Numerische Untersuchung der Spaetstadien der Transition in einer dreidimensionalen [PDF]

Zitiervorschau

Diss. ETH Nr. 14590

Numerische Untersuchung der Spätstadien der Transition in einer dreidimensionalen Grenzschicht Abhandlung zur Erlangung des Titels

DOKTOR DER TECHNISCHEN WISSENSCHAFTEN der

EIDGENÖSSISCHEN TECHNISCHEN HOCHSCHULE ZÜRICH vorgelegt von

TORSTEN WINTERGERSTE Dipl.-Ing. Luft- und Raumfahrttechnik geboren am 11. Dezember 1965 von Wetter/Ruhr Deutschland

Angenommen auf Antrag von: Prof.Dr. L. Kleiser, Referent Dr. W. Koch, Korreferent

2002

Danksagung Die vorliegende Arbeit entstand während meiner Tätigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut für Strömungsmechanik des Deutschen Zentrums für Luft- und Raumfahrt e.V. (DLR) in Göttingen und am Institut für Fluiddynamik der Eidgenössischen Technischen Hochschule (ETH) Zürich. Ich danke Herrn Prof. Dr. L. Kleiser für die Durchführung dieser interessanten Arbeit. Seine Anregungen, Vorschläge und die hilfreichen Diskussionen mit ihm haben meine Tätigkeit sehr bereichert. Ich möchte mich aber auch für den guten persönlichen Kontakt bedanken. Herrn Dr. W. Koch möchte ich für die Übernahme des Korreferates und die zahlreichen interessanten Diskussionen danken. Besonderer Dank gilt meinen ehemaligen Kollegen vom Institut für Strömungsmechanik der DLR in Göttingen. Insbesondere Dr. Bippes, Dr. Deyhle und Dr. Lerche haben mir geholfen, die theoretischen Ergebnisse meiner Arbeit mit ihren experimentellen Untersuchungen zu verknüpfen. Ich möchte mich auch bei meinen Institutskollegen vom Institut für Fluiddynamik für die gute Zusammenarbeit und Freundschaft bedanken. Mir bleiben viele schöne Momente in Erinnerung, in denen wir "Göttinger" und "Zürcher" uns kennenlernten. Mein besonderer Dank gilt Dr. Carlos Härtel, Dr. Klaus Adams, Dr. Dirk Wilhelm und Dr. Christian Mielke für viele interessante Diskussionen und Anregungen. Ebenfalls danke ich auch vielen Kollegen vom CSCS in Manno/TI für ihre stete und unbürokratische Hilfsbereitschaft und Unterstützung. Nicht zuletzt bedanke ich mich bei meiner Frau Stefanie, bei meinen Kindern Teresa, Tobias und Lars und bei vielen Freunden für ihre Geduld, Ermunterung und Unterstützung in jeder Phase dieser Arbeit.

Zürich, im April 2002

Torsten Wintergerste

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ÜBERSICHT Das späte nichtlineare Stadium der laminar-turbulenten Transition in einer dreidimensionalen Plattengrenzschicht wird mit einer hochauflösenden zeitlichen numerischen Simulation untersucht. Die Simulation ist an ein Transitionsexperiment angepasst, so dass die beobachteten physikalischen Phänomene miteinander verglichen werden können. Der stationäre Querströmungswirbel stellt die charakteristische Struktur dar, die im frühen Stadium der Transition in der 3D-Grenzschicht zu beobachten ist. Die Wechselwirkung dieser wirbelartigen Struktur mit laufenden Wellen bei Anwesenheit der Wand wird eingehend untersucht. Unterschiedliche Methoden zur Charakterisierung von Wirbeln werden dabei genutzt. Die Untersuchung zeigt die Entstehung eines neuen wirbelartigen Systems, das den primären Querströmungswirbel schliesslich zerstört und den eigentlichen Übergang in die Turbulenz einleitet. Das in der Simulation neu auftretende Wirbelsystem ergibt sich auch in einer ergänzenden Untersuchung der sekundären Stabilität des nichtlinear verformten Querströmungswirbels als eine dominante, stark angefachte Störung. Ihr lokales räumliches Auftreten korreliert mit Gebieten hoher Scherung und grosser Defekte in den Geschwindigkeitsprofilen nahe des Grenzschichtrandes. Es zeigt sich weiterhin, dass die stark angefachte sekundäre Störung eine hochfrequente Instabilität darstellt, die in den entsprechenden Experimenten ebenfalls beobachtet wurde. Das räumliche Gebiet des Auftretens der Störung und deren Frequenz stimmt sehr gut mit dem Experiment überein.

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ABSTRACT The late nonlinear stages of laminar-turbulent transition in a three-dimensional flat plate boundary-layer are investigated by a highly-resolved temporal numerical simulation. The simulation is adapted to a transition experiment which allows a direct comparison of the obtained physical phenomena. The stationary crossflow vortex is the characteristic structure of the flow in the early transitional stage of the three-dimensional boundary-layer. The interaction of this vortical structure with travelling waves in presence of the wall is investigated. Different methods for the identification of vortices are used. A new vortical structure is obtained in the present investigation. It finally destroys the primary crossflow vortex and initiates the onset of turbulence. The new vortical structure is also predicted by the investigation of the secondary stability of the nonlinear deformed crossflow vortex. The new vortical structure is located in a region with high shear and a high velocity defect of the velocity profile near the edge of the boundary-layer. It is shown that the secondary disturbance has a high temporal amplification rate and represents a high-frequency instability, which was observed likewise in the corresponding experiments. The spatial location of occurrence of the high frequency instability and their frequency agrees very well with the experiment.

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BEZEICHNUNGEN Lateinische Bezeichnungen: A B c˜ cf cs d˜ f F0 i kx, ky N x, N y, N z P p Pd Q=(U, V, W) q=(u,v,w) R Re t T Tk A, B, D, H I x, y, z

Amplitude Koeffizient in der Helmholtzgleichung Dimensionsbehaftete Plattentiefe Widerstandsbeiwert Phasengeschwindigkeit Referenzlänge Frequenz Kraftterm imaginäre Einheit Wellenzahlen in den Raumrichtungen Anzahl der Gitterpunkte in den Raumrichtungen Statischer Druck Statische Druckstörung Dynamischer Druck Geschwindigkeitsvektor Störgeschwindigkeit Korrelationsfunktion Reynoldszahl Simulationszeit Periodendauer Chebychev-Polynome Matrizen des Eigenwertproblems in Kapitel 5 Einheitsmatrix in Kapitel 5 Dimensionslose kartesische koordinaten. x und y zeigen in die wandparallelen Richtungen. z zeigt in die wandnormale Richtung.

Griechische Bezeichnungen: α, β

βh δ ξ, η γ0 , γ1 α1 , α2 , α3 λx, λy ψ ν˜ ϕe

Wellenzahlen Hartree-Parameter der FSC-Profile Grenzschichtdicke Variablen für die wandnormale Transformation Koeffizienten für die wandnormale Transformation Koeffizienten für die wandnormale Transformation Wellenlängen des Rechengebietes in x und y Winkel zwischen Wirbelachse und Richtung der Potentialstromlinie Dimensionsbehaftete kinematische Viskosität Lokaler Schiebewinkel am Grenschichtrand, d.h. Winkel zwischen

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ϕ∞ φ φB φD ω ωr ωi γ

dem körper- und dem stromlinienorientierten Koordinatensystem Winkel der Anströmungsgeschwindigkeit zur Plattenvorderkante Gesamt-Lösungsvariable für das sekundäre Stabilitätsproblem Grundströmungs-Variable für das sekundäre Stabilitätsproblem Störströmungs-Variable für das sekundäre Stabilitätsproblem Komplexer Eigenwert Reale Kreisfrequenz Zeitliche Anfachungsrate Wellenlänge der sekundäre Störung

Subscripta: c 0c 0c,e v s CF tr wall w

Körperorientiertes Bezugssystem Grundströmungskomponenten im körperorientierten Bezugssystem Grundströmungskomponenten im körperorientierten Bezugssystem am Grenzschichtrand Wirbelorientiertes Koordinatensystem Stromlinienorientiertes Koordinatensystem Querströmungswirbel Laufende Wellen Wandverteilung Window-Funktion

Superscripta: ~ ^ ^* T

Dimensionsbehaftete Grössen Komplexer Koeffizient Konjugiert komplexer Koeffizient Transponierte Grösse

im Anhang A: ∇u σ P, Q, R ∆ a i, j S ij Ω ij λ1 , λ2 , λ3

ν

Geschwindigkeitsgradienten-Tensor Lösungsvariable der charakeristischen Gleichung Koeffizienten der charakterischen Gleichung Diskriminante Beschleunigungsterm Deformationstensor Drehungstensor Eigenwerte Viskosität

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INHALTSVERZEICHNIS Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Inhaltsverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Stand der Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Zielsetzung und Gliederung der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Mathematische Modellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1 Grundströmung an der schiebenden Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Zeitliches Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Mathematische Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Diskretisierung der Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21 23 25 25 26

3 Nichtlineare Sättigungslösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1 3.2 3.3 3.4

Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Langzeitverhalten des global gemittelten Profils in der 2D-Grenzschicht Sättigungslösungen in der 2D-Grenzschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sättigungslösungen in der 3D-Grenzschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29 30 37 40

4 Transition in der 3D-Grenzschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Fall 1: Stark dominierender Querströmungswirbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Zeitlicher Verlauf des Störungswachstums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Verlauf stromabgemittelter Grössen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Sekundärströmung an lokalen Schnitten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Dreidimensionale wirbelartige Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Fall 2: Querströmungswirbel mit überlagerten Störungen . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Zeitlicher Verlauf des Störungswachstums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Dreidimensionale wirbelartige Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Die Ausbreitungsgeschwindigkeit des neuen Wirbelsystems . . . . . 4.3.4 Untersuchung der lokalen Scherschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Fall 3: Dominierende laufende Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53 56 56 61 63 67 71 71 74 81 86 87 88

5 Sekundäre Stabilitätsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

8 5.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.2 Numerisches Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.2.1 Herleitung der Stabilitätsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.2.2 Verfahren zur Lösung der Stabilitätsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . 96 5.3 Validierung des numerischen Verfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5.4 Analyse eines leicht gestörten Querströmungswirbels . . . . . . . . . . . . . 101 5.4.1 Untersuchung zum Simulationszeitpunkt t = 650 . . . . . . . . . . . . . 102 5.4.2 Untersuchung zum Simulationszeitpunkt t = 750 . . . . . . . . . . . . . 107 5.4.3 Untersuchung zum Simulationszeitpunkt t = 880 und t = 1000 . . 109 5.4.4 Vergleich mit der Simulation und dem Experiment . . . . . . . . . . . . 111 5.5 Analyse eines gestörten Querströmungswirbels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Anhang A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 A.1 Kriterien zur Identifikation von Wirbeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1.1 Niedriger statischer Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1.2 Analyse des Geschwindigkeitsgradiententensors . . . . . . . . . . . . A.1.3 Zweites Eigenwert-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

117 117 117 118

Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

9

1 EINLEITUNG

1.1 Einführung Der Übergang einer gleichförmigen, laminaren Strömung in den stark unregelmässig erscheinenden, turbulenten Zustand ist ein herausforderndes Teilgebiet der derzeitigen Strömungsforschung. Aufgrund seiner Bedeutung sowohl in fundamentalen als auch in angewandten Aspekten hat die Erforschung dieses Übergangs, der auch Transition genannt wird, immer mehr an Interesse gewonnen. Der Übergang in die Turbulenz hat beispielsweise für die Umströmung eines Tragflügelprofils entscheidende Konsequenzen. Der Reibungswiderstand einer turbulenten Grenzschicht ist wesentlich höher als der einer laminaren Grenzschicht. Die Strömung auf dem Tragflügel heutiger Verkehrsflugzeuge ist nur über eine kurze Lauflänge in der Nähe der Vorderkante laminar. Schon bei geringer Entfernung von der Vorderkante tritt die Transition in die Turbulenz ein, so dass der weitaus grösste Teil des Tragflügels turbulent umströmt wird. Eine mögliche Verschiebung des Transitionsbereiches in Richtung Flügelhinterkante, d.h. eine Erhöhung der laminaren Lauflänge, würde zu einer Reduktion des Reibungswiderstandes des Tragflügels führen. Diese Reduktion würde wiederum zu einer Reduzierung des Treibstoffverbrauches und damit auch indirekt zur Reduktion des Schadstoffausstosses führen. Diese beiden Aspekte finden bei den Flugzeugherstellern eine immer grössere Beachtung, da die Umweltverträglichkeit der jeweiligen Flugsysteme im Hinblick auf die erwartete Steigerung der Passagierkapazität eine erhöhte Bedeutung bekommt. Wie in Abbildung (1.1) dargestellt wird, ergäbe sich beim Einsatz eines Laminarflügels ein mögliches Potential von etwa 20% zur Verminderung des Gesamtwiderstandes. Die Reduzierung des Reibungswiderstandes kann durch eine passive oder aktive Beeinflussung der Tragflügelgrenzschicht geschehen [71]. Anhand von unterschiedlichen Konfigurationen wurde beispielhaft gezeigt, dass man mit einer optimalen Formgebung des Tragflügelprofils („Natural laminar flow, NLF“), der Beeinflussung der Strömung durch Absaugen oder Kühlen der Grenzschicht („Laminar flow control, LFC“) [43] oder dem Detektieren von Störungen in der Grenzschicht und deren gegenphasiges Stören („Active flow control“) [55,56,73] die Transitionslage verschieben und damit den Widerstand reduzieren kann. Eine Übersicht über die einzelnen Methodiken und ihr Potential zur Widerstandsreduzierung ist in [28] zu finden. Die Anwendung all dieser unterschiedlichen Massnahmen erfordert ein genaues physikalisches Verständnis davon, welche Mechanismen für den Übergang einer

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1 Einleitung

TECHNOLOGIEN Gesamt 100 Widerstand [%] 80

Parasitär

POTENTIAL

Triebwerk - Zelle

Interferenz

Auftriebsabhängiger Widerstand

}

Variable Wölbung Intellig. Flügel + 25% Streckungserhöhung

- 10.5 %

60

Stoss- GrenzschichtKontrolle

40

Laminar-Flügel, Leitwerk, Gondel, Rumpf

-22.5 %

Turbulenzmanagement

(- 2.0 %)

Reibungswiderstand 20

0

-3.0 %

-36.0 %

Abbildung 1.1: Mögliches Potential zur Widerstandsreduzierung an einem modernen Verkehrsflugzeug. Aus „Querschnittprogramm Umwelt“, DLR (1993) [28].

laminaren Strömung in die Turbulenz entscheidend sind. In den dreidimensionalen Grenzschichten eines gepfeilten Tragflügels können verschiedene Mechanismen dafür verantwortlich sein. Der gepfeilteTragflügel ist aufgrund seiner grossen Vorteile gegenüber dem ungepfeilten Tragflügel bei nahezu allen heutigen Verkehrsflugzeugen zu finden. Dies hat folgenden Grund. Die maximale Fluggeschwindigkeit eines Flugzeuges im Unterschallbereich hängt im wesentlichen von der Geschwindigkeitskomponente normal zur Vorderkante ab, da nur diese Geschwindigkeitskomponente einen Einfluss auf die Druckverteilung am Tragflügel hat. Ab einer bestimmten Geschwindigkeit treten am Flügel Verdichtungsstösse auf, die das gesamte Strömungsbild erheblich verändern und insbesondere mit einem starken Anstieg des Widerstandes verbunden sind. Der gepfeilte Tragflügel wird normal zur Vorderkante mit einer geringeren Geschwindigkeit als der Reisegeschwindigkeit des Flugzeuges angeströmt. Daher treten die verlustreichen Verdichtungsstösse im Vergleich zum ungepfeilten Tragflügel erst bei einer höheren Reisegeschwindigkeit auf. Die Geschwindigkeitskomponente parallel zur Vorderkante spielt hierbei nur eine untergeordnete Rolle. Die Idee des gepfeilten Tragflügel geht vor allem auf Untersuchungen von Betz & Ludwieg im Jahre 1939 zurück. Näheres hierzu ist bei Schlichting & Truckenbrodt [112] detailliert beschrieben. Da das Geschwindigkeitsprofil einer Grenzschicht des gepfeilten Tragflügels, wie in Abbildung (1.2) dargestellt, von allen drei Raumkoordinaten abhängt, spricht man von einer dreidimensionalen Grenzschicht. Einer der möglichen Mechanismen, die an einem gepfeilten Tragflügel zur Störung der laminaren Grenzschicht und damit zur Transition führen kann, sind angefachte, laufende Wellen entlang der Staulinie der Vorderkante des Flügels. Dieser Mechanismus wird als Staupunktinstabilität („attach-

1.1 Einführung

11

ment line instability“) bezeichnet. Demgegenüber dominiert die sogenannte Querströmungsinstabilität in Gebieten mit hohem negativen Druckgradienten, welche unmittelbar im Bereich hinter der Flügelvorderkante zu finden sind. Aufgrund des starken Druckabfalls entsteht in der Grenzschicht eine Ausgleichsströmung quer zu den gekrümmten Potentialstromlinien. Diese Querströmung weist in ihrem Geschwindigkeitsprofil einen Wendepunkt auf und ist somit schon reibungsfrei instabil. Im mittleren Teil des Tragflügels verschwindet der starke Druckgradient nahezu bzw. steigt wieder an. Hier würde man das Auftreten der Tollmien-Schlichting-Instabilität, die durch laufende Wellen gekennzeichnet ist, erwarten. Aber schon frühe Flugversuche von Gray [39] zeigten, dass die Grenzschicht bei den Pfeilwinkeln heutiger Tragflügel in geringer Entfernung von der Vorderkante turbulent wird. Gleichzeitig wurden durch Strömungssichtbarkeitsmachung im Bereich vor dem laminar-turbulenten Übergang längswirbelartige Strukturen festgestellt. Erste detaillierte Untersuchungen an einer rotierenden Scheibe, auf der ähnliche Querströmungsinstabilitäten auftreten, von Gregory et al. [40] ergaben, dass diese Strukturen von stationären Störungen stammen. Diese Störungen treten neben anderen, instationären Störungen bei der reibungsfreien Betrachtung der Querströmungsinstabilität auf. Sie stellen Längswirbel dar, deren Achse ungefähr in Richtung der Strömung am Grenzschichtrand orientiert ist. Diese stationären Längswirbel werden im allgemeinen aufgrund der zugrunde liegenden verursachenden Querströmung als „Querströmungswirbel“ bezeichnet. Die Untersuchung der Querströmungsinstabilität und der Zusammenbruch der Querströmungswirbel im laminar-turbulenten Übergangsbereich sind der wesentliche Gegenstand der vorliegenden Arbeit. Der Transitionsprozess in einer zweidimensionalen Grenzschicht, wie der BlasiusGrenzschicht, wird heutzutage gut verstanden. Einen Überblick über die grosse Zahl von experimentellen und numerischen Arbeiten geben die Übersichtsartikel von Herbert [45,46], Kachanov [60] und Kleiser & Zang [64]. Der anfänglich laminaren Grenzschicht werden kleine Störungen aufgrund von Schall, kleinen Geschwindigkeitsschwankungen in der freien Anströmung oder Störungen durch Unebenheiten der überströmten Fläche überlagert. Die durch einen Rezeptivitäts-Mechanismus aufgeprägten Störungen beginnen in einer Grenzschicht oberhalb einer kritischen Reynoldszahl zu wachsen. Ihr experimentell beobachtetes exponentielles Wachstum kann sehr gut mit Hilfe der primären linearen Stabilitätstheorie beschrieben werden [103]. Wenn die Amplitude der stromab laufenden zweidimensionalen Tollmien-Schlichting(TS)-Wellen, die die am stärksten angefachten primären Störwellen darstellen, einen gewissen Schwellenwert erreichen, werden dreidimensionale Störungen mit einer wesentlich höheren Anfachungsrate als die der TS-Wellen angeregt. Das Auftreten dieser sekundären Instabilität wird eingehend von Herbert [45] und Kachanov [60] erläutert. Die sekundäre Instabilität führt zur Ausbildung eines sogenannten Λ-Wirbels, der wiederum zur Bildung neuer Scherschichten führt. Diese neuen Scherschichten

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1 Einleitung

sind instabil und beginnen sich in einem deterministischen Prozess aufzurollen, wobei sich immer kleinskaligere Strukturen bilden, bis die Grenzschicht schliesslich vollturbulent ist [107]. Die Phase des exponentiellen Wachstums kleiner Störungen, das durch die lineare Theorie beschrieben wird, kann unter bestimmten Umständen umgegangen werden. In einem solchen Fall können lokale Störungen endlicher Amplitude zu einem schnelleren, algebraischen Wachstum der Störungen und damit zum Übergang in die Turbulenz führen. Häufig sind hierbei stark lokalisierte Phänomene zu finden, die zur Ausbildung sogenannter „turbulenter Spots“ führen, bei denen die Strömung an lokalen Punkten in die Turbulenz übergeht. Andere Gebiete der laminaren Strömung sind zu diesem Zeitpunkt nur schwach gestört. Die Untersuchung der unterschiedlichen Transitionsmechanismen ist insbesondere deswegen wichtig, weil nicht a priori vorausgesagt werden kann, welcher Mechanismus für die Transition in einer realen Konfiguration eines Tragflügels entscheidend ist. Dieser Transitionsmechanismus, der auch als „Bypass“-Transition bekannt ist, ist in den Arbeiten von Alfredsson & Matsubara [2], Berlin et. al [8] und Elofsson & Alfredsson [31] näher beschrieben. In diesen Arbeiten wird insbesondere auch die Bedeutung der schräglaufenden Wellen bei der Tollmien-Schlichting-Instabilität diskutiert. Die Prinzipien und theoretischen Grundlagen sind der Arbeit von Henningson et al. [44] zu entnehmen. Wie schon eingehend erläutert wurde, ist die Querströmungsinstabilität der dominante Mechanismus, der für die Turbulenzentstehung in der Grenzschicht an einem schiebenden Tragflügel verantwortlich ist. Die Untersuchung dieses Transitionsmechanismus erfordert die Berücksichtigung einer Querströmungskomponente der Grundströmung, die im Fall der zweidimensionalen Grenzschicht vernachlässigt werden konnte.

1.2 Stand der Literatur Die Querströmungsinstabilität ist aus experimentellen, theoretischen und numerischen Arbeiten aus dem Modellproblem der Strömung an einer rotierenden Scheibe wohlbekannt. Einen Überblick über diesen Instabilitätstyp, der auch in den Fällen der schiebenden Hiemenz-Strömung und der schiebenden Platte zu finden ist, gibt der Übersichtsartikel von Reed & Saric [102]. Die schon von Gregory et al. [40] untersuchten stationären und laufenden Störungen wurden in verschiedenen anderen Experimenten, die sich speziell mit der Querströmungsinstabilität an schiebend angeordneten Modellkonfigurationen beschäftigen, beobachtet. Während Poll [96] die Querströmungsinstabilität an einem schiebenden Zylinder untersuchte, führten Saric & Yeates [108,109], Bippes et al. [11,12,27,92] und Kachanov & Tararykin [59,60] Experimente an einer schiebenden ebenen Platte durch. Die Querströmung wird hierbei durch einen der Grenzschicht aufgeprägten negativen Druckgradienten erzeugt. In Abbildung (1.2) ist das Geschwindigkeitsprofil einer solchen dreidimensionalen Grenzschicht dargestellt. Arnal & Juillen [4], Michel et al. [89], Saric et al. [110] und

1.2 Stand der Literatur

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Abbildung 1.2: Schematische Darstellung des 3D-Geschwindigkeitsprofils der GrenzschichtGrundströmung bei der Querströmungsinstabilität nach Reed & Saric [102].

Dagenhart et al. [24] untersuchten dagegen den Transitionsprozess an einem schiebenden Tragflügel. Bippes [14] gibt einen allgemeinen Überblick über alle grundlegenden Experimente, die sich mit der Querströmungsinstabilität beschäftigen. Die Experimente zeigen, dass die Strömung gekennzeichnet ist durch die Existenz von gleichsinnig rotierenden stationären Querströmungswirbeln, die nahezu mit der Stromlinie am Aussenrand der Grenzschicht ausgerichtet sind. Diese Ausrichtung und die dominante spannweitige Wellenlänge stimmen mit den Vorraussagen der primären linearen Stabilitätstheorie überein, wie sie von Dallmann & Bieler [25], Dagenhart et al. [24] oder Bippes et al. [12] gemacht worden sind. Hitzdrahtmessungen im Experiment von Saric & Yeates [108,109] wiesen allerdings auf eine dominante Struktur mit der halben Wellenlänge des zu erwartenden Querströmungswirbels hin. Die von der linearen Theorie vorhergesagte spannweitige Wellenlänge des Querströmungswirbels wurde durch Strömungssichtbarkeitsmachungen mit Hilfe einer Sublimationstechnik, in der wirbelartige Strukturen in der Grenzschicht verdeutlicht werden können, bestätigt. Bippes & Nitschke-Kowsky [11] und Müller & Bippes [92] finden in ihren Messungen instationäre Wellen, deren Frequenz mit denen der am stärksten angefachten Störungen gemäss der linearen Theorie [12,24] übereinstimmen. Die Frage, warum in den durchgeführten Experimenten der Querströmungswirbel als dominante Störung zu beobachten ist, wohingegen aber gewisse instationäre Störungen gemäss linearer Theorie noch stärker angefacht sind, lässt sich mit Ergebnissen zur Untersuchung des Rezeptivitäts-Problems erklären. Die Experimente von Radeztsky et al. [99] und Deyhle & Bippes [27] zeigen, dass Oberflächenrauhigkeiten einen grossen Einfluss auf die beobachteten Störungen in der Grenzschicht haben.

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1 Einleitung

Die Rauhigkeiten erzeugen Wirbelstärke, die die Anfangsamplituden der stationären Querströmungswirbel erheblich verändern. Theoretische Untersuchungen von Choudhari [20] und Crouch [23] zeigen, dass die Amplituden stationärer Störungen bei Anregung durch Oberflächenrauhigkeiten signifikant grösser sind als die der instationären Wellen. Dies erklärt die Abweichungen der Ergebnisse des Experimentes und der linearen Theorie. Kohama et al. [69,70], Kawakami et al. [62] und Lerche [75,76] beobachteten in ihren Experimenten das Auftreten einer hochfrequenten Instabilität unmittelbar vor dem Zusammenbruch des Querströmungswirbels. Ihre Experimente sind von dem Auftreten eines stationären Querströmungswirbels dominiert. Die beobachtete hohe Frequenz, die in Abbildung (1.3) dargestellt ist, ist um eine Grössenordnung höher als die Frequenz der primären laufenden Wellen. Die räumliche Position, in welcher die hohe Frequenz gemessen wird, ist auf ein lokales Gebiet oberhalb des Querströmungswirbels beschränkt. Kohama betrachtet die hochfrequente Störung als sekundäre Instabilität der durch den Querströmungswirbel verformten Grundströmung. In neueren

Abbildung 1.3: Darstellung des Messsignals einer Hitzdrahtsonde in einem Experiment von Kohama et al. [70]. Aus der Frequenzanalyse ist das Auftreten der hochfrequenten Instabilität mit der Frequenz f2 klar ersichtlich.

1.2 Stand der Literatur

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Experimenten von Lerche [75,76] und Bippes & Lerche [13] gelang es, künstliche Störerreger in Form einer schwingenden Membran im vorderen Bereich der schiebenden Platte zu integrieren. Durch diese Erreger konnte man gezielt Störungen in die Grenzschicht einführen und damit die Transitionslage bzw. die Lage der einzelnen Querströmungswirbel kontrollieren. Beide beobachteten das Auftreten einer sekundären hochfrequenten Instabilität sowohl in einem Fall, in dem der Querströmungswirbel sehr dominant ist, als auch in Fällen, in denen die laufenden Wellen keine vernachlässigbar kleinen Amplituden besitzen. Das Verhalten von stationären und laufenden Störungen zu frühen Stadien der Transition im Experiment, bei denen die Amplituden der Wirbel noch sehr klein sind, kann mit Vorhersagen aus der linearen Stabilitätstheorie [29] verglichen werden. Die Rechnungen von Bippes et al. [12], Dallmann & Bieler [25] und Wagner [120] zeigten hinsichtlich der Wellenlänge und Orientierung der Querströmungswirbel und der Frequenz der laufenden Wellen eine gute Übereinstimmung mit dem Experiment an der schiebenden Platte [27]. In den Experimenten von Bippes et al. [12], Deyhle & Bippes [27] und Müller & Bippes [92] fand sich aber auch, dass laufende Störungen in Windkanälen mit hohem Turbulenzgrad dominieren, während stationäre Querströmungswirbel im Fall mit niedrigerem Turbulenzgrad, wie er im Freiflug auftritt, als dominante Störung auftreten. Man beobachtet, dass das Wachstum der stationären Wirbel einen Sättigungszustand mit einer hohen Amplitude des Querströmungswirbels von etwa 20%, bezogen auf die Geschwindigkeit am Grenzschichtrand, erreicht. Eine Erhöhung der Anfangsamplituden der laufenden Störungen, die sich aus dem Turbulenzgrad des Windkanals ergeben, ergibt eine höhere Sättigungsamplitude für die laufenden Störungen. Gleichzeitig führt dies aber auch zu einer Verringerung der Sättigungsamplituden des Querströmungswirbels. Diese Effekte liegen in nichtlinearen Wechselwirkungen zwischen den stationären und laufenden Störungen begründet und können deswegen nicht mit der linearen Theorie wiedergegeben werden. Auch die experimentellen Beobachtungen von Kachanov & Tararykin [59], Radeztsky et al. [100] und Reibert et al. [104] zeigten ähnliche Abweichungen zur linearen Theorie. Dies zeigt, dass in der dreidimensionalen Grenzschicht einer schiebenden Platte schon sehr früh nichtlineare Effekte zu beobachten sind, die eine dementsprechende Berücksichtigung der nichtlinearen Wechselwirkungen erfordern. Die nichtlinearen und nichtparallelen Effekte, die in der klassischen linearen Stabilitätstheorie vernachlässigt werden, sind in den Berechnungen mit den parabolisierten Stabilitätsgleichungen (PSE) eingeschlossen. Diese Methode berücksichtigt die konvektive Natur der Störungsausbreitung in den Grenzschichten, indem sie das elliptische Gleichungssystem für die Stördifferentialgleichungen in ein parabolisches System überführt. Dies erlaubt die Untersuchung der nichtlinearen Entwicklung räumlich angefachter Störungen. Eine Übersicht über die parabolisierten Stabilitäts-

16

1 Einleitung

gleichungen (PSE) ist in den Arbeiten von Bertolotti et al. [9] und Herbert [46] zu finden. Das PSE-Verfahren wurde zur Berechnung der Störungsentwicklung in verschiedenen dreidimensionalen Grenzschichten wie beispielsweise bei GörtlerWirbeln [77] oder der schiebenden Hiemenz-Strömung [83] angewendet. Bertolotti [10], Haynes & Reed [41] und Wang et al. [121] untersuchten für den Fall der schiebenden ebenen Platte nichtlineare Wechselwirkungen der einzelnen Moden untereinander. Die Auswirkungen der spannweitigen Verformungen aufgrund des Querströmungswirbels wurden von Reed [101], Fischer et al. [33,34,35], Wang et al. [121] und Koch et al. [66,67,68] untersucht. Während Reed mit ihrer Welleninteraktionstheorie die Ergebnisse des Experimentes von Saric & Yeates [108,109] erklären konnte, konnten Fischer et al. [33,34,35] mit einer sekundären Stabilitätsanalyse basierend auf der Floquet-Theorie eine höherfrequente Instabilität berechnen. Sie überlagerten der ungestörten Anströmung einen primär angefachten Querströmungswirbel mit einer definierten Amplitude. Das Profil des Wirbels wurde analog zu der Vorgehensweise in den fundamentalen Arbeiten zur sekundären Instabilität in zweidimensionalen Grenzschichten [45] als konstant und unabhängig von der Amplitude des Wirbels angenommen. Während bei relativ niedriger Amplitude nur sekundäre Störungen mit ähnlicher Frequenz von den primären laufenden Wellen vorkommen, ergibt sich eine hochfrequente Instabilität bei einer hohen Amplitude des Querströmungswirbels. Es zeigte sich aber auch, dass die höherharmonischen Störungen, die in diesem Modell vernachlässigt wurden, einen grösseren Einfluss haben, als man das aus den Erfahrungen mit der Blasius-Grenzschicht erwartet hat. Wang et al. [121] und Koch [66,67] untersuchten die sekundäre Stabilität von Lösungen, die sich zum einen aus einer PSERechnung zum Experiment an der schiebenden Platte oder zum anderen aus der Berechnung einer nichtlinearen Gleichgewichtslösung einer dreidimensionalen Grenzschicht ergeben. Sie berücksichtigten hierbei mehrere Höherharmonische des eigentlichen Querströmungswirbels sowie auch dessen nichtlineare Verformung. Auch in diesen Arbeiten wurde das Auftreten einer hochfrequenten Instabilität beobachtet. Lingwood [78,79] zeigte, dass die dreidimensionale Grenzschicht an der rotierenden Scheibe absolut instabil ist. Die Grenzschicht ist, wie die an der ebenen Platte, durch ein wendepunktbehaftetes Grenzschichtprofil gekennzeichnet. Auch an der rotierenden Scheibe werden stationäre Querströmungswirbel beobachtet. In einer absolut instabilen Strömung wachsen Störungen an einem fixen, ortsfesten Punkt in einer linearen Näherung für alle Zeiten an. Demgegenüber werden Störungen in einer konvektiv instabilen Strömung mit der Strömung konvektiert. Wird in einer solchen Strömung der ursprüngliche Störerzeuger (z.B. ein schwingendes Band) ausgeschaltet, schwimmt die Störung stromab fort und das Strömungsfeld an einem festen Punkt nimmt wieder seinen Ausgangszustand an. Die Störung in einer absolut instabilen Strömung verschwindet dagegen nicht. Absolute Instabilitäten sind in einer grossen Zahl von Strömungen beobachtet worden. Huerre & Monkewitz [49] geben hierzu

1.2 Stand der Literatur

17

eine gute Übersicht. Aufgrund der Erkenntnisse für die rotierende Scheibe und der grossen Ähnlichkeit mit der schiebenden Platte beschäftigen sich Lingwood [80] und Taylor & Peake [118,119] mit der absoluten Instabilität im Fall der Grenzschicht an der schiebenden Platte. Unter Annahme einer räumlichen Periodizität in zwei Richtungen konnte eine absolute Instabilität nachgewiesen werden. Da aber eine solche Periodizität in der realen Strömung nicht existiert, muss eine 3D-Theorie angewendet werden. Daher ist die Existenz einer absoluten Instabilität in der realen Strömung an einer schiebenden Platte bisher nicht nachgewiesen. Die Direkte Numerische Simulation (DNS) spielt aufgrund der stark gewachsenen zur Verfügung stehenden Computerleistungen eine immer grössere Rolle in der Untersuchung der Transitionsmechanismen. In diesen Simulationen werden die vollen Navier-Stokes-Gleichungen ohne jegliche weitere Modellannahme numerisch gelöst. Dies bedeutet, dass alle Längenskalen der Strömung - von den energiereichen grossen Skalen bis hin zu den kleinen turbulenten Skalen - numerisch aufgelöst werden müssen. Hieraus resultiert der enorme Anforderungsbedarf an Rechenspeicher und Rechenleistung für die Simulation einer turbulenten Strömung. Aus diesem Grund wird die Direkte Numerische Simulation auch in der Zukunft auf modellhafte Anwendungen bei moderaten Reynoldszahlen beschränkt bleiben. Eine Übersicht über die numerische Simulation der Transition in wandgebundenen Strömungen geben Kleiser & Zang [64]. Meyer & Kleiser [86,88] konnten in ihren Simulationen die zeitliche Entwicklung der Störungen in der Grenzschicht der schiebenden Platte berechnen. Das lokale Anwachsen der räumlichen Grenzschichtdicke wurde hierbei vernachlässigt. Die Wechselwirkung der einzelnen Moden, bis hin zum beginnenden Zusammenbruch des Querströmungswirbels, wurde in diesen Simulationen, die an das Experiment von Müller & Bippes [92] angepasst wurden, untersucht. Wagner [120], der eine Simulation bis in den vollturbulenten Bereich fortführen konnte, fand neue wirbelartige Strukturen im Strömungsfeld, die unmittelbar vor dem Zusammenbruch zu beobachten waren. In diesen zeitlichen Simulationen wird eine räumliche Periodizität in den wandparallelen Richtungen der betrachteten Störungen angenommen. In „realistischeren“ räumlichen Simulationen wird diese Annahme fallen gelassen. Dort kann das räumliche Anwachsen der zeitlich periodischen Störungen untersucht werden, was dem realen Experiment entspricht. Allerdings muss hierbei die räumliche Diskretisierung einen wesentlich grösseren räumlichenBereich erfassen. In der zeitlichen Simulation hat das Rechengebiet eine maximale Ausdehnung, die die charakteristische grossskalige Struktur wie die eines Λ-Wirbels vollständig erfassen muss. Das Rechengebiet einer räumlichen Simulation muss dagegen mehrere solcher Strukturen beinhalten. Aus diesem Grund erfordern die räumlichen Simulationen einen höheren Speicher- und Rechenzeitbedarf bzw. die zeitlichen Simulationen erlauben bei gleichem Speicherbedarf eine detailliertere und feinere Diskretisierung der einzelnen wirbelartigen Strukturen. Rist & Fasel [105] konnten mit ihrer Simulation das Experi-

18

1 Einleitung

ment von Kachanov & Levchenko [58], das sich mit der Transition in der zweidimensionalen Blasius-Grenzschicht beschäftigt, mit grosser Genauigkeit nachrechnen und ihre Ergebnisse direkt mit dem Experiment vergleichen. Spalart [115] modifizierte sein Verfahren zur Berechnung der zeitlichen Entwicklung von Störungen in einer Grenzschicht. Er berechnete mit diesem modifizierten Verfahren die räumliche Entwicklung von Störungen in einer schiebenden Hiemenz-Strömung. Müller et al. [93,94,95] führten räumliche Simulationen der Transition an der schiebenden Platte durch. Hier zeigte sich aber auch, dass die räumliche Simulation der dreidimensionalen Grenzschicht eine noch höhere räumliche Diskretisierung als im zweidimensionalen Fall verlangt. Ebenfalls räumliche Simulationen des Transitionsvorgangs führten Högberg & Henningson [47] sowie Wassermann & Kloker [122] durch. Sie zeigten in ihren Simulationen auf, dass sekundäre Instabiltäten im gesättigten Zustand des Querströmungswirbels beobachtet werden können. Wassermann & Kloker [122] versuchten weiterhin, die Kennzeichen und Bedingungen für das lokale Auftreteten einer sekundären Instabilität zu beschreiben. Joslin & Street [53] und Joslin [54] untersuchten mit Hilfe einer DNS die lineare und nichtlineare Entwicklung von Störungen an der schiebenden Platte. Huai et al. [48] führten eine ähnliche Untersuchung mit einer „Large Eddy Simulation (LES)“ durch. Hier werden die grossskaligen, wirbelartigen Strukturen durch das numerische Verfahren aufgelöst. Die Wirkung der kleinen dissipativen Skalen auf die grossskaligen Strukturen wird durch ein geeignetes Modell beschrieben. Die benötigte Rechenzeit für eine LES ist wesentlich geringer als für eine vergleichbare DNS. Allerdings ist es unsicher, ob eine LES-Berechnung die Qualität der Lösung einer DNS erreichen kann. Die Untersuchung des laminar-turbulenten Übergangs durch die Querströmungsinstabilität in kompressiblen Grenzschichten ist erst auf wenige numerische und experimentelle Arbeiten beschränkt. Cattafesta et al. [18] und Ermolaev et al. [32] untersuchten experimentell die Querströmungsinstabilität bei Ma = 3.5 bzw. Ma = 2.0 . Malik & Orszag [82] und Iyer et al. [50] führten primäre lineare Stabilitätsuntersuchungen in der dreidimensionalen Grenzschicht an der ebenen Platte durch. Supersonische zweidimensionale Grenzschichttransition wurde mit der DNS nach dem zeitlichen (Adams & Kleiser [1], Mielke [90]) und räumlichen Modell (Eissler & Bestek [30] und Pruett & Chang [97]) berechnet. Pruett [98] führte mit einer DNS erste Untersuchungen der linearen und nichtlinearen räumlichen Störungsentwicklung in der kompressiblen Grenzschicht an einer schiebenden Platte durch. Dagegen untersuchten Mielke [90] und Mielke & Kleiser [91] den laminar-turbulenten Übergang in einer dreidimensionalen Grenzschicht unter Verwendung des zeitlichen Modells. Die Simulationsparameter dieser Simulation waren an die experimentelle Untersuchung von Cattafesta et al. [18] angepasst.

1.3 Zielsetzung und Gliederung der Arbeit In der vorliegenden Arbeit soll der Zusammenbruch des Querströmungswirbels beim laminar-turbulenten Übergang in der dreidimensionalen Grenzschicht einer ebenen

1.3 Zielsetzung und Gliederung der Arbeit

19

Platte untersucht werden. Dies stellt sowohl eine Weiterführung der Arbeiten von Laurien & Kleiser [72,73] zur Untersuchung der Transition in der zweidimensionalen Grenzschicht als auch der Arbeiten von Meyer & Kleiser [86,87,88] und Wagner [120] in der dreidimensionalen Grenzschicht dar. Wie in diesen Arbeiten wird die zeitliche Entwicklung der Störungsausbreitung mit Hilfe der DNS untersucht. Hierzu werden die Erhaltungsgleichungen für Masse und Impuls, die Navier-Stokes-Gleichungen, numerisch gelöst. Ziel dieser Arbeit ist es, insbesondere die späten Stadien der Transition, unmittelbar vor dem Beginn der Turbulenz, zu untersuchen, um zu klären, welche Mechanismen letztendlich für den Zusammenbruch der geordneten Strukturen in der transitionellen Strömung verantwortlich sind. Die Untersuchung der hochfrequenten Instabilität, die in Experimenten [69,75] unmittelbar vor dem Zusammenbruch gefunden worden ist, stellt dabei einen wichtigen Aspekt dar. Im einzelnen ergeben sich folgende Fragestellungen: • Welche wirbelartigen Strukturen treten in der Transition der dreidimensionalen Grenzschicht auf? Welche Auswirkungen haben diese Strukturen aufeinander? • Welche Kriterien zur Erkennung wirbelartiger Strukturen werden benötigt, um alle wesentlichen Effekte in der Visualisierung und Analyse der Strömung zu erfassen? • Lässt sich in den numerischen Simulationen die hochfrequente Instabilität, die in den Experimenten gefunden worden ist, wiederfinden? Wie sieht die Strömungsform dieser Instabilität aus? Gibt es mehrere, miteinander konkurrierende Instabilitätstypen? • Welcher Mechanismus ist für den Zusammenbruch des Querströmungswirbels und damit für den Übergang in die Turbulenz verantwortlich? • Welchen Einfluss hat die Verwendung des zeitlichen Modells auf die numerische Simulation der Transition?

Die Gliederung der Arbeit orientiert sich an den einzelnen Fragestellungen. In Kapitel 2 wird das verwendete numerische Verfahren kurz vorgestellt. Desweiteren wird dort auf die in dieser Arbeit verwendeten Koordinatensysteme und auf den Aufbau des Transitionsexperimentes, an das die Simulation angepasst ist, eingegangen. Anhand von Sättigungslösungen in der Blasius-Grenzschicht wird in Kapitel 3 der Einfluss der Parallelströmungsannahme, die dem zeitlichen Modell zugrunde liegt, untersucht. Desweiteren werden in diesem Kapitel Sättigungslösungen für die dreidimensionale Grenzschicht betrachtet. In Kapitel 4 schliesslich wird der Transitionsprozess in der dreidimensionalen Grenzschicht vom laminaren Zustand bis in die Turbulenz dargestellt. Die wirbelartigen Strukturen in der Transition und die turbulente Struktur der Grenzschicht zu späten Zeiten wird dort diskutiert. Auf die hochfrequente Instabilität wird in Kapitel 5 eingegangen. Hierzu werden dort die theoretischen und mathematischen Grundlagen beschrieben. Die Ergebnisse des Verfahrens, das auf die Simulationsdaten, die in Kapitel 4 vorstellt worden sind, angewendet wurde, werden dort

20

1 Einleitung

ebenfalls diskutiert. Mit einer Zusammenfassung und einer Diskussion noch offener Fragestellungen in Kapitel 6 schliesst diese Arbeit.

21

2 MATHEMATISCHE MODELLIERUNG

2.1 Grundströmung an der schiebenden Platte Die numerische Simulation zur Untersuchung der Querströmungsinstabilität an der schiebenden Platte ist dem Transitionsexperiment von Bippes et al. [12] angepasst. Wie in Abbildung (2.1) zu erkennen ist, erzeugt ein über der Platte mit der Tiefe c˜ = 0.5 m angeordneter Verdrängungskörper einen negativen Druckgradienten in der Richtung senkrecht zur Plattenvorderkante. Der Druckgradient ist nahezu konstant. In Abbildung (2.2) sind die unterschiedlichen Koordinatensysteme dargestellt, die in der Arbeit benutzt werden. Der Index „c“ bezeichnet das körperorientierte Koordinatensystem, das senkrecht ( x c ) und parallel ( y c ) zur Vorderkante der Platte ausgerichtet ist. Es wurde schon von Meyer [87] und Meyer & Kleiser [86,88] gezeigt, dass Displacement body die laminare Grundströmung an der schiebenden ebenen Platte durch Q lokale Falkner-Skan-Cooke (FSC) Ähnlichkeitslösungen für einen schieSwept flat plate benden Keil [21] wiedergegeben werden kann. Neben der Geschwin~ c digkeitskomponente in HauptströAbbildung 2.1: Skizze der Versuchsanordnung des mungsrichtung tritt eine Querströmungskomponente auf, die aufgrund Experimentes an der schiebenden Platte. ihres wendepunktbehafteten Profils reibungsfrei instabil ist. U 0c und V 0c sind die Komponenten der Grundströmung in der Hauptströmungs- und Spannweitenrichtung im körperorientierten Koordinatensystem. Da angenommen wird, dass sich die Platte unendlich in Spannweitenrichtung erstreckt, ist die Geschwindigkeit V 0c, e am Grenzschichtrand konstant. Die Komponente U 0c, e wächst dagegen aufgrund des Druckgradienten kontinuierlich mit wachsendem x c . Dies resultiert in einer gekrümmten Stromlinie am Aussenrand der Grenzschicht. Das lokale Koordinatensystem, das an dieser Potentialstromlinie ausgerichtet ist, wird mit ( x s , y s ) bezeichnet. Die Achse des stationären Querströmungswirbels, der sich aus der primären Stabilitätsanalyse ergibt, zeigt im wirbelorientierten System in die x v -Richtung. Die Richtung der Wirbelachse und die Richtung der Stromlinien schliessen einen kleinen Winkel ψ ein, der aus einer linearen Stabilitätsanalyse entnommen wird. Die numerischen Simulationen wurden in dem wirbelorientierten Koordinatensystem ( x v , y v ) durchgeführt. Die wandnormale Komponente ist in allen Koordinatensystemen mit z bezeichnet. Alle Grössen werden mit der Referenz-

22

2 Mathematische Modellierung

länge ν˜ ⋅ x˜ c -----------˜ 0c, e U

d˜ =

(2.1)

und dem Betrag der lokalen Geschwindigkeit am Grenzschichtrand ˜ 0, e = Q

˜ 20c, e + V ˜ 20c, e U

(2.2)

dimensionslos gemacht. Die Grösse ν˜ stellt hierbei die kinematische Viskosität dar. Die lokale Reynoldszahl ist definiert durch ˜ 0, e ⋅ d˜ Q . Re = ----------------ν˜

(2.3)

Die FSC-Profile stimmen mit den experimentell gemessenen Grenzschichtprofilen gut überein [87]. Sie hängen von zwei Parametern ab, dem lokalen Schiebewinkel ϕ e und dem Druckgradienten-Hartree-Parameter β h . Mit gegebenem Schiebewinkel der freien Anströmung ϕ ∞ und der Druckverteilung entlang der Platte können diese Parameter als Funktion der Plattenposition x c bestimmt werden [87]. Die Anströmge˜ ∞ = 19 m/s schwindigkeit und der Schiebewinkel im betrachteten Experiment sind Q und ϕ ∞ = 45° . Die Variation der Grundströmungsgrössen wie Grenzschichtdicke, lokaler Schiebewinkel ϕ e , etc. sind im hinteren Plattenbereich ( x c > 0.5 ) klein, da dort der die FSC-Profile bestimmende Hartree-Parameter β h nahezu konstant ist. Dies Q ϕ

yv

ys

xv

V

U

ys

lea di

ng

ed g

e

ψ

z xs

yc

yc streamline at boundary layer edge

ϕ

e

xc

xs

xc

Abbildung 2.2: Prinzipskizze des Transitionsexperimentes von Bippes et al. [12].

2.2 Zeitliches Modell

23

ermöglicht die Durchführung einer numerischen Simulation unter Verwendung des zeitlichen Modells an einer festen Position im hinteren Plattenbereich. Die Grundströmung wird als konstant und ihr Profil als charakteristisch für den Transitionsbereich angenommen. Es wurde in dieser Arbeit eine Referenzposition bei einer Plattentiefe von x c = 0.8 gewählt. An dieser Position ergibt sich aus den Anströmungsdaten eine Reynoldszahl von Re = 826 . Der lokale Schiebewinkel beträgt ϕ e = 46.9° , der Hartree Parameter ist β h = 0.63 .

2.2 Zeitliches Modell Die ersten numerischen Simulationen des laminar-turbulenten Übergangs bis in die vollturbulente Strömung erfolgten von Gilbert [38] und Kim et al. [63] für die ebene Kanalströmung. Frühere Arbeiten hierzu werden in der Arbeit von Kleiser & Zang [64] diskutiert. Die Kanalströmung ist für die einfache Berechnung mit Hilfe der Direkten Numerischen Simulation (DNS) sehr gut geeignet. Im Kanal verschwindet die mittlere wandnormale Geschwindigkeitskomponente sowohl für die Grundströmung als auch für die sich entwickelnden Störungen exakt. Dies ermöglicht die Verwendung periodischer Randbedingungen in der Hauptströmungsrichtung und damit die Nutzung eines Fourier-Kollokationsverfahrens in dieser Richtung. Für die Berechnung der Kanalströmung liessen sich sehr effektive Algorithmen zur Strömungsberechnung entwikkeln, die als Spektralverfahren bekannt sind. In der numerischen Simulation der Kanalströmung erfasst das Rechengebiet die charakteristischen Strukturen grösster Länge, wie es im Falle der zweidimensionalen Strömung die Tollmien-SchlichtingWelle ist. Die numerische Auflösung muss dann so gewählt werden, dass alle Längenskalen - bis hin zu den dissipativen Skalen - aufgelöst werden. Das Rechengebiet der Simulation bewegt sich im Kanal mit der TS-Welle mit. Man spricht hierbei im allgemeinen vom „zeitlichen Modell“. Demgegenüber dickt sich die Grenzschicht an einer ebenen Platte mit wachsendem Abstand von der Plattenvorderkante auf. Die Grenzschichtdicke wächst mit der 1⁄2 Lauflänge gemäss δ ∼ x für die laminare Blasius-Grenzschicht an. Eine turbulente 4⁄5 Grenzschicht wächst mit der Lauflänge mit δ ∼ x an. Mit dem Wachstum der laminaren Grenzschicht ist eine mittlere wandnormale Geschwindigkeitskomponente verbunden, die streng genommen nicht mehr vernachlässigt werden kann. Da sich das Wachstumsgesetz einer laminaren von einer turbulenten Grenzschicht ganz charakteristisch unterscheidet, ist auch eine mittlere wandnormale Geschwindigkeitskomponente für die Störströmung zu erwarten. Diese ergibt sich aus der Zerlegung des zeitlich veränderlichen Strömungsfeldes Q in eine zeitlich konstante laminare Grundströmung Q 0 und eine zeitlich veränderliche Störströmung q gemäss Q = Q0 + q .

(2.4)

24

2 Mathematische Modellierung

Die Summe der beiden Strömungsanteile gibt beispielsweise das turbulente Strömungsfeld zu einem bestimmten Zeitpunkt t an. Im Falle der Grenzschicht müsste man somit exakterweise das räumliche Störungswachstum untersuchen, wie dies beispielsweise für die Transition in der BlasiusGrenzschicht von Rist & Fasel [105] gemacht worden ist. In solch einer „räumlichen“ Simulation müssen aber mehrere charakteristische Strukturen1 im Rechengebiet erfasst werden, was zu einer niedrigeren numerischen Auflösung bei gegebenem Computerspeicher führt. In der klassischen linearen Stabilitätstheorie für Plattengrenzschichten (siehe hierzu auch bei Schlichting & Gersten [111]) wird der Einfachheit halber häufig das lokale, räumliche Aufdicken der Grenzschicht vernachlässigt. Dies wird dadurch begründet, dass die mittlere wandnormale Komponente, die durch diese „Parallelströmungsannahme“ vernachlässigt wird, um die Grössenordnung O ( Re x ) kleiner ist als die Komponente in Hauptströmungsrichtung. Hierbei stellt Re x die mit der Lauflänge x entlang der Plattentiefe gebildete Reynoldszahl dar. Dennoch muss der Parallelströmungsannahme und ihrer Auswirkung auf die Ergebnisse der numerischen Simulation eine besondere Beachtung in den Untersuchungen gegeben werden. Frühere Untersuchungen von Meyer [87] und Meyer & Kleiser [86,88] zeigten, dass die laminare Grenzschichtströmung an der schiebenden ebenen Platte im hinteren Plattenbereich nur noch geringe Variationen aufwies. Die Grenzschicht dickt dort nur noch sehr langsam auf und charakteri- Abbildung 2.3: Skizzenhafte Darstellung des Strömungsfeldes aus der Überlagerung der FSC-Grundstische Parameter wie etwa die strömung und des Querströmungswirbels. Stromlinienkrümmung ändern sich nur noch geringfügig. Die Grenzschicht kann in diesem Bereich (wie in Kapitel 2.1 besprochen wurde) durch lokale FSC-Profile beschrieben werden. Ihre wandnormale Komponente wird vernachlässigt. Die numerische Simulation verfolgt die zeitliche Entwicklung der Störungen an einer festen Plattenposition mit konstanter lokaler Reynoldszahl. In der Simulation werden dem laminaren Grenzschichtprofil Anfangsstörungen einer bestimmten Amplitude überlagert. Diese Anfangsstörungen werden aus der linearen Stabilitätsanalyse der dreidimensionalen Grundströmung gewonnen. Der Querströmungswirbel ergibt sich als Lösung einer solchen Analyse und bestätigt damit die Beobachtung der experimentell gefundenen stationären Querströmungswirbel. In Abbildung (2.3) ist das auf eine Ebene xv=const. projizierte Strömungsfeld, das sich aus der Überlagerung der FSC-Grundströmung und des Querströmungswir-

1. Im Fall der Blasius-Grenzschicht sind dies in Stromabrichtung die TS-Wellen.

2.3 Mathematische Beschreibung

25

bels ergibt, skizzenhaft dargestellt. Das Koordinatensystem der Simulation wird an der Wirbelachse ausgerichtet. Die spannweitige Abmessung des Rechengebietes ergibt sich aus seiner Wellenlänge. Die zeitliche Entwicklung der Störungen erhält man aus der Integration der inkompressiblen, dreidimensionalen Navier-Stokes-Gleichungen. Die Simulationsergebnisse von Meyer [87] und die entsprechenden Ergebnisse aus dem Experiment von Müller & Bippes [92] und Bippes et al. [12] zeigten für die nichtlineare Störungsentwicklung eine gute Übereinstimmung. Dies rechtfertigt die Verwendung des zeitlichen Modells für die Untersuchung der Strömungsphänomene im späteren hochgradig nichtlinearen Stadium.

2.3 Mathematische Beschreibung 2.3.1 Grundgleichungen Die zeitabhängige, inkompressible Strömung eines Newton´schen Fluids wird mit Hilfe der Erhaltungsgleichungen für Masse und Impuls beschrieben, die als NavierStokes-Gleichungen bekannt sind. Die dimensionslosen Erhaltungsgleichungen in der Rotationsform lauten: ∂Q 1 - ∆Q + F 0 ------- = Q × rot ( Q ) – ∇P d + -----Re ∂t

(2.5)

∇⋅Q = 0

(2.6)

Die Grösse Q gibt hierbei den Geschwindigkeitsvektor Q = ( u v w ) T , P d den dy1 namischen Druck P d = p + --2- ( Q ⋅ Q ) und F 0 einen beliebigen, zeitabhängigen Kraftterm wieder. Der zeitabhängige Kraftterm wird verwendet, damit die zu untersuchende laminare Grundströmung Q 0 , die sich aus einer Ähnlichkeitslösung der Grenzschichtgleichungen ergibt, die stationären Navier-Stokes-Gleichungen erfüllt. Dies ist äquivalent zur Störströmungsformulierung, in der nur die Entwicklung der Störströmung berechnet wird. Dort wird implizit angenommen, dass die laminare Grundströmung Q 0 die Navier-Stokes-Gleichungen erfüllt. Der Kraftterm F 0 ergibt sich somit zum vektoriellen Kraftterm F0 =

1 - ∆Q 0 – -----Re

2

2

∂z

∂z

1 U0 ∂ V0 = – ------- ∂----------- ----------- 0 Re 2 2

T

.

(2.7)

Die in dieser Arbeit verwendete mathematische Formulierung und das Verfahren zur Lösung der Grundgleichungen entspricht der bei Laurien [72,73], Meyer [87] und Wagner [120] beschriebenen Methodik. An dieser Stelle soll nur ein kurzer Überblick gegeben werden. Für eine genauere Beschreibung sind die entsprechenden Literaturstellen heranzuziehen.

26

2 Mathematische Modellierung

2.3.2 Diskretisierung der Grundgleichungen Die zeitliche Diskretisierung der Navier-Stokes-Gleichungen erfolgt mit einem vierstufigen Runge-Kutta-Schema 3.Ordnung für die konvektiven Terme und einem impliziten Crank-Nicolson-Schema für die viskosen Terme. Dadurch ist für den Zeitschritt des Verfahrens das konvektive Zeitlimit entscheidend und nicht das bei niedrigeren Reynoldszahlen striktere viskose Limit. Da das Aufdicken der Grenzschicht sowohl für die Grundströmung als auch für die Störströmung vernachlässigt wird, kann angenommen werden, dass die Strömung in der Haupströmungs- und Spannweitenrichtung periodisch ist. Das Geschwindigkeitsfeld, das mit N x ⋅ N y ⋅ N z Punkten diskretisiert wird, kann aus diesem Grunde in eine zweidimensionale Fourier-Reihe Q ( x , y , z, t ) =

∑∑ kx

ˆ ( k , k , z, t ) ⋅ e i ( kx αx + ky βy ) Q x y

(2.8)

ky

ˆ ( k , k , z, t ) zerlegt werden. Die einzelnen mit den komplexen Fourierkoeffizienten Q x y Koeffizienten hängen noch von der Zeit t und der wandnormalen Komponente z ab. Die räumliche Ausdehnung des diskretisierten Rechengebietes ergibt sich im Realraum mit den Wellenzahlen α und β zu λ x = 2π ⋅ α

und

λ y = 2π ⋅ β .

(2.9)

Da die Geschwindigkeitskomponenten im physikalischen Raum reale Grössen darstellen, folgt für die Fourierkoeffizienten die Bedingung ˆ ( – k , – k , z, t ) = Q ˆ * ( k , k , z, t ) , Q x y x y

(2.10)

woraus sich ergibt, dass man sich im Spektralraum auf den Wellenzahlenbereich 0 ≤ k x ≤ N x ⁄ 2 und – N y ⁄ 2 ≤ k y ≤ N y ⁄ 2

(2.11)

beschränken kann. Die nichtlinearen Produkte in der Impulsgleichung (2.5) werden mit der Pseudospektralmethode auf einem um den Faktor 3/2 verfeinerten Gitter berechnet, um Aliasing-Fehler in den beiden horizontalen Raumrichtungen zu vermeiden. Mit Hilfe des Fourier-Ansatzes (2.8) zerfällt das zu lösende Gleichungssystem in N x ⋅ N y ⁄ 2 komplexe, eindimensionale Helmholtzgleichungen für jede einzelne Mode (k x, k y ). Dieses System von Gleichungen für Druck und Geschwindigkeiten wird mit Hilfe der Einflussmatrixtechnik gelöst, wobei die Divergenzfreiheit der diskretisierten Lösung exakt erfüllt wird [87]. Die zu lösenden skalaren Helmholtzgleichungen haben unter Verwendung der Abkürzung ’ = ∂ ⁄ ∂z die Form

2.3 Mathematische Beschreibung

27

2

(2.12)

U’’ – B U = r mit einer reellen Konstanten B > 0 und den Randbedingungen U ( z=0 ) = U w

und

U( z → ∞ ) = 0 .

(2.13)

Hierbei stellt U w die jeweilige Geschwindigkeitskomponente am Grenzschichtrand dar. Die skalare Helmholtzgleichung wird mit Hilfe der Matrix-Kollokationsmethode [72,87] gelöst, wobei die Chebychev-Polynome T k ( η ) = cos [ k ⋅ acos ( η ) ] als Ansatzfunktionen gewählt werden. Das halbunendliche Chebychev-Intervall η ∈ ( 0, 1 ] wird hierzu durch eine geeignete Transformation auf das halbunendliche Gebiet im physikalischen Raum z ∈ [ 0 , ∞ ) abgebildet. Dies geschieht beispielsweise für die in Kapitel 4 und 5 dargestellten numerischen Simulationen durch die Abbildung z = – γ 0 ⋅ ln ( ξ ) + γ 1 ⋅ ( ln ( ξ ) )

2

(2.14)

mit η – α2 ξ = b 1 η + b 2 + α 1 sinh --------------- . α3

(2.15)

Die Koeffizienten b 1 und b 2 lassen sich folgendermassen aus den Koeffizienten α 1 , α 2 und α 3 bestimmen: – α 2  1-------------α ------2 sinh + sinh b1 = 1 – α 1  α3   α 3

(2.16)

α2 b 2 = α 1 ⋅ sinh  ------ .  α 3

(2.17)

Somit wird die wandnormale Transformation vom halbunendlichen Intervall auf den Chebychev-Raum durch die Koeffizienten γ 0 , γ 1 , α 1 , α 2 und α 3 bestimmt, die entsprechend der Anforderungen an die wandnormale Diskretisierung zu wählen sind. In Abbildung (2.4) ist die Abbildungsfunktion (2.14) für die Koeffizienten, die in der Simulation im Kapitel 4 genutzt werden, dargestellt. Die in den Arbeiten von Meyer [87] und Wagner [120] verwendete Transformation ist dargestellt durch die Funktion z = f ( ξ ) mit ξ ∈ ( 0, 1 ] . Demgegenüber besitzt die modifizierte Transformationsfunktion nach Gleichung (2.14) als z = f ( η ) eine verbesserte Auflösung im äusseren Bereich der Grenzschicht. Diese erhöhte Auflösung wird vor allem in den späten

28

2 Mathematische Modellierung

100 90

z = -γ0ln(η) + γ1(ln(η))

80

z = -γ0ln(ξ) + γ1(ln(ξ))

2 2

70

z

60 50 40 30 20 10 0 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

η,ξ

Abbildung 2.4: Darstellung der Abbildungsfunktionen z = f ( ξ ) und z = f ( η ) gemäss der Gleichungen (2.14) für ξ ∈ ( 0, 1 ] und η ∈ ( 0, 1 ] .

nichtlinearen Stadien der Transition benötigt, in der sich die charakteristischen, wirbelartigen Strukturen zum Grenzschichtrand hin bewegt haben.

29

3 NICHTLINEARE SÄTTIGUNGSLÖSUNGEN

3.1 Einleitung Eine laminare Grenzschicht ist oberhalb einer kritischen Reynoldszahl instabil gegenüber infinitesimal kleinen Störungen. Dieses Stabilitätsverhalten wird in der klassischen linearen Stabilitätstheorie [102,103] durch die Lösung der Orr-Sommerfeld- und der Squire-Gleichung beschrieben. Das Anwachsen dieser primären Instabilitäten ändert allerdings das Stabilitätsverhalten der Grenzschicht, was in der sekundären Stabilitätstheorie [45] berücksichtigt wird. So sind die zweidimensionalen Tollmien-Schlichting(TS)-Wellen die am stärksten angefachten Störmoden der laminaren Blasius-Grenzschicht [29]. Ab einem gewissen kritischen Wert der Amplitude der Tollmien-Schlichting-Welle sind aber sekundäre, dreidimensionale Wellen wesentlich stärker angefacht als die zweidimensionalen Wellen. Dieses Instabilitätsverhalten leitet den Zusammenbruch der laminaren Strömung in die Turbulenz ein. Es wird auch als sekundäre Instabilität einer neuen Grundströmung, die sich aus der Überlagerung der Blasius-Grenzschicht mit den TS-Wellen ergibt, bezeichnet. In Kapitel 5 wird auf die sekundäre Instabilität in der 3D-Grenzschicht eingegangen. Würde man das Auftreten dreidimensionaler Störungen künstlich unterdrücken, so wäre dennoch das Wachstum der Amplitude der zweidimensionalen Wellen aufgrund der Nichtlinearität der Navier-Stokes-Gleichungen begrenzt. Für die Blasius-Grenzschicht sind zweidimensionale Sättigungslösungen bekannt, bei denen das Strömungsfeld in einem mit der TS-Welle mitbewegten Koordinatensystem zeitlich konstant ist [65]. Die Störungsentwicklung in der Spannweitenrichtung und damit das Auftreten dreidimensionaler Störwellen wird hierbei vernachlässigt. Die Sättigungslösungen, die aber gewöhnlich gegenüber dreidimensionalen Störungen instabil sind, sind sehr spezielle Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen. Dennoch lässt die Untersuchung ihres Stabilitätsverhaltens unter bestimmten Umständen auf das Verhalten realer, sich dreidimensional entwickelnder Strömungen schliessen. Hierzu werden Verzweigungspunkte, d.h. die Punkte im Stabilitätsdiagramm, an denen sich die Lösung qualitativ ändert, untersucht. Dies kann beispielsweise durch das Auftreten einer neuen Frequenz (Hopf-Verzweigung) geschehen. Üblicherweise wird in der Berechnung von Sättigungslösungen in Plattengrenzschichten die räumliche Periodizität der Strömung in den wandparallelen Richtungen angenommen und damit das sogenannte zeitliche Modell verwendet. Die Einführung dieser Parallelströmungsannahme, die auch in den hier dargestellten numerischen Simulationen zum laminar-turbulenten Übergang gemacht wird, führt zu einem modi-

30

3 Nichtlineare Sättigungslösungen

fizierten Gleichungssystem, in dem gewisse Terme der Navier-Stokes-Gleichungen vernachlässigt werden. Die Auswirkungen dieser Annahme bedürfen deshalb einer näheren Untersuchung. Während sich manche Arbeiten mit der Frage des Verhaltens der räumlichen und zeitlichen Anfachung von Störungen mit und ohne Parallelströmungsannahme beschäftigen, soll an dieser Stelle aber das Verhalten der mittleren Strömung, die sich aus einer Mittelung der Geschwindigkeitskomponenten in den wandparallelen Richtungen ergibt, für grosse Simulationszeiten untersucht werden. Dies kann sehr gut anhand der zweidimensionalen Sättigungslösungen geschehen. Fischer [36,37] zeigte in einer mathematischen Analyse, dass die Hauptströmungskomponente der mittleren Strömung in einer Blasius-Grenzschicht für grosse Zeiten t → ∞ eine bleibende nichtlineare Verformung erfährt, die aufgrund der Parallelströmungsannahme zum Grenzschichtrand hin nicht abnimmt. Die Geschwindigkeit in der sich verformenden Aussenströmung ist geringer als die der anfänglichen Grundströmung. Dieser Effekt ist durch die Einführung des zeitlichen Modells bedingt und nicht physikalisch begründet. In den nächsten Kapiteln soll dieses Verhalten und die Existenz von Sättigungslösungen in der zwei- und dreidimensionalen Grenzschicht untersucht werden.

3.2 Langzeitverhalten des global gemittelten Profils in der 2D-Grenzschicht Das global gemittelte Profil Q ( z, t ) , das auch als die mittlere Strömung bezeichnet wird, ergibt sich aus der Mittelung des Geschwindigkeitsfeldes in den beiden horizontalen Richtungen, was der (0,0)-Mode in der Fourier-Entwicklung gemäss Gleichung (2.8) entspricht: λ x λy

1 Q ( z, t ) = --------------λx ⋅ λy

∫ ∫ Q( x, y, z, t ) dx dy = Qˆ ( 0, 0, z, t ) 0

(3.1)

0 0

Um das Verhalten dieses global gemittelten Profils für grosse Simulationszeiten zu untersuchen, werden Sättigungslösungen in einer linear instabilen Blasius-Grenzschicht berechnet. Hierzu wurde eine numerische Simulation der Störungsentwicklung in einer Blasius-Grenzschicht mit der Reynoldszahl Re = Re x = 580 durchgeführt. Die Reynoldszahl Re x wird mit der dimensionsbehafteten Lauflänge x˜ entlang der Platte gebildet. Die Wellenzahl der Tollmien-Schlichting(TS)-Welle α beträgt ˜∞ λ λ˜ x U λ˜ x 1 α = -----x- = ------ --------- = ----- ------ Re x = 0.2 . 2π ν˜ ⋅ x˜ 2π x˜ 2π

(3.2)

31

^

|u v|max (kx,ky)

3.2 Langzeitverhalten des global gemittelten Profils in der 2D-Grenzschicht

t Abbildung 3.1: Zeitliche Entwicklung der Amplituden (Betragsmaxima über z) der Fourierkoeffizienten uˆ ( k x, k y ) in einer zweidimensionalen Blasius-Grenzschicht bei einer Reynoldszahl von Re = 580 und einer Wellenzahl α = 0.2 .

Das Rechengebiet wurde mit der konstanten Zahl von N x ⋅ N y ⋅ N z = 12 ⋅ 1 ⋅ 30 Punkten diskretisiert. Dieser Fall entspricht einer Berechnung der Sättigungslösung von Koch [65] mit N = 5 Moden. In Abbildung (3.1) ist der zeitliche Verlauf der in wandnormaler Richtung z maximalen Amplitude der Fourierkoeffizienten uˆ ( k x, k y ) dargestellt. Als Anfangsstörung wurde eine Amplitude der Tollmien-Schlichting-Welle, die aus einer linearen Stabilitätsanalyse gewonnen wurde, von A TS = 1 % , bezogen auf die Geschwindigkeit am Grenzschichtrand, vorgegeben. Zu Beginn der Simulation wächst die Amplitude der TSWelle gemäss der linearen Theorie exponentiell an. Aufgrund des Wachstums der Höherharmonischen der Grundwelle kommt es ab t ≈ 5000 zu einer Sättigung des Amplitudenwachstums der einzelnen Moden. Nur die Verformung des mittleren Profils, der (0,0)-Mode, ändert sich noch. In Abbildung (3.2) ist die zeitliche Entwicklung des mittleren Profils für unterschiedliche Zeitpunkte der Simulation zu erkennen. Das Profil verformt sich mit zunehmender Zeit immer mehr, wobei sich vor allem die Strömung am Aussenrand der Grenzschicht zusehends ändert. Die Störung des mittleren Profils wandert mit der Zeit von der Wand weg nach aussen. Ab der Zeit t ≈ 500000 ändert sich das Profil im Bereich der maximalen Verformung bei z ≈ 3 nur noch unwesentlich. Das Profil konvergiert gegen eine Sättigungslösung mit einer um etwa 20% reduzierten Geschwindigkeit am Aussenrand der Grenzschicht. Dies entspricht den Untersuchungen von Koch [65]. Allerdings wird dieser Zustand erst bei einer extrem hohen Simulationszeit von t ≈ 3500000 , die etwa 40000 Perioden der TS-Welle entspricht, erreicht. Die Beobachtung solch hoher Zeiten zum Erreichen

3 Nichtlineare Sättigungslösungen

z

z

32

U(z)

U(z)-U0(z)

Abbildung 3.2: Entwicklung des mittleren Profils (links) und der mittleren Verformung (rechts) in einer zweidimensionalen Blasius-Grenzschicht mit der Reynoldszahl Re = 580 .

eines Sättigungszustandes wurde auch von Corral & Jiménez [22] gemacht. Der laminar-turbulente Grenzschichtübergang geschieht dagegen im allgemeinen in einer realen dreidimensionalen Simulation auf einer wesentlich kleineren Zeitskala ( t ≈ 1000 ). Um weitere Aussagen über die Auswirkungen der mittleren Verformung zu machen, werden die einzelnen Terme der zeitabhängigen Gleichung betrachtet, die die Entwicklung der (0,0)-Mode in der numerischen Simulation beschreiben. Die in der Simulation gelöste Gleichung für das mittlere Profil in Hauptströmungsrichtung lautet1: 1 ∂2 ∂ ∂ ----U ( z, t ) = ------- -------2- U ( z, t ) – -----U ⋅ W ( z, t ) + F 0 Re ∂z ∂z ∂t

(3.3)

Unter Verwendung der Störgrössen q’( x, y, z, t ) = Q ( x, y, z, t ) – Q 0 ( z ) ,

(3.4)

welche die Abweichungen des zeitabhängigen Profils Q vom laminaren Profil Q 0 angeben, und der Mittelwertbildung U ⋅ W ( z, t ) = U 0 ( z ) ⋅ W 0 ( z ) + U 0 ( z ) ⋅ w’( z, t ) + W 0 ( z ) ⋅ u’( z, t ) +

(3.5)

u’ ⋅ w’( z, t )

1. Die doppelt überstrichenen Variablen werden durch die Mittelung der jeweiligen Grössen in den wandparallelen Richtungen gemäss Gleichung (3.1) gebildet.

33

z

3.2 Langzeitverhalten des global gemittelten Profils in der 2D-Grenzschicht

Abbildung 3.3: Verlauf der mittleren Reynoldsspannung τ 13 über der wandnormalen Komponente z.

folgt unter Berücksichtigung der Parallelströmungsannahme für die Grundströmung W 0 ( z ) = 0 und die gemittelte Störströmung w’( z, t ) = 0 die zeitabhängige Gleichung für die mittlere Verformung 1 ∂2 ∂ ∂ ----u’( z, t ) = ------- -------2- u’( z, t ) – -----u’ ⋅ w’( z, t ) . Re ∂z ∂z ∂t

(3.6)

Der Term 1 ⁄ Re ( ∂ 2 u’( z, t ) ⁄ ∂z 2 ) stammt aus dem viskosen Term der Navier-StokesGleichung (2.5) und beschreibt die dissipative Wirkung der Strömung in der wandnormalen Richtung. Die Reynoldsspannungen ( – u’ ⋅ w’) ( z, t ) ergeben sich aus den nichtlinearen Wechselwirkungen der Störgrössen untereinander. Der zeitlich konstante Kraftterm F 0 nach Gleichung (2.7) hebt sich zum Zeitpunkt t = 0 mit dem Dissipationsterm auf, da durch die Einführung des Kraftterms die laminare Grundströmung unter Vernachlässigung der wandnormalen Geschwindigkeitskomponente eine stationäre Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen darstellt. Die wandnormale Verteilung der in den wandparallelen Ebenen gemittelten Reynoldsspannung τ13 = –u’ ⋅ w’ = –U ⋅ W ist in Abbildung (3.3) dargestellt. Entgegen dem Verhalten des mittleren Geschwindigkeitsprofils in Hauptströmungsrichtung in Abbildung (3.2) ändert sich die mittlere Reynoldsspannung nach einem gewissen Überschwingen während der nichtlinearen Kopplung ab dem Zeitpunkt t ≈ 15000 nicht mehr. Bemerkenswert ist hierbei, dass die Reynoldsspannung τ 13 im Bereich

34

3 Nichtlineare Sättigungslösungen

des Grenzschichtrandes negative Werte annimmt, was einem Energierückfluss von der Störströmung in die mittlere Strömung entspricht. Da sich die Reynoldsspannung in Gleichung (3.6) für grosse Zeiten nicht mehr ändert, ergibt sich die zeitliche Entwicklung des mittleren Profils für grosse Zeiten aus einem reinen Diffusionsprozess in wandnormaler Richtung. Eine Integration der Gleichung (3.3) in wandnormaler Richtung unter der Annahme, dass eine Sättigungslösung mit ( ∂ ⁄ ∂z ) u’( z, t ) = 0 für z → ∞ existiert, ergibt für die mittlere Verformung der Sättigungslösung z

∫

u’( z ) = – R e u' ⋅ w' dz .

(3.7)

0

Während sich die mittlere Verformung aus der (0,0)-Mode der Fourierentwicklung berechnet, so ergibt sich die rechte Seite der Gleichung nur aus den höheren Moden der ˆ ( 0, 0 ) = 0 . Aus Gleichung (3.7) ist zu erkennen, dass sich Fourierentwicklung, da w das mittlere Profil der Grenzschicht weitab von der Platte für z → ∞ verformen muss, da das Integral über die Reynoldsspannung in Abbildung (3.3) für z → ∞ nicht verschwindet. Eine weitere Aussage erhält man, wenn die zeitliche Änderung der Verdrängungsdikke δ1 =

∞

∫0  1 – U ( z ) dz

(3.8)

des mittleren Profils betrachtet wird. Sie ergibt sich zu –

zeitabhängige Wandschubspannung

1 ∂ ------- -----U 0 ( z=0 ) Re ∂z

.

(3.9)

        

1 ∂ ------- -----U ( z=0,t ) Re ∂z

          

∂δ --------1 = ∂t

laminare Wandschubspannung

Diese Gleichung zeigt, dass ein zeitliches Anwachsen der Verdrängungsdicke des mittleren Profils unmittelbar mit der Änderung der Wandschubspannung bzw. des Reibungsbeiwertes zusammenhängt. Anders ausgedrückt gilt für eine Lösung, in der sich die Verdrängungsdicke im zeitlichen Mittel nicht mehr ändert, dass der resultierende Reibungsbeiwert dem laminaren Wert c f, lam = 1.142 bei konstantem Kraftterm F 0 entsprechen muss. In Abbildung (3.4) ist der Verlauf des Reibungsbeiwertes 2 ∂U c f = ------- ------Re ∂z

(3.10)

3.2 Langzeitverhalten des global gemittelten Profils in der 2D-Grenzschicht

35

über die Simulationszeit dargestellt. Es ist zu erkennen, dass sich der Reibungsbeiwert nach der nichtlinearen Sättigungsphase wieder dem laminaren Wert annähert. Koch [65] berücksichtigt in seiner Definition des Reibungsbeiwertes die Änderung der Geschwindigkeit am Aussenrand der Grenzschicht. Er bildet mit dieser Geschwindigkeit eine modifizierte Reynoldszahl und berücksichtigt diese in der Berechnung des Reibungsbeiwertes. Diese Vorgehensweise lässt sich aber nicht auf die numerische Simulation anwenden, da die Verformung weitab von der Wand erst für grosse Zeiten zu beobachten und eine solche Betrachtung nur für die Auswertung und physikalische Interpretation eines Sättigungszustandes sinnvoll ist. Die Überlegungen zur Verformung des mittleren Profils zeigen, dass mit dem zeitlichen Modell für eine numerische Simulation der Transition in einer Grenzschicht kein quasistationäres mittleres Profil zu erwarten ist. Die mittlere Verformung müsste aus physikalischen Überlegungen sowohl an der Wand (Haftbedingung) als auch am Rand der Grenzschicht weitab von der Wand verschwinden. Es ist allerdings zu erwarten, dass die bleibende unphysikalische Verformung des mittleren Profils keinen grossen Einfluss auf den eigentlichen Prozess des dreidimensionalen laminar-turbulenten Übergangs hat, da dieser auf einer wesentlich kleineren Zeitskala geschieht. Die anhand der Gleichungen gemachten Aussagen betreffen das Erreichen einer quasistationären turbulenten Strömung für sehr grosse Simulationszeiten.

cf

Von Fischer [36,37] stammt eine theoretische Abschätzung der von der Wand weg wandernden mittleren Verformung. Er zeigt, dass sie eine direkte Konsequenz der

t Abbildung 3.4: Zeitlicher Verlauf des Reibungsbeiwertes c f in einer zweidimensionalen BlasiusGrenzschicht.

3 Nichtlineare Sättigungslösungen

U(z)-USat(z)

36

-1/2

~t

t Abbildung 3.5: Konvergenz des zeitabhängigen mittleren Profils U ( z, t ) gegen die Sättigungslösung U Sat ( z ) .

eingeführten Parallelströmungsannahme ist. Desweiteren zeigt er auch, dass die zeitabhängige Lösung des mittleren Profils gegen eine stationäre Lösung gehen muss. Die zeitliche Änderung des mittleren Profils U ( z, t ) gegenüber der Sättigungslösung U Sat ( z ) wird von ihm folgendermassen abgeschätzt: 1 1 U ( z, t ) – U Sat ( z ) ∼ ------------ ----- . z+1 t

(3.11)

In Abbildung (3.5) ist die zeitliche Entwicklung der Differenz des zeitabhängigen mittleren Profils der numerischen Simulation und der Sättigungslösung von Koch [65] an unterschiedlichen wandnormalen Positionen aufgetragen. Man erkennt den Bereich der nichtlinearen Kopplung der höheren Moden und der nichtlinearen Sättigung in der Entwicklung des mittleren Profils. Nachdem die höheren Moden eingeschwungen sind, beginnt ab t ∼ 10000 der Bereich, in dem sich das mittlere Profil immer mehr der Koch’schen Lösung annähert. Die zeitliche Konvergenzrate entspricht dem von Fischer vorhergesagten Wert von 1 ⁄ t . Die Störung wandert mit der Zeit nach aussen, so dass das Profil weitab von der Wand etwas später mit der vorhergesagten Konvergenzrate gegen die stationäre Lösung geht. Dies entspricht der Abschätzung von Fischer in Gleichung (3.11) durch Berücksichtigung des Vorfaktors 1 ⁄ (z + 1) .

3.3 Sättigungslösungen in der 2D-Grenzschicht

37

3.3 Sättigungslösungen in der 2D-Grenzschicht Die Berechnung stationärer Sättigungslösungen mit einem zeitabhängigen numerischen Verfahren erfordert einen hohen Rechenbedarf, da die durch die Parallelströmungsannahme verursachte Verformung auf einer diffusiven Zeitskala nach aussen weitab von der Wand ( z → ∞ ) wandert. Die Rechenzeit kann jedoch verkürzt werden, indem für die Berechnung der mittleren Verformung anstatt der zeitabhängigen Gleichung (3.6) die stationäre Gleichung (3.7) gelöst wird. Für die höheren Fouriermoden werden nach wie vor die zeitabhängigen Gleichungen gelöst. Man macht sich hier die Beobachtung zunutze, dass sich die mittlere Verformung aus einem Diffusionsprozess in wandnormaler Richtung ergibt, während die nichtlinearen Wechselwirkungen der höheren Moden, die in den Reynoldsspannungen τ 13 zum Ausdruck kommen, schon gesättigt sind. Die mittlere Verformung ergibt sich aus einer zweimaligen Integration der Reynoldsspannung τ 13 in wandnormaler Richtung z , aus der sich auch die neue Geschwindigkeit am Aussenrand der Grenzschicht ergibt. Das Verfahren konvergiert im allgemeinen sehr schnell gegen eine Sättigungslösung. Man benötigt zur Berechnung der Sättigungslösung weniger als 1% der Rechenzeit gegenüber dem herkömmlichen zeitgenauen Verfahren. Eine ähnliche Vorgehensweise in der Berechnung von Sättigungslösungen der Taylor-Couette Strömung wurde von Marcus [85] verwendet. Die Berechnung von Sättigungslösungen in einer Blasius-Grenzschicht mit der Reynoldszahl Re = 580 mittels Direkter Numerischer Simulation (DNS) wird in Abbildung (3.6) mit Sättigungslösungen von Koch [65] verglichen. Zum Vergleich ist in Abbildung (3.6) die Energie der fluktuierenden Moden der Sättigungslösung N

E fluc =

z→∞

∑ ∫ n=1

1  uˆ 2 ( n, 0 ) + vˆ 2 ( n, 0 ) + w ˆ 2 ( n, 0 ) dz -- 2

(3.12)

0

über der Wellenzahl α der Tollmien-Schlichting-Welle für eine unterschiedliche Anzahl N von Fouriermoden aufgetragen. Die Blasius-Grenzschicht mit der Reynoldszahl Re = 580 ist im Bereich der Wellenzahlen 0.099478 < α < 0.20426 linear instabil. Die Energien der berechneten Sättigungslösungen der Simulation stimmen mit den Lösungen von Koch überein. Während die numerische Auflösung von nur zwei Fouriermoden im Bereich von Wellenzahlen grösser als α ≈ 0.17 schon sehr gute Ergebnisse liefert, zeigen die Ergebnisse von Koch, dass sie sich bei geringeren Wellenzahlen erheblich von der Neutralfläche unterscheiden, die mit höheren Modenzahlen berechnet worden ist. Die gleiche Erfahrung wird auch mit Berechnungen mit der DNS gemacht. Im Bereich niedriger Wellenzahlen existieren bei Modenzahlen bis N = 6 mehrere Sättigungslösungen bei fester Wellenzahl α .

38

3 Nichtlineare Sättigungslösungen

Der zeitliche Verlauf der kinetischen Energie während der numerischen Simulation mit N = 2 Moden und der Wellenzahl α = 0.1222 ist in Abbildung (3.7) dargestellt. Die Energie in der Tollmien-Schlichting-Welle wächst in dieser zeitgenauen Simulation zunächst an und generiert eine Höherharmonische. Ab dem Zeitpunkt t ≈ 12000 ist eine Sättigungslösung erreicht, die auf dem unteren Ast der in Abbildung (3.6) dargestellten Neutralfläche liegt. Innerhalb kurzer Zeit wachsen dann die Störenergien erneut an und es ergibt sich eine Sättigungslösung auf dem stabilen oberen Ast. Der untere Ast stellt eine Sättigungslösung dar, die gegenüber zweidimensionalen Störungen instabil ist. Die Existenz mehrer Sättigungslösungen und die schlechte Konvergenz mit steigender Fouriermodenzahl bei TS-Wellen, die eine grössere Wellenlänge haben als die der primär angefachten Wellen, ist aus Berechnungen von Sättigungslösungen im ebenen Kanal nicht bekannt. Sie scheinen ein Spezifikum der Grenzschicht an der ebenen Platte zu sein. Bei massiver Erhöhung der Fouriermodenzahl N im Bereich von niedrigen Wellenzahl ( α < 0.12 ) lassen sich mit der DNS keine Sättigungslösungen mehr berechnen. Die Lösungen sind in einem mitbewegten Bezugssystem nicht mehr stationär. Die berechneten Sättigungslösungen hängen stark von den gewählten Anfangsbedingungen der numerischen Simulation ab. Dies zeigt eine Simulation bei einer Wellenzahl α = 0.23 . Bei dieser Wellenzahl ist die betrachtete Blasius-Grenzschicht 0.09 N=1 N=2 N=3 N=4 N=5 N = 5 (DNS) N = 2 (DNS)

Efluc

0.06

0.03

0.00 0.00

0.05

0.10

α

0.15

0.20

0.25

Abbildung 3.6: Vergleich der Energie der fluktuierenden Moden der Sättigungslösung einer Blasius-Grenzschicht mit Re = 580 zwischen Berechnungen von Koch [65] (Linien) und der Direkten Numerischen Simulation (Symbole) mit N = 2 Moden in Hauptströmungsrichtung.

3.3 Sättigungslösungen in der 2D-Grenzschicht

39

Abbildung 3.7: Zeitliches Verhalten der Gesamtenergie in den fluktuierenden Moden (oben) und der Energie in den einzelnen Moden (unten) bei einer Wellenzahl α = 0.1222 und N = 2 Moden.

linear stabil. Es existieren aber mehrere nichtlineare Sättigungslösungen bis zu einer Wellenzahl α ≈ 0.25083 . Der untere Ast der Neutralfläche ist instabil gegenüber zweidimensionalen Störungen, während der obere Ast stabil ist. Es wurden vier numerische Simulationen mit unterschiedlichen Amplituden der ausgewählten Störmode durchgeführt. Als Störmode wurde die am wenigsten gedämpfte TS-Mode aus der linearen Stabilitätsanalyse gewählt. Die Ergebnisse sind in Tabelle (3.1) angegeben. Während die Störungen bei niedrigen Amplituden abklingen und sich die laminare Blasius-Grenzschicht als Sättigungslösung ergibt, führen die beiden höheren Amplituden zu einer Sättigungslösung mit laufenden zweidimensionalen Wellen finiter Amplitude. Die berechnete Sättigungsenergie E fluc entspricht den Ergebnissen von Koch [65]. Die Berechnung der Sättigungslösungen in der Blasius-Grenzschicht zeigt exemplarisch einige wichtige Eigenschaften auf, die in der Interpretation dieser sehr speziellen Lösungen berücksichtigt werden müssen. Die Sättigungslösungen sind im allgemeinen instabil gegenüber infinitesimal kleinen dreidimensionalen Störungen, deren sekundäre Anfachungsraten sich mit Hilfe der Floquet-Theorie [45,65] berechnen lassen.

40

3 Nichtlineare Sättigungslösungen

A TS

E fluc ( t=0 )

E fluc ( t → ∞ )

1.0 %

1.0273 ⋅ 10 – 4

0.0

4.0 %

1.7062 ⋅ 10 – 3

0.0

7.5 %

5.9984 ⋅ 10 –3

3.7829 ⋅ 10 –2

10.0 %

1.0664 ⋅ 10 – 2

3.7829 ⋅ 10 –2

Tabelle 3.1: Abhängigkeit der Sättigungslösungen bei einer Wellenzahl α = 0.23 und N = 4 Moden von der Amplitude der Startlösung.

3.4 Sättigungslösungen in der 3D-Grenzschicht Es ist bekannt, dass sogenannte stationäre Querströmungswirbel einen massgeblichen Einfluss auf den laminar-turbulenten Übergang in einer dreidimensionalen Grenzschicht haben. Die Amplituden der Querströmungswirbel wachsen im vorderen Plattenbereich gemäss der linearen Theorie exponentiell an. Sobald ihre Amplituden nicht mehr vernachlässigbar klein sind, gewinnen nichtlineare Effekte an Bedeutung, sodass das Störungswachstum der Amplituden begrenzt wird. Dies betrifft nicht nur die nichtlinearen Wechselwirkungen der stationären Wirbel mit den laufenden Wellen, sondern auch die Wechselwirkungen zwischen der zeitlich wachsenden Querströmungsmode und ihrer Höherharmonischen. Experimentelle Ergebnisse zeigen, dass die Amplitude des Querströmungswirbels - bei geringer Amplitude der laufenden Wellen - gegen einen Sättigungswert geht. An dieser Stelle soll der Grenzfall betrachtet werden, in dem die Störungsentwicklung des Querströmungswirbels unter Vernachlässigung dreidimensionaler Störungen erfolgt und man das Erreichen eines stabilen nichtlinearen Sättigungszustandes erwartet. Aus dem vorhergehenden Kapitel ist allerdings deutlich geworden, dass die physikalische Bedeutung der Sättigungslösung für grosse Zeiten eine offene Frage ist, da die Transition in die turbulente Strömung auf einer kleineren Zeitskala zu erwarten ist. Dies zeigen auch Ergebnisse einer räumlichen DNS von Wassermann & Kloker [122], bei der ein nichtlinear gesättigter Querströmungswirbel durch ein instationäres Wellenpaket gestört wird und damit der Übergang in die Turbulenz eingeleitet wird. Das Strömungsfeld stellt eine Lösung der zweidimensionalen Navier-Stokes-Gleichungen in einer (yv, z)-Ebene dar und ist von der Hauptströmungskomponente U v entkoppelt. In der Tabelle (3.2) sind die Parameter der verschiedenen Simulationen zusammengefasst. Das Anwachsen der Querströmungsmoden in einer numerischen Simulation mit der Reynoldszahl Re = 260 (Fall S1) ist in Abbildung (3.9) zu sehen.

3.4 Sättigungslösungen in der 3D-Grenzschicht

41

Die Parameter der Simulation sind einer vorderen Plattenposition des Experimentes von Bippes et al. [12] angepasst. Zu Beginn der Simulation wurde eine stationäre primäre Querströmungsmode mit einer Amplitude von A CF = 0.1 % vorgegeben. Das Rechengebiet erstreckt sich in Spannweitenrichtung über zwei Wellenlängen Die Amplituden der Querströmungsmoden gehen mit fortschreitender Simulationszeit in einen Sättigungszustand über, wobei die eigentliche Fundamentalmode, die CFMode (0,2), einen Sättigungswert von A CF = 11 % erreicht. Im Stromlinienbild der Strömung in einem (yv,z)-Schnitt in Abbildung (3.8) sind die gleichsinnig rotierenden Querströmungswirbel, wie sie in der Prinzipskizze in Abbildung (2.3) verdeutlicht sind, zu erkennen. Wagner [120] stellte in einer ähnlichen Rechnung fest, dass die Phasengeschwindigkeit der nichtlinear verformten Querströmungswirbel, die zu Beginn der Simulation nicht exakt Null ist, im Verlauf der Simulation anwächst und ebenfalls gegen einen Sättigungswert geht. Die Hauptströmungskomponente U v hat keinen Einfluss auf das zweidimensionale Geschwindigkeitsfeld (vv,w). Die Impulsgleichungen in yv und z sind von U v entkoppelt. Dennoch gehen die Geschwindigkeitskomponenten in spannweitiger und wand-

Fall

Re

ϕe

ψ

βh

β

Initialisierte Mode

Nx ⋅ Ny ⋅ Nz

S1

260

45.0°

-4.4°

0.60

0.3557/2

(0,2)

1 ⋅ 160 ⋅ 80

S2

826

46.9°

-4.3°

0.63

0.48

(0,1)

1 ⋅ 160 ⋅ 80

S3

826

46.9°

-4.3°

0.63

0.48/2

(0,2)

1 ⋅ 160 ⋅ 80

S4

826

46.9°

-4.3°

0.63

0.48/8

(0,8)

1 ⋅ 160 ⋅ 80

Tabelle 3.2: Parameter der verschiedenen numerischen Simulationen der Sättigungsberechnung in der 3D-Grenzschicht.

8.0 6.0

z

4.0 2.0 0.0 35.4

28.3

21.2

14.2

7.1

0.0

yv Abbildung 3.8: Darstellung der Stromlinien in einem (yv,z)-Schnitt der Sättigungslösung der dreidimensionalen Grenzschicht (Fall S1).

42

3 Nichtlineare Sättigungslösungen 0.12

0.10

(0,2) (0,4) (0,6) (0,8)

^

|u v|max (kx,ky)

0.08

0.06

0.04

0.02

0.00

0

10000

20000

30000

40000

50000

t

Abbildung 3.9: Zeitliche Entwicklung der maximalen Amplituden der Fouriermoden der Geschwindigkeit in Hauptströmungsrichtung bei einer Reynoldszahl Re = 260 (Fall S1).

normaler Richtung in die Impulsgleichung in x ein. Aus der zeitlichen Integration dieser entkoppelten Gleichung können die U v -Komponenten der Sättigungslösung berechnet werden. Die mittlere Geschwindigkeit U s in Richtung der Stromlinie reduziert sich weitab von der Wand um ca. 8% vom laminaren Wert. Diese Reduktion ist durch die besagte Einführung der Parallelströmungsannahme bedingt. Im zeitlichen Verlauf der Querströmungsmoden bei einer numerischen Simulation an einer weiter stromab liegenden Plattenposition x˜ c ⁄ c˜ = 0.8 mit der Reynoldszahl Re = 826 (Fall S2), die in Abbildung (3.10) dargestellt ist, ist deutlich das Auftreten einer Störung mit konstanter Frequenz zu beobachten. In dieser Simulation erstreckt sich das Rechengebiet über eine Wellenlänge λ y des Querströmungswirbels. Eine stationäre Sättigungslösung wird im Unterschied zur Simulation mit der niedrigeren Reynoldszahl nicht erreicht. Nach einer transienten Anfangsphase schwingt die Amplitude des Querströmungswirbels uˆ v max mit einer zeitlichen Periodenlänge von T = 1533.3 . Diese Periodenlänge ist grösser als die Zeitskala, auf der in einer realen dreidimensionalen Simulation der Übergang in die Turbulenz beobachtet wird ( t ∼ 1000 ). Die Amplitude der CF-Mode wächst zu Beginn der Simulation entsprechend der linearen Theorie exponentiell an. Sie erreicht zum Zeitpunkt t = 1170 eine maximale Amplitude von A CF = 29.1% und geht dann in den periodisch schwingenden Zustand über, in dem die Amplituden der CF-Mode zwischen 14% und 20% variieren. In den Abbildungen (3.11) und (3.12) ist das zweidimensionale Strömungsfeld zu unterschiedlichen Zeitpunkten der Simulation in spannweitigen (yv,z)-Schnitten dargestellt. Die Stromlinien, die mit der LIC-Methode („line integral convolution“) [17]

3.4 Sättigungslösungen in der 3D-Grenzschicht

43

0.30 (0,1) (0,2) (0,3) (0,4)

0.27 0.24 0.21

0.15 0.12

^

|u v|max (kx,ky)

0.18

0.09 0.06 0.03 0.00

0

20000

40000

60000

80000

100000

t 0.30 (0,1) (0,2) (0,3) (0,4)

0.27 0.24 0.21

0.15 0.12

^

|u v|max (kx,ky)

0.18

0.09 0.06 0.03 0.00

0

500

1000

1500

2000 t

2500

3000

3500

4000

Abbildung 3.10: Zeitliche Entwicklung der maximalen Amplituden der Fouriermoden der Geschwindigkeit in Hauptströmungsrichtung bei einer Reynoldszahl Re = 826 (Fall S2).

berechnet worden sind, geben die räumliche Struktur des Querströmungswirbels wieder. In den Abbildungen, in denen eine spannweitige Wellenlänge dargestellt ist, blickt man in Stromabrichtung. Der schon nichtlinear deformierte Querströmungswirbel ist zum Zeitpunkt t = 800 deutlich zu erkennen. Zwischen den in Spannweitenrichtung periodisch fortgesetzten Wirbeln liegt jeweils ein Sattelpunkt. Das gleichsinnig rotierende Wirbelsystem bildet somit quasi eine Trennfläche zwischen der Strömung ober- und unterhalb der Querströmungswirbel aus. Das qualitative Strömungsbild ist in einer Prinzipskizze in Abbildung (3.13a) dargestellt. In der Mitte der Querströmungswirbel befindet sich ein lokales Minimum im Druckfeld, welches für einfache wirbelartige Strukturen charakteristisch ist. Die verschiedenen Kriterien zur Erkennung wirbelartiger Strukturen werden im Anhang A näher erläutert. Da in den jeweiligen Wirbelzentren ein lokales Druckminimum vorliegt, befindet sich ein lokales Druckmaximum zwischen den einzelnen Wirbeln im Bereich des Sattel-

44

3 Nichtlineare Sättigungslösungen

t = 800

t = 900

t = 940

t = 960

Abbildung 3.11: Darstellung des Strömungsfeldes zu unterschiedlichen Zeitpunkten bei einer Reynoldszahl Re = 826 (Fall S2) in einem zweidimensionalen (yv,z)-Schnitt durch Stromlinienintegration mit Hilfe der LIC-Technik [17]. Man blickt stromab.

3.4 Sättigungslösungen in der 3D-Grenzschicht

t = 970

t = 1000

t = 1830

t = 1900

Abbildung 3.12: Bildbeschreibung siehe vorhergehende Seite.

45

46

3 Nichtlineare Sättigungslösungen

punktes. Die Querströmung nahe an der Wand muss zwischen Wirbelzentrum und Sattelpunkt einen positiven Druckgradienten überwinden. Im Laufe der Simulation nimmt die Amplitude der Querströmungswirbel und somit auch die Ausbildung der Druckminima und Druckmaxima zu. Zum Zeitpunkt t = 870 ist der von der Strömung zu überwindende Druckanstieg an der Wand so gross, dass die Strömung ihm nicht mehr folgen kann und die Strömung in der Querrichtung y v ablöst. Die Amplitude des Querströmungswirbels beträgt zu diesem Zeitpunkt A CF = 22.7 % . Der durch die Ablösung induzierte wandnahe Wirbel ist in der Darstellung der Stromlinien in Abbildung (3.11) zum Zeitpunkt t = 900 zu erkennen. Wie in Abbildung (3.13b) schematisch dargestellt ist, rotiert er im Vergleich zu den Querströmungswirbeln in entgegengesetzter Richtung. Das zunächst exponentielle Wachstum des Querströmungswirbels ändert sich mit Auftreten des wandnahen Wirbels. Der wandnahe Ablösewirbel wächst, wie zum Zeitpunkt t = 940 zu erkennen ist, an. Zu diesem Zeitpunkt sind der Sattelpunkt und die beiden Staupunkte durch Stromlinien miteinander verbunden (siehe hierzu auch Abbildung (3.13c)) und der wandnahe Wirbel löst sich von der Wand und verbindet sich mit dem Sattelpunkt. Fluid strömt nun vom Rand der Grenzschicht nahe an die Wand, um beim nächsten Wirbel wieder zurück an den Grenzschichtrand zu gelangen. Es bildet sich eine „Tasche“ mit zwei Staupunkten auf der Wand aus. Der wandnahe Wirbel und der Sattelpunkt nähern sich immer mehr an. Zum Zeitpunkt t = 1000 , zu dem die Amplitude der CF-Mode auf A CF = 26% angestiegen ist, verschwinden schliesslich beide Strukturen und es bleiben nur noch die beiden Staupunkte auf der Wand übrig (Abbildung (3.13d)). Das vorher nahezu stationäre Wirbelsystem fängt nun an, gemeinsam mit der „Tasche“ und den Staupunkten in positiver Spannweitenrichtung zu wandern. Die Geschwindigkeit beträgt etwa 3% der Aussenströmung am Grenzschichtrand. In Abbildung (3.10) ist zu erkennen, dass die Amplitude des Querströmungswirbels nach Überschreiten eines Maximums zum Zeitpunkt t = 1170 abzuklingen beginnt. Mit sinkender Amplitude des Querströmungswirbels wird die „Tasche“ zwischen den Querströmungswirbeln schmaler und die Staulinien beginnen sich anzunähern. Die Staustromlinien berühren sich zum Zeitpunkt t = 1820 und bilden erneut einen Sattelpunkt. Unmittelbar mit seiner Bildung entsteht im Bereich des Sattelpunktes ein Wirbel, der sich zur Wand hin bewegt. Dieser Wirbel wird - während die Amplitude des Querströmungswirbels weiter abnimmt - immer kleiner und verschwindet zum Zeitpunkt t = 2020 . Das Wirbelsystem wird unmittelbar mit dem Auftreten des Sattelpunktes wieder stationär. Die Amplitude des Querströmungswirbels beginnt nach einem Minimum von 17% zum Zeitpunkt t = 2240 wieder anzuwachsen, so dass sich der gesamte Prozess wiederholt. Es bildet sich zum Zeitpunkt t = 2590 bei einer Amplitude des Querströmungswirbels A CF = 22.3% der wandnahe Wirbel. Er verbindet sich mit dem Sattelpunkt und es bilden sich die Staupunkte. Zum Zeitpunkt t = 2850 verschwinden Wirbel und Sattelpunkt bei einer Amplitude A CF = 26.1% . Das System beginnt nun

3.4 Sättigungslösungen in der 3D-Grenzschicht

a

c

47

b

d

Abbildung 3.13: Skizze der topologischen Struktur der Dynamik des nichtlinearen Querströmungswirbels zu unterschiedlichen Zeiten (a-d).

wieder zu wandern. Im Zeitraum t = 3160 ... 3320 ist, bei sinkender Amplitude der CF-Mode, wieder der entgegengesetzte Prozess zu beobachten. Allerdings nimmt die mittlere Amplitude des Querströmungswirbels, wie aus Abbildung (3.10) zu erkennen ist, ab. Zum Zeitpunkt t = 4050 bildet sich wieder der wandnahe Wirbel. Obwohl er anwächst, verbindet er sich nicht mit dem Sattelpunkt. Die maximale Amplitude des Querströmungswirbels überschreitet einen Wert von 25.6% nicht. Der wandnahe Wirbel bildet sich wieder zurück und verschwindet zum Zeitpunkt t = 4500 wieder an der Wand. Die geschlossenen Stromlinien des zweidimensionalen Querströmungswirbels sind bei maximaler Amplitude einer Schwingungsperiode von kreisförmiger Form, während sie bei niedriger Amplitude, ähnlich dem Stromlinienbild des gesättigten Querströmungswirbels bei Re = 260 in Abbildung (3.8), von elliptischer Form sind. Zu späteren Zeitpunkten der Simulation schwingen die Amplituden des Querströmungswirbel zwischen 14% und 20%. Ein wandnaher Wirbel bildet sich nicht mehr, da die kritische Amplitude von ca. 22.5% nicht mehr erreicht wird. Der Sattelpunkt zwischen zwei Wirbeln ist immer vorhanden, da sich kein Staupunkt mehr auf der Wand befindet. Dennoch bildet sich kein stationärer Zustand aus. Die Amplitude des Wirbels schwingt periodisch. Am Maximum einer jeweiligen Periode sind die Stromlinien des stationären Querströmungswirbels von kreisförmiger Form. Beim Durchgang durch den Mittelwert der Schwingungsperiode ( A CF = 17% ) beginnt der Wirbel in negativer yv-Richtung zu wandern. Nach dem Erreichen des Amplitudenminimums der Schwingung verformt sich der elliptische Querströmungswirbel wieder in Richtung kreisförmiger Stromlinien. Die Wanderung des Wirbels endet wieder bei

48

3 Nichtlineare Sättigungslösungen

erneutem Erreichen des Mittelwerts. Seine kreisförmigste Erscheinung hat der Wirbel bei Erreichen des Amplitudenmaximums. Dieses Verhalten setzt sich periodisch in der Zeit fort. Da keine stationäre Sättigungslösung bei einer Reynoldszahl Re = 826 existiert, ist 7.0 t=0 auch das in den wandparallelen Ebenen t > 50000 gemittelte Geschwindigkeitsprofil zeitabt = 1000 6.0 t = 2000 hängig. In der Abbildung (3.14) ist dieses 5.0 mittlere Profil für unterschiedliche Zeiten der Simulation dargestellt. Das Geschwin4.0 digkeitsprofil für grosse Zeiten t > 50000 , 3.0 bei denen die Querströmungsamplituden periodisch schwingen, ist im Gegensatz zu 2.0 den anderen Profilen über eine Schwingungsperiode gemittelt. Die Geschwindig1.0 keit am Grenzschichtrand in Richtung der 0.0 Stromlinie ist um ca. 40% gegenüber dem 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 ^ ^ |u s|(0,0), |v s|(0,0) laminaren Wert abgesunken. Gleichzeitig Abbildung 3.14: Darstellung der mittleren beträgt die Geschwindigkeit der Querkomam Grenzschichtrand Strömung U s und V s im stromlinienorien- ponente tierten Koordinatensystem (Fall S2). V s, e = 0.05 . Die Richtung der Potentialstromlinie am Aussenrand der Grenzschicht hat sich damit geändert. Desweiteren ist ein Überschwingen der Geschwindigkeitskomponente in Richtung der laminaren Stromlinie bei z ≈ 2.5 zu erkennen. Dieses unphysikalische Verhalten des mittleren Profils wurde auch von Corral & Jiménez [22] und Koch [66] beobachtet. Sie führten dies auf die konstante Krafttermformulierung und damit auf die Vernachlässigung der mittleren wandnormalen Geschwindigkeitskomponente (Parallelströmungsannahme) zurück. Allerdings ist auch zu erkennen, dass dieses Überschwingen zum Zeitpunkt t = 1000 noch nicht zu erkennen ist. Auf einer solchen Zeitskala ist in einer realen dreidimensionalen Simulation der Übergang in die Turbulenz und der Zusammenbruch der zweidimensionalen Strukturen zu erwarten. Erst zum Zeitpunkt t = 2000 ist das Überschwingen des Geschwindigkeitsprofils in der Grenzschicht zu erkennen. Die Verformung der Geschwindigkeit am Grenzschichtrand geschieht, wie auch schon aus den vorhergehenden Kapiteln deutlich geworden ist, auf einer noch grösseren Zeitskala. z

8.0

In Abbildung (3.15) ist die zeitliche Entwicklung der Fouriermoden in einer ähnlichen zweidimensionalen numerische Simulation dargestellt (Fall S3). Allerdings erstreckt sich das Rechengebiet diesmal über zwei Wellenlängen des Querströmungswirbels. Die fundamentale CF-Mode ist aus diesem Grund die (0,2)-Mode. Die sonstigen Parameter der Simulation sind identisch mit der vorhergehenden. Der Verlauf der Amplituden der einzelnen Moden ist bis zum Zeitpunkt t ∼ 6500 identisch. Allerdings

3.4 Sättigungslösungen in der 3D-Grenzschicht

49

0.24

(0,1) (0,2) (0,3) (0,4) (0,5)

0.21 0.18

^

|u v|max (kx,ky)

0.15 0.12 0.09 0.06 0.03 0.00

0

20000

40000

60000

80000

100000

t 0.30 (0,1) (0,2) (0,3) (0,4) (0,5)

0.27 0.24 0.21

0.15 0.12

^

|u v|max (kx,ky)

0.18

0.09 0.06 0.03 0.00

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

t

Abbildung 3.15: Zeitliche Entwicklung der maximalen Amplituden der Fouriermoden der Geschwindigkeit in Hauptströmungsrichtung (Fall S3).

wächst die Mode (0,1), die auch primär angefacht ist, in dieser Simulation ebenfalls an. Ihre Anfachungsrate entspricht der linearen Theorie. Im Fall S1 (mit niedrigerer Reynoldszahl) in Abbildung (3.9) war diese Mode nicht angefacht. Nach dem Einschwingen der Amplitude des Querströmungswirbel ab t ∼ 2000 wächst die (0,1)Mode weiterhin nahezu linear an. Die Anfachungsrate ist geringfügig kleiner als die der linearen Theorie. Zum Zeitpunkt t ∼ 7500 wird die (0,1)-Mode die dominante Mode und die Amplitude der eigentlichen CF-Mode sinkt sprunghaft von ca. 20% auf 10% ab. Die Amplituden der Querströmungsmoden erreichen auf einer langen Zeitskala einen periodischen Zustand. Die Amplitude der (0,1)-Mode schwingt zwischen 10% und 12.9% und die der (0,2)-Mode zwischen 7.5% und 9.8%. Die Dynamik des Querströmungswirbels sieht bis zum Zeitpunkt t ∼ 6500 ähnlich wie beim vorhergehenden Fall aus. Es bildet sich der wandnahe Wirbel, der sich von der Wand löst und mit dem Sattelpunkt verschwindet. Der entgegengesetzte Fall der Bildung des Sattelpunktes und des Wirbels ist ebenfalls zu beobachten. In Abbildung

50

3 Nichtlineare Sättigungslösungen

(3.16) sind die Querströmungswirbel im Rechengebiet zum Zeitpunkt t = 6800 zu erkennen. Die beiden Sattelpunkte zwischen den einzelnen Wirbeln haben den gleichen Abstand von der Wand. Zum Zeitpunkt t = 7150 bildet sich an einer lokalen Stelle bei y v = 20 ein Ablösewirbel an der Wand. Dieser Wirbel ist nur unterhalb eines Sattelpunktes zu finden. Die beiden dominanten Moden (0,1) und (0,2) haben zu diesem Zeitpunkt eine Amplitude von jeweils ca. 13%. Dies verdeutlicht, dass zum einen zu diesem Zeitpunkt die aufgeprägte Periodizität von zwei Wellenlängen im Rechengebiet aufgebrochen ist. Zum anderen wird deutlich, dass an der Stelle des Ablösewirbels ein Druckanstieg vorhanden ist, wie er bei der vorhergehenden Simulation bei einer Amplitude des CF-Wirbels von 22.5% vorhanden war. Während die Sattelpunkte zu früheren Zeiten den gleichen vertikalen Abstand von der Wand hatten, liegt zum Zeitpunkt t = 7250 der Sattelpunkt oberhalb des Ablösewirbels näher an der Wand als der andere Sattelpunkt. Dies führt dazu, dass sich zum Zeitpunkt t = 7400 die beiden Wirbel zu einem grossen Wirbel verbinden, der in Abbildung (3.16) zum Zeitpunkt t = 7460 zu erkennen ist. Die Amplituden der beiden dominanten Querströmungsmoden erreichen nach der neuen Wirbelbildung noch Werte zwischen 10% und 20%. Dies führt zur Bildung und dem Verschwinden von Ablösewirbeln an der Wand. Dieses Geschehen ist nicht mehr zu beobachten, sobald die Amplituden der beiden Moden einen kritischen Wert unterschritten haben. Ein Sättigungszustand wird auch in dieser Simulation nicht erreicht. Der einzelne Wirbel verhält sich wieder bei hohen Zeiten ähnlich wie im vorhergehenden Fall. Die Stromlinien sind zeitweise entweder von kreisförmiger oder elliptischer Form. Das Wirbelzentrum beginnt zu dem Zeitpunkt der Schwingungsperiode sehr schnell zu wandern, zu dem die elliptische Form der Stromlinien am stärksten ausgeprägt ist. In Abbildung (3.17) ist der Verlauf der Amplituden der Querströmungsmoden in einer Simulation dargestellt, in der das Rechengebiet insgesamt acht Querströmungswirbel erfasst (Fall S4). Es ist zu erkennen, dass zum einen kein Sättigungszustand erreicht wird und zum anderen, dass zu späten Zeiten keine dominierende Mode vorhanden ist. Die einzelnen Querströmungsmoden haben Amplituden zwischen 2% und 10%. Das Strömungsfeld zeigt, dass mehrere Wirbel miteinander wechselwirken, indem sie sich zeitweise miteinander verbinden und auch wieder trennen. Dieses Verhalten entspricht nicht den physikalischen Beobachtungen, da in diesen Simulationen dreidimensionale Störungen vernachlässigt werden. Das Paaren und Trennen der Wirbel geschieht erst zu späten Zeitpunkten der Simulation. Zu diesem Zeitpunkt hat der fundamentale Querströmungswirbel eine hohe Amplitude erreicht, sodass dreidimensionale Störungen die aufgeprägte Zweidimensionalität aufgebrochen hätten. Auf dieser Grundlage wird im nächsten Kapitel die Störungsentwicklung unter Berücksichtigung dreidimensionaler Wellen untersucht.

3.4 Sättigungslösungen in der 3D-Grenzschicht

51

t = 6800

t = 7250

t = 7400

t = 7460

Abbildung 3.16: Darstellung des Strömungsfeldes zu unterschiedlichen Zeitpunkten im Fall S3 in einem zweidimensionalen (yv,z)-Schnitt durch Stromlinienintegration mit Hilfe der LIC-Technik [17].

52

3 Nichtlineare Sättigungslösungen

10 10 10 10 10 10 10 10 10

^

|uv|max (kx,ky)

10

10 10 10 10 10 10

0

−1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9

(0,1) (0,2) (0,3) (0,4) (0,5) (0,6) (0,7) (0,8) (0,9)

−10 −11 −12 −13 −14 −15

0

5000

10000

15000 t

20000

25000

0.24

30000

(0,1) (0,2) (0,3) (0,4) (0,5) (0,8)

0.21 0.18

^

|u v|max (kx,ky)

0.15 0.12 0.09 0.06 0.03 0.00

0

20000

40000

60000

80000

100000

t

Abbildung 3.17: Zeitliche Entwicklung der maximalen Amplituden der Fouriermoden der Geschwindigkeit in Hauptströmungsrichtung im Fall S4.

53

4 TRANSITION IN DER 3D-GRENZSCHICHT

4.1 Einleitung Im vorhergehenden Kapitel wurde das zeitliche Anwachsen dreidimensionaler Störungen bei der Berechnung zweidimensionaler Sättigungslösungen vernachlässigt und in den Simulationen bewusst unterdrückt. Allerdings ist bekannt, dass der eigentliche Zusammenbruch der laminaren Strömung und der damit verbundene Übergang in die Turbulenz eine dreidimensionale Erscheinung ist, bei der zweidimensionale wirbelartige Strukturen in immer kleinere dreidimensionale Strukturen aufgebrochen werden. Experimente von Kohama et al. [69,70], Deyhle & Bippes [27], Lerche [76] & Radeztsky et al. [99,100] zeigen, dass kleine Störungen in der laminaren dreidimensionalen Grenzschicht der schiebenden Platte linear anwachsen und dass sich die charakteristischen Querströmungswirbel ausbilden. Die spannweitigen Abstände der wohlgeordneten Querströmungswirbel entsprechen den Vorhersagen aus der linearen Stabilitätstheorie. Weiterhin zeigen die Experimente, dass das Wachstum der Amplituden der Querströmungswirbel durch nichtlineare Effekte begrenzt wird und sie sich einem Sättigungswert annähern. Zu diesem Stadium der Transition werden allerdings dreidimensionale Störungen angefacht, die sehr schnell zum Übergang der Strömung in die Turbulenz führen. Aufgrund dieses sehr abrupten Übergangs spricht man auch häufig vom „laminar-turbulenten Grenzschichtumschlag“. Kohama et al. [69,70] und Lerche [76] beobachteten in ihren detaillierten experimentellen Untersuchungen, dass unmittelbar vor dem Zusammenbruch des Querströmungswirbels eine hochfrequente, dreidimensionale Instabilität zu beobachten ist. Sie haben diese Instabilität lokal im Strömungsfeld, etwas seitlich und oberhalb des Querströmungswirbels, gemessen. Kohama hat dabei aber auch das Auftreten einer zweiten hochfrequenten Instabilität beobachtet. Dies ist in der Skizze von Kohama [70] in Abbildung (4.1) exemplarisch dargestellt. Beide Autoren führen den physikalischen Mechanismus, der letztendlich zum laminar-turbulenten Übergang führt, auf das Auftauchen dieser hochfrequenten Instabilität zurück. In diesem Kapitel soll das dreidimensionale Störungswachstum und der Übergang in die Turbulenz anhand detaillierter numerischer Simulationen untersucht werden. Wie schon in Kapitel 2 erläutert wurde, ist die numerische Simulation an das Experiment von Bippes et al. [12] angepasst. Lerche [76] führte seine Experimente bei etwas niedrigerer, aber doch vergleichbarer Anströmgeschwindigkeit durch. Die laminare Grundströmung kann sehr gut mit Hilfe von FSC-Ähnlichkeitsprofilen angenähert

54

4 Transition in der 3D-Grenzschicht

Abbildung 4.1: Darstellung der lokalen Gebiete, in dem die hochfrequenten Instabilitäten von Kohama [70] gemessen worden sind.

werden [88]. Die numerische Simulation unter Verwendung des zeitlichen Modells berechnet das zeitliche Anwachsen der Störungen in der Grenzschicht an der ebenen Platte an einer stromabwärtigen Position von 80% der Plattentiefe c˜ . An dieser Plattenposition ändern sich die charakteristischen Parameter der Grenzschicht wie Hartree-Parameter, lokaler Schiebewinkel nur noch unmerklich. In Tabelle (4.1) sind die phyikalischen Daten der Anströmung und der Grenzschicht an der Position x c = 0.8 zusammengefasst. Die mit diesen Grundströmungsdaten gebildete Reyn-

4.1 Einleitung

55

Erläuterung

Grösse

Wert

Viskosität

ν˜

15.1 · 10-6 m2/s

Länge der Platte

c˜

0.5 m

Anströmgeschwindigkeit

˜∞ Q

19 m/s

Schiebewinkel der Platte

ϕ∞

45°

Geschwindigkeit am Grenzschichtrand bei x c = 0.8

˜ 0e Q

17.57 m/s

Lokaler Schiebewinkel

ϕ e ( x c = 0.8 )

46.9°

Länge des Rechengebietes

λ˜ x

55.7 mm

Breite des Rechengebietes

λ˜ y

9.28 mm

Blasius-Länge

d˜ ( x c = 0.8 )

7.09 · 10-4 m

Dimensionslose Dicke der Grenzschicht

δ 99.9 ( x c = 0.8 )

4.41

Dimensionsbehaftete Dicke der Grenzschicht

δ˜ 99.9 ( x c = 0.8 )

3.13 mm

Dimensionsbehaftete Zeit

˜ 0e T˜ = d˜ ⁄ Q

4.035 · 10-5 s

Tabelle 4.1: Physikalische Daten der Anströmung und der Strömung an der lokalen Plattenposition x c = 0.8 für das Experiment von Bippes et al. [12].

oldszahl Re = 826 wurde in allen nachfolgend dargestellten numerischen Simulationen unverändert gelassen. Wesentliche, durch die Rezeptivität bestimmte Parameter der Störungsentwicklung in der dreidimensionalen Grenzschicht sind die anfänglichen Amplituden der Querströmungswirbel und die der laufenden, dreidimensionalen Wellen. Aus diesem Grund wurden numerische Simulationen mit unterschiedlichen Amplituden stationärer und laufender Wellen durchgeführt. Als anfängliche Störungen werden der laminaren Grenzschicht jeweils ein Querströmungswirbel und eine schräglaufende, dreidimensionale Welle überlagert. Beide Störungen werden aus einer linearen Stabilitätsanalyse bestimmt und stellen die jeweils am stärksten angefachte Eigenfunktion dar. Die

56

4 Transition in der 3D-Grenzschicht

Amplituden der einzelnen Moden geben das Amplitudenmaximum der jeweiligen Eigenfunktion innerhalb der Grenzschicht in Relation zur Geschwindigkeit Q 0, e am Grenzschichtrand an. Die spannweitige Wellenzahl β = 0.48 charakterisiert den stationären Querströmungswirbel und wurde ebenfalls aus einer linearen Stabilitätsanalyse ermittelt. Die stromabwärtige Wellenzahl α = 0.08 wurde so gewählt, dass die schräglaufende Welle mit den Wellenzahlen α und β die von Fischer & Dallmann [33,34] vorhergesagte, am stärksten angefachte sekundäre Instabilität erfasst. Die in dieser Arbeit dargestellten numerischen Simulationen mit unterschiedlichen Störungsamplituden sind in Tabelle (4.2) dargestellt. Die räumliche Diskretisierung in den wandparallelen Ebenen wird mit fortlaufender Simulationszeit entsprechend dem Anwachsen der Störenergie sukzessive erhöht. Die maximale Diskretisierung im Stadium des Zusammenbruchs der laminaren Strukturen und der vollturbulenten Strömung ist in der Tabelle (4.2) ebenfalls angegeben. Fall

A CF

A tr

N ⋅ N ⋅ N  y z max  x

T1

0.25%

ca. 10-6 %

200 ⋅ 216 ⋅ 160

T2

0.25%

0.10%

240 ⋅ 192 ⋅ 160

T3

ca. 10-6 %

0.10%

192 ⋅ 192 ⋅ 160

Tabelle 4.2: Amplituden der Anfangsstörungen und maximale räumliche Diskretisierung der numerischen Simulationen. In den Simulationen T1 und T3 wurden den Störungen endlicher Amplitude sehr kleine und unregelmässige Störungen überlagert („white noise“).

Die numerische Auflösung ist so gewählt und kontrolliert worden, dass die Störungsenergien in den einzelnen Fouriermoden (kx,ky) zu jedem Zeitpunkt um mindestens drei Grössenordnungen abklingen. Im Vergleich zu den numerischen Simulationen von Meyer [87] und Wagner [120] wurde die Abbildung des halbunendlichen Intervalls in wandnormaler Richtung auf die Gauss-Lobatto-Kollokationspunkte im ChebychevRaum verbessert und es wurde wesentlich höher aufgelöst. Dies garantiert insbesondere eine verbesserte Diskretisierung der wandnormalen Gradienten ∂ ⁄ ∂z , die sich in den vorherigen Arbeiten als kritisch erwiesen haben. Die Abbildungskoeffizienten gemäss den Gleichungen (2.14) bis (2.17) lauten für alle nachfolgend diskutierten Simulationen γ 0 = 25 , γ 1 = 20 , α 1 = 1.0 , α 2 = 0.6917 und α 3 = 0.5 .

4.2 Fall 1: Stark dominierender Querströmungswirbel 4.2.1 Zeitlicher Verlauf des Störungswachstums Die zeitliche Entwicklung der Störungen in einer dreidimensionalen numerischen Si-

4.2 Fall 1: Stark dominierender Querströmungswirbel

57

mulation mit anfänglich vernachlässigbarer Amplitude der laufenden, dreidimensionalen Wellen verläuft zu frühen Zeiten ähnlich der numerischen Simulation der zweidimensionalen Störungsentwicklung in Kapitel 3.4 (Fall S2). Allerdings ist die anfängliche Amplitude des Querströmungswirbels, der der laminaren FSC-Grundströmung überlagert wurde, in der 3D-Simulation um den Faktor 2.5 grösser als in der zweidimensionalen Simulation. Dies führt zu einer Verschiebung der korrespondierenden Strömungszustände der beiden Simulationen auf der Zeitachse. In Abbildung (4.2) ist die zeitliche Entwicklung ausgewählter Fourieramplituden der Stromabkomponente der Geschwindigkeit zu sehen. Zum Zeitpunkt t = 0 werden dem Querströmungswirbel zufällige dreidimensionale Störungen von sehr kleinen –6 Amplituden von A ≈ 10 % überlagert. Die Amplitude des Querströmungswirbels wächst zunächst linear an und generiert die höherharmonischen Querströmungsmoden (0,ky). Die Amplituden dieser Moden nähern sich zum Zeitpunkt t ≈ 900 einem Sättigungswert an, wobei die Amplitude des Querströmungswirbel zum Zeitpunkt t = 1030 eine maximale Amplitude von A CF = 29.2% erreicht. Eine Betrachtung der zunächst zweidimensionalen Struktur der Strömung zeigt bis zu den Zeitpunkten t ≈ 900 ähnliche Formen wie die Stromlinienbilder der Simulation S2 in Abbildung (3.11) auf. Die Amplitude des Querströmungswirbels erreicht wieder einen Wert oberhalb einer kritischen Amplitude von 22.5%, was zur lokalen Ablösung der Querströmung in yv-Richtung unterhalb des Querströmungswirbels und zur Bildung eines wandnahen Wirbels führt. In Abbildung (4.2) ist desweiteren zu erkennen, dass die schräglaufende Welle (1,1) nach einer transienten Phase linear anwächst. Alle anderen schräglaufenden Wellen sind zu diesem Zeitpunkt linear gedämpft. Dies stimmt mit den Vorhersagen der linearen Theorie überein. Die Amplitude der Mode (1,1) ist zu diesen Zeiten der Simulation noch vernachlässigbar klein. Ab der Zeit t ≈ 620 wird die Amplitude dieser Mode nicht mehr angefacht, sondern gedämpft. Die vorher gedämpften dreidimensionalen Wellen (kx,1) beginnen ab dem Zeitpunkt t = 650 zu wachsen. In Abbildung (4.3) ist weiterhin zu erkennen, dass auch die Moden (6,0) und (7,0) im stark nichtlinearen Stadium rapide anwachsen. Daraus lässt sich ableiten, dass ab dem Zeitpunkt t ≈ 650 alle Moden (6,ky) und (7,ky) stark angefacht sind. Die Moden (6,ky) und (7,ky) stellen sich als dominante Störungen heraus. Die Mode (7,1) setzt sich gegenüber der Mode (6,1) durch und erreicht zum Zeitpunkt t = 1050 eine maximale Amplitude von 2.2%. Das Anwachsen dieser beiden Moden stellt eine sekundäre Instabilität der durch die nichtlinear verformten Querströmungswirbel gestörten Grundströmung dar. Dies wird in Kapitel 5 näher diskutiert und untersucht. Ab dem Zeitpunkt t = 1050 wachsen schlagartig alle höheren Moden an und das Strömungsfeld erreicht ab dem Zeitpunkt t ≈ 1250 einen nahezu turbulenten Zustand. Es ist hierbei aber auch zu erwähnen, dass sich die Amplitude der Mode (1,1), die einen wesentlichen Beitrag zum dominanten Querströmungswirbel liefert, ab dem Zeitpunkt t ≈ 1100 kontinuierlich verringert und sich hinterher nicht wesentlich von der

58

4 Transition in der 3D-Grenzschicht 0

10

−1

10

−2

10

−3

10

−4

^

|uv|max (kx,ky)

10

(0,0) (0,1) (0,2) (0,3) (0,4) (0,5) (0,6) (0,7) (0,8) (0,9)

−5

10

−6

10

−7

10

−8

10

−9

10

−10

10

−11

10

0

250

500

750

1000

1250

1500

1750

t 10 10 10 10

^

|uv|max (kx,ky)

10 10 10 10 10 10 10 10

0

−1

−2

−3

−4

(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (7,1) (8,1) (9,1)

−5

−6

−7

−8

−9

−10

−11

0

250

500

750

1000

1250

1500

1750

t Abbildung 4.2: Zeitliche Entwicklung der maximalen Fourieramplituden der Querströmungsmoden (oben) und dreidimensionaler Wellen (unten) für den Simulationsfall T1.

Grössenordnung der anderen Moden unterscheidet. Dies zeigt die kontinuierliche Auflösung bzw. den Zusammenbruch der grossskaligen Struktur des Querströmungswirbels an. Dahingegen erreicht die mittlere Verformung, die in der Mode (0,0) wiedergespiegelt wird, eine nahezu konstante maximale Amplitude von ca. 30%. Das Auftreten der stark dominierenden Wellen (6,ky) und (7,ky) korrespondiert mit den

4.2 Fall 1: Stark dominierender Querströmungswirbel

10 10 10 10

^

|uv|max (kx,ky)

10 10 10 10 10 10 10 10

59

0

−1

−2

−3

−4

(1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5,0) (6,0) (7,0) (8,0) (9,0)

−5

−6

−7

−8

−9

−10

−11

0

250

500

750

1000

1250

1500

1750

t Abbildung 4.3: Zeitliche Entwicklung der maximalen Fourieramplituden der laufenden Wellen (kx,0) für den Simulationsfall T1.

lokalen Maxima in der Verteilung der Störenergie, die von Meyer [87] beobachtet wurde. Da diese beiden Moden sich nur in einem kleinen Zeitraum von den anderen Moden unterscheiden liegt die Vermutung nahe, dass sie in der Simulation von Wagner [120] übersehen worden sind, da der entsprechende Zeitpunkt nicht ausgewertet wurde. Die linearen Anfachungsraten der anfänglich wachsenden Moden (0,1) und (1,1) ergeben sich zum Zeitpunkt t = 250 zu ω i = 0.0069 und ω i = 0.0060 . Demgegenüber sind in Abbildung (4.4) die Anfachungsraten der Moden (6,1) und (7,1) graphisch dargestellt. Man erkennt deutlich, dass die Anfachungsraten der einzelnen Moden nahezu linear mit der Zeit ansteigen. Sie erreichen zum Zeitpunkt t = 970 eine maximale Anfachung von ω i = 0.597 für die Mode (6,1) und ω i = 0.686 für die Mode (7,1) und sind somit um Faktor 10 grösser als die linearen Anfachungsraten. Die Anfachungsraten der Moden (13,1) und (14,1) ergeben sich aus der nichtlinearen Verdopplung der vorherbeschriebenen Moden. Aufgrund der Rotationsbewegung befindet sich im Innern eines Wirbels ein lokales Minimum im Druckverlauf. Die Grösse des statischen Drucks gibt indirekt einen Hinweis auf die Stärke des Wirbels. Der minimale und maximale statische Druck, der durch

60

4 Transition in der 3D-Grenzschicht

0.15 0.14 (13,1) (14,1) (6,1) (7,1)

0.13 0.12 0.11 0.10

ωi

0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00

0

200

400

600

800

1000

1200

t Abbildung 4.4: Verlauf der Anfachungsraten ω i im Simulationsfall T1 für ausgewählte Moden (kx,1) als Funktion der Zeit.

p min = Min p ( x, y, z ) – p ∞

(4.1)

p max = Max p ( x, y, z ) – p ∞

(4.2)

im Strömungsfeld der betrachten Simulation gegeben ist, ist in Abbildung (4.5) über der Simulationszeit t aufgetragen. Dort ist zu erkennen, dass die Druckminima und Druckmaxima zunächst linear mit der Zeit anwachsen. Ab dem Zeitpunkt t ≈ 1050 wachsen sie aber dramatisch an und erreichen zum Zeitpunkt t ≈ 1150 ihre maximalen Werte. Der minimale statische Druck erreicht zum Zeitpunkt t = 1148 einen Wert von p min = -0.118 . Diese lokalen Druckspitzen sind mit lokal ausgeprägten Wirbelsystem verbunden, wie dies beispielhaft in der Abbildung (4.26) ersichtlich wird. Die Druckschwankungen verringern sich im Anschluss an die eigentliche Transition beim Übergang in den turbulenten Strömungszustand wieder. Die grösste numerische Auflösung wird für die Berechnung des unmittelbaren Zusammenbruchs der laminaren Strömung und der Querströmungswirbel benötigt, da die Druckspitzen in Abbildung (4.5) direkt mit räumlich konzentrierten wirbelartigen Strukturen verbunden

4.2 Fall 1: Stark dominierender Querströmungswirbel

61

sind, die durch das räumliche Diskretisierungsschemata aufgelöst werden müssen. In der Turbulenz könnte die Auflösung in den wandparallelen Ebenen wieder etwas reduziert werden. Dies ist im Rahmen dieser Arbeit aber nicht vorgenommen worden.

4.2.2 Verlauf stromabgemittelter Grössen Zu frühen Zeitpunkten der numerischen Simulation stellt das stromabgemittelte Strömungsfeld λx

1 Q ( y v, z, t ) = ----λx

∫ Q( x, y, z, t ) dx

(4.3)

0

die exakte zweidimensionale Struktur des Strömungsfeldes dar, da die dreidimensionalen Störungen noch vernachlässigbar klein sind. Mit fortlaufender Simulationszeit und dem Anwachsen der dreidimensionalen Wellen entspricht das gemittelte Profil nicht mehr dem Strömungsfeld an lokalen xv-Schnitten. Dennoch gibt das stromab gemittelte Profil einen Aufschluss über das Verhalten der Strömung. In der Abbildung (4.6) ist die stromabgemittelte Hauptströmungskomponente der Geschwindigkeit in xv-Richtung zu fünf unterschiedlichen Zeitpunkten dargestellt. Zum Zeitpunkt t = 650 ist das Strömungsfeld durch den Querströmungswirbel, dessen Wirbelzentrum sich bei y v ≈ 11 befindet, geringfügig gestört. Fluid niedrigen Impulses 0.08

pmin pmax

0.04

pmin , pmax

0.00

−0.04

−0.08

−0.12 500

600

700

800

900

1000

1100

1200

1300

1400

1500

t Abbildung 4.5: Zeitliche Entwicklung des maximalen und minimalen Drucks im Strömungsfeld der numerischen Simulation T1.

62

4 Transition in der 3D-Grenzschicht

t = 650

t = 800

t = 900

t = 1000

t = 1050

Abbildung 4.6: Räumliche Verteilung der gemittelten Stromabkomponente u v der Geschwindigkeit in der numerischen Simulation T1 zu unterschiedlichen Zeitpunkten. Die Isolinien kennzeichnen den Bereich der Geschwindigkeiten von 0.3 bis 0.9 mit 10 Konturlinien.

4.2 Fall 1: Stark dominierender Querströmungswirbel

63

wird durch den entgegen der Uhrzeigerrichtung drehenden Wirbel auf der einen Seite des Wirbel ( y v ≈ 7 ) von der Wand weg befördert. Dementsprechend gelangt durch die Drehung des Wirbels bei y v ≈ 13 Fluid hohen Impulses nahe an die Wand. Wie aus den Prinzipskizzen in Abbildung (2.3) ersichtlich ist, kann das Fluid von nahe an der Wand nur maximal an der Trennstromfläche und damit zum Sattelpunkt hin transportiert werden. Aus diesem Grund bildet sich an der Trennstromfläche und dem Sattelpunkt ein Gebiet hoher Scherung ∂u ⁄ ∂y und ∂u ⁄ ∂z aus. Es ist zum Zeitpunkt t = 1050 zu erkennen, dass schnelles Fluid nahe an die Wand heranrückt und somit sehr hohe Gradienten der Komponte ∂u ⁄ ∂z auf der linken Seite der Wirbel erzeugt werden. In der Abbildung (4.7) ist die topologische Stromlinienstruktur mittels der LIC-Technik für eine periodische Wellenlänge des Querströmungswirbels zu erkennen. Deutlich zeigt sich wieder der nahe an der Wand gegensinnig rotierende Wirbel, der durch die Ablösung der Sekundärströmung ab einer gewissen Amplitude des Querströmungswirbels entsteht. Das Abheben des wandnahen Wirbels von der Wand erfolgt in dieser Simulation zwischen den Zeitpunkten t = 810 und t = 840 und fällt somit mit dem Auftreten der stark angefachten höherharmonischen Wellen (6,ky) und (7,ky) zusammen. Der wandnahe Wirbel ist zum späteren Zeitpunkt t = 900 nicht mehr in der topologischen Struktur des stromabgemittelten Strömungsprofils zu erkennen. Er wird in der Strömung durch das gleichsinnige Rotieren der Querströmungswirbel in Anwesenheit der Wand induziert. Er dreht in entgegengesetzter Richtung zum Querströmungswirbel. Einen ähnlichen wandnahen Wirbel haben Malik et al. [83] in der Simulation der schiebenden Hiemenz-Strömung beobachtet. Auf die Bildung eines solchen Wirbels wurde bei den vorhergehenden Untersuchung der nichtlinearen Sättigungslösungen der 3D-Grenzschicht in Kapitel 3 eingegangen. Zum Zeitpunkt der nichtlinearen Verformung des Querströmungswirbels, bei dem die Überlagerung der Fundamentalmode durch ihre höherharmonischen Moden erfolgt, ist eine langsame Driftbewegung des Wirbelzentrums in positiver yv-Richtung zu beobachten. Dies ist insbesondere in den Visualisierungen in den Abbildungen (4.6) und (4.7) zu erkennen.

4.2.3 Sekundärströmung an lokalen Schnitten Es lässt sich insbesondere in der Verteilung der Stromabkomponente der Wirbelstärke ∂w ∂v ω x = ------- – --------v ∂y ∂z

(4.4)

erkennen, dass der Querströmungswirbel Fluid niedrigen Impulses zum Grenzschichtrand hin befördert. Zum Zeitpunkt t = 1000 zeigt sich in der Wirbelstärkever-

64

4 Transition in der 3D-Grenzschicht

t = 770

t = 810

t = 840

t = 900

Abbildung 4.7: Räumliche Verteilung der gemittelten Stromabkomponente u v der Geschwindigkeit in der numerischen Simulation T1 zu unterschiedlichen Zeitpunkten.

4.2 Fall 1: Stark dominierender Querströmungswirbel

65

teilung in Abbildung (4.8) hauptsächlich nur der Querströmungswirbel mit seiner negativen Kompontente von ω x . Dennoch ist auch zu diesem Zeitpunkt schon der Transport von positiver Wirbelstärke, die sich nahe an der Wand aufgrund der Verdrängungswirkung des Querströmungswirbels durch den Gradienten ∂v v ⁄ ∂z gebildet hat, anhand der Rotationsbewegung des Wirbels zum Sattelpunkt hin zu erkennen. Die Konzentration von sowohl negativer als auch positiver Wirbelstärke ω x t = 1000

t = 1050

t = 1090

Abbildung 4.8: Räumliche Verteilung der Stromabkomponente ω x der Wirbelstärke in der numerischen Simulation T1 zu unterschiedlichen Zeitpunkten t an der Stelle x v = 0.0 . Die Skalierung der einzelnen Bilder erfolgt bei jeweils 18 Konturlinien von ω x = -0.08 ... 0.29 (oben), ω x = -0.1 ... 0.275 (Mitte) und ω x = -0.6 ... 0.91 (unten). Die Farbverteilung geht von blau (negative Werte) bis rot (positive Werte).

66

4 Transition in der 3D-Grenzschicht

in der Nähe des Sattelpunktes lässt sich in Abbildung (4.8) ebenfalls deutlich erkennen. Am Sattelpunkt liegen zwei lokal stark ausgeprägte Wirbelstärkezentren dicht beieinander, die dementsprechend eine erhöhte lokale Scherschicht erzeugen. Wie sehr diese lokale Konzentration zunimmt, lässt sich anhand der Verteilung zum Zeitpunkt t = 1090 erkennen. Zum Zeitpunkt t = 1050 ist ausserdem oberhalb des Querströmungswirbels ein kleines lokales Gebiet positiver Wirbelstärke ω x zu erkennen. Hingegen zeigt sich in der Darstellung des Geschwindigkeitsgradienten ∂u v ⁄ ∂z in Abbildung (4.9), dass sich dort eine lokale Scherung befindet, die einen Beitrag zur yv-Komponente des Wirbelstärkevektors liefert. Dies zeigt an, dass sich nun die dreidimensionalen Störungen in der Grenzschicht bemerkbar machen. Diese hohen lokalen Gradienten lassen sich nur oberhalb der Trennstromfläche finden. Dahingegen zeigt die Darstellung der Gradienten zum Zeitpunkt t = 1090 , dass in der Topologie der Stromlinien kein Sattelpunkt mehr zu finden ist und dass sich mehrere Gebiete lokaler Scherung gebildet haben. Hierdurch wird deutlich, dass der Querströmungswirbel durch immer

t = 1050

t = 1090

Abbildung 4.9: Räumliche Verteilung des Geschwindigkeitsgradienten ∂u v ⁄ ∂z in der numerischen Simulation T1 zu unterschiedlichen Zeitpunkten t an der Stelle x v = 0.0 . Die Skalierung der Bilder erfolgt bei jeweils 18 Konturlinien von -0.32 ... 1.65 (oben) und -0.91 ... 1.68 (unten). Die Farbverteilung erstreckt sich von blau (negative Werte) bis rot (positive Werte).

4.2 Fall 1: Stark dominierender Querströmungswirbel

67

kleinskaligere Strukturen gestört wird. Bei den Gradienten, die in Abbildung (4.10) zum turbulenten Zeitpunkt t = 1500 dargestellt sind, sind keine charakteristischen topologischen Strukturen mehr zu erkennen. Zu diesem Zeitpunkt ist die Strömung schon nahezu turbulent und die wandnahe turbulente Schicht dominiert hauptsächlich die Topologie des Strömungsfeldes.

4.2.4 Dreidimensionale wirbelartige Strukturen Die dominierende wirbelartige Struktur zu den frühen Zeitpunkten der Simulation stellt der Querströmungswirbel dar. Anhand der Verteilung der Komponenten der Wirbelstärke ersieht man aber, dass sich zu den späten Zeitpunkten neue energiereiche Wirbelsysteme bilden, die sich dem Querströmungswirbel überlagern und ihn zum Schluss zerstören. Diese wirbelartigen Strukturen lassen sich sehr gut mit dreidimensionalen Darstellungen charakteristischer Grössen darstellen. Dies wurde beispielsweise in den Arbeiten von Wagner [120], Wintergerste et al. [125] und Mielke [91] getan. Wintergerste et al. [125] zeigten aber insbesondere im Fall der Blasius-Grenzschicht, welche Auswirkung die Wahl der charakteristischen Grösse hat, an der man die Wirbelbewegung verdeutlicht. Unterschiedliche Analysemethoden sind im Anhang A dieser Arbeit darstellt. Die Darstellung von Isoflächen konstanten statischen Druckes stellt die am meisten verbreitete und einfachste Art der Visualisierung eines Wirbels dar. Allerdings ist es mit dieser Methode schwierig, Wirbelsysteme unterschiedlicher Stärke, die gleichzeitig im Strömungsfeld auftreten, zu visualisieren. Demgegenüber ermöglichen Methoden, die auf einer Untersuchung des Geschwindigkeitsgradiententensors (siehe hierzu auch Chong et al. [19] und Jeong & Hussain [52]) beruhen, solche unterschiedlichen Wirbelsysteme zu identifizieren. Diese Methoden sind aber nicht sehr

t = 1500

Abbildung 4.10: Räumliche Verteilung des Geschwindigkeitsgradienten ∂u v ⁄ ∂z in der numerischen Simulation T1 zum Zeitpunkt t = 1500 an der Stelle x v = 0.0 . Die Skalierung des Bildes erfolgt bei 18 Konturlinien von -1.40 ... 6.2. Die Farbverteilung erstreckt sich von blau (negative Werte) bis rot (positive Werte).

68

4 Transition in der 3D-Grenzschicht

Abbildung 4.11: Räumliche Darstellung der wirbelartigen Strukturen in der Simulation T1 zum Zeitpunkt t=1000 anhand der Visualisierung der Isoflächen des statischen Druckes. Es ist die Isofläche mit dem statischen Druck von piso=-0.003 dargestellt.

verbreitet, da sie zum einen sehr rechenzeitintensiv sind und zum anderen aufgrund der benötigten räumlichen Ableitungen eine genauere Approximation der Geschwindigkeitsgradienten durch das numerische Verfahren erfordern. Dennoch sollten zur genauen Analyse der Strömungstopologie beide Verfahren verwendet werden. In der Abbildung (4.11) sind zwei spannweitige Perioden des Querströmungswirbels zum Zeitpunkt t = 1000 anhand von Isoflächen konstanten statischen Drucks dargestellt. Obwohl in den vorherigen Abschnitten schon an der Verteilung der lokalen Wirbelstärke eine Störung des Querströmungswirbels zu erkennen war, lässt sich dies in der Darstellung der Druckisoflächen nicht verdeutlichen. Dort erscheint der Querströmungswirbel noch völlig ungestört. Allerdings sind in der Abbildung (4.12) die wirbelartigen Strukturen anhand der Isoflächen der zweiten Invariante des Geschwindigkeitsgradiententensors zu erkennen. Dort ist sowohl die Struktur des Querströmungswirbels als auch eine Struktur in der Nähe der Wand bzw. des Sattelpunktes zu erkennen. Zudem erstreckt sich eine Struktur auf der rechten Seite des Querströmungswirbels quer im Raum. Sie beginnt im Bereich des Sattelpunktes und reicht hinauf bis rechts oberhalb1 des Querströmungswirbels. In Haupströmungsrichtung sind sieben unterschiedlich ausgeformte Strukturen dieser Art zu erkennen. Dies 1. In all diesen Ortsangaben blickt man jeweils in Haupströmungsrichtung.

4.2 Fall 1: Stark dominierender Querströmungswirbel

69

Abbildung 4.12: Räumliche Darstellung der wirbelartigen Strukturen in der Simulation T1 zum Zeitpunkt t=1000 anhand der Visualisierung der Isoflächen der zweiten Invarianten des Geschwindigkeitsgradiententensors. Es ist die Isofläche mit einem Wert von 0.00001 dargestellt.

lässt darauf zurückschliessen, dass diese Strukturen in direktem Zusammenhang zu den Moden (6,ky) und (7,ky) stehen. In der räumlichen Darstellung der wirbelartigen Stukturen in Abbildung (4.13) sind sieben regelmässige Strukturen zu erkennen. Dies zeigt an, dass sich im Transitionsprozess die Moden (7,ky), die auch eine höhere Anfachungsrate gegenüber den Moden (6,ky) besitzen, dominant werden. Da die Rotationsbewegung dieses neuen seitlichen Wirbelsystems zu Beginn des nichtlinearen Stadiums noch relativ schwach ist, ist sein lokales Druckminimum im Zentrum des Wirbelsystems noch nicht stark ausgebildet. Da aber mit fortlaufender Simulationszeit die Wirbelstärke ω und damit die Rotation ansteigt, muss sich dies auch in der Verteilung des statischen Druckes wiederspiegeln. Aus diesem Grund ist in Abbildung (4.13) der statische Druck zu dem späteren Zeitpunkt t = 1070 der Simulation T1 darstellt. Gegenüber der vorherigen Darstellung sind die seitlichen wirbelartigen Strukturen wesentlich deutlicher ausgeprägt. Gleichzeitig ist in der Abbildung (4.13) oben die Wirbelstruktur mit einer Farbkodierung der lokalen Geschwindigkeit u v in Haupströmungsrichtung überlagert. Es ist deutlich zu erkennen, dass sich die seitlichen Strukturen in einem Gebiet befinden, in dem sich ein schmaler Streifen hoher Fluidgeschwindigkeit von nahe an der Wand bis an den Grenzschichtrand erstreckt. Da sich die Moden (7,ky) eindeutig gegenüber allen anderen Moden durchgesetzt haben, hat die stromabweitige Variation der sieben Strukturen abge-

70

4 Transition in der 3D-Grenzschicht

Abbildung 4.13: Räumliche Darstellung der wirbelartigen Strukturen in der Simulation T1 zum Zeitpunkt t=1070 anhand von Isoflächen des statischen Druckes. Es sind die Isoflächen mit dem Wert piso=-0.0018 dargestellt. In der obigen Darstellung sind die Isoflächen mit der Hauptströmungskomponente uv der Geschwindigkeit dargestellt. Dagegen sind die Strukturen unten mit der Wirbelstärkekomponente ωx eingefärbt. Der Farbverlauf geht von blau (niedrige Werte) bis rot (hohe Werte).

4.3 Fall 2: Querströmungswirbel mit überlagerten Störungen

71

nommen. In Abbildung (4.13) unten sind die wirbelartigen Strukturen mit der Wirbelstärkekomponte ω x eingefärbt. Das Nahebeieinanderliegen von Minima und Maxima, die durch die blauen und roten Streifen auf der Struktur zu erkennen sind, zeigt, dass die Topologie des neuen Wirbelsystems mit den Beobachtungen am Sattelpunkt, die in den Abbildungen (4.6) bis (4.9) gemacht worden sind, übereinstimmen. Das neue Wirbelsystem breitet sich vorwiegend nur in die xv-Richtung aus, da sich seine Lage in den Darstellungen zu den zwei unterschiedlichen Zeitpunkten hauptsächlich nur in dieser Ausrichtung unterscheidet. Das Auftreten des neuen Wirbelsystems liegt an der gleichen relativen Position, an der Kohama et al. [70] eine hochfrequente Instabilität gemessen hat. Dieses Gebiet ist in der Abbildung (4.1) mit f1 bezeichnet. Im Anschluss an das Auftreten dieses neuen Wirbelsystems geht die Strömung in die Turbulenz über, wobei sich in kurzer Zeit immer kleinskaligere Strukturen bilden. Dies wird im folgenden Abschnitt in der Simulation T2 verdeutlicht.

4.3 Fall 2: Querströmungswirbel mit überlagerten Störungen 4.3.1 Zeitlicher Verlauf des Störungswachstums In der Simulation T2 wird diesmal dem stationären Querströmungswirbel mit der Amplitude ACF=0.25% eine dreidimensionale laufende Welle mit der Amplitude von Atr=0.1% überlagert. Diese laufende Welle wird durch die Mode (1,1) dargestellt. Ihre Eigenfunktion zum Zeitpunkt t=0 stellt die am stärksten angefachte Eigenfunktion des linearen Eigenwertproblems dar. Aus diesem Grund wächst die Mode linear mit der Zeit gemäss der linearen Theorien an. In den Arbeiten von Meyer [87] und Wagner [120] stellte diese Mode zum Zeitpunkt t=0 eine Überlagerung von 20 einzelnen Eigenfunktionen dar, von denen allerdings nur eine angefacht war. Darum konnte man in jenen Simulationen eine gedämpfte Anfangstransiente beobachten, bevor die Amplitude der Mode (1,1) gemäss der linearen Theorie zu wachsen begann. Die Amplitude, der hier dargestellten laufenden Welle, ist dementsprechend höher als in den erwähnten Arbeiten. In Abbildung (4.14) ist das Modenwachstum der stationären und laufenden Störungen für die Simulation T2 dargestellt. Beide initialisierten Moden wachsen gemäss den linearen Anfachungsraten der linearen Theorie an und erzeugen aufgrund der Nichtlinearität höherharmonische Störungen. Schon zum Zeitpunkt t=700 erreicht die Querströmungsmode eine Amplitude von ACF=20%. Ihr Wachstum verlangsamt sich in diesem nichtlinearen Stadium, so dass sie zum Zeitpunkt t=800 eine Amplitude von ACF=24.7% erreicht. Die maximale Amplitude von ACF=25.9% kann zum Zeitpunkt t=945 beobachtet werden. Danach wächst sehr schnell das ganze Spektrum an höherharmonischen Störungen an und die Strömung geht in die Turbulenz über, was dazu führt, dass sich die Amplituden der einzelnen Moden verringern. So sinkt die Amplitude der eigentlichen Querströmungsmode stetig und schwankt im turbulenten

72

4 Transition in der 3D-Grenzschicht

10 10 10 10

^

|uv|max (kx,ky)

10 10 10 10 10 10 10 10

0

−1

−2

−3

−4

(0,0) (0,1) (0,2) (0,3) (0,4) (0,5) (0,6) (0,7) (0,8) (0,9)

−5

−6

−7

−8

−9

−10

−11

0

250

500

750

1000

1250

1500

1750

t 10 10 10 10

^

|uv|max (kx,ky)

10 10 10 10 10 10 10 10

0

−1

−2

−3

−4

(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (7,1) (8,1) (9,1)

−5

−6

−7

−8

−9

−10

−11

0

250

500

750

1000

1250

1500

1750

t Abbildung 4.14: Zeitliche Entwicklung der maximalen Fourieramplituden der Querströmungsmoden (oben) und dreidimensionaler Wellen (unten) für den Simulationsfall T2.

Bereich bei einem Wert von ca. ACF=2%. Ausserdem ist in der Abbildung (4.15) zu erkennen, dass die höherharmonischen Wellen der Querströmungsmode beträchtliche Amplituden erreichen. So betragen die maximalen Amplituden der Moden (0,2) und (0,3) jeweils A(0,2)=15% bzw. A(0,3)=10%. Gegenüber den stationären Querströmungsmoden sind in der Abbildung (4.14) unten

4.3 Fall 2: Querströmungswirbel mit überlagerten Störungen

73

0.35 (0,0) (0,1) (0,2) (0,3) (0,4) (0,5) (0,6) (0,7) (0,8) (0,9)

0.30

0.20

0.15

^

|uv|max (kx,ky)

0.25

0.10

0.05

0.00

0

250

500

750

1000

1250

1500

1750

t Abbildung 4.15: Zeitliche Entwicklung der maximalen Fourieramplituden der Querströmungsmoden für den Simulationsfall T2 in linearer Darstellung.

die laufenden Wellen (kx,1) dargestellt. Auch hier ist das Wachstum der primären Störung (1,1) verdeutlicht. Die Amplitude erreicht ein erstes Maximum von Atr=2.6% zum Zeitpunkt t=610. Danach fällt die Amplitude wieder geringfügig ab. Nach einem minimalen Wert zur Zeit t=860 von Atr=1.5% wächst sie wieder an und erreicht ihr absolutes Maximum von Atr=5.6% zum Zeitpunkt t=1010. Danach geht auch diese Mode in das breite turbulente Spektrum über. Die deutliche Dominanz der Störung (6,1) und (7,1), wie es im vorhergehenden Fall der Simulation T1 beobachtet wurde, kann am Modenwachstum nicht direkt abgelesen werden. In dieser Simulation wachsen ab einer gewissen Zeit t alle Moden des Spektrums an. Das Wachstum der Mode (7,1) wird zur Zeit t=750 kurz unterbrochen. Doch kurz danach wächst die Mode mit allen anderen Moden mit einer hohen Anfachungsrate wieder an. Zu späten Zeiten der Simulation stellt die Amplitude A(0,0) der mittleren Verformung der Mode (0,0) die dominierende Störung dar. Sie erreicht zum Zeitpunkt t=1130 eine maximale Amplitude von A(0,0)=31.8%. Die Amplitude dieser Mode fällt aber im turbulenten Bereich kontinuierlich ab. Dies unterscheidet sie von den höheren Moden, die um einen gewissen konstanten Wert schwanken. Zum Zeitpunkt t=1700 erreicht die Mode (0,0) einen Wert von A(0,0)=26%. Das kontinuierliche Abklingen der mittleren Verformung stellt einen Effekt des zeitlichen Modells dar, der am Beispiel der Blasius-Grenschicht in Kaptitel 3 diskutiert wurde. Das zeitliche Störungswachstum erfolgt im Vergleich zur Simulation T1 wesentlich schneller, was wie erwähnt auf die höhere Startamplitude der laufenden Wellen zu-

74

4 Transition in der 3D-Grenzschicht

Abbildung 4.16: Zeitliche Entwicklung des maximalen und minimalen Drucks im Strömungsfeld der numerischen Simulation T2.

rückzuführen ist. Gleichzeitig aber erreichen die Quasi-Sättigungsamplituden des Querströmungswirbels nicht mehr so hohe Amplituden wie in der vorhergehenden Simulation. Dies zeigt ebenfalls an, dass die Grenzschicht schneller in die Turbulenz übergeht. Es zeigt sich auch in den Arbeiten von Lerche [76], dass der eigentliche laminar-turbulente Übergang nahezu von der Amplitude der laufenden Wellen unabhängig ist. Die Amplituden begrenzen aber das Wachstum der stationären Wellen, was in der experimentellen Arbeit von Deyhle & Bippes [27] beschrieben ist. Der Verlauf des minimalen und maximalen statischen Drucks ist in Abbildung (4.16) dargestellt. Er werden etwas höhere Werte als in der Abbildung (4.5) zur Simulation T1 erreicht. Allerdings geschieht dies aus erwähnten Gründen zu etwas früheren Zeiten t der Simulation. Der minimale statische Druck tritt in der Simulation T2 zum Zeitpunkt t=1040 auf.

4.3.2 Dreidimensionale wirbelartige Strukturen Das physikalische Geschehen in der dreidimensionalen Grenzschicht kann wieder anhand der Visualisierung der topologischen wirbelartigen Strukturen betrachtet werden. Die Verteilung des statischen Drucks zum Zeitpunkt t=800 ist in Abbildung (4.17) oben dargestellt. Zu diesem Zeitpunkt beträgt die Amplitude des Querströmungswirbels ACF=24.7%. Die stromabweitige Variation des Querströmungswirbels, der in der Abbildung (4.17) durch Druckisoflächen charakterisiert ist, ist durch die Überlagerung der Querströmungsmoden durch die laufenden Wellen verursacht. Dies ist auch in der gleichen Abbildung in der Wanddruckverteilung zu beobachten. Dort kann man die „Fussabdrücke“ der Wirbel, die sich oberhalb der Wand befinden, wiedererkennen.

4.3 Fall 2: Querströmungswirbel mit überlagerten Störungen

75

Zum Zeitpunkt t=900, kurz vor dem Erreichen der maximalen Sättigungsamplitude des Querströmungswirbels, lässt sich in der Wanddruckverteilung in Abbildung (4.17) unten eine neue wirbelartige Struktur erkennen. Allerdings wird diese Struktur in der räumlichen Darstellung der Druckisoflächen noch nicht sehr deutlich. Man erkennt

t = 800

t = 900

Abbildung 4.17: Darstellung der wirbelartigen Strukturen anhand der Isoflächen konstanten statischen Druckes zu den Zeitpunkten t=800 (oben) und t=900 (unten). Die jeweiligen Isowerte betragen piso=-0.00256 (oben) und piso=-0.00249 (unten). Zusätzlich zu den Isoflächen ist die Wanddruckverteilung farbig dargestellt.

76

4 Transition in der 3D-Grenzschicht

aber diesen neuen Wirbel anhand des Abdruckes in der Wanddruckverteilung. Dies ist durch ein Gebiet lokal niedrigen Druckes gegeben. Es zeigt sich aber auch weiter stromab des neuen Wirbels ein Gebiet lokal hohen Wanddrucks, was auf einen Staupunkt oberhalb der Wand schliessen lässt. Erst in den Druckisoflächen zum Zeitpunkt t=920 in Abbildung (4.18) lässt sich das neue Wirbelsystem deutlich erkennen. Der Fussabdruck des Wirbels in der Druckverteilung der Wand tritt nun ebenfalls deutlicher hervor. Aus den gestiegenen Werten des Druckes zeigt sich zudem, dass die Stärke des neuen Wirbelsystems zunimmt. Der lokale Zusammenbruch des Querströmungswirbels zum Zeitpunkt t=980 ist in Abbildung (4.19) zu ersehen. Während in einem Grossteil des Rechengebietes der nichtlinear deformierte Querströmungswirbel zu erkennen ist, sind im Gebiet des neuen Wirbelsystems kleinskaligere Strukturen entstanden, die die eigentliche Struktur des Querströmungswirbels aufgelöst haben. Seine Struktur wird von diesem Gebiet ausgehend immer weiter zerstört und die Strömung geht in die Turbulenz über. Der späte turbulente Zustand ist in der Abbildung (4.20) dargestellt. Dort ist keine Struktur des Quer-

t = 920

Abbildung 4.18: Darstellung der wirbelartigen Strukturen anhand der Isoflächen konstanten statischen Druckes zum Zeitpunkt t=920 aus verschiedenen Blickwinkeln. Die jeweiligen Isowerte betragen piso=-0.00305 (oben) und piso=-0.002 (unten). Zusätzlich zu den Isoflächen ist die Wanddruckverteilung farbig dargestellt.

4.3 Fall 2: Querströmungswirbel mit überlagerten Störungen

77

t = 980

Abbildung 4.19: Darstellung der wirbelartigen Strukturen anhand der Isoflächen konstanten statischen Druckes zum Zeitpunkt t=980. Der Isowert beträgt piso=-0.00401. Zusätzlich zur Isofläche ist die Wanddruckverteilung farbig dargestellt.

t = 1300

Abbildung 4.20: Darstellung der wirbelartigen Strukturen anhand der Isoflächen konstanten statischen Druckes zum Zeitpunkt t=1300. Der Isowert beträgt piso=-0.005.

78

4 Transition in der 3D-Grenzschicht

strömunswirbels mehr zu erkennen. Kleinskaligere turbulente Strukturen dominieren das Strömungsbild zu diesem Zeitpunkt. Wie schon in der vorhergehenden Simulation T1 dargestellt wurde, erzeugt die Rotationsbewegung des Querströmungswirbels eine Scherschicht zwischen den Wirbeln. In der Abbildung (4.21) sind Isoflächen konstanter Stromabkomponente uv=0.8 der Geschwindigkeit zu drei unterschiedlichen Zeitpunkten dargestellt. Deutlich sieht man, dass sich die Isofläche hoher Geschwindigkeit zwischen den Wirbeln nahe an der Wand befindet und sich dann auf der rechten Seite des Wirbels hin zum Grenzschichtrand erstreckt. Insbesondere in den Darstellungen zu den Zeitpunkten t=900 und t=920 kann man auch das neue Wirbelsystem in der Störung der Geschwindigkeitsisofläche erkennen. Analog zur Simulation T1 kann man aus den Darstellungen der Druck- und Geschwindigkeitsisoflächen sehen, dass sich das neue Wirbelsystem hauptsächlich stromabwärts bewegt. Auf die Bestimmung der Ausbreitungsgeschwindigkeit wird später eingegangen. Dass es sich bei dem neuen Wirbelsystem um einen eigentlichen Wirbel handelt, kann man dadurch verdeutlichen, indem man die Stromlinien in einem mit der Geschwindigkeit c=0.7 mitbewegten Koordinatensystem berechnet. Dies ist in zwei unterschiedlichen Ansichten in der Abbildung (4.22) dargestellt. Man kann dort sehen, dass der Wirbel quer zu den drei Koordinatenachsen im Raum liegt und sich von nahe an der Wand in Richtung Grenzschichtrand erstreckt. Der wandnahe Wirbel, der in der vorhergehenden Simulation T1 und in den Sättigungslösungen in Kapitel 3 verdeutlicht wurde, ist in all diesen Darstellungen der Druckisoflächen nicht zu erkennen gewesen. Man sieht ihn aber sehr deutlich in der Visualisierung des λ2-Eigenwertkriteriums1 zum Zeitpunkt t=800 in Abbildung (4.23). Dort erkennt man sowohl den kleinen Ablösewirbel nahe an der Wand, den Querströmungswirbel als auch eine kleine Störung oberhalb des Querströmungswirbels. Diese Störung wird aber in der Untersuchung der wirbelartigen Strukturen anhand der Isoflächen des Drucks oder der Diskriminante der charakteristischen Gleichung des Geschwindigkeitsgradiententensors ∇u zum gleichen Zeitpunkt nicht deutlich. Die Diskriminante berücksichtigt alle Terme des Geschwindigkeitsfeldes. Dagegen stellt das λ2-Eigenwertkriterium eine Filterung des Drucktensors dar, bei der instationäre und viskose Effekte in der Untersuchungsmethode explizit vernachlässigt werden (siehe Anhang A). Daraus kann der Schluss geschlossen werden, dass die Störung seitlich oberhalb des Querströmungswirbels eher von reibungsfreier Natur ist, da sie in den Untersuchungsmethoden unter Einbezug der viskosen Terme nicht eindeutig zu erkennen ist. In der Abbildung (4.24) ist der Eigenwert λ2 zum Zeitpunkt t=850 dargestellt. Es zeigt 1. Das

λ2-Eigenwertkriterium ist im Anhang A näher beschrieben.

4.3 Fall 2: Querströmungswirbel mit überlagerten Störungen

79

t = 800

t = 900

t = 920

Abbildung 4.21: Darstellung der Isoflächen konstanter Stromabkomponente uv der Geschwindigkeit zu den Zeitpunkten t=800, t=900 und t=920. Es ist jeweils die Isofläche uv=0.8 dargestellt.

80

4 Transition in der 3D-Grenzschicht

sich diesmal, dass sich die Störung seitlich am Querströmungswirbel hinunter zur Wand erstreckt. Die Struktur ist im Integrationsgebiet der Simulation nur einmal zu erkennen. Es sind nicht sieben Strukturen, wie in der Simulation T1, zu beobachten. Die Wellenlänge dieser Störung in Haupströmungsrichtung ist aber vergleichbar mit der vorherigen Simulation T1. Dies sieht man an den geometrischen Ausmassen der Störung und in der Beobachtung des lokalen Zusammenbruchs des Querströmungswirbels in Abbildung (4.19). Das Vorhandensein des wandnahen Wirbels ist auch in der Visualisierung mit Hilfe der LIC-Technik in Abbildung (4.25) zu erkennen. Dort sind die lokalen Stromlinien mit dem lokalen statischen Druck an mehreren festen xv-Positionen dargestellt. Sowohl das Druckminimum im Zentrum des Querströmungswirbels als auch das Druckmaximum zwischen den Wirbeln im Bereich des wandnahen Wirbels verdeutlichen die Dynamik der Strömungstopologie im nichtlinearen Stadium. Zum Zeitpunkt

t = 920

Abbildung 4.22: Darstellung der Stromlinien zum Zeitpunkt t=920, die in einem Bezugssystem berechnet werden, das sich mit der Hauptströmung mit der Geschwindigkeit c=0.7 mitbewegt. Gleichzeitig ist die Wanddruckverteilung farbig dargestellt.

4.3 Fall 2: Querströmungswirbel mit überlagerten Störungen

81

t = 800

Abbildung 4.23: Darstellung der Isoflächen des λ2-Eigenwertkriteriums zum Zeitpunkt t=800. Die Isofläche des Querströmungswirbels ergibt sich aus aus einem Isowert von λ2=-0.002. Der wandnahe Wirbel wird bei einem Isowert von λ2=-0.0001 dargestellt.

t=800 befindet sich der wandnahe Wirbel im gesamten Integrationsgebiet nahe an der Wand. Während sich das Zentrum des Querströmungswirbels bei 50% der laminaren Grenzschichtdicke befindet, liegt das Zentrum des wandnahen Wirbels nur 15% der Grenzschichtdicke von der Wand entfernt. Die beiden Darstellungen der Stromlinien zum Zeitpunkt t=850 an unterschiedlichen stromabwärtigen Positionen zeigen, dass sich der Wirbel lokal von der Wand entfernt. Dies stimmt mit der Abbildung (4.24) des λ2-Eigenwertkriteriums überein. Die Untersuchung der Wirbelstrukturen zum Zeitpunkt t=1000 zeigt, dass sich die lokalen, energiereichen wirbelartigen Strukturen sowohl seitlich als auch oberhalb des Querströmungswirbels befinden. Dies wird schon in der Abbildung (4.26), in der nur ein (yv-z)-Schnitt zum Zeitpunkt t=940 dargestellt ist, ersichtlich. Innerhalb dieser lokalen Wirbel befinden sich die extremen Druckminima, die in Abbildung (4.16) dargestellt wurden.

4.3.3 Die Ausbreitungsgeschwindigkeit des neuen Wirbelsystems In den vorhergehenden Abbildungen ist deutlich geworden, dass die wirbelartigen Strukturen oberhalb der Wand „Fussabdrücke“ in der Wanddruckverteilung hinterlassen. Aus einer Untersuchung der Wanddruckverteilungen, wie sie beispielsweise in der Abbildungen (4.18) unten dargestellt ist, kann auf die Ausbreitungsgeschwindigkeit des neuen Wirbelsystems geschlossen werden. Hierzu wird die Korrelation aus der Wanddruckverteilung zu zwei unterschiedlichen

82

4 Transition in der 3D-Grenzschicht

Zeitpunkten t und t + τ, die durch Korrelationsfunktion R ( τ, ∆l )

( t, l )

p wall ( t, l ) ⋅ p wall ( t + τ, l + ∆l ) = -----------------------------------------------------------------------------2 2 p wall ( t, l ) ⋅ p wall ( t + τ, l + ∆l )

(4.5)

beschrieben ist gegeben. Hier stellt p wall ( t, l ) die Wanddruckverteilung in einem (xw,yw)-Fenster dar, das den Fussabdruck des neuen Wirbels erfasst. Die stromabwärtige Position ist durch l gekennzeichnet. Die räumliche Mittelwertbildung erfolgt über das Fenster (xw,yw). Aus der Verlagerung des Maximums der Korrelationsfunktion als Funktion der Verschiebung ∆l im Zeitintervall τ kann die Ausbreitungsgeschwindigkeit bestimmt werden. Die Vorgehensweise ist schematisch in Abbildung (4.27) dargestellt. In Abbildung (4.28) ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der dreidimensionalen wirbelartigen Struktur entlang der Wirbelachse zwischen den Zeiten t=920 und t=1020 zu erkennen. Man kann sehen, dass sie sich mit der Geschwindigkeit von ca. 70% der Geschwindigkeit am Grenzschichtrand bewegt. Diese Geschwindigkeit ist um eine Grössenordnung grösser als die Phasengeschwindigkeit der primären Wellen [87,120].

t = 850

Abbildung 4.24: Darstellung der Isoflächen des λ2-Eigenwertkriteriums zum Zeitpunkt t=850. Der Isowert für die Darstellung entspricht λ2=-0.001. Gleichzeitig ist die Wanddruckverteilung in Farbe dargestellt.

4.3 Fall 2: Querströmungswirbel mit überlagerten Störungen

83

A

B

C

D

Abbildung 4.25: Darstellung der Stromlinien mit Hilfe der LIC-Technik zu unterschiedlichen Zeitpunkten der Simulation. Es ist jeweils das statische Druckfeld farbig dargestellt. A) Darstellung der Stromlinien zum Zeitpunkt t=800. B) Darstellung der Stromlinien zum Zeitpunkt t=850 an der Stelle xv=8.59. C) Darstellung der Stromlinien zum Zeitpunkt t=850 an der Stelle xv=30.67. D) Darstellung der Stromlinien zum Zeitpunkt t=1000.

84

4 Transition in der 3D-Grenzschicht

t = 940

Abbildung 4.26: Darstellung der Stromlinien mit Hilfe der LIC-Technik zum Zeitpunkt t=940 an der Position xv=11.13. Zusätzlich ist das statische Druckfeld farbig dargestellt.

xw

yw

l

∆l

Abbildung 4.27: Schematische Darstellung der Vorgehensweise zur Berechnung der Ausbreitungsgeschwindigkeit anhand der Wanddruckverteilung.

Diese Betrachtungsweise kann erweitert werden, indem das lokale Fenster (xw,yw) die gesamte Wanddruckverteilung der Simulation erfasst. In diesem Fall wird nicht mehr nur eine lokale Störung in der Wandverteilung detektiert und verfolgt, sondern die gemittelte Bewegung des Störenergietransportes berechnet. Dies ist in der Abbildung (4.29) für die Simulation T2 dargestellt. Zu den frühen Zeitpunkten der Simulation wird die Störenergie mit ca. 56% der Geschwindigkeit am Grenzschichtrand in Haupströmungsrichtung transportiert. Im späten nichtlinearen Stadium sinkt diese Geschwindigkeit auf ca. 42% zum Zeitpunkt t=800 ab, um daraufhin auf den Wert von

4.3 Fall 2: Querströmungswirbel mit überlagerten Störungen

85

Abbildung 4.28: Darstellung der Ausbreitungsgeschwindigkeit des neuen dreidimensionalen Wirbels vom Zeitpunkt t=920 bis t=1020.

Abbildung 4.29: Darstellung der Geschwindigkeit des konvektiven Störenergietransportes in der Simulation T2, die anhand der Wanddruckverteilung bestimmt worden ist..

70% wieder anzusteigen, bei dem die Korrelation durch das neu entstandene Wirbelsystem gekennzeichnet ist. Die Aussagekraft der Korrelationsfunktionen nimmt ab dem Zeitpunkt t=950 ab, da dort keine eindeutigen Maxima in der Amplitude der Korrelationsfunktion mehr zu erkennen sind und damit die eindeutige Berechnung einer Ausbreitungsgeschwindigkeit unmöglich wird. Eine genaue Bestimmung der Geschwindigkeiten kann dann nicht mehr gewährleistet sein. Das charakteristische Ansteigen der Geschwindigkeit im späten nichtlinearen Bereich, die sich aus der Wandruckverteilung bestimmen lässt, wurde auch beim Zusammenbruch der λWirbel in der Blasius-Grenzschicht und dem Entstehen der Haarnadelwirbel beobachtet. Insbesondere zeigt sich dies in den Videoanimationen, die im Zusammenhang

86

4 Transition in der 3D-Grenzschicht

mit den Arbeiten von Wintergerste et al. [125] gemacht worden sind.

4.3.4 Untersuchung der lokalen Scherschichten Die Entstehung des neuen dreidimensionalen Wirbelsystems ist nur an einer definierten Stelle des Strömungsfeldes zu beobachten. Dieser Ort muss sich dadurch auszeichnen, dass die lokalen Strömungsprofile ein Kriterium erfüllen, das zur Entstehung des Wirbels führt. Der Querströmungswirbel zum Zeitpunkt t=800 zeigt nur geringe Variationen in der Hauptströmungsrichtung auf. Anhand des λ2-Eigenwertkriteriums in der Abbildung (4.23) sieht man, dass er sich zu dieser Zeit ungefähr an der lokalen Raumkoordinate xv=30 und yv=10 befindet. Um diesen Ort näher zu untersuchen, sind in der Abbildung (4.30) die lokalen Geschwindigkeitsprofile uv und vv als Funktion der wandnormalen Koordinate z aufgetragen. Die Position xv=30.68 und yv=9.54 liegt diesem Ort am nächsten. Es zeigt sich, dass dort das Geschwindigkeitsprofil in uv mehrere Wendepunkte aufweist. Zugleich ist das lokale Geschwindigkeitsdefizit im Profil, d.h. der lokale Unterschied zwischen dem Geschwindigkeitsmaximum und -minimum, bei z=3 am grössten. An der gleichen Position, beispielsweise weiter stromab bei xv=61.36, ist dieses Geschwindigkeitsdefizit viel geringer. Auch an anderen Positionen in spannweitiger Richtung ist dieses Defizit nicht stärker ausgeprägt. Es liegt die Vermutung nahe, dass das Auftreten dieses Geschwindigkeitsdefizites die Entstehung des neuen Wirbelsystems begünstigt. Aufgrund der räumlichen Störung des Querströmungswirbels in Haupströmungsrichtung treten diese kritischen Profile nur an einer bevorzugten Stelle im Strömungsfeld auf. Demgegenüber trat aber in der Simulation T1 die Mode (7,1) als dominante Störmode auf, da dort die lokalen Profile aufgrund der geringen dreidimensionalen Störamplitude in Haupströmungsrichtung nur geringfügig variierten. Zur Quantifizierung dieses Geschwindigkeitsdefizites kann eine lokale Scherungs10

10

x= 30.68, y= 9.54 x= 30.68, y= 8.18 x= 30.68, y= 12.27 x= 0, y= 9.54 x= 61.36, y= 9.54

9

8

7

7

6

6

5

5

z

z

8

9

4

4

3

3

2

2

1

1

0 0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

u

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0 0.10

x= 30.68, y= 9.54 x= 30.68, y= 8.18 x= 30.68, y= 12.27 x= 0, y= 9.54 x= 61.36, y= 9.54

0.05

0.00

0.05

0.1

v

Abbildung 4.30: Darstellung lokaler Geschwindigkeitsprofile in der Simulation T2 zum Zeitpunkt t=800.

4.4 Fall 3: Dominierende laufende Wellen

87

Abbildung 4.31: Darstellung des zeitlichen Verlaufs der maximalen Scherungs-Reynoldszahl in den Simulationen T1 (rechts) und T2 (links).

Reynoldszahl definiert werden. Sie ist gebildet aus ∆u˜ , dem dimensionsbehafteten lokalen Geschwindigkeitsdefizit im Profil von uv an einer lokalen Stelle des Strömungsfeldes, und einer dimensionsbehafteten Länge ˜l , die sich aus ∆u˜ ˜l = ---------------------------( ∂u˜ ⁄ ∂z˜ ) max

(4.6)

berechnet. Der maximale Geschwindigkeitsgradient in Gleichung (4.6) berechnet sich aus dem maximalen Gradienten im Bereich des Geschwindigkeitsdefizites. Aus diesen dimensionsbehafteten Grössen ergibt sich eine dimensionslose ScherungsReynoldszahl zu 2

∆u ∆u˜ ⋅ ˜l Re Sh = ------------- = ---------------------------- ⋅ Re . ( ∂u ⁄ ∂z ) max ν˜

(4.7)

In Abbildung (4.31) links ist die über alle wandnormalen Richtungen maximale Scherungs-Reynoldszahl in der Simulation T2 als Funktion der Simulationszeit t aufgetragen. Es zeigt sich, dass die Ausprägung des oben beschriebenen Geschwindigkeitsdefizites erst zum Zeitpunkt t=570 der Simulation zu beobachten ist. Die Reynoldszahl wächst danach linear von ReSh=200 auf ReSh=300 zum Zeitpunkt t=800 an. Zum Zeitpunkt t=850 wird sie sehr schnell grösser und erreicht einen maximalen Wert von ReSh=800 zum Zeitpunkt t=900. Der Verlauf der maximalen Scherungs-Reynoldszahl für die Simulation T1 ist dagegen in der Abbildung (4.31) rechts aufgetragen.

4.4 Fall 3: Dominierende laufende Wellen Die beiden vorherigen Simulationen zeigten, dass in beiden Simulationen die

88

4 Transition in der 3D-Grenzschicht

laminare Strömung in einen turbulenten Zustand übergeht. Allerdings waren beide Simulationen T1 und T2 durch einen anfänglich vorgegebenen Querströmungswirbel gekennzeichnet. In der hier nur kurz dargestellten Simulation T3 wurde die laminare FSC-Grundströmung nur duch eine linear angefachte 3D-Welle mit einer Amplitude von Atr=0.1% gestört. Der Querströmungswirbel wurde nicht explizit vorgegeben. In der Abbildung (4.32) sind die stationären Moden (0,ky) und (kx,1) aufgetragen. Auch diese Simulation geht zur Zeit t=1500 in den turbulenten Zustand über. Die Amplitude der laufenden Welle erreicht diesmal wesentlich höhere Amplituden als in den vorhergehenden Simulationen, da ihr Wachstum nicht mehr durch den Querströmungswirbel begrenzt wird. Sie erreicht eine erste maximale Amplitude von Atr=19% zum Zeitpunkt t=1220. Nachdem sie kurz zum Zeitpunkt t=1380 wieder auf Atr=15.5% abfällt, erreicht sie die maximale Amplitude von Atr=21.3% zum Zeitpunkt t=1420. Es zeigt sich im Verlauf der laufenden Wellen, dass hier insbesondere im späteren Stadium die Moden (8,1), (9,1), (10,1), etc. ab dem Zeitpunkt t=1200 stark anwachsen. Die laufende Welle zum Zeitpunkt t=1000 ist in Abbildung (4.33) anhand der Isofläche des statischen Drucks gekennzeichnet. Zum Zeitpunkt t=1300 ist eine kleinere Störung der Struktur zu erkennen. Das System bewegt sich mit einer kleinen Driftgeschwindigkeit normal zur Längsachse der Störwelle. In den Zeitpunkten t=1350 und t=1420 sind ähnliche Störungen wie in den Simulationen T1 und T2 zu sehen. Direkt im Anschluss geht die Strömung in die Turbulenz über, was auch aus der Darstellung der wirbelartigen Strukturen zu den Zeitpunkten t=1600 und t=1900 deutlich wird. Auf eine genauere Untersuchung der Dynamik, die in diesem Fall zum laminar-turbulenten Übergang im späten nichtlinearen Stadium führt, wird im Rahmen dieser Arbeit nicht eingegangen.

4.5 Zusammenfassung In diesem Kapitel wurde gezeigt, dass der laminar-turbulente Übergang im späten nichtlinearen Stadium über das Auftauchen eines neuen dreidimensionalen Wirbelsystems erfolgt. Dieses Wirbelsystem zerstört den nichtlinear verformten Querströmungswirbel und leitet den endgültigen Übergang in die Turbulenz ein. Gleichzeitig hat sich aber auch gezeigt, dass das neue Wirbelsystem, das mit verschiedenen Kriterien visualisiert werden kann, in einem lokalen Gebiet mit mehreren Wendepunkten im Geschwindigkeitsprofil zu beobachten ist. Aus diesem Grund soll im nächsten Kapitel die sekundäre Stabilität des nichtlinear verformten Querströmungswirbels untersucht werden.

4.5 Zusammenfassung 10 10 10 10

^

|uv|max (kx,ky)

10 10 10 10 10 10 10 10

89

0

−1

−2

−3

−4

−5

(0,0) (0,1) (0,2) (0,3) (0,4) (0,5) (0,6) (0,7) (0,8) (0,9)

−6

−7

−8

−9

−10

−11

0

250

500

750

1000

1250

1500

1750

t 10 10 10 10

^

|uv|max (kx,ky)

10 10 10 10 10 10 10 10

0

−1

−2

−3

−4

−5

(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (7,1) (8,1) (9,1)

−6

−7

−8

−9

−10

−11

0

250

500

750

1000

1250

1500

1750

t Abbildung 4.32: Zeitliche Entwicklung der maximalen Fourieramplituden der Querströmungsmoden (oben) und dreidimensionaler Wellen (unten) für den Simulationsfall T3.

90

4 Transition in der 3D-Grenzschicht

A

B

C

D

E

F

Abbildung 4.33: Darstellung der wirbelartigen Strukturen im Simulationsfall T3 anhand von Isoflächen konstanten statischen Druckes zu unterschiedlichen Zeitpunkten t der Simulation. A) t=1000, piso=-0.004 B) t=1300, piso=-0.007 C) t=1350, piso=-0.006 D) t=1420, piso=-0.006 E) t=1600, piso=-0.007 F) t=1900, piso=-0.007

91

5 SEKUNDÄRE STABILITÄTSANALYSE

5.1 Einleitung Wie aus dem vorhergehenden Kapitel ersichtlich wurde, deutet die Identifikation einer Struktur in den Visualisierungen des Querströmungswirbels mit Hilfe des λ2-Kriteriums auf die im Experiment beobachtete hochfrequente sekundäre Instabilität hin. Die Position dieser Struktur oberhalb des Querströmungswirbels stimmt mit dem Experiment von Lerche [76] überein. Das Gebiet, in dem diese Struktur beobachtet wird, ist durch den maximalen Defekt in der Stromabkomponente der Geschwindigkeit und damit durch die hohen Gradienten ∂u ⁄ ∂y und ∂u ⁄ ∂z gekennzeichnet. In diesem Kapitel soll die diese Instabilität mit Hilfe einer sekundären Stabilitätsanalyse quantitativ untersucht werden. In der klassischen primären Stabilitätsanalyse wird die Stabilität einer laminaren Grenzschicht auf wellenartige Störungen hin untersucht. Reed et al. [102,103] geben eine Übersicht über Untersuchungen mit Hilfe der primären Stabilitätsanalyse in Grenzschichten, insbesondere auch in dreidimensionalen Grenzschichten. Herbert [44] untersuchte die Stabilität zweidimensionaler Grenzschichten, denen schon primär angefachte Instabilitäten, die Tollmien-Schlichting-Wellen, überlagert sind. Er konnte mit dieser „sekundären“ Stabilitätsuntersuchung zeigen, dass symmetrische dreidimensionale Wellen ab einer gewissen Schwellamplitude der zweidimensionalen TS-Welle stärker angefacht sind als die primären Störungen. Die sekundäre Stabilitätsanalyse hat wesentlich zum Verständnis des Transitionsprozesses in zweidimensionalen Grenzschicht beigetragen. Üblicherweise wird in der sekundären Stabilitätsanalyse die Modulation der Grundströmung nur durch eine Mode der TS-Welle berücksichtigt, während die Amplitude der TS-Welle variiert wird. Zudem wird klassischerweise die Form der Eigenfunktion der primären Störung, die aus der linearen Stabilitätsanalyse gewonnen wird, als unabhängig von der Amplitude der TS-Welle betrachtet. Diese Annahme wird auch als „shape assumption“ bezeichnet. Die Vernachlässigung der Höherharmonischen der TS-Welle hat sich als gerechtfertigt herausgestellt, da für das Einsetzen der hohen Anfachungsraten der sekundären Störung schon geringe Amplituden der TS-Welle (ca. 2 - 3%) genügen. Einige Arbeiten beschäftigen sich mit der Anwendung der sekundären Stabilitätstheorie auf dreidimensionale Grenzschichten. Balachandar et al. [5,6] untersuchten die Stabilität der Grenzschicht an einer rotierenden Scheibe, die schon durch primäre, stationäre und gleichsinnig rotierende Wirbel gestört ist. Sie berücksichtigten ähnlich der Vorgehensweise in Stabilitätsuntersuchungen der zweidimensionalen Grenzschicht nur die Fundamentalmode der primären Störung. Desweiteren nahmen sie

92

5 Sekundäre Stabilitätsanalyse

eine konstante Form der Eigenfunktion unabhängig von deren Amplitude an („shape assumption“). Sie fanden in guter Übereinstimmung mit Experimenten heraus, dass erst ab einer relativ hohen Amplitude des primären Wirbels (> 12%) sekundäre Störungen zu beobachten sind. Die sekundären Störungen sind wesentlich stärker angefacht als die primären. Die sekundären Störungen stellen gegensinnig rotierende Wirbel dar, die oberhalb des primären Wirbels liegen und mit dessen Achse einen Winkel von 44° einschliessen. In der sekundären Stabilitätsanalyse von gegensinnig rotierenden Görtler-Wirbeln, die sich als primäre Stabilität einer Grenzschicht über einer konkav gekrümmten Wand bilden, wurden ähnliche Effekte beobachtet. Hall & Horsemann [42] und Li & Malik [77] untersuchten die reibungsfreie sekundäre Instabilität. Yu & Liu [127] und Bottaro & Klingmann [15] berücksichtigten zusätzlich die viskosen Effekte. Es zeigte sich, dass sekundäre Instabilitäten ebenfalls nur bei sehr hohen Amplituden der Görtlerwirbel zu beobachten waren. Die Instabilität ist reibungsfreier Natur und die Frequenz ist wesentlich höher als die der primär angefachten Störungen. Aufgrund der hohen Amplituden der Görtlerwirbel wurde in den Stabilitätsanalysen die Grundströmung aus einer Störungsrechnung mit den parabolisierten Störungsgleichungen (PSE) berechnet. Es wurden mehrere höhere Moden der Fundamentalmode in der Grundströmung berücksichtigt. Die „shape assumption“ wurde in diesen Untersuchungen somit nicht verwendet. Die Analysen zeigten weiterhin, dass nichtparallele Effekte der Grundströmung keinen wesentlichen Einfluss auf die sekundäre Stabilität haben. Fischer & Dallmann [33,34] untersuchten die sekundäre Stabilität der dreidimensionalen Grenzschicht an der schiebenden Platte. In ihrer Grundströmung überlagerten sie dem FSC-Grenzschichtprofil die fundamentale Querströmungsmode unter Verwendung der „shape assumption“. Sie fanden schon bei geringen Amplituden von 8% eine sekundäre Instabilität. Allerdings liegt diese Frequenz in der gleichen Grössenordnung wie die Frequenz der primären Welle. Kohama et al. [69,70] und Lerche [76] fanden in ihren Experimenten, dass unmittelbar vor dem Zusammenbruch der laminaren Strömung und dem Beginn der Turbulenz sekundäre Störungen mit einer wesentlich höheren Frequenz zu beobachten waren. Fischer et al. [35] zeigten, dass eine wesentlich höhere Frequenz der sekundären Störung bei einer Amplitude des Querströmungswirbels von 16% auftritt. Die Höherharmonischen der Fundamentalmode werden in dieser Analyse vernachlässigt. Der Fehler, den man mit der Einführung der „shape assumption“ macht, ist in Stabilitätsrechnungen bei Querströmungswirbeln bedeutender als bei Tollmien-Schlichting-Wellen. Bassom & Gajjar [7] zeigten, dass das nichtlineare Stadium in der Entwicklung der Querströmungswirbel durch nichtlineare kritische Schichten mit Phasendifferenzen quer zu den Schichten, die von den linearen Werten abweichen, gekennzeichnet ist. Nichtlineare Wechselwirkungen spielen hierbei eine bedeutende Rolle.

5.1 Einleitung

93

Mit Hilfe einer räumlichen DNS untersuchten Högberg & Hennigson [47] die sekundäre Instabilität eines räumlichen Querströmungswirbels. Sie überlagerten hierzu einem gesättigten Querströmungswirbel kleine zufällige Störungen. Sie konnten damit zeigen, dass zwei sekundäre Instabilitäten in der Grenzschicht existieren. Eine niederfrequente Instabilität, die sich im Bereich der unteren Scherschicht des Querströmungswirbels befindet und einer hochfrequenten Instabilität oberhalb von ihm. Die hochfrequente Instabilität besitzt grössere Wachstumsraten als die niederfrequente. Eine ähnliche Vorgehensweise wurde auch in der Arbeit von Wassermann & Kloker [122] gewählt. Sie konnten das Auftreten einer hochfrequenten Instabilität in der räumlichen Simulation nachweisen und fanden ähnliche Korrelationen zwischen dem Auftreten der sekundären Instabilität und stark deformierten Geschwindigkeitsprofilen wie sie im vorhergehenden Kapitel 4 beschrieben wurden. In neueren Arbeiten von Janke & Balakumar [51] wurden sekundäre Anfachungsraten von nichtlinearen Sättigungslösungen der dreidimensionalen Grenzschicht an der schiebenden Platte von Bippes et al. [12] mit Hilfe der Floquet-Theorie untersucht. Es wurden in den Untersuchungen hochfrequente Störungen beobachtet, die sich räumlich gesehen oberhalb des Querströmungswirbels befanden. Die Frequenzen der instabilsten Moden betrug ca. 3000 Hz. Die von ihnen berechnete Phasengeschwindigkeit von cs=1 ist aber grösser als die Phasengeschwindigkeit, die in Kapitel 4 für das neue Wirbelsystem in der 3D-Grenzschicht bestimmt wurde. Koch et al. [67] und Koch [68] untersuchten die sekundäre Stabilität nichtlinearer Sättigungslösungen. Sie konnten drei unterschiedliche Instabilitätsmoden unterscheiden, von denen zwei eine hochfrequente Störung darstellen. Ihre Ergenisse stimmen mit den Ergebnissen von Högberg & Hennigson [47] und Janke & Balakumar [51] im wesentlichen überein. Die sekundäre Stabilität in der schiebenden Hiemenzströmung wurde von Malik et al. [83,84] und Wang et al. [121] untersucht. Die Grundströmung wurde in beiden Untersuchungen mit einer PSE-Rechnung berechnet, so dass in der Stabilitätsanalyse die Höherharmonischen der Fundamentalmode und deren nichtlineare Verformung berücksichtigt wurden. Auch in diesen Untersuchungen wurde die Existenz einer hochfrequenten sekundären Instabilität festgestellt. Die lokale Lage des Gebietes der sekundären Stabilität stimmt sehr gut mit Messungen von Kohama et al. [69,70] an der schiebenden Platte überein. In diesem Kapitel soll die sekundäre Stabilität der dreidimensionalen Grenzschicht an der schiebenden Platte untersucht werden. Die Grundströmungsdaten werden in dieser Analyse aus den Berechnung mit der Direkten Numerischen Simulation (DNS) genommen. In der Analyse können somit die Höherharmonischen der fundamentalen Mode des Querströmungswirbels berücksichtigt werden. Es wird dabei davon ausgegangen, dass die stromabweitige Verformung des Querströmungswirbels klein ist.

94

5 Sekundäre Stabilitätsanalyse

Unter dieser Annahme ist es gerechtfertigt, dass die sekundäre Stabilität eines stromabgemittelten Profils untersucht werden darf. Allerdings müssen die zeitlichen Anfachungsraten der sekundären Moden signifikant höher sein als die Zeit, in der sich die gemittelte Strömung verändert.

5.2 Numerisches Verfahren 5.2.1 Herleitung der Stabilitätsgleichungen Das dreidimensionale, zeitabhängige Strömungsfeld  u’( x v, y v, z, t )     v’( x v, y v, z, t )  φ ( x v, y v, z , t ) =    w’( x v, y v, z, t )    p’( x v, y v, z, t ) 

(5.1)

wird in eine Grundströmung φB und eine zeitabhängige Störströmung φD zerlegt φ ( x v, y v, z, t ) = φ B ( x v, y v, z, t ) + φ D ( x v, y v, z, t ) .

(5.2)

Die Grundströmung φB wird aus den Simulationsdaten der Direkten Numerischen Simulation genommen, die in Kapitel 4 berechnet worden sind. Die Grund- und die Störströmung sind gegeben durch  U  V φB =    W    P

und

 u  v φD =    w    p

.

(5.3)

Es trifft zu, dass die Variation des Strömungsfeldes aus der DNS, das auf sekundäre Stabilität hin untersucht wird, in x v -Richtung klein ist im Vergleich zur Wellenlänge der untersuchten sekundären Störung. Die Querströmungswirbel sind stationär. Ihr zeitliches Wachstum ist klein im Vergleich zu den erwarteten Anfachungsraten der sekundären Störung. Dies gilt insbesondere, da der Querströmungswirbel in den numerischen Simulationen zu den ausgewählten Zeitpunkten quasi einen Sättigungszustand erreicht hat. Für die Störströmung φD wird der Störansatz φ D ( x v, y v, z, t ) = φ D ( y v, z ) ⋅ e ( iγxv – iωt ) + c.c.

(5.4)

mit der Wellenzahl γ und komplexen Kreisfrequenz ω = ω r + iω i der sekundären Störung gemacht. Die Wellenzahl γ ist in der zeitlichen Theorie reell. Die zeitliche

5.2 Numerisches Verfahren

95

Frequenz der Störung ist durch ω r gegeben. Die Grundströmung ist instabil, wenn die sekundäre Störung zeitlich angefacht ist, d.h. wenn ω i > 0 ist. Die Phasengeschwindigkeit der sekundären Störung ergibt sich aus c s = ω r ⁄ γ . Die Ansätze (5.1) und (5.4) werden in die Navier-Stokes-Gleichung (2.5) und (2.6) eingesetzt. Die Grundströmung kann subtrahiert werden, da sie eine exakte Lösung der Navier-Stokes-Gleichung darstellt, und es ergibt sich für die Störströmung φD1 

2



1 γ iωu =  iγU + U x + --------- u + Vu y + Wu z + U y v + U z w – --------  u yy + u zz + iγp Re Re

(5.5a)

2  1 γ   iωv = V x u +  iγU + V y + --------- v + Vv y + Wv z + V z w – --------  v yy + v zz + p y Re Re  

(5.5b)









2 γ  w + Vw + Ww – 1  w + w  + p (5.5c) iωw = W x u + W y v +  iγU + W z + -------- y z --------  yy zz z Re Re  

iγu + v y + w z = 0 .

(5.5d)

Als Randbedingung zur Lösung des Differentialgleichungssystems wird Haften an der Wand und das Verschwinden der Störungen weitab von der Wand gefordert u = v = w = 0

( für z = 0 und z → ∞ ) .

(5.6)

Es wird angenommen, dass die Störungen in der Spannweitenrichtung periodisch sind. Die räumlichen Ableitungen U x , V x und W x können vernachlässigt werden, da vorausgesetzt wurde, dass die Grundströmung nur kleine Variationen in x v -Richtung aufweist. Die Grund- und Störströmung wird in Spannweitenrichtung durch eine Fourierreihe approximiert: 2N

φ B ( y v, z ) =

∑

 φˆ B ( k, z ) ⋅ e ikβ  

(5.7e)

k = – 2N

1. Im folgenden wird bei der Herleitung der Stabilitätsgleichungen auf die Angabe des Index „v“ für das wirbelorientierte Koordinatensystem verzichtet. Stattdessen geben die Indizes die partiellen Ableitungen, wie beispielsweise ∂u ⁄ ∂x = u x an.

96

5 Sekundäre Stabilitätsanalyse N

φ D ( y v, z ) =

∑  φˆ ( k, z ) ⋅ e D

ikβ

(5.7f)



k = –N

Hierbei werden für die Grundströmung die Moden – 2N ≤ k ≤ 2N berücksichtigt, da alle höherharmonischen Moden einen Beitrag für den Störsansatz im Bereich von – N ≤ k ≤ N liefern. In wandnormaler Richtung wird im halbunendlichen Intervall z ∈ [ 0, ∞ ) analog zu der Simulation in Kapitel 4 ein Chebychev-Kollokationsverfahren verwendet. Das zu lösende Gleichungssystem ergibt sich als Lösung des generalisierten Eigenwertproblems A φD = ω B φD

(5.8)

mit den Matrizen H

I

D und

A = DT

0 .

B = i 0

0

(5.9)

0

Hierbei stellt die Matrix H die „Massenmatrix“ der nichtlinearen und viskosen Terme dar. Die Matrix D stellt den diskretisierten Gradientenoperator und die Matrix I die Einheitsmatrix dar. Die komplexen quadratischen Matrizen A und B haben die Grösse 2

2 N Ew =  4 ⋅ ( 2N + 1 ) ⋅ N z .  

(5.10)

In der Matrix H sind die nichtlinearen Terme durch die explizite und aliasing-freie Berechnung der Faltungssummen aus der Grundströmung und der Störströmung berücksichtigt. Da sowohl das nichtlineare Produkt als auch die Störströmung in Spannweitenrichtung mit einer Fourierreihe vom Grade N approximiert wird, muss - um alle nichtlinearen Wechselwirkungen exakt zu berücksichtigen - die Grundströmung bis zum Grade 2N berechnet werden.

5.2.2 Verfahren zur Lösung der Stabilitätsgleichungen Das generalisierte Eigenwertproblem (5.8) kann mit Hilfe eines Standardverfahrens aus der LAPACK-Bibliothek [3] gelöst werden. Dieses Verfahren berechnet alle Eigenwerte des Systems. In Abbildung (5.1) sind die Real- und Imaginärteile einer Berechnung der sekundären Stabilität exemplarisch dargestellt. Es ist zu erkennen, dass nur ganz wenige Eigenwerte einen positiven Imaginärteil haben und damit eine angefachte Instabilität darstellen. Die meisten Eigenwerte stellen eine Approximation

5.2 Numerisches Verfahren

97

0.010 0.005 0.000 −0.005

ωi

−0.010 −0.015 −0.020 −0.025 −0.030 −0.035 −0.040 −0.15

−0.10

−0.05

0.00

ωr

0.05

0.10

0.15

0.20

Abbildung 5.1: Darstellung der Real- und Imaginärteile der komplexen Kreisfrequenz ω aus einer Lösung des generalisierten Eigenwertproblems (5.8) der sekundären Stabilitätsanalyse.

des kontinuierlichen Spektrums dar. Da der Rang N Ew des zu lösenden Gleichungssystems sehr gross wird, ist das Standardverfahren aufgrund der hohen Rechenzeit und des grossen Speicherbedarfs sehr ineffektiv. Eine mögliche Variante zur Reduktion von Rechenzeit und Speicherbedarf stellen die Arnoldi-Verfahren dar. Die Arnoldi-Verfahren stellen ein Verfahren der sogenannten Krylov-UnterraumMethoden dar [106]. An dieser Stelle soll nur die prinzipielle Idee des Verfahrens anhand eines einfachen Eigenwertproblems Ax = λx

(5.11)

erläutert werden. Nur einige, ausgewählte Eigenwerte λ des Eigenwertproblems der Grösse n × n sind von Interesse. Das Arnoldi-Verfahren baut eine orthogonale Basis

98

5 Sekundäre Stabilitätsanalyse

eines Krylov-Unterraums K m auf. Der grundlegende Algorithmus lautet: 1.Start:

Wähle einen willkürlichen Vektor v 1 der Norm 1.

2. Iteration für j = 1, 2, …, m : ( h ij = ( Av i, v j ) ), i = 1, 2, …, j j

w j = Av j –

∑ hij vi i=1

h j + 1, j = w j v j + 1 = w j ⁄ h j + 1, j

Die m Arnoldi-Vektoren v 1, v 2, …, v m bilden die orthonormale Basis des Krylov-Unterraums   K m = span  v 1, Av 1, …, A m – 1 v 1  .  

(5.12)

Der Arnoldi-Algorithmus berechnet eine Faktorisierung der Art

H AV m = V m H m + h m + 1, m v m + 1 e m

(5.13)

V mH AV m = H m mit der oberen Hessenberg-Matrix H m der Grösse m × m und der aus den ArnoldiVektoren gebildeten Matrix V m der Grösse n × m . In Abbildung (5.2) ist dies illustriert.

A

Vm

=

Vm

Hm

+ wmemH

Abbildung 5.2: Darstellung der Matrizenmultiplikation im Arnoldiverfahren.

5.2 Numerisches Verfahren

99

Die durch die Projektion auf K m approximierten Eigenwerte λ i( m ) sind die Eigenwerte der Hessenberg-Matrix H m . Sie werden auch als Ritz-Eigenwerte bezeichnet. Die mit den Ritz-Eigenwerten λ i( m ) verknüpften Ritz-Eigenvektoren sind durch u i( m ) = V m y i( m ) , wobei y i( m ) ein Eigenvektor der Hessenberg-Matrix ist, gegeben. Einige Ritz-Eigenwerte stellen im allgemeinen eine gute Näherung der korrespondierenden Eigenwerte λ i der Originalmatrix A dar. Die Qualität der Approximation erhöht sich mit Erhöhung der Zahl m der Arnoldi-Vektoren. Welche Eigenwerte der Originalmatrix A approximiert werden, hängt von der Wahl des Startvektors v 1 ab. Es wird nun ein neuer Startvektor v 1 konstruiert, so dass der aufgespannte Unterraum die gewünschten Eigenwerte enthält. Die Konstruktion von v 1 ist nicht trivial. Der Arnoldi-Algorithmus IRAM („Implicitly Restarted Arnoldi Method“), der bei Lehoucq [74] und Sorensen [114] beschrieben wird, stellt ein effizientes Verfahren zur iterativen Bestimmung des Startvektors dar, so dass die gewünschten Eigenwerte, wie z.B. die mit grösstem Imaginärteil, angenähert werden. Das Softwarepaket ARPACK, das auf dem Arnoldi-Algorithmus IRAM aufbaut, wird in der Berechnung der Eigenwerte der sekundären Stabilitätsanalyse benutzt. Das Arnoldi-Verfahren reduziert die Rechenzeit zur Bestimmung der Eigenwerte bei den grossen Matrizen des sekundären Stabilitätsproblems ( N Ew ∼ 8000 ) um mehr als eine Grössenordnung. Der Algorithmus benötigt zudem auch nur etwa ein Drittel des Speicherbedarfs der entsprechenden Standardroutine aus der LAPACK-Bibliothek. In der sekundären Stabilitätsanalyse ist man häufig an der Abhängigkeit des komplexen Eigenwertes ω von der Wellenzahl γ interessiert. Die Berechnung des Eigenwertes kann noch beschleunigt werden, wenn der Eigenwert bei einer benachbarten Wellenzahl γ bekannt ist. Die Wielandt-Iteration [121] erlaubt mit Hilfe eines inversen Iterationsverfahrens, in Kombination mit einer Spektralverschiebung, ein effizientes Berechnen der gewünschten Eigenwerte. Der Starteigenwert der WielandtIteration wird mit dem Arnoldi-Verfahren berechnet. Die Kombination von ArnoldiVerfahren und Wielandt-Iteration erlaubt eine effiziente Lösung des generalisierten Eigenwertproblems (5.8).

100

5 Sekundäre Stabilitätsanalyse

5.3 Validierung des numerischen Verfahrens In den sekundären Stabilitätsuntersuchungen von Fischer & Dallmann [34] |u CF| ^ |v CF| wurde die dreidimensionale Grenz7.0 ^ |wCF| schicht bei einer Reynoldszahl von Re = 826 , einer Querströmungswel6.0 lenzahl β = 0.4788 und einem Hartree-Parameter von β H = 0.63 5.0 betrachtet. Sie wählten für die fundamentale Eigenfunktion der Querströ4.0 mungsmode, die in Abbildung (5.3) wiedergegeben ist, eine Amplitude von 3.0 ε = 7.89% . In ihrem Störansatz berücksichtigten sie nach Gleichung (5.7f) die Fouriermoden von N = 2 . 2.0 Die sekundäre Stabilitätsanalyse ergibt bei einer Wellenzahl der sekun1.0 dären Störung von γ = 0.03 eine komplexe Kreisfrequenz von 0.0 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 als stärkste ω = 0.0184 + i ⋅ 0.0063 ^ ^ ^ |u CF|, |v CF|, |wCF| angefachte Störung. Die primäre Störung mit den Wellenzahl α und β Abbildung 5.3: Amplitudenverlauf der fundamenhat dagegen im Vergleich eine talen Mode des Querströmungsverlauf aus der liFrequenz ω r = 0.01754 und eine Annearen Stabilitätsanalyse. fachungsrate ω i = 0.00771 . 8.0

z

^

In Tabelle (5.1) sind die mit dem hier vorgestellten Verfahren berechneten Eigenwerte in Abhängigkeit der Modenzahl N aufgeführt. In wandnormaler Richtung wurden N z = 60 Punkte verwendet. Die Werte stimmen mit denen von Fischer & Dallmann überein. Fischer et al. [35] fanden im Fall einer Querströmungsamplitude von 16% eine subharmonische sekundäre Instabilität mit einer wesentlich höheren Frequenz. Bei einer Wellenzahl der sekundären Störung von γ = 0.723 fanden sie den komplexen Eigenwert ω = 0.507 + i ⋅ 0.027 . In einer Validierungsrechnung ergab sich mit dem hier vorgestellten Verfahren ein Eigenwert von ω = 0.5077 + i ⋅ 0.0271 . N=1 ω r = 0.01748 ω i = 0.00739

N=2 ω r = 0.01841 ω i = 0.00624

N=3 ω r = 0.01835 ω i = 0.00624

N=4 ω r = 0.01835 ω i = 0.00624

Tabelle 5.1: Anfachungsraten der sekundären Störung in Abhängigkeit der Modenzahl N.

5.4 Analyse eines leicht gestörten Querströmungswirbels

101

Das hier entwickelte Verfahren zur Untersuchung des sekundären Stabilitätsverhaltens ist nicht auf einen 0.04 Störansatz mit einer Fouriermode begrenzt, sondern erlaubt die Berück0.03 sichtigung mehrer Höherharmonischer der Grundwelle der Wellenzahl 0.02 γ. Während man in der Berechnung der Anfachungsraten sekundärer 0.01 Störungen in zweidimensionalen 1 4 7 10 13 16 19 N Grenzschichten mit einer geringen Abbildung 5.4: Abhängigkeit der sekundären An- Zahl von Fouriermoden auskam, so fachnungsrate ω i von der Fouriermodenzahl N in sind die zeitlichen Anfachungsraten der Analyse eines nichtlinear verformten Querströ- ω i beim Querströmungswirbel sehr mungswirbels zu einem bestimmten Zeitpunkt. Die stark abhängig von der Anzahl der beDaten entsprechen der in Kapitel 5.4.2 untersuch- rücksichtigten Fouriermoden N. In ten Grundströmung. Abbildung (5.4) ist die sekundäre Anfachungsrate eines nichtlinear verformten Querströmungswirbels in Abhängigkeit von der Fouriermodenzahl N zu einem bestimmten Zeitpunkt1 dargestellt. Es ist zu erkennen, dass die Anfachungsrate ω i sehr stark von der Modenzahl N abhängt und erst ab N = 14 nahezu einen Sättigungswert erreicht. ωi

0.05

In der Analyse werden für die sekundären Störungen die symmetrischen Fouriermoden – N … N berücksichtigt. Um die nichtlinearen Wechselwirkungen zwischen der Grund- und der Störströmung exakt zu berücksichtigen, werden für die Grundströmung die Fouriermoden – 2N … 2N benötigt. Die numerische Simulation, die die Grundströmungsdaten für die Stabilitätsanalyse liefert, zeigt, dass die Amplituden der Grundströmung auch bei höheren Moden nicht vernachlässigbar klein sind. Die Scherschichten werden unter Berücksichtigung höherer Fouriermoden räumlich exakter aufgelöst und im numerischen Verfahren abgebildet. Auf diesem Hintergrund ist die Beobachtung hoher benötigter Modenzahlen zur Untersuchung der sekundären Stabilität des Querströmungswirbels, die auch von Wang et al. [121] gemacht wurde, verständlich.

5.4 Analyse eines leicht gestörten Querströmungswirbels In der numerischen Simulation des Transitionsvorgangs eines Querströmungswirbels, dem nur geringe Amplituden dreidimensionaler Störungen überlagert wurden 1. Die Abbildung (5.4) stellt eine Berechnung der sekundären Anfachungsraten des stromabgemittelten Strömungsfeldes zum lokalen Zeitpunkt t=800 der Simulation T2 dar. Es ist die maximale sekundäre Anfachungsrate unabhängig von der Wellenzahl γ über der Anzahl der berücksichtigten Fouriermoden N aufgetragen.

102

5 Sekundäre Stabilitätsanalyse

0.016

0.014

Mode I Mode II Mode III

0.012

ωi

0.010

0.008

0.006

0.004

0.002

0.000 0.0

0.2

0.4

0.6

γ

0.8

1.0

1.2

1.4

Abbildung 5.5: Anfachungsraten der sekundären Störungen des stromabgemittelten Profils der numerischen Simulation T1 zum Zeitpunkt t = 650 .

(Simulationsfall T1 aus Kapitel 4), konnte das Auftreten einer sekundären Instabilität der Moden (6,1) und (7,1) beobachtet werden. Dies entspricht Wellenzahlen von γ = 0.48 und γ = 0.56 . Diese Instabilität trat aber erst im Laufe der Simulation mit steigender Amplitude des Querströmungswirbels auf. Die sekundäre Stabilität und das Erreichen eines quasi-gesättigten Zustandes des Modenwachstums war bei Simulationszeiten t ≈ 600…1000 zu erkennen. Zu diesen Zeitpunkten sind dreidimensionale Störungen noch vernachlässigbar klein, so dass das stromabgemittelte Strömungsfeld mit den Strömungsfeldern an lokalen Schnitten x v im wesentlichen übereinstimmt.

5.4.1 Untersuchung zum Simulationszeitpunkt t = 650 Die Untersuchung der stromabgemittelten Profile der Simulationsdaten aus dem Fall T1 mit Hilfe der sekundären Stabilitätsanalyse zeigt, dass hochfrequente sekundäre Störungen erst ab dem Zeitpunkt t ≈ 580 auftreten. Die Amplitude des fundamentalen Querströmungswirbels hat zu diesem Zeitpunkt einen Wert von ACF=10%. Dies zeigt an, dass sekundäre Instabilitäten schon bei Amplituden des Querströmungswirbels, die kleiner als 20% sind, existieren können, wie dies in experimentellen Arbeiten beobachtet worden ist [14]. In den meisten Simulationen wurde die Transition bei Querströmungsamplituden von mehr als 20% beobachtet. In Abbildung (5.5) sind die sekundären Anfachungsraten für unterschiedliche Eigenfunktionen in Abhängigkeit der Wellenzahl γ zum Zeitpunkt t=650 dargestellt. In der Stabilitätsanalyse wurden N = 14 Fouriermoden und in wandnormaler Richtung N z = 60 Punkte verwendet. Da das Grundströmungsprofil aus der DNS in wandnormaler Richtung N z = 160 Punkte verwendet hat, wurden die Grundströmungsdaten

5.4 Analyse eines leicht gestörten Querströmungswirbels

103

auf die neuen wandnormalen Punkte interpoliert. Die Amplitude des Querströmungswirbels und seiner Höherharmonischen zum Zeitpunkt t=650 ist in Tabelle (5.2) angegeben. In der Abbildung (5.5) sind mehrere angefachte sekundäre Eigenfunktionen, die Moden I, II und III, zu erkennen. Ihr jeweiliges Maximum liegt bei unterschiedlicher Wellenzahlen γ. Die Frequenz jeder einzelnen Eigenfunktion hängt nahezu linear von der Wellenzahl ab, was bedeutet, dass die Phasengeschwindigkeit cs der jeweiligen Eigenfunktionen nahezu konstant ist. Die am stärksten angefachte Eigenfunktion, die als Mode I in der Abbildung (5.5) bezeichnet wird, hat eine maximale Anfachungsrate von ω i = 0.01272 bei der Wellenzahl γ = 0.71 . Ihre Anfachungsrate ist um den Faktor 2 grösser als die der primär laufenden Wellen. Dagegen ist die mit dieser Anfachungsrate verknüpfte dimensionslose Frequenz ω r = 0.54109 um mehr als eine Grössenordnung grösser als die der primären Wellen. Umgerechnet auf das Experiment ergibt dies eine Frequenz von f = 2134 Hz . Sie liegt somit in den Frequenzbereichen, bei denen in den Experimenten von Kohama et al. [69,70] und Lerche [76] hochfrequente Störungen unmittelbar vor dem Zusammenbruch des Querströmungswirbels beobachtet wurden. Die dimensionslose Phasengeschwindigkeit der sekundären Störung, die nahezu konstant über der Wellenzahl γ ist, ergibt sich zu c s = ω r ⁄ γ = 0.76 . Die zweite sekundäre Eigenfunktion hat ihre maximale Anfachung ω i = 0.0078 bei der kleineren Wellenzahl γ = 0.31 . Ihre Anfachungsrate ist in der gleichen Grössenordnung wie die der primären Welle. Die bei der maximalen Anfachung aufretende Frequenz ω r = 0.12774 bzw. f = 504 Hz ist kleiner als die der Mode I. Die für die Eigenfunktion charakteristische Phasengeschwindigkeit c s = 0.41 ist ebenfalls niedriger als die der Mode I. Dies lässt vermuten, dass das Maximum der Eigenfunktion der Mode II näher an der Wand liegt als jenes der Mode I. Die zweidimensionale Eigenfunktion φ D des jeweiligen komplexen Eigenwertes ω kann veranschaulicht werden, um die räumliche Verteilung der Amplitude der Eigenfunktion zu erkennen. In Abbildung (5.6) ist die räumliche Darstellung der Amplitude (0,1)

(0,2)

(0,3)

(0,4)

(0,5)

(0,6)

t = 650

16.8%

4.6%

2.0%

0.7%

0.3%

0.1%

t = 750

23.0%

9.3%

5.5%

2.6%

1.5%

0.9%

t = 880

26.3% 14.5%

9.5%

6.1%

4.0%

2.4%

t = 1000

28.9% 15.7% 10.2%

7.4%

4.6%

3.7%

Tabelle 5.2: Amplituden des Querströmungswirbels und seiner Höherharmonischen zu unterschiedlichen Zeiten der Simulation T1.

104

5 Sekundäre Stabilitätsanalyse

Abbildung 5.6: Räumliche Darstellung der Eigenfunktionen der sekundären Störung zum Zeitˆ ( y , z ) der Haupströmungskomponente der punkt t = 650 . Dargestellt ist der Betrag u v Mode I (oben) bei γ = 0.71 und der Mode II (unten) bei γ = 0.31 . Das Stromlinienbild der zu diesem Zeitpunkt untersuchten zweidimensionalen Grundströmung ist durch eine Farbdarˆ ( y , z ) erstrecken stellung der Eigenfunktion dargestellt. Die Werte der Eigenfunktion für u v sich dabei vom minimalen (blau) bis zum maximalen Wert der Eigenfunktion (rot).

der Stromabkomponente uˆ ( y v, z ) der Eigenfunktion φ D bei der maximalen Anfachung der jeweiligen Moden I und II zu sehen. Das Maximum der Eigenfunktion der Mode I liegt zwischen zwei periodisch fortgesetzten Querströmungswirbeln im Bereich des Sattelpunktes, während das Maximum der Mode II unterhalb des Querströmungswirbels relativ nahe an der Wand liegt. Die Untersuchungen des Strömungsfeld in Kapitel 4 haben gezeigt, dass sich gerade im Bereich des Sattelpunktes das Gebiet der maximalen lokalen Scherung befindet. Aus diesem Grund liegt die Vermutung nahe, dass die sekundäre Anfachung eine reibungsfreie Instabilität der sich bildenden Scherschicht darstellt. Die Wellenlänge der sekundären Störung liegt in der Grössenordnung der Grenzschichtdicke.

5.4 Analyse eines leicht gestörten Querströmungswirbels

105

Die Vermutung, dass es sich bei der Mode I um eine reibungsfreie Instabilität handelt, wird durch eine Störungsanalyse deutlich, bei der man die Reynoldszahl in den Stabilitätsgleichungen (5.5a)-(5.5d) willkürlich erhöht. Die eigentlichen Profile der Grundströmung, als Ergebnis der numerischen Simulation bei gegebener Reynoldszahl, bleiben dagegen unverändert. Durch die Erhöhung der Reynoldszahl verliert der viskose Term in der Impulsbilanz an Bedeutung. Das hier vorgestellte Verfahren zur Berechnung der sekundären Anfachungsraten gestattet es aufgrund der impliziten Erfüllung der Randbedingungen für z → ∞ nicht, die viskosen Terme exakt zu vernachlässigen. Es wurden die maximalen sekundären Anfachungsraten der Moden I und II bei den erhöhten Reynoldszahlen Re = 1000 , Re = 2000 und Re = 3000 berechnet. Die Ergebnisse in Tabelle (5.3) zeigen, dass die Anfachungsraten der Mode II wenig von der (Störungs-)Reynoldszahl abhängen. Demgegenüber wachsen die Anfachungsraten der Mode I mit der Reynoldszahl an. Dies lässt darauf schliessen, dass diese Mode von reibungsfreier Natur ist und dass die Viskosität auf diese Mode einen stabilisierenden Einfluss hat. Dass es sich bei der sekundären Instabilität um eine reibungsfreie Instabilität zufolge von Scherschichten handelt wurde auch von Malik et al. [84] gezeigt. Die Eigenfunktionen der sekundären Störungen enthalten als Teilvektoren die drei Geschwindigkeitskomponenten und den Druck als Lösung des Eigenwertproblems. Die Eigenfunktionen stellen eine zweidimensionale Verteilung dieser Grössen in Abhängigkeit der Spannweitenrichtung yv und der wandnormalen Richtung z dar. In Kombination mit dem Störansatz nach Gleichung (5.4) können die Eigenfunktionen als dreidimensionale Strukturen in den Realraum transformiert und dadurch ihre räumliche Lage relativ zum Querströmungswirbel verdeutlicht werden. Die dreidimensionale Struktur der am stärksten angefachen Mode I ist in der Abbildung (5.7) durch Isokonturflächen konstanter Stromabgeschwindigkeit der Störungskomponenten dar-

Reynoldszahl

Mode II (γ = 0.31)

Mode I (γ = 0.71)

Re = 826

0.12774 + i · 0.007803

0.54108 + i · 0.012720

Re = 1000

0.12638 + i · 0.008589

0.54108 + i · 0.014644

Re = 2000

0.12479 + i · 0.008172

0.53839 + i · 0.019947

Re = 3000

0.12573 + i · 0.008571

0.54142 + i · 0.022607

Tabelle 5.3: Abhängigkeit der sekundären Anfachungsraten der Moden I und II von der Reynoldszahl in den Störungsgleichungen. Alle Ergebnisse wurden mit dem Arnoldiverfahren unter Verwendung von 60 Arnoldivektoren berechnet. Die Anzahl der Stützstellen in wandnormaler Richtung musste für die Mode I bei der Reynoldszahl Re = 3000 auf N z = 80 erhöht werden.

106

5 Sekundäre Stabilitätsanalyse

Abbildung 5.7: Räumliche Darstellung der Eigenfunktion der Mode I bei γ = 0.71 zum Zeitpunkt t = 650 durch Isoflächen der Geschwindigkeitskomponente u v = 0.6 . Der Querströmungswirbel der Grundströmung ist durch eine Isofläche niedrigen statischen Drucks wiedergegeben.

gestellt. Es ist zu erkennen, dass sich die Struktur entlang einer Seite des Querströmungswirbels bildet. Sie erstreckt sich von rechts oberhalb des Querströmungswirbels bis zu einer gewissen Höhe in der Grenzschicht, die durch die Trennstromlinie am Sattelpunkt gegeben ist. Dagegen erstreckt sich die Mode II, die in Abbildung (5.8) dargestellt ist, unterhalb des Querströmungswirbels. Während die Mode I mit einem nahezu konstanten Winkel von etwa 70° gegenüber dem Querströmungwirbel ausgerichtet ist, ist die Mode II in der entgegengesetzten Richtung relativ zum Querströmungswirbel angeordnet. Die lokale Lage der hier dargestellten hochfrequenten Instabilitäten stimmt räumlich sehr gut mit den Messungen von Kohama et al. [70] und Lerche [76] überein. Beide Instabilitätsmoden sind in der Prinzipskizze (4.1) von Kohama et al. [70] wiedergegeben. Auch die lokale Ausrichtung der Störungen stimmen sehr gut überein. Die Darstellung der sekundären Eigenfunktion stimmt mit den Beobachtungen von Högberg & Henningson [47] und der Type-I-Mode von Koch et al. [67] überein. Die maximal angefachte Eigenfunktion erstreckt sich bei Janke & Balakumar [51] von oberhalb des Querströmungswirbels bis zum Bereich des Sattelpunktes und entspricht ebenfalls der in dieser Arbeit zu diesem Zeitpunkt der Simulation beobachteten Type-I-Mode. In einem räumlichen Schnitt durch die sekundäre Eigenfunktion der Mode I und einer Darstellung des vektoriellen Geschwindigkeitsfeldes in Abbildung (5.9) wird deutlich,

5.4 Analyse eines leicht gestörten Querströmungswirbels

107

dass es sich bei der sekundären Störung um gegensinnig rotierende Wirbel handelt, die quer zum untersuchten Querströmungswirbel liegen. In den Zentren der beiden wirbelartigen Strukturen beobachtet man entweder ein lokales Druckminimum oder ein lokales Druckmaximum. Die Abbildung (5.9) unten zeigt aber auch, dass insbesondere in den Gebieten mit lokalen Druckminima eine hohe Geschwindigkeitskomponente in axialer Richtung entlang der sekundären Struktur auftritt. Das Vorzeichen dieser Geschwindigkeitsvektoren oberhalb und seitlich des Querströmungswirbels ändert sich. Die lokale räumliche Lage der Instabilität befindet sich oberhalb des Querströmungswirbels. Dies gibt wieder, dass die sekundären Störungen lokale Gebiete hoher Scherung erzeugen.

5.4.2 Untersuchung zum Simulationszeitpunkt t = 750 Zum Zeitpunkt t = 750 ist die Amplitude des Querströmungswirbels auf eine Amplitude von A CF = 23 % gestiegen. Zudem hat sich zu diesem Zeitpunkt der wandnahe, gegensinnig rotierende Wirbel gebildet. Die Auswirkungen der Nichtlinearitäten wird auch dadurch deutlich, dass sich die Amplituden der höherharmonischen Anteile des Querströmungswirbels gegenüber dem Zeitpunkt t = 650 mehr als verdoppelt haben. In Abbildung (5.10) sind die zeitlichen Anfachungsraten der sekundären Eigenfunktionen in Abhängigkeit der Wellenzahl γ dargestellt. Gegenüber den Untersuchungen zum Zeitpunkt t = 650 fällt auf, dass sich die Maxima der Anfachungsraten zu höheren Wellenzahlen γ hin verschoben haben. Die maximale

Abbildung 5.8: Räumliche Darstellung der Eigenfunktion der Mode II bei γ = 0.31 zum Zeitpunkt t = 650 durch Isoflächen der Geschwindigkeitskomponente u v = 0.6 . Der Querströmungswirbel der Grundströmung ist durch eine Isofläche niedrigen statischen Drucks wiedergegeben.

108

5 Sekundäre Stabilitätsanalyse

Abbildung 5.9: Darstellung der sekundären Eigenfunktion der Mode I bei γ = 0.71 durch eine vektorielle Darstellung des Geschwindigkeitsfeldes in einem Schnitt senkrecht zur Orientierung der Struktur. Die Farbe der Vektorpfeile gibt das Druckfeld wieder, wobei niedriger statischer Druck durch blaue Farben und hoher Druck durch rote Farben gekennzeichnet sind. Die Geschwindigkeitsvektoren sind im obigen Bild normalisiert.

5.4 Analyse eines leicht gestörten Querströmungswirbels

109

0.050 Mode I Mode II Mode III

0.045 0.040 0.035

ωi

0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 0.000 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

γ

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

Abbildung 5.10: Sekundäre Anfachungsraten in Abhängigkeit der Wellenzahl γ für das stromabgemittelte Geschwindigkeitsfeld der Simulation T1 zum Zeitpunkt t = 750 .

sekundäre Anfachung tritt jetzt bei einer Wellenzahl γ = 1.04 auf. Die maximale Anfachungsrate ω i ist um den Faktor 4 auf ω i = 0.04013 gestiegen. Die aus der dimensionslosen Frequenz ω r = 0.78792 und der Wellenzahl γ ermittelte Phasengeschwindigkeit der sekundären Störung bleibt nahezu konstant. Sie beträgt c s = 0.758 . Die auf das Experiment umgerechnete Frequenz der sekundären Instabilität ergibt eine Störung von f = 3107 Hz . Die räumliche Struktur der maximal angefachten Eigenfunktion unterscheidet sich nicht wesentlich vom früheren Zeitpunkt. Es handelt sich wiederum um zwei gegensinnig rotierende Wirbel, die sich im Bereich der Trennstromlinie befinden. Die spannweitige räumliche Lage der Eigenfunktion wird in Abbildung (5.11) durch die zweidimensionale Verteilung der Amplitude des Störgeschwindigkeitsanteils in x v -Richtung deutlich.

5.4.3 Untersuchung zum Simulationszeitpunkt t = 880 und t = 1000 Zu den späteren Zeiten t = 880 und t = 1000 stimmt das stromabgemittelte Strömungsfeld sicher nicht mehr exakt mit räumlich lokalen Schnitten an Positionen x v = const. überein. Dennoch werden die sekundären Anfachungsraten des stromabgemittelten Profils untersucht. In der Tabelle sind die maximalen sekundären Anfachungsraten zum Zeitpunkt t = 880 bei vier verschiedenen Wellenzahlen γ dargestellt. Es wurden wiederum N = 14 Moden in der Analyse berücksichtigt. Die zeitlichen Anfachungsraten sind weiter gestiegen. Sie beträgt bei der Wellenzahl γ ω i = 0.04013 . Die Frequenz der sekundären Störungen liegt weiterhin in der gleichen Grössenordnung von ω r = 0.78792 bzw. f = 3107 Hz . Zur Bestimmung der Wellenzahl mit der maximalen Anfachung wäre eine Berechnung der sekundären Anfachungsraten mit weiteren Wellenzahlen γ notwendig. Die sekundären Eigenfunk-

110

5 Sekundäre Stabilitätsanalyse

Abbildung 5.11: Räumliche Darstellung der Eigenfunktionen der sekundären Störung zum Zeitˆ ( y , z ) der Haupströmungskomponente der punkt t = 750 . Dargestellt ist der Betrag u v Mode I bei γ = 1.04 .

tionen sind vom Typ der Moden I aus der Untersuchung der vorangegangenen Zeitpunkte. Allerdings sind bei allen betrachteten Wellenzahlen bis zu fünf andere Eigenfunktionen berechnet worden, die geringere Anfachungsraten als die der Mode I besitzen. Ihre Eigenfunktion ähnelt der der Mode II, die sich in den vorherigen Berechnungen als eine „mittelfrequente“ Instabilität herausgestellt hat. Zum Zeitpunkt t=1000 ergeben sich komplexe Eigenwerte mit einer maximalen Anfachungsrate bei γ = 1.32 von ω = 0.9321 + i 0.0755 . Die räumliche Verteilung der Eigenfunktion entspricht der Mode I. Die Abhängigkeit der Anfachungsrate von der Wellenzahl γ ist in der Abbildung dargestellt. Allerdings zeigte diese Untersuchung, dass zum Zeitpunkt t=1000 die Auflösung der Grundströmung in der wandnormalen Richtung ihr Limit erreicht hat. Bei weiteren Untersuchungen müsste eine Erhöhung

γ

Anfachungsrate ωi

Frequenz ωr

Frequenz f [Hz]

Phasengeschwindigkeit cs

0.5

0.0388

0.3187

1257

0.637

1.0

0.0745

0.7000

2760

0.700

1.5

0.0731

1.0880

4290

0.725

2.0

0.0553

1.4785

5830

0.739

Tabelle 5.4: Anfachungsraten und Frequenzen der maximal angefachten sekundären Störungen bei ausgewählten Wellenzahlen γ zum Zeitpunkt t=880.

5.4 Analyse eines leicht gestörten Querströmungswirbels

111

der Punktezahl in wandnormaler Richtung vorgenommen werden, da die Scherschichten in der Grundströmung stärker hervortreten als zu früheren Zeitpunkten. Die berechneten Anfachungsraten steigen mit fortlaufender Simulationszeit an. Zu den späten Zeiten sind sie um den Faktor 2 grösser, als sie beispielsweise von Janke & Balakumar [51] bestimmt worden sind.

5.4.4 Vergleich mit der Simulation und dem Experiment Die Untersuchung der sekundären Instabilität zeigt, dass es sich bei den hochfrequenten Messungen im Experiment und bei dem auftretenden neuen Wirbelsystem in der Simulation T1 um sekundäre Instabilitäten des nichtlinear deformierten Querströmungswirbels handelt. Die beobachteten Frequenzen stimmen sehr gut mit dem Experiment überein. Die Simulation T1 zeigte, dass sich die Wellen der Moden (7,ky) mit der Wellenzahl 0.56 in Hauptströmungsrichtung als dominierende Störung ergeben. Die sekundäre Stabilitätsanalyse zeigt aber, dass zu späteren Zeiten eher Wellen mit einer höheren Wellenzahl am stärksten angefacht sind. In der sekundären Analyse verschiebt sich die Welle maximaler Anfachung mit fortlaufender Simulationszeit hin zu Wellen mit höherer Wellenzahl. In der Simulation wachsen aber Störungen einer bestimmten Wellenzahl, die zu einem bestimmten früheren Zeitpunkt angeregt werden, mit der Simulationszeit an. Sie konkurrieren in gewissem Masse mit den anderen Wellenzahlen, die zu einem späteren Zeitpunkt angeregt werden. Daher ist es verständlich, dass sich in der Simulation eine dominante Störung mit einer Wellenzahl durchsetzen kann, die geringfügig niedriger ist als die theoretisch maximal angefachten Wellen zum späteren Zeitpunkt t > 750.

Abbildung 5.12: Sekundäre Anfachungsraten in Abhängigkeit der Wellenzahl γ für das stromabgemittelte Geschwindigkeitsfeld der Simulation T1 zum Zeitpunkt t=1000.

112

5 Sekundäre Stabilitätsanalyse

Die Frequenzen der hier berechneten sekundären Störungen liegen in den Bereichen, die im Experiment beobachtet worden sind. Die von Fischer et al. [35] berechneten Frequenzen liegen unterhalb dieses Frequenzbandes. Dies zeigt, dass in der Analyse der sekundären Anfachungsraten des Querströmungswirbels nicht nur der primär angefachte Wirbel betrachtet werden darf, sondern dass seine nichtlineare Verformung und seine höherharmonischen Moden mit in die Untersuchung einbezogen werden müssen. Die Bedeutung der Grösse der zeitlichen Anfachung wird ersichtlich, wenn man die Zeit berechnen möchte, die die Geschwindigkeitsstörung braucht, um mit einer gewissen Anfachungsrate ωi um n Grössenordnungen anzusteigen. Die dafür benötigte Zeit ergibt sich sich aus 1 ∆t = ----- ⋅ n ⋅ ln(10) . ωi

(5.14)

Bei einer Anfachungsrate von ω i = 0.07 braucht die sekundäre Störung nur eine Zeitspanne von ∆t = 98.7 , um über n=3 Grössenordnung anzuwachsen. Dies zeigt an, warum der laminar-turbulente Übergang so schnell zustande kommt.

5.5 Analyse eines gestörten Querströmungswirbels Analog zur Untersuchung der Strömungsdaten der Simulation T1 wird hier der nichtlinear deformierte Wirbel der Simulation T2 untersucht. In dieser Simulation sind dem Querströmungswirbel laufende Wellen überlagert worden, die eine Variation des Wirbel in Haupströmungsrichtung verursachen. Dies ist insbesondere in der Abbildung (4.17) zum Zeitpunkt t=800 zu sehen. Die maximalen sekundären Anfachungsraten des stromabgemittelten Geschwindigkeitsprofils zum Zeitpunkt t=800 sind in Abbildung (5.13) zu erkennen. In dieser Untersuchung wurden N=20 Fourieramplituden berücksichtigt. Die Abhängigkeit der Anfachungsrate von der Anzahl der mitgeführten Moden war in der vorherigen Abbildung (5.4) zu erkennen. In Abbildung (5.13) sind die maximal angefachte Mode I, die weniger angefachte Mode II, wie auch die Anfachungsraten der laufenden Wellen dargestellt. Die maximal angefachte sekundäre Störung ist bei der Wellenzahl γ=1.09 zu beobachten. Seine zeitliche Anfachungsrate beträgt ωi=0.0523. Die dazugehörige Frequenz beträgt ωr=0.8072 bzw. f= 3183 Hz. Die Phasengeschwindigkeit der Störung beträgt cs=0.741. Die Ergebnisse der Simulation T2 zeigen aber, dass sich keine regelmässige sekundäre Störung bildet, wie dies in der Simulation T1 zu beobachten war. Die räumliche Variation des Querströmungswirbels zeichnet eine Stelle xv in Hauptströ-

5.5 Analyse eines gestörten Querströmungswirbels

113

0.060 0.056

travelling waves Mode I Mode II

0.052 0.048 0.044 0.040

ωi

0.036 0.032 0.028 0.024 0.020 0.016 0.012 0.008 0.004 0.000 0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

γ

1.20

1.40

1.60

1.80

2.00

Abbildung 5.13: Sekundäre Anfachungsraten in Abhängigkeit der Wellenzahl γ für das stromabgemittelte Geschwindigkeitsfeld der Simulation T2 zum Zeitpunkt t = 800 .

mungsrichtung aus, an der sich die wirbelartige Struktur zum Zeitpunkt t=800 befindet. Die Position xv=30 wird aus der Darstellung in Abbildung (4.23) ersichtlich. In Abbildung (4.30) ist diese ausgewählte Position mit dem Defizit im Geschwindigkeitsprofil in Bezug gesetzt worden. An keiner anderen Stelle des Strömungsfeldes ist zu diesem Zeitpunkt das Defizit stärker ausgeprägt. Mit der sekundären Stabilitätsanalyse kann nicht nur das stromabgemittelte Profil auf sekundäre Stabilität hin untersucht werden, sondern auch lokale Schnitte bei xv=const. Eine Untersuchung des Querströmungswirbels an der Stelle xv=30.68 ergibt, dass dort die erste Mode des Wirbels eine Amplitude von ACF=23.8% und die erste Höherharmonische eine Amplitude von A=9.4% besitzt. Eine Berechnung der sekundären Anfachungsraten für eine Wellenzahl von γ=1.0 ergibt an diesem Ort eine maximale Anfachung von ωi=0.04665. Die Frequenz, die dort auftritt beträgt ωr=0.7529 bzw. f=2968 Hz. Der Wert der Phasengeschwindigkeit lautet cs=0.75. Im Gegensatz dazu besitzt der Querströmungswirbel und die erste Höherharmonische an der Stelle xv=66.27 weiter stromab, an der in der Simulation T2 eine sekundäre Struktur nicht beobachtet wurde, Amplituden von ACF=26.4% und A=12.4%. An dieser Stelle sind also die Modenamplituden des Wirbels stärker ausgeprägt als an der Stelle weiter stromauf. Dagegen sind die Wendepunkte im Profil weniger stark ausgebildet. Die sekundäre Analyse zeigt bei der entsprechen Wellenzahl γ=1.0, dass dort eine sekundäre Störung mit der zeitlichen Anfachung von ωi=0.03149 und der Frequenz ωr=0.7122 bzw. f= 2808 Hz am stärksten angefacht ist. Damit zeigt sich, das an der vorherigen Stelle sekundäre Störungen mit einer fast doppelt so

114

5 Sekundäre Stabilitätsanalyse

grossen zeitlichen Anfachung angeregt werden. Diese Untersuchung wurde unter Mitnahme von N = 8 Moden (-N .... +N) und Nz=60 wandnormalen Punkten gemacht. In einer weitergehenden Untersuchung sollte an dieser Stelle die Abhängigkeit des Ergebnisses von der Variation der Wellenzahl γ gemacht werden. Es ist aber nicht zu erwarten, dass sich die qualitative Aussage dieses Ergebnisses wesentlich ändert.

115

6 ZUSAMMENFASSUNG

Der laminar-turbulente Übergang in einer dreidimensionalen Plattengrenzschicht wurde in einer zeitlichen numerischen Simulation untersucht. Der Querströmungswirbel, der eine primäre Störung der laminaren Strömung darstellt, charakterisiert die Dynamik des Strömungsfeldes zu frühen Zeitpunkten der Simulation. Die Wechselwirkung des Querströmungswirbels mit der Wand führt ab einer gewissen Amplitude zur Bildung eines wandnahen Wirbels. Dies geschieht durch eine Ablösung der Sekundärströmung unterhalb des Wirbels. Es zeigt sich, dass dieser Wirbel die Tendenz hat, sich von der Wand zu lösen und in Richtung Grenzschichtrand zu bewegen. Dies wurde anhand der Sättigungslösungen zweidimensionaler Strömungszustände gezeigt. In der dreidimensionalen Simulation der Transition in die Turbulenz lässt sich im späten nichtlinearen Stadium eine neue dreidimensionale wirbelartige Struktur erkennen. In dem Fall, dass keine laufenden Wellen zu Beginn der Simulation im Strömungsfeld vorhanden sind, bildet sich diese wirbelartige Struktur seitlich oberhalb der gleichsinnig rotierenden Querströmungswirbel aus. An dieser Stelle befindet sich ein Sattelpunkt in der Strömung. Das neue Wirbelsystem erzeugt wiederum neue Scherschichten, die sich aufrollen, und führt dann in sehr kurzer Zeit zur lokalen Zerstörung des Querströmungswirbels und damit zum Übergang in die Turbulenz. Eine ähnliche Struktur bildet sich, wenn dem Querströmungswirbel laufende Wellen vergleichbarer Amplitude überlagert werden. Durch die Wechselwirkung mit den laufenden Wellen ändern sich in diesem Fall die Amplituden des Querströmungswirbels entlang seiner Achse. Es bilden sich wiederum wirbelartige Strukturen zwischen den Querströmungswirbeln. Allerdings sind sie diesmal nicht periodisch im regelmässigen Abstand zu finden, sondern nur an bestimmten Positionen in Hauptströmungsrichtung. Das neue Wirbelsystem bewegt sich mit ca. 70% der Geschwindigkeit am Grenzschichtrand entlang stromab des Querströmungswirbels. Der Ort, an dem diese neue Struktur auftritt, ist durch mehrere Wendepunkte im Geschwindigkeitsprofil gekennzeichnet. Es zeigt sich weiterhin, dass sich dort ein Gebiet lokal niedriger Geschwindigkeit weit ab von der Wand bildet. Eine Scherungs-Reynoldszahl, die mit dieser Geschwindigkeitsdifferenz gebildet wird, nimmt am Ort der neuen wirbelartigen Struktur ein Maximum an. Eine weitergehende sekundäre Stabilitätsanalyse der durch den Querströmungswirbel nichtlinear verformten Geschwindigkeitsprofile zeigt, dass die in der numerischen Simulation beobachteten neuen wirbelartigen Strukturen sekundäre Instabilitäten

116

6 Zusammenfassung

darstellen. Diese Instabilitäten besitzen sehr hohe zeitliche Anfachungsraten und führen in sehr kurzer Zeit zur lokalen Zerstörung der Struktur des Querströmungswirbels. Die genaue Berechnung der Anfachungsraten erfordert die Mitnahme sehr vieler Fouriermoden in Spannweitenrichtung. Die aufwendige Eigenwertsuche kann durch eine effektive Kombination von Arnoldi-Verfahren und der Wielandt-Iteration beschleunigt werden. Es wurden mehrere unterschiedliche Moden der sekundären Instabilität gefunden. Die am stärksten angefachte Mode zeichnet sich durch eine hohe Frequenz aus, die auch in verschiedenen Experimenten kurz vor dem laminar-turbulenten Übergang beobachtet wurde. Die hier berechneten Lagen und Frequenzen stimmen sehr gut mit den experimentellen Beobachtungen überein. Eine Analyse der Struktur der sekundären Störungen zeigt, dass es sich dabei um gegensinnig rotierende Wirbel handelt, die gleichzeitig hohe lokale Scherungen in ihrer Längsachse besitzen. Diese Strukturen sind im Fall der dreidimensionalen Grenzschicht oberhalb des Querströmungswirbels nahe am Grenzschichtrand zu finden. In weiteren Untersuchungen sollten diese Strukturen näher erforscht und ihr Vorhandensein in ähnlich gearteten dreidimensionalen Grenzschichten überprüft werden. Gleichzeitig kann aber auch die numerische Simulation der zeitlichen Entwicklung der Superposition einer laminaren Grenzschicht mit der Eigenfunktion der vorhergesagten sekundären Instabilität Aufschluss über den Zusammenbruch des Querströmungswirbels geben. Hierbei könnte insbesondere auf die Bedeutung der unterschiedlichen Moden der sekundären Stabilitätsanalyse eingegangen werden.

117

ANHANG A A.1 Kriterien zur Identifikation von Wirbeln Es gibt keine allgemeingültige Beschreibung der Definition eines Wirbels in dreidimensionalen Strömungen. Intuitiv spricht man von der Existenz eines Wirbels, wenn die Stromlinien der Strömung stark gekrümmt sind oder die Stromlinien geschlossene Bahnen ergeben. Man spricht zumeist von der Untersuchung sogenannter wirbelartiger Strukturen. In der Literatur finden sich unterschiedlichste Kriterien, die zur Identifizierung der wirbelartigen Strukturen verwendet werden. An dieser Stelle sollen diese Kriterien in Kürze beschrieben werden. Als Literaturzitate sei hierbei insbesondere auf die Arbeiten von Chong et al. [19] und Jeong & Hussain [52] verwiesen. Eine exemplarische Anwendung der unterschiedlichen Kriterien für die Darstellung charakteristischer wirbelartiger Strukturen ist in den Arbeiten von Wintergerste et al. [125] und Mielke & Kleiser [91] zu finden.

A.1.1 Niedriger statischer Druck Das am häufigsten verwendete Verfahren zur Identifikation wirbelartiger Strukturen stellt die Untersuchung des statischen Drucks dar. Innerhalb eines Wirbels hat die Strömung die Tendenz, auf der Drehachse ein lokales Druckminimum auszubilden, da sich im Wirbel die Zentrifugalkräfte und die Druckkräfte im Gleichgewicht halten. Dies gilt mathematisch exakt im Fall der reibungsfreien Strömung, in der die viskosen Effekte vernachlässigt werden. In den meisten Fällen viskoser Strömungen hat diese Beobachtung aber ebenfalls Gültigkeit. Allerdings kann es sein, dass diese Regel bei sehr niedrigen Reynoldszahlen nicht gilt, so dass sich dort die Zentrifugalkräfte und die viskosen Kräfte das Gleichgewicht halten. Eine allgemeine Beobachtung in der Anwendung des Druckkriteriums ist aber, dass der niedrige statische Druck auch eine Aussage über die Stärke eine Wirbels gibt. Je tiefer das Druckminimum ist, desto stärker ist im allgemeinen die Drehbewegung des Wirbels. Aus diesem Grunde ist es schwierig, zwei Wirbel im Strömungsfeld mit unterschiedlicher Stärke zu visualisieren. In diesem Fall muss man auf eine Methode zurückgreifen, die die Stärke des Wirbels nicht direkt erfasst.

A.1.2 Analyse des Geschwindigkeitsgradiententensors Chong et al. [19] benutzen die Analyse des Geschwindigkeitsgradiententensors ∇u zur Beschreibung der Wirbelbewegung. Anhand ihres Ansatzes werden die lokalen Stromlinien in der Umgebung eines willkürlichen Punktes im Strömungsfeld analy-

118 siert, der sich in einem Bezugssystem mit der lokalen Geschwindigkeit des Strömungsfeldes bewegt. Die Eigenwerte σ des Geschwindigkeitsgradiententensors ∇u lassen sich an jedem Punkt des Strömungsfeldes aus der charakteristischen Gleichung 3

2

σ – Pσ + Qσ – R = 0

(A.1)

bestimmen. Die einzelnen Koeffizienten der Gleichung ergeben sich für inkompressible Strömungen unter Verwendung der Einsteinschen Summationskonvention zu P ≡ u i, i = 0

(A.2)

1 1 2 Q ≡ --- ⋅ ( u i, i – u i, j ⋅ u j, i ) = – --- u i, j u j, i 2 2

(A.3)

R ≡ Det ( u i, j ) .

(A.4)

Eine Wirbelbewegung ergibt sich, wenn die Lösung der charakteristischen Gleichung (A.1) komplexe Eigenwerte ergibt. In diesem Fall sind die lokalen Stromlinien im jeweiligen Bezugssystem geschlossen oder spiralförmig. Komplexe Eigenwerte existieren, wenn die Diskriminante ∆ der charakteristischen Gleichung positiv ist. Daraus ergibt sich dann das sogenannte Diskriminantenkriterium zu 1 3 1 2 ∆ =  --- Q +  --- R > 0 . 3  2 

(A.5)

Ein ähnliches Kriterium verlangt, dass die zweite Invariante Q nach Gleichung (A.3) positiv ist. Die Charakterisierung wirbelartiger Strukturen mit Hilfe der Diskriminante oder der zweiten Invariante unterscheiden sich in manchen Fällen. Allerdings zeigte sich im Rahmen dieser Arbeit, dass bei den vorliegenden Strömungen keine grossen Unterscheide in der Anwendung dieser beiden Kriterien auftraten. Es stellte sich aber heraus, dass die Anwendung der Diskriminante gelegentlich zu numerischen Problemen führte, wenn die wandnormale Richtung sehr fein räumlich diskretisiert wurde. Dies liegt darin begründet, dass die Bestimmung der Diskriminante die dritte Potenz der zweiten Invariante, und damit das Quadrat der Geschwindigkeitsableitungen beinhaltet.

A.1.3 Zweites Eigenwert-Kriterium Jeong & Hussain [52] definieren ein neues Kriterium zur Untersuchung wirbelartiger Strukturen, das sich formell auf den Geschwindigkeitsgradientensor abstützt. Sie

119 gehen davon aus, dass man den Gradienten der Navier-Stokes-Gleichungen bildet. Daraus ergibt sich für die Impulsgleichungen 1 a i, j = – --- p ,ij + νu i, jkk ρ

(A.6)

mit

          

+

DΩ -----------ij- + Ω ik S kj + S ik Ω kj Dt

          

a i, j =

DS ---------ij- + Ω ik Ω kj + S ik S kj Dt symmetrisch

antisymmetrisch

.

(A.7)

Die Terme S ij = 1 ⁄ 2 ⋅ ( u i, j + u j, i ) und Ω ij = 1 ⁄ 2 ⋅ ( u i, j – u j, i ) stellen hierbei den symmetrischen Spannungstensor und den antisymmetrischen Drehungstensor dar. Der antisymmetrische Teil in Gleichung (A.7) stellt die allgemeine Wirbeltransportgleichung dar und fällt somit aus dem Gleichungssystem heraus, da dieser Teil schon eine umgeformte, mathematisch exakte Lösung der Navier-Stokes-Gleichung angibt. Die Gleichung (A.7) reduziert sich also auf DS 1 ---------ij- – νS ij, kk + Ω ik Ω kj + S ik S kj = – --- p ,ij . ρ Dt

(A.8)

DS

ij - in Gleichung (A.8) sowohl die partielle Hierbei enthält die substantielle Ableitung ---------Dt zeitliche Ableitung als auch den konvektiven Term ( u ⋅ ∇ ) S ij . Das Auftreten eines lokalen Druckminimums in einer Ebene senkrecht zur Wirbelachse erfordert zwei positive Eigenwerte des Drucktensors p ,ij . Unter der Vernachlässigung der instationären und viskosen Terme reduziert sich die Gleichung (A.8) - und damit die Suche nach positiven Eigenwerten von p ,ij - auf die Bestimmung zweier negativer Eigenwer2 2 2 2 te von S + Ω . Der Term S + Ω besitzt nur reelle Eigenwerte, da er symmetrisch ist. Das Wirbelkriterium ist damit erfüllt, wenn bei der Anordnung

λ1 ≥ λ2 ≥ λ3

(A.9)

der Eigenwert λ 2 negativ wird. Die Anwendung dieser Methode stellt somit eine Zerlegung des Drucktensors p ,ij in seinen stationären und reibungsfreien Anteil dar. Der stationäre und reibungsfreie Anteil des Drucks wird durch das beschriebene Verfahren auf Wendepunkte hin un-

120

Abbildung A.1: Eindimensionale Prinzipskizze zur Bestimmung der Wendepunkte in einem Druckfeld.

tersucht. Dies ist in einer eindimensionalen Skizze in Abbildung (A.1) dargestellt. Aus der Erfahrung mit der Anwendung dieses Verfahrens lässt sich sagen, dass es sehr gut für die Untersuchung der wirbelartigen Strukturen in inkompressiblen Strömungen einzusetzen ist. In den späten nichtlinearen Stadien der Transition ist es - wie alle Verfahren, die auf dem Geschwindigkeitsgradiententensor ∇u beruhen - durch die Genauigkeit der numerisch berechneten räumlichen Ableitungen begrenzt. Ein Vorteil des Verfahrens ist, dass es eine Abspaltung der instationären und viskosen Kräfte vom Gesamtdruckfeld ermöglicht. Da in der Herleitung von einer inkompressiblen Strömung ausgegangen wurde, muss die Bedeutung dieses Kriteriums für kompressible Strömungen separat abgeklärt werden (siehe hierzu Mielke [90]).

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LEBENSLAUF Name: Geburtstag: Geburtsort: Zivilstand:

Torsten Wintergerste 11. Dezember 1965 Wetter/Ruhr (Deutschland) verheiratet

1972 - 1976 1976 - 1985

Grundschule in Hagen/Westf. Fichte-Gymnasium in Hagen/Westf. Abitur im Mai 1985

1985 - 1986

Wehrdienst

1986 - 1992

Studium der Luft- und Raumfahrttechnik an der Universität Stuttgart Vertiefungsfächer: Strömungsmechanik & Thermodynamik Fachpraktikum Dornier GmbH, Friedrichshafen (1988/89)

1992 - 1994

Wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut für Strömungsmechanik der Deutschen Forschungsanstalt für Luft- und Raumfahrt (DLR) in Göttingen

1994 - 1998

Wissenschaftlicher Assistent am Institut für Fluiddynamik der Eidgenössischen Technischen Hochschule Zürich (ETHZ)

ab Juli 1998

Mitarbeiter der Abteilung Strömungstechnik der Sulzer Innotec AG, Winterthur