +e in Hamiltonscher Formulierung bem¨ uhen,

 2  h τ3 + iτ2 ¯ e 2 0 ∇x − A(x) + τ3 m0 c + eA (x) Ψ (−) (x) 2m0 i c = −|E|Ψ (−) (x) , und an ihr die passive P CT -Transformation ausf¨ uhren. Dies f¨ uhrt unter Ber¨ ucksichtigung von xµ = −xµ , ∇x
= −∇x , ΨP CT (x ) = τ1 Ψ (x) , AµP CT (x ) = Aµ (x) zu



τ3 + iτ2 2m0



 2 ¯ h e (−)  2 0  ∇x
+ AP CT (x ) + τ3 m0 c − eAP CT (x ) ΨP CT (x ) i c = +|E|ΨP CT (x ) , (−)

also zur Eigenwertgleichung f¨ ur einen positiven Klein-Gordon-Zustand der Ladung −e mit umgekehrter Ausbreitungsrichtung in Raum und Zeit. Die Feynman-St¨ uckelberg-Interpretation beinhaltet zwei wichtige Konsequenzen. Zum einen deutet sich hierdurch die M¨oglichkeit an, Antiteilchen und insbesondere deren wahrscheinlichste Quantenzust¨ande durch negative L¨osungen selbst (und nicht allein durch deren Ladungskonjugierte) zu beschreiben. Genau diesen Umstand werden wir im n¨achsten Abschnitt bei der Definition von physikalisch sinnvollen Erwartungswerten im Sinne der Ein-Teilcheninterpretation heranziehen. Eine andere Konsequenz obiger Interpretation ist, daß ihre Anwendung enorme Vorteile bei der Beschreibung relativistischer Streuprozesse (Kapitel 3) liefert und in der Tat auf experimentell verifizierbare Resultate f¨ uhrt. Erweiterte Ladungskonjugation C. Die Ladungskonjugation C ist zwar ¨ eine mathematische Aquivalenzoperation aber keine Symmetrietransformation, weil sie das formale Aussehen der Klein-Gordon-Gleichung ¨andert [vgl. (1.22) mit (1.23) und (1.24) mit (1.25)]. Wir k¨ onnen sie jedoch zu einer nichtlorentzartigen Symmetrietransformation erweitern, indem wir zus¨atzlich das

30

1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

Vorzeichen der elektromagnetischen Potentiale ¨andern. Das heißt also insgesamt ⎫ φ(x, t) −→ φC (x, t) = λC φ∗ (x, t) , |λC | = 1 ⎪ aktive ⎪ ⎬ LadungsA0 (x, t) −→ A0C (x, t) = −A0 (x, t) (1.38) konju⎪ ⎪ ⎭ gation C. A(x, t) −→ AC (x, t) = −A(x, t) Diese erweiterte Transformation bezeichnen wir ebenfalls als Ladungskonjugation und f¨ uhren zur ihrer Unterscheidung von der urspr¨ unglichen CTransformation das neue Symbol C ein. Auch hier tr¨agt die Einschr¨ankung uhrung der Ladungsvon λC dem Umstand Rechnung, daß die zweifache Ausf¨ konjugation C wieder den Ausgangszustand ergibt. Auf Ebene der Wellenfunktionen betrachtet, besteht die Wirkung von C z.B. darin, daß sie die Klein-Gordon-Gleichung f¨ ur eine positive L¨osung φ(+) µ der Ladung +e im Potential +A ,

  2

e 2 ∂ 0 2 2 4 i¯ h − eA − c p − A − m0 c φ(+) (x) = 0 , ∂t c (+)

in die Klein-Gordon-Gleichung f¨ ur eine negative L¨osung φC = φ(+)∗ mit derselben Ladung +e im Potential AµC = −Aµ transformiert, also in 

 2

2 e ∂ (+) 0 2 2 4 i¯ h − eAC − c p − AC − m0 c φC (x) = 0 . ∂t c Letztere k¨ onnen wir aber aufgrund der urspr¨ unglichen C-Transformation (+) gleichsetzen mit der Klein-Gordon-Gleichung f¨ ur eine positive L¨osung φCC mit der Ladung −e und ansonsten – im Vergleich zur urspr¨ unglichen L¨osung φ(+) – gleichen Quantenzahlen im Potential −Aµ . Auf physikalischer Teilchenebene bedeutet die Ladungskonjugation C deshalb die Umwandlung eines Bosons in ein Antiboson mit umgekehrter Ladung und ansonsten identischen Quantenzahlen. Somit l¨aßt sich der physikalische Gehalt der Symmetrietransformation C durch die auf klassischem Level leicht einsichtige Tatsache beschreiben, daß die Dynamik eines Bosons der Ladung +e im Potential +Aµ dieselbe ist wie die des zugeh¨origen Antibosons der Ladung −e im Potential −Aµ . Weitere Symmetriebetrachtungen. Wir haben nun alle grundlegenden Symmetrietransformationen der Klein-Gordon-Gleichung besprochen. Sie alle bedeuten, daß die jeweilige Ausgangssituation und die zugeh¨orige transformierte Situation physikalisch ¨ aquivalent sind. Beliebige Kombinationen von Symmetrietransformationen f¨ uhren deshalb auch immer wieder auf physikalisch ¨ aquivalente Konstellationen. Dies gilt nat¨ urlich nur unter der Voraussetzung, daß die zugrundeliegende Theorie tats¨ achlich eine richtige Beschreibung der betrachteten Physik darstellt.

Aufgaben

31

Wie zahlreiche Experimente gezeigt haben, sind die diskreten Symmetrien P , C und T bei elektromagnetischen (und auch bei starken) Wechselwirkungsph¨ anomenen in der Natur tats¨ achlich realisiert, was uns ein zus¨atzliches Vertrauen in die Richtigkeit der bisher entwickelten Klein-Gordon-Theorie zur Beschreibung von Spin-0-Teilchen gibt. Dies trifft allerdings nicht mehr auf physikalische Prozesse zu, an denen die schwache Wechselwirkung beteiligt ist; dort sind alle drei Symmetrien einzeln verletzt. Innerhalb moderner Quantenfeldtheorien (mit beliebiger Wechselwirkung) kann jedoch aufgrund der Lorentz-Invarianz und des u ¨ blichen Zusammenhangs zwischen Spin und Statistik das sog. P CT -Theorem abgeleitet werden, nach welchem die Dreierkombination von P , C und T in jedem Fall eine Symmetrietransformation ist (siehe Aufgabe 3). Dieses P CT -Theorem impliziert u.a., daß Teilchen und Antiteilchen dieselbe Masse und Lebensdauer haben. Zusammenfassung • Transformationen lassen sich in aktive und passive Transformationen unterteilen. Bei aktiven Transformationen wird der physikalische Zustand, bei passiven Transformationen das zugrundeliegende Bezugssystem transformiert. • Symmetrietransformationen f¨ uhren auf formal identische Bewegungsgleichungen und somit auf physikalisch ¨aquivalente Situationen. • Die Klein-Gordon-Theorie ist invariant unter der vollen Poincar´eGruppe. Diskrete Symmetrietransformationen der Theorie sind die uneigentliche Lorentz-Transformation der Raumspiegelung P sowie die nichtlorentzartigen Transformationen der Zeitumkehr T und der erweiterten Ladungskonjugation C. • Die Wellenfunktion eines Spin-0-Antiteilchens der Ladung −e kann aufgefaßt werden als eine negative Klein-Gordon-L¨osung der Ladung +e, die sich r¨ uckw¨ arts in Raum und Zeit bewegt (Feynman-St¨ uckelbergInterpretation).

Aufgaben 3. Lorentzartigkeit der P CT -Symmetrietransformation (I). Zeigen Sie, daß es sich bei der P CT -Transformation12 um eine lorentzartige Symmetrieoperation handelt, indem Sie die uneigentliche und nichtorthochrone Lorentz-Transformation der Zeitspiegelung genauer betrachten. Letztere wird auch Racah-Zeitspiegelung genannt und ist definiert durch 12

Nicht zu verwechseln mit der P CT -Transformation.

32

1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

⎛

−1 ⎜ 0 µ ⎜ (Λ ν ) = ⎝ 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

⎞ 0 0⎟ ⎟ , Λ0 0 < 0 , det(Λµ ν ) = −1 . 0⎠ 1

L¨ osung. F¨ ur die passiven und aktiven Transformationsgesetze der RacahZeitspiegelung (angedeutet durch das Symbol R) erh¨alt man ⎫ x −→ x = x , t −→ t = −t ⎪ ⎪ ⎪ ⎪   ⎬ passive φ(x, t) −→ φR (x , t ) = λR φ(x, t) , λR = ±1 ⎪ Zeitspie⎪ ⎪ A0 (x, t) −→ A0R (x , t ) = −A0 (x, t) gelung R ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ A(x, t) −→ AR (x , t ) = A(x, t) und

⎫ φ(x, t) −→ φR (x, t) = λR φ(x, −t) ⎪ ⎪ ⎬ aktive ZeitspieA0 (x, t) −→ A0R (x, t) = −A0 (x, −t) ⎪ ⎪ gelung R. ⎭ A(x, t) −→ AR (x, t) = A(x, −t)

Vergleicht man die letzten Beziehungen mit (1.37) und (1.38), also mit den aktiven Transformationsgesetzen der Zeitumkehr T und der Ladungskonjugation C, so wird offensichtlich, daß die Kombination von C und T mit der Racah-Zeitspiegelung identisch ist: CT = R =⇒ P CT = P R . Weil P und R lorentzartig sind, folgt schließlich, daß auch die P CT -Transformation lorentzartig ist.

1.3 Ein-Teilcheninterpretation der Klein-Gordon-Theorie Aufgrund der bisherigen Resultate, vor allem aus den Unterabschnitten 1.1.3 und 1.2.3, sind wir nun in der Lage, die Ein-Teilcheninterpretation der KleinGordon-Theorie weiter zu entwickeln und zu vervollst¨andigen. Die wesentlichen Punkte, die es in diesem Zusammenhang noch zu kl¨aren gilt, wurden bereits in Unterabschn. 1.1.3 genannt, n¨ amlich [1] unter welchen Voraussetzungen eine Entkopplung der Klein-Gordon-Theorie in zwei Ein-Teilchentheorien m¨ oglich ist, [2] welche Operatoren im Sinne des Ein-Teilchenkonzeptes in Frage kommen und wie sich diese konstruieren lassen, [3] wie sich physikalisch sinnvolle und dar¨ uber hinaus bild- und darstellungsunabh¨ angige Ein-Teilchenerwartungswerte definieren lassen.

1.3 Ein-Teilcheninterpretation der Klein-Gordon-Theorie

33

Wir beginnen unsere Diskussion, indem wir uns zun¨achst auf den Punkt [3] konzentrieren und ein verallgemeinertes Skalarprodukt definieren, das den Erkenntnissen des Satzes 1.5 Rechnung tr¨ agt. Diese Definition erfordert gleichzeitig auch eine Verallgemeinerung der Begriffe Hermitezit¨at“ und Unita” ” rit¨ at“, um die Bildunabh¨ angigkeit des verallgemeinerten Skalarproduktes zu gew¨ ahrleisten. Auf diesen Formalismus aufbauend wenden wir uns danach der Frage [2] zu. Den Abschluß bildet eine gr¨ undliche Diskussion von Punkt [1], in der wir den G¨ ultigkeitsbereich des Ein-Teilchenkonzeptes abstecken und jenseitige Widerspr¨ uchlichkeiten aufzeigen. ¨ Aufgrund der Ubersichtlichkeit, der einfacheren Darstellung und gerade auch der n¨ aheren Verwandtschaft zur nichtrelativistischen Quantenmechanik werden wir in den folgenden Betrachtungen die Hamiltonsche Formulierung der Klein-Gordon-Theorie bevorzugt verwenden. 1.3.1 Verallgemeinertes Skalarprodukt Wie wir in Unterabschn. 1.1.3 festgestellt haben, gilt in der nichtrelativistischen N¨ aherung f¨ ur positive Klein-Gordon-L¨osungen |ϕ|  |χ| (und f¨ ur negative L¨ osungen |ϕ|  |χ|; siehe Unterabschn. 1.4.1). Zumindest in diesem, uns vornehmlich interessierenden und sp¨ater genauer zu definierenden G¨ ultigkeitsbereich des Ein-Teilchenkonzeptes, k¨onnen wir daher f¨ ur positive L¨ osungen die positiv definite Ladungsdichte auch als eine Wahrscheinlichkeitsdichte auffassen:  |ϕ||χ| † † d3 xρ(x) = +1 . ρ = ψ τ3 ψ ≈ ψ ψ , Hieraus folgt desweiteren, daß der wahrscheinlichste Quantenzustand eines Spin-0-(Anti-)Teilchens bzgl. einer Observablen O durch den aus der nichtrelativistischen Theorie gewohnten Erwartungswert beschrieben werden kann. F¨ ur Teilchen der Ladung +e hat man  ⎫ " (+)   (+) # ψ  O ψ = d3 xψ (+)† (x)Oψ (+) (x) ⎬ (1.39) " (+)  (+) # ⎭ ψ ψ = +1 . Im Falle von Antiteilchen der Ladung −e folgt aufgrund der Ladungskonjugation C und von Satz 1.5     , ,  (−) (−)  (−)† (−) (−)  (−) = d3 xψC (x)OψC (x) , ψC  ψC = +1 ψC  O ψC  = d3 xψ (−)† (−x)Oψ (−) (−x)  = − d3 xψ (−)† (x)Oψ (−) (x)    - , ,    (1.40) = − ψ (−)  O ψ (−) , ψ (−)  ψ (−) = −1 .

34

1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

Hierbei reflektiert die dritte Beziehung die Tatsache, daß sich bei Umkehrung aller Raum- und Zeitrichtungen (P CT -Transformation) die Eigenwerte von Wellenfunktionen und somit auch deren Erwartungswerte umdrehen. Wir k¨onnen nun (1.39) und (1.40) in bequemer Weise zusammenfassen und erhalten schließlich den verallgemeinerten Erwartungswert   ψ| O |ψ
V = d3 xψ(x)τ3 Oψ(x) , (1.41)  " # ur Teilchen wobei positive L¨ osungen ψ (+) mit ψ (+)  ψ (+) V = Q(+) = +1 f¨  # " der Ladung +e und negative L¨ osungen ψ (−) mit ψ (−)  ψ (−) V = Q(−) = −1 f¨ ur Antiteilchen der Ladung −e einzusetzen sind. Dieses Resultat erkl¨ art und verallgemeinert offensichtlich den dritten Punkt aus Satz 1.4, daß sich n¨ amlich die Quantenzust¨ande von Antiteilchen durch negative Klein-Gordon-L¨ osungen selbst und nicht allein durch deren Ladungskonjugierte bestimmen lassen. Insofern gelangen wir auf diese Weise zu einer w¨ unschenswerten Symmetrie in der Beschreibung von Teilchen und Antiteilchen, die uns – unter Vorbehalt – dazu berechtigt, die negativen L¨ osungen ψ (−) selbst als Antiteilchenwellenfunktionen zu betrachten.13 Insgesamt f¨ uhrt (1.41) auf eine neuartige Definition des Skalarproduktes, das sich wie in der Schr¨ odingerschen Theorie an die Form von ρ anlehnt und f¨ ur den Spezialfall freier Teilchen bereits in den S¨atzen 1.2 und 1.3 vorweggenommen wurde (vgl. Aufgabe 2). Definition: Verallgemeinertes Skalarprodukt Das verallgemeinerte Skalarprodukt (V-Skalarprodukt) der Klein-GordonTheorie ist definiert durch   ψ| φ
V = d3 xψ † (x)τ3 φ(x) . Zwei Zust¨ ande ψ und φ heißen verallgemeinert-orthogonal (V-orthogonal), falls gilt:  ψ| φ
V = 0. Der Ausdruck  O
V =  ψ| O |ψ
V = d3 xψ (±)† (x)τ3 Oψ(x) , Q =  ψ| ψ
V = ±1 ist der verallgemeinerte Erwartungswert (V-Erwartungswert) der Observablen O und gibt den statistischen Mittelwert vieler gleichartiger Messungen 13

Allerdings folgt hieraus eine andere Asymmetrie. W¨ ahrend n¨ amlich bei positiven Eigenl¨ osungen eines Operators der Eigenwert mit dem Erwartungswert u ¨ bereinstimmt, sind diese Gr¨ oßen bei negativen Eigenl¨ osungen genau entgegengesetzt. Bei Verwendung von (1.41) l¨ aßt sich deshalb der in Satz 1.1 zitierte dritte Grundsatz nicht aufrechterhalten. Man kann diesen Schwachpunkt dadurch umgehen, daß man weiterhin am nichtrelativistischen Erwartungswert sowohl f¨ ur positive als auch f¨ ur negative L¨ osungen festh¨ alt aber daf¨ ur physikalische Observable in geeigneter Weise umdefiniert. Wir werden auf diese M¨ oglichkeit im weiteren Verlauf nicht weiter eingehen.



1.3 Ein-Teilcheninterpretation der Klein-Gordon-Theorie

35

von O an identischen Spin-0-[Anti-]Teilchensystemen der Ladung +e [−e] wieder. F¨ ur Teilchen sind positive Klein-Gordon-L¨osungen ψ (+) mit (+) = +1 und f¨ ur Antiteilchen negative L¨osungen ψ (−) mit Q(−) = −1 Q einzusetzen. Wie sich leicht zeigen l¨ aßt, besitzt  ψ| φ
V mit Ausnahme der positiven Definitheit dieselben Eigenschaften wie  ψ| φ
, also •  ψ| φ + χ
V =  ψ| φ
V +  ψ| χ
V •  ψ| aφ
V = a  ψ| φ
V ∗

•  ψ| φ
V =  φ| ψ
V . Durch R¨ uckf¨ uhrung von  ψ| O |φ
V auf  ψ| O |φ
ergibt sich die zu (1.21) korrespondierende Adjunktionsbeziehung " #∗ " #∗  ψ| O |φ
V =  ψ| τ3 O |φ
= φ| O† τ3 |ψ = φ| τ3 O† τ3 |ψ V . Hieraus folgt sofort, daß ein Operator O mit der Eigenschaft O = τ3 O† τ3 reelle V-Erwartungswerte besitzt. In Aufgabe 4 wird gezeigt, daß ein solcher Operator weiterhin folgende Eigenschaften besitzt: • Die Eigenwerte zu geladenen Eigenzust¨ anden ψ (mit  ψ| ψ
V = 0) sind reell. • Geladene Eigenzust¨ ande zu verschiedenen Eigenwerten sind V-orthogonal. In Anlehnung an die in der nichtrelativistischen Theorie bedeutsamen hermiteschen Operatoren bietet sich daher folgende Definition an: Definition: Verallgemeinert-hermitescher Operator Ein linearer Operator O heißt verallgemeinert-hermitesch (V-hermitesch), wenn gilt O = τ3 O† τ3 ⇐⇒ τ3 O = (τ3 O)† , d.h. also wenn τ3 O ein hermitescher Operator ist. Ein solcher Operator besitzt reelle V-Erwartungswerte. Hinsichtlich der Ein-Teilcheninterpretation kommen als physikalisch sinnvolle kinematische Gr¨ oßen nur solche V-hermiteschen Operatoren in Frage, deren Eigenzust¨ ande ein vollst¨ andiges System bilden, d.h. nach denen jeder Klein-Gordon-Zustand mit endlicher V-Norm entwickelt werden kann (Ein-Teilchenoperatoren). Offensichtlich folgt hieraus ganz allgemein (und nicht nur f¨ ur den freien Fall), daß geladene Eigenzust¨ ande von H und p V-orthogonal sind, weil H und p V-hermitesche Operatoren sind.

36

1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

Neben den V-hermiteschen Operatoren f¨ uhrt das V-Skalarprodukt noch auf eine andere wichtige Klasse von Operatoren, n¨amlich den Transformationsoperatoren, unter denen das V-Skalarprodukt invariant ist. Hierzu betrachten wir den Operator U sowie die Transformationen ψ  = U ψ , φ = U φ und fordern: " # " # !  ψ  | φ
V =  ψ  | τ3 |φ
= ψ| U † τ3 U |φ = ψ| τ3 U † τ3 U |φ V =  ψ| φ
V . Wir definieren deshalb: Definition: Verallgemeinert-unit¨ arer Operator Ein linearer Transformationsoperator U heißt verallgemeinert-unit¨ar (Vunit¨ar), wenn gilt: τ3 U † τ3 = U −1 . Ein solcher Operator l¨ aßt das V-Skalarprodukt invariant. Außer der Invarianz des V-Skalarproduktes besitzen V-unit¨are Operatoren die folgenden, zu unit¨ aren Operatoren analogen Eigenschaften (siehe Aufgabe 4): • Das Produkt zweier V-unit¨ arer Operatoren ist ebenfalls ein V-unit¨arer Operator. • Beschreibt U die infinitesimale V-unit¨ are Transformation U = 1 + i O, mit | |  1, dann ist O V-hermitesch. ar. • Ist O V-hermitesch, so ist eiO V-unit¨ Aufgrund der letzten Eigenschaft folgt insbesondere, daß eiH ein V-unit¨arer Operator ist, weil H V-hermitesch ist. Durch die Einf¨ uhrung des V-Skalarproduktes ist somit gleichzeitig auch seine Bildunabh¨angigkeit gew¨ahrleistet; man kann wie gewohnt durch Anwendung von eiH (genauer: eiHt/¯h ) zwischen verschiedenen Bildern (Schr¨ odinger-Bild, Heisenberg-Bild etc.) w¨ahlen, die alle ¨ aquivalente Beschreibungen der Klein-Gordon-Theorie hinsichtlich der diskutierten Verallgemeinerungen liefern. 1.3.2 Ein-Teilchenoperatoren und Feshbach-Villars-Darstellung Nachdem wir das Problem [3] durch die Definition des V-Skalarproduktes gel¨ ost haben, wollen wir uns jetzt der verallgemeinerten Fassung des Ehrenfestschen Theorems zuwenden und in diesem Zusammenhang insbesondere die Frage er¨ ortern, welche V-hermiteschen Operatoren physikalisch sinnvolle Ein-Teilchenoperatoren im Sinne der Definition auf Seite 35 darstellen bzw. wie diese zu konstruieren sind (Punkt [2]).

1.3 Ein-Teilcheninterpretation der Klein-Gordon-Theorie

37

Verallgemeinertes Ehrenfestsches Theorem. Ausgangspunkt unserer Betrachtungen ist die aus der nichtrelativistischen Quantenmechanik bekannte und nat¨ urlich auch im relativistischen Fall g¨ ultige Heisenberg-Gleichung ∂OH dOH = [OH , HH ] + i¯ , h dt ∂t welche die zur Hamiltonschen Klein-Gordon-Gleichung korrespondierende Operatorgleichung im Heisenberg-Bild beschreibt. Die Zust¨ande und Operatoren im Schr¨ odinger-Bild (ohne Index) und Heisenberg-Bild (mit Index H) sind hierbei verkn¨ upft u ¨ber die darstellungsunabh¨angigen Beziehungen i¯ h

| ψH
= e−i¯hH(t−t0 ) | ψ(t)
= | ψ(t0 )
, OH = e−i¯hH(t−t0 ) Oei¯hH(t−t0 ) . Durch Linksmultiplikation der Heisenberg-Gleichung mit τ3 folgt unter Ber¨ ucksichtigung von d | ψH
/dt = 0 die (bild- und darstellungsunabh¨angige) Heisenberg-Gleichung der V-Erwartungswerte . / d O
V ∂O 1 = [O, H]
V + dt i¯ h ∂t V sowie – f¨ ur explizit zeitunabh¨ angige Operatoren (∂O/∂t = 0) – das verallgemeinerte Ehrenfestsche Theorem d O
V 1 = [O, H]
V , (1.42) dt i¯ h die beide in der nichtrelativistischen Theorie ohne den Index V ebenfalls ¨ gelten. Dort beinhaltet das Ehrenfestsche Theorem auch die formale Ubereinstimmung mit den Hamiltonschen Gleichungen der klassischen Mechanik, wobei die in den klassischen Gleichungen auftretenden Gr¨oßen durch ihre Mittelwerte zu ersetzen sind. Beispiele hierf¨ ur sind mit H = p2 /2m0 + V (x) d p
1 dp ∂H = [p, H]
= − ∇V
←→ =− = −∇V dt i¯ h dt ∂x . / p d x
1 ∂H p dx = [x, H]
= = = . ←→ dt i¯ h m0 dt ∂p m0 Dieses Korrespondenzprinzip gilt in der relativistischen Klein-Gordon-Theorie i.a. nicht mehr, denn f¨ ur den freien Fall ergibt sich z.B. die Operatorgleichung . / , d x
V 1 (τ3 + iτ2 )p (0) = [x, H ] = , H (0) aus (1.16) , dt i¯ h m0 V V w¨ ahrend die klassische Beziehung durch $ dx p cp , m = m0 / 1 − v 2 /c2 = = dt m p0

(1.43)

gegeben ist. Wie man sieht, stimmen die rechten Seiten dieser beiden Gleichungen nicht u ¨ berein. Ein weiterer wichtiger Unterschied zur nichtrelativistischen Theorie besteht darin, daß der Geschwindigkeitsoperator“ ”

38

1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

(τ3 + iτ2 )p (1.44) m0 zwar V-hermitesch aber keine Observable bzw. kein Ein-Teilchenoperator im Sinne der Definition auf Seite 35 ist, weil die Eigenwerte der Matrix τ3 + iτ2 Null sind. Hinzu kommt, daß v aufgrund von [v, H (0) ] = 0 f¨ ur freie Teilchen nicht konstant ist, entgegen unserer Erwartung. Dies alles f¨ uhrt offensichtlich zu dem Schluß, daß in der Klein-Gordon-Theorie nicht alle, auf vern¨ unftigem Wege (via verallgemeinertem Ehrenfestschen Theorem) konstruierten Operatoren physikalisch sinnvoll sind. Die Ursache dieses Ph¨ anomens liegt am Festhalten des Ein-Teilchenkonzeptes bzw. daran, daß nach der Definition von Ein-Teilchenoperatoren nur gerade Operatoren zugelassen werden, die positive und negative Zust¨ande nicht mischen, weil allenfalls diese ein vollst¨ andiges Basissystem besitzen.14 Da man jeden Operator O in der Weise v=

O = [O] + {O} , [O] = gerade , {O} = ungerade in einen geraden und ungeraden Operator aufteilen kann, l¨aßt sich von ihm der gerade Anteil, also der gesuchte Ein-Teilchenoperator, abspalten. Offenbar sind der freie Hamilton-Operator H (0) und der Impulsoperator p Ein-Teilchenoperatoren, weil sie die positiven und negativen Zust¨ande (1.18) als (gemeinsame) Eigenbasis besitzen. Dagegen ist der Ortsoperator x kein gerader Operator, weil [x, H (0) ] nicht gerade ist. Der volle Hamilton-Operator H aus (1.17) ist, wie im n¨ achsten Abschnitt diskutiert wird, ebenfalls kein gerader Operator. Feshbach-Villars-Darstellung. Die allgemeine Untersuchung gerader und ungerader Operatoren vereinfacht sich betr¨ achtlich in einer speziellen Darstellung (in einem speziellen Basissystem), in welchem die positiven und negativen Zust¨ ande von der Form   1 0 (+) (−) , ψ ∼ ∼ ψ 0 1 sind. Hierin ist n¨ amlich der gerade Operator [O] eines Operators O dessen diagonaler Anteil, also    O11 O12 O11 0 0 O12 O= . , [O] = , {O} = 0 O22 O21 O22 O21 0 ¨ Der Ubergang zu einer solchen Darstellung ist gleichbedeutend mit der Diagonalisierung des Hamilton-Operators und ist im allgemeinen Fall nur n¨aherungsweise m¨ oglich (siehe n¨ achster Abschnitt). Im freien Fall l¨aßt sich die Diagonalisierung jedoch exakt durchf¨ uhren und f¨ uhrt auf die sog. FeshbachVillars-Darstellung (FV-Darstellung). Man gelangt von der Schr¨odingerschen 14

Ein Operator O heißt gerade, falls Oψ (±) = ψ (±) , wobei ψ (±) und ψ (±) beliebige positive (+) bzw. negative (−) Zust¨ ande bezeichnen. Gilt dagegen Oψ (±) = ψ (∓) so wird O ungerade genannt.

1.3 Ein-Teilcheninterpretation der Klein-Gordon-Theorie

39

Impulsdarstellung (in der p und p0 C-Zahlen sind) zur zugeh¨origen FeshbachVillars-Darstellung, gekennzeichnet mit dem Symbol ∼“, mit Hilfe des V” unit¨ aren Transformationsoperators U=

(m0 c + p0 ) + τ1 (m0 c − p0 ) (m0 c + p0 ) − τ1 (m0 c − p0 ) , U −1 = , √ √ 2 m0 cp0 2 m0 cp0

denn es gilt Ψ˜ (1) = U Ψ (1) (p) =



 1 0 , Ψ˜ (2) = U Ψ (2) (p) = 0 1

und (siehe Aufgabe 5) ˜ (0) = U H (0) U −1 = cp0 τ3 , H ˜ (0) Ψ˜ (1,2) = ±cp0 Ψ˜ (1,2) H

(1.45)

sowie ˜ = U pU −1 = U U −1 p = p . p Anhand der letzten Beziehungen erkennt man noch einmal explizit, daß es sich bei H (0) und p um gerade Operatoren handelt, also H (0) = [H (0) ], ˜ (0) – im Gegensatz zu H (0) – hermitesch. p = [p]. Dar¨ uber hinaus ist H Ein-Teilchenoperatoren f¨ ur Ort und Geschwindigkeit. Mit Hilfe der Feshbach-Villars-Darstellung bzw. des Transformationsoperators U k¨onnen wir nun z.B. den geraden Anteil des Ortsoperators x, also den Ein-Teilchenortsoperator, sowie aus dem Operator (1.44) den Ein-Teilchengeschwindigkeitsoperator im freien Fall bestimmen. Hierzu ist es n¨ utzlich, zun¨achst zwischen folgenden Darstellungen (im Schr¨ odinger-Bild) explizit zu unterscheiden: • Ortsdarstellung: Dies ist die Darstellung, in welcher der Ortsoperator x h∇ und der Hamiltondurch die C-Zahl x, der Impulsoperator p durch −i¯ Operator H (0) durch (1.16) gegeben sind. In dieser Darstellung haben wir bisher die meiste Zeit gerechnet. • Impulsdarstellung: Hierin sind x durch i¯ h∇p und p durch die C-Zahl p gegeben. • FV-Impulsdarstellung: Sie ergibt sich durch Diagonalisierung von H (0) der Impulsdarstellung, so wie in (1.45) geschehen.15 Wir betrachten nun den Ortsoperator in der Impulsdarstellung, x = i¯ h∇ p . Dieser rechnet sich in der FV-Impulsdarstellung um zu (siehe Aufgabe 5) 15

Wir haben es hier mit zwei verschiedenen Kategorien von Darstellungen zu tun, die miteinander kombiniert werden. In der einen Kategorie sind x oder p diagonal (Orts- bzw. Impulsdarstellung). In der anderen Kategorie ist H (0) diagonal und resultiert im wesentlichen aus einer Drehung im τ -Raum (Feshbach-VillarsDarstellung).

40

1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

˜ = i¯ x hU ∇p U −1 = i¯ h∇p − i¯ h

τ1 p . 2p20

(1.46)

ur den Ein-TeilchenortsDa τ1 nichtdiagonal ist, folgt in dieser Darstellung f¨ operator [˜ x] = i¯ h∇ p .

(1.47)

Er ist der zum Impulsoperator kanonisch konjugierte Operator, denn es gilt die aus der nichtrelativistischen Theorie bekannte Beziehung
 ∂ [[˜ x]i , [˜ p]j ] = i¯ h , pj = i¯ hδij . ∂pi Durch Umkehrung der Transformation U erh¨alt man aus (1.47) den EinTeilchenortsoperator in der Impulsdarstellung (siehe Aufgabe 5), τ1 p [x] = i¯ hU −1 ∇p U = i¯ h∇p + i¯ h 2 , p = C-Zahl , (1.48) 2p0 und hieraus schließlich den Ein-Teilchenortsoperator in der Ortsdarstellung, τ1 p h∇ . [x] = x + i¯ h 2 , p = −i¯ 2p0 Zur Bestimmung des Ein-Teilchengeschwindigkeitsoperators [˜ v ] in der FVImpulsdarstellung benutzen wir das verallgemeinerte Ehrenfestsche Theorem ˜ (0) = cp0 τ3 , und finden ˜ (0) ] = H (1.42), mit [˜ x] aus (1.47) und [H    d
[˜ x]V 1  cp (0) ˜ = [˜ x], H = τ3
[˜ v ]V = dt i¯ h p0 V V =⇒ [˜ v] =

cpτ3 , p = C-Zahl . p0

F¨ ur positive Zust¨ ande gilt also in der FV-Impulsdarstellung dieselbe Beziehung zwischen Ein-Teilchengeschwindigkeit und Impuls wie in der klassischen Relativit¨ atsmechanik (1.43). F¨ ur negative Zust¨ande gilt dies nur dem Betrage nach. Aus der letzten Gleichung errechnet sich der Ein-Teilchengeschwindigkeitsoperator in der Impulsdarstellung zu (siehe Aufgabe 5) [v] = U −1

cpτ3 (τ3 + iτ2 )p (τ3 − iτ2 )m0 c2 p U= + , p = C-Zahl . (1.49) p0 2m0 2p20

In der Ortsdarstellung ergibt sich hieraus schließlich der Operator [v] =

(τ3 + iτ2 )p (τ3 − iτ2 )m0 c2 p + , p = −i¯ h∇ . 2m0 2p20

Er besitzt zusammen mit H (0) und p eine gemeinsame Eigenbasis, n¨amlich (r) gerade die positiven und negativen Klein-Gordon-L¨osungen ψp aus (1.18) mit den Energieeigenwerten r cp0 , den Impulseigenwerten r p und dem EinTeilchengeschwindigkeitseigenwert cp/p0 .

1.3 Ein-Teilcheninterpretation der Klein-Gordon-Theorie

41

Satz 1.6: Ein-Teilchenoperatoren und FV-Darstellung in der Klein-Gordon-Theorie Im Sinne der Ein-Teilcheninterpretation der Klein-Gordon-Theorie sind zur Beschreibung physikalischer Gr¨ oßen nur gerade V-hermitesche Operatoren sinnvoll, die positive und negative Zust¨ ande nicht mischen (vgl. Definition auf Seite 35). Im freien Fall l¨ aßt sich der zugeh¨orige Hamilton-Operator aren Feshbach-Villars-Transformation H (0) durch Anwendung der V-unit¨ U=

(m0 c + p0 ) − τ1 (m0 c − p0 ) √ 2 m0 cp0

diagonalisieren und f¨ uhrt auf die Feshbach-Villars-Darstellung. In ihr l¨aßt sich der gerade Anteil eines Operators besonders leicht bestimmen, weil er dort durch seinen diagonalen Anteil gegeben ist. Im Gegensatz zu H (0) und p sind der Ortsoperator x und der Geschwindigkeitsoperator v keine geraden Operatoren. Durch Transformation in die Feshbach-Villars-Darstellung, Separation der diagonalen Anteile und anschließender R¨ ucktransformation erh¨alt man f¨ ur den EinTeilchenortsoperator [x] und den Ein-Teilchengeschwindigkeitsoperator [v] in der u ¨ blichen Orts- bzw. Impulsdarstellung [x] = x + i¯ h

(τ3 + iτ2 )p (τ3 − iτ2 )m0 c2 p τ1 p , [v] = + . 2p20 2m0 2p20

In diesem Zusammenhang ist folgendes zu beachten: Obwohl der Operator [v] hinsichtlich der Ein-Teilcheninterpretation akzeptabel erscheint, ist mit ihm dennoch ein Problem verbunden, denn es gilt in der Ortsdarstellung cp [p]ψp(1,2) (x) = ±pψp(1,2) (x) , [v]ψp(1,2) (x) = + ψp(1,2) (x) . p0 (2)

Das heißt f¨ ur negative L¨ osungen ψp ist der Eigenwert (bzw. V-Erwartungswert) von [v] dem Eigenwert (bzw. V-Erwartungswert) von [p] entgegengerichtet. Der Grund f¨ ur dieses offensichtlich unphysikalische Verhalten h¨angt damit zusammen, daß sich nach Satz 1.5 die negativen L¨osungen r¨ uckw¨arts in der Zeit ausbreiten. Verschmierung der Ortswellenfunktion. Wir kommen nun noch auf eine wichtige Konsequenz zu sprechen, die sich aus der Verschiedenheit des gew¨ ohnlichen Ortsoperators x und des Ein-Teilchenortsoperators [x] bzw. aus der Nichtvertauschbarkeit von x und der Feshbach-Villars-Transformation U ergibt. Die gemeinsamen Eigenzust¨ ande des Ladungsoperators τ3 und des EinTeilchenortsoperators [˜ x] sind in der FV-Impulsdarstellung gegeben durch  
1 1 1 0 (1) −ipx
˜(2) , φ (p) = φ˜x
(p) = e e−ipx ,
x 3/2 3/2 0 1 (2π¯ h) (2π¯h) mit

42

1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen (r) (r) (r) (r) (r) [˜ x]φ˜x
(p) = i¯ h∇p φ˜x
(p) = x φ˜x
(p) , τ3 φ˜x
(p) = r φ˜x
(p) .

Hieraus folgt f¨ ur die entsprechenden Eigenzust¨ande des Ein-Teilchenortsoperators [x] in der Impulsdarstellung 
1 1 m0 c + r p 0 (r) −1 ˜(r) φx
(p) = U φx
(p) = e−ipx /¯h . √ (2π¯ h)3/2 2 m0 cp0 m0 c − r p0 Wie aus der nichtrelativistischen Quantenmechanik bekannt ist, vollzieht sich ¨ der Ubergang von der Impuls- zur Ortsdarstellung verm¨oge  1 (r) (r) ψx
(x) = d3 peipx/¯h φx
(p) . (2π¯ h)3/2 Nach einer l¨ anglichen Rechnung, die wir hier nicht vorf¨ uhren wollen, erh¨alt man hierf¨ ur schließlich  −7/4  −7/4 + z −9/4 − z −9/4 z z z1 z1 (1) (2) −z e , ψx
(x) ∼ e−z , ψx
(x) ∼ z −7/4 − z −9/4 z −7/4 + z −9/4 mit z = m0 c|x−x |/¯ h. Die Eigenfunktionen des Ein-Teilchenortsoperators [x] in der Ortsdarstellung sind also keine δ(x − x )-Funktionen, sondern eine Art verschmierte δ-Funktion. Die Verschmierung erfolgt dabei u ¨ ber ein Gebiet der Ordnung z ∼ 1 =⇒ |x − x | ∼

h ¯ . m0 c

¨ Aufgrund dieser Uberlegungen l¨ aßt sich feststellen: Die Feshbach-VillarsTransformation U ist wegen [x, U ] = 0 eine nichtlokale Transformation. ˜ Die transformierte Wellenfunktion ψ(x) geht aus der urspr¨ unglichen Wellenfunktion ψ(x) durch Mittelung des Ortsargumentes x u ¨ ber einen Bereich hervor, dessen lineare Ausdehnung gleich der Compton-Wellenl¨ange des Teilchens ist. Wie in der Einleitung zu diesem Kapitel bereits festgestellt wurde, sind nur solche Klein-Gordonschen Wellenpakete im Sinne der EinTeilcheninterpretation physikalisch sinnvoll, deren Ausdehnung groß ist im Vergleich zur zugeh¨ origen Compton-Wellenl¨ ange, so daß die Mittelungseffekte bei den nichtlokalen Darstellungswechseln im wesentlichen vernachl¨assigt werden k¨ onnen. 1.3.3 G¨ ultigkeitsbereich des Ein-Teilchenkonzeptes In den vorangegangenen Unterabschnitten haben wir mit Hilfe der Hamiltonschen Form der Klein-Gordon-Gleichung und insbesondere durch Einf¨ uhrung des V-Skalarproduktes einen Formalismus entwickelt, der sich in vielerlei Hinsicht an die nichtrelativistische Quantentheorie anlehnt. In ihm lassen sich die positiven und (ladungskonjugierten) negativen Klein-Gordon-L¨osungen als zwei verschiedene Ein-Teilchensysteme mit entgegengesetztem Ladungsvorzeichen und positivem V-Energieerwartungswert interpretieren. Um dieses

1.3 Ein-Teilcheninterpretation der Klein-Gordon-Theorie

43

Ein-Teilchenkonzept zu vervollst¨ andigen, m¨ ussen wir nun noch die Voraussetzungen seiner physikalischen Konsistenz und somit den einzigen offenen Punkt [1] kl¨ aren. Zun¨ achst ist aufgrund der einleitenden Bemerkungen zu diesem Kapitel klar, daß sich die Ein-Teilcheninterpretation der Klein-Gordon-Theorie allenfalls auf solche physikalische Situationen anwenden l¨aßt, bei denen Teilchenzahl ¨ andernde Prozesse (Teilchenerzeugung und -vernichtung) keine Rolle spielen. Dies ist aus Energiebilanzgr¨ unden nur f¨ ur Teilchenenergien, Teilchenimpulse und elektromagnetische Potentiale mit e    |E − m0 c2 | < m0 c2 , |p|,  Aµ  < m0 c , ∆p  m0 c c der Fall, woraus sich aufgrund der Heisenbergschen Unsch¨arferelation eine notwendige Ortsunsch¨ arfe von h ¯ (1.50) m0 c f¨ ur das Wellenpaket des betrachteten Teilchens ergibt. Wir wollen nun untersuchen, welche zus¨ atzlichen Einschr¨ ankungen sich aus der Forderung der Entkopplung der Klein-Gordon-Theorie in zwei Ein-Teilchentheorien mit jeweils rein positiven bzw. rein negativen L¨ osungen ergeben (Punkt [1]), die ja notwendig ist, weil ∆x  λc =

• sich nur so geladene Teilchen und Antiteilchen sinnvoll beschreiben lassen, • nur so die Ladungsdichte entweder positiv oder negativ definit ist und eine quantenmechanisch-statistische Deutung von V-Erwartungswerten m¨oglich wird. Zu diesem Zweck betrachten wir ein freies Klein-Gordonsches Wellenpaket der Ladung +e, welches zum Zeitpunkt t = 0 in der Weise  1 2 −3/4 −x2 /(2∆2 ) ψ(x, t = 0) = (π∆ ) e , Q =  ψ| ψ
V = +1 0 um den Ursprung verteilt sei, und fragen uns, unter welchen Umst¨anden in ihm die Anwesenheit von negativen Anteilen mit merklicher Amplitude zu erwarten ist. Hierzu zerlegen wir das Wellenpaket in seine FourierKomponenten,16  2 3/4   ∆ d3 p 1 −p
2 ∆2 /(2¯ h2 ) ip
x/¯ h ψ(x, t = 0) = e e , (1.51) 2 3/2 0 (2π¯ h ) π¯ h und vergleichen diesen Ausdruck mit der allgemeinen L¨osung f¨ ur t = 0,  2  (r) a(r) (p )ψp
(x, t = 0) . ψ(x, t = 0) = d3 p r=1 16

Um Mißverst¨ andnisse zu vermeiden, bezeichnen wir den Fourier-Impuls mit p . Der Gruppenimpuls des Wellenpaketes ist p = 0.

44

1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

Dies liefert

2 3/4 ∆ 1 −p
2 ∆2 /(2¯ h2 ) e = a(1) (p
)Ψ (1) (p
) + a(2) (−p
)Ψ (2) (−p
) . 2 0 π¯ h Linksmultiplikation dieser Gleichung mit Ψ (r)† (p
)τ3 ergibt schließlich unter Ausnutzung von (1.19) f¨ ur die Entwicklungskoeffizienten a(r) (p
)
2 3/4 ∆ m0 c + p
0 −p
2 ∆2 /(2¯h2 ) (1)
 a (p ) = e π¯ h2 2 m0 cp
0
2 3/4 ∆ m0 c − p
0 −p
2 ∆2 /(2¯h2 )  a(2) (−p
) = e . π¯ h2 2 m0 cp
0 Wir sehen also, daß die Amplituden a(2) (p
) der negativen L¨osungen ψp
(x) im Wellenpaket ungleich Null sind, worin sich die Tatsache widerspiegelt, daß nur die positiven und negativen L¨ osungen zusammen ein vollst¨andiges System bilden. Das Verh¨ altnis der Amplituden zu positiven und negativen L¨osungen ist  m0 c − p
0 m0 c − m20 c2 + p
2 a(2) (−p
)  = = . m0 c + p
0 a(1) (p
) m0 c + m20 c2 + p
2 (2)

Hieraus folgt, daß die Amplituden der negativen L¨osungen f¨ ur FourierImpulse |p
| ~ m0 c signifikant zum Wellenpaket beitragen. Auf der anderen Seite zeigt die Fourier-Transformation (1.51), daß im Wellenpaket vorwiegend Impulse mit |p
| < ~ ¯h/∆ enthalten sind. Hieraus folgern wir, daß ein Wellenpaket in einem Raumgebiet lokalisiert sein muß, das mit der ComptonWellenl¨ ange des Spin-0-Teilchens vergleichbar ist, also ∆ < ~ ¯h/m0c, damit die negativen L¨ osungen signifikant beitragen. Anders herum formuliert: Die Forderung der vollst¨ andigen Entkopplung der Klein-Gordon-Theorie in zwei EinTeilchentheorien f¨ uhrt wieder auf die Einschr¨ankung (1.50), also auf KleinGordonsche Wellenpakete, deren Ausdehnung groß ist im Vergleich zur zugeh¨ origen Compton-Wellenl¨ ange. Der Deutlichkeit halber fassen wir die Grenzen der Ein-Teilcheninterpretation der Klein-Gordon-Theorie noch einmal wie folgt zusammen:


0 , A = 0 ur z > 0 (Bereich II) V0 f¨ von links kommend gestreut wird (siehe Abb. 1.3). Die zugeh¨orige kanonische Klein-Gordon-Gleichung lautet 2   2 ∂ 2 2 d 2 4 h − m0 c φ(z, t) = 0 i¯ h − V (z) φ(z, t) + c ¯ ∂t dz 2 V (z) V0

E I

II

Abb. 1.3. Eindimensionale Potentialstufe.

z

46

1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

und l¨ aßt sich durch Separation des zeitabh¨ angigen Anteils, φ(z, t) = Φ(z)e−iEt/¯h , in die station¨ are Gleichung 3 d2 Φ(z) 1 2 2 4 m0 c − [E − V (z)]2 Φ(z) (1.52) = 2 2 2 dz c ¯ h u uhren. F¨ ur die allgemeine L¨ osung dieser Gleichung in den Bereichen I ¨berf¨ (z < 0) und II (z > 0) setzen wir ΦI (z) = Φein (z) + Φref (z) , ΦII (z) = Φtrans (z) , mit Φein (z) = Aeik1 z , Φref (z) = Be−ik1 z , Φtrans (z) = Ceik2 z 4 4 E 2 − m20 c4 (E − V0 )2 − m20 c4 k1 = , k = , 2 2 c2 ¯ h c2 ¯ h2 wobei Φein , Φref , Φtrans den einfallenden, reflektierten bzw. transmittierten Anteil bezeichnen. Die Integrationskonstanten A, B und C ergeben sich aus den Stetigkeitsbedingungen von Φ(z) und Φ (z) an der Stelle z = 0 zu17 B=

1−r 2A k2 . A, C= , r= 1+r 1+r k1

Je nach Wahl von V0 bzw. E unterscheiden wir zun¨achst drei F¨alle: 1. Fall: E > V0 + m0 c2 . In diesem Fall ist die Wellenzahl k2 reell, d.h. die transmittierte Welle im Bereich II oszilliert, und wir haben r > 0. F¨ ur die Stromdichten des einfallenden, reflektierten und transmittierten Anteils in z-Richtung erh¨ alt man T =

4r jref (1 − r)2 jtrans = , R = − = =1−T . jein (1 + r)2 jein (1 + r)2

Das heißt f¨ ur jeden Wert r > 0 gilt f¨ ur die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten 0 < R, T < 1 wie man es intuitiv auch erwartet. 2. Fall: V0 − m0 c2 < E < V0 + m0 c2 , E > m0 c2 . Hierbei ist k2 imagin¨ar und die transmittierte Welle exponentiell ged¨ampft.

17

Die Stetigkeit von Φ(z) bei z = 0 folgt aus der Ladungsstromerhaltung. Dar¨ uber hinaus gilt f¨ ur Potentiale V (z) mit einer endlichen Sprungstelle bei z = 0 



+δ

d dz Φ (z) ∼ dz

Φ (+δ) − Φ (−δ) = −δ

+δ

!

δ→0

dz m20 c4 − (E − V (z))2 Φ(z) −→ 0 .

−δ

1.3 Ein-Teilcheninterpretation der Klein-Gordon-Theorie

47

3. Fall: m0 c2 < E < V0 − m0 c2 =⇒ V0 > 2m0 c2 . Wie im ersten Fall ist k2 reell, und es ergibt sich im Bereich II wieder eine oszillierende transmittierte Welle. Offensichtlich verhalten sich die Klein-Gordon-L¨osungen in den ersten beiden F¨ allen ¨ ahnlich wie in der nichtrelativistischen Quantenmechanik und lassen sich als Streuung eines Teilchens der Ladung +e an der (aus dessen Sicht) repulsiven Potentialbarriere interpretieren. Der dritte Fall steht jedoch im krassen Widerspruch zu unserer Erwartung hinsichtlich der Einur ein quanTeilcheninterpretation, nach der die Potentialstufe bei E < V0 f¨ tenmechanisches Teilchen undurchdringbar sein sollte. Ein weiterer Widerspruch – teilweise zweiter und gesamter dritter Fall – manifestiert sich in den unterschiedlichen Vorzeichen der Ladungsdichten der einfallenden und transmittierten Wellen f¨ ur E − V0 < 0, E |Φein (z)|2 > 0 , z 0 . m 0 c2 ρein (z) =

Demnach handelt es sich beim transmittierten Anteil also um eine negative Klein-Gordon-L¨ osung, deren Energie E − V0 relativ zum Potential V0 in der Tat kleiner Null ist (siehe Abb. 1.4). Der Ursprung dieser paradoxen Sachverhalte liegt darin begr¨ undet, daß das Heraufsetzen von V0 auf einen Wert um E einem Herabsetzen der Eindringtiefe im Bereich II auf 1/k2 ≈ ¯ h/m0 c entspricht, also auf die ComptonWellenl¨ ange des einfallenden Teilchens. W¨ ahlt man anstelle der sprunghaft ansteigenden Potentialstufe ein Potential, dessen Anstieg kleiner als m0 c2 pro Compton-Wellenl¨ ange ist, so l¨ aßt sich zeigen, daß die Paradoxien die Tendenz haben, zu verschwinden. Mit anderen Worten: Die geschilderten Widerspr¨ uchlichkeiten werden durch eine zu starke Lokalisierung des Teilchens verursacht (siehe Satz 1.7). Interessant ist, daß sich zumindest f¨ ur den dritten Fall durchaus eine physikalisch sinnvolle (aber allenfalls qualitativ akzeptable) Interpretation in Form der Paarerzeugung finden l¨ aßt, sobald man die Ebene der EinTeilcheninterpretation verl¨ aßt. Hierbei ist zun¨achst zu ber¨ ucksichtigen, daß hk2 und der die negative Wellenfunktion Φtrans mit dem Impulseigenwert +¯ Energie E − V0 < −m0 c2 einem Antiteilchen der Ladung −e entspricht, das mit dem Impuls −¯ hk2 von rechts kommend auf die Potentialstufe zul¨auft. Da wir aber bei der Streuung von einer von links nach rechts gerichteten Einlaufbewegung ausgegangen sind, macht ein von rechts kommendes Antiteilchen offensichtlich keinen Sinn. Nun haben wir jedoch die Freiheit, das Vorzeiahlen. Ersetzen wir also k2 durch −k2 , so entspricht chen von k2 frei zu w¨ h|k2 | auslaufenden Antiteilchen Φtrans einem nach rechts, mit dem Impuls +¯ der Ladung −e. Desweiteren ist dann r < 0 =⇒ R > 1 , T < 0 .

48

1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen E k2 reell, ρ > 0 V0 + m0 c2

ar, ρ > 0 k2 imagin¨

V0

ar, ρ < 0 k2 imagin¨

V0 − m0 c2 k1 reell, ρ > 0

k2 reell, ρ < 0 m0 c2 0 −m0 c2

I

II

Abb. 1.4. Energieintervalle der eindimensionalen Potentialstufe. Im Bereich I liegen die positiven L¨ osungen im Intervall E > m0 c2 und die negativen L¨ osungen im Intervall E < −m0 c2 . Im Bereich II liegen die positiven L¨ osungen (mit Energie E − V0 relativ zum Potential V0 ) im Intervall E > V0 + m0 c2 und die negativen L¨ osungen im Intervall E < V0 − m0 c2 . Dazwischen liegen die L¨ osungen der verbo” tenen“ Energieintervalle.

Diese Beziehungen lassen sich schließlich als Teilchen-Antiteilchen-Erzeugung folgendermaßen deuten: Alle von links einlaufenden Teilchen werden an der Potentialstufe total reflektiert. Dar¨ uber hinaus werden dort TeilchenAntiteilchen-Paare erzeugt, von denen die Teilchen nach links (R > 1) und die Antiteilchen nach rechts (T < 0) wegfliegen. Betrachten wir der Vollst¨ andigkeit halber noch die beiden verbleibenden Energieintervalle: 4. Fall: −m0 c2 < E < m0 c2 . In diesem Fall existiert keine L¨osung unseres Problems, sofern wir an einer von links nach rechts gerichteten Einlaufbewegung festhalten. 5. Fall: E < −m0 c2 . Hier ist k2 reell, und wir haben im Bereich II wieder eine oszillierende Welle. Aufgrund des soeben Gesagten bietet sich innerhalb des Ein-Teilchenbildes die Sichtweise eines von links einlaufenden Antiteilchens der Ladung −e an, welches an der (aus dessen Sicht) attraktiven Potentialbarriere gestreut wird, wenn wir k1 und k2 in der Weise k1 = −|k1 | und ahlen. In diesem Fall drehen die Ladungsstromdichten jein , jref k2 = −|k2 | w¨ und jtrans im Vergleich zum 1. Fall ihre Vorzeichen um, und es gilt wieder r > 0 =⇒ 0 < R, T < 1.

Aufgaben

49

Zusammenfassung • Mit Hilfe des V-Skalarproduktes bzw. des V-Erwartungswertes lassen sich statistische Meßmittelwerte von Spin-0-[Anti-]Teilchensystemen in symmetrischer Weise durch Verwendung positiver [negativer] KleinGordon-L¨ osungen beschreiben. • Das V-Skalarprodukt f¨ uhrt auf die Definition von V-hermiteschen und V-unit¨ aren Operatoren, welche den hermiteschen bzw. unit¨aren Operatoren der nichtrelativistischen Quantenmechanik entsprechen. • Aufgrund der V-Hermitezit¨ at des Klein-Gordonschen HamiltonOperators ist die Bildunabh¨ angigkeit des V-Skalarproduktes gew¨ahrleistet. • Im Sinne der Ein-Teilcheninterpretation kommen h¨ochstens solche Vhermiteschen Operatoren als Observable in Frage, die gerade Operatoren sind, die also positive und negative Klein-Gordon-L¨osungen nicht mischen (Ein-Teilchenoperatoren). Der gerade Anteil eines Operators l¨ aßt sich am einfachsten in einer Darstellung bestimmen, wo der Hamilton-Operator diagonal ist. Im freien Fall ist dies die FeshbachVillars-Darstellung. • Die Feshbach-Villars-Transformation ist eine nichtlokale Transformation. Bei ihr wird das Ortsargument x einer Wellenfunktion ψ(x) u ¨ber einen Bereich gemittelt bzw. verschmiert, dessen Ausdehnung gleich der Compton-Wellenl¨ ange des betrachteten Teilchens ist. • Der G¨ ultigkeitsbereich der Ein-Teilchen-Wahrscheinlichkeitsinterpretation beschr¨ ankt sich einerseits auf kleine Energien, bei denen Teilchenerzeugungsprozesse vernachl¨ assigt werden k¨onnen, und andererseits auf Klein-Gordonsche Wellenpakete, deren Ausdehnung groß ist im Vergleich zur zugeh¨ origen Compton-Wellenl¨ ange. • Das Kleinsche Paradoxon ist ein einfaches Beispiel f¨ ur Interpretationsschwierigkeiten des Ein-Teilchenkonzeptes, die sich aus einer zu starken Lokalisierung von Klein-Gordonschen Wellenpaketen ergeben. Jenseits anomen als Paarerder Ein-Teilcheninterpretation l¨ aßt sich dieses Ph¨ zeugung qualitativ deuten.

Aufgaben 4. Eigenschaften V-hermitescher und V-unit¨ arer Operatoren. Verifizieren sie folgende Eigenschaften V-hermitescher bzw. V-unit¨arer Operatoren:

50

1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

a) Die Eigenwerte eines V-hermiteschen Operators zu geladenen Eigenzust¨anden sind reell. b)Geladene Eigenzust¨ ande zu verschiedenen Eigenwerten eines V-hermiteschen Operators sind V-orthogonal. c) Das Produkt zweier V-unit¨ arer Operatoren ist ebenfalls ein V-unit¨arer Operator. d)Beschreibt U die infinitesimale V-unit¨ are Transformation U = 1 + i O, | |  1, dann ist O V-hermitesch. e) Ist O V-hermitesch, so ist eiO V-unit¨ ar. L¨ osung. Zu a) Sei O ein V-hermitescher Operator und O | ψ
= a | ψ
,  ψ| ψ
V = 0 . Dann folgt ∗

∗

a  ψ| ψ
V =  ψ| O |ψ
V =  ψ| O |ψ
V = a∗  ψ| ψ
V =⇒ a = a∗ . Zu b) Sei mindestens | φ
geladen und O | ψ
= a | ψ
, O | φ
= b | φ
, a = b , b = b∗ . Dann folgt  φ| O |ψ
V = a  φ| ψ
V

(1.53)

und  ψ| O |φ
V = b  ψ| φ
V =⇒  φ| O |ψ
∗V = b  φ| ψ
∗V =⇒  φ| O |ψ
V = b  φ| ψ
V .

(1.54)

Die Differenz von (1.53) und (1.54) f¨ uhrt auf 0 = (a − b)  φ| ψ
V =⇒  φ| ψ
V = 0 . Zu c) Sei τ3 U † τ3 = U −1 , τ3 V † τ3 = V −1 . Dann folgt τ3 [U V ]† τ3 U V = τ3 V † U † τ3 U V = τ3 V † τ3 τ3 U † τ3 U V = V −1 U −1 U V = 1 =⇒ τ3 [U V ]† τ3 = [U V ]−1 . Zu d) Es gilt


 1 = τ3 (1 − i O† )τ3 (1 + i O) = 1 − i τ3 O† τ3 + i O + O 2 =⇒ τ3 O† τ3 = O .

Aufgaben

51

Zu e) Wegen
n τ3 O† τ3 = τ3 O† O† . . . O† τ3 = τ3 O† τ3 τ3 O† τ3 . . . τ3 O† τ3 = On folgt  (−i)n
n  (−i)n
† † τ3 eiO τ3 = τ3 e−iO τ3 = τ3 O† τ3 = On n! n! n n
iO −1 −iO = e = e . 5. Feshbach-Villars-Transformation (I). Zeigen Sie die Beziehungen (1.45), (1.46), (1.48), (1.49). L¨ osung. Zu (1.45) und (1.49). Unter Ber¨ ucksichtigung der Relationen (1 ± τ1 )(τ3 ± iτ2 ) = 0 , (1 ± τ1 )(τ3 ∓ iτ2 ) = 2(τ3 ∓ iτ2 ) und (1 + τ1 )p0 (1 − τ1 )m0 c + 2m0 c 2p0 (τ3 + iτ2 )p20 (τ3 − iτ2 )m0 c2 = + 2m0 2

U2 = H (0)

˜ (0) in der FV-Impuls- bzw. Ortsdarstellung folgt f¨ ur H ˜ (0) = U H (0) U −1 = U 2 H (0) = (τ3 + iτ2 )cp0 + (τ3 − iτ2 )cp0 = cp0 τ3 H 2 2 und f¨ ur den Ein-Teilchengeschwindigkeitsoperator [v] in der Impuls- bzw. Ortsdarstellung [v] = U −1

cpτ3 cpτ3 2 (τ3 + iτ2 )p (τ3 − iτ2 )m0 c2 p U= U = + . p0 p0 2m0 2p20

Auf den letzten Zusammenhang st¨ oßt man nat¨ urlich auch mit Hilfe des verallgemeinerten Ehrenfestschen Theorems   τ1 p (0) [v] = ∇p + 2 , H , 2p0 wobei der links im Kommutator stehende Ausdruck der Ein-Teilchenortsoperator in der Impulsdarstellung ist. Zu (1.46) und (1.48). Es gilt f¨ ur den Ortsoperator in der FV-Impulsdarstellung 
˜ = i¯ h∇p + i¯ hU ∇p U −1 x hU ∇p U −1 = i¯ und f¨ ur den Ein-Teilchenortsoperator in der Impulsdarstellung [x] = i¯ hU −1 ∇p U = i¯ h∇p + i¯ hU −1 (∇p U ) .

52

1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

Desweiteren ist

 p p p2 + m20 c2 = $ = 2 2 2 p0 p + m0 c p0 √ 1 1 pp0 ∇p p0 = √ ∇p √ = √ ∇ p p0 = $ 2 m0 cp0 2 m0 c 4 m0 cp0 4 m0 cp50 m0 c m0 c m0 cp m0 c 1 ∇p √ = − $ ∇p √ = √ ∇ p p0 = − $ . 3 2 m0 cp0 2 m0 c p0 4 m0 cp0 4 m0 cp50 ∇ p p0 = ∇ p

Hieraus folgt 
(p0 − m0 c) − τ1 (p0 + m0 c) $ p ∇p U −1 = 4 m0 cp50 (p0 − m0 c) + τ1 (p0 + m0 c) $ (∇p U ) = p 4 m0 cp50 und deshalb 
τ1 p τ1 p U ∇p U −1 = − 2 , U −1 (∇p U ) = + 2 . 2p0 2p0 6. Konstruktion von Ein-Teilchenoperatoren mittels Vorzeichenoperator (I). Konstruieren Sie die zu x und v geh¨orenden Ein-Teilchenoperatoren [x] und [v] durch Verwendung des V-hermiteschen Vorzeichenoperators (0)

H Λ= √ H (0)2

p2 (τ3 + iτ2 ) + m0 c2 τ3 2m0 = . cp0 (1,2)

L¨ osung. Der Operator Λ besitzt offensichtlich die Eigenfunktionen ψp (x) mit den Eigenwerten (Energievorzeichen) ±1. Diese Eigenschaft k¨onnen wir zur Bildung von Ein-Teilchenoperatoren in folgender Weise nutzen: Bezeichnen [O] und {O} die geraden bzw. ungeraden Anteile des Operators O = [O] + {O} , dann gilt f¨ ur beliebige, aus rein positiven bzw. negativen freien Klein-Gordon(1,2) L¨ osungen ψp (x) gebildete Wellenpakete ψ (±) (x) Oψ (+) = [O]ψ (+) + {O}ψ (+) Oψ (−) = [O]ψ (−) + {O}ψ (−) ΛOΛψ (+) = ΛOψ (+) = [O]ψ (+) − {O}ψ (+) ΛOΛψ (−) = −ΛOψ (−) = [O]ψ (−) − {O}ψ (−) . Hieraus folgt durch Addition der ersten und dritten bzw. Subtraktion der zweiten und vierten Beziehung [O] =

1 1 (O + ΛOΛ) , {O} = (O − ΛOΛ) . 2 2

Aufgaben

53

Handelt es sich bei O um einen V-hermiteschen Operator, so sind [O], {O} und ΛOΛ nat¨ urlich ebenfalls V-hermitesch: (τ3 ΛOΛ)† = Λ† O† Λ† τ3 = Λ† O† (τ3 Λ)† = Λ† O† τ3 Λ = Λ† (τ3 O)† Λ = Λ† τ3 OΛ = (τ3 Λ)† OΛ = τ3 ΛOΛ . Zur Bestimmung des Ein-Teilchenortsoperators wechseln wir in die Impulsdarstellung (x = i¯ h∇p , p = C-Zahl) und rechnen (∇p Λ) =

p(τ3 + iτ2 ) pH (0) pτ3 (τ3 + iτ2 ) p τ1 p − , Λ(∇p Λ) = − 2 = 2 3 2 m0 cp0 cp0 p0 p0 p0

=⇒ ΛxΛ = i¯ h∇p + i¯ hΛ(∇p Λ) = i¯ h∇ p +

i¯ hτ1 p . p20

Hieraus ergibt sich schließlich in der Impuls- bzw. Ortsdarstellung [x] =

i¯ hτ1 p 1 (x + ΛxΛ) = x + , 2 2p20

¨ in Ubereinstimmung mit Satz 1.6. Eine ¨ ahnliche Rechnung liefert f¨ ur den Ein-Teilchengeschwindigkeitsoperator vΛ =

p(τ3 + iτ2 )τ3 (τ3 − iτ2 )m0 c2 p , ΛvΛ = 2 p0 p20

=⇒ [v] =

(τ3 + iτ2 )p (τ3 − iτ2 )m0 c2 p 1 (v + ΛvΛ) = + , 2 2m0 2p20

¨ wiederum in Ubereinstimmung mit Satz 1.6. 7. Zitterbewegung (I). Zeigen Sie, daß der mittlere Strom j eines beliebigen freien Klein-Gordonschen Wellenpaketes genau dann eine zeitlich oszillierende Bewegung enth¨ alt, wenn es sowohl positive als auch negative Komponenten besitzt. Interpretieren Sie diesen Sachverhalt. L¨ osung. Zur Berechnung des mittleren Stromes w¨ahlen wir die kanonische Formulierung, setzen das Wellenpaket in der Form
(+) (−) (±) (x) φ(x) = φ (x) + φ (x) , φ (x) = d3 pa(1,2) (p)φ(1,2) p rechnen unter Ausnutzung der Adjunktionsbeziehung  φ| A |ψ  = an und ∗ ψ| A† |φ wie folgt: 1 [ φ| p |φ  −  φ∗ | p |φ∗ ] 2m0 1  ∗ =  φ| p |φ  +  φ| p |φ  2m0 1  φ| p |φ  = m0

j =

54

1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

  1 , (+)   φ + φ(−)  p φ(+) + φ(−) m0 1 , (+)   (+) - , (−)   (−) φ  p φ + φ  p φ = m0     , - , -     + φ(+)  p φ(−) + φ(−)  p φ(+) 1 , (+)   (+) - , (−)   (−) - φ  p φ + φ  p φ = m0   - , 2   + Re φ(+)  p φ(−) m   0 2 2  cp    3 cp  (1) − d3 p |a(2) (p) = d p a (p) p0 p0 5 67 8 5 67 8 (+) (−) j
j
 0 cp +2Re d3 p e2ip0 x /¯h a(1)∗ (p)a(2) (−p) . p0

=

Wie man sieht, treten im mittleren Strom des allgemeinen Wellenpaketes – neben den zeitunabh¨ angigen mittleren Str¨ omen der positiven und negativen Anteile – gemischte Terme auf, die zeitlich sehr schnell oszillieren. Die Frequenz dieser sog. Zitterbewegung ist von der Gr¨oßenordnung 2m0 c2 /¯h. M¨ochte man dieses Ph¨ anomen im erzwungenen Ein-Teilchenbild deuten, so folgt offenbar, daß das durch φ beschriebene Teilchen“ eine periodische Os” zillationsbewegung um seine mittlere (klassische) Trajektorie ausf¨ uhrt. Dieses Beispiel zeigt noch einmal deutlich, daß die Beschreibung neutraler Spin-0Teilchen durch reelle Klein-Gordonsche Wellenpakete φ(0) (x) = φ(+) (x) + φ(−) (x) , φ(−)∗ = φ(+) hinsichtlich der Ein-Teilcheninterpretation problematisch ist, weil sie unweigerlich eine Zitterbewegung zur Folge hat.

1.4 Nichtrelativistische N¨ aherung der Klein-Gordon-Theorie Eine notwendige Voraussetzung f¨ ur die Korrektheit der Klein-Gordon-Theorie ist, daß sie im nichtrelativistischen Grenzfall in die entsprechenden Gesetze der nichtrelativistischen Quantenmechanik u ¨ bergeht. Mit dieser Grenzwertbildung besch¨ aftigt sich dieser Abschnitt. Als erstes diskutieren wir den Grenzfall in f¨ uhrender Ordnung von v/c, was uns zur bekannten nichtrelativistischen Schr¨ odinger-Gleichung f¨ ur Spin-0-Teilchen f¨ uhren wird. Im Anschluß beziehen wir relativistische Korrekturen h¨oherer Ordnung ein. Dabei verwenden wir das Verfahren der Fouldy-Wouthuysen-Transformation, durch welches sich der Klein-Gordonsche Hamilton-Operator zwar nicht exakt aber

1.4 Nichtrelativistische N¨ aherung der Klein-Gordon-Theorie

55

(im Prinzip) bis zu jeder gew¨ unschten endlichen Ordnung in v/c diagonalisieren l¨ aßt. 1.4.1 Nichtrelativistischer Grenzfall Bei der Behandlung des nichtrelativistischen Grenzfalls der Klein-GordonTheorie erweisen sich die Substitutionen (1.15) als ¨außerst zweckm¨aßig. In diesem Limes gilt n¨ amlich f¨ ur eine positive Klein-Gordon-L¨osung18   2   2 v v (+) ϕ= 1+O , χ = O φ φ(+) . 2 c c2 Andererseits folgt f¨ ur eine negative L¨ osung  2   2  v v ϕ=O φ(−) , χ = 1 + O φ(−) . c2 c2 Das heißt f¨ ur positive L¨ osungen ist die untere Komponente von ψ gegen¨ uber der oberen um den Faktor v 2 /c2 unterdr¨ uckt, w¨ahrend es sich bei den negativen L¨ osungen umgekehrt verh¨ alt. Hieraus folgt, daß f¨ ur positive L¨osungen der im oberen Teil der Klein-Gordon-Gleichung (1.17) Term (p − eA/c)2 χ/2m 0
assigt werden kann. Somit ergibt sich f¨ ur bis zur Ordnung O v 2 /c2 vernachl¨ positive L¨ osungen die Gleichung  ⎫ 1  ⎪
⎪ ψ = ϕ ⎬ O v 2 /c2    (1.55) ⎪ 1 v4 ∂ϕ e 2 ⎪ 2 0 ⎭ i¯ h p − A + m0 c + eA + O = ϕ, ∂t 2m0 c c4 die bis auf den Ruheenergieterm m0 c2 mit der bekannten nichtrelativistischen Schr¨ odinger-Gleichung f¨ ur spinlose Teilchen in einem elektromagnetischen Feld u ¨ bereinstimmt. Im Falle negativer L¨osungen erh¨alt man aufgrund derselben Argumentation aus (1.17) die Gleichung 
2 2 ⎫ O v /c ⎪ ⎪ χ ψ = ⎬ 1    (1.56) ⎪ v4 e 2 1 ∂χ ⎪ ⎭ p − A − m0 c2 + eA0 + O = − i¯ h χ . ∂t 2m0 c c4 18

Da man im nichtrelativistischen Grenzfall davon ausgehen kann, daß die Felder eA0 und eA/c gr¨ oßenordnungsm¨ aßig h¨ ochstens im Bereich der Teilchenenergie bzw. des Teilchenimpulses liegen, also |eA0 | ≈ m0 v 2 /2  m0 c2 und |eA/c| ≈ m0 v  m0 c, gelten die Relationen






(p − eA/c)2 φ(±) /2m0 = m0 c2 O v 2 /c2 φ(±) und




!




! 2

(i¯ h∂/∂t − eA0 )φ(+) = m0 c2 +1 + O v 2 /c2 (i¯ h∂/∂t − eA0 )φ(−) = m0 c2 −1 + O v 2 /c

φ(+) f¨ ur positive Zust¨ ande φ(−) f¨ ur negative Zust¨ ande.

56

1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

Kombination der beiden Gleichungen (1.55) und (1.56) ergibt schließlich die 
bis zur Ordnung O v 2 /c2 korrekte Hamiltonsche Klein-Gordon-Gleichung ⎫ ∂ψ ⎪ ⎪ i¯ h = H nr ψ ⎬ ∂t    (1.57) e 2 1 v4 ⎪ ⎪ nr 2 0 ⎭ p− A H = τ3 m0 c + + eA + O , 2m0 c c4 mit dem diagonalen, V-hermiteschen und hermiteschen Hamilton-Operator H nr . Linksmultiplikation von (1.57) mit ψ † τ3 und anschließender Subtraktion der adjungierten Gleichung liefert die Kontinuit¨atsgleichung ∂ρ(x) + ∇j(x) = 0 , ∂t
 mit der bis zur Ordnung O v 2 /c2 positiv bzw. negativ definiten Ladungsdichte 0 ur positive Zust¨ande ϕ∗ ϕ ≥ 0 f¨ † ρ = ψ τ3 ψ ≈ ∗ −χ χ ≤ 0 f¨ ur negative Zust¨ande und der Ladungsstromdichte   2ie h ¯ Aψ † ψ , j= ψ † ∇ψ − (∇ψ † )ψ − 2im hc ¯ wobei der letzte Ausdruck formal identisch mit der Wahrscheinlichkeitsstromdichte aus der nichtrelativistischen Quantenmechanik ist.19 1.4.2 Relativistische Korrekturen In der nichtrelativistischen Klein-Gordon-Gleichung (1.57) sind die positiven und negativen L¨ osungen vollst¨ andig entkoppelt, was sich in der diagonalen Gestalt des Hamilton-Operators H nr widerspiegelt. Man kann sich bei ihr auf die obere oder untere Komponente beschr¨ anken und erh¨alt so eine Theorie f¨ ur ein Teilchen oder ein Antiteilchen, welche sich im Sinne unseres verallgemeinerten quantenmechanischen Formalismus interpretieren l¨aßt. Nun wissen wir aus Unterabschn. 1.3.2, daß sich die Hamiltonsche Klein¨ Gordon-Gleichung im freien Fall durch den Ubergang zur Feshbach-VillarsDarstellung exakt diagonalisieren l¨ aßt. Es erhebt sich deshalb die Frage, ob 19

Man beachte: Weil H nr in (1.57) hermitesch ist, k¨ onnte man eine positiv definite Wahrscheinlichkeitsdichte ρ = ψ † ψ f¨ ur Teilchen und Antiteilchen (mit zugeh¨ origer erhaltener Gesamtwahrscheinlichkeit) definieren, die u ¨ber ∂ρ/∂t + ∇j = 0 mit einer entsprechenden Wahrscheinlichkeitsstromdichte j verbunden ist. Dieser Zusammenhang w¨ urde jedoch ausschließlich in der hier vorliegenden Darstellung gelten und bei einer V-unit¨ aren Transformation auf eine andere Darstellung verloren gehen, weil dann der Hamilton-Operator zwar immer noch V-hermitesch ¨ aber nicht mehr hermitesch w¨ are. Dieselbe Uberlegung gilt bei der Diagonalisierung der freien kanonischen Klein-Gordon-Gleichung (Unterabschn. 1.3.2) sowie der allgemeinen Gleichung (n¨ achster Unterabschnitt).

1.4 Nichtrelativistische N¨ aherung der Klein-Gordon-Theorie

57

es auch ein Verfahren zur exakten Diagonalisierung der allgemeinen KleinGordon-Gleichung gibt, in der positive und negative L¨osungen in allen Ordnungen von v/c explizit entkoppelt sind. Wie sich herausstellt, ist dies nicht m¨oglich (siehe Aufgabe 8), was letztlich mit einem quantenfeldtheoretischen Effekt, der sog. Vakuumpolarisation20 , zusammenh¨angt. Allerdings ist es mit Hilfe der im folgenden zu besprechenden FouldyWouthuysen-Transformation immer m¨ oglich, den Klein-Gordonschen Hamilton-Operator bis zu jeder gew¨ unschten (endlichen) Ordnung von v/c zu diagonalisieren. Bei diesem Verfahren werden ψ und die Operatoren dergestalt sukzessive transformiert (in eine andere Darstellung u uhrt), daß ¨ berf¨ der Hamilton-Operator in der neuen Darstellung in der jeweiligen Ordnung von v/c ein gerader (diagonaler) Operator ist. Durch Vernachl¨assigung des ungeraden (antidiagonalen) Anteils ergeben sich dann wieder zwei explizit entkoppelte Ein-Teilchentheorien f¨ ur Teilchen und Antiteilchen, die bis zur betrachteten Ordnung so wie im vorigen Unterabschnitt interpretiert werden k¨onnen. Diese Methode stellt somit eine Verallgemeinerung der in Unterabschn. 1.3.2 diskutierten Feshbach-Villars-Transformation des freien Falles dar. Zur n¨ aheren Erl¨ auterung der Fouldy-Wouthuysen-Transformation betrachten wir die Klein-Gordon-Gleichung (1.17) in der Form21 m0 c2 Kψ = 0 , K = τ3 + + ω , wobei

=−

1 m 0 c2

bzw. τ3 + = O

 2  v e 2 ∂ τ3 p − A = O (1) + O i¯ h − eA0 + (1.58) ∂t 2m20 c2 c c2 

v2 c2



ein gerader (diagonaler) Operator und  2 iτ2 v e 2 ω= p− A =O 2m20 c2 c c2

(1.59)

ein ungerader (antidiagonaler) Operator ist. Gehen wir nun mittels der Transformation U = eiS 20

21

Unter Vakuumpolarisation versteht man die Erzeugung von geladenen TeilchenAntiteilchen-Paaren in starken elektromagnetischen Feldern, also z.B. in unmittelbarer Umgebung der Feldquellen. Diese virtuellen Teilchen wechselwirken zus¨ atzlich zum externen Feld mit dem betrachteten Teilchen und f¨ uhren so zu einer Polarisation des Vakuums (siehe Abschn. 3.4). Wir f¨ uhren hier dimensionslose Operatoren ein, um Ordnungsbetrachtungen in v/c zu erleichtern.

58

1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

zu einer neuen Darstellung u ur die Klein-Gordon-Gleichung ¨ ber, dann folgt f¨ in dieser Darstellung m0 c2 K  ψ  = 0 , ψ  = U ψ , K  = U KU −1 . Das Fouldy-Wouthuysen-Verfahren zeichnet sich nun dadurch aus, daß die Transformation U bzw. S so gew¨ ahlt wird, daß sich K  wieder in der Weise  2  4 v v      K = τ3 + + ω , τ3 + = O , ω =O (oder h¨oher) 2 c c4 in einen geraden und einen ungeraden Operator aufspalten l¨aßt, wobei ω  um (mindestens) einen Faktor v 2 /c2 gegen¨ uber ω unterdr¨ uckt und somit um (mindestens) zwei Ordnungen h¨ oher ist als τ3 +  bzw. τ3 + . Ausgehend von dieser Darstellung k¨ onnen wir nun wieder eine Transformation U  suchen, so daß in der entsprechend neuen Darstellung gilt: m0 c2 K  ψ  = 0 , ψ  = U  ψ  , K  = U  K  U −1 = τ3 +  + ω  , mit τ3 +  = O





v2 c2

, ω  = O



v6 c6

(oder h¨oher) .

Dieses Verfahren l¨ aßt sich beliebig fortsetzen, so daß man die Ordnung des ungeraden Operators beliebig hochtreiben kann. Ist die gew¨ unschte Ordnung des ungeraden Operators erreicht, dann liefert der gerade Operator die relativistischen Korrekturen zu den beiden Ein-Teilchentheorien bis zu einem Fehler dieser Ordnung.22 Wir konkretisieren nun unsere Betrachtungen und zeigen, wie man, ausgehend von K = τ3 + + ω , aus (1.58) , ω aus (1.59) , den diagonalen
 Klein-Gordonschen Hamilton-Operator, korrekt bis zur Ordnung O v 4 /c4 , erh¨ alt. Hierf¨ ur ben¨ otigen wir die Baker-Hausdorff-Entwicklung23

22

23

Weil jede Potenz in v/c einem Faktor v/c ∼ p/m0 c entspricht, l¨ aßt sich die Fouldy-Wouthuysen-Entwicklung auch als eine Reihenentwicklung in Potenzen von 1/m0 auffassen. Dies l¨ aßt sich leicht verifizieren, indem man die Operatorfunktion iλS

F (λ) = e

−iλS

Ke

∞   λn d n F  = n  n=0

n! dλ

λ=0

betrachtet, mit dn F = in eiλS [S, [S, · · · , [S, K]] · · ·]e−iλS . dλn

1.4 Nichtrelativistische N¨ aherung der Klein-Gordon-Theorie

59

K  = eiS Ke−iS i3 i2 [S, [S, K]] + [S, [S, [S, K]]] + . . . . (1.60) 2! 3! Da der transformierte Operator K  den urspr¨ unglichen Operator K selbst enth¨ alt, m¨ ussen wir S so w¨ ahlen, daß ω in K  gerade herausf¨allt. Wie wir sofort sehen werden, wird dies durch die Wahl = K + i[S, K] +

iτ3 ω (1.61) 2 gew¨ ahrleistet. Jetzt rechnen wir unter Ber¨ ucksichtigung von τ3 ω = −ωτ3 und τ3 = τ3 wie folgt: ⎫ τ3 1 ⎪ i[S, K] = [τ3 ω, τ3 + + ω] = −ω + τ3 ω 2 + [ω, ] ⎪ ⎪ ⎪ 2 2 ⎪ ⎪ ⎪  2 ⎪ 1 i τ ⎪ 3 2 ⎪ ⎪ [S, [S, K]] = τ3 ω, −ω + τ3 ω + [ω, ] ⎪ ⎪ 2 4 2 ⎪ ⎪ ⎬ 2 3 ω 1 τ3 ω (1.62) − − [ω, [ω, ]] =− ⎪ 2 2 8 ⎪ ⎪   ⎪ ⎪ 1 ω3 1 i3 τ3 ω 2 ⎪ ⎪ ⎪ [S, [S, [S, K]]] = − − [ω, [ω, ]] τ3 ω, − ⎪ ⎪ 6 6 2 2 8 ⎪ ⎪ ⎪ 3 4 ⎪ ω τ3 ω τ3 ⎪ ⎭ = − + [ω, [ω, [ω, ]]] . 6 6 48 Einsetzen in (1.60) liefert U = eiS , S = −

K  = τ3 +  + ω  , mit24 O

v2 c2

↓



O

v4 c4



O

v8 c8



O

v6 c6



↓ ↓ ↓  2 2 4 v τ 1 ω ω τ 3 3  τ3 + = τ3 + + − − [ω, [ω, ]] + . . . = O 2 8 8 c2 und ω = −

τ3 τ3 ω3 + [ω, ] + [ω, [ω, [ω, ]]] + . . . = O 3 2 48



v4 c4

.

Wie gew¨ unscht ist ω aufgrund der ersten Zeile von (1.62) aus K  herausgefallen, und ω  ist nun um zwei Ordnungen erh¨oht.25 Es ist klar, daß alle weiteren Transformationen von der gleichen Struktur sind. Wenden wir auf K  die Transformation 24

25

Sofern
der Operator  in Kommutatoren der Form [. . . , [ω, ] . . .] auftritt, gilt   = O v 2 /c2 . Man beachte:
Aus den letzten Gleichungen ergibt sich der bis zur Ordnung O v 2 /c2 korrekte gerade Operator K  = τ3 +  sowie die Gleichung ¨ mit (1.57). m0 c2 (τ3 + )ψ  = 0, in Ubereinstimmung

60

1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

iτ3 ω  2 an, dann ergibt sich f¨ ur K 


U  = eiS , S  = −

K  = τ3 +  + ω  , mit O

v2 c2



O

↓

(1.63)

v8 c8



O

v 16 c16



O

v 10 c10



↓ ↓ ↓  2 v τ3 ω 4 1    τ3 ω 2 − − [ω , [ω , ]] + . . . = O τ3 + = τ3 + + 2 8 8 c2 



und

 6 τ3   ω 3 τ3     v ω =− + [ω , ] + [ω , [ω , [ω , ]]] + . . . = O . 3 2 48 c6 
Vernachl¨ assigen wir jetzt alle Terme der Ordnung O v 6 /c6 (und h¨oher), dann ist K  ein gerader Operator. Er ist gegeben durch 

τ3 ω 2 K  = τ3 +  = τ3 + + 2   e 2 e 4 1 1 p − p − A A = τ3 1 + − 2m2 c2 c 8m40 c4 c  0 ∂ 1 i¯ h − eA0 . − m 0 c2 ∂t Man erh¨ alt hieraus die Hamiltonsche Klein-Gordon-Gleichung ∂ψ  = H  ψ  , ∂t mit dem diagonalen, V-hermiteschen und hermiteschen Hamilton-Operator   e 2 e 4 1 1  2 p− A − p− A H = τ3 m0 c + + eA0 2m0 c 8m30 c2 c i¯ h

und der Wellenfunktion


ψ  (x) = e−iτ3 ω /2 e−iτ3 ω/2 ψ(x) .


 Wie gew¨ unscht haben wir zwei explizit entkoppelte O v 4 /c4 -Ein-Teilchentheorien f¨ ur Teilchen und Antiteilchen vorliegen, wobei die relativistischen Korrekturen bis zu dieser Ordnung ausschließlich aus der Entwicklung der relativistischen kinetischen Energie  e 2 c2 p − A + m20 c4 c resultieren. Wie in Aufgabe 9 gezeigt wird, kommen
elektrische Wechselwir kungskorrekturen erst bei einer Genauigkeit von O v 6 /c6 ins Spiel.

1.4 Nichtrelativistische N¨ aherung der Klein-Gordon-Theorie

61

Man beachte, daß die Fouldy-Wouthuysen-Transformation U in (1.61) und alle nachfolgenden Transformationen U  , . . . V-unit¨are Operatoren sind, weil S, S  , . . . V-hermitesch sind. Hieraus folgt die Invarianz von V-Erwartungswerten f¨ ur Operatoren, die sich wie U [·]U −1 transformieren, so daß es in der Tat gerechtfertigt ist, von Fouldy-Wouthuysen-Darstellungen“ zu ” sprechen. F¨ ur den Hamilton-Operator gibt es allerdings eine wichtige Ein¨ schr¨ ankung. Der Ubergang Kψ = 0 −→ K  ψ  = 0 , K  = U KU −1 , ψ  = U ψ impliziert n¨ amlich f¨ ur die Klein-Gordon-Gleichung die Transformation  ∂ψ  ∂ ∂ψ    = Hψ −→ i¯ h = H ψ , H = U H − i¯ h i¯ h U −1 . ∂t ∂t ∂t Dies bedeutet, daß die V-Erwartungswerte des urspr¨ unglichen und transformierten Hamilton-Operators nur f¨ ur den Fall ∂A/∂t = 0 u ¨ bereinstimmen. Satz 1.8: Fouldy-Wouthuysen-Transformation in der Klein-Gordon-Theorie Die Fouldy-Wouthuysen-Transformation liefert ein systematisches Verfahren zur Diagonalisierung des Klein-Gordonschen Hamilton-Operators bis zu jeder beliebigen (endlichen) Ordnung in v/c. Schreibt man die KleinGordon-Gleichung (1.17) in der Form m0 c2 K (0) ψ (0) = 0 , K (0) = τ3 + (0) + ω (0) ,


 wobei die dimensionslosen Operatoren (0) , τ3 + (0) = O v 2 /c2 und
 ω (0) = O v 2 /c2 gerade bzw. ungerade sind, dann gelangt man durch Iteration der Beziehungen K (n) = τ3 + (n) + ω (n) = U (n−1) K (n−1) U (n−1) ψ (n) (x) = U (n−1) ψ (n−1) (x)  iτ3 ω (n) (n) = exp − U 2

−1

(V-unit¨ ar)

jeweils zu anderen Darstellungen der Klein-Gordon-Theorie, in denen gilt:  2  2n+2 v v (n) (n) τ3 + = O , ω =O . c2 c2n+2 Bei Vernachl¨ assigung des ungeraden Operators liefert der gerade Anteil von f¨ ur Teilchen und AntiK (n) zwei explizit entkoppelte Ein-Teilchentheorien 
teilchen, korrekt bis zur Ordnung O v 2n /c2n , die im Sinne unseres verallgemeinerten quantenmechanischen Formalismus gedeutet werden k¨onnen. Die zu den jeweiligen Fouldy-Wouthuysen-Darstellungen geh¨orenden EinTeilchenoperatoren lassen sich genau wie bei der Feshbach-Villars-Darstellung konstruieren, indem man die urspr¨ unglichen (relativistischen) Operato-

62

1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

ren entsprechend mittransformiert und anschließend den geraden (diagonalen) Anteil separiert. Hierbei gilt insbesondere f¨ ur den Ein-Teilchenortsoperator dasselbe wie bei der Feshbach-Villars-Transformation. Das heißt auch die Fouldy-Wouthuysen-Transformation ist aufgrund von [x, U ] = 0 eine nichtlokale Transformation und f¨ uhrt zu einer Verschmierung der Ortswellenfunktion bzw. des Ortsargumentes von der Gr¨oßenordnung der ComptonWellenl¨ ange des betrachteten Teilchens (siehe Aufgabe 9). Zum Schluß dieses Abschnittes sei noch einmal betont, daß die FouldyWouthuysen-Methode nur in jenen F¨ allen Sinn macht, bei denen einerseits die Ein-Teilcheninterpretation im Sinne von Satz 1.7 anwendbar ist und andererseits die Fouldy-Wouthuysen-Entwicklung konvergiert. Sie ist insbesondere nicht auf physikalische Probleme mit starken oder schnell ver¨anderlichen Feldern anwendbar, bei denen Teilchenerzeugungs- und Teilchenvernichtungsprozesse ber¨ ucksichtigt werden m¨ ussen. Zusammenfassung • Die nichtrelativistische N¨ aherung der Klein-Gordon-Theorie f¨ uhrt in niedrigster Ordnung (nichtrelativistischer Grenzfall) auf einen diagonalen, V-hermiteschen und hermiteschen Hamilton-Operator. Hieraus folgen zwei explizit entkoppelte Ein-Teilchentheorien f¨ ur Teilchen und Antiteilchen, von denen die erste mit den Gesetzm¨aßigkeiten der nichtrelativistischen Schr¨ odinger-Theorie u ¨ bereinstimmt. • Im Gegensatz zum feldfreien Fall l¨ aßt sich der Klein-Gordonsche Hamilton-Operator im allgemeinen Fall nicht exakt sondern nur approximativ diagonalisieren. Das hierzu verwendete Verfahren ist die FouldyWouthuysen-Methode, bei der der Hamilton-Operator sukzessive in immer h¨ oheren Ordnungen von v/c diagonalisiert wird. Durch Vernachl¨ assigung des ungeraden Anteils erh¨ alt man jeweils einen diagonalen, V-hermiteschen und hermiteschen Hamilton-Operator, korrekt bis zur betrachteten Ordnung in v/c, aus dem sich wiederum zwei explizit entkoppelte Ein-Teilchentheorien f¨ ur Teilchen und Antiteilchen ableiten lassen. • Die Fouldy-Wouthuysen-Transformation ist wie die Feshbach-Villars-Transformation eine nichtlokale Transformation und f¨ uhrt zu einer Verschmierung des Ortsargumentes in der Gr¨oßenordnung der ComptonWellenl¨ ange des betrachteten Teilchens. • Die Fouldy-Wouthuysen-Methode ist nur in jenen F¨allen sinnvoll, bei denen einerseits die v/c-Entwicklung konvergiert und andererseits die Ein-Teilcheninterpretation anwendbar ist.

Aufgaben

63

Aufgaben 8. Diagonalisierbarkeit der Hamiltonschen Klein-Gordon-Gleichung. a) Zeigen Sie, daß die beiden Komponenten ϕ und χ von ψ nur im freien Fall jeweils der kanonischen Klein-Gordon-Gleichung gen¨ ugen. b)Berechnen Sie den Kommutator   e 2 ∂ p − A , i¯ h − eA0 . c ∂t L¨ osung. Zu a) Ausgangspunkt ist die Hamiltonsche Klein-Gordon-Gleichung (1.17) in der Form   e 2 τ3 + iτ2 ∂ p − A − τ3 m0 c2 ψ = 0 . i¯ h − eA0 − ∂t 2m0 c Multipliziert man diese Gleichung von links mit   e 2 ∂ τ3 + iτ2 p − A + τ3 m0 c2 , i¯ h − eA0 + ∂t 2m0 c so ergibt sich

 2  e 2 τ3 + iτ2 ∂ ∂ 0 0 p− A − i¯ h − eA 0 = i¯ h − eA ∂t 2m0 ∂t c  

 2 e ∂ τ3 + iτ2 ∂ p− A −τ3 m0 c2 i¯ h − eA0 + i¯ h − eA0 ∂t 2m0 c ∂t  

2 2 τ3 c e ∂ (τ3 − iτ2 ) p − A + τ3 m0 c2 i¯ − h − eA0 2 c ∂t 

τ3 c2 e 2 (τ3 + iτ2 ) p − A − m20 c4 ψ − 2 c 

 2

e 2 ∂ 0 2 2 4 − c p − A − m0 c ψ = i¯ h − eA ∂t c     2 τ3 + iτ2 e ∂ 0 p − A , i¯ ψ. + h − eA 2m0 c ∂t Hieraus folgt offensichtlich, daß nur im freien Fall jede Komponente von ψ die kanonische Klein-Gordon-Gleichung erf¨ ullt, weil nur dann der Kommutatorterm exakt verschwindet. Anders ausgedr¨ uckt: Nur im freien Fall l¨aßt sich die Hamiltonsche Klein-Gordon-Gleichung exakt diagonalisieren. Im Falle schwacher und schwach ver¨ anderlicher Felder ist der Kommutatorterm klein gegen¨ uber den u brigen Termen. Unter diesen Umst¨anden wird die ka¨ nonische Gleichung zumindest n¨ aherungsweise durch ϕ und χ gel¨ost, so daß eine approximative Diagonalisierung der Hamiltonschen Gleichung m¨oglich erscheint.

64

1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

Zu b) Unter Ber¨ ucksichtigung von 

2 2e e2 e e p − A = p2 − (pA) − Ap + 2 A2 c c c c ergibt sich     ∂ ie¯h e 2 ∂ 0 2 0 h − eA = −e[p , A ] − p − A , i¯ (pA), c ∂t c ∂t   2 2ie¯ h ∂ e − Ap, + [Ap, A0 ] c ∂t c   2 ie ¯ h ∂ + 2 A2 , . c ∂t Die Einzelkommutatoren berechnen sich zu    ∂ ∂A 2 0 2 0 0 [p , A ] = (p A ) + 2(pA )p , (pA), =− p ∂t ∂t     ! ∂ ∂A ∂A 0 0 2 ∂ Ap, p , Ap, A = A(pA ) , A , . =− = −2A ∂t ∂t ∂t ∂t Insgesamt folgt deshalb     e 2 e  ∂ i¯ h ∂A 0 0 p − A , i¯ p− A h − eA = −2e (pA ) − c ∂t c ∂t c   + i¯ h ∂A −e p (pA0 ) − c ∂t

e  = −2ie¯ hE p − A − ie¯h(pE) , c mit dem elektrischen Feld E = −(∇A0 ) − e∂A/c∂t.

(1.64)


9. Diagonale Hamiltonsche Klein-Gordon-Gleichung bis O v 6 /c6 . Diagonalisieren
Sie die Hamiltonsche Klein-Gordon-Gleichung (1.17) bis zur Ordnung O v 6 /c6 .

L¨ osung. Wendet man auf K  aus (1.63) die Fouldy-Wouthuysen-Transformation

iτ3 ω  U  = eiS , S  = − 2  an, so erh¨ alt man f¨ ur K den Ausdruck K  = τ3 +  + ω  , mit O

v2 c2



↓

τ3 +  = τ3 + 

O

v 12 c12



O

v 24 c24



O

v 14 c14



↓ ↓ ↓  2 v τ3 ω 4 1    τ3 ω 2 − − [ω , [ω , ]] + . . . = O + 2 8 8 c2

Aufgaben

65

und

 8 v τ3   ω 3 τ3     + [ω , ] + [ω , [ω , [ω , ]]] + . . . = O ω =− . 3 2 48 c8 
uhrt auf Vernachl¨ assigung aller Terme der Ordnung O v 8 /c8 (und h¨oher) f¨ den geraden Operator 

1 τ3 ω 2 − [ω, [ω, ]] . 2 8 Unter Ber¨ ucksichtigung von (1.64) vereinfacht sich der letzte Term zu  

iτ2 e 2 e 4 ∂ i 0 [ω, ] = p − p − A − eA A [τ2 , τ3 ] , i¯ h + 3 4 2m0 c4 c ∂t 4m0 c4 c e 4 e¯ hτ2 e  τ1 e¯ hτ2 p− A (pE) − = 3 4E p− A + 3 4 4 4 m0 c c 2m0 c 2m0 c c  

e 2 ie¯ h e  p − A A =⇒ [ω, [ω, ]] = , E p − 5 2m0 c6 c c   e 6 τ3 e 2 ie¯ h A A p − , (pE) − . p − + 5 6 4m0 c6 c 2m0 c6 c
6 6 Insgesamt folgt die bis zur Ordnung O v /c korrekte Hamiltonsche KleinGordon-Gleichung ∂ψ  = H  ψ  , i¯ h ∂t mit dem diagonalen, V-hermiteschen und hermiteschen Hamilton-Operator   H = τ3 m0 c2 

e 2 e 4 e 6 1 1 1 p− A − p− A + p− A + 2m0 c 8m30 c2 c 16m50 c4 c    

2 e ie¯ h e p − A ,E p − A +eA0 − 16m40 c5 c c    2 e ie¯ h p − A , (pE) (1.65) − 32m40 c5 c und der Wellenfunktion K  = τ3 +  = τ3 +  = τ3 + +

ψ  (x) = e−iτ3 ω





/2 −iτ3 ω
/2 −iτ3 ω/2

e

e

ψ(x) .

Das Auftreten der relativistischen Korrekturen in (1.65) l¨aßt sich aufgrund der Nichtlokalit¨ at der Fouldy-Wouthuysen-Transformation und der daraus resultierenden Verschmierung des Ortsargumentes x verstehen: Das effektive Potential, das auf eine Wellenfunktion in einer bestimmten FouldyWouthuysen-Darstellung an der Stelle x wirkt, setzt sich zusammen aus den Beitr¨ agen des urspr¨ unglichen Potentials, gemittelt u ¨ ber eine Umgebung von x. Das gesamte Potential hat deshalb die Form einer Multipolentwicklung des urspr¨ unglichen Potentials.

66

1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

1.5 Einfache Ein-Teilchensysteme Dieser letzte Abschnitt des Kapitels Relativistische Beschreibung von Spin” 0-Teilchen“ behandelt einige einfache Klein-Gordonsche Ein-Teilchensysteme, wobei ausschließlich die kanonische Darstellung verwendet wird. Als Erweiterung unserer Betrachtungen zum Kleinschen Paradoxon in Unterabschn. 1.3.4 besch¨ aftigen wir uns zun¨ achst mit dem eindimensionalen Potentialkasten und diskutieren die verschiedenen L¨ osungstypen u.a. unter dem Aspekt ihrer Ein-Teilcheninterpretation. Im Anschluß wenden wir uns dem Problem zentralsymmetrischer Potentiale zu, welches sich analog zum nichtrelativistischen Fall durch Separation des winkelabh¨ angigen Anteils auf eine radiale Gleichung zur¨ uckf¨ uhren l¨ aßt. Anwendungsbeispiele dieser radialen KleinGordon-Gleichung sind das freie Teilchen, der kugelsymmetrische Potentialtopf und das Coulomb-Potential zur naiven Beschreibung pionischer Atome, die wir ebenfalls besprechen. Zum Schluß modifizieren wir das CoulombPotential durch einen oszillatorartigen Potentialterm, um die endliche Ausdehnung von Atomkernen zu ber¨ ucksichtigen. Hierbei wird uns die prinzipielle Begrenztheit des Ein-Teilchenkonzeptes noch einmal deutlich vor Augen gef¨ uhrt werden. 1.5.1 Kastenpotential Wir beginnen unsere Untersuchungen einfacher Ein-Teilchensysteme mit der Betrachtung eines Spin-0-Teilchens, welches in einem eindimensionalen Potentialkasten der Form 0 1 0 f¨ ur −a < z < a (Bereich II) (0) , V0 > 0 (1.66) eA (z) = V (z) = sonst (Bereich I,III) V0 gebunden ist bzw. an ihm von links kommend gestreut wird. Zur L¨osung der zugeh¨ origen Klein-Gordon-Gleichung separieren wir genau wie bei der Potentialstufe in Unterabschn. 1.3.4 zun¨ achst den zeitabh¨angigen Anteil: φ(z, t) = Φ(z)e−iEt/¯h . Somit gelangen wir wieder zur station¨ aren Gleichung (1.52) mit V (z) aus (1.66). Bevor wir diese Gleichung angehen, k¨onnen wir uns analog zur Dis¨ kussion des Kleinschen Paradoxons zun¨ achst einen qualitativen Uberblick der m¨oglichen Konstellationen verschaffen (siehe Abb. 1.5). 1. Fall: E > V0 + m0 c2 . Bei diesen Energien erwarten wir in allen drei Bereichen I (z < −a), II (−a < z < a) und III (z > a) oszillierende Klein-GordonL¨osungen mit positiver Ladungsdichte, die sich als normale Streuung eines Teilchens der Ladung +e an der (aus dessen Sicht) attraktiven Potentialbarriere interpretieren lassen, weil sich an den Bereichsgrenzen ausschließlich erlaubte“ positive Energiebereiche ber¨ uhren. ”

1.5 Einfache Ein-Teilchensysteme

67

V (z)

V0 + m0 c2 V0 V0 − m0 c2

m0 c2 0

z

−m0 c2 I

II

III

Abb. 1.5. Energieintervalle des eindimensionalen Potentialkastens.

2. Fall: V0 − m0 c2 < E < V0 + m0 c2 , E > m0 c2 . In diesem Fall tauchen die L¨osungen des erlaubten“ positiven Energiebereiches von II in die verbote” ” nen“ positiven (0 < E − V0 < m0 c2 ) bzw. negativen (−m0 c2 < E − V0 < 0) Energieb¨ ander von I und III ein. Die L¨ osungen werden deshalb in I und III mit positiver bzw. negativer Ladungsdichte exponentiell abfallen, w¨ahrend die L¨ osungen in II mit positiver Ladungsdichte oszillieren. Diese Situation entspricht somit einem gebundenen Teilchen der Ladung +e. 3.Fall: m0 c2 < E < V0 − m0 c2 =⇒ V0 > 2m0 c2 . Hierbei geht der erlaubte“ ” positive Energiebereich von II in die erlaubten“ negativen Energiebereiche ” von I und III u osungen sollten deshalb u ¨ber. Die L¨ ¨ berall oszillieren, und zwar mit positiver Ladungsdichte in II und negativer Ladungsdichte in I und III. Jenseits des Ein-Teilchenbildes l¨ aßt sich dies als Streuung eines Antiteilchens der Ladung −e an der (aus dessen Sicht) repulsiven Potentialbarriere deuten, wobei im Bereich II quasigebundene Teilchenresonanzen auftreten. 4. Fall: −m0 c2 < E < m0 c2 . Dieses Energieintervall umfaßt die verbote” nen“ positiven (0 < E < m0 c2 ) und negativen (−m0 c2 < E < 0) Energieb¨ ander in II, die in die erlaubten“ negativen Energiebereiche von I und ” III u ¨ bergehen. Wir erwarten somit in II exponentiell abfallende L¨osungen mit positiver bzw. negativer Ladungsdichte und in I und III oszillierende L¨osungen mit negativer Ladungsdichte. Dieser Fall entspricht dem Durchtunneln eines Antiteilchens der Ladung −e an der (aus dessen Sicht) repulsiven Potentialbarriere. 5. Fall: E < −m0 c2 . In diesem Fall sind ausschließlich erlaubte“ negati” ve Energien beteiligt, was in allen drei Bereichen oszillierende L¨osungen mit

68

1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

negativer Ladungsdichte zur Folge hat. Es handelt sich hierbei um die normale Streuung eines Antiteilchens der Ladung −e an der (aus dessen Sicht) repulsiven Potentialbarriere. Betrachten wir nun die einzelnen F¨ alle etwas genauer. 1., 3. und 5. Fall im Detail. In diesen drei Streuf¨allen nehmen wir ein von links einlaufendes Teilchen bzw. Antiteilchen an und machen deshalb zur L¨ osung von (1.52) in den Bereichen I, II und III den Ansatz ⎫ ΦI (z) = Φein (z) + Φref (z) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ik1 z −ik1 z ⎪ ⎬ Φein (z) = Ae , Φref (z) = Be (1.67) ⎪ ⎪ ΦII (z) = Ceik2 z + De−ik2 z ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ik1 z ΦIII (z) = Φtrans (z) = Ee , mit

4 k1 = ±

(E − V0 )2 − m20 c4 , k2 = ± c2 ¯ h2

4

E 2 − m20 c4 , c2 ¯h2

wobei k1 = +|k1 |, k2 = +|k2 | im 1. Fall, k1 = −|k1 |, k2 = +|k2 | im 3. Fall und k1 = −|k1 |, k2 = −|k2 | im 5. Fall zu w¨ ahlen ist. Die Stetigkeitsbedingungen von Φ(z) und Φ (z) an den Bereichsgrenzen z = ±a ergeben folgende Bestimmungsgleichungen f¨ ur die Integrationskonstanten A, B, C, D und E: ⎫ Ae−ik1 a + Beik1 a = Ce−ik1 a + Deik1 a ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
−ik a 
 ⎪ ik1 a −ik2 a ik2 a ⎪ 1 ⎬ = k2 Ce k1 Ae −B − De (1.68) ⎪ ⎪ Ceik2 a + De−ik2 a = Eeik1 a ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
ik a  ⎭ −ik2 a ik1 a 2 = k1 Ee k2 Ce − De . Nach einigen Zwischenrechnungen erh¨ alt man hieraus f¨ ur die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten ⎫ jref (k12 − k22 )2 sin2 2k2 a ⎪ ⎪ R = − = 2 2 ⎪ ⎬ jein 4k1 k2 + (k12 − k22 )2 sin2 2k2 a (1.69) ⎪ jtrans 4k12 k22 ⎪ ⎪ T = = 2 2 = 1 − R . ⎭ jein 4k1 k2 + (k12 − k22 )2 sin2 2k2 a Wie man sieht, oszillieren beide Koeffizienten in Abh¨angigkeit von k2 bzw. E zwischen Null und Eins. Ein interessanter Spezialfall ergibt sich f¨ ur ur sin 2k2 a = 0, also f¨ c2 ¯ h2 π 2 + m20 c4 , n = 1, 2, . . . , 4a2 wo der Reflexionskoeffizient exakt verschwindet. E 2 = n2

1.5 Einfache Ein-Teilchensysteme

69

4. Fall im Detail. In diesem Tunnelfall setzen wir ebenfalls ein von links einlaufendes Antiteilchen voraus und k¨ onnen deshalb f¨ ur die zugeh¨orige KleinGordon-L¨ osung den Ansatz (1.67) u ¨ bernehmen, wobei k1 und k2 in der Weise 4 4 (E − V0 )2 − m20 c4 m20 c4 − E 2 k1 = − , k2 = iκ2 , κ2 = 2 2 c ¯ h c2 ¯h2 zu w¨ ahlen sind. F¨ ur die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten folgt aus (1.69) sofort (k22 = −κ22 , sin2 2k2 a = − sinh2 2κ2 a) (k12 + κ22 )2 sinh2 2κ2 a 4k12 κ22 + (k12 + κ22 )2 sinh2 2κ2 a 4k12 κ22 =1−R . T = 4k12 κ22 + (k12 + κ22 )2 sinh2 2κ2 a

R =

Auch hier liegen beide Koeffizienten zwischen Null und Eins, wobei der Transmissionskoeffizient und damit die Durchdringungswahrscheinlichkeit der Potentialbarriere f¨ ur ein Antiteilchen mit a exponentiell ab und mit |E| exponentiell zunimmt. 2. Fall im Detail. Im Gegensatz zu den anderen F¨allen erwarten wir hier gebundene Zust¨ ande. Unser L¨ osungsansatz von (1.52) in den Bereichen I, II und III lautet deshalb ΦI (z) = Aeκ1 z ΦII (z) = B cos k2 z + C sin k2 z ΦIII (z) = De−κ1 z 4 4 m20 c4 − (E − V0 )2 E 2 − m20 c4 κ1 = , k = , 2 2 c2 ¯ h c2 ¯h2 unden in trigonometrischer Form niedergewobei ΦII aus Bequemlichkeitsgr¨ schrieben wurde. Aus den Stetigkeitsbedingungen an den Bereichsgrenzen ergeben sich die Gleichungen Ae−κ1 a = B cos k2 a − C sin k2 a κ1 Ae−κ1 a = k2 B sin k2 a + k2 C cos k2 a De−κ1 a = B cos k2 a + C sin k2 a −κ1 De−κ1 a = −k2 B sin k2 a + k2 C cos k2 a . Die Kombination der ersten beiden und der letzten beiden Gleichungen f¨ uhrt zu B sin k2 a + C cos k2 a B sin k2 a − C cos k2 a κ1 = k2 = k2 , B cos k2 a − C sin k2 a B cos k2 a + C sin k2 a

70

1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

woraus die Bedingung BC = 0 folgt. Dies bedeutet, daß wir zwei F¨alle zu unterscheiden haben, aus denen sich unterschiedliche Quantisierungsbedingungen f¨ ur die Energie E ergeben:26 2.a: C = 0 =⇒ A = D. κ1 tan k2 a = . k2 2.b: B = 0 =⇒ A = −D.

π  κ1 = . − cot k2 a = tan k2 a + 2 k2 Durch (numerisches) L¨ osen dieser beiden Gleichungen ergeben sich schließlich die m¨ oglichen Energiewerte der gebundenen Zust¨ande im Bereich II. In Abb. 1.6 ist der Transmissionskoeffizient des 1., 3., 4. und 5. Falles in Abh¨ angigkeit von der Energie E/m0 c2 dargestellt. Hierbei wurde ein Potenohe V0 = 3m0 c2 gew¨ahlt (so daß tialkasten der Breite a = 6¯ h/m0 c und der H¨ 2 die Bedingung V0 > 2m0 c f¨ ur das Auftreten des 3. Falles erf¨ ullt ist). Bei den T 1

5. Fall

4. Fall

3. Fall

2. Fall

1. Fall

E/m0 c2 −1 0 1 2 4 Abb. 1.6. Transmissionskoeffizient eines eindimensionalen Potentialkastens der H¨ ohe V0 = 3m0 c2 und der Breite a = 6¯ h/m0 c in Abh¨ angigkeit von E. Die gestrichelten Linien deuten die Energiewerte der gebundenen Zust¨ ande an. 26

Man beachte: Die Klein-Gordon-Gleichung (1.52) ist aufgrund der symmetrischen Form des Potentials (1.66) parit¨ atsinvariant, d.h. invariant gegen¨ uber der Ersetzung z → −z. Hieraus folgt, daß mit Φ(z) auch Φ(−z) eine Klein-GordonL¨ osung zur selben Energie E ist. Wegen der Linearit¨ at von (1.52) lassen sich deshalb diese beiden L¨ osungen zu neuen L¨ osungen Φ± (z) = Φ(z) ± Φ(−z) , Φ± (z) = ±Φ± (−z) mit definiertem Parit¨ atsverhalten kombinieren. Der Fall 2.a entspricht L¨ osungen mit positiver und der Fall 2.b L¨ osungen mit negativer Parit¨ at.

1.5 Einfache Ein-Teilchensysteme

71

echten“ Streuf¨ allen (1. und 5. Fall) zeigt sich das typische oszillatorische ” Verhalten von T , wobei sich T in den energetischen Außenbezirken mit kleiner werdender Amplitude der Eins n¨ ahert. Weil der Transmissionskoeffizient im 4. Fall (Tunnelfall) exponentiell mit der Breite a abnimmt, ist er dort praktisch u ¨ berall Null. Zwischen dem Tunnelfall und dem 2. Fall gebundener Zust¨ ande liegt der im Sinne des Ein-Teilchenbildes streng genommen nicht interpretierbare 3. Fall (Resonanzfall), bei dem T ebenfalls oszilliert. Hier trifft in der N¨ ahe der Transmissionsmaxima ein einlaufendes Antiteilchen auf einen quasigebundenen Zustand, der sich als Teilchenresonanz bemerkbar macht, so daß das Antiteilchen die (aus dessen Sicht) repulsive Potentialbarriere fast ungehindert durchdringen kann. 1.5.2 Radiale Klein-Gordon-Gleichung Hat man es in der Klein-Gordon-Gleichung (1.11) mit einem zentralsymmetrischen Potential eA0 (x) = V (x) = V (|x|), A = 0 zu tun, dann weist diese Gleichung eine Kugelsymmetrie auf. In diesem Fall bietet es sich wie in der nichtrelativistischen Quantenmechanik an, die Klein-Gordon-Gleichung in Kugelkoordinaten x = r cos ϕ sin θ , y = r sin ϕ sin θ , z = r cos θ , r = |x| zu studieren, um den Winkel- und Radialanteil zu separieren. Ausgangspunkt hierzu ist die Klein-Gordon-Gleichung 2  
2 2 ∂ φ(x) + c2 ¯ h ∇ − m20 c4 φ(x) = 0 , i¯ h −V ∂t die wir durch Separation des zeitabh¨ angigen Anteils zun¨achst wieder in die zeitunabh¨ angige Klein-Gordon-Gleichung ! (E − V )2 + c2 ¯ h2 ∇2 − m20 c4 Φ(x) = 0 , φ(x) = Φ(x)e−iEt/¯h (1.70) umschreiben. Als n¨ achstes dr¨ ucken wird den Impulsterm in der Weise ¯ 2 ∇2 = −p2r − h aus, wobei pr = −i¯ h



L2 r2

∂ 1 + ∂r r

, p2r =

∂2 2 ∂ + ∂r2 r ∂r

den Radialimpuls und L = x × p den Drehimpuls bezeichnet, dessen Eigenfunktionen gerade die Kugelfl¨ achenfunktionen Yl,m (θ, ϕ) sind (siehe Anhang A.3): ¯ 2 l(l + 1)Yl,m , l = 0, 1, 2, . . . L2 Yl,m = h Lz Yl,m = h ¯ mYl,m , m = −l, . . . , l . Hiermit geht (1.70) u ¨ber in

72

1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen



 h2 (E − V )2 + c2 ¯

∂2 2 ∂ + ∂r2 r ∂r

−

 c2 L 2 2 4 − m c Φ(x) = 0 . 0 r2

Durch den Ansatz Φ(x) = gl (r)Yl,m (θ, ϕ) l¨aßt sich nun der winkelabh¨ angige Anteil abspalten, und man gelangt schließlich zum Satz 1.9: Radiale Klein-Gordon-Gleichung f¨ ur zentralsymmetrische Potentiale Die L¨ osungen der zeitunabh¨ angigen Klein-Gordon-Gleichung mit zentralsymmetrischem Potential, 3 2 h2 ∇2 − m20 c4 Φ(x) = 0 , [E − V (r)]2 + c2 ¯ lassen sich in der sph¨ arischen Darstellung schreiben als Φl,m (r, θ, ϕ) = gl (r)Yl,m (θ, ϕ) , wobei die Funktion gl der radialen Klein-Gordon-Gleichung  2  d l(l + 1) 2 d (E − V )2 − m20 c4 2 2 − + + k (r) = 0 , k = (1.71) g l dr2 r dr r2 c2 ¯h2 gen¨ ugt, bzw. mit gl (r) = ul (r)/r:   2 d l(l + 1) 2 − + k ul (r) = 0 . dr2 r2

(1.72)

F¨ ur diese L¨ osungen gelten weiterhin die Beziehungen L2 Φl,m (r, θ, ϕ) = h ¯ 2 l(l + 1)Φl,m (r, θ, ϕ) , l = 0, 1, 2, . . . ¯ mΦl,m (r, θ, ϕ) , m = −l, . . . , l Lz Φl,m (r, θ, ϕ) = h [Φl,m ]P (r, θ, ϕ) = (−1)l Φl,m (r, θ, ϕ) . Die letzte Gleichung folgt aus Yl,m (π−θ, ϕ+π) = (−1)l Yl,m (θ, ϕ) [P =aktive Parit¨ atstransformation]. Man beachte, daß (1.71) und (1.72) formal identisch zu den entsprechenden radialen Gleichungen der Schr¨ odingerschen Theorie mit k 2 = 2m0 (E − V )/¯h2 sind. Dar¨ uber hinaus sind wie in der nichtrelativistischen Theorie folgende Punkte zu ber¨ ucksichtigen: • Unter den L¨ osungen gl bzw. ul sind nur diejenigen physikalisch sinnvoll, die im Sinne des V-Skalarproduktes integrabel sind. In diese Integrabilit¨ atsbedingung geht, anders als in der Schr¨ odingerschen Theorie, die Form des betrachteten Potentials ein. Es m¨ ussen also die Integrale ∞ ∞ ∞ ∞ 2 2 2 2 2 drr gl (r) , drr gl (r)V (r) bzw. drul (r) , dru2l (r)V (r) 0

0

0

0

1.5 Einfache Ein-Teilchensysteme

73

existieren. • Divergiert das Potential im Ursprung langsamer als 1/r2 : lim r2 V (r) = 0, dann gilt in der N¨ ahe des Ursprungs die Gleichung

r→0

d2 ul l(l + 1) − ul = 0 , 2 dr r2 are L¨ osung) und ul (r) ∼ r−l sind. deren L¨ osungen ul (r) ∼ rl+1 (regul¨ • Geht das Potential f¨ ur r → ∞ schneller gegen Null als 1/r: lim rV (r) = 0, r→∞ dann gilt f¨ ur große r d2 u E 2 − m20 c4 + u=0. dr2 c2 ¯ h2 Die L¨ osungsfunktionen dieser Gleichung verhalten sich asymptotisch wie |E| < m0 c2 : u(r) ∼ e−kr , ekr

  2  E − m20 c4   . |E| > m0 c2 : u(r) ∼ eikr , e−ikr , k 2 =   c2 ¯h2 1.5.3 Freies Teilchen und kugelsymmetrischer Potentialtopf Als ein Anwendungsbeispiel zentralsymmetrischer Potentialprobleme betrachten wir zun¨ achst den einfachsten Fall eines freien Spin-0-Teilchens (V = 0), dessen Diskussion wir v¨ ollig analog zum nichtrelativistischen Fall f¨ uhren k¨onnen. Durch die Substitutionen E 2 − m20 c4 c2 ¯ h2 geht die radiale Klein-Gordon-Gleichung (1.71) u ¨ ber in die sph¨arische Besselsche Differentialgleichung (siehe Anhang A.2)   2 d l(l + 1) 2 d + 1 − + (1.73) gˆl (ρ) = 0 . dρ2 ρ dρ ρ2 ρ = kr , gl (r) = gˆl (ρ) , k 2 =

Ihre L¨ osungen sind die sph¨ arischen Bessel-Funktionen, deren Form und asymptotisches Verhalten in folgender Weise gegeben sind: ⎧ ρl ⎪ ⎪  l f¨ ur ρ → 0 ⎨ 1 d sin ρ (2l + 1)!! jl (ρ) = (−ρ)l ∼ ⎪ ρ dρ ρ sin(ρ − lπ/2) ⎪ ⎩ f¨ ur ρ → ∞ ρ ⎧ (2l − 1)!! ⎪ ⎪  l f¨ ur ρ → 0 ⎨ 1 d cos ρ ρl+1 nl (ρ) = (−ρ)l ∼ ⎪ cos(ρ − lπ/2) ρ dρ ρ ⎪ ⎩ f¨ ur ρ → ∞ . ρ

74

1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

Von besonderem Interesse sind gewisse Kombinationen dieser Funktionen, die Hankel-Funktionen i(ρ−lπ/2) ρ→∞ e (+) hl (ρ) = nl (ρ) + ijl (ρ) −→ ρ −i(ρ−lπ/2) ρ→∞ e (−) . hl (ρ) = nl (ρ) − ijl (ρ) −→ ρ Ihr asymptotisches Verhalten f¨ ur k 2 > 0 entspricht aus- bzw. einlaufenden Kugelwellen. Je nach Gr¨ oße von E sind nun zwei F¨alle zu unterscheiden: (+)

• |E| < m0 c2 : Hier ist gˆl (ρ) = hl (ρ) die einzige beschr¨ankte L¨osung von (1.73). Sie weist allerdings im Ursprung einen Pol der Ordnung l+1 auf. Das Eigenwertproblem besitzt deshalb keine L¨ osung; es gibt erwartungsgem¨aß kein freies (Anti-)Teilchen mit einer Energie E im verbotenen“ Bereich ” −m0 c2 < E < m0 c2 . • |E| > m0 c2 : Die Gleichung (1.73) besitzt genau eine u ¨berall beschr¨ankte L¨ osung, n¨ amlich gˆl (ρ) = jl (ρ). Die m¨ ogliche L¨osung der radialen KleinGordon-Gleichung (1.71) lautet deshalb gl (r) = jl (kr) . Man beachte, daß bisher Gesagtes leicht auf den Fall u ¨bertragbar ist, bei dem ein Potential V (r) vorliegt, das in Bereiche konstanter Potentialwerte Vi aufgeteilt werden kann. In diesem Fall ist f¨ ur jeden Bereich E durch E − Vi zu ersetzen. Kugelsymmetrischer Potentialtopf. Unter Ber¨ ucksichtigung der obigen Ergebnisse wenden wir uns als n¨ achstes dem Problem eines Spin-0-Teilchens in einem kugelsymmetrischen Potentialtopf der Form 1 0 ur r < a (Bereich I) −V0 f¨ , V0 > 0 eA0 (r) = V (r) = 0 f¨ ur r > a (Bereich II) zu. Hierzu besorgen wir uns zun¨ achst die m¨ oglichen L¨osungen von (1.71) in den Bereichen I und II. Im inneren Bereich I lautet die im Ursprung regul¨are L¨osung  (E + V0 )2 − m20 c4 (I) 2 • |E + V0 | > m0 c : gl (r) = Al jl (k1 r) , k1 = c2 ¯h2 bzw.  m20 c4 − (E + V0 )2 (I) . • |E + V0 | < m0 c2 : gl (r) = Al jl (iκ1 r) , κ1 = c2 ¯h2 Im a alle zu unterscheiden: ¨ußeren Bereich II sind zwei F¨ ande): Hier ist • |E| < m0 c2 (gebundene Zust¨ 4 m20 c4 − E 2 (II) (+) gl (r) = Bl hl (iκ2 r) , κ2 = c2 ¯ h2

1.5 Einfache Ein-Teilchensysteme

75

die einzige im Unendlichen beschr¨ ankte L¨ osung. Die Stetigkeitsbedingungen am Punkt r = a,   d (I)  d (II)  (I) (II) gl (a) = gl (a) , gl (r) gl (r) = , dr dr r=a

r=a

legen das Verh¨ altnis der Integrationskonstanten Al und Bl fest. Beide Bedingungen k¨ onnen nur f¨ ur diskrete Werte von E gleichzeitig erf¨ ullt werden. Sie bestimmen die Energieniveaus der gebundenen Zust¨ande. Handelt es sich um l=0-Zust¨ ande, so folgt hieraus und unter der zus¨atzlichen Annahme, daß E + V0 > m0 c2 (2. Fall, siehe unten), die Bedingung k1 . (1.74) tan k1 a = − κ2 • |E| > m0 c2 (ungebundene Zust¨ ande): Die allgemeine L¨osung ist eine Linearkombination der sph¨ arischen Bessel-Funktionen, die wir so ansetzen k¨ onnen: 4 E 2 − m20 c4 (II) . gl (r) = Bl [jl (k2 r) cos δl + nl (k2 r) sin δl ] , k2 = c2 ¯h2 Im Falle l = 0 ergibt sich aus den entsprechenden Stetigkeitsbedingungen f¨ ur die Phase δ0 k2 tan(k2 a + δ0 ) = tan k1 a , (1.75) k1 falls |E + V0 | > m0 c2 (1., 3. und 5. Fall, siehe unten) bzw. k2 tan(k2 a + δ0 ) = tanh κ1 a , (1.76) κ1 falls |E + V0 | < m0 c2 (4. Fall, siehe unten). Diese L¨ osungen lassen sich in Analogie zu Unterabschn. 1.5.1 wie folgt unterteilen und interpretieren (siehe Abb. 1.7): 1. Fall: E > m0 c2 . In beiden Bereichen I und II sind ausschließlich er” laubte“ positive Energien beteiligt, so daß es sich hierbei um die normale Streuung eines Teilchens der Ladung +e an dem (aus dessen Sicht) attraktiven Potentialtopf handelt (vgl. 1. Fall aus Unterabschn. 1.5.1). 2. Fall: −m0 c2 < E < m0 c2 , E + V0 > m0 c2 . In diesem Energieintervall grenzen die erlaubten“ positiven Energien von I an die verbotenen“ positi” ” ven und negativen Energieb¨ ander von II. Dieser Fall entspricht somit einem gebundenen Teilchen der Ladung +e (vgl. 2. Fall aus Unterabschn. 1.5.1). uhren sich der 3. Fall: −V0 + m0 c2 < E < −m0 c2 =⇒ V0 > 2m0 c2 . Hier ber¨ erlaubte“ positive Energiebereich von I und der erlaubte“ negative Ener” ” giebereich von II, was jenseits des Ein-Teilchenbildes als Streuung eines Antiteilchens der Ladung −e an dem (aus dessen Sicht) repulsiven Potentialtopf bei Anwesenheit von Teilchenresonanzen gedeutet werden kann (vgl. 3. Fall aus Unterabschn. 1.5.1).

76

1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen V (r) m0 c2 r

0 2

−m0 c

−V0 + m0 c2 −V0 −V0 − m0 c2 I

II

Abb. 1.7. Energieintervalle des kugelsymmetrischen Potentialtopfes.

4. Fall: −V0 − m0 c2 < E < −V0 + m0 c2 . Hierbei grenzt der erlaubte“ ne” gative Energiebereich von II an die verbotenen“ positiven und negativen ” Energiebereiche von I. Dies entspricht deshalb der normalen Streuung eines Antiteilchens der Ladung −e an dem (aus dessen Sicht) repulsiven Potentialtopf, wobei die Eindringtiefe in den Bereich I exponentiell abnimmt (vgl. 4. Fall aus Unterabschn. 1.5.1). 5. Fall: E < −V0 − m0 c2 . In diesem Fall sind in I und II ausschließlich er” laubte“ negative Energien beteiligt. Es handelt sich um die normale Streuung eines Antiteilchens der Ladung −e an dem (aus dessen Sicht) repulsiven Potentialtopf. (vgl. 5. Fall aus Unterabschn. 1.5.1). 2. Fall im Detail. Betrachten wir nun den Bindungsfall etwas genauer. Hierzu setzen wir V0 = Ze2 /a und nehmen den Potentialtopf als ein naives Modell f¨ ur die elektrostatische Bindung eines pionischen Atoms, bestehend aus einem Atomkern der Ladung −Ze = +Z|e| und einem umkreisenden Pion der Ladung +e = −|e|. In Abb. 1.8 sind die entsprechenden, aus (1.74) folgenden Energien f¨ ur 1s-Zust¨ ande in Abh¨ angigkeit von der Kernladungs” zahl“ Z und dem Kernradius“ a aufgetragen. Wie zu erkennen ist, existiert ” zu jedem a-Wert ein Z-Intervall, in dem gebundene 1s-Zust¨ande u ¨ berhaupt nur m¨ oglich sind. An der unteren Z-Grenze tauchen die L¨osungen vom oberen Energiekontinuum in den gebundenen Bereich ein und n¨ahern sich mit gr¨oßer werdendem Z dem unteren Energiekontinuum, wobei zu ber¨ ucksichtigen ist, daß die Ein-Teilcheninterpretation unterhalb der Nullenergie aufgrund der hohen Bindungsenergie |EB | = |E − mπ c2 | > mπ c2 immer mehr zusammenbricht.

1.5 Einfache Ein-Teilchensysteme

77

2

E/mπ c 1

Z

0 100

1000

a/fm = 0.5

−1

1

2

4

10000

8

16

32

E/mπ c2 300

350

400

450

500

−0.71

a/fm = 0.5

1

Z

2

−1 Abb. 1.8. Oben: Energiewerte pionischer 1s-Zust¨ ande (mπ c2 = 139.577 MeV, λπ = 1.414 fm) in einem kugelsymmetrischen Potentialtopf der Breite a und der Tiefe −V0 = −Ze2 /a als Funktion von Z f¨ ur verschiedene a in halblogarithmischer Darstellung. Unten: Vergr¨ oßerte nichtlogarithmische Darstellung im unteren Energiebereich.

Auff¨allig ist auch, daß die Energiekurven f¨ ur kleine a-Werte (kleine Potentialreichweiten und große Potentialtiefen), also weit außerhalb des G¨ ultigkeitsbereiches des Ein-Teilchenkonzeptes, im unteren Energiebereich eine starke Linkskr¨ ummung aufweisen (zwei L¨osungen zu gegebenem Z). Diese Linkskr¨ ummung resultiert aus den Antiteilchenzust¨anden, die aus dem unteren Energiekontinuum in den gebundenen Bereich eintreten und sich an den Punkten unendlicher Steigung mit den vom oberen Energiekontinuum in den gebundenen Bereich eintretenden Teilchenzust¨anden treffen. Bemerkenswerterweise kann dieses Potential also Teilchen und Antiteilchen gleichzeitig binden (Schiff-Snyder-Effekt).

78

1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

1.5.4 Coulomb-Potential Wir verfeinern jetzt unsere Beschreibung pionischer Atome und diskutieren im folgenden das Problem eines Spin-0-Teilchens in einem Coulomb-Potential der Form Z¯ hcαe Ze2 e2 =− , αe = = 1/137.03602 , r r ¯hc wobei αe die Feinstrukturkonstante bezeichnet. Die radiale Klein-GordonGleichung (1.72) lautet in diesem Fall   2 l(l + 1) − (Zαe )2 2EZαe m20 c4 − E 2 d − − + (1.77) ul (r) = 0 . dr2 r2 hcr ¯ ¯h2 c2 eA0 (r) = V (r) = −

Da wir uns auf gebundene Zust¨ ande und somit auf das Energieintervall anken wollen, l¨ aßt sich diese Gleichung durch −m0 c2 < E < m0 c2 beschr¨ Einf¨ uhrung der Gr¨ oßen 4 m20 c4 − E 2 2EZαe ρ = βr , ul (r) = u ˆl (ρ) , β = 2 , λ= 2 2 β¯hc h c ¯ umschreiben zu  2  d l (l + 1) λ 1 − + − u ˆl (ρ) = 0 , dρ2 ρ2 ρ 4

(1.78)

mit l (l + 1) = l(l + 1) − (Zαe )2 4 2 1 1  =⇒ l = − ± − (Zαe )2 . l+ 2 2

(1.79)

Offenbar ist die Gleichung (1.78) formgleich zur radialen Schr¨odinger-Gleichung des nichtrelativistischen Coulomb-Problems, so daß wir uns zu ihrer L¨osung am L¨ osungsweg im nichtrelativistischen Fall orientieren k¨onnen. Hierzu betrachten wir (1.78) zun¨ achst in den asymptotischen Regionen ρ → 0, ∞: ρ → 0: In diesem Fall reduziert sich (1.78) auf die Gleichung   2 d l (l + 1) − u ˆl (ρ) = 0 , dρ2 ρ2





(1.80)

deren zwei L¨ osungen u ˆl (ρ) = ρl +1 , ρ−l sich aufgrund von (1.79) zu der
einen L¨ osung u ˆl (ρ) = ρl +1 zusammenfassen lassen, wobei f¨ ur l noch das Vorzeichen in (1.79) zu kl¨ aren ist. Folgendes ist nun zu ber¨ ucksichtigen: • Physikalische L¨ osungen unseres Problems existieren nur f¨ ur l+

1 > Zαe . 2

1.5 Einfache Ein-Teilchensysteme

79

$ Andernfalls w¨ are n¨ amlich l = −1/2 ± iσ , σ = (Zαe )2 − (l + 1/2)2 komplex, und man erhielte in der N¨ ahe des Ursprungs Wellenfunktionen der Form uˆl (ρ) ∼ ρ1/2 exp(±iσ ln ρ), die f¨ ur ρ → 0 unendlich oft oszillieren und deshalb u.a. divergente Erwartungswerte der kinetischen Energie liefern. • Die Integrabilit¨ at der Wellenfunktionen in der N¨ahe des Ursprungs impliziert aufgrund der 1/r-Form des Coulomb-Potentials die Forderung l + 1 > 0 , welche durch das positive Vorzeichen in (1.79) in jedem Fall erf¨ ullt wird. Ist Z bei gegebenem l hinreichend groß, so wird diese Forderung allerdings auch durch das negative Vorzeichen in (1.79) erf¨ ullt. In diesem Fall lassen sich jedoch weitere Forderungen finden, die das negative Vorzeichen ausschließen, z.B. daß der Erwartungswert der kinetischen Energie existieren soll. Insgesamt bleibt also u ˆl (ρ) = ρ

l
+1

1 , l =− +s , s= 2 

4 2 1 − (Zαe )2 l+ 2

als physikalisch sinnvolle L¨ osung von (1.80) u ¨ brig. ρ → ∞: Hierbei geht (1.78) u ¨ ber in die Gleichung  2 d 1 − u ˆ(ρ) = 0 . dρ2 4 Ihre im Unendlichen beschr¨ ankte L¨ osung lautet u ˆ(ρ) = e−ρ/2 . ¨ Aufgrund dieser Uberlegungen bietet sich jetzt zur vollen L¨osung von (1.78) insgesamt der Ansatz


u ˆl (ρ) = ρl +1 e−ρ/2 f (ρ) an, woraus sich die Differentialgleichung ρf  (ρ) + (2l + 2 − ρ)f  (ρ) + (λ − l − 1)f (ρ) = 0 ergibt. Der Potenzreihenansatz f (ρ) =

∞ 

ak ρk

k=0

f¨ uhrt schließlich zu ∞  [(k + 1)(k + 2l + 2)ak+1 + (λ − l − 1 − k)ak ] ρk = 0 , k=0

und man erh¨ alt folgende Rekursionsformel f¨ ur die Entwicklungskoeffizienten ai :

80

1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

ak+1 =

k + l + 1 − λ ak . (k + 1)(k + 2l + 2)

Damit die Wellenfunktion ul der Integrabilit¨atsbedingung entspricht, also im Unendlichen konvergiert, muß die Potenzreihe ab irgend einem k = n abbrechen, d.h. λ = n + l + 1 , n = 0, 1, 2, . . . . Dies ist gerade die Quantisierungsbedingung f¨ ur λ und damit f¨ ur die Energieniveaus gebundener Spin-0-Zust¨ ande. Es folgt hieraus ⎤2 ⎡ 4 2 2 2 1 E (Zαe ) 1 = ⎣n + + − (Zαe )2 ⎦ l+ m20 c4 − E 2 2 2 m 0 c2

=⇒ En
,l = 4 1+

(Zαe )2

2 $ 2 n
+ 12 + (l+ 12 ) −(Zαe )2

.

Wie man erkennt, ist die weiter oben gestellte Forderung l + 1/2 ≥ Zαe auch f¨ ur die Existenz reeller (und damit physikalischer) Energieeigenwerte notwendig. Diese Bedingung ist f¨ ur l=0-Zust¨ ande am restriktivsten und bedeutet konkret: l = 0 =⇒ Z < 68.5, l = 1 =⇒ Z < 205.5 usw. F¨ ur gr¨oßere Z-Werte existieren keine gebundenen Zust¨ ande. Zum Angleich an die nichtrelativistische spektroskopische Notation f¨ uhren wir nun noch die Hauptquantenzahl n = n + l + 1 ein und erhalten schließlich (siehe Abb. 1.9) En,l = 4 1+

m 0 c2 (Zαe )2

n−(l+ 12 )+

2 $ 2 (l+ 12 ) −(Zαe )2

,

n = 1, 2, . . . (1.81) l = 0, 1, . . . , n − 1 .

Offensichtlich ist hier die in der nichtrelativistischen Theorie vorhandene Entartung bzgl. des Drehimpulses aufgehoben. Entwickelt man (1.81) nach Potenzen von Zαe , so ergibt sich    n (Zαe )4 3 (Zαe )2 En,l = m0 c2 1 − − − + . . . . (1.82) 2n2 2n4 4 l + 12 Der erste Term ist die Ruheenergie, der zweite Term die Bindungsenergie des nichtrelativistischen Coulomb-Problems und der dritte Term eine relativistische Korrektur, in der sich die Aufhebung der Drehimpulsentartung manifestiert. Sie ist identisch mit der st¨ orungstheoretischen Korrektur, die sich durch Hinzunahme des St¨ oroperators H  = −(p2 )2 /(8m30 c2 ) in die Schr¨ odinger-Gleichung ergibt. Zum tieferen Verst¨ andnis der soeben gewonnenen Ergebnisse sind folgende Punkte zu beachten:

1.5 Einfache Ein-Teilchensysteme

81

2

E/m0 c 1

2s

0.8 1s

3p

0.6

0.4 2p

0.2 3d

Z 0 50 100 150 200 250 300 350 Abb. 1.9. Energiewerte gebundener Spin-0-Zust¨ ande in einem Coulomb-Potential der Form V (r) = −Ze2 /r als Funktion von Z. Die Kurven enden jeweils bei bestimmten maximalen Z-Werten. F¨ ur noch gr¨ oßere Z ergeben sich komplexe (unphysikalische) Energien. 0

• In unseren Berechnungen haben wir einen unendlich schweren Atomkern vorausgesetzt. Da der Atomkern jedoch de facto nicht unendlich schwer ist, bewegen sich Atomkern und Pion um einen gemeinsamen Schwerpunkt, der nicht im Zentrum des Kerns liegt. In der nichtrelativistischen Quantenmechanik l¨aßt sich die Schwerpunktsbewegung von der Relativbewegung analog zur Newtonschen Mechanik leicht separieren, wobei die Relativbewegung auf ein effektives Ein-K¨orperproblem mit der reduzierten Masse µ=

m0 M m0 + M

f¨ uhrt. In der relativistischen Quantentheorie ist diese Aufteilung jedoch problematisch, weil es einerseits keine befriedigende relativistische ZweiZentren-Gleichung gibt und andererseits das Schwerpunktsystem nicht mehr geometrisch sondern nur noch dynamisch definiert werden kann. Um die durch die gegenseitige Bewegung hervorgerufenen R¨ uckstoßeffekte n¨aherungsweise zu ber¨ ucksichtigen, h¨alt man u ¨blicherweise an der urspr¨ unglichen Ein-Zentrum-Gleichung fest und ordnet dem Pion wie im nichtrelativistischen Fall obige reduzierte Masse µ zu. Diese Korrektur ist z.B. beim Pionatom im Vergleich zum Wasserstoffatom nicht unerheblich, weil das Pion 273 mal schwerer ist als das Elektron (mπ c2 = 139.577 MeV, me c2 = 0.511 MeV).

82

1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

• Die Ber¨ ucksichtigung der Wechselwirkung zwischen Kern und Pion durch ein ¨ außeres statisches Coulomb-Feld vernachl¨assigt die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit der Kraftwirkung zwischen den beiden Konstituenten. Besonders in den inneren Schalen des Pionatoms, wo die Geschwindigkeit des umkreisenden Pions mit der Lichtgeschwindigkeit vergleichbar ist, erwartet man deshalb große Auswirkungen dieser sog. Retardierungseffekte, ¨ so daß hier die Außere-Feld-N¨ aherung und die oben genannte ReduzierteMasse-N¨aherung schlecht werden. • Wie wir gesehen haben, existieren f¨ ur Z > 68.5 keine l=0-Bindungszust¨ ande. Nun gibt es aber durchaus Kerne mit h¨oherer Ladungszahl, so daß auch hierf¨ ur die Klein-Gordon-Gleichung eine annehmbare Beschreibung liefern sollte. Die Ursache dieser Diskrepanz liegt an der Vernachl¨assigung der endlichen Ausdehnung des Kerns. Vergleicht man z.B. den Bohrschen Radius eines Pions, Rπ = 1/(mπ cZαe ) ≈ 200 fm/Z, mit dem Kernradius RK ≈ 1.5 · A1/3 fm (A = Nukleonenzahl), so erwartet man insbesondere ¨ f¨ ur große Z einen betr¨ achtlichen Uberlapp der Pionwellenfunktionen mit dem Kern. Im n¨ achsten Unterabschnitt werden wir die endliche Kernausdehnung durch ein modifiziertes Coulomb-Potential ber¨ ucksichtigen und feststellen, daß in diesem Fall auch f¨ ur große Z und kleine l gebundene Zust¨ ande existieren. • Weil die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Pions im Kernbereich betr¨ achtlich ist, sind Korrekturen aufgrund der starken Wechselwirkung zwischen Pion und Kern einzubeziehen, die recht massiv sein k¨onnen. • Schließlich sind auch noch Vakuumpolarisationseffekte zu ber¨ ucksichtigen, die zu einer Abschirmung der Kernladung in der N¨ahe des Kerns und somit zu einer weiteren Modifikation des Coulomb-Potentials f¨ uhren. 1.5.5 Oszillator-Coulomb-Potential Von den soeben genannten zu ber¨ ucksichtigenden Einfl¨ ussen bei der Beschreibung pionischer Atome greifen wir in diesem Unterabschnitt die endliche Ausdehnung des Atomkerns heraus, indem wir ihn (in einer naiven N¨aherung) als homogen geladene Kugel betrachten. Das zugeh¨orige Potential lautet (R = Kernradius) ⎧  Ze2 r2 ⎪ ⎪ ⎨− ur r < R (Bereich I) 3 − 2 f¨ 2R R eA0 (r) = V (r) = ⎪ Ze2 ⎪ ⎩ f¨ ur r > R (Bereich II) − r und setzt sich zusammen aus einem oszillatorartigen Potential im inneren Bereich I und dem im vorigen Unterabschnitt behandelten Coulomb-Potential im Außenbereich II. Die radiale Klein-Gordon-Gleichung im Bereich I ist gegeben durch

1.5 Einfache Ein-Teilchensysteme

 ⎧ ⎪ ⎪ E+ ⎨ d2 l(l + 1) − + ⎪ dr2 r2 ⎪ ⎩

Ze2 2R

3−

2  2

r R2

83

⎫ ⎪ − m20 c4 ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

¯ 2 c2 h

ul (r) = 0 .

Sie l¨ aßt sich durch Einf¨ uhrung der Gr¨ oßen E m 2 c2 Zαe , B = A2 − 02 , C = hc ¯ 2R3 h ¯ vereinfachend schreiben als   2 d l(l + 1) 2 2 4 − + B − 2ACr + C r ul (r) = 0 . dr2 r2 A=

Zur L¨ osung dieser Gleichung machen wir den Potenzreihenansatz (I)

ul (r) = rl+1

∞ 

ck r2k ,

k=0

uhrt: der zu folgender Bestimmungsgleichung der Koeffizienten ck f¨ 0 =

∞  k=0

+B

ck (2k + l + 1)(2k + l)r2k+l−1 − ∞ 

ck r

2k+l+1

− 2AC

k=0

∞ 

∞ 

l(l + 1)ck r2k+l−1

k=0

ck r

2k+l+3

+C

2

k=0

∞ 

ck r2k+l+5 .

k=0

Durch Koeffizientenvergleich folgt hieraus schließlich c1 = −

Bc0 Bc1 − 2ACc0 , c2 = − 2(2l + 3) 4(2l + 5)

ck = −

Bck−1 − 2ACck−2 + C 2 ck−3 , k≥3. 2k(2l + 2k + 1)

Im Bereich II gilt die radiale Gleichung (1.77) bzw. (1.78), deren allgemeine L¨osung gegeben ist durch (II)

ul

(II)

(r) = u ˆl

(ρ) = e−ρ/2

∞ 

ak ρ1/2+s+k + e−ρ/2

k=0

∞ 

bk ρ1/2−s+k , (1.83)

k=0

mit ak+1 =

k + 1/2 + s − λ k + 1/2 − s − λ ak , bk+1 = bk (k + 1)(k + 1 + 2s) (k + 1)(k + 1 − 2s)

und

4 ρ = βr , β = 2

2EZαe m20 c4 − E 2 , s= , λ= 2 2 β¯ hc h c ¯

4 

1 l+ 2

(1.84)

2 − (Zαe )2 .

Somit besitzt unser Problem außer dem irrelevanten Koeffizienten c0 drei zu bestimmende Gr¨ oßen, n¨ amlich die Koeffizienten a0 und b0 sowie λ bzw. die

84

1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

Energie E. Ihnen steht dieselbe Zahl an Bedingungen gegen¨ uber, und zwar die beiden Stetigkeitsbedingungen an der Anschlußstelle r = R sowie die Forderung nach dem korrekten asymptotischen Verhalten der Wellenfunktion f¨ ur r → ∞. Durch Herausziehen von a0 und b0 aus den Summen in (1.84) l¨aßt sich (1.83) umschreiben zu (II)

ul

(r) = a0 Ω(s, ρ) + b0 Ω(−s, ρ) ,

mit Ω(s, ρ) = e−ρ/2

∞ 

ak ρ1/2+s+k , ak+1 =

k=0

k + 1/2 + s − λ  a , a0 = 1. (k + 1)(k + 1 + 2s) k

Hierdurch k¨ onnen wir die beiden Stetigkeitsbedingungen durch das kompakte Gleichungssystem (I)

(II)

ul (R) = ul (R)   (I) (II) dul (r)  dul (r)  =   dr  dr  r=R

r=R

= a0 Ω(s, βR)

+b0 Ω(−s, βR)

  dΩ(s, ρ)  dΩ(−s, ρ)  = a0 +b0  dr r=R dr r=R

ausdr¨ ucken, welches sich f¨ ur gegebene Werte von m0 , Z, R, l und E eindeutig l¨ osen l¨ aßt.27 Die gesuchten Energieeigenwerte E bestimmen sich u ¨ber den geforderten asymptotischen Verlauf der radialen Wellenfunktion im Unendlichen.28 Je nach Zahl der Nullstellen lassen sich die gefundenen Energien bzw. Zust¨ ande nach der gewohnten spektroskopischen Notation klassifizieren (Eine Nullstelle =⇒ n = 1; zwei Nullstellen =⇒ n = 2 usw). In Abb. 1.10 sind die Energieeigenwerte gebundener pionischer 1s-, 2sund 2p-Zust¨ ande in Abh¨ angigkeit von der Kernladungszahl Z dargestellt, wobei ein Kernradius von R = 10 fm gew¨ ahlt wurde. Wie man sieht, besteht zwischen den Zustandsenergien und der Kernladungszahl ein nahezu linearer Zusammenhang. Weiterhin ist zu erkennen, daß hier im Vergleich zum reinen Coulomb-Problem auch gebundene Zust¨ ande f¨ ur große Z- und kleine l-Werte existieren (vgl. Abb. 1.9). Bei Z ≈ 760 [935, 1025] erreicht der Energiewert f¨ ur 1s-[2s-, 2p-] Pionen den Wert E = 0. F¨ ur gr¨ oßere Z wird er genau wie beim kugelsymmetrischen Potentialtopf (Abb. 1.8) sogar negativ. Bei Z ≈ 1450 [1670, 1785] finden wir schließlich die Energie E = −mπ c2 . Zum Schluß dieses Unterabschnittes wollen wir die Ergebnisse unseres letzten Beispiels heranziehen, um noch einmal die grunds¨atzlichen Interpretationsschwierigkeiten der Klein-Gordon-Theorie im Sinne des EinTeilchenbildes zu verdeutlichen. Zu diesem Zweck sind in Tab. 1.1 f¨ ur zwei 27

28

Man beachte: F¨ ur reelle s sind die beiden Gr¨ oßen a0 und b0 ebenfalls reell. Im Falle imagin¨ arer s gilt Ω(−s, ρ) = Ω ∗ (s, ρ). Deshalb ist hierbei b0 = a∗0 zu w¨ ahlen, und es verbleiben wiederum zwei Gr¨ oßen, n¨ amlich Re(a0 ) und Im(a0 ). Zu diesem Zweck hat man das Gleichungssystem unter Variation der Energie im Bereich −m0 c2 < E < m0 c2 zu l¨ osen und anschließend jeweils den Verlauf der zugeh¨ origen Wellenfunktion zu inspizieren.

1.5 Einfache Ein-Teilchensysteme

85

E/mπ c2 1

Z

0 200

400

600

1200

1400 1600

1s

−1

2s

1800

2p

Abb. 1.10. Energiewerte gebundener 1s-, 2s- und 2p-Pionzust¨ ande im Feld einer homogen geladenen Kugel (Oszillator-Coulomb-Potential) als Funktion von Z. Der Kugelradius (Kernradius) betr¨ agt R = 10 fm.

verschiedene Kernladungszahlen Z der V-Erwartungswert des 1s-Pionradius, r
V , das elektrostatische Oszillator-Coulomb-Potential V an der Stelle r
V , 2 die Bindungsenergie  EB = E1s − mπ c sowie die mittlere quadratische Ab2

weichung ∆r = r2
V − r
V angegeben. Vergleicht man diese Werte mit der Ruheenergie mπ c2 = 139.577 MeV des Pions und seiner Comptonur den schwachen Bindungsfall Wellenl¨ ange λπ = 1.414 fm, so folgt f¨ Z=2:

rV




V rV



|EB |, |V (r
V )|  mπ c2 , ∆r  λπ . Z=2

Z = 1450

146.4 fm

3.7 fm

−0.02 MeV

−298.9 MeV

EB

−0.05 MeV

−278.8 MeV

∆r

84.3 fm

1.6 fm

Tab. 1.1. Kennzahlen des gebundenen 1s-Pionzustandes im Oszillator-CoulombPotential f¨ ur den schwachen (Z = 2) und starken (Z = 1450) Bindungsfall.

86

1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

Offensichtlich sind in diesem Fall die Voraussetzungen von Satz 1.7 erf¨ ullt, so daß hier die Interpretation unserer Resultate im Sinne des Ein-Teilchenkonzeptes gerechtfertigt erscheint. Im starken Bindungsfall hat man dagegen |EB |, |V (r
V )| ≈ 2mπ c2 , ∆r ≈ λπ .

Z = 1450 :

Diese Beziehungen verstoßen ganz klar gegen die Annahmen von Satz 1.7 und zeigen deshalb sehr deutlich die Unm¨ oglichkeit der Ein-Teilcheninterpretation auf. Eine direkte Best¨ atigung dieser Feststellungen ergibt sich durch die Betrachtung der radialen Ladungsdichte des 1s-Pionzustandes, r2 ρ(r) =

E − V (r) 2 ul (r) . m π c2

Im schwachen Bindungsfall (Z = 2) ist E positiv, und die radiale Ladungsdichte ist, wie gew¨ unscht, positiv definit. Demgegen¨ uber besitzt die radiale Ladungsdichte im starken Bindungsfall (Z = 1450) aufgrund des zugeh¨origen negativen Energiewertes keinen einheitlichen Verlauf und geht ab r ≈ 15 fm in negative Werte u ¨ ber, was mit dem Ein-Teilchenkonzept unvereinbar ist (siehe Abb. 1.11). Die physikalische Bedeutung dieses Vorzeichenwechsels in starken Feldern (wie auch beim Kastenpotential und Potentialtopf) l¨aßt sich letztlich nur im Rahmen von Quantenfeldtheorien richtig verstehen, wo die Teilchenzahl variabel ist. r 2 ρ(r) · fm r 2 ρ(r) · fm

10−7

0.25

r/fm

0 5

−0.05

10

15

20

25

r/fm

0 16

18

20

22

24

−4 · 10−8 Abb. 1.11. V-normierte radiale Ladungsdichte des 1s-Pionzustandes im OszillatorCoulomb-Potential mit Z = 1450 und R = 10 fm. Die große Grafik zeigt einen vergr¨ oßerten Ausschnitt der kleinen Grafik. Bei r ≈ 15 fm wechselt die Ladungsdichte ihr Vorzeichen.

Aufgaben

87

Zusammenfassung • Beim Studium des eindimensionalen Potentialkastens ergeben sich je nach Teilchenenergie verschiedene Klassen von Klein-Gordon-L¨osungen, die sich im Rahmen des Ein-Teilchenkonzeptes mehr oder weniger konsistent als Streuung oder Bindung von Teilchen bzw. Antiteilchen interpretieren lassen. • Bei zentralsymmetrischen Potentialen erh¨alt man durch Separation des winkelabh¨ angigen Anteils die radiale Klein-Gordon-Gleichung, welche formal identisch ist mit der nichtrelativistischen radialen Schr¨ odinger-Gleichung. • F¨ ur den freien Fall (und f¨ ur den Fall konstanter Potentialabschnitte) geht diese u arische Besselsche Differentialgleichung, deren ¨ ber in die sph¨ L¨ osungen die sph¨ arischen Bessel-Funktionen sind. • Pionische Atome lassen sich genau wie nichtrelativistische Elektronatome mit Hilfe des Coulomb-Potentials n¨ aherungsweise beschreiben. Hierbei ist die in der nichtrelativistischen Theorie vorhandene Drehimpulsentartung aufgehoben. Bei kleinen Drehimpulswerten l findet man Pionbindungszust¨ ande nur f¨ ur entsprechend kleine Kernladungszahlen Z. Dies resultiert aus der Vernachl¨ assigung der endlichen Atomkernausdehnung. • Ber¨ ucksichtigt man die endliche Ausdehnung des Kerns durch Verwendung eines Oszillator-Coulomb-Potentials, so ergeben sich auch f¨ ur gr¨oßere Z-Werte pionische Bindungszust¨ ande. • Die grunds¨ atzlichen Schwierigkeiten der Ein-Teilcheninterpretation der Klein-Gordon-Theorie in Anwesenheit starker Felder lassen sich z.B. anhand der L¨ osungen des Oszillator-Coulomb-Problems deutlich demonstrieren.

Aufgaben 10. Exponentialpotential. Berechnen Sie die l=0-Bindungszust¨ande von Spin-0-Teilchen in einem Exponentialpotential der Form eA0 (r) = V (r) = −Zαe−r/a , α = m0 c2 αe , mit der Kernladungszahl Z, der Kopplungskonstanten α und der Abfallkonstanten a. L¨ osung. Durch die Beschr¨ ankung auf s-Zust¨ande und die damit einhergehende Vernachl¨ assigung des Zentrifugalterms erh¨alt die radiale KleinGordon-Gleichung (1.72) eine sehr einfache Struktur:

88

1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

[E − V (r)]2 − m20 c4 . h 2 c2 ¯ Zu ihrer L¨ osung machen wir den den Separations- und Substitutionsansatz a u(r) = er/2a ω(t) , t = 2iZα e−r/a . hc ¯ Hieraus folgt unter Ber¨ ucksichtigung von u (r) + k 2 u(r) = 0 , k 2 =

dt 2iZα −r/a i¯ hct ¯h2 c2 t2 =− e , e−2r/a = − 2 2 2 , e−r/a = − dr hc ¯ 2Zαa 4Z α a und t2 E 2 − m20 c4 iEt − 2 − 2 2 hca 4a ¯ h c ¯ 1 2iZα −r/2a  er/2a ω(t) − e u (r) = ω (t) 2a hc ¯ 1 r/2a 4Z 2 α2 u (r) = e ω(t) − 2 e−3r/2a ω  (t) 2 4a h c2 ¯ die Differentialgleichung  1/4 − p2 a2 iEa 1 m20 c4 − E 2  2 ω (t) + − − = , ω(t) = 0 , p t2 hct ¯ 4 ¯ 2 c2 h k2 =

(1.85)

welche formgleich ist zu (1.78), falls dort iEa 1 , l = − + pa hc ¯ 2 gew¨ ahlt wird. Die f¨ ur r → ∞ (d.h. t = 0) regul¨are L¨osung von (1.85) lautet daher ∞  k + 1/2 + pa − λ ω(t) = t1/2+pa e−t/2 ak . ak tk , ak+1 = (k + 1)(k + 2pa + 1) λ=−

k=0

Die diskreten Energiewerte ergeben sich aus der Forderung, daß u(r) am Ursprung r = 0 bzw. ω(t) an der Stelle t0 = t(r = 0) verschwindet: ∞  k=0

ak tk0 = 0 , t0 =

2iZαa . hc ¯

Aus dieser impliziten Bestimmungsgleichung lassen sich nun die Energiewerte E f¨ ur s-Zust¨ ande numerisch berechnen. In Abb. 1.12 sind die Energiewerte pionischer 1s-, 2s- und 3s-Zust¨ande in Abh¨ angigkeit von der Kernladungszahl Z dargestellt, wobei eine Abfallkon¨ ahlt wurde. Ahnlich wie beim kugelsymstante von a = λπ = 1.414 fm gew¨ metrischen Potentialtopf (Abb. 1.8) und beim Oszillator-Coulomb-Potential (Abb. 1.10) findet man auch hier f¨ ur die einzelnen Zust¨ande verschiedene Z-Intervalle, innerhalb derer die Energiewerte vom oberen Energiekontinuum kommend mit wachsendem Z kleiner werden und schließlich bei etwa

Aufgaben

89

2

E/mπ c 1

Z

0 200

600

1800

1s

2s

3s

−1 Abb. 1.12. Energiewerte gebundener 1s-, 2s- und 3s-Pionzust¨ ande in einem Exponentialpotential mit der Abfallkonstanten a = λπ als Funktion von Z.

Z = 778 (1s), Z = 1278 (2s) und Z = 1754 (3s) an das untere Energiekontinuum grenzen. Erniedrigen wir nun die Abfallkonstante auf a = 0.2 · λπ , so bewirkt dies ein Ansteigen des unteren Grenzpunktes f¨ ur den 1s-Zustand auf etwa Z = 2158, wie aus Abb. 1.13 zu erkennen ist. Zus¨ atzlich finden wir hier genau wie beim kugelsymmetrischen Potentialtopf eine starke Linkskr¨ ummung im unteren Energiebereich, die wiederum aus den vom unteren Energiekontinuum in den gebundenen Bereich eintretenden Zust¨ anden resultiert. Die Existenz dieser Antiteilchenzust¨ ande h¨ angt wieder mit der sehr kurzen Reichweite und der sehr großen Tiefe des Potentials zusammen.

90

1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen E/mπ c2 1

Z

0 E/mπ c2

1400

1600

1800

2000

2200

−0.9

−1 2145

Z 2165

1s

−1 Abb. 1.13. Energiewerte gebundener 1s-Pionzust¨ ande in einem Exponentialpotential mit der Abfallkonstanten a = 0.2 · λπ als Funktion von Z. Die kleine Grafik zeigt einen vergr¨ oßerten Ausschnitt im unteren Energiebereich.

2. Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen

Im vorangegangenen Kapitel haben wir die Klein-Gordon-Theorie zur Beschreibung von Spin-0-Teilchen behandelt, und zwar vornehmlich unter dem Aspekt ihrer Interpretierbarkeit im Sinne des quantenmechanischen EinTeilchenkonzeptes. Dabei haben wir aus didaktischen Gr¨ unden die chronologische Entwicklung vernachl¨ assigt, nach der eine sinnvolle Ein-Teilchenbeschreibung der Klein-Gordonschen Gleichungen eigentlich erst in Betracht gezogen wurde, nachdem Dirac eine relativistische Quantenmechanik f¨ ur Elektronen (allgemeiner: Spin-1/2-Teilchen) entwickelt hatte. In diesem Kapitel wenden wir uns nun der Diracschen Theorie zu, wobei wir auch hier das Hauptaugenmerk auf eine physikalisch konsistente EinTeilcheninterpretation und deren Grenzen legen wollen (relativistische Quantenmechanik im engeren Sinne“). Dies bedeutet konkret, daß wir uns wie” der von den Grunds¨ atzen leiten lassen, die in der Einleitung zu Kapitel 1 angef¨ uhrt wurden, n¨ amlich • die Prinzipien der nichtrelativistischen Quantenmechanik (Satz 1.1), • die prinzipielle Beschr¨ anktheit der Ein-Teilcheninterpretation auf kleine Wechselwirkungsenergien im Vergleich zur Ruheenergie des betrachteten Teilchens sowie auf eine große Ortsunsch¨ arfe der Wellenfunktion im Vergleich zur Compton-Wellenl¨ ange. Um die Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Klein-Gordon- und DiracTheorie m¨ oglichst transparent zu machen, sind die folgenden Abschnitte bis auf Dirac-spezifische Themen sehr ¨ ahnlich strukturiert wie diejenigen des ersten Kapitels. Der erste Abschnitt besch¨ aftigt sich mit den Grundlagen der DiracTheorie zur relativistischen Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen, die, wie wir sehen werden, ¨ ahnliche Ph¨ anomene aufweist, wie die Klein-GordonTheorie. Im zweiten Abschnitt behandeln wir die kontinuierlichen und diskreten Symmetrien der Dirac-Theorie. Der dritte Abschnitt ist der Erweiterung, Vervollst¨ andigung und Abgrenzung der von uns angestrebten Ein-Teilcheninterpretation gewidmet. Die nichtrelativistische N¨aherung der Dirac-Theorie in verschiedenen Ordnungen von v/c ist Gegenstand des vierten Abschnittes, wobei wir auch hier wieder auf die Fouldy-WouthuysenMethode zur systematischen Diagonalisierung des Diracschen Hamilton-O-

92

2. Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen

perators zur¨ uckgreifen werden. Analog zum Klein-Gordon-Fall endet dieses Kapitel mit der genaueren Betrachtung einiger einfacher Diracscher EinTeilchensysteme im f¨ unften Abschnitt.

2.1 Dirac-Gleichung Wie wir in Unterabschn. 1.1.1 gesehen haben, f¨ uhrt die relativistische EnergieImpuls-Beziehung f¨ ur freie Teilchen, E 2 = p2 c2 + m20 c4 ,

(2.1)

durch die Operatorersetzung ∂ , p −→ −i¯ h∇ ∂t auf eine skalare Wellengleichung, n¨ amlich die Klein-Gordon-Gleichung, welche eine positiv definite Wahrscheinlichkeitsdichte im Sinne der nichtrelativistischen Quantenmechanik nicht zul¨ aßt, was formal am Auftreten der zweiten zeitlichen Ableitung in dieser Gleichung liegt. Dar¨ uber hinaus treten als Folge der quadratischen Energie-Impuls-Abh¨ angigkeit L¨osungen mit negativer Energie auf, die einer geeigneten Interpretation bed¨ urfen. In dem Bestreben, an einer positiv definiten Wahrscheinlichkeitsdichte festzuhalten, suchte Paul Dirac nach einer relativistischen Verallgemeinerung der Schr¨ odinger-Gleichung, die von erster Ordnung in der Zeit ist. Diese Gleichung wurde von ihm im Jahre 1928 tats¨ achlich gefunden und beschreibt, anders als die Klein-Gordon-Gleichung, Spin-1/2-Teilchen. Allerdings treten auch hier, wie u ¨ brigens in jeder relativistischen Wellengleichung, L¨osungen mit negativer Energie auf, deren physikalische Bedeutung a priori unklar ist. In diesem Abschnitt leiten wir die Dirac-Gleichung und weitere grundlegende Beziehungen der Dirac-Theorie in kanonischer und lorentzkovarianter Formulierung her. Dabei wird sich herausstellen, daß die L¨osungen der DiracGleichung einen inneren Freiheitsgrad besitzen, der als quantenmechanischer Spin mit der Quantenzahl s = 1/2 zu interpretieren ist. Wir diskutieren ferner formale Eigenschaften des hiermit verbundenen Spinoperators und erweitern ihn zu einem lorentzkovarianten Operator, um ihn anschließend zur Konstruktion von Projektionsoperatoren mitzuverwenden. Zum Schluß wenden wir uns den negativen Dirac-L¨ osungen und ihrer Interpretation zu, wobei auch hier die Ladungskonjugationstransformation und desweiteren die L¨ochertheorie eine wichtige Rolle spielen werden. E −→ i¯ h

2.1.1 Kanonische Formulierung der Dirac-Gleichung ¨ Ausgangspunkt der Diracschen Uberlegungen war eine relativistische Verallgemeinerung der Schr¨ odinger-Gleichung f¨ ur freie Teilchen in der Form

2.1 Dirac-Gleichung

∂ψ(x) = H (0) ψ(x) , x = (xµ ) , H (0) hermitesch , ∂t von der er zun¨ achst drei Dinge forderte: i¯ h

93

(2.2)

• Gleichung (2.2) muß lorentzkovariant sein. Da in ihr die zeitliche Ableitung nur in erster Ordnung auftritt, heißt dies, daß auch die r¨aumlichen Ableitungen nur in erster Ordnung auftreten d¨ urfen. • Gleichung (2.2) muß die relativistische Energie-Impuls-Beziehung (2.1) in Operatorform liefern. • Die Gr¨ oße ρ = ψ ∗ ψ muß die Zeitkomponente eines erhaltenen Vierervektors µ j bilden (d.h. es muß eine lorentzkovariante Kontinuit¨atsgleichung geben), damit ihr Integral u ¨ ber den gesamten Raum invariant ist. Aufgrund der ersten beiden Forderungen bietet sich folgender Ansatz f¨ ur den Hamilton-Operator in (2.2) an: h∇ , m0 = Ruhemasse , H (0) = cαp + βm0 c2 , p = −i¯

(2.3)

mit der Nebenbedingung 2

H (0) = c2 p2 + m20 c4

(2.4)

bzw. ∂ 2 ψ(x) = (c2 p2 + m20 c4 )ψ(x) (Klein-Gordon-Gleichung) . ∂t2 Offensichtlich folgt aus der Bedingung (2.4), daß αi und β keine gew¨ohnlichen Zahlen sein k¨ onnen, weil dort Mischterme in αp und β nicht auftreten. Um herauszufinden, welche algebraische Struktur αi und β besitzen, schreiben wir (2.2) und (2.3) in der Form   ∂ψ hc  ¯ i¯ h = αi ∂i + βm0 c2 ψ (2.5) ∂t i i −¯ h2

und iterieren diese Beziehung:   2 hc  ∂ ¯ 2∂ ψ 2 −¯ h = i¯ h αi ∂i ψ + βm0 c ψ ∂t2 ∂t i i   hc  ¯ hc  ¯ 2 = αj ∂j αi ∂i ψ + βm0 c ψ i j i i    h ¯ c +βm0 c2 αi ∂i ψ + βm0 c2 ψ i i  αi αj + αj αi ∂i ∂j ψ = −¯ h 2 c2 2 i,j +

hmc2  ¯ (αi β + βαi ) ∂i ψ + β 2 m20 c4 ψ . i i

94

2. Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen

Hieraus l¨ aßt sich erkennen, daß die Nebenbedingung (2.4) nur dann erf¨ ullt werden kann, wenn αi und β Matrizen sind, die der Algebra {αi , αj } = 2δij , {αi , β} = 0 , α2i = β 2 = 1

(2.6)

gehorchen. Dar¨ uber hinaus m¨ ussen diese Matrizen hermitesch sein, damit der Hamilton-Operator selbst hermitesch ist: αi = α†i , β = β † . Aus der letzten Gleichung von (2.6) folgt desweiteren, daß die Eigenwerte der Matrizen auf die Werte ±1 beschr¨ ankt sind, w¨ahrend aus den Antikommutatoren, zusammen mit der zyklischen Vertauschbarkeit der Spur, tr(ab) = tr(ba), hervorgeht, daß die Spur der Matrizen verschwindet. Denn es gilt z.B. tr(αi ) = +tr(β 2 αi ) = +tr(βαi β) = −tr(αi ) = 0 . Da nun aber die Spur gerade die Summe der Eigenwerte ist, muß die Anzahl der positiven und negativen Eigenwerte gleich sein, woraus folgt, daß die Matrizen von geradzahliger Dimension sind. Die kleinste geradzahlige Dimension N = 2 ist hierbei ausgeschlossen, da man in ihr nur drei miteinander antikommutierende Matrizen unterbringen kann, n¨amlich die Pauli-Matrizen. ullt werden Die kleinste Dimension, in der die Forderung (2.6) f¨ ur αi und β erf¨ kann, ist N = 4, die uns im weiteren Verlauf ausschließlich interessieren wird. Eine der gebr¨ auchlichsten expliziten Darstellungen der Algebra (2.6) ist die Dirac-Darstellung   0 σi 1 0 αi = , , β= σi 0 0 −1 wobei σi die aus Unterabschn. 1.1.2 bekannten Pauli-Matrizen bezeichnen, f¨ ur die wir im Kontext der Dirac-Gleichung durchweg das Symbol σ anstelle von τ verwenden. Eine andere n¨ utzliche Darstellung ist die Weyl-Darstellung. Sie ist definiert durch   σi 0 0 −1 αi = , β= . 0 −σi −1 0 Wegen N = 4 wird nun (2.2) bzw. (2.5) zu einer vierdimensionalen Matrixgleichung ! ∂ψi (x)  = c(αp)ij + βij m0 c2 ψj (x) , i = 1, 2, 3, 4 ∂t j=1 4

i¯ h

und die Wellenfunktion ψ zu einem vierdimensionalen Spaltenvektor ⎛ ⎞ ψ1 (x) ⎜ ψ2 (x) ⎟ ⎟ ψ(x) = ⎜ ⎝ ψ3 (x) ⎠ , ψ4 (x)

(2.7)

2.1 Dirac-Gleichung

95

den man u ¨ blicherweise mit Bispinor bezeichnet. Gleichung (2.7) ist die sog. freie Dirac-Gleichung in kanonischer oder auch Hamiltonscher Form , f¨ ur die wir im weiteren Verlauf meistens die verk¨ urzende vektorielle Notation ∂ψ = H (0) ψ , H (0) = cαp + βm0 c2 i¯ h (2.8) ∂t beibehalten werden. Bevor wir diese Gleichung n¨aher studieren, ist zun¨achst festzustellen, daß sie, wie gew¨ unscht, eine partielle Differentialgleichung von erster Ordnung in Raum und Zeit ist. Dar¨ uber hinaus ist der in ihr auftretende Hamilton-Operator hermitesch, so daß wir die berechtigte Hoffnung haben, eine positiv definite Wahrscheinlichkeitsdichte mit zugeh¨origer erhaltener Gesamtwahrscheinlichkeit zu finden. Ob allerdings die Dirac-Gleichung lorentzkovariant und somit auch der Rest der drei Forderungen von Seite 93 erf¨ ullt ist, ist aufgrund der vorliegenden Form nicht offensichtlich und muß noch gezeigt werden. L¨ osungen der freien Dirac-Gleichung. Die L¨osungen der freien DiracGleichung (2.8) mit definiertem Impuls lassen sich ¨ahnlich leicht finden wie diejenigen der freien Klein-Gordon-Gleichung und lauten in der DiracDarstellung (siehe Aufgabe 11) ⎫ ⎛ ⎞ χ(1,2) ⎪ ⎪ ⎪ ⎜ ⎟ −i(cp0 −px)¯h ⎪ (1,2) ⎪ ψp (x) = ⎝ σpχ(1,2) ⎠ e ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ p 0 + m0 c (2.9) ⎞ ⎛ ⎪ σpχ(3,4) ⎪ ⎪ ⎪ ⎟ ⎜ (3,4) ⎪ ψp (x) = ⎝ p0 + m0 c ⎠ e+i(cp0 −px)/¯h , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ (3,4) χ mit

 p0 = + p2 + m20 c2 > 0 ,

wobei χ(1,2) und χ(3,4) jeweils zwei linear unabh¨angige zweikomponentige konstante Spinoren bezeichnen. Genau wie bei der Klein-Gordon-Gleichung ist man hier offensichtlich wieder mit zwei Sorten von L¨osungen konfronur die sich wieder die Intiert, die einen mit positiver Energie E = +cp0 , f¨ terpretation als Teilchenwellenfunktion anbietet, und die anderen mit negativer Energie E = −cp0 , zwischen denen das verbotene“ Energieintervall ” ] − m0 c2 : m0 c2 [ liegt (vgl. Unterabschn. 1.1.1). Nun ist klar, daß die bloße Existenz der negativen Dirac-L¨ osungen aus denselben Gr¨ unden wie bei der Klein-Gordon-Gleichung zun¨ achst unverst¨andlich erscheint, so daß wir uns um eine physikalisch sinnvolle Interpretation dieser L¨osungen erst noch bem¨ uhen m¨ ussen. Wie in Unterabschn. 2.1.6 genauer ausgef¨ uhrt wird (und der Leser vielleicht schon vermutet), besteht auch hier zwischen den negativen L¨ osungen und den Antiteilchen ein Zusammenhang, wodurch sich wieder ihre verkehrte Zuordnung von Impulseigenwert und -index erkl¨art.

96

2. Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen

Offenbar sind die positiven und negativen Dirac-L¨osungen in (2.9) aufgrund der Freiheiten bei der Wahl der Spinoren χ(1,2) bzw. χ(3,4) noch nicht eindeutig spezifiziert, so daß wir neben dem Hamilton-Operator H (0) und dem Impulsoperator p einen weiteren Operator erwarten, der nur auf die inneren Freiheitsgrade von Diracschen Wellenfunktionen wirkt und zusammen andigen Satz kommutierender Observabler bilmit H (0) und p einen vollst¨ det. In Unterabschn. 2.1.4 werden wir sehen, daß dieser Operator mit dem Spin zusammenh¨ angt, dessen Quantenzahl auf den Wert 1/2 festgelegt ist. Wir folgern hieraus, daß die Dirac-Gleichung zur Beschreibung von Spin-1/2Teilchen (Spin-1/2-Fermionen) geeignet erscheint. Wechselwirkung mit elektromagnetischen Feldern, Eichinvarianz. Wie in allen quantenmechanischen Theorien wird auch in der Dirac-Theorie die Wechselwirkung eines relativistischen Spin-1/2-Teilchens mit einem elektromagnetischen Feld durch die Operatorersetzung (minimale Kopplung) i¯ h

∂ e ∂ −→ i¯ h − eA0 , p −→ p − A ∂t ∂t c

in der freien Dirac-Gleichung (2.8) ber¨ ucksichtigt.1 Dies f¨ uhrt zu der Gleichung

e  ∂ψ(x) = Hψ , H = cα p − A + eA0 + βm0 c2 , (2.10) i¯ h ∂t c mit dem hermiteschen Hamilton-Operator H und der elektrischen Teilchenladung e. Man u ¨ berzeugt sich durch eine zum Klein-Gordon-Fall analoge Rechnung leicht davon, daß diese Gleichung unter den lokalen Eichtransformationen 1 ∂χ , A −→ A = A + ∇χ A0 −→ A0 = A0 − c ∂t des elektromagnetischen Feldes invariant ist, wenn gleichzeitig die Wellenfunktion ψ mit einer entsprechenden Phase multipliziert wird: e χ(x) . ψ −→ ψ  = ψeiΛ(x) , Λ(x) = hc ¯ Kontinuit¨ atsgleichung. Aufgrund der Hermitezit¨at des Hamilton-Operators in (2.10) erwarten wir, daß die Dirac-Gleichung im Gegensatz zur Klein-Gordon-Gleichung die Definition einer positiv definiten Wahrscheinlichkeitsdichte im Sinne der nichtrelativistischen Quantenmechanik erlaubt. Hierzu rechnen wir wie folgt: Linksmultiplikation der Gleichung (2.10) mit ψ † = (ψ1∗ , ψ2∗ , ψ3∗ , ψ4∗ ) liefert i¯ hψ †

1

∂ψ hc † ¯ = ψ α∇ψ − eψ † αAψ + eA0 ψ † ψ + m0 c2 ψ † βψ . ∂t i

(2.11)

Diese Ersetzung ist nur f¨ ur punktf¨ ormige, strukturlose Teilchen korrekt. Siehe Aufgabe 15 und 27.

2.1 Dirac-Gleichung

97

Adjunktion von (2.10) (unter Ber¨ ucksichtigung von α = α† , β = β † ) und anschließender Multiplikation von rechts mit ψ ergibt ∂ψ † hc ¯ ψ = − (∇ψ † )αψ − eψ † αAψ + eA0 ψ † ψ + m0 c2 ψ † βψ . (2.12) ∂t i Subtraktion der letzten beiden Gleichungen f¨ uhrt zu einer Kontinuit¨atsgleichung der Form −i¯ h

∂ρ(x) + ∇j(x) = 0 , mit ρ = ψ † ψ , j = ψ † cαψ . (2.13) ∂t Wendet man hierauf den Gaußschen Satz an, so ergibt sich schließlich  9  ∂ 3 3 d xρ = − d x∇j = − dF j = 0 . ∂t Dies rechtfertigt zusammen mit   ψ†ψ = ψi∗ ψi = |ψi |2 ≥ 0 i

i

in der Tat die Interpretation von ρ als positiv definite Wahrscheinlichkeitsdichte und dementsprechend j als Wahrscheinlichkeitsstromdichte. Weiterhin folgt, daß wir das in der nichtrelativistischen Quantenmechanik verwendete Skalarprodukt (in der Ortsdarstellung)   ψ| φ
= d3 xψ † (x)φ(x) samt allen Konsequenzen u onnen. Zu diesen Konsequenzen ¨ bernehmen k¨ geh¨ oren neben den unter 1) in Satz 1.1 genannten Punkten insbesondere • die Orthogonalit¨ at von Eigenzust¨ anden hermitescher Operatoren mit verschiedenen Eigenwerten, • die Bild- und Darstellungsunabh¨ angigkeit des Skalarproduktes unter unit¨ aren Transformationen. Im Gegensatz zum nichthermiteschen Klein-Gordon-Fall brauchen wir im hermiteschen Dirac-Fall also keine Modifikation der in der nichtrelativistischen Theorie gebr¨ auchlichen Begriffe Skalarprodukt“, Hermitezit¨at“ und Uni” ” ” tarit¨ at“ aus physikalischen und/oder darstellungstheoretischen Gr¨ unden vorzunehmen. Inwiefern sich der nichtrelativistische Erwartungswert samt seiner physikalischen Interpretation [siehe 3) in Satz 1.1] auf den Dirac-Fall u ¨bertragen l¨ aßt, werden wir in Unterabschn. 2.1.6 im Rahmen einer genaueren Diskussion von Teilchen und Antiteilchen sehen.

98

2. Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen

Satz 2.1: Dirac-Gleichung in kanonischer Form Die relativistische Verallgemeinerung der Schr¨odinger-Gleichung f¨ ur Spin1/2-Teilchen ist die Dirac-Gleichung. Sie lautet f¨ ur ein minimal angekoppeltes elektromagnetisches Feld in kanonischer Form

∂ψ(x) e  i¯ h = Hψ(x) , H = cα p − A + eA0 + βm0 c2 , (2.14) ∂t c wobei m0 die Ruhemasse und e die elektrische Ladung des Teilchens bezeichnen. ψ ist ein vierdimensionaler Spaltenvektor (Bispinor), und αi , β sind vierdimensionale hermitesche Matrizen, die der Algebra {αj , αk } = 2δjk , {αj , β} = 0 , α2j = β 2 = 1 gen¨ ugen und in der Dirac-Darstellung gegeben sind durch   0 σi 1 0 αi = , β= . σi 0 0 −1 Die Dirac-Gleichung ist invariant unter lokalen Eichtransformationen des elektromagnetischen Feldes. Sie erlaubt die Definition einer positiv definiten Wahrscheinlichkeitsdichte  † ρ(x) = ψ (x)ψ(x) , d3 xρ(x) = const sowie einer Wahrscheinlichkeitsstromdichte j(x) = ψ † (x)cαψ(x) , die u atsgleichung ¨ ber die Kontinuit¨ ∂ρ + ∇j = 0 ∂t miteinander verbunden sind. Das Skalarprodukt ist genau wie in der Schr¨ odingerschen Theorie und anders als in der Klein-Gordon-Theorie definiert durch (vgl. Definition des V-Skalarproduktes, Unterabschn. 1.3.1)   ψ| φ
= d3 xψ † (x)φ(x) . Die L¨ osungen der freien Dirac-Gleichung lauten in der Dirac-Darstellung   m0 c −i
r pµ xµ /¯h (r) 1 +1 f¨ ur r = 1, 2 ψp(r) (x) = e ω (p) ,

= r −1 f¨ ur r = 3, 4 p0 (2π¯ h)3/2  p0 = + p2 + m20 c2 , mit



2.1 Dirac-Gleichung

99

⎛ p 0 + m0 c ⎝ 2m0 c

⎞ χ(1,2) ⎠ , χ(i)† χ(j) = δij ω (1,2) (p) = σp χ(1,2) p 0 + m0 c ⎛ ⎞ σp  χ(3,4) p + m c 0 0 ⎝ p 0 + m0 c ⎠ , χ(i)† χ(j) = δij ω (3,4) (p) = 2m0 c χ(3,4) 

(Impulseigenwert +p f¨ ur r = 1, 2 und −p f¨ ur r = 3, 4) und sind in der Weise  ,
p0  (r
) = δrr
δ(p − p ) , ω (r)† ( r p)ω (r ) ( r
p) = δrr
(2.15) ψp(r)  ψp
m0 c normiert. Aufgrund der Freiheit in der Wahl der χ(r) sind diese L¨osungen noch nicht eindeutig spezifiziert. Neben (2.15) existieren noch folgende n¨ utzliche Vollst¨andigkeits- und Orthogonalit¨ atsrelationen, die allesamt in Aufgabe 18 (Abschn. 2.2) bewiesen werden: ⎫
ω ¯ (r) (p)ω (r ) (p) = r δrr
⎪ ⎪ ⎪ 4 ⎪ : ⎬ (r) (r)

r ωα (p)¯ ωβ (p) = δαβ (2.16) r=1 ⎪ ⎪ 4 : p0 ⎪ (r) (r)† ⎪ δαβ . ⎭ ωα ( r p)ωβ ( r p) = m0 c r=1 Hierbei bezeichnet ψ¯ = ψ † β

(2.17)

den zu ψ dirac-adjungierten oder einfach adjungierten Bispinor. 2.1.2 Dirac-Gleichung in lorentzkovarianter Form Nachdem wir eine relativistische Verallgemeinerung der Schr¨odinger-Gleichung von erster Ordnung in Raum und Zeit und mit einer positiv definiten Wahrscheinlichkeitsdichte gefunden haben, m¨ ussen wir in Bezug auf die Diracschen Forderungen von Seite 93 noch zeigen, daß sie dem Relativit¨atsprinzip entsprechend in allen Inertialsystemen das gleiche Aussehen hat. Hierzu ist es aus Gr¨ unden der Symmetrie zwischen ct = x0 und xi zweckm¨aßig, die γ-Matrizen einzuf¨ uhren, γ 0 = β , γ i = βαi , welche aufgrund von (2.6) der Clifford-Algebra {γ µ , γ ν } = 2g µν , (γ µ )2 = g µµ

(2.18)

100

2. Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen

gen¨ ugen. Weiterhin gelten aufgrund der Hermitezit¨atseigenschaften von αi und β die Relationen γ µ† = g µµ γ µ ⇐⇒ γ µ† = γ 0 γ µ γ 0 .

(2.19)

Mit diesen Matrizen und unter Verwendung der Vierernotation f¨ ur den Impuls und das elektromagnetische Feld,   0 ∂/(c∂t) A µ µ µ , (A ) = h(∂ ) = i¯ h (p ) = i¯ , −∇ A l¨ aßt sich die kanonische Dirac-Gleichung (2.14) umformulieren zu   e (2.20) γ µ pµ − Aµ (x) − m0 c ψ(x) = 0 , c nat¨ urlich mit denselben freien L¨ osungen aus Satz 2.1. In der Dirac-Darstellung sind die γ-Matrizen gegeben durch   1 0 0 σi 0 i γ = , γ = , 0 −1 −σi 0 und in der Weyl-Darstellung lauten sie   0 −1 0 σi 0 i , γ = γ = . −1 0 −σi 0 F¨ ur die Lorentz-Kovarianz (Forminvarianz) der Dirac-Gleichung ist nun folgendes zu zeigen: Es muß eine explizite Vorschrift geben, die es einem Beobachter im Inertialsystem K erlaubt, bei gegebenem ψ(x) eines Beobachters im Inertialsystem K sein ψ  (x ) zu berechnen, was ihm denselben physikalischen Zustand beschreibt (passive Transformation, siehe Unterabschn. 1.2.1). osung der gestrichenen Dirac-Gleichung Dar¨ uber hinaus muß ψ  (x ) L¨

  e γ µ pµ − Aµ (x ) − m0 c ψ  (x ) = 0 c sein, wobei die gestrichenen Matrizen nat¨ urlich ebenfalls den Relationen (2.18) und (2.19) zu gen¨ ugen haben. Nun kann man zeigen, daß zwei S¨atze von 4×4-Matrizen, die (2.18) erf¨ ullen, sich lediglich durch eine unit¨are Transformation unterscheiden: γ µ = U † γ µ U , U † = U −1 . Das heißt man hat im gestrichenen System lediglich eine andere Darstellung der γ-Matrizen. Wir nehmen deshalb ohne Beschr¨ankung der Allgemeinheit an, daß die γ-Matrizen im ungestrichenen und gestrichenen System das gleiche Aussehen haben, und k¨ onnen somit f¨ ur die Dirac-Gleichung im gestrichenen System schreiben:   e γ µ pµ − Aµ (x ) − m0 c ψ  (x ) = 0 . (2.21) c

2.1 Dirac-Gleichung

101

Die Bispinortransformation D(Λ), welche ψ(x) in ψ  (x ) u uhrt, muß li¨ berf¨ near sein, da auch die Lorentz-Transformation Λ der Koordinaten linear ist. Das heißt2 ψ  (x ) = ψ  (Λx) = D(Λ)ψ(x) = D(Λ)ψ(Λ−1 x ) bzw. ψ(x) = D−1 (Λ)ψ  (x ) = D−1 (Λ)ψ  (Λx) oder ψ(x) = D(Λ−1 )ψ  (x ) . Die letzten beiden Beziehungen berechtigen uns zu der Gleichsetzung D−1 (Λ) = D(Λ−1 ) . Um nun zu einer Bestimmungsgleichung f¨ ur D zu kommen, dr¨ ucken wir die gestrichenen Gr¨ oßen in (2.21) durch die ungestrichenen aus:   e γ µ pν − Aν (x) [Λ−1 ]ν µ − m0 c D(Λ)ψ(x) = 0 . c Linksmultiplikation dieser Gleichung mit D−1 (Λ) liefert

  e D−1 (Λ)γ µ pν − Aν (x) [Λ−1 ]ν µ D(Λ) − m0 c ψ(x) = 0 . c Hieraus erkennt man, daß die Dirac-Gleichung genau dann lorentzkovariant ist, wenn es f¨ ur jede Lorentz-Transformation Λ eine Matrix D(Λ) gibt, f¨ ur die gilt:3 D−1 (Λ)γ µ [Λ−1 ]ν µ D(Λ) = γ ν ⇐⇒ D−1 (Λ)γ µ D(Λ) = Λµ ν γ ν .

(2.22)

Vorausgreifend sei hier erw¨ ahnt, daß die Matrix D(Λ) i.a. nicht unit¨ar ist. In Aufgabe 12 wird gezeigt, daß ganz allgemein die Beziehung D† (Λ) = bγ 0 D−1 (Λ)γ 0 , b =

Λ0 0 = ±1 |Λ0 0 |

(2.23)

gilt, wobei det(D) = 1 vorausgesetzt wird. 2

Von den Transformationen xµ → xµ = Λµ ν xν + aµ der vollen Poincar´e-Gruppe betrachten wir im folgenden nur die homogenen Lorentz-Transformationen (aµ = 0), weil die Invarianz der Dirac-Gleichung gegen¨ uber Raumzeit-Translationen offensichtlich ist: xµ → xµ = xµ + aµ =⇒ Aµ (x ) = Aµ (x) , pµ = pµ =⇒ ψ  (x ) = ψ(x) .

3

Man beachte: Da wir im ungestrichenen und gestrichenen System dieselben γMatrizen voraussetzen, ist es nicht gerechtfertigt, γ µ als Vierervektor zu betrachten, wie es durch die µ-Indizierung suggeriert wird. Im n¨ achsten Unterabschnitt werden wir jedoch sehen, daß die durch die γ-Matrizen gebildeten Bilinearformen der Art ψ¯ · · · ψ sich bzgl. Lorentz-Transformationen so verhalten, als sei γ µ ein Vierervektor.

102

2. Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen

Bis hierher haben wir mit (2.22) eine Bestimmungsgleichung f¨ ur die Bispinortransformation D(Λ) gefunden. Sie stellt gewissermaßen ein notwendiges Kriterium f¨ ur die Lorentz-Kovarianz der Dirac-Gleichung dar. Um unsere diesbez¨ ugliche Beweisf¨ uhrung zu vervollst¨andigen, m¨ ussen wir nat¨ urlich noch zeigen, daß die Bispinortransformationen auch tats¨achlich existieren, z.B. indem wir sie explizit konstruieren. Hiermit werden wir uns in Abschn. 2.2 intensiv besch¨ aftigen. Um jedoch den Argumentationsfluß der jetzigen Ausf¨ uhrungen nicht zu unterbrechen, sei bereits an dieser Stelle festgestellt, daß es in der Tat m¨ oglich ist, nicht nur f¨ ur eigentliche LorentzTransformationen die zugeh¨ orige Bispinortransformation niederzuschreiben (was ausreichend w¨ are), sondern f¨ ur alle Transformationen der Poincar´eGruppe. Adjungierter Bispinor, adjungierte Dirac-Gleichung. In (2.17) haben wir bereits den adjungierten Bispinor ψ¯ = ψ † β = ψ † γ 0 eingef¨ uhrt, dessen explizite Form in der Dirac- und Weyl-Darstellung gegeben ist durch ψ¯ = (ψ1∗ , ψ2∗ , −ψ3∗ , −ψ4∗ ) bzw. ψ¯ = (−ψ3∗ , −ψ4∗ , −ψ1∗ , −ψ2∗ ) . Der Vorteil seiner Verwendung liegt u.a. in der Tatsache, daß er sich unter Lorentz-Transformationen invers zu ψ verh¨ alt, denn unter Ber¨ ucksichtigung von (2.23) findet man ψ¯ (x ) = ψ † (x )γ 0 = [Dψ(x)]† γ 0 = ψ † (x)D† γ 0 = bψ † (x)γ 0 D−1 −1 ¯ = bψ(x)D .

(2.24)

Hieraus folgt, daß man durch Kombination von ψ¯ und ψ sog. kovariante Bilinearformen bilden kann, die ein definiertes Transformationsverhalten unter Lorentz-Transformationen besitzen (siehe weiter unten sowie Unterabschn. 2.1.3). Unter Verwendung der Beziehung  † ∂ψ ∂ψ † † (i¯ hγ µ ∂µ ψ) = i¯ hγ µ µ = −i¯ h µ γ µ† = −i¯ h∂µ ψ † γ µ† ∂x ∂x erh¨ alt man die zur Dirac-Gleichung (2.20) hermitesch konjugierte Gleichung

e  −i¯ h∂µ − Aµ ψ † γ µ† − m0 cψ † = 0 . c Durch Rechtsmultiplikation dieser Beziehung mit γ 0 und Ausnutzen von (2.19) folgt schließlich die adjungierte Dirac-Gleichung

e ¯ µ −pµ − Aµ ψγ − m0 cψ¯ = 0 . c Sie ist zur Dirac-Gleichung ¨ aquivalent.

2.1 Dirac-Gleichung

103

Lorentz-Kovarianz der Kontinuit¨ atsgleichung. Mit Hilfe des adjungierten Bispinors ist es nun leicht zu zeigen, daß die Gr¨oße  cρ µ † 0 µ µ µ ¯ j = cψ γ γ ψ = cψγ ψ , (j ) = j ein kontravarianter Vierervektor unter orthochronen Lorentz-Transformationen ist und somit die Kontinuit¨ atsgleichung in der manifest invarianten Weise ∂µ j µ = 0 geschrieben werden kann. Unter Ber¨ ucksichtigung von (2.22) und (2.24) mit b = +1 folgt n¨ amlich −1 ¯ j µ (x ) = cψ¯ (x )γ µ ψ  (x ) = cψ(x)D (Λ)γ µ D(Λ)ψ(x) µ ν µ µ ¯ = cψ(x)Λ ν γ ψ(x) = Λ ν j (x) .

Satz 2.2: Dirac-Gleichung in lorentzkovarianter Form Unter Verwendung der γ-Matrizen γ 0 = β , γ j = βαj , lautet die Dirac-Gleichung f¨ ur ein minimal angekoppeltes elektromagnetisches Feld   e γ µ pµ − Aµ (x) − m0 c ψ(x) = 0 . (2.25) c Sie ist in dieser Form lorentzkovariant, falls man zu jeder LorentzTransformation Λ:

xµ −→ xµ = Λµ ν xν

eine Bispinortransformation D(Λ) :

ψ(x) −→ ψ  (x ) = D(Λ)ψ(x)

finden kann, f¨ ur die gilt: D−1 (Λ)γ µ D(Λ) = Λµ ν γ ν .

(2.26)

Unter dieser Voraussetzung transformiert sich die Viererstromdichte ¯ µψ j µ = cψ † γ 0 γ µ ψ = cψγ unter orthochronen Lorentz-Transformationen wie ein kontravarianter Vierervektor, und es gilt die lorentzkovariante Kontinuit¨atsgleichung ∂µ j µ = 0 . Der adjungierte Bispinor ψ¯ = ψ † γ 0



104

2. Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen

gen¨ ugt der zur Dirac-Gleichung ¨ aquivalenten adjungierten Dirac-Gleichung

e ¯ µ −pµ − Aµ ψγ − m0 cψ¯ = 0 . c Unter Verwendung von D† (Λ) = bγ 0 D−1 (Λ)γ 0 , b =

Λ0 0 = ±1 , det(D) = 1 |Λ0 0 |

ergibt sich f¨ ur das Transformationsverhalten des adjungierten Bispinors −1 ¯ ¯ (Λ) . ψ(x) −→ ψ¯ (x ) = bψ(x)D

2.1.3 Eigenschaften der γ-Matrizen und kovariante Bilinearformen Bevor wir die Dirac-Gleichung hinsichtlich ihrer L¨osungen weiter diskutieren, f¨ ugen wir in diesem Unterabschnitt einige Zwischenbetrachtungen u ¨ ber formale Eigenschaften der γ-Matrizen und deren Verwendung bei der Bildung von kovarianten Bilinearformen ein. Vollst¨ andiges Basissystem. Offenbar sind die vier Matrizen γ µ zwar linear unabh¨ angig, bilden aber keine vollst¨ andige Basis im 16-dimensionalen Raum der 4×4-Matrizen. Durch einfache Matrixmultiplikationen der γ µ ist es jedoch m¨oglich, 16 linear unabh¨ angige Basiselemente dieses Raumes zu finden. Diese sind in Tab. 2.1 aufgef¨ uhrt.

Bezeichnung

Anzahl

Explizite Form
(n) 2
(n) 2 Γ = +1 Γ = −1

Γ (S) : 1

1

1

Γ (V) : γ µ

4

γ0

Γ (T) : γ µ γ ν , µ < ν

6

γ 0 γ 1, γ 0 γ 2 , γ 0γ 3

Γ (A) : γ µ γ 5

4

iγ 0 γ 2 γ 3 , iγ 0 γ 3 γ 1 , iγ 0 γ 1 γ 2

Γ (P) : γ 5

1

iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3

γ1, γ2, γ3 γ 1 γ 2 , γ 1 γ 3, γ 2 γ 3 iγ 1 γ 2 γ 3

Tab. 2.1. Basiselemente des 4×4-Matrizenraums.

Wie bei den γ-Matrizen selbst ist das Quadrat der in den f¨ unf Typen Γ (n) zusammengefaßten Matrizen +1 oder −1. Die hochgestellten Indizes stehen f¨ ur Skalar (S), Vektor (V), Tensor (T), Pseudoskalar (P) und Pseudobzw. Axialvektor (A) und h¨ angen mit dem jeweiligen Transformationsverhalten der zugeh¨ origen Matrizen bei Kombination mit ψ¯ und ψ unter LorentzTransformationen zusammen (siehe weiter unten). Als einzige dieser Matrizen

2.1 Dirac-Gleichung

105

vertauscht die Einheitsmatrix mit allen Matrizen. Jede andere Matrix vertauscht genau mit 8 der 16 Matrizen und antivertauscht mit den u ¨ brigen 8. Man u ¨berzeugt sich leicht davon, daß jedes Produkt von mehr als vier γ-Matrizen solche mit gleichem Index enthalten muß, so daß sich das Produkt u ¨ ber die Antivertauschungsrelation (2.18) auf eines der 16 angegebenen Elemente zur¨ uckf¨ uhren l¨ aßt. Daß die aufgef¨ uhrten Matrizen tats¨ achlich eine vollst¨andige Basis im Raum der 4×4-Matrizen bilden, l¨ aßt sich durch folgende Argumentation beweisen: • Zu jeder Matrix Γ (n) = Γ (S) existiert eine Matrix Γ (m) , so daß Γ (n) Γ (m) = −Γ (m) Γ (n) . Hieraus folgt, daß die Spur von Γ (n) verschwindet,  

2   ±tr Γ (n) = tr Γ (n) Γ (m) = −tr Γ (m) Γ (n) Γ (m) 

2  = −tr Γ (n) Γ (m) =0,

(2.27)

wobei in der vorletzten Beziehung die zyklische Vertauschbarkeit der Spur ausgenutzt wurde. • Zu jedem Γ (a) und Γ (b) = Γ (a) existiert ein Γ (n) = Γ (S) , so daß Γ (a) Γ (b) = Γ (n) .

(2.28)

• Wir nehmen nun an, es existieren Zahlen an , so daß gilt:  an Γ (n) = 0 .

(2.29)

n

Multiplikation dieser Gleichung mit Γ (m) und anschließender Spurbildung liefert   an tr Γ (n) Γ (m) = 0 . n

Im Falle Γ (m) = Γ (S) folgt wegen (2.27) und (2.28) am = 0. Ist andererseits Γ (m) = Γ (S) , so findet man aS = 0. Insgesamt verschwinden also in (2.29) alle Koeffizienten, was die lineare Unabh¨ angigkeit der Γ (n) beweist. Inverse Matrizen. Genau wie bei Vierervektoren (allgemeiner: LorentzTensoren) definiert man die zu γ µ geh¨ orende Matrix γµ durch das Hinunterziehen des Index mittels γµ = gµν γ ν . Nun gilt aufgrund von (2.18) (ohne Summation u ¨ber µ) 2

γ µ γµ = γ µ gµν γ ν = (γ µ ) gµµ = g µµ gµµ = 1 .

106

2. Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen

Das heißt γµ ist die inverse Matrix zu γ µ . Man erh¨alt deshalb die zu Γ (n) geh¨ orende inverse Matrix, indem man die Reihenfolge der darin enthaltenen Matrizen γ µ umdreht, diese durch γµ ersetzt und voranstehende i durch −i ersetzt. So lautet z.B. die zu iγ 1 γ 2 γ 3 inverse Matrix −iγ3 γ2 γ1 . Kovariante Bilinearformen. Wie weiter oben bereits festgestellt wurde, lassen sich mit Hilfe der in Tab. 2.1 stehenden γ-Matrixkombinationen Γ (n) kovariante Bilinearformen bilden, die ein definiertes Transformationsverhalten unter Lorentz-Transformationen besitzen. Wir wollen nun diese Bilinearformen n¨ aher spezifizieren und ihr zugeh¨ origes Transformationsverhalten bestimmen, wobei wir uns auf orthochrone Transformationen (b = +1) beschr¨ anken und von den Beziehungen ¯ −1 , D−1 γ µ D = Λµ ν γ ν ψ −→ ψ  = Dψ , ψ¯ −→ ψ¯ = ψD Gebrauch machen. • Skalare Bilinearform, Γ (S) . Diese Bilinearform ist gegeben durch ¯ = ψψ ¯ und transformiert sich offensichtlich wie ein Lorentz-Skalar: ψ1ψ ¯ . ¯ −→ ψD ¯ −1 Dψ = ψψ ψψ ¯ µ ψ und ist ge• Vektorielle Bilinearform, Γ (V) . Sie wird gebildet durch ψγ rade der Viererstrom, von dem wir bereits wissen, daß er sich wie ein kontravarianter Vektor transformiert: ¯ −1 γ µ Dψ = ψΛ ¯ µ ν γ ν ψ = Λµ ν ψγ ¯ νψ . ¯ µ ψ −→ ψD ψγ ¯ µ γ ν ψ. Ihr Transforoße lautet ψγ • Tensorielle Bilinearform, Γ (T) . Diese Gr¨ mationsverhalten berechnet sich zu ¯ −1 γ µ γ ν Dψ = ψD ¯ −1 γ µ DD−1 γ ν Dψ ¯ µ γ ν ψ −→ ψD ψγ ¯ αγ β ψ . = Λµ α Λν β ψγ ¯ µ γ ν ψ transformiert sich wie ein kontravarianter Tensor 2. Das heißt ψγ Stufe. • Pseudoskalare Bilinearform, Γ (P) . F¨ ur den hierdurch gebildeten Ausdruck ¯ 5 ψ liefert die Rechnung ψγ ¯ 5 ψ = iψγ ¯ 0 γ 1 γ 2 γ 3 ψ −→ iψD ¯ −1 γ 0 DD−1 γ 1 DD−1 γ 2 DD−1 γ 3 Dψ ψγ ¯ αγ β γ δ γ ρψ . = iΛ0 α Λ1 β Λ2 δ Λ3 ρ ψγ (2.30) Zur weiteren Auswertung ist zu beachten, daß die Summen u ¨ ber Terme mit mindestens zwei gleichen Indizes nichts beitragen, denn es gilt z.B. Λ2 µ Λ3 µ γ µ γ µ = Λ2 µ g µν Λ3 ν , und dieser Term verschwindet aufgrund von (A.2) und (A.3) im Anhang. Desweiteren folgt aufgrund der Antivertauschbarkeit der γ-Matrizen

2.1 Dirac-Gleichung

107

Λ0 α Λ1 β Λ2 δ Λ3 ρ γ α γ β γ δ γ ρ = αβδρ Λ0 α Λ1 β Λ2 δ Λ3 ρ γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 = det(Λ)γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 . Insgesamt k¨ onnen wir deshalb f¨ ur (2.30) schreiben: ¯ 5ψ . ¯ 5 ψ −→ det(Λ)ψγ ψγ ¯ 5 ψ ein Pseudoskalar, dessen Transformationsverhalten sich Folglich ist ψγ von dem des Skalars durch den zus¨ atzlichen Faktor det(Λ) unterscheidet. • Pseudo- bzw. axialvektorielle Bilinearform, Γ (A) . Die letzte Bilinearform ¯ µ γ 5 ψ. Hier f¨ lautet ψγ uhrt die Rechnung unter Ber¨ ucksichtigung der Anmerkungen zur pseudoskalaren Bilinearform zu folgendem Transformationsgesetz: ¯ µ γ αγ β γ δ γ ρψ ¯ µ γ 5 ψ −→ iΛµ ν Λ0 α Λ1 β Λ2 δ Λ3 ρ ψγ ψγ ¯ µγ 0 γ 1γ 2 γ 3 ψ = iΛµ ν αβδρ ψγ ¯ ν γ5ψ . = det(Λ)Λµ ν ψγ ¯ µ γ 5 ψ ist ein kontravarianter Pseudovektor. Er transformiert Das heißt ψγ sich wie ein Vektor, bis auf den zus¨ atzlichen Faktor det(Λ). 2.1.4 Spinoperator In Unterabschn. 2.1.1 haben wir festgestellt, daß es neben H (0) und p einen weiteren, nur auf die inneren Freiheitsgrade Diracscher Wellenfunktionen wirkenden Operator geben muß, der mit H (0) und p vertauscht. Um diesen Operator zu finden, betrachten wir zun¨ achst einmal den freien Hamilton-Operator f¨ ur ruhende freie Teilchen in der Dirac- oder Weyl-Darstellung, H(0) = βm0 c2 , und stellen fest, daß der Operator  h σ 0 ˆ , σ ˆ= S= σ 0 σ 2

(2.31)

¨ mit H(0) kommutiert. Da S einerseits formale Ahnlichkeit mit dem Spinoperator der nichtrelativistischen Quantenmechanik besitzt und andererseits den typischen Vertauschungsrelationen h ijk Sk , i, j, k = 1, 2, 3 [Si , Sj ] = i¯ f¨ ur quantenmechanische Drehimpulse gen¨ ugt, liegt es nahe, ihn als Spinoperator der Dirac-Theorie zu identifizieren. Seine Quantenzahl s ergibt sich aus der Zuordnung S2 =

¯2 2 h 3 2 1 ˆ = ¯ σ h =h ¯ 2 s(s + 1) =⇒ s = , 4 4 2

108

2. Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen

was ein Indiz daf¨ ur ist, daß die Dirac-L¨ osungen Spin-1/2-Teilchen beschreiben.4 Weiterhin folgt aus den bekannten Regeln der Drehimpulsalgebra, daß die Projektion des Spins auf eine beliebige Raumrichtung, Sn(0) = n(0) S , |n(0) | = 1 , die Eigenwerte bzw. Quantenzahlen hmn(0) , mn(0) = ±1/2 ¯ besitzt. Der von uns gesuchte Operator lautet also Sn(0) . Er bildet zusammen mit H(0) , p (und S 2 ) einen vollst¨ andigen Satz kommutierender Observabler. Dementsprechend lassen sich die Diracschen L¨ osungen aus Satz 2.1 im Ruhefall durch Angabe ihrer Eigenwerte von Energie, Impuls und der Projektion des Spins auf eine beliebige Raumrichtung eindeutig spezifizieren. Ist der Spin in bzw. gegen die z-Richtung orientiert (mz = ±1/2), dann sind die zugeh¨ origen Spinoren z.B. in folgender Weise zu w¨ahlen:  h ¯ 1 (1,3) =⇒ Sz ω (1,3) (0) = + ω (1,3) (0) χ ∼ 0 2  h ¯ 0 χ(2,4) ∼ =⇒ Sz ω (2,4) (0) = − ω (2,4) (0) , 1 2 mit Sz = Sn(0) , n(0)

⎛ ⎞ 0 = ⎝0⎠ . 1

Kommen wir jetzt zum allgemeineren Fall eines bewegten freien Teilchens mit dem zugeh¨ origen Hamilton-Operator H (0) aus (2.8). Anders als in der nichtrelativistischen Theorie kommutiert der Spinoperator S bzw. Sn(0) mit H (0) i.a. ¨ nicht. Wir k¨ onnen ihn aber durch eine einfache Uberlegung zu einem lorentzkovarianten Operator erweitern, der in jedem Fall mit H (0) und p vertauscht. Hierzu stellen wir unter Ber¨ ucksichtigung von Unterabschn. 2.1.2 zun¨achst folgendes fest: Bezeichnet Λv die eigentliche Lorentz-Transformation, die vom Ruhesystem eines Spin-1/2-Teilchens auf ein hierzu mit der Geschwindigkeit v bewegtes Bezugssystem transformiert, dann gilt ω (r) (−p) = D(Λv )ω (r) (0) ⇐⇒ ω (r) (p) = D(Λ−v )ω (r) (0) ⇐⇒ ω (r) (0) = D−1 (Λ−v )ω (r) (p) (r) ⇐⇒ ω (r) (0) = D(Λ−1 (p) −v )ω

⇐⇒ ω (r) (0) = D(Λv )ω (r) (p) , orende Bispinortransformation, ω (r) (0) wobei D(Λv ) die zu Λv = Λ−1 −v geh¨ die Bispinoren f¨ ur ruhende Teilchen und ω (r) (p) die Bispinoren f¨ ur freie Teilchen mit dem Impuls p bezeichnen. Nehmen wir nun an, die Spinoren χ(r) 4

Ein formaleres transformationstheoretisches Argument folgt in Unterabschn. 2.2.2.

2.1 Dirac-Gleichung

109

seien dergestalt gew¨ ahlt, daß die Bispinoren ω (r) (0) des Ruhesystems Eigenzust¨ ande von Sn(0) sind, also Sn(0) ω (r) (0) = ¯hmn(0) ω (r) (0) , mn(0) = ±

1 , 2

dann folgt Sn(0) D(Λv )ω (r) (p) = h ¯ mn(0) D(Λv )ω (r) (p) ¯ mn(0) ω (r) (p) . ⇐⇒ D−1 (Λv )Sn(0) D(Λv )ω (r) (p) = h ande von Sn(0) , dann sind ω (r) (p) Mit anderen Worten: Sind ω (r) (0) Eigenzust¨ Eigenzust¨ ande des lorentzkovarianten Spinoperators S(n, p) = D−1 (Λv )Sn(0) D(Λv ) ,

(2.32)

und zwar mit denselben Eigenwerten. Hieraus ergeben sich notwendigerweise die gew¨ unschten Vertauschungsrelationen  S(n, p), H (0) = [S(n, p), p] = 0 . Die Schreibweise S(n, p) wird klar, sobald wir (2.32) etwas umformulieren und die darin enthaltene Bispinortransformation D eliminieren. Zu diesem Zweck bringen wir Sn(0) zun¨ achst in die Form Sn(0) =

h ¯ ν (0) γ 5 γ µ n(0) µ γ pν , 2m0 c

wobei   0  

m0 c (0)µ = n(0)µ = , p 0 n(0) die zu einem Vierervektor erweiterte Spinprojektionsrichtung bzw. den Viererimpuls im Ruhesystem bezeichnen. Unter Verwendung von (2.26) geht dann (2.32) u ¨ ber in −1 S(n, p) = D−1 (Λ−1 −v )Sn(0) D(Λ−v ) h ¯ −1 −1 (0) µ (0) −1 ν = γ 5 D−1 (Λ−1 (Λ−1 −v )γ D(Λ−v )nµ D −v )γ D(Λ−v )pν 2m0 c h ¯ µ α (0) −1 ν β (0) γ 5 [Λ−1 = −v ] α γ nµ [Λ−v ] β γ pν 2m0 c h ¯ −1 µ β (0) −1 ν γ 5 γ α n(0) = µ [Λ−v ] α γ pν [Λ−v ] β 2m0 c h ¯ = (2.33) γ 5 γ α nα γ β pβ , 2m0 c

mit nµ = [Λ−v ]µ ν n(0)ν , pµ = [Λ−v ]µ ν p(0)ν ,

110

2. Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen

wobei in der zweiten Zeile von (2.33) die f¨ ur eigentliche Lorentz-Transformationen g¨ ultige Beziehung [D, γ 5 ] = 0 benutzt wurde.5 Insgesamt k¨onnen wir somit festhalten: Satz 2.3: Lorentzkovarianter Spinoperator und Viererpolarisation Der lorentzkovariante Spinoperator (genauer: die lorentzkovariante Projektion des Spins) der Dirac-Theorie lautet darstellungsunabh¨angig  h ¯ γ 5 γ µ nµ γ ν pν , S(n, p), H (0) = [S(n, p), p] = 0 . S(n, p) = 2m0 c Hierbei bezeichnen n = (nµ ) die Viererpolarisation und p = (pµ ) den Viererimpuls, die aus den entsprechenden Ausdr¨ ucken des Ruhesystems in folgender Weise hervorgehen:  m0 c pµ = [Λ−v ]µ ν p(0)ν , (p(0)µ ) = 0  0 µ µ (0)ν (0)µ n = [Λ−v ] ν n , (n )= . n(0) Sind die freien Bispinoren ω (r) (0) Eigenzust¨ande von S(n(0) , p(0) ) = Sn(0) , dann sind ω (r) (p) = D(Λ−v )ω (r) (0) Eigenzust¨ande von S(n, p) mit denselben Eigenwerten. Ein besonderer Spezialfall des lorentzkovarianten Spinoperators ist der sog. Helizit¨atsoperator. Er ist definiert durch die Projektion des Spins S auf die ur ihn ergibt sich unter Ber¨ ucksichtigung Impulsrichtung, also n(0) = p/|p|. F¨ von6 [Sp , D(Λv )] = 0 aus (2.32) S(p, p) = Sp =

h 5 0 ¯ pS = γ γ γp , |p| 2|p|

wobei der rechte Ausdruck unabh¨ angig von der gew¨ahlten Darstellung ist. Die zugeh¨ orige Quantenzahl mp wird Helizit¨at genannt. 2.1.5 Projektionsoperatoren F¨ ur praktische Berechnungen ist es oftmals bequem, Operatoren zu besitzen, die aus einer allgemeinen L¨ osung der freien Dirac-Gleichung mit Impulsindex p diejenigen Bispinoren mit gegebenem Energievorzeichen und gegebener Spinorientierung herausprojizieren. Energieprojektionsoperatoren. Die Projektoren auf L¨osungen mit definierter Energie ergeben sich unmittelbar aus der freien Dirac-Gleichung im Impulsraum, 5 6

{γ 5 , γ µ } = 0 =⇒ [γ 5 , σµν ] = 0; siehe Satz 2.6 in Unterabschn. 2.2.1. Siehe (2.60) in Unterabschn. 2.2.1.

2.1 Dirac-Gleichung

111

γ µ pµ ω (1,2) (p) = m0 cω (1,2) (p) , γ µ pµ ω (3,4) (p) = −m0 cω (3,4) (p) . (2.34) Definiert man aufgrund dessen die Operatoren γ µ p µ + m0 c −γ µ pµ + m0 c , Λ− (p) = , 2m0 c 2m0 c dann gilt offensichtlich Λ+ (p) =

Λ+ (p)ω (1,2) (p) = ω (1,2) (p) , Λ+ (p)ω (3,4) (p) = 0 Λ− (p)ω (1,2) (p) = 0

, Λ− (p)ω (3,4) (p) = ω (3,4) (p) .

Somit projiziert Λ+ (p) auf positive und Λ− (p) auf negative L¨osungen bei beliebiger Spinorientierung. F¨ ur dieses vollst¨ andige und lorentzkovariante Projektionssystem gelten die f¨ ur Projektionsoperatoren charakteristischen Gleichungen Λ2± (p) = Λ± (p) , Λ± (p)Λ∓ (p) = 0 , Λ+ (p) + Λ− (p) = 1 .

(2.35)

Spinprojektionsoperatoren. Um zu analogen Ausdr¨ ucken f¨ ur den Spin zu gelangen, nehmen wir an, die χ(r) seien so gew¨ahlt, daß gilt: ⎫  h (1,3) ¯ Spin in Richtung n(0) ⎪ (1,3) ⎪ S(n, p)ω (p) = + ω (p) ⎪ ⎬ im Ruhesystem 2 (2.36)  ⎪ h (2,4) ¯ Spin in Richtung −n(0) ⎪ ⎪ (2,4) ⎭ S(n, p)ω (p) = − ω (p) im Ruhesystem 2 und berechnen dann unter Ber¨ ucksichtigung von Satz 2.3 und (2.34): h ¯ γ 5 γ µ nµ γ ν pν ω (1,2) (p) 2m0 c h ¯ = γ 5 γ µ nµ ω (1,2) (p) 2 h ¯ = ± ω (1,2) (p) 2

S(n, p)ω (1,2) (p) =

=⇒ γ 5 γ µ nµ ω (1,2) (p) = ±ω (1,2) (p) h ¯ γ 5 γ µ nµ γ ν pν ω (3,4) (p) 2m0 c h ¯ = − γ 5 γ µ nµ ω (3,4) (p) 2 h (3,4) ¯ (p) = ± ω 2

S(n, p)ω (3,4) (p) =

=⇒ γ 5 γ µ nµ ω (3,4) (p) = ∓ω (3,4) (p) . Hieraus ergeben sich die ebenfalls lorentzkovarianten Spinprojektoren 1 1 Σ(n) = (1 + γ 5 γ µ nµ ) , Σ(−n) = (1 − γ 5 γ µ nµ ) , 2 2

112

2. Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen

die in folgender Weise auf die ω (r) (p) wirken: Σ(n)ω (1,4) (p) = ω (1,4) (p) , Σ(n)ω (2,3) (p) = 0

⎫ ⎬

, Σ(−n)ω (2,3) (p) = ω (2,3) (p) . ⎭

Σ(−n)ω (1,4) (p) = 0

(2.37)

Das heißt Σ(n) [Σ(−n)] projiziert auf Bispinoren mit positiver [negativer] Energie, deren Spin im Ruhesystem in Richtung +n(0) zeigt, und auf Bispinoren mit negativer [positiver] Energie, deren Spin im Ruhesystem in Richtung −n(0) zeigt. Man u ¨berzeugt sich leicht davon, daß die Σ(±n) ebenfalls ein vollst¨ andiges Projektionssystem bilden und den zu (2.35) korrespondierenden charakteristischen Gleichungen gen¨ ugen. Da beide Projektionsarten f¨ ur Energie und Spin die ω (r) (p) als gemeinsames System von Eigenvektoren besitzen, gilt desweiteren [Λ± (p), Σ(±n)] = 0. Wir k¨onnen deshalb sofort die vier weitere Projektionsoperatoren P1 (p) = Λ+ (p)Σ(n) P2 (p) = Λ+ (p)Σ(−n) P3 (p) = Λ− (p)Σ(−n) P4 (p) = Λ− (p)Σ(n) angeben, die in der Weise


Pr (p)ω (r ) (p) = δrr
ω (r) (p) wirken. Offensichtlich ist die Wirkungsweise des Spinprojektors f¨ ur negative Energiezust¨ ande in (2.37) genau umgekehrt zu dem, was man aufgrund von (2.36) erwarten w¨ urde. Eine ¨ ahnliche Situation hat man in Satz 2.1, wo die L¨osungen mit negativer Energie und Impulsindex p Eigenfunktionen des Impulsoperators mit dem Eigenwert −p sind. Die physikalische Begr¨ undung f¨ ur diese augenscheinlich verkehrten Zuordnungen h¨ angt mit der Interpretation der negativen L¨ osungen zusammen, mit der wir uns im n¨achsten Unterabschnitt besch¨ aftigen werden. Satz 2.4: Projektionsoperatoren f¨ ur Energie und Spin F¨ uhrt man f¨ ur ω (r) (p) mit der Nebenbedingung (2.36) die allgemein u ¨ bliche Notation ω (1) (p) = u(p, n)

, ω (2) (p) = u(p, −n)

ω (3) (p) = v(p, −n) , ω (4) (p) = v(p, n) ein, dann lassen sich die freien Diracschen Eigenl¨osungen [zu H (0) , p und S(n, p)] durch Angabe ihres Energievorzeichens , ihres Viererimpulsindex p = (pµ ) und ihres Viererpolarisationsindex n = (nµ ) in der Weise



2.1 Dirac-Gleichung

1 ψ
,p,n (x) = (2π¯ h)3/2



m0 c −i
pµ xµ h¯ e × p0

0

u(p, n) f¨ ur = +1

113

1

v(p, n) f¨ ur = −1

spezifizieren (vgl. Satz 2.1). Bei den negativen L¨osungen sind hier die Viererimpuls- und Viererpolarisationsindizes den zugeh¨origen Eigenwerten entgegengesetzt. Die lorentzkovarianten Energie- und Spinprojektoren lauten Λ± (p) =

1 ±γ µ pµ + m0 c , Σ(n) = (1 + γ 5 γ µ nµ ) . 2m0 c 2

Sie wirken in folgender Weise auf die Bispinoren u, v:  +  + u(p, ±n) u(p, ±n) Λ+ (p) = v(p, ±n) 0  Λ− (p)  Σ(+n)  Σ(−n)

u(p, ±n) v(p, ±n)

u, v(p, +n) u, v(p, −n) u, v(p, +n) u, v(p, −n)

+

 =

+

 =

+

 =

0 v(p, ±n)

+

u, v(p, +n) 0 0 u, v(p, −n)

+ +

Das heißt, aus einer allgemeinen freien Dirac-L¨osung mit Viererimpulsindex p projiziert • Λ± (p) diejenigen Anteile mit Energievorzeichen = ± • Σ(±n) diejenigen Anteile mit Viererpolarisationsindex ±n heraus.

2.1.6 Interpretation der negativen L¨ osungen, Antiteilchen und L¨ ochertheorie ¨ Ahnlich wie im Klein-Gordon-Fall haben wir auch bei der Dirac-Gleichung bisher die negativen L¨ osungen und ihre Interpretation vernachl¨assigt, was wir nun nachholen werden. Die Probleme, die durch ihre bloße Existenz hervorgerufen werden, sind dieselben, die bei der Diskussion der negativen KleinGordon-L¨ osungen in Unterabschn. 1.1.3 angesprochen wurden. Ladungskonjugation C. In jenem Unterabschnitt haben wir gesehen, daß ein Zusammenhang zwischen einer negativen Klein-Gordon-L¨osung φ(−) der (−) Ladung +e und ihrer Ladungskonjugierten φC der Ladung −e besteht, wobei letztere als Antiteilchenwellenfunktionen mit positiver Energie identifiziert wurde. Es liegt deshalb die Vermutung nahe, daß auch im vorliegenden

114

2. Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen

Fall ein ¨ ahnlicher Zusammenhang hergestellt werden kann. Dies bedeutet konkret, daß aus der Dirac-Gleichung   e h∂µ − Aµ (x) − m0 c ψ (−) (x) = 0 (2.38) γ µ i¯ c f¨ ur eine negative L¨ osung ψ (−) der Ladung +e im Potential Aµ die DiracGleichung   e (−) γ µ i¯ h∂µ + Aµ (x) − m0 c ψC (x) = 0 (2.39) c (−)

f¨ ur eine positive L¨ osung ψC der Ladung −e im selben Potential Aµ ableitbar sein sollte. Wie beim Klein-Gordon-Fall ist dies offensichtlich nur dann m¨ oglich, wenn die zugeh¨ orige Transformation von ψ (−) antilinear ist, weil ¨ sich beim Ubergang von (2.38) nach (2.39) das relative Vorzeichen zwischen den Ableitungs- und Potentialtermen ¨ andert. Es bietet sich daher folgender (reziproker) Ansatz an: (−)

ψC (x) = Cψ (−)∗ (x) , C 2 = 1 , C linear. Setzt man diesen Ausdruck in (2.39) ein, multipliziert von links mit C −1 und nimmt anschließend das komplex Konjugierte, dann gelangt man schließlich zu (2.38), falls C der Bedingung C −1 γ µ C = −γ ∗µ

(2.40)

gen¨ ugt. Die L¨ osung dieser Gleichung l¨ aßt sich leicht angeben und lautet in der Dirac- oder Weyl-Darstellung C = iγ 2 . (−)

Daß es sich bei ψC tats¨ achlich um eine L¨ osung mit positiver Energie handelt, l¨aßt sich am einfachsten erkennen, indem man wieder von der Eigenwertgleichung eines negativen Energiezustandes Ψ (−) ausgeht [vgl. (1.24), (1.25)]:  e  cα p − A + eA0 + βm0 c2 Ψ (−) (x) = −|E|Ψ (−) (x) . c Komplexe Konjugation und anschließende Linksmultiplikation mit iγ 2 = iβα2 ergibt unter Ausnutzung von (2.6) und α1,3 = α∗1,3 , α2 = −α∗2 die Eigenwertgleichung  e  (−) (−) cα p + A − eA0 + βm0 c2 ΨC (x) = +|E|ΨC (x) , c mit (−)

ΨC (x) = iγ 2 Ψ (−)∗ (x) . Insgesamt k¨ onnen wir somit in Anlehnung an Satz 1.4 festhalten:

2.1 Dirac-Gleichung

115

Satz 2.5: Ladungskonjugation C in der Dirac-Theorie • Die Ladungskonjugation C der Dirac-Theorie ist in der Dirac- und WeylDarstellung definiert durch die Transformation ψ(x) −→ ψC (x) = iγ 2 ψ ∗ (x) . Sie macht aus einer positiven [negativen] Dirac-L¨osung der Ladung +e [−e] eine negative [positive] Dirac-L¨ osung der Ladung −e [+e]. • Eine positive Dirac-L¨ osung ψ (+) repr¨ asentiert ein physikalisches Spin1/2-Teilchen der Ladung +e im Potential Aµ , w¨ahrend die Ladungs(−) konjugierte der negativen L¨ osung ψC (und nicht die negative L¨osung selbst) das physikalische Antiteilchen mit entgegengesetzter Ladung −e im selben Potential Aµ beschreibt. Bez¨ uglich der ersten beiden Punkte in den S¨ atzen 1.4 und 2.5 sind die Verh¨altnisse im Klein-Gordon- und Dirac-Fall also v¨ollig identisch. Insbesondere f¨ uhrt auch die Dirac-Theorie als relativistische Erweiterung der Schr¨odingerTheorie zu einem neuen Ladungsfreiheitsgrad und somit zur Vorhersage von Antiteilchen, die bisher f¨ ur jedes bekannte Spin-1/2-Teilchen experimentell best¨ atigt wurde. Der dritte Punkt aus Satz 1.4 (Ladungsinterpretation) findet im obigen Satz allerdings keine Entsprechung, weil hier die Gr¨oßen Q, ρ und j als Wahrscheinlichkeitsgr¨ oßen zu interpretieren sind (siehe Satz 2.1). Aufgrund von Satz 2.5 und der Bemerkungen vor Satz 2.1 k¨onnen wir nun den quantenmechanischen Erwartungswert einer Observablen f¨ ur Teilchen und Antiteilchen in der Dirac-Theorie angeben (vgl. Definition des VErwartungswertes in der Klein-Gordon-Theorie, Unterabschn. 1.3.1): Definition: Erwartungswert in der Dirac-Theorie Der Erwartungswert der Observablen O ist in der Dirac-Theorie definiert durch  O
=  ψ| O |ψ
= d3 xψ † (x)Oψ(x) ,  ψ| ψ
= +1 (2.41) und gibt den statistischen Mittelwert vieler gleichartiger Messungen von O an identischen Spin-1/2-[Anti-]Teilchensystemen der Ladung +e [−e] wieder. F¨ ur Teilchen sind positive Dirac-L¨ osungen ψ (+) und f¨ ur Antiteilchen (−) ladungskonjugierte negative L¨ osungen ψC einzusetzen. Bevor wir uns der Interpretation der negativen L¨osungen selbst zuwenden, gehen wir noch etwas detaillierter auf die Ladungskonjugation C ein. Betrachten wir hierzu den Erwartungswert eines Operators O im Zustand ψC und rechnen in der Dirac- oder Weyl-Darstellung   † O
C =  ψC | O |ψC
= d3 xψC OψC = d3 x(iγ 2 ψ ∗ )† Oiγ 2 ψ ∗

116

2. Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen



∗† 2†

2

∗



d xψ γ Oγ ψ = d3 xψ ∗† γ 0 γ 2 γ 0 Oγ 2 ψ ∗   = − d3 xψ ∗† γ 2 γ 0 γ 0 Oγ 2 ψ ∗ = − d3 xψ ∗† γ 2 Oγ 2 ψ ∗  ∗ " #∗ = − d3 xψ † γ 2 O∗ γ 2 ψ = − ψ| γ 2 O∗ γ 2 |ψ . =

3

(2.42)

Mit Hilfe dieser Beziehung lassen sich leicht folgende Relationen herleiten (siehe Aufgabe 14): ⎫ β
C = − β
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x
C = x
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ α
C = α
⎪ ⎪ ⎬ p
C = − p
(2.43) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ S
C = − S
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ L
C = − L
, L = x × p ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ J
C = − J
, J = L + S

e  H(−e)
C = − H(e)
, H(e) = cα p − A + eA0 + βm0 c2 . (2.44) c Dar¨ uber hinaus gilt † † ρC = ψC ψC = ψ † ψ = ρ , j C = ψC cαψC = ψ † cαψ = j .

(2.45)

Demnach besitzen ψC und ψ in allen Raumzeitpunkten dieselbe Wahrscheinlichkeitsdichte und Wahrscheinlichkeitsstromdichte, so daß die elektrischen Ladungs- und Stromdichten von ψC und ψ entgegengesetzt sind. Aus (2.44) wird noch einmal deutlich, daß die L¨ osungen der Dirac-Gleichung mit negativer Energie den ladungskonjugierten L¨ osungen mit positiver Energie entsprechen (und umgekehrt). Zusammengenommen dr¨ ucken (2.43) und (2.44) schließlich das wichtige Resultat aus, daß die Ladungskonjugation C die Ladung, die Energie, den Impuls und den Spin eines Dirac-Zustandes umdreht. Angewandt auf freie Dirac-L¨ osungen liefert die Ladungskonjugation bis auf einen konstanten Phasenfaktor (siehe Aufgabe 13) ψ
,p,n (x) ←→ ψ−
,p,n (x) .

(2.46)

Dies zeigt, daß u(p, n) und v(p, n) zueinander ladungskonjugierte Bispinoren sind und daß der urspr¨ ungliche und der ladungskonjugierte Zustand durch dieselben Viererimpuls- und Viererpolarisationsindizes beschrieben werden. Dies ist nat¨ urlich auf die verkehrte Zuordnung der Eigenwerte und Indizes von Impuls und Spin bei den negativen L¨ osungen zur¨ uckzuf¨ uhren, die wir analog zum Klein-Gordon-Fall eingef¨ uhrt haben, weil sich die negativen L¨osungen

2.1 Dirac-Gleichung

117

auf Antiteilchen beziehen sollen, welche ihrerseits durch die Ladungskonjugierten der negativen L¨ osungen beschrieben werden.7 Interpretation der negativen L¨ osungen selbst, L¨ ochertheorie. Genau wie im Klein-Gordon-Fall bereitet uns die bloße Existenz von negativen Dirac-L¨ osungen Schwierigkeiten, und zwar sowohl hinsichtlich ihrer physikalischen Konsequenzen als auch in Bezug auf ihre Interpretation (vgl. die Diskussion in Unterabschn. 1.1.3). Vor allem sind wir auch hier mit dem ¨ Problem konfrontiert, daß die Theorie den Ubergang von positiven Energiezust¨ anden in immer tiefere negative Energieniveaus zu erlauben scheint (siehe ¨ Abb. 1.1), obwohl derartige Uberg¨ ange in der Natur offensichtlich nicht auftreten (Stabilit¨ at von Materie). Nun haben wir in Unterabschn. 1.1.3 bereits festgestellt, daß wir das Ausbleiben dieser Strahlungskatastrophe postulieren m¨ ussen, sofern wir uns auf die Ein-Teilchensichtweise beschr¨anken. Jenseits des Ein-Teilchenbildes bietet sich in der Dirac-Theorie allerdings eine Erkl¨ arung an, die von Dirac selber vorgeschlagen wurde und unter dem Namen L¨ochertheorie bekannt ist. Innerhalb dieser Theorie wird das aufgrund der negativen Dirac-L¨osungen existierende Dilemma dadurch gel¨ ost, daß im Einklang mit dem Paulischen Ausschließungsprinzip die negativen Energieniveaus mit Elektronen (allgemeiner: Spin-1/2-Teilchen) gef¨ ullt werden. Der Vakuumzustand ist dann derjenige, wo alle negativen Energieniveaus durch Elektronen besetzt sind und alle positiven Energieniveaus leer. Offensichtlich wird somit nun die Strah¨ lungskatastrophe unterbunden, da das Pauli-Prinzip Uberg¨ ange reeller Elektronen (mit positiver Energie) in den vollst¨ andig besetzten See der negativen Energien verbietet (siehe Abb. 2.1 links). Diese neuartige Annahme eines gef¨ ullten Sees von Elektronen mit negativer Energie hat viele Konsequenzen. So kann z.B. ein Elektron negativer Energie durch Absorption von Strahlung in einen Zustand positiver Energie angehoben werden. Wenn dies passiert, beobachtet man ein Elektron der Ladung +e und Energie +E. Zus¨ atzlich entsteht ein Loch im See der negativen Energien. Dieses Loch zeigt die Abwesenheit eines Elektrons der Ladung +e und der Energie −E an und wird von einem Beobachter relativ zum Vakuum als Anwesenheit eines Teilchens der Ladung −e und Energie +E (Antiteilchen) wahrgenommen (Abb. 2.1 rechts). Somit liefert die L¨ochertheorie auch eine Erkl¨ arung f¨ ur die Erzeugung von Teilchen-Antiteilchen-Paaren (Paarerzeugung). Diese Sichtweise impliziert offenbar, daß es einen eindeutigen Zusammenhang zwischen negativen Dirac-L¨ osungen der Ladung +e und positiven L¨ osungen der Ladung −e geben muß, der, wie wir bereits wissen, gerade durch die Ladungskonjugation C vermittelt wird. Im L¨ocherbild wird demnach ein besetzter Elektronzustand negativer Energie durch ψ (−) be(−) schrieben, w¨ ahrend seine Abwesenheit, also das zugeh¨orige Loch, durch ψC 7

Wie beim Klein-Gordon-Fall beachte man auch hier, daß im freien Fall eine Unterscheidung geladener Teilchen nicht m¨ oglich ist, so daß der urspr¨ ungliche und der ladungskonjugierte Zustand L¨ osung derselben Dirac-Gleichung sind.

118

2. Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen E Positives Energiekontinuum

+m0 c2

0

−m0 c2

E

Gebundene Zust¨ ande

0

γ-Quant mit Energie hω > 2m0 c2 ¯

Negatives Energiekontinuum

Abb. 2.1. Links: In der L¨ ochertheorie ist das Vakuum dadurch definiert, daß alle negativen Energieniveaus mit je zwei Elektronen (Spin up und Spin down) besetzt sind (•) und alle positiven Energieniveaus leer. Rechts: Beim Prozeß der Paarerzeugung absorbiert ein Elektron negativer Energie Strahlung mit einer Energie von hω > 2m0 c2 und wird dadurch in einen positiven Elektronzustand angehoben ( ). ¯ Hierdurch entsteht ein Loch im See der negativen Energien (◦), welches sich als zus¨ atzliches Antiteilchen (Positron) bemerkbar macht.

beschrieben wird, wobei letztere die Wellenfunktion des Antielektrons, des sog. Positrons ist. Diese Interpretation wird noch einmal besonders deutlich, indem man die zur Paarerzeugung geh¨ orende Ladungs-, Energie- und Impulsbilanz hinschreibt: QPhoton = 0 = QElektron pos. Energie − QElektron neg. Energie = QElektron EPhoton = h ¯ ω = EElektron

+ QPositron pos. Energie

= EElektron pPhoton = h ¯ k = pElektron = pElektron

− EElektron

neg. Energie

+ EPositron pos. Energie

− pElektron

neg. Energie

+ pPositron .

Der zur Paarerzeugung gegenteilige Effekt, die Teilchen-Antiteilchen-Vernichtung (Paarvernichtung), l¨ aßt sich ebenfalls im Rahmen der L¨ochertheorie beschreiben. Hierbei f¨ allt ein Elektron unter Aussendung von Licht in ein Elektronloch im See der negativen Energien und vernichtet somit das mit diesem Loch assoziierte Positron. Wie im Klein-Gordon-Fall beachte man auch hier, daß bei der Diskussion der Dirac-Theorie das Ladungsvorzeichen nirgendwo eine entscheidende Rolle spielt, so daß wir von vornherein die Positronen mit der Ladung −e als Teil-

2.1 Dirac-Gleichung

119

chen (beschrieben durch positive Dirac-L¨ osungen) h¨atten auffassen k¨onnen und die Elektronen mit der Ladung +e als Antiteilchen (beschrieben durch ladungskonjugierte negative L¨ osungen). Demzufolge w¨ urde der Dirac-See aus Positronen negativer Energie bestehen, deren L¨ocher gerade die Elektronen sind. Weitere Konsequenzen der L¨ ochertheorie. Sobald man die Aussagen der L¨ ochertheorie als Viel-Teilchentheorie zu pr¨azisieren versucht, treten unweigerlich M¨ angel und Widerspr¨ uche auf, die sich letztlich nur im Rahmen quantenfeldtheoretischer Betrachtungen l¨ osen lassen. Trotzdem kommt der L¨ ochertheorie eine große Bedeutung zu, weil sie zum ersten mal ein (naives) Modell f¨ ur das Vakuum lieferte, welches sich eben nicht durch die Abwesenheit von Allem auszeichnet, sondern eine innere Struktur besitzt, die modifizierbar ist. So k¨ onnen z.B. ¨ außere elektromagnetische Felder die Wellenfunktionen der Elektronen im See der negativen Energien deformieren und dadurch gegen¨ uber dem feldfreien Fall eine meßbare Vakuumpolarisation (Verschiebungsladung des Vakuums) hervorrufen. Diese Deformation bedeutet f¨ ur ein reelles Elektron, welches die Elektronen im Dirac-See elektrostatisch abst¨ oßt, daß seine elektrische Ladung gegen¨ uber seiner nackten La” dung“ abgeschw¨ acht erscheint, und zwar umso mehr, je weiter man sich von ihm entfernt – ein Effekt, der z.B. im Energiespektrum des Wasserstoffatoms tats¨ achlich beobachtet wird. Eine weitere Konsequenz der L¨ ochertheorie in der hier vorliegenden Form ist, daß das Vakuum offensichtlich eine unendlich hohe Ladung und unendlich hohe Energie besitzt, die beide durch geeignete Festlegung des Ladungsund Energienullpunktes zu Null renormiert werden m¨ ussen. Dieses Verfahren ist zwar wenig befriedigend (¨ asthetisch), aber m¨oglich. Die gravierendsten Schwachstellen der L¨ ochertheorie aber sind zum einen, daß sie eine Asymmetrie in der Beschreibung von Teilchen und Antiteilchen enth¨alt. Zum anderen l¨ aßt sie die Frage unbeantwortet, welche Rolle die gegenseitige Wechselwirkung der besetzten Zust¨ ande im See der negativen Energien spielt. Abschließend stellen wir folgendes fest: Die L¨ochertheorie wurde von Dirac u.a. deshalb eingef¨ uhrt, um eine Interpretation der negativen DiracL¨ osungen und eine plausible Erkl¨ arung f¨ ur das Ausbleiben der Strahlungskatastrophe zu liefern. Diese Theorie f¨ uhrt aber unweigerlich u ¨ ber das EinTeilchenkonzept hinaus, weil sie unendlich viele Teilchen mit beiderlei Ladungsvorzeichen gleichzeitig beschreibt. Wir wir schon festgestellt haben, m¨ ussen wir uns letztlich damit abfinden, daß das Problem der negativen Energien im Dirac- und Klein-Gordon-Fall innerhalb einer dezidierten EinTeilcheninterpretation nicht gel¨ ost werden kann. Res¨ umee. Wie bei der Diskussion der Klein-Gordon-Theorie am Ende von Unterabschn. 1.1.3 wollen wir auch hier eine Zwischenbilanz ziehen, indem wir die gekl¨ arten und noch offenen Punkte im Hinblick auf die von uns angestrebte Ein-Teilcheninterpretation zusammentragen.

120

2. Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen

Bez¨ uglich der Interpretation der Dirac- und Klein-Gordon-L¨osungen sind die Verh¨ altnisse v¨ ollig identisch: Positive L¨ osungen beschreiben Teilchen der Ladung +e, und ladungskonjugierte negative L¨osungen beschreiben Antiteilchen der Ladung −e. Was die Gr¨ oßen ρ und j angeht, so kommen diese im Klein-Gordon-Fall aufgrund der Nichthermitezit¨at des Hamilton-Operators als Wahrscheinlichkeitsgr¨ oßen nicht in Betracht. Stattdessen k¨onnen sie als Ladungsgr¨ oßen interpretiert werden, wobei f¨ ur Teilchen positive Klein-Gordon-L¨ osungen und f¨ ur Antiteilchen negative L¨ osungen einzusetzen sind. Demgegen¨ uber ist im vorliegenden Dirac-Fall der Hamilton-Operator hermitesch, so daß ρ wie in der nichtrelativistischen Theorie als Wahrscheinlichkeitsdichte und dementsprechend j als Wahrscheinlichkeitsstromdichte interpretiert werden k¨ onnen. F¨ ur Teilchen sind hierbei positive Dirac-L¨osungen einzusetzen und f¨ ur Antiteilchen ladungskonjugierte negative L¨osungen oder – wegen osungen selbst. ρC = ρ, j C = j – die negativen L¨ Zur Vervollst¨ andigung und inneren Konsistenz der Ein-Teilcheninterpretation der Dirac-Theorie sind folgende Punkte noch zu kl¨aren, die wir im u achsten Abschnitt angehen werden (vgl. die Punkte [1], [2] und [3] in ¨bern¨ Unterabschn. 1.1.3): [1] Notwendige Voraussetzung f¨ ur die Ein-Teilcheninterpretation ist, daß die positiven und negativen L¨ osungen vollst¨ andig entkoppelt sind, weil sich nur so Teilchen bzw. Antiteilchen sinnvoll beschreiben lassen. Genau wie im Klein-Gordon-Fall bilden jedoch erst die positiven und negativen DiracL¨ osungen zusammengenommen ein vollst¨andiges Funktionensystem, so daß wir uns auch hier die Frage stellen m¨ ussen, inwiefern eine vollst¨andige Entkopplung m¨ oglich ist. [2] Zur vollst¨ andigen Entkopplung geh¨ ort auch, daß wir uns wie im KleinGordon-Fall um physikalisch sinnvolle Ein-Teilchenoperatoren bem¨ uhen m¨ ussen, die positive und negative L¨ osungen nicht mischen. Einen zu [3] aus Unterabschn. 1.1.3 analogen Punkt brauchen wir hier nicht anzuf¨ uhren, da wir mit (2.41) bereits eine physikalisch sinnvolle und unter unit¨ aren Transformationen invariante (bildunabh¨angige) Definition von quantenmechanisch-statistischen Erwartungswerten gefunden haben. Analog zu den Schlußbemerkungen am Ende von Unterabschn. 1.1.3 geben wir auch hier zu bedenken, daß es neben der elektrischen Ladung auch andere Ladungsarten gibt, durch die sich gewisse Fermionen von ihren Antifermionen unterscheiden. Man denke z.B. an die Quarks, die neben ihrer elektrischen Ladung zus¨ atzlich eine komplizierte Farbladung tragen.

2.1 Dirac-Gleichung

121

Zusammenfassung • Die Dirac-Gleichung ist ein vierdimensionales gekoppeltes System von Differentialgleichungen erster Ordnung in Raum und Zeit und stellt die relativistische Verallgemeinerung der Schr¨odinger-Gleichung f¨ ur Spin1/2-Teilchen dar. • Die Dirac-Theorie unterscheidet sich in einem wesentlichen Punkt von der nichtrelativistischen Theorie: In ihr treten L¨osungen (Bispinoren) zu positiver und negativer Energie auf. • Die Hermitezit¨ at des Diracschen Hamilton-Operators erlaubt die Definition einer zur nichtrelativistischen Theorie formal identischen positiv definiten Wahrscheinlichkeitsdichte und einer Wahrscheinlichkeitsstromdichte. Es k¨ onnen deshalb das Skalarprodukt und der Erwartungswert aus der nichtrelativistischen Theorie samt zugeh¨origen Konsequenzen bzgl. hermitescher und unit¨ arer Operatoren u ¨ bernommen werden. • Durch Kombination der 16 Basiselemente des Raumes der γ-Matrizen mit ψ¯ und ψ lassen sich kovariante Bilinearformen bilden, die unter orthochronen Lorentz-Transformationen ein definiertes Transformationsverhalten besitzen. • Freie ebene Diracsche Wellenfunktionen sind als Eigenl¨osungen des Hamilton- und Impulsoperators noch nicht eindeutig spezifiziert. Sie besitzen zus¨ atzlich einen inneren Freiheitgrad, der auf einen Spinoperator mit der Quantenzahl s = 1/2 f¨ uhrt. • Aufgrund der Ladungskonjugation lassen sich die Diracschen L¨osungen folgendermaßen interpretieren: Teilchen der Ladung +e werden durch positive Dirac-L¨ osungen und Antiteilchen der Ladung −e durch die Ladungskonjugierten der negativen L¨osungen beschrieben. • Im Rahmen des Ein-Teilchenkonzeptes lassen sich die mit den negativen L¨ osungen verbundenen Probleme (Interpretation, Strahlungskatastroochertheophe) nicht l¨ osen. Jenseits des Ein-Teilchenbildes liefert die L¨ rie hierf¨ ur eine qualitativ akzeptable Erkl¨arung. Demnach besitzt das Vakuum eine modifizierbare innere Struktur mit physikalischen Konsequenzen (Paarerzeugung und -vernichtung, Vakuumpolarisation). • Im Hinblick auf eine m¨ oglichst konsistente Ein-Teilchen-Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Dirac-Theorie bleibt zu kl¨aren, inwiefern eine vollst¨ andige Entkopplung von positiven und negativen L¨osungen m¨oglich ist.

122

2. Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen

Aufgaben 11. L¨ osungen der freien Dirac-Gleichung. Zeigen Sie, daß die L¨osungen der freien Dirac-Gleichung (2.8) mit scharfem Impuls in der Dirac-Darstellung durch (2.9) gegeben sind. L¨ osung. Zur L¨ osung dieses Problems k¨ onnen wir sehr a¨hnlich vorgehen wie in Aufgabe 1. Unser Ansatz lautet  ϕ0 ei(px−Et)/¯h , ψ(x) = χ0 wobei ϕ0 und χ0 jeweils zweikomponentige konstante Spinoren sind. Dies f¨ uhrt durch Einsetzen in (2.8) auf das Gleichungssystem 1 (E − m0 c2 )ϕ0 − cσpχ0 = 0 (2.47) −cσpϕ0 + (E + m0 c2 )χ0 = 0 , welches nur dann nichttriviale L¨ osungen besitzt, wenn die Koeffizientendeterminante verschwindet:    E − m0 c2 −cσp      = E 2 − m0 c2 c4 − c2 (σp)(σp) = 0 .  −cσp E + m c2  0 Hieraus erhalten wir unter Ber¨ ucksichtigung der Identit¨at (σA)(σB) = AB + iσ(A × B) die relativistische Energie-Impuls-Beziehung ⎧ $ ⎨ E (+) = +c p2 + m20 c2 = +cp0 E 2 − m20 c4 − c2 p2 = 0 =⇒ ⎩ E (−) = −c$p2 + m2 c2 = −cp 0 0 f¨ ur freie Teilchen, wie es aufgrund der Konstruktion der Dirac-Gleichung zu erwarten war. Die L¨ osungen unseres Problems ergeben sich nun durch Einsetzen von E (+) und E (−) in (2.47) und lassen sich schließlich in der (unnormierten) Form ⎛ ⎞ χ(1,2) ⎜ ⎟ E (+) : ψ (+) (x) = ⎝ σpχ(1,2) ⎠ e−i(cp0 −px)¯h ∼ ψp(1,2) (x) p 0 + m0 c ⎞ −σpχ(3,4) ⎜ ⎟ (3,4) : ψ (−) (x) = ⎝ p0 + m0 c ⎠ e+i(cp0 +px)/¯h ∼ ψ−p (x) χ(3,4) ⎛

E (−)

darstellen, wobei χ(1,2) und χ(3,4) jeweils zwei linear unabh¨angige Spinoren bezeichnen.

Aufgaben

123

12. Nichtunitarit¨ at von Bispinortransformationen (I). Verifizieren Sie (2.23). L¨ osung. Es gelten die Beziehungen [siehe (2.19) und (2.22)] Λµ ν γ ν = D−1 γ µ D ⇐⇒ Λµ ν γ ν† = D† γ µ† D†−1

(2.48)

γ µ† = γ 0 γ µ γ 0 .

(2.49)

und

Aus der zweiten Gleichung von (2.48) und aus (2.49) folgt Λµ ν γ 0 γ ν γ 0 = D† γ 0 γ µ γ 0 D†−1
−1 =⇒ γ 0 Λµ ν γ 0 γ ν γ 0 γ 0 = γ 0 D† γ 0 γ µ γ 0 D†−1 γ 0 = γ 0 D† γ 0 γ µ γ 0 D† γ 0 . Andererseits l¨ aßt sich die erste Beziehung von (2.48) umschreiben zu Λµ ν γ ν = Λµ ν γ 0 γ ν† γ 0 = γ 0 Λµ ν γ 0 γ ν γ 0 γ 0 = D−1 γ µ D . Vergleich der letzten beiden Gleichungen f¨ uhrt auf
 −1 D−1 γ µ D = γ 0 D† γ 0 γ µ γ 0 D† γ 0 bzw.


−1 −1
−1 D = Dγ 0 D† γ 0 γ µ Dγ 0 D† γ 0 . γ µ = Dγ 0 D† γ 0 γ µ γ 0 D† γ 0

Also kommutiert Dγ 0 D† γ 0 mit allen γ µ und ist deshalb proportional zur Einheitsmatrix: Dγ 0 D† γ 0 = b =⇒ Dγ 0 D† = bγ 0 .

(2.50)

Hieraus folgt die gesuchte Beziehung −1 0
D† = b Dγ 0 γ = bγ 0 D−1 γ 0 und auch
0 † † Dγ D = Dγ 0 D† = b∗ γ 0 =⇒ b = b∗ . Zur Bestimmung der reellen Konstante b ber¨ ucksichtigen wir zun¨achst, daß det(D) = 1 vorausgesetzt wird. Durch Berechnung der Determinante von (2.50) ergibt sich deshalb b4 = 1 =⇒ b = ±1 . Als n¨ achstes betrachten wir die Gleichung †

0

D D = bγ D

−1 0

0

0

ν

γ D = bγ Λ ν γ = bΛ

0

0

+b

3  k=1

Λ0 k γ 0 γ k , 5 67 8

(2.51)

αk

anhand derer sich nun wie folgt argumentieren l¨aßt: det(D† D) ist gleich dem Produkt aller Eigenwerte, welche deshalb alle von Null verschieden sein

124

2. Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen

m¨ ussen. Dar¨ uber hinaus ist der Operator D† D hermitesch, so daß f¨ ur seine reellen Eigenwerte a gilt: D† Dψa = aψa =⇒ aψa† ψa = ψa† D† Dψa = (Dψa )† Dψa > 0 =⇒ a > 0 . Da die Spur von D† D gleich der Summe aller Eigenwerte ist, folgt aus (2.51) und unter Ber¨ ucksichtigung von tr(αk ) = 0 0 < tr(D† D) = 4bΛ0 0 . Insgesamt haben wir deshalb ⎧ ur orthochrone Lorentz-Transformationen, die den ⎪ ⎪ +1 f¨ ⎪ ⎨ Zeitsinn nicht a 0 ¨ndern Λ 0 b= 0 = |Λ 0 | ⎪ ⎪ −1 f¨ ur nichtorthochrone Lorentz-Transformationen, die ⎪ ⎩ den Zeitsinn ¨ andern. 13. Ladungskonjugation freier Dirac-Zust¨ ande. Verifizieren Sie (2.46). L¨ osung. Ausgangspunkt ist eine ebene freie Diracsche Wellenfunktion ψ
,p,n mit Energievorzeichen , Viererimpulsindex p und Viererpolarisation n, welche somit die Projektionsrelation  µ 

γ pµ + m0 c 1 + γ 5 γ µ nµ ψ
,p,n (x) = ψ
,p,n (x) 2m0 c 2 erf¨ ullt. Unter Ber¨ ucksichtigung von (2.40), {C, γ 5 } = 0, γ 5 = γ 5∗ und der Tatsache, daß pµ = p∗µ im ersten Klammerterm eine reelle Zahl (und kein Operator) ist, folgt f¨ ur die ladungskonjugierte Welle  µ∗ 

γ pµ + m0 c 1 + γ 5 γ µ∗ nµ ∗ [ψ
,p,n ]C (x) = C (x) ψ
,p,n 2m0 c 2  µ∗ 

γ pµ + m0 c 1 + γ 5 γ µ∗ nµ ∗ = C (x) C −1 C C −1 Cψ
,p,n 2m0 c 2   − γ µ pµ + m0 c 1 + γ 5 γ µ nµ ∗ = (x) Cψ
,p,n 2m0 c 2   − γ µ pµ + m0 c 1 + γ 5 γ µ nµ = [ψ
,p,n ]C (x) 2m0 c 2 = ψ−
,p,n (x) . 14. Erwartungswerte ladungskonjugierter Dirac-Zust¨ ande. Zeigen Sie die Beziehungen (2.43), (2.44) und (2.45). L¨ osung. Wir f¨ uhren den " Beweis #mit Hilfe von (2.42) und der Adjunktions∗ beziehung  ψ| O |ψ
= ψ| O† |ψ in der Dirac- oder Weyl-Darstellung. Zu zeigen: β
C = − β
, mit β = γ 0 . " #∗ " #∗ " #∗ β
C = − ψ| γ 2 γ 0 γ 2 |ψ = ψ| γ 2 γ 2 γ 0 |ψ = − ψ| γ 0 |ψ " # = − ψ| γ 0 |ψ = − β
.

Aufgaben

125

Zu zeigen: x
C = x
.  ∗  ∗ ∗ x
C = − d3 xψ † γ 2 xγ 2 ψ = d3 xψ † xψ =  ψ| x |ψ
=  ψ| x |ψ
= x
. Zu zeigen: α
C = α
, mit αi = γ 0 γ i . γ 2 α∗i γ 2 = γ 2 γ 0 γ i∗ γ 2 1 0 2 0 i 2 ur i = 1, 3 γ γ γ γ = γ 2 γ 2 γ 0 γ i = −γ 0 γ i f¨ = −αi = −γ 2 γ 0 γ 2 γ 2 = γ 2 γ 0 = −γ 0 γ 2 f¨ ur i = 2 " #∗ =⇒ αi
C = − ψ| γ 2 α∗i γ 2 |ψ =  ψ| αi |ψ
∗ =  ψ| αi |ψ
= αi
. Zu zeigen: p
C = − p
, mit p = −i¯ h∇.  ∗  ∗ d3 xψ † γ 2 (i¯ h∇)γ 2 ψ = − d3 xψ † (−i¯ h∇)ψ p
C = − = −  ψ| p |ψ
∗ = −  ψ| p |ψ
= − p
. 

σ 0 . 0 σ  ∗   h ¯ σi 0 0 σ2 0 σ2 γ 2 Si∗ γ 2 = 0 σi∗ −σ2 0 2 −σ2 0   ∗T h σ2 σi∗ σ2 ¯ h ¯ 0 0 σi =− = = Si† 0 σ2 σi∗ σ2 0 σi∗T 2 2 , -∗ =⇒ Si
C = − ψ| Si† |ψ = −  ψ| Si |ψ
= − Si
.

Zu zeigen: S
C = − S
, mit S =

¯ h 2

h∇). Zu zeigen: L
C = − L
, mit L = x × (−i¯  ∗  ∗ d3 xψ † γ 2 x × (i¯ h∇)γ 2 ψ = − d3 xψ † x × (−i¯ h∇)ψ L
C = − = −  ψ| L |ψ
∗ = −  ψ| L |ψ
= − L
. Zu zeigen: J
C = − J
, mit J = L + S. J
C = L
C + S
C = − [L
+ S
] = − J
.

e  Zu zeigen: H(−e)
C = H(e)
, mit H(e) = cα p − A + eA0 + βm0 c2 . c Es gilt γ 2 α∗ γ 2 = −α =⇒ αp
C = − αp
, αA
C = αA
und

126

2. Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen

" 0# " # A C = A0 , β
C = − β
. 

" # e =⇒ H(−e)
C = c αp
C + αA
C − e A0 C + m0 c2 β
C c   " # e = − c αp
− αA
+ e A0 + m0 c2 β
c = − H(e)
. Zu zeigen: ρC = ρ, mit ρ = ψ † ψ. †
† ρC = ψC ψC = iγ 2 ψ ∗ iγ 2 ψ ∗ = ψ T γ 2† γ 2 ψ ∗ = −ψ T γ 2 γ 2 ψ ∗
∗ = ψT ψ∗ = ψ† ψ = ψ†ψ = ρ . Zu zeigen: j C = j, mit j = ψ † cαψ. †
† cαψC = c iγ 2 ψ ∗ αiγ 2 ψ ∗ = cψ T γ 2† αγ 2 ψ ∗ j C = ψC
∗ = −cψ T γ 2 αγ 2 ψ ∗ = cψ T α∗ ψ ∗ = ψ † cαψ = ψ † cαψ = j . 15. Dirac-Gleichung f¨ ur strukturierte Teilchen. Die Dirac-Gleichung f¨ ur die Wechselwirkung eines strukturbehafteten Teilchens (z.B. Proton oder Neutron) mit einem ¨ außeren elektromagnetischen Feld weist einen zus¨atzlichen Term auf, der die Wechselwirkung des anomalen magnetischen Moments des Teilchens mit dem ¨ außeren Feld beschreibt:    hδ µν ¯ e σ Fµν − m0 c ψ(x) = 0 , γ µ pµ − Aµ − c 4m0 c mit σ µν =

i µ ν [γ , γ ] , Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ . 2

a) Man zeige, daß bei Anwesenheit dieses eich- und lorentzinvarianten Zusatzterms der Diracsche Hamilton-Operator hermitesch ist und die Wahrscheinlichkeit erhalten bleibt. b)Wie lautet σ µν Fµν in Termen der elektromagnetischen Felder E und B in der Dirac-Darstellung? L¨ osung. Zu a) Zun¨ achst ist festzustellen, daß nicht der Klammerterm obiger Gleichung hermitesch sein muß, sondern der Diracsche Hamilton-Operator, den man durch Umschreiben der Gleichung auf kanonische Form erh¨alt:   e  hδ 0 µν ¯ ∂ψ 0 2 0 = cα p − A + eA + γ σ Fµν + m0 c γ ψ . (2.52) i¯ h ∂t c 4m0 c Hieraus folgt die Hermitezit¨ atsbedingung
 † γ 0 σ µν Fµν = γ 0 σ µν Fµν

(2.53)

Aufgaben

127

bzw. (weil Fµν ein reelles Tensorfeld ist) σ µν† = γ 0 σ µν γ 0 . Diese Bedingung kann unter Ber¨ ucksichtigung von (2.19) sofort verifiziert werden: i i i (σ µν )† = − [γ ν† , γ µ† ] = − [γ 0 γ ν γ 0 , γ 0 γ µ γ 0 ] = γ 0 [γ µ , γ ν ]γ 0 2 2 2 = γ 0 σ µν γ 0 . Zum Nachweis der Wahrscheinlichkeitserhaltung f¨ uhren wir die gleiche, zu (2.11) und (2.12) f¨ uhrende Argumentation auf der Grundlage der modifizierten Dirac-Gleichung (2.52) durch. Unter Beachtung von (2.53) ergibt sich, daß auf den rechten Seiten beider Gleichungen (2.11) und (2.12) derselbe Zusatzterm hδ † 0 µν ¯ ψ γ σ Fµν ψ 4m0 c auftritt. Subtraktion beider Gleichungen f¨ uhrt wieder zur Kontinuit¨atsgleichung (2.13) mit derselben Wahrscheinlichkeitsdichte und Wahrscheinlichkeitsstromdichte. Zu b) Der Term σ µν Fµν laßt sich unter Ausnutzung der Antisymmetrie von σ µν und Fµν sowie der expliziten Gestalt von Fµν , ⎛ ⎞ 0 E1 E2 E3 ⎜ −E1 0 −B3 B2 ⎟ ⎟ , Fµν = gµα gνβ F αβ , (Fµν ) = ⎜ ⎝ −E2 B3 0 −B1 ⎠ −E3 −B2 B1 0 umschreiben zu σ µν Fµν = 2



σ µν Fµν = 2

µ 0, det Λ = +1) zeichnen sich dadurch aus, daß sie durch eine Folge infinitesimaler Transformationen aufgebaut werden k¨ onnen, weshalb man sie auch kontinuierlich nennt. Betrachten wir deshalb zun¨ achst eine infinitesimale eigentliche LorentzTransformation, f¨ ur die wir ganz allgemein folgende Form ansetzen k¨onnen: Λµ ν = g µ ν + ∆ω µ ν , ∆µν = −∆νµ .

(2.56)

Die letzte Beziehung folgt dabei aus (A.2) im Anhang, denn es gilt bis zur linearen Ordnung in ∆ω Λµ α gµν Λν β = gαβ ⇐⇒ (g µ α + ∆ω µ α )gµν (g ν β + ∆ω ν β ) = gαβ ⇐⇒ g µ α gµν g ν β + ∆ω µ α gµν g ν β + g µ α gµν ∆ω ν β = gαβ ⇐⇒ gαβ + ∆ω µ α gµβ + gαν ∆ω ν β = gαβ ⇐⇒ gβµ ∆ω µ α + gαν ∆ω ν β = 0 ⇐⇒ ∆ωβα = −∆ωαβ . Da mit Λ auch die zugeh¨ orige Bispinortransformation D(Λ) nur infinitesimal von der Einheitstransformation abweichen wird, machen wir f¨ ur sie den Ansatz 8

Die Poincar´e-Gruppe enth¨ alt gegen¨ uber den homogenen Lorentz-Transformationen zus¨ atzlich Raumzeit-Translationen, f¨ ur die der Beweis leicht zu f¨ uhren ist. Siehe Fußnote 2 auf Seite 101.

2.2 Symmetrietransformationen

131

i i D = 1 − σµν ∆ω µν , D−1 = 1 + σµν ∆ω µν , σµν = −σνµ . (2.57) 4 4 Setzen wir nun (2.56) und (2.57) in die f¨ ur lorentzartige Bispinortransformationen geltende Definitionsgleichung (2.26) aus Satz 2.2 ein, so ergibt sich in linearer Ordnung von ∆ω i ∆ω µ ν γ ν = − ∆ω αβ [γ µ , σαβ ] . 4 Hieraus folgt unter Ber¨ ucksichtigung der Antisymmetrie von ∆ω µ ν , 1 ∆ω αβ (g µ α gνβ − g µ β gνα ) , 2 die Gleichung ∆ω µ ν =

2i(g µ α γβ − g µ β γα ) = [γ µ , σαβ ] .

(2.58)

Somit reduziert sich die Konstruktion von Bispinortransformationen f¨ ur eigentliche Lorentz-Transformationen darauf, eine antisymmetrische Matrix ugt. Man u σαβ zu finden, die (2.58) gen¨ ¨ berzeugt sich leicht davon, daß diese Matrix durch i σαβ = [γα , γβ ] 2 gegeben ist (vgl. Aufgabe 15 und 16), denn aufgrund von (2.18) gilt i µ i [γ , [γα , γβ ]] = ([γ µ , γα γβ ] − [γ µ , γβ , γα ]) 2 2 i = ([γ µ , γα γβ ] − 2[γ µ , gαβ ] + [γ µ , γα , γβ ]) 2 = i[γ µ , γα γβ ] 
= i γ µ γα γβ − 2g µ β γα + γα γ µ γβ
 = i γ µ γα γβ − 2g µ β γα + 2g µ α γβ − γ µ γα γβ 
= 2i g µ α γβ − g µ β γα . Wir sind nun in der Lage, endliche Bispinortransformationen durch wiederholte Anwendung infinitesimaler Transformationen verm¨oge   N i i D(Λ) = lim 1 − σµν ∆ω µν = exp − σµν ∆µν N →∞ 4 4 zu konstruieren. Hierbei ist es vorteilhaft, f¨ ur die infinitesimale Gr¨oße ∆ω µ ν zu schreiben: ∆ω µ ν = ∆ω(In )µ ν , lim N ∆ω = ω , N →∞

wobei ∆ω der infinitesimale Drehwinkel“ um eine Achse in n-Richtung, ω ” der zugeh¨ orige endliche Drehwinkel und In die 4×4-Koeffizientenmatrix (in Raum und Zeit) f¨ ur die Einheits-Lorentz-Drehung“ um diese Achse bedeu” ten. Somit folgt schließlich der

132

2. Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen

Satz 2.6: Bispinortransformationen f¨ ur eigentliche Lorentz-Transformationen Zu der eigentlichen Lorentz-Transformation Λ:

xµ −→ xµ = Λµ ν xν

um die Drehachse n mit dem Drehwinkel ω geh¨ort die passive Bispinortransformation D(Λ) : mit

ψ(x) −→ ψ  (x ) = D(Λ)ψ(x) ,

 i i D(Λ) = exp − ωσµν (In )µν , σµν = [γµ , γν ] , 4 2

wobei In die Einheits-Lorentz-Drehung um die Achse n bezeichnet. Mit diesem Satz ist der Beweis der Forminvarianz der Dirac-Gleichung unter eigentlichen Lorentz-Transformationen abgeschlossen. Den Beweis f¨ ur uneigentliche Lorentz-Transformationen sowie f¨ ur weitere, nichtlorentzartige Transformationen werden wir im u achsten Unterabschnitt f¨ uhren. ¨ bern¨ Lorentz-Boosts. Als erstes konkretes Anwendungsbeispiel von Satz 2.6 berechnen wir die Bispinortransformation f¨ ur einen Lorentz-Boost, der den ¨ Ubergang zu einem Inertialsystem beschreibt, welches sich mit der Geschwindigkeit v relativ zum urspr¨ unglichen Referenzsystem bewegt. Hierzu bestimmen wir zun¨ achst die zugeh¨ origen infinitesimalen Lorentz-Boosts entlang der drei Raumachsen, ⎛ ⎞ cosh ∆ω1 sinh ∆ω1 0 0 ⎜ sinh ∆ω1 cosh ∆ω1 0 0 ⎟ ⎟ (Λ(1)µ ν ) = ⎜ ⎝ 0 0 1 0⎠ 0 0 0 1 ⎛ ⎞ 0 10 0 ⎜1 0 0 0⎟ ∆ω1 1 ⎟ = (g µ ν ) + ∆ω1 ⎜ ⎝0 0 0 0⎠ 0 00 0 ⎛ ⎞ cosh ∆ω2 0 sinh ∆ω2 0 ⎜ 0 1 0 0⎟ ⎟ (Λ(2)µ ν ) = ⎜ ⎝ sinh ∆ω2 0 cosh ∆ω2 0 ⎠ 0 0 0 1 ⎛ ⎞ 0 01 0 ⎜0 0 0 0⎟ ∆ω2 1 µ ⎟ = (g ν ) + ∆ω2 ⎜ ⎝1 0 0 0⎠ 0 00 0

2.2 Symmetrietransformationen

⎛ (Λ

(3)µ

ν)

0 0 sinh ∆ω3 ⎟ 1 0 0 ⎟ ⎠ 0 1 0 0 0 cosh ∆ω3 ⎛ ⎞ 0 00 1 ⎜0 0 0 0⎟ ⎟ (g µ ν ) + ∆ω3 ⎜ ⎝0 0 0 0⎠ , 1 00 0

⎜ ⎜ ⎝

=

∆ω3 1

=

133

⎞

cosh ∆ω3 0 0 sinh ∆ω3

und konstruieren ⎞ daraus den infinitesimalen Lorentz-Boost in Richtung von ⎛ cos θ1 v = v ⎝ cos θ2 ⎠: cos θ3 ⎛ ⎞ 0 cos θ1 cos θ2 cos θ3 ⎜ cos θ1 0 0 0 ⎟ ∆ω1 ⎟. Λµ ν = g µ ν + ∆ωI µ ν , (I µ ν ) = ⎜ ⎝ cos θ2 0 0 0 ⎠ cos θ3 0 0 0 F¨ ur die zum endlichen Lorentz-Boost geh¨ orende Bispinortransformation ergibt sich nach Satz 2.6  αv σµν I µν = σµν g νρ I µ ρ = −2 σ0i cos θi = 2i v i =⇒ D(Λv ) = exp

ω αv  2 v

.

Dieses Exponential l¨ aßt sich mit Hilfe der darstellungsunabh¨angigen Beziehungen (αv) = v 2n , (αv)2n+1 = v 2n αv folgendermaßen ausf¨ uhren: ∞

ω   1 ω n exp αv = (αv)n 2v n! 2v n=0 =

1 ω 2n (αv)2n (2n)! 2v n=0 ∞ 

+

ω 2n+1 1 (αv)2n+1 (2n + 1)! 2v n=0 ∞ 

∞

ω 2n+1 1 ω 2n αv  1 + (2n)! 2 v n=0 (2n + 1)! 2 n=0

ω 

ω  αv + sinh . = cosh 2 v 2 Unter Ber¨ ucksichtigung von

=

∞ 

134

2. Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen

1 v cosh ω = $ , β= 2 c 1−β und cosh

ω  2

 =



ω 

ω 1 (cosh ω + 1) , sinh = − cosh2 −1 2 2 2

erh¨ alt man schließlich als Resultat <  <    = = =1 =1 1 1 αv > > $ $ D(Λv ) = +1 − −1 . 2 v 2 1 − β2 1 − β2

(2.59)

Ist das urspr¨ ungliche Referenzsystem gleich dem Ruhesystem des betrachteten Teilchens, dann besitzt das Teilchen im lorentztransformierten System den onnen wir (2.59) unter Ausnutzung von $ Impuls p ∼ −v. In diesem Fall k¨ 1 − β 2 = m0 c/p0 , p0 > 0 umschreiben zu9 p0 + m0 c + αp . D(p) = $ 2m0 c(p0 + m0 c)

(2.60)

Im Gegenzug transformiert nat¨ urlich D(−p) auf das Ruhesystem eines Teilchens, welches im urspr¨ unglichen System den Impuls p besaß. R¨ aumliche Drehungen. Betrachten wir als n¨achstes die r¨aumliche LorentzDrehung um eine Einheitsachse u, |u| = 1 mit den Winkel ϕ und berechnen die zugeh¨ orige Bispinortransformation. Hierzu kann man ganz analog zum Boost-Fall vorgehen, indem man zuerst wieder die mathematisch positiven infinitesimalen Drehungen um die drei kartesischen Achsen berechnet, woraus sich insgesamt die infinitesimale Drehung ⎛ ⎞ 0 0 0 0 ⎜ 0 0 u3 −u2 ⎟ ∆ϕ1 ⎟ Λµ ν = g µ ν + ∆ϕI µ ν , (I µ ν ) = ⎜ (2.61) ⎝ 0 −u3 0 u1 ⎠ 0 u2 −u1 0 ergibt. F¨ ur die zur endlichen Lorentz-Drehung geh¨orende Bispinortransformation folgt in der Dirac- und Weyl-Darstellung (nicht jedoch in jeder Darstellung!) σµν I µν = σµν I µ ρ g ρν = −2(σ12 u3 + σ31 u2 + σ23 u1 )  σ 0 ˆ= = −2uˆ σ, σ 0 σ  i ˆ . =⇒ D(Λϕ ) = exp ϕuσ 2 9

(2.62)

Man vergegenw¨ artige sich den Unterschied der Notationen in (2.59) und (2.60): D(Λv ) und D(p) transformieren das urspr¨ ungliche Bezugssystem in gegenl¨ aufige Richtungen.

2.2 Symmetrietransformationen

135

Indem wir ber¨ ucksichtigen, daß ˆ 2n = 1 , (uσ) ˆ 2n+1 = uσ ˆ , (uσ) k¨ onnen wir die Exponentiation in (2.62) in ¨ ahnlicher Weise wie beim BoostFall ausf¨ uhren und erhalten  ∞ n n  i i ϕ ˆ = ˆ n ϕuσ (uσ) exp 2 n! 2 n=0 = =

∞ ∞   i2n ϕ 2n i2n+1 ϕ 2n+1 ˆ + uσ (2n)! 2 (2n + 1)! 2 n=0 n=0

∞ ∞   (−1)n ϕ 2n (−1)n ϕ 2n+1 ˆ + iuσ (2n)! 2 (2n + 1)! 2 n=0 n=0

ϕ

ˆ sin + iuσ

ϕ

. 2 2 Man beachte, daß nach einer Drehung um 2π nicht wieder der Ausgangszustand erreicht ist. Vielmehr gilt =⇒ D(Λϕ ) = cos

D(Λ2nπ ) = (−1)n , was ganz allgemein f¨ ur halbzahlige Spins charakteristisch ist. Deshalb m¨ ussen physikalisch beobachtbare Gr¨ oßen in der Dirac-Theorie immer bilinear in den Feldern ψ(x) sein bzw. eine gerade Potenz von ihnen enthalten; nur so gehen physikalische Beobachtungen bei Raumdrehungen um 2π in sich selbst u ¨ ber, wie es die Erfahrung lehrt. 2.2.2 Spin der Dirac-L¨ osungen Aufgrund von (2.62) und des allgemeinen Zusammenhangs zwischen passiven und aktiven Transformationen sind wir nun im Stande, ein transformationstheoretisches Argument f¨ ur den in Unterabschn. 2.1.4 eingef¨ uhrten Diracschen Spinoperator (2.31) und somit auch f¨ ur die Tatsache zu liefern, daß die L¨ osungen der Dirac-Gleichung Spin-1/2-Teilchen beschreiben. Hierzu stellen wir zun¨ achst fest, daß sich jede aktive r¨ aumliche Drehung eines physikalischen Systems um eine Einheitsachse u und den Winkel −∆ϕ mit Hilfe des Gesamtdrehimpulses J = L + S in der Weise   i∆ϕuJ i∆ϕuJ ∆ϕ1  1+ ψ(x) = ψ(x) (2.63) ψ (x) = exp h ¯ ¯h ausdr¨ ucken l¨ aßt, bzw. daß L, S und J durch diese Beziehung definiert sind. Auf der anderen Seite wissen wir, daß sich diese aktive Drehung auch aus der entsprechenden gegenl¨ aufigen passiven Drehung des Bezugssystems ableiten l¨aßt [siehe (1.30) und (1.31) in Unterabschn. 1.2.1]:

136

2. Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen

Passive Drehung um u und +∆ϕ

 Aktive Drehung um u und −∆ϕ

+

+

: ψ  (x ) = D(Λ∆ϕ )ψ(x)

: ψ  (x) = D(Λ∆ϕ )ψ(Λ−1 ∆ϕ x) = D(Λ∆ϕ )ψ(Λ−∆ϕ x) .

Beschr¨ ankt man sich auf infinitesimale Drehwinkel, so kann man die letzte Beziehung unter Ber¨ ucksichtigung von (2.61) und (2.62) umschreiben zu  ˆ i∆ϕuσ ∆ϕ1 ψ  (x) = 1+ ψ[x0 , x1 + ∆ϕ(−u3 x2 + u2 x3 ), 2 x2 + ∆ϕ(u3 x1 − u1 x3 ),

=

= =

x3 + ∆ϕ(−u2 x1 + u1 x2 )]    ˆ i∆ϕuσ ∂ψ 1+ (−u3 x2 + u2 x3 ) ψ(x) + ∆ϕ 2 ∂x1 ∂ψ + 2 (u3 x1 − u1 x3 ) ∂x + ∂ψ 1 2 + 3 (−u2 x + u1 x ) ∂x   ˆ i∆ϕuσ i∆ϕuL 1+ 1+ ψ(x) 2 h ¯    ˆ hσ ¯ i∆ϕu L+ ψ(x) . 1+ h ¯ 2

Hieraus folgt durch Vergleich mit (2.63) schließlich der uns bereits bekannte Ausdruck f¨ ur den Diracschen Spinoperator, n¨amlich h ¯ ˆ . S= σ 2 2.2.3 Diskrete Transformationen Wir kommen nun zum Fall der uneigentlichen Lorentz-Transformationen (mit det Λ = −1) sowie weiterer, nichtlorentzartiger Transformationen, die sich allesamt nicht durch wiederholte Anwendung infinitesimaler Operationen gewinnen lassen und deshalb diskret genannt werden. Hierbei gehen wir analog zur Diskussion im Klein-Gordon-Fall (Unterabschn. 1.2.3) vor. Die zugeh¨origen physikalischen Implikationen wurden dort ja bereits ausgiebig dargelegt, ¨ so daß wir uns hier aufgrund ihrer vollst¨ andigen Ubertragbarkeit entsprechend kurz fassen k¨ onnen. Parit¨ atstransformation P . Die uneigentliche orthochrone lorentzartige Parit¨ atstransformation oder auch Raumspiegelung ist definiert durch ⎛ ⎞ 1 0 0 0 ⎜ 0 −1 0 0 ⎟ µν 0 ⎟ (Λν µ ) = ⎜ ⎝ 0 0 −1 0 ⎠ = g , det(Λ) = −1 , Λ 0 > 0 . 0 0 0 −1

2.2 Symmetrietransformationen

137

Um zu zeigen, daß die Dirac-Gleichung hierunter forminvariant ist, m¨ ussen wir eine Bispinortransformation D(Λ) finden, die der Definitionsgleichung (2.26) f¨ ur lorentzartige Bispinortransformationen gen¨ ugt. F¨ uhrt man f¨ ur D(Λ) die Bezeichnung P ein, so bedeutet dies konkret P −1 γ µ P = Λµ ν γ ν = g µµ γ µ

(keine Summation u ¨ber µ) .

(2.64)

Dar¨ uber hinaus fordern wir in Analogie zur r¨aumlichen Drehung um den Winkel 4π, daß vier Raumspiegelungen einen Bispinor auf sich selbst zur¨ ucktransformieren, also P4 = 1 .

(2.65)

Man u ¨ berzeugt sich leicht davon, daß dies durch die darstellungsunabh¨angige Wahl P = λP γ 0 mit λ4P = 1 erf¨ ullt wird. Somit haben wir im passiven Fall ⎫  x −→ x = −x , t −→ t = t ⎪ ⎪ ⎪ ⎪   0 4 ⎬ passive ψ(x, t) −→ ψP (x , t ) = P ψ(x, t) , P = λP γ , λP = 1 ⎪ Raumspie⎪ A0 (x, t) −→ A0P (x , t ) = A0 (x, t) ⎪ ⎪ gelung P ⎪ ⎪ ⎭ A(x, t) −→ AP (x , t ) = −A(x, t) und im aktiven Fall ⎫ ψ(x, t) −→ ψP (x, t) = P ψ(−x, t) ⎪ ⎪ ⎬ aktive RaumspieA0 (x, t) −→ A0P (x, t) = A0 (−x, t) ⎪ ⎪ ⎭ gelung P . A(x, t) −→ AP (x, t) = −A(−x, t)

(2.66)

Wendet man die aktive Raumspiegelung auf eine freie ebene Dirac-L¨osung an, so ergibt sich (siehe Aufgabe 20) ⎧ ⎧ ⎫ ⎫ ψ
,p
,n
(x) ψ
,p,n (x) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎨ ⎬ ⎬     −→ p0 n0 p0 −n0 ⎪ . (2.67) ⎪ ⎪ ⎩ p = −p , n = ⎭ ⎭ ⎩p = p ,n = n ⎪ n Es entsteht also eine freie L¨ osung mit umgekehrtem r¨aumlichen Impulsindex, w¨ahrend der r¨ aumliche Spinindex erhalten bleibt. Da sich nicht ¨andert, u agt sich dieser Zusammenhang auch auf die Teilchenebene, d.h. die ¨bertr¨ Raumspiegelung dreht den Impuls eines Spin-1/2-Teilchens um und l¨aßt seine Spinorientierung unver¨ andert. Zeitumkehrtransformation T . Bei der Zeitumkehr- oder besser gesagt: Bewegungsumkehrtransformation handelt es sich um eine nichtlorentzartige Symmetrieoperation, welche vom passiven Standpunkt aus definiert ist durch ⎫ x −→ x = x , t −→ t = −t ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ passive 0 0   0 Zeitum(2.68) A (x, t) −→ AT (x , t ) = A (x, t) ⎪ ⎪ kehr T , ⎪ A(x, t) −→ AT (x , t ) = −A(x, t) ⎭

138

2. Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen

so daß h∂ 0 = −i¯ h∂ 0 , i¯ h∂ i −→ i¯ h∂ i = i¯ h∂ i . i¯ h∂ 0 −→ i¯ Aufgrund der Nichtlorentzartigkeit dieser Operation ist klar, daß wir zur Konstruktion der zugeh¨ origen Bispinortransformation nicht die Beziehung (2.26) heranziehen k¨ onnen. Wir gehen deshalb von der Dirac-Gleichung im transformierten (gestrichenen) System aus,   e h∂µ − AT,µ (x ) − m0 c ψ  (x ) = 0 , (2.69) γ µ i¯ c machen f¨ ur ψ  den (antilinearen und reziproken) Ansatz ψ  (x ) = T ψ ∗ (x) , T 2 = 1 , T linear und dr¨ ucken (2.69) durch die urspr¨ unglichen Gr¨oßen aus:

   e e h∂0 − A0 (x) + γ i i¯ h∂i + Ai (x) − m0 c T ψ ∗ (x) = 0 . (2.70) γ 0 −i¯ c c Fordert man nun, daß gilt: T −1 γ µ T = g µµ γ µ∗

(keine Summation u ¨ ber µ) ,

(2.71) −1

dann erh¨ alt man durch Linksmultiplikation von (2.70) mit T und anschließender komplexer Konjugation die zu (2.69) formgleiche Gleichung

   e e h∂0 − A0 (x) + γ i i¯ h∂i − Ai (x) − m0 c ψ(x) = 0 γ 0 i¯ c c im urspr¨ unglichen System. Die L¨ osung von (2.71) ist nicht schwer zu finden und lautet in der Dirac- oder Weyl-Darstellung T = iλT γ 1 γ 3 . Als Erg¨anzung von (2.68) k¨ onnen wir deshalb schreiben: + passive T = iλT γ 1 γ 3   ∗ Zeitumψ(x, t) −→ ψT (x , t ) = T ψ (x, t) , |λT | = 1 kehr T . F¨ ur die aktive Zeitumkehrtransformation ergibt sich demzufolge ⎫ ψ(x, t) −→ ψT (x, t) = T ψ ∗ (x, −t) ⎪ ⎪ ⎬ aktive 0 0 0 ZeitumA (x, t) −→ AT (x, t) = A (x, −t) ⎪ ⎪ ⎭ kehr T . A(x, t) −→ AT (x, t) = −A(x, −t)

(2.72)

Angewandt auf eine freie ebene Dirac-L¨ osung liefert die aktive Zeitumkehr (siehe Aufgabe 20) ⎧ ⎧ ⎫ ⎫ ψ
,p,n (x) ψ
,p
,n
(x) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎨ ⎬ ⎬     −→ . (2.73) p0 n0 p0 n0 ⎪ ⎪ ⎩p = p ,n = n ⎪ ⎩ p = −p , n = −n ⎪ ⎭ ⎭ Auf Ebene der Wellenfunktionen werden hier die r¨aumlichen Impuls- und Spinindizes umgedreht. Auf Teilchenebene bedeutet dies aufgrund des unver¨ anderten : Die Zeitumkehr dreht den Impuls und den Spin eines Spin1/2-Teilchens um.

2.2 Symmetrietransformationen

139

P CT -Transformation (keine Symmetrietransformation). In v¨olliger Analogie zum Klein-Gordon-Fall k¨ onnen wir anstelle der Ladungskonjugation C aus Unterabschn. 2.1.6 genauso gut auch die drei Transformationen C, P und T in Kombination auf negative Dirac-L¨ osungen ψ (−) anwenden, um auf diese Weise Wellenfunktionen f¨ ur Antiteilchen zu generieren. Unter Ber¨ ucksichtigung von Satz 2.5, (2.66) und (2.72) ergibt sich somit im aktiven Fall in der Dirac- oder Weyl-Darstellung (ohne Ber¨ ucksichtigung etwaiger Phasen) (−)

ψ (−) (x) −→ ψP CT (x) = iγ 5 ψ (−) (−x) . Dies f¨ uhrt uns genau wie im Klein-Gordon-Fall zur Feynman-St¨ uckelbergInterpretation, auf die wir insbesondere bei der Beschreibung von Streuprozessen in Kapitel 3 Bezug nehmen werden (vgl. Satz 1.5). Satz 2.7: Feynman-St¨ uckelberg-Interpretation in der Dirac-Theorie Aufgrund der P CT -Transformation kann die Wellenfunktion eines physikalischen Spin-1/2-Antiteilchens der Ladung −e aufgefaßt werden als eine negative Dirac-L¨ osung der Ladung +e, die sich r¨ uckw¨arts in Raum und Zeit bewegt. Analog zum Klein-Gordon-Fall l¨ aßt sich diese Interpretation verifizieren, indem man an der Eigenwertgleichung eines negativen Dirac-Zustandes der Ladung +e die P CT -Transformation ausf¨ uhrt und dann feststellt, daß die resultierende Gleichung der Eigenwertgleichung f¨ ur einen positiven DiracZustand der Ladung −e mit entgegengesetzter raumzeitlicher Ausbreitungsrichtung entspricht. ¨ Erweiterte Ladungskonjugation C. Wir k¨onnen die mathematische Aquivalenzoperation C wieder zu einer Symmetrietransformation erweitern, indem wir zus¨ atzlich die elektromagnetischen Potentiale geeignet mittransformieren: ⎫ ψ(x, t) −→ ψC (x, t) = iλC γ 2 ψ ∗ (x, t) , |λC | = 1 ⎪ aktive ⎪ ⎬ LadungsA0 (x, t) −→ A0C (x, t) = −A0 (x, t) (2.74) konju⎪ ⎪ ⎭ gation C. A(x, t) −→ AC (x, t) = −A(x, t) Die Wirkung dieser erweiterten Ladungskonjugation C besteht auf Ebene der Wellenfunktionen z.B. darin, daß die Dirac-Gleichung f¨ ur eine positive L¨osung ψ (+) der Ladung +e im Potential +Aµ ,   e γ µ i¯ h∂µ − Aµ (x) − m0 c ψ (−) (x) = 0 , c (+)

in die Dirac-Gleichung f¨ ur eine negative L¨ osung ψC = iγ 2 ψ (+)∗ mit derselµ µ ben Ladung +e im Potential AC = −A transformiert wird, also in   e (+) h∂µ + Aµ (x) − m0 c ψC (x) = 0 . γ µ i¯ c

140

2. Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen

Die letzte Gleichung kann aber aufgrund der urspr¨ unglichen C-Transforma(+) tion interpretiert werden als Dirac-Gleichung f¨ ur eine positive L¨osung ψCC µ mit der Ladung −e im Potential −A und ansonsten gleichen Quantenzahlen wie die urspr¨ ungliche L¨ osung ψ (+) . Bezogen auf die Teilchenebene l¨ aßt sich dies analog zum Klein-GordonFall so interpretieren: Die Ladungskonjugation C wandelt ein Fermion um in ein Antifermion mit umgekehrter Ladung und ansonsten identischen Quantenzahlen. Demnach verh¨ alt sich ein Fermion der Ladung +e im Potential orige Antifermion der Ladung −e im Potential +Aµ genauso wie das zugeh¨ −Aµ , was offensichtlich mit unserer Erwartung u ¨ bereinstimmt. Weitere Symmetriebetrachtungen. Nachdem wir die wichtigsten Symmetrieeigenschaften der Dirac-Theorie besprochen haben, welche im Prinzip dieselben sind wie diejenigen der Klein-Gordon-Theorie, stellen wir als Erg¨ anzung zu den Schlußbemerkungen von Abschn. 1.2 folgendes fest: Generell l¨ aßt sich sagen, daß die Betrachtung von Symmetrieprinzipien in Theorie und Praxis ein ¨ außerst wichtiges Instrument zum Auffinden bzw. zur ¨ Uberpr¨ ufung von theoretischen Beschreibungen mikroskopischer physikalischer Prozesse darstellt. So wissen wir z.B., daß alle drei diskreten Symmetrien C, P und T bei der elektromagnetischen Wechselwirkung, etwa bei der Elektron-Elektron-Streuung, erhalten sind, so daß im Diracschen HamiltonOperator auch nur Terme auftreten d¨ urfen, die diese Symmetrien nicht st¨oren. Genau dies wird durch die minimale Kopplung (zur Beschreibung elementarer Teilchen) und durch gewisse Zusatzterme (zur Beschreibung nichtelementarer Teilchen mit anomalem magnetischen Moment, siehe Aufgabe 15) gew¨ahrleistet, wodurch wir zus¨ atzliches Vertrauen in die Korrektheit der Dirac-Theorie gewinnen k¨ onnen. Betrachten wir als ein weiteres Beispiel den schwachen Prozeß des βZerfalls (Neutronzerfalls), ν +n→ p+e , wobei n f¨ ur Neutron, p f¨ ur Proton, e f¨ ur Elektron und ν f¨ ur Neutrino steht. Hier nahm man zun¨ achst an, daß sich die lorentzinvariante Amplitude dieses Prozesses als Produkt zweier schwacher Vektorstr¨ome in der Form ⎫ (schwach),µ (schwach) · j(e,ν),µ (G=Fermi-Konstante) ⎬ M ∼ Gj(p,n) (2.75) (schwach),µ (schwach),µ ⎭ j(p,n) = ψ¯p γ µ ψn , j(e,ν) = ψ¯e γ µ ψν ausdr¨ ucken l¨ aßt, in v¨ olliger Analogie zum elektromagnetischen Prozeß der Elektron-Proton-Streuung, der in erster Ordnung St¨orungstheorie durch die lorentzinvariante Amplitude  e2 (em),µ (em) q=Viererimpuls¨ ubertrag des virtuelM ∼ 2 j(p,p) · j(e,e),µ len Ein-Photonenaustausches q mit den beiden elektromagnetischen Vektorstr¨omen

2.2 Symmetrietransformationen (em),µ

j(p,p)

141

(em),µ = ψ¯p γ µ ψp , j(e,e) = ψ¯e γ µ ψe

beschrieben wird (siehe Unterabschn. 3.3.2).10 Nun ist die Wahl des Vekomen eine sehr spezielle, und es betoroperators γ µ in den schwachen Str¨ steht a priori kein Grund, warum nicht auch eine andere der in Unterabschn. 2.1.3 diskutierten γ-Matrixkombinationen zur Bildung von kovarianten Bilinearformen (Str¨ omen) in Frage kommen sollte. Die Amplitude in (2.75) ist zwar in der Lage, einige Eigenschaften von β-Zerf¨allen zu erkl¨aren, andere wiederum nicht. Es wurde deshalb eine Vielzahl von β-Zerfallsexperimenten unternommen, um die korrekte Form der schwachen Wechselwirkungsamplitude zu bestimmen. Der H¨ ohepunkt dieser Bem¨ uhungen gelang Lee und Yang 1956 durch das Vorschlagen gewisser Experimente, anhand derer nachgewiesen werden konnte, daß die Parit¨ at bei schwachen Wechselwirkungsprozessen nicht erhalten ist. Dies dr¨ uckt sich u.a. darin aus, daß grunds¨atzlich nur linksh¨ andige Neutrinos (mit negativer Helizit¨ at) und rechtsh¨andige Antineutrinos (mit positiver Helizit¨ at) auftreten aber keine rechtsh¨andigen Neutrinos oder linksh¨ andigen Antineutrinos. Hieraus folgt desweiteren, daß auch die CInvarianz verletzt sein muß, weil die C-Transformation ein linksh¨andiges Neutrino in ein linksh¨ andiges Antineutrino u uhrt, welches ja nie beobachtet ¨ berf¨ wird. Aus all dem l¨ aßt sich der Schluß ziehen, daß Vektor- und Pseudovektorwechselwirkungen vorliegen (und keine skalaren, pseudoskalaren oder tensoriellen), die u ussen, um ein ¨ berdies in gewisser Kombination auftreten m¨ Gemisch zu erhalten, das keine wohldefinierte Parit¨at hat. Wie sich schließlich herausstellt, erweist sich die Amplitude M ∼ G[ψ¯p γ µ (1 − λγ 5 )ψn ][ψ¯e γµ (1 + γ 5 )ψν ] , λ ≈ −1.25 f¨ ur den obigen β-Zerfall als die richtige Wahl, wobei λ das Verh¨altnis der Vektor-Pseudovektor-Kopplung (oft auch Vektor-Axialvektor-Kopplung genannt) im hadronischen Strom angibt. Gerade in diesem Beispiel wird noch einmal deutlich, wie hilfreich Symmetriebetrachtungen zum Auffinden der korrekten mathematischen Beschreibung physikalischer Prozesse sind. Zusammenfassung • Der Beweis der Lorentz-Kovarianz der Dirac-Theorie wird durch die explizite Konstruktion von Bispinortransformationen zu gegebenen Lorentz-Transformationen vervollst¨ andigt. • Die Dirac-Theorie ist kovariant unter der vollen Poincar´e-Gruppe. Diskrete Symmetrietransformationen der Theorie sind die uneigentliche Lorentz-Transformation der Raumspiegelung P sowie die nichtlorentzartigen Transformationen der Zeitumkehr T und der erweiterten Ladungskonjugation C. 10

Proton und Neutron werden hier n¨ aherungsweise als strukturlos (punktf¨ ormig) angenommen.



142

2. Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen

• Durch Ausnutzung der Beziehung zwischen passiven und aktiven Transformationen sowie der Definition des Gesamtdrehimpulses u ¨ ber die aktive Drehung erh¨ alt man ein transformationstheoretisches Argument f¨ ur die Tatsache, daß Dirac-L¨ osungen Spin-1/2-Teilchen beschreiben. • Die Wellenfunktion eines Spin-1/2-Antiteilchens der Ladung −e kann aufgefaßt werden als eine negative Dirac-L¨osung der Ladung +e, die sich r¨ uckw¨ arts in Raum und Zeit bewegt (Feynman-St¨ uckelbergInterpretation).

Aufgaben 18. Vollst¨ andigkeits- und Orthogonalit¨ atsrelationen freier Bispinoren. Man beweise die Vollst¨ andigkeits- und Orthogonalit¨atsrelationen (2.15) und (2.16) unter Verwendung der Bispinortransformation (2.60) f¨ ur Lorentz-Boosts. L¨ osung. Zum Beweis von (2.15) gehen wir zum Ruhesystem u ¨ber und beachten, daß D† (p) = D(p):





ω (r)† ( r p)ω (r ) ( r
p) = ω (r)† (0)D† ( r p)D( r
p)ω r (0)


= ω (r)† (0)D( r p)D( r
p)ω r (0) (p0 + m0 c)2 + r r
p2 (r
) ω (0) = ω (r)† (0) 2m0 c(p0 + m0 c) (p0 + m0 c)( r + r
)αp (r
) ω (0) . +ω (r)† (0) 2m0 c(p0 + m0 c)


Da ω (r)† (0)αpω (r ) (0) nur f¨ ur r = r
ungleich Null ist, liefert der zweite Term keinen Beitrag. Somit ergibt sich


ω (r)† ( r p)ω (r ) ( r
p) =

(p0 + m0 c)2 + p2 p0 δrr
= δrr
. 2m0 c(p0 + m0 c) m0 c

Bei der ersten Gleichung von (2.16) reicht es, diese im Ruhesystem zu verifizieren, da die linke Seite ein Lorentz-Skalar ist. Die zweite Beziehung l¨ aßt sich ebenfalls bequem zeigen, indem auf das Ruhesystem transformiert wird, wo sie sicherlich g¨ ultig ist:   (r) (r) (r)

r ωα(r) (p)¯ ωβ (p) =

r Dαα
(p)ωα
(0)¯ ωβ
(0)Dβ−1
β (p) r,α
,β


r

=

 αα


δα
β
Dαα
(p)Dβ−1
β (p) = δαβ .

F¨ ur die dritte Beziehung folgt in ¨ ahnlicher Weise

Aufgaben



(r)†

ωα(r) ( r p)ωβ

( r p) =

 r,α
,β


r

=



r,α
,β


=



143

Dαα
( r p)ωα
(0)ωβ
(0)Dβ†
β ( r p) (r)

(r)†

δα
β
δα
r Dα,α
( r p)Dβ†
β ( r p)

Dαr ( r p)Drβ ( r p)

r

=

p0 p0  † δαβ , U Urβ = m0 c r αr m0 c

mit p0 + m0 c + βαp p0 + m0 c − βαp U=$ , U † = U −1 = $ . 2p0 (p0 + m0 c) 2p0 (p0 + m0 c) 19. Nichtunitarit¨ at von Bispinortransformationen (II). Zeigen Sie die G¨ ultigkeit von (2.23) f¨ ur eigentliche Lorentz-Transformation, also D† (Λ) = γ 0 D−1 (Λ)γ 0 , indem Sie die explizite Form von D(Λ) verwenden. L¨ osung. Der einfachste L¨ osungsweg besteht darin, von der infinitesimalen Darstellung f¨ ur D(Λ) auszugehen: i i D = 1 − σµµ ∆ω µν , σµν = [γµ , γν ] . 4 2 Unter Ber¨ ucksichtigung von σ µν† = γ 0 σ µν γ 0 folgt n¨ amlich f¨ ur die zugeh¨ orige adjungierte Transformation sofort  i † i i ∆ω µν = 1 + γ 0 σµν γ 0 ∆ω µν = γ 0 1 + σµν ∆ω µν γ 0 D† = 1 + σµν 4 4 4 = γ 0 D−1 γ 0 . 20. Freie Dirac-Zust¨ ande unter Raumspiegelung und Zeitumkehr. Verifizieren Sie die Beziehungen (2.67) und (2.73). L¨ osung. F¨ ur eine ebene freie Diracsche Wellenfunktion mit Energievorzeichen , Viererimpulsindex p und Viererpolarisationsindex n,   µ 1 + γ 5 γ µ nµ

γ pµ + m0 c ψ
,p,n (x) = ψ
,p,n (x) , 2m0 c 2 ergibt sich zum einen unter Ber¨ ucksichtigung von (2.64) und {P, γ 5 } = 0  µ 

γ pµ + m0 c 1 + γ 5 γ µ nµ −1 [ψ
,p,n ]P (x, t) = P P P P −1 2m0 c 2 ×P ψ
,p,n (−x, t)

144

2. Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen





g µµ γ µ pµ + m0 c 1 − γ 5 g µµ γ µ nµ P ψ
,p,n (−x, t) 2m0 c 2   µ  

γ pµ + m0 c 1 + γ 5 γ µ nµ = [ψ
,p,n ]P (x, t) , 2m0 c 2 =

mit pµ = g µµ pµ , nµ = −g µµ nµ . Zum anderen folgt unter Verwendung von (2.71) und [T, γ 5 ] = 0  ∗µ 

γ pµ + m0 c 1 + γ 5 γ ∗µ nµ [ψ
,p,n ]T (x, t) = T T −1 T T −1 2m0 c 2 ∗ ×T ψ
,p,n (x, −t)  µµ µ 

g γ pµ + m0 c 1 + γ 5 g µµ γ µ nµ ∗ (x, −t) = T ψ
,p,n 2m0 c 2   µ  

γ pµ + m0 c 1 + γ 5 γ µ nµ [ψ
,p,n ]T (x, t) , = 2m0 c 2 mit pµ = g µµ pµ , nµ = g µµ nµ . 21. Erwartungswerte zeitumgekehrter Dirac-Zust¨ ande. Zeigen Sie folgende Relationen zwischen zeitumgekehrten Dirac-Zust¨anden: jTµ (x ) = jµ (x) , x
T = x
, p
T = − p
. L¨ osung. Zun¨ achst l¨ aßt sich aufgrund der Eigenschaften der γ-Matrizen feststellen, daß in der Dirac- und Weyl-Darstellung T = iγ 1 γ 3 = T † = T −1 , ψT (t ) = T ψ ∗ (t) , ψT† (t ) = ψ T (t)T −1 , wobei hier und im folgenden das Ortsargument unterdr¨ uckt ist. Hieraus folgt ur die Stromdichte unter Ber¨ ucksichtigung von [T, γ 0 ] = 0 und T −1 γ µ T = γµ∗ f¨ jTµ (t ) = ψ¯T (t )γ µ ψT (t ) = ψ T (t)T −1 γ 0 γ µ T ψ ∗ (t)

= ψ T (t)γ 0 T −1 γ µ T ψ ∗ (t) = ψ T (t)γ 0 γµ∗ ψ ∗ (t) = ψα (t)[γ 0 γµ∗ ]αβ ψβ∗ (t) = ψβ∗ (t)[γ 0 γµ∗ ]Tβα ψα (t) = ψ ∗ (t)㵆 γ 0 ψ(t) ¯ = ψ ∗ (t)γ 0 γµ γ 0 γ 0 ψ(t) = ψ(t)γ µ ψ(t) = jµ (t) .

F¨ ur den Ortserwartungswert erh¨ alt man ([T, x] = 0)   †  3  x
T = d xψT (t )xψT (t ) = d3 xψ T (t)T −1 xT ψ ∗ (t)   = d3 x ψ T (t)xψ ∗ (t) = d3 xψ † xψ(t) = x
5 67 8 reell

Aufgaben

145

und f¨ ur den Impulserwartungswert ([T, p] = 0)   p
T = d3 xψ T (t)T −1 pT ψ ∗ (t) = d3 xψ T (t)pψ ∗ (t)  = −i¯ h d3 x[∇ψ † (t)]ψ(t)   3 † h d3 xψ † (t)∇ψ(t) = −i¯ h d x∇[ψ (t)ψ(t)] + i¯   = −i¯ h dF ψ † (t)ψ(t) − d3 xψ † (t)pψ(t) = − p
. ∂V

5

67

8

0

22. Lorentzartigkeit der P CT -Symmetrietransformation (II). Zeigen Sie in Analogie zu Aufgabe 3 die Lorentzartigkeit der P CT -Transformation im Dirac-Fall, indem sie wieder die uneigentliche und nichtorthochrone Lorentz-Transformation der Racah-Zeitspiegelung betrachten. L¨ osung. Zur Bestimmung der zur Racah-Zeitspiegelung geh¨orenden Bispinortransformation R k¨ onnen wir die Definitionsgleichung (2.26) heranziehen, d.h. ⎛ ⎞ −1 0 0 0 ⎜ 0 1 0 0⎟ ⎟ R−1 γ µ R = Λµ ν γ ν , (Λµ ν ) = ⎜ ⎝ 0 0 1 0⎠ . 0 0 01 Wie sich leicht nachpr¨ ufen l¨ aßt, lautet ihre L¨ osung R = γ 1 γ 2 γ 3 =⇒ R−1 = −γ 3 γ 2 γ 1 = −γ 0 R† γ 0 . F¨ ur die passiven und aktiven Transformationsgesetze der Racah-Zeitspiegelung erh¨ alt man somit ⎫ x −→ x = x , t −→ t = −t ⎪ ⎪ ⎪ R = λR γ 1 γ 2 γ 3 ⎪ ⎪   ⎬ passive ψ(x, t) −→ ψR (x , t ) = Rψ(x, t) , λR = ±1 Zeitspie⎪ A0 (x, t) −→ A0R (x , t ) = −A0 (x, t) ⎪ gelung R ⎪ ⎪ ⎪ ⎭   A(x, t) −→ AR (x , t ) = A(x, t) und

⎫ ψ(x, t) −→ ψR (x, t) = Rψ(x, −t) ⎪ ⎪ ⎬ aktive 0 0 0 ZeitspieA (x, t) −→ AR (x, t) = −A (x, −t) ⎪ ⎪ ⎭ gelung R. A(x, t) −→ AR x, t) = A(x, −t)

Genau wie in Aufgabe 3 liefert der Vergleich der letzten Beziehungen mit den aktiven Transformationsgesetzen der Zeitumkehr T und der Ladungskonjugation C, also (2.72) und (2.74), daß die Racah-Zeitspiegelung gleich der Kombination von C und T ist:

146

2. Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen

CT = R =⇒ P CT = P R . Hieraus folgt wieder, daß es sich bei der P CT -Transformation um eine lorentzartige Transformation handelt. Man beachte, daß sich der adjungierte Bispinor ψ¯ unter der RacahZeitspiegelung wie ¯ −1 ψ¯ −→ ψ¯R = ψ † R† γ 0 = −ψ † γ 0 R−1 γ 0 γ 0 = −ψR ¨ transformiert, in Ubereinstimmung mit dem allgemeinen Ergebnis (2.24) f¨ ur nichtorthochrone Lorentz-Transformationen (b = −1). Die Stromdichte transformiert sich deshalb wie ein Pseudovektor: µ ¯ νψ . jR = ψ¯R γ µ ψR = −Λµ ν ψγ

Da sich jedoch Aµ wie ein Vierervektor transformiert, ist die Feldgleichung f¨ ur das Strahlungsfeld, ∂ν ∂ ν Aµ = 4πej µ , nicht invariant unter der RacahZeitspiegelung (siehe Unterabschn. 3.3.2).

2.3 Ein-Teilcheninterpretation der Dirac-Theorie Wie beim Klein-Gordon-Fall in Abschn. 1.3 greifen wir in diesem Abschnitt die Ein-Teilcheninterpretation der Dirac-Theorie wieder auf und besch¨aftigen uns mit der Kl¨ arung der bislang unbeantworteten Fragen aus Unterabschn. 2.1.6, n¨ amlich [1] welche Voraussetzungen zur vollst¨ andigen Entkopplung der Dirac-Theorie in zwei Ein-Teilchentheorien gegeben sein m¨ ussen und [2] wie sich physikalisch sinnvolle Ein-Teilchenoperatoren konstruieren lassen, also Operatoren, die positive und negative L¨osungen nicht mischen. Hierbei behandeln wir zun¨ achst den zweiten und danach den ersten Punkt. Zum Schluß diskutieren wir das Kleinsche Paradoxon, um einige Widerspr¨ uchlichkeiten – im Prinzip dieselben wie im Klein-Gordon-Fall – deutlich werden zu lassen, die sich außerhalb des G¨ ultigkeitsbereiches des EinTeilchenkonzeptes ergeben. 2.3.1 Ein-Teilchenoperatoren und Feshbach-Villars-Darstellung Aufgrund der Ausf¨ uhrungen von Unterabschn. 1.3.2 steht zu vermuten, daß auch im Dirac-Fall nicht jeder relativistische Operator im Sinne des EinTeilchenbildes physikalisch sinnvoll ist. Um dies zu sehen, greifen wir auf das Ehrenfestsche Theorem (1.42) zur¨ uck, diesmal nat¨ urlich ohne den Index V, ∂O d O
1 = 0 =⇒ = [O, H]
, ∂t dt i¯ h

(2.76)

2.3 Ein-Teilcheninterpretation der Dirac-Theorie

147

woraus sich im freien Fall [H = H (0) aus (2.8)] der Geschwindigkeitsopera” tor“ dx
1 , v
= = [x, H (0) ] = cα
=⇒ v = cα dt i¯ h ¨ ergibt. Offensichtlich besitzt dieser Operator keine formale Ahnlichkeit mit der entsprechenden klassischen Beziehung v = cp/p0 , so wie man es aufgrund des Korrespondenzprinzips erwartet. Dar¨ uber hinaus gilt [α, H (0) ] = 0, so daß v f¨ ur freie Teilchen entgegen unserer Erwartung nicht konstant ist. Schließlich sind die Komponenten vi aufgrund von [αi , αj=i ] = 0 nicht gleichzeitig meßbar, was ebenfalls unphysikalisch erscheint. Der Grund f¨ ur diese unbefriedigenden Befunde h¨angt ¨ahnlich wie im Klein-Gordon-Fall damit zusammen, daß α positive Dirac-L¨osungen auf negative abbildet und umgekehrt, daß also α ein ungerader Operator ist.11 Nun ist aber klar, daß im Sinne des Ein-Teilchenkonzeptes ganz allgemein nur gerade Operatoren, d.h. Ein-Teilchenoperatoren zugelassen werden d¨ urfen, die positive und negative Zust¨ ande nicht mischen. Dies bedeutet, daß man vom betreffenden relativistischen Operator O = [O] + {O} , [O] = gerade , {O} = ungerade seinen geraden Anteil [O] zu isolieren hat. Feshbach-Villars-Darstellung. Zur expliziten Konstruktion von Ein-Teilchenoperatoren k¨ onnen wir vollst¨ andig auf die entsprechende Diskussion aus Unterabschn. 1.3.2 zur¨ uckgreifen, indem wir zun¨achst den Diracschen Hamilton-Operator im Raum der α-Matrizen diagonalisieren, also zu einer Darstellung u ¨ bergehen, in welcher [O] der diagonale Anteil von O ist. Wie im Klein-Gordon-Fall gilt auch hier, daß die exakte Diagonalisierung nur im freien Fall m¨ oglich ist. Die zugeh¨ orige Darstellung bezeichnet man, wie gehabt, mit Feshbach-Villars-Darstellung. Um zu ihr zu gelangen, ben¨otigt man ¨ eine geeignete unit¨ are Transformation, die wir uns durch folgende Uberlegung leicht beschaffen k¨ onnen: Die Eigenbasis des freien Diracschen HamiltonOperators lautet in der Schr¨ odingerschen Impulsdarstellung {ω (r) ( r p)} (siehe Satz 2.1) mit den Energieeigenwerten r cp0 . Sie bildet aufgrund von (2.15) ein Orthogonalsystem. Die Inverse der unit¨ aren Transformation U , die zwischen der zuletzt genannten und der kanonischen Basis vermittelt, ist deshalb gegeben durch   m0 c (1) −1 ω (p), ω (2) (p), ω (3) (−p), ω (4) (−p) U = p0 p0 + m0 c − βαp . = $ 2p0 (p0 + m0 c) 11

Ein gerader Operator O ist durch die Beziehung Oψ (±) = ψ (±) definiert, wobei osungen bezeichψ (±) und ψ (±) beliebige positive (+) bzw. negative (−) Dirac-L¨ nen. Dagegen heißt O ungerade falls Oψ (±) = ψ (∓) .

148

2. Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen

Hieraus folgt p0 + m0 c + βαp . U = U −1† =
2p0 (p0 + m0 c) ¨ Mit Hilfe von U k¨ onnen wir jetzt den Ubergang von der Schr¨odingerschen Impulsdarstellung zur zugeh¨ origen Feshbach-Villars-Darstellung vollziehen und finden, wie gew¨ unscht, ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 0 ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ 0 ⎟ ˜ (2) = U ω (2) (p) = ⎜ 1 ⎟ ω ˜ (1) = U ω (1) (p) = ⎜ ⎝0⎠ , ω ⎝0⎠ 0 0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 0 ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ 0 ⎟ ˜ (4) = U ω (4) (−p) = ⎜ 0 ⎟ ω ˜ (3) = U ω (3) (−p) = ⎜ ⎝1⎠ , ω ⎝0⎠ 0 1 und (siehe Aufgabe 23) ˜ (0) = U H (0) U −1 = cp0 β , H ˜ (0) ω H ˜ (r) = r cp0 ω ˜ (r)

(2.77)

sowie ˜ = U pU −1 = U U −1 p = p . p Wie im Klein-Gordon-Fall sind offensichtlich auch hier H (0) und p gerade Operatoren: H (0) = [H (0) ], p = [p]. Ein-Teilchenoperatoren f¨ ur Ort und Geschwindigkeit. Wir bestimmen nun den Ein-Teilchenortsoperator [x] und den Ein-Teilchengeschwindigkeitsoperator [v] nach dem bekannten Transformations- und Separationsschema Ortsdarstellung → Impulsdarstellung → FV-Impulsdarstellung → → Isolation des diag. Anteils → Impulsdarstellung → Ortsdarstellung, wobei die zugeh¨ origen Einzelrechnungen in Aufgabe 23 vorgef¨ uhrt werden. Ortsoperator in der Ortsdarstellung: x = C-Zahl

(p = −i¯ h∇) .

Ortsoperator in der Impulsdarstellung: x = i¯ h∇ p

(p = C-Zahl) .

Ortsoperator in der FV-Impulsdarstellung:  ˆ ×p β(αp)p βα iσ ˜ = U xU † = i¯ x + 2 − h∇p + i¯ h . (2.78) 2p0 (p0 + m0 c) 2p0 (p0 + m0 c) 2p0 Ein-Teilchenortsoperator in der FV-Impulsdarstellung:

2.3 Ein-Teilcheninterpretation der Dirac-Theorie



[˜ x] = i¯ h∇p + i¯ h

149



ˆ ×p iσ ∂ , [[˜ x]i , [˜ p]j ] = i¯ h , pj = i¯ hδij . (2.79) 2p0 (p0 + m0 c) ∂pi

Ein-Teilchenortsoperator in der Impulsdarstellung:  ˆ × p m0 cβα iσ [x] = U † [˜ x]U = i¯ h∇p + i¯ h + . 2p20 2p20 Ein-Teilchenortsoperator in der Ortsdarstellung:  ˆ × p m0 cβα iσ [x] = x + i¯ h + . 2p20 2p20

(2.80)

(2.81)

Geschwindigkeitsoperator in der Orts- bzw. Impulsdarstellung: v = cα . Geschwindigkeitsoperator in der FV-Impulsdarstellung: ˜ = U vU † = cα + v

cβp cp(αp) . − p0 p0 (p0 + m0 c)

(2.82)

Ein-Teilchengeschwindigkeitsoperator in der FV-Impulsdarstellung: cβp [˜ v] = , p0 oder u ¨ber das Ehrenfestsche Theorem (2.76): / - . cβp 1 , ˜ (0) = cβp =⇒ [˜ [˜ x], H , v] = [˜ v ]
= i¯ h p0 p0 ˜ (0) ] = cp0 β. ˜ (0) = [H mit [˜ x] aus (2.79) und H Ein-Teilchengeschwindigkeitsoperator in der Impuls- bzw. Ortsdarstellung: v ]U = [v] = U † [˜

m0 c2 βp cp(αp) + . p20 p20

(2.83)

Zum richtigen Verst¨ andnis dieser Ausdr¨ ucke sind analog zum Klein-GordonFall folgende Dinge zu ber¨ ucksichtigen: • Die Feshbach-Villars-Transformation U ist eine nichtlokale Transforma˜ tion, bei der die transformierte Wellenfunktion ψ(x) aus der urspr¨ unglichen Wellenfunktion ψ(x) durch Verschmierung des Ortsargumentes x von der Gr¨ oßenordnung der Compton-Wellenl¨ange des betrachteten Teilchens hervorgeht. Dies l¨ aßt sich z.B. anhand der Eigenfunktionen des Ein-Teilchenortsoperators [x] aus (2.81) zeigen, welche keine reinen δFunktionen mehr sind, sondern eine Ausdehnung im Bereich ∼ ¯h/m0 c besitzen. • Im Sinne des Ein-Teilchenkonzeptes erscheint nun der Ein-Teilchengeschwindigkeitsoperator als wahrer Geschwindigkeitsoperator“ akzeptabel. ” F¨ ur positive Dirac-L¨ osungen gilt in der FV-Impulsdarstellung dieselbe Beziehung zwischen [˜ v ] und [˜ p] wie in der relativistischen Mechanik, f¨ ur negative L¨ osungen gilt dies nur dem Betrage nach.

150

2. Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen

• Der Ein-Teilchengeschwindigkeitsoperator besitzt zusammen mit H (0) und p eine gemeinsame Eigenbasis, die in der Ortsdarstellung gegeben ist durch (r) ψp (x), mit den Energieeigenwerten r cp0 , den Impulseigenwerten r p und dem Ein-Teilchengeschwindigkeitseigenwert cp/p0 . Demnach ist bei negativen Eigenl¨ osungen der Eigenwert (bzw. Erwartungswert) von v dem Eigenwert (bzw. Erwartungswert) von p entgegengesetzt. Dieses vermeintlich widerspr¨ uchliche Verhalten h¨ angt wieder mit der r¨ uckw¨artigen Ausbreitung der negativen L¨ osungen in der Zeit zusammen (Siehe Satz 2.7). Satz 2.8: Ein-Teilchenoperatoren und FV-Darstellung in der Dirac-Theorie Im Sinne der Ein-Teilcheninterpretation der Dirac-Theorie sind zur Beschreibung physikalischer Gr¨ oßen nur gerade hermitesche Operatoren sinnvoll, die positive und negative Dirac-Zust¨ ande nicht mischen. Im Falle freier Spin-1/2-Teilchen l¨ aßt sich der zugeh¨ orige Hamilton-Operator H (0) durch Anwendung der unit¨ aren Feshbach-Villars-Transformation p0 + m0 c + βαp U= $ 2p0 (p0 + m0 c) diagonalisieren und f¨ uhrt auf die Feshbach-Villars-Darstellung. In ihr l¨aßt sich der gerade Anteil eines Operators besonders leicht bestimmen, weil er dort durch seinen geraden Anteil gegeben ist. Im Gegensatz zu H (0) und p sind der Ortsoperator x und der Geschwindigkeitsoperator v keine geraden Operatoren. Durch Transformation in die Feshbach-Villars-Darstellung, Separation der diagonalen Anteile und anschließender R¨ ucktransformation erh¨alt man f¨ ur den EinTeilchenortsoperator [x] und den Ein-Teilchengeschwindigkeitsoperator [v] in der u ¨ blichen Orts- bzw. Impulsdarstellung  ˆ × p m0 cβα iσ m0 c2 βp cp(αp) + + . , [v] = [x] = x + i¯ h 2 2 2p0 2p0 p20 p20

2.3.2 G¨ ultigkeitsbereich des Ein-Teilchenkonzeptes Bis hierher sind wir in unseren Bem¨ uhungen um eine konsistente EinTeilcheninterpretation der Dirac-Theorie schon recht weit gekommen, indem wir die positiven und (ladungskonjugierten) negativen Dirac-L¨osungen einer physikalisch sinnvollen Interpretation zugef¨ uhrt und in einen formalen Rahmen gestellt haben, der sich hinsichtlich Erwartungswerte sogar noch st¨arker an den nichtrelativistisch-quantenmechanischen Formalismus orientiert, als im Klein-Gordon-Fall. Allerdings ist noch der Punkt [1] zu kl¨aren, also unter welchen Voraussetzungen eine vollst¨ andige Entkopplung der Dirac-Theorie

2.3 Ein-Teilcheninterpretation der Dirac-Theorie

151

m¨oglich und damit eine im Sinne des Ein-Teilchenkonzeptes sinnvolle Trennung von Teilchen und Antiteilchen gew¨ ahrleistet ist. In Bezug hierauf gelten zun¨ achst einmal wieder die allgemeinen Plausibilit¨ atsargumente der Einleitung zu Kapitel 1, daß also die beteiligten Energien beim betrachteten physikalischen Vorgang hinreichend klein sein m¨ ussen, so daß Teilchenzahl ¨ andernde Prozesse vernachl¨assigt werden k¨onnen. Um nun zu sehen, welche zus¨ atzlichen Einschr¨ ankungen die Forderung einer vollst¨ andigen Entkopplung der Dirac-Theorie in zwei Ein-Teilchentheorien mit jeweils rein positiven bzw. rein negativen L¨osungen liefert, gehen wir analog zum Klein-Gordon-Fall in Unterabschn. 1.3.3 vor, indem wir uns wieder konkret fragen, unter welchen Umst¨ anden ein Diracsches Wellenpaket (fast) ausschließlich positive oder negative L¨ osungen enth¨alt. Nun ist klar, daß ein freies Wellenpaket, welches urspr¨ unglich nur aus positiven L¨ osungen gebildet wurde, bei Abwesenheit ¨außerer Kr¨afte auch keine Komponenten mit negativer Energie im Laufe der Zeit entwickeln wird. Andererseits schließt ein Wellenpaket, welches anf¨anglich in einem begrenzten Raumgebiet lokalisiert war, i.a. L¨ osungen beider Energievorzeichen ein, wobei das Verh¨ altnis von positiven zu negativen L¨ osungsanteilen vermutlich von der anf¨ anglichen Lokalisiertheit des Wellenpaketes abh¨angen wird. Betrachten wir hierzu ein ruhendes Spin-1/2-Teilchen, dessen Wellenpaket zum Zeitpunkt t = 0 in folgender Weise um den Ursprung gaußisch verteilt sei: ψ(x, t = 0) = (π∆2 )−3/4 e−x

2

/(2∆2 )

ω (1) (0) ,  ψ| ψ
= 1 .

Eine Fourier-Zerlegung diesen Ausdrucks ergibt  2 3/4  ∆ d3 p −p2 ∆2 /(2¯ h2 ) ipx/¯ h (1) ψ(x, t = 0) = e ω (0) . (2.84) 2 2 3/2 e π¯ h (2π¯ h ) Vergleicht man dies mit der allgemeinen L¨ osung f¨ ur t = 0,  4  ψ(x, t = 0) = d3 p a(r) (p)ψp(r) (x, t = 0) , r=1

so folgt  2 3/4  4 2 2 2 ∆ m0 c  (r) (r) a ( r p)ω ( r p) = e−p ∆ /(2¯h ) ω (1) (0) . 2 p0 r=1 π¯ h Mit Hilfe von (2.15) erh¨ alt man hieraus  2 3/4  2 2 2 m0 c ∆ e−p ∆ /(2¯h ) ω (r)† ( r p)ω (1) (0) a(r) ( r p) = p0 π¯ h2 und weiterhin  (3,4)    a |p| (−p)   ω (3,4)† (−p)ω (1) (0)    a(1,2) (p)  =  ω (1,2)† (p)ω (1) (0)  = p0 + m0 c .

152

2. Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen

¨ Ahnlich wie im Klein-Gordon-Fall finden wir auch hier, daß die negativen L¨osungen f¨ ur Fourier-Impulse |p| ~ m0 c merklich in das Wellenpaket eingehen. Sie werden aufgrund von (2.84) nur dann unterdr¨ uckt, falls


0 , A = 0 ur z > 0 (Bereich II) V0 f¨ von links kommend gestreut wird (siehe Abb. 1.3). Die station¨aren Energiel¨ osungen im Gebiet I (z < 0) setzen sich aus freien einfallenden und reflektierten Wellen zusammen, f¨ ur die wir ansetzen (siehe Satz 2.1): ψI (z, t) = e−iEt¯h Ψ (z) , Ψ (z) = Ψein (z) + Ψref (z) ⎛ ⎞ 1 2 4 2 ⎜ ⎟ 0 ⎟ , k1 = E − m0 c Ψein (z) = Aeik1 z ⎜ c¯ h k 1 ⎝ ⎠ c2 ¯h2 E+m0 c2 0 ⎛ ⎛ ⎞ 1 0 ⎜ ⎜ ⎟ 0 1 −ik1 z ⎜ ⎟ Ψref (z) = Be−ik1 z ⎜ ⎝ −c¯hk1 2 ⎠ + Ce ⎝ 0 E+m0 c −c¯ hk1 0 E+m0 c2



Ruhespin in z-Richtung



⎞ ⎟ ⎟ , ⎠

wobei die zeitunabh¨ angigen Ausdr¨ ucke der freien zeitunabh¨angigen DiracGleichung

2.3 Ein-Teilcheninterpretation der Dirac-Theorie

153

d + V (z) + βm0 c2 (2.85) dz mit V (z) = 0 gen¨ ugen. In diesem Ansatz wurde f¨ ur Ψref ein eventuell beitragender Term mit entgegengesetztem Spin ber¨ ucksichtigt. F¨ ur die transmittierte Welle ben¨ otigen wir die L¨osungen von (2.85) bei Anwesenheit eines konstanten Potentials V (z) = V0 . Diese unterscheiden sich von den freien L¨ osungen lediglich durch die Substitution E → E − V0 , so daß wir im Gebiet II (z > 0) schreiben k¨ onnen: HΨ = EΨ , H = −i¯ hcα3

ψII (z, t) = e−iEt/¯h Ψtrans (z) ⎛ 1 ⎜ 0 Ψtrans (z) = Deik2 z ⎜ c¯ hk2 ⎝ E−V0 +m0 c2 0 mit

4 k2 =

⎞

⎛

⎜ ⎟ ⎟ + Eeik2 z ⎜ ⎝ ⎠

0 1 0 −c¯ hk2 E−V0 +m0 c2

⎞ ⎟ ⎟ , ⎠

(E − V0 )2 − m20 c4 . c2 ¯ h2

Die Amplituden ergeben sich aus der Stetigkeitsbedingung der L¨osungen bei z = 0 aufgrund der Stromerhaltung. Man erh¨alt f¨ ur sie C=E=0, d.h. es findet keine Spinumklappung auf Ebene der Wellenfunktionen statt, und B=

(1 − r)A 2A k2 (E + m0 c2 ) , D= , r= . 1+r 1+r k1 (E − V0 + m0 c2 )

Je nach Wahl von V0 bzw. E betrachten wir wieder folgende F¨alle (vgl. die F¨alle aus Unterabschn. 1.3.4 sowie Abb. 1.4): 1. Fall: E > V0 + m0 c2 . Die Wellenzahl k2 ist reell, d.h. die transmittierte Welle im Bereich II oszilliert, und es gilt r > 0. Desweiteren haben wir f¨ ur die Stromdichten der einfallenden, reflektierten und transmittierten Anteile in z-Richtung T =

4r jref (1 − r)2 jtrans = , R=− = =1−T 2 jein (1 + r) jein (1 + r)2

und somit entsprechend unserer Erwartung r > 0 =⇒ 0 < R, T < 1. 2. Fall: V0 − m0 c2 < E < V0 + m0 c2 , E > m0 c2 . Die transmittierte Welle ar ist. ist exponentiell ged¨ ampft, weil k2 imagin¨ 3. Fall: m0 c2 < E < V0 − m0 c2 =⇒ V0 > 2m0 c2 . Nun ist k2 wie im 1. Fall reell. Andererseits ist r < 0, d.h. wir erhalten einen negativen Transmissionsstrom sowie einen Reflexionsstrom, der den einfallenden Strom dem Betrag nach sogar u ¨ bersteigt.

154

2. Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen

¨ Ahnlich wie im Klein-Gordon-Fall lassen sich die ersten beiden F¨alle im Rahmen des Ein-Teilchenbildes als Streuung eines Teilchens der Ladung +e an der (aus dessen Sicht) repulsiven Potentialbarriere problemlos interpretieren. Der 3. Fall erscheint uns dagegen aufgrund der oszillierenden Transmissionswelle wieder unverst¨ andlich, weil die Potentialstufe in dem betrachteten Energieintervall undurchdringbar sein sollte. Ursache hierf¨ ur ist im wesentlichen wieder eine zu starke Lokalisierung des betrachteten Teilchens, weil eine Potentialstufe der H¨ ohe V0 ≈ E die Eindringtiefe im Bereich II auf ein h/m0 c begrenzt. Gebiet der Gr¨ oßenordnung 1/k2 ≈ ¯ Der 3. Fall birgt aber auch außerhalb der strengen Ein-Teilchensichtweise Paradoxien in sich. Hierzu stellen wir zun¨ achst fest, daß die transmittierte Wellenfunktion eine negative Energie relativ zum Potential V0 besitzt. Es ist deshalb genau wie im Klein-Gordon-Fall vern¨ unftig, k2 durch −k2 zu ersetzen, so daß ψtrans einem nach rechts mit dem Impuls +¯h|k2 | laufenden Antiteil∗ chen der Ladung −e entspricht, welches seinerseits durch iγ 2 ψtrans beschrieben wird. Hieraus ergeben sich folgende Konsequenzen: F¨ ur die Reflexionsund Transmissionskoeffizienten gilt nun 0 < R, T < 1. Das heißt die im KleinGordon-Fall entwickelte Vorstellung der Paarproduktion an der Grenzfl¨ache z = 0, bei der die Teilchen nach links und die Antiteilchen nach rechts wegfliegen, l¨ aßt sich hier nicht aufrechterhalten. Vielmehr wird ein Teil der von links kommenden Teilchen in nach rechts weiterfliegende Antiteilchen umgewandelt. Diese Teilchenumwandlung bedeutet offensichtlich eine Verletzung der Ladungserhaltung, w¨ ahrend die Gesamtladung im Klein-Gordon-Fall explizit erhalten ist. Desweiteren impliziert die Umwandlung eine Umklappung des Spins auf Teilchenebene. Aufgrund dieser Sachverhalte spricht man innerhalb der Dirac-Theorie manchmal auch vom Kleinschen Superparadoxon“. ” Analog zu Unterabschn 1.3.4 geben wir auch hier noch die beiden u ¨ brigen Energieintervalle samt zugeh¨ origer Interpretation an: ur eine von links nach rechts 4. Fall: −m0 c2 < E < m0 c2 . Hier existiert f¨ gerichtete Einlaufbewegung keine L¨ osung. ahlt man k1 = −|k1 | und k2 = −|k2 |, so l¨aßt sich 5. Fall: E < −m0 c2 . W¨ dieser Fall im Rahmen des Ein-Teilchenbildes wieder deuten als die Streuung eines von links kommenden Antiteilchens der Ladung −e an der (aus dessen Sicht) attraktiven Potentialbarriere, mit r > 0 =⇒ 0 < R, T < 1. Zusammenfassung • Im Sinne der Ein-Teilcheninterpretation kommen h¨ochstens solche hermiteschen Operatoren als Observable in Frage, die gerade Operatoren sind, die also positive und negative Dirac-L¨osungen nicht mischen (EinTeilchenoperatoren). Der gerade Anteil eines Operators l¨aßt sich am einfachsten in einer Darstellung bestimmen, in der der Hamilton-Opera-



Aufgaben

155

tor diagonal ist. Im freien Fall ist dies die Feshbach-VillarsDarstellung. • Die Feshbach-Villars-Transformation ist eine nichtlokale Transformation. Bei ihr wird das Ortsargument x einer Wellenfunktion ψ(x) u ¨ber einen Bereich gemittelt bzw. verschmiert, dessen Ausdehnung gleich der Compton-Wellenl¨ ange des betrachteten Teilchens ist. • Der G¨ ultigkeitsbereich der Ein-Teilchen-Wahrscheinlichkeitsinterpretation beschr¨ ankt sich einerseits auf kleine Energien, bei denen Teilchenerzeugungsprozesse vernachl¨ assigt werden k¨onnen, und andererseits auf Diracsche Wellenpakete, deren Ausdehnung groß ist im Vergleich zur zugeh¨ origen Compton-Wellenl¨ ange. • Das Kleinsche Paradoxon ist ein einfaches Beispiel f¨ ur Interpretationsschwierigkeiten des Ein-Teilchenkonzeptes, die sich aus einer zu starken Lokalisierung von Diracschen Wellenpaketen ergeben. Auch außerhalb des Ein-Teilchenbildes findet man Widerspr¨ uchlichkeiten wie die Nichterhaltung der Gesamtladung und die Umklappung des Teilchenspins.

Aufgaben 23. Feshbach-Villars-Transformation (II). Verifizieren Sie die Beziehungen (2.77), (2.78), (2.80), (2.82), (2.83). L¨ osung. F¨ ur die nachfolgenden Berechnungen wird ben¨otigt: ˆ × p + p , {α, αp} = 2p , (αp)(αp) = p2 (αp)α = iσ (αp)α(αp) = 2p(αp) − αp2 ˆ β] = 0 , [ˆ ˆ × p, αp] = 2i[αp2 − (αp)p] [σ, σi , αj ] = 2i ijk αk , [σ ˆ ×p . ˆ × p(αp) = −p2 σ (αp)σ Zu (2.77). ˜ (0) = U H (0) U † H (p0 + m0 c + βαp)(cαp + βm0 c2 )(p0 + m0 c − βαp) = 2p0 (p0 + m0 c) [cp0 αp + β(p0 m0 c2 + m20 c3 + cp2 )](p0 + m0 c − βαp) = 2p0 (p0 + m0 c) [cαp + cβ(p0 + m0 c)](p0 + m0 c − βαp) = 2(p0 + m0 c) 1/2
(p0 + m0 c)2 + p2 = cp0 β = β m20 c4 + c2 p2 = cβ . 2(p0 + m0 c)

156

2. Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen

Zu (2.78). p0 + m0 c − βαp (∇p U † ) = ∇p $ 2p0 (p0 + m0 c) (2p0 + m0 c)p p/p0 − βα − U† 2 = $ 2p0 (p0 + m0 c) 2p0 (p0 + m0 c) (2p0 + m0 c)p (p0 + m0 c + βαp)(p/p0 − βα) − 2 U (∇p U † ) = 2p0 (p0 + m0 c) 2p0 (p0 + m0 c) β(αp)p βα p (αp)α + − − = 2p0 (p0 + m0 c) 2p20 (p0 + m0 c) 2p0 2p0 (p0 + m0 c) ˆ ×p iσ β(αp)p βα = + − 2p0 (p0 + m0 c) 2p20 (p0 + m0 c) 2p0 ˜ = U xU † = i¯ =⇒ x h∇p + i¯ hU (∇p U † )  ˆ ×p iσ β(αp)p βα + 2 − h = i¯ h∇p + i¯ . 2p0 (p0 + m0 c) 2p0 (p0 + m0 c) 2p0 Zu (2.80). ˆ ×p iσ U x]U = U † xU + i¯ hU † [x] = U † [˜ 2p0 (p0 + m0 c)  ˆ ×p iσ β(αp)p βα † U xU = i¯ − + h∇p + i¯ h 2p0 (p0 + m0 c) 2p20 (p0 + m0 c) 2p0 ˆ ×p ˆ × p(p0 + m0 c + βαp) (p0 + m0 c − βαp)iσ iσ U = 2 2p0 (p0 + m0 c) 4p0 (p0 + m0 c)2 2ˆ ˆ × p, αp] (p0 + m0 c) σ × p + (p0 + m0 c)β[σ =i 2 2 4p0 (p0 + m0 c) ˆ × p(αp) (αp)σ +i 2 4p0 (p0 + m0 c)2 ˆ ×p p2 βα β(αp)p im0 cσ − + 2 = 2 2 2p0 (p0 + m0 c) 2p0 (p0 + m0 c) 2p0 (p0 + m0 c)  ˆ × p m0 cβα iσ =⇒ [x] = i¯ h∇p + i¯ h + . 2p20 2p20 U†

Zu (2.82). (p0 + m0 c + βαp)cα(p0 + m0 c − βαp) 2p0 (p0 + m0 c) 2 cα(p0 + m0 c) − c(αp)α(αp) + cβ{α, αp}(p0 + m0 c) = 2p0 (p0 + m0 c) cβp cp(αp) = cα + . − p0 p0 (p0 + m0 c)

˜ = U vU † = v

Aufgaben

157

Zu (2.83). (p0 + m0 c − βαp)cβp(p0 + m0 c + βαp) 2p20 (p0 + m0 c) m0 c2 βp cp(αp) + . = p20 p20

[v] = U † [˜ v ]U =

24. Konstruktion von Ein-Teilchenoperatoren mittels Vorzeichenoperator (II). Diracsche Ein-Teilchenoperatoren lassen sich mit etwas weniger Aufwand konstruieren, als u ¨ ber den Umweg der Feshbach-VillarsDarstellung, indem man n¨ amlich ber¨ ucksichtigt, daß der hermitesche Vorzeichenoperator αp + m0 cβ H (0) = Λ= √ (0)2 p0 H (r)

die Eigenfunktionen ψp (x) mit den Eigenwerten (Energievorzeichen) r besitzt (vgl. Aufgabe 6). Konstruieren Sie die zu x und v geh¨orenden EinTeilchenoperatoren [x] und [v] unter Ausnutzung dieser Eigenschaft. L¨ osung. Aufgrund derselben Argumentation wie in Aufgabe 6 sind der gerade Anteil [O] und der ungerade Anteil {O} eines Operators O gegeben durch 1 1 [O] = (O + ΛOΛ) , {O} = (O − ΛOΛ) , 2 2 wobei ΛOΛ und somit auch [O] und {O} hermitesch sind, falls O selbst hermitesch ist. Nun rechnen wir in der Impulsdarstellung (x = i¯ h∇p , p = C-Zahl) wie folgt: αp + m0 cβ α p = −Λ 2 p0 p0 p0 ˆ × p m0 cβα (αp + m0 cβ)α p iσ Λ(∇p Λ) = − 2 = + p20 p0 p20 p20 (∇p Λ) = ∇p

=⇒ ΛxΛ = i¯ h∇p + i¯ hΛ(∇p Λ) = i¯ h∇ p +

ˆ × p m0 cβα iσ + . p20 p20

Hieraus folgt f¨ ur den Ein-Teilchenortsoperator in der Impuls- bzw. Ortsdarstellung (vgl. Satz 2.8 )
 ˆ × p m0 cβα iσ 1 h + . [x] = (x + ΛxΛ) = x + i¯ 2 2p20 2p20 Durch eine ¨ ahnliche Rechnung erhalten wir f¨ ur den Ein-Teilchengeschwindigkeitsoperator (vgl. Satz 2.8)

158

2. Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen

(αp + m0 cβ)cα(αp + m0 cβ) p20 c(αp)α(αp) + m0 c2 β{α, αp} − m20 c3 α = p20 2m0 c2 βp 2cp(αp) = + − cα p20 p20

ΛvΛ =

=⇒ [v] =

m0 c2 βp cp(αp) 1 (v + ΛvΛ) = + . 2 p20 p20

25. Gordon-Zerlegung. Man beweise, daß f¨ ur zwei beliebige L¨osungen ψ1 und ψ2 der freien Dirac-Gleichung gilt: ! i 1 ψ¯2 pµ ψ1 − (pµ ψ¯2 )ψ1 − pν (ψ¯2 σ µν ψ1 ) . (2.86) ψ¯2 γ µ ψ1 = 2m0 c 2m0 c L¨ osung. Zun¨ achst stellen wir fest, daß f¨ ur zwei beliebige Vierervektoren aµ µ und b gilt:   1 µ ν 1 µ ν µ ν ν µ ν µ γ aµ γ b ν = aµ b ν (γ γ + γ γ ) + (γ γ − γ γ ) 2 2  1 µ ν 1 µ ν {γ , γ } + [γ , γ ] = aµ b ν 2 2 = aµ bµ − iaµ bν σ µν . Hiermit erh¨ alt man unter Verwendung der freien Dirac-Gleichung und ihrer ← Adjungierten (pµ wirkt nach links) ←

0 = ψ¯2 (−γ µ pµ −m0 c)γ ν aν ψ1 + ψ¯2 γ ν aν (γ µ pµ − m0 c)ψ1 und weiterhin ←

2m0 cψ¯2 γ ν aν ψ1 = −ψ¯2 γ µ pµ γ ν aν ψ1 + ψ¯2 γ ν aν γ µ pµ ψ1  ← ← µ µν ¯ = −ψ2 p aµ + i pν aµ σ ψ1 + ψ¯2 (pµ aµ − ipν aµ σ µν ) . F¨ ur aµ = δµρ folgt schließlich die Behauptung (2.86). Die physikalische Bedeutung der Gordon-Zerlegung besteht darin, daß sie die Diracsche Wahr¯ µ ψ in eine Konvektionsstromdichte scheinlichkeitsstromdichte j µ = cψγ ! 1 µ ¯ µ ψ − (pµ ψ)ψ ¯ jK ψp = (2.87) 2m0 (¨ahnlich der nichtrelativistischen Wahrscheinlichkeitsstromdichte oder der Klein-Gordonschen Ladungsstromdichte) und eine Spinstromdichte jSµ = − aufteilt.

i ¯ µν ψ) pν (ψσ 2m0

(2.88)

Aufgaben

159

26. Zitterbewegung (II). Berechnen Sie in Analogie zu Aufgabe 7 den mittleren Strom eines beliebigen freien Diracschen Wellenpaketes und zeigen Sie, daß die Interferenzterme von positiven und negativen L¨osungen eine zeitlich oszillierende Bewegung enth¨ alt. L¨ osung. Zun¨ achst setzen wir das Wellenpaket in der Form ψ(x) = ψ (+) (x) + ψ (−) (x)  2  (+) ψ (x) = d3 p a(r) (p)ψp(r) (x) r=1

 ψ (−) (x) =

d3 p

4 

a(r) (p)ψp(r) (x)

r=3

an. Zur Berechnung des mittleren r¨ aumlichen Konvektionsstroms (2.87) nutzen wir die Identit¨ at ∗ ¯ = −(pψ)† γ 0 ψ = −ψ T γ 0,T (pψ)∗ = −(ψ † γ 0 pψ)∗ = −(ψpψ) ¯ (pψ)ψ ,

woraus sich
 1 ¯ Re ψpψ jK = m0 ergibt. Weiterhin #∗ folgt unter Ausnutzung der Adjunktionsbeziehung  φ| A |ψ
" = ψ| A† |φ j
K = = =

=

=

# 1 " ψ| γ 0 p |ψ m0   1 , (+)   ψ + ψ (−)  γ 0 p ψ (+) + ψ (−) m0 1 , (+)  0  (+) - , (−)  0  (−) ψ  γ p ψ + ψ  γ p ψ m0     , - , -     + ψ (+)  γ 0 p ψ (−) + ψ (−)  γ 0 p ψ (+) 1 , (+)  0  (+) - , (−)  0  (−) - ψ  γ p ψ + ψ  γ p ψ m0   -

, 2   + Re ψ (+)  γ 0 p ψ (−) m0   2 4    cp   (r) 2  (r) 2 3 cp d3 p (p) + d p a a (p)  p0 r=1 p0 r=3 5 67 8 5 67 8 (+)

j
K  +2Re

d3 p

cp 2ip0 x0 /¯h e p0

(−)

j
K

160

2. Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen



×



a(r)∗ (p)a(r ) (−p)¯ ω (r) (p)ω (r ) (−p) .

(2.89)

r = 1, 2 r
= 3, 4

Bei der Berechnung des mittleren r¨ aumlichen Spinstromes 



 " k# i d3 xpν ψ¯(+) + ψ¯(−) σ kν ψ (+) + ψ (−) j S=− 2m0
 ; [siehe (2.88)] ist zu beachten, daß die Einzelterme d3 xpν ψ¯(±) σ kν ψ (±) auf Integrale der Form   d3 p d3 p (pν − pν )δ(p − p) . . . f¨ und somit nichts beitragen. Dagegen liefern die Interferenzterme
 ;uhren d3 xpν ψ¯(±) σ kν ψ (∓) Integrale der Form 0   = 0 f¨ ur ν = 0 3 3    d p d p (pν + pν )δ(p + p) . . . = 0 sonst . Insgesamt bleibt deshalb  

 " k# i j S=− d3 x p0 ψ¯(+) σ k0 ψ (−) + p0 ψ¯(−) σ k0 ψ (+) 2m0 u aßt sich schließlich unter Ber¨ ucksichtigung von ¨brig. Dieser Ausdruck l¨





 p0 ψ¯(−) σ k0 ψ (+) = p0 ψ (−)† γ 0 σ k0 ψ (+) = p0 ψ (+)T σ k0,T γ 0,T ψ (−)∗

∗

∗ = p0 ψ (+)† σ k0† γ 0 ψ (−) = p0 ψ¯(+) γ 0 σ k0† γ 0 ψ (−)

∗ ∗ = p0 ψ¯(+) σ k0 ψ (−) = − p0 ψ¯(+) σ k0 ψ (−) weiter vereinfachen zu 

 " k# 1 j S = Im d3 xp0 ψ¯(+) σ k0 ψ (−) m0   0 = 2Im c d3 pe2ip0 x /¯h ×





a(r)∗ (p)a(r ) (−p)¯ ω (r) (p)σ k0 ω (r ) (−p) .

(2.90)

r = 1, 2 r
= 3, 4

Anhand von (2.89) und (2.90) erkennt man, daß die Bewegung eines Diracschen Wellenpaketes genau dann eine zeitlich oszillierende Bewegung (Zitterbewegung) enth¨ alt, wenn es sowohl positive als auch negative Komponenten besitzt. Dieser Sachverhalt ist uns bereits aus der entsprechenden Rechnung im Klein-Gordon-Fall (Aufgabe 7) bekannt.

2.4 Nichtrelativistische N¨ aherung der Dirac-Theorie

161

2.4 Nichtrelativistische N¨ aherung der Dirac-Theorie In unserer bisherigen Diskussion der Dirac-Theorie haben wir eine wichtige Frage noch nicht angesprochen, n¨ amlich ob sich aus ihr die betreffenden Gleichungen der nichtrelativistischen Quantenmechanik ableiten lassen. Dies sollte nat¨ urlich der Fall sein, um die Dirac-Theorie als relativistische Erweiterung akzeptieren zu k¨ onnen. In diesem Abschnitt werden wir uns mit diesem Punkt besch¨ aftigen, wobei wir v¨ ollig analog zur Diskussion im Klein-GordonFall, Abschn. 1.4, vorgehen. Das heißt wir betrachten zun¨achst wieder den nichtrelativistischen Grenzfall in f¨ uhrender Ordnung von v/c, was uns auf die nichtrelativistische Pauli-Gleichung f¨ ur Spin-1/2-Teilchen f¨ uhren wird. Danach nehmen wir das Verfahren der Fouldy-Wouthuysen-Transformation zur Hilfe, um h¨ ohere relativistische Korrekturen einzubeziehen bzw. den Diracschen Hamilton-Operator in h¨ oheren Ordnungen von v/c zu diagonalisieren. Man beachte, daß sich s¨ amtliche Betrachtungen dieses Abschnittes auf die Dirac-Darstellung beziehen. 2.4.1 Nichtrelativistischer Grenzfall Ausgangspunkt unserer Betrachtungen ist die Dirac-Gleichung (2.14) in kanonischer Form,  e  ∂ψ(x) (2.91) = cα p − A + eA0 + βm0 c2 ψ(x) . i¯ h ∂t c Um den nichtrelativistischen Grenzfall dieser Gleichung zu studieren, ist es vorteilhaft, sie durch Einf¨ uhren der zweikomponentigen Spinoren    ψu ψ1 ψ3 ψu = , ψd = , ψ= ψ2 ψ4 ψd umzuschreiben in das ¨ aquivalente Gleichungssystem ⎫

e  ∂ψu = cσ p − A ψd + (eA0 + m0 c2 )ψu ⎪ i¯ h ⎬ ∂t c (2.92)

⎪ e  ∂ψd = cσ p − A ψu + (eA0 − m0 c2 )ψd , ⎭ i¯ h ∂t c wobei der Index u f¨ ur up“ (obere beiden Komponenten) und d f¨ ur down“ ” ” (untere beiden Komponenten) steht. Unter Ber¨ ucksichtigung von    2  ∂ v (±) (±) 0 2 i¯ h − eA ψu,d = m0 c ±1 + O ψu,d ∂t c2 folgt f¨ ur positive L¨ osungen (+) aus der zweiten Gleichung von (2.92)  2

v e  (+) σ (+) p − A ψu + O ψd = (2.93) 2m0 c c c2 und f¨ ur negative L¨ osungen (−) aus der ersten Gleichung

162

2. Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen

ψu(−) = −

 2 v e  (−) σ p − A ψd + O . 2m0 c c c2

(2.94)

uber ψu und im Dies bedeutet, daß im Falle positiver L¨ osungen ψd gegen¨ uber ψd um den Faktor v/c unterdr¨ uckt Falle negativer L¨ osungen ψu gegen¨ ist. Setzt man nun (2.93) bzw. (2.94) in die jeweils verbleibende Gleichung von (2.92) ein, so ergibt sich f¨ ur positive L¨ osungen  1 ψu ψ = O (v/c)   3 + 1 e 2 ∂ψu v = σ p− A i¯ h + m0 c2 + eA0 + O ψu ∂t 2m0 c c3 und f¨ ur negative L¨ osungen  O (v/c) ψ = ψd 1   3 + e 2 1 ∂ψd v 2 0 σ p− A = − i¯ h − m0 c + eA + O ψd . ∂t 2m0 c c3 Diese Beziehungen lassen sich schließlich mit Hilfe der Identit¨aten

e  e¯h e  (σA)(σB) = (AB) + iσ(A × B) , p − A × p − A = − B c c ic
2 2 zusammenfassen zu der bis zur Ordnung O v /c korrekten Dirac-Gleichung ⎫ ∂ψ ⎪ i¯ h = H nr ψ ⎪ ⎪ ⎪ ∂t ⎪   ⎪

 ⎬ 2 e 1 e¯ h nr 2 0 ˆ p− A − H = β m0 c + σB + eA (2.95) 2m0 c 2m0 c ⎪ ⎪  3  ⎪ ⎪ ⎪ v σ 0 ⎪ ⎭ ˆ= +O , σ , 3 0 σ c mit dem diagonalen und hermiteschen Hamilton-Operator H nr [vgl. die nichtrelativistische Klein-Gordon-Gleichung (1.57)]. Beschr¨ankt man sich bei dieser Gleichung auf positive L¨ osungen, also auf die oberen beiden Komponenten, so stimmt sie bis auf die Ruheenergie m0 c2 mit der nichtrelativistischen Pauli-Gleichung f¨ ur Spin-1/2-Teilchen in einem elektromagnetischen Feld u ¨ berein. Besonders beachtenswert hierbei ist, daß die nichtrelativistische Grenzwertbildung der Dirac-Gleichung automatisch zu einem Wechselwirkungsterm −M B zwischen dem magnetischen Moment (bzw. Spin) des betrachteten Teilchens und dem ¨ außeren Magnetfeld f¨ uhrt, und zwar im Falle des elementaren Elektrons mit dem korrekten magnetischen Moment bzw. korrekten gyromagnetischen Verh¨altnis M (e) =

eg e¯ h σ= S , g = 2 (Land´e-Faktor) , 2m0 c 2m0 c

2.4 Nichtrelativistische N¨ aherung der Dirac-Theorie

163

w¨ahrend jener Term in der Pauli-Gleichung ad hoc eingef¨ uhrt werden muß. Historisch gesehen war gerade dieser Umstand ein wichtiger Impetus f¨ ur das Vertrauen in die Dirac-Theorie. F¨ ur nichtelementare Teilchen wie z.B. das Proton oder Neutron werden wir allerdings durch obige Grenzwertbildung auf die falschen Ergebnisse uhrt. Hierf¨ ur M (p) = −eS/(mp c) (Proton) und M (n) = 0 (Neutron) gef¨ reicht offensichtlich die minimale Kopplung zur Ber¨ ucksichtigung ¨außerer elektromagnetischer Felder nicht aus. Man kann aber auch f¨ ur solche Teilchen die entsprechenden nichtrelativistischen Gleichungen mit den korrekten magnetischen Momenten erhalten, indem man in (2.91) ph¨anomenologisch motivierte Terme hinzuf¨ ugt (siehe Aufgabe 15 und 27). Der Vollst¨ andigkeit halber geben wir noch die zu (2.95) geh¨orenden, bis 
ucke f¨ ur die Wahrscheinlichkeitsdichzur Ordnung O v 2 /c2 korrekten Ausdr¨ te und Wahrscheinlichkeitsstromdichte an:   h ¯ 2ie Aψ † βψ . ρ = ψ† ψ , j = ψ † β∇ψ − (∇ψ † )βψ − 2im ¯hc Sie sind, wie gehabt, u atsgleichung ∂ρ/∂t + ∇j = 0 mitein¨ber die Kontinuit¨ ander verbunden und stimmen im Falle positiver L¨osungen mit den entsprechenden Formeln der nichtrelativistischen Theorie u ¨berein. 2.4.2 Relativistische Korrekturen Die im vorigen Unterabschnitt durchgef¨ uhrte R¨ uckf¨ uhrung der Dirac-Theorie auf
die nichtrelativistische Pauli-Theorie ist korrekt bis zur Ordnung O v 2 /c2 ; der beim Hamilton-Operator in (2.95) begangene Fehler ist von 
der Ordnung O v 3 /c3 . In diesem Grenzfall ist H nr diagonal, und die positiven und negativen L¨ osungen sind vollst¨ andig voneinander entkoppelt. Um den Hamilton-Operator in h¨ oheren Ordnungen systematisch zu diagonalisieren, also h¨ ohere relativistische Korrekturen zu ber¨ ucksichtigen, steht uns wie im Klein-Gordon-Fall die Fouldy-Wouthuysen-Methode zur Verf¨ ugung, die wir nun auf die allgemeine Dirac-Gleichung (2.91) anwenden wollen. Hierbei ¨ gelten im Prinzip dieselben Uberlegungen wie in Unterabschn. 1.4.2, insbesondere, daß eine exakte Diagonalisierung der allgemeinen Dirac-Gleichung aufgrund von Vakuumpolarisationseffekten nicht m¨oglich ist. Wir beginnen unsere Diskussion, indem wir die Dirac-Gleichung (2.91) zur Erleichterung von Ordnungsbetrachtungen zun¨achst umschreiben zu m0 c2 Kψ = 0 , K = β + + ω , mit

=− und

1 m 0 c2

  2  2 v v ∂ i¯ h − eA0 = O (1) + O , β +

= O ∂t c2 c2

164

2. Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen

ω=

v e  cα p− A =O . 2 m0 c c c

Wie gehabt handelt es sich bei bzw. β + um einen geraden (diagonalen) Operator und bei ω um einen ungeraden (antidiagonalen) Operator. Unser Ziel ist, mit Hilfe geeigneter Fouldy-Wouthuysen-Transformationen
U = eiS , U  = eiS , . . . zu neuen Darstellungen u ¨ berzugehen, in denen ω von immer h¨ oherer Ordnung in v/c ist, so daß durch seine Vernachl¨assigung ein diagonaler K- bzw. Hamilton-Operator entsteht, korrekt bis zur jeweiligen Ordnung in v/c. Nach der ersten Transformation soll also gelten: m0 c2 K  ψ  = 0 , ψ  = U ψ , K  = U KU −1  2  3 v v  K  = β +  + ω  , β +  = O = O , ω (oder h¨oher) , 2 c c3 nach der zweiten: m0 c2 K  ψ  = 0 , ψ  = U  ψ , K  = U  K  U −1  2  5 v v      K =β+ +ω , β+ =O , ω =O (oder h¨oher) c2 c5 und so fort. Nun bietet sich in Analogie zu (1.61) f¨ ur die erste Transformation die Wahl iβω (2.96) U = eiS , S = − 2 an. Um hieraus das resultierende K  zu berechnen, k¨onnen wir wieder von der Baker-Hausdorff-Entwicklung (1.60) sowie von den in (1.62) berechneten Einzeltermen mit der Ersetzung τ3 → β Gebrauch machen. Dies liefert K  = β +  + ω  , mit O

v2 c2

↓

 =



O

v2 c2



↓ βω 2 + 2

O

v4 c4



O

v4 c4



↓ ↓  2 v βω 4 1 − − [ω, [ω, ]] + . . . = O 8 8 c2

und ω = −

β β ω3 + [ω, ] + [ω, [ω, [ω, ]]] + . . . = O 3 2 48



v3 c3

.

Wie man sieht, ist ω  jetzt
umzwei Ordnungen in v/c erh¨oht. Bis auf einen alt man hieraus den geraden Operator Fehler der Ordnung O v 3 /c3 erh¨ K  = β + , aus dem sich wieder die Pauli-Gleichung (2.95) ergibt. Um den ungeraden Teil des K-Operators weiter zu unterdr¨ ucken, f¨ uhren wir eine zweite Fouldy-Wouthuysen-Transformation an K  durch, mit

2.4 Nichtrelativistische N¨ aherung der Dirac-Theorie


U  = eiS , S  = −

165



iβω . 2

Hieraus folgt K  = β +  + ω  , mit O

v2 c2



O

↓

 =

v6 c6



O

v 12 c12



O

v8 c8



↓ ↓ ↓  2 βω 4 1    βω 2 v − − [ω , [ω , ]] + . . . = O + 2 8 8 c2



und

 5 β ω 3 β v + [ω  ,  ] + [ω  , [ω  , [ω  ,  ]]] + . . . = O . 3 2 48 c5 
Durch Vernachl¨ assigung aller Terme der Ordnung O v 5 /c5 (und h¨oher) erhalten wir hieraus den geraden Operator  5 v βω 4 1 βω 2  − − [ω, [ω, ]] + O , (2.97) K =β+ + 2 8 8 c5
4 4 der schließlich zu der bis zur Ordnung O v /c korrekten Dirac-Gleichung ω  = −

∂ψ  = H  ψ  ∂t f¨ uhrt, mit dem diagonalen und hermiteschen Hamilton-Operator (siehe Aufgabe 28)   e 2 1 e¯ h  2 ˆ p− A − σB + eA0 H = β m0 c + 2m0 c 2m0 c  1 e 4 h2 2 e2 ¯ p − A −β + B 8m30 c2 c 8m30 c4  +

e 2 e¯ h ˆ σB, p − A − 8m30 c3 c i¯ h

e¯h e¯ h2 ie¯ h2 ˆ ˆ σ(∇ × E) − σ(E × p) ∇E − 8m20 c2 8m20 c2 4m20 c2  5 v +O c5 −

(2.98)

und der Wellenfunktion


ψ  (x) = e−iβω /2 e−iβω/2 ψ(x) . Insgesamt sehen wir, daß sich die sukzessive Diagonalisierung des Diracschen Hamilton-Operators in immer h¨ oheren Ordnungen von v/c mittels der Fouldy-Wouthuysen-Methode sehr ¨ ahnlich durchf¨ uhren l¨aßt wie im KleinGordon-Fall in Unterabschn. 1.4.2. In Analogie zu den dortigen Feststellungen haben wir auch hier folgendes zu ber¨ ucksichtigen:

166

2. Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen

• Alle Fouldy-Wouthuysen-Transformationen U , U  , . . . der Form (2.96) sind aufgrund der Hermitezit¨ at von S, S  , . . . unit¨are Transformationen, so daß die Invarianz von Erwartungswerten f¨ ur Operatoren gew¨ahrleistet ist, die sich wie U [·]U −1 transformieren. • F¨ ur den Diracschen Hamilton-Operator selbst gilt dies nur unter der Vor¨ aussetzung ∂A/∂t = 0, weil der Ubergang Kψ = 0 −→ K  ψ  = 0 , K  = U KU −1 = U KU † , ψ  = U ψ gleichbedeutend ist mit i¯ h

∂ψ  ∂ψ = Hψ −→ i¯ h = H  ψ , H  = U ∂t ∂t

 ∂ H − i¯ h U† . ∂t

• Man erh¨ alt die zu den jeweiligen Fouldy-Wouthuysen-Darstellungen geh¨orenden Ein-Teilchenoperatoren durch entsprechendes Mittransformieren der urspr¨ unglichen (relativistischen) Operatoren und anschließender Separation des diagonalen Anteils. Wie im Klein-Gordon-Fall gilt auch hier [x, U ] = 0, d.h. die Fouldy-Wouthuysen-Methode ist nichtlokal und verursacht eine Verschmierung der Ortswellenfunktion, von der sich zeigen l¨aßt, daß sie im Bereich der Compton-Wellenl¨ ange des betrachteten Teilchens liegt. • Notwendige Voraussetzung f¨ ur die Sinnhaftigkeit der Fouldy-WouthuysenMethode ist, daß sie sich auf physikalische Probleme innerhalb des G¨ ultigkeitsbereiches des Ein-Teilchenbildes beschr¨ankt und daß die Fouldy-Wouthuysen-Entwicklung konvergiert. Satz 2.9: Fouldy-Wouthuysen-Transformation in der Dirac-Theorie Die Fouldy-Wouthuysen-Transformation liefert ein systematisches Verfahren zur Diagonalisierung des Diracschen Hamilton-Operators bis zu jeder beliebigen (endlichen) Ordnung in v/c. Schreibt man die Dirac-Gleichung (2.91) in der Form m0 c2 K (0) ψ (0) = 0 , K (0) = β + (0) + ω (0) ,


 wobei die dimensionslosen Operatoren (0) , β + (0) = O v 2 /c2 und ω (0) = O (v/c) gerade bzw. ungerade sind, dann gelangt man durch Iteration der Beziehungen K (n) = β + (n) + ω (n) = U (n−1) K (n−1) U (n−1)† ψ (n) (x) = U (n−1) ψ (n−1) (x)  iβω (n) U (n) = exp − (unit¨ ar) 2 jeweils zu anderen Darstellungen der Dirac-Theorie, in denen gilt:



2.4 Nichtrelativistische N¨ aherung der Dirac-Theorie

 β+

(n)

=O

v2 c2



 , ω

(n)

=O

v 2n+1 c2n+1

167

.

Bei Vernachl¨ assigung des ungeraden Operators liefert der gerade Anteil ur Teilchen und von K (n) zwei explizit entkoppelte Ein-Teilchentheorien  f¨
Antiteilchen, korrekt bis zur Ordnung O v 2n−1 /c2n−1 . Elektron im elektrostatischen Zentralpotential. Kommen wir zum Schluß dieses Abschnittes noch einmal auf (2.98) zur¨ uck. Wir k¨onnen diese Gleichung in eine uns wohlvertraute Form bringen, indem wir sie f¨ ur den Fall eines Elektrons in einem zentralsymmetrischen Potential eA0 = V (|x|) = V (r) , A = 0 betrachten. In diesem Fall haben wir 1 x ∂V B = 0 , E = −∇A0 = − , ∇×E =0 . e r ∂r Durch Beschr¨ ankung auf die oberen beiden Komponenten folgt hieraus der Hamilton-Operator Hu = m0 c2 +

p2 p4 h2 ¯ ¯h 1 ∂V σL . + V (r) − + ∇2 V + 2m0 8m30 c2 8m20 c2 4m20 c2 r ∂r

Der vierte Term auf der rechten Seite ist eine relativistische Korrektur der kinetischen Energie. Der f¨ unfte Term ist eine relativistische Korrektur des Zentralpotentials und ist unter dem Namen Darwin-Term bekannt. Er kann der Zitterbewegung des Elektrons zugeschrieben werden. Der letzte Term enth¨ alt die Wechselwirkungsenergie zwischen dem Spin (bzw. magnetischen Moment) des Elektrons und seinem Bahndrehimpuls (Spin-Bahn-Kopplung), wobei zu beachten ist, daß hier der Effekt der Thomas-Pr¨azession durch den Faktor 4 im Nenner korrekt ber¨ ucksichtigt wird.12 Im Falle eines Coulomb2 Potentials V (r) = −Ze /r lauten die letzten beiden Terme πZe2 ¯ h2 δ(r) 2m20 c2

und

h Ze2 ¯ σL . 4m20 c2 r3

Der Darwin-Term beeinflußt in diesem Fall nur die s-Zust¨ande. Zusammenfassung • Die nichtrelativistische N¨ aherung der Dirac-Theorie f¨ uhrt in niedrigster Ordnung (nichtrelativistischer Grenzfall) auf einen diagonalen und 12

In der nichtrelativistischen Quantenmechanik wird dieser Term in klassischer Betrachtungsweise damit begr¨ undet, daß im Ruhesystem des Elektrons das Kraftzentrum am Ort des Elektrons ein Magnetfeld produziert, welches mit dem Spin des Elektrons wechselwirkt. Da dort u.a. die nichtgeradlinige Bewegung des Elektrons vernachl¨ assigt wird, kommt dieser Term um einen Faktor 2 zu groß heraus.



168

2. Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen

hermiteschen Hamilton-Operator. Hieraus folgen zwei explizit entkoppelte Ein-Teilchentheorien f¨ ur Teilchen und Antiteilchen, von denen die erste identisch ist mit der nichtrelativistischen Pauli-Gleichung f¨ ur Spin-1/2Teilchen. • Im Gegensatz zum feldfreien Fall l¨ aßt sich der Diracsche HamiltonOperator im allgemeinen Fall nicht exakt sondern nur approximativ diagonalisieren. Hierzu l¨ aßt sich die Fouldy-Wouthuysen-Methode verwenden, bei der der Hamilton-Operator sukzessive in immer h¨oheren Ordnungen von v/c diagonalisiert wird. Der gerade Anteil liefert jeweils einen diagonalen und hermiteschen Hamilton-Operator, korrekt bis zur betrachteten Ordnung in v/c, aus dem sich wiederum zwei explizit entkoppelte Ein-Teilchentheorien f¨ ur Teilchen und Antiteilchen ableiten lassen. • Die Fouldy-Wouthuysen-Transformation ist wie die FeshbachVillars-Transformation eine nichtlokale Transformation und f¨ uhrt zu einer Verschmierung des Ortsargumentes in der Gr¨oßenordnung der Compton-Wellenl¨ ange des betrachteten Teilchens. • Die Fouldy-Wouthuysen-Methode ist nur in jenen F¨allen sinnvoll, bei denen einerseits die v/c-Entwicklung konvergiert und andererseits die Ein-Teilcheninterpretation anwendbar ist.

Aufgaben 27. Anomales magnetisches Moment strukturierter Teilchen. Es ist zu zeigen, daß man durch Hinzuf¨ ugen des Terms hδβ ¯ σµν F µν , F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ 4m0 c in (2.91) im nichtrelativistischen Grenzfall eine Gleichung erh¨alt, die ein Teilchen mit dem magnetischen Moment M (i) =

h(ei + δ) ¯ σ 2mi c

beschreibt, wobei ei die Ladung und mi die Ruhemasse des Teilchens bezeichnen. L¨ osung. Wiederholt man die auf (2.95) hinauslaufende Argumentation, ausgehend von der um obigen Term erweiterten Gleichung (2.91), dann ergibt sich die modifizierte Pauli-Gleichung

Aufgaben

∂ψ = i¯ h ∂t

169

   ei  2 ¯δ h 1 ei ¯h 2 µν ˆ + p− A − β mi c + σB σµν F 2mi c 2mi c 4mi c + + ei A0 ψ . (2.99)

Der vorletzte Term dieser Gleichung wurde bereits in Aufgabe 15 berechnet und lautet ˆ σµν F µν = 2(iαE − σB) . Somit f¨ uhren der dritt- und vorletzte Term in (2.99) zum o.a. magnetischen Moment (plus elektrische Terme, die um den Faktor v/c unterdr¨ uckt sind). Experimente legen f¨ ur das elementare Elektron sowie f¨ ur das zusammengesetzte Proton und Neutron folgende Werte f¨ ur δ fest (e =Elektronladung): e¯ h σ 2me c 2.79e¯h h(−e + 3.79e) ¯ σ= σ Proton : δ ≈ 3.79e =⇒ M (p) ≈ 2mp c 2mp c h(0 − 1.91e) ¯ −1.91e¯h Neutron : δ ≈ −1.91e =⇒ M (n) ≈ σ= σ. 2mn c 2mn c

Elektron : δ = 0

=⇒ M (e) =

¨ 28. Fouldy-Wouthuysen-Transformation. Man zeige den Ubergang von (2.97) nach (2.98). L¨ osung. e  e  1 α p− A α p− A 2 2 m0 c c c

1  e  e  = 2 2 αi αj pi − Ai pj − Aj m0 c i,j c c



i  e e  1 e 2 = 2 2

ijk σ ˆk pi − Ai pj − Aj + 2 2 p − A m0 c c c m0 c c i,j,k 

2 1 e ie ˆ × A) + 2 2 p − A σ(p = − 3 m0 c m0 c c e 2 1 e¯ h ˆ + 2 2 p− A = − 2 3 σB m0 c m0 c c    ∂ 1 e 0 h − eA [ω, ] = − 2 3 α p − A , i¯ m0 c c ∂t   + 1 ie¯ h ∂ 0 = 2 3 e[αp, A ] + A, m0 c c ∂t  ie¯ h ie¯h 1 ˙ = − 2 3 α ∇A0 + A = 2 3 αE m0 c c m0 c ω2 =

170

2. Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen

 e  ie¯ h α p − A , αE m30 c4 c ie¯ h = 3 4 [αp, αE] m0 c ie¯ h  αi αj (pi Ej − Ei pj ) = 3 4 m0 c i,j

[ω, [ω, ]] =

ie¯ h  {αi αj (pi Ej ) + [αi , αj ]Ej pi } 3 m0 c4 i,j ⎧ ⎫ ⎬  ie¯ h ⎨ (i ijk σ ˆk + δij ) (pi Ej ) + 2i ijk σ ˆk Ej pi = 3 4 ⎭ m0 c ⎩ =

i,j

i,j,k

2

=

2

e¯ h ie¯ h 2e¯h ˆ ˆ σ(∇ × E) + 3 4 ∇E + 3 4 σ(E × p) . 3 4 m0 c m0 c m0 c

Hierbei wurden die Identit¨ aten αi αj = i ijk σ ˆk + δij , [αi , αj ] = 2i ijk σ ˆk benutzt.

2.5 Einfache Ein-Teilchensysteme Um die Parallelit¨ at der Diskussionen im Klein-Gordon- und Dirac-Fall zu vervollst¨ andigen, wollen wir auch dieses Kapitel Relativistische Beschrei” bung von Spin-1/2-Teilchen“ mit einigen einfachen Beispielen zu Diracschen Ein-Teilchensystemen beenden. Hierbei gehen wir wieder sehr ¨ahnlich wie im Klein-Gordon-Fall, Abschn. 1.5, vor, indem wir zuerst unsere Betrachtungen des Kleinschen Paradoxons aus Unterabschn. 2.3.3 auf den Fall des eindimensionalen Potentialkastens ausdehnen. Als n¨ achstes besch¨aftigen wir uns mit dem Problem zentralsymmetrischer Potentiale, welches sich wie in der KleinGordon-Theorie durch Separation des winkelabh¨angigen Anteils in ein rein radiales Problem umformulieren l¨ aßt. Im konkreten diskutieren wir hierbei das freie Teilchen, den kugelsymmetrischen Potentialtopf und abschließend das Coulomb-Potential. Wie zuvor beziehen sich s¨amtliche Betrachtungen dieses Abschnittes auf die Dirac-Darstellung. 2.5.1 Kastenpotential Zum Einstieg betrachten wir ein Spin-1/2-Teilchen in Anwesenheit eines eindimensionalen Potentialkastens der Form 0 1 0 f¨ ur −a < z < a (Bereich II) (0) , V0 > 0.(2.100) eA (z) = V (z) = sonst (Bereich I,III) V0

2.5 Einfache Ein-Teilchensysteme

171

In Bezug auf die qualitative Diskussion der m¨ oglichen L¨osungen k¨onnen wir die im Klein-Gordon-Fall getroffenen Feststellungen in Unterabschn. 1.5.1 samt Abb. 1.5 vollst¨ andig u ¨ bernehmen. Zur genaueren Analyse separieren wir zun¨ achst wieder den zeitabh¨ angigen Anteil der Diracschen Wellenfunktionen verm¨ oge ψ(z, t) = Ψ (z)e−iEt/¯h , so daß Ψ (z) der station¨ aren Gleichung (2.85) mit V (z) aus (2.100) gen¨ ugt. Als n¨ achstes konzentrieren wir uns auf die Streuf¨alle (1., 3. und 5. Fall), behandeln im Anschluß den Tunnelfall (4. Fall) und danach den Bindungsfall (2. Fall). 1., 3. und 5. Fall im Detail. Bei diesen Streuf¨allen gehen wir von einem (Anti-)Teilchen aus, das von links entlang der z-Achse auf den Potentialkasten zul¨ auft. Unser Ansatz zur L¨ osung von (2.85) in den Bereichen I (z < −a), II (−a < z < a) und III (z > a) lautet deshalb (Ruhespin in z-Richtung) ΨI (z) = Ψein (z) + Ψref (z)

⎛ ⎞ ⎞ 1 1 ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ −ik1 z ⎜ 0 ⎟ ⎟ Ψein (z) = Aeik1 z ⎜ ⎝ λ1 ⎠ , Ψref (z) = Be ⎝ −λ1 ⎠ 0 0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ik2 z ⎜ 0 ⎟ −ik2 z ⎜ 0 ⎟ ΨII (z) = Ce ⎝ λ2 ⎠ + De ⎝ −λ2 ⎠ 0 0 ⎛ ⎞ 1 ⎜ ⎟ ik1 z ⎜ 0 ⎟ ΨIII (z) = Ψtrans (z) = Ee ⎝ λ1 ⎠ , 0 mit

⎛



 (E − V0 )2 − m20 c4 E 2 − m20 c4 , k = ± 2 2 2 h c ¯ ¯h2 c2 c¯ hk1 c¯hk2 λ1 = , λ2 = , 2 E − V0 + m0 c E + m 0 c2 k1 = ±

wobei k1 = +|k1 |, k2 = +|k2 | im 1. Fall, k1 = −|k1 |, k2 = +|k2 | im 3. Fall und k1 = −|k1 |, k2 = −|k2 | im 5. Fall gilt. In diesem Ansatz gehen unsere Erfahrungen aus Unterabschn. 2.3.3 ein, daß n¨ amlich an den Bereichsgrenzen z = ±a auf Ebene der Wellenfunktionen keine Spinumklappung stattfindet. Die Stetigkeitsbedingungen ΨI (−a) = ΨII (−a) und ΨII (a) = ΨIII (a) ergeben folgende Bestimmungsgleichungen f¨ ur die Integrationskonstanten A bis E: Ae−ik1 a + Beik1 a = Ce−ik1 a + Deik1 a
−ik1 a 
 λ1 Ae − B ik1 a = λ2 Ce−ik2 a − Deik2 a

172

2. Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen

Ceik2 a + De−ik2 a = Eeik1 a
ik2 a  λ2 Ce − De−ik2 a = λ1 Eeik1 a . Sie sind formal identisch zu den entsprechenden Bestimmungsgleichungen (1.68) im Klein-Gordon-Fall, wenn dort bei den Vorfaktoren die Ersetzung ki → λi vorgenommen wird. Dieselbe Ersetzung in (1.69) f¨ uhrt deshalb sofort auf die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten ⎫ (λ21 − λ22 )2 sin2 2k2 a jref ⎪ ⎪ = 2 2 R = − ⎪ ⎬ 2 2 2 2 jein 4λ1 λ2 + (λ1 − λ2 ) sin 2k2 a (2.101) ⎪ jtrans 4λ21 λ22 ⎪ ⎪ T = = 2 2 = 1−R .⎭ jein 4λ1 λ2 + (λ21 − λ22 )2 sin2 2k2 a Wie im Klein-Gordon-Fall oszillieren beide Koeffizienten in Abh¨angigkeit von k2 bzw. E zwischen Null und Eins, wobei f¨ ur sin 2k2 a = 0, also f¨ ur c2 ¯ h2 π 2 + m20 c4 , n = 1, 2, . . . , 4a2 der Reflexionskoeffizient exakt verschwindet. E 2 = n2

4. Fall im Detail. In diesem Tunnelfall k¨ onnen wir obigen L¨osungsansatz u ¨bernehmen, wobei wir k1 , k2 , λ1 und λ2 in der Weise   (E − V0 )2 − m20 c4 m20 c4 − E 2 k1 = − , k2 = iκ2 , κ2 = 2 2 h c ¯ ¯h2 c2 c¯ hk1 c¯hκ2 λ1 = , λ2 = iξ2 , ξ2 = E − V0 + m0 c2 E + m 0 c2 w¨ahlen. Aus (2.101) folgt somit f¨ ur die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten (κ21 + ξ22 )2 sinh2 2κ2 a 4κ21 ξ22 + (κ21 + ξ22 )2 sinh2 2κ2 a 4κ21 ξ22 =1−R . T = 2 2 2 4κ1 ξ2 + (κ1 + ξ22 )2 sinh2 2κ2 a

R =

Auch hier liegen beide Koeffizienten zwischen Null und Eins, allerdings mit einem in a exponentiell abnehmendem und in |E| exponentiell zunehmendem Transmissionskoeffizienten. 2. Fall im Detail. F¨ ur den Bindungsfall machen wir in Analogie zum entsprechen Klein-Gordonschen 2. Fall den Ansatz ⎛ ⎞ 1 ⎜ 0 ⎟ ⎟ ΨI (z) = Aeκ1 z ⎜ ⎝ −iξ1 ⎠ 0

2.5 Einfache Ein-Teilchensysteme

⎛

173

⎞

B cos k2 z + C sin k2 z ⎜ ⎟ 0 ⎜ ⎟ ΨII (z) = ⎝ iλ2 (B sin k2 z − C cos k2 z) ⎠ 0 ⎛ ⎞ 1 ⎜ ⎟ −κ1 z ⎜ 0 ⎟ ΨIII (z) = De ⎝ iξ1 ⎠ , 0 mit



 m20 c4 − (E − V0 )2 E 2 − m20 c4 κ1 = , k2 = 2 2 h c ¯ ¯h2 c2 c¯ hκ 1 c¯ hk2 ξ1 = , λ2 = . 2 E − V0 + m0 c E + m 0 c2

Die Stetigkeitsbedingungen an den Bereichsgrenzen f¨ uhren in diesem Fall zu den Gleichungen Ae−κ1 a = B cos k2 a − C sin k2 a ξ1 Ae−κ1 a = λ2 B sin k2 a + λ2 C cos k2 a De−κ1 a = B cos k2 a + C sin k2 a ξ1 De−κ1 a = λ2 B sin k2 a − λ2 C cos k2 a . Kombiniert man die ersten beiden und die letzten beiden Gleichungen, so erh¨ alt man B sin k2 a + C cos k2 a B sin k2 a − C cos k2 a = λ2 , ξ1 = λ2 B cos k2 a − C sin k2 a B cos k2 a + C sin k2 a woraus sich wieder die Bedingung BC = 0 ergibt. Wir haben also wieder folgende zwei F¨ alle zu unterscheiden, die verschiedene Quantisierungsbedingungen f¨ ur die Energie E liefern: 2.a: C = 0 =⇒ A = D. ξ1 tan k2 a = . λ2 2.b: B = 0 =⇒ A = −D.

ξ1 π = − cot k2 a = tan k2 a + . 2 λ2 Analog zur Fußnote 26 auf Seite 70 weisen wir darauf hin, daß der HamiltonOperator in (2.85) aufgrund der Form von V (z) mit der Parit¨atstransformation aus Unterabschn. 2.2.3 vertauscht. Bis auf eine irrelevante Phase haben wir n¨ amlich im aktiven Fall [H(z)Ψ (z)]P = γ 0 H(−z)Ψ (−z) = H(z)γ 0 Ψ (−z) = H(z)ΨP (z) .

174

2. Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen

Neben der Wellenfunktion Ψ (z) ist deshalb auch ihre Parit¨atstransformierte ΨP (z) eine L¨ osung von (2.85), und zwar zum selben Energieeigenwert: EΨ (z) = H(z)Ψ (z) =⇒ EΨP (z) = [H(z)Ψ (z)]P = H(z)ΨP (z) . Beide L¨ osungen lassen sich aufgrund der Linearit¨at der Dirac-Gleichung zu den neuen L¨ osungen (±)

Ψ (±) (z) = Ψ (z) ± ΨP (z) , ΨP (z) = ±Ψ (±) (z) mit definierter Parit¨ at kombinieren, von denen der Fall 2.a den geraden L¨ osungen (+) und der Fall 2.b den ungeraden L¨osungen (−) entspricht. 2.5.2 Radiale Form der Dirac-Gleichung Kommen wir nun zum Fall eines Spin-1/2-Teilchens in einem zentralsymmetrischen Potential der Form eA0 (x) = V (x) = V (|x|), A = 0. Hier bietet sich aufgrund der Rotationssymmetrie des zugeh¨origen Diracschen Hamilton¨ Operators wieder der Ubergang zu Kugelkoordinaten an, x = r cos ϕ sin θ , y = r sin ϕ sin θ , z = r cos θ , um auf diese Weise den Winkel- und Radialteil zu isolieren. Zu diesem Zweck starten wir mit der Dirac-Gleichung ! ∂ψ(x) = cαp + βm0 c2 + V (r) ψ(x) , r = |x| ∂t und schreiben sie durch Separation der zeitabh¨angigen Phase zun¨achst um in die zeitunabh¨ angige Gleichung i¯ h

HΨ (x) = EΨ (x) , H = cαp+βm0 c2 +V (r) , Ψ (x) = ψ(x)e−iEt/¯h .(2.102) Um die radialen und winkelabh¨ angigen Anteile im Impulsterm αp zu trennen, f¨ uhren wir den Radialimpuls  ∂ 1 1 ∂ pr = −i¯ r = −i¯ h + h r ∂r ∂r r und die Radialgeschwindigkeit αx αr = r ein. Hiermit und unter Ber¨ ucksichtigung von (σA)(σB) = AB + iσ(A × B) , x∇ = r∂/∂r folgt

 2SL ˆ = rpr + i h ¯+ (αx)(αp) = xp + iσL . h ¯

Linksmultiplikation dieses Ausdrucks mit αr /r liefert schließlich

(2.103)

2.5 Einfache Ein-Teilchensysteme

 αp = αr

  i J 2 − S 2 − L2 pr + h+ ¯ , r h ¯

175

(2.104)

wobei J = L + S den Gesamtdrehimpuls des betrachteten Teilchens bezeichnet. Nun l¨ aßt sich leicht zeigen, daß die Operatoren {H, J 2 , Jz } zusammen mit der Parit¨ atstransformation P einen Satz kommutierender Observabler bilden. Wir werden deshalb die L¨ osungen von (2.102) so konstruieren, daß sie Eigenfunktionen dieser vier Operatoren sind. Beschr¨ankt man sich zun¨achst auf nur zwei L¨ osungskomponenten, dann kann man auf die Resultate der nichtrelativistischen Quantenmechanik zur¨ uckgreifen und die Eigenfunktionen von J 2 und Jz (und L2 , S 2 ) sofort angeben:  /  .  1 1 (l)  l, ml ; , ms  J, M Yl,m (θ, ϕ)χ(ms ) , l = J ∓ , YJ,M (θ, ϕ) = 2 2 m+ms =M

mit (l)

(l)

(l)

(l)

J 2 YJ,M = h ¯ 2 J(J + 1)YJ,M , Jz YJ,M = h ¯ M YJ,M , M = −J, . . . , J . Diese sog. Spinorkugelfl¨achenfunktionen setzen sich zusammen aus den Kugelfl¨ achenfunktionen Yl,m (θ, ϕ), mit L2 Yl,m = h ¯ 2 l(l + 1)Yl,m , Lz Yl,m = h ¯ mYl,m , m = −l, . . . , l und den Spinoren χ(ms ), mit 3¯ h2 ¯h 1 χ(ms ) , Sz χ(ms ) = h ¯ ms χ(ms ) , S = σ , ms = ± . 4 2 2  . . .| . . .
bezeichnen die u ¨ blichen Clebsch-Gordan-Koeffizienten. Als n¨achstes m¨ ussen wir zwei Spinorkugelfl¨ achenfunktionen mit gleichem J und M so miteinander kombinieren, daß der resultierende Bispinor definierte Parit¨at besitzt. Einerseits ergibt sich aus dem Raumspiegelungsverhalten der Kugelfl¨achenfunktionen, S 2 χ(ms ) =

Yl,m (π − θ, ϕ + π) = (−1)l Yl,m (θ, ϕ) , f¨ ur die Spinorkugelfl¨ achenfunktionen ebenfalls (l)

(l)

YJ,M (π − θ, ϕ + π) = (−1)l YJ,M (θ, ϕ) . Andererseits liefert die Anwendung der aktiven Parit¨atstransformation auf einen Bispinor bis auf eine irrelevante Phase    Ψu (x) Ψu (−x) Ψu (x) = −→ . Ψd (x) Ψd (x) P −Ψd (−x) (l)

ussen, Hieraus folgt, daß wir im Diracschen Bispinor zwei YJ,M kombinieren m¨ deren l-Wert sich um 1 unterscheidet, um Zust¨ande mit definierter Parit¨at zu erhalten. Bezieht man die Radialabh¨ angigkeit mit ein, dann lassen sich die beiden m¨ oglichen Kombinationen schreiben als

176

2. Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen (ω) ΨJ,M (r, θ, ϕ)

⎛ ⎞ (J+ω/2) (θ, ϕ) 1 ⎝ FJ+ω/2 (r)YJ,M ⎠ , ω = ±1 , = (J−ω/2) r iG (r)Y (θ, ϕ) J−ω/2

mit

J,M

 (ω) (ω) ΨJ,M (θ, ϕ) = (−1)J+ω/2 ΨJ,M (θ, ϕ) . P

Hierbei sind Fl (r) und Gl (r) zwei noch zu spezifizierende, nur vom Radius r abh¨ angige skalare Funktionen und ω die mit der Parit¨at verbundene Quantenzahl. Aufgrund von   1 ω (ω) (ω) 2 2 2 (ω) ¯ l(l + 1)ΨJ,M = h ¯ J(J + 1) + + β(2J + 1) ΨJ,M L ΨJ,M = h 4 2 k¨onnen wir nun den Klammerterm in (2.104) umschreiben zu  hω ¯ J 2 − S 2 − L2 (ω) (ω) h+ ¯ ΨJ,M = − (2J + 1)βΨJ,M , h ¯ 2 so daß insgesamt (2.102) u ¨ bergeht in

 
  i¯ hω J + 12 (ω) (ω) β + βm0 c2 + V (r) ΨJ,M = EΨJ,M . cαr pr − r Unter Verwendung der Identit¨ aten (siehe Aufgabe 29) σx (J±ω/2) (J∓ω/2) Y = −YJ,M r J,M und  f (r) 1 df pr = −i¯ h r r dr

(2.105)

folgt schließlich der Satz 2.10: Radiale Dirac-Gleichungen f¨ ur zentralsymmetrische Potentiale Die L¨ osungen der zeitunabh¨ angigen Dirac-Gleichung mit zentralsymmetrischem Potential, HΨ (x) = EΨ (x) , H = cαp + βm0 c2 + V (r) , lassen sich in der sph¨ arischen Darstellung schreiben als ⎛ ⎞ (J+ω/2) FJ+ω/2 (r)YJ,M (θ, ϕ) 1 (ω) ⎠ , ΨJ,M (r, θ, ϕ) = ⎝ (J−ω/2) r iG (r)Y (θ, ϕ) J−ω/2

J,M

wobei die Funktionen Fl und Gl den radialen Dirac-Gleichungen



2.5 Einfache Ein-Teilchensysteme



177

⎫
 ⎪ ω J + 12 E − m 0 c2 − V d ⎪ GJ−ω/2 (r) = FJ+ω/2 (r) ⎪ − + ⎪ ⎬ dr r c¯h


 (2.106) ⎪ ω J + 12 d E + m 0 c2 − V ⎪ ⎪ + GJ−ω/2 (r) ⎪ FJ+ω/2 (r) = ⎭ dr r c¯h

gen¨ ugen. F¨ ur diese L¨ osungen gelten weiterhin die Beziehungen 1 3 , ,... 2 2 (w) (ω) Jz ΨJ,M (r, θ, ϕ) = h ¯ M ΨJ,M (r, θ, ϕ) , M = −J, . . . , J  (ω) (ω) ΨJ,M (r, θ, ϕ) = (−1)J+ω/2 ΨJ,M (r, θ, ϕ) , ω = ±1 . (w)

(ω)

J 2 ΨJ,M (r, θ, ϕ) = h ¯ 2 J(J + 1)ΨJ,M (r, θ, ϕ) , J =

P

2.5.3 Freies Teilchen und kugelsymmetrischer Potentialtopf Das einfachste Anwendungsbeispiel von Satz 2.10 ist ein freies Spin-1/2Teilchen (V = 0). L¨ ost man f¨ ur diesen Fall die zweite radiale Gleichung nach G auf,


ω J + 12 d c¯ h + FJ+ω/2 (r) , GJ−ω/2 (r) = (2.107) E + m0 c2 dr r und setzt diese dann in die erste ein, so ergibt sich



 J + 12 J + 12 + ω E 2 − m20 c4 d2 FJ+ω/2 (r) = FJ+ω/2 (r) . − 2+ 2 dr r c2 ¯h2 Unter Ber¨ ucksichtigung von   ω 1 1 l = J + =⇒ J + J + + ω = l(l + 1) 2 2 2 folgt schließlich  2  d l(l + 1) E 2 − m20 c4 2 2 − + k (r) = 0 , k = . F l dr2 r2 c2 ¯h2

(2.108)

Diese Gleichung ist offensichtlich formgleich zur radialen Klein-GordonGleichung (1.72) aus Satz 1.9, so daß wir zu ihrer weiteren Auswertung auf die entsprechenden Ausf¨ uhrungen des Klein-Gordon-Falles zur¨ uckgreifen k¨onnen. Durch die Substitutionen ˆ l (ρ) ρ = kr , Fl (r) = ρFˆl (ρ) , Gl (r) = ρG u uhren wir (2.107) und (2.108) zun¨ achst in das Gleichungssystem ¨berf¨

178

2. Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen

 d2 l(l + 1) 2 d Fˆl (ρ) = 0 − + + 1 dρ2 ρ dρ ρ2


ω J + 12 d c¯ hk ˆ FˆJ+ω/2 (ρ) GJ−ω/2 (ρ) = + E + m0 c2 dρ ρ 

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ .⎪ ⎭

(2.109)

Die erste Gleichung ist die sph¨ arische Besselsche Differentialgleichung, die in Unterabschn. 1.5.3 samt ihren L¨ osungen, den sph¨arischen Bessel(±) Funktionen jl , nl , hl , bereits diskutiert wurde. Unter Verwendung der f¨ ur (±) jl , nl , hl = Fˆl g¨ ultigen Rekursionsformeln d ˆ l+1 ˆ d l Fˆl−1 (ρ) = Fl (ρ) + Fl (ρ) , Fˆl+1 (ρ) = − Fˆl (ρ) + Fˆl (ρ) dρ ρ dρ ρ ˆl folgt aus der zweiten Gleichung von (2.109) f¨ ur die G ˆ J−ω/2 (ρ) = G

c¯ hkω ˆ FJ−ω/2 (ρ) . E + m 0 c2

In Bezug auf den physikalischen Gehalt dieser L¨osungen haben wir wieder zwischen folgenden F¨ allen zu unterscheiden: • |E| < m0 c2 : In diesem Energiebereich gibt es keine im Unendlichen beschr¨ ankte und im Ursprung regul¨ are L¨ osung der sph¨arischen Besselschen Differentialgleichung. Wie im Klein-Gordon-Fall existiert auch hier kein freies (Anti-)Teilchen mit einer Energie E im verbotenen“ Bereich ” −m0 c2 < E < m0 c2 . • |E| > m0 c2 : Hier existiert genau eine u ¨ berall beschr¨ankte L¨osung der Bessel-Gleichung, n¨ amlich Fˆl (ρ) = jl (ρ). Nach R¨ uckkehr zu den urspr¨ unglichen Gr¨ oßen ergibt sich daher als physikalische L¨osung von (2.106)  ⎫ E 2 − m20 c4 ⎪ ⎪ ⎬ FJ+ω/2 (r) = AJ+ω/2 rjJ+ω/2 (kr) , k = c2 ¯h2 (2.110) ⎪ c¯ hkω ⎪ ⎭ GJ−ω/2 (r) = AJ+ω/2 rj (kr) , J−ω/2 E + m 0 c2 mit AJ+ω/2 als zugeh¨ origer Normierungskonstante. Insgesamt erhalten wir somit f¨ ur jeden Energiewert |E| > m0 c2 eine freie Kugelwelle mit dem Drehimpuls J, M und der Parit¨ at (−1)J+ω/2 . Kugelsymmetrischer Potentialtopf. Wir k¨onnen unsere Betrachtungen ganz einfach auf einen kugelsymmetrischen Potentialtopf der Form 0 1 −V0 f¨ ur r < a (Bereich I) 0 eA (r) = V (r) = , V0 > 0 0 f¨ ur r > a (Bereich II) . ausdehnen (siehe Abb. 1.7). In Bezug auf die obere Radialfunktion Fl gelten ¨ hierbei dieselben Uberlegungen wie im Klein-Gordon-Fall in Unterabschn. 1.5.3. Unter Verwendung der Abk¨ urzungen l = J + ω/2, l = J − ω/2 haben

2.5 Einfache Ein-Teilchensysteme

179

wir somit im Bereich I als regul¨ are L¨ osung von (2.106)  ⎧ (E + V0 )2 − m20 c4 ⎪ (I) ⎪ ⎨ Fl (r) = Al rjl (k1 r) , k1 = c2 ¯h2 • |E + V0 | > m0 c2 : ⎪ c¯ hk1 ω ⎪ ⎩ G(I) rjl
(k1 r) l
(r) = Al E + V0 + m0 c2 bzw.

 ⎧ m20 c4 − (E + V0 )2 ⎪ (I) ⎪ ⎨ Fl (r) = Al rjl (iκ1 r) , κ1 = c2 ¯h2 • |E + V0 | < m0 c2 : ⎪ ic¯ hκ 1 ω ⎪ ⎩ G(I) rjl
(iκ1 r) , l
(r) = Al E + V0 + m0 c2 die man aus der freien L¨ osung (2.110) durch die Ersetzung E → E+V0 erh¨alt. Im ¨ außeren Bereich II haben wir wieder folgende zwei F¨alle zu unterscheiden: • |E| < m0 c2 (gebundene Zust¨ ande): In diesem Fall lautet die einzige im Unendlichen beschr¨ ankte L¨ osung von (2.106) 4 m20 c4 − E 2 (II) (+) Fl (r) = Bl rhl (iκ2 r) , κ2 = c2 ¯h2 ic¯ hκ 2 ω (II) (+) Gl
(r) = Bl rh
(iκ2 r) . E + m 0 c2 l Die Stetigkeitsbedingungen an der Bereichsgrenze r = a,   (I) (II) (I) (II) Fl (a) Fl (a) d Fl (r)  d Fl (r)  = , =    a a dr r  dr r r=a

,

r=a

sind nur f¨ ur diskrete Energiewerte E gleichzeitig erf¨ ullbar, aus denen sich die Energieniveaus der gebundenen Zust¨ ande ergeben. F¨ ur l=0-Zust¨ande (bezogen auf die F -Funktion, also J = 1/2, ω = −1) und E +V0 > m0 c2 ergibt sich die zum Klein-Gordon-Fall formgleiche Quantisierungsbedingung [siehe (1.74)] tan k1 a = −

k1 . κ2

• |E| > m0 c2 (ungebundene Zust¨ ande): Hier kommen im Bereich II Linearkombinationen der sph¨ arischen Bessel-Funktionen in Betracht. Als L¨osung von (2.106) schreiben wir daher 4 E 2 − m20 c4 (II) Fl (r) = Bl r[jl (k2 r) cos δl + nl (k2 r) sin δl ] , k2 = c2 ¯h2 c¯ hk2 ω (II) Gl
(r) = Bl r[jl
(k2 r) cos δl + nl
(k2 r) sin δl ] . E + m 0 c2

180

2. Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen

Beschr¨ ankt man sich wieder auf l=0-Zust¨ ande (bezogen auf die F -Funktion), so folgen aus den entsprechenden Stetigkeitsbedingungen f¨ ur die Phase δ0 die ebenfalls zum Klein-Gordon-Fall formgleichen Beziehungen [vgl. (1.75), (1.76)] tan(k2 a + δ0 ) =

k2 tan k1 a k1

f¨ ur |E + V0 | > m0 c2

bzw. tan(k2 a + δ0 ) =

k2 tanh κ1 a κ1

f¨ ur |E + V0 | < m0 c2 .

Auf die weitere Unterteilung und Interpretation dieser L¨osungen brauchen wir an dieser Stelle nicht weiter einzugehen, weil sie genau auf die 5 in Unterabschn. 1.5.3 diskutierten F¨ alle hinauslaufen. 2.5.4 Coulomb-Potential Als letztes Beispiel zentralsymmetrischer Probleme wenden wir uns dem Problem eines gebundenen Spin-1/2-Teilchens in einem Coulomb-Potential der Form Z¯ hcαe Ze2 e2 =− , αe = = 1/137.03602 r r ¯hc zu (wasserstoff¨ahnliches Atom). Hierbei loten wir analog zum entsprechenden Klein-Gordon-Problem (Unterabschn. 1.5.4) zuerst die asymptotischen Regionen der radialen Dirac-Gleichungen f¨ ur kleine und große Abst¨ande aus, um hier¨ uber einen geeigneten Potenzreihenansatz zur L¨osung dieser Gleichungen zu finden. eA0 (r) = V (r) = −

r → ∞: Im Limes großer r gehen die radialen Dirac-Gleichungen (2.106) u ¨ber in E − m 0 c2 dF E + m 0 c2 dG = F , = G, dr c¯ h dr c¯ h wobei hier und im folgenden die Indizes J ± ω/2 unterdr¨ uckt werden. Kombinationen dieser beiden Gleichungen liefert die Beziehung −

d2 F E 2 − m20 c4 = − F , dr2 c2 ¯ h2 deren im Unendlichen abfallende (normierbare) L¨osung gegeben ist durch 4 m20 c4 − E 2 −kr F (r → ∞) ∼ e , k= . c2 ¯ h2

2.5 Einfache Ein-Teilchensysteme

181

r → 0: In diesem Fall ergeben sich aus (2.106) die Gleichungen


 ω J + 12 Zαe d G = F − + dr r r


 ω J + 12 d Zαe + F = G, dr r r die sich kombinieren lassen zu 0

 2 1 d2 1 d 1 r 2 + + (Zαe )2 − J + F =0. dr dr r 2 Diese Gleichung besitzt die im Ursprung regul¨are L¨osung13 4 2 1 s F (r → 0) ∼ r , s = + − (Zαe )2 . J+ 2 Um die weiteren Rechnungen zu vereinfachen, f¨ uhren wir an dieser Stelle die Substitutionen  ⎫ m20 c4 − E 2 ⎪ ˆ ˆ ⎪ ρ = kr , F (r) = F (ρ) , G(r) = G(ρ) , k = ⎪ ⎬ c2 ¯h2 4 (2.111)  ⎪ m 0 c2 − E 1 ⎪ ⎪ ⎭ τ =ω J+ , ν= 2 m 0 c2 + E durch, so daß die urspr¨ unglichen radialen Gleichungen (2.106) u ¨bergehen in   d τ ˆ Zαe ˆ − + G = −ν + F dρ ρ ρ   1 Zαe ˆ d τ ˆ + + F = G. dρ ρ ν ρ Zu ihrer L¨ osung bietet sich nun aufgrund obiger Betrachtungen der Ansatz ⎫ $ : Fˆ (ρ) = ρs e−ρ ai ρi , s = τ 2 − (Zαe )2 ⎪ ⎬ i

: ˆ G(ρ) = ρs e−ρ bi ρi i

⎪ ⎭

(2.112)

an, der zu folgenden rekursiven Bestimmungsgleichungen f¨ ur die Entwicklungskoeffizienten ai und bi f¨ uhrt: (τ − s)b0 = Zαe a0 (τ + s)a0 = Zαe b0 bi−1 + (τ − s − i)bi = −νai−1 + Zαe ai , i ≥ 1 bi−1 + Zαe bi , i ≥ 1 . −ai−1 + (τ + s + i)ai = ν 13

Hierbei geht die Annahme ein, daß Zαe < J + 1/2. Dies ist gl¨ ucklicherweise f¨ ur Z < 137, also f¨ ur alle in der Natur vorkommenden Kerne der Fall (andernfalls w¨ are die Diskussion der Regularit¨ atsbedingungen im Ursprung aufwendiger).

182

2. Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen

Die ersten beiden dieser Gleichungen liefern wieder s = letzten beiden f¨ uhren auf Zαe − ν(τ + s + i) ai bi = τ − s − i − νZαe

$ τ 2 − (Zαe )2 , die

und ai+1

(Zαe )2 + (τ + s + i + 1)(−τ + s + i + 1) τ − s − i − 1 − νZαe = ai

Zαe ν 2 + 2ν(s + i) − Zαe . ν(τ − s − i − νZαe )

(2.113)

ˆ Damit Fˆ (ρ) und G(ρ) im Unendlichen das gew¨ unschte (abfallende) asymptotische Verhalten haben, m¨ ussen die Potenzreihen in (2.112) ab irgendeinem i = n abbrechen. Das heißt Zαe − 2ν(n + s) − ν 2 Zαe = 0 . Hieraus folgen die Quantisierungsbedingung 4 2 n + s n + s + +1 ν=− Zαe Zαe und zusammen mit (2.111) die m¨ oglichen Energieniveaus des Wasserstoffatoms f¨ ur gebundene Zust¨ ande, En
,J = 4 1+

m 0 c2 (Zαe )2

2 $ 2 n
+ (J+ 12 ) −(Zαe )2

.

F¨ uhrt man jetzt noch die Hauptquantenzahl 1 2 ein, so erhalten wir schließlich n = n + J +

En,J = 4 1+

m 0 c2 (Zαe )2

2 $ 2 n−(J+ 12 )+ (J+ 12 ) −(Zαe )2

,

(2.114)

wobei n und J die Werte 1 1 3 , ,...,n− 2 2 2 annehmen k¨ onnen. Offensichtlich ist (2.114) mit der korrespondierenden Formel (1.81) des Klein-Gordon-Falles formal identisch, wenn dort l durch J ersetzt wird. Dementsprechend k¨ onnen wir die Entwicklung von (2.114) nach Potenzen von Zαe sofort aus (1.82) ablesen und finden n = 1, 2, . . . , ∞ , J =

2.5 Einfache Ein-Teilchensysteme

 En,J = m0 c2 1 −

(Zαe )4 (Zαe )2 − 2 2n 2n4



n J+

1 2

−

3 4



 + ... .

183

(2.115)

Das erste Glied ist der Masseterm. Das zweite entspricht der von der nichtrelativistischen Theorie vorhergesagten Gr¨ oße. Alle nachfolgenden Terme sind relativistische Korrekturen. Sie bewirken, daß die in der nichtrelativistischen Theorie vorhandene Entartung aller Niveaus mit gleichem n aufgehoben wird. Stattdessen haben wir eine Entartung von Niveaus mit gleichem n und J vorliegen. Bei festem n ist die Energie jedes Niveaus in Abh¨angigkeit von J leicht erh¨ oht. Zur einfacheren Unterscheidung der verschiedenen L¨osungsfolgen u ¨bernimmt man u ¨ blicherweise die nichtrelativistische spektroskopische Notation aß auf die oberen beiden KomponlJ , wobei sich der l-Wert konventionsgem¨ nenten des Diracschen Bispinors bezieht, also l = J + ω/2. Tabelle 2.2 gibt ¨ einen Uberblick der Elektronenergien in wasserstoff¨ahnlichen Atomen f¨ ur den Grundzustand sowie f¨ ur die ersten angeregten Zust¨ande zusammen mit ihren spektroskopischen Bezeichnungen und den zugeh¨origen Quantenzahlen. Zu

n

J

ω

l

nlJ

1

1/2

−1

0

1s1/2

2

1/2

−1

0

2s1/2

2

1/2

+1

1

2p1/2

2

3/2

−1

1

2p3/2

3

1/2

−1

0

3s1/2

+1

1

3

1/2

3p1/2

3

3/2

−1

1

3p3/2

3

3/2

+1

2

3d3/2

3

5/2

−1

2

3d5/2

EnJ /m0 c2 $ 1 − (Zαe )2  √ 2 1+

1−(Zαe ) 2

√

“ 4−(Zαe )2 2

√ 1−(Zαe )2 $2+ √ 5+4

1−(Zαe )2

“ √ 4−(Zαe )2 $ √ 1+

5+2

√

4−(Zαe )2

“ 9−(Zαe )2 3

Tab. 2.2. Energieniveaus wasserstoff¨ ahnlicher Atome.

jedem J geh¨ oren zwei Folgen von 2J + 1 L¨ osungsfunktionen mit entgegengesetzter Parit¨ at, bis auf den Wert J = n − 1/2, zu dem eine einzige Serie von 2J + 1 L¨ osungen mit der Parit¨ at (−1)n−1 geh¨ort. Letzteres h¨angt damit zusammen, daß die rechte Seite von (2.113) f¨ ur n = 0 und ω = +1 (und nur f¨ ur diese Kombination) singul¨ ar wird.

184

2. Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen

Bis 1947 stimmten die spektroskopischen Beobachtungen des Wasserstoffatoms (und wasserstoff¨ ahnlicher Atome, insbesondere He+ ) mit obigen Ergebnissen sehr gut u ¨ berein, nachdem sie durch die Wechselwirkungseffekte zwischen Elektronspin und Kernspin (Hyperfeinstrukturaufspaltung) erg¨anzt worden waren. Im Jahre 1947 beobachteten Lamb und Retherford jedoch im Spektrum des Wasserstoffatoms eine kleine Verschiebung des 2s1/2 -Niveaus nach oben, die ungef¨ ahr ein Zehntel des Abstandes zwischen dem 2p3/2 - und dem 2p1/2 -Niveau betr¨ agt (siehe Abb. 2.2). Dieser unter dem Namen Lambn=2 2p3/2

2p3/2

2s1/2 2s1/2 ,2p1/2 2p1/2 Schr¨ odinger-Theorie

Dirac-Theorie

Lamb-Shift

Hyperfeinstruktur Abb. 2.2. Linienaufspaltungen des nichtrelativistischen n=2-Wasserstoffniveaus unter Ber¨ ucksichtigung relativistischer Effekte (Dirac-Theorie, Hauptanteil: Feinstrukturaufspaltung), des Lamb-Shifts sowie der Hyperfeinstrukturaufspaltung.

Shift bekannte Effekt wird aus heutiger Sicht als Folge der Wechselwirkung zwischen dem Elektron und den Fluktuationen des quantisierten Strahlungsfeldes gesehen und kann nur im Rahmen einer quantisierten Feldtheorie, der Quantenelektrodynamik, voll verstanden werden (siehe Abschn. 3.4, insbesondere Unterabschn. 3.4.4). Die Dirac-Theorie befaßt sich nur mit dem Hauptteil dieser Wechselwirkung, eben dem Coulomb-Potential, und der Lamb-Shift repr¨ asentiert die Strahlungskorrekturen in dieser N¨aherung. Wir geben nun noch die Diracschen Wellenfunktionen f¨ ur den Grundzustand des Wasserstoffatoms an. In diesem Fall ist 1 1 n = 1 , J = , M = ± , ω = −1 2 2 und $ m0 cZαe 1−s k= , s = 1 − (Zαe )2 , ν = , h ¯ Zαe so daß

2.5 Einfache Ein-Teilchensysteme

⎛ ⎜ ⎜ (ω=−1) ΨJ=1/2,M=+1/2 (r, θ, ϕ) = N (2kr)s−1 e−kr ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ (ω=−1) ΨJ=1/2,M=−1/2 (r, θ, ϕ) = N (2kr)s−1 e−kr ⎜ ⎝ (2k)3/2 N = √ 4π

4

1 0 i(1−s) Zαe cos θ i(1−s) iϕ Zαe sin θe

185

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎞ 0 ⎟ 1 ⎟ i(1−s) −iϕ ⎟ ⎠ Zαe sin θe − i(1−s) cos θ Zαe

1+s , 2Γ (1 + 2s)

mit der Gamma-Funktion Γ (x). Die Normierung N ist so gew¨ahlt, daß gilt:  (ω=−1)† (ω=−1) d3 xΨJ=1/2,M=±1/2 (r, θ, ϕ)ΨJ=1/2,M=±1/2 (r, θ, ϕ) = 1 . Im nichtrelativistischen Grenzfall s → 1 und (s − 1)/Zαe → 0 gehen die oberen beiden Komponenten jeweils u die Schr¨odingerschen Wellenfunktio¨ ber in   1 0 nen, multipliziert mit dem Pauli-Spinor . Im relativistischen bzw. 0 1 Fall weisen die Diracschen Wellenfunktionen im Gegensatz zu den nichtrelativistischen Ausdr¨ ucken eine schwache aber quadratintegrable Singularit¨at ur Zαe > 1 imagin¨ar wird und die L¨osunrs−1 auf. Man beachte auch, daß s f¨ gen anfangen zu oszillieren. Bei Zαe = 1 haben wir f¨ ur die Steigung“ der ” Energie E1,1/2   dE1,1/2  m0 c2 Zα2e  = −$ −→ −∞ .  dZ Zαe =1 1 − (Zαe )2 Zα =1 e

Zum Schluß weisen wir darauf hin, daß die Dirac-Gleichung mit ¨außerem statischem Coulomb-Potential nur eine grobe N¨aherung zur Beschreibung der Bindungszust¨ ande wasserstoff¨ ahnlicher Atome darstellt. In Bezug auf die hiermit einhergehenden Vernachl¨ assigungen gelten ¨ahnliche Aussagen wie im Klein-Gordon-Fall, Unterabschn. 1.5.4. Zusammenfassung • Die Diskussion des eindimensionalen Potentialkastens f¨ uhrt je nach Teilchenenergie auf verschiedene Diracsche L¨ osungstypen, die sich im Rahmen des Ein-Teilchenbildes mehr oder weniger konsistent als Streuung oder Bindung von Teilchen bzw. Antiteilchen interpretieren lassen.



186

2. Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen

• Bei der Dirac-Gleichung mit zentralsymmetrischem Potential lassen sich Radial- und Winkelanteil voneinander separieren, wobei Letzterer durch die Spinorkugelfl¨ achenfunktionen, also den Eigenfunktionen von J 2 , Jz und der Parit¨ atstransformation P , gel¨ ost wird. Zur L¨osung des Radialteils verbleiben zwei radiale Dirac-Gleichungen. • F¨ ur den freien Fall (und den Fall konstanter Potentialabschnitte) ergibt sich aus den radialen Dirac-Gleichungen die sph¨ arische Besselsche Differentialgleichung, deren L¨ osungen die sph¨ arischen BesselFunktionen sind. • Wasserstoff¨ ahnliche Atome lassen sich wie pionische Atome im KleinGordon-Fall mit Hilfe des Coulomb-Potentials n¨aherungsweise beschreiben. Die Energien der gebundenen Elektronniveaus mit denselben Hauptund Gesamtdrehimpulsquantenzahlen sind entartet.

Aufgaben 29. Eigenschaften der Spinorkugelfl¨ achenfunktionen. Man beweise die Identit¨ at [siehe (2.105)] σx (l=J±1/2) (l=J∓1/2) Y = −YJ,M . r J,M (l)

Hinweis: Man verwende, daß die YJ,M Eigenfunktionen von σL sind, und berechne den Kommutator [σx/r, σL]. L¨ osung. Zur Berechnung der einen H¨ alfte des Kommutators nutzen wir (2.103), woraus folgt: (σx)(σp) = (xp) + iσL . Multiplikation dieser Gleichung mit (σx) liefert r2 (σp) = (σx)(xp) + i(σx)(σL) , und man erh¨ alt σx (σx)(xp) σL = −ir(σp) + i . r r Die andere H¨ alfte des Kommutators lautet explizit angeschrieben  ∂ xl σx = −i¯ h

ijk σi xj σl σL r ∂xk r i,j,k,l   δkl xl xk xl ∂ − 3 + = −i¯ h σi σl ijk xj . r r r ∂xk i,j,k,l

(2.116)

Aufgaben

187

Hierbei liefert der erste Term  σx δkl −i¯ h = −2¯h . σi σl ijk xj r r i,j,k,l

Der zweite Term tr¨ agt nichts bei, und der dritte Term berechnet sich zu  h ¯ xj xl ∂ −i¯ h σi σl ijk = (x × σ)(x × ∇) r ∂xk r i,j,k,l

i (x × σ)(x × p) r (σx)(xp) . = ir(σp) − i r =

Somit haben wir σx (σx)(xp) σx = −2¯h + ir(σp) − i , σL r r r und es folgt schließlich zusammen mit (2.116) σx σx σx σL =− σL − 2¯h . r r r (l)

Nun machen wir von der Tatsache Gebrauch, daß die YJ,M Eigenfunktionen von σL sind, und schreiben   3 σL = h ¯ J(J + 1) − l(l + 1) − 4   5 σx σx = −¯ h J(J + 1) − l(l + 1) + . σL r 4 r (l=J±ω/2)

Dies liefert angewandt auf die YJ,M

(l=J+ω/2) σLYJ,M = −¯ h ωJ +

σx (l=J−ω/2) YJ,M σL = −¯ h ωJ + r

σx (l=J−ω/2) Eigenfunktion r YJ,M (l=J+ω/2) YJ,M , d.h. es gilt

Offensichtlich ist die Funktion selben Eigenwert wie

 ω (l=J+ω/2) + 1 YJ,M 2  σx ω (l=J−ω/2) +1 Y . 2 r J,M

σx (l=J−ω/2) (l=J+ω/2) Y = cl YJ,M . r J,M

von σL mit dem-

(2.117)

Aufgrund von (σx/r)2 = 1 ergibt sich f¨ ur die Proportionalit¨atskonstante cl die Einschr¨ ankung |cl | = 1. Betrachtet man ferner die Parit¨aten beider Seiten von (2.117) und ber¨ ucksichtigt, daß σx/r ein Pseudovektor ist (und sich unter Raumspiegelung nicht ¨ andert), dann folgt schließlich cl = c = −1.

3. Relativistische Streutheorie

Nachdem wir in den letzten beiden Kapiteln den Rahmen f¨ ur die relativistischquantenmechanische Beschreibung von Spin-0- und Spin-1/2-Teilchen unter besonderer Ber¨ ucksichtigung der Ein-Teilcheninterpretation abgesteckt haben, wollen wir uns in diesem Kapitel mit der Streuung derartiger Teilchen besch¨ aftigen. Das Studium von Streuprozessen stellt insbesondere bei der Erforschung mikroskopischer Wechselwirkungseffekte ein wichtiges Instrument dar, weil diese aufgrund ihrer Kleinheit bzw. ihrer ¨ ortlichen Begrenztheit den menschlichen Sinnen nicht direkt zug¨ anglich sind und deshalb geeignet verst¨arkt werden m¨ ussen. In der Praxis sieht dies so aus, daß man z.B. einen kolliminierten Teilchenstrahl auf ein fest installiertes Target richtet und die mit einem Detektor gemessene Winkelverteilung der Streuprodukte mit theoretischen Berechnungen vergleicht. Auf diese Weise entdeckte man im Laufe der Zeit eine große Anzahl neuer Teilchen, von denen viele nicht nur der elektromagnetischen Kraft unterliegen, sondern zwei weiteren, sehr kurzreichweitigen Kr¨ aften, n¨ amlich der starken und der schwachen Wechselwirkung. Man vermutet heute, daß alle drei Wechselwirkungen durch Quantenfeldtheorien beschrieben werden, die elektromagnetische durch die Quantenelektrodynamik, die starke durch die Quantenchromodynamik und die schwache durch die Quantenflavourdynamik. Von diesen drei elementaren Wechselwirkungsarten werden wir uns im folgenden wie auch schon in den beiden vorangegangenen Kapiteln auf die elektromagnetische Wechselwirkung beschr¨ anken. Da bei der theoretischen Beschreibung relativistischer Streuprozesse bei nicht zu niedrigen Energien unweigerlich auch Teilchenerzeugungs- und Vernichtungsprozesse zu ber¨ ucksichtigen sind, steht zu vermuten, daß wir sp¨ atestens jetzt unseren in den letzten beiden Kapiteln entwickelten Formalismus mit Hauptfokus auf die EinTeilcheninterpretation aufgeben m¨ ussen und stattdessen die eben erw¨ahnte Quantenelektrodynamik als Viel-Teilchentheorie (mit unendlich vielen Freiheitsgraden) zu betrachten haben. Wie jedoch Feynman und St¨ uckelberg gezeigt haben, lassen sich relativistische Streuprozesse ¨ahnlich wie Streuprozesse in der nichtrelativistischen Quantenmechanik mit Hilfe von Propagatorverfahren beschreiben, welche unmittelbar an den Wissensstand der letzten beiden Kapitel und insbesondere an die dortige Interpretation von L¨osungen

190

3. Relativistische Streutheorie

mit negativer Energie (Feynman-St¨ uckelberg-Interpretation) ankn¨ upfen. Abgesehen davon, daß Propagatorverfahren allein wegen unseres Anspruches, quantenfeldtheoretische Aspekte weitestgehend zu unterdr¨ ucken (relativistische Quantenmechanik im engeren Sinne“), geeigneter erscheinen, bieten sie ” dar¨ uber hinaus auch folgende Vorteile: • Im Gegensatz zur Quantenelektrodynamik liefern Propagatorverfahren einen weniger formal-deduktiven aber daf¨ ur intuitiv verst¨andlicheren Zugang zur Beschreibung relativistischer Streuprozesse, den wir insbesondere f¨ ur Nicht-Experten als den didaktisch sinnvolleren Weg ansehen. ¨ • Uber das Propagatorverfahren gelangt man recht schnell zu den mathematischen Techniken, die zur Berechnung konkreter Streuprozesse erforderlich sind. Aus diesen Gr¨ unden werden wir in den nachfolgenden Abschnitten Propagatorverfahren in den Mittelpunkt stellen, wobei wir betonen, daß sich die tiefere Begr¨ undung der hierbei entwickelten Formalismen, insbesondere die in h¨ oheren Ordnungen auftretenden Strahlungskorrekturen, letztlich aus der Quantenelektrodynamik ergibt. Der erste Abschnitt dieses Kapitels rekapituliert den Formalismus der nichtrelativistischen Streutheorie und motiviert die notwendigen mathematischen Konzepte Propagator, Streumatrix und Wirkungsquerschnitt. Im zweiten Abschnitt werden diese Konzepte auf den relativistischen Fall der DiracTheorie u aquat erweitert. Der dritte Abschnitt besch¨aftigt ¨ bertragen bzw. ad¨ sich mit der konkreten Berechnung relativistischer Spin-1/2-Streuprozesse in den niedrigsten Ordnungen der Streutheorie sowie der Entwicklung der Feynman-Regeln. Mit ihrer Hilfe lassen sich im Prinzip beliebig komplizierte Streuprozesse mathematisch darlegen. Im vierten Abschnitt werden quantenfeldtheoretische Korrekturen h¨ oherer Ordnung behandelt. Wie sich herausstellt, treten dort gewisse, durch o.g. Strahlungskorrekturen hervorgerufene Divergenzen auf, die sich jedoch durch das Programm der Renormierung beseitigen lassen. Anschließend u ¨bertragen wir die erarbeiteten Formalismen auf die Streuung von Spin-0-Teilchen und erweitern die Feynman-Regeln dergestalt, daß sie auch den Spin-0-Fall umfassen. Anmerkung. Wie zu erkennen ist, weichen wir in diesem Kapitel von der zuvor praktizierten Reihenfolge ab, indem wir die Streuung von Spin-0-Teilchen ein wenig verk¨ urzt und erst zum Schluß behandeln. Dies h¨angt vor allem damit zusammen, daß alle bekannten Spin-0-Teilchen nicht elementar, sondern aus Quarks zusammengesetzt sind, die ihrerseits der starken und schwachen Wechselwirkung unterliegen, so daß i.d.R. elektromagnetische Effekte durch starke und schwache Wechselwirkungseffekte u ¨ berlagert sind. Dagegen sind die im Rahmen der Streuung von Spin-1/2-Teilchen vornehmlich diskutierten Elektronen und Positronen in der Tat als elementar (strukturlos) anzusehen, so daß hierbei elektromagnetische Wechselwirkungen theoretisch und experimentell in reinster Form studiert werden k¨ onnen. Es ist genau dieser Bereich,

3.1 R¨ uckblick: Nichtrelativistische Streutheorie

191

in der sich die Vorhersagen der Quantenelektrodynamik als ¨außert pr¨azise erwiesen haben und deshalb diese Theorie als eine der erfolgreichsten physikalischen Theorien u ¨ berhaupt gilt.

3.1 Ru ¨ ckblick: Nichtrelativistische Streutheorie In diesem Abschnitt rufen wir die nichtrelativistisch-quantenmechanische Behandlungsweise von Streuprozessen mit Hilfe des Propagatorverfahrens in Erinnerung und bereiten die damit zusammenh¨angenden Konzepte im Hinblick auf eine sp¨ atere relativistische Verallgemeinerung vor. Dabei stellen wir das Streuproblem zun¨ achst ein wenig zur¨ uck und besch¨aftigen uns zuerst mit der L¨ osung der allgemeinen Schr¨ odinger-Gleichung mit Hilfe des Green-Funktionenkalk¨ uls. Hieraus leiten wir den retardierten und avancierten Propagator ab, mit deren Hilfe sich die zeitlich vorw¨arts bzw. r¨ uckw¨arts gerichtete Ausbreitung von Schr¨ odinger-L¨ osungen beschreiben und (zumindest approximativ) ausrechnen l¨ aßt. Nach einigen Zwischenbetrachtungen u ¨ ber Propagatoren wenden wir uns dann der eigentlichen Streuung von Teilchen zu und bringen die hiermit verbundenen Streuamplituden mittels der Propagatoren in eine berechenbare Form. Desweiteren leiten wir einen Zusammenhang zwischen den Streuamplituden und der in Experimenten eigentlich gemessenen Gr¨ oße, dem differentiellen Wirkungsquerschnitt, her und wenden abschließend den erarbeiteten Formalismus auf das konkrete Problem der Coulomb-Streuung an. 3.1.1 L¨ osung der allgemeinen Schr¨ odinger-Gleichung Ausgangspunkt unserer Betrachtungen ist die zeitabh¨angige Schr¨odingerGleichung1  p2 ∂ , (3.1) i¯ h  − H  ψ(x , t ) = 0 , H  = H (0) + V (x , t ) , H (0) = ∂t 2m0 f¨ ur die wir einen allgemeinen L¨ osungsformalismus mit Hilfe des GreenFunktionenkalk¨ uls entwickeln wollen, der sich bei der sp¨ateren Behandlung von Streuproblemen als sehr n¨ utzlich und effektiv erweisen wird. Zun¨ achst l¨ aßt sich feststellen, daß (3.1) eine Differentialgleichung von erster Ordnung in der Zeit ist. Dies bedeutet, daß die zeitliche Entwicklung einer zu einem festen Zeitpunkt t bekannten Wellenfunktion ψ(x, t) f¨ ur alle ur alle vergangenen Zeiten t < t einzuk¨ unftigen Zeiten t > t und auch f¨ deutig bestimmt ist. Desweiteren ist (3.1) linear, so daß zum einen L¨osungen linear superponierbar sind und zum anderen die Beziehung zwischen L¨osungen zu verschiedenen Zeiten linear sein muß. Insgesamt folgt hieraus, daß die Wellenfunktion ψ einer linearen homogenen Integralgleichung der Form 1

Man beachte, daß wir die freien Orts- und Zeitargumente nachfolgend oftmals mit x und t (anstelle von x und t) bezeichnen.

192

3. Relativistische Streutheorie 





ψ(x , t ) = i bzw. 

ψ(x ) = i



d3 xG(x , t , x, t)ψ(x, t)

d3 xG(x , x)ψ(x) , x = (x, t)

(3.2)

gen¨ ugen muß, wobei sich die Integration u ¨ber den gesamten Raum erstreckt. G(x , x) bezeichnet die sog. Green-Funktion, in der die gesamte Information bez¨ uglich der Entwicklung von ψ(x) nach ψ(x ) in der Zeit von t nach t enthalten ist. Nun wird in (3.2) offensichtlich nicht zwischen den beiden zeitlichen Ausbreitungsrichtungen t > t und t < t unterschieden. Hinsichtlich unseres eigentlichen Vorhabens, n¨ amlich der Beschreibung quantenmechanischer Streuprozesse, ist eine derartige Unterscheidung jedoch w¨ unschenswert. Dies k¨ onnen wir erreichen, indem wir (3.2) in folgender Weise den beiden zeitlichen Ausbreitungsrichtungen entsprechend aufspalten:2  +  Θ(t − t)  ψ(x ) = ±i d3 xG(±) (x , x)ψ(x) , (3.3) Θ(t − t ) wobei die Stufenfunktion Θ(t) definiert ist durch 0 0 f¨ ur t < 0 Θ(t) = 1 f¨ ur t > 0 . Wie in (3.3) leicht zu erkennen ist, gestatten nun die Green-Funktionen G(±) (x , x) eine Ausbreitung von ψ(x) nach ψ(x ) ausschließlich in positive bzw. negative Zeitrichtung, wodurch zwischen ψ(x) und ψ(x ) ein kausaler Zusammenhang begr¨ undet wird. Man nennt deshalb G(+) den retardierten (−) Propagator und G den avancierten Propagator. Differentialgleichung f¨ ur G(±) . Um nun zu einer Bestimmungsgleichung (±) f¨ ur die Propagatoren G zu gelangen, wenden wir den in (3.1) stehenden Operator auf die obere Gleichung von (3.3) an. Dies ergibt  ∂  hδ(t − t)ψ(x ) i¯ h  − H Θ(t − t)ψ(x ) = i¯ ∂t   ∂ 3  = i d x i¯ h  − H G(+) (x , x)ψ(x) ∂t    ∂ =⇒ 0 = d3 x i¯ h  − H  G(+) (x , x) − ¯hδ(t − t)δ(x − x) ψ(x) ∂t  ∂ ¯ δ(x − x) , =⇒ i¯ h  − H  G(+) (x , x) = h ∂t mit 2

Das positive Vorzeichen gilt f¨ ur die obere Gleichung, das negative Vorzeichen f¨ ur die untere.

3.1 R¨ uckblick: Nichtrelativistische Streutheorie

193

δ(x − x) = δ(t − t)δ(x − x) . Anwendung des Operators (i¯ h∂/∂t − H  ) auf die untere Gleichung von (3.3) f¨ uhrt auf genau dieselbe Differentialgleichung f¨ ur G(−) , so daß wir schließlich den retardierten und avancierten Fall zusammenfassen k¨onnen zu3  ∂  ¯ δ(x − x) . (3.4) i¯ h  − H G(±) (x , x) = h ∂t Diese Gleichung legt zusammen mit den Randbedingungen der zeitlichen Ausbreitungsrichtung, ur t < t G(+) (x , x) = 0 f¨

und

G(−) (x , x) = 0 f¨ ur t > t ,

(3.5)

die Propagatoren G(±) eindeutig fest. Integralgleichung f¨ ur G(±) und ψ. Auf den ersten Blick scheint es, daß wir in Bezug auf das L¨ osen der Schr¨ odinger-Gleichung (3.1) durch Einf¨ uhrung urden, weil f¨ ur die Propagatoren der Propagatoren G(±) nicht viel gewinnen w¨ selbst eine Schr¨ odinger-artige Differentialgleichung (3.4) [mit einer raumzeitlichen Punktquelle der Einheitsst¨ arke“ ¯hδ(x − x)] zu l¨osen ist. Wie wir je” doch gleich sehen werden, liegt der Vorteil der Propagatoren darin begr¨ undet, daß sie zu Integralgleichungen f¨ uhren, die sich im allgemeinen zwar auch nicht exakt aber immerhin approximativ l¨ osen lassen. Schreibt man die Differentialgleichung (3.4) in der Form  ∂ (0) ¯ δ(x − x) + V (x )G(±) (x , x) , (3.6) G(±) (x , x) = h i¯ h  −H ∂t so l¨ aßt sich leicht zeigen, daß sie ganz allgemein durch G(±) (x , x) = G(0,±) (x , x)  1 + d4 x1 G(0,±) (x , x1 )V (x1 )G(±) (x1 , x) h ¯

(3.7)

gel¨ ost wird, wobei G(0,±) der freie retardierte bzw. avancierte Propagator ist und dementsprechend der Differentialgleichung  ∂ ¯ δ(x − x) (3.8) i¯ h  − H (0) G(0,±) (x , x) = h ∂t gen¨ ugt. Denn Einsetzen von (3.7) in (3.6) liefert zusammen mit (3.8)  ∂ i¯ h  − H (0) G(±) (x , x) ∂t = h ¯ δ(x − x)   1 ∂ 4 (0) + h  −H G(0,±) (x , x1 )V (x1 )G(±) (x1 , x) d x1 i¯ h ¯ ∂t 3

Aus diesem Grund wurde in (3.3) das relative Vorzeichen zwischen den beiden Gleichungen eingef¨ uhrt.

194

3. Relativistische Streutheorie 

= h ¯ δ(x − x) +



d4 x1 δ(x − x1 )V (x1 )G(±) (x1 , x)

= h ¯ δ(x − x) + V (x )G(±) (x , x) . Kombiniert man nun (3.7) mit (3.3), so folgt f¨ ur die Wellenfunktion ψ die Integralgleichung   d3 xG(±) (x , x)ψ(x) ψ(x ) = ±i lim t→∓∞  = ±i lim d3 xG(0,±) (x x)ψ(x) t→∓∞    1 3 4 (0,±)  (±) (x , x1 )V (x1 )G (x1 , x)ψ(x) + d x d x1 G h ¯  1 = ψfrei (x ) + (3.9) d4 x1 G(0,±) (x , x1 )V (x1 )ψ(x1 ) , h ¯ wobei   ψfrei (x ) = ±i lim d3 xG(0,±) (x , x)ψ(x) t→∓∞

die L¨ osung der freien Schr¨ odinger-Gleichung ist. Sobald also die explizite Form der freien Propagatoren G(0,±) bekannt ist, lassen sich die vollen Propagatoren G(±) und damit auch ψ durch Iteration der Beziehung (3.7) bzw. (3.9) f¨ ur alle Zeiten approximativ bestimmen.4 Dabei u ¨ bertr¨agt sich das Kausalit¨ atsprinzip (3.5) automatisch von G(0,±) nach G(±) . Satz 3.1: L¨ osung der allgemeinen Schr¨ odinger-Gleichung im Propagatorformalismus Die L¨ osung der allgemeinen Schr¨ odinger-Gleichung  p2 ∂ i¯ h  − H  ψ(x ) = 0 , H  = H (0) + V (x ) , H (0) = ∂t 2m0 mit der Randbedingung ψ(x) zum Zeitpunkt t lautet zu einer sp¨ateren bzw. fr¨ uheren Zeit t +   Θ(t − t)  ) = ±i d3 xG(±) (x , x)ψ(x) . (3.10) ψ(x Θ(t − t ) G(+) und G(−) heißen retardierter bzw. avancierter Propagator und enthalten die gesamte von t ausgehende zeitlich vorw¨arts bzw. r¨ uckw¨arts gerichtete Dynamik des Problems. F¨ ur sie gelten die Differentialgleichungen  ∂ (3.11) i¯ h  − H  G(±) (x , x) = ¯hδ(x − x) ∂t 4

Die Richtigkeit von (3.9) l¨
aßt sich durch direktes Einsetzen in die Schr¨odingerh∂/∂t − H (0) ψ(x ) = V (x )ψ(x ) sofort u ufen. Gleichung i¯ ¨ berpr¨



3.1 R¨ uckblick: Nichtrelativistische Streutheorie

195

und die Integralgleichungen G(±) (x , x) = G(0,±) (x , x)  1 d4 x1 G(0,±) (x , x1 )V (x1 )G(±) (x1 , x) , + h ¯

(3.12)

wobei G(0,±) den freien retardierten bzw. avancierten Propagator bezeichnen und durch die Fourier-Zerlegung ⎫ G(0,±) (x , x) = G(0,±) (x − x) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪   ⎪ ⎪ 3 ⎬ dE ip(x
−x)/¯h −iE(t
−t)/¯h ˜ (0,±) d p G e e (E, p) = (3.13) 3 (2π¯ h) 2π¯ h ⎪ ⎪ ⎪ h ¯ ⎪ ⎪ ˜ (0,±) (E, p) = ⎪ G ⎭ p2 E − 2m0 ± i gegeben sind (siehe Aufgabe 31). F¨ ur ψ selbst folgt die Integralgleichung  1 ψ(x ) = ψfrei (x ) + (3.14) d4 x1 G(0,±) (x , x1 )V (x1 )ψ(x1 ) . h ¯ In Unterabschn. 3.1.2 wird gezeigt, daß neben (3.10) auch die Beziehungen  +  Θ(t − t ) ∗  (x ) = ±i d3 xψ ∗ (x)G(±) (x, x ) (3.15) ψ Θ(t − t) gelten, welche die zeitliche R¨ uckw¨ arts- bzw. Vorw¨artsausbreitung der komplex konjugierten Wellenfunktion ψ ∗ beschreiben.

3.1.2 Propagatorzerlegung nach Schr¨ odinger-L¨ osungen Bevor wir Satz 3.1 mit quantenmechanischen Streuprozessen in Zusammenhang bringen, gehen wir noch etwas konkreter auf die Form der Propagatoren ein und zeigen anschließend die G¨ ultigkeit von (3.15). Hierzu nehmen wir an, daß ein vollst¨ andiges System orthonormierter L¨osungen {ψn } der allgemeinen Schr¨ odinger-Gleichung bekannt sei, d.h.   ∂  ψn (x , t )ψn∗ (x, t ) = δ(x − x) , i¯ h  − H ψn (x ) = 0 , ∂t n : wobei die Summe als verallgemeinerte Summe bzw. Integral u ¨ ber das n

Spektrum der Quantenzahlen n zu verstehen ist. Offensichtlich l¨osen dann : ⎫ G(+) (x , x) = −iΘ(t − t) ψn (x )ψn∗ (x) ⎬ n (3.16) : G(−) (x , x) = +iΘ(t − t ) ψn (x )ψn∗ (x) ⎭ n

die Differentialgleichung

196

3. Relativistische Streutheorie

 ∂ ¯ δ(x − x) , i¯ h  − H  G(±) (x , x) = h ∂t denn es gilt  ∂  i¯ h  − H G(±) (x , x) ∂t  ψn (x )ψn∗ (x) = h ¯ δ(t − t)  ∓i

n

Θ(t − t) Θ(t − t )

 +   ∂   i¯ h  − H ψn (x ) ψn∗ (x) ∂t n

= h ¯ δ(t − t)δ(x − x) = h ¯ δ(x − x) .

Weil dar¨ uber hinaus die Ausdr¨ ucke in (3.16) auch das Kausalit¨atsprinzip explizit ber¨ ucksichtigen, handelt es sich dabei in der Tat um den retardierten bzw. avancierten Propagator. Mit Hilfe von (3.16) und den bekannten L¨osungen der freien Schr¨ odinger-Gleichung,  1 ipx/¯ h −iEt/¯ h e e , d3 xψp∗
(x)ψp (x) = δ(p − p) , ψp (x) = (2π¯ h)3/2 sind wir nun in der Lage, explizite Ausdr¨ ucke f¨ ur die freien Propagatoren G(0,±) herzuleiten. Unter Ausnutzung von E = p2 /2m0 und der quadratischen Erg¨ anzung ergibt sich   ψn (x )ψn∗ (x) = d3 pψp (x )ψp∗ (x) n



1 d3 pe−iE(t −t)/¯h eip(x −x)/¯h 3 (2π¯ h)   1 ip2 (t − t) ip(x − x) 3 = + d p exp − (2π¯ h)3 2¯hm0 ¯h  im0 (x − x)2 1 exp = (2π¯ h)3 2¯h(t − t)

 2   i(t − t) m0 (x − x)2 3 × d p exp − p− 2¯hm0 t − t   3/2 m0 im0 (x − x)2 = exp . 2πi¯ h(t − t) 2¯h(t − t)

=

Insgesamt folgt

⎫ G(0,+) (x , x) = −iΘ(t − t) ⎪ ⎪   3/2 ⎪ ⎪ m0 im0 (x − x)2 ⎪ ⎪ ⎪ × exp ⎬ 2πi¯ h(t − t) 2¯h(t − t) ⎪ G(0,−) (x , x) = +iΘ(t − t ) ⎪   3/2 ⎪ ⎪ ⎪ im0 (x − x)2 ⎪ m0 ⎪ ⎭ exp ×   2πi¯ h(t − t) 2¯h(t − t)

(3.17)

3.1 R¨ uckblick: Nichtrelativistische Streutheorie

197

und G(0,±) (x , x) = G(0,±) (x − x) . Letzteres ist eine Folge der Homogenit¨ at von Raum und Zeit und gilt i.a. nur f¨ ur die freien Propagatoren. Die Beziehungen (3.17) lassen sich auch auf anderem Wege herleiten, indem man n¨ amlich direkt die Differentialgleichung ¨ (3.11) durch Ubergang von der Zeit-Ort-Darstellung in die Energie-ImpulsDarstellung l¨ ost. Auf diesem Weg gelangt man zu einem komplexen Energieat bei E = p2 /2m0 , deren Verschieintegral f¨ ur G(0,±) mit einer Singularit¨ bung in die untere bzw. obere komplexe Halbebene gleichbedeutend ist mit dem Einbau des zu G(0,+) bzw. G(0,−) geh¨ orenden Kausalit¨atsprinzips [siehe (3.13)]. In Aufgabe 31 wird die zugeh¨ orige Rechnung vorgef¨ uhrt, von deren Art wir im weiteren Verlauf noch einigen begegnen werden. Zusammenhang zwischen zeitlich vorw¨ arts und r¨ uckw¨ arts gerichteter Ausbreitung. Wir zeigen nun noch die G¨ ultigkeit der am Ende von Satz 3.1 behaupteten Beziehung (3.15). Multipliziert man z.B. im retardierten ∗ (x ) und integriert anschließend Fall die erste Gleichung von (3.16) mit ψm  u alt man unter Ausnutzung der Orthonormalit¨at der ψn die ¨ber x , so erh¨ Beziehung   3  ∗  (+)   ∗ i d x ψm (x )G (x , x) = Θ(t − t) (x )ψn (x ) ψn∗ (x) d3 x ψm n 5 67 8 δmn 

= Θ(t −

∗ t)ψm (x)

.

Entsprechendes gilt f¨ ur den avancierten Fall, so daß sich beide F¨alle schließlich zu (3.15) zusammenfassen lassen. Dieselben Propagatoren G(±) , welche die zeitlich vorw¨ arts bzw. r¨ uckw¨ arts gerichtete Ausbreitung einer Schr¨odingerschen Wellenfunktion ψ gem¨ aß (3.10) beschreiben, bestimmen also auch die zeitliche R¨ uckw¨ arts- bzw. Vorw¨ artsausbreitung der komplex konjugierten Wellenfunktion ψ ∗ . 3.1.3 Streuformalismus Wir sind nun bereit, den in den letzten beiden Unterabschnitten entwickelten Propagatorformalismus mit nichtrelativistisch-quantenmechanischen Streuprozessen zu verkn¨ upfen. Hierzu beschr¨ anken wir uns auf die Streuung von Teilchen an ein festes Streuzentrum. Ein typisches Streuexperiment stellt sich in der in Abb. 3.1 skizzierten Weise dar: Ein homoenergetischer kolliminierter Teilchenstrahl wird auf ein fest installiertes Target gerichtet, und die hieran gestreuten Teilchen werden in einer großen Entfernung vom Target und in einem bestimmten Winkel θ relativ zum einfallenden Teilchenstrahl von einem Detektor registriert.5 Das 5

Bei rotationssymmetrischen Wechselwirkungspotentialen sind die Messungen unabh¨ angig vom Azimutwinkel ϕ.

198

3. Relativistische Streutheorie y

Detektor

dΩ

x θ

z

Abb. 3.1. Experimentelle Situation bei der Streuung von Teilchen an ein festes Streuzentrum.

heißt der Detektor z¨ ahlt im wesentlichen alle gestreuten Teilchen mit einem Impuls in Richtung des Raumwinkelelementes dΩ. Die Anordnung derartiger Experimente ist dabei so gew¨ ahlt, daß folgende Voraussetzungen erf¨ ullt sind: 1. Das Wechselwirkungspotential des Targets ist ¨ortlich begrenzt: lim V (x, t) = 0 .

|x|→∞

2. Der Teilchenstrahl wird in einer gen¨ ugend großen Entfernung zum Target erzeugt, so daß die einfallenden Teilchen anf¨anglich als frei betrachtet werden k¨ onnen. 3. Der Detektor befindet sich in einer gen¨ ugend großen Entfernung zum Target, so daß die registrierten gestreuten Teilchen ebenfalls freie Teilchen sind. Hinsichtlich der quantenmechanischen Beschreibung dieses Streuvorganges m¨ ussen wir uns offenbar folgende Frage stellen: Gegeben sei ein freies Wellenpaket mit einem mittleren Impuls pi (i=incident), welches auf das Target zul¨auft. Welche Form bildet dieses Wellenpaket lange nach“ der Streuung, ” wo es wieder als frei angesehen werden kann, bzw. mit welcher Wahrscheinlichkeit besitzt dieses Wellenpaket lange nach“ der Streuung den scharfen ” Impuls pf (f=final)? Sobald wir diese Frage beantwortet haben, k¨onnen wir Summen u ur Streuimpulse pf in Rich¨ ber die Einzelwahrscheinlichkeiten f¨ tung dΩ bilden und diese mit den experimentell detektierten Teilchenzahlen in Beziehung setzen. Nun ist es zur mathematischen Umsetzung dieses Programmes einfacher, die anf¨ anglich erzeugten freien Teilchen, die auf das Target zulaufen, nicht durch lokalisierte Wellenpakete, sondern durch ebene Wellen zu beschreiben, was wir im folgenden auch tun wollen. Dies hat allerdings zur Konsequenz, daß der eigentliche Streuvorgang keine raumzeitliche Begrenzung mehr hat, weil einfallende und gestreute Wellen nun zeitlich koexistieren (siehe Abb.

3.1 R¨ uckblick: Nichtrelativistische Streutheorie

199

Detektor

einlaufende Welle

Streuwelle Abb. 3.2. Idealisierte Beschreibung eines quantenmechanischen Streuprozesses, bei dem einfallende Teilchen durch anf¨ anglich freie ebene Wellen dargestellt werden. Aufgrund der unendlichen Ausdehnung der ebenen Wellen geht die raumzeitliche Begrenztheit der eigentlichen Streuung verloren.

3.2), so daß obige 2. und 3. Voraussetzung nicht l¨anger erf¨ ullt sind. Einen Ausweg bietet hier die sog. Adiabatenn¨aherung, bei der angenommen wird, daß das Wechselwirkungspotential V in der Weise lim V (x, t) → 0

t→±∞

zeitlich lokalisiert ist, in der fernen Vergangenheit t → −∞ adiabatisch eingeschaltet und in der fernen Zukunft t → +∞ wieder adiabatisch ausgeschaltet aherung u agt also gewissermaßen die f¨ ur Wellenpakete auwird.6 Diese N¨ ¨ bertr¨ tomatisch geltende raumzeitliche Begrenztheit der Streuwechselwirkung auf eine rein zeitliche Begrenzung der Streuung von ebenen Wellen. Sie erlaubt uns, analog zur 2. und 3. Voraussetzung einfallende und gestreute Wellen in ferner Vergangenheit bzw. ferner Zukunft als frei zu betrachten und insbesondere • im Limes t → −∞ die einfallende Wellenfunktion als ebene Welle mit Impuls pi darzustellen sowie • im Limes t → +∞ die Projektion der gestreuten Welle auf ebene Wellen mit Streuimpulsen pf in Richtung dΩ zu studieren. 6

Adiabatisch heißt in diesem Zusammenhang, daß die L¨ osungen der Schr¨ odingerGleichung durch die station¨ aren Eigenfunktionen des instantanen HamiltonOperators gen¨ ahert werden k¨ onnen, so daß eine bestimmte Eigenfunktion zu einer definierten Zeit kontinuierlich in die entsprechende Eigenfunktion zu einer sp¨ ateren Zeit u aherung wird in ¨ bergeht. Die Rechtfertigung der Adiabatenn¨ Berechnungen konkreter Streuprozesse offensichtlich, wo die Wellenfunktionen anf¨ anglich auf ein endliches Volumen V normiert werden, so daß der eigentliche Streuvorgang innerhalb von [−T /2 : T /2] zeitlich begrenzt ist. Man kann sich dann leicht vorstellen, daß das Potential im Intervall [−∞ : −T /2] adiabatisch eingeschaltet und im Intervall [T /2 : ∞] wieder adiabatisch ausgeschaltet wird; erst zum Schluß der Rechnungen wird der Grenzprozeß V, T → ∞ durchgef¨ uhrt.

200

3. Relativistische Streutheorie

Dabei sind selbstverst¨ andlich Interferenzeffekte zwischen einlaufender und gestreuter Welle auszuschließen. Streuamplitude, Streumatrix. Seien jetzt also7 1 Ψi (x) = eipi x/¯h e−iEi t/¯h (2π¯ h)3/2 die einlaufende ebene Welle mit Impuls pi , ψi die sich hieraus w¨ahrend der Streuung zeitlich vorw¨ arts entwickelnde Welle, lim ψi (x) = Ψi (x) ,

t→−∞

und 1 eipf x/¯h e−iEf t/¯h (2π¯ h)3/2 eine ebene Welle mit Impuls pf . Dann sind wir aufgrund des soeben Gesagten interessiert an der Projektion von ψi auf Ψf in ferner Zukunft, also an  Sf i =
lim (3.18) d3 x Ψf∗ (x )ψi (x ) . Ψf (x) =

t →+∞

¨ Diesen Ausdruck bezeichnet man als Streuamplitude, Ubergangsamplitude ¨ oder auch Wahrscheinlichkeitsamplitude f¨ ur den Ubergang Ψi → Ψf . Die Gesamtheit aller Streuamplituden sind die Elemente der Heisenbergschen Streuoder S-Matrix. Zu weiteren Auswertung von (3.18) k¨onnen wir nun von Satz 3.1 Gebrauch machen. Unter Ber¨ ucksichtigung von [siehe (3.14)]8  1 ψi (x ) = Ψi (x ) + d4 x1 G(0,+) (x − x1 )V (x1 )ψi (x1 ) h ¯ und  Ψf∗ (x1 ) =
lim i d3 x Ψf∗ (x )G(0,+) (x − x1 ) t →+∞  d3 x Ψf∗ (x )Ψi (x ) = δ(pf − pi ) folgt aus (3.18) zun¨ achst9  d3 x Ψf∗ (x )Ψi (x ) Sf i =
lim t →+∞    1 4 3  ∗  (0,+)  + d x1 d x Ψf (x )G (x − x1 )V (x1 )ψi (x1 ) h ¯  i = δ(pf − pi ) − d4 x1 Ψf∗ (x1 )V (x1 )ψi (x1 ) . h ¯ 7 8 9

Hier und im folgenden werden die ebenen L¨ osungen der freien Schr¨ odingerGleichung mit dem großen Symbol Ψ bezeichnet. Da wir den Streuprozeß in zeitlicher Vorw¨ artsrichtung betrachten, ist hier der retardierte Fall zu w¨ ahlen. Bei konkreten Berechnungen von Streuamplituden werden wir Wellenfunktionen mit Normierung auf ein Kastenvolumen V anstelle der Kontinuumsnormierung verwenden. Es ist dann die Ersetzung δ(pf − pi ) → δf i vorzunehmen.

3.1 R¨ uckblick: Nichtrelativistische Streutheorie

201

Iteriert man jetzt ψi in der Weise ψi (x1 ) = Ψi (x1 )  1 + d4 x2 G(0,+) (x1 − x2 )V (x2 )Ψ (x2 ) h ¯   1 4 + 2 d x2 d4 x3 G(0,+) (x1 − x2 )V (x2 ) h ¯ ×G(0,+) (x2 − x3 )V (x3 )Ψ (x2 ) +... so gelangen wir schließlich zum Satz 3.2: Streumatrix in der Schr¨ odingerschen Theorie Das Element Sf i der Streumatrix S ist definiert als die Wahrscheinlich¨ keitsamplitude f¨ ur den Ubergang Ψi → Ψf bei der quantenmechanischen Streuung eines Teilchens an ein Target, wobei Ψi den freien Anfangszustand lange vor der Streuung und Ψf den freien Endzustand lange nach der Streuung bezeichnen. Anders formuliert: Sf i ist die Projektion des sich aus ahrend der Streuung entwickelnden Zustandes ψi auf Ψf : Ψi w¨  (3.19) d3 x Ψf∗ (x )ψi (x ) , lim ψi (x) = Ψi (x) . Sf i =
lim t →+∞

t→−∞

Mit Hilfe des Propagatorformalismus l¨ aßt sich Sf i in folgender Weise entwickeln:  i Sf i = δ(pf − pi ) − d4 x1 Ψf∗ (x1 )V (x1 )ψi (x1 ) h ¯ = δ(pf − pi )  i − d4 x1 Ψf∗ (x1 )V (x1 )Ψi (x1 ) h ¯   i 4 − 2 d x1 d4 x2 Ψf∗ (x2 )V (x2 )G(0,+) (x2 − x1 )V (x1 )Ψi (x1 ) h  ¯   i d4 x1 d4 x2 d4 x3 Ψf∗ (x3 )V (x3 )G(0,+) (x3 − x2 ) − 3 h ¯ ×V (x2 )G(0,+) (x2 − x1 )V (x1 )Ψi (x1 ) −... . (3.20) Hierbei ist V das Wechselwirkungspotential des Targets und G(0,+) der freie retardierte Propagator. Aufgrund der Adiabatenn¨ aherung ist es gerechtfertigt, Ψi im Limes t → −∞ als ebene Welle zu betrachten und die Projektion von ψi im Limes t → +∞ auf ebenfalls ebene Wellen Ψf zu studieren. ¨ Wie zu erkennen ist, f¨ allt beim Ubergang von (3.19) nach (3.20) die unbekannte Wellenfunktion ψi heraus. Stattdessen taucht nun der bekannte freie

202

3. Relativistische Streutheorie

Propagator G(0,+) in einer Reihe von Vielfachstreuungen auf, welche die gesamte Dynamik des Streuprozesses enth¨ alt. Zum genaueren Verst¨andnis dieses Satzes sind weiterhin folgende Punkte zu ber¨ ucksichtigen: • Eine allgemeine Eigenschaft der Streumatrix S, die aus der Hermitezit¨at des Schr¨ odingerschen Hamilton-Operators folgt, ist ihre Unitarit¨at (siehe Aufgabe 33), wodurch noch einmal die Erhaltung der Gesamtwahrscheinlichkeit zum Ausdruck gebracht wird. Dar¨ uber hinaus ist leicht einzusehen, daß die S-Matrix s¨ amtliche Symmetrieeigenschaften besitzt, die auch dem Hamilton-Operator zugrunde liegen. • Aus der Hermitezit¨ at des Hamilton-Operators folgt desweiteren, daß sich die S-Matrix auch in der zu (3.19) ¨ aquivalenten Weise  d3 xψf∗ (x)Ψi (x) ,
lim ψf (x ) = Ψf (x ) Sf i = lim t →+∞

t→−∞

definieren l¨ aßt, wobei jetzt ψf diejenige Welle bezeichnet, die sich ausgeuckw¨ arts in der Zeit entwickelt und dabei hend von Ψf in ferner Zukunft r¨ an V gestreut wird. Unter Verwendung von  ψi (x ) = lim i d3 xG(+) (x , x)Ψi (x) t→−∞  ∗  ψf (x ) =
lim i d3 x Ψf∗ (x )G(+) (x , x) t →+∞

gilt n¨ amlich



Sf i = lim

t→−∞

=

lim

t → −∞ t
→ +∞



=

lim


t →+∞

d3 xψf∗ (x)Ψi (x)   i d3 x d3 x Ψf∗ (x )G(+) (x , x)Ψi (x) d3 x Ψf∗ (x )ψi (x ) .

Offenbar spielt es also keine Rolle, ob man den Anfangszustand Ψi zeitlich vorw¨ arts oder den Endzustand Ψf zeitlich r¨ uckw¨arts propagieren l¨aßt. • Gleichung (3.20) stellt im wesentlichen eine Entwicklung in Potenzen des Wechselwirkungspotentials dar. In der Praxis werden f¨ ur gew¨ohnlich nur die ersten Terme berechnet, wobei deren Genauigkeit (im Vergleich zum exakten Ergebnis) nat¨ urlich davon abh¨ angt, wie schnell die Reihe konvergiert. • Die einzelnen Terme in (3.20) lassen sich unter Ber¨ ucksichtigung von  Ψi (x1 ) = lim i d3 xG(0,+) (x1 − x)Ψi (x) t→−∞  Ψf∗ (xn ) =
lim i d3 x Ψf∗ (x )G(0,+) (x − xn ) t →+∞

3.1 R¨ uckblick: Nichtrelativistische Streutheorie

203

in der Weise interpretieren, daß das betrachtete Teilchen w¨ahrend seiner Entwicklung zwischen den Raumzeitpunkten x = (x, t) und x = (x , t ) an verschiedenen Zwischenstellen xi mit der Wahrscheinlichkeitsamplitude V (xi ) pro Einheits-Raumzeitvolumen in ein Teilchen gestreut wird, das sich mit der Wahrscheinlichkeitsamplitude G(0,+) (xi+1 − xi ) st¨orungsfrei zum n¨ achsten Wechselwirkungspunkt xi+1 fortbewegt. Dabei wird u ¨ ber alle m¨ oglichen intermedi¨ aren Wechselwirkungspunkte integriert. Man kann auch sagen, das Potential V (xi ) am Vertex xi vernichtet das Teilchen, das sich zuvor frei nach xi bewegte, und erzeugt ein Teilchen, das sich nach xi+1 frei weiterbewegt. Wichtig hierbei ist, daß die vorkommenden G(0,+) nur chronologische Streuungen (in zeitlicher Vorw¨artsrichtung) gestatten, so daß keine Terme vorkommen k¨ onnen, die zu ∨- oder ∧-artigen Graphen f¨ uhren (siehe Abb. 3.3). Dies ist, wie wir sp¨ater sehen werden, in relativistischen Streutheorien anders. t

t

t

Ψf∗

a

Ψf∗

b

c x2 x1 x1

x

Ψi

x

Ψi

x

Abb. 3.3. Bildliche Darstellungen (Feynman-Graphen) der durch (3.20) gegebenen Reihenentwicklung. a repr¨ asentiert den ersten δ-Term (nullte Ordnung), also die freie Propagation eines Teilchens. b stellt den zweiten Term dar (erste Ordnung). Dort erleidet das Teilchen an der Zwischenstelle x1 = (x1 , t1 ) eine Streuung am Potential V . c symbolisiert den dritten Term (zweite Ordnung), bei dem das Teilchen an zwei Zwischenstellen x1 = (x1 , t1 ) und x2 = (x2 , t2 ) gestreut wird. Prinzipiell sind nur Raumzeitpfade m¨ oglich, die sich bzgl. der Zeit monoton vorw¨ arts entwickeln.

Totaler Wirkungsquerschnitt, differentieller Wirkungsquerschnitt. Nachdem wir einen tragf¨ ahigen Formalismus zur Beschreibung nichtrelati¨ vistisch-quantenmechanischer Uberg¨ ange durch die Streuamplituden Sf i gefunden haben, m¨ ussen wir diese nun noch mit den in Streuexperimenten detektierten Teilchenzahlen in Beziehung bringen. Zu diesem Zweck fragen wir ¨ zun¨ achst nach der Ubergangsrate R, also der Zahl der in irgendeine Richtung (außer der Einfallsrichtung) gestreuten Teilchen innerhalb der Zeit T : Zahl der gestreuten Teilchen . T Kennt man die Zahl N der Teilchen, die pro Zeitintervall T durch die Querschnittsfl¨ ache A des einfallenden Teilchenstrahls treten, und den totalen WirR=

204

3. Relativistische Streutheorie

kungsquerschnitt σ des Targets, d.h. diejenige Fl¨ache, die einfallende Teilchen senkrecht durchlaufen m¨ ussen, um u ur ¨ berhaupt abgelenkt zu werden, so gilt f¨ R offensichtlich N σ N R= = ρvσ = |j i |σ , ρ = , (3.21) T A vT A wobei ρ die Teilchendichte, v die Teilchengeschwindigkeit und |j i | die Teilchenstromdichte des einfallenden Teilchenstrahls bezeichnen (siehe Abb. 3.4).10 ¨ Die Ubergangsrate R l¨ aßt sich andererseits aber auch mit Hilfe der Streuam-

σ

vT

A

Abb. 3.4. Streuung eines Teilchenstrahls mit der Teilchenstromdichte |j i | = ρv und der Querschnittsfl¨ ache A an ein festes Streuzentrum mit dem totalen Wirkungsquerschnitt σ.

plitude Sf i ausdr¨ ucken, welche ja im Wellenbild die Wahrscheinlichkeit f¨ ur ¨ den Ubergang Ψi −→ Ψf angibt und deshalb im experimentell relevanten Teilchenbild den statistischen Anteil der einfallenden Teilchen mit Impuls pi , die in Teilchenzust¨ ande mit Impuls pf gestreut werden, so daß   N N 2 |Sf i | = (3.22) R= |Sf i |2 dNf . T T f

Hierbei bedeutet dNf die Zustandsdichte bzw. die Zahl der m¨oglichen Zust¨ ande im Impulsintervall [pf : pf + d3 pf ]. Kombinieren wir nun die beiden Gleichungen (3.21) und (3.22) so ergibt sich schließlich f¨ ur den totalen Wirkungsquerschnitt  N (3.23) σ= |Sf i |2 dNf , T |j i | 10

¨ Genau genommen handelt es sich hierbei um die Ubergangsrate pro Targetteilchen. In realen Streuexperimenten besteht das Target n¨ amlich aus vielen Teilchen, wobei deren gegenseitige Abst¨ ande als groß gegen¨ uber σ angenommen werden k¨ onnen.

3.1 R¨ uckblick: Nichtrelativistische Streutheorie

205

mit der erwarteten Dimension einer Fl¨ ache. Zur weiteren Auswertung dieses Ausdruckes ist jetzt zu ber¨ ucksichtigen, daß wir den gesamten quantenmechanischen Streuprozeß aus Gr¨ unden der Einfachheit nicht durch lokalisierte Wellenpakete, sondern durch ebene Wellen beschreiben wollen. Dies bedeutet aber, daß in Folge der Normierung der ebenen Wellen auf den gesamten Raum die Zustandsdichte dNf beliebig groß ist und die Teilchenzahl N in jedem betrachteten Volumen vT A beliebig klein. Wir k¨onnen diese mathematisch schlecht definierten Unendlichkeiten jedoch umgehen, indem wir die ebenen Wellen anf¨ anglich auf ein endliches Volumen V normieren und erst zum Schluß unserer Rechnungen den Grenzprozeß V, T → ∞ durchf¨ uhren. Zum einen folgt dann N = 1 (im Volumen V befindet sich genau ein Teilchen). Zum anderen wird die Zustandsdichte dNf aufgrund der Forderung nach stehenden Wellen innerhalb des Volumens V (bzw. periodischen Randbedingungen an den Volumengrenzen) endlich, und wir k¨onnen schreiben ? Lk dpf k Lk , eipf k Lk /¯h = 1 =⇒ pf k Lk /¯ h = 2πnk =⇒ dnk = V = 2π¯h k

=⇒ dNf =

? k

dnk =

V d3 pf (Phasenraumfaktor) . (2π¯ h)3

Unter Ber¨ ucksichtigung von d3 pf = p2f d|pf |dΩ (vgl. Abb. 3.1) geht somit (3.23) u ¨ber in    V V 2 3 2 |S d|p | d p = |p dΩ|Sf i |2 (3.24) σ= fi f f f (2π¯ h)3 T |j i | (2π¯ h)3 T |j i | und kann in Bezug auf die experimentelle Situation interpretiert werden als Zahl der gestreuten Teilchen/T . Einlaufende Teilchenstromdichte Differenziert man (3.24) nach Ω und unterdr¨ uckt das verbleibende pf -Integralzeichen, so erh¨ alt man den dimensionslosen differentiellen Wirkungsquerschnitt dσ |Sf i |2 V p2f d|pf | = , dΩ T |j i | (2π¯ h)3 σ=

mit der experimentellen Interpretation Zahl der nach dΩ gestreuten Teilchen/T dσ = . dΩ Einlaufende Teilchenstromdichte·dΩ Dies ist aber genau die in Streuexperimenten gemessene Gr¨oße, sofern dort dΩ durch die kleine aber endliche Detektorfl¨ ache ersetzt wird. Satz 3.3: Wirkungsquerschnitt Der differentielle Wirkungsquerschnitt einer quantenmechanischen Streuung ist gegeben durch



206

3. Relativistische Streutheorie

@ ⎞ Zahl der nach [pf : pf + d3 pf ] T⎟ ⎜ gestreuten Teilchen ⎟ ⎜ ⎝ Einlaufende Teilchenstromdichte ⎠ ⎛

dσ =

|Sf i |2 V d3 pf T |j i | (2π¯ h)3

bzw. (pf -Integralzeichen unterdr¨ uckt)  Zahl der nach dΩ gestreuten Teilchen/T dσ |Sf i |2 V p2f d|pf | = , dΩ T |j i | (2π¯ h)3 Einlaufende Teilchenstromdichte·dΩ ¨ ur den Ubergang Ψi → Ψf , V das Normiewobei Sf i die Streuamplitude f¨ rungsvolumen von Ψi,f , j i die Teilchenstromdichte von Ψi (in Richtung des Targets), T die Dauer des Streuvorgangs und dΩ das betrachtete Raumwinkelelement bedeuten. Bei konkreten Rechnungen fallen V und T im Limes V, T → ∞ heraus. Integration des letzten Ausdruckes u ¨ ber Ω liefert den totalen Wirkungsquerschnitt σ. Er ist im Teilchenbild gleich derjenigen effektiven Fl¨ache des Targets, die einfallende Teilchen durchqueren m¨ ussen, um u ¨ berhaupt gestreut zu werden. Man beachte, daß dieser Satz sich nirgendwo auf spezifisch nichtrelativistische Zusammenh¨ ange bezieht und deshalb auch in relativistischen Streutheorien seine G¨ ultigkeit beh¨ alt. Insgesamt ist festzustellen, daß wir mit den letzten drei S¨ atzen 3.1 bis 3.3 einen praktikablen Formalismus zur Beschreibung nichtrelativistisch-quantenmechanischer Streuprozesse gefunden haben, der insbesondere einen unmittelbaren Vergleich mit experimentellen Messungen gestattet. Im weiteren Verlauf wird unsere Aufgabe darin bestehen, diesen Formalismus auf relativistische Streuprozesse im Rahmen der Dirac- und Klein-Gordon-Theorie ad¨ aquat zu erweitern, um uns jeweils anschließend der Berechnung konkreter Streuprobleme zuwenden zu k¨onnen. 3.1.4 Coulomb-Streuung Zum Abschluß unseres R¨ uckblickes auf die nichtrelativistische Streutheorie f¨ uhren wir ihre Anwendung auf das konkrete Problem der Coulomb-Streuung (Rutherford-Streuung) mit einem Wechselwirkungspotential der Form α , α = −Ze2 V (x) = |x| vor, wobei wir von einem entlang der z-Achse ausgerichteten Teilchenstrahl ausgehen und uns auf die Berechnung der Streuamplitude und des differentiellen Wirkungsquerschnittes in f¨ uhrender Ordnung beschr¨anken. Als erstes ben¨ otigen wir hierzu die ebenen L¨ osungen Ψi und Ψf der freien Schr¨odingerGleichung mit Normierung auf ein Volumen V : 1 1 Ψi (x) = √ eipi x/¯h e−iEi t/¯h , Ψf (x) = √ eipf x/¯h e−iEf t/¯h . V V

3.1 R¨ uckblick: Nichtrelativistische Streutheorie

207

Damit k¨ onnen wir nach Satz 3.2 f¨ ur die Streuamplitude schreiben (f = i):  i d4 xΨf∗ (x)V (x)Ψi (x) Sf i = − h ¯ T /2   α i , q = pf − pi , dtei(Ef −Ei )t/¯h d3 xe−iqx/¯h = − hV ¯ |x| −T /2

V

mit dem Impuls¨ ubertrag q, wobei sich die zeitliche Begrenzung der Streuung auf das Intervall [−T /2 : T /2] durch die ¨ ortliche Begrenzung von Ψi,f auf das Volumen V ergibt. F¨ ur die Zeit- und Raumintegrale folgt T /2 

−T /2

dtei(Ef −Ei )t/¯h 

e−iqx/¯h d x |x| 3

V

T →∞

=

2π¯ hδ(Ef − Ei )

=

¯2 h − 2 q

=

(3.25)



1 2 −iqx/¯h ∇ e |x| V   1 ¯2 h − 2 d3 x ∇2 e−iqx/¯h q |x| d3 x

V

2

=

−

¯ h q2



d3 x[−4πδ(x)]e−iqx/¯h =

V

4π¯h2 , (3.26) q2

so daß die Streuamplitude schließlich u ¨bergeht in Sf i = −i

4π¯ hα[2π¯ hδ(Ef − Ei )] . V q2

Zur Berechnung des differentiellen Wirkungsquerschnittes m¨ ussen wir uns als n¨achstes die Teilchenstromdichte von Ψi in z-Richtung besorgen: h ¯ |pi | |Ψ ∗ ∇Ψi − Ψi ∇Ψi∗ | = . 2im0 i m0 V Nach Satz 3.3 erhalten wir somit 2α2 m0 [2π¯ hδ(Ef − Ei )]2 p2f d|pf | dσ = , dΩ π¯ hT |pi |q 4 |j i | =

(3.27)

wobei u ¨ ber alle Streuimpulse pf zu integrieren ist. Offenbar enth¨alt diese Formel den mathematisch schlecht definierten Ausdruck δ 2 (Ef − Ei ), was daran liegt, daß wir in (3.25) den Grenzprozeß T → ∞ zu fr¨ uh vorgenommen haben. In Aufgabe 34 wird gezeigt, daß es bei Betrachtung einer endlichen Streuzeit T gerechtfertigt ist, in (3.27) das Quadrat der δ-Funktion in der Weise hδ(Ef − Ei ) [2π¯ hδ(Ef − Ei )]2 −→ 2πT ¯ zu ersetzen, so daß

(3.28)

208

3. Relativistische Streutheorie

dσ = dΩ

∞ d|pf | 0

4α2 m0 δ(Ef − Ei )p2f . |pi |q 4

Hierbei handelt es sich nun um eine wohldefinierte Gleichung, in der zum einen das Normierungsvolumen V und die Streuzeit T nicht mehr vorkommen und zum anderen die verbleibende δ-Funktion die Energieerhaltung des Streuprozesses explizit zum Ausdruck bringt. Mit Hilfe der Identit¨aten Ei,f =

p2i,f m0 dEf , pi pf ||pf |=|pi | = p2i cos θ , d|pf | = 2m0 |pf |

q 2|pf |=|pi | = 4p2i sin2

θ θ = 8m0 Ei sin2 2 2

l¨aßt sich dσ/dΩ schließlich weiter vereinfachen zur ber¨ uhmten Rutherfordschen Streuformel  ∞ 4α2 m20 δ(Ef − Ei )p2f dσ dσ = = dEf dΩ dΩ Ruth |pi ||pf |q 4 0

2   4α2 m20  α = = . q 4 |pf |=|pi | 4Ei sin2 θ2

(3.29)

Sie gilt u uhrten N¨aherung. ¨ brigens exakt und nicht nur in der hier vorgef¨ Zusammenfassung • Die L¨ osung der allgemeinen Schr¨ odinger-Gleichung l¨aßt sich auf eine Integralgleichung f¨ ur den retardierten und avancierten Propagator bzw. f¨ ur die Wellenfunktion selbst zur¨ uckf¨ uhren, die sich durch Iteration approximativ l¨ osen l¨ aßt. • Der retardierte Propagator beschreibt die zeitlich vorw¨arts gerichtete Ausbreitung einer zu einem festen Zeitpunkt bekannten Wellenfunktion und der avancierte Propagator ihre zeitlich r¨ uckw¨arts gerichtete Ausbreitung. • Quantenmechanische Streuprozesse werden durch die Streumatrix beschrieben. Ihre Elemente, die Streuamplituden, k¨onnen mit Hilfe des Propagatorformalismus in Potenzen des Wechselwirkungspotentials (Reihe von Vielfachstreuungen) entwickelt werden. • Hierbei lassen sich aufgrund der Adiabatenn¨ aherung die einfallende Wellenfunktion im Limes t → −∞ als freie ebene Welle und die sich hieraus entwickelnde gestreute Welle im Limes t → +∞ ebenfalls als frei (aber i.a. nicht eben) betrachten.



Aufgaben

209

• In Streuexperimenten richtet man f¨ ur gew¨ohnlich einen kolliminierten Teilchenstrahl auf ein Target und mißt den differentiellen Wirkungsquerschnitt, also die Zahl der Teilchen, die in Richtung verschiedener Raumwinkelelemente gestreut werden. In die theoretische Beschreibung dieser Meßgr¨ oße gehen die Streuamplituden ein. • Durch Integration des differentiellen Wirkungsquerschnittes u ¨ ber alle Raumwinkel erh¨ alt man den totalen Wirkungsquerschnitt. Er ist gleich derjenigen (fiktiven) Fl¨ ache des Targets, die einfallende Teilchen durchqueren m¨ ussen, um u ¨berhaupt abgelenkt zu werden.

Aufgaben 30. Integraldarstellung der Θ-Funktion. Zeigen Sie, daß sich die Stufenfunktion 0 1 f¨ ur τ > 0 Θ(τ ) = 0 f¨ ur τ < 0 in der Weise 1 Θ(τ ) = − lim 2πi
→0

∞

−∞

dω

e−iωτ , >0 ω + i

(3.30)

ausdr¨ ucken l¨ aßt. L¨ osung. Die Berechnung des Integrals f¨ uhren wir durch Integration in der komplexen ω-Ebene entlang eines geschlossenen Integrationsweges K aus, wobei dieser Weg in Abh¨ angigkeit von τ geeignet zu w¨ahlen ist. τ < 0: In diesem Fall bietet sich f¨ ur K der obere in Abb. 3.5 gezeigte Halbkreis H(0, R, +) im Limes R → ∞ an, weil dann die Integration entlang des Kreisbogens B(0, R, +) verschwindet und lediglich die Integration entlang der reellen ω-Achse u aßt sich mit Hilfe der Parametrisierung ¨brigbleibt. Dies l¨ B(0, R, +) : t → ω(t) = eiRt , t ∈ [0 : π] durch folgende Absch¨ atzung leicht zeigen:     π       −iτ R(cos t+i sin t)   e−iωτ  e  it   dω iRe    =  dt it   ω Re   B(0,R,+)  0  π       −iτ R cos t τ R sin t   = i dte e    0

210

3. Relativistische Streutheorie Im ω H(0, R, +) , τ < 0 R Re ω

−i

H(0, R, −) , τ > 0 Abb. 3.5. Integrationswege in der komplexen ω-Ebene. F¨ ur τ < 0 ist der obere geschlossene Halbkreis H(0, R, +) mit positivem Umlaufsinn zu w¨ ahlen und f¨ ur τ > 0 der untere geschlossene Halbkreis H(0, R, −) mit negativem Umlaufsinn.

  π     R→∞  < i dte−|τ |R sin t  −→ 0 .   0

Da nun die einzige Singularit¨ at ωs = −i des Integranden außerhalb des von H(0, R, +) eingeschlossenen Gebietes liegt, folgt nach dem Cauchyschen Integralsatz11 9 9 e−iωτ e−iωτ = − lim =0. Θ(τ ) = − lim dω dω
→0
→0 ω + i ω + i R → ∞ H(0,R,+)

H(0,R,+)

τ > 0: Hier w¨ ahlen wir f¨ ur K den unteren in Abb. 3.5 dargestellten Halbkreis H(0, R, −) im Limes R → ∞, weil dann aufgrund derselben Argumentation wie eben die Integration entlang des Kreisbogens B(0, R, −) nichts beitr¨agt. Somit folgt 9 e−iωτ −1 lim . Θ(τ ) = − dω 2πi
→0 ω + i H(0,R,−)

Das zus¨ atzliche Minuszeichen auf der rechten Seite folgt aufgrund des mathematisch negativen Umlaufsinnes von H(0, R, −). Zur weiteren Auswertung dieses Integrals ist zu beachten, daß sich nun die Singularit¨at ωs = −i innerhalb des von H(0, R, −) eingeschlossenen Gebietes befindet, so daß der Residuensatz zur Anwendung kommt: 11

Man beachte: Im folgenden werden wir den Grenzwert R → ∞ nicht weiter ber¨ ucksichtigen. Denn solange der Integrand bis auf seine Singularit¨ aten regul¨ ar ist, k¨ onnen wir den Integrationsweg auf eine beliebige Kontur zusammenziehen, welche die betreffenden Singularit¨ aten einschließt.

Aufgaben

f (ω) =

9

e−iωτ =⇒ ω + i

211

f (ω)dω = 2πi Res f = 2πie−
τ . ωs = −i


H(0,R,−)

Wir haben deshalb 1 lim Θ(τ ) = 2πi
→0

9 f (ω)dω = 1 .

H(0,R,−)

Insgesamt ist somit der Beweis der obigen Behauptung erbracht. Mit Blick auf Aufgabe 31 sei noch erw¨ ahnt, daß sich durch komplexe Konjugation von (3.30) die Darstellung 1 Θ(−τ ) = lim 2πi
→0

∞ dω

−∞

e−iωτ , >0 ω − i

(3.31)

f¨ ur die Θ-Funktion ergibt, in der die Singularit¨at nun oberhalb der reellen Achse liegt. 31. Fourier-Zerlegung von G(0,±) . Zeigen Sie die G¨ ultigkeit von (3.13). L¨ osung. Ausgangspunkt ist die Differentialgleichung  ∂ (0) ¯ δ(x − x) G(0,±) (x − x) = h i¯ h  −H ∂t

(3.32)

f¨ ur den freien retardierten bzw. avancierten Propagator. Zu ihrer L¨osung verwenden wir die vierdimensionale Fourier-Darstellung von G(0,±) (x − x) und δ(x − x),   d3 p dE (0,±)  G (x − x) = (2π¯ h)3 2π¯ h

˜ (0,±) (p, E) (3.33) ×eip(x −x)/¯h e−iE(t −t)/¯h G   3

p d dE eip(x −x)/¯h e−iE(t −t)/¯h , δ(x − x) = (2π¯ h)3 2π¯ h und bestimmen durch Einsetzen dieser Ausdr¨ ucke in (3.32) die entsprechende ˜ (0,±) (p, E): Gleichung f¨ ur G   

dp dE p2 ˜ (0,±) (p, E) eip(x −x)/¯h e−iE(t −t)/¯h G E− (2π¯ h)3 2π¯ h 2m0  = h ¯

d3 p (2π)¯ h3



dE ip(x
−x)/¯h −iE(t
−t)/¯h e e . 2π¯ h

Die L¨ osung dieser Gleichung l¨ aßt sich sofort angeben. F¨ ur E = p2 /2m0 lautet sie h ¯ ˜ (0,±) (p, E) = G . p2 E − 2m 0

212

3. Relativistische Streutheorie

Somit geht (3.33) u ¨ber in  
d3 p ip(x
−x)/¯h dE e−iE(t −t)/¯h G(0,±) (x − x) = e . (2π¯ h)3 2π E − p2 2m0

(3.34)

Als n¨ achstes m¨ ussen wir die E- und p-Integrationen unter Ber¨ ucksichtigung der Singularit¨ at bei Es = p2 /2m0 ausf¨ uhren. Betrachten wir hierzu als erstes die Integration u ¨ber E, also   

ip2 (t − t) dω e−iω(t −t) dE e−iE(t −t)/¯h , (3.35) = exp − I= 2π E − p2 2¯hm0 2π ω 2m0

wobei rechts die Variablensubstitution ω = (E − p2 /2m0 )/¯h vorgenommen wurde. Offenbar l¨ aßt sich das ω-Integral einfach auf die in Aufgabe 30 besprochenen Integrale (3.30) und (3.31) zur¨ uckf¨ uhren, sofern die Singularit¨at im Nenner durch Addition bzw. Subtraktion eines Imagin¨arteils i verschoben wird. Entscheiden wir uns f¨ ur die Addition, so folgt durch Vergleich mit (3.30)  

dω e−iω(t −t) dω e−iω(t −t) −→ lim = −iΘ(t − t) . (3.36)
→0 2π ω 2π ω + i Dies entspricht ganz klar einer zeitlich vorw¨ arts gerichteten Bewegung (retardierter Fall). W¨ ahlen wir stattdessen in (3.35) die Subtraktion von i , so folgt durch Vergleich mit (3.31)  

dω e−iω(t −t) dω e−iω(t −t) −→ lim = +iΘ(t − t ) , (3.37)
→0 2π ω 2π ω − i was eine zeitlich r¨ uckw¨ arts gerichtete Bewegung zum Ausdruck bringt (avancierter Fall). Die korrekte Fourier-Zerlegung von G(0,±) lautet deshalb wie in (3.13) angegeben. Durch Kombination von (3.34), (3.35) (3.36) und (3.37) erh¨alt man im retardierten Fall die explizite Form   d3 p ip2 (t − t) ip(x − x) exp − + G(0,+) (x − x) = −iΘ(t − t) (2π¯ h)3 2¯hm0 ¯h und im avancierten Fall (0,−)

G





(x − x) = +iΘ(t − t )



 d3 p ip2 (t − t) ip(x − x) exp − + . (2π¯ h)3 2¯hm0 ¯h

Diese Ergebnisse stimmen erwartungsgem¨ aß mit den in Unterabschn. 3.1.2 auf anderem Wege hergeleiteten Gleichungen u ¨ berein; die weitere Auswertung des p-Integrals ist dieselbe wie dort.

Aufgaben

213

32. Allgemeine Eigenschaften von G(±) . Zeigen Sie die G¨ ultigkeit der folgenden Beziehungen: G(+) (x , x) = G(−)∗ (x, x )  G(+) (x , x) = i d3 x1 G(+) (x , x1 )G(+) (x1 , x) falls t > t1 > t G(−) (x , x) = −i 



δ(x − x) = δ(x − x) =





d3 x1 G(−) (x , x1 )G(−) (x1 , x)

(3.38) (3.39)

falls t < t1 < t (3.40)

d3 x1 G(+) (x , t, x1 , t1 )G(−) (x1 , t1 , x, t) falls t > t1 (3.41) d3 x1 G(−) (x , t, x1 , t1 )G(+) (x1 , t1 , x, t)

falls t < t1 .(3.42)

L¨ osung. Zu (3.38). Durch komplexe Konjugation von (3.15) und anschließendem Vergleich mit (3.10) folgt sofort die Behauptung. Zu (3.39) und (3.40). Zum Beweis von (3.39) starten wir von der Definitionsgleichung (3.10) f¨ ur den retardierten Propagator,  (3.43) ψ(x ) = i d3 xG(+) (x , x)ψ(x) falls t > t , in der es uns nat¨ urlich freisteht, auch ψ(x) als das Ergebnis einer Propagation von einer fr¨ uheren Zeit t1 nach t zu betrachten, d.h.   ψ(x ) = − d3 x d3 x1 G(+) (x , x)G(+) (x, x1 )ψ(x1 ) falls t > t > t1 bzw. nach dem Variablentausch x ↔ x1   ψ(x ) = − d3 x d3 x1 G(+) (x , x1 )G(+) (x1 , x)ψ(x)

falls t > t1 > t .

Vergleich diese Beziehung mit (3.43) liefert schließlich (3.39). Der Beweis von (3.40) verl¨ auft analog. Zu (3.41) und (3.42). Zun¨ achst stellen wir fest, daß sich ψ zur konstanten Zeit t darstellen l¨ aßt als   (3.44) ψ(x , t) = d3 xδ(x − x)ψ(x, t) . Andererseits gilt   ψ(x , t) = i d3 x1 G(+) (x , t, x1 , t1 )ψ(x1 , t1 ) falls t > t1 und

 ψ(x1 , t1 ) = −i

d3 xG(−) (x1 , t1 , x, t)ψ(x, t) falls t > t1

214

3. Relativistische Streutheorie

sowie deren Kombination   d3 x d3 x1 G(+) (x , t, x1 , t1 )G(−) (x1 , t1 , x, t)ψ(x, t) ψ(x , t) = falls t > t1 . Vergleich dieser Beziehung mit (3.44) ergibt die Gleichung (3.41). Der Beweis von (3.42) l¨ aßt sich wieder auf analoge Weise f¨ uhren. 33. Unitarit¨ at der Streumatrix. Zeigen Sie, daß die Streumatrix S unit¨ar ist. L¨ osung. Sofern man sich auf Wellenfunktionen mit Normierung auf ein endliches Volumen beschr¨ ankt, ist zu zeigen, daß : : † ∗ a) Sf k Ski = Sf k Sik = δf i k

b)

: k

k

Sf† k Ski

=

: k

∗ Skf Ski = δf i

[bei Normierung auf den gesamten Raum sind die Ersetzungen und δf i → δ(pf − pi ) vorzunehmen]. Zu a) Es gilt Sf k = i

 lim

t
→ +∞ t → −∞

und wegen (3.38) ∗ Sik = −i

= −i

d3 x



lim

t
→ +∞ t → −∞

lim

t
→ +∞ t → −∞





d3 y  d3 y 

:

→

;

d3 pk

k

d3 xΨf∗ (x , t )G(+) (x , t , x, t)Ψk (x, t)

 

d3 yΨi (y  , t )G(+)∗ (y  , t , y, t)Ψk∗ (y, t) d3 yΨk∗ (y, t)G(−) (y, t, y  , t )Ψi (y  , t ) ,

wobei {Ψk (x, t)} ein vollst¨ andiges, orthonormales L¨osungssystem der freien Schr¨ odinger-Gleichung ist, mit   Ψk (x, t)Ψk∗ (y, t) = δ(x − y) ∀ t . d3 xΨk∗ (x, t)Ψj (x, t) = δkj , k

Somit folgt unter Ausnutzung von (3.41)      ∗ 3  3 3  Sf k Sik =
lim d x d x d y d3 y k

t → +∞ t → −∞

k

×Ψf∗ (x , t )G(+) (x , t , x, t)Ψk (x, t) ×Ψk∗ (y, t)G(−) (y, t, y  , t )Ψi (y  , t )

Aufgaben

 =

lim

t
→ +∞ t → −∞

d3 x



 d3 x

215

d3 y 

×Ψf∗ (x , t )G(+) (x , t , x, t)G(−) (x, t, y , t )Ψi (y  , t )  =
lim d3 x Ψf∗ (x , t )Ψi (x , t ) = δf i . t →∞

Der Beweis von b) l¨ aßt sich analog durchf¨ uhren. 34. Quadrat der δ-Funktion. Zeigen Sie, daß in (3.27) der Ausdruck [2π¯ hδ(Ef −Ei )]2 ersetzt werden kann durch 2πT ¯hδ(Ef −Ei ) indem Sie (3.25) f¨ ur große aber endliche T betrachten. L¨ osung. In (3.25) haben wir ∞ 2π¯ hδ(Ef − Ei ) =

dtei(Ef −Ei )t/¯h

−∞

gleichgesetzt, was f¨ ur eine unendlich lange Streuzeit T sicherlich richtig ist und in (3.27) zu dem schlecht definierten Ausdruck [2π¯hδ(Ef − Ei )]2 f¨ uhrt. Wir m¨ ussen jedoch ber¨ ucksichtigen, daß wir gem¨aß unseres Streuformalismus zun¨ achst eine endliche Streudauer T voraussetzen und erst zum Schluß den Grenzprozeß T → ∞ durchf¨ uhren. Demnach haben wir T /2 

2π¯ hδ(Ef − Ei ) →

dtei(Ef −Ei )t/¯h =

−T /2

=

T /2  ¯ h e(Ef −Ei )t/¯h  i(Ef − Ei ) −T /2 2¯h sin[(Ef − Ei )T /2¯h] Ef − Ei

und deshalb [2π¯ hδ(Ef − Ei )]2 →

4¯h2 sin2 [(Ef − Ei )T /2¯h] . (Ef − Ei )2

Nun gilt aber ∞ ∞ 4¯h2 sin2 [(Ef − Ei )T /2¯h] sin2 x dEf = 2T h ¯ dx = 2π¯hT . (Ef − Ei )2 x2 −∞

(3.45)

−∞

Somit k¨ onnen wir folgern, daß [2π¯ hδ(Ef − Ei )]2 = 2π¯ hδ(0)2π¯ hδ(Ef − Ei ) → 2π¯hT δ(Ef − Ei ) , also 2π¯ hδ(0) → T , damit die Integration u ¨ber Ef gem¨aß (3.45) 2π¯hT ergibt.

216

3. Relativistische Streutheorie

3.2 Streuung von Spin-1/2-Teilchen Aufbauend auf den Ergebnissen des letzten Abschnittes wenden wir uns in diesem Abschnitt der Beschreibung relativistischer Streuprozesse von Spin1/2-Teilchen zu, wobei unsere Diskussion sehr ¨ahnlich zu der des letzten Abschnittes verl¨ auft. Dies bedeutet, wir entwickeln zun¨achst einen geeigneten Propagatorformalismus zur L¨ osung der allgemeinen Dirac-Gleichung, in welchem wir allerdings von vornherein ein modifiziertes Kausalit¨atsprinzip f¨ ur den sog. Feynman-Propagator implementieren m¨ ussen, um der sp¨ater wichtig werdenden Feynman-St¨ uckelberg-Interpretation von positiven und negativen Dirac-L¨ osungen Rechnung zu tragen. Nach der Herleitung des freien Feynman-Propagators im Impulsraum gehen wir zum eigentlichen Streuformalismus u ¨ ber und betrachten insbesondere seine spezifisch relativistischen Aspekte. Zum Schluß werden einige Identit¨ aten im Zusammenhang mit Spurbildungen von γ-Matrizen besprochen, die sich f¨ ur nachfolgende konkrete Berechnungen von Streuprozessen als sehr n¨ utzlich erweisen werden. Anmerkung. Da wir im weiteren Verlauf oftmals Gleichungen mit zahlreichen γ-Matrixoperationen begegnen werden, f¨ uhren wir an dieser Stelle die bequeme Slash-Notation“ ” /a = aµ γ µ ein, die wir ab jetzt meistens verwenden. Ebenfalls aus Bequemlichkeitsgr¨ unden bezeichnen wir (elementare) Spin-1/2-Teilchen des¨ofteren stellvertretend mit Elektron“ und Spin-1/2-Antiteilchen mit Positron“. ” ” 3.2.1 L¨ osung der allgemeinen Dirac-Gleichung Analog zu Unterabschn. 3.1.1 starten wir von der zeitabh¨angigen DiracGleichung  e p/ − A(x /  ) − m0 c ψ(x ) = 0 , (3.46) c deren L¨ osung sich aus denselben Gr¨ unden wir bei der Schr¨odinger-Gleichung durch eine lineare homogene Integralgleichung der Form   ψ(x ) = i d3 xS(x , x)γ 0 ψ(x) , x = (x0 , x) = (ct, x) ausdr¨ ucken lassen sollte, wobei wir hier die entsprechende Green-Funktion mit S notieren. Der Faktor γ 0 r¨ uhrt daher, daß wir von der kovarianten DiracGleichung ausgehen, die sich aus der kanonischen Dirac-Gleichung durch Multiplikation mit γ 0 /c ergibt. Offenbar bietet es sich wieder an, ein Kausalit¨atsprinzip in der Weise +   Θ(x0 − x0 )  ) = ±i d3 xS (±) (x , x)γ 0 ψ(x) (3.47) ψ(x Θ(x0 − x0 )

3.2 Streuung von Spin-1/2-Teilchen

217

einzuf¨ uhren, das die zeitliche Vorw¨ arts- bzw. R¨ uckw¨artsausbreitung von ψ(x) nach ψ(x ) garantiert, unabh¨ angig davon, welche Beitr¨age mit positiver und negativer Energie im Laufe der Zeit gebildet werden. In Bezug auf die Beschreibung relativistischer Streuprozesse von Elektronen und Positronen macht es jedoch mehr Sinn, die zeitliche Ausbreitungsrichtung von ψ nach seinen positiven und negativen Anteilen auszurichten, dergestalt, daß sich arts und die negativen Anteidie positiven Anteile ψ (+) zeitlich nur vorw¨ le ψ (−) zeitlich nur r¨ uckw¨ arts entwickeln k¨ onnen. Auf diese Weise lassen sich n¨ amlich bei Streuungen die anteilige zeitliche Vorw¨artsentwicklung von ψ als vorw¨ artige Teilchenpropagation (Elektron) und die anteilige zeitliche R¨ uckw¨ artsentwicklung von ψ gem¨ aß der Feynman-St¨ uckelberg-Interpretation (Satz 2.7) als ebenfalls vorw¨ artige Antiteilchenpropagation (Positron) deuten. Wir kommen auf diesen Punkt im weiteren Verlauf noch zur¨ uck und postulieren aufgrund des soeben Gesagten anstelle von (3.47) den modifizierten kausalen Zusammenhang12 +   Θ(x0 − x0 ) (±)  (3.48) ψ (x ) = ±i d3 xSF (x , x)γ 0 ψ (±) (x) , Θ(x0 − x0 ) wodurch der Feynmansche Fermionpropagator SF definiert ist. Differentialgleichung f¨ ur SF . Das weitere Vorgehen ist wieder sehr a¨hnlich zu dem aus Unterabschn. 3.1.1, indem wir zuerst die Differentialgleichung osbare Integralgleichungen f¨ ur SF und f¨ ur SF bestimmen und daraus iterativ l¨ ψ ableiten. Anwendung des Operators in (3.46) auf (3.48) liefert +  e Θ(x0 − x0 ) /  ) − m0 c p/ − A(x ψ (±) (x ) Θ(x0 − x0 ) c = ±i¯ hγ 0 δ(x0 − x0 )ψ (±) (x )   e /  ) − m0 c SF (x , x)γ 0 ψ (±) (x) = ±i d3 x p/ − A(x c  A  e /  ) − m0 c SF (x , x) =⇒ d3 x p/ − A(x c B −¯ hδ(x0 − x0 )δ(x − x) γ 0 ψ (±) (x) = 0  e /  ) − m0 c SF (x , x) = h ¯ δ(x − x) . =⇒ p/ − A(x c Integralgleichung f¨ ur SF und ψ. Indem man die letzte Gleichung umschreibt zu e /  )SF (x , x) , (3.49) (/ p − m0 c) SF (x , x) = ¯hδ(x − x) + A(x c erkennt man leicht, daß ihre L¨ osung gegeben ist durch 12

Auch hier gilt das positive Vorzeichen f¨ ur die obere und das negative Vorzeichen f¨ ur die untere Gleichung.

218

3. Relativistische Streutheorie 

SF (x , x) =

(0) SF (x , x)

e + hc ¯



A(x1 )SF (x1 , x) , d4 x1 SF (x , x1 )/ (0)

(3.50)

(0)

mit dem freien Fermionpropagator SF , der seinerseits die Differentialgleichung (/ p − m0 c) SF (x , x) = ¯hδ(x − x) (0)

zu erf¨ ullen hat. F¨ ur ψ = ψ (+) + ψ (−) folgt aus (3.48) und (3.50) die Integralgleichung  d3 xSF (x , x)γ 0 ψ (±) (x) ψ (±) (x ) = ±i lim t→∓∞  (0) = ±i lim d3 xSF (x , x)γ 0 ψ (±) (x) t→∓∞    e (0)  3 4 0 (±) + A(x1 )SF (x1 , x)γ ψ (x) d x d x1 SF (x , x1 )/ hc ¯  e (±) (0) = ψfrei (x ) + A(x1 )ψ (±) (x1 ) d4 x1 SF (x , x1 )/ hc ¯  e (0) =⇒ ψ(x ) = ψfrei (x ) + A(x1 )ψ(x1 ) . d4 x1 SF (x , x1 )/ hc ¯ Analog zu den Gleichungen (3.12) und (3.14) des nichtrelativistischen Falles gelangen wir also bei der L¨ osung der Dirac-Gleichung auf Integralgleichungen f¨ ur den Fermionpropagator SF und die Wellenfunktion ψ, die sich bei Kennt(0) nis des freien Propagators SF durch Iteration approximativ l¨osen lassen. Der wesentliche Unterschied zum nichtrelativistischen Fall besteht jedoch darin, daß dort die Integranden entweder nur f¨ ur vergangene Zeiten (x0 > x01 > x0 , retardierter Fall) oder nur f¨ ur zuk¨ unftige Zeiten (x0 < x01 < x0 , avancierter Fall) beitragen, w¨ ahrend hier Beitr¨ age aus der Vergangenheit und der Zukunft eine Rolle spielen. Satz 3.4: L¨ osung der allgemeinen Dirac-Gleichung im Propagatorformalismus unter Ber¨ ucksichtigung der Feynman-St¨ uckelberg-Interpretation Die L¨ osung der allgemeinen Dirac-Gleichung  e p/ − A(x /  ) − m0 c ψ(x ) = 0 , ψ(x ) = ψ (+) (x ) + ψ (−) (x ) c unterliege zum Zeitpunkt t der Randbedingung ψ(x). Dann ist der Feynmansche Fermionpropagator SF dadurch definiert, daß er gem¨aß +   Θ(x0 − x0 ) (±)  (x ) = ±i d3 xSF (x , x)γ 0 ψ (±) (x) (3.51) ψ Θ(x0 − x0 )



3.2 Streuung von Spin-1/2-Teilchen

219

die zeitliche Entwicklung der positiven Anteile ψ (+) in Vorw¨artsrichtung und der negativen Anteile ψ (−) in R¨ uckw¨ artsrichtung beschreibt. F¨ ur SF gilt die Differentialgleichung  e /  ) − m0 c SF (x , x) = h p/ − A(x ¯ δ(x − x) c und die Integralgleichung  e (0) (0) SF (x , x) = SF (x , x) + A(x1 )SF (x1 , x) , d4 x1 SF (x , x1 )/ hc ¯ (0)

wobei SF den freien Fermionpropagator bezeichnet und durch die FourierZerlegung  ⎫ d4 p −ipµ (x
µ −xµ )/¯h ˜(0) (0) (0) ⎪ ⎪ S e (p) SF (x , x) = SF (x − x) = ⎬ F (2π¯ h)4 (3.52) ⎪ h(/ ¯ p + m0 c) (0) ⎪ ⎭ S˜F (p) = pµ pµ − m20 c2 + i (siehe n¨ achster Unterabschnitt) gegeben ist. F¨ ur ψ selbst folgt die Integralgleichung  e (0)   ψ(x ) = ψfrei (x ) + A(x1 )ψ(x1 ) . d4 x1 SF (x , x1 )/ hc ¯ In Aufgabe 36 wird (zumindest f¨ ur den freien Fall) gezeigt, daß neben (3.51) auch die Kausalzusammenh¨ ange  +  Θ(x0 − x0 ) ¯(±)  (x ) = ±i d3 xψ¯(±) (x)γ 0 SF (x, x ) (3.53) ψ Θ(x0 − x0 ) gelten, welche die zeitliche R¨ uckw¨ arts- bzw. Vorw¨artsausbreitung von ψ¯(+) (−) ¯ bzw. ψ beschreiben.

3.2.2 Fourier-Zerlegung des freien Fermionpropagators Um die G¨ ultigkeit von (3.51) und (3.52) zu zeigen, gehen wir analog zu Aufgabe 31 vor, indem wir die Differentialgleichung (/ p − m0 c) SF (x , x) = ¯hδ(x − x) (0)

(3.54)

¨ f¨ ur den freien Fermionpropagator durch Ubergang von der Zeit-Ort- in die Energie-Impuls-Darstellung betrachten. Unter Verwendung von at von Raum und Zeit) SF (x , x) = SF (x − x) (Homogenit¨  4
µ µ p d (0) (0) SF (x − x) = e−ipµ (x −x )/¯h S˜F (p) (2π¯ h)4  d4 p −ipµ (x
µ −xµ )/¯h e δ(x − x) = (2π¯ h)4 (0)

(0)

220

3. Relativistische Streutheorie

wird aus (3.54)   d4 p −ipµ (x
µ −xµ )/¯h d4 p  −ipµ (x
µ −xµ )¯ h ˜(0) S (/ p − m c) e (p) = h ¯ e . 0 F (2π¯ h)4 (2π¯h)4 Hieraus folgt (0) (0) (/ p − m0 c) S˜F (p) = h ¯ =⇒ (/ p + m0 c) (/ p − m0 c) S˜F (p) = ¯h (/ p + m0 c)
 µ 2 2 ˜(0) =⇒ pµ p − m0 c SF (p) = h ¯ (/ p + m0 c) p/ + m0 c (0) =⇒ S˜F (p) = h ¯ , pµ pµ = m20 c2 pµ pµ − m20 c2

und somit schließlich (0) SF (x




µ µ p/ + m0 c d4 p − x) = h ¯ e−ipµ (x −x )/¯h 2 4 µ 2 (2π¯ h ) p µ p − m0 c  
0 0 d3 p ip(x
−x)/¯h dp0 p/ + m0 c = e e−ip0 (x −x )/¯h . (3.55) 2 3 µ 2 (2π¯ h) 2π pµ p − m0 c

Die Auswertung des Energieintegrals 
0 0 dp0 p/ + m0 c e−ip0 (x −x )/¯h I= 2π pµ pµ − m20 c2

(3.56)

l¨ aßt sich am einfachsten wieder durch Komplexifizierung und Wahl eines geeigneten geschlossenen Integrationsweges unter besonderer Beachtung der $ vorhandenen Singularit¨ aten bei ± p2 + m20 c2 in der komplexen p0 -Ebene durchf¨ uhren. Hierbei bietet sich • f¨ ur x0 > x0 ein Halbkreis in der unteren komplexen Halbebene und • f¨ ur x0 < x0 ein Halbkreis in der oberen komplexen Halbebene an, weil dann die Integration entlang des jeweiligen Kreisbogens im Limes R → ∞ verschwindet und lediglich die Integration entlang der reellen p0 Achse u ¨ brigbleibt. Als n¨ achstes ist zu kl¨ aren, wie genau der Integrationsweg entlang der reelaten herumzuf¨ uhren ist bzw. auf welche Weise len p0 -Achse um die Singularit¨ die Singularit¨ aten durch Addition oder Subtraktion eines Imagin¨arteils i in die beiden komplexen Halbebenen zu verschieben sind. Weil wir es hier aufgrund der quadratischen Energie-Impuls-Abh¨angigkeit mit zwei Singularit¨ aten zu tun haben, existieren dazu mehr M¨oglichkeiten als beim Energieintegral (3.35) des nichtrelativistischen Propagators. Sie alle sind in Abb. 3.6 dargestellt und unterscheiden sich dadurch, daß sie zu verschiedenen Kausalzusammenh¨ angen f¨ uhren. Wie wir gleich zeigen werden, ist der Fall d aus Abb. 3.6 die richtige Wahl und liefert genau das gew¨ unschte Kausalverhalten (3.51). Dieser Fall ist offenbar identisch mit einer Verschiebung des Pols $ $ − p2 + m20 c2 in die obere und + p2 + m20 c2 in die untere komplexe Halbebene, so daß wir (3.56) umschreiben k¨ onnen zu

3.2 Streuung von Spin-1/2-Teilchen a

b

c

d

221

Abb. 3.6. M¨ ogliche Integrationswege um die beiden Singularit¨ aten bei $ ± p2 + m20 c2 entlang der reellen p0 -Achse. Sie alle erzwingen unterschiedliche Kausalzusammenh¨ ange. a entspricht der ersten Gleichung von (3.47)und b der zweiten Gleichung (retardierter bzw. avancierter Propagator). c spiegelt (3.51) wider, allerdings mit umgekehrter Zeitordnung, d.h. hier w¨ urden positive Anteile zeitlich r¨ uckw¨ arts und negative Anteile zeitlich vorw¨ arts propagieren. d liefert schließlich das gew¨ unschte Kausalit¨ atsprinzip wie es in (3.51) definiert ist.

9 I = lim


0

0

(γ 0 p0 − γp + m0 c)e−ip0 (x −x )/¯h dp0

  , $ $ 2π p + p2 + m2 c2 − i p − p2 + m2 c2 + i 0 0 0 0


→0 H(0,R,±)

wobei H(0, R, ±) die Halbkreise mit Radius R in der oberen bzw. unteren komplexen Halbebene bezeichnen. Diese Gleichung l¨aßt sich jetzt leicht mit Hilfe des Residuensatzes auswerten. $ x
0 > x0 : In diesem Fall befindet sich nur der Pol bei + p2 + m20 c2 innerhalb des von H(0, R, −) eingeschlossenen Gebietes. Unter Ber¨ ucksichtigung des negativen Umlaufsinnes von H(0, R, −) erhalten wir daher
0 0  (γ 0 p0 − γp + m0 c)e−ip0 (x −x )/¯h I = −i , p0 = + p2 + m20 c2 . 2p0 urlich nicht mehr die Integrationsvariable, sondern wie u Jetzt ist p0 nat¨ ¨ blich die positive freie Energie. Einsetzen dieses Ausdruckes in (3.55) liefert  d3 p ip(x
−x)/¯h −ip0 (x
0 −x0 )/¯h γ 0 p0 − γp + m0 c (0) e e SF (x − x) = −i (2π¯ h)3 2p0  3 d p ip(x
−x)/¯h −ip0 (x
0 −x0 )/¯h p/ + m0 c = −i e e (2π¯ h)3 2p0  3 d p −ipµ (x
µ −xµ )/¯h m0 c = −i e Λ+ (p) , (2π¯ h)3 p0 mit den Energieprojektoren Λ± (p) = (±/ p + m0 c)/2m0 c aus Satz 2.4. 0 x
0 $ < x : Hier haben wir den von H(0, R, +) eingeschlossenen Pol bei 2 − p + m20 c2 zu ber¨ ucksichtigen, so daß

222

3. Relativistische Streutheorie

(−γ 0 p0 − γp + m0 c)eip0 (x I = −i 2p0


0

−x0 )/¯ h

 , p0 = + p2 + m20 c2 .

Damit geht (3.55) u ¨ ber in  d3 p ip(x
−x)/¯h ip0 (x
0 −x0 )/¯h −γ 0 p0 − γp + m0 c (0)  SF (x − x) = −i e e (2π¯ h)3 2p0  3 0 d p −ip(x
−x)/¯h ip0 (x
0 −x0 )/¯h −γ p0 + γp + m0 c = −i e e (2π¯ h)3 2p0  3 p + m0 c d p −ip(x
−x)/¯h ip0 (x
0 −x0 )/¯h −/ = −i e e (2π¯ h)3 2p0  3 d p ipµ (x
µ −xµ )/¯h m0 c = −i e Λ− (p) , (2π¯ h)3 p0 wobei in der zweiten Zeile die Ersetzung p → −p vorgenommen wurde. Beide F¨ alle lassen sich schließlich zusammenfassen zu13  d3 p −ipµ (x
µ −xµ )/¯h m0 c (0) SF (x − x) = −iΘ(x0 − x0 ) e Λ+ (p) (2π¯ h)3 p0  d3 p ipµ (x
µ −xµ )/¯h m0 c e Λ− (p) . (3.57) −iΘ(x0 − x0 ) (2π¯ h)3 p0 Wie in Aufgabe 35 gezeigt wird, kann man diesen Ausdruck analog zum nichtrelativistischen Fall weiter umschreiben zu  2  (0) SF (x − x) = −iΘ(x0 − x0 ) d3 p ψp(r) (x )ψ¯p(r) (x) +iΘ(x0 − x0 )

r=1

 d3 p

4 

ψp(r) (x )ψ¯p(r) (x) ,

(3.58)

r=3

womit sich insbesondere auch die G¨ ultigkeit des zweiten Kausalzusammenhangs (3.53) f¨ ur den freien Fall leicht nachweisen l¨aßt (Aufgabe 36). ¨ Insgesamt f¨ uhren unsere Uberlegungen also zum Ergebnis, daß der korrekte freie Fermionpropagator im Impulsraum durch h(γ µ pµ + m0 c) ¯ (0)   S˜F (p) = $ $ p0 + p2 + m20 c2 − i p0 − p2 + m20 c2 + i h(γ µ pµ + m0 c) ¯ $ pµ pµ − m20 c2 + 2i p2 + m20 c2 + 2 h(γ µ pµ + m0 c) ¯ ≈ pµ pµ − m20 c2 + i  =

13

(0)

Hieran erkennt man leicht, daß SF im nichtrelativistischen Grenzfall p0 ≈ m0 c + E/c, E ≈ p2 /2m0 in den freien retardierten Propagator G(0,+) aus (3.16) u ¨ bergeht.

3.2 Streuung von Spin-1/2-Teilchen

223

¨ gegeben ist, in Ubereinstimmung mit (3.52). Abschließend sei darauf hingewiesen, daß die Wahl des Propagators entscheidend vom Vakuum abh¨ angt bzw. davon, welche Zust¨ande als Elektronen und Positronen interpretiert werden. In den hier vorgef¨ uhrten Rechnungen sind wir stillschweigend davon ausgegangen, daß die Zust¨ande des negativen Energiekontinuums besetzt und L¨ ocher darin als Positronen aufzufassen sind. Es sind jedoch durchaus auch Situationen vorstellbar (z.B. bei Anwesenheit starker Felder), in denen gewisse Zust¨ ande des negativen Energiekontinuums als Elektronen mit zeitlich vorw¨ artiger Ausbreitungsrichtung interpre(0) tiert werden m¨ ussen. In solchen F¨ allen ist der Integrationsweg f¨ ur SF in der komplexen p0 -Ebene entsprechend anzupassen. 3.2.3 Streuformalismus Mit Satz 3.4 haben wir einen relativistischen Propagatorformalismus f¨ ur die Bewegung von Elektronen und Positronen vorliegen, den wir jetzt analog zu Unterabschn. 3.1.3 zum Aufbau der zugeh¨origen Streutheorie heranziehen werden. Viele der dortigen Voraussetzungen k¨onnen dabei unver¨andert u ¨bernommen werden. Dies bedeutet konkret, • daß wir von Teilchenstreuungen an ein fest installiertes Target mit einem ortlich begrenzten Wechselwirkungspotential ausgehen, ¨ lim V (x) = 0 ,

|x|→∞

• daß aus Einfachheitsgr¨ unden die einlaufenden, anf¨anglich frei zu betrachtenden Teilchen nicht durch lokalisierte Wellenpakete, sondern durch ebene Wellen beschrieben werden, • was aufgrund der Adiabatenn¨ aherung gerechtfertigt ist, wonach die asymptotische Freiheit lokalisierter Wellenpakete im Limes |x| → ∞ ersetzt werden kann durch die asymptotische Freiheit von einlaufender ebener Welle und resultierender Streuwelle im Limes t → ±∞: lim V (x) = 0 .

t→±∞

Streuamplitude, Streumatrix. Wie im nichtrelativistischen Fall wird auch hier die Streuamplitude Sf i definiert durch die Projektion des sich aus der freien ebenen Welle Ψi entwickelnden Zustandes ψi auf die freie ebene Welle Ψf lange nach der Streuung:  Sf i =
lim (3.59) d3 x Ψf† (x )ψi (x ) . t →±∞

Der Hauptunterschied zum nichtrelativistischen Fall besteht jedoch darin, daß wir hier einen von zwei Grenzwerten, t → +∞ oder t → −∞, zu betrachten haben, und zwar in Abh¨ angigkeit von den bei der Streuung beteiligten Teilchensorten. Interessieren wir f¨ ur uns f¨ ur elektronische Streuzust¨ande,

224

3. Relativistische Streutheorie

dann ist Ψf eine Elektronwelle mit positiver Energie, die sich zeitlich vorw¨arts entwickelt, so daß der Grenzwert t → +∞ zu w¨ahlen ist. Wollen wir dagegen die Streuung in Positronzust¨ ande studieren, dann bietet sich f¨ ur Ψf aufgrund der Feynman-St¨ uckelberg-Interpretation eine Elektronwelle mit negativer Energie an, die zeitlich r¨ uckw¨ arts propagiert. In diesem Fall ist also ¨ gelten f¨ ur der Grenzwert t → −∞ relevant. Entsprechende Uberlegungen die einlaufenden Teilchen: Handelt es sich hierbei um Elektronen, dann gilt lim ψi (x) = Ψi (x), wobei Ψi eine Elektronwelle mit positiver Energie ist. t→−∞

Im Falle von Positronen haben wir dagegen lim ψi (x) = Ψi (x), mit Ψi als t→+∞

Elektronwelle negativer Energie. Unter Zuhilfenahme von Satz 3.4 k¨ onnen wir jetzt weitere Ausdr¨ ucke der Streuamplitude (3.59) f¨ ur die vier Streukonstellationen Elektron oder Positron −→ Elektron oder Positron in folgender Weise zusammenfassend berechnen, wobei der obere Grenzwert f¨ ur Elektronen (rf = 1, 2; f = +1) und der untere Grenzwert f¨ ur Positronen (rf = 3, 4; f = −1) im Endzustand zu nehmen ist: Wegen  e (0) ψi (x ) = Ψi (x ) + d4 x1 SF (x − x1 )/ A(x1 )ψi (x1 ) hc ¯ und14

 (0) ¯ Ψf (x1 ) =
lim i f d3 x Ψ¯f (x )γ 0 SF (x − x1 ) t →±∞  (r )† (r ) d3 xΨf f (x)Ψi i (x) = δ(pf − pi )δrf ri

geht (3.59) u ¨ber in  Sf i =
lim d3 x Ψf† (x )ψi (x ) t →±∞    e 3  4  0 (0)  ¯ + A(x1 )ψi (x1 ) d x1 Ψf (x )γ SF (x − x1 )/ d x hc ¯  ie f = δ(pf − pi )δrf ri − A(x1 )ψi (x1 ) . d4 x1 Ψ¯f (x1 )/ hc ¯ Durch Iteration von ψi in der Weise ψi (x1 ) = Ψi (x1 )  e (0) + A(x2 )Ψi (x2 ) d4 x2 SF (x1 − x2 )/ hc ¯  

e 2 (0) + A(x2 ) d4 x2 d4 x3 SF (x1 − x2 )/ hc ¯ (0)

×SF (x2 − x3 )/ A(x3 )Ψi (x3 ) +... 14

Siehe Fußnote 9 auf Seite 200.

3.2 Streuung von Spin-1/2-Teilchen

225

erhalten wir schließlich den zu Satz 3.2 korrespondierenden Satz 3.5: Streumatrix in der Dirac-Theorie Die Streuamplitude Sf i ist definiert durch die Projektion des sich aus Ψi w¨ ahrend einer Streuung an ein Target entwickelnden Zustandes ψi auf Ψf lange nach der Streuung:  (3.60) d3 x Ψf† (x )ψi (x ) , lim ψi (x) = Ψi (x) . Sf i =
lim t →±∞

t→∓∞

Im Falle elektronischer [positronischer] Streuzust¨ande ist Ψf eine ebene Elektronwelle mit positiver [negativer] Energie, die sich zeitlich vorw¨arts [r¨ uckw¨ arts] entwickelt, so daß in der linken Gleichung der Grenzwert t → +∞ [t → −∞] zu betrachten ist. Handelt es sich bei den einlaufenden Teilchen um Elektronen [Positronen], dann ist Ψi eine ebene Elektronwelle mit positiver [negativer] Energie, und es gilt in der rechten Gleichung der Grenzwert t → −∞ [t → +∞ ]. Mit Hilfe des Feynmanschen Propagatorformalismus l¨aßt sich Sf i in eine Reihe von Vielfachstreuungen entwickeln:  ie f d4 x1 Ψ¯f (x1 )/ A(x1 )ψi (x1 ) Sf i = δ(pf − pi )δrf ri − hc ¯ = δ(pf − pi )δrf ri  e −i f A(x1 )Ψi (x1 ) d4 x1 Ψ¯f (x1 )/ hc ¯  

e 2 (0) −i f A(x2 )SF (x2 − x1 )/ A(x1 )Ψi (x1 ) d4 x1 d4 x2 Ψ¯f (x2 )/ hc ¯  

e 3  (0) −i f A(x3 )SF (x3 − x2 ) d4 x1 d4 x2 d4 x3 Ψ¯f (x3 )/ hc ¯ (0)

×/ A(x2 )SF (x2 − x1 )/ A(x1 )Ψi (x1 ) −... .

(3.61) (0)

Hierbei bezeichnet Aµ das Viererpotential des Targets, SF den freien Fermionpropagator und f das Energievorzeichen von Ψf . Grundlage dieses Satzes sind die Adiabatenn¨aherung und die FeynmanSt¨ uckelberg-Interpretation. Analog zu den Bemerkungen nach Satz 3.2 halten wir hier folgendes fest: • Aus der Hermitezit¨ at des Diracschen Hamilton-Operators und der damit verbundenen Erhaltung der Gesamtwahrscheinlichkeit folgt wieder die Unitarit¨ at der Streumatrix S. Der direkte Beweis ist allerdings etwas aufwendiger als im: nichtrelativistischen Fall, weil hier die Summe der Unitarit¨ats∗ ande zu nehmen ist, in die ein Skf Ski = δf i u bedingung ¨ ber alle Zust¨ k

226

3. Relativistische Streutheorie

gegebener Anfangszustand streuen kann. Man f¨ uhrt den Beweis deshalb am besten im Rahmen der Quantenelektrodynamik durch. ¨ • Ahnlich wie im nichtrelativistischen Fall k¨onnen wir auch hier die Entwicklung von ψf ausgehend von Ψf (anstelle von ψi ausgehend von Ψi ) in zeitlich umgekehrter Richtung betrachten und die Streumatrix durch  d3 xψf† (x)Ψi (x) ,
lim ψf (x ) = Ψf (x ) Sf i = lim t →±∞

t→∓∞

definieren, welche bis auf eine Phase mit (3.60) identisch ist. Wegen  ψi (x ) = lim i i d3 xSF (x , x)γ 0 Ψi (x) t→∓∞  ψ¯f (x) =
lim i f d3 x ψ¯f (x )γ 0 SF (x , x) t →±∞

folgt n¨ amlich



Sf i = lim

t→∓∞

=

=

lim

t → ∓∞ t
→ ±∞

 d3 xψf† (x)Ψi (x) = lim d3 xψ¯f (x)γ 0 Ψi (x) t→∓∞   3 i f d x d3 x ψ¯f (x )γ 0 SF (x , x)γ 0 Ψi (x)

lim i f

t
→±∞



d3 x Ψf† (x )ψi (x ) .

• Wie man sieht, ist die Streureihe (3.61) im wesentlichen eine Entwicklung hc ≈ 1/137 (in praxisrelevanten in der Feinstrukturkonstanten αe = e2 /¯ F¨ allen enth¨ alt A / selbst die elektrische Ladung e). Es ist gerade diese Kleinheit von αe , die eine rasche Konvergenz von (3.61) gew¨ahrleistet, so daß i.d.R. nur die ersten Terme mitgenommen werden m¨ ussen. Betrachten wir jetzt die physikalischen Implikationen von Satz 3.5 etwas genauer. Zun¨ achst einmal lassen sich die einzelnen Entwicklungsterme von (3.61) unter Ber¨ ucksichtigung von  (0) Ψi (x1 ) = lim i i d3 xSF (x1 − x)γ 0 Ψi (x) t→∓∞  (0) Ψ¯f (xn ) =
lim i f d3 x ψ¯f (xn )γ 0 SF (x − xn ) t →±∞

analog zum nichtrelativistischen Fall dergestalt interpretieren, daß sich ein Teilchen zwischen den Raumzeitpunkten x und x entlang verschiedener Zwischenpunkte oder Vertizes xi mit der Wahrscheinlichkeitsamplitude (0) SF (xi+1 − xi ) frei entwickelt, wobei es an jedem Vertex Streuungen durch das Wechselwirkungspotential Aµ erleidet. Die Gesamtamplitude ergibt sich wieder durch Integration u oglichen Vertizes. Im Gegensatz zum ¨ ber alle m¨ nichtrelativistischen Fall m¨ ussen diese Streuungen jedoch nicht chronologisch

3.2 Streuung von Spin-1/2-Teilchen

227

verlaufen, was auf die Konstruktion des Fermionpropagators bzw. des damit verbundenen Kausalit¨ atsprinzips (3.51) zur¨ uckzuf¨ uhren ist. Elektronstreuung. Interessiert man sich f¨ ur den Prozeß der Elektronstreuung, 1

i = +1 , Ψi im Limes t → −∞ (3.62)

f = +1 , Ψf im Limes t → +∞ , so lassen sich die hierf¨ ur relevanten Terme von Sf i in nullter, erster und zweiter Ordnung wieder durch die in Abb. 3.3 gezeigten Feynman-Graphen a, b und c (mit der Ersetzung Ψ ∗ → Ψ¯ ) darstellen. Zus¨atzlich tr¨agt in zweiter Ordnung aber auch noch der achronologische“ Zickzack-Graph der Abb. 3.7 bei, ” den wir auf Teilchenebene gem¨ aß der Feynman-St¨ uckelberg-Interpretation folgendermaßen deuten k¨ onnen: Bei x2 wird ein Elektron-Positron-Paar ert

Ψ¯f x1

x2 Ψi

x

Abb. 3.7. Neben Abb. 3.3c tr¨ agt auch dieser gezackte Feynman-Graph zur zweiten Ordnung der Streuamplitude f¨ ur die Elektronstreuung bei.

zeugt, von denen das Elektron aus dem Wechselwirkungsbereich heraus und das Positron nach x1 l¨ auft. Letzteres wird zusammen mit dem einlaufenden Elektron bei x1 vernichtet.15 S¨ amtliche Teilchenbewegungen finden dabei, wie es physikalisch auch sein muß, in zeitlicher Vorw¨artsrichtung statt. Im Sinne des l¨ ochertheoretischen Bildes l¨ aßt sich Abb. 3.7 auch so deuten, daß bei x2 ein Elektron negativer Energie in ein Elektron positiver Energie gestreut wird und dabei ein Loch im Dirac-See hinterl¨aßt. W¨ahrend das so erzeugte Elektron positiver Energie herausl¨ auft, wandert das Loch nach x1 , wo es durch Streuung des einlaufenden Elektrons positiver Energie wieder gef¨ ullt, d.h. vernichtet wird.

15

Weil dieses Positron offensichtlich nur sehr kurz existiert, wird es auch virtuell genannt. Ganz allgemein unterscheidet man reelle Teilchen, deren Feynman-Pfade nach einer Seite hin offen sind (offene bzw. ¨ außere Linien), und virtuelle Teilchen, deren Feynman-Pfade Anfangs- und Endpunkt besitzen (geschlossene bzw. innere Linien).

228

3. Relativistische Streutheorie

Positronstreuung. Wie man sich sofort klar macht, f¨ uhren die zur Positronstreuung, also die zu 1

i = −1 , Ψi im Limes t → +∞ (3.63)

f = −1 , Ψf im Limes t → −∞ beitragenden Terme von Sf i , auf die um 180◦ gedrehten Feynman-Graphen der Elektronstreuung. Auch diese lassen sich mit Hilfe der Feynman-St¨ uckelberg-Interpretation und im Sinne der L¨ ochertheorie konsistent deuten. Paarerzeugung. Neben (3.62) und (3.63) k¨onnen wir nat¨ urlich auch die Kombination

i = −1 , Ψi im Limes t → +∞

f = +1 , Ψf im Limes t → +∞ betrachten, die offenbar einem aus dem Wechselwirkungsbereich herauslaufenden Positron und einem ebenfalls herauslaufenden Elektron entspricht, also dem Prozeß der reellen Elektron-Positron-Erzeugung. Hier hat man f¨ ur Sf i in erster und zweiter Ordnung die Feynman-Graphen der Abb. 3.8a-c, wobei die zweite Ordnung in b und c dem m¨oglichen zeitlichen Verlauf der beiden Streuungen entsprechend aufgespalten ist: In b erleidet das Positron und in c das Elektron nach seiner Erzeugung eine zus¨atzliche Streuung. t

Ψi

t

Ψ¯f

a

Ψi

t

Ψ¯f

b x

Ψi

Ψ¯f

c x

x

Abb. 3.8. Feynman-Graphen der Streuamplitude f¨ ur die Elektron-PositronErzeugung in erster und zweiter Ordnung. Der Beitrag zweiter Ordnung ist in b und c durch die Zeitordnung der beiden Streuungen aufgespalten.

Paarvernichtung. Dreht man schließlich die Diagramme der Abb. 3.8 um 180◦ , so erh¨ alt man die Graphen von Sf i in erster und zweiter Ordnung f¨ ur die verbleibende Kombination

i = +1 , Ψi im Limes t → −∞

f = −1 , Ψf im Limes t → −∞ , also f¨ ur eine Konstellation, bei der sowohl Elektron als auch Positron in den Wechselwirkungsbereich hineinlaufen und sich dort gegenseitig vernichten.

3.2 Streuung von Spin-1/2-Teilchen

229

Anhand dieser einfachen Beispiele zeigt sich sehr deutlich die physikalische Bedeutung und Notwendigkeit des modifizierten Kausalit¨atsprinzips (3.51), das wir als Randbedingung in den Fermionpropagator gesteckt hatten. Nur dadurch ist es im Zusammenwirken mit der Feynman-St¨ uckelbergucke als ElektronInterpretation m¨ oglich, die in Sf i vorkommenden Ausdr¨ und Positronstreuung, Paarerzeugung und Paarvernichtung zu deuten, also als diejenigen Ph¨ anomene, die in der Natur auch tats¨achlich beobachtet werden. Zusammenfassend k¨ onnen wir festhalten, daß die S¨atze 3.4 und 3.5 in Verbindung mit Satz 3.3 eine sinnvolle Beschreibung relativistischer Streuprozesse von Dirac-Teilchen darstellen, die wir im folgenden Abschnitt auf viele konkrete Probleme anwenden und f¨ ur kompliziertere Streusituationen erweitern werden. Da wir hierbei oft auf komplexe aber strukturell ¨ahnliche Bispinorγ-Matrixkombinationen stoßen werden, erweist es sich als zweckm¨aßig, zuvor einige allgemeine Eigenschaften derartiger Kombinationen zu untersuchen. 3.2.4 Spurbildungen mit γ-Matrizen uhrt oftmals auf Die Berechnung von |Sf i |2 bei konkreten Streuproblemen f¨ doppelte Spinsummen der Form  [¯ u(pf , sf )Γ1 u(pi , si )][¯ u(pi , si )Γ2 u(pf , sf )] , sf ,si

mit u(p, s) oder auch v(p, s) aus Satz 2.4 und Γ1,2 als Operatoren, die gewisse γ-Matrixkombinationen enthalten. Derartige Ausdr¨ ucke lassen sich i.d.R. auf Spurbildungen zur¨ uckf¨ uhren und anschließend durch Verwendung einiger allgemeiner γ-Matrix-Spurtheoreme weiter auswerten, so daß die explizite Gestalt der beteiligten Bispinoren nicht weiter ber¨ ucksichtigt zu werden braucht. ¨ Der Ubersicht halber fassen wir einige hierf¨ ur relevante Zusammenh¨ange in folgendem Satz zusammen und beweisen sie direkt im Anschluß: Satz 3.6: Spurbildungen mit γ-Matrizen Es gelten die Beziehungen : [¯ u(f )Γ1 u(i)][¯ u(i)Γ2 u(f )] sf ,si : [¯ v (f )Γ1 v(i)][¯ v (i)Γ2 v(f )] sf ,si : [¯ u(f )Γ1 v(i)][¯ v (i)Γ2 u(f )] sf ,si : [¯ v (f )Γ1 u(i)][¯ u(i)Γ2 v(f )] sf ,si

= tr [Λ+ (pf )Γ1 Λ+ (pi )Γ2 ] = tr [Λ− (pf )Γ1 Λ− (pi )Γ2 ]

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬

= −tr [Λ+ (pf )Γ1 Λ− (pi )Γ2 ] ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = −tr [Λ− (pf )Γ1 Λ+ (pi )Γ2 ] , ⎪ ⎭

(3.64)

mit der abk¨ urzenden Schreibweise u(i) = u(pi , si ) usw. Je nach konkretem Aussehen der Operatoren Γ1,2 lassen sich diese Spuren durch folgende Identit¨ aten weiter berechnen:



230

3. Relativistische Streutheorie

tr(/a/b) = 4a · b tr(/a1 · · · /an ) = 0 falls n ungerade tr(/a1 /a2 · · · /a2n ) = tr(/a2n · · · /a1 ) tr(/a1 · · · /an ) = a1 · a2 tr(/a3 · · · /an ) −a1 · a3 tr(/a2 /a4 · · · /an ) tr(γ 5 ) = tr(γ 5 /a1 · · · /an ) = tr(γ 5 /a/b) = tr(γ 5 /a/b/c/d) = γµ γ µ = 4 γµ /aγ µ = −2/a γµ /a/bγ µ = 4a · b

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬

+ . . . + (−1)n a1 · an tr(/a2 · · · /an−1 ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 falls n ungerade ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ αβγδ −4i aα bβ cγ dδ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬

γµ /a/b/cγ = −2/c/b/a µ

γµ /a/b/c/dγ µ = 2/d/a/b/c + 2/c/b/a/d .

(3.65)

(3.66)

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

Man beachte die indexsparende Schreibweise a · b f¨ ur aµ bµ , die wir auch im weiteren Verlauf oft verwenden werden. Zu (3.64). Aufgrund der Projektionsbeziehungen (siehe Satz 2.4) ω ¯ (1,2) (p)Λ+ (p) = ω ¯ (1,2) (p) , ω ¯ (3,4) (p)Λ+ (p) = 0 (3,4) (3,4) (p)Λ− (p) = ω ¯ (p) , ω ¯ (1,2) (p)Λ− (p) = 0 ω ¯ und der zweiten Relation von (2.16) gilt 

uα (i)¯ uβ (i) =

si

2 

(r)

ωα(r) (pi )¯ ωβ (pi )

r=1

=

4 

(r)

r ωα(r) (pi )¯ ωδ (pi ) [Λ+ (pi )]δβ


,r=1

= [Λ+ (pi )]αβ  si

vα (i)¯ vβ (i) =

4 

(3.67) (r)

ωα(r) (pi )¯ ωβ (pi )

r=3

=−

4 
,r=1

(r)

r ωα(r) (pi )¯ ωδ (pi ) [Λ− (pi )]δβ

3.2 Streuung von Spin-1/2-Teilchen

= − [Λ+ (pi )]αβ .

231

(3.68)

Damit folgt f¨ ur die erste Gleichung von (3.64)   [¯ u(f )Γ1 u(i)][¯ u(i)Γ2 u(f )] = u ¯α (f )[Γ1 ]αβ uβ (i)¯ uδ (i)[Γ2 ]δ
u
(f ) sf ,si

α, β, δ,
si , sf

=



u ¯α (f )[Γ1 ]αβ [Λ+ (pi )]βδ [Γ2 ]δ
u
(f )

α, β, δ,
sf

=



u
(f )¯ uα (f )[Γ1 ]αβ [Λ+ (pi )]βδ [Γ2 ]δ


α, β, δ,
sf

=



[Λ+ (pf )]
α [Γ1 ]αβ [Λ+ (pi )]βδ [Γ2 ]δ
.

α,β,δ,


Durch Zusammenfassen der Matrixmultiplikation zu einer Matrix folgt schließlich die Behauptung. Der Beweis f¨ ur die restlichen Gleichungen von (3.64) erfolgt in analoger Weise. Zum Beweis von (3.65) ben¨ otigen wir vor allem die Antikommutatorrelationen {γ µ , γ ν } = 2g µν und {γ 5 , γ µ } = 0 sowie die zyklische Vertauschbarkeit der Spur, tr(AB) = tr(BA), die wir im folgenden mit den Symbolen A bzw. Zu ¨ ber den entsprechenden Gleichheitszeichen andeuten. Zur 1. Gleichung von (3.65). Z

tr(/a/b) = tr(/b/a) =

1 1 tr(/a/b + /b/a) = aµ bν tr(γ µ γ ν + γ ν γ µ ) 2 2

A

= aµ bν tr(g µν ) = aµ bν g µν tr(1) = 4a · b . Zur 2. Gleichung von (3.65). Z

tr(/a1 · · · /an ) = tr(/a1 · · · /an γ 5 γ 5 ) = tr(γ 5 /a1 · · · /an γ 5 ) A

= (−1)n tr(/a1 · · · /an γ 5 γ 5 ) = (−1)n tr(/a1 · · · /an ) . Zur 3. Gleichung von (3.65). Hier machen wir Gebrauch von der Ladungskonjugationstransformation C aus Unterabschn. 2.1.6 mit der Eigenschaft C −1 γ µ C = −γ ∗µ = −γ 0 γ µ,T γ 0 [siehe (2.40)] und rechnen tr(/a1 · · · /a2n ) = tr(CC −1 /a1 CC −1 /a2 · · · CC −1 /a2n ) = tr(C −1 /a1 CC −1 /a2 · · · CC −1 /a2n C)
 = (−1)2n tr γ 0 /aT1 γ 0 γ 0 /aT2 γ 0 · · · γ 0 /aT2n γ 0 
Z = tr /aT1 · · · /aT2n = tr(/a2n · · · /a1 )T = tr(/a2n · · · /a1 ) . Z

232

3. Relativistische Streutheorie

Zur 4. Gleichung von (3.65). A

tr(/a1 /a2 · · · /an ) = tr [(−/a2 /a1 + 2a1 · a2 )/a3 · · · /an ] = 2a1 · a2 tr(/a3 · · · /an ) − tr(/a2 /a1 /a3 · · · /an ) . Weitere Fortf¨ uhrung dieser Prozedur f¨ uhrt zu tr(/a1 · · · /an ) = 2a1 · a2 tr(/a3 · · · /an ) − 2a1 · a3 tr(/a2 /a4 · · · /an ) + . . . +(−1)n tr(/a2 · · · /an /a1 ) . Z

Unter Ber¨ ucksichtigung von tr(/a2 · · · /an /a1 ) = tr(/a1 · · · /an ) folgt die behauptete Gleichung. Sie ist außerordentlich n¨ utzlich, wenn es eine komplizierte Spur von γ-Matrizen auszurechnen gilt, wobei die Zahl der entstehenden Einzelterme schon f¨ ur moderate n recht betr¨ achtlich sein kann. Im Falle n = 4 folgt z.B. unter Ausnutzung der 1. Gleichung von (3.65) tr(/a/b/c/d) = 4 [(a1 · a2 )(a3 · a4 ) + (a1 · a4 )(a2 · a3 ) − (a1 · a3 )(a2 · a4 )] . Zur 5. Gleichung von (3.65).

A  Z 

tr γ 5 = tr γ 5 γ 0 γ 0 = −tr γ 0 γ 5 γ 0 = −tr γ 5 γ 0 γ 0 = 0 . Zur 6. Gleichung von (3.65). Z

A

tr(γ 5 /a1 · · · /an ) = tr(/a1 · · · /an γ 5 ) = (−1)n tr(γ 5 /a1 · · · /an ) . Zur 7.
Gleichung von (3.65). Der Beweis ist erbracht, wenn wir zeigen,  daß tr γ 5 γ µ γ ν =0. Dabei brauchen wir aufgrund der 5. Gleichung von (3.65) nur den Fall µ = ν zu betrachten. F¨ ur λ = µ, ν folgt dann 
5 µ ν

−1  −1 λ Z tr γ γ γ = tr γ 5 γ µ γ ν γ λ γ = tr γ λ γ 5 γ µ γ ν γ λ

−1   A = (−1)3 tr γ 5 γ µ γ ν = 0 . = (−1)3 tr γ 5 γ µ γ ν γ λ γ λ Zur von (3.65). Zum Beweis betrachten wir den Ausdruck
8. Gleichung  tr γ 5 γ α γ β γ γ γ δ . Diese Spur verschwindet, wenn zwei der Indizes gleiche Werte annehmen. Seien n¨ amlich beispielsweise der erste und dritte Index gleich, dann gilt  A
 !
tr γ 5 γ α γ β γ α γ δ = tr γ 5 γ α 2g αβ − γ α γ β γ δ   6.Gl.

= 2g αβ tr γ 5 γ α γ δ − g αα tr γ 5 γ β γ δ = 0 . Somit bleiben nur die Spur

 tr γ 5 γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 = tr −iγ 5 γ 5 = −4i = −4i 0123 und solche mit permutierten Indizes u ¨ brig, wobei sich aufgrund obiger Antikommutatorrelationen bei einer geraden Permutation am Ergebnis nichts andert und bei einer ungeraden Permutation ein zus¨atzliches negatives Vor¨ ¨ zeichen entsteht, in Ubereinstimmung mit αβγδ .

3.2 Streuung von Spin-1/2-Teilchen

233

Zur 1. Gleichung von (3.66). A

γµ γ µ = gµν γ ν γ µ = gµν (2g µν − γ µ γ ν ) = 2gµν g µν − γµ γ µ = 8 − γµ γ µ . Zur 2. Gleichung von (3.66). 1.Gl.

A

γµ /aγ µ = γµ aν γ ν γ µ = γµ aν (2g µν − γ µ γ ν ) = 2/a − 4/a = −2/a . Zur 3. Gleichung von (3.66). A

2.Gl.

γµ /a/bγ µ = γµ /abν γ ν γ µ = γµ /abν (2g µν − γ µ γ ν ) = 2/b/a + 2/a/b A

= 4a · b − 2/a/b + 2/a/b = 4a · b . Zur 4. Gleichung von (3.66). A

3.Gl.

γµ /a/b/cγ µ = γµ /a/bcν γ ν γ µ = γµ /a/bcν (2g µν − γ µ γ ν ) = 2/c/a/b − 4a · b/c A

= 4/ca · b − 2/c/b/a − 4a · b/c = −2/c/b/a . Zur 5. Gleichung von (3.66). A

4.Gl.

γµ /a/b/c/dγ µ = γµ /a/b/cdν γ ν γ µ = γµ /a/b/cdν )(2g µν − γ µ γ ν ) = 2/d/a/b/c + 2/c/b/a/d.

Zusammenfassung • Analog zum nichtrelativistischen Fall l¨ aßt sich die Dirac-Gleichung in eine Integralgleichung f¨ ur den Propagator bzw. f¨ ur die Wellenfunktion selbst umschreiben, die sich approximativ l¨osen l¨aßt. • Aufgrund der quadratischen Energie-Impuls-Beziehung existieren zur eindeutigen Festlegung des Propagators vier m¨ogliche Randbedingungen (anstatt zwei wie im nichtrelativistischen Fall), mit denen unterschiedliche Kausalzusammenh¨ ange verbunden sind. • Der Feynmansche Fermionpropagator ist dadurch definiert, daß er die zeitlich vorw¨ arts [r¨ uckw¨ arts] gerichtete Ausbreitung der positiven [negativen] Anteile einer zu einem festen Zeitpunkt bekannten Wellenfunktion beschreibt. Hierdurch und unter Ber¨ ucksichtigung der FeynmanSt¨ uckelberg-Interpretation lassen sich die positiven [negativen] Anteile als zeitlich vorw¨ arts gerichtete Teilchenpropagation [Antiteilchenpropagation] deuten. • Relativistische Streuprozesse werden durch Streuamplituden beschrieben, die sich mit Hilfe des Feynman-Propagatorformalismus in eine Reihe von Vielfachstreuungen entwickeln lassen. Die graphischen Repr¨asentationen der einzelnen Entwicklungsterme, die Feynman-Graphen, besitzen im Vergleich zum nichtrelativistischen Fall kompliziertere Struk-



234

3. Relativistische Streutheorie

turen, welche die vielf¨ altigeren Streukonstellationen und insbesondere die M¨ oglichkeit von Teilchenerzeugungs- und Vernichtungsprozessen zum Ausdruck bringen. • In Bezug auf die praktische Berechnung von Streuprozessen (ebene Wellen, Adiabatenn¨ aherung und Wirkungsquerschnitt) gelten uneingeschr¨ ankt die Aussagen des nichtrelativistischen Falles.

Aufgaben (0)

35. Zerlegung von SF von (3.57) nach (3.58).

¨ nach ebenen Wellen. Zeigen Sie den Ubergang

L¨ osung. Unter Ber¨ ucksichtigung der f¨ ur ebene Diracsche Wellenfunktionen (siehe Satz 2.4)  m0 c −ipµ xµ /¯h 1 e u(p, ±s) ψp(1,2) (x) = 3/2 p0 (2π¯ h)  m0 c +ipµ xµ /¯h 1 ψp(3,4) (x) = e v(p, ∓s) 3/2 p0 (2π¯ h) geltenden Beziehungen [siehe (3.67) und (3.68)]   u(p, s)¯ u(p, s) = Λ+ (p) , v(p, s)¯ v (p, s) = −Λ− (p) s

s

haben wir
µ µ m0 c  ψp(r) (x )ψ¯p(r) (x) = e−ipµ (x −x )/¯h u(p, s)¯ u(p, s) p0 s r=1
µ µ m0 c Λ+ (p) = e−ipµ (x −x )/¯h p0 4 
µ µ m0 c  3 (2π¯ h) ψp(r) (x )ψ¯p(r) (x) = eipµ (x −x )/¯h v(p, s)¯ v (p, s) p0 s r=3
µ µ m0 c = −eipµ (x −x )/¯h Λ− (p) . p0

(2π¯ h)3

2 

Vergleich mit (3.57) liefert (3.58). (0)

36. Kausalit¨ atsprinzip von SF . Beweisen Sie mit Hilfe von (3.58) die G¨ ultigkeit beider Kausalzusammenh¨ ange (3.51) und (3.53) f¨ ur den freien Fall.

Aufgaben

235

L¨ osung. Sei  ψ(x) = ψ (+) (x) + ψ (−) (x) =

d3 p

4  r
=1

(r
)

a( r )(p )Ψp
(x)

ein beliebiges freies Diracsches Wellenpaket, dann gilt  (0) d3 xSF (x − x)γ 0 ψ(x)    0 0 3 3 = −iΘ(x − x ) d x d p d3 p ×

2  4  r=1 r
=1

(r
)

+iΘ(x0 − x0 ) ×

4  4  r=3 r
=1



 d3 x

 d3 p

d3 p

(r
)




ψp(r) (x )ψp(r)† (x)ψp
(x)a(r ) (p )

= −iΘ(x0 − x0 ) +iΘ(x0 − x0 ) = −iΘ(x0 − x0 ) +iΘ(x0 − x0 ) 0




ψp(r) (x )ψp(r)† (x)ψp
(x)a(r ) (p )

 

 d3 p

d3 p

2  4 




δrr
δ(p − p )ψp(r) (x )a(r ) (p )

r=1 r
=1

d3 p

4  4 

2 

d3 p

ψp(r) (x )a(r) (p)

r=1



4 

d3 p (+)

ψp(r) (x )a(r) (p)

r=3 

(x ) + iΘ(x0 − x0 )ψ (−) (x ) .

In a ¨hnlicher Weise ergibt sich  0 (0) ¯ SF (x − x ) d3 xψ(x)γ    = −iΘ(x0 − x0 ) d3 x d3 p d3 p ×

2 4   r
=1

r=1 0



+iΘ(x − x ) ×

4 4   r
=1 r=3

(r
)†




a(r )∗ (p )ψp
0




 3

d x

d p

(r
)†

a(r )∗ (p )ψp


(x)ψp(r) (x)ψ¯p(r) (x ) 3 




δrr
δ(p − p )ψp(r) (x )a(r ) (p )

r=3 r
=1



= −iΘ(x − x )ψ 0

 d3 p

 d3 p

(x)ψp(r) (x)ψ¯p(r) (x )

236

3. Relativistische Streutheorie

= −iΘ(x0 − x0 ) +iΘ(x0 − x0 ) = −iΘ(x0 − x0 ) +iΘ(x0 − x0 )

 

d3 p d3 p

 d3 p  d3 p

4  2  r
=1 r=1 4 4  


a(r )∗ (p )ψ¯p(r) (x )δrr
δ(p − p )


a(r )∗ (p )ψ¯p(r) (x )δrr
δ(p − p )

r
=1 r=3

 d3 p  d3 p

2  r=1 4 

a(r)∗ (p)ψ¯p(r) (x ) a(r)∗ (p)ψ¯p(r) (x )

r=3

= −iΘ(x − x )ψ¯(+) (x ) + iΘ(x0 − x0 )ψ¯(−) (x ) . 0

0

3.3 Spin-1/2-Streuprozesse Nach den Vorbereitungen der letzten beiden Abschnitte f¨ uhren wir nun konkrete Berechnungen von Spin-1/2-Streuprozessen in den niedrigsten Ordnungen der Streutheorie durch. Zuerst betrachten wir als einfachstes Beispiel die Coulomb-Streuung von Elektronen und diskutieren anschließend den realistischeren Fall der Streuung von Elektronen an frei beweglichen Protonen. Hierbei werden wir eine enge Korrespondenz zwischen Streuprozessen, FeynmanGraphen und Streuamplituden feststellen, die sich in einen einfachen Satz von Regeln, den sog. Feynman-Regeln gießen l¨aßt. Desweiteren behandeln wir Prozesse wie die Elektron-Elektron- und Elektron-Positron-Streuung sowie die Compton-Streuung an Elektronen, die Elektron-Positron-Erzeugung durch zwei Photonen und Elektron-Positron-Vernichtung in zwei Photonen. Die ersten beiden und die letzten drei Prozesse sind jeweils u ¨ber das Prinzip der Kreuzsymmetrie miteinander verkn¨ upft. Den Abschluß bildet eine abermalige und vollst¨ andige Aufstellung der Feynman-Regeln. Bevor wir beginnen, wollen wir auf einige Punkte hinweisen, die f¨ ur die richtige Einordnung des gesamten dritten Kapitels von entscheidender Bedeutung sind: • Die Dirac-Gleichung besch¨ aftigt sich mit der Bewegung von (Anti-)Fermionen in einem externen klassischen Potential. Dasselbe gilt deshalb auch f¨ ur den Propagator-Streuformalismus, Satz 3.5, der ja lediglich auf einer st¨ orungstheoretischen Entwicklung der Dirac-Gleichung beruht. • Insofern ist die Streuung von Elektronen an einem externen klassischen Coulomb-Potential ein konkreter und v¨ ollig legitimer Anwendungsfall dieses Formalismus. • Die Elektron-Proton-Streuung liegt im strengen Sinne zwar schon außerhalb des Beschreibungsbereiches unseres Formalismus, l¨aßt sich aber durch

3.3 Spin-1/2-Streuprozesse

237

eine plausible Erweiterung darin integrieren, indem man n¨amlich das externe Potential als durch den Proton- bzw. Elektronstrom erzeugt ansieht. Auf diese Weise lassen sich dann ganz allgemein Zwei-Teilchenstreuungen als Strom-Strom-Wechselwirkungen innerhalb des Formalismus beschreiben, wobei die Wechselwirkungen selbst, also die in der Streureihe (3.61) stehenden Aµ -Felder, als Austausch von n virtuellen Photonen zwischen beiden Teilchen in n-ter Ordnung interpretiert werden k¨onnen. • Die anderen Prozesse, n¨ amlich Compton-Streuung, Elektron-Positron-Vernichtung und Elektron-Positron-Erzeugung, sprengen dagegen ganz klar den Rahmen unseres Formalismus, u.a. weil wir es hier mit photonischen Anfangs- bzw. Endzust¨ anden zu tun haben. Trotzdem findet man auch hier eine sinnvolle Integrationsm¨ oglichkeit, indem man die Aµ -Felder in dem Term niedrigster (in diesem Fall: zweiter) Ordnung der Streureihe (3.61) als die ein- bzw. auslaufenden Photonen betrachtet. Allerdings stellt sich dann die Frage, wie die zus¨ atzlichen Aµ -Felder der Terme h¨oherer Ordnung zu interpretieren sind. • Wie wir feststellen werden, lassen sich die Streuamplituden aller genannten Prozesse nach gewissen Regeln graphisch darstellen und berechnen. Diese Regeln werden wir mit den Feynman-Regeln identifizieren und darlegen. Die Feynman-Regeln sind jedoch sehr viel allgemeiner, als unser Propagator-Streuformalismus hergibt. So erlauben sie neben Baumgraphen (engl. tree diagrams) auch die Anwesenheit von Schleifengraphen (engl. loop diagrams), die der Erzeugung und anschließenden Vernichtung von virtuellen Teilchen entsprechen. Derartige Effekte (Strahlungskorrekturen) lassen sich im Rahmen unseres Formalismus streng genommen nicht erkl¨aren und sind letztlich rein quantenfeldtheoretischer Natur. • Mit anderen Worten: Die Feynman-Regeln sind die quantenelektrodynamischen Vorschriften zur Konstruktion von Streuamplituden. Sie k¨onnen aus dem Propagator-Streuformalismus mit einigen zus¨atzlichen, nicht unbedingt offensichtlichen Verallgemeinerungen geschlossen werden. Im engeren Sinne liefert der Propagator-Streuformalismus lediglich deren Tree-LevelAnteil. • Bis auf die Darlegung der kompletten Feynman-Regeln besch¨aftigt sich dieser Abschnitt ausschließlich mit Streuprozessen auf Tree-Level. Die eigentlichen quantenelektrodynamischen Korrekturen (Loop-Level) sind Gegenstand von Abschn. 3.4. Weitere Anmerkung. Um unsere Rechnungen m¨oglichst u ¨ berschaubar zu halten, verwenden wir ab jetzt durchweg das nat¨ urliche Einheitensystem, in dem gilt: h=c=1. ¯ Dies hat zur Folge, daß als einzige Einheit die Energie- bzw. Masseneinheit u ¨ brigbleibt, welche typischerweise in Elektronvolt (eV) gemessen wird.

238

3. Relativistische Streutheorie

Dar¨ uber hinaus sind nun L¨ ange und Zeit proportional zueinander und besitzen die Einheit 1/eV. F¨ ur die Umrechnung vom MKS- zum nat¨ urlichen System gilt 1.519 · 1015 5.068 · 106 , 1m = . (3.69) eV eV Desweiteren beachte man, daß wir im folgenden zwei verschiedene Ordnungsbegriffe verwenden werden. Zum einen bezieht sich Ordnung“ auf die Num” mer des Terms innerhalb der Reihe von Vielfachstreuungen aus Satz 3.5, angefangen von Null, und zum anderen auf die Ordnung in der Kopplungskonstanten e. 1s =

3.3.1 Coulomb-Streuung von Elektronen Als erstes betrachten wir die Streuung von Elektronen an einem CoulombPotential der Form α eA0 (x) = V (x) = , A(x) = 0 , α = −Ze2 , |x| wobei wir ¨ ahnlich vorgehen, wie bei der nichtrelativistischen Rechnung in Unterabschn. 3.1.4. Weil hier sowohl einlaufende als auch gestreute Teilchen Elektronen sind, setzen wir f¨ ur Ψi,f positive, auf das Volumen V normierte ebene Dirac-Wellen mit der Elektronmasse m0 , den Energien Ei,f , den Viererimpulsindizes pi,f und den Viererpolarisationsindizes si,f an [vgl. (3.62)]:  m0 u(pi , si )e−iEi t eipi x (im Limes t → −∞) Ψi (x) = Ei V  m0 u(pf , sf )e−iEf t eipf x (im Limes t → +∞) . Ψf (x) = Ef V Nach Satz 3.5 lautet die zugeh¨ orige Streuamplitude in erster Ordnung ( f = +1, f = i)  Sf i = −ie d4 xΨ¯f (x)γ µ Aµ (x)Ψi (x) 4 iα m20 = − u¯(pf , sf )γ 0 u(pi , si ) V Ef Ei T /2 

×

dtei(Ef −Ei )t

−T /2

= −

i[2πδ(Ef − Ei )] V

 V

4

d3 xe−iqx

1 , q = pf − pi |x|

4πα m20 Mf i , Mf i = 2 u ¯(pf , sf )γ 0 u(pi , si ) , Ei Ef q

wobei im letzten Schritt wieder von den Beziehungen [siehe (3.25) und (3.26)]

3.3 Spin-1/2-Streuprozesse T /2 

dtei(Ef −Ei )t

−T /2

T →∞



= 2πδ(Ef − Ei ) ,

d3 x V

239

4π e−iqx = 2 |x| q

Gebrauch gemacht wurde. F¨ ur den differentiellen Wirkungsquerschnitt folgt nach Satz 3.3 2 3 m0 [2πδ(Ef − Ei )]2 |Sf i | V d3 pf 2 m0 d p f |M = | , dσ = f i T |j i | (2π)3 Ei T V |j i | (2π)3 Ef bzw. nach der f¨ ur endliche T gerechtfertigten Ersetzung [2πδ(Ef − Ei )]2 → 2πT δ(Ef − Ei ) dσ =

m0 1 m0 d3 pf |Mf i |2 (2π)δ(Ef − Ei ) . Ei V |j i | (2π)3 Ef

(3.70)

Zur Bestimmung der Stromdichte |j i | nehmen wir an, daß die Geschwindigkeit der einlaufenden Teilchen in z-Richtung verl¨auft, so daß  m0  † |j i | = u (pi , si )α3 u(pi , si ) Ei V und in der Dirac-Darstellung ⎛ ⎞  χsi Ei + m0 ⎜ ⎟ † u(pi , si ) = ⎝ σ3 |pi | ⎠ , χsi χsi = 1 , 2m0 χsi Ei + m0 wobei die genaue Form des Spinors χsi von der Polarisationsrichtung si abh¨ angt. Hieraus folgt die von der Polarisationsrichtung unabh¨angige und intuitiv erwartete Beziehung |pi | |j i | = . Ei V Setzen wir dies in (3.70) ein, so ergibt sich f¨ ur den differentiellen Wirkungsquerschnitt der Ausdruck m0 m0 d3 pf |Mf i |2 (2π)δ(Ef − Ei ) , |pi | (2π)3 Ef in welchem nun, wie gew¨ unscht, alle Abh¨ angigkeiten von T und V herausgefallen sind. Unter Ber¨ ucksichtigung von Ef dEf d3 pf = p2f d|pf |dΩ , Ef2 = p2f + m20 =⇒ d|pf | = |pf | erhalten wir schließlich  dσ m20 = dEf |pf ||Mf i |2 δ(Ef − Ei ) dΩ (2π)2 |pi | m20 |Mf i |2|pf |=|pi | = (2π)2 2 4α2 m20  u ¯(pf , sf )γ 0 u(pi , si )|p |=|p | . = (3.71) 4 i f q dσ =

240

3. Relativistische Streutheorie

Wie leicht zu erkennen ist, geht dieser Ausdruck im nichtrelativistischen Grenzfall erwartungsgem¨ aß in die Rutherfordsche Streuformel (3.29) u ¨ ber. In diesem Grenzfall haben wir n¨ amlich   2     1  u¯(pf , sf )γ 0 u(pi , si )2 = (1, 0) 1 0 =1.  0  0 1 Unpolarisierter Wirkungsquerschnitt. Zur weiteren Berechnung von (3.71) nehmen wir zun¨ achst an, daß im Streuexperiment weder die Polarisation des einlaufenden Teilchenstrahls pr¨ apariert noch die Polarisation der gestreuten Teilchen gemessen wird – eine in der Praxis durchaus typische Situation. Dies bedeutet, daß in (3.71) der Mittelwert u ¨ber alle m¨oglichen Anfangspolarisationen si und die Summe u ¨ ber alle m¨oglichen Endpolarisationen sf zu nehmen ist (jedes m¨ ogliche si kommt mit gleicher Wahrscheinlichkeit vor, und jedes m¨ ogliche sf wird gemessen): 2 4α2 m20 1   dσ u ¯(pf , sf )γ 0 u(pi , si )|p |=|pi | . = 4 f dΩ q 2 s ,s f

(3.72)

i

Eine derartige R¨ uckf¨ uhrung von Wirkungsquerschnitten auf doppelte Spinsummen bietet den großen Vorteil, daß sie sich durch Anwendung von Satz 3.6 auf bequeme Weise und ohne R¨ uckgriff auf die konkrete Form der beteiligten Bispinoren weiter auswerten lassen. Wir werden deshalb nicht nur hier sondern auch bei allen nachfolgenden Streuproblemen immer wieder bestrebt sein, den zugeh¨ origen Wirkungsquerschnitt in eine zu (3.72) ¨ahnliche Form zu bringen. Im Falle von (3.72) selbst folgt aus (3.64) und der zweiten Gleichung von (3.65)   ! !† u¯(pf , sf )γ 0 u(pi , si )2 = u ¯(pf , sf )γ 0 u(pi , si ) u ¯(pf , sf )γ 0 u(pi , si ) ! ! = u ¯(pf , sf )γ 0 u(pi , si ) u ¯(pi , si )γ 0 u(pf , sf ) =⇒

  ! u¯(pf , sf )γ 0 u(pi , si )2 = tr Λ+ (pf )γ 0 Λ+ (pi )γ 0 sf ,si



p/f + m0 0 p/i + m0 0 γ γ 2m0 2m0 1 1 tr(/ pf γ 0p/i γ 0 ) + tr(/ pf ) = 2 4m0 4m0 1 1 tr(/ pi ) + tr(1) + 4m0 4 1 = tr(/ pf γ 0p/i γ 0 ) + 1 . 4m20 = tr

F¨ ur die verbleibende Spur ergibt sich durch Einf¨ uhren des Vierervektors (aµ ) = (1, 0, 0, 0) und Gebrauch der vierten und ersten Gleichung von (3.65)

3.3 Spin-1/2-Streuprozesse

241


pf /ap/i /a) tr p/f γ 0p/i γ 0 = tr (/ = 2(pf · a)tr(/ pi /a) − (pf · pi )tr(/a/a) = 8(pf · a)(pi · a) − 4(pf · pi )(a · a) = 8Ei Ef − 4 (Ei Ef − pi pf ) = 4Ei Ef + 4pi pf . Insgesamt geht somit (3.72) u ¨ber in die Mottsche Streuformel    dσ dσ 2α2 m20 Ei Ef + pi pf = = 1 + dΩ dΩ q4 m20 |pf |=|pi | Mott
  2 2 2 α 1 − vi sin2 θ2 4α 2 θ 2 2 θ 2 + m0 sin = 4 Ei cos , = q 2 2 4vi4 Ei2 sin4 θ2

(3.73)

(3.74)

wobei in der letzten Zeile die Identit¨ aten pi pf ||pf |=|pi | = p2i cos θ , cos θ = cos2  q 2 |p

f |=|pi |

θ θ − sin2 2 2

θ , p2i = vi2 Ei2 2

= 4p2i sin2

benutzt wurden. Teilweise polarisierter Wirkungsquerschnitt. Als n¨achstes nehmen wir an, daß die Polarisationsrichtung sf der gestreuten Teilchen im Experiment gemessen wird, w¨ ahrend der einlaufende Teilchenstrahl nach wie vor unpolarisiert ist. In diesem Fall hat man anstelle von (3.72) den Ausdruck 2 dσ 4α2 m20 1   u¯(pf , sf )γ 0 u(pi , si )|p |=|pi | (sf ) = (3.75) 4 f dΩ q 2 s i

zu betrachten, der aus (3.71) durch Mittelwertbildung u ¨ ber alle m¨oglichen Anfangspolarisationen si hervorgeht. Offensichtlich besitzt dieser Ausdruck nicht die von uns gew¨ unschte Form einer doppelten Spinsumme. Unter Zuhilfenahme der Spinprojektoren Σ(s) aus Satz 2.4 ist es jedoch leicht m¨oglich, die einfache Spinsumme in (3.75) in eine doppelte Spinsumme zu verwandeln, um sie anschließend mit Hilfe von Satz 3.6 weiter auszuwerten. Unter Ber¨ ucksichtigung von Σ(s)u(p, s) = u(p, s) , Σ(s)u(p, −s) = 0 folgt n¨ amlich   u¯(pf , sf )γ 0 u(pi , si )2 si

242

3. Relativistische Streutheorie

=

 si

=

 si

=



! !† u ¯(pf , sf )γ 0 u(pi , si ) u ¯(pf , sf )γ 0 u(pi , si ) ! ! u ¯(pf , sf )γ 0 u(pi , si ) u ¯(pi , si )γ 0 u(pf , sf ) ! ! u ¯(pf , sf )γ 0 u(pi , si ) u¯(pi , si )γ 0 Σ(sf )u(pf , sf )

s
f ,si

! = tr Λ+ (pf )γ 0 Λ+ (pi )γ 0 Σ(sf ) ! 1 = tr (/ pf + m0 )γ 0 (/ pi + m0 )γ 0 (1 + γ 5 /sf ) 8m20
 1 1 = tr p/f γ 0p/i γ 0 + 2 8m0 2  1 Ei Ef + pi pf = . 1+ 2 m20

(3.76)

Hierbei wurde im vorletzten Schritt ausgenutzt, daß alle Einzelspurterme verschwinden, die aus einer ungeraden Zahl von /a-Multiplikationen (mit oder ohne zus¨ atzlichem γ 5 ) bestehen, und ferner, daß alle Terme mit einer geraden Zahl von /a-Multiplikationen und zus¨ atzlichem γ 5 durch Antikommutieren von 0 5 uckgef¨ uhrt werden k¨onnen. Der letzte γ auf Terme der Form tr(γ /a/b) = 0 zur¨ Schritt folgt aus (3.73). Durch Einsetzen der letzten Beziehung in (3.75) und Vergleich mit (3.74) erhalten wir schließlich als Endresultat    dσ α2 m20 1 dσ Ei Ef + pi pf (sf ) = = . (3.77) 1+ dΩ q4 m20 2 dΩ |pf |=|pi | Mott

angig vom gemessenen Spin der gestreuDemnach ist dσ(sf )/dΩ also unabh¨ ten Teilchen – ein Effekt, der allerdings nur in der niedrigsten Ordnung der Streutheorie gilt. Der Wirkungsquerschnitt f¨ ur die komplement¨are Situation, bei der die Polarisation der gestreuten Teilchen nicht gemessen wird und der einfallende Teilchenstrahl polarisiert ist, ergibt sich in analoger Weise. Hierzu betrachtet man die Gleichung [siehe (3.71)] 2 4α2 m20   dσ u¯(pf , sf )γ 0 u(pi , si )|p |=|pi | , (si ) = f dΩ q4 s f

in der u oglichen Endpolarisationen summiert wird, und f¨ uhrt eine ¨ ber alle m¨ zu (3.76) analoge Rechnung durch, wo anstelle von Σ(sf ) der Spinprojektor Σ(si ) an entsprechender Stelle eingef¨ ugt wird. Daraus folgt schließlich    u¯(pf , sf )γ 0 u(pi , si )2 = 1 1 + Ei Ef + pi pf 2 m20 s f

und somit

3.3 Spin-1/2-Streuprozesse

dσ 2α2 m20 (si ) = dΩ q4

 Ei Ef + pi pf = 1+ m20 |pf |=|pi |



dσ dΩ

243

 .

(3.78)

Mott

Vollst¨ andig polarisierter Wirkungsquerschnitt. Betrachten wir nun noch den Fall, bei dem einerseits der einlaufende Teilchenstrahl polarisiert ist und andererseits die Polarisation der gestreuten Teilchen gemessen wird. In diesem Fall gilt [siehe (3.71)] 2 dσ 4α2 m20  u ¯(pf , sf )γ 0 u(pi , si )|p |=|p | . (si , sf ) = 4 i f dΩ q Man ahnt mittlerweile sofort, wie sich auch dieser Ausdruck durch Einf¨ ugen der Spinprojektoren Σ(si ) und Σ(sf ) in Form einer doppelten Spinsumme schreiben und anschließend durch Gebrauch von Satz 3.6 vereinfachen l¨aßt:   u¯(pf , sf )γ 0 u(pi , si )2 ! ! = u ¯(pf , sf )γ 0 u(pi , si ) u¯(pi , si )γ 0 u(pf , sf )  ! ! u ¯(pf , sf )γ 0 Σ(si )u(pi , si ) u = ¯(pi , si )γ 0 Σ(sf )u(pf , sf ) s
f ,s
i

! = tr Λ+ (pf )γ 0 Σ(si )Λ+ (pi )γ 0 Σ(sf )  p/f + m0 0 1 + γ 5 /si p/i + m0 0 1 + γ 5 /sf = tr γ γ 2m0 2 2m0 2 2 ! 1 tr (/ pf + m0 )γ 0 (/ pi + m0 )γ 0 = 16m20 ! +tr (/ pf + m0 )γ 0 γ 5 /si (/ pi + m0 )γ 0 ! +tr (/ pf + m0 )γ 0 (/ pi + m0 )γ 0 γ 5 /sf !3 +tr (/ pf + m0 )γ 0 γ 5 /si (/ . pi + m0 )γ 0 γ 5 /sf Hierin verschwindet die zweite und dritte Spur, und zwar aufgrund derselben Argumentation wie bei (3.76). Es folgt deshalb ! α2 A dσ tr (/ pf + m0 )γ 0 (/ (si , sf ) = pi + m0 )γ 0 4 dΩ 4q !B pi + m0 )γ 0 γ 5 /sf . (3.79) + tr (/ pf + m0 )γ 0 γ 5 /si (/ |pf |=|pi |

Offenbar sind in diesem Ausdruck, anders als in (3.77) und (3.78), die Polarisationsabh¨ angigkeiten nicht herausgefallen, so daß zu seiner weiteren Beussen. rechnung die Viererpolarisationen si und sf konkretisiert werden m¨ Betrachten wir hierzu ein Elektron, das in seinem Ruhesystem einen Spin in Richtung s(0) , |s(0) | = 1 besitzt. Nach Satz 2.3 lautet dann seine Viererpolarisation in einem System, in welchem es sich mit der Geschwindigkeit v = p/E bewegt (c = 1),

244

3. Relativistische Streutheorie

 (sµ ) = [Λ−v ]µ ν

0 s(0)



 =

ps(0) ps(0) (0) p ,s + m0 m0 (E + m0 )

,

(3.80)

wobei die Lorentz-Transformation Λ−v vom Ruhesystem des Elektrons auf das relativ dazu mit der Geschwindigkeit −v bewegte System transformiert. Nimmt man im speziellen an, daß der Ruhespin des Elektrons parallel oder antiparallel zu dessen Bewegungsrichtung zeigt, also positive oder negative Helizit¨ at besitzt, s(0) =

λp , λ = ±1 , |p|

dann geht (3.80) u ¨ ber in  |p| E p µ (s ) = λ , . m0 m0 |p| Insgesamt l¨ aßt sich demnach (3.79) f¨ ur den Fall einlaufender und gestreuter Teilchen mit jeweils positiver oder negativer Helizit¨at umschreiben zu ! α2 A dσ (λi , λf ) = tr (/ pf + m0 )γ 0 (/ pi + m0 )γ 0 dΩ 4q 4 !B pf + m0 )γ 0 γ 5 /si (/ pi + m0 )γ 0 γ 5 /sf , +λi λf tr (/ |pf |=|pi |

mit



|pi | Ei pi , m0 m0 |pi |  |pf | Ef pf µ , (sf ) = λf sf , sf = . m0 m0 |pf | (sµi ) = λi si , si =

Die Auswertung der verbleibenden Spuren nach Satz 3.6 liefert unter Ber¨ ucksichtigung von |pf | = |pi |, cos θ = pi pf /|pi |2  ! 0 0 2 2 θ 2 2 θ tr (/ pf + m0 )γ (/ pi + m0 )γ = 8 Ei cos + m0 sin 2 2  ! θ 2 θ 0 5 0 5 2 2 2 − m0 sin pi + m0 )γ γ /sf = 8 Ei cos . tr (/ pf + m0 )γ γ /si (/ 2 2 Der vollst¨ andig polarisierte differentielle Wirkungsquerschnitt lautet somit  2α2 θ θ dσ (λi , λf ) = 4 Ei2 cos2 + m20 sin2 dΩ q 2 2   2 θ 2 2 θ 2 − m0 sin + λi λf Ei cos . 2 2 Er geht nach Mittelwertbildung u ¨ ber λf ¨ber λi und/oder Summenbildung u erwartungsgem¨ aß in die Ausdr¨ ucke (3.74), (3.77) bzw. (3.78) f¨ ur den unpolarisierten bzw. teilweise polarisierten Wirkungsquerschnitt u ¨ ber. Selbst in

3.3 Spin-1/2-Streuprozesse

245

erster Ordnung Streutheorie h¨ angen also die Z¨ahlraten der gestreuten Teilchen mit bestimmter Spinorientierung von der Polarisation des einlaufenden Teilchenstrahls ab. Neben dem Wirkungsquerschnitt ist in spinsensitiven Streuexperimenten auch der Polarisationsgrad der gestreuten Teilchen von Interesse. Er ist definiert als die Differenz der Z¨ ahlraten zu positiver und negativer Helizit¨at, geteilt durch die totale Z¨ ahlrate: dσ(λf = +1) − dσ(λf = −1) . P (λi ) = dσ(λf = +1) + dσ(λf = −1) Ist der Anfangszustand vollkommen polarisiert, z.B. λi = +1, dann lautet der zugeh¨ orige Polarisationsgrad P (λi = +1) = 1 −

2m20 sin2 Ei2 cos2 θ2

+

θ 2 m20 sin2 θ2

.

Im nichtrelativistischen Grenzfall E → m0 geht dieser u ¨ ber in θ P (λi = +1) ≈ 1 − 2 sin2 = cos θ , 2 ¨ also in den geometrischen Uberlapp zwischen den Quantisierungsachsen des Anfangs- und Endzustandes. Hieraus folgt, daß in diesem Limes der Spin durch die Streuung u ¨ berhaupt nicht beeinflußt wird, sofern er in einem festen System betrachtet wird. Satz 3.7: Coulomb-Streuung von Elektronen in f¨ uhrender Ordnung Die Streuamplitude f¨ ur die Streuung von Elektronen an einem CoulombPotential der Form α eA0 (x) = , A(x) = 0 |x| lautet in f¨ uhrender Ordnung (f = i) 4 m20 2πδ(Ef − Ei ) Sf i = −i Mf i , V Ei Ef mit Mf i =

4πα u¯(pf , sf )γ 0 u(pi , si ) , q = pf − pi . q2

Hieraus folgt f¨ ur den differentiellen Wirkungsquerschnitt m0 1 m0 d3 pf |Mf i |2 (2π)δ(Ef − Ei ) Ei V |j i | (2π)3 Ef 3 m0 m0 d p f |Mf i |2 (2π)δ(Ef − Ei ) = |pi | (2π)3 Ef

dσ =



246

3. Relativistische Streutheorie

=⇒

dσ m20 |Mf i |2|pf |=|pi | , = dΩ (2π)2

wobei in der letzten Gleichung u ¨ber alle Streuimpulse pf in Richtung dΩ ausintegriert wurde. Davon ausgehend ergeben sich der unpolarisierte Wirkungsquerschnitt (Mittelung u ¨ ber sf , vi = |pi |/Ei ) ¨ ber si und Summe u    dσ 2α2 m20 Ei Ef + pi pf = 1+ 4 dΩ q m20 |pf |=|pi | Mott
  2 α2 1 − vi2 sin2 θ2 4α 2 θ 2 2 θ 2 + m0 sin = 4 Ei cos , = q 2 2 4vi4 Ei2 sin4 θ2 die teilweise polarisierten Wirkungsquerschnitte (Mittelung u ¨ ber si bzw. Summe u ¨ ber sf )     dσ 1 dσ dσ dσ (sf ) = (si ) = , dΩ 2 dΩ dΩ dΩ Mott

Mott

und der vollst¨ andig polarisierte Wirkungsquerschnitt (mit Anfangs- und Endhelizit¨ aten λi,f )  θ θ 2α2 dσ (λi , λf ) = 4 Ei2 cos2 + m20 sin2 dΩ q 2 2   θ θ + λi λf Ei2 cos2 − m20 sin2 . 2 2 Wir kommen nun noch kurz auf die Coulomb-Streuung von Positronen in f¨ uhrender Ordnung zu sprechen. In diesem Fall m¨ ussen wir das auslaufende uckw¨arts bewegte, in den StreubePositron (mit pf , sf ) durch eine zeitlich r¨ reich einlaufende negative ebene Dirac-Welle ψi (mit −pf , −sf ) beschreiben und dementsprechend das einlaufende Positron (mit pi , si ) durch eine zeitliche r¨ uckw¨ arts bewegte, aus dem Streubereich herauslaufende negative ebene Dirac-Welle ψf (mit −pi , −si ). Wir haben deshalb [vgl. (3.63)]  m0 v(pf , sf )e+iEf t e−ipf x (im Limes t → +∞) ψi (x) = Ef V  m0 v(pi , si )e+iEi t e−ipi x (im Limes t → −∞) . ψf (x) = Ei V Analog zum Elektronfall folgt nach Satz 3.5 ( f = −1, f = i) f¨ ur die Streuamplitude 4 m20 i[2πδ(Ef − Ei )] 4πα Sf i = + Mf i , Mf i = 2 v¯(pi , si )γ 0 v(pf , sf ) , V Ei Ef q

3.3 Spin-1/2-Streuprozesse

247

die sich von derjenigen des Elektronfalles offensichtlich nur im Gesamtvorzeichen (wegen f ) und den beteiligten Bispinoren unterscheidet. Aufgrund der kinematisch gleichen Verh¨ altnisse l¨ auft die Berechnung des differentiellen Wirkungsquerschnittes wieder auf die Formel m20 dσ = |Mf i |2|pf |=|pi | dΩ (2π)2 hinaus. Je nach betrachteter Situation (unpolarisierte, teilweise polarisierte oder vollst¨ andig polarisierte Teilchenstr¨ ome) sind nun wieder verschiedene Summen von |Mf i |2 auszuwerten. Dies impliziert jeweils die Berechnung von Spurtermen, die sich von denen des Elektronfalles nur durch die Ersetzung Λ+ (p) → Λ− (p) unterscheiden. Unter Ber¨ ucksichtigung von Satz 3.6 folgt deshalb, daß sich im positronischen Fall dieselben |Mf i |2 -Summen und somit auch dieselben Wirkungsquerschnitte ergeben wie im Elektronfall. Diese ¨ Ubereinstimmung gilt jedoch nur in der niedrigsten Ordnung. 3.3.2 Elektron-Proton-Streuung (I) Die im vorigen Unterabschnitt diskutierte Coulomb-Streuung von Elektronen ist gleichbedeutend mit der Elektronstreuung an einem fest verankerten, unendlich schweren, spin- und strukturlosen Proton. In diesem und im n¨achsten Unterabschnitt erweitern wir dieses Szenarium und besch¨aftigen uns mit der realistischeren Streuung von Elektronen an frei beweglichen, endlich schweren Protonen, wobei wir die Protonen jetzt als Spin-1/2-Teilchen voraussetzen, ihre innere Struktur aber weiterhin vernachl¨ assigen. Somit ist zu vermuten, daß sich hier insbesondere aufgrund von R¨ uckstoßeffekten Abweichungen gegen¨ uber der Coulomb-Streuung ergeben werden. Ausgangspunkt unser Diskussion ist die Streuamplitude erster Ordnung (siehe Satz 3.5, f = +1, f = i)  AΨi (x) . (3.81) Sf i = −ie d4 xΨ¯f (x)/ Hierin bedeuten, wie gehabt, Ψi und Ψf positive, auf das Volumen V normierte ebene Dirac-Wellen f¨ ur den elektronischen Anfangs- bzw. Endzustand. Aµ ist das vom Proton erzeugte Viererpotential, dessen genaue Form a priori unklar ist und erst noch bestimmt werden muß. Hierzu nehmen wir an, daß der elektrische Strom (genauer: die elektrische Stromdichte) J (p)µ des Protons bekannt sei. Dann l¨ aßt sich das entsprechende elektromagnetische Strahlungsfeld Aµ u ¨ber die Maxwell-Gleichung16 ∂µ F µν (x) = 4πJ (p)ν (x) , F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ bzw. bei Verwendung der Lorentz-Eichung ∂µ Aµ = 0 u ¨ ber 16

Der Faktor 4π/c = 4π ergibt sich durch Verwendung des Gaußschen Einheitensystems (c = 1).

248

3. Relativistische Streutheorie

∂µ ∂ µ Aν (x) = 4πJ (p)ν (x) berechnen. F¨ ur unsere Zwecke ist es g¨ unstig, die L¨osung der letzten Gleichung mit Hilfe des bekannten Green-Funktionenkalk¨ uls in der Form  (0) Aµ (x) = d4 yDF (x − y)J (p)µ (y) (3.82) (0)

zu schreiben, wobei DF den freien Photonpropagator bezeichnet und seinerseits der Gleichung (0)

∂µ ∂ µ DF (x − y) = 4πδ(x − y)

(3.83)

zu gen¨ ugen hat. Zu ihrer L¨ osung bietet sich wieder das Vorgehen aus Aufgabe 31 und Unterabschn. 3.2.2 an. Durch Verwendung der vierdimensionalen Fourier-Darstellungen  d4 q −iq·(x−y) ˜ (0) (0) DF (q) e DF (x − y) = (2π)4  d4 q −iq·(x−y) e δ(x − y) = (2π)4 und anschließendes Einsetzen in (3.83) folgt ˜ (0) (q) = − 4π , q 2 = qµ q µ = 0 D F q2  d4 q −4π −iq·(x−y) (0) e . (3.84) =⇒ DF (x − y) = (2π)4 q 2 + i Hierbei haben wir aufgrund unserer Erfahrungen aus Unterabschn. 3.2.2 von vornherein im Nenner einen kleinen Imagin¨arteil hinzuaddiert, der das gew¨ unschte Kausalit¨ atsverhalten garantiert, daß n¨amlich nur elektromagnetische Strahlung mit positiver Frequenz also mit positiver Energie auftritt, die sich vorw¨ arts in der Zeit ausbreitet. Zwar treten im Aµ -Feld auch Beitr¨ age mit negativer Energie auf, die sich r¨ uckw¨arts in der Zeit bewegen. Da aber das Photon im Gegensatz zum Elektron keine Ladung tr¨agt und deshalb sein eigenes Antiteilchen ist, besteht zwischen beiden Prozessen physikalisch kein Unterschied. Kombinieren wir nun die beiden Gleichungen (3.81) und (3.82), so folgt f¨ ur die Streuamplitude  Sf i = −ie d4 xΨ¯f (x)γµ Aµ (x)Ψi (x)   4 = −i d x d4 y[eΨ¯f (x)γµ Ψi (x)]Aµ (x)   ! (0) (3.85) = −i d4 x d4 y eΨ¯f (x)γµ Ψi (x) DF (x − y)J (p)µ (y) , wobei der Protonstrom J (p)µ nach wie vor unbestimmt ist. Die eckige Klammer k¨ onnen wir offensichtlich mit dem Strom der Elektronen (in erster Ordnung) identifizieren:

3.3 Spin-1/2-Streuprozesse

249

Jµ (x) = eΨ¯f (x)γµ Ψi (x) . Da elektronische und protonische Str¨ ome aus Symmetriegr¨ unden physikalisch v¨ ollig gleichberechtigt sein sollten (Elektronstreuung im Feld des Protons ⇐⇒ Protonstreuung im Feld des Elektrons), macht es Sinn, f¨ ur den protonischen Strom (in erster Ordnung) entsprechend anzusetzen:17 (p)

(p)

J (p)µ (y) = ep Ψ¯f (y)γ µ Ψi (y) .

(3.86) (p)

Dabei sind ep = −e die Protonladung und Ψi,f die Wellenfunktionen des Protons im Anfangs- bzw. Endzustand, also ebenfalls positive, auf das Volumen V normierte ebene Dirac-Wellen. Beide Str¨ ome werden aus leicht einsichtigen ¨ Gr¨ unden auch Ubergangsstr¨ ome genannt. Durch Einsetzen der Elektron- und Protonwellenfunktionen  m0 u(pi , si )e−ipi ·x Ψi (x) = Ei V  m0 u(pf , sf )e−ipf ·x Ψf (x) = Ef V 4 M0 (p) u(Pi , Si )e−iPi ·y Ψi (y) = (p) Ei V 4 M0 (p) u(Pf , Sf )e−iPf ·y Ψf (y) = (p) Ef V sowie des Photonpropagators (3.84) und des Protonstromes (3.86) geht nun die Streuamplitude (3.85) u ¨ ber in < 4    = i d4 q m20 = M02 4 4 > x d y d Sf i = − 2 (p) (p) V Ei Ef E E (2π)4 i f   −4πeep u ¯(Pf , Sf )γ µ u(Pi , Si ) × u¯(pf , sf )γµ u(pi , si ) 2 q + i ×ei(pf −pi )·x e−iq·(x−y) ei(Pf −Pi )·y , (p)

wobei M0 , Ei,f , Pi,f , Si,f die Masse, Energien, Viererimpuls- und Viererpolarisationsindizes des Protons bezeichnen. Die x- und y-Integrationen lassen sich sofort ausf¨ uhren,  d4 xei(pf −pi −q)·x = (2π)4 δ(pf − pi − q) 17

Man mache sich klar, daß diese Wahl des Protonstroms und die hierdurch entstehende symmetrische Form der Strom-Strom-Wechselwirkung streng genommen eine Erweiterung unseres Streuformalismus bedeutet, weil Aµ nun kein externes, durch die Streuung unbeeinflußbares Hintergrundpotential mehr ist. Eine formale Rechtfertigung dieses Vorgehens l¨ aßt sich nur im Rahmen der Quantenelektrodynamik finden (vgl. die einleitenden Bemerkungen zu diesem Abschnitt).

250

3. Relativistische Streutheorie



d4 yei(Pf −Pi +q)·y = (2π)4 δ(Pf − Pi + q) ,

und ziehen die q-Integration  −4πeep 4 (2π) d4 qδ(pf − pi − q)δ(Pf − Pi + q) 2 q + i = (2π)4 δ(pf + Pf − pi − Pi )

−4πeep (pf − pi )2 + i

nach sich. Dadurch erhalten wir schließlich den Ausdruck < ⎫ !4 = ⎪ i (2π)4 δ(pf + Pf − pi − Pi ) ⎪ m20 = M02 > ⎪ Sf i = − Mf i ⎪ ⎪ 2 (p) (p) ⎪ V Ei Ef E E ⎬ i

−4πeep u ¯(Pf , Sf )γ µ u(Pi , Si ) Mf i = u¯(pf , sf )γµ u(pi , si ) 2 q + i q = pf − pi ,

f

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

(3.87)

mit der offensichtlich lorentzinvarianten Amplitude Mf i . Man erkennt sehr sch¨ on die Symmetrie zwischen den elektronischen und protonischen Varia¨ blen, was unser Vertrauen in die Wahl (3.86) f¨ ur den protonischen Ubergangsstrom best¨ arkt. Desweiteren zeigt sich anhand der vierdimensionalen δ-Funktion, daß hier im Gegensatz zur Coulomb-Streuung nicht nur Energiesondern auch Impulserhaltung gilt (Viererimpulserhaltung). Wirkungsquerschnitt. Wir k¨ onnen nun Satz 3.3 heranziehen, um von (3.87) ausgehend den Wirkungsquerschnitt f¨ ur die Elektron-Proton-Streuung zu berechnen. Dabei ist allerdings zu beachten, daß u ¨ ber alle m¨oglichen Endzust¨ ande sowohl der Elektronen als auch der Protonen zu integrieren ist. Dies bedeutet, wir haben in Satz 3.3 nicht nur die Zahl der elektronischen Endzust¨ ande im Impulsintervall [pf : pf + d3 pf ] sondern auch die Zahl der protonischen Endzust¨ ande im Impulsintervall [P f : P f + d3 Pf ] zu ber¨ ucksichtigen, was insgesamt zu einem Phasenraumfaktor V d3 pf V d3 Pf (2π)3 (2π)3 f¨ uhrt. Der sechsfach differentielle Wirkungsquerschnitt lautet somit 2

dσ =

|Sf i | V d3 pf V d3 Pf T |j i | (2π)3 (2π)3

=

!2 3 3 m0 M0 (2π)4 δ(pf + Pf − pi − Pi ) 2 m0 d pf M0 d Pf |M | f i 2 3 Ei E (p) T V |j i | (2π) Ef (2π)3 E (p) i f

=

m0 M 0 1 |Mf i |2 (2π)4 δ(pf + Pf − pi − Pi ) Ei E (p) |j i |V i

m0 d3 pf M0 d3 Pf × , (2π)3 Ef (2π)3 E (p) f

(3.88)

3.3 Spin-1/2-Streuprozesse

251

wobei im letzten Schritt das mathematisch unsch¨one δ-Quadrat in Verallgemeinerung von (3.28) f¨ ur endliche T und V ersetzen wurde durch !2 (2π)4 δ(pf + Pf − pi − Pi ) −→ T V (2π)4 δ(pf + Pf − pi − Pi ) . Als n¨ achstes ben¨ otigen wir die Stromdichte |j i |, die sich ganz allgemein aus der Relativbewegung der aufeinander zulaufenden Elektronen und Protonen ergibt (ρ, v i = Teilchendichte und Geschwindigkeit der Elektronen; ρ(p) , V i = Teilchendichte und Geschwindigkeit der Protonen):  2 (p) Ei pi − Ei P i |v i − V i | = . |j i | = |ρv i − ρ(p) V i | = (p) V V Ei Ei (p)

Da wir uns auf kollineare Str¨ ome (j i j i ) beschr¨anken wollen, l¨aßt sich diese Gleichung unter Ber¨ ucksichtigung von (pi P i )2 = p2i P 2i umschreiben zu $ (pi · Pi )2 − m20 M02 |j i | = . (3.89) (p) V Ei Ei Setzen wir dies in (3.88) ein, so folgt f¨ ur den differentiellen Wirkungsquerschnitt m0 M 0 |Mf i |2 (2π)4 δ(pf + Pf − pi − Pi ) dσ = $ (pi · Pi )2 − m20 M02 ×

m0 d3 pf M0 d3 Pf . (2π)3 Ef (2π)3 E (p) f

(3.90)

Man beachte, daß es sich hierbei um einen lorentzinvarianten Ausdruck handelt. Bis auf die letzten beiden Faktoren ist dies offensichtlich. F¨ ur diese k¨ onnen wir aber unter Ausnutzung der Identit¨at  δ(x − xk )   , xk = Nullstellen von f (3.91) δ [f (x)] =  df   dx  k xk

schreiben (Integration nur u ¨ ber p0 ): d3 p = 2E

∞ dp0 δ(p − 2

0 µ

m20 )d3 p

+∞  = d4 pδ(p2 − m20 )Θ(p0 ) . −∞

Weil p in jedem Lorentz-System ein zeitartiger Vierervektor ist, gilt u ¨ berall p2 = m20 =⇒ p20 > p2 > 0. Hieraus folgt unmittelbar die Lorentz-Invarianz der Θ-Funktion und somit auch von d3 p/E. Im Gegensatz zu dσ ist die Gr¨ oße dσ/dΩ, auf die wir letztlich hinaus wollen, nicht lorentzinvariant, so daß nun das Bezugssystem spezifiziert werden muß. Da Elektron-Proton-Streuexperimente f¨ ur gew¨ohnlich an einem festen Protontarget durchgef¨ uhrt werden, w¨ ahlen wir hier das Laborsystem, in dem das Proton anf¨ anglich ruht. Unter Ber¨ ucksichtigung von

252

3. Relativistische Streutheorie

pi = (Ei , pi ) , pf = (Ef , pf ) , Pi = (M0 , 0) , pi pf = |pi ||pf | cos θ sowie m0 M 0 m0 M 0 m0 m0 $ = $ 2 2 = $ 2 = 2 2 2 2 2 2 |p (pi · Pi ) − m0 M0 Ei M0 − m0 M0 Ei − m0 i| d3 pf = p2f d|pf |dΩ = |pf |Ef dEf dΩ  d3 Pf = 2 d4 Pf δ(Pf2 − M02 )Θ(Pf0 ) (p) Ef folgt dann aus (3.90)   m20 M0 dσ = d4 Pf |pf ||Mf i |2 δ(pf + Pf − pi − Pi ) dE f dΩ 2π 2 |pi | ×δ(Pf2 − M02 )Θ(Pf0 )  m20 M0 = dEf |pf ||Mf i |2Pf =Pi +pi −pf 2π 2 |pi | ! ×δ (Pi + pi − pf )2 − M02 Θ(M0 + Ei − Ef ) m20 M0 = 2π 2 |pi |

M 0 +Ei

dEf |pf ||Mf i |2Pf =Pi +pi −pf m0

×δ (Pi + pi − pf )2 − M02 m20 M0 = 2π 2 |pi | ×δ

2m20

!

M 0 +Ei

dEf |pf ||Mf i |2Pf =Pi +pi −pf m0

! − 2M0 (Ef − Ei ) − 2Ei Ef + 2|pi ||pf | cos θ .

Die Integrationsgrenzen ergeben sich aus der Tatsache, daß einerseits Ef ≥ m0 sein muß (untere Grenze) und andererseits Θ(M0 + Ei − Ef ) nur f¨ ur Ef < M0 + Ei einen Beitrag liefert (obere Grenze). Das verbleibende Integral l¨ aßt sich wieder mit Hilfe der Identit¨ at (3.91) auswerten, und wir erhalten schließlich ⎫ dσ m20 M0 |pf | |Mf i |2co ⎪ ⎬ = dΩ 4π 2 |pi | M0 + Ei − |pi |Ef cos θ (3.92) |pf | ⎪ ⎭ 2 2 |Mf i |co = |Mf i |Pf =Pi +pi −pf , mit der Nebenbedingung 2m20 − 2M0 (Ef − Ei ) − 2Ei Ef + 2|pi ||pf | cos θ = 0 , aus der sich Ef bzw. |pf | als Funktion von θ und Ei bzw. |pi | ergibt. Man beachte den Index co (=conservation), der zur Abk¨ urzung der Viererimpulserhaltungsbedingung eingef¨ uhrt wurde.

3.3 Spin-1/2-Streuprozesse

253

Amplitudenquadrat. Mit den letzten Gleichungen haben wir schon eine recht kompakte Darstellung f¨ ur den differentiellen Wirkungsquerschnitt der Elektron-Proton-Streuung in erster Ordnung vorliegen, in der allerdings noch das Amplitudenquadrat |Mf i |2co weiter ausgewertet werden muß. Um die hierf¨ ur notwendigen Rechnungen m¨ oglichst einfach zu halten, verzichten wir auf das Studium von Polarisationseffekten und betrachten anstelle von (3.92) den unpolarisierten Wirkungsquerschnitt |Mf i |2co m2 M0 |pf | dσ , = 0 2 dΩ 4π |pi | M0 + Ei − |pi |Ef cos θ |pf |

(3.93)

mit der Amplitude |Mf i

|2

 2  1
 4πeep µ u¯(pf , sf )γµ u(pi , si ) 2 u ¯(Pf , Sf γ u(Pi , Si ) , (3.94) =  4 q + i sf , si Sf , Si

die sich aus |Mf i |2 in (3.87) durch Mittelung u ¨ ber s¨amtliche einlaufende Spinzust¨ ande und Summation u amtliche auslaufende Spinzust¨ande von Elek¨ ber s¨ tronen und Protonen ergibt. Unter Beachtung der Tatsache, daß Terme der onnen wir jetzt (3.94) in folgender Weise als ProArt u ¯γ µ u C-Zahlen sind, k¨ dukt von zwei doppelten Spinsummen schreiben, die sich mit Hilfe von Satz 3.6 auf bekanntem Wege ausrechnen lassen: |Mf i |2 =

(4π)2 e2 e2p
[¯ u(pf , sf )γµ u(pi , si )] [¯ u(Pf , Sf )γ µ u(Pi , Si )] 4(q 2 )2 sf , si Sf , Si

†

†

× [¯ u(pf , sf )γν u(pi , si )] [¯ u(Pf , Sf )γ ν u(Pi , Si )] (4π)2 e2 e2p
= [¯ u(pf , sf )γµ u(pi , si )] [¯ u(pi , si )γν u(pf , sf )] 4(q 2 )2 s ,s f i
× [¯ u(Pf , Sf )γµ u(Pi , Si )] [¯ u(Pi , Si )γν u(Pf , Sf )] Sf ,Si

=

(4π)2 e2 e2p tr [Λ+ (pf )γµ Λ+ (pi )γν ] tr [Λ+ (Pf )γ µ Λ+ (Pi )γ ν ] . (3.95) 4(q 2 )2

Zur weiteren Vereinfachung der beiden Spuren f¨ uhrt man am besten die beiden Hilfsgr¨ oßen ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 0 ⎜ 1←− ⎜·⎟ ⎟ µ-te Stelle µ ν ⎟ ⎟ , (b ) = ⎜ (a ) = ⎜ ⎝·⎠ ⎝ 1←− ⎠ ν-te Stelle 0 0 ein, nimmt die Ersetzungen γµ → /a, γν → /b vor und rechnet wie folgt: tr [Λ+ (pf )γµ Λ+ (pi )γν ]

254

3. Relativistische Streutheorie

= = = = =

1 tr [(/ pf + m0 )/a(/ pi + m0 )/b] 4m20 ! 1 tr (/ pf /ap/i /b) + m20 tr (/a/b) 2 4m0 ! 1 (pf · a)tr (/ pi /b) − (pf · pi )tr (/a/b) + (pf · b)tr (/ap/i ) + m20 tr (/a/b) 2 4m0 ! 4 (pf )µ (pi )ν − (pf · pi )gµν + (pf )ν (pi )µ + m20 gµν 4m20 ! 1 (pf )µ (pi )ν + (pi )µ (pf )ν − gµν (pf · pi − m20 ) . 2 m0

F¨ ur die zweite Spur folgt entsprechend  1 tr [Λ+ (Pf )γ µ Λ+ (Pi )γ ν ] = 2 Pfµ Piν + Piµ Pfν − g µν (Pf · Pi − M02 ) . M0 Somit geht (3.95) nach Ausmultiplikation der beiden Spurterme u ¨ ber in |Mf i |2 =

(4π)2 e2 e2p [(pi · Pi )(pf · Pf ) + (pi · Pf )(pf · Pi ) 2m20 M02 (q 2 )2 ! − (pi · pf )M02 − (Pi · Pf )m20 + 2m20 M02 .

(3.96)

Ersetzen wir jetzt noch die Viererimpulse durch die kinematischen Gr¨oßen ucksichtipi = (Ei , pi ), pf = (Ef , pf ), Pi = (M0 , 0) im Laborsystem und ber¨ gen die Viererimpulserhaltung Pf = Pi +pi −pf , dann erhalten wir schließlich das in (3.93) einzusetzende Endresultat (4π)2 e2 e2p A 2M02 Ei Ef + 2M0 m20 (Ef − Ei ) |Mf i |2co = 2m20 M02 (q 2 )2 B ! − (pi · pf ) M02 + M0 (Ef − Ei ) + m20 M02  (4π)2 e2 e2p = 2M02 Ei Ef + M0 m20 (Ef − Ei ) 2m20 M02 (q 2 )2 + ! q2 2 M0 + M0 (Ef − Ei ) + , 2 wobei im letzten Schritt das Skalarprodukt pi · pf durch den quadratischen Viererimpuls¨ ubertrag q 2 = (pf − pi )2 = p2f + p2i − 2pi · pf = 2m20 − 2pi · pf ausgedr¨ uckt wurde.

3.3 Spin-1/2-Streuprozesse

255

Satz 3.8: Elektron-Proton-Streuung in f¨ uhrender Ordnung Die Streuamplitude f¨ ur die Elektron-Proton-Streuung lautet in f¨ uhrender Ordnung (f = i) < 4 = m20 = M02 (2π)4 δ(pf + Pf − pi − Pi ) > Sf i = −i Mf i , V2 Ei Ef E (p) E (p) i

f

mit der lorentzinvarianten Amplitude (q = pf − pi ) Mf i = u ¯(pf , sf )γµ u(pi , si )

−4πeep u ¯(Pf , Sf )γ µ u(Pi , Si ) . q 2 + i

Hieraus folgt f¨ ur den differentiellen Wirkungsquerschnitt dσ =

m0 M 0 1 |Mf i |2 (2π)4 δ(pf + Pf − pi − Pi ) Ei E (p) |j i |V i

m0 d3 pf M0 d3 Pf × (2π)3 Ef (2π)3 E (p) f m0 M 0 = $ |Mf i |2 (2π)4 δ(pf + Pf − pi − Pi ) (pi · Pi )2 − m20 M02 ×

m0 d3 pf M0 d3 Pf (2π)3 Ef (2π)3 E (p) f

(kollineare Str¨ome)

und speziell im Laborsystem, wo das Proton anf¨anglich ruht, ⎫ m20 M0 |pf | |Mf i |2co dσ ⎪ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪ dΩ 4π 2 |pi | M0 + Ei − |pi |Ef cos θ ⎬ |p | f

|Mf i |2co = |Mf i |2Pf =Pi +pi −pf 2m20 − 2M0 (Ef − Ei ) − 2Ei Ef + 2|pi ||pf | cos θ = 0 ,

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

(3.97)

wobei in dσ/dΩ u ¨ ber alle elektronischen Streuimpulse pf in Richtung dΩ und alle protonischen Streuimpulse P f ausintegriert wurde. Durch Vernachl¨ assigung elektronischer und protonischer Polarisationseffekte erh¨alt man f¨ ur das unpolarisierte Amplitudenquadrat  (4π)2 e2 e2p 2 |Mf i | co = 2M02 Ei Ef + M0 m20 (Ef − Ei ) 2m20 M02 (q 2 )2 + ! q2 2 + . M0 + M0 (Ef − Ei ) 2

Niederenergetischer und ultrarelativistischer Grenzfall. Wir k¨onnen uns von der Richtigkeit dieses Satzes u ur ¨berzeugen, indem wir ihn z.B. f¨ den niederenergetischen Grenzfall pr¨ ufen, der wieder in die Gesetzm¨aßigkei-

256

3. Relativistische Streutheorie

ten der Coulomb-Streuung von Elektronen m¨ unden sollte. In diesem Limes gilt Ei,f , |pi,f |  m0 < M0 , so daß sich die Nebenbedingung in (3.97) auf Ef ≈ Ei ⇐⇒ |pf | ≈ |pi | reduziert (keine R¨ uckstoßeffekte des Protons, vollst¨ andig elastische Streuung des Elektrons). Unter Ber¨ ucksichtigung von q 2 ≈ −q2 = −2(Ei2 − m20 ) + 2pi pf folgt f¨ ur das mittlere Amplitudenquadrat  (4π)2 e2 e2p q2 2 |Mf i |2co ≈ − 2E i 2m20 q 4 2 |pf |=|pi | 2 2 2  (4π) e ep Ei2 + pi pf = , 1 + 2q4 m20 |pf |=|pi | woraus sich erwartungsgem¨ aß die Mottsche Streuformel ergibt:    2m20 e2 e2p m20 |Mf i |2co dσ dσ Ei2 + pi pf ≈ ≈ = 1+ dΩ 4π 2 q4 m20 dΩ |pf |=|pi |

. Mott

Das andere Extrem ist der ultrarelativistische Grenzfall. Er ist definiert durch Ei,f /m0  1, woraus Ei,f ≈ |pi,f | und q 2 ≈ −2Ei Ef (1 − cos θ) = −4Ei Ef sin2 =⇒ 1 +

θ 2

q2 θ θ ≈ 1 − sin2 = cos2 4Ei Ef 2 2

sowie die Nebenbedingung M0 (Ef − Ei ) ≈ m20 − Ei Ef + Ei Ef (1 − cos θ) = −2Ei Ef sin2

θ 2

folgt. Damit geht das mittlere Amplitudenquadrat u ¨ ber in (4π)2 e2 e2p Ei Ef m2 (q 2 )2  0   q2 Ef − Ei m20 Ef − Ei × 1+ 1+ + 4Ei Ef M0 2Ei Ef M0 5 67 8 ≈0   2 2 π 2 e2 e2p 2Ei Ef sin2 θ2 q q − ≈ 2 1+ 4Ei Ef 4Ei Ef M02 m0 Ei Ef sin4 θ2  π 2 e2 e2p q2 2 θ 2 θ = 2 − sin cos , 2 2M02 2 m0 Ei Ef sin4 θ2

|Mf i |2co =

und der unpolarisierte differentielle Wirkungsquerschnitt wird zu |Mf i |2co m2 Ef dσ ≈ 02 2 i dΩ 4π Ei 1 + 2E M sin 0

θ 2

≈

cos2

e2 e2p 4Ei2 sin4

θ 2

θ 2

1+

q2 sin2 θ2 2M02 2 θ 2Ei M0 sin 2

−

.

3.3 Spin-1/2-Streuprozesse

257

Man beachte, daß diese Gleichung insofern keine realistische Beschreibung der Elektron-Proton-Streuung unter extrem hohen Elektronenergien darstellt, als daß sie nach unserer eingangs getroffenen Voraussetzung die in diesem Bereich wichtig werdende innere Struktur des Protons und dessen anomales magnetisches Moment vernachl¨ assigt. Eine realistischere Beschreibung liefert die Rosenbluth-Formel, in der der inneren Struktur des Protons durch sog. elektrische und magnetische Formfaktoren Rechnung getragen wird. Indessen beschreibt obige Formel mit sehr großer Genauigkeit die Streuung von Elektronen und Myonen, die sich beide wie strukturlose Dirac-Teilchen verhalten. Feynman-Graphen und charakteristische Faktoren. Nach den vielen, etwas l¨ anglichen Rechnungen ist es instruktiv, die bisherigen Ergebnisse dieses Unterabschnittes unter dem Gesichtspunkt ihrer Systematik und ihres Zusammenhangs mit Feynman-Graphen zu beleuchten. Nachdem wir die ¨ elektronischen und protonischen Ubergangsstr¨ ome identifiziert hatten, erhielten wir f¨ ur die Streuamplitude der Elektron-Proton-Streuung zun¨achst [siehe (3.85) und (3.86)]   ! (0) Sf i = −i d4 x d4 y eΨ¯f (x)γµ Ψi (x) DF (x − y)  (p) (p) × ep Ψ¯f (y)γ µ Ψi (y) . (3.98) Unter Bezugnahme auf unsere allgemeinen Betrachtungen in Unterabschn. 3.2.3 l¨ aßt sich dieser Ausdruck durch den in Abb. 3.9a gezeigten FeynmanGraph im Ortsraum darstellen. Die linke d¨ unne Linie mit positiver Zeitrich¨ tung stellt die Propagation des Elektrons (elektronischer Ubergangsstrom) dar und die rechte dicke, ebenfalls zeitlich vorw¨arts orientierte Linie die Pro(p) Ψ¯f (y) u ¯(pf , sf )

Ψ¯f (x)

u ¯(Pf , Sf )

−4π q 2 + i

(0)

x

DF (x − y) ep γ µ

eγµ

y

ep γ µ

eγµ

a

b (p)

Ψi (x) Ψi (y) u(pi , si ) u(Pi , Si ) Abb. 3.9. Feynman-Graphen der Streuamplitude
f¨ ur die Elektron-ProtonStreuung in erster Ordnung [bzw. in der Ordnung O e2 ] im Ortsraum (a) und Impulsraum (b). An jedem Vertex gilt Energie- und Impulserhaltung. Deshalb folgt f¨ ur den Viererimpuls¨ ubertrag q = pf − pi = −(Pf − Pi ).

258

3. Relativistische Streutheorie

¨ pagation des Protons (protonischer Ubergangsstrom). Der Einfluß der elektromagnetischen Wechselwirkung (Photonpropagator) wird durch die Wellenlinie symbolisiert, die man sich als virtuelles Photon vorstellen kann, welches zwischen Elektron und Proton ausgetauscht wird und an den beiden Vertizes x und y eine Streuung der Teilchen verursacht. Die Korrespondenz wird dadurch vervollst¨ andigt, daß man die vier ¨ außeren Fermionlinien (mit einem offenen Ende), die geschlossene Photonlinie (mit Anfangs- und Endpunkt) sowie die Vertizes mit bestimmten Faktoren versieht. Wie wir sp¨ater noch sehen werden, ist diese Faktorzuordnung charakteristisch und beh¨alt auch bei ¨ anderen Streuprozessen ihre G¨ ultigkeit, so daß man mit ein wenig Ubung die Formel f¨ ur die Streuamplitude anhand des zugeh¨origen Feynman-Graphen direkt hinschreiben kann. Nach Einsetzen der expliziten Ausdr¨ ucke f¨ ur die Wellenfunktionen und des Photonpropagators in (3.98) sowie anschließender Ausintegration gelangten wir dann zu < ⎫ 4 = ⎪ ⎪ (2π)4 δ(pf + Pf − pi − Pi ) m20 = M02 ⎪ > ⎪ M Sf i = −i f i ⎪ ⎪ V2 Ei Ef E (p) E (p) ⎬ i f (3.99) −4πeep ⎪ ⎪ u ¯(Pf , Sf )γ µ u(Pi , Si ) Mf i = u¯(pf , sf )γµ u(pi , si ) 2 ⎪ ⎪ q + i ⎪ ⎪ ⎭ q = pf − pi , wobei die vierdimensionale δ-Funktion die Energie- und Impulserhaltung des Streuprozesses zum Ausdruck bringt. Offenbar erh¨alt man den zugeh¨origen – genauer gesagt: den zu Mf i geh¨ orenden – Feynman-Graphen im Impulsraum (Abb. 3.9b), aus dem des Ortsraumes (Abb. 3.9a), indem man im letzteren die Ersetzungen (p)

Ψi,f (x) −→ u(pi,f , si,f ) , Ψi,f (y) −→ u(Pi,f , Si,f ) (0) ˜ (0) (q) = −4π , q = pf − pi DF (x − y) −→ D F q 2 + i

vornimmt. Dabei garantiert der Viererimpuls¨ ubertrag q die Energie- und Impulserhaltung an jedem Vertex. Insgesamt deutet sich somit eine enge Korrespondenz zwischen Streuprozessen, Feynman-Graphen und Streuamplituden an, auf die wir im weiteren Verlauf noch oft zur¨ uckkommen werden. Betrachten wir zum Schluß noch die Formel f¨ ur den differentiellen Wirkungsquerschnitt,   m0 M 0 1 |Mf i |2 (2π)4 δ(pf + Pf − pi − Pi ) dσ = Ei E (p) |j i |V i

m0 d3 pf M0 d3 Pf × , (2π)3 Ef (2π)3 E (p) f

3.3 Spin-1/2-Streuprozesse

259

die ebenfalls einige aufzeigenswerte charakteristische Z¨ uge enth¨alt: Neben der δ-Funktion und dem Amplitudenquadrat |Mf i |2 tritt f¨ ur jede ¨außere Fermionlinie ein Faktor m0 /E auf. Desweiteren liefert jedes auslaufende Teilchen zus¨ atzlich einen Phasenraumfaktor d3 p/(2π)3 . Der in den Klammern stehende Term l¨ aßt sich im Falle kollinearer Str¨ o$ me durch die Viererimpulse der ucken. einlaufenden Teilchen in der Weise m0 M0 / (pi · Pi ) − m20 M02 ausdr¨ 3.3.3 Elektron-Proton-Streuung (II) Wir dehnen unsere Betrachtungen der Elektron-Proton-Streuung weiter aus und diskutieren im folgenden die Korrekturen in zweiter Ordnung. Dabei versuchen wir zun¨ achst, den zugeh¨ origen Feynman-Graphen aufgrund obiger Korrespondenz¨ uberlegungen zu entwickeln und daraus die korrekte Form der (2) ¨ Streuamplitude Sf i abzuleiten. Anschließend u ufen wir unsere Uberle¨ berpr¨ gungen durch analytische Rechnungen. Direkte Streuamplitude.18 Die Streuamplitude zweiter Ordnung zeichnet sich dadurch aus, daß in ihr Elektron und Proton jeweils zwei Streuungen erleiden, die durch den Austausch von zwei virtuellen Photonen hervorgerufen werden. Zwischen den Streuungen bewegen sich die Fermionen und Photonen st¨ orungsfrei, und zwar mit einer Wahrscheinlichkeitsamplitude proportional zum Propagator des jeweiligen Teilchens. Demnach liegt es nahe, den entsprechenden Feynman-Graphen im Ortsraum in der in Abb. 3.10 gezeigten (p) Ψ¯f (X)

Ψ¯f (x) (0)

x

DF (x − X) eγµ

ep γ µ

(0)

(p,0)

SF (x − y) y

X

SF (0) DF (y

eγν

−Y) ep γ ν

(X − Y )

Y

(p)

Ψi (y) Ψi (Y ) Abb. 3.10. Feynman-Graph der direkten Streuamplitude
f¨ur die Elektron-Proton(p,0) Streuung in zweiter Ordnung [bzw. in der Ordnung O e4 ] im Ortsraum. SF bezeichnet den freien Feynmanschen Protonpropagator, der sich vom Elektronpro(0) pagator SF lediglich durch die Teilchenmasse unterscheidet. 18

Neben der direkten Streuamplitude existiert noch eine weitere, die sog. Austauschstreuamplitude, welche weiter hinten besprochen wird.

260

3. Relativistische Streutheorie

Weise zu zeichnen, wobei an den Endpunkten jeder Photonlinie wieder die Faktoren eγ µ bzw. ep γ µ stehen. Hieraus folgern wir f¨ ur die Streuamplitude     (2) Sf i (dir) = −i d4 x d4 y d4 X d4 Y  (0) × e2 Ψ¯f (x)γµ SF (x − y)γν Ψi (y) (0)

(0)

×DF (x − X)DF (y − Y )  (p) (p,0) (p) × e2p Ψ¯f (X)γ µ SF (X − Y )γ ν Ψi (Y ) ,

(3.100)

mit einem vorangestellten Faktor −i, in Anlehnung an (3.98). Nat¨ urlich ist klar, daß Abb. 3.10 nur ein Repr¨ asentant aller beitragenden Graphen darstellt, die sich aus den 4! M¨ oglichkeiten der zeitlichen Anordnung der Vertizes ergeben (siehe Abb. 3.11). Sie alle werden in (3.100) durch die vier ucksichtigt. Zeitintegrationen u ¨ ber x0 , y 0 , X 0 , Y 0 automatisch ber¨

y

x

X

x

Y

y

a

Y

X

x

Y

y X

b

c

Abb. 3.11. Drei der 4! m¨ oglichen relativen Zeitordnungen der Vertizes in Abb. 3.10. In a wird neben dem auslaufenden Elektron ein virtuelles Positron bei x erzeugt. In b und c wird neben dem auslaufenden Proton ein virtuelles Antiproton bei X erzeugt.

Nehmen wir nun in Abb. 3.10 die entsprechenden Ersetzungen vor, so f¨ uhrt dies auf Abb. 3.12 f¨ ur den Feynman-Graphen im Impulsraum, wobei an jedem Vertex Energie- und Impulserhaltung vorausgesetzt wird und der umlaufende Viererimpuls q1 als Freiheitsgrad u ¨ brigbleibt. Zusammen mit der insgesamt energie- und impulserhaltenden δ-Funktion sowie den Normierungs $ (p) faktoren m0 /Ei,f V , M0 /Ei,f V f¨ ur die ein- und auslaufenden Fermionen sollte sich hieraus schließlich f¨ ur die ausintegrierte Streuamplitude < 4 = 4 2 m0 = M02 (2π) δ(pf + Pf − pi − Pi ) (2) > Sf i (dir) = −i V2 Ei Ef E (p) E (p)  ×

i

−4πeep d q1 −4πeep 2 4 (2π) q1 + i (q − q1 )2 + i 4

f

3.3 Spin-1/2-Streuprozesse u ¯(pf , sf )

261

u ¯(Pf , Sf ) −4π q12 + i ep γ µ

eγµ p/f − q/1 + m0 (pf − q1 )2 − m20 + i

−4π (q − q1 )2 + i

P/f + q/1 + M0 (Pf + q1 )2 − M02 + i

ep γ ν

eγν

u(pi , si ) u(Pi , Si ) Abb. 3.12. Feynman-Graph der direkten Streuamplitude
f¨ur die Elektron-ProtonStreuung in zweiter Ordnung [bzw. in der Ordnung O e4 ] im Impulsraum. An jedem Vertex gilt Energie- und Impulserhaltung. Deshalb folgt f¨ ur den Viererimpuls¨ ubertrag q = pf − pi = −(Pf − Pi ).

  p/f − /q1 + m0 γ × u ¯(pf , sf )γµ u(p , s ) ν i i (pf − q1 )2 − m20 + i   P /f + /q1 + M0 µ ν × u ¯(Pf , Sf )γ γ u(Pi , Si ) (Pf + q1 )2 − M02 + i

(3.101)

ergeben, mit q = pf − pi = −(Pf − Pi ) und einem vorangestellten Faktor −i wie in (3.99). Vergleichen wir nun die beiden heuristisch hergeleiteten Ausdr¨ ucke (3.100) und (3.101) mit den sich unmittelbar aus Satz 3.5 ergebenden Streuamplituden. Ausgangspunkt hierzu ist ( f = +1, f = i)   (2) (0) A(x)SF (x − y)/ A(y)Ψi (y) Sf i (dir) = −ie2 d4 x d4 y Ψ¯f (x)/   = − d4 x d4 y  (0) × ie2 Ψ¯f (x)γµ SF (x − y)γν Ψi (y) Aµ (x)Aν (y) . (3.102) ¨ Ahnlich wie im vorigen Unterabschnitt sind wir zun¨achst bestrebt, den elek¨ tronischen und protonischen Ubergangsstrom (in zweiter Ordnung) zu identifizieren. Dabei sollte die Streuamplitude wieder symmetrisch unter beiden Str¨ omen sein. F¨ ur den Elektronstrom bietet sich der in den eckigen Klammern stehende Ausdruck (0)

(2) (x) = ie2 Ψ¯f (x)γµ SF (x − y)γν Ψi (y) Jµν

(3.103) (2)

an, wobei der Faktor i mitgenommen wurde, damit Jµν sich als Produkt von ¨ Ubergangsstr¨ omen erster Ordnung ausdr¨ ucken l¨aßt. Unter Verwendung der

262

3. Relativistische Streutheorie (0)

Wellenzerlegung (3.58) von SF haben wir n¨ amlich (2) (x) = e2 Θ(x0 − y 0 )Ψ¯f (x)γµ Jµν

2 

Ψp(r) (x)Ψ¯p(r) (y)γν Ψi (y)

p,r=1

−e2 Θ(y 0 − x0 )Ψ¯f (x)γµ

4 

Ψp(r) (x)Ψ¯p(r) (y)γν Ψi (y)

p,r=3 2    = e2 Θ(x0 − y 0 ) Ψ¯f (x)γµ Ψp(r) (x) Ψ¯p(r) (y)γν Ψi (y) p,r=1 4    Ψ¯f (x)γµ Ψp(r) (x) Ψ¯p(r) (y)γν Ψi (y)

−e2 Θ(y 0 − x0 )

p,r=3

= Θ(x0 − y 0 )

2  p,r=1

[Jµ (x)]f,(p,r) [Jν (y)](p,r),i

4 

−Θ(y 0 − x0 )

p,r=3

[Jµ (x)]f,(p,r) [Jν (y)](p,r),i .

Weil jeder Strom erster Ordnung nach (3.82) ein elektromagnetisches Feld der Form  (0) µ A (x) = d4 XDF (x − X)J (p)µ (X) hervorruft, liegt die Vermutung nahe, daß die in (3.102 ) stehende Feldkombination Aµ Aν u ¨ ber   (0) (0) Aµ (x)Aν (y) = d4 X d4 Y DF (x − X)DF (y − Y )J (p,2)µν (X, Y ) mit dem Protonstrom zweiter Ordnung J (p,2)µν verbunden ist, der seinerseits aufgrund von (3.103) in der Weise (p)

(p,0)

J (p,2)µν (X, Y ) = ie2p Ψ¯f (X)γ µ SF

(p)

(X − Y )γ ν Ψi (Y )

zu w¨ ahlen ist. Somit geht (3.102) u ¨ ber in die Gleichung     (2) d4 x d4 y d4 X d4 Y Sf i (dir) =  (0) × e2 Ψ¯f (x)γµ SF (x − y)γν Ψi (y) (0)

(0)

×DF (x − X)DF (y − Y )  (p) (p,0) (p) × e2p Ψ¯f (X)γ µ SF (X − Y )γ ν Ψi (Y ) ,

(3.104)

die mit dem heuristisch hergeleiteten Ausdruck (3.100) in der Tat u ¨bereinstimmt, allerdings nur bis auf einen Faktor −i. In diese Gleichung setzen wir ¨ nun zur Uberpr¨ ufung von (3.101) die bekannten Ausdr¨ ucke f¨ ur die Elektron-

3.3 Spin-1/2-Streuprozesse

263

und Protonwellenfunktionen sowie die Fourier-Darstellungen des Elektron-, Proton- und Photonpropagators ein. Dies f¨ uhrt zu < 4     = m20 = M02 1 (2) 4 4 4 > Sf i (dir) = 2 d x d y d X d4 Y V Ei Ef E (p) E (p) i f  4  4   d q1 d q2 d4 p d4 P × (2π)4 (2π)4 (2π)4 (2π)4   −4πeep −4πeep (/ p + m0 ) γν u(pi , si ) u ¯(pf , sf )γµ 2 × 2 q + i q22 + i p − m20 + i 1  (/ P + M0 ) × u ¯(Pf , Sf )γ µ 2 γ ν u(Pi , Si ) P − M02 + i ×e−iq1 ·(x−X) e−iq2 ·(y−Y ) eipf ·x e−ip·(x−y) ×e−ipi ·y eiPf ·X e−iP ·(X−Y ) e−iPi ·Y . Hierin lassen sich zuerst die Integrationen u uh¨ ber die Ortskoordinaten ausf¨ ren,     4 4 4 d x d y d X d4 Y e−iq1 ·(x−X) e−iq2 ·(y−Y ) eipf ·x e−ip·(x−y) ×e−ipi ·y eiPf ·X e−iP ·(X−Y ) e−iPi ·Y = (2π)4 δ(q1 + p − pf )(2π)4 δ(q2 − p + pi )(2π)4 δ(−q1 + P − Pf ) ×(2π)4 δ(−q2 − P + Pi ) , und danach die Integrationen u ¨ ber die Impulse p, P und q2 :     4 4 d q1 d q2 d4 p d4 P (2π)4 δ(q1 + p − pf ) 4 4 4 (2π) (2π) (2π) (2π)4 ×(2π)4 δ(q2 − p + pi )(2π)4 δ(−q1 + P − Pf )(2π)4 δ(−q2 − P + Pi )   p/ + m0 −4πeep −4πeep γ , s )γ u(p , s ) × 2 u ¯ (p f f µ 2 ν i i q + i q22 + i p − m20 + i  1 P / + M0 γ ν u(Pi , Si ) × u ¯(Pf , Sf )γ µ 2 P − M02 + i  −4πeep d4 q1 −4πeep = (2π)4 δ(pf + Pf − pi − Pi ) (2π)4 q12 + i (pf − pi − q1 )2 + i   p/f − /q1 + m0 γ u(p , s ) × u ¯(pf , sf )γµ ν i i (pf − q1 )2 − m20 + i   P /f + /q1 + M0 ν × u ¯(Pf , Sf )γ µ γ u(P , S ) . i i (Pf + q1 )2 − M02 + i Man beachte, daß die vier δ-Funktionen aus den Ortsintegrationen gerade die in Abb. 3.12 vorausgesetzte Energie- und Impulserhaltung an jedem Vertex zum Ausdruck bringen. F¨ ur die ausintegrierte Streuamplitude erhalten wir hieraus die Gleichung

264

3. Relativistische Streutheorie (2) Sf i (dir)

< 4 = m20 = M02 (2π)4 δ(pf + Pf − pi − Pi ) > = V2 Ei Ef E (p) E (p) i f  4 −4πeep d q1 −4πeep × (2π)4 q12 + i (q − q1 )2 + i   p/f − /q1 + m0 γ × u ¯(pf , sf )γµ u(p , s ) ν i i (pf − q1 )2 − m20 + i   P /f + /q1 + M0 ν × u ¯(Pf , Sf )γ µ γ u(P , S ) , (3.105) i i (Pf + q1 )2 − M02 + i

mit q = pf − pi = −(Pf − Pi ). Erfreulicherweise stimmt auch sie mit dem entsprechenden heuristischen Ausdruck (3.101) u ¨ berein, jedoch wiederum nur bis auf einen Faktor −i. Insgesamt demonstriert dieses Beispiel sehr sch¨on die Korrespondenz zwischen Streuprozessen, Feynman-Graphen und Streuamplituden. Im n¨achsten Unterabschnitt werden wir diese Korrespondenz in einige einfache Regeln fassen, die insbesondere auch die soeben bemerkten Unklarheiten bzgl. iFaktoren beseitigen. Austauschstreuamplitude. Neben der direkten Streuamplitude tr¨agt noch eine weitere Amplitude zur Elektron-Proton-Streuung in zweiter Ordnung bei, weil die beiden Photonen, die vom Protonstrom ausgesandt werden, nicht unterschieden werden k¨ onnen.19 So kann z.B. das Elektron, welches am Raumzeitpunkt x mit einem Photon wechselwirkt, nicht wissen, ob dieses Photon vom Vertex X oder Y stammt. Die vollst¨andige Streuamplitude erh¨ alt man daher durch die Addition (2)

(2)

(2)

Sf i = Sf i (dir) + Sf i (aus) , (2)

wobei Sf i (aus) die Austauschstreuamplitude bezeichnet und durch die Feynman-Graphen in Abb. 3.13 repr¨ asentiert wird. Sie unterscheidet sich von der (2) direkten Streuamplitude Sf i (dir) gerade dadurch, daß die Endpunkte der Photonlinien auf einer Seite, hier auf Seite des Protons, und die damit verbundenen γ-Faktoren vertauscht sind. Der ausintegrierte Ausdruck f¨ ur die Austauschstreuamplitude l¨ aßt sich deshalb durch die entsprechenden Ersetzungen in (3.105) sofort ermitteln und lautet < 4 4 2 = δ(p + P − p − P ) m M02 (2π) f f i i (2) 0 = > Sf i (aus) = V2 Ei Ef E (p) E (p)  × 19

i

f

−4πeep d q1 −4πeep 2 4 (2π) q1 + i (q − q1 )2 + i 4

Dar¨ uber hinaus existieren in dieser Ordnung auch Graphen, die mit der Produktion und Absorption von virtuellen Teilchen zusammenh¨ angen (siehe n¨ achster Unterabschnitt sowie Abschn. 3.4). Sie werden hier nicht weiter betrachtet.

3.3 Spin-1/2-Streuprozesse (p) Ψ¯f (X)

Ψ¯f (x)

u ¯(pf , sf )

(0)

ep γ ν X

x eγµ

(0)

SF (x − y)

y

(p,0)

SF

ep γ µ

eγν

ep γ ν

eγµ

(X − Y )

Y

u ¯(Pf , Sf )

−4π q12 + i

DF (x − Y )

265

p/f − q/1 + m0 (pf − q1 )2 − m20 + i

P/i − q/1 + M0 (Pi − q1 )2 − M02 + i

ep γ µ

eγν

−4π (q − q1 )2 + i

(0)

DF (y − X) (p)

Ψi (y) Ψi (Y ) u(pi , si ) u(Pi , Si ) a b Abb. 3.13. Feynman-Graphen der Austauschstreuamplitude f¨
 ur die ElektronProton-Streuung in zweiter Ordnung [bzw. in der Ordnung O e4 ] im Ortsraum (a) und Impulsraum (b). An jedem Vertex gilt Energie- und Impulserhaltung. Deshalb folgt f¨ ur den Viererimpuls¨ ubertrag q = pf − pi = −(Pf − Pi ).

  p/f − /q1 + m0 γν u(pi , si ) × u ¯(pf , sf )γµ (pf − q1 )2 − m20 + i   P /i − /q1 + M0 ν µ × u ¯(Pf , Sf )γ γ u(Pi , Si ) . (Pi − q1 )2 − M02 + i Insgesamt folgt der Satz 3.9: Elektron-Proton-Streuung in n¨ achstf¨ uhrender Ordnung Die Streuamplitude f¨ ur die Elektron-Proton-Streuung lautet in n¨achstf¨ uhrender Ordnung (f = i) < 4 = m20 = M02 (2π)4 δ(pf + Pf − pi − Pi ) (2) (2) > Sf i = M , V2 Ei Ef E (p) E (p) f i i

f

mit der lorentzinvarianten Amplitude (q = pf − pi )  −4πeep d4 q1 −4πeep (2) Mf i = (2π)4 q12 + i (q − q1 )2 + i   p/f − /q1 + m0 γν u(pi , si ) P µν × u¯(pf , sf )γµ (pf − q1 )2 − m20 + i und dem Protontensor



266

3. Relativistische Streutheorie



P

µν

P /f + /q1 + M0 γν (Pf + q1 )2 − M02 + i  P /i − /q1 + M0 ν µ γ u(Pi , Si ) . +γ (Pi − q1 )2 − M02 + i

= u ¯(Pf , Sf ) γ µ

Statischer Grenzfall. Die weitere Auswertung dieses Satzes ist im allgemeinen aufgrund des darin auftretenden vierdimensionalen Integrals schwierig und nichttrivial. Immerhin l¨ aßt sich die Rechnung f¨ ur den Grenzfall eines unendlich schweren, als Punktladung ruhenden Protons etwas weiter verfolgen. In diesem Fall vereinfacht sich der Protontensor unter Ber¨ ucksichtigung von ⎧ Pi ≈ Pf ≈ (M0 , 0) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎨ M0 ≈1 (p) (p) M0 → ∞ =⇒ Ei Ef ⎪ ⎪ ⎪ δ(E (p) − E (p) + Ef − Ei ) ≈ δ(Ef − Ei ) ⎪ ⎪ i f ⎪ ⎪ ⎩ u(Pi,f , Si,f ) ≈ u(0, Si,f ) und γ µ u(0, S) = g µ0 u(0, S) , zu

1 1 − = −2πiδ(q10 ) q10 + i q10 − i



P

µν

M0 γ 0 + /q1 + M0 γν (Pf + q1 )2 − M02 + i  M0 γ 0 − /q1 + M0 ν µ γ u(0, Si ) +γ (Pi − q1 )2 − M02 + i  M0 (γ 0 + 1) γν ≈ u¯(0, Sf ) γ µ 2 M0 + 2M0 q10 − M02 + i  M0 (γ 0 + 1) µ γ + γν 2 u(0, Si ) M0 − 2M0 q10 − M02 + i   γ0 + 1 ν γ0 + 1 µ γ + γν γ = u¯(0, Sf ) γ µ 0 u(0, Si ) 2q1 + i −2q10 + i   1 1 − 0 = g µ0 g ν0 u† (0, Sf )u(0, Si ) 0 q1 + i q1 − i

≈ u¯(0, Sf ) γ µ

= −2πig µ0 g ν0 δSf Si δ(q10 ) . Daraus folgt f¨ ur die Streuamplitude (2) Sf i

(2π)4 δ(Ef − Ei )δ(pf + P f − pi − P i )δSf ,Si ≈ −i V2

4

m20 Ei Ef

3.3 Spin-1/2-Streuprozesse

267



d4 q1 −4πeep −4πeep δ(q 0 ) ×2π (2π)4 q12 + i (q − q1 )2 + i 1   p/f − /q1 + m0 γ × u ¯(pf , sf )γ0 u(p , s ) . 0 i i (pf − q1 )2 − m20 + i Gehen wir nun davon aus, daß Impuls- und Polarisationseffekte des Protons nicht gemessen werden, daß also im Wirkungsquerschnitt u ¨ ber P f integriert, u ¨ber Si gemittelt und u ¨ ber Sf summiert wird, so k¨onnen wir in der letzten Gleichung die Ersetzung (2π)3 δ(pf + P f − pi − P i )δSf Si −→ V vornehmen. Im Wirkungsquerschnitt selber tritt n¨amlich dann die Integration  !2 1  V d3 Pf (2π)3 δ(pf + P f − pi − P i ) δSf Si 2 (2π)3 Sf ,Si

 =

V 2 d3 Pf (2π)3 δ(pf + P f − pi − P i ) = V 2 (2π)3

auf, wobei wieder [(2π)3 δ(pf + . . .)]2 → V (2π)3 δ(pf + . . .) benutzt wurde. Insgesamt erhalten wir deshalb 4 m20 2πδ(Ef − Ei ) (2) Sf i ≈ −i V Ei Ef  3  −4πeep −4πeep d q1 δ(q 0 ) × dq10 2 3 (2π) q1 + i (q − q1 )2 + i 1   p/f − /q1 + m0 γ0 u(pi , si ) × u ¯(pf , sf )γ0 (pf − q1 )2 − m20 + i 4  2πδ(Ef − Ei ) m20 d3 q1 −4πeep −4πeep = −i V Ei Ef (2π)3 q 21 (q − q 1 )2

 γ0 Ei + γ(pf − q 1 ) + m0 u(pi , si ) . × u¯(pf , sf ) p2f − (pf − q 1 )2 + i Wie sich zeigen l¨ aßt, entspricht dies genau der Streuamplitude f¨ ur die Coulomb-Streuung von Elektronen in zweiter Ordnung. Das verbleibende dreidimensionale Integral ist divergent, was auf die Langreichweitigkeit des Coulomb-Potentials zur¨ uckzuf¨ uhren ist. 3.3.4 Vorl¨ aufige Feynman-Regeln im Impulsraum Bevor wir in den n¨ achsten Unterabschnitten weitere Streuprozesse diskutieren, wollen wir an dieser Stelle unsere bisher beobachteten Korrespondenzen zwischen Streuprozessen, Feynman-Graphen und Streuamplituden zusammentragen und in einen einfachen Satz von Regeln im Impulsraum gie-

268

3. Relativistische Streutheorie

ßen, welche die Berechnung von Streuamplituden und Wirkungsquerschnitten stark vereinfachen und in Bezug auf i-Faktoren eindeutig machen. Allerdings sind diese Feynman-Regeln in der hier dargelegten Form noch nicht vollst¨ andig und m¨ ussen im weiteren Verlauf an entsprechender Stelle erg¨anzt werden. Den vollst¨ andigen Satz von Feynman-Regeln geben wir in Unterabschn. 3.3.9 an, nachdem wir auch andere Arten von Streuprozessen, insbesondere solche mit Beteiligung reeller Photonen, besprochen haben. 1. Die Streuamplitude eines Streuprozesses der Art I + I  −→ F + F 

(I=einlaufende, F =auslaufende Teilchen)

ist gegeben durch Sf i

(2π)4 δ(pf + pf − pi − pi ) = V2



4 Ni Ei

Ni Ei

4

4 Nf Ef

Nf Ef

Mf i ,

(...)

wobei Ni,f = m0i,f die Fermionfaktoren sind. F¨ ur jedes einlaufende Antifermion (auslaufende Fermionwellenfunktion negativer Energie) ergibt sich zus¨ atzlich ein Faktor (−1). 2. Der zugeh¨ orige differentielle Wirkungsquerschnitt lautet bei kollinearen Str¨ omen Ni Ni dσ =  |Mf i |2 (2π)4 δ(pf + pf − pi − pi )  2 2 2 (pi · pi ) − m0,i m0,i ×

Nf d3 pf Nf d3 pf . (2π)3 Ef (2π)3 Ef

3. Die lorentzinvariante Amplitude Mf i l¨ aßt sich nach Potenzen der Kopplungskonstanten e entwickeln. Die einzelnen Entwicklungsglieder der Ordnung O (en ) ergeben sich aus den Feynman-Graphen im Impulsraum, welche ihrerseits s¨ amtliche topologischen Konstellationen von Fermionlinien, Photonlinien und n Vertizes enthalten, die mit der Kinematik des betrachteten Streuprozesses im Einklang stehen. 4. Innerhalb der Feynman-Graphen werden die Vertizes, Fermion- und Photonlinien mit den in Abb. 3.14 angegebenen Faktoren versehen. ¨ 5. An jedem Vertex gilt Viererimpulserhaltung. Uber alle dadurch noch ; nicht festgelegten Impulse p wird in der Amplitude Mf i mit d4 p/(2π)4 integriert. Zu 1. und 2. Die G¨ ultigkeit dieser Regeln wurde bislang nur in erster und teilweise zweiter Ordnung (im Sinne der Streureihentermnummer) gezeigt. Wie sich jedoch herausstellt, gelten sie in jeder beliebigen Ordnung der Streutheorie. Der Faktor (−1) ergibt sich aus f = −1 im Falle eines in den Streubereich einlaufenden Antifermions.

3.3 Spin-1/2-Streuprozesse

Einlaufendes Fermion

Einlaufendes Antifermion

u(pi , si )

v¯(¯ pi , s¯i )

Auslaufendes Fermion

Auslaufendes Antifermion

u ¯(pf , sf )

Innere Fermionlinie (0)

iS˜F (p) =

i(/ p + m0 ) p2 − m20 + i

269

v(¯ pf , s¯f )

Innere Photonlinie (0)µν

˜ iD F

(q) =

−4πig µν q 2 + i

Vertex Der Index µ wird mit demjenigen der Photonlinie kontrahiert

−ieγµ Abb. 3.14. Feynman-Graphelemente und charakteristische Faktoren im Impulsraum.

Zu 3. (Baumgraphen und Schleifengraphen). Bisher haben wir ausschließlich Streuprozesse studiert, bei denen das elektromagnetische Potential Aµ entweder ein klassisches Hintergrundfeld darstellt (Coulomb-Streuung von ¨ Elektronen, Unterabschn. 3.3.1) oder durch die Ubergangsstr¨ ome von gegenseitig gestreuten Teilchen erzeugt bzw. abgestrahlt wird (Elektron-ProtonStreuung, Unterabschn. 3.3.2 und 3.3.3). Dabei stellte sich heraus, daß sich im letzteren Fall die elektromagnetische Wechselwirkung als ein Austausch virtueller Photonen zwischen beiden Teilchen auffassen l¨aßt. In der FeynmanDiagrammatik spiegelt sich dies durch eine innere Photonlinie in erster Ordnung und zwei innere Photonlinien in zweiter Ordnung wider, die jeweils einen Vertex des ersten Teilchens mit einem Vertex des zweiten Teilchens verbinden. W¨ urde man z.B. die Elektron-Proton-Streuung in derselben Weise wie vorhin in noch h¨ oheren Ordnungen berechnen, so liefe dies graphisch gesehen auf eine immer gr¨ oßere Anzahl von inneren Photonlinien zwischen Elektron und Proton hinaus. Derartige Graphen nennt man Baumgraphen (engl. tree diagrams) und sind in der 3. Regel nat¨ urlich enthalten. Der entscheidende Punkt ist nun, daß die 3. Regel aufgrund der kombinatorischen Vielfalt von Vertizes und Linien in h¨oheren Ordnungen aber auch die Konstruktion von Schleifengraphen (engl. loop diagrams) erlaubt, so wie sie beispielsweise in Abb. 3.15 dargestellt sind. Diese Sorte von Gra-

270

3. Relativistische Streutheorie

a

b

Abb. 3.15. M¨ ogliche Schleifengraphen nach der 3. Feynman-Regel: Vakuumpolarisation (a) und Selbstenergie (b).

phen liegt ganz klar außerhalb unseres Streuformalismus (mit seiner Betrachtungsweise von klassischen Hintergrundfeldern bzw. seiner Modifikation durch Strom-Strom-Wechselwirkungen) und l¨aßt sich nur quantenfeldtheoretisch begr¨ unden. Physikalisch entsprechen die Schleifengraphen sog. Strahlungskorrekturen, die durch Quantenfluktuationen des Vakuums hervorgerufen werden und z.B. Auswirkungen auf das gyromagnetische Verh¨altnis des Elektrons und auf das Bindungsspektrum atomarer Systeme haben. Mit ihnen werden wir uns in Abschn. 3.4 genauer auseinandersetzen. Dagegen konzentrieren wir uns in diesem Abschnitt weiterhin auf die Baumgraphen von Streuprozessen in den niedrigsten Ordnungen (vgl. die einleitenden Bemerkungen zu diesem Abschnitt). Zu 4. Prinzipiell ist zu beachten, daß Feynman-Graphen auf Ebene der Wellenfunktionen zu konstruieren sind. Somit folgt die Viererimpulspfeilrichtung der ¨ außeren Antifermionlinien aus der Feynman-St¨ uckelberg-Interpretation, nach der ein zeitlich vorw¨ arts einlaufendes [auslaufendes] Antifermion durch eine zeitlich r¨ uckw¨ arts auslaufende [einlaufende] fermionische Wellenfunktion mit negativer Energie beschrieben wird. Die in den Bispinoren stehenden Impulse und Spins beziehen sich dagegen auf die Teilchenebene; sie sind im antifermionischen Fall der jeweiligen Pfeilrichtung entgegengesetzt. Die inneren Fermion-, Photonlinien und Vertizes sind hier offensichtlich mit etwas anderen Faktoren belegt, als wir es bisher getan haben. Hierdurch werden Unsicherheiten bzgl. i-Faktoren in der Streuamplitude vermieden, denen wir im vorigen Unterabschnitt begegnet sind und die daher r¨ uhren, daß wir bei der Elektron-Proton-Streuung die elektronischen und protonischen ¨ Ubergangsstr¨ ome in erster Ordnung ohne einen Faktor i, aber in zweiter Ordnung mit einem Faktor i definiert hatten. Das heißt in erster Ordnung stießen wir f¨ ur die Streuamplitude auf die Gleichung (3.85), die sich schematisch in der Weise (0)

Sf i ∼ −iJµ (x)DF (x − y)J (p)µ (y) schreiben l¨ aßt. In zweiter Ordnung kamen wir zu (3.104), also zu (2)

(0)

(0)

(2) (x, y)DF (x − X)DF (y − Y )J (p,2)µν (X, Y ) , Sf i ∼ −Jµν

wo der i-Faktor in den elektronischen (und damit auch in den protonischen) Strom aus Gr¨ unden der Faktorisierbarkeit hineingezogen wurde. Weil diese Faktorisierung auch in h¨ oheren Ordnungen gelten soll, gelangt man zu einem eindeutigen Umgang mit den i-Faktoren, indem man alle auftretenden Fermionpropagatoren mit dem Faktor +i und alle auftretenden Felder Aµ mit dem

3.3 Spin-1/2-Streuprozesse

271

(n)

Faktor −i versieht und daf¨ ur den vorangestellten Faktor −i in Sf i fallenl¨aßt (1. Regel), denn es gilt (n)

(0)

(0)

Sf i ∼ −i/ A(+iSF ) · · ·A / = (−i/ A)(+iSF ) · · · (−i/ A) . Wie man sich leicht klarmacht, entspricht dies genau der in Abb. 3.14 gezeigten Faktorzuordnung der inneren Fermion-, Photonlinien und Vertizes. 3.3.5 Elektron-Elektron-Streuung Wir kommen nun zum Prozeß der Elektron-Elektron-Streuung, dessen Beschreibung wir mit Hilfe der soeben dargelegten Regeln in f¨ uhrender Ordnung durchf¨ uhren werden. Die kinematische Situation, in der die Elektronen aneinander vorbeifliegen, ist in Abb. 3.16a dargestellt. Hierzu geh¨ort der Feynman-Graph der Abb. 3.16b, aus der sich sofort die lorentzinvariante Amplitude Mf i (dir) = u ¯(pf , sf )(−ie)γµ u(pi , si )

−4πi u ¯(pf , sf )(−ie)γ µ u(pi , si ) q 2 + i

q = pf − pi


 ableiten l¨ aßt. Sie ist offensichtlich strukturell gleich aufgebaut wie die O e2 Amplitude der Elektron-Proton-Streuung in Satz 3.8, was aufgrund der kine¨ matischen Ahnlichkeit beider Prozesse nicht weiter verwundert. Neben dieser direkten Streuung ist allerdings noch eine weitere zu ber¨ ucksichtigen, weil wir es hier, anders als bei der Elektron-Proton-Streuung, mit identischen Teilchen zu tun haben. Das heißt wir sind nicht in der Lage, im Streuexperiment die u ¯(pf , sf )

u ¯(pf , sf )

pf pi

−4πi q 2 + i

θ pi

−ieγ µ

−ieγµ

pf a

b

u(pi , si ) u(pi , si ) Abb. 3.16. Elektron-Elektron-Streuung. a gibt die kinematische Situation der direkten Streuung im Schwerpunktsystem wieder
 und b den Feynman-Graph der direkten Streuamplitude in der Ordnung O e2 im Impulsraum (vgl. Abb. 3.9b). An jedem Vertex gilt Energie- und Impulserhaltung. Deshalb folgt f¨ ur den Viererimpuls¨ ubertrag q = pf − pi = −(pf − pi ).

272

3. Relativistische Streutheorie u ¯(pf , sf )

u ¯(pf , sf ) pf

pi

θ pi

−ieγµ

−4πi q 2 + i

−ieγ µ

pf a

b

u(pi , si ) u(pi , si ) Abb. 3.17. Elektron-Elektron-Streuung. a gibt die kinematische Situation der Austauschstreuung im Schwerpunktsystem wieder
 und b den Feynman-Graph der Austauschstreuamplitude in der Ordnung O e2 im Impulsraum. An jedem Vertex gilt Energie- und Impulserhaltung. Deshalb folgt f¨ ur den Viererimpuls¨ ubertrag q  = pf − pi = −(pf − pi ).

kinematische Situation aus Abb. 3.16a von derjenigen aus Abb. 3.17a zu unterscheiden, in der sich beide Elektronen gegenseitig reflektieren. Zus¨atzlich zur direkten Amplitude Mf i (dir) haben wir deshalb auch die Austauschamplitude Mf i (aus) mitzunehmen, die sich aus Mf i (dir) durch die Ersetzung pf ↔ pf ergibt. Insgesamt erhalten wir somit f¨ ur die Streuamplitude (f = i) 4 4 ⎫ (2π)4 δ(pf + pf − pi − pi ) ⎪ m20 m20 ⎪ Sf i = Mf i ⎪ ⎪ ⎪ V2 Ei Ef Ei Ef ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Mf i = Mf i (dir) − Mf i (aus) ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ 2 4πie   µ   Mf i (dir) = u¯(pf , sf )γµ u(pi , si ) 2 u ¯(pf , sf )γ u(pi , si ) ⎪ (3.106) q + i ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 4πie µ   ⎪   ⎪ u¯(pf , sf )γ u(pi , si ) ⎪ ¯(pf , sf )γµ u(pi , si ) 2 Mf i (aus) = u ⎪ ⎪ q + i ⎪ ⎪ ⎪ ⎭   q = pf − pi , q = pf − pi . Dabei tr¨ agt das relative Vorzeichen zwischen Mf i (dir) und Mf i (aus) der Fermi-Dirac-Statistik Rechnung, nach der im Falle identischer Fermionen die gesamte Streuamplitude antisymmetrisch sein muß unter dem Austausch der beiden Fermionen im Anfangszustand (pi ↔ pi ) oder auch im Endzustand (pf ↔ pf ). Wirkungsquerschnitt. Zur Berechnung des differentiellen Wirkungsquerschnittes

3.3 Spin-1/2-Streuprozesse

273

m20 dσ = $ |Mf i |2 (2π)4 δ(pf + pf − pi − pi ) (pi · pi )2 − m40 ×

3  m0 d3 pf m0 d pf (2π)3 Ef (2π)3 Ef

(3.107)

k¨ onnen wir ¨ ahnlich vorgehen wie bei den Rechnungen im Elektron-ProtonFall, die zu (3.92) f¨ uhrten. Allerdings ist es hier realistischer, nicht im Laborsondern im Schwerpunktsystem zu arbeiten. Dort gilt aufgrund der Impulserhaltung 0 pi = −pi , pf = −pf   pi + pi = 0 = pf + pf =⇒ Ei = Ei , Ef = Ef und aufgrund der Energieerhaltung 0 Ei = Ei = Ef = Ef   Ei + Ei = Ef + Ef =⇒ |pi | = |pi | = |pf | = |pf | . Mit Hilfe der Identit¨ aten 2 m0 m20 m20 $ $ = = 2Ei |pi | (pi · pi )2 − m40 (Ei2 + p2i )2 − m40  d3 pf 2 0 d3 pf = |pf |Ef dEf dΩ , = 2 d4 pf δ(p2 f − m0 )Θ(pf ) Ef l¨aßt sich nun (3.107) umschreiben zu (cm=center of mass system)    dσ m40 = |p | d4 pf |Mf i |2 δ(pf + pf − pi − pi ) dE f f dΩ cm (2π)2 Ei |pi | 2 0 ×δ(p2 f − m0 )Θ(pf )  m40 = dEf |pf ||Mf i |2p
=p
+pi −pf i f (2π)2 Ei |pi | !  2 2 0 ×δ (pi + pi − pf ) − m0 Θ(pi + p0i − p0f )  m40 = dEf |pf ||Mf i |2p
=p
+pi −pf δ([4Ei (Ei − Ef )] i f (2π)2 Ei |pi | ×Θ(2Ei − Ef ) 2Ei m40 dEf |pf ||Mf i |2p
=p
+pi −pf δ[4Ei (Ei − Ef )] = i f (2π)2 Ei |pi | m0

m40 = (2π)2 Ei |pi |

2Ei δ(Ef − Ei ) dEf |pf ||Mf i |2p
=p
+pi −pf i f 4Ei

m0

m40 = |Mf i |2cm . 4(2π)2 Ei2

(3.108)

274

3. Relativistische Streutheorie

Amplitudenquadrat. Zur n¨ aheren Bestimmung von |Mf i |2cm gehen wir wie im Elektron-Proton-Fall davon aus, daß Polarisationseffekte keine Rolle spielen, und betrachten das Amplitudenquadrat  |Mf i |2 = |Mf i (dir)|2 + |Mf i (aus)|2 − 2Re Mf i (dir)Mf†i (aus) , in dem u amtliche einlaufenden Spins si , si gemittelt (Faktor 1/4) und ¨ ber s¨ u amtliche auslaufenden Spins sf , sf summiert wird. Durch Vergleich ¨ber s¨ von (3.106) mit (3.94) k¨ onnen wir das Quadrat der direkten Amplitude und der Austauschamplitude sofort von (3.95) und (3.96) mit den entsprechenden Ersetzungen ablesen und erhalten ! (4π)2 e4 tr [Λ+ (pf )γµ Λ+ (pi )γν ] tr Λ+ (pf )γ µ Λ+ (pi )γ ν 4(q 2 )2 (4π)2 e4 (pi · pi )(pf · pf ) + (pi · pf )(pf · pi ) = 2m40 (q 2 )2 ! (3.109) −m20 (pi · pf ) − m20 (pi · pf ) + 2m40

|Mf i (dir)|2 =

! (4π)2 e4 tr Λ+ (pf )γµ Λ+ (pi )γν tr [Λ+ (pf )γ µ Λ+ (pi )γ ν ] 2 2 4(q ) (4π)2 e4 (pi · pi )(pf · pf ) + (pi · pf )(pf · pi ) = 2m40 (q 2 )2 ! (3.110) −m20 (pi · pf ) − m20 (pi · pf ) + 2m40 . : Der Interferenzterm l¨ aßt sich unter Ber¨ ucksichtigung von u(p, s)¯ u(p, s) = |Mf i (aus)|2 =

s

Λ+ (p) wieder auf eine doppelte Spinsumme zur¨ uckf¨ uhren und anschließend mit Hilfe von Satz 3.6 weiter vereinfachen:   2Re Mf i (dir)Mf†i (aus) = 2 Mf i (dir)Mf†i (aus) =

  4πie2 1  ¯(pf , sf )γ µ u(pi , si ) u ¯(pf , sf )γµ u(pi , si ) 2 u 2 q sf , si s
f , s
i

 † 4πie2   ν   × u¯(pf , sf )γν u(pi , si ) 2 u ¯(pf , sf )γ u(pi , si ) q ! (4π)2 e4  = u(pf , sf )γ µ u(pi , si ) u ¯(pf , sf )γµ u(pi , si )¯ 2q 2 q 2 sf , si s
f , s
i

! × u ¯(pi , si )γ ν u(pf , sf )¯ u(pi , si )γν u(pf , sf ) ! (4π)2 e4  = [¯ u(pf , sf )γµ u(pi , si )] u ¯(pi , si )γν u(pf , sf ) 2 2 2q q sf , si s
f , s
i

3.3 Spin-1/2-Streuprozesse

275

! × u ¯(pf , sf )γ µ u(pi , si ) [¯ u(pi , si )γ ν u(pf , sf )] ! (4π)2 e4  = u ¯(pf , sf )γµ Λ+ (pi )γν u(pf , sf ) 2q 2 q 2 sf ,s
f ! × u ¯(pf , sf )γ µ Λ+ (pi )γ ν u(pf , sf ) ! (4π)2 e4 tr Λ+ (pf )γµ Λ+ (pi )γν Λ+ (pf )γ µ Λ+ (pi )γ ν 2q 2 q 2 (4π)2 e4 = −2(pi · pi )(pf · pf ) + m20 (pi · pi + pi · pf 2m40 q 2 q 2 ! + pi · pf + pf · pi + pf · pf + pi · pf ) − 2m40 . (3.111)

=

F¨ uhren wir nun die drei Amplitudenquadratbeitr¨age zusammen und ersetzen die darin vorkommenden Skalarprodukte durch die im Schwerpunktsystem g¨ ultigen Beziehungen ⎫ pi · pi = pi · pi = pf · pf = pf · pf = m20 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪   2 2 ⎪ ⎪ pi · pi = pf · pf = 2Ei − m0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 θ 2 ⎪   2 ⎪ + m0 cos θ pi · pf = pi · pf = 2Ei sin ⎪ ⎬ 2 (3.112) θ ⎪ pi · pf = pi · pf = 2Ei2 cos2 − m20 cos θ ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 θ 2 2 2 2 ⎪ q = (pf − pi ) = −4(Ei − m0 ) sin ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ θ ⎪ q 2 = (pf − pi )2 = −4(Ei2 − m20 ) cos2 , ⎭ 2 so l¨ aßt sich |Mf i |2cm nach einigen algebraischen Umformungen schließlich in die einfache Form   (2π)2 e4 4(2Ei2 − m20 )2 4Ei2 (Ei2 + p2i ) − m40 2 |Mf i | cm = − +1 m40 p4i sin4 θ p4i sin2 θ bringen. Daß hierbei nur trigonometrische Potenzen von sin2 θ auftreten, ist plausibel, weil der differentielle Wirkungsquerschnitt aufgrund der Identit¨at der betrachteten Teilchen symmetrisch unter θ → π − θ sein muß. Satz 3.10: Elektron-Elektron-Streuung in f¨ uhrender Ordnung Die Streuamplitude f¨ ur die Elektron-Elektron-Streuung (Møller-Streuung) lautet in f¨ uhrender Ordnung (f = i) 4 4 (2π)4 δ(pf + pf − pi − pi ) m20 m20 Sf i = Mf i , V2 Ei Ef Ei Ef mit der lorentzinvarianten Amplitude (q = pf − pi , q  = pf − pi )



276

3. Relativistische Streutheorie

Mf i = Mf i (dir) − Mf i (aus) 4πie2 Mf i (dir) = u¯(pf , sf )γµ u(pi , si ) 2 u ¯(pf , sf )γ µ u(pi , si ) q + i 4πie2 Mf i (aus) = u u¯(pf , sf )γ µ u(pi , si ) . ¯(pf , sf )γµ u(pi , si ) 2 q + i Hieraus folgt f¨ ur den differentiellen Wirkungsquerschnitt m20 dσ = $ |Mf i |2 (2π)4 δ(pf + pf − pi − pi ) (pi · pi )2 − m40 ×

m0 d3 pf m0 d3 pf (2π)3 Ef (2π)3 Ef

und speziell im Schwerpunktsystem  dσ m40 = |Mf i |2cm , dΩ cm 4(2π)2 Ei2 wobei in der letzten Gleichung u ¨ ber alle elektronischen Streuimpulse pf in Richtung dΩ und alle elektronischen Streuimpulse pf ausintegriert wurde. Durch Vernachl¨ assigung s¨ amtlicher Polarisationseffekte erh¨alt man f¨ ur das unpolarisierte Amplitudenquadrat   (2π)2 e4 4(2Ei2 − m20 )2 4Ei2 (Ei2 + p2i ) − m40 |Mf i |2cm = − + 1 . m40 p4i sin4 θ p4i sin2 θ Dieses Beispiel macht deutlich, wie effektiv und zeitsparend die konsequente Anwendung der Regeln des vorigen Unterabschnittes ist. Man $ beachte, daß in der Streuamplitude kein zus¨ atzlicher Faktor 1/2 oder 1/2 auftritt, so wie man es aufgrund der Identit¨ at der betrachteten Teilchen erwarten k¨onnte. Auch die Regeln f¨ ur die Berechnung des differentiellen Wirkungsquerschnittes werden durch das Auftreten identischer Teilchen nicht ver¨andert. Allerdings muß beim totalen Wirkungsquerschnitt ein Faktor 1/2 angebracht werden, um eine Doppelz¨ ahlung der identischen Teilchen im Endzustand zu verhindern. 3.3.6 Elektron-Positron-Streuung Als n¨ achstes untersuchen wir die Elektron-Positron-Streuung in f¨ uhrender Ordnung nach den Regeln aus Unterabschn. 3.3.4. Hierbei werden wir eine interessante Entdeckung machen, daß n¨ amlich die zugeh¨orige Streuamplitude unmittelbar mit derjenigen der Elektron-Elektron-Streuung zusammenh¨angt – ein Ph¨ anomen, das ganz allgemein bei Gegen¨ uberstellung von TeilchenTeilchen- und Teilchen-Antiteilchen-Prozessen gilt.

3.3 Spin-1/2-Streuprozesse

277

Die naheliegenste kinematische Konstellation bei der Elektron-PositronStreuung besteht analog zur Elektron-Elektron-Streuung in der direkten Streuung, also im gegenseitigen Vorbeiflug beider Teilchen, so wie es in Abb. 3.18a dargestellt ist. Bei der Konstruktion des zugeh¨origen Feynmanu ¯(pf , sf )

v(¯ pf , s¯f )

pf −4πi q 2 + i

θ

pi

p¯i

−ieγ µ

−ieγµ

p¯f a

b

v¯(¯ pi , s¯i ) u(pi , si ) Abb. 3.18. Elektron-Positron-Streuung. a gibt die kinematische Situation der direkten Streuung im Schwerpunktsystem wieder
 und b den Feynman-Graph der direkten Streuamplitude in der Ordnung O e2 im Impulsraum (vgl. Abb. 3.16). Die ungestrichenen Gr¨ oßen beziehen sich auf das Elektron, die waagerecht u ¨ berstrichenen Gr¨ oßen auf das Positron. An jedem Vertex gilt Energie- und Impulserhaltung. Deshalb folgt f¨ ur den Viererimpuls¨ ubertrag q = pf − pi = −(¯ pf − p¯i ).

Graphen ist zu ber¨ ucksichtigen, daß dem zeitlich vorw¨arts ein- bzw. auslaufenden Positron zeitlich r¨ uckw¨ arts aus- bzw. einlaufende elektronische DiracWellen negativer Energie entsprechen. Deshalb sind in Abb. 3.18b auf der rechten (positronischen) Seite die Zeitpfeile r¨ uckw¨arts gerichtet und der Vertex mit dem Faktor −ieγ µ belegt (und nicht mit +ieγ µ , wie man es aufgrund des Ladungsvorzeichens des Positrons erwarten k¨onnte). Die in den v-Bispinoren stehenden Impulse und Spins beziehen sich dagegen auf die Teilchenebene, also auf das zeitlich vorw¨ arts bewegte Positron. Insgesamt folgt die Amplitude −4πi v¯(¯ pi , s¯i )(−ie)γ µ v(¯ ¯(pf , sf )(−ie)γµ u(pi , si ) 2 pf , s¯f ) Mf i (dir) = u q + i q = pf − pi . Eine weitere m¨ ogliche Streukonstellation ist, daß das einlaufende Elektron und Positron beim Zusammenstoß“ vernichtet werden und ein neues aus” laufendes Elektron-Positron-Paar entsteht (siehe Abb.3.19a). Der zugeh¨orige Vernichtungsgraph ist in Abb. 3.19b dargestellt und f¨ uhrt zu der Amplitude −4πi u¯(pf , sf )(−ie)γ µ v(¯ pi , s¯i )(−ie)γµ u(pi , si ) 2 pf , s¯f ) Mf i (aus) = v¯(¯ q + i q  = pi + p¯i .

278

3. Relativistische Streutheorie u ¯(pf , sf )

v(¯ pf , s¯f )

pf −ieγµ pi

θ p¯i

−4πi q 2 + i −ieγ µ

p¯f a

b

v¯(¯ pi , s¯i ) u(pi , si ) Abb. 3.19. Elektron-Positron-Streuung. a gibt die kinematische Situation der Vernichtungsstreuung im Schwerpunktsystem wieder
und b den Feynman-Graph der Vernichtungsstreuamplitude in der Ordnung O e2 im Impulsraum (vgl. Abb. 3.17), f¨ ur die wir aus Bequemlichkeitsgr¨ unden das Symbol aus“ beibehalten. An ” jedem Vertex gilt Energie- und Impulserhaltung. Deshalb folgt f¨ ur den Viererimpuls¨ ubertrag q  = pi + p¯i = pf + p¯f .

Die Besonderheit hierbei ist, daß der Viererimpuls¨ ubertrag q  , anders als bei allen bisher betrachteten Prozessen, zeitartig ist, weshalb die Photonlinie in Abb. 3.19b vertikal gezeichnet ist. Man sieht dies am besten im Schwerpunktsystem, wo pi = (Ei , p), p¯i = (Ei , −p), so daß folgt: q  = (2Ei , 0), q 2 > 0. Kombination der beiden Amplituden ergibt schließlich insgesamt (f = i) 4 4 ⎫ ⎪ (2π)4 δ(pf + p¯f − pi − p¯i ) m20 m20 ⎪ ⎪ Sf i = − Mf i ⎪ ⎪ 2 ¯ ¯ ⎪ V Ei Ef Ei Ef ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Mf i = Mf i (dir) − Mf i (aus) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ 2 4πie (3.113) v¯(¯ pi , s¯i )γ µ v(¯ pf , s¯f ) ⎪ Mf i (dir) = u¯(pf , sf )γµ u(pi , si ) 2 ⎪ q + i ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 4πie2 µ ⎪ u ¯(pf , sf )γ v(¯ pi , s¯i )γµ u(pi , si ) 2 pf , s¯f ) ⎪ Mf i (aus) = v¯(¯ ⎪ ⎪ q + i ⎪ ⎪ ⎪ ⎭  q = pf − pi , q = pi + p¯i . Das relative Vorzeichen zwischen Mf i (dir) und Mf i (aus) ist wieder eine Folge der auf Ebene der Wellenfunktionen geltenden Fermi-Dirac-Statistik und bringt die notwendige Antisymmetrie zwischen dem einlaufenden Elektron uckw¨arts einlaufenden Elektron nepositiver Energie (pi ) und dem zeitlich r¨ gativer Energie (−¯ pf ) oder auch zwischen dem auslaufenden Elektron positiver Energie (pf ) und dem zeitlich r¨ uckw¨ arts auslaufenden Elektron negativer Energie (−¯ pi ) zum Ausdruck.

3.3 Spin-1/2-Streuprozesse

279

Wirkungsquerschnitt. Da die Elektron-Positron-Streuung in Bezug auf die Energie- und Impulsverh¨ altnisse auf Teilchenebene mit der ElektronElektron-Streuung u onnen wir die Berechnung des differenti¨bereinstimmt, k¨ ellen Wirkungsquerschnittes aus dem vorigen Unterabschnitt mit den Ersetandig u zungen pi,f → p¯i,f vollst¨ ¨ bernehmen. Somit erhalten wir im Schwerpunktsystem wieder  dσ m40 = |Mf i |2cm . dΩ cm 4(2π)2 Ei Amplitudenquadrat. Die weitere Berechnung von |Mf i |2 verl¨auft dagegen anders als bei der Elektron-Elektron-Streuung. Da wieder s¨amtliche Polarisationseffekte vernachl¨ assigt werden sollen, betrachten wir das u ¨ ber alle einlaufenden Spins si , s¯i gemittelte (Faktor 1/4) und u ¨ ber alle auslaufenden Spins sf , s¯f summierte Amplitudenquadrat  |Mf i |2 = |Mf i (dir)|2 + |Mf i (aus)|2 − 2Re Mf i (dir)Mf†i (aus) und werten die drei Einzelterme unter Anwendung von Satz 3.6 wie folgt aus: (4π)2 e4  |Mf i (dir)|2 = [¯ u(pf , sf )γµ u(pi , si )][¯ v (¯ pi , s¯i )γ µ v(¯ pf , s¯f )] 4(q 2 )2 sf , si s¯f , s¯i

×[¯ u(pf , sf )γν u(pi , si )]† [¯ v (¯ pi , s¯i )γ ν v(¯ pf , s¯f )]† 2 4  (4π) e = [¯ u(pf , sf )γµ u(pi , si )][¯ u(pi , si )γν u(pf , sf )] 4(q 2 )2 sf , si s¯f , s¯i

pf , s¯f )][¯ v (¯ pf , s¯f )γ ν v(¯ pi , s¯i )] ×[¯ v (¯ pi , s¯i )γ µ v(¯ 2 4 (4π) e tr [Λ+ (pf )γµ Λ+ (pi )γν ] tr [Λ− (¯ pi )γ µ Λ− (¯ pf )γ ν ] = 4(q 2 )2 |Mf i (aus)|2 =

(4π)2 e4  [¯ v (¯ pi , s¯i )γµ u(pi , si )][¯ u(pf , sf )γ µ v(¯ pf , s¯f )] 4(q 2 )2 sf , si s¯f , s¯i

×[¯ v (¯ pi , s¯i )γν u(pi , si )]† [¯ u(pf , sf )γ ν v(¯ pf , s¯f )]† (4π)2 e4  = [¯ v (¯ pi , s¯i )γµ u(pi , si )][¯ u(pi , si )γν v(¯ pi , s¯i )] 4(q 2 )2 sf , si s¯f , s¯i

pf , s¯f )][¯ v (¯ pf , s¯f )γ ν u(pf , sf )] ×[¯ u(pf , sf )γ µ v(¯ (4π)2 e4 = tr [Λ− (¯ pi )γµ Λ+ (pi )γν ] tr [Λ+ (pf )γ µ Λ− (¯ pf )γ ν ] 4(q 2 )2   2Re Mf i (dir)Mf†i (aus) = 2 Mf i (dir)Mf†i (aus)

280

3. Relativistische Streutheorie

=

(4π)2 e4  [¯ u(pf , sf )γµ u(pi , si )][¯ v (¯ pi , s¯i )γ µ v(¯ pf , s¯f )] 2q 2 q 2 sf , si s¯f , s¯i

×[¯ v (¯ pi , s¯i )γν u(pi , si )]† [¯ u(pf , sf )γ ν v(¯ pf , s¯f )]† (4π)2 e4  = [¯ u(pf , sf )γµ u(pi , si )][¯ u(pi , si )γν v(¯ pi , s¯i )] 2q 2 q 2 sf , si s¯f , s¯i

pf , s¯f )][¯ v (¯ pf , s¯f )γ ν u(pf , sf )] ×[¯ v (¯ pi , s¯i )γ µ v(¯ (4π)2 e4  = − 2 2 [¯ u(pf , sf )γµ Λ+ (pi )γν v(¯ pi , s¯i )] 2q q s ,¯s f

i

pf )γ ν u(pf , sf )] ×[¯ v (¯ pi , s¯i )γ Λ− (¯ (4π)2 e4 tr [Λ+ (pf )γµ Λ+ (pi )γν Λ− (¯ pi )γ µ Λ− (¯ pf )γ ν ] . = 2q 2 q 2 µ

Vergleicht man diese Beziehungen mit den entsprechenden Gleichungen (3.109), (3.110) und (3.111) der Elektron-Elektron-Streuung, so stellt man fest, daß die Amplitudenquadrate beider Prozesse auseinander hervorgehen, wenn die Viererimpulse in der in Abb. 3.20 angegebenen Weise ersetzt werden. Dies ist offenbar darauf zur¨ uckzuf¨ uhren, daß sich die Streuamplitude der Elektron-Elektron-Streuung e− +

e− → e− +

e−

pi

pi

pf

pf

e− +

e+ → e− +

e+

pi

−¯ pi

pf

−¯ pf

Elektron-Positron-Streuung Abb. 3.20. Kreuzsymmetrie zwischen der Elektron-Elektron- und ElektronPositron-Streuung.

Elektron-Positron-Streuung in (3.113) durch genau diese Ersetzungen aus derjenigen der Elektron-Elektron-Streuung (Satz 3.10) ergibt. Wie sich zeigt, gilt diese Kreuzsymmetrie (engl. crossing symmetry) ganz allgemein f¨ ur SMatrixelemente von Prozessen, bei denen ein- und auslaufende Teilchen durch die Antiversion des jeweils anderen ersetzt werden, und zwar exakt wie auch in jeder Ordnung der Streutheorie. So ergibt sich z.B. die Streuamplitude der Teilchen-Teilchen-Reaktion A + B → C + D aus derjenigen der Teilchen¯ → C + B, ¯ indem man beim letzteren einfach Antiteilchen-Reaktion A + D

3.3 Spin-1/2-Streuprozesse

281

die Impulsvariablen p¯B → −pD und p¯D → −pB austauscht. Auch Prozesse mit unterschiedlicher Gruppierung der ein- und auslaufenden Teilchen, z.B. ¯ + C + D und A + B → C + D, stehen u A → B ¨ ber die Kreuzsymmetrie miteinander in Beziehung. F¨ uhren wir jetzt also in (3.109), (3.110) und (3.111) die Ersetzungen pf , pf → −¯ pi durch und werten anschließend die Skalarprodukte pi → −¯ im Schwerpunktsystem aus, so erhalten wir schließlich als Resultat


 2 4 m4 + 4p2 m2 cos2 θ + 2p4 1 + cos4 θ (2π) e 0 i 0 i 2 2 2 |Mf i | cm = 4m40 p4i sin4 θ2 + −

3m40 + 4p2i m20 + p4i (1 + cos2 θ) Ei4 θ 2 + 2 2 Ei pi sin2 θ2

3m40 + 8p2i m20 cos2

4p4i cos4

θ 2

 ,

welches sich nicht in Potenzen von 1/ sin2 θ ausdr¨ ucken l¨aßt, weil es nun, anders als bei der Elektron-Elektron-Streuung, m¨oglich ist, zwischen der Vorw¨ artsstreuung (θ < π/2) und der R¨ uckw¨artsstreuung (θ > π/2) zu unterscheiden. Satz 3.11: Elektron-Positron-Streuung in f¨ uhrender Ordnung Die Streuamplitude f¨ ur die Elektron-Positron-Streuung (Bhabba-Streuung) lautet in f¨ uhrender Ordnung (f = i) 4 4 (2π)4 δ(pf + p¯f − pi − p¯i ) m20 m20 Sf i = − 2 ¯i E ¯f Mf i , V Ei Ef E mit der lorentzinvarianten Amplitude (q = pf − pi , q  = pi + p¯i ) Mf i = Mf i (dir) − Mf i (aus) 4πie2 v¯(¯ pi , s¯i )γ µ v(¯ pf , s¯f ) q 2 + i 4πie2 Mf i (aus) = v¯(¯ pi , s¯i )γµ u(pi , si ) 2 pf , s¯f ) . u ¯(pf , sf )γ µ v(¯ q + i Mf i (dir) = u¯(pf , sf )γµ u(pi , si )

Hieraus folgt f¨ ur den differentiellen Wirkungsquerschnitt m20 |Mf i |2 (2π)4 δ(pf + p¯f − pi − p¯i ) dσ = $ (pi · p¯i )2 − m40 ×

m0 d3 pf m0 d3 p¯f ¯f (2π)3 Ef (2π)3 E



282

3. Relativistische Streutheorie

und speziell im Schwerpunktsystem  dσ m40 = |Mf i |2cm , dΩ cm 4(2π)2 Ei2 wobei in der letzten Gleichung u ¨ ber alle elektronischen Streuimpulse pf in ¯ f ausintegriert wurde. Richtung dΩ und alle positronischen Streuimpulse p Durch Vernachl¨ assigung s¨ amtlicher Polarisationseffekte erh¨alt man f¨ ur das unpolarisierte Amplitudenquadrat


 (2π)2 e4 m40 + 4p2i m20 cos2 θ2 + 2p4i 1 + cos4 θ2 2 |Mf i | cm = 4m40 p4i sin4 θ2 + −

3m40 + 4p2i m20 + p4i (1 + cos2 θ) Ei4 θ 2 + 2 2 Ei pi sin2 θ2

3m40 + 8p2i m20 cos2

4p4i cos4

θ 2

 .

Die Elektron-Positron-Streuung steht u ¨ ber die Kreuzsymmetrie mit der Elektron-Elektron-Streuung in Beziehung.

3.3.7 Compton-Streuung an Elektronen Bisher wurden Streuprozesse besprochen, bei denen ausschließlich virtuelle Photonen als Tr¨ ager der elektromagnetischen Kraftwirkung zwischen zwei reellen Fermionen beteiligt waren. Dementsprechend waren die photonischen Viererimpulse nicht lichtartig, sondern raum- oder zeitartig und wurden in den Feynman-Graphen durch geschlossene Linien mit Anfangs- und Endpunkt dargestellt. Nun gibt es jedoch durchaus auch Prozesse mit reellen Photonen, deren Viererimpulse die Einstein-Bedingung kµ k µ = 0 erf¨ ullen. Drei Prozesse dieser Art sind die Compton-Streuung, die Elektron-PositronVernichtung und die Elektron-Positron-Erzeugung, die wir in diesem und im n¨ achsten Unterabschnitt sowie in den Aufgaben 38 und 39 behandeln wollen.20

20

Dies hat offensichtlich zur Voraussetzung, daß wir unseren urspr¨ unglichen Streuformalismus aus Satz 3.5 ein weiteres mal modifizieren m¨ ussen (die erste Modifikation war die Strom-Strom-Wechselwirkung, siehe Fußnote 17 auf Seite 249), weil wir es bei den genannten Prozessen mit emittierten bzw. absorbierten Photonquanten zu tun haben, die mit einem klassischen Hintergrundfeld nicht ver
 einbar sind. Immerhin ist es in der f¨ uhrenden Ordnung O e2 noch plausibel, die beiden, im zweiten Term der Streureihe (3.61) stehenden Aµ -Felder als ein- bzw. auslaufende Photonen zu interpretieren. In h¨ oheren Ordnungen kommt man dagegen um eine quantenfeldtheoretische Betrachtungsweise nicht herum (vgl. die einleitenden Bemerkungen zu diesem Abschnitt).

3.3 Spin-1/2-Streuprozesse

283

Beschreibung reeller Photonen. Zur Beschreibung reeller Photonen gehen wir vom Viererpotential Aµ aus, welches in der Lorentz-Eichung ∂µ Aµ = 0 der Maxwell-Gleichung ∂µ ∂ µ Aν = 0 gen¨ ugt. Wie bei den Fermionen setzen wir f¨ ur Aµ eine ebene Welle an (¯ h = c = 1), 
 ω , k·k = 0 , Aµk (x) = µ Nk e−ik·x + eik·x , k µ = k mit der Normierungskonstanten Nk , dem Polarisationsvektor µ und den Bedingungen k · = 0 , · = −1 .

(3.114)

Die erste Bedingung folgt aus der Lorentz-Eichung und spiegelt die transversale Natur von Aµ wider. Weil sich in der durch die Lorentz-Bedingung eingeschr¨ ankten Aµ -Klasse weitere Eichtransformationen der Art Aµ (x) −→ Aµ (x) − χ(x) , ∂µ ∂ µ χ = 0 durchf¨ uhren lassen, k¨ onnen wir durch die Wahl χ(x) = A0 (x) zur Strahlungseichung u ¨ bergehen, in der A0 (x) = 0 =⇒ ∇A(x) = 0 gilt. In diesem speziellen Lorentz-System sind die Polarisationsvektoren rein raumartig, und es verbleiben zwei transversale, linear unabh¨angige Dreierpolarisationen:  0 µ ( ) = , k (k, λ) = 0 , (k, λ) (k, λ) = 1 , λ = 1, 2 . (k, λ) aßt sich u Die Normierungskonstante Nk l¨ ¨ber die Forderung festlegen, daß die mittlere Energie der Welle Aµk , 1 Ek = 8π

 3

d x

"

E 2k

+

B 2k

#

" # " # 1 , E 2k = B 2k = T

T dtB 2k , T =

2π , ω

0

V

gerade gleich derjenigen eines einzelnen Photons, also ω sein soll. Unter Ber¨ ucksichtigung von 
B k = ∇ × Ak = iNk k × e−ik·x − eik·x = 2Nk k × sin k · x und (k × )2 = k2 2 − (k )2 = k2 = ω 2 erh¨ alt man somit schließlich   " # ω 2 Nk2 V 2π ω 2 Nk2 Ek = =⇒ Nk = . d3 x sin2 (ωt − kx) = π 2π ωV V

284

3. Relativistische Streutheorie

Nach diesen Vor¨ uberlegungen wenden wir uns jetzt der Compton-Streuung zu, bei der ein Photon an einem freien Elektron in der in Abb. 3.21 gezeigten Weise gestreut wird, und starten unmittelbar von Satz 3.5.

kf ki

pi = 0

θ pf

Abb. 3.21. Kinematische Situation der Compton-Streuung im Laborsystem, wo das Elektron anf¨ anglich ruht.

Direkte Streuamplitude. Der f¨ uhrende Term der Streureihe f¨ ur die Compton-Streuung ist die Nummer Zwei. Unser Ausgangspunkt ist deshalb die Gleichung (der Index 2 wird unterdr¨ uckt)   (0) Sf i (dir) = −ie2 d4 x d4 y Ψ¯f (x)/ Af (x)SF (x − y)/ Ai (y)Ψi (y)   = d4 x d4 y Ψ¯f (x)(−ie)/ Af (x) (0)

×(+i)SF (x − y)(−ie)/ Ai (y)Ψi (y) ,

(3.115)

in der wir naheliegender Weise die Viererpotentiale mit den ein- (i) bzw. auslaufenden (f ) Photonen identifizieren, wobei die hier gew¨ahlte Zuordnung in unserem Sprachgebrauch einer direkten Streuamplitude entspricht. Durch Einsetzen der bekannten Ausdr¨ ucke f¨ ur die Elektron- und Photonwellenfunktionen sowie des Elektronpropagators folgt 4     m0 (2π)2 ie2 d4 p 4 4 d x d y Sf i (dir) = − 2 V Ei Ef ωi ωf (2π)4   (/ p + m0 ) /

(k × u ¯(pf , sf )/ (kf , λf ) 2 , λ )u(p , s ) i i i i p − m20 + i

 ×eipf ·x e−ikf ·x + eikf ·x e−ip·(x−y) e−iki ·y + eiki ·y e−ipi ·y . F¨ uhren wir hierin zuerst die Ortsintegrationen aus, dann haben wir  

 4 d x d4 yeipf ·x e−ikf ·x + eikf ·x e−ip·(x−y) e−iki ·y + eiki ·y e−ipi ·y   = d4 x ei(pf −p−kf )·x + ei(pf −p+kf )·x   × d4 y e−i(pi −p+ki )·y + e−i(pi −p−ki )·y

3.3 Spin-1/2-Streuprozesse

285

= (2π)8 [δ(pf − p − kf ) + δ(pf − p + kf )] × [δ(pi − p + ki ) + δ(pi − p − ki )] = (2π)8 δ(pf − p + kf )δ(pi − p + ki ) ,

(3.116)

wobei im letzten Schritt ber¨ ucksichtigt wurde, daß drei der vier δ()δ()Kombinationen entweder anderen oder nicht realisierbaren kinematischen Situationen entsprechen (siehe Aufgabe 37). Die Impulsintegration liefert nun  p/ + m0 d4 p (2π)8 δ(pf − p + kf )δ(pi − p + ki ) 2 (2π)4 p − m20 + i = (2π)4 δ(pf + kf − pi − ki )

p/i + /ki + m0 , (pi + ki )2 − m20 + i

und wir erhalten insgesamt f¨ ur die ausintegrierte direkte Streuamplitude 4 4 m20 (2π)2 (2π)4 δ(pf + kf − pi − ki ) Sf i (dir) = Mf i (dir) V2 Ei Ef ωi ωf (+i)(/ pi + /ki + m0 ) (pi + ki )2 − m20 + i ×(−ie)/ (ki , λi )u(pi , si ) .

Mf i (dir) = u(pf , sf )(−ie)/ (kf , λf )

Vergleicht man diese Ausdr¨ ucke sowie den zu Mf i (dir) geh¨orenden FeynmanGraphen in Abb. 3.22a mit unseren Feynman-Regeln aus Unterabschn. 3.3.4, so stellt man fest, daß sich diese Regeln zur Einbeziehung reeller Photonprozesse in folgender Weise leicht erg¨ anzen lassen: µ (kf , λf )

u ¯(pf , sf )

µ (kf , λf )

u ¯(pf , sf )

−ieγµ

−ieγν

+i(/ pi + k /i + m0 ) (pi + ki )2 − m20 + i

+i(/ pi − k /f + m0 ) (pi − kf )2 − m20 + i

−ieγν

−ieγµ

a b u(pi , si ) u(pi , si ) ν (ki , λi ) ν (ki , λi ) Abb. 3.22. Feynman-Graphen der direkten Streuamplitude (a) und der Austausch
 streuamplitude (b) f¨ ur die Compton-Streuung an Elektronen in der Ordnung O e2 im Impulsraum. An jedem Vertex gilt Energie- und Impulserhaltung.

286

3. Relativistische Streutheorie

1’, 2’. F¨ ur jedes ein- bzw. auslaufende Photon ergibt sich (im Gaußschen (...) Maßsystem) der Photonfaktor Ni,f = 2π. 4’.

Ein- und auslaufende Photonen werden in Feynman-Graphen im Impulsraum durch die Linien und Faktoren der Abb. 3.23 dargestellt.

3’, 5’. Unver¨ andert zu 3. und 5.

Einlaufendes Photon

Auslaufendes Photon µ (kf , λf )

µ (ki , λi ) Abb. 3.23. Erg¨ anzende Feynman-Graphelemente und charakteristische Faktoren im Impulsraum (siehe Abb. 3.14).

Austauschstreuamplitude. Neben der direkten Streuung m¨ ussen wir auch noch die Konstellation ber¨ ucksichtigen, bei der die Zuordnung von ein- und auslaufendem bzw. absorbiertem und emittiertem Photon in (3.115) vertauscht sind. Dies l¨ auft nach einer ¨ ahnlichen Rechnung wie eben auf die ausintegrierte Austauschstreuamplitude 4 4 m20 (2π)2 (2π)4 δ(pf + kf − pi − ki ) Mf i (aus) Sf i (aus) = V2 Ei Ef ωi ωf (+i)(/ pi − /kf + m0 ) (pi − kf )2 − m20 + i ×(−ie)/ (kf , λf )u(pi , si )

Mf i (aus) = u(pf , sf )(−ie)/ (ki , λi )

und deren graphische Repr¨ asentation in Abb. 3.22b hinaus, was wiederum im Einklang mit unseren erweiterten Regeln 1’ bis 5’ steht. Alles in allem folgt schließlich die Streuamplitude 4 4 ⎫ ⎪ m20 (2π)2 (2π)4 δ(pf + kf − pi − ki ) ⎪ Sf i = Mf i ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ V Ei Ef ωi ωf ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Mf i = Mf i (dir) + Mf i (aus) ⎪ ⎬  (3.117) / (kf , λf )(/ pi + /ki + m0 )/ (ki , λi ) ⎪ ⎪ = −ie2 u ¯(pf , sf ) ⎪ 2 ⎪ (pi + ki )2 − m0 + i ⎪ ⎪ ⎪  ⎪ ⎪ ⎪ / (ki , λi )(/ pi − /kf + m0 )/ (kf , λf ) ⎪ ⎭ + , s ) . u(p i i 2 2 (pi − kf ) − m0 + i

3.3 Spin-1/2-Streuprozesse

287

Ihre Invarianz unter dem Austausch ki ↔ −kf ist ein weiteres Beispiel der Kreuzsymmetrie, der wir im vorigen Unterabschnitt schon begegnet sind. In diesem Fall bedeutet sie: Die Streuamplitude f¨ ur die Absorption und Emission ur von Photonen mit den Impulsen ki bzw. kf ist gleich der Streuamplitude f¨ die Absorption und Emission von Antiphotonen mit den Impulsen kf bzw. ki . Die Unterscheidung zwischen Photon und Antiphoton ist jedoch irrelevant, weil das Photon sein eigenes Antiteilchen ist. Wirkungsquerschnitt. Den differentiellen Wirkungsquerschnitt werten wir g¨ unstigerweise im Laborsystem aus, wo das Elektron anf¨anglich ruht, pi = (m0 , 0), so daß m0 d3 pf 2πd3 kf 2πm0 , dσ = $ 2 2 |Mf i |2 (2π)4 δ(pf + kf − pi − ki ) (2π)3 Ef (2π)3 ωf ω i m0 und rechnen unter Verwendung von  d3 pf = 2 d4 pf δ(p2f − m20 )Θ(p0f ) , d3 kf = ωf2 dωf dΩ Ef wie folgt:

  dσ 2m0 = dωf ωf d4 pf |Mf i |2 δ(pf + kf − pi − ki ) dΩ ωi ×δ(p2f − m20 )Θ(p0f )  2m0 = dωf ωf |Mf i |2pf =pi +ki −kf ωi ×δ[(pi + ki − kf )2 − m20 ]Θ(m0 + ωi − ωf ) m 0 +ωi 2m0 = dωf ωf |Mf i |2pf =pi +ki −kf ωi 0

×δ[2m0 (ωi − ωf ) − 2ωi ωf (1 − cos θ)] m 0 +ωi 2m0 = dωf ωf |Mf i |2pf =pi +ki −kf ωi 0 

ωi δ ωf − ωi 1+ m (1 − cos θ) 0 × 2m0 + 2ωi (1 − cos θ) ωf2 = 2 |Mf i |2co , |Mf i |2co = |Mf i |2pf =pi +ki −kf , ωi mit der Nebenbedingung ωi . ωf = ωi 1+ m (1 − cos θ) 0

(3.118)

288

3. Relativistische Streutheorie

Die letzte Gleichung setzt als Folge der Energie- und Impulserhaltung die Energien des einfallenden und gestreuten Photons in Beziehung und kann unter Verwendung von λ = 2π/ω umgeschrieben werden zur Compton-Formel 1 λf = λi + 2π (1 − cos θ) . m0 Demnach erh¨ oht sich die Wellenl¨ ange des gestreuten Photons um einen Betrag von der Gr¨ oßenordnung der Compton-Wellenl¨ange λc = h ¯ /m0 c des Elektrons. Amplitudenquadrat. Interessiert man sich f¨ ur den Fall unpolarisierter Elektronen, beh¨ alt aber die Photonpolarisationen λi,f bei, so f¨ uhrt dies von (3.117) zu (Mittelung u ¨ ber Anfangs- und Summation u ¨ber Endpolarisationen des Elektrons) e4  |Mf i |2 (λi , λf ) = [¯ u(pf , sf )Γ1 u(pi , si )] [¯ u(pf , sf )Γ1 u(pi , si )]† 2 s ,s f

i

e4  = [¯ u(pf , sf )Γ1 u(pi , si )] [¯ u(pi , si )Γ2 u(pf , sf )] 2 s ,s f

i

4

=

e tr [Λ+ (pf )Γ1 Λ+ (pi )Γ2 ] , 2

mit den Operatoren pi + /ki + m0 )/ i pi − /kf + m0 )/ f / f (/ / i (/ Γ1 = − 2pi · ki 2pi · kf pi + /ki + m0 )/ f pi − /kf + m0 )/ i / i (/ / f (/ − 2pi · ki 2pi · kf = Γ1 ( i ↔ f )

Γ2 = γ 0 Γ1† γ 0 =

(3.119) ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

(3.120)

und den Abk¨ urzungen i,f = (ki,f , λi,f ). Die Auswertung der Spur nach Satz 3.6 ist hier aufgrund der vielen γ-Matrixkombinationen offensichtlich aufwendiger als bei allen vorherigen Beispielen. Jedoch lassen sich die Operatoren ¨ zun¨ achst etwas vereinfachen: Kommutiert Γ1,2 durch folgende Uberlegungen man p/i in Γ1 nach rechts und in Γ2 nach links durch, so ergibt sich 2pi · i / f + / f /ki / i − / f / i (/ p i − m0 ) 2pi · ki p i − m0 ) 2pi · f / i − / i /kf / f − / i / f (/ − 2pi · kf 2pi · i / f + / i /ki / f − (/ pi − m0 )/ i / f Γ2 = 2pi · ki pi − m0 )/ f / i 2pi · f / i − / f /kf / i − (/ − . 2pi · kf Γ1 =

Hierin k¨ onnen zum einen die (/ pi − m0 )-Terme weggelassen werden, weil sie orthogonal zu den Energieprojektionsoperatoren Λ+ (pi ) sind. Zum anderen

3.3 Spin-1/2-Streuprozesse

289

l¨ aßt sich immer eine Eichung finden, in der die Photonpolarisationen i,f senkrecht zu pi stehen. Im hier betrachteten Laborsystem ist dies gerade die Strahlungseichung, in der µ keine Nullkomponente besitzt. Insgesamt k¨onnen wir also Γ1,2 ersetzen durch Γ1 −→

/ f /ki / i / i /kf / f / i /ki / f / f /kf / i + , Γ2 −→ + . 2pi · ki 2pi · kf 2pi · ki 2pi · kf

Trotz dieser Vereinfachung bleibt die Berechnung der Spur recht m¨ uhsam, weil immerhin noch Produkte von bis zu 8 γ-Matrizen involviert sind. Hat man sich durch diese Rechnung durchgek¨ ampft, so erh¨alt man mit Ber¨ ucksichtigung der Viererimpulserhaltung  pi · kf e4 pi · ki 2 |Mf i | co (λi , λf ) = + 4m20 pi · ki pi · kf + 2 + 4[ (ki , λi ) · (kf , λf )] − 2 . (3.121) Nach Einbau der Laborbedingungen ki · pi = ωi m0 , kf · pi = ωf m0 folgt hieraus die Klein-Nishina-Formel +  ωf e4 ωi 2 |Mf i |2co (λi , λf ) = + + 4[ (k , λ ) ·

(k , λ )] − 2 . i i f f 4m20 ωi ωf Zur Bestimmung des vollst¨ andig unpolarisierten Wirkungsquerschnittes m¨ ussen wir nun noch u ¨ ber die Anfangspolarisationen des Photons mitteln und u ¨ber seine Endpolarisationen summieren: ⎫ ⎧ ⎬ 4 ⎨  e ωi ωf 2 . (3.122) |Mf i |2co = + + [ (k , λ ) ·

(k , λ )] − 2 i i f f ⎭ 2m20 ⎩ ωi ωf λi ,λf

Hierzu bietet sich die Verwendung der Strahlungseichung an, in der wir ohne Beschr¨ ankung der Allgemeinheit die Dreiervektoren (ki , 1) und (kf , 1) so w¨ ahlen k¨ onnen, daß sie in der von ki und kf aufgespannten Ebene liegen. Einerseits ist dann der Winkel zwischen (ki , 1) und (kf , 1) gleich dem Streuwinkel θ. Andererseits liegen (ki , 2) und (kf , 2) senkrecht zu dieser Ebene und sind deshalb identisch: ⎫ (ki , 1) (kf , 1) = cos θ , (ki , 2) (kf , 2) = 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ (ki , 1) (kf , 2) = (ki , 2) (kf , 1) = 0 (3.123) : : [ (ki , λi ) · (kf , λf )]2 = [ (ki , λi ) (kf , λf )]2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ λi ,λf λi ,λf ⎪ ⎭ = 1 + cos2 θ . Damit geht (3.122) schließlich u ¨ ber in  4 ωf e ωi 2 2 |Mf i | co = + − sin θ . 2m20 ωi ωf

290

3. Relativistische Streutheorie

Satz 3.12: Compton-Streuung an Elektronen in f¨ uhrender Ordnung Die Streuamplitude f¨ ur die Compton-Streuung an Elektronen lautet in f¨ uhrender Ordnung (f = i) 4 4 (2π)4 δ(pf + kf − pi − ki ) m20 (2π)2 Sf i = Mf i , 2 V Ei Ef ωi ωf mit der lorentzinvarianten Amplitude Mf i = Mf i (dir) + Mf i (aus) pi + /ki + m0 )/ (ki , λi ) / (kf , λf )(/ u(pi , si ) ¯(pf , sf ) Mf i (dir) = −ie2 u (pi + ki )2 − m20 + i pi − /kf + m0 )/ (kf , λf ) / (ki , λi )(/ u(pi , si ) . Mf i (aus) = −ie2 u ¯(pf , sf ) (pi − kf )2 − m20 + i Hieraus folgt f¨ ur den differentiellen Wirkungsquerschnitt m0 d3 pf 2πd3 kf 2πm0 |Mf i |2 (2π)4 δ(pf + kf − pi − ki ) dσ = $ (2π)3 Ef (2π)3 ωf (pi · ki )2 und speziell im Laborsystem, wo das Elektron anf¨anglich ruht, ωf2 dσ = 2 |Mf i |2co , |Mf i |2co = |Mf i |2pf =pi +ki −kf dΩ ωi ωi , ωf = ωi 1+ m (1 − cos θ) 0 wobei in dσ/dΩ u ¨ber alle photonischen Streuimpulse kf in Richtung dΩ und alle elektronischen Streuimpulse pf ausintegriert wurde. Durch Vernachl¨ assigung elektronischer Polarisationseffekte und Beibehaltung der Photonpolarisationen ergibt sich die Klein-Nishina-Formel +  e4 ωi ωf 2 |Mf i |2co (λi , λf ) = + + 4[ (k , λ ) ·

(k , λ )] − 2 . i i f f 4m20 ωi ωf Das vollst¨ andig unpolarisierte Amplitudenquadrat lautet  ωf e4 ωi 2 2 |Mf i | co = + − sin θ . 2m20 ωi ωf

3.3.8 Elektron-Positron-Vernichtung Wir wenden nun den erweiterten Regelsatz 1’ bis 5’ aus dem vorigen Unterabschnitt auf den Prozeß der Elektron-Positron-Vernichtung an, bei dem ein Elektron und ein Positron zusammentreffen und dabei in zwei Photonen zerstrahlen (siehe Abb. 3.24). Die zugeh¨ origen Feynman-Graphen f¨ ur die direkte

3.3 Spin-1/2-Streuprozesse

291

kf ¯ i pi = 0 p

θ k f

Abb. 3.24. Kinematische Situation der Elektron-Positron-Vernichtung im Laborsystem, wo das Elektron anf¨ anglich ruht.

Streuung und die Austauschstreuung in f¨ uhrender Ordnung im Impulsraum sind in Abb. 3.25 dargestellt und liefern die Streuamplitude µ (kf , λf )

−ieγµ

ν (kf , λf )

+i(/ pi − k /f + m0 ) (pi − kf )2 − m20 + i

−ieγν

µ (kf , λf )

ν (kf , λf )

−ieγν

−ieγµ

+i(/ pi − k /f + m0 ) (pi − kf )2 − m20 + i

a b u(pi , si ) v¯(¯ pi , s¯i ) u(pi , si ) v¯(¯ pi , s¯i ) Abb. 3.25. Feynman-Graphen der direkten Streuamplitude (a) und der Austauschbzw. Vernichtungsstreuamplitude (b) f¨ ur die Elektron-Positron-Vernichtung in der
 Ordnung O e2 im Impulsraum. An jedem Vertex gilt Energie- und Impulserhaltung.

Sf i = Mf i

(2π)4 δ(kf + kf − pi − p¯i )

4 m20 ¯i Ei E

4

(2π)2 Mf i ωf ωf

V2 = Mf i (dir) + Mf i (aus)  pi − /kf + m0 )/ (kf , λf ) / (kf , λf )(/ pi , s¯i ) = −ie2 v¯(¯ (pi − kf )2 − m20 + i  / (kf , λf )(/ pi − /kf + m0 )/ (kf , λf ) u(pi , si ) . + (pi − kf )2 − m20 + i

Dabei sind folgende Punkte zu ber¨ ucksichtigen:

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

(3.124)

292

3. Relativistische Streutheorie


 • Die f¨ uhrende Ordnung dieses Prozesses ist O e2 , weil die Zerstrahlung eines (freien!) Elektron-Positron-Paares in ein einzelnes Photon kinematisch nicht m¨ oglich ist. Das heißt die Bedingung ¯ i )2 = 0 kf2 = (pi + p¯i )2 = (p0i + p¯0i )2 − (pi + p ist nicht erf¨ ullbar, wie man sich im Schwerpunktsystem leicht klarmacht, wo pi = −¯ pi . ¨ • In Ubereinstimmung mit der Bose-Einstein-Statistik ist die Streuamplitude symmetrisch unter dem Austausch der beiden Photonen im Endzustand (kf ↔ kf ). • Offensichtlich gehen die Feynman-Graphen der Elektron-Positron-Vernichtung und der Compton-Streuung durch 90◦ -Drehungen auseinander hervor. Vergleicht man u ¨berdies die Streuamplitude (3.124) mit der aus Satz 3.12, so zeigt sich wieder ein Beispiel der Kreuzsymmetrie, nach der beide Prozesse u ¨ ber die Substitutionsregel der Abb. 3.26 miteinander verbunden sind. Ein ¨ ahnlicher Zusammenhang existiert u ¨ brigens auch zwischen der Compton-Streuung und dem Prozeß γ + γ → e− + e+ , also der ElektronPositron-Erzeugung durch zwei Photonen (siehe Aufgabe 39). Alle drei Prozesse stehen somit u ¨ ber die Kreuzsymmetrie miteinander in Beziehung. Compton-Streuung e

−

+

e− +

γ

→ e

−

e+ → γ

+

γ

pi

ki

pf

+

γ

pi

−¯ pi

−kf

kf

kf

Elektron-Positron-Vernichtung Abb. 3.26. Kreuzsymmetrie zwischen der Compton-Streuung an Elektronen und der Elektron-Positron-Vernichtung.

Wirkungsquerschnitt. Im Laborsystem ist pi = (m0 , 0), und der differentielle Wirkungsquerschnitt lautet 2πd3 kf 2πd3 kf m2 2 4  |M | (2π) δ(k + k − p − p ¯ ) . dσ = $ 2 20 f i f i i f ¯ − m4 (2π)3 ωf (2π)3 ωf m0 E 0 i Dies l¨ aßt sich auf bekannte Weise durch Gebrauch von  d3 kf 3 2 d kf = ωf dωf dΩ , = 2 d4 kf δ(kf2 )Θ(kf0 ) ωf

3.3 Spin-1/2-Streuprozesse

293

umschreiben zu   dσ 2m0 = dωf ωf d4 kf |Mf i |2 δ(kf + kf − pi − p¯i )δ(kf2 )Θ(kf0 ) dΩ |¯ pi |  2m0 = dωf ωf |Mf i |2k
=p¯i +pi −kf f |¯ pi | 2 ×δ[(¯ pi + pi − kf ) ]Θ(E¯i + m0 − ωf ) 2m0 = |¯ pi |

¯ m 0 +E i

dωf ωf |Mf i |2k
=p¯i +pi −kf f

0 2 ¯i ×δ[2m0 + 2m0 E ¯i m 0 +E

¯i − |¯ − 2ωf (m0 + E pi | cos θ)]

 2m0 dωf ωf |Mf i |2k
=p¯i +pi −kf f |¯ pi | 0  ¯ 0 (m0 +Ei ) δ ωf − m0m ¯ +Ei −|¯ pi | cos θ × ¯i − |¯ 2(m0 + E pi | cos θ) ωf2 2 2 2 = ¯i ) |Mf i |co , |Mf i |co = |Mf i |kf
=p¯i +pi −kf , |¯ pi |(m0 + E =

wobei die Photonenergie ωf u ¨ber ¯ m0 (m0 + Ei ) ωf = ¯i − |¯ m0 + E pi | cos θ mit der Energie des einlaufenden Positrons im Zusammenhang steht. ¨ Amplitudenquadrat. Ahnlich wie bei der Compton-Streuung setzen wir unpolarisierte Fermionen voraus, halten aber an den Photonpolarisationen λf und λf fest. Ausgehend von (3.124) betrachten wir deshalb (Mittelung u ¨ber die Anfangspolarisationen des Elektrons und Positrons) e4  |Mf i |2 (λf , λf ) = [¯ v (¯ pi , s¯i )Γ˜1 u(pi , si )][¯ v (¯ pi , s¯i )Γ˜1 u(pi , si )]† 4 s ,¯s i

i

i

i

e4  = [¯ v (¯ pi , s¯i )Γ˜1 u(pi , si )][¯ u(pi , si )Γ˜2 v(¯ pi , s¯i )] 4 s ,¯s

e4 = − tr[Λ− (¯ pi )Γ˜1 Λ+ (pi )Γ˜2 ] , 4 mit den Operatoren pi − /kf + m0 )/ (kf , λf ) / (kf , λf )(/ 2pi · kf / (kf , λf )(/ pi − /kf + m0 )/ (kf , λf ) − 2pi · kf

Γ˜1 = −

(3.125)

294

3. Relativistische Streutheorie

pi − /kf + m0 )/ (kf , λf ) / (kf , λf )(/ 2pi · kf   / (kf , λf )(/ pi − /kf + m0 )/ (kf , λf ) − . 2pi · kf

Γ˜2 = γ 0 Γ˜1† γ 0 = −

Die weitere Auswertung dieser Ausdr¨ ucke ist einfach, wenn man ber¨ ucksichtigt, daß sie mit den entsprechenden Gleichungen (3.119) und (3.120) der Compton-Streuung u ¨ ber die kreuzsymmetrische Substitutionsregel der Abb. 3.26 im Zusammenhang stehen. Der zus¨ atzliche Faktor −1/2 in (3.125) r¨ uhrt daher, daß dort u ber beide Fermionpolarisationen gemittelt wird und ein v¨ Bispinor bei der Spurbildung involviert ist (vgl. Satz 3.6). Insgesamt k¨onnen wir deshalb (3.121) mit den entsprechenden Ersetzungen u ¨ bernehmen und erhalten 0 pi · kf e4 pi · kf  2 |Mf i | co (λf , λf ) = + 2 8m0 pi · kf pi · kf 1 + 2 − 4[ (kf λf ) · (kf , λf )]2

(3.126)

bzw. nach Einsetzen der Laborbedingungen pi · kf = ωf m0 , pi · kf = ωf m0 0 1 4 ωf e ω f    2 |Mf i |2co (λf , λf ) = +  + 2 − 4[ (kf λf ) · (kf , λf )] . 8m20 ωf ωf Der Wert von ωf ergibt sich aus der Energieerhaltungsbedingung zu  m0  ¯ ¯ . ωf = m0 + Ei − ωf = (m0 + Ei ) 1 − ¯i − |¯ m0 + E pi | cos θ Summiert man zum Schluß noch u ¨ ber die Photonpolarisationen, so erh¨alt man das vollst¨ andig unpolarisierte Amplitudenquadrat   ωf e4 ωf 2 ˜ 2 |Mf i | co = +  + sin θ , 2m20 ωf ωf wobei θ˜ den Winkel zwischen den beiden Photonimpulsen kf und kf bezeichnet (im Falle der Compton-Streuung war θ˜ identisch mit dem Streuwinkel θ). Satz 3.13: Elektron-Positron-Vernichtung in f¨ uhrender Ordnung Die Streuamplitude f¨ ur die Elektron-Positron-Vernichtung lautet in f¨ uhrender Ordnung (f = i) 4 4 (2π)4 δ(kf + kf − pi − p¯i ) m20 (2π)2 Mf i , Sf i = 2 V Ei E¯i ωf ωf mit der lorentzinvarianten Amplitude



3.3 Spin-1/2-Streuprozesse

295

Mf i = Mf i (dir) + Mf i (aus) pi − /kf + m0 )/ (kf , λf ) / (kf , λf )(/ u(pi , si ) pi , s¯i ) Mf i (dir) = −ie2 v¯(¯ (pi − kf )2 − m20 + i pi − /kf + m0 )/ (kf , λf ) / (kf , λf )(/ u(pi , si ) . pi , s¯i ) Mf i (aus) = −ie2 v¯(¯ (pi − kf )2 − m20 + i Hieraus folgt f¨ ur den differentiellen Wirkungsquerschnitt m20 dσ = $ |Mf i |2 (2π)4 δ(kf + kf − pi − p¯i ) (pi · p¯i )2 − m40 ×

2πd3 kf 2πd3 kf (2π)3 ωf (2π)3 ωf

und speziell im Laborsystem, wo das Elektron anf¨anglich ruht, ωf2 dσ 2 2 2 = ¯i ) |Mf i |co , |Mf i |co = |Mf i |kf
=p¯i +pi −kf dΩ |¯ pi |(m0 + E ¯i ) m0 (m0 + E , ωf = ¯ m0 + Ei − |¯ pi | cos θ wobei in dσ/dΩ u ¨ber alle photonischen Streuimpulse kf in Richtung dΩ und alle photonischen Streuimpulse kf ausintegriert wurde. Durch Vernachl¨ assigung fermionischer Polarisationseffekte und Beibehaltung der Photonpolarisationen ergibt sich 0 1  4 ω e ω f f |Mf i |2co (λf , λf ) = +  + 2 − 4[ (kf λf ) · (kf , λf )]2 8m20 ωf ωf  m0 ¯i ) 1 − ωf = (m0 + E . m0 + E¯i − |¯ pi | cos θ Das vollst¨ andig unpolarisierte Amplitudenquadrat lautet   ωf e4 ωf 2 ˜ 2 |Mf i | co = +  + sin θ , θ˜ = (kf , kf ) . 2m20 ωf ωf Die Compton-Streuung, Elektron-Positron-Vernichtung und -Erzeugung stehen u ¨ ber die Kreuzsymmetrie miteinander in Beziehung.

3.3.9 Fazit: Feynman-Regeln im Impulsraum In den vorangegangenen Unterabschnitten haben wir eine ganze Reihe von relativistischen Spin-1/2-Streuprozessen studiert. Zuerst wurden rein fermionische Prozesse wie die Coulomb-Streuung, Elektron-Proton-Streuung, Elektron-Elektron-Streuung und Elektron-Positron-Streuung betrachtet, bei

296

3. Relativistische Streutheorie

denen ausschließlich virtuelle Photonen als Tr¨ager der elektromagnetischen Kraftwirkung beteiligt waren. Dabei stellte sich heraus, daß die zugeh¨origen Streuamplituden gewissen Mustern folgen, die mittels einfacher Regeln formalisiert werden k¨ onnen. Anschließend behandelten wir die ComptonStreuung sowie die Elektron-Positron-Vernichtung und fanden, daß sich auch derartige Prozesse mit Beteiligung reeller Photonen durch die gefundenen Regeln mit wenigen Erg¨ anzungen beschreiben lassen. Wie an mehreren Stellen dieses Abschnittes betont wurde, sind mit dieser Vorgehensweise zwei wesentliche Aspekte verkn¨ upft: • Erweiterungen des urspr¨ unglichen Streuformalismus aus Satz 3.5, die die Beschreibung von Zwei-Teilchenstreuungen mittels Strom-Strom-Wechselwirkung sowie von Prozessen mit Beteiligung reeller Photonen erm¨oglichen und jeweils u ¨ber die Betrachtung von Aµ als klassischem Hintergrundfeld hinausgehen. • Ableitung der Feynman-Regeln, die sich in ihrer Allgemeinheit nur quantenfeldtheoretisch vollst¨ andig begr¨ unden lassen und von denen in diesem Abschnitt lediglich der Tree-Level in den niedrigsten Ordnungen betrachtet wurde. Im n¨ achsten Abschnitt werden wir sehen, daß es gerade die rein quantenfeldtheoretisch motivierten Schleifengraphen in h¨ oheren Ordnungen sind, die bei der Konstruktion von Streuamplituden Schwierigkeiten bereiten und einer gesonderten Betrachtung bed¨ urfen. Zum Schluß dieses Abschnittes stellen wir noch einmal den kompletten Satz von Feynman-Regeln im Impulsraum zusammenh¨angend dar. Die hierbei vorgenommenen Erweiterungen gegen¨ uber den Regeln aus Unterabschn. 3.3.4 und 3.3.7 betreffen im wesentlichen die Verallgemeinerung auf Streuprozesse mit mehr als zwei Streuprodukten (1. Regel ), die Ber¨ ucksichtigung der quantenmechanischen Ununterscheidbarkeit identischer Teilchen (2. Regel) sowie der Fermi-Statistik (4. Regel). 1. Die Streuamplitude eines elastischen oder inelastischen Streuprozesses der Art  I=einlaufende    (m) I + I −→ F + F + F + . . . + F F =auslaufende Teilchen ist gegeben durch  m : < < (k) 4  pf (2π) δ pi + pi − 2 = m = (j) ? = ? = Nf(k) k=1 > Ni > Mf i , Sf i = (j) (k) V2 Ei k=1 Ef j=1 (...)

mit dem Fermionfaktor Ni,f = m0 f¨ ur jedes (Anti-)Fermion und dem (...)

Photonfaktor Ni,f = 2π f¨ ur jedes Photon. F¨ ur jedes einlaufende Antifermion (auslaufende Fermionwellenfunktion mit negativer Energie) atzliches Vorzeichen. erh¨ alt Sf i ein zus¨

3.3 Spin-1/2-Streuprozesse

297

2. Der zugeh¨ orige differentielle Wirkungsquerschnitt lautet bei kollinearen Str¨ omen   m  Ni Ni (k) 2 4  |Mf i | (2π) δ pi + pi − pf dσ =  (pi · pi )2 − m20,i m2 k=1 0,i ×

(k) (k) m ? Nf d3 pf (k)

k=1

(2π)3 Ef

.

In dieser Formel ist bei der Berechnung des totalen Wirkungsquerschnittes zus¨ atzlich der Entartungsfaktor m ? k=1

1 g (k) !

ucksichf¨ ur g (k) identische Teilchen der Sorte F (k) im Endzustand zu ber¨ tigen. 3. Die lorentzinvariante Amplitude Mf i l¨ aßt sich nach Potenzen der Kopplungskonstanten e entwickeln. Die einzelnen Entwicklungsglieder der Ordnung O (en ) ergeben sich aus den Feynman-Graphen im Impulsraum, welche ihrerseits s¨ amtliche topologischen Konstellationen von Fermionlinien, Photonlinien und n Vertizes enthalten, die mit der Kinematik des betrachteten Streuprozesses im Einklang stehen. 4. Innerhalb der Feynman-Graphen werden die Vertizes, Fermion- und Photonlinien mit den in Abb. 3.27 angegebenen Faktoren versehen. Dar¨ uber hinaus sind folgende Phasenfaktoren zu ber¨ ucksichtigen: i) Ein relatives Vorzeichen, wenn sich zwei Feynman-Graphen nur durch Vertauschung zweier Fermionlinien (desselben Fermiontyps) unterscheiden, ii)ein Faktor (−1) f¨ ur jede geschlossene Fermionschleife. ¨ 5. An jedem Vertex gilt Viererimpulserhaltung. Uber alle dadurch noch ; nicht festgelegten Impulse p wird in der Amplitude Mf i mit d4 p/(2π)4 integriert. Zu 2. Der angegebene Entartungsfaktor ber¨ ucksichtigt die quantenmechanische Ununterscheidbarkeit der Trajektorien von identischen auslaufenden Teilchen wie z.B. bei der Elektron-Elektron-Streuung (siehe Unterabschn. 3.3.5). Zu 4. Das relative Vorzeichen in i) ist eine Folge der notwendigen Antisymmetrisierung der gesamten Streuamplitude aufgrund der Fermi-Statistik, und zwar auf Ebene der Wellenfunktionen. Deshalb greift sie auch bei der Vertauschung einer ein- [aus-]laufenden Teilchenlinie mit einer aus- [ein-]laufenden Antiteilchenlinie (siehe Elektron-Elektron-Streuung, Unterabschn. 3.3.5 und

298

3. Relativistische Streutheorie

Einlaufendes Fermion

u(pi , si )

... Antifermion

... Antifermion

u ¯(pf , sf )

Innere Fermionlinie (0)

µ (ki , λi )

v¯(¯ pi , s¯i )

Auslaufendes Fermion

iS˜F (p) =

i(/ p + m0 ) p2 − m20 + i

v(¯ pf , s¯f )

Innere Photonlinie (0)µν

˜ iD F

(q) =

... Photon

−4πig µν q 2 + i

... Photon µ (kf , λf )

Vertex Der Index µ wird mit demjenigen der Photonlinie kontrahiert

−ieγµ Abb. 3.27. Vollst¨ andige Feynman-Graphelemente und charakteristische Faktoren im Impulsraum (siehe die Abbildungen 3.14 und 3.23).

Elektron-Positron-Streuung, Unterabschn. 3.3.6). Die Regel ii) ist nichts weiter als ein Spezialfall der Regel i), wie man sich z.B. anhand der Abb. 3.28 sofort klarmacht. Vertauscht man im Graphen a die beiden gekennzeichneten Fermionlinien, so erh¨ alt man den Graphen b, der auch wie in c gezeichnet werden kann. Gegen¨ uber letzterem besitzt der Graph a also den Phasenfaktor (−1).21 Zusammenfassung • Die Behandlung relativistischer Spin-1/2-Streuprozesse beinhaltet im wesentlichen die Schritte

21

In Bezug auf die Gleichwertigkeit der Graphen b und c sei daran erinnert, daß ein Feynman-Graph aufgrund der Integration u ¨ ber alle Raum-Zeitpositionen der Vertizes beliebig deformierbar ist, solange die Abfolge von Vertizes und Linien erhalten bleibt.



3.3 Spin-1/2-Streuprozesse

299

2

=

1

2

1

2

a

b

1

c

Abb. 3.28. Fermionschleife (a), Vertauschung zweier Fermionlinien (b) und topologisch a ¨quivalente Deformation (c).

– Konstruktion der Streuamplitude Sf i bzw. Mf i bis zur gew¨ unschten Ordnung in der Kopplungskonstanten e. – Bilden des Betragsquadrates |Sf i |2 bzw. |Mf i |2 und ggfs. Mittelung u ¨ber die Anfangspolarisationen und/oder Summation u ¨ber die Endpolarisationen. ur den differentiellen – Einsetzen von |Sf i |2 bzw. |Mf i |2 in die Formel f¨ Wirkungsquerschnitt unter Ber¨ ucksichtigung der Phasenraumfaktoren aller beteiligten Streuprodukte. • Mit Hilfe der Feynman-Regeln lassen sich der erste und dritte Schritt in allgemeing¨ ultiger Weise formalisieren und vereinfachen. Diese Regeln beinhalten einen Tree-Level und einen Loop-Level, von denen letzterer rein quantenfeldtheoretischer Natur ist und somit u ¨ ber den Rahmen der relativistischen Quantenmechanik im engeren Sinne“ hinausgeht. ” • Im o.g. zweiten Schritt f¨ uhrt man |Mf i |2 am besten auf eine doppelte Spinsumme zur¨ uck (ggfs. durch Einbau geeigneter Projektionsoperatoren) und wertet diesen Ausdruck dann mit Hilfe der Spurtheoreme aus Satz 3.6 aus. • Streuprozesse mit Beteiligung rein fermionischer Anfangs- und Endprodukte sind z.B. die Coulomb-, Elektron-Proton-, ElektronElektron- und Elektron-Positron-Streuung. Hierin treten ausschließlich virtuelle Photonen als Tr¨ ager der elektromagnetischen Wechselwirkung auf. • Daneben existieren auch Streuprozesse mit photonischen Anfangs- oder Endzust¨ anden wie etwa die Compton-Streuung, Elektron-PositronVernichtung und Elektron-Positron-Erzeugung. • Die Elektron-Elektron- und Elektron-Positron-Streuung einerseits und die Compton-Streuung, Elektron-Positron-Vernichtung und ElektronPositron-Erzeugung andererseits sind jeweils u ¨ ber das Prinzip der Kreuzsymmetrie miteinander verbunden.

300

3. Relativistische Streutheorie

Aufgaben 37. Kinematische Konstellationen bei der Compton-Streuung. Zeigen Sie, daß in (3.116) nur eine der vier δ()δ()-Kombinationen zum betrachteten Streuprozeß beitr¨ agt. L¨ osung. Die Aufl¨ osung von (3.116) liefert folgende Kombinationen samt zugeh¨ origen Impulsbilanzen: A : δ(pf − p + kf )δ(pi − p + ki ) =⇒ pi + ki = pf + kf B : δ(pf − p − kf )δ(pi − p − ki ) =⇒ pi − ki = pf − kf C : δ(pf − p − kf )δ(pi − p + ki ) =⇒ pi + ki = pf − kf D : δ(pf − p + kf )δ(pi − p − ki ) =⇒ pi − ki = pf + kf . Zu A. Diese Bilanz spiegelt die von uns vorausgesetzte Konstellation bei der Compton-Streuung korrekt wider, n¨ amlich ein in den Streubereich einlaufendes Photon mit Impuls +ki und ein aus dem Streubereich herauslaufendes Photon mit Impuls +kf . Zu B. Hierdurch wird ebenfalls die Compton-Streuung beschrieben, allerdings mit vertauschten Photonimpulsen: Auslaufendes Photon mit −ki und einlaufendes Photon mit −kf . Zu C und D. Physikalisch entsprechen diese beiden Bilanzen der Absorption bzw. Emission zweier Photonen durch ein freies Elektron, was kinematisch verboten ist. Man sieht dies im Fall C, indem man die Gleichung pf − pi = ki + kf unter Ber¨ ucksichtigung der Massenschalenbedingungen quadriert,

(3.127) p2i,f

=

m20

2 , ki,f =0

ωi ωf + Ei Ef − m20 = pi pf + ki kf , und anschließend die Ungleichung pi pf + ki kf ≤ |pi pf + ki kf | ≤ |pi ||pf | + |ki ||kf |   = Ei2 − m20 Ef2 − m20 + ωi ωf ausnutzt. Hieraus folgt (Ei,f ≥ m0 )   Ei Ef − m20 ≤ Ei2 − m20 Ef2 − m20 =⇒ (Ei − Ef )2 ≤ 0 =⇒ Ei = Ef und wegen (3.127) ωi = −ωf ⇐⇒ |ki | = −|kf | =⇒ ωi = ωf = 0 . Somit besitzt die Bilanz C nur die triviale L¨ osung eines nichtwechselwirkenden Elektrons. Die Nichtrealisierbarkeit der Bilanz D folgt in analoger Weise.

Aufgaben

301

38. Elektron-Positron-Vernichtung im Schwerpunktsystem. Berechnen Sie unter Zuhilfenahme der Ergebnisse aus Unterabschn. 3.3.8 den vollst¨ andig unpolarisierten differentiellen und totalen Wirkungsquerschnitt der Elektron-Positron-Vernichtung in f¨ uhrender Ordnung im Schwerpunktsystem. Hinweis: Aufgrund der Eichinvarianz des elektromagnetischen Feldes kann bei der Berechnung von Streuamplituden die Vollst¨andigkeitsrelation 2 

µ (k, λ) ν (k, λ) = −gµν

(3.128)

λ=1

der zu k transversalen Polarisationsvektoren verwendet werden. L¨ osung. Ausgangspunkt ist der differentieller Wirkungsquerschnitt 2πd3 kf 2πd3 kf m20 2 4  |M | (2π) δ(k + k − p − p ¯ ) , dσ = $ f i f i i f (2π)3 ωf (2π)3 ωf (pi · p¯i )2 − m40 mit Mf i aus (3.124), der im Schwerpunktsystem auszuwerten ist (siehe Abb. 3.29). Unter Ber¨ ucksichtigung von m20 m20 m20 $ $ = = 2Ei |pi | (pi · p¯i )2 − m40 (Ei2 + p2i )2 − m40  d3 kf 3 2 = 2 d4 kf δ(kf2 )Θ(kf0 ) d kf = ωf dωf dΩ , ωf folgt zun¨ achst     dσ m20 dωf ωf d4 kf |Mf i |2 δ(kf + kf − pi − p¯i ) = dΩ Ei |pi | cm

×δ(kf2 )θ(kf0 )  m20 dωf ωf |Mf i |2k
=p¯i +pi −kf = f Ei |pi | kf pi

θ

¯i p

k f Abb. 3.29. Kinematische Situation der Elektron-Positron-Vernichtung im Schwerpunktsystem. Aufgrund der Energie- und Impulserhaltung gelten die Beziehungen ¯i = ωf = ωf und pi = −¯ Ei = E pi , k f = −kf .

302

3. Relativistische Streutheorie

×δ[(¯ pi + pi − kf )2 ]Θ(¯ p0i + p0i − kf0 )  m20 dωf ωf |Mf i |2k
=p¯i +pi −kf = f Ei |pi | ×δ[4Ei (Ei − ωf )]Θ(2Ei − ωf ) 2Ei δ(ωf − Ei ) m20 = dωf ωf |Mf i |2k
=p¯i +pi −kf f Ei |pi | 4Ei 0

m20 = |Mf i |2cm . 4Ei |pi |

(3.129)

Zur Berechnung des Amplitudenquadrates k¨onnen wir auf (3.126) zur¨ uckgreifen, 0 pi · kf e4 pi · kf  2 |Mf i | co (λf , λf ) = + 2 8m0 pi · kf pi · kf 1 +2 − 4[ (kf λf ) · (kf , λf )]2

,

(3.130)

wo die Viererimpulserhaltung bereits ber¨ ucksichtigt und die Anfangspolarisationen der Fermionen herausgemittelt sind. F¨ ur das vollst¨andig unpolarisierte Amplitudenquadrat (Summation u ¨ ber die Endpolarisationen der Photonen) ergibt sich hieraus ⎧ ⎫ ⎬ 4 ⎨ p · k  e pi · kf i f |Mf i |2co = + +2− [ (kf λf ) · (kf , λf )]2 . 2  ⎭ 2m0 ⎩ pi · kf pi · kf
λf ,λf

Zu beachten ist, daß (3.130) unter der Voraussetzung hergeleitet wurde, daß die Polarisationsvektoren f , f senkrecht zu pi stehen (siehe ComptonStreuung, Unterabschn. 3.3.7). Im Laborsystem (pi = 0) konnte dem durch die Wahl rein raumartiger Photonpolarisationen = (0, ) leicht entsprochen werden. Dagegen bietet sich im hier vorliegenden allgemeineren Fall zum Einbau der Bedingungen f · pi = f · pi = 0 der Ansatz bzw. die Umeichung

f → ˜

f = f −

f · pi 

f · pi kf , f → ˜f = f −  k kf · pi kf · pi f

(3.131)

an, wodurch die sonstigen Orthogonalit¨ ats- und Transversalit¨atsbedingungen (3.114) unber¨ uhrt bleiben:

· k = 0 , · = −1 =⇒ ˜

·k = 0 , ˜

· ˜ = −1 . Somit l¨ aßt sich die Polarisationssumme in |Mf i |2co umschreiben zu  µ  [˜

f · ˜f ]2 =

˜f ˜f,µ ˜νf ˜f,ν = Aµν Bµν , λf ,λ
f

λf ,λ
f

Aufgaben

mit Aµν =



˜µf ˜νf , Bµν =



λf

303

˜f,µ ˜

f,ν .

λ
f

Indem man nun die Vollst¨ andigkeitsrelation (3.128) benutzt, k¨onnen die beiden Tensoren weiter vereinfacht werden zu µ  ν 

f · pi

f · pi µν A = kf kf

f −

f − kf · pi kf · pi λf   ν  µ p kµ p p kµ kν µ α pi,α kf ν ν α i,α f α β i,α i,β f f

f f − f f = − f f + f f kf · pi kf · pi (kf · pi )2 λf

= −g

Bµν =

µν



+

pνi kfµ + pµi kfν kf · pi

f,µ f,ν =

λ
f

λf

= −gµν +





−

m20 kfµ kfν (kf · pi )2

f · pi  k

f −  kf · pi f

  + pi,µ kf,ν pi,ν kf,µ kf · pi

−

  µ

f · pi  k

f −  kf · pi f

  kf,ν m20 kf,µ (kf · pi )2

 ν

.

Kontraktion von Aµν und Bµν liefert schließlich unter Beachtung der Massenschalenbedingungen kf2 = kf2 = 0  λf ,λ
f

[˜

f · ˜f ]2 = 2 −

m40 (kf · kf )2 2m20 kf · kf + , (kf · pi )(kf · pi ) (kf · pi )2 (kf · pi )2

und es folgt das vollst¨ andig unpolarisierte Amplitudenquadrat

e4 pi · kf pi · kf |Mf i |2co = + 2m20 pi · kf pi · kf  m40 (kf · kf )2 2m20 kf · kf − + . (kf · pi )(kf · pi ) (kf · pi )2 (kf · pi )2

(3.132)

(3.133)

Um hieraus den in (3.129) einzusetzenden Ausdruck |Mf i |2cm zu erhalten, m¨ ussen jetzt noch die Schwerpunktsbedingungen eingebaut werden. Unter Ber¨ ucksichtigung von |pi | = vi Ei haben wir pi · kf = Ei2 − |pi ||kf | cos θ = Ei2 (1 − vi cos θ) pi · kf = Ei2 + |pi ||kf | cos θ = Ei2 (1 + vi cos θ)

kf · kf = Ei2 + |kf ||kf | = 2Ei2 . Das Endresultat f¨ ur den differentiellen Wirkungsquerschnitt im Schwerpunktsystem lautet somit

304

3. Relativistische Streutheorie



dσ dΩ

 = cm

 1 + vi cos θ 1 − vi cos θ e4 + 2 8Ei vi 1 − vi cos θ 1 + vi cos θ

 4m20 4m40 − Ei2 (1 − vi2 cos2 θ) Ei4 (1 − vi2 cos2 θ)2 e4 1 + 2vi2 (1 − vi2 ) − 2vi2 (1 − vi2 ) cos2 θ − vi4 cos4 θ = , 4Ei2 vi (1 − vi2 cos2 θ)2 +

wobei im letzten Schritt m20 /Ei2 = 1 − vi2 verwendet wurde. Die Berechnung des totalen Wirkungsquerschnittes, insbesondere die Integration u ¨ ber d cos θ, ist problemlos durchf¨ uhrbar und liefert      dσ πe4 (1 − vi2 ) 1 + vi 1 4 2 dΩ = ) ln − 2v (2 − v ) . (3 − v σ ¯= i i i 2 dΩ 4m20 vi2 1 − vi cm

Dabei ber¨ ucksichtigt der Faktor 1/2 die Ununterscheidbarkeit der beiden Photonen im Endzustand und verhindert deren doppelte Z¨ahlung. 39. Elektron-Positron-Erzeugung im Schwerpunktsystem. Berechnen Sie den vollst¨ andig unpolarisierten differentiellen und totalen Wirkungsquerschnitt der Elektron-Positron-Erzeugung in f¨ uhrender Ordnung im Schwerpunktsystem. Ber¨ ucksichtigen Sie hierbei die Kreuzsymmetrie zwischen der Elektron-Positron-Erzeugung und -Vernichtung. L¨ osung. Abb. 3.30 gibt die betrachtete kinematische Situation der Elektron¨ Positron-Erzeugung im Schwerpunktsystem wieder. Ahnlich wie in der vorigen Aufgabe starten wir mit dem differentiellen Wirkungsquerschnitt 3 3 ¯f (2π)2 2 4  m0 d p f m0 d p |M | (2π) δ(p + p ¯ − k − k ) dσ = $ f i f f i i 3 3  2 (2π) Ef (2π) E¯f (ki · ki )

und werten ihn unter Zuhilfenahme der Beziehungen (2π)2 (2π)2 (2π)2 $ = =   2ωi ωi 2ωi2 (ki · ki )2 ¯f p ki

θ

ki

pf Abb. 3.30. Kinematische Situation der Elektron-Positron-Erzeugung im Schwerpunktsystem. Aufgrund der Energie- und Impulserhaltung gelten die Beziehungen ¯f und ki = −ki , pf = −¯ ωi = ωi = Ef = E pf .

Aufgaben

d3 pf =2 Ef

305

 ¯f dE ¯f dΩ d4 pf δ(p2f − m20 )Θ(p0f ) , d3 p¯f = |¯ pf |E

wie folgt aus:     dσ m2 = 20 dE¯f |¯ pf | d4 pf |Mf i |2 δ(pf + p¯f − ki − ki ) dΩ ωi cm

×δ(p2f − m20 )Θ(p0f )  m20 = 2 pf ||Mf i |2pf =ki +k
−p¯f dE¯f |¯ i ωi

×δ[(ki + ki − p¯f )2 − m20 ]Θ(ki0 + ki0 − p¯0f )  m2 = 20 dE¯f |¯ pf ||Mf i |2pf =ki +k
−p¯f i ωi ¯f )]Θ(2ωi − E ¯f ) ×δ[4ωi (ωi − E 2ω  i ¯ f − ωi ) δ(E m2 ¯f |¯ dE pf ||Mf i |2pf =ki +k
−p¯f = 20 i ωi 4ωi m0 $ m20 ωi2 − m20 = |Mf i |2cm . 4ωi3 Erwartungsgem¨ aß macht diese Formel offensichtlich nur dann Sinn, wenn die Energie jedes Photons mindestens gleich der Ruheenergie des zu erzeugenden Elektrons bzw. Positrons ist. Ohne die Amplitude Mf i explizit zu konstruieren, k¨ onnen wir das Amplitudenquadrat direkt aus dem entsprechenden Ausdruck (3.133) der Elektron-Positron-Vernichtung ableiten, wenn wir den kreuzsymmetrischen Zusammenhang der Abb. 3.31 ber¨ ucksichtigen. Nehmen wir also in (3.133) die entsprechenden Ersetzungen vor, so f¨ uhrt dies auf Elektron-Positron-Vernichtung e− +

e+ → γ

γ

γ

+

+

→ e− +

γ

pi

p¯i

kf

kf

e+

−ki

−ki

−pf

−¯ pf

Elektron-Positron-Erzeugung Abb. 3.31. Kreuzsymmetrie zwischen der Elektron-Positron-Vernichtung und -Erzeugung.

306

3. Relativistische Streutheorie

|Mf i |2co =

 e4 p¯f · ki p¯f · ki + 2  2m0 p¯f · ki p¯f · ki  2  m40 (ki · ki )2 2m0 ki · ki − + , (ki · p¯f )(ki · p¯f ) (ki · p¯f )2 (ki · p¯f )2

woraus sich |Mf i |2cm durch Auswertung der Skalarprodukte im Schwerpunktsystem ergibt: p¯f · ki = ωi2 − |pf ||ki | cos θ = ωi2 (1 − vf cos θ) , |pf | = vf Ef = vf ωi

p¯f · ki = ωi2 + |pf ||ki | cos θ = ωi2 (1 + vf cos θ) k¯f · kf = ωi2 − |kf ||kf | = 2ωi2 .

Insgesamt erhalten wir f¨ ur den differentiellen Wirkungsquerschnitt der Elektron-Positron-Erzeugung im Schwerpunktsystem    dσ e4 vf 1 + vf cos θ 1 − vf cos θ + = dΩ 8ωi2 1 − vf cos θ 1 + vf cos θ cm  4m20 4m40 + 2 − ωi (1 − vf2 cos2 θ) ωi4 (1 − vf2 cos2 θ)2 =

e4 vf 1 + 2vf2 (1 − vf2 ) − 2vf2 (1 − vf2 ) cos2 θ − vf4 cos4 θ . 4ωi (1 − vf2 cos2 θ)2

Bei der Berechnung des totalen Wirkungsquerschnittes kann auf die entsprechende Integration bei der Elektron-Positron-Vernichtung zur¨ uckgegriffen werden, und es folgt      πe4 (1 − vf2 ) dσ 1 + vf 4 2 σ ¯= dΩ = − 2vf (2 − vf ) . (3 − vf ) ln dΩ 2m20 1 − vf cm

Im Vergleich zum Vernichtungsfall fehlt hier der Faktor 1/2, da die fermionischen Streuprodukte unterscheidbar sind. 40. Furry-Theorem. Beweisen Sie das Furry-Theorem, welches folgendes besagt: Zwei identische Feynman-Graphen mit jeweils einer n-Vertex-Fermionschleife, die sich lediglich in der Bewegungsrichtung des umlaufenden Fermions unterscheiden, • liefern denselben Beitrag, falls n gerade ist, • heben sich gegenseitig auf, falls n ungerade ist. Wie sieht es im Falle n = 1 und n = 2 aus? L¨ osung. Abb. 3.32 zeigt die beiden n-Vertex-Fermionschleifen mit gegenl¨aufigem Umlaufsinn als Bestandteile von zwei ansonsten identischen FeynmanGraphen. Die zugeh¨ orige Amplitude l¨ aßt sich in der Form  Mf i = [. . .] M (a) + M (b) [. . .]

Aufgaben

−ieγµn

x1 xn

−ieγµ1 x2

−ieγµ2

+

−ieγµn

x1 xn

307

−ieγµ1 x2

−ieγµ2

Abb. 3.32. n-Vertex-Fermionschleifen mit gegenl¨ aufigem Umlaufsinn des virtuellen Fermions.

schreiben, wobei M (a) und M (b) die Anteile der beiden Teilgraphen bezeichnen und gegeben sind durch (0) (0) M (a) = tr (−ie)γµn iSF (xn − xn−1 )(−ie)γµn−1 iSF (xn−1 − xn−2 ) · · ·  (0) × (−ie)γµ1 iSF (x1 − xn ) (0) (0) = en tr γµn SF (xn − xn−1 )γµn−1 SF (xn−1 − xn−2 ) · · ·  (0) × γµ1 SF (x1 − xn ) (0) (0) M (b) = tr (−ie)γµ1 iSF (x1 − x2 )(−ie)γµ2 iSF (x2 − x3 ) · · ·  (0) × (−ie)γµn iSF (xn − x1 )  (0) (0) (0) = en tr γµ1 SF (x1 − x2 )γµ2 SF (x2 − x3 ) · · · γµn SF (xn − x1 ) . Die Spur ergibt sich aus der zyklischen Multiplikation der Vertexfaktoren und Fermionpropagatoren entlang der Schleife. Indem man nun die Ladungskonjugationstransformation C aus Unterabschn. 2.1.6 heranzieht und die Beziehungen [siehe (2.40)] C −1 γµ C = −γµ∗ = −γ 0 γµT γ 0  d4 p −ip·x pµ C −1 γµ C + m0 (0) C −1 SF (x)C = e (2π)4 p2 − m20 + i  d4 p −ip·x −pµ γ 0 γµT γ 0 + m0 = e (2π)4 p2 − m20 + i (0)T

= γ 0 SF

(−x)γ 0

verwendet, l¨ aßt sich M (b) in der Weise (0) M (b) = en tr CC −1 γµ1 CC −1 SF (x1 − x2 ) ×CC −1 γµ2 CC −1 SF (x2 − x3 )CC −1 · · ·  (0) × CC −1 γµn CC −1 SF (xn − x1 ) (0)

308

3. Relativistische Streutheorie

(0) = en tr C −1 γµ1 CC −1 SF (x1 − x2 ) ×CC −1 γµ2 CC −1 SF (x2 − x3 )CC −1 · · ·  (0) × CC −1 γµn CC −1 SF (xn − x1 )C (0)T (0)T = en (−1)n tr γµT1 SF (x2 − x1 )γµT2 SF (x3 − x2 ) · · ·  (0)T × γµTn SF (x1 − xn ) (0) (0) = en (−1)n tr SF (x1 − xn )γµn SF (xn − xn−1 )γµn−1 · · ·  (0) (0) × SF (x3 − x2 )γµ2 SF (x2 − x1 )γµ1 (0)

= (−1)n M (a) umformen, woraus sofort die Behauptung folgt. Hierbei wurde im zweiten und letzten Schritt die zyklische Vertauschbarkeit der Spur ausgenutzt. Die F¨ alle n = 1 und n = 2 bilden die einzigen Ausnahmen, auf die das Furry-Theorem nicht anwendbar ist. Dort sind die zugeh¨origen beiden Teilgraphen mit gegenl¨ aufigem Umlaufsinn topologisch ¨aquivalent, so daß faktisch jeweils nur ein Teilgraph u ¨brig bleibt. Aufgrund der besonderen Form spricht man im Fall n = 1 vom Kaulquappen-Graph (engl. tadpole diagram). Er kann wegen der Viererimpulserhaltung nur u ¨ber ein virtuelles Photon (mit k = 0) an den Rest angebunden sein und liefert somit einen Beitrag zur Selbstenergie des Elektrons (bzw. Positrons). Dieser Beitrag ist jedoch im Gegensatz zum Selbstenergiebeitrag des n¨ achsten Abschnittes physikalisch nicht beobachtbar, was damit zusammenh¨ angt, daß er sich in einer (divergenten) Renormierungskonstanten vollst¨ andig absorbieren l¨aßt. Es ist daher gerechtfertigt, Feynman-Graphen mit 1-Vertex-Fermionschleifen von vornherein wegzulassen.

3.4 Korrekturen ho ¨herer Ordnung Im vorigen Abschnitt haben wir uns mit konkreten Beispielen relativistischer Spin-1/2-Streuprozesse in den niedrigsten Ordnungen der Streutheorie besch¨ aftigt und daraus den kompletten Satz von Feynman-Regeln zur Konstruktion von Streuamplituden und Streuquerschnitten entwickelt. Dieses Regelwerk ist prinzipiell in allen Ordnungen g¨ ultig und enth¨alt in h¨oheren Ordnungen neben den Baumgraphen auch die rein quantenfeldtheoretisch begr¨ undeten Schleifengraphen. Wir wollen nun anhand der Feynman-Regeln zu h¨oheren Ordnungen u ¨ bergehen und die damit verbundenen, neu auftretenden Probleme diskutieren. Wie wir sehen werden, resultieren diese Probleme aus der Tatsache, daß einige Korrekturen h¨ oherer Ordnung, n¨amlich gerade diejenigen, die Schleifengraphen enthalten, zu Unendlichkeiten f¨ uhren, wodurch die Sinnhaftigkeit des gesamten Formalismus in Frage gestellt wird.

3.4 Korrekturen h¨ oherer Ordnung

309

Gl¨ ucklicherweise l¨ aßt sich dieses Divergenzproblem durch das Programm der Renormierung beseitigen. Das entscheidende Argument hierbei ist, daß die in der Dirac-Gleichung auftretenden Parameter wie die Ladung e oder die oßen zu betrachten sind, denen an sich Masse m0 eher als buchhalterische Gr¨ keine physikalische Bedeutung zukommt, weil sie gewissen Effekten, die sich im Experiment nicht abschalten lassen, keine Rechnung tragen. Deshalb enthalten diese Gr¨ oßen selbst Divergenzen, die durch die o.g. Unendlichkeiten kompensiert werden m¨ ussen. Mit anderen Worten: Verwendet man anstelle der nackten“ Gr¨ oßen e und m0 von vornherein die physikalischen, so ver” schwinden jegliche Divergenzen aus dem Streuformalismus.
 Als f¨ uhrendes Beispiel betrachten wir die O e4 -Korrekturen zur Elektron-Positron-Streuung (vgl. Unterabschn. 3.3.6), deren Feynman-Graphen – insgesamt sind es 18 – s¨ amtliche topologischen und kinematisch erlaubten Konstellationen mit vier ¨ außeren Fermionlinien und vier Vertizes enthalten und allesamt in Abb. 3.33 dargestellt sind.

a

b

c

d

f[×2]

g[×4]

h[×4]

i

e[×2]

j

Abb. 3.33. S¨ amtliche Feynman-Graphen
 der Streuamplitude f¨ur die ElektronPositron-Streuung in der Ordnung O e4 . a bis d sind Baumgraphen und e bis j Schleifengraphen.

• Die Graphen a und b stellen den Zwei-Photonenaustausch der direk
4 ten bzw. Austauschstreuung dar, a hnlich wie die O e -Korrekturen der ¨ Elektron-Proton-Streuung in Abb. 3.12 und 3.13. Bei den Graphen c und d handelt es sich um Vernichtungsgraphen. Schreibt man die zu a bis d geh¨ orenden Amplituden explizit auf, so stellt man durch Abz¨ahlen der Potenzen des Integrationsimpulses fest, daß sie zu endlichen Beitr¨agen f¨ uhren und mit unseren bisherigen Methoden problemlos ausgerechnet werden k¨ onnen. Sie werden deshalb im weiteren Verlauf nicht weiter ber¨ ucksichtigt.

310

3. Relativistische Streutheorie

• Beim Graphen e sendet das Elektron (Positron) vor der Austauschstreuung ein Photon aus und absorbiert es nach der Austauschstreuung wieder. Der Graph f entspricht einem Prozeß, bei dem das vom Vernichtungsphoton erzeugte Paar noch einmal streut, bevor es in den Endzustand u ¨ bergeht. Beide Graphen geh¨ oren zur Klasse der Vertexkorrekturen und liefern divergente Beitr¨ age. • Im Gegensatz zu e und f sendet in den Graphen g und h das Elektron (Positron) ein Photon aus und absorbiert es unmittelbar danach wieder, ohne zwischenzeitlich anderweitig zu wechselwirken. Man z¨ahlt diese, ebenfalls divergenten Graphen zu den Selbstenergiekorrekturen, weil sie die Wechselwirkung des Elektrons (Positrons) mit seinem eigenen Strahlungsfeld beschreiben. • Bei den Graphen i und j wird vom Austausch- bzw. Vernichtungsphoton ein virtuelles Elektron-Positron-Paar erzeugt und gleich darauf wieder vernichtet. Im Hinblick auf das fluktuierende Dipolmoment des virtuellen Paares, das durch ein elektrisches Feld auch polarisiert werden kann, spricht man bei dieser Art von Graphen von Vakuumpolarisation. Auch sie f¨ uhren zu divergenten Amplitudenbeitr¨ agen. Offensichtlich sind es ausschließlich Schleifen innerhalb der Feynman-Graphen, die die Divergenzen in den zugeh¨ origen Streuamplituden verursachen und zusammenfassend mit Strahlungskorrekturen bezeichnet werden. In Abb. 3.35 sind diese Bausteine noch einmal zusammengetragen, wobei
zus¨atzlich zwei weitere hinzugenommen wurden, wie sie z.B. in den O e4 -Graphen der Elektron-Positron-Vernichtung (siehe Abb. 3.34, vgl. Unterabschn. 3.3.8) auftauchen. Zu ihnen allen geh¨ oren jeweils vierdimensionale Impulsintegrale, die bei k → ∞ in unterschiedlich starkem Maße divergieren (Ultraviolettdivergenz). W¨ ahrend die Volumenelemente jeweils mit k 4 gehen, sind die Integranden der drei Prozesse aus Abb. 3.35 proportional zu k −2 , k −3 bzw. k −4 , so daß man f¨ ur die Vakuumpolarisation die st¨ arkste Divergenz, n¨amlich eine quadratische, f¨ ur die Selbstenergie eine lineare und f¨ ur die Vertexkorrektur eine logarithmische Divergenz erwartet.

a

b[×2]

Abb. 3.34. Zwei Feynman-Graphen
 der Streuamplitude f¨ur die Elektron-Positronaußere VakuumVernichtung in der Ordnung O e4 : Innere Selbstenergie (a) und ¨ polarisation (b).

3.4 Korrekturen h¨ oherer Ordnung

311

Innere / ¨ außere Vakuumpolarisation:

Innere / ¨ außere Selbstenergie:

Vertexkorrektur:

Abb. 3.35. Vakuumpolarisation, Selbstenergie und Vertexkorrektur als Divergenz
 verursachende Bauelemente von O e4 -Feynman-Graphen.

In den folgenden drei Unterabschnitten werden wir uns mit den Strahlungskorrekturen genauer auseinandersetzen und zeigen, wie sich diese durch das Renormierungsprogramm in physikalisch sinnvoller Weise in den nackten Parametern e und m0 absorbieren lassen. Der vierte Unterabschnitt behandelt einige physikalische Konsequenzen, die sich durch die Existenz der Strahlungskorrekturen ergeben.
 Anmerkung. Man beachte, daß in Abb. 3.33 einige O e4 -Feynman-Graphen unterschlagen wurden, und zwar solche, die aus unverbundenen Teilen bestehen. Ein Beispiel dieser Art ist in Abb. 3.36 zu sehen und repr¨asentiert die Elektron-Positron-Streuung in niedrigster Ordnung, w¨ahrend unabh¨angig davon aus dem Vakuum ein virtuelles Elektron-Positron-Paar entsteht und gleich darauf wieder vernichtet wird. In Streuamplituden a¨ußern sich diese sog. Vakuumfluktuationen als multiplikativer Faktor zu dem Anteil der verbundenen Graphen mit a ¨ußeren Linien. Da wir jedoch an Streuamplituden




Abb. 3.36. Beispiel f¨ ur einen unverbundenen O e4 -Feynman-Graphen der Elektron-Positron-Streuung.

312

3. Relativistische Streutheorie

relativ zu den immer stattfindenden Vakuumfluktuationen interessiert sind, k¨onnen wir diesen Faktor einfach herausdividieren bzw. von vornherein alle unverbundenen Graphen vernachl¨ assigen. 3.4.1 Vakuumpolarisation Wir beginnen mit der inneren Vakuumpolarisation und betrachten die Modifikation des freien Photonpropagators22 −4πg µν q 2 + i
2 durch eine O e -Fermionschleife. Dies f¨ uhrt nach Abb. 3.37 zu der Ersetzung (0)µν

(q) =

(0)µν

(q) −→ DFµν (q) = DF

DF

DF

(0)µν

(0)µα

(q) + DF

(0)βν

(q)Pαβ (q)DF

(q) , (3.134)

mit dem Polarisationstensor    d4 k /k + m0 /k − /q + m0 γ tr γ Pµν (q) = −ie2 . (3.135) µ 2 ν (2π)4 k − m20 + i (k − q)2 − m20 + i Die Spur ergibt sich dabei aus der zyklischen Multiplikation der γ-Matrizen mit den Propagatoren entlang der Schleife. Bevor wir diesen quadratisch ul(0)

(0)µν iDF (q)

(0)µα iDF (q)

-

iSF (k)

−ieγα

(0)βν

iDF

(q)

−ieγβ

(0) iSF (k

− q)
 Abb. 3.37. Modifikation des freien Photonpropagators durch die O e2 Vakuumpolarisation. Das relative Vorzeichen resultiert aus der Fermionschleife (vierte Feynman-Regel).

traviolettdivergenten Ausdruck konkret berechnen, ist es instruktiv, einige seiner allgemeinen Eigenschaften n¨ aher zu betrachten. Zun¨achst einmal ist Pµν ein Lorentz-Tensor und kann deshalb in der Weise Pµν (q) = Dgµν + gµν q 2 Π (1) (q 2 ) + qµ qν Π (2) (q 2 )

(3.136)

angesetzt werden, mit der Konstanten D und den skalaren Funktionen ucksichtigt man ferner die aus Eichinvarianz¨ uberlegungen folΠ (1,2) (q 2 ). Ber¨ genden Bedingungen Pµν q ν = q µ Pµν = 0, so reduziert sich dieser Ansatz auf
 (3.137) Pµν (q) = q 2 gµν − qµ qν Π(q 2 ) , D = 0 , 22

Hier und im folgenden wird das ∼-Zeichen u ¨ ber den Propagatoren im Impulsraum unterdr¨ uckt.

3.4 Korrekturen h¨ oherer Ordnung

313

wobei Π(q 2 ) die Polarisationsfunktion bezeichnet. Daß die Konstante D ver¨ schwinden muß, ergibt
2  sich auch aus einer anderen Uberlegung. Geht man n¨ amlich u ¨ber die O e -Fermionschleife hinaus und bezieht noch h¨ohere Korrekturen mit ein, so l¨ auft dies auf die Entwicklung (0)

(0)

(0)

(0)

(0)

(0)

(0)

(0)

DF = DF + DF P DF + DF P DF P DF + . . .

 (0) (0) (0) (0) (0) = DF + DF P DF + DF P DF + . . . = DF + DF P DF 1 (Dyson-Gleichung) = −1 (0) DF −P

(3.138)

hinaus, die graphisch einer Reihe von immer mehr hintereinander geschalteten Fermionschleifen innerhalb der Photonlinie entspricht (kompliziertere topologische Konstellationen wie z.B. ineinander geschachtelte Fermionschleifen bleiben allerdings unber¨ ucksichtigt). Mit unserem allgemeinen Ansatz (3.136) k¨ onnen wir daher f¨ ur den Photonpropagator im Grenz
modifizierten  fall q 2 → 0 bis zur Ordnung O e2 schreiben: DFµν (q) ≈

−4πg µν . q 2 − D + i

√ Dies ist aber gerade der freie Propagator f¨ ur ein Boson der Masse D, so daß hieraus wieder die Bedingung D = 0 folgt. Eine direkte Berechnung scheint dem allerdings zu widersprechen, weil, wie bereits erw¨ ahnt, das Integral (3.135) in k divergiert und insbesondere f¨ ur q 2 → 0 einen unendlichen Wert liefert. Um hier irgendwie weiterzukommen, gibt es verschiedene Ans¨ atze, die allesamt darauf hinauslaufen, daß man die Konvergenz des Integrals durch Regularisierung erzwingt, z.B. indem man die k-Integration bei einem großem Impuls abschneidet oder einen D¨ampfungsfaktor einf¨ uhrt, der f¨ ur große k stetig gegen Null geht. Wir verwenden im folgenden das Pauli-Villars-Verfahren, bei dem man vom Integranden in (3.135) eine Funktion mit demselben asymptotischen Verhalten abzieht, so daß das resultierende Integral konvergent wird. Diese Methode hat den Vorzug, daß die Eichinvarianzbedingung (3.137) aufrecht erhalten werden kann. Konkret bedeutet dies, daß wir anstelle von (3.135) den regularisierten Polarisationstensor  N d4 k  Ci P¯µν (p) = −ie2 (2π)4 i=0   /k + Mi /k − /q + Mi γν ×tr γµ 2 (3.139) k − Mi2 + i (k − q)2 − Mi2 + i unglicher Integrand) und geeignet betrachten, mit C0 = 1, M0 = m0 (urspr¨ zu w¨ ahlenden Abschneideparametern Ci>0 , Mi>0 , welche die Konvergenz des

314

3. Relativistische Streutheorie

Integrals gew¨ ahrleisten. Am Schluß der Rechnungen muß dann der Grenzwert Mi>0 → ∞ betrachtet werden. Weil dieses Abschneideverfahren (wie jedes andere auch) willk¨ urlich ist, d¨ urfen physikalische Observable letztlich nat¨ urlich nicht von den Ci>0 und Mi>0 abh¨angen. Dies l¨aßt sich, wie wir gleich sehen werden, tats¨ achlich erreichen. Die konkrete Berechnung von (3.139) bedeutet einigen trickreichen Aufwand, den wir hier nicht vorf¨ uhren wollen. Dabei zeigt sich, daß die nichteichinvarianten Terme durch bestimmte Wahl der Abschneideparameter zum Verschwinden gebracht werden k¨ onnen. Am Ende verbleibt der eichinvariante Ausdruck [vgl. (3.137)] 
¯ 2) , P¯µν (q) = gµν q 2 − qµ qν Π(q mit der nur noch logarithmisch divergenten regularisierten Polarisationsfunktion 1 ∞ N 2  2 !3 dρ  ¯ 2) = e Π(q dββ(1 − β) Ci exp iρ −Mi2 + β(1 − β)q 2 . 2 2π ρ i=0 0 0 67 8 5 I 2 , dann l¨aßt sich das I-Integral Nehmen wir nun an, daß23 q 2 < 4m20  Mi>0 durch Deformation der Integrationskontur auf die negative imagin¨are Achse weiter umschreiben zu ∞ N N N   !  2 2 I = − lim Ci ln η − Ci ln Mi − β(1 − β)q + Ci dt ln te−t . η→0

i=0

i=0

i=0

0

Offensichtlich k¨ onnen wir jetzt durch die zus¨atzliche Parameterbedingung N : Ci = 0 den ersten und dritten unendlichen Term eliminieren, und es folgt i=0

0 I = − ln

m20

− β(1 − β)q

2

+

N 

Ci ln

Mi2

i=1

0 ≈ − ln

!

m20

− β(1 − β)q

2

!

+

N 

− β(1 − β)q

2

!

1

1 Ci ln Mi2

i=1 ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪  N N ⎨  ⎬  q2 Mi2  2 = − ln 1 − β(1 − β) 2 + Ci ln 2 + Ci m0 ⎪ ⎪ m0 m0 ⎪ ⎪ i=1 i=0 ⎪ ⎪ ⎪ 5 67 8⎪ ⎩ ⎭ 0    + q2 Λ2 = − ln 1 − β(1 − β) 2 − ln 2 , m0 m0 23

Diese Voraussetzung gew¨ ahrleistet einen negativ imagin¨ aren Exponenten im gesamten β-Integrationsintervall [0 : 1]. Jenseits hiervon, also ab der Schwellenenergie q 2 = (2m0 )2 , ist die Produktion reeller Elektron-Positron-Paare m¨ oglich.

3.4 Korrekturen h¨ oherer Ordnung

315

wobei im letzten Schritt die Abk¨ urzung N  i=0

Ci ln

Mi2 Λ2 = − ln m20 m20

(Λ =Abschneideimpuls)

eingef¨ uhrt wurde. Somit wird der regularisierte Polarisationstensor schließlich zu ⎫ 
¯ 2) P¯µν (q) = gµν q 2 − qµ qν Π(q ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪   2 ⎪ 2 ⎪ Λ 1 e ⎪ (R) 2 2 ⎪ ¯ Π(q ) ln 2 + Π (q ) = ⎪ ⎪ ⎪ 4π 3π m0 ⎪ ⎬ 1    2 2 (3.140) 2e q ⎪ Π (R) (q 2 ) = − dββ(1 − β) ln 1 − β(1 − β) 2 ⎪ ⎪ π m0 ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪  ⎪ 2 2 ⎪ 1 1 q2 q2 /m20 1 e q ⎪ ⎪ + = + . . . . ⎭ 2 2 π m0 15 140 m0 Wie man sieht, hat die Regularisierung dazu gef¨ uhrt, daß der Polarisationstensor nun • die Eichinvarianzbedingung (3.137) erf¨ ullt, • das korrekte asymptotische Verhalten f¨ ur q 2 → 0 zeigt, • keine quadratische Divergenz mehr besitzt, sondern einen von q unabh¨angigen, im Abschneideimpuls Λ nur noch logarithmisch divergierenden Anteil und • einen wohldefinierten, endlichen q-abh¨ angigen Term Π (R) (q 2 ). Allerdings erscheint dieses Ergebnis insofern noch unbefriedigend, als daß eben immer noch eine divergente Λ-Abh¨ angigkeit vorhanden ist. Um dies genauer zu verstehen, kehren wir zum modifizierten Photonpropagator zur¨ uck und betrachten seinen Einfluß auf die Elektron-Positron-Streuung. Unter Ber¨ ucksichtigung von (3.134), (3.140) und Abb. 3.38 lautet der durch die Vakuumpolarisation
 hervorgerufene Anteil der direkten Streuamplitude bis zur Ordnung O e4 ¯(pf )(−ie)γµ u(pi ) [iDFµν (q)] v¯(¯ pi )(−ie)γν v(¯ pf ) Mf i (dir) = u  
 (0) ¯ 2 ) −4π = −ie2 u ¯(pf )γµ u(pi )DF (q) g µν + g µν q 2 − q µ q ν Π(q q2 ׯ v (¯ pi )γν v(¯ pf ) ! (0) ¯ 2 ) v¯(¯ ¯(pf )γµ u(pi )DF (q) 1 − 4π Π(q pi )γ µ v(¯ pf ) = −ie2 u   2 2 Λ e (0) ln 2 − Π (R) (q 2 ) ¯(pf )γµ u(pi )DF (q) 1 − = −ie2 u 3π m0 µ ׯ v (¯ pi )γ v(¯ pf ) , (3.141)

316

3. Relativistische Streutheorie

u ¯(pf , sf )

v(¯ pf , s¯f )

iDFµν (q) −ieγµ

-

−ieγν

u(pi , si ) v¯(¯ pi , s¯i ) Abb. 3.38.
 Feynman-Graph der direkten Elektron-Positron-Streuung bis zur Ordnung O e4 im Impulsraum, der durch die Vakuumpolarisation hervorgerufen wird. F¨ ur den Impuls¨ ubertrag gilt q = pf − pi = −(¯ pf − p¯i ). (0)

mit DF (q) = −4π/q 2 . Hierbei wurde im dritten Schritt ausgenutzt, daß f¨ ur freie(!) Positronen aufgrund von

 
pf ) = 0 , v¯(¯ p¯/f + m0 v(¯ pi ) p¯/i + m0 = 0 der zu q µ q ν proportionale Term verschwindet: 

pf ) = v¯(¯ v¯(¯ pi ) p¯/i − p¯/f v(¯ pi )/qv(¯ pf ) = q ν v¯(¯ pi )γν v(¯ pf ) = 0 .
6 Bis auf einen Fehler der Ordnung O e kann man nun in (3.141) den logarithmisch divergenten Anteil multiplikativ voranstellen und erh¨alt schließlich
 [vgl. die O e2 -Streuamplitude Mf i (dir) in Satz 3.11]
 (0) ¯(pf )γµ u(pi )DF (q)Z3 1 − Π (R) (q 2 ) + O e4 Mf i (dir) = −ie2 u ׯ v (¯ pi )γ µ v(¯ pf )


 (0) ¯(pf )γµ u(pi )DF (q) 1 − Π (R) (q 2 ) + O e4 = −ie2R u ׯ v (¯ pi )γ µ v(¯ pf ) , mit der renormierten Ladung $ Λ2 e2 e R = Z 3 e , Z3 = 1 − ln 2 . 3π m0

(3.142)

An dieser Stelle kommt das Renormierungsargument zum tragen: Experimentell bestimmt sich die Ladung eines Teilchens durch seine Wechselwirkung mit einem anderen geladenen Teilchen. Ein untrennbarer Bestandteil dieser Wechselwirkung ist aber gerade die Vakuumpolarisation, die durch Verwendung der nackten Ladung e nicht ber¨ ucksichtigt wird und deshalb den divergenten Faktor Z3 verursacht. Physikalische Bedeutung hat allein die renormierte Ladung eR , in der die Fermion-Photon-Wechselwirkung enthalten ist

3.4 Korrekturen h¨ oherer Ordnung

317

und die in Streuexperimenten mit kleinem q 2 , also durch leichte Streuungen von zwei weit entfernten Ladungen, zu e2R ≈ 1/137 bestimmt wird. Durch diese Ladungsrenormierung gelangt man am
Ende  zu einer wohldefinierten Streuamplitude, korrekt bis zur Ordnung O e4 , in der die Abh¨angigkeit vom Abschneideimpuls Λ in der Elektronladung vollst¨andig absorbiert ist.24 Der genaue Zusammenhang zwischen nackter und renormierter Ladung, also auch das verwendete Regularisierungsverfahren, ist dabei irrelevant. Um den Einfluß der Vakuumpolarisation zu berechnen, verwendet man einfach die renormierte Ladung eR sowie den renormierten Photonpropagator   (R)µν (0)µν DF (q) = DF (q) 1 − Π (R) (q 2 ) und hat es dann nur noch mit endlichen Gr¨ oßen zu tun. Verglichen mit dem (0)µν (q) besteht die eigentliche, physikalisch befreien Photonpropagator DF obachtbare Korrektur im impulsabh¨ angigen Term Π (R) (q 2 ). Sein Beitrag ist endlich, vom Abschneideimpuls Λ unabh¨ angig und verschwindet f¨ ur q 2 → 0. ¨ Außere Vakuumpolarisation. Nachdem wir die Korrektur von inneren Photonlinien durch die Vakuumpolarisation besprochen haben, bleibt noch zu kl¨ aren, wie ¨ außere Photonlinien durch die Anwesenheit einer Fermionschleife zu modifizieren sind. Wie man sich leicht klarmacht, f¨ uhrt die direkte Be¨ rechnung zu einem unbestimmten Ausdruck. Hier hilft jedoch die Uberlegung weiter, daß ein- bzw. auslaufende Photonen nicht wirklich frei sind, sondern irgendwann von einer Quelle emittiert wurden bzw. irgendwann von einem Beobachter absorbiert werden, so daß eine ¨ außere Photonlinie mit Fermionschleife zu einer inneren Photonlinie mit Fermionschleife wird, deren eine Ende der weit entfernte Quellenvertex ist (R¨ uckf¨ uhrung der ¨außeren Vakuumpolarisation auf die innere). Dies entspricht aber gerade dem modifizierten Photonpropagator (0)µν

q 2 ≈ 0 =⇒ DFµν (q) = Z3 DF

(q)

√ bzw. der bekannten Renormierung eR = Z3 e an beiden Endvertizes. Wir gelangen daher zu der einfachen Regel, daß man den Beitrag der Fermionschleife in einer ¨ außeren Photonlinie einfach weglassen kann und daf¨ ur an ihrem Vertex ebenfalls die renormierte Ladung eR anstelle von e verwendet.

Man beachte, daß Z3 erst dann wesentlich von Eins abweicht, wenn 2 −293 ange von ∆x < Λ ~ m0 e3π/2e ≈ 10280 m0 , was einer L¨ ~ ¯h/Λ ≈ 10 cm entspricht. F¨ ur die Praxis ist dies jedoch vollkommen irrelevant, da das Vorhandensein anderer Quantenfelder den G¨ ultigkeitsbereich der Quantenelektrodynamik auf sehr viel kleinere Impulse bzw. sehr viel gr¨ oßere Abst¨ ande einschr¨ ankt. Z3 < ~ 1 bedeutet, daß die physikalische (renormierte) Ladung eines Fermions aufgrund der ihn umgebenden Wolke von virtuellen Teilchen-Antiteilchen-Paaren gegen¨ uber seiner nackten Ladung aus Sicht eines entfernten Beobachters bzw. einer entfernten Probeladung abgeschw¨ acht ist (Abschirmung).


= d3 xψν† δHψν . Dabei ist zu beachten, daß die Photonmasse µ in δH urspr¨ unglich von der Beseitigung der Infrarotdivergenz innerhalb der Impulsintegration (3.150) bei der Vertexkorrektur herr¨ uhrt. Wegen ω ≥ ωmin wird hier aber diese Integration nach unten abgeschnitten, so daß µ nicht l¨anger ben¨otigt wird. Wie entsprechende Rechnungen zeigen, l¨ auft dies im Endeffekt auf die in δH vorzunehmende Ersetzung ln

mR 5 mR −→ ln + µ 2ωmin 6

hinaus. Indem wir jetzt noch die Impulsfaktoren in Ableitungen im Ortsraum umwandeln,

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3. Relativistische Streutheorie

 ∂2 γµ q 2 Aµext = γ0 − 2 + ∇2 A0ext = γ0 ∇2 A0ext ∂t γ 0 σµν q ν Aµext = γ 0 σ0ν q ν A0ext = iγ 0 σ0ν ∂ ν A0ext = iγ 0 σ0k ∂ k A0ext = −iγk ∂ k A0ext = −γ∇A0ext , ergibt sich insgesamt  2   5 3 1 eR mR − − + ln δEν> = eR ψν† (∇2 A0ext ) 3πm2R 2ωmin 6 8 5  ie2R 0 − γ(∇Aext ) ψν 4πmR  # e3R 5 3 1 " mR = + − − ln ν| (∇2 A0ext ) |ν 3πm2R 2ωmin 6 8 5 # ie3 " − R ν| γ(∇A0ext ) |ν . 4πmR Die weitere Berechnung der Erwartungswerte l¨aßt sich in der nichtrelativistischen N¨ aherung durchf¨ uhren, und man erh¨ alt "

#

4Z 4 e7R m3R δl0 n3   " # 2iZ 4 e7R m2R 2(1 − δl0 ) ν| γ(∇A0ext ) |ν = ± δ , l0 n3 (2J + 1)(2l + 1) ν| (∇2 A0ext ) |ν

=

mit der Hauptquantenzahl n, der Drehimpulsquantenzahl l und der Gesamtdrehimpulsquantenzahl J = l±1/2 der Schr¨ odingerschen Coulomb-L¨osungen. Niederfrequente Strahlung. Nehmen wir jetzt auf der anderen Seite an, daß die Strahlungsfrequenz der Bedingung ω ≤ ωmax  mR gen¨ ugt, so ist das Problem v¨ ollig nichtrelativistisch. In diesem Fall kann man die Strahlungskorrekturen einfach als Emission und Reabsorption eines virtuellen Photons auffassen und im Rahmen der Schr¨odinger-Theorie st¨orungstheoretisch behandeln. Der zugeh¨ orige St¨ oroperator lautet jetzt ieR δH = A∇ , mR wobei A das Photonpotential in der Strahlungseichung bezeichnet, das wir genau wie in Unterabschn. 3.3.7 mit 0 
−ik·x  k (k, λ) = 0 2π ik·x (k, λ) e , +e Ak (x) = ωV (k, λ) (k, λ) = 1 ansetzen. Damit ergibt sich die Energieverschiebung des Elektrons durch Emission und Reabsorption eines Photons in zweiter Ordnung St¨orungstheorie zu

3.4 Korrekturen h¨ oherer Ordnung

δEν< =





ν
,λ ω