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ETUDE DU PONT D’ACCES A L’OUVRAGE UNIQUE DU BARRAGE OUED MARTIL DANS LA WILAYA DE TETOUAN

Dédicaces

A celle qui a attendu avec patience les fruits de sa bonne éducation A ma chère mère A celui qui m’indiquait toujours la bonne voie en me rappelant que la volonté fait les grands hommes A mon cher père A vous mes chers frères : Ayoub et Soufiane ; A toi ma chère sœur : Fatima ; A vous mes chers cousins : Omar et Abdelkarim ; Pour tout l’amour et le soutien que vous m’avez offert, je vous dis MERCI.

A mon cher binôme Idalen Mustapha, un remerciement spécial pour les moments que nous avons passés ensemble. A tous ceux et celles que je respecte, Je dédie ce modeste travail

ABBOU ZAKARIA

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Dédicaces

Je dédie ce modeste travail à mes parents qu'ils trouvent ici le témoignage de mon affection, mon amour, mon admiration et ma reconnaissance pour tous les sacrifices qu’ils ont fait à mon égard. A mes frères et mes sœurs auxquels je souhaite bonheurs et plénitudes. A ma famille Pour leur soutien et leur affection A mes honorables enseignants A tous mes amis je présente ma profonde affection avec tous mes souhaits de bonheur et de réussite. A mon cher binôme ABBOU Zakaria, un grand Merci. A tous les élèves de l’EHTP, avec vous j’ai passé les meilleurs moments de ma vie.

IDALEN Mustapha

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Remerciements Au nom d’Allah le tout miséricordieux, le très miséricordieux. Ce travail, ainsi accompli, n’aurait point pu arriver à terme, sans l’aide et le soutien et tout le guidage d’Allah, louange au tout miséricordieux ; le seigneur de l’univers. Nous tenons à remercier et à témoigner toute notre reconnaissance aux personnes suivantes, pour l’expérience enrichissante et pleine d’intérêt qu’ils nous ont fait vivre durant toute la période de notre projet de fin d’études: M. HASBI, Ingénieur D’études au sein de la Direction des Aménagements Hydrauliques, notre encadrant externe, qui était très généreux en conseils utiles et en aide précieuse. M. RGUIG, notre professeur et notre encadrant interne pour le temps qu’il nous a consacré tout au long de cette période, pour son soutien et ses conseils constructifs, sans oublier sa participation effective au cheminement de ce rapport. Nous remercions également M.BENOSMANE qui a eu confiance en nous et nous a permet d’effectuer ce stage intéressant au sein de la DAH. Nous profitons de ces quelques lignes pour dire merci à la direction et à tout le corps professoral de l’EHTP pour l’enseignement de qualité et pour le cadre idéal dont nous avons bénéficié tout au long de notre cursus. Nous remercions également avec dévouement nos familles et nos amis pour leur soutien matériel et moral. Tout mot dit, nous ne les remercierons jamais assez. A vous tous, nous réitérons nos reconnaissances Nous vous adressons tous la même parole " Merci ! ". PFE 2014

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Résumé Ce projet de fin d’études, intitulé « Etude du pont d’accès à l’ouvrage unique du barrage Oued Martil dans la wilaya de Tétouan» consiste à faire la conception et le dimensionnement d’une passerelle pour atteindre l’ouvrage unique du barrage. Ce travail, composé de quatre parties, met en pratique sur un projet réel les notions fondamentales de la conception et du dimensionnement des structures en précontraint, étudiées en génie civil à l’Ecole Hassania des Travaux Publics. La première partie « Présentation du projet »a pour but de situer la passerelle dans son cadre global, les raisons qui y ont poussé à concevoir un tel ouvrage, quel soit lié à la topographie du site ou la nature des fondations. La deuxième partie « Avant projet »utilise ces principes conceptuels pour concevoir un pont respectant au mieux les contraintes énoncées précédemment. Ensuite il a fallu étudier la variante retenue qui est un pont à poutres isostatiques en béton précontraint (VIPP) en prenant en compte des données techniques et des considérations économiques. La troisièmes partie «dimensionnement et conception» présente un dimensionnement détaillé de chaque partie de l’ouvrage : Tablier, Appuis et fondations, ainsi que l’étude et la vérification d’éléments particuliers tels le procédé de la précontrainte. La dernière partie «plan d’exécution» présente les différents étapes d’exécution et la démarche à suivre pour la réalisation du pont.

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Sommaire Dédicaces Remerciements Résumé Sommaire Liste des figures Listes de tableaux

CHAPITRE 1 : PRESENTATION DU PROJET 1.Description générale du barrage : ................................................................................................... 16 1.1Données générales: .................................................................................................................. 16 1.2Caractéristiques climatiques et hydrologiques: ....................................................................... 17 1.3Caractéristiques principales de la retenue: .............................................................................. 17 2.Description des ouvrages : ............................................................................................................... 17 2.1.Conduite sous remblai............................................................................................................. 20 2.2.Evacuateur de crue.................................................................................................................. 20 2.3.Les vidanges de fond ............................................................................................................... 21 2.4.Les prises d'eau ....................................................................................................................... 22 2.5.L’ouvrage unique ..................................................................................................................... 23 CHAPITRE 2 : PRE-DIMENSIONNEMENT DE L'OUVRAGE 2.1. Pré-dimensionnement du tablier : ................................................................................................. 25 2.1.1 Conception générale : .............................................................................................................. 25 2.1.2 Eléments de pré-dimensionnement du tablier : ...................................................................... 26 2.2Pré-dimensionnement des piles :..................................................................................................... 30 2.2.1. Les différents types de piles : .................................................................................................. 31 2.2.2. Conception et pré-dimensionnement : ................................................................................... 32 2.3Pré-dimensionnement des culées : .................................................................................................. 34 2.3.1. La fonction de la culée :........................................................................................................... 34 2.3.2. Les différents types de culées : ............................................................................................... 35 2.3.3 Les éléments de pré-dimensionnement :................................................................................. 36 2.4Pré-dimensionnement des fondations : ........................................................................................... 39 2.4.1 Choix du type de fondations : .................................................................................................. 39 2.4.2 Pré-dimensionnement de fondations superficielles : .............................................................. 39 PFE 2014

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CHAPITRE 3 : ETUDE DE LA POUTRE 3 .1.Définition des charges .................................................................................................................... 41 3.1.1Charges permanentes :............................................................................................................ 41 3.1.2Charges d’expoitation :............................................................................................................ 42 3.2. Détermination des sollicitations moyennes ................................................................................... 44 3.2.1Rappel sur les lignes d’influences d’une poutre sur appui simple : .................................... 44 3.2.2 Détermination des sollicitations dans les poutres principales : ......................................... 45 3.4 Détermination des sollicitations maximales dans les poutres ........................................................ 48 CHAPITRE 4: ETUDE DE LA PRECONTRAINTE 4.1

Calcul de la précontrainte : ....................................................................................................... 49

4.1.1. Données :................................................................................................................................. 49 4.1.2. Contraintes admissibles du béton : ......................................................................................... 50 4.1.3. Principe de construction : ....................................................................................................... 51 4.1.4. Détermination de la précontrainte : ...................................................................................... 52 4.2

Vérification à la flexion en ELU : ................................................................................................ 60

4.3

Relevage des câbles : ................................................................................................................. 62

4.3.1 Effort tranchant admissible : .................................................................................................... 62 4.3.2 Vérification pour les câbles de la 1ère famille : ....................................................................... 63 4.3.3 Vérification pour les câbles de la 2ème famille : ..................................................................... 66 4.4

Pertes de précontrainte ............................................................................................................ 67

4.4.1 Données :.................................................................................................................................. 67 4.4.2 Pertes instantanées : ................................................................................................................ 67 4.4.3 Pertes différées : ...................................................................................................................... 69 4.5

Vérifications de la résistance à la rupture par effort tranchant................................................ 71

4.5.1 Vérification de la rupture vis-à-vis du cisaillement : ................................................................ 71 4.5.2 Calcul des armatures transversales : ........................................................................................ 73 4.6

Calcul des abouts de la poutre .................................................................................................. 75

4.6.1. Effet d’un effort concentré au centre de la poutre : ............................................................... 76 4.6.2. Vérification de l’équilibre général de diffusion pure : ............................................................ 78 4.6.3. Justification de la bielle d’about :............................................................................................ 81 4.6.4. Equilibre du coin inférieur : ..................................................................................................... 84

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CHAPITRE 5: ETUDE DE L'HOURDIS 5.1. Introduction : .................................................................................................................................. 85 5.2. Les données de calcul : ................................................................................................................... 85 5.3. Calcul de la dalle: ............................................................................................................................ 85 5.3.2.4. Calcul du ferraillage :................................................................................................................ 92 5.3.2.5. Vérification au poinçonnement de la dalle:.............................................................................. 94 CHAPITRE 6: ETUDE DES ENTRETOISES D'ABOUT 6.1 Introduction..................................................................................................................................... 96 6.2. Sollicitations dues au vérinage : ..................................................................................................... 97 CHAPITRE 7: ETUDE DES APPAREILS D'APPUI 7.1 Introduction :................................................................................................................................. 103 7.2Evaluation des déformations : ....................................................................................................... 104 7.2.1. Rotation d’appui :................................................................................................................. 104 7.2.2. Déplacements d’appui : ...................................................................................................... 105 7.3Réactions d’appuis : ....................................................................................................................... 106 7.3.1. Charges permanentes : ........................................................................................................ 106 7.3.2. Surcharges d’exploitation :................................................................................................. 106 7.3.3. Tableau récapitulatif :.......................................................................................................... 107 7.4Détermination des dimensions : .................................................................................................... 108 7.4.1. Aire de l’appareil d’appui : ................................................................................................. 108 7.4.2. Pré-dimensionnement en plan de l’appareil :................................................................... 108 7.5Effort horizontaux en tête d’appuis : ............................................................................................. 109 7.5.1. Généralités :.......................................................................................................................... 109 7.5.2. Détermination des rigidités des appuis : ........................................................................... 110 7.5.3. Effets dues aux variations linéaires : ................................................................................. 111 7.6Vérification de la validité des appareils d’appui ............................................................................ 112 7.6.1. Condition sur la distorsion : ................................................................................................ 112 7.6.2. Condition sur la somme des contraintes de cisaillement : ............................................... 113 7.6.3. Condition de non soulèvement : ......................................................................................... 113 7.6.4. Condition sur l’épaisseur des frettes : ................................................................................ 113 7.6.5. Condition de non glissement :............................................................................................. 114 7.6.6. Tableau des résultats : ........................................................................................................ 114

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CHAPITRE 8: ETUDE DE LA CULEE ET LA CONSOLE 8.1. Introduction : ............................................................................................................................... 116 8.2. Inventaire des charges :............................................................................................................... 116 8.2.1. Charge permanente :.......................................................................................................... 117 8.2.2. Actions de surcharges : ....................................................................................................... 117 8.2.3. Actions naturelles et climatiques :..................................................................................... 118 8.3. Descente de charges : .................................................................................................................. 118 8.3.1. Différents cas de charges:................................................................................................... 118 8.3.2. Combinaison des charges : ................................................................................................ 119 8.4. Ferraillage de la culée : ................................................................................................................ 120 8.4.1. Hypothèses de calcul : ........................................................................................................ 120 8.4.3. Corbeau d’appui de la dalle de transition : ....................................................................... 122 8.4.4 Dalle de transition : ............................................................................................................. 123 8.4.5. Mur en retour : .................................................................................................................... 124 8.4.6 Chevêtre :.............................................................................................................................. 125 8.4.7. Ferraillage des fûts : ............................................................................................................ 130 8.5. Etude de la console: .................................................................................................................... 132 8.5.1Introduction : ......................................................................................................................... 132 8.5.2 Calcul de la console :............................................................................................................. 132 8.5.3 Données : ............................................................................................................................... 133 8.5.4 Limitation de la contrainte tangente conventionnelle ...................................................... 133 8.5.4 Calcul des sections d’armature ............................................................................................ 134 8.6. Etude de la stabilité du talus : ..................................................................................................... 136 8.6.1Introduction : ......................................................................................................................... 136 8.6.2 Démarche de l’analyse :........................................................................................................ 136 8.6.2Resultats : ............................................................................................................................... 136 CHAPITRE 9:ETUDE DES PILES 9.1 Introduction................................................................................................................................... 139 9.2. Inventaire des charges ................................................................................................................. 139 9.2.1. Charge permanente : ........................................................................................................... 139 9.2.2. Charges variables : ............................................................................................................... 140 9.3. Descente de charges.................................................................................................................... 142 9.3.1. Différents cas de charges :................................................................................................... 142 PFE 2014

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9.3.2. Combinaison des charges : ................................................................................................. 143 9.3.3. Application des combinaisons : .......................................................................................... 143 9.4. Ferraillage des piles : .................................................................................................................... 144 9.4.1. Ferraillage du chevêtre :...................................................................................................... 144 9.4.2. Ferraillage de la pile : .......................................................................................................... 151 CHAPITRE 10 : ETUDE DES FONDATIONS 10.1. Introduction :.............................................................................................................................. 156 10.2. Hypothèses de base : ................................................................................................................. 156 10.2.1. Matériaux : .............................................................................................................................. 156 10.2.2. Fissuration : ............................................................................................................................. 156 10.3. Calcul de la fondation superficielle : .......................................................................................... 156 10.3.1 Inventaire des charges : .................................................................................................... 157 10.3.2. Descente de charges ......................................................................................................... 157 CHAPITRE 11: ANALYSE SISMIQUE 11.1 Introduction : ............................................................................................................................. 165 11.2 Méthodologie de l’analyse sismique : ...................................................................................... 165 11.3 Classification du sol de fondation : .......................................................................................... 165 11.4 Déduction du spectre de réponse :........................................................................................... 166 11.5 Choix de la méthode d’analyse : ............................................................................................... 166 11.6 Calcul sismique : ........................................................................................................................ 167 11.7 Torsion : ..................................................................................................................................... 170 CHAPITRE 12: MODE D'EXECUTION 12.1. Introduction :.............................................................................................................................. 171 12.1.1. Installation du chantier : ................................................................................................... 171 12.1.2. Exécution des appuis : ....................................................................................................... 172 12.1.2.Exécution des poutres : ...................................................................................................... 175 12.1.2.8. Mise en place des poutres :......................................................................................... 184 12.1.3. Exécution des entretoises : ............................................................................................. 185 12.1.4. Exécution de l’Hourdis :................................................................................................... 185

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Liste des figures Figure 1 : Situation du barrage Oued Martil dans le cadre des limites de la zone d’action de l’agence du bassin hydraulique de Loukos (ABHL) .............................................................................................. 16 Figure 2 : Vue en plan des ouvrages...................................................................................................... 17 Figure 3 : Coupe type du barrage principal ........................................................................................... 19 Figure 4 : Coupe type de la digue de col ............................................................................................... 20 Figure 5: Coupe des deux galeries sous remblai ................................................................................... 20 Figure 6: coupe des ouvrages annexes ................................................................................................. 23 Figure 7 : une photo du site de la passerelle d’accès sur barrage ........................................................ 24 Figure 8: Morphologie de l’ouvrage ...................................................................................................... 25 Figure 9: Schéma longitudinal de la poutre en béton précontraint ...................................................... 26 Figure 10: talon d’une poutre en béton précontraint ........................................................................... 27 Figure 11:Dimensions d’une poutre ...................................................................................................... 28 Figure 12:Hourdis intermédiaire ........................................................................................................... 29 Figure 13: Hourdis général .................................................................................................................... 29 Figure 14: coupe transversal du tablier................................................................................................. 30 Figure 15: coupe longitudinale du chevêtre sur pile ............................................................................. 33 Figure 16: Section de la pile .................................................................................................................. 34 Figure 18: dalle de transition ................................................................................................................ 38 Figure 17: chevêtre culée. ..................................................................................................................... 38 Figure 19: Mur en retour ....................................................................................................................... 39 Figure 20: Charge uniformément répartie en fonction de la portée .................................................... 43 Figure 21: Lignes d'influence pour une poutre sur appui simple .......................................................... 44 Figure 22: Diagramme du moment fléchissant sous l’effet de la charge permanente ......................... 45 Figure 23 : Diagramme de l’effort tranchant sous l’effet de la charge permanente ............................ 46 Figure 24: Effort tranchant dans la section x sous l'effet de la charge ................................................. 47 Figure 25: Diagramme des contraintes admissibles en service ............................................................ 50 Figure 26: Diagramme des contraintes admissibles en construction ................................................... 51 Figure 27: Câblage d'une poutre précontrainte .................................................................................... 51 Figure 28: Position d’un câble ............................................................................................................... 53 Figure 29: Position de 2 câbles .............................................................................................................. 53 Figure 30: Contraintes admissibles en construction à vide ................................................................... 55 Figure 31: Contraintes admissibles en construction en charge ............................................................ 56 Figure 32: Diagramme des contraintes en phase 𝐝 − .......................................................................... 57 Figure 33: Diagramme de contraintes en phase finale ......................................................................... 57 Figure 34: Diagramme des contraintes finales ...................................................................................... 59 Figure 35: disposition des câbles en mi-travée ..................................................................................... 60 Figure 36: Géométrie verticale des câbles de précontrainte de la 1ère famille ................................... 65 Figure 37: Tracé des câbles de la première famille ............................................................................... 65 Figure 38: Géométrie verticale des câbles de précontrainte de la 2ème famille ................................. 67 Figure 39: Reprise de l'effort tranchant par les étriers ......................................................................... 74 Figure 40: Ancrage des câbles à l'about ................................................................................................ 75

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Figure 41: Zones de béton tendu sous l'action d'un effort concentré centré ...................................... 76 Figure 42: Equilibre avec câbles inclinés multiples ............................................................................... 79 Figure 43: Equilibre de la bielle d'appui avec un câble ......................................................................... 82 Figure 44: Equilibre du coin inférieur .................................................................................................... 84 Figure 45: Caractéristiques du hourdis entre poutres. ......................................................................... 86 Figure 46: notations et Conventions de la dalle .................................................................................... 87 Figure 47: Moment fléchissant d'une dalle portant dans une seule direction sous l'effet de la charge répartie .................................................................................................................................................. 88 Figure 48: modélisation de la poutre sur le logiciel SAP2000 ............................................................... 89 Figure 49: Modélisation de la poutre en 3D sur SAP2000 .................................................................... 90 Figure 50: Résultat de la modélisation .................................................................................................. 91 Figure 51: schéma de ferraillage de l’hourdis ....................................................................................... 93 Figure 52: schéma de ferraillage de l’hourdis supérieur et inférieur.................................................... 93 Figure 53: Illustration des dimensions intervenant dans le calcul des entretoises. ............................. 96 Figure 54: Emplacement des vérins ...................................................................................................... 97 Figure 55: Schéma de calcul des sollicitations dans les entretoises lors du vérinage du tablier. ......... 98 Figure 56: diagramme du moment fléchissant ..................................................................................... 98 Figure 57: diagramme de l’effort tranchant.......................................................................................... 99 Figure 58: schéma du ferraillage du l’entretoise ................................................................................ 102 Figure 59: Disposition des appareils d’appui. ..................................................................................... 103 Figure 60: Réaction d’appuis pour la charge du chariot Qch. ............................................................. 107 Figure 61: les dimensions de l’appareil d’appui .................................................................................. 108 Figure 62:déplacement d’appui. ......................................................................................................... 110 Figure 63: Répartition des charges linéaires ....................................................................................... 111 Figure 64: Contrainte conventionnelle de calcul (appareils d’appui) ................................................. 112 Figure 65: principe d'un dispositif anti-cheminement ........................................................................ 114 Figure 66: les caractéristiques géométriques des culées. ................................................................... 116 Figure 67: Ferraillage minimal préconisé par le PP73 pour les murs garde grève de hauteur comprise entre 2 et 3 m ...................................................................................................................................... 122 Figure 68: Ferraillage minimal préconisé par le PP73 pour le corbeau .............................................. 123 Figure 69: Surcharges chariot sur dalle de transition. ........................................................................ 123 Figure 70: Ferraillage minimal préconisé par le PP73 pour le mur en retour ..................................... 125 Figure 71: moment fléchissant en KN.m (1er cas) .............................................................................. 126 Figure 72:Effort tranchant en KN (1er cas) ......................................................................................... 127 Figure 73:moment fléchissant en KN.m (2eme cas) ........................................................................... 127 Figure 74: effort tranchant en KN (2eme cas) ..................................................................................... 128 Figure 75: schéma de la méthode des bielles ..................................................................................... 132 Figure 76: Dimension de la console .................................................................................................... 133 Figure 77: Schéma de ferraillage de la console ................................................................................... 135 Figure 78 : schéma Méthode ordinaire des tranches ......................................................................... 136 Figure 79: Cercle critique en présence de l’eau .................................................................................. 137 Figure 80: action du vent..................................................................................................................... 140 Figure 81: Action hydrostatique .......................................................................................................... 141 Figure 82: Schéma représentant les charges sur le chevêtre ............................................................. 145 PFE 2014

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Figure 83: : Le moment fléchissant à l’ELU dans le sens de XX ........................................................... 146 Figure 84: Le moment fléchissant à l’ELU dans le sens de YY ............................................................. 146 Figure 85: Le moment fléchissant à l’ELS dans le sens de XX .............................................................. 147 Figure 86: Le moment fléchissant à l’ELS dans le sens de YY .............................................................. 147 Figure 87: L’Effort Tranchant à l’ELU dans le sens de XX .................................................................... 148 Figure 88: L’Effort Tranchant à l’ELU dans le sens de YY..................................................................... 148 Figure 89: L’Effort Tranchant à l’ELS dans le sens de XX ..................................................................... 149 Figure 90: L’Effort Tranchant à l’ELS dans le sens de YY ..................................................................... 149 Figure 91: Schéma du ferraillage dans le chevêtre de la pile .............................................................. 151 Figure 92: Schéma du ferraillage de la partie bas de la pile................................................................ 152 Figure 93: la force hydrostatique sur une paroi .................................................................................. 154 Figure 94:diagramme des moments fléchissant pour la force hydrostatique ................................... 154 Figure 95: Schéma du ferraillage pour la force hydrostatique ........................................................... 155 Figure 96:moment fléchissant selon l’axe XX en KNm/m ................................................................... 163 Figure 97: moment fléchissant selon l’axe YY en KNm/m................................................................... 163 Figure 98: exemple de spectre de réponse élastique pour différents classe de sol .......................... 166 Figure 99: schéma représentatif d’une fondation encastré au terrain .............................................. 167 Figure 100: schéma représentatif d’une pile soumis à l’effet sismique et l’eau................................ 169 Figure 101: schéma représentatif d’une pile en plus de la masse d’une travée en tête ................... 170 Figure 102: schéma représentatif du l’effet du moment de torsion .................................................. 170 Figure 103: l’emplacement des deux grues et la zone de préfabrication. .......................................... 171 Figure 104: schéma d’un coffrage glissant .......................................................................................... 172 Figure 105: schéma de coffrage grimpant .......................................................................................... 173 Figure 106: la pelle hydraulique et le camion de transport ................................................................ 173 Figure 107: chargement des camions et les dumpers......................................................................... 174 Figure 108: nivellement et compactage .............................................................................................. 174 Figure 109: disposition type d’appareil d’appui. ................................................................................. 175 Figure 110: Plaques d'about préfabriquées à plat .............................................................................. 176 Figure 111: About préfabriqué sur fond de moule ............................................................................. 177 Figure 112: Ferraillage en place contre l'about préfabriqué............................................................... 177 Figure 113: Mise en place d'un élément de joue de coffrage ............................................................. 178 Figure 114: Ferraillage d'une poutre sur banc de préfabrication ....................................................... 179 Figure 115: Bétonnage d'une poutre .................................................................................................. 180 Figure 116: Aire de stockage ............................................................................................................... 182 Figure 117: principe de lancement des poutres.................................................................................. 184

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Liste des tableaux : Tableau 1 : Le pré-dimensionnement des fondations superficielles .................................................... 40 Tableau 2 : Les positions des semelles. ................................................................................................. 40 Tableau 3:Les charges dues à la superstructure. .................................................................................. 42 Tableau 4: Sollicitations dues aux charges permanentes ..................................................................... 46 Tableau 5: Sollicitations dues au chariot ............................................................................................... 47 Tableau 6: Sollicitations dues à la charge piétonnière .......................................................................... 48 Tableau 7: Sollicitations maximales dans les poutres ........................................................................... 48 Tableau 8: Calendrier des opérations ................................................................................................... 54 Tableau 9: Position des câbles de la 1ère famille au niveau de l’about................................................ 66 Tableau 10: L’excentricité des câbles pour les différentes sections ..................................................... 66 Tableau 11: Pertes instantanées des câbles de la 1ère famille............................................................. 69 Tableau 12: Pertes différées des câbles de la 1ère famille ................................................................... 71 Tableau 13: les efforts tranchants maximaux ....................................................................................... 72 Tableau 14: Dimensions du prisme – zone de1ère régularisation ........................................................ 77 Tableau 15: Contraintes dans le béton des zones de 1ère régularisation de chaque ancrage............. 77 Tableau 16: Frettage d’éclatement ....................................................................................................... 78 Tableau 17: Contraintes dans les fibres - équilibre de diffusion pure - ................................................ 80 Tableau 18: Armatures transversales.................................................................................................... 81 Tableau 19: Rang nécessaire pour reprendre la bielle d'about ............................................................ 83 Tableau 20: Charges permanentes sur appuis. ................................................................................... 106 Tableau 21: Réactions d’appuis dues aux différentes charges....................................................... 107 Tableau 22: Réactions d’appuis sur les piles et les culées. ............................................................. 107 Tableau 23: Rigidités des appuis ......................................................................................................... 111 Tableau 24: Efforts dus aux variations linéaires.................................................................................. 112 Tableau 25:Vérification des appareils d’appui. ................................................................................... 115 Tableau 26:Charge permanente appliquée à chacune des culées. ..................................................... 117 Tableau 27: Poussée des terres appliquée à chacune des culées. ...................................................... 117 Tableau 28: Cas de charge pour la culée ............................................................................................. 119 Tableau 29: Les combinaisons à la base de chaque fût à l’ELS .......................................................... 119 Tableau 30: Les combinaisons à la base de chaque fût à l’ELU........................................................... 120 Tableau 31: Les sollicitations à la base de chaque fût à l’ELU et l’ELS ................................................ 120 Tableau 32: Les sollicitations maximales dues à la flexion dans le chevêtre de la culée. ................... 128 Tableau 33: Sollicitations dues à la torsion dans le chevêtre de la culée. .......................................... 129 Tableau 34:Sollicitations dimensionnantes pour les fûts de la culée ................................................. 130 Tableau 35: résultats lié au calcul en cas sec ...................................................................................... 137 Tableau 36: résultats lié au calcul en présence de l’eau ..................................................................... 138 Tableau 37: Charge permanente appliquée sur la pile. ...................................................................... 139 Tableau 38: Charge d’exploitation appliquée sur la pile. .................................................................... 139 Tableau 39: Les cas de charge à la base au milieu du fût pour le cas1 ............................................... 142 Tableau 40: Les cas de charge à la base au milieu du fût pour le cas2 ............................................... 142 Tableau 41: Les combinaisons à la base de chaque fût à l’ELS ........................................................... 143 Tableau 42: Les combinaisons à la base de chaque fût à l’ELU........................................................... 143

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Tableau 43: La descente de charges à la base au milieu du fût pour le cas1...................................... 144 Tableau 44: La descente de charges à la base au milieu du fût pour le cas2 ..................................... 144 Tableau 45: Les sollicitations maximales dans le chevêtre de la pile ................................................. 149 Tableau 46: les sollicitations dimensionnantes................................................................................... 151 Tableau 47: charge appliquée sur la semelle ...................................................................................... 157 Tableau 48: Les cas de charge à la base au milieu de la semelle pour le cas1.................................... 157 Tableau 49: Les cas de charge à la base au milieu de la semelle pour le cas2.................................... 158 Tableau 50: Les combinaisons à la base de la semelle à l’ELS............................................................. 158 Tableau 51: Les combinaisons à la base de la semelle à l’ELU ............................................................ 158 Tableau 52:La descente de charges au milieu de la base de la semelle pour le cas1 ......................... 159 Tableau 53: La descente de charges au milieu de la base de la semelle pour le cas2 ........................ 159 Tableau 54: vérification de renversement de la semelle pour les deux cas à l’ELS ............................ 160 Tableau 55: vérification de renversement de la semelle pour les deux cas à l’ELU ........................... 160 Tableau 56: vérification du glissement de la semelle pour les deux cas à l’ELS ................................. 161 Tableau 57: vérification du glissement de la semelle pour les deux cas à l’ELU ................................. 161 Tableau 58: contrainte de référence pour les deux cas à l’ELS .......................................................... 162 Tableau 59: contrainte de référence pour les deux cas à l’ELU ......................................................... 162 Tableau 60: Récapulatif de moment maximal pour la semelle ........................................................... 164

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CHAPITRE 1 PRESENTATION DU PROJET 1. Description générale du barrage : 1.1 Données générales: Le barrage Oued Martil se situe à 15 km de la ville de Tétouan, en empruntant la route provinciale 28 qui mène vers Chaouène puis par une piste carrossable à partir du village Benkerriche jusqu’au site du barrage.

Figure 1 : Situation du barrage Oued Martil dans le cadre des limites de la zone d’action de l’agence du bassin hydraulique de Loukos (ABHL)

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1.2 Caractéristiques climatiques et hydrologiques:  Aire du bassin versant naturel

: 383 km²

 Apport moyen annuel

: 175 Mm³

 Débit de la crue centennale

: 1 370 m³/s

 Débit de la crue décamillennale

: 2 720 m³/s

 Volume régularisé

: 60 Mm³

1.3 Caractéristiques principales de la retenue: Les caractéristiques de la retenue du barrage sont récapitulées ci-après:  Altitude Retenue Normale (RN) : 131 NGM  Altitude Plus Haute Eaux (PHE) : 138.9 NGM  Aire de la retenue à la RN

: 3.8 km²

 Capacité a la RN

: 120 Mm³

 Volume envasé en 50 ans

: 35 Mm³.

2. Description des ouvrages : Le projet consiste en la réalisation de la digue principale, à laquelle sont associés une digue de col et des ouvrages annexes. (Fig2)

Figure 2 : Vue en plan des ouvrages

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2.1. Barrage principal: Il s’agit d’une digue en alluvions naturelles à masque amont en béton de 100 m de hauteur avec une longueur en crête de 600 m,et une largeur en crête fixée à 8 m.La coupe type de la digue présente un profil symétrique ayant des talus au fruit de 1,7H/1V sur un terrain de fondation du type Flysch gréso-pélitique. La coupe type comporte(Fig.3):  Un corps du barrage en alluvions naturelles mises en place, arrosées si nécessaire, en couches de 60 cm d’épaisseur, compactées au rouleau vibrant mi-lourd. Les éléments les plus grossiers des alluvions seront disposés à la limite aval des zones concernées.  Sur le parement amont est disposée une transition de 5 m d’épaisseur horizontale. Celle-ci, d’un diamètre maximal de 50 mm, est obtenue par criblage et recomposition éventuelle des enrochements tout-venant de carrière. Elle est mise en place, arrosée, en couches de 40 à 60 cm et compactée, au rouleau vibrant mi-lourd.  Dans la recharge amont, un drain cheminée est introduit pour intercepter les lignes d’écoulement éventuelles, générées par les percolations à travers le masque. Il a une épaisseur horizontale de 4 m et est raccordé à un tapis de 3m d'épaisseur recouvrant le fond de la vallée. Le drain est constitué par les supérieurs à 50mm issus du criblage du tout venant de carrière.  Sur le parement aval, une couche constituée des enrochements est mise en place. Le frottement que ces matériaux pourront mobiliser leur permettra d'éviter les glissements de peau à l'occurrence d'un séisme de forte intensité.  Un matériau alluvionnaire 150/D constitue la protection du parement aval du barrage principal contre le ravinement. Elle est constituée par des alluvions naturelles dont le diamètre minimal est de 150 mm. Elle pourra être obtenue par tamisage ou par tri direct dans les ballastières. Des petits enrochements de diamètre compris entre 150 et 500 mm peuvent également être utilisés.

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Figure 3 : Coupe type du barrage principal

2.2 La digue de col: La digue de col est formée par de différentes zones de l'amont vers l'aval représentées dans la figure ci-dessous et décrites ci-après :

 Des blocs d'enrochements de protection contre les vagues appelés rip-raps.  Une zone de 50/Dmax pour assurer la transition et éviter l’immigration des particules.  Une zone d’enrochement tout-venant à drainage libre.  Une recharge amont en alluvions tout-venant  Une zone de transition appelée 4A à l'amont immédiat du noyau servant de filtre en cas de vidange rapide.  Un noyau limoneux imperméable.  Un filtre permettant de soulager le noyau des pressions interstitielles.  Un drain permettant de rabattre toute pression interstitielle.  Une recharge aval en alluvions tout-venant.  Une protection en petits blocs du parement aval contre le ravinement.

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Figure 4 : Coupe type de la digue de col

2.3. Ouvrages annexes : 2.3.1. Conduite sous remblai Le contrôle et l’évacuation des eaux se fait en conduite sous remblai déj{ réalisée et implantée au pied de la rive gauche. Elle est composée de deux pertuis mitoyens, à piédroits verticaux et calotte circulaire de 6.80m de largeur et de 8.70m de hauteur. Ils ont une pente uniforme de 1.26%, entre les cotes 52.00 à l'amont et 48.00 à l'aval, sur une longueur voisine de 300m.

Figure 5: Coupe des deux galeries sous remblai

2.3.2. Evacuateur de crue La présence de la galerie sous remblai a incité naturellement à l'utiliser autant pour l'évacuation des crues que pour la vidange ou les prises. Ainsi, l'évacuateur est conçu en deux puits, chacun branché sur un des deux pertuis et équipé d'une corolle d'entonnement. En vue de répondre au souhait d'assurer un écrêtement des crues plus efficace et une plus grande souplesse sur l'ouverture des vannes de vidange, une corolle est calée à la cote 131.00 NGM de retenue normale et la seconde 1m au-dessus. PFE 2014

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L'entrée des deux pertuis de dérivation est transformée pour accueillir des sections de contrôle munies d'une aération convenablement dimensionnée. Le débit évacué par les deux corolles au passage de la crue de projet (débit de pointe 2 720 m³/s), atteint 1800m³/s compte tenu de l'effet de laminage de la retenue. Les PHE atteignent la cote 138.90, laissant une revanche de 1.10m sous la crête des remblais et de 1.90m sous la crête du mur amont ou du parapet de la digue de col. Les puits font une hauteur de 80m et 81m entre les cote 51.00 à la base et 131 et 132, respectivement au droit du seuil. Dans la réalité, l'évacuateur ne sera appelé à fonctionner que pour les crues les plus rares, car les crues les plus fréquentes seront évacuée en priorité par les vidanges dont la capacité avoisine les 700 m³/s pour les deux pertuis, correspondant au débit de pointe de la crue vingtennale. Il est dans ces conditions acceptable d'avoir un évacuateur avec des puits aussi profonds, parfaitement verticaux. La base du puits fait une épaisseur de 3m et est constituée en surface par un béton hautement résistant à l'abrasion de classe 16/40.

2.3.3. Les vidanges de fond Deux vidanges de fond identiques équipent le barrage. Elles sont branchées, chacune sur un des deux pertuis de dérivation provisoire. Elles ont les caractéristiques suivantes :



Seuil calé à la cote 52.00 NGM,



Vanne de garde type wagon de 2.60mx4.85m (LxH),



Vanne de réglage à glissière de 2.60mx3.80m (LxH),



Blindage de 11.50m de longueur,



Décrochement vertical à l'aval immédiat du blindage pour assurer l'aération convenable du jet.



Apport d'air depuis la surface par un conduit remontant jusqu'au sommet de la tour.



Capacité par vidange pour les vannes grandes ouvertes : ~350 m³/s/vanne sous la RN



Temps de vidange de la retenue : 8 jours avec les deux vidanges ouvertes et un apport nul.

Les vidanges sont utilisées en priorité pour l’évacuation des crues en vue de réduire l’envasement de la retenue et éviter un fonctionnement prolongé de l'évacuateur. Les vidanges pourront être utilisées chacune séparément pour la dérivation des eaux au cours de leur équipement.

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Au fonctionnement des vidanges, le taux de remplissage des pertuis de dérivation reste faible, ne dépassant pas les 30%. La vitesse passe de près de 30m/s à l'entrée des pertuis à environ 21m/s à leur sortie. La restitution dans le lit de l'oued se fait à l'aide d'un redan rejetant le jet loin du pied du barrage.

2.3.4. Les prises d'eau La tour d'évacuation et de vidange est équipée de prises d'eau pour l'AEP, pour l'agriculture et de deux by-pass pour la restitution des petits débits.  Prises AEP Les prises pour l'AEP sont au nombre de 5, disposées à des niveaux différents pour permettre le soutirage de l'eau là où sa qualité est la meilleure. Elles sont équipées chacune : 

D'une grille fixe et une vanne batardeau (1.60mx2.15m), manœuvrable par câble et treuil,



Une vanne de garde, type wagon (1.20mx1.70m), manœuvrable par un train de brimballes et un vérin à simple effet.

Les prises alimentent un puits de 1.50m de diamètre qui vient rejoindre une conduite Ø1200 noyée dans la structure de dérivation. Elle est équipée à son débouché aval d'une vanne papillon de garde à contrepoids pour restituer le débit pour l'AEP. La conduite d'amenée de l'eau brute du barrage vers la station de traitement se branche à l'aval de cette vanne papillon.  Prise agricole La prise agricole est disposée au niveau 70 NGM dans la tour de prise pour satisfaire les besoins agricoles à l'aval tout en restant protégée contre l'envasement. Elle est équipée comme suit :  

Une grille fixe Une vanne batardeau (1.60mx1.60m), manœuvrable par câble et treuil,

La prise est reliée à une conduite Ø800 noyée dans la structure de dérivation. Elle est équipée à son débouché aval d’une vanne papillon de 800 mm permettant de se relier { la conduite d’eau agricole qui sera posée par l’agriculture.  By-pass Les vidanges sont équipées de deux by-pass destinés à restituer les petits débits dans le lit de l'oued, Leur entonnement est disposé entre les deux vannes. Ils ne peuvent donc fonctionner que si la vanne de garde de la vidange est ouverte. Chaque by-pass est équipé d'une vanne à opercule et une vanne jet creux.

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2.3.5. L’ouvrage unique L’ouvrage unique regroupe tous les ouvrages annexes du barrage. L'accès { l’ouvrage unique depuis la crête du barrage se fait { l'aide d'une passerelle d'une longueur pouvant dépasser 200 m à partir de la rive gauche. Elle comporte au moins 4 travées, d'égales longueurs (47,10m), réalisées en béton précontraint. Les piles sont fondées dans le substratum au moyen de semelles qui y sont ancrées. La partie amont de la tour, où sont logées les deux vidanges, comporte une réservation verticale rectangulaire assurant l'accès et l'évacuation des équipements de la vidange et du by-pass. Les monorails disposés au-dessus des chambres correspondantes permettent la remontée des équipements au niveau 60 à partir duquel ils seront repris par le pont roulant de la chambre à 140.20. L'espace entre la tour et la fouille rive gauche sera comblé par un remblai en alluvions compactées protégées par un enrochement ayant une épaisseur horizontale de 5m, pour être mis en place et compacté soigneusement. Le remblai vise à stabiliser la fouille et à améliorer la résistance de la tour aux séismes.

La tour de prise

Galerie sous Remblai L’évacuateur de crue

Figure 6: coupe des ouvrages annexes

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Figure 7 : une photo du site de la passerelle d’accès sur barrage

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CHAPITRE 2 PRE-DIMENSIONNEMENT DE L’OUVRAGE 2.1. Pré-dimensionnement du tablier : 2.1.1 Conception générale : On va exploiter dans la conception de cette variante une caractéristique principale du béton précontraint : on peut utiliser des portées importantes en comparaison avec le béton armé. Ainsi, notre ouvrage sera composé de quarte travées isostatiques de 47,10m chacune. De son tour, chaque travée sera constituée de deux poutres précontraintes préfabriquées. L’entretoisement transversal des poutres sera assuré par l’hourdis en section courante et par des entretoises d’about au niveau des appuis. La liaison entre le tablier du pont et l’ouvrage unique sera assurée par une console courte encastrée à ce dernier.

Figure 8: Morphologie de l’ouvrage

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2.1.2 Eléments de pré-dimensionnementdu tablier : a) Poutres principales :  Forme La forme des poutres est en double Té, section de caractéristiques mécaniques bien adaptées à la gamme de portées de ce type d'ouvrage. La matière est concentrée dans les deux fibres extrêmes que constituent la table de compression supérieure, d'une part, et le talon inférieur d'autre part. La table de compression et le talon sont reliés par une âme verticale plus épaisse au voisinage des appuis en fonction de l'importance des cisaillements. La jonction de l'âme avec la table de compression et avec le talon s'effectue par l'intermédiaired'un gousset.  Hauteur La hauteur de la poutre est obtenue en utilisant un élancement économique compris entre 1/18 et 1/16 Ainsi 1/18 ≤

𝒉𝒕 𝑳𝒄

≤ 1/16

Avec un élancement de 1/18, on obtient ht = 2,61m On retient la valeurht = 2,60m La hauteur des poutres est égale { la hauteur du tablier diminuée de celle de l’hourdis

hp= ht - hh hp= 2,60 – 0,20 = 2,40m

Figure 9: Schéma longitudinal de la poutre en béton précontraint

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 Largeur de table bt : La largeur de table est dimensionnée surtout pour assurer une stabilité au déversement pendant la manutention, elle varie de 0,5ht à 0,7ht. On prendbt = 1,80m  L’épaisseur de l’âme : Pour des ouvrages courant on prend généralement une épaisseur de l’âmevariable plus importante aux appuis qu’en zone médiane, où l’effort tranchant est faible. Or, pour notre cas la hauteur des poutres est assez importante donc on peut maintenir une épaisseur constante qu’on prend égale { 30 cm.  Entraxe des poutres : Avec un tablier de 3,6m de largeur, et deux poutres par travée, un entraxe de

b0 = 1,80ms’adapte bien.  Dimension du talon : Les talons des poutres, constituant la fibre inférieure de la structure, doivent permettre de loger les câbles de précontrainte dans de bonnes conditions d'enrobage et d'espacement. Le schéma ci-dessous illustre les dimensions couramment admises pour le talon :

Figure 10: talon d’une poutre en béton précontraint

Avec un entraxe de 1,8 m on prend une largeur de talon : bt=0,80 m Pour avoir suffisamment de place pour loger les câbles et les armatures passives, Onprend ht= 0,30 m. L’âme se raccorde { la membrure inférieure, en s’élargissant, par un gousset qui facilite, par sa forme, la descente du béton .Il doit permettre également un relevage aisé des câbles latéraux du talon dans l’âme. La tangente del'angle est normalement comprise entre 1 et 1,5, et il est préférable de se rapprocher de la valeur supérieure. PFE 2014

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Si on prend tan(α)=1,5 on obtient h1=37cm (soit tan(α)=1,48).

Figure 11:Dimensions d’une poutre

b) hourdis : Le rôle du hourdis est multiple. En premier lieu, il assure la continuité de surface du tablier, etpermet donc de relier les éléments de la poutraison (poutres proprement dites et entretoises). Ilfait par ailleurs office de table de compression de poutres et reçoit l'étanchéité ainsi que lerevêtement de chaussée. La liaison par le hourdis peut être réalisée de deux façons :  Par un hourdis intermédiaire coulé entre les poutres,  Par un hourdis général coulé par-dessus les poutres. L’hourdis peut être de type :  Hourdis intermédiaire: coulé entre les poutres, dans le prolongement des tables de compression. Cette conception conduit à un découpage transversal qui présente des plans préférentiels de fissuration au niveau des multiples reprises de bétonnage. D’où

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la nécessité d’une précontrainte transversale pour assurer un meilleur Fonctionnement transversal.

Figure 12:Hourdis intermédiaire

 Hourdis général :Les hourdis généraux sont réalisés par-dessus les poutres sur toute la largeur du tablier; Ils sont plus faciles à coffrer puisque les coffrages peuvent être simplement appuyés sur les extrémités des tables décompression.

Figure 13: Hourdis général

Dans notre cas, les poutres vont être reliées par un hourdis général d’épaisseur de 20cm coulé sur les poutres sans prédalle.

c) Entretoises :  Nombre : Comme on l’a signalé précédemment, on n’aura que deux entretoises pour relier les poutres transversalement, et elles seront placées au niveau de chaque about.  Hauteur : La hauteur des entretoises est égale à : HE= 2,40 – 0,30= 2,10m.

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 Longueur : La longueur des entretoises dépend de l'espacement des poutres principales qui les relient transversalement. Dans notre cas, la longueur des entretoises est égale à LE= 1,50m  Epaisseur : On prendra une largeur de 40cm

Figure 14: coupe transversal du tablier

2.1

Pré-dimensionnement des piles :

La conception des piles dépend d’un très grand nombre de facteurs :  hauteur de la brèche à franchir  type du tablier supporté, en particulier en fonction de l’importance des efforts { descendre  problèmes d’implantation au sol…

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Il existe deux grandes familles de piles : les piles de type voile et les piles de type poteau (ou colonne).

2.2.1. Les différents types de piles : 2.2.1.1 Les piles de type voile : Le modèle de base le plus simple est le voile continu d’épaisseur constante, dont la longueur est égale { la largeur du tablier porté. En général, sa hauteur est assez faible (jusqu’{ 15m) au-delà, il est préférable d’utiliser d’autres types de piles.

2.2.1.2 Les palées : La pile prend la forme d’une succession de colonnes. Les poteaux (ou les colonnes) peuvent être libres en tête s’ils sont placés au droit des descentes de charges par l’intermédiaire des appareils d’appui, ou liés par un chevêtre dans le cas contraire.

2.2.1.3 Autres types de piles : En dehors de ces deux familles de piles, on trouve d’autres types de piles qui sont souvent utilisées dans des ouvrages non courants. Ainsi on trouve :

2.2.1.4 Les piles spéciales : Elles se caractérisent essentiellement par le fait qu’elles n’assurent pas une descente de charge directe { cause de leur géométrie et présentent aussi de nombreux problèmes d’exécution (coffrage et ferraillage).  Les piles marteaux : Ce type de piles est intéressant vu sa forme esthétique et sa limitation de l’emprise au sol. Cependant leur conception et leur réalisation posent quelques problèmes techniques : la mise en place des poutres sur ces piles se fait progressivement en commençant par les poutres de rives, ce qui cause un excentrement important des charges sollicitant les fondations et tout à fait différent de celui pour lequel elles ont été dimensionnées.  Les piles en caisson : Dans les piles de grande hauteur, il est nécessaire d’assurer une certaine rigidité vis-à-vis des efforts horizontaux. On utilise donc des caissons qui sont le plus souvent réalisées en coffrage glissant ou en coffrage grimpant. De ce fait, l’épaisseur des parois ne doit pas descendre en dessous de 30cm. Elle varie généralement de 30 à 60cm.  Les piles portiques :

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Lorsque le tablier est très large, la pile marteau ne peut être envisagée. Si les piles ne sont pas de grande hauteur, leur conception mécanique s’apparente { celle d’un portique. Dans le cas des piles de grande hauteur ou si des problèmes de fondation se posent, on choisit des piles-portiques.

2.2.1.5Type de pile choisi : En analysant ces différents types de piles et en considérant les conditions dans lequel l’ouvrage y est présent ainsi, que la nature de la fondation et pour une hauteur de la pile qui atteint les 60 mètres; il s’avère que les piles caisson sont les mieux adaptées { notre cas.

2.2.2. Conception et pré-dimensionnement : 2.2.2.1. Le chevêtre : Le chevêtre doit être dimensionné de façon à donner au tablier porté une assise appropriée. D’une façon générale, la tête des piles doit permettre : * L’implantation des appareils d’appui ; * Le placement des niches à vérins pour le changement des appareils d’appui.  Largeur : sa largeur dépend de la dimension de la pile, de la zone d’about et de l’espacement entre les travées. Dans notre cas on prend une largeur de 3,60 m.  Longueur : sa longueur dépend des dimensions de la pile, de la largeur du tablier et des espacements entre le bord des appareils d’appui et le bord du chevêtre. Dans notre cas, on prend une longueur de 3,6 m.  Hauteur : sa hauteur doit être supérieure ou égale à 0,80 m. On prend une hauteur de 1 m

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Figure 15: coupe longitudinale du chevêtre sur pile

2.2.2.2. Les fûts des piles : Le dimensionnement des fûts des piles fait appel à trois critères :  Un critère mécanique  Un critère de robustesse  Un critère esthétique. Les futs de piles font une hauteur minimal de 35m, ce qui classe notre pont dans la catégorie des ouvrages non courants. Le fait de prendre une section pleine pour des piles de telle hauteur, rend la structure peu économique, ce qui nous a poussés à choisir des piles caissons de section évidée, comme le montre la figure suivante :

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Figure 16: Section de la pile

2.2

Pré-dimensionnement des culées :

Ce sont les appuis extrêmes qui permettent de connaître la longueur totale de la brèche à franchir. Ils assurent une liaison entre le pont et les remblais, chose qui les rend particulièrement sensibles à une mauvaise conception. Ainsi, on s’oriente toujours vers une conception raisonnablement surabondante et des formes aussi simples que possible. Cette conception doit tenir compte de plusieurs paramètres :  La hauteur de la brèche { franchir et le tirant d’air { réserver sous l’ouvrage,  Les problèmes d’implantation au sol, et le biais  Le type du tablier à supporter  Le niveau de fondation,  L’éventualité des tassements,  La nécessité de pouvoir visiter et éventuellement remplacer les appareils d’appui.

2.3.1. La fonction de la culée : Une culée bien conçue doit satisfaire à toutes les exigences de la fonction culée qui se décompose en une fonction mécanique et une fonction technique.

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2.3.1.1. La fonction mécanique : Les caractéristiques de la fonction mécanique sont :  Une bonne transmission des efforts au sol de fondation.  La limitation des déplacements horizontaux en tête, de façons à ne pas entraver le fonctionnement des appareils d’appui.  La limitation des déplacements verticaux (tassements).

2.3.1.2. La fonction technique : La fonction technique d’une culée se caractérise par le fait que l’on accède souvent par elle { l’intérieur de l’ouvrage.

2.3.2. Les différents types de culées : 2.3.2.1 Les culées enterrées : Ce sont celles dont la structure porteuse est noyée dans le remblai d’accès { l’ouvrage ; elles assurent essentiellement une fonction porteuse car elles sont relativement peu sollicitées par des efforts horizontaux de poussée des terres. Ce type de culée s’adapte facilement pour tout type de fondation et { n’importe quelle hauteur de remblais qui sont généralement talutés à 3H/2V. Si le sol présente une bonne capacité portante, la culée peut être fondée superficiellement ou par l'intermédiaire d'un massif de gros béton. Par contre, lorsque le sol en place est de mauvaise qualité sur une profondeur telle qu'il n'estpas économique de le purger, il convient de recourir à une fondation sur pieux ou sur barrettes.

2.3.2.2 Les culées remblayées : Les culées remblayées jouent le double rôle de soutènement et de structure porteuse. Le tablier s'appuie sur un sommier solidaire d'un mur de front massif qui soutient les terres du remblai. Une telle culée est généralement fondée superficiellement, compte tenu des efforts horizontaux importants, ce qui limite son emploi au cas des très bons sols. Dans tous les cas, on ne pourra l'envisager que si la hauteur du soutènement reste inférieure à une dizaine de mètres. Dans la pratique, son emploi reste limité aux cas où l'on souhaite limiter la longueur du tablier au strict nécessaire.

2.3.2.3 Les culées creuses :

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On appelle culée creuse une culée qui comporte un mur de front, des murs en retour et platelage supérieur, formant ainsi une « boite » renversée dans laquelle le remblai est taluté de manière à ne pas exercer de poussée sur le mur de front. Il s’agit donc d’une construction sophistiquée que l’on ne conçoit que dans des cas exceptionnels.

2.3.2.4 Les culées en terre armée : Ce type de culée est basé sur la technique de la terre armée qui est apparue juste il y’a des dizaines d’années (en 1965). On rencontre dans ce cas deux types de conception : le premier correspond au cas où le tablier repose directement sur le remblai d’accès en terre armée par l’intermédiaire d’une tête de culée. Et le deuxième correspond au cas où le tablier repose sur une culée indépendante du massif en terre armée.

2.3.2.5 Les culées contrepoids : Ce type de culée est conçu dans des cas très particuliers, où la réaction d’appui au droit d’une culée change de signe (par exemple, réaction positive à vide et réaction négative sous charge d’exploitation). Donc son rôle est de rendre son signe constant sous n’importe quel type de charges.

2.3.2.6 Le choix de la variante : Dans notre cas, et compte tenu de la bonne qualité du sol, on adopte des culées enterrées sur la rive droite qui vont être fondées superficiellement. Elles sont plus faciles à concevoir et à réaliser.

2.3.3 Les éléments de pré-dimensionnement : Une culée enterrée comporte :  Un sommier d’appui (chevêtre).  Un mur garde grève muni d’un corbeau arrière sur lequel reposera la dalle de transition.  Deux murs en retour.

 Les fûts. 2.3.3.1. Le sommier d’appui (chevêtre): Le sommier d’appui est un élément sur lequel s’appuie le tablier. Dans le cas d’une culée enterrée il repose sur les fûts. Sa surface doit être aménagée de manière à permettre :  L’implantation des appareils d’appui ; PFE 2014

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 La mise en place de vérins pour changer les appareils d’appui s’il y a lieu ou pour procéder { des mesures de réaction d’appui ;  Assurer l’évacuation des eaux (pour cela on effectue une pente de 2% pour le sommier d’appui). Ainsi on le pré-dimensionne comme suit:  Pour la longueur du sommier : elle dépend directement de la largeur du tablier. On prend une longueur de 3.60m.  Pour sa hauteur: elle doit être supérieure à 0,80 m pour des raisons de robustesse. On prend alors 1m pour la hauteur du sommier.  Pour la largeur: on prend 2.00m ce qui est suffisant pour l'about, l'implantation du mur garde grève et le corbeau.

2.3.3.2. Le mur garde-grève : Il s’agit d’un voile en béton armé construit après achèvement du tablier par reprise de bétonnage sur le sommier. Il doit remplir les taches suivantes : * Résister aux efforts de poussée des terres, aux efforts de freinage dus aux charges d’exploitation, et aux efforts transmis par la dalle de transition. * Il permet d’établir des joints de chaussée dans tous les cas, quel que soit le type de joint utilisé.  Hauteur : la hauteur du mur garde-grève dépend de la hauteur du tablier et des dimensions des appareils d’appui et du bossage qui leur a été conçu. On adopte une hauteur de 2,75m.  Epaisseur : le dossier pilote PP73 du S.E.T.R.A recommande d’adopter les épaisseurs suivantes : Pour une hauteur de hg ≤ 1 m : e = 0,20 m Pour une hauteur de 1 m< hg ≤ 2 m : e = 0,10+0,10× hg (m) Pour une hauteur de hg >2m : e = 0,30 m On trouve donc une épaisseur de 0.30 m  Longueur : sa longueur est égale à la largeur du tablier. On retiendra une longueur de 3,6m.

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Le schéma suivant illustre les différentes dimensions du mur garde-grève :

Figure 17: chevêtre culée.

2.3.3.3. La dalle de transition : Les dalles de transition sont destinées à éviter tout risque de formation de dénivellation entrel'ouvrage, et la chaussée courante. Sa longueur, comprise entre 3 m et 6 m, peut être donnée par la formule suivante : L > Min [ 6 m ; Max ( 3 m ; 0,60×hg ) ] avec hg: hauteur du mur garde-greve. Le calcul donne une longueur supérieure à 3 m.On adoptera une longueur de 4m. Pour sa largeur, elle est égale à 2,80 m et son épaisseur est en général prise égale à 30cm.

Figure 18: dalle de transition

2.3.3.4. Les murs en retour : Ce sont des voiles en béton armé encastrés à la fois sur le mur garde grève et le chevêtre (pour les culées enterrées). Ils sont destinés à retenir latéralement les terres en tête de culée.

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Leur épaisseur est exprimée par la formule : E≥

L2 avec L la longueur du mur (2 m ≤ L ≤ 6 m) 20

On prend alors L = 4.00 m et E = 0.30 m.

Figure 19: Mur en retour

2.3.3.5. Les fûts : Ils sont au nombre de deux, de forme carré de 2m de diamètre, et ils auront une hauteur de 25m.

2.3

Pré-dimensionnement des fondations :

2.4.1 Choix du type de fondations : Le type des fondations dépend de trois facteurs : 

La contrainte de compression admissible sur le sol ;



Les risques d’affouillements dans le cas d’ouvrage en site aquatique ;



Les phénomènes de tassements qui doivent être compatibles avec l’intégrité des superstructures.

Le type de fondations employées varie en fonction de la proximité ou de l’éloignement du bon sol par rapport au terrain naturel. Généralement on distingue principalement deux types de fondations : Fondations superficielles sur semelles et Fondations profondes sur pieux. Les conditions géotechniques du site (rocher sain) justifient

le choix des fondations

superficielles.

2.4.2 Pré-dimensionnement de fondations superficielles : Elles sont adoptées pour les appuis Culée, P1, P2 et P3 Le pré dimensionnement des fondations de ces appuis est donné par le tableau suivant :

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Appui

B (m)

L (m)

H (m)

Culée

6,5

6,5

1

P1

11

11

2.5

P2

10,5

10,5

2.5

P3

9

9

2,5

Tableau 1 : Le pré-dimensionnement des fondations superficielles

B, L et H désignent respectivement la largeur, la longueur et la hauteur de la semelle. Le tableau suivant donne les cotes NGM des différents niveaux dans chaque appui :

Appui

Z3 SUP SEMELLE

Z4 INF SEMELLE

Culée

113,57

111,07

P1

79,14

76,64

P2

87,5

85

102,79

100,29

P3

Tableau 2 : Les positions des semelles.

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CHAPITRE 3 ETUDE DES POUTRES

3 .1.Définition des charges 3.1.1Charges permanentes : 3.1.1.1 Poids propre : Les valeurs des poids propres pour une travée sont comme suit :    

Poids propre de l’ensemble des poutres Poids propre de l’hourdis Poids propre des deux entretoises d’about Poids propre total

Poids/ml du tablier

: 277,89𝑡 : 82,98 t : 5,68 𝑡 : 366,55 t

: 7,78𝑡/𝑚𝑙

3.1.1.2 Superstructures : Elles entrent dans les éléments de second œuvre et de finition du tablier. Elles jouent un rôle important sur le plan de l’esthétique, de la sécurité et de la durabilité de l’ouvrage. D’où l’importance de les prendre en compte dans la conception transversale du tablier et le calcul de la structure.

 Chape d’étanchéité : La pénétration de l’eau { l’intérieur du tablier entraîne des risques graves de corrosion des armatures en acier (passives et actives). Pour éviter ce problème, on recourt généralement { une chape d’étanchéité disposée sur la dalle de béton une chape épaisse de densité 2.4 t/m3, coulis sur le hourdi en deux couches ; une en asphalte pur de 8 { 12 mm, l’autre en asphalte porphyré de 22 { 27 mm d’épaisseur. on prend une épaisseur total de 30 mm.

 Revêtement de Roulement : La couche de roulement qui vient au-dessus de la chape d’étanchéité est constituée le plus souvent d’une couche de béton bitumineux de 5 { 10 cm d’épaisseur et de densité égale { 2,3 t/m3. On adoptera une épaisseur de 8 cm pour tenir compte des éventuels renforcements de chaussée.

 Caniveaux des câbles : PFE 2014

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Ils permettent de disposer des câbles électriques dans les caniveaux. Ces derniers ont une forme rectangulaire, d’une largeur de 0,55 m et un hauteur de 0,3m tout le long de la poutre, troué au centre pour la mise des câbles.

 Les rails : Ils permettent d’assurer le déplacement de du chariot qui est destiné au transport du matériel { installer dans la tour d’évacuation. Il servira également au transport du matériel d’entretien après l’installation du matériel de la Tour d’évacuation et de prise d’eau. Les vannes constituent le matériel le plus lourd à transporter.

 Garde-corps : C’est un organe destiné { empêcher les chutes de piétons. Il doit de plus résister { la pression verticale et la poussée horizontale d’une foule et être conçu de telle sorte qu’un enfant ne puisse passer { travers ou l’escalader. Sa masse classique varie de 20 { 50 kg/ml.

 Tableau récapitulatif des charges de superstructures : Ainsi, les charges de superstructure se présentent comme suit :

Equipements chape d'étanchéité Revêtement de Roulement caniveaux des câbles électriques Rails garde-corps

Dimensions Nombre longueur 1 47,1 1 47,1 2 47,1 1 47,1 2 47,1

Largeur 2,5 2,5 0,55 -

Epaisseur 0,03 0,08 0,3 -

poids unitaire

Poids total 8,48 21,66 37,30 1,22 4,71

2,4 2,3 2,4 0,026 0,05 Total

73,38 Tableau 3:Les charges dues à la superstructure.

Le poids propre et le poids de la superstructure donnent les charges permanentes appliquées au tablier.

 Charges permanentes (t) : 439,9318t  Charges permanentes (t/ml) : 9,34 t/ml 3.1.2Charges d’expoitation : 3.1.2.1 Charge du Chariot : Le chariot est destiné au transport du matériel { installer dans la tour d’évacuation. Ilservira aussi au transport du matériel d’entretien après l’installation du matériel de la Tour d’évacuation et de prise d’eau. Les vannes constituent le matériel le plus lourd à transporter. Il se déplace sur deux rails espacés de 1.40m et symétriques par rapport { l’axe longitudinal. PFE 2014

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Le poids maximal à transporter par le chariot est 18T et son poids propre du chariot est estimé à 2T. Le chariot se déplace sur quatre galets .Il fera 3m de longueur et 1.8m de largeur. La distance entre les galets est de 2.5m longitudinalement et 1.4m transversalement. Vu la longueur très importante des poutres, on considère le chariot comme étant une charge ponctuelle de poids 20T. L’effet de freinage du chariot est négligé. Le coefficient de majoration dynamique est : δ = 1,1. Donc la charge d’exploitation due au chariot est égale { : 1,1× 20 = 22 T

3.1.2.2 Charge piétonnière: Selon l’EC1, La densité de la charge uniformément répartie est calculée a partir de cette formule : (pour les travées supérieurs 10m de longueur)

q fk = 2.0 +

120 Lsj + 30

kN/m²

Avec : Lsj la porté individuelle en m

Figure 20: Charge uniformément répartie en fonction de la portée

Dans notre cas : Lsj = 47,10 m On obtient : qfk = 0,3556 t/m²

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Donc la charge piétonnière égale à : 0,3556 × 47,10 × 0,3556 = 60,29 t

3.2. Détermination des sollicitations moyennes 3.2.1Rappel sur les lignes d’influences d’une poutre sur appui simple : Les lignes d’influences des moments fléchissant et des efforts tranchants pour une poutre sur appui simple sont présentées sur la figure suivante :

Figure 21: Lignes d'influence pour une poutre sur appui simple



Pour une charge concentrée 𝑃𝑖 : 𝑀𝑥 = 𝑃𝑖 × 𝑦𝑖

𝑦𝑖 : ordonnée de 𝑃𝑖 correspondant sur la 𝐿𝑖 (𝑀𝑥 ). 𝑇𝑥 = 𝑃𝑖 × 𝑦𝑖 𝑦𝑖 : ordonnée de 𝑃𝑖 correspondant sur la 𝐿𝑖 (𝑇𝑥 ). Dans le cas de 𝑛 charges 𝑃𝑖 , il suffit de sommer les différents termes : 𝑛

𝑀𝑥 =

𝑛

𝑃𝑖 × 𝑦𝑖 𝑒𝑡𝑇𝑥 = 𝑖=1



𝑃𝑖 × 𝑦𝑖 𝑖=1

Pour une charge d’intensité q répartie sur une longueur de 𝐿1 à 𝐿2 :

La somme ou bien l’intégrale devient une surface, c’est { dire : 𝐿2

𝑀𝑥 =

𝑞 × 𝑦𝑖 𝑑𝑦 = 𝑞 × 𝜔 𝐿1

𝜔 : aire sur la 𝐿𝑖 (𝑀𝑥 ) entre 𝐿1 et 𝐿2

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𝐿2

𝑇𝑥 =

𝑞 × 𝑦𝑖 𝑑𝑦 = 𝑞 × 𝜔 𝐿1

𝜔 : aire sur la 𝐿𝑖 (𝑇𝑥 ) entre 𝐿1 et 𝐿2 A la limite, pour plusieurs charges réparties 𝑞𝑖 : 𝑀𝑥 =

𝑞𝑖 𝜔𝑖 𝑒𝑡𝑇𝑥 =

𝑞𝑖 𝜔𝑖

3.2.2 Détermination des sollicitations dans les poutres principales : Les poutres principales sont soumises à la charge permanente et aux surcharges.

3.2.2.1 Charges permanentes :  Moment fléchissant : Le poids propre de la poutre est une charge répartie sur toute la poutre. Pour déterminer les sollicitations dues à cette charge, on n’a pas besoin d’utiliser le principe des lignes d’influences. Le problème se réduit { déterminer les sollicitations d’une charge répartie sur toute une poutre sur appui simple.

Figure 22: Diagramme du moment fléchissant sous l’effet de la charge permanente

On a alors : 𝑝𝑒𝑟

𝑀𝑥

= 𝛾𝐺 . 𝑔𝑝𝑒𝑟 .

𝑥 𝑙 −𝑥 2 𝑐

La charge permanente, déjà évaluée en 0, vaut : 𝑔𝑝𝑒𝑟 = (9,34) 2 = 4,67 𝑡 𝑚𝑙

 Efforttranchant : De même pour les efforts tranchants, on utilise le diagramme des efforts tranchants d’une charge répartie sur une poutre simple avec les mêmes notations que sous l’effet de la charge permanente :

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Figure 23 : Diagramme de l’effort tranchant sous l’effet de la charge permanente

L’effort tranchant est ainsi donné par : 𝑝𝑒𝑟

𝑇𝑥

= 𝛾𝐺 . 𝑔𝑝𝑒𝑟

𝑙𝑐 −𝑥 2

Le tableau suivant rassemble les résultats obtenus :

CHARGE PERMANENTE (POIDS PROPRE +SUPERSTRUCTURE) SECTION

Mx (T.m)

Tx (T.m)

ELU(γg=1,35)

ELS(γg=1)

ELU(γg=1,35)

ELS(γg=1)

0

0

0,00

0,00

145,32

107,64

0,1

4,61

602,93

446,61

116,25

86,11

0,2

9,22

1071,87

793,98

87,19

64,59

0,3

13,83

1406,83

1042,10

58,13

43,06

0,4

18,44

1607,81

1190,97

29,06

21,53

0,5

23,05

1674,80

1240,59

0,00

0,00

Tableau 4: Sollicitations dues aux charges permanentes

3.2.2.2 Charge 𝐝𝐮 𝐜𝐡𝐚𝐫𝐢𝐨𝐭 :  Moment fléchissant: Dans ce cas, on utilise la ligne d’influence pour déterminer le diagramme des moments, puisque le cas le plus défavorable revient à charger toute la longueur de la poutre lc . Et en tenant compte de la répartition transversale des charges, les moments sont donnés par la formule suivante :

𝑀𝑥𝑐𝑕 = 𝛾𝑄1 . 𝑞𝑐𝑕 . 𝑥. 1 −

𝑥 𝑙𝑐

Avec:

𝑞𝑐𝑕 = 22/2 = 11 𝑡

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 Efforttranchant: Les efforts tranchants se calculent { l’aide de leur ligne d’influence en tenant compte de la longueur chargée.

Figure 24: Effort tranchant dans la section x sous l'effet de la charge

Ils sont donnés par la formule suivante :

𝑇𝑥𝑐𝑕 = 𝛾𝑄1 . 𝑞𝑥𝑐𝑕 Avec :

𝑞𝑥𝐶𝑕 = 11 𝑡 Le tableau suivant rassemble les résultats obtenus : SOLLICITATION DUE AU CHARIOT SECTION

Mx (T.m)

Tx (T)

ELU(γQ=1,6)

ELS(γQ=1,2)

ELU(γQ=1,6)

ELS(γQ=1,2)

0

0

0,00

0,00

17,60

13,20

0,1

4,61

73,02

54,77

17,60

13,20

0,2

9,22

129,82

97,36

17,60

13,20

0,3

13,83

170,39

127,79

17,60

13,20

0,4

18,44

194,73

146,04

17,60

13,20

0,5

23,05

202,84

152,13

17,60

13,20

Tableau 5: Sollicitations dues au chariot

3.2.2.3 Charge piétonnière : La charge piétonnière est une charge repartie sur toute la poutre ainsi pour déterminer les sollicitations dues a cette charge on suit la mêmeméthode que la charge de poids propre mais en multipliant par les coefficients ELU(γQ=1,6) et ELS(γQ=1,2) Le tableau suivant rassemble les résultats obtenus :

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0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

CHARGE DUE AUX PIETONS Mx (T.m) SECTION ELU(γg=1,6) 0 0,00 4,61 97,93 9,22 174,10 13,83 228,51 18,44 261,15 23,05 272,04

ELS(γg=1,2) 0,00 73,45 130,58 171,38 195,87 204,03

Tx (T.m) ELU(γg=1,6) 23,60 18,88 14,16 9,44 4,72 0,00

ELS(γg=1,2) 17,70 14,16 10,62 7,08 3,54 0,00

Tableau 6: Sollicitations dues à la charge piétonnière

3.4 Détermination des sollicitations maximales dans les poutres La combinaison des actions pour les moments fléchissant et les efforts tranchants est : 𝑀𝑥 = 𝑀𝑎𝑥(𝑀𝑝𝑒𝑟 + 𝑀𝑒𝑥𝑝 ) 𝑇𝑥 = 𝑀𝑎𝑥 (𝑇 𝑝𝑒𝑟 + 𝑇 𝑒𝑥𝑝 ) Finalement, les sollicitations maximales de calcul sont :

Mx (MN.m) Tx (MN)

ELU

ELS

21,50 1,87

15,97 1,39

Tableau 7: Sollicitations maximales dans les poutres

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CHAPITRE 4 ETUDE DE LA PRECONTRAINTE 4.1 Calcul de la précontrainte : 4.1.1. Données :  Béton :

f c 28 = 40MPa ft 28 = 3MPa Pour un âge du béton inférieur à 28 jours, on se base sur les formules suivantes données par le PBEL : f cj =

j. f c 28 (MPa) 4, 73  0,83 j

f tj =0,06 f cj + 0,6 (MPa)

 Acier de précontrainte : On va utiliser des câbles à base de torons T15S classe 1860 dont les caractéristiques sont les suivantes :     

Limite élastique = fpeg=1660MPa ; Limite de rupture = fprg= 1860MPa ; Relaxation = ρ1000 = 2,5 ; Section nominale = 150 mm2 ; Diamètre gaine de 7 T15 : φg=71 mm ;

 Acier passif : On utilisera des aciers à haute adhérence de classe Fe500.  Charges : En plus du poids propre des poutres et du hourdis, on prendra en compte :  Les superstructures du tablier.  La charge due au chariot.  La Charge piétonnière.

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4.1.2. Contraintes admissibles du béton : Quelle que soit la classe de vérification retenue, les contraintes de compression du béton ne peuvent dépasser :  0,5 f c 28 sous l’effet de la combinaison quasi-permanente ;  0,6 f c 28 sous l’effet des combinaisons rares et des combinaisons fréquentes ;  0,6 f cj en cours de construction Les contraintes de traction ne doivent pas dépasser f tj en zone d’enrobage, et 1,5 f tj ailleurs.

4.1.2.1. En service : Les contraintes admissibles du béton en service sont résumées dans la figure suivante :

Figure 25: Diagramme des contraintes admissibles en service

4.1.2.2 En construction: En supposant que la mise en tension aura lieu à une date de j jours, alors les contraintesadmissibles du béton en construction sont les suivantes :

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Figure 26: Diagramme des contraintes admissibles en construction

4.1.3. Principe de construction : Comme nous le verrons dans les chapitres qui suivent, le dimensionnement de ce type de tablierest étroitement lié au mode de construction qui, pour la réalisation d'une travée, comporte lesétapes suivantes : Préfabrication des poutres sur une aire de préfabrication, Mise en attente des poutres sur une aire de stockage, Mise en tension des câbles de la première famille sur le stock, Mise en place des poutres sur appuis définitifs par des moyens de levage et de manutentionadaptés,  Réalisation en place d'entretoises reliant les poutres,  Mise en précontrainte éventuelle des entretoises,  Coffrage, ferraillage et bétonnage en place du hourdis,  Mise en tension d'une deuxième famille de câbles de précontrainte longitudinale et danscertains cas d'une précontrainte transversale lorsque le hourdis a acquis une résistancesuffisante.    

Figure 27: Câblage d'une poutre précontrainte

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4.1.4. Détermination de la précontrainte : 4.1.4.1 Actions :  Poids propre : 

Poutre seule : 29,5 KN/m



Hourdis (deuxième phase de bétonnage) : 9KN/m

 Superstructures :15,6 KN/m pour les deux poutres soit 7,8KN/m par poutre.  Charges due au chariot : charge qu’on suppose concentrés de 110 KN par poutre.  Charge piétonnière : 6,4KN/m par poutre.

4.1.4.2 Moments de calcul en ELS :  Poutre: Mg1=g1*L2/8=29,5*

47,12 8

= 8,18MN.m

 Hourdis (2ème phase de bétonnage): Mg2=g2*L2/8=9 *

47,12 8

=2,496MN.m

 Superstructures : Ms=s*L2/8=7,8 *

47,12 = 8

2,163MN.m

 Charges d’exploitation : Mq=3,684MN.m

4.1.4.3 Contrainte initiale des câbles : On a:

𝛔𝐩𝟎 = Min 0.8fprg ; 0.9fpeg = 𝟏𝟒𝟖𝟖𝐌𝐏𝐚

4.1.4.4 Excentricité des câbles : Le calcul en classe 1 et classe 2 donne :

Comme𝑃𝑠𝑜𝑢𝑠

PFE 2014

𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒

< 𝑃𝑠𝑢𝑟

𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒

𝑃𝑠𝑜𝑢𝑠

𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒

= 3,09 𝑀𝑁

𝑃𝑠𝑢𝑟

𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒

= 9,55 𝑀𝑁

, on peut supposer que la section est sur-critique.

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L’excentricité vaudra donc :  Première famille des câbles : e0=-(v’- d’)=-(1,212-0,1065)

e0= - 1,1055m

Figure 28: Position d’un câble

 Deuxième famille des câbles : e0=-(v’- d’)=-(1,513-0,142)

e0= - 1,371 m

Figure 29: Position de 2 câbles

4.1.4.5 Nombre de câbles de la première famille : Pour les câbles de la première famille, les deux phases les plus défavorables sont :  Leur mise en tension ;  Juste avant la mise en tension de la 2ème famille et après bétonnage du hourdis et des entretoises complémentaires. Nous supposons que le calendrier des opérations est le suivant :

PFE 2014

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Phase Date

A ta

Opérations

Coulage du Mise en Coulage du béton de Superstructures tension des Mise en tension de la béton des hourdis + ème etSurcharges câbles de la 2 famille poutres complément d’exploitation 1ère famille entretoises

Caractéristiques physiques

b tb

C tc

Section de la poutre préfabriquée S=1,18m2, I=0,842m4, v=1,188m, v’=1,212m

Caractéristiques fcj=37,9 Mpa du Béton Efforts

P0 = 1.1 Pi

de précontrainte

Pi = 1.2 PA (perte inst.)

d td

E te

Section complet S=1,54m2, I=1,3007m4,v=1,087m, v’=1,513m

fcj=37,9 Mpa

fcj=40 Mpa

1.1 PAA(50% Δσdiff )

PA (toutes les pertes) PB (toutes les pertes)

P0 =1.1Pi Pi = 1.2 PB (perteinst.)

Tableau 8: Calendrier des opérations

Avec : P0 : la précontrainte avant les pertes ; Pi : la précontrainte initiale, après pertes instantanées et avant pertes différées ; PA(resp. PB) : précontrainte finale de la 1ère famille (resp. 2ème famille).  A la mise en tension de la première famille (phase b) : Les contraintes devront satisfaire les conditions des contraintes admissibles (voir figure cidessous).

PFE 2014

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Figure 30: Contraintes admissibles en construction à vide

Avec Mga correspondant au poids propre de la poutre : Mga=8,18MN.m D’où :

1,2∗𝑃 𝐴 1,18 1,2∗𝑃𝐴 1,18

-

+

1,2∗ 𝑃𝐴 ∗1,1055 0,7088 1,2∗ 𝑃𝐴 ∗1,1055 0,6947

8,18

+ 0,7088 ≥ (  = - 1,5 f tj =-1,5*2,87=-4,31) ts

- 0,6947 ≤ (  8,18

ci

= 0,6 f cj =0,6*37,9=22,74)

PA ≤ 18,54

Soit :

PA ≤ 11,79 D’où :

𝐏𝐀 ≤ 11,79 MN

 A la mise en tension de la deuxième famille et après bétonnage de deuxième phase (phase d-) : A cette étape les contraintes devront satisfaire le diagramme suivant :

PFE 2014

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Figure 31: Contraintes admissibles en construction en charge

Avec : Mgd=Mg1+Mg2=8,18+2,496=10,676MN.m Alors on a : 1,1∗𝑃𝐴 1,18 1,1∗𝑃𝐴 1,18

+

-

1,1∗ 𝑃𝐴 ∗1,1055 0,7088

1,1∗ 𝑃𝐴 ∗1,1055 0,6947

Soit :

D’où :

–

10,676

+ 0,7088 ≤ (  10,676 0,6947

cs

=0,6 f cj =0,6*37,9=22,74)

≥ (  =- f tj =-2,87) ti

PA

≥ -9,81

PA

≥ 4,66

𝐏𝐀 ≥4,66 MN

On devra alors avoir :

4,66 MN ≤ PA ≤ 11,79 MN

La précontrainte { l’ancrage vaut : P0 =1,1*1,2*PA Alors

6,1512 MN ≤ P0 = 1.1 × 1.2 × PA = Ap1 σp0 ≤ 15,5628 MN

Soit

4133,87 mm2 ≤ Ap1 ≤ 10458,87 mm²

Ou n1 torons T15S de 150mm²:

28 ≤ n1 ≤ 69

On prend 5 Câbles de 7 T15S pour la première famille, D’où :

PA =

5×7×150×10 −6 ×1488 1.1×1.2

= 𝟓, 𝟗𝟐 𝑴𝑵

4.1.4.6 Diagramme des contraintes dans le béton en phase d- :

PFE 2014

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Après coulage du béton de deuxième phase et avant mise en tension des câbles de la 2 ème famille, les contraintes sont alors données dans le diagramme de la figureci-dessous avec : P=1,1 PA =6,51 MN

Figure 32: Diagramme des contraintes en phase 𝐝−

4.1.4.7 Précontrainte de la deuxième famille de câbles : En phase finale on devra satisfaire les conditions de contraintes admissibles de la figure4.8 (phase e) en combinaisons rares, on ajoutera au diagramme de la phase 𝑑− précédent, les contraintes dues aux pertes de 0,1 PA = 0,592 𝑀𝑁 entre phase d et e de la première famille de câbles, comme indiqué ci-dessous :

Figure 33: Diagramme de contraintes en phase finale

De la même façon que pour la première famille, mais cette fois en section complet (Poutre préfabriqué et hourdis) : Avec : PFE 2014

Ms=2,163MN.m Page 57

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Mq=3,684MN.m Alors on a :

1

1,371

2,163+3,684

10,43 + (−0,592 + 𝑃𝐵 )(1,54 − 1,1966 ) + 1

1,371

0,51 + (−0,592 + 𝑃𝐵 )(1,54 + 0,8597 ) -

1,1966

2,163+3,684 0,8597

≤ (

≥ (

ti

cs

=--

=0,6 f cj =0,6*40=24)

f tj =-3)

Soit :

Soit :

PB

≥ -16,92

PB

≥ 2,06

𝐏𝐁 ≥ 2,06 MN

D’où : 𝑃0 { l’ancrage avant pertes P0 = 1.2 × 1.1 × PB ≥ 2,72 MN Soit

Ap2 ≥ 1827,42 mm²

Et donc

𝑛2 ≥12,18

Nous retiendrons 2 Câbles de 7 T15 S, D’où

PB =

2×7×150×10 −6 ×1488 1.1×1.2

= 𝟐, 𝟑𝟕 𝑴𝑵

4.1.4.8 Diagramme des contraintes finales : Le calcul avec la valeur de PB trouvée ci-dessus nous donne le diagramme suivant :

PFE 2014

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Figure 34: Diagramme des contraintes finales

L’état de contraintes final, nous montre que :  En fibre supérieure, la contrainte est de l’ordre de 14,43MPa qui reste inférieure { la contrainte admissible estimée en 24MPa ;  En fibre inférieure, on { une faible traction de l’ordre de 2,31MPa sur une hauteur de 36 cm ≥ 5 cm, qui reste aussi inférieure { la contrainte de traction admissible égale { 3MPa. Ainsi on est amené à ajouter des armatures de traction, de section As, dans la zone tendue telle que : As ≥

ftj Bt Nbt + × 1000 fe σBt

Avec : Bt : la section du béton tendu = 0,286 m2 ; Nbt : la résultante de traction du béton tendu = 0,33 MN; ftj : contrainte caractéristique de traction du béton = 3 MPa; σBt : la valeur absolue de la contrainte maximale de traction = 2,31 MPa. D’où :

As ≥ 11,43 cm²

soit

6 HA 16

4.1.4.9 Disposition des câbles dans le talon à mi- portée : Les câbles 1, 2, 3,4 et 5 représentent la première famille tandis que les 2 câbles 6 et 7 représentent la deuxième.

PFE 2014

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Figure 35: disposition des câbles en mi-travée

4.2 Vérification à la flexion en ELU : La vérification des contraintes { l’ELU consiste { s’assurer que la force de précontrainte résiduelle Fp = Ap σ3 est supérieure à la résultante de compression dans le béton, et ce pour que l’effet de la précontrainte ne soit pas neutralisé. Pour cette vérification on suit le cheminement suivant :  Sous l’action de la précontrainte seule, la contrainte de traction des aciers de précontrainte vaut σ1 =

P S

et son allongement est notéε1 .

 Le béton continu { se décompresser jusqu’{ ce que sa contrainte au niveau des aciers de précontrainte s’annule, cela entraine une augmentation de contrainte de l’acier qui vaut, selon le PBEL, ∆σ2 = 5σb où σb est la contrainte du béton au droit des aciers de précontrainte sous l’action de la précontrainte est des charges permanentes ; on note ε2 l’allongement correspondant { σ2 = σ1 + ∆σ2 .  Si le moment extérieur continue { augmenter, l’acier de la précontrainte continuera { s’allonger comme le fera un acier du béton armé. Son allongement ∆ε3 ne doit pas dépasser 10‰.

PFE 2014

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 Moment ultime : Mu=1,35*(Mg1+Mg2+Ms) +1,6* Mq=1,35*(8,18+2,496+2,163)+1,6*3,684/1,2 Soit :

Mu=22,24MN.m

 Moment résistant de la table : La contrainte admissible du béton : 𝜍𝑏𝑐𝑢 =

0.85×𝑓𝑐28 𝜃×𝛾 𝑏

= 22,67 𝑀𝑃𝑎

La résistance à la compression de la table vaut : 𝐹𝑡𝑒 = 𝑏 − 𝑏0 × 𝑕0 × 𝜍𝑏𝑐𝑢 = (1,8 − 0,3) ∗ 0,3 ∗ 22,67 = 10,20𝑀𝑁 Le moment résultant de la table est : Où 𝑍𝑡𝑒 = 𝑕 − 𝑑′ −

𝑀𝑡𝑒 = 𝐹𝑡𝑒 × 𝑍𝑡𝑒

𝑕0 2

= 2,31𝑚

D’où:𝑀𝑡𝑒 = 23,56 𝑀𝑁. 𝑚 On a 𝑀𝑡𝑒 ≥ 𝑀𝑢 Donc la table reprend seule le moment ultime, et par conséquent, la fibre neutre est dans la table.  Position de l’axe neutre : Le moment réduit vaut : 𝜇=

𝑀𝑢 22,24 = = 0.0901 2 𝑏 × 𝑑 × 𝜍𝑏𝑐𝑢 1,8 × 2,462 × 22,67

L’équilibre des moments s’écrit : 𝜇 = 0,8 × 𝜉 × 1 − 0,4𝜉 𝑥

Dont la racine est : 𝜉 = 𝑑 = 1,25 × 1 −

1 − 2𝜇 ) = 0,118

Donc l’axe neutre est situé { 𝑥 = 0,291 𝑚de la fibre supérieure. Ainsi, la résultante de compression du béton devient : 𝐹𝑏 = 0.8 × 𝑥 × 𝑏 × 𝜍𝑏𝑐𝑢 = 0,8 × 0,291 × 18 × 22,67 = 9,5𝑀𝑁  Allongement Δε3 On a la formule suivante : ∆𝜀3 = 3.5 ×

1−𝜉 = 26.16 ‰ > 10‰ 𝜉

Soit ∆𝜀3 = 10‰

PFE 2014

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 Allongement ε1dû à la précontrainte : La contrainte 𝜍1 est donnée par l’expression suivant : 𝜍1 =

𝑃𝐴 +𝑃𝐵 𝐴𝑝

Or 𝜍1
𝐹𝑏 = 9,5 𝑀𝑁 Finalement, la section d’acier de précontrainte est suffisante, il n’est donc pas nécessaire de prévoir des armatures passives.

4.3 Relevage des câbles : Le relevage des câbles de la première famille de câbles sert à diminuer l’effort tranchant, mais on peut aussi moduler l’excentricité sur appui du câble moyen pour augmenter ou diminuer la déformée de la poutre à mi-travée, ou satisfaire aux conditions d’appui, concernant l’équilibre de la bielle d’about et celui du coin inférieur.

4.3.1 Effort tranchant admissible : L’effort tranchant admissible est donné par la formule : 𝜏=

PFE 2014

𝑇×𝑆 𝑏𝑛 × 𝐼 Page 62

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Avec :    

I : moment d’inertie de la section S : moment statique de la section au dessus de G bn : épaisseur nette (gaines déduites) 𝜏 : Cisaillement admissible donné par 𝜏2 =

𝜍𝑡 × 𝜍𝑐 − 𝜍𝑐𝐺 − 𝜍𝑡𝐺 × 𝜍𝑡 + 𝜍𝑐𝐺 + 𝜍𝑡𝐺 + 𝜍𝑐𝐺 × 𝜍𝑡𝐺 𝜍𝑐

Avec : 𝜍𝑐 = 0.42 × 𝑓𝑐 = 16,8 𝑀𝑃𝑎 𝜍𝑡 = 0.42 × 𝑓𝑡 = 1,26 𝑀𝑃𝑎 𝜍𝑡𝐺 =

𝑃 5.92 = = 5,02 𝑀𝑃𝑎 𝐵 1,18

𝜍𝑐𝐺 : Contrainte de compression perpendiculaire à𝜍𝑡𝐺 =0 MPa On trouve : 𝜏 = 2,36𝑀𝑃𝑎 D’autre part on a: bn = 0,3 – 0.071/2 = 0,2645m; I = 0,842 m4 S=0,648m3 Donc :𝑇 = 0,81 𝑀𝑁

4.3.2 Vérification pour les câbles de la 1ère famille : Le tracé des câbles est tel la condition suivante soit vérifiée dans toute section: 𝑇−

𝐹𝑖 × 𝑠𝑖𝑛𝛼𝑖 ≤ 𝑇

T représente l’effort tranchant du aux charges permanentes et les surcharges routières 𝐹𝑖 × 𝑠𝑖𝑛𝛼𝑖 est l’effort tranchant produit par les câbles de précontrainte 𝑇 : Effort tranchant admissible à ne pas dépasser déjà calculé en haut D’après les résultats obtenus { partir de la répartition des efforts sur les poutres, on a T qui varie entre Tmax = 1,4MN et Tmin = 0.69MN

PFE 2014

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Fi et 𝛼𝑖 désignent respectivement la précontrainte du câble i et son angle de sortie Si on remplace les câbles par un câble moyen équivalent, la condition précédente devient : 𝑇𝑚𝑎𝑥 − 𝑇 ≤ 𝑃𝑠𝑖𝑛𝛼 ≤ 𝑇𝑚𝑖𝑛 + 𝑇. Avec α est l’angle de sortie du câble moyen, Soit :

6° ≤ 𝛼 ≤ 15°

On choisit α = 7° pour le câble moyen, cette valeur est proche de la valeur minimale en vue de diminuer l’effort tranchant sur appui 𝑃𝑠𝑖𝑛𝛼. Les câbles sont relevés sur une distance donnée par : 𝑑 = 2 𝑣′ − 𝑒0 − 𝑑′ cot 𝛼 Avec e0 est l’excentricité 𝑀𝑚𝑎𝑥 + 𝜌. 𝐵. 𝑣. 𝜍𝑡𝑖 𝑃 𝑀𝑚𝑖𝑛 + 𝜌. 𝐵. 𝑣 ′ . 𝜍𝑡𝑠 𝑒2 𝑥 = −𝜌𝑣 ′ − 𝑃 𝑒1 𝑥 = 𝜌𝑣 −

L’excentricité du câble moyen est donnée par : 𝑒 𝑥 = Donc 𝑒0 =

𝑒1 0 +𝑒2 0 2

=

0,88−0,18 2

𝑒1 𝑥 +𝑒2 𝑥 2

= 0,35m

𝑑 = 2 1,212 − 0,35 − 0,14 𝑐𝑜𝑡7 𝒅 = 𝟏𝟏, 𝟕𝟔 𝒎 Donc : d = 12 m, est la distance de relevage des câbles de la première famille. Disposition des ancrages en about :  Distance entre axe minimum : 36cm  Distance minimum de l’axe { la paroi béton : 21cm

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30 25

240

30 30 30 25 30

Ki

10

10

10

10

ETUDE DU PONT D’ACCES A L’OUVRAGE UNIQUE DU BARRAGE OUED MARTIL DANS LA WILAYA DE TETOUAN

Figure 36: Géométrie verticale des câbles de précontrainte de la 1ère famille

L’angle de sortie de chaque câble au niveau de l’ancrage est donné en fonction de la position du câble Ki et de la distance du relevage des câbles d.

tan𝜶𝒊 = 2ki/d

Figure 37: Tracé des câbles de la première famille

Le tableau ci-après englobe la position de tous les câbles au niveau de l’about et leur angle de sortie :

PFE 2014

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Câble i

Position de l'ancrage ki

tan αi = 2ki/d

αi (en degré)

1

0,29

0,05

2,86

2

0,69

0,12

6,84

3

1,09

0,18

10,20

4

1,49

0,25

14,04

5

1,89

0,32

17,74

Tableau 9: Position des câbles de la 1ère famille au niveau de l’about

Section

Position du câble Position du Position du Position du Position du 1 par rapport à G câble 2 (en câble 3 (en m) câble 4 (en m) câble 5 (en m) (en m) m)

0L

-0,82

-0,42

-0,02

0,38

0,78

0,1L

-1,01

-0,87

-0,70

-0,56

-0,43

0,2L

-1,10

-1,09

-1,06

-1,04

-1,03

0,3L

-1,11

-1,11

-1,11

-1,11

-1,11

0,4L

-1,11

-1,11

-1,11

-1,11

-1,11

0,5L

-1,11

-1,11

-1,11

-1,11

-1,11

Tableau 10: L’excentricité des câbles pour les différentes sections

4.3.3 Vérification pour les câbles de la 2ème famille : Les câbles de deuxième famille sont généralement tous relevés en travée. Pour faciliter l'exécution, on cherchera à adopter un espacement constant entre points de sortie et à conserver un même angle de sortie pour tous les câbles. L'angle de sortie des câbles relevés est voisin de20 degrés, ce qui permet d'une part de limiter la longueur des encoches et d'autrepart d'apporter une bonne réduction d'effort tranchant. Habituellement, le câble le plus court sort au voisinage du quart de portée et le câble le pluslong est ancré assez près de l'about de sorte que l'ensemble du hourdis soit précontraint.

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Figure 38: Géométrie verticale des câbles de précontrainte de la 2ème famille

4.4 Pertes de précontrainte 4.4.1 Données : On utilisera les données suivantes pour l’évaluation des pertes :  Ep = 190 000MPa: Module d’Young des aciers de précontrainte ;  σp0 = 1488 MPa : Tension { l’origine  f = 0,18 rd−1 : Coefficient de frottement angulaire ;  φ = 0,002 m : Coefficient de frottement linéaire ;  g = 5 mm: Glissement par recul { l’ancrage ;  ρ1000 = 2,5 % : Paramètre de relaxation.

4.4.2 Pertes instantanées :  Perte par frottement : Les pertes par frottements sont calculées à chaque abscisse x par la formule suivante: ∆𝜍𝑓 = 𝜍𝑝0 × 𝑓𝛼 + 𝜑𝑥

 Perte par recule d’encrage : Cette perte est calculée sue la distance affectée𝜆 =

𝑔𝐸𝑝 𝑝

, où𝑝 =

∆𝜍 𝑓 0.5𝐿 0.5𝐿

est la pente de la droite

de la tension σ(x) dans le câble après pertes de frottement∆𝜍𝑓 . On pour x ≤ λ : ∆𝜍𝑔 = 2𝑝 𝜆 − 𝑥

PFE 2014

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 Perte due au non simultanéité de mise en tension des câbles : Cette perte est déterminée par la formule suivante ∆𝜍𝑛 =

𝑛 − 1 𝐸𝑝 × × 𝜍𝑏𝑐 𝑛 𝐸𝑖𝑗

Avec 𝜍𝑏𝑐 : contrainte de compression du béton au niveau du câble au jour « j » de la mise en tension exprimée par la formule suivante : 𝜍𝑏𝑐𝑗 =

𝑃𝑖 cos 𝛼𝑖 + 𝐵

𝑃𝑖 cos 𝛼𝑖 × 𝑒𝑖 𝑀𝑔 + 𝐼 𝐼 𝑒𝑖 𝑒𝑖

Finalement les pertes de précontraintes instantanées sont données par : ∆𝜍𝑝𝑖 = ∆𝜍𝑓 + ∆𝜍𝑔 + ∆𝜍𝑛

Pertes instantanées –Câble 1Section

∆𝜍𝑓

Pertes instantanées –Câble 2-

∆𝜍𝑔

∆𝜍𝑛

∆𝜍𝑝𝑖

%

Section

∆𝜍𝑓

∆𝜍𝑔

∆𝜍𝑛

∆𝜍𝑝𝑖

%

0L

0

116,04

10,44

126,48

8,50

0L

0

128,32

10,27

138,59

9,31

0,1L

27,38

82,66

13,09

123,13

8,27

0,1L

45,98

87,50

12,68

146,15

9,82

0,2L

41,40

49,28

12,61

103,29

6,94

0,2L

59,99

46,68

12,59

119,27

8,02

0,3L

55,41

15,90

8,92

80,24

5,39

0,3L

74,01

5,87

8,92

88,80

5,97

0,4L

69,43

0,00

6,26

75,69

5,09

0,4L

88,03

0,00

6,26

94,29

6,34

0,5L

83,45

0,00

5,38

88,82

5,97

0,5L

102,04 0,00

5,38

107,42

7,22

PFE 2014

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Pertes instantanées –Câble 3Section

∆𝜍𝑓

∆𝜍𝑔

∆𝜍𝑛

Pertes instantanées –Câble 4∆𝜍𝑝𝑖

%

Section

∆𝜍𝑓

∆𝜍𝑔

∆𝜍𝑛

∆𝜍𝑝𝑖

%

0L

0

137,84

10,10

147,94 9,94

0L

0

147,97

9,94

157,90

10,61

0,1L

61,67

90,74

12,17

164,59 11,06

0,1L

79,62

93,69

11,76

185,07

12,44

0,2L

75,69

43,64

12,52

131,85 8,86

0,2L

93,63

39,42

12,48

145,53

9,78

0,3L

89,71

0,00

8,92

98,63

6,63

0,3L

107,65

0,00

8,92

116,57

7,83

0,4L

103,73

0,00

6,26

109,99 7,39

0,4L

121,67

0,00

6,26

127,93

8,60

0,5L

117,74

0,00

5,38

123,12 8,27

0,5L

135,68

0,00

5,38

141,06

9,48

∆𝜍𝑛

∆𝜍𝑝𝑖

%

Pertes instantanées –Câble 5Section

∆𝜍𝑓

∆𝜍𝑔

0L

0

157,11

9,77

166,88

11,22

0,1L

96,90

95,92

11,37

204,20

13,72

0,2L

110,92

34,73

12,45

158,11

10,63

0,3L

124,94

0,00

8,92

133,86

9,00

0,4L

138,95

0,00

6,26

145,22

9,76

0,5L

152,97

0,00

5,38

158,35

10,64

Tableau 11: Pertes instantanées des câbles de la 1ère famille

4.4.3 Pertes différées :  Perte due au retrait du béton : On se réfère à la formule suivante : ∆𝜍𝑟 = 𝜀𝑟 × 𝐸𝑝

Avec𝜀𝑟 = 3, 10−4, on trouve: ∆𝜍𝑟 = 57 𝑀𝑃𝑎 soit 3,83%

PFE 2014

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ETUDE DU PONT D’ACCES A L’OUVRAGE UNIQUE DU BARRAGE OUED MARTIL DANS LA WILAYA DE TETOUAN

 Perte due au fluage du béton : Cette perte s’exprime par la formule suivante : ∆𝜍𝑓𝑙 =

𝐸𝑝 𝜍 + 𝜍∞ 𝐸𝑖 𝑀

Avec :  𝜍∞ : La contrainte de compression du béton, au niveau du câble, en phase finale ;  𝜍𝑀 : La contrainte de compression maximale du béton, en phase finale ;  𝐸𝑖 : Module d’Young instantané du béton à âge infini.  Perte due à la relaxation de l’acier : Elle est donnée par la formule suivante : ∆𝜍𝜌 =

𝜍𝑝𝑖 6 × 𝜌1000 × − 𝜇0 𝜍𝑝𝑖 100 𝑓𝑝𝑟𝑔

Avec :  𝜌1000 : Relaxation des aciers à 1000 heures en % ;  𝜇0 = 0.43 pour les aciers TBR Finalement les pertes de précontraintes instantanées sont données par : 5 ∆𝜍𝑝𝑑 = ∆𝜍𝑟 + ∆𝜍𝑓𝑙 + ∆𝜍𝜌 6

Les résultats sont présentés ci-dessous :

Pertes différées –Câble 1Section

Pertes différées –Câble 2%

Section

198,16

13,32

129,41 62,20

238,25

57,00

176,66 65,32

0,3L

57,00

0,4L

57,00

0,5L

∆𝜍𝑟

∆𝜍𝑓𝑙

∆𝜍𝜌

∆𝜍𝑝𝑑

0L

57,00

89,76

61,68

0,1L

57,00

0,2L

%

∆𝜍𝑟

∆𝜍𝑓𝑙

∆𝜍𝜌

∆𝜍𝑝𝑑

0L

57,00

92,25

59,81

199,09

13,38

16,01

0,1L

57,00

124,79 58,66

230,67

15,50

288,09

19,36

0,2L

57,00

176,07 62,80

285,40

19,18

180,14 69,02

294,65

19,80

0,3L

57,00

180,14 67,64

293,50

19,72

177,96 69,76

293,09

19,70

0,4L

57,00

177,96 66,75

290,59

19,53

57,00 177,23 67,63

290,59

19,53

0,5L

57,00 177,23 64,66

288,12

19,36

PFE 2014

Page 70

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Pertes différées –Câble 3Section

Pertes différées –Câble 4%

Section

200,39

13,47

0L

119,18 55,88

222,75

14,97

57,00

174,29 60,85

281,99

0,3L

57,00

180,14 66,06

0,4L

57,00

0,5L

∆𝜍𝑟

∆𝜍𝑓𝑙

∆𝜍𝜌

∆𝜍𝑝𝑑

0L

57,00

94,74

58,39

0,1L

57,00

0,2L

%

∆𝜍𝑓𝑙

∆𝜍𝜌

∆𝜍𝑝𝑑

57,00

97,22

56,88

201,63

13,55

0,1L

57,00

114,56

52,87

215,61

14,49

18,95

0,2L

57,00

173,10

58,75

279,06

18,75

292,19

19,64

0,3L

57,00

180,14

63,22

289,82

19,48

177,96 64,26

288,51

19,39

0,4L

57,00

177,96

61,45

286,17

19,23

57,00 177,23 62,20

286,07

19,22

0,5L

57,00 177,23

59,43

283,76

19,07

∆𝜍𝑟

Pertes différées –Câble 5Section

∆𝜍𝑟

∆𝜍𝑓𝑙

∆𝜍𝜌

∆𝜍𝑝𝑑

%

0L

57,00

99,71

55,54

203,00

13,64

0,1L

57,00

110,26

50,11

209,02

14,05

0,2L

57,00

172,51

56,85

276,89

18,61

0,3L

57,00

180,14

60,54

287,58

19,33

0,4L

57,00

177,96

58,80

283,96

19,08

0,5L

57,00 177,23

56,82

281,58

18,92

Tableau 12: Pertes différées des câbles de la 1ère famille

4.5 Vérifications de la résistance à la rupture par effort tranchant 4.5.1 Vérification de la rupture vis-à-vis du cisaillement : La section la plus sollicitée vis-à-vis de l’effort tranchant est la section sur appuis. Etant donné le cas le plus défavorable ne correspond pas nécessairement au pont chargé, il est impératif d’effectuer la vérification dans les deux cas à vide et en charge. PFE 2014

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L’effort tranchant maximal { l’ELU et { l’ELS est donné ci-après :

ELU

ELS

Section

Ch. permanentes

Ch. D’exploitation

Ch. permanentes

Ch. D’exploitation

Tmax (MN)

1,47 MN

0,42 MN

1,09 MN

0,31 MN

Tableau 13: les efforts tranchants maximaux

4.5.1.1 Vérification { l’ELU : L’effort tranchant réduit est donné par : 

𝑢 𝑢 A vide :𝑇𝑟𝑒𝑑 ,𝑣 = − 𝑇𝐺 +

𝑃𝑖 sin 𝛼𝑖 5,92 0,0499 + 0,1191 + 0,1771 + 0,2426 + 0,3047 5 2,37 + 0,342 + 0,342 2

u Tred ,v = −1,47 +

u Tred ,v = 0,39 MN



𝑢 𝑢 𝑢 En charge :𝑇𝑟𝑒𝑑 ,𝑐𝑕 = 𝑇𝐺 + 𝑇𝑞 −

𝑃𝑖 sin 𝛼𝑖 u Tred ,ch = 0,02 MN T×S n ×I

Le taux de cisaillement est donné par : τ = b Avec I = 0.842m4; S = 0.648m3; bn = 0.264 m Donc les taux de cisaillement sont : -

A vide : τv = 1,14 MPa

-

En charge : τch = 0,06 MPa

Le taux de cisaillement admissible { l’ELU est :τ =

f c 28 6

= 6,67 MPa

Donc le cisaillement dû { l’effort tranchant ultime est vérifié.

4.5.1.2 Vérification { l’ELS : L’effort tranchant réduit { l’ELS vaut : 

𝑠 𝑠 A vide : 𝑇𝑟𝑒𝑑 ,𝑣 = − 𝑇𝐺 +

PFE 2014

𝑃𝑖 sin 𝛼𝑖 Page 72

ETUDE DU PONT D’ACCES A L’OUVRAGE UNIQUE DU BARRAGE OUED MARTIL DANS LA WILAYA DE TETOUAN

5,92 0,0499 + 0,1191 + 0,1771 + 0,2426 + 0,3047 5 2,37 + 0,342 + 0,342 2

s Tred ,v = −1,09 +

s Tred ,v = 0,78MN



𝑠 𝑠 𝑠 En charge : 𝑇𝑟𝑒𝑑 ,𝑐𝑕 = 𝑇𝐺 + 𝑇𝑞 −

𝑃𝑖 sin 𝛼𝑖 s Tred ,ch = 0.47 MN

Le taux de cisaillement { l’ELS vaut : -

A vide : τv = 2,27 MPa

-

En charge : τch = 1,37MPa

Le cisaillement admissible { l’ELS, est généralement donné par : τ2 = σx × σt + 0.4 × ftj × ftj +

2 σ + σt 3 x

Avec : σx : Contrainte de compression au centre de gravité de la section σt : Contrainte de traction sur la facette parallèle à la fibre moyenne On a: 5,92 1,18

-

A vide : σx =

-

En charge : σx =

= 5,02 MPa et

5,92+2,37 1,54

σt = 0 MPa

= 5,38 MPa

et

σt = 0 MPa

Donc : -

A vide : τ = 2,76MPa

-

En charge :τ = 2,81 MPa

En conclusion, le taux de cisaillement dû { l’effort tranchant est admissible.

4.5.2 Calcul des armatures transversales : On utilise des armatures passives perpendiculaires à la fibre moyenne espacées de s pour reprendre l’effort tranchant. La fissuration éventuelle se produit suivant une inclinaison

 u avec l’horizontal des bielles comprimées et touche n cours de cadres traversant

la fissure. Il est à signaler que la valeur minimale de PFE 2014

 u est égale à 30° Page 73

ETUDE DU PONT D’ACCES A L’OUVRAGE UNIQUE DU BARRAGE OUED MARTIL DANS LA WILAYA DE TETOUAN

Figure 39: Reprise de l'effort tranchant par les étriers

L’inclinaison des bielles comprimées est telle que : tan 2βu =

2 × τu σxu

Avec : 𝜍xu = 5,02 MPa τu = 2,27 MPa 1

Donc :βu = 2 arctan Donc, on prend

2×τ u σ xu

= 21,06°

< 30°

 u = 30° 2×τ u 2β u

La contrainte de compression des bielles :𝜍b = sin

= 5,24 MPa

On a bien : σb < 0.378 × fc28 = 15,12 MPa Donc la contrainte de compression de la bielle de béton est admissible. La section d’acier passif pour équilibrer l’effort tranchant (armatures passives perpendiculaires) est telle que : ftj At fe × ≥ τu − × tan βu bn st γs 3 On utilise des aciers de

f e  500MPa At ≥ 𝟒, 𝟒𝟖 𝐜𝐦²/𝐦𝐥 st

PFE 2014

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ETUDE DU PONT D’ACCES A L’OUVRAGE UNIQUE DU BARRAGE OUED MARTIL DANS LA WILAYA DE TETOUAN

Avec une section minimale, pour éviter une rupture fragile due { l’effort tranchant, telle par : At fe × × sin α ≥ 0.4 MPa bn st γs A

D’où :( s t )𝑚𝑖𝑛 ≥ 𝟒, 𝟖𝟕 𝐜𝐦²/𝐦𝐥 t

En utilisant des cadres HA12 (1.13 cm²), on trouve un espacement maximal de 46cm{ l’appui, et un espacement à mi- travée égale

2∗1,13 4,48

= 𝟓𝟎𝒄𝒎

L’écartement maximum des cadres évalué par Min 0.8h ; 3b0 ; 1m = 1m est vérifié.

4.6 Calcul des abouts de la poutre Les abouts de la poutre subissent des efforts concentrés : forces sous-ancrage et réactions des appuis. Ainsi, ils doivent être justifiés vis-à-vis de :  L’action des ancrages ;  L’équilibre de la bielle d’about ;  L’équilibre du coin inférieur.  Zone de régulation

Figure 40: Ancrage des câbles à l'about

PFE 2014

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ETUDE DU PONT D’ACCES A L’OUVRAGE UNIQUE DU BARRAGE OUED MARTIL DANS LA WILAYA DE TETOUAN

4.6.1. Effet d’un effort concentré au centre de la poutre : Sous l’effet d’une force concentrique appliquée au centre, il se produit deux zones de béton tendu. La première appelée zone d’effet de surface au voisinage de la paroi, l’autre { l’intérieur appelé zone d’éclatement. Après une longueur de régularisation lr, la répartition des contraintes devient linéaire.

Figure 41: Zones de béton tendu sous l'action d'un effort concentré centré

Dans le cas des câbles multiples, on distingue aussi deux zones :  Une zone de première régularisation pour chaque ancrage { l’intérieur du prisme : 𝑑𝑖 × 𝑑𝑖 × 𝑏 avec𝑑𝑖 l’intervalle d’ancrage ou ½ la distance aux parois les plus proches ;  Une zone d’équilibre général { la longueur𝑙𝑟, qui reste voisine de h et de b dans le sens horizontal  Frettage de surface : Pour remédier { l’effet de surface dû { la traction du béton au voisinage immédiat de la paroi verticale, le règlement prévoit un frettage de surface donné par : As = 0,04 ×

𝑃0 2

3 × fe

𝐀𝐬 = 𝟏, 𝟕𝟖 𝐜𝐦²

= 0,04 ×

1,488 2

3 × 500

soit: 𝟒 𝐇𝐀𝟖

 Frettage d’éclatement

PFE 2014

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On détermine les zones de première régulation di x di x b : Les contraintes, du béton, au niveau de chaque câble sont donnés par :

σt = 0,5 ×

P0 ai 1− bdi di

σc =

P0 bdi

Avec : ai = 22 cm et P0 = 1,488 MN pour tous les câbles bi : largeur de l’âme de la poutre (b=30cm) di :Max (Distance entre ancrage ;2*Distance à la paroi la plus proche) bi et di sont donnés par le tableau suivant :

Câble

1

2

3

4

5

bi (cm)

30

30

30

30

30

di (cm)

80

40

40

40

80

Tableau 14: Dimensions du prisme – zone de1ère régularisation

Ces contraintes doivent 2

être inférieures à 1,25 × ftj = 4,5 MPa en cas de traction, et à

3 × fcj = 26,67 MPa en cas de compression.Les résultats sont regroupés dans le tableau

suivant :

Câble

𝜍𝑡 𝑀𝑃𝑎

𝜍𝑐 𝑀𝑃𝑎

1

2,25

6,20

2

2,82

11,02

3

2,82

11,02

4

2,82

11,02

5

2,25

6,20

Tableau 15: Contraintes dans le béton des zones de 1ère régularisation de chaque ancrage

PFE 2014

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ETUDE DU PONT D’ACCES A L’OUVRAGE UNIQUE DU BARRAGE OUED MARTIL DANS LA WILAYA DE TETOUAN

On remarque que les contraintes admissibles sont satisfaites au niveau de chaque encrage.

Le frettage d’éclatement est donné par la formule : a

Aej =

0,25 × P0 × 1 − d i

i

Ki ×

2 f 3 e

Où K i = 1 pour les câbles extrêmes et 1,5 pour les câbles intermédiaires (pour tenir compte de l’interaction des prismes). On obtient les résultats suivants :

Câble

𝐴𝑒𝑗 𝑐𝑚²

1

8,09

2

3,80

3

3,80

4

3,80

5

8,09 Tableau 16: Frettage d’éclatement

La section définitive d’acier transversale { prendre est :

Ae = Max Max Aej ;

Soit :

0,15 × P0 2 f 3 e

𝐀𝐞 = 𝟖, 𝟎𝟗 𝐜𝐦²

Sur une longueur de 0,80m à partir de l’about dont 3,80 cm2 sur une longueur 0,40m à partir de l’about.

4.6.2. Vérification de l’équilibre général de diffusion pure : L’équilibre général peut être considéré comme la superposition de deux états d’équilibre :

PFE 2014

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

Un état d’équilibre selon la résistance des matériaux en remplaçant les efforts concentrés

de la précontrainte par une distribution de contraintes réparties 𝜍 𝑃𝑖 et 𝜏 𝑃𝑖 sur SR calculée selon la résistance des matériaux. 

Un équilibre général de diffusion pure qui résulte de l’application des forces concentrées

Pi la résultante de−𝜍 𝑃𝑖

et −𝜏 𝑃𝑖 . Cet équilibre traduit l’écart entre la résistance des

matériaux et la distribution réelle des contraintes dans le béton.

Figure 42: Equilibre avec câbles inclinés multiples

Les contraintes dans les fibres extrêmes de la poutre sont calculées les lois de la résistance des matériaux : σ=

On obtient : σsup t = 0 = 10,33MPa

τmax =

𝐹𝑗 sin ⁡ (𝛼 𝑗 ) 𝑧.𝑏𝑛

=

Pi Pi e0i ± I S v

et

σinf t = h = 10,33 MPa

𝐹𝑗 sin ⁡ (𝛼 𝑗 ) 2 3

( .𝑕)𝑏𝑛

 h t= = 3,13MPa 2

τmax On déduit la distribution des contraintes :

σ t = 10,33

PFE 2014

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τ t = −2,17t² + 5,21t Par intégration on calcul les sollicitations : t

X t =

σ x bdx = 3,1t 0

t

τ x bdx = −0,22t 3 + 0,78t²

T t = 0

On déduit ainsi l’effort tranchant et l’effort normal : Vx t = Fx t − X t NT t = FT t − T t Avec :𝐹𝑥 𝑡 estlacomposanteparallèle à lafibretdesactionsdeseffortsconcentrés FT t est la composante perpondiculaire à la fibre t des actions des efforts concentrés On déduit le cisaillement total : τg = τ + τd Avec τd appelé cisaillement conventionnel dû { l’effort tranchant Vx calculé par : τd =

2 × Vx b × lr

Les résultats en MPa (MN pour les efforts) sont donnés sur le tableau suivant :

t 0 0,25 0,45 0,65 0,85 1,05 1,25 1,45 1,65 1,85 2,05 2,4

Fx 0 0 1,417 1,417 2,86 2,86 4,324 4,324 5,801 5,801 7,287 7,287

Ft 0 0 0,453 0,453 0,814 0,814 1,078 1,078 1,255 1,255 1,329 1,329

X 0 0,775 1,395 2,015 2,635 3,255 3,875 4,495 5,115 5,735 6,355 7,44

T 0,00 0,05 0,14 0,27 0,43 0,61 0,79 0,97 1,14 1,28 1,38 1,45

VX 0 -0,775 0,022 -0,598 0,225 -0,395 0,449 -0,171 0,686 0,066 0,932 -0,153

NT 0,00 -0,05 0,32 0,18 0,39 0,21 0,29 0,11 0,12 -0,02 -0,05 -0,12

τd 0,00 -1,99 0,06 -1,53 0,58 -1,01 1,15 -0,44 1,76 0,17 2,39 -0,39

τ 0,00 1,17 1,91 2,47 2,86 3,08 3,12 2,99 2,69 2,21 1,56 0,00

τg 0,000 -0,820 1,961 0,936 3,438 2,065 4,273 2,554 4,448 2,381 3,951 -0,388

Tableau 17: Contraintes dans les fibres - équilibre de diffusion pure -

PFE 2014

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ETUDE DU PONT D’ACCES A L’OUVRAGE UNIQUE DU BARRAGE OUED MARTIL DANS LA WILAYA DE TETOUAN

D’après

les

résultats

obtenus

le

cisaillement

maximum

est

vérifie :

τgmax = 4,448 MPa < 1.5 × ftj = 4,5MPa Les armatures transversales sont calculées par : Ac =

Vxe max − Nte 2 ×f 3 e

Avec Vxe calculé { partir de l’effort tranchant Vx par la relation : Vxe

ftj = Vx 1 − 3τd

Et Nte est l’effort normal concomitant { Vxe

2

max

On obtient les résultats suivants : Vxe

max

= 0,768 MN , Nte = −0,05 MN

Soit : Ac = 25,08 cm² On récapitule les résultats dans le tableau ci-dessous :

Nature

Section mini (cm²)

Répartition

As

1,78

Près de la surface d’about

Ae

8,09

sur 0,4 m à partir de l'about

25,08 - 1,78 – 8,09 = 15,21 Ac

Sur 2/3 Lrde h =2 3 × 2,4 = 1,6 𝑚

Tableau 18: Armatures transversales

4.6.3. Justification de la bielle d’about : Par soucis de simplification et à défaut de méthode de calcul plus précis, on admet que la transmission des charges appliquées { la poutre se fait sur l’appui par l’intermédiaire d’une bielle unique inclinée d’un angle βu sur l’axe longitudinal, calculé au centre de gravité de la section. La valeur de βu est la plus grande entre 30 et celle donnée par la formule :

PFE 2014

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ETUDE DU PONT D’ACCES A L’OUVRAGE UNIQUE DU BARRAGE OUED MARTIL DANS LA WILAYA DE TETOUAN

tan 2βu =

2τu σxu − σTu

Figure 43: Equilibre de la bielle d'appui avec un câble

Dans le cas où l’on dispose de plusieurs câbles susceptibles d’équilibre la bielle unique, on recherche le rang r du câble qui donne une résultante de la réaction d’appui et des efforts des câbles Pi inclinés de moins de βu sur l’horizontale. Les câbles situés en dessous de ce rang suffisent donc à équilibrer la bielle unique.  Valeur de 𝜷𝒖 : Les composantes verticales et horizontales de la réaction d'appui sont : R u = 1,89MN Hu = 0.00 MN L'effort tranchant réduit est calculé comme suivant : 𝑉𝑢,𝑟𝑒𝑑 = 𝑅𝑢 −

𝑃𝑖 𝑠𝑖𝑛𝛼𝑖

𝑉𝑢,𝑟𝑒𝑑 = 0,56 𝑀𝑁 Donc le cisaillement vaut : τu,red =

Vu red b n ×Z

0,56

= 0,2645 ×1,60 = 1,32MPa

Les contraintes au centre de gravité de la section valent σxu = 7,28 MPa et σtu = 0 MPa On trouve ainsi :

βu = 9,97°

On prend 𝛃𝐮 = 𝟑𝟎°(valeur minimale limite)

PFE 2014

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Armatures transversales d’effort tranchant La section At et l’espacement st de ces armatures vérifie la relation suivante γ At f ≥ τu,red − tj 3 s × bn × tan βu st fe 𝐀

D’où : 𝐬 𝐭 ≥ 𝟏. 𝟏𝟐𝐜𝐦²/𝐦𝐥 𝐭

Un minimum d'armature transversale est exigé et il est donné par : At / st =

0,4 * (γs / f e ) * bn

At / st =

2,43 cm²/m

 Recherche du rang : Le rang r existe si : Pi cos α − Hu ≥ R u − i

Pi sin α cotgβu i

∑Pi.cosαi - Hu =

7,28MN

(Ru - ∑Fi.sinαi).cotg βu =

0,97 MN

Ce qui est bien vérifié (7,28 MN≥ 0,97MN). r est le rang recherché si : tan θr ≤ tan βu et tan θr−1 > tan βu Avec : tan θk =

R u − 𝑘1 𝑃𝑖 𝑆𝑖𝑛𝛼 𝑖 𝑘 𝑃 𝑐𝑜𝑠𝛼 −H i u 1 𝑖

On obtient les résultats suivants :

Rang

tan θk 1

tan βu

1,22 0.57

2

0,55

Tableau 19: Rang nécessaire pour reprendre la bielle d'about

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Ainsi le rang est 2. On a : Zr = dr − db Avec dr est la distance { l’extrados du câble de rang r au droit de l’axe de l’appui et db est la h 10

distance { l’extrados de la résultante de compression du béton prise égale à

.

dr = 1,25m et br = 0,24 m 2

Donc :Zr = 1,01 m < 𝑍 = 3 . 𝑕 = 1,6 Donc la section d’acier déterminée dans le cadre de la vérification de l’effort tranchant est { Z

𝐀𝐭

𝟏,𝟔

majorer par le rapportZ , soit 𝐬𝐭 = 𝟐, 𝟒𝟑 × 𝟏,𝟎𝟏 = 𝟑, 𝟖𝟓 r

𝐜𝐦𝟐 répartie 𝐦

sur une longueur

De : Zr.Cotgβu= 1,75 m

4.6.4. Equilibre du coin inférieur : Lorsque la réaction d’appui est appliquée près d’une arrête de la poutre il faut s’assurer qu’il n y a pas de risque de fendage d’un coin de béton entraînant de l’arrête.

Figure 44: Equilibre du coin inférieur

Il y a lieu de mettre en place une section minimale d'aciers passifs longitudinaux assurant la couture du coin inférieur : Aemin =

0.04R u fe 𝛾𝑠

5 − 4k

avec

0 ≤ k ≤ 1 calculé géometriquement

Le cas le plus défavorable, correspond à valeur nulle de k (k=0) :𝐀 𝐞𝐦𝐢𝐧 = 𝟖, 𝟔𝟗cm2.

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CHAPITRE 5 ETUDE DE L‘HOURDIS

5.1. Introduction : Une dalle est un élément d’épaisseur faible par rapport { ses autres dimensions et qui est chargée perpendiculairement { son plan moyen. La dalle d’un pont { poutres est souvent connue sous le nom de hourdis. Dans ce chapitre nous commencerons par le calcul des sollicitations dues au poids propre, à la charge piétonnière et au chariot. Nous calculerons, par la suite, les armatures inférieures et supérieures que nous vérifierons par la suite.

5.2. Les données de calcul : 5.2.1. Matériaux : On cite ci-après les caractéristiques du béton et de l’acier qui seront utilisés pour l’hourdis:  Résistance caractéristique du béton à28 jours : 30 MPa (fc28)  Résistance caractéristique à la traction

: 2,4MPa

 Limite élastique des aciers (fe)

: 500 MPa

 Contraintes admissibles en service : 

Béton : b = 17MPa



Acier :

s= 240MPa (fissuration préjudiciable)

5.3. Calcul de la dalle: 5.3.1. Illustration du hourdis: La figure 5.1 illustre les caractéristiques du hourdis entre poutres.

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Roulement Chape d'étanchéité

ech ed

h1 45° a = le - ea- 2h1

ea

le

Avec,

Figure 45: Caractéristiques du hourdis entre poutres.

 ed : l’épaisseur de la dalle coulée en place (ed = 0,20 m) ;  ech : l’épaisseur maximale de la chaussée (ech = 0,11 m) ;  le

: la distance entre axe des poutres (le = 1,80 m) ;

 h1 : l’épaisseur du gousset { sa naissance (h1=0,15m);  ea: l’épaisseur de l’âme de poutre en section courante (ea = 0,30 m) ;  a: la portée du hourdis entre poutres (a =1,20 m).

5.3.2. Calcul des sollicitations: Les portées des hourdis à prendre en compte sont mesurées entre nus des appuis, c.à.d. , entre nus des poutres principales et entre nus des entretoises. On emploi les notations suivantes:

b0: distance entre axes des poutres principales ; PFE 2014

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a: distance entre axes des entretoises ; bp: épaisseur de l'âme des poutres principales ; be: épaisseur des entretoises.

Figure 46: notations et Conventions de la dalle

On note lx, le petit côté, tel que lx= Inf(b0-bp ,a-be) ; Le cas courant est d'avoir lx =b0-bp=1,5m On note ly, le grand côté, tel que ly = Sup(b0-bP,a-be); Le cas courant est d'avoir ly=a-be. Donc lx ≤ly. le rapport lx/lyest noté ρ,c.{.d., 0 ≤ ρ=lx/ly ≤1. On choisit les axes xx et yy tel que xx//lx et yy//ly. Mx: Moment fléchissant au centre de la dalle dans la direction lx(autour de ly). My: Moment fléchissant au centre de la dalle dans la direction ly(autour de lx).

5.3.2.1. Charge uniformément répartie sur toute la surface de la dalle : On ρ=lx/ly=0,03