Proiectarea Unui Regulator Pentru Controlul Unui Proces [PDF]

Zitiervorschau

PROIECTAREA UNUI REGULATOR PENTRU CONTROLUL UNUI PROCES Date de proiectare Partea fixată:

HF=

1

s+

k 10

K=7 In cazul proiectului se observa ca numerul de ordine este 7, deci

7 k = =1,4 5 HF=

1 1 = 1,4 s +0 , 14 s+ 10

a). Să se proiecteze prin metoda de alocare a polilor σ =10 [ % ] - Performante impuse : imp

H R a 

t t imp =7k [ s ] =7x0.2=1,4[s] e st =0 1. w F =1 −ξ⋅π

( √ )⇒ ln σ = σ =e 1−ξ 2

(

2. 2

−ξ⋅π ¿ ln e √ 1−ξ 2

)

2

ξ ⋅π ( ln σ ) = ( ln e )2 ⇒ ( ln σ )2 −( ln σ )2⋅ξ 2 =ξ 2⋅π 2 ⇒ ( ln σ )2 =ξ 2 [ π 2 + ( ln σ )2 ] 2 1−ξ 2

ξ=

lnσ

=

ln 10

√ ( ln σ )2+π 2 √ 2 ,3025 2+π 2

ξ=0. 59

=

2. 3025 2. 3025 = =0 ,59115≃0 .59 √ 15. 1715 3 ,895061

ω n=

7 7 7 = = =8 ,53 ξ⋅t t imp 0. 59⋅1,4 0 ,82

ω n=8 ,53 H 0 ( s )=

3. Se verifică pentru

ω 2n 2

2

s + 2⋅ω n⋅s⋅ξ+ ωn

că avem

ω 0=2>ω F =1 , iar e st =0

H 0 ( 0 ) =1 ω 2n

8 ,53 2 72 , 76 = = 2 2 2 2 2 s + 2⋅ω n⋅s⋅ξ+ ωn s + 2⋅0 , 59⋅8 , 53⋅s⋅0. 6+8 ,8124 s +6 ,03 s+72 , 76

H 0 ( s )=

Număr de zerouri: m=0 Număr de poli: n=2

s 2 +10 s+72 , 76=0 Δ=b 2−4ac=10 2−4⋅1⋅72, 76=−191 ,04 s 1,2 =

−b±√ Δ −10±13 , 82⋅j = ⇒ n=1 , 91 2a 2

ω 0=n−m=1 , 91−0=1 , 91⇒ ω 0=1 , 91 ⇒ω F =1 H 0 ( 0) =

72, 76 =1 ⇒ e st =0 0 2 +10⋅0+72 ,76

H Ra ( s )=

H Ra ( s )=

72 , 76⋅( s+1 ) s+ 0 .0128 = 2 s ( s +7 , 78 ) s +7 , 78 s

72 , 76⋅s+72 , 76 s 2 +7 . 78⋅s

Secventa Matlab: num=[1]; denum=[1 1]; step(num,denum)

Figura 1 Vizualizarea semnalului initial

Schema realizata in Matlab care poate reda schema de transfer este:

Figura 2 Schema in Maltab pentru semnalul de transfer

Vizualizarea semnalului se face cu ajutorul osciloscopului 1 a carui forma este data

Figura 3 Forma semnalului de transefer

Schema de alocare a polilor Hr(a)

Figura 4 Schema pentru alocarea pol-zerourilor

Forma semnalului obtinut este vizualizat cu ajutorul osciloscopului 2.

Figura 5 Forma semnalului in urma alocarii pol-zerourilor

Pentru a putea face comparatie intre formele semnalelor facem o vizualizare cu ajutorul osciloscopului 0

Figura 6 Compararea semnalului de transfer cu cel alocat de pol-zerouri

b). Se alege pentru proiectare o structură de regulator PI, HR(PI)

[

H R ( b ) ( s )=k R⋅ 1+

1 s⋅T i

- Performante impuse :

] σ imp =10 [ % ]

t t imp =7k [ s ] e st =0 T Se calculează k R si i

-

În acest caz obtinem: H '0 ( s )=

Unde:

ξ=

k R ( s⋅T i +1 )

H 0 ( s )=

2

s ⋅T i +T i ( 0 . 4 +k R )⋅s+ k R

√ √

ω n=

kR Ti

1+ k R T i ⋅ 2 kR

sau

ω 2n 2

s

⋅

+ 2⋅ω n⋅s⋅ξ+ ω2n

s−z p−z

z=−

1 Ti

ξ=0. 59 si ω n=8 ,53 obtinem:

Pentru

2⋅ξ⋅ω n =1+k R ⇒ k R =2⋅0 . 59⋅8 , 53−1=10 ,06−1=9 , 06 k R=9 ω2n=

kR k 9 , 06 ⇒T i = R2 = =0 , 12 Ti ω n 72 , 76

T i =0.12

[

H R ( b ) ( s )=k R⋅ 1+

1 1 0 ,12⋅s+ 1 =9 , 06⋅ 1+ =9 , 06⋅ s⋅T i 0 , 12⋅s 0 , 12⋅s

[

]

]

[

s +8 , 33 s

H R ( b ) ( s )=9 ,06⋅

]

]

1 0,12 s+8,33 =9,06⋅ s s

[ ]

[

0,12⋅s+1 =9,06⋅ 0,12⋅s

H R ( b ) ( s )=9,06⋅

s+

[

[ ]

]

In schema 3 sunt reprezentate schemele de transfer, de alocare a polilor si de regulator PI

Figura 7 Schema regulatorului PI HR(PI)

Cu parametrii P si I calculati se obtine urmatoarea forma a semnalului.

Figura 8 Vizualizarea comparativa a semnalului obtinut cu regulatorul PI

Se tuneaza si se aplica parametrii obtinuti in urma tunarii, timpul fiind reglat la 0,08[s]

Figura 9Vizualizarea semnalului tunat pentru HD(PI)

Se observa ca semnalul este mult imbunatatit in urma tunarii. Pentru compararea semnalului obtinut fata de semnalul anteror se inchide intrerupatorul HR(PI) si se mentin celelalte intrerupatoare deschise ceea ce va face ca osiloscopul 0 sa poata vizualiza doar semnalele Step, Ho(s), HR(PI).

Figura 10 Setarea pozitiei intrerupatoarelor

Figura 11 Compararea semnalului tunat cu semnalele initiale

c). Se alege pentru proiectare o structură de regulator HR(I) G 1 H R ( I )= , G= s T i rezultând G

H d=

(

s⋅ s +

k 10

)

Se verifică dacă acest regulator poate îndeplinii cerintele de proiectare: e V ≤10 %, M ϕ ≥45

G

H d=

(

s⋅ s +

kV =

k 10

=

)

k s⋅( s +0 .08 )

1 1 = =10 ε V 10 %

k 1 =lim s⋅H d ( s )=lim s →0

s→0

s⋅k k = s ( s+0 . 08 ) 0. 08 = k V =10 →k=10·0.08=0.8

°

H d=

k 0.8 0 .8 = ⇒ H d ( jω )= s⋅( s+0 . 08 ) s⋅( s+0 . 08 ) jω⋅( jω+0 . 08 )

A d ( ω ) dB=20 lg|H d ( jω )| |H d ( jω )|= A d ( ω) =

0. 8 2

2

ω⋅( ω +0 . 08 )

=

0.8 2

ω ( ω +0 .0064 )

0. 8 0 . 8 = ω⋅ω ω2

A d ( ω c ) =1⇒

0.8 =1 ⇒ω c= √ 0 . 8=0. 89 ω2c

ω c=0. 89 Pentru comparatie calculăm

ω c si din caracteristica de amplitudine reală (neaproximată

asimptotic):

A d ( ω c ) =1⇒

0 .8 ω √ ω 2 +0 . 08

=1 ⇒0 . 64=ω2c ( ω2c +0 .08 ) ⇒

0 .64=x ( x+0. 08 ) ⇒ x 2 +0. 08⋅x −0 .64=0 Δ=b 2−4 ac=0 . 0064−4⋅1⋅(−0. 64 )=0 . 0064+2 .56=2 .5664

−b±√ Δ −0.08−1.6 x1,2= ⇒¿ x1= =−0.84 ¿ ¿¿ 2a 2

{

ω2c=x 2 =0 .76

ω c=√ 0 .76=0 . 87 ω c=0 . 87 ( analitic ) Caracteristica de fază este:

ϕd ( ω )=−90 °−arctg

ω 0 .08

Calculăm marginea de fază a sistemului necompensat:

2

notăm ω c=x

ϕd ( ω )=arg H d ( jωc ) =−90° −arctg

0. 87 =−90° −84 ° =−174 ° 0 ,08

ϕd ( ω )=−174 °

M ϕ ( d )=180° +arg H d ( jω ) =180° −174° =6 ° 45 −6 =39 ϕ M =40

°

°

sin 40° =

k c−1 k c +1

=0 . 6 ⇒ ( k c −1 )=0 . 6 ( k c +1 )

k c −1=k c⋅0. 6+0. 6 k c ( 1−0 .6 )=1+0. 6 kc=

1 .6 =4 0.4

k c =4 Alegând

ω¿c=ω M pentru sistemul compensat serie avem:

20 lg √ k +20 lg|H d ( jω¿c )|=0⇒ Ad ( ω ¿c ) =

1 0 .8 = ¿2 √ k c ωc

ω¿c2 =0 .8 √ 4=1 .6

ω¿c=√ 1.6=1.26 obtinut pe caracteristica asimptotică. Pe caracteristica reală:

0.8

=

1 √4

=

1 4

ω¿c ( √ ω¿c 2 +0 . 08 ) 0 .64 ω¿c ( √ ω¿c 2 +0 . 08 )

0 .64⋅4=ω¿c 2 ( ω ¿c2 + 0 .08 ) ⇒

¿2

notăm ω c =x

si obtinem:

x 2 +0 . 08⋅x−2 .56=0 Δ=0 .0064+4⋅2 .56=0 . 0064+10.24=10 .2464

−0.08−3.2 x 1= =−2 ¿ ¿¿¿ 2

{

ω¿c2 =1. 56 ⇒ω ¿c= √1 .56=1 , 24 ω¿c=1 .24=ϕ M Rezultă parametrii retelei de compensare:

T1 1 =k c=4 ¿ ¿ ¿¿ ⇒¿ =2⋅1.24=2.48 ¿ ¿¿ T2 T2

} {

1 s+ T1 s+0 . 62 H c ( s )=k c⋅ =4⋅ 1 s +2 . 48 s+ T2

H c ( s )=

4⋅s+2 . 48 s+2 . 48 ¿

ω=ω c=ω M avem corectia de aplitudine: Pentru A dc ( ω¿c )− A d ( ω¿c )= A c ( ω ¿c ) =20 lg k c =20 lg 4=20⋅0 ,60=12 , 04 dB ¿

ω c=ϕ M avem corectiile: iar la A dc ( ω¿c )− A d ( ω¿c )= A c ( ω ¿c ) =20 lg √ k c =20 lg √ 4=20⋅0 , 30=6 dB ¿

¿

¿

ϕdc =( ω c )−ϕd ( ω c ) =ϕc −arctg

−arctg0,5+arctg 2

ωc 2 , 48

¿

+arctg

ωc 0 ,62

=−arctg

1, 24 1 , 24 +arctg = 2, 48 0 , 62

=−29,516+70,48=40,96°

M ϕ ( dc )=6+41=47 ° Diagrama bode pentru datele obtinute realizata in Matlab este redata in Figure1

Secventa Matlab: ft1=tf(([4 2.48]),([1 2.48])); bode(ft1)

Figura 12 Diagrama Bode pentru simularea semnalului HD(I)

Schema 4 este realizata pentru redarea caracteristicilor semnalului cu regulator si compensator de faza .

Figura13 Schema rehulatorului HD(I)

Forma semnalului este vizualizata cu ajutorul osciloscopului 4

Figura 14 Vizualizarea semnalului obtinut prin regulatorul HD(I)

Pentru a observa imbunatatirea semnalului se face vizualizarea tuturor semnalelor cu ajutorul osciloscopului 0

Figura 15 Compararea semnalului obtinut cu HD(I) cu semnalele anterioare

d) Se proiectează un compensator cu intarziere de fază, Hc Hc(în serie cu H R

rezultând

H R ( d )=H C⋅H R

) pentru a îndeplini performantele impuse:

e V ≤10 %, M ϕ ≥45 ° ϕdc ( ω ¿c ) =M ϕ ( d ) impus +5 °−180 °=45+5−180=−130 ° ϕdc ( ω ¿c ) =−130 °

ϕd ( ω )=arg H C ( jω )=−90−arctg ωc

arctg ω c=40 °⇒ ωc =tg 40 °=0 , 84 ω c=0, 84 |H d ( jω )|=

0.8 0 .8 0. 8 0 .8 = = = =1 . 129 2 2 2 2 0 .84⋅0 . 744 0 .708 ω c⋅√ω c +0 . 08 0 . 84⋅√0 . 84 +0 . 08 1 .129

1 |H d ( jω )|=1.129 ¿ } ¿¿⇒ =1020 =100.0056497=1.01¿ kc kc=

1 =0 .98 1.01

0 .8 0 . 952 =0 .84 ⇒ k c⋅T =0 . 952⇒ T= =0 . 97 K c⋅T 0 . 98 T =0. 97

H C ( s) =

0 . 95⋅s+1 0 . 97⋅s+1

Caracteristicile obtinute prin simulare sunt reprezentate în figura de mai jos si sunt însotite de programul sursă: Secventa Matlab: leo1=tf(([0.95 1]),([0.97 1])) bode(leo1)

Figura 16 Diagrama Bode pentru simularea Hc

Schema compensatorului cu avans de faza este:

Figura 17 Schema compensatorului cu avans de faza

Forma semnalului este vizualizata cu osciloscopul 5

Figura 18 Vizulizarea semnalului compensatorului cu avans de faza

Pentru a putea cumpara acest semnal se vizualizeaza si celelalte semnale cu ajutorul osciloscopului 0 trecand intrerupatorul Hc pe pozitia inchis

Figura 19 Compararea semnalului regulatorului Hc cu semnalele anterioare

e) Se implementeaza diagramele de simulare pentru toate regulatoarele. Se comenteaza rezultatele obtinute.

Figura 20 Semnalele obtinute in urma regularizarii HR(PI), HR(I), Hc

Se observa ca fiacare regulator in parte modifica semnalul in sensul imbunatatirii acestuia

f). Determinarea variantei de discretizare pentru regulator

[

H R ( b ) ( s )=9 ,06⋅

s +8 , 53 s

]

cu perioada de esantionare T=0.02 s H R ( b) ( s ) s

1 s+ 8 ,53 8 , 53 = ⋅9 , 06⋅ =9 , 06⋅ 1+ 2 = s s s

[

]

[

]

=

9 , 06 1 +72 ,67 2 s s

Folosind transformata Z se obtine:

H R ( b) ( s ) s

=

9 , 06 T⋅z +72 , 67⋅ z ( z−1 )2

Pentru T=0.02 avem:

H R ( b ) ( s ) 9 , 06 0 , 02 z 9 , 06 z = ⋅0 . 02+72 ,67 = ⋅0 . 02+1 , 45⋅ 2 s z z ( z−1 ) ( z−1 )2 H R ( b ) ( z )=( 1−z−1 )⋅z ( H R ( b) (s ) )

H R ( b) ( z )=

9 z−77 , 63447 z−1

Secventa Matlab: R=tf({[9 77.63]},{[1 0]}) num=[9 77.63]; den=[1 0]; t=0.02; [n,d]=c2dm(num,den,t) rdis=c2d(R,t) Răspunsul sistemului t=0.01: R= 9 s + 77.63 ----------s Continuous-time transfer function. n=

9.0000 -7.4474 d= 1 -1 rdis = 9 z - 7.447 ----------z-1 Sample time: 0.02 seconds Discrete-time transfer function.

Figura 21 Obtinerea formei functiei de transfer discretion Matlab pentru t=0,02[s]

Pentru T=0.08 H R ( b) ( s ) s

=9⋅0 . 08+72 , 67

0 , 08⋅z z =0 . 72+ 6 , 21⋅ 2 ( z−1 ) ( z−1 )2

Secventa Matlab: P=tf({[0.72 6.21]},{[1 1 0]}) num=[0.72 6.21]; den=[1 0]; t=0.08; [n,d]=c2dm(num,den,t) pdis=c2d(P,0.08) Raspunsul in Matlab:

>> P=tf({[0.72 6.21]},{[1 1 0]}) num=[0.72 6.21]; den=[1 0]; t=0.08; [n,d]=c2dm(num,den,t) pdis=c2d(P,0.08) P = 0.72 s + 6.21 ------------s^2 + s Continuous-time transfer function. n = 0.7200

-0.2232

d = 1 -1 pdis = 0.07471 z - 0.03651 ---------------------z^2 - 1.923 z + 0.9231 Sample time: 0.08 seconds Discrete-time transfer function.

Figura 22 Obtinerea formei functiei de transfer discretion Matlab pentru t=0,08[s]

g). Simularea comparativă a controlului continuu si discret proiectat. Schema regulatorului discret este

Figura 23 schema rehulatorului HDiscret

Forma semnalului se poate vizualiza cu osciloscopul 6.

Figura 24 Vizualizarea semnalului HDiscret

Pentru a vizualiza compararea rezultatelor obtinute se inchide intrerupatorul Hdiscret si se vizualizeaza semnalul cu osciloscopul 0: Schema intregului proiect este:

Figura25 Schema completa a proiectului

Figura 28 26 Compararea tuturor semnalelor obtinute

Pentru a observa clar distributia semnalului marim detaliul imaginii:

Figura 27 Detaliu semnale obtinute