Ouvrages de Soutènement - Poussé Et Butée PDF [PDF]
Réf. : C242 V3 Date de publication : 10 mai 2015 Ouvrages de soutènement Poussée et butée Date de dernière validation
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Réf. : C242 V3
Date de publication : 10 mai 2015
Ouvrages de soutènement Poussée et butée
Date de dernière validation : 20 juillet 2020
Cet article est issu de : Construction et travaux publics | Mécanique des sols et géotechnique par Thomas SIMONNOT, Yann JUILLIÉ
Mots-clés mur de soutènement | construction | Génie civil | construction routière
Résumé Cet article présente les différentes méthodes de calcul des forces de poussée et de butée en fonction du type de mur et de sol retenu, et des caractéristiques intrinsèques du sol, ainsi que les déplacements relatifs associés. Il s'agit d'une actualisation à l'Eurocode 7 de la version précédente. Noter aussi que cet article précède le C244 qui traite plus précisément des murs et écrans de soutènement.
Keywords retaining wall | building | Civil engineering | road construction
Abstract This article presents the different calculation methods for active and passive earth pressures, and associated displacements, modified according to the recently published Eurocode 7 rules. Importantly, this article follows upon the C244, which deals more precisely with strengths of retaining walls and structures
Pour toute question : Service Relation clientèle Techniques de l’Ingénieur Immeuble Pleyad 1 39, boulevard Ornano 93288 Saint-Denis Cedex
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Ouvrages de soute`nement Pousse´e et bute´e par
Thomas SIMONNOT Directeur ACCOTEC (Gif-sur-Yvette, France)
et
Yann JUILLIE´
Parution : mai 2015 - Dernière validation : juillet 2020 - Ce document a ete delivre pour le compte de 7200031101 - universite de clermont auvergne // 195.221.120.100
Expert pre`s la Cour d’appel de Paris (Gif-sur-Yvette, France) Premie`re version par Franc¸ois SCHLOSSER
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1. 1.1 1.2
De´finition des forces de pousse´e et de bute´e........................... Ge´ne´ralite´s ......................................................................................... Relation fondamentale entre pressions late´rales et de´placements ..
2. 2.1 2.2
Coefficients de pousse´e et de bute´e........................................... Cas ge´ostatique .................................................................................. Cas ge´ne´ral d’un massif de sol pulve´rulent ......................................
— — —
4 4 8
3. 3.1 3.2 3.3 3.4
Calcul des forces de pousse´e et de bute´e ................................. Me´thode de Coulomb ........................................................................ Me´thode de Rankine .......................................................................... Me´thode des e´quilibres limites ......................................................... Comparaison des diffe´rentes me´thodes ............................................
— — — — —
8 8 12 15 15
4. 4.1 4.2
Calcul de la pousse´e exerce´e par un sol sature´, sie`ge d’un e´coulement d’eau............................................................................ Massif non draine´ .............................................................................. Massif draine´ ......................................................................................
— — —
16 16 16
5. 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5
Cas particuliers ............................................................................... Surcharges a` la surface du sol .......................................................... Effet de silo......................................................................................... Effet du compactage .......................................................................... Renard hydraulique ............................................................................ Surcharges dynamiques ....................................................................
— — — — — —
17 17 18 19 19 20
6.
Conclusion........................................................................................
—
21
Pour en savoir plus..................................................................................
C 242v2 – 2 — 2 — 2
Doc. C 242v2
L
’objet de cet article est de de´terminer les forces de pousse´e et de bute´e en fonction de la ge´ome´trie des e´crans ou de mur de soute`nement et du massif de sol retenu, des caracte´ristiques me´caniques du sol et des de´placements relatifs du mur par rapport au sol. Ainsi, l’article pre´sente les coefficients de pousse´e et de bute´e, leurs me´thodes de calcul (Mohr-Coulomb, Rankine, et e´quilibres limites) en les comparant. Ces me´thodes sont de´veloppe´es pour les diffe´rents types de sols (cohe´rents ou pulve´rulents), avec des exemples de calcul.
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C 242v2 – 1
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OUVRAGES DE SOUTE`NEMENT –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
1. De´finition des forces de pousse´e et de bute´e 1.1 Ge´ne´ralite´s Pour un ouvrage de soute`nement simple, de type mur en be´ton retenant un massif de sol (figure 1), les types de sollicitations qui s’exercent sur ce mur sont :
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– la force de pesanteur W, poids du mur, qui s’exerce sur la face du mur en contact avec le sol ; – les trois forces de me´canique des sols :
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Si l’on effectue une translation horizontale de l’e´cran vers l’inte´rieur du remblai, la force P croıˆt en fonction du de´placement D jusqu’a` un maximum Pp qui correspond a` la mobilisation totale de la bute´e (figure 2b). La valeur de Pp est de 3 a` 4 fois la valeur de la force initiale P0. Inversement, lors d’une translation horizontale de l’e´cran vers l’exte´rieur du remblai, la force P diminue jusqu’a` une valeur minimale Pa qui correspond a` l’e´tat complet de pousse´e. La valeur de Pa est de l’ordre de la moitie´ de celle de P0. On parle aussi de bute´e limite et de pousse´e limite pour pre´ciser qu’il s’agit des efforts extreˆmes correspondant a` la
O
la force de pousse´e (ou encore pousse´e) et on la note Pa, l’indice a pre´cisant qu’il s’agit d’une force active. C’est la force du massif de sol s’exerc¸ant sur la face amont du mur et qui a tendance soit a` renverser le mur, soit a` le de´placer horizontalement, la force de bute´e (ou encore bute´e) et on la note Pp, l’indice p pre´cisant qu’il s’agit d’une force passive (qui ne s’exerce qu’en re´action a` un de´placement effectif). C’est la force qu’exerce le sol sur la face aval du mur, et qui a tendance a` retenir le mur,
Δ
la force portante N ou Rb, verticale, et la force de re´sistance au glissement, T ou Rh, qui s’oppose au glissement du mur sur sa base sous l’action de la pousse´e.
P
1.2 Relation fondamentale entre pressions late´rales et de´placements Des expe´riences simples, sur mode`les re´duits, montrent que les valeurs des forces late´rales pre´ce´demment introduites (forces de pousse´e et de bute´e) de´pendent essentiellement des de´placements horizontaux de l’ouvrage de soute`nement.
a écran rigide en translation
P
Supposons, par exemple, que l’on encastre le´ge`rement a` la surface horizontale d’un massif de sable un e´cran vertical parfaitement lisse et que l’on remblaie progressivement et horizontalement derrie`re l’e´cran, en appliquant a` ce dernier des efforts de re´sultante ge´ne´rale P tels qu’il n’y ait aucun de´placement de l’e´cran (figure 2a). Ce dernier e´tant parfaitement lisse, la force P est horizontale (pas de frottement entre l’e´cran et le massif). Elle est appele´e « pousse´e au repos » et note´e P0.
Pp Butée
P0 Pa
Pa Poussée
Pp
W Δa
O
Δp
T b relation force/déplacement
N
Figure 1 – Sollicitations exerce´es sur un mur de soute`nement
C 242v2 – 2
Figure 2 – Relation force/de´placement pour un e´cran rigide en translation
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Δ
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–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Dans la suite de cet article, c’est la rotation en pied de l’e´cran qui sera implicitement conside´re´e.
Plus pre´cise´ment, si h est la hauteur hors fiche de l’e´cran, les ordres de grandeur de ces de´placements va pour la pousse´e et vp pour la bute´e sont chiffre´s aux figures 3 et 4.
vp / h
De la meˆme fac¸on, la forme du diagramme des pressions exerce´es par le massif de sol sur l’e´cran de´pend de la nature du de´placement impose´ a` l’e´cran.
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– rotation autour du pied (figure 5a) ; – translation horizontale (figure 5b) ; – rotation autour du sommet (figure 5c) ; – de´placement de flexion entre deux appuis fixes, le pied et le sommet (figure 5d). La re´partition la plus homoge`ne et la plus pure est celle correspondant a` la rotation en pied. Ce type de de´placement est tre`s fre´quemment rencontre´ dans le cas des murs poids (cf. article [C 244]). Les autres de´placements provoquent dans le sol, derrie`re l’e´cran et de fac¸on plus ou moins accentue´e, un phe´nome`ne appele´ « effet de
sol dense ( en % )
7 ( 1,5 ) à 25 ( 4,0 )
5 ( 1,1 ) à 10 ( 2,0 )
5 ( 0,9 ) à 10 ( 1,5 )
3 ( 0,5 ) à 6 ( 1,0 )
6 ( 1,0 ) à 15 ( 1,5 )
5 ( 0,5 ) à 6 ( 1,3 )
vp a)
b)
vp
c) vp
Types de mouvement du mur
va / h
va / h
sol lâche ( en % )
sol dense ( en % )
Définitions vp est le mouvement du mur nécessaire pour mobiliser la butée des terres ; h est la hauteur du mur.
0,1 à 0,2
Figure 4 – Mouvements ne´cessaires pour mobiliser la bute´e
c)
h va
h
b)
0,4 à 0,5
0,2
h
va a)
0,8 à 1,0
0,2 à 0,5
h
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Les quatre diagrammes pre´sente´s a` la figure 5 montrent l’allure approximative de la re´partition de la pousse´e pour quatre de´placements particuliers de l’e´cran :
vp / h
sol lâche ( en % )
h
Types de mouvement du mur
h
Si l’on compare les de´placements, on constate qu’il faut un de´placement Dp beaucoup plus important pour atteindre l’e´tat complet de bute´e que le de´placement Da ne´cessaire pour atteindre celui de pousse´e.
vouˆte » dont la conse´quence est de concentrer les efforts au voisinage des appuis fixes et au contraire de les diminuer dans les zones de grands de´placements.
h
rupture du sol. Mais, dans la pratique, on omet souvent l’adjectif « limite », les termes de pousse´e et de bute´e correspondant alors implicitement a` la rupture. C’est ce que nous ferons dans la suite de cet article.
OUVRAGES DE SOUTE`NEMENT
0,4 à 0,5
0,1 à 0,2
0,0 à 0,1
a
c
va
d)
va
Définitions va est le mouvement du mur nécessaire pour mobiliser la poussée des terres ;
b
h est la hauteur du mur.
Figure 3 – Mouvements ne´cessaires pour mobiliser la pousse´e
d
Figure 5 – Re´partition de la pousse´e selon le type de de´placement de l’e´cran
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C 242v2 – 3
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OUVRAGES DE SOUTE`NEMENT –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
2. Coefficients de pousse´e et de bute´e
Dans le cas des sols surconsolide´s, le coefficient K0 correspond a` une de´charge du sol diffe´rente de la charge (figure 6b), et sa valeur est alors supe´rieure a` celle du premier chargement correspondant au sol normalement consolide´ ; elle peut meˆme atteindre des valeurs supe´rieures a` 1 :
K 0 = (1 − sin ϕ ′ ) ROC
2.1 Cas ge´ostatique On se place dans le cas simple d’un massif de sol semi-infini, homoge`ne et isotrope, a` surface horizontale, appele´ « cas ge´ostatique ».
avec ROC (rapport de surconsolidation) le rapport entre la contrainte de pre´consolidation s’p et la contrainte effective verticale s’v0 des terres au repos derrie`re l’e´cran.
2.1.1 Terres au repos : coefficient de pression late´rale
Enfin, lorsque le terrain est incline´ vers le haut a` partir de l’ouvrage de soute`nement, avec un angle β ≤ ϕ ′ , alors le coefficient des terres au repos devient :
Les e´quations de l’e´quilibre me´canique montrent que la contrainte totale s v s’exerc¸ant sur un plan horizontal a` la profondeur z est verticale et a pour valeur (figure 6a) :
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σv = γ z σh = K 0 yz
v
σv
σ
On utilise ge´ne´ralement un appareil triaxial dans lequel il est possible de mesurer a` chaque instant le de´placement radial de l’e´chantillon. L’essai consiste a` appliquer sur un e´chantillon de sol constamment draine´ (c’est-a`-dire un sol dans lequel la pression interstitielle est constamment nulle : u = 0) des contraintes, axiale et radiale, croissant de telle fac¸on qu’il n’y ait aucune de´formation late´rale de l’e´chantillon (Dh = 0).
Lorsqu’il n’y a pas de possibilite´ de de´placement late´ral, les contraintes, verticale s v (contrainte principale majeure) et horizontale s h (figure 7a), sont e´gales respectivement a` :
σv = γz
Z
h =
Par contre, le calcul de la contrainte totale horizontale (ou radiale) s h s’exerc¸ant au meˆme point sur tout plan vertical ne´cessiterait la connaissance de la loi de comportement du sol. Aussi, la de´termine-t-on expe´rimentalement en remarquant que dans un sol en place, sous un chargement uniforme, il n’y a pas de de´placement late´ral (Dh = 0).
2.1.2.1 Coefficients de pousse´e et de bute´e
σ
poids volumique du sol.
γ
& Le re´sultat de l’essai est indique´ sur la figure 6b : les contraintes s v et s h croissent proportionnellement. Le rapport s h/s v est appele´ coefficient de pression late´rale au repos et note´ K0 :
0
g
K
avec
2.1.2 Sol pulve´rulent
σh
σv
Ess ai
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σv = γ z
K 0;β = K 0 (1 + sin β )
σh
K 0 = σh / σ v & Remarques
0
Le coefficient K0 est ge´ne´ralement infe´rieur a` 1. Il ne s’applique qu’aux contraintes effectives. Dans un sol en place, sature´, K0 s’exprime par :
K0 =
σ ′h
a
contraintes totales à la profondeur z
σh b
chemin de contraintes lors d’un essai Ko à l’appareil triaxial
Figure 6 – Coefficient K0 de pression late´rale des terres au repos
σ ′v
Avec :
Tableau 1 – Coefficient K0 pour quelques types de sols
σh = u + σ ′h
Types de sol
Valeurs de K0
Sable laˆche
0,45 a` 0,50
La valeur de K0 varie suivant les diffe´rents sols. Elle est donne´e de fac¸on approximative au tableau 1.
Sable compact
0,40 a` 0,45
Dans le cas des sables et des argiles normalement consolide´es, il existe une formule empirique, due a` Jacky (1944), donnant la valeur de K0 en fonction de l’angle de frottement interne effectif j’ :
Argile normalement consolide´e
0,50
Argile surconsolide´e
> 0,50
σ v = u + σ ′v avec
s’h
contrainte effective horizontale,
s’v
contrainte effective verticale,
u
pression interstitielle.
K 0 = 1 − sin ϕ ′ avec
j’
C 242v2 – 4
Δh = 0
angle de frottement effectif (cf. [C 254]).
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–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
σv PG
Tz
z
P π 2
KO Tz
σv G π
+ϕ
2
(σh)p
–ϕ
PG plans de glissement Δh > 0 expansion latérale Δh < 0 contraction latérale contrainte normale σ contrainte tangentiale τ angle de frottement interne ϕ
(σh)p
Δh = 0
Δh > 0
a
b
τ
Δh < 0 c
P
J
G
ue
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sèq
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te
I ϕ
C
oi Dr
O
π +ϕ 2
(σh)p
trin
in
B
D
A σv = γ z
OUVRAGES DE SOUTE`NEMENT
π 2
–ϕ
(σh)p
σ
a
état au repos
b
état de poussée (σ, contrainte principale majeure)
c
état de butée (σ, contrainte principale mineure)
d
diagramme de Mohr
G
d
H
Figure 7 – E´tats de contraintes de pousse´e et de bute´e pour un sol pulve´rulent, dans le cas ge´ostatique
Cet e´tat des contraintes est repre´sente´ par le cercle de Mohr de diame`tre AB sur la figure 7d. Examinons de quelle fac¸on il peut y avoir rupture dans la masse du sol. Si l’on permet au sol une expansion late´rale (Dh > 0), la contrainte verticale s v reste principale, e´gale a` g z, et la contrainte horizontale s h diminue. Sur la figure 7d, le point B se de´place jusqu’au point C pour lequel le cercle de Mohr est tangent aux droites intrinse`ques. Il y a alors rupture du sol et cette rupture a lieu en tout point du massif. Les plans de rupture en chaque point enveloppent un re´seau de surfaces de glissement planes, dont l’inclinaison est de´termine´e a` partir des points de contact I et G du cercle de Mohr a` la rupture avec la courbe intrinse`que et qui
⎛π ⎞ dans le diafont entre elles l’angle ⎜ + ϕ ⎟ e´gal a` l’angle ICG ⎝2 ⎠ gramme de Mohr. Cette rupture correspond a` l’e´tat de pousse´e (figure 7b). On note (s h)a la contrainte horizontale correspondante. Il est e´galement possible de provoquer la rupture du massif de sol par compression late´rale (Dh < 0). Dans ce cas, le point B (s h = K0 g z) sur la figure 7d se rapproche d’abord du point A correspondant a` un e´tat de contrainte isotrope (s h = s v = g z). Puis, la contraction late´rale augmentant, le point B atteint le point D ; il y a alors rupture, le cercle de Mohr e´tant tangent aux droites intrinse`ques ; on note (s h)p la contrainte horizontale correspondante. La rupture a lieu en meˆme temps en tout point du massif et les plans
⎛π ⎞ de glissement font entre eux un angle de ⎜ − ϕ ⎟ e´gal a` l’angle ⎝2 ⎠ dans le diagramme de Mohr. Cette rupture correspond a` l’e´tat JDH de bute´e (figure 7c).
On peut caracte´riser chacun des deux e´tats de contraintes pre´ce´dents par la valeur du rapport s h /s v. Dans l’e´tat de pousse´e, on tire facilement du diagramme de Mohr de la figure 7d :
σ v − (σh )a 2
=
σ v + (σh )a 2
sin ϕ
d’ou` :
(σh )a σv
=
1 − sin ϕ ⎛ π ϕ⎞ = tan 2 ⎜ − ⎟ ⎝ 4 2⎠ 1 + sin ϕ
Le rapport (s h)a /s v est appele´ coefficient de pousse´e et note´ Ka. Pour un sol pulve´rulent et dans le cas ge´ostatique, son expression est donc :
⎛ π ϕ⎞ K a = tan 2 ⎜ − ⎟ ⎝ 4 2⎠ Dans l’e´tat de bute´e, le rapport (s h)p /s v, appele´ coefficient de bute´e et note´ Kp, a pour expression :
⎛ π ϕ⎞ K p = tan 2 ⎜ + ⎟ ⎝ 4 2⎠ Il est important de remarquer que ces deux coefficients sont inverses l’un de l’autre :
K a = 1/ K p En re´sume´, le rapport des deux contraintes principales s h /s v dans le cas ge´ostatique et pour un milieu pulve´rulent e´volue entre
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OUVRAGES DE SOUTE`NEMENT –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
les valeurs extreˆmes Ka et Kp, l’e´quilibre initial correspondant a` la valeur K0.
Tableau 2 – Valeurs des coefficients Ka, K0 et Kp pour divers angles de frottement
Le tableau 2 donne les valeurs de Ka, K0 = 1 - sin j et Kp pour des angles de frottement interne j variant entre 20 et 45 .
tiwekacontentpdf_c242 v3
j
Ka
K0 = 1 - sin j
Kp
20
0,490
0,658
2,04
Les valeurs des de´formations ne´cessaires pour mobiliser comple`tement la pousse´e et la bute´e, a` partir de l’e´tat de repos, peuvent se de´terminer a` l’appareil triaxial (figure 6 et § 2.1.1) ou` l’e´tat homoge`ne dans l’e´chantillon des contraintes permet de suivre a` tout moment l’e´volution du rapport s h /s v.
25
0,406
0,577
2,46
Les chemins de contraintes suivis dans les essais consistent, en partant d’un e´tat initial au repos (A) (s h = K0 s v), a` diminuer ou a` augmenter la contrainte late´rale s h jusqu’a` obtenir la rupture (B ou C), tout en laissant la contrainte verticale s v constante (figure 8a).
30
0,333
0,500
3,00
35
0,271
0,426
3,66
40
0,217
0,357
4,60
45
0,171
0,293
5,83
La figure 8b montre les re´sultats obtenus sur un sable dense et sur un sable laˆche. Dans les deux cas, une faible de´formation horizontale (de l’ordre de 1 %) suffit pour obtenir la pousse´e, alors qu’une de´formation beaucoup plus importante est ne´cessaire pour
σh σv
Kp
6
5 σv 4
σ
v
K
0
σv h =
p
4
Kp
σ
K
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2.1.2.2 De´formations associe´es aux e´tats de pousse´e et de bute´e
σh
3
3
2
2
Ka B
C
A
1
1
K0 Ka
0 0
1
2
3
4
σh
- 10
-5
0
5
10 Δh (en %)
a
b Sable dense Sable lâche
a
chemins de contraintes σv = Cte jusqu’à rupture
b courbes effort/déformation à l’appareil triaxial ´ volution du rapport en fonction de la de´formation late´rale a` l’appareil triaxial Figure 8 – E
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OUVRAGES DE SOUTE`NEMENT
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obtenir la bute´e (5 % pour le sable dense et 12 % pour le sable laˆche). La comparaison des chemins de contraintes correspondant aux deux essais (figure 8a) fournit une explication partielle en montrant que l’e´tat au repos est assez voisin de l’e´tat de pousse´e, mais fort e´loigne´ de l’e´tat de bute´e.
Tableau 3 – Contraintes horizontales pour un sol fin E´tat du sol
Comportement non draine´
Comportement draine´
Initiale
sv = g z s h = u + K0 g z
s’v = g ’ z s’h = K0 g ’ z
sv = g z s h = s v - 2 cu
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De pousse´e
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sv = g z s h = s v + 2 cu
De bute´e
2.1.3 Sol fin : coefficients de pousse´e et de bute´e On conside`re un massif de sol fin sature´ ayant pour caracte´ristiques a` la rupture (c’, j’) en comportement draine´ et (cu, j u) en comportement non draine´ (cf. article [C 216]).
s’v = g ’ z σ ′h = K aσ v′ − 2 c ′ K a
On note :
avec ⎛ π ϕ′⎞ K a = tan 2 ⎜ − ⎟ ⎝4 2 ⎠
– – – –
s’v = g ’ z σ ′h = K pσ v′ + 2 c ′ K p
c’ cohe´sion effective ; j’ angle de frottement interne effectif ; cu cohe´sion non draine´e ; j u angle de frottement non draine´ (ge´ne´ralement nul).
La nappe affleure a` la surface du sol. L’angle ju sera pris e´gal a` ze´ro. Pour des conditions initiales ge´ostatiques, les contraintes horizontales dans les e´tats de pousse´e et de bute´e sont de´termine´es par des calculs, analogues a` ceux du paragraphe pre´ce´dent, dont les re´sultats sont donne´s dans le tableau 3 et illustre´s par les figures 9a et 9b.
avec ⎛ π ϕ′⎞ K p = tan 2 ⎜ + ⎟ ⎝4 2 ⎠
τ
τ
Cu ϕ'
0
σh
σv
σ
0
σ’h
σ’v
σ’
b comportement drainé σ'h = Kaσ'v — 2 c' Ka
a comportement non drainé σh = σv — 2 cu σh
0
N
C’
z A
γ1
σh = 0
N
A γ2
c calcul de la profondeur z pour laquelle σh = 0
z1 = 8 mm
σh
d
z2 = 2 mm
calcul des contraintes horizontales en comportement drainé
A Argile N Nappe σh Contrainte normale horizontale totale σv Contrainte normale verticale totale σ’h Contrainte horizontale effective σ’v τ
Contrainte verticale effective Contrainte tangentielle
Figure 9 – E´tat des contraintes de pousse´e pour un sol fin (argile) dans le cas ge´ostatique
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C 242v2 – 7
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OUVRAGES DE SOUTE`NEMENT –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Exemple E´tat de pousse´e. Calcul de la profondeur z, pour laquelle s h = 0 dans le cas d’une couche d’argile sature´e (figure 9c) de caracte´ristiques g = 20 kN/m3 et cu = 40 kPa, en e´tat de rupture de pousse´e. Pour s h = 0 : z = 2 cu /g = 4 m. E´tat de pousse´e. Calcul des contraintes horizontales, effective et totale, a` la base d’une couche d’argile en partie draine´e (nappe a` la hauteur z2 au-dessus de la base du mur) et en e´tat de rupture de pousse´e (figure 9d). Les caracte´ristiques du sol sont : g 1 = 18 kN/m3, g 2 = 20 kN/m3 ; j′ = 25 , c’ = 10 kPa (kN/m2) et g w = 10 kN/m3 (poids volumique de l’eau) ; s’v = g 1 z1 + (g 2 - g w) z2 = 164 kPa. La contrainte horizontale effective s’h exerce´e sur le mur a pour expression :
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σ ′h = K a σ v′ − 2 c ′ K a
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σ ′h = 164
tan 2
(32,5°) − 20 tan (32,5°) = 53,8 kPa.
La contrainte horizontale totale s h est donne´e par la relation de Terzaghi :
Il est inte´ressant de remarquer que dans le cas ou` la surface du sol est incline´e a` l’angle limite, c’est-a`-dire dans le cas ou` l’inclinaison de la surface du sol est e´gale a` l’angle de frottement interne j, ces coefficients sont e´gaux a` 1 :
K a (ϕ ) = K p (ϕ ) = 1
2.2.2 Massif a` surface horizontale et le long d’un e´cran avec frottement. Notion d’e´quilibre limite Soit un massif de sol pulve´rulent a` surface horizontale, limite´ late´ralement par un e´cran vertical rugueux. La mobilisation du frottement entre le sol et l’e´cran de´pend du de´placement vertical relatif de l’e´cran. Si j est la valeur de l’angle de frottement correspondant, l’inclinaison d de la contrainte sur l’e´cran a pour valeurs extreˆmes ± j. Supposons que, par de´placement late´ral de l’e´cran, on mette le sol en e´tat de rupture (figure 11). L’e´tat de contraintes dans le sol en rupture doit satisfaire, d’une part, aux conditions de l’e´quilibre, d’autre part, au crite`re de rupture de Mohr-Coulomb, soit en coordonne´es rectangulaires Ox, Oz :
σh = u + σ ′h
∂σ z ∂τ xz + =γ ∂z ∂x
ou` u = z2g w est la pression interstitielle soit : s h = 2 x 10 + 53,8 = 73,8 kPa.
∂τ xz ∂σ x + =0 ∂z ∂x 2 Et (σ x + σ z ) sin2 ϕ = (σ z − σ x ) + 4τ xz
2.2 Cas ge´ne´ral d’un massif de sol pulve´rulent 2.2.1 Massif a` surface incline´e et sans e´cran Soit un massif de sol pulve´rulent dont la surface fait l’angle b avec l’horizontale. La re´solution partielle des e´quations d’e´quilibre de la me´canique des milieux continus montre que, sur le plan paralle`le a` la surface et situe´ a` la profondeur z, la contrainte f est verticale et e´gale a` g z cos b. On cherche a` de´terminer la contrainte p qui s’exerce sur un plan vertical a` la profondeur z dans l’e´tat de pousse´e ou l’e´tat de bute´e. Dans le plan des cercles de Mohr (figure 10), la contrainte verticale f est repre´sente´e par le vecteur 0 A (OA = γ z cos β ) . En appliquant la me´thode du poˆle pour la de´termination des contraintes, les e´tats de contraintes de pousse´e et de bute´e en un point M a` la profondeur z sont repre´sente´s par deux cercles passant par le point A et tangents a` la courbe intrinse`que d’e´quation j = ± s tan j. Les deux poˆles P1 et P2 sur ces cercles sont les points d’intersection, autres que A, avec la droite OA. Il en re´sulte que les contraintes p1 et p2 qui s’exercent sur un plan vertical en M sont repre´sente´es par les points B1 et B2 sur la droite syme´trique de OA par rapport a` l’axe des s (P1B1 et P2B2 verticales). Cela montre que : – la contrainte p est toujours paralle`le a` la surface du sol, quel que soit l’e´tat des contraintes ; les contraintes f et p sont conjugue´es ; – les coefficients de pousse´e et de bute´e, de´finis par rapport aux contraintes conjugue´es, ont pour expression :
OB1 OA K a ( β) = = = K p ( β ) OA OB2 1
2
2
La re´solution de ce syste`me diffe´rentiel peut se faire nume´riquement a` partir des conditions aux limites sur le pourtour de la zone en rupture, a` savoir : – lignes de glissement incline´es de
π ϕ sur la surface horizon± 4 2
tale du massif ; – contraintes sur l’e´cran incline´es de l’angle d sur l’horizontale. Bien que la composante verticale s z ne soit plus obligatoirement e´gale a` g z, on de´finit quand meˆme lecoefficient de pousse´e ou de bute´e, comme le rapport du module f de la contrainte exerce´e sur l’e´cran a` g z :
K a (δ ) =
2 σ x2 + τ xz γz
Des solutions nume´riques ont e´te´ donne´es sous forme de tables par Sokolovski (1965) [4]. Sous une forme le´ge`rement diffe´rente, Caquot et Ke´risel, de`s 1948, avaient e´tabli des tables qui restent tre`s utilise´es dans la pratique ([1] et [2]). La figure 12 donne les valeurs des coefficients de pousse´e Ka et de bute´e Kp en fonction de l’angle de frottement d entre le sol et l’e´cran, a` partir des valeurs tire´es des tables pre´ce´dentes.
3. Calcul des forces de pousse´e et de bute´e
Soit :
K a ( β) =
C 242v2 – 8
1
Kp ( β)
=
cos β − cos2 β − cos2 ϕ cos β + cos2 β − cos2 ϕ
3.1 Me´thode de Coulomb Mise au point par Coulomb en 1773, cette me´thode permet de de´terminer les forces de pousse´e et de bute´e limites s’exerc¸ant
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OUVRAGES DE SOUTE`NEMENT
Ka (ϕ) = Kp (ϕ) = 1
β
z f
M
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τ
τ=
an
αt
ϕ
P2
ϕ A
P1
β
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p
σ = γz 0
β +π 2
σ
B1
p1
D B2 p2
Figure 10 – Coefficients de pousse´e et de bute´e pour un massif de sol pulve´rulent a` surface incline´e
0
0
π−ϕ 4 2
Mouvement
derrie`re un e´cran ou un mur quelconque sans conside´ration de l’e´tat des contraintes s’exerc¸ant dans le sol derrie`re le mur. C
x
– le sol se rompt suivant une surface de rupture plane passant par le pied de l’e´cran ; – la force agissant sur l’e´cran a une direction connue. En d’autres termes, cela signifie que l’angle de frottement d entre l’e´cran (ou le mur) et le sol est connu.
z τ A
f δ
σ
Elle repose sur deux hypothe`ses :
π+ϕ 2 B
Ces deux hypothe`ses faites, la force agissant sur le mur est calcule´e par de simples conside´rations d’e´quilibre statique. Figure 11 – Lignes de glissement dans la zone de rupture en bute´e derrie`re un e´cran rugueux (sol pulve´rulent)
Le calcul sera d’abord conduit dans le cas des sols pulve´rulents (voir les § 3.1.1, 3.1.2, 3.1.3, 3.1.4), puis e´tendu au cas des sols cohe´rents (voir § 3.1.5).
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OUVRAGES DE SOUTE`NEMENT –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
2
- 100
00
5
100
200
2,
00
3 4
100
5
7,5
Angle de frottement δ
Angle de frottement δ
=
Kp
200
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10 300 Ka = 0,30
15
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0,40 300
0,20 400
400 200
250
300
350
400
200
300
400
Angle de frottement interne ϕ b
a coefficients de poussée Ka (d’après Sokolovski)
coefficients de butée Kp (d’après Caquot-Kérisel)
Figure 12 – Coefficients de pousse´e et de bute´e en fonction de l’angle de frottement (e´cran vertical, sol pulve´rulent horizontal) et de l’angle de frottement interne du sol
3.1.1 Principe Soit un mur soutenant un massif de sol pulve´rulent, d’angle de frottement interne j. On suppose que la surface de rupture est le plan AC faisant l’angle q avec l’horizontale (figure 13a). En chaque point M du plan de rupture s’exerce une contrainte r faisant l’angle j avec la normale au plan et situe´e d’un coˆte´ ou de l’autre de cette normale, suivant que le massif est en bute´e ou en pousse´e. Donc, la re´action totale R du sol sur ce plan de rupture fait avec la normale a` ce plan l’angle j. Le principe de calcul consiste a` e´crire la nullite´ de la re´sultante ge´ne´rale des forces agissant sur le coin de sol ABC. Ces forces sont : – le poids W ; – la re´action R exerce´e par le sol sur le plan de rupture AC ; – la force F exerce´e par le mur et incline´e de l’angle d sur la nor+ male au parement du mur. Cette force est note´e F ou F suivant que la force de re´action R est incline´e de + j ou de - j sur la normale au plan de rupture (pousse´e ou bute´e). On de´termine ainsi la valeur de la force F en fonction de l’angle q que fait le plan de rupture avec l’horizontale. D’apre`s le calcul des charges limites re´sultant de la the´orie de la plasticite´, l’expression ainsi obtenue correspond a` la me´thode cine´matique, c’est-a`-dire a` une approche par l’exte´rieur de la vraie valeur de F. C’est pourquoi la force de pousse´e sera obtenue en prenant le maximum de F + (q), alors que la force de bute´e sera obtenue en prenant le minimum de F - (q). Dans les deux cas, on e´crira que :
Il faut remarquer que cette the´orie ne permet pas de de´termi ner le point d’application de la force F . Lorsqu’il en est besoin, on suppose une re´partition line´aire des contraintes sur le pare ment du mur, et le point d’application de la force re´sultante F est alors situe´ au tiers de la hauteur a` partir de la base (voir la figure 13).
3.1.2 Calcul La formule ge´ne´rale donnant la force de pousse´e est la suivante :
1 Pa = K aγ H 2 2
avec :
Ka =
sin2 (η − ϕ ) ⎡ sin2 η sin (η + δ ) ⎢1 + ⎢⎣
2
La force de bute´e a, de meˆme, pour expression ge´ne´rale :
dF (θ ) =0 dθ
C 242v2 – 10
sin (ϕ + δ ) sin (ϕ − β ) ⎤ ⎥ sin (η + δ ) sin (η − β ) ⎥⎦
1 Pp = K pγ H 2 2
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β
C
B
π=δ–η
F
M W δ0
δ
R
η
σ
n
ta
ϕ R
σ
ϕ r
ϕ
F
θ–ϕ
ée
θ
ée
W
t Bu
ss
u Po
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A
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b diagramme des forces agissant sur le prisme de rupture
a prisme de rupture
Figure 13 – Forces de pousse´e ou de bute´e exerce´es sur un mur par la me´thode de Coulomb
avec :
Kp =
sin2 ⎡ sin2 η sin (η + δ ) ⎢1 − ⎢⎣
(η + ϕ ) 2 sin (ϕ − δ ) sin (ϕ + β ) ⎤ ⎥ sin (η + δ ) sin (η − β ) ⎥⎦
Traitons, a` titre d’exemple, le cas de la paroi verticale, du massif a` surface horizontale et de l’angle d nul, en pousse´e. Dans ce cas :
F+ =W
sin (θ − ϕ ) = W tan (θ − ϕ ) cos (θ − ϕ )
avec :
1 W = γ H 2 cot θ 2 1 F + = γ H 2 cot θ tan (θ − ϕ ) 2 Le maximum de F a lieu pour
θ=
π ϕ − 4 2
Ce qui correspond a` :
⎛ π ϕ⎞ K a = tan 2 ⎜ − ⎟ ⎝ 4 2⎠ La valeur de la force de pousse´e Pa est alors :
Pa =
1 ⎛ π ϕ⎞ tan 2 ⎜ − ⎟ γ H 2 ⎝ 4 2⎠ 2
On constate que le coefficient de pousse´e Ka coı¨ncide alors avec l’expression trouve´e dans le cas ge´ostatique (vu au § 2.1.2 et figure 7). Exemple Si H = 10 m, g = 18 kN/m3 et j = 35 Pa = 243,9 kN/ml (kN par me`tre line´aire de mur).
Un autre cas est celui ou`, dans les meˆmes conditions, l’angle de frottement d entre le sol et le mur a la valeur maximale : + j. La formule ge´ne´rale donne alors, toujours pour la force de pousse´e :
Pa =
cos ϕ 1 2 γH 2 1 + 2 sin ϕ
(
)
2
3.1.3 Me´thode graphique de Culmann Lorsque les conditions ge´ome´triques ne permettent pas de de´terminer analytiquement la force de pousse´e ou de bute´e, on utilise alors la me´thode graphique de Culmann qui est illustre´e par la figure 14 dans le cas de la pousse´e et dont le principe est de´crit ci-apre`s. La masse de sol derrie`re le mur est subdivise´e en une succession de coins. Pour chacun de ces coins, de´limite´ par un plan de rupture passant par le point B au pied du mur et incline´ de l’angle qi sur l’horizontale, on de´termine, graˆce au graphique de la re´sultante ge´ne´rale des forces applique´es (Wi, Ri, Fi), la force correspondante Fi exerce´e sur le parement du mur. Pour cela, les poids Wi des diffe´rents coins sont reporte´s sur un axe BX faisant l’angle j avec la direction horizontale et les forces Fi sont trace´es a` partir des extre´mite´s des Wi, paralle`lement a` l’axe BY faisant l’angle (d + h) avec l’axe BX. Les extre´mite´s des forces Fi sont sur les plans de rupture incline´s de qi d’apre`s le diagramme des re´sultantes et leur ensemble constitue la ligne de Culmann. Le point ou` la tangente a` cette courbe est paralle`le a` l’axe BX correspond a` la valeur maximale de F, soit a` la pousse´e limite Pa, et de´termine le plan de rupture le plus dangereux, incline´ de l’angle qa sur l’horizontale. La me´thode s’applique de fac¸on analogue a` la de´termination de la force de bute´e Pp. Il est inte´ressant de remarquer que cette me´thode permet de prendre en compte toute surcharge ponctuelle ou re´partie applique´e a` la surface du sol retenu par le mur (figure 14).
3.1.4 Frottement entre le sol et le mur La valeur de l’angle de frottement d entre le mur et le sol est limite´e par l’angle de frottement interne j du sol, donc :
−ϕ≤δ≤+ϕ
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Q C5
C4 q C1
C2
C3
Fa
A
η+δ
X Y
W5
Fa
R W4
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H
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W
W3 δ
θ-ϕ
W2
Fa
η
W1
θa
ϕ B η+δ
Figure 14 – Me´thode graphique de Culmann (cas de la force de pousse´e)
Cet angle d est en ge´ne´ral positif, car le massif a tendance a` tasser plus que le mur. On prend alors couramment :
δ = 2/ 3 ϕ
σ
Z
σ
Z
M M σ=γz
Pour plus de pre´cisions, on se reportera a` l’article [C 244].
3.1.5 Cas des sols frottant et cohe´rents
β
β
Dans le cas des sols frottant et cohe´rents, le proble`me est un peu plus complexe. Sur le plan de rupture, les contraintes, tangentielle t et normale s, sont en effet lie´es par la relation de Mohr-Coulomb :
Z
f Z
M
τ = c + σ tan ϕ
avec
c
M f = γ z cos β
cohe´sion du sol.
Il en re´sulte, dans l’e´quilibre du prisme de rupture, une force supple´mentaire, d’intensite´ c l (l = AC, figure 15) paralle`le au plan de rupture, due a` la cohe´sion. Dans le cas d’un mur a` paroi verticale (h = p/2), d’un sol a` surface horizontale (b = 0) et d’un angle de frottement nul entre le sol et le mur (d = 0), on trouve pour expression de la force de pousse´e :
Pa =
f
1 ⎛ π ϕ⎞ ⎛ π ϕ⎞ tan 2 ⎜ − ⎟ γ H 2 − 2 c H tan ⎜ − ⎟ ⎝ 4 2⎠ ⎝ 4 2⎠ 2
σ f γ
Contrainte normale dans un massif à surface horizontale Contrainte exercée par le sol sur l’écran Poids spécifique du sol
Figure 15 – Hypothe`se de la me´thode de Rankine
3.2 Me´thode de Rankine 3.2.1 Principe
En dehors de cas simples analogues, la de´termination des forces de pousse´e ou de bute´e doit se faire par la me´thode graphique du § 3.1.3, exemple a` la figure 14.
C 242v2 – 12
La me´thode de Rankine consiste a` calculer les forces de pousse´e et de bute´e a` partir d’une approximation de l’e´tat des contraintes dans le sol au contact de l’e´cran.
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Si p est la contrainte exerce´e par le sol sur l’e´cran, la force de pousse´e ou de bute´e par unite´ de longueur de l’e´cran a pour expression : H P = ∫ p dz 0
avec (se reporter au § 2.1.2) le coefficient de pousse´e :
⎛ π ϕ⎞ K a = tan 2 ⎜ − ⎟ ⎝ 4 2⎠ Soit encore :
Cette me´thode repose sur l’hypothe`se simplificatrice fondamentale suivante.
σh = γ w z + K a (γ − γ w ) z gw
avec La pre´sence de discontinuite´s, provoque´es par la pre´sence de murs ou d’e´crans a` la surface d’un massif de sol, ne modifie pas la re´partition des contraintes verticales dans le sol (figure 15).
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Cette me´thode conduit a` une re´partition triangulaire des contraintes de pousse´e ou de bute´e sur l’e´cran et permet d’obtenir le point d’application de la force correspondante. On examine a` la figure 15 trois exemples d’application.
3.2.2 Force de pousse´e pour un massif pulve´rulent sature´ a` surface horizontale
poids spe´cifique de l’eau.
La re´partition est line´aire, et la force de pousse´e horizontale Pa est applique´e au tiers de la hauteur a` partir de la base (figure 16). Elle a pour expression : H
Pa = ∫ σh dh
Ainsi, sur un plan paralle`le a` la surface du massif de sol, la contrainte reste verticale et e´gale a` g z cos b (b : angle d’inclinaison de la surface du sol par rapport a` l’horizontale). L’inconve´nient d’une pareille hypothe`se est d’imposer, en tout point du mur, la direction de la contrainte qui s’exerce sur le mur, et donc de ne pas tenir compte de la valeur du frottement entre le mur et le sol. Ainsi, dans le cas d’un sol a` surface horizontale et d’un mur a` paroi verticale, la the´orie de Rankine suppose que le frottement entre le mur et le sol est nul, puisque la contrainte est horizontale.
OUVRAGES DE SOUTE`NEMENT
0
Pa =
1 (γ w + K a γ ′ )H 2 avec 2
γ ′ = γ − γw
Exemple Si H = 5 m, g = 20 kN/m3, g w = 10 kN/m3 et j = 30 Pa = 166,6 kN/ml
3.2.3 Force de bute´e pour un massif pulve´rulent a` surface incline´e Soit un e´cran vertical applique´ sur un massif pulve´rulent dont la surface est incline´e d’un angle b sur l’horizontale (figure 17). Si l’on met le sol en rupture de bute´e, la force de bute´e exerce´e est donne´e par : H Pp = ∫ p dz 0
Soit un mur a` parement vertical supportant un massif a` surface horizontale, constitue´ d’un sol pulve´rulent sature´. La nappe affleure a` la surface du massif (figure 16).
La contrainte p exerce´e sur le sol est incline´e de l’angle b sur l’horizontale et a pour valeur (d’apre`s § 2.2.1)
Si le sol est en e´tat de rupture de pousse´e, la contrainte qui s’exerce sur le mur est horizontale, principale, et a pour expression :
p = K p ( β ) γ z cos β D’ou` :
σh = u + K a σ ′v
1 FP = Pp = K p ( β ) γ H 2 cos β 2 O
Cette force est incline´e de l’angle b et applique´e au tiers de la hauteur a` partir de la base. σh
γ
H
β
O
Pa H/3 f H Pp
H/3
Z H σh
Hauteur du talus Contrainte normale horizontale Substratum imperméable
γ Poids spécifique du sol z Ph = 1/2 ( γw + Ka γ ‘ ) H 2
Figure 16 – Force de pousse´e exerce´e par un massif pulve´rulent sature´
Pp = 1/2 Kp (β) γ H2 cos β Figure 17 – Force de bute´e sur un massif pulve´rulent a` surface incline´e
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OUVRAGES DE SOUTE`NEMENT –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Trace´e pour j dans l’intervalle [0 ; 60 ], hc pre´sente le profil pre´ce´dent et peut atteindre, pour un sol granulaire dont l’angle de frottement interne est important, et une cohe´sion prise e´gale a` 5 kPa, la valeur de 2 m de front droit sans retenue.
3.2.4 Stabilite´ d’une tranche´e dans un sol cohe´rent Stabilite´ provisoire sans soute`nement : Un talus peut eˆtre stable naturellement sur une hauteur de´termine´e par ses parame`tres intrinse`ques (cohe´sion apparente cu et angle de frottement apparent j u). Un massif de sol dont la cohe´sion est non nulle peut eˆtre intrinse`quement stable en front droit (figure 18). La contrainte horizontale transmise par le sol caracte´rise´ par (c et j), est donne´e par la formule comple`te :
tiwekacontentpdf_c242 v3
Cette contrainte ne peut eˆtre ne´gative, ce qui donne la hauteur maximale d’un talus stable sans soute`nement, appele´e aussi « hauteur critique d’un front libre ». La hauteur critique hc, pour un massif quasi-horizontal et un front quasi-vertical, peut eˆtre donne´e par la formule suivante et suit la courbe de la figure 19.
hc = 2,67
Il est important de remarquer que la cohe´sion apparente cu diminue obligatoirement avec le temps vers une valeur nulle, ainsi hc tend vers ze´ro et le front ne peut eˆtre auto-stable. Exemple Soit un sol fin cohe´rent sature´ dans lequel on exe´cute une tranche´e a` parois verticales dans des conditions non draine´es du sol (exe´cution rapide) (figure 20). Jusqu’a` quelle profondeur la tranche´e estelle stable ? Sur les parois de la tranche´e, l’e´tat de contraintes est :
σh = 0 σv = γ z Si H est la profondeur de la tranche´e, la condition pour qu’aucun point de la paroi ne soit en rupture est :
c ⎛ π ϕ⎞ tan ⎜ + ⎟ ⎝ 4 2⎠ γd
σ v − σh < 2 cu Puisque le crite`re de rupture est, a` court terme : t = cu. On en de´duit une profondeur critique qui est :
H c = 2 cu / γ Exemple chiffre´ Si le poids volumique du sol est g = 20 kN/m3 (ce qui correspond a` la valeur moyenne du poids volumique d’un sol sature´) et si la cohe´sion cu est e´gale a` 50 kPa, la profondeur critique est e´gale a` :
hc
H c = 2 cu / γ = 5 m En fait, des de´formations appre´ciables (pouvant d’ailleurs entraıˆner une rupture progressive de la tranche´e) se produisent pour une profondeur beaucoup plus faible. Il est donc utile de prendre un coefficient de se´curite´ au moins e´gal a` 1,5. La profondeur critique devient :
π/2
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⎛ π ϕ⎞ σha = k a.σ v − 2.c .tan 2 ⎜ − ⎟ ⎝ 4 2⎠
Ceci de´termine, par exemple, la hauteur des passes possibles des excavations provisoires.
Hc = 3,33 m
Figure 18 – Sche´ma d’un massif de sol a` cohe´sion non nulle
σv H 2,768
σh
z
τ cu
3
O 2,5
σh
2
ha (φ)
cu Hc σh σv τ
1,5
1 0,742 0,5
0 0
0,2
0,4
0,6 (φ)
0,8
1
γ z Contrainte normale tangentielle Contrainte tangentiale
60 deg
Figure 19 – Courbe de calcul de la hauteur critique hc
C 242v2 – 14
Cohésion non drainée 2 cu / γ Profondeur critique 0 Contrainte normale horizontale
Figure 20 – Stabilite´ d’une tranche´e en terrain cohe´rent
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σv
σ
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OUVRAGES DE SOUTE`NEMENT
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
3.3 Me´thode des e´quilibres limites
3.4 Comparaison des diffe´rentes me´thodes
La me´thode des e´quilibres limites, dont le sche´ma a e´te´ pre´sente´ au § 2.2.2, permet de de´terminer les forces de pousse´e et de bute´e a` partir de la connaissance de coefficients Ka et Kp tels que :
3.4.1 Comparaison a` partir des hypothe`ses initiales Pour comparer les trois me´thodes pre´sente´es dans les paragraphes pre´ce´dents, on analyse, pour chaque me´thode, la prise en compte des contraintes et de l’e´tat de rupture dans le sol.
2 p σ x2 + τ xz = γz γz
Ka =
& Me´thode de Coulomb Cette me´thode conduit a` une re´partition line´aire des contraintes sur l’e´cran et par suite :
tiwekacontentpdf_c242 v3
1 H 1 p dz = K aγ H 2 2 ∫0 2
& Me´thode de Rankine
Les tables de Sokolovski ou de Caquot-Ke´risel sont directement utilisables dans le cas d’un sol pulve´rulent. Lorsque le sol pre´sente de la cohe´sion, on est conduit a` appliquer le the´ore`me des e´tats correspondants dont l’e´nonce´ est celui de l’encadre´ qui suit (Caquot-Ke´risel) :
Base´e sur toute une zone en rupture, elle pre´sente l’inconve´nient d’imposer, a priori, la valeur du frottement entre le sol et le mur. Par ailleurs, l’hypothe`se s v = g z est d’autant plus inexacte que le frottement est moins ne´gligeable. Voir le § 3.2. & Me´thode des e´quilibres limites
« Le milieu cohe´rent peut eˆtre remplace´ par un milieu pulve´rulent, de meˆme forme et de meˆme angle de frottement interne j, supportant la contrainte H = c cot j sur toute la surface exte´rieure, c’est-a`-dire, d’une part, sur la surface libre ou` elle joue le roˆle d’une surcharge, d’autre part, sur la surface en contact avec l’e´cran, ou`, dirige´e vers l’inte´rieur du massif, elle vient en de´duction de la composante normale d’action du massif ».
C’est la plus satisfaisante des trois me´thodes, compte tenu des hypothe`ses faites. Dans la pratique, elle est utilise´e au moyen de tables. Voir le § 3.3.
3.4.2 Choix d’une me´thode Dans les calculs de forces de pousse´e ou de bute´e, le choix d’une me´thode de´pend e´galement de la ge´ome´trie de l’ouvrage.
Ce the´ore`me est illustre´ par la figure 21.
& E´cran vertical et surface de massif horizontale
τ
ℵ
ℵ
ϕ ℵ
C O’
La me´thode de Rankine, malgre´ ses simplifications, est dans ce cas fre´quemment utilise´e, notamment pour les pre´dimensionnements. Il convient cependant de ve´rifier si l’hypothe`se de frottement nul n’est pas trop e´loigne´e de la re´alite´. La me´thode des e´quilibres limites et la me´thode de Coulomb sont indiffe´remment utilise´es pour la pousse´e. Pour la bute´e, l’hypothe`se de surface de rupture plane est a` rejeter et seule la me´thode des e´quilibres limites convient.
Écran
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P=
La zone de rupture est re´duite a` un plan et il n’y a aucune prise en compte de l’e´tat des contraintes dans le sol. L’hypothe`se du plan de rupture est relativement bien ve´rifie´e pour les sols pulve´rulents en e´tat de pousse´e, mais ne l’est plus ni pour les sols cohe´rents, ni pour les e´tats de bute´e. Voir le § 3.1.
& E´cran plan incline´ et surface de massif incline´e La me´thode des e´quilibres limites permet un calcul correct des forces de pousse´e et de bute´e. On utilise aussi la me´thode de Coulomb a` partir de tables (voir le § 3.1), dans le cas de proble`mes de pousse´e.
σ
O
τ σ ℵ
Contrainte tangentielle
& E´cran quelconque et surface de massif quelconque
Contrainte normale = c cot ϕ
On applique la me´thode de Coulomb avec re´solution graphique, car c’est alors la seule utilisable. Des tables existent pour les cas les plus courants.
Figure 21 – The´ore`me des e´tats correspondants
La figure 22 illustre ces trois cas.
β H
F
δ
F H
F
H α
a
méthode de Rankine méthode des équilibres limites méthode de Coulomb
b
méthode des équilibres limites méthode de Coulomb
c avec tables
méthode de Coulomb (résolution graphiquel)
Figure 22 – Me´thodes couramment utilise´es pour le calcul des forces de pousse´e et de bute´e
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4. Calcul de la pousse´e exerce´e par un sol sature´, sie`ge d’un e´coulement d’eau
- 40 kPa ( traction )
H = 10 m
z σh
4 Fa
π 4
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Conside´rons un mur de soute`nement a` parement vertical supportant un massif de sol fin et a` surface horizontale. Supposons qu’a` la fin de la construction, ou peu de temps apre`s, le massif soit sature´. Cette saturation peut provenir de deux causes : – soit d’une alimentation par la surface a` la suite de pluies continues ; – soit d’une alimentation par une nappe dans le sol naturel.
tiwekacontentpdf_c242 v3
Le calcul de la force de pousse´e, durant cette pe´riode qui suit la construction, devra se faire dans des conditions non draine´es ou de comportement a` court terme (cf. article [C 254]). S’il existe un drain juste a` l’arrie`re du mur et sous le mur, les surpressions interstitielles vont diminuer jusqu’a` ce que l’on atteigne un e´tat d’e´quilibre. Dans le cas ou` le massif est constamment alimente´, soit par des pluies, soit par une nappe souterraine, cet e´tat d’e´quilibre sera repre´sente´ par un e´coulement permanent d’eau dans le sol. Le calcul de la force de pousse´e devra alors se faire dans des conditions draine´es ou de comportement a` long terme.
+ 140 kPa
σh
Figure 23 – Force de pousse´e. Massif non draine´
En chaque point M de ce plan de rupture, la pression interstitielle uM est calcule´e a` partir de la charge hydraulique hM par la relation :
hM = (uM / γ w ) + zM avec
zM
cote du point M compte´e a` partir d’un plan de re´fe´rence.
Exemple Conside´rons le cas d’un mur supportant un massif dont la surface horizontale est soumise a` des pluies continues et qui comporte un drain vertical continu derrie`re le mur, relie´ a` des barbacanes situe´es a` la base du mur et permettant l’e´vacuation de l’eau (figure 24). La diffe´rence de charge hydraulique entre deux points A et M s’e´crit :
hA − hM = ⎡⎣(u A − uM ) /γ M ⎤⎦ + (zM − z A )
4.1 Massif non draine´ Si l’hypothe`se d’un frottement proche de ze´ro entre le sol et le mur est valable, on peut utiliser la me´thode de Rankine (voir § 3.2). Exemple Pour une argile molle de poids volumique g = 18 kN/m3 et de cohe´sion cu = 20 kPa, la contrainte horizontale sur le mur est :
σh = σ v − 2cu = 18 z − 40 Si la hauteur du mur est H = 10 m et en supposant qu’il n’y ait pas de fissures de traction, la pousse´e a pour valeur : H
Pa = ∫ σh dz = 0,5 × 18 × 102 − 40 × 10 = 500 kN/ml 0
S’il y a des fissures de traction a` l’arrie`re du mur, dans le haut du massif, il ne faut pas tenir compte des contraintes de traction dans le diagramme de pousse´e, c’est-a`-dire jusqu’a` la profondeur :
Si les points A et M se trouvent sur une meˆme ligne e´quipotentielle et si, de plus, le point A se trouve au niveau du drain (figure 24a) :
hM = hA
et u A = 0
Dans ces conditions :
uM = γ w (z A − zM ) La surface grise´e repre´sente donc U/g w. Le diagramme des forces (figures 24b et 24c) montre que l’on a :
c ′ l cos ϕ ′ + F cos (ϕ ′ + δ − θ ) − W sin (θ − ϕ ′) − U sin ϕ ′ = 0 Soit :
F=
Hc = 2 cu / γ = 40 / 18 = 2,2 m
W sin (θ − ϕ ′) + U sin ϕ ′ − c ′ l cos ϕ ′ cos (ϕ ′ + δ − θ)
A` partir de cette formule, on de´termine graphiquement le maximum de la force F en fonction de l’angle q, d’ou` la force de pousse´e Pa.
On a alors :
Pa = ∫
10
2,2
⎡
(18 z − 40) dz = ⎢18 ⎣
⎤ z2 − 40 z ⎥ = 544 kN/ml 2 ⎦
Voir la figure 23.
4.2 Massif draine´
Dans le cas d’une alimentation par des pluies continues, on peut supposer que les lignes d’e´coulement sont approximativement verticales dans une bonne partie du massif derrie`re le mur (figure 25). Le calcul se simplifie alors conside´rablement puisqu’en tout point la force d’e´coulement est verticale, descendante et e´gale a` γ w (le gradient hydraulique i est e´gal a` 1).
4.2.1 Me´thode de Coulomb Lorsque des forces volumiques d’e´coulement a` travers le massif viennent s’ajouter aux forces de pesanteur, il n’est ge´ne´ralement plus possible d’utiliser la me´thode de Rankine et seule la me´thode de Coulomb est alors utilisable, en conside´rant, qu’en plus des forces habituelles, s’exerce, sur le plan de rupture conside´re´, la force re´sultante U des pressions interstitielles.
C 242v2 – 16
4.2.2 Me´thode simplifie´e
La force de pousse´e qui s’exerce derrie`re le mur a` parement vertical pour un massif a` surface horizontale, de hauteur H, a alors pour expression, d’apre`s la the´orie de Rankine :
1 Pa = K aγ H 2 2
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OUVRAGES DE SOUTE`NEMENT
F δ A L
U1
D
u
U2 U3 U
u
T
1
δ
2
4
F
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a
F
c‘l
o
ϕ’
N
U
U θ
u
T
N
u3
tiwekacontentpdf_c242 v3
c‘l
M
Pa
W
H cot θ
W θ θ − θa
4
b
détermination de la force U
c
forces exercées
d
diagramme des forces
Ligne de courant Ligne équipotentielle c‘ℓ Force de cohésion drainée D Drain Fa Force de poussée H Hauteur de mur
détermination de la force de poussée
N, T Composantes de la réaction du massif U Résultante des pressions interstitielles W Poids ϕ’ Angle de frottement interne drainé θa Inclinaison de la surface de rupture
Figure 24 – Calcul d’une force de pousse´e. Massif draine´ avec e´coulement
i=1
Drain H
Ligne d’écoulement
Pa = 1 tan2 π 4 2
ϕ‘ γ H2 2
Figure 25 – Massif draine´ : me´thode de l’e´coulement vertical
Les me´thodes de Rankine et des e´quilibres limites (Caquot-Ke´risel) (voir § 3.3) ne peuvent pas prendre en compte des surcharges non uniformes. Pour pallier cette difficulte´, on fait parfois un calcul par e´tapes en calculant d’abord les efforts de pousse´e et de bute´e sans surcharge, et en ajoutant sur l’e´cran les contraintes re´sultant de la surcharge et calcule´es par la the´orie de l’e´lasticite´ (formule de Boussinesq, cf. article [A 305]. Cette superposition d’un calcul en e´quilibre limite et d’un calcul e´lastique n’est toutefois pas satisfaisante et ne peut se justifier que pour des e´tats de pousse´e et de bute´e loin de l’e´quilibre limite et proches de l’e´tat au repos (coefficient K0), ou` les de´placements de l’e´cran sont compatibles avec ceux provoque´s par la surcharge en milieu semi-infini et e´lastique. La figure 26 traite trois cas de surcharges (concentre´e, line´ique, bande line´aire) en e´lasticite´ dans l’hypothe`se d’un e´cran vertical et d’une surface de sol horizontale. Si l’e´cran est strictement inde´formable (cas des ponts cadres et des be´tonnages extreˆmement rigides), les contraintes horizontales s h calcule´es doivent eˆtre multiplie´es par 2. & La formule de Boussinesq et son inte´gration donnent
⎛ π ϕ⎞ avec K a = tan 2 ⎜ − ⎟ ⎝ 4 2⎠
Charge concentre´e :
Puisque, dans ce cas :
γ = γ′ +iγw
σh =
Charge line´ique, paralle`le a` l’e´cran :
5. Cas particuliers
q m2 n H H m2 + n2 2 q m m < 0,4 σh = 0,203 H H 0,16 + n 2 2
m > 0,4
5.1 Surcharges a` la surface du sol La me´thode de Coulomb (voir le § 3.1) est bien adapte´e a` tous les cas de surcharges (uniforme, non uniforme, ponctuelle), en utilisant la me´thode graphique de Culmann. Dans le cas simple d’une surcharge verticale uniforme q, toutes les me´thodes sont utilisables, en particulier la me´thode de Rankine (voir § 3.2) qui consiste alors a` prendre en compte pour contrainte verticale sur les plans paralle`les a` la surface d’inclinaison a :
σ v = γ z cos α + q
3Q 2 x z R −5 2π
σh = 1,27
(
(
)
)
Bande line´aire uniforme´ment charge´e :
σh =
2q ⎡( β + sin β ) sin α 2 + ( β − sin β ) cos2 α ⎤⎦ π ⎣
& Effet d’une charge uniforme locale Il arrive souvent qu’un effet de charge uniforme locale soit a` prendre en conside´ration dans un soute`nement.
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x
mH
Q
q
q
z
α
nH
R
β
H σh σh
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a charge concentrée
c
b charge linéique
bande linéaire
Figure 26 – Calcul e´lastique des contraintes horizontales apporte´es sur un e´cran par des surcharges
a
b
Vue en plan
z2
p
d
qmax
d+a
z1
a/2
p
φ
b Vue en coupe
a/2
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σh
φ π – 2 4
a
Figure 27 – Application sche´matique de la me´thode dite « de Krey »
La me´thode dite de « KREY », permet de de´terminer cet effet en suivant le sche´ma de la figure 27.
qmax
⎛ π ϕ⎞ 4 p b d tan ⎜ − ⎟ ⎝ 4 2⎠ = (2d + a ) (z 2 − z1)
qmax
⎛ π ϕ⎞ 4 p b d tan ⎜ − ⎟ ⎝ 4 2⎠ = (2d + a + b ) (z 2 − z1)
5.2 Effet de silo
Avec :
z1 = α tan (ϕ ) ⎛ π ϕ⎞ z 2 = (a + b ) tan ⎜ + ⎟ ⎝ 4 2⎠ Formules approximatives valables tant que la charge ne se rapproche pas trop de l’e´cran.
C 242v2 – 18
& Pour une charge trop proche de l’e´cran, prendre :
Si l’espace de remblaiement derrie`re un mur est tre`s e´troit (figure 28), le coin de pousse´e the´orique n’a pas la possibilite´ de se de´velopper. Il peut en re´sulter, surtout si l’e´le´ment limitant l’espace est rigide (mur rigide, pan de rocher, etc.), une re´duction sensible des pressions verticales, similaire a` ce que l’on observe dans les silos, et due au de´veloppement d’un effet de vouˆte entre deux parois.
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b
Mur rigide, rocher
σv
z z0
H σh
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τ
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Kγz
σh τ
dz
θa
σh max KγH Figure 28 – Re´duction de la pousse´e par effet de silo
L’e´quilibre d’une petite tranche verticale de remblai s’e´crit en effet : K
b dσ v − 2τ dz = 0 avec :
h
τ = σh tan δ = K σ v tan δ
Surpression horizontale due au compactage
L’inte´gration de cette e´quation donne :
KaγZ
σh = γ z 0 ⎡⎣1 − e − Z / z0 ⎤⎦ ou` z0 est la profondeur fictive, correspondant a` une pression des terres g z0 e´gale a` la valeur maximale de s v pour z ⇒ ∞, et qui est donne´e par l’expression : γb z0 = 2 K tan δ avec
K
coefficient de pression des terres que l’on prend fre´quemment dans ce cas e´gal a` K0,
d
angle de frottement sol-paroi que l’on peut prendre e´gal a` 2/3 j en l’absence de donne´es plus pre´cises.
h K > K0
Épaisseur d’une couche de compactage Dépendant du degré de compactage (compactage moyen : K = K0)
Figure 29 – Surcontraintes horizontales dues au compactage derrie`re un mur de soute`nement
5.4 Renard hydraulique 5.3 Effet du compactage Lorsqu’un remblai est compacte´ par couches derrie`re un ouvrage de soute`nement, l’expe´rience a montre´ que la pression late´rale des terres s’exerc¸ant sur le mur pouvait eˆtre assez largement augmente´e avec un coefficient de pression des terres, dans certains cas, assez supe´rieur au coefficient de pression late´rale des terres au repos K0. C’est avec des remblais humides et a` forte teneur en fines que l’on obtient les valeurs les plus fortes. L’expe´rience a par ailleurs montre´ que ces surpressions sont a` peu pre`s proportionnelles a` l’e´nergie de compactage utilise´e et de´croissent assez rapidement avec la profondeur au fur et a` mesure de la monte´e des couches. Il en re´sulte qu’une fois le mur termine´, les surpressions dues au compactage ne s’exercent que dans la partie supe´rieure du mur avec une re´partition telle qu’indique´e sur la figure 29.
Lorsqu’il existe une de´nivellation de nappe de part et d’autre de l’ouvrage de soute`nement et qu’il peut y avoir e´coulement d’eau sous le pied de l’ouvrage, deux e´le´ments sont a` conside´rer : – les pressions d’e´coulement et les gradients hydrauliques correspondants ont pour effet d’augmenter la pousse´e et de diminuer la bute´e par rapport au cas hydrostatique (pas d’e´coulement) ; – on peut craindre une rupture par e´rosion interne au pied de l’ouvrage (phe´nome`ne appele´ « renard hydraulique ») vis-a`-vis de laquelle il convient de limiter la valeur du gradient hydraulique.
5.4.1 Pousse´e et bute´e supple´mentaires dues a` l’e´coulement La force de pousse´e ou de bute´e peut toujours eˆtre e´value´e en construisant le re´seau d’e´coulement et en utilisant la me´thode de Coulomb (voir § 4.2.1), ce qui est la manie`re la plus rigoureuse.
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OUVRAGES DE SOUTE`NEMENT –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
On peut aussi utiliser une fac¸on plus simplifie´e en conside´rant deux gradients hydrauliques moyens, l’un ii derrie`re l’ouvrage et l’autre ie devant l’ouvrage. Cette approximation est a` peu pre`s justifie´e dans le cas des parois et des rideaux. Mandel (1939) a calcule´ de fac¸on exacte, pour un substratum rejete´ a` l’infini, le rapport r de la perte de charge aval entre les points B et C a` la perte de charge totale entre les points A et C (figure 30). Sa valeur est donne´e implicitement par l’e´quation :
tan ( πρ ) − πρ = π
1
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1+
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li le
Par la me´thode de Rankine ou des e´quilibres limites (CaquotKe´risel) (voir § 3.4.1) [1] et [2], on de´termine alors la contrainte effective de pousse´e ou de bute´e sur l’e´cran ; sachant que tout se passe comme si le poids volumique de´jauge´ du sol devenait :
γ i′ = γ ′ + ii γ w = γ − γ w (1 − ii )
côté poussée
γ e′ = γ ′ + i e γ w = γ − γ w (1 − i e )
5.5 Surcharges dynamiques Les surcharges dynamiques augmentent la pousse´e et diminuent la bute´e des terres. La me´thode de Coulomb (voir § 3.1) est bien adapte´e a` la prise en compte de ces surcharges sous forme pseudostatique : c’est la me´thode dite « de MononobeOkabe » (figure 32) qui reste limite´e a` des remblais sans eau et sans cohe´sion, et est tre`s utilise´e dans les e´tudes de stabilite´ sismique.
le li − l e
que l’on peut approcher par la formule :
ρ=
de particules acce´le´rant le phe´nome`ne. On peut ainsi arriver a` l’entraıˆnement d’un assez large volume de sol conduisant a` la rupture de la fondation par e´rosion interne. C’est le phe´nome`ne dit de « renard hydraulique ».
Cette me´thode consiste a` prendre en compte l’action du se´isme par une densite´ volumique de forces γ k (composante horizontale g kh, composante verticale ± g kv) qui s’ajoute a` l’action de la pesanteur. Comme dans la me´thode classique de Coulomb, on e´tudie l’e´quilibre de coins a` l’arrie`re du mur (figure 32) et l’on de´termine la pousse´e dynamique totale (statique + dynamique) en prenant la valeur maximale par rapport a` l’angle d’inclinaison a du plan de rupture sur l’horizontale, ce qui donne l’expression :
côté butée
Pa =
On obtient alors :
σ ′ha = γ i′ li K a σ ′hp = γ e′ l e K p
(poussée) (butée)
1 γ H 2 (1 ± k v ) (K a ) 2
A
` ces contraintes effectives, il faut ajouter, en tout point a` la proA fondeur z, la pression d’eau qui a pour expression :
u = γ w (1 − ii ) z i
li
côté poussée
u = γ w (1 − i e ) z e
C
ii
côté butée
Poussée ie
5.4.2 Rupture par e´rosion interne
Butée
le
B
L’e´rosion interne sous un ouvrage de soute`nement peut se produire comme indique´ a` la figure 31 dans le cas d’un sol granulaire. L’eau s’e´coule d’une nappe a` l’autre sous l’ouvrage et, si le gradient est trop e´leve´, il y a entraıˆnement de particules de sol et e´rosion a` la partie aval ou` se forme un petit chenal. Ce dernier provoque une augmentation du gradient hydraulique et d’autres entraıˆnements
Figure 30 – Me´thode des gradients hydrauliques moyens (d’apre`s Mandel)
Nappe supérieure
Nappe inférieure
a réseau d’écoulement non perturbé
b première étape de la rupture par érosion interne
c rupture complète par renard hydraulique
Figure 31 – Phe´nome`ne de rupture par renard hydraulique
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OUVRAGES DE SOUTE`NEMENT
β Pa π
Kv W Kh W
W
Kh W H
λ
δ
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Pa
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R
R
−δ+λ
2
Kv W
α−ϕ
ϕ α
W
Figure 32 – Me´thode de Mononobe-Okabe
avec :
Ka =
Cette force a son point d’application a` 0,4 H de profondeur sous la teˆte du mur.
cos2 (ϕ − θ − λ) ⎡ sin (ϕ + δ ) cos (ϕ − θ − β ) ⎤ cos θ cos2 λ cos ( δ + λ + θ ) ⎢1 + ⎥ cos ( δ + λ + θ ) cos ( β − λ) ⎥⎦ ⎢⎣
2
6. Conclusion
et :
Les valeurs pratiques de kh varient ge´ne´ralement de 0,1 a` 0,3 selon les pays, la zone sismique et les conditions de fondation de l’ouvrage. La valeur de kv est souvent prise e´gale a` kh/3.
Cet article constitue la base the´orique du dimensionnement des ouvrages de soute`nement, en pre´sentant les me´thodes de calcul de la pousse´e et bute´e des terres et plus particulie`rement des coefficients de pousse´e ka et de bute´e kp (Mohr-Coulomb, Rankine, e´quilibres limites). Ces me´thodes ne peuvent pas toutes eˆtre utilise´es dans tous les cas de figure et doivent eˆtre hie´rarchise´es en fonction de la ge´ome´trie des murs, e´crans et talus e´tudie´s.
Pour les sols sans cohe´sion, avec un angle de frottement interne j voisin de 35 , la pousse´e dynamique additive (a` ajouter a` la pousse´e statique) peut eˆtre e´value´e a` partir de l’expression simplifie´e propose´e par Seed et Whitman (1977) :
Il faut retenir que les efforts exerce´s de´pendent des de´placements possibles des ouvrages par rapport aux massifs de sol/ roches retenus.
⎛ k ⎞ θ = arctan ⎜ h ⎟ ⎝ 1± k v ⎠
(Pa )dyn =
1 γ H 2 × 0,75 k v 2
Par ailleurs, et comme toujours en me´canique des sols, la pre´sence d’eau augmente les difficulte´s de calcul. Ainsi, dans le cas de sols fins sature´s, il convient de distinguer les comportements a` court terme (conditions non draine´es) et a` long terme (conditions draine´es).
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P O U R
Ouvrages de soute`nement Pousse´e et bute´e par
E N
Thomas SIMONNOT Directeur ACCOTEC (Gif-sur-Yvette, France)
Yann JUILLIE´
et
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Expert pre`s la Cour d’appel de Paris (Gif-sur-Yvette, France) Premie`re version par Franc¸ois SCHLOSSER
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Sources bibliographiques [1]
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SOKOLOVSKI (V.V.). – Statics of granular media. 284 p., Pergamon Press (1965).
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Murs de soute`nement. Bases de calcul et de construction. Tables de dimensionnement. 1re e´d., Union Suisse des Professionnels de la Route (1966). BOURGES (F.). – Calcul des efforts de pousse´e et de bute´e sur les ouvrages de soute`nement. Session « Les Ouvrages de soute`nement ». Formation continue de l’E´cole Nationale des Ponts et Chausse´es (1985). SCHLOSSER (F.) et DORMIEUX (L.). – Talus et soute`nements en dynamique des sols. Revue Franc¸aise de Ge´otechnique n 37
p. 40-60, Presses de l’E´cole Nationale des Ponts et Chausse´es (1986). [8]
BELL (F.G.). – Ground Engineer’s Reference Book. 59 chapitres, Butterworth (1987).
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SALENC¸ON (J.). – Calcul a` la rupture et analyse limite. 366 p., Presses de l’E´cole Nationale des Ponts et Chausse´es (1983).
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FILLIAT (G.). – La pratique des sols et fondations. E´ditions du Moniteur (1981).
[11]
SETRA. – Murs 73. Ministe`re de l’E´quipement et du Logement. Direction des Routes (1973).
` lire e´galement dans nos bases A SIMONNOT (T.) et JUILLIE´ (Y.). – Murs et e´crans de soute`nement. [C 244] (2015). GALGARO (J.A.). – Normes du baˆtiment et des travaux publics – Base frabiliste des Eurocodes. [C 60] (2013).
DELEFOSSE (J.). – Pathologies du be´ton arme´ – Erreurs de conception et de calcul. [C 6 100] (2011).
SE`VE (G.) et DURVILLE (J.L.). – Stabilite´ des pentes – Glissements en terrain meuble. [C 254] (1996).
MAGNAN (J.P.). – L’eau dans le sol. [C 212] (1999).
MAGNAN (J.P.). – Re´sistance au cisaillement. [C 216] (1991).
DELEFOSSE (J.). – Pathologies des murs de soute`nement. [C 7 201] (2013).
FRANK (R.). – Fondations superficielles. [C 246] (1998).
PILOT (G.). – Me´canique des sols – Symboles, unite´s et de´finitions. [C 201] (1988). COURBON (J.). – Calcul des structures – The´orie de l’e´lasticite´. [A 305] (1979).
Normes et standards NF EN 1997-1 AFNOR 2005
AFNOR Eurocode 7 : Calcul ge´otechnique.
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