Processus de Naissance Et de Mort PDF [PDF]

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PROCESSUS DE NAISSANCE ET DE MORT

Utilis´es plus particuli`erement en biologie, d´emographie, physique, sociologie, pour rendre compte de l’´evolution de la taille d’une population, les processus de naissance et de mort sont des processus de Markov continus (T = IR+ ), `a valeurs dans E = IN tels que les seules transitions non n´egligeables possibles `a partir de n soient vers n + 1 ou vers n − 1. Le g´en´erateur infinit´esimal du processus est donc une matrice dite “tridiagonale” A = (ai,j )i,j∈IN v´erifiant ai,j = 0 si |i − j| ≥ 2. On posera an,n+1 = λn et an,n−1 = µn pour n ≥ 1 ( et a0,1 = λ0 ) : λn repr´esente le taux de naissance `a partir de l’´etat n et µn le taux de mort `a partir de l’´etat n. Les files d’attente de type Markovien (M/M) sont des cas particuliers tr`es importants de processus de naissance et de mort. Leur ´etude compl`ete sera effectu´ee ult´erieurement. 



−λ0 λ0 (0)  µ  −(λ + µ ) λ   1 1 1 1     µ −(λ + µ ) λ 2 2 2 2 A=    . . . .   . . µ3   .. .. .. . . . (0) de graphe des taux :

Le graphe des taux de transition est constitu´e de “boudins”, les arcs vers la droite repr´esentant les taux de naissance, et ceux vers la gauche les taux de mort. Ces processus sont l’analogue des “chemins al´eatoires” dans le cas o` u l’´echelle des temps est continue. ´ ´ ERALE ´ I- ETUDE GEN 1. R´ egime transitoire On rappelle que si P (t) = (pi,j (t)), o` u pi,j (t) = P ([Xu+t = j]/[Xu = i]), alors P (t) = eAt =

+∞ X k

t k A . k k=0

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Processus de naissance et de mort

La loi de Xt est alors donn´ee, en th´eorie, par π (t) = π (0)P (t). (On notera ici, par commodit´e d’´ecriture, π (t) = p(t) = (pn (t))n∈IN, avec pn (t) = P ([Xt = n]). Malheureusement, le calcul de eAt s’av`ere bien souvent tr`es compliqu´e (puissances de matrice, puis s´erie `a sommer!). On pr´ef`erera, en g´en´eral, garder l’expression diff´erentielle, mˆeme si celle-ci est souvent tout aussi difficile `a r´esoudre. ´ Equations de Kolmogorov : On a p(t) = p(0)P (t) qui redonne, en d´erivant, p0 (t) = p(0)P 0 (t) = p(0)P (t)A = p(t)A, et donc p0j (t) = mogorov : (

P

pi (t)ai,j , qui donne ici le syst`eme suivant, dit d’´ equations de Kol-

i

p00 (t) = −λ0 p0 (t) + µ1 p1 (t) . p0n (t) = λn−1 pn−1 (t) − (λn + µn )pn (t) + µn+1 pn+1 (t) pour n ≥ 1

2- R´ egime permanent Lorsque, quand t → +∞, les limites pn = lim pn (t) existent et sont ind´ependantes de t→+∞

l’´etat initial du processus, on a alors p0 = 0 et pA = 0 i.e. p est distribution stationnaire du processus si le r´egime permanent existe. Ceci se traduit par les ´equations dites “de balance” : (

0 = −λ0 p0 + µ1 p1 0 = λn−1 pn−1 − (λn + µn )pn + µn+1 pn+1 pour n ≥ 1

que l’on retrouve en ´ecrivant en chaque ´etat l’´egalit´e du flux entrant et du flux sortant : • ´etat 0 : µ1 p1 = λ0 p0 ; • ´etat 1 : µ2 p2 + λ0 p0 = µ1 p1 + λ1 p1 ; .. . • ´etat n : µn+1 pn+1 + λn−1 pn−1 = µn pn + λn pn ; .. . +∞ P auxquelles il faut ajouter l’´equation pn = 1 pour que p d´efinisse bien une probabilit´e. n=0

Ces ´equations se simplifient successivement pour donner finalement des ´egalit´es “boudins par boudins” :    µ1 p1 = λ0 p0    µ2 p2 = λ1 p1    . .. .        

On en d´eduit alors pn =

λ0 ···λn−1 p0 µ1 ···µn

µn pn = λn−1 pn−1 .. . 

pour n ≥ 1, avec p0 1 +

+∞ P

n=1

λ0 ···λn−1 µ1 ···µn



= 1.

Processus al´eatoires et mod´elisation

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´ II- ETUDE DE QUELQUES CAS PARTICULIERS On ´etudie ici les cas particuliers des populations o` u les taux de naissance et de mort sont lin´eaires : λn = nλ + α → α repr´esente le taux d’immigration : arriv´ees venant de l’ext´erieur. Il est suppos´e constant (et donc ind´ependant du nombre d’individus d´ej`a pr´esents). → λ repr´esente le taux de naissance : chaque individu est susceptible de donner naissance `a un nouvel individu avec le taux λ et s’il y a d´ej`a n individus, la probabilit´e qu’il y ait une naissance sur l’intervalle [t, t + h[ est alors nλh + o(h). µn = nµ + β si n ≥ 1 → β repr´esente le taux d’´emigration : d´eparts vers l’ext´erieur. Il est suppos´e constant (sauf s’il n’y a personne, auquel cas il est nul). → µ repr´esente le taux de mort : chaque individu est susceptible de mourir avec le taux µ et s’il y a d´ej`a n individus, la probabilit´e qu’il y ait une mort sur l’intervalle [t, t + h[ est alors nµh + o(h). 1. Croissance pure, par immigration C’est le cas λn = α et µn = 0 pour tout n ∈ IN. (

p00 (t) = −αp0 (t) . p0n (t) = αpn−1 (t) − αpn (t) pour n ≥ 1

On retrouve les ´equations v´erifi´ees par le processus de Poisson (Nt ) de param`etre α. n

En particulier Xt suit la loi de Poisson P(αt) : pn (t) = e−αt (αt) . n! 2. Croissance pure, par naissance C’est le cas λn = nλ et µn = 0 pour tout n ∈ IN. Ceci n’a de sens que si X0 ≥ 1. On supposera que X0 = 1 . (

p00 (t) = 0 . p0n (t) = (n − 1)λpn−1 (t) − nλpn (t) pour n ≥ 1

Propri´ et´ es : Xt suit la loi g´eom´etrique G(e−λt) : pn (t) = e−λt (1 − e−λt)n−1 . Preuve : On peut trouver pn (t) par r´ecurrence ascendante sur n (matrice A triangulaire sup´erieure !) → p00(t) = 0 donc p0 (t) = p0(0) = 0.

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Processus de naissance et de mort

→ p01(t) = −λp1 (t) donc p1(t) = Ce−λt avec C = p1 (0) = 1. → Supposons que pn−1(t) = e−λt(1 − e−λt )n−2 pour n ≥ 2. On a p0n (t) + nλpn(t) = (n − 1)λe−λt (1 − e−λt )n−2. C’est une ´equation diff´erentielle lin´eaire du premier ordre avec second membre donc, pour la r´esoudre, on applique la m´ethode de la variation de la constante. pn (t) = C(t)e−nλt avec C 0(t)e−nλt = (n − 1)λe−λt (1 − e−λt )n−2, soit C 0 (t) = =

(n − 1)λe(n−1)λt(1 − e−λt )n−2
d (n − 1)λeλt (eλt − 1)n−2 = (eλt − 1)n−1 dt

donc C(t) − C(0) = (eλt − 1)n−1 et C(0) = pn(0) = 0 pour n ≥ 2. Finalement, pn (t) = (eλt − 1)n−1e−nλt = e−λt (1 − e−λt )n−1. Xt suit donc la loi g´eom´etrique de param`etre e−λt et, en particulier, IE(Xt ) = eλt

3. D´ ecroissance pure, par d´ ec` es C’est le cas λn = 0 et µn = nµ pour tout n ∈ IN. On suppose X0 = N ≥ 1. Ce mod`ele d´ecrit l’´evolution d’un syst`eme compos´e de N dispositifs ind´ependants non r´eparables, dont les dur´ees de fonctionnement ob´eissent `a une mˆeme loi exponentielle de param`etre µ (dur´ee de vie moyenne 1/µ). Dans ce cas, il est imm´ediat que pn (t) = CNn e−nµt (1 − e−µt )N −n pour n ∈ {0, 1, · · · , N} . En effet, la probabilit´e qu’un dispositif de dur´ee de vie T fonctionne encore `a l’instant t est P ([T > t]) = e−µt (donc la probabilit´e qu’il ne fonctionne plus est (1 − e−µt )). Comme pn (t) est la probabilit´e qu’il y ait exactement n dispositifs qui fonctionnent `a l’instant t et qu’il y a exactement CNn fa¸cons de choisir les n qui fonctionnent, on a bien le r´esultat. On peut le retrouver avec les ´equations de Kolmogorov : (

p0n (t) = −nµpn (t) + (n + 1)µpn+1 (t) pour n ∈ {0, 1, · · · , N − 1} . p0N (t) = −NµpN (t)

Propri´ et´ es : Xt suit la loi binomiale B(N, e−µt) : pn (t) = CNn e−nµt (1 − e−µt )N −n . Preuve : On peut trouver pn (t) par r´ecurrence descendante sur n (matrice A triangulaire inf´erieure !) → p0N (t) + N µpN (t) = 0 donc pN (t) = Ce−N µt avec C = pN (0) = 1. n+1 −µt n+1 → Supposons maintenant que pn+1 (t) = CN (e ) (1 − e−µt )N −n−1 pour n ∈ {1, · · ·, N − 1}. On a n+1 −µt n+1 p0n (t) + nµpn(t) = (n + 1)µCN (e ) (1 − e−µt )N −n−1 .

Processus al´eatoires et mod´elisation

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On applique la m´ethode de la variation de la constante : pn (t) = C(t)e−nµt avec C 0(t)

= =

N! e−(n+1)µt (1 − e−µt )N −n−1 (n + 1)!(N − n − 1)!
d n −µt C n (1 − e−µt )N −n (N − n)µCN e (1 − e−µt )N −n−1 = dt N

enµt × (n + 1)µ

n donc C(t) − C(0) = CN (1 − e−µt )N −n avec C(0) = pn(0) = 0 pour n < N et n −nµt pn (t) = CN e (1 − e−µt )N −n .

Xt suit donc la loi binomiale B(N, e−µt ) et, en particulier, IE(Xt ) = N e−µt .

4- Processus de Yule-Ferry C’est le cas λn = nλ et µn = nµ pour tout n ∈ IN. (

p00 (t) = µ1 p1 (t) . p0n (t) = (n − 1)λpn−1 (t) − n(λ + µ)pn (t) + (n + 1)µpn+1 (t) pour n ≥ 1

Dans ce cas, la matrice A n’est plus triangulaire et les pn (t) sont plus difficiles `a d´eterminer. On peut toutefois d´eterminer IE(Xt ) dans un cadre un peu plus g´en´eral (autorisant l’immigration mais pas l’´emigration : Propri´ et´ es : Si λn = nλ + α et µn = nµ et si X0 = N , alors M(t) = IE(Xt ) =

(

αt + N Ne(λ−µ)t +

α λ−µ



(λ−µ)t

e



−1

si λ = µ si λ = 6 µ

Preuve : On ´ecrit les ´equations de Kolmogorov : 

p00 (t) = −αp0(t) + µp1 (t) . p0n (t) = ((n − 1)λ + α)pn−1(t) − (n(λ + µ) + α)pn (t) + (n + 1)µpn+1 (t) pour n ≥ 1

On pose G(s, t) = IE(sXt ) =

+∞ P

sn pn(t). On a alors ∂2 G(s, t) =

n=0

∂2 G(s, t) = =

n=0

+∞ P

sn p0n (t) qui s’´ecrit ici :

−αp0(t) + µp1 (t) +

+∞ X

sn [((n − 1)λ + α)pn−1(t) − (n(λ + µ) + α)pn(t) + (n + 1)µpn+1(t)]

−αp0(t) + µp1 (t) +

n=1 +∞ X

sn+1 (nλ + α)pn (t) −

n=0

avec

+∞ P

sn+1 (nλ + α)pn(t) = s2 λ

n=0

+∞ P

+∞ X

(n(λ + µ) + α)sn pn (t) +

n=1

n=1

n=2

nsn−1 pn(t) + αsG(s, t) = s2 λ∂1 G(s, t) + αsG(s, t),

n=1 +∞ X

+∞ X

(n(λ + µ) + α)sn pn(t) = s(λ + µ)∂1G(s, t) + αG(s, t) − αp0(t),

nµsn−1 pn(t)

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Processus de naissance et de mort

+∞ X

nµsn−1pn (t) = µ∂1G(s, t) − µ1p1 (t)

n=2

d’o` u finalement ∂2 G(s, t) = (s2 λ − s(λ + µ) + µ)∂1G(s, t) + α(s − 1)G(s, t) . Cette ´equation se r´esout grˆ ace ` a la th´eorie des ´equations aux d´eriv´ees partielles mais l’´etude de ce type de probl`emes n’est pas ` a l’ordre du jour et on va ici se contenter d’en d´eduire la taille moyenne de la population ` a l’instant t :M (t) = IE(Xt ). On remarque que M (t) =

+∞ P

npn(t) = ∂1G(1− , t) et on va trouver une ´equation diff´erentielle lin´eaire

n=1

du premier ordre dont M est solution. Pour cela, on d´erive l’´equation pr´ec´edente par rapport ` a s et on prend la limite quand s → 1− : ∂1 ∂2 G(s, t) = (2sλ − (λ + µ))∂1 G(s, t) + (s2 λ − s(λ + µ) + µ)∂12 G(s, t) + αG(s, t) + α(s − 1)∂1 G(s, t) Or ∂1 G(1− , t) = M (t), ∂1 ∂2G(1− , t) = ∂2∂1 G(1− , t) = M 0(t) et G(1−, t) = 1 donnent : M 0(t) = (λ − µ)M (t) + α . • Si λ = µ, M 0 (t) = α et M (t) = αt + N car M (0) = N . • Si λ 6= µ, l’´equation sans second membre a pour solution Ce(λ−µ)t et une solution particuli`ere de α α α l’´equation compl`ete est − λ−µ donc M (t) = Ce(λ−µ)t − λ−µ avec M (0) = N = C − λ−µ et finalement M (t) = N e(λ−µ)t +

α λ−µ


e(λ−µ)t − 1 .

5- Cas logistique ` a taux non lin´ eaires On consid`ere une population dont la taille Xt est comprise entre 2 entiers N1 et N2 et dont les taux de naissance et de mort par individu sont λ = α(N2 − Xt )

et

µ = β(Xt − N1 )

(plus il y a de monde, plus le taux de naissance est faible et le taux de mort fort ; moins il y a de monde, plus le taux de naissance est fort et le taux de mort faible : les individus ont besoin de place pour se d´evelopper !). On suppose que les membres de cette population agissent ind´ependamment les uns des autres. Les taux de naissance et de mort r´esultant pour la population sont alors λn = nα(N2 − n) et µn = nβ(n − N1). Propri´ et´ es : Un tel processus admet une distribution stationnaire d´efinie par : pN1 +k

avec C =

"

N2P −N1 j=0

C Ck = N1 + k N2 −N1

1 Cj N1 +j N2 −N1

 j α β

#−1

.

α β

!k

pour k ∈ {0, · · · , N2 − N1 }

Processus al´eatoires et mod´elisation

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Preuve : On pose πk = pN1 +k on on ´ecrit les ´equations de “balance” : λm−1 pm−1 = µm pm pour m ∈ {N1 + 1, · · · , N2}. Avec m = N1 + k, on a λm = α(N1 + k)(N2 − N1 − k) et µm = βk(N1 + k). Ainsi, on a : π1 = π2 = .. . πk =

α N1 (N2 −N1 ) π0 β 1(N1 +1) α N1 (N1 +1)(N2 −N1 )(N2 −N1 −1) π0 β 1.2.(N1 +1)(N1 +2)

 k α β

=

 2 α β

N1 C2 π N1 +2 N2 −N1 0

N1 (N1 +1)···(N1 +k−1)(N2 −N1 )···(N2 −N1 −k+1) π0 k!(N1 +1)···(N1 +k)

=

 k α β

N1 Ck π N1 +k N2 −N1 0

puis on d´etermine π0 en utilisant π0 + π1 + · · · + πN2 −N1 = 1.

` ` III- PROBLEME D’EXTINCTION DE L’ESPECE Lorsque l’on ´etudie une population telle que λ0 = 0 (quand il n’y a plus personne, c’est d´efinitif !), on peut chercher la probabilit´e qu’elle a de disparaˆıtre un jour, et, si elle doit disparaˆıtre, le temps qu’elle va mettre pour disparaˆıtre. On est donc conduit `a consid´erer les probabilit´es : → ak : probabilit´e d’extinction de l’esp`ece si la taille initiale est k ; ainsi que les variables al´eatoires : → Tk : temps ´ecoul´e jusqu’`a l’extinction de l’esp`ece si la taille initiale est k. On est dans le cas, o` u, si Xt = 0, alors Xτ = 0 pour τ ≥ t et P ([Tk ≤ t]) = P [X0 =k] ([Xt = 0]) = Pk,0 (t). La fonction de r´epartition de Tk est donc FTk : t 7→ Pk,0 (t) = p0 (t) , o` u p0 est d´etermin´e par les ´equations de Kolmogorov, avec la condition initiale pk (0) = 1. De plus, ak = P ([Tk < +∞]) = lim P [X0 =k] ([Xt = 0]) . t→+∞

En pratique, la d´etermination du r´egime transitoire est bien souvent compliqu´ee : ainsi, on se contentera parfois, `a d´efaut d’avoir la loi de Tk , de d´eterminer τk = IE(Tk ) : temps moyen jusqu’`a l’extinction, lorsque la taille initiale est k. Pour la d´etermination de ak , on consid`erera la chaˆıne de Markov induite telle qu’on n = pn l’a d´efinie dans le chapitre sur les processus de Markov. On a ici pn,n+1 = λnλ+µ n µn ∗ et pn,n−1 = λn +µn = qn et 0 est une classe absorbante, alors que IN constitue une classe transitoire. On a alors les r´esultats suivants :

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Processus de naissance et de mort

j j j−1 Th´ eor` eme : On pose dj = pq11 ···q = µλ11 ···µ et ρj = λµ1···λ = dj1λj . ···pj ···λj 1 ···µj • La probabilit´e d’extinction `a partir de la taille initiale k est :

      

ak =

     

P

+∞

dj

j=k +∞

1+

P

si

+∞ P

dj converge

j=1

dj

.

j=1

1

sinon

• Le temps moyen jusqu’`a l’extinction est : τk =

 +∞   P ρ

j

 

+

j=1

k−1 P i=1

+∞

di

+∞ P j=i+1

ρj si

+∞ P

ρj converge

j=1

.

sinon

Preuve : Pour la probabilit´e d’extinction, c’est-` a-dire d’absorption par l’´etat 0, voir l’exercice 2. Pour le temps moyen d’absorption, on proc`ede de mˆeme. On rappelle que le temps moyen de s´ejour 1 dans un ´etat j est λi +µ , car la distribution de ce temps suit la loi exponentielle E(λj + µj ). i En consid´erant les ´etats j + 1 et j − 1 qui peuvent r´esulter de la premi`ere transition, on a alors : τj =

1 λj µj + τj+1 + τj−1 pour j ≥ 1 λj + µ j λj + µ j λj + µ j

(1)

o` u par convention τ0 = 0. En posant zj = τj − τj+1 et en r´eordonnant (1) on obtient : zj =

1 µj + zj−1 pour j ≥ 1. λj λj

En it´erant cette relation, il vient zk =

1 µk 1 µk µk−1 + + zk−2 · · · λk λk λk−1 λk λk−1

... et on termine en suivant exactement la mˆeme d´emarche que dans l’exercice 2.

(2)

Processus al´eatoires et mod´elisation

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Quelques exercices 23 La dur´ee de bon fonctionnement d’une machine est une variable al´eatoire de loi exponentielle de param`etre λ. En cas de panne, le temps de r´eparation ob´eit `a une loi exponentielle de param`etre µ. Quelle est la probabilit´e que la machine fonctionne `a l’instant t si elle fonctionnait `a l’instant 0 ? 24 Un joueur d´ecide de faire des paris jusqu’`a qu’il soit ruin´e ou bien qu’il ait atteint N euro. S’il dispose de j euro quand il effectue un pari, alors, `a ce pari, il gagne 1 euro avec la probabilit´e pj ou bien il perd 1 euro avec la probabilit´e qj = 1 − pj . On note ak la (n) probabilit´e de finir ruin´e avec une fortune initiale de k euro et ak la probabilit´e de finir ruin´e en n paris. a) Mod´eliser le probl`eme par une chaˆıne de Markov et faire le graphe correspondant. b) D´eterminer aN et a0. c) Montrer que : (1) (n) (n−1) si n ≥ 2 ; • a1 = q1 et a1 = p1 a2 (1) (n) (n−1) (n−1) • pour j ≥ 2, aj = 0 et aj = pj aj+1 + qj aj−1 si n ≥ 2. d) En d´eduire que : • a1 = q1 + p1 a2 et aj = pj aj+1 + qj aj−1 si j ≥ 2, puis • pj (aj − aj+1 ) = qj (aj−1 − aj ) pour 1 ≤ j ≤ N − 1 ; • aj − aj+1 = dj (a0 − a1) pour 1 ≤ j ≤ N − 1, si on pose dj = e) V´erifier que ak =

NP −1

(aj − aj+1 ) pour 1 ≤ k ≤ N − 1 et que 1 =

NP −1

(aj − aj+1 ),

j=0

j=k

P

q1 ···qj . p1 ···pj

N −1

et en d´eduire que ak =

dj

j=k N −1

1+

P

. dj

j=1

f) En d´eduire, en faisant N → +∞, la probabilit´e de ruine du joueur. 25 On consid`ere une station de taxis comportant K places pour les taxis et une capacit´e d’accueil illimit´ee pour les clients qui se pr´esentent, de fa¸con Poissonnienne, au rythme de λ par heure. Les taxis arrivent ´egalement de fa¸con Poissonnienne, au rythme de µ par 1 s’il y a d´ej`a m taxis (0 ≤ m < K). heure, mais ne s’arrˆetent qu’avec la probabilit´e m+1 a) V´erifier qu’on est en pr´esence d’un processus de naissance et de mort et en donner le graphe (´etats (n, m)n≥0,m∈{0,···K} ).

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Processus de naissance et de mort

b) A.N. : K = 3, λ = 10, µ = 15. Donner la proportion de temps pendant laquelle il n’y a pas de taxi et le temps moyen d’attente d’un client. 26 Dans un salon de coiffure pour hommes, il y a 2 coiffeuses et 2 fauteuils d’attente. Les arriv´ees des clients suivent un processus de Poisson d’intensit´e λ = 2h−1 et le service est exponentiel de moyenne 30 mn. De plus, 20% des clients renoncent `a entrer si les 2 coiffeuses sont occup´ees et 60% renoncent s’il y a d´ej`a un client en attente. D´eterminer la loi du nombre de clients en r´egime stationnaire, le nombre moyen de clients dans le salon, le d´ebit et la proportion de clients perdus. 27 La superette de Font-Romeu n’a qu’une caisse ! Les clients se pr´esentent suivant un processus de Poisson de taux λ, la dur´ee de service est exponentielle, de taux µ. Pendant les vacances, la fille de la caissi`ere joue `a la console `a ses cˆot´es mais `a partir de 4 clients derri`ere la caisse, elle se d´ecide `a aider sa m`ere, ce qui rend le service 2 fois plus rapide. a) Montrer qu’on est en pr´esence d’un processus de naissance et de mort (faire le graphe). Trouver la condition pour qu’il n’y ait pas engorgement et d´eterminer les probabilit´es stationnaires du syst`eme. b) D´eterminer le temps moyen d’attente d’un client, et la proportion de temps o` u la fille joue `a sa console. A.N. λ = 50/h et 1/µ = 2mn. 28 A la boucherie de Ramonville, 2 vendeurs sont au service de clients qui se pr´esentent, de fa¸con Poissonnienne, au rythme de 12 par heure. Le service, de loi exponentielle, dure en moyenne 10 minutes. La population est compos´ee d’une proportion p = 12 de gens relativement patients qui acceptent de commencer la queue, mais qui la quitteront furieux si on ne s’occupe toujours pas d’eux au bout d’un temps exponentiel de moyenne 5 minutes. Montrer qu’on a affaire `a un processus de naissance et de mort classique (faire le graphe) et calculer les probabilit´es stationnaires, ainsi que le nombre moyen de clients dans la boucherie et en attente. 29 On consid`ere N ´etudiants qui, chacun, lorsqu’ils sont `a Toulouse, y restent un temps exponentiel de param`etre µ avant d’en sortir et inversement, restent un temps exponentiel de param`etre λ `a l’ext´erieur avant de rentrer. Soit Xt le nombre de ces ´etudiants qui sont sur Toulouse `a l’instant t. V´erifier que (Xt ) est un processus de naissance et de mort ; repr´esenter son graphe ; ´etablir que la distribution stationnaire est la loi bino λ miale B N, λ+µ et trouver le nombre moyen d’´etudiants sur Toulouse lorsque N = 23, 1 = 5jours et λ1 = 2jours. µ