Noțiunea de Șir, Subșir de Numere Reale. [PDF]

Zitiervorschau

PROIECT DIDACTIC LA MATEMATICĂ Profesor: Beşliu Aliona Disciplina de învățământ: Matematica Clasa: XI-a Data: _____________ Numărul lecţiei în sistemul de lecţii (conform proiectării de lungă durată): 3 Numărul lecţiei conform orarului: _____________ Durata lecţiei: 45 min. Capitolul: Șiruri de numere reale. Recapitulare și completări. Subiectul lecţiei: Noțiunea de șir/subșir de numere reale. Subcompetenţele curriculare: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5 Obictivele lecţiei: La finele lecţiei elevii vor fi capabili: (a identifica, a distinge, a recunoaşte, a dobîndi, a defini) 1. Să definească noţiunea de şir, subșir de numere reale; 2. Să recunoască șirurile, subșirurile în diverse contexte; 3. Să identifice elementele şirului de numere reale; 4. Să determine formula termenului de rang n al șirului de numere reale, 5. Să manifeste interes şi perseverenţă în cadrul lecţiei. Tipul lecţiei: de formare a capacităţilor de dobîndire a cunoştinţelor. Tehnologii didactice: a) Forme : individual, frontal, în perechi; b) Metode: conversaţia euristică, explicaţia, exerciţiul; c) Mijloace de învăţămînt: 1) I. Achiri; P. Efros; V. Garit; N. Prodan. Manualul “Matematica pentru clasa XII-a”. Chisinau, Editura Prut International, a.2011. 264 p. ISBN 978-9975-4228-5-7; 2) V. Iavorschi. Matematica-Culegere de exerciţii şi probleme cl. X – XII, tipografia Orhei, a. 2012. 360 p. ISBN: 978-9975-4372-8-5

Evaluarea (tipul evaluării: forme, metode, tehnici de evaluare): ___________________________________________________________________________

1 1

2 Organizarea clasei

3 2

2.

Verificarea temei pentru acasă.

5

Reactualizarea cunoştinţelor şi capacităţilor

3

Predareaînvăţarea materiei noi

15

Obiectivele

Nr. Secvenţele ctr. lecţiei

Timpul

Scenariul lecţiei

4

Activitatea profesorului

Activitatea elevilor

Evaluarea (de proces)

5 Salută elevii. Pe tablă este scrisă data si tema în clasă.Verificarea pregătirii de lecţie. Formularea subiectului şi a obiectivelor lecţiei.

6 Salută profesorul. Elevul de serviciu anunţă abseţii.

Care a fost tema pentru acasă? Ce întrebări aveţi la tema pentru acasă?

Verifică tema pentru acasă

Profesorul formulează întrebări care să ajute la înţelegerea noilor noţiuni. Pe tablă sunt scrise cîteva şiruri de numere 1,2,3,4... -3, -2, -1, 0, 1, 2, ... 1 1 1 1 , , , ,… 2 3 4 5 - Ce sunt acestea? - Ce formează ele? Deschideți manualele la pag.8, citiți definiția noțiunii de șir de numere reale.

Dacă este cazul elevii formulează întrebări. Cîţiva elevi răspund la întrebări.

Evaluare orală şi în scris

Definitie: Fie 𝐸 ⊂ 𝑅. Se numeste șir de numere reale orice functie 𝑓: 𝑁 ∗ → 𝑅 si se notează (𝑥𝑛 )𝑛≥1 .

Întrebări orale şi în scris

Numărul 𝑓(𝑛) se notează cu 𝑥𝑛 şi se numeşte termenul de rang 𝑛 al şirului sau termenul general al şirului, iar însuşi şirul se notează cu (𝑥𝑛 )𝑛≥1 .

7 Vizual se verifică dacă elevii au rechizitele necesare pentru lecţie. Chestionarea orală.

La tablă sunt scrise următoarele șiruri 𝑎) șirul numerelor pare, 𝑏) șirul numerelor impare, 𝑐) 20, 22, 24, . . . ; 𝑑) 1, 4, 9, 16, 25, . . . ; 𝑒) 2, 22 , 23 , 24 , . . . ; 𝑓) 1, 8, 27, . .. . - Cum sunt elementele primelor două șiruri? Care este modul de definire al acestor șiruri? -Care este cea de-a doua metodă de definire a șirului? Această metodă constă în identificarea formulei care stă la baza formării acestui șir, sau identificarea elementelor acestuia în baza formulei date. Să identificăm formulele următoarelor patru șiruri de numere.

-2,4,6,8… ; 1,3,5,7… . Această metodă de definire a șirului este discriptivă. -A doua metodă de definire a șirului, cea analitică.

𝑦 = 20 + 2𝑛; 𝑦 = 𝑛2 ; 𝑦 = 𝑛2 ; 𝑦 = 𝑛3 .

-Al treilea mod de definire a șirului este definirea printr-o relatie de recurenta. Cuvântul recurență provine de la cuvântul de origine latină recurrens,

cee ace înseamnă revenire. 1 3 Ex: 𝑎1 = 1, 𝑎𝑛+1 = 2 𝑎𝑛 + 2, oricare ar fi 𝑛 ∈ 𝑁 ∗ Să determinăm primele patru elemente ale acestui șirelementele acestui șir. 𝑎1 = 1; 1 3 𝑎2 = ∙ 1 + = 2; 2 2 1 3 5 𝑎3 = ∙ 2 + = ; 2 2 2 1 5 3 11 𝑎4 = ∙ + = . 2 2 2 2

4.

Consolidarea materiei şi formarea capacităţilor

10

Exercițiul 1(A), pag.168 Să se scrie primii patru termini ai șirului: 𝑛2 + 4 𝑎) 𝑥𝑛 = 𝑛2

Notează în caiete.

(2)

Evaluarea frontală. 𝑎) 𝑥1 = 5; 𝑥2 = 2; 𝑥3 =

13 5 ; 𝑥4 = 9 4

𝑏) 𝑥𝑛 = 𝑑) 𝑥𝑛 =

4𝑛 − 1 7𝑛 + 1

1 (5𝑛 − 1)(5𝑛 + 1)

Exercițiul 2(A), pag.168 (2) După primii termini dați ai șirului alegeți una din formulele pentru termenul de rang 𝑛: 𝑎) 2; 4; 6; 8 … ; 1 1 1 𝑏) 1; ; ; ; … ; 3 5 7 𝑒) − 1; 2; −3; 4; −5; ….

3 7 11 15 𝑏) 𝑥1 = ; 𝑥2 = ; 𝑥3 = ; 𝑥4 = ; 8 15 22 29 𝑑) 𝑥1 =

1 1 1 1 ; 𝑥2 = ; 𝑥3 = ; 𝑥4 = . 24 99 224 399

𝑎) 𝑥𝑛 = 2𝑛; 1 𝑏) 𝑥𝑛 = , 𝑛 ≥ 0; 2𝑛 + 1 𝑒) 𝑥𝑛 = (−1)𝑛 ∙ 𝑛

Exercițiul 3(A), pag.168 (2) Șirul 𝑎𝑛 este dat de formula 𝑎𝑛 = 7 − 5𝑛. ∗ Stabiliți dacă este termen al acestui șir numărul: 𝑎) 7 − 5𝑛 = −63 ⇔ −5𝑛 = −70 ⇒ 𝑛 = 14 ∈ 𝑁 ∗ 𝑏) 7 − 5𝑛 = 289 ⇔ −5𝑛 = 282 ⇒ 𝑛 < 0 ∉ 𝑁 𝑎) − 63; 𝑐) 7 − 5𝑛 = −342 ⇔ −5𝑛 = −349. 𝑏) 289; 𝐶𝑢𝑚 349 ∤ 5 ⇒ 𝑛 ∉ 𝑁 ∗ 𝑐) − 342 𝑑) 7 − 5𝑛 = −578 ⇔ −5𝑛 = −585 ⇒ 𝑛 = 117 ∈ 𝑛 ∈ 𝑁∗ Deci termini ai șirului sunt −63 și −578

𝑑) − 578

Exercițiul 4(B), pag.168 (2) Să se scrie primii cinci termini ai fiecăruia dintre șirurile date de formulele de recurență: 𝑎) 𝑎1 = 2, 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 3

𝑐) 𝑎1 = 4, 𝑎𝑛+1

3 ∙ 𝑎𝑛 = (𝑛 + 1)!

𝑎) 𝑎1 = 2, 𝑎2 = 2 + 3 = 5, 𝑎3 = 5 + 3 = 8, 𝑎4 = 8 + 3 = 11, 𝑎5 = 11 + 3 = 14 𝑎) 𝑎1 = 4, 𝑎1+1 = 𝑎2 =

3 ∙ 𝑎1 3∙4 = = 6, (1 + 1)! 2!

3 ∙ 𝑎2 3∙6 = = 3, (2 + 1)! 3! 3 ∙ 𝑎3 3∙3 3 𝑎3+1 = 𝑎4 = = = , (3 + 1)! 4! 8 3 3∙8 3 ∙ 𝑎4 3 𝑎4+1 = 𝑎5 = = = . (4 + 1)! 5! 320 Un elev trece la tablă şi rezolvă exerciţiile scrise pe verso ei. Ceilalţi lucrează în caiete. 𝑎2+1 = 𝑎3 =

5.

Evaluarea (atingerea obiectivelor lecţiei).

7

Lucrarea independentă instructivă. Exercițiul 1(A), pag.168 Să se scrie primii patru termini ai șirului: 5𝑛 𝑐) 𝑥𝑛 = 3𝑛 − 2

(2)

Exercițiul 2(A), pag.168 (2) După primii termini dați ai șirului alegeți una din formulele pentru termenul de rang 𝑛: 1 1 1 1 𝑐) 1; ; ; ; … ; 4 9 16 25 Exercițiul 4(B), pag.168 (2) Să se scrie primii cinci termini ai fiecăruia dintre șirurile date de formulele de recurență: 𝑑) 𝑎1 = √2, 𝑎𝑛+1 = (√2)

𝑎𝑛 2

𝑥1 = 5; 𝑥2 = 2; 𝑥3 =

𝑥𝑛 =

1 𝑛2

𝑎1 = √2,

2

𝑎2 = (√2) 𝑎3 = (√2) 𝑎4 = (√2)

√2

22 42

7.

Tema pentru acasă

3

Notaţi tema pentru acasă.

2

= √2 = 2 4

= √2 = 22 = 4 16

= √2

2562

Să discutăm rezultatele obţinute.

13 5 ; 𝑥4 = 9 4

= 28 = 256 65536

𝑎5 = (√2) = √2 = 232768 Elevul de la tablă va explica când finisează rezultatele. Se discută. Se corectează greşelile (dacă sunt). 1) De învăţat: Cap.1 , §1, p.1.2, pag.8-10 2) De rezolvat: ex. 3(a) din A și 6 din B

Lucrare independentă fără aprecieri cu note.

6.

Bilanţul lecţiei. Concluzii.

3

a) Cantitativ: Ce noţiuni noi am învăţat azi la lecţie? b) Calitativ: Se evidenţiază cine şi ce note a obţinut indicîndu-se realizările fiecăruia. Se apreciază activitatea clasei în ansamblu. Se evidenţiază obiectivele care au fost realizate şi care nu. Mulţumesc pentru lecţie! La revedere!

Întrebări orale. Răspund la întrebări.

La revedere!