Notas 2 [PDF]

Zitiervorschau

CAPÍTULO 2

Ecuaciones lineales autónomas homogéneas en R y sus aplicaciones En este capítulo resolveremos la ecuación diferencial lineal más sencilla; ésta está definida por un campo vectorial lineal en R, es decir, con coeficiente constante real y lineal en la variable x: (2.1)

x˙ = x ,

, x 2 R,

con constante

6= 0 .

Nos interesa encontrar las soluciones explícitas de esta ecuación diferencial, pues a pesar de su sencillez, es una ecuación que nos permite modelar una gran cantidad de fenómenos en la naturaleza y al mismo tiempo, su comportamiento nos da la clave para analizar otras ecuaciones diferenciales cuya dinámica es más complicada. Los siguientes dos apartados nos permiten entender cómo encontrar una solución a la ecuación (2.1). 2.1. Resultados básicos del cálculo integral. En este apartado se exponen brevemente algunos resultados básicos del cálculo integral con el fin de dar claridad a algunas operaciones sencillas que se harán en el siguiente apartado. Una gran cantidad de libros de cálculo pueden servir como referencia para quien desee abundar más en el tema (ver [Apo], [Spi] [Cou-1], entre otros). Desde el punto de vista matemático, integrar una función continua f (t) en un intervalo consiste en encontrar una función F (t) cuya derivada, F 0 (t) = dF (t), coincida con f (t) para todo t en el intervalo considerado dt F 0 (t) = f (t) . A la función F (t) se le conoce como primitiva de f (t) y se le denota mediante la integral indefinida como Z F (t) = f (t) dt .

Observamos que si c es una constante y F (t) es una primitiva de f (t), entonces F (t) + c es, a su vez, primitiva de f (t). El siguiente resultado, conocido como teorema fundamental del cálculo, nos proporciona una relación entre el proceso de derivación y el de integración además de dar condiciones suficientes (en este caso la continuidad de f en el intervalo de definición) para la existencia de primitivas. Teorema 2.1. Teorema fundamental del cálculo. Sea f (t) una función continua en la variable t definida en el intervalo real I. Si F (t) es cualquier función primitiva de f , F 0 (t) = f (t), t 2 I, entonces Z t (2.2) F (t) F (t0 ) = f (⌧ ) d⌧ , t0

para t, t0 2 I.

Supongamos ahora que F (t) se expresa como una composición de dos funciones diferenciables g y x: F (t) = x)(t). Entonces, aplicando el teorema fundamental del cálculo, tenemos por un lado: Z t d(g x) (2.3) (g x)(t) (g x)(t0 ) = (⌧ ) d⌧ d⌧ t0 (g

y por otro lado (aplicando nuevamente el teorema fundamental del cálculo a g(x(t))) se tiene, Z x(t) dg g(x(t)) g(x(t0 )) = (⌧ ) d⌧ . x(t0 ) dx Por otra parte, aplicando al integrando la regla de la cadena, el miembro derecho de la ecuación (2.3) satisface Z t Z t d(g x) dg dx (⌧ )d⌧ = (x(⌧ )) d⌧ . d⌧ d⌧ t0 t0 dx 17

2. ECUACIONES LINEALES AUTÓNOMAS HOMOGÉNEAS EN R Y SUS APLICACIONES

18

Por lo que finalmente obtenemos la igualdad: Z x(t) Z t dg dg dx (2.4) dx = (x(⌧ )) (t)d⌧ . d⌧ x(t0 ) dx t0 dx

Este resultado es conocido como teorema del cambio de variable. En la siguiente sección vamos a hacer uso frecuente de estos dos últimos teoremas. 2.2. Solución de la ecuación de primer orden lineal homogénea con coeficiente constante. La ecuación (2.5)

x˙ =

,x 2 R,

x,

corresponde al campo vectorial analizado en el ejemplo 1.9. Si bien ya conocemos el comportamiento de las trayectorias de dicho campo (ver ejemplo 1.9 incisos a) y b)), nos interesa conocer la solución explícita de la ecuación; es decir, nos interesa conocer la función x(t) cuya velocidad al instante t es x(t) : dx (t) = x(t). dt Posiblemente, quien tiene un poco de soltura en derivar funciones sabe que la función exponencial x(t) = e t satisface la igualdad de t = e t. dt Así, x(t) ˙ = x(t). Lo mismo sucede si a x(t), así definida, la multiplicamos por una constante arbitraria. Vamos, sin embargo, a hacer la deducción formal de la solución de la ecuación con el fin de que, en adelante, tengamos una referencia precisa. Retomando la ecuación (2.5) con condición inicial x(t0 ) = x0 , tenemos dx (2.6) = x, x(t0 ) = x0 . dt La condición inicial significa que en el momento t0 tenemos información sobre el fenómeno que se está analizando. En este caso, la igualdad x(t0 ) = x0 significa que en el instante t0 el fenómeno analizado está en la posición x0 . Nos interesa, entonces, saber lo que sucede con la trayectoria x(t) que parte de la posición x0 después de haber transcurrido un cierto tiempo. Si x0 es cero, entonces la función constante x(t) ⌘ 0 satisface tanto la ecuación (2.6) como la condición inicial dada. En el caso que x(t) 6= 0 en un intervalo abierto, podemos multiplicar la ecuación (2.6) por x1 1 dx x = x dt x y después procederemos a integrarla de t0 a t: Z t Z t 1 dx (2.7) d⌧ = d⌧ . t0 x d⌧ t0 Hagamos uso ahora de la expresión obtenida en (2.4). Observemos que, en este caso, Z x(t) Z t 1 1 dx dx = d⌧ . x(t0 ) x t0 x d⌧

dg (x) dx

=

1 : x

Sustituyendo esta igualdad en (2.7) obtenemos, Z x(t) Z t 1 (2.8) dx = d⌧ . x(t0 ) x t0 Integrando esta última expresión obtenemos,

ln |x(t)|

ln |x(t0 )| = t

t0 .

Recordando las propiedades del logaritmo natural podemos reescribir la igualdad anterior como (2.9)

ln

x(t) x(t0 )

= (t

t0 ) .

Como la exponencial y el logaritmo son funciones inversas la una de la otra: ln ex = x y eln x = x (esta última igualdad se satisface si x > 0). Así, aplicando la función exponencial de ambos lados de la igualdad (2.9), se tiene ⇣ ⌘ x(t) exp ln x(t = exp( (t t0 )). 0) x(t) x(t0 )

(2.10)

=

e

(t t0 )

.

Quisiéramos eliminar el valor absoluto de la igualdad anterior. Para ello, debemos de determinar si x(t) x(t0 )

x(t) x(t0 )

> 0

x(t) o bien < 0 para todo t; nos bastará con saber el valor del cociente para alguna t . Observamos que x(t 0) no puede ser igual a cero para ninguna t pues en el lado derecho de la igualdad (2.10) tenemos a la función exponencial y ésta es siempre no nula (y de hecho siempre positiva). Basta ahora con observar que para el valor 0) t = t0 se tiene x(t = 1; de esta manera, podemos eliminar el valor absoluto de la igualdad (2.10) y obtenemos x(t0 ) x(t) x(t0 )

=e

(t t0 )

.

2.2. ECUACIÓN DE PRIMER ORDEN LINEAL HOMOGÉNEA

19

Multiplicando ahora ambos miembros de la igualdad por x(t0 ) se tiene finalmente, (2.11)

x(t) = x(t0 )e

(t t0 )

.

Como de la ecuación (2.6) sabemos que la condición inicial es x(t0 ) = x0 , podemos escribir (2.11) como (2.12)

x(t, x0 ) = x0 e

(t t0 )

.

Observemos que la función x(t, x0 ), así definida, toma el valor x0 para t = t0 y además satisface x0 (t, x0 ) = x(t, x0 ) para todo t, t 2 R. Usualmente se escribe x(t, x0 ) para indicar que la condición inicial está tomada justamente en el punto x0 . A lo largo de este libro nosotros usaremos esa notación cuando sea necesario, en caso contrario la omitiremos para no recargar la información. Otra notación equivalente que usaremos con mucha frecuencia en el libro para escribir a las soluciones de una ecuación es '(t, x0 ). Esta notación es equivalente a escribir x(t, x0 ). Si > 0 la trayectoria x(t, x0 ) para x0 > 0 y t 2 R es siempre positiva y su velocidad se incrementa según nos alejamos del origen. Para x0 < 0 la trayectoria x(t, x0 ) toma valores negativos y su velocidad se incrementa (en valor absoluto) según nos alejamos del origen. El punto x(t, x0 ) = x0 = 0 permanece fijo para toda t:

Figura 2.1. Si

> 0 y graficamos la función x(t, x0 ) = x0 e

(t to )

para x0 > 0 (ver figura 2.2), tenemos

Figura 2.2. y, para x0 < 0 se tiene la gráfica (ver figura 2.3),

Figura 2.3. Se sugiere al lector hacer la gráfica correspondiente a la ecuación x˙ =

x,

,x 2 R,

> 0.

Observación 2.2. Unicidad de las soluciones. Hemos encontrado la solución (2.12) de la ecuación diferencial (2.5), y es importante para nosotros saber si esta solución, una vez fija la condición inicial x0 , es única o no. Para ello, supongamos que existe otra solución (t, x0 ). Dado que e (t t0 ) nunca es cero, siempre es posible escribir a (t, x0 ) como (t, x0 ) = g(t)e (t t0 ) . Así, dado que es solución de la ecuación diferencial (2.5), deberá de (t t0 ) ˙ cumplirse que ˙ = . Al mismo tiempo, ˙ = g(t)e + g(t) e (t t0 ) . De aquí, igualando ambas ecuaciones tenemos, (t t0 ) ˙ = g(t)e (t t0 ) = g(t)e + g(t) e (t t0 ) . Cancelando de ambos lados de la ecuación obtenemos, (t t0 ) ˙ 0 = g(t)e .

20

2. ECUACIONES LINEALES AUTÓNOMAS HOMOGÉNEAS EN R Y SUS APLICACIONES

˙ = 0 y g(t) = cte, para toda t 2 R. Llamemos k a dicha constante. La solución (t, x0 ) Por consiguiente, g(t) deberá por lo tanto escribirse como (t, x0 ) = ke (t t0 ) y deberá satisfacer (t0 , x0 ) = k = x0 . Por lo tanto, (t, x0 ) = x(t, x0 ) = x0 e (t t0 ) . Con ello, hemos demostrado que la soluciones de la ecuación diferencial (2.5) son únicas una vez fija la condición inicial. En el siguiente punto veremos cómo la ecuación diferencial lineal (2.5), a pesar de su sencillez, nos sirve de guía para entender una gran cantidad de comportamientos de la naturaleza. 2.3. Aplicaciones. Para quien haya decidido omitir en una primera lectura los puntos 2.1 y 2.2, diremos que la ecuación diferencial x˙ = v(x) definida por el campo vectorial v(x) = x, tiene como solución a la función x(t) = x0 e (t t0 ) . En efecto, si sustituímos la función x(t) = x0 e (t t0 ) en la ecuación x˙ = x , obtenemos Además, si t = t0 ,

dx d ⇣ (t) = x0 e dt dt

(t t0 )

x(t0 ) = x0 e

(t0

⌘

= x0 e

t0 )

(t t0 )

= x(t) .

= x0 e0 = x0 .

Es decir, la solución x(t) = x0 e se representa por la trayectoria que en el tiempo t = t0 pasa por el punto x0 . Observemos que la ecuación (2.1) nos indica que la velocidad de cambio de x con respecto a t, dx , es dt proporcional al valor de x: dx = x. Así, el valor absoluto de la velocidad con que x cambia es mayor (menor) si dt |x| es mayor (menor). Lo anterior ya lo habíamos observado gráficamente desde el ejemplo 1.9 de la introducción. Sin embargo, ahora debemos dar a este hecho un sentido que nos permita entender ciertos fenómenos que se presentan en la naturaleza. (t t0 )

Crecimiento de Bacterias. Ejemplo 2.3. Comenzaremos por hablar de las formas de vida más ampliamente distribuidas en la Tierra: las bacterias. Las bacterias tienen una extraordinaria capacidad de adaptación; se les encuentra en el agua, en el aire y en las partes internas y externas de plantas y animales. Los minerales de uranio radiactivo contienen bacterias vivas, y se han logrado aislar bacterias vivas en viejos bloques de sal que datan de 320 millones de años. Más aún, se tienen indicios de la existencia de cianobacterias que se remontan a 2,700 millones de años. Éstas tuvieron un papel primordial en la acumulación de oxígeno en la atmósfera y, en la actualidad, siguen siendo suministradores principales de nitrógeno en el proceso de transferencias nutritivas en los mares. Las bacterias tienen un papel clave en los ciclos biolólogicos pues son los agentes de putrefacción y fermentación que transforman la materia orgánica en gases y materiales inertes que se incorporan al ciclo vital. Las bacterias fijan el gas de la atmósfera y enriquecen al suelo en nitrógeno. De este modo, los vegetales disponen de alimentos inorgánicos que requieren para su desarrollo. Actualmente, la ingeniería genética integra en el cromosoma bacteriano genes procedentes de células productoras de sustancias de interés para el ser humano (por ejemplo antígenos para vacunación, hormonas, etc.), con el fin de convertir a la bacteria en un microlaboratorio secretor de dichas sustancias. ¿Qué tiene que ver todo esto con nuestra ecuación diferencial lineal? Pues bien, las bacterias tienen no sólo una importante acción bioquímica, sino que se reproducen muy rápidamente. Se ha podido observar que en condiciones apropiadas, la velocidad de crecimiento de las bacterias se puede considerar proporcional a la cantidad de bacterias presente. Denotemos por b(t) a la cantidad de bacterias presente en el instante t, y sea la constante de proporcionalidad. Así, la velocidad de crecimiento de una colonia de bacterias satisface la ecuación db = b. dt Supongamos ahora que se está realizando un experimento y para ello se tienen inicialmente, al tiempo t = 0, una cantidad b0 de bacterias con una cantidad relativamente abundante de alimento. Puede interesarnos, para los fines de nuestro experimento, saber en cuánto tiempo se duplica la población inicial de bacterias. Para ello, empezamos por resolver la ecuación (2.13) con condición inicial b0 : (2.13)

(2.14)

b(t) = b0 e t .

Ahora nos interesa conocer el tiempo t tal que b(t) = 2b0 . Así, sustituyendo este valor de b(t) en (2.14) se tiene, 2b0 = b0 e t ; es decir, 2=e

t

2.3. APLICACIONES.

21

y, por consiguiente, t = ln 2 . Despejando obtenemos, (2.15)

t=

1

ln 2

Observamos que el tiempo t necesario para que una población inicial de bacteria se duplique no depende de la cantidad inicial de bacteria, b0 , sino de la constante . Este sencillo procedimiento nos permite saber no sólo cuándo se duplica la población, sino que también puede usarse para saber cuándo se triplica, cuadriplica, quintuplica, etc. Esto noi atañe sólo a bacterias, sino que es también de gran utilidad en otros contextos. Por ejemplo, en epidemiología este dato es sustancial, pues es la base para determinar la velocidad de contagios que puede haber en una población. La radiactividad de los elementos. Cuando nos interesan las propiedades químicas de un elemento X solemos fijarnos, en primer término, en su número atómico Z (Z :=el número de protones del átomo del elemento); por ejemplo, para el carbono C su número atómico es 6, para el nitrogeno N es 7 y para el uranio U es 92. Sin embargo, en física nuclear es indispensable la noción de nucleido. Un nucleido se determina por el número de protones Z y el de neutrones N contenidos en el núcleo de un átomo o, lo que es equivalente, por el número atómico y el número de masa A = Z + N ; de este modo, un mismo elemento químico X puede tener distintos nucleidos A1 X, A2 X llamados isótopos del elemento. Así, si se tienen dos átomos de un mismo elemento que tienen el mismo número de electrones rodeando al núcleo y el mismo número de protones en el núcleo pero difieren en la cantidad de neutrones, entonces se dice que son isótopos distintos de dicho elemento. Por ejemplo los nucleidos 12 C, 13 C, 14 C, 14 N , 235 U y 238 U (también 13 14 14 235 238 denotados por 12 6 C, 6 C, 6 C, 7 N , 92 U y 92 U cuando se quiere incluir el número atómico) son distintos, los tres primeros son isótopos del carbono y los dos últimos son isótopos del uranio. La radiactividad es la propiedad de los nucleidos inestables de desintegrarse espontáneamente emitiendo partículas o radiaciones electromagnéticas (fotones) para formar nuevos nucleidos. La radiactividad fue descubierta en 1896 por el físico francés Henri Becquerel y, en 1898, confirmada en el torio por la física francesa, de origen polaco, Marie Curie . Por sus trabajos en este área, así como por el aislamiento del polonio y el radio, Marie Curie, Pierre Curie y Henri Becquerel recibieron en 1903 el Premio Nobel de Física. El físico británico Ernest Rutherford (1871–1937), en colaboración con otro científicos británicos, mostró que los átomos de ciertos elementos radiactivos son inestables. Esta inestabilidad significa que después de un cierto periodo de tiempo una proporción fija de los átomos de un elemento se desintegra para formar átomos de un nuevo elemento1. Rutherford (Premio Nobel de Química en 1908) mostró que la radiactividad de un material es directamente proporcional al número de átomos presentes en dicho material. Así, si x(t) denota el número de átomos presentes en el tiempo t, entonces el número de átomos que se desintegran por unidad de tiempo, es decir, la pérdida instantánea de átomos, es proporcional a x: dx (2.16) = x, > 0. dt La constante es conocida como constante de desintegración. Por lo que hicimos en la sección 2.2, sabemos resolver la ecuación (2.16). Supongamos entonces que x(t0 ) = x0 es la cantidad de átomos en el tiempo t0 . La solución a la ecuación (2.16) con condición inicial x(t0 ) = x0 es ✓Z t ◆ (2.17) x(t) = x0 exp ds = x0 e (t t0 ) . t0

Una manera de medir la tasa de desintegración de un material, es medir el tiempo que se requiere para que la mitad de una cantidad dada de átomos radiactivos se desintegre. Dicho de otra forma, si x(t0 ) = x0 es la cantidad inicial de átomos, nosotros buscamos el tiempo t tal que x(t) = 12 x0 . Usando la expresión (2.17) tenemos que x(t) 1 = =e 2 x0 Por consiguiente,

(t t0 )

.

1 = (t t0 ) . 2 1 y haciendo uso de las propiedades del logaritmo natural ( ln a = ln a ln

Multiplicando esta expresión por tiene que

es decir,

✓ ◆ 1 ln 2

1

= (t

ln 2 = (t

t0 );

t0 ) .

1La desintegración de un átomo es la transformación de su núcleo por emisión o captura de partículas y energía.

1

) se

2. ECUACIONES LINEALES AUTÓNOMAS HOMOGÉNEAS EN R Y SUS APLICACIONES

22

Finalmente, (2.18)

t

t0 =

1

ln 2 .

Al tiempo obtenido en (2.18) se le conoce como periodo o vida media del material. Observamos que, cuanto más corto es el periodo, más inestable es el material radiactivo. Así, mientras el isótopo de uranio, 238 U , tiene una vida media de 4 500 000 000 años el isótopo de radio, 226 Ra, tiene un periodo de 1 600 años y el de Polonio, 218 P o, de 3 minutos. Comenzaremos por ver un ejemplo relacionado con un isótopo que ha sido de gran utilidad para determinar la edad de fósiles y restos arqueológicos. Nos referimos al isótopo de carbono 14 (isótopo que posee en su núcleo 6 protones y 8 neutrones). Ejemplo 2.4. Se sabe que el periodo o vida media del carbono 14, de desintegración del 14 C.

14

C, es de 5730 años. Calcula la constante

Solución: Sabemos que el isótopo de carbono 14 satisface la ecuación x(t) = x0 e

(t t0 )

.

Así mismo, sabemos que el tiempo t que se requiere para que la cantidad de 14 C se desintegre a la mitad es de 5730 años. Es decir, 1 x(5730) = x0 . 2 Así, 1 = e (5730) 2 y, por tanto, 1 ln = 5730 . 2 Finalmente, ln 12 ln 2 = = . 5730 5730 Como ln 2 ⇡ 0.693, se tiene que el valor aproximado de la constante de desintegración es ⇡ 0.000121 .

Veamos ahora un problema relacionado con la contaminación radiactiva. 60 Ejemplo 2.5. La vida media del isótopo radiactivo del cobalto 60 N i emitiendo 27 Co es de 5.27 años y decae en rayos gama. Supóngase que un accidente nuclear provocó que el nivel de cobalto ascienda en cierta región a 80 veces el nivel aceptable para la vida humana. ¿Cuánto tiempo debe de pasar para que la región vuelva a ser habitable?2

Solución. En este caso conocemos, por los datos del problema, la vida media del cobalto. Este dato nos permite conocer la constante de desintegración del cobalto haciendo uso de la expresión obtenida en (2.18): t

t0

=

5.27

=

5.27 años , 1 ln 2 .

Por consiguiente,

1 ln 2 . 5.27 Denotemos ahora por k el nivel de cobalto aceptable para la vida humana. Sabemos que, debido al accidente nuclear, en la región afectada hay 80k. Tomemos entonces, como condición inicial en el tiempo t0 = 0, el valor x(0) = 80k. Necesitamos encontrar el tiempo t tal que x(t) = k (que es el nivel de cobalto aceptable para la vida humana). Así, si consideramos la solución de la ecuación inicial x(0) = x0 tenemos x(t) = x0 e t . De aquí, x(t) k = =e t x0 k 80 y, por tanto, ⇣ ⌘ 1 ln = ln e t . 80 Equivalentemente, ✓ ◆ 1 1 1 t = ln = ln . 80 80 De donde obtenemos el valor de t, 1 t = ln 80 . =

2La bomba de cobalto forma parte de los medios de guerra radiológica. Fue experimentada en 1953.

2.3. APLICACIONES.

23

Resta ahora sustituir los valores aproximados de ln 80 y de :

así,

ln 80 ⇡ 4.3820 1 1 = ln 2 ⇡ (0.693) = 0.131527; 5.27 5.27

4.382 ⇡ 33.32 . 0.131527 Hemos obtenido, por tanto, que se requieren 33.32 años para que la región contaminada por cobalto vuelva a ser habitable. t⇡

El uso de 14 C para determinar la edad de muestras fósiles de origen vegetal o animal. El fascinante procedimiento para datar fósiles (animales o vegetales) fue ideado en 1949 por el químico norteamericano Willard Libby (Premio Nobel de Química en 1960). A continuación damos un esquema sencillo de las ideas básicas que sustentan dicho procedimiento. El carbono 14, 14 C, es un isótopo de carbono que se encuentra presente en la atmósfera. Este isótopo del carbono se forma en la atmósfera terrestre por la acción de los neutrones de la radiación cósmica sobre el nitrógeno (con número atómico 7 y número de masa -protones y neutrones- 14) que se encuentra en la atmósfera. El resultado de esta exposición es el carbono 14 (con número atómico 6 y número de masa 14 en lugar de 12 que es el número de masa del isótopo más común del carbono). Por procesos de oxidación, el 14 C (o carbono radiactivo) se encuentra en la atmósfera como CO2 y se mezcla con el gas carbónico normal. Las plantas absorben este carbono como parte del proceso de fotosíntesis. El ser humano y el resto de los animales absorbemos dicho carbono al ingerir vegetales y otros animales, siendo los huesos un depósito natural de 14 C (aunque también lo son otros tejidos del cuerpo).

Figura 2.4. El carbono 14 se mantiene en equilibrio en los seres vivos debido fundamentalmente a los procesos de alimentación y respiración. Si bien el 14 C se desintegra, en los tejidos vivos se renueva constantemente, manteniéndose en equilibrio. Así, mientras un ser vivo mantiene sus funciones vitales, permanece constante el 14 C en sus tejidos. Después de la muerte del organismo, cesa para él la absorción de gas carbónico proveniente de la atmósfera y, por tanto, la concentración de 14 C comienza a disminuir según la ecuación (2.19)

x˙ =

x,

donde x(t) representa la cantidad de átomos de 14 C presentes en el tejido al tiempo t. Si tomamos una muestra de tejido fósil, un hueso por ejemplo, sabemos que la tasa de desintegración N (t) es proporcional a la cantidad de átomos de 14 C presentes en la muestra: N (t) = ˜ x(t). Si tomamos como t0 = 0 el

2. ECUACIONES LINEALES AUTÓNOMAS HOMOGÉNEAS EN R Y SUS APLICACIONES

24

Figura 2.5. El carbono 14 decae en nitrógeno N y se incorpora a la atmósfera. instante en el que el organismo deja de absorber 14 C (es decir, el momento en el que la vida del organismo cesa), entonces la tasa de desintegración en ese momento es N (0) = ˜ x(0) Además, sabemos que x(t) satisface la ecuación (2.19) y, por lo tanto, (2.20)

x(t) = x0 e

t

.

¿Cómo podemos calcular N (0) si el organismo murió hace cientos o miles de años? Pues bien, primeramente necesitamos hacer la suposición de que la intensidad de la radiación cósmica sobre la tierra ha permanecido siempre constante. Así, si medimos la tasa de desintegración de 14 C en el tejido óseo de un animal vivo, podemos considerar dicha tasa como N (0). Para calcular la edad del fósil retomemos la ecuación (2.20) y sustituyamos en ella los valores x(t) = N˜(t) , x(0) =

N (0) ˜ :

N (t) N (0) = e ˜ ˜

t

,

Por consiguiente, N (t) ; N (0) sacando logaritmo natural en ambos miembros de la igualdad, se obtiene t

e

=

N (t) ; N (0)

t = ln es decir, t=

1

ln

N (t) . N (0)

Finalmente, (2.21)

t=

1

ln

N (0) . N (t)

Cabe señalar que la tasa de desintegración se puede calcular mediante un aparato conocido como Contador de Geiger-Müller. Este contador de partículas fue creado por el físico Alemán Geiger en 1913 y fue perfeccionado junto con Müller en 1925. El método del 14 C que acabamos de describir es útil para proporcionar fechas aproximadas de restos arqueológicos o de capas sedimentarias, si las muestras usadas contienen una cantidad suficiente de materia orgánica (carbón, madera, concha, tejidos, hueso, cuero, etc.). El método permite datar restos hasta de 35,000 años. Sin embargo, con el uso de aceleradores de partículas, se ha podido mejorar el método y actualmente pueden datarse objetos hasta de 80,000 años de antigüedad. Principios básicos usados en la datación con

14

C.

2.3. APLICACIONES.

25

Se sabe que todo organismo vivo tiene la misma radiactividad que el gas carbónico que hay en la atmósfera. Al morir, los intercambios gaseosos se interrumpen y, en consecuencia, cesa la renovación de 14 C. A partir de ese momento, la radiactividad del 14 C decrece lentamente: cada 5730 años su radiactividad decrece a la mitad. El 14 C se encuentra en proporciones mínimas en el CO2 que hay en la atmósfera. El 14 C que está presente en un gramo de carbono se desintegra a razón de 13.56 desintegraciones por minuto por gramo (dpmg). Esta proporción de carbono 14 es constante en todo el mundo, se ha conservado igual a lo largo del tiempo, y se le conoce como desintegración de referencia. Cabe señalar sin embargo, que el uso industrial de materiales fósiles como el petróleo significaron, a finales del siglo XIX y principios del XX, una introducción a la atmósfera de CO2 en la que el 14 C estaba ausente. Esto implicó una primera modificación en la concentración de 14 C en la atmósfera. La segunda modificación se debió a las explosiones atómicas realizadas a mediados del siglo XX: para 1964 la cantidad de 14 C se había incrementado, de manera artificial, a casi el doble. En la actualidad, las emisiones de CO2 han disminuido en cierta medida y las aguas de los océanos han absorbido paulatinamente el exceso de carbono radiactivo. Estas modificaciones constantes de la atmósfera debidas por una parte a los cambios en el campo magnético y a la actividad solar, así como a la intervención humana, hicieron necesaria la creación de una medida internacional de desintegración de referencia de la atmósfera, siendo ésta de 13.56 dpmg (de carbono). Así, para determinar la edad de objetos tales como madera, carbón, huesos, tejidos y semillas, entre otros, se mide su contenido actual de 14 C, midiendo las desintegraciones por minuto por gramo de carbono que presenta la muestra, y se le compara con aquél que debió tener cuando tenía vida (para esto se considera la desintegración de referencia de 13.56 dpmg.) 3 Este método se ha usado para determinar la antigüedad de múltiples hallazgos arqueológicos. A continuación veremos un ejemplo relacionado con una antigua ciudad de Mesopotamia. Ejemplo 2.6. La antigua ciudad de Mesopotamia, Nippur (actualmente conocida como Niffer y localizada a 160 km de Bagdad) fue descubierta en 1849. En 1948, el Instituto Oriental de Chicago hizo excavaciones en dicha ciudad y, en 1950, al medir el carbón proveniente de una viga de un techo, se obtuvieron 8.3 dpmg (desintegraciones por minuto por gramo). La desintegración de referencia en la atmósfera es de 13.56 dpmg de carbono. Encontremos con estos datos la fecha aproximada de los restos arqueológicos. Fijemos como condición inicial t0 = 0 el momento cuando el árbol del cual se elaboró la viga fue cortado, y sea T el tiempo que ha transcurrido hasta el momento del hallazgo. Sea N (t) el número de desintegraciones por minuto por gramo en el instante t. Sabemos que N (0) = 13.56 dpmg 4 de carbono y N (T ) = 8.3 dpmg de carbono. Además, la ecuación diferencial x˙ = x que describe la desintegración de carbono 14 tiene como solución x(t) = x0 e

t

,

t0 = 0 ,

Como N˙ (t) = ˜ x(t) y N (0) = ˜ x0 , N (t) = N (0)e t . Observamos que esta expresión nos dice, derivando con respecto a la variable t, que N (t) satisface la ecuación diferencial N˙ (t) = N (t). Podemos asimismo, encontrar el valor explícito del tiempo t = T sustituyendo los valores de N (T ), N (0) y ; a saber, T = 1 ln 13.56 . 8.3 En el ejemplo 2.4 obtuvimos el valor aproximado de la constante de desintegración del carbono 0.000121. Sustituyendo este valor obtenemos ✓ ◆ 1 13.56 t⇡ ln ⇡ 4054 años . 0.000121 8.3

,

⇡

Esto nos indica que los restos son de una fecha aproximada a 2104 a.c., y, por tanto, la construcción corresponde posiblemente al reinado de Ur-Nammu. Existen otros ejemplos en los que es posible aplicar la ecuación diferencial (2.5). A continuación proponemos algunos ejercicios aunque recomendamos revisar, entre otros, los libros de ecuaciones ordinarias que se dan en la bibliografía. Ejercicio 2.7. (1) En cierta población, el número de afectados por el cólera es N0 . La enfermedad presenta un crecimiento proporcional al número de pobladores afectados por la enfermedad. Sea k la constante de proporcionalidad. En caso de que la cantidad de enfermos se sextuplicara podría perderse el control de la epidemia. Calcula el tiempo en el que podría perderse el control de la epidemia de seguir las mismas tendencias de crecimiento. 3Si bien la vida media del carbono 14 es de 5730 aproximadamente, existe una convención internacional para utilizar el valor de 5568 años que obtuvo W.F. Libby en 1951. Esta convención ha permitido tener resultados comparables, si bien después, según el análisis que se haga, se le aplican distintos factores de corrección. Una explicación interesante y detallada sobre la historia y el método de datación con 14 C puede encontrarse en la página del Centre de Datation par le Radiocarbone, de la Universidad de Lyon, Francia. 4Ver www.iop.org/journals/physed An illustrated guide to measuring radiocarbon from archaeological samples Alex Bayliss1, Gerry McCormac2 and Hans van der Plicht3.

2. ECUACIONES LINEALES AUTÓNOMAS HOMOGÉNEAS EN R Y SUS APLICACIONES

26

(2) Supongamos que los desechos de una fábrica contaminan un lago y que, a causa de ello, una población de peces disminuye vertiginosamente. Los científicos han logrado detectar que la población disminuye en proporción al número de peces con una constante de proporcionalidad igual a 0.2: dN = dt

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

0.2N,

donde N (t) es el número de peces en el tiempo t. Se sabe que si la población se reduce a una décima parte de la población actual, no será posible salvar la especie. ¿De cuánto tiempo se dispone para tomar medidas que reviertan el problema? Las cuevas de Lascaux en Francia fueron descubiertas en 1940 por el francés Henri Breuil. En la sala principal de una de las cuevas, se hallan pinturas rupestres con figuras de toros, ciervos, bisontes y la imagen de un cazador. Breuil supuso que estas pinturas correspondían al auriñaciense final (33,000 a.C.); sin embargo, al hacer un análisis en 1950 de una muestra de carbón encontrado en la cueva, se obtuvieron 1.97 desintegraciones por minuto por gramo. Si la desintegración de referencia en la atmósfera es de 13.56 dpmg de carbono, calcula la posible fecha de la realización de las pinturas y, si te es posible, averigua cuál es el periodo al que corresponden. Supongamos que se usa pentobarbitol sódico para anestesiar a un animal de 6 kgs. El animal queda anestesiado cuando la concentración de anestésico es de 45 miligramos por kilogramo de peso. Se sabe que el anestésico se elimina de la sangre a una velocidad proporcional a la cantidad de anestésico presente, da = µa, donde µ es la constante de proporcionalidad, µ > 0. Además, se sabe que en 5 dt horas el organismo alcanza a eliminar la mitad del anestésico administrado. ¿Qué dosis deberá serle administrada al animal para que permanezca anestesiado durante una hora? En 2005 se halló en Saqqara, Egipto, una momia. Por su belleza los arqueólogos la denominaron “La momia más bella jamás encontrada”. Se considera que la momia debe tener unos 2600 años de antigüedad ya que hay indicios de que ésta perteneció a la XXVI dinastía egipcia. En caso de que se haya realizado la datación por 14 C, ¿cuál debería ser la cantidad de desintegraciones por minuto por gramo de carbono que permitiría corroborar las suposiciones sobre su antigüedad? En 1964 en el sitio arqueológico de Teotihuacán, México, se realizaron excavaciones en varios basamentos situados a lo largo de la Avenida de los Muertos. Se encontraron restos carbonizados de vigas que pertenecieron a techos y jambas. Una de las vigas pertenecientes al palacio del Quetzalpapálotl dio 10.86 desintegraciones por minuto por gramo de carbono. Calcula la edad en que fue utilizada esta viga si consideramos que la desintegración de referencia de la atmósfera es de 13.56 dpmg. En la Gruta de Chauvet-Pont-d’Arc, Francia, fueron halladas unas impresionantes pinturas rupestres en las que se encuentran representados rinocerontes, mamuts, bisontes, felinos, osos y un caballo. En 1995 fueron tomadas muestras de dos rinocerontes y un bisonte trazados con carbón en las paredes de la cueva. La desintegración radiactiva encontrada fue de .0346 dpmg. Calcula la posible fecha de ocupación de la gruta considerando que la desintegración de referencia de la atmósfera es de 13.56 dpmg. Compara esta fecha con las de las Cuevas de Lascaux (ver ejercicio 3) y determina el periodo al que corresponden las pinturas de la Gruta de Chauvet. En el año 2003 fueron realizadas excavaciones en la Pirámide III (palacio del gobernante Cucuma) de Pachacamac en Perú. Se analizaron muestras de semillas, carbón, madera y otros objetos. En las muestras de carbón analizadas se registraron 11.46 desintegraciones por minuto por gramo de carbono. Considerando que la desintegración de referencia de la atmósfera es de 13.56 dpmg, calcula la fecha en la que estuvo habitado este sitio arqueológico. En 1982 una bomba de cobalto, usada para realizar tratamientos radiológicos, fue extraída indebidamente de un centro médico privado en Ciudad Juárez, Chihuahua, y acabó usándose como chatarra para elaborar varillas de metal para la construcción, así como soportes de mesa. Antes de percatarse de la contaminación radiactiva que esto produjo, se construyeron con esas varillas casas y edificios en distintas localidades. En una revisión de una porción del lote de varillas, se detectó la presencia de altos niveles de radiactividad: 70% por arriba del nivel aceptable, y se tuvo que hacer un seguimiento cuidadoso del origen y destino del resto del lote. Calcula el tiempo que hubo que dejar pasar para poder usar las edificaciones sin que ello representase un peligro para las personas que las usasen, sabiendo que la vida media del isótopo radiactivo del cobalto es de 5.27 años. En 1991, en la región de los Alpes de Ötztal, a 3210 metros sobre el nivel del mar (cerca de la frontera entre Austria e Italia), dos alpinistas, Erika y Helmut Simon, hallaron a un hombre momificado. El descubrimiento de Ötzi desató una gran cantidad de investigaciones sobre su origen, genética y costumbres alimenticias. Entre otras cosas, ahora se sabe que Ötzi fue asesinado por una flecha que se le clavó a la altura del omóplato. Para conocer la edad aproximada de Ötzi (así llamado desde su hallazgo), éste fue sometido a pruebas de 14 C. En dichas pruebas se obtuvieron alrededor de 7.14 desintegraciones por minuto por gramo (dpmg). Sabiendo que la vida media del 14 C es de 5730 años, y que la desintegración de referencia en la atmósfera es de 13.56 dpmg, calcula la edad aproximada de Ötzi.

2.3. APLICACIONES.

27

Un lamentable suceso de contaminación de varilla por cobalto-60 en México, en 1984. El problema al que se refiere el ejercicio 9 de la serie de ejercicios 2.7, corresponde a un lamentable hecho real que sucedió en México en 1984. Lo que aquí relataremos muy brevemente puede ser consultado en el documento «Accidente por contaminación con cobalto-60. México 1984.» Comisión Nacional de Seguridad Nuclear y Salvaguardas publicado en septiembre de de 1985. En noviembre de 1977, un hospital privado de Ciudad Juárez, Chihuahua, compró para realizar estudios radiológicos, una unidad de radioterapia con una fuente de cobalto-60. Dicha fuente fue introducida a México de forma ilegal, y permaneció sin ser usada durante varios años. Un empleado de dicho hospital retiró en 1983 el aparato para desmantelarlo y venderlo como chatarra en un depósito de nombre Yonke Fénix. La contaminación se fue propagando por distintas formas, pero la de mayores proporciones fue causada por el envío del material contaminado a dos fundiciones. En una de éstas, el material fue fundido y como resultado aproximadamente 6,600 toneladas de varilla fueron contaminadas y exportadas a Estados Unidos o utilizadas en varios estados del interior de México. En la otra fundidora, el material se usó para hacer 30,000 soportes de mesa. Las autoridades lograron recuperar 2360 toneladas de varilla que aún no habían sido utilizadas para la construcción, sin embargo se tuvieron que analizar 17,600 construcciones en las que se pensó que había sido empleada la varilla contaminada. De éstas, se determinó la demolición de 814, así como la de cientos de bardas. La información completa puede ser consultada en el documento mencionado de la Comisión Nacional de Seguridad Nuclear y Salvaguardas. Enfriamiento de objetos. Según la ley de Newton de enfriamiento de los cuerpos, la velocidad con que disminuye la cantidad de calor de un cuerpo es proporcional a la diferencia de temperatura entre dicho cuerpo y el medio que lo rodea. Así, si y(t) es la temperatura del cuerpo al tiempo t, k es la temperatura del medio ambiente y a es la constante de proporcionalidad, entonces la ecuación que describe el cambio de temperatura del cuerpo es (2.22)

dy = dt

k) , donde la constante a > 0.

a(y

Observación 2.8. La constante a es proporcional a la superficie del cuerpo y depende del poder emisor de éste. Esta ley es válida sólo en el caso de diferencias pequeñas de temperatura. Para resolver la ecuación (2.22), seguiremos un procedimiento análogo al usado para resolver la ecuación lineal homogénea. Primero observamos que multiplicando la expresión (2.22) por (y k) 1 se tiene, 1 y Integrando ahora de t0 a t,

equivalentemente,

Haciendo las integrales obtenemos,

Z Z ln |y(t)

t

1 y

t0

y(t) y(t0 )

k|

dy = k dt

dy d⌧ = k d⌧ 1

y˜

k

d˜ y=

ln |y(t0 )

a. Z Z

t

ad⌧ ; t0 t

a d⌧ . t0

k| =

a(t

t0 ) .

Aplicando la exponencial en ambos miembros de la igualdad y usando las propiedades del logaritmo se obtiene y(t)

e

k

ln y(t ) k 0

=e

a(t t0 )

.

Así, (2.23)

y(t) = k + (y(t0 )

k)e

a(t t0 )

.

Es común, en época de invierno, observar que la comida se enfríe con rapidez. Veamos un ejemplo que nos permita entender lo rápido que sucede dicho enfriamiento. Ejemplo 2.9. Supongamos que tenemos una taza con café que hemos calentado a 100 . Supongamos también, que la temperatura ambiente de nuestra casa es, por ser época de invierno, de 8 . En 5 minutos el café tiene una temperatura de 55 grados. a): Calcula la constante a de enfriamiento (ver (2.22)). b): Calcula la temperatura que tendrá el café después de 15 minutos. Solución: a) Sea t0 = 0. En t = 0 la temperatura del café es y(0) = 100. De la expresión (2.23) encontramos fácilmente una expresión para a: ✓ ◆ y(t) k 1 a = ln ; t y(0) k

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2. ECUACIONES LINEALES AUTÓNOMAS HOMOGÉNEAS EN R Y SUS APLICACIONES

como t = 5 y y(5) = 55 se tiene

✓ ◆ 1 55 8 ln . 5 100 8 Efectuando los cálculos obtenemos el valor aproximado de a a=

a⇡

0.1343 .

b) Para calcular la temperatura del café en un tiempo de 15 minutos volvemos a considerar la expresión (2.23). Sustituyendo el valor aproximado de a que obtuvimos en el inciso (a) obtenemos: es decir,

y(15) ⇡ 8 + 92e

0.1343(15)

;

y(15) ⇡ 20.27 . Ejercicio 2.10. (1) Realiza un experimento de enfriamento en casa haciendo uso de una taza con chocolate, atole o leche, siguiendo la pauta de lo que se explicó en esta sección.