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Zitiervorschau

UNIVERSITÉ MOHAMMED V– AGDAL FACULTÉ DES SCIENCES Rabat

Master: Énergie et technologie des matériaux E.T.M

Module 9 : Analyse numérique. Méthode des volumes finis

KAMAL GUERAOUI Professeur de l’Enseignement Supérieur et Responsable de l’Équipe de Modélisation Théorique et Numérique en Mécanique des Fluides et en Environnement

ANNÉE UNIVERSITAIRE : 2009 - 2010

INTRODUCTION GENERALE

1

Les

problèmes

physiques

rencontrés

dans

notre

quotidien (le transport de polluants, les problèmes de convection, les écoulements dans les conduites, la modélisation de l’écoulement des polymères fondus, la modélisation

de

la

pollution

atmosphérique,

etc.)

sont décrits par des équations à dérivées partielles fortement couplées et non linéaires. En

général,

solutions

Ces

équations

analytiques

sauf

n’admettent

dans

des

pas

cas

de

très

simplifiés. C’est pourquoi un recours aux méthodes de résolution numériques s’avère nécessaire. Il existe plusieurs méthodes numériques : - méthode des différences finies - méthode des volumes finis - méthode des éléments finis - méthodes spectrales,… Chaque

méthode

de

résolution

numérique

d’un

problème continu comporte une phase de maillage et une phase de discrétisation. La phase de maillage consiste à diviser le domaine d’étude

en

de

petits

volumes

appelés

volumes

de

contrôle. La

phase

de

discrétisation

transforme

le

problème

continu en un problème discret. Les équations ainsi que les conditions aux limites sont approchées par des équations et conditions discrètes. L’objectif de ce polycopié est de développer les principes de la méthode des volumes finis.

2

Le

premier

chapitre

sera

consacré

à

l’exposer de la méthode des volumes finis pour le problème de la diffusion pure. L’objet

du

deuxième

chapitre

sera

l’utilisation de la méthode des volumes finis pour le problème stationnaire de diffusion - convection. Le

chapitre

trois

expose

la

méthode

des

volumes finis en coordonnées cylindriques. Le

quatrième

chapitre

sera

réservé

à

l’illustration de la méthode de résolution itérative de double balayage. L’objet du dernier chapitre sera l’étude du problème instationnaire de diffusion convection.

3

Chapitre 1 Problème stationnaire de diffusion pure

4

I- Introduction Les méthodes des volumes finis ont été parmi les premières

à

atteindre

un

stade

de

développement

avancé pour les calculs d’écoulements stationnaires et instationnaires.

Elles ont permis

une

prise en

compte complète des effets de non linéarité et de compressibilité ainsi que les effets de viscosité à l’aide

des

équations

de

Navier-Stokes,

et

de

turbulence. Les méthodes aux volumes finis ont supplanté les méthodes classiques basées sur les différences finies dans le traitement des problèmes complexes notamment tridimensionnels. La technique comprend deux étapes importantes : - le

maillage :

il

consiste

à

diviser

le

domaine en plusieurs intervalles réguliers appelés volumes de contrôle. - La discrétisation : les

équations

sont

lors

de

cette

intégrées

dans

étape les

volumes de contrôle. II- Etude d’un problème de diffusion à une dimension Soit le problème de transport de

la variable Ф

par diffusion régi par l’équation suivante :

div  grad    S   0

(1)

5

Où :  est le coefficient de diffusion et S le terme source. A

une

dimension,

l’équation

(1)

prend

la

forme

suivante :

d  d   S  0 dx  dx 

(2)

II-1 Maillage Dans

le

l’espace,

le

cas

d’une

maillage

étude est

à

une

constitué

dimension d’une

de

droite

subdivisée en un nombre fini de segments réguliers. Ceux-ci constituent les volumes de le

cas

unidimensionnel.

contrôle

Ci-dessous,

nous

dans donnons

l’exemple d’un maillage comprenant cinq volumes de contrôle qu’on peut adopter pour la discrétisation de l’équation (2):

La

valeur

de

Ф

est

maintenue

constante

aux

frontières. E et O sont appelés « Est » et « Ouest ». P, E et O sont appelés nœuds et x le pas. Dans cette première étape, on divise le domaine de calcul en un nombre fini et discret de volumes de contrôle.

Le

centre

de

chaque

volume

est

placé

exactement au milieu du segment correspondant. Par 6

commodité, on s’arrange pour que les

facettes des

nœuds de frontières coïncident exactement avec les valeurs aux

frontières du domaine de

calcul. Dans

notre exemple, le domaine est divisé en cinq volumes de contrôle. II-2

Discrétisation

L’intégration de l’équation (2) sur le volume de contrôle de centre P donne :

d  d  VC dx   dx  dv 



Où :

S



VC

S dv  0

(3)

 d   d     dx   dx   S V  0  e  o

(4)

est la valeur moyenne de la source et  V le

volume de contrôle correspondant. Signalons que dans ce cas, une dimension,  V   x . En général, le terme source peut dépendre de la fonction Ф elle-même. C’est pourquoi

on l’écrit:

S V  S u  S P  P

(5)

Le coefficient de diffusivité n’est pas toujours constant. Ses valeurs sur les facettes " e " et

" o

" du volume de contrôle sont exprimées en fonction des

valeurs

aux

points

nodaux

P,

O

et

E

par les

relations suivantes :

e 

E  O 2

et

o 

P  O 2

(6)

7

Par application d’un schéma centré d’ordre deux, on remplace les dérivées premières sur les facettes du volume de contrôle par les relations :

 E  P   d       e  dx  x  e  

(7)

  P  O   d      o   dx   X  o  

(8)

En substituant les équations (5), (6), (7) et (8) dans l’équation (4) on obtient :

e

  O E  P  o P  S u  S P  P   0 X x

(9)

Et après arrangement on trouve :

a P  P  aO  O  a E  E  S u

(10)

Avec :

aO 

o , x

aE 

e x

et

aP  a E  aO  S P

(11)

Les volumes de contrôle étant choisis réguliers, on peut supposer que le nœud P occupe une position d’indice i, le nœud O, la position d’indice i-1, le nœud E,

la position d’indice i+1, etc. L’équation

(10) peut donc se mettre sous la forme suivante :

ai  i  ai 1  i 1  ai 1  i 1  S u L’équation

(12)

(12) est donc construite pour tous

les volumes de contrôle du domaine d’intégration qui ne

sont

pas

limites.

Afin

influencés de

tenir

par compte

les des

conditions

aux

conditions

aux

8

limites, un traitement spécial est réservé aux nœuds se trouvant aux frontières. Le système d’équations résultant

est

linéaires

un

système

comportant

d’équations

autant

algébriques

d’équations

que

d’inconnues. La distribution discrète de la variable Ф sur le domaine de calcul peut alors être obtenue par les méthodes

directes

de

résolution

des

systèmes

d’équations linéaires : inversion de la matrice du système, méthode des déterminants,... Cependant, on préfère les méthodes itératives telles que la méthode de Gauss-Seidel ou la méthode de Jacobi qui sont bien adaptées pour ce genre de systèmes à matrice bande. Mais comme pour tout calcul itératif,

il

faudra

alors

convergence pour pouvoir

définir

un

critère

arrêter les calculs

de

à un

moment donné. III-

Etude d’un problème de diffusion à deux dimensions

III-1 Introduction L’équation qui gouverne le problème stationnaire de diffusion en deux dimensions dépend des de l’espace "x" et

variables

"z». Il convient de rappeler que

dans ce cas, deux dimensions de l’espace, le volume de contrôle est constitué du produit "∆x.∆z ". A

deux

dimensions,

l’équation

(1)

prend

la

forme

suivante :

9

d  d d  d      S  0 dx  dx  dz  dz  III-2

(13)

Maillage A deux dimensions, le domaine est subdivisé en

un nombre fini de volumes de contrôle qui sont alors constitués d’éléments de surface réguliers. Le maillage a la forme suivante :

Où :

P

est

le

nœud

principal,

i

l’indice

de

discrétisation suivant l’axe des "x", j l’indice de discrétisation suivant l’axe des "z". Le temps sera indexé par l’indice "k". En général, les lettres E, O, N et S représentent respectivement l’Est, l’Ouest, le Nord et le Sud. Le

carré

coloré

en

bleu

clair

représente

un

élément de volume de contrôle. Les segments [PE] et [PN] valent respectivement ∆x et ∆z. 10

Par la suite, nous allons adopter les maillages suivants : Suivant l’axe des "x" :

→

x(i) = (i–1)∆x Où : x est le pas de discrétisation suivant cette direction. Suivant l’axe des "z" :

→

z(j) = (j-1)∆z Où : z est le pas de discrétisation suivant cette direction. III-3

Discrétisation

L’intégration de l’équation (13) sur le volume de contrôle de centre P donne :

d  d   dv  VC dx  dx 



d  d   dv VC dz  dz 





VC

S dv  0

(14)



 d  d  d  d        dx   dx   dz   dz   S V  0  e  o  n  s Où : S

(15)

est la valeur moyenne de la source et  V

le

volume de contrôle correspondant. Signalons

que

dans

ce

cas,

deux

dimensions,

V   x z.

En général, le terme source peut dépendre de la fonction Ф elle-même. C’est pourquoi

on l’écrit:

11

S V  S u  S P  P

(16)

Le coefficient de diffusivité n’est pas toujours constant. Ses valeurs sur les facettes " e ", "

n

"

et

"

s

",

du

volume

de

" o ",

contrôle

sont

exprimées en fonction des valeurs aux points nodaux P, S, N, O et E par les relations suivantes :

e  n 

E  P 2

et

o 

P  O 2

P  N S  P   et s 2 2

(17) (18)

Par application d’un schéma centré d’ordre deux, on remplace les dérivées premières sur les facettes du volume de contrôle par les relations :

 E  P   d      e   dx  x  e  

(19)

  P  O   d      o   dx  X  o  

(20)

 N  P   d       n  dx   z  n  

(21)

  P  S   d      s  dx   z  s  

(22)

En substituant les équations (16), (17), (18), (19),

(20), (21)

et

(22)

dans l’équation (15)

on

obtient :

e

  O   P   S E  P  o P  n N  s P  S u  S P  P   0 X x z z

(23)

12

Et après arrangement on trouve :

a P  P  a O  O  a E  E  a N  N  a S  S  Su Avec :

aO 

o , x

aE 

e x

aN 

,

n z

(24) et

aS 

a P  a E  a O  a N  a S  SP

s z

(25)

Les volumes de contrôle étant choisis réguliers, on peut supposer que le nœud P occupe une position d’indice (i,j), le nœud O, la position d’indice (i1,j), le nœud E, la position d’indice (i+1,j), le nœud S, la

position d’indice (i,j-1), le nœud N, la

position d’indice (i,j+1),

L’équation (24) peut donc

se mettre sous la forme suivante :

a i, j  i, j  a i1, j  i1, j  a i1, j  i1, j  a i, j1  i, j1 (26)

 a i, j1  i, j1  Su L’équation

(26) est donc construite pour tous

les volumes de contrôle du domaine d’intégration qui ne

sont

pas

limites.

Afin

influencés de

tenir

par compte

les des

conditions

aux

conditions

aux

limites, un traitement spécial est réservé aux nœuds se trouvant aux frontières. Le système d’équations résultant

est

linéaires

un

système

comportant

d’équations

autant

algébriques

d’équations

que

d’inconnues.

13

Chapitre 2 Problème stationnaire de diffusion convection

14

I- Introduction Le problème stationnaire de diffusion convection de

la variable Ф est gouverné par les équations

suivantes :

 div  grad    S  div(V)

(1)

 div(V) = 0



(2)

est appelé coefficient de diffusion,  la masse  V la

volumique du fluide,

vitesse du fluide

et S

terme source. II-

Etude

d’un

problème

de

diffusion

à

une

dimension A

une

dimension,

les

équations

(1)

et

(2)

prennent la forme suivante :

d  d d    S  u dx  dx  dx

(3)

d u   0 dx

(4)

II- Maillage Dans l’espace,

le le

cas

d’une

maillage

étude est

à

une

constitué

dimension d’une

de

droite

subdivisée en en nombre fini de segments réguliers. Ceux-ci constituent les volumes de le

cas

unidimensionnel.

contrôle

Ci-dessous,

nous

dans donnons 15

l’exemple d’un maillage comprenant cinq volumes de contrôle qu’on

peut

adopter

pour

la

discrétisation

des équations (3) et (4):

La

valeur

de

Ф

est

maintenue

constante

aux

frontières. E et O sont appelés « Est » et « Ouest ». P, E et O sont appelés nœuds et x le pas. Dans cette première étape, on divise le domaine de calcul en un nombre fini et discret de volumes de contrôle.

Le

centre

de

chaque

volume

est

placé

exactement au milieu du segment correspondant. Par commodité, on s’arrange pour que les

facettes des

nœuds de frontières coïncident exactement avec les valeurs aux

frontières du domaine de

calcul. Dans

notre exemple, le domaine est divisé en cinq volumes de contrôle. II-2

Discrétisation

L’intégration de l’équation (3) sur le volume de contrôle de centre P donne :

VC

d  d d u   dv  VC S dv   dx  dx  VC dx

(5)

16



Où :

S

 d  d  dx    dx   S V  ue  uo  e  o

(6)

est la valeur moyenne de la source et  V le

volume de contrôle correspondant. L’intégration de l’équation (4) sur le volume de contrôle de centre P donne : d u  dv  0 VC dx

(7)



u e  u o  0

(8)

En général, le terme source peut dépendre de la fonction Ф elle-même. C’est pourquoi

on l’écrit:

S V  S u  S P  P

(9)

Le coefficient de diffusivité n’est pas toujours constant. Ses valeurs sur les facettes " e " et

" o

" du volume de contrôle sont exprimées en fonction des

valeurs

aux

points

nodaux

P,

O

et

E

par les

relations suivantes :

e 

E  O 2

et

o 

P  O 2

(10)

Par application d’un schéma centré d’ordre deux, on remplace les dérivées premières sur les facettes du volume de contrôle par les relations :

 E  P   d    dx   e  x  e  

(11)

  P  O   d       o  dx   X  o  

(12)

17

On pose : F  u  , le flux massique par convection et on approxime la fonction  aux nœuds e et o par une différence centrée, il vient :

En

substituant

e  P  E  / 2

(13)

o  P  O  / 2

(14)

les

équations

(9),

(10),

(11),

(12), (13) et (14) dans l’équation (6) on obtient :

e

  O F F E  P  o P  S u  S P  P   e  P   E   o  P   O  X x 2 2

(15)

Et après arrangement on trouve :

a P  P  aO  O  a E  E  S u Avec : a O  et

(16)

o Fo e Fe  a   , E x 2 x 2

a P  a E  a O  Fe  Fo  SP

Les volumes de contrôle étant choisis réguliers, on peut supposer que le nœud P occupe une position d’indice i, le nœud O, la position d’indice i-1, le nœud E,

la position d’indice i+1, etc. L’équation

(16) peut donc se mettre sous la forme suivante :

ai  i  ai 1  i 1  ai 1  i 1  S u L’équation

(17)

(17) est donc construite pour tous les

volumes de contrôle du domaine d’intégration qui ne sont pas influencés par les conditions aux limites. Afin de tenir compte des conditions aux limites, un traitement spécial est réservé aux nœuds se trouvant aux frontières. Le système d’équations résultant est 18

un

système

d’équations

algébriques

linéaires

comportant autant d’équations que d’inconnues. Cependant,

on

préfère

les

méthodes

itératives

telles que la méthode de Gauss-Seidel ou la méthode de Jacobi qui sont bien adaptées pour ce genre de systèmes à matrice bande. Mais comme pour tout calcul itératif,

il

faudra

alors

convergence pour pouvoir

définir

un

critère

arrêter les calculs

de

à un

moment donné. III-

Etude d’un problème de diffusion à deux dimensions

Le

cas

bidimensionnel

peut

être

obtenu

en

utilisant la même technique que précédemment pour les deux

directions

x

et

z.

L’équation

discrétisée

s’écrit sous la forme :

a P  P  a O  O  a E  E  a N  N  a S  S  Su

(18)

19

Chapitre 3 Etude d’un problème de transfert de chaleur à deux dimensions en coordonnées cylindriques

20

I- Introduction Soit grandeur

le problème de transfert de chaleur de la physique

T

(la

température)

régi

par

l’équation suivante :  2T 1 T 1  2T   S 0 r 2 r r r 2  2

(1)

Où : T

est la température,

S le terme

source,



la

variable azimutale et r la variable radiale .

II- Maillage Dans le cas d’une étude à deux dimensions de l’espace,

le

maillage

subdivisé

en

un

réguliers.

nombre

Ceux–ci

est

constitué

fini

constituent

de

de

petits les

trapèze trapèzes

volumes

de

contrôle dans le cas bidimensionnel. Nous donnons, ci-dessous,

l’exemple

d’un

maillage

adopté

à

ce

problème.

21

N



j+1

n O

o

P

E

e r

j s S j-1 i+1

i-1 i

III- Discrétisation

L’intégration de l’équation (1) sur le volume de contrôle de centre P conduit à:



Vc

(

 2T 1 T 1  2T    S )dV  0 r 2 r r r 2  2

(1)

Soit :

VC

re (

1  r r

(r

2 1  T ) rdrd  V rdrd  V Srdrd  0 2 c 2 c r r 

T

T T 1 T T )e   ro ( )o   (( ) N  ( ) S )r  SV  0 r r rp  

(2)

Où : S

est la valeur moyenne de la source et V

Le

volume de contrôle. 22

Signalons que dans ce cas : V  rr En général, le terme source peut dépendre

de la

température T . C’est pourquoi on l’écrit : (3)

SV  ST  S PTP

Or: re 

rE  rP 2

et

ro 

rO  rP 2

(4)

Par application d’un schéma centré d’ordre deux, on remplace les dérivées premières sur les facettes du volume de contrôle par les relations : (r

T T T T T T )e  (r )o  re ( E P )  ro ( P O ) r r r r

(

T  TP TP  TS T T )n  ( ) s  N     

(5)

(6)

En substituant les équations (3), (4), (5) et (6) dans l’équation (1) on obtient : re (

T T T  TP T T TE  TP )  ro ( P O )  N r  P S r  ST  S PTP  0 r r rp  rp 

(7)

Ce qui conduit à : aPTP  aNTN  aSTS  aETE  aOTO ST

(8)

Avec : a N  aS 

1 r rP 

;

aE 

rE  rP  2 r

;

aO 

rO  rP  2 r

;

23

Et :

aP  aN  aS  aE  aO  S P

Les volumes de contrôle sont

choisis réguliers,

on peut supposer que le nœud P occupe une position d’indice i, j  , le noeud O la position d’indice  i  1, j  , le noeud

E

position

la

position

d’indice

d’indice  i  1, j  ,

le

noeud

S

 i, j  1 et le noeud N occupe

la la

position d’indice  i, j  1 . L’équation

(8)

peut

donc

se

mettre

sous

la

forme suivante : a  i, j  T  i, j   a  i, j  1 T  i, j  1  a  i, j  1 T i, j  1  a i  1, j  T i  1, j   a i  1, j T i  1, j  (9)

L’équation (9) est donc construite pour tous les volumes de contrôle du domaine d’intégration qui ne

sont

pas

influencés

par

les

conditions

aux

des

conditions

aux

limites. Afin

de

tenir

compte

limites, un traitement spécial est réservé aux nœuds se trouvant aux frontières.

24

Chapitre 4 Méthode de double balayage

25

On

considère

peut

l’équation

représenter

algébrique

n’importe

suivante

quelle

qui

grandeur

physique  : Ai  i  1  Bi  i   C i  i  1  Di 

(1)

Le principe de la méthode de double balayage permet d’écrire :  i    i  i  1   i 

(2)

Où encore :  i  1   i  1 i    i  1

En introduisant l’équation (3)

dans

(3) l’équation (1),

il vient : Ai  i  1 i   Bi  i   C i  i  1  Ai  i  1  Di 

L’équation  i  

(4)

(4)

peut sous mettre sous la forme :

 C i  Di   Ai  i  1  i  1  Bi   Ai  i  1 Bi   Ai  i  1

Une comparaison entre

(5)

l’équation (2) et l’équation

(5) donne :  i  

 C i  Bi   Ai  i  1

(6)

26

Et :  i  

Di   Ai  i  1 Bi   Ai  i  1

(7)

Les formules de récurrences (6) et (7) sont amorcées à l’aide de la donnée de α(1) et de β(1) issus des conditions aux limites. Lors du premier balayage allant de i = 2 jusqu’à i = imax , on détermine les fonctions α et β. La grandeur physique  sera déterminée lors du balayage inverse allant de i = imax 1 jusqu’à i = 2.

27

Chapitre 5 Problème instationnaire de diffusion convection

28

I- Introduction Les étapes de maillage et discrétisation restent les

même

que

pour

stationnaires.

La

les

cas

différence

des

majeure

problèmes repose

sur

l’intégration qui se fait aussi bien sur le volume du domaine que sur l’intervalle de temps  t , t  t  . La méthode des volumes finis permet en général une permutation des intégrations suivant le temps et suivant l’espace. t  t



 t  f t  t  1    f t

 f dt

On pose :



t

f

Où :

t

et

la fonction f

f

t  t

sont respectivement les images de

respectivement aux temps t et t + ∆t

0   1.

et θ un nombre réel tel que

Dans la suite, nous nous baserons sur le cas où t  t

  1,

c’est à dire

 f dt 

f t  t , ce qui correspond à

t

la méthode dite implicite. Remarque : Notre étude portant sur un modèle bidimensionnel et

instationnaire,

détail

ces

aspects

nous dans

avons

préféré

le

paragraphe

traiter

en

suivant

correspondant justement au cas de notre étude. Quant au

cas

tridimensionnel,

il

constitue

juste

une

extension des autres cas, mais le principe concernant le maillage et la discrétisation reste pratiquement le même. 29

Dans la suite nous allons appliquer la méthode des volumes finis aux équations (49), (50) et (51), ainsi qu’aux conditions aux limites, en tenant compte du maillage ci-dessus. II-

Cas de l’équation de vorticité L’équation de vorticité

 2  Pr t

s’écrit :

 U   W   2 a U   Ra Pr  Pr  2   H 0 x z x W0 z



(1)

En intégrant cette équation suivant le volume de contrôle

et

le

long

de

l’intervalle

de

temps

de

longueur dt, on aura : t  t



 2  Pr t

VC T

t  t

dt dx dz 

 VC t

 U  W    a U     Ra Pr H 0  Pr 2  dt dx dz x z x W0 z  

On rappelle que dans notre cas,

En

calculant

terme

à

2 2   2  2 x z

terme

2

les

intégrales

de

l’équation ci-dessus, on trouve :

2

A =

Pr

t  t

 VC t

 2 dt dx dz  x z tP t  tP t Pr





B = t  t



 

VC

t

  U  z t U E  U O   P  U E  U P   E  U P  U O   O  dt dx dz   x 4

30

C

=



 W  x z WN WS P  WN WP  N  WP WO S  dt dx dz   z 4

t  t



VC t

D

= t  t

 VC t

E

  a U    Ra Pr  dt dx dz  S P x z t  H 0  x W  z 0  

= t  t

Pr

 VC t

 2  2   P t z   dt dx dz  r E  2 P  O   Pr t x  N  2P  S   z  x z  x On

remarque

que

les

quatre

résultats

des

intégrales B, C, D et E sont considérés à l’instant t  t

mais on a omis de les indexer pour des raisons

d’encombrement des expressions. En regroupant les résultats ci-dessus et en les rangeant

par

rapport

à

l’inconnu  ,

on

obtient :

 2 z t x t t x t z        x  z  U  U  W  W  2 P  2 P E O N S r r   4 4 z x   Pr  z t U E U P   Pr t z   tO t  z t U P U O   Pr t z   tE t  x  x   4  4 t  t P

 x t WN  WP   Pr x t   tS t  x t WP  WS   Pr x t   tN t  z  z   4  4  S

t  t P

x z t 

2 Pr

x z tP

31

En

tenant

compte

du

maillage

fait

pour

les

variables de l’espace ainsi que pour le temps, On obtient le système d’équations algébriques suivant:

 2  z t        x  z  U i  1 , j , k  1  U i  1 , j , k  1   4  Pr  i, j , k  1  P  t  z P  t  x  x  t   r r       W i , j  1 , k  1  W i , j  1 , k  1  2  2  4 x z   z t U i  1, j, k  1  U i, j, k  1  Pr t z   i  1, j , k  1  x   4  z t U i, j, k  1  U i  1, j, k  1  Pr  i  1, j , k  1  4   x t W i, j  1, k  1  W i, j, k  1  Pr  i, j  1, k  1 4 

t z   x  t x   z 

 x t W i, j, k  1  W i, j  1, k  1  Pr x t   i, j  1, k  1  z   4  x z t S i, j , k  1 

2 x z i, j , k  Pr Le

système

d’équations

algébriques

ci-dessus

s’applique seulement pour les zones du maillage non influencées

par

les

conditions

aux

limites.

Il

convient donc de déterminer les équations applicables sur les régions voisines du contour délimité par le maillage. Nous rappelons que d’après le maillage que nous avons choisi ci-dessus, suivant l’axe des abscisses indexé

par

délimitant

l’indice 20

"i",

colonnes

nous

avons

(i=1,...,21).

21

nœuds

Les

nœuds

32

influencés directement par les conditions aux limites sont donc ceux situés à i=2 et i=20. C’est donc pour ces nœuds que nous allons déterminer les équations particulières qui tiendront compte des conditions aux limites. Il en est bien évidemment de même pour l’axe des côtes indexé par l’indice "j". Ici il s’agira par contre des nœuds situés sur les lignes j=2 et j=20. Pour

obtenir

l’équation

algébrique

suivant

la

colonne indexée par l’indice i=2, on considère comme nœud

principal

le

nœud

i=2

et

on

suit

la

même

procédure d’intégration que précédemment. Ceci sera aussi appliqué pour la colonne indexée par i=20, la ligne indexée par j=2 et la ligne j=20. L’opération sera reprise pour l’équation (1). Les

équations

pour

les

colonnes

et

lignes

influencées par les conditions aux limites concernant l’équation (1) sont donc les suivantes :

II-1

Equation suivant la colonne (2)

Cette équation, (2), s’écrit :

33

 2  z t U 3, j, k  1  U CL  x z    4  P  2, j , k  1 r   x t W 2, j  1, k  1  W 2, j  1, k  1  2 Pr t z  2 Pr t x   4 x z     z t U 3, j, k  1  U 2, j, k  1  Pr t z   3, j , k  1  x   4  z t U 2, j, k  1  U CL   Pr t z    CL  x   4  x t W 2, j  1, k  1  W 2, j, k  1  Pr t x   2, j  1, k  1 z   4  x t W i, j, k  1  W 2, j  1, k  1  Pr x t   2, j  1, k  1  z   4

2

 x z t S 2, j , k  1 

II-3

Pr

x z 2, j , k 

Equation suivant la colonne (20)

Cette équation, (3), s’écrit:  2  z t U CL  U i  1, j, k  1 x z     Pr  4 20, j , k  1   x t W 20, j  1, k  1  W 20, j  1, k  1  2 Pr t z  2 Pr t x   4 x z     z t U CL  U 20, j, k  1  Pr t z   CL  x   4  z t U 20, j, k  1  U 19, j, k  1  Pr t z   19, j , k  1  x   4  x t W 20, j  1, k  1  W 20, j, k  1  Pr t x   20, j  1, k  1 z   4  x t W 20, j, k  1  W 20, j  1, k  1  Pr x t   20, j  1, k  1  z   4  x z t S 20, j , k  1

II-3



2 Pr

x z 20, j , k 

Equation suivant la ligne (2)

Cette équation, (4), s’écrit:

34

 2  z t U i  1,2, k  1  U i  1,2, k  1  x z    P  4 i,2, k  1 r   x  t P  t  z P  t  x   W i,3, k  1WCL  2 r 2 r   4 x z    z t U i  1,2, k  1U i,2, k  1 Pr t z   i  1,2, k  1  x   4  z t U i,2, k  1 U i  1,2, k  1 Pr t z   i  1,2, k  1  x   4  x t W i,3, k  1 W i,2, k  1 Pr t x   i,3, k  1 z   4  x t W i,2, k  1WCL  Pr x t   CL  4   4  x z t S i,2, k  1 

II-4

2 Pr

x z i,2, k 

Equation suivant la ligne (20)

Cette équation, (5), s’écrit:  2  z t U i  1,20, k  1  U i  1,20, k  1   x z   P  4 I ,20, k  1 r   x t W W i,19, k  1 2 Pr t z  2 Pr t x  CL   4 x z  z t U i  1,20, k  1U i,20, k  1 Pr t z   i  1,20, k  1  x   4  z t U i,20, k  1U i  1,20, k  1 Pr t z   i  1,20, k  1  x   4  x t WCL W i,20, k  1 Pr t x   CL  z   4  x t W i,20, k  1W i,19, k  1 Pr x t   i,19, k  1  4   4

2  x z t S i,20, k  1  x z i, j 20, k  Pr

35

III-

Cas de l’équation de température réduite

Cette équation est :

U  W   2  2     2  2 Pr t x z x z

 2 

En intégrant cette équation on a : t  t

 2 



Pr t

VC t

t  t

dt dx dz 

  VC t

U  W   2  2    2  2 x z x z

dt dx dz

En suivant les mêmes étapes de discrétisation que

précédemment,

on

trouve

le

système,

(6),

d’équations algébriques suivant :

 2 t z t z         x  z  U i  1 , j , k  1  U i  1 , j , k  1  2   Pr 4 x   i, j , k  1   t  x  t  x    4 W i, j  1, k  1  W i, j  1, k  1  2 z   t z U i  1, j, k  1 U i, j, k  1  t z    i  1, j , k  1 x   4  t z U i, j, k  1 U i  1, j, k  1  t z    i  1, j , k  1 x   4  t x W i, j  1, k  1 W i, j, k  1  t x    i, j  1, k  1 z   4  t x W i, j, k  1  W i, j  1, k  1  t x   i, j  1, k  1 z   4 

2 Pr

x z  i, j , k 

Le

système

d’équations

ci-dessus

concerne

les

zones non influencées par les conditions aux limites. Nous

allons

comme

précédemment

déterminer

les

équations les équations des zones sous influence à

36

savoir les colonnes (2) et (20) ainsi que les lignes (2) et (20). III-1

Equation suivant la colonne (2)

Cette équation, (7), s’écrit:

 2 t z t z   P x z  4 U 3, j , k  1  U CL   2 x  r  2, j , k  1   t x W 2, j  1, k  1  W 2, j  1, k  1  2 t x   4 z   t z U 3, j, k  1  U 2, j, k  1  t z    3, j , k  1 x   4  t z U 2, j, k  1  U CL   t z    CL  x   4  t x W 2, j  1, k  1  W 2, j, k  1  t x    2, j  1, k  1 z   4  t x W 2, j, k  1  W 2, j  1, k  1  t x    2, j  1, k  1 z   4  III-2

2 Pr

x z  2, j , k  Equation suivant la colonne (20)

Cette équation, (8), s’écrit :

37

 2  t z t z  P x z  4 U CL  U 19, j , k  1  2 x  r  20, j , k  1   t  x  t  x    4 W 20, j  1, k  1  W 20, j  1, k  1  2 z   t z U CL  U 20, j, k  1  t z    CL  x   4  t z U 20, j, k  1  U 19, j, k  1  t z    19, j , k  1 x   4  t x W 20, j  1, k  1  W 20, j, k  1    20, j  1, k  1  4  t x W 20, j, k  1  W 20, j  1, k  1    20, j  1, k  1 4  

2 Pr

III-3

t x   z  t x   z 

x z  20, j , k 

Equation suivant la ligne (2)

Cette équation, (9), s’écrit :

 2 t z t z         x  z  U i  1 , 2 , k  1  U i  1 , 2 , k  1  2    Pr 4 x   i,2, k  1   t  x  t  x    4 W i,3, k  1  WCL   2 z   t z U i  1, 2, k  1  U i,2, k  1  t z    i  1, 2, k  1 x   4  t z U i,2, k  1  U i  1, 2, k  1  t z    i  1, 2, k  1 x   4  t x W i,3, k  1  W i,2, k  1  t x    i,3, k  1 z   4  t x W i,2, k  1  WCL   t x     CL  z   4

2 x z  i,2, k  Pr 38

III-4

Equation suivant la ligne (20)

Cette équation, (10), s’écrit :

 2 t z t z   P x z  4 U i  1, 20, k  1  U i  1, 20, k  1  2 x   i,20, k  1 r   t  x  t  x    4 WCL  W i,19, k  1  2 z   t z U i  1,20, k  1  U i,20, k  1  t z    i  1, 20, k  1 x   4  t z U i,20, k  1  U i  1, j 20, k  1  t z    i  1,20, k  1 x   4  t x WCL  W i,20, k  1  t x    CL  z   4  t x W i,20, k  1  W i,19, k  1  t x    i,19, k  1 z   4 

2 Pr

x z  i,20, k 

IV- CONDITIONS AUX LIMITES Les conditions aux limites doivent aussi être discrétisées

tout

comme

l’ont

été

les

autres

équations de notre étude. On utilisera bien sûr les mêmes

indices

de

discrétisation

que

pour

précédemment. Les conditions aux limites deviennent donc comme suit:

39

IV-1

Conditions à la paroi

Sur la paroi latérale de l’enceinte, on a :

 x  0, z   1  z D’où les conditions discrétisées : ►

 1, j, k  1  1   j 1z

(11)

►

 21, j, k  1  1   j  1z

(12)

IV-2

Conditions d’isothermie sur les bases

Ces conditions s’écrivent: ►

 x, z  0  1  i,1, k  1  1

D’où : ►

(13)

 x, z  1   2

D’où : IV-3

 i, 21, k  1   2

(14)

Conditions aux limites dynamiques

On a les conditions dynamiques suivantes : ►

 x, z  0  0

D’où : ►

 i,21, k 1  0

(16)

 x  0, z   0 D’où :

►

(15)

 x, z 1  0

D’où : ►

 i,1, k 1  0

 1, j, k  1  0

(17)

 x 1, z   0 D’où :

 21, j, k  1  0

(18)

40

41

● Abbès

AZZI,"Méthodes

numériques,

la

méthode

des

volumes finis" Faculté de Génie Mécanique, USTO, Oran, Algérie. ● Mrabti

A.

"Simulation

numérique

d’écoulement

de

convection naturelle…", Thèse de doctorat, 1999. ● J.M.Seinfed et S.N.Pandis, "Atmospheric chemistry and physicis from air pollution to climate charge", Wiley, New-York, 1998. ● H.K.Versteg et W. Malalasekera, "an introduction to computational fluid dynamics" . The finite volume methode, 1ère édition, Longman Group Ltd, England, 1995. ● Launder B.E.et Splanding D.b.1974, the numerical computation of turbulent flows, comuter Methods in Aplied Mecganics and Engineering, vol.3,pp.269289. ● Viollet P.L.1988, On the numerical modeling of stratified flows, Phyysical Processes in Esturies (eds.Dronkers and van leussen) Springer verlay, pp.257277.

42