Numere Rationale-Irationale [PDF]

Zitiervorschau

NUMERE RAŢIONALE ŞI IRAŢIONALE (Reprezentări zecimale)

Cuprins NUMERE RAŢIONALE ŞI IRAŢIONALE .............................................................................1 BREVIAR TEORETIC ............................................................................................................................... 1 EXERCIŢII REZOLVATE.......................................................................................................................... 3 IRAŢIONALITATEA LUI

2 ........................................................................................................ 8

EXERCIŢII PROPUSE ............................................................................................................................. 10 INDICE DE AUTORI ........................................................................................................................ 22 BIBLIOGRAFIE .................................................................................................................................. 23

Numere raţionale şi iraţionale

NUMERE RAŢIONALE ŞI IRAŢIONALE

BREVIAR TEORETIC Definiţia 1. Numim mulţimea numerelor naturale, mulţimea notată cu ℕ, Numim numerelor naturale, mulţimea notată cu ℕ, 1.{0, definităDefiniţia astfel: ℕ = 1, 2, …mulţimea }. definită astfel: 2. ℕ= …} . {0, 1, 2,mulţimea Numim numerelor întregi, mulţimea notată cu ℤ, definită Definiţia numerelor întregi, mulţimea notată cu ℤ, Definiţia 2.−Numim astfel: ℤ = {… , − 2, 1, 0, 1, 2, mulţimea …} . definită astfel: ℤ = {… , − 2,a− 1, 0,c1, 2, …} . , cu a, c ∈ ℤ şi b, d ∈ ℤ ∗ , se numesc echivalente şi şi Definiţia 3. Fracţiile ba dc , cu a, c ∈ ℤ şi b, d ∈ ℤ ∗ , se numesc echivalente şi Definiţia 3. Fracţiile a c d = , dacă ad = bc. b scriu b ad c = , dacă ad = bc. şi scriu a b d cu a, b ∈ ℤ, Definiţia 4. Mulţimea tuturor fracţiilor echivalente cu o fracţie dată b a cu Definiţia 4. Mulţimea tuturor fracţiilor echivalente cu o fracţie dată a b . b= / 0, se numeşte număr raţional reprezentat de fracţia b a . a, b ∈ ℤ, b = / 0, se numeşte număr raţional reprezentat de fracţia cu oricare Observaţie. Pentru simplificarea exprimării, identificăm un număr raţional b . Pentrucare simplificarea exprimării, identificăm un număr raţional cu dintre Observaţie fracţiile echivalente îl reprezintă. oricare dintre fracţiile echivalente care îlnumerelor reprezintă. raţionale, mulţimea notată cu ℚ, mulţimea Definiţia 5. Numim Numim mulţimea Definiţia 5. p  numerelor raţionale, mulţimea notată cu ℚ, definită astfel ℚ =  p, q ∈ ℤ, q = / 0 .  q p   definită astfel ℚ =  p, q ∈ ℤ, q = / 0 .  q algoritmul împărţirii a două numere naturale, orice fracţie Observaţie. Folosind . Folosind algoritmul împărţirii a două numere naturale, orice fracţie Observaţie p ordinară , p, q ∈ ℕ, q = / 0, se poate scrie sub formă de fracţie zecimală periodică, cu qp ordinară , p, q ∈ ℕ, q = / 0, se poate scrie sub formă de fracţie zecimală periodică, cu q perioada diferită de ( 9 ) . Reciproc, orice fracţie zecimală periodică, cu perioada diferită de diferită de (formă 9 ) . Reciproc, fracţie zecimală periodică, cu perioada diferită scrie sub de fracţieorice ordinară. ( 9perioada ) se poate deDacă sub formă de fracţie ordinară. ( 9 ) sea poate este oscrie fracţie periodică simplă , adică are forma a = a 0 , ( a1a 2 … a p ) , unde , …fracţie , a p ∈ireductibilă p ∈ ℕ ∗ , atunci a 0 ∈Propoziţie ℕ şi a1 , a. 2O {0, 1, 2, …, 9se} ,transformă: ⌦ într-o fracţie zecimală periodică simplă dacă numitorul ei nu are nici factorul 2 a1a2 … a p nici factorul 5: a = a0 + . 99 … 9 ⌦ într-o fracţie zecimală periodică mixtă dacă numitorul său, pe lângă 2 sau 5 p ori conţine şi alt factor prim. Partea neperiodică are un număr de cifre egal cu cel mai mare dintre exponenţii lui 2 şi 5.

prof. Gheorghe ROTARIU

[1]

Numere raţionale şi iraţionale

unde a 0 ∈ ℕ şi a1 , a2 , …, ak , ak+1 , ak+2 , …, ak+p ∈ {0, 1, 2, …, 9 } , k, p ∈ ℕ ∗ , Dacă a este o fracţie periodică mixtă, adică are forma atunci a = a 0 , a1aa2 a … ak ( ak+1ak+2 … ak+ p ) , 1 2 … ak+ p − a1a 2 … ak a = a0 + . unde a0 ∈ ℕ şi a1 , a2 , …, ak , ak+1 , ak+2 , … ak9+p00∈…{00, 1, 2, …, 9 } , k, p ∈ ℕ ∗ , 99, … p ori k ori atunci fracţie zecimală infinită neperiodică. Definiţia 6. Numim număr iraţional, a1a2 … aorice k+ p − a1a 2 … ak = + a a . 0 De exemplu: 0,10100100010000… Observaţie. Există astfel de fracţii. 99 … 9 00 … 0 Notaţie. Mulţimea numerelor iraţionale pseori notează k ori cu ℝ \ ℚ.

număr iraţional, zecimală infinită neperiodică. Definiţia 6. Numim Exemple de numere iraţionale: 0,12345 … ; 2orice , 3 fracţie ; π , etc. 0,10100100010000… de fracţii. De exemplu: Observaţie Numimastfel mulţimea numerelor reale , mulţimea notată cu ℝ, şi definită Definiţia 7.. Există Notaţiedintre . Mulţimea numerelor iraţionale se şi notează cu ℝ \ ℚ. ca reuniunea mulţimea numerelor raţionale mulţimea numerelor iraţionale. Deci ℝ =… ℚ; ∪ (2ℝ, \ ℚ Exemple de numere iraţionale: 0,12345 3 ;)π. , etc.

ℝ, şi Numimdefini mulţimea numerelornumerelor reale, mulţimea notată Definiţia8.7.Putem deci mulţimea reale ca fiindcumulţimea Definiţia tuturor fracţiilor zecimale dintre infinite mulţimea neperiodicenumerelor sau periodice, cu perioada diferită de (9 ). definită ca reuniunea raţionale şi mulţimea numerelor iraţionale. Notaţii.Deci Mulţimile numerice nenule le notăm astfel: ∗ ℝ = ℚ ∪ ( ℝ \ ℚ ). ℕ = ℕ \ {0 } = {1, 2, 3, …} . Putem defini numerelor reale ca fiind mulţimea ℤ ∗ Definiţia = ℤ \ {0 } =8.{… , − 2, − 1, 1, 2,deci 3, …mulţimea }. tuturor fracţiilor zecimale infinite neperiodice sau periodice, cu perioada diferită de ( 9 ) . ℚ ∗ = ℚ \ {0 } şi Notaţii. Mulţimile numerice nenule le notăm astfel: ℝ∗ = ℝ \ {0 } . ℕ ∗ = ℕ \ {0 } = {1, 2, 3, …} . . Avem incluziunile ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Observaţie ℤ ∗ = ℤ \ {0 } = {… , − 2, − 1, 1, 2, 3, …} . ℚ ∗ = ℚ \ {0 } şi ℝ ∗ = ℝ \ {0 } .

Observaţie. Avem incluziunile ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

prof. Gheorghe ROTARIU

[2]

Numere raţionale şi iraţionale

EXERCIŢII REZOLVATE Exerciţiul 1. Arătaţi că n ( n + 1) n (n + 3 ) ∈ ℤ; ∈ ℤ; (a ) (b ) 2 2 n ( n + 1)( n + 2 ) n ( n + 5 )( n + 7 ) ∈ ℤ; ∈ ℤ; (c ) (d ) 6 6 3 ( e ) n + 5n ∈ ℤ, 6 pentru orice n ∈ ℤ. Soluţie. (a ) Cum n şi n + 1, n ∈ ℤ sunt două numere întregi consecutive, unul dintre ele este număr par, deci divizibil cu 2, prin urmare

(b )

∈ ℤ. 2 Deoarece numerele n şi n + 3, n ∈ ℤ, au parităţi diferite, unul dintre ele este număr

par, deci divizibil cu 2, prin urmare

(c )

n ( n + 1)

n (n + 3 )

∈ ℤ. 2 Deoarece n, n + 1 şi n + 2, n ∈ ℤ, sunt 3 numere întregi consecutive, unul dintre ele

este divizibil cu 3, deci 3  n ( n + 1)( n + 2 ) .

(1 )

Printre n, n + 1 şi n + 2, n ∈ ℤ este cel puţin un număr par, deci 2  n ( n + 1)( n + 2 ) .

(2)

Din (1) şi ( 2 ) avem

3  n ( n + 1)( n + 2 ) n ( n + 1)( n + 2 ) ∈ ℤ. 2  n ( n + 1)( n + 2 ) ⇒ 2 ⋅ 3  n ( n + 1)( n + 2 ) ⇒ 6  n ( n + 1)( n + 2 ) ⇒  6 2, 3 = 1 ( )  (d ) Deoarece n şi n + 5 au parităţi diferite, unul este par, deci 2  n ( n + 5 )( n + 7 ) .

(3 ) Vom arăta că n ( n + 5 )( n + 7 )⋮ 3 ⇔ 3  n ( n + 5 )( n + 7 ) . Dacă n = M 3 ⇒ 3  n ( n + 5 )( n + 7 ) . Dacă n = M 3 + 1 ⇒ n + 5 = M 3 + 6 = M 3 ⇒ 3  n ( n + 5 )( n + 7 ) . Dacă n = M 3 + 2 ⇒ n + 7 = M 3 + 9 = M 3 ⇒ 3  n ( n + 5 )( n + 7 ) . În concluzie, oricare ar fi n ∈ ℤ, avem  3  n ( n + 5 )( n + 7 ) .

(4)

Din ( 3 ) şi ( 4 ) avem 3  n ( n + 5 )( n + 7 ) n ( n + 5 )( n + 7 ) 2  n ( n + 5 )( n + 7 ) ⇒ 2 ⋅ 3  n ( n + 5 )( n + 7 ) ⇒ 6  n ( n + 5 )( n + 7 ) ⇒ ∈ ℤ.  6 2,3 = 1 ( )  (e ) Avem

prof. Gheorghe ROTARIU

[3]

Numere raţionale şi iraţionale

n3 + 5n = n3 − n + 6n = n ( n2 − 1) + 6n = n ( n − 1)( n + 1) + 6n. Cum n − 1, n şi n + 1, sunt trei numere întregi consecutive, conform punctului (c ) avem că 6  n ( n − 1)( n + 1) . Prin urmare n3 + 5n este o sumă de doi multipli ai lui 6, deci este un multiplu al lui 6, adică

n3 + 5 n ∈ ℤ. 6

Exerciţiul 2. Fie n ∈ ℤ. Dacă

2n + 3 n2 − 4 ∈ ℚ \ ℤ. ∈ ℤ, atunci 5 5

Soluţie. n2 − 4 Deoarece ∈ ℤ, există k ∈ ℤ astfel încât n2 − 4 = 5k ⇔ ( n − 2 )( n + 2 ) = 5k. De 5 aici avem că 5  ( n − 2 )( n + 2 ) . Cum 5 este număr prim rezultă că 5  n − 2 sau 5  n + 2. prin urmare, există k1 , k2 ∈ ℤ astfel încât n − 2 = 5k1 ⇔ n = 5k1 + 2 sau n + 2 = 5k2 ⇔ n = 5k2 − 2. Dacă n = 5k1 + 2, k1 ∈ ℤ, atunci 2n + 3 = 2 ( 5k1 + 2 ) + 3 = 10k1 + 7 = 5 ( 2k1 + 1) + 2 = / M 5,

2n + 3 ∈ ℚ \ ℤ. 5 Dacă n = 5k2 − 2, k2 ∈ ℤ, atunci

deci

2n + 3 = 2 ( 5k2 − 2 ) + 3 = 10k2 − 1 = 5 ( 2k2 − 1) + 4 = / M 5,

deci

2n + 3 ∈ ℚ \ ℤ. 5

Exerciţiul 3. Fie numărul a = 12345. Arătaţi că

a ( a − 3 )( a + 1) 180

∈ ℕ.

Soluţie. a ( a − 3 )( a + 1) Avem ∈ ℕ ⇔ 180  a ( a − 3 )( a + 1) . 180 Deoarece 180 = 22 ⋅ 3 2 ⋅ 5, trebuie să arătăm că 4  a ( a − 3 )( a + 1) , 9  a ( a − 3 )( a + 1) şi 5  a ( a − 3 )( a + 1) .

• Cum a = 12345 este număr impar, atunci a − 3 şi a + 1 sunt numere pare, deci divizibile fiecare cu 2, prin urmare 4  a (a − 3 )( a + 1) . • Evident, 5  a ⇒ 5  a ( a − 3 )( a + 1) . • Deoarece 3  a, rezultă că 3  a − 3, deci 3 2  a ( a − 3 )( a + 1) . Cum 4  a (a − 3 )( a + 1) , 9  a ( a − 3 )( a + 1) , 5  a ( a − 3 )( a + 1) şi

( 4, 9, 5 ) = 1,

4 ⋅ 9 ⋅ 5  a ( a − 3 )( a + 1) ⇔ 180  a (a − 3 )( a + 1) .

Exerciţiul 4. Scrieţi sub formă de fracţie ordinară următoarele fracţii zecimale: (a ) 3,123; (b ) 2, ( 32 ) ; (c ) 5, 21 ( 345 ) . prof. Gheorghe ROTARIU

[4]

rezultă că

Numere raţionale şi iraţionale Soluţie. (a ) 3,123 = 3123 1000 (b ) Fie x = 2, ( 32 ) = 2, 323232 … . Avem 100x = 232, ( 32 ) . De aici 100 x = 232, ( 32 ) = 230 + 2, ( 32 ) = 230 + x.

Rezultă

230 . 99 Observaţie. Putem utiliza şi forma de scriere din breviarul teoretic: 232 − 2 230 2, ( 32 ) = = . 99 99 (c ) Fie x = 5, 21 ( 345 ) . Avem 100x = 521, ( 345 ) . De aici 100x − x = 230 ⇒ 99x = 230 ⇒ x =

100 x ⋅ 1000 = 521345, ( 345 ) ⇒ 100000x = 521345, ( 345 ) .

Rezultă 100000x − 100 x = 521345, ( 345 ) − 521, ( 345 ) ⇒ 99900x = 520824 520824 43402 = . 99900 8325 Observaţie. Putem utiliza şi forma de scriere din breviarul teoretic: 521345 − 521 43402 5, 21 ( 345 ) = = . 99900 8325 ⇒x=

Exerciţiul 5.

(a ) Fie (b ) Fie

n ∈ ℕ . Arătaţi că

n ∈ ℕ dacă şi numai dacă există k ∈ ℕ astfel încât n = k 2 .

n ∈ ℕ . Arătaţi că

n ∈ ℚ dacă şi numai dacă

n ∈ ℕ.

Soluţie. (a ) Pentru n = 0 afirmaţia este evidentă. Presupunem că n ≥ 1.

(⇒ )

Dacă

n ∈ ℕ , atunci există k ∈ ℕ astfel încât

n = k ⇒ n = k2 . k≥0

2

2

(⇐ ) Dacă există k ∈ ℕ astfel încât n = k ⇒ n = k ⇒ (b ) (⇒ ) Dacă n ∈ {0, 1} , atunci implicaţia este imediată. Fie Presupunem că

n =

n = k ∈ ℕ. n ≥ 2.

p , p, q ∈ ℕ ∗ , ( p, q ) = 1. Evident, p ≥ 2. Rezultă că p 2 = nq 2 . q

Asta înseamnă că q  p 2 . Deoarece ( p, q ) = 1, rezultă (conform rezultatului 7) ( q, p 2 ) = 1. Acest lucru este posibil doar dacă q = 1, deci

(⇐ )

Dacă

n ∈ ℕ şi cum ℕ ⊂ ℚ, rezultă că

n = p ∈ ℕ. n ∈ ℚ.

Exerciţiul 6. Arătaţi că:

(a )

1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2017 + 2017 ∉ ℚ;

(b )

1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2017 + 2014 ∉ ℚ;

(c )

1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2017 + 2017 2 ∉ ℚ;

(d )

n 2 + 5 n + 7 ∉ ℚ , n ∈ ℕ;

Soluţie. prof. Gheorghe ROTARIU

[5]

Numere raţionale şi iraţionale Conform exerciţiului anterior, pentru a arăta că cei patru radicali nu reprezintă numere raţionale, vom arăta că expresiile de sub fiecare radical nu sunt pătrate perfecte. (a ) U (1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2017 + 2017 ) = 0 + 7 = 7. Cum un pătrat perfect nu poate avea ultima cifră egală cu 7, rezultă că

(b )

1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2017 + 2017 ∉ ℚ.

1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2017 + 2014 = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2017 + 2012 + 2 = M 4 + M 4 + 2 = M 4 + 2.

Însă

niciun pătrat perfect nu este de această formă (pătratele perfecte sunt de forma M 4 sau M 4 + 1 ). Prin urmare

1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2017 + 2014 ∉ ℚ.

1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2017 + 2017 2 = 2017 (1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2016 + 2017 ) .

(c )

Cum 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2016 = / M 2017, avem 2017  1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2017 + 2017 2 dar 2017 2

1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2017 + 2017 2 ∉ ℚ.

Prin urmare,

(d )

1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2017 + 2017 2.

Pentru orice n ∈ ℕ, avem încadrările 2

(n + 2)

3

= n2 + 4 n + 4 < n2 + 5 n + 7 < n 2 + 6 n + 9 = ( n + 3 ) .

Cu alte cuvinte, expresia n2 + 5n + 7 este cuprinsă (strict) între două pătrate perfecte consecutive pentru orice n ∈ ℕ, deci nu poate fi pătrat perfect. Prin urmare,

n 2 + 5 n + 7 ∉ ℚ , n ∈ ℕ.

Exerciţiul 7. Fie a, b, c , d ∈ ℚ, b, d > 0 şi

b,

d numere iraţionale. Atunci a = c a+ b =c+ d ⇔ . b = d

Soluţie. / c. (⇒ ) Presupunem prin reducere la absurd că a = Avem a − c =

d − b . Cum a − c ∈ ℚ, rezultă

d − b ∈ ℚ.

(6)

Dar,

(

d − b )( d + b ) = ( a − c ) ( d + b ) ⇒

⇒ d − b = (a − c )( d + b ) ⇒

d+ b =

d + b ) + ( d − b ) (6 )+( 7 ) ∈ ℚ, contradicţie cu 2 Deci a = c. Rezultă apoi că b = d ⇒ b = d.

Dar

d =

(⇐ )

(

d −b ∈ ℚ. a−c

Implicaţia reciprocă este imediată.

Exerciţiul 8. Demonstraţi afirmaţiile: (a) Dacă r ∈ ℚ şi a ∈ ℝ \ ℚ, atunci r + a ∈ ℝ \ ℚ;

(b )

Dacă r ∈ ℚ ∗ şi a ∈ ℝ \ ℚ, atunci ra ∈ ℝ \ ℚ;

(c )

Dacă a ∈ ℝ \ ℚ, atunci

(d )

Dacă a ∈ ℝ \ ℚ, a > 0, atunci

1 ∈ ℝ \ ℚ; a

prof. Gheorghe ROTARIU

a ∈ ℝ \ ℚ. [6]

d ∈ ℝ \ ℚ.

(7 )

Numere raţionale şi iraţionale Soluţie. (a ) Dacă, prin absurd, r + a = q ∈ ℚ, atunci a = q − r ∈ ℚ, contradicţie.

(b )

Dacă, prin absurd, ra = q ∈ ℚ, atunci a =

q ∈ ℚ, contradicţie. r

1 1 ∈ ℚ, atunci a = ∈ ℚ, contradicţie. a 1 a (d ) Dacă, prin absurd, a = r ∈ ℚ, atunci a = r 2 ∈ ℚ, contradicţie.

(c )

Dacă, prin absurd,

Exerciţiul 9. Demonstraţi că: (a ) 2 + 2 ∈ ℝ \ ℚ.

(b ) (c ) (a )

5+

6 ∈ ℝ \ ℚ.

2+

3 +

5 ∈ ℝ \ ℚ.

Soluţie. Deoarece 2 ∈ ℚ şi

2 ∈ ℝ \ ℚ, rezultă, conform exerciţiului 9, punctul

(a ) ,

că

2 + 2 ∈ ℝ \ ℚ.

(b )

Presupunem, prin absurd, că

( absurd, deoarece

(c )

5+

6 = r ∈ ℚ, r >

6 . Avem

r 2 − 11 ∈ ℚ, 2 30 ∈ ℝ \ ℚ (conform exerciţiului 6, deoarece 30 nu este pătrat perfect). 2

5 + 6 ) = r 2 ⇒ 11 + 2 30 = r 2 ⇒

Presupunem, prin absurd, că

2 + 3 + 5 =r⇒

30 =

5 = r ∈ ℚ. Avem

2+ 3+

2

2

2 + 3 = r − 5 ⇒ ( 2 + 3 ) = (r − 5 ) ⇒ 2

⇒ 5 + 2 6 = r 2 + 5 − 2 r 5 ⇒ 2 6 + 2r 5 = r 2 ⇒ ( 2 6 + 2r 5 ) = r 4 ⇒ ⇒ 24 + 20 r 2 + 8r 30 = r 4 ⇒ absurd, deoarece

30 =

r 4 − 20 r 2 − 24 ∈ ℚ, 8r

30 ∈ ℝ \ ℚ .

prof. Gheorghe ROTARIU

[7]

Numere raţionale şi iraţionale

IRAŢIONALITATEA LUI

2

Exerciţiul 10. Demonstraţi că numărul

2 este iraţional.

Soluţia 1. (clasică) Presupunem prin reducere la absurd că

/ 0 astfel încât 2 ∈ ℚ, adică există m, n ∈ ℕ, n =

m m , cu m şi n prime între ele (în caz contrar, simplificăm fracţia prin cel mai n n mare divizor comun al numerelor m şi n ). Avem m m2 2 = ⇔2= ⇔ m 2 = 2 n2 . (5) 2 n n Deoarece membrul drept este număr par, atunci şi membrul stâng este trebuie să fie par, deci şi m este par, adică există k ∈ ℕ astfel încât m = 2k. Înlocuim în ( 5 ) şi avem 2 =

2

( 2k )

= 2n2 ⇔ 4k2 = 2n2 ⇔ 2k2 = n2 .

(6)

În egalitatea ( 6 ) membrul stâng este număr par, deci şi membrul drept va fi par, deci şi n trebuie să fie par, ceea ce contrazice ipoteza că numerele m şi n sunt prime între ele. În concluzie, 2 ∉ ℚ. Soluţia 2. Presupunem prin reducere la absurd că minime, astfel încât

2 =

/ 0 şi ( p, q ) = 1 2 ∈ ℚ adică există p, q ∈ ℕ, q =

p ⇒ p 2 = 2q 2 . Evident, p > q. q

Avem 2 =

p (p − q) q ( 2q − p ) p p 2 − pq 2q 2 − pq 2q − p = = = = = . q q (p − q) q(p − q) q (p − q) q (p − q) p −q

Deoarece q < p < 2q, avem 0 < 2q − p < p şi 0 < p − q < q. Am găsit aşadar 2 numere naturale 2q − p şi p − q mai mici strict decât p şi q al căror raport este egal cu

2,

contradicţie cu minimalitatea lui p şi q .

Soluţia 3. Presupunem prin reducere la absurd că

/ 0 astfel încât 2 ∈ ℚ, adică există m, n ∈ ℕ, n =

m m , cu m şi n prime între ele (în caz contrar, simplificăm fracţia prin cel mai n n mare divizor comun al numerelor m şi n ). Avem 2 =

2 =

m m2 ⇔2= ⇔ m 2 = 2 n2 . 2 n n

(5)

Avem

U ( m2 ) ∈ {0, 1, 4, 5, 6, 9 } , m ∈ ℕ, U ( 2n2 ) ∈ {0, 2, 8} , n ∈ ℕ∗ . Deoarece avem egalitate, rezultă că

U ( m 2 ) = 0 = U ( 2 n2 ) ⇒ U ( m ) = U ( n ) = 0 sau

prof. Gheorghe ROTARIU

[8]

Numere raţionale şi iraţionale

U ( m2 ) = 0, U ( n2 ) = 5 ⇒ U ( m ) = 0, U ( n ) = 5. Prin urmare, în ambele cazuri, numerele naturale m şi n sunt divizibile cu 5, contradicţie cu faptul că sunt prime între ele. Soluţia 4. a / 0, ( a, b ) = 1. Presupunem, prin reducere la absurd, că 2 = , a, b ∈ ℕ, b = b Rezultă că a =

2b ⇒

2 a = 2b. Cum

(a, b ) = 1,

din teorema lui Bézout rezultă că

există numerele întregi n şi k astfel încât 1 = an + bk. Atunci

2 =

2 ⋅1 =

contradicţie, deoarece

2 ( an + bk ) =

(

)

2a n +

(

)

2 b k = 2bn + ak ∈ ℤ,

2 ∉ ℤ.

Soluţia 5.

a , a, b ∈ ℕ, b = / 0, ( a, b ) = 1. b Avem a2 = 2b 2 ⇒ a 2 + b 2 = 3 b 2 ⇒ 3  a 2 + b 2 ⇒ 3  a şi 3  b, contradicţie cu faptul că a

Presupunem, prin reducere la absurd, că

2 =

şi b sunt prime între ele. Soluţia 6.

a , a, b ∈ ℕ, b = / 0, ( a, b ) = 1. b Avem a2 = 2b 2 ⇒ b  a 2 . Dacă b > 1, considerăm p un divizor prim al lui b. Evident,

Presupunem, prin reducere la absurd, că

2 =

p ≥ 2. Avem p  b ⇒ p  a2 . Cum p este număr prim, rezultă că p  a, contradicţie cu

(a, b ) = 1.

Prin urmare, b = 1 ⇒

2 = a ∈ ℕ, contradicţie.

Soluţia 7. Presupunem, prin reducere la absurd, că

2 =

a , a, b ∈ ℕ, b = / 0, ( a, b ) = 1. b

Evident, b > 1. Fie p un divizor prim al lui b. Deci p ≥ 2. Avem a2 = 2b 2 ⇒ a2 − b 2 = b 2 ⇒ ( a − b )( a + b ) = b 2 . Cum p  b ⇒ p  b 2 ⇒ p  ( a − b )( a + b ) . Deoarece p este număr prim, avem

p  a − b sau p  a + b.  p b / 1, contradicţie.  ⇒ p  a, deci ( a, b ) = p  a ± b 

prof. Gheorghe ROTARIU

[9]

Numere raţionale şi iraţionale

EXERCIŢII PROPUSE 1. Fie n ∈ ℕ . Arătaţi că următoarele numere sunt întregi: n3 − n ; 3 3 2 (d ) N 4 = n − 3 n + 8n ; 6

n 3 + 2n ; 3 3 2 (e ) N 5 = n + n + n ; 3 2 6

(a ) N 1 =

(b ) N 2

=

n 3 − 5n ; 3 2 3 (f ) N 6 = n + n + n . 12 8 24

(c ) N 3

=

a5 a3 7a este număr natural. 2. Fie a ∈ ℕ . Arătaţi că A = + + 5 3 15

3. Determinaţi n ∈ ℕ astfel încât

4. Fie a, b ∈ ℤ astfel încât

2017 n este număr întreg. 2017 + n

3 a + 4b 4a − 3 b ∈ ℤ. Arătaţi că ∈ ℤ. 5 5

5. Fie a ∈ ℚ. Dacă 5a ∈ ℤ şi 3a ∈ ℤ, atunci a ∈ ℤ. 6. Arătaţi că dacă, x, y ∈ ℚ cu xy ∈ ℤ şi x + y ∈ ℤ, atunci x şi y ∈ ℤ.

a2 + b2 + c 2 ∈ ℤ. 7. Fie a, b, c ∈ ℤ astfel încât ab + bc + ca ∈ ℤ . Arătaţi că a+b+c a+b+c Olimpiadă Kazahstan 8. Fie n ∈ ℕ, n ≥ 2. Arătaţi că oricare ar fi numerele impare pozitive a1 , a 2 , …, an , numărul

a1 a a + 2 + … + n nu este întreg. 1 2 n

9. Să se arate că pentru orice n ∈ ℕ, fracţiile următoare sunt reductibile:

(a ) 2 n + 10 n n

n

3 + 15

10. Arătaţi că fracţia

;

(b ) 2 n + 6 n n

3 +9

(a + b )(b + c )(c + a ) a 2 + 2017 a + 2018

n

;

(c )

2n + 8n . 3 n + 12 n

este reductibilă oricare ar fi a, b, c ∈ ℕ .

11. Arătaţi că pentru orice n ∈ ℕ, fracţia 2 n + 1 este ireductibilă. 3n + 2 12. Arătaţi că fracţia 30 n + 11 este ireductibilă pentru orice n ∈ ℕ . 42n + 19 13. Determinaţi n ∈ ℕ pentru care fracţia n + 2 este reductibilă. 3n + 1 14. Determinaţi cel mai mare număr natural n pentru care fracţia n − 10 este o fracţie 9 n + 11 prof. Gheorghe ROTARIU

[10]

Numere raţionale şi iraţionale reductibilă nenulă. Singapore Mathematical Olympiad, 2009 an + b se simplifică prin h, 15. Fie a, b, c, d, n numere întregi. Arătaţi că, dacă fracţia cn + d atunci h  ad − bc . an + b 16. Fie a, b, c, d, n numere întregi şi fie fracţia F = . Dacă ad − bc = 1, atunci cn + d fracţia F este ireductibilă. Reciproca este adevărată?

a c 17. Fie a, b, c, d ∈ ℕ ∗ , cu ( a, b ) = (c , d ) = 1 şi  +  ∈ ℕ. Arătaţi că b = d. b d / ±d 18. Fie numerele reale a, b, c, d, c =

astfel încât

a−b a+b = . c −d c +d

Putem avea

egalitatea abcd = 2012 ? Математическая регата

19. Fie numerele reale nenule a, b, c , d astfel încât a + c = a + c . Arătaţi că ac < 0. b d b+d Математическая регата 20. Arătaţi că numărul r =

1 1 2 + − , n ∈ ℕ , n ≥ 2, este reprezentat printr-o n+1 n −1 n

fracţie zecimală periodică.

21. Arătaţi că pentru n ∈ ℕ, n ≥ 2, numărul r =

3n 2 − 1 este reprezentat printr-o fracţie n3 − n

zecimală periodică mixtă.

22. Arătaţi că numărul a = 0,101001000100001... este iraţional. 23. Fie numărul x = 0,12345678910111213 ….

(a ) Determinaţi a 2017-a zecimală a numărului. (b ) Arătaţi că x este iraţional. 24. Să se arate că orice număr iraţional scris sub formă de fracţie zecimală are: (a) cel puţin o cifră nenulă care se repetă de o infinitate de ori;

(b )

cel puţin două cifre care se repetă de o infinitate de ori.

25. Scrieţi un număr iraţional sub formă de fracţie zecimală în care doar două cifre se repetă de o infinitate de ori. 26. Demonstraţi că pentru orice n ∈ ℕ ∗ , următoarele numere sunt iraţionale:

( a ) An = n 2 + 5 n + 7 ; (b ) Bn = ( n + 1)( n + 2 )( n + 3 )( n + 4 ) . prof. Gheorghe ROTARIU

[11]

Numere raţionale şi iraţionale 27. Demonstraţi că numerele an =

5n + 7 şi bn =

5n + 13 sunt iraţionale pentru orice

n natural. 28. Arătaţi că, pentru orice număr natural n, numărul c n =

4 n + 2 n este iraţional.

29. Fie n un număr natural impar, iar b o cifră nenulă. Arătaţi că numărul A=

b 0 …0 b n de 0

este iraţional.

a 2 + b 2 + 4 nu este raţional.

30. Dacă a şi b sunt numere naturale impare, atunci

31. Arătaţi că numărul

(14 + 4 )(24 + 4 )…( 2017 4 + 4 )

32. Dacă a şi b sunt numere naturale impare, atunci 33. Arătaţi că numărul A = 34. Arătaţi că

este iraţional.

2

a 2 + b 2 nu este raţional.

n 3 + 14n + 14 este iraţional pentru orice n ∈ ℕ .

3 n 2 + 2n + 2 este număr iraţional, oricare ar fi n ∈ ℕ . Olimpiada Spania

35. Fie a1 , a 2 , … , a 2011 numere naturale impare. Arătaţi că numărul

A=

2 a12 + a22 + … + a2011

este iraţional.

36. Arătaţi că pentru orice numere naturale nenule a şi b numărul

3 a 2 + 4b 2 + 4a 2 + 3 b 2 este iraţional.

37. Arătaţi că pentru orice n ∈ ℕ ∗ , numerele An =

n + n + 1 sunt iraţionale.

38. Arătaţi că pentru orice n ∈ ℕ ∗ , numerele An =

n − 1 + n + 1 sunt iraţionale.

39. Determinaţi numerele naturale n pentru care

n + 1 + 4n + 21 este raţional. 2

40. Daţi exemple de numere iraţionale a pentru care ( a + 1) este:

(a) iraţional; (b ) raţional. 41. Daţi exemple de numere iraţionale a pentru care a +

prof. Gheorghe ROTARIU

[12]

1 este: a

Numere raţionale şi iraţionale

(a) iraţional; (b ) raţional. / b pentru care a − b este: 42. Daţi exemple de numere iraţionale a, b, a = a+b (a) iraţional;

(b )

raţional.

43. Daţi exemple de numere iraţionale a şi b pentru care ab + a − b este număr raţional. 44. Care dintre următoarele propoziţii sunt adevărate? (a) Dacă x, y ∈ ℚ, atunci x + y ∈ ℚ.

(b ) Dacă x, y ∈ ℝ \ ℚ, atunci x + y ∈ ℝ \ ℚ. (c ) Dacă x, y ∈ ℝ \ ℚ, atunci xy ∈ ℝ \ ℚ. (d ) Dacă x + y ∈ ℚ, atunci x, y ∈ ℚ. (e ) Dacă xy ∈ ℚ, atunci x ∈ ℚ sau y ∈ ℚ. 45. Fie a, b ∈ ℝ \ ℚ. Arătaţi că pentru orice x, y ∈ ℚ, avem ax + by ∈ ℝ \ ℚ. 46. Fie x, y numere reale astfel încât xy = x + y . Arătaţi că x şi y sunt fie simultan numere raţionale, fie simultan numere iraţionale.

47. ( a) Fie a, b, c numere raţionale. Să se arate că a + b 2 + c 3 = 0 dacă şi numai dacă a = b = c = 0.

(b )

Pentru numerele reale a, b, c din a + b 2 + c 3 = 0 rezultă a = b = c = 0 ?

48. Fie a, b, c numere reale. Care dintre următoarele afirmaţii este adevărată? Justificaţi.

(a) Dacă a + b şi a − b sunt numere raţionale, atunci a şi b sunt numere raţionale. (b ) Dacă ab şi a + b sunt numere raţionale, atunci a şi b sunt numere raţionale. (c ) Dacă a + b şi b + c sunt numere raţionale, atunci a + c este raţional. (d ) Dacă a + b şi b + c sunt numere raţionale, atunci a − c este raţional. (e ) Dacă ab şi bc sunt numere raţionale, atunci ac este n umăr raţional. 49. Precizaţi valoarea de adevăr a propoziţiilor: (a) Oricare ar fi numerele iraţionale a şi b, avem a + b şi a − b numere iraţionale.

(b )

Oricare ar fi numerele iraţionale a şi b, avem a + b sau a − b numere iraţionale.

50. Fie numerele reale a, b, c astfel încât a + b, b + c , c + a sunt numere raţionale. Arătaţi că a, b, c sunt numere raţionale.

51. Dacă a + b, b + c şi c + a sunt numere iraţionale, atunci a + b + c este număr iraţional?.

prof. Gheorghe ROTARIU

[13]

Numere raţionale şi iraţionale 52. Dacă a + b, b + c , c + d , d + a sunt numere raţionale, atunci a, b, c şi d sunt numere raţionale? 53. Dacă a + b, b + c , c + d, d + e, e + a sunt numere raţionale, atunci a, b, c, d şi e sunt numere raţionale?

54. Arătaţi că dacă a + b este un număr iraţional, iar ab este un număr raţional nenul, atunci a şi b sunt numere iraţionale. 55. Fie a şi b două numere reale astfel încât 2a + b şi a − 2b sunt numere raţionale. Arătaţi că numerele a şi b sunt raţionale. 56. Se ştie că exact unul dintre numerele reale x, y, z este iraţional, iar numărul

N = xy + yz + zx este raţional. Arătaţi că N ≤ 0. 57. Arătaţi că dacă p ∈ ℕ, p număr prim, atunci

p este iraţional.

58. Fie a şi b două numere iraţionale astfel încât a 2 − b 2 este număr raţional. Arătaţi că a + b şi a − b sunt ambele iraţionale. Olimpiada Brazilia 59. Fie numărul real nenul x astfel încât x4 + Arătaţi că x +

1 x4

şi x5 +

1 sunt numere raţionale. x5

1 este raţional. x Olimpiada India

/ 0 astfel încât a 4 şi a 6 sunt numere raţionale. Precizaţi valoarea de 60. Fie a ∈ ℝ , a = adevăr a următoarelor afirmaţii: ( a ) a ∈ ℚ;

( b ) a 2 ∈ ℚ; ( c ) a 3 ∈ ℚ; (d ) a14 ∈ ℚ. / 0 astfel încât a 4 şi a 7 sunt numere raţionale. Arătaţi că a n este 61. Fie a ∈ ℝ , a = număr raţional pentru orice n ∈ ℕ .

62. Arătaţi echivalenţele: x ∈ ℝ \ ℚ ⇔ 3 x + 2 ∈ ℝ \ ℚ ⇔

x ∈ ℝ \ ℚ. 2

63. Determinaţi numerele iraţionale a şi b astfel încât a + b ∈ ℚ, ab ∈ ℚ şi

prof. Gheorghe ROTARIU

[14]

a ∈ ℚ. b

Numere raţionale şi iraţionale 64. Arătaţi că există o infinitate de numere iraţionale a şi b cu proprietatea că a + b = ab ∈ ℕ . Olimpiada judeţeană de matematică, 2006 65. Arătaţi că există o infinitate de numere iraţionale a şi b pentru care a + b şi ab sunt numere raţionale. 66. Fie a, b numere reale. Arătaţi că există un număr iraţional c astfel încât numerele

a + c şi b + c să fie iraţionale. Olimpiada locală de matematică, Buzău, 2016 67. Fie a un număr real astfel încât a 3 şi a 2 + a sunt numere raţionale. Arătaţi că a este număr raţional. 68. Să se determine numărul iraţional x ştiind că numerele x 2 + x şi x 3 + 2x 2 sunt numere întregi. Olimpiada judeţeană de matematică, 2014 69. (a ) Fie x un număr real astfel încât x2 + x şi x3 + 2x să fie raţionale. Arătaţi că x este număr raţional.

(b )

Arătaţi că există numere iraţionale x astfel încât x2 + x şi x3 − 2x să fie

raţionale.

70. Să se determine numărul iraţional x ştiind că numerele x 2 + 2x şi x 3 − 6x sunt numere raţionale. Olimpiada judeţeană de matematică, 2008 71. Să se determine numerele iraţionale x pentru care x3 − 6x şi x4 − 8x2 sunt raţionale. USA Mathematical Talent Search, 2017 72. Fie x, y , z numere reale nenule astfel încât xy, yz şi zx sunt numere raţionale.

(a) Arătaţi că numărul x 2 + y 2 + z 2 este raţional; (b ) Dacă, în plus, numărul x 3 + y 3 + z 3 este raţional,

atunci x, y, z sunt numere

raţionale.

73. Dacă a este un număr real astfel încât a 2003 = a 2002 + 1, arătaţi că a este un număr iraţional.

74. (a )

Fie

m,

(b )

m, n ∈ ℕ ∗ .

Demonstraţi

că

m + n ∈ℚ

dacă

şi

numai

dacă

n ∈ ℕ;

Determinaţi perechile ( x, y ) de numere naturale astfel încât

75. Rezolvaţi în mulţimea numerelor naturale nenule sistemul

prof. Gheorghe ROTARIU

[15]

x + y = 10 3 .

Numere raţionale şi iraţionale

x + 5 y + 6 xy = 168  23 x + 3 y + 26 xy = 1176 76. Determinaţi numerele raţionale x şi y astfel încât x + y 16 + 252 = x 8 − 28 + 15.

77. Determinaţi numerele raţionale pozitive a şi b astfel încât a+ b =

4+ 7 .

Olimpiada matematică, Polonia 78. Fie a, b, c ∈ ℕ ∗ astfel încât

a 3 +b b 3 +c

∈ ℚ. Arătaţi că

a2 + b2 + c 2 ∈ ℕ. a+b+c

Finnish National High School Mathematics Competition, 2004 79. Determinaţi numerele iraţionale a, ştiind că a + 3 şi a 2 + 3 sunt, simultan, raţionale. Объединенная межвузовская математическая олимпиада школьников, 2016

80. Determinaţi numerele iraţionale a astfel încât a + 15 şi

1 − 15 sunt, simultan, a

numere întregi. Математическая регата

81. Cercetaţi daca există x ∈ ℝ astfel încât cos x + 2 şi cos 2 x + 2 să fie, simultan, numere raţionale.

Всесибирской олимпиады школьников, 2016 82. Putem completa un tabel de dimensiuni 2 × 3 (2 linii şi 3 coloane) cu numere iraţionale astfel încât suma pe fiecare linie şi pe fiecare coloană să fie un număr raţional? 83. ( a) Fie numerele raţionale strict pozitive a şi b astfel încât a şi

(b )

b sunt numere raţionale.

Arătaţi că

2 + 3 este iraţional.

84. Fie numerele raţionale strict pozitive a şi b astfel încât şi

a + b ∈ ℚ. Arătaţi că

a − b ∈ ℚ. Arătaţi că

b sunt numere raţionale.

85. Dacă a şi b sunt numere raţionale strict pozitive, iar α, β ∈ ℚ ∗ , astfel încât α a + β b ∈ ℚ, atunci

a,

b ∈ ℚ.

86. Fie m, n ∈ ℕ ∗ . Arătaţi că dacă

prof. Gheorghe ROTARIU

m este iraţional, atunci n [16]

mn este iraţional.

a

Numere raţionale şi iraţionale 87. Fie numerele raţionale strict pozitive a, b şi c astfel încât Arătaţi că

a,

b şi

a + b + c ∈ ℚ.

c sunt numere raţionale.

88. Fie a şi b două numere reale diferite şi strict pozitive. Dacă a − ab ∈ ℚ şi b − ab ∈ ℚ, arătaţi că a, b ∈ ℚ.

Olimpiada judeţeană de matematică, 2012 89. Determinaţi numărul real a astfel încât

a+5 ∈ ℚ. a + 12

Etapa locală Bihor, 2015 90. Arătaţi că

5n + 3 ∈ ℝ \ ℚ oricare ar fi n ∈ ℕ . 2n + 1

91. Fie mulţimea M = {a + b 3 a, b ∈ ℚ, a2 − 3b2 = 1} . Arătaţi că:

(a ) 2 + 3 ∈ M ; (b ) x, y ∈ M ⇒ xy ∈ M ; (c ) mulţimea M este infinită. 92. Se dau numerele naturale a = 3 n + 5, b = 2n + 3, c = n + 2, n ∈ ℕ ∗ . Este numărul

 a, b  +  a, c  raţional? (Am notat prin  a, b  cel mai mic multiplu comun al       numerelor naturale a şi b ) E=

93. Determinaţi numărul prim p şi numărul natural n astfel încât

1−

94. Arătaţi că dacă a, b, c sunt numere raţionale strict pozitive cu

69 ∈ ℚ. pn

1 1 1 + = , atunci a b c

a 2 + b 2 + c 2 este număr raţional. 95. Arătaţi

că

dacă

a, b, c

(1 + a 2 )(1 + b 2 )(1 + c 2 )

sunt

numere

raţionale

ab + bc + ca = 1,

cu

atunci

este număr raţional.

96. Să se determine numerele naturale a şi b ştiind că a noua zecimală a numărului este b şi a noua zecimală a numărului

b este a. a

97. Să se determine cifrele diferite a şi b astfel încât 0, a ( b ) = 98. Dacă

a . b

0, a ( bc ) + 0, b ( ca ) + 0, c (ab ) ∈ ℚ, calculaţi a + b + c .

prof. Gheorghe ROTARIU

[17]

a b

Numere raţionale şi iraţionale 99. Determinaţi perechile nenule de cifre (a, b ) ştiind că

0, aaa … = 0, bbb …

UNC Charlotte, Math Contest, 2017 100.

Fie a ∈ ℚ de forma a = 0, a1a 2 a 3 … şi b ∈ ℝ \ ℚ de forma b = 0, a1a2 a 3 … , unde

ak , bk ∈ {1,2 } pentru orice k ∈ ℕ ∗ .

(a) Arătaţi că m ∈ ℕ ∗ astfel încât am + bm = 3. (b ) Arătaţi că există n ∈ ℕ ∗ astfel încât an = bn . (c ) Daţi exemplu de numere a şi b din enunţ. Concursul de matematică Isoscel, 2011 101. Fie x şi y două numere iraţionale astfel încât xy , x 2 + y şi y 2 + x sunt numere raţionale. Determinaţi valoarea lui x + y şi daţi exemplu de o pereche

( x, y )

care

satisface condiţiile din enunţ.

102. Arătaţi că există o infinitate de numere raţionale x pentru care

x + 1997 ∈ ℚ şi

x + 1998 ∈ ℚ.

103. Arătaţi că orice fracţie ordinară

p , p, q ∈ ℕ ∗ , poate fi scrisă sub forma q p a2 + b3 = , q c5 + d7

unde a, b, c , d ∈ ℕ ∗ .

Olimpiada de matematică Polonia 104. Determinaţi perechile (a, b ) de numere naturale pentru care fracţiile

a +1 b +1 şi b a

sunt, simultan, numere naturale.

Olimpiada de matematică Polonia 105. Arătaţi că n 2 nu este natural oricare ar fi n ∈ ℕ ∗ . 106. Fie a, b, c , d ∈ ℕ ∗ astfel încât

a−b 2 c −d 2

∈ ℚ. Arătaţi că

107. Fie x un număr real. Arătaţi că dacă

abcd ∈ ℚ.

x este număr raţional, atunci şi x + x+1 2

x2 este număr raţional. x4 + x2 + 1

108. Demonstraţi că există o infinitate de numere raţionale x, astfel încât

prof. Gheorghe ROTARIU

[18]

2x − x2 ∈ ℚ.

Numere raţionale şi iraţionale 109. Determinaţi cifrele nenule a, b, c pentru care

1 1 1 + + = a, b ( c ). a b c 110. Fie numerele reale distincte a şi b astfel încât a2 + b ∈ ℚ şi b2 + a ∈ ℚ. Arătaţi că:

(a )

numerele a =

(c )

dacă

1+ 2

şi b =

1− 2

verifică proprietăţile date; 2 2 (b ) dacă a + b ∈ ℚ \ {1} , atunci a şi b sunt numere raţionale;

a ∈ ℚ, atunci a şi b sunt numere raţionale. b

111. Fie a şi b două numere naturale nenule. Arătaţi că dacă numărul a +

b 1 − este a b

natural, atunci el este pătrat perfect.

Baraj JBMO, Franţa, 2017 n

n

112. Să se arate că (1 + 2 ) + (1 − 2 ) ∈ ℤ, oricare ar fi n ∈ ℕ . 113. Se consideră numărul a = 0,111 …1. Să se calculeze primele 2001 cifre zecimale ale 2001 de 1

numărului

114. Arătaţi că

a.

( n + 1)( n + 2 )… 3 n 3n

∈ ℕ, oricare ar fi n ∈ ℕ .

115. Să se arate că există o infinitate de numere n ∈ ℕ astfel încât

n să aibă primele

două zecimale cifrele 0 şi 3, în această ordine.

116. Demonstraţi că numărul 1 + 3

nu poate fi reprezentat sub formă de sumă de

pătrate de forma a + b 3 unde a şi b sunt numere raţionale.

117. Demonstraţi că pentru orice număr natural n, expresia formă de diferenţă

(

2 −1

n

)

se reprezintă sub

k + 1 − k , k ∈ ℕ.

118. Pentru orice număr natural a definim mulţimea

{

Aa = n ∈ ℕ

}

n2 + an ∈ ℕ .

(a ) Arătaţi că mulţimea Aa este finită dacă şi numai dacă (b ) Determinaţi cel mai mare element al mulţimii A40 .

a= / 0.

Olimpiada judeţeană de matematică, 2015

prof. Gheorghe ROTARIU

[19]

Numere raţionale şi iraţionale 119. Determinaţi toate numerele reale x pentru care numărul a =

2x + 1 x + 2x + 3 2

este

întreg. Olimpiada judeţeană de matematică, 2013 120. Fie x, y două numere naturale nenule diferite. Arătaţi că numărul 2

E=

(x + y )

x3 + xy 2 − x2 y − y 3

nu este întreg. Olimpiada judeţeană de matematică, 2010 121. Să se determine numerele reale a şi b ştiind că a + b ∈ ℤ şi a2 + b2 = 2. Olimpiada naţională de matematică, 2001 122. Să se determine sistemele ordonate ( x, y , z ) de numere raţionale pozitive pentru care

x+

1 1 1 ,y+ ,z+ sunt numere întregi. y z x Olimpiada naţională de matematică, 2001

123. Arătaţi că orice număr real x pentru care 0 < x < 1 se scrie ca diferenţa a două numere iraţionale strict pozitive şi mai mici strict ca 1. Olimpiada naţională de matematică, 2002 124. Numerele reale a şi b au proprietăţile: ( i ) 0 < a < b;

( ii )

1 ; 2 + b 40 = 1.

b −a ≥

( iii ) a 40

Arătaţi că în reprezentarea zecimală a lui b, primele 12 cifre de după virgulă sunt egale cu 9.

Olimpiada naţională de matematică, 2003 125. Se consideră numerele naturale nenule ( m, n ) astfel încât numerele

m2 + 2n n2 + 2m şi n2 − 2m m2 − 2n să fie întregi. (a ) Arătaţi că m − n ≤ 2.

(b )

Găsiţi toate perechile ( m, n ) cu proprietatea din ipoteză.

Olimpiada naţională de matematică, 2012 126. Numim specială o mulţime M de numere reale cu proprietăţile: / y, numerele x + y şi xy sunt nenule, exact unul dintre ( i ) pentru orice x, y ∈ M , x = ele fiind raţional;

( ii )

pentru orice x ∈ M , numărul x2 este iraţional.

prof. Gheorghe ROTARIU

[20]

Numere raţionale şi iraţionale Aflaţi numărul maxim de elemente al unei mulţimi speciale. Olimpiada naţională de matematică, 2013 127. Fie x, y ∈ ℤ astfel încât Arătaţi că

y2 + 3 y+3 x2 + 3 x+3 şi + sunt numere întregi. + y x y x

y3 + 3 x3 + 3 + este număr întreg. y x

128. Fie a, b ∈ ℕ şi p un număr prim, p ≥ 3. Dacă întregi, arătaţi că

a+b a2 + b2 şi p p

sunt numere

a2 + b2 este număr întreg. p2

Prelucrare, olimpiada Polonia, 2017 129. Determinaţi valorile naturale ale lui n astfel încât

130. Determinaţi numerele naturale a, b, c astfel încât 131. Determinaţi n ∈ ℕ astfel încât

2018n este număr natural. 2017 + n Olimpiada CAMMAT, 2017

a+

b b =a . c c

n2 + 3 n + 17 este număr raţional.

132. Fie x ∈ ℝ cu proprietatea că x3 + x şi x5 + x sunt raţionale. Arătaţi că x ∈ ℚ. 133. Fie mulţimile 3 n + 2   A = x ∈ ℝ există n ∈ ℕ astfel încât x =  şi  2 n + 1  3 m + 1   B = y ∈ ℝ există m ∈ ℕ astfel încât y = .  3 m + 1 

(a ) Să se arate că pentru orice x ∈ A , (b ) Să se determine A ∩ B . 134. Fie a ∈ ℝ ∗ astfel încât a +

x ∉ ℚ;

1 1 este număr raţional. Arătaţi că a n + este număr a an

raţional, oricare ar fi n ∈ ℕ .

135. Pe tablă sunt scrise iniţial numerele 1 − 2 ,

2 şi 1 + 2 . La fiecare minut, sunt

şterse toate cele trei numere de pe tablă x, y şi z şi înlocuite prin x2 + xy + y 2 , y 2 + yz + z 2 , respectiv z2 + zx + x2 . Este posibil ca, după o perioadă de timp, toate

cele trei numere scrise pe tablă să fie raţionale?

Olimpiadă Rusia, 2018

prof. Gheorghe ROTARIU

[21]

Numere raţionale şi iraţionale

INDICE DE AUTORI Albu Mădălina: 132 Banu Florica: 69 Basarab Constantin: 33 Becheanu Mircea: 122 Blaga Alexandru: 110 Fianu Mircea: 56, 124 Ilie Romeo: 121 Ivăşchescu Nicolae: 92 Mangra Cristian: 109 Petrescu Elefterie: 12 Popa Claudiu-Ştefan: 46 Popescu Dan: 102 Popovici Dorin: 113 Rotariu Gheorghe: 75 Sasu Aurel: 98, 108 Stoica Gheorghe: 8, 36 Voicu Ion: 35

prof. Gheorghe ROTARIU

[22]

Numere raţionale şi iraţionale

BIBLIOGRAFIE 1 D. Andrica, D. Isac, E. Jecan, G. Marchitan, D. Popescu, Matematică, manual   pentru clasa a IX-a, Editura Gil, Zalău, 2001  2  L. Panaitopol, M. Bălună, B. Enescu, Matematică, manual pentru clasa a IX-a,   Editura Gil, Zalău, 2001  3  M. Perianu, F. Dumitrel, Matematică, clasa a IX-a, Grup Editorial Art, 2014    4  Savu I, S. Rădulescu, D. Ş. Marinescu, M. Prajea, C. Chiteş, L. Ioana, V. Paterău,   Probleme pregătitoare pentru olimpiadele şcolare, Grup Editorial Art, 2006  5  D. Popescu, G. Oboroceanu, Exerciţii şi probleme de algebră, combinatorică şi   teoria numerelor, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1979  6  K.H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Aplications, seventh edition, The   McGraw-Hill Companies, 2012  7  Preliminary Selection Contest-Hong Kong    8  Berkeley Math Circle – Monthly Contest    9  Gazeta matematică-ediţie electronică   10  https://artofproblemsolving.com   11 http://www.mateforum.ro   12  http://web.math.sinica.edu.tw  

prof. Gheorghe ROTARIU

[23]