RDM Solution Exercices TORSION SIMPLE [PDF]

Zitiervorschau

Exercice 1 (Torsion simple) Soit deux arbres de transmission construit à partir d’un même acier (G = 8.104 MPa), le premier est plein de diamètre d1, et le seconde est creux (D : diamètre extérieur, d : diamètre intérieur).

 p  100 MPa

Le couple à transmettre est de 200 N.m et

Questions : 1/ Calculer d1. 2/ Calculer D et d. 3/ Déterminer le rapport de poids entre ces deux arbres.

Solution 1/ Calculons d1 :

 max   adm   p Mt  p  I0   v   Mt   d14   32 d1   2   d1  3

avec : I0 

     

16Mt

 p

d14 32

et v 

 p

 d1  21,67 mm

d1 2

2/ calcul de D :

 max   adm   p Mt  I0  v  

  

 p

avec : I 0  Mt

 D 4    1  0,84 32   D    2  



D3

D4



16Mt  1  0,84  p





32

1  0,8  4

et v 

D 2

 p

 D  25,8 mm

Calcul de d :

on a : d  0,8  D  d  0,8  25,8  20,64mm 3/ rapport de poids :



mcreux  .Vcreux  .l .S creux D ²  d ²    m plein  .V plein  .l.S plein d12



  0,51  51%

Exercice 2 : (Condition de résistance et condition de rigidité) On considère un autre arbre cylindrique soumis à une sollicitation de torsion Mt  50 N .m , cet arbre est en acier avec :

G  8 104 MPa  e  200MPa s  2,5 On impose une valeur limite de  :

l  0,25 / m

Questions : Déterminer le diamètre dans les 2 cas :  

Cas 1 : en résistance Cas 2 : en rigidité

Solution Cas 1 : en résistance

 max   adm 

Mt  I0  v 

  

avec : I 0  d 3



e s

d 4

32 16M t .s

 e



I0

v

et v 

 d 2

M t .s

e



3 I 0 d  v 16

 d  14,71 mm

Cas 1 : en rigidité

   Limite on sait que : M t  GI 0     

32M t Gd 4

d 4

 d 4

Mt GI0

32M t GLimite

32  50 10001000180  34,76 mm 8 10000   0,25  

Exercice 3 : (Concentration de contraintes) Un arbre cannelé de boite à vitesse doit transmettre une puissance de 125,6 kW à la vitesse 3000 tr/min, cet arbre est en acier pour le quel

e  2100MPa et

le module d’élasticité

transversal 8.104MPa. Les cannelures provoque une concentration de contrainte Kt = 1,57, on adopte pour cette construction in coefficient de sécurité s = 3.

1/ on envisage deux solutions : un arbre plein d1, et un arbre creux avec d=(2/3)D. a) Déterminer le moment de torsion. b) Déterminer le diamètre plein. c) Déterminer la déformation angulaire  1 de l’arbre plein entre deux sections droite de distance = 140 mm 2/ l’arbre creux : a) Déterminer le diamètre extérieur D de l’arbre creux. b) Déterminer la déformation angulaire  2 de l’arbre creux entre 2 sections droite distance = 140 mm 3 / quel est l’arbre le plus rigide ? 4/ déterminer le rapport de masse. 5/ conclure.

Solution 1/ a/ le moment de torsion :

P  C.  C.

2N 60

60 P 2N  C  M t  4  105 N .mm C 

b/ le diamètre de l’arbre plein :

 max   adm  

Mt  I0  v 

  



e Kt .s

e Kt .s



I0

v



M t .Kt .s

e

d14

I 0 d13 d1 avec: I 0  et v    32 2 v 16 16M t .Kt .s  d1  3  d1min  20 mm

e

c/ calcul de la déformation angulaire :



1 l

 1 

 1   .l Mt .l GI0

4 105 140 32  1   0,044 rad 8 104    204  1  2,52 deg ré

2/ a/

 max   adm  

e Kt .s

Mt   e  I 0  Kt .s  v  

I0



D 4 

2 avec : I 0  1   32   3  D 3

16M t .Kt .s   2 4   1     e  3   

4

v



M t .Kt .s

e

  et v  D  2 



4 I 0 D3   2    1   v 16   3  

 Dmin  21,51 mm

Calculons d :

d

2 2 D   21,51  14 ,34 mm 3 3

b/ calcul de la déformation angulaire :



2 l

 2 

  2   .l Mt .l GI0

4 105 140  32  2   0,041 rad 4   2  4 8 104    21,51  1       3     1  2,32 deg ré

3/ d’après ces résultats, l’arbre creux est plus rigide que l’arbre plein.

4/ Rapport de masse :



mcreux  .Vcreux  .l .S creux D ²  d ²    m plein  .V plein  .l.S plein d12



  0,64  64%

Conclusion : L’arbre creux a une masse qui représente 64% de la masse de l’arbre plein avec une rigidité supérieure.