Oeuvres completes, Volume 10: Series 2 [1 ed.] 9780511702693, 9781108003230 [PDF]

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CAMBRIDGE LIBRARY COLLECTION Books of enduring scholarly value

Mathematical Sciences From its pre-historic roots in simple counting to the algorithms powering modern desktop computers, from the genius of Archimedes to the genius of Einstein, advances in mathematical understanding and numerical techniques have been directly responsible for creating the modern world as we know it. This series will provide a library of the most influential publications and writers on mathematics in its broadest sense. As such, it will show not only the deep roots from which modern science and technology have grown, but also the astonishing breadth of application of mathematical techniques in the humanities and social sciences, and in everyday life.

Oeuvres complètes Augustin-Louis, Baron Cauchy (1789-1857) was the pre-eminent French mathematician of the nineteenth century. He began his career as a military engineer during the Napoleonic Wars, but even then was publishing significant mathematical papers, and was persuaded by Lagrange and Laplace to devote himself entirely to mathematics. His greatest contributions are considered to be the Cours d’analyse de l’École Royale Polytechnique (1821), Résumé des leçons sur le calcul infinitésimal (1823) and Leçons sur les applications du calcul infinitésimal à la géométrie (1826-8), and his pioneering work encompassed a huge range of topics, most significantly real analysis, the theory of functions of a complex variable, and theoretical mechanics. Twenty-six volumes of his collected papers were published between 1882 and 1958. The first series (volumes 1–12) consists of papers published by the Académie des Sciences de l’Institut de France; the second series (volumes 13–26) of papers published elsewhere.

Cambridge University Press has long been a pioneer in the reissuing of out-of-print titles from its own backlist, producing digital reprints of books that are still sought after by scholars and students but could not be reprinted economically using traditional technology. The Cambridge Library Collection extends this activity to a wider range of books which are still of importance to researchers and professionals, either for the source material they contain, or as landmarks in the history of their academic discipline. Drawing from the world-renowned collections in the Cambridge University Library, and guided by the advice of experts in each subject area, Cambridge University Press is using state-of-the-art scanning machines in its own Printing House to capture the content of each book selected for inclusion. The files are processed to give a consistently clear, crisp image, and the books finished to the high quality standard for which the Press is recognised around the world. The latest print-on-demand technology ensures that the books will remain available indefinitely, and that orders for single or multiple copies can quickly be supplied. The Cambridge Library Collection will bring back to life books of enduring scholarly value across a wide range of disciplines in the humanities and social sciences and in science and technology.

Oeuvres complètes Series 2 Volume 10 Augustin L ouis C auchy

C A M B R I D G E U N I V E R SI T Y P R E S S Cambridge New York Melbourne Madrid Cape Town Singapore São Paolo Delhi Published in the United States of America by Cambridge University Press, New York www.cambridge.org Information on this title: www.cambridge.org/9781108003230 © in this compilation Cambridge University Press 2009 This edition first published 1895 This digitally printed version 2009 ISBN 978-1-108-00323-0 This book reproduces the text of the original edition. The content and language reflect the beliefs, practices and terminology of their time, and have not been updated.

(EUVRES COMPLETES

D'AUCTIISTIN

CAUCHY

IEUVRES COMPLETES

D'AUGUSTIN CAUCH1 PUULIEES SOUS LA DIRECTION SCLENTIPigUE

DE L'ACADEMIE DES SCIENCES ET SOTS LES AUSPICES

DE M. LE M1NISTRE DE I/INSTRUCTION

SERIE. -

PUBLIQUE.

TOME \.

PARIS, GAUTH1EK-V1LLARS ET FILS, DU

B U R E A U

D E S L O N G I T U D E S ,

IMPR1MEURS-L1BRA1RES

D E L ' E C O L E

Quai des Augustins, 55. M DCCC XCV

P O L Y T E C I I M

()I ' E ,

SECONDE SERIE. I. -

MEMOIRES PUBLIES DANS DIVERS RECUEILS AUTRES QUE CEUX DE

L'ACADEMIE.

II. — OUVRAGES CLASSIQUES. HI. -

MtiMOIRES PUBLIES EN CORPS D'OUVRAGE. IV. - MEMOIRES PUBLIES SEPAREMENT.

ORuvres

de C. — S. II, t. X .

III.

MEMOIRES PUBLIES EN CORPS D'OUVRAGE.

RESUMES ANALYTIQUES DE TURIN.

DEUXIEME EDITION REIMPRIMEE

DAPRES

LA PREMIERE

EDITION.

S MALYTIQUES PAR

M. AUGUSTIN LOUIS CAUCHY MEMBRE DE LACADEMIE

DES SCIENCES DE PARIS ,

DE LA SOCIETE ROYALE DE LONDRES , ETC

\

TfJMIM

DE L'IMPRIMERIE ROYALE 1833.

RfiSUMfiS ANALYTIQUES. AVERTISSEMENT.

L'experience de l'enseignement m'a prouve qu'on peut simplificr encore sur plusieurs points l'etude de l'Analyse. D'autre part, des recherches approfondies sur differentes branches des Sciences mathematiques m'ont conduit a des resultats nouveaux et a de nouvelles methodes qui fournissent la solution d'un grand nombre de questions diverses. Deja quelques-unes de ces methodes se trouvent indiqueos dans des Notes que renferme le Bulletin des Sciences, et presentees avec plus d'etendue dans les deux Memoires lithographies en I 8 3 I et i832. En attendant que je puisse donner a ces matieres de plus amples developpements par la publication de Traites speciaux, ou la reprise des Exercices de Mathematiques•, j'ai pense qu'une serie d'articles destines a offrir le resume des theories les plus importantes de l'Analyse, soit anciennes, soit nouvelles, particulierementdes theories qu'embrasse l'Analyse algebrique et des methodes qui en rendent l'exposition plus facile, pourrait interesser les geometres et ceux qui s'adonnent a la culture des Sciences. Tel est le but que je me propose dans le present Ouvrage, qui paraitra par cahiers a des epoques plus ou moins rapprochees les lines des autres, suivant le plus ou moins de temps que les circonstances me permettront d'y consacrer.

OEuvres de C. — S. II, t. X.

10

RESUMES ANALYTIQUES. § I. — Sur les nombres figures.

Designons par (m\ le nombre des produits qu'on peut former avec m lettres a, b, c, ... eombinees n a n. Parmi ces produits, le nombre de ceux qui renfermeront la lettre a sera evidemment

et le nombre de ceux qui renfermeront seulement les m — i autres lettres b, c, . . . sera (m — i)n.

On aura done (0

(m)n=(m

— i)n-h(m

—

i)n^.

De plus, si Ton forme : i° les produits qui renferment la lettre a et dont le nombre est (m — i)n_{; 20 les produits qui renferment la lettre b et dont le nombre est encore (m — i)n-x, . . . , on obtiendra en tout m(m — i)n-x

produits. Mais, en operant de cette maniere, on obtiendra n fois chaque produit; car, si n = 3, par exemple, le produit abc sera compris, et parmi ceux qui renferment la lettre a, et parmi ceux qui renferment la lettre b, et parmi ceux qui renferment la lettre c. Done (2)

(m)n— ^(m —

i)^.

Observons enfin qu'on aura evidemment (3)

(m)i = m9

et que, a chaque produit forme avec n lettres prises dans la suite a, b, c9 . . . , correspond un seul produit forme avec les m — n lettres restantes; d'ou il suit qu'on trouvera generalement (4)

(m)n=(m)tn_n.

Si au nombre m, qui doit toujours etre egal ou superieur a nf on

RESUMES ANALYTIQUES.

11

attribute successivement les valeurs n,

n-t-

J,

« + 2,

. . .,

Texpression (m)n engendrera la suite des nombres

qu'on appelle les nombres/igures de l'ordre n. Ceux du premier ordre seront, en vertu de la formule (3), les nombres naturels i,

...;

2, 3, 4,

et generalement ceux du premier, du second, du troisieme ordre, etc. composeront la seconde, la troisieme, la quatrieme, . . . ligne horizontale du triangle arithmetique de Pascal, savoir i,

i,

i,

i,

i,

i,

i,

i,

i,

i,

...

?

( 2 ) 1 , ( 3 ) ! , ( 4 ) i , ( 5 ) t , ( 6 ) , , ( 7 ) 1 ? ( 8 ) t , ..., i,

( 3 ) 2 , ( 4 ) 2 , ( 5 ) 2 , ( 6 ) 2 , ( 7 ) 2 , ( 8 ) 2 , ..., i,

( 4 ) 8 , ( 5 ) , , ( 6 ) 3 , ( 7 ) 3 , ( 8 ) 3 , ..., 1,

( 5 ) 4 , ( 6 ) 4 , ( 7 ) 4 , ( 8 ) 4 , -.., (6)5, (7)5, (8)5, ...,

1, •

1,

(7)e, ( 8 ) 6 , ..., 1, ( 8 ) 7 , ...,

ou I,

I,

i,

2,

3, 3,

4,

5,

6,

10,

4,

10,

I,

i,

it

6, 20,

5,

6,

7, 21,

28,

35, 35,

56,

21,

56,

r

28,

7o,

Dans ce Tableau, les termes de la premiere suite sont tous egaux a l'unite. De plus, le premier terme de chaque nouvelle suite, equivalent lui-meme a l'unite, est avance d'un rang vers la droite par

12

RESUMES ANALYTIQUES.

rapport au premier terme de la suite precedente; et chaque nouveau terme d'une suite quelconque est, en vertu de la formule (i), la somme qu'on obtient lorsqu'on ajoute au terme precedent de la meme suite le nombre qui se trouve immediatement au-dessus. II en resulte que le n™me terme de la suite des nombres figures de l'ordre m -hi est la somme des n premiers nombres figures de l'ordre m. On a done (5)

i -h {m -+- I) W H- (m -h 2)m-h- . . + (m -h n — \)m=(m

-h

n)m^.

Aii reste, la formule (5) peut etre deduite immediatement de la formule (i). De la formule (2) on tire successivement

et, par suite, m

(6) V

m — 1 m — 2

{m)n— — • } 71 71 — I 71 — 2

;

V

771 — (71 — 1)

r71 — (71 — J )

OU

Cela pose, la formule (5) donnera i -+- (m -h i) H

I. 2

(8)

i ) . . . ( / i - l - / n — 1)

• /i (/? H- 1). . . ( n 4 - m )

. 2 . . .ni

Ainsi, en particulier, (9)

* + 2 +"

(10)

1H-34-6-K..-

. ( I I )

, I +

4

.

+I 0

+...+

2

n(n -h i) n(n -hi) (n -h 2) 2 ~ 2.3

71(71 -hi) (n-h —3

2) n(7i -hi) (n-h = . - ^

2) (71 -h 3) ,

RESUMES ANALYTIQUES.

13

En vertu de Tequation (9), les sommes des n premiers termes des progressions arithmetiques o,

a,

1,

a-\-b,

2,

(/i —

. . . ,

3,

a-\-2b,

...,

1),

a -\-(n

—

i)b

seront respectivement n (n — ] (12)

O+ !

et

= nla 4Le second membre de la formule (12) ou (i3) est le produit do n par la demi-somme du premier et du dernier terme de la progression quo Ton considere. Si Ton indique la somme des n premiers termes d'une suite par la lettre S placee devant le rieme terme, les equations (9), (10), (11) pourront s'ecrire comme il suit S [ n(n

n)

-hi)~]

b

'[

—

n

^n

+

]

2

^

n(n + i)(n + =

2) »

K

L

J

*

2^3

J~

2TI74

'

et Ton en conclura n (n -f-

1)

2

n( n

O(n3

n(n + :O ( / i H H 2 ) ( « •

Si des boulets de meme diametre sont distribues, dans plusieurs

14

RESUMES ANALYTIQUES.

couches superposees, de maniere a figurer une pyramide triangulaire, et dans chaque couche sur plusieurs files paralleles, de maniere a figurer un triangle equilateral, le nombre des boulets compris dans une couche triangulaire, ou dans la pyramide, se trouvera determine par la formule (9) ou (10), et sera ce qu'on nomme un nombre triangulaire ou un nombre pyramidal Done les nombres triangulaires et pyramidaux se confondent avec les nombres figures du second et du troisieme ordre. § II. — Developpement du produit de plusieurs binomes, ou d'une puissance entiere et positive de Viin d'entre eux; theoreme de Fermat sur les nombres premiers. Considerons m binomes differents de la forme jr-\-a,

x 4- b,

x -+- c,

. ...

En les multipliant Tun par l'autre, on aura (0

(X ^- a) (X ^r b) (X -t- C) . . . -h.. .) x711-1 -+- (ab -+- ac + . . . -h be -+-. . .)xm~2-{-'. . .-\-abc.

de plus, en posant a = b = c zzz. . .,

on trouvera a + ^ + c + . . . = ma — ( m ) ^ , ab -h ac -\~.. . + be -h. . . = (;n) 2 a 2 , abc. .. = am.

Done, par suite, (2)

(x-\-a)m = xm-^ (m)laxm-1-i-

(m)2a2xm~2-{-.

..-ham.

Dans le second membre de Tequation (2), les coefficients des diverses puissances de x et de a, savoir (3)

1,

(^)i,

(rn)u

...,

(m)2,

(m)l9

1,

sont precisement les nombres qui composent la (m-hi)iime

colonne

.. ;

RESUMES ANALYTIQUES.

15

verticale du triangle arithmetique de Pascal, et le coefficient de am-nxn

fiQ

ou

n a

Xm~n

est (rn)n=

(4)

(m)m_n

ou,.en vertu de la formule (7) du § I, (5)

m{m

— T ) . . .(m

— n -h 1)

in(m

— I)...(/I +

I)

1 . 2 . . . ( m — n)

1 .2 . . . n

On peut s'assurer que les fractions contenues dans les deux membres de la formule (5) sont egales en les reduisant au meme denominateur. Si Ton pose successivement m z=z 2,

m = 3,

m = 4»

m = 5,

. ..,

on trouvera, en prenant pour coefficients les divers termes des colonnes verticales du triangle arithmetique, (x -+- a)2= x1-±- lax -Ha2, (x-\-a)*— (x H- a ) 4 = xk

Lorsque dans la formule (2) on pose a = 1, elle donne

Si Ton fait de plus x = 1, on trouvera (7)

2m~ 1 -h (/n)i-f- (

Done les divers coefficients, dont le nombre est ra + i, fournissent une somme egale a im. Lorsque m est un nombre premier, tous les termes de la suite contenue dans le second membre de la formule (7) sont, a l'exception du premier et du dernier, des multiples do m. Done

16

RESUMES ANALYTIQUES.

alors im divise par m donne 2 pour reste. Dans le meme cas, n etant un nombre entier quelconque, (/H-i) w

divise par m donne, en vertu de la formule (6), le meme reste que nm-hi, et par suite (n -hi) m — (n -4- 1)

donne le meme reste que nm— n.

Done 2W— 2 etant divisible par m, on pourra en dire autant de 3m — 3, puis de 4m — 4> • • • 9 et generalement de

Done, si n n'est pas divisible par le nombre premier m, nm~K divise par m donnera l'unite pour reste, ce qui constitue le theoreme de Fermat sur les nombres premiers. Lorsque dans l'equation (1) on remplace a, b, c, ... par — a, —.b , — r, ..., on en tire (8)

(x — a)(x

— b)(x

— c)..

. — xm-hAlxm-1-hA2xm-2-{-.

. .-+-

\m9

les valeurs de Ai9 A2, ..., Am etant A2 — ab -1- ac -f-. . . -h be -+-. . ., (9)

A w = (— i)mabc..

. =

§ III. — Des variables et des fonctions en general, et, en particulier, des fonctions entieres d'une seule variable. Relations qui existent entre les coefficients des puissances entieres et positives d'un binome. On nomme quantite variable celle que Ton considore comme devant recevoir successivement plusieurs valeurs differentes les unes des autrcs. On appelle, au contraire, quantite constante toute quantite qui

RESUMES ANALYTIQUES.

17

recoit une valeur fixe et determines. Lorsque les valeurs successivement attribuees a une meme variable s'approchent indefiniment d'une valeur fixe, de maniere a finir par en differer aussi peu que l'on voudra, cctte derniere est appelee la limite de toutes les autres. Ainsi, par exemple, la surface du cercle est la limite vers laquelle convergent les surfaces des polygones reguliers inscrits, tandis que le nombre de leurs cotes croit de plus en plus, etc. Lorsque les valeurs numeriques successives d'une meme variable decroissent indefiniment, de maniere a s'abaisser au-dessous de tout nombre donne, cette variable devient ce qu'on nomme un infiniment petit, ou une quantite infiniment petite. Une variable de cette espece a zero pour limite. Lorsque les valeurs numeriques successives d'une meme variable croissent de plus en plus, de maniere a s'elever au-dessus de tout nombre donne, on dit que cette variable a pour limite Xinfini positif, indique par le signe oo, s'il s'agit d'une variable positive, et Xinfini negatif- indique par la notation — x>, s'il s'agit d'une variable negative. Lorsque des quantites variables sont tellement liees entre elles que, la valeur de l'une d'elles etant donnee, on puisse en conclure les valeurs de toutes les autres, on con^oit d'ordinaire ces diverses quantites exprimees au moyen de l'une d'entre elles, qui prend alors le nom de variable independante, et les autres quantites, exprimees au moyen de la variable independante, sont ce qu'on appelle des /onetions de cette variable. Lorsque des quantites variables sont tellement liees entre elles que, les valeurs de quelques-unes d'entre elles etant donnees, on puisse en conclure les valeurs de toutes les autres, on concoit ces diverses quantites exprimees au moyen de plusieurs d'entre elles, qui prennent alors le nom de variables independantes, et les quantites restantes, exprimees au moyen des variables independantes, sont ce qu'on appelle des fonctions de ces memes variables. Les diverses expressions que fournissent 1'Algebre et la TrigonoOEiwres

de C. — S . I I , t . X .

3

18

RESUMES ANALYTIQUES.

metrie, lorsqu'elles renferment des variables considerees comme independantes, sont autant de fonctions de ces memes variables. Ainsi, par exemple, ax,

xm,

Ax,

L.r,

...

sont des fonctions de la variable x;

sont des fonctions des variables x% y ou x9 y et z, . . . . Lorsque des fonctions d'une ou de plusieurs variables se trouvent, comme dans les exemples precedents, immediatement exprimees au moyen de ces memes variables, elles sont nominees fonctions explicites. ?rfais, lorsqu'on donne seulement les relations entre les fonctions et les variables, c'est-a-dire les equations auxquelles ces quantites doivent satisfaire, tant que ces equations ne sont pas resolues algebriquement, les fonctions, n'etant pas exprimees immediatement au moyen des variables, sont appelees fonctions implicites. Pour les rendre uxplicites, il suffit de resoudre, lorsque cela se peut, les equations qui les determinent. Par exemple, soit y une fonction implicite de cc determinee par l'equation L y = x.

Si Ton nomme A la base du systeme de logarithmes que Ton considere, la merne fonction devenue explicite par la resolution de liquation donnee sera y — kx.

Soit maintenant y une fonction de x, qui, pour chaque valeur de x intermediaire entre deux limites donnees, admette constamment une valeur unique et finie. La fonction y sera CONTINUE par rapport a x entre les limites donnees, si entre ces limites un accroissement infiniment pelil de la variable x produit toujours un accroissement infiniment petit de la fonction elle-meme. On dit encore que la fonction y est, dans le voisinage d'une valeur particuliere attribute a la variable x, fonction continue de cette variable, toutes les fois quVlle est continue entre

RESUMES WALYTIQLES.

19

deux limites de x, meme tres rapprochees, qui renferment la valour dont il s'agit. Enfin, lorsqu'une fonction cesse d'etre continue dans le voisinage d'une valour particuliere de la variable x, on dit qu'elle devient alors discontinue, et qu'il y a, pour cette valeur particuliere, solution de continuite. D'apres ces definitions, A etant un nombro et a une quantite constante, chacune des fonctions a-\-,r>

a — .Vy

a.iy

a

—, ,v

./•",

A'r,

Lu-

sera continue dans le voisinage d'une valeur finie attribuee a la variable r, si cette valour se trouve comprise, pour les fonctions a -\- ./•,

(f — .r,

#.r,

A a ',

entre les limiti^s x = — cc, x = cc; pour la fonction

ontro les limites x = — ao, x — o, on bion entre les limites x = o, x = -x>; enfin, pour les fonctions

entre les limites x — o, x = cc. La fonction - devient discontinue pour x = o. II semble qu'on devrait nommer fonctions algebriques toutos cellos quo fournissent los operations de l'Algebre. Mais on a reserve partioulieremont ce nom a celles quo Ton forme en n'employant quo les premieres operations algebriques, savoir l'addition ot la soustraction, la multiplication et la division, enfin l'elovation a dos puissances fixes; ot, des qu'une fonction renferme dos oxposants variabl

)

— i),

(

n

.

)

20 en posant j =

(20) jn{m

— 1) . 2

(2/7? — 2 ) w

§ IV. — Resolutions deplusieurs equations simultanees du premier degre.

Soient donnees entre n inconnues

/z equations du premier degre de la forme

(0

y

> a.2x

^_^ etant des quantites quelconques. Si Ton combine entre elles, par voie d'addition, les formules (1) respectivement multiplies par les facteurs (2)

A w - ! , Art_2,

A7i_3,

...,

A

u

Ao,

RESUMES ANALYTIQUES. on en conclura et, par suite,

pourvu que, apres avoir choisi ces facteurs de maniere a verifier les conditions Ao6,1-1 -+- Aibfl_2^-.

. .+• An_2b1 +A f l _,& 0 = °> W_!CO

=

o,

(4) . . . 4- A ^ - a ^ H- A ^ _ 1 ( ^ o = o,

on pose

et

Considerons en particulier le cas ou les equations (i) deviendraient X

ax

(7)

a^x

+

y

-{-by

it

u

4- hv

= k,

2

4- b y x 4-

c'est-a-dire le cas ou les divers coefficients de chaque inconnue seraient, ainsi que les seconds membres des equations donnees, les differents termes d'une progression geometrique, le premier terme de chaque progression etant l'unite. Dans ce cas particulier, les conditions (4), reduites aux suivantes

(8)

28

RESUMES ANALYTIQ UES.

exprimeront seulement que b,

c,

•> g>

h

sont racines de l'equation (9)

AQX"-1-^

At a?*-* 4 - . . .4- An-2x

4-A/l_1=o.

Elles seront done satisfaites, si Ton determine les facteurs

de maniere que Ton ait, quel que soit x, (10)

b) {x — c ) . . .{x — g) {x — h ) ,

c'est-a-dire si, apres avoir choisi arbitrairement la valeur de A o , on prend A2

=A0(bc+...-t-bg-hbh

^_, = ±Aok.,

+

...-\-gh),

.gh.

Alors les equations (5), (6) donneront

(T3)

X == A0(k — b) (k — c) . . . (k— g) (k ~ h),

et par suite la formule (3) deviendra _ (/,- __ b) (k — c). . . (k — #) (k — h) On trouvera de meme (/x_a)(k-c)...(k-g)(k-h)

( A - - a ) ( / • - & ) ( A- - c ) .

..(/.

RESUMES ANALYTIQUES.

29

Ainsi, par.exemple, les valeurs de x, y, z propres a resoudre les trois equations x-±

y -h z = i ,

ax-^fry

^-Cz = k,

fix -+- b2y -+- c2z = k2

seront (16) )

x=

(*-l>)(k-c) (a — b)(a — c)'

(k-c)(fc-a) (b — c)(b — ay

y

„ _ Z

(k-a)(k-b) (c — a) (c — b)

Dans les formules (i4)> le denominateur de la fraction qui represente la valeur d'une inconnue est le produit de toutes les differences qu'on obtient lorsque du coefficient de cette inconnue pris dans la seconds des equations (7) on retranche successivement les coefficients clr toutes les autres inconnues. Pour trouver le numerateur de la meme fraction, il suffit de substituer clans le denominateur la lettre k au coefficient de l'inconnue que Ton considere. Si Ton veut reduire au meme denominateur les fractions qui representent les valeurs des diverses inconnues, on pourra prendre evidemment pour denominateur commun le produit des binomes (17)

b — a;

c — a,

c—b;

...,

h — a,

h — b,

...,

h — g;

c'est-a-dire le produit de toutes les differences qu'on obtient quand, apres avoir dispose les lettres a,

b,

c,

...,

g,

h

dans un ordre quelconque, par exemple dans l'ordre alphabetiquc, on retranche successivement de chaque lettre toutes celles qui la precedent. Effectivement, si Ton choisit Ao de maniere que la formule (12) se reduise a (18)

T> =z (b - a) (c — a) (c — b). .. (h - a) (h - b) .. . {h - g>),

les equations (14) pourront s'ecrire comme il suit (19)

X ^ = p >

^

=

Y p '

"

y

r = =

V P'

30

RESUMES ANALYTIQUES.

les quantites X, Y, . . . , V etant ce que devient le produit P quand on y remplace successivement par la lettre k chacune des lettres a9b9 ...9h. Le produit P, determine par l'equation (18), jouit d'une propriete digne de remarquc, a l'aide de laquelle on peut etablir directement les formules (19). C'est qu'il se change toujours en — P quand on echange entre elles deux quelconques des lettres a,

by

c,

...,

g,

h.

Alors, rn effet, le binome qui renferme les deux lettres echangees entre elles changera evidemment de signe; et, de plus, le produit des deux binomes qui renferment ces deux lettres avec une troisieme, se confondant necessairement, soit avec le produit des differences qu'on obtient quand on retranche la troisieme lettre des deux premieres, soit avec ce dernier produit pris en signe contraire, ne changera ni de valeur ni de signe apres l'echange dont il s'agit. Ajoutons que, si Ton developpe le produit P, en multipliant les uns par les autres les binomes (17), le developpement ainsi obtenu se composera de divers produits partiels affectes les uns du signe -h, les autres du signe —, et dans chacun desquels la somme des exposants des lettres a,

b,

c,

. . .,

g,

h

sera equivalente au nombre des binomes (17), e'est-a-dire a (20)

1 + 2 + 3 + . . .-h (n —

J)

= —

-'•

Le premier de ces produits partiels, forme par la multiplication des premiers termes des divers binomes, sc reduira simplement a (21)

a°b]c2. .

.gn-2hn~K

Si Ton suppose en particulier n = 2, on trouvera

ou, ce qui revient au meme, (22)

P — a°bl — alb°.

RESUMES ANALYTIQUES.

31

Si Ton suppose, au contraire, n = 39 on aura (23)

V = ablc*— a°b*cl + alb2c°

— a1 bQ c2 + a* b° cl —

a*blc°.

Done alors, dans chacun des produits partiels que renfermera le devo loppement de P, les exposants des lettres a, b ou a, b, c seront respectivement egaux aux deux ou trois premiers termes de la suite des nombres naturcls (24)

O,

I,

2,

3,

. ..,

et tous ces produits partiels se deduiront les uns des autres par des echanges operes entre les exposants dont il s'agit. Or on pent affirmcr qu'il en sera generalement ainsi, et que tous les produits partiels dont se composera le developpement de P seront semblables au produit (21) et se deduiront de celui-ci par de simples echanges operes entre les indices o,

i,

2,

...,

n — 2,

n — i.

Effectivement, soit aPb^cr. . . gslil

(25)

Tun quelconque des produits partiels, de ceux, par exemple, qui sont affectes du signe + , en sorte qu'on ait (26)

P — aPb(icr. ,.gshl-{-

On tirera de la formule (26), en echangeant entre elles les deux lettres a et b, . . .gshl-+-

ou, ce qui revient au meme, (27)

P =—

Done le developpement de P ne pent renfermer un terme affecte du signe + ot de la forme '.

..gshl

sans renfermer en meme temps un terme affecte du signe — et de la

32

RESUMES ANALYT1QUES.

forme ir'est-a-dire un second terme qui se deduise clu premier par un echange opere entre les exposants des deux lettres a, b, mais qui soit affecte d'un signe contraire. On arriverait encore a une conclusion toute semblable si le premier terme etait Tun de ceuxqui sont affectes du signe —. Done les differents termes eontenus dans le developpement de P, etantreunisdeux a deux, produiront des expressions de la forme (28)

aPbic1'. . . gslil —

en sorte qu'on aura (29)

V = (aPb* — a*bP)cr. ,.gsh(-h

Or le binome (28) s'evanouit toutes les fois que les exposants p, q deviennent egaux. II en resulte qu'on verra disparaitre, dans le developpement de P, tous les termes oil deux lettres diverses a, b seraient elevees a la meme puissance. Done, si le produit (25) est un de ceux qui ne disparaissent pas, les exposants p,

q,

r,

...,

s,

t

des differentes lettres y seront tous distincts les uns des autres; et, comme l'cxposant de chaque lettre ne pourra surpasser le nombre de relies des differences b — a, c — a, c — b,

. . ., h — a, h— b,

. . .,

h—g

qui la renferment, e'est-a-dire le nombre n — 1, les exposants P,

q> r,

...,

s,

t

ne pourront etre evidemment que les nombres O,

I,

2,

. . . ,

/I — I .

Done, en definitive, dans le developpement de la fonction (3o)

P = a° blc\..

gn-^ hn~l — . . . ,

RESUMES ANALYTIQUES.

33

tous les termes se deduiront du premier par des echanges operes entre les exposants des differentes lettres, et deux termes, dont Tun se deduira de Tautre par un seul echange opere entre deux exposants, seront toujours affectes de signes contraires. Si Ton clove les quantites a,

b,

c,

. . .,

,;%

h

a des puissances dont les degres soient respectivement egaux aux nombres ,

i,

2,

. . .,

n — 2,

// — i

ranges dans un ordre quelconque, le produit do ces puissances sera toujours Tun des termes affectes du signe -+- ou du signe — dans le second membre de la formule (3o). En effet, pour deduire ce produit du premier terme il suffira d'operer des echanges successifs : [° entre IVxposant o ot celui que portera la lettre a dans le nouveau produit; 2° entre Texposant i et celui que portera la lettre b dans le nouveau produit, etc. Cela pose, representons par la notation

la somme qu'on obtient quand, au produit

pris avec le signe + , on ajoute tous ceux qu'on pout en deduire a Taide d'echanges operes entre les exposants o,

i,

2,

. . .,

n — 2,

n —i,

chacun des nouveaux produits etant pris avec le signe -+- ou le signe —, suivant qu'on le deduit du premier a Taide d'un nombre pair ou d'un nombre impair d'echanges successifs. On aura P = S ( ± a ° ^ c 2 . . . #«- 2 h"-1),

(32 )

et les formules (21), qui fournissent les valeurs de x, j , z OEuvrcsdeC—

S. II, t. X.

u, r, 5

34

RESUMES ANALYT1QUES.

propres a verifier les equations (i), pourront s'ecrire comrae il suit

(33)

r =

Concevons maintenant que, dans le developpement de P, on remplace les exposants des differentes lettres a, b9 c, ..., g, h par des indices. Alors, au lieu de l'equation (29), on obtiendra la suivante : (34)

P = (apbq—aqbp)cr..

.gslit-\-

Or cettc derniere valeur de P pourra etre presentee sous la forme (35)

P = Ao^-i -h Ai«ra-2 + - • •-+- Ki-^i

-+- A^-i^oj

Ao, A,, . . . , An_..2, An_i etant des sommes de produits formes avec les coefficients 0 O , O{, . . . , 0 w _ i , COt Cl9 . . . , C/t —1, • • • ,

go, g\y

• • • ? gn — lj ^o? " 1 ? • • • » h/i—i ?

et, comme elle s'evanouira, en vertu de l'equation (34) 9 si Ton suppose a0—-b0,

ai — bi,

...,

an^ { — &„_,,

on peut affirmer que les quantites AQ,

Ai,

. . .,

A'/j—gj

A// — 1,

renfermees dans l'equation (35), verifieront la premiere des conditions (4). On prouverait de meme que les quantites dont il s'agit verifieront la deuxieme, la troisieme, etc., enfin la derniere des conditions (4). Done ces quantites pourront servir a l'elimination des inconnuesj, z, ..., u, v entre les equations (1), et la valeur de x sera donnee par la formule (3), pourvu qu'on determine X par la formule (6), ou, ce qui revient au meme, pourvu qu'on appelle X ce que devient l'expression (5)quand on y remplace la lettre a par la lettre k.

RESUMES ANALYTIQUES.

35

Done, en definitive, les valears des inconnues x,

y , . . ., u, v9

propres a verifier les equations (i), seront des fractions, dont on obtiendra le commun denominateur P en remplacant les exposants des lettres a, b,