Opere scelte [Vol. 2] [PDF]

Zitiervorschau

G I U S E P P E

OPERE

P E A N O

SCELTE s curo

d e ll’ U N I ONU

M A T E M A T IC A

IT A L IA N A

v. col contributo del C O N S IG L IO

N A Z IO N A L E

DELLK

VOLUM E

KW EKOHE

II

1> O 8 by litli*loul CnmiujioBo, Uuiun

Ü ii b h i o - So c . T i p o g r a f i e »

“ O O ER ISI,,

I 9 0 8

P R E F A Z IO N I! A L

VOL. I I

I l presente vol. I I delle « Opere scolto » di G. P eano contiene — secondo i l programma pubblicato nella P R E F A Z IO N E contenuta nel vol. I — i lavori di Logica matematica « di In te rlin g u a eri A l ­ gebra della grammatica. L ‘attività d i G. P eano nel campo della logica matematica — svoltasi essenzialmente dal 1S88 a l 190!) — si è sviluppata per gradi ed in vario direzioni, cioè : 1") caloolo delle proposizioni condizionali o non, calcolo delle claxxi e .mutui legami f r a i due oaleoli ■ 2") crea­ zione o sistemazione via via. della sua ideografia logica ed assetto de­ finitivo della fo rm a dei simboli ; 3") teorie matematiche varie della lo­ gica, eli cui le due p rincip ali — e con notevoli differenze f r a l’una e l ’altra — sono quelle del IH!) 7 e del 1900 contenuta rixpctlivmtento ' nel lavoro n. 93 (Form ulaire de mathématiques, t. TI & 1, Logique mathématique) « n. 107 (Formules de logique mathématique). Pcroiò, per potere darò i l quadro completo degli studi di logicii matematica f a t t i dal P eano — ohe si diramano e si intrecciano in vari modi — ù stata qui raccolta la serie pressoché complota dello note e memorie di logica del P eano, tralasciando praticamente solo lo teorie sviluppate negli u ltim i volumi del Form ulario {tomi I I I , I V , V) perehò p iù facilmente accessibili. Come ho già detto {nella IN T llO D U Z IO N E alle « Opere soelte ») sono stati inclusi f r a i lavori di logica i duo opuscoli dol IH89 : n. Iti (Arithm eticos principia, nova mothodo exposita) e n. 18 (T p rin c ip ii di geometria logicamente esposti), che per i l loro contenuto generale acrebbero potuto essere inseriti nel vol. I l i insieme agli a ltri lavori sui fondamenti della matematica, ma ohe si è preferito mettere f r a i la ­ vori di logica por la loro importanza dal punto di vista della fo rm a ­ zione del linguaggio ideografico del P e a n o , e perché sono le primo pubblicazioni in cui è esposta tutta una teoria — teoremi, definizioni e dimostrazioni ■— w tlo fo rm a completamente simbolica.

v
« esprime 'la classe definita dalla condizione a è parte d i quella definita dalla P ’ , ovvero Ma a ha per conse­ guenza la p *, Ma p è conseguenza della « ’ , ‘ se ò vera la a è pure vera la fi ’ . a = p dice £ gè 6 vera la a è pure vera la p , o vicoversa ’ . a .1 /3 esprime la condizione che si ha supponendo verificate ad un tempo la a o la p . et \j p esprime la condiziono che si ha supponendo verificata o la « o la p . - a esprimo la condizione che si ha negando la a . O esprime una condizione assurda. ^ esprime una condizione identica. Essendo A una classe - [A = O ] dice 4 non 6 vero che la classo A non contenga alcun ente ’ ovvero ‘ la classe A contiene qualche onte ’ ; la scrittura - [A 11 = 0 ] esprimo la proposizione particolare afferm ativa 1 qualche A è B 1.

Suoniti. I l lettore, per abituarsi ne’ segni in tro d o tti, pub in te r­ pretare in linguaggio ordinario le seguenti proposizioni, iu cui a , 6 , . . , rappresentano num eri reali e U niti : (a < & ) = ( & > a) ; - (a < tr) = () ; - ( « = &) = (a g ì) ; {a = b) — (a

c = b + o) ;

(a = b) 2 ). [(* -j- y)* = x* + 2 x y -(- j/*] = @ ; («® -+■ y%-j- 1 = o) = O . : (fi xfi -j- 2>x -|- o = &' x* -|- b' x -j- ü ) ^

==

= {rt = a') * (J> = 6') o (c = o') (ville a d ire : affinché l ’oguaglianza B) = (B < A )

H]

(A = B ) = ( A > B ) o ( A < B) .

Le id e n tità (1) e (3) dicono elio : Ogni equazione logica si trariforma in im'aCtra cguaio, ove si «cambino i due membri, cd i segni = , < , > ohe l i uninoono in = , > , < . Le (U) e (3) esprimono le definizioni date dei segni < c > me­ diante i l segno = ; la (4) esprime il Segno — mediante i segni > e < . Si hanno ancora lo ide ntità seguenti, che esprimono l ’uniform ità delle operazioni n ^ : IO]

(A = B ) < ( A Ü = BC)

l« l

(A = B) < (A u C = B “ (1)

[7]

(A = B) < (- A = - B ) . Applicando due volte le ide ntità (5) e (0) si rictiva

[5 '] ffi'j

(A = B) o ( A ' = B ') < ( A A ' = B B' ) (A = B ) n (A" = l i ' ) < ( A k A ' = B u l ì ' ) . Lo id e n tità seguenti :

|5 " ] [a "\

(A < B) < (A C < B 0) (A < lì) < ( A u f l < I ì u O)

[V " | [0 " ']

(A < B) (A ' < B') < (A A ' < B B') {A < B) n (A ' < H') < ( A v A " < I U B')

OtUSEPPE PEANO

si possono dedurre dalle precedenti sostituendo aU’orpiaziono A < B la sua eguale A u = O . Cosi dulia [5]_si ha (A B = Q ) < (A B (J = O ) ; ora A B C = A B C w A O O = = A C ( B ' o O ) = A O ] i 0 per le identità (0), (4), (8) ; quindi, sostituendo, (A B = O ) < ( A ( J B C = O ) ossia (A < B) < (A 0 < B C) ohe è la (fi"). Le identità precedenti dicono che : D a un sistema d i equazioni logiche, tutte vere, c contenenti tutte lo stesso sogno = , 0 < , 0 > , si deducono nuovo equazioni pure vero moltiplicando ambi i membri p er uno stesilo fattore 0 aggiungendovi «no stenso termine, 0 somman­ dolo membro a membro, 0 moltiplicandole membro a membro. Se nella identità [7] si seambiauo A e B in - A e - B si deduce (- A = - B) < (A = B) ; l ’identità [7] 0 questa d&nuo, per la [4], 17']

(A = B) = (- A = - B ) . 8 i liti poi _ _ (A < B) = (A i l = O ) = (B (- A ) == O ] = [B < A ] = (A > l i ) , ossia 18] (A < B) = (A > B). Le identità [7'] ed [8] dicono che: Ogni eluizione logica si tra­ sforma in a ltra eguale prendendo le negative d’ambi i membri, 0 scam­ biando i segni = , < , > in = , > , < , H a importanza l’identità seguente : |0]

(A y l i = O ) = (A = O ) n (B = O ) • In flitti, moltiplicando ambo i membri della prima poi- A si lia: |A u T i = 0 ) < ( A « A I i = 0 )

e, poiché per la (11), A « A B = A , si ha (A o l i = O ) < (A = O ) .

(a)

Moltiplicando per B i due membri delPeqiuiBione proposta si ot­ terrà analogamente (A u l i = O } < (B = O ) . (0) Moltiplicando membro a membro le («) e (fi) si deduce : (Au B = 0 ) < ( A = 0 M B = 0 ) .

(y)

Sommando membro a membro le A = O e B — 0 si ha : (A = O) n (B = O) < |A u B = O) e l ’insieme dello (y) e ( 6 ) dico appunto {A « B = Q) = (A = O) *■< (B = O ) .

W

OPERAZIONI DELLA LOOtCA DEDUTTIVA

1$

§ 7. — Tu virtù dello identità precedenti un'equazione logie» pub assumere varie forme diverse. Così In proposiziono universale affermativa ‘ ogni A ò B ’ si indicata colla scrittura (& 1, 6) A < B.

{a)

. Scambiando i membri [3] essa diventa (ib)

B > A

ossia ‘ la classo B contiene la A ’ . Moltiplicando ambo i membri della («) per A si deduce (a)

A < A B;

e siccome si ha l’identità (12) A B < A , da questa e dalla (o) si deduce : (o') A = A B. Si aggiunga B ad ambo i membri della ( O si lnv (o'J

A lì = 0 ,

ossia ‘ nessun A ò un non B ’ . Si sommi A ad ambo i membri della (a) ; si avrà ( /)

@ < A ^ B

e, per l’identità (13') 0 > A w B , si ha ( /') ossia ‘ ogni cosa o non è A , o ii B ’ . Si inondano lo negativo [8] d’ambo i inombri (lolla (a) ; si avrà, scambiando i membri (g)

B | (A I i » O ) n (A B = O ) = (A B o A B = O ) ossia (A B = O) " (A B = O ) = {A = O) vaio a diro la coesistenza dello proposizioni (I) o (II) equivale ad

OPERAZIONI DELLA LOGICA DEDUTTIVA

16

À = O ; m oltiplicando questu equazione per - (A = O ) si deduce [10]

(A H = 0 } " ( A B = 0 ) " - ( A = 0 ) = 0

cioè non possono coesistere le proposizioni (I) e ( II) supposto elio 1« classo A non sia nulla. Certo, aftormando i logici che (luo propo­ s itio n i contrarie non possono coesistere, sottintendono che la ellisse A non si u n u li» ; ma m ontre tu tte lo regole enunciate dulie form ulo precedenti sono vere qualunque siano le classi che compaiono, po­ tendo essere esse nuche O o , questo è i l prim o caso in cui b i­ sogna supporre non n u lla una delle classi considerate. La fora itila [10] si può pure scrivere (10']

(A Î Î = O ) « - (A = O ) < - (B A = O )

ossia : ‘ so ogni A è B , e se la classe A non ò nulla, si deduce che qualche B U A ’ , Q uindi, fa tta la convenzione di considerare come «lussi anche O 6 @ i ',l 1 qualche l i è A ’ è conseguenza non della sola proposizione 4ogni A è l i ’ , im i di questa e della ‘ la elusae A non 6 n u lla ’ . § 9. — Le proposizioni * o r ni A è l i ’ e 4ogni l i è 0 ’ si pos­ sono scrìvere a

Ti = o i

b g

=

o

.

M o ltip lico la prim a por (J , In seconda por A o sommo ; uvrb : A O -O oBBia ‘ ogni A è 0 ’ . Si ha così la fonnn p iù semplice dol sillogism o : [11]

(AÏi =

0 W B Ü

=

0 )< < A ü =

0 ),

che Si pub anche scrivere

[ l l 'l

(A < B) « (B < Ü) < (A < O)

ovvero [1 1"]

_ (A B = O ) n ( B Ò = O ) n * ( A « = O ) = 0

ovvero, scambiando anche C in 0 , [1 1 '"]

(A B = O ) " “ ( A 0 = O ) < - { B 0 = O ).

Questa u ltim a form ula b ì può enunciare dicendo : 4 se ogni A è B , e qualche A è 0 , si deduce che qualche H Ò C ' . Se nelle forme (11) e (1 1 '") si scambiti B in B , ovvero 0 in 0 , ovvero t u tti e due ad un tempo, e si scambiano fra loro f fa t­ to ri del prim o membro, i l sillogism o prende vario forme, alcuno dello quali vengono considerate dai logici c eliminate modi o figure ;

18

G iu s e p p e p e a n o

perì) fra i modi considerati dui logici alcuni non si possono ridurre ulla l'orma precedente, e sono quelli in cui da due proposizioni ge­ nerali si deduce uua particolare. Oosì nou si può ottenere la forinu : ‘ Ogni B 6 O, o ogni B è A ; dunque qualche A è 0 La ragione è facile a scorgerei. Invero mentre le f ormule pre­ sono vero qualunque siano lo classi introdotto, potendo essere le medesimo anche O o ^ , in questo nuova forma bisogna supporre inoltre elio la classo H non sia nulla. Invero si lia, per la formula [0] cedenti, e i sillogismi che ne derivano,

(BÒ = O ) n (B Â = O ) n {AO = O ) ~ (B (G u À ) u AC! = O 1 = [B n - (AC) u AG (B u B) = O ] = (B n [-(AO) * AC] u ACB = O ) = {B U ACB = 0 ! = (B = 0 ) a (ACB = O ) . Quindi, moltiplicando per - (B = O ) , si !m (BC = O ) n (BÂ = O ) " (AO = O ) " - (B = O ) = O , che si può anche leggere (BÔ = O ) ( B Â = O ) n - (B = O ) < - (AO = O ) ossia ‘ se ogni B è 0 , ogni B 6 A, e la classo B non ò nulla, qualche A ò 0 ’. Quindi in questo caso, la conclusione dipende da tre proposi­ zioni. § 10. — Tratteremo infine alcuno questioni riferentisi alle equa­ zioni logiche. Le identità (A < B) = (B > A ) = (A B = O ) o

(A = B) = (A < B) n (A > B) = (AB = O ) n (AB =

O)

= (A B o À ‘ B = O) dicono che ogni equazione logica ni può trasformare in un'altra eguale, in cui il secondo membro sia O . L ’identità (A

= O) n (li = O) (0 = O) « ,n =

(A

« B u 0 u ... = O)

dico che il sistema di più equazioni logiche coesistenti si può ri­ durre ad una sola equazione, col secondo membro nullo. Una equazione o sistema di equazioni può contonoro una classe incognita X •, ci possiamo proporre ili risolverla rispetto a questo

OPERAZIONI DELLA LOGICA DEDUTTIVA

17

incognita, H idotto perciò il sintonia di equazioni mi una sola col BCcon do inombro nullo, l'equazione a v ril la forum : / ( X ) = O , ove / ( X ) rappresenta una funziono logica d i X . Per quanto ni ò dotto / ( X ) si può mettere sotto la forma separata A X ^ l i X , bìccI iì * ogni equazione o gruppo di equazioni logiche si può rid u rre alla forma A X « B X =

0

068 Ìa

(A X = O ) n (B X = O) elio si può anello scrivere (X < À )"(« < X ) ovvero B < X < Â . Affinché queute equazioni siano possibili, do.ve essere R < A , A H = O ; supposta verificata questa condizione, basterò prendere por X una classe qualunque contenonte B o contenuta in À , i l olio si può fare, se B e A non sono eguali, in in fin iti modi. I/a più piccola classo X ò B, la più grande A ; ogni a ltra si può mettere sotto la l'orma B o Z A , ove 55 ò una classe a rb itra ria . § 11. — Elim inare da un’equazione (o gruppo d i equazioni) un’incognita significa scrivere, ove esista, un’equazione non conte­ nente p ifi V incognita, ma lo altro v a ria b ili, afllncliò l ’equazione proposto possa ossore soddisfatta da qualclio valore d e ll’incognita. Si è gii\ visto che i l ris u lta to d o ll’elim iim ziouo d i X d a ll’equazione A X ^ BX = O ò AB = O . La risoluzione d’ un sistema i li equazioni logiche con pivi inco ­ gnito si può rid u rre alle questioni g ii\ tra tta te elim inando un’inco­ gnita alla volta, come in algebra. E lim inando da una o p iù equazioni un sistema di v a ria b ili si ha In condiziono che passa fin le va ria b ili rim anenti nfllncliò il s i­ stema sia possibile. Oosì d a ll’equaziono A X Y - B X Ÿ vO X Y

o

D X Y = 0

eliminando dapprima la X si ha (A Y - BŸ) " (CY u D Ÿ ) = O ossia A O Y u B I)Y = o -, eliminando d i qui lu Y si ha AOBD = O,

18

OIUSEPPE PEANO

c o m o c o n d iz io n o

a ffin c h è

s f a t t a d a corteo c la s s i X

l ’e q u a a io n e

p ro p o sta

pOBBii

un noro aoild i-

ed Y .

U n ’a ltra applicazione delPeliminasrione è lo stesso sillogismo. Da due proposizioni contenenti tre classi (term ino maggioro, minore, medio) si tra tta di elim inare i l term ine medio per avoro una rela­ zione fra g li a ltri duo. Cosi volendosi dalle proposissionl A < 1! e £ < C elim inare (J, sì uvrà (A < B) " (B < C) = (A B = O ) " (BC =

O) = (A B o BÙ = O ) .

Q ui i l primo membro è sotto forma separata, od elim inando li si )ja A O = 0 , clic è appunto la conclusione del sillogismo. Invece, dalle premesse già considerate a lla lino dol § (I ( B Ô = 0 ) 'M B Â = 0 > , clie si possono scrivere B ( C ^ A ) = 0 , eliminando il B si ha rid e n ­ t i ti\ 0 = 0 ; restii così confermato che da quel le due solo pre­ messe non si può eoneliiurteru alcuna relazione fra A e (). (*)

(*) Nolln

profaninno

ni

trottato n,

(Colmiti geometrico, 1888, p, V I I ),

14

Q, Pisano, Korlvo : « L a logica deduttiva, In quale fu parto dello «cicli zo inatomnllolio, non lia linoni molto progredifo, iwnokò «In sfata o ^fo tto ilo^H ntixl11 ili Lumini/., IIaIUI.tuNj CaYI-KY, BOOLK, 11. o R. OiiABHMANN, ScnHÜiimt, eco. Lu poolio , Mathcmaltcal jiaptra, London, 1882. .Ikvons, The prinoijileu o f Scimae, London, 1888. LlMUs, f/OS ])M!agi>2>l>o» nnytai» ooiHciitJJornirui, l'a ri», 181S. Lo qnoHtluul ri fermi tl«L alla logica matematica ni prostuno mi iutorowtlHltl rioorclio. Cosi dato n «lassi, col segni

logici qui introdotti si piwiono ouniiolare

su esse ,Y =■ 2 ^ “ ^ — 2 proposizioni, te quali ni possono onprlinorc In ftinr.lono di 2'» proposizioni collo operazioni , - ( A = O ) ^ - < A c = 0 ) , ( A -

O ) u (A p= Por n = 2, hhti\ N e=t 827CO, o oort via, Reco u n 'u ltr a quontlono, d io u(jh v iiU unoora r i noi tu i ho t i t t b h una roìazìutio d o tu rn iin n ta fr a g li o n tl v a ­ r i a b i li rt o fr, «i dom anda q irn lj

wiano lo

oIìuskI o lo p ro p o s iz io n i cho h| |>ohhoiio

oiinneiitro ji©r iiidrko dolili ruluzioiio a , o doi angui In g io i# .

V t C.

(16). A R IT H M E T IC E S P R IN C IP IA N O V A M ETHODO E X P O S IT A (Aug. Taurluormn, od. Frnlitw Bocca, 18B0, pftgg. XVI'20, (F. 1880))

l>a prima parto »lg) 1873.

linaio ot Schrodor t!ioori«6 bravissim e e x p o m l in muo libro Calcolo geomclrlco oto., Tortilo, 1888. V lilo : C, S. P kiiick, On tho Algebra o f logio, Amoriuan Journal, I I I , 15 ì V I I , 180.

,1 h vdn h, The p rin c ip io o f salano*, Lomluti, 1888. Mu. C o l.i, T h t calculus o f équivalant statement», rrotsoudlnga of tho L o n don Mntli. SiioLoty, 1878. Vol. IX, l). Vol. X, 16,

as

ARITIIMETICES PRINCIPIA NOVA METHODO EXPOSITA

tioim los ot irrationales pertinent, enunciare et demonstraro possumus. Seri, u t nliao theoriae tractentur, nova signa, quao nova indicant enti», instituere accesso est. P uto voro his tantum lo ­ gicae signis propositiones cuiuslibet scientiae exprim i posso, dum ­ modo adlungantur signa quao entia h u iu s scientiae représentant.

B IG N O H U M T A B U L A

AiUTHSIKTIOAE H10NA

L o o ic a e s is m a

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XII XVI

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Thesis Logica

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ÜIUSHPPB PI!ANO

L o g icn o h o t ti t i o h oh.

I. De punctmtione. L itte ris a, 6, tv, y, ... co' i f ... olitici indieumns indeterm inata quaecumque. E n tia vero determ inata signis, sivo litte ris P, K, N , ... in ­ dicamus. Signa plerumque in eadem linea scribemus. U t ordo puteat quo en coniungere oporteat, parenthesibus u t in algebra, sive puncti» . : :: etc. u tim u r. U t form ula punctis divisa, in te llig a tu r, prim um signa quae n ullo puncto separantur colligenda sunt, postea quae uno puncto, deinde quae duobus punctis, etc. E x. g. sint a, b, o ,... signa quaccumque, Tunc ab.od significat (ab) (câ) ; et ab.od : cf.g l i k significat (((«li) (crf)) ((o/) (glt))) h. P unctuntionis signa om ittere lic e t si formulae quae diversa punctuatione existeront eundem habeant sonsuin ; vel si una tuntuin lornniln, et ipsa quam scribere volumus, sensum habeat. U t am biguitatis periculum absit, arithm eticae operationum signis , , : nunquam utim ur. Parentliesum figura una est ( ) ; si in eadem form ula, parentheses et puncta occurrant, prinm m quae parenthesibus continentur, col­ lig a n tu r. I I . De propositionibus. Signo P sign ificatur propositio. Signum le g itu r et. S in t «, b, propositiones; tunc a ^ ! » e s t si­ multanea affirm atio propositionum o, b. B re vita tis causa, loco an!» vulgo scribemus a b. Signum - le g itu r non. S it a quaedam P ; tu n c - a est negatio propositionis a. Signum ^ le g itu r vel. S in t «, !» propositiones ; tu n c a » b idem est ac —: —a . — b. [Signo V sign ificatur verum, sive identitas ; sed hoc signo nuuquam « tinn ir]. Signum & significat falsum, sive absurdum.

ARITHMETICES PRINCIPIA NOVA METHODO ÜXPOS1TA

(Signum O significat eut oonxcqucntia ; itu b O a le g itu r b est coiiHcqueutiu propositioni» a. Sed hoc signo nunquam utim ur]. Signum q significat deduoitur ; ita a o b idem significat quod b O a. S i propositiones a, b entia indoterm inata continent x, y , ..., scilicob sunt in to r ipsa ontia conditiones, tunc a o*, Wi„. b significat : quiiociunque sunt x, j / , ..., a propositione a dcducitur b. Si vero am­ b ig u ita tis periculum absit, loco [)BiB... scribemus solum q. Signum — significat est aequali*. S in t a, b propositiones ; tunc a — b idem aiguillent quod « o 6. b Ç) a ) propositio a = K, Wi„ b idoin sign ificat quod b a.

I I I . Jjogicae propositiones. S in t

propositiones. Tuuc e rit:

a f) «.

2.

n 0 b . b q o : q : a Ç) o.

3.

a = b . — : a Ç)b ,b o■ 0 ■ b Q rt.

11.

rtï>0 d : q . ao f) bd.

is .

*» 0 Ù • a 0 o '■ — • a 0 bc.

10.

a = b . o = d : □ . ao — bd.

i

►CS

1.

q

. « q c.

20

OIU8EPPB PRANO

20.

.

- (-fi) = a.

21

a = l i , = . » a = •» b,

22.

«()&. — . - J i Q - f f ,

23.

=

24.

- (ab) = ( - a) u ( - b).

25.

- ( » « ! ) = ( - a) (-6 ).

20.

a o . a u li.

27.

a ^ b = b w a.

28.

» u (Ji u o) = (« u J) u o = a u l u o,

21).

« o « = «.

30.

« (Ô « e) = ab u «o.

31.

d = !i,().(iuc=|>u(),

32.

I». () , a ^ o o b w o.

33.

a Q b . o Q d : Ç): a u o .Q .b v 6 » • = « A*

2H

OtUSHPPK PUftNO

(Signo V , quoti classem ex omnibus in d iv id u is constitutam , de quibus quaestio est, indicat, non utim ur]. Signum q significat eontinctur. Itu n f) b significat olassi# a con­

tinetur in classi b. 50.

a, h 6 K . o

a o b : = : x € a . {%,. 'x Eb.

[Form ula b U a significare pot-est classili b continet classem a) ut signo U non u tim ur]. ITic signa ^ et f) significationem Itabunt quite panilo a praece­ denti d iffo rt; sed nulla o rio tu r ambiguitas. Nam si de propositionibus agatur, haec aignii legantur absurdum ot deduoitur ; si vero de classibus, nihil et continetur, Form ula a = h, si a et, b s in t classes, s ig n ifica t a Q b , b f) a. Itaque 61.

a, b Z K . o

a = b:= :x £a .

. x £ b.

Propositiones 1... 41 quoque subsistunt, si a, b... classes indie,m it ; praeterea est: 02,

aeb.n.beK .

1)3.

a £ b . ft . b — = A*

64.

a £ b . b — c : ( ) . a e a.

55.

a £ b . l> f) c : O . a E o.

S it s classis, et k classis quite in n contineatur ; Itine dicim us k ceso ind ivid uu m classis s, si k ex uno tantum constat individuo. Itaque : 50.

n £ K . k ') s : Ç) : : k £ s . —

k —=

a

; x, y £ k . q Wi1/ , x — y.

V. Do inversione. Inversionis signum est [ ], eiusque usuili in sequenti numero explicabimus. H ic tantum casus particulares exponimus. 1. S it a propositio, indeterm inatum continens x ; tunc scriptura [ajEja, quae le g itu r ca x d ic itu r esse functionis pracsignum in classi s , et scribemus (p 6 l 1’1 x. «EK.q n

F ‘ * • = »’• « , y E A * « — ÿ : 0»,« • rpm — q>y.

Veruni si, «uni s it a quodlibot oiib cIiisrìs s, scriptura xtp novum in ­ dicet ens, et, ex a = y deduoitur x(p — y esse functionis postsij/num in ciaxxi s et scribemus rp £ s’ F . s 6 K . [> : : tp E *

. = .’. x , y E s . x = y : q XiV . x y — ycp.

Exempla, S it a numerila ; tune « -J- est functionis praosignum in numerorum dusse, ot -j- « ost functionis postsigiium ; quicumquo enim est numerus x , form ulile « + * ot x u novos in d ica n t mi-moros, et ox x = y deduoitur 1 ) significat numerum q u i n + sequitur. A b huc definitione, et a praecedentibus d ed u citu r; a £ N • Q •*. a £ N . Ç)

2 :— a — (1

a -j- 3 — a -|- (2

1 ] — (a — 1 ) -L 1 »

1) ==

"H* ^) ~l“

i ^tc*

Theoremata. II).

a, b £ N . o . a + b E N .

Dem.

a £ N . P C : f) : a -f* 1 £ N : q : 1 £ (6 E] Ts. « £ N . O :: J £ N . b £ [6 E] Ts : o ; a -f- h £ N . P 0 :

(1) q

: (a -f- b) +

1 € N . P 18 : o î « + {& + 1> * N : o t (ft + 1) £ [& É] Tb.

(2 )

HO

OlUStiPPG PEANO

« £ N . ( I ) . (2 ) . o :: 1 € [i Cj Ts •*. b € N . b € (i€ jT s : f)s b -f- 1 E [b ej Ï B ((te] Ts) |fc] P 9 ; : [ ) ; l f o | i i Ej Ts. (L 50) f) : b € N . q Th. (•'!) (3). (L 42) : Q : a , b EN . Q . TheBis.

(Tlieor.).

20. J)cf. « -j- b + o = (o + b) -(- c . 21.

n, b, o £ N- . Q • « + b H~ 0 e N •

22.

a, b, o e N . O ! « = ^ - = * €N . i) : a

3.

«,

. = . b— « *-= A •

=

« 4 ~ b — o = (a 4 - i) — 0 j a — ii 4“ 0 = (® — b) - \ - 0 ',a — b — 0 — ( l : o : a 4 - l € [ a e ] Thesis.

(2)

4“ 0i

« 4 » < ü 4 * c-

< a:Q.0 —

b' : 0 . Thesis.

— b.

€ N . □ : a — 1 . w . a > 1.

(1) (2) • 0 • Theor, IO.

n, b £ N . Q . a 4- b - — b.

Dcm.

« £ N . § 11’ 8 :

: a 4 - 1 —= 1 J 0 : 1 £ [fr £] Thosis.

(1)

ARITHMETICES PRINCIPIA NOVA METHODO EXPOSITA

a£ N . b i N . b E [i E] Tu : o : « 4 - b - = b . §1 P 17: 0 + l ) - = 4 + l : 0 :ft+ l- E l& € ]T « .

80

: « + (ft (2)

( 1) (2). q . Tlieor. 20.

a ,b t^ .a < b .a =

J)em,

H yp : Q : b — « EN . (b — a) -j- « = a . P

21.

a, 6 E N . r t > 6 . « = 6: = A '

22

.

b: = a -

: O : A*

a, b £ N . « > 6. a < b : = a*

23.

a, b 6 N : O • « < b . o . a =

Dem.

a tN .P 18:o .ie [K ]T s.

(1 )

a, b ÊN . a < b : o'. a < b -}- 1.

(2 )

rt, i>£ N . a = i»! o . a

(3)

a, &

b . u . a > b.

-j-1< — &£ N . T 18 : q : a — J = l . u . u — b

>1.

(4)

a, l>EN . a — fc = l : o . a = &4- l '

(0)

« , & £ N . a — 6 > 1 : £ ) . « > & + 1.

(0)

n,i£N .rt>6.(4){5)(fl):o:« = f t 4 - l . u .f l> & 4 - l. '

(7)

a, b E N : a < b . u . « = b . u . a > b : (2) (3) (7) . yj . (I b— |- 1 • U. A b "j- 1, a, b Ê N . 6 e [6 E] Ts. (8) : Ç) : b + 1 £ [Zi e] Ts.

q

«< b+ 1 (8) (0)

(1) (D). o • Tlieor.

§ 3. Do m n x im tfi o t m in im is .

Explicationes. S it a £ K N , lioc est ait a quaedam numerorum clnssis ; tunc Ma legntur maximus inter u, ot n;a legatur minimus inter n. Definitiones. 1.

a E K N . O • M a = [a?£] (x £ a

n . 3 > x : = a)-

2.

« £ K N . o . j t a — [# £] (a? Ea

a . 3 < x : — a)-

di)

OIUSHPPK PIÎANO

Theoremata. 3.

« £K . » £ K

- =s a . # 3 > « = A : f) . M « EN,

Dcm, «EN.

(1 )

(1) 0 : 1 E[' *£] (H p o Ts).

(2)

n £ N . n £ K N . n 3 > » - ( - l = Jv . » 4 - l £ « i O : » + l = M (i (3)

= A-

(‘1)

n E[« E] (Hp o Tb) . « £ K N . » 3 > n -j- 1 = a ■ » - f 1 " £ « ! 0 : M it -}-l = a . (3) (5) : q : M a E N. (0 ) n E[u E] (ITp o Tb) . (0) : C) . (« + 1) £ [« £j (IIp 0 Ts). (2) (7). § 1 1* 9 : 0 : n £ X . 0 .

Hp o Ts.

4.

« EK N . « - = a : 0 • I\[ n £ X.

5.

« £ K K . [ ) , j j i i = M [.« Ej (a 3
; fife - f - 1) = (ab) -f- v ) £] Ts. (2) (1) (2). 8.

Dem.

5). Dcm.

q

. Theor.

n, Z», c £ N . f) . n (li 4~ o) — «Zi 4“ H0• P 4 . P 7 : q . Theor. « , li, o £ X . « =

b : q : ac — ho.

a, b EN . a = b : : q : : 1 £ [c EJ Ts

c £ [o E] Ts. [) : ao = bo . a —

Zi : O : ao 4- « = 4" ^ 1 0 ' • (° 4 " !) = ^ E [c E] Ts ; : 0 ; o £ X . 0 . Ts.

4 " ! ) ’• O î « 4~ 1

10.

a, b, oE N . « < l> : o • (& — a)o — bo— ao.

Detti.

Ily p . □ ; 6 — « EN . (Zi — ir) + d = Zi : o : (Zi — «) o 4 - «o = Zia : O 1 — a) o = Zio — no.

11.

b bo.

a, b, a', b' £ N . « < « ' . b < b' : q : ab < a' b'.

42

QIOSP.PPB PHANO

14.

^ = . n.

15.

a, b, o £ N . o . u (6 o) = ) : Q : Ts. (S) (4) (fi) («) (7) (8 ) . r , . c £ * . « ( 6 £ N . d < f i - } - 1 . 6 < o + 1 : o : T » . (It) (0 ) 0 . o £ k . ( ) . ( o + l ) £ f e

(1 0 )

(1) (10). q

(11)

(a

c EN . H p . a : II p . Q . Ts.

,

(Tlieor.)

a, b, «1 £ N . 0 . M 3 1) (««t, bm) = m x M 3 1) (o, t).

$ 7. T heorem atii v a riti. n , ii£ N . a * - | - li8 (i7:0! « fr : f) . o J) ma — nb.

31.

a, b £ N . a D b : q : a .
b ; f ) . 3 D (a, b) =

Dcm.

Hyp. P 2H : ;■)

x l ) a . x 1) fi

Hyp. P 27 : o

x D 6 . x 1) (a — b) : o : x D b . x I) (b + (« — &))

3 D (b, a — b).

:q :x

1) b

: Q : x D b . x I) n. (1) (2) {> : H y p . f)

. ®V

(a — b)

(I)

(2 ) x 1) a . x J> b : =

: x 1) b . a’ D (« — h). (Tlieor.)

35.

n, b £ N . [) : M 3 D (a, b) £ N.

Dcm.

1 D re . 1 D b : □ : 3 ]> (a, b) - = a -

(0

3 J) (0 , b ) . 3 > ) e N .

20.

ri,

21.

a, b, o £ N . c ( j « . o ( [ b '• D : 0 a W 3 G («, b).

22.

® £ N . a: < 41 : Q . 41 —

23.

S

(IÏUOL, IX , 1 2 )

14.

24..

n £ Np . n £ N . a — g; m : Q . « n~ 1 — 1 (1 «•

6 £ N . 0 . i ï 3 a (°J *0 =

«& / M 3 D (", b).

(E u o l .

V I I, 34) V II, 3fi)

(E u o l .

Np.

II

■

17.

a, b e 1 . o , (ab)" £ Cnv.

18.

2 0 Onv.

1 S>.

a, b, o E 1 . a - = b : o : a, b, o £ 01 . = . o E (a&)".

20 .

a, b, o £ 1 . 0 /. a, 6, o £ 01 : = : a = b . u . a = o . u . b = o . u. a£&o.u.&£ao.u,o€ai.

21 .

a, 6, o 6 1 . d t bo •. [> : a, b, c € 01 . = . a, b, d 6 01 .

22.

a, b, o E 1 . o E abc : q : a, b, o £ 01 . = . a, b, o £ 01.

(PIO = P14)

jP14 q P17)

72

GIUSEPPE PEANO

§ 10. Assiomi X II e X III. Assioma X I I . 1.

r £ 2 . ( ) . ' . æ £ l , ï - E r : - = j,A ,

Assioma X I I I . 2.

a,b, o £ l . a, b, o - EOI. d£bo. o e ad : g

/ £ ao . o E bf: - = f A-

Teoremi. 3.

n, b, o, c € 1 . tt, b, o - £ 0 1 . bo n a'o - = A : 0 ■ «« n b'e —= (1*3 = 1*2)

4.

a, b, o, e £ ì . .

a, b, o £ 1 - 01 . 0 • abo = bao.

{PO = Pfi)

7.

» . g . abo = (nò) o. |H p . 0 • « (bo) = a (ci) = o (ab) = (q g ak. jlïp . g : bt> g k . a - E bo . pq g abc . «bo g «fc : g . Ts)

13.

k £ Onv . « E l . a - £ k ; g . ak £ (Jnv.

14.

a, 4, c € 1 . a - 6 bo : o • «ko * Onv.

15.

a, b, o, d E 1 . 6 — E c(l . a — £ bod : g . abcd £ Onv.

1(S.

h £ Unv . a e 1 . a - £ fe : g . afe u fc £ Onv.

17.

k £ Ouv. « £ 1 : g , a u ak E Onv.

(P13 = P12)

I PRINCIPII DI O l’ OMUTRIA LOQICAMENTU ÜSI'USI'I

18.

le

f Cnv.

a

£1

: Q . a u ak v k £

7«

Onv.

11).

b, o E 1 — Cl. ü 6 bo . o E a d . x £ b 'o : f ) . x t ado o ao u b 'ao , (IIp . P l i : o , - . / £ ao ; e £ b f : - = f a . (k) I lp . / £ «o . / £ b'o ; o ; b 'e = c /v > /u J»'/. p / q h&o . / q a o . i/'/ [) b 'a o : o . Ts. (/3) H p . («) m : o . T»)

20.

a, 6, o £ 1 —0 1 . (2 E bo : q . i'a d q ado u an u b'av.

21.

a, A, o £ 1 - Cl . o • bo' [) (abc)" (rip . f) . «!> - = A(a) H p . p £ ab . x £ io ' : () . x ' p n ao — = a> (P) IIp . p € afe. x t b o '. q 6 «te . g 6 *'j) : [) : p q o «bo • ® £ (P5)" • (Pî)" 0 («M " : ( ) • * £ («io)", (y) I I p . æ £ 60' . (a^ [fi) (j>) ; q . x t («bc/'.)

22 .

a , b, 0

u

£1

(P20 — PlOj

0 1 . g . a v b u 0 o ab u ... u a 'b ... « ubo u a 'b o u ...

a 'b 'e u

... Q («60) "

( P 2 1 . §7 1*3!) : 0 . P22]

23.

a, b, 0 £ 1 - 01 . Q • (bo)" Q (alo)",

24.

a , b, 0

25.

j) e 3 . r £ 2 : 0 * £ 2’ ■ ® _ £ r : “ = m A(IIp . a , b, 0 £ 1 « 0 1 . p = («tic)" . a — £ r : 0 ■ Te. (a) » » . « £ r . b - £ r : o . Ts. (/î) » » . a t r . b t r : Q : 0 —Er: f), Ts. (y) H p . (a) (/)) (y) : 0 ■ Ts)

20.

a t b, 0 £ 1

£ 1 « 01 .

r

= (bc) " : o • #V f) («60)".

- O J. p £ abo : q . aio =

p

« pa u

pab

>j p i « p io u po

v poa,

|H p . f) , bc u a 'p — = a («) U p . d £ bo . d i a ' p ; o : io = b d u d w d o . a la — a b d u a d u ado . p è a d . a d — ap u p p d . abd ~ bap u b p u bpd , ado = cap u oj9 u opd , piò = p b d ° p d u pdo : o • Ts. (0 ) HP • (a) (ft) : 0 • Tsj 27.

a, bj e £ 1 —C l . p , q £ abo . p —= q : f) . j»'ÿ n («. u a i u i u bo o 0 u ca) — = a* (IIp . P 2 0 : 0 : 5 £ ]) (» u «îi u b u ko u j u c») ; o . Ts)

28.

r t 2 . a £ l . a — £ r , b £ r . c i b' a . d £ a!r : 0 . d £ cV. {IIp . o • y " ad - = a («) H p . 0 £ r . 0 £ «d . c = 6 : Q ; d E «'b . a'b = c'b : q . Ts. (//) H p . c £ »•. 0 £ ad . e —= b : q . a, b, d —£ C l , r = (io)’*• b'e n do - = A : 0 : r * de - = a : 0 • Ts. (y) H p . (a) (fi ly) ■ Q . Ts)

74

O I U S e P P E PEANO

20.

r E 2 . « E 1 . « - E r . b E r . o E b'a \ g . a'r g o'r

(P20 = P28)

30.

r E 2 . c E 1 . o - £ r . a £ or : g . a 'r g o'r.

(1*30 = P20J

31.

a, b, o E 1 — CI •p 6 ubo : g . p'abo g a u ... u ab u ... u a'b u ... u ubo u a'bo o ... u a'b’v o ... (Hi* . o • V'lla = l )a u a u l>'a Q ubo w « u b’o’a. (a) IIp • 0 ■ = ?>ul> u ab « j>'ab g abo u ab v j>' (ab)". (/j) H p . O -P ' W D o\ab)". (y) H p • (a) {fi) (y) : o • Ts)

32.

a, b, o £ 1 —CI : 0 • («M " — a o b u o u ab u ao u bo u a'b tib' u b'o u ho' u o'a u ca’ t» ubo u a'bo ^ b'cti u o'ab u a'b'a u b'o'a w c'a'b. (P22 . P31 ; g . 1*32)

33.

a, b, o E 1 - 01. 0 .'. a» E {abo)" • = ; a, h, x E 01 . ^ . a, o, x E 01 . o . b, OyX SC I. k . x c alia , i* , Y'i ovo a c I/ sitino punti distinti ». l ‘l l . Il segno CI si legga collineari, « So a, b, c sono punti, allora diro che n, bf o sono collineari, equi­ vale a dire non ò assurdo l’im m acinare un onte r ohe sia u n a retta, e ohe contenga i p u nti rt, 6 , « ». P 1 ‘2. Il segno 3 si può leggore ÿiuno, pur la ragiono esposta alla PIO. « Piano ò ogni ente (nbc)'\ ove a, b, u siano punti non collineari ». POI. Il seguo Cp leggasi compltnwri. « Q uattro plinti diconsi complanari se giacciono in un medesimo piano ». Le definizioni 11 o 13 sono abbreviazioni, di cui si potrebbe anche fare a meno. P14. Il segno Onv leggasi figu ra convesm, « Figura convesua significa ogni ente * il quale sia una classe di punti, e sia tale clic comunque si prendano a a b, porche) punti di .r, si possa dedurrò che ab ò contenuto in x ». Ossia « figura convessa h una figura elio contiene tu tto il seg­ mento che unisce due suoi punti qualunque ».

& 3,

I teoremi contenuti in questo § si deducono puramente dalle de­ finizioni e assiomi logici ; e sono qui opportuno alcuno parole sulla tlivwntraxionc. 15 noto che la Logica scolastica non ò di sensibile utilità nelle dimostra?,ioni matematiche ; poiché in questo mai si menzionano lo classificazioni e regole del sillogismo, o d'altra parto vi si fa uso di ragionamenti, del tutto convincenti, ma non riduttibili allo formo consideralo in Logica. P e r questa ragiono alcuni matematici, fra cui

t PRINCIPII DI GEOMETRIA LOOICAMENTE ESPOSTI

81

Cartesio, proclftinarcuo esaurii l'evidenza Vn.nico cri borio por rico­ noscere l'esattezza d 'u n ragìomiinoiito (a). Ma questo principio lascia alla sua voi tu a desiderare, Unii di­ mostrazione pub essere piti o meno evidente ; essere evidente per una persona, dubbi» par u n ’ultra ; e ad ognuno sarò succesBO di trovure insufficienti delle dimostrazioni già ritenuto esatte. Esso poi luscia tanto piìi a desiderare nello nostre ricerche, lo quali si rife­ riscono a proposizioni, cui ai ò tanto abituuti, elio possono parevo iv molti pressocliò evidenti. Però questa questione è suscettibile di soluzione del tutto sod­ disfacente. Invero, ridotto, come qui ai è fatto, lo proposizioni In formule analoghe allo equazioni algebriche, allora, estiminando le comuni dimostrazioni, si scorge che esso consistono in trasforma­ zioni di proposizioni e gruppi ili proposizioni, aventi massima ana­ logia colle trasformazioni dello equazioni algebriche simultanee. Questo trasform atoli i, 0 identità logiche, di eoi facciamo contimi a* mento uso noi nostri ragionamenti, si possono enunciare e studiare. L a raccolta dello identità logiche di cui facciamo uso fti già fatta nei mio opuscolo menzionato ; molto di esse furono raccolte dal Boolo. Il loro numero b grande ; sarebbe uno studio interessante, e d ie finora manca, il distinguere lo fondamentali, elio si debbono ammettere senz’altro, dallo rimanenti, contenute nello fondamentali. Questa ricerca porterebbe ad imo studio, sulla Logica, analogo a quello qui fatto per la Geometria, e nel precettante opuscolo per l’A ri t in etica. Nelle noto seguenti trovansl alcuni saggi di queste trasforma­ zioni. P l . « Se a o b sono punti, si deduce : diro clic o ò un a'b, equi­ vale a dire cho o è un punte e che b è un ao. Dimostrazione : Q uesta prop. è equivalente alla P I del §2 ». È evidente che questa prop, ò la def. 1 leggermente trasformate. Volendo esaminare più attentam ente come la dof. 1 si trasformi fu questa, si sostituisca nella prop, c e a'b, al posto di a'b, il valore dato dalla dof. 1. Si avrà : o t a'b . — , « € (1 . [jc €) {&E a a-)}. Oni u n ’id e n titi logica dice che, so h a k sono due classi di enti, si ha a Eh n k . — : a E h . « 6 k . Applicando questa riduzione al secondo membro doll’eqiuizione p re m ie n te , ai av rà o £ «'(>. = ; c £ 1 . o £ [» E] (!) « Lil cl6iluotio:i no fuit jmr lo xmitlinoiit 'éo

lei tcleiict», tic. (raris l#7f>), I, (i. 17.

|>ur nuoiliiu » .

DirriAMKr., Dts Méthodes

ailISBPPE PfiÀNO

(JE a®), Orn, ho a ò una relaziono contenente unii lotterà ®, 1» pròposiziono rr £(#£]«, cioè a è «no di quegli cuti x ohe soddisfano ulla condizione a, ò equi vulonto ullti prò posiziono clic fii ottiene so­ stituendo in «, ni posto