Polycoie Maths I ENIT [PDF]

Zitiervorschau

Math´ematiques pour l’Ing´enieur I Radhia Bessi & Moncef Mahjoub 2018–2019

Table des mati`eres 1

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4

Int´egrale de Lebesgue 1.1 Rappel topologique et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Rappel sur l’int´egrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Int´egrales de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Ensemble mesurable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Fonction mesurable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Int´egrale au sens de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Comparaison avec l’int´egrale de Riemann et les int´egrales g´en´eralis´ees

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1 1 2 4 5 9 10 18

Techniques de calcul int´egral 2.1 Th´eor`emes de convergence . . . . . . 2.2 Int´egrales d´ependant d’un param`etre 2.3 Changement de variables . . . . . . . 2.4 Th´eor`emes de Tonelli et de Fubini . .

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22 22 26 27 28

Espaces de fonctions Lebesgue int´egrables et produit de convolution 3.1 Espace de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Espace de Lebesgue L1 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Espaces L2 (Ω) et L∞ (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Propri´et´es des espaces Lp (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Produit de convolution et densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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31 31 34 35 37 39 44

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48 48 55 58 58 58 59

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Transform´ee de Fourier et transform´ee de Laplace 4.1 Transform´ee de Fourier sur L1 (R). . . . . . . . . . . . 4.2 Transform´ee de Fourier sur L2 (R) . . . . . . . . . . . 4.3 Transform´ee de Fourier sur Rd . . . . . . . . . . . . 4.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Fonction de transfert et filtrage : Circruit RC 4.4.2 Equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . i

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` TABLE DES MATIERES

4.5 5

Transform´ee de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Espace de Hilbert 5.1 Espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Th´eor`eme de projection . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Projection sur un sous espace vectoriel ferm´e 5.2.2 Th´eor`emes de repr´esentation . . . . . . . . . 5.3 Base Hilbertienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

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60 64 64 66 68 70 72

Table des figures 1.1 1.2

Int´egrale au sens de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Int´egrale au sens de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Courbes de fn et fm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fonction e´chelon unit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . Fonction porte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fonction triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Convolution d’un signal triangle avec un signal porte

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33 45 45 46 46

4.1

Transform´ee de Fourier de la fonction porte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

5.1 5.2

Identit´e de parall´elograme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Projection sur un convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66 67

iii

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3 5

Chapitre 1 Int´egrale de Lebesgue Introduction La notion d’int´egrale a connu des progr`es notables au 19`eme sci`ecle grˆace a` Cauchy 1 , Riemann 2 et Darboux 3 . La th´eorie de l’int´egrale au sens de Lebesgue 4 qui est bas´ee sur la notion de mesure, arrive au 20`eme sci`ecle pour g´en´eraliser l’int´egrale au sens de Riemann d´ej`a vue. Cette th´eorie s’applique a` une classe de fonctions beaucoup plus grande qui est celle de fonctions mesurables. Elle permet aussi d’´etablir des th´eor`emes de convergence plus puissants. Dans ce chapitre, on introduit d’abord la notion d’int´egrale de Lebesgue en donnant quelques-unes de ses propri´et´es. Ensuite, on e´ tablit le lien de l’int´egrale de Lebesgue avec les int´egrales classiques.

1.1

Rappel topologique et notations

Pour d un entier naturel non nul, on consid`ere dans ce cours l’espace vectoriel Rd de vecteurs x = (x1 , x2 , ..., xd ). Une application N : Rd → R+ d´efinit une norme sur Rd si elle v´erifie : 1. N(x) = 0 si et seulement si x = 0, 2. N(x + y) ≤ N(x) + N(y), ∀ x, y ∈ Rd , 3. N(αx) = |α|N(x), ∀ α ∈ R, ∀ x ∈ Rd . 1. 2. 3. 4.

Augustin Louis. Cauchy, 1789-1857 : math´ematicien Franc¸ais. Bernhard Riemann, 1826-1866 : math´ematicien Allemand. Gaston Darboux, 1841-1917 : math´ematicien Franc¸ais. Henri-L´eon Lebesgue, 1875-1941 : math´ematicien Franc¸ais.

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1.2 Rappel sur l’int´egrale de Riemann

Comme exemples, pour p ∈ [1, +∞[, on rappelle la norme dite de Holder d’indice p, not´ee Np ou k.kp et d´efinie en x = (x1 , ..., xd ) ∈ Rd par : Pour p = +∞, la norme infinie en x = (x1 , ..., xd ) ∈ Rd est donn´ee par : kxk∞ = max |xi |. 1≤i≤d

Toutes les normes sont e´ quivalentes dans Rd , dans le sens ou` si N1 et N2 sont deux normes de Rd , alors il existe α > 0 et β > 0 tels que αN1 (x) ≤ N2 (x) ≤ βN1 (x), ∀ x ∈ Rd . Si N est une norme sur Rd , alors, la boule ouverte de centre a ∈ Rd et de rayon r ≥ 0 est : B(a, r) = {x ∈ Rd , N(x) < r}. Un ensemble U ⊂ Rd est dit ouvert de Rd s’il est vide ou si, pour tout a ∈ Rd , il existe r > 0, tel que la boule ouverte B(a, r) ⊂ U. On appelle ferm´e F de Rd si son compl´ementaire Fc = Rd \F dans Rd est un ouvert de Rd . Soit f une fonction de Rd a` valeurs dans R. L’image r´eciproque d’une partie J ⊂ R est −1 f (J) = {x ∈ Rd tel que f (x) ∈ J}. Attention, on parle d’image r´eciproque de f sans que f soit forc´ement bijective. L’application f : Rd → R est continue en a ∈ Rd si pour tout ε > 0, il existe η > 0 tel que f −1 (] f (a) − ε, f (a) + ε[) ⊂ B(a, η). La continuit´e de f en a est v´erifi´ee si et seulement si pour toute suite (xn ) de Rd qui converge vers a, alors la suite ( f (xn )) converge vers f (a). L’application f est continue sur Rd si elle est continue en tout point de Rd . Dans ce cas l’image r´eciproque de tout ouvert de R est un ouvert de Rd .

1.2

Rappel sur l’int´egrale de Riemann

Soit f une fonction born´ee sur un intervalle born´e [a, b] D´efinitions 1.2.1 — On appelle subdivision S de [a, b] toute suite ordonn´ee et finie (xi )1≤i≤n de [a, b], a = x0 < x1 < ... < xn = b. — Pour toute subdivision Sn = (xi )0≤i≤n de [a, b], on appelle somme de Riemann la somme finie R( f, Sn , α) =

n−1 X i=0

ou` αi ∈ [xi , xi+1 ], pour 0 ≤ i ≤ n − 1.

2

f (αi )(xi+1 − xi ),

1.2 Rappel sur l’int´egrale de Riemann

f (αi )

p x0 = a

−

p p p p xi αi xi+1 xn = b

Figure 1.1 – Int´egrale au sens de Riemann D´efinition 1.2.1 La fonction born´ee f : [a, b] → R est dite Riemann int´egrable sur [a, b], si la limite de R( f, Sn , α) existe quand n tend vers +∞ et si cette limite est ind´ependante du choix de la subdivision Sn = (xi )1≤i≤n Z b et des points (αi )0≤i≤n−1 . Cette limite, si elle existe sera not´ee f (x)dx. a

Remarques 1.2.1 1. Toute fonction born´ee et continue par morceaux est Riemann-int´egrable sur [a, b]. 2. Si ( fn ) est une suite de fonctions Riemann-int´egrable sur [a, b] qui converge uniform´ement vers une fonction f sur [a, b], (i,e., sup | fn (x) − f (x)| → 0 ), alors f est Riemann-int´egrable n→+∞

x∈[a,b]

sur [a, b] et on a

b

Z

fn (x)dx =

lim

n→+∞

b

Z

a

f (x)dx. a

3. Si une fonction born´ee f est Riemann-int´egrable sur [a, b], alors | f | est Riemann-int´egrable sur [a, b]. La r´eciproque n’est pas vraie en g´en´eral comme le montre l’exemple (1.2.1) suivant : Exemple 1.2.1 : La fonction born´ee f d´efinie sur [0, 1] par ( −1 si x ∈ [0, 1]\Q f (x) = 1 si x ∈ [0, 1] ∩ Q n’est pas Riemann int´egrable sur [0, 1]. En effet, si on choisit xi = ni , alors, pour αi = xi , on a Sn = 1 tend vers 1 quand n tend vers +∞. Mais pour αi irrationnel dans ]xi , xi+1 [, Sn = −1 dont la limite est -1 quand n tend vers +∞. Cependant, | f | = 1 sur [−1, 1] est continue, donc Riemann-int´egrable sur [0, 1]. 3

1.3 Int´egrales de Lebesgue

Exercice 1.2.1 Montrer que l’application f de l’exemple (1.2.1) est discontinue en tout point de [0, 1]. La suite de fonctions x 7→ xn converge simplement mais non uniform´ement vers la fonction Z 1 Z 1 1 n nulle sur l’intervalle [0, 1[, mais → x dx = 0 = 0. n + 1 n→+∞ 0 0 La fonction discontinue de l’exemple (1.2.1), comme on le verra dans la suite, est int´egrable au sens de Lebesgue. Le champ de fonctions int´egrables au sens de Lebesgue est donc consid´erablement e´ largi. Les domaines sur les quels on peut int´egrer contient plus que les intervalles ou` le th´eor`eme d’interversion limite-int´egrale d’une suite de fonctions pour cette nouvelle notion d’int´egrale pourra eˆ tre appliqu´e sans exiger l’hypoth`ese de la convergence uniforme.

1.3

Int´egrales de Lebesgue

Pour commencer, on reprend le cas d’une fonction continue f sur un intervalle born´e [a, b] dont l’intervalle image est not´e [m, M]. Au lieu de consid´erer une partition quelconque de l’intervalle [a, b], on prend une subdivision (yi )0≤i≤n de l’ensemble image f ([a, b]) = [m, M], m = y0 < y1 < ... < yn = M. Puis on consid`ere les ensembles Ei = {x ∈ [a, b] tel que yi ≤ f (x) ≤ yi+1 }. On d´efinit la somme de Lebesgue comme suit L( f, Sn ) =

n−1 X

mesure(Ei )(yi+1 − yi ),

i=0

ou` mesure(Ei ) d´esigne la ”mesure” de l’ensemble Ei qui est la somme des longueurs des intervalles disjoints qui composent Ei dans ce cas.

4

1.3 Int´egrales de Lebesgue yn− yi+1− yi −

y0 − p p aE3 i

p p E1i

pp E2i

p b

Ei = E1i ∪ E2i ∪ E3i

Figure 1.2 – Int´egrale au sens de Lebesgue D´efinition 1.3.1 La fonction f : [a, b] → R est dite Lebesgue int´egrable si la limite de L( f, Sn ) existe quand n tend vers +∞ et si cette limite est ind´ependante du choix de la subdivision Sn = (yi )0≤i≤n . La ”mesure” de l’ensemble f −1 (Ei ) est-elle toujours d´efinie lorsque la fonction f est donn´ee sur un ensemble quelconque de R ou si elle n’est pas continue ? La notion d’int´egrale de Lebesgue est bas´ee sur la th´eorie de la mesure.

1.3.1

Ensemble mesurable

On rappelle que si E est un ensemble quelconque, P(E) d´esigne l’ensemble des parties de E. Si A ∈ P(E) et B ∈ P(E), alors les op´erations fondamentales ensemblistes sont, l’intersection A ∩ B, l’union A ∪ B, le compl´ementaire de A dans E, Ac = E\A et le produit cart´esien A × B = {(a, b), a ∈ A, b ∈ B}. La fonction indicatrice IA d’un ensemble A est donn´ee par ( 1 si x ∈ A, IA (x) = 0 si x ∈ Ac Un simple calcul permet de v´erifier les propri´et´es suivantes : IA∩B = IA .IB ,

IA∪B = IA + IB − IA .IB ,

IAc = 1 − IA .

Une application f d’un ensemble E vers un ensemble F est dite bijective si tout e´ l´ement y ∈ F, il existe x ∈ E unique tel que y = f (x). 5

1.3 Int´egrales de Lebesgue

D´efinition 1.3.2 (Ensemble d´enombrable) Un ensemble E est dit e´nombrable s’il est fini ou si il est en bijection avec N, (i.e., tous les e´l´ements de E peuvent eˆtre list´es sans r´epetition par des entiers naturels). Comme exemples d’ensembles d´enombrables et a` titre d’exercice, montrer les r´esultats suivants : Exercice 1.3.1 1. L’ensemble des entiers relatifs Z est d´enombrable. ( Indication : Il suffit de consid´erer la bijection φ : Z → N, p 7→

2p si p ≥ 0 2(−p) − 1 si p < 0.

2. L’ensemble N2 est d´enombrable. Indication : L’application φ : N × N∗ → N, (n, m) 7→ 2n (2m + 1) est bijective. 3. En g´en´eral, une r´eunion finie ou d´enombrable d’ensembles d´enombrables ou un produit cart´esien fini d’ensembles d´enombrables est d´enombrable. En particulier Q = Z × N∗ est d´enombrable. On admet que R ou tout intervalle de R ainsi que R\Q, l’ensemble des irrationnels, ne sont pas d´enombrables. Pour simplifier, toute partie d´enombrable sera index´ee par une partie N de N. Les intervalles sont les seuls ensembles convexes de R. On peut les classifier comme suit : 1. Les intervalles ouverts de R qui sont de la forme : ∅, R, ] − ∞, a[, ]a, b[, ]b, +∞]. 2. Les intervalles ferm´es de R qui sont de la forme : ∅, R, ] − ∞, a], [a, b], [b, +∞]. 3. Mais aussi on trouve des intervalles qui ne sont ni ferm´es ni ouverts de R qui sont de la forme [a, b[ et ]a, b]. (Ce sont les semi-ferm´es ou les semi-ouverts de R). La notation (a, b) pour −∞ ≤ a ≤ b ≤ +∞ d´esigne un intervalle quelconque (ferm´e, ouvert ou semi ouvert, born´e ou non born´e ) de R. L’ensemble R est pour d´esigner l’ensemble R∪{±∞}. On consid`ere B = BR la plus petite famille au sens de l’inclusion de P(R) contenant les intervalles ouverts et v´erifiant les trois propri´et´es suivantes : i) L’ensemble vide appartient a` B. ii) B est stable par passage au compl´ementaire ; (i.e., si A ∈ BR , alors Ac ∈ BR ). iii) B est stable par r´eunion d´enombrable ; (i.e., si An ∈ BR , n ∈ N ⊂ N, alors ∪n∈N An ∈ BR ). 6

1.3 Int´egrales de Lebesgue

Comme B v´erifie ii), alors B contient aussi tous les intervalles ferm´es de R. De ii) et iii), on tire que B est aussi stable par intersection d´enombrable et par suite B contient aussi les 1 semi-ouverts, puisque [a, b[= ∩n∈N∗ ]a + , b[. Par cons´equent B contient tous les intervalles n de R. Cet ensemble B a la structure d’une tribu. D´efinition 1.3.3 (Tribu) Soit E un ensemble et B une famille de P(E). La famille B est dite tribu sur E si : i) L’ensemble vide appartient a` B. ii) B est stable par passage au compl´ementaire. iii) B est stable par r´eunion d´enombrable. Les e´l´ements d’une tribu B s’appellent ensembles mesurables de E et l’espace (E, B) est appel´e espace mesurable . La tribu B = BR , engendr´ee par les intervalles ouverts de R (la plus petite tribu au sens de l’inclusion de P(R) contenant les intervalles ouverts), est appel´ee tribu Bor´elienne 5 sur R. Remarque 1.3.1 Comme autres exemples de tribu, on cite : 1. Si E un ensemble quelconque, alors {∅, E} et P(E) sont des tribus appel´ees respectivement tribu grossi`ere et tribu discr`ete. 2. Si A ⊂ E, alors {∅, A, Ac , E} est une tribu dite tribu engendr´ee par l’ensemble A. 3. De mˆeme on d´efinit la tribu Bor´elienne BRd , la tribu engendr´ee par les pav´es ouverts de Rd d Y de la forme Ii , pour Ii , i = 1, ..., d sont des intervalles ouverts de R. Les e´l´ements de BRd 1

s’appellent aussi Bor´eliens. Mesure de Lebesgue La notion de mesure s’applique sur des ensembles mesurables donc sur une tribu. Celle de Lebesgue correspond a` la notion de longueur pour d = 1, la surface pour d = 2 et le volume pour d = 3. D´efinition 1.3.4 ( Mesure) Une mesure sur une tribu B est une application µ : B → [0, +∞], v´erifiant : i) µ(∅) = 0. 5. Emile Borel, 1871-1956 : math´ematicien Franc¸ais.

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1.3 Int´egrales de Lebesgue

ii) Si (An )n∈N une suite d´enombrable d’ensembles mesurables de B deux a` deux disjoints, alors X µ(∪n∈N An ) = µ(An ). n∈N

On laisse a` titre d’exercice a` montrer que toute mesure µ v´erifie les propri´et´es suivantes : Propri´et´es 1.3.1 1. µ(A ∪ B) + µ(A ∩ B) = µ(A) + µ(B), pour tout A et B mesurables. 2. Si A et B deux ensembles mesurables tels que A ⊂ B, alors µ(A) ≤ µ(B). 3. Si (An ) est une suite croissante (An ⊂ An+1 ), d’ensembles mesurables alors µ(∪n An ) = lim µ(An ). n→+∞

4. Si (An ) une suite d´ecroissante d’ensembles mesurables d’intersection A, et si µ(A1 ) < ∞, alors limn→+∞ µ(An ) = µ(A). Exemple 1.3.1 1. Mesure de comptage : si B = P(E), et si A ∈ P(E) on consid`ere µ(A) = card(A), le cardinal de A, si A est fini, et +∞ sinon. 2. Mesure de Dirac : si a ∈ R, on d´efinit la mesure de Dirac µa (A) = 1 si a ∈ A, µa (A) = 0 sinon. Pour un pav´e A =

d d Y Y ]ai , bi [ de Rd , on d´efinit µ(A) = (bi − ai ). On admet alors le r´esultat i=1

suivant :

i=1

Proposition 1.3.1 ( Mesure de Lebesgue) d Y Il existe une unique mesure sur les bor´eliens de R telle que la mesure de tout pav´e A = ]ai , bi [ d

i=1 d Y est e´gale a` (bi − ai ). i=1

Exercice 1.3.2 Montrer que Q est mesurable et calculer sa mesure de Lebesgue. D´efinition 1.3.5 (Ensemble n´egligeable) Un ensemble B de Rd est dit µ-n´egligeable s’il existe un ensemble mesurable A contenant B et de mesure nulle, (i.e., B ⊂ A et µ(A) = 0). Exemples 1.3.1 8

1.3 Int´egrales de Lebesgue

— Les ensembles N, Z et Q sont n´egligeables dans R. — L’ensemble R × {1} est n´egligeable dans R2 . D´efinition 1.3.6 ( Notion ”presque partout”) On dit qu’une propri´et´e, d´ependant d’un param`etre x ∈ Ω, est vraie presque partout (en abr´eg´e p.p) sur Ω, si elle est vraie pour tout x ∈ Ω\A, ou` A ⊂ Rd est un ensemble n´egligeable. Exemples 1.3.2 — La suite de fonctions ( fn ) donn´ee par fn : x 7→ xn converge simplement presque partout sur [0, 1] vers la fonction nulle. — L’application x 7→ E(x), partie enti`ere de x, est presque partout continue sur R. — La fonction f = IQ est presque partout nulle, mais attention, elle n’est pas presque partout continue.

1.3.2

Fonction mesurable

Dans ce qui pr´ec`ede on a introduit les ensembles sur lesquels on va pouvoir int´egrer. Quels sont maintenant alors les fonctions qu’on peut int´egrer ? On rappelle que les fonctions Riemann-int´egrables sont les fonctions born´ees ”presque partout” continues. On rappelle aussi qu’une fonction f : Rd → R est continue si et seulement si l’image r´eciproque de tout ouvert de R est un ouvert de Rd . Dans toute la suite de ce cours, µ d´esigne la mesure de Lebesgue de Rd . D´efinition 1.3.7 Soit f : Rd → R. La fonction f est dite mesurable si l’image r´eciproque de tout ouvert de R est un ensemble mesurable de R. i.e., ∀ V ouvert de R, f −1 (V) = {x ∈ Rd , f (x) ∈ V} ∈ BRd . Une fonction complexe f : Rd → C est dite mesurable si les deux fonctions r´eelles repr´esentant sa partie r´eelle et sa partie imaginaire sont mesurables. Exercice 1.3.3 Soit A ⊂ Rd . Montrer que la fonction IA est mesurable si et seulement si A est un ensemble mesurable. Propri´et´es 1.3.2 1. Toute fonction continue est mesurable puisque l’image r´eciproque d’un ouvert est un ouvert donc mesurable. La r´eciproque n’est pas toujours vraie : la fonction indicatrice des rationnels, f = IQ est mesurable mais non continue. L’ensemble des fonctions mesurables est beaucoup plus large que celui des fonctions continues. 9

1.3 Int´egrales de Lebesgue

2. Soient f, g : Rd → R deux fonctions mesurables et soit λ ∈ R. Alors les fonctions λ f, | f |, f + g (si cette somme existe), f.g, sup( f, g) et inf( f, g) sont aussi mesurables. 3. La limite simple d’une suite de fonctions mesurables est une fonction mesurable. i.e., si ( fn ) une suite de fonctions mesurables telle que fn (x) → f (x) pour tout x ∈ Rd , alors f est aussi n→+∞

mesurable. 4. Le sup et l’inf d’un ensemble d´enombrable de fonctions mesurables sont aussi des mesurables. On suppose dans la suite que toutes les fonctions dont il va eˆ tre question sont mesurables.

1.3.3

Int´egrale au sens de Lebesgue

Pour d´efinir l’int´egrale de Lebesgue, on proc`ede par e´ tapes en consid´erant d’abord les fonctions e´ tag´ees, puis les fonctions mesurables positives et enfin les fonctions mesurables de signe quelconque ou complexes. D´efinition 1.3.8 ( Fonction e´ tag´ee) Une fonction f : Rd → R mesurable est dite e´tag´ee (ou simple), si elle ne prend qu’un nombre fini de valeurs. Elle peut s’´ecrire d’une fac¸on unique sous la forme f =

n X

ai IAi ,

i=1

ou` ai ∈ R sont des r´eels distincts et Ai = f −1 (ai ) sont des ensembles mesurables de Rd deux a` deux disjoints. Int´egrale de Lebesgue d’une fonction positive Soit A un ensemble mesurable de Rd et f = IA la fonction indicatrice de A. On d´efinit l’int´egrale de Lebesgue de f sur Rd par Z IA dµ = µ(A). Rd

Plus g´en´eralement, pour une fonction mesurable positive e´ tag´ee f : Rd → [0, +∞[, on d´efinit l’int´egrale de Lebesgue de la fac¸on suivante : D´efinition 1.3.9 Si f =

n X

ai IAi , pour ai ∈ [0, +∞] et Ai mesurable de Rd , i = 1, ..., n deux a` deux i=1 Z disjoints, alors l’int´egrale de Lebesgue de f est le nombre positif (´eventuellement +∞), not´e f dµ Rd

10

1.3 Int´egrales de Lebesgue Z ou aussi

f (x)dµ(x) et qui vaut Rd

Z f dµ = Rd

n X

ai µ(Ai ).

i=1

Avec par convention, 0 × (+∞) = 0.

Z

La fonction f est dite Lebesgue-int´egrable ou sommable si

f dµ est finie. Dans le cas ou` Rd

Z

f dµ = +∞, f est dite non int´egrable ou non sommable au sens de Lebesgue. Rd

Exemple 1.3.2 La fonction e´tag´ee f (x) = IQ = 1 × IQ + 0 × IR\Q . Donc

Z f dµ = µ(Q) + 0 × µ(R\Q) = 0. R

La fonction f est donc Lesbegue int´egrable. On peut d´efinir l’int´egrale d’une fonction mesurable positive de deux mani`eres dont la premi`ere est la suivante : D´efinition 1.3.10 - Soit f : Rd → [0, +∞] une fonction mesurable. Alors l’int´egrale de Lebesgue de f est le nombre positif (´eventuellement +∞ ), (Z ) Z f dµ = sup gdµ, g e´tag´ee, 0 ≤ g ≤ f ∈ [0, +∞]. Rd

Rd

Z f est dite Lebesgue int´egrable si

f dµ est finie. Rd

- Si Ω un ensemble mesurable de Rd et si f : Ω → [0, +∞] une fonction mesurable positive, alors l’int´egrable de Lebesgue de f sur Ω est Z Z f dµ = fΩ dµ , Ω

Rd

( ¯ x 7→ ou` la fonction fΩ = f IΩ : Rd → R,

f (x) si x∈Ω . 0 sinon

11

1.3 Int´egrales de Lebesgue

On peut montrer les propri´et´es d’additivit´e, d’homog`enet´e et de monotonie suivantes : Propri´et´es 1.3.3 Soit f et g deux fonctions mesurables positives sur un ensemble mesurable Ω et soit λ un r´eel positif . Alors Z Z Z i) ( f + g)dµ = f dµ + gdµ. Ω Ω Ω Z Z ii) (λ f )dµ = λ f dµ. Ω Ω Z Z iii) Si f ≤ g, alors f dµ ≤ gdµ. Ω

Ω

La troisi`eme propri´et´e est e´ vidente, puisque toute fonction e´ tag´ee positive qui minore f , elle minore aussi g. Pour les deux premi`eres on montre d’abord qu’elles sont v´erifi´ees pour toute fonction e´ tag´ee positive, puis de la d´efinition de la borne sup, on d´eduit qu’elles s’´etendent a` une fonction mesurable positive quelconque. Exemple 1.3.3 La fonction f = IQ n’est Z pas Riemann-int´ Z egrable sur [0, Z 1]. Son int´egrale au sens de Lebesgue sur f dµ =

[0, 1] est nulle puisque 0 ≤ [0,1]

non Riemann int´egrable.

IQ dµ = 0. Donc elle est Lebesgue mais

IQ∩[0,1] dµ ≤ R

R

La deuxi`eme fac¸on pour d´efinir l’int´egrale de Lebesgue d’une fonction positive d´ecoule de r´esultat suivant : Lemme 1.3.1 Toute fonction mesurable positive est limite simple d’une suite croissante de fonctions mesurables positives et e´tag´ees. Preuve. Si f est positive mesurable, on pose, pour x ∈ Rd , ( k si 2kn ≤ f (x) ≤ k+1 et k = 0, 1..., 2n n − 1 2n fn (x) = 2n n si f (x) > n. Alors, fn est une fonction constante par morceaux. Ce qui donne que ( fn ) est mesurable, de plus, pour tout r´eel x, la suite ( fn (x)) est croissante. En effet si x tel que n+1 ≤ f (x), alors n ≤ f (x) et on a E(2n f (x)) ≤ 2n f (x), donc 2E(2n f (x)) ≤ 2n+1 f (x) et par cons´equent 2E(2n f (x)) ≤ E(2n+1 f (x)). fn+1 (x) = 12

E(2n+1 f (x)) 2n+1

≥

2E(2n f (x)) 2.2n

≥ fn (x). Dans le cas

1.3 Int´egrales de Lebesgue

ou` n ≥ f (x), alors n + 1 ≥ f (x) et fn (x) = n ≤ fn+1 (x) = n + 1. Enfin si n ≤ f (x) ≤ n + 1, alors E(2n f (x)) fn (x) = 2n ≤ f (x) ≤ n + 1 = fn+1 (x). Il suffit de v´erifier la convergence simple de la suite de fonctions ( fn ) vers f . Soit x ∈ Rd . Si f (x) = +∞, alors fn (x) = n → +∞ = f (x). Sinon, pour n > f (x), et d’apr`es la carct´erisation n→+∞

de la fonction partie enti`ere, E(2n f (x)) ≤ 2n f (x) ≤ E(2n f (x)) + 1. Par cons´equent, en divisant par 21n , on obtient 1 f (x) ≤ fn (x) ≤ f (x) + n . 2 Ceci implique 1 0 ≤ fn (x) − f (x) ≤ n → 0 . 2 n→+∞ Ce qui ach`eve la d´emontration. De la d´efinition (1.3.9) et des propri´et´es (1.3.3) d´ecoule le premier r´esultat d’interversion entre limite et int´egrale. Th´eor`eme 1.3.1 de la convergence monotone ou de Beppo-Levi 6 Soit ( fn )n∈N une suite croissante de fonctions mesurables positives qui converge simplement vers f sur un ensemble mesurable Ω de Rd . Alors f est mesurable positive et Z Z lim fn dµ = f dµ. n→+∞

Ω

Ω

Z En particulier, si lim

n→+∞

Ω

fn dµ < ∞, alors f est Lebesgue-int´egrable sur Ω.

Preuve. On prend d’abord le cas Ω = Rd . Clairement, f est positive et mesurable, comme limite simple d’une suite de fonctions mesurables positives. PourZtout x ∈ RdZ , la suite croissante ( fn (x)) croit vers f (x) et elle v´erifie fn (x) ≤ f (x), ∀n ∈ N. Donc Z Z par suite lim fn dµ ≤ f dµ. n→+∞

Rd

Rd

Pour montrer l’in´egalit´e inverse, soit g =

p X i=1

n o Bn = x ∈ Rd , fn (x) ≥ (1 − )g(x) .

13

f dµ, ∀n ∈ N et Rd

ai IAi une fonction positive e´ tag´ee v´erifiant

g ≤ f. Pour 0 < ε < 1, on pose

6. Beppo Levi, 1875-1961 : math´ematicien Italien.

fn dµ ≤ Rd

1.3 Int´egrales de Lebesgue

Alors, il est facile de v´erifier que, pour tout entier naturel n, Bn ⊂ Bn+1 et que fn (x) ≤ fn+1 (x), pour tout x ∈ Rd . De plus, Rd = ∪n∈N Bn . En int´egrant g sur Bn , on obtient Z Z X p p X gdµ = ai IAi = ai µ(Ai ∩ Bn ). Bn

Bn i=1

i=1

Comme la suite d’ensembles (Ai ∩ Bn )n est une suite croissante et Rd = ∪n∈N An , alors lim µ(Ai ∩ Bn ) = µ(Ai ).

n→+∞

Ce qui donne alors Z gdµ =

lim

n→+∞

Bn

p X

Z ai µ(Ai ) =

gdµ. Rd

i=1

Z

Z fn ≥ (1 − )

fn dµ ≥

De mˆeme, en passant a` la limite dans l’in´egalit´e, Rd

que Z

An

g, on d´eduit An

Z fn dµ ≥ (1 − )

lim

n→+∞

Z

Rd

gdµ. Rd

Enfin, on fait tendre  vers 0 pour conclure. Pour Ω quelconque, il suffit d’appliquer le r´esultat pour f˜n = fn IΩ pour se ramener a` Rd , ou` IΩ d´esigne la fonction indicatrice de Ω. Z Ainsi l’int´egrale de Lebesgue f dµ d’une fonction mesurable positive f peut eˆ tre donc Rd Z d´efinie comme e´ tant la limite de toute suite r´eelle d’int´egrales ( fn dµ), pour ( fn ) une suite Rd

croissante de fonctions positives e´ tag´ee quelconque, convergeant simplement vers f sur Rd . Le th´eor`eme d’interversion s´erie-int´egrale est une application directe du th´eor`eme de la convergence monotone. Th´eor`eme 1.3.2 Soit ( fn ) une suite de fonctions positives mesurables sur un ensemble mesurable Ω, alors Z X XZ fn dµ = fn dµ. Ω n∈N

n∈N

Ω

Preuve. Il suffit d’appliquer le th´eor`eme de la convergence monotone pour la suite de foncn X X tions (gn ), pour gn (x) = fk (x), somme partielle de la s´erie fn (x). n∈N

k=0 1

Z Exercice 1.3.4 Calculer 0

log(x) dx. 1−x 14

1.3 Int´egrales de Lebesgue

Int´egrale d’une fonction mesurable de signe quelconque L’int´egrale d’une fonction mesurable de signe quelconque s’obtient en utilisant les deux fonctions positives repr´esentant les parties respectivement positive et n´egative de f qui sont f+ = max( f, 0) et f− = max(− f, 0). Ces deux fonctions sont aussi mesurables et v´erifient : f = f+ − f− ,

et | f | = f+ + f− .

(1.1)

D´efinition 1.3.11 1. Une fonction f : Rd → R est dite Lesbegue int´egrable sur Rd si f+ et f− sont Lebesgueint´egrables et on d´efinit l’int´egrale de Lesbegue de f par : Z Z Z f dµ = f+ dµ − f− dµ. Rd

Rd

Rd

d 2. Si Ω est un ensemble mesurable de R ( , une fonction f est dite Lebesgue int´egrable sur Ω si la si x∈Ω ¯ x 7→ f (x) fonction fΩ = f IΩ : Rd → R, , est Lebesgue int´egrable sur Rd . 0 sinon

On note L1 (Ω) l’ensemble de fonctions Lebesgue-int´egrables sur l’ensemble mesurable Ω. On a alors les prorpi´et´es suivantes : Propri´et´es 1.3.4 1. D’apr`es (1.1), une fonction mesurable f est Lebesgue-int´egrable si et seulement si | f | = f+ + f− est Lebesgue int´egrable et on a : Z Z | f dµ| ≤ | f |dµ. Ω

Ω

2. L’ensemble L1 (Ω), des fonctions Lebesgue-int´egrables est un espace vectoriel. 3. Si Ω = Ω1 ∪ Ω2 est une union disjointe de deux ensembles mesurables Ω1 et Ω2 et f une fonction Lebesgue int´egrable alors, f est aussi Lebesgue int´egrable sur Ω1 et Ω2 et on a : Z Z Z f dµ = f dµ + f dµ. Ω

Ω1

Ω2

Il suffit d’´ecrire que fΩ = fΩ1 + fΩ2 et de remarquer que | fΩi | ≤ | fΩ |, pour i = 1 ou 2.

15

1.3 Int´egrales de Lebesgue

D´efinition 1.3.12 (Int´egrale d’une fonction complexe) Une fonction a` valeurs complexes f : Ω → C est Lebesgue int´egrable si sa partie r´eelle R´eel( f ) et sa partie imaginaire Im( f ) sont Lebesgue int´egrables sur l’ensemble mesurable Ω, de plus Z Z Z f dµ = R´eel( f )dµ + i Im( f )dµ. Ω

Ω

Ω

Exercice 1.3.5 Les fonctions suivantes sont -elles Lebesgues int´egrables sur l’ensemble Ω ? 1. Une fonction constante sur Ω = Q. 2. La fonction x 7→

sin x x

sur Ω =]0, 1[.

Remarque 1.3.2 L’int´egrale de Lebesgue d’une fonction positive non identiquement nulle peut eˆtre nulle. Comme exemple, on reprend la fonction f = IQ . Proposition 1.3.2 Soit Ω un ensemble mesurable de Rd de mesure non nulle et soit f : Ω → [0, +∞] une fonction mesurable positive. Z 1. f dµ = 0, si et seulement si f = 0 presque partout sur Ω. Ω

2. Si f est Lebesgue int´egrable sur Ω, alors l’ensemble {x ∈ Ω tel que f (x) = +∞} est de mesure nulle. Preuve. Z 1. Si f dµ = 0, montrons que f = 0 presque partout sur Ω. Il suffit de montrer que, Ω

pour tout entier n > 0, µ({x ∈ Ω, f (x) ≥ n1 }) = 0. En effet, comme f est positive, alors Z Z Z 1 0= f dµ = f dµ + f dµ ≥ αµ({x ∈ Ω, f (x) ≥ }) ≥ 0. n Ω {x/ f (x)≥ n1 } {x/ f (x)< n1 } Donc µ({x ∈ Ω, f (x) ≥ n1 }) = 0 pour tout n > 0 et donc f ne peut eˆ tre que nulle presque partout sur Ω puisque { f , 0} = ∪n∈N∗ An ou` An = {x ∈ Ω tel que f (x) ≥ n1 }. La suite (An ) e´ tant croissante, par cons´equent, et d’apr`es la propri´et´e (3) du lemme (1.3.1) concernant la limite de la mesure de la r´eunion d’une suite croissante d’ensembles mesurables, 1 µ({ f , 0}) = lim µ({x ∈ Ω tel que f (x) ≥ }) = 0 n→+∞ n et donc f est presque partout nulle. 16

1.3 Int´egrales de Lebesgue Z 2. Si car

f dµ < ∞, on montre que, pour tout n ∈ N, µ({x ∈ Ω, f (x) ≥ n}) → 0 . Ceci e´ tant n→+∞

Ω

Z

Z Ω

Z

f dµ =

f dµ + {x/ f (x)>n}

Z f dµ ≥ nµ({x ∈ Ω, f (x) ≥ n}).

f dµ ≥ {x/ f (x)≥n}

{x/ f (x)≥n}

De plus, l’ensemble {x ∈ Ω, f (x) = +∞} = ∪n∈N R Bn , pour Bn = {x ∈ Ω, f (x) ≥ n}, v´erifiant donc Bn+1 ⊂ Bn pour tout entier n et µ(B1 ) ≤ Ω f dµ < +∞. D’apr`es la propri´et´e (4) du lemme (1.3.1), on a, 1 µ({x ∈ Ω, f (x) = +∞}) = lim µ(Bn ) = lim µ({x ∈ Ω, f (x) ≥ n}) ≤ lim n→+∞ n→+∞ n→+∞ n

Z Ω

f dµ = 0.

Ce qui ach`eve la d´emonstration. Pour r´esumer, on rappelle les remarques suivantes qui sont tr`es utiles dans la th´eorie de l’int´egrale de Lebesgue. R´esum´es 1. Si Ω est un ensemble mesurable n´egligeable (µ(Ω) = 0), alors pour toute fonction mesurable f sur Ω, on a Z f dµ = 0. Ω

2. V´erifier qu’une fonction f est Lebesgue int´egrable sur un ensemble mesurable Ω est e´ quivalent a` montrer que son module | f | est Lebesgue int´egrable sur Ω. Z n Z X 3. f dµ = f dµ, pour toute r´eunion disjointe finie d’ensembles mesurables Ω = Ω

∪ni=1 Ωi .

i=1

Ωi

Z 4. Si f et g sont deux fonctions mesurables presque partout e´ gales sur Ω, alors Z gdµ.

Ω

f dµ =

Ω

5. Z Si f est une fonction mesurable positive sur un ensemble mesurable Ω de Rd , alors f dµ = 0 si et seulement si µ(Ω) = 0 ou f est presque partout nulle sur Ω. Ω

6. Le crit`ere de comparaison s’applique aussi pour l’int´egrale de Lebesgue et on a si f et g deux fonctions positives mesurables sur Ω v´erifiant f ≤ g presque partout sur Ω, alors si g ∈ L1 (Ω), alors f ∈ L1 (Ω) et si f < L1 (Ω), alors g < L1 (Ω). 17

1.4 Comparaison avec l’int´egrale de Riemann et les int´egrales g´en´eralis´ees

7. Si A ⊂Z Ω deux Z ensembles mesurables de Rd , et si f une fonction positive mesurable, alors f dµ ≤ f dµ. En particulier si f est Lebesgue int´egrable sur Ω, alors elle est A

Ω

Lebesgue int´egrable sur toute partie mesurable de Ω. En g´en´eral pour d´eterminer si une fonction mesurable est Lebesgue int´egrable ou non sur un ensemble mesurable, on peut se servir de ces derni`eres propri´etes. Dans plusieurs cas on se ram`ene a` d´eterminer la nature d’une int´egrale de type Riemann ou une int´egrale g´en´eralis´ee.

1.4

Comparaison avec l’int´egrale de Riemann et les int´egrales g´en´eralis´ees

On consid`ere dans cette partie le cas de fonction f : I → R, pour I un intervalle de R. L’int´egrale au sens de Riemann est d´efinie sur les intervalles ferm´es born´es de R et concerne seulement les fonctions born´ees. Lebesgue a restreint l’int´egrale de Riemann aux fonctions presque partout continues : Propri´et´es 1.4.1 Soit f : [a, b] → R une fonction born´ee. 1. La fonction f est Riemann-int´egrable sur [a, b] si et seulement si f est presque partout continue sur [a, b] (son ensemble de points de discontinuit´e est n´egligeable). 2. Si f est Riemann int´egrable sur [a, b], alors f est Lebesgue int´egrable et les deux int´egrales sont e´gales. Exercice 1.4.1 Soit la fonction f d´efinie sur [0, 1] par ( sin x si x ∈ ]0, 1] f (x) = . +∞ si x=0 1. La fonction f est-elle Riemann int´egrable sur [0, 1] ? 2. La fonction f est-elle Lebesgue int´egrable sur [0, 1] ? 3. Mˆeme questions pour la fonction g suivante : ( sin x1 si x ∈ ]0, 1] ∩ Q . g(x) = 0 si x ∈]0, 1] ∩ R/Q Lorsque f est non born´ee ou l’intervalle d’´etude est non born´e, on se trouve dans le cadre d’une int´egrale g´en´eralis´ee (ou impropre) dont on rappelle la d´efinition 18

1.4 Comparaison avec l’int´egrale de Riemann et les int´egrales g´en´eralis´ees

D´efinition 1.4.1 1. Soit f : I = (a, b) → R, telle que au moins une de deux extremit´es de l’intervalle I est l’infini ou f non born´ee au voisinage de toute extremit´e finie. On suppose que f est localement Riemann-int´egrable sur I, (i.e., f est Riemann int´egrable sur tout intervalle born´e [c, d] ⊂ (a, b)). Z d La fonction f admet une int´egrale g´en´eralis´ee sur (a, b) si lim f (x)dx est finie. Cette limite c→a d→b

b

Z on la note

Z f (x)dx et on dit que l’int´egrale

a

f (x)dx est convergente. a

Z 2. Une int´egrale g´en´eralis´ee convergente.

c

b

b

b

Z f (x)dx est dite absolument convergente si

a

| f (x)|dx est a

Remarques 1.4.1 On a vu qu’une fonction f est Lebesgue int´egrable si et seulement si son module | f | est aussi Lebesgue int´egrable. Une int´egrale g´en´eralis´ee absolument convergente est convergente, mais la r´ Zeciproque n’est pas toujours vraie. Comme contre exemple, on consid`ere l’int´egrale g´en´eralis´ee sin x dx. x R Exemples 1.4.1 La d´efinition, les crit`eres de convergence ainsi que les exemples e´l´ementaires P des int´egrales g´en´eralis´ees sont est R applicables par analogie aves les s´eries num´eriques ou` la somme remplac´ee par l’int´egrale . Voici quelques exemples e´l´ementaires d’int´egrales g´en´eralis´ees classiques dont la convergence e´tait e´tudi´ee par les math´ematiciens portant leurs noms. Z +∞ dx a) Int´egrale g´en´eralis´ee de ”Riemann” : L’int´egrale g´en´eralis´ee (respectivement xα 1 Z 1 dx est convergente si et seulement si α > 1 (respectivement α < 1). α 0 x Z +∞ Z 1 dx dx b) L’int´egrlale de Bertrand 7 : L’int´egrale g´en´eralis´ee (respectivement ) β β α α x log x 1 0 x | log x| est convergente si et seulement si [α > 1 ou α = 1 et β > 1] (respectivement [α < 1 ou α = 1 et β > 1]). Z +∞ √ 2 π 8 c) Int´egrale de Gauss : L’int´egrale g´en´eralis´ee e−x dx est convergente et elle vaut 2 . 0

7. Joseph Louis Francois Bertrand, 1822-1900 : math´ematicien, historien des sciences et e´ conomiste Franc¸ais. 8. Carl Friedrich Gauss, 1777-1855 : math´ematicien, astronome, et physicien Allemand

19

1.4 Comparaison avec l’int´egrale de Riemann et les int´egrales g´en´eralis´ees Z 9

d) Int´egrale de Dirichlet : L’int´egrale g´en´eralis´ee 0

π . 2

+∞

sin x dx est convergente et elle vaut x

Les int´egrales pr´ec´edentes sont souvent utilis´ees pour e´tudier la convergence d’autres int´egrales. Soient f et g deux fonctions positives localement int´egrables sur [a, b[. On rappelle que pour Z b Z b e´tudier la convergence de l’int´egrale g´en´eralis´ee f (x)dx , connaissant la nature de g(x)dx, on a

a

peut utiliser l’un des crit`eres de convergence suivants : b

Z 1. Crit`ere de comparaison : Si 0 ≤ f ≤ g sur ]a, b[, alors la convergence de Z b celle de f (x)dx.

g(x)dx entraine a

a

2. Crit`ere d’´equivalence : Si f et g sont e´quivalentes au voisinage de b et continues sur [a, b[, Z b Z b alors, les deux int´egrales f (x)dx et g(x)dx sont de mˆeme nature. a

a

Exercice 1.4.2 D´eterminer la nature des int´egrales g´en´eralis´ees suivantes : Z +∞ Z +∞ Z +∞ Z +∞ log x cos x x3 1 −x2 dx, e cos xdx, dx, dx. √ 3 4 log x + x x(1 + x) x2 0 1 1 0 Int´egrales g´en´eralis´ees et int´egrable au sens de Lebesgue Une fonction f admettant une int´egrale g´en´eralis´ee sur un intervalle d’extremit´es a et Z b b quelconques est aussi Lebesgue int´egrable si et seulement si f (x)dx est absolument a

convergente. Exercice 1.4.3

ne−x

. 1 + n2 x2 1. Montrer que fn est Lebesgue int´egrable sur [0, +∞[. Z 2. Calculer lim fn (x)dµ(x).

On pose, pour x ∈ R et pour n ≥ 1, fn (x) = √

n→+∞

[0,+∞[

9. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 1805-1859 : math´ematicien Allemand.

20

1.4 Comparaison avec l’int´egrale de Riemann et les int´egrales g´en´eralis´ees

Pour conclure, l’int´egrale au sens de Lebesgue est une extension stricte de l’int´egrale au sens de Riemann et l’int´egrale g´en´eralis´ee absolument convergente. Pour les notations et si une Z fonction f est Riemann int´egrable sur un itervalle I ou si

f est absolument convergente, Z elle est aussi Lebesgue int´egrable sur I, on pr´ef`ere en g´en´eral la notation f (x)dx au lieu de I Z f (x)dµ(x). I

I

21

Chapitre 2 Techniques de calcul int´egral Introduction Dans le chapitre 1 on a introduit la notion ainsi que les propri´et´es de base de l’int´egrale au sens de Lebesgue qui n’est qu’une extension de l’int´egrale de Riemann. Les r´esultats d’intervertion limite et int´egrale au sens de Riemann sont applicable seulement sous l’hypoth`ese de la convergence uniforme. Le th´eor`eme de la convergence monotone abord´e au chapitre pr´ec´edent montre que cette derni`ere hypoth`ese est remplac´ee seulement par une convergence simple dans le cas d’une suite croissante de fonctions de signe constant admettant une int´egrale au sens de Lebesgue. Dans la premi`ere partie de ce chapitre on met l’accent aussi sur le th´eor`eme de la convergence domin´ee qui est l’un des plus utilis´ees en int´egration et qui s’applique a` une suite de fonctions Lebesgues int´egrables de signe quelquonque. D’autres techniques d’int´egration de type changement de variables, int´egrales param´etriques et th´eor`eme de Fubini pour les int´egrales multiples font l’objet du reste de chapitre 2. Dans tout ce chapitre µ d´esigne la mesure de Lebesgue pour le corps K = R ou K = C.

2.1

Th´eor`emes de convergence

On aborde maintenant d’autres r´esultats d’interversion limite et int´egrale dont le plus connu est celui de la convergence domin´ee. Pour se faire, on utilisera dans la d´emonstration le lemme suivant dont le r´esultat est identiqu´e dans le th´eor`eme de la convergence monotone mais appliqu´e a` une suite d´ecroissante de fonctions. Lemme 2.1.1 (de la convergence d´ecroissante) Soit ( fn )n≥0 une suite d´ecroissante de fonctions positives mesurables de Ω → [0, +∞[ qui converge simplement vers une fonction f sur Ω. On suppose que f0 est Lebesgue int´egrable sur Ω.

22

2.1 Th´eor`emes de convergence

Alors

Z

Z

lim

n→+∞

Ω

fn dµ =

f dµ. Ω

Preuve. La fonction f est mesurable comme limite simple d’une suite de fonctions mesurables. Soit gn = ( f0 − fn )IΩ , alors la suite (gn )n≥0 est une suite croissante de fonctions positives, d’apr`es le th´eor`eme de la convergence monotone, on a Z Z lim gn dµ = lim gn dµ. n→+∞

Soit donc

Z Ω

Rd n→+∞

Rd

Z f0 dµ − lim

n→+∞

Z

Ω

fn dµ =

Z Ω

f0 dµ −

f dµ. Ω

D’ou` le r´esultat. Pour simplifier la d´emonstration on commence par donner cette premi`ere version de th´eor`eme de la convergence domin´ee : Th´eor`eme 2.1.1 Soit ( fn ) une suite de fonctions mesurables de Ω → K v´erifiant : — la suite ( fn ) converge simplement vers une fonction f sur Ω. — il existe une fonction int´egrable positive g telle que | fn (x)| ≤ g(x), ∀ x ∈ Ω. Alors, f est in´egrable sur Ω et Z lim

n→+∞

Ω

| fn − f |dµ = 0.

En particulier Z lim

n→+∞

Ω

Z fn dµ =

f dµ. Ω

Preuve. On proc`ede par e´ tapes, en consid´erant d’abord le cas d’une suite de fonctions positives qui converge simplement vers 0, puis le cas g´en´eral d’une suite de fonctions de signe quelconque. - Si la suite ( fn ) est a` termes positifs et f = 0, la fonction g est int´egrable sur Ω, donc l’ensemble A = {x ∈ Ω / g(x) < ∞} est de compl´ementaire de mesure nulle. Soit, pour x ∈ Ω, gn (x) = sup fn (x)IA (x). Alors la suite (gn ) est une suite d´ecroissante de k≥n

fonctions positives, avec g0 est int´egrable, puisqu’elle v´erifie |g0 (x)| = sup fk (x) ≤ g(x). k≥0

On v´erifie alors que lim gn = f = 0. En effet, pour tout x dans Ω, il existe une suite n→+∞

croissante φ(n) de N telle que gn (x) = fφ(n) (x)IA (x) dont la limite quand n tend vers +∞ est f (x)IA (x) = 0. 23

2.1 Th´eor`emes de convergence

D’apr`es le lemme pr´ec´edent, Z

Z

lim

n→+∞

Ω

gn dµ =

Ω

f dµ = 0.

- Si ( fn ) est de signe quelconque convergeant vers f , on applique le cas p´ec´edent pour la suite (| fn − f |)n qui est positive, domin´ee par 2g, puisque, pour tout x ∈ Ω, | fn (x)| ≤ g(x), pour tout n. En passant a` la limite lorsque n tend vers +∞, on d´eduit que | f (x)| ≤ g(x). Ainsi Z lim | fn − f |dµ = 0. n→+∞

Comme

Z

Ω

Z

| Ω

fn dµ −

Z f dµ| ≤

Ω

Ω

| fn − f |dµ,

on d´eduit que Z

Z

lim

n→+∞

Ω

fn dµ =

f dµ. Ω

On admet que le th´eor`eme de la convergence domin´ee reste encore valable si la suite ( fn ) converge simplement presque partout vers la fonction f et si la suite ( fn ) est presque partout domin´ee par g sur Ω. Dans ce cas la version plus g´en´erale est : Th´eor`eme 2.1.2 (de la convergence domin´ee ou de Lebesgue) Soit ( fn ) une suite de fonctions mesurables de Ω → K v´erifiant : — la suite ( fn ) converge simplement presque partout vers une fonction f sur Ω. — il existe une fonction int´egrable positive g telle que | fn (x)| ≤ g(x), presque pour tout x ∈ Ω. Alors, f est in´egrable sur Ω et Z lim

n→+∞

Ω

| fn − f |dµ = 0.

En particulier Z lim

n→+∞

Ω

Z fn dµ =

f dµ. Ω

Exercice 2.1.1 Calculer les limites, lorsque n tend vers +∞ des int´egrales suivantes : Z Z Z Z 1 + nx x n −x 1 n nx dµ(x), (1 + ) e dµ(x), (cos( )) dµ(x), sin( )dµ(x). 2 n n x nx − 1 [0,1] (1 + x ) ]0,n[ [0,1] [0,1] Le th´eor`eme de la convergence domin´ee s’applique aux s´eries de fonctions et donne le corollaire suivant : 24

2.1 Th´eor`emes de convergence

Corollaire 2.1.1 Soit ( fn )n une suite de fonctions Lebesgue -int´egrables sur Ω. On suppose que XZ | fn |dµ < +∞. n∈N

Alors, la s´erie

X

Ω

fn (x) converge presque partout sur Ω vers une fonction Lebesgue int´egrable f . De

n∈N

plus Z Ω

Preuve. Soit Sn (x) =

n X

f (x)dµ(x) =

XZ n∈N

Ω

fn (x)dµ(x).

fk (x), pour x ∈ Ω, la somme partielle de la s´erie

X

fn (x). Le

n

k=0

n Z X

| fk |dµ = th´eor`eme de la convergence monotone sur les s´eries de fonctions (1.3.2) donne Ω k=0 Z X X | fn |dµ < +∞. Donc la fonction | fn (x)| est int´egrable sur Ω, elle est donc presque Ω n∈N

n∈N

partout finie ou encore la suite de fonctions Sn est presqueX partout absolument convergente donc presque partout convergente sur Ω. Par cons´equent fn (x) converge presque partout n∈N

sur Ω vers une fonction qu’on note f . Cette suite de fonctions (Sn ) v´erifie donc : — (Sn ) converge simplement presque partout vers f sur Ω. n X X X — |Sn (x)| ≤ | fk (x)| ≤ | fn (x)| et la fonction g(x) = | fn (x)| est Lebesgue int´egrable k=0

n∈N

n∈N

sur Ω. D’apr`es le th´eor`eme de la convergence domin´ee, la fonction f est aussi Lebesgue int´egrable sur Ω et on a : Z Z Z n Z X XZ f (x)dµ(x) = lim Sn (x) = lim Sn (x)dµ(x) = lim fk (x)dµ(x) = fn (x)dµ(x). Ω n→+∞

Ω

En conclusion, on a

n→+∞

Z X Ω

Exercice 2.1.2 Soit f (x) =

n

n→+∞

Ω

fn (x)dµ(x) =

XZ n∈N

log(x) 1 + x2 25

Ω

k=0

Ω

fn (x)dµ(x).

n∈N

Ω

2.2 Int´egrales d´ependant d’un param`etre

1. Montrer que f est Lebesgue int´egrable sur ]0, 1[. Z 2. Calculer f (x)dµ(x) comme la somme d’une s´erie. ]0,1[

2.2

Int´egrales d´ependant d’un param`etre

Comme application importante du th´eor`eme de la convergence domin´ee on montre dans cette partie la continuit´e et la d´erivabilit´e d’une fonction d´efinie par une int´egrale. On se donne ici I un intervalle ouvert de R et Ω un ensemble mesurable de Rd de mesure non nulle. Soit f : I ×ZΩ → K, telle que ∀ t ∈ I, la fonction partielle f (t, .) ∈ L1 (Ω). On d´efinit F : I → K, t 7→ F(t) = d´erivabilit´e de F sur I.

f (t, x)dµ(x). On cherche dans cette partie a` e´ tudier la continuit´e et la Ω

Th´eor`eme 2.2.1 (Continuit´e des int´egrales param´etriques) On suppose que — Pour presque tout x ∈ Ω, la fonction, t 7→ f (t, x) est continue sur I. — Il existe une fonction g : Ω → [0, +∞] dans L1 (Ω) telle que, pour presque pour tout x ∈ Ω, | f (t, x)| ≤ g(x), ∀ t ∈ I. Alors F est continue sur I. Preuve. C’est une application du th´eor`eZme de la convergence domin´ee. Soit (tn ) une suite de I qui converge vers t0 ∈ I. Alors F(tn ) = convergence domin´ee, donc

Ω

f (tn , x)dx v´erifie les hypoth`eses du th´eor`eme de la

Z lim F(tn ) =

n→+∞

lim f (tn , x)dµ(x) = F(t0 ).

Ω n→+∞

Ce qui ach`eve la d´emonstration. Remarque 2.2.1 Ce dernier r´esultat concernant la continuit´e d’une int´egrale param´etrique n’est autre que la version continue du th´eor`eme de la convergence domin´ee. Th´eor`eme 2.2.2 (D´erivation sous le signe int´egrale) On suppose que : — Pour tout t ∈ I, la fonction x 7→ f (t, x) est lebesgue int´egrable sur Ω. — Pour presque tout x ∈ Ω, la fonction, t 7→ f (t, x) est d´erivable sur I. ∂f — Il existe une fonction g : Ω → [0, +∞] dans L1 (Ω) telle que | ∂t (t, x)| ≤ g(x), ∀ t ∈ I. Alors F est d´erivable sur I et on a Z ∂f F0 (t) = (t, x)dµ(x), ∀ t ∈ I. Ω ∂t 26

2.3 Changement de variables

Preuve. Soit t0 ∈ I. Montrons que F est d´erivalbe en t0 . Comme f est d´erivable par rapport a` la variable t, on a : f (t0 + n1 , x) − f (t0 , x) ∂f (t0 , x) = lim , presque pour tout x ∈ Ω. 1 n→+∞ ∂t n D’apr`es le th´eor`eme des accroissement finis, il existe cn ∈]t0 , t0 + n1 [ tel que |

f (t0 + n1 , x) − f (t0 , x) 1 n

|=|

∂f (cn , x)| ≤ g(x) presque pour tout x ∈ Ω.. ∂t0

On applique enfin le th´eor`eme de convergence domin´ee pour conclure. Exercice 2.2.1

Z

x

On pose F(t) =

e− t dµ(x). ]0,1[

1. Montrer que F est de classe C∞ sur R+∗ . e−t 2. V´erifier que, ∀ t ∈ R+∗ , F00 (t) = . t Exercice 2.2.2

Z

Soit la fonction f d´efinie sur R+ par f (t) = ]0,+∞[

arctgx dµ(x). x(1 + x2 )

1. D´eterminer le domaine de d´efinition de f . 2. Etudier la continuit´e puis la d´erivabilit´e de f . La fonction F est-elle C1 ? 3. Calculer f 0 puis d´eduire f . Z arctgx 2 4. Calculer ( ) dµ(x). x ]0,+∞[

2.3

Changement de variables

La formule connue de changement de variables appliqu´ee a` une int´egrale au sens de Riemann ou a` une int´egrale g´en´eralis´ee se r´esume de la fac¸on suivante : Soit Φ :]a, b[→ Φ(]a, b[) une application bijective de classe C1 . Alors pour toute fonction continue et int´egrable f sur l’intervalle Φ(]a, b[), on a Z Z f (y)dy = ( f oΦ)(x)|φ0 (x)|dx. Φ(]a,b[)

]a,b[

En effet, si F est une primitive, alors, F ◦ φ est une primitive de f oφ.φ0 . Cette formule s’´etend aussi pour les int´egrales au sens de Lebesgue sur un ouvert de Rd . 27

2.4 Th´eor`emes de Tonelli et de Fubini

Proposition 2.3.1 ( Formule de changement de variables) Soit Ω un ouvert de Rd et soit Φ : Ω → Φ(Ω) une fonction bijective de classe C1 ainsi que sa r´eciproque Φ−1 . Alors pour toute fonction int´egrable f sur Φ(Ω), on a Z Z f (y)dµ(y) = ( f oΦ)(x)| det Jac(Φ)(x)|dµ(x), Φ(Ω)

Ω

i ou` on d´esigne par Jac(Φ)(x) = ( ∂Φ (x))1≤i, j≤d la matrice Jacobienne de Φ en x et par det le d´eterminant ∂x j d’une matrice.

Exemple 2.3.1 (Coordonn´ees polaire) Z

2

2

e−x1 −x2 dµ(x), on consid`ere l’application Φ :

Pour calculer, par exemple, l’int´egrale double R2

]0, +∞[×]0, 2π[→ R2 \(R+ ×{0}) , (r, θ) 7→ (r cos θ, r sin θ). Sa matrice Jacobienne est ! cos θ −r sin θ Jac(Φ)(x) = sin θ r cos θ dont le d´eterminant vaut r , 0 puisque r > 0. Donc Φ est inversible, de plus elle est de classe C1 . Z Z Z 2 2 −x21 −x22 −x21 −x22 = π. e dµ(x) = e dx1 dx2 = re−r drdθ = 2π[ 12 e−r ]+∞ 0 R2

R2 \R+ ×{0}

]0,+∞[×]0,2π[

Exemple 2.3.2 (Invariance par translation) Une formule e´l´ementaire de changement de variable fr´equemment utilis´ee, affirme que, pour toute fonction int´egrable f sur Rd et pour tout a ∈ Rd , on a Z Z f (x)dµ(x) = f (x − a)dµ(x). Rd

Rd

Il suffit d’appliquer la formule de changement de variables pour la translation Φ : Rd → Rd , x 7→ x − a. Cette application Φ est bijective et v´erifie Jac(Φ)(x) = Id , (la matrice identit´e de Rd ), dont le d´eterminant est 1. La mesure de Lebesgue est donc invariante par translation.

2.4

Th´eor`emes de Tonelli et de Fubini

d2 Si Ω1 ⊂ Rd1 et Ω2 ⊂ R pour d1 , d2 ∈ N, alors le produit n deux ensembles mesurables, o cart´esien Ω = Ω1 × Ω2 = (x1 , x2 ), x1 ∈ Ω1 , x2 ∈ Ω2 est un ensemble mesurable de Rd1 × Rd2 .

28

2.4 Th´eor`emes de Tonelli et de Fubini Z Soit f : Ω → R, x = (x1 , x2 ) 7→ f (x) une fonction mesurable. Peut-on calculer Ω1 ×Ω2

f (x)dµ(x) =

Ω

Z

f (x1 , x2 )dµ(x1 )dµ(x2 ) en utilisant les int´egrales it´er´ees de fonctions partielles par rap-

port a` x1 et x2 ? La r´eponse a` cette question sera dans les deux th´eor`emes suivants : le premier concerne seulement les fonctions a` valeurs positives, le deuxi`eme est pour les fonctions r´eelles ou complexes. Th´eor`eme 2.4.1 (de Tonelli 1 ) Soit f : Ω1 × Ω2 7→ R une fonction mesurable positive. Alors, pour presque tout x1 ∈ Ω1 , la fonction x2 7→ f (x1 , x2 ) est mesurable et pour presque tout x2 ∈ Ω2 , la fonction x1 7→ f (x1 , x2 ) est mesurable et on a Z Z Z Z Z f (x)dµ(x) = ( f (x1 , x2 )dµ(x1 ))dµ(x2 ) = ( f (x1 , x2 )dµ(x2 ))dµ(x1 ). Ω

Ω2

Ω1

Ω1

Ω2

Si l’une de ces int´egrales est finie, alors f ∈ L1 (Ω1 × Ω2 ). Le th´eor`eme de Tonelli (parfois on l’appelle Fubini-Tonelli) s’applique lorsque f est meR surable positive, mˆeme si elle n’est pas Lebesgue int´egrable ou` Ω f dµ = +∞. Le deuxi`eme th´eor`eme n’exige aucune hypoth`ese sur le signe mais s’applique seulement pour des fonctions f Lebesgue int´egrables sur Ω = Ω1 × Ω2 . Th´eor`eme 2.4.2 (de Fubini 2 ) On suppose que f ∈ L1 (Ω1 × Ω2 ). Alors, Z 1. pour presque tout x1 ∈ Ω1 , les fonctions, x2 7→ f (x1 , x2 ) est dans L (Ω2 ), et x1 7→ 1

est dans L1 (Ω1 ).

Ω2

f (x1 , x2 )dµ(x2 )

Z 2. pour presque tout x2 ∈ Ω2 , la fonction x1 7→ f (x1 , x2 ) est dans L (Ω1 ) et x2 7→ 1

est dans L1 (Ω2 ). 3. de plus, Z Ω

Z f (x)dµ(x) =

Z ( Ω2

Ω1

Z f (x1 , x2 )dµ(x1 ))dµ(x2 ) =

Application : 1. Leonida Tonelli, 1885-1946 : math´ematicien Italien. 2. Guido Fubini, 1879-1943 :math´ematicien Italien.

29

Ω1

Z ( Ω2

Ω1

f (x1 , x2 )dµ(x1 )

f (x1 , x2 )dµ(x2 ))dµ(x1 ).

2.4 Th´eor`emes de Tonelli et de Fubini Z

−x2

e

Pour calculer R

Z

e−(x1 +x2 ) dµ(x1 )dµ(x2 ). On consid`ere 2

dx on utilise l’int´egrale double

2

R2

−(x21 +x22 )

, on a alors, d’apr`es Tonelli la fonction positive, f : R → x = (x1 , x2 ) 7→ e Z Z Z Z Z Z 2 −x21 −x21 −x22 −(x21 +x22 ) dµ(x1 ))dµ(x2 ) = e ( e dµ(x1 ))dµ(x2 ) = ( e dµ(x1 ))( e−x2 dµ(x2 )) < ∞. ( e R

2

R

R

R

R

R

Donc, f est Lebesgue int´egrable sur R2 et on a Z Z Z 2 −(x21 +x22 ) f (x)dµ(x) = e dµ(x1 )dµ(x2 ) = ( e−y dµ(y))2 . R2

R2

R

Contrairement au th´eor`eme de Tonelli, il est indispensable de v´erifier lors de th´eor`eme de Fubini l’int´egrabilit´e avant de clalculer les int´egrales it´er´ees. Exercice 2.4.1 Calculer les deux int´egrales Z A= 0

1

Z ( 0

1

x2 − y2 dµ(y))dµ(x) et B = (x2 + y2 )2

Conclure.

30

1

Z 0

Z ( 0

1

x2 − y2 dµ(x))dµ(y). (x2 + y2 )2

Chapitre 3 Espaces de fonctions Lebesgue int´egrables et produit de convolution Introduction Dans ce chapitre, on d´efinit les espaces fonctionnels Lebesgue int´egrables Lp , pour p ∈ {1, 2, +∞} et quelques propri´et´es de ces espaces. On introduit aussi la notion de produit de convolution dans ces espaces et on donne certaines de ses applications.

3.1

Espace de Banach

Dans tout ce chapitre on d´esigne par le corps K = R ou K = C. On rappelle qu’un K-espace vectoriel norm´e E est un espace vectoriel sur K muni d’une norme qu’on notera k.kE . Exemples 3.1.1 1. L’espace E = Rd , muni d’une de trois normes classiques : kxk1 =

d X

d X 1 |xi |, kxk2 = ( |xi |2 ) 2 ou kxk∞ = max |xi | : ∀ x ∈ Rd ,

i=1

1≤i≤n

i=1

est un espace vectoriel norm´e. 2. Si E = C([0, 1]), l’espace des fonctions continues sur [0, 1] est un espace vectoriel norm´e lorsqu’il est muni de l’une des trois normes suivantes, pour f ∈ E : R1 - k f k1 = 0 | f |dµ ; (nome de la moyenne). R1 1 - k f k2 = ( 0 | f |2 dµ) 2 ; (nome de la moyenne quadratique). - k f k∞ = supx∈[0,1] | f (x)| ; (nome de la convergence uniforme). 31

3.1 Espace de Banach

D´efinition 3.1.1 (Suite convergente) Soit (E, k.kE ) un espace vectoriel norm´e. Une suite d’´el´ements (xn ) de E est dite convergente vers x ∈ E pour la norme k.kE , si kxn − xkE → 0 , i.e., n→+∞

∀ε > 0, ∃N > 0, tel que ∀ n > N, kxn − xkE ≤ ε. D´efinition 3.1.2 ( Suite de Cauchy) On dit qu’une suite (xn ) d’un espace vectoriel (E, k.kE ) est de Cauchy, si ∀ε > 0, ∃ N > 0, tel que ∀ n, m > N, kxn − xm kE ≤ ε. ((xn ) est de Cauchy dans (E, k.kE ) si lim kxn − xm kE = 0). n,m→+∞

Remarque 3.1.1 — Toute suite convergente est de Cauchy. En effet si (xn ) une suite de E qui converge vers x ∈ E, alors  ∀  > 0, ∃ N, tel que si n ≥ N, alors kxn − xkE ≤ . 2 Ainsi, pour n, m ≥ N, kxn − xm kE = kxn − x − (xm − x)kE ≤ kxn − xkE + kxm − xkE ≤

  + = . 2 2

La suite (xn ) est bien de Cauchy. — La r´eciproque n’est pas toujours vraie. Comme contre exemple classique, soit E = C([0, 1], R) Z muni de la norme k f k1 = par :

| f (t)|dt. On consid`ere la suite de fonctions ( fn ) de E d´efinies [0,1]

  0 si    1 n(t − 2 ) si fn (t) =     1 si Soit n, m ∈ N, m < n, (voir fig (3.1))

32

1 2 1 2

0 < t < 12 , ≤ t ≤ 12 + n1 , + n1 ≤ t ≤ 1.

3.1 Espace de Banach y 1

−

1 2

p +

1 1 n 2

p +

1 m

p 1

x

Figure 3.1 – Courbes de fn et fm R Graphiquement k fn − fm k1 = [0,1] | fn (t) − fm (t)|dµ(t) repr´esente l’aire du triangle de sommets les points de coordonn´ees ( 12 , 0), ( 21 + m1 , 1) et ( 12 + n1 , 1), de hauteur 1 et de base m1 − n1 . Donc k fn − fm k1 = 12 (

1 1 − ) →0 . m n n,m→+∞

( fn ) est de Cauchy dans (C([0, 1]), k.k1 ).

0 si 0 ≤ t ≤ 21 , 1 si 12 < t ≤ 1. 2 De plus, Z d’apr´es le th´eor`eme de la convergence domin´ee, et comme | fn | ≤ 1 sur [0, 1], donc lim | fn (x) − f (x)|dµ(x) = lim k fn − f k1 = 0. (

Or ( fn ) converge simplement vers la fonction f donn´ee par f (t) =

n→+∞

[0,1]

n→+∞

Supposons que la suite ( fn ) admet une limite g dans (E, k.k1 ), alors, k f − gk1 ≤ k fn − f k1 + k fn − gk1 → 0 . n→+∞

Donc f = g, contradiction car la fonction f n’est ni continue, ni prolongeable par continuit´e. La suite ( fn ) converge pour la norme k.k1 vers la fonction f qui n’appartient pas a` E. On dit que E, l’ensemble des fonctions continues sur [0, 1], n’est pas complet pour la norme k.k1 . D´efinition 3.1.3 ( Espace de Banach 1 ) On appelle espace de Banach tout esapce vectoriel norm´e complet, i.e, tout espace vectoriel norm´e (E, k.kE ) dont toute suite de Cauchy de E converge dans E pour cette norme. Exemples 3.1.2 1. Stefan Banach, 1892-1945 : math´ematicien Polonais.

33

3.2 Espace de Lebesgue L1 (Ω)

1. Tout K- espace vectoriel, K = R ou C, de dimension finie est un espace de Banach pour toutes ses normes. 2. (Q, |.|) est un Q espace vectoriel de dimension 1 qui n’est pas complet, car, par exemple, la suite (xn ) d´efinie par xn = (1 + n1 )n est une suite de Cauchy, mais non convergente dans Q. 3. C([0, 1], R) muni de la norme infinie, dite aussi norme de la convergence uniforme, f ∈ E 7→ k f k∞ = sup | f (t)|, est un espace de Banach. Ce mˆeme espace n’est pas complet pour la norme t∈[0,1]

de la moyenne k.k1 (voir exemple de la remarque (3.1.1)). Ainsi, un espace vectoriel de dimension infinie, peut eˆtre complet pour une norme, mais non complet pour une autre. D´efinition 3.1.4 ( Espace dense) Soit (E, k.kE ) un espace vectoriel norm´e et soit F un sous espace vectoriel de E. On dit que F est dense dans E, si tout e´l´ement de E et limite dans (E, k.kE ) d’une suite d’´el´ements de F. Remarque 3.1.2 En topologie, un ensemble F est dense dans E si F¯ = E, ou` F¯ est le plus petit ferm´e de E contenant F, on l’appelle aussi fermeture, ou adh´erence de F dans E. F¯ est l’ensemble de toutes les limites de suites de F convergentes dans E. Exemple 3.1.1 D’apr`es le th´eor`eme de Stone 2 - Weiestrass 3 , on sait que toute fonction continue est limite uniforme d’une suite de polynˆomes. Donc l’ensemble de polynˆomes r´eels est dense dans (C([a, b]), k.k∞ ), pour tout intervalle [a, b] de R.

3.2

Espace de Lebesgue L1(Ω)

Dans cette partie Ω d´esigne un ensemble mesurable de mesure non nulle de Rd , pour d ∈ N∗ . On rappelle que l’espace Z 1 L (Ω) = { f : Ω → K, | f |dµ < ∞}, Ω

ou, ` µ d´esigne dans tout ce chapitre, la mesure de ZLebesgue sur Rd . On d´efinit sur L1 (Ω), l’application k.k1 : f 7→ deux propri´et´es de la norme :

| f |dµ. Cette application v´erifie alors ces Ω

2. Marshall Harvey Stone, 1903-1989 : math´emathicien Am´ericain. 3. Karl Weierstrass, 1815-1897 : math´emathicien Allemand.

34

3.3 Espaces L2 (Ω) et L∞ (Ω)

• kα f k1 = |α|k f k1 , ∀ α ∈ K, ∀ f ∈ L1 (Ω). • k f + gk1 ≤ k f k1 + kgk1 , ∀ f, g ∈ L1 (Ω). Alors que si k f k1 = 0 alors f = 0 presque partout sur Ω, donc f n’est pas forc´ement la fonction identiquement nulle sur Ω. Comme exemple on reprend le cas de f = 1Q∩]0,1[ . En cons´equence, l’application k.k1 n’est pas une norme. On dit qu’elle est une semi-norme dans L1 (Ω). On a Rmontr´e dans la proposition (1.3.2), que si f est une fonction positive int´egrable sur Ω, alors Ω f dµ = 0, si et seulement si f est nulle presque partout sur Ω. Afin de d´efinir une norme sur l’espace des fonctions Lebesgue-int´egrables, on d´efinit la relation d’´equivalence sur L1 (Ω) par : Si f, g ∈ L1 (Ω), f ∼ g si et seulement si f − g = 0 presque partout sur Ω. On note f˜ la classe d’´equivalence de f pour cette relation : n o f˜ = g ∈ L1 (Ω) / g = f p.p sur Ω .

D´efinition 3.2.1 L’espace L1 (Ω) est d´efini par : n o L1 (Ω) = f˜; f ∈ L1 (Ω) . Proposition 3.2.1 L’espace L1 (Ω) est un espace vectoriel sur K et l’application f˜ → 7 k f k1 , qui est ind´ependante du repr´esentant de f , d´efinit une norme sur L1 (Ω).

3.3

Espaces L2(Ω) et L∞(Ω)

De la mˆeme fac¸on on d´efinit l’espace vectoriel Z L (Ω) = { f : Ω → K / 2

Ω

| f |2 dµ < ∞}

qui est l’ensemble des fonctions a` carr´e int´egrables. On munit cet espace de la sem- norme Z k f k2 = (

1

Ω

| f |2 dµ) 2 .

35

3.3 Espaces L2 (Ω) et L∞ (Ω)

D´efinition 3.3.1 L’espace L2 (Ω) est d´efini par : o n L2 (Ω) = f˜ tel que f ∈ L2 (Ω) , ou, `

f˜ = {g ∈ L2 (Ω)/ f = g presque partout sur Ω}. Alors L2 (Ω) est un espace vectoriel sur K et l’application f˜ 7→ k f k2 est ind´ependante du repr´esentant de f et elle d´efinit une norme sur L2 (Ω). Z ¯ Remarque 3.3.1 Dans L2 (Ω), la norme k.k2 est celle associ´ee au produit scalaire, ( f, g) = f. gdµ, pour f, g ∈ L2 (Ω). Ainsi, dans cet espace, l’in´egalit´e de Cauchy Schwarz 4 s’´ecrit : Z | f gdµ| ≤ k f k2 kgk2 ∀ f, g ∈ L2 (Ω).

Ω

Ω

Pour les fonctions presque partout born´ees, on d´efinit l’espace L∞ (Ω). D´efinition 3.3.2 (Borne sup´erieure essentielle) Soit f : Ω → K une fonction d´efinie presque partout sur Ω. On appelle supremum essentiel de f ou la borne sup´erieure essentielle, le r´eel positif : supess f = inf{c ∈ R+ / | f (x)| ≤ c, pour presque pour tout x Ω}. On d´efinit

L∞ (Ω) = { f, Ω → K/ supess( f ) < +∞}.

Alors L∞ (Ω) est un espace vectoriel et l’application k.k∞ : f 7→ supess(f) est une semi-norme sur L∞ (Ω). D´efinition 3.3.3 L’espace L∞ (Ω) est d´efini par L∞ (Ω) = { f˜; f ∈ L∞ (Ω)}, ou`

 f˜ = g ∈ L∞ (Ω)/ f = g presque partout sur Ω .

Alors l’espace (L∞ (Ω), k.k∞ ) est un espace vectoriel norm´e. 4. Hermann Amandus Schwarz, 1843-1921 : math´ematicien Allemand

36

3.4 Propri´et´es des espaces Lp (Ω)

Remarques 3.3.1 1. En g´en´eral, on identifie tout e´l´ement f˜ ∈ Lp (Ω), pour p = 1, 2 ou ∞, par son repr´esentant f . 2. Si f ∈ L∞ (Ω), alors, pour presque tout x ∈ Ω, | f (x)| ≤ k f k∞ . 3. Pour une fonction continue, la norme infinie correspond a` sa borne sup´erieure. Ceci n’est pas toujours le cas comme le montrera l’exemple suivant : k1Q k∞ = 0, mais sup |1Q | = 1. R

Exercice 3.3.1 1. Soit α ∈ R et on consid`ere la fonction fα :]0, 1[→ n R, xo 7→ p fonction fα appartient-elle a` L (]0, 1[), pour p ∈ 1, 2, ∞ .

1 . xα

A quelles conditions sur α la

2. Montrer en g´en´eral les inclusions suivantes : L∞ (]0, 1[) ⊂ L2 (]0, 1[) ⊂ L1 (]0, 1[). 3. A t-on des inclusions r´eciproques ? 4. Soit α, β ∈ R+ et on consid`ere la fonction gα,β :]0, +∞[→ R, x 7→

1 . xα (1+xβ )

Donner des n o conditions sur α et β pour que la fonction gα,β appartienne a` Lp (]0, +∞[), pour p ∈ 1, 2 .

5. En d´eduire qu’il n’y a aucune inclusion entre L1 (]0, +∞[ et L2 (]0, +∞[).

3.4

Propri´et´es des espaces Lp(Ω)

Proposition 3.4.1 Les espaces (Lp (Ω), k.kp ), pour p ∈ {1, 2, ∞}, sont des espaces de Banach. Preuve. On traitera d’abord le cas p = ∞ puis p = 1 ou p = 2. Soit ( fn ) une suite de Cauchy dans Lp (Ω). Alors, pour ∀ > 0, il existe N(ε) tel que ∀ n, m ≥ N(ε), k fn − fm kp ≤ . - Cas p = ∞ Pour  fix´e, et pour n ≥ N() et m ≥ N() donn´es, | fn (x) − fm (x)| ≤ k fn − fm k∞ ≤ , presque pour tout x ∈ Ω. Il existe alors, un ensemble n´egligeable A,n,m , qui d´epend de , n et m, tel que, ∀ x ∈ Ω\A,n,m , ∀ n, m ≥ N(ε), on a | fn (x) − fm (x)| ≤ . La r´eunion d´enombrable sur n et m des ensembles n´egligeables A,n,m donne un ensemble A qui est aussi n´egligeable ou` on obtient, ∀ x ∈ Ω\A , ∀ n, m ≥ N(ε), on a | fn (x) − fm (x)| ≤ . 37

3.4 Propri´et´es des espaces Lp (Ω)

En cons´equence, la suite ( fn (x)) est presque partout de Cauchy dans l’espace complet K = R ou C, elle converge donc presque partout vers f (x). Comme ∀ m ≥ n ≥ N(ε), on a | fn (x) − fm (x)| ≤ , et si on tend m vers +∞, on obtient, pour n ≥ N() et pour presque tout x ∈ Ω, | fn (x) − f (x)| ≤ . De cette derni`ere in´egalit´e, on d´eduit que | f (x)| ≤ | fn (x)| +  presque partout sur Ω, et donc f ∈ L∞ (Ω). Enfin, pour n ≥ N(), on a k fn − f k∞ ≤ ε, la suite ( fn ) converge bien vers f dans L∞ (Ω). - Cas p = 1 ou p=2 k X 1 Pour k ∈ N, on pose nk = N( i ), alors, nk ≤ nk+1 et par cons´equent, 2 i=1 k fnk+1 − fnk kp ≤

1 . 2k

Pour simplifier, on notera gk = fnk , alors la sous suite (gk ) de ( fk ) v´erifie kgk+1 − gk kp ≤

1 , ∀ k ∈ N. 2k

+∞ X Montrons que la s´erie (gk+1 − gk ) est absolument convergente sur Ω. Pour x ∈ Ω,

soit Gn (x) =

n X

k=1

|gn+1 (x) − gn (x)|, alors,

k=1

kGn kp ≤

n X k=1

∞ X 1 < ∞. kgk+1 − gk kp ≤ 2k k=1

(3.1)

Par cons´equent Gn ∈ Lp (Ω). La suite (Gn ) est la somme partielle d’une s´erie a` termes positifs qui converge vers +∞ X G(x) = |gk+1 (x) − gk (x)|, d’apr`es le th´eor`eme de la convergence domin´ee, et suite a` k=1

l’in´egalit´e (3.1), on obtient Z

Z

lim

n→+∞

|Gn | dµ = p

Ω

Ω

|G|p dµ < +∞.

+∞ X La fonction G ∈ L (Ω) et la s´erie (gk+1 (x) − gk (x)) est absolument, donc simplement p

k=1

convergente sur Ω et en cons´equence, la suite de fonctions (gn ) est aussi simplement 38

3.5 Produit de convolution et densit´e

P convergente, puisque gn = f1 + n−1 k=1 (gn+1 − gn ). Soit f cette limite simple de (gn ) sur Ω. La fonction f est mesurable et comme | f | ≤ G, donc f ∈ Lp (Ω). Enfin, on utilise le th´eor`eme de la convergence domin´ee pour conclure que lim kgn − f kp = 0. n→+∞

La suite de Cauchy (gn ) admet une sous suite qui converge vers f dans Lp (Ω), elle aussi converge donc vers f dans Lp (Ω). Ce qui ach`eve la d´emonstration.

Remarque 3.4.1 De la d´emonstration pr´ec´edente, on d´eduit que si une suite ( fn ) converge dans Lp (Ω), vers f , alors, on peut en extraire une sous suite presque partout convergente sur Ω. En g´en´eral, et comme on pourra le voir de l’exercice (3.3.1), il n’existe aucune relation d’inclusion entre les trois espaces Lp (Ω), pour p=1, 2 ou ∞ sauf que si Ω est born´e. Proposition 3.4.2 ( Cas d’un domaine born´e) Si Ω est born´e de Rd , on a les inclusions suivantes : L∞ (Ω) ⊂ L2 (Ω) ⊂ L1 (Ω). Preuve. Grˆace a` l’in´egalit´e de Cauchy Schwarz on a : L2 (Ω) ⊂ L1 (Ω), puisque toute fonction f ∈ L2 (Ω) v´erifie : Z Z Z 1 1 1 2 | f |dµ ≤ ( | f | dµ) 2 ( 12 dµ) 2 = k f k2 µ(Ω) 2 < ∞. Ω

Ω

Ω

Si maintenant f ∈ L∞ (Ω), alors | f (x)| ≤ k f k∞ presque pour tout x ∈ Ω et par cons´equent : R k f k1 = Ω | f (x)|dµ(x) ≤ µ(Ω)k f k∞ < ∞. Ainsi f ∈ L1 (Ω).

3.5

Produit de convolution et densit´e

Pour simplifier on introduit la convolution sur R ( d = 1 ) et on consid`ere f et g deux fonctions d´efinies sur R. D´efinition 3.5.1 On appelle produit de convolution de f et g la fonction f ∗ g d´efinie sur R par Z f ∗ g(x) = f (x − t)g(t)dµ(t). R

Avec le changement de variable, t 7→ x − t, on obtient f ∗ g = g ∗ f . De plus, et lorsqu’elle est d´efinie, l’application ( f, g) 7→ f ∗ g est une application bilin´eaire. Comment faut-il alors choisir f et g pour que f ∗ g soit bien d´efinie ? 39

3.5 Produit de convolution et densit´e

Proposition 3.5.1 (Convolution dans L1 (R)) Si f, g ∈ L1 (R), alors f ∗ g ∈ L1 (R) et on a k f ∗ gk1 ≤ k f k1 kgk1 . Preuve. On a Z Z Z Z Z | f ∗ g|(x)dµ(x) ≤ | f (x − t)||g(t)|dµ(t)dµ(x) = |g(t)|( | f (x − t)|dµ(x))dµ(t). R

R

R

R

R

Ici on a utilis´e le th´eor`eme de Tonelli pour it´erer les int´Z egrales. Par le changement de variable, y = x − t, on obtient

Z

| f (x − t)|dµ(x) = R

cons´equent, Z

Z

Z

| f ∗ g|(x)dµ(x) ≤ R

| f (y)|dµ(y) < ∞.

|g(t)|dµ(t) R

Ainsi f ∗ g ∈ L1 (R) et

| f (y)|dµ(y). Par R

R

k f ∗ gk1 ≤ k f k1 kgk1 .

Proposition 3.5.2 Si f ∈ L1 (R) et si g ∈ Lp (R), pour p = 1, p = 2 ou ∞, alors f ∗ g ∈ Lp (R) et on a k f ∗ gkp ≤ k f k1 kgkp . Preuve. 1. Le cas p = 1 est d´eja trait´e. Si p = +∞, alors | f (x − t)g(t)| ≤ | f (x − t)|kgk∞ . Pour tout x ∈ R. Z Z | f ∗ g(x)| ≤ kgk∞ | f (x − t)|dµ(t) = | f (z)|dµ(z)kgk∞ = k f k1 kgk∞ . R

R

Donc f ∗ g ∈ L∞ (R) et k f ∗ gk∞ ≤ k f k1 kgk∞ . 1

1

2. Si p = 2, pour tout x ∈ R, | f (x − t)g(t)| = (| f (x − t)| 2 |g(t)|)| f (x − t)| 2 . D’apr`es Cauchy Schwarz, Z Z 2 2 | f ∗ g(x)| ≤ ( | f (x − t)||g(t)| dµ(t)) | f (x − t)|dµ(t) R R Z = (| f | ∗ |g|2 )(x) | f (y)|dµ(z) R

=

(| f | ∗ |g|2 )(x)k f k1

40

3.5 Produit de convolution et densit´e

Comme f ∈ L1 (R) et |g|2 ∈ L1 (R), donc (| f | ∗ |g|2 ) ∈ L1 (R) et on a Z 2 k| f | ∗ |g| k1 = | f | ∗ |g|2 (x)dµ(x) ≤ k f k1 k|g|2 k1 = k f k1 kgk22 . R

Finalement Z 1 1 1 k f ∗ gk2 = ( | f ∗ g|2 (x)dµ(x)) 2 ≤ (k| f | ∗ |g|2 k1 ) 2 k f k12 ≤ k f k1 kgk2 . R

Proposition 3.5.3 Si f ∈ L1 (R) et si g une fonction de classe Cm de R telle que g(k) , pour k = 0, ..., m, sont born´ees sur R, alors f ∗ g est aussi de classe Cm sur R et on a ( f ∗ g)(k) = f ∗ g(k) , ∀ k = 0, ..., m . Z Preuve. Comme | f ∗ g(x)| ≤

f (t)g(x − t)dµ(t), en x ∈ R, donc, on utilise alors le th´eor`eme R

de d´erivation sous le signe int´egrale pour montrer d’abord que f ∗ g est d´erivable et que ( f ∗ g)0 = f ∗ g0 , puis par r´ecurrence pour montrer que ( f ∗ g)(k) = f ∗ g(k) , pour k = 1, ..., p quelconque. La fonction f ∗ g qui est au moins continue est une r´egularisation de la fonction f . D´efinition 3.5.2 ( Support d’une fonction) Soit f : Ω → K, (K = R ou C) une fonction mesurable. Le support de f est l’ensemble not´e Supp( f ), est qui d´efini par Supp( f ) = {x ∈ R, f (x) , 0}. C’est le plus petit ferm´e contenant l’ensemble {x/ f (x) , 0} en dehors duquel f est nulle. Proposition 3.5.4 (Convolution dans L2 (R)) Si f et g ∈ L2 (R), alors f ∗ g ∈ L∞ (R) et k f ∗ gk∞ ≤ k f k2 kgk2 . Si de plus f est continue a` support compact, alors, f ∗ g est uniform´ement continue. Preuve.

Z | f ∗ g(x)| ≤

| f (x − t)g(t)|dµ(t) R Z Z 1 1 2 ≤ ( | f (x − t)| dµ(t)) 2 ( |g|2 (t)dµ(t)) 2 , R Z Z R 1 1 = ( | f (y)|2 dµ(y)) 2 ( |g|2 (t)dµ(t)) 2 . R

R

41

3.5 Produit de convolution et densit´e

D‘ou` le premier r´esultat. Si de plus f est continue a` support compact K, elle est donc uniform´emment continue. Montrons que f ∗ g est aussi uniform´emment continue. En effet, pour  > 0, il existe η > 0 tel que si x, x0 ∈ R v´erifiant |x − x0 | ≤ η, alors 

. 1 (2µ(K)) 2 kgk2 Z Z 1 0 0 | f ∗g(x)− f ∗g(x )| = | ( f (x−y)− f (x −y))g(y)dµ(y)| ≤ ( | f (x−y)− f (x0 −y)|2 dµ(y)) 2 kgk2 ≤ 2µ(K)02 kgk2 = , | f (x) − f (x0 )| ≤ 0 =

J

R

avec J = (x − K) ∪ (x0 − K). f ∗ g est donc uniform´ement continue sur R. Remarque 3.5.1 La continuit´e uniforme de f ∗ g est aussi v´erifi´ee si g est continue a` support compact et f ∈ L1 (R), puisque dans ce cas Z Z 0 0 | f ∗ g(x)− f ∗ g(x )| = | ( f (x− y)− f (x − y))g(y)dµ(y)| ≤ | f (x− y)− f (x0 − y)|dµ(y)kgk∞ . (x−K)∪(x0 −K)

R

Les suites de fonctions dite unit´es approch´ees servent dans ce cours pour montrer un r´esultat de densit´e des fonctions de classes C∞ a` support compact dans les espaces Lp (R). D´efinition 3.5.3 (Approximation de l’unit´e) On appelle approximation de l’unit´e (ou unit´e approch´ee), toute suite de fonctions positives (ρn ) v´erifiant : Z Z ρn (x)dµ(x) = 1 et ∀η > 0, lim

n→+∞

R

ρn (x)dµ(x) = 0. |x|>η

La derni`ere condition signifie que la masse de ρn se concentre autour de 0.

Exercice 3.5.1 Monrer que si ρ une fonction int´egrable positive, alors la suite (ρn ) donn´ee par ρn (x) = nρ(nx) est une approximation de l’unit´e. Les trois lemmes qui suivent sont pour montrer que suivant des hypoth`eses sur les fonctions ρn , les fonctions f ∗ ρn seront ”r´eguli`eres” et convergent vers f suivant un sens qu’on pr´ecisera. Lemme 3.5.1 Soit f une fonction continue a` support compact sur R. Alors, pour toute approximation de l’unit´e (ρn )n , la suite de fonctions ( f ∗ ρn )n converge uniform´ement vers f sur R. 42

3.5 Produit de convolution et densit´e

Preuve. Soit  donn´e. La fonction ρn est d’int´egrale 1, alors, pour tout x ∈ R Z f ∗ ρn (x) − f (x) = ( f (y − x) − f (x))ρn (x)dµ(y). R

Comme f est continue a` support compact, alors, elle est uniform´ement continue, il existe donc η > 0 tel que si |y| ≤ η, alors | f (y − x) − f (x)| ≤ 2 . Ainsi Z  | f (y − x) − f (x)|ρn (y)dµ(y) ≤ . 2 |y|≤η Par ailleurs,

Z

Z ρn (x)dµ(y).

| f (y − x) − f (x)|ρn (y)dµ(x) ≤ 2k f k∞ |y|≥η

|y|≥η

Z ρn (x)dµ(y) = 0, il existe n0 > 0 tel que si n ≥ n0 ,

Comme lim

n→+∞

Z

|y|≥η

ρn (x)dµ(y) ≤ |y|≥η

 . k f k∞

Les deux estimations pr´ec´edentes donnent , pour n ≥ n0 , pour tout x ∈ R, | f ∗ ρn (x) − f (x)| ≤

  + = . 2 2

D’ou` la convergence uniforme de ( f ∗ ρn ) vers f sur R. Lemme 3.5.2 Soit f une fonction continue a` support compact sur R. Alors, pour toute approximation de l’unit´e (ρn )n a` support inclu dans un compact K ind´ependant de n, la suite de fonctions ( f ∗ ρn )n converge vers f dans Lp (R) pour p = 1 ou p = 2. Preuve. On sait d´eja, d’apr`es ce qui pr´ec`ede, que f ∗ ρn est dans L1 (R) ∩ L2 (R) et que ( f ∗ ρn )n converge uniform´ement vers f sur R, ( i.e, k f ∗ ρn − f k∞ → 0) . Sans perte de g´en´eralit´e, n→+∞

on suppose que ρn est a` support dans [−1, 1], pour tout entier n. Soit M > 0 tel que f est a` support dans [−M, M]. Par cons´equent f ∗ ρn est a` support dans [−M − 1, M + 1] et pour p = 1 ou 2, on a Z 1 1 k f ∗ ρn − f kp ≤ ( I[−M−1,M+1] | f ∗ ρn − f kp dµ) p ≤ (2M + 2) p k f ∗ ρn − f k∞ → 0. n→+∞

R

Lemme 3.5.3 Soit f ∈ Lp (R), p = 1 ou 2. Alors pour toute approximation de l’unit´e (ρn )n , la suite de fonctions ( f ∗ ρn )n converge vers f dans Lp (R).

43

3.5 Produit de convolution et densit´e

Preuve. Soit p = 1 ou p = 2. Si la suite (ρn ) est a` support inclu dans [−1, 1] pour tout n, alors pour toute fonction continue g sur R a` support compact, on a k f ∗ ρn − f kp ≤ k( f − g) ∗ ρn kp + kg ∗ ρn − gkp + kg − f kp . Soit  > 0. De la densit´e de l’espace des fonctions continues sur R a` supports compacts Cc (R) dans Lp (R), il existe g dans Cc (R), tel que kg − f kp ≤ 3 . Pour cette fonction g, et d’apr`es le lemme pr´ec´edent, on a kg ∗ ρn − gkp → 0 . Il existe n0 tel que pour n ≥ n0 , kg ∗ ρn − gkp ≤ 3 . n→+∞

Puisque ρn ∈ L1 (R) et f, g ∈ Lp , d’apr`es la proposition (3.5.2), on a  k( f − g) ∗ ρn kp ≤ kρn k1 k f − gkp ≤ . 3 En conclusion, pour tout  > 0, il existe n0 > 0, tel que si n ≥ n0 , alors k f ∗ ρn − f kp ≤ . La suite ( f ∗ ρn ) converge donc uniform´ement vers f dans Lp (R). Si les supports de ρn ne sont pas uniform´ement born´es, on consid`ere dans ce cas la suite ρ˜n = cn ρn φ, pour φ une fonction positve presque partout non nulle, de classe C∞ sur R a` support dans [−1, 1] et cn = R ρ1φdµ . On v´erifie que lim cn = 1 et que (ρ˜ n )n est une R

n→+∞

n

approximation de l’unit´e. De plus, comme f ∗ ρ˜ n − f = cn ( f ∗ ρn − f ) − cn ρn (1 − φ) − (1 − cn ) f, donc f ∗ ρn tend vers f dans Lp (R) puisque, la suite r´eelle (cn ) tend vers 1 et le membre de gauche tend vers 0 dans Lp (R) d’apr`es la premi`ere partie. Ce qui ach`eve la d´emonstration. On consid`ere D(R), l’espace des fonctions de classe C∞ sur R a` support compact. Alors, D(R) est un K- espace vectoriel. Si on choisit la suite (ρn ) dans le dernier lemme dans D(R), alors f ∗ ρn est aussi C∞ et a` support compact qui converge vers f dans Lp (R). Proposition 3.5.5 L’espace D(R) est dense dans Lp (R), p = 1 ou 2. Attention D(R) n’est pas dense dans L∞ (R).

3.5.1

Applications

En genie e´ lectrique par exemple lorsqu’ on allume une source de tension d’un courant continu (DC) a` t = 0, on obtient ( un signal repr´esent´e par une fonction echelon appel´ee aussi 1 si t > 0 fonction de Heavside u(t) = . 0 si t < 0

44

3.5 Produit de convolution et densit´e

Figure 3.2 – Fonction e´chelon unit´e Si on consid`ere un e´ chelon qu’ on allume a` t = a puis un deuxi`eme e´ chelon n´egatif a` t = b qui permet d’´eteindre le premier, on obtient le signal repr´esent´e par la fonction porte suivante : Πa,b = I[a,b] . Cette fonction porte est utilis´ee en physique parfois pour d´esigner des signaux de dur´ee finie.

Figure 3.3 – Fonction porte Cette fonction porte peut repr´esenter la densit´e de charge d’une boule de diam`etre D centr´ee sur l’origine de densit´e uniforme ρ0 . Sa densit´e sur tout l’espace en coordonn´es sph´eriques est ρ(r) = ρ0 Π( Dr ). La fonction triangle unit´e not´ee tri est d´efinie par tri(t) = (1 − |t|)I[0,1] .

45

3.5 Produit de convolution et densit´e

Figure 3.4 – Fonction triangle Filtrage des signaux a` temps continue Le filtrage d’un signal provenant de plusieurs sources consiste a` s´eparer les composantes de ce signal suivant leurs fr´equences. A un signal d’entr´ee f on associe le signal filtr´e (ou r´egularis´e) f ∗ , en lui appliquant un produit de convolution avec une fonction g appel´ee R ∗ r´eponse impulsionnelle du filtre, f (t) = f ∗ g(t) = R f (τ)g(t − τ)dt. En traitement de signal on utilise le produit de convolution pour r´eduire le ”bruit”. La convolution d’une fonction f par exemple par une fonction porte de largeur a et d’int´egrale 1, a parfois pour effet d’att´enuer les fluctuations rapides de f . Si f est la fonction tri, et g = Π−1,1 alors  Z 1 Z  0 si |t| > 2    1 2 ( 2 (2 − |t|) si 1 < |t| ≤ 2 . f ∗ g(t) = (1 − |τ|)g(t − τ)dτ = (1 − |τ|)dτ =     1 − 1 t2 −1 [−1,1]∩[t−1,t+1] si |t| ≤ 1 2

Figure 3.5 – Convolution d’un signal triangle avec un signal porte 46

3.5 Produit de convolution et densit´e

Corr´elation des signaux En th´eorie de signal, un signal s est dit d’energie finie si s ∈ L2 (R). La fonction d’intercorr´elaion entre deux signaux r´eels s1 et s2 Z Cs1 ,s2 (τ) = s1 (t)s2 (t − τ)dt = s1 ∗ s˜2 , R

ou` s˜2 : t 7→ s2 (−t). Lorsque s1 = s2 , on parle d’autocorr´elation. La corr´elation qui apparait comme un produit de convolution du premier signal avec le conjugu´e du second signal retourn´e a` l’instant τ, est une mesure e´ nerg´etique de la similitude de forme et de position entre deux signaux d´ecal´es. En particulier la fonction d’autocorr´elation sert a` mesurer le degr´e de ressemblance entre un signal et sa version d´ecal´ee dans le temps. Contrairement au produit de convolution, la fonction de corr´elation n’est pas commutative. On verra au chapitre suivant qu’on peut e´ crire les solutions de quelques e´ quations diff´erentielles comme un produit de convolution. En probabilit´e, la somme de deux variables al´eatoires ind´ependantes de densit´es de probabili´e f et g, est une variable al´eatoire de densit´e f ∗ g. Exercice 3.5.2 Calculer f ∗ g lorsqu’elle est d´efinie, pour les fonctions suivantes : 1. f = g = I[−1,1] . 2

2. f = g : x ∈ R 7→ e−x .

47

Chapitre 4 Transform´ee de Fourier et transform´ee de Laplace Introduction On rappelle que toute fonction p´eriodique continue par morceaux, se d´eveloppe presque partout sur R en une s´erie de Fourier. On e´ tudiera dans ce chapitre la repr´esentation d’une fonction non forc´ement p´eriodique par une int´egrale dite int´egrale de Fourier. On commencera par les fonctions Lebesgue int´egrables de L1 (Rd ) puis les fonctions a` carr´e Lebesgue int´egrables de L2 (Rd ). Dans la deuxi`eme partie de ce chapitre, on abordera la transform´ee de Laplace qui n’est qu’une extension au plan complexe de la transform´e de Fourier. On d´esigne par µ la mesure de Lebesgue sur Rd .

4.1

Transform´ee de Fourier sur L1(R).

Pour simplifier, on introduit la transform´ee de Fourier 1 sur R au lieu de Rd , (on prend le cas d = 1). On d´efinit alors la transform´ee de Fourier d’une fonction d’une variable r´eelle a` valeurs complexes, f : R → C. D´efinition 4.1.1 Soit f ∈ L1 (R). On appelle transform´ee de Fourier de f la fonction fb: R 7→ C, de variable r´eelle et a` valeurs complexes, d´efinie par Z 1 b f (x)e−iyx dµ(x), f (y) = √ 2π R ou` i ici d´esigne le nombre complexe tel que i2 = −1. 1. Joseph Fourier, 1768-1830 : math´ematicien et physicien Franc¸ais.

48

4.1 Transform´ee de Fourier sur L1 (R).

L’application F : f 7→ fbest appel´ee application transform´ee ou transformation de Fourier. Exemple 4.1.1 Fonction porte La transform´ee de Fourier de la fonction porte Π = I[0,1] est Z 2 sin y 1 1 b e−iyx dµ(x) = √ [e−iyx ]x=1 . Π(y) = √ x=−1 = √ 2π [−1,1] 2π(−iy) 2πy

Figure 4.1 – Transform´ee de Fourier de la fonction porte Th´eor`eme 4.1.1 Soit f ∈ L1 (R), alors a) La fonction fbest d´efinie et continue sur R. b) La fonction fb∈ L∞ (R) et on a k fbk∞ ≤

√1 k f k1 . 2π

c) lim fb(y) = 0. |y|→+∞

Preuve. a) La fonction Ψ : R2 ; (x, y) 7→ f (x)e−iyx est continue par rapport a` la variable y sur R et v´erifie |Ψ(x, y)| ≤ √12π | f (x)|, pour tout y ∈ R et avec f ∈ L1 (R). Donc fbest d´efinie sur R et d’apr`es le th´eor`eme de continuit´e d’une int´egrale d´ependant d’un param`etre, fbest alors continue sur R. 49

4.1 Transform´ee de Fourier sur L1 (R).

b) Comme pour tout y ∈ R, on a : Z Z 1 1 1 | fb(y)| ≤ √ |Ψ(y)|dµ(y) ≤ √ | f (y)|dµ(y) = √ k f k1 , 2π R 2π R 2π donc fb∈ L∞ (R) et k fbk∞ ≤

√1 k f k1 . 2π

c) On utilise la densit´e de D(R) dans L1 (R). En effet si f ∈ D(R), par intgration par partie, ´ Z Z h e−ixy i+∞ 1 −ixy + f 0 (x)e−ixy dµ(x). f (x)e dµ(x) = f (x) −∞ −iy iy R R =0

En cons´equence, fb(y) =

1 b0 f (y) iy

| fb(y)| ≤

1 1 b0 k f k∞ ≤ √ k f 0 k1 → 0 . |y|→+∞ |y| 2π|y|

Si f ∈ L1 (R), alors f = lim fn dans L1 (R), pour fn ∈ D(R), (k fn − f k1 → 0 ). Soit ε > 0, n→+∞

il existe n0 ∈ N, tel que si n ≥ n0 , k fn − f k1 ≤ 2ε . Or

n→+∞

1 | fb(y)| ≤ | fb(y) − fbn0 (y)| + | fbn0 (y)| ≤ √ k fn0 − f k1 + | fbn0 (y)|. 2π Comme lim | fbn0 (y)| = 0, il existe alors A > 0, tel que si |y| > A, on a : | fbn0 (y)| ≤ 2ε . |y|→+∞

Ainsi, pour |y| > A, | fb(y)| ≤

ε 2

+

ε 2

≤ ε.

La propri´et´e c) de (4.1.1) est connue sous le nom de Lemme de Riemann-Lebesgue. Exercice 4.1.1 Calculer la transform´ee de Fourier des fonctions suivantes : f = I[−1,1] , g : x 7→ e−|x| , h : x 7→ xn e−x I]0,+∞[ (x). Proposition 4.1.1 (Transform´ee de Fourier et d´erivation) Soit f ∈ L1 (R). i) Si f est de classe C1 sur R et si f et f 0 ∈ L1 (R), alors, la tranform´ee de Fourier de la fonction d´eriv´ee f 0 est donn´ee par : fb0 (y) = iy fb(y), ∀y ∈ R.

50

4.1 Transform´ee de Fourier sur L1 (R).

ii) Si la fonction x 7→ x f (x) est L1 (R), alors fbest de classe C1 sur R et la d´eriv´ee de la transform´ee de Fourier v´erifie : [f ) (y), ∀ y ∈ R. fb 0 (y) = (−ix Preuve. i) Soit f ∈ C1 (R) ∩ L1 (R). On montre d’abord qu’il existe une suite de r´eels (cnn ) qui tend vers +∞ telle que lim f (cn ) = 0. En effet, pour tout a ∈ R, l’ensemble x ∈ R, x > n→+∞ o a, tel que | f (x)| ≤ n1 est non vide, pour tout entier non nul n. Sinon, il existe a > 0 et n0 ∈ N∗ , tels que | f (x)| > n10 , ∀ x > a. Ainsi Z +∞ = ]a,+∞[

I dµ ≤ n0

Z

Z | f |dµ < ∞.

| f |dµ ≤ ]a,+∞[

R

Soit c0 = 1, on prend c1 > 1 tel que | f (c1 )| ≤ 1, et par r´ecurrence, connaissant cn−1 , on choisit cn > max(cn−1 , n) v´erifiant | f (cn )| ≤ n1 . Alors, clairement, la suite (cn ) croit vers +∞ quand n tend vers +∞ et lim f (cn ) = 0. De mˆeme, on montre l’existence n→+∞

d’une suite (dn ) qui tend vers −∞ telle que lim f (dn ) = 0. Grace au th´eor`eme de la n→+∞

convergence domin´ee, on peut v´erifier facilement que Z Z √ −ixy lim f (x)e dµ(x) = lim I]dn ,cn [ f (x)e−ixy dµ(x) = 2π fb(y). n→+∞

]dn ,cn [

n→+∞

R

Sachant que f est de classe C1 sur R, alors une int´egration par partie donne Z Z 1 1 1 1 1 −ixy −ixy cn f (x)e dµ(x) = − √ [ f (x)e ]dn + f 0 (x)e−iyx dµ(x). √ √ iy iy 2π ]dn ,cn [ 2π 2π ]dn ,cn [ Il suffit de faire tendre n vers +∞ pour conclure la relation entre les fonctions fˆ et b f 0. ii) Pour montrer que fbest d´erivable, il suffit d’appliquer le th´eor`eme de d´erivation sous le signe int´egrale, en consid´erant la fonction Ψ : (x, y) 7→ f (x)e−iyx . Cette derni`ere est de classe C1 par rapport a` la variable y et elle v´erifie, pour tout y ∈ R, ∂Ψ (x, y) = −ixΨ(x, y), ∂y 1 1 b donc |Ψ(x, y)| ≤ |x Zf (x)|. Comme x 7→ x f (x) est dans L (R), donc f est de classe C sur (−ix f (x))e−ixy dµ(x). R et fb0 (y) = √12π R

Pour les d´eriv´ees d’ordre sup´erieur et par r´ecurrence, on montre que : Proposition 4.1.2 51

4.1 Transform´ee de Fourier sur L1 (R).

i) Si f est de classe Cn sur R et si f, f 0 , ..., f (n) ∈ L1 (R), alors, ∀k ∈ {1, ..., n} c f (k) (y) = (iy)k fb(y), ∀ y ∈ R. ii) Si x 7→ xk f est L1 (R) pour tout k ∈ {0, 1, ..., n}, alors fbest n− fois d´erivable sur R et pour tout k ∈ {1, ..., n}, [k f ) (y), ∀ y ∈ R. fb(k) (y) = ((−ix) Exemple 4.1.2 : 2 2 La fonction f : x 7→ e−α x appartient a` L1 (R) si α , 0, et elle v´erifie f 0 (x) = −2xα2 f (x), ∀ x ∈ R. Donc, f 0 ∈ L1 (R) et elle v´erifie d iy fb(y) = b f 0 (y) = 2iα2 iy f 0 (y) = −2iα2 fb0 (y). Donc fˆ est solution de l’´equation diff´erentielle, u0 (y) = − 2α1 2 yu(y) sur R, donc, y2

u(y) = fˆ(y) = Ce− 4α2 , ou`

√ 1 C = fb(0) = √ 2π

Z

−α2 x2

e R

2 dµ(x) = √ |α| π

Z

2

e−x dµ(x) = √ ]0,+∞[

1 2|α|

.

b Cette application v´erifie facilement alors fb= f. La tranform´ee de Fourier v´erifie aussi les propri´et´es de parit´e, de translation, et d’homoth´etie ou de changement d’´echelle suivantes : Propri´et´es 4.1.1 b 1. fb(−y) = f (y), pour tout y ∈ R, ou` ici f¯ d´esigne la fonction conjugu´ee dans C de f : R → C. 2. Si f : R → R est paire (resp. impaire), alors fbest paire (resp. impaire). 3. Si g(x) = f (x − a), pour a ∈ R, alors g ∈ L1 (R) et b g(y) = e−iya fb(y). 4. Si g(x) = f (αx), pour α > 0, alors b g(y) =

1 α

y fb( α ).

La transform´ee de Fourier transforme le produit de convolution en produit simple : Proposition 4.1.3 (Transform´ee de Fourier et produit de convolution) Soit f, g ∈ L1 (R. Alors √ fd ∗ g(y) = 2π fb(y).b g(y), ∀ y ∈ R. 52

4.1 Transform´ee de Fourier sur L1 (R).

Preuve. Soient f et g deux fonctions de L1 (R). On sait d´eja que f ∗ g ∈ L1 (R), donc fd ∗ g est bien d´efinie et pour tout y ∈ R, en appliquant le th´eor`eme de Fubini, on obtient : Z Z Z Z 1 1 −ixy d f ∗ g(y) = √ ( f (x − t)g(t)dµ(t))e dµ(x) = √ ( f (x − t)e−ixy dµ(x))g(t)dµ(t). 2π R R 2π R R Avec le changement de variable z = x − t dans la premi`ere int´egrale, on obtient Z Z Z √ 1 −izy −ity d b f ∗ g(y) = √ g(y). ( f (z)e dµ(z))e g(t)dµ(t) = f (y) e−ity g(t)dµ(t) = 2π fb(y)b 2π R R R Le lemme suivant sera fort utile pour la suite Lemme 4.1.1 (de transfert) Pour toutes fonctions f et g dans L1 (R), on a Z Z b f gdµ = fb gdµ. R

R

Preuve. Si f et g sont dans L1 (R), alors fbet b g sont dans L∞ (R), et par cons´equent fb g et f b g sont dans L1 (R). Par le th´eor`eme de Fubini, on a R R R b(y)g(y)dµ(y) = √1 ( f (x)e−ixy dµ(x))g(y)dµ(y) f R 2π RR RR = √12π R ( R g(y)e−ixy dµ(y)) f (x)dµ(x) R = f (x)b g(x)dµ(x). R La formule de transformation inverse donne f en fonction de fb. Proposition 4.1.4 (Transform´ee de Fourier inverse) Soit f ∈ L1 (R). Si fbest aussi dans L1 (R), alors Z 1 b f (x) = √ fb(y)eixy dµ(y) = fb(−x). 2π R Preuve. On se limetera dans la d´emonstration a` traiter le cas d’une fonction f continue sur R. Grace a` la propri´et´e de translation on pourra se ramener a` x = 0. Quitte a` remplacer f 2 par x 7→ f (x) − f (0)e−x et sans perte de g´en´eralit´e on suppose que f (0) = 0. Dans ce cas, pour 2 2 α , 0, la fonction x 7→ e−α x est dans L1 (R). D’apr`es la formule de transfert, 53

4.1 Transform´ee de Fourier sur L1 (R).

R R

2 2 fb(y)e−α y dµ(y) =

R R

−α2 y2 dµ(y) f (y)e[

R y2 = RR f (y) α1 e− α2 dµ(y) . 2 = R f (αy)e−y dµ(y)

D’apr`es le th´eor`eme de la convergence domin´ee, et comme fb∈ L1 (R), l’int´egrale de gauche, b tend vers fb(0) lorsque α tend vers 0.. L’int´egrale de terme de droite s’´ecrit Z Z Z 2 −y2 −y2 f (αy)e dµ(y) = f (αy)e dµ(y) + f (αy)e−y dµ(y). |y|≤ √1α

R

Or

Z

−y2

f (αy)e

|

|y|> √1α

Z

2

e−y dµ(y) → 0 .

dµ(y)| ≤ sup | f (u)| √

|y|≤ √1α

|u|≤ α

α→0

R

et Z f (y)e

|

−y2

|y|> √1α

dµ(y)| ≤ e

− α1

Z |y|> √1α

| f (αy)|dµ(y) = e

− α1

1 α

Z

1 1 | f (y)|dµ(y) ≤ e− α k f k1 → 0 . α→0 α |y|>α

En cons´equence, 1 f (0) = 0 = √ 2π

Z b fb(y)dµ(y) = fb(0). R 2

Si f (0) , 0, on applique le r´esultat pr´ec´edent pour h : x 7→ f (x) − f (0)e−x , alors h ∈ L1 (R) et h(0) = 0, donc, utilisant la lin´earit´e de l’application transform´ee de Fourier, et puisque d b b −x2 = e−x2 , on d´ ed eduit que b h(0) = h(0) = fb(0) − f (0) = f (0) − f (0) = 0. Enfin, pour x ∈ R quelconque, soit la fonction g, y 7→ f (x + y). Alors Z Z 1 1 ixy b b f (y)e dy = √ g(y)dµ(y) = g(0) = f (x). √ 2π R 2π R

Remarque 4.1.1 La formule de la transform´ee de Fourier inverse permet d’´ecrire une fonction f comme une int´egrale d’une fonction p´eriodique y 7→ eixy dite composante harmonique avec un poids qui est fb. Corollaire 4.1.1 Soient f et g deux fonctions de L1 (R) telles que fbet b g sont aussi dans L1 (R). Alors 1 c f g = √ fb∗ b g. 2π 54

4.2 Transform´ee de Fourier sur L2 (R)

R Preuve. Si on note l’application F˜ : h ∈ L1 (R) 7→ F ˜(h) : x 7→ √12π R h(y)eixy dµ(y) = b h(−x). Ainsi, si h et b h sont dans L1 (R), alors, d’apr`es la formule de transform´ee de Fourier inverse, on a F˜ (F (h)) = h et F (F˜ (h)) = h. ˜ √ De plus, on peut v´erifier de la mˆeme fac¸on que pour l’application F , que F ( f ∗ g) = 2πF˜ ( f ) F˜ (g). En particulier, √ F˜ ( fb∗ b g) = 2πF˜ ( fb) F˜ (b g). Comme fbet b g sont L1 (R), alors F˜ ( fb) = f et F˜ (b g) = g. 1 b D’autre cot´e, sachant que f ∈ L (R), alors f ∈ L∞ (R) et par cons´equent, fb∗ b g ∈ L1 (R). De √ b b b b g, avec fb(x) = f (−x), pour tout x ∈ R, par cons´equent, fb∈ L1 (R), et plus, F ( fb∗ b g) = 2π fbb b b g ∈ L∞ (R) comme transform´ee de Fourier d’une fonction de L1 (R). On conclut alors que fb∗ b g est dans L1 (R) ainsi que sa transform´ee de Fourier. En appliquant finalement F a` f ∗ g, on obtient √ F 0 F˜ ( fb∗ b g)) = fb∗ b g = 2πF ( f g). D’ou` le r´esultat. Remarque 4.1.2 On pourra montrer que l’application F : L1 (R) → C(R) est continue, injective, mais non surjective, (voir TD). On montrera dans la partie qui suit, que F peut eˆtre d´efinie sur L2 (R), et qu’elle r´ealise une bijection de L2 (R) sur lui mˆeme.

4.2

Transform´ee de Fourier sur L2(R)

On montre dans un premier lieu que la restriction de F a` L2 (R) ∩ L1 (R) conserve la norme k.k2 de L2 (R). Proposition 4.2.1 (Identit´e de Parseval 2 -Plancherel 3 ) Pour tout f, g ∈ L1 (R) ∩ L2 (R), on a Z Z fbb gdµ. f gdµ = R

En particulier, si f = g,

Z

Z | f | dµ = 2

R

| fb|2 dµ. R

2. Marc-Antoine Parseval des Chˆenes, 1755-1836 : math´ematicien Franc¸ais. 3. Michel Plancherel, 1885-1967 : math´ematicien Suisse.

55

4.2 Transform´ee de Fourier sur L2 (R)

Preuve. On v´erifie d’abord que si f ∈ L1 (R)∩Ł2 (R), alors fb∈ L2 (R). Pour ce faire, on consid`ere x2 la suite de fonctions (gn ), d´efinies par gn (x) = e− n2 . La suite (| fb|2 gn ) est une suite croissante a` termes positifs. D’apr`es le th´eor`eme de la convergence monotone, Z Z 2 b | f (x)| gn (x)dµ(x) → | fb|2 dµ(x) = k fbk22 . n→+∞

R

R

D’autre part, comme fb ∈ L∞ (R), alors, | fb|2 gn ∈ L1 (R). En remplacant | fb|2 = fb fb par son expression, et d’apr`es le th´eor`eme de Fubini, on obtient, Z Z Z Z 1 2 f (y) f¯(z) e−ix(y−z) gn (x)dµ(x)dµ(z)dµ(y). | fb(x)| gn (x)dµ(x) = 2π R R R R Or

Z e−ix(y−z) gn (x)dµ(x) =

√ 2π gbn (y − z).

R

Donc, R

Z ou` F(u) =

| fb|2 gn (x)dµ(x) = R = =

R

R

√1 f (y) R f¯(z) gbn (y − z)dµ(z)dµ(y) 2π RR R √1 f (u + z) f¯(z) gbn (u)dµ(z)dµ(u) 2π R R R √1 F(u) gbn (u)dµ(u) 2π R

,

f (u+z) f¯(z)dµ(z). Cette fonction F v´erifie, d’apr`es l’in´egalit´e de Cauchy-Schawrz,

R

la majoration suivante : Z Z 1 1 2 |F(u)| ≤ ( | f (u + z)| dµ(z)) 2 ( | f¯(z)|2 dµ(z)) 2 = k f k22 . R

R 2 2

On sait que gbn (u) = ne−n u , on en d´eduit alors, Z Z Z t 2 −n2 u2 F(u) gbn (u)dµ(u) = F(u)ne dµ(u) = F( )e−t dµ(t). n R R R D’apr`es le th´eor`eme de convergence domin´ee, Z Z Z Z 1 1 t −t2 1 −n2 u2 −t2 lim √ F(u)ne F( )e dµ(t) = √ F(0) e dµ(t) = dµ(u) = √ | f |2 dµ = k f k22 . n→+∞ n 2π R 2π R 2π R R Par cons´equent, k f k2 = k fbk2 et fb∈ L2 (R). ˜ = g(−x) et on pose Soient f, g ∈ L1 (R) ∩ L2 (R), on consid`ere la fonction g˜ d´efinie par g(x) √ 1 2 b b b ˜ Alors h = 2π f g. ˜ Puisque f et g˜ sont dans L (R) ∩ L (R), donc fbainsi que b g˜ h = f ∗ g. 56

4.2 Transform´ee de Fourier sur L2 (R)

sont L2 (R) et par suite b h ∈ L1 (R) comme produit de deux fonctions dans L2 (R). D’apr`es le th´eor`eme d’inversion, Z 1 b h(x) = √ h(y)eixy dµ(y). 2π R En particulier, pour x = 0, Z Z Z 1 b b ˜ g(y)dµ(y). h(0) = √ h(y)dµ(y) = g(y)dµ(y) = f (y)b fb(y)b 2π R R R L’application x 7→ sinx x appartient a` L2 (R), mais elle n’appartient pas a` L1 (R). On pourra d´efinir sa transform´ee de Fourier en utilisant le r´esultat de densit´e suivant. Lemme 4.2.1 L’espace L1 (R) ∩ L2 (R) est dense dans L2 (R). Preuve. Soit f ∈ L2 (R), on pose fn = I[−n,n] f ∈ L1 (R) ∩ L2 (R). Comme | fn − f |2 → 0 et, pour n→+∞

tout entier n, | fn (x) − f (x)|2 ≤ 4| f (x)|2 , alors, grˆace au th´eor`eme de la convergence domin´ee, on a Z k fn − f k22 =

| fn − f |2 dµ → 0 . n→+∞

R

On prolonge alors l’application transform´ee de Fourier F sur L2 (R) de la fac¸on suivante : D´efinition 4.2.1 La transform´ee de Fourier d’une fonction f ∈ L2 (R) est par d´efinition, la limite dans L2 (R) lorsque n tend vers +∞, de ( b fn ), ou` fn = I[−n,n] f . Remarques 4.2.1 1. Comme la suite de fonction ( fn ), dont les termes appartiennent a` L1 (R) ∩ L2 (R), est de Cauchy dans L2 (R) et, d’apr`es l’identit´e de Parseval, k fn k2 = k fˆn k2 , donc la suite ( b fn ) est aussi de 2 Cauchy dans l’espace complet L (R), donc elle est convergente. Ainsi, la trasform´ee de Fourier de f ∈ L2 (R), telle qu’elle est d´efinie, a bien un sens. 2. On peut d´efinir fb, pour f ∈ L2 (R), comme limite dans L2 (R) de ( b fn ), pour ( fn ) une suite quelconque de L1 (R) ∩ L2 (R), qui converge vers f dans L2 (R). Grace a` l’identit´e de Parseval, la limite dans L2 (R) de ( b fn ) est ind´ependante de choix de ( fn ). De cette d´efinition et de la densit´e de L1 (R) ∩ L2 (R) dans L2 (R) on arrive a` la propri´et´e suivante 57

4.3 Transform´ee de Fourier sur Rd

Proposition 4.2.2 L’application F : L2 (R) → L2 (R), f 7→ fbest une isom´etrie. 2 Preuve. L’application lin´eaire F v´erifie F ( f ) = lim 1[ [−n,n] f dans L (R). Comme fn = I[−n,n] f ∈ n→+∞ L1 (R) ∩ L2 (R), alors, d’apr`es ce qui pr´ec`ede, fˆn ∈ L2 (R) et de la formule de Parseval, on k fn k2 = k fˆn k2 . De plus, |k fn k2 − k f k2 | ≤ k fn − f k2 → 0 , donc k fn k2 → k f k2 . De mˆeme, et comme n→+∞

n→+∞

(b fn ) converge vers fbdans L (R), donc k b fn k2 → k fbk2 . F est alors une isom´etrie, elle est donc 2

n→+∞

injective, et par construction elle est surjective, par cons´equent, elle est une isom´etrie de L2 (R).

Transform´ee de Fourier sur Rd

4.3

Si f ∈ L1 (Rd ), on d´efinit sa transform´ee de Fourier par Z 1 fb(y) = f (x)e−ix.y dµ(x), d (2π) 2 Rd ou` x.y d´esigne le produit scalaire de deux vecteurs x et y dans Rd . Tous les r´esultats vus pour d = 1 s’´etendent sur Rd , pour d ≥ 1. Les propri´et´es de d´erivation s’appliquent dans ce cas aux d´eriv´ees partielles de f .

4.4 4.4.1

Applications Fonction de transfert et filtrage : Circruit RC

Soit l’´equation diff´erentielle dq q + = x0 (t). (4.1) dt C ou` le signal d’entr´ee x0 (t) repr´esente la tension alternative dans un circuit RC compos´e d’une r´esistance R et d’un condensateur C mont´e en s´erie et q(t) est la charge du condensateur. Si q on pose y = C , alors l’´equation (4.1) devient : R

dy + y = x(t) = Rx0 (t). (4.2) dt La fonction y repr´esente le signal de sortie. Si on cherche une solution (signal filtr´e) sous la forme y = x ∗ h avec h est la r´eponse impulsionnelle (voir (3.5.1)), puis on applique la transform´ee de Fourier, on obtient √ (itRC + 1)b y=b x = 2πb xb h. RC

58

4.4 Applications

La tranform´ee de Fourier a permi de transformer une e´ quation diff´erentielle en une e´ quation lin´eaire simple dont la solution est b x b y= . 1 + itRC , puis appliquer la Pour d´eterminer la fonction impulsionnelle, on calcule b h(t) = √ 1 2π(1+itRC)

trasformer de Fourier inverse pour d´eduire h.

4.4.2

Equation de la chaleur

On consid`ere l’´equation de la chaleur suivante : ( ∂f ∂2 f (t, x) − c2 ∂x2 (t, x) = 0 ∀ t > 0, ∀x ∈ R, ∂t f (0, x) = f0 (x) ∀ x ∈ R,

(4.3)

ou` f0 est une fonction donn´ee et c une constante donn´ee. On suppose que l’´equation (4.3) admet une solution f telle que il existe une fonction positive g ∈ L1 (R) v´erifiant, pour tout t > 0, ∂2 f ∂f | f (t, .)| ≤ g, | ∂t (t, .)| ≤ g et | ∂x2 (t, .)| ≤ g ce qui donne trois fonctions de L1 (R). Si on note fb(t, .) la transform´ee de Fourier de f par rapport a` x, alors, pour t > 0, Z 1 fb(t, y) = √ f (t, x)e−ixy dµ(x). 2π R En appliquant le th´eor`eme de d´erivattion sous le signe int´egrale, on obtient ∂[ f ∂ fb (t, .) = (t, .). ∂t ∂t Si on applique la transform´ee de Fourier par rapport a` x a` chaque membre de l’´equation, et si on utilise la formule de la transform´ee de Fourier de la d´eriv´ee, on trouve que, pour tout t > 0, et pour y ∈ R, ∂ fb (t, y) = c2 (−iy)2 fb(t, y) = −c2 y2 fb(t, y). (4.4) ∂t De plus, la condition initiale v´erifie, pour tout y ∈ R : fb(0, y) = fb0 (y). Ainsi, la r´esolution de l’´equation diff´erentielle (4.4) avec la condition initiale en t = 0 donne, pour tout t > 0, 1 2 2 2 2 fb(t, y) = fˆ0 (y)e−c ty = √ F ( f0 ∗ F −1 (y 7→ e−c ty )). 2π 59

4.5 Transform´ee de Laplace

Par cons´equent, et d’apr`es l’exemple (4.1.2), √ Z (x−y)2 1 2 − x22 1 − 2 4c t 4c t dµ(y). f (t, x) = √ f0 ∗ (x 7→ e f (y)e ) = √ √ 0 2|c| t 2π 4πc2 t R C’est la solution sous forme int´egrale de l’´equation de la chaleur. En particulier, si f0 est continue et born´ee, alors f est C2 est v´erifie bien l’´equation de la chaleur. Exercice 4.4.1 (Equation de Laplace dans un demi plan) Soit l’´equation de Laplace           

∂2 f (x, ∂x2

∂2 f

y) + ∂y2 (x, y) = 0 f (x, 0) = f0 (x) lim f (x, y) = 0.

∀ x ∈ R, ∀ y > 0 ∀x ∈R ,

(4.5)

y→+∞

ou` f0 est une fonction donn´ee. Utiliser la transform´ee de Fourier pour r´esoudre cette e´quation.

4.5

Transform´ee de Laplace

La transform´ee de Fourier d’une fonction donn´ee est une fonction qui est d´efinie seulement sur R. Afin d’´etendre cette notion sur le plan complexe, on introduit la notion de la transform´ee de Laplace 4 . On s’it´eresse pour cette nouvelle notion aux fonctions, dites causales, qui s’annulent sur la demi droite de r´eels n´egatifs R− D´efinition 4.5.1 Soit f : R 7→ C. On appelle transform´ee de Laplace de f , lorsqu’elle existe, la fonction, de la variable complexe, not´ee L( f ) : C → C et d´efinie par Z L( f )(z) = f (t)e−zt dµ(t), ]0,+∞[

Exemples 4.5.1 1. La transform´ee de Laplace de la fonction dite de heavside H = 1]0,+∞[ est ( 1 si R´eel(z) > 0 z L(H)(z) = } n’est pas d´efinie si R´eel(z) ≤ 0 4. Pierre-Simon de Laplace, 1885-1967 : math´ematicien, astronome, physicien et homme politique Franc¸ais

60

4.5 Transform´ee de Laplace n et2 si t > 0, n’admet pas de transform´ee de Laplace. En effet, 0 si t ≤ 0 R 2 2 2 ∀z = x + iy ∈ C, ∀t > 0, |e−tz et | = et −tx et la fonction ]0,+∞[ et −tx dt = ∞.

2. La fonction f : t 7→

3. Si f (t) = e−αt 1]0,+∞[ (t), pour α , 0, alors, pour tout z ∈ C tel que R´eel(z) > −α, L( f )(z) =

1 . z+α

Quelles hypoth`eses alors peut-on mettre sur f pour qu’elle admette une transform´ee de Laplace ? On montre dans un premier lieu que, seulement la partie r´eelle d’un nombre complexe z qui intervient dans l’existence de L( f ) en z. Lemme 4.5.1 1. Pour tout nombre complexe z = x + iy, la fonction L( f ) est d´efinie en z si et seulement si elle est d´efinie en sa partie r´eelle x. 2. Si L( f ) est d´efinie en un r´eel x0 , alors, elle est d´efinie en tout nombre complexe z = x + iy tel que x > x0 . Preuve. 1. Pour t > 0, on a

| f (t)e−zt | = | f (t)e−xt e−iyt | = | f (t)e−xt |.

Donc, la fonction t 7→ f (t)e−zt est Lebesgue int´egrable si et seulement si t 7→ f (t)e−xt l’est R aussi. Par cons´equent, L( f )(z) = ]0,+∞[ f (t)e−zt dµ(t) exite si et seulement si L( f )(x) = R∞ f (t)e−xt dµ(t) existe. 0 R 2. Soit x0 ∈ R tel que L( f )(x0 ) = ]0,+∞[ f (t)e−x0 t dµ(t) existe. Soit z = x + iy tel que x > x0 , R alors | f (t)e−zt | = | f (t)e−xt | ≤ | f (t)e−x0 t |. Ainsi L(F)(x) = ]0,+∞[ f (t)e−xt dµ(t) est aussi finie. Le domaine de d´efinition de L( f ) est donc ou bien le vide, ou bien l’espace C , ou bien un demi plan complexe. D´efinition 4.5.2 ( Abscisse de sommabilit´e) Soit f une fonction causale telle que l’ensemble de d´efinition de L( f ) est non vide. On appelle abscisse de sommabilit´e de f la borne in´erieure de domaine de d´efinition de sa transform´ee de Laplace. Si on note α l’abscisse de sommabiit´e, alors n α = inf x ∈ R/ la fonction : t 7→ f (t)e−xt est int´egrable} Cette abscisse de sommabilit´e peut eˆ tre e´ gale a` −∞ lorsque la trasform´ee de Laplace de f est d´efinie sur tout R. De plus, si z = x + iy un nombre complexe quelconque, alors on a : 61

4.5 Transform´ee de Laplace

• la transform´ee de Laplace L( f )(x) est d´efinie si x > α. • L( f )(x) n’est pas d´efinie si x < α • mais pour x = α, on peut avoir les deux cas et L( f ) peut eˆ tre d´efinie, comme elle peut eˆ tre non d´efinie en α Exemples 4.5.2 • La fonction de heavside H = 1]0,+∞[ est tel que est L(H)(x) = x1 , pour tout x ∈ R. Son abscisse de sommabilit´e est α = 0 n’est pas atteint pour cet exemple. Z e−xt 1 est int´egrable • Si f : t 7→ 1+t2 , alors L( f ) est d´efinie pour tout r´eel x ≥ 0, puisque x 2 [0,+∞[ 1 + t si et seulement si x ≥ 0. Ainsi, l’abscisse de sommabilit´e est atteint en α = 0. Remarque 4.5.1 ( Relation avec transform´ee de Fourier) Soit f une fonction causale. Alors, 1. pour tout x ∈ R, Z L( f )(ix) =

f (t)e−ixt dµ(t) =

√ 2π fb(x).

R

2. Si z = x + iy ∈ C, alors Z L( f )(z) =

f (t)e−xt e−iyt dµ(t) =

√ [ 2π(e−xt f (t))(y).

R

On se limitera a` pr´esenter quelques propri´et´es de la restriction sur la droite r´eelle, de L( f ). Propri´et´es 4.5.1 1. L’application transform´ee de Laplace est une application lin´eaire. 2. lim L( f )(x) = 0. x→+∞

3. Si g(x) = f (x − a), alors L(g)(z) = e−za L( f )(z). 4. Si g(x) = f (αx), pour α > 0, alors L(g)(z) = α1 L( f )( αz ). Une int´egration par partie simple donne : Proposition 4.5.1 (Transform´ee de Laplace et d´erivation) Soit f une fonction causale de classe C1 sur R, alors pour tout x ∈ R ou` L( f ) ainsi que L( f 0 ) ´ sont dfinies en x, on a L( f 0 )(x) = xL( f )(x) − f (0+ ), ou` f (0+ ) = lim+ f (t). On suppose de plus que f est de classe Cp sur R. Alors, si x ∈ R appartenant au t→0

domaine de d´efinition de L( f ) et L( f (p) ), on a L( f (p) )(x) = xp L( f )(x) − xp−1 f (0+ ) − xp−2 f 0 (0+ ) − ... − f (p−1) (0+ ) 62

4.5 Transform´ee de Laplace

Proposition 4.5.2 (Transform´ee de Laplace et produit de convolution) Soient f et g deux fonctions causales admettant de transform´ee de Laplace. Si x0 est la plus grande d’abscisses de sommabilit´e de f et de g, alors, L( f ∗ g)(x) = L( f )(x)L(g)(x), ∀ x > x0 . Application Parmi les applications importantes de la transform´ee de Laplace, on trouve la r´esolution des e´ quations diff´erentielles ordinaires, ou plus gn´ ´ eralement, des syst`emes diff´erentiels avec conditions initiales. Comme exemple, soit a` r´esoudre l’´equation diff´erentielle ordinaire simple suivante : f ”(t) − 2 f 0 (t) = 0, f (0) = 1, f 0 (0) = 2.

(4.6)

On sait que cette e´ quation admet une solution unique f sur R. En appliquant la transform´ee de Laplace dans cette e´ quation, on obtient, x2 L( f )(x) − x f (0) − f 0 (0) − 2xL( f )(x) + 2 f (0) = 0 Par cons´equent,

(x2 − 2x)L( f )(x) − x = 0

1 x = . D’apr`es l’exemple 4.5.1 on peut prendre f (t) = e−2t , pour − 2x x − 2 t > 2. On v´erifie alors que f (t) = e−2t est la solution unique de l’´equation diff´erenteille (4.6) sur tout R. Remarquons ici que le coefficient x2 −2x devant L( f ) correspond a` l’´equation caract´eristique de (4.6). En g´en´eral, si on applique la transform´ee de Laplace a` une e´ quation diff´erentielle lin´eaire, alors L( f ) est une fraction rationnelle en x. Il suffit de faire la d´ecomposition en e´ l´ements simples de cette fraction dans C[x].On peut, par la suite utiliser la table de transform´ee de Laplace de fonctions usuelles, pour trouver la solution f correspondante.

et donc L( f )(x) =

x2

Exercice 4.5.1 Utiliser la transform´ee de Laplace pour trouver la solution de syst`eme diff´erentiel suivant : ( 0 x (t) − y0 (t) + x(t) − y(t) = 2 + 3e2t x0 (t) + 2y0 (t) − 3x(t) = 3 + 2e2t avec, x(0) = 4 et y(0) = 1.

63

Chapitre 5 Espace de Hilbert Introduction Les espaces de Hilbert 1 g´en´eralisent la notion d’espaces Euclidiens et ils sont des outils indispensables dans la th´eorie des e´ quations aux d´eriv´ees partielles et en analyse de Fourier. Ces espaces sont r´eels ou complexes, de dimension finie ou infinie ou` ses e´ l´ements peuvent se d´ecomposer dans des bases orthonorm´ees. Ils se caract´erisent aussi par le th´eor`eme de Pythagore, l’´egalit´e de parall´elogramme et le th´eor`eme de projection sur les ensembles convexes. On rappelle que si V est un R- espace vectoriel, toute forme bilin´eaire, sym´etrique d´efinie positive, d´efinit un produit scalaire sur V. Comme exemples de produit scalaire, on trouve : 1. V = R , et (x, y) = d

d X

xi yi , pour tous vecteurs x et y de Rd .

i=1

2. V = Mn (R) et (A, B) = trace(A.BT ), pour toutes matrices A et B de Mn (R). Z 2 d 3. V = L (Ω, R), pour Ω un ensemble mesurable de R et ( f, g) = f gdµ. Ω

Les deux premiers espaces sont de dimensions finis, le troisi`eme est de dimension infinie.

5.1

Espaces de Hilbert

Dans ce chapitre K = R ou C. D´efinition 5.1.1 Soit V un K- espace vectoriel. Un produit scalaire sur V est une application (., .) : V × V → K v´erifiant : 1. David Hilbert, 1862-1943 : math´ematicien Allemand

64

5.1 Espaces de Hilbert

i) (αu + βv, w) = α(u, w) + β(v, w), ∀ u, v, w ∈ V, ∀ α, β ∈ K. (Lin´earit´e par rapport a` la premi`ere variable). ii) (u, v) = (v, u), ∀ u, v ∈ V. (Anti-sym´etrie). iii) (u, u) ≥ 0, ∀ u ∈ V et (u, u) = 0 ⇒ u = 0. (Application d´efinie positive). On dit aussi que le produit scalaire (., .) est une forme sesquilin´eaire ( losqu’elle v´erifie i) et ii)) d´efinie positive (grace a` iii)). Un espace V muni d’un produit scalaire est un espace pr´ehilbertien (r´eel ou complexe). Il est Hermitien si K = C. Si V est de dimension finie et K = R, il est dit Euclidien. Exemples 5.1.1 1. V = C , et (x, y) = d

d X

xi yi , pour tous vecteurs x et y dans Cd .

i=1 T

2. V = Mn (C) et (A, B) = trace(A.B ), pour toutes matrices complexes A et B. Z 2 d 3. V = L (Ω, C), pour Ω un ensemble mesurable de R et ( f, g) = f gdµ Ω

Proposition 5.1.1 (In´egalit´e de Cauchy-Schwarz); Soit (., .) un produit scalaire sur un espace pr´ehilbertien V. Alors p p |(u, v)| ≤ (u, u) (v, v), ∀ u, v ∈ V. Preuve. On traite le cas (u, v) est r´eel. Pour tout r´eel t, le trinome t 7→ (u + tv, u + tv) = ˆ 2 (u, u) + t((u, v) + (u, v)) + t (v, v) ≥ 0. Son discriminant ∆ = ((u, v) + (u, v))2 − 4(u, u)(v, v) = 4|(u, v)|2 − 4(u, u)(v, v) ≤ 0, d’ou` le r´esultat. Si (u, v) est complexe pur, alors (u, v)((u,¯ v) = (u(u,¯ v), v(u,¯ v)). En appliquant le cas pr´ec´edent pour u˜ = u(u,¯ v), et v˜ = v(u,¯ v)v, on obtient : p p p p ˜ v)| ˜ = |(u, v)|2 ≤ (u, ˜ u) ˜ (v, ˜ v) ˜ = (u, u) (v, v)|(u, v)|. |(u, Il suffit de simplifier par |(u, v)| pour conclure. D´efinition 5.1.2 (Norme pr´ehilbertienne) Soit (., .) un produit scalaire sur V. On d´efinit sur V la norme associ´ee a` (., .) par : p kvk = (v, v). Propri´et´es 5.1.1 Soit V un espace pr´ehilbertien. Alors, par un calcul simple on peut montrer que, pour tous u, v dans V, on a 65

5.2 Th´eor`eme de projection

—

ku + vk2 = kuk2 + kvk2 si et seulement si R´eel(u, v) = 0.

— Identit´e du parall´elogramme : ku + vk2 + ku − vk2 = 2(kuk2 + kvk2 ). u u+v u−v v Figure 5.1 – Identit´e de parall´elograme Remarque 5.1.1 Si une norme k.k dans un espace vectoriel V ne v´erifie pas l’identit´e de parall´egramme, alors (V, k.k) n’est pas un espace pr´ehilbertien. D´efinition 5.1.3 (Espace de Hilbert) On dit qu’un espace pr´ehilbertien H, muni de la norme k.k associ´ee au produit scalaire (., .) est un espace de Hilbert si (H, k.k) est un espace de Banach. Exemples 5.1.2 1. L’espace V = ` (C) = {(un )n∈N / 2

+∞ X

|un | < ∞}, muni de produit scalaire (u, v) = 2

n=0

+∞ X

un vn

n=0

pour tous u = (un ), v = (vn ) ∈ V, est un espace de Hilbert. Z 1 f gdµ est un espace pr´ehilbertien qui 2. V = C([0, 1]) muni de produit scalaire, ( f, g) = 0

n’est pas complet pour la norme k.k2 , associ´ee a` ce produit scalaire, il n’est pas donc un Hilbert. 3. (C([0, 1]), k.k∞ ) n’est pas un espace pr´ehilbertien, car la norme infinie k.k∞ ne v´erifie pas l’identit´e de parall´elogramme.

5.2

Th´eor`eme de projection

Projection sur un convexe Un ensemble C est dit convexe s’il contient toute combinaison convexe de ses e´ l´ements : ∀ u, v ∈ C, ∀ λ ∈ [0, 1], λu + (1 − λ)v ∈ C. 66

5.2 Th´eor`eme de projection

La projection sur un convexe caract´erise les espaces de Hilbert (voir fig (5.2)). Proposition 5.2.1 Soit C un ensemble convexe ferm´e non vide d’un espace de Hilbert H. Alors, a) pour tout u ∈ H, il existe un unique vecteur PC u ∈ C v´erifiant : ku − PC uk = inf kv − uk. v∈C

b) Le point PC u est caract´eris´e par R´eel(u − PC u, v − PC u) ≤ 0, ∀ v ∈ C. c) L’application PC v´erifie kPC u − PC vk ≤ ku − vk, ∀ u, v ∈ H.

v u

C PC u

Figure 5.2 – Projection sur un convexe Preuve. a) Soit α = inf ku − vk, alors, α < ∞ et il existe une suite minimisante (vn ) de C v´erifiant v∈C

ku − vn k → α . Montrons que la suite (vn ) est de Cauchy. On a, pour tout n, m ∈ N, n→+∞

kvn − vm k2 = 2(kvn − uk2 + kvm − uk2 ) − kvn + vm − 2uk2 . Or m m 4α2 ≤ kvn + vm − 2uk2 = 4k vn +v − uk2 = 4k vn2−u + um2−u k2 (car vn +v ∈ C) 2 2 . 1 1 2 2 2 ≤ 4( 2 kvn − uk + 2 kvm − uk ) → 4α

n→+∞

67

5.2 Th´eor`eme de projection

Par cons´equent lim kvn + vm − 2uk2 = 4α2 et donc lim kvn − vm k2 = 4α2 − 4α2 = 0. La n→+∞

n→+∞

suite (vn ) est de Cauchy et H est un Hilbert donc complet, soit PC u = lim vn . On a n→+∞

alors

kPC u − uk = lim kvn − uk = α = inf kv − uk. n→+∞

v∈C

Montrons que PC u est unique. Supposons qu’il existe u1 et u2 v´erifiant ku1 − uk = 2 ku2 − uk = inf kv − uk. Comme C est convexe, donc u1 +u ∈ C et il en d´ecoule 2 v∈C

ku1 − uk2 ≤ k

u1 + u2 − uk2 = k 12 (u1 − u) + 12 (u2 − u)k2 < 12 ku1 − uk2 + 12 ku2 − uk2 , 2

car l’application v 7→ kvk est strictement convexe. Contradiction car ku1 − uk = ku2 − uk. b) Soit v ∈ C, alors pour t ∈]0, 1], PC u + t(v − PC u) ∈ C et kPC u−u+t(v−PC u)k2 = kPC u−uk2 +2tR´eel(PC u−u, v−PC u)+t2 k(v−PC u)k2 ≥ kPC u−uk2 . Apr`es simplification par t ≥ 0, on obtient le r´esultat d´esir´e. c) Soit u, v ∈ C. Alors, R´eel(u − PC u, PC v − PC u) ≤ 0 et R´eel(v − PC v, PC v − PC v) ≤ 0. En faisant la somme de deux in´egalit´es on obtient R´eel(u − PC u − (v − PC v), PC v − PC u) ≤ 0. kPC u −C vk2 = R´eel(PC v − PC u, PC v − PC u) ≤ R´eel(v − u, PC v − PC u) ≤ kv − ukkPC u − PC uk. D’ou` le r´esultat.

5.2.1

Projection sur un sous espace vectoriel ferm´e

D´efinition 5.2.1 Soit V un espace pr´ehilbertien. On dit que deux vecteurs u et v de V sont orthogonaux si (u, v) = 0, on note dans ce cas u ⊥ v. On dit qu’ils sont perpondiculaires si R´eel(u, v) = 0. Si V est un R- espace vectoriel, les deux notions co¨ıncident, mais lorsque K = C, pour tout vecteur non nul v ∈ V, v et iv sont perpendiculaires, mais non orthogonaux, puisque (v, iv) = −ikvk2 .

68

5.2 Th´eor`eme de projection

D´efinition 5.2.2 Soit F un sous espace vectoriel d’un espace de Hilbert H. On appelle orthogonal de F et on note ⊥ F , le sous espace vectoriel : F⊥ = {u ∈ H / (u, v) = 0, ∀ v ∈ F}. Corollaire 5.2.1 (Projection sur un s.e.v) Soit F un sous espace vectoriel ferm´e d’un espace de Hilbert H. 1. La projection PF d’un vecteur u ∈ H sur F est le vecteur PF u ∈ F caract´eris´e par u − PF u ∈ F⊥ . 2. L’application PF est une application lin´eaire continue. Preuve. 1. Le sous espace vectoriel F est toujours convexe, s’il est de plus ferm´e, la projection PF est caract´eris´ee par (u − PF u, v − PF u) ≤ 0, ∀ v ∈ F. Soit w ∈ F. Comme PF u ∈ F, alors v = w+PF u ∈ F. Donc (u−PF u, w) ≤ 0. Puisque F est un sous espace vectoriel, donc (u − PF u, −w) ≤ 0. Par cons´equent (u − PF u, w) = 0, ∀ w ∈ F. 2. Pour tout u, v ∈ H, et pour tout λ ∈ K, alors u + v − (PF u − PF v) = u − PF u + v − PF v ∈ F⊥ et λu − λPF u = λ(u − PF u) ∈ F⊥ . De plus PF u + PF v ∈ F et λPF u ∈ F. D’apr`es la caract´erisation de la projection sur F, donc PF (u + v) = PF u + PF v et PF (λu) = λPF u. D’ou` la lin´earit´e de PF . Cette application lin´eaire est, d’apr`es (5.2.1), Lipschitzienne, puisqu’elle v´erifie, kPF u − PF v)k = kPF (u − v)k ≤ ku − vk. Donc elle est continue.

Proposition 5.2.2 Si F est un sous espace vectoriel ferm´e d’un espace de Hilbert H, alors + ⊥. H = F F Preuve. Clairement F ∩ F⊥ = {0}, car si v ∈ F ∩ F⊥ , alors (v, v) = kvk2 = 0, donc v = 0. Si v ∈ H alors v = v − PF v + PF v et PF v ∈ F et (v − PF u, v) = 0, ∀ v ∈ F. Donc u − PF u ∈ F⊥ . Corollaire 5.2.2 Soit F un sous espace vectoriel d’un espace de Hilbert H. Alors F est dense dans H si et seulement si F⊥ = {0}.

69

5.2 Th´eor`eme de projection ⊥

Preuve. Il suffit de montrer que F⊥ = (F)⊥ . En effet, F ⊂ F, donc F ⊂ F⊥ . Soit u ∈ F⊥ , on doit ⊥ montrer que u ∈ F , ou encore que (u, v) = 0, pour tout v ∈ F. Soit v ∈ F, il existe une suite (vn ) ∈ F telle que lim vn = v. Comme vn ∈ F, donc (vn , u) = 0. Or |(vn , u)−(v, u)| = |(vn −v, u)| ≤ n→+∞

1 1 kvn − vk 2 kuk 2

⊥

→ 0 . Donc lim (vn , u) = (v, u) = 0. Ainsi u ∈ F et les deux espaces sont e´ gaux.

n→+∞

n→+∞

⊥

Si F est dense dans H, donc F = H. Par cons´equent F = {0} = F⊥ . Inversement, si F⊥ = {0}, ⊥ donc F = {0}. Comme F est ferm´e, donc il et en somme directe dans H avec son orthogonal qui est r´eduit au vecteur nul et par suite F¯ = H.

5.2.2

Th´eor`emes de repr´esentation

Dans un espace de Hilbert, toute forme lin´eaire continue peut eˆ tre repr´esent´ee d’une fac¸on unique par un vecteur de cet espace. On commence d’abord par e´ voquer le crit`ere de continuit´e d’une application lin´eaire. Proposition 5.2.3 (Continuit´e d’une application lin´eaire) Soit (E, k.kE ) et (F, k.kF ) deux K-espaces vectoriels. Soit L : E → F une application lin´eaire. Alors, les assertions suivantes sont e´quivalentes : i) L est continue sur E ii) L est continue en 0 iii Il existe C > 0 telle que kL(v)kF ≤ CkvkE , ∀ v ∈ E. Preuve. Soit L : E → F lin´eaire continue. Si L est continue sur E, alors L est continue en 0, et donc, i) implique trivialement ii). Si L est continue en 0, pour  = 1, il existe η > 0, tel que si kvkE ≤ η, alors kL(v)kF ≤ 1. Soit ηv v ∈ E, v , 0E , (pour v = 0E , l’in´egalit´e est v´erifi´ee), alors 2kvkE est dans la boule de centre 0 et de rayon η, donc ηv η kL( )kF = kL(v)kF ≤ 1. 2kvkE 2kvkE Soit donc kL(v)kF ≤ CkvkE , pour C = η2 . Ainsi ii) donne iii). Enfin, si L v´erifie iii), et comme elle est lin´eaire, elle est alors Lipschitzienne et donc L continue sur E, i) est bien v´erifi´ee. Remarque 5.2.1 Souvent, on utilise ii) pour montrer qu’une application lin´eaire est continue. Th´eor`eme 5.2.1 ( de Repr´esentation de Riesz 2 ) 2. Frigyes Riesz, 1880-1956 : math´ematicien Hongrois

70

5.2 Th´eor`eme de projection

Soit H un espace de Hilbert. Si f : H → K une forme lin´eaire continue, il existe un unique u ∈ H tel que f (v) = (u, v) ∀ v ∈ H. Preuve. On pose F = ker f , le noyau de f . Comme f est continue, donc F est un ferm´e de H. Si F⊥ = {0}, alors (F⊥ )⊥ = H = F, dans ce cas, f est l’application nulle, u = 0 r´epond a` la question. Sinon, il existe un vecteur non nul, w ∈ F⊥ . Puisque F et son orthogonal sont en somme directe, w < F et f (w) , 0. f (v) f (v) Pour tout v ∈ H, v − f (w) w ∈ F, donc (w, v − f (w) w) = 0. En cons´equence, f (v) =

f (w) f (w) (w, v) = ( w, u), 2 kwk kwk2

ou` k.k d´esigne la norme de H associ´ee a` son produit scalaire. Il suffit de choisir u = pour conclure l’existence. Pour l’unicit´e, on suppose qu’il existe u1 et u2 dans H, tels que

f (w) w kwk2

f (v) = (u1 , v) = (u2 , v) ∀ v ∈ H. Pour v = u1 − u2 , on obtient, f (u1 − u2 ) = (u1 , u1 − u2 ) = (u2 , u1 − u2 ). Si on fait la diff´erence entre les deux termes en produit scalaire, on d´eduit (u1 − u2 , u1 − u2 ) = ku1 − u2 k2 = 0 et par suite u1 = u2 . Th´eor`eme 5.2.2 de Lax 3 -Milgram 4 Soit H un espace de Hilbert r´eel dont k.k et sa associ´ee a` son produit scalaire. Soit a : H × H → K une forme bilin´eaire sym´etrique : i) continue : il existe C > 0, tel que |a(u, v)| ≤ Ckukkvk, pour tout u, v ∈ H. ii) coercive : il existe α > 0, tel que |a(v, v)| ≥ Ckvk2 , pour tout v ∈ H. Soit f une forme lin´eaire continue. Alors, il existe u ∈ H unique tel que a(u, v) = f (v), ∀ v ∈ H. De plus, J(u) = min J(v), ou` la fonctionnelle quadratique J : H → R, v 7→ 21 a(v, v) − f (v) u∈H

3. Peter Lax, 1926-.. : math´ematicien Hongrois 4. Arthur Milgram, 1912-1961 : math´ematicien Am´ericain

71

5.3 Base Hilbertienne

Preuve. De la coercivit´e, on tire que la forme bilin´eaire sym´etrique a : (u, v) 7→ a(u, v), d´efinit un produit scalaire sur H dont on notera sa norme associ´ee par k.ka . Grˆace a` la continuit´e et a` la coercivet´e, on v´erifie facilement que les deux normes k.ka et k.k sont e´ quivalentes dans H. Il suffit d’appliquer le th´eor`eme de repr´esentation de Riesz pour la forme lin´eaire continue f pour le produit scalaire a(., .). On montre alors la premi`ere partie de th´eor`eme. Pour montrer que u r´ealise le minimum de J sur H, un calcul simple montre que : J(v) = J(u) + 21 a(v − u, v − u) ≥ J(u), ∀ v ∈ H. Ce minimum est unique. En effet tout minimum u de J sur H v´erifie la condition d’optimalit´e, J0 (u) = a(u, .) − f = 0. Donc l’unicit´e de u d´ecoule de la premi`ere partie de th´eor`eme de LaxMilgram.

5.3

Base Hilbertienne

On rappelle que le sous espace engendr´e par une famille de vecteurs finie ou infinie (vn ) est l’ensemble des combinaisons lin´eaires finies de vecteurs de cette famille. D´efinition 5.3.1 Espace s´eparable Un espace de Hilbert H est dit s´eparable si’il existe dans H une famille de vecteurs (vn )n∈N telle que le sous espace engendr´e par cette famille est dense dans H. Autrement dit, un espace de Hilbert H est dit s´eparable, s’il admet une partie d´enombrable dense dans H. Exemples 5.3.1 1. Tout espace vectoriel de dimension finie est s´eparable. En effet toute famille libre de n = dimE, est dense dans cet espace. +∞ X 2 2. l’espace ` = {(un )n∈N / |un |2 < ∞} est s´eparable, il est engendr´e par la base d´enombrable n=0

(up )p∈N , pour up = (0, ..., 1 , 0, ...). p−i`eme

D´efinition 5.3.2 Base Hilbertienne Soit (en )n∈N une famille d’un espace de Hilbert H. On dit que la famille (en ) est une base hilbertienne de H si — (en , em ) = 0, ∀ n , m et ken k = 1, ∀ n ∈ N — Vect{en , n ∈ N} ; l’ensemble des combinaisons finies de en , est dense dans H. Proposition 5.3.1

72

5.3 Base Hilbertienne

Soit (en ) une base hilbertienne d’un espace de Hilbert H. Alors tout vecteur v ∈ H s’´ecrit d’une mani`ere unique X v= (v, en )en . n∈N

De plus kvk2 =

X

(v, en )2 .

n∈N

Preuve. Soit le sous espace vectoriel de dimension finie Vn = Vect{e1 , e2 , ..., en }. Alors Vn est un ferm´e de H. On consid`ere Pn la projection sur Vn . Pour tout v ∈ H, n X Pn v = (v, ek )ek . k=1

Cette projection Pn v´erifie,

n X 1 kPn vk = ( |(v, ek )|2 ) 2 ≤ kvk. k=1

Pn

Ainsi, la s´erie a` termes positifs, k=1 |(v, ek )2 est major´ee, elle est donc convergente et par cons´equent de Cauchy. D’autre part, pour n, m ∈ N, m ≤ m, kPn v − Pm vk = 2

n X

|(v, ek )|2 → 0 .

k=m+1

n,m→+∞

(Pn ) est aussi de Cauchy dans H qui est complet, donc convergente. Soit w = lim Pn v. Alors, n→+∞

pour tout k ≤ n, ek ∈ Vn , donc (v − Pn v, ek ) = 0. Si on fait tendre n vers +∞, on obtient (v − w, ek ) = 0, pour tout k. Comme (ek ) forme une base de H, on conclut que v = w et que +∞ X v= (v, en )en . De plus n=1

kPn vk = 2

n X k=1

(v, ek )2 → kvk2 = n→+∞

X

|(v, ek )|2 .

k∈N

Proposition 5.3.2 Tout espace de Hilbert s´eparable poss`ede une base Hilbertienne.

73

5.3 Base Hilbertienne

Preuve. Il suffit d’utiliser le proc´ed´e d’orthogonalit´e de Gram 5 -Schmidt 6 . On rappelle que tous les espaces euclidiens de dimension n, sont isomorphes a` Rn et on montre dans la proposition qui suit, que tout espace de Hilbert de dimension infinie est isomorphe a` `2 . Proposition 5.3.3 Tous les espaces de Hilbert s´eparables de dimension infinie sont isomorphes entre eux. X 2 vn en . Alors Φ est Preuve. Soit (en ) une base hilbertienne et soit Φ : ` → H, v = (vn )n∈N 7→ n∈N

lin´eaire et

X 1 kΦ(v)k = ( |vn |2 ) 2 = kvk. n∈N

Donc Φ est injective, de plus elle est surjective par construction, donc Φ est un isomorphisme.

5. Jørgen Pedersen Gram, 1850-1916 : math´ematicien Danois 6. Erhard Schmidt, 1876-1959 : math´ematicien Allemand

74

Chapitre 6 Distributions Introduction Les distributions sont des outils math´ematiques utilis´es pour repr´esenter des ph´enom`enes physiques que les fonctions classiques sont incapables de transcrire. Elles permettent de faire des calculs syst´ematiques des valeurs non calculables de mani`ere classique, comme la masse d’un objet ponctuel, la charge e´ l´ectrique ponctuelle... La th´eorie de distribution a e´ t´e introduite aussi pour e´ largir la notion de fonctions et pour e´ tendre la notion de d´erivation pour des fonctions qui ne sont pas mˆeme continues. Plusieurs probl`emes en ing´enierie conduisent a` des e´ quations diff´erentielles ou a` des e´ quations aux d´eriv´ees partielles dont les solutions ne sont pas des fonctions ordinaires mais des distributions. Pour simplifier encore une fois, on d´efinit les distributions sur Ω un ouvert de R, (d = 1).

6.1

Fonction a` support compact

D´efinition 6.1.1 ( Support d’une fonction et ensemble D(Ω)) Soit ϕ : Ω → K, (K = R ou K = C). Le support de ϕ est l’ensemble not´e Supp(ϕ), qui est d´efini par : n o Supp( f ) := x ∈ Ω, ϕ(x) , 0 . C’est le plus petit ferm´e de Ω contenant l’ensemble {x ∈ Ω / ϕ(x) , 0} et en dehors duquel ϕ est nulle. Remarque 6.1.1 On a alors, pour toutes fonctions ϕ et ψ, Supp(ϕψ) ⊂ Supp(ϕ) ∩ Supp(ψ). 75

6.2 Distribution et espace D0 (Ω)

Cette inclusion est stricte en g´en´eral, comme contre exemple, il suffit de prendre ϕ = IR+ et ψ = IR− . ∅ = Supp(ϕψ) ( Supp(ϕ) ∩ Supp(ψ) = {0}. Exemples 6.1.1 1. La fonction ϕ : x 7→ xI[0,+∞[ est de support [0, +∞[. ( 0 si |x| ≥ a ∗ 2. Pour a ∈ R+ , la fonction ϕa : x 7→ est de support [−a, a]. 1 exp (− a2 −x2 ) si |x| < a. On notera D(Ω) l’ensemble des fonctions ϕ : R → K de classe C∞ a` support born´e, donc compact puisque les ferm´es born´es dans R sont les compacts. Clairement D(Ω) est un espace vectoriel.

6.1.1

Continuit´e dans D(Ω)

On utilise la caract´erisation s´equentielle de la continuit´e dans D(Ω). D´efinition 6.1.2 (Convergence dans D(Ω)) Soit (ϕn ) une suite de fonctions de D(Ω) et soit ϕ ∈ D(Ω). On dit que (ϕn ) converge vers ϕ dans D(Ω) si : — Il existe un compact K de Ω tel que Supp(ϕn ) ⊂ K, pour tout entier n ∈ N. (q) — Pour tout entier naturel q, la suite de la d´eriv´ee q−i`eme (ϕn ) converge uniform´ement sur Ω vers ϕ(q) . La suite (ϕn ) converge donc vers ϕ dans D(Ω), si les supports de toutes les fonctions ϕn sont contenus (q) dans un mˆeme ensemble born´e et pour tout entier q ∈ N donn´e, la suite (ϕn ) converge uniform´ement vers ϕ(q) .

6.2

Distribution et espace D0(Ω)

D´efinition 6.2.1 Une application T : D(Ω) → K est dite une distribution si : — L’application T est une forme lin´eaire : T(ϕ + λψ) = T(ϕ) + λT(ψ), ∀ ϕ, ψ ∈ D(Ω), ∀ λ ∈ K. — Si (ϕn ) une suite de D(Ω) qui converge vers ϕ dans D(Ω), alors |T(ϕn ) − T(ϕ)| → 0 . (La n→+∞

suite r´eelle ou complexe T(ϕn ) converge vers T(ϕ) dans K). L’ensemble de distributions sur Ω est not´e D0 (Ω). Remarques 6.2.1 76

6.2 Distribution et espace D0 (Ω)

- Si T est une distribution, on note T(ϕ) =< T, ϕ >, le crochet de dualit´e, pour toute fonction test ϕ ∈ D(Ω). - Une distribution T ∈ D0 (Ω) est nulle si < T, ϕ >= 0, ∀ ϕ ∈ D(Ω).

6.2.1

Caract´erisation et ordre d’une distribution

Une deuxi`eme fac¸on pour d´efinir les distributions est comme suit : D´efinition 6.2.2 (2`eme d´efinition d’une distribution) Une forme lin´eaire T : D(Ω) → R est une distribution si et seulement si : Pour tout compact K de Ω, il existe nK ∈ N, et CK > 0, tels que ∀ϕ ∈ D(Ω), a` support dans K, | < T, ϕ > | ≤ CK max kϕ(q) k∞ , q∈N,q≤nK

ou` kψk∞ = sup |ψ(x)| d´esigne la norme infinie sur Ω d’une fonction ψ : Ω 7→ K de L∞ (Ω). x∈Ω

D´efinition 6.2.3 (Ordre d’une distribution) Soit T ∈ D0 (Ω). On appelle ordre de T, le plus petit entier naturel n, s’il existe, v´erifiant : pour tout compact K de Ω, CK > 0, tels que ∀ϕ ∈ D(Ω) a` support dans K, | < T, ϕ > | ≤ CK max kϕ(q) k∞ . q≤n

c’est-`a-dire si le nk dans la d´efinition pr´ec´edente est ind´ependant de K et peut toujours eˆtre pris e´gal a` n.

6.2.2

Exemples e´ l´ementaires de distributions

Distribution r´eguli`ere On d´esigne par L1loc (Ω) l’espace de fonctions localement int´egrables sur Ω, i.e., l’ensemble Z de fonctions f : Ω → K telle

| f |dµ < ∞, pour tout compact K ⊂ Ω. K

L1 (Ω) est un sous espace strict de L1loc (Ω), la fonction x 7→ ex est, par exemple localement int´egrable mais non int´egrable sur R. L’espace L1loc (Ω) contient aussi toutes les fonctions continues, ou les fonctions mesurables 0 et born´ees sur Ω. Ainsi, les espaces C(Ω), L1 (Ω) et L∞ (Ω) sont inclus dans R D (Ω). Pour toute fonction f ∈ L1loc (Ω), l’application T f : D(Ω) → K, ϕ 7→ Ω ϕ f dµ d´efinit une distribution. En effet, 77

6.2 Distribution et espace D0 (Ω)

— T f est lin´eaire. — Soit (ϕn ) de D(Ω) qui converge vers ϕ dans D(Ω). Il existe un compact K de Ω telle que Supp(ϕn ) ⊂ K, pour tout entier n v´erifiant sup |ϕn (x) − ϕ(x)| → 0 . n→+∞

x∈K

Alors Z |T f (ϕn ) − T f (ϕ)| = |

Z f (ϕn − ϕ)|dµ ≤ sup |ϕn (x) − ϕ(x)| x∈K

K

| f |dµ → 0 . K

n→+∞

L’application T f est bien une distribution. Cette distribution est d’ordre 0, puisque, pour tout compact K de Ω, |T(ϕ)| ≤ CK kϕk∞ , pour tout ϕ ∈ D(Ω) a` support dans K, et Z pour CK =

| f (x)|dµ(x). K

D´efinition 6.2.4 Une distribution T ∈ D0 (Ω) est dite r´eguli`ere s’il existe f ∈ L1loc (Ω) telle que T = T f . On identifie dans ce cas T f a` f . Ainsi toute fonction localement int´egrable est une distribution. En particulier, toute fonction presque partout continue sur Ω, ou toute fonction int´egrable sur Ω, est une distribution. Si une distribution T n’est pas r´eguli`ere, elle est dite singuli`ere. La distribution de Dirac 1 est l’exemple le plus usuel de distribution singuli`ere. Distribution de Dirac Soit a ∈ Ω, l’application δa : D(Ω) → R, ϕ 7→ ϕ(a) d´efinit une distribution. En effet, -δa est lin´eaire. - Soit K un compact de Ω et soit ϕ ∈ D(Ω) a` support dans K. Alors, |δa (ϕ)| = |ϕ(a)| ≤ kϕk∞ . Par cons´equent, δa est une distribution d’ordre 0 qui porte le nom de distribution de Dirac. Montrons qu’elle est singuli`ere. Sinon, il existe f ∈ L1loc (Ω), telle que Z δa (ϕ) = f ϕdµ = ϕ(a), ∀ ϕ ∈ D(Ω). Ω

Pour ϕ ∈ D(Ω\{a}) ⊂ D(Ω), δa (ϕ) = ϕ(a) = 0. Donc f est nulle presque partout sur Ω. Or pour ( 0 si |x| ≥ 2a on a ϕa ∈ D(Ω) et δa (ϕa ) = exp − 3a12 , 0. la fonction ϕa : x 7→ 1 exp (− 4a2 −x2 ) si |x| < 2a. Contradiction. La distribution singuli`ere δa s’appelle distribution de Dirac qui est nulle sur tout ouvert de R ne contenant pas a. 1. Paul Dirac, 1902-1984 : math´ematicien et physicien Britanique

78

6.2 Distribution et espace D0 (Ω)

Valeur principale de Cauchy La fonction f : x 7→ f ∈ L1loc {|x| > ε}.

1 x

n’est pas localement int´egrable sur R, mais, pour tout ε > 0, Z

Soit T : D(R) → R, ϕ 7→ lim+ ε→0

ϕ ∈ D(R), alors

{|x|>ε}

ϕ(x) dx. Alors T est une distribution. En effet si x

Z T(ϕ) = lim ( →+∞

{xε}

ϕ(x) )dx). x

Une int´egration par partie pour chaque int´egrale donne : Z Z ϕ(x) +∞ dx = [ϕ(x) log(x)]ε − ϕ0 (x) log(x)dx, x {x>ε} {x>ε} et Z Z ϕ(x) − dx = [ϕ(x) log(−x)]−∞ − ϕ0 (x) log(−x)dx. {xε} x Or

(ϕ(−ε) − ϕ(0) − (ϕ(ε) − ϕ(0))) → 0+ . ε→0 ε Z Z ϕ0 (x) log |x|dx = I{|x|>ε} (x)ϕ0 (x) log |x|dx = I{|x|>ε} (x)g (x)dx,

log(ε)(ϕ(−ε) − ϕ(ε))) = ε log(ε) Z {|x|>ε}

K

R

pour K = Supp(ϕ) et pour g (x) = I{|x|>ε} (x)ϕ (x) log |x|. On a alors, presque pour tout x ∈ K - lim+ g (x) = ϕ0 (x) log |x|.. 0

→0

- |g (x)| ≤ kϕ0 k∞ | log(|x|)|, pour tout  > 0. - De plus, la fonction x 7→ log(|x|) est dans L1loc (R), donc elle est dans L1 (K). Du th´eor`eme de la convergence domin´ee, on d´eduit que : Z Z Z 0 0 T(ϕ) = lim − ϕ (x) log |x|dx = − log(|x|)ϕ (x)dx = − log(|x|)ϕ0 (x)dx. →0

{|x|>ε}

K

R

Il est facile a` v´erifier que T est une distribution en utilisant sa nouvelle expression puisque elle est lin´eaire et elle v´erifie |T(ϕ)| ≤ CK kϕ0 k∞ , ∀ K ⊂ R, compact et∀ ϕ ∈ D(R)/ Supp(ϕ) ⊂ K, 79

6.3 Op´erations sur les distributions Z ou` CK =

log(|x|)dx. De plus, elle est une distribution d’ordre 1. K

Cette distribution s’appelle valeur principale de Cauchy et elle est not´ee vp( x1 ).

6.3 6.3.1

Op´erations sur les distributions Produit d’une distribution par une fonction

Clairement, D0 (Ω) est un K-espace vectoriel, puisque il n’est pas vide, la somme de deux distributions T et S, et le produit λT, pour λ ∈ K, d´efinies respectivement par < T + S, ϕ >=< T, ϕ > + < S, ϕ > et < λT, ϕ >= λ < T, ϕ >, sont aussi des distributions. On rappelle que le produit de deux fonctions f et g lorsque qu’il existe est d´efini par ( f g)(x) = f (x)g(x). En tant que distribution, ce produit n’est pas toujours d´efini, car f g peut ne pas eˆ tre localement int´egrable, alors que f et g le sont. Comme contre exemple on peut prendre f = g pour f (x) = √1|x| qui d´efinit bien une distribution sur R. Cependant, si ϕ ∈ D(Ω) et si ψ ∈ C∞ (Ω), alors la fonction ϕψ ∈ D(Ω). Cette propri´et´e permet de d´efinir le produit d’une distribution par une fonction de classe C∞ de la facon suivante : D´efinition 6.3.1 (Produit par une fonction de classe C∞ ) Soit T ∈ D0 (Ω) et soit ψ ∈ C∞ (Ω). Le produit ψT de la distribution T par ψ est la distribution, not´ee par ψT, et d´efini par < ψT, ϕ >:=< T, ψϕ >, ∀ ϕ ∈ D(Ω). Remarque 6.3.1 L’application lin´eaire d´efinie pr´ec´edemment sur calD(Ω), qu’on a not´e ψT est bien une distribution. En effet, soit (ϕn ) ∈ D(Ω) une suite qui converge vers ϕ ∈ D(Ω), alors ψϕn converge vers ψϕ dans D(Ω). Ainsi < ψT, ϕn >=< T, ψϕn >→< T, ψϕ >=< ψT, ϕ > . Exemples 6.3.1 1. Le produit xδ0 est bien d´efini, puisque x 7→ x est de classe C∞ . Soit ϕ ∈ D(Ω), alors < xδ0 , ϕ >=< δ0 , xϕ >= 0ϕ(0) = 0. xδ0 est donc la distribution nulle.

80

(6.1)

6.3 Op´erations sur les distributions

2. xvp( x1 ) = 1 dans D0 (Ω). En effet < xvp( 1x ), ϕ > =

< vp( x1 ), xϕZ>

Z

= lim ε→0

ϕ(x)dx = |x|≥ε

ϕ(x)dx. R

Donc xvp( 1x ) = 1 en tant que distribution. 3. Pour tout r´eel a, et pour toute fonction de classe C∞ f , on a < f δa , ϕ >=< δa , f ϕ >= f (a)ϕ(a) =< f (a)δa , ϕ > .

(6.2)

Donc f δa = f (a)δa dans D0 (Ω).

6.3.2

D´erivation d’une distribution

Si f une fonction d´erivable sur un intervalle ]a, b[ de R, alors f ∈ D0 (]a, b[). Si de plus f 0 ∈ L1loc (]a, b[), alors, pour toute fonction ϕ ∈ D(]a, b[), la fonction ϕ0 ∈ D(]a, b[). De plus, une simple int´egration par partie donne Z Z 0 0 < T f , ϕ >= fϕ = − f 0ϕ = − < T f 0 , ϕ > . ]a,b[

]a,b[

On dit dans ce cas que T f 0 est la distribution d´eriv´ee de T f . On d´efinit la d´eriv´ee d’une distribution dans le cas g´en´eral comme suit : D´efinition 6.3.2 La d´eriv´ee T0 ∈ D0 (Ω) d’une distribution T ∈ D0 (Ω) est d´efinie par < T0 , ϕ >= − < T, ϕ0 >, ∀ ϕ ∈ D(Ω). Par r´ecurrence, la d´eriv´ee d’ordre m de T ∈ D0 (Ω) est la distribution not´ee T(m) ∈ D0 (Ω), donn´ee par < T(m) , ϕ >= (−1)m < T, ϕ(m) >, ∀ ϕ ∈ D(Ω). Exemples 6.3.2 — Si T = δ0 , alors < T0 , ϕ >= − < T, ϕ0 >= −ϕ0 (0). Donc δ00 : D(R) → R, ϕ 7→ ϕ0 (0). — La fonction f : x 7→ |x| est dans L1loc (R), mais f n’est pas d´erivable sur R. Si T = T f , alors Z Z Z 0 0 0 0 < T , ϕ >= − < T, ϕ >= − |x|ϕ (x)dx = xϕ (x)dx − xϕ0 (x)dx. ]−∞,0[

R

]0,+∞[

Suite a` une int´egration par partie pour chaque int´egrale et apr`es simplification on obtient Z 0 < T , ϕ >= (−IR− + IR+ )ϕdµ. R

Donc T = T g , pour g = −IR− + IR+ . 0

81

6.3 Op´erations sur les distributions

— On a montr´e que, pour toute fonction test ϕ ∈ D(R), on a, < vp( 1x ), ϕ >= − < log(|x|), ϕ0 >. Donc vp( x1 ) n’est autre que la d´eriv´ee de la fonction x 7→ log |x| au sens de distribution. Exercice 6.3.1 Montrer que la fonction f : x 7→ |x| v´erifie f 0 = sign(x), f ” = 2δ0 et ... f (k) = 2δ0(k−2) au sens de distributions. Exercice 6.3.2 Soit f une fonction d´erivable en tout point de R \ {a} et est d´erivable a` droite et a` gauche en a. On suppose de plus que f 0 ∈ D(R). Montrer que T0f = T f 0 + σδa , ou` σ = f 0 (a+ ) − f 0 (a− ). Proposition 6.3.1 Soit T ∈ D0 (Ω) et ψ ∈ C∞ (Ω). (ψT)0 = ψ0 T + ψT0 .

(6.3)

< (ψT)0 , ϕ >= − < ψT, ϕ0 >=< T, ψϕ0 > .

(6.4)

Preuve. Soit ϕ ∈ D(Ω).

D’autre part,

6.3.3

< ψ0 T + ψT0 , ϕ > = < ψ0 T, ϕ > + < ψT0 , ϕ > = < T, ψ0 ϕ > + < T0 , ψϕ > = < T, ψ0 ϕ − (ψϕ)0 > = − < T, ψϕ0 > .

Equations dans D0 (Ω)

Proposition 6.3.2 Soit f ∈ C∞ (Ω) telle que f (x) , 0, ∀x ∈ R. Alors l’unique solution T ∈ D0 (Ω) de l’´equation f T = 0 est la solution triviale T = 0 dans D0 (Ω). Preuve. Soit ψ = ϕ/ f avec ϕ ∈ D(Ω) . Alors ψ ∈ D(Ω) et on a : < T, ϕ >=< T, f ψ >=< f T, ψ >= O.

Proposition 6.3.3 Soit a ∈ R. Toutes les distributions T ∈ D0 (Ω) de l’´equation 1. (x − a)T = 0 sont de la forme T = kδa , k ∈ R. 2. (x − a)2 T = 0 sont de la forme T = k1 δa + k2 δ0a . k1 , k2 ∈ R. Preuve. 82

(6.5)

6.3 Op´erations sur les distributions

1. Soit ρ ∈ D(Ω) telle que ρ ≡ 1 dans un voisinage de a. Pour tout ϕ ∈ D(Ω), il existe une fonction ψ ∈ D(Ω) telle que ϕ(x) = ϕ(a)ρ(x) + (x − a)ψ(x)

(6.6)

1

Z En effet, il suffit de consid´erer ψ(x) = On a

et ψ(a) = ϕ0 (a).

ξ0 (tx + (1 − t)a)dt ∈ D(Ω), avec ξ = ϕ − ϕ(a)ρ. 0

< T, ϕ >=< T, ϕ(a)ρ > + < T, (x − a)ψ >=< T, ρ >< δa , ϕ > .

(6.7)

2. (x − a)T = kδa . Donc < T, ϕ > = ϕ(a) < t, ρ > + < T, (x − a)ψ > = ϕ(a) < t, ρ > + < kδa , ψ > = ϕ(a) < t, ρ > +kψ(a) = ϕ(a) < t, ρ > +kϕ0 (a).

6.3.4

Convergence dans D0 (Ω)

D´efinition 6.3.3 Soit (Tn ) une suite de distributions. On dit que la suite (Tn ) converge vers T ∈ D0 (Ω), si lim < Tn , ϕ >=< T, ϕ >, ∀ ϕ ∈ D(Ω). n→+∞

Exercice 6.3.3 Soit ( fn ) la suite de fonctions d´efinies sur R par ( sin2 (nx) si nx2 fn (x) = 0 si

x , 0, x = 0.

1. Montrer que, pour tout entier non nul, la fonction fn d´efinit une distribution r´eguli`ere T fn sur R. 2. Montrer que lim T fn = δ0 . n→+∞

Exercice 6.3.4 Montrer que si (Tn ) une suite de distribution qui converge vers T ∈ D0 (Ω), alors (Tn0 ) converge vers T0 dans D0 (Ω).

83

6.4 Application : Dynamique d’un point mat´eriel

6.4

Application : Dynamique d’un point mat´eriel

En m´ecanique, les distributions s’appliquent pour traiter des chocs de deux particules dont l’interaction est ponctuelle dans le temps. Si m est la masse ponctuelle d’une particule se d´eplacant sur l’axe des x avec une vitesse v > 0, sa trajectoire est x(t) = v|t − t0 |, t0 ∈ R. Si a` t = t0 , la particule heurte l’origine, alors l’impulsion p s’´ecrit ( −mv si t < t0 p(x) = . mv si t > t0 Alors, p n’est pas d´erivable sur R. Si Tp est la distribution associ´ee a` l’impulsion, alors Tp0 = 2mvδt0 . La force s’exercant sur la particule durant le choc est F = 2mvδt0 qui est une distribution non r´eguli`ere.

6.5

Distribution multidimensionnelle

Soit Ω un ouvert de Rd . D’une facon identique que pour d = 1, on d´efinit D(Ω) l’espace des fonctions de classe C∞ a` support compact dans Ω. Exemple 6.5.1 (

0 si ||x − a|| ≥ 1 , ou` k.k d´esigne la norme 1 exp (− 1−||x−a||2 ) si ||x − a|| < 1. euclidienne de Rd , alors ϕa et toutes ses d´eriv´ees partielles sont dans D(Rd ). Si a ∈ R et ϕa : x ∈ R 7→ d

d

Lorsque ϕ : Ω ⊂ Rd → K est une fonction de variable x = (x1 , x2 , ..., xd ) dans Rd , les d´eriv´ees, (ou diff´erentielles) successives de ϕ s’expriment en fonction de d´eriv´ees partielles par rapport aux xi , i = 1, ..., d. Notation : Si α = (α1 , α2 , ..., αd ) ∈ Nd un muti-indice, on note |α| = α1 + α2 + ... + αd . La d´eriv´ee partielle d’ordre α de ϕ est ∂α1 +α2 +...+αd ϕ ∂|α| ϕ ∂ ϕ= = α1 ∂xα1 1 ...∂xαd d ∂x1 ...∂xαd d α

On d´efinit d’une fac¸on identique la notion de distribution sur un ouvert Ω de Rd , en remplac¸ant l’ordre de la d´eriv´ee p ∈ N pour une fonction de variable r´eelle par le multiindice α ∈ Nd

84

6.5 Distribution multidimensionnelle

On appelle alors distribution toute forme lin´eaire T : D(Ω) → K v´erifiant : pour tout compact K de Ω, il existe nK ∈ N, et CK > 0, tels que ∀ϕ ∈ D(Ω), a` support dans K, | < T, ϕ > | ≤ CK

max

α∈N, |α|≤nK

k∂α ϕk∞ .

De mˆeme, la d´eriv´ee partielle par rapport a` une variable xi d’une distribution T, est la ∂T distribution, not´ee ∂x , est telle que : i
= − < T, >, ∀ ϕ ∈ D(Ω). ∂xi ∂xi

Si α = (α1 , ..., αd ) un multi-indice, alors, ∂α T est la distribution d´efinie par : < ∂α T, ϕ >= (−1)|α| < T, ∂α ϕ >, ∀ ϕ ∈ D(Ω). Le th´eor`eme de Schwarz sur les fonctions s’´etend aux distributions : Th´eor`eme 6.5.1 (de Schwarz) Soit T ∈ D0 (Ω). Alors, ∂β ∂α T = ∂α ∂β T = ∂α+β T, ∀ α et β ∈ N, ou` α + β = (α1 , ..., αd ) + (β1 , ..., βd ) = (α1 + β1 , ..., αd + βd ). Exercice 6.5.1 Soit a ∈ R3 . Calculer

∂3 δ a ∂δa puis ∂x2 ∂x1 ∂2 x2

85

R´ef´erences 1. A. Ben Abda, M. Jebalia, M. Mahjoub, Notes de Cours pour Math´ematiques pour l’Ing´enieur, ENIT, 2012. 2. J. Bass, Cours de Math´ematiques-Tome 2, Masson, 1961. 3. E. Aristidi, Analyse de Fourier Universit´e de Nice Sophia-Antipolis, Version du 30 aout 2016. 4. M. Clerc,M. Olivi, Math´ematiques pour l’Ing´enieur 1, 2011. 5. D. Euvrard Initiation aux distributions et aux transformations int´egrales, Ecoles Nationale de Techniques Avancees, 1980. 6. S. Meignen, V. Perrier, Analyse pour l’Ing´enieur, ENSIMAG, 2011 physiques Hermann, 1965 7. F. Roddier. Distributions et transformation de Fourier (`a l’usage des physiciens et des ing´enieurs) Ediscience, 1971. 8. L. Schwartz, M´ethodes math´ematiques pour les sciences

86