Oscillateurs Chap 3 [PDF]

Zitiervorschau

Département du Génie Electrique

Systèmes Electroniques

Pr : M. LAHBABI

Filière Ingénieur : SICoM Systèmes Intelligents Communicants et Mobiles

Chapitre 3 : Les Oscillateurs Sinusoïdaux Contenu : 1- Généralités 2- Oscillateurs à réaction : conditions d’oscillations 3- Oscillateurs de type LC : Oscillateur de Colpitts. Oscillateur de Hartley. 4- Oscillateurs de type RC : Oscillateur déphaseur . Oscillateur à pont de Wien. 5- Oscillateurs à résistance dynamique négative 6- Oscillateurs à circuit accordé 7- Exemples d’oscillateurs à base de transistors.

2

1- Généralités : Un oscillateur est un amplificateur capable de générer un signal de sortie alternatif en l’absence d’un signal d’entrée (e = 0).

Les oscillateurs génèrent une forme d’onde alternative à partir d’une source d’alimentation continue de polarisation des transistors ou des composants actifs du montage. Cette forme d’onde ou signal de sortie peut être sinusoïdale ou non. Suivant la nature des signaux fournis en sortie, les oscillateurs se divisent en deux grandes familles : 3

Oscillateurs harmoniques ou sinusoïdaux si S(t) est une fonction sinusoïdale Oscillateurs de relaxation si S(t) est non sinusoïdale (carré, triangulaire ou dent de scie, etc…). Applications : Les oscillateurs sont sollicités pour les systèmes commandés par des signaux périodiques tel que : Horloge électronique, systèmes de communication, sources de référence de tension ou de temps (fréquence)…

2- Oscillateurs à réaction : L’application d’une réaction positive dans un montage amplificateur bouclé amène le système à osciller, cette propriété est gênante dans les amplificateurs mais intéressante pour la génération des signaux sinusoïdaux ou non (carré, triangulaire, etc….) 4

La structure d’un oscillateur peut se ramener à celle d’un système bouclé : Chaine directe ou d’action, chaine de retour ou de réaction et un comparateur.

Rappel :

ε = e – er avec : er = βS S = G0ε = G0(e – er) = G0(e –βS) = G0e –βG0S G ×e S= 0 1 + βG 0

G0 S G= = e 1 + βG 0 5

Conditions d’oscillations: D’après les critères de stabilité : Si 1 + βG0 > 1, l’amplificateur est stable (Le gain G en boucle fermée décroît et le système tend vers la stabilité). Si 1 + βG0 < 1, l’amplificateur oscille avec une amplitude croissante jusqu'à la saturation du système (Le gain G en boucle fermée croît et le système tend vers l’instabilité). Si 1 + βG0 = 0 ⇒ βG0 = -1, l’amplificateur oscille avec une fréquence f0. La condition d’oscillation 1 + βG0 = 0 ⇒ G =

S → ∞, (e = 0) e

Le signal d’entrée e(t) est nul Le critère de Barkhausen βG0 = -1 ou condition d’auto oscillation 6

En général, βG0 est un nombre complexe ⇒ βG0 = Re(βG0) + j Im(βG0) Donc : βG0 = -1 ⇒ [Re(βG0) = -1 et Im(βG0) = 0] La condition [Re(β βG0(f0)) = -1]] donne la condition d’oscillation (valeur minimale de G0 pour déclencher les oscillations ou condition d’accrochage). La condition [Im(β βG0(f0)) = 0] donne la fréquence f0 du signal sinusoïdal généré. Remarque : Réaction positive La condition d’oscillation [Re(β βG0(f0)) = -1]] devient Re[β β G 0( f 0) = 1 ] (donne la valeur minimale de G0 pour déclencher les oscillations), Les oscillations sont réalisées pour Réel[β βG0(f0)] ≥ 1 . 7

3- Oscillateur de type LC : Dans cette famille d’oscillateurs le quadripôle de réaction est constitué par l’association d’éléments inductifs et capacitifs qui forment une cellule π. Lorsque le quadripôle est formé de deux condensateurs et d’une inductance, l’oscillateur est dit de Colpitts). Quand il est formé de deux inductances et d’un condensateur il est dit de Hartley.

Colpitts

Hartley 8

Cet oscillateur est formé de deux parties : Chaîne d’action : un amplificateur non inverseur

G0 =

VS R = (1 + 2 ) Ve R1

Chaîne de réaction :

Pour chercher le taux de réaction β(jω) = VR/VS, on applique le théorème de Thevenin entre les points A et B, le montage devient : 9

R 3Z2 avec Zth = R3//Z2 = R 3 + Z2 et

Dans ce cas :

Z2 Eth = VS Z2 + R3

Z3 VR = Eth Z3 + Z1 + Zth

En remplaçant Zth et Eth par leurs expressions dans β, on obtient :

β=

VR Z3 Z2 = VS Z + Z + R 3Z2 Z2 + R 3 3 1 R 3 + Z2 V Z3Z2 β= R = VS R3 (Z3 + Z1 + Z2 ) + Z2 (Z3 + Z1 )

D’où finalement :

β=

VR 1 = VS 1 + Z1 + R 3 + R 3 + R 3 Z1 Z3 Z3 Z 2 Z 2 Z3

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3- a) Oscillateur de Colpitts:

Dans ce cas : Z1 =

1 jC1ω

Z2 = jLω

et Z3 =

On remplace dans l’expression de β : β ( jω) =

1 jC2ω 1

1+

R3 R C C + 3 2 + jR 3 C 2 ω + 2 jL ω jLC 1ω C1

1 β( jω) =  C 2   R 3C1C 2 Lω2 - R 3 (C1 + C 2 )  1 +  + j  C1   LC1ω  

On multiplie (N et D) de la partie imaginaire par C2/(C1 + C2) et on trouve :

1 β( jω) =  C2  R 3C 2 (LC ω2 - 1) 1 +  + j C1  LCω 

où : C =

C1C2 C1 + C2

11

La fréquence d’oscillation est donnée par Im(βG0) = 0, soit Im[β(jω)] = 0 car G0 est réel. .

Donc : Im[β(jω)] = 0 ⇒ 1 – LCω2 = 0 ⇒ ω 0

=

1 LC

La fréquence d’oscillation est donc :

1 Le gain de la chaine de retour à cette fréquence est β(jω0): β ( j ω 0 ) = C 1+ 2 C1 La condition d’oscillation est donnée par : Réel [G0β(jω ω0)] ≥1

G0 Or la partie réelle de [G0β(jω0)] est : C 1+ 2 C1 On remplaçant G0 par son expression, la condition d’oscillation s’écrit : G0 R 2 C2 ≥ 1 ⇒ 1 + R2 ≥1 + C2 ≥ C2 1+ R1 C1 R1 C1 C1 Valeur minimale pour déclencher l’oscillation.

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3-b) Oscillateur de Hartley :

Dans ce cas : Z1 = jL1ω

Z2 =

1 jC ω

et Z3 = jL 2 ω

VR 1 = Rappel : β = VS 1 + Z1 + R 3 + R 3 + R 3 Z1 Z3 Z3 Z 2 Z 2 Z3 On remplace dans β : β( jω) =

1

L1 R3 R L Cω + + jR 3Cω + j 3 1 L 2 jL 2 ω L2 1 β( jω) =  L  R 1 + 1  + j 3 [(L1 + L2 ) C ω2 − 1] L2  L 2ω  1+

13

La fréquence d’oscillation est donnée par : Im[β(jω0)] = 0 ⇒ 1 – (L1 + L2)Cω02 = 0 ⇒ ω0 =

1 (L1 + L 2 )C

On déduit la fréquence d’oscillation :

La condition d’oscillation est donnée par : Réel [G0β(jω ω0)] ≥1 Or la partie réelle de [G0β(jω0)] est :

G0 L 1+ 1 L2

On remplaçant G0 par son expression, la condition d’oscillation s’écrit :

G0 ≥1 L1 1+ L2

1+

R2 L ≥1 + 1 R1 L2

R 2 L1 ≥ R1 L 2

Valeur minimale pour déclencher l’oscillation. 14

4- Oscillateur de type RC : 4- a) Oscillateur déphaseur (ou phase shift) Le circuit passif de réaction est formé de 3 cellules RC montées en cascade. Ce quadripôle introduit un déphasage de π entre la tension VR et VS à la fréquence f0 d’oscillation.(→ β négatif ou VR et VS en opposition de phase).

Si β(jω) < 0 et βG0 = 1 ⇒ G0 < 0 donc il faut choisir une chaîne d’action formée d’un amplificateur opérationnel monté en inverseur.

Chaîne d’action G0 = -

R2 R1

Chaîne de réaction (double T)

15

G0 = -

R2 R1

Réaction tension-tension ou tension parallèle 16

VR Calcul du taux de réaction β par application du théorème de Thevenin. β = VS Le quadripôle de réaction est :

En appliquant le théorème de Thevenin pour la première maille d’entrée du quadripôle de réaction entre les point A et B, ce dernier devient équivalent à :

R Avec : Vth1 = VS R+Z

et

Zth1 = R // Z =

RZ R+Z

En appliquant une deuxième fois le théorème de Thevenin pour la première maille d’entrée du quadripôle obtenu entre les points D et E, on obtient : 17

R VS R+Z RZ Z th1 = R+Z

Vth1 =

avec :

R R R R2 R2 Vth2 = Vth1 = VS = V= V 2 S 2 2 S RZ Zth1 + R + Z RZ+ (R+ Z) 3RZ+ R + Z +R+ Z R+ Z R+ Z 2 2RZ + Z .R  2RZ + Z 2  R(2RZ + Z 2 ) R + Z  //R = = et Z th2 = (Z th1 + Z)//R =  2 2RZ + Z 3RZ + Z 2 + R 2  R+Z  +R R+Z On calcule alors VR :

R VR = Vth2 Zth2 + R + Z

R3 VR = VS 2 2 2 (R + Z)(3RZ+ Z + R ) + R(2RZ+ Z )

On déduit β : VR R3 β= = 3 VS R + Z3 + 6R 2 Z + 5RZ2

β=

1 Z3 Z Z2 1+ 3 + 6 + 5 2 R R R

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On remplace Z par sa valeur (Z=1/jCω) :

β(jω) =

VR = VS 1 +

1 6 5 1 + + jRCω (jRCω)2 (jRCω)3

On peut mettre β sous une autre forme simple :

VR 1 β(jω) = = VS  5   1 6   1 −  + j  2 3  (RCω)   (RCω) RCω  La fréquence d’oscillation est donnée par : Im[β β(jω ω0)] = 0 ⇒

6 1 − =0 3 RCω0 (RCω0 )

1 – 6(RCω ω0)2 = 0

1 ω0 = RC 6

La fréquence d’oscillation est donc :

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On calcule β(jω) à la fréquence d’oscillation ω0 :

VR 1 1 1 1 = =− = = 5 (1 − 30 ) VS  29  1− 5  1 −  2 2 1   (RC ω )      6 La valeur minimale de R2 pour déclencher les oscillations est : β (j ω 0 ) =

Re[G0β(jω ω0)] ≥ 1 ⇒ − (

R2 1 )( − ) ≥ 1 R1 29

R2min ≥ 29R1

4-b) Oscillateur à pont de Wien :

20

Le quadripôle de réaction RC est appelé « réseau de Wien » ou « pont de Wien » :

Soient ZC1 et ZC2 les impédances de C1 et C2 soit Z1 = ZC1⊕(R/a)

R Z1 = ZC1 + et Z2 = ZC2//(aR) a

VR Z2 = On déduit β : β = VS Z1 + Z 2

aR ZC2 Z2 = aR + ZC2

Ensuite on remplace Z1 et Z2 :

aR Z C2 VR aR + Z C2 aR Z C2 = = aR Z C2 R R VS aR Z C2 + ( Z C1 + )(aR + Z C2 ) + Z C1 + aR + Z C2 a a

21

1 1 VR = = RC 2 ω 1 C 2 1 VS 1 + R + 1 + ZC1 + ZC1 1+j + 2+ + 2 a ZC2 a ZC2 aR a a C1 jaRC1ω On déduit β : β =

VR 1 = VS  C2 1   RC2ω 1  1 +  + 2  + j − aRC1ω   C1 a   a

La fréquence d’oscillation est donnée par : Im[β β(jω ω0)] = 0 ⇒

1 ω0 = R C 1C 2 La condition d’oscillation G0β(jω0) ≥ 1: Or : β(jω 0 ) =

1 1 C 1+ 2 + 2 C1 a

1 G0 ≥ β(j ω 0 )

Pour C1=C2 et a = 1 → β =1/3

La valeur minimale du déclenchement des oscillations est :

1+

R2 1 C ≥1+ 2 + 2 R1 C1 a

R2 1 C ≥ 2+ 2 R1 a C1

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5- Oscillateur à résistance dynamique négative : Il comporte obligatoirement un circuit oscillant avec pertes, lequel fixe la fréquence d'oscillation, et une résistance négative qui compense ces pertes. Parmi les dipôles utilisables qui présentent sous certaines conditions une résistance négative, on peut citer la diode tunnel, le transistor unijonction, le montage collecteur commun ou drain commun ...etc. 5-a)- Etude du circuit oscillant :

Les équations du réseau s'écrivent (Loi des nœuds): I + IL +IC + IR = 0

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Aux bornes d’un condensateur on a : I C = C Aux bornes d’une inductance on a : V = L Aux bornes d’une résistance on a : I R =

V R

dV dt

dI L dt

IL =

1 Vdt L

∫

on a alors : 1 Vdt + C dV + V - V = 0 L∫ dt R RN

1 On pose : ω = LC 2 0

et 2αω0 =

1 1 1 ( − ) C R RN

2α =

L 1 1 ( − ) C R RN

α : coefficient d’amortissement 2 dV d V 2 + 2 αω + L’équation devient : ω 0V =0 0 2 dt dt

Equation différentielle 2ème ordre dont la solution s’écrit :

V(t) = A eP1t + B eP2 t

où A et B sont des constantes

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et où :

 P1 = - αω 0 + ω0 α 2 - 1  P2 = - αω 0 − ω0 α 2 - 1

Selon le coefficient d’amortissement α., on distingue différents types de fonctionnement : 1er cas: (α > 1), solution apériodique. α > 1 ⇒ P1, P2 sont réels et négatifs, car α ≥

2 α −1

Dans ce cas: VS(t) → 0 quand t → ∝ ; Ce régime est apériodique. (cas non intéressant).

2ème cas: (α < 1), solution oscillante qui tend vers une saturation. α < 1 ⇒ P1 et P2 sont des valeurs complexes

P1 = - αω0 + j ω0 1 - α 2 = - αω0 + jω   P2 = - αω0 − j ω0 1 - α 2 = - αω0 − jω

2 avec : ω = ω 0 1 - α

25

Dans ce cas, la solution s’écrit :

VS (t) = e− αω0 t [A e jωt + B e- jωt ]

VS (t) = C e- α ω0 t sin(ωt + ϕ)

Il existe donc trois modes de fonctionnement suivant le signe de α : Rappel :

si α < 0 ⇒ Quand t

L 1 1 ( − ) C R RN

2α =

1 1 ⇒ R > RN < R RN l’amplitude

:

− αω0 t

e

→∞

quand

t→∞

Le système oscille avec une amplitude croissante jusqu'à saturation.

(cas non intéressant). 26

si α > 0 ⇒

1 1 > R RN

Dans ce cas :

⇒ R < RN : − αω0 t

e

→0

quand

t→∞

et VS(t) → 0 quand t → ∞

Régime oscillatoire amorti.

si α = 0 alors R = RN et ω = ω0 (compensation parfaite) 2

d V 2 + V=0 ω 0 2 dt

solution

V = A cos(ω0t + ϕ) où : ω 0 = 2

1 LC

Régime oscillatoire d’amplitude et de fréquence fixe.

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5-b) Simulation d'une résistance négative : Le montage utilise un A.O et comporte à la fois une réaction négative et une réaction positive. On ne doit donc pas exclure un fonctionnement en régime saturé (non linéaire).

Dans la pratique, on prend R1= R2= R0 et R3 = R On détermine la caractéristique Ve = f(Ie) et on déduit la zone de fonctionnement en résistance dynamique (différentielle) négative. L’impédance d’entrée s’écrit : Z e =

Ve Ie

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Les équations du montage : Ve – VS = R0Ie VS = (R + R0 ) I

V+ =

R VS R + R0

et

V- = Ve

i) - Fonctionnement linéaire : ε= 0 ou e+ = e-

VS R + R0 R0 = =1+ Ve R R R R Ve – VS = R0Ie ⇒ Ve − (1+ 0 )Ve = (Ve ) (− 0 ) = R0Ie R R Ve Ve = - R Ie < 0 Ze = =−R 0 ou VS = -Vsat si ε < 0

29

Si VS = +Vsat ; (εε ≥ 0) ou e+ ≥ esoit Ve = Vsat + R0Ie tant que V+ ≥ V-

R Donc : tant que V e ≤ Vsat R + R0 et

− Vsat Ie ≤ R + R0

R Vsat ≥V e R + R0

Ve = Vsat + R0Ie

(a)

alors :

VS = +Vsat

En effet : si Ve ≤ βVsat alors Ie ≤ (βVsat – Vsat)/R0 ⇒ Ie ≤ – Vsat/(R+R0) Si VS = - Vsat ; (εε ≤ 0) ou e+ ≤ esoit Ve = -Vsat + R0Ie tant que

V+

≤

V-

R Vsat Donc : tant que V e ≥ − R + R0 et

Vsat Ie ≥ R + R0

R − Vsat ≤V e R + R0

Ve = -Vsat + R0Ie

(b)

alors:

VS = -Vsat

On obtient la caractéristique statique Ve = f(Ie) en raccordant correctement 30 les trois morceaux (ε = 0 ; ε ≥ 0 et ε ≤ 0 ).

R avec : β = R + R0

Ce dipôle se comporte comme une résistance négative, de valeur : RN

V sat Vsat ≤ Ie ≤ + R +R 0 R + R0 Le montage complet est formé par l’oscillateur RLC et par la résistance négative (A.O). En pratique on règle R’=RN tant que −

RN 31

6- Oscillateur à circuit accordé : Il est formé d’un amplificateur opérationnel avec une chaîne de contre réaction qui fixe la valeur du gain en boucle ouverte à une valeur finie sans introduire de déphasage entre l’entrée et la sortie. Le quadripôle de réaction positive est formé de deux bobines mutuelles et d’une capacité branchée en parallèle.

Le gain de la chaîne d’action est :

R2 G0 =1+ R1 32

Rappel :

 V1 = jL1ωI1 + jM ω I 2   V2 = jM ωI1 + jL 2 ω I 2

Puisque i+ = i- = 0 (car A.O idéal); or I1 = i+ ⇒ I1 = 0

 V1 = jM ω I 2   V2 = jL 2 ω I 2

V1 M = V2 L2

Calcul de β :

β=

VR V1 V1 V2 M V2 = = = VS VS V2 VS L2 VS

Avec :

VS = RI + V2 où I = IC + I2 VS = R(I2 + IC) + V2 33

V2 = jL2ω I2

1 V2 = IC jCω

1 I2 = V2 jL2ω

On remplace dans l’expression de VS

IC = jCωV2

VS = R(

1 + jCω)V2 + V2 jL 2ω

V2 1 = VS 1 + jRCω + R jL2ω M V2 On déduit β(jω) : β = L2 VS D’où V2/VS

VR M 1 β(jω) = = VS L 2 1 + jRCω + R jL 2 ω M 1 β(jω) peut se mettre sous la forme: β(jω) = L2  R   1 + j  RCω 34 L ω 2  

La fréquence d’oscillation est donnée par : 2

Im(β(jω0)) = 0 ⇒ [R(1 – CL2ω 0 )] = 0

1 ω0 = L 2C

car (G0 réel) On déduit β(jω0) : β(jω 0 ) =

M L2

La condition d’oscillation est donnée par : Re[G0β(jω ω0)] ≥ 1

M G0 ≥ 1 L2

R 2 L2 R 1+ ≥ avec G0 = 1 + 2 R1 M R1

La valeur minimale du déclenchement des oscillations est donc :

L2 R 2 ≥ R1 ( - 1) M

35

7- Exemples d’oscillateurs à base de transistors : Oscillateur Colpitts utilisant un JFET (gm ; ρ infinie) :

Schéma équivalent en Basses et moyennes fréquences :

36

Oscillateur Hartley utilisant un JFET (gm ; ρ infinie) :

Schéma équivalent en Basses et moyennes fréquences :

37

Oscillateur Hartley utilisant un Tr Bipolaire (h11, β=h21 ; ρ infinie) :

Schéma équivalent en Basses et moyennes fréquences

Système bouclé

38